ISSN 0233—6723
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СССР АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ПО НАУКЕ И ТЕХНИКЕ
ВСЕСОЮЗНЫЙ ИНСТИТУТ научной и технической информации
(ВИНИТИ)
ИТОГИ НАУКИ И ТЕХНИКИ
СЕРИЯ
СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ
МАТЕМАТИКИ
Фундаментальные направления
Том 18
Научный редактор и составитель
член-корреспондент АН СССР Р. В. Гамкрелидзе
Серия издается с 1985 г.
МОСКВА 1988

Главный редактор информационных изданий ВИНИТИ
профессор П. В. Нестеров
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ
информационных изданий по математике
Главный редактор чл.-корр. АН СССР Р. В. Гамкрелидзе
Члены редколлегии: канд. физ.-матем. наук Д. Л. Келенджеридзе,
канд. физ.-матем. наук М. К Керимов,
чл.-корр. АН СССР Л. Д. Кудрявцев, профессор В. Н. Латышев,
академик Е. Ф. Мищенко, академик С. М. Никольский,
профессор Н. М. Остиану (ученый секретарь редколлегии),
академик Л. С. Понтрягин, доктор физ.-матем. наук Н. X. Розов,
профессор В. К Саульев, профессор Л. Г. Свешников
Редакторы-составители серии
к. ф.-м. н. Л. Л. Аграчев, академик Е. Ф. Мищенко,
профессор Н. М. Остиану, академик Л. С, Понтрягин
Научный редактор серии В. П. Сахарова
Литературный редактор серии
3. Л. Измайлова
Научный консультант по вопросам полиграфии
Заслуженный деятель культуры
М. И. Левштейн
© ВИНИТИ, 1988

АЛГЕБРА-2
Консультирующие редакторы-составители тома
член-корреспондент АН СССР А И. Кострикин
член-корреспондент АН СССР И. Р. Шафаревич

Редактор - составитель тома
В. В. Никулин
Научный редактор тома
А. Г. Шипшина
Авторы
Ю. А. Бахтурин, Л. А. Бокуть, И. В. Львов,
А. Ю. Ольшанский, В. К- Харченко

УДК 512.55
I. НЕКОММУТАТИВНЫЕ КОЛЬЦА
Л. А. Бокуть, И. В. Львов, В. К. Харченко
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 7
§ 1. Основные определения и примеры 8
1.1. Кольцо 8
1.2. Идеал, факторкольцо 9
1.3. Кольцо целых чисел Z 9
1.4. Гомоморфизм, изоморфизм, автоморфизм, подкольцо ... 10
1.5. Поля, кольца целых алгебраических чисел 10
1.6. Алгебры над полем и над коммутативным кольцом ... 12
1.7. Тело кватернионов 12
1.8. Алгебра матриц Mn(F) над полем F 13
1.9. Групповая алгебра FG группы G над полем F 14
1.10. Алгебра многочленов 15
1.11. Алгебра формальных рядов .... .... 16
1.12. Алгебры косых многочленов и рядов 16
1.13. Свободные алгебры, системы порождающих и определяющих
соотношений, тождества 17
1.14. Алгебра Вейля 19
1.15. Внешняя алгебра (или алгебра Грассмана) 19
1.16. Алгебра Клиффорда С (п, f) квадратичной формы f . . 20
1.17. Универсальная обертывающая алгебра UL алгебры Ли L 20
1.18. Лемма о композиции 20
1.19. Локализации, условие Оре, классическое кольцо частных . 21
1.20. Модули 22
1.21. Свободные, проективные, инъективные модули .... 24
1.22. Категории и функторы 26
1.23. Функторы Ext и Тог 28
1.24. Радикалы Бэра и Джекобсона 29
1.25. Некоторые классы модулей 32
1.26. Литературные указания 34
§ 2. Конечномерные алгебры ... 35
2.1. Введение 35
2.2. Алгебры малых размерностей 35
2.3. Скрещенные произведения 36
2.4. Циклические алгебры 38
2.5. Прямые суммы и тензорные произведения конечномерных
алгебр 39
2.6. Теорема Фробениуса 41
2.7. Строение конечномерных алгебр 42
2.8. Группа Брауэра 44
2.9. Алгебры над полем алгебраических чисел 46
5

IS. 10. Примеры нескрещенных произведений 46
2.11. Группа Брауэра и функтор #2 47
2.12. Модули и тип представления конечномерных алгебр ... 48
2.13. Схемы и приведенные алгебры 50
2.14. Артиновы кольца 52
2.15. Литературные указания 52
$ 3. Модули и некоторые классы колец 53
3.1. Введение 53
3.2. Артиновы модули, нётеровы модули 54
3.3. Модули конечной длины 55
3.4. Проективные модули 56
3.5. Инъективные модули 58
3.6. Гомологические размерности колец и модулей 59
3.7. Плоские модули 61
3.8. Классически полупростые кольца 62
3.9. Наследственные и полунаследственные кольца .... 62
3.10. Локальные кольца 63
3.11. Совершенные и полусовершенные кольца 64
3.12. Квазифробениусовы кольца 65
3.13. Литературные указания 69
*§ 4. Строение колец 70
4.1. Введение 70
4.2. Структурная теория Джекобсона 71
4.3. Новая структурная теория 74
4.4. Радикалы колец 76
4.5. Примеры нётеровых колец 78
4.6. Кольца Голди 80
4.7. Размерность Крулля 81
4.8. Простые нётеровы кольца v . 82
4.9. Строение Р/-колец 84
4.10. Литературные указания 89
<§ 5. Разное 90
5.1. Групповые алгебры конечных групп 90
5.2. Групповые алгебры бесконечных групп 94
5.3. Локализация колец и вложения в тела 96
5.4. Тождества и рациональные тождества над полем
характеристики нуль 99
5.5. Топологические кольца 101
5.6. Мультипликативное строение конечномерных простых алгебр 103
5.7. Группа Брауэра коммутативного кольца 105
5.8. Некоммутативная теория Галуа 107
5.9. Регулярные кольца 108
5.10. Литературные указания 111
Литература 113

ВВЕДЕНИЕ
Алгебра квадратных матриц порядка п^2 над полем
комплексных чисел является, по-видимому, наиболее известным
примером некоммутативной алгебры.0 Подалгебры и подколь-
ца этой алгебры (например, кольцо целочисленных мХм-мат-
риц) естественно возникают в различных областях математики.
Исторически, однако, изучению алгебр матриц предшествовало
появление введенных Гамильтоном в 1843 году кватернионов,
которые нашли приложения в классической механике еще с
прошлого века. В дальнейшем оказалось, что кватернионный
анализ имеет важные приложения в теории поля. Алгебра
кватернионов стала одним из классических математических
объектов, она используется, например, в алгебре, геометрии и
топологии.
Кратко остановимся на других, естественно возникающих в
математике и математической физике примерах
некоммутативных колец и алгебр.
Внешняя алгебра (или алгебра Грассмана) широко
используется в дифференциальной геометрии и теории многообразий,
например, в геометрической теории интегрирования. Алгебры
Клиффорда, частным случаем которых является внешняя
алгебра, используются в теории представлений и алгебраической
топологии. Алгебра Г. Вейля (или алгебра дифференциальных
операторов с полиномиальными коэффициентами) часто
появляется в теории представлений алгебр Ли. В последнее время
модули над алгеброй Вейля и пучки таких модулей стали
основой так называемого микролокального анализа. Теория
операторных алгебр (т. е. подалгебр алгебры ограниченных
операторов гильбертовых пространств), в частности, №*-алгебр
или алгебр Дж. Неймана, С*-алгебр, возникла благодаря
стимулирующему влиянию квантовой механики и стала важной
частью функционального анализа с многочисленными связями
с теорией представлений и другими областями математики.
Универсальные обертывающие алгебры алгебр Ли важны, в
частности, для теории представлений групп и алгебр Ли.
Групповые алгебры конечных групп являются основным объектом в
теории, представлений конечных групп. Они используются
также, например, в теории кодирования. Групповые алгебры
топологических групп важны в теории бесконечномерных
представлений групп. Современная теория конечномерных алгебр лежит
на стыке таких дисциплин, как алгебраическая /(-теория,
теория алгебраических групп, алгебраическая геометрия. Для
м^З имеется соответствие между м-мерными проективными
пространствами и координатизирующими их (ассоциативными)
*> Перед чтением данного тома рекомендуем читателю ознакомиться с
томом 11, содержащим основные понятия алгебры. — Примечание редакции.
7

телами, что позволяет многие вопросы о таких пространствах
сводить к алгебраическим вопросам для тел. Так называемые
непрерывные геометрии, введенные Дж. Нейманом, координа-
тизируются регулярными кольцами.
О содержании статьи. В § 1 приведены примеры колец,
основные определения, постановки задач и некоторые
мотивировки. Классической частью теории колец является теория
конечномерных алгебр. Этому посвящен § 2. Важнейшим
инструментом структурной теории колец является понятие модуля.
Модулям и некоторым классам колец, определяемым в
терминах модулей над ними, посвящен § 3. Исходной задачей
теории колец является классификация колец с точностью до
изоморфизма. Хотя эта задача в полном объёме и не выполнима,
но она приводит к многочисленным результатам о строение
колец. Этому посвящен § 4. В § 5 приведены фрагменты теорий,
развиваемых в рамках теории колец и близких к ней
дисциплин. В конце статьи имеется библиография.
При написании статьи авторы получили ту или иную
помощь от многих математиков. И. Р. Шафаревич и А. И. Костри-
кин внимательно ознакомились с первым вариантом статьи и
сделали многочисленные замечания как по конкретным
вопросам, так и по поводу общего плана статьи и характера
изложения. Откликнулись на нашу просьбу и написали для нас
материалы, которые мы использовали, В. И. Арнаутов (в
соавторстве с М. И. Урсулом), А. А. Бовди, Ю. А. Дрозд,
А. С. Меркурьев, В. И. Янчевский. Ознакомились со статьей и
высказали свои замечания А. В. Михалёв и Л. А. Скорняков.
Большую помощь оказали нам беседы с А. 3. Ананьиным,
О. К. Бабковым, К. И. Бейдаром, И. X. Беккером, А. А. Бояр-
киным, Г. М. Бродским, А. И. Валицкасом, В. Н. Герасимовым,
Р. И. Григорчуком, А. Г. Григоряном, Е. И. Зельмановым,
Ю. Н. Кафиевым, А. Р. Кемером, Л. А. Койфманом,
С. Ф. Кренделевым, Ю. Н. Мальцевым, В. Т. Марковым,
А. М. Стёпиным, В. А. Уфнаровским, А. С. Штерном (многие
из них также подготовили для нас материалы, которыми мы, к
сожалению, прямо не воспользовались ввиду ограничения
объема статьи). Мы глубоко благодарны всем им за помощь и
сотрудничество.
§ 1. Основные определения и примеры
1.1. Кольцо R — это множество R с операциями сложения
+ и умножения •, причем </?, -\-> — абелева группа и
выполняются законы дистрибутивности: a(b-\-c) =ab-\-ac, (Ь-\-с)а =
= Ьа-\-са. Мы будем рассматривать только ассоциативные
кольца, т. е. кольца с ассоциативной операцией умножения (ab)c =
= а(Ьс). Кроме того, если не оговорено противное, всегда будет
8

предполагаться, что кольцо имеет единицу, т. е. выделенный
элемент 1 = 1д такой, что 1а=а1=а для всех a£R. Аксиомы
кольца не включают следующего привычного в арифметике
условия: если ab = 0, то либо а=0, либо Ь = 0. Элементы, для
которых это условие не выполняется, называются делителями
нуля. Если в кольце нет делителей нуля, то оно называется
областью целостности или кольцом без делителей нуля.
Кольцо R называется коммутативным, если выполняется
тождество ab=zba для всех a,b£R. Наше основное внимание,
как следует из названия статьи, будет сосредоточено на
некоммутативных (точнее, на не обязательно коммутативных)
кольцах— теория коммутативных колец имеет свои особенности,
тесные связи с алгебраической геометрией, глубоко развитые
методы и рассматривается как отдельная теория. Тем не менее,
многие понятия общей теории некоммутативных колец
возникают из теории коммутативных колец, и мы будем иногда для их
иллюстрации рассматривать коммутативные кольца.
1.2. Идеал, фактор кольцо. Идеалом кольца R называется
непустое подмножество I^R, замкнутое относительно
вычитания и выдерживающее умножения слева и справа на любые
элементы кольца (обозначение — /<]/?). В любом кольце
множества {0} и R являются идеалами. Эти два идеала
называются несобственными, а остальные (если они есть) —
собственными. Кольцо, имеющее только несобственные идеалы,
называется простым.
Пусть / — идеал кольца R. На множестве R определим
отношение а~Ь<=>а—ЬЫ. Нетрудно проверить, что это отношение
есть отношение эквивалентности, согласованное с операциями
сложения и умножения: a~b, c~d=^ac~bd, a-\-c~b-\-d.
Поэтому R распадается на классы эквивалентности, R = \J(r+I),
г
где г-\-1 — класс эквивалентности, содержащий элемент г: он
состоит из элементов вида r-\-i (Ш). На множестве классов
эквивалентности определим операции {r+I) (s+I)=rs-\-If
(r+I)-\-(s-\-I) = (r-\-s)-\-I. В результате множество классов
эквивалентности превращается в кольцо, которое обозначается
через R/I и называется факторкольцом кольца R по идеалу I.
Конструкция факторкольца как бы превращает собственный
идеал / в несобственный (точнее, в нулевой). Идеалы кольца
можно перемножать и складывать: если /,/<]/?, то /+/ =
= {а+6, а£1. Ьб/}, П={2а{Ьи сы&1, Ьч£]} — снова идеалы. Разу-
i
меется, таким образом из собственных идеалов могут
получиться несобственные. Как обычно определяются и степени идеала
In = II---l (п раз). Кроме того, пересечение любого семейства
идеалов — это идеал, причем легко видеть, что IJ^I[)J.
1.3. Кольцо целых чисел Z. Это кольцо известно читателю ия
школьного курса. Z является примером коммутативного кольца.
Множество (n)=nZ всех целых чисел, кратных некоторому
9

фиксированному числу п, образует идеал. С помощью
алгоритма деления Евклида можно показать, что все идеалы кольца
Z исчерпываются множествами вида пЪ (/г^О). Факторкольцо
Z/nZ состоит из классов смежности k-\-nZ. Все числа каждого
класса объединены тем свойством, что они дают один и тот
же остаток k при делении на п. Факторкольцо Z/nZ может
быть отождествлено при /г>0 с кольцом Zn вычетов по
модулю п. Кольцо Zn содержит п элементов 0, 1,..., /г—1, на
которых операции сложения аФЬ и умножения а®Ь задаются как
остатки от деления целых чисел а-\-Ь и аЬ на п соответственно.
С алгебраической точки зрения кольца Zn и Z/nZ не
различаются, или, как говорят, изоморфны.
1.4. Гомоморфизм, изоморфизм, автоморфизм, подкольцо.
Пусть R, S — два кольца. Отображение ф : R-+S называется
гомоморфизмом, если оно сохраняет операции: ф(х—у) =
= ф(*)— ф(#), ф(хг/)=ф(х)ф(#), ф(1) = 1 (если кольца
рассматриваются как кольца без единицы, то последнее условие
в этом определении опускается). Ядром гомоморфизма ф
называется множество Кегф= {*£/?, ф(х)=0}. Легко видеть, что
Кег ф — идеал R. Образом гомоморфизма ф называется образ
отображения ф*. lmy= {y£S; Э.х у(х)=у}. Подмножество
кольца R, замкнутое относительно кольцевых операций и
содержащее единичный элемент, называется подкольцом. Легко видеть,
что образ гомоморфизма — это подкольцо. Гомоморфизм,
имеющий нулевое ядро, называется инъективным (или вложением,
или мономорфизмом). Гомоморфизм ф : /?->S называется
сюръективным (или гомоморфизмом «на», или эпиморфизмом),
если 1тф = 5. Взаимно однозначный (инъективный и сюръек-
тивный) гомоморфизм называется изоморфизмом.
В примере из предыдущего пункта отображение k-+k-\-nZ
будет гомоморфизмом из Z на Z/nZ, а отображение k+nZ*-*
*-+k— - /г, где - —целая часть числа k/n, будет
изоморфизмом Z/nZ на Zn. Этот пример имеет общий характер.
Именно, ясли 1 — идеал, то отображение r^r-\-I есть гомоморфизм
R на R/1. Обратно, если ф : /?->S — гомоморфизм, то можно
рассмотреть гомоморфизм г|э :/?->/?/Кег ф. При этом ф(М-0 =
= ф(г), если ^Кегф, т. е. ф каждый класс эквивалентности
переводит в один элемент, и мы можем определить- отображение
<р : /?/Кег ф-bS. Это отображение оказывается изоморфизмом
jR/Ker ф на Im ф.
Автоморфизмом ф : /?->/? называется изоморфизм кольца на
себя.
1.5. Поля, кольца целых алгебраических чисел.
Коммутативное кольцо F называется полем, если для любого афО из F
уравнение ах=1 разрешимо в F. Наиболее часто в математике
встречаются поле рациональных чисел Q, поле действительных
10

чисел R, поле комплексных чисел С. Классическая теория Га-
луа началась с изучения конечных расширений поля Q (т. е.
полей /С, элементами которых являются комплексные числа, а
размерность К как линейного пространства над Q конечна —
мы считаем, что читатель знаком с основами линейной
алгебры) и их автоморфизмов. Ее развитие привело к современной
теории Галуа как коммутативных, так и некоммутативных
колец.
В теории чисел, наряду с целыми числами, фундаментальное
значение имеют целые алгебраические числа, т. е.
(комплексные) корни уравнений хп+ап_1дспк-1+ ... +ао=0 с целыми
коэффициентами. Например, числа вида а+Ь^с (а, &, с G Z)
являются целыми алгебраическими (это следует из теоремы Вие-
та школьного курса математики). Можно показать, что разность
и произведение целых алгебраических чисел — такое же число,
т. е. целые алгебраические числа образуют кольцо. Целые
алгебраические числа, лежащие в данном конечном расширении
К поля Q, образуют кольцо, называемое кольцом целых
алгебраических чисел. Теория делимости в кольцах целых
алгебраических чисел отличается от теории делимости целых чисел тем,
что целое алгебраическое число представимо, вообще говоря, не
единственным образом в виде произведения неразложимых на
множители в данном кольце целых алгебраических чисел.
Например, 9 = 3-3= (2+У—5) (2—У—5) — два представления в
виде произведения неразложимых в кольце целых
алгебраических чисел вида а + ЬУ—5 (а, Ъ £Z). Для восстановления, в
определенном смысле, единственности были предложены
«идеальные множители», которые и привели к понятию идеала кольца
(теория делимости целых алгебраических чисел разработана в
трудах Куммера, Дедекинда и Д. И. Золотарева). Классическая
теория чисел изучает теорию делимости, или теорию идеалов,
в кольцах целых алгебраических чисел. Правильно понятые
свойства этих колец привели к понятию коммутативного деде-
киндового кольца и к перенесению теории делимости с колец
целых алгебраических чисел на коммутативные дедекиндовы
кольца. Это было сделано Э. Нётер и явилось одним из начал
современной алгебры.
Отметим (далее это не используется), что поле
вещественных чисел R получается из поля Q при помощи операции
топологического пополнения, если топологию на Q определить с
помощью обычной нормы 1М1=|*|. На поле Q можно задать и
другие топологии, так что кольцевые операции останутся
непрерывными. Это топологии, определяемые р-адической нормой
Jlpm,fllp = 2"m, где р— фиксированное простое число, а целые
числа a, b не делятся на р. Пополнения Q по р-адическим
нормам дают поля Qp р-адических чисел, имеющие важное значе-
11

ние в алгебраической теории чисел и в так называемом р-ади-
ческом анализе.
Важнейшее алгебраическое свойство поля комплексных
чисел С состоит в том, что оно алгебраически замкнуто, т. е.
любое уравнение хп+ап-Ххп~1-\-... +а0=0 с комплексными
коэффициентами &х имеет корень.
Встречавшееся выше кольцо вычетов Zp при простом р
также будет полем, которое обладает тем свойством, что сумма
(р раз) 1 + 1+...+1 = р-1=0. Поле, обладающее таким
свойством, по определению имеет характеристику р. Любое поле
характеристики р>0 содержит минимальное подполе,
изоморфное Zp. Говорят, что поле F имеет характеристику нуль, если
р\фО ни для какого натурального р. Ясно, что поле
характеристики нуль содержит подполе, изоморфное Q.
1.6. Алгебры над полем и над коммутативным кольцом.
Кольцо R называется алгеброй над полем F, если R является
линейным пространством над F и линейная структура связана
с умножением в R законом a(ab) = (aa)b = a(ab), где a£F,
a, b£R. Кольца R и С могут рассматриваться как алгебры над
Q. Поле С, в свою очередь, является алгеброй над R. Любое
поле характеристики р>0 будет алгеброй над Zp.
Если R — алгебра над F, то отображение а»->а1к (a^F)
поля F в R сохраняет операции и имеет нулевое ядро: если афО,
а1л = 0, то 1д= (а^]а) 1д = а_1(а1л) = a~~iO = 0. Таким образом, F
может быть отождествлено с подкольцом FlRy при этом аа =
= a(al) =a(al) = aa, где a£F, аб/?, т. е. F содержится в центре
алгебры R. Центром кольца (алгебры) R называется
множество C(R) = {c£R; Va6/?, са = ас}. Справедливо и обратное:
если существует вложение ф поля F в центр C(R), то R
естественно превращается в алгебру над F: ar=cp(a)r. Такой
взгляд позволяет определить алгебры над произвольным
коммутативным кольцом k. Кольцо R называется алгеброй над
коммутативным кольцом fe, если задан гомоморфизм ф : k*+
»-*С(/?), при этом элементы ф(а)г, Гф(а) обычно записываются
в виде ar, га, соответственно. Заметим, что любое кольцо может
рассматриваться как алгебра над кольцом целых чисел Z, где,
по определению, ф(я) =nl.
Приводимые ниже примеры, по существу, являются
конструкциями, поаволяющими по кольцу или полю строить
некоммутативные кольца, при этом если исходное кольцо
коммутативно, то, как правило, получаются алгебры над ним.
1.7. Тело кватернионов. Кольцо R называется телом, если
для любого ненулевого a£R существует элемент a~l£R такой,
что аа~1 = а^1а=1 (т. е. это «некоммутативное поле»). Если
тело одновременно является алгеброй над некоторым полем, то
оно называется алгеброй с делением. Рассмотрим множество Н
сумм вида a+bi+cj+dk, где а, й, с,4^К a i9j9k — некоторые
символы (мнимые единицы). На Н определим покоординатное
12

сложение, а умножение — законом дистрибутивности и
правилом «часовой стрелки»: ij = k, jk = i, ki = j, kj=—i, ik=—/,
ji=—k9 F = j7 = k2= — 1. В результате получается 4-мерная
алгебра над R, называемая алгеброй кватернионов. Хотя тело Н
содержит поле С (суммы вида а-\-Ы), алгеброй над С оно не
является, поскольку С не лежит в центре Н. Кольцо Н
является телом: если a = a-\-bi-\-cj-\-dk, то а'"1=|а|~2а, где а =
«а-— Ы—с\—dk, \a\=ya2+b2-\-c2+d2. Определяемая последним
равенством норма превращает Н в полную нормированную
алгебру над R (см. п. 5.5).
; 1.8. Алгебра матриц Mn(F) над полем F. Эта алгебра
состоит из обычных /гХ/г-матриц Л = ||а^-Ц с элементами из поля F,
Ш\ + \\Ьц\\ = Wciij+biijl a- llOiill = 11а-а0.||, ||а„|| • ИМ = &аМ\.
Единичная матрица 1=||%||, где 6ц — символ Кронекера,
обладает обычным свойством 1-А=А-1=А, В качестве базиса
Mn{F) над F можно взять матричные единицы ец (а^ —
матрица, имеющая число 1 на месте (i, /), а остальные элементы — 0).
Следовательно, Mn(F)—конечномерная алгебра, ее
размерность (над F) равна /г2. Таблица умножения алгебры Mn(F) в
базисе {ец} имеет вид: etjeks = 8jke]is. Элементы ец являются
идемпотентамщ т. е. ецф0, ец2 = ещ. Идемпотент е называется
примитивным (или минимальным), если он не представим в
&иде суммы ортогональных идемпотентов, еФ1~\-ку /ft = /i/=0.
Идемпотенты ен примитивны. Равенство 1 = ец+ ... +епп даег
ортогональное разложение единицы алгебры Mn(F) в сумму
примитивных идемпотентов. Легко видеть, что Mn(F) является
простой центральной (см. пп. 1.2, 1.6) алгеброй над F. Вместе
с этим Mn(F) имеет много односторонних идеалов.
Подмножество 1ф0 кольца R называется правым {левым) идеалом,
если оно замкнуто относительно вычитания и выдерживает
умножения справа (слева) на элементы кольца: а, &б/, гб/?=>
г=^а—b£ly ar£l (соответственно ra£l). Например, euMn(F)—
правый идеал (множество «t-x строк» в Mn(F))f Мп(Р)ец—
левый идеал (множество «1-х столбцов»).
Одно из самых важных свойств кольца Mn(F)f как и
всякой конечномерной алгебры, это свойство обрыва убывающих
цепей правых (левых) идеалов: любая строго убывающая
цепь Дгэ/ггэ... правых (левых) идеалов содержит лишь
конечное число членов. Это условие равносильно условию
минимальности для правых (левых) идеалов: любое множество
правых (левых) идеалов кольца обладает минимальным по
включению элементом. Кольцо, удовлетворяющее условию
минимальности для правых (левых) идеалов, называется право
(лево) артиновым. Кольцо называется артиновым, если оно од-
новременно и лево, и право артиново. Иногда право (лево) ар-
тиновы кольца называют артиновыми справа (слева). Условие
13

артиновости кольца во многих случаях удачно заменяет
условие конечномерности алгебры (в том смысле, что многие
теоремы о конечномерных алгебрах переносятся на артиновы
кольца, см. ниже п. 2.14).
Если R— произвольное кольцо, то кольцо матриц Mn(R)
определяется совершенно аналогично кольцу матриц над полем.
На кольцо Mn(R) переносятся многие свойства кольца R,
формулирующиеся в терминах (левых, правых) идеалов и
гомоморфизмов. Например, если R — простое кольцо или лево (право)
артиново кольцо, то и Mn(R) будет кольцом с соответствующим
свойством. Правильно понятая причина этого обстоятельства
приводит к понятию Морита-эквивалентности колец (см. об
этом ниже пп. 1.20, 1.22, 4.8), и перенос свойств R на Mn(R)
объясняется тем, что R и Mn(R) Морита-эквивалентны.
Свойства R, формулирующиеся на языке элементов кольца, не
всегда переносятся на Mn(R). Так, Mn(R\, я>1, всегда содержит
делители нуля (например, ei2-ei2=0), даже если R без
делителей нуля (см. п. 1.1). Если R — поле или кольцо без делителей
нуля, то в Mn(R) произведение ненулевых идеалов (см. п. 1.2)
отлично от нуля. Это подсказывает в определенном смысле
правильную замену в некоммутативном случае понятия кольца без
делителей нуля. Кольцо R называется первичным
(полупервичным), если произведение ненулевых идеалов в R отлично от
нуля (соответственно, квадрат ненулевого идеала не равен нулю).
Свойства первичности (полупервичности) переносятся с кольца
на кольцо матриц (вообще, сохраняются при
Морита-эквивалентности). Это отчасти объясняет то обстоятельство, что в
теории некоммутативных колец эти свойства более важны и
более употребительны, чем свойство отсутствия делителей нуля.
Кольца матриц естественно возникают в теории простых
конечномерных алгебр и простых артиновых колец. Ф. Э. Молин
(1893) доказал, что простая конечномерная алгебра над полем
комплексных чисел изоморфна алгебре матриц над С. Обобщая
этот и последующие результаты, Э. Артин в 1927 году
установил, по существу, что простое лево (право) артиново кольцо
изоморфно кольцу матриц над телом.
1.9. Групповая алгебра FG группы G над полем F. Пусть для
простоты G= {e=go, g\,..., gn-i} — конечная группа.
Рассмотрим линейное пространство FG с базой {g{} и определим в
нем умножение, индуцированное умножением gigj=gk в
группе G. FG превращается в конечномерную алгебру над F с
базисом {g{} и таблицей умножения gigi=gk- Алгебра FG
является классическим примером конечномерной алгебры. Если
G — не единичная группа, то FG не является простой
алгеброй, так как содержит, например, фундаментальный идеал
A(FG) = {Zaigu Saf = 0}. В этом же случае FG — не
центральная алгебра, так как для любого элемента g¥=e элемент C(g) =
= {Lx^gx; x£G} лежит в центре алгебры FG (поскольку
14

x~1gxy=yxi~~lgx\(y£G) Для подходящего X\£G). Оказывается,
что центр FG порождается (как линейное пространство) эле-
ментами C(g), g£G. Аналогично определяется групповая
алгебра FG бесконечной группы над полем F или над кольцом R
(как совокупность конечных сумм 2 agg, где ag£F или ag£R>
geG
соответственно; конечность суммы понимается в том смысле, что
только конечное число ее слагаемых отлично от нуля).
1.10. Алгебра многочленов F[x] от одного переменного х над
п
полем F состоит из обычных многочленов f (х) = 2 а{х\ a&F,
с обычными операциями сложения, умножения и умножения на
элементы поля F. Эта алгебра является коммутативной
областью целостности (см. п. 1.1). Каждый идеал в R = F[x], как
и в Z, является главным, т. е. имеет вид aR (это опять следует
из алгоритма деления Евклида). В этом смысле R —
коммутативное кольцо (область) главных идеалов. Если R —
произвольное кольцо (алгебра), то кольцо (алгебра) многочленов R[xJ
определяется совершенно аналогичным образом. Если R —
область целостности, то из свойств функции степейи на R[x]
следует, что и R[x]—область целостности. Алгебра многочленов
F[x\,..., хп] от нескольких переменных хи ..., хп над полем F
определяется по индукции как алгебра #[лгп], где R = F[xu .. ►
..., хп-\\ Алгебры многочленов F[x\,..., хп] имеют
фундаментальное значение для алгебраической геометрии. Так, алгебра-
ическое многообразие в аффинном пространстве — это
множество корней некоторой совокупности многочленов. Теорема
Гильберта о базисе (см. ниже) показывает, что в этом определении
всегда можно ограничиться лишь конечным множеством
многочленов. Потребности геометрии привели к созданию теории
идеалов алгебр многочленов (М. Нётер, Гильберт, Ласкер).
Конструкция R[x] кольца многочленов, как правило, не
сохраняет свойства кольца R (например, свойство простоты
кольца). Тем не менее, есть одно важное свойство (кроме свойства
быть областью целостности), которое сохраняется при переходе
к кольцу R[x]. Кольцо R называется нётеровым справа, если
любой правый идеал / кольца R конечно порожден, т. е.
найдется такое конечное множество {аь ..., ап} элементов /?, что
I=aiR+ ... -\-anR={Laibi\ b^R}. Аналогично определяются
нётеровы слева кольца. В коммутативном случае говорят просто
о нётеровых кольцах. Оказывается, что если R — нётерово
справа (слева), то и R[x] — такое же кольцо. Отсюда следует, что
F[xh ..., Хп\ —нётерово кольцо (теорема Гильберта о базисе).
К кольцу F[x\,..., хп] применима конструкция частных
(дробей). В результате получим поле F(x\,...9 xn) = {fly\ f>
<p£F[x\,..., яп], уфО} рациональных функций над F от хи ...
..., хп. Конечные расширения поля F(x\,..., хп) называются
15

полями алгебраических функций над F. Их теория является
частью классической алгебры и алгебраической геометрии.
1.11. Алгебра формальных рядов F[[x]] от одного
переменного х над полем F состоит из формальных степенных рядов
оо
f(x) = 2 а{х1 с формальными операциями сложения и
умножено
ния рядов. Это кольцо является алгебраическим аналогом
кольца аналитических функций. Свойства функции нижней
степени o(/)=min{r, йгФЩ, если }ф0, о(0) = +оо, показывают,
что F[[x]] — коммутативная область целостности. Все идеалы
алгебры # = /7[[*]], как и алгебры F[x], исчерпываются
главными идеалами (f) =fR, т. е. R — область главных идеалов.
Основная особенность /ЦХП, по сравнению с F[x], состоит в том,
что если f — ряд с ненулевым свободным членом, т. е. о(/)=0,
то / имеет обратный элемент. Действительно, представим / в
виде f = a(l—g), a*Fy o(g)>0. Тогда f-l=Vl(l+g+g2+...).
Отсюда следует, что все ненулевые идеалы в F[[x]\ образуют
цепь: (1)=э(#)=э(#2):э ... . В частности, существует
единственный максимальный (наибольший) идеал т=(х).
Коммутативные кольца, обладающие единственным максимальным идеалом,
называются локальными. Коммутативное кольцо локально, если
все его необратимые элементы составляют идеал. В
некоммутативном случае последнее свойство берется за определение
локального кольца. Изучение коммутативных локальных колец —
центральная задача теории коммутативных колец (так как
такими являются кольца (ростков) регулярных функций в
точках алгебраических многообразий).
Если R — произвольное кольцо, то кольцо R[[x]]
определяется совершенно аналогичным способом. Если R — область, то и
# [М] — область. Если R — право (лево) нётерово кольцо, то и
R[[x]] — право (лево) нётерово кольцо. Алгебра F[[x\, - - ., хп]]
формальных рядов от нескольких переменных определяется
индуктивно как /?[[*»]], где R = F[[xu ..., xn-i]].
1.12. Алгебры косых многочленов и рядов. Пусть R — кольцо,
а — его эндоморфизм (т. е. гомоморфизм R в себя), б есть
а-дифференцирование, т. е. аддитивное отображение R в R со
свойством 8(ab) =8(a)b+a(a)6(b). Если во множестве
многочленов 2агхг' над R ввести (некоммутативное) умножение по
правилу ха = а(а)х+6(а), a£R, то получится кольцо,
обозначаемое через R{x, а, б] (кольцо косых многочленов). Например,
алгебра Вейля Ai(F) над полем F определяется как алгебра
^Ti/H*, 1, ' ], где ' — обычное дифференцирование в F\y\ (т. е.
элементы х и у в A\(F) связаны соотношением ху=ух+\).
Кольца косых многочленов дают примеры некоммутативных
колец главных идеалов (т. е. колец R, в которых каждый левый
идеал имеет вид Ra, а каждый правый — aR). Именно, пусть
D — тело, а — его автоморфизм и б суть а-дифференцирование.
16

Тогда D[x, а, б] — область главных идеалов. Это следует из
того, что в D[x, а, 6] выполняется алгоритм деления Евклида.
Если R — кольцо, а — его эндоморфизм, то кольцо R[[x> а]]
косых рядов определяется как множество формальных рядов
с операцией умножения, определяемой правилом ха=±
=а(а)*(ае#). На этом пути получаются так называемые тела
Гильберта. Пусть D — тело, а — его автоморфизм. Рассмотрим
формальные лорановы ряды Е atx\ п — любое целое, возможно
1>п
отрицательное число. Если ввести в нем операцию,
индуцированную правилом xa—a(a)x(a£R) (тогда xrla*=a~l(a)xrl)9 то
поручится кольцо, обозначаемое через D[[xy дг1, а]]. В
действительности оно является телом (и называется телом Гильберта).
В частности, если Q> = F(y) —поле рациональных функций, а —
автоморфизм F-алгебры Ф, определенный формулой а(у) —
= г/+1, то центр тела Ф[[*, лг1, а]] совпадает с /\ и мы
получаем пример тела, бесконечномерного над своим центром.
1.13. Свободные алгебры, системы порождающих и
определяющих соотношений, тождества. Свободные алгебры — это
некоммутативный аналог алгебры многочленов. Пусть F — поле,
Х={х{] №1}'— набор некоммутирующих переменных (букв).
Словом длины k^O от X будем называть последовательность
Xil...Xik (при k = 0 получаем пустое слово 1). Два слова
равны, если их длины совпадают и соответствующие буквы
совпадают (первая — с первой и т. д.). Рассмотрим
(бесконечномерное) линейное пространство F<X>, базой которого
являются все слова от X. Операция умножения в F(X}
индуцируется операцией приписывания слов: (Zauu) (2$vv) =Ilau$vuv.
Алгебра F(X) называется свободной алгеброй над F со
свободными порождающими (образующими) X. Если R — любая
алгебра над F, то нетрудно увидеть, что любое отображение X в
R можно единственным образом продолжить до гомоморфизма
F(X) в R. Выведем отсюда, что любая алгебра йад F
является гомоморфным образом свободной алгебры, т. е. существует
сюръективный гомоморфизм (см. п. 1.4) ф : F<X>->-/?. Для этого
введем понятие системы порождающих алгебры. Если V —
подмножество R, то через <У> обозначим наименьшую подалгебру
в /?, содержащую V, т. е. наименьшее подкольцо (см. п. 1.4),
содержащее V и являющееся линейным подпространством над
F в R (эта подалгебра существует как пересечение всех
подалгебр в /?, содержащих V). Элементы <V> имеют вид ZajOj, где
vI=vil... vi/2, v{£V (здесь произведение понимается не
формально, а как произведение в R). Говорят, что V — система
порождающих (образующих) R, если # = <V>. Пусть
X—некоторое множество переменных, равномощное системе
порождающих V алгебры R (например, V=R). Тогда взаимно
однозначное отображение X-+V индуцирует искомый сюръективный
17

гомоморфизм ф: F(X)-+R. Если отображение X-+V
фиксированно (например, каждая буква х£Х обозначена тем же
символом, что и ф(дс)бУ), то элементы ядра Кегф называются
соотношениями алгебры R в системе порождающих V. Если
Кегф порождается как идеал элементами ft{tel), т. е. Кегф=
= 2 F(X}fiF(Xy (сумма подпространств), то говорят, что
ш
{fu №1} — система определяющих соотношений R в системе
порождающих V и алгебра /7<А'>/Кегф, изоморфная (см. п. 1.4)
алгебре R, обозначается так: <Х; /\=0 (*£/)> (в этом
обозначении отсутствует указание на поле). Например, алгебру Вейля
A\(F) можно определить как алгебру <jcr у; ху—ух—1=0> 6
двумя порождающими х, у и одним соотношением ху—ух—1=0.
Аналогичные построения можно провести для алгебр над
коммутативным кольцом k (см. п. 1.6). В этом случае свободная
^-алгебра k(Xy состоит из формальных конечных сумм 2а*а,
где av£k, v — слова от X. Точно так же всякая fc-алгебра имеет
представление (Х\ f{ = 0 (*£/)>. В частности, любое кольцо
можно рассматривать как алгебру над Z (см. п. 1.6), и поэтому у
любого кольца существует представление порождающими и
определяющими соотношениями.
Представление алгебр порождающими и определяющими
соотношениями позволяет легко определить свободное
произведение. Пусть R = (X; ft = 0 (iG/)>, 5 = <У; g, = 0 (/G/)>. Тогда
R*hS = (X\jY; ft = 0, gj = 0 (*G/, /£/)> называется свободным
произведением. Здесь, конечно, считается, что Х{\УФ0. Если R и
S — алгебры над полем F, то базисом свободного произведения
R*FS будут 1 и слова вида riS\r2 s2... rnsn, где ru s{ — элементы
(/\=тМ, St¥=l) некоторых фиксированных базисов R и S,
соответственно, а сомножители г\ и sn могут и отсутствовать (это
легко вывести из леммы о композиции, см. ниже п. 1.18).
Ненулевой элемент f(xu ..., хп) GF<X> (и выражение f(xu .. -
..., хп) =0) называется тождеством или тождественным
соотношением некоторой алгебры /?, если /(аь..., ап)=0 для
любых элементов аь ..., an£R. Например, в алгебре матриц M2(F).
выполняется тождество М. Холла [[х, у]2, z] = 0, где [х, у] =
= ху—У* — коммутатор элементов х, у. В любой n-мерной
алгебре выполняется стандартное тождество 5(п+1) степени
/7+1
2(—1)я^я(1)... яЯ(п+1) = 0,
где я пробегает группу подстановок Sn+i. Коммутативные
кольца обладают тождеством [х, у]=0. Наиболее важный класс
колец с тождествами — это кольца матриц Мп(К) над
коммутативными кольцами К — в них выполняются тождества S(2n) =
= 0 (Амицур, Левицкий).
Одна из важных задач теории колец — это изучение всех
тождеств данной алгебры. Все тождества от счетного числа пе-
18

ременных Х={х^ x2i...} алгебры R вместе с нулем образуют
вполне характеристический идеал (или Т-идеал) T(R) в F(X}>
(т. е. идеал, выдерживающий все эндоморфизмы F(X}). Задача
описания тождеств алгебры R — это задача описания
порождающих T(R) как Г-идеала. Пока не известно ни одного Г-идеа*
ла, не имеющего конечного числа порождающих. Особый ин^
терес проблема конечности числа порождающих Г-идеала
имеет для алгебр над полем характеристики 0 (для этого случая
она была поставлена Шпехтом и называется проблемой Шпех-
та)1). Подробнее о тождествах см. пункт 5.4; тождествам в
алгебре посвящена специальная статья П.
Пусть R = F[X] или R=F(X}, Rn — подпространство всех
однородных элементов степени п (вместе с нулем). Тогда # =
= 2 ®Rn (прямая сумма подпространств) и RnRm^Rn+m- Лю-
бая алгебра R с подпространствами Rn, л^О, и предыдущими
соотношениями называется градуированной. Любую
градуированную алгебру R можно пополнить, рассмотрев все, вообще
говоря, бесконечные суммы 2 rn(rn£Rn) и введя на них еСТеСТ-
венные операции сложения и умножения (при этом, в
результате произведения двух элементов, не получается, как легко
видеть, бесконечного числа подобных членов). Пополнение
алгебры многочленов F[xu ..., хп] есть не что иное, как алгебра
коммутативных формальных рядов F[[xu ..., хп]]. Пополнение
свободной алгебры F<X> называется алгеброй некоммутативных
формальных рядов и обозначается через F^X^.
1.14. Алгебра Вейля An(F) (или алгебра дифференциальных
операторов от п переменных) порождается над F элементами
хи ..., хп\ Уи • • •» Ую связанными определяющими соотношениями:
[Xt> yjl^bij* [&»■#;]— [■**. *y] = 0. Базой An(F) являются
выражения вида xixxit... xik yhyh ...yjm (ii < ... < h; j\<...< jm)»
Это следует из леммы о композиции (см. п. 1.18). По-другому,
элементы An(F)—это линейные дифференциальные операторы!
2ясс,|з*аде> где a=(iu ...» h)* ii<i2< ...<ik, ^са = х^ ... -XikV
P=(y"i \jm)> y'i < • • • < jm, дэ=т^- • •. gjT-, с полиномиаль-
ными коэффициентами, действующие в алгебре F \Х\, ..., хп].
1.15. Внешняя алгебра (или алгебра Грассмана) Оп ранга rt
порождается над полем F переменными xi9 ...,хп, связанными
определяющими соотношениями х? = 0, xtXj= —XjXt (такие
переменные называются антикоммутирующими). В качестве базьк
алгебры Gn можно взять все слова xtl-... -Xik, где ix < ... < ik+
Это опять следует из леммы о композиции. Таким образом, раз-
!> Недавно положительное решение проблемы Шпехта было получено
А. Р, Кемером (публикуется в сб. «Алгебра и логика» (Новосибирск), 1987,26,.
№ 5, 597—641).
19

мерность алгебры Qn равна l + Cln-\-C2n+ ...+Сп~1 + \=**2Г.
Часто умножение в О обозначают через Л- л:/Л*/=0, Xi/\x^
п
«— XjAxt. Если /i—2a^ (К*<л)—я-линейные формы,
"г0 /iA/2A..-A/rt—det||a/y||jCiA-.-A^ii в алгебре Ол, где
•detail—определитель матрицы ||afi||. Это равенство можно
положить в качестве определения и затем, исходя из него,
обосновать всю теорию определителей. Часто используется
алгебра Грассмана G счетного ранга G = <Xi, х2...; #»2зсг0, x{Xj+
-\-XjXi=Qy. Отметим, что в ней выполнено тождество [[х, у],
z]=О, так как однородные элементы четной степени лежат в
центре. Алгебры Gn, G являются примерами градуированных
алгебр (см. п. 1.13).
1.16. Алгебра Клиффорда C(n,f) квадратичной формы }.
Пусть f(x\,..., хп) ^=ЪацХ{х5(аи — а^) — квадратичная форма
•от п переменных над полем ^(характеристики Ф 2). Алгебра
С{п, I) задается порождающими еи...,еп и определяющими
соотношениями е<е3+е,е{ — 2^=0. При f=0 алгебра С(я, /)
превращается в алгебру Gn. Базис алгебры С (л, f) состоит из
тех же слов, что и базис Gn. Это опять следует из леммы о
композиции.
1.17. Универсальная обертывающая алгебра UL алгебры
Ли L. Пусть L — алгебра Ли над F, для простоты
конечномерная. Это означает, что L является конечномерным
пространством над F и (неаесоциативное) умножение в L удовлетворяет
двум тождествам: х2=0 (антикоммутативность) и (xy)z+
+ (yz)x-\-(zx)y=0 (тождество Якоби). Например, если А —
ассоциативная алгебра, то вводя в ней операцию коммутирования
fa, b] =ab — &a, получим алгебру Ли, обозначаемую через
А{~\ Построим по данной алгебре Ли L некоторую
ассоциативную алгебру UL, так что L будет подалгеброй Ли в (UL)imm).
Пусть ai,...,an — базис алгебры L как пространства над F.
Рассмотрим таблицу умножения алгебры L в этом базисе:
п
л{а,= S ai5kak (<ti5k^F). Здесь ввиду равенства а^=
■=—а^ можно считать, что i>j. Обозначим через UL
(ассоциативную) алгебру, заданную порождающими ai,..., ап и
определяющими соотношениями а^5—a^i—1>ацкак=0 (n^i>
>/^1) (см. п. 1.13). Оказывается, что базисом алгебры
(^являются слова вида aix ... aift, где ti^ ... ^fh. Это утверждение
есть содержание теоремы Биркгофа—Витта и также может быть
выведено из леммы о композиции. Отсюда следует, что элементы
<а\, ...,an в UL линейно независимы и поэтому в (UL)^ они
порождают подалгебру, изоморфную алгебре L. Если L — абе-
лева алгебра Ли, т. е. алгебра Ли с нулевым умножением, то
UL изоморфна алгебре многочленов от п переменных.
20

1.18. Лемма о композиции. Пусть R = F<xu ..., хпУ—сво^
бодная ассоциативная алгебра (см. п. 1.13). Будем считать, чта
переменные упорядочены: xt>xi9 если i>j. Упорядочим мно~
жество слов от {х{} прежде всего по длине (u>vt если длина.
l(u)>l(v))y а слова одинаковой длины — лексикографически
(сравнивая, как в словаре, сначала первые буквы, если они
равны — то вторые, и т. д.). Например, *2*з*4>*2*2*5>*5. Если:
/G#\{0}, то / — линейная комбинация попарно различных слол
и через / будем обозначать старшее слово f (т. е. наибольшее
слово, входящее в / с ненулевым коэффициентом). Два слава
и, v будем называть зацепляющимися относительно слова w9
если w^ux^yv, /причем эти вхождения и, v в слово w
пересекаются (т. е. l(u)+l(v)>l(w)). Введем теперь понятие
композиции элементов свободной алгебры. Пусть f, g—ненулевые
элементы R (возможно, совпадающие), /=сс/+ ...,gsss$g+ ... *
причем / и g зацепляются относительно некоторого слова ш=«1
—f*—Mf. Тогда композицией f Hg относительно w называется
следующий элемент алгебры R : (f, g)vt:=$fx — ayg. Ясно, что-
старшее слово композиции строго меньше w (так как, если,
а>0, Г^$, то ut^vs).
Пусть теперь S — некоторое подмножество в R. Говорят, что
S замкнуто относительно композиций, если выполняются
условия:
1) Если /, g£S и (f, g)w—их композиция, то в алгебре
F(X} элемент (f, g)w можно представить в виде (f, ff)^—
^ZaidiSibi, где s^S, аи 6» — слова, a^F, и старшее слово
каждого слагаемого а^&< строго меньше w, т. е. aiSibi=aisibi<iw±
2) Если su s2 — различные элементы S, то Si не содержит s%
в качестве полслова.
Лемма о композиции. Пусть S—подмножество
алгебры F(xu ..., #п>, замкнутое относительно композиций. Тогда
базой алгебры i4«=<jci,..., Хп\ s=0(s£S)y являются все слова'
от хи ... ,хп, не содержащие в качестве подслов старших слов
s элементов s£S.
Теперь для нахождения базисов алгебр Ап, Gn, C(nyf)yUL
нужно убедиться только в том, что множества их
определяющих соотношений замкнуты относительно композиций. С
технической точки зрения удобно при вычислении композиции^, g)w
отбрасывать выражения вида aasb(s£S), для которых asb<wf
заменяя знак равенства знаком сравнения =. В этих
обозначениях условие замкнутости записывается как (f, g)wzs=0.
1.19. Локализации, условие Оре, классическое кольцо
частных. Пусть S — некоторое подмножество кольца (или алгебры)
/?, не содержащее «уля. Локализацией R относительно S
называется кольцо (алгебра) S~lR = <Ry s-^sZS); ss-l = s~ls=\ (s6
£S)>, т. е. кольцо (алгебра), полученная добавлением к R
21

(т. е. к некоторым порождающим и соотношениям /?, см. п. 1.13)
новых порождающих sM для всех s£S и новых определяющих
соотношений ss~l=s-ls=*l. Из общих соображений легко
заключить, что алгебра S~lR не зависит от выбора порождающих
и соотношений в R. Элементами S~lR являются всевозможные
линейные комбинации мономов Го^г1^^1^ ... Sk~lrh(Si£S, г{£
GR), причем отношения равенства между такими выражениями
«фактически не поддаются анализу. Анализ отношения
равенства значительно проясняется, если использовать матричную
конструкцию для S~lR (см. п. 6.3).
v Особый интерес представляет случай, когда все элементы
S~lR имеют вид s~lr(s£S, r£R) и отображение г*-+г из R в S~lR
является вложением. В этом случае говорят, что S~lR —
классическое левое кольцо частных R относительно S, и его
обозначают Qci(/?,S).
Будем говорить, что в R выполняется левое условие Оре
относительно S, если для любых s$Sy r£R существуют SifrS,
t\GR такие, что Sir=r\S.
' Теорема. Классическое левое кольцо частных Qci(/?, S)
существует тогда и только тогда, когда любой элемент из S
не является делителем нуля (см. п. 1.1) ив R выполняется ле-
Ьое условие Оре относительно S.
Если S — это множество всех неделителей нуля в R и QC\(R,
S) существует, то говорят, что R — левое кольцо Оре или
кольцо с левым условием Оре. В этом случае кольцо частных
Qci(RyS) обозначается через QC\(R).
1.20. Модули. Пусть R — кольцо. Абелева группа <Л1, +>
называется левым R-модулем (обозначается цМ)у если
определено левое действие элементов R на элементы М: rm£M(r£R,
mGAf), причем выполняются те же аксиомы, что и аксиомы
лилейного пространства (включая l-m = m). Правый R-модуль
Mr определяется аналогичным образом (R действует на М
справа: rG/?, m^M^mrQM). Понятие модуля над кольцом
является естественным обобщением понятая линейного
пространства и имеет большое значение не только для алгебры, но и для
всей математики. По существу, модули над кольцом R — это
то же самое, что представления (гомоморфизмы)
кольца R в кольцах эндоморфизмов абелевых групп.
Именно, если М — левый модуль над кольцом /?, то любому
элементу r£R можно сопоставить гомотетию rM: М-+М,
Гм(пг)=гт (тйМ),
которая является эндоморфизмом абелевой группы М. Это
определяет гомоморфизм колец /?-ИЕпсШ, r*-+rM(r£R). Обратно,
0сли А — некоторая аддитиэная абелева группа, ф —
гомоморфизм кольца R в кольцо эндоморфизмов группы Л, то Л
наделяется структурой левого /?-модуля по формуле га = у(г)а
22

Для модулей естественно вводятся понятия гомоморфизма,
изоморфизма, подмодуля, фактормодуля. Отображение ср: Af-*-
->N левых модулей над R называется гомоморфизмом, ес-
йи оно сохраняет операции: <p(m + mi) =<v(m)+y(mi);
<р(гт)=гф(т) (т, m^Af, r£R). Подмножество У модуля М
называется подмодулем, если это абелева подгруппа в М ц rv$V
для всех v£V, r£R. С каждым гомоморфизмом <р связываются
два подмодуля: ядро Кегф={т&М; ф,(т)=0}^Л1 и образ
Imy={n£N; 3.т£М ф(/я) =м}^//. Гомоморфизм ф называется
вложением (или инъекцией), если Кегф={0}. Взаимно
однозначный гомоморфизм называется изоморфизмом.
По любому подмодулю V^M можно естественным образом
определить фактормодуль M/V. Как абелева группа он
изоморфен факторгруппе M/V, а умножение на элементы R
определяется формулой r(m-\-V)=rm-{-V. При этом выполняется
теорема о гомоморфизмах: Л1/Кегф^1тф, где <p:Af-WV—
гомоморфизм. Каждый модуль М имеет два несобственных
Ьодмодуля {0}, М. Модуль Мф{0}, не имеющий собственных
подмодулей, называется простым (или неприводимым). Эти
модули играют важнейшую роль во многих областях теории
колец и теории представлений.
Простейший пример модуля над кольцом R — это само
кольцо с его умножением. Этот модуль называется регулярным
(левым RR или правым RR в зависимости от контекста). Теперь
мы можем взглянуть на левые (правые) идеалы как на
подмодули регулярного модуля RR (соответственно RR)~
Приведем несколько естественных типов модулей. G-моду-
лем для группы G называется линейное пространство М, на
котором задано действие элементов g£G, причем (g\g)m==
=gi(gm), em = m, g(am + $m\) = agm + $gm\. Если задан
некоторый G-модуль, то он естественно превращается в модуль над
групповой алгеброй FG по формуле (2<х{£г)^=2аг£*т. С
другой стороны, задание G-модульной структуры эквивалентно
гомоморфному представлению G невырожденными линейными
преобразованиями пространства М. Таким образом, центральная
задача теории представлений групп — это изучение модулей над
групповыми алгебрами. Отметим для примера, что теорема о
жордановой нормальной форме матрицы над С может быть
истолкована как утверждение о строении всех конечномерцых
модулей над алгеброй многочленов С[х] (см. ниже п. 1.25).
Лиевым модулем М над алгеброй Ли L называется абелева
группа вместе с действием am£M (a£L, т£М)у причем {ab)m =
=a(bm)—b(am) для любых элементов a, b£L9 тШ. Каждый
лиев модуль М индуцирует обычный левый модуль М над
универсальной обертывающей UL алгебры L, и обратно. Таким
.образом, теория лиевых модулей, (или, что то же, теория
представлений алгебр Ли) эквивалентна теории модулей цад
универсальными обертывающими алгебрами.
2а

Модуль iMs (т. е. левый /?-модуль и правый S-модуль)
называется билиэдулем, если (rm)s = r(ms) для r£R, тШ9 s$S.
Бимодуль RRR называется регулярным бимодулем, его подбимо-
дули—это идеалы R. С понятием бимодуля связано важное
понятие контекста Мориты (/?, V, W, S) и соответствующее ему
кольцо [у s)- Приведем это понятие. Пусть /?, S — кольца,
rVs, sWr — бимодули, причем заданы умножения (и, w)£R,
(w, v)eS (v£V, w6W), удовлетворяющие условию
«ассоциативности» (v, w)vi — v(w, V\), Wi(v, w) = (wu v)w и условиям
линейности: (xx+x2, у) = (xu у) + \x2i у), (x, У\+у2) = (x, ух) +
+ {x, y2), (ax, y)=a(x, y), (xb, #) = (*, by), (x, ya) = (xt y)ay
где либо x, Xi^V, у, ySW, a£R, beS, либо x, xfiW, yy yfeV>
a£S, b£R. Тогда четверка (R, V, W, S) называется контекстом
Мориты. (Для читателя, знакомого с теорией категорий,
отметим, что контекст Мориты — это в точности предаддитив-
ная категория с двумя объектами Е\, Е2> причем /?=Нот(£ь
EY), S=Hom(£2, £2), У=Нот(£2, Ег), W=Hom(Eu Е2).)
Ему соответствует кольцо \у? $)» операции которого
индуцируются обычными матричными операциями и операциями в
контексте Мориты (это кольцо есть кольцо эндоморфизмов
объекта Е\®Е2 в объемлющей аддитивной категории).
Контекст Мориты называется сюръективным, если (V, W)=R,
(W, V) =S. Стандартный контекст Мориты имеет вид (/?, /?\
nR, Mn(R)), где Rn=V — модуль строк длины n, nR = W —
столбцов, (v, w) и (w, v) — обычные матричные операции,
v£Vy w£W. Стандартный контекст Мориты является сюръектив-
ным и отсюда следует, как мы увидим ниже, что кольца R и
Mn(R) Морита-эквивалентны (см. п. 4.8).
Точной последовательностью ... -^Лп_1-^Лп->Лп+1->...
гомоморфизмов модулей называется такая последовательность, в
которой образ предыдущего гомоморфизма равен ядру следую-
ф
щего. Например, последовательность 0-+A-+B точна, если и
ф
только если <р — мономорфизм. Точность В-^С-^0 эквивалентна
тому, что ф — эпиморфизм.
1.21. Свободные, проективные, инъективные модули. Пусть
R — кольцо, X — некоторое множество. Свободный левый
модуль Mr(X) над R с базой X состоит из всех конечных
формальных сумм 2г<х<, причем элемент 1х{ отождествляется с х{.
Операции сложения и умножения на элементы из R
определяются законом дистрибутивности. Свободный модуль с базой X
характеризуется тем свойством, что он порождается множеством
X, и любое отображение ср : X-+L в любой левый /?-модуль L
однозначно продолжается до гомоморфизма из MR(X) в L. Если
X = {х} — одноэлементное множество, то, отображая элемент
rx£MR(x) в г, получим изоморфизм MR(x)**RR. Строение про-
24

извольного свободного модуля хорошо проясняет конструкция
прямой суммы модулей.
Определим сначала прямое произведение модулей. Пусть М{
Щ1)—семейство модулей. На прямом произведении множеств
П М{ определим модульные операции покомпонентно (т{) +
ш
+ (п{) — (т{+п{), а(т{) = (ami), где т{£М{. Полученный
таким образом модуль называется прямым произведением и
обозначается через И М{. Прямой суммой 2ФМ{ называется под-
модуль в ИМи состоящий из последовательностей (т{)т, все
компоненты которых, за исключением конечного числа, равны
нулю. Каждый модуль М{ может быть отождествлен с
подмодулем в прямой сумме, состоящим из последовательностей, все
компоненты которых, кроме £-й, равны нулю. После такого
отождествления получается, что модуль ЕФЛЬ порождается
подмодулями М{. Это позволяет дать внутреннюю характериза-
цию разложимости модуля М в прямую сумму подмодулей
Mi (Ш). Именно, М=2©М i тогда и только тогда, когда М
порождается подмодулями М{ (т. е. является их суммой), и
пересечение Afjfl 2 М{ равно нулю для всех /€/. В частности, М
разлагается в прямую сумму двух подмодулей Ми М2, если и
только если М\+М2=М и М1(]М2~0.
Теперь мы можем утверждать, что свободный модуль
MR(X) есть прямая сумма подмодулей MR(x), х£Х, каждый из
которых изоморфен левому регулярному модулю /?, т. е.
MB(X)~2©B#.
Свободные модули удовлетворяют следующему
фундаментальному свойству (в отличие от определения не зависящему от
выбора базы X): любой гомоморфизм ф свободного модуля F в
фактормодуль V/U можно «пропустить> через V, т. е.
существует гомоморфизм ф : F-+V, суперпозиция которого с
естественным гомоморфизмом V-+V/U равна <р (если <p(x)=vx+U,
то можно положить $(х) =0Я, где х£Х). Это свойство определяет
класс проективных модулей. Определение проективного модуля
Р можно дать на языке диаграмм: любая диаграмма с точной
строкой (без е)
•''I.
в—с— о
дополняется до коммутативной диаграммы: Зе такое, что g=*fe.
Теорема 1. Модуль Р проективен тогда и только тогда,
когда он является прямым слагаемым свободного модуля:
Может создаться иллюзия того, что любой проективный
модуль как прямое слагаемое прямой суммы регулярных модулей
25

также суть прямая сумма регулярных (т. е. свободен). Однако
это далеко не так — регулярный модуль сам может
разлагаться в прямую сумму не свободных (и по теореме 1 —
проективных) модулей. Пусть, например, R = Mn(F)—кольцо /гХ/г-мат-
рйц над полем F. Тогда RR=Vi® ... ФУП, где Vt — левый идеал
i-x столбцов, причем все подмодули Vt не свободны.
Другое фундаментальное понятие теории модулей
получается, если в диаграммном определении проективного модуля
обратить все стрелки. Именно, левый модуль Q называется инъ-
ективным, если любая диаграмма
V
с точной строкой дополняема до коммутативной диаграммы:
Яг такое, что g = ef. Примерами инъективных Z-модулей
являются делимые (или полные) абелевы группы, т. е. абелевы
группы, в которых разрешимы любые уравнения пх=а(а£А,
n£Z). Можно показать, что любой инъективный Z-модуль
является полной абелевой группой. Хорошо известно, что любая
абелева группа вложима в полную — такая же ситуация
сохраняется для инъективных модулей.
Теорема 2. Любой левый /?-модуль М можно вложить в
инъективный.
Среди инъективных модулей, содержащих М, существует
наименьший, который определяется однозначно с точностью до
изоморфизма и называется инъективной оболочкой модуля М
(подробнее см. п. 3.5).
Инъективные модули Q характеризуются тем, что они
выделяются прямыми слагаемыми из любых своих расширений:
если Q^N, то Q(BM = N для некоторого M^N. Регулярный
модуль может не быть инъективным (например, если /?=Z —
кольцо целых чисел или R=F[x]—алгебра многочленов).
В случае, если R = Mn(F) —кольцо матриц над полем, все-таки
регулярный модуль инъективен; более того, в этом случае
вообще все модули одновременно и проективны, и инъективны.
В общем случае если левый регулярный модуль RR инъективен,
то кольцо R называется самоинъективным (слева). Для
конечномерных алгебр самоинъективность эквивалентна квазифробе-
ниусовости — понятию, возникающему в теории представлений
конечных групп (см. п. 3.12). Несколько подробнее о
проективных и инъективных модулях см. пункты 3.4, 3.5.
1.22. Категории » функторы. Напомним, что категория К
состоит из (класса) объектов а, Ь, с,... (и класса) морфизмов
(или отображений) а : а->&. Морфизмы а : а->&, р : &->£,
имеющие общие конец и начало, можно перемножать: рос: а-*с.
&6

При этом операция умножения (как мы видим, она
частичная) ассоциативна и для каждого объекта а
существует «тождественный» морфизм 1а: а-+а такой, что
*<xla=ia, lba=a для любого а:а-*~Ь. Изоморфизмом
в категории К называется морфизм a: a->6, для
которого существует морфизм £:&->а такой, что ар—Ц, (Jai=
*=la. Примерами категорий являются категории R-Mod (левых
/^-модулей и их гомоморфизмов), Mod-i? (правых ^-модулей),
Ring {колец и их гомоморфизмов), Ф-Alg (Ф-алгебр), Set
(множеств и их отображений), (R, S)-Bimod ((R, 5)-бимодулей).
Категория Z-Mod — это просто категория абелевых групп (она
Обозначается через АЬ). Объект а категории К называется
инициальным (терминальным), если для любого объекта х из К
«существует единственное отображение а-*~х (х-+а) категории /С
Любой инициальный (терминальный) объект единственен с
точностью до изоморфизма. (Ковариантным) функтором F : К-+К\
из категории К в категорию К\ называется пара отображений:
йи- F(a) (объектов К в объекты К\) и a^f(a) (морфизмов К
в морфизмы /Ci), причем если a:a->&, то F(a) : F(a)-»-F(&), и
f(l) = l, F(ap) =F(a)/r(p). Контравариантный функтор F: К-*-
~+-Ki «переворачивает» стрелки, т. е. если a : а-*Ь, то F(a) :
:F(b)-+F(a)y причем F(l)=l, F(ap) =F(p)F(a).
Введем естественное определение изоморфизма категорий.
Функтор F: К-+К\ называется изоморфизмом категорий, если
существует функтор G : К\-+К такой, что FG = 1, GF=1, где 1 —
тождественный функтор. Примеры (изоморфных категорий — это
категории Ф-Mod и Mod-Ф, где Ф — коммутативное кольцо
(каждый левый Ф-модуль М можно превратить в правый Ф-мо-
дуль (полагая ma = am при абф, пг£М) и наоборот). Если
кольца /?, S изоморфны, то изоморфны и категории #-Mod, S-Mod.
Более употребительно понятие эквивалентности категорий. Два
функтора F, G : К-+К\ называются эквивалентными F~G, если
для любого объекта а$К объекты F(a) и G(a) естественно
изоморфны, т. е. существуют изоморфизмы aa: F(a)-*~G(a) такие,
'что для любого морфизма / : а-*Ь имеем G(f)aa=abF(b).
Категории К и К\ называются эквивалентными, если существуют
функторы F : Кг*К\ и G : К-*~К\ такие, что функторы GF и FG
эквивалентны тождественным функторам 1К, 1к, (1к(а) =а>
Ik^)—»). Эквивалентные категории в определенном смысле
не отличимы на категорном языке и могут считаться
«одинаковыми». Важные примеры эквивалентных категорий—это
категории R-Mod и Mn(R)-Mod. Кольца R и S, для которых
категории модулей i?-Mod и S-Mod эквивалентны, называются Мори-
та-эквивалентными или эквивалентными в смысле Мориты
(R~S). Таким образом, кольца R и Mn(R) Морита-эквивалент-
ны. Мы увидим (см. п. 4.8), что это понятие лево-право
симметрично, причем R~S тогда и только тогда, когда существует
27

сюръективный контекст Мориты (/?, V, W, S). Отметим, что
центры Морита-эквивалентных колец изоморфны. В частности,
коммутативные кольца Морита-эквивалентны тогда и только
тогда, когда о«и изоморфны .
L23. Функторы Ext и Тог. Пусть M9N — левые /?-модули.
Обозначим через Нот(М, N) абелеву группу всех
гомоморфизмов из М в N: если a:M-*N9 р : M-+N, то (а+р) (jc) =а(х) +
+ {&(*). При фиксированном первом аргументе мы получаем ко-
вариантный по второму аргументу функтор HomR(M, —) :
/?-Mod-*-Ab. Аналогично, фиксируя второй аргумент, мы
получим контравариантный функтор HomK(—, N) : R-Mod-+Ab.
Больше того, мы здесь имеем бифунктор Нот, ковариантный
по второму аргументу и контравариантный по первому. Это
означает, что для любых левых /?-модулей М, N9 М', N' и
гомоморфизмов модулей / : М'-*М, ф : N-+N' определен
гомоморфизм Нот (f, <р) :Нотд(М, JV)-^HomR(Al/, N')9
удовлетворяющий свойствам: Hom(/f/, ф'ф)=Нот(Г, <p')Hom(f, ф) (где
Г:,М"-+М'9 ф':АГ->ЛГ), Нот(1,1) = 1. Он определяется
формулой Horn (f, ф) (а) =фа/, где aGHomB(M, N).
Теория гомологии, с помощью так называемых производных
функторов, позволяет из бифунктора HomR построить
последовательность бифункторов ExV(—, —) (n^l) той же
«вариантности», что и HomR (см. т. И, § 21). Мы не имеем
возможности привести здесь эти построения, но для доказательств
обычно бывает достаточно свойств этих бифункторов и самого1
факта их существования. Приведем важнейшие свойства: для
любого модуля X и точной последовательности гомоморфизмов
0->-Л->£-»-С->0 имеет место точная последовательность
0-^Hom(X, Л)^Нот(Х, В)-*Нот(Х, C)->Ext!(*, Л)->
-^Ext1 (X, B^Ext1 (X, C)->Ext2(X, Л)->...
и аналогичная (с переменной букв Л, С) при фиксированном
втором аргументе. Таким образом, Ext^1 (—, —) измеряет меру
«неточности справа» бифунктора Нот(—, —).
Теорема. Для проективных модулей Р (инъективных
модулей Q) и только для них функтор Нотн(Р, —)
(соответственно Нот(—, Р)) точен справа, т. е. Ext^P, У)=0
(ExtH1 (X, Q) = 0 соответственно).
На абелевой группе Hom{Af, Af), где М — правый /?-модуль,
естественно возникает операция умножения (суперпозиция),
которая превращает ее в кольцо EndR(M,М), называемое
кольцом эндоморфизмов модуля М. При этом модуль М
превращается в левый модуль над кольцом EndRM: если eGEndRAf,.
m&M, то ет=е(/п), причем условие ассоциативности г(та) =
(вт)а показывает, что М будет (EndRM, /?)-бимодулем.
Пусть теперь М — правый, a N — левый /?-модули.
Определив их тензорное произведение. Пусть Z(MxN)—свободная:
28

абелева группа, порожденная множеством всех пар тХп
(meAf, nGiV). Рассмотрим в ней подгруппу U, порожденную
всеми элементами видов: (m-\-m{)y,n—m><>— т{Хп, тХ(л+
-\-щ)—тХп—тХпи таХп—тХст, где т, m^Af, щщЪЫ, a$R.
Тогда абелева группа Z(MxN)/U называется тензорным
произведением M®RN. Обозначая смежный класс mxn-{-U через
т®п, получим, что тензорное произведение M®N порождается
тензорами т®м и в нем выполняются соотношения^ (m+mi)®
&п=т®п-\-тх®п, т®(п+п\) =/п®п+/п®ль ma®/i=/n®ajt.
Тензорное произведение тоже оказывается бифунктором, кова-
риантным по обоим аргументам: для гомоморфкашш f: М^-*-
->Af/, g : RN-+RN' произведение f<8>g определяется формулой
(f®g) • {rn®n) =f(m) ®g(/i), распространяемой по линейности
на суммы тензоров.
Для бифунктора — ® — теория гомологии также строит
последовательность ковариантных бифункторов Тогп,
измеряющих меру «неточности слева» тензорного произведения: для
любого правого модуля X и любой точной последовательности
гомоморфизмов левых модулей 0->Л-^В->С~>О имеет место
точная последовательность ... -*Тог2(Х, С)-^Тот! (X, Л)->
-►Tori (J, B)->Tori (X, С)-+Х®А-+Х®В-+Х®С-Ч). Справедливо
аналогичное утверждение и для правого аргумента. Мы увидим
в § 3, чтю функторы Extn и Тогта используются в теории колец
и модулей, в частности, для того, чтобы ввести в эту теорию
геометрическую идею размерности модуля и кольца.
1.24. Радикалы Бэра и Джекобсона. Пусть
А—конечномерная коммутативная алгебра над полем комплексных чисел С.
Элемент а называется нильпотентным, если an=0 для
некоторого п. Классическая теорема Вейерштрасса утверждает, что
если А (как выше) не содержит нильпотентных элементов, то
А изоморфна прямой сумме некоторого числа экземпляров
поля комплексных чисел С. Чтобы придать этой теореме нужную
нам форму, введем понятие радикала алгебры А (во времена
Вейерштрасса этого понятия еще не было). Именно, назовем
радикалом Rad>4 множество всех нильпотентных элементов
алгебры А (опять А — это указанная выше алгебра). Тогда
Radi4 — идеал и A/RadA не содержит нильпотентных
элементов, т. е. описывается теоремой Вейерштрасса. При этом имеет
место разложение в сумму Л=Иас1Л+б, где В — подалгебра
Л, изоморфная A/RadA, причем B[\RadA=Q (как говорят,
Radi4 отщепляется в А) к В единственна. Если А —
произвольное коммутативное кольцо, то Rad^4 также определяется как
множество нильпотентных элементов (т. е. множество
«радикалов из нуля»: yo = Rad^) и является идеалом А.
Пусть теперь А — произвольная (некоммутативная)
конечномерная алгебра над полем С. В этом случае множество
нильпотентных элементов, как правило, не образует идеала. Ради-
29

кал такой алгебры впервые определил Ф. Э. Молин. В
современных понятиях определение выглядит следующим образом.
Идеал (кольцо, алгебра) / называется нильпотентным, если-
/п = 0 для некоторого п. Сумма всех нильпотентных идеалов А
будет снова нильпотентным идеалом, содержащим любой ниль^
потентный идеал Л, т. е. наибольшим нильпотентным идеалом:
А. Этот идеал и называется радикалом Rad А алгебры А
(причем здесь не существенно, что основное поле — это поле
комплексных чисел). Алгебра A/Ra&A имеет нулевой радикал, илиу
как говорят, полупроста. Теорема Молина утверждает, чта
Rad Л отщепляется в алгебре Ау а любая полупростая алгебра
является прямой суммой матричных алгебр МП(С) над полем
С. В дальнейшем аналогичные результаты для конечномерных
алгебр над полем R были получены Э. Картаном и в
окончательной форме (для любого поля) — Веддербёрном (см. § 2).
Единственность с точностью до автоморфизма полупростой
подалгебры В в расщеплении А = 1^а<1АФВ была доказана
значительно позже А. И. Мальцевым.
Отметим, не вдаваясь в детали, что имеется некоторая
аналогия между приведенными результатами и теорией
симметрических билинейных форм на конечномерных пространствах.
Если g : VXV-+F—такая форма (F—поле,
V—конечномерное пространство над F), то радикалом V (относительно g)
называется подпространство V±={v£V; g(v, У)=0}. При этом
пространство V/V1- снабжается невырожденной билинейной
симметрической формой g, индуцированной формой g. Таким
образом, формула Rad(F/Rad V) =0 верна и в этом случае.
Между понятиями радикала симметрической билинейной
формы и радикала конечномерной алгебры существуют интересные
связи. Например, пусть A = C(n,f) —алгебра Клиффорда
квадратичной формы f(x\, • • •, Хп) = ^aijxixj (aij^aj^F). Рассмотрим
соответствующую билинейную форму if(2*^, 2*/j£j) =2аг>ед.>.
Оказывается, что радикал алгебры C(n,f) порождается как
идеал радикалом формы g. Если А — конечномерная алгебра
над полем F характеристики нуль, то ее радикал совпадает
с радикалом билинейной симметрической формы, определенной
на пространстве А следующим образом: (a, &)=tr(a&) (а, b£A)r
где для элемента а£А его след tr а определяется как след
левого умножения х*+ах (х$А) на элемент а. Последний факт
связан с тем, что матрица из Mn(F) нильпотентна в том и только
том случае, когда следы всех ее степеней равны нулю.
Понятие радикала можно перенести на класс
бесконечномерных алгебр или произвольных колец, причем далеко не
единственным способом. Мы рассмотрим два важнейших — это
(нижний ниль) радикал Бэра и радикал Джекобсона.
Кольцо R называется полупервичным (см. п. 1.8), если оно
не имеет ненулевых нильпотентных идеалов. Радикалом Бэра
называется наименьший идеал Rad R такой, что /?/Rad R полу-
30

первично. Rad R можно построить с помощью трансфинитного
процесса: пусть N\— сумма всех нильпотентных идеалов
кольца /?, N2 — сумма всех нильпотентных по модулю N\ идеалов
и т. д. Полагая Ма = П#э для предельных а, мы получим, что
Р<а 1
этот трансфинитный процесс стабилизируется — результат и
есть радикал Бэра. Радикал Бэра, разумеется, может быть не
нильпотентным, но он локально нилыгдтентен как кольцо, т. е^
любое конечное множество его элементов порождает нильпо-
тентное подкольцо (без единицы). На языке элементов ради-,
кал Бэра имеет следующее удобное описание. Элемент х кольца
R называется строго нильпотентным, если для любой
последовательности элементов аи о*»... • On,... кольца R
последовательность элементов х\=х, #2, *з,..., где Хп+\=хпапхп,
содержит нулевой элемент. Оказывается, что Rad R совпадает с
множеством всех строго нильпотентных элементов.
На Rad Л в конечномерном случае можно посмотреть с
модульной точки зрения. Пусть AV—простой левый Л-модуль.
Тогда (Rad Л) У—подмодуль V, и он должен равняться нулю
(так как иначе (RadA)V=V и поэтому (RadЛ)nУ=У, но
(Rad;4)n = 0 для некоторого /г, противоречие). Итак, Rad А
лежит в пересечении аннуляторов AnnV={xeA; xV=0} все*
простых левых Л-модулей V. Нетрудно показать, что Rad Л в
точности равен этому пересечению (и равен пересечению
аннуляторов всех простых правых Л-модулей). Пусть теперь R—
произвольное кольцо. Радикалом Джекобсона J(R)
называется пересечение аннуляторов всех левых простых /^-модулей.
Оказывается, что /(/?) обладает следующими свойствами:
1) /(/?) совпадает с пересечением максимальных левых
идеалов кольца R, т. е. отличных от R левых идеалов, не
содержащихся ни в каких левых идеалах, отличных от всего
кольца R.
2) /(/?) совпадает с множеством элементов a£R таких, что
элементы 1—хау обратимы для любых х, y£R (такие элементы
хау называют еще квазирегулярными, а сам радикал J(R) —
квазирегулярным радикалом кольца).
3) /(/?) совпадает со своим правым аналогом (т. е. с
пересечением аннуляторов простых правых /^-модулей и с
пересечением максимальных правых идеалов кольца).
Значение радикала Джекобсона хорошо видно на примере
коммутативной банаховой алгебры А над полем С (т. е. Л —
нормированное полное пространство с нормой IMI^O, причем
fl*#ll^ll*ll'IMI и, следовательно, операции в Л непрерывны па
этой норме). Если ш—максимальный идеал в Л, то нетрудно-
видеть, что Л/т — банахово поле над С, т. е. по теореме Гель-
фанда—Мазура Л/ш^С. Пусть %ш : А-+А/ш^ С —
канонический гомоморфизм. Если дреЛ, то ему можно поставить в
соответствие функцию х на множестве Зй максимальных идеалов:
31

*0&)=Xm (*)• Пространство 3R наделяется так называемой
топологией Зарисского, относительно которой отображение х-+х
является непрерывным гомоморфизмом А в кольцо
непрерывных комплексных функций Сс (ЗД) на 2Я. Ядро этого
отображения как раз и есть J (А). Мы видим, что в этом случае J (А)
измеряет «меру отклонения» А от подкольца кольца
непрерывных функций на компактном топологическом пространстве.
Рассмотрим еще в качестве примера локальное кольцо.
Напомним, что кольцо R называете^ локальным, если все его
необратимые элементы образуют двусторонний идеал Р. Так как
любой собственный односторонний идеал в R не имеет
обратимых элементов, то он содержится в Р, т. е. Р—единственный
максимальный односторонний идеал, т. е. в силу свойства 1)
радикала Джекобсона /(/?)= Р. Кроме того, в факторкольце
R/J(R) все ненулевые элементы обратимы, т. е.
R/J(R)—тело. Можно показать, что радикал кольца матриц над кольцом
R совпадает с кольцом матриц над радикалом этого кольца:
J(Mn(R))=Mn(J(R)).
Заметим, что всегда Rad R^J(R), причем включение может
быть строгим, например, если # = ^[[1к]]—алгебра степенных
рядов, то в ней нет нильпотентных элементов и поэтому
Rad/? = 0. С другой стороны, она локальна — имеет
единственный максимальный идеал *F[[#]] и, значит, J(R)=xR.
Добавим еще, что в общем случае сам радикал J(R) может быть
устроен довольно сложно, например, существуют простые
радикальные кольца (без единицы).
1.25. Некоторые классы модулей. Отметим некоторые
важные классы модулей. К числу их относятся уже введенные
нами простые модули. Во многих случаях именно простые модули
являются теми «кирпичиками», из которых собираются другие
модули. Например, пусть кольцо R является алгеброй над
полем F. Рассмотрим произвольный /?-модуль V, являющийся
конечномерным пространством над F (конечномерный /?-мо-
дуль). Тогда в V можно (вообще говоря, многими способами)
построить цепочку подмодулей Vo=0czV1CZV2CZ ... с:Vn= V,
где Vi+i/Vi — простые /?-модули для всех 1=0,..., м— 1.
Действительно, в качестве V\ нужно взять любой ненулевой
подмодуль У, имеющий наименьшую возможную размерность (над
F), в качестве V2 — любой подмодуль, строго содержащий V\
и имеющий наименьшую возможную размерность, и т. д.
Оказывается, что простые модули Vi+i/Vi являются
инвариантами модуля У, т. е. набор (неупорядоченный) этих модулей
не зависит от выбора предыдущего ряда подмодулей (это
является содержанием так называемой теоремы Жордана—Гёль-
дера, см. § 3). Таким образом, с конечномерными модулями
(в общем случае — с так называемыми модулями конечной
длины, см. § 3) связываются простые модули, во многом
определяющие строение исходных модулей.
32

Следующий важный класс модулей — это так называемые
вполне приводимые модули. Модуль М называется вполне
приводимым, если он изоморфен прямой сумме простых модулей.
Понятно, что вполне приводимые модули особенно хорошо
«собираются» из простых модулей. Иногда (и этот случай
особенно важен) бывает так, что над кольцом R любой модуль
(левый или правый) является вполне приводимым. Такие кольца
называются классически полупростыми. Объяснение этого
термина идет из теории конечномерных алгебр. Еще классики этой
теории заметили, что любой модуль над конечномерной полу-
простой алгеброй вполне приводим. Кольца, обладающие
аналогичным свойством, т. е. такие, над которыми любой модуль
вполне приводим, стали называть полупростыми, а со
временем — классически полупростыми. Так называемая теорема
Машке утверждает, что групповая алгебра FG конечной
группы G над полем F характеристики 0 или не делящей порядка
группы является полупростой. Таким образом, FG —
классически полупростое кольцо. Выше (п. 1.8) мы ввели понятие
лево (право) артинова кольца. Оказывается, что любое тюлупро-
стое лево (право) артиново кольцо классически полупросто.
Более того, любое классически полупростое кольцо является
артиновым (слева и справа) кольцом, т. е. классы полупростых
артиновых и классически полупростых колец совпадают. В
некоторых случаях над алгеброй R не все модули, а только
конечномерные вполне приводимы. Теорема Картана о полной
приводимости из теории алгебр Ли утверждает, что любой
конечномерный модуль над полупростой (в смысле радикала
алгебры Ли) алгеброй Ли над полем характеристики 0 является
вполне приводимым (как модуль над алгеброй Ли). Это
означает в точности то, что любой конечномерный модуль над
универсальной обертывающей алгеброй полупростой алгебры Ли
над полем характеристики 0 вполне приводим.
Наконец, еще один важный класс модулей — это
неразложимые модули. Модуль V называется неразложимым, если он не
изоморфен прямой сумме двух ненулевых модулей.
Неразложимые (как и простые) модули встречались в классической
математике. Так, известная теорема Жордана о нормальной форме
матрицы, по существу, утверждает, что любой конечномерный
модуль над алгеброй многочленов С[х] является прямой
суммой неразложимых модулей, а каждый неразложимый модуль
обладает базисом ей . • •, ^, в котором умножение на х
задается клеткой Жордана хе1 = ае1-\-е2, хе2=ае2-\-е$, ..., xeh = aek,
причем получающаяся жорданова матрица для данного модуля
единственна с точностью до порядка клеток. В общем случае
любой конечномерный модуль над алгеброй изоморфен прямой
сумме неразложимых модулей и такое представление
единственно с точностью до порядка слагаемых. Это следует из
теоремы Крулля—Шмидта, ib своей полной общности также
33

относящейся к модулям конечной длины (см. § 3). Для
конечномерной алгебры А неизоморфных простых модулей лишь
конечное число и они, в принципе, устроены довольно понятным
образом. В то же время, неразложимые модули над
конечномерной алгеброй А могут быть устроены очень сложно
(например, могут иметь как угодно большую размерность) и именно
они (а не простые модули), как оказывается, несут основную
информацию о любых УЬмодулях (конечно, в случае, если А—
не полупростая алгебра, так как иначе ввиду полной
приводимости простые и неразложимые модули—это одно и то же).
Изучение * неразложимых модулей над конечномерными алгебрами
стало программой исследований модулей над такими
алгебрами, идущей от Брауэра. Эта программа в настоящее время
успешно осуществляется (см. § 2).
1.26. Литературные указания. Первое знакомство с
понятиями теории колец можно получить из университетских
курсов [|22], [23], [34], [103], [73]. Наиболее распространенный
учебник жпо теории колец [74] содержит: радикал Джекобсона
и полупростые кольца, неприводимые модули и примитивные
кольца с минимальными односторонними идеалами, тензорное
произведение и группу Брауэра, теорию Галуа колец линейных
преобразований и тел, радикалы Бэра, Левицкого и
нильрадикал, пространство примитивных идеалов кольца, применения к
теоремам коммутативности, Р/-алгебрам и проблеме А. Г. Ку-
роша. Более поздний учебник [71] включает, кроме
классического материала, также теоремы Голди, метод Голода—Ша-
фаревича. Учебник [81] содержит введение в гомологическую
алгебру, функторы Тог и Ext, изложенные конструкции
полного и классического колец частных. Для первого знакомства с
теорией колец мы рекомендуем также учебное пособие [11],
содержащее, в частности, метод композиций, теорему Кона о
вложимости в тела универсальных обертывающих алгебр.
Специально универсальным обертывающим (в основном)
конечномерных алгебр Ли посвящена книга [65].
Для знакомства с общими конструкциями колец частных,
кроме [81], можно порекомендовать книгу [102], а также
обзор В. П. Елизарова [17].
Книгу [61] можно считать учебником по теории свободных
колец и вложениям колец в тела. Она содержит как
кольцевой, так и модульный материал, имеются связи с теорией
решеток, коммутативной алгеброй.
Теоретико-категорный подход к изложению основ теории
колец последовательно реализуется в книге [66], которая
может служить справочным руководством по значительной части
современной теории некоммутативных колец и модулей над
ними. Функторы Тог и Ext подробно изложены в классической
34

монографии по гомологической алгебре [59]. Наиболее по*
пулярным руководством по теории категорий служит
книга [85].
§ 2. Конечномерные алгебры
2.1. Введение. Основы теории (конечномерных)
ассоциативных алгебр были заложены в работах Ф. Э. Молина (1893)г
Э. Картана (1898) и Веддербёрна (1908). В 30-х годах нашего
века благодаря усилиям Алберта, Э. Артина, Брауэра, Э. Нёг
тер, Хассе эта теория достигла своего «зенита» (по выражению
Алберта (1939)), найдя все алгебры с делением над полем
алгебраических чисел. Дальнейшее развитие теория алгебр*
получила в последние 15 лет, когда были решены многие
вопросы, остававшиеся открытыми с 30-х годов.
2.2. Алгебры малых размерностей. Естественное стремление
любой теории — это классификация изучаемых объектов. По-1
нятно, что любое поле, являющееся конечным расширением ос»
новного поля, является конечномерной алгеброй. Чтобы
оставить в стороне вопрос классификации конечных расширений
полей (являющийся частью теории полей), естественно
рассматривать случай алгебраически замкнутого основного поля.
Попытаемся классифицировать алгебры хотя бы малых
размерностей над алгебраически замкнутым полем F. Размерность 4
над F обозначим через dimFA Если dim^ — l, то A = F-lAi где
1а — единичный элемент, т. е. A^F, поэтому первый
интересный случай — это dinWl = 2. Выберем в двумерной алгебре
базис, принимая единицу за первый базисный элемент: A = F-lA-{-,
+Fay a$FlA. Тогда умножение однозначно определяется
заданием произведения а2 = аа-\-$1А, причем, как легко видеть,
ассоциативность выполняется автоматически. Рассмотрим
многочлен g(x)=x2—a*—р. Элемент a—«корень» этого многочлена
(т. е. g(a) =0). Возможны два случая.
1) Корни Х\9 х2 многочлена g(x) различны. Тогда Xi-\-x2 = dy
Х\Х2= — р. Положим &=a—Х\(х2—*i)-1-1a. Так как b$F-lAi то-
{1,6} — базис Л, причем легкие вычисления показывают, что<
Ь2=Ь.
2) g(x) имеет один двукратный корень, g(x) = (x—х\)2+
Полагая Ь = а—Х\-1А, получаем базис {1, Ь}, для которого &2 =
= (a—xi-lA)2=g(a)=0. Итак, мы получили, что любая
двумерная алгебра над алгебраически замкнутым (а. з.) полем
имеет базис {1, Ь) такой, что либо b2 = b, либо 62=0. Это озна>-
чает, что с точностью до изоморфизма над а. з. полем
существует только две такие алгебры.
Аналогичные, но несколько более сложные рассуждения,,
показывают, что существует лишь пять (с точностью до
изоморфизма) трехмерных алгебр над алгебраически замкнутым
полем: две из них порождаются базисом {1,е, а} с таблицей
35

умножения е2*= е, а?=0, еа=га, ае=*0, где е=0 или 8 = 1. Еще
две порождаются базисом {1,а, 6} с таблицей умножения а2=
= ей, b2 = ab = ba=0, где е=0 или 8 = 1. И одна порождается
базисом {1,е, /} с таблицей умножения ^ = e, /2=f, ef=fe=0.
Такое положение может служить основанием для
возникновения гипотезы о том, что в данной размерности существует
только конечное число попарно неизоморфных алгебр* Однако
уже случай четырехмерных алгебр опровергает эту гипотезу.
Рассмотрим четырехмерную алгебру Аи порожденную базисом
\l9au а2уЬ} с таблицей умножения а\2**аха2*=Ь, a2ai=0, а22=
*x=tb, &2=0, где /GF. Покажем, что при 1Ф1/ алгебры At и А*'
яе изоморфны. Допустим, что в алгебре At существует базис
{I* a>i\ 0-2, b'} с таблицей умножения алгебры Аг. Пусть а/ =
=*=Sotfjaj+cbf6, b' = $xax+$2a2+$b. Имеем Ь'=ах'а2'=*[Ь (т. к.
Ati=Fb)9 т. е. р! = р2 = 0, р = ч=И=0. Равенства ах'ах' = ах'а2' = Ь\
^2/a1/ = 0, a2a2=t/b/ в базисе {1, ab а2, й} дают соотношения,
которые можно записать в матричной форме
с (о 1)с'-(о )'Ь <!)
Где C=||a(ij|[, С'=||ац||—транспонированная матрица. В
частности, приравнивая определители левых и правых частей,
получаем (det С)Ч*=*[?• С другой стороны, транспонируя обе части
равенства (1) и вычитая из (1), получим C(__i о]С =
/ 0 1\
=м_1 о)Ъ 0ТКУЛа, приравнивая определители, находим
(det C)2 = f и, значит, t=f, что и требуется.
Теперь вернемся к случаю произвольного поля и
рассмотрим несколько конструкций, играющих важнейшую роль в
теории конечномерных алгебр.
2.3. Скрещенные произведения. Пусть G— конечная группа
автоморфизмов поля /С, а F — подполе неподвижных
относительно G элементов: F={a£K, Vg$G а8=а). Иными словами, К
является нормальным сепарабельным расширением поля F с
группой Галуа G (говорят еще, что К — расширение Галуа
поля f с группой Галуа G). Рассмотрим правое линейное
пространство (/С, G) над полем К с базисом {ий\ g£G), где и8 —
некоторые символы. Таким образом, произвольный элемент из
(К, G) имеет вид 2 ugag (ag£K). Определим на этом
пространно
-стве операцию умножения с помощью закона
дистрибутивности и следующих правил (2), (3):
аиб=иёа,8 (aG/(), (2)
UgUh—Ughaigth), (3)
где a : GXG-^/C* — некоторая фиксированная функция двух
переменных на группе G со значениями в группе обратимых
36

элементов К* поля К- Таким образом, мы получаем некоторую^
вообще говоря, неассоциативную алгебру (К, G, а) над полем F,
с умножением
12 и/**\ (2 ***&! — 2 и**°fe»А)а^
Для того чтобы выполнялся закон ассоциативности, необхо*
димо и достаточно выполнения равенств (uguh)uf = ug(uhuf).
Расписывая это соотношение при помощи формул (3), (2), м»
получим следующие условия на отображение а, эквивалентные
ассоциативности алгебры (/С, G):
o4gih)o{ghyf)^o(g9hf)a(Kf)i (4У
гдеа/(£,Л) = (а(я,/0)>. /
Отображение о: GXG-+K*, удовлетворяющее соотношение
(4), называется (G, К)-фактор системой (или (G, К)-системоц
факторов). Связанная с этим отображением алгебра (/(, G,о)
называется скрещенным произведением поля К и группы G с
системой факторов а. Имеет место следующая важная
Теорема. Скрещенное произведение (К, G, о) является
центральной (см. п. 1.6) простой (см. п. 1.2) алгеброй над по«
лем F=KG. Размерность этой алгебры равна квадрату порядке
группы G (или, что то же самое, квадрату размерности /С
над F). .
Если а, т — две факторсистемы, отвечающие одному и тому
же расширению Галуа K^>F с группой Галуа G, то, перемно-j
жая соответствующие им соотношения (4), мы получим, чт<^
отображение % : (g, h)^o{g, h)x(g, К) будет факторсистемой.
Отображения (g, h)^\ и fe, h)»+o(g, h)~l также будут (G, К)*
факторсистемами. Легко видеть, что таким образом множества
(G, /С)-факторсистем превращается в абелеву группу.
Обратим теперь внимание на то, что та же самая алгебра
(К, G, а) может быть представлена (с точностью до
изоморфизма) как скрещенное произведение (К, G,<j') с помощью другой
системы факторов. В самом деле, пусть \х — произвольное^
отображение группы G в группу обратимых элементов поля Кщ
Положим iig~ug\i(g). Тогда каждый элемент из (К, Со).
представляется в виде линейной комбинации 2 a/ а*; кром$
geG
того, справедливы формулы aa/=a/a*,
^guhf=ufgh\i(gh)-^(g,h)\ih(g)^(h).
Это означает, что (К, G, <у) ^ (/(, G, </), где
Этот факт заставляет нас не различать факторсистемы,
отличающиеся сомножителем из формулы (5).
Определение. Факторгруппа группы (G, К)-факторен^
стем по подгруппе факторсистем вида (g> h)^\i(gh)-l\ih{g)\i(h}
it

обозначается через H2{G,K) и называется второй группой
когомологий группы G над полем К.
Группа H2(G,K) определяет множество всех скрещенных
произведений, а именно, можно показать, что две факторсисте-
мы а, т равны в группе H2(G,K) тогда и только тогда, когда
изоморфны соответствующие скрещенные произведения:
(K,G,<t)^(K,G,t).
Рассмотрим в качестве примера случай, когда /С=С — поле
комплексных чисел, f=R—поле действительных чисел. Пусть
G=\e, ф} — группа автоморфизмов С, состоящая из двух
элементов, где е — тождественный автоморфизм (единица
группы), ф — сопряжение: сф=€ (очевидно, ф2=в). Определим
Систему факторов а, полагая o(g, h) = \ для всех g, h£G. Тогда
f|C, G, а) имеет над R базис we=l, i9 и^ щи Легко видеть, что
SfH базисные элементы перемножаются соответственно так же,
как матрицы
/1 0\ / 0 1\ /0 1\ /-1 0\
[о i)> \-1 oj> \\ о/> [ о i;
Поэтому, сопоставляя элементу 1а + 1$+щу + щ18 матрицу
/а — б p + Y\
lv —В а + б)' получим, что скрещенное произведение с
единичной системой факторов изоморфно кольцу всех матриц порядка 2
над полем R.
Для той же группы G рассмотрим другую систему
факторов: 01 (gy А) = 1, если £=т^ф или НФу, и а(<р, ф) =—1. Тогда
{С, G, 01) имеет над R базис 1, t, ц,, *У, причем его. таблица
умножения совпадает с таблицей умножения тела
кватернионов (см. п. 1.7), т. е. мы получили, что тело кватернионов
является скрещенным произведением. Более того, легко
показать, что |//2(G, С) | =2, т. е. других скрещенных произведений
поля С с группой из двух элементов нет.
2.4. Циклические алгебры. Пусть AT—-циклическое
расширение поля F. Это означает, по определению, что К—нормальное
сепарабельное расширение поляки группа Галуа Q=Aut(K/F)
является циклической, <3={1, s, ..., sn~1} (число п совпадает
со степенью расширения K\F). Пусть у — некоторый элемент
поля F. Рассмотрим F-алгебру (/С, G, y)=ulK®usK®...®U/t-\K%
которая определяется так же, как и скрещенное произведение,
но умножение в ней задается правилами usiusj=usi+j (i + j <п)>
usi'Uj=yusi+j-n(i-\-j>n). Алгебра (AT, <?, у) называется
циклической алгеброй. Она изоморфна скрещенному произведению К
и G относительно подходящей системы факторов, именно
а(5£, S')—\у\ /i/>^' Таким образом, (К, G, у) — центральная
простая F-алгебра.
; Пример. Рассмотрим произвольное скрещенное произвел е-
38

ние (AT, О, т) с циклической группой Q. Покажем, что можно
так изменить его базис, чтобы оно превратилось в циклическую
алгебру. Пусть <?=*{1 =s°, s,..., s**"1}—циклическая группа.
Для краткости положим aij = G(si,sJ). Тогда условие
ассоциативности запишется в виде а/,/+Лау,4=вал-у,*а* .. При i = j=0
будем иметь а0,*ао,*=оо,йа;* 0, т. е. оо,ь=о*м. Аналогично, при
j=£=0 получим ao,o=a*,o. Эти равенства показывают, в
частности, что элемент n1==a—^х буцет единицей скрещенного оро~
изведения. Положим, далее, vsi = (и,)', где i = 1, 2, . •., ri-—1 .
Тогда vsivj=vsi+j при i + j<n и vsivsJ = yvsi+j-n при 2я>£ +
+ у>/г, где 76^ определяется из равенства (us)n = yvx. При
этом y£F ввиду ^f^W^Fi^-^^Wi^^' YJe*Yr
Учитьюая, что правило перестановки элементов iy с элементами
поля К остается прежним: vsiasi = avsi, получаем, что любое
скрещенное произведение с циклической группой является
циклической алгеброй.
2.5. Прямые суммы и тензорные произведения
конечномерных алгебр. В этом пункте мы рассмотрим две важнейшие
конструкции алгебр. Начнем с прямой суммы. Пусть
А\,...,Ап — некоторые алгебры над полем F. Обозначим
через А прямую сумму векторных пространств Ai(l^i^n),
Элементы А можно рассматривать как формальные суммы
ai+ • •. +#п, где а^А{. Линейное пространство А Прёвраг
щается в алгебру, если на нем ввести умножение по формуле
(fli + а>2 + ... + an) (ai'+a2'+ ... +an') «=. aiai'+cwh' + • Л+
+anan'. Эта алгебра и называется прямой суммой алгебр Л»:
Л=21щЛг. Алгебры Л* можно мыслить себе как подалгебры
(без единицы) в Л, отождествляя элемент а* с суммой
0+ ... +#*+ ... +0. В этом случае Л» оказываются идеалами
алгебры Л, причем эти идеалы аннулируют друг друга:
Л*Л,=0 при i¥*j. Здесь мы считаем, что 0=0+... +0- Бодее
того, пересечение каждого из них с суммой остальных равно
нулю. Эти условия являются характеристическими для
разложимости алгебры в прямую сумму. Заметим, что размерность А
равна сумме размерностей А{.
Приведем теперь определение тензорного произведения
Л®Б,двух ^-алгебр Л и В. Пусть {a»; l^t^M} — база
алгебры Л, {bj\ 1^/^m} — база алгебры В. Рассмотрим nm-мер-
ное векторное пространство Л®В над F, базисные элементы
которого будем обозначать через a{®bj (l^i^n, 1^/^m).
Определим на этом пространстве умножение с помощью,
закона дистрибутивности и : правила (я* ® Ъ$) (aft ® &*)-=*
—aiah®bibi. Стоящее справа выражение расписывается в
сумму базисных элементов по правилам (a+6) ®£«=а®с+
39

+ 6®c, a® (&-fc)=a®& + a®c, aa®b = a®ab = a(a®b), где a£F.
Полученная алгебра A®B и есть тензорное произведение
алгебр А и В. Если теперь мы отождествим элемент а$А с
элементом а®1в, а элемент ЬЬВ — с элементом 1а®&, то получим,
что А и В являются подалгебрами в тензорном произведении с
общей единицей 1=*1А®1в- При этом элементы из А
коммутируют с элементами из В: (а®1) {l®b)=a®b= (1®Ь) (а®1).
Мы видим также, что размерность алгебры А®В равна
произведению размерностей А к В. Оказывается, эти условия
вполне характеризуют тензорное произведение конечномерных
алгебр. Именно, пусть С — алгебра с единицей и А, В — две ее
подалгебры, содержащие единицу и порождающие С. Тогда,
если элементы из А коммутируют с элементами из В и
размерность С равна произведению размерностей А и В, то С
изоморфна тензорному произведению А®В. Отметим, что
приведенное определение тензорного произведения алгебр легко
обощается на случай бесконечномерных алгебр Л, В,
Пример 1. Пусть А — произвольная F-алгебра, В=
=Mn(F)—кольцо матриц размерности п над полем F. В этом
случае A®Mn(F)^Mn(A)—кольцо матриц порядка п с
коэффициентами из А. Действительно, выберем в качестве
базиса алгебры B=Mn(F) множество матричных единиц e{j. Мы
получаем, что каждый элемент алгебры A®Mn(F) имеет
однозначное представление в виде *=2а^®£*,-, и мы можем
отождествить его с матрицей Ha^ll, так как произведение
(2iaik®eik) (2bkj®ekj)=si!>ciikbkj®eij согласуется с правилом
умножения матриц ||aift||||6^|| = y2aift&ftjll.
П р и м е р 2. Расширение поля скаляров. Если А —
некоторая алгебра над полем F и поле К является расширением
поля F, то можно рассмотреть тензорное произведение A®FK>
которое в силу определения будет алгеброй над F. Это
произведение можно рассматривать и как алгебру над /С, полагая,
по определению, (2,ai<g)ki)k=2iai<&kik (ku k£K). Так как база А
над F является базой А®К над К, то говорят, что /(-алгебра
А®К получается из А расширением поля скаляров.
Одним из важнейших результатов о тензорных
произведениях является следующая
Теорема. Тензорное произведение центральных простых
алгебр (см. пп. 1.2, 1.6) является центральной простой
алгеброй.
Доказательство этого факта может быть легко получено с
помощью следующего полезного свойства линейно независимых
элементов произвольной центральной простой алгебры А (над
полем F): если rfb...,rfn — линейно независимые (над F)
элементы алгебры Л, то существуют элементы sut^A (1<л^
^т) такие, что 2 Mi^l, 2Мл/,=0 для всех 2^£<п. Этот
i i
факт вытекает из теоремы плотности (см. п. 4.2, теорема 2).
40

Именно, алгебра Л рассматривается как неприводимый (А,А)-
бймодуль с телом эндоморфизмов F (т. е. неприводимый левый
модуль над алгеброй A®FA°, где Л°—алгебра, антиизоморфная
алгебре А).
Пусть теперь jc —ненулевой элемент тензорного
произведения А®В центральных простых алгебр А и В. Покажем, что
поровденный им идеал (х) содержит единицу. Представим
элемент х в виде суммы ^di®bh где ^—базисные элементы
(возможно не все) алгебры Л, a bt — ненулевые элементы
алгебры В. В силу указанного выше свойства линейно
независимых элементов мы найдем в идеале (х) элемент
b*°*j?i(Si®l) x(tl®l)=l®bi. Так как алгебра В проста, то
i
найдутся элементы vtJ w^KKk) такие, что ^dVibxW^X.
Отсюда идеал (х) содержит элемент ^(\®Vi)b(l®Wi)=l®l=l9
i
что и требуется.
п
Пусть теперь x=^^ddi^bi №» bt выбраны как выше) —
центральный элемент алгебры А®В. Будем считать, что базисы
обоих сомножителей Л, В включают в себя единичные
элементы. Если один из элементов dt (скажем, dx) отличен от единицы,
то по вышеуказанному свойству найдутся элементы st, tt (1<*</и)
такие, что
2МЛ = 1» 25'1^==0, ^isidkti = 0 (2<k<n).
i t i
Мы получаем, что в силу центральности элемента х сумма
^(si^\)x(ti®\)^x^(si®l)(ti®l) равна 0. С другой стороны,
1 i
эта сумма равна 1®&!— противоречие. Итак, элемент х имеет
вид 1®6, т. е. лежит во втором сомножителе и, в силу
центральности последнего, л: = (1®1)р, где §6F (ft=0-1 я).
В следующих пунктах 2.6—2.7 будут приведены основные
структурные теоремы теории конечномерных алгебр.
2.6. Теорема Фробениуса. Исторически первой теоремой
теории алгебр была следующая
Теорема (Фробениус (1886)). Всякая конечномерная
алгебра с делением над полем R изоморфна либо R, либо С,
либо Н.
Идея доказательства использует тот факт, что любой
элемент конечномерной алгебры с делением Л является корнем
квадратного трехчлена с коэффициентами из R: в силу
конечномерности элементы 1, х, х2,... линейно зависимы над R,
т. е. xn+f{xn~l-{-... +rw=0. Так как любой многочлен над
41

полем действительных чисел разлагается в произведение
квадратных трехчленов и двучленов, то один из этих сомножителей
обращается в нуль, т. е. либо *GR, либо х— корень
квадратного трехчлена х2+ах-\-Ь. Отметим, что аналогичный подход
оказывается эффективным и для изучения некоторых
неассоциативных алгебр с делением над R.
2.7. Строение конечномерных алгебр. Над полем
комплексных чисел С строение произвольной алгебры было выяснено в
диссертации Ф. Э. Молина (1893). Эти результаты были
переоткрыты и расширены также на вещественный случай Э. Кар-
таном (1898). Наконец, Веддербёрн (1908) доказал аналог
предыдущих теорем для случая произвольного поля. В науку
теоремы о строении конечномерных алгебр вошл^ под
названием «теорем Веддербёрна». Для полной формулировки этих
результатов нужно дать несколько определений. Напомним, что
алгебра (без единицы) А называется нильпотентной, если
Лп=0 для некоторого п (т. е. аг ... -ап=0 для любых а^А).
Наименьшее п с этим свойством называется индексом
нильпотентности А. Например, алгебра Tn°(F) верхнетреугольных
матриц над F с нулем по главной диагонали нильпотентна
индекса п. Действительно, квадрат (Tn°(F))2 этой алгебры
состоит из матриц, у которых две диагонали (главная и
параллельная ей) состоят из нулей, куб — три диагонали состоят из
пулей и т. д. Напомним, что радикалом RadA конечномерной
алгебры А называется наибольший нильпотентный идеал
алгебры А (содержащий все нильпотентные идеалы этой
алгебры). Факторалгебра A/RadA полупроста, т. е. имеет нулевой
радикал.
Тебрема 1. Любая полупростая конечномерная алгебра А
единственным образом раскладывается в прямую сумму
некоторого числа простых алгебр: А = В\ ЕВ ... ЕВВ^.
Теорема 2. Любая простая конечномерная алгебра А
изоморфна алгебре всех матриц Mn(D) над некоторой
алгеброй с делением D, причем число п и алгебра D (€ точностью
до изоморфизма) однозначно определяются алгеброй А.
Эти теоремы справедливы и для алгебр, априори не
содержащих единицу.
Пусть А — центральная простая конечномерная алгебра,
A^Mn(D), где D — центральная алгебра с делением. Число п
называется приведенной степенью алгебры А. Можно показать,
что размерность центральной алгебры с делением всегда
является точным квадратом, d\mFD=i2. Число i=i(A)
называется индексом алгебры А. Имеем d\mFA={ni)2.
Полупростая конечномерная алгебра А называется сепара-
бельной, если при любом расширении полей KzdF алгебра
A®FK полу проста. Это эквивалентно тому, что все центры С«
простых компонент В{ в разложении А=В\ ЕВ ..SB*
являются сепарабельными полями над полем F. Напомним, что
42

алгебраическое расширение полей CzdF называется сепара-
*бельным, если для любого z£C многочлен минимальной степени
с коэффициентами из F, корнем которого служит z, не имеет
кратных корней в алгебраическом замыкании поля F.
Последнее условие автоматически выполняется, если характеристика
поля равна 0 (или, что то же самое, F содержит в качестве
подполя поле рациональных чисел). Таким образом, любая
иолупростая алгебра над полем нулевой характеристики сепа-
рабельна.
Теорема 3. Если факторалгебра A/RsidA некоторой
конечномерной алгебры А над полем F сепарабельна, то А
распадается (как линейное пространство) в прямую сумму
♦своего радикала Radi4 и некоторой полупростой подалгебры
Я^л/Rad Л, т. е. A=Rad Л0В.
Вопрос о единственности разложения в данной теореме
изучен А. И. Мальцевым (1943):
Теорема 4. Если 4 = Radi4©B=RadА®В' — два
разложения конечномерной алгебры в сумму радикала и сепара-
«бельных подалгебр, то существует обратимый элемент х£А
такой, что В/=х~1Вх (т. е. полупростая компонента единственна
*с точностью до внутреннего автоморфизма).
Приведем здесь идею доказательства теоремы 2.
Рассмотрим в простой алгебре А правый идеал V наименьшей
ненулевой размерности. На V можно смотреть как на линейное
пространство над полем F. В кольце всех линейных
преобразований этого пространства рассмотрим множество D всех
преобразований, коммутирующих с правыми умножениями на
элементы из Л, т. е. dW<=>Va$A d(xa)=d(x)a.
Фундаментальное замечание состоит в том, что D — алгебра с делением
{лемма Шура). Действительно, совершенно очевидно, что D
замкнуто относительно линейных комбинаций и умножения,
так что необходимо уяснить только, что любое ненулевое
преобразование из D имеет обратное, которое тоже лежит в D.
Если d^O, dGD, то множество d(V) образует правый идеал
алгебры Л, содержащийся в V; d(V)A^d(VA)^d(V). Так
как V имеет минимальную размерность, то d(V) = V, а это и
означает, что существует обратное линейное преобразование
*i-1 : V-+V такое, что d~l(d(v))=v. Ясно, что d-y(va) =
*=d-l(v)a для всех а$А и поэтому d'^D. На пространство V
теперь мы можем взглянуть по-иному. На этом пространстве
-определены умножения слева на элементы тела D, т. е. V —
левое пространство над телом D. Больше того, правые
умножения на элементы кольца А согласуются со структурой D-npo-
чггранства на V, т. е. правые умножения являются линейными
преобразованиями пространства V над телом D: Кольцо
E=End(DV) всех таких преобразований (относительно правого
"умножения v(fg)=\(vf)g, v£V, f; g$E) изоморфно кольцу
матриц Mn(D)y где n=dimDV* Поэтому мы имеем гоморфизм
43

A-*»Mn(D); Так как ядро гомоморфизма — идеал, а А —
простая алгеЬра, то этот гомоморфизм — вложение. Несколько
сложнее доказывается, что это изоморфизм.
Доказательство теоремы 1 основано на следующем простом
замечании. Рассмотрим ненулевой двусторонний идеал /
алгебры Л, имеющий наименьшую размерность. Легко видеть, что /
является простой алгеброй (вообще говоря, без единицы). По
теореме 2 алгебра / изоморфна алгебре матриц над телом.
В частности, эта алгебра содержит единицу е, которая,
разумеется, может не быть единицей алгебры Л, если АФ1.
Рассмотрим множество W={x—xe\ хЪА}. Оказывается, что W — эта
идеал, причем Л=/ЕВЯР. Далее работает очевидная индукция
по размерности.
Наконец, к числу основных теорем теории алгебр относится
также следующая
Теорема 5. (Сколем, Э. Нётер). Если /, g — два {ФО)
гомоморфизма простой конечномерной алгебры В в центральную
простую конечномерную алгебру Л, то в Л существует
обратимый элемент а такой, что g(x) = a^lf{x)a для всех х£В.
Из этой теоремы вытекает ряд важных свойств центральных
простых конечномерных алгебр, например, то, что две
абстрактно изоморфные простые подалгебры центральной простой-
конечномерной алгебры непременно сопряжены в этой алгебре.
Другое интересное следствие говорит о том, что любой
автоморфизм полной матричной алгебры Mn(F) является
внутренним. Внутренним называется автоморфизм вида х*-+ а~ххау
где а — обратимый элемент.
2.8. Группа Брауэра. Если А и В — центральные простые-
(конечномерные) алгебры над полем F, то их тензорное
произведение А®В будет центральной простой алгеброй.
Поскольку тензорное произведение ассоциативно и коммутативно, то
множество центральных простых алгебр является
коммутативной полугруппой относительно тензорного произведения.
Определение 1. Центральные простые конечномерные
алгебры А и В называются подобными А~В, если их
компоненты изоморфны, т. е. A^Mn(D), B^Mk(D) для некоторых
натуральных м, k и алгебры с делением D.
Можно доказать, что две центральные простые
конечномерные алгебры подобны тогда и только тогда, когда они Морита-
эквивалентны (см. об этом в § 4). Обозначим через [А] класс
всех центральных простых конечномерных алгебр, подобных Л.
Теорема 2. Множество Bt(F) классов подобных
конечномерных центральных простых алгебр над F будет
коммутативной периодической группой относительно композиции [Л] +
+{В]=[А®В]. Эта группа называется группой Брауэра
поля F.
Роль единичного элемента в группе Брауэра играет класс
[F]. Обратным элементом для класса [А], порожденного ал~
44

геброй Л, будет класс [А0], порожденный алгеброй Л°,
антиизоморфной алгебре Л. Это вытекает из того, что А®А0^
&Mn(F), где п — размерность Л. Действительно, размерность
алгебры А®А0 равна м2. С другой стороны, сопоставляя
элементу Iiditebi линейное преобразование х^^Ь{ха{
пространства Л, мы получим гомоморфизм из А® А0 в алгебру, всех
линейных преобразований (с правым умножением)
пространства Л над F, изоморфную алгебре матриц Mn{F). Ядро этого
гомоморфизма равно нулю, так как алгебра А®А*—простая,
-а размерность Mn(F) тоже равна я2, т. е. построенный
гомоморфизм будет изоморфизмом. Можно показать, что порядок
класса [Л] в группе Брауэра делит индекс i(A) алгебры Л,
причем индекс и порядок имеют одни и те же простые
делители (напомним, что порядок [Л]—это наименьшее число т>0
такое, что mJ/lJ^O).
Пусть теперь К — некоторое расширение поля F. Если Л —
центральная простая алгебра над F, то A®FK будет
центральной простой алгеброй над /С. Если Л~В, то А®К^В®К, т. е.
[Л®/С]=[В®/С] в группе Вг(К). Следовательно, отображение
!{Л]^[Л(8)/(] будет гомоморфизмом Br(F)->Br(/(), ядро этого
гомоморфизма обозначается через Br(KfF).
Определение 3. Говорят, что центральная простая
алгебра Л расщепляется некоторым полем KzdF (и К называется
полем расщепления Л), если A®FK^Mn(K).
Таким образом, группа Br (K/F) определяется
центральными простыми алгебрами над F, которые расщепляются
полем К. Так как алгебра с делением над алгебраически
замкнутым полем совпадает с самим этим полем, то группа
Брауэра Br(F) алгебраического замыкания поля F
тривиальна и, следовательно, Br(/r/JF)=Br(F), так что любая
центральная простая алгебра имеет некоторое поле расщепления.
Можно показать, что любое максимальное подполе
компоненты центральной простой алгебры является ее полем
расщепления.
В случае, если K^F — расширение Галуа, то, как мы
видели выше, конструкция скрещенного произведения дает нам
примеры центральных простых алгебр над F. Все эти алгебры
расщепляются полем К, так что имеется естественное вложение
/f2(G,/C)-^Br(/C/F), где G — группа Галуа расширения K^>F.
(Заметим, что все скрещенные произведения поля К с
группой G имеют одну и ту же размерность п2 и поэтому их
подобие означает изоморфизм.) Больше того, оказывается, что это
вложение является изоморфизмом. Последний факт означает,
что любая центральная простая алгебра, имеющая некоторое
конечное расширение Галуа своим полем расщепления,
подобна скрещенному произведению. Можно показать, что любая
центральная простая алгебра имеет некоторое расширение
Галуа своим полем расщепления. Таким образом, имеет место
45

Теорема 4. Любая центральная простая алгебра подобна?
скрещенному произведению.
Рассмотрим еще несколько конкретных примеров. Теорема
Фробениуса показывает, что единственная неодномерная
центральная алгебра с делением над полем действительных чисел —
это тело кватернионов, т. е. Br(R)^Z2. Если К — конечное
поле, то ©се конечномерные алгебры над ним также конечны.
Теорема Веддербёрна о конечных телах утверждает, что любое
такое тело коммутативно. Это означает, что над конечным
полем не существует конечномерных центральных алгебр с
делением (кроме самого этого поля). Таким образом, группа
Брауэра конечного поля тривиальна. В случае произвольных
полей конечной характеристики р>0 известна теорема Виттаг
которая утверждает, что группа Брауэра р делима (т. е. в ней
разрешимо любое уравнение рх=а, а — элемент группы, х—
неизвестное).
2.9. Алгебры над полем алгебраических чисел. Напомним,
что полем алгебраических чисел называется конечное
расширение поля Q рациональных чисел. Следующая теорема была
доказана, как мы уже отмечали в пункте 2.1, усилиями многих
математиков.
Теорема. Пусть F — поле алгебраических
чисел,Л—центральная простая алгебра над F. Тогда Л— циклическая
алгебра и порядок Л в группе Брауэра Вг(/Г) равен ее индексу i(A).
Доказательство этой теоремы существенно использует
теорию чисел.
2.10. Примеры нескрещенных произведений. Алберт
построил первый пример центральной алгебры с делением
(размерности 16), являющейся 'скрещенным произведением, но не
циклической. Более того, любая алгебра с делением размерности
16 является скрещенным произведением. Оставался открытым
вопрос, не будет ли любая центральная алгебра с делением
скрещенным произведением. Отрицательный ответ на этот
вопрос был получен Амицуром. Именно, такой будет алгебра
Q (Хи ..., Хт), где Х\>... >Хт — так называемые общие
мХм-матрицы, причем п удовлетворяет некоторым
ограничениям (либо делится на 8, либо на квадрат нечетного простого
числа). Остановимся более подробно на определении этой
алгебры. Пусть Xi^WxtfW(1<л</п; l^t, k^.n)—«общие»
матрицы от алгебраически независимых коммутирующих переменных
x-\k. Пусть, далее, 0[Хи ..., Xm]=Qnym — алгебра над полем
Q, порожденная матрицами Хи ...,Хт (это — алгебра общих
матриц над Q). Оказывается, что эта алгебра не имеет
делителей нуля и удовлетворяет (левому и правому) условию Оре
(см. п. 1.19). Ее классическое тело частных обозначим через
Q (Хи ..., Хт). Пусть С — центр алгебры Q (Хи ..., Хт). Тогда
Q(X\,..., Хт)—центральная алгебра с делением над С
размерности /г2.
46

Существуют центральные простые алгебры с делением над
полем конечной характеристики, не являющиеся скрещенным
произведением. Более того, существуют р-алгебры с этим
свойством. Центральная простая алгебра А над полем F
называется р-алгеброй, если поле F имеет характеристику р и
приведенная степень А равна pk для некоторого k.
2.11. Группа Брауэра и функтор /С2. Этот пункт мы начнем
с рассмотрения конкретного примера центральной простой
алгебры. Пусть F— поле, содержащее примитивный корень £
степени п из единицы (т. е. многочлен tn — 1 разлагается в по-
п
ле F на линейные множители: tn—1= П (t—£')). Пусть, далее,
а, Ъ — ненулевые элементы поля F. Рассмотрим алгебру,
порожденную двумя элементами х> у, для которых выполняются
(определяющие) соотношения
хп=а, yn=by xy=Zyx. (6)
Обозначим эту алгебру через (а, &, пу Fy £). Она состоит из
многочленов от ху у степени, меньшей п по каждому
переменному, сложение и умножение которых определяется, в силу
законов ассоциативности и дистрибутивности, с помощью
соотношений (6).
Теорема 1. Алгебра (а, &, м, F, £) является центральной
простой алгеброй, причем любое расширение L поля Fy в
котором извлекается корень л-й степени из &, будет полем
расщепления этой алгебры (см. п. 2.8).
Покажем, что если K/F — циклическое расширение с
группой Галуа G и ^G/7, то всякая циклическая алгебра (К, G, у)
имеет вид (а, &, п9 Fy £). Пусть G={1, s,..., sn~1}. Рассмотрим
s как линейное преобразование пространства К над F.
Характеристический многочлен этого преобразования равен Кп—1,
и он, по условию, разлагается над F на линейные множителя.
Это значит, что преобразование s имеет ненулевой собственный
вектор ху отвечающий корню £ : х8=%х. Теперь имеем xxsxs* ...
... xsh -1 QFy т. e. g*n-W2xPGF и, значит, xn=a£F. Положим
Ьв7» а у=и8. Теперь легко видеть, что алгебра (/С, G, у)
порождается над полем F элементами ху уу причем хп=ау уп=Ь>
ху=хи8=и8х8=1и8х=^ух. Это значит, что (К, G,
у)—гомоморфный образ простой алгебры (а, &, пу Fy t)y т. е. (К, G, y)~
~(а, &,/г, F, £).
Элемент группы Брауэра, определяемый алгеброй (а, &, пг
F, £), обозначается через [а, &, пу F, £]. В том случае, когда
ясно из контекста, чему равны пу Fy £, его обозначают
короче через [а, &]. Алгебра (а, &, пу Fy t) существенно зависит от
выбора примитивного корня из единицы. Если £' — другой
примитивный корень, то [а, &, пу Fy £'] =t[ay &, пу Fy £].
Одним из важнейших достижений в исследовании групп
Брауэра полей является следующая
47

Теорема 2 (А. С. Меркурьев, А. А. Суслин). Пусть поле F
содержит примитивный корень из единицы степени п. Тогда
любая центральная простая алгебра Л экспоненты п (т. е.
п[Л] = 0) подобна тензорному произведению алгебр вида (а, &,
я, F, £), т. е. в группе Брауэра любой элемент экспоненты п
представляется в виде суммы [аь &i]+[fl2, b2] + ... +[ak> bk].
Доказательство этого результата существенно опирается на
достижения так называемой алгебраической /(-теории.
Важную роль в ней играет функтор К2- Значение функтора /С2 на
поле F определяется как факторгруппа тензорного произведения
абелевых групп F*®zF* по подгруппе, порожденной
тензорами а® (1—а).
Чтобы уяснить связь функтора К2 и группы Брауэра,
зафиксируем число п и примитивный корень £ степени п из единицы.
Тогда в группе Брауэра имеет место ряд соотношений,
связанных со скобкой [а, &], определенной выше: [а, 1—а] = 0
(тождество Стейнберга), [а&, с] = [а, с]+[&, с], [а, Ьс]= [а, &]+[а, с]
(бимультипликативность), [ап,Ь] = п[а, &] = 0. Эти соотношения
показывают, что отображение a<g>b*+[a, b] продолжается до го
моморфизма абелевых групп ас: K2(F)-+Br(F)> ядро которого
содержит подгруппу nK2(F), а образ содержится в подгруппе
nBr(F) элементов порядков, делящих п. Это означает, что
существует естественный гомоморфизм
Rn,**:K2(F)lnK2(F)-+nBT(F).
Результат А. С. Меркурьева и А. А. Суслина в этих терминах
означает, что /?п,р,е — изоморфизм.
2.12. Модули и тип представления конечномерных алгебр.
Пусть Л — конечномерная алгебра над полем F,
Представлением Т алгебры называется гомоморфизм этой алгебры в алгебру
End V эндоморфизмов конечномерного пространства V над F.
Размерность V называется степенью представления. Фиксируя в
V базис, мы получаем матричное представление а-*{Т(а)], а£А,
алгебры Л, т. е. гомоморфизм в алгебру матриц Mn(F), где
п — степень представления. Два представления Т : Л-^End V>
Т\ : Л-^End W называются эквивалентными, если существует
изоморфизм ф : V-+W такой, что q>T(a) =T\(a)q> для любого
абЛ. На матричном языке это означает, что [Т\(а)]=С[Т(а)]С~1
для некоторой невырожденной матрицы С. С каждым
представлением Т: Л-э-End V связывается левый Л-модуль V по
правилу av = T(a)v (а£А). Нетрудно показывать, что
эквивалентность представлений означает изоморфизм соответствующих
модулей. Поэтому задача описания всех представлений алгебры
А—это задача описания всех конечномерных (над F) Л-моду-
лей.
Если А —- полупростая алгебра, то по теореме Веддербёрна
k
A^^J+iMn.iDi), где D t — тела. Непосредственно проверяется,
48

что, скажем, модули Мп.(Di)en(l<i<k) (модули первых
столбцов алгебр матриц АЦ(Д)) являются простыми попарно
неизоморфными левыми А-модулями (по другому — минимальными
левыми идеалами). Обозначим эти модули через Мг, ..., 7И>
Точно так же, модули первых строк enMni{Di)^^Ni(Ki<.k)
являются простыми попарно неизоморфными правыми
А-модулями. Имеет место следующая теорема, которая описывает
все конечномерные А-модули в терминах этих модулей.
Теорема 1. Пусть А — конечномерная полупростая
алгебра. Тогда каждый А-модуль вполне приводим, т. е. А —
классически полупростое кольцо. Далее, каждый простой левый
(правый) А-модуль изоморфен одному из минимальных левых
(правых) идеалов М{(Ы{) алгебры А. В частности, число
неизоморфных простых левых (правых) А-модулей равно числу
простых слагаемых алгебры А.
Эта теорема в Принципе описывает все простые А-модули,
хотя данное описание и не дает возможности явно выписать
эти модули, если не задано разложение А на простые
компоненты. В некоторых случаях, например, для групповой алгебры
FSn симметрической группы Sn (т. е. группы всех подстановок
множества {1,..., п}) над полем характеристики 0 простые
модули можно выписать явно (для FSn — с помощью так
называемых таблиц Юнга). Об этом и приложениях к теории
тождеств см. статью II.
Пусть теперь А — произвольная (вообще говоря, неполупро-
стая) конечномерная алгебра. Мы уже говорили, что в этом
случае с модульной точки зрения основной интерес вызывают
неразложимые (конечномерные) модули. По числу этих
модулей алгебры делятся на два типа.
1) Конечный тип. В этом случае, по определению,
имеется лишь конечное число неизоморфных неразложимых
Л-модулей. Долгое время оставалась неопровергнутой первая
гипотеза Брауэра — Трэлла: если размерности неразложимых
Л-модулей ограничены, то алгебра А имеет конечный тип. Эта
гипотеза была доказана А. В. Ройтером (1968).
2) Бесконечный тип. В этом случае имеется, по
определению, бесконечное число (попарно неизоморфных)
неразложимых Л-модулей. Долгое время оставалась открытой также
вторая гипотеза Брауэра—Трэлла: если поле F бесконечно и
алгебра А имеет бесконечный тип, то существует бесконечное
число размерностей, в каждой из которых А имеет бесконечно
много неразложимых модулей. Эта гипотеза была доказана
Л. А. Назаровой и А. В. Ройтером (1972).
Другое деление алгебр по типу их представлений — это
деление на алгебры дикого и ручного типов. Говоря не формально,
алгебра имеет дикий тип, если задача о классификации
неразложимых А-модулей содержит в себе задачу о классификации
4#

неразложимых модулей над свободной алгеброй с двумя
порождающими (т. е. «дикую» задачу о классификации пар
матриц одновременным преобразованием сопряжения). Алгебры
ручного типа — это не дикие алгебры. Получены различные
характеризации алгебр ручного типа в терминах некоторых
графов-схем (или колчанов) алгебр (в смысле Габриэля).
Определение схемы алгебры будет дано в следующем пункте.
Для классификации алгебр по типу представлений большое
значение имеет понятие Морита-эквивалентности (см. пп. 1.20,
1.22, 4.8). Так как эквивалентные категории модулей, по
существу, не различимы, то понятно, что Морита-эквивалентные
алгебры имеют один и тот же тип модулей (представлений).
Поэтому с точки зрения теории модулей (представлений) такие
алгебры не различимы. Следующая теорема позволяет для
каждой алгебры выбрать наиболее просто устроенную алгебру,
Морита-эквивалентную исходной алгебре. Назовем
конечномерную алгебру В приведенной, если факторалгебра B/RadB
изоморфна прямой сумме тел.
Теорема 2. Любая конечномерная алгебра А Морита-
эквивалентна единственной приведенной алгебре В.
Эта теорема вытекает из теоремы Мориты (см. п. 4.8).
Оказывается, что приведенные алгебры можно изучать с помощью
порождающих и определяющих соотношений. Об этом также
будет сказано в следующем пункте.
2.13. Схемы и приведенные алгебры. Назовем схемой (или
колчаном) произвольный конечный набор точек, соединенных
между собой стрелками. Если точки схемы обозначить
номерами 1, 2,..., 5, то схема 5 задается своей матрицей [S] =
= \\tij\\sx8, где t{j — число стрелок, ведущих из точки i в точку
/. Каждой точке i припишем еще «пустую» стрелку ег (с
началом и концом i). Через K(S) обозначим f-алгебру,
порождающими которой являются все (непустые) стрелки и все пустые
стрелки, а определяющие соотношения состоят из всех равенств
оьр = 0, где конец стрелки а не равен началу стрелки (3, и
равенств ега = а(абг = а), где начало (конец) а равен L
Элементами K(S) являются, таким образом, все линейные комбинации
путей на 5, т. е. последовательностей стрелок, в которых
конец предыдущей стрелки совпадает с началом следующей
(включая пустые пути е*). Единицей алгебры K(S) является
элемент l=ei+ ... + es. Алгебра K(S) может быть
бесконечномерной. Однако, если 5 — схема без циклов (замкнутых
путей), то все пути имеют ограниченную длину, и поэтому
алгебра K(S) конечномерна. Имеется стандартный способ
получения из K(S) конечномерной алгебры. Он состоит в том,
чтобы приравнять нулю все пути, имеющие длину, большую
или равную заданного натурального числа п. Обозначим
полученную алгебру через Kn(S). Если / — идеал, порожденный
всеми непустыми стрелками, то Kn(S)^K(S)fIn. Радикал алгебры
50

Kn(S) равен I/In. Нетрудно заметить, что алгебра Kn(S)
приведенная: Kn(S)/RadKn(S)^FS F ЕВ... БВ F (s раз). Алгеб-
ры вида Kn(S) являются в некотором смысле универсальными
примерами приведенных алгебр. Назовем приведенную алгебру
А расщепимой, если A/RadA^F ЕВ ... ЕВ F. Например, если:
поле F алгебраически замкнуто, то любая приведенная алгебра
расщепима, так как над F не существуют конечномерные
алгебры с делением, отличные от F. Универсальность этого примера
определяется следующей теоремой.
Теорема 1. Любая расщепимая приведенная алгебра А
изоморфна факторалгебре алгебры /Сп(5) по некоторому
идеалу, содержащемуся в квадрате радикала.
Схема 5 из предыдущей теоремы определяется однозначна
алгеброй А (разумеется, с точностью до перенумерования
вершин) и называется схемой алгебры А. Опишем процесс
построения схемы алгебры для произвольной, не обязательно
приведенной и расщепимой, алгебры. Рассмотрим (правый)
регулярный модуль АА и разложим его в прямую сумму неразложимых
подмодулей А=Р\® ... ©Р«. Неразложимые слагаемые (и им:
изоморфные модули) Р{ называются главными модулями. Пусть
Pi,..., Ps — все попарно неизоморфные главные модули. Их
число равно числу простых слагаемых в разложении
полупростой алгебры Л/RadA. Обозначим Ri = P{RadA и V* = /?<//? JRadA..
Тогда Vi — полупростой модуль и поэтому
s
7=1
где Uj^Pj/Rj — неприводимые модули (можно показать, что U}.
исчерпывают все неприводимые модули и попарно не
изоморфны). Сопоставим каждому модулю V{ точку на плоскости,
которую будем обозначать номером i, и соединим точку i с
точкой / tij стрелками. Полученный набор точек и стрелок и
является схемой S(A) алгебры А.
Примеры 1. Если алгебра полупроста, то Ri = О и S (А) —
это просто набор точек без стрелок.
2. Пусть A = Tn(F)—алгебра верхнетреугольных матриц,
размерности п. Матричные единицы еи являются ее
минимальными идемпотентами. Легко видеть, что Р* = еиЛ— попарно
неизоморфные главные Л-модули, причем Ri = eH A Rad А =*
— еи i+\F + ••• +£гпР—Рг+ь Поэтому схема имеет вид
12 3 4 п
3. Также нетрудно показать, что схема алгебры Kn(S) при
/2^2 равна (с точностью до перенумерации точек) схеме S.
Отметим, что в силу самого построения схемы она зависит
только от факторалгебры A/(RadA)2, т. е. S(A) =S(A/(Rad А)2)»
Поэтому утверждения, задаваемые в терминах схем, будут пе-
51

реноситься с ^/(RacL4)2 на Л. Например, имеет место
следующий факт.
Теорема 2. Алгебра А неразложима в прямую сумму
тогда и только тогда, когда схема S(A) связна.
Следствие. Алгебры А и i4/(RacL4)2 разложимы или
неразложимы одновременно.
2.14. Артиновы кольца. Теоремы Веддербёрна о строении
простых и полупростых конечномерных алгебр были перенесены
Э. Артином на лево артиновы (см. п. 1.8) кольца. Класс (лево,
право) артиновых колец замкнут относительно гомоморфных
образов, конечных прямых сумм и перехода к кольцу матриц.
Существуют артиновы слева, но не артиновы справа кольца
например, кольцо матриц (q q))- Кольцо Z не артиново,
но его кольцо частных Q есть поле, т. е. артиново (вообще,
классические кольца частных некоторых (вообще говоря, не
артиновых) колец являются простыми (полупростыми) артино-
выми кольцами, см. об этом п. 4.6).
Теорема 1. Кольцо R является простым лево (право)
артиновым кольцом тогда и только тогда, когда R изоморфно
кольцу матриц Mn(D) над телом D. Число п и тело D (с
точностью до изоморфизма) определяются единственным образом
по кольцу R.
Теорема 2. Кольцо R является полупростым артиновым
кольцом тогда и только тогда, когда R изоморфно прямой
сумме конечного числа колец матриц над телами.
В этой теореме представление единственно, что следует из
общего простого утверждения.
Теорема 3. Если Sxffl.. .fflS„^/?iEEI.. .ffl/?m, где St,
jRy — неразложимые в прямую сумму ненулевые кольца, то
т=п9 5,—/?а(о> где а—-некоторая подстановка индексов.
Теоремы 1 и 2 известны в литературе как «теоремы
Веддербёрна—А ртина».
Теория представлений артиновых колец, как и структурная
теория артиновых колец, во многом параллельна теории
представлений конечномерных алгебр. Например, имеет место
теорема, которую мы уже отмечали.
Теорема 4. Над кольцом R каждый модуль вполне
приводим (т. е. R — классически полупростое кольцо) тогда и
только тогда, когда R — полупростое артиново кольцо.
Одного фрагмента теории артиновых колец — так
называемых квазифробениусовых колец — мы коснемся в следующем
параграфе.
2.15. Литературные указания. Материал, обсуждаемый в
пунктах 2.3—2.9, относится к классическим достижениям
теории конечномерных алгебр и наиболее полно изложен в
монографиях [44], [95]. Первые примеры не скрещенных
произведений построены Амицуром [45], см. также монографии [75], [100].
52

Для знакомства с основами алгебраической К-теории мож"-
но рекомендовать компактно написанную книгу [87], а также
более подробную монографию [50], посвященную в основном
функтору /Сь О последних достижениях алгебраической /С-теОг
рии можно узнать из обзоров А. А. Суслина [36], [37].
Доказательство теоремы из пункта 2.11 изложено в работе [28], а
также в [36]. Учебник [16] содержит в основном структурную тео^
рию конечномерных алгебр и включает материал, обсуждаемый
в пункте 2.13. Начала структурной теории конечномерных алг
гебр и теории представлений конечных групп можно найти в
классическом учебнике по алгебре [103]. Наиболее полно if
подробно теория представлений конечномерных алгебр излот
жена в монографии [63]. Доказательство гипотез Брауэра—
Трэлла изложено в оригинальной работе [31].
С теорией артиновых колец можно подробно
познакомиться по учебникам [78], [79].
§ 3. Модули и некоторые классы колец
3.1. Введение. Модули над некоммутативными кольцами
(точнее, категории модулей) играют большую роль в
математике и, в частности, в теории колец. Категории модулей
(и более обще — абелевы категории) — это основной объект
изучения в гомологической алгебре. Как было сказано, модули
естественным образом возникают в теории линейных
представлений групп и алгебр, т. е. гомоморфизмов в группы и алгебры
линейных преобразований конечномерных векторных
пространств над полем. На языке свойств модулей выделяются
некоторые естественные классы колец (например, классически
полупростые, наследственные, совершенные и полусовершенные
кольца, квазифробениусовы кольца и др.), часто встречающиеся
в различных вопросах теории колец, модулей и гомологической
алгебры.
В общем случае имеет смысл рассматривать левые и,
отдельно, правые модули над кольцами. Однако существует
стандартный переход от одних модулей к другим, связанный о
переходом от кольца R к противоположному (антиизоморфнот
му) кольцу #°, которое совпадает с R как множество, но
отличается от R «порядком произведения элементов» — г\°г2 = Г2Г\г
где через ° обозначено умножение в кольце R0. В этих
терминах, если М — левый /^-модуль, то его можно сделать правым
/?°-модулем, полагая mr = rm, где m£M, r£R. Точно так же
понятие бимодуля можно свести к понятию левого модуля. Пусть
R®z S° — тензорное произведение колец R и S0 над кольцом Z.
Тогда изучение (R, 5)-бимодулей М можно свести к изучению
левых /?®z 5°-модулей, полагая (r®s)m = rms (гб/?, s£S, m£M)j
5$

В дальнейшем, для определенности, будем рассматривать
только левые модули.
Самые простые в некотором смысле модули над кольцом
R — это циклические модули, т. е. модули М, порожденные
одним элементом, М=Rx. Легко понять, что любой циклический
модуль M = Rx изоморфен фактормодулю R/I, где / — левый
идеал R, а именно, / — аннулятор элемента х. Обратно, любой
модуль R/I (I — левый идеал R) является циклическим (он
порождается элементом 1 = 1+/, 1&R). Модуль М с конечным
числом порождающих называется конечно порожденным. Из
основной теоремы о конечно порожденных абелевых группах
следует, что любой конечно порожденный Z-модуль является
прямой суммой циклических Z-модулей (для конечных
абелевых групп данное утверждение восходит еще к Гауссу). Это же
утверждение справедливо для конечно порожденных модулей
над областями главных (правых и левых) идеалов.
Сформулированная теорема важна для задачи приведения
(преобразованиями, похожими на элементарные преобразования в линейной
алгебре) матриц над областями главных идеалов к
диагональному виду (так называемая задача нахождения
инвариантных множителей матрицы). Частным случаем этой последней
задачи является известная в линейной алгебре задача
приведения Я-матриц (т. е. матриц над алгеброй многочленов F[k]) к
каноническому виду.
3.2. Артиновы модули, нётеровы модули. Модуль М над R
называется нётеровым (артиновым), если он удовлетворяет
условию максимальности (минимальности) для подмодулей. Это
равносильно тому, что любая возрастающая последовательность
N\^N2^ ... (убывающая последовательность N^N2^ ...)
стабилизируется. Пусть R = Z. Нётеровыми Z-модулями
являются все конечно порожденные абелевы группы. Из них арти-
новыми будут только конечные группы. Существуют артиновы,
но не нётеровы абелевы группы, например, квазициклическая
группа Z «, (группа всех комплексных корней из единицы
степеней р, р2,...). Эта группа является объединением
циклических подгрупп Zpn, любая ее собственная подгруппа совпадает
с одной из подгрупп Zp п. Любая артинова абелева группа
изоморфна подгруппе конечной прямой суммы квазициклических
групп.
Класс нётеровых (артиновых) /?-модулей замкнут
относительно подмодулей, гомоморфных образов и расширений.
Последнее означает, что если модуль В содержит нётеров (артинов)
подмодуль А такой, что В/А — нётеров (артинов), то сам В
нётеров (артинов). В частности, если N\, • • • > Nk — нётеровы
(артиновы) подмодули модуля Af, то и подмодуль N\+ ... +
\+Nk — нётеров (артинов). Поэтому любой конечно
порожденный левый модуль над лево нётеровым (артиновым) кольцом
54

лево нётеров (артинов). Отсюда, учитывая теорему Гильберта о
базисе, получаем, что любой конечно порожденный модуль над
коммутативным конечно порожденным кольцом является нёте-
ровым. Из предыущего также следует, что если R — лево нёте-
рово (артиново) кольцо, то Mn(R) —такое же кольцо
(по-другому это следует из Морита-эквивалентности колец R и Мп(R)).
3,3. Модули конечной длины. Длиной 1(М) модуля М
называется верхняя грань чисел п таких, что в М существует строго
возрастающий ряд подмодулей длины п:
O^ModMiCZ ... сМп=М. (1)
Модули длины 1—это простые модули (длины 0 —
нулевые). Ряд вида (1) называется композиционным, если все
факторы Mi/Mi+{ — простые подмодули (это эквиралентно тому,
что ряд (1) не уплотняется).
Нетрудно показать, что следующие условия на модуль М
эквивалентны: (а) М имеет конечную длину, (б) М артинов и
нётеров одновременно, (в) М имеет композиционный ряд.
Введем понятие эквивалентности двух композиционных
рядов. Говорят, что ряд (1) эквивалентен ряду подмодулей
O^NodNrCi... czNk=M, (2)
если k=n и существует подстановка а чисел 1,..., п такая, что
NilNi-x^M^IM^-x (/=1,..., п), т. е. ряды (1) и (2) имеют, с
точностью до перестановки, изоморфные факторы.
Теорема 1 (Жордан, Гёльдер). Если модуль М обладает
двумя композиционными рядами, то они эквивалентны.
Из теоремы Жордана — Гёльдера следует, что длина
модуля равна длине любого его композиционного ряда, или оо, если
таковых не существует. Отметим, что для любого подмодуля Ат
модуля М имеет место равенство: t(M)=l(N)-{-l(MfN). В
частности,
п
Для модулей конечной длины верна также классическая
теорема единственности разложения в прямую сумму
неразложимых модулей.
Теорема 2 (Крулля—Шмидта). Каждый модуль
конечной длины однозначно, с точностью до изоморфизма и порядка
слагаемых, разлагается в прямую сумму неразложимых
модулей.
Таким образом, смысл теоремы Крулля—Шмидта состоит
в том, что классы изоморфизма [М] модулей М конечной длины
образуют свободную коммутативную полугруппу с нулем
относительно операции [M]+[N] = [M®N]. Теорема Крулля —
55

Шмидта (и Жордана — Гёльдера) применяется, например, для
установления единственности инвариантных множителей
матриц над областями главных идеалов.
3.4. Проективные модули. Определение проективного
модуля было дано в пункте 1.21. Следующий критерий
проективности часто применяется.
Теорема 1 (о дуальном базисе). Модуль Р над кольцом
R проективен тогда и только тогда, когда существуют
элементы х&Р (Ш) и гомоморфизмы ft\P-+R (iQl) такие, что для
любого элемента у£Р имеем /,(*/) = 0 для почти всех i(<I и
0 = 2/* О/)**.
Применим этот критерий для того, чтобы установить, что
обратимые идеалы коммутативной области JR являются
проективными /^-модулями. Ненулевой идеал / из /? называется
обратимым, если существует ненулевой идеал /' из R такой,
что II' = dR — главный идеал (напомним, что //' =
п
= {2 ■*'■*)' х&' x'i&'})- Имеем rf=2 xix\ и если У&> т0
п
dy=y^ixi(xf.y). Однако x'.y£dR, т.е. x\y=fi{tj)d. Сокращая
на d, получим искомое равенство.
Для нового самостоятельного раздела алгебры —
алгебраической /(-теории, о котором мы уже упоминали в пункте 2.11,
основное значение имеют условия, при которых проективные
модули свободны. Скажем, результат А. А. Суслина и Квил-
лена по проблеме Серра утверждает, что любой проективный
модуль над кольцом многочленов F\[x\,... ,xn](F — поле)
свободен. Приведем другие результаты такого рода. Пусть
/—двусторонний идеал кольца /?, Р — проективный /?-модуль.
Рассмотрим модуль Р = Р/1Р над кольцом
/?=/?//. Этот модуль проективен. В самом деле, если
P®Q = /7 — свободный /?-модуль, то РФ Q = F —свободный
/^-модуль. Модуль Р рад R назовем редукцией модуля Р по
по идеалу /. Следующая теорема доказана Беком.
Теорема 2. Пусть Р — проективный /^-модуль, J(R) — ра-
дикал_Джекобсона кольца R, Я —редукция Р по идеалу /(/?).
Если Р-—свободный модуль, то Р — свободный модуль.
Так как для локального кольца (см. п. 1.24) факторкольцо
R/J(R) есть тело, то из предыдущей теоремы (и того факта,
что любой модуль над телом свободен) немедленно получаем
такое следствие (Капланский).
Следствие 3. Каждый проективный модуль над
локальным кольцом свободен.
56

Доказательство теоремы 2 довольно сложное. Оно
основывается на теореме, имеющей и самостоятельный интерес.
Теорема 4. Пусть Р, Рг — проективные /^-модули, Р, Pi —
их редукции по /(/?). Если P^Pi и один из модулей Р, Рг
конечно порожден, то Р^РХ.
Доказательство этой теоремы опирается на лемму Басса о
том, что редукция ненулевого проективного модуля по
радикалу Джекобсона отлична от нуля. Интересно отметить, что, как
показали В. Н. Герасимов и И. И. Сахаев, существуют примеры
проективных не конечно порожденных 7?-модулей Р, редукция
которых по радикалу Джекобсона конечно порождена (хотя
если, например, R — коммутативное кольцо, то свойство конечной
порожденное™ поднимается с Р на Р).
Следующая теорема, принадлежащая Капланскому, сводит»
в определенном смысле, изучение произвольных проективных
модулей к счетно порожденным проективным модулям.
Теорема 5. Каждый проективный модуль над
произвольным кольцом R является прямой суммой счетно порожденных.
Так как каждый модуль М является гомоморфным образом
проективного, даже свободного модуля, то существуют точные
последовательности вида 0->/C->P->Af->-0, где Р—проективный
модуль. Назовем их проективными представлениями модуля М.
Беря проективное представление для /Сит. д., мы можем для
любого п построить точную последовательность (частичную
проективную резольвенту) вида 0->/Cn-^Pn_i-> ... ->Р0->Л!-Я)Г
где модули Р{ проективны. Если модуль Кп также проективен,
то предыдущую последовательность назовем проективной
резольвентой длины п для М. Такая резольвента существует не
для всякого модуля. В общем случае существует бесконечная
проективная резольвента ... ->Pi->P0--WVf->i(). Для изучения
проективных резольвент решающим оказывается следующее
утверждение.
Теорема 6 (лемма Шануэля). Пусть 0-+K-+P-+M-+-Q,
O^/C'-^P'-Wtf-^O— два проективных представления модуля М.
Тогда КФР'^К'ФР.
Отсюда индукцией по п имеем
Следствие 7. Пусть даны две частичные проективные
резольвенты 0-+Рп-+Рп-\-+ ... ->Ро->М->0, 0-+Pn'-+Pn-i'-+ ...
... -*- Р0' ->- М ->- 0 длины п для модуля М.
Тогда имеет место изоморфизм
q\±Pjt\ \DjT2™ • • • ■» 0 \±s*\\±s*2 ^ • • • •
Отсюда непосредственно получаем
Следствие 8. Если М имеет проективную резольвенту
длины Пу то всякая частичная проективная резольвента длины
п для М является проективной резольвентой для М.
Отметим, что проективные, а также инъективные
резольвенты (см. п. 3.5) имеют важные приложения в гомологической
57

алгебре при определении производных функторов (например,
Extn(k, С) и Тогп(Л, С)), а также при определении
гомологических размерностей модулей и колец (см. п. 3.6).
3.5. Инъективные модули. Определение инъективного
модуля также было дано в пункте 1.21. Эффективным инструментом
для проверки инъективности модуля является критерий Бэра:
Теорема 1. Для того чтобы (левый) ^-модуль Q был
инъективен, необходимо и достаточно, чтобы для любого левого
идеала / в R и любого гомоморфизма /^-модулей / : 7->Q
существовал элемент q£Q такой, что f{a)=aq для всех аб/.
В частности, если R — область главных левых идеалов, то
для того чтобы ^-модуль Q был инъективным, необходимо и
достаточно, чтобы он был делимым, т. е. rQ=Q для любого
г=^0, r£R. Действительно, по критерию Бэра нужно, чтобы для
любого O^rQR и любого / : Rr-+Q существовал элемент q£Q
такой, что f(r)=rq. Но в качестве f(r) можно выбрать любой
элемент Q. Таким образом, например, абелева группа (/?=Z)
инъективна тогда и только тогда, когда она делимая (или, как
еще говорят, полная). Известно, что любую абелеву группу
можно вложить в инъективную (т. е. полную) абелеву группу.
Аналогичный результат имеет место и для любых модулей.
Теорема 2. Любой модуль можно вложить в инъективный.
Подмодуль N называется существенным подмодулем модуля
М (а М — существенным расширением N), обозначение N^
^essM, если любой ненулевой подмодуль М имеет ненулевое
пересечение с N. Существенное расширение Е модуля М
называется инъективной оболочкой для М, если Е — инъективный
модуль.
Теорема 3. Каждый модуль М имеет инъективную
оболочку Е(М), и все они изоморфны (как расширения М).
Последнее означает, что если Еи Е2 — две инъективные
оболочки М, то существует изоморфизм f: Е\-+Ь2, тождественный
на М.
Наметим доказательство теоремы 3. Пусть Q—инъективное
расширение модуля М. В силу леммы Цорна найдется
подмодуль Е в Q такой, что M^essE и£ не имеет собственных
существенных расширений, лежащих в Q. Тогда Е вообще не
имеет собственных существенных расширений. Действительно,
1
если E^essW, то существует f:W-+Q в диаграмме Q-+E-+W,
1 i V
Q
причем Кег/П£'==0, т. е. Кег / = 0, и поэтому
/(^—существенное расширение Е, лежащее в Q, откуда j \W W-" и
W=E. Однако имеет место
Лемма 4. Модуль Е инъективен тогда и только тогда,
когда он не имеет собственных существенных расширений.
В силу этой леммы M^essE — инъективная оболочка М.
58

Если Е\ — другая инъективная оболочка М, то существует
мономорфизм f: Ех-+Е такой, что /|м=1м. При этом }(Ех)^е88Е,
и поэтому f(Ex)=E (скажем, по лемме 4, примененной к
модулю /(£i))\
3.6. Гомологические размерности колец и модулей. В этом
пункте будут изложены некоторые основные факты о
различных гомологических размерностях модулей и колец. Эти
понятия широко используются в теории колец, модулей и
гомологической алгебре. Они пришли в алгебру из геометрии и
топологии. Отметим сначала, как связана глобальная размерность
(см. ниже) коммутативного локального кольца с размерностью
алгебраического многообразия в аффинном пространстве.
Начнем с понятия регулярного локального коммутативного
кольца. Пусть R — локальное нётерово коммутативное кольцо, m —
его максимальный идеал (т. е. радикал Джекобсона), п —
минимальное число порождающих этого идеала. R называется
регулярным, если в R существует цепь pod^d ... сцзп = щ
простых идеалов длины п (по одной из теорем Крулля цепей
простых идеалов большей длины в R нет). Регулярные
локальные кольца обладают многими замечательными свойствами,
например, они являются областями с однозначным разложением.
Кроме того, они имеют конечную глобальную размерность
(определение см. ниже) и характеризуются этим свойством
среди локальных нётеровых (коммутативных) колец. При этом
три размерности в регулярном локальном кольце R совпадают:
глобальная размерность, размерность Крулля (максимум длин
цепей простых идеалов) и число порождающих максимального
идеала ш (т. е. размерность векторного пространства m/m2 над
.полем вычетов R/m). Если К—алгебраически замкнутое поле,
V^Kn—неприводимое алгебраическое многообразие, K[V\ —
кольцо полиномиальных функций на нем, то размерность dim V
-многообразия V определяется как степень трансцендентности
области K[V] над К (или как размерность Крулля кольца
/С|Т]). Если aGV, то локальное кольцо 0v,v точки v
определяется как кольцо частных кольца K[V] относительно
максимального идеала mv,v= {!^К[У]\ f(v) =0}, т. е.
Это кольцо всегда имеет ту же размерность Крулля, что и
К\}У], т. е. равную размерности многообразия V. Если кольцо
0v,v регулярно, то точка v называется неособой (или простой).
'Особых точек меньше — они образуют собственное
подмногообразие в V. Таким образом, для любой неособой точки v£V
локальное кольцо Gviv имеет глобальную размерность dim V.
Если V— гладкое многообразие, т. е. не имеет особых точек, то и
-глобальная размерность кольца K[V\ равна dim V. В
противном случае /С[IV] имеет бесконечную глобальную размерность.
Проективной размерностью pd(Af) модуля М называется
59

минимум длин его проективных резольвент, если МфО, и число
— 1, если М=0. Ввиду следствия 8 из пункта 3.4 получаем, что
проективная размерность модуля М не превышает п (п^О)
тогда и только тогда, когда каждая частичная резольвента
длины п для модуля М является проективной.
Теорема 1. Пусть 0^Л/-*-Л->Л//--Ч) — точная
последовательность модулей, d', d, d" — проективные размерности
А', А, А" соответственно. Тогда d<max(d', d"), d"<^
<тах(</,<*'+1), d'<max(d,d"— 1).
В частности, если d=£max(d', d"), то d"=d'+l. Поэтому,
если Л^Л'ФЛ", то с необходимостью получаем, что d —
= max(d', d"). Действительно, если d<max(d/, d"), то d" =
= d'+l, но так как имеет место и точная последовательность
О^Л"-+Л"ФЛ/-->Л/-->0, то d' = d"+l, что невозможно.
Дуальным образом определяется инъективная размерность
id(Af) модуля М. Именно, id(M) = —1, если М = 0. Если МФО,
то id(M) — наименьшая длина инъективной резольвенты
модуля М. При этом под инъективной резольвентой длины п
понимается точная последовательность вида 0->-M->Q0->Qi-> ...
. • • ~+Qn-+®, где Qo,..., Qn инъективны. Если же известно
только, что инъективны Q0,..., Qn-i, то предыдущая
последовательность называется частичной инъективной
резольвентой. Имеет место аналог теоремы 1, причем в ней
d' и d" нужно поменять местами (т. е. например, id^')^
^ max (id Л, idA"+l)). Среди инъективных резольвент
модуля М можно выбрать некоторую каноническую, а именно, ми-
нимальную резольвенту. Инъективную резольвенту 0->УИ-*
(Хо (XI 0-2
->Q0->Qi-> ...-> (конечную или бесконечную) назовем
минимальной, если ImajCiessQ;, т. е. Qt — инъективная оболочка
Ima* для всех i>0. Из теоремы 3 пункта 3.5 следует, что
каждый модуль имеет минимальную инъективную резольвенту
а0 cci
0->M->Eo->Ei-> ..., где Е0=Е (М) —инъективная оболочка
М, Е\=Е(Е0/М)У E]i+l=E(Ei/ai{E^i)). При этом минимальная
инъективная резольвента единственна с точностью до
изоморфизма. Если id(Af)=oo, то все Е{Ф0. Если же id(M) = /г<оо,
то Е{ = 0 при i>n и Е{фО при iz^.n.
Отметим, что инъективная размерность модулей
существенно используется в гомологической теории коммутативных колец
(см. книгу Капла некого «Коммутативные кольце» (Kaplansky l.r
Commutative rings. Boston, Allyn and Bacon, 1970, X, 180 pp.Ж
В частности, горенштейновы кольца, которые имеют богатую
теорию, определяются как коммутативные нётеровы кольца
конечной инъективной размерности (как модули над собой).
Левой глобальной размерностью кольца R (1. gl. dim/?)
называется верхняя грань проективных размерностей (левых)
^-модулей. Если вместо (левых) /^-модулей взять правые, та
60

мы получим определение правой глобальной размерности
(г. gl. dim/?).
Следующая теорема является основной для этой теории.
Теорема 2. Для любых кольца R и целого числа п^О
следующие условия эквивалентны: (а) рс1л(Л)^п для всякого
RA9 (б) idR(A)^.n для всякого ЛЛ, (в) Ех1ц*(А,В)=0 при i>n
для всех Л, В, (г) ExtHn+1 (Л, В) = 0 для всех Л, В.
Следствие 3. 1. gl. dim/? = sup id^(Af), т. е. для любого
кольца R верхняя грань проективных размерностей /^-модулей
совпадает с верхней гранью инъективных размерностей /?-мо-
дулей.
3.7. Плоские модули. Левый /?-модуль В называется
плоским, если функтор — ®RB является точным функтором, т. е.
точную последовательность правых R-uo дулей 0-^Л'->Л->Л"->()
он переводит в точную последовательность групп О-^Л'фкВ-^
-+A®RB-+A"®RB-*-Q. Достаточно, разумеется, потребовать, что
если Л'— подмодуль правого ^-модуля Л, то А'®В-+А®В —
вложение (таким образом, в общем случае нельзя
отождествлять А'®В с подгруппой в Л®В, это можно делать для
плоского модуля В). Все проективные модули являются плоскими.
В самом деле, для любого семейства левых /^-модулей Вг {Ш)
мы имеем Л®я(2ФДг-)^2Ф(Л®лВг-) (перестановочность
тенге/ Ш
зорного произведения и прямой суммы модулей). Отсюда
следует, что прямая сумма плоских модулей является плоским
модулем и прямое слагаемое плоского модуля — также плоский
модуль. Но A®R^A. Это доказывает, что R и, значит, любой
свободный /?-модуль является плоским, но тогда и проективные
модули (как прямые слагаемые свободных) — также плоские.
Другие примеры плоских модулей дают некоторые полезные
конструкции из коммутативной алгебры. Например, если Л —
нётерово коммутативное кольцо, /—идеал Л, то так
называемое 7-адическое пополнение Л кольца Л является плоским
Л-модулем. Далее, если Л — коммутативное кольцо, S —
подмножество, замкнутое относительно произведений, то S~lA —
плоский Л-модуль.
Следующая теорема дает критерий того, чтобы модуль В
был плоским.
Теорема 1. Для того чтобы (левый) /?-модуль В был
плоским, необходимо и достаточно, чтобы для любого
конечно порожденного правого идеала I в R гомоморфизм /®НВ-*-
->В, i®b*-+ib (Ш, b£B) был вложением.
Из этой теоремы вытекает несколько интересных следствий.
Одно из них касается регулярных (в смысле Дж. Неймана)
колец. В таком кольце R любой конечно порожденный правый
идеал / порождается идемпотентом, I = eR, & = е, и поэтому
выделяется прямым слагаемым в R (/? = /Ф(1—e)R). Поэтому
I®RB-+R®RB<=^B— вложение. Таким образом, в силу теоремы 1
61

получаем, что над регулярным кольцом любой модуль является
плоским. Это свойство характеризует регулярные кольца.
Другое следствие касается областей главных правых идеалов.
С помощью вышеуказанного критерия нетрудно вывести, что
если R — область главных правых идеалов, то R-молулъ В
является плоским тогда и только тогда, когда он без кручения,
т. е. rb = Q=>r = Q\/b = Q (r£R, b£B). В частности, абелева
группа является плоским Z-модулем тогда и только тогда, когда
она без кручения.
Другой критерий плоскостности дает следующая
Теорема 2. Для того чтобы /^-модуль В был плоским,
необходимо и достаточно, чтобы для любых элементов bfiB,
п
a&R (Ki<n) таких, что 2а^=0, существовали элементы
rtfiR, vfiB такие, что bi = ^riJvj9 ^аьгИ=0.
J i
Этот критерий используется, в частности, в аналитических
вопросах в книге Мальгранжа [83].
3.8. Классически полупростые кольца. Напомним, что
кольцо R называется классически полупростым, если любой модуль
над R вполне приводим. Примеры классически полупростых
колец были приведены в § 1 — это конечномерные полупростые
алгебры, групповые алгебры конечных групп над «хорошим»
полем, алгебры Клиффорда невырожденных квадратичных
форм. Этот класс колец обладает многими важными характери-
зациями и свойствами.
Теорема. Следующие условия на кольцо R
эквивалентны: (a) R — классически полупростое кольцо, (б) все /?-моду-
ли проективны, (в) все /?-модули инъективны, (г) R —
полупростое артиново кольцо.
Как показала Озофская, для того чтобы кольцо R было
классически полупростым, достаточно, чтобы все циклические
^-модули были инъективны. Это, однако, гораздо более
трудный и тонкий результат, чем последняя теорема.
3.9. Наследственные и полунаследственные кольца. Кольцо R
называется наследственным слева, если каждый его левый
идеал является проективным /^-модулем. Например, коммутативная
область R является наследственной тогда и только тогда, когда
она дедекиндова (т. е. любой ненулевой идеал кольца R
обратим, см. п. 3.4). Специальным случаем наследственных слева
колец являются кольца свободных левых идеалов, т. е. кольца,
в которых каждый левый идеал является свободным модулем
однозначно определенного ранга. Примерами колец свободных
левых идеалов являются области главных левых идеалов,
свободные алгебры над полем, а также групповые алгебры сво-
62

бодных групп. Наследственные слева кольца можно
охарактеризовать рядом эквивалентных свойств.
Теорема 1. Следующие свойства кольца R
эквивалентны: (1) R наследственное слева, (2) 1. gl. dimi?^l, (3)
подмодуль любого проективного ^-модуля проективен, (4) фактор-
модуль любого инъективного /?-модуля инъективен.
Отметим, что наследственное слева кольцо может не только'
не быть наследственным справа, но и иметь любую правую
глобальную размерность я>0, п — целое число или оо.
Соответствующие примеры впервые построены Ятегаонкаром.
Кольцо R называется полунаследственным слева, если
каждый его конечно порожденный левый идеал является
проективным /^-модулем. Все кольца нормирований полей и, более
общим образом, все (коммутативные) прюферовы кольца
являются полунаследственными. Последние можно определить
как коммутативные области, в которых каждый конечно
порожденный идеал обратим. Полунаследственным (слева и справа)
является и любое регулярное (в смысле Дж. Неймана) кольцо,
так как в таком кольце каждый конечно порожденный левый
(правый) идеал порождается идемпотентом.
Полунаследственными являются и кольца, у которых каждый конечно
порожденный левый (правый) идеал является свободным /^-модулем
единственного (одного и того же) ранга. (Конечно
порожденные) подмодули свободных модулей над (полу)
наследственным кольцом описываются следующей теоремой.
Теорема 2. Пусть R— (полу) наследственное слева
кольцо, F — свободный левый R-модуль, Р — его (конечно
порожденный) подмодуль. Тогда модуль Р изоморфен прямой сумме
(конечно порожденных) левых идеалов кольца R.
В случае проективного модуля Р и полунаследственного
кольца R удается в последней теореме снять ограничение на
конечную порожденность Р (Капланский, Бергман):
Теорема 3. Каждый проективный левый модуль над
полунаследственным слева кольцом R изоморфен прямой сумме
конечно порожденных левых идеалов в R.
3.10. Локальные кольца. Локальные кольца можно
определить любым из следующих свойств: (а) необратимые элементы
кольца R образуют идеал, (б) кольцо R обладает наибольшим
правым (левым) идеалом, (в) сумма двух необратимых
элементов кольца R — необратимый элемент, (г) факторкольцо
R/J(R) кольца R по радикалу Джекобсона является телом.
Пример некоммутативного локального кольца был приведен
в § 1 — это алгебра некоммутативных формальных рядов.
Другие примеры дают кольца эндоморфизмов некоторых модулей.
Теорема 1. Пусть М — неразложимый /?-модуль
конечной длины (или неразложимый инъективный модуль). Тогда
EndRM — локальное кольцо.
63

Отметим, что неразложимость модуля М равносильна тому,
что его кольцо эндоморфизмов не имеет нетривиальных (т. е.
=7^=0, 1) идемпотентов. Поэтому всякий ненулевой модуль с
локальным кольцом эндоморфизмов неразложим.
Модуль Р называется образующим для категории /?-Mod,
если любой /?-модуль М является гомоморфным образом
прямой суммы нескольких экземпляров модуля Р. Так как
свободный модуль является прямой суммой нескольких экземпляров
RR, то RR — образующий. Точно так же, если RR выделяется
прямым слагаемым в модуле Р, то Р — образующий.
Оказывается, что для локального кольца R имеет место и обратное
утверждение.
Теорема 2. Пусть R — локальное кольцо. Левый R-модулъ
Р является образующим тогда и только тогда, когда RR —
прямое слагаемое модуля Р.
3.11. Совершенные и полусовершенные кольца. Кольцо R
называется полу локальным, если R/J(R)—классически
полупростое кольцо. Из теоремы Веддербёрна—Артина следует, что
любое лево (право) артиново кольцо является полулокальным.
В этом пункте мы будем рассматривать более широкие классы
полулокальных колец. Говорят, что в кольце R идемпотенты
поднимаются по модулю радикала, если для любого идемпо-
тента e£R/J(R) существует идемпотент f£R такой, что e = f+
+ J(R). Можно показать, что если J(R) —нильидеал (т. е.
каждый элемент его нильпотентен), то R удовлетворяет этому
свойству. Во всякой банаховой алгебре идемпотенты также
поднимаются по модулю радикала. Говорят, что ^-модуль М цмеет
п
(конечную) диаграмму Адзумая, если М= 2 ®М{ и End Mi —
локальные кольца. Кольцо R называется имеющим диаграмму
Адзумая, если левый регулярный модуль RR имеет диаграмму
Адзумая. Подмодуль А модуля М называется косущественным
(или малым), если для любого подмодуля В^М из равенства
А+В = М следует, что В = М. Это понятие дуально понятию
существенного расширения. Радикалом J(M) модуля М
называется пересечение всех ядер гомоморфизмов М в простые
модули. Очевидно, что J(RR) =J(R) для кольца R. Кроме того,
J(R)M^J(M) для любого левого ^-модуля М. Оказывается,
что J(М) является суммой всех косущественных подмодулей
модуля М. Говорят, что модуль М имеет проективное накрытие,
если существует проективный модуль Р и эпиморфизм ф : Р->Л4,
ядро которого — косущественный подмодуль в Р. Это понятие
дуально понятию инъективной оболочки модуля. В отличие от
инъективной оболочки, которая существует всегда,
проективные накрытия модулей существуют далеко не всегда. Дадим
теперь основное в этом пункте определение. Кольцо называется
полусовершенным (слева), если каждый циклический левый
/?-модуль обладает проективным накрытием. Если любой левый
64

R-модулъ обладает проективным накрытием, то кольцо
называется совершенным слева кольцом. Следующая теорема,
доказанная Бассом, характеризует полусовершенные кольца и
одновременно является источником примеров таких колец.
Теорема 1. Следующие условия на кольцо R
эквивалентны: (1) R— полусовершенное кольцо; (2) R— полулокальное
кольцо, в котором идемпотенты поднимаются по модулю
радикала; (3) любой конечно порожденный ^-модуль имеет
проективное накрытие; (4) R является кольцом эндоморфизмов
модуля, имеющего диаграмму Адзумая; (5) R имеет диаграмму
Адзумая.
Из этой теоремы видно (пункт (2)), что цолусовершенные
справа кольца совпадают с полусовершенными (слева)
кольцами.
Дадим теперь характеризацию совершенных слева колец.
Идеал / кольца R называется Т-нилыготентным слева, если для
любой бесконечной последовательности аь а2,.. элементов из
/ найдется такое целое число л, что а{а2 ... ап = 0. Кольцо
R называется цокольным слева, если любой ненулевой фактор
(т. е. гомоморфный образ подмодуля) модуля RR имеет простой
подмодуль. Вообще, цоколем SocM модуля М называется
сумма всех его простых подмодулей. Таким образом, кольцо
R цокольно слева, если любой фактор модуля RR имеет
ненулевой цоколь. Совершенные кольца охарактеризованы Бассом
и Бьёрком:
Теорема 2. Для кольца R следующие условия
эквивалентны: (1) R — совершенное слева 1?ольцо, (2) R/J(R)
классически полупросто и радикал Джекобсона J(R) является Г-ниль-
потентным слева, (3) R — цокольное слева кольцо с
ограниченным числом попарно ортогональных идемпотентов, (4) R
удовлетворяет условию минимальности для главных правых
идеалов, (5) правые /^-модули удовлетворяют условию
минимальности для конечно порожденных подмодулей, (6) каждый
плоский левый /?-модуль проективен.
Эта теорема показывает, что любая конечномерная алгебра
(более того — любое артиново слева или справа кольцо)
является совершенным кольцом.
3.12. Квазифробениусовы кольца. Квазифробениусовы
кольца являются естественным обобщением фробениусовых алгебр,
с которых и начнем.
Теорема 1. Пусть А — конечномерная алгебра над полем
F, /бЛ* = Нопь(Л F)—линейная форма на А. Тогда
следующие условия эквивалентны:
(1) Kerf не содержит ненулевых левых идеалов алгебры А\
(2) Kerf не содержит ненулевых правых идеалов алгебры А\
(3) билинейная форма cp(x, y)=f(xy) невырождена.
Всякая конечномерная алгебра, обладающая такой линейной
формой f, называется фробениусовой алгеброй. Например, если
65

A = FG — групповая алгебра конечной группы G, то Л— фро-
бениусова алгебра, так как форма tr :A-*F, tr (2а^)=аь
очевидно, удовлетворяет условию (1). Форма ф, построенная в
(3), ассоциативна, т. е. <р(а&, с)=у(а, be). Обратно, всякая
билинейная ассоциативная форма у: AXA-+F имеет вид у(х, у) =
= f(xy) для некоторой линейной формы f&4* (именно, f(a) =
=7(1, а)). Отсюда следует
Теорема 2/Конечномерная ^-алгебра А является фробе-
ниусовой алгеброй тогда и только тогда, когда она обладает
невырожденной ассоциативной билинейной формой.
Известен ряд других характеризаций фробениусовых алгебр.
Теорема 3. Для того чтобы конечномерная Лалгебра А
была фробениусовой, необходимо и достаточно, чтобы для
любых ее левого идеала I и правого идеала R были выполнены
следующие условия: (a) l(r(L)) =L, r(l(R)) = R, (6) dimr(L) =
= dimA — dimL; dim l(R) = dim A — dim/?.
Отметим, что условия (б) сильнее условий (а), так как
влекут равенства dim/(r(L)) = dimL, dim г (/(/?)) = dim/?, из
которых (а) следует, так как l(r(L))^L, r(l(R))^R.
Напомним, что l(R) = {лгбЛ; xR = 0}, r(L) = {x£A\ Lx=Q}.
Конечномерная алгебра, удовлетворяющая условиям (а)г
называется квазифробениусовой. Отличие между фробениусовы-
ми и квазифробениусовыми алгебрами подчеркивает следующая
теорема 4. Если М — правый модуль над F-алгеброй Л, то
пространство M* = HomF(M, F) обладает структурой левого
Л-модуля. Именно, для элементов абЛ, /бМ* элемент af£M*
определен формулой (af) (т) =f(ma) (т£М). В частности,
рассматривая алгебру А как правый Л-модуль, мы получаем
левый Л-модуль Л*.
Теорема 4. Конечномерная алгебра Л над полем F
является фробениусовой тогда и только тогда, когда левые
Л-модули Л и Л* изоморфны. Алгебра Л является
квазифробениусовой, если и только если эти модули имеют одни и те
же (с точностью до изоморфизма) неразложимые компоненты
(без учета их кратности).
Для фробениусовой алгебры изоморфизм А***А*
осуществляется с помощью невырожденной ассоциативной билинейной
формы ф.*ЛхЛ->/\ Именно, элементу а£А сопоставляется
функционал а* = ф(а, —).
Отметим, что класс фробениусовых алгебр замкнут
относительно прямых сумм и тензорных произведений (нужно взять
соответственно прямую сумму и тензорное произведение
соответствующих билинейных форм). Алгебра матриц Mn(F)
является фробениусовой, причем за форму / в теореме 1 нужно
взять обычный след. Если Л — алгебра с делением, то Л — фро-
бениусова, причем любая ненулевая форма /еЛ* удовлетворяет
условиям теоремы 1. Из этих замечаний следует, что любая
66

полупростая конечномерная алгебра является фробениусовой*
Первый пример квазифробениусовой алгебры, не являющейся
фробениусовой, построил Накаяма (1939 г.).
Артиново (слева и справа) кольцо Л называется квазифро-
бениусовым (или QF-кольцом), если оно удовлетворяет
условиям (а) из теоремы 3. Квазифробениусовы кольца имеют много
различных характеризаций. Напомним (п. 1.21), что кольцо А
самоинъективно слева, если левый регулярный модуль АА инъ-
ективен.
Теорема 5. Каждое квазифробениусово кольцо
самоинъективно слева и справа.
Теорема 6. Если кольцо А самоинъективно слева или
справа и удовлетворяет условию максимальности для левых или
правых аннуляторов подмножеств, то А — квазифробениусово*
кольцо.
Из этих теорем следует
Теорема 7. Следующие условия для кольца А
эквивалентны: (а) А — квазифробениусово кольцо; (б) А артиново
слева или справа и самоинъективно с одной из сторон; (в) А
нётерово слева и справа и самоинъективно с обеих сторон.
С точки зрения теории модулей квазифробениусовы кольца
интересны тем, что для них классы проективных и инъективных:
модулей совпадают (Фейс, Уолкер):
Теорема 8. Каждое из следующих условий на кольцо А
равносильно его квазифробениусовости: (а) любой
проективный (левый) Л-модуль инъективен; (б) любой инъективныйг
(левый) Л-модуль проективен.
Левый Л-модуль М называется кообразующим, если любой:
левый Л-модуль вкладывается в некоторую прямую степень
модуля М. Из последней теоремы следует, что если Л —
квазифробениусово кольцо, то левый регулярный модуль АА является:
инъективным кообразующим. Следующая теорема и ее
доказательство проясняют природу приведенного выше определения
квазифробениусова кольца.
Теорема 9. Пусть кольцо Л таково, что модуль АА
является кообразующим. Тогда /(r(L))=L для всякого левого
идеала L в Л.
Именно, имеем вложение fiA/L-^A1. Если {а{){е1— образ;
1+L, то Laf = 0, т. е. a^r(L). Если xG/(r(L)), то ха{ = 0, откуда
f(x+L) =xf(l+L) =х(а{) =0, т. е. x£L.
Теорема 10. Если Л — артиново слева или справа кольцо
и АА — кообразующий, то Л — квазифробениусово кольцо.
Теорема И. В любом квазифробениусовом кольце левый'
и правый цоколи совпадают.
Теорема 12. Пусть Л — конечномерная алгебра над полем:
F9 S(A) —ее левый цоколь. Если левые Л-модули S(A), Л//.(Л)-
изоморфны, то Л — фробениусова алгебра.
67

Действительно, так как A/J(А) —полупростая алгебра, то
она является фробениусовой и на ней есть линейная форма, не
аннулирующая ни одного ненулевого левого идеала.
Следовательно, на S(A) существует линейная форма, не
аннулирующая ни одного ненулевого подмодуля. Пусть / — любое
продолжение этой формы на А. Тогда Kerf не содержит ни одного
минимального левого идеала А и удовлетворяет условию (1)
теоремы 1.
Теорема 13. Если А — конечномерная фробениусова
алгебра, S(A)—ee цоколь, то левые Л-модули S(A) и A/J (А)
изоморфны.
Именно, так как алгебра AfJ(A) фробениусова, то AfJ(A)^
~(Л//(Л))*. Последний модуль изоморфен J(A)±= {хеЛ;
<р(/(Л), х)=0}, где ф — невырожденная ассоциативная форма
на А (элементу x£J(А)-*- сопоставляется форма yx£(A/J(A))*,
yx(a + J(A))=q>{a, х)). Однако /(Л)-»- = г(/(Л)) =S(A).
Последние результаты мотивируют следующее определение.
Квазифробениусово кольцо Л называется фробениусовым
кольцом, если левые Л-модули А/7(A), S(A) (S(A)—цоколь Л)
изоморфны.
Квазифробениусовы кольца интересны и в коммутативном
случае.
Отметим, что любое артиново коммутативное кольцо Л од-
Бозначно разлагается в прямую сумму локальных артиновых
колец Ль ..., Ап. При этом Л квазифробениусово тогда и
только тогда, когда все кольца А{ квазифробениусовы, т. е. само-
инъективны. Вопрос тем самым сводится к локальным кольцам.
Пусть Л — локальное коммутативное артиново кольцо, ш — его
максимальный идеал, k=A/m — поле вычетов. Тогда цоколь 5 =
= S(A) =1(ш) есть векторное пространство над полем k. Из
коммутативной алгебры известно, что Л самоинъективно тогда
и только тогда, когда 5 одномерно над k (этим условием
определяется класс артиновых горенштейновых колец), т. е. когда
Л обладает единственным минимальным идеалом, или, что
эквивалентно, подпрямо неразложимо (см. п. 4.2). Таким образом
Получаем теорему.
Теорема 14. Для артинова коммутативного кольца
следующие условия эквивалентны: (а) Л — квазифробениусово
кольцо; (б) Л — фробемусово кольцо; (в) А=А\ ЕВ ... ЕВ Лп, где
Лг — подпрямо неразложимые кольца.
Рассмотрим некоторые дополнительные примеры (квази)
фробениусовых колец и алгебр.
1) Если R— дедекиндова область, / — ее ненулевой идеал,
то R/I — фробениусово кольцо.
{- 2) Если G — конечная группа, то групповое кольцо RG
является QF-кольцом тогда и только тогда, когда R—QF-кольцо.
$8

3) Пусть М, N —- одномерные векторные пространства над
полем F. Положим формально (М, N)=(N, М) = 0. Получим
Морита-контекст (Z7, М, N, F). Соответствующее ему кольца
/?=== (д|р )= 2 QFeij, ^12^21 = ^21^12=0 является фробениусовой
алгеброй (остальные умножения элементов е-^ — как в обычных
матрицах). Именно, обычный след и здесь дает форму /,
удовлетворяющую теореме 1.
Интересные примеры коммутативных фробениусовых алгебр
возникают в. теории особенностей гладких отображений (см.
книгу В. И. Арнольда, А. Н. Варченко и С. М. Гусейн-Заде [5]).
Рассмотрим кольцо С {Хи ..., Хп), состоящее из формальных
рядов /==2 a'i ••• ы х^ • • • х^с U*i **]]» сходящихся a
*v>0
окрестности нуля, т. е. таких, что существуют вещественные
числа AJ, гь ..., г„>0 с условиями | atl „, in \<M/r[1 ... гля для
для всех и,..., tn^0. Это кольцо можно отождествить с
кольцом On ростков в нуле голоморфных (комплексных) функций,
определенных в окрестности нуля в Сп. Колько Оп является не-
теровым локальным кольцом с максимальным идеалом шп,
состоящим из рядов с нулевым свободным членом. Этот идеал
порожден рядами Хи ..., Хп. Поле вычетов кольца Оп совпав
дает с С, причем /*-* /(0), Оп-*~С есть эпиморфизм с ядром шп.
Кольцо Оп является регулярным локальным кольцом, в
частности, областью с однозначным разложением. Ростки в нуле
голоморфных отображений СП->СП, переводящих нуль в нуль,
задаются наборами P=(fu..., fn) бщпХ ... Хшп рядов из
С{Х\, • • •, Хп} без свободных членов. Особенность (в нуле)
такого ростка определяется локальным кольцом QP=OJIP, где
lp= {fи ..., М- Размерность QP как векторного пространства
над С называется кратностью ростка. Оказывается, если
алгебра QP конечномерна (т. е. росток Р имеет конечную кратность),
то она автоматически подпрямо неразложима, т. е. фробениусо-
ва. При этом якобиан /P=det II -гЦ-11 не лежит в 1Р и его
образ JP в алгебре QP порождает единственный минимальный
(т. е. одномерный над С) идеал. Иначе говоря, С7Р — цоколь
алгебры QP. Отметим, что доказательство фробениусовости
алгебры QP весьма нетривиально. В упомянутой выше книге [5]
явным образом строится линейная форма QP-+C такая, что
соответствующая билинейная форма QFxQF-+C (см. теорему 1)
невырождена.
3.13. Литературные указания. Наиболее классическим
источником по теории модулей считается монография [59]. В ней
содержатся, помимо чисто гомологических вопросов, определе-
69

дния и свойства проективных, инъективных, плоских модулей,
лрюферовых, наследственных и полунаследственных колец.
Здесь же определены проективная и инъективная размерность
модуля, глобальная размерность кольца. Для более глубокого
ознакомления с современным состоянием теории модулей можно
рекомендовать книги [66], [102], [47]. Впрочем, элементы
теории модулей содержатся также в курсе [82] и во многих книгах
по теории ассоциативных колец (см., например, [74], [11], [78],
|[61], [81]). Артиновы модули изучаются в книге [63].
Совершенные и полусовершенные кольца излагаются во многих
источниках [81], [102], [47], [78], '[66]. Диаграммы Адзумая
хорошо изложены во втором томе книги [66]. Фробениусовы
алгебры изучаются в [63]. Квааифробениусовы кольца
рассмотрены в [63], [78], [102]. Результат Озофской, упомянутый в
конце пункта 3.9, содержится в ее монографии [92]. Кольца
свободных идеалов изучаются в книге [61]. Здесь же можно
найти дополнительный материал по наследственным и полу-
%аследственным кольцам, а также доказательства некоторых
теорем о проективных модулях из пункта 3.4. Теорему Бека см.
в оригинальной работе [51]. Результат В. Н. Герасимова и
И. И. Сахаева см. в работе [14], которая содержит также
обзор результатов по редукции проективных модулей. Плоские
модули хорошо изучены в книге [55]. Размерности колец и
модулей рассматриваются в монографиях [86], [66], [92].
Размерности коммутативных локальных колец и модулей над ними
изучаются в книге [101].
§ 4. Строение колец
4.1. Введение. Общая структурная теория колец была
основана Джекобсоном в середине 40-х годов. Она включает
построение радикала Джекобсона произвольного кольца
(определение см. в п. 1.24). Затем до некоторой степени описываются
полупростые (т. е. с нулевым радикалом Джекобсона) кольца
как подпрямые произведения примитивных (определения и
формулировки см. ниже) колец. Наконец, теорема плотности
Джекобсона—Шевалле описывает примитивные кольца в
терминах колец линейных преобразований модулей над телом.
С тех пор общая структурная теория колец стала постоянным
методом в теории колец и часто применяется в сам^х различных
вопросах этой теории.
С другой стороны, развитие теории колец за последние
десятилетия привело к созданию глубокой структурной теории,
связанной с радикалом Бэра. Это объясняется тем, что,
во-первых, достигнут большой прогресс в изучении первичных колец
{(изучены первичные кольца с обобщенными тождествами,
развита теория Галуа для первичных колец, изучены дифференци-
70

рования и инволюции первичных колец и пр.), во-вторых, метод
ортогональных пополнений (см. п. 4.3), недавно предложенный
К. И. Бейдаром и А. В. Михалёвым, позволяет почти
автоматически переносить теоремы (с необходимыми изменениями
формулировок) с первичных колец на полупервичные. Суть этого
метода состоит в том, что с точки зрения элементарного языка
логики полупервичное ортогонально полное кольцо ведет себя
в точности как прямое произведение первичных колец.
Кроме радикалов Джекобсона и Бэра, в современной
теории колец широко используются и другие радикалы, прежде
всего радикалы В. А. Андрунакиевича, Левицкого, верхний
нильрадикал. Развивается так называемая общая теория
радикалов, основы которой были заложены А. Г. Курошем, Ами-
цуром и В. А. Андрунакиевичем.
За последние 25 лет на одно из центральных мест в теории
некоммутативных колец выдвинулась теория нётеровых колец.
Причин для этого несколько. Во-первых, условие нётеровости
позволяет развить тонкую и глубокую технику исследований
таких колец. Во-вторых, стимулирующее влияние оказывает,
ставшая уже классической, теория коммутативных нётеровых
колец. В-третьих, существуют важные для анализа и
геометрии примеры нётеровых колец (универсальные обертывающие
конечномерных алгебр Ли, алгебра Вейля), изучение которых
имеет прямые последствия, например, в теории
дифференциальных уравнений, в теории представлений. Из теории нётеровых
колец возникли классы колец с более слабыми условиями
конечности, чем даже односторонняя нётеровость (кольца Голди,
кольца с размерностью Крулля, см. ниже). Развитие этих
направлений стимулируется теорией нётеровых колец.
Структурная теория Р/-колец (колец с полиномиальными
тождествами) также является одной из центральных частей
современной теории колец. Она имеет много связей с теорией
тождеств колец и алгебр (но об этих связях мы почти не
говорим).
4.2. Структурная теория Джекобсона. Определение и
описание радикала Джекобсона было дано в пункте 1.24. Перед тем
как привести теорему, описывающую полупростые кольца (т. е.
кольца с нулевым радикалом Джекобсона), определим понятие
подпрямого произведения колец. Пусть (Ru Ш) —
индексированное семейство колец, П R{ — их прямое произведение (т. е.
i9l
Z-модуль URi, см. п. 1.21, с операцией умножения (а*) (Ь{) =
— (uibi)). Кольцо R называется подпрямым произведением
семейства (Riy Ш) (это обозначается так: R = П sRi), если R
изоморфно подкольцу прямого произведения URi этого
семейства, причем индуцированные гомоморфизмы R-^Ri(iel) (т. е.
гомоморфизмы проекций) являются эпиморфизмами. Если ядра
71

этих гомоморфизмов обозначить через пи то мы придем к
другому, эквивалентному, определению подпрямого произведения.
Именно, R есть подпрямое произведение колец R{ (Ш), если в
R найдется система идеалов п{ (i£l) такая, что R/ni~Ri(i£l) и
пересечение всех идеалов этой системы равно нулю: f\rti = 0. Из
i
определения непосредственно вытекает, что в подпрямое
произведение (нетривиально) нельзя разложить только кольца,
обладающие наименьшим ненулевым идеалом. Такие кольца
называются подпрямо неразложимыми. Можно показать, что любое
кольцо есть подпрямое произведение подпрямо неразложимых
колец.
Кольцо R называется примитивным (слева), если оно имеет
(хотя бы один) точный простой левый модуль М, т. е. простой
модуль, аннулятор которого в R равен нулю: гМ = 0=>г = 0
(r£R). Если М — любой простой левый /^-модуль, АппЛ1 =
= {rGi?; гМ = 0}—его аннулятор, то кольцо R/AnnM
примитивно. Роль примитивных колец выявляется следующей теоремой.
Теорема 1. Любое полупростое кольцо является подпря-
мым произведением примитивных колец.
Эта теорема доказывает, что изучение произвольного
полупростого кольца в определенной степени сводится к изучению
примитивных колец. Вместе с тем, поскольку R/J(R)
—полупростое кольцо, то можно сказать, что изучение произвольных
колец сводится к изучению радикальных (т. е. совпадающих со
своим радикалом) и полупростых колец. Приведем
нетривиальные (т. е. с нетривиальным доказательством) примеры
полупростых и примитивных колец: Свободная алгебра F(X} от
любого множества переменных примитивна. Групповая алгебра
FG произвольной группы G над несчетным полем F
характеристики 0 полупроста. Остается открытым вопрос о
полупростоте групповой алгебры над произвольным полем нулевой
характеристики. Пусть R — кольцо без ненулевых нильидеалов. Тогда
кольцо многочленов R[x] полупросто. Групповая алгебра FG
так называемой полициклической группы (см. § 5) без
кручения примитивна.
Существуют примитивные слева кольца, не являющиеся
примитивными справа. Первый такой пример построил Бергман
в 1965 году. Важным (и как оказывается универсальным, см.
следующую теорему) примером примитивных колец являются так
называемые плотные кольца линейных преобразований
линейных пространств над телом. Именно, пусть D — тело, VD —
правое линейное пространство над D (т. е. правый D-модуль),
Endl/ — кольцо его эндоморфизмов (записываемых слева от
аргументов и соответственно перемножаемых — (/чр) (х) =
= f(q>(x))). Подкольцо R^EndV называется плотным, если для
любых линейно независимых элементов vu ..., vn и любых
aij,..., wn£V найдется такой элемент f£R, чтоf(Vi) =w{ (l^Ti^C
72

^п). По-другому это можно определить как плотность R в EndV
(в топологическом смысле, т. е. замыкание R есть все EndV) в
конечной топологии, где базис окрестностей любой точки /GEndV
определяется как семейство всех подмножеств U(f; уь ..., vn) =
= {g£EndV\ g(Vi)=f(Vi) (l^i^n)}, где {vh ..., vn) пробегает
все конечные подмножества в V.
Примитивные кольца описываются следующей теоремой
плотности Джекобсона — Шевалле.
Теорема 2. Любое примитивное слева кольцо R
изоморфно плотному подкольцу кольца линейных преобразований
правого линейного пространства над телом. Более точно, если V —
точный простой левый /^-модуль, D — тело его эндоморфизмов,
то отображение г*-+т : m*-+rm(m£V, r£R) является
изоморфизмом кольца R на плотное подкольцо в EndDF.
Более подробную информацию можно получить о
примитивных кольцах с ненулевым цоколем. Цоколем кольца R
называется его цоколь как левого модуля, т. е. сумма минимальных
левых идеалов кольца. Можно показать, что цоколь кольца
является двусторонним идеалом и совпадает со своим правым
аналогом. Напомним, что рангом линейного преобразования
пространства над телом называется размерность образа этого
преобразования.
Теорема 3. Следующие условия на кольцо R
эквивалентны: (1) R — примитивное кольцо с ненулевым цоколем, (2) R
изоморфно плотному подкольцу кольца линейных
преобразований линейного пространства V над некоторым телом Д
содержащему ненулевое преобразование конечного ранга.
Отметим, что тело Д о котором говорится в теореме 3, и
точный простой модуль V определяются однозначно с
точности) до изоморфизма. Именно, если e£R — идемпотент кольца
R такой, что Re—минимальный левый идеал кольца jR, то
eRe — тело, изоморфное Д a Re — единственный точный
простой левый /?-модуль. С другой стороны, в теореме 2 тело D и
пространство V не определяются кольцом R. Например, пусть
D — некоторое тело с центром С такое, что существует
вложение ф : D-+D, тождественное на С и такое, что централизатор А
подтела фф) в D некоммутативен. Например, можно взять за
D тело частных бесконечно порожденной алгебры Вейля
A00(F)=F(xu Уи х2, У2,...\'[хи yi] = 6ih [хи x-] = \yi9 J/J = 0>,
так что C=F, а ф определяется формулами <р(х*) =*i+i, <р(#«) =
=#»+1. При этом ДЭдгь у\. Тело D двумя способами
превращается в (Д 1))-бимодуль, и это дает на D две структуры
неприводимого левого модуля над кольцом R=D®CD°:
1) (d®d')v=dvdf, 2) (d®dr)v=dvy(d')
(d, d\ vGD).
73

Тела эндоморфизмов соответствующих модулей равны
соответственно С, Д и неизоморфны (этот пример сообщил авторам
К. И. Бейдар).
4.3. Новая структурная теория. Для радикала Бэра роль
полупростых колец играют полупервичные, а роль
примитивных— первичные кольца. Напомним (п. 1.8), что кольцо R
называется первичным, если произведение любых двух ненулевых
идеалов отлично от нуля, кольцо R называется полупервичным,
если квадрат любого ненулевого идеала отличен от нуля.
Теорема 1. Любое полупервичное кольцо является под-
прямым произведением первичных.
Определим мартиндейловское кольцо частных, обобщенный
центроид и центральное замыкание полупервичного кольца. Пусть
R— полупервичное кольцо, %—совокупность всех его
двусторонних существенных идеалов (т. е. идеалов, имеющих нулевые
аннуляторы в R: lG$<=*~(Vr, 7V = 0=^r = 0)). Рассмотрим
множество V = U Нот (/#, /?/?) — объединение абелевых групп гомомор-
'68
физмов правых /^-модулей. Определим на нем отношение
эквивалентности: Ф!~ Ф2, если существует идел /gg, лежащий
в пересечении областей определения Фг и Ф2, на котором Ф! и Ф2
совпадают. На фактормножестве VI ~ определим операции
сложения и умножения. Если Ф1бНот(/ь /?), Ф2бНот(/2, /?), то будем
считать, что Ф1±Ф2, 9i92eHom(/1/2, /?), причем (Ф1 + Ф2)(а) =
=Ф!(а)±Ф2(а), (Ф1Ф2)(а)==Ф1(Ф2(а)). Множество VI—
превращается в кольцо, которое обозначается через Rg. Будем
обозначать элементы кольца /?g снова через Ф, помня только
об отношении ~. Если rG/?, то отображение r\x>-+rx (x£R)
является гомоморфизмом правых ^модулей, гбНот (/?#, /?/?),
и поэтому определяет элемент r£Rcz. Отождествляя г, г, можно
считать, что Rc^Rfr
Кольцо /?g обладает в силу определения тем свойством, что
для любого Ф6/?д существует идеал /6S такой, что Ф/cz/?.
Можно сказать, что / — идеал правых знаменателей элемента Ф.
В кольце R% выделяется мартиндейловское кольцо частных
Q (R), состоящее из элементов, имеющих также существенный
идеал левых знаменателей: Q (/?)== {<7б/?§; Д/6& Iq^R}- Ясно,
что R^Q (R). Кольцо Q (R) полу первично (так же, как и Rg)
и тесно связано *с исходным кольцом R. Например, если в R нет
делителей нуля, то их нет и в Q (R) (в отличие от /?«),
каждый автоморфизм и каждое дифференцирование однозначно
распространяется на Q(R). Можно показать, например, что
Q(F<X>)=F<X>, если \Х\^2. Обобщенным центроидом кольца
R называется центр С кольца Q(R) (См. п. 1.6).
74

Теорема 2. Обобщенный центроид полупервичного
кольца— это коммутативное регулярное по Дж. Нейману (см.
п. 5.9) самоинъективное кольцо.
Легко показать, что C(R) является полем тогда и только
тогда, когда R первично. Центральным замыканием R
называется подкольцо RC, порожденное в Q(R) кольцами R и С.
Пусть С<Х> — свободная алгебра над С, Q = Q(R).
Обобщенными многочленами называются элементы свободного
произведения Q*CC(X> (см. п. 1.13). Иными словами, обобщенные
многочлены — это линейные комбинации слов вида <7i*i<72*2 • • -
- • • ЧпХпЯп+и гДе qi£Q, Х{£Х. Ненулевой элемент f£Q*cC(X>
называется обобщенным тождеством кольца /?, если при любой
подстановке *г = ^ (x{i£X, r^R) он обращается в нуль (как
элемент кольца Q).
Теорема 3 (Мартиндейл). Если первичное кольцо R
удовлетворяет обобщенному тождеству, то его центральное
замыкание RC примитивно, имеет ненулевой цоколь и конечномерное
тело. Справедливо и обратное.
Эта теорема дает некоторый инструмент и для
исследования первичных колец без обобщенного тождества, поскольку
позволяет для любого ненулевого обобщенного многочлена
/(*ь..., *п) находить элементы гь ..., rn£R такие, что
!{ги...,гп)Ф0.
Наметим в общих чертах метод ортогональных пополнений,
позволяющий сводить изучение полупервичных колец к
первичным. Теорема 2 показывает, что обобщенный центроид С
полупервичного кольца R имеет много идемпотентов: для
любого с£С существует элемент с'£С такой, что с2(/ = с, отсюда
е(сс')=с и (сс')2 = сс\ т. е. сс' = е— идемпотент и се=с.
Напомним, что идемпотенты еи е2 называются ортогональными,
если ^1^2 = ^2^1=0. Пусть {еа\ абЛ} — некоторое семейство
попарно ортогональных идемпотентов из С, {qa\ а£А) — некоторое
семейство элементов кольца Q. Можно показать, что в Q
существует элемент q такой, что eaq=qaea для всех ссбЛ. При этом,
если {еа} — существенное семейство, т. е. его аннулятор в С
:(или, что эквивалентно, в R или /?g) равен нулю, то этот
элемент единственен и называется ортогональной суммой
элементов qa (относительно системы идемпотентов {еа}).
Подмножество S^Q называется ортогонально полным, если оно
замкнуто относительно ортогональных сумм семейств своих
элементов (по любым существенным системам идемпотентов). Если
5 — любое множество, то через C?(S) обозначается
ортогональное пополнение S, т. е. наименьшее ортогонально полное
подмножество, содержащее S. Можно показать, что C(R)
—полупервичное подкольцо в R. При этом R оказывается всюду плот-
яшм в 0(R) относительно некоторой естественной топологии,
так что связь между R и O(R) оказывается весьма тесной.
Пусть р — максимальный идеал кольца С. Слоем в точке $
75

(или над точкой р) называется факторкольцо Rv = 0(R)/
/^O(R). Максимальные идеалы кольца С образуют
топологическое пространство Spec С — замкнутыми считаются множества
вида {р; p^iM}, где М — произвольный идеал С (это хорошо
известно из коммутативной алгебры). В этом смысле
максимальные идеалы и называют точками. Отметим, что ввиду
теоремы 2 все простые идеалы (в смысле коммутативной алгебры)
С максимальны, т. е. обозначение Spec С согласуется с
общепринятым.
Можно показать, что все слои R^ являются первичными
кольцами. Кольцо C(R) по отношению к ним во многом ведет
себя как их прямое произведение.
В теории алгебраических систем из класса элементарных
формул выделяется подкласс формул, называемых хорновски-
ми,- главное свойство которых состоит в том, что из истинности
такой формулы на сомножителях следует ее истинность на
прямом произведении. К числу хорновских относятся формулы
(Р1&Р2& ... &Рп)-+Ро, l^V-.-Wn, Аь
а также конъюнкции этих формул и формулы, получающиеся
из них применением любых наборов кванторов V, Я, где Pi —
это простейшие формулы вида f(xu ..., хп) = 0, / — многочлен.
Логические связи &, V» "I » -*" интерпретируются здесь
соответственно, как «и», «или», «не», «влечет».
Метатеорема. Если формулировка некоторой теорехмы
записана в виде хорновской формулы и множество точек рб
£Spec С, в слоях над которыми выполняется эта теорема, всюду
плотно в Spec С, то теорема справедлива в O(R).
Значение этого утверждения усиливается благодаря тому,
что в классе первичных колец любая элементарная формула
эквивалентна некоторой хорновской формуле. Поэтому любая
элементарная теорема (т. е. теорема об элементах) может быть
переформулирована так, что к ней применима метатеорема.
Разумеется, таких переформулировок много, и будет
получаться множество обобщений теоремы с класса первичных колец
на класс полупервичных, какое из них выбрать — это
остающийся творческий момент. Конечно, область применимости ме-
татеоремы имеет свои границы. Например, в элементарном
языке запрещается употреблять слова «существует идеал /
такой, что» или «для любого идеала /». Тем не менее, при
помощи расширения сигнатуры алгебры (см. ст. II) иногда
такие препятствия удается обойти.
4.4. Радикалы колец. Определим радикал Левицкого 2Е(R)
(или локально нильпотентный радикал), нильрадикал Af(/?),,
радикал Андрунакиевича s$>(R) (или вполне первичный
радикал) и приведем основные структурные теоремы для этих
радикалов. В этом пункте нам удобно будет рассматривать идеа-
76

лы колец как кольца. Для этого нам придется временно
отказаться от предположения о том, что все рассматриваемые
кольца обладают единицей.
Начнем с общего понятия радикала. Пусть задано
отображение класса всех колец (или алгебр) в себя, сопоставляющее
каждому кольцу R его идеал r(R) (считаем, что
г—абстрактное отображение, т. е. сохарняется при изоморфизмах). Кольцо
R называется г-радикальным, если r(R)=R, и г-полупростым,,
если r(R)=0. Отображение г называется радикалом (в смысле
Амицура—Куроша), если класс r-радикальных колец замкнут
относительно гомоморфных образов; для любого кольца R
кольцо R/r(R) является г-полупростым и r(R)—наибольший
г-радикальный идеал R. Пусть К—класс колец (или алгебр)
не обязательно с единицей. Идеалы кольца (или алгебры) R,
лежащие в /С, будем называть /(-идеалами. Класс К назовем
радикальным, если он замкнут относительно гомоморфных
образов, расширений и взятия объединения возрастающих цепей
/(-идеалов. Если К — радикальный класс, то любая алгебра R
содержит наибольший /(-идеал rK(R). Отображение гк является
радикалом. Это устанавливает взаимно однозначное
соответствие между радикалами и радикальными классами колец
(алгебр).
Локально нильпотентные кольца (соответственно
нилькольца) образуют радикальный класс. Соответствующий радикал
называется радикалом Левицкого & (R) (соответственно
нильрадикалом N(R)) кольца R. Радикал 3?(R) является также
наибольшим локально нильпотентным односторонним идеалом
кольца R, M(R)—наибольший нильидеал в R. Вопрос о том,
является ли N(R) наибольшим левым нильидеалом, равносилен
следующий нерешенной проблеме Кёте: Будет ли сумма любых
двух левых нильидеалов кольца R левым нильидеалом? В
случае алгебр над несчетным полем ответ на него положителен
(Амицур). Изучение полупростых колец в смысле радикала
Левицкого (нильрадикала) сводится к первичным кольцам того
же типа (А. М. Бабич):
Теорема 1. Каждое кольцо без ненулевых локально ниль-
потентных идеалов (нильидеалов) изоморфно подпрямому
произведению первичных колец без ненулевых локально нильпо-
тентных идеалов (нильидеалов).
Класс всех колец, не имеющих ненулевых гомоморфных
образов без делителей нуля, является радикальным классом.
Соответствующий радикал называется радикалом Андрунакиевича
st>(R) кольца R. Для любого целого /1=0, 1, 2,... определим
идеалы s£n(R) следующим образом: s&o(R)=Q, stn+i(R) —
идеал R, порожденный всеми элементами, нильпотентными по
модулю s4>n(R). Обозначим s&<o(R) =\Js&n(R)- Идеал / кольца R
назовем вполне полупервичным (вполне первичным), если R/I
не содержит нильпотентных элементов (делителей нуля). Идеал
77

st(R) является наименьшим вполне полупервичным идеалом
R и совпадает с пересечением всех вполне первичных идеалов
R. Кроме того s£(R) = s^Gi(R). Полупростые кольца в смысле
радикала Андрунакиевича — это кольца без ненулевых ниль-
потентных элементов. Они описываются следующей теоремой
(В. А. Андрунакиевич, Ю. М. Рябухин).
Теорема 2. Каждое кольцо без ненулевых-нильпотентныч
элементов изоморфно подпрямому произведению колец без
делителей нуля.
Отметим, что для любого кольца R имеют место включения
Rad (/?)ОЗД)с^ (#)|^($).
Общая теория радикалов специально изучает эти и другие
радикалы колец (а также классифицирует радикалы по
свойствам).
4.5. Примеры нётеровых колец. Напомним, что под нётеро-
вым кольцом мы понимаем одновременно лево и право нётеро-
во кольцо (см. п. 1.10). Отметим, прежде всего, что, в отличие
от коммутативного случая, не каждое конечно порожденное
некоммутативное кольцо является нётеровым (или даже
односторонне нётеровым). Например, свободная алгебра F(x\,...
..., хпУ при п^2 не является ни лево, ни право нётеровой.
Для проверки удобно заметить, что, скажем, условие левой нё-
теровости равносильно тому, что любой левый идеал кольца
конечно порожден (как левый идеал, т. е. как левый модуль над
кольцом). Однако, например, левый идеал, порожденный
элементами Х\Х2кХ\ (k=l, 2,...), не порождается никаким
конечным множеством этих элементов. Проще всего это заметить так.
Если бы, скажем, элемент xiX2n+lXi лежал в левом идеале,
порожденном элементами Х\Х2{Х\ (i^n), то тем более он лежал
бы и в двустороннем идеале, ими порожденном. Однако, иа
леммы о композиции (см. п. 1.18) следует, что в алгебре <хихуу
ХхХ2{Х1=0 (i=l, 2, ...,я)> элемент XiX2n+lXi отличен от нуля,
что противоречит нашему предположению.
Следующий результат, принадлежащий Гопкинсу, дает
широкий (но не самый характерный) подкласс класса (лево)
нётеровых колец. Подчеркнем, что здесь мы рассматриваем
только кольца с единицей.
Теорема 1. Каждое лево (право) артиново кольцо (см,
п. 1.8) является лево (право) нётеровым.
Доказательство того, что данное кольцо является нётеровым,
требует определенной техники. Одним из возможных приемов
является следующий. Пусть /? —некоторое кольцо.
(Неотрицательной) фильтрацией в кольце R называется система Rt(i>0)
его аддитивных подгрупп такая, что R&Ri при *</, URt=Rr
i
RiRj^LRi+jy 1б/?о (в этом случае говорят, что R — фильтрован-
78

ное кольцо). Определим абелевы группы gXiR = RilRi_i (считаем,.
что /?_л=0), gr/?=^ ®gxtR. Введем в группе gxR умножение.
_ ___ />о
Пусть x^gXiR, y£gXjJl. Положим xy—xy-\-Ri+j_i. Так как
xyGRt+j, то элемент ху лежит в gxi+JR. Легко видеть, что ху
не зависит от выбора элементов х, у. Распространяя операцию
умножения на все элементы grR по закону дистрибутивности,
мы получаем градуированное кольцо grR, соответствующее
фильтрованному кольцу R. Кольцо grR, как правило, устроено
проще самого кольца R, тем не менее, имеет место
Теорема 2. Пусть R — фильтрованное кольцо, для
которого градуированное кольцо grR лево (право) нётерово. Тогда
и само R лево (право) нётерово. Кроме того, если grR — без
делителей нуля, то и R — без делителей нуля.
Отсюда мы получаем известную теорему Тамари об
универсальных обертывающих алгебрах:
Теорема 3. Пусть L — конечномерная алгебра Ли над
полем F и UL — ее универсальная обертывающая алгебра (см.
п. 1. 17). Тогда UL — нётерова алгебра без делителей нуля.
Из теоремы Биркгофа—Витта следует, что градуированная
алгебра для UL относительно фильтрации Uq=F, Um = Un-\-\-
+Lm (m^l) изоморфна алгебре многочленов от конечного
числа (равного размерности L) переменных. Поэтому утверждение
теоремы 3 есть следствие теоремы Гильберта о базисе и
предыдущей теоремы. Если L — произвольная алгебра Ли, то эти же
рассуждения показывают, что UL — без делителей нуля.
Теорему 2 можно применить также к алгебре Вейля (см.
п. 1.14) W=An(F). Если L — подпространство, натянутое на
порождающие хи */* (1^*^я) алгебры W, то L
определяет фильтрацию Wo=F, Wm=Wm-i + Lm. Градуированной
алгеброй, соответствующей этой фильтрации, опять является
алгебра многочленов (от 2/г переменных). Отсюда получаем
теорему.
Теорема 4. Алгебра Вейля An(F) (F—Произвольное
поле) является нётеровой областью целостности.
Если F — поле характеристики 0, то можно показать, что
An(F)—простая алгебра. Это делается следующим образом.
Сначала доказывается, что любой ненулевой идеал / в An(F)
содержит ненулевой полином f£F[xu .. •, #п], а так как
характеристика поля F равна 0, то, пользуясь тем, что /В[/, y^\ = dfidxir
очевидно получаем, что / содержит ненулевой элемент из Fr
T.e.I=An(F).
Покажем, что нётерово слева кольцо R без делителей нуля
удовлетворяет левому условию Оре (см. п. 1.19). Пусть s, г—
ненулевые элементы из R. Рассмотрим последовательность
элементов s, sr, sr2,..., srn,.... Левый идеал, порожденный
этими элементами, в силу нётеровости, конечно порожден. Поэто-
7

му один из элементов этой последовательности выражается над
R через предыдущие: srn = rn-isrn~l + ... +rAs^, k^n— 1, где
гкфО. Так как делителей нуля нет, то можно сократить на г\ и
мы получаем Sir = rks, где S\ = srn~h"1—...—rh+iS, что и
требуется. Итак, по теореме Оре (см. п. 1.19) алгебры An(F) и UL
в случае конечномерной алгебры Ли L имеют классические
тела частных.
Приведем теперь пример лево нётерового кольца, не
являющегося право нётеровым. Пусть K=F(tu ..., tny...) — поле
рациональных функций над F от счетного множества
переменных. Рассмотрим эндоморфизм а : К-+К, переводящий t{ в ti+\
(i^\) и оставляющий элементы поля F на месте. Пусть А =
= /С[лг, а] — кольцо косых многочленов (см. п. 1.12). Тогда А —
лево нётерова область (даже область главных левых идеалов —
это доказывается, как и для кольца многочленов, с
применением (левого) аналога алгоритма деления Евклида). Вместе с
этим, А — не право нётерова область (иначе А была бы правой
областью Оре (см. п. 1.19), но нетрудно заметить, что txxA{\
П*Л = 0).
4.6. Кольца Голди. Начнем со следующей задачи. Пусть
R — кольцо, для которого существует классическое левое коль*
цо частных Qc\(R) (см. п. 1.19). Что можно сказать об /?, если
известно, что QC\(R) —полупростое (соответственно простое)
артиново кольцо? Легко показать, что тогда R не содержит
бесконечных прямых сумм левых идеалов (т. е. любая
последовательность левых идеалов Л, /2,. .., /п,... такая, что /ПП 2 Ik=0
(/1^2), имеет конечное число ненулевых членов), удовлетворяет
условию максимальности для левых аннуляторов (т. е. левых
идеалов вида l(S) = {x£R\ xS^{0}}, где 5 — подмножество R)
и является полупервичным (соответственно первичным).
Оказывается, что это утверждение можно обратить, в чем и
заключается содержание теоремы Голди.
Дадим определение. Кольцо R называется (левым) кольцом
Голди, если оно не содержит бесконечных прямых сумм
ненулевых левых идеалов и удовлетворяет условию максимальности
для левых аннуляторов. Ясно, что каждое лево нётерово кольцо
является левым кольцом Голди. Однако класс последних колец
намного шире класса лево нётеровых колец. Например, любая
левая область Оре (см. пп. 1.1, 1.19) является левой областью
Голди (верно и обратное). В частности, каждая коммутативная
область является кольцом Голди. Центральным результатом
теории колец Голди является следующая теорема Голди.
Теорема 1. Кольцо R обладает классическим левым
кольцом частных, изоморфным полупростому (простому) артинову
кольцу тогда и только тогда, когда R — полупервичное
(первичное) левое кольцо Голди.
80

Различные доказательства этой теоремы используют многие
свойства полупервичных колец Голди и некоторые важные
понятия. Отметим некоторые из них:
1. Существенный левый идеал — это левый идеал L такой,
что 1.[\УфЪ для любого ненулевого левого идеала V (см.
также п. 3.5). Оказывается, что любой существенный левый идеал
полупервичного левого кольца Голди содержит регулярный
элемент (т. е. не делитель нуля, см. п. 1.1) и наоборот.
2. Левый сингулярный идеал Zi(R)—это совокупность
элементов, левые аннуляторы которых существенны. Для
полупервичного левого кольца Голди Zz(i?)=0. Это следует из
результата Мьюборна и Уинтона: если кольцо R удовлетворяет
условию максимальности для левых аннуляторов, то Zt(R)
нильпотентен.
3. Полупервичное левое кольцо Голди не содержит
ненулевых односторонних нильидеалов. Напомним, что
(односторонним) нильидеалом называется идеал (односторонний), каждый
элемент которого нильпотентен.
Приложением предыдущей теоремы Голди является
следующая теорема, также доказанная Голди, касающаяся колец
главных левых идеалов.
Теорема 2. Каждое полупервичное кольцо главных левых
идеалов изоморфно конечной прямой сумме первичных колец
главных левых идеалов. Любое первичное кольцо главных
левых идеалов есть кольцо матриц (порядка п) над левой
областью Оре (в которой каждый левый идеал порожден п
элементами).
4.7. Размерность Крулля. Напомним, что размерностью Крул-
ля коммутативного кольца в коммутативной алгебре
называется верхняя грань чисел k таких, что в R существует строго
возрастающая цепочка простых идеалов Р0а ... aPk длины k
(идеал Р простой, если R/P — без делителей нуля).
Оказывается, что для любого кольца R можно определить размерность
Крулля (это было сделано Габриэлем, Краузе и Гордоном),
причем это определение согласуется с предыдущим для
коммутативных нётеровых колец (если не различать бесконечные
ординалы). Новая размерность Крулля кольца может быть любым
ординальным числом. В некоторых важных частных случаях,
например, для алгебр Вейля, она конечна. Определим классы
(левых) /?-модулей i^a (а = 0, 1,... — ординалы). Положим для
удобства бФ-\ — класс нулевых модулей. Пусть s&$ определены
при р<а (а^О). Тогда s£a — класс всех модулей М таких, что
для любой последовательности М0^М\3 ... подмодулей в М
почти для всех i (т. е. для всех, кроме конечного числа)
Mi/Mi+i£s&zi (рг<а). Скажем, что модуль М имеет размерность
Крулля, если М лежит в некотором классе s&a. Такой
минимальный ординал а называется размерностью Крулля K-dimM мо-
*1

дуля М. В частности, K-d\mM = 0 тогда и только тогда, когда
М — ненулевой артинов модуль. Важнейшее свойство
размерности Крулля состоит в том, что любой нётеров модуль имеет
размерность Крулля (которая может быть и бесконечной).
Модули с размерностью Крулля можно считать обобщением нёте-
ровых модулей, так как на них переносятся многие рассуждения
из теории нётеровых модулей. Левой размерностью Крулля
1. K-dimR кольца R называется размерность Крулля левого
регулярного модуля RR. Много приложений имеет следующая
теорема, принадлежащая Гордону, позволяющая часто проводить
индукцию по размерности Крулля.
Теорема 1. Пусть М — модуль с размерностью Крулля.
Тогда для любого ординала а модуль М имеет наибольший
подмодуль размерности Крулля =^а,
В частности, с помощью нее устанавливается, что если
1. K-dimR=a, то для любого модуля М, имеющего размерность
Крулля, имеем K-dimM^.a.
Если R — коммутативное нётерово кольцо, K-dimR = n<ooy
то размерность Крулля R в смысле коммутативной алгебры
также равна п. Для любого ординала а существует
коммутативная нётерова область размерности Крулля а (т. е. и в
коммутативном случае K-dimR — более тонкий инвариант, чем
классическая размерность Крулля, которая не различает
бесконечных ординалов). Наконец, имеет место следующая
Теорема 2. Левая (правая) размерность Крулля алгебры
Вейля An(F) равна п.
Кольца, имеющие левую размерность Крулля, обладают
богатой структурной теорией, близкой к теории лево нётеровых
колец. Например, каждое такое кольцо R имеет наибольший
нильпотентный идеал N такой, что R/N — полупервичное левое
кольцо Голди. Кроме того, такое кольцо R удовлетворяет
условию максимальности для полупервичных идеалов (т. е. таких
идеалов Р<] R, что кольцо RfP полупервично).
4.8. Простые нётеровы кольца. Как мы уже отмечали,
простые артиновы кольца имеют очень хорошее описание — это
кольца матриц над телами. Нельзя ли найти аналогичное
описание простых нётеровых колец? Так как существуют простые
нётеровы области (например, алгебра Вейля An(F)
характеристик нуль), то ясно, что можно надеяться только на
описание простых нётеровых колец как колец матриц над областями.
Далее, примеры (впервые построенные А. Е. Залесским и
О. М. Нерославским) показывают, что необходимо также
отказаться от матричной конструкции и заменить ее, по крайней
мере, Морита-эквивалентностью (см. п. 1.22), так как нётеро-
вость и простота наследуются при Морита-эквивалентностн.
В результате мы приходим к такому вопросу: верно ли, что
любое простое нётерово кольцо Морита-эквивалентно (простой
нётеровой) области? Оказывается, что в общем случае это не
82

так. Соответствующие примеры были построены также
А. Е. Залесским и О. М. Нерославским. Вопрос, однако,
остается, если дополнительно предположить, что кольцо имеет
конечную глобальную размерность (для нётеровых колец левая к
правая глобальные размерности совпадают между собой). Пока
известно только, что если глобальная размерность простого нё-
терова кольца ^2, то кольцо Морита-эквивалентно области
(результат Фейса и Михлера).
Начнем с рассмотрения Морита-эквивалентности колец.
Следующая теорема Мориты проясняет это понятие.
Теорема 1. Пусть /?, S — кольца. Тогда следующие
условия равносильны: (а) кольца R и S эквивалентны в смысле
Мориты; (б) S^EncUQ, где QR — правый конечно порожденный
проективный образующий (т. е. модуль RR является прямым
слагаемым некоторой конечной прямой степени QRn); (в)
существует сюръективный контекст Мориты (R, Р, Q, S) (см. п. 1.20).
Из этой теоремы, в частности, следует, что понятия Морита-
эквивалентности лево-право симметрично (т. е. категории
правых /?-модулей и S-модулей также эквивалентны, так как
(S°, Р°9 Q°, R°) —также сюръективный контекст Мориты).
Далее, в тех случаях, когда конечно порожденные проективные
/?-модули свободны (например, когда R локально), каждое
кольцо, Морита-эквивалентное R, имеет вид Mn(R). В
частности, отсюда следует, что для конечномерных центральных
простых алгебр понятия подобия (в смысле группы Брауэра) к
Морита-эквивалентности совпадают. Отметим еще, что
теорема Мориты позволяет доказывать сохраняемость свойств
колец при Морита-эквивалентности. Именно, если (R, Р, Q, S) —
сюръективный контекст Мориты, то, . используя отображения:
множеств I^RR •-* IP^PS, I^rRr *-* QIP^sSs и т. п.,
можно легко установить, что простота, первичность,
полупервичность, правая (левая) нётеровость, правая (левая) артиновость,
правая (левая) размерность Крулля являются Морита-инвари-
антами кольца. Далее, правая (левая) глобальная
размерность — также Морита-инвариант. В частности, классическая
полупростота и наследственность справа (слева) сохраняются:
при Морита-эквивалентности. Наконец, свойство регулярности (в
смысле Дж. Неймана, см. п. 5.9) кольца — снова
Морита-инвариант.
Возвращаясь к простым нётеровым кольцам, начнем с по*
ложительных результатов.
Теорема 2. Если R — простое нётерово кольцо глобальной
размерности ^2, то R Морита-эквивалентно простой нётеровой
области.
При доказательстве этой теоремы Фейс и Михлер
используют одно следствие формулируемой ниже теоремы Басса*
Напомним, что дуальным к правому ^-модулю М называется
левый модуль M* = H®mR(M, R).
83

Теорема 3. Глобальная размерность нётерового кольца R
не превосходит 2 в том и только том случае, когда дуальный
модуль к любому конечно порожденному правому ^-модулю
проективен.
Следствие. Пусть R— нётерово кольцо глобальной
размерности ^2. Тогда всякий левый аннуляторный идеал в R
является проективным модулем.
Для формулировки следующей теоремы Стаффорда
необходимо понятие униформной размерности (или размерности Гол-
ди) {/-dimAf модуля М, которая определяется как верхняя
грань чисел п таких, что М содержит прямую сумму п
ненулевых подмодулей.
Теорема 4. Пусть R — простое нётерово кольцо конечной
глобальной размерности. Если левая размерность Крулля
кольца R не превышает п (п — натуральное число), то кольцо R
Морита-эквивалентно простому нётеровому кольцу униформной
размерности ^.п.
В частности, если /г=1, то R подобно простой нётеровой
области.
Теперь приведем пример простого нётерового кольца, не
Морита-эквивалентного области. Пусть G — некоторая группа
автоморфизмов кольца R (g : x^xg). Определим кольцо В=
= /?<G> как свободный правый /?-модуль с базисом G,
умножение на котором задано с помощью правила xg=gx8(x£R>
,g£G). Эта конструкция является частным случаем
скрещенного произведения группы и кольца. Пусть теперь F — поле
характеристики 2, K=F(t) — поле рациональных функций, R\ =
= К[х, х~1] — локализация кольца многочленов К\х\
относительно элемента х, g — автоморфизм /(-алгебры /?ь
переводящий х в tx. Пусть R2=*R\[y,y-\g] (т. е. уа=абу, у~ха=
^=a8-ly-l(a£Ri)). Тогда R\ — область главных идеалов, в
частности, нётерова наследственная коммутативная область.
К #2 можно применить следующий результат.
Теорема 5. Пусть R — коммутативная нётерова область,
не являющаяся полем, а—автоморфизм R такой, что 1аФ1
для любого собственного идеала / кольца R. Тогда Л =
j=R[xy лг1, а] — простая нётерова область, причем глобальные
размерности А и R совпадают.
По этой теореме #2—простая нётерова наследственная
область. Пусть теперь h — автоморфизм /(-алгебры /?2,
переводящий х в х~\ у в у~х. Автоморфизм h порождает подгруппу Н
порядка 2 в группе автоморфизмов /?2- Рассмотрим кольцо
R = R2(H}. Оно и является искомым.
Теорема 6. Кольцо R является простым нётеровым
кольцом бесконечной глобальной размерности, не Морита-эквива-
,лентным области.
4.9. Строение Р/-колец. Естественным обобщением
коммутативных колец являются кольца с полиномиальным
U

тождеством .
Х\ . . . Хп = £ XcrXcr(i) . . . XG(n)> (*/
где К — целые числа, а — перестановка чисел 1,...,м. Кольца
R с таким тождеством называют PI-кольцом. Можно доказать,
что если R— алгебра над коммутативным кольцом Фив/?
выполнено некоторое полиномиальное тождество f (хи • • •, хп)=*
= 0 (в смысле п. 1.13), то при очень слабых ограничениях на
коэффициенты f в R выполнено и тождество вида (1).
Например, это так, если некоторая Ф-линейная комбинация
коэффициентов / равна 1 (например, Ф-поле или один из
коэффициентов многочлена f равен 1). Типичный пример Р/-колец—
это кольца матриц над коммутативными кольцами.
Действительно, каждая яХ^-матрица над кольцом К представима в
виде линейной комбинации Х=2йг^, где eiS— матричные
единицы, поэтому кососимметрическое полилинейное
отображение S(x\y..., хп*+\)=1>(—l)axa{i)... Хо(п*+\) тождественно
обращается в нуль на Мп(К). В действительности, наименьшая
степень тождества, выполняющегося на Мп(К)> равна 2/г.
Одним из первых результатов по структурной теории
Р/-колец явилась следующая теорема Капланского.
Теорема 1. Кольцо R является примитивным Р/-кольцом
тогда и только тогда, когда R изоморфно кольцу матриц над
телом, конечномерным над своим центром, т. е. R является
конечномерйой простой алгеброй над своим центром С. При
этом dimcR^[d/2]2, где d — степень тождества на R.
Строение первичных Р/-колец сильно прояснилось посл0
того, как была решена проблема Капланского о центральном
многочлене алгебры матриц Mn(F) над полем F (т. е.
многочлене, все значения которого в алгебре Mn(F) лежат в поле F
и этот полином не есть константа в Mn{F)). Доказательство
существования таких многочленов было дано независимо Фор-
манеком и Ю. П. Размысловым. Приведем наиболее простой из
центральных полиномов Размыслова. Пусть т=л2,
тп
Рп~ Z^Vk+xXk+X • • • УтхтУ\Х\ • • • Uk^k-
Тогда
Cn=2id(~~~ l)GPn(Xa(\), ...,*a(m), Уъ --чУт)
— центральный полином для алгебры матриц Mn(F).
Первоначальный вариант следующей теоремы был получен
Познером. В современном варианте при доказательстве
используется существование центрального полинома.
85-

Теорема 2. Пусть R — первичное Р/-кольцр, С — его
центр (область целостности). Пусть S=C\{0}, /C=S_1C—поле
Частных для С. Тогда /С®с#—S-1# — конечномерная
центральная простая алгебра над /С, причем R^S~lR (т. е. R—С-модуль
без кручения). Кроме того, кольца R и S~lR имеют одинаковые
тождества.
Из теоремы 2 следует, что для любого первичного Р/-коль-
ua R существуют поле F и натуральное число л такие, что R
и Mn(F) имеют одинаковые тождества. Число п называется
PI-степенью первичного кольца R (n=p.i.d. (/?)). Для
произвольного Р/-кольца R определена PI-степень — это максимум
/V-степеней его первичных гомоморфных образов. Можно
показать, что Р/-степень полупервичного Р/-кольца R равна
frf/2], где d—минимальная степень тождества вида (1) на R
(впрочем, число d оказывается четным).
Полупервичные Р/-кольца также поддаются исследованию.
Пусть R — полупервичное Р/-кольцо Р/-степени п. Локализуя
кольцо R по некоторым центральным элементам, мы получим
кольца с хорошими свойствами. Именно, пусть % — некоторое
ненулевое значение полинома сп на кольце R. Рассмотрим
кольцо Rx=K~lR. Если R первично, то R—подкольцо Rk. В
полупервичном случае гомоморфизм /?->/?* может иметь ядро, но
Rk снова является полупервичным Р/-кольцом той же Р/-сте-
пени п и сп принимает на Rx центральные значения, одно из
которых равно 1. Благодаря этому, кольца Rx подпадают под
действие следующей теоремы. •
Теорема 3. Пусть кольцо А удовлетворяет следующим
условиям для некоторого натурального числа п: (1) В А
выполнено тождество Капелла ^+1 = 0, где dm=2d (~—1)аУохс(\) •
a£sm
•#!• ... -Хо(т)-ут- (2) Многочлен сп принимает на А централь
ные значения, одно из которых равно 1. Тогда А является
свободным модулем ранга п2 над своим центром С, причем
имеется взаимно однозначное соответствие между идеалами А
и С (каждому идеалу А соответствует его пересечение с С),
сохраняющее свойство первичности идеала.
Такой метод изучения полупервичных Р/-колец был
применен недавно при доказательстве следующей теоремы
{Ю. П. Размыслов, А. Р. Кемер, Браун):
Теорема 4. Пусть R — конечно порожденная Р/-алгебра
над нётеровым кольцом Ф. Тогда нильрадикал N(R) кольца/?
нильпотентен.
Если Ф—поле или кольцо целых чисел, то нильрадикал
конечно порожденной Р/-алгебры совпадает с ее радикалом
Джекобсона. Это было доказано Амицуром и Прочези.
Теорема 3 важна не только для изучения полупервичных
р/-колец, но и как удобный для теории Р/-колец вариант
86

теоремы М. Артина—Прочези о так называемых алгебрах
Адзумая. Напомним, что кольцо А называется алгеброй
Адзумая над своим центром С, если А является проективным
левым модулем над кольцом А®СА° (при этом А оказывается
конечно порожденным проективным С-модулем). Класс колец Л
из теоремы 3 является достаточным для нужд теории Р/-колец
подклассом класса алгебр Адзумая постоянного ранга
(проективный модуль Р над коммутативным кольцом С называется
модулем постоянного ранга г, если dimP/mP=r для всех
максимальных идеалов шаС).
В связи с тем, что алгебры матриц над коммутативными
алгебрами являются типичным примером Р/-алгебр, естественной
является задача нахождения условий вложимости Р/-алгебр в
такую алгебру матриц. Назовем Ф-алгебру А (не обязательно с
единицей) представимой (точнее я-представимой), если она
вложима в алгебру матриц Мп(С) над некоторой
коммутативной алгеброй С. Это понятие впервые было рассмотрено
А. И. Мальцевым в 1943 году. Им было замечено, что
представимость конечно порожденных алгебр тесно связана с их
аппроксимируемостью конечномерными алгебрами. Говорят, что
алгебра А аппроксимируется алгебрами Л», если существует
система сюръективных гомоморфизмов ф* : А-*Аи пересечение
ядер которых равно нулю (иначе говоря, алгебра А изоморфна
подпрямому произведению алгебр А{—см. пункт 4.2). Алгебра,
которая может быть аппроксимирована конечномерными
алгебрами, называется финитно аппроксимируемой. Следующие
теоремы 5—6 получены А. И. Мальцевым.
Теорема 5. Каждая конечно порожденная представимая
алгебра А над полем Ф финитно аппроксимируема. Если поле
Ф бесконечно, то алгебра А аппроксимируется алгебрами
ограниченной размерности. Обратно, каждая Ф-алгебра (Ф —
любое поле), аппроксимируемая алгебрами ограниченной
размерности, представима.
А. И. Мальцев показал также, что всякая представимая
конечно порожденная Ф-алгебра вкладывается в алгебру матриц
некоторого порядка над полем рациональных функций Ф(^,...
• • •, ts) (ti — переменные).
Алгебра А называется хопфовой, если любой сюръективный
гомоморфизм ф алгебры А на себя является изоморфизмом.
Ясно, что если алгебра А удовлетворяет условию максимальности
для двусторонних идеалов, то она хопфова (если Кегф^О, то
Кегф* — строго возрастающая последовательность идеалов в
А).
Теорема 6. Пусть А — конечно порожденная Ф-алгебра,
п — фиксированное натуральное число. Тогда А удовлетворяет
условию максимальности для таких идеалов I <\А, что алгебра
А/1 п-представима.
87

Отсюда А. И. Мальцев выводит, что каждая пред ставимая
конечно порожденная алгебра хопфова. Из его результатов
вытекает, однако, несколько более сильная теорема, аналог
которой для групп хорошо известен.
Теорема 7. Каждая конечно порожденная финитно
аппроксимируемая алгебра А хопфова.
Именно, если Ап — пересечение всех идеалов коразмерности
^.п в алгебре Л, то f\An=0, причем Ап — вполне характеристи-
п
ческие идеалы алгебры А. Алгебры А/Ап представимы
(теорема 5) и значит хопфовы. Следовательно, ф индуцирует на
алгебрах А/Ап автоморфизмы, а значит, и ф-автоморфизм. (Это
рассуждение сообщено нам В. Т. Марковым.)
Исследования А. И. Мальцева были в дальнейшем
продолжены многими авторами. Смоллом были построены примеры
конечно порожденных Р/-алгебр, которые удовлетворяют всем
тождествам алгебры матриц, но не представимы. С другой
стороны, В. Н. Латышев описал многообразия Ф-алгебр (Ф — поле
характеристики нуль), в которых каждая конечно порожденная
алгебра лево нётерова. Далее, ряд авторов (И. В. Львов,
А. 3. Ананьин, В. Т. Марков, Ю. Н. Мальцев) заметили, что
аналог теоремы В. Н. Латышева для двусторонних идеалов
описывает очень интересный класс многообразий алгебр,
допускающий разнообразные характеризации.
Теорема 8. Пусть 2И — многообразие алгебр над
бесконечным полем Ф. Следующие условия эквивалентны: (1) Все
конечно порожденные алгебры из 2И представимы. (2) Все
конечно порожденные алгебры из ЗЭТ финитно аппроксимируемы.
(3) Все конечно порожденные алгебры из Ш хопфовы. (4) Все
конечно порожденные алгебры из Ш удовлетворяют условию
максимальности для двусторонних идеалов. (5) Каждая
конечно порожденная алгебра из 2И удовлетворяет тождеству вида
[Хи . . • , Хп]У\ • • • Уп[Хи • • • , Хп]=0,
где [хи • • •, хп] = [[хи • • . ,*n_i], хп]. (6) В 2И выполнено
тождество вида
[*, у, #,.., у\уп[х, у,..., у]=о.
(7) В ЗЛ выполнено тождество вида
ху"х = 2 а1}У1хУп~1~]хУ' (а^;6Ф).
i+j>0
(8) 9й не содержит многообразие Ф алгебр, заданное
тождеством х\у, z]t=0.
Недавно А. 3. Ананьин описал многообразия алгебр над
полем Ф характеристики нуль, в которых все алгебры представимы.
Теорема 9. Если в многообразии 2И алгебр над произ-
88

вольным полем Ф выполнены тождества вида
[XU f/l]...[*n£/nl=0,
[Х\, . . . , Хп\У\ • • • Уп\%\у . . . , 2ГП] = 0,
то все алгебры из Ш представимы. Если поле Ф имеет
характеристику нуль, то верно и обратное.
Важным инвариантом любой алгебры, в том числе Р/-алгеб-
ры, над полем является ее размерность Гельфанда —
Кириллова. Пусть R— конечно порожденная алгебра над полем F с
порождающими а\у..., ат. Пусть А — подпространство, натянутое
на аи...,аг и 1А- Рассмотрим на R фильтрацию
A° = FlA^A^A2^ ... . Рост размерностей этой фильтрации
измеряется числом G/C/?==lim log„, dim Лп, которое не зависит от
п>оо
выбора порождающих и называется размерностью
Гельфанда — Кириллова алгебры R. В общем случае GKR
определяется как верхняя грань GKS конечно порожденных подалгебр S
алгебры R. Если R — коммутативная F-алгебра, то GKR —
верхняя грань чисел п таких, что R содержит п алгебраически
независимых над F элементов, т. е. размерность Гельфанда —
Кириллова— это некоммутативный вариант понятия степени
трансцедентности. Из теоремы А. И. Ширшова о высоте (см.
ст. II) следует, что размерность Гельфанда — Кириллова любой
конечно порожденной Р/-алгебры R конечна (но не обязательно
целое число). Если R — конечно порожденная первичная Р/-ал-
гебра, то GKR совпадает со степенью трансцендентности (над
F) центра С алгебры R, а также совпадает с классической
размерностью Крулля кольца R (верхней гранью длин цепей
первичных идеалов в R). Следующий результат, принадлежащий
Прочези, связывает Р/-степень, число порождающих и
размерность Гельфанда — Кириллова.
Теорема 10. Пусть R — конечно порожденная первичная
Р/-алгебра над полем F. Пусть п—Р/-степень /?, г — число
порождающих, d — размерность Гельфанда — Кириллова. Тогда
d^.rn2—(/г2—1), причем равенство достигается тогда и
только тогда, когда R изоморфна алгебре общих матриц (см.
п. 2.10) F[XU ..., Xr](Xi — /гХ^-матрицы).
4.10. Литературные указания. Структурная теория Джекоб-
сона наиболее полно изложена в учебнике [74]. Более сжатое
изложение основных результатов этой теории можно найти в
учебниках [11], [71].
Монография [2] посвящена теории радикалов. Здесь, кроме
общей теории радикалов, изложены основные результаты,
относящиеся к радикалам Бэра, Левицкого, Андрунакиевича и
др. Теорема Мартиндейла имеет компактное доказательство в
оригинальной работе [84]. Подробно теория обобщенных
тождеств изложена в книге [100]. Метод ортогональных
пополнений так или иначе использовался в ряде работ [6], [7], [10] >
89

[40]. Но окончательно осмыслен как общий метод в работе
[9].
Теоремы Голди содержатся во многих современных
руководствах по ассоциативным кольцам [И], [66], [71], [60], [102].
Кольца Голди (не только коммутативные) изучаются в [60].
Здесь же имеется развернутое изложение теории нётеровых
колец. Отметим также книгу^ [76], которая содержит не только
теорию некоммутативных колец главных идеалов, но и
материал по кольцам Голди, нётеровым кольцам, а также
интересные примеры нётеровых колец. Размерность Крулля
некоммутативных колец основательно изучается в монографии [70]. Она
была введена в работе [99], где содержится также вычисление
размерности Крулля для алгебры Вейля.
Материал по простым нётеровым кольцам можно найти в
[66], [60]. Специально им посвящена монография [62],
в которой содержится большое число примеров простых
нётеровых колец. Примеры А. Е. Залесокого и О. М. Нерославского
см. в работах [18], [19].
Начала структурной теории Р/-колец содержатся в
учебниках [74], [И], [71]. Специально Р/-кольцам посвящены
монографии [100], [75], [97]. Теорема 4 (п. 4.9) о радикале
конечно порожденной алгебры содержится в работе [58].
Результаты А. И. Мальцева о представимости и
аппроксимируемости ассоциативных алгебр можно найти в его работе [26],
которая включена также в [25]. Теорему 6 (п. 4.9) о
локальных свойствах многообразий алгебр можно найти в работах
[24], [1], [27]. Размерность Гельфанда — Кириллова введена
в работе [68]. Основные ее свойства хорошо изложены в
работе [54]. Теорема 2 из пункта 4.6 содержится в книге [97].
§ 5. Разное
Этот параграф существенно отличается от предыдущих
своей многоплановостью. В нем приведено несколько
фрагментов современной теории колец. Все они так или иначе связаны
с предыдущим материалом (в том числе с примерами из § 1).
В целом, материал этого параграфа, по нашему мнению,
дополняет ту картину теории некоммутативных колец и ее связей с
математикой, которая была представлена в других параграфах.
Конечно, на отборе материала сказались вкусы авторов.
5.1. Групповые алгебры конечных групп. Этот пункт
посвящен, в основном, теории представлений конечных групп. Везде
ниже G — конечная группа, F— поле, модули — левые. Из теории
конечномерных алгебр мы знаем, что групповая алгебра FG
содержит наибольший нильпотентный идеал Rad FG, а фактор-
алгебра FG/Rad FG предстаеима в ©иде прямой суммы алгебр
А1,..., As, где А{=Мп. (D*), D{ — конечномерные алгебры с
90

делением над F. Из общей теории также следует, что s равно
числу неэквивалентных неприводимых представлений (т. е.
простых модулей) группы G над полем F. Говорят, что F — поле
расщепления (или разложения) группы G, если D^F для
S
всех и т. е. если FG/RadFG^E fflMn (F); тогда /г*(1<
^i^s) — размерности неприводимых представлений группы G.
Ясно, что если F — алгебраически замкнутое поле, то F — поле
расщепления для любой группы G. Так как любое поле вложи-
мо в алгебраически замкнутое, то для каждой группы G и
каждого поля существует большее поле расщепления. Случай
полей расщепления наиболее изучен и наиболее важен для
теории представлений. Пусть F—поле расщепления группы G.
Следующие вопросы относятся к числу основных в теории
представлений групп:
1) Каково число s неэквивалентных неприводимых
представлений группы G над F?
2) Что можно сказать о размерностях п{ неприводимых
представлений G над F?
3) Как выбрать поле расщепления F наиболее «маленьким»
(среди полей данной характеристики)?
Первоначально в работах классиков (Фробениус, Ф. Э. Мо-
лин, Бернсайд, Шур) теория представлений конечных групп
развивалась для случая, когда основное поле имеет
характеристику 0. Решающим обстоятельством в этой ситуации является
наличие следующей теоремы Машке, которую мы уже
упоминали.
Теорема 1. Пусть G — конечная группа, F — поле
характеристики, не делящей порядок группы G (например, нулевой).
Тогда групповая алгебра FG полупроста.
Если характеристика поля F такая, как в теореме Машке,
то говорят, что имеет место обыкновенный случай теории
представлений группы G (или что рассматриваемые представления
группы G являются обыкновенными). Если это не так, то
говорят о модулярном случае (или модулярных представлениях).
Из теоремы Машке и утверждения о центре групповой алгебры
(см. п. 1.9) следует ответ на вопрос 1) в случае обыкновенных
представлений:
Теорема 2. Пусть G — конечная группа, F — поле
расщепления и его характеристика не делит порядок группы G. Тогда
число неэквивалентных неприводимых представлений группы G
над F равно числу классов сопряженных элементов группы G.
Пусть теперь для G и F имеет место модулярный случай.
Тогда алгебра FG не является полупростой. Именно,
одномерное подпространство, натянутое на элемент Eg, является
идеалом алгебры FG, квадрат которого равен нулю (т. е.
l^adFG^O). Однако имеет место аналог теоремы 2 и в этом
91

случае. Элемент g£G называется р-регулярным, если его
порядок (т. е. наименьшее т такое, что gm==l) не делится на
число р.
Теорема 3. Пусть G — конечная группа, F — поле
характеристики р>0. Если F — поле расщепления группы G, то
число неэквивалентных неприводимых представлений группы G
над F равно числу классов сопряженных р-регулярных
элементов группы G.
Имеется ответ на вопрос 1) и в случае, когда F не является
полем расщепления для G. В этом случае понятие
сопряженности в группе G заменяется на понятие F-сопряженности,
которое мы не приводим. В остальном формулировки теорем
сохраняются. Отметим только, что если F=Q, то число Q-сопряжен-
ных элементов группы G — это число классов сопряженных
циклических (т. е. порожденных одним элементом) подгрупп
группы G.
Если ф : G-+GLn(F)—некоторое матричное представление
группы G, то функция Хф: G->F, Хф(£)в*гЧ>(£) (слеД матрицы
ф(#)) называется (F) -характером представления ср. Если ф
неприводимо, то %ф называется неприводимым (F) -характером.
Отметим, что любой характер постоянен на классе
сопряженных элементов. Кроме того, эквивалентные представления
имеют одинаковые характеры. Следующая теорема отвечает на
третий вопрос в случае конечной характеристики (Брауэр).
Теорема 4. Пусть L — алгебраически замкнутое поле
характеристики р>0, %ь ..., %s — все неприводимые L-характе-
ры конечной группы G, F — подполе в L, порожденное всеми
значениями этих характеров. Тогда F — наименьшее поле
расщепления для группы G, содержащееся в L.
С помощью этой теоремы устанавливается, например, что
если G — группа показателя m (т. е. хш=\ для любого x£G и
число m — наименьшее с этим свойством), р — простое число,
то поле G/rp(myi) (т. е. поле, получающееся из конечного поля
GFP из р элементов присоединением всех корней пг-й степени
из единицы) есть поле расщепления (характеристики р)
группы G.
Брауэру также принадлежит следующая теорема, которая
доказывается, однако, с помощью совсем других соображений
и дает естественное и не слишком большое поле расщепления
характеристики 0.
Теорема 5. Пусть G — группа показателя т. Тогда.
Q(myi) —поле расщепления группы G.
Конечно, это поле расщепления для конкретной группы G
может быть не минимальным. Например, Q — поле
расщепления любой симметрической группы Sn.
Что касается нашего второго вопроса, то ответ на него в
нулевой характеристике дается следующей теоремой Ито.
92

Теорема 6. Пусть А — абелева нормальная подгруппа
конечной группы G (например, Л = {1}), F — поле расщепления
характеристики 0 для G. Тогда размерность любого
неприводимого представления G над F делит индекс [G : А] группы А в
G (т. е. число смежных классов G по А).
Случай А = {1} (тогда [<7:1] = |<7| — порядок Q) был известен
еще классикам. Предыдущий результат сохраняется и в
характеристике р > О, если группа О разрешима (т. е. удовлетворяет
тождеству вида {хи ..., х2п}= 1, где {хг, x2} = [xi, х2] =
= x~lx~lXiX2 — коммутатор хъ х2\
\Х\1 • • •» ^2п) == Lr^l' • • •» Х^^-^ч Y^2rt'14-V * " *' *^2re'J*
Большую роль в теории представлений групп играют так
называемые индуцированные представления (модули). Пусть
Н — подгруппа группы G, V— некоторый FH-модуль. Тогда
FG-модуль VG=FG®FHV называется модулем,
индуцированным модулем V. Индуцированные представления используются,
например, при доказательстве следующей теоремы Хигмана.
Напомним, что силовской р-подгруппой (р — простое число)
конечной группы называется подгруппа порядка рт, которая
не содержится ни в какой большей подгруппе, порядок которой
есть степень р.
Теорема 7. Пусть F — поле характеристики р>0, G —
конечная группа, силовская р-подгруппа которой не является
циклической. Тогда G имеет неразложимые представления над F
сколь угодно большой размерности.
Если силовская р-подгруппа G циклическая, то G имеет
только конечное число неэквивалентных неразложимых
представлений над полем F характеристики р (также доказано
Хигманом).
Изучение характеров представлений группы G составляет
так называемую теорию характеров конечных групп. Одной из
основных теорем этой теории является следующая теорема
Бернсайда.
Теорема 8. Пусть ф{: G-M3Lni (F)
(l^i^s)—неэквивалентные неприводимые представления группы G над полем F
характеристики 0. Тогда характеры %* (l^i^s) этих
представлений линейно независимы над F.
Отсюда сразу получаем такое
Следствие 9. Пусть G — конечная группа, F — поле
характеристики 0. Если два представления группы G над F
имеют одинаковые характеры, то они эквивалентны.
В случае поля комплексных чисел хорошо известны
соотношения ортогональности для неприводимых характеров
конечной группы G. Мы приведем подобные соотношения для
произвольного поля F, характеристика которого не делит
порядок группы G (т. е. для обыкновенных характеров).
93

Теорема 10. Пусть /3,G = A1ffl...ffl^,. Ai^.Mni(Di)r
Di — алгебры с делением. Пусть Х/ —характер неприводимого
представления группы G, отвечающего компоненте Ai% ef —
единица алгебры At. Тогда Щ=-тщ^ Xi{g~l)g-
Из этой теоремы, сравнивая коэффициенты при элементах
группы G в равенстве е^ = 6^е19 мы получаем нужные
соотношения ортогональности
V\G\^i%i(g)%j(g^)=8iJ6imFDi.
gQG
5.2. Групповые алгебры бесконечных групп. Групповые
алгебры долгое время воспринимались как формальный объект,
приспособленный, главным образом, к задаче теории
представлений конечных групп. Интенсивное изучение групповых
алгебр бесконечных групп как самостоятельного объекта
исследований началось в 50-х годах нашего века. Выявились связи с
другими направлениями математики — алгебраической
топологией, теорией кодирования, не говоря уже о теории
бесконечных групп. Остановимся на некоторых направлениях
исследований.
Делители нуля и вложения в тела. Если g—
элемент конечного порядка т>1 группы G и х=1 +
+S+ • • • +£т~\ то (^г—1)д:=0, т. е. алгебра FG обладает
делителями нуля. До сих пор остается открытой следующая
проблема Капланского. Пусть G— группа без кручения
(т. е. G не обладает элементами конечного порядка, отличными
от единичного), F— поле. Верно ли, что алгебра FG не имеет
делителей нуля? Групповая алгебра свободной группы (т. е.
группы всех формальных групповых слов от некоторого
алфавита X, отождествленных по отношению равенства хх-1 =
=х~1х=\) не содержит делителей нуля. Это следует из того,
что свободная группа упорядочиваема (см. ниже). Одним из
самых глубоких результатов по проблеме Капланского пока
является следующий результат, полученный Фаркашем и
Снайдером. Напомним, что группа G называется
полициклической, если G обладает конечным нормальным рядом с
циклическими факторами. Группу G назовем конечным расширением
группы Я, если Н — нормальная подгруппа в G и |G/#|<[oo.
Теорема 1. Если G — группа без кручения, являющаяся
конечным расширением полицикличеокой группы, то групповая
алгебра FG не имеет делителей нуля.
Группа G называется упорядоченной, если G — линейно
упорядоченное множество с отношением а^&, согласованным с
операцией в G (т. е. из а^.Ь следует, что xay^xby для любых
х, y£G). Такими группами являются, например, свободные
группы и нильпотентные группы (т. е. группы с тождеством
94

[*b...,*njel. где [xu ..., xn]=[[xu ..., Xn-\], xn]) без
кручения. Обобщая конструкцию формальных рядов, А. И.
Мальцев и Б. Нейман определили по любой упорядоченной группе G
и полю F некоторое тело H(FG), содержащее FG. Именно,
назовем формальную (вообще говоря, бесконечную) сумму
х= 2 agg(agGF) /-рядом, если подмножество Supp х=
geG
= {gGG, <x,g^Q} вполне упорядочено в смысле заданной
упорядоченности в G. Сложение и умножение /-рядов определяются
обычным способом, используя перестановочность
коэффициентов с элементами G и групповое умножение. Множество
H{FG) всех /-рядов есть кольцо, содержащее FG.
Теорема 2. Кольцо H(FG) является телом, содержащим
групповую алгебру FG.
Так как свободная ассоциативная алгебра вложима в
групповую алгебру свободной группы, то из теоремы Мальцева—
Неймана в частности следует, что свободная ассоциативная
алгебра вложима в тело.
В связи с вопросом о вложении в тела представляет
интерес проблема существования классического тела частных
Qc\(FG) групповой алгебры FG. Если G — нильпотентная
группа без кручения, то тело QC\(FG), как оказывается,
существует и имеет место
Теорема 3. Если G и G\ — конечно порожденные нильпо-
тентные группы без кручения и тела QC\{FG) и Qci{FG\)
изоморфны, то и группы G, Gi изоморфны.
Алгебраические элементы групповых
алгебр. Если x=I1agg— элемент групповой алгебры FG> то
коэффициент а\ при единичном элементе группы G называется
следом Т(х) элемента х (если G — конечная группа и [х] —
матрица, соответствующая xGFG в левом регулярном
представлении, то tr{*!=| G\T(x)). След элемента играет важную роль
в случае, если, например, элемент х нильпотентен или идем-
потентен, а именно:
Теорема 4. Если х—нильпотентный элемент алгебры FG
и характеристика поля F равна 0 или не делит порядки
элементов из G, входящих в запись х с ненулевым
коэффициентом, то Т(х)=0.
Теорема 5 (А. Е. Залесский, Капланский). Если е —
идемпотент алгебры FG над полем F характеристики нуль, то
след Т(е) есть рациональное число. Более того, если е отличен
от нуля и единицы, то 0<Т(е) <1.
Пусть x — ^Ugg. Носителем элемента х называется мно-
жестэо Supp x**{g£G; сс^О}. Если х—алгебраический
элемент, то подгруппа <Supp х}, порожденная этим множеством,
95

обладает многими часто используемыми свойствами.
Например, имеет место
Теорема 6. Если е — центральный (т. е. лежащий в
центре) идемпотент кольца FG, то подгруппа <Supp е} конечна
и нормальна в G.
Групповые алгебры с тождеством. Групповая
алгебра FG конечной группы G, как и любая конечномерная
алгебра, обладает (нетривиальными) тождествами. Задача
описания групп G, для которых FG — с тождеством, в настоящее
время полностью решена (в работах Пассмана, Айзекса и др.).
Теорема 7. Пусть F — поле характеристики 0. Тогда
групповая алгебра FG обладает тождеством тогда и только
тогда, когда G имеет абелеву подгруппу конечного индекса
(или, как говорят, G — почти абелева).
В случае характеристики р>0 в этой теореме абелеву
подгруппу нужно заменить на р-абелеву, т. е. подгруппу,
коммутант которой является конечной р-группой.
Модули над групповыми алгебрами. Изучение
модулей над групповой алгеброй FG равносильно изучению
линейных представлений (вообще говоря, бесконечномерных)
группы G над полем F. Интересен вопрос о том, когда все
неприводимые представления конечномерны. Этот вопрос
решен для конечных расширений полициклических групп. Поле/7
называется абсолютным, если его мультипликативная группа
периодическая, т. е. если F есть объединение конечных полей.
Ф. Холл показал, что если поле F не является абсолютным, а
G — конечное расширение полициклической группы, то все
простые FG-модули конечномерны над F в том и только том
случае, когда G почти абелева. В случае абсолютного поля F
ситуация изучена Роузблейдом.
Теорема 8. Если F — абсолютное поле, G — конечное
расширение полициклической группы,, то все простые FG-моду-
ли конечномерны над F.
5.3. Локализация колец и вложения в тела. Конструкция
дробей, применяемая при построении рациональных чисел,
непосредственно переносится на коммутативные кольца, где
она играет фундаментальную роль. Что касается
некоммутативных колец, то, как мы видели в § 1, эта конструкция
применима к довольно узкому классу колец, а именно, к кольцам с
(левым) условием Оре. Тем не менее, можно формально
определить кольцо S~lR для любого подмножества S в кольце R
(см. п. 1.19). До последних лет считалось, что в
некоммутативном случае кольцо S~lR является необозримым (в частности,
большие трудности вызывал вопрос о ядре естественного
гомоморфизма R-+S-lR) и не может быть эффективно
использовано. Это оказалось не так благодаря матричной конструкции
кольца S~lR, найденной В. Н. Герасимовым (и несколько
96

позднее Малькольмсоном). Идеи этой конструкции восходит к
Кону. Приведем эту конструкцию.
,{i | Пусть Ж —• множество квадратных матриц над кольцом R
вида я=ма0 ,а\ где а' —строка, 'а—столбец, аб/?,
а0—верхнетреугольная матрица с элементами из S по диагонали (случай
а=(а) не исключается). Введем на Ж отношение
эквивалентности, порожденное элементарными преобразованиями вида:
1) Прибавление к строке (столбцу) строки (столбца) с
большим (меньшим) номером, умноженной слева (справа) на
элемент кольца.
2) Вычеркивание строки (столбца), проходящей
(проходящего) через матрицу а0, все элементы которой (которого)
нули, за исключением стоящего по диагонали матрицы а0 (с
одновременным вычеркиванием столбца (строки), проходящего
(проходящей) через этот же диагональный элемент а°).
Определим, далее, операции Ф и © в Ж:
(а' Ъ' a + b\ (a! ab' aY
а®Ь=\ а» 0 'а , а©6= а<> 'ab' 'ab
\0 bo 'b J \0 bo 'b;
Оказывается, что если а~с, b~ d, то a®b~c®d, а©&~
~cOd, т. е. наши операции индуцируют операции в
фактормножестве М = Ж/ —. Оказывается, что это кольцо М изоморфно
кольцу S-1/?.
Теорема 1. Пусть R—-кольцо, S — подмножество в /?.
Тогда ( My Ф, 0 > —кольцо, изоморфное S-1/? (относительно
отображений r^(r), s-l*+ys __i))« Ядро отображения /?-*•
-*М (г •->(/-)) состоит из тех элементов г б/?, для которых
(a! a!r\ (b fb\
а° а г b==\bo "br где а°* *°--как выше,
•а', а" —строки, 'b, "Ь,—-столбцы (над R) такие, что aft —(q qL
где 0—нулевые матрицы подходящих порядков (умножение
клеточное).
Более ранняя конструкция Кона была также матричной.
Чтобы понять идею, рассмотрим множество 9* всех
вырожденных квадратных матриц над некоторым полем (или телом) F.
Легко видеть, что 3* обладает свойствами:
1) Все матрицы вида ЛВ, где Л—/гХ/п-, В—тХд-матри-
цы и n>m (такие матрицы называются неполными) лежат
в &>.
2) Если две матрицы отличаются друг от друга только
одной 1-й строкой («-м столбцом), то результат суммирования по
#7

этой строке (столбцу) (не меняя остальных — такое
суммирование называется детерминантным) снова лежит в д>.
3) Если Лб^, X — произвольная квадратная матрица, то
диагональная сумма А-\-Х лежит в 9>.
4) Если 14-Л655, то Ае&.
5) Если Л-j-S^, то А£9> или В£9>.
6) П0>.
Пусть теперь R— произвольное кольцо, & — некоторое
множество квадратных матриц над R. Назовем множество 9*
первичным матричным идеалом, если 9* удовлетворяет условиям
1)—6). Имеет место
Теорема 2 (Кон). Пусть 9* — первичный матричный идеал
над кольцом R. Тогда существует гомоморфизм R-+-K
кольца R в тело К такой, что 9* совпадает с множеством
квадратных матриц над /?, отображающихся в вырожденные матрицы
над К.
С помощью теоремы 2 Коном было доказано, что любое
кольцо свободных левых идеалов (см. п. 3.9) вложимо в тело.
Другое применение теоремы 2 состоит в следующем критерии
вложимости кольца в тело, также полученном Коном.
Теорема 3. Кольцо R вложимо в тело тогда и только
тогда, когда R — без делителей нуля и никакая скалярная
матрица а 1 (а¥=0) не представима в виде детерминантной суммы
неполных матриц.
Вопрос об условиях вложимости колец в тела имеет
довольно длинную историю. В первом издании (1931) книги Ван дер
Вардена «Современная алгебра» [104] был поставлен вопрос:
не будет ли любое кольцо без делителей нуля вложимо в тело?
А. И. Мальцев (1937) привел первый пример кольца без
делителей нуля, не вложимого в тело — таким будет алгебра /? =
= {ху у, г, t, а, Ьу с, d\ ax=by, cx=dy, az=bt} над любым
полем F (алгебра R не вложима в тело, так как в любом теле,
содержащем R, имеем cz^dt, но в R это не так). В связи с
этим примером А. И. Мальцевым тогда же была поставлена
проблема (см. [25], стр. 6): Существует ли кольцо R, не вло-
жимое в тело, мультипликативная полугруппа которого
вложима в группу? Оказалось, что такие примеры действительно
существуют. Это было доказано независимо Л. А. Бокутем, Бау-
теллом и Клейном в 1966 году.
Понятие обратимого элемента имеет смысл не только для
колец, но й для Полугрупп й для категорий. Для полугрупп
локализацию S-1/?, R — Полугруппа, S — подмножество, впервые
рассмотрел А. И. Мальцев. Это привело его к нахождению
необходимых й Достаточных условий вложимости полугруппы в
группу. Локализации категорий возникли впервые в топологии,
когда некоторые отображений, не являющиеся изоморфизмами
в исходной категории, становятся таковыми 6 локализованной
$8

категории. Таким путем изучается, например, так называемая
гомотопическая категория в алгебраической топологии.
5.4. Тождества и рациональные тождества над полем
характеристики нуль. Теория тождеств алгебр над полем
характеристики 0 формально является частью теории тождеств колец,
и алгебр над полями произвольной характеристики. Однако-
основной метод, применяемый в нулевой характеристике, не
работает в остальных случаях. Мы имеем в виду теорию пред-
ставлений симметрических групп Sn над полем нулевой
характеристики. Основной проблемой теории тождеств колец и
алгебр, как мы уже отмечали, является проблема Шпехта (см.
п. иЗ).1*
Переформулируем проблему Шпехта на другом языке.
Многообразием колец (алгебр) называется класс всех колец (ал*
гебр), удовлетворяющих фиксированной совокупности тож*
деств (под тождеством кольца понимается тождество с целыми
коэффициентами). Многообразие, порожденное данным
кольцом (или множеством колец), задается, по определению, всеми
тождествами данного кольца (всеми общими тождествами
данного множества колец). Очевидно определяется понятие
подмногообразия данного многообразия. Проблема Шпехта в
терминах многообразий эквивалентна такой проблеме: будет ли
каждое многообразие алгебр над полем характеристики О
удовлетворять условию минимальности для подмногообразий.
Оказывается, что некоторым свойствам, очень отдаленно
напоминающим «артиновость», любое многообразие
действительно удовлетворяет. Для того чтобы сформулировать результат,,
введем определения. Если 9й, 91 — два многообразия алгебр над
полем F, то их объединение 2Jt(J9i определяется как наименьшее
многообразие, содержащее 2Я и 91 (оно задается общими
тождествами многообразий !ЭИ и 91). Далее, если 91, S3 —
многообразия, то произведением 91 °9й 83 этих многообразий внутри
многообразия ЗЛ называется класс алгебр из 2Я, обладающих
идеалом из % факторалгебра по которому лежит в S3 (т. е.
класс алгебр из ЗЮ, являющихся расширениями алгебр из 91 с
помощью алгебр из 83). Проверяется, что это снова
многообразие (подмногообразие Ш). Пусть G— алгебра Грассмана над
F счетного ранга (см. п. 1.15), G0 —ее четная компонента
(подпространство, натянутое на все слова от порождающих
четной длины), G\— нечетная (подпространство, натянутое на
слова нечетной длины). Пусть Mn,k (п, k^l) — алгебра
клеточных матриц вида (д^1 ^Q, где AueMn(G0), A22*Mk(G0),
а Аi2, А2\ — прямоугольные матрицы соответствующих
порядков с элементами из G\. Следующая теорема доказана
А. Р. Кемером.
Теорема 1. Любое собственное (отличное от многообра-
*> См. сноску на стр. 19.
99

рия всех алгебр) многообразие ЗИ алгебр над полем F
характеристики нуль можно представить в виде 2й=91ь °д^ (#MJ • • •
. ..U^s), где 9lft — многообразие нильпотентных алгебр индекса
^.k, &i — многообразие, порожденное одной из алгебр
Mn,k(G), Mn(F), Mn(G), где п, k>\.
Из этой теоремы, в частности, следует, что в любом
собственном многообразий алгебр над полем характеристики нуль
выполняются все тождества алгебры Mn(G) при некотором п.
-Эта теорема по виду аналогична теореме Веддербёрна—Артина
•о строении артиновых колец.
. Перейдем теперь к рациональным тождествам. Пусть X —
счетное множество некоммутирующих переменных.
Произвольное выражение r(xu ..., хп), полученное из элементов
vCi,..., хп множества X с помощью конечного числа операций
сложения, вычитания, умножения и формального обращения,
:назовем рациональным выражением. Говорят, что на теле D
выполнено рациональное тождество г(хи ..., хп) =0, если
тпосле подстановки в него вместо переменных произвольных
.значений da,..., dn£D либо одна из операций обращения
становится неопределенной в D (т. е. операция ( )~1
применяется к нулевому элементу), либо все обращения определены
1И полученное значение равно нулю. Рациональное тождество
/называется нетривиальным, если существует тело, на котором
юно не выполняется. Рациональные тождества появились в
проективной геометрии. Например, при доказательстве так
называемой основной теоремы проективной геометрии важную
„роль играет (тривиальное) рациональное тождество
:х—(х~1—(у~1—х)~1)-1—хух = 0. Тела, удовлетворяющие
полиномиальным тождествам (т. е. Р/-тела), конечномерны над
своим центром. Аналогичный результат для тел с бесконечным
центром (например, характеристики нуль), удовлетворяющих
рациональному тождеству, был получен Амицуром.
Теорема 2. Пусть г (х\, • • •, хп) — нетривиальное ра-
диональное тождество. Существует такое натуральное число N,
зависящее от г, что любое тело с бесконечным центром,
удовлетворяющее этому рациональному тождеству, является конеч-
, номерным над центром и размерности не более N.
Эта теорема имеет приложения в проективной геометрии.
Известно, что любая дезаргова проективная плоскость Р
координатизируется некоторым телом D в том смысле, что
точки (прямые) Р можно отождествить с тройками (рь р% р3)
(соответственно (1\9 /г, /з)), где р{ (соответственно U),
*1^£^3, — элементы D, не всё равные нулю. Две точки (пря-
*мые) считаются равными, если одна из них получается
умножением другой справа (слева) на ненулевой элемент D.
Прямая /=(/ь /2, h) инцидентна (проходит) точке р=(ри р2> рз),
«если hpi+hpz+kpz^O- Конфигурацией К в плоскости Р
назовем произвольный набор точек и прямых. Говорят, что в Р вы-
1CG

полняется теорема пересечения для конфигурации К и трех ей
выделенных точек р, q, г, если в произвольной конфигурации /Сл
в Р, изоморфной /С, три точки р', q\ г', соответствующие
р, q, г, лежат на одной прямой ш Р. Примерами
конфигураций являются конфигурации Паппа и Фано соответственно (см.-
рис. 1):
Рис. 1
Теоремы пересечения для них и выделенных точек р, q, г
означают, что ib Р существуют прямые (отмеченные
штрихованной линией), которой эти точки принадлежат. Для тела D
конфигурации Паппа и Фано означают выполнение
полиномиальных тождеств ху—ух=0 и х+х=0 соответственно. В общем
случае любой конфигурации /С, удовлетворяющей так
называемому условию конструируемое™ (конфигурации Паппа и
Фано такие), можно эффективно поставить в соответствие
некоторое уже рациональное выражение г(хи ..., хп), и выполнение
теоремы пересечения для К в Р эквивалентно выполнению в^
теле D тождества г(х\,..., хп)=0. На этом основано
применение теоремы Амицура к дезарговым проективным плоскостям*,
5.5. Топологические кольца. Мы предполагаем в этом
пункте знакомство с понятием топологического пространства.
Под топологическим кольцом понимается кольцо /?, в котором
задана хаусдорфова топология, причем кольцевые операции
непрерывны в этой топологии. Важными классами
топологических колец являются нормированные (псевдонормированные)
кольца, т. е. кольца с действительнозначной неотрицательной
нормой 11*11, для которой ||х||=0^#=0, IU+#IKIMI + ||r/||,
Н-*1ЫМ|, II**/II = 1WI-II*/II (соответственно lk#||^IMHI*/ll).
Например, рациональные числа, комплексные числа, тела
кватернионов являются нормированными кольцами (причем, в Q
можно ввести норму несколькими способами). Если X —
бикомпактное топологическое пространство, то кольцо С(Х)
непрерывных действительных функций, определенных на X,
является псевдонормированным относительно псевдонормы
tl/H = тах{ | / (х) |; х£Х). Еще с одним примером топологического
кольца мы уже встречались. Это кольцо эндоморфизмов End V
линейного пространства VD над телом Д с конечной топологией
101

{в качестве базы окрестностей нуля в End V берутся левые
идеалы Ann {vu ..., vn}={f£End V; f(v{) =0(1</</г)} — анну-
ляторы конечных подмножеств V). Наличие в кольце
топологической структуры, согласованной с операциями кольца,
позволяет применить при его изучении как алгебраические, так и
топологические методы. Это позволило Л. С. Понтрягину в
30-е годы дать полное описание связных локально
бикомпактных тел (т. е. связных топологических тел, у которых
существует окрестность нуля, замыкание которой — бикомпактное
подпространство).
Теорема 1 (Л. С. Понтрягин). Всякое связное локально
бикомпактное топологическое тело топологически изоморфно R,
С или Н (Н — тело кватернионов).
Другим примером применения алгебраических и
топологических методов при изучении топологических колец является
описание Капланским строения бикомпактных полупростых (в
смысле радикала Джекобсона) колец.
Теорема 2. Ассоциативное полупростое бикомпактное
кольцо топологически изоморфно прямому произведению (с
тихоновской топологией) некоторого семейства колец матриц над
конечными полями (последние кольца берутся в дискретной
топологии).
Имеется серия работ, в которых изучается вопрос о
возможности задания топологии кольца с помощью нормы
(псевдонормы). Начало исследований в этом направлении было
положено И. Р. Шафаревичем (1943), который получил критерий
нормируемости топологического поля. Этот критерий был
впоследствии обобщен В. И. Арнаутовым на топологические
тела. Элемент х топологического кольца R называется
.топологически нильпотентным, если для любой окрестности U нуля
существует число m такое, что xnW для всех п^гп.
Подмножество S в R называется ограниченным, если для любой
окрестности U нуля существует окрестность V нуля такая, что SV,
VS<=zU.
Теорема 3. Пусть К — топологическое тело. Топология
этого тела тогда и только тогда индуцируется нормой, когда
выполнены следующие условия: 1) множество N всех
топологически нильпотентных элементов тела К открыто и
ограничено; 2) если a£N, b$N, то b~laeN.
В теории топологических колец изучается и вопрос о
возможности введения в данном кольце недискретной топологии.
Следующее утверждение доказано В. И. Арнаутовым.
Теорема 4. Любое счетное (бесконечное) коммутативное
кольцо допускает недискретную топологию.
На самом деле любое не обязательно ассоциативное счетное
кольцо допускает недискретную топологию. С другой стороны,
существует неассоциативное кольцо мощности континуум,
допускающее лишь дискретную топологию.
102

5.6. Мультипликативное строение конечномерных простых
алгебр. Изучение мультипликативной структуры (т. е.
полугруппы ненулевых элементов и группы обратимых элементов)
некоммутативных колец лежит на стыке теории колец, теории групп
и теории полугрупп. В последнее десятилетие достигнут
значительный прогресс в изучении групп обратимых элементов
конечномерных простых алгебр. Это повлекло за собой решение
некоторых важных задач, возникших в алгебраической /(-теории,
алгебраической геометрии и теории алгебраических групп.
Пусть F —- поле, А —- центральная простая конечномерная
алгебра над F, Л*— группа обратимых элементов алгебры Л.
Мы знаем, что A=Mn(D), где D — некоммутативное
центральное тело над F. Если F — алгебраическое замыкание поля F,
то мы также отмечали, что F — поле расщепления для Л, т. е.
A®FF^Mt(F). Обозначим через Ф естественное вложение
Л-> A®FF = Mt(F), при котором а^а<8>1. Приведенная или
редуцированная норма NrcU(a) (абЛ) определяется по
формуле NrdA(a) =detcp(a). Формально NrdA(a)eF, но нетрудно
показать, что приведенная норма является отображением в поле
F. Это отображение мультипликативно, т. е. сохраняет
операцию произведения (это следует из известной теоремы о
произведении определителей). Ядро ограничения NrdA на группе Л*
обозначим через Л(1). Группа Ail)={a£A*\ NrdA(a) = l}
содержит (как ядро гомоморфизма группы Л* в абелеву группу F*)
коммутант [Л*, Л*] группы Л* (напомним, что коммутант
[G, G] группы G есть нормальная подгруппа, состоящая из
произведений коммутаторов [g, h]==g~lh"lgh).
Приведенной группой Уайтхеда алгебры Л называется
группа SK\(A) =Л(1)/[Л*, Л*]. Из теоремы Дьедонне о
некоммутативном определителе следует, что SK\{A)^SKi(D), так что
вычисление SK\(A) сводится к случаю, когда А — тело. Начало
исследований по приведенным группам Уайтхеда связано со
следующей проблемой.
Проблема Танаки—Артина. Будут ли совпадать группы Л(1)
и [Л*, Л*], т. е. будет ли5/(1(Л) = 1?
Сразу же после постановки проблемы Танаки—Артина были
предприняты попытки положительного ее решения в важных
специальных случаях. Накаяма и Мацусима показали, что
для центральной простой алгебры Л над полем р-адических
чисел проблема Танаки—Артина решается положительно, т. е.
группа SK\(A) тривиальна. Другой важный результат был
получен Вангом, который доказал тривиальность группы SK\(A)
для центральных простых алгебр над полями алгебраических
чисел. Ванг доказал также такой результат: Если Л — тело с
центром F и dinv4 = /?i2... рг2, где рь ..., рг — различные
простые числа, то SK\(A) = l. Отрицательное решение проблемы
Танаки—Артина было получено В. П. Платоновым (1975).
103

Приведем, следуя В. П. Платонову, некоторые примеры тел с
нетривиальной группой SKi(A).
Пусть k(x, у) —поле рациональных функций от переменных
х, у над полем k. Поле формальных лорановых рядов
2 а{х*(п£19 afik) от х над k обозначим временно через k(x}.
Пусть K=k(xXy} — поле формальных лорановых рядов от у
над k<x}.
Если R — циклическое расширение поля k с группой Га-
луа Qal(Rfk) =<а> (циклическая группа), то R индуцирует
циклические расширения полей k(x, у) и К. Чтобы не
загромождать изложение, будем эти расширения обозначать также
буквой R, вместо R(x, у) и R(x}(y}. Пусть Ru R2 — Два
циклических расширения поля k с группами Галуа Gal (R\/k) =<<Ti>,
Gal (/?2/^) =<cr2>. Обозначим через A(x, R\) циклическую
алгебру (R, сгь x) над полем k(xy у) (т. е. фактически мы берем
(Ri(x, у) у 0ь х)у см. § 2). Аналогичную алгебру над К (т. е.
алгебру (#i<x><*/>, аь х)) обозначим через А(х, R\>. Проделав
это построение для расширения R2 и элемента у, получаем
алгебры А (у, R2) над k(x, у) и А(у, R2} над К. Положим
A(Rb R2)=A(xy Ri)®HnvyA(y9 R2),
A<iRu R2>=A<x, Rx>®KA<y, R2>.
Необходимое и достаточное условие того, что
алгебры A(RU R2) и A<RU R2> являются телами, состоит в "том,
что поля Ru R2 линейно разделены над k (т. е. чтобы
гомоморфизм R\®kR2-*~R\R2^k, Г\®г2-+г\Г2 был инъективным). Тела
вида A(RU R2} и оказались первыми контрпримерами к гипотезе
Танаки—Артина. Для обоснования этого полезной является
интерпретация группы SKi<Ru ^?2> посредством относительных
групп Брауэра Br(T/k) (см. п. 2.8).
Имеет место формула:
SKi(A(Ru R2»^BT(Ri®kR2/k)/BT(Ru k)Br(R2, k).
Если k — локально бикомпактное или глобальное (т. е.
конечное расширение поля Q или поля GF(p)(x)) поле, то из
предыдущей формулы с помощью так называемой теории полей
классов получаются явные формулы для группы SKi(A(Ru
Яа».
Теорема 1. 1) Если к — локально бикомпактное поле, то
S/C1(^<R1, R2>)~Zmy где m = dim Ri-dim R2. 2) Если k —
глобальное поле и dim R\ = dim R2 = p — простое число, то
SKi(A<Ru /?2>)— ZPX ... XZP (число прямых множителей в
этом прямом разложении также вычисляется).
Теперь естественно возникает задача о характеризации
полей, для которых существуют конечномерные центральные
простые алгебры с нетривиальной приведенной группой Уайт-
104

хеда. В этом направлении В. П. Платоновым получены
следующие результаты.
Теорема существования. Пусть К — конечно
порожденное поле. Если степень трансцендентности К над
минимальным подполем больше 1 в случае нулевой характеристики или
больше 2 в случае произвольной характеристики, то для любого
натурального т существует тело А с центром К такое, что
\SKi(A)\>m.
Теорема стабильности. Для чисто
трансцендентного расширения F произвольного поля К имеет место
изоморфизм SKi(A®JP)**SKi(A).
В связи с решением проблемы Танаки—Артина возникает
также обратная задача приведенной /(-теории об описании абе-
левых групп, которые могут выступать в качестве приведенных
групп Уайтхеда. Понятно, что SKi(A) —группа конечной экспо^
ненты. Теорема 1 показывает, что приведенная группа
Уайтхеда может быть сколь угодно большой конечной. Для
бесконечных групп эту задачу решает
Теорема о реализации. Для любой счетной абеле-
вой группы М конечной экспоненты существует поле
алгебраических чисел k и циклические расширения Ru R2 такие, что
SKi(A(RuR2))~M.
Эта теорема выводится с помощью теории полей классов из
следующего результата.
Теорема о бесконечности. Пусть Ru ^ —
циклические расширения степени п глобального поля k такие, что
[(Ru #2)*: kv] = n2 для некоторого нормирования v поля k.
Тогда для любого расширения Галуа Flk, содержащегося в kv,
имеет место неравенство \SK\(A(RU R2)<8>F(xy y})\^n^F:^-1,
в частности, если F — бесконечное расширение &, то SK\(A(RU
R2)®F(x, у}) — бесконечная абелева группа экспоненты п.
5.7. Группа Брауэра коммутативного кольца. Пусть Л —
алгебра над коммутативным кольцом ф. Пусть Л о
—противоположная к алгебре Л, Ае=А®фА<>. Рассмотрим А как левый
Л*-модуль ((a®b)c = acb). Напомним, что алгебра Л называется
сепарабельной, если этот модуль проективен. Л называется
центральной, если Х->Х1А (ЯбФ) есть изоморфизм Ф на центр
алгебры Л (т. е., по существу, А рассматривается как алгебра
над своим центром). Центральная сепарабельная алгебра
называется алгеброй Адзумая. Отметим, что если Л, /? — алгебры
Адзумая над Ф, то Л о, Л®Ф£ также являются алгебрами
Адзумая над Ф.
Примеры алгебр Адзумая:
1) Если Ф —поле, то Ф-алгебры Адзумая —это в точности
центральные простые алгебры.
2) Если Р — точный конечно порожденный проективный
Ф-модуль, то End#P является Ф-алгеброй Адзумая.
105

3) Обобщенная алгебра кватернионов. Пусть
Ф—коммутативное кольцо, в котором число 2 обратимо. Для любых
обратимых а, &6Ф рассмотрим свободный модуль ранга 4: Л = Ф10
<ВФг0Ф/ФФ&. Введем на А операцию умножения: ij = k,
ji=—ij, i2 = a, j2~b. А является Ф-алгеброй Адзумая.
Пусть А — некоторая Ф-алгебра. Рассмотрим гомоморфизм
/г.Л®фА°->Егк1ф А, определенный равенством h(x®y)(z) = xzy.
Имеет место следующая характеризация алгебр Адзумая.
Теорема 1. Пусть А — Ф-алгебра, конечно порожденная как
Ф-модуль. Тогда следующие условия эквивалентны: 1) Л —
алгебра Адзумая; 2) Ф-модуль А проективен и гомоморфизм А
является изоморфизмом; 3) для любого максимального идеала
тсгФ А/шЛ —центральная простая алгебра над полем Ф/ш.
Две Ф-алгебры Адзумая А и Б назовем эквивалентными,
если для некоторых точных конечно порожденных проективных
Ф-модулей Е и F Ф-алгебры А®фВг\(1ф(Е) и ^ФфЕпс^/7)
изоморфны. На множестве классов эквивалентности, которое
обозначается через Вг/?, вводится операция сложения: [Л] +
+ [Б] = [Л®Ф/}], относительно которой Bv(R) является абелевой
группой и называется группой Брауэра коммутативного кольца.Ф.
Если Ф —поле, это не что иное как группа Брауэра поля.
Биективность гомоморфизма h гарантирует равенство -—[Л] =
=[Лo]. Гомоморфизм коммутативных колец ф-vF индуцирует
гомоморфизм групп Вг(Ф)->Вг (F), [Л]-^[Л®Ф/7], превращая,
тем самым, Вг (—) в функтор из категории коммутативных колец
в категорию абелевых групп.
Некоторые свойства групп Брауэра:
1) Группа Брауэра периодична.
2) Пусть Ф —регулярное кольцо в смысле коммутативной
алгебры, (т. е. Ф —нётерово коммутативное кольцо такое, что
для каждого максимального идеала ш<]Ф локальное кольцо
Фт==5_1Ф (5==Ф\ш) является регулярным локальным кольцом),
К—его поле частных. Тогда естественный гомоморфизм ВгФ->
-^-ВгА" инъективен.
3) Для регулярной алгебры Ф над полем в группе Вх(К)
имеет место равенство Вг(Ф)= П Вг(ФД где Я —множество
простых идеалов высоты 1 в ф.
4) Пусть Ф-—регулярное кольцо характеристики 0. Тогда
гомоморфизм Вг (Ф) -> Вг (Ф [х]) является изоморфизмом.
5) Пусть Ф—полное локальное кольцо с максимальным
идеалом ш. Тогда гомоморфизм Вг(Ф)->Вг(Ф/ш) является
изоморфизмом.
Примеры групп Брауэра коммутативных колец:
1) Ф —конечное кольцо, Вг(Ф) = 0.
2) Ф—кольцо целых элементов поля алгебраических чисел К.
106

Тогда, если г — количество вещественных нормирований поля К, то
Ri-итл i °' если г = О,
Вг(Ф) = |(22)г.1? если г>1
В частности, Br(Z) =0.
5.8. Некоммутативная теория Галуа. Пусть G — конечная
группа, действующая автоморфизмами на кольце R. Через 1(G)
обозначим подкольцо инвариантов G, т. е. /(G) = {rGi?; Yg&Gt
rg = r}. Если S — промежуточное подкольцо, т. е. /(G)g=S^/?, то
через A(S) обозначим подгруппу всех элементов g£G,
оставляющих на месте все элементы S; A(S)={g£G', YsZS, s8 = s}.
Основная теорема классической теории Галуа полей
утверждает, что если R— поле, то отображение #->/(#) задает
взаимно однозначное соответствие между всеми подгруппами
группы G и всеми промежуточными подполями поля R. Обратным
к нему отображением будет, естественно, отображение S-wl (S).
Нас интересуют аналогичные утверждения для
некоммутативных колец R. Ограничимся достаточно общим случаем
первичных колец. Примером теоремы о соответствии Галуа в
некоммутативном случае может служить следующая
Теорема 1. Пусть F(X} — свободная алгебра, G —
конечная группа автоморфизмов, действующих линейно на
порождающих. Тогда отображение #->/(#) задает взаимно
однозначное соответствие между всеми подгруппами группы G и всеми
лромежуточными свободными подалгебрами алгебры F(X}.
В общем случае препятствием в изучении отображения
Н-+1(Н) являются внутренние автоморфизмы кольца R. Более
того, понятие внутреннего автоморфизма нужно расширить,
переходя от кольца R к мартиндейловскому кольцу частных Q(R)
(см. п. 4.3). Каждый автоморфизм первичного кольца R
однозначно продолжается до автоморфизма кольца Q(R). Поэтому
можно в группе AutR всех автоморфизмов R выделить те
автоморфизмы, которые становятся внутренними в Q. В литературе
такие автоморфизмы называют Х-внутренними. Теперь можно
сформулировать основную теорему для случая, когда в R нет
Х-внутренних автоморфизмов, отличных от тождественного.
Назовем подкольцо S^R рационально полным, если для любого
r&R и ненулевого идеала / кольца S включение Ir^S влечет
гвЗ.
Теорема 2. Пусть G — конечная группа автоморфизмов
первичного кольца R, не содержащая Х-внутренних
автоморфизмов, отличных от тождественного. Тогда отображение
1-+1(Н) задает взаимно однозначное соответствие между всеми
подгруппами группы G и всеми промежуточными рационально
полными подкольцами кольца R.
Например, алгебра общих яХп-матриц F(XU ..., Xm} (см.
л. 2.10) вообще не имеет Х-внутренних автоморфизмов,
отличных от тождественного, и к ней применима теорема 2.
107

Трудности, связанные с Х-внутренними автоморфизмами в
случае первичных (и даже полупервичных) колец, успешно
преодолеваются, хотя формулировка теоремы о соответствии Га-
луа становится заметно более сложной.
Намеченные здесь результаты (принадлежащие В. К. Хар-
ченко) продолжают исследования по теории Галуа тел (Дже-
кобсон, Картан, Хохшильд) и полных колец линейных
преобразований (Накаяма и Адзумая, Дьедонне, Розенберг и
Зелинский).
В последние годы изучению автоморфизмов (и
дифференцирований) некоммутативных колец посвящено довольно многа
работ. В частности, интенсивно исследуются вопросы о связях
кольца R с кольцом инвариантов. Важным результатом в этом
направлении является следующая теорема Бергмана и Айзек-
са, послужившая началом современной теории колец
инвариантов.
Теорема 3. Пусть G — группа автоморфизмов порядка п
кольца R, не имеющего аддитивного я-кручения. Если 1(G) =0Г
то R нильпотентно.
5.9. Регулярные кольца. Частично упорядоченное множество
(М, ^) называется решеткой (структурой), если любые
элементы a,b£M имеют наименьшую верхнюю грань а\/Ь и
наибольшую нижнюю грань а/\Ь. Решетка М называется полной,.
если любое подмножество ее элементов сы, Ш, имеет
наименьшую верхнюю грань \/^г и наибольшую нижнюю грань /\а{.
Кольцо R называется регулярным (в смысле Дж. Неймана),.
если для любого элемента a£R существует элемент x£R такой,,
что а = аха. Например, кольцо всех линейных преобразований
любого векторного пространства над телом регулярно. Прямое
произведение любого семейства регулярных колец регулярно.
Следовательно, каждое классически полупростое кольцо
регулярно. Если кольцо R является направленным объединением
регулярных колец Rd (т. е. YiJRk Ri\jRj^Rk и [}Ri = R), то R
i
регулярно. Поэтому, если кольцо R можно представить как
направленное объединение классически полупростых колец, то R
регулярно. В частности, локально матричные кольца (т. е.
такие кольца, в которых любое конечное подмножество можно
включить в подкольцо, изоморфное МП(Д), Д — тело)
регулярны. Всякая алгебраическая алгебра (т. е. алгебра, в которой
каждый элемент алгебраичен) без нильпотентных элементов,
регулярна. Регулярные кольца полупросты по Джекобсону, так
как каждый ненулевой идеал в регулярном кольце содержит
ненулевой идемпотент (а = аха=>(ах)? = ах), а радикал Джекоб-
сона любого кольца не содержит ненулевых идемпотентов.
Если М — инъективный модуль над некоторым кольцом A, R —
кольцо его эндоморфизмов, то R/J(R) —регулярное кольцо.
108

Регулярные кольца были введены для координатизации так
называемых геометрий. Отметим, что каждый конечно
порожденный левый идеал в регулярном кольце R порождается
идемпотентом. Следовательно, главные левые идеалы кольца R
образуют модулярную решетку SR сг дополнениями. Решетка
ЛГЭО, 1 (0 — наименьший элемент, 1 — наибольший элемент)
называется решеткой с дополнениями, если для любого элемента
а&М существует элемент а'ъМ (называемый дополнением к а)
такой, что a/\a' = 0, a\Ja'=\. Если решетка М обладает
антиавтоморфизмом а-^а1- таким, что а1- — дополнение элемента
а£М, то М называется решеткой с ортодополнениями. Решетка
М называется модулярной, если в ней a^b=>(a\/c)/\Ь —
= а\/ (с/\Ь). Если эта решетка является непрерывной
геометрией (т. е. полна и непрерывна), то регулярное кольцо R
называется непрерывным. Решетка М называется непрерывной,
если
[bQB ) bQB
a\J{ f\b\= /\(a\Jb)
[bQB ) b£B
для любой цепи В (т. е. любые два элемента из В сравнимы
между собой). Полная модулярная решетка с дополнениями
называется непрерывной геометрией. В свое время
неожиданным был результат Капланского о том, что каждая полная
модулярная решетка с ортодополнениями непрерывна, т. е.
является непрерывной геометрией.
Непрерывные регулярные кольца обладают интересными
свойствами. Например, если такое кольцо R неразложимо, то
оно самоинъективно (т. е. модули RR, RR инъективны) и
является простым кольцом. Обратно, всякое самоинъективное
регулярное кольцо непрерывно. Классически полупростые
кольца являются простейшими примерами непрерывных
регулярных колец. Прямое произведение семейства непрерывных
регулярных колец также является таковым. Непрерывные
регулярные кольца допускают следующую элементарную характе-
ризацию в классе регулярных колец: любой левый (правый)
идеал / такого кольца содержится как существенный подмодуль
в некотором левом (правом) главном идеале /о-
Хорошо известно, что если кольцо R регулярно, то и кольцо
Mn(R) регулярно. Имеет место и обратное утверждение (более
того, если е — идемпотент регулярного кольца Л, то
еАе—регулярное кольцо). Это обратное утверждение имеет место и для
непрерывных регулярных колец, но прямое утверждение
неверно: Пусть п>\ — натуральное число, R — регулярное кольцо.
Тогда регулярное кольцо Mn(R) непрерывно тогда и только
тогда, когда R самоинъективно. Приведем пример
коммутативного регулярного кольца, которое непрерывно, но не самоинъ-
<Ю9

ективно. Пусть KczF — поля, KnczFn (п=1, 2,...) — их
экземпляры, Q = YlFn. Тогда R={x£Q; хп£Кп при достаточно боль-
п
ших п} — искомое кольцо. Таким образом, M2(R) не является
непрерывным.
Дж. Нейман не ограничился вопросом о координатизации
непрерывных геометрий, но и рассмотрел более общий вопрос
о координатизации модулярных решеток с дополнениями. Не
каждая такая решетка Af, однако, изоморфна решетке главных
левых идеалов регулярного кольца: мешают, например, неде-
зарговы проективные плоскости. Чтобы исключить
патологические случаи, на решетку М накладывается следующее
ограничение: существует п^4 независимых элементов а\9... 9ап
(независимость означает а{/\\/а; = 0 при всех i=l, 2,..., п) таких,
что aiVa2V • • • Van=l и ai~aj для всех i,j (a~b означает,
что а и b имеют общее дополнение). Система элементов
{аь ..., ап} называется однородным базисом (ранга п)
решетки М. Существование такого базиса имеет естественный
алгебраический смысл: решетка 3? главных левых идеалов
регулярного кольца R обладает однородным базисом ранга п тогда и
только тогда, когда R содержит п2 матричных единиц, т. е. /?*=*
^Мп(А) для некоторого (регулярного) кольца А. Именно,
если etij—матричные единицы в R (т. е. е^еы = Ь^%и 1 =
= 0п+ • • • +епп), то ad = Reu образуют однородный базис
решетки 3?r. Отметим также, что решетка 3?R изоморфна при
этом решетке конечно порожденных подмодулей свободного
Л-модуля Ап (это, впрочем, частный случай Морита-эквива-
лентности). Итак, координатизационная теорема приобретает
следующий вид.
Теорема 1. Пусть М—модулярная решетка с
дополнениями, обладающая однородным базисом ранга л^4. Тогда М
изоморфна решетке 3?R главных левых идеалов некоторого
регулярного кольца R. При этом R^Mn(A), где А — регулярное
кольцо, и М изоморфна решетке конечно порожденных
подмодулей левого Л-модуля Ап.
Отметим, что центр С регулярного кольца R является
регулярным кольцом, причем решетка 3?с изоморфна центру
решетки 2?R (Ca£3?c=>Ra£2?R), где под центром модулярной
решетки М с дополнениями понимается множество тех ее
элементов, которые имеют единственное дополнение.
Задача о координации модулярных решеток с
ортодополнениями ведет к понятию * -регулярного кольца. Так называются
регулярные кольца с инволюцией * такой, что а*афО при
а^О. В *-регулярном кольце R каждый левый главный идеал
порождается однозначно определенным проектором (т. е.
самосопряженным идемпотентом). Тем самым решетка 3?R
оказывается изоморфной решетке &{R) проекторов кольца /?, а
значит, является решеткой с ортодополнениями. Следующая
110

координатизационная теорема также принадлежит Дж.
Нейману.
Теюрема 2. Пусть М — модулярная решетка с
ортодополнениями, обладающая однородным базисом ранга /г^4. Тогда
М изоморфна решетке SR главных левых идеалов некоторого*
«-регулярного кольца R (а также решетке S'(R) его
проекторов).
Например, если А^^(Н)—так называемый фактор типа
Hi (здесь $(Н) —алгебра органиченных операторов
гильбертова пространства Я), то последняя теорема показывает, что
существует *-регулярное кольцо R такое, что решетки проекторов
&(А), &{R) изоморфны. Однако само кольцо А не является
регулярным. Более того, как показал Капланский, если
банахова алгебра регулярна в смысле Дж. Неймана (в теории
банаховых алгебр регулярность понимается в ином смысле), та
она конечномерна. При этом Капланский опирался на
следующую, также принадлежащую ему, теорему.
Теорема 3. Если регулярное кольцо не содержит
бесконечного множества ортогональных идемпотентов, то оно
является классически полупростым.
Следующий результат Армендариза и Фишера обобщает
классический результат Капланского о характеризации ком*
мутативных регулярных колец.
Теорема 4. Для Р/-кольца R следующие условия
эквивалентны: 1) R — регулярное кольцо, 2) Р = 1 для всякого идеала
/<] R, 3) каждый простой левый /?-модуль инъективен, 4)
каждый левый идеал кольца R является пересечением
максимальных левых идеалов.
В заключение рассмотрим следующий вопрос, долгое
время остававшийся открытым, но затем решенный Гудёрлом.
Пусть R,S — регулярные кольца, причем кольца матриц Mn(R)r
Mn(S) изоморфны для некоторого натурального п. Следует ли
отсюда, что кольца /?, S изоморфны? Если R, S — тела, то это,
конечно, так. Приведем пример Гудёрла, показывающий, что в
общем случае ответ на этот вопрос отрицательный. Пусть
K\F — расширение полей степени п, V—бесконечномерное
векторное пространство над полем K,E = EndF(V), Е0—идеал
^-алгебры £, состоящий из преобразований конечного ранга,
£'i = EndxVr —подалгебра этой алгебры, R=E0-\-Ex. Пусть
е£Е0— проекция V на одномерное подпространство Fv.
Рассмотрим проективный правый ^-модуль P=R(BeR и его кольцо
эндоморфизмов 5. Свойства построенных колец /?, S
сформулируем в виде теоремы.
Теорема 5. Для каждого натурального числа /г>1
построенные регулярные кольца R, S обладают свойствами:
Mn(R)**Mn(S), но Mk(R)^Mk(S) при k<n.
5.10, Литературные указания. Вопросы, обсуждаемые в
пункте 5.1, подробно изложены в монографии [63]. Очень пол-
111

ное изложение теории модулярных представлений конечных
групп с обширными приложениями к теории конечных групп
можно найти в [72].
Книга [£3] содержит богатый материал по групповым
алгебрам бесконечных групп и может служить справочником по
этой теме. Книга [61] содержит решение Кона проблемы
A. И. Мальцева о вложении колец в тела. В работах [112],
[80], [57] решается проблема А. И. Мальцева о существовании
кольца, не вложимого в тело, мультипликативная группа
которого вложима в группу. В статье []13] дается матричная
конструкция универсального обращающего гомоморфизма.
Общая теория тождеств и рациональных тождеств с
достаточной полнотой изложена в книге [100]. Там же содержится
обширная библиография по этому предмету. Теорема А. Р. Ке-
мера опубликована в его работе [20]. Эта работа также
содержит путь к решению проблемы Шпехта для ассоциативных
алгебр над полем характеристики нуль. Как недавно было
объявлено А. Р. Кемером, ему удалось завершить решение
этой проблемы.
В книге [33] даются основы топологической алгебры, со*
держится описание связных локально бикомпактных тел. В
работе [42] изучаются критерии нормируемости топологических
колец. Теоремы о топологизируемости счетных колец доказаны
в работах [3], [4]. Материал пункта 5.6 изложен по докладу
B. П. Платонова на Международном математическом
конгрессе в Хельсинки [96].
Группа Брауэра некоммутативного кольца определена в
работе [49]. Обзор результатов по этой тематике см. в книге
[91]. Наиболее основательным руководством по сепарабель-
ным алгебрам и алгебрам Адзумая является монография [64].
Теория Галуа полупервичных колец развита в работе [38].
Изложение этой теории для первичных колец можно найти в
[94]. Применения к свободным алгебрам получены в [39].
В монографии [88] рассматриваются кольца инвариантов
конечных групп автоморфизмов, изложена теорема Бергмана—
Айзекса. В обзорах [41], [67], [98] обсуждаются последние
достижения в исследовании автоморфизмов и
дифференцирований некоммутативных колец.
Регулярные кольца были введены Дж. Нейманом в работе
[89]. Полное изложение результатов Дж. Неймана о связи
модулярных решеток с дополнениями и регулярных колец
содержится в его книге [90] (эта книга опубликована Гальпериным
только в 1960 году по рукописям Дж. Неймана тридцатых
годов). В этих трудах установлены также первые свойства
регулярных колец. Координатизационная теорема для модулярных
решеток с дополнениями на основе других методов изложена в
[35]. Регулярные кольца и близкие классы колец рассмотрены
во многих книгах по теории ассоциативных колец [74], [81]:,
1*2

[66], [102]. Современная теория регулярных колец и модулей
над ними содержится в обширной монографии [69]. Теорема
Капланского о конечномерности регулярных банаховых алгебр
содержится в его работе [77].
ЛИТЕРАТУРА
1. Ананьин А. 3., Локально финитно аппроксимируемые и локально пред-
ставимые многообразия алгебр. Алгебра и логика, 1976, /5, № 5,
579—584
2. Андрунакшвич В. Л., Рябухин Ю. М., Радикалы алгебр и структурная
теория. М.: Наука, 1979, 496 с.
3. Арнаутов В. И., О топологизациях счетных колец. Сиб. мат. ж., 1962,
9, № 6, 1251—1262
4. —, Недискретная топологизируемость счетных колец. Докл. АН СССР,
1970, 191, № 4, 747—750
5. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М., Особенности
дифференцируемых отображений. Классификация критических точек, каустик и
волновых фронтов. М.: Наука, 1982, 304 с.
6. Бейдар К. И., Кольца частных полупервичных колец. Вестн. МГУ. Мат.,
мех., 1978, № 5, 36—43
7. —, Кольца с обобщенными тождествами. Вестн. МГУ. Мат., мех., 1977,
№ 2, 19—26; 1977, № 3, 30—37; 1978, № 4, 66—73
8. —, Латышев В. Н., Марков В. Т., Михалёв А. В., Скорняков Л. А., Ту-
еанбаев А. А., Ассоциативные кольца. Итоги науки и техн. ВИНИТИ.
Алгебра. Топол. Геометрия. 1984, 22, 3—115
9. —, Михалёв А. В., Ортогональная полнота и алгебраические системы.
Успехи мат. наук, 40, № 6, 79—115
10. —,Славова К., Обобщенные тождества и полупервичные кольца с
инволюцией. Успехи мат. наук, 1980, 35, № 1, 222
11. Бокуть Л. А., Ассоциативные кольца. I. Новосибирск: НГУ, 1977,
82 с; II. Новосибирск: НГУ, 1981, 80 с.
12. —, О проблеме Мальцева. Сиб. мат. ж., 1969, 10, № 5, 965—1005
13. Герасимов В. Н., Локализации в ассоциативных кольцах. Сиб. мат. ж.,
1982, 23, № 3, 36—54
14. —,Сахаев И. И., Контрпример к двум гипотезам о проективных и
плоских модулях. Сиб. мат. ж., 1984, 25, № 6, 31—35
15. Днестровская тетрадь. Нерешенные проблемы теории колец и модулей.
3 изд. Новосибирск: Ин-т мат., 1982, 71 с.
16. Дрозд Ю. А., Кириченко В. В., Конечномерные алгебры. Киев: Вища
школа, 1980, 192 с.
17. Елизаров В. П., Сильные предкручения и сильные фильтры, модули и
кольца частных. Сиб. мат. ж., 1973, 14, № 3, 549—559
18. Залесский Л. Е., Нерославский О. М., О простых нётеровых кольцах.
Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. н., 1975, 5, 38—42
19. —, —, Существуют простые нётеровы кольца с делителями нуля, ио без
идемпотентов. Commun. Algebra, 1977, 5, № 3, 231—244
20. Кемер А. Р., Многообразия и 22-градуированные алгебры. Изв. АН СССР.
Сер. мат., 1984, 48, № 5, 1042—1059
21. Кириллов А. А., Элементы теории представлений. Изд. 2-е. М.: Наука,
1978, 344 с.
22. Кострикин А. И., Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, 496 с.
23. Курош А. Г., Лекции по общей алгебре. М.: Физматгиз, 1962, 396 с.
24. Львов И. В., Условия максимальности в алгебрах с тождественными
соотношениями. Алгебра и логика, 1969, 8, № 4, 449—459
113

25. Мальцев А. И., Избранные труды. Т. 1. Классическая алгебра. М.:
Наука, 1976, 484 с.
26. —, О представлении бесконечных алгебр. Мат. сб., 1943, 13, № 2—3,
263—285
27. Мальцев Ю. Н., О многообразиях ассоциативных алгебр. Алгебра и
логика, 1976, 15, № 5, 579—584
28. Меркурьев А. С, Суслин А. А., /С-когомологии многообразий Севери —
Брауэра и гомоморфизм норменного вычета. Изв. АН СССР. Сер. мат.,
1982, 46, №> 5, 1011—1061
29. Мишина А. П.,Скорняков Л. А., Абелевы группы и модули. М.: Наука,
1969, 151 с.
30. Молин Ф. Э., Числовые системы. Новосибирск: Наука, 1985, 72 с.
31. Назарова Л. А., Ройтер А. В., Категорные матричные задачи и проблема
Брауэра — Трэлла. Препринт ИМ— 73—9. Киев: Наук, думка, 1973,
100 с.
32. Наймарк М. Л.; Нормированные кольца. Изд. 2-е. М.: Наука, 1968, 664 с.
33. Понтрягин Л. С, Непрерывные группы. Изд. 2-е. М.: Наука, 1954, 516 с.
34. Скорняков Л. А., Элементы общей алгебры. М.: Наука, 1983, 272 с.
35. —, Дедекиндовы структуры с дополнениями и регулярные кольца. М.:
Физматгиз, 1961, 198 с.
36. Суслин А. А., Алгебраическая /С-теория и гомоморфизм норменного
вычета. Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Соврем, пробл. мат., 1984, 25,
115—208
37. —, Алгебраическая /С-теория (обзор). Тр. Мат. ин-та АН СССР, 1984,
168, 155—170
38. Харченко В. К., Теория Галуа полупервичных колец. Алгебра и логика,
1977, 16, №> з, 313—363
39. —, Об алгебрах инвариантов свободных алгебр. Алгебра и логика, 1978,
17, No. 4, 478—487
40. —, Дифференциальные тождества полупервичных колец. Алгебра и
логика, 1979, 18, № 1, 86—1,19
41. —, Действие групп и алгебр Ли на некоммутативных кольцах. Успехи
мат. наук, 1980, 35, № 2, 67—90
42. Шафаревич И. Р., О нормируемости топологических полей. Докл.
АН СССР, 1943, 40, 149—151
43. Ширшов А. И., Кольца и алгебры. М.: Наука, 1984, 144 с.
44. Albert A. A., Structure of algebras. Providence. R. I.: AMS, 1961, 205 pp.
45. Amitsur S., On central division algebras. Isr. J. Math., 1972, 12, № 4,
408—420
46. —, Rational identities and applications to algebra and geometry. J.
Algebra, 1966, 3, No 3, 304-359
47. Anderson F., Fuller K., Ring and categories of modules. New York-
Heidelberg — Berlin, Springer-Verlag, 1974, 339 pp.
48. Artin E., Nesbitt C, Thrall R.f Rings with minimal condition. Univ. of
Michigan Ann. Arbor, 1944, 101 pp.
49. Auslander M., Goldman O., The Brauer group of a commutative ring. Trans.
Amer. Math. Soc, 1960, 97, № 3, 367—409
50. Bass H., Algebraic /(-theory. New York: Benjamin, 1968, 762 pp. (Пер. на
рус. яз.: Басе X., Алгебраическая /С-теория. М.: Мир, 1973, 593 с.)
51. Beck /., Projective and free modules. Math. Z., 1972, 129, № 3, 231—234
52. Bergman G., Rational relations and rational identities in division rings.
I, II. J. Algebra, 1976, 43, № 1, 252—297
53. Birkhoff G., Lattice theory. 3rd ed. Providence (R. I.), Amer. Math. Soc,
1967, VI, 418 pp. (Пер. на рус. яз.: Биркгоф Г., Теория решеток. М.:
Наука, 1984, 568 с.)
54. Borho W., Kraft Н., Uber die Gelfand-Kirillov dimension. Math. Ann.,
1976, 220, № 1, 1—24
55. Bourbaki N., Algebre commutative. Elements de mathematiques, 1961,
fasc. 27. 187 p. (Пер. на рус. яз.: в книге: Бурбаки Н., Коммутативная
алгебра. М.: Мир, 1971, 707 с.)
114

56. —, Algebre. Livre II. Paris: Herman, 1964, 174 p. (Пер. на рус. яз.: Бур-*
баки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы. М.: Наука, 1966, 556 с.)
57. Bowtell A., On a question of Malcev. J. Algebra, 1967, 7, № 1, 126—139»
58. Braun A., Nilpotency of the radical in a finitely generated P. I. ring J
Algebra, 1984, 89, № 2, 375—396
59. Cartan H., Eilenberg S., Homological algebra. Prinston, 1956, 488 pp. (Пер.
на рус. яз.: Картан А., Эйленберг С, Гомологическая алгебра. М.: ИЛ*
1960, 510 с.)
60. Chatters A. W., Hajarnavis С. R., Rings with chain conditions. Boston,
London, Melburn: Pitman, 1980, 198 pp.
61. Cohn P. M., Free rings and their relations. London—N. Y.: Acad. Press,
1971, 346 pp. Second ed. London —N. Y.: Acad. Press, 1985, 401 pp«
(Пер. на рус. яз. (1-го издания): Кон П., Свободные кольца и их связи.
М.: Мир, 1975, 424 с.)
62. Cozzens J., Faith С, Simple Noetherian rings. Cambridge — London—New
York—Melbourne: Cambridge Univ. Press, 1975, 135 pp.
63. Curtis C, Reiner I., Representation theory of finite groups and associative
algebras. New York, London: Wily, 1962, 653 pp. (Пер. на рус. яз.: Кэр-
тис Ч., Райнер И., Теория представлений конечных групп и
ассоциативных алгебр. М.: Наука, 1969, 668 с.)
64. Demeyer F., Ingraham Е., Separable algebras over commutative rings,
Lect. Notes Math., 1981, 181, 157 pp.
65. Dixmier J., Enveloping algebras. Berlin: Akad.-Verlag, 1977, XVI, 375 pp.
(Пер. на рус. яз.: Диксмье Ж-, Универсальные обертывающие алгебры.
М.: Мир, 1978, 408 с.)
66. Faith С, Algebra. I. Rings, modules and categories. Berlin e. a.: Springer,
1973, 670 pp.; Algebra. II. Ring theory. Berlin e. a.: Springer, 1976,
458 pp. (Пер. на рус. яз.: Фейс К, Алгебра: кольца, модули и категории*
т. 1. М.: Мир, 1977, 688 с; т. 2. М.: Мир, 1979, 464 с.)
67. Fisher /. W., Osterburg J., Finite group actions on noncommutative rignsj
a survey since 1970. In: Ring theory and algebra III conference. New-
York—Basel: Marcel Dekker, 1980, 357—303
68. Belfand I. M., Kirillov A. A., Sur les corps lies aux algebres enveloppantes
des algebres de Lie. Pubis math. Inst, hautes etudes sci., 1966, № 31,
509—523
69. Goodearl К R., Von Neumann regular rings. London e. a.: Pitman, 1979,.
369 pp.
70. Gordon R., Robson J., Krull dimension. Mem. Amer. Math. Soc, 1973„
№ 133, 78 pp.
71. Herstein I., Noncommutative rings. New York: Wiley, 1968, 199 pp. (Пер.
на рус. яз.: Херстейн И., Некоммутативные кольца. М.: Мир, 1972, 192 с.)
72. Huppert В., Blackburn N., Finite groups. П. Berlin е. a.: Springer, 1982„
531 pp.
73. Jacobson N,. Basic algebra. I. Second ed. N. Y.: Freeman and Comp.„
1985, 499 pp.
74. —, Structure of rings. Colloq. Pubis Amer. Math. Soc. Providence, R. I.,
1956, 37, VII+263 pp. (Пер. на рус. яз.: Джекобсон Н., Строение колец.
М.: ИЛ, 1961, 392 с.)
75. — P/-algebras. An introduction. Lect. Notes Math., 1975, 441, 115 pp.
76. Jategaonkar A., Left principal ideal rings. Lect. Notes Math., 1970, 123y
145 pp.
77. Kaplansky L, Regular Banach algebras. J. Indian Math. Soc, 1948, 12r
су со
78. Kasch F., Moduln und Ringe. Stuttgart: B. G. Teubner, 1977, 350 S. (Пер.
на рус. яз.: Каш Ф., Модули и кольца. М.: Мир, 1981, 368 с.)
79. Kertesz A., Vorlesungen uber artinsche Ringe. Leipzig: Teubrer, 1968,
281 S.
80. Klein A., Rings nonembeddable in fields with multiplicative semigroups
embeddable in groups. J. Algebra, 1967, 7, № 1, 100—125
81. Lambek J., Rings and modules. Blaisdell: Waltham, Mass. e. a., 1966,
115

273 pp. (Пер. на рус. яз.: Ламбек #., Кольца и модули. М.: Мир, 1971,
280 с.)
32. Lang S., Algebra. Addison-Wesley: Reading, Mass., 1965, 550 pp. (Пер. на
рус. яз.: Ленг С, Алгебра. М.: Мир, 1968, 564 с.)
S3. Malgrange В., Ideals of differentiable functions. London: Oxford Univ.
Press, 1966, 106 pp. (Пер. на рус. яз.: Мальгранж £., Идеалы
дифференцируемых функций. М.: Мир, 1968, 131 с.)
84. Martindale W. S„ Ill, Prime rings satisfying a generalized polynomial
identity. J. Algebra, 1969, 12, № 4, 576—584
85. McLane S., Categories for the working mathematicien. Berlin: Springer,
1971, 262 pp.
86. *-*, Homology. Berlin e. a.: Springer, 1963, 422 pp. (Пер. на рус. яз.:
Маклейн С, Гомологии. М.: Мир, 1966, 543 с.)
.87. Milnor J,, Introduction to algebraic /(-theory. Princeton, New Jersey:
Princeton Univ. Press and Univ. Tokyo Press, 1971, 178 pp. (Пер. на рус.
яз.: Милнор Дж., Введение в алгебраическую /С-теорию. М.: Мир, 1974,
196 с.)
#8. Montgomery S., Fixed rings of finite automorphism groups of associative
rings. Lect. Notes Math., 1980, 818, 126 pp.
39. Neumann J. von, On regular rings. Proc. Nat. Acad. Sci., USA, 1936, 22,
707—713
90. —, Continuous geometry. (Ed. I. Halperin). Princeton, New Jersey:
Princeton Univ. Press, 1960, 299 pp.
$1. Orrech M., Small C, The Brauer group of commutative ring. Lect. Notes
Pure and Appl. Math., 1975, 11, 183 pp.
92. Osofsky В., Homological dimension of modules. Conference Board of Math.
Sciences, 1973, 12, 89 pp.
93. Passman D„ The algebraic structure of group rings. New York: Wiley,
1977, 720 pp.
94. —, Montgomery S., Galois theory of prime rings. J. Pure and Appl.
Algebra, 1984, 31, № 1-3, 139—184
95. Pierce R. S„ Associative algebras. Berlin: Springer, 1982, 436 рр.^(Пер.
на рус. яз.: Пирс Р., Ассоциативные алгебры. М.: Мир, 1986, 450 с.)
96. Platonov V. P., Algebraic groups and redused К-theory. In: Proceedings
of the International Congress of Mathematiciants. Helsinki, 1978, /,
311—323
97. Procesi C, Rings with polynomial identities. New York: Dekker, 1973,
190 pp.
98. Renault G„ Action de groupes et anneaux reguliers injectifs. Lect. Notes
Math., 1979, 734, 236—248
99. Rentschler R., Gabriel P., Sur le dimension des anneaux et ensembles or-
donnes. С. r. Acad, sci., 1967, A265, 712—715
100. Rowen L., Polynomial identities in ring theory. N. Y., London: Acad. Press,
1980, 364 pp.
101. Serre J. Algebre locale Multiplicites. Lect. Notes Math., 1964, 11, 150 p.
(Пер. на рус. яз.: Серр. Ж. П., Локальная алгебра и теория кратностей.
Математика. Период, сб. перев. ин. статей, 1963, 7, № 5, 3—93)
102. Stenstrom В., Rings of quotients. An introduction to methods of ring
theory. Berlin: Springer, 1975, 309 pp.
103. Van der Waerden В., Algebra. I. Berlin e. a.: Springer, 1971: Algebra. II.
Berlin e.a.: Springer, 1967, 638 pp. (Пер. на рус. яз.: Ван дер Варден Б.,
Алгебра. М.: Наука, 1976, 648 с.)
104. —, Moderne Algebra. Bd. 1—2. Berlin: Springer, 1930—1931 (Пер. на
рус. яз. (2-го издания): Ван дер Варден Б., Современная алгебра. Т. 1,2.
М.: ГОНТИ, 1947, 339 с, 260 с.)

УДК 512.53+512.54+512.55+512.57
И. ТОЖДЕСТВА
Ю. Л. Бахтурин, Л. Ю. Ольшанский
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 119
Глава 1. Основные понятия и методы теории тождеств 123
§ 1. Определение тождества. Примеры 123
1.1. Определение 123
1.2. Пример 123
1.3. Тождества линейных представлений 125
1.4. Заключительные замечания 127
§ 2. Постановка задач. Рабочие понятия 128
2.1. Общие задачи 128
2.2. Рабочие понятия 129
2.3. Теорема Биркгофа 132
2.4. Дополнительные замечания 135
§ 3. Тождества в линейных алгебрах 137
3.1. Однородные и полилинейные тождества 137
3.2. Градуировки свободных алгебр 140
3.3. Действие группы GL(n, k) 141
3.4. Действие группы Sym(n) 144
§ 4. Свободные алгебры 146
4.1. Автоморфизмы свободных канторовых алгебр 146
4.2. Теория Магнуса 148
4.3. О комбинаторном изучении свободных групп многообразий . 153
4.4. Дополнительные замечания 154
§ 5. Некоторые связи и приложения 155
5.1. Структура конечномерных тел 155
5.2. Некоммутативная алгебраическая геометрия 156
5.3. Тождества и представления 157
5.4. Центральные полиномы 159
Глава 2. Алгебры с тождествами 162
§ 1. Эффект тождества 162
1.1. Я/-алгебры 162
1.2. Линейные группы с тождеством 164
1.3. Подалгебры Ли Я/-алгебр 165
1.4. Тождества и представления групп и алгебр Ли . . 166
§ 2. Вокруг Бернсайда 168
2.1. Проблемы бернсайдовского типа 168
2.2. Многообразия Бернсайда 169
2.3. Энгелевы алгебры Ли 170
2.4. Метод сэндвичей 173
2.5. Нилькольца 176
§ 3. Тождества и конструкции 178
117

3.1. Расширения алгебр с тождеством 178
3.2. Тождества родственных колец 179
3.3. Группа обратимых элементов и присоединенная алгебра
ассоциативного кольца 180
3.4. Операции над группами 180
3.5. Контрагредиентные алгебры Ли 182
$ 4. О геометрии определяющих соотношений и тождеств в группах 184
4.1. Задачи, решаемые геометрическим методом 184
4.2. Интерпретация вывода следствий из определяющих
соотношений 185
4.3. Условия малых сокращений 187
4.4. Геометрический анализ следствий некоторых тождеств . 189
§ 5. Влияние тождеств конечных и конечномерных алгебр . 192
5.1. Многообразие, порожденное конечной алгеброй . 192
5.2. Класс <£,(е, т, с) 193
5.3. Конечные кольца 194
5.4. Строение линейных алгебр с тождествами конечномерной
алгебры 195
Глава 3. Системы тождеств 199
§ 1. Проблема конечной базируемости 199
1.1. О выводе следствий 199
1.2. Наследственно конечно базируемые (шпехтовы) многообразия 201
1.3. Примеры бесконечных систем тождеств. Некоторые общие
вопросы 204
§ 2. Операции над многообразиями . 206
2.1. Произведения многообразий групп 206
2.2. Умножение многообразий линейных алгебр 209
2.3. Пересечение, объединение и другие операции 211
§ 3. Ранги систем тождеств 212
3.1. Базисный и аксиоматический ранги 212
3.2. Ранги групповых тождеств 214
3.3. Ранги многообразий лиевых алгебр 215
§ 4. Тождества конечных алгебр 217
4.1. Тождества конечных групп 217
4.2. Тождества конечных колец 219
4.3. О критических алгебрах 220
4.4. Конечные алгебры с бесконечным базисом тождеств . . . 220
§ 5. Численные характеристики многообразий и тождества
конкретных алгебр 222
5.1. Ряды, связанные с многообразиями линейных алгебр . . . 222
5.2. Другие численные характеристики многообразий .... 224
5.3. О тождествах некоторых конкретных алгебр 225
§ 6. Малые и экстремальные многообразия 228
6.1. Атомы в решетках многообразий 228
6.2. Классификация некоторых тождеств 229
6.3. Экстремальные многообразия 230
Комментарий к литературе 234
Рекомендуемая литература 235
Цитированная литература 237

ВВЕДЕНИЕ
Согласно философскому определению, тождество есть
равенство предмета, явления самого с собой; сохранение на всем
протяжении существования предмета одних и тех же
устойчивых черт. Формальный перенос этого определения на
математическую почву приводит к неутешительному выводу: тождество
есть выражение вида а = а. Однако уже в формулировке и
толковании аристотелевского закона тождества в философии
рабочим является понятие абстрактного тождества, т. е.
тождества в некоторых границах, различных для каждого случая и
обусловленных природой объекта. В смысле этого понятия мы
можем говорить, что равенство ab = ba формально различных
выражений ab и Ъа — тождество в области обычных чисел, что
A(uv) = (Au)v+u(Av) (1)
есть тождество в области дифференцируемых функций от одной
переменной х, где Д/ — первая производная функция f от х, и
т. п. Расширение или изменение области приводит к
нарушению тождества не только с формальной точки зрения,
например, ab = ba не является тождеством в области матриц, а (1)
перестает быть тождеством, если Д/— вторая производная
по х.
Возможно, наш маленький экскурс в область этимологии
еще не склонил читателя к мысли о важности тождеств. С той
же целью приведем несколько примеров из алгебры.
В конечной группе порядка п выполняется тождество хп=1.
В кольце вычетов по простому модулю р выполняется
тождество хр = х. Кольцо операторов двумерного представления
группы удовлетворяет тождеству Холла
(xu—jjx) 2z = z (ху—ух)2.
В алгебре Ли векторных полей на прямой выполняется
тождество (Alt(xb х2, *з, хА)) (*б) =0, где Alt(*i, х2, х3, *<0 —
результат применения оператора кососимметризации к произведению
ad*i-ad*2-ad*3-ad;*:4, причем для фиксированного векторного
поля X оператор ad X переводит векторное поле У в
коммутатор векторных полей [JX, У]. Важно отметить, что все
отмеченные тождества являются нетривиальными, т. е. первое из них
не выполняется в классе всех групп, второе — в классе всех
колец и т. д.
Многие важные классы групп, колец, алгебр определяются
с помощью тождеств, т. е. являются «многообразиями» (см.
п. 2.2, гл. 1). К ним относятся класс абелевых групп, классы
нильпотентных (разрешимых) групп, ступени нильпотентности
(разрешимости) которых ограничены сверху. В этих примерах
слово «группа» можно заменить словами «алгебра Ли». Мно-
119

гообразием является класс стабильных ступени п
представлений группы G; представление (G, р, V) принадлежит этому
классу, если в пространстве V есть ряд
0=Vo<=Vic=...c=Vn = Vf
в факторах которого G действует тождественно. Этот класс за^
дается тождеством
(Xl-l) (х2-1) ... (*„-1)=0
(вместо Хи...,Хп следует подставлять произвольные
операторы вида p(gi),..., p(gn), где gu ..., gn£G). Еще один штрих:
если групповая алгебра некоторой группы удовлетворяет
тождеству степени /г, то максимальная размерность абсолютно
неприводимых представлений этой группы не превосходит /г/2.
«Информацией к размышлению» о важности тождеств может
служить и такой факт: если тождества двух конечных простых
групп совпадают, то эти группы изоморфны. Заметим, что этот
факт не зависит от классификации конечных простых групп.
Резюмируем сказанное словами замечательного
математика А. И. Мальцева: «Хотя тождества представляют собой
простейшие замкнутые высказывания логического языка, язык
тождеств все же достаточно богатый, чтобы на нем можно было
выражать многие тонкие свойства систем и их классов» [17].
Таким образом, понятие тождества относится к числу наиболее
глубинных понятий математики, а сами тождества принадлежат
к числу наиболее устойчивых свойств (математических)
объектов.
Теория тождеств представляет собой в настоящее время
весьма разветвленный раздел алгебраической науки. Счет
публикациям о тождествах давно пошел на тысячи. Степень
развития науки о тождествах различна в различных разделах
алгебры. Однако не вызывает сомнения, что к настоящему
времени имеется достаточно четкая «идеология» теории тождеств,
включающая в себя небольшое количество общих стандартных
определений и результатов, список легко формулируемых и,
как правило, трудно решаемых проблем, ряд привычных для
специалистов, поэтому редко описываемых в печати, методик,
значительную массу «фольклорного» материала. Целью
предлагаемой вниманию читателя статьи является именно идейная
сторона теории тождеств. Мы не ставили задачу обозреть все
или большую часть имеющихся в литературе результатов.
В ряде случаев, например, экзотичность результатов о
тождествах вызвана лишь экзотичностью алгебр, тождества которых
изучаются. Далее, многие характерные эффекты теории
проявляются уже при изучении тождеств классических алгебр: групп
и (ассоциативных) колец; важным промежуточным звеном
являются алгебры Ли. (Это именно те разделы алгебры, которые
наиболее близки авторам.) Наконец, в ряде областей алгебры
120

результаты о тождествах составляют ядро теории; они будут
освещены в отдельных статьях данной серии, посвященных
ассоциативным, неассоциативным алгебрам и алгебрам
неклассической сигнатуры. Тем не менее, мы обращаемся и к этим
классам, когда достаточно важные ситуации плохо
интерпретируются в случае классических алгебр.
Переходя к историческим замечаниям, отметим, что, при
всей внешней привлекательности абстрактного подхода к
тождествам, не он лежит у истоков теории. Как это обычно
случается, все началось с решения конкретных трудных задач.
По-видимому, первой из таких задач была знаменитая
проблема Бернсайда 1902 года о периодических группах. Именно,
речь шла о конечности групп с конечным числом
порождающих и с тождеством вида хп=1, где п— фиксированное
натуральное число. Эта проблема и различные ее варианты
породили значительное число исследований, однако в полном
объеме она остается нерешенной и до сего дня. Например, мы не
знаем, является ли конечной произвольная группа G с
тождеством *5=1, порожденная двумя элементами а, Ъ. Лишь в
1968 году в работе П. С. Новикова и С. И. Адяна было дано
отрицательное решение проблемы Бернсайда для достаточно
больших нечетных п (п^4381). В 1958 году А. И. Кострикин
доказал ограниченность порядков конечных групп с
фиксированным тождеством хр=1 (р — простое) и с фиксированным
числом т порождающих, решив тем самым так называемую
ослабленную проблему Бернсайда для простого показателя.
Например, для р = 5, т = 2 точная граница оказалась равной
534. Исследования по проблеме Бернсайда в группах
индуцировали аналогичную работу в других классах алгебраических
объектов. Зачастую постановки возникали «по аналогии»
(например, проблема Куроша о локальной конечномерности
алгебраических алгебр и ряд других). Однако, например,
ослабленная проблема Бернсайда для простого показателя оказалась
эквивалентной проблеме о нильпотентности энгелевых алгебр
Ли, т. е. о возможности вывода тождества вида [ххх2... хп]=0
из тождества вида [хуР~1]=0 в классе алгебр Ли с
фиксированным числом порождающих над полем характеристики р>0.
Большую роль в развитии науки о тождествах сыграла
проблема конечной базируемости, впервые поставленная Б. Нейманом
в 1935 году в докторской диссертации. Им и Биркгофом было
введено понятие многообразия групп как класса групп,
удовлетворяющих фиксированной системе тождеств. Исходя из
классификационных задач, весьма актуальных на начальном
этапе теории бесконечных групп, Б. Нейман спросил: верно ли>
что произвольная система групповых тождеств является
следствием своей конечной подсистемы? С этим вопросом связан и
другой: является ли счетным множество всех многообразий
групп? Отрицательное решение проблемы конечной базируемо-
121

сти было получено лишь в 1969 году (см. п. 1.2, гл. 3).
Множество многообразий групп оказалось имеющим мощность
континуума.
Вариант проблемы конечной базируемости для
ассоциативных колец известен как проблема Шпехта, в честь немецкого
алгебраиста Шпехта, привлекшего к ней внимание
специалистов в теории колец. Недавно А. Р. Кемер объявил о
положительном решении этой проблемы для ассоциативных алгебр
над полем характеристики нуль (см. сноску на стр. 19).
Нерешенной в случае поля характеристики нуль является близкая по
характеру к проблеме Шпехта проблема конечной
базируемости тождеств для алгебр Ли.
С другими историческими замечаниями и постановками
открытых проблем читатель встретится в ходе чтения основного
текста статьи.
Авторы считают приятным долгом выразить благодарность
А. А. Кириллову, А. И. Кострикину и И. Р. Шафаревичу за
конструктивные замечания, направленные на улучшение
рукописи настоящей статьи.

Глава 1
ОСНОВНЫЕ понятия
И МЕТОДЫ ТЕОРИИ ТОЖДЕСТВ
§ 1. Определение тождества. Примеры
1.1. Определение. Пусть А — некоторая алгебра, т. е.
множество с определенным на нем набором операций, Х={х\, х2у...
*.., хп,... } — некоторый счетный алфавит. Кратное
применение операций к буквам из X приводит к выражениям вида
/(*ь х2у • • •, хп) таким, что замена букв хи х2,..., хп£Х на
элементы аь а2,..., ап£А дает вполне определенный элемент f(ab
а2,..., ап)еА. Если f (хи х2,..., хп) и g(xu х2,..., хп) — два
таких выражения, то формула вида
f(xu x2t..., xn)=g(xu х2,...у хп) (1)
называется тождеством. Мы скажем, что тождество (1)
выполняется в Л, если для любых аь а2,..., ап£А справедливо
равенство
f(au а2,..., an)=g(au а2,..., ап).
1.2. Пример. Рассмотрим множество 4 = R3 трехмерных
вещественных векторов. Оно является алгеброй с операциями
векторной суммы u + v, взятием противоположного вектора — и,
фиксацией нулевого вектора 0, умножением на любое число
WR и векторного произведения [и, и], и, a6R3. Тождества этой
алгебры, в которых нет операции векторного произведения, не
представляют заметного интереса: все они являются
следствиями стандартных аксиом векторного пространства.
1.1. *1+(*2+*3)=(*1+*2)+*3,
1.2. Xi+x2=x2+xu (I)
1.3. xx+i—xfi—O,
1.4. *! + ()—*i;
ИЛ. (X\+X2)x=XiX+X2xt
11.2. K(xi+x2)=Kxi+Kx2, (II)
II.3. (K\h2)x=Ki(K2x)9
II.4. l-x=x.
При рассмотрении тождеств, включающих операцию
векторного умножения, следует прежде всего отделить «тривиальные»
тождества, известные из курса аналитической геометрии (№Rr
х, хи х2, x3£R3):
III-1 - [Ххи *2]=Я|>2> x2]t
III.2. [хи%х2\^%[хихг\, (III)
123

III.3. [x{+x2i xs] = [xu x2] +[xu хг],
III.4. [xu х2+хъ] = [xu x2] + [xu *з];
IV. 1. [*,*]-<>, (IV)
IV.2. [[*ь *2], *з]+'[[*2. *з], *l] + [[*3, *l]. ^2]=0.
Последнее тождество — так называемое тождество Якоби —
несколько менее тривиально; впрочем, его проверка не
представляет труда, если отметить, что из IV. 1 легко вытекает
антикоммутативность [х, у] = —[у, х] и что якобиан — левая часть
тождества Якоби — трилинейная кососимметрическая функция
своих аргументов. Выбрав теперь ортогональный базис еи е2, еъ в
R3 и подставив его элементы вместо хи хъ хъ в IV.2, увидим,
что каждый из трех членов якобиана обращается в нуль.
Рассматривая совокупность «тривиальных» тождеств I, II, III, IV,
мы видим, что это — не что иное, как обычная система аксиом
класса алгебр Ли над полем действительных чисел.
Естественно, что при изучении конкретной алгебры Ли
интересно знать «нетривиальные» тождества, т. е. истинные в
данной алгебре, но не выполняющиеся во всех алгебрах Ли
одновременно. Пример такого тождества для R3 можно получить
следующим образом.
Рассмотрим выражение вида
f(X0, ХЪ *2* *3> ХА) = 2d 8<у[[[[**0» *а<1)]» *a<2)]. *a(3)b *с(4)Ь (2)
agSym(4)
где еа=±1 в зависимости от четности перестановки а из
симметрической группы на четырех символах Sym(4) (знак
перестановки а). Это выражение линейно и кососимметрично по
набору {jci, х2, jc3, х±). Следовательно, оно, как и всякая косая
я-линейная форма на R3 при п>3, обращается в нуль, т. е.
f(x0,..., х4)=0 — тождество в R3. Остается указать алгебру
Ли, в которой это тождество не выполняется. Рассмотрим
алгебру M3(R) матриц порядка 3X3 над полем вещественных чисел
с обычными операциями сложения и умножения матриц и
умножения числа на матрицу. Заменим операцию умножения
матриц на операцию коммутирования двух матриц:
[Л, В]=АВ—В А. (3)
Несложная проверка показывает, что в полученной алгебре
выполняются все тождества (I—IV), т. е. что получается алгебра
Ли (так называемая полная линейная алгебра Ли gl (3, R)).
Вычислим элемент f(elu е12, е2ъ е2з, £зз)^1 (3, R), где еи —
матричная единица, т. е. матрица с 1 на месте (£, /) и нулями в
остальных местах. Тогда ецек1 = 61кеи, т. е. [eih ew] = 8Jfce«—6Иек5.
Применение этого правила, в котором 8ц — символ Кронекера,
показывает, что значение любого слагаемого суммы (2), кроме
того, которое соответствует а=1, является нулевым, а при а=1
124

получаем е\Ъ. Значит, /(вц, е12, е22, е2з, ^зз)=^1з¥=0, т. е.
тождество f(x0, хи х2, Хз, х4)=0 не выполняется в gl (3, R).
Проведенное ранее рассуждение показывает, что, на самом
деле, в алгебре R3 выполняется любое тождество вида f(x\,...
. • •, %п\ Уи . • •, Ут) = 0, где левая часть полилинейна и косо-
симметрична по хи ..., я*, м^4. Чтобы как-то представить
себе всю систему тождеств, справедливых в той или иной алгебре,
нужно формализовать понятие «следования» для тождеств.
Именно, скажем, что f=0 — следствие из системы тождеств
gi = 0,..., gm=0,..., если в любой алгебре, в которой gi=*
s=0,..., gm=0,... справедливы, справедливо также и /=0.
Понятным образом определяется и эквивалентность систем
тождеств. Любое подмножество некоторой системы тождеств, из
которого следуют (вытекают) все тождества данной системы,
называется его базисом. Заметим, что в термин базис обычно не
вкладывается никакого оттенка независимости. Впрочем,
естественно стремление получить как можно более простой базис.
Возвращаясь к алгебре Ли R3, отметим, что однородные
тождества этой алгебры степени, не меньшей семи, вытекают из
f(xo, хи Х2, хъ, х4)=0, где / — многочлен в (2). Для получения
базиса системы всех тождеств этой алгебры (Ю. П. Размыс-
лов) следует рассмотреть еще одно тождество степени 5.
Обозначим через adb оператор умножения элементов некоторой
алгебры Ли А на элемент b справа: a(adb) =[а, 6]. Тогда второе
из тождеств, составляющих описываемый базис, имеет вид
[х, у] (adz)3=[x(adz)3, у]+[х, у (adz)*].
Иными словами, куб оператора ad а, где а — любой вектор из
R3, является дифференцированием этой алгебры. (Заметим в
скобках, что в алгебре Ли оператор ad а всегда является
дифференцированием; разумеется, это свойство не распространяется
на степени данного оператора.)
Может показаться странным, что в алгебре Ли R3 базис
тождеств составляют тождества пятой степени: ведь тождества
систем I—IV, выполняющиеся в R3, имеют степень 1, 2 и 3.
Дело в том, что когда говорят о тождествах алгебры из какого-
либо известного класса, скажем, класса алгебр Ли, то,
употребляя вольность речи, базисом называют систему тождеств,
присоединение которой к системе аксиом всего класса дает уже
полный базис тождеств.
1.3. Тождества линейных представлений. Доказательство
описанного результата ведет нас к другим интересным
сторонам определения понятия тождества. При этом удобно
рассматривать ассоциативные алгебры и алгебры Ли как частные
случаи более общего понятия линейной алгебры над полем.
Имеется в виду векторное пространство с билинейной
операцией умножения. Если эта операция записывается в виде скоб-
125

ки (как в алгебрах Ли), то класс линейных алгебр задается
системой аксиом I, II, III.
Возвращаясь к алгебре Ли R3, отметим хорошо известный
изоморфизм L®p C^es1(2, С), где L — алгебра Ли R3, a si(2, С)
состоит из комплексных матриц второго порядка со следом
нуль, т. е. матриц М= \£ d) , где а, 6, с, dec, tvM = a + d=0,
относительно операции коммутирования (3). Другими словами,
sl(2,C) есть комплексификация алгебры Ли R3, что влечет
совпадение тождеств с вещественными коэффициентами у этих
двух алгебр.
Рассмотрим алгебру sl(2,C) как подалгебру в
ассоциативной алгебре матриц М2(С) относительно коммутирования (3).
Тождество вида f (хи х2,..., *») =0, где f(xu ..., хп) —
ассоциативный комплексный многочлен от переменных хи • • •, хп,
называется тождеством пары (М2(С), si (2, С)), если f(gu ...
• • •, gn) =0 для любых gu ..., gn£sl(2, С). Иногда говорят о
«слабом» тождестве, иногда о тождестве представления (для
si(2, С) в С2). В паре (M2(k)y si(2,&)), где k — произвольное
поле, выполняется слабое тождество
х2у—*/х2==0. (4)
Действительно, из теоремы Гамильтона—Кэли видно, что х2 —
скалярная матрица, если х—матрица с нулевым следом из
M2(k). Поскольку скалярные матрицы перестановочны с
любыми другими, видим, что слабое тождество (4) действительно
справедливо в рассматриваемой паре. Одним из основных
моментов доказательства теоремы о тождествах в si (2,С)
является доказательство того, что (4) представляет собой базис
слабых тождеств пары (M2(k), si(2,k)) в случае произвольного
поля характеристики нуль. Этот результат оказывается
важным и при нахождении базиса тождеств ассоциативной алгебры
M2(k) [90].
Заметим, что в ассоциативной алгебре Mn(k) квадратных
матриц порядка п над полем k не может выполняться никакое
тождество степени меньшей, чем 2я. Это утверждение
достаточно проверять в случае полилинейных тождеств. (Подробнее
см. в § 3, где описывается процесс линеаризации тождества,
сходный с процедурой поляризации квадратичной формы,
сопоставляющей ей билинейную.) В этой же ситуации каждое
нетривиальное тождество ассоциативных алгебр представимо в виде
2 ао^а{\) • . . , • Хо(щ) ^0, ахф 0. (5)
cgSym(m)
Если т<2л, то подстановка, подобная примененной в
пункте 1.2 при рассмотрении стандартного тождества в R3,
показывает, что (5) не выполняется в Mn(k). Однако тождество
степени 2п всегда выполнимо. Точнее (теорема Амицура—Левиц-
126

кого (см. [41])), в алгебре Mn(k) выполняется стандартное
тождество степени 2п:
$2п 0*1» • • •' х2п)==1 £ еа-^а(1) * • • • *-^ст(2/г) = 0. (6)
agSym(2rt)
Отметим, что в алгебре M2(k) выполняется и так
называемое тождество Холла
[[*, У]\ г]-0. (7)
Оно, очевидно, вытекает из (4), т. к. для любых Л, B£Mn(k)
имеем trAB=trBA, т. е. [Л, В]=ЛВ—ВАЫ(пу k).
Окончательный результат о тождествах алгебры M2(k) над полем k
характеристики 0 таков: тождества (6) при п = 2 и (7)
составляют базис в системе тождеств ассоциативной алгебры M2(k).
Заметим один неожиданный факт (Вон-Ли (см. [3])):
тождества алгебры Ли M2(k) (т. е. относительно коммутатора), где
k — бесконечное поле характеристики 2, не имеют конечного
базиса.
Тождества представлений возникают и при рассмотрении
пары (M2(k)y SL(2,k))y где SL(2, k) —группа матриц второго
порядка с определителем 1 над полем k. Отметим сначала, что в
самой группе SL(2, k) в случае поля k характеристики нуль не
выполняется никакое нетривиальное тождество класса групп.
Дело в том, что в SL(2, k) содержится свободная подгруппа
счетного ранга F: в качестве такой подгруппы можно взять
коммутант G' подгруппы, порожденной матрицами [2 lj и I о lJ•
Поскольку любая конечно порожденная группа изоморфна
факторгруппе группы F, а невыполнимость тождества проверяется
на конечно порожденной группе, отсюда вытекает, что
SL(2, k) —группа без тождества.
Однако группу SL(2, k) можно рассматривать как
подмножество в M2(k)—алгебре операторов двумерного векторного'
пространства k2. Слабое тождество пары (M2(k)y SL(2,k))
(тождество представления)—это формула вида:
f(Xi хп, х~х -0 = 0» (8)
где f — ассоциативный многочлен. Тождество (8) выполняется в
паре, если f(gu ..., gn, gr\ ..., gn*1) = 0 для любого набора
gu g2, • • •, gn£SL(2, k). Понятно, скажем, что (7) —такое
тождество. Однако имеются и существенно слабые тождества, т. е.
не сводимые к обычным тождествам. Базис всех тождеств
рассматриваемой пары имеет вид [73]:
1.4. Заключительные замечания. В заключение этого
вводного параграфа отметим, что в случае алгебры матриц порядка,
большего 2, и связанных с ней алгебр Ли, групп, представлений
127

вопрос о базисе тождеств является открытым. Исключение
представляет лишь недавний анонс А. В. Яковлева о конечной
базируемости системы тождеств ассоциативной алгебры матриц
любого данного порядка. Впрочем, нерешенным оставался до
последнего времени и принципиальный вопрос, называемый
обычно проблемой Шпехта: доказать, что система тождеств
любой ассоциативной алгебры над полем (нулевой
характеристики) допускает конечный базис (по модулю тождеств,
определяющих класс ассоциативных алгебр). Совсем недавно
А. Р. Кемер в серии докладов анонсировал положительное
решение этой проблемы, т. е. существование конечного базиса
тождеств произвольной ассоциативной алгебры над полем
характеристики нуль. Аналогичный вопрос о тождествах групп
получил отрицательное решение в работах А. Ю. Ольшанского,
С. И. Адяна и Вон-Ли. Простейшая система групповых
тождеств, не сводимая к конечной, имеет вид (Ю. Г. Клейман,
Брайант [68], [106]):
Понятно, что каждое тождество этой системы — следствие
каждого последующего. Однако конечного базиса эта система не
имеет. Пример алгебры Ли без конечного базиса тождеств уже
указан ранее (п. 1.3), сама система тождеств имеет достаточно
неприятный вид. Весьма заурядным явлением является
бесконечная базируемость (т. е. отсутствие конечного базиса)
тождеств полугрупп (в том числе и конечных).
§ 2. Постановка задач. Рабочие понятия
2.1. Общие задачи. Теория тождеств в алгебрах имеет два
взаимосвязанных аспекта: тождества и алгебры.
Соответственно этому имеется два глобальных вопроса:
1) описать алгебры с тождествами;
2) описать тождества в алгебрах.
В первом случае речь идет о структуре алгебры, в которой
выполняется тождество или система тождеств некоторого
специального (как правило, интересного не только с точки зрения
теории тождеств) вида. Нередко на структуру алгебр заметно
влияет просто выполнение нетривиального тождества, как это
имеет место в ситуации ассоциативных колец. Имеются
замечательные примеры, когда алгебра из некоторого естественного
класса полностью определяется своими тождествами.
Во втором случае речь идет о нахождении тождеств
конкретных алгебр или классов алгебр. Следует сразу отметить,
что в такой постановке задача чрезвычайно трудна. Например,
во многих случаях нет ясности в вопросе существования
конечного базиса той или иной системы тождеств (проблема конеч-
128

ного базиса). Кроме того, задачу о тождествах, как правило,
отрывают от самих алгебр, в которых эти тождества
выполняются, хотя, разумеется, для каждой системы тождеств можно
подобрать класс алгебр, для которого эта система является
определяющей. Здесь уже речь пойдет о многообразиях алгебр.
Язык многообразий, в сущности, стирает разницу между
алгебрами и тождествами, или, точнее, позволяет свободно
переходить от одного из этих понятий к другому. Именно на этом
языке, как правило, и проводится работа в теории тождеств.
Несмотря на только что сказанное, мы разделили основную
часть нашего обзора на две главы. В главе 2 речь идет о
структуре алгебр с тождествами, в главе 3 будут изучаться
сами тождества. Оставшаяся часть первой главы посвящается
элементам техники теории тождеств.
2.2. Рабочие понятия. Термин «алгебра» мы используем в
широком смысле как множество с операциями. Группы,
кольца, линейные алгебры — частные случаи этого понятия.
Определение. Класс алгебр с одинаковым набором
операций (т. е. групп, колец, линейных алгебр над фиксированным
полем и т. д.) называется многообразием, если он состоит яз
всех алгебр, удовлетворяющих наперед заданной системе
тождеств.
Например, класс всех групп есть многообразие алгебр с
операциями умножения, перехода к обратному элементу и
указания нейтрального элемента, определенное системой аксиом:
1) хе=ех^х\ 2) хх~1=х-1х=е\ 3) (xy)z=x(yz). (9)
Класс всех абелевых групп — тоже многообразие. Оно
задается системой (9) вместе с тождеством коммутативностц
ху=ух. (10)
Впрочем, когда говорят о многообразии групп, то тождества
(9) считаются автоматически выполненными. Поэтому принято
говорить, что многообразие абелевых групп задается одним
тождеством (10). Аналогичная договоренность имеется и при
рассмотрении других больших классов алгебр (например,
колец, линейных алгебр над полем и т. д.).
Примерами многообразий колец служат многообразия
нильколец ограниченного индекса. Каждое из них задается
простейшим тождеством вида хп=0, где п — некоторое
натуральное число, /г^1.
Допустим теперь, что У—-некоторая система тождеств
групп, приведенная к виду V— {va (хи ..., хп) === 11 аЩ (легко
видеть, что любая система групповых тождеств эквивалентна
системе такого вида). Обозначим через V(G) подгруппу в
группе G, порожденную всеми элементами вида va(gu • • • ,gn)>
где аб/, gu ... ,gn&G. Легко понять, что элементы из V(G)
лежат в ядре произвольного гомоморфизма из G в группы
многообразия, определенного системой тождеС№ V. ^аким обра-
429

зом, V(G) —нормальная подгруппа в G, наименьшая среди
таких, для которых факторгруппа G/V(G) удовлетворяет всем
тождествам системы V. Она называется вербальной подгруппой,
отвечающей системе тождеств V (или множеству слов {va(xu...
..., хп) \а£1}). Примеры вербальных подгрупп хорошо известны.
Коммутант G* группы G — это вербальная подгруппа,
отвечающая тождеству xyx~ly~l = l или, что то же самое, многообразию
абелевых групп.
Сходным образом определяются вербальные идеалы колец.
В этом случае любое тождество также приводится к виду
f(xu... ,#п)=з=0, где f(x\9...,xn)—некоммутативный, а в
самом общем случае, и неассоциативный многочлен бт
переменных хи...,хп. Имея систему тождеств V такого вида, мы
определяем вербальный идеал V(R) кольца R как идеал,
порожденный множеством значений многочленов из V в R.
Более сложно выглядит аналогичное определение в случае,
когда тождества не приводятся к виду v (хи ..., xn)s= 1, как в
группах, или /(*i,... ,xn)=0, как в кольцах. Такова ситуация
в случае полугрупп — алгебр с одной ассоциативной
двуместной операцией. Если S — полугруппа, а S3 — многообразие
полугрупп, то в множестве всех гомоморфных образов
полугруппы 5, принадлежащих многообразию S3, есть «наибольшая»
полугруппа 50. Полугруппа S0 получается в результате введения
на S слабейшей эквивалентности ~, для которой
и(а{,...,ап)~ v(au...,an),
где аи ..., ап — произвольный набор элементов из 5, а
и(хи ..., xu)se£v{xu ..., хп) — любое тождество из системы V,
определяющей многообразие S3. Эта эквивалентность является
конгруэнцией, т. е. на множестве классов эквивалентности
корректно определена операция по правилу перемножения
представителей классов. Возникающая при этом полугруппа классов
So естественным образом отображается на любой гомоморфный
образ полугруппы S, лежащей в S3. Конгруэнция ~
однозначно определена множеством тождеств V (многообразием S3) и
называется вербальной конгруэнцией, отвечающей множеству
V. Она обозначается через р^ : xpvy<=>x~y, S0 = S/^=S/pv.
Аналогичным образом определяется вербальная конгруэнция
в классе алгебр с произвольным набором операций.
Возвращаясь к случаю групп, заметим, что если х, y£G, V —
множество тождеств в приведенной форме, то xpvy<=>xV(G) =
=yV(G). Таким образом, вербальная конгруэнция есть проста
разбиение группы G на смежные классы по нормальной
подгруппе V(G).
Определение. Пусть X— непустое множество, S —
некоторое многообразие алгебр. Алгебра F(X, S3) из многообразия
S3 называется свободной йлгебоой этого многообразия со
свободным порождающим множеством X, если любое отображение
130

Ф: Х-+А, где А — алгебра из S3, единственным образом продол-
жается до гомоморфизма у : F(X,$)^A такого, что ф|х = ф~
Понятно, что если свободная алгебра многообразия
существует, то она единственна с точностью до изоморфизма,
тождественного на множестве X.
Свободная алгебра многообразия — чрезвычайно важный
объект, так как любая алгебра рассматриваемого многообразия
представляется в виде факторалгебры некоторой свободной при:
достаточно «большом» X. Мощность множества X—это ран?
алгебры F(X,%). В большинстве случаев ранг свободной
алгебры многообразия является ее инвариантом. В пункте 4.1 нам:
встретится ситуация, когда инвариантность отсутствует.
Существование свободной алгебры многообразия
доказывается в два этапа. Допустим, что рассматриваются алгебры с
набором операций (сигнатурой) Q. Обозначим через Qn
подмножество в £2, состоящее из /г-местных операций, /г^О. При
/г = 0 операция из Q0 есть просто фиксация некоторого элемента
из алгебры, где эта операция действует. При м>0 операция:
оэВДп (или n-местная операция) есть просто отображение
а): А X ... ХЛ->Л, где А — алгебра, на которой действует рас-
п
сматриваемая операция. Например, в случае
(мультипликативных) групп сигнатура £2 = йгр имеет вид Qrp= QoUQiU^*
где Qo={<0o}, £2i={o)i}, £}2={W- При этом сэ0 есть взятие
единицы е в группе, a)i(a)=a~1, G)2(a, b)=ab. Часто пишут £2гр =
= {е> ~\ •}• Возвращаясь к начатому построению, отметим, что
на первом этапе строится свободная алгебра FQ(X) сигнатуры
Я со свободным порождающим множеством X. Ее элементы,,
называемые словами, задаются следующими условиями:
а) каждый элемент х£Х есть слово;
б) каждый символ нульарной (т. е. из Q0) операции есть
слово;
в) если Wu ..., wn — слова и сэ — символ м-арной операции,.
м>0, то а)(шь'..., wn) — также слово.
Операция сэбй на множестве FQ(X) действует согласно
условию в). Следует отметить, что, скажем, свободная алгебра
FQo (X) в теоретико-групповой сигнатуре Й0={-, -1, е) бе»
учета аксиом группы не есть свободная группа, не есть даже
группа. А свободная группа G(X) есть свободная алгебра
многообразия сигнатуры Q0, определенного системой V тождеств
вида (9). Эта алгебра получается в виде факторалгебры
алгебры FQo (X) по вербальной конгруэнции pv, определенной
системой (9) тождеств 1), 2), 3) (формально нужно каждое иа
тождеств 1), 2) разбить на два).
В приведенном примере уже дано описание второго этапа в
построении свободной алгебры многообразия 2$ алгебр
сигнатуры Q со свободным порождающим Множеством X. Именно:
131

такая алгебра есть факторалгебра свободной алгебры FQ(X)
по вербальной конгруэнции, отвечающей системе тождеств,
определяющей многообразие 3. Что касается самой вербальной
конгруэнции, то это просто пересечение всех конгруэнции р, для
которых uapva для всех аЫ (см. определение выше). Из этой
конструкции вытекает второе основное свойство алгебры F (X, Щ:
любое соотношение и(х\,..., хп) = v(xu ..., хп) между
свободными образующими этой алгебры — тождество многообразия S.
Стоит сказать, что совокупность всех алгебр сигнатуры £} —
это тоже многообразие. Оно отвечает пустой системе тождеств.
Алгебра FQ(X)—свободная алгебра этого многообразия,
свободно порожденная множеством X. Действительно, если задано
отображение ф : Х->Л, где Л — алгебра сигнатуры £2, то
гомоморфизм ф : FQ(X)-+A есть просто вычисление значения слова
w^Fq(X) на элементах алгебры Л, соответствующих буквам из
X при отображении ф.
Свободные алгебры многообразий зачастую хорошо
известны и без какой-либо связи с теорией тождеств. Трем таким
алгебрам: свободной группе, свободному ассоциативному
кольцу и свободной алгебре Ли — будет посвящен специальный
раздел 4.2. Укажем здесь лишь чрезвычайно простые конструкции
свободной полугруппы и свободной ассоциативной алгебры со
свободным порождающим множеством X. Это нередкий пример,
когда свободная алгебра строится не «сверху», как в общей
конструкции, а «снизу» с помощью известной модели. Если X —
непустое множество, то свободная полугруппа S(X) есть
просто множество слов в алфавите X с операцией приписывания
слов. Пусть дано отображение ф : Х-+А, где А — полугруппа,
тогда ф(*1 .. . хп) =<p(*i) •.. <р(*п) — гомоморфизм из S(X) в Л,
продолжающий ф. Свободная ассоциативная алгебра А(Х) есть
линейное пространство над полем скаляров, базисом которого
является S(X), с естественной операцией.
2.3. Теорема Биркгофа. Одним из фундаментальных
результатов, лежащих в основе теории многообразий, является
теорема Биркгофа [32].
Теорема. Непустой класс $ алгебр фиксированной
сигнатуры является многообразием тогда и только тогда, когда он
замкнут относительно перехода к подалгебрам, гомоморфным
образам и декартовым произведениям своих алгебр.
Ввиду важности этой теоремы мы приведем ее с
доказательством. Сущность рассуждения полностью сохраняется, если,
например, предположить для определенности, что $ имеет
групповую сигнатуру. Конструкция доказательства весьма полезна
для уяснения структуры алгебр из многообразия,
определенного тождествами некоторой алгебры (или совокупности алгебр).
(Определение декартова произведения см. в п. 4.2 ст. I
настоящего тома).
. Очевидной частью теоремы является замкнутость многообра-
132

зий относительно указанных переходов. Допустим теперь, что
J?— замкнутый класс. Рассмотрим множество V всех
тождеств а=1 (от счетного набора переменных), выполнимых в
группах из $. Пусть группа G удовлетворяет всем тождествам
из $. Требуется доказать, что G£$t. Если это будет доказано,
то понятен вывод о том, что $ — многообразие, заданное
системой тождеств V.
Рассмотрим множество X той же мощности, что и G. Пусть
F(X)—свободная группа со свободным порождающим множен
ством X, (S — любой подкласс в $, определяющий ту же сово-г
купность тождеств У, что и ®. ■>
Рассмотрим далее множество 9Я всех (с точностью до
изоморфизма) гомоморфных образов группы F (X) в группах из © и
множество Ф гомоморфизмов из F (X) на группы из Зй. Пусть
Gq> = 4(F(X)) для ФбФ. Образуем декартово произведение
С=11<?<р, в нем возьмем подгруппу В, порожденную всеми
<pg<D
элементами fx, х£Х> такими, что /ДГ(Ф) = Ф (х), ФбФ.
Достаточно доказать, что B^F(X> 58), где 58 — многообразие,
определенное системой тождеств V. Действительно, тогда биекция
•§:X-+G продолжается до гомоморфизма ty:F(X> 58)->(?.
Получается, что О — гомоморфный образ подгруппы В декартова,
произведения С групп из #, т. е. Gg#, и все будет доказано.
Для доказательства изоморфизма возьмем любое
отображение \ %:X-+D&8. Тогда существует гомоморфизм %:F(X)->D
такой, что %\x—*%- Сравним ядра гомоморфизма % и
гомоморфизма s:F(X)-+C, продолжающего отображение &:x*-+fx, где
х£Х. Если e(v(xu ...,хл)) = 1, то v(fXl, ...,/^) = 1, и для
любого ФбФ имеем: v (Ф (хг), ..., Ф (хп)) = 1 по определению
функций /д., т.е. W(v(Xi, ..., хп)) = \. В силу произвольности
ФбФ видим, что v == 1 — тождество в группах из Ё, т.е. и
в группах из 58. Поскольку D658, v (% (Xi), ..., % (x„)) = l, т. e.k
%{v(xu ...,хл)) = 1. Значит Кег^зКеге. Это позволяет
корректно определить отображение %:B^~D, полагая %(fx)=s%(x)'
х(<Х. Итак, В — действительно свободная группа многообразия 58,
и теорема доказана.
Используя приведенную конструкцию, мы, в какой-то
степени, можем дать описание алгебр, удовлетворяющих тем же
тождествам, что и некоторая фиксированная алгебра А. Мно-,
жество всех этих алгебр есть многообразие 2$, называемое
многообразием, порожденным алгеброй А (обозначается 95 =
= уагЛ). Важным следствием доказанной теоремы является то,
что если А — конечная алгебра, то любая конечно порожденная
алгебра из уагЛ конечна. В самом деле, положим в доказа-,
тельстве теоремы $=S, 6= {А}. Тогда любой гомоморфизму
133

<р£ф определен образом конечного множества X в конечной
алгебре А. Легко понять, что \F(X, $) | ^ \А ||А||Х|, где \М\—
мощность множества М. Однако любая конечная алгебра В из
9 — гомоморфный образ такой алгебры F(X, $), что и
доказывает следствие.
Например, в многообразии групп, порожденном группой
Sym(3) порядка 6 = 3!, число элементов в 2-порожденной группе
ограничено константой б6" =636. Эта оценка является
чрезвычайно грубой, и достаточно несложные вычисления показывают,
что можно ограничиться гораздо меньшим числом 22-35 = 972, а
свободная 2-порожденная группа данного многообразия
изоморфна подгруппе, порожденной в Sym(15) перестановками
(12) (45) (789) (10, 11, 12) и (23) (78) (456) (13, 14, 15).
Свободная алгебра многообразия — это алгебра, в структуре
которой отражены лишь наиболее общие свойства алгебр
данного многообразия. Не удивительно поэтому, что в смысле
привычных структурных свойств свободная алгебра многообразия,
порожденного некоторой алгеброй, зачастую резко отличается
от самой порождающей алгебры. Особенно сильно это различие
в случае линейных алгебр над бесконечным полем. Например,
если Л = Я3 — векторная алгебра Ли, то алгебра А — простая
конечномерная, в частности, Л2=[Л, Л]=Л. Напротив, если
33 = уагЛ — многообразие, то S-свободная алгебра Ли L =
= F({xu х2}, 2$) имеет бесконечную размерность, явное задание
коммутирования [ , ] в L затруднительно, L градуирована
подпространствами Ln неассоциативных многочленов
фиксированной степени п однородности относительно {хи х2} и LnaLn@
<BLn+i© ..., т. е. LzdL2zdL3zd ..., причем
П Iя-ДО (11)
(обобщенная нильпотентность). Отметим, что размерности
подпространств Ln вычислены: dimZ,1 = 2; если п=2т-\-\ > 1, то
dim£„=m(//i + l)> если п=2т, то dimZ,„=2-/7i(/7i+l)
<см. [109]).
Из свойства (11) видно, что уагЛ порождается и своими
нильпотентными алгебрами: var Л =var({L/Lw|rt = l, 2,... }).
В связи с этим введем полезное понятие аппроксимации. Пусть
G — некоторая алгебра и £Е> — класс алгебр той же сигнатуры.
Говорят, что G аппроксимируется алгебрами из 3), если для
любых х, y£Gy хфу, найдется эпиморфизм ф : G^-D^S) такой,
что ц(х)фц(у).
Важное следствие теоремы Биркгофа таково. Если 3 =
= var(i£)), то S-свободные алгебры аппроксимируются
совокупностью алгебр из 2) и их подалгебр. Очевидно и обратное: из
аппроксимации S-свободной алгебры счетного ранга ^5-алгеб-
рами следует, что многообразие 8 порождается своими <2>-ал-
134

гебрами. Например, многообразие всех групп порождается
конечными р-группами, нильпотентными группами без кручения
и т. д.
2.4. Дополнительные замечания. Понятно, что описание
систем тождеств данной сигнатуры Q с точностью до
эквивалентности равносильно описанию многообразий. Если мы
интересуемся только системами тождеств, содержащими некоторую
фиксированную подсистему (например, в групповой сигнатуре —
систему аксиом группы), то мы изучаем многообразия,
содержащиеся в некотором фиксированном многообразии (в
отмеченном случае — многообразия групп). Есть еще одна сторона
того же вопроса. Пусть Fq(X) —свободная алгебра сигнатуры
Q со счетного множества переменных Х={хи х2>...}. Тогда
между многообразиями сигнатуры Q и вербальными конгруэн-
циями алгебры FQ(X) существует взаимно однозначное
обращающее включения соответствие. Если 2$— фиксированное
многообразие, то существует такое же, как выше, соответствие между
вербальными конгруэнциями свободной алгебры F(Xy 93)
многообразия $ и подмногообразиями многообразия 2$.
В частности, существует взаимно однозначное обращающее
включение соответствие между многообразиями групп и
вербальными подгруппами свободной группы счетного ранга.
Также существует взаимно однозначное соответствие между
многообразиями абелевых групп и множеством вербальных подгрупп
свободной абелевой группы счетного ранга. Используя то, что
на самом деле любое многообразие абелевых групп задается
тождествами от одной переменной, мы получаем взаимно
однозначное соответствие между многообразиями абелевых групп и
вербальными подгруппами группы целых чисел. Окончательный
итог таков: существует биекция между множеством
натуральных чисел и множеством многообразий абелевых групп, причем
включению многообразий соответствует делимость натуральных
чисел. Таким образом, формальная, на первый взгляд, связь
между многообразиями и конгруэнциями, нормальными
подгруппами, идеалами на самом деле представляет большие
возможности для изучения тождеств. Дело здесь, в первую
очередь, в том, что эта связь позволяет сводить вопросы о
совокупности алгебр либо о системе разрозненных тождеств к вопросу
о внутренней структуре одной единственной алгебры. При этом
процесс получения следствий данного тождества u=v
становится формальным процессом перехода к вербальному
замыканию, т. е. построения наименьшей вербальной конгруэнции
р алгебры F(X, Q) такой, что upv. Например, в случае
линейных алгебр, тождество и(х\,..., хп)=0 является следствием
тождества у(хь..., хп)=0 тогда и только тогда, когда
элемент и(хи ... у хп) лежит в вербальном идеале /, порожденном
элементом v(xu ... ,хп). Однако идеал Г, порожденный как
идеал всевозможными элементами вида у(/ь..., fn), обладает
135

тем свойством, что F(X, 2$)/Г лежит в многообразии,
определенном тождеством v=0. Поскольку Т—наименьший идеал с
этим свойством, видим, что 1=Т. Отсюда с очевидностью
вытекает, что из однородного тождества степени п в линейной
алгебре нельзя извлечь в качестве следствия однородное
тождество степени /п, где ш<п (см. определение в п. 3.1).
В заключительной части настоящего раздела мы отметим
два важных параметра систем тождеств, называемых базисным
и аксиоматическим рангами. Будем в данном случае
пользоваться инвариантным языком многообразий. Итак, пусть 93—
многообразие. Допустим, что 93 может быть определено
системой тождеств, зависящей от ограниченного числа переменных.
Пусть г — наименьшее число переменных в записи любой такой
системы. Скажем, что г = га(93)—аксиоматический ранг
многообразия 93. Если 93 не может быть определено системой тождеств
от конечного числа переменных, то говорят, что аксиоматический
ранг многообразия 93 бесконечен, и пишут га(93)=оо.
Определение этого параметра нуждается в одном уточнении. Дело в
том, что, как правило, мы работаем в пределах некоторого
многообразия Ш данной сигнатуры (например, многообразия
групп). Под аксиоматическим рангом многообразия 93 поэтому
имеется в виду число переменных в тождествах, задающих $
по модулю системы тождеств (аксиом) многообразия 2Я.
Понятно, что многообразие бесконечного аксиоматического ранга не
имеет конечного базиса тождеств, обратное же не всегда
верно. Например, заменив в любой бесконечной системе
групповых тождеств от х\,..., хп,... каждую переменную хп на
коммутатор [у, хп] =у~1х~пухпу мы придем к системе тождеств
аксиоматического ранга два. Свойство «не иметь конечного
базиса» при этом сохраняется. Примером многообразия
бесконечного аксиоматического ранга является многообразие алгебр
Ли, порожденное алгеброй Ли si (2, k) над бесконечным полем
k характеристики 2.
Другой важный параметр — базисный ранг многообразия 93.
Если 93 может быть порождено алгеброй с конечным числом
порождающих, а г — наименьшее такое число порождающих, то
говорим, что г=гь(Щ —базисный ранг многообразия 93. Если 9J
не может быть определено тождествами алгебры с конечным
числом порождающих, то скажем, что базисный ранг
многообразия 93 бесконечен, гь(93)=оо (подробнее см. в п. 3.1, гл. 3).
В вопросе о порождении многообразия своими алгебрами
важную роль играет понятие критической алгебры. Если А —
некоторая алгебра, В — ее подалгебра, раВхВ— конгруэнция
алгебры 5, то факторалгебра В/р называется фактором
алгебры А. Фактор Л/Д^ёЛ, где Д — тривиальная конгруэнция (т. е.
akb<=$~a = b), называется несобственным, остальные факторы —
собственные. В частности, факторами будут группы вида Н[К>
где К нормальна в подгруппе HczG.
136

Определение. Алгебра А называется критической,
если она не принадлежит многообразию, порожденному ее
собственными факторами.
Пусть а—пересечение всех нетривиальных конгруэнции ра,
ag/, алгебры А. Если а —тривиальная конгруэнция, т. е.
П ра=А» то существует вложение Л^П Л/ра (достаточно эле-
аб7 ag/
менту aQA сопоставить функцию /а такую, что /a(a) = [#]pa).
В этом случае Agvar ({А/ра| аб/}), т. е. Л —некритическая
алгебра. Итак, в случае критической алгебры А в этой алгебре
должна быть наименьшая нетривиальная конгруэнция. Такая
алгебра называется подпрямо неразложимой (монолитной).
Например, циклическая группа G порядка п является монолитной
тогда и только тогда, когда n=ps> где р — простое число, s =
= 1, 2,... . Такая группа G является и критической: дело в
том, что в любом ее собственном факторе выполняется
тождество X? ~г = е, rfe выполнимое в G. Ошибкой было бы заключить,
что любая монолитная алгебра является критической.
Критические алгебры играют особенно значительную роль при
изучении локально конечных многообразий, т. е. таких, в которых
конечно порожденные алгебры конечны. Дело в том, что
справедливо замечание: любое локально конечное многообразие
порождается своими критическими алгебрами. Из условия
локальной конечности следует, что многообразие порождается
множеством своих конечных алгебр: в качестве этого множества
можно взять множество свободных алгебр ранга 1, 2, 3,...
(такое множество порождает любое многообразие). Далее,
используя индукцию по порядку конечной алгебры, остается перейти к
ее критическим факторам. К числу локально конечных
многообразий относятся многообразия, порожденные конечной
алгеброй. Условие локальной конечности можно заменить условием
локальной конечномерности, если речь идет об алгебрах над
полем, либо другими, сходными по действию, условиями.
Вопрос об описании критических алгебр в естественных классах
является весьма трудным. В качестве примера укажем, что все
конечные простые группы, ассоциативные кольца, алгебры Ли
и т. д. — это критические алгебры ([3], [48]).
§ 3. Тождества в линейных алгебрах
3.1. Однородные и полилинейные тождества. Если k —
некоторое поле, а X — непустое множество, " то обозначим через
k(X> множество всех неассоциативных многочленов от X с
коэффициентами из k. Алгебра k<X> — это линейная алгебра над
полем &, базисом которой являются всевозможные -
неассоциативные одночлены от X, относительно дистрибутивной операции:
137

умножения многочленов, при которой произведение двух
одночленов определяется как результат приписывания одного из
этих одночленов к другому и расстановки скобок (если нужно).
Например, xi-x2 = X\X2, Xi-х2хъ=хх(х2хъ), {Х\Х2)хх• (х2х{) (*з*4) =
= ((*i*2)*i) ((*2*i) (*з*4)) и т. п. Алгебра k<X> — свободная
алгебра многообразия алгебр сигнатуры Q={+, —, 0, к(кЩ, •},
заданного системой аксиом вида (I—III), см. начало § 1, с
заменой X6R на №k и [, ] на •. Если А— некоторая линейная
алгебра над k, т. е. алгебра сигнатуры Q с указанной системой
аксиом, то любое отображение ф : Х->Л продолжается до
гомоморфизма ф : £<Х>-£Л, если положить
Ф (/ (*!, ..., хп)) = / (Ф (хх), ..., Ф (хп)).
Правая часть вполне определена, т. к. аксиомы (I—III)
позволяют вычислить в А значение любого неассоциативного
многочлена. Как уже отмечалось выше, в линейной алгебре любое
нетривиальное тождество представимо в виде /(*i,... ,*n)s==0,
где /(*ь ..., хп) — ненулевой неассоциативный многочлен.
Назовем многочлен f(xu...,xn) нормальным, если он
является линейной комбинацией одночленов, каждый из которых
зависит от всех букв, входящих в некоторый фиксированный
для данного многочлена набор. Используя подстановку нулей
вместо некоторых переменных, нетрудно заметить, что любая
система тождеств эквивалентна нормальной, т. е. системе
тождеств вида f(xu ..., хп) =0, где левая часть — нормальный
многочлен.
Другой важный тип тождеств линейных алгебр —
однородные тождества.
Определение. Однородным называется тождество вида
/(*ь ... ,*п)=0, где f(xu... ,хп) —однородный многочлен —
линейная комбинация одночленов одной и той же степени.
В целом ряде важных случаев можно ограничиться
изучением лишь однородных тождеств.
Третий тип тождеств, являющийся частным случаем двух
отмеченных, — полиоднородные тождества. Назовем
полистепенью одночлена w(xx,..., xm) строчку а= (пи ... , пт), в
которой щ — число вхождений переменной л^-, /= 1,..., т.
Определение. Многочлен f(xu...,xm) называется
полиоднородным, если он является линейной комбинацией
одночленов одинаковой полистепени.
Примеры. 1) Многочлен f(xu х2, хз)=х{х2—хххг—
однородный, но не нормальный.
2) f(xu лг2, хг) = (ххх2)х£—хг(ххх2) +2*з(*i2*22)
—нормальный, но не однородный.
3) f(xu х2, хг) = (xiX^)x22-\-3(x2xz) (*2*i) — полиоднородный
полистепени (1, 2, 1).
Определение. Полилинейный многочлен /(хи ...,хш) —
это многочлен полистепени (1,..., 1).
m
138

Соответственно, мы говорим о полилинейном тождестве.
Справедлива следующая теорема (о которой уже упоминалось
в п. 1.3):
Теорема. Всякое нетривиальное тождество имеет
нетривиальное полилинейное следствие.
В доказательстве этой теоремы главным является хорошо
известная процедура линеаризации. Выделим некоторую
переменную х, входящую в запись левой части рассматриваемого
тождества f(xu ..., хп)=0. Запишем левую часть в виде
f(xu ..., хп) =/()-)-/!+ ... +/*, где /о не зависит от х, /i
линейно по x,...,ft однородно по х степени /. Если /о=т^О, то,
подставляя х = 6, получим, что fo=Q — нетривиальное следствие
нашего тождества. Поскольку /0 зависит от меньшего числа
переменных, то применима индукция по п. Если /о = 0 и t=\, то /
зависит от х линейно, и мы можем перейти к рассмотрению
других переменных. Если />1, то фиксируя все переменные,
кроме х, рассмотрим g(y,z) =f(y+z)— f(y)— f (z), где z/, z —
две новые переменные. Очевидные соображения показывают,
что суммарная степень многочлена g по г/, z такая же, как у f
по ху но максимальная степень по у или z не превосходит /—1
(многочлен g построен так, что одночлены степени t по у или
z сокращаются). Далее, пусть ахха2х ... atxat+i и bxxb2x ...
... btxbt+i — два различных одночлена степени t по х в
f(xu ... ,хп) (подразумевается некоторая расстановка скобок).
Тогда из них и только из них получаются различные одночлены
d\za2y ... atyat+i и bxzb2ybby ... btybt+\. Это и доказывает
нетривиальное^ следствия g(y, г)^=0. Понятно, что применение
описанного процесса понижает число переменных максимальной
степени при сохранении общей степени многочлена, что в
конечном итоге приводит к полилинейному следствию. Теорема
доказана.
Отметим, что полученное следствие нетривиально в классе
всех линейных алгебр. При нахождении нетривиального
следствия из тождества, нетривиального в некотором более узком
классе алгебр, требуются дополнительные предосторожности,
однако вывод тот же. Например, линеаризуя тождество *3s=Q
в классе ассоциативных алгебр, мы приходим к цепочке:
х3 -> zyy+yzy+yyz+yzz + zyz + zzy
no JC
-> zuv + zvu+uzv + vzu+uvz-i-vuz.
по у
Производя замену переменных, видим, что следствием из
jc3==0 является ^ xO(i)XO(2)Xa(z)^0. Аналогично, из хп^0
agSym(3)
вытекает тождество ^ x0(i) ... xa(n)=zO. Если в этом тож-
agSym(rt)
139

дестве отождествить переменные, то получим следствие п\ хп=0.
Поэтому в случае характеристики основного поля, не делящей n\f
тождество хл = 0 и его полилинейное следствие ^ xa(i>...
crgSym(rt)
... ха(Л) = 0 эквивалентны. На этом пути можно получить важную
теорему: над полем характеристики нуль любая система тождеств
эквивалентна полилинейной.
В случае произвольного бесконечного поля имеется более
слабый вариант этой теоремы: всякая система тождеств
эквивалентна полиоднородной системе. Действительно, рассмотрим
представление для / (лгь .. .,хп), как и в предыдущем
доказательстве: / = /o + /i+ • • • +/*• Пользуясь бесконечностью
поля, выпишем следствия нашего тождества при х^Х0хг
х *-*• Х\Х, ..., х •-* Xtx, где Х0, Хц ..., ht — различные элементы
поля. Получим
(/0 + W1+W2+ ••• +^о// = 0,
I • • •
l/o + X,/1+X?/2+ ••• +^/^0.
Если принять /о, /ь • • •, ft за неизвестные, то полученная
система имеет единственное решение /о^О, f\ — О,..., ft=Q, так
как ее определитель (определитель Вандермонда) отличен от
нуля. Значит, /=0 можно заменить на {/о=0, /i = 0,... ft=0}.
Доказательство завершается индукцией по числу
«неоднородных» переменных.
3.2. Градуировки свободных алгебр. Приведем некоторые
следствия доказанной теоремы, касающиеся структуры
свободной алгебры многообразия над бесконечным полем. Заметим
сначала, что если Fn — линейная оболочка одночленов степени
п в k<X>, а Fa — линейная оболочка одночленов полистепени а,
то очевидны прямые разложения
оо
k(X) = ®Fn, k{X)=®Fa.
n=l a
Здесь FnFmczFn+m4 a FaF^czFa+^ Пусть V — вербальный
идеал, отвечающий многообразию 58. В случае бесконечного поля
из приведенных в пункте 3.1 результатов можно вывести, чта
оо
V=®Va и V=® Vn, где Va^Vf\Fa и Vn = V[)Fn- Поэтому
a п=\
факторалгебра T = k ( X ) IV=F(X, 58) предстазима в виде
оо
Т= @Тп и Т = ®Та, причем TnTmczTn+m и ГаГэс7а+р; кроме
п=\ а
того, Tn^FnlVn, Ta^FalVa (изоморфизм векторных
пространств). (В такой ситуации принято говорить, что алгебра Т
наделена градуировкой.) Важное свойство градуировки Г—0Га
140

состоит в том, что все подпространства Та имеют конечную
размерность над основным полем. Такими же градуировками
обладают свободные алгебры многообразий, заданных
полиоднородными системами тождеств. В частности, свободная
ассоциативная, свободная алгебра Ли и многие другие являются
градуированными посредством степеней и полистепеней
относительно любого свободного порождающего множества.
Приведенное свойство свободных алгебр полиоднородных
многообразий (т. е. для которых У = ФУа), в частности, свобод-
ex
ных алгебр многообразий над бесконечным полем, позволяет
вывести ряд следствий о структуре этих алгебр и о тождествах
таких многообразий. Пусть A = F(X, 95)—свободная алгебра
такого многообразия 25. Тогда
1) ряд степеней Л=эЛ5=эЛ3=э ... пересекается по нулевой
алгебре;
2) алгебра А аппроксимируется конечномерными нильпо-
тентными алгебрами, т. е. для любого ненулевого х£А
найдется идеал Nx такой, что x£Nx, a A/Nx — конечномерная нильпо-
тентная алгебра;
3) если X — конечное множество, то Л — хопфова алгебра,
т. е. она не может быть гомоморфно отображена на себя с
нетривиальным ядром. (Не путать с алгеброй Хопфа, которая,
впрочем, нигде не встречается в статье.)
4) Пусть У—множество элементов в Л, линейно
независимых по модулю квадрата этой алгебры. Тогда У служит
свободным порождающим множеством (в смысле многообразия 8)
для порожденной им подалгебры.
5) Всякое полиоднородное многообразие задается
независимой системой тождеств (т. е. такой, в которой никакое
тождество не является следствием множества остальных).
3.3. Действие группы GL(/i, fe). При изучении тождеств
линейных алгебр наиболее глубоким является подход, связанный
с рассмотрением действия на однородных частях свободных
алгебр классических групп GL(n,k) и Sym(n). При этом
применима хорошо разработанная теория представлений этих групп
(в дальнейшем предполагается, что основное поле k имеет
характеристику нуль). Определим сначала действие этих групп.
Пусть Х= {хи ..., хп} — некоторое конечное множество, Г =
= F(X, 25)—свободная алгебра многообразия 25 над полем k
с множеством А' свободных порождающих. Если s& — линейный
оператор на векторном пространстве <ХУ с базисом X, а Тп —
/г-я однородная компонента алгебры Г, то определим действие
оператора s& на элементе f (дгь ..., хп)£Тт, полагая
& о f(xu ...,xn)=f(sl(xi),...fsf> (хп)).
Понятно, что s£f=Q — следствие тождества /—0. ЕЬли же
^6QL(/i, fe), то s£f=0 и f=0 — эквивалентные тождества.
Допустим, что однородное тождество /=0.степени т от перемен-
141

ных хи ..., хп является следствием однородного степени т
тождества gssO. Тогда / принадлежит GL (и, k) -подмодулю,
порожденному многочленом g. Действительно, / лежит в
линейной оболочке значений многочлена на линейных комбинациях
элементов Х\,...,хП9 т. е. в линейной оболочке элементов вида
g{&(xi),... ,38(хп))9 где & — некоторый эндоморфизм
(линейный оператор) векторного пространства <Х>. Каждый такой
эндоморфизм есть произведение автоморфизмов, т. е. элементов
из GL(/z, fe), а также эндоморфизмов, оставляющих на месте
все переменные, кроме хи переходящего в 0. Поэтому остается
отметить, что g (0, лг2,.. -, хп) лежит в GL(/i, k) -подмодуле,
порожденном g(xu ...9хп). Для этого запишем g=go+ ... г\-£т>
где g\i есть линейная комбинация одночленов степени i от х\,
i=0, 1,...,т. Взяв /и+1 различных ненулевых элементов
Ло, • • • Дт и применив автоморфизмы st^ : Х\ *-*kiXu Х2*~*х2,.. »
..., хп*-*хп, мы увидим, что в рассматриваемом GL(/i,
/^-подмодуле лежат все элементы вида go+hig\ + ... +himgmi i =
= 0, 1,..., т. Как и ранее, отсюда вытекает, что go,...,gm
сами лежат в этом подмодуле. Поскольку go=g(0, х2,..., хп)>
наше утверждение доказано. Итак, множество попарно
неэквивалентных систем тождеств степени т от переменных Х\,..., хп
находится в биективном соответствии с множеством GL(/z, k)-
подмодулей в Тт. Это дает полное описание однородных систем
тождеств каждой степени.
Пример. Изучим подмногообразия многообразия 93
ассоциативных алгебр над полем k характеристики нуль с
тождеством #1#2*з—0. Это эквивалентно изучению систем тождеств
степени 2 от двух переменных х\, х2. Пусть T=F({xu х2}, 33).
Имеем Г=7\©Г2, где Тг = <хи х2>, Т2^ТХ®ТХ. Этот последний
изоморфизм является G-модульным, где G==GL(2, k). Хорошо
известные формулы для разложения тензорного квадрата
естественного двумерного представления группы G = GL(2, k)
показывают, что Т2 разложимо в прямую сумму одномерного и
трехмерного неприводимых модулей: симметрического S2T{ и
внешнего А2Т{ квадратов пространства 7V Образом
порождающего элемента Х\®х2-\-х2®хх симметрического квадрата S2T{ в
Т2 является многочлен х{х2-\-х2хи в случае внешнего квадрата
приходим к ххх2—х2хх. Поскольку тождества нулевой и первой
степени дают лишь тривиальные многообразия, приходим к вы-
зоду, что многообразие 93 имеет пять подмногообразий: 1) S3;
2) нулевое многообразие (тождество *1==0); 3)
подмногообразие коммутативных алгебр (тождество Х\Х2—х2хх = 0)\ 4)
подмногообразие айтйкоммутативных алгебр (тождество Х\Х2+
-\-х2хх = 0)\ 5) многообразие алгебр с нулейым умножением
(тождество х^ззО).
В частном случае ассоциативных алгебр, к которому
относится рассмотренный пример, //i-я однородная компонента Ат
свободной ассоциативной алгебры А(хъ.*.,хп) есть тензорное
142

произведение Am«A1®...®A1. Этот изоморфизм является
т
GL (п, £)-модульным. Классическая теория тензорных
представлений полной линейной группы гласит, что описание GL-подмо-
дулей может быть получено с помощью теории представлений
симметрической группы Sym (т), действующей справа
на Л!®...®Л! путем перестановки сомножителей местами. Для
т
описания необходимо ввести диаграммы Юнга.
Именно, пусть т = т\+ ... +mt — разбиение числа т
такое, что mi^m2^ ... ^mt>0. Сопоставим ему клеточную
диаграмму из t строк, причем в строке с номером i имеется т*
клеток. Например, если 3 = 2+1, то рисуем
Произвольно разместив в клетках диаграммы числа
1, 2,..., т, мы приходим к таблице Юнга d. С каждой
таблицей связаны две подгруппы в группе Sym(m): Cd и Rd.
Элементы из Са переставляют между собой символы каждого столбца
из rf, а элементы из Rd переставляют между собой символы в
пределах каждой строки. Пусть
ed*=* 2 8ata
— элемент групповой алгебры группы Sym(m), где еа — знак
перестановки сг, построенный при помощи таблицы d. Тогда
любой неприводимый GL(n, k) -подмодуль в Ат имеет, с
точностью до изоморфизма, вид Amed для подходящей таблицы dr
весь модуль Ат есть прямая сумма таких подмодулей, Aned —
нулевой подмодуль тогда и только тогда, когда число t строк в
d больше /п, наконец, А^е,^Ат^а' тогда й только тогда, когда
dud' получаются из одной и той же диаграммы. Размерность
GL(m, k) -модуля Vn,d=Amed вычисляется по формуле
dimVn>d= [J щ~7-/^ ■
n>i>j>\
Описанный подход работает не только при классификации
тождеств малых степеней ассоциативных алгебр, но и в случае
других классов линейных алгебр. Нужно иметь лишь в виду,
что однородная компонента степени т свободной алгебры от
Х\,.. .* хп может быть представлена в виде фактормодуля
QL{n, k) -модуля Аш® ... ФЛ,н, где s —число возможных
расстановок скобок, не сводимых друг к другу применением
тождеств объемлющего многообразий линейных алгебр. Например,
143

в случае алгебр Ли имеем s=l, так как любой одночлен с
расстановкой скобок применением тождеств Якоби и
антикоммутативности приводится к линейной комбинации левонормиро
ванных одночленов. Одной из областей применения этой
техники является изучение такой важной числовой характеристики
многообразия, как ряд Гильберта—Пункаре (см. п. 5.1, гл. 3).
3.4. Действие группы Sym(n). Если мы интересуемся только
самими тождествами, то нередко удобнее ограничиться
рассмотрением полилинейных тождеств и действия на них
симметрической группы. Зафиксировав набор переменных х\9..., хп и
множество Рп(Щ всех полилинейных многочленов от этого набора
в свободной алгебре от хи.. ,,хп многообразия 2$, мы
определим действие группы Sym(n) на РП(Э) следующим образом.
Пусть c6Sym(rc), f(xb ..., хп)£Рп(Щ, тогда
° (/ (ХЬ • • • » -*7г)) ^ / (Х0(\), • • • » Х0{п))-
Если d — таблица Юнга, R = k[Sym(n)]— групповая
алгебра симметрической группы Sym(rc), то каждый неприводимый
подмодуль в Рп(Щ изоморфен модулю вида Red, где ed —
элемент, определенный выше. Размерность модуля Red может
быть определена с использованием так называемого «правила
крюков»:
dim/fof=
где к{j — длина крюка с вершиной в точке (i, /)
рассматриваемой диаграммы (от расстановки чисел размерность не
зависит). Например, если
dm
ищи
, «ю Ьщ-Наушь крюка
«Ш
f т.е. Лц»%,
Ьу~$*шъкрюка|%|5|f т.к.t98адмЬп-Адима крюка
tm.i
таким образом, dimRed = 5\ (4-2-3-1-1)~1=5. Далее, Рп{%)—
прямая сумма подмодулей, изоморфных модулям Red, и
множество неэквивалентных,, систем полилинейных тождеств
степени п находится в биективном соответствии с
множеством различных Sym(fl) -подмодулей. В случае, когда
Рп(Щ порождается как Sym(n)-модуль .некоторым набо-
144

ром одночленов vb • • •, vp, мы можем выписать «канонические»
тождества, множеству которых эквивалентна любая система
тождеств. Для этого достаточно рассмотреть многочлены edvtu
где d пробегает множество таблиц Юнга; t=l, 2,..., р. Тогда
либо edVi = Q, либо RedVi — ненулевой неприводимый подмодуль в
Рп (2$). Поскольку любой ненулевой подмодуль в Рп (9$) есть
прямая сумма неприводимых, любая система полилинейных
тождеств эквивалентна системе тождеств вида 2^^1=0.
Особенно прозрачной становится структура систем тождеств в случае,
когда Рп($) не содержит кратных неприводимых подмодулей.
Тогда можно зафиксировать конечное множество канонических
тождеств edVi==0, и любая система тождеств будет эквивалентна
некоторому подмножеству этого множества. Например, такова
ситуация для тождеств алгебр Ли степеней 1, 2, 3, 4, 5. При
наличии кратных подмодулей множество систем тождеств
устроено существенно сложнее. Подсистемы, отвечающие
фиксированной диаграмме Юнга кратности т, находятся во
взаимно однозначном соответствии с подпространствами векторного
пространства размерности т над основным полем k.
При изучении тождеств ассоциативных, лиевских и ряда
других классов алгебр модуль Рп(Щ—циклический Sym(/z)-
модуль. Например, если $—многообразие всех
ассоциативных алгебр, то Рп(95) как Sym (я)-модуль просто изоморфен
регулярному Sym(п)-модулю R = k[Sym(n)], в частности,
кратность вхождения каждого Red равна его размерности. В случае
многообразия $ всех алгебр Ли Рп(Щ —снова циклический, но
уже не свободный Sym (п) -модуль. Имеется формула для
кратности вхождения канонических подмодулей Red. При пф
7^=4, 6 с ненулевой кратностью входит Red для любой
диаграммы, за исключением одного столбца или одной строки.
В качестве примера применения изложенной техники
опишем подмногообразия в многообразии $ алгебр Ли над полем
k характеристики нуль, порожденном алгеброй L матриц вида
[0 0j> a,b£k. Коммутатор двух таких матриц имеет вид [q qJ,
а коммутатор двух коммутаторов равен нулю. Значит,
в L выполнено тождество (xix2) (х3Х4)=0. Переписывая с
помощью тождеств Якоби и антикоммутативности (см. формулы
IV. 1 и IV.2 в п. 1.2), придем к
((х\Х2) х3) *4= ((xix2) хА) хг. (12)
Тождество (12), тождества антикоммутативности и Якоби
позволяют привести любой многочлен в Р„(33) к линейной
комбинации левонормированных одночленов вида
xixlxil... xin2, где i^l, *i<...<j„_2-
145

Значит, dim Рл (2J) < At — 1. Рассмотрим таблицу Юнга d вида
\т
LL
3
...
nj
Элемент erf (хь .. <, хп) имеет вид
£l (X\XG{2):. • • ^сг(л) — ^a(2)^i-^a(3) • • • Ха(П)) =
crgSym{2 п}
= 2 Jab -^i-^cr(2) • • • Ха(п).':
<7gSym{2 п}
Следствием тождества ed(xu ...,.*:„)== О при хг~х, х2=*>
.. .=хп=у является хуп^0. Это тождество не выполняется
в Д например, при * = L о} ^==|о о} ПоэтомУ Ы*ь •••» ■*«) —
ненулевой элемент в Рп(3), т. е. Red(xu •. •, *п)—ненулевой
неприводимый Sym (л)-подмодуль в Рп(Щ. Согласно правилу
крюков, его размерность равна п—1. Значит
Рп(Щ—неприводимый Sym(rc) -модуль. Следовательно, наложение любого
дополнительного тождества степени п приводит к обращению в
нуль всех многочленов степени п, а значит, и любой степени, не
меньшей п. Это показывает, что совокупность подмногообразий
в 2$ является цепью, и любое собственное подмногообразие
задается тождеством
Х\Х%... хп^0
(нильпотентность ступени не выше п).
Другие важные приложения техники диаграмм Юнга:
дистрибутивные решетки многообразий, тождества Капелли,
базисы тождеств конкретных алгебр и др. — встретятся в
последующих разделах этой статьи.
§ 4. Свободные алгебры
Мы начнем этот параграф с одного примера неклассического
многообразия, чтобы показать, что внутренняя структура
свободной алгебры многообразия может быть весьма
нетривиальной, и ее изучение может привести к решению задач, далеких
от теории тождеств.
4.1. Автоморфизмы свободных канторовых алгебр. Пусть
п — некоторое натуральное число, п^2, Qn — сигнатура,
состоящая из унарных операций аь ..., ап и м-арной операции К*
Через 2$п обозначим многообразие алгебр сигнатуры Qn, опреде-
146

ленное системой тождеств
XCL\ . . . XCLnk^=X,
Х\ . . . Xi . . . Xn/\,Cti^=Xiy 1=1,..., Yl.
Пример алгебры из 2fe доставляет канторов процесс
перенумерации. С помощью нумерации пар натуральных чисел (рис. 1)
1 z <♦ 7 —
3 5 8 —
б 9 -
10 —
Рис. 1
определим на множестве N бинарную операцию А,, сопоставляя
паре (t, /) число, стоящее на пересечении i-й строки и /-го
столбца таблицы. Далее, зададим хах как номер строки, в
которой записано число х. Аналогично ха2 — номер столбца, в
котором записано х.
Пусть теперь X—непустое множество и Fn(X)—свободная
алгебра многообразия Sn со свободным порождающим
множеством X. Каждый элемент алгебры Fn(X) допускает
однозначное представление в виде так называемой стандартной формы,
т. е. элемента яа^.-.а^, где х£Х, fe^O и l^i^n для
/= 1, 2,..., k, либо, по индукции, элемента вида wx ... wnX, где
w{ — стандартные формы ,причем не существует стандартной
формы и такой, что 10{ = иа{ для всех г=1,..., п.
Определение. Алгебра Fn(X) называется) свободной
п-канторовой алгеброй.
Структуру и автоморфизмы алгебр такого вида изучали
Ионсон, Тарокий, Сверчковский и Д. М. Смирнов (см. статьи в
[26]). Одной из характерных особенностей свободной канторо-
вой алгебры является то, что в отличие от свободных алгебр
классического типа, ранг такой алгебры, т. е. мощность
свободного порождающего множества, не является инвариантом.
Дело в том, что для любого х£Х алгебра Fn(X) свободно
порождается множеством X\{*}U{.rai| l^i^ri) (простое
растяжение); кроме того, Fn(X) свободно порождается множеством
(Х\{хи ... ,xn})\J{xi.. .ХпК} (простое сжатие). Применяя
кратные растяжения и сжатия, получаем, что Fn(X)££Fn(Y), если
|Х| = | Y\ (mod(tt—1)). К числу других свойств алгебры Fn(X)
относится так называемое шрайерово свойство: любая
подалгебра алгебры Fn(X) является свободной алгеброй в 2$п. Более
того, свободное порождающее множество любой подалгебры
алгебры Fn(X) продолжается до свободного порождающего
множества всей алгебры.
147

При изучении свободных канторовых алгебр наибольший
интерес представляют их автоморфизмы. Обозначим через Gn,r
группу автоморфизмов алгебры Fn(X), где |Х|=г. . Важной
характеристикой элементов группы Gn,r является глубина. Если
фь .. ,ee}cGn,r, то существует единственное наименьшее
растяжение У свободного порождающего множества X такое, что
YQi: (1=1,..., s) лежат в подалгебре алгебры Fn(X),
порожденной множеством X относительно операций ai, ...,ап- Если
У—d-кратное растяжение множества X, т. е. |У|=г+(/г—l)d,
то говорим, что множество {0ь ..., 6S} имеет глубину d.
Достаточно сложная комбинаторика показывает, что группа Gn*
порождается элементами глубины не более 3, а в качестве
соотношений между ними можно взйть лишь соотношения вида
8г ... •0S=1 такие, что множество {8ь .., 8в} имеет глубину не
более 6 и ограниченную длину s. Непосредственно отсюда
следует, что группа Gn,r может быть задана конечным числом
определяющих соотношений. (Не путать с тождественными
соотношениями, которых в Gn,r нет, кроме тривиальных!). Отметим
далее, что Gn,r — бесконечная группа, ибо она содержит
симметрическую группу любой конечной степени.
Итак, Gn,r, а вместе с ней и любая ее подгруппа конечного
индекса являются бесконечными конечно определенными
группами. С помощью понятия растяжения можно ввести четность
элементов группы Gn,n если п — нечетное число. Полагаем
<?+г = (7л,г, если п четно, и On, г состоит из четных
автоморфизмов, если п нечетно. Нетрудно показать, что On, г
порождается элементами конечного порядка, а также, что любая
неединичная нормальная в Qt\ т подгруппа содержит все элементы
конечного порядка, т. е. для любых л>2, г>1 группа G£,r —
конечно определенная простая группа. Изучение классов
сопряженных элементов в группах Оп, г приводит к следующему
результату: если группы Ощ, г и On, s изоморфны, то т=*п
и (п— 1, г) = (п— 1, s).
Таким образом, изучение автоморфизмов свободных
канторовых алгебр приводит к доказательству существования
(бесконечного множества попарно неизоморфных) конечно
определенных бесконечных простых групп (Хигман).
Важную роль в различных разделах математики играет
свободная алгебра многообразия всех полугрупп — полугруппа
слов в некотором алфавите. К классическим объектам
относятся также свободная группа, свободная ассоциативная
алгебра (алгебра некоммутативных многочленов) и свободная
алгебра Ли. Теория Магнуса позволяет рассмотреть эти
объекты с единой точки зрения.
4.2. Теория Магнуса. Параллелизм теорий групп, ассоци-
, ативных колец и алгебр Ли подмечен давно. Иногда (чаще!)
он является следствием рассуждений «по аналогии», иногда вы-
148

текает из тех или иных конструкций. Для теории тождеств в
этих трех классах алгебр важно то, что их свободные алгебры
представляют собой как бы три стороны одного и того же;
объекта. Этот важный факт связан с рассмотрением алгебры
Магнуса.
Пусть k—некоторое коммутативное с 1 кольцо (например,,
поле, либо кольцо целых чисел), X—непустое множество.
Рассмотрим алгебру А(Х) некоммутативных ассоциативных
многочленов от J с коэффициентами из k. Каждый элемент и
из А(Х), как отмечалось в пункте 3.3, есть сумма однородных
многочленов от X:
u=uG+Ui+ ... +и8, где deg%=/, i = 0, 1,..., s.
Введем в рассмотрение множество А (X) бесконечных сумм
0=2 ^ гДе ол —однородный многочлен степени #. Определим
умножение, полагая
оо оо с»
2ttn2°«e2W«f ГДе wn=sU0Vn + UiVn_i+...+UnVQ.
Понятно, что получается ассоциативная алгебра, в которой
А(Х) содержится в качестве подалгебры. Алгебра А(Х) и
называется алгеброй Магнуса. Обозначим через М множества
рядов без свободного члена в А(Х). Тогда множество G(X) =
= \-\-М является группой. Действительно, у ряда 1+и, и(<М>
есть корректно определенный обратный й_1==1— и + и2—#3 + ....
Группа О(Х) называется группой «Магнуса. Если k — поле
характеристики нуль, то нетрудно показать, что для любого UQM
определены ряды ea=\+u-{-~+^r+ ... и 1п(1+и) — и —
-— ^ + у— •••» причем отображения e:M->G(X), ln:Q(X)-+
-+М — взаимно обратные биекции.
Теорема. 1) Относительно обычных операций умножения и
сложения множество X свободно поровдает в А (X) свободную
ассоциативную алгебру.
2) Относительно сложения и коммутатора [a, b\ = ab — Ьа
множество X свободно порождает в*А(Х) свободную алгебру
Ли L(X); А(Х) является ее универсальной обертывающей
алгеброй. !>
3) Пусть Y — множество элементов вида 1 + х, х(<Х. Тогда
относительно операции умножения Y свободно порождает
свободную подгруппу в G(X).
!) См. пункт 1.17 статьи I настоящего тома.
149

4) Если k—поле характеристики нуль, то относительно
операции Бейкера—-Кемпбелла—Хаусдорфа u°v=ln(eaev)
множество X свободно порождает в А(Х) свободную группу F(X).
оо
Обозначим через L(X) множество рядов v = 2dVn,
ОДНОРОДНО
ные компоненты которых лежат в L(X). Чрезвычайно важным
обстоятельством является то, что относительно операции из 4)
L(X) является группой. Точным выражением этого факта
является формула Бейкера — Кемпбелла — Хаусдорфа,
представляющая из себя ряд коммутаторов возрастающей степени,
начальный отрезок которого имеет вид
UoV = U + V + j [U, v] + ^[tt, V; 0]+ 12 [0, U, U]+ . ... (13)
Значение формулы (13) состоит в том, что в любой алгебре
Ли, в которой бесконечная сумма в правой части этой формулы
определена, она задает новую операцию, относительно которой
алгебра Ли превращается в группу. Этот, в сущности
классический, результат позволяет установить соответствие между
многообразиями алгебр Ли над полем рациональных чисел и
групп. Действительно, если 2$— некоторое такое многообразие
алгебр Ли, X—счетное множество переменных, то, как
отмечалось в пункте 3.2, свободная алгебра F=F(X, Щ
градуирована степенями относительно множества X. Пополним
алгебру F рядами до F и введем операцию коммутирования на
ней аналогично тому, как это было сделано в случае А(Х).
Тогда ряд (13) определен для любых u,v£F, и мы получаем
группу F0. Ее подгруппа, порожденная множеством J,
оказывается свободной в некотором многообразии групп 33°. Это
дает отображение S«-^S0 множества многообразий алгебр Ли
над Q в множество многообразий групп. Оно не является ни
сюръективным: свободные группы получающихся многообразий
не имеют кручения, ни инъективным: многообразие всех групп
имеет прообразом любое многообразие, порожденное
конечномерной неразрешимой алгеброй (Д. И. Эйделькинд, см. [3],
с. 422). Однако определено левое обратное отображение.
Именно, пусть дана группа G с нижним центральным рядом1*
G=7i(G)zdT2(G)^d...=d7s(G)=>... . (14)
Для каждого s возьмем наименьшую подгруппу /S(G),
содержащую 4s(G), такую, что G/IS(G) не имеет кручения
(7e(G) называется изолятором подгруппы ys(G)). Получим ряд
!> Члены нижнего центрального ряда произвольной группы G определяются
ио индукции: yl(G)=Gt yi(G) = [yi-i(G), G] для *>1, где [К, I] —
подгруппа, порожденная коммутаторами [х, у]=х~1у-1ху, где *GA, y$L.
150

G=/1(G)=d/2(G)zd...=d/s(G)=d„., (15)
члены которого (как и члены ряда (14)) обладают свойством
[/S(G), Ir(G)]czIs+r(G). Здесь [Я, К] — взаимный коммутант
подгрупп Я, К. Группа
L(Q)^Il(Q)/I2(Q)e ... ©/.(G)//.+i(G)© ...
является абелевой группой без кручения и на ней корректно
определяется операция умножения, превращающая ее в кольцо
Ли. Для однородных элементов § = */s+i(G), r\=yIr+i(G)
(x£ls(G), y£lr(G)) полагаем
ЪЧ = [х, y]Is+r+\ (G)6/s+r(G)//s+r+1 (G),
где [x, y\—обычный коммутатор в группе G. Для проверки
корректности введенных операций и выполнимости тождеств
антикоммутативности и Якоби используют коммутаторные
тождества, верные в любой группе:
[х, У]=Ы *]_1> 1ХУ> г1= Iх> z№ г1>
(16)
[[*■ у-11 г]у[[У, г~Ч х]*[[г, г-1], у]*=1,
где uv = v~luv.
Умножая тензорно на Q над Z, мы приходим к алгебре Ли
j?(G)=L(G)(g)zQ над полем Q. Назовем многообразие групп
многообразием лиевского типа, если для любой 2$-свободной
группы G пересечение членов ряда (15) равно {1}, т. е. 2$
порождается своими нильпотентными группами без кручения.
Таким, в частности, является 25° для любого многообразия алгебр
Ли 25 над Q. Если каждому многообразию групп 2$ сопоставить
многообразие Q-алгебр Ли &(25), порожденное всеми S}(G)
для GGS, то оказывается, что i?(8)0=8 для всякого
многообразия 25 лиевского типа, а для нильпотентного многообразия
алгебр Ли 25 имеем, кроме того, J?(3S0) =25 (К. К. Андреев, см.
[3], §8.4).
Это соответствие позволило решить ряд задач о структуре
некоторых важных групп: свободной, свободной разрешимой
данной ступени разрешимости и других. Вообще говорят, что
группа G магнусова, если ее нижний центральный ряд имеет
тривиальное пересечение, а его факторы ys(G)/ys+\(G) не
имеют кручения. Важный, ставший уже классическим,
результат Магнуса, Витта состоит в том, что свободная группа F(X)
магнусова. Факторы нижнего центрального ряда являются
свободными абелевыми группами. Если |X|=rf, то ранг h(n)
абелевой группы yn(F (X))/yn+i(F(X)) может быть вычислен
но формуле Витта:
h(rt)~^[m)d", (17)
m\n
в которой [i(m)—функция Мёбиуса, т.е. р,(1)=1 и
151

p(pil ... /?**) = ( — \)s, если £i = ...=*ft,= l, и 0 в противном
случае.
В свете упомянутого соответствия не удивительно, что та
же самая формула (17) задает размерность n-й однородной
компоненты свободной алгебры Ли ранга d. Восстанавливая
логическую последовательность, укажем, что эта формула
доказывается сначала именно для алгебр Ли, с использованием
части 2) приведенной выше теоремы. Полностью аналогично и
определение базисных коммутаторов в свободной группе F и В'
свободной алгебре Ли L. В первом случае все базисные
коммутаторы веса s свободно (как абелеву группу) порождают
ys(F) по модулю ys+i(F)\ а во втором случае они составляют
базис однородной компоненты Ln. Приведем определение
базисных коммутаторов М. Холла группы F со свободными
образующими {Xi}iGl.
Определение. 1) сг=х{ — базисные коммутаторы веса
w(Xi) = l.
2) Пусть базисные коммутаторы весов, меньших /г, уже
определены. Тогда базисными коммутаторами веса п являются
коммутаторы ck=[cu cj, где а) с{ и с$ — базисные
коммутаторы и о>(с<)+о>(с,)=/1, б) ct>cj9 а если Ci=[cs, ct], то с^Си
3) Коммутаторы веса п следуют за коммутаторами меньших
весов, а между собой они упорядочены произвольно.
Упомянем здесь важное свойство свободных групп (алгебр
Ли): любая подгруппа (подалгебра) свободной группы
(алгебры Ли) сама свободна. В случае групп — это знаменитая
теорема Нильсена—Шрайера, в случае алгебр Ли — теорема
Ширшова—Витта. В случае ассоциативных алгебр аналогичный
результат не имеет места.
Полезно иметь в виду и формулу Шрайера \F:H\ =
= r (F ~ » здесь | F: Н \ — индекс подгруппы Н свободной
группы F, г (Я), r(F) — ранги групп Я и F. В частности, в
группе с п порождающими подгруппа индекса m порождается
не более, чем т(п—1) + 1 элементом.
Свойство быть магнусовой установлено А. Л. Шмелькиным
для группы, свободной в многообразии W разрешимых групп,
ступени разрешимости которых ограничены фиксированным
числом / (свободная разрешимая группа ступени /). Для
удобства формулировки назовем многообразие групп магнусо-
вым, если его свободные группы магнусовы. Напомним (см.
п. 2.1, гл. 3), что произведение ШЗ двух многообразий групп —
это класс расширений нормальных подгрупп из U при помощи
факторгрупп из 93.
А. Л. Шмелькин и его ученики установили, что если U, 3 —
магнусовы многообразия, то произведение, пересечение и
объединение: Щ U/\93 и UVS5 —также магнусовы. К числу
152

существенных вопросов теории магнусовых (лиевских)
многообразий относится следующий (А. Л. Шмелькин): пусть магну-
сово многообразие 3 не является многообразием всех групп,
верно ли, что 3? разрешимо, т. е. состоит из разрешимых групп?
4.3. О комбинаторном изучении свободных групп
многообразий. Для достаточно полного описания свободной алгебры
конкретного многообразия 2$, заданного системой тождеств V,
обычно требуется наличие какой-либо канонической записи ее
элементов. Это позволяет легко решать вопрос о следствиях
тождеств системы V, а также многие другие задачи. Однако
далеко не всегда удается представить элемент свободной
алгебры столь просто, как в случае многообразия всех групп или
всех полугрупп, всех линейных алгебр или всех ассоциативных
алгебр. Уже в случае алгебр Ли базис М. Холла (см.
определение п. 4.2) требует нетривиального обоснования; тем не
менее, наличие градуировки над полем характеристики нуль
(см. п. 3.2) часто помогает описать строение S-свободной
линейной алгебры путем нахождения базисов ее однородных
компонент. В случае же групповых многообразий подобная
возможность предоставляется значительно реже. Удобными для
вычислений оказываются, например, свободные нильпотентные
группы, в которых существует каноническая запись элементов
через базисные коммутаторы, а также свободные разрешимые
группы, элементы которых представимы в сплетениях
свободных абелевых групп. То же относится и к свободным группам
произведений «удобных» многообразий (см. п. 2.1, гл. 3).
В других случаях для нахождения ответов на конкретные
вопросы приходится зачастую специально подбирать группы,
приспособленные для вычисления в них значений определенных
слов.
Задание /га-порожденной свободной в многообразии 2J группы
тождествами ft (хи ..., л:Л/) = 1 равносильно ее заданию
определяющими соотношениями fi(vi9 . ..,0„)=1 для любых слов
Vi9 v2, ... в алфавите {х±1, ..., х*1}. Поэтому представляется
естественной попытка провести комбинаторный анализ
следствий наложенных таким образом соотношений.
Прямое изучение следствий, нередко успешное в аналогичных
задачах теории полугрупп, в случае групп сталкивается
обычно с серьезными препятствиями из-за утраты в следствиях
характерных признаков слов /г. Известно, к примеру, что
тождество х6=1 влечет разрешимость ступени 3 [115]. Однако
найти в (абсолютно) свободной группе явное выражение
коммутатора [i[[xi,*2], f*3,*4J], H*5,*eJ, [>, х8]\] в виде
произведения нескольких шестых степеней каких-то слов можно,
наверное, только с помощью хорошего компьютера.
Успешный анализ следствий тождества хп=\ привел
П. С. Новикова и С. И. Адяна к решению ограниченной про-
153

блемы Бернсайда [85]. Доказана бесконечность свободной
группы В(т, п) ранга т^2 в многообразии Эп групп
периода /г, где нечетное число я^665. Установлено существование
алгоритмов распознавания равенства и сопряженности слов в
В(т,/г). Доказана цикличность любой конечной подгруппы и
централизатора любого нетривиального элемента в В(т,/г).
Многообразие §3П (для больших нечетных /г) оказалось первым
примером нерегулярного многообразия групп, отличным от
многообразия всех групп О, т. е. в свободной группе меньшего
ранга этого многообразия есть подгруппа, изоморфная
свободной группе большего ранга. На основании этих работ
В. Л. Ширванян доказал даже возможность вложения группы
В(оо, п) счетного ранга в В (2, п).
Метод, развитый при решении проблемы Бернсайда,
позволил С. И. Адяну найти решения и других вопросов как о
периодических группах, так и о группах без кручения (см., в
частности, п. 1.3, гл. 3). Его применение сопряжено со
значительной технической работой, необходимой для совместного
доказательства по индукции значительного числа
вспомогательных лемм. Обстоятельное изложение этого метода и его
приложений читатель найдет в монографии С. И. Адяна [1].
Тем не менее, в ряде случаев удается заменить тождество
обозримой системой определяющих соотношений. Например, в
работе А. Ю. Ольшанского [21], предложившего существенно
более короткое доказательство теоремы Новикова—Адяна о
группах В(т, п) (при ослабленной, однако, оценке для п),
система определяющих соотношений вида yin=l группы
В(т, п) имеет простое индуктивное определение: слово уг
выбирается как кратчайшее слово бесконечного порядка в группе
<хи ..., xm\vn=l, ..., 0^ = 1 >.
Предложенный новый метод изучения групп с большим
числом определяющих соотношений (в частности, групп с
тождеством) использует универсальную топологическую
интерпретацию вывода следствий из определяющих соотношений в
группах, данную ван Кампеном в 1933 году. Не вдаваясь здесь в
точные определения и технику (см. § 4, гл. 2) приведем
простой пример, показывающий, что в группе G с тождеством
хъ= 1 тождественно [[*/, х], х] г= 1 или, равносильно,
[х, #-1хг/] = 1, т. е. каждый элемент содержится в некоторой
абелевой нормальной подгруппе группы G. Действительно, в G
очевидно обращаются в 1 слова г/3, (jo/-1)3, (я-1*/-1)3» которые
мы читаем при обходе контура любой треугольной или
шестиугольной клетки на рисунке 2. (При движении против стрелки
следует читать обратную букву.)
Обходя контур всей диаграммы, начиная с вершины о, мы
прочтем их следствие: x~ly~lx~lyxy-lxy, т. е. [х9у~1ху]=\.
4.4. Дополнительные замечания. Свободные группы и сво-
154

бодные алгебры Ли над полем обладают важным свойством:
любая их подгруппа (соответственно, подалгебра) сама
свободна. Это свойство не выполняется в случае свободных
ассоциативных алгебр (даже ранга 1: подалгебра, порожденная
элементами х2 и х3, не свободна). Многообразие алгебр, в ко-
Рис. 2
тором подалгебры свободных алгебр сами свободны,
называется шрайеровым (в честь Шрайера — одного из авторов
теоремы о свободе подгрупп свободной группы, второй автор —
Нильсен; для случая алгебр Ли теорема принадлежит
А. И. Ширшову и Витту). Тематика описания шрайеровых
многообразий является весьма популярной. Все шрайеровы
многообразия (это свойство является весьма экзотичным) описаны в
случае групп, алгебр Ли, ряда других классов алгебр [3],
[129].
В начальной части этого параграфа мы показали важность
изучения групп автоморфизмов свободных алгебр. В случае
линейных алгебр большой интерес представляют и алгебры Ли
дифференцирований, т. е. линейных отображений таких, что
&(ху)=6(х)у-\-хЬ(у). Например, алгебра Ли
дифференцирований свободной ассоциативно-коммутативной алгебры от
Х\,..., хп над полем k характеристики нуль есть
бесконечномерная картановская простая алгебра Ли Wn, м=1,2,... . В
случае поля характеристики р к простым алгебрам Ли Wn мы
приходим в результате рассмотрения алгебры
дифференцирований свободной ассоциативно-коммутативной алгебры с
дополнительным тождеством Хр=0 и свободным порождающим
множеством {хи ..., хп}. Алгебры Wn в этом случае уже
являются конечномерными простыми, они и их определенные
подалгебры составляют «неклассическую» часть недавно
установленного списка конечномерных простых р-алгебр Ли над
алгебраически замкнутым полем характеристики р>0 [105]
.(см. п. 2.3, гл. 2).
§ 5. Некоторые связи и приложения
5.1. Структура конечномерных тел. В течение 40 лет
открытой оставалась проблема о структуре конечномерных
центральных тел, т. е. алгебр с делением над полем, совпадающим с
155

центром тела. Одно из предположений состояло в том, что
любое такое тело D с центром k можно получить, исходя из
расширения Галуа К поля k с группой Галуа G и 2-коцикла
р : GXG-+-K*=К\{0} в виде векторного /(-пространства с
базисом {ug\g£G} и умножением
(2 ал) (2 Мл) = 2 agS (Ра) Р (#' А) ^л-
Такая конструкция называется скрещенным произведением.
Отрицательное решение этой проблемы было получено Амицуром
в 1972 году (см. [42]). Основным объектом, использованным
Амицуром, была так называемая универсальная алгебра с делением
UD (k, п) степени п, возникающая из недр теории /V-алгебр.
Для ее построения следует рассмотреть алгебру многочленов
S==^[^.0] от счетного множества переменных Щ\ 1</, у</г,
/ = 1, 2, Обозначим через К {1} подалгебру в алгебре Мп(Щ
квадратных матриц порядка п над 3, порожденную общими
матрицами 5(/)==(5jy))» / = 1,2, Алгебра К{1} называется
общей матричной алгеброй степени п над полем k. Не
представляет труда доказать, что /({£} изоморфна свободной
алгебре счетного ранга в многообразии, порожденном
ассоциативной алгеброй квадратных матриц порядка п над k. Другое
важное свойство алгебры /((£} состоит в том, что она не имеет
делителей нуля. В этом случае переход к полному кольцу
частных для К{с) приводит к телу UD(kyn). Амицуром в 1972 году
доказана следующая
Теорема. Если п делится на квадрат нечетного простого
числа или на 8, то UD(Q,n) не является скрещенным
произведением.
Подробнее см. статью I.
5.2. Некоммутативная алгебраическая геометрия. Фиксируем
натуральное число п и рассмотрим кольцо общих матриц.
Кт{Ь} от т порождающих £(1),..., §(т) над полем k. Это кольцо
называется свободной аффинной алгеброй ранга т. Оно
является естественным обобщением кольца многочленов от т
переменных. В качестве обобщения m-мерного аффинного
пространства Ат будем рассматривать множество М™ строк длины
т, компонентами которых являются матрицы порядка /г.
Фиксировав многочлен /г(§(1), • • •, Qm))£Km{%}, мы приходим к обоб-
щенному аффинному алгебраическому многообразию как
подмножеству в Мп, состоящему из наборов (Ль ...,Лт), для
которых все fi(Au ... ,ЛШ) =0. Один из первых результатов
«некоммутативной алгебраической геометрии» — прямое
обобщение теоремы Гильберта о нулях — принадлежит Амицуру
(см. [30]).
Теорема. Пусть Кт{Ъ} — кольцо общих матриц от т
переменных (rri^l) порядка n, G— некоторое подмножество в
^тШ» 1(G)—идеал, порожденный этим подмножеством, / —
156

многочлен из Кт{Ь}, обращающийся в нуль в точках
аффинного многообразия, определенного множеством G. Тогда для
некоторого натурального s имеем fsG/(G).
Важное для теории Р/-алгебр утверждение состоит в том,
что для любой Р/-алгебры А над полем k найдется натуральное
п такое, что f(xu t.., хт)=0—тождество в Mn(k) тогда и
только тогда, когда, для некоторого натурального s, f(xu...
..., #m)s=0 — тождество в А.
Основная работа в описываемом направлении развернулась
вокруг аффинных алгебр — так были названы конечно
порожденные Р/-алгебры. Каждая аффинная алгебра А представляет
собой факторалгебру алгебры вида Р=Кт{1} по некоторому
идеалу /. Идеал / называется первичным, если из включения
J\J2<^-L где J и h — идеалы в /?, следует, что либо J\, либо J2
лежит в /. Понятно, что в случае первичного / факторалгебра
A = R/I (первичная аффинная алгебра) играет роль кольца
регулярных функций на неприводимом аффинном многообразии.
Согласно теореме Познера (см. п. 3.1, гл. 2), первичная
аффинная алгебра А имеет классическое Р/-кольцо частных Q. Пусть
Z — центр кольца Q. Он является полем, и степень
трансцендентности tr degfcZ поля Z над k равна максимуму для длин
цепочек вложенных друг в друга первичных идеалов кольца А
(В. Т. Марков). Впоследствии Шелтер доказал, что длины всех
неуплотняемых цепочек первичных идеалов одинаковы. В
сочетании с результатом В. Т. Маркова этот результат приводит нас
к хорошему определению размерности неприводимого
многообразия.
При рассмотрении произвольного аффинного кольца А
важную роль играет радикал Джекобсона f {А) такого кольца.1}
Здесь фундаментальный результат получен Ю. П. Раамысло-
вым, доказавшим нильпотентность радикала ?{А) (то, что
f{A) —нильидеал, вытекает из теоремы Амицура, приведенной
выше). Этот результат впоследствии был усилен в случае поля
k характеристики нуль А. Р. Кемером, доказавшим на основе
метода Ю. П. Размыслова нильпотентность радикала
Джекобсона произвольной конечно порожденной Р/-алгебры А над k.
Наиболее сильным является результат Брауна, согласно
которому нильпотентность имеет место в случае произвольных
конечно порожденных Р/-алгебр над нётеровыми
коммутативными кольцами (см. [91], [66], [33]).
Исследование градуированных Р/-алгебр приводит к
обобщениям проективных алгебраических многообразий. Ряд работ
имеет теоретико-схемное направление.
5.3. Тождества и представления. Некоторые вопросы теории
представлений групп и алгебр приводят к тождествам.
Например, допустим, что Q — алгебра Ли над полем £, причем все
неприводимые представления для G имеют конечную ограни-
1) См. пункт 1.24 статьи I настоящего тома.
157

ченную размерность. Как хорошо известно, в этом случае
аналогичное условие выполняется и для ассоциативной
универсальной обертывающей алгебры 0(G) для G. Пересечение
ядер неприводимых представлений ассоциативной алгебры —
это ее радикал Джекобсона. В случае универсальной
обертывающей алгебры U(G) радикал Джекобсона равен нулю.
Поэтому алгебра U(G) аппроксимируется своими образами в
неприводимых представлениях. Эти образы — подалгебры алгебр
линейных операторов векторных пространств ограниченной
размерности п. Как мы знаем, в этом случае в каждом
гомоморфном образе, т. е. и в самой алгебре 0(G), выполняется
тождество степени не выше 2п (см. п. 1.2, гл. 1). Согласно пункту
1.4 главы 2 в алгебре G имеется абелева подалгебра Я
конечной коразмерности (в случае поля характеристики нуль даже
G = H) и существует натуральное число т такое, что любое
внутреннее дифференцирование ad*, a;GG, аннулируется
ненулевым многочленом степени не выше т. Для того чтобы это
необходимое условие стало и достаточным, следует добавить
условие на размерность d абелевой подалгебры Н : d должно
быть строго меньше мощности поля. Используя свойства
специальных алгебр Ли (п. 1.3, гл. 2), получаем следующий ре-
зультат.
Теорема [3]. Над алгебраически замкнутым полем
характеристики р>Ь все неприводимые представления конечно
порожденной алгебры Ли G имеют конечную ограниченную
размерность тогда и только тогда, когда эта алгебра конечномерна.
К аналогичному выводу мы приходим в случае поля
счетной мощности.
Описанный подход не может быть непосредственно
перенесен «а случай групп, поскольку, вообще говоря, групповая
алгебра fe[G] группы G не является полупростой в смысле
Джекобсона. Однако, в процессе решения ряда интересных
задач возникают такие ситуации, в которых k[G] является PI-
алгеброй, что позволяет применить теорему Пассмана (см.
п. 1.4, гл. 2). Например, хорошо известно, что групповая
алгебра конечной группы G над полем k характеристики нуль или
р>0 (при условии взаимной простоты р и порядка группы G)
является полупростой (теорема Машке).. В частности, любой
неприводимый G-модуль над k является инъективным, т. е.
выделяется прямым слагаемым из любого G-модуля, где он
содержится в качестве подмодуля. При переходе к бесконечным
группам, когда полупростота теряется, интересно было бы
описать группы, для которых выполняется хотя бы условие инъек-
тивности неприводимых модулей.
Для счетных групп ответ на этот вопрос имеется (Фаркаш—
Снайдер, Хартли [110], [|117]).
Теорема. Пусть к—поле характеристики р^О и G —
счетная группа. Любой неприводимый Щр\ -модуль инъективен
158

тогда и только тогда, когда G — периодическая группа с абе^е-
рой подгруппой конечного индекса, причем, в случае рфО в G
нет элементов порядка р.
Основное применение теории Р/-алгебр — в доказательстве
необходимости условий теоремы. Интересно, однако, что и
сравнительно простые факты в работе Хартли переосмыслены
на языке тождеств. Например, пусть k — поле, G — почти абе-
лева группа и V—неприводимый G-модуль с централизатором
Е. Тогда dimjE;V<:°o. Действительно, используя теорему Пас-
смана в сторону достаточности, мы видим, что k[G] — Р/-ал-
гебра, значит, такова ее подалгебра и факторалгебра. По
лемме Шура Е — тело. Если (Пп1еУ=оо, то по теореме плотности
Джекобсона в fe[|G]/Ann V для любого натурального п есть
подалгебра В> гомоморфный образ которой изоморфен алгебре
матриц Мп(Е). По теореме Капланского Мп(Е) не
удовлетворяет тождеству степени <2м. Это противоречие доказывает
высказанное утверждение.
Еще одна тема, примыкающая к вопросу о представлениях,
связана с теоремой М. Артина об описании алгебр Адзумая.
Имеются в виду центральные сепарабельные» алгебры, т. е.
полупростые алгебры над полем k, центр которых совпадает с k
и которые остаются полупростыми при любом расширении
основного поля. В работах М. Артина и Прочези [102], [135]
показано, что кольцо R является алгеброй Адзумая ранга п2 над
своим центром тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет
тождествам полной матричной алгебры порядка п и никакой
его гомоморфный образ не удовлетворяет всем тождествам
матричной алгебры меньшего порядка. Эти условия эквивалентны
тому, что R удовлетворяет всем тождествам полной матричной
алгебры Mn(k) и не обладает представлениями в векторном
пространстве размерности, меньшей м, над любым расширением
К основного поля к. В последних, усовершенствованных,
доказательствах этого результата, а также во многих других
вопросах теории алгебр с тождеством все возрастающую роль играют
центральные полиномы, открытые Ю. П. Размысловым и Фор-
манеком [24], [36].
5.4. Центральные полиномы. В 1957 году Капланский
поставил вопрос о существовании для каждого натурального /г^2
ассоциативного многочлена f{x\,...,xm), значения которого от
элементов полной матричной алгебры Mn(k) (k — поле)
лежали бы в центре этой алгебры, но не были бы тождественно
нулевыми. В случае конечного поля k ответ был дан В. Н.
Латышевым и А. Л. Шмелькиным в 1969 году [74]. Решение задачи
в более сложной ситуации бесконечного поля было получено в
1972 году Ю. П. Размысловым и Форманеком. Приведем явный
вид центрального полинома Ю. П. Размыслова. Для этого
положим Ai{aX\ib) =Ьх{а, где ауЬ — одночлены, не зависящие от
159

Xi. Далее определим полилинейный многочлен dm> полагая
agSym(m)
Ю. П. Размыслов показывает, что значения многочлена
f=An*(dn») на матрицах со следом нуль из Mn(k) являются
скалярными, но не равными нулю тождественно. Заменив каждую
переменную в /(хи ..., хп; Уъ •••> Уп'-i) на коммутатор (т. е.
xt на [х), х]] и уj на [у., г/J.]), мы получим искомый
центральный полином. Понятно, что степень этого полинома равна
4/г2—2. При /г = 2 получаем 14. В то же время, центральным
является многочлен [х,у]2 степени 4 (см. п. 1.3). В настоящее
время построены центральные полиномы степени п2 для
произвольного /г^2. И эта граница не является нижней. Так, при
/г = 3 минимальная степень центральных полиномов равна &
См. также статью I.
При изучении центральных полиномов весьма естественной
является постановка на языке пар. Так, допустим, что (/У, G) —
пара, состоящая из ассоциативной алгебры U и ее подалгебры
Ли G относительно операции коммутирования. Тогда
многочлен f(xu • • •, хп) называется центральным, если f(gu ..., gn) —
центральный элемент в U для любых gu ... ,gn£G> но f(xu...
...,#п)=0 не является слабым тождеством пары (U,G).
Обозначим через /?m,n множество полилинейных многочленов
степени тп, в котором все переменные можно разбить на п
подмножеств мощности т таким образом, что относительно
переменных, входящих в одно и то же подмножество, этот
многочлен кососимметричен. Например, многочлен
2^ ^j е0етл:СТ(1)УТ(1)УТ(2)Ха(2)Ут(3)^а(з)
crgSym(3) TgSym(3)
лежит в #3,2, а [хи х2][уи у2][ги ^R2^
Следующие результаты принадлежат Ю. П. Размыслову
[93].
Теорема. Пусть полупростая конечномерная алгебра Ли
G над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль
имеет размерность т. Пусть ее обертывающая ассоциативная
алгебра U проста и имеет ненулевой центр. Тогда для
некоторого натурального числа п в множестве многочленов Rmyn
существует центральный полином пары (U, G).
Важнейшее следствие таково.
Теорема. Пусть Wt — алгебра Ли всех дифференцирований
алгебры коммутативных многочленов <§ от t переменных над
полем k характеристики нуль. Алгебру Wt можно рассматривать
как левый ^-модуль, а алгебру & можно отовдествить с под-
160

алгеброй в EndkWt. Тогда для m=2t + t2 существует
многочлен / из Rmtn такой, что для любых wb ..., wleWt(l = mn)
имеем: / (ad^i, ..., adад^б^ и отображение foad:Wt®... &№,->
-><§Г является сюръективным.
С точки зрения приложений полезно отметить, что
последняя теорема дает вполне конструктивный способ восстановления
алгебры бесконечно дифференцируемых функций гладкого
л-мерного многообразия (в смысле дифференциальной
геометрии) по алгебре Ли векторных полей.

Глава 2
*
АЛГЕБРЫ С ТОЖДЕСТВАМИ
§ 1. Эффект тождества
Наличие в некоторой алгебре тождества, нетривиального в
фиксированном классе алгебр, сказывается на структуре
данной алгебры. Это утверждение может быть как тавтологичным,^
так и неверным в зависимости от того, что понимается под
структурой алгебры. Ведь, в принципе, с одной стороны, сама
наличие тождества может рассматриваться как элемент
структуры. С другой стороны, комбинаторная сложность
периодических групп (даже ограниченного периода, даже с конечным
числом порождающих) и близость многих из них к свободным
группам показывают, что в случае групп влияние тождества
вида хп=\ (при большом п) на структуру группы в привычном
понимании слова «структура» достаточно невелико.
1.1. Р/-алгебры.
Определение. Ассоциативное кольцо (алгебра) с
нетривиальным тождеством называется PI-кольцом (Р1-алгеб-
рой) (от слов polynomial identity).
Пожалуй, наиболее заметно влияние тождества на
структуру алгебры в случае ассоциативных колец. Одной из причин
этого является теорема Капланского (см. [41]): в матричной
алгебре порядка п не выполняется никакое тождество степени,
меньшей 2п. Это утверждение доказывается прямой
подстановкой матричных единиц в полилинейное тождество степени d<2rt
(ср. с п. 1.2, гл. 1). Поскольку любое ассоциативное кольцо Л,
профакторизованное по радикалу Джекобсона ?(А), является
поддекартовым произведением примитивных колец, а эти
последние изоморфны кольцам матриц над телами, нетрудно
получить такой результат: любое ассоциативное кольцо с
тождеством без нильидеалов изоморфно подкольцу в кольце матриц
некоторого конечного порядка над подходящим коммутативным
кольцом. Полезно заметить в качестве частичного обращения»
что кольцо матриц Mm(k) порядка т над коммутативным
кольцом k удовлетворяет стандартному тождеству степени 2т (см.
п. 1.3, гл. 1) [42]:
cgSym(2m)
Если отказаться от условия на нильидеалы, то теорема,
сформулированная выше, становится неверной. Именно, во
внешней алгебре G = E(V) бесконечномерного векторного
пространства (алгебра Грассмана) над произвольным полем
выполняется коммутаторное тождество [[х, у], z]=0, но не выпол-
162

няется никакое стандартное тождество, т. е. указанное вложе-1
ние невозможно.
К числу классических результатов о Р/-алгебрах относится
теорема Левицкого (см. [41]): всякая ниль-Р/-алгебра локальна
нильпотентна. Иными словами, если в Р/-алгебре А имеется
конечное число порождающих и для каждого а£А найдется
натуральное число т такое, что ат = 0, то найдется натуральное п
такое, что в А выполняется тождество Х\%2... хп=0. С этой
теоремой связаны как результаты о радикале Джекобсона
ассоциативной Р/-алгебры, так и результаты об алгебраических
алгебрах. Результатом достаточно длительного развития теории
стала теорема о нильпотентности радикала Джекобсона
конечно порожденной Р/-алгебры над полем (п. 5.2, гл. 1).
Если отказаться от требования конечной порожденное™, то-
теорема перестает быть справедливой, именно, радикал
Джекобсона коммутативного кольца степенных рядов k[[t]] над по*
лем k есть идеал, состоящий из рядов без свободного члена*
В то же время в k[[t]] нет делителей нуля вообще.
Отметим, что в теории конечно порожденных Р/-алгеб|>
чрезвычайно конструктивную роль играет понятие высоты и
теорема о высоте, принадлежащие А. И. Ширшову (см. [8]).
Эта теорема может быть сформулирована следующим образом:
существует функция h(x,y) такая, что в любой Р/-алгебре с
тождеством степени т любой одночлен w от г элементов.
ai,...,ar является линейной комбинацией одночленов вида
w' = Vimt v2mt...Vi™i , где /^ft(m, г), причем все v{ (i =
= 1,..., I) — одночлены от аь ..., аг меньшей степени, чем ту
а количество вхождений любого а^ (/=1,..., г) в w' такое же,
как и в w.
Функция h(x,y) называется функцией высоты. Из этой
теоремы, в частности, вытекает, что конечно порожденная
алгебраическая Р/-алгебра над полем является конечномерной. Здесь
под алгебраической алгеброй понимается алгебра Л, в которой
каждый элемент является корнем ненулевого многочлена f(t)
с коэффициентами из основного поля.
Важным следствием теоремы А. И. Ширшова о высоте
является полиномиальность роста конечно порожденной Р/-ал-
гебры. Если алгебра А порождена множеством {аь ..., аг) над
полем ky то взяв в качестве Ах линейную оболочку
порождающего множества и положив An=An-i+An-\A+AAn-i, мы полу*
оо
чим: А = [)Ап. Функция /(/г) =dim Ап называется функцией рос-
та алгебры А относительно указанного множества
порождающих. Мы скажем, что рост f (п) не выше полиномиального, если
найдется многочлен р(х) такой, что f(n)^p(n). Отметим, что
рост свободной 2-порожденной ассоциативной алгебры
экспоненциален и что свойство полиномиальное™ или экспоненци-
153

дальности роста не зависит от выбранной конечной системы по^
рождающих алгебры.
В теории ассоциативных Р/-алгебр имеются результаты и
более глобального характера, связанные с переходом к
полному кольцу частных.
Определение. Если А — некоторое кольцо, S —
подмножество регулярных элементов в А (т. е. неделителей нуля), то
Rs называется его правым полным кольцом частных, если А
вложено в Rs так, что любой элемент из S обратим, а любой
элемент из Rs представим в виде as~\ где абЛ, s€S.
Пример свободной ассоциативной алгебры ранга 2
показывает, что существуют кольца без делителей нуля, не
обладающие полным кольцом частных. Старый результат Амицура
гласит: любое Р/-кольцо без делителей нуля обладает телом
частных. Имеются более общие результаты о кольцах частных (см.
п. 3.2). Стоит заметить, что обобщение идет не только по
линии замены кольца частных, более общей конструкцией, но и
рассмотрения более общих тождеств. Такое, обобщенное
тождество кольца А может быть определено как формула вида
п
£ wnXnwi2Xi2.. .wisXlswitS+l = О,
где Xij — некоммутативные переменные, a wti — элементы из
А. Такое тождество естественно назвать нетривиальным, если
левая часть не обращается в нуль при замене элементов Хц на
элементы некоторого кольца, содержащего гомоморфный образ
кольца А (при этом вместо элементов w^ берутся их образы).
Попутно отметим, что имеются и другие более или менее
естественные обобщения тождеств. Так, при изучении тождеств
тел полезным оказывается рассмотрение рациональных
тождеств, т. е. выражений от переменных, получающихся
применением к ним операций сложения, умножения и взятия обратного
элемента.
1.2. Линейные группы с тождеством. По-видимому, вопрос о
структуре алгебры с тождеством имеет смысл лишь в случае
классов алгебр, обладающих сколько-нибудь
удовлетворительной структурной теорией. Едва ли можно отнести к ним все
группы или все алгебры Ли. Напротив, класс ассоциативных
колец с теорией радикала и полупростоты относится к таким
структуризованным классам.
Неудивительно поэтому, что структурная теория возникает
в классах групп и алгебр Ли с тождеством, связанных с
ассоциативными алгебрами. К их числу можно отнести линейные
группы или специальные алгебры Ли над полем К- Линейная
группа О есть подгруппа группы GL (п, k) для подходящего
натурального п. Взяв замыкание для О в топологии Зарисского
и перейдя к алгебраически замкнутому расширению К, мы полу-
<164

чим алгебраическую линейную группу G. Пусть Go — связная
компонента группы G, R — ее разрешимый радикал.
Факторгруппа Gq/R есть связная полупростая алгебраическая группа. Если
G0//? нетривиальна, то согласно теореме Шевалле в ней
содержится подгруппа одного из видов SL(2, AT), PSL(2, К)- Как
отмечалось в пункте 1.3 главы 1, в каждой из этих групп
содержится свободная неабелева подгруппа, т. е. не может
выполняться нетривиальное тождество. Поэтому G0 = R. Отсюда
G0 разрешима. Так как G/G0— конечная группа, видим, что G
почти разрешима. Разумеется, этот же вывод справедлив и в.
отношении группы G: любая линейная группа с тождеством
содержит разрешимую (нормальную) подгруппу конечного
индекса. Уточнение этой теоремы может быть получено с
использованием теоремы Ли—Колчина, согласно которой матрицы,
составляющие связную разрешимую линейную группу над
алгебраически замкнутым полем, одновременно приводимы к
треугольному виду. Отсюда нетрудно вывести, что над
произвольным полем характеристики 0 такая группа обладает ниль-
потентным коммутантом. Итак:
Теорема [87]. Пусть GczGL(n, /С), К—произвольное
поле характеристики нуль. Если G — группа с тождеством, то
существует нормальный ряд G[>#> N\> {1}, где |G/#|<oo,
H/N абелева, а N нильпотентна.
В случае простой характеристики основного поля
рассмотренный вопрос исследован в меньшей степени.
1.3. Подалгебры Ли Р/-алгебр. Специальная алгебра Ли L
над полем k определяется как подалгебра Ли ассоциативной
Р/-алгебры Л. Как уже отмечалось в пункте 5.2 главы 1, для
любой ассоциативной Р/-алгебры А найдется натуральное п
такое, что f(xu ..., хт)=0 — тождество в матричной алгебре
Mn(k) порядка п тогда и только тогда, когда, для некоторого
натурального d, f(xu...,xm)d=0 — тождество в А. В силу
конечномерности алгебры Mn(k) в ней выполняется тождество
вида
$т (•£()» -^1» • • •» Хт) = 2d. 6(J l"^0' ^ff(t)» • • •» -*4J(m)]~^'
(TgSym(Tz)
Как указано выше, в А выполняется sm (х0, хи ..., хт)а=0.
Заметим что если ud = 0, то для любого v имеем: [v, и, . ..,#]=
=0 (раскрыть скобки!). Поэтому в А, значит ив/,, справедливо
тождество
[г <? (Al) *-(1h * (Аы~г) г{2а~1)\\—()
1Л> °т у-^О » • • ч лт ), . . ., ьт \л,о , . . ., л,т ^]=\j.
Его нетривиальность проверяется с помощью матричных
единиц (как в п. 1.2, гл. 1). Таким'образом, специальные алгебры
Ли — это алгебры Ли с тождествами. (Обратное неверно: раз-
16Э

решимая алгебра Ли ступени разрешимости 3 уже может не j
быть специальной.) |
Специальные алгебры Ли с конечным числом порождающих ^
над полем характеристики нуль обладают весьма удовлетвори- й
тельной структурой. Назовем алгебру Ли L алгебраической, ее- *
ли для любого a£L найдется ненулевой многочлен /0(/) такой, *
что /a(ada)=0. Тогда справедливы результаты, являющиесй ;
аналогами классических теорем теории конечномерных
алгебр Ли.
Теорема. Пусть L — конечно порожденная специальная .
алгебра Ли над полем характеристики нуль. Тогда: г
1) Если L алгебраическая, то она конечномерна. В частно* i
сти, если L энгелева (т. е. /o(0=^d(o))> то она нильпотентна. :
(аналог теоремы Энгеля). Этот результат В. Н. Латышева не ]
зависит от характеристики основного поля.
2) Если L—разрешимая, то ее коммутант [L, L] нильпо-
тентен (аналог теоремы Ли).
3) Если L — почти разрешимая, т. е. L[>R, где R—
разрешимый радикал, а L/R конечномерна, то L=G®R, где G —
полупростая подалгебра (аналог теоремы Леви) (условия 2)
и 3) см. в [3]).
Если отказаться от ограничения на число порождающих, то
результаты перестают быть справедливыми. Здесь снова
играет роль алгебра Грассмана (см. п. 1.1) G бесконечной
размерности: Именно, алгебра L матриц вида I о о|> гДе a» b£G,
относительно операции коммутирования является разрешимой, но её
коммутант не является нильпотентным [3].
1.4. Тождества и представления групп и алгебр Ли.
Разумеется, из того, что наложение произвольного тождества на
группу или алгебру Ли не дает немедленных выводов о
структуре этой группы или алгебры Ли и т. п., не следует, что их
роль в этих теориях невелика. Например, если мы захотим
изучать неприводимые представления группы, то увидим, что
задача об описании групп, у которых все неприводимые
представления имеют конечную ограниченную степень, «почти»
эквивалентна задаче об описании групп, для которых групповое
кольцо удовлетворяет хоть какому-нибудь нетривиальному
тождеству. Аналогична ситуация и в случае алгебр Ли (см. п. 5.3,
гл. 1).
Описание групп, для которых групповое кольцо
удовлетворяет нетривиальному тождеству, существенно зависит от
основного поля. В случае поля характеристики нуль справедлива
теорема Айзекса и Пассмана.
Теорема [121]. Групповая алгебра fe[G] группы G над
полем k характеристики нуль является Р/-алгеброй в том и
только том случае, когда группа G обладает абелевой нормаль-
рой подгруппой Я такой, что G/H — конечная группа.
166

Достаточность условия объясняется следующим образом.
Групповая алгебра S = k[G] может быть рассмотрена как
правый R = k [Н] -модуль относительно умножения на элементы из
R. В силу конечности индекса подгруппы Н в G, этот модуль
является конечно порожденным. Алгебра k[H] коммутативна,
т. е. является Р/-алгеброй. Согласно теореме Прочези—Смолла
[136], кольцо эндоморфизмов конечно порожденного модуля
над Р/-алгеброй является Р/-алгеброй. Однако сопоставление
любому s£S оператора умножения элементов из k[G] на
элемент s слева задает гомоморфное вложение кольца S в EndHS.
Это доказывает, что S = k[G]—действительно Р/-алгебра.
Похожее рассуждение используется и в ряде других теорем
аналогичного плана. Доказательство необходимости сложнее.
Важным моментом в нем является рассмотрение множеств
An(G), /i=l, 2,..., состоящих из элементов группы G, классы
сопряженности которых содержат не более п членов, и
подгруппы A(G) = (jAn(G). Один из основных результатов состоит
в том, что если в k[G] выполнено тождество степени т, то
|G:A(G)|<m/2. Кроме того, |[A(G), A(G)]|<oo.
Подробнее об аналогичных множествах в случае алгебр Ли мы
скажем ниже.
Случай групповых колец с тождеством над полем
характеристики р>0 рассмотрен Пассманом. Он доказал, что
групповая алгебра k[G] группы G над полем k характеристики р>0
является Р/-алгеброй тогда и только тогда, когда в G есть ряд
нормальных подгрупп G \>Н[>К\>{1} такой, что \G/H] <оо,
Н/К — абелева группа, a \K\=ps для подходящего
натурального числа 5 [132].
Заметим, что к настоящему времени имеются обобщения
этих результатов на случай групповых алгебр над Р/-кольцом,
не обязательно являющимся полем, на случай полугрупповых,
а не групповых алгебр и др.
Напомним, что универсальная обертывающая алгебра
U{О) для алгебры Ли С?-—это ассоциативная алгебра с 1,
содержащая подалгебру Ли G (т. е. относительно операции
коммутирования [а, &] = а& — 6а), базисом которой является 1 и
одночлены giigia...gts, h<i2< - -- <is, где {g*hg/ —
некоторый базис алгебры Ли G (множество индексов линейно
упорядочено). Важное свойство алгебры U(G) состоит в том, что
любой G-модуль является /7(G)-модулем и наоборот. В этом
смысле универсальная обертывающая алгебра для алгебры Ли
аналогична групповой алгебре для группы. Наличие
бесконечномерного абсолютно неприводимого представления у любой
конечномерной алгебры Ли над полем характеристики нуль и
равенство нулю радикала Джекобсона ее универсальной
обертывающей алгебры в комбинации с результатами предыдущего
параграфа приводят к теореме В. Н. Латышева (см. [3]):#
167

Теорема. В случае поля характеристики 0 алгебра U(G)
является Р/-алгеброй тогда и только тогда, когда G — абелева
алгебра Ли.
Более сложной является ситуация в случае поля
характеристики р>0. Здесь справедлива теорема Ю. А. Бахтурина
[3]:
Теорема. Универсальная обертывающая алгебра U(G)
алгебры Ли G над полем характеристики р>0 является PI-
алгеброй тогда и только тогда, когда в G есть абелев идеал Н
конечной коразмерности и присоединенное представление
алгебры G алгебраично (т. е. для любого x£G найдется ненулевой
многочлен f(t) такой, что f(adx) = 0).
Как и в группах, важную роль играет подмножество А (С?)
алгебры Ли <?, состоящее из элементов g, для которых
сИт(?/Со(ё)< оо, где CG(g) —централизатор элемента g в Q.
Рассуждения с переходом к телу частных (см. п. 1.1) позволяют
утверждать, что при выполнении тождества степени d в U (G)
любые п элементов из С? линейно зависимы по модулю An*((/),
где п= -j- . Изучение алгебры Ли Я с условием Я — А, (//)
облегчается применением следующей общей теоремы П.
Неймана. В формулировке этой теоремы дано билинейное
отображение ф : UxV-^W векторных пространств /У, У, W над полем
k. Шириной Ь(х) элемента x£U называется число dim V/Ann^x.
Аналогично определяется ширина элемента y£V.
Теорема. Если существуют натуральные г, s такие, что
b(x)^.r для любого x£U и b(y)^.s для любого y£V, то
<Нт*ф(£/, V)<rs.
Из этой теоремы для указанной выше алгебры Ли Н
выводим dim H2^t2. Алгебраичность присоединенного представления
устанавливается комбинаторными рассуждениями.
Метод этой теоремы уже нашел применение при изучении
аналогичного вопроса в теории супералгебр Ли.
§ 2. Вокруг Бернсайда
2.1. Проблемы бернсайдовского типа. Наиболее простой
может, на первый взгляд, показаться структура алгебр,
удовлетворяющих тождествам от одной переменной. Однако уже тут
мы приходим к интереснейшим постановкам весьма трудных
проблем, находящихся в фокусе внимания алгебраистов в
течение целого ряда десятилетий. В случае групп мы приходим к
тождеству Бернсайда хп=1. В случае линейных алгебр (с
ассоциативными степенями) приходится иметь дело с
тождеством алгебраичности f(x)=0, где /—некоторый обычный
многочлен с коэффициентами из области скаляров. Процессы
выделения однородных частей позволяют для бесконечных полей
168

перейти к тождеству вида хп=0. Следует отметить, что в
случае антикоммутативных алгебр, как, например, алгебры Ли,
рассмотрение последнего тождества бессодержательно. Поэтому
обычно рассматриваются тождества, зависящие от двух
переменных х, у, причем от одной из них, скажем г/, в первой
степени. Обозначив, как обычно, оператор умножения в
рассматриваемой алгебре на х справа через adx, мы видим, что такое
тождество в случае алгебр Ли принимает вид r/f(ad*)=0, где
f — как и выше. Выделяя однородные компоненты, если это
возможно, приходим к тождеству (adx)n=0 ( тождество энге-
левости). Если рассматриваются другие классы линейных
алгебр, то удобнее писать (Rx)n=0, где Rx — оператор
умножения справа на х.
Основным вопросом об алгебрах с такими тождествами
«бернсайдовского» типа является вопрос о локальной
конечности алгебр. Под локальной конечностью понимается
конечность подгрупп, подколец с конечным числом порождающих,
либо конечномерность конечно порожденных подалгебр над
основным полем.
2.2. Многообразия Бернсайда. Периодом или экспонентой
группы G (многообразия Ш) называется минимальное
натуральное число п такое, что х11=\ —тождество в группе G
(многообразии Ш). Если такого числа не существует, то период
группы G (многообразия ЗЯ) считается равным нулю. Любое
многообразие периода п содержится в многообразии ЗЭП всех групп с
тождеством хп=1, а любое многообразие периода 0 содержит
Ш-многобразие всех абелевых групп.
«Ограниченная» проблема Бернсайда [34] состоит в вопросе
о конечности конечно порожденной группы периода п.
Эквивалентная формулировка: каждая ли группа из 5ЭП локально
конечна? Понятно, что достаточно выяснить вопрос о конечности
©„-свободной группы В(т, п) ранга т.
Решение вопроса Бернсайда тривиально для п = 2, так как
легкое упражнение показывает, что ^czSt; | В(т, 2) | =2т. Берн-
сайд в 1902 году доказал конечность группы В(т, 3), порядок
которой оказался равным 3Нт\ где f(m)=m+ (™) + (з) •
И. Н. Санов в 1940 году установил локальную конечность
многообразия Э4, а М. Холл в 1957 году — локальную конечность
многообразия ЗЭ6 [115].
Число 5 является минимальным показателем, для которого
ограниченная проблема Бернсайда открыта. Неясен и вопрос о
локальной конечности групп показателей 2\ k = 3, 4. .. . Для
больших нечетных показателей ограниченная проблема
Бернсайда получила отрицательное решение (см. п. 4.3, гл. 1).
Другая важная задача о структуре групп из ЗЭП — так
называемая ослабленная проблема Бернсайда. Речь идет о
существовании функции f(my п) такой, что порядок любой конечной
169

группы с т порождающими и тождеством хп=1 ограничен
числом f(m, п). Эта задача имеет положительное решение в
случае, когда п не делится на квадрат простого числа. Основой
решения является случай простого р, полностью разобранный в
работах А. И. Кострикина (см. [13]). (Нахождение явного вида
функции f(m, п) —весьма сложная задача. Значение f (2,5) =
= 534 найдено с помощью компьютера.) При доказательстве
была использована редукция к алгебрам Ли с условием
(ад х)р-1 = 0 (см. п. 2.3). Случай составного п связан с
именами Ф. Холла и Хигмана, использовавшими понятие р-длины
группы, а также с классификацией конечных простых групп.
Отметим, что разрешимая периодическая группа всегда
локально конечна. Поэтому важным является вопрос о
разрешимости группы с тождеством хп==1. Много работ было
посвящено, в частности, вопросу о разрешимости групп с тождеством
х4=1 (проблема Холла—Хигмана). Окончательное решение —
построение неразрешимой группы с указанным тождеством —
было дано Ю. П. Размысловым [25]. Ранее, решая проблему,
поставленную А. И. Кострикиным, Ю. П. Размыслов доказал,
что ступени разрешимости конечных групп с тождеством хр=1,
р — простое число, р^5, не ограничены в совокупности. Этот же
результат можно переформулировать на языке многообразий.
Пусть ®р — многообразие, порожденное всеми конечными
группами экспоненты р (т. е. с тождеством хр=1). Согласно
результату А. И. Кострикина, $р — локально конечное
многообразие. Результат Ю. П. Размыслова гласит: $р — неразрешимое
многообразие (р^5) [89]. Как и в случае теоремы А. И.
Кострикина, цитированные результаты Ю. П. Размыслова своей
существенной частью имеют теоремы об алгебрах Ли (см. п. 2.3).
К числу открытых вопросов здесь относится ослабленная
проблема Бернсайда для показателей рп, где р — простое число,
р^З, /i>2, и 2т, т^З.
2.3. Энгелевы алгебры Ли. Алгебра Ли L называется энге-
левой, если для любого x£L найдется натуральное число п
такое, что (adx)n = 0. Например, допустим, что L — алгебра Ли
нильпотентных линейных операторов векторного пространства
V. Запишем adx=rx—1Х9 где гх— оператор умножения элементов
из L на х справа, а 1Х, соответственно, слева (получающиеся
при этом элементы не обязаны лежать в L). Поскольку гх и 1Х
коммутируют, к степени их разности применима формула
бинома Ньютона, и если хт = 0, то
2m-l
(adx)*»-»= 2 (к (-1)*(rJr)*(kJ2m-1-* =
2т—1
fc=0 ч '
170

В этой сумме для любого k либо д^ = 0, либо *2т*~1_^ = 0,
т. е. получающийся оператор — нулевой. Согласно классической
теореме Энгеля, если L — конечномерная алгебра Ли нильпо-
тентных линейных операторов, то в пространстве V есть
ненулевой собственный вектор, общий для всех операторов из L
[3]. В частности, если V конечномерно, то в некотором базисе
все операторы из L приводимы к (верхне) треугольному виду.
В этом случае Х\Х2... хп = 0 для любых дгь ..., xn£L, где п =
= сНт1Л Если L — конечномерная энгелева алгебра, то
(ad х{) ... (ad хп) = 0, n = dimL. Поскольку ad[*b*2] =
= adx1adx2—ad*2adxi, отсюда вытекает, что в конечномерной
энгелевой алгебре L любое произведение [х\9..., хп+\] (с
произвольной расстановкой скобок) равно нулю. Таким образом,
L — нильпотентная алгебра Ли. Другим важным источником
алгебр Ли с условием энгелевости являются кольца Ли,
ассоциированные с конечными р-группами. Так, если в конечной
р-группе G выполняется тождество хр=1, то в кольце Ли
L(G), построенном по ряду (14) главы 1, выполняется
тождество (adx)p-1s==0. Заметим, что число порождающих в L(G)
совпадает с числом порождающих в G, а порядок группы G
равен порядку кольца 1(G). Если доказана нильпотентность
ступени с, зависящей от числа порождающих кольца Ли
характеристики р с тождеством (ad*)p_-1 = 0, то получится
ограниченность порядка кольца L(G), т. е. группы G. Именно такой
результат был получен А. И. Кострикиным в конце 50-х годов,
точнее, доказана
Теорема. Алгебра Ли с тождеством (adx)n = 0 над
полем характеристики нуль либо над полем характеристики р>п
локально нильпотентна.
При этом была создана особая техника (см. п. 2.4),
полезная и для решения других важных задач, например,
классификационного типа. Достижения в области энгелевых алгебр Ли
отражены в новой монографии [13]. Теоретико-групповые
следствия см. в пункте 2.2.
Естественной в связи с этим результатом является задача о
нильпотентности произвольного кольца Ли с условием
энгелевости. В общей постановке еще раньше (1955 г.) отрицательное
решение указано Коном. Именно, найден пример ненильпотент-
ного метабелева кольца Ли L простой характеристики р с
условием (adx)p+l = 0. Пример конечно порожденной энгелевой
алгебры Ли над произвольным полем (в которой индексы
энгелевости элементов не ограничены в совокупности) вытекает из
одной конструкции Е. С. Голода [58] (см. также п. 2.5).
Заметной вехой на пути изучения энгелевых алгебр Ли
стал пример Ю. П. Размыслова ненильпотентной алгебры Ли с
условием (ad#)p~2=0 над произвольным полем простой
характеристики р>0. При построений этого примера появилась новая
техника так называемой а-функции на 2-словах, оказавшаяся
171

полезной для решения и ряда других задач теории
многообразий (см., например, [3], '[13]).
Браун заметил, что оценка р>п в работах А. И. Кострикина
допускает улучшение до р+1^п (см. [13]). Судьба
дальнейшего изучения энгелевых алгебр Ли оказалась весьма различной в
случае полей нулевой и ненулевой характеристик. В последнем
случае неясен вопрос о локальной нильпотентности (как
отмечено, глобальной нильпотентности нет). С другой стороны,
существенно опираясь на результаты А. И. Кострикина (см.
п. 2.4), в самое последнее время Е. И. Зельманов доказал
следующее.
Теорема. Над полем нулевой характеристики тождество
(adx)nE==0 влечет нильпотентность алгебры Ли.
Этой теореме предшествовали результаты С. П. Мищенко,
доказавшего, в частности, над полем нулевой характеристики
нильпотентность энгелева многообразия алгебр Ли, рост
тождеств которого ограничен показательной функцией. К числу
таких многообразий относятся, например, многообразия,
порожденные алгебрами Ли векторных полей на гладком многообразии
конечной размерности, специальные многообразия алгебр Ли
и многие другие. Частным случаем теоремы Е. И. Зельманова
оказалась теорема Хиггинса о нильпотентности разрешимых
алгебр над полем характеристики нуль. В случае разрешимых
алгебр Ли над полем характеристики р>п нильпотентность
алгебр Ли с тождеством (adx)n=0 остается полезной теоремой
[3].
Несмотря на общее положительное решение проблемы энге-
левости в случае нулевой характеристики, актуальным остается
получение оценок ступеней нильпотентности энгелевых алгебр
Ли в простейших нетривиальных случаях. Для тождества
(ad*)4—0 такие оценки были получены еще Хиггинсом и Хай-
некеном [118], [119]. Для (adjc)5=0 пока ничего неизвестно.
Любая конечно порожденная алгебраическая алгебра Ли с
нетривиальным тождеством над полем нулевой характеристики,
как доказано Е. И. Зельмановым, является конечномерной.
Здесь под алгебраической алгеброй Ли имеется в виду такая, в
которой для любого элемента х найдется многочлен от одной
переменной f(t), аннулирующий оператор ad*. Другие
приложения найдены Е. И. Зельмановым [9], [10] в
классификационных вопросах. Например, им было доказано, что любая
простая йорданова алгебра является классической. Кроме того,
дано описание простых градуированных (возможно, бесконечно-
п
мерных) алгебр Ли вида L= 2 L{ над полем характеристики
i = — п
р^4п+1 либо 0 таких, что 2 Ь{ф{0}. Важным орудием до-
казательств Е И. Зельманова является полученное им
обобщение одной теоремы А. И. Кострикина об «оболочках тонких
172

сэндвичей», т. е. о ненулевых элементах х алгебры Ли, для
которых (adje)5=0: алгебра Ли над кольцом скаляров,
содержащим 1/6, порожденная конечным множеством оболочек тонких
сэндвичей, нильпотентна. Отметим, что алгебра без оболочек
тонких сэндвичей называется алгеброй без сильного
вырождения. В каждой алгебре Ли есть единственный максимальный
идеал (радикал Кострикина), факторалгебра по которому не
имеет сильного вырождения.
Техника и идеи А. И. Кострикина нашли применение в
обширной литературе по модулярным алгебрам Ли, т. е. алгебрам
и р-алгебрам Ли над полем характеристики р>0, в основном,
при попытках классификации простых конечномерных алгебр.
Такая классификация получена в случае р-алгебр над
алгебраически замкнутым полем (Блок и Уилсон [105]) и подтверждает
гипотезу А. И. Кострикина — И. Р. Шафаревича. Случай
обычных алгебр Ли, т. е. без р-операции, заметно сложнее, и задача
классификации остается нерешенной.
Отметим еще одну нерешенную задачу, важную для теории
многообразий групп: пусть алгебра Ли G удовлетворяет
тождеству, не выполняющемуся в si(2, С); верно ли, что G —
разрешимая алгебра?
Положительный ответ на этот вопрос давал бы ответ также
на вопрос А. Л. Шмелькина о многообразиях групп лиевского
типа (см.' п. 4.2, гл. 1).
2.4. Метод сэндвичей. В этом разделе излагаются некоторые
характерные особенности созданного А. И. Кострикиным [70]
метода для решения ослабленной проблемы Бернсайда в случае
простого показателя. Как уже отмечалось в пунктах 2.2 и 2.3,
основным моментом является доказательство локальной
нильпотентности алгебр Ли с условием (adx)p~1^0 над полем
характеристики р>0. На самом деле, А. И. Кострикин доказывает
следующую, заметно более сильную теорему (см. [13]).
Теорема. В любой алгебре Ли с условием (ad*)пе==0 над
полем характеристики нуль или простой характеристики р>п
имеется ненулевой абелев идеал.
Этот факт достаточен для решения задачи о локальной
нильпотентности алгебры Ли с условием (ad*)n=0 и с теми
же ограничениями на характеристику основного поля, что и в
теореме. Дело в том, что в каждой алгебре Ли L имеется
наибольший локально нильпотентный идеал R(L). А. И.
Кострикин показывает, что при наложенных условиях факторалгебра
LjR(L) не содержит ненулевых локально нильпотентных
идеалов. Понятно, что в силу сформулированной теоремы мы
должны положить L=R(L), т.. е. L локально нильпотентна.
Поскольку L конечно порождена, получаем, что она нильпотентна.
Характерным для описываемой работы А. И. Кострикина
является отождествление алгебры Ли L с подалгеброй Ли
ассоциативной алгебры E(L) линейных операторов на L. Дело в
173

том, что доказывая существование нетривиального абелева
идеала в L методом от противного, мы можем предполагать, что
центр в L равен нулю; в этом случае отображение х*+ ad я,
x£L, дает искомое отождествление. Используя это
отождествление, отметим, что для любых *о,..., xm£L элемент х\Х2... хт —
это оператор на алгебре L, а [х0х\ ... хт] — элемент в L,
полученный из Хо действием этого оператора, т. е. [хо, хи ..., хт] =
=Хо (adjci) ... (adjcw). Если [х0, хи ..., хт] = 0 для любого
Xo^L, то, по определению, Х\х2... хт==0. Попробуем записать
теперь условия порождения некоторым элементом с абелева
идеала / в алгебре L. Любой элемент из / является линейной
комбинацией одночленов вида i[cx\...xh]. Значит, необходимо
и достаточно иметь ][[сх\ ... xk], [cxk+i... xi\] = 0 для любых
Х\,..., хг. Используя тождества Якоби и
антикоммутативности, приходим к равенству нулю коммутаторов вида
[x^cxtz ... Xiscxi ... Xit]. Значит, по отмеченному выше,
необходимо и достаточно выполнение соотношений
схх.. .хтс?=0, т = 0, 1, 2,..., (1)
тождественных по хи ..., xm£L. Заметим, что тождество
(ad*)ns=0 в наших обозначениях приобретает вид хп = 0, т. е.
используя линеаризацию, можно считать, что в (1) изменение
параметра происходит от 0 до п—1.
Итак, основной комбинаторной задачей является отыскание
в алгебре L с условием (adje)ns==0 и отмеченными
ограничениями на характеристику ненулевого элемента с с условием (1).
Этот процесс правильнее назвать конструированием, так как
(в конечном счете) искомый элемент с оказывается зависящим
от элемента начального этапа достаточно каноническим (хотя и
разветвленным) способом. Для удобства обозначений, элемент
с называется сэндвичем толщины г, если для любых хи ..., xr£L
имеем сх\... xrc=Q, но для некоторых уи ..., Уг+\ имеем
су\... уг+\сф0. Толщина сэндвича — нечетное число.
Например, если с2=0, то для любых дс, y£L имеем
0=i4yc2]] = [xyc2]—2[xcyc]+[xc2y]=—2[xcycl
т. е. сус = 0. Сэндвичи толщины 1 называются тонкими, а
сэндвичи большей толщины — толстыми. Тонкие сэндвичи являются
нильэлементами индекса 2. Хотя вся алгебра L состоит из
нильэлементов *п = 0, все же нахождение нильэлементов индекса
2 является весьма сложной задачей. Процесс построения
нильэлементов убывающего индекса, а затем сэндвичей
возрастающей толщины назван А. И. Кострикиным спуском^ так как
речь идет о переходе к элементам со все более жесткими
условиями. Спуск к нильэлементам индекса 3 осуществляется
единообразно: если v — элемент индекса т, где 4^т^р—1 (это
условие не нужно в случае нулевой характеристики), то для
некоторого u£L имеем [иит~1]Ф0, а [иоя|ы"1]т"1=0, т. е.
174

[a, vm~l] — нильэлемент индекса не более т—1. Переход от
нильэлементов индекса 3 к сэндвичам — уже существенно
сложнее: если й3 = 0, то для любого u£L рассматриваются элементы
вида gm=gm(u) =[u\bu\mb2\ Индукция по т показывает, что
gm2 = b2(u2b2)m+l, т. е. gn-i2 = 0. Взяв минимальное t такое, что
g*_i2 = &o2(M2V)' = 0, мы при t=l приходим к сэндвичу [ub2].
В противном случае (т. е. при ^>1) доказывается
существование элемента /£L такого, что некоторый элемент bo=gm(f)
индекса не выше 3 удовлетворяет дополнительному
соотношению bo2(u2bo2)3 = 0 (s Ы/2]), тождественному по u£L. Спуск по
параметру t приводит к элементу Ь\Ф§ со свойствами 6i3 = 0*
bi2u2b\2 = 0, тождественному по a£L. Если Ъх — не сэндвич, та
таковым, как и выше, является с=[иЬ\2]ФО. Отметим, что ее-
^ . Г п 1
ли основное поле имеет характеристику нуль или р>п+ Ig" »
то поиск сэндвича заметно проще.
В процессе спуска к сэндвичам произвольной толщины есть
два качественно различных этапа. Первый состоит в
построении, исходя из тонких сэндвичей, хотя бы одного толстого,,
второй — в построении толстого сэндвича произвольной
толщины. Первый этап настолько сложен, что по сравнению с ним
второй этап выглядит сравнительно простым. Процедура
воспроизводства достаточно толстых сэндвичей состоит в следующем:
если с — сэндвич толщины 2т—1, т^.(р—3)/2, а элемент a$L
таков, что элемент с0= [са2т+1с] — ненулевой, то с0 также
имеет толщину не менее 2т—1. В смысле толщины вновь
полученный сэндвич с0 не лучше, чем с, однако, если т^2, то для с0
выполняется соотношение
c0u2mc0v2mco=0y (2)
тождественное по и, v£L. Если с0 не является сэндвичем
толщины 2га + 1, то для некоторого b£L элемент с\=* [соЬ2т+1с0]ФО
является уже сэндвичем толщины 2т +1 (или более). Это
утверждение справедливо для р>7 и 7^2т + 3<р
(пограничные случаи получаются в результате более простых
дополнительных соображений).
Читатель, вероятно, уже заметил, что на различных
этапах желаемый результат (получение элемента меньшего ниль-
индекса или сэндвича большой толщины) достигается
многократным применением процедуры, первоначально не дающей
нужного эффекта. Особенно сильно проявляется эта
закономерность в процессе перехода от тонких сэндвичей к толстым (т. е.
в обозначениях предыдущего абзаца от т=\ к т = 2). Автор
предъявляет, с одной стороны, несколько процедур перехода от
одних сэндвичей к другим с накоплением некоторых тождеств
(в смысле (2)). С другой стороны, показано, что при
выполнении некоторых тождеств с участием фиксированных тонких
сэндвичей из них можно сконструировать толстый сэндвич.
Например, если в L есть тонкий сэндвич с, для которого
175

cu\2cii22c ... cum2c = 0 тождественно по щ, w2,..., u„fiL, то в L
имеется и толстый сэндвич (р>5). В наиболее существенном
случае т = 2 искомый сэндвич получается кратным (не более
трех раз) применением перехода вида с-*[\са2с] при
подходящем a£L. Другая подобная ситуация — наличие тонкого
сэндвича с, для которого справедливо соотношение [си?с] [сигс] =0,
тождественное по и, v£L.
Для дальнейшего необходимо рассматривать пары тонких
сэндвичей си c2£L, связанных соотношениями вида [с\С2\=0у
с\С2фО, причем c\Ui... UmCiC2 = c2Ui ... ^1^ = 0 (т^.п)
тождественно по i/i,..., um£L. Максимальное т, для которого
выполняются последние соотношения, называется толщиной пары
(си сг). Технически наиболее сложным является построение
пары толщины 1, осуществляемое в предположении отсутствия
толстых сэндвичей. Это построение не просто трудоемко, но
требует привлечения некоторых новых понятий, например,
продолжения сэндвича, экстремальной подалгебры, сэндвичевой
алгебры. Более простой этап — построение толстой пары (т. е.
при т^2) в алгебре с условием (ad*)n=0 при р>7. Наконец,
имея толстую пару (си с2), автор рассматривает в алгебре Ли
идеал /с, порожденный сэндвичем с = [а(с1 + с2)2]ф0, а£Ь. Для
любых g, М1С в L справедливо тождество
cg2ch2c = 0.
Это соотношение позволяет найти в 1С сэндвич с0 толщины
р—4. Его прообраз в L не может удовлетворять тождеству
Coh2c0 = 0, тождественному по /г£/с, поскольку тогда для
произвольных и, v£L мы получим [c0u3Co][coV3Cq\=0, т. е., согласно
отмеченному выше, в L есть толстый сэндвич. В противном
случае, для некоторых h0, b0&L элемент eo = [coboh02Co] отличен от
нуля и для него уже e0h2e0=0 для всех /iG/c (тождество в L).
Это противоречие (во — толстый сэндвич) завершает
доказательство теоремы о существовании абелева идеала.
2.5. Нилькольца. Согласно теореме Левицкого (см. п. 1.1),
ассоциативное кольцо с тождеством хп=0 локально нильпо-
тентно. В случае алгебр над полем характеристики нуль
(либо р>п) справедлива существенно более сильная теорема На-
гаты—Хигмана1* (см., например, [8]):
Теорема. При указанных ограничениях алгебра А с
тождеством хп = 0 нильпотентна индекса не выше 2п—1.
Доказательство Хиггинса этого результата таково. Пусть
Л* — алгебра, полученная формальным присоединением к А
единицы 1. Поскольку (а+Ь)п = 0 для любых а, й&4,
выделение однородных компонент (здесь используется ограничение на
характеристику) дает
*> Недавно выяснилось, что эта теорема была впервые доказана в 1943
году в работе [61].
176

п
i=0
Кроме того, f (а, \)=пап~1. Рассмотрим элемент
rfZ-l
g(a, b, с)= 2 а1сЬ1ап-{-хЬп-1-\ где а, 6, ^б-А. .
/• /-о
Имеем:
С другой стороны,
л-1
g(fl, 6, с) = 2а^/(6' аГг'^пая'1сЬя'1.
Поэтому (снова используем ограничение на
характеристику) an~lcbn-l = 0. Обозначим через N идеал в Л, порожденный
элементами вида an_1, абЛ. Согласно доказанному, NAN={Q}.
В факторалгебре Л=Л/М справедливо тождество хп~1=0. По
предположению индукции Л'={0}, где /=2П~1—1. В этом
случае AlcN и A2l+lczNAN={0}. Поскольку 2/+1=2п—1, теорема
полностью доказана.
Заметим, что отказ от ограничения на характеристику
основного поля невозможен. Например, над полем k характеристики
р>0 существуют ненильпотентные алгебры, в которых р-я
степень каждого элемента равна нулю. В качестве такой алгебры
можно взять факторалгебру R подалгебры многочленов без
свободного члена в k[x\, х2,..., хп,... ] по идеалу /,
порожденному элементами х{р,..., хпр,.... В силу свойств
биномиальных коэффициентов, в этом кольце (u-\-v)p=up-{-vp, что и
обеспечивает выполнимость тождества хр=0. В то же время
произведение Х\Х2...хп — ненулевой элемент для любого /i>0.
Отметим, что использование кольца R легко дает пример
ненильпотентного кольца Ли с тождеством (ad #)р+1 = 0.
Именно, если рассмотреть циклический ^-модуль М с порождающим
элементом а и само R как абелевы алгебры Ли и положить
L=R®M с коммутатором [г,т]=гт, то получается искомый
пример. Еще одно важное замечание: согласно результатам
Ю. П. Размыслова, из хп = 0 над полем характеристики нуль
вытекает даже х\... хп* =0.
К описанной тематике примыкает проблема А. Г. Куроша:
верно ли, что всякая алгебраическая алгебра локально
конечна? Отрицательное решение дает пример Е. С. Голода [58],
построившего для любого натурального d^2 пример rf-порож-
денной бесконечномерной алгебры, в которой любая (d—1)-
порожденная подалгебра нильпотентна, следовательно
конечномерна. Если же предполагать, что А — Р/-алгебра, то проблема
177

А. Г. Куроша решается положительно (см. п. 1.1, следствие
теоремы А. И. Ширшова о высоте).
Отметим еще один результат, касающийся одновременно
ассоциативных алгебр и алгебр Ли. Пусть А — ассоциативная
алгебра над полем характеристики нуль, Ь — ее подалгебра Ли
относительно операции коммутирования. Допустим, что А
порождается алгеброй L как ассоциативная алгебра.
Справедлива теорема С. П. Мищенко [83]: допустим, что в паре
(A,L) выполняется слабое тождество *n=s0; тогда А —
нилъпотентная алгебра. Если Л = £, то получаем в точности
теорему Нагаты—Хигмана для нулевой характеристики.
Проблема А. Г. Куроша была сформулирована и
рассмотрена в целом ряде других классов линейных алгебр [8].
Скажем, в случае альтернативных алгебр (т. е. в которых любые
два элемента порождают ассоциативную подалгебру)
А. И. Ширшов доказал локальную конечномерность
алгебраических Р/-алгебр. Им же была получена аналогичная теорема
о специальных йордановых алгебрах (т. е. подалгебрах
ассоциативных алгебр над полем характеристики, не равной 2,
относительно операции х^у== -^ (ху+ух)). Из этих результатов
вытекает нильпотентность соответствующих конечно
порожденных алгебр с тождеством хп = 0. Е. И. Зельманов
распространил результаты А. И. Ширшова на случай произвольных
йордановых алгебр [139}. Отказ от конечности числа порождающих
нарушает справедливость этого результата (примеры К. А. Жев-
лакова, И. П. Шестакова и Г. В. Дорофеева [8]). Исследования
в данном направлении ведутся и в других классах
неассоциативных алгебр.
§ 3. Тождества и конструкции
3.1. Расширения алгебр с тождеством. В теореме Биркгофа
отмечалось сохранение тождества при совершении простейших
операций над алгебрами: переходе к подалгебре, факторалгеб-
ре, построении декартова произведения алгебр (с
фиксированным тождеством). Естественно спросить: при каких
построениях, исходя из алгебр с тождествами, мы снова приходим к
алгебрам с тождеством? К числу таких построений относится
расширение групп и колец, переход к кольцу матриц над
кольцом, переход к присоединенной ассоциативной алгебре для
линейной Q-алгебры, к присоединенной группе ассоциативного
кольца, к коммутаторной алгебре для некоторой алгебры,
тензорное произведение алгебр и многое другое.
В случае групп произведение Ш двух многообразий U, 3
есть класс групп, обладающих нормальной подгруппой из U,
факторгруппа по которой лежит в 2$. То, что
Ш—многообразие, особенно легко проверяется с помощью теоремы Биркгофа.
Например, если GSU9J, так что в G есть нормальная подгруппа
178

/Ceu такая, что G/K®&> а Я —подгруппа в G, то H(]K^Vi и
Н(]К — нормальная подгруппа в Я, причем, по теореме об
изоморфизме H/H()K=HK/KczG/K, т. е. факторгруппа лежит
в 2$. Переход к факторалгебре и декартову произведению столь
же прост.
Во многих важных классах алгебр ядерная конгруэнция
гомоморфизма является разбиением с помощью некоторой подал*
гебры специального вида. Так обстоит дело для групп, колец,,
линейных Q-алгебр, т. е. линейных алгебр с дополнительной
совокупностью полилинейных операций, составляющих
некоторое множество Q. В этих случаях можно, как и выше, опреде*
лить произведение двух многообразий.
Изучение произведений многообразий составляет
важную главу в теории многообразий групп, алгебр Ли, в
меньшей степени — в многообразиях ассоциативных алгебр.
Некоторые итоги этого изучения см. в главе 3, § 2.
3.2. Тождества родственных колец. Пожалуй, наиболее
изученным является вопрос о наличии тождества в конструкции в
случае ассоциативных алгебр. Одной из фундаментальных
причин является то, что при выполнении хотя бы одного
нетривиального тождества в ассоциативной алгебре в этой алгебре их
выполняется «очень много». Это утверждение конкретизируется
важной теоремой Регева {137].
Теорема. Пусть А — ассоциативная алгебра над полем &;
обозначим через Рп множество всех полилинейных многочленов
степени п от Хи...ухп, через Рп{А)—его подмножество,
состоящее из многочленов / таких, что /=0 — тождество в Л;
если в А выполняется тождество степени d, то dim Рп/Рп (А) ^
<; (d—1)2п при любом гС^А.
Для сравнения отметим очевидное равенство dim Pn=AiL
Особенно простое комбинаторное доказательство цитированной
теоремы дал В. Н. Латышев. Важным следствием этой теоремы
является решение одной проблемы из книги Джекобсона
«Строение колец».
Теорема. Тензорное произведение Р/-алгебр само
является Р/-алгеброй.
Близким результатом является такой.
Теорема. Кольцо квадратных матриц Mn(R) порядка п
над Р/-кольцом R само является Р/-кольцом.
Допустим также переход к кольцу эндоморфизмов конечна
порожденного модуля над Р/-кольцом (Лерон, Вапне, Прочези,
Смолл [127}, [136]). Как правило, гладко происходит переход
к кольцам частных. В частности, для первичных PI-колец
справедлива теорема Познера [134], [39]: если А—такое
кольцо, то множество S его неделителей нуля является множеством
знаменателей, и (например, правое) 'кольцо частных As (как
множество, As состоит из дробей вида as~ly s£S, аЬА)
является классически простым кольцом, удовлетворяющим всем
тождествам кольца Л. Используя теорему Капланского, можно
179

уточнить сказанное, отметив, что As изоморфно матричному,
кольцу над телом, размерность которого над центром тела
ограничена числом [d/2]2, где d — степень любого тождества,
выполняющегося в Л. Эта теорема (и ряд других) может быть
выведена из интересной конструкции центрального первичного
кольца частных, предложенной Мартиндейлом [130]
(см. § 4).
3.3. Группа обратимых элементов и присоединенная алгебра
ассоциативного кольца. Пусть Л — Р/-алгебра, [А] — ее
присоединенная алгебра Ли, т. е. то же множество с операцией,
коммутирования, тогда, согласно пункту 1.3, алгебра Ли [А]
является алгеброй с тождеством. Если A=F(X, St)—свободная
алгебра многообразия 91 ассоциативных алгебр, то подалгебра
Ли L, порожденная множеством X относительно коммутатора,
является свободной в некотором многообразии 9? (Ж) алгебр
Ли. В этом проще всего убедиться, используя такой полезный
внутренний критерий свободы алгебры L в некотором
многообразии: любое отображение порождающего подмножества X
в L продолжается до гомоморфизма алгебры L в себя. В
нашем случае отображение <р : X-+LczA продолжается до
гомоморфизма ф : А-+А. Гомоморфизм ф является гомоморфизмом
алгебр Ли. Его сужение ф на L является искомым
гомоморфизмом алгебры L в себя. В результате возникает соответствие
91-+2?{Щ множества многообразий ассоциативных алгебр в
множество многообразий алгебр Ли. Это соответствие изучено
пока недостаточно.
Взяв группу U(А) обратимых элементов ассоциативной PI-
алгебры А, мы зачастую приходим к группе, не обладающей
тождеством. Так обстоит дело в случае алгебры матриц
порядка /г^2 (см. п. 1.3, гл. 1). Тем не менее, в целом ряде случаев
тесная связь между тождествами для Л, [А] и U(А) имеется.
Например, если [А] нильпотентно ступени /г, то 0(A) также
нильпотентна ступени не выше п (А. Е. Залесский, Гупта и
Ф. Левин). М. Б. Смирнов показал, что если А не имеет
аддитивного 2-кручения и кольцо Ли [А] разрешимо, то [/(Л) —
разрешимая группа. В случае нильалгебры А над бесконечным
полем (тогда 0(A) следует рассматривать с операцией х <>у=
=*+#+*#) справедливо обратное: если U(A) разрешима, то
[А] — разрешимая алгебра Ли ([62], [114]).
3.4. Операции над группами. В теории групп получила
развитие абстрактная теория операций, частным случаем кото-4
рых являются свободное и прямое произведения. По-видимому,
непосредственно вопрос о том, при каких операциях над
группами из фиксированного многообразия мы приходим к группам
с тождеством, не ставился. Впрочем, был построен целый ряд
так называемых вербальных произведений (О. Н.
Головин, Моран), не выводящих за пределы многооб-
180

разия. Если 58—некоторое ^многообразие групп и (C?a)ag/
—семейство групп, то вербальное произведение опре-
ag/
деляется как факторгруппа свободного произведения
ag/
по подгруппе H=V (F)C\C, где С —ядро гомоморфизма
свободного произведения F на прямое произведение II <7а (так на-
ag/
зываемая декартова подгруппа группы F). Ограничение
операции на класс 35 (в этом случае H=V(F), так как очевидно, чта
F/C&S&) приводит к свободному произведению внутри
многообразия 35: группа Р является универсальной в многообразии 35^
содержащей группы Ga(a6/) в качестве подгрупп и такой, что
любое семейство отображений ф« : Ga-^Q£3S однозначно
продолжается до гомоморфизма ер : Р-И2 [48]. Вербальные
произведения (как и другие операции над группами) изучаются с
точки зрения выполнимости некоторых постулатов, т. е. свойств,
справедливых в свободных и (или) прямых произведениях.
Например, скажем, что произведение удовлетворяет постулату
Мальцева, если подгруппа, порожденная в G произвольными
подгруппами Яас=(За, естественно изоморфна произведению (&
смысле данной операции) групп #«. Это свойство не
выполняется для Э5-произведений, где 33=91* или % при />1.
Простейшим нетривиальным (т. е. отличным от прямого и
свободного) произведением с постулатом Мальцева является 35-произ-
ведение, где 35=var (Sym(3)). Мальцевским является и
свободное произведение внутри бернсайдова многообразия Э^
для достаточно больших нечетных п (С. И. Адян).
В теоретико-групповой ситуации поднимался вопрос об
амальгамах с тождеством. Именно, пусть дано семейство групп
Ga (аб/) из некоторого многообразия 35 и их подгрупп
На (а£/). Допустим, что для любой пары индексов а,$£1
имеется изоморфизм фар: #а->#р. Существует ли группа
GG35, содержащая подгруппы, изоморфные Ga, причем
Ga()Gfi=Ha=Ht, где На и #э отождествлены с помощью ф«р?
Имеются лишь частичные ответы на этот вопрос. В случае
многообразия всех групп решение дается конструкцией свободного
произведения с объединенной подгруппой (Хигман, Б. Нейман,
X. Нейман (см. [45])).
При переходе к нетривиальным многообразиям мы
получаем, как правило, отрицательный ответ. Например, если 35
содержит неабелеву конечную группу и обладает свойством
амальгамирования, то 35 содержит все группы (Б. Нейман).
Однако в многообразии абелевых групп имеется конструкция
прямого произведения с объединенной подгруппой. Примеры
других многообразий с таким свойством пока неизвестны. г
181

Теория произведений имеется и в алгебрах Ли, но
интересные результаты здесь получены, пожалуй, лишь в случае
свободных произведений (р-) алгебр Ли (с объединенной
подалгеброй) А. И. Ширшовым и Г. П. Кукиным [j72], [101].
3.5. Контрагредиентные алгебры Ли. В связи с различными
задачами теоретической физики значительное внимание в
последние годы привлекли к себе так называемые
контрагредиентные алгебры Ли. Конструкция таких алгебр исходит из
обобщенной матрицы Картана порядка /. Имеется в виду
целочисленная матрица А = (Ац) к*, j<z, в которой Д« = 2, /= 1,..., I,
Aij^.0 при ьфи и если Ац=®> то и Л^=0. Частным случаем
таких матриц являются матрицы Картана, ассоциированные с
картановскими подалгебрами классических (полу) простых
алгебр Ли (серий Ап, Вп, Cn, Dn и £6, Е7, E8i FAi G2). С матрицей
Картана связывается диаграмма Дынкина, / вершин которой
занумерованы числами 1, 2,...,/, причем вершина с номером i
соединена с вершиной / количеством ребер, равным А^А^.
Матрица Картана А называется неразложимой, если диаграм*
ма является связной. Скажем, что А симметризуема, если
существует диагональная матрица D с положительными
рациональными числами на диагонали такая, что DA —
симметрическая матрица. Условие симметризуемости выполняется
автоматически, если диаграмма не содержит цикла.
Контрагредиентная алгебра д(Л) над полем С,
ассоциированная с симметризуемой матрицей Картана, определяется в
терминах порождающих {£*, Fi9 #)г-|£=1, 2,...,/} и
определяющих соотношений
1) [Hi9 E^AtjEj, [Hh Fj]- - AtjFj,
[EfFjl^jHj, [#„#,] = (>;
2) (ас!Я,)1-л^(Я/)=0=(а(1^)1"Л^(/7/) (если i^j).
Если билинейная форма, определенная симметризацией
матрицы Л, является положительно определенной (говорят, что А
конечна), то алгебра й(Л) является конечномерной
полупростой. Разумеется, в этом случае $(А) — алгебра с тождеством,
более того, по теореме Адо й(Л) вложима в конечномерную
ассоциативную алгебру, т. е. является специальной алгеброй Ли.
Вопрос об описании системы всех тождеств контрагредиентных
^алгебр такого вида весьма сложен, и базис тождеств для
неразложимых А известен лишь в случае 1=1: при этом получается
алгебра si(2, С). По теореме Ю. П. Размыслова (см. п. 5.4,
гл. 2) алгебра д(Л) для конечной неразложимой матрицы А
полностью определена своими тождествами.
Матрица Картана А называется аффинной (иногда
говорят— евклидовой), если А неразложима, вырождена и любая
ее главная подматрица (т. е. полученная вычеркиванием одной
строки и одного столбца с некоторым номером i) является ко-
182

нечной. В этом случае алгебра Ли q(A) может быть
представлена в виде
где G — некоторая конечномерная простая алгебра Ли,
С[М-1]—алгебра лорановских рядов от t, z—центральный
элемент, и
. [*1®Ы0. A®/2(0] = feuA]efi(0f2(<).+Res(/if2)iCtebft)zf
где К(у)—форма Киллинга алгебры G, Res/ — коэффициент
при t~l в /. Алгебра ${А) обладает центральным идеалом Cz,
факторалгебра по которому изоморфна G®C[/, t~l]t т. е.
удовлетворяет всем полилинейным тождествам алгебры G. Таким
образом, g(А) — алгебра с нетривиальным тождеством. Более
точно, можно сказать, что д(Л) —центральное расширение
специальной алгебры Ли. Неизвестно однако, будет ли д(Л) сама
специальной алгеброй. Если это не так, то отрицательное
решение получит проблема В. Н. Латышева о специальности
гомоморфного образа специальной алгебры Ли. В качестве
простейшего примера следует взять G = sl(2, C).u
Допускается вариация этой конструкции с помощью
автоморфизма диаграммы Дынкина для G, не меняющая наших
рассуждений о тождествах.
Перечисленные классы матриц приводят к наиболее
изученным алгебрам Ли. Следующим по изученности является класс
гиперболических матриц, т. е. не конечных и не аффинных
неразложимых матриц, для которых каждая неразложимая
компонента каждой главной подматрицы является либо аффий-
ной, либо конечной. Известно, что ранг гиперболической
матрицы не превосходит 10 и что гиперболических матриц ранга ^3
имеется лишь конечное число. Впрочем, с точки зрения
тождеств, выделение дальнейших классов не имеет смысла,
поскольку алгебра д(А), где А — не конечная и не аффинная
матрица, обязательно содержит свободную подалгебру Ли ранга 2
[122]. Ясно, что в й(А) для такой А не выполняется никакое
нетривиальное тождество.
Присоединенная ассоциативная алгебра Ad L для алгебры
Ли с тождеством L (см. п. 5.4) не обязана быть Р/-алгеброй.
Примером может служить Свободная разрешимая алгебра
ступени, большей или равной трем. Однако, если L —
специальная, то Ad L — обязательно Р/-алгебра. Вопрос о
специальности алгебры Ли L, для которой AdL — Р/-алгебра,
эквивалентен сформулированному выше вопросу В. Н. Латышева.
Следует отметить, что присоединенная ассоциативная
алгебра для йордановой алгебры с тождеством всегда является
Р/-алгеброй.
*> Недавно Ю. В. Биллиг показал, что fl (А) действительно не является
специальной.
183

§ 4. О геометрии определяющих соотношений
и тождеств в группах
4.1. Задачи, решаемые геометрическим методом. Некоторые
старые задачи теории групп, связанные с именами О. Ю.
Шмидта, Дж. Неймана, Тарского, С. Н. Черникова, Бэра и др.,
получили недавно решение с помощью геометрического метода
интерпретации вывода следствий из определяющих соотношений
и аналогичной интерпретации следствий некоторых тождеств.
Применение метода диаграмм для анализа тождеств и других
условий «тотального» характера, наложенных на группы, пока
не отражено в монографиях. Кроме того, геометрический подход
к комбинаторному изучению тождеств представляется весьма
перспективным и дает правильный путь решения ряда трудных
задач. В силу этих причин мы останавливаемся на нем
несколько подробнее в настоящем параграфе.
Начнем с вопросов, естественно возникших в начальный
период исследования бесконечных групп с различными
условиями конечности. Назовем бесконечную группу квазиконел-
н о й, если каждая ее собственная подгруппа конечна. Для
простого р такой является, например, группа Ср°о — объединение
вложенных одна в другую циклических групп порядков р, р2,
р3,... . Она может быть реализована как группа всех
комплексных корней из 1 степеней р, р2, р3,... . Любая локально
конечная квазиконечная группа изоморфна группе Ср°о для
некоторого р (М. И. Каргаполов). В то же время, оставался
открытым вопрос О. Ю. Шмидта (1938) о существовании
неабелевых квазиконечных групп.
Все известные примеры нётеровых групп (т. е. групп,
каждая подгруппа которых допускает конечное множество
порождающих) исчерпывались группами с субнормальными
рядами G = G0>Gi > ... t>Gn = {'l}, где каждый фактор Gi/Gi+l —
конечная или циклическая группа. Проблема Бэра состояла в
том, всякая ли нётерова группа обладает подобным рядом.
Группу, в которой обрывается любая убывающая цепь
подгрупп #iZD#2:d ..., называют ар тин о вой. Таковы черникоз-
ские группы — прямые произведения конечного числа групп
типа Ср°° и их конечные расширения. Легко видеть, что артинова
группа является периодической, так как она не может
содержать бесконечных циклических подгрупп. В. П. Шунковым
доказано, что локально конечная артинова группа является чер-
никовской. Проблема С. Н. Черникова состояла в
существовании других артиновых групп.
Содержанием проблемы Тарского, независимо поставленной
также А. И. Старостиным, был вопрос о существовании
гипотетического «монстра» — бесконечной группы, каждая
собственная подгруппа которой имеет простой порядок.
184

К работе Дж. Неймана 1929 года [131] восходила гипотеза
(интересовавшая специалистов в теории динамических систем,
эргодической теории, абстрактном гармоническом анализе) об
аменабельности всякой группы, не содержащей свободной не*-
циклической подгруппы. (Одно из многих равносильных
определений аменабельности состоит в наличии на группе G
инвариантной относительно сдвигов аддитивной меры р,,
определенной для любого подмножества в G и такой, что fx(G) = l.)
В последние годы А. Ю. Ольшанским построены группы с
новыми неожиданными свойствами, которые дают ответы на
перечисленные выше вопросы. Их изучение стало возможным
благодаря специально развитому геометрическому методу
анализа большого числа определяющих соотношений (в
частности— следствий некоторых тождеств). На этом пути получены
и другие результаты. Например, новый подход к ограниченной
проблеме Бернсайда позволил дать сравнительно короткое
доказательство теоремы Новикова — Адяна (см. п. 4.3, гл. 1) для
достаточно больших нечетных показателей (/г>1010).
Положительно решен еще один известный вопрос о многообразиях
групп [48]: найдено тождество ш=1, которому удовлетворяет
некоторая неабелева группа, в то время как любая конечная
группа с этим тождественным соотношением абелева. Углубляя
метод, В. С. Губа построил делимую группу (т. е. группу G, в
которой разрешимы все уравнения вида хп = а, a£G, /г>0) с
конечным числом порождающих.
В пункте 4.3 главы 1 была дана иллюстрация вывода
следствий определяющих соотношений с помощью диаграмм ван
Кампена. Приведем теперь точные определения.
4.2. Интерпретация вывода следствий из определяющих
соотношений. Как отмечено в пункте 2.2 главы 1, каждая группа
G с порождающими аи а>ь - .. изоморфна факторгруппе
свободной группы F со свободным порождающим множеством хи
х2у... по ядру N гомоморфизма а, отображающего х{ в сц, i =
= 1,2,....
Если группа О задана гомоморфизмом F->G (как еще
говорят, задано копредставление группы (7, т. е. G = FlN), то
нет необходимости в перечислении всех слов, принадлежащих
ядру N этого копредставления. Достаточно указать некоторое
множество /? слов rt, которые порождают N как нормальную
подгруппу. (Во многих важных случаях /? — конечное множество).
Иначе говоря, если r£N, то для некоторых rk£R и s&F имеем:
г=11 Sir^sT1- Соотношения rt (ах, ..., ал )= 1 группы G назы-
вают в таком случае определяющими для группы О. (В
левой части записано слово в алфавите й=={а1±1, а*1, ...}.)
Сокращенно пишут: 0= ( а1ч а2, ...; г = 1, r£R > .
18

Слово Hsir^sT1 можно изобразить следующим образом.
Отметим на плоскости некоторую точку о и выпустим из нее
несколько отрезков pt (см. рис. 3) с концами в точках Оц ...,0/.
К точкам 01у ...,0, прикрепим круги IIi, ...,П/а Теперь
разделим каждый путь pi на столько ребер, какова длина | st | слова
5/, и припишем каждому ребру е метку 4>(е) из алфавита Я так,
чтобы при прохождении пути pt читалось в точности слово st.
Аналогично разделим границу qt каждой клетки П£ на несколько
ребер и припишем им метки так, чтобы при обходе контура
клетки Ц£ по часовой стрелке читалось слово г*1. Очевидно, что
при обходе контура всей полученной диаграммы, начиная с о,
мы прочтем слово w, графически равное П5*г*=/5'"1-
Рис. 3 Рис. 4
Слово w является, вообще говоря, сократимым (рядом
встречаются взаимно обратные буквы) и, представляя тот же
элемент свободной группы, не обязательно графически
совпадает с г. Если метки последовательных ребер е и f контура
диаграммы — взаимно обратные буквы из 9t, то, приклеивая
ребро е*1 к ребру f (с сохранением их общей метки, поскольку
считается всегда, что ф(е-1) = ф(е)^1), получим новую
диаграмму (рис. 4), метка контура которой получается в результате
сокращения двух соседних букв в слове w. В итоге можно
добиться, чтобы метка контура (т. е. слово, прочитанное при
обходе контура) всей диаграммы графически совпала с г (см.
пример в п. 4.3, гл. 1 и рис. 2).
Формально определяя понятие произвольной диаграммы
над заданным копредставлением G=<&; г=1, rG/?>, мы должны
рассмотреть сначала некоторую односвязную карту М на
евклидовой плоскости, состоящую из конечного числа отмеченных
верщин, ребер (с двумя ориентациями) и клеток, для которых
выполнены обычные условия согласования (т. е. начало и
конец ребра лежат в множестве вершин, граница клетки состоит
из ребер, входящих в отмеченное множество). Затем каждому
ребру е приписывается буква ф(е) из 51 (его метка), причем
ф(в"1) =<р(е)-1, чтобы метка каждой клетки (т. е. слово, напи-
186

санное на ее контуре) при подходящем выборе начала и
направления ее обхода попала в множество R.
Выше мы, по существу, доказали, что для каждого
следствия г=\ определяющих соотношений существует диаграмма над
заданным копредставлением, на контуре которой написано
слово г. Легко понять, что справедливо и обратное утверждение:
Если Д—диаграмма над копредставлением а группы G, то
метка ее контура равна 1 в G. В этом читатель легко убедится,
проводя процесс разрезания диаграммы Д на «лепестки»,
обратный к описанному выше процессу склеивания.
Геометрическая интерпретация вывода следствий из
определяющих соотношений принадлежит ван Кампену (лемма ван
Кампена) [129]. Такой подход не нужно путать с другой
хорошо известной связью между копредставлениями групп и
2-мерными односвязными комплексами, когда группа G
представляется в виде фундаментальной группы 2-мерного клеточного
комплекса. Как мы увидим ниже, в приложениях леммы ван
Кампена важно, что каждое ребро лежит на границе не более
двух клеток (т. е. носитель является не только 2-мерным
комплексом, но и поверхностью); важна также планарность
диаграмм, т. е. возможность их реализации на плоскости (а
иногда — на торе, сфере с небольшим числом дыр и других
поверхностях, эйлерова характеристика которых невелика по
абсолютной величине).
4.3. Условия малых сокращений. Удивительно, что столь
простое наблюдение ван Кампена оставалось незамеченным
более 30 лет, пока оно не было соединено Вайнбаумом, Линдо-
ном и их последователями с различными условиями малого
сокращения. Простейшее из них — условие С(к), 0<СА,<С1. Оно
относится к симметризованным копредставлени-
я м, т. е. предполагается, что вместе с каждым определяющим
словом г1г- в систему R входит rf1 и входят циклические сдвиги
слова п. (Слово вида vu называется циклическим
сдвигом слова uv.) Понятно, что каждое копредставление можно
симметризовать.
Для симметризованной системы несократимых слов R
условие С (к) выполняется, по определению, в том случае,
если длина \и\ любого общего начала и различных слов uv и uw
из R подчинена условиям |и| <А,|иа|, |ы| <Я|ыш|. Например,
фундаментальная группа G ориентируемой компактной
поверхности рода 2 имеет одно определяющее соотношение
Uia2ai~la2^lazCiAas~laA'"l = l. Рассматривая левую часть этого
соотношения вместе со всеми ее циклическими сдвигами и
обратными словами, убеждаемся, что общее начало двух
различных слов из этого множества может состоять лишь из одной
буквы, откуда следует, что данное копредставление группы G
удовлетворяет условиям С (к) для всякого к> -*.
187

Чтобы условие С(Х) работало в диаграммах, следует
ограничиться рассмотрением приведенных диаграмм. Объясним,
что это значит. Пусть некоторое ребро в\ лежит на границе
двух клеток ПиП'в диаграмме А, так что exe2... еп и е\в2...
... еп' — их контуры, обходимые в противоположных
направлениях. Допустим, что ф(в/)=ф(£*), / = 2, ...,/г, иными словами,
на контурах клеток П и IT написаны одинаковые слова. Тогда
можно вырезать клетки П и IT из Д и получить дыру с краем
е2~1... е„гхеп'... е2', а затем затянуть эту дыру, приклеивая
е2 к е2,..., еп к еп' и сохраняя общие метки этих ребер.
Понятно, что, уменьшив таким образом число клеток в Д, мы
сохраним метку внешнего контура для Д. После нескольких
подобных сокращений пар клеток всякую диаграмму можно
сделать приведенной, т. е. не содержащей сократимых пар в
указанном выше смысле.
Как нетрудно заметить теперь, из условия С (К) для копред-
ставления а следует, что во всякой приведенной диаграмме над
а для любой пары клеток длина какой-либо дуги между
ними (т. е. общего подпути их контуров) составляет менее X от
периметра каждой из них. В частности, внутренняя клетка (не
имеющая общих ребер с внешним контуром диаграммы) не
может быть га-угольником при п^.Х~1. При A,^-g с помощью
формулы Эйлера, связывающей числа вершин, ребер и клеток,
отсюда нетрудно вывести, что периметр диаграммы растет вместе
с ростом числа t клеток не медленнее, чем с/, где с = £(Х)>0.
Легко видеть, что в случае конечного числа определяющих
соотношений эта оценка вместе с леммой ван Кампена позволяет
ограничить число / и длины слов s2- в зависимости от длины
слова г в равенстве вида г= 11 s^^sT1 и обосновать тем са-
мым алгоритм в распознавании равенства слов единице в G.
Сопряженность слов v и w в G интерпретируется с
помощью кольцевых диаграмм с двумя контурами —
внутренним и внешним с метками v и w (Шупп), что, как и
выше, приводит к алгоритму распознавания сопряженности слов
для групп с условием С (К) при малом X. Асферичность копред-
ставления (отсутствие сферических приведенных диаграмм) и
«аторичность» также влекут ряд алгебраических свойств
группы G. Например, из асферичности следует явное описание
элементов конечных порядков в G, а из аторичности следует, что-
любые два перестановочных элемента из G лежат в одной
циклической подгруппе. Интересные приложения к группе
альтернированного узла отмечены в книге Линдона и Шуппа
«Комбинаторная теория групп» [1129]. Там же можно
познакомиться с другими условиями малых сокращений.
188

4.4. Геометрический анализ следствий некоторых тождеств.
Выявим сначала некоторые из комбинаторных трудностей,
которые встают при изучении внешне простого тождества Берн-
сайда xnzE=l. Очевидно, что копредставление свободной берн-
сайдовой группы В (т, п) с т порождающими можно получить,
наложив определяющие соотношения ап=1, где v пробегает
множество всех слов в алфавите 3t = {a>\±l, . - ., От±1}- Однако в
таком случае возникает слишком много «соотношений между
соотношениями», в частности, одни из определяющих
соотношений заведомо вытекают из других.
Естественной (и удачной в случае достаточно большого
нечетного /г, как впоследствие выясняется) представляется
следующая попытка выделения независимой системы
определяющих соотношений. Позаботимся сначала о том, чтобы новые
соотношения, определенные индуктивно, не следовали из
предыдущих. Пусть, например, m=2, n = ain, г2 = а2пу гг=(аха2)пу г4 =
= (а{а2~1)п,..., и уже определены соотношения п = 1, г2=1,...
. ..,Гг_1 = 1. Выберем некоторое кратчайшее слово viy имеющее
бесконечный порядок как элемент группы G^_i = <ab а2\ Г\ =
= 1,... ,Гг_! = 1>. Положим г1г- = а;п, а v{ назовем периодом
ранга i.
Каким образом можно, решая проблему Бернсайда,
доказывать бесконечность группы В(2, п) =G = <au a2; г^ = 1, i =
= 1, 2,... >? Здесь полезно учесть одно комбинаторное
наблюдение Туэ: существует бесконечная последовательность
(«слово») в алфавите {#i,a2}, не содержащая непустых подслов вида
www для какого-либо w — w(aua2). Все начальные отрезки этой
последовательности представляли бы разные элементы из G
(т. е. |G|=oo), если удастся доказать, что для любого
следствия г=1 определяющих соотношений (где г—непустое
несократимое слово) в г есть подслова вида ш3. На языке диаграмм
это означает, что в приведенной диаграмме Д найдется клетка
П, достаточно длинный подпуть р контура q которой (\р\^
>- \q\) содержится во внешнем контуре диаграммы Д.
Другими словами, у клетки П есть достаточно длинная внешняя
дуга. В пункте 4.3 мы заметили, что эта задача о внешней дуге
легко решается при наличии условия типа С(Я) для малого %.
Однако для копредставления группы G = B(2, п) подобное
условие не выполняется: подслово, составляющее по длине менее
половины от гг-, вполне может содержаться в некотором периоде
Vj при />/. Например, общее начало определяющих слов а^
и (ахка2)п есть аД где &^ ^-(если &>-g > то второе слово
можно заменить на (aih~na2)n). Условие же типа С(1/2)
принципиально не может ничего дать. (Как заметил А. И. Гольберг,
любая группа имеет копредставление с условием С (Я), если %>
>.1/5.)
189

В то же врем/я, элементарно доказывается, что никакое
периодическое слово и с периодом Vi (подслово степени с
основанием Vi) не может иметь также период о,-, ]фь, если |ы|^
!>1уг1Н-|о;|- Поэтому при выборе числа п достаточно большим
мы получаем, что условие типа С(А,) (с очень малым Л!)
выполнено для определяющих слов Vin и Vjn со «сравнимыми» по
длине Vi и Vj (т. е. исключаются случаи |o<|4c|»j| и |^|<С
,<С|0г|). Спрашивается, как могут быть устроены карты без
длинных внешних дуг клеток с такого рода ограничениями (в
частности, карты вообще без границы, когда клетки покрывают
сферу)? Попытаемся представить себе карту на сфере,
заполненную клетками только двух различных периметров —
«большими» и «малыми», причем так, что общая граница между
двумя клетками одного типа мала (скажем, <10~3) по
сравнению с их периметром, а длина всякой граничной дуги между
малой и большой клетками не превосходит половины
периметра малой клетки. Воображение непременно нарисует картину,
аналогичную изображенной на рисунке 5, т. е. обязательно
возникнут «длинные» и «узкие» полосы, состоящие из малых
клеток, «зажатых» между парой больших клеток. Технические
оценки, основанные на планарности диаграмм, показывают,
что, действительно, в диаграмме А над копредставлением
группы G=B(m, п) некоторые клетки имеют длинные внешние
дуги, если в Д нет длинных узких полос такого рода.
СЕ
Рис. 5
Таким образом, встает задача: доказать, что в Д нет
длинных «полос». Рассматривая такую полосу Г, мы опускаемся по
индукции в меньший ранг i—1, поскольку Г заполнена
клетками с меньшими периметрами. Контур для Г разбивается в
произведение piqip2Q2, где слова qp(<7i) и ф(^1)» написанные на
Я\ и д2~\ — периодические слова с периодами vk и vt; |0*|,<С
<М; Ы<1<Ы; |Pi|, |Рг|<К|, \vi\9 a qx и q2'1 не имеют
общих подпутей, сравнимых по длине с |<7i| или |<72|. Нужна
показать, что на самом деле такая диаграмма невозможна.
Задача может быть сведена к случаю vk=vt с помощью
следующего приема: к Г приклеивается ее зеркальная копия L с
190

контуром bldlb2d? (рис. 6), причем L приклеивается к Г
с помощью отождествления ребер путей Ц\ и d\ но не
тривиального (оно ничего не даст, поскольку не учитывает
периодичности слова ф(^0), а со сдвигом на период vk в метках путей qi
*d\
—a i, * zzy
Яг
Рис. 6
Наоборот, «симметричный» случай vk=vt сводится к
«несимметричному» случаю с парой периодов (vky v), где, однако,
М<К|, что позволяет провести совместную индукцию па
iyft| + |yz|. Конечно, точная формулировка всех неравенств и
индуктивных предположений требует логической точности,
которой мы сейчас не придерживаемся. Остановимся лишь на
идее указанной редукции. Она состоит в том, что в случае vk-=
= Vi можно отождествить пути qx и qf1 с сохранением меток их
ребер, в результате чего диаграмма Г свернется в кольцо Е с
контурами рг и р2 (рис. 7). Это кольцо действительно должна
быть «узким» в силу индуктивного предположения о том, что в
диаграммах над копредставлением группы G<_i «почти все»
ребра клеток — внешние. Поскольку путь q\ очень длинный па
сравнению с |pi|, |р8|, ему приходится в Е много раз
«обернуться вокруг» ри т. е. путь qx гомотопией по Е переводится в
путь вида pi8tt где /—короткий путь, разрезающий диаграмму
Е. Значит, (p(4i)=q>(Pi)s* в G,i-i, и мы возвращаемся к задаче
сравнения двух периодических слов cp(<7i) и cp(pi)s с
периодами vk и t>=<p(pi), где уже M = |pi|<:|Ofc|-
Как заметил читатель, упрощая описание общей схемы
доказательства, мы не только опустили технические детали, но и
необходимость условия нечетности числа п осталась «за кад-
Рис. 7
19!

ром». Рисунок 8 показывает, во всяком случае, что при четном
п между двумя клетками с одинаковыми метками контуров
(п п\п
a^af) могут быть очень длинные «полосы».
При решении других задач из пункта 4.1 налагаются более
сложные соотношения. Однако определяющие слова и в этих
случаях почти целиком составлены из высоких степеней своих
подслов. Так, при решении проблем О. Ю. Шмидта и Тарского
соотношения вида а=и{оги{от+х ... tiiVr+h, где a=av а^;
Рис. 8
г,/г^>1, обеспечивают, в итоге, свойство любой пары некомму-
тирующих элементов порождать всю группу. Новые
технические трудности связаны с разбиением контуров диаграмм на
много участков. Здесь возникают также вопросы, приводящие к
диаграммам на торе или диаграммам с несколькими «дырами»
и сравнению самопересекающихся путей в таких диаграммах.
В конечном счете преимущество описанного геометрического
метода обусловлено возможностью явно и неявно опираться на
лемму Жордана и ее следствия для двумерных поверхностей.
Кроме того, важно, что диаграммы адекватно отражают не
только следствия соотношений, но и процесс их вывода в группах.
§ 5. Влияние тождеств конечных
и конечномерных алгебр
5.1. Многообразие, порожденное конечной алгеброй. Пусть
G — некоторая конечная алгебра (т. е. число элементов в G
конечно). Изучение алгебр, удовлетворяющих всем тождествам,
выполняющимся в G, эквивалентно изучению многообразия 3,
порожденного алгеброй G (пишем 93 = varG). Один из первых
естественно возникающих при этом вопросов — какова
структура конечно порожденной алгебры из varG? Второй вопрос:
пусть varGi=varG2, где G\ и G2— конечные алгебры; при каких
естественных условиях Gi = G2? Необходимость таких условий
очевидна, так как var G^var(GxG). Наконец, какие
«параметры» алгебры G наследуются алгебрами из varG?
192

Заметим, что из теоремы Биркгофа вытекает
представление для каждой конечной алгебры A^varG в виде А=В/ру где
SczGX • • • XG (прямое произведение конечного числа t
изоморфных экземпляров алгебры G), а р — некоторая
конгруэнция на В. Более детальное исследование ситуации возможно с
введением понятия фактора алгебры (не путать с факторалгеб-
рой; см. п. 2.4, гл. 1). Напомним (см. п. 2.4, гл. 1), что алгебра
G называется критической, если она не лежит в многообразии,
порожденном ее собственными факторами. С каждой алгеброй
G связано множество &"(G) ее факторов. Из сказанного выше
следует возможность представления каждой конечной алгебры
А из varG в виде Л = В/р, где BczGiX^X . • • XGU и G<G
egr(G), i = l, 2,...,/, причем \GX\^\G2\>. ..>\Gt\. В этом
случае будем говорить, что задано представление алгебры А в
многообразии vairG. Частично упорядочим множество таких
представлений, сравнивая лексикографически наборы (| G\ |,...
..., |Gf|). Взяв минимальное в этом смысле представление, мы
придем к понятию минимального представления (оно не всегда
единственно). Во многих классах алгебр минимальное
представление обладает целым рядом приятных свойств (например,
все Gi — критические, проекция алгебры В на любую G*
сюръективна и т. д.), позвляющих делать достаточно
категоричные выводы о структуре алгебры ЛбуагС Например, можно
утверждать, что если G\ и G% — две конечные простые алгебры,
т. е. без нетривиальных конгруэнции, то их тождества
совпадают тогда и только тогда, когда эти алгебры изоморфны.
5.2. Класс ®(е, /и, с). По-видимому, первым классом
алгебр, где были основательно изучены многообразия,
порожденные конечной алгеброй, был класс групп. Это изучение было
начато в связи с доказательством знаменитой теоремы Оутс —
Пауэлла о конечной базируемое™ тождеств конечной группы
(подробнее см. в п. 4.1, гл. 3). В работе Ковача — Ньюмана был
введен класс групп <$,(е,пг,с) (см. [48]). Здесь е, т, с —
натуральные числа. Группа Ge©(e, m, с) тогда и только тогда,
когда в ней выполняется тождество j^esI, нильпотентные
факторы этой группы имеют ступень нильпотентности не выше с,
а главные факторы имеют порядок не более т. Фактор Н/К
группы G называется главным, если К — максимальная
нормальная подгруппа группы G, строго содержащаяся в
нормальной подгруппе Н. Не очень сложное рассуждение показывает,
что если GG©(e, m, с), то и varGc=©(e m, с). Существенно
более сложным является доказательство того факта, что для
любых е, /я, с класс 6(е, т, с) является многообразием,
порожденным одной конечной группой. В качестве этой группы
можно взять прямое произведение критических групп из класса
6(е, т, с).
Конечные простые группы являются критическими (упраж-
193

нение; см. п. 5.1). Тождества критических групп важны в
связи с тем, что любое локально конечное многообразие
порождается своими критическими группами. К сожалению, критические
группы не определяются своими тождествами. Например, две
неабелевы группы восьмого порядка: D4 и Q8 (группа диэдра и
группа кватернионов) являются критическими, т. е.
многообразие, порожденное их собственными факторами, — это абелево
многообразие экспоненты 4, а базис тождеств как первой, так
и второй группы может быть взят в виде хА=\ и [х, */2]=1.
Итак, varD4 = varQ8, но DA^QS. Все же некоторая, не всегда
прочная, связь между такими группами имеется. Пусть All —
монолит группы Gi (наименьшая нормальная подгруппа,
отличная от 1), Ci = C(Mi) —ее централизатор в G\\ Af2, С2—
аналогичные обозначения в G2. Существование монолита в
критической группе отмечено в пункте 2.4 главы 1. Если varGi=varG2,
где Gi и G2— критические группы, то существуют
изоморфизмы а: Мх-*М2 и [}: Gi/Ci->G2/C2 такие, что для любого xbGi
и g£M 1 имеем
a(^JC-1)=p(^C1)a(gf)p(^1)-1 (3)
(правая часть определена корректно, т. к. $(С\) = С2 —
= CG2 (Af2)). Равенство (3) определяет понятие подобия, очень
близкое к понятию гомоморфизма модулей. Эта связь
становится еще теснее ори переходе к конечным алгебрам Ли.
5.3. Конечные кольца. В случае конечных алгебр Ли (т. е.
конечных колец Ли, которые можно рассматривать над
конечным кольцом операторов) имеется теория, вполне аналогичная
описанной выше. При определении класса с(/, т, с),
аналогичного классу (£(е, т, с), первый параметр перестает быть
числовым. В соответствии с замечаниями из начальной части § 2 он
превращается в многочлен (со старшим коэффициентом 1), и
алгебра L6c(f, m, с) в том и только том случае, когда в ней
справедливо тождество f(ad*)=0, порядки главных факторов
ограничены числом т, а ступени нильпотентности нильпотент-
ных факторов не превосходят с. Как и в случае групп, из
GGc(/, m, с) вытекает varGczc^, m, с), и класс c(f,m,c) для
любых значений параметров f, m, с — многообразие, порожденное
одной конечной алгеброй Ли.
Структура конечной алгебры Ли L из многообразия varG*
где О — другая конечная алгебра Ли, в значительной мере
проясняется благодаря наличию в L цокольного ряда ограниченной
длины, т. е. ряда Z, = Z,0t>£it> ... \>Lq-\t>Lq = {0}, в котором
для любого i идеал L^i/Li алгебры ЦЬЬ равен сумме всех
минимальных идеалов.
Длина ряда заведомо ограничена максимумом q порядков
критических факторов алгебры G. Указанные минимальные
идеалы подобны монолитам критических факторов. В случае
194

алгебр над полем порядок q может быть заменен размерностью*
Например, для многообразия varG, где G=<e, f\[e,f]=f, 2е*=
= 2/=0> число q можно взять равным 2. Если LGvarG, то в L
есть ряд L=L0l>iit> {0}, в котором L0/Li абелева, Ь\ = НХ® .. ^
... Ф#*, Hi — одномерные идеалы в L и dimL/CL(#f)==l для
любого /=1,..., t.
В случае ассоциативных колец описанный параллелизм
также имеет место. Наличие структурной теории позволяет
сделать ряд упрощений, дающих возможность распространить
теорию на случай так называемых почти нильпотентных колец^
т. е. колец с нильпотентным идеалом конечного индекса. Класс
С(еу dy с), рассматриваемый в случае конечных ассоциативных
колец, определяется так. Ассоциативное кольцо R£C(e, d, c)r
если аддитивная группа колец R имеет экспоненту е, его
примитивные факторы суть конечные простые кольца, порядки
которых делят число rf, а индекс нильпотентности его
нильпотентных факторов не превосходит числа с.
Через алгебры Ли техника из теории групп перешла в
другие классы неассоциативных алгебр: йордановы,
альтернативные и др. Это распространение не является автоматическим, и
дополнительные сложности возникают в самых различных
пунктах, например, в определении модуля над такой более
общей алгеброй и др.
5.4. Строение линейных алгебр с тождествами
конечномерной алгебры. Пусть А — некоторая /г-мерная алгебра над
полем, {еи ...,еп}— ее базис, a f(xu •. ., xn+u Ух,..., ут) —
(неассоциативный) полилинейный многочлен, кососимметричный
по набору переменных {хь ..., хп+\}. В силу полилинейности
всякое значение многочлена f в А является линейной
комбинацией элементов вида
/ (еи, ..., е,л+1, av ..., ат), (4)
где l^'i, h • • •, in+i^n, аь ..., а^А Из кососимметричности
по первым /г+1 аргументам следует, что (4) равно нулю.
Значит,
f(Xu. ..,Xn+l, f/i,...,f/m)=0 (5>
— тождество в алгебре А.
Определение. Для фиксированной сигнатуры Q
линейных алгебр множество всех тождеств (5) (при наложенных
выше условиях на /) называется системой тождеств Капелли
порядка /г+1.
Конечно, система тождеств Капелли может выполняться и а
алгебре бесконечной размерности. Так, алгебра М = <еи е2у...
..., ет} с нулевым умножением над полем k удовлетворяет
такой системе любого порядка /г^2, однако ее размерность
может быть произвольной. В то же время, расширяя область
коэффициентов (с сохранением ее коммутативности), мы можем:
считать эту алгебру одномерной. Например, в упомянутом слу-
19&

чае можно присоединить к k эндоморфизм <р : £ц *-*e<+i (i = l>
2,\..). Над кольцом многочленов /C = fe[qp] модуль N является
циклическим.
Приведенный пример типичен, и в этом месте мы приходим
к важным понятиям присоединенной алгебры и центроида.
Если А — линейная алгебра над полем k и Q — множество ее не
менее чем бинарных полилинейных операций, то для любой
л-арной операции со^Й и любых элементов а\,..., (к-и ^ж»---
•.., ап£А отображение х*-+ ю (аь ..., а,г-_1, х, аг-+ь ..., ап)
является линейным оператором векторного пространства А над
полем k. Множество всех операторов такого вида порождает
ассоциативную подалгебру Ad Л в алгебре End^ всех
линейных операторов алгебры А. Мы скажем, что А&Л—
присоединенная ассоциативная алгебра для А. Централизатор Z для*
Ad Л в EndkA называется центроидом алгебры А. Отсюда
видно, что если определить умножение элементов из Z на элементы
из Л, полагая сра=<р(а) (q)£Z, абЛ), то Л превращается в Z-ал-
гебру. Во многих случаях центроид некоммутативен. Так, в
рассмотренном выше примере Z=EndiV. Однако в ряде важных
случаев коммутативность имеет место, а в случае, когда А —
простая алгебра, Z даже является полем.
Ряд основополагающих результатов об Q-алгебрах с
тождествами Капелли получен Ю. П. Размысловым [92]. Точнее,
речь идет о слабых тождествах Капелли. Пусть V —
подпространство в Л, замкнутое относительно множества Q'
производных операций, состоящих в вычислении значений полилинейных
многочленов сигнатуры Q. Будем говорить, что пара (Л, V)
имеет сигнатуру (Q, Q'). В паре (Л, V) выполняется система
слабых тождеств Капелли порядка /i+l, если (5) выполняется
при подстановке вместо хи ..., xn+i элементов из У, а вместо
У и • • •, Ут — элементов из Л. Теорема Ю. П. Размыслова
утверждает, что пара (Л, V) может быть вложена в пару (Л, V)
той же сигнатуры, причем в V могут быть выбраны элементы
£ь • • •, еп> составляющие базис для V в следующем смысле.
Л является модулем над своей присоединенной ассоциативной
алгеброй Z) = AdЛ. Утверждение о конечномерности состоит в
том, что /5-модуль Л можно вложить в D-модуль М такой, что
п
любой v£V представляется в виде v~2^Kieu где К{ — эндомор-
физмы D-модуля М, i== 1, 2,..., п.
Соответствующую конструкцию можно проиллюстрировать
на примере любой (бесконечномерной) алгебры Ли L ступени
нильпотентности 2, т. е. Z,3={0}. Сначала к L присоединяются
элементы еъ е2 так, что получается алгебра Ли L нильпотентной
ступени 2 и без других соотношений с участием <?ь е2- Для
этого достаточно присоединить к базису алгебры L элементы ех
196

*2> [еъ е2], [ха, eil_[XaLe2], где {ха}—базис алгебры Л. Это —
искомая алгебра (A=Z,, Л^)- Теперь D==Ad£, М — инъектив-
ная оболочка /^модуля LQL. Отождествим L с первой
компонентой в £0£. Тогда {ей £2} —искомый базис. Существование
эндоморфизмов А,ь А,2бЕп%Л1 для данного vQL вытекает из того, чта
ei-j-tye2=(eu ^ — порождающий свободного D-модуля, где г|э—
эндоморфизм перестановки компонент в LOL. Отображение
01+^2 в V&L продолжается до гомоморфизма подмодулей
модуля М, следовательно, в силу инъективности модуля М9
до эндоморфизма У^Епй^М. Имеем v=4 (ех + ^е2) = Че1 + Щеъ
т. е. А,1=Ф, А,2=Фг|э.
Приведенный пример показывает, что применение данной
конструкции, как говорится, «в лоб», иногда приводит к
алгебрам более сложным, чем исходная. Однако можно извлечь и
красивые следствия.
Теорема [92]. Пусть L — алгебра Ли, удовлетворяющая
системе тождеств Капелли порядка /п+1; тогда в L есть ниль-
потентный идеал N, Nm={0}, такой, что Ad(L/N) удовлетворяет
всем тождествам матричной алгебры некоторого порядка.
Интересны приложения этого подхода к изучению тождеств
простых алгебр. Дело в том, что в случае полупервичной
алгебры (т. е. без нильпотентных идеалов) можно дать более явную-
конструкцию указанных в формулировке теоремы Ю. П. Раз-
мыслова алгебр Л, L, модуля М и т. д. В частности,
справедлива
Теорема. Если в паре (Л, V) выполняются слабые
тождества Капелли порядка т-\-\ и А— первичная алгебра, то в
полном кольце частных Q для А имеем dimcV^m. Здесь Q = CA,
C=EndDP, Р— инъективная оболочка для D-модуля Ау
D = k&A.
Доказывается, что при этом С—коммутативная алгебра.
Важное приложение —
Теорема. Пусть А\ и А2— две конечномерные простые
линейные Q-алгебры над алгебраически замкнутым полем; если
van4i = van42, то А^А2.
Понятие центроида оказывается полезным при изучении
простых алгебр с тождеством. Например, справедлив такой
результат Ю. А. Бахтурина: всякая локально конечномерная
простая алгебра Ли с тождеством над полем характеристики
нуль конечномерна над своим центроидом [103].
Важность системы тождеств Капелли подчеркивается
следующим результатом.
Теорема. Пусть 35— многообразие линейных алгебр над
полем k характеристики нуль, удовлетворяющее системе всех
тождеств Капелли некоторого фиксированного порядка п.
Тогда по модулю этой системы 35 определено набором тождеств от
числа переменных не более п— 1.
197

Доказательство. Система тождеств Капелли порядка
п может быть определена также с помощью диаграмм Юнга
^см. п. 3.4, гл. 1). Именно, в качестве базиса этой системы
следует взять множество тождеств вида еа(и{)=0, где d —
произвольная таблица Юнга, содержащая не менее п строк. Пусть
теперь f(x\,..., хт)===0 — полилинейное тождество степени т,
справедливое в 33. Рассмотрим f(x\,..., хт) как элемент
Sym(m)-модуля Рт полилинейных многочленов. Представим
единицу групповой алгебры R для Sym(m) как сумму
элементов из левых идеалов Red, порожденных элементами ed (см.
п. 3.3, гл. 1), где d пробегает некоторое множество таблиц
Юнга. Запишем l-^Ea^f, где ad£R. Если d имеет не менее чем
d
п строк, то eaf — линейная комбинация значений многочленов
вида ed(vi) таких, что ed(Vi)=0 входит в систему тождеств
Капелли порядка п. Поэтому по модулю этой системы
(справедливой в 2$) тождество f(xu .:., хт)=0 эквивалентно системе
тождеств вида 2'adedf=0, где суммирование распространяется лишь
d
на таблицы, получающиеся из одной и той же диаграммы,
число столбцов в которой не превосходит п—1. Остается
отметить, ^что если в тождестве edVi=0 отождествить переменные,
номера которых содержатся в одной строке таблицы d, то, в
силу симметрии (см. определение для е& в п. 3.3, гл. 1),
получится тождество, эквивалентное данному, но зависящее уже от
числа переменных, не превосходящего числа строк в d.
Теорема доказана.
Эта теорема позволяет ограничиться конечным набором
переменных при изучении тождеств конечномерных алгебр.

Глава 3
СИСТЕМЫ ТОЖДЕСТВ
Язык тождеств достаточно выразителен для отражения
важных свойств алгебраических систем, и, как мы видели, наличие
тождества существенно влияет на строение конкретной алгебры.
Поэтому возникают задачи исследования структур тождеств.
К ним относятся: нахождение всех тождеств данной алгебры
или, хотя бы, выяснение конечной базируемости этих
тождеств, сравнение силы различных тождеств, соотношение между
классами систем с определенными тождествами (т. е.
многообразиями), связи тождеств с операциями над алгебрами (типа
расширения групп и др.), нахождение существенных численных
параметров тождеств, выделение экстремальных тождеств
относительно некоторых свойств и т. п. На основных
характеристиках тождеств и определяемых ими многообразий мы и
остановимся подробнее в настоящей главе. Направление изложения
при этом — от общих и грубых свойств систем тождеств к
более тонким признакам и отдельным тождествам.
§ 1. Проблема конечной базируемости
1.1. О выводе следствий. Вопрос о связях, зависимостях
между тождествами, о следовании одних тождественных
соотношений из других встает обычно при рассмотрении алгебр в
пределах естественных классов алгебраических систем: всех
групп, колец, решеток и т. д. Почти не проигрывая в общности
подхода, будем считать, что рассматриваемый класс ЗИ
является многообразием алгебр некоторой сигнатуры Q. В таком
случае вся информация о тождествах Q-алгебр из Зй и
подмногообразиях многообразия Зй спрятана в ЯЯ-свободной алгебре F
счетного ранга. Точнее, пусть {хи х2,... } — свободное
порождающее множество алгебры F. Любой элемент f£F выражается
через хи х2,... с помощью операций из Q и, как правило,
f задается вместе со своей записью. Она указывает
последовательность применения операций для получения f из
некоторых Xi,..., хп. Имея в виду такую запись, мы пишем f =
= f(xu..., хп). Множество всех следствий системы тождеств
{fi^gi}iei может быть описано как множество всех пар {f—g},
равных в силу наименьшей конгруэнции ~ на алгебре F такой,
что 1) fi~gi для Ш\ 2) если v~w, то a(v) ~a(w) для
любого гомоморфизма а: F-^F (т. е. результат подстановки в
тождество вместо переменных любых «слов» является тождеством).
Конгруэнция со свойствами 1), 2) называется вербальной (см.
также п. 2.2, гл. 1). Она порождена множеством {A^giihei-
199

Решетка (см. п. 6.1) всех подмногообразий многообразия Ш
антиизоморфна решетке всех вербальных конгруэнции на F.
В наиболее интересных случаях групп или колец конгруэнции
являются разбиениями на смежные классы по нормальной
подгруппе или идеалу. Соответствующая множеству тождеств
V вербальная подгруппа (идеал) обозначается V(F).
Заметим, попутно, что вербальные конгруэнции (подгруппы,
идеалы) представляют интерес не только в свободных алгебрах
(см. определение в п. 2.2, гл. 1). Например, коммутатору
[#ь *2] (или тождеству [хи х2]=\) отвечает взятие
коммутанта [А9 А] группы Л, а слову ххх2... хп в кольцевой сигнатуре
соответствует степень Ап кольца А.
Тот факт, что некоторое подмногообразие S3 многообразия
колец (групп и т. д.) 9И конечно базируемо в ЗИ, т. е.
выделяется в Зй конечным числом тождеств, равносилен тому, что
каждая цепь S5iZdS52=) ... подмногообразий многообразия 2R
таких, что П5Эг=Э, стабилизируется на конечном номере, или ста-
i
билизируется каждая цепь вербальных идеалов (подгрупп
и т. д.) Vx(F)aV2(F)cz... таких, что \]Vi(F) = V(F).
i
Доказательство существования конечного базиса тождеств
некоторого многообразия S3 обычно облегчается, если удается
выяснить предварительно, что 2$ имеет конечный
аксиоматический ранг, т. е. все его тождества вытекают из тождеств, в
запись которых входит ограниченное в совокупности число
переменных (см. п. 3.1), так как в этом случае достаточно
рассмотреть 5Ш-свободную алгебру Fn с конечным порождающим
множеством {хь .. ., хп} и доказать, что в ней V(Fn) имеет
конечное число порождающих как вербальная конгруэнция (как
идеал, подгруппа и т. п.).
Характерным примером является доказательство
существования конечного базиса тождеств у любой нильпотентной
ассоциативной алгебры А. Понятно, что при наличии тождества
х\Х2... хп=0 каждое дополнительное тождество алгебры А
может быть записано в виде f = 2ai^t = 0, где щ— (некоммута-
i
тивный) одночлен степени <п. Поскольку в запись каждого и{
входит менее п переменных, подставляя нуль вместо
остальных, мы можем заменить тождество f=0 эквивалентной ему
системой (нормальных) тождеств fh^0, где каждое fh зависит
менее чем от п переменных. Остается заметить, что любая
возрастающая цепь вербальных идеалов в свободной нильпотентной
индекса п алгебре конечного ранга стабилизируется. Но этот
факт очевидным образом следует из конечномерности
нильпотентной алгебры с конечным числом порождающих.
Легко видеть, что в приведенном рассуждении, на самом
деле, не использована ассоциативность алгебры А. Оно без
труда распространяется также на случай нильпотентных колец
200

(т. е. алгебр над Z), а с использованием некоторых
коммутаторных соотношений (п. 4.2, гл. 1) —на нильпотентные группы
(Линдон) (см. [48]).
Аксиоматический ранг подмногообразий удается ограничить
и в более общем случае. Несложные, восходящие к Вейлю
рассуждения с использованием диаграмм Юнга, позволяют
сделать вывод, что достаточно потребовать выполнения системы
тождеств Капелли некоторого порядка (п. 5.4, гл. 2). К
сожалению, простые соображения очень редко оказываются
достаточными для доказательства конечной базируемости тождеств.
1.2. Наследственно конечно базируемые (шпехтовы) много*
образия. Если каждое подмногообразие многообразия Ш
допускает конечный базис тождеств, то Зй называется наследственно
конечно базируемым многообразием. (В случае линейных алгебр
такие многообразия называют также шпехтовыми.)
Естественно, что в первую очередь для наследственно конечно базируемых
многообразий ставится задача описания (с точностью до
эквивалентности) всевозможных систем тождеств их алгебр. Как
отмечено в пункте 1.1, тождество нильпотентности всегда влечет
шпехтовость многообразия. Среди многообразий полугрупп
наследственно конечно базируемым является, например,
многообразие всех коммутативных полугрупп (Перкинс [133], [6]).
Первые нетривиальные результаты о конечной базируемости
достаточно больших классов групп и алгебр Ли связаны с
методом Коэна. Поэтому мы несколько подробнее остановимся
здесь на первом из результатов (собственно теореме Коэна),
согласно которому справедлива конечная базируемость
тождеств любой метабелевой группы, т. е. группы G, коммутант G'
которой абелев. (Это свойство равносильно тождеству [i[*i, *2],
[*з, *4]]=1, определяющему многообразие 9Л всех метабелевых
групп [35].)
Для доказательства теоремы Коэна достаточно установить
условие обрыва возрастающих цепей вербальных подгрупп
SDt-свободной группы F счетного ранга. Справедливым
оказывается и более сильное утверждение об обрыве в F любой
возрастающей цепи нормальных Ф-подгрупп (инвариантных
относительно перестановок свободных порождающих в F). Коэн
пользуется вложением Магнуса (см. п. 2.1), что позволяет
свести задачу к изучению свободного модуля над свободной абе-
левой группой счетного ранга и его Ф-подмодулей, определение
которых аналогично предыдущему. Коэн доказывает условие
обрыва для Ф-подмодулей, комбинируя идею доказательства
теоремы Гильберта о нётеровости кольца многочленов
от одной переменной с рассмотрением вполне частично
упорядоченных множеств и операторов замыкания со
свойством конечной базируемости (f. b. р.). Оператор
замыкания на множестве М сопоставляет каждому
подмножеству АаМ подмножество А так, что 1) Ас А
201

2) Л = Л, 3) ЛаВ^АаВ, 4) если хбЛ, то хе{аь...,ап)
для некоторого конечного подмножества {аи . ..,а„}сЛ.
Оператор замыкания обладает свойством f. b. р., когда любое
замкнутое подмножество является замыканием конечного подмножества.
Для элементов свободного модуля можно определить
понятия старшего члена и обобщенного показателя степени.
Множество обобщенных показателей обладает свойством f. b. р., а
показатели элементов Ф-подмодуля образуют замкнутое
подмножество. Ключевым моментом доказательства является такая
лемма. Пусть на М определены оператор замыкания со
свойством f. b. р., а множество Р частично упорядочено с условием
обрыва убывающих цепей; тогда естественным образом
определенный наМхР оператор замыкания обладает свойством f. b. p.
Развивая метод Коэна, Маккей доказала конечную базиру-
емость любого многообразия групп с тождеством центральной
метабелевости [![[*, у\ [г, и]], v]=l, а Брайант и Ньюман —
любого подмногообразия в ЯДгП^ЗЧс [107]. (Определение
умножения многообразий см. в п. 2.1; 9te состоит из групп G ниль-
потентной ступени ^с, т. е. с условием ^c+i (G) = 1 — см. п. 4.2,
гл. 1.) А. Н. Красильников и А. Л. Шмелькин [71] установили
существование конечного базиса тождеств у произвольной
группы из 91с(§9пП91) (здесь 91 — многообразие всех абелевых
групп, а 8П задано тождеством хп=1). Отсюда, в частности,
следует наличие конечного базиса тождеств у любой
сверхразрешимой группы, т. е. группы G с конечным рядом G = G0 О
>Gi t> ... D> Gm={l} нормальных в G подгрупп G{ с
циклическими факторами Gi/Gi+i для £ = 0, 1,..., т—1.
Подход Коэна к тождествам метабелевых алгебр Ли (т. е*
алгебр Ли с абелевым коммутантом) приводит к рассмотрению
свободных модулей над кольцом многочленов k [хь х2, ...] и их
Ф-отображений, где Ф-— множество изотонных (т. е. сохраняющих
порядок) отображений Ф множества натуральных чисел. Для
элемента модуля и=2 ft {хъ • • • > xs) yt полага:ем Ф (#)=
i
= 2/*(хф(1)' •••»*ф<*))0ф(О- Конечная базируемость всех под-
i
многообразий в 2Я следует из условия обрыва возрастающих
цепей Ф-инвариантных подмодулей.
Среди усилений последнего результата выделяется теорема
А. Н. Красильникова, согласно которой над произвольным
полем характеристики нуль любое многообразие алгебр Ли с ниль-
потентным коммутантом (т. е. лежащее в 9Ш для подходящего
с) допускает конечный базис тождеств. Принципиальность
этого результата состоит в том, что согласно классической
теореме Ли коммутант конечномерной разрешимой алгебры Ли
над полем нулевой характеристики нильпотентен. Таким об-
202

разом, тождества всякой конечномерной алгебры Ли над полем
характеристики нуль допускают конечный базис. При
доказательстве этого результата использована справедливость
тождеств Капелли некоторого порядка в -RM. Вопрос о конечности
базиса тождеств групп с нильпотентным коммутантом и близкий
вопрос А. Л. Шмелькина о конечной базируемости тождеств
матричных групп над полем пока открыты.
Один из общих результатов о тождествах ассоциативных
алгебр над полем k характеристики нуль получен В. Н.
Латышевым [16] и Г. К. Геновым [7]. Конечную базируемость
обеспечивает тождество
[*Ь Х2] • • • [!#2п-1, х2п] =0.
Как ранее было доказано В. Н. Латышевым, отсюда
следует, что каждая конечно порожденная алгебра над fe, в которой
выполняется тождество, не справедливое в полной матричной
алгебре M2(k) второго порядка, порождает шпехтово
многообразие.
Многообразия, не содержащие алгебры M2(k), называются
нематричными. Усиление теоремы Латышева—Генова получено
А. Р. Кемером [65]: любое нематричное многообразие, не
содержащее тензорного квадрата G<8>G бесконечномерной
алгебры Грассмана, является шпехтовым0. Поскольку в G®G не
выполняются тождества вида
[хи х2,..., xt][yu у*.-., Ут] ... [zi, z2,..., zn]=Q, (1)
любой идеал тождеств, содержащий левую часть (1),
порожден лишь конечным числом элементов как вербальный идеал
(Г-идеал). Иными словами, многообразие с тождеством (1)
шпехтово (В. Н. Латышев [16]). Базис тождеств для G&G
найден П. Сидеровым [96]:
[[х, у], [г, и], о]з0, [[х, у]2, г]=0.
Совсем недавно А. Р. Кемером установлена шпехтовость
стандартного тождества степени 4 (см. п. 1.3, гл. 1). Известно
также (В. Н. Латышев), что шпехтовым является любое
двучленное тождество, т. е. тождество вида /=0, где / — линейная
комбинация двух одночленов. Похожие по формулировке
результаты для лиевых многообразий получил Ю. А. Медведев [80].
Модулярность решетки конгруэнции (например, в случае
групп или колец, см. п. 2.3) позволяет утверждать, что внутри
многообразия UVS5 каждое подмногообразие выделяется
конечным числом тождеств, если этим свойством обладают
многообразия U и $. Однако, скажем, в случае полугрупп известно, что
объединение наследственно конечно базируемых
многообразий — всех коммутативных полугрупп и многообразия прямо-
угольных связок (операция на прямоугольной связке XxY
определена правилом (хи У\) (х2, у2) = (*ь У2))—не является
1) См. замечание в пункте 1.4 главы 1.
203

наследственно конечно базируемым, хотя и задается одним
тождеством xyzt=xzyt. Ситуация, когда многообразие
полугрупп является наследственно конечно базируемым, весьма
редка, хотя описания таких многообразий еще нет. «По
модулю» наследственно конечно базируемых многообразий групп
описаны наследственно конечно базируемые многообразия
инверсных и ортодоксальных клиффордовых полугрупп. Однако-
именно для многообразий групп аналогичная задача
представляется необозримо сложной [6].
1.3. Примеры бесконечных систем тождеств. Некоторые
общие вопросы. Системы тождеств, не сводящиеся к конечным,
сравнительно просто находятся, скажем, в полугрупповой
сигнатуре. Достаточно использовать не очень сложные
синтаксические рассуждения. Первые примеры были указаны А. П.
Бирюковым и Остином. Проблема Б. Неймана о существовании
конечного базиса тождеств любой группы, поставленная в
1935 году, долго привлекала внимание. Неизвестна была и
мощность множества многообразий групп. Различные по
методу, решения этих вопросов с незначительными временными,
интервалами были найдены А. Ю. Ольшанским [20], С. И. Адя-
ном (см. [1]) и Вон-Ли [54].
А. Ю. Ольшанский находит в некотором локально конечном
разрешимом многообразии 2$ серию конечных групп Gu G2,...
таких, что d не лежит в var(Gfc, &=1,..., i—1, t'+l, ...) для
каждого i. Отсюда следует, во-первых, неравенство var(Gb
Ш) =7^=var(Gb Ш) для разных подмножеств / и / натурального
ряда, а следовательно, континуальность числа (разрешимых
локально конечных) многообразий. Во-вторых, существует
тождество и{=1 многообразия var(Gj, /=1,..., i—1, i+1,...),
которое нарушается в Gu т. е. система {v{= l}^ является
независимой (ни одно из тождеств не следует из всех остальных), а
значит, не эквивалентна никакой конечной системе. Наконец*
локальная конечность многообразия Ц, выделяемого в 33
системой {^==1}^, позволяет сделать вывод о бесконечности era
аксиоматического ранга (см. п. 3.1).
Пример С. И. Адяна имеет другой плюс: независимая
система {Vi} f=1 указана явно. В качестве v{ берутся слова [хрпг
урп]п, где п — нечетное число, п^ 1003, а р пробегает множество
простых чисел. Доказательство основано на методе,
разработанном П. С. Новиковым и С. И. Адяном (см. п. 4.3, гл. 1).
Решение Вон-Ли совмещает достоинства примеров А. Ю.
Ольшанского и С. И. Адяна. Оно явилось групповой интерпретацией
найденной им системы тождеств для колец Ли характеристики
2. Доказана континуальность множества подмногообразий в
Простейшие примеры бесконечных систем тождеств, не
эквивалентных конечным системам, найдены Ю. Г. Клейманом
204

и Брайантом [68], [106]. Среди них — система из пункта 1.4
главы 1. Найдены и многообразия 2$1<=:2$2, между которыми
находится континуум многообразий, но ни одного — конечно
базируемого [69].
Границы «конечной базируемое™» представляются сейчас
размытыми. Например, произведение $2^i шпехтово, а
произведение $12%— нет. Лемма Цорна достаточна для обоснования
существования внутри каждого многообразия, не обладающего
конечным базисом тождеств, «предельного» многообразия, —
оно также не является конечно базируемым, в то время как
всякое его подмногообразие задается одним тождеством.
Однако не указан пока ни один явный пример предельного
многообразия групп, хотя для полугрупп такие примеры известны
[6]. Пример предельного многообразия колец Ли указан
И. Б. Воличенко.
До сих пор неизвестно, существуют ли нешпехтовы
многообразия ассоциативных колец или алгебр.0 (В этом-то и состоит
проблема Шпехта!) Близки к ассоциативным альтернативные
алгебры, т. е. алгебры, в которых любая 2-порожденная
подалгебра ассоциативна (такова, например, 8-мерная алгебра
Кэли—Диксона). Свойство альтернативности эквивалентно
тождествам (хх)у=х(ху) и у(хх) = (ух)х (теорема Э. Артина
[8]). Примеры разрешимых многообразий над полем
характеристики 2, не имеющих конечного базиса тождеств, нашел
Ю. А. Медведев [81].
Решение проблемы Шпехта для алгебр Ли существенно
зависит от характеристики. Для поля нулевой характеристики
до сих пор неизвестно существенно бесконечных систем
тождеств (т. е. не сводящихся к конечным). В случае же простой
характеристики р первые контрпримеры указал Вон-Ли (для
р = 2). Простейшую бесконечную систему tti = 0, и2=0,..., не
сводимую к конечной, нашел В. С. Дренски [60] (для всякого
р>0): ип= {ххх2... хп+2) (#1*2), где п = 1, 2,... . Эта же система
не эквивалентна никакой конечной и внутри многообразия
9lp9tr№3> что контрастирует с упомянутой в пункте 1.2 теоремой
А. Н. Красильникова для нулевой характеристики. Шпехтово в
характеристике 0 тождество {х\Х2) (х3*4)*5=0, означающее,
что второй коммутант содержится в центре, оказывается не-
шпехтовым для положительной характеристики.
В последнее время Ю. Г. Клейман [12], [69] нашел метод
построения новых разрешимых многообразий и изучения их
свободных групп, который помог ему решить ряд трудных
вопросов общей теории многообразий групп. Один из приемов
состоит в редукции вопросов о вербальной подгруппе v(F)
свободной группы, где v — слово, к исследованию множества
значений некоторого другого слова. Это позволяет вместо слож-
1) См. замечание в пункте 1.4 главы 1.
205

ных зависимостей между тождествами изучать более простые
соотношения. Например, по каждой группе G с нормальной
подгруппой N, в которой квадраты всех элементов единичны, и
G-инвариантному подмножеству Mc:iV\{l} строится группа С =
= C(G, N, М)\ для произвольного слова w, тождественно
исчезающего на G/N, имеет место эквивалентность: w4= 1 —
тождество в G, если и только если М не содержит значений слова до
в G. Плодотворной оказалась и идея В. А. Романькова
интерпретации многочленов с целыми коэффициентами в виде
элементов свободной нильпотентной группы. Она позволила
Ю. Г. Клейману кроме элементарных свойств многочленов
привлечь и теорему Ю. В. Матиясевича о диофантовых уравнениях
для изучения вербальных подгрупп ШЗ-свободных групп, где
многообразие 11 нильпотентно. Для конструкций Ю. Г.
Клеймана характерно также построение свободных групп
многообразий с помощью последовательных расширений, в которых связи
между «этажами» изучаются с помощью техники Магнуса—
Шмелькина (см. п. 2.1).
Решая проблемы, поставленные А. И. Мальцевым, Л. А. Бо-
кутем и С. И. Адяном, Ю. Г. Клейман нашел тождество v=l>
для которого не существует алгоритма, распознающего по
каждому тождеству ojs=1, является оно следствием тождества
v=l или нет. Получен ответ на вопрос Тарского: указано
(разрешимое) многообразие групп, которое не может быть
задано какой-либо независимой системой тождеств. (Для полугрупп
аналогичную задачу ранее решил А. Н. Трахтман.) Найдены
примеры конечно базируемых многообразий 11 и $ таких, что их
объединение в решетке многообразий групп не обладает
конечным базисом тождеств. Доказано, что для всякого
множества групп Ж, имеющего мощность, меньшую континуальной,
существует континуальное множество разрешимых ступени 4
многообразий с одинаковым запасом групп из Ж. Из
аналогичных результатов вытекает существование континуального
числа 1) многообразий периодических групп с одним и тем же
запасом локально конечных групп; 2) локально конечных
многообразий с одинаковым запасом разрешимых групп; 3)
разрешимых локально конечных многообразий с одинаковым запасом
нильпотентных групп. Приведено немало других тонких
примеров [69].
§ 2. Операции над многообразиями
2.1. Произведения многообразий групп. Умножение
многообразий придумано X. Нейман для изучения тождеств расширений
групп. Произведение 1Ш состоит из всех групп G, которые
обладают нормальной подгруппой AfGU такой, что факторгруппа G/N
содержится в многообразии 95. Произведение многообразий
всегда является многообразием (см. п. 3.1, гл. 2). Отвечающая
ему вербальная подгруппа произвольной группы G вычисляется
206

по правилу f/(V(G)), где U и V — операторы взятия U- и
3-вербальных подгрупп соответственно. Умножение
многообразий групп ассоциативно (но не коммутативно), т. е. все
многообразия образуют относительно этой операции полугруппу с
нулем (многообразие О всех групп) и единицей (единичное
многообразие <8).
Пожалуй, наиболее важным примером является многообразие
разрешимых групп ступеней </. Оно является 1-й степенью
многообразия 31 всех абелевых групп. При 1=2 получается
многообразие всех метабелевых групп. Перемножая 3^JKc2 ...
... ЗЦ (см. п. 3.2), получаем, по определению, многообразие
всех полинильпотентных групп, отвечающих
последовательности (си с2, ...» ct).
Основным инструментом для изучения произведений
многообразий и их свободных групп являются сплетения. Для
определения декартова сплетения W=AzB групп А настроится
сначала группа Ав всех функций f:B-+A с покомпонентным
умножением, затем для f£AB и b£B определяются функции
fb(x) = f (b~lx). Наконец, группа W состоит из пар (/,&),
где /6АВ, bQB, умножение которых происходит по правилу:
(/b*l)(/* &2) = (/г/2ЧМ>2).
(Другими словами, W — полупрямое произведение групп А" и
В, причем В регулярно действует посредством сопряжений на
группе функций А .) Точно так же получается понятие прямого
сплетения W=AzB, если рассматривать в Ав лишь функции
с конечными носителями /_1(А\{1}). Легко проверить, что
группы W и W обладают одинаковыми тождествами. Они
лежат в произведении US, если A&U и В&.
Роль сплетений в изучении расширений групп и
произведений многообразий объясняется теоремой Фробениуса—Калуж-
нина—Краснера о возможности изоморфного вложения
произвольного расширения G группы А при помощи группы В (т. е.
А нормальна в G и GfA^B) в сплетение А г В. Используя
сплетения, Б. X. и П. Нейманы и А. Л. Шмелькин доказали
следующую теорему [48].
Теорема. Любое многообразие групп ЪфО, <э
однозначно разлагается в произведение неразложимых многообразий.
Существование такого разложения следует из теоремы Ле-
ви о цепях автоморфно допустимых подгрупп свободной группы.
Для нахождения порождающих групп произведения
многообразий Баумслаг и Нейманы ввели понятие
дискриминирующего множества групп многообразия Ш [48].
Определение. Множество S групп из. 2Я называется
дискриминирующим для ЗК, если для любого конечного множества
207

слов vx(xu ..., *n),..., vm(xu..., xn), не являющихся
тождествами в 2Я, найдется группа GZS, а в ней — элементы gi,...
..., gn такие, что Vi(g\,..., gn)¥=l при i = l,..., m.
Например, бесконечная циклическая группа Z
дискриминирует многообразие §1 (т. е. {Z} — дискриминирующее для «
множество), 2Л-свободная группа счетного ранга также всегда
является дискриминирующей, а никакая одна конечная группа
не может дискриминировать какое-либо неединичное
многообразие. Дискриминирующее для 2Я множество является,
очевидно, порождающим для 2R. Если же 9№=var(G, GZS), то
множество прямых произведений конечного числа групп из S
дискриминирует многообразие Ш.
Теорема. Если многообразие1 U порождается множеством
групп 5, а многообразие 23 дискриминируется множеством Г,
то произведение US3 дискриминируется множеством всех
сплетений АгВ, где AtS, ВеТ.
Отсюда следует, что произведение Ш порождается
конечными группами (конечными р-группами для данного простого
р), если этим свойством обладают многообразия U и 2$. В
частности, §1' порождается своими р-группами для каждого
простого р.
Свободная группа F многообразия 3123 со свободным
порождающим множеством {ArJ/g/ допускает конструктивное
представление в виде подгруппы сплетения W=AzB, где А и В —
свободные группы многообразий % и 2J с порождающими {aj/g/ и
{^bg/> a Xi^afii в W (при этом группа А отождествляется
с множеством таких функций /:В-^Л, что /(6)==1 для 6^=1).
В. Н. Ремесленников и В. Г. Соколов [94] указали критерий
принадлежности элемента из W подгруппе F для приведенного
выше вложения Магнуса. Обобщение вложения Магнуса на
произведение многообразий групп US3, где \ХФ% найдено
А. Л. Шмелькиным. При этом прямое сплетение заменяется на
вводенное им U-вербальное сплетение (см. [48]).
Степень %1 — одно из самых важных многообразий в теории
групп. Поскольку свободные разрешимые группы Fn(%1)
финитно аппроксимируемы, в силу замечания А. И. Мальцева
существует алгоритм распознавания равенства слов в группе
Fn(W). Используя вложение Магнуса, В. Г. Соколов и В. Н.
Ремесленников доказали финитную аппроксимируемость
относительно сопряженности свободной разрешимой группы: два
элемента сопряжены в ней тогда и только тогда, когда сопряжены
их образы при любых эпиморфизмах группы Fn(SP) на
конечные группы. Это позволяет алгоритмически решить вопрос о
сопряженности двух элементов в свободной разрешимой
группе. Для перенесения Ю. А. Колмаковым этой теоремы на
свободные полинильпотентные группы понадобилось построить
208

вложения этих групп в так называемые скрещенные сплетения.
В. Н. Ремесленников нашел пример группы, заданной в
многообразии Я5 конечным числом порождающих и определяющих
соотношений, для которой не существует алгоритма
распознавания равенства слов. Позднее О. Г. Харлампович [99]
построила трехступенно разрешимую группу с алгоритмически
неразрешимой проблемой равенства слов. Эта группа задается
конечным числом образующих и соотношений даже в классе
всех групп.
Выделяются своими свойствами группы из многообразий
9ic9t и Шс. В пер1вом случае это объясняется теоремой Колчи-
на—Мальцева, из которой следует существование у любой
разрешимой матричной группы подгруппы конечного индекса с
нильпотентным коммутантом. Во втором случае имеет место
теорема Ф. Холла о финитной аппроксимируемости любой
конечно порожденной группы G, обладающей нормальной абеле-
вой подгруппой А с нильпотентной факторгруппой G/Л, и его
же теорема о возможности задания любой конечно
порожденной группы из Шс конечным числом определяющих
соотношений внутри этого многообразия [116].
Сильный результат получен Н. С. Романовским [95].
Теорема. В любой группе, заданной в %1 порождающими
Х\,...,хп и т<.п соотношениями между ними, найдется
подмножество из п—т элементов множества {х\,...,хп}, свободно
порождающее /-ступенно разрешимую группу.
оо
Ввиду равенства V Я/ = 0> в решетке многообразий, отсюда
следует решение проблемы Линдона: группа с порождающими
хь ..., хп и т<.п соотношениями между ними обладает
(абсолютно) свободной подгруппой с базисом {xti, ...,xirin) для
некоторых К ii < /2 < • • • < ^-т< л&- При решении этой, как и
многих других задач о многообразиях 9Р, большим подспорьем
оказывается аппарат групповых колец и модулей над ними.
2.2. Умножение многообразий линейных алгебр.
Произведение многообразий ассоциативных колец или алгебр Ли
определяется вполне аналогично умножению групповых
многообразий (п. 2.1) и предназначено для изучения тождеств
расширений. Однако IB случае ассоциативных алгебр это умножение
уже не является ассоциативным и не играет пока той роли,
какая отведена ему в группах. Иначе обстоит дело с
алгебрами Ли.
Если L — свободная алгебра Ли счетного ранга, то идеалом
тождеств многообразия U93 является идеал алгебры L,
порожденный идеалом U(V(L)) алгебры V(L). В случае, когда k —
бесконечное поле, для любого дифференцирования б : G-+G
произвольной алгебры Ли G вербальный идеал V(G) устойчив
относительно б, и тогда, понятно, U(V(L))—идеал в L. На-
209

пример, если k — поле характеристики нуль, то взяв в V(L)
полилинейные многочлены, порождающие это множество
тождеств (см. п. 3.1, гл. 1), мы получим, что для любого
v(xu ..., xn)£V(L) и любых gu g2,... ,gn$G выполняется
п
б(о (gi,..., gn))=2ofei» •••'б^' •••'£«)'
i—\
что и доказывает обещанную устойчивость.
Для тройки многообразий U, S3, SB алгебр Ли над
бесконечным полем k вычисление тождеств для (ШЗ)ЙВ и tl(932B) дает
один и тот же идеал тождеств U(V(W(L))), т. е.
многообразия образуют полугруппу v (k). (Один пример Ю. А. Бахтури-
на показывает, что над полем из двух элементов умножение
неассоциативно.) В случае поля характеристики нуль
В. А. Парфёнов показал, что v(k)—свободная полугруппа с
нулем и единицей, т. е. любое многообразие, отличное от
многообразия О всех алгебр Ли (нуль) и от многообразия <$,
состоящего лишь из нулевой алгебры (единица), однозначно
раскладывается в произведение далее неразложимых
многообразий. Эта работа была первой в общей теории лиевых
тождеств. Ю. А. Бахтурин перенес этот результат на случай
произвольного бесконечного поля. Один из вариантов
доказательства этой теоремы использует теорему о
монотонности, представляющую самостоятельный интерес: для любых
идеалов R и S свободной (неодномерной) алгебры Ли L над k
и всякого неединичного многообразия 2$ из включения V(R)a
czV(S) следует RaS [3]. По формулировке эта теорема
вполне аналогична теореме М. А. Бронштейна для групповых
многообразий.
В терминах произведений многообразий Г. П. Кукин
доказал ряд общих теорем вложения для алгебр Ли. Например,
любая счетно порожденная алгебра Ли из произвольного
многообразия 3W над полем характеристики нуль изоморфно вло-
жима в алгебру с двумя порождающими из многообразия 2Щ2.
В частности, счетно порожденная разрешимая алгебра Ли
изоморфно вкладывается в 2-порожденную разрешимую алгебру
Ли. (Аналогичный эффект для групп был ранее отмечен
М. И. Каргаполовым, Ю. И. Мерзляковым и В. Н. Ремесленни-
ковым.) Рекурсивно определенная алгебра Ли (группа) из Зй
вложима в алгебру (группу) с конечным числом определяющих
соотношений в ЗЛЯ2. (В случае алгебр — при некоторых
ограничениях на основное поле.) Им же получены важные результаты
алгоритмического характера. Например, уже в $391 существует
конечно определенная алгебра Ли, проблема равенства в
которой алгоритмически неразрешима (см. [14]).
А. И. Мальцев распространил определение произведения Ш
подмногообразий некоторого многообразия 9И на многообразие
систем произвольной сигнатуры (см. [77]). US — подкласс
210

алгебр ЛШ, в которых существует конгруэнция 0 такая, что
каждый 0-класс, являющийся Зй-подалгеброй, принадлежит U,
а факторалгебра Л/0 лежит в S. Он заметил, однако, что уже
внутри класса всех полугрупп произведение многообразий не
обязательно является многообразием. Им же даны достаточные
условия на ЗИ для того, чтобы класс US был многообразием.
2.3. Пересечение, объединение и другие операции. Среди
наиболее естественных операций над многообразиями
одинаковой сигнатуры находятся, конечно, пересечение U/\$ и
объединение UN/95, под которым подразумевается наименьшее
многообразие, содержащее U и 9$. Множество подмногообразий
некоторого многообразия ЗИ образует относительно Л и V Ре*
шетку /(Эй), антиизоморфную решетке вербальных конгруэнции
5й-свободной алгебры F счетного ранга.
Для классических систем — групп, колец, алгебр —
решетка 1(Ш) удовлетворяет тождеству модулярности: для 2Вс:93 и
любого U выполнено соотношение
W($AU)=2$A(28VU) (2)
(так же, как и двойственное ему). Тождество модулярности
легко объяснить, если заметить, что объединению многообразий
соответствует пересечение вербальных подгрупп (идеалов) в F,
а пересечению — произведение (сумма) вербальных подгрупп
(идеалов). В других случаях, скажем, если 9И — класс всех
полугрупп, решетка 1(Ш) немодулярна. Для модулярности
решетки /(ЗИ) достаточно, во всяком случае, чтобы конгруэнции
на ЗЛ-алгебрах были перестановочны между собой. Красивая
теорема А. И. Мальцева утверждает, что последнее свойство
равносильно существованию такого элемента f(x\,X2, #3) из F,
что f(XuX\9X2)ssx2 и f(xi,X2,X2)&=x\—тождества в Зй.
Например, если 5И—многообразие всех групп, то f=x\X2~lx3.
Дистрибутивность решетки /(9й), т. е. тождество
2BV(2JAU) = (28V2J)A(2BVU)
и ему двойственное, выполняется лишь для сравнительно
малых многообразий Ш. В этом случае подмногообразия в Ш1
легче поддаются полному описанию, так как, например,
разложение каждого подмногообразия в объединение нескольких
неразложимых единственно. Если ЗИ — многообразие линейных
алгебр над полем нулевой характеристики, то для
дистрибутивности 1(Ш) необходимо и достаточно, чтобы для любого п
естественное представление группы Sym(n) в /г-линейной
компоненте алгебры Fn(SK) (см. п. 3.4, гл. 1) не содержало
различных эквивалентных неприводимых подпредставлений.
Многообразия ассоциативных алгебр с дистрибутивной решеткой
подмногообразий описаны А. 3. Ананьиным и А. Р. Кемером — это
многообразия с ненулевым тождеством вида ау[х, у]-{-
+№*>#]#=0 для некоторых скаляров а, |5.
Если базис тождеств пересечения 11Л9$ двух многообразий
211

получается путем объединения тождеств, задающих U и 8, то
для объединения UV$ нахождения базиса — совсем не
очевидная задача. Взяв в качестве U многообразие всех
ассоциативных алгебр, а в качестве S3 — многообразие всех йордановых
алгебр, в объединении получим многообразие, заданное
тождеством
(ху, t9 г) + (zx, U У) + (гу, t, z) вО,
где (и, v, w) = (uv) w—ii(vw) — ассоциатор трех элементов.
Тождества этого объединения, тождества наименьшего
многообразия, содержащего все коммутативные и все ассоциативные
алгебры, или все йордановы и все альтернативные алгебры, а
также тождества объединений ряда других популярных
многообразий были найдены Г. В. Дорофеевым [59].
Для подмногообразий конкретных многообразий
появляются свои естественные операции. Например, умножение
вербальных идеалов свободной ассоциативной алгебры определяет и
соответствующую операцию на подмногообразиях,
относительно которой они образуют свободную полугруппу (теорема
Бергмана—Левина [104]).
В случае многообразий групп или колец Ли заслуживает
внимания взаимное коммутирование [[/, V] вербальных
подгрупп (идеалов) и отвечающая ему операция над
многообразиями. Многообразие 9^ всех нильпотентных групп (алгебр Ли)
ступени <х получается после с-кратного коммутирования как
[... [<§f, &\, <S\,..., <§\ из единичного многообразия, а
встречавшееся ранее многообразие всех центрально метабеле-
вых групп (алгебр Ли) равно [[[#,£'], [«\ £]],&]=\9Р,8].
Еще богаче оснащаются различными операциями
многообразия многосортных алгебр. Например, по аналогии с
умножением многообразий групп Б. И. Плоткин [23] ввел
умножение многообразий линейных представлений групп (см. также
п. 1.3, гл. 1). Получилась свободная полугруппа, на которую к
тому же свободно действует полугруппа многообразий групп по
правилу: представление (L, Г) (здесь L — линейное
пространство, Г — действующая на нем группа) принадлежит
многообразию ЗИЗЗ, где -К—многообразие представлений, а 83—
многообразие групп, если пара (L, V(Y)) лежит в 971.
§ 3. Ранги систем тождеств
3.1. Базисный и аксиоматический ранги. С каждым
многообразием 2$ связаны две цепи многообразий. Одна из них
убывающая:
58(1)з58(2)з...; Л Ю(/) —Ю. (3)
Здесь Э3(<) задается всеми тождествами многообразия S,
которые могут быть записаны не более чем на i переменных. Иначе
212

можно сказать, что 93(i) содержит все алгебры, каждая i-no-
рожденная подалгебра которых лежит в 93. Если, начиная с
некоторого номера fe, 93(fe)=S3(fe_bl>= ... =93 (т. е. S3 может быть
задано тождествами, зависящими от ^.k переменных), то
минимальное k с этим свойством называется аксиоматическим
рангом многообразия 93:ra(93)=fe. Если такого k нет, та
га (8) = оо.
Другая, возрастающая цепь
»ic»2c...; \/»* = ® (4)
определяется следующим образом: 93* задается тождествами,,
справедливыми для всех i-порожденных алгебр из 93, т. е. 93<
порождается 93-свободной алгеброй ранга i. Минимальное иа
чисел i таких, что 93i=93i+i= ... =93, называют базисным
рангом многообразия 93:^(93)=^. Опять-таки, при отсутствии
такого i пишут, по определению, Г5(93) = оо.
Ассоциативность определяется тождеством от трех
переменных, и аксиоматический ранг многообразия всех ассоциативных
алгебр равен трем (а не меньше, ибо алгебра Кэли—Диксона
неассоциативна, но альтернативна, т. е. бинарно ассоциативна)..
Аналогичное утверждение справедливо и для многообразия
всех алгебр Ли, которое строго меньше многообразия бинарна
лиевых алгебр.
В то же время, базисные ранги многообразий всех групп,
всех полугрупп, всех ассоциативных или лиевых алгебр над
данным полем равны двум, ибо свободные 2-порожденные
алгебры этих многообразий содержат изоморфные копии
свободных счетно порожденных алгебр тех же многообразий.
Например, коммутант свободной группы F(x\,X2)—свободная группа
счетного ранга с базисом [х\\ x2j], где i, j — ненулевые целые
числа.
На фоне приведенных примеров неожиданна теорема
И. П. Шестакова о бесконечности базисного ранга
многообразия всех альтернативных алгебр (см. [8]). Это значит, что в
любой конечно порожденной альтернативной алгебре есть
нетривиальное (не следующее из альтернативности) тождество.
Для собственных подмногообразий многообразия всех групп
или всех ассоциативных (лиевых) алгебр подобные ситуации,,
как мы увидим ниже, не столь уж редки.
Конечное значение аксиоматического ранга произвольного
локально конечного многообразия 93 конечной сигнатуры
равносильно его конечной базируемости. Действительно, в
качестве базиса тождеств от г переменных можно выбрать все
определяющие соотношения 93-свободной алгебры Fr ранга г, а
таблицы операций (таблицы умножения, сложения и т. п.) для
Fr конечны. Очевидно также, что локально конечное
многообразие имеет конечный базисный ранг тогда и только тогда,
когда оно порождается одной конечной алгеброй.
213

Инъекционный ранг многообразия 95 определяется
возможностью вложения любой счетно порожденной 35-алгебры в
/•-порожденную. Например, инъекционный ранг многообразий
всех групп равен двум (Хигман, Б. и X. Нейманы) так же, как
и ранг многообразия всех алгебр Ли (А. И. Ширшов). В то же
время, для неединичных разрешимых многообразий групп
(алгебр Ли) инъекционный ранг бесконечен. Для многообразий
классических алгебр (групп, колец и др.) было бы интересно
выяснить, достаточно ли вложимости Foo(9K) в Fr(SW) Для того,
чтобы инъекционный ранг не превышал г, и следует ли из
возможности вложения Fr+i($R) в Fr($R) шюжимость Foo(9R) в
/v(2K).
3.2. Ранги групповых тождеств. Существование
многообразий групп бесконечного аксиоматического ранга отмечено в
пункте 1.3. Простейшее из них задается системой тождеств из
йункта 1.4 главы 1 и определяет произведение 8482. Этот
пример показывает также, что произведение конечно
базируемых многообразий групп не обязательно имеет конечный
базис тождеств. Трудность данного примера, конечно, —
в объяснении, почему ни одно из тождеств не вытекает из
предыдущих.
Значительно проще указать примеры многообразий
бесконечного базисного ранга. Достаточно рассмотреть произведение
5tp5lp, где Sip — многообразие абелевых групп с тождеством
jtP=l. Дело в том, что сплетение двух бесконечных групп из
Шр лежит в %р2 и не имеет центра, т. е. ненильпотентно. С
другой стороны, каждая конечная р-группа удовлетворяет
некоторому тождеству нильпотентности. Стало быть, %р2 не
порождается одной конечной группой, поэтому, в силу пункта 3.1, не
может иметь конечного базисного ранга. (Уместно напомнить,
что по теореме О. Ю. Шмидта произведение локально
конечных многообразий групп локально конечно.)
В то же время, базисный ранг многообразия 91* всех
разрешимых групп ступени <7 равен двум. Для широкого класса
произведений многообразий конечность базисного ранга
доказали Баумслаг и Нейманы, используя понятие дискриминации
!;(см. п. 2.1). Совсем иные соображения потребовались для
нахождения формулы гь(%)=с— 1 (Ковач, Ньюман, Пентони,
Ф. Левин) в случае многообразия всех нильпотентных групп
ступени с>\ [125].
Многообразие ЗЯ метабелевых групп (см. п. 1.2) задается
тождеством [[#ь лг2], [*з, #4]]=1, а значит, совпадает с 2Л(4).
В действительности, га(2Я)=4. Многообразие ШЪ) задается
тождеством [[*ь х2], [хихъ]]^\ (Макдональд), и второй
коммутант 9Я(3)-групп содержится в их центре. Ш(2)фШ(г\ и
неизвестно, является ли ЯЯ{2) разрешимым многообразием. Оно
определяется тождеством [[*ь *г], [^Г1, *2]]=1 (Хигман [120]).
Интересно найти га{%1) как функцию от /.
214

Равенства и строгие включения в цепи (3) могут быть
распределены в общем-TQ произвольно: опирдясь на метод
Ю. Г. Клеймана (см. п. 1.3), С. В. Айвазян доказывает, что
для всякого подмножества Scz{8, 9,..., п ,.., } существует
многообразие групп 2$ такое, что для любого м^8 многообразия
gj(n) и gj(n+D совпадают, если и только если n£S.
Для локально конечного многообразия групп 2$
многообразие 2$(1) совпадает с некоторым бернсайдовым многообразием
Эп, так как определяется тождеством от одной переменной
япг=1. Следовательно, вопрос о локальной конечности $(1)
сводится к ограниченной проблеме Бернсайда. Усложняя
задачу, Б. Нейман ставит вопрос о существовании для каждого
локально конечного многообразия групп 2$ числа d такого, что
3J(d) локально конечно. Заметим, однако, что пока нет примеров,
показывающих, что в этой ситуации, скажем, 2$(2) не является
локально конечным.
Теорема Биркгофа позволяет следующим образом
переформулировать результат А. И. Кострикина об ограниченности
порядков m-порожденных конечных групп с тождеством xPs=l
(р—простое; см. п. 2.2, гл. 2): все локально конечные группы
из Эр образуют многообразие — многообразие Кострикина $р.
При р^5 оно, согласно теореме Ю. П. Размыслова (там же),
имеет бесконечный базисный ранг, ибо является локально ниль-
потентным, но ненильпотентным. Вопрос о конечности
аксиоматического ранга, т. е. о конечности базиса многообразия $£р
(он в данном случае равносилен и вопросу о «существенной
бесконечной базируемое™» — см. п. 4.3) открыт.
При р=2, очевидно, ^2=S2=3l2 — многообразие абелевых
групп с тождеством х2=1. Нетрудно проверить, что для р=3
39з==$з. Действительно, в пункте 4.3 главы 1 мы вывели из
#3=1 тождество [х, у~1ху] = 1, которое означает, что каждый
элемент перестановочен со своими сопряженными, т. е. лежит
в абелевой нормальной подгруппе. Если GZSbz и g\,...9gn
порождают эту группу, то по предположению индукции G/N —
конечная группа, где N—некоторая абелева нормальная
подгруппа, содержащая gn. Из формулы Шрайера (см. п. 4.2,
гл. 1) следует, что число порождающих для N не превосходит
\G/N\(n—l) + l. Значит, \N\ <^3IG/i™"-1)+1 и группа G конечна.
На самом деле, G£$3 и имеет место точная оценка Леви и Ван
дер Вардена—см. пункт 2.2 главы 2. Локальная конечность и
разрешимость многообразия Эв установлена М. Холлом, а
Ю. П. Размыслов доказал, что §9П разрешимо, только если
л =1,2, 3, 6. В частности, rb($bA) =оо, что, впрочем, вытекает и
из включения Э4=э3122 (см. п. 2.2, гл. 2).
3.3. Ранги многообразий лиевых алгебр. При соответствии
между многообразиями групп я многообразиями алгебр Ли над Q,
описанном в пункте 4.2 главы 1, сопоставляется, в частности^
многообразию 9tc всех нильпотентных групп ступени <с такое же
215

многообразие алгебр, Я* (групп)»-^ (алгебр Ли) и для любых
Си • • •, ct Я1с$1с2 • •. 9Ц (rpynn)^3?Cl3lC2... ЗЦ (алгебр Ли). Такого
рода параллели вызвали к жизни ряд интересных задач. Сходные
в некоторых частях теории во многом расходятся в отношении
базисных рангов.
В случае алгебр Ли над бесконечным полем k гь(Щ=2,
поскольку любое собственное подмногообразие в 9Р локально
нильпотентно (см. п. 6.2) и существует двумерная алгебра Ли
G=s(qq] a, b^k\y не являющаяся нильпотентной. Однако уже
г6(Я3)=оо, так как в свободной разрешимой алгебре L ранга п
этого многообразия выполняется тождество вида
2 ^ (УхХХаЦ)) • . . (yn+2ZX0(n+2)) = 0.
agSym(rt+2)
Это тождество не выполняется в Я3. Наиболее общий результат
состоит в том, что произведение Я1С1...91С имеет бесконечный
базисный ранг при любых наборах Си ... у си кроме, возможно,
/=1, либо t = 2, с2—1- Если поле конечно, то обязательно t=l.
Если поле бесконечно, то гь(Э1Д) ^с+1. Более конкретно, над
бесконечным полем k многообразие 91Д порождено алгеброй Ли
верхних треугольных матриц порядка с+\. Базисный ранг
любого нильпотентного ступени с кольца не превосходит с. Что
касается самого многообразия Э1С, то его базисный ранг над
произвольным коммутативным кольцом R вычислен Ю. А. Бахтури-
ным, показавшим, что rb($lc)=c—1 во всех случаях, за
исключением того, когда с = 2р и в R есть элемент аддитивного
простого порядка р. В этом случае базисный ранг равен с [3]. Этот
результат полезно сравнить с групповым (см. п. 3.2).
Из теоремы Баумслага—Нейманов (см. п. 2.1) легко
вывести, что многообразию алгебр Ли (Slm)i из цепочки вида (4)
сопоставляется (как в п. 4.2, гл. 1) многообразие групп S(m.
В силу доказанного о базисном ранге, видим, что у Slw имеется
при т^З бесконечное число прообразов. Если использовать
то свойство, что данное соответствие биективно на множестве
нильпотентных многообразий, то получим, что при всяком /^3
базисный ранг многообразия групп 31с[Щт неограниченно растет
вместе с ростом с. В то же время известно, что гь($1с[Щ2) =2 при
с^2 [48].
Наконец, важным отличием от теоретико-групповой ситуации,
является то, что свободная разрешимая алгебра Ли ступени
^3 счетного ранга не аппроксимируется алгебрами с
ограниченным числом порождающих.
Вообще, информация о базисном ранге является весьма
мозаичной. Например, имеются свидетельства в пользу того, что
базисный ранг произведения Ш конечен лишь в случае, когда
U нильпотентно, а 2$ абелево.
216

В. В. Стовба доказал [98], что над бесконечным полем
любое подмногообразие $ в 9ic9id, имеющее конечный
аксиоматический ранг, конечно базируемо. Для доказательства в $-сво-
бодной алгебре конечного ранга рассматривается действие фак-
торалгебры по нильпотентному радикалу G = LfR в факторах
R*/Ri+l. При этом R*/Ri+l является модулем над ассоциативным
нётеровым кольцом U, где U — универсальная обертывающая
для G. Введение хитроумной фильтрации в действующем
кольце и в модуле, переход к ассоциированным градуированным
кольцам и модулям приводят к коммутативной ситуации, что
в конечном итоге дает требуемый результат — условие обрыва
для вербальных идеалов в L (см. п. 1.1). Частным случаем
является отмеченная в пункте 1.2 теорема А. Н. Красильникова
о конечной базируемости разрешимой конечномерной алгебры
Ли. Дело в том, что в конечномерной алгебре выполняются все
тождества Капелли некоторой степени (см. п. 5.4, гл. 2), а
многообразия с таким свойством всегда имеют конечный
аксиоматический ранг.
§ 4. Тождества конечных алгебр
В конкретной конечной алгебре обычно не представляет
труда найти несколько характерных тождеств. Например, в
группе подстановок Sym(3) легко проверяются соотношения х6=1
и [х2, */2]==1, а в группе кватернионных единиц Q8= {±1, =Ы\
±/, ±k) — тождества хАs 1 и [х2, у\=\. Но даже для этих
групп малых порядков не так просто доказать, что из
приведенных соотношений следуют все их тождества. Вопрос Б.
Неймана о существовании конечного базиса тождеств для всякой
конечной группы оставался открытым более четверти века.
4.1. Тождества конечных групп. Проблема Б. Неймана в
1963 году была положительно решена Оутс и Пауэллом [49],
а Ковач и Ньюман вскоре сократили доказательство, которое,
тем не менее, остается идейно насыщенным. Как отмечено в
пункте 3.1, для решения проблемы конечного базиса тождеств
конечной группы G достаточно показать, что все тождества
в var G следуют из тождеств, записанных на ограниченном
числе переменных. Решающее продвижение, однако, было
достигнуто благодаря понятиям критической группы и
многообразия Кросса, Приводимые ниже определения очевидным образом
переносятся на ассоциативные, лиевы кольца и другие алгебры,
где они также были с успехом использованы.
Конечная группа G называется критической, если она не
содержится в многообразии var_ G, порожденном всеми
собственными факторами группы G, т. е. всеми факторгруппами
подгрупп группы G, кроме G/{1}. Например, упомянутые выше
(неабелевы) группы Sym(3) и Q8 являются критическими, ибо
217

var_ Sym(3) =%, var-Qs = 9l4— абелевы многообразия. Из
определения немедленно вытекает, что каждое локально конечное
многообразие групп порождается своими критическими
группами.
Для примера вернемся к тождествам
*в=1, [х\ </2]=1 (5)
группы Sym(3). Они определяют локально конечное многообрат
зие. Действительно, в любой группе Gen порождающими под^
группа Я, порожденная квадратами всех элементов из G,
имеет индекс не более 2П, ибо G/H удовлетворяет тождеству х2=1.
Если же в G справедливы соотношения (5), то Я— абелева
группа периода 3. Конечность ее порядка (а значит, и порядка
группы G) выводится из формулы Шрайера, как и в пункте 3.2.
Многообразие var Sym (3) содержит, очевидно, циклические
группы Z2, Z3 порядков 2 и 3. Поэтому для доказательства того
факта, что все тождества группы Sym (3) следуют из тождеств
(5), достаточно установить, что тождествам (5) не
удовлетворяет никакая критическая группа, кроме Z2, Z3, Sym(3).
Итак, пусть G — критическая группа с тождествами (5).
Пусть, как и выше, подгруппа Я порождена квадратами
элементов из G. Поскольку Я — абелева группа периода 3, на
нее можно смотреть как на fe-линейное пространство, где k —
поле вычетов по модулю 3, которое превращается в G/Я-модуль
относительно действия группы G на Я посредством сопряжения,
ибо ограничение этого действия на Я тривиально.
Критическая группа всегда монолитна (см. п. 2.4, гл. 1).
Поэтому в случаях #={1} или H = G мы сразу приходим к
изоморфизмам G^Z2 и G^Z3, соответственно. Заметим далее, что
С = Н, где С — централизатор подгруппы Я в G, так как иначе
в G нашлась бы абелева нормальная подгруппа /С, строго
содержащая подгруппу Я, нетривиальность примарного
разложения которой противоречила бы монолитности группы G.
Значит, Я — точный &[С/Я]-модуль. Его неприводимость следует,
опять-таки, из монолитности группы G и из теоремы Машке.
Поскольку G/H — абелева группа периода 2, точное
неприводимое представление возможно лишь в случае, когда G/H —
циклическая группа, т. е. |С/Я|=2, а Я — одномерное над k
пространство, т. е. |Я|=3. В итоге, неабелева группа G
имеет порядок 6, т. е. G^Sym(3), что и требовалось.
Определение. Многообразие 25 называется кроссовым,
если 1) 25 локально конечно, 2) тождества многообразия 93
конечно базируемы, 3) число неизоморфных критических групп
многообразия 25 конечно.
В силу условия 3), многообразие 25 удовлетворяет условию
минимальности для подмногообразий, а значит, каждое его
подмногообразие также кроссово. Поэтому для доказательства
конечной базируемости многообразия var G достаточно для ко-
218

нечной группы G найти такое конечное множество тождеств
0i=l,..., Vi=l, что 1) все они выполняются в G; 2)
многообразие, заданное этим набором тождеств, локально конечно;
3) порядки критических групп с тождественными соотношениями
ai=l,..., vt=l ограничены в совокупности. Впервые эту
программу для конечной группы с нильпотентным коммутантом
осуществил Кросс. Определение многообразия Кросса важно
именно для доказательства, ибо в итоге выясняется, что оно
эквивалентно понятию «многообразие, порожденное конечной
группой».
Приведенный выше пример едва ли дает представление о
реальных трудностях, которые преодолели Оутс и Пауэлл,
добиваясь следующего замечательного результата.
Теорема. Все тождества произвольной конечной группы
G следуют из конечного числа тождеств группы G.
Для упрощения доказательства этой теоремы Ковач и Нью-
ман ввели важный класс ®(е, т, с). Он состоит из групп с
тождеством хе= 1, нильпотентные факторы которых имеют ступень
не выше с, а главные факторы имеют порядки ^т (см. п. 5.2,
гл. 2). Оказывается, существует конечный набор тождеств
конечной группы G, определяющий многообразие, которое
содержится в некотором классе ®(е, т, с). Одним из таких
тождественных соотношений является «тождество главного
централизатора»: пусть v2=[[xu х2], У\2ХГХХ2У\2~1], где t/i2 — также
независимая переменная; далее по индукции
Vn=[...[[vn_u ynXny~l], У1пХ^ХпУ~1], . . ., Уп-ипХ-^ХпУ-l^ п]
Легко заметить, что в группе порядка ^/г vn=l. С другой
стороны, наличие тождества уп—1 и хе=1 в некоторой группе
позволяет ограничить порядки главных факторов этой группы
числом еп. Это свойство используется не только Ковачем и
Ньюманом, но и вообще облегчает нахождение базиса
тождеств заданной конечной группы.
Класс ®(е, т, с) содержит лишь конечное число критических
групп и является локально конечным многообразием. Порядки
критических групп в ®(е, т, с) ограничиваются с помощью
тонкого признака «некритичности» группы, найденного Оутс и
Пауэллом, и результатов Гашюца. Далее мы отсылаем
читателя к [48], не имея возможности обсудить здесь все этапы
красивого и поучительного доказательства.
4.2. Тождества конечных колец. Повторим, что понятия
критической алгебры и многообразия Кросса относятся не только
к группам. После групп они пригодились, прежде всего,
ассоциативным кольцам. Учитывая кольцевую специфику, Крузе
[126] и И. В. Львов [75] независимо доказали конечную бази-
руемость тождеств ' конечных ассоциативных колец, причем
уагЛ — многообразие Кросса, если |Л|<оо. Оказалось, также,
что необходимым и достаточным условием для того, чтобы не-
219

которое многообразие колец Ш оказалось кроссовым, является
наличие в нем тождества вида пх=0 для некоторого
положительного п и ограниченность индексов нильпотентности всех,
нильпотентных колец из Зй. Конечно базируемыми оказались R
тождества конечного альтернативного кольца (И. В. Львов).
Тождества конечного кольца Ли также имеют конечный
базис (Ю. А. Бахтурин, А. Ю. Ольшанский). Наибольшие
трудности возникают здесь при попытке ограничить число
переменных в тождествах, которые, в свою очередь, ограничивают
параметры /, ту с (см. п. 5.3, гл. 2). Аналога тождества главного
централизатора (см. п. 4.1) в какой-то простой форме, видимо,,
нет. Это значительно усложняет доказательство и приводит к.
необходимости ряда тонких редукций, сводящих дело к
ограничению порядков главных факторов с помощью некоторых
универсальных формул (не тождеств!) от ограниченного числа
переменных. Такие формулы истинны в алгебре Ли,
конечность базиса которой доказывается, и, как в теории группу,
доказательство завершается применением идеи Кросса (см. п. 4.1
и[3]).
4.3. О критических алгебрах. Поскольку каждое локально
конечное многообразие порождается своими критическими
алгебрами, изучение последних представляется естественной
задачей теории многообразий. Как следует из пункта 5.1 главы 2,
к критическим относятся конечные простые группы и кольца.
Однако в целом класс критических объектов пока плохо»
обозрим. Особенно аморфными представляются множества
критических нильпотентных групп и колец. Отметим лишь два
результата общего характера. Брайантом доказана
Теорема. Для критических групп Gi и G2 из равенства.
varGi=varG2 следует var_ Gi = var_ G2, где var_ G —
многообразие, порожденное собственными факторами группы G (см.
п. 4.1).
Ю. Н. Мальцев получил аналог этой теоремы для
ассоциативных колец. (Заметим, что подобные примеры нередки.
Скажем, две неизоморфные неабелевы группы восьмого порядка —
диэдральная и группа кватернионов — являются критическими и
имеют одинаковые запасы тождеств.) И еще: кольцо матриц.
Мп(А) над конечным ассоциативным кольцом А критично, если
и только если критическим является кольцо А.
4.4. Конечные алгебры с бесконечным базисом тождеств.
Может показаться, что тождества любого конечного кольца
имеют конечный базис. Выдвигалась даже гипотеза, что для
положительного решения проблемы конечного базиса достаточна
лишь модулярность решетки конгруэнции конечной алгебры
(какой-либо конечной сигнатуры). Но, как установил С. В. Полин:
[88], это неверно: указана конечная линейная над заданным
конечным полем k алгебра Л, не имеющая конечного базиса
тождеств. Причем в А тождественно x(yz)=0. Другого рода
220

пример конечной алгебры с конгруэнц-модулярной решеткой,
но без конечного базиса привел Брайант. Это — группа с
отмеченной точкой.
В то же время, для любой фиксированной сигнатуры почти
все конечные алгебры этой сигнатуры конечно базируемы, т. е.
отношение числа алгебр мощности п с конечным базисом
тождеств к числу всех n-элементных алгебр стремится к 1 при п->-
->оо. Этот факт обнаружил В. Л. Мурский [84], который
уточнил также, что для группоидов (т. е., когда в сигнатуре
имеется лишь одна бинарная операция) эта величина имеет порядок
1—м-6.
В связи с проблемой конечного базиса большая работа была
проведена в классе конечных полугрупп. Минимальную
полугруппу, не имеющую конечного базиса тождеств, можно
составить из шести матриц (Перкинс [133]) относительно
матричного умножения:
/О 0\ /1 0\ /0 1\ (О 0\ (0 0\ /1 0\
Большое разнообразие полугрупп порядков ^5 не позволило
найти для них общего подхода к проблеме конечного базиса.
Целый коллектив авторов внес вклад в эту задачу, обосновывая
существование конечного базиса для всех полугрупп порядков
<6.
Многообразие, порожденное полугруппой (6), существенно
бесконечно базируемо в том смысле, что любое локально
конечное многообразие, содержащее эту полугруппу, не допускает
конечного базиса. (Это доказал М. В. Сапир. Он же нашел
общее условие, когда конечная полугруппа существенно
бесконечно базируема, см. [6].) Это означает, что для всякого п
найдется не локально конечное многообразие полугрупп, все
«-порожденные полугруппы которого локально конечны и
удовлетворяют всем тождествам полугруппы (6). Для групп
подобные примеры не известны, и этот вопрос эквивалентен задаче
Б. Неймана из пункта 3.2.
Полугруппа (6) обладает во многих отношениях
экстремальными тождествами. Например, многообразие, порожденное
конечной инверсной полугруппой, конечно базируемо тогда и
только тогда, когда в нем не содержится полугруппы (6).
Для конечных полугрупп S многообразие var S, как
правило, далеко от какой-либо «кроссовости». Класс конечно
базируемых конечных полугрупп не замкнут относительно взятия
подполугрупп, гомоморфных образов и т. д. Существуют
конечные полугруппы, не обладающие независимым базисом
тождеств (М. В. Сапир) [6].
221

§ 5, Численные характеристики многообразий
и тождества конкретных алгебр
5.1. Ряды, связанные с многообразиями линейных алгебр.
Помимо базисного и аксиоматического рангов, о которых шла
речь в § 3, к важным численным характеристикам
многообразий линейных алгебр относятся ряды cn(3R, t)y Hk(Wt,t).
#(2Mi,...,4).
Свободная алгебра F = F (хи ..., xk) некоторого
многообразия $й линейных алгебр над бесконечным полем наделена
естественной градуировкой (см. п. 3.2, гл. 1), и, как со всякой
градуированной конечно порожденной алгеброй, с F связан ряд
оо
Гильберта — Пуанкаре Hk (Зй, 0 = 2 (dim Fd <'• Нетрудно со-
считать, что если, например, F — свободная ассоциативная
алгебра, то коэффициенты этого ряда Ai = A/, а при дополнительном
тождестве коммутативности А* = ( /""")» т- е- в перв°м случае
коэффициенты имеют показательный, а во втором — степенной
рост. Поскольку свободная лиева алгебра вкладывается в
свободную ассоциативную алгебру (п. 4.2, гл. 1), ряд Гильберта-
Пуанкаре любого многообразия лиевых алгебр так же, как и
любого многообразия ассоциативных алгебр, сходится в
некоторой окрестности нуля.
При более дробной градуировке алгебры /\ учитывающей
степень одночлена по каждой переменной, имеем F = ®Fa, где
a=(//ii, ..., mk), и, положив da=dimLay получим ряд
/У (К, *ь ..., **)« 2 dmit..utmMtm\..tmk.
(mt,....mk I
Наконец, поскольку над полем характеристики 0 любое
тождество эквивалентно системе полилинейных тождеств, важной
характеристикой является размерность сп /г-линейной части Зй-
оо
свободной алгебры ранга п и ряд с(2Я, /) =2сп/п. (Имея в виду
/2=1
представление свободных алгебр ассоциативных или лиевых
многообразий в виде факторалгебр (абсолютно) свободных
ассоциативных или лиевых алгебр по вербальным идеалам, ряд
с(5й, t) называют также рядом коразмерностей многообразия
9й.) В случае многообразия всех ассоциативных алгебр базис
n-линейной части составляют, очевидно, одночлены дгя(1)...
• • • хЯ(п) Для всех перестановок я, т. е. сп = п\. Для многообразия
всех алгебр Ли можно вывести формулу сп= (п—1)!. Значит,
для любого многообразия ассоциативных или лиевых алгебр
рост коразмерностей не превышает п\.
222

Свойства определенных выше рядов тесно связаны со
свойствами многообразия 9й. Обычно речь идет о рациональности
рядов, скорости роста их коэффициентов, радиусе сходимости.
Говорят, что рост многообразия степенной (полиномиальный),
если найдется константа М и натуральное число s такие, что
cn<cMns. К примерам многообразий такого вида относятся,
очевидно, все нильпотентные многообразия (для которых число
ненулевых сп конечно).
Теорема (А. Р. Кемер). Любое ассоциативное
многообразие со степенным ростом коразмерностей конечно базируемо.
И. И. Бенедиктовичем и А. Е. Залесским [56] описаны
вербальные идеалы свободной алгебры Ли со степенным ростом
коразмерностей.
Как отмечалось ранее (п. 3.4, гл. 1), в метабелевой алгебре
для любой перестановки о
t/ZX\ . . . Xn = t/ZXa(i) • • • Хо(п)-
Отсюда видно, что 9t2 имеет степенной рост. Однако уже рост
многообразия ^U не является степенным, а из результатов
И. И. Бенедиктовича, А. Е. Залесского и С. П. Мищенко [82]
вытекает, что многообразие 93 алгебр Ли над полем
характеристики нуль имеет степенной рост тогда и только тогда, когда
для некоторого с имеем 95с:$с3, но SS^^St. Приятным
свойством ряда коразмерностей произвольного многообразия
степенного (полиномиального) роста является его рациональность,
т. е. возможность представления в виде частного двух
многочленов (В. С. Дренски).
Мы скажем, далее, что рост последовательности сп(Щ не
выше показательного (экспоненциального), если найдутся
константы М, d такие, что сп(Щ^Мс!п, я=1, 2,... . К числу
многообразий с таким свойством относятся все специальные
многообразия, поскольку для многообразий ассоциативных алгебр
такая оценка всегда имеет место (Регев, см. п. 3.2, гл. 2), в
частности, многообразия, порожденные конечномерной
алгеброй Ли. Далее, этим же свойством обладают и многообразия,
порожденные бесконечномерными алгебрами Ли векторных
полей на конечномерном многообразии (С. П. Мищенко), и
некоторые другие. В то же время И. Б. Воличенко заметил, что
уже многообразие Ш2 имеет сверхпоказательный рост, а
С. П. Мищенко показал, что многообразия показательного
роста составляют весьма обширный класс, поддающийся более
детальному изучению, чем класс всех многообразий [83]. Кроме
того, он показал, что не существует многообразия
промежуточного роста между степенным и экспоненциальным. Более того,
если сп(Ъ)<.Мйп для некоторого d<2, то S имеет степенной
рост.
В изучении рядов сп(Ъ) еще много открытых вопросов, в
частности, есть предположение, что имеется ограниченный спи-
223

сок многообразий почти степенного роста, в который входят
varsl2(&), $2% ® (см. п. 6.3), т. е. многообразий, рост которых
не степенной, в то время как собственные их подмногообразия
имеют степенной рост. В этом случае проверка роста на поля-
номиальность приобрела бы алгоритмический характер.
Ряды Нп ($, /) вычислены лишь для отдельных
многообразий. Подход к их вычислению с помощью теории
представлений группы GL(m, k) предложен В. С. Дренски [109],
получившим исчерпывающие результаты для S=var sl2(&), charfe=0.
Частным случаем при /г = 2 (Ю. А. Бахтурин) является
формула
Я (в, *ь <Я) =*A(l+<i-HW (l-fiVO-tf)-1.
Приведем еще одну формулу:
Hm(W,t) = y+t+(mt-l)(l—t)-™, m=2, 3,... .
5.2. Другие численные характеристики многообразий.
Естественной характеристикой локально конечного многообразия
ЗИ является его порядковая функция f, где / (п) — порядок
Зй-свободной алгебры ранга п. Например, для многообразий
var Sym (3) и var Q8 (см. начало § 4) порядковые функции равны
соответственно 2Л-3 1 ' и 2 . Различие скоростей роста
объясняется наблюдением П. Неймана: локально конечное
многообразие групп нильпотентно тогда и только тогда, когда
log f(n) является многочленом. В остальных случаях logf(n)
растет быстрее любого многочлена. Для многообразия,
порожденного одной конечной группой G (или произвольной
конечной алгеброй), как следует из теоремы Биркгофа (п. 2.3, гл. 1),
скорость роста функции f(n) ограничена сверху величиной
с°п, где c=\G\.
Для многих многообразий порядковая функция может быть
вычислена явно. Из формулы Шрайера легко вывести, что для
произведения 2$i9$2 двух локально конечных многообразий групп
функция / находится по правилу f(n)=f2(n)fi((n—l)f2{n) + l).
В общем случае, однако, трудно описать поведение функции
f(rc). С одной стороны, существуют разные многообразия с
одинаковыми порядковыми функциями, а с другой стороны,
есть пример континуального множества локально конечных
многообразий, линейно упорядоченных по включению, как отрезок
[!0; 1] (а значит, их порядковые функции также различны).
Открытым остается вопрос о существовании многообразий с
произвольно быстро растущими порядковыми функциями.
Ряд числовых параметров связывается с многообразиями
Кросса (см. пп. 4.1, 4.2). Отметим, что в доказательстве
теоремы о конечном базисе тождеств конечного кольца Ли проводится
индукция по цокольной высоте многообразия (см. п. 5.2, гл. 2).
Конечные алгебры из многообразия, порожденного конечной
224

группой или кольцом, всегда имеют ограниченную цокольнукх
высоту. Например, для многообразия, порожденного группой
Л5 всех четных перестановок на множестве {1,...,5}, она
равна двум.
Своеобразие тождеств различных сигнатур обуславливает и
разнообразие числовых характеристик. Для ассоциативных
колец важно, например, степень какого из стандартных тождеств
выполняется, или минимальное п такое, что алгебра матриц
Mn(k) не попадает в данное многообразие. Для локально ниль-
потентных (локально разрешимых) многообразий
представляют интерес функции роста индексов нильпотентности
(разрешимости) свободных м-порожденных алгебр. В случае
полугрупп может представлять интерес разность между длиной,
слов в тождестве u=v и числом входящих в них переменных,
или же такой параметр, как минимальное число тождеств,
задающих данное многообразие. (В связи с этим обратим
внимание на простое упражнение: любое конечно базируемое
многообразие групп или колец можно выделить одним
тождеством.)
5.3. О тождествах некоторых конкретных алгебр. Как
отмечалось в главе 2, характерные тождества тех алгебр, которые
естественно возникают в структурной теории, играют важную»
роль и в общей теории многообразий. Поэтому задача
нахождения базисов тождеств таких алгебр всегда привлекала к себе,
внимание, а особые трудности при этом доставляет
доказательство выводимости всех тождеств данной алгебры из уже
найденных.
Наибольший прогресс связан с изучением тождеств простых,
ассоциативных колец. Для алгебры M2(k) конечная базируе-
мость (в случае нулевой характеристики поля k) доказана
Ю. П. Размысловым. (Базис указан в § 1 главы 1.) Решение
общей задачи конечной базируемости тождеств алгебры Mn(k)
над полем нулевой характеристики содержится в упомянутом
в пункте 1.4 главы 1 сообщении А. В. Яковлева. В частности,
при пС^п2-\-п всякое полилинейное тождество степени т в
Mn(k) следует из полилинейных тождеств этой алгебры
меньших степеней. Анонсированное доказательство использует
теорему Ю. П. Размыслова о тождествах со следом («сверточный»
вариант этой теоремы), а также хорошо развитую теорию
представлений симметрических групп, в частности, теорему о
разветвлении. Оно указывает также алгоритм нахождения базиса
тождеств для каждого п, хотя и не дает пока общих формул.
Алгебра Tn(k) верхнетреугольных матриц порядка п, как
легко проверить, удовлетворяет тождеству
(Xl#2—#2*1) ••• (*2n-l*2n #2n#2n-l ) = 0. (7)'
Действительно, значение любого коммутатора ху—ух —
нильтреугольная матрица, т. е. треугольная матрица с нулямя.
225

йа главной диагонали, а произведение п нильтреугольных
матриц — нулевая матрица.
Ю. Н. Мальцев [78] установил, что (7) и составляет базис
тождеств для Tn(k) в случае поля нулевой характеристики.
Для произвольного же кольца k идеал Тп тождеств совпадает
с Т\п, где 7\ — идеал тождеств кольца к (У. Э. Кальюлайд,
П. Сидеров).
Базис для алгебры Tn(k) как алгебры Ли в случае
бесконечного поля состоит из тождества
(Х\Х2) (ХъХ*) . . . (*2п-1*2п) —О,
т. е. var Tn(k) = 9ln_i9t. Еще раньше аналогичный результат для
тождеств группы невырожденных верхнетреугольных матриц
получен Н. С. Романовским. В случае поля характеристики
О —одно тождество [[хи х2],..., [х2п-и *2п]] = 1, а в случае
поля характеристики р нужно еще добавить тождества вида
[|>b#i],..., [*«,И<]]рв(0 —1, i=l,...,c, где a(0=min{a|a6Z,
a>0, ipa^c}. Для полугруппы всех верхнетреугольных матриц
над конечным полем вопрос о конечной базируемости открыт.
(Если поле бесконечно, то при п>1 никаких полугрупповых
тождеств в ней нет.)
( Особую роль в ряде вопросов о тождествах ассоциативных
алгебр играет алгебра Грассмана G — внешняя алгебра
бесконечномерного линейного пространства. Легко проверить, что в
ней (ху—yx)zz=z(xy—ух). Это тождество легко объясняется:
в стандартной записи любого коммутатора ху—ух
присутствуют лишь четные компоненты, которые лежат в центре алгебры
G. Оказывается, что из данного тождества следуют и все
остальные тождественные соотношения внешней алгебры. (Для
внешней алгебры конечномерного пространства появляются,
конечно, дополнительные тождества нильпотентности.)
Совсем немного известно о тождествах конкретных
бесконечномерных алгебр Ли. Пусть Wn — алгебра Ли
дифференцирований кольца многочленов от п переменных Уи...,уп над
полем k. Допустим, что sm{xu ..., xm, Xm+i) =0 — стандартное
тождество в смысле алгебр Ли (см. п. 1.3, гл. 2), не
выполняющееся в Wn. Каждый элемент из Wn имеет вид
п
где /i, . • •» /„—многочлены от уг, ..., уп. В силу полилиней-
йости стандартного многочлена sm, можно считать, что он
не обращается в нуль при подстановке вместо хг, ...,л:т+1
дифференцирований вида up=gp-0—, где gp —бескоэффициентный
одночлен, /?==1, ...,//1+1. Назовем степенью
дифференцирования (8) старшую из степеней многочленов fl9 ...,/„. Выпишем
226

однородное дифференцирование минимальной степени s > О,
являющееся значением многочлена sm при и\, .. .,#^1» как выше;
Допустим сначала, что s>0. Тогда найдутся i, у такие, чта
—-^О- Рассмотрим коммутатор обеих частей равенства с ч—;.
В правой части будет стоять ненулевое однородное дифферен-
п
цирование ^g^j- степени s —1. Используя то, что
коммутирование в алгебре Ли—дифференцирование, мы видим, что в
левой части возникает выракение вида
£ sm ( #1» • •->#/» j— J » • • •» Um+l I»
являющееся суммой значений стандартного многочлена sm на
однородных элементах из Wn. Сравнивая левую и правую
части, мы приходим к выводу, что s не является минимальным.
Остается рассмотреть случай, когда s=0. Поскольку
при одном коммутировании однородных дифференцирований сум*
марная степень понижается на единицу, мы приходим к равенству
т-И
^feggt^tn. Пусть р; —число элементов ир степени jm Тогда,
очевидно,
Po + Pi + ^Pi = m+l^n Pi + ^iPi = m.
i>l i>\
Отсюда 2 (*-—l)/^ = Po —1- В силу кососимметричности стан-
дартного полинома по хг, ...,хт, значения щ, ...,ит этих
переменных должны быть попарно различными. Заметим, что
размерность пространства дифференцирований степени 0 равна #,
а степени не выше 1 равна п-\-п2. С учетом иш+1 получаем
po<n+ly po-\-pi<n2 + n-\-\. В этом случае
Далее,
m=p0 + Pi + %Pi<n?+n+l + n==(n+l)2.
i>\
Это вычисление показывает, что при т>(п-\-1)2 все значения
многочлена sm(xi, . . . ,xm+1) на tt^ —нулевые. Более точный
анализ неравенства (9) показывает, что в W„ выполняется
тождество
227

S(az-H)2 G^l» • • •» x{n+l)2-\-\) = 0.
При /г=1 приходим к тождеству алгебры W\ вида
М*Ь*2, XZyXbXb)=0. (10)
Наличие нетривиального тождества в алгебрах Ли векторных
лолей впервые установлено Е. И. Суменковым в 1976 году
{Третий Всесоюзный симпозиум по теории колец, алгебр и
модулей. Тезисы сообщений. Тарту, 1976, с. 92).
Алгебра Wn имеет те же тождества, что и алгебра Vect(M)
векторных полей на гладком /г-мерном многообразии М.
Интересно было бы найти базис таких тождеств. Даже при п=\
неизвестно, не будет ли базисом одно-единственное
тождество (10). Важные результаты о тождествах алгебры Vect(M)
принадлежат Ю. П. Размыслову, а также А. А. Кириллову с
учениками [67]. Здесь же отметим, что алгебра Ли G /г-мерной
группы Ли ® является подалгеброй Ли левоинвариантных
полей в Vect(M), т. е. алгеброй с тождеством. Так как G
конечномерна, в ней выполняется существенно больше тождеств, чем в
Vect (М).
Поскольку конечные простые группы различимы уже с
помощью тождеств (см. п. 5.1, гл. 2), для них интересно явно
найти базисы тождеств. Решение этой трудной задачи несколько
облегчается применением тождества главного централизатора
(см. п. 4.1). Общих закономерностей здесь пока не видно, а
явные базисы найдены только для простых групп серии PSL(2, 2П),
PSL (2, 7), PSL (2,9) PSL (2.11) (Косей, Оутс—Макдональд,
Стрит, Саускот). Доказательства опираются как на изучение
строения критических групп в var G, где G — одна из
перечисленных групп, так и на тонкое исследование соотношений для
двумерных характеров и значений слов от двух переменных в
PSL(2,</).
Еще труднее поиск базисов тождеств в конкретных
полугруппах. Например, полугруппа всех отображений множества
{1,..., п} в себя при /г^З не имеет конечного базиса тождеств
(М. В. Волков). Для естественных серий примеров базисы
известны, разве что в случае циклических полугрупп.
§ 6. Малые и экстремальные многообразия
6.1. Атомы в решетках многообразий. В каждой сигнатуре
единичное многообразие задается тождеством х=у. Поэтому
стандартное применение леммы Цорна позволяет прийти к
выводу, что среди подмногообразий любого неединичного
многообразия есть атомы, т. е. такие многообразия, которые уже
не содержат собственных неединичных подмногообразий.
Например, в каждой нетривиальной группе есть неединичная
циклическая подгруппа. Стало быть, в любом групповом мно-
228

гообразии S5=^=^r существует группа простого порядка р. Такие
группы и порождают все атомы §1Р=91ПЭР в решетке
многообразий групп. Подобные простые соображения позволяют,
обычно, находить атомы во всех более или менее интересных
решетках многообразий. Тем не менее, полезно знать, с какими
же алгебрами неизбежно предстоит встретиться в тех или иных
многообразиях.
Очевидно, что единственным атомом многообразия алгебр
Ли над полем является многообразие 91 векторных пространств,
т. е. алгебр с нулевым умножением. Несложно установить, что
в решетке многообразий ассоциативных колец атомы задаются
тождествами рх=0, ху=0 или р*=0, х? = х (тождество
Ферма), где р — простое, т. е. в любом многообразии есть
группа Zp, наделенная нулевым умножением либо структурой поля
вычетов. В частности, тождества {2х=0, х2=х} задают
многообразие булевых колец.
Частично упорядоченное множество, в котором для любых
элементов а и Ь существуют точная верхняя грань а\/Ь и
точная нижняя грань а/\Ь, называется решеткой. Класс всех
решеток аксиоматизируем законами ассоциативности,
коммутативности, поглощения и идемпотентности и превращается в
многообразие. Единственным атомом среди многообразий
решеток является многообразие 2D дистрибутивных решеток,
выделенное тождествами в пункте 2.3. Объясняется это тем,
что неединичная решетка всегда содержит 2-элементную под-
решетку L; последняя же порождает все iZ>, ибо каждая
дистрибутивная решетка изоморфна подрешетке декартовой
степени решетки L, т. е. вложима в решетку всех подмножеств
некоторого множества.
Перечислены также и все атомы среди многообразий
полутрупп (Калицки, Скотт [123]). Кроме упомянутых выше
многообразий групп 31р, к ним относятся: полугруппы левых
(правых) нулей с тождеством ху=х (ху^у), полурешетки
(тождества х*?=х и ху=ух)у нильпотентные индекса два
полугруппы (xy=zt) (см. [6]).
6.2. Классификация некоторых тождеств. Задача описания
всех следствий тождества f=g" (т. е. всех подмногообразий
многообразия, им определенного) поддается полному решению
только для достаточно сильных тождественных соотношений.0
Другими словами, лишь для сравнительно небольших
многообразий удается найти решетку подмногообразий. Поэтому
описание решеток малых многообразий всегда входит в
программу изучения тождеств алгебр фиксированной сигнатуры.
Легким упражнением является перечисление возможных
тождеств абелевых групп {[х, у]=1, хп=1) для некоторого
!> Исключение составляют многообразия с очень бедной сигнатурой —
многообразия унаров (одна унарная операция). Решетка многообразий уна-
ров дистибутивна, счетна и легко описывается.
229

/г^О. Нетрудно найти и все подмногообразия в многообразию
3*2 нильпотентных ступени 2 групп. Задающие их тождества
имеют вид ^,!/,z]sl, [х, £/]*=1, fel, где &|/, fe, />0.
Преобразования коммутаторных тождеств производятся
обычно на основании некоторых соотношений лиевского типа,,
справедливых для всех групп (см. 16) в главе 1). Базис»
тождеств всех подмногообразий в $з найдены Ионсоном и
В. Н. Ремесленниковым: для k\, k2, &з, k^O таких, что*
kA\kz\k2\ki (и некоторых других ограничениях), они имеют вид
**i=l, [X, ^«sl, [X, у, 2]*»е=1, [X, У, Jf]*»sl,
[х,у, Z, *]==1.
Значительно сложнее решетка подмногообразий в 9Ц. Для
ее описания Фицпатрик приложил большие усилия [111].
Отчасти это объясняется недистрибутивностью этой решетки»
Вряд ли возможен в дальнейшем существенный прогресс в
направлении описания 1(%) при возрастании с.
Похожую картину можно обнаружить для многообразий
лиевых или ассоциативных колец малых индексов
нильпотентности. Однако в случае линейных алгебр над полем нулевой
характеристики теория представлений симметрической группы
(см. п. 3.4, гл. 1) дает реальный алгоритм нахождения всех
многообразий ограниченного индекса нильпотентности &, и
достижимые границы для k зависят от наших вычислительных
возможностей.
Конечная базируемость тождеств метабелевых групп делает
актуальной задачу описания решетки подмногообразий
многообразия 9I2. Наибольшего прогресса здесь достиг Брайс,
давший описание неразложимых в объединение ненильпотентных
метабелевых многообразий [108]. Классификация всех
нильпотентных метабелевых многообразий групп пока не проведена.
Очень просто перечисляются все собственные подмногообразия
многообразия метабелевых алгебр Ли над полем нулевой
характеристики— это 912П^с, с=0,1,2,... (см. п. 3.4, гл. 1).
Сложнее устроена, хотя и дистрибутивна, решетка
многообразий матабелевых алгебр Ли над бесконечным полем
характеристики р>0. Здесь типичны дополнительные тождества вида
#1*2 • • • х2... хп ... хпх\ ... #1^=0, где число вхождений каждой
переменной является степенью числа р [3]. Аналогичный вопрос
для конечного поля еще не решен.
Еще меньше известных подрешеток в решетках
многообразий полугрупп и других алгебр с «плохими» конгруэнциями.
Подобные задачи либо легко решаются (описаны, например,
все многообразия коммутативных полугрупп с единицей), либо,
напротив, весьма тяжелы.
6.3. Экстремальные многообразия. Что можно сказать о
групповом тождестве, если ему удовлетворяет некоторая
конечная неабелева группа, или, наоборот, о тождестве, которое не
230

выполняется в двумерной алгебре Ли матриц вида (о о)
над С? На вопросы такого рода зачастую можно дать
правильный ответ даже в тех случаях, когда решетка всех
многообразий, к которым данный вопрос относится, представляется
трудно обозримой. Нужно лишь найти минимальные или
максимальные многообразия, «отвечающие» за то или иное
свойство.
К примеру, строение неабелевых конечных групп, все
собственные подгруппы которых абелевы, давно было выяснено.
Отсюда легко получается список минимальных неабелевых
локально конечных многообразий: ЭрГДОг (р — нечетное), Э4ПЭ12,
ЯрЯд, где р, q — разные простые. Этот же список является
исчерпывающим среди всех (локально) разрешимых
многообразий и многих других. (Однако, как видно из примера,
приведенного в пункте 4.3 главы 1, вообще говоря, существуют и
другие почти абелевы многообразия.)
Более трудную задачу поставили Ковач, Ньюман: дать
описание почти кроссовых многообразий, т. е. таких многообразий,
которые не порождаются конечными группами, в то время как
всякое собственное подмногообразие имеет вид var G, где
|6|<оо. Такой перечень содержал бы прямое указание на
минимальный запас групп, которые должны входить в
произвольное многообразие 2$, если оно не порождается одной
конечной группой. Ковач и Ньюман [124] привели следующий
список известных почти кроссовых многообразий: 91, 9tp9tp,
%v%%r (Р, q, г — различные простые числа), ЯрфгП^) (Р^2),
ЯрфгПвд) (Р> ^2 —различные простые). А. Ю. Ольшанский
[86] подтвердил гипотезу Ковача—Ньюмана, доказав, что
список разрешимых почти кроссовых многообразий исчерпывается
приведенными выше многообразиями. Таким образом, каждое
разрешимое многообразие либо содержит одно из них, либо
порождается конечной группой.
Отсюда выводится простой алгоритм для проверки того,
выделяет ли произвольное тождество
f(*b...,*»)-l (И)
в многообразии W всех разрешимых групп данной ступени /
подмногообразие, порожденное одной конечной группой, или
нет. Сначала выясняется, следует ли из (11) тождество вида
хп=\ (и каково /г). Этот шаг очевиден, так как
п—наибольший общий делитель показателей при неизвестных в слове
f=Xihi ... xnkn, получаемом из f перестановкой букв. Затем в
приведенном выше списке нужно выбрать все многообразия
периода п (т. е. с тождеством хп=\) и в их я-порожденных
свободных группах вычислить значение слова / (что легко
осуществляется с помощью вложения в сплетение). Если (и только
если) значения для / отличны от 1 во всех этих группах, то f
231

задает многообразие Кросса. Для тождеств простого вида не
нужны даже какие-либо вычисления. Например, 39РГ№ для
всякого / и простого р — многообразие Кросса, так как в
приведенном выше списке нет многообразий простого периода.
Иначе обстоит дело при отказе от условия разрешимости.
Именно в многообразии простого периода $р (см. п. 3.2)
Ю. П. Размыслов указал первый пример неразрешимого почти
кроссова многообразия (р^5) [89]. Для этой цели он сначала
явно указывает в характеристике р почти кроссово
многообразие алгебр Ли с тождеством (р—2)-энгелевости. Группы,
получаемые из этих алгебр по формуле Кемпбелла—Хаусдорфа
(точнее, с помощью ее усеченного варианта в характеристике р\
ср. п. 4.2, гл. 1), порождают почти кроссово многообразие.
В случае разрешимых колец Ли, опять-таки, получено
полное описание почти кроссовых многообразий (Ю. А. Бахтурин,
А. Ю. Ольшанский (см. [3])). Для конечного поля
характеристики р единственным таким многообразием является
многообразие В. А. Артамонова [55] (рассмотренное им по другому
поводу) Ш: 1) (ху) (zt)=0, 2) xyz...z=0, 3) хух ... ху ...
...*/== О, где число букв z в записи 2) и каждой из букв х, у
в записи 3) равно р. В. А. Артамонов заметил, что все
собственные подмногообразия в ЗЯ нильпотентны, в то время как
в 5Ш нильпотентности нет. Отсюда следует, что ЗЯ почти
кроссово. Сложнее установить, что других разрешимых почти
кроссовых многообразий нет. Как и в случае групп, задачу удается
перевести на язык теории представлений, однако этого
оказывается далеко не достаточно для получения аналогичного
решения.
Свободная алгебра многообразия 9И допускает весьма
прозрачное описание как подалгебра полупрямого произведения
двух абелевых алгебр. Как и в случае групп, это
обстоятельство можно использовать для получения простого алгоритма
распознавания тождеств конечных алгебр внутри W.
Для ассоциативных колец исчерпывающий ответ получен
И. В. Львовым: каждое почти кроссово многообразие колец
задается либо тождеством я*/=0, либо системой тождеств рх=
= хР=ху—ух=0. Им же описаны все почти нильпотентные
многообразия колец.
Большую работу провел В. А. Артамонов, описав все цепные
многообразия линейных алгебр, т. е. такие, решетки
подмногообразий которых выглядят особенно просто, а именно,
являются цепью. (Упомянутое выше многообразие ЗИ входит в список
цепных многообразий [2].)
М. И. Каргаполов, В. А. Чуркин и Троувз [64], [ИЗ]
полностью выявили разделяющую роль многообразия Я2 метабе-
левых групп:
Теорема. Любое разрешимое многообразие 2$ (т. е.
подмногообразие в некотором 91*) либо содержит 912 в качестве
232

подмногообразия, либо, наоборот, содержится в произведении
ВИДа $дгг№с%т ДЛЯ НбКОТОрЫХ ГП И С.
Гроувз распространил эту теорему на подмногообразие 93
произведения нескольких разрешимых и локально конечных
многообразий. Им же получены и другие альтернативы.
На экстремальное свойство многообразия 9I2 метабелевых
алгебр Ли над беоконечным полем обратил внимание
Ю. А. Бахтурин [3]: разрешимое многообразие 95 локально
нильпотентно тогда и только тогда, когда 9t2<£93. Для этого
предварительно выясняется, что в любом многообразии, не
содержащем всех метабелевых алгебр, выполнено некоторое
тождество Энгеля. Однако, совсем недавно Е. И. Зельманов
решил старую задачу А. И. Кострикина, доказав, что над полем
нулевой характеристики из тождества энгелевости следует
нильпотентность (см. п. 2.3, гл. 2.) Таким образом,
произвольное многообразие алгебр Ли над полем нулевой
характеристики является нильпотентным тогда и только тогда, когда оно не
содержит всех метабелевых алгебр.
Различные экстремальные свойства подмечены у
многообразия групп Slp9I, где р — простое. Если, например, в конечно
порожденной разрешимой группе G содержится некоторая
подгруппа, не имеющая конечного числа порождающих, то
var Gzd%v% для некоторого р. Кроме того, в 3lpSC нет
полугрупповых тождеств (т. е. тождеств fz=g> где f, g —
полугрупповые слова), так как в сплетении ZpzZ содержится
(абсолютно) свободная полугруппа (В. В. Беляев, Н. Ф. Сесекин).Вто
же время, в многообразиях 91СЭП есть нетривиальные
полугрупповые тождества (А. И. Мальцев). Среди разрешимых
многообразий групп 21р21 выделяется как многообразие,
«почти удовлетворяющее полугрупповым тождествам», так
как, если ScrSt*, то либо $bzD$lp% либо S3c:3U3n для
некоторых р, су п.
И. Б. Воличенко [57] доказывает, что существует
единственное многообразие ® алгебр Ли над полем нулевой
характеристики с тем свойством, что в произвольном многообразии 9!
выполняется некоторое стандартное тождество (см. п. 1.3,
гл. 2) тогда и только тогда, когда 9$;#@. При этом ®
выделяется в 91912 тождеством (х{х2) ((х\Хз) (х2Х4))=0.
В разных отношениях экстремально многообразие,
порожденное алгеброй Грассмана (см. п. 1.1, гл. 2). Например,
Теорема (А. Р. Кемер). В многообразии 271 ассоциативных
алгебр выполняются все тождества Капелли некоторого
порядка (см. п. 5.4, гл. 2), если и только если 9й не содержит
алгебры Грассмана.
А. Р. Кемер доказал также, что многообразие ассоциативных
алгебр над полем нулевой характеристики является нематричным
(см. п. 1.2) тогда и только тогда, когда в нем выполнено
некоторое тождество вида
236

п
11 [{Хц, Xft], [Xiz, Хц], xi5]^0,
где [ , ] — кольцевой коммутатор [65].
Перечень «экстремальных» примеров можно продолжать
долго. Вспомним полугруппу (6) из пункта 4.3, предельные
многообразия из пункта 1.2 и др. Можно вспомнить и старые
теоремы о том, что многообразие решеток удовлетворяет
тождеству модулярности тогда и только тогда, когда в нем нет ре-
щетки рисунка 9, а многообразие модулярных решеток диет-
рибутивно, если и только если в нем нет решетки рисунка 10.
о
Рис. 9 Рис. 10
Картина безбрежного моря многообразий алгебр с
отдельными островами важных примеров заставляет думать, что
правильно поставленные задачи о свойствах многообразий и
тождествах алгебр чаще должны вести к поиску многообразий и
тождеств, экстремальных относительно естественных
алгебраических свойств, нежели к описанию решеток всех
подмногообразий.
КОММЕНТАРИЙ К ЛИТЕРАТУРЕ
Приведем сначала краткую аннотацию книг из списка
рекомендуемой литературы. В монографии [1] приводится
усовершенствованный вариант отрицательного решения проблемы
Бернсайда о группах с тождеством xn=l, п — нечетное, /г^665.
Там же приводится пример многообразия групп без'конечного
базиса тождеств, решение некоторых других проблем теории
групп. В монографии [3] дается общая картина теории
многообразий алгебр Ли, их связей с многообразиями групп и
ассоциативных колец. Изложение доступно начинающим
алгебраистам. В монографии [41] глава X посвящена теории Р/-алгебр.
В другой книге того же автора [42] читатель найдет еще один
подход к той же теме; в этой книге детально обсуждается
проблема о структуре конечномерных тел. Вопросы теории
тождеств в неассоциативных кольцах освещены в монографии [8].
234

Решение ослабленной проблемы Бернсайда для простого
показателя изложено в монографии [13]. Там же приведены
некоторые новейшие результаты об энгелевых алгебрах Ли.
Вопросы связей между абстрактными группами и алгебрами Ли:
освещены в книге [45]. Книга [|17] дает общий подход к
теории многообразий и квазимногообразий алгебраических систем
(см. также [15]). Монография [48]—первая книга, целиком,
посвященная теории многообразий. Поставленные в ней
проблемы («проблемы Ханны Нейман») оказали большое влияние
на развитие теории тождеств. (По поводу хода решения этих
проблем см. [44].) В книге ['39] затронуты вопросы структуры
ассоциативных Р/-алгебр. Полностью теме Р/-алгебр
посвящены монографии [51] и [52]. Книга [23] содержит основы
теории многообразий представлений.
В списке имеются обзоры по теории групп, полугрупп,
колец, решеток, универсальных алгебр, следуя которым читатель
может восстановить детали развития и более частные вопросы
теории тождеств. Чисто информативный характер носят
обзоры ВИНИТИ [4], [5], [19], [22] (в них содержатся и ссылки на
более ранние обзоры). Такой же характер носят обзоры [6], [27].
Из других обзоров отметим []2], [30].
Сборник статей [26] содержит, в частности, статью Ф. Холла
с конструкцией конечно определенных бесконечных простых
групп.
Кроме книг и обзоров, в список рекомендуемой литературы
включены также некоторые оригинальные статьи,
представляющие исторический интерес как первичные источники по тем шш
иным разделам теории тождеств [18], [32], [34], [47], [53].
Имеются статьи, содержащие важные результаты по таким:
проблемам, как проблема конечной базируемости тождеств [!7]>
[11], [16], [20], [35], [49], [54] (к [35] примыкает важная работа
[^0]), проблемы о периодических группах и алгебраических
алгебрах [9], [10], [12], [21], [25], [28], [33], [37], [50], другим
проблемам, связанным с теорией многообразий [14], [24], [29],
[31], [36], [43], [46].
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Адян С. И., Проблема Бернсайда и тождества в группах. М.: Наука,
1975, 336 с.
2. Артамонов В. А., Решетки многообразий линейных алгебр. Успехи мат.
наук, 1978, 33, № 2, 135—168
3. Бахтурин Ю. А., Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1985, 448 с.
4. —, Слинько А. М., Шестаков И. П., Неассоциативные кольца. Итоги
науки и техн. ВИНИТИ. Алгебра. Топол. Геометрия, 1981, 18, 3—72
5. Бейдар К И., Латышев В. Н., Марков В. Т., Михалёв А. В.,
Скорняков Л. А., Ассоциативные кольца. Итоги науки и техн. ВИНИТИ.
Алгебра. Топол. Геометрия, 1984, 22, 3—115
235

''*" ?п«ЛОхг ^ В'' ^^Р"* л- н> Тождества полугрупп. Изв. вузов. Мат.,
1Уоэ, № \\^ з—47
7. Ге«ов Г. К., Шпехтовость некоторых многообразий ассоциативных
алгебр над полем характеристики нуль. Докл. Болг. АН, 1976, 29, № 7.
939—941
8. Жевлаков К. А., Слинько А. М., Шестков И. П., Ширшов А. И.,
Кольца, близкие к ассоциативным. М.: Наука, 1978, 432 с.
9. Зельманов Е. И., Алгебры Ли с алгебраическим присоединенным
представлением. Мат. сб., 1983, 121, Ш 4, 545—561
10. —, Алгебры Ли с конечной градуировкой. Мат. сб., 1984, 124, № 3,
353—392
11. Кемер А. Р., Многообразия и г2-градуированные алгебры. Изв. АН СССР.
Сер.мат., 1984, 48, № 5, 1042—1059
12. Клейман Ю. Г., О некоторых вопросах теории многообразий групп. Изв.
АН СССР. Сер. мат., 1983, 47, № 1, 37—74
13. Кострикин А. #., Вокруг Бернсайда. М.: Наука, 1986, 232 с.
14. Кукин Г. П., О вложении рекурсивно-определенных алгебр Ли и групп.
Докл. АН СССР, 1980, 251, № 1, 37—39
15. Кирош А. Г., Лекции по общей алгебре. Изд. 2-е. М.: Наука, 1973,
400 с.
16. Латышев В. Н., Частично упорядоченные множества и нематричные
тождества ассоциативных алгебр. Алгебра и логика, 1976, 15, № 1,
53-70
17. Мальцев А. И., Алгебраические системы. М.: Наука, 1970, 392 с.
. 18. Новиков П. С, О периодических группах. Докл. АН СССР, 1959, 127,
№ 4, 749—752
19. Носков Г. А., Ремесленников В. Н., Романьков В. А., Бесконечные
группы. Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Алгебра. Топол. Геометрия, 1979, 17,
65—158
20. Ольшанский А. Ю., О проблеме конечного базиса тождеств в группах.
Изв. АН СССР. Сер. мат., 1970, 34, № 2, 376—384
21. —, Группы ограниченного периода с подгруппами простого порядка.
Алгебра и логика, 1982, 21, № 5, 553—618
22. Плоткин Б. И., Общая теория групп. Итоги науки и техн. ВИНИТИ.
Алгебра. Топол. Геометрия, 1971, 5—74
23. —, Вовси С. М., Многообразия представлений групп. Общая теория,
связи и приложения. Рига: Зинатне, 1983, 340 с.
24. Размыслов Ю. П., Об одной проблеме Капланского. Изв. АН СССР. Сер.
мат., 1973, 37, № 3, 483—501
25. —, О проблеме Холла—Хигмена. Изв. АН СССР. Сер. мат., 1978, 42,
№ 4, 833—847
26. Разрешимые и бесконечные простые группы. Сб. статей. В сер.:
Математика. Новое в заруб, науке, вып. 21. М.: Мир, 1981, 208 с.
27. Упорядоченные множества и решетки. Братислава: Унив. Коменского,
1985, 304 с.
28. Ширшов А. И., О кольцах с тождественными соотношениями. Мат. сб.,
1957, 43, № 2, 277—283
29. Шмелькин А. Л., Сплетения и многообразия групп. Изв. АН СССР. Сер.
мат., 1965, 29, № 1, 149—170
30. Amitsur S. A., Polynomial identities. Isr. J. Math., 1974, 19, N* 1—2,
igo ^99
'31. Baumslag G., Neumann B. H., Neumann H., Neumann P. M., On varieties
generated by a finitely generated group. Math. Z., 1964, 86, № 2, 93—122
32. Birkhoff G., On the structure of abstract algebras. Proc. Cambridge Phil.
Soc, 1935, 31, 433—454 „ , «
.« 33. Braun A., The radical in a finitely generated P/-algebra. Bull. Amer. Math.
Soc, 1982, 7, № 2, 385—386
34. Burnside W., On an unsettled question in the theory of discontinuous
groups. Quart. J. Math., 1902, 33, 230—238
35. Cohen D. E., On the laws of a metabelian variety. J. Algebra, 1967, 5, :
№ 3, 267—273
236

36. Formanek E., Central polynomials for matrix rings. J. Algebra, 1972, 2&*
J№ 1, 1 /,j— 1 o2d
37. Hall M„ Jr, Solution of the Burnside problem for exponent six. 111. J.
Math., 1958, 2, № 4B, 764—786
38. Hall P., A contribution to the theory of groups of prime-power order
Proc. London Math. Soc, 1933, 36, 29—95
39. Herstein I., Noncommutative rings. New York: Wiley, 1968, xi+199 pp.
(Пер. на рус. яз.: Херстейн И., Некоммутативные кольца. М.: Мир, 1972,
192 с.)
40. Higman G., Ordering by divisibility in abstract algebras. Proc. London
Math. Soc, 1952, 2, 326—336
41. Jacobson N., Structure of rings. Colloq. Pubis Amer. Math. Soc.
Providence, R. I., 1956, № 37, vii + 263 pp. (Пер. на рус. яз.: Джекобсон #.„
Строение колец. М.: ИЛ, 1961, 392 с.)
42. —, P/-algebras. An introduction. Lect. Notes Math., 1975, 441, vi + 115 pp.
43. Jonsson В., Congruence varieties. In: Gratzer J., Universal algebra. 2ded.
New York: Springer-Verlag, 1979, 348—377
44. Kovdcs L. G., Newman M. F., Hanna Neumann problems on varieties of
groups. Lect. Notes Math., 1974, 372, 417—432
45. Magnus W., Karrass A., Solitar D., Combinatorial group theory. New
York — London — Sydney: Interscience, 1966, xii + 444 pp. (Пер. на рус.
яз.: Магнус В., Каррас А., Солитэр Д., Комбинаторная теория групи.
М.: Наука, 1974, 456 с.)
46. McKenzie R., Some unsolved problems between lattice theory and equa-
tional logic. Proc. Univ. Houston. Lattice Theory. Conf. Houston, 1973»
564—573
47. Neumann B. H., Identical relations in groups. I. Math. Ann., 1937, 114y
506—525
48. Neumann H., Varieties of groups. Berlin—Heidelberg—New York:
Springer-Verlag, 1967, x+192 pp. (Пер. на рус. яз.: Нейман X., Многообразия
групп. М.: Мир, 1970, 264 с.)
49. Oates S., Powell М. В., Identical relations in finite groups. J. Algebra,
1964, 1, № 1, 11—39
50. Ol'shanskil A. Ju., On a geometric method in the combinatorial group
theory. Proc. Int. Congr. Math., Warszawa, 1983. I. PWN, North Holland,
Amsterdam—New York—Oxford, 1984, 415—424
51. Procesi C, Rings with polynomial identities. New York: Marcel Dekker,
1973, X+200 pp.
52 Rowen L. H., Polynomial identities. New York: Acad. Press, 1980, 365 pp.
53. Specht W., Gesetze in Ringe. Math. Z., 1950, 52, 557—589
54. Vaughan-Lee M. R., Uncountably many varieties of groups. Bull. London
Math. Soc, 1970, 2, № 6, 280—286
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
55. Артамонов В. А., Цепные многообразия линейных алгебр. Тр. Моск. мат.
о-ва, 1973, 29, 51—78
56. Бенедиктович И. И., Залесский А. Е., Г-идеалы свободных алгебр Ли с
полиномиальным ростом последовательности коразмерностей. Изв.
АН БССР. Сер. физ.-мат. н., 1980, № 3, 5—10
57. Воличенко И. Б., Об одном многообразии алгебр Ли, связанном со
стандартными тождествами. I. Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. н., 1980, № 1,
23—30: П. № 2, 22—27
58. Голод Е. С, О ниль-алгебрах и финитно-аппроксимируемых р-группах.
-Изв. АН СССР. Сер. мат., 1964, 28, № 2, 273—276
59. Дорофеев Г. В., Объединение многообразий алгебр. Алгебра и логика,
1976, 15, № 3, 267—291
237

,60. Дренски В. С, О тождествах в алгебрах Ли. Алгебра и логика, 1974,
13, № 3, 265—290
61. Дубнов Я. С, Иванов В. К., О понижении степени аффинорных
полиномов. Докл. АН СССР, 1943, 41, 99—102
-62. Залесский А. В., Смирнов М. Б., Ассоциативные кольца,
удовлетворяющие тождеству лиевой разрешимости. Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат н
1982, № 2, 15—20
63. Каргаполов М. #., Мерзляков Ю. И., Ремесленников В. #., О
пополнении групп. Докл. АН СССР, 1960, 134, № 3, 518—520
Ы.—Чуркин В. Л., О многообразиях разрешимых групп. Алгебра и логика,
1971, 10, № 6, 651—657
65. Кемер А. Р., О нематричных многообразиях. Алгебра и логика, 1980, 19,
№ 3, 255—283
'бб. —, Тождества Капелли и нильпотентность радикала конечно
порожденной Я/-алгебры. Докл. АН СССР, 1980, 285, № 4, 793—797
67. Кириллов А. А., О тождествах алгебры Ли гамильтоновых векторных
полей на плоскости. Препр. ИПМ АН СССР, 1983, № 121, 20 с.
68. Клейман Ю. Г., О базисе тождеств произведения многообразий групп.
Изв. АН СССР. Сер. мат., 1973, 3, № 1, 95—97
69. —, О тождествах в группах. Тр. Моск. мат. о-ва, 1982, 44, 62—108
70. Кострикин А. И., О проблеме Бернсайда. Докл. АН СССР, 1958, 119,
№ 6, 1081—1084
71. Красильников А. П., Шмелькин А. Л., О шпехтовости и базисном ранге
некоторых произведений многообразий групп. Алгебра и логика, 1978, 17,
№ 4, 384—401
72. Кукин Г. П., О свободных произведениях ограниченных алгебр Ли. Мат.
сб., 1974, 95, № 1, 53—83
73. Кушкулей А. X., О тождествах конечномерных представлений. Сб. работ
по алгебре (межвуз. сб. каф. мат.). Рига, 1978, 134—157
74. Латышев В. П., Шмелькин А. Л., Об одной проблеме Капланского.
Алгебра и логика, 1969, 8, № 4, 447—448
75. Львов И. В., О многообразиях ассоциативных колец. I. Алгебра и
логика, 1973, 12, № 3, 269—297
76. Мальцев А. И., Нильпотентные полугруппы. Уч. зап. Ивановск. пед.
ин-та, 1953, 4, 107—111
77. —, Об умножении классов алгебраических систем. Сиб. мат. ж., 1967, 8,
№ 2, 346—365
78. Мальцев Ю. Н., Базис тождеств алгебры верхних треугольных матриц.
Алгебра и логика, 1971, 10, № 4, 393—401
, 79. Марков В. Т., О размерности некоммутативных аффинных алгебр. Изв.
АН СССР. Сер. мат., 1973, 37, № 2, 284—288
в0. Медведев Ю. А., Конечная базируемость многообразий с двучленным
тождеством. Алгебра и логика, 1978, 17, № 6, 705—726
81. —, Пример многообразия разрешимых альтернативных алгебр над полем
характеристики 2, не имеющего конечного базиса тождеств. Алгебра и
логика, 1980, 19, № 3, 300—313
82. Мищенко С. П., Многообразия алгебр Ли со слабым ростом
последовательности коразмерностей. Вестн. МГУ. Мат., мех., 1982, № 5, 63—66
83. —, К проблеме энгелевости. Мат. сб., 1984, 124, № 1, 56—67
84. Мурский В. Л., Конечная базируемость тождеств и другие свойства
«почти всех» конечных алгебр. В сб.: «Пробл. кибернетики». Вып. 30.
М.: Наука, 1975, 43—56
85. Новиков П. С, Адян С. И., О бесконечных периодических группах. I, II,
III. Изв. АН СССР. Сер. мат., 1968, 32, № 1, 212—244; № 2, 251—254;
№ 3, 709—731
86. Ольшанский А. Ю., Разрешимые почти кроссовы многообразия групп.
Мат. сб., 1971, 85, № 5, 115—131
87. Платонов В. П., Линейные группы с тождественными соотношениями.
Докл. АН БССР, 1967, 11, № 7, 581—582
88. Полин С. В., О тождествах конечных алгебр. Сиб. мат. ж., 1976, 17,
№ 6, 1356—1366
238

89. Размыслов Ю. П., Об одном примере неразрешимых почти кроссовых
многообразий групп. Алгебра и логика, 1972, 11, № 2, 186—205
90. —, О конечной базируемости тождеств матричной алебры второго
порядка над полем характеристики нуль. Алгебра и логика, 1973, 12,
№ 1, 83—113
91. —, О радикале Джекобсона в Р1-алгебрах. Алгебра и логика, 1974, 13,
№ 3, 337—360
92. —, Алгебры, удовлетворяющие тождественным соотношениям типа Ка-
пелли. Изв. АН СССР. Сер. мат., 1981, 45, № 1, 143—166
93. —, Центральные полиномы в неприводимых представлениях
полупростой алгебры Ли. Мат. сб., 1983, 122, № 1, 97—125
94. Ремесленников В. Н., Соколов В. Г., Финитная аппроксимируемость
групп относительно сопряженности. Сиб. мат. ж., 1971, 12, № 5,
1085—1099
95. Романовский Н. С, Свободные подгруппы в конечно определенных
группах. Алгебра и логика, 1977, 16, № 1, 88—97
96. Сидеров П., Два замечания о критических ассоциативных кольцах. Вестн.
МГУ. Мат., мех., 1982, № 2, 24—28
97. Стовба В. В., О конечной базируемости некоторых многообразий алгебр
Ли и ассоциативных алгебр. Вестн. МГУ. Мат., мех., 1982, № 2, 54—58
98. —, О конечной базируемости некоторых разрешимых многообразий
алгебр Ли конечного аксиоматического ранга. Мат. сб., 1986, 129, № 1,
104—120
99. Харлампович О. Г., Конечно определенная разрешимая группа с
неразрешимой проблемой равенства. Изв. АН СССР. Сер. мат., 1981, 45, № 4,
852—873
100. Шестаков И. П., Центры альтернативных алгебр. Алгебра и логика,
1976, 15, № 3, 343—362
101. Ширшов А. И., Об одной гиптезе теории алгебр Ли. Сиб. мат. ж., 1962,
3, № 2, 297—301
102. Artin М., On Azumaya algebras and finite dimensional representations of
rings. J. Algebra, 1969, 11, № 4, 532—563
103. Bahturin Ju. A., Simple Lie algebras satisfying a nontrivial identity. Cep-
дика. Бълг. мат. списание, 1976, 2, № 3, 241—246
104. Bergman G. M., Lewin J., The semigroup of ideals of a fir is (usually)
free. J. London Math. Soc, 1975, 11, № 1, 21—31
105. Block R. E., Wilson R. L„ The restricted simple Lie algebras are of
classical or Cartan type. Proc, Nat. Acad. Sci. USA. Phys. Sci., 1984, 5/, № 16,
5271—5274
106. Bryant R. M., Some infinitely based varieties of groups. J. Austral. Math.
Soc, 1973, 16, № 1, 29—32
107. —, Newman M. F., Some finitely based varieties of groups. Proc. London
Math. Soc, 1974, 28, № 2, 237—252
108. Bryce R. A., Metabelian groups and varieties. Phil. Trans. Roy. Soc.
London, 1970, A266, № 1176, 281—355
109. Drensky V. S., Codimensions of Г-ideals and Hilbert series of relatively
free algebras. J. Algebra, 1984, 91, № 1, 1—17
110. Farkas D. R., Snider R. L., Group algebras whose simple modules are
injective. Trans. Amer. Math. Soc, 1974, 194, 241—248
111. Fitzpatrick P., Kovdcs L. G„ Varieties of nilpotent groups of class four.
I. J. Austral. Math. Soc, 1983, A35, № 1, 59—73
112. Goldie A. W., Lectures on quotient rings and rings with polynomial
identities. Math. Inst. Giessen, Univ. Giessen. Giessen, 1974, 119 pp.
113. Groves J. B. J., On varieties of soluble groups. Bull. Austral. Math. Soc,
1971, 5, No 1, 95—109; II. Bull. Austral. Math. Soc, 1972, 7, № 3,
437—441
114. Gupta N. D., Levin F., On the Lie ideals of a ring. J. Algebra, 1983, 81,
№ 1, 225—231
239

115. Hall M., Jr, The theory of groups. New York, Macmillan, 1959, xiii+434 pp.
(Пер. на рус. яз.: Холл М., Теория групп. М.: ИЛ, 1962, 468 с.)
116. Hall P., Finiteness conditions for soluble groups. Proc. London Math.
Soc, 1954, 4, № 16, 419—436
117. Hartley В., Injective modules over group rings. Quart. J. Math., 1977, 28,
№ 109, 1—29
118. Heineken H„ Liesche Ringe mit Engelbedingung. Math. Ann., 1963, 149,
№ 3, 232—236
119. Higgins P. G., Lie rings satisfying the Engel condition. Proc. Cambridge
Phil. Soc, 1954, 50, № 1, 8—15 *
120. Higman G., Some remarks on varieties of groups. Quart. J. Math Oxford
1959, 10, № 39, 165-178
121. Isaacs /. M., Passmann D. S., Groups with representations of finite
bounded degree. Can. J. Math., 1964, 16, № 2, 299—309
122. Kac V. G., On simplicity of certain infinite-dimensional Lie algebras. Bull.
Amer. Math. Soc, 1980, 2, № 2, 311—314
123. Kalicki J., Scott D„ Equational completeness of abstract algebras. Indag.
math., 1955, 17, № 5, 650—659 (Пер. на рус. яз.: Калицки Я., Скотт Д.,
Эквациональная полнота абстрактных алгебр. Киберн. сб., 1961, № 2,
41—52)
124. Kovdcs L. G., Newman М. F., On non-Cross varieties of groups. J.
Austral. Math. Soc, 1971, 12, № 2, 129—144
126. —,—, Pentony P. F„ Generating groups of nilpotent varieties. Bull. Amer.
Math. Soc, 1968, 74, № 5, 968—971
126. Kruse R., Identities satisfied by a finite ring. J. Algebra, 1973, 26, № 2,
298—318
127. Leron U., Vapne A:, Polynomial identities of related rings. Isr. J. Math.,
1970, 8, № 2, 127—137
128. Levin F., Generating groups for nilpotent varieties. J. Austral. Math. Soc,
1970, 11, № 1, 28—32
129. Lyndon R. C., Schupp P. E., Combinatorial group theory.
Berlin—Heidelberg—New York: Springer-Verlag, 1977, XIV+339 pp. (Пер. на рус яз.:
Линдон Р., Шупп П., Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980,
448 с)
130. Martindale W. S., Ill, Prime rings satisfying a generalized polynomial
identity. J. Algebra, 1969, 12, № 4, 576—584
131. Neumann J. von, Zur allgemeinen Theorie des Masses. Fund, math., 1929,
13, 73—116
132. Passmann D., Group rings satisfying a polynomial identity. J. Algebra,
1972, 20, № 1, 103—117
133. Perkins P., Bases for equational theories of semigroups. J. Algebra, 1969,
11, № 2, 298—314 (Пер. на рус яз.: Перкинс П., Базисы для эквацио-
нальных теорий полгрупп. Киберн. сб., 1974, № И, 5—23)
134. Posner Е. С., Prime rings satisfying a polynomial identity. Proc. Amer.
Math. Soc, 1960, 11, № 2, 180—183
135. Procesi C, On a theorem of M. Artin. J. Algebra, 1972, 22, № 2, 309—315
136. —, Small L., Endomorphism rings of modules over P/-algebras. Math. Z.,
1968, 106, № 3, 178—180
137. Regev A., Existence of polynomial identities in A®FB. Bull. Amer. Math.
Soc, 1971, 77, № 6, 1067—1069
138. Schelter W., Non-commutative affine P. I. rings are catenary. J. Algebra,
1978, 51, № 1, 12—18
139. Zel'manov E. I., On the theory of Jordan algebras. Proc. Int. Congr.
Math., Warszawa, 1983. I. PWN, North Holland, Amsterdam—New York-
Oxford, 1984, 455-463

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адзумая (Azumaya G . ) 64 , 65 , 70 ,
87 , 105 , 106 , 108 , 112 , 159
Адо И . Д . 182
Адян С . И . 121 , 128 , 153 , 154 , 181 ,
185 , 204 , 206
Айвазян С . В . 215
Айзеке (Isaacs I . М . ) 96 , 108 , 112 ,
166
Алберт (Albert Н . Н . ) 35 , 46
Амицур (Amitsur S . А . ) 18 , 46 , 52 , 71 ,
77 , 86 , 100 , 101 , 126 , 156 , 164
Ананьин А . 3 . 88 , 211
Андреев К . К . 151
Андрунакиевич В . А . 71 , 76 , 77 , 78 ,
89
Армендариз (Armendariz Е . Р . ) 111
Арнаутов В . И . 102
Арнольд В . И . 69
Артамонов В . А . 232
Артин М . (Artin М . ) 87 , 159
Артин Э . (Artin Е . ) 14 , 35 , 52 , 64 ,
100 , 103 , 104 , 105 , 205
Бабич А . М . 77
Васе (Bass Н . ) 57 , 65 , 83
Баумслаг (Baumslag G . ) 207 , 214 ,
216
Баутелл (Bowtell А . ) 98
Бахтурин Ю . А . 168 , 197 , 210 , 216 ,
220 , 224 , 232 , 233
Бейдар К . И . 71 , 74
Бейкер (Baker Н . F . ) 150
Бек (Beck . I . ) 56 , 70
Беляев В . В . 233
Бенедиктович И . И . 223
Бергман (Bergman G . М . ) 63 , 72 , 108 ,
112 , 212
Бернсайд (Burnside W . ) 91 , 93 , 121 ,
153 , 154 , 168 - 170 , 173 , 185 , 189 ,
215 , 234 , 235
Биллиг Ю . В . 183
Биркгоф (Birkhoff G . ) 20 , 79 , 121 ,
132 , 134 , 178 , 193 , 215 , 224
Бирюков А . П . 204
Блок (Block R . ) 173
Бокуть Л . А . 98 , 206
Брайант (Bryant R . М . ) 128 , 202 ,
205 , 220 , 221
Брайс (Bryce R . А . ) 230
Браун (Braun А . ) 86 , 157 , 172
Брауэр (Brauer R . ) 34 , 35 , 44 — 49 ,
53 , 83 , 92 , 104 — 106 , 112
Бронштейн М . А . 210
Бьёрк (Bjork J . Е . ) 65
Бэр (Baer R . ) 29 , 30 , 31 , 34 , 58 , 70 ,
71 , 74 , 89 , 184
Вайнбаум (Weinbaum С М . ) 187
Ван дер Варден (Van der Waer-
den В . L . ) 98 , 215
ван Кампен (van Kampen E . R . ) 154 ,
185 , 187
Ванг (Wang S . ) 103
Вапне (Vapne A . ) 179
Варченко A . H . 69
Веддербёрн (Wedderburn J . ) 30 , 35 ,
42 , 46 , 48 , 52 , 64 , 100
Вейерштрасс (Weierstrass K . ) 29
Вейль (Weyl H . ) 7 , 16 , 18 , 19 , 71 ,
73 , 79 , 81 , 82 , 90 , 201
Виет (Viete F . ) 11
Витт (Witt E . ) 20 , 46 , 79 , 151 , 152 ,
155
Воличенко И . Б . 205 , 223 , 233
Волков М . В . 228
Вон-Ли (Vaughan-Lee М . R . ) 127 ,
128 , 204 , 205
Габриэль (Gabriel Р . ) 50 , 81
Галуа (Galois Е . ) 11 , 34 , 36 , 37 , 45 ,
47 , 71 , 104 , 107 , 108 , 112 , 156
Гальперин (Halperin I . ) 112
Гамильтон (Hamilton W . ) 7 , 126
Гаусс (Gauss С . F . ) 54
Гашюц (Gaschutz W . ) 219
Гельфанд И . М . 31 , 89 , 90
Генов Г . К . 203
Герасимов В . Н . 57 , 70 , 96
Гёльдер (Holder О . L . ) 32 , 55
Гильберт (Hilbert D . ) 15 , 55 , 79 , 144 ,
156 201 222
Голди (Goldie A . W . ) 34 , 71 , 80 — 82 ,
84 , 90
Головин О . Н . 180
Голод Е . С . 34 , 171 , 177
Гольберг А . И . 189
Гопкинс (Hopkins С . ) 78
Гордон (Gordon R . ) 81 , 82
Грассман (Grassman Н . ) 7 , 99 , 162 ,
166 , 203 , 226 , 233
Гроувз (Groves J . R . I . ) 232 , 233
Губа В . С . 185
Гудёрл (Goodearl К . R . ) 111
Гупта (Gupta N . D . ) 180
Гусейн-Заде С . М . 69
Дедекинд (Dedekind R . ) 11
Джекобсон (Jacobson N . ) 29 — 32 , 34 ,
56 , 57 , 59 , 63 , 65 , 70 , 71 , 73 , 86 ,
89 , 102 , 108 , 157 , 158 , 162 , 163 , 167 ,
179
Диксон (Dickson L . Е . ) 205 , 213
Дорофеев Г . В . 178 , 212
Дренски В . С . 205 , 223 , 224
Дынкин Е . Б . 182 , 183
Дьедонне (Dieudonne J . ) 103 , 108
Евклид (Eukleides) 17 , 80
Елизаров Е . П . 34
Жевлаков К . А . 178
241

Жордан (Jordan С . ) 32 , 33 , 55 , 192
Залесский А . Е . 82 , 83 , 90 , 95 , 180
223
Зарисский (Zariski О . ) 32 , 164
Зелинский (Zelinsky D . ) 108
Зельманов Е . И . 172 , 178 , 233
Золотарёв Д . И . 11
Ито (Ito N . ) 92
Йонсон (Jonsson В . ) 147 , 230
Калицки (Kalicki J . ) 229
Калужнин Л . А . 207
Кальюлайд У . Э . 226
Капелли (Capelli А . ) 86 , 146 , 195 ,
196 — 198 , 201 , 203 , 217
Капланский (Kaplansky I . ) 56 , 57 , 60 ,
63 , 85 , 94 , 95 , 102 , 109 , 111 , 113 ,
159 , 162 , 179
Каргаполов М . И . 184 , 210 , 232
Картан (Cartan Е . ) 30 , 33 , 35 , 42
108 , 182
Квиллен (Quillen D . ) 56
Кемер А . Р . 19 , 86 , 99 , 112 , 122 , 128 ,
157 , 203 , 211 , 223 , 233
Кемпбелл (Campbell Н . Е . ) 150 , 232
Кете (Kothe G . ) 77
Киллинг (Killing W . ) 183
Кириллов А . А . 89 , 90 , 228
Клейман Ю . Г . 128 , 204 — 206 , 215
Клейн (Klein А . А . ) 98
Клиффорд (Clifford W . К . ) 7 , 20 , 30 ,
62
Ковач (Kovacs L . G . ) 193 , 214 , 217 ,
219 , 231
Колмаков Ю . А . 208
Колчин (Kolchin Е . Я) 165 , 209
Кон (Cohn Р . М . ) 34 , 97 , 98 , 112 ,
171
Косей (Cossey P . J . ) 228
Кострикин А . И . 121 , 170 — 174 , 215 ,
233
Коэн (Cohen D . Е . ) 201 , 202
Красильников А . Н . 202 , 205 , 217
Краснер (Krasner М . ) 207
Краузе (Krause G . ) 81
Кросс (Cross D . ) 217 , 219 , 220 , 224 ,
231 , 232
Крузе (Kruse R . L . ) 219
Крулль (Krull W . ) 33 , 55 , 59 , 71 ,
81 — 84 , 89 , 90
Кукин Г . П . 182 , 210
Куммер (Kummer Е . Е . ) 11
Курош А . Г . 34 , 71 , 77 , 121 , 177
178
Кэли (Cayley А . ) 126 , 205 , 213
Ласкер (Lasker Е . ) 15
Латышев В . Н . 88 , 159 , 166 , 167 ,
179 , 183 , 203
Леви (Levi F . W . ) 166 , 207 , 215
Левин Ж . (Lewin J . ) 212
242
Левин Ф . (Levin F . ) 180 , 214
Левицкий (Levitzki J . ) 18 , 34 , 71 , 76 ,
77 , 89 , 126 , 163 , 176
Лерон (Leron U . ) 179
Ли (Lie S . ) 165
Линдон (Lyndon R . С . ) 187 , 188 ,
201 , 209
Львов И . В . 88 , 219 , 220 , 232
Магнус (Magnus W . ) 148 , 149 , 151 .
201 , 206 , 208
Мазур (Mazur S . ) 31
Макдональд (Macdonald I . D . ) 214 ,
228
Маккей (McKay S . ) 202
Мальгранж (Malgrange В . ) 62
Малькольмсон (Malcolm&on Р . ) 97
Мальцев А . И . 30 , 43 , 87 , 88 , 90 , 95 ,
98 , 112 , 120 , 181 , 206 , 208 — 211 ,
233
Мальцев Ю . Н . 88 , 220 , 226
Марков В . Т . 88 , 157
Мартиндейл (Martindale W . S . , Ill)
75 , 89 , 180
Матиясевич Ю . В . 206
Мацусима (Matsushima Y . ) 103
Машке (Maschke Н . ) 33 , 91 , 158 , 218
Медведев Ю . А . 203 , 205
Мерзляков Ю . И . 210
Меркурьев А . С . 48
Михалёв А . В . 71
Михлер (Michler G . О . ) 83
Мищенко С . П . 172 , 178 , 223
Молин Ф . Э . 14 , 29 , 30 , 35 , 42 , 91
Моран (Moran S . ) 180
Морита (Morita К . ) 14 , 24 , 27 , 28 ,
44 , 50 , 55 , 69 , 82 — 84 , 110
Мурский В . Л . 221
Мьюборн (Mewborn А . С . ) 81
Нагата (Nagata М . ) 176 , 178
Назарова Л . А . 49
Накаяма (Nakayama Т . ) 67 , 103 , 108
Нейман Б . (Neumann В . Н . ) 95 , 121 ,
181 , 204 , 207 , 214 — 217 , 221
Нейман Дж . фон (Neumann J . von)
7 , 8 , 61 , 63 , 75 , 83 , 108 , 110 — 112 ,
184 , 185
Нейман П . (Neumann P . М . ) 168 ,
207 , 214 , 216 , 224
Нейман X . (Neumann Н . ) 181 , 206 ,
207 , 214 , 216 , 235
Нерославский О . М . 82 , 83 , 90
Нётер М . (Noether М . ) 15
Нётер Э . (Noether Е . ) 11 , 35 , 44
Нильсен (Nielsen J . ) 152 , 155
Новиков П . С . 121 , 153 , 154 , 185 , 204
Ньюман (Newman М . F . ) 193 , 202 ,
214 , 217 , 219 , 231
Озофская (Osofsky В . L . ) 62 , 70
Ольшанский А . Ю . 128 , 154 , 185 , 204 ,
220 , 231 , 232

Ope (Ore О . ) 21 , 22 , 46 , 79 — 81 , 96
Остин (Austin А . К . ) 204
Оутс (Oates S . ) 193 , 217 , 219 , 228
Папп (Pappos) 101
Парфёнов В . A . 210
Пассман (Passman D . S . ) 96 , 158 ,
166 , 167
Пауэли (Powell M . B . ) 193 , 217 , 219
Пентони (Pentony P . F . ) 214
Перкинс (Perkins P . ) 201 , 221
Платонов В . П . 104 , 105 , 112
Плоткин Б . И . 212
Познер (Posner Е . С . ) 85 , 157 , 179
Полин С . В . 220
Понтрягин Л . С . 102
Прочези (Procesi С . ) 86 , 87 , 89 , 159 ,
167 , 179
Пуанкаре (Poincare Н . ) 144 , 222
Размыслов Ю . П . 85 , 86 , 125 , 157 ,
159 , 160 , 170 , 171 , 177 , 182 , 196 ,
197 , 215 , 225 , 228 , 232
Регев (Regev А . ) 179 , 223
Ремесленников В . Н . 208 — 210 , 230
Розенберг (Rosenberg А . ) 108
Ройтер А . В . 49
Романовский Н . С . 209 , 226
Романьков В . А . 206
Роузблейд (Roseblade J . ) 96
Рябухин Ю . М . 78
Санов И . Н . 169
Сапир М . В . 221
Саускот (Southcott В . ) 228
Сахаев И . И . 57 , 70
Сверчковоюий (Swierczkowski S . ) 147
Серр (Serre J . -P . ) 56
Сесекин Н . Ф . 233
Сидеров П . 203 , 226
Сколем (Skolem Т . ) 44
Скотт (Scott D . ) 229
Смирнов Д . М . 147
Смирнов М . Б . 180
Смолл (Small L . W . ) 88 , 167 , 179
Снайдер (Snider R . L . ) 94 , 158
Соколов В . Г . 208
Старостин А . И . 184
Стаффорд (Stafford J . ) 84
Стейнберг (Steinberg R . ) 48
Стовба В . В . 217
Стрит (Street А . Р . ) 228
Суменков Е . И . 228
Суслин А . А . 48 , 53 , 56
Тамари (Tamari D . ) 79
Танака (Tanaka М . ) 103 — 105
Тарский (Tarski А . ) 147 , 184 , 192 ,
206
Трахтман А . Н . 206
Трэлл (Thrall R . М . ) 49 , 53
Туэ (Thue А . ) 189
Уайтхед (Whitehead J . Н . С . ) 103 —
105
Уилсон (Wilson R . ) 173
Уинтон (Winton С . ) 81
Уолкер (Walker Е . А . ) 67
Фано (Fano G . ) 101
Фаркаш (Farkas D . R . ) 94 , 158
Фейс (Faith С . ) 67 , 83
Фицпатрик (Fitzpatrick Р . ) 230
Фишер (Fisher J . W . ) 111
Форманек (Formanek E . ) 85 , 159
Фробениус (Frobenius G . ) 41 , 46 , 91 ,
207
Хайнекен (Heineken H . ) 172
Харлампович О . Г . 209
Хартли (Hartley В . ) 158 , 159
Харченко В . К . 108
Хассе (Hasse Н . ) 35
Хаусдорф (Hausdorff F . ) 150 , 232
Хиггинс (Higgins P . J . ) 172 , 176
Хигман (Higman G . ) 93 , 148 , 170 , 176 ,
178 , 181 , 214
Холл М . (Hall М . ) 18 , 152 , 153 , 169 ,
215
Холл Ф . (Hall Ph . ) 96 , 170 , 209 , 235
Хохшильд (Hochschild G . ) 108
Цорн (Zorn М . ) 58 , 205 , 228
Черников С . Н . 184
Чуркин В . А . 232
Шануэль (Schanuel А . ) 57
Шафаревич И . Р . 34 , 102 , 173
Шевалле (Chevalley С . ) 70 , 73 , 165
Шелтер (Schelter W . ) 157
Шестаков И . П . 178 , 213
Ширванян В . Л . 154
Ширшов А . И . 89 , 152 , 155 , 163 , 177 ,
178 , 182 , 214
Шмелькин А . Л . 152 , 153 , 159 , 173 ,
202 , 203 , 206 — 208
Шмидт О . Ю . 33 , 55 , 184 , 192 , 214
Шпехт (Specht W . ) 19 , 99 , 112 , 122 ,
128 , 201 , 205
Шрайер (Schreier О . ) 152 , 155 , 215 ,
218 , 224
Шунков В . П . 184
Шупп (Schupp Р . Е . ) 188
Шур (Schur I . ) 43 , 91 , 159
Эйделькинд Д . И . 150
Эйлер (Euler L . ) 188
Энгель (Engel F . ) 166 , 171 , 233
Юнг (Joung А . ) 49 , 143 — 146 , 198 ,
201
Якоби (Jacobi К . G . J . ) 20 , 124 , 151 ,
174
Яковлев А . В . 128 , 225
Ятегаонкар (Jategaonkar А . V . ) 63

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоморфизм 10
— внутренний 44 , 107
Алгебра 12
— Адзумая 87 , 105
— алгебраическая 108 , 163 , 172
— альтернативная 205
— банахова 31
— Вейля 16 , 19
— градуированная 19
— Грассмана (внешняя) 19 , 162
— групповая 14
— квазифробениусова 66
— кватернионов 13
обобщенная 106
— Клиффорда 20
— конечномерная полупростая 30
— контрагредиентная 182
— критическая 136 , 137
— Ли 20
— Ли Wn 155
аффинная 182
метабелева 202
присоединенная 180
специальная 165
энгелева 170
— Магнуса 149
— матриц 13
— многочленов 15
— монолитная 137
— над коммутативным кольцом 12
— над полем 12
— неассоциативных многочленов 137
— некоммутативных формальных
рядов 19
— нильпотентная 30 , 42
— общих матриц 46
— подпрямо неразложимая 137
— представимая 87
— приведенная 50
расщепимая 51
— присоединенная ассоциативная 196
— свободная 17
канторова 147
многообразия 130
— с делением 12
— сепарабельная 42 , 105
— специальная йорданова 178
— универсальная обертывающая 20 ,
167
— финитно аппроксимируемая 87
— формальных рядов 16
— фробениусова 65
— хопфова 87 , 141
— центральная 105
— циклическая 38
^/-алгебра 162
Аннулятор 31
Аппроксимация 134
Атом решетки многообразий 228 , 229
Базис тождеств 125
Базисные коммутаторы 152
Бимодуль 23
Бифунктор 28
Вложение 10 , 23
— Магнуса 208
Гипотеза Брауэра — Трэлла первая 49
вторая 49
Главный фамтор 193
Гомоморфизм 10 , 23
— инъективный (вложение ,
мономорфизм) 10
— сюръективный («на» , эпиморфизм)
10
Гомоморфный образ 17
Градуировка свободных алгебр 140
Группа
— абелева делимая (полная) 26
— без кручения 94
— Брауэра коммутативного кольца
105
поля 44
— когомологий вторая 38
— магнусова 151
— метабелева 201
— нильпотентная 94
— показателя т 92
— полициклическая 94
— разрешимая 93
— свободная 94
— симметрическая 49
— Уайтхеда приведенная 103
— упорядоченная 94
Делители нуля 9
Диаграмма
— Адзумая 64
— Юнга 143
Дискриминирующее множество 207
Длина модуля 55
Идеал 9
— вербальный 130
— вполне первичный 77
полупервичный 77
характеристический 18
— главный 15
— конечно порожденный 15
— максимальный 31
— несобственный 9
— нильпотентный 30
— Т- нильпотентный 65
— односторонний (левый , правый) 13
— первичный 157
матричный 98
— сингулярный 81
— собственный 9
244

— существенный 81
Идемпотент 13
— ортогональный 75
— примитивный (минимальный) 13
Изоморфизм 10 , 23
— категорий 27
Индекс алгебры 42
— нильпотентности 42
Инъективная оболочка 58
Инъекция 23
Категория 26
Кватернионы 12
Кольцо 8
— антиизоморфное 53
— артиново (слева , справа) 13
— без делителей нуля (область
целостности) 9
— главных идеалов 15 , 16
— Голди 80
— квазифробениусово (QF) 67
— классически полупростое 83
— коммутативное 9
— косых многочленов 16
рядов 17
— локально матричное 108
нильпотентное 31
— локальное 16 , 32 , 63
— многочленов 15
— наследственное 62
— нётерово (слева , справа) 15
— нильпотентное 30
— Оре 22
— первичное 14 , 74 , 179
— плотное 72
— подпрямо неразложимое 72
— полулокальное 64
— полунаследственное 63
— полупервичное 14 , 30 , 74
— полупростое 33
— г-полупростое 77
— полусовершенное 64
— примитивное 72
— простое 9
— противоположное 53
— прюферово 63
— г-радикальное 77
— регулярное (в смысле Дж .
Неймана) 63 , 108
— #-регулярное 110
коммутативное локальное 59
непрерывное 109
— самоинъективное 26 , 67 , 109
— свободных идеалов 62
— совершенное 65
— с поднимаемыми идемпотентами
по модулю радикала 64
— топологическое 101
— фильтрованное 78
— фробениусово 68
— целых алгебраических чисел 11
— цокольное 65
— частных 164
классическое 22
мартиндейловское 74
— эндоморфизмов 28
^/-кольцо 85 , 162
Коммутант 103
Коммутатор 18
Композиционный ряд 55
Композиция 21
Конгруэнция 130
— вербальная 130 , 132 , 200
Контекст Мориты 24
стандартный 24
сюръективный 24
Критерий Бэра 58
Лемма
— о композиции 20
— Шануэля 57
— Шура 43
Линеаризация 139
Локализация 21
Матрица Картана 182
— неполная 97
Многообразие абелевых групп Я 169 ,
214
— алгебр (колец) 99 , 129
Ли показательного роста 223
— булевых колец 229
— Яп 154
— групп W 152
«р 214
(алгебр Ли) Яс 212
лиевского типа 151
— Кросса 217 , 218
— локально конечное 137
— наследственно конечно базируемое
201
— нерегулярное 154
— показательного роста 223
— полинильпотентных групп типа
(си . . . , ct) 207
— почти кроссово 231
— предельное 205
— решеток 229
— существенно бесконечно
базируемое 221
— шпехтово 201
— шрайерово 155
Модуль 22
— артинов 54
— без кручения 62
— вполне приводимый 33
— делимый 58
— индуцированный 93
— инъективный 26
— конечно порожденный 64
— кообразующий 67
— лиев 23
— неразложимый 33
245

— нётеров 54
— образующий 64
— плоский 61
— постоянного ранга 87
— проективный 25
— простой (неприводимый) 23
— регулярный 23
— свободный 24
— циклический 54
/^-модуль 22
Монолит группы 194
Морита-эквивалентность 27
Независимые элементы решетки 110
Непрерывная геометрия 109
Нижний центральный ряд группы 150
Нильрадикал 77
Норма приведенная (редуцированная)
103
Нормальный многочлен 138
Носитель элемента 95
Обобщенный многочлен 75
Образ гомоморфизма 10
Объединение многообразий 211
Объект
— инициальный 27
— терминальный 27
Оператор adx 169
Ортогональное пополнение 75
Период группы 169
— многообразия 169
Подгруппа
— вербальная 130
— силовская 93
Подкольцо 10
— инвариантов 107
— плотное 72
— рационально полное 107
Подмножество ограниченное 102
— ортогонально полное 75
Подмодуль косущественный (малый)
64
— существенный 58
Подобные алгебры 44
Подпрямое произведение 71
Поле 10
— абсолютное 96
— алгебраических чисел 46
— глобальное 104
— расщепления алгебры 45
группы 91
— рациональных функций 15
— характеристики нуль 12
Полилинейный многочлен 138
Полиномиальный и экспоненциальный
рост линейной алгебры 163
Полиоднородный многочлен 138
Полугруппа левых (правых) нулей
229
Полурешетка 229
Поля линейно разделенные 104
Порождающее множество многообра
зия 133
Порядковая функция локально конеч
ного многообразия 224
Представление
— алгебры 48
в многообразии 193
минимальное 193
— группы 23
— модулярное 91
— обыкновенное 91
— проективное 57
Приведенная степень алгебры 42
Проблема
— Бернсайда 121 , 169
ослабленная 121 , 169
— Капланского 94
— Кете 77
— Мальцева 98
— Танаки — Артина 103
— Шпехта 19
Проективное накрытие 64
Проектор 110
Произведение
— вербальное 181
— декартово (прямое) 25
— многообразий 99 , 178 , 206
— свободное 18
— скрещенное 37 , 156
Прямая сумма 25
алгебр 39
модулей 25
Прямое произведение 25
колец 71
модулей 25
Прямоугольная связка 204
Радикал 30 , 77
— Андрунакиевича 77
— Бэра 30
— Джекобсона 31 , 157
— Кострикина 173
— Левицкого 77
— локально нильпотентный 31
— модуля 64
Радикальный класс 77
Размерность
— Гельфанда — Кириллова 89
— глобальная 60
— Голди (униформная) 84
— инъективная 60
— Круля 81
— проективная 59
Ранг
— аксиоматический 136
— /базисный 136
— инъекционный 214
— свободной алгебры 131
Расширение
— сепарабельное 42
— существенное 58
246

Рациональное выражение 100
Редукция модуля 56
Резольвента
— инъективная 60
минимальная 60
частичная 60
— проективная 57
частичная 57
Решетка (структура) 108 , 229
— дистрибутивная 211
— модулярная 109
— непрерывная 109
— полная 108
— . с дополнениями 109
— с ортодополнениями 109
Ряд Гильберта — Пуанкаре
многообразия 222
— коразмерностей многообразия
линейных алгебр 222
Свободные порождающие
(образующие) 17
Свойство обрыва убывающих цепей 13
Система порождающих (образующих)
17
— слабых тождеств Капелли 196
— тождеств Капелли 195
независимая 141
нормальная 138
— факторов (факторсистема) 37
Системы тождеств эквивалентные 125
След элемента 95
Следствие из системы тождеств 125
Слово 131
Слой в точке р 75
Соотношения 18
— определяющие 18
Сплетение групп декартово 207
прямое 207
Степень представления 48
^/-степень 86
Структура 108
Сумма
— детерминантная 98
— ортогональная 75
Схема (колчан) алгебры 50
Сэндвич 174
Sym (п) 144
Таблица Юнга 143
Тело 12
— . Гильберта 17
Тензорное произведение 29
алгебр 39
модулей 29
Теорема
— Бернсайда 93
— Биркгофа 132
— Биркгофа — Витта 20
— Брауэра 92
— Веддербёрна 46
— Веддербёрна — Артина 52
— Вейерштрасса 29
— Гильберта о базисе 15
— Голди 80
— Крулля — Дмидта 55
— Капланского 85
— Кона 98
— Круля — Шмидта 55
— Мальцева — Неймана 95
— Машке 91
— Молина 30
— Мориты 83
— о дуальном базисе 56
— плотности Джекобсона — Шевалле
73
— Понтрягина 102
—г Сколема — Нётер 44
— Тамари 79
— Фробениуса 41
Тождество (тождественное
соотношение) 18 , 123
— главного централизатора 219
— Капелли 86
— модулярности 211
— обобщенное 75
— однородное 136 , 138
— полугрупповое 233
— представления (пары) 126
— рациональное 100 , 164
нетривиальное 100
— слабое 126
— стандартное 127
— Стейнберга 48
— Ферма 229
— энгелевости 169
— Якоби 124
Точная последовательность 24
Унар 229
Условие минимальности 13
— Оре 22
Фактор алгебры 136
собственный 136
Факторкольцо 9
Фактормодуль 23
Факторсистема 37
Фильтрация 78
Формула Шрайера 152
Фундаментальный идеал групповой
алгебры 14
Функтор 27
— ковариантный 27
— контравариантный 27
— Нот 28
— ® 29
— Ext 28
— Тог 28
Функция высоты Ширшова 163
— роста 163
Характер 92
— неприводимый 92
Характеристика поля 12
Центр 12

Центральное замыкание 75
Центральный многочлен 85
— полином 160
Центроид линейной алгебры 196
— обобщенный 74
Цоколь
— кольца 73
— модуля 65
Цокольный ряд 194
Эквивалентность
— алгебр Адзумая 106
— категорий 27
— представлений 48
— функторов 27
Экспонента
— группы 169
— многообразия 169
Элемент
— нильпотентный 29
— р-регулярный 92
— строго нильпотентный 31
— топологически нильпотентный
Эндоморфизм 16
Ядро гомоморфизма 10
102
ОГЛАВЛЕНИЕ
(Соответствует рубрикам 27 . 17 . 19 ; 27 . 17 . 15 ; 24 . 17 . 17 ; 27 . 17 . 23
Рубрикатора ГАСНТИ)
I . Некоммутативные кольца (Л . А . Бокуть , И . В . Львов , В . К . Хар-
ченко) 7
II . Тождества (Ю . А . Бахтурин , А . Ю . Ольшанский) 115
Именной указатель 241
Предметный указатель 244
Технический редактор Н . И . Костюнина
Корректор Р . Л . Поздеева
Сдано в набор 22 . 04 . 87 Подписано в печать 15 . 02 . 88
Формат бумаги 60x907ie . Бум . тип . № 1 Литературная гарнитур!
Высокая печать Усл . печ . л . 15 , 5 Усл . кр . -отт . 15 , 5 Уч . -изд . л . 16 , 92
Тираж 1200 экз . Заказ 3367 Цена 1 р . 80 к .
Адрес редакции : 125219 , Москва , А-219 , Балтийская ул . , 14 . Тел . 155-42-41
Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ
140010 , Люберцы , 10 , Московской обл . , Октябрьский просп . , 403
Индекс 56856
ИНТ Современные проблемы математики . Фундаментальные направления ,
Т . 18 , 1987 , 1—248

ОПЕЧАТКИ
ИНТ Совр . пробл . мат . Фунд . направл . № 18 , 1988 г .
Страница
58
99
115
115
115
175
200
233
243
247
247
248
248
Строка
5 снизу
16 снизу
18 сверху
30 сверху
5 снизу
10 сверху
17 , 21
сверху
18 снизу
24 снизу
4 сверху
правая
7 сверху
Оглавление
»
Напечатано
W
Ио2й$
Wily
rigns
Teubrer
(s Ы'2])
S3
ЗЭс=а' , то либо 8=э$СР§С ,
ЛИбо ©C=3lcSn
Swierczkowski! S .
Крулля — Дмидта 55
Круля
7
115
Следует читать
tm=E
Ш . &9
Wiley
rings
Teubner
И*=Ш) .
93
93с=&< , то либо 93 : э£рЯ ,
либо 93с=91с©п
Swierzkowski S .
Жордана — Гёльдера 55
Крулля
5
117

итоги
НАУКИ
И ТЕХНИКИ
СОВРЕМЕННЫЕ
ПРОБЛЕМЫ
МАТЕМАТИКИ
Фундаментальные
направления
том 18