/
Author: Боголюбов Н.Н. Медведев Б.В. Поливанов М.К.
Tags: математика монография точные науки дисперсионные соотношения
Year: 1958
Text
СОВРЕМЕННЫЕ
ПРОБЛЕМЫ
МАТЕМАТИКИ
Серия выпускается под общим руководством
редакционной коллегии журнала
«Успехи математических наук»
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1958
Н. Н. БОГОЛЮБОВ, Б. В. МЕДВЕДЕВ,
М. К. ПОЛИВАНОВ
ВОПРОСЫ ТЕОРИИ
ДИСПЕРСИОННЫХ
СООТНОШЕНИЙ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1958
11-5-4
АННОТАЦИЯ
Монография содержит детальное изложение
математической структуры нового метода кван-
квантовой теории поля — дисперсионных соотноше-
соотношений. В своей математической части она касается
вопросов, лежащих на грани теории обобщенных
функций и теории функций многих комплексных
переменных.
Книга может быть рекомендована как лицам,
желающим познакомиться с теорией дисперсион-
дисперсионных соотношений, так и тем, кто, работая
в этой области, хочет понять математическую
структуру метода. Читатель должен быть знаком
с основными представлениями квантовой теории
поля.
Посвящаем памяти
нашего трагически погибшего товарища
Владимира Залмановича Бланка
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта монография была задумана и в основном написана
нами еще в 1956 году как детальное изложение, — более
близкое по стилю к учебнику, чем к научной статье, — ме-
метода дисперсионных соотношений и близко связанных с ним
вопросов спектральных представлений функций Грина. В ча-
частности, центральный пункт — доказательство существования
дисперсионных соотношений для рассеяния т:-мезонов на ну-
нуклонах— был доложен одним из нас (Н. Н. Б.) на между-
международной конференции в Сиаттле в сентябре 1956 г. Ру-
Рукопись была окончательно подготовлена и сдана в издатель-
издательство в начале 1957 г.
Естественно, что за прошедшие с тех пор почти полтора
года рассматриваемая молодая область науки сильно развилась
и продвинулась вперед. В первую очередь здесь нужно от-
отметить распространение метода дисперсионных соотношений
на целый ряд других процессов рассеяния (в частности, на
процессы с переменным числом частиц, в которых возникают
специфические осложнения), с одной стороны, и появившиеся
в самое последнее время новые идеи в вопросе доказатель-
доказательства— с другой. Однако основной метод остался прежним
и все указанные работы существенно опираются на изложен-
изложенный в монографии материал в частности, на ряд математи-
математических теорем из дополнения А.
Ясно, что для того, чтобы охватить все новые работы,
понадобилось бы написать еще один том. Поэтому авторы
сочли целесообразным не вносить в книгу никаких скороспе-
скороспелых дополнений, а опубликовать ее в ее настоящем виде.
Читателю, интересующемуся дальнейшим развитием метода,
придется, прочитав книгу, обратиться к журналам и пре-
препринтам см., напр., [28] — [35]).
6 предисловии
Авторы пользуются случаем, чтобы поблагодарить сотруд-
сотрудников отдела Теоретической физики Математического ин-
института им. В. А. Стеклова АН СССР и лаборатории Теоре-
Теоретической физики Объединенного института ядерных исследо-
исследований за замечания и предложения. Мы особенно благодарны
редактору книги Д. В. Ширкову, а также В. С. Владими-
Владимирову, с которым мы подробно обсуждали многие затронутые
в книге математические вопросы.
Н. Н. Боголюбов,
Б. В. Медведев,
М. К. Поливанов
Москва, май 1958
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
1.1. В последнее время в квантовой теории поля намети-
наметилось новое, представляющееся весьма перспективным, направ-
направление, связанное с так называемыми дисперсионными со-
соотношениями, т. е. соотношениями между эрмитовой частью
амплитуды рассеяния и определенного рода интегралом по
энергии от ее антиэрмитовой части. Такие соотношения воз-
возникают в известной степени вне зависимости от конкретных
деталей рассматриваемой теории; существенным для их по-
получения оказывается в оснозном лишь требование микроско-
микроскопической причинности, формулировавшееся в большинстве
работ в виде требования обращения в нуль коммутаторов
полевых величин в пространственноподобных точках. Именно
этот общий характер дисперсионных соотношений, с одной
стороны, и то, что они связывают величины, поддающиеся
непосредственному измерению (что нетривиально для кван-
квантовой теории поля),—с другой, обуславливают большой ин-
интерес, вызываемый подобными исследованиями не только со
стороны теоретиков, но и со стороны экспериментаторов.
Несмотря на то, что литература по дисперсионным со-
соотношениям насчитывает уже не один десяток названия и что
написаны и сравниваются с опытом дисперсионные соотно-
соотношения для ряда конкретных физических процессов, однако
до сих пор не был предложен способ получения этих со-
соотношений, удовлетворяющий хотя бы обычным для физи-
физических работ требованиям строгости: уже одно обилие раз-
различных путей их получения, предлагаемых иногда одними
и теми же авторами, указывает на неблагополучие в обо-
обосновании всего направления. Кроме того, до сих пор
остается открытым вопрос о физических допущениях, реально
необходимых для получения дисперсионных соотношений и
вопрос о том, в какой степени дисперсионные соотношения
8 ВВЕДЕНИЕ [§ 1
связаны с современной схемой квантовой теории поля или
насколько можно обобщить теорию, не нарушив их справед-
справедливости.
1.2. Именно этим двум проблемам и посвящено настоя-
настоящее исследование.
В § 2 мы сформулируем те основные положения, которые
следует, по нашему мнению, заимствовать у обычной теории,
чтобы сделать возможным вывод дисперсионных соотноше-
соотношений. В остальном построение теории может быть произволь-
произвольным; в частности, нам не понадобится ни фиксировать вида
лагранжиана (или вообще выписывать его явно), ни прибегать
к гамильтонову методу.
Основными величинами, с которыми мы будем работать,
будут вариационные производные матрицы рассеяния по полям
реальных частиц — так называемые радиационные операторы.
§ 3 будет посвящен установлению некоторых общих соотно-
соотношений между такими операторами. Изучение радиационных
операторов тесно связано с изучением функций Грина для
реальных частиц. Поэтому §§ 4 и 5 будут отведены новому
выводу известных спектральных представлений Челлена—
Лемана. Этот вывод будет основан на изучении свойств
аналитичности вакуумных матричных элементов соответствую-
соответствующих радиационных операторов и обладает тем преимуще-
преимуществом, что нигде, даже и на промежуточных этапах, не бу-
будут появляться расходящиеся выражения.
Наконец, §§ 6, 7 и дополнение А посвящены выводу
и доказательству самих дисперсионных соотношений, а § 8 —
их детализации для конкретных процессов рассеяния.
1.3. Заметим, что сами по себе дисперсионные соотно-
соотношения отнюдь не являются в физике чем-то новым, и раз-
различные их виды были известны уже до создания квантовой
теории поля. Еще в 1926 — 1927 гг. Крониг [1] и Крамере [2]
получили в классической электродинамике дисперсионное со-
соотношение между вещественной и мнимой частями показателя
преломления,
со
Re [п (ц)_п(Q)] = p J
2co~Im n (о/)
также обусловленное тем обстоятельством, что сигналы не
могут распространяться со скоростью, большей скорости
§ 1) ВВЕДЕНИЕ 9
света. В настоящее время различные формы дисперсионных
соотношений широко используются в ряде разделов радио-
радиотехники.
Основным математическим средством для получения ди-
дисперсионных соотношений является известная интегральная
формула Коши. Поскольку в квантовой теории поля факти-
фактически приходится в ряде случаев иметь дело с обобщенными
функциями, то, применяя эту теорему, нужно соблюдать опре-
определенную осторожность. Поэтому, прежде чем продолжать наш
исторический обзор, сделаем некоторые замечания математи-
математического характера, которые облегчат понимание дальнейшего.
1.4. Пусть мы имеем функцию /(?), аналитическую в верх-
верхней полуплоскости (Im?>0), со свойствами:
а) для любого положительного Ь можно указать такую
постоянную Л (8), что
j$ при Im?>8; A.2)
б) когда \тЕ—у О, функция f(E) стремится в несоб-
несобственном смысле к функции, интегрируемой в классе
С («?, II)-
Построим теперь замкнутый контур, образованный отрез-
отрезком (й — R, ib~\-R) и полуокружностью радиуса R, лежа-
') В настоящей работе мы используем определение обобщенных
функций, восходящее к С. Л. Соболеву.
Вводится класс С (q,r,ri) (часто обозначаемый через С (q, г)
в тех случаях, когда значение индекса п очелидно) функций h (xx
хп)(—cxx^jr^-c^-j-oo), непрерывных и обладающих непрерывными
частными производными до ^-го порядка включительно. При этом
предполагается, что все выражения вида
хт д"'/г {хг х„)
} дх„л ... дх„„
ОО < Xj < + СЮ)
ограничены.
Этот класс рассматривается как линейное банаховское простран-
пространство с нормой
d*h
II h I = sup
х™
j
(О ^ т -< г, 0 -< s <! q, — со < х}- ¦< -(- °°)-
Линейные функционалы /(Л-), определенные в данном пространстве,
10 ВВЕДЕНИЕ [§ 1
щей в верхней полуплоскости. Так как в силу свойства а)
f(E')
интеграл от~—^по этой полуокружности будет (при/?—>-оо)
стремиться к нулю, то из теоремы Коши следует, что
Приняв во внимание свойство б), мы сможем сместить здесь
путь интегрирования на вещественную ось, устремив В -> О,
и написать
+ 00
W~E
dE> (Im?>0). A.3)
Переведем теперь на вещественную ось также точку Е
(Im Е —у 0) и заметим, что для вещественных Е и Е' имееу
место символическое тождество:
s>0
условимся символически представлять в виде
/(Л) = JK(xb .... хп) h (xlt ..., хп) dxt... dxn.
«Ядро» К(хь ..., хп) этого представления называем обобщенной
функцией, интегрируемой на классе С (q, г, п). Обобщенная функ-
функция в принятом здесь смысле должна быть интегрируема на одном
из классов C{q, r; п) при соответствующих показателях q, r.
Мы говорим о сходимости в несобственном смысле для обобщен-
обобщенных функций
Kn (хь • • • i xn) j^J ^ (Xl Хп^'
если можно указать такие q, г, что для любой функции h (xt хп
из класса С (q, г, п) имеем
N (Xi xn)h (лг, хп) dx±... dxn -»-
->¦ j К(хг xn) h {хь ..., хп) dx-t... dxn.)
Подробней смотри дополнение А.
§ 1] ВВЕДЕНИЕ 11
Мы получим тогда
о
Е' (—оо< ?<+оо). A.5)
= ±Р f J^
Если выделить из этой формулы вещественную часть, то мы
придем к типичному «дисперсионному соотношению»
Однако использовать дисперсионное соотношение непо-
непосредственно в виде A.6) в большинстве случаев не удается,
так как во многих приложениях условия A.2) оказываются
слишком жесткими: реальные физические функции, фигури-
фигурирующие в дисперсионных соотношениях, могут не только ие
убывать на бесконечности, но даже и возрастать, однако не
быстрее некоторого полинома.
1.5. Покажем, что не составляет труда распространить
проведенные рассуждения и на случай функций /(?), анали-
аналитических в верхней полуплоскости, для которых вместо A.2)
выполняются менее жесткие условия:
а') имеется такое целое т > 0, что для любого 8 > О
можно указать постоянные Aj(o) такие, что
...+^C) Для ImЕ>Ь; A.2')
б') при Im ?" ——>- 0 функция f{E) стремится в несоб-
несобственном смысле к функции, интегрируемой в некото-
некотором классе C(q, r).
Мы будем говорить, что такие аналитические функции обладают
на бесконечности полюсом п-ro порядка, где л —наибольшее из
чисел т -\- 1 и г — 2, или что они не имеют на бесконечности су-
существенной особенности.
Чтобы свести этот случай к предыдущему, рассмотрим наряду
с f(E) функцию
Ш A.7)
l
Ясно, что если /(?) аналитична в верхней полуплоскости и обла-
обладает на бесконечности полюсом не выше п-ro порядка, то функ-
функция g(E) будет удовлетворять условиям A.2) в верхней цолупло-
12 ВВЕДЕНИЕ [§ 1
скости при любом вещественном Ео и положительном е. Следова-
Следовательно, для g (E) можно будет воспользоваться соотношением A.5)
-1-СО
J {E' — L
и написать
-1-СО
) ( 0+)
-°° A.8)
(-со<?, Е0<+со).
С помощью аналогичного A.4) символического тождества
)n+1 \(E'~E0)n+1i л!
е > О
A.9)
мы сможем опять разделить в интеграле A.8) 5-образные части
и главные значения и выделить затем вещественную часть.
Таким образом, и в рассматриваемом случае функций,
обладающих на бесконечности полюсом не выше п-го по-
порядка, опять можно записать соотношения типа A.5):
-;-со
р С f(E')dE'
Е — Е0)п A.10)
(— oo < E, Eo < + oo),
которые, однако, будут теперь, во-первых, выполняться
лишь с точностью до полинома степени п и, во-вторых, об-
обладать более сложным ядром, обеспечивающим сходимость
интеграла (простой интеграл, типа A.5), был бы для расту-
растущей на бесконечности функции расходящимся). Соотноше-
Соотношению (Ы0) можно придать и несколько более удобную
форму.
Выберем для этого какие-либо вещественные Cj, Ej, удовлет-
удовлетворяющие условиям
2^4 = 0 для 9 = 0, !,..., п, A.11)
(Л
? 1] ВВЕДЕНИЕ 13
и определим операцию Е в применении к любой функции /(?),
как
2/(?) = 2
U)
Ясно, что в силу A.11) Ji дает нуль в применении к любому по-
полиному от Е степени не выше п. Заметим теперь, что разность
n+i E'-E) s '
является по отношению к ? полиномом /г-й степени (при объеди-
объединении обоих членов знаменатель Е' — Е сократится). Поэтому
и применении к выражениям типа A.13) ? дает нуль. Применяя
теперь операцию ? к обеим частям A.10), получаем немедленно
+ 00
т/(?') У\Е,_^Е ЛЕ1, A-14)
U) -« U) j
поскольку все полиномы при этом уничтожаются.
Таким образом, можно сказать, что «простое» соотношение
A.5) сохраняется и по отношению к функциям /(?), полиномиально
возрастающим на бесконечности — стоит только применить к нему
исключающую полиномы операцию ? с соответствующим л 1).
1.6. Чтобы воспользоваться математическими дисперсион-
дисперсионными соотношениями для изучения какого-либо процесса
соударения частиц, необходимо предварительно убедиться,
что соответствующая амплитуда рассеяния как функция энер-
энергии может быть надлежащим образом продолжена на верх-
верхнюю полуплоскость. Чтобы сразу же пояснить связь, суще-
существующую между свойством аналитической продолжимости
амплитуды рассеяния в верхнюю полуплоскость и условием
причинности, рассмотрим чисто иллюстративный одномерный
пример.
*) Могло бы показаться, что для полиномиально возрастающих
функций /(?') правая часть A.14) не имеет смысла из-за расхо-
расходимости интегралов (как это было замечено в отношении A.5)),
однако это не так, поскольку из анализа вывода этого соотноше-
соотношения видно, что хотя интеграл от каждого отдельного члена в сумме
по j и будет расходиться, но интеграл от входящей в A.14) ли-
линейной комбинации с Cj и Ej, удовлетворяющей A.11), должен
быть сходящимся.
14 ВВЕДЕНИЕ [§ 1
Представим себе, что амплитуда рассеяния /(?) определена
как
-J-UU
/(?)= J F(t)etEt dt, A.15)
— CO
причем в силу условия причинности (в том, что условие причин-
причинности приводит именно к соотношениям такого типа, мы убедимся
в §§ 2 и 3):
: О ДЛЯ
Переходя в верхнюю полуплоскость
E^x+ty (y>0),
замечаем, что множитель e~yt играет роль режущего фактора,
обеспечивающего сходимость интеграла A.15), поскольку при t<^0,
где e~yt возрастает, функция F(t) равна нулю.
Можно показать, что даже если F(t) будет сингулярной функ-
функцией, лишь бы она оставалась интегрируемой в смысле нашего опре-
определения A.12), все равно интеграл A.15) будет сходиться и опре-
определять функцию без существенных особенностей на бесконечности.
Иное положение мы встретим, если Fit) обращается в нуль
лишь для t<^—a, где а — некоторая «элементарная длина». Тогда,
заменяя в A.15)
t -»t — a,
увидим, что
illE A.16)
Теперь только фактор /г (?) не обладает существенной особен-
особенностью на бесконечности. Экспонента же е~шЕ, а значит, и /(?)
такой особенностью обладают. Поэтому в данном случае, чтобы
получить функцию, для которой выполняются дисперсионные соот-
соотношения, необходимо будет умножить /(?) на ешЕ с а>а.
Разумеется, на самом деле ситуация будет значительно
более сложной, хотя бы потому, что интегрирование в фор-
формулах, заменяющих A.15), будет выполняться по большему
числу переменных. Однако, как мы увидим дальше, несмотря
на необходимость существенного технического усовершен-
усовершенствования приведенного сейчас рассуждения, основа его со-
сохранится неизменной.
1.7. Вернемся теперь к вопросу о физических диспер-
дисперсионных соотношениях.
Как уже упоминалось, аналитическому поведению ампли-
амплитуды рассеяния было посвящено много работ. Прежде всего
надо будет упомянуть фундаментальные работы Гайзенберга
§ 1] ВВЕДЕНИЕ 15
[3], наметившие программу непосредственного изучения мат-
матрицы рассеяния, преобразующей асимптотику падающей волны
в асимптотику расходящейся, и примыкающие к ним иссле-
исследования Ху Нина [4], ван-Кампена [5], М. Г. Крейна [6].
В последних рассматривался процесс упругого соударения
двух частиц с точки зрения обычной квантовой механики,
сводимый к задаче рассеяния одной частицы на неподвиж-
неподвижном силовом центре. В качестве /(?) здесь изучалась ком-
компонента амплитуды рассеяния, соответствующая парциальной
волне с определенным моментом количества движения, глав-
главным образом амплитуда s-волны.
Важным результатом, полученным в этом направлении,
являются теоремы о возможности аналитического продолже-
продолжения амплитуды s-рассеяния fs(E) на верхнюю полуплоскость
для того случая, когда взаимодействие практически исчезает
на расстояниях, больших радиуса а некоторой «сферы дей-
действия». При этом оказывается, однако, что, как то очевидно
из приведенного выше иллюстративного примера, на беско-
бесконечности fs(E) может иметь существенную особенность, ко-
которая устраняется лишь умножением на «режущий фактор»
ега . Поэтому регулярной в верхней полуплоскости будет
только функция fseiaE, для которой будет применимо ди-
дисперсионное соотношение A.6).
Такого типа дисперсионное соотношение было применено
Гё'белем, Карплюсом и Рудерманом [7] к упругому рассеянию
тг-мезонов на нуклонах. Использовав имеющиеся экспери-
экспериментальные данные по s-рассеянию, эти авторы пришли к
тому интересному результату, что радиус мезон-нуклон-
ного взаимодействия должен быть больше 0,1 комптонов-
ской длины мезона.
Следует, однако, подчеркнуть, что работы данного на-
направления исходят из схемы обычной квантовой механики,
не учитывающей особенностей теории поля, в частности,
возможности процессов рождения и уничтожения частиц.
Дисперсионные соотношения для рассеяния бозонов в кван-
квантовой теории поля были предметом исследования другого
направления, представленного работами Гелл-Мана, Гольдбер-
гера, Тирринга, Карплюса, Рудермана, Миязавы, Оэме и др.
([8], [9], [10], [11], [12], [13], [14], [15]). Здесь в качестве/(?)
рассматривается амплитуда рассеяния вперед в лабораторной
16 ВВЕДЕНИЕ [§ 1
системе отсчета, и изучается вопрос об ее аналитическом
продолжении в верхнюю полуплоскость, причем считается,
что ее особенность на бесконечности будет не сильнее по-
полюса первого порядка. Такой вывод можно сделать как из
экспериментальных данных о поведении сечения при боль-
больших энергиях, так и из расчетов по теории возмущений.
Рассмотрение амплитуды рассеяния вперед особенно удобно
в силу того обстоятельства, что по так называемой «опти-
«оптической теореме» ее мнимая часть пропорциональна полному
эффективному сечению, т. е. величине, которую опять можно
определить экспериментально. Оптическая теорема представ-
представляет собой следствие унитарности матрицы рассеяния и легко
может быть доказана в самой общей форме.
Действительно, условимся обозначать индексами а, $ совокуп-
совокупность всех квантовых чисел полной системы состояний. Тогда условие
унитарности матрицы рассеяния запишется как
"V <г ч* — 1
Р
Положим
тогда Г(,р будет пропорциональна амплитуде рассеяния для про-
процесса о-»-р. Подставляя 7яр в условие унитарности, найдем
В этом соотношении слева стоит, очевидно, мнимая часть амплитуды
упругого рассеяния на нулевой угол, а правая часть как раз про-
пропорциональна полному сечению для всех возможных процессов.
В нормировке, принятой в теории столкновений частиц, полное
сечение о(?)связано с Im/(?) равенством
A.17)
где k — волновое число, соответствующее энергии Е. Физический
смысл вещественной части /(?) определится тогда из соотношения
. 0.18)
Первый вывод дисперсионных соотношений в формализме
квантовой теории поля был предложен Гелл-Маном, Гольдбер-
гером и Тиррингом [8], которые воспользовались теоремой
Коши, установив предварительно должные аналитические
§ 1] введение 17
свойства амплитуды рассеяния вперед. Однако их доказа-
доказательство аналитичности, во всяком случае для частиц с массой
покоя отличной от нуля, не свободно от возражений, серьез-
серьезность которых была признана самими авторами. Карплюс и
Рудерман [10] установили дисперсионное соотношение, при-
пригодное для процессов рассеяния нейтральных мезонов на
нуклонах, однако их вывод основывался на аналитичности
амплитуды рассеяния, как предварительном предположении.
Наконец, недавно Гольдбергер [11] попробовал вообще
обойти вопрос об аналитическом продолжении амплитуды
рассеяния в комплексную плоскость, рассматривая диспер-
дисперсионные соотношения просто как некоторые тождества, чисто
алгебраически следующие из определения дисперсивной
и абсорбтивной частей (соответствующих нашему разбиению
A.4) на главное значение и 3-функцию) амплитуды рассеяния
через суммы по полной системе промежуточных состояний.
Однако легко заметить, что используемые им определения
некорректны для Е < т, так как при этом соответствующие
интегралы расходятся (см. § 6).
1.8. Сделаем еще несколько замечаний относительно
физического смысла величин, входящих в дисперсионные
соотношения вида A.6) или A.14). В их левых частях
стоит амплитуда упругого рассеяния вперед, а под интегралом
.справа—полное сечение. Обе эти величины наблюдаемы
только дли реальных состояний рассеяния, т. е. для энергий
мезона положительных и больших т. В то же время
интегрирование в правых частях распространяется на все
значения энергии от —оо до +сю. Поэтому, чтобы можно
было практически использовать дисперсионные соотношения,
в них надо избавиться от интегрирования по отрицательным
энергиям и «ненаблюдаемой/ области 0 < Е < т.
Исключения интегрирования по отрицательным энергиям
можно добиться за счет использования требования, инвариант-
инвариантности относительно зарядового сопряжения (или, для неза-
незаряженных полей, вещественности), которое приводит к соот-
соотношению между амплитудой рассеяния от отрицательной
энергии и сопряженной амплитудой для положительной энергии.
Исключение отрицательных энергий с помощью такого приема
возможно всегда. Правда, оно приводит к «впутыванию» в дис-
дисперсионные соотношения сечений для античастиц (противопо-
лож"Ого заряда), что, например, в случае рассеяния нуклонов,
2 Зак. 2670. Боголюбов и др.
18 ВВЕДЕНИЕ [§ 1
неудобно, поскольку сечения для антинуклонов пока экспери-
экспериментально неизвестны.
Сложнее обстоит дело с «ненаблюдаемой» областью Е < т,
где, как мы выясним ниже, под интегралом возникают о-функ-
ции Ъ(Е — Ер) с Ер, соответствующим возможным промежу-
промежуточным связанным состояниям. Если возможные связанные
состояния обладают дискретным спектром, то такие интегралы
легко вычисляются в явном виде. Если же спектр промежу-
промежуточных состояний хотя бы в какой-то части оказывается
непрерывным, то положение вещей коренным образом ме-
меняется.
§ 2. ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ДОПУЩЕНИЯ
2.1. Как мы уже упоминали, в большинстве последних
работ дисперсионные соотношения выводятся, исходя из
обычной схемы квантовой теории поля. Однако мысль о том,
что в действительности дисперсионные соотношения не связаны
с обычным формализмом и должны получаться, исходя лишь
из некоторых основных положений теории, представляется
почти тривиальной. Ввиду важности вопроса о применимости
дисперсионных соотношений и возможности их обобщений,
мы хотим явно сформулировать те физические положения,
которые необходимы для их вывода. Это представляется нам
особенно важным, поскольку подробное изучение вводимых
ниже радиационных операторов и установление соотношений
между ними могло бы составить основу нового подхода
к построению всей квантовой теории поля.
Современная схема квантовой теории поля базируется
в сущности на трех основных допущениях: гамильтоновом
формализме, применении теории возмущений и концепции
адиабатического включения и выключения взаимодействия.
Гамильтонов формализм приводит автоматически к выпол-
выполнению строгого требования причинности (поскольку мо-
могущие нарушить это требование нелокальные варианты
теории противоречат условию разрешимости уравнений),
однако в последнее время возникли сомнения в том, что
внутренне непротиворечивую теорию вообще можно поместить
в узкие рамки гамильтонова метода [171, [21]. Теория воз-
возмущений предоставляет нам возможность практического
провед ния вычислений, но соответствующие ряды, по-види-
по-видимому, сходятся лишь асимптотически даже для слабой
связи, не говоря уже о ядерном взаимодействии, когда эта
теория вообще неприменима. Достоинством концепции ади-
абатичности является кажущаяся простота соотношений
2*
20 ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ДОПУЩЕНИЯ [§ 2
между действительными и свободными полями. Поскольку,
однако, при этом в удаленном прошлом и будущем вместе
со взаимодействием между частицами выключается и физи-
физически всегда существующее самодействие, эта концепция
принципиально приводит к необходимости различать фиктив-
фиктивные и реальные свободные части ды, следовательно, в конечном
счете, ко всей перенормировочной идеологии.
Предложенная Гайзенбергом [3] общая схема построения
матрицы рассеяния полностью отбросила гамильтонов фор-
формализм; по существу не нуждалась в концепции адиаба-
тичности и ничего не говорила о теории возмущений. Ввиду
своей крайней общности предложенная постановка задачи
не принесла, конечно, почти никаких конкретных результатов,
и ее следует рассматривать скорее как программу для по-
построения теории, чем как законченную схему. Подчеркнем,
что, формулируя основные условия, которым должна под-
подчиняться теория, Гайзенберг вовсе не рассмотрел требования
причинности, которому (хотя бы в виде условия макроско-
макроскопической причинности) теория обязательно должна удовле-
удовлетворять.
Разработанная недавно одним из авторов (Н. Н. Б.) и Шир-
ковым [16] теория матрицы рассеяния строилась, исходя из
гайзенберговых положений, которые были, однако, сильно
сужены допущением разложения по постоянной связи, приня-
принятием концепции адиабатичности и, главное, тем, что к ним
было присоединено требование причинности, сформулированное
в виде строгого условия микроскопической причинности или
локальности. Выяснилось, что эти допущения, чрезвычайно
сильно ограничивая теорию, приводят к схеме, по существу
эквивалентной обычному гамильтонову методу и отличающейся
от него лишь возможностью провести изложение с большей
математической ясностью.
2.2. В последнее время проявляется стремление продолжить
разработку первоначальной гайзенберговой программы. Прежде
всего здесь предпринимаются попытки уточнения основных
определений, особенно существенные в свете необходимости
ввести в теорию связанные состояния. Сюда относится
важная работа Хаага [17], в которой уточняется ряд вопросов,
связанных с математической формулировкой требований
релятивистской инвариантности и процедуры вторичного
квантования.
§ 21 ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ДОПУЩЕНИЯ 21
С точки зрения обычной теории поля способ введения
связанных состояний в гайзенбергову схему не является
очевидным: если не прибегать опять к адиабатическому вы-
выключению взаимодействия, то образующие связанное состояние
частицы находятся все время вблизи друг друга, в то время
как в гайзенберговой постановке задачи в начальном со-
состоянии все частицы должны быть пространственно разнесены.
Выход будет найден, если считать каждое конкретное свя-
связанное состояние части ей нового сорта и вместо образования
связанного состояния говорить об уничтожении первоначаль-
первоначальных элементарных частиц и рождении новой «сложной
частицы». Естественно, что при таком подходе возникает
весьма сложная задача о том, как описывать взаимодействие
между этим большим числом внозь введенных в теорию
сложных частиц. Мы не собираемся останавливаться на этой
проблеме, так как не встретимся здесь с необходимостью
вводить сложные частицы.
Далее встает вопрос об описании начальных состояний
пространственно-разделенных частиц. Напомним, что в обыч-
обычном изложении, когда возможностью образования связанных
состояний пренебрегают, можно разбить полный гамильто-
гамильтониан Н на акинетическую энергию» Но и взаимодействие V,
причем начальные состоянии, сколько бы свободных частиц
в них ни было, являются собственными функциями Но.
Однако при таком разбиении из Но выбрасывается как само-
самодействие (благодаря чему частицы в начальном состоянии
оказываются не реальными, а фиктивными свободными части-
частицами), так и та составляющая взаимодействия, которой
обязаны существованием сложные частицы (у Но таких частиц
не будет). Мы хотим теперь так выделить Но, собственными
функциями которого будут начальные состояния, чтобы
избегнуть обеих этих неприятностей. Этого можно будет
добиться с помощью следующего построения [18]1).
2.3. Рассмотрим систему, описываемую полным гамильтонианом
И. (Мы производим построение, руководствуясь принципом соответ-
соответствия с обычной теорией.) Обозначим через Ro пространство, состо-
состоящее из единственного вектора, описывающего состояние вакуума.
]) Дальнейшее построение, весьма существенное для идейного
обоснования наших основных положений (свойства 1.6 и всего, ка-
касающегося составных частиц), читатель, интересующийся лишь
непосредственно дисперсионными соотношениями, может и пропу-
22 ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ДОПУЩЕНИЯ [§ 2
Обозначим через /?t пространство всех одночастичных собственных
состояний, т. е. таких состояний, в которых имеется только одна
реальная элементарная частица. Если рассматриваемый гамильто-
гамильтониан допускает существование связанных состояний, то у него будут
еще и собственные состояния, в которых имеется один связанный
комплекс из 2, 3,... реальных элементарных частиц. Натягивающиеся
на такие состояния пространства обозначим через /?2, R3, ... со-
соответственно. Заметим, что все базисные состояния, на которые
натянуты пространства Rq. ^?i> R%, ¦ ¦ ¦• можно охарактеризовать как
одночастичные. Мы имеем при этом в виду две особенности таких
состояний: во-первых, они, с точки зрения их наблюдения, обла-
обладают некоторой степенью локализации (ср. остроумное определение
с помощью ряда мысленных экспериментов у Хаага [17]), во-вторых,
они являются стабильными.
Пространство, векторы которого можно будет рассматривать
как функции, описывающие нужные нам начальные (или конечные)
состояния, отвечающие любому числу реальных, но между собой
не взаимодействующих из-за пространственной сепарации частиц,
получится при этом очевидным образом, как прямое произведение
всех пространств /?0, Rb R2 причем каждый из множителей
может входить в это произведение произвольное число раз, в со-
соответствии с тем, что в начальном состоянии может быть про-
произвольное число частиц каждого сорта:
Я =- RoKRo <¦¦¦ < #1 Ч А>, <... < /?. -.< /?. <... X Ru X ¦ ¦ • B.1)
«Свободный» гамильтониан, собственными функциями которого
являются функции, описывающие начальное состояние реальных
не взаимодействующих друг с другом частиц, можно теперь по-
построить так:
Введем операторы проектирования Р„, Рх Ри, ¦ •• гамиль-
гамильтониана Н на пространства /?0, Rb ..., R^ и определим «сво-
«свободный» гамильтониан Ни как прямую сумму
Я„ = Р0НР„ -f Р, ЧР{ + Я, ЧРХ +...+ РМР» + РМР-г + • • ¦ B.2)
Полный гамильтониан Н можно будет записать тогда, как
Н-.Нь+У~Нй + (Н- Ий). B.3)
Гамильтониан взаимодействия V описывает теперь имеино только
взаимные действия частиц, но не самодействие, которое благодаря
избранному методу построения полностью содержится в гамильто-
гамильтониане Но. Точнее, V описывает даже только ту часть взаимодей-
взаимодействия, которая ответственна за процессы рассеяния и рождения
стить. Знакомым с обычной перэнормировочной техникой Швин-
гера — Дайсона мы можем сказать, что проводимые ниже мелким
шрифтом рассуждения (в части, не касающейся связанных состояний)
сводятся к использованию только перенормированной S-матрицы,
для которой
<0|S|0> = 1 и <1 |Sin= 1. '
§ 2] ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ДОПУЩЕНИЯ 23
частиц, поскольку взаимодействие, сдерживающее элементарные
частицы в составе комплексов (<сложных частиц»), также уже вклю-
включено нами в Яо. Поэтому при рассмотрении предельных переходов
к начальному или конечному состоянию, t-*-zpco, мы можем рас-
распорядиться взаимодействием V без всякой осторожности, например
просто использовать адиабатическое выключение; ни к исчезновению
самодействия, ни к распаду связанных состояний это теперь не
приведет.
2.4. Использовавшиеся в предыдущем построении ссылки
на гамильтониан носили, разумеется, чисто иллюстративный
характер и преследовали лишь цели возможной простоты
изложения и его связи с общепринятым. Это построение
надо рассматривать лишь как пример того, как, исходя из
обычной теории, можно достигнуть выполнения основных
физических допущений, к формулировке которых мы сейчас
переходим.
Подчеркиваем, что хотя, с одной стороны, все эти допу-
допущения выполняются в обычной теории, но мы не считаем,
что они полностью исчерпывают ее содержание. Мы остав-
оставляем этот весьма интересный вопрос открытым. Равным обра-
образом мы не собираемся здесь решать и более общий вопрос
о том, образуют ли наши допущения в какой-либо степени
непротиворечивую полную и независимую систему аксиом —
эти допущения надлежит рассматривать не как попытку соз-
создать такую систему в смысле, который вкладывается в это
понятие математиками, а лишь как собрание предположений,
которые потребовались нам для построения вывода диспер-
дисперсионных соотношений.
2.4.1. Все наши допущения уместно разделить на две
группы: общие свойства, обязательные, с нашей точки зре-
зрения, длч весьма обширного класса возможных теорий, и спе-
специальные свойства локальности, связанные с налагаемым
нами требованием выполнения микроскопической причинности.
Наложение последней группы требований необходимо, чтобы
получить дисперсионные соотношения обычного вида.
I. Общие свойства
A) В соответствии со сказанным выше мы принимаем гай-
зенбергову постановку задачи. Будем считать, что асимпто-
асимптотические состояния системы представляют собо1 совокупно-
совокупности некоторого числа бесконечно удаленных друг от др уга
24 ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ДОПУЩЕНИЯ [§ 2
элементарных и составных частиц. Взаимодействие между
этими частицами равно нулю, и потому такие величины, как
энергия, импульс и т. д., являются аддитивными. Такие
состояния описываются амплитудами | ), являющимися эле-
элементами линейного пространства, которое можно представлять
себе построенным с помощью приема, описанного выше.
B) Будем считать, что у нас имеется некоторая группа О
преобразований L, которая включает в качестве подгруппы
группу Лоренца Й (О может включать и другие преобразо-
преобразования, например изотопические, градиентные преобразования
и т. п.). Под действием L из О амплитуды состояний пре-
преобразуются с помощью некоторого ее унитарного предста-
представления с элементами Ul ').
C) Если в состоянии \р) вектор энергии-импульса р имеет
определенное значение, то
ига\р) = е-*Р"\р), B.4)
если La — трансляция x~>x-j~a. Существует состояние |0),
для которого
*Ч!0) = |0) B.5)
— состояние вакуума.
Аналогичные свойства могут быть сформулированы и для
других подгрупп О, в частности для представлений, соответ-
соответствующих моменту.
D) Существует система собственных амплит}'Д состояния
4-импульса, отвечающих неотрицательным значениям энергии,
которая является полной, так что
') В аналогии с рассуждениями Хаага [17] заметим, что для
одночастичных состояний (J^ образуют неприводимые представле-
представления группы G. Далее, из выполненного выше построения можно
было бы установить, что для всякого асимптотического состояния,
поскольку оно всегда изображается вектором в пространстве, обра-
образованном прямым произведением пространств одночастичных состоя-
состояний, инфинитезимальный оператор Ujt будет прямой суммой инфи-
нитезимальных операторов U'L, соответствующих неприводимым
чредставлениям. Отсюда, в частности, следозало бы тогда и сделан-
сделанное выше утверждение об алцитивности интегралов движения.
§ 2] ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ДОПУЩЕНИЯ 25
Здесь п означает совокупность всех остальных дискрет-
дискретных и непрерывных квантовых чисел, которые в совокуп-
совокупности с к полностью характеризуют состояние.
E) Предметом теории является изучение вероятностей
переходов между такими асимптотическими состояниями. Бу-
Будем считать, что каждому переходу между состояниями |а)
и | 'i) отвечает определенная вероятность, обычным образом
выражающаяся через матричные элементы некоторого уни-
унитарного оператора 5,
55+ = 1. B.7)
F) Поскольку мы считаем одночастичные состояния со-
состояниями реальных частиц, то одночастичные состояния
и вакуум будут у нас стабильными, т. е. будет
5|а> = |а>, B.8)
если Jа) — амплитуда состояния вакуума, одной (стабиль-
(стабильной), — элементарной или составной, — частицы.
2.4.2. Прежде чем переходить к изложению специальных
локальных свойств, сделаем некоторые замечания.
Очевидно, что наши асимптотические состояния, отвеча-
отвечающие наличию определенного числа п. частиц определенных
сортов а; с определенными импульсами р^, можно получить,
если ввести обычным образом операторы рождения а'я+'(р,-)
i
и уничтожения в'а~'(Р;) частицы aj-ro сорта с импульсом Pj
и подействовать ими на амплитуду состояния вакуума:
I «1 pi; • • •; а«ра) = о<в+>(ро ... в<+) (р„) | о), B.9)
причем из того обстоятельства, что наши пространственно-
раздетенные частицы не взаимодействуют, будет следовать,
что операторы а<+), а<~> удовлетворяют обычным перестано-
перестановочным соотношениям
[й(-> (р), й<+) (р')] = Зм/ 5 (р - р); B.10)
0. B.11)
Из свойства I. B) будет тогда следовать, что при преобра-
преобразовании i кз О операторы fl?-)(p) переходят в
й!1 *(р)-* йод(LP) =ULa[±)(p)UL- <2•!2)
26 ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ДОПУЩЕНИЯ [§ 2
Чтобы можно было сформулировать условие причинности
(и вообще проводить какие-либо рассуждения о локальных
свойствах теории), нам, очевидно, необходимо как то нау-
научиться различать отдельные точки пространства-вре-
пространства-времени. Для этоЯ цели мы построим из операторов рождении
и уничтожения элементарных частиц обычные простран-
пространственно-локализованные комбинации:
г <*) - -?~- f ущ | г'*' «(ч > (Ю + <" **' о<-> (к) |, B.13)
kx = k°x° — kx, Л» = -+- V к2 -f /я2"
где мы, чтобы не загромождать изложения, выписали фор-
формулу, относящуюся к вещественному скалярному полю]).
Дальнейшее изложение в обычной теории можно было бы
вести примерно следующим образом. Матрицу рассеяния S
всегда можно мыслить в виде функционального разложения
по операторам рождения и уничтожения (ср. [26)):
/
it . . . dWt dk[ . . . dk'Mflm(k; k') X
I,« о
X a<~'(k,). . . a("'(k;)a(T)(kj). . . й(+)(к'н) B.14)
(для простоты мы считаем временно, что работаем с бозе-
частицами одного сорта). Такое разложение можно было бы
переписать с помощью B.13) в разложение по нормальным
произведениям полей f(x):
Xi... dxHf'Hxl *„):?(*,) . . . ср (л;„) B.15)
и определить после этого образование вариационной про-
ъ ч
изводной 5-матрицы по полю ? (х), ^—-—г-, "с помощью сле-
?) Именно в этом пункте мы впервые сталкиваемся с разли-
различием между элементарными и составными частицами. Для последних
хотя и можно было бы ввести формально определение типа B.13),
но физический смысл таких комбинаций был бы в достаточной
степени темным.
§ 2|
ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ДОПУЩЕНИЯ
27
дующей операции: берется сумма всех выражений, полу-
получающихся из каждого члена B.14) последовательным вычер-
вычеркиванием одного из <р (х{) с заменой на Ь(х — х{).
После этого матричные элементы матрицы рассеяния
можно было бы свести к вакуумным средним «радиацион-
«радиационных операторов»1)
т*1
B.17)
В самом деле, в силу B.9) матричный элемент B.15) можно пе-
переписать в виде
/О
\
B.18)
Ограничиваясь для простоты опять случаем скалярных веществен-
вещественных полей, заметим, что из B.10), B.11), B.13) получается
I Р'Р
где
B.19)
откуда для перестановочных соотношений операторов рождения
и уничтожения с матрицей рассеяния следует:
где опять
pi) =
6S
B.20)
') Вообще мы будем называть радиационным оператором
всякое выражение, которое можно получить из S и S+ примене-
применением конечного числа операций вариационного дифференцирова-
дифференцирования по операторам поля и умножения, если только S и S+ входят
в такое выражение одинакозое число раз. Полное число фигури-
фигурирующих вариационных дифференцирований будем называть поряд-
порядком радиационного оператора.
28
ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ДОПУЩЕНИЯ
[§ 2
Перетаскивая теперь в B.18) все операторы рождения налево,
а операторы уничтожения направо, где, подействовав на вакуумную
функцию, они дадут нуль, получим (мы предполагаем, что все им-
импульсы pj pr и p1,...,pJ различны, в противном случае воз-
возникли бы еще члены того же вида, но меньшей степени), что B.16)
можно записать в виде интеграла
¦<
з (г
*
*i ... dxr ... dx'A
X
(xr)
где
B.21)
Под интегралом в B.21) стоят как раз вакуумные средние от только
что определенных радиационных операторов B.17). Действительно,
в силу условия стабильности вакуума 1.6 мы имеем
¦>-(•
S+
B.22)
Заметим, однако, что в этом выводе мы по существу рас-
рассматривали cp(jc) как произвольную функцию. Но B.13)
нельзя, вообще говоря, разрешить относительно а , по-
поскольку это выражение определяет не произвольную
а только ср (х), обязательно удовлетворяющую уравнению
(? — «*)?(*) = 0. B.23)
Поэтому из B.14) нельзя получить B.15) — функционал,
определенный для более широкого класса операторных функ-
функций ср (х), не обязательно удовлетворяющих уравнению B.23).
Далее, мы, казалось бы, произвольным образом назначили
правило вариационного дифференцирования по ср (х). Нако-
Наконец, перестановочные соотношения B.19) получаются из
B.10,11), B.13) опять-таки только для ср (х), удовлетво-
удовлетворяющих уравнению B.23), мы же пользовались ими для
произвольного ср (х).
Смысл проведенного преобразования сводится к тому,
что мы фактически расширили определение 5-матрицы, сни-
§ 2] ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ДОПУЩЕНИЯ 29
мая в B.15) ограничение B.23) и рассматривая матрицу рас-
рассеяния как функционал от произвольных, но коммутирующих
(или, для фермиевских полей, антикоммутирующих) <у (х)').
При этом все, что нам потребуется для дальнейшего,-—это
перестановочные соотношения B.19j этих функций с опе-
операторами рождения и уничтожения, позволяющие установить
B.20) и тем самым правило для сведения любых матричных
элементов матрицы, рассеяния к вакуумным средним от ра-
радиационных операторов. Поэтому мы не будем более ссы-
ссылаться на аналогию с обычной теорией, но просто потре-
потребуем выполнения следующих:
II. Локальных свойств
A) Элементарные частицы характеризуются бозонными
и фермионными полями ср (л:) с обычными трансформацион-
трансформационными свойствами свободных полей. Оператор 5' обладает
вариационными производными любого порядка по этим по-
полям2). Радиационные операторы B.17) и их произведения
с независимыми аргументами являются интегрируемыми, т. е.
!) Подчеркнем, что такое расширение никоим образом не выво-
выводит нас за рамки обычной теории. Действительно, и в обычном из-
изложении «поля» <рр (х) играют двоякую роль: во-первых, сам опе-
оператор S мыслится функционалом от этих полей, а, во-вторых, со-
соответствующие полям операторы рождения и уничтожения а'*' слу-
служат для вычисления матричных элементов этого оператора. При
этом в первой из этих ролей поля всегда стоят под знаком хро-
хронологических или нормальных произведений и потому коммутируют
(антикоммутируют) друг с другом. Кроме того, в этом случае при
варьировании не налагается ограничений, связанных с тем, чтобы
поля удовлетворяли каким-либо уравнениям. Фактически это экви-
эквивалентно допущению, что S-матрица рассматривается как функционал
от произвольных классических функций <рр (•*¦)> в точности комму-
коммутирующих (антикоммутирующих), которые обладают лишь транс-
трансформационными свойствами квантовых полей. Наоборот, при
вычислении матричных элементов существенно, что а'*' являются
операторами, обладающими свойствами B.19).
а) Вариационные производные имеют здесь все свои обычные
свойства. Их трансформационный характер определяется трансфор-
трансформационным характером полей ср (х). Производные матрицы S по
бозонным полям коммутируют, а по фермионным — антикоммути-
антикоммутируют между собой.
30 ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ДОПУЩЕНИЯ [§ 2
все матричные элементы
, хп) ... Н(гг, . . ., гт)\ш')
суть обобщенные функции, интегрируемые в одном из клас-
классов C(q,r) (см. A.1), A.2)).
B) Выполняется условие причинности в форме
*_Л_!$ s+\ 0 дЛя x^v1). B.24)
C) Матричные элементы матрицы рассеяния можно пре-
преобразовать в вакуумные средние радиационных операторов,
пользуясь формальными соотношениями
[/ л (+) 1 ^р'р е~1рх
B.25)
J
и аналогичными соотношениями для фермионов2)
B.26)
!) Это условие причинности совершенно аналогично использо-
использовавшемуся в [16], куда мы и отсылаем читателя. Обозначение
х^~гу означает, что точка х лежит раньше точки у, либо отделена
от нее пространственно-подобным интервалом.
2) Приведем для справок основные формулы для спинорного
поля, которые выполняются в обычной теории свободного поля
в употребляемой нами нормировке. Для оператора поля if\{x) мы
пишем разложение
= lir* fdk V* "x"(
B.27)
§ 2| ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ДОПУЩЕНИЯ 31
Заметим в заключение, что для вычисления любых ма-
матричных элементов 5-матрицы нам нужно было бы иметь
какие-то аналогичные правила и для преобразования в радиа-
радиационные операторы матричных элементов по состояниям,
где ±, аи s — квантовые числа, определяющие частицу, антича-
античастицу, спиновое и изотопическое состояние, #'*' — операторы
рождения и уничтожения фермиона в соответствующем состоянии,
^ — соответствующие спинорные амплитуды. Тогда для дираков-
ски сопряженного оператора ty (х) получим разложение
B.28)
Операторы рождения и уничтожения удовлетворяют антиком-
антикоммутационным соотношениям
[b(~\Xj(k), bfy^.W)]^ — 5(, )(г)'5аос' ь^'5(к —к'); B.29)
остальные антикоммугаторы равны нулю. Имеют место соотношения
чрмитова сопряжения:
(b['l (к))* = Ь[+1 (к); (Л(Д(к))* = *(-~«,<к). B.30)
Из того, что 'Ь\ удовлетворяет уравнению Дирака
(д ,\, / д Л Л„
If -\—г — М ) v (х) ~ A-(-~— — М I У (Jf) = " B.oJ)
следует, что амплитуды и( ' 1"' удовлетворяют уравнениям в импульс-
импульсном представлении
М) и L «¦* (к) =-- 0; й+'« (к) (f* — ;М) = 0 '
*о = -f У"к2 -f №
— М) и-" (— к) = 0; и-« (— к) (т* — М) = 0
B.32)
Кроме разложений B.27), B.28), нам будет удобно использо-
использовать и фурье-преобразования
¦К (х) r= -2-L4 J ^- '>Ч>. (р) rfp B.33)
1/и> too»)rf^'
32 ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ДОПУЩЕНИЯ (§ 2
включающим сложные частицы. Это — весьма актуальная и важ-
важная задача, но она могла бы составить предмет самостоятель-
самостоятельного исследования и здесь мы не будем ее касаться. Для
вывода наиболее интересны» дисперсионных соотношений
мы с решением этого вопроса не будем иметь дела.
в которых не предполагается, что ¦!/>_ (х) и 'i>, (x) удовлетворяют
каким-либо уравнениям и соответственно все четыре компоненты
импульса считаются независимыми. Для функций, удовлетворяющих
B.31), операторы :Ь\{р) и Ь\(р) связаны с операторами й(±)(р) соот-
соотношениями
Ь (р) = 2* BП)"'« 4 (ро - YpT+№) 4 s (p) 6<rj (p) +
+ 2*<2*)"/«& (р« + VWTW) u-s(~ p) 6<_+>(- р) B.35)
и
-Ь. (р) = 2* B*)"''о (р« - У р2 + уи*) и^ (р) 6<+J (p) +
¦f 2п Bтг)%о (ро + Ур2 + Л4=') «x-s (- р) 6(_"i (- р). B.36)
5 = {a, s}
Из разложений B.27) и B.28) и перестановок B.29) непосред-
непосредственно получаются постулированные в тексте антикоммутаторы
B.26). Выпишем еще формулы для перестановок операторов унич-
уничтожения и рождения частиц с матрицей рассеяния
Заметим, что в отличие от бозевских полей, когда формулы B.20)
были в равной степени применимы как к самой S-матрице, так и
к любой ее вариационной производной, B.37) применимы только
к самой S-матрице; для взятия последующих вариаций по ферми-
онному полю нужные формулы приходится, из-за антикоммутатив-
антикоммутативности вариаций, выводить заново.
§ 3. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ РАДИАЦИОННЫМИ
ОПЕРАТОРАМИ
3.1. В предыдущем параграфе мы ввели радиационные
операторы различного порядка. Сейчас мы хотим исследовать
свойства таких операторов первого и второго порядка не-
несколько подробнее. Поскольку многие выкладки будут при-
этом совершенно тривиальны, хотя и займут немало места,
то мы отнесем значительную часть в мелкий шрифт. Читатель
может обращаться к такому материалу только в той степени,
в какой соответствующие формулы понадобятся для даль-
дальнейшего.
Прежде всего конкретизируем изложение, ограничившись
практически важным случаем взаимодействия фермионного
(нуклонного) и бозонного (^-мезонного) полей. Мы рассмотрим
только основное изотопически инвариантное взаимодействие
и не будем принимать во внимание наличие электромагнит-
электромагнитного и слабого взаимодействий.
Как обычно, нуклонное поле мы будем описывать спинором
где <'jp и 'Ijf — четырехкомпонентные спинорные волновые функции
протона и нейтрона соответственно.
Мезоиное поле будем рассматривать как поле с тремя веществен-
вещественными псевдоскалярными компонентами -р (х), образующими вектор
в изотопическом пространстве. При этом, как обычно, частицам
я+, тс~ и л0 будут сопоставляться линейные комбинации
3 Зак. 2670. Боголюбов и др.
34 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ РАДИАЦИОННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ [§ 3
Выбор вещественного представления, хотя принципиально и необя-
необязательный, несколько упростит дальнейшие рассуждения. Мы будем
считать, что группа G включает в себя, кроме группы Лоренца,
вращения в изотопическом пространстве и градиентные преобра-
преобразования первого рода фермиоииых полей:
<!? (х) -> еыЪ (х), а = const. C.3)
Простейшими радиационными операторами будут опера-
операторы первого порядка. В силу выбора вещественных <рр (х),
таких операторов будет три (вместо четырех в противном
случае), именно:
C.4)
Мы будем называть эти три оператора токами2), первый —
бозевским, два последние — фермиевскими. Легко видеть,
что в силу унитарности 5 и вещественности срр(х) бозевский ток
у'р(х) эрмитов. В самом деле, выполняя в первом из C.4) эрми-
эрмитово сопряжение и пользуясь унитарностью 5-матрицы, полу-
получаем
j+(x) = jp(x). C.5)
Вопрос об эрмитовских свойствах фермиевских токов отложим
до § 5.
Для дальнейшего нам будет существенно отметить, что
вакуумные средние токов равны нулю:
<0|ур(*)|0) = 0, <0|о(х)|0) = 0, <0|о(*)|0) = 0. C.6)
Для бозевского тока это следует из инвариантности отно-
относительно отражений, а для фермиевских — из инвариантности
относительно градиентных преобразований C.3).
Радиационных операторов второго порядка (простейшего
вида B.17)) в нашем случае можно написать шесть. Ва-
!) О — грузинская буква «ин».
2) Название ток основывается на аналогии с теорией возмуще-
возмущений, где первый из этих операторов в первом приближении будет
пропорционален просто ^fs^o"!* — току невзаимодействующих фер-
фермиевских частиц. Однако слова «бозевский» и «фермиевский» мы
употребляем здесь в несколько необычном смысле, отмечая ими, по
какому полю проводилось варьирование.
§ 3] СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ РАДИАЦИОННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ 35
куумные средние четырех из них
»(JC) 8ф (У)
о) = о, (о
о)=о, (о
b's-^~ s+
Ц, (¦*) ы (У)
о) = о,
о)==о
C.7)
равны нулю на тех же основаниях, что C.6).
Итак, если бы мы интересовались только вакуумными
средними радиационных операторов, то из операторов вто-
второго порядка типа B.17) нам осталось бы рассмотреть
только два оператора
—:S
Р/(*)8<
82S
86 (х) 56 (у)
¦S+.
C.8)
C.9)
Как мы увидим ниже, для вывода дисперсионных соот-
соотношений для мезон-нуклонного рассеяния нам также будет
достаточно рассмотреть лишь радиационный оператор C.8),
точнее, его матричный элемент между двумя однонуклонными
состояниями. Поэтому мы сосредоточим ниже свое внимание
на рассмотрении именно этого оператора, имея в виду, что
для других радиационных операторов подобное исследование
выглядело бы совершенно аналогично.
3.2. Чтобы пояснить идею планируемых выкладок, напомним,
что вакуумное среднее от радиационного оператора C.8) в суще-
существенном совпадает; с функцией Грина для бозонов, т. е. с вакуум-
вакуумным средним от 7"-произведения двух операторов «настоящего»
бозонного поля. С другой стороны, в теории свободного поля на-
наряду с Г-произведением оказывается весьма полезным рассматри-
рассматривать и различные другие произведения (обычное, симметризованиое
и т. д.), что приводит к введению наряду с причинной функцией
и других сингулярных функций. Мы хотим проделать теперь то
же самое здесь, т. е. ввести наряду с радиационным оператором
C.8) другие операторы, связанные с ним так же, как различные
сингулярные функции свободного поля связаны с причинной. Введе-
Введение таких операторов окажется чрезвычайно полезным для даль-
дальнейшего.
Вычислим для этой цели вариационную производную от введен-
введенного выше оператора тока C.4.1). Получаем
(у)
осрр' (х) осрр (у) '
(зло)
3*
36 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ РАДИАЦИОННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ {§ 3
где один из членов справа как раз совпадает с радиационным
оператором C.8). Второй члеи справа можно выразить через про-
произведение двух операторов тока, после чего приходим к соотнолению
(х)
(ЗЛ1)
8/»'
Левая часть C.11) симметрична относительно перестановки 9р' (-*)
и If (у)- Поэтому, совершая такую перестановку, получим для того
же оператора C.8) еще и другое выражение:
*) ~ I ^) ¦ C-12)
Отдельные члены в правых частях этих выражений являются не-
некоторыми из новых радиационных операторов, которые мы вводим.
3.3. Нетрудно уловить смысл введенных операторов. Действи-
Действительно, первые члены в правых частях C.11), C.12)—это просто
произведения токов, т. е. операторы, которые соответствуют сингу-
сингулярным функциям ?>("' и ?>'+' теории свободного поля. Ниже,
рассматривая их матричные элементы, мы увидим, в каком именно
смысле они действительно содержат лишь частоты одного знака.
Чтобы выяснить смысл вторых членов в C.11), C.12), распишем
их через S-матрицу и обратимся к условию причинности II. B)
из § 2. Мы увидим тогда, что
I
hip' (x) Ь/р(у)
т.е. операторы -ij^j и —1фщ ведут себя так же,
как опережающая и запаздывающая функции Грина.
Если учесть теперь соотношения C.13), C.14), то мы получим
из C.11), C.12), что
— j ?'(¦*) МУ) пРи
х) при
т. е. радиационный оператор C.8) выражается через Т-произ-
ведение бозевских токов!):
о<Рр' (X) осрр (у)
S' =-TU?'{x)j?(y)). C.15)
') Подчеркнем, что формулы C.15'), фактически являющиеся
определением фигурирующего в C.15) /"-произведения, определяют
§ 3) СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ РАДИАЦИОННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ 37
Наконец, выполняя над C.11), C.12) антисимметризацию и сим-
симметризацию, мы придем к комбинациям, аналогичным сингулярным
функциям D и D С):
ЩМ^йкх) (ЗЛ6)
и
к i*)My) +My)h' <*) = ~2 l'
(X)ocpp(y)
C.17)
В частности, из C.16) следует, если учесть C.13), C.14), что
U?' (x),jr (у)] = О для х ~ у, т. е. (х - у? < 0, C.18)
т. е., что для аналогичного D-функции радиационного оператора
сохраняется ее важнейшее свойство — обращаться в нуль вне
светового конуса. Мы хотели бы здесь подчеркнуть, что такая
особенность обусловлена наложенным нами требованием причинно-
причинности (II. B) из § 2). Более того, рядом авторов именно требование C.18)
использовалось при выводе дисперсионных соотношений в качестве
условия причинности!).
Для дальнейшего нам понадобится еще соотношение
(Х) ' C.19)
справедливость которого становится очевидной, если вспомнить, что
как УР' (х), так и ?р(у) эрмитовы.
3.4. Перейдем теперь к установлению следствий, которые вы-
вытекают для матричных элементов радиационных операторов по лю-
любым состояниям из требования трансляционной инвариантности.
Как хорошо известно, для матричных элементов операторов вто-
второго порядка по вакууму это требование приводит к тому, что
матричные элементы могут зависеть только от разности х— у.
Для матричных элементов по любым состояниям положение вещей
несколько усложняется, хотя и не принципиально.
Достаточно, очевидно, ограничиться рассмотрением матричных
элементов по состояниям с определенным полным импульсом р,\р, S)
(остальные квантовые числа обозначаем через S), образующие со-
согласно допущению I. D) из § 2 полную систему. Итак, рассмотрим,
например, матричный элемент между состояниями \ р, S) и \р', S')
его лишь для х Ф у. Для х — у значение C.15) остается неопреде-
неопределенным, что скажется ниже в возможности добавить к соответ-
соответствующим фурье-образам некоторые произвольные полиномы.
г) Заметим, что одно требование C 18) еще не обеспечи-
обеспечивает выполнение условия причинности B.2). Условию B.2) экви-
эквивалентна совокупность условия C.18) и соответствующих граничных
условий,
38 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ РАДИАЦИОННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ [§ 3
радиационного оператора C.8)
В силу трансляционной инвариантности должно быть
(р/ S'
„гра
_ i(p'~p)a
825
(x — aMcpp(y — a)
Р< Ъ} =
где p —оператор полного 4-импульса, собственными состояниями
которого являются по допущению состояния \р, S) и !/>', S'). Вы-
бирая теперь а равным
виДим, что оператор под знаком
матричного элемента оказывается зависящим только от разности
(х — у). Следовательно, можно записать:
¦(я+у)
\л У)'
C.20)
где множитель I добавлен из соображений соответствия с опреде-
определением сингулярных функций для свободного поля. Тем же опре-
определяется и значок с у F^c\ Здесь и ниже в формулах C.20) — C.25)
ради краткости совокупность индексов р, р, S обозначена через а,
а — р', р', S' — через ш.
Совершенно аналогично могут быть представлены матричные
элементы и для других радиационных операторов второго порядка:
(х—у), C.21)
' (х — У). C.22)
(x)
=2 g
^, 5' | ;>' (х) ур (у) - /р (у) /р' (jf) | р, S ) = - le
¦ (х+у)
.- р' -р
C.23)
{Р1. Sf I jf' (x)jp (y)-\-j9 О0./У (x)\p,S) =e
C.24)
^«.ш (X + У).
C.25)
§ 3] СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ РАДИАЦИОННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ 39
3.4.1. Для произведений токов можно, конечно, тоже, с учетом
трансляционной инвариантности, выписать выражения:
(Р1. S' | V (х) j?(y) \p,S)=,-te 2 F[-J {x - у), C.26)
</. S' | jt (у) ур' (х) | р, S) = ie* ~ (Х+У) /=<+> (х - у). C.27)
Однако здесь можно пойти и дальше и выяснить структуру функ-
функции F^'J более подробно. Именно, в силу допущения I. D) из § 2
о полноте системы функций с определенными импульсами, можем
разложить матричный элемент в левой части C.26) в произведение
матричных элементов тока:
(p/,S'\jf'{x)jP(y)\p,S) =
dk 2 </>'. S' | jf- (x) | kn> <kn L/рСу) I/». 5). C.28)
= f
Теперь можно будет воспользоваться требованием трансляционной
инвариантности для каждого из фигурирующих в C.28) операто-
операторов тока и правая часть примет вид
(Р'. S' | /Р/ @) | k/г) <кя | ур@) \р, S) е п
C.29)
Сравнивая это выражение с C.26), получаем явный вид функции
F^~2, выраженный теперь только через матричные элементы
токов в начале координат:
dk (p'S' Ijy @) | k, n) (k, n | L @) | p, 5) X
C.30)
где M2n = k2n, т. е. в состоянии к, п: k0'— ka ~ M^.
Важность формулы C.30) состоит в том, что поскольку, как мы
установили выше, различные радиационные операторы второго
порядка связаны друг с другом соотношениями типа C.10—17), то
она дает возможность в принципе выразить все радиационные опе-
операторы второго порядка через операторы первого порядка. Правда,
как мы продемонстрируем в следующем параграфе на примере
вакуумных матричных элементов (ср. также дискуссию в конце
этого параграфа) при этом необходима известная осторожность
40 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ РАДИАЦИОННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ [§ 3
в силу сингулярного поведения радиационных операторов при сов-
совпадении аргументов.
3.5. Из определений C.20—27) и полученных ранее соотношений
между радиационными операторами следует целый ряд соотноше-
соотношений между функциями F^c\ ..., F^ *~\ Прежде всего, пере-
переставляя в C.22) и C.27) х и у, убеждаемся, что
*) C-31)
I!
fit)(x) = -Pf9.F[z)[-x), C.32)
где Р . означает оператор перестановки индексов р и р'. Теперь
из C.11) и C.12) получаем:
= F& {х) + F?J (x) = F[-J (x) + Ррр, Fit (- х), C,33.1)
= - F? (x) + F% (x) = Ppp, F[Z] (- x) + F% (x). C.33.2)
Используя еще и C.16), найдем, что
^.и W = - F ™ (*) + Kt (х) = f*Z> (x) + Р[» (х) C.34)
или
F™ (х) = F[~J (х) - Ррр, /•¦<,) (- х) = />?'(*) - Ярр,^(-
Сравнивая C.25) с C.21) и C.22), видим, что
Наконец, сравнивая C.24) с C.26) и C.27) и учитывая C.17),
обнаруживаем, что
) = UizHx) - IF<J (x) = t(F[~> (x) + P9p,FirJ(-x)) C.36.1)
и
У? (х) = 2^'Й (Jf) - iFZ (x) - ^ (jf) =
= 2f(/f,> (*)-?«„(*)). C.36.2)
Выпишем еще соотношения эрмитова сопряжения. Выпол-
Выполняя в C.30) комплексное сопряжение, найдем, что
fl.l\x) = -F*^\-x). C.37)
§ 3] СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ РАДИАЦИОННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ 41
Далее, из C.19) легко получить, что
Р%Ю=Р„-1*?*(х)- C-38)
С помощью этих формул и выражений C.34'), C.35) функций Fvu>
и ^'«ш чеРез FTal легко получить и правила для сопряжения
функций Faal и ?вш:
Однако полное эрмитово сопряжение должно включать в себя,
кроме комплексного сопряжения и перестановки индексов а и со,
еще и замену х на — лг (перестановку х и у). Чтобы установить
правила для такого сопряжения, выясним свойства симметрии
функций Fam и г"аш) представляющие и самостоятельный интерес.
Эти свойства совершенно очевидны из C.34'), C.35):
^»ш <-¦*) = - V ^аш (*);. ?«,» (- х) = Ярр- Faw (jf) C.40)
и отличаются от свойств симметрии соответствующих свободных
сингулярных функций лишь появлением оператора Ррр'< вырождаю-
вырождающегося в случае свободного поля в единичный.
С помощью C.40) можно сразу написать
C-41)
\
т. е. матрица Fala (дг) антиэрмитова, а матрица Faal (x) эрми-
эрмитова. Замечая теперь, что
C.42)
видим, что fam (x) представляет собой эрмитову часть запаз-
запаздывающей матрицы F™? (х), а =-г ^<хо> (х) — антиэрмитову .
3.6. Возвращаясь теперь к свойствам симметрии C.40), видим,
что из эрмитовой и антиэрмитовой частей матрицы Z7™' (х)
можно образовать две комбинации, четные относительно отраже-
отражения лг-> — х:
(l-Pe?')Faai(-x) = (l-P9p')Fau,(x) C.43)
A + Ррр<) ?««,(- х) = A + /у ) ^«ш (Jf), C.44)
42 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ РАДИАЦИОННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ [§ 3
и две нечетные комбинации:
A + Ррр') Р.* (- х) = - A + Ре9') ^ш ( х) C.45)
и
A - Pff1) 7аш (- х) = - A + Р„') Р*°> ( х). C.46)
Эти свойства симметрии, переписанные в импульсном представлении,
дадут нам возможность ниже, при выводе дисперсионных соотно-
соотношений, избавиться от интегрирования по отрицательным значениям
энергии.
3.7. Вернемся, в заключение, еще раз к обсуждению
соотношений C.15). Как мы уже подчеркивали, они выра-
выражают возникающую в теории весьма любопытную ситуацию.
С одной стороны, C.15') выражает радиационный опера-
тор—:— , .,—j—г- S+ второго порядка через произведение
двух токов, т. е. через радиационные операторы первого
порядка. С другой стороны, такое сведение операторов вто-
второго порядка к операторам первого порядка не удается про-
провести полностью: формулы C.15') ничего не говорят о зна-
значении радиационного оператора второго порядка при совпа-
совпадении точек х и у (точнее, конечно, о правилах интегриро-
интегрирования в окрестности х~у). Можно было бы сказать, что
радиационный оператор второго порядка ——тт~Г~—ГТ ^ +
сводится к радиационным операторам первого порядка с точ-
точностью до произвольного квазилокального оператора.
(Определение квазилокальных операторов см. [16].) При
переходе к импульсному представлению этот квазилокальный
оператор выразится в виде добавляющегося к фурье-образу
произвольного полинома, (Ср. ниже дискуссию в § 4 после
D.38).) Этот результат весьма близок к полученному одним
из авторов (Н.Н.Б.) и Ширковым [16] при построении
теории 5-матрицы на основе разложения по малому пара-
параметру связи. Существенные отличия состоят, однако, в том,
что, во-первых, эти авторы, имея в своем распоряжении
лагранжиан, могли определить с его помощью степень про-
произвольного полинома и, во-вторых, что входящие в произ-
произвольные полиномы при различных степенях постоянные уда-
удавалось в конце объединить в одном обобщенном лагран-
лагранжиане. При нашем же пути построения теории рообще без
§ 3] СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ РАДИАЦИОННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ 43
использования лагранжиана степень полинома приходится
вводить в теорию как некоторое новое требование, опи-
опираясь, естественно, на соответствие с экспериментом.
Возникающая для радиационного оператора второго по-
порядка ситуация является не исключением, но правилом и для
всех радиационных операторов высших порядков. Именно,
последовательным применением условия причинности B.24)
можно показать, что любой радиационный оператор (Z-j- m -f-
-j-«)-ro порядка сводится к хронологическому произведению
токов:
5
.. 5f(jf г) 56 (yi) ... 86 (ym) hf (гО ... by (zn)
= fi+tm+tn Т(Г> (*,) ... Г> (*,) О Ы ¦ • •
••• оСУи)У(г1)...У(г„)). C.47)
Отсюда, конечно, немедленно будет следовать, что любые
матричные элементы такого оператора для всех различных
аргументов хх,..., zn будут выражаться через матричные
элементы токов с помощью сумм, аналогичных C.30). Од-
Однако при каждом совпадении каких-либо точек xit..., zn
будет возникать связанный с недоопределенностью Г-произве-
дения произвол, который можно будет выразить добавлением
произведения произвольного квазилокального оператора от
совпавших точек на токи в остальных точках. Более подроб-
подробное развитие этих идей вывело бы нас далеко за рамки вы-
вывода дисперсионных соотношений и, возможно, могло бы по-
послужить основой нового подхода к построению квантовой
теории поля.
§ 4. ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ
БОЗЕВСКИХ РАДИАЦИОННЫХ ОПЕРАТОРОВ
ВТОРОГО ПОРЯДКА1)
4.1. В этом параграфе мы займемся более подробным
исследованием средних по вакууму от рассмотренных в § 3
радиационных операторов. Они будут определяться общими
формулами C.20) — C.27), в правых частях которых теперь
fiy)
выпадет множитель е * , а индексы а и со превра-
превратятся просто в р и р', например,
Далее, вследствие изотопической инвариантности зависимость
от изотопических индексов станет диагональной, и мы будем
писать
4р рр D-1)
где (?) означает один из значков (с) ... ( + )•
!) Материал этого и следующего параграфов, хотя и не
имеющий прямого отношения к дисперсионным соотношениям,
включен нами в изложение с целью пояснить основной метод
аналитического продолжения и проиллюстрировать положения § 2
на возможно более простом примере. При выводе спектральных
представлений радиационных операторов второго порядка суще-
существо метода не затемняется многочисленными деталями сложных
рассуждений, которые будут необходимы при выводе дисперсион-
дисперсионных соотношений в §§ 6 и 7. Поэтому читатель, интересующийся
лишь доказательством дисперсионных соотношений, может опус-
опустить §§ 4 и 5.
§ 4]
ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ БОЗЕВСКИХ ОПЕРАТОРОВ
45
Начнем с рассмотрения представления C.30) FiZ1 через
матричные элементы токов, которое запишется теперь как
V/ /<->(*) = 12 / Л @ [у,- @) [ к, я) (к, п \jf @) | 0) е-**«*°+Л«
D.2)
Покажем, что в сумме D.2) младшие члены отсутствуют.
Действительно, член с п = 0 (вакуум)!) обращается в нуль
в силу C.6). Будем считать, что в сумме D.2) низшими энергети-
энергетическими состояниями после вакуума являются состояния с одним,
двумя, тремя и т. д. мезонами (т. е. будем считать, что не сущест-
существует связанных комплексов мезонов и нуклонов с массой, меньшей
Зт — трех мезонных масс). Тогда обратится в нуль и член в D.2)
с п = 1 мезону. В самом деле, если взять матричный элемент ме-
между вакуумом @| и одномезонным состоянием | 1, к) от второго из
равенств B.20), то в левой части возникнет выражение
<0|л<Г>(рM|1, k)-<0|S«<7>(p)|l, k),
тождественно равное нулю, так как в силу условия стабильности
I. F) из §2 S можно будет втянуть в обрамляющие а'~* амплитуды
состояния. Поэтому
Г dx(o
p' (¦*)
Но
o-ikx
и потому предыдущий интеграл дает просто о-функцию, и мы при-
приходим к тождеству
о (р - к) 8 (У р* + «а—
@) [ 1, к> = 0,
из которого немедленно следует, в силу произвольности р,
@|Ур/@)|1,к) = 0.
!) Мы надеемся, что читатель не будет введен в заблуждение
тем, что мы иногда используем букву п, — означающую всю совокуп-
совокупность описывающих состояние квантовых чисел, кроме импульса, —
также и просто для обозначения числа частиц в соответствую-
соответствующем состоянии (ср. [22], стр. 252).
46 ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ БОЗЕВСКИХ ОПЕРАТОРОВ [§ 4
Равенство нулю матричного элемента A|/р@)|0) выводится так
же. Наконец, в силу псевдоскалярности мезонов будут равны нулю
и матричные элементы тока между вакуумом и двумезонными со-
состояниями.
Итак, сумма в D.2) начинается только с трехмезонных
состояний, т. е. наименьшее значение k°n есть 3/ге.
4.2. Перепишем сумму D.2) в виде четырехмерного ин-
интеграла Фурье:
/*2 <0 |Ур, @) | п, к) <я, к |ур @) 10> «-**• X
И>3
Х8(А° — У М* + к2). D.3)
Вводя теперь фурье-образы для всех функций /(?)(лг) с по-
помощью определения
ke~ikx gW(k), D.4)
видим, что (в силу пропорциональности левой части D.3) Ъ >,
правая часть должна быть равна нулю при р Ф р' и давать
одинаковые результаты для любого р = р')
B*)« / 2 I @1Л @) | п, к) |2 8 (#> —j/л
л>3 ч
D.5)
Однако, с другой стороны, из псевдоскалярности срр (лг) сле-
следует, что функции #~)(х), а, следовательно, и g^(k), дол-
должны быть инвариантны относительно преобразований Лоренца,
исключая отражения времени. Поэтому ?(~>(&) может зави-
зависеть в действительности только от k2 и знака k°, т. е. от б (k°).
Но из D.5) видно, что она содержит только положительные
частоты. Поэтому ясно, что можно написать
D.6)
где функция / зависит уже только от k2. Сравнивая это
§ 4] ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ БОЗЕВСКИХ ОПЕРАТОРОВ 47
выражение с D.5), заметим, что D.5) можно переписать как
D.5')
Таким образом, мы представили g^'Hk),— которая в силу D.6)
должна выражаться в виде произведения инвариантной функ-
функции на i> (k°), — в виде произведения б (k°) на функцию, явно
не зависящую от выбора направления времени. Тем самым мы
можем утверждать, что
I <0 |Ур@) 1 я,к> р 2 1^Л1Л Ч-к* 8 (А» — Л1*).
3
D.7)
Из D.7) следуют немедленно два основных свойства функ-
функции l(k2):
1. /(?2) = 0 для
2.
Заметим еще, что в силу D.8.1) D.6) можно переписать
в виде
О
С b(k2 — т2) I (m2) dm2 =
C mJ
*)dm2. D.9)
Это так называемое «спектральное» представление для функ-
функции, чрезвычайно просто связанной (см. ниже) с g"(~' (/г),
было получено впервые Леманом [19] и Челленом [20]. Ими
же были установлены и свойства D.8).
4.3. Итак,
@ |у> (*)уР (у) I о) = V / dk e~ik {x~v)
Производя здесь замену лтч—>у, получим
e-*i*-m{-V)l(k*). D.11)
48 ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ БОЗЕВСКИХ ОПЕРАТОРОВ (§ 4
Этим оправдываются введенные ранее значки (-) и О': отри-
отрицательно-частотная функция действительно содержит только отри-
отрицательные, а положительно-частотная — положительные частоты.
Подчеркнем, что это обстоятельство показано только для вакуум-
вакуумных матричных элементов, для матричных элементов по произ-
произвольным состояниям это свойство может, вообще говоря, и не
выполняться.
Вспоминая теперь соотношения C.33), переходя в них
к фурье-образам с помощью D.4) и подставляя выражение
D.6) для ?*"'(?) и следующее из D.11) выражение
?(+)(?)= — 2тпО(— k°)I (k2) D.12)
для g( + ){k), получаем:
?с(*) = 2и/(*°)/(*2) + ?|Иу (*). D.13')
g°< k) = 2т 6 (— k°) I (k2) + gret (k). D.13")
Из этих формул получается одно чрезвычайно важное след-
следствие. Именно, благодаря только что установленному свой-
свойству D.8.1) спектральной функции I(kz), мы видим, что
при малых импульсах k2 <С (ЪтJ фурье-образы всех трех
функций g(c), gadT и gvei совпадают:
g*iv(k)=gTet(k) при k2<{-imf. D.14)
Это обстоятельство послужит нам основой при установле-
установлении аналитических свойств функций g(~) (k), guwiv (k),
gTei (k), которым мы сейчас займемся.
4.4. Рассмотрим подробнее фурье-образ
в котором в силу условия причинности
/ret (JC) = O ДЛЯ Х^.0. D.15)
Покажем, что этот фурье-образ можно продолжить в об-
область комплексных k, заменив
если 4-вектор Г удовлетворяет условию
Г>0, D.16")
а р — любое.
§ 4] ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ ВОЗЕВСКИХ ОПЕРАТОРОВ 49
Имеем тогда
g«* (k) = Cfret (x) егР* е-Тх dx = gret (p -f IT).
Ясно, что в этом интеграле экспонента е~?х будет режущим
фактором, обеспечивающим его сходимость. Действительно, мы
когда можем в силу D.16) выбрать систему отсчета, в которой
Г = 0, следовательно, экспонента примет вид
е-т-х\ ]'¦ >о.
Но согласно D.15) интегрирование производится фактически лишь
по внутренности верхней половины светового конуса, где лг°;>0
и < По-
Последовательно, функция h(x) = eipvе-Тя будет принадлежать
некоторому классу С (q, r)'), в котором
= sup |
h (х)
дхч... дхап
<: const
для любых m = 0, 1, ..., г, п = 0, 1, ..., q.
С другой стороны, согласно у словию 11.A) из § 2 функция
/ret. (jf) должна быть интегрируемой и потому интеграл
j fn'< (х) h (x) dx = Г f™(x)eipxe-rxdx D.17)
можно рассматривать как линейный функционал в пространстве
функций h (x). Следовательно, будут сходиться как сам интеграл
D.17), так и его производные по k:
Таким образом, gret(k) будет аналитической функцией k в обла-
области D.16).
Заметим далее, что интеграл D.17), будучи линейным
функционалом в C(q, r), должен быть тем самым ограни-
ограничен по абсолютной величине линейной комбинацией величин
hmn. Поскольку производные от eikx no x пропорциональны
степеням k, то мы видим отсюда, что функция giel (k) воз-
возрастает на бесконечности не быстрее некоторого полинома
по k (разумеется, мы имеем здесь дело с областью k, в ко-
которой неравенства D.16) не ослабляются).
') См. сноску на стр. 9.
4 Зак. 2670. Боголюбов и др.
50 ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ БОЗЕВСКИХ ОПЕРАТОРОВ [§ 4
Фурье-образ gTet (k) для действительного k мы можем
теперь определить как несобственный предел интеграла D.17)
l = gnl(P)- D.18)
г > о, г > о
4.5. Совершенно аналогично показывается, что фурье-
образ
„¦adv 1Ь\— Г f&iy / v\ pikx и v I A. \<X\
g \fvj I J V-*1/ " 11Л/ V *' ^ ^/
можно продолжить в комплексную плоскость с условием
Г < 0 D.20)
и определить после этого интеграл D.19) как несобствен-
несобственный предел
lim ga'lv {p-\-iY) = g^ (p). D.21)
Г < 0, Г -> О
Таким образом, мы ввели две функции gTet (k) и g-adT (k)
и доказали их аналитичность в областях D.16) и D.20)
соответственно.
4.6. Легко видеть, что из выведенного ранее соотно-
соотношения четности C.31) следует, что между введенными функ-
функциями
i = Г /ret (x) e{f
г >о
и
g&*v (k) = g-adv (p-\- iT) = Г /Иу (х) е1Рхе~Тх dx
г<о
D.22)
существует соотношение
gradv (_ ^ — /Г) = g^ (р + ff), D.23)
Г>0.
4.7. Для дальнейших рассуждений фиксируем систему
отсчета, выбрав ее так, чтобы Г = 0. В силу временипо-
добности Г это всегда возможно и никак не ограничивает
общности.
Займемся сначала функцией gret; функцию g^? всегда можно
будет получить из нее с помощью D.23). Из соображений реля-
§ 4] ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ БОЗЕВСКИХ ОПЕРАТОРОВ 51
тивистской инвариантности /ret (х) может зависеть в действитель-
действительности только от х- и sign xo. Но тогда из D.22) видно, что зна-
значения интеграла D.22) для двух каких-либо значений к, связанных
преобразованием Лоренца Z.+, не включающим отражеиия времени,
будут просто совпадать. Но любые два комплексных вектора k,
для которых определен интеграл D.22), обязательно связаны пре-
преобразованием L , поскольку только такие преобразования сохра-
сохраняют условие Г°^>0. Следовательно, левая часть D.22) является
для всех k, удовлетворяющих условию Г2 > О, Г" >¦ 0, функцией
только от k2. Итак, grei (/> +»'!') является некоторой аналитиче-
аналитической функцией G (&5) только от kP:
D.23')
определенной лишь для таких k, для которых
Чтобы найти область аналитичности этой функции на ком-
комплексной плоскости №, заметим, что в силу доказанной аналитич-
аналитичности /ret(p+ /Г) в верхней полуплоскости по Г°, функция
будет, очевидно, аналитична в некоторой точке
= />*-Го*; П = 2рОГ\] Dl24)
коль скоро можно найти хотя бы один вектор k = {ро-\-1Т°, р},
удовлетворяющий D.24), временная комплексная составляющая ко-
которого лежала бы строго в верхней полуплоскости. Но из связы-
связывающих С = ? + ti\ и k формул D.24) сразу видно, что это всегда
можно сделать для любых точек комплексной плоскости С = 6 -f- li\,
исключая действительную положительную полуось
1) = Im (*2) == 0; ? = Re (#) > о. D.25)
Итак, функция G(k2) аналитична в комплексной плоскости
k2 всюду, исключая действительную положительную полуось.
Но функция G(k2) — это функция одного скалярного пере-
переменного, и она «не знает», возведением в квадрат какого
вектора возник этот аргумент. Поэтому сделанная после
D.23') оговорка теперь уже не нужна — G(k2) будет анали-
аналитической функцией для любых комплексных векторов k,
квадрат которых не есть вещественное положительное число.
Наконец, в силу замечания после формулы D.17), на бес-
бесконечности G(k2) может возрастать не быстрее полинома.
4*
52 ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ БОЗЕВСКИХ ОПЕРАТОРОВ [§ 4
4.8. Определим теперь две (вообще говоря, обобщен-
обобщенные) функции G+ (р2) и О_ (р2) как несобственные пределы:
G+(p2)= lim G(k2), причем Im(/e2) >0,Re(/e2) >0 D.26.1)
Im к'1 > о
И
О_(/72)= lim G(/e2), причем Im(/e2)< 0, Re(/e2) >0. D.26.2)
Im 7;3>O
Сравнивая с помощью формул D.24) предельный пере-
переход на действительную ось в функции /""' (/г) и в G(k2)
при условии Re(/?2)>0, видим, что
Р2>0.
Свойство симметрии D.23) дает нам теперь немедленно
(р2) р°> 0,
р* > о.
Итак, мы получили выражения для обобщенных функ-
функций grei(p) и g"adv(p) в виде несобственных пределов неко-
некоторой одной аналитической функции О (/г2). Обращаясь опять
к D.24), найдем, что эти предельные соотношения можно
записать и в более простом и симметричном виде:
g'et(p)=\imG(p2^-iep°) D.29.1)
s > О
И
g^(p)= lim G(p2 — :sp°). D.29.2)
Е > 0
е> 0
Замечая теперь еще, что в силу D.13)
§ 4] ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ БОЗЕВСКИХ ОПЕРАТОРОВ 53
видим, что функцию gc (р) можно записать в виде несоб-
несобственного предела
g° (р) = G+ О2) = Нт О (/;2-f is)»). D.29.3)
t > О
е>0
Наконец, вычитая D.13") из D.13'), находим, имея в виду
D.27) и D.28), для разности предельных значений на линии
разреза
G+(p2) — G_(/>2)=2ir//(/>2). D.30)
Из установленного ранее первого свойства D.8.1) спектраль-
спектральной функции f(p2) видно теперь, что линией разреза на
комплексной плоскости k2 для G(kz) будет не вся дей-
действительная положительная полуось, но лишь ее часть
Im(A2)=:0; Re (A2) >CmJ. D.31)
4.9. Установленные нами свойства аналитичности функ-
функции О (С) и то ее свойство, что она возрастает на беско-
бесконечности не быстрее некоторого полинома от С, позволят
нам построить, через посредство только что выведенных пре-
предельных формул D.29), для функций gc(k), gret(k) и gaiy(k)
спектральные представления того же типа, что и полученное
выше представление для g(~^ (k). Для этой цели мы восполь-
воспользуемся подробно обсуждавшейся в § 1 интегральной форму-
формулой Коши.
Будем считать, что функция G (?) возрастает на бесконечности
не быстрее Сп. Тогда согласно § 1 интегральную формулу Коши
можно применять, отбрасывая интегрирование по большому кругу,
к функции
id^' D-32)
которая будет обладать, кроме линии разреза от (Зт)- до оо, еще
и полюсом при С = rrfi. Поэтому контур интегрирования мы выберем
следующим образом: выходя из начала координат, он пройдет не-
несколько выше действительной оси к -foo, затем включит в себя
большой круг и возвратится в начало координат, проходя несколько
!) Заметим, что в формулах D.29) мы опустили указание на
времениподобность вектора р на том основании, что для/>2<0
функция G (р2) регулярна и, следовательно, способ предельного
перехода просто безразличен.
54 ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ БОЗЕВСКИХ ОПЕРАТОРОВ [§ 4
ниже действительной оси. В силу свойств функции h (?) интеграл
по такому контуру сведется к разности интегралов по верхнему
и нижнему берегу линии разреза и малому контуру С~ вокруг
точки С = от2, проходимому в отрицательном смысле. Итак, можем
написать:
Вместо разности интегралов по верхнему и нижнему берегу линии
разреза мы написали здесь, в соответствии с определениями D.26),
разность Gj, (?) — G_ (С). Интеграл по С~ дает
y!
а поэтому
/*
D.33)
Эту формулу можно рассматривать как спектральное представление
для функции О (k2), в котором фигурирует та же спектральная
функция /(б2), что и в D.10), D.11).
4.10. Выполняя теперь соответствующие предельные переходы,
получаем спектральные представления и для непосредственно инте-
интересующих нас функций gc {p), grei {p>) и g&iy (p2):
„») ^' ;|w2)l/ , D.34.1)
§ 4] ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ БОЗЕВСКИХ ОПЕРАТОРОВ 55
/at) ( } = ( , _ тЯ>пf 1
Cт;2 (С-^)п+1(С-^ + ^°Г
+ %QU №&=?&.. D.34.2)
Установим теперь некоторые свойства по существу неопреде-
неопределенных коэффициентов G^ (да2), ..., входящих в D.33), D.34).
Покажем прежде всего, что коэффициент О0 равен нулю. Рас-
Рассмотрим для этого матричный элемент S-матрицы между двумя
одномезоиными состояниями | р', р') и |р, р ). Согласно B,9) он
будет равен
< Р', ?'I 5 | р, р > = ( 01 в<Г V) 5й<+) (р) I 0 >•
Переставляя здесь амплитуды рождения налево, а амплитуды уни-
уничтожения направо с помощью перестановочных соотношений B.25)
и B.10) и пользуясь определением функции qc (p), получим для
этого матричного элемента
< Р', Р' I S [ р, р > =
{\^\\) ^fp), D.35)
Но, с другой стороны, в силу условия стабильности одночастичных
состояний 1.F) из § 2 этот матричный элемент равен одному лишь
первому члену правой части D.35). Итак1),
gc (р) = 0 при р2 — т2,
откуда следует
G«0 = 0. D.36)
Покажем теперь, что все константы G(D, .... GW должны быть
вещественными. Это утверждение доказывается немедленно, если
заметить, что из соотношения сопряжения
) C-38)
следует
gret(k) = g^*(-k), D.37)
а интеграл D.34.2) сам обладает этим свойством.
!) Этот результат является, конечно, совершенно естественным,
поскольку он выражает просто то обстоятельство, что в теории,
оперирующей с самого начала с реальными частицами, не может
быть перенормировок одночастичных состояний и вакуума.
56 ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ БОЗЕВСКИХ ОПЕРАТОРОВ [§ 4
Итак, фурье-образы всех трех гринообразных матричных
элементов — запаздывающего, опережающего и причинного —
допускают спектральное представление вида
со
' ' i /„2 ™2ЧИ+1 С 1D) di .
1 = (Р—т) I ¦ srr ч '¦ г
оо
Г _
е/ (С -
Cj — вещественны.
4.11. С помощью полученных в §3 соотношений между ра-
радиационными операторами из спектральных представлений D.38)
можно получить спектральные представления и для вакуумных
матричных элементов всех остальных радиационных опера-
операторов. Заметим, что при образовании линейных комбинаций,
соответствующих всем «негринообразным» матричным элемен-
элементам (g"(+', g^~\ g и g^), входящие в D.38) неопределен-
неопределенные полиномы уничтожатся, а под интегралами возник-
возникнут 8 (С — р2), благодаря которым множители (р2 — т2)п вне
и внутри интегралов сократятся, и мы получим представле-
представление в точности такого же вида, как найденное выше пред-
представление D.9) для g(~K Для гринообразной функции g
получится представление типа D.38) с заменой -= 5—т~
Ч р t?
Н3 Р *—,?¦
Итак, мы выяснили, что по отношению к спектральным
представлениям их вакуумных матричных элементов все ра-
радиационные операторы второго порядка разделяются на две
группы. Для матричных элементов «негринообразных» опе-
операторов получаются простые спектральные представления
типа D.9), в то время как для «гринообразных» — сложные
§ 4] ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ БОЗЕВСКИХ ОПЕРАТОРОВ 57
представления типа D.38). Эти последние были получены нами
довольно громоздким путем через исследование аналитического
поведения соответствующих функций.
Можно было бы попробовать поступить и иначе — непо-
непосредственно переходить от спектрального представления D.9)
для gt--) (k) и аналогичного для g-(+) (k) к спектральным пред-
представлениям для «гринообразных» функций с помощью, на-
например для gc(k), формул типа C.15'). Прямая выкладка
привела бы нас тогда к спектральному представлению «про-
«простого» типа
оо
(Зш)«
для gc и таким же представлениям, отличающимся лишь спо-
способом обхода полюса при /и2=&2, для других «гринообраз-
ных» функций. Именно такой путь был избран в работе Ле-
мана [19].
Однако в действительности эти простые представления
оказались бы, вообще говоря (если не налагать жесткого
ограничения на порядок роста спектральной функции на бес-
бесконечности), лишенными смысла, поскольку интеграл по т2
будет расходиться. Действительно, для «негринообразных»
функций ядра спектральных представлений обязательно со-
содержат 3-функцию, почему интегрированиев формулах типа D.9)
фактически производится лишь в окрестности одной точки,
и поведение 1(т2) на бесконечности для сходимости интеграла
несущественно. В спектральных же представлениях типа D.39)
для <тринообразных» функций интегрирование, напротив, эф-
эффективно распространяется на весь интервал (— оо, -)- оо),
что приведет к расходимости при недостаточно быстром убы-
убывании /(те2) на оо.
Причина этой разницы в поведении по существу ясна уже
из формул C.15')- В самом деле, эти формулы определяют
функцию Floj(x — у) только для х >у или х < у. Значение
же ее при х=^у остается неопределенным. В силу же из-
известной сингулярности всех F-функций на световом конусе
это значение в отдельной точке является существенным для
построения ф.урье-образов. Иными словами, для полного опре-
определения Г-произведения недостаточно определить его лишь
58 ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ БОЗЕВСКИХ ОПЕРАТОРОВ [§ 4
для х > у и х < у, надо задать еще и правила его инте-
интегрирования в окрестности нуля. В противном случае выраже-
выражения типа T(jff (x)j?(y)) остаются недоопределенными, что
и проявляется в возникновении бессмысленных расходящихся
выражений при больших импульсах.
Возникший при интегрировании Г-произведения вблизи
нуля произвол проще всего выразить, добавляя к его опре-
определению в координатном пространстве некоторое число про-
производных от Ь(х—у) с неопределенными коэффициентами
(см., например, [16]), что добавит к правой части D.39)
некоторый полином от k2:
ОО
?"(*) = f g_ffi_/t dz + P(k2)- D.39')
Коэффициенты (может быть — расходящиеся) этого полинома
как раз и призваны скомпенсировать расходимости в инте-
интеграле. Практически эта компенсация выполняется проще всего
путем использования известной вычитательной процедуры.
Действительно, мы получили бы тогда:
1 1
г' — № z' — nfi — (№ — nfi)
hi mi
---+(^=^) J
(г' — k?) (г' — /n2)n+1
и потому
о<г<ге (з»>)" ^г т'
Выбирая здесь п достаточно большим, мы могли бы сделать первый
интеграл в правой части D.40) сходящимся; расходящиеся же члены
в сумме, расположенной по степеням Л2 — т2, можно было бы ском-
скомпенсировать за счет полинома Р (k2), от которого остался бы тогда
только конечный полином, как раз такой, что и в наших «сложных»
спектральных представлениях типа D.38).
§ 4] ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ БОЗЕВСКИХ ОПЕРАТОРОВ 59
Таким образом, в конце концов мы пришли бы и на этом
пути к тем же соотношениям D.38), вывод которых был бы,
однако, менее убедительным из-за необходимости иметь «по
дороге» дело с расходящимися выражениями. В нашем вы-
выводе с такой трудностью нам вовсе не приходится встречаться.
4.12. Покажем, как получается из наших спектральных
представлений для вариационных производных матрицы рас-
рассеяния известный результат Лемана [19] — Челлена [20], от-
относящийся к спектральному представлению обычной функции
Грина.
Функцию Грина G (х, у) определяют обычно как
?f. (x)S<?f(y))\0). D.41)
О„- (*, у) = Ъ??> G(x — y) = t@]T(<?f. (x)S<?f(y))\0). D.41)
Применяя для преобразования Г-произведения в правой части
теорему Вика, получаем
2 fdx'dy'b.(x)v?,,(x')
V"
fyb()v?)X
pV"
^l'v^V^l0)^00^^' D'42)
где
<Рр' (*)<РР (у) = — 'Vpd° (х—у)
— обычное хронологическое спаривание для невзаимодей-
невзаимодействующих операторов и
Переходя в D.42) к фурье-образам, находим:
откуда на основании D.38)
/6)-!+ 2 Ci(m2 —ft*)*
2<i<n
CO
3J v ' v '
CmJ
60 ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ БОЗЕВСКИХ ОПЕРАТОРОВ [§ 4
Представление Челлена — Лемана получится теперь, если
мы сделаем еще дополнительное предположение о том, что
«степень роста» п равна единице. Тогда действительно
Cm)*
причем множитель A —j— C2) может быть исключен с помощью
конечной перенормировки:
G(p)^(l^-Cl)G(p). D.46)
§ 5. ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ ФЕРМИЕВСКИХ
РАДИАЦИОННЫХ ОПЕРАТОРОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА ')
5.1. В § 3 мы установили, что из всех радиационных операто-
операторов не выше второго порядка отличными от нуля вакуумными
матричными элементами обладают лишь операторы типа C.8)
и C.9). Первый из них рассматривался в предыдущем параграфе,
сейчас мы займемся изучением вакуумных средних
О
E.1)
При выполнении дифференцирований по фермиевским полям
надо учитывать их антикоммутативность. Это приведет, в первую
очередь, к тому, что левые и правые производные будут отличаться
знаком, если дифференцируется четная в фермионных операто-
операторах величина. Для определенности мы будем работать всегда только
с левыми производными. Далее, антикоммутативность полей при-
приведет к антикоммутативности производных при многократном диф-
дифференцировании, например
¦^—*??-. E.2)
Изменится и формула для дифференцирования произведения. В случае
использования левых производных она примет внд
8
E.3)
где ч\А — число входящих в А ферми-операторов. Наконец заме-
заметим, что при выполнении эрмитова сопряжения наши левые произ-
производные будут переходить в правые и для возвращения к стан-
стандартному порядку понадобится, если дифференцируется четное
в ферми-операторах выражение, добавочная перемена знака.
5.2. Как и в бозевском случае, мы будем устанавливать связь
E.1) с вакуумным ожиданием от произведения токов. Поэтому по-
полезно выяснить сначала празила сопряжения для двух введенных
выше [C.4)] токов о (х) и о {х). В силу унитарности матрицы
1) См. примечание на стр. 44.
62 ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ ФЕРМИЕВСКИХ ОПЕРАТОРОВ [§ 5
рассеяния выражение для о (х) можно записать в двух видах:
О (х) = -It^-S+ = IS -^— . E.4)
об (х) Ц (х)
Выполняя дираковское сопряжение, находим:
3
PS'-.
\о'!/(х)У
Чтобы выяснить смысл о (л:), рассмотрим локальную вариацию
55
Выполняя здесь эрмитово сопряжение, находим:
() 8*
\+ _ / 5 \+
Но, с другой стороны,
5S
Поэтому
/ 5 \+ 8 / 5 \ + 8
3 = ^73- (")
Тем самым для выражения, дираковски сопряженного к E.4),
получается
FT (*-)-; 'S s+--is™+
что оправдывает введенные ранее обозначения о (х) и о (х).
(* о \
52S 8 / bS \ , oS oS+
o(!/(x) \b<\i (у) У -'
§
ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ ФЁРМИЁВСКИХ ОПЕРАТОРОВ
и пользуясь определениями токов E.4,6), находим, что
«О (у)
S ь = — I
Ц (¦*)
Так же точно получается
Из E.7), E.8) следует
о (х) о (у) + о (у) о (х) =
о (у) о
о О (х)
Ю(х) 5п(у)\
63
E.7)
E.8)
E.9)
— аналог прежнего коммутационного соотношения C.16), где только
теперь коммутатор естественным образом заменился на антикомму-
антикоммутатор. С другой стороны, пользуясь условием причинности, полу-
получаем
— о (у) о (х)
= Т(г> (л:) О (у))-E.10)
В полной аналогии с бозевским случаем определим матричные
элементы по вакууму:
<0\ Г (n,W Op(y)lo) = /0$ (х, у), E.11)
(О | Ов (х) ^ (у) 10} = /в<,р > (х, у), E.12)
@ | о7 (У) ^>а (х) |Э> = »(+> (х, у), E.13)
@ | оа ?Sp (у) + ?Гр (у) Оа (х) 10) = / вар (х, у) =
= 1Ф[^(.х, у) + ®[$)(х, У)). E-14)
фа (х)
0) = @ | в (х - у) [о. (х) ор (у) ]+|0) =
= '*$(*• У), EЛ5)
о) = - @ | 8 (у - х) [ов (х) гГр (у)]+ | 0)=
= *^3V (* У) • <5-16)
64 ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ ФЕРМИЕВСКИХ ОПЕРАТОРОВ (§ 5
Нам понадобятся следующие, очевидные из этих определений, со-
соотношения между матричными элементами радиационных операто-
операторов:
е<с>(х, y) = eret(x, у) — е(+>(х, у).
в<с>(х, y) = eadv(x, y) + e<"fa- У)
h) (*, У). J
"fa. У)' J
e(rit> (— х) = + eadv (х). E; 18)
Запаздывающий и опережающий матричные элементы обладают,
конечно, свойством:
6ret (х, у) = 0 для х ^ у; eadv (х, у) = 0 для х ^ у. E.19)
Ясно, что ввиду трансляционной и изотопической инвариант-
инвариантности все введенные функции в'?) должны иметь форму
6(?) (х, у) = bs,t в<?> (х — у), E.20)
где s,t — изотопические (протон-нейтронные) индексы, а в*?'(х — у)—
обычные спинорные матрицы. Далее, в силу инвариантности отно-
относительно преобразований Лоренца ясно, что в'?' (х — у) в свою
очередь должны иметь структуру
в<?> (х) = ibb™ (x) + »<,?) (х), E.21)
где ^Р и 0^ — скалярные функции. Мы здесь ввели общепринятое
обозначение д =-fl-— y—— Также ниже k = -i°k°— -tk. Под-
дх° дх '
ставляя получающееся из E.20), E.21) выражение для в'' (х, у)
через $^\ 0|?> в E.17), получим немедленно соотношения между
скалярными функциями щу и 0|':
5.4. Рассмотрим теперь функцию в^ ' (х). Используя, как^всегда,
условия полноты и трансляционной инвариантности, можем написать
для нее:
E.22)
§ 5] ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ ФЕРМИЕВСКИХ ОПЕРАТОРОВ 65
В силу C.6) вакуумный член с п = О в сумме будет отсутствовать.
Рассуждая так же, как в бозевском случае (после формулы D.2)),
убедимся, что в сумме будут отсутствовать и члены, соответству-
соответствующие промежуточным состояниям с одним нуклоном или произволь-
произвольным числом мезонов. Таким образом, сумма в E.22) должна начи-
начинаться с члена с п = 2, но притом не двумезонного, и минимальная
масса промежуточного состояния получится, если в нем присут-
Ci^/ет один нуклон и один мезон, т. е.
/г'Х/И + тяM. E.23)
Записывая разложение E.22) в инде четырехмерного интеграла
Фурье и определяя фурье-образ ^'?' (k) функции в'?' (х) нашим
стандартным образом, видим, что
E.24)
Ясно, что фурье-образ ?(?) (k) будет обладать матричной струк-
структурой, совершенно аналогичной матричной структуре в(?' (х):
где ау' и о^' — скалярные функции, причем как раз являющиеся
фурье-образами скалярных функций ^ и $%\
Повторяя рассуждения § 4, убедимся без труда, что функции
з, ' и о^ ' выражаются в виде
°Ь2 (А) = -2*/В (АО) р1>2 (А"-), E.26)
где зависящие только от k- спектра тьные функции Pi(k-) и р2 {к-)
определены условием
@ | ов @) | п, к) (п, к | FTp @) | 0> О (А»)
X 2 у W + Ml 6 (*"- - Ml). E.27)
5.5. Чтобы разделить в правой части члены, относящиеся к р(
и к р?, помножим E.27) на f°> возьмем затем шпур и распишем
дираковское сопряжение через эрмитово. Тогда
6 (ko)k^pl(k") — ^ У- О (А") № V | @ | оа @) | n, k> |25 (A- — М2п)-
E.28)
5 Зак, 2670. Боголюбов и др.
66 ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ ФЕРМИЕВСКИХ ОПЕРАТОРОВ [§ 5
На множитель 0 (№) № это равенство можно сократить (ср. § 4),
и мы получаем
откуда видно, что
2. pt(?2) = 0 при # < (Af +/иJ (из E.23))- !
Чтобы найти выражение для ?2(?2), возьмем шпур непосред-
непосредственно от E.27):
О (*о) ?2 (А2) =
=°i^!V)->V <0 щ. @) | /г, к) <л, к | о; @) | 0> -<1 5 (А* - Л12„).
Мы пользуемся обычным представлением матриц Дирака, где у0 =
- Поэтому
1<0|О„@)|л. k> |« a (as — Alf.) —
n; a = l, 2
|<0|о„@)|л,к> |«»(*s-Af^). E.31)
и; а=3, 4
Складывая и вычитая E.28) и E.31), придем еще к двум неравен-
неравенствам:
8 (АО) [аоР1 (А?) + р2 (А*) ] > 0; в (АО) [АОр, (А2) - р2 (А2) ] > 0.
Если заметить теперь, что
А° =
то мы увидим, что необходимым и достаточным условием выпол-
выполнения полученных неравенств (которые должны иметь место в лю-
любой системе отсчета) будет
I k | н (*") + F* (*5) > 0; I * 1 Pi С*5) - Pi (A5) > 0.
Таким образом, мы видим, что функция р2 (&") должна удовле-
удовлетворять условиям:
1. - | А | рг (А*)< pi (А'Х Ар, (Г), \
2. р2(Г)=0 при А2<(уИ + /лJ (из E.23)). ) ^ '
S 5] ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ ФЕРМИЕВСКИХ ОПЕРАТОРОВ 67
Итак, мы пришли к спектральному представлению для функций
СО
Г
6°) 8 (k- — М-) pt,, (M4-) dM"-, E.33)
совершенно аналогичному спектральному представлению D.9) для
функции gC) (k).
5.6. Чтобы перейти отсюда к построению спектральных пред-
представлений для других функций о(?) (k), нам надо будет установить
сначала еще несколько соотношений между функциями различных
нерхних индексов, вытекающих из инвариантности по отношению
к зарядовому сопряжению. Условие такой инвариантности можно
записать в виде
(О I Ор (у) Ок (х) | 0) - @17S; (у) г»! (х) 10>, E.34)
где зарядово-сопряженные операторы ^'\ г^/ связаны с 7S\ О
известными соотношениями
Г\'(х) ^= CFi (х) = Т\(х)Ст; о''(лг) - С О (х) E.35)
и для матрицы С выполняются условия:
СС+ = 1; Ст = -С; С ! т* С = -(Т*)Т- E.36)
Применяя условие E.34) к произведению, стоящему в левой
части E.13) и используя E.33) и E.36), придем после несложных
матричных преобразований к соотношению
6<' > (*) = -(С в" ( - х) С)т, E.37)
устанавливающему связь между отрицательно- н положительно-
частотными функциями. Совершенно аналогично, применяя условие
зарядовой инвариантности типа E.34) к другим радиационным опе-
операторам второго порядка, мы получим еще ряд соотношений, из
которых выпишем лишь
eret(jf) = (C-1eaiiT(-jc)C)T, E.38)
которое понадобится нам в дальнейшем.
Записывая с помощью E.20), E.21) в(?) (х, у) через ^'\ (х—у),
используя E.36), чтобы избавиться от матрицы С, и разделяя
после этого части, содержащие и не содержащие матрицы f (что
можно сделать путем взятия соответствующих шпуров), получим
из E.37) и E.38) соответствующие «соотношения четности» для
скалярных функций $(Д:
(¦*) =-" ~ Ъ[Т? (- х); ^ (х) = »«* (_ х).
68 ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ ФЕРМИЕВСКИХ ОПЕРАТОРОВ [§ 5
Производя здесь переход к фурье-образам, имеем:
.-»$(-*). E.39)
5.7 Соотношение E.39) дает нам возможность немедленно вы-
выписать спектральное представление для функций о^ (А):
СО
Г
« (—АО) В (*2 _ АР) рь2 (м«) dM2. E.41)
(M+mf
Подставляя это спектральное представление, равно как и E.26),
в соотношения, получающиеся из E.17') переходом к фурье-обра-
фурье-образам, получаем:
а$ (А) = - 2™ 8 (АО) р1>2 (А2) + a Jf/ (A), 1
} E.42)
Таким образом, в частности, устанавливается, что, как и в бозев-
ском случае, при малых импульсах k2 < (М -\- тJ фурье-образы
всех трех «гринообразных» функций совпадают:
а(с> (k) = crret (k) = aadv (А) при А2 < (M + mJ. E.43)
5.8. Коль скоро установлены спектральные представления
E.26), E.41), свойства спектральных функций E.30.2) и E.32.2),
формулы E.42) и соотношения E.40), то дальнейшие рассуждения
можно провести, дословно повторяя вывод предыдущего параграфа.
Поэтому выпишем сразу «сложные» спектральные представления
для гринообразных функций о^, з^®2 и a*J:
а() {р) ^ щ f f
+ 2 Щ'2(Р2-М*У E.44)
(? _ МЧп+ * (? — р2 :х izpO)
(ЛГ+отJ
2.^f'2)(p--M*)j. E.45)
j=0
& 5] ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ ФЕРМИЕВСКИХ ОПЕРАТОРОВ 69
5.9. Удобно также иметь спектральные представлении, запи-
записанные в несколько ином виде. Именно, введем вместо р12 Две
неотрицательные в силу E.30), E.32) функции:
Л (•') = з~ ; Л- М = ~~
где ¦¦ = + У ? = \k\. Тогда
(*т) pi (-'2) + pi (-'2) = <*т - •') л (-о
(здесь ч считается самостоятельной, не зависящей от k перемен-
переменной), и если мы построим комбинации E.25)
то получим для полной гринообразной функции ?') (k) спектраль-
спектральное представление
E.47)
Желая установить спектральные представления для конкретных
функций ?с, 2ret и Saiv. надо ли ль выбрать здесь соответ-
соответствующее правило обхода понюса k- = ^И2.
Чтобы привести представление E.47) к еще более наглядному
ниду, заметим, что разности
являются по отношению к ^ полиномами степени 2п -\- 1. Поэтому,
сели образовать такие разности под интегралами в E.47), то в каж-
каждом члене полинома множитель k в соответствующей степени
просто выйдет из-под интеграла и интегрирозание по •' причедст
к некоторому числу—т. е. интегрирозание такой разности приведет
просто к полиному степени 2п-\-\ от й.
70 ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ ФЕРМИЕВСКИХ ОПЕРАТОРОВ |§ 5
Это дает нам возможность преобразовать E.47) к виду
ч , (A — MYn+1, E.48)
где введены новые спектральные функции
2(.L., >°- E-49>
Как и в бозевском случае, можно показать, что
а,ля этого стоит лишь рассмотреть матричный элемент от S между
двумя однонуклонпыми состояниями, точно так же, как в § 4 мы
рассматривали матричный элемент от 5 между двумя одномезон-
ными состояниями. Наконец, соотношение E.18) приводит к тому
следствию, что
все Вт вещественны. E.50)
Представление Челлеиа — Лемана для фермионной функции
Грина можно было бы получить опять с помощью соображений,
совершенно аналогичных использованным в предыдущем параграфе,
при дополнительном предположении, что степень роста п = 0. Мы
опять столкнулись здесь с тем интересным фактом, что при нашей
системе условий (§ 2) мы должны вместо формы лагранжиана за-
задавать (.степень роста» спектральной функции.
§ 6. ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ
6.1. Вернемся теперь к вопросу построения строгого вы-
вывода дисперсионных соотношений.
Заметим, что математически корректное рассмотрение
«ненаблюдаемой» области потребует довольно громоздких
рассуждений, выполняемых с необычной для физика педан-
педантичностью. Напомним в этой связи, что неудача предыду-
предыдущих «более простых» попыток [11]—[15] построить дока-
доказательство дисперсионных соотношений была связана именно
с употреблением аргументации, которая оказывалась необос-
необоснованной или неправильной при рассмотрении ненаблюдаемой
области. Относительная простота доказательства для рассея-
рассеяния вперед [22], [23] связана с простым строением ненаблю-
ненаблюдаемой области в этом случае.
Мы выведем дисперсионные соотношения для конкретной
задачи о рассеянии --мезонов на нуклонах. Для операторов
нуклонного и мезонного полей будут использованы обозна-
обозначения §§2 и 3; импульсы р и р' будут обозначать теперь
импульсы нуклона, соответственно до и после соударения,
индексы S и S' — совокупность спинового и изотопического
квантовых чисел нуклонов. Импульсы и изотопические со-
состояния мезонов до и после соударения будут обозначаться
через q, р и q', p'. .Мы также по-прежнему будем пользо-
пользоваться обозначениями а — (р, S, р) и ю = (//, S', р').
В дальнейшем будем все время считать, что q Ф q', слу-
случай же их равенства (рассеяние вперед) будем рассматривать
как предел q'—>-q при q Ф q'; таким образом, когда мы бу-
будем говорить о матричных элементах 5-матрицы, фактически
у нас всегда будут фигурировать матричные элементы ма-
матрицы ГГ (ср. § 1, перед формулой A.17)). Тогда, если
использовать обычную в теории рассеяния нормировку,
72 ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ [§ 6
матричный элемент перехода запишется в виде
5(a, q; u>, q') = (р', S', q', p'\S\ p, S, q, p) - ]
i F.1)
где мы воспользовались B.10). С помощью допущения И-C)
из § 2 мы можем, проводi преобразование типа B.20) —
B.22), привести этот матричный элемент к форме
5 (a, q; o>, q') =
= ~ [ dx dy ??~^ (p', S'
p, 5) ,
F.2)
которая послужит основоЧ для наших дальнейших рассуж-
рассуждений.
6.2. Для исследования элемента перехода F.2) вернемся
к рассмотрению введенных в § 3 функций F^l (x). Введем,
совершенно так же как и в § 4 (формула D.1)), фурье-об-
разы этих функций:
^ke-Ux т™ (А)- F• 3)
Подставляя теперь в F.2) выражение C.20) для матрич-
матричного элемента причинного радиационного оператора и вы-
выполняя интегрирование по х и у, получим выражение для
S(ol, q ; u), q ) через только что введенный фурье-образ T^l (k):
F.4)
В дальнейшем нам будет удобнее работать не непосред-
jin с S (x, q; -.», q'), а с вспомэгатетьной величиной —
§ 6]
ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ
73
«запаздывающим» матричным элементом
Я (a, q; ю, q') =
ei('l':c-qy)
1 С
{2rCf J
(P • S
O'f p/ (x)
P. S> =
F.5)
Заметим теперь, что п силу C.33.2)
г(сIч + q'\ rrei(я + я'\ _ р т<~)(
i„... I—2—) ~'м (—2—j ~ рр' »ш \ '
'T
Подставляя сюда для f^J (x) выражение C.30) через сумму по
по игон системе функций и выгто шяя интегрирования по х и no k,
получим:
X
X <Р'. S' 1Д @) | к, л> (к, п |;р, @) | р, 5> |
F.6)
Поэтому, если образовать разнэсть S — Н, в которой импульсы
и энергии будут связаны законом сохранения q -\- р — q'—р' = 0,
го аргумент 8-функции в F.6) окажется равным
или, если учесть выражения q'° и р° через трехмерные импульсы,
+ (р - q')- + /m^ + q'2
Легко видеть, что если бы последнее выражение могло обратиться
в нуль при каких-либо вещественных значениях импульсов р и q',
то это означало бы, что для такой комбинации импульсов нуклон
с массой М мог бы распасться иа мезон с массой т и систему
в состоянии п с массой Мп. Ясно, что последнее могло бы слу-
случиться только при Мп <! М — т. Ниже мы допустим, что у системы
нуклон -f- мезон нет связанных состояний с массой, меньшей суммы
масс мезона и нуклона, т. е. что
Мп > М + т.
74 ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ [§ 6
Таким образом, интересующая нас о-функция не может обращаться
в нуль и, следовательно, разность S — Н тождественно равна нулю.
Итак, для реальных частиц,—у которых импульсы веще-
вещественны, и энергии, связанные с импульсами обычным реля-
релятивистским соотношением, положительны, — и есл'л вы-
выполняется закон сохранения 4-импульса, имеет место равен-
равенство
Т%(к) = Г*(к), F.7)
т. е. причинный матричный элемент S(a, q; с», q') можно
заменить запаздывающим Н(л, q; «>, q'). Подчеркнем, что для
возможности такой замены все сформулированные выше ус-
условия существенны; так, ниже, при рассмотрении поведения
запаздывающего матричного элемента в ненаблюдаемой об-
области отнюдь нельзя будет полагать выражение F.6) рав-
равным нулю.
Ниже мы все времч будем работать с запаздывающим
матричным элементом F.5), следовательно, с фурье-образом
Tjm' (k). Установим весьма важные свойства симметрии его
эрмитовой и антнэрмитовой частей. Записывая
С (k) = Dea (k) + iA,m (ft); D'm (k) = Deo> (A);
Al,.(k)=Ata)(k), F.8)
и сравнивая с C.42), видим, что
О.* (*)=?;«.(*); Ави,(.к) = -^-Т,ш(к). F.9)
Поэтому, если перейти к фурье-образам в соотношениях
симметрии C.43) —C.46) для функций F^{x) и /%ш(х), то
немедленно установим свойства симметрии эрмитовой и анти-
антиэрмитовой частей фурье-образа 7^1 (А):
F.10.2)
, F.10.3)
F-Ю.4)
§ 6] ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ 75
6.3. Для дальнейшего построения нам будет удобнее
детализировать систему координат. Это ограничение не будет,
конечно, принципиальным,—можно было бы продолжать
рассуждения и в произвольной системе, действуя с соответ-
соответствующими инвариантными величинами [24], [25], — однако
специальная система координат упростит выкладки. Именно,
воспользуемся общепринятой теперь системой, в которой сум-
сумма импульсов нуклона до и после рассеяния равна нулю:
р + р'=0. F.11)
Эта система переходит в лабораторную при рассмотрении
рассеяния вперед.
В силу F.11) в избранной нами системе будет р2 = р'2
п. благодаря закону сохранения энергии '), также и q2^=q'i.
Далее, используя закон сохранения импульса, найдем, что
Поэтому можно положить
где е —нормальный к р орт, е2—1, ер*=0, а /.—-неко-
/.—-некоторый скаляр. Таким образом, мы можем выразить в нашей
системе все четыре вектора р, р', q и q' через один век-
вектор р и один скаляр X. (орт е при заданном р можно счи-
считать фиксированным):
Р =Р. I
р' —— р, q + q'
^Чр- = '.е. F.12)
q =_p + ).e, 2
Через те же величины выразятся и четвертые составляющие
импульсов:
F.13)
!) Здесь и ниже четыре 4-вектора импульса связаны законом
сохранения р -(- q — р' — q' = 0.
76 ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ [§ 6
Вместо X можно использовать в качестве независимой пере-
переменной также и энергию Е мезона; выражение >. через Е
будет содержать иррациональность
_т2_р2 . F.14)
В выбранной системе координат обращение формул F.3)
даст нам для фурье-образов функций f\i (х):
е) = Тй (Ц^) = / ег ^ Хех)р?> (х) dx. F.15)
Эти фурье-образы можно будет рассматривать теперь, как
функции Е и е, причем зависимость от Е возникнет как явно,
так и неявно, через функцию Х(?) [см. F.14)]. Чтобы изба-
избавиться от содержащейся в F.14) иррациональности, мы
введем операции симметризации по е и антисимметризации
по е с последующим делением на Л, положив для любой
/(е, X)
F.16)
9U/(e, a) = x !/(e, X)— /(— e, X);
и будем рассматривать далее не сами функции Ti'l (E, е),
но только их симметризованные или антисимметризованные
комбинации STa,l(E, e), 5 = Eе или 9(е.
Поскольку X и е входят в F.15) только в виде произ-
произведения, то ясно, что применяя к Г<?) операции S, мы при-
придем к функциям, зависящим только от X2, т. е. не содер-
содержащим более в своей полной зависимости от Е квадратного
корня.
6.4. Заметим теперь, что переменной Е в F.15) по существу
нельзя придавать произвольные вещественные значения.
Действительно, если мы выберем
I с | <^ утг-\-р*, F.17)
то X станет мнимым, а следовательно, пространственные со-
составляющие векторов q и q' — комплексными, тригонометри-
тригонометрические функции в F.15) перейдут в гиперболические и
интегрирование по пространственным составляющим х поте-
потеряет смысл из-за экспоненциачьного возрастания на беско-
§ 6] ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ 77
нечности. Эта область значений энергии Е называется не-
ненаблюдаемой областью.
Просто отказаться от рассмотрения энергий из ненаблю-
ненаблюдаемой области нельзя, поскольку в правой части диспер-
дисперсионных соотношений (ср. A.6), A.10)) под интегралом
участвуют все значения энергии. Эта трудность неизбежно
оказывается «камнем преткновения» всякой попытки вызести
дисперсионные соотношения без глубокого исследования ана-
аналитического поведения функций Til'.
Поэтому для рассмотрения ненаблюдаемой области нам
придется прибегнуть к обходному маневру: мы сначала рас-
рассмотрим функции т?2 (Е) в наблюдаемой области, где мы
имеем право пользоваться определением через интеграл F.15),
затем мы установим их аналитические свойства и покажем,
что их можно будет аналитически продолжить и в ненаблю-
ненаблюдаемую область, в которой сами интегралы F.15) уже те-
теряют смысл.
6.5. Для целей такого аналитического продолжения нам
будет удобно рассматривать сначала интегралы F.15) не
как функции одной переменной Ех), а как функции двух
независимых переменных Е и т, где
1=?2_р2_Х2; Х2=?2_р2_т. FЛ8)
Такой подход эквивалентен, конечно, тому, что мы пока
хотим рассматривать временные и пространственные соста-
составляющие векторов q и q', как независимые, с тем, чтобы
лишь в дальнейшем наложить на них услозия q2 = q'2 = m2.
Чтобы перейти к реальному случаю, нам надо будет положить
т = от2. F.19)
В переменных Е и i интересующие нас функции Г(?>
будут определяться интегралами
Ге1(Е, т) = fei{Ex~VR-p!-^^Fret(x)dx, F.20.1)
, F.20.2)
') Мы будем теперь интересоваться зависимостью функций
(Е, е) только от переменной Е, считая вектор е, равно как
78 ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ [§ 6
и
Т(Е, -c)=7ret(?, -с) — ТаЛу(Е, т) =
yfy~p'~' ex) F{x)dx, F.20.3)
причем пока они определены (как обобщенные функции Е
и т) только для вещественных ? и т. Однако рассуждение,
совершенно аналогичное проведенному в § 4.4, показы-
показывает, что в силу условия причинности C.13), C.14), благо-
благодаря которому
/*«4 (х) = 0 для х < 0.
Ра}у (х) = 0 для х > 0,
функции 7'et и Га(!т можно расширить и на комплексные
значения переменных Е, т. Именно, функция
будет аналитической функцией Е и л, регулярной в области
Im ? ^> I Im ). |
и тем самым аналитической функцией переменных Е, т,
регулярной в области
Im? > | Im ]/~E2~p2 — т |. F.21)
Опережающая же функция
ST V{E, x)
будет аналитической функцией ?, т, регулярной в области
—р2 —т|. F.22)
6.6. Мы хотим получить дисперсионные соотношения,
повторяя для наших функций F.20) рассуждения, которые
присели нас в § 4 к спектральным представлениям вакуум-
вакуумных средних радиационных операторов второго порядка.
и переменные, входящие в индексы а и «, фиксированными. По-
Поэтому мы, когда то не приведет к недоразумению, вовсе не будем
их выписывать.
§ 6] ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ 79
Осложнение будет состоять теперь в том, что функции F.20)
являются функциями двух переменных (подчеркнем еще раз,
что вторую переменную т мы ввели, чтобы можно было
обойти ненаблюдаемую область F.17)), аналитичными в не-
некоторых сложных областях F.21) или F.22). Чтобы свести
дело к случаю одной переменной, мы попробуем временно
фиксировать значение z и притом таким образом, чтобы
границы областе.1 аналитичности F.21), F.22) функций
F.20.1,2) перестали бы зависеть от т.
Для этого мы выберем т вещественным и удовлетворяющим
неравенству
— V<-<— p2, F.23,
где V — произвольное, но фиксированное положительное
число. Легко видеть, что для таких ~ неравенство
F.23')
будет выполняться для любых Е с Im E ф 0.
В самом деле, записывая ?'' = «•¦(- iv, находим, что
откуда видно, что (Im Ef- есть монотонно убывающая функция ве-
вещественной части jE2. При выполнении же неравенства F.23) веще-
вещественная часть подкоренного выражения в левой части F.23') может
быть только больше, чем в правой.
Следовательно, при выполнении F.23) функции STm
и STiiv будут аналитическими функциями Е в областях F.24.1)
ImE>0 F.24.1)
и
ImE<0 F.24.2)
соответственно. Чтобы выяснить, можно ли считать эти
функции одной аналитической функцией, регулярной для
всех Im Еф 0, надо исследовать поведение разности
ST(E) = STrct (E) — ST**\E)
Для вещественных Е. Подчеркнем, что благодаря ограни-
ограничению F.23) ненаблюдаемой области теперь не будет, и
интеграл F.20.3) будет определять эту разность (конечно,
80 ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ [§ 6
вообще говоря, как обобщенную функцию) для всех веще-
вещественных Е.
6.7. Займемся исследованием интеграла F.20.3). Пред-
Представляя с помощью C.34) Т как сумму положительно и от-
отрицательно частотных функций и используя для последних
выражение C.30) через сумму по полной системе состояний,
получим для Тлш (q ^ q J:
p
i -V
X° - 1 lr-P + P'
(O)|p,S)X?14 2 J \ 2
Интегрируя здесь сначала по х, а затем по к, и пере-
переходя к нашей конкретной системе координат, найдем, что
Тлт (Е, Щ = B-)'/2 (-р,S' |;> @)|Хе, и) ().е, п \j @) | р, S)X
Х § (е — Щ
(-Р, 5' |;Р @)| — Хе, п) (->.е, п|;р. @)| р, 5) X
X S (Е + /Х2 + Л1» — Vp2 + ^2)- F-25)
Здесь в суммах по я в каждом состоянии должен быть,
в силу сохранения ядерного заряда, минимум один нуклон.
Поэтому низшими по энергии членами в этих суммах будут
как раз состояния только с одним нуклоном. Поскольку
вклады от таких членов можно будет явно вычислить, мы
выделим из полной суммы F.25) суммирование по однонуклон-
ным состояниям (которые, кроме импульса, будут полностью
характеризоваться спинороизотопическим индексом 5"), а
§ б] ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ 81
сумму по всем остальным состояниям обозначим через/аш (Е, Хе):
Таш (Е, Xe) —fam (E, Хе) +
2^L i 2-(- Р, 5' | jt. @) | Хе, S") (Хе, S" | /р @) | р, 5) X
з (е—уй*+м2
Li 2 (- P. 5' j j9 @) I -ле, 5") (-Xe, S" |;> @) | p, 5) X
В выписанных здесь суммах энергия Е входит под аргу-
аргументом 8-функции дважды — прямо и через X2. Преобразуя
аргументы 8-функций к линейным функииям Е, найдем
ъ(Е+У>*-\-м*±Ург-\-м2) =
где
F.26)
Итак, мы получили, что
1 —
Х2(—Р. 5'|Л'@)|)-е, 5">(Хе, S"\jr
S"
1
XS(-p, S'|yp@)|-Xe, S")(-le, S"\j/(O)\p, S). F.27)
s"
Знак абсолютной величины у выделившихся из 8-функций мно-
множителей можно было бы здесь и опустить, поскольку для интере-
интересующих нас значений р" и t эти множители всегда будут положи-
положительными.
б Зак. 2670. Боголюбов и др.
82
ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННИХ СООТНОШЕНИЙ
[§ 6
Совершенно аналогично преобразуются и 8-функции в сум-
суммах, входящих в fam {Е, -). Поэтому мы можем записать:
1 —
Ерп (т)
л> 1
Ь(Е-\~Ерп(х))Х
X <— р, S' | jr, @) | Хе, л) (Хе, п \ j9 @) |р, S) —
я>
Х( — р, 5'|Л@)| — ле,л>( — Р.е, я ]ур
где теперь
2р2 + т — Ml + АР
, 5), F.28)
Исследуем теперь «спектр» ^(f) более подробно. Прежде
всего, мы предположим, что _у системы нуклон -\-iz-мезон
нет связанных состояний с массой, меньшей суммы масс
нуклона и мезона (кроме самого нуклона), т. е. что
Мп~^М-\-т. F.30)
Такое предположение по-видимому обосновано с точки зре-
зрения имеющегося сейчас опытного материала. Заметим, что
именно в этом пункте очень важно, что мы рассматриваем
только сильное ядерное взаимодействие и пренебрегаем не
только слабым, но и электромагнитным взаимодействием.
Действительно, в противном случае всегда существовали бы
состояния типа нуклон -f- некоторое количество фотонов или
типа тс-мезоатома; непрерывный спектр масс таких состояний
начинался бы непосредственно от М.
Если принять предположение F.30), то энергии Ер„ (х)
будут удовлетворять неравенству
Итак, спектр /ЯШ(Е, т) будет иметь следующий вид: от
? — — оодо Е = — Ес (т) будет иметься непрерывный спектр *¦),
I) Мп = М -\- т есть точная граница непрерывного спектра,
поскольку именно с этого значения начинаются массы состояний,
включающих две частицы — один нуклон и один мезон.
§ 6] ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ 83
обусловленный второй суммой в F.28),затем от ? =—?с(х) до
Е = -\-Ее{х) расположится разрыв, в котором нет уровней,
а от Е = -\-Ев{х) до Е = -\-оо будет опять иметься непре-
непрерывный спектр.
Спектр функции Т (Е, т) будет отличаться от спектра/(?, х)
добавлением двух дискретных уровней с ? = zt ?р (х) [F.26)].
Детальное представление о характере спектра Т(Е, х) важно
и для доказательства существования дисперсионных соотно-
соотношений и для непосредственного практического их приложения.
Поэтому выпишем здесь критерий того, что изолированные
полюса не попадут в область непрерывного спектра, и важный
критерий того, что две области непрерывного спектра Т(Е, т)
не перекрываются1).
Сравнивая F.26) и F. 29), видим, что дискретный уровень
из первой суммы F.27) никогда не сможет попасть в область
непрерывного спектра первой суммы F.28); так же обстоит
дело и для вторых сумм. В качестве же условия того, что
дискретный уровень из первой суммы F.27) не попадет
в область непрерывного спектра второй суммы F.28) (или,
наоборот, дискретный уровень из второй суммы в непрерывный
спектр первой), мы получим
^?-f F.32)
Для рассматриваемых пока значений т, ограниченных нера-
неравенством F.23), достаточным условием будет
Р2< yB^+l)^2 Для х<—р2, F.32')
а для реального z = m2 условие F.32) приведет к
2 для z = m2- F-32")
Таким образом, дискретные уровни не попадут в область
непрерывного спектра только для достаточно малых р2,
удовлетворяющих одному из неравенств (о.32), т. е. для рас-
рассеяния на достаточно малые углы.
1) Выполнение последнего критерия необходимо для примени-
применимости дальнейших рассуждений.
84
ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ
(§ 6
К такого же рода, — но менее жесткому, — условию при-
приходим мы, требуя, чтобы не смыкались две области непре-
непрерывного спектра. Именно, для произвольного т мы получаем
^_2.. F.33)
Поэтому для т <—р2 достаточно потребовать, чтобы
для т<—р2, F.33')
а для х = т2 условие F.33) сведется к
для z = m2. F.33")
Наконец, сравнивая границу непрерывного спектра F.31)
с границей F.17) ненаблюдаемой области, видим, что непре-
непрерывный спектр не попадает в ненаблюдаемую область только
Рис. 1.
для р2 = 0, что соответствует рассеянию вперед. В других
случаях хотя бы часть ненаблюдаемой области оказывается
занятой непрерывным спектром. Таким образом, в случае
рассеяния не вперед мы имеем вклад от непрерывного спектра
в ненаблюдаемой области, который мы не умеем точно учи-
§ 6]
ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ
85
тывать. Зависимость от р2 для границы непрерывного
спектра и положения дискретных уровней изображена на
рис. 1.
Вернемся теперь к вопросу о вкладе от дискретного
однонуклонного уровня. Вычисление сумм в F.27),— которое
мы, чтобы не прерывать изложения, отнесем в дополнение Б,—
показывает, что эти суммы можно представить в виде
-f м?
У<-р.
Х(Хе,
, S')\E=_E (т) =
S")X
t.p), F.34.1)
I — Ae,5")X
S"
X (— Xe, S" \j?, @) | p, 5 > |B=ffp(T) = g* (т) A (x, p), F.34.2)
где g(i) совпадает при x = /re2 с наблюдаемым ядерным за-
зарядом реального нуклона1), а функции В(т, р) и Л(т, р)
(явный вид которых приводится в дополнении Б, формула
(Б. 18)) являются аналитическими функциями переменной т
во всей комплексной плоскости.
Итак, мы установили, — пока только для вещественных от-
отрицательных х<—р2, — что T(E,z) представляется в виде
T(E, x) = / (?, x) - 2mg* (x) Б (x, p) 8 (? + ?p(x)) -
— 2rdg? (x) A (x, p) 8 (? — ?p (x)), F.35)
где
IMm — 2n2 -I- m2 — т
|—• F.36)
= 0 для
6.8. Подытожим полученные пока результаты. Мы уста-
установили, что при выполнении условия F.23):
a) S7ret(?,x) будет аналитической функцией Е в об-
области Im E > 0;
!) Объяснение того, что мы понимаем под этими словами, смотри
ниже в пункте 6,12,1.
86
ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ
[§ 6
б) STaiv(E,x) будет аналитической функцией Е в об-
области Im E < 0;
в) на границе этих областей, при \тЕ=0, разность
T(E,i) представляется выражениями F.35,36). При этом,
если выполнены условия F.32) (или хотя бы F.33), но
ниже мы будем предполагать первое), то на границе об-
областей F.24) имеется некоторый отрезок ненулевой
длины, на котором ST(E,x) = 0.
• -полюс — -линииразреча. -
Рис. 2.
-контур tiHW.iypo
Поэтому, повторяя рассуждения § 4, мы видим, что:
STrot(E,z) и Sraiiv(?", x) можно рассматривать, как
одну аналитическую функцию ST(E, т) от Е, с линиями
разреза вдоль вещественной оси при
2Мт — 2р2 + т1 — т 2Мт — 2р? -f w2 — t
Е < T^ " при Е>
и с полюсами в точках
E = doE (x),
возрастающую на бесконечности не быстрее полинома
степени п
(см. рис. 2; мы считаем выполненным условия F.32)).
§ 6] ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ 87
Таким образом, к функции
ST(E,x)
=(E — E0)n+1 ' \Eo\<
можно применить интегральную формулу Коши с контуром С
(рис. 2), которая приведет нас к соотношению (Е— ком-
комплексно!):
+ OO+U
ST{E,x) 1_ Г ST(E', t) dE'
(Е— Е0)п+1 2те/ J (E' — E0)n+1 (Е' — Е)
— со+ U
J (E'~
Sf(E',t)dE'
4-со — is
ST(E',x)dE' __
)
Освобождаясь здесь от знаменателя и замечая, что в силу
A.13) (n-f-l)-e степени при полюсах в точках Е = ztE (-с)
можно уничтожить за счет переопределения коэффициентов
у полинома по Е, мы получим дисперсионное соотношение:
s_ (?-?о)(д + 1) Т S
)_- ~2^ j (?'-
¦ ga(T)SB(T,p) , g8(x)S^(T,p) ,
i jjTe;; I ?_? г
p p @ < r < л)
F.37)
(f комплексно!).
Подчеркнем еще раз, что мы установили это соотно-
соотношение лишь для отрицательных —V <т<—р2. Настоящие
же дисперсионные соотношения, связывающие физически
реальные величины, получились бы из F.37) после перехода
к пределу вещественных Е только, если было бы уста-
88 ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ [§ 6
новлено, что это соотношение остается справедливым и для
т = т2.
6.9. Чтобы расширить область т, для которых верно
соотношение F.37), мы воспользуемся методом аналити-
аналитического продолжения. Для этого нам потребуется знать
аналитические свойства функции /(?, т). Исследованию этого
вопроса будет посвящен следующий параграф, в котором
мы установим общие аналитические свойства фурье-образа
Гам ( "о ) для ПРОИЗВОЛЬНЫХ Р> Р' и Чр~"- Сейчас же мы,
несколько забегая вперед, воспользуемся получаемым там
результатом, который, в применении к нашей функции/(?, т),
гласит, что:
Если все переменные Е, т и X = ^^?2 — р2-—т вещест-
вещественны,
2 F.38)
(р — некоторое положительное достаточно малое число,
а V — произвольное, но фиксированное, положительное
число) и р2 удовлетворяет условию:
р»<в»«; о^-^1), F.42)
то функцию S/(E, x) можно представить в форме
Sf(E, r) = FlBEVM4IV-{-^ t) +
/ + р2 + т; т). F.39)
При этом функции F1 {l\ т) и F2 (l; т) будут обладать
свойствами:
(а) Fi(?; т) — обобщенные функции переменной С;
(б) Fi(k; т)—аналитические функции второй перемен-
переменной т, регулярные в области:
— F<Rex<(l+p)OT2, | Im т | < Pm2; F.40)
(в)
F.fc т) = 0 для ?< 2Мт-{-т2 — 2р2. F.41)
!) Дальнейшие исследования В. С. Владимирова показали, что
это число а можно увеличить по крайней мере до значения а = 2,56
(при — = 7) [27]. (Прим- при корректуре.)
§ 6] ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ 89
Что в этом представлении является существенным, а что — три-
тривиальным ? Чтобы выяснить это, заметим, что согласно F.28) f(E, х)
состоит из двух сумм, первая из которых обращается в нуль для
?<?с(х), а вторая —для ?> —?с(х).
Если ввести теперь в качестве аргументов первой суммы вме-
вместо ? и х величины
?! = 2EYМ? + р^ + х и х,
а в качестве аргументов второй —
х и х,
то мы сразу получаем для /(?, х) представление:
/ (?, х) = /^ F,; х) + F2 E2; х), F.39*)
где
Fi E, х) = 0 для 5 < 2М/и + /и2 — 2р2, F.41 *)
причем по существу, чтобы достигнуть такого представления, до-
достаточно потребовать не выполнения F.23), но просто того, чтобы
Е, х и X = У Я2— р2— х были бы все вещественны.
Как мы видим, тривиальное представление F.39*) тождественно
с представлением F.39), которое мы собираемся использовать (при-
(применение оператора S ничего не меняет). Для представления F.39*)
выполняются и свойства (в) F.41*) и (а) (поскольку всякая функция
вообще говоря -— обобщенная).
Таким образом, существенно нетривиальным содержанием пред-
представления F.39) является только свойство (б) — аналитичность
функций Fj, (S, х) по второму аргументу в области F.40).
Покажем теперь, что из представления F.39) будет не-
непосредственно вытекать справедливость дисперсионного
соотношения F.44) и для нужных нам значений
т = т2. F.19)
6.9.1. Выберем сперва опять какое-либо отрицательное т,
удовлетворяющее (.6.23). Для такого т будут одновременно
справедливыми и представление F.39) и дисперсионное соот-
соотношение F.37). Тогда, подставляя F.39) в F.37), найдем:
Sf{E, т) = Ф(?,
@<r<n)
F.43)
90 ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ [§ 6
где мы положили
Г_ dE"Fx BЕ"Ум* + р*; z)
J / , ч / . ,И+1 Г
( Е" _ Е \( Е" \
2УлГа + р2 А
— Е
\М+1
Ъ.1
р8; х)
F.44)
Исследуем аналитические свойства введенной этим определением
функции Ф (?, х). Чтобы исследовать аналитичность по отношению
к переменной Е, воспользуемся теоремой:
Функция f(E) будет аналитической функцией в такой об-
области изменения комплексной переменной Е, в которой знаме-
знаменатель (Е — Е') не обращается в нуль, коль скоро эту функцию
можно представить в виде
где <р (?') — произвольная функция, ограниченная лишь тем тре-
требованием, чтобы интеграл в F.45) имел бы смысл.
Для функций <р (?')> квадратично интегрируемых, эта теорема
хорошо известна в теории функций комплексного переменного;
можно показать, что она сохраняет силу и если <р (?')—обобщенная
функция, интегрируемая в некотором классе (см. § 1).
Применяя эту теорему к нашим интегралам F.44), видим, что
функция Ф (Е, т) будет аналитической функцией Е в такой области,
где ни один из знаменателей
не обращается в нуль, т. е. в области
поскольку Е" вещественно. Это наверняка будет так, если мы
ограничим область изменения переменных Е и х строгим неравен-
§ 6) ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ 91
ством:
I Imt|
Это — единственное требование, которое надо наложить, чтобы
Ф (?, х) была бы аналитической по отношению к переменной Е.
Перейдем теперь к аналитичности по отношению к переменной т.
Заметим прежде всего, что в силу свойства (б) представления
F.39) функции Fi(s, x) являются аналитическими функциями т в об-
области F.40). Поэтому, чтобы достигнуть аналитичности функции
Ф (Е, т) по -с, нам остается только позаботиться не расстроить
аналитичности функций Fi (?, т). Рассмотренный выше множитель
в знаменателе не может сделать этого, поскольку, благодаря допу-
допущенному ограничению, он теперь уже не может обращаться в нуль.
Но единственные остающиеся тогда под интегралом множители —
это множители
Е' ~~ ~ -г .... .^f ^oj или ( — Е' -\- п _шГъм ,===• — Ео
в знаменателе. Они также не смогут обратиться в нуль в действи-
действительной области интегрирования, если мы выберем постоянную Е$
лежащей в области, где оба подинтегральных выражения F1 и F%
обращаются в нуль, т. е. в силу F.41) в области одновременного
выполнения неравенств
2Мт + /я2 — 2р2 т Шт + ni 2
2 Y М* + р2 0 + 2УМ1 + р* < 2 Y М? + р2
т 2Мт+т*—2р2
° 2 /AJ2 + p2 < 2 Y М* + р2
(для вещественных т)
Эти неравенства эквивалентны требованию
Шт + пр — 2р2 — т
|?0!< 2 Ум* 4 ^ = ?с(т) дЛЯ вещественных т.
Но наши тир2 ограничены неравенствами:
т <^ A -j- p) /и2 для вещественных т и р2<[а/и2.
Поэтому сформулированное выше неравенство, ограничивающее
Ео, будет выполнено, если потребовать
2/Л1МТ2
92 ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ [§ 6
Итак, интегралы F.44) определяют функцию Ф(Е, т),
аналитическую в области
— V < Re т < A + р) т*, \\т т |< р/я2,
1 Im т'|<2)Лм2 + Р2|1т Е\>
если мы выберем Ео лежащим в интервале
6.9.2. Но, с другой стороны, мы установили выше, что
функция Sf(E, т) регулярна в областях F.21) и F.22),
т. е. в области F.23'). Исключим еще полюса, которыми
обладает функция ST(E, т) в точках Е — ±ЕР(?) с по-
помощью умножения на (Е2—Ер(.т)). Тогда мы видим, что
выражение
{ST(E, х) — Ф{Е, т)}(?2_?2(т)) F48)
должно быть аналитической функцией обеих переменных Е
и z в общей части областей F.46) и F.23'). т. е. в области
— V < Re х < A + р) /и2, | Im т | < рот2;
| Im т | < 2 /Ж2 + р21 Im E\;
\lmYE2 — Р2 — *\< 1 Im f|.
F.49)
Но для вещественных т<С—р2 эта разность должна, согласно
дисперсионному соотношению F.37), совпасть с полиномом
по Е:
g* (т) SA (т, р) (Е + ?р (х)) + g* (х) 5В (х, р) (Е — Ер (х)) +
2 2 р, Е0)Е*. F.50)
@<г<я)
Тогда она должна быть полиномом по ? и во всей области
аналитичности F.49).
Напомним теперь, что аналитичность по т функций А (х, р)
и В (х, р) будет показана в дополнении Б (ср. F.34)). Далее,
Ер(т:) является аналитической функцией х по самому своему
определению F.26). Поэтому функции g2(i) и сг(т), опре-
определенные цока только для вещественных т, удовлетворяющих
§ 6] ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ 93
F.23), должны допускать аналитическое расширение на
некоторую область комплексных значений т. Покажем,
что эта ^область во всяком случае включает в себя всю об-
область F.40),
— V <ReT:<(lH-p)m2, |Imx|<pm2. F.40)
В самом деле, выберем некоторое х = х*, Im т* Ф 0, лежащее
в области F.40), и покажем, что к нему всегда можно подобрать
соответствующее ? = ?* так, чтобы пара т*, ?* оказалась бы в об-
области F.49), например, положив
2 Re ?* • Im ?* = Im т*. Re E< < М, \
(Re?5J — (Im?*J — Ret* — р2>0. J ( ' '
Действительно, замечая, что
(Im
= 1 {Y [Re (? 2 - р2 - x:s)j2 + [Im (?2 -1 )]« +
+ Rex« + p2 — Re?*2J,
видим, что при сделанном выборе Е~
= -^ {У [Re (?*2 — р2 - х -)]2 4- Re х* + р2 — Re?'2} =
и, следовательно, неравенство
|lm/?-2 —р2 —х-|< llm?*|
выполняется. Далее,
11га х* j = 2 | Re ?-11 Ira Es |< 2М | Im Я:в |< 2 /м2 + р21 Im E* \,
— т. е. все неравенства F.49) действительно выполнены.
Таким образом, для любой точки т* из области F.40)
с 1тт*^0 всегда можно найти такое ?*, что пара х*, Е*
будет лежать в области F.49). Но отсюда следует, что
функции g2(i) и сг(т) будут аналитическими во всей области
F.40) с возможной линией разреза вдоль вещественной оси.
Покажем, что на самом деле такой линии разреза нет.
Рассмотрим для этого вещественное
94 ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ [§ 6
И ПОЛОЖИМ
t = т + = хг ± щ, yj ]> 0>
/? р . р -4- гт1 р \ п
Чтобы такие пары т, ? входили бы в область F.49), очевидно до-
достаточно потребовать, чтобы
(действительно, тогда при достаточно малых г\ точки т.+ Е+ будут
удовлетворять неравенствам F.51), наложенным выше на точки т*,
?*). Но если точки т+, Е± входят в область F.49), то они войдут
и в область F.46) аналитичности функции Ф (Е, т). Поэтому
Ф(Е±, z±) будет аналитической функцией обоих аргументов. Но
в область F.46) входят и точки -с с Im г = 0 (но не точки Е с Im Е = О!).
Поэтому мы можем заключить по непрерывности, что
НтФ(?±, т + ) = 11тФ(Ег±и, тД
Ч->0 е ->¦ О
г > О
Но разность
• lim (Ф (Е, + U, тг) - Ф (Er — it, xr))
е->0
можно явно вычислить. Действительно, подставляя сюда интегралы
F.44), определяющие Ф, мы получим
Ф (Er + U, хг) - Ф (Er - U, хг) =
+ ОО
(J- *' -?пГ
X
'?'
-оо V, 2
— Er — h Е'»"
*
X
— оо
1
V — ?r — гв
§ 6] ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ 95
где стоящие в круглых скобках разности сводятся в силу симво-
символического тождества A.4) к 5-функциям, после чего интегрирование
выполняется, и мы находим
lim (Ф (?+, т+)-Ф(?_,х_)) = F1 B?ГУЛ1*+ р2 + хг; xr)
0
+ Fu ( - 2?r У Л*2 -f p2 + xr; xr) = 5/ (?„ xr).
Если домножить теперь это равенство на исключающий о-функции
от ?±?р(х) множитель Егг — ?р (х), то мы получим
lim [Ф(?+,х+)-Ф(?_,х_)](?*-??(хг)) =
= Sf(Er, xr) (Е2Г - 4 (М ) = S7- (?,., тг) (Е2Г - Е\ (хг) ). F.52)
С другой стороны, наши пары точек ?+, т+ и ?_, х_ приводят
в пределе при *i-*-0 к вещественным л (мнимая часть л будет по-
порядка г?-); поэтому пара Е+, х+ входит в область F.21), а пара
?_, х_ — в область F.22) и, следовательно, интегралы, соответ-
соответствующие F.20.1) и F.20.2), от таких пар точек будут иметь смысл
и сходиться, при г\-*0, к функциям STret (Er, xr) или Sradv(?r, tr)
соответственно. Таким образом, будет выполняться предельное со-
соотношение:
lim {Sf(E+, х+) — АТ(?_, х_)} =ST(Er, xr).
Умножая его на (?^ — ?р (т,.)) и сравнивая с F.52), видим, что
= (?* - Е\ (тг)) lim {Sf (?_, х_) - Ф (?_, х_)}.
0
Но в этом равенстве слева и справа стоят значения функции F.48)
от пар точек ?+, х+ и Е-, х_. Так как такие пары лежат в обла-
области F.49), то функция F.48) должна равняться для них полиному
F.50). Обозначая этот полином через Ят(?), можем записать наше
предельное соотношение в виде
lim Ят+ (?+) = lim PT_ (?_).
Но полином — непрерывная функция. Поэтому можно написать
lim Рх+ (?,) = lim Ят_ (?,),
г, -> 0 ij -^ 0
т. е. зазисимость Ях (?) от х при переходе х через вещественную
ось также будет непрерывной. Но выше и ниже вещественной оси
коэффициенты этого полинома зависят, как было установлено выше,
96 ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ (§ 6
от х аналитически. Следонательно, аналитичность сохраняется и для
точек вещественной оси х, т. е. никакой линии разреза действи-
действительно не будет.
Итак, функции g2(z) и сг(х) не обладают линиями
разреза и регулярны во всей области F.40).
6.9.3. Вернемся теперь опять к соотношению F.45).
Аналитичность функций g2(i), сг(т), Ер (х), А (т, р) и В (х, р)
по переменной т в области F.40) мы только что установили.
Зависимость же трех последних членов в F.43) от Е— яв-
явная, и из нее сразу видно, что они будут аналитическими
функциями Е, во всяком случае для всех не чисто веществен-
вещественных Е. Итак, три последних члена в F.43) являются анали-
аналитической функцией Е и х в области
— V< Rex<(lH-p)m2, |1тт|<(ш2, 1т Е ф 0. F.53)
Что же касается функции Ф (?, х), то мы уже установили
выше, что она аналитична в области F.46). Таким образом,
вся правая часть соотношения F.43) является аналитической
функцией в области F.46).
Поэтому мы можем теперь расширить область опреде-
определения функции ST(E% т) так, чтобы она равнялась правой
части F.43) во всей области F.46).
6.9.4. Подчеркнем, что для расширенной таким образом
функции сохраняются обычные соотношения с несобствен-
несобственными пределами:
ret
lim Sf(E ± is, т) = ST^ (E, т), F.54)
е->0
8>0
если только Е, т и \=уЕ2— р2—т все вещественны и
— К<х< A -f-p)m2. F.38)
Выполнение этих несобственных предельных соотношений было
бы очевидным, если бы допредельные аргументы были расположены
в области F.49). Действительно, тогда A) функция Sf(E, т) была
бы аналитической и B) можно было бы непосредственно исполь-
ret
зовать интегралы F.20) для STadv. Однако легко видеть, что сме-
смещая точку Е в F.54) с вещественной оси, мы выходим из этой
§ 6] ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ 97
области, поскольку при этом может нарушиться последнее из не-
неравенств, определяющих F.49).
Чтобы обойти эту трудность, заметим, что согласно F.43)
функция Sj (аналитическая, как только что было установлено,
в области F.46)) будет аналитической функцией как для пары аргу-
аргументов E±U, т, так и для пары, получающейся из предыдущей,
если достаточно мало сместить с вещественной оси второй аргу-
аргумент т, т. е. для пары ? + /е, х ±2laEs.
Поэтому мы можем заменить предельный переход F.54) другим
предельным переходом
!im ST(Е ±U, i) = !imSf (Е±П, % ± 2/я ?е)
с *о «>о
е>0 t >0
Но этой мнимой добавкой к т можно распорядиться так, чтобы
точка Е+ is, т ± 2ia Ez не вышла бы за пределы области F.49) (мы
не будем останавливаться здесь на несколько громоздкой выкладке,
подтверждающей это утверждение). Поэтому мы сможем восполь-
воспользоваться формулами F.20) и написать
!im ST (E±lt, т) ¦= lim ST(E±U, x ± 2ia fie) =
e>0 s >0
T sx'+xe Im V(E ±
= 5 1 г
'-xc Re l'(E t it)=-p»-(T ± 2UEt) ^
I Im Y{E ± /eJ — V" — (т ± 2ia Ев) | < e,
ввиду чего
ret
\imST(E±U, t±2taEt)= ST*iY(E, t),
что доказывает соотношение F.54).
6.9.5. Таким образом, мы установили дисперсионное со-
соотношение F.43) во всей области F.46), равно как и то,
что для ST(E, х) с Е, х из F.46) выполняются обычные
предельные переходы F.54) в запаздывающую и опере-
опережающую функции.
Но в область F.46) входят, в частности, все точки
elm ?¦=?() и вещественным — V < х < A -\-р)т2. Поэтому
7 Зак. 2670. Боголюбов и др.
98 ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ [§ 6
соотношение F.43) будет верно всегда, когда
Im Еф 0, т = /я2,
т. е. для действительно нужного нам значения т.
Проводя теперь в интегралах F.43, 44) замену перемен-
переменных интегрирования, обратную использованной при переходе
от F.37) к (.6.43), получим снова дисперсионное соотноше-
соотношение F.37), в котором только на месте функции Sf{E', т2)
будет теперь стоять выражение
Sf(E', /га2) = F1 B?'|/Ж2-|-р2Н-/га2; /га2) -+-
+ F2 (— 2Е' 1ЛУИ2 + Р2 + w2; /га2), F.55)
т. е. дисперсионное соотношение:
¦X
!; "г?)+ F0(~2E'
Заменившее теперь функцию Sf(E, /и2) выражение F.55)
а) при |?|> 1//и2Н-р2 совпадает с ^/(f, /и2);
б) в интервале
~ р2
I E I < 1Ли2 + Р2. F.57)
где непосредственное определение функции
Sf(E, m2) =
через интеграл F.20.3) смысла не имеет, выражение F.55)
можно рассматривать, как надлежащее аналитическое про-
продолжение этой функции на интервал F.57);
в) при \Е\ < — выражение F.55) обращается
в нуль.
§ 6] ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ 99
Итак, мы доказали выполнение дисперсионного соотно-
соотношения F.37) для нужных нам значений т, если исполь-
использовать расширенную функцию F.55).
6.10. В выведенных нами дисперсионных соотношениях
F.37) или F.56) пока считается, что энергия Е комплексна,
\тЕф§. Чтобы перейти к представляющим непосредственный
интерес вещественным значениям Е, подставим в F.56) до-
допустимое комплексное значение
и устремим е к нулю, воспользовавшись для проведения
предельного перехода к левой части установленными выше
формулами F.54), а в правой — символическим тождест-
тождеством A.4). Тогда, в зависимости от знака е, мы получим,
если воспользоваться сокращенным обозначением Sf(E, т.2),
ret.
(E, m2) = ±^ST(E, т2)-\-
2*Z
+ 00
Г Sf(E
J (?'-
+
(?-?(,)"+' Г Sf(E',nfl)
J
p) ¦
0 <
F.58)
Здесь мы воспользовались соотношением F.35), чтобы объ-
объединить в ST все возникающие при применении A.4) к зна-
знаменателям 8-члены. (Заметим, что, поскольку мы считаем
сейчас энергию Е (но не Е') лежащей в наблюдаемой об-
области, то способ обхода полюса в членах с g2 справа ко-
конечно безразличен. Но в наблюдаемой области обращаются
в нуль и возникающие из-за изменения способа такого об-
обхода члены с 5 (Ez*z Ep).)
Складывая теперь оба соотношения F.58) и переходя
с помощью C.34), C.35) и F.9) к функциям DaU)(E, /га2)
и Ааи)(Е, т2), мы получим дисперсионное соотношение, свя-
связывающее теперь уже непосредственно интересующие нас
величины—эрмитову и антиэрмитову части амплитуды
7*
100 ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ [§ 6
рассеяния:
Мт-р*
У ЛГ-Ч р*
+ СО _
, (?-?o)nM p /" rfg/ 5Л0и>(?')
SB (m\ p) . pg»(«8)Si4(rn»,p) ¦ V
E + Ep р
0<r <л
F.59)
Мы воспользовались здесь тем, что в области 1/?
по которой только и производится интегрирование в F.59),
можно написать
S~f(E', m*)= S7(?', т2) = 2Маш(?'),
где, таким образом, Л„ш (Е) означает антиэрмитову часть
амплитуды рассеяния, продолженную в ненаблюдаемую об-
область с помощью проведенной выше процедуры. Кроме того,
мы перестали, где этого не требуется, отмечать аргумент
•г = /и2; так, например, Ер означает теперь
— действительную энергию однонуклонных промежуточных
состояний.
6.11. Чтобы дисперсионные соотношения F.59) можно
было бы непосредственно применять, в них надо еще изба-
избавиться от интегрирования по отрицательным энергиям и, за-
затем, выразить через наблюдаемые величины входящие в по-
полином по Е неопределенные константы сг. Этого можно
будет достигнуть, используя установленные выше свойства
симметрии F.10) и, для исключения констант, проведя явно
вычитательную процедуру.
§ 6) ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ 101
Прежде чем, однако, переходить к выполнению этих
операций, мы сделаем допущение, что
степень роста полинома
в F.59), п, равна единице. F.61)
Это — некоторое новое дополнительное предположение;
в § § 4 и 5 мы уже сталкивались с таким положением,
когда нам приходилось, поскольку мы не ссылаемся на ка-
какой-либо конкретный вид лагранжиана, постулировать по-
порядок роста матричных элементов на бесконечности.
Наше конкретное допущение F.61), с одной стороны, на-
находится в согласии с результатами теории возмущений для
псевдоскалярной мезонной теории, а с другой—подсказы-
другой—подсказывается опытным материалом: полином более высокой степени
привел бы к более чем линейному росту DaiO(E) с энергией,
что противоречило бы эксперименту.
6.11.1. Переходя и соотношениях симметрии F.10) к нашей
системе координат и применяя к ним операции S симметризации
и антисимметризации по е, устанавливаем, что входящие в диспер-
дисперсионные соотношения симметризованные (антисимметрюованиые)
по е и по изотопическим индексам мезонов комбинации А,Ш(Е)
обладают следующими свойствами симметрии по энергии (ср. F.16.)):
@е A + /V )Авш(-Е) = —<3е A + Pfo ) Лш (?). )
@е A - /V ) А,т (-?) = + Зе (I - РП') Лш (Е), |
} F.62)
4ru> (-?) = + 9fe A + P ) Л (?) |
9(e A — Ярр') Лш ( — ?) = — ЭГе A — Яр?- ) А,ш (Е). \
Что же касается свойств симметрии для эрмитовых частей Daio(E),
то их нет нужды выписывать, поскольку они в точности противо-
противоположны F.62).
6.11.2. Отметим теперь, что имеют место два тождества:
1 1
S' — Е) (?' — ?„)'-' ( — ?' — ?)( — ?' — ?0J
Е'
F.63)
102 ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ [§ 6
и
+
(Е -
(_E'-E){-E'-Eli
-E'-Elif\
F.63)
Поэтому, применив к интегралам по отрицательным энергиям
в F.59) соотношения симметрии F.62), мы получим сейчас же (во
вторых членах в правой части тождеств F.63) зависимость от Е
и от Е' факторизуется; после интегрирования по Е' они приведут
просто к полиномам по Е, которые можно считать включенными
в полиномы с0 -\- сх Е):
*-ег)р [
J
'©еA+ЯРР<)
° J (E'2
Mm-\i>
C2n
Ifll-p'
§ 6) ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ 103
оо
° J
(
Mm-p*
VW+p*
5ГеA-Ярр')Л(от2,р)
6.11.3. Используем теперь свойства симметрии, чтобы упро-
упростить выражения для вклада от однонуклонного состояния.
Из выражений F.34.1) и F.34.2) для В (г, р) и А (г, р) видно
(в дополнении Б, формула F.18), будет показано также, что эти
величины зависят от Е только через посредство *. = YЕ2— Р2 — t
и потому не меняются при замене Ер на —Ер), что они обладают
свойством симметрии
В (г, р) = - Ярр' Яе А (х, р) F.64)
(здесь Яе —оператор замены е->—е). Поэтому для них имеют
место соотношения:
@е A + Ррр1) в (т2, р) =- - ©е A + Ярр') А (от*, р),
@е A — Ярр') В (т>, р) = + @е A — Ярр') Л (от2, р),
ЭГе A + /V) В (от2, р) = + ЭГе A +РРР')А (от2, р),
Же A — Ярр-) В (от2, р) = — Яе A - Ярр-) А (от2, р),
которые позволят нам объединить в дисперсионных соотношениях
оба члена, описывающих вклад однонуклонных состояний. Практи-
Практически это удобнее сделать, записав предварительно:
I 7 I .С
где возникающий полином можно будет опять включить в наши
общие полиномы. Тогда для разности и суммы двух таких выраже-
выражений можно будет непосредственно применить тождества F.63) и мы
получим в однонуклонных членах точио такие же комбинации, что
и в интегральных, только с Е', замененным на ?р.
6.11.4. Наконец, напомним (ср. F.10)), что стоящие в левых ча-
частях дисперсионных соотношений симметризованные комбинации
функций D0Uj(?) также обладают определенной симметрией по Е —
именно, в первом и последнем из выписанных соотношений слева
стоят четные функции Е, а во втором и третьем — нечетные. Легко
видеть, что интегральные члены, равно как и преобразованные, как
только что было описано, вклады однонуклонных состояний, сами
обладают должной симметрией. Поэтому такой же симметрией
104 ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ [§ 6
должны обладать и произвольные пока полиномы по Е, т. е. в первом
и последнем соотношениях может присутствовать только произволь-
произвольная константа, а во втором и третьем — только линейный по Е член.
6.11.5. Таким образом, в каждом из дисперсионных со-
соотношений у нас остается по одной постоянной, которую
нельзя определить из эксперимента. Чтобы исключить их,
прибегнем к вычитательной процедуре.
Напомним, что согласно смыслу проведенного выше вы-
вывода дисперсионных соотношений энергия Ео должна лежать
в ненаблюдаемой области, причем в части ее, не занятой
непрерывным спектром. Мы хотим перейти теперь к другой
фиксированной энергии, Ео, которую мы хотим теперь вы-
выбрать в наблюдаемой области, и связать остававшиеся пока
произвольными постоянные со значениями действительных
частей амплитуд рассеяния для этой фиксированной энергии Ео-
Заметим для этого, что «ядра» наших интегралов обла-
обладают своеобразным «групповым свойством» относительно
сдвига фиксированной энергии Ео. Именно, легко видеть, что
выполняются тождества:
К о) (Е'*Е*)(Е*Е$ {о °V2^") (?/!i??)'
X
F.65.2)
Тем же свойством обладают, конечно, и члены, представляю-
представляющие вклады однонуклонных состояний.
Поэтому, если мы напишем наши дисперсионные соотно-
соотношения один раз для энергии Е, а второй раз для энергии Ео и
после этого почленно вычтем из дисперсионных соотношений
для Е соответствующие соотношения (для первого и последнего
дисперсионных соотношений) для энергии Е'о, или (для второго
§ 6] ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ 105
и третьего) — соотношения для энергии Ео, помноженные
?
на —у , •—-то мы получим в правых частях точно те же выраже-
выражено
ния, в которых вместо энергии Ео будет стоять теперь энер-
энергия Ео из наблюдаемой области, а имевшиеся ранее произ-
произвольные константы уничтожатся:
+Ptf)
J
-2^-^)s-4)e'A+p''l)i4(wa> p)> F6Л)
<5t A —ЯррО Оаю (?) — | Se A —Ярр.) Д»(^о) =
-еЪр Г
Jlfnt-p"
/JP+p"
ffl ,@.A-р„о^(«ж.р). F-66-2)
I * рр') *-Лх(О \ ) с *^в \ 1 |" * рр',) ^аш \^)
?¦0
оо
/* ЭС 11 -1- Р ' I Л (?7)
JU"m-pa
106 ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ [§ 6
«е A —ЯРр') ?.»(?) —«в A — Prf)D,m(E0) =
2 (Е2 Ег) 1 Е'*Л1?)*№
_ _
УЛР+р»
EiEp е A -Ярр,)Л (и», Р) F.66.4)
(мы опустили здесь штрих у энергии Ео, поскольку прежнее
обозначение Ео нам больше не встретится).
6.12. Дисперсионные соотношения F.66) уже не содержат
более ни интегрирования по отрицательным энергиям, ни не
имеющих физического смысла неопределенных постоянных.
В самом деле, поскольку мы считаем теперь, что энергия ?0
лежит в наблюдаемой области,
Ео > 1/~/я2 + Р2, ' F-67)
то Daio(E0) можно определить экспериментально. Далее, ве-
величина А (/и2, р2) будет явно вычислена в дополнении Б (Б. 18.1).
Таким образом, в соотношениях F.66) остается неразъяснен-
неразъясненной только постоянная
tf=?COU=M». F-68)
Остановимся на вопросе о ее физическом смысле.
6.12.1. Как известно, вопрос о том, что назвать «экспе-
«экспериментальным мезонным зарядом реального нуклона», не ре-
решается, в отличие от аналогичного вопроса в электродина-
электродинамике, однозначно. В последнем случае общепринятым является
определение экспериментального электромагнитного заряда
как коэффициента, стоящего при тройной вершине для рав-
равных и реальных импульсов заряженной частицы и равного
нулю импульса фотона. С формальной точки зрения такое
определение оказывается возможным, поскольку для этих
значений импульсов частицы одновременно как импульс фо-
фотона оказывается реальным, так оказывается возможным и
удовлетворить законам сохранения (импульс 0=0 может
относиться к реальному фотону!). Физически такое опреде-
определение означает апелляцию к опытам по поведению электрона
§ 6] ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ 107
в медленно меняющихся макроскопических полях типа опыта
Милликена и, в конечном счете, по существу к возможности
определить электромагнитный заряд в чисто макроскопиче-
макроскопических опытах, исследующих взаимное притяжение заряженных
бузинных шариков.
В мезодинамике подобный путь является закрытым — из-за
экспоненциального спадания ядерного поля с расстоянием
(обусловленного конечностью массы мезонов) макроскопиче-
макроскопической мезодинамики не существует, и потому определить ме-
зонный заряд из макроскопических опытов нельзя. Формально
это проявляется в том, что (из-за той же конечности массы
мезона) нельзя так подобрать импульсы тройной вершины,
чтобы одновременно (а) они были вещественны, (б) отвечали
бы реальным частицам и чтобы (в) выполнялись законы со-
сохранения,— т. е. чтобы был возможен реальный процесс.
Поэтому, как бы мы ни построили определение «экспери-
«экспериментального мезонного заряда реального нуклона», оно обяза-
обязательно будет формальным и будет относиться к величине,
фигурирующей лишь в теоретических выкладках, но отнюдь не
поддающейся непосредственному определению на опыте. Кон-
Конкретный выбор определения не будет иметь при этом прин-
принципиального значения, надо лишь, чтобы такое определение
было четко сформулировано. Поэтому мы вправе опреде-
определить экспериментальный мезонный заряд реального нуклона,
как коэффициент при тройной вершине для случая, когда,
во-первых, выполнены законы сохранения и, во-вторых, все
три импульса относятся к реальным частицам.
Составляющие импульсов неизбежно окажутся при этом
комплексными, поэтому непосредственно определить удовле-
удовлетворяющий таким условиям заряд через вакуумное среднее
третьей вариационной производной матрицы рассеяния (которое
будет играть при нашем способе построения теории роль коэф-
коэффициента у операторов поля при тройной вершине) нельзя, и
мы естественно приходим к тому, чтобы воспользоваться ме-
методом аналитического продолжения, т. е. сначала ввести,
с помощью соотношения (Б. 11) из дополнения Б, функцию
g(q2) для <72 = т, удовлетворяющих неравенству F.23), затем
выполнить (возможность чего будет доказана в Б.5) аналити-
аналитическое продолжение этой функции вплоть до отвечающего
реальному мезону значения т —/я2 и определить экспери-
экспериментальный мезонный заряд реального нуклона, как значение
108 ПОСТРОЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ [§ 6
введенной в (Б. 11) функции g(q2) для ^2 = /и2, т. е. как
m>- F-69)
Выкладки раздела Б.5 показывают, что так определенный
заряд будет вещественным.
Итак, единственной входящей в F.66) не наблюдаемой на
опыте постоянной можно придать ясный и важный физиче-
физический смысл и (см. ниже § 8) сами соотношения F.66) можно
будет использовать для экспериментального определения этой
постоянной.
6.12.2. Однако в интеграле по Е' в наших дисперсион-
дисперсионных соотношениях F.66) все еще остается интегрирование
по части ненаблюдаемой области, именно, по части, занятой
непрерывным спектром. Хотя выше и было показано, что
антиэрмитову часть амплитуды рассеяния Arjw (E) можно полу-
получить в этой области аналитическим продолжением из наблю-
наблюдаемой области, ясно, что реально такое продолжение можно
было бы осуществить, лишь если бы имели полученное из
теории аналитическое выражение для А0Ш(Е), но не только
находимые из опыта приближенные численные значения. По-
Поэтому, поскольку теория меюн-нуклонного взаимодействия
пока отсутствует, практически вычислить эту часть интеграла
не удается, и нам придется просто пренебречь ею, выполняя
интегрирование не от приведенного в F.66) нижнего предела,
а от границы наблюдаемой области У"/я2-|-р2. Заметим лишь,
что для рассеяния вперед, когда р = 0, этой части интеграла
вообще не будет, поскольку при этом непрерывный спектр
не заходит в ненаблюдаемую область..
§ 7. ИССЛЕДОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ
ФУНКЦИИ STa<u
Излагая в предыдущем параграфе вывод дисперсионных
соотношений, мы приняли без доказательства то утвержде-
утверждение, что функцию Sfvu>(E, т) можно представить в виде F.39)
через функции F, и F2, обладающие свойствами (а), (б), (в)
из пункта 6.9. Чтобы доказать это утверждение, нам по-
понадобится предпринять теперь более детальное исследование
аналитического поведения функции ST.
7.1. Установим сначала некоторые алгебраические соот-
соотношения. Напомним прежде всего, что согласно F.3) функ-
функция Т была определена, как фурье-образ
G.1)
функции Faio(x), соответствовавшей матричному элементу
(взятому между двумя однонуклонными состояниями) комму-
коммутатора двух бозевских токов:
= i <р', S' | jf. (xyf су)—у"р Су) у> (*) I p. 5 >• C-23)
Поэтому, проводя в C.23) преобразование Фурье по обеим
координатам, мы получим:
ft) 8 (/—
ПО ИССЛЕДОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ 5Таш [§ 7
Выразим здесь стоящие под интегралом матричные эле-
элементы через вакуумные средние с помощью принципа Н.З
из § 2. Используя формулу (Б.4), найдем, что
= ^у7 й+*"'(р') J
dxi X
- G-2)
Введем для стоящего под интегралом вакуумного сред-
среднего обозначение
0\_о,„ „ „ „х G3)
Заметим теперь, что если у нас имеется некоторая трансля-
ционно-инвариантная функция F(xlt x2, x3, jc4), то ее пол-
полный фурье-образ, — получаемый, если провести независимые
преобразования типа F.3) по каждой из координат xt,..., xiy—
будет пропорционален S-функции от суммы импульсов. Для
дальнейшего нам будет удобно называть в таких случаях
фурье-образом коэффициент при этой S-функции (деленный
на BиL), который мы будем обозначать через F(pi, p^'PitPd-
Итак, положимх):
Г F(*!
е* <г)ж'+• • •
если
dx1 . . . dxi =
t Pi), G-4)
.. x4). G.5)
!) Легко видеть, что такое обозначение согласуется как с ис-
используемой нами общей нормировкой при переходе к фурье-образам:
F (xv ...,хп) = Bк)~*п f dkx... dkn exp { — / 2 *^<} T ^ *»>¦
так и, с другой стороны, с выбором нормировок при переходе
к фурье-образу для явной функции от разности двух 4-точек, напри-
например в F.3).
§ 7] ИССЛЕДОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ STaio 1 1 1
Сравнивая это определение с соотношением G.2), видим,
что интересующая нас функция Таш (^—fr ™) будет выра-
выражаться через фурье-образ функцииG.3), D(pv р2, р,6, /?4), если
положить в нем
т. е.
где
-p, q', —
G.6)
, G-7)
— р — <7 =
G.8)
7.2. Исследуем, как зависит D (р1г р2, р3, р4) от своих
аргументов. Выполняя в G.3) вариационное дифференцирова-
дифференцирование, найдем, что
A—
где
l x4), G.9)
G.10)
х4)=
Vi) = — (o
о);
о).
G.11)
J
а /^34 означает оператор перестановки индексов 3 и 4.
Будем считать, что соответствующее G.9) разбиение
в сумму выполнено и для функции D(pu .... /?4). Легко видеть,
что тогда для интересующих нас значений х, удовлетворяю-
112 ИССЛЕДОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ STau) [§ 7
щих F.38), два последние члена в такой сумме не дадут
вклада в D(pu . . ., р4).
В самом деле, рассматривая, например, функцию D '3) (х± хА)
и применяя формулу B.6) разложения по полной системе функций,
найдем
2/4
л, Л (л,
k\Jr(xt)\0). G.12)
Но среднее по вакууму от тока равно нулю в силу C.6), что же
касается элемента перехода тока между состояниями \ п, к) и ва-
вакуумом, то благодаря трансляционной инвариантности его можно
записать в виде
(п,
где
к„ = к;
Наконец, в § 4 было установлено, что матричные элементы
(п, к|Ур(О)|О>
равны нулю и для одномезонных или двумезонных состояний. Таким
образом, в сумме G.12) могут участвовать лишь состояния с
и, следовательно, в фурье-разложении D'3) могут участвовать экс-
.юненты ехр {1рАхА} лишь с
р2 > (ЗягJ.
Таким образом,
DC)(Pi. •••• Р4) = 0, если р\<{Ът)\ G.13.1)
Совершенно аналогично устанавливается, что
?>D) (Pi. • • • - Рд = 0, если /?2<C/гаJ G.13.2)
и, следовательно,
I — 0, если р\ < C/гаJ,
" G-14)
Р?9,РЫ DW (Pl, ..., Pi) = 0, если р\ <
§ 7] ИССЛЕДОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ STau> ИЗ
Поэтому мы можем написать, что
D(А. • • •> Рд= 2 A—Рн/Рзд°(а)(Ри • • •> Р4). С7-1^)
если
/732<(ЗтJ и р*<Cт)*, G.16)
и нам остается исследовать аналитическую структуру только
функций D*1^/?,, . . ., /?4) и DW(pu ..., /?4).
7.3. Эта задача требует более серьезного исследования,
значительная часть которого относится скорее к теории функ-
функций многих комплексных переменных, чем к физике. Поэтому
мы сформулируем здесь результаты чисто математической
части рассуждений в виде теоремы, доказательство которой
будет приведено в дополнении А.
Теорема. Пусть будут даны четыре группы
(i = r, a; j = r, a)
трансляционно-инвариантных обобщенных функций
преобразующихся по линейным конечномерным представ-
представлениям группы ЛоренцаJ) и обладающих свойствами:
F^r\(xlt..., х^ = 0, если х^^.хг или
F^lix^ . . ., хА = 0, если xt^.x3 или
Fl,r(xu . . ., xi) = 0, если x3<^xt или
Fa\(xlt . .., х^ = 0, если
или
Пусть, кроме того, данные функции удовлетворяют
условиям
если
Р1, _ v/ ' - GЛ8)
если
и
') v нумерует компоненты этого представления.
8 Зак. 2670. Боголюбов и др.
114 ИССЛЕДОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ ST^ [§ 7
а также и требованию
< (Af-f- mf или fi + fP3<0. J
если (Рх + Р
Тогда можно построить обобщенные функции
Фи>(г1, ..., zb; ze) вещественной переменной г6, являю-
являющиеся аналитическими функциями комплектных перемен-
переменных zu . . ., zh, со свойствами:
(У) Функции Фш регулярны в области
]*, —Л1*|<рт2; |z2 — Ж21< рот2; 1
1^з — т*1 <р/«2; |г4 — T*|<p™2; 1G.20)
4m2<Rez^°; Umz|^2^ j
где р — достаточно малое положительное число, а веще-
вещественное х* удовлетворяет неравенствам
— V^^^m2, G.21)
где V—некоторое положительное произвольное, но фикси-
фиксированное число.
B) функции
Фш(ги ..., гъ; ze) = 0, если z,<{M-\-mf. G.22)
C) Для вещественных pv ..., р4, таких, что
Л Н- Рг
величины
= (А
-Рг, гз Ря, zi 4; ) G.20')
'; ^в = (А+РзJ i
удовлетворяют неравенствам G.20), функции F$ можно
представить в виде суммы
FijiPi Л) = 2/' • • • //8 Ф» Ui. ¦ • -. г5; z6}, ) 2
)
конечным числом членов (ш = { аг а8 j).
§ 7] ИССЛЕДОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ STXto 115
Мы хотим применить эту теорему к нашим функциям
D(!'2) и PfP' P3i D<1'2). Проверим, будут ли выполняться ее
условия для функции DW(xlt ..., хА).
Положим
и достроим в качестве функции Fra, Far и Faa выражения
Far{xu ..., *4) = -@
^„(jc,, х^ = @
bj?(xt)
,(jfs) 5<|/(*г)
0);
о ;
JC Л = ¦
G.24)
' J
где фермиевские токи о (х), о (х) определяются равенством
C.4). Ясно, что так построенные функции F^ будут транс-
ляционно-инвариантными и преобразуются, как произведения
спиноров (мы не выписываем теперь явно верхнего индекса
(v), роль которого будут играть спинорные индексы полей
(или токов) в точках xv и х2). Очевидным образом (в силу
условия причинности B.24)) выполняются также и свой-
свойства G.17).
Чтобы показать, что выполняются условия G.18), заметим, что
имеют место тождества:
+
справедливость которых легко проверить, исходя из определений
C.4). С их помощью мы получим, например, для первого из условий
G.18):
— Fa
t(o
Ц
(х2)
116 ИССЛЕДОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ STau> [§ 7
Отделяя здесь в каждом члене первый множитель под знаком мат-
матричного элемента с помощью теоремы полноты и пользуясь транс-
трансляционной инвариантностью токов, найдем путем точно таких же
рассуждений, как использованные выше (G.12) — G.13)), что
фурье-образ первого члена обращается в нуль для
а фурье-образ второго — для
Поэтому
р\
(Pi Pi) — Far (Pl> ¦•¦> Pi) = 0,
Совершенно аналогично проверяются и остальные условия
этой группы.
Таким образом, выполнение условий G.18) проверено.
Нам осталось проверить выполнение требования G.19).
Разложим для этого произведение G.10.1) по полной системе
функций
G.25)
В силу трансляционной инвариантности для каждого из множителей
под интегралом можно написать
'(Jfi)
@)
— ха)
G.26.1)
г, к
= (п,к
где
(Д/V^
G.26.2)
Далее, матричные элементы в G.26) обратятся в нуль для безну-
клонных состояний в силу закона сохранения ядерного заряда.
Поэтому в сумму G.25) могут войти только состояния с одним
§ 7] ИССЛЕДОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ STau> 117
нуклоном, одним нуклоном и одним мезоном и т. д. Итак,
„ г
= / dke
ik, (x-i-
'(«
Ч? @)
8<|/ (jq —ж8)
Чл. @)
oVf
— Jf3)
)(-¦
n,k)/n,k
0/p (Jf4 —
оф (О)
G.27)
ft°>0.
Таким образом, функция DC) (х±, ..., jc4) представляется супер-
суперпозицией экспонент вида е* {«'(ж' " Жз) + За (ж' " Жа) + ft« (ж' " Xi) }l
где Л^ > 0, а квадрат k2n либо больше (М -\- /теJ (второй член
в G.27)), либо равен М2. Переходя к нашим обычным импульсам
рь ..., рр выбранным в соответствии с G.4), получим kn = p\-{-р%.
Следовательно, из-за наличия в G.27) однонуклонного
члена функция D^ (xlt ..., х4) непосредственно не удовле-
удовлетворяет условиям теоремы; именно, из-за однонуклонного
состояния не удается выполнить требование G.19). Однако
ясно, что однонуклонное состояние исключится, если мы
умножим фурье-образ D(p,, . . ., р4) на
J]-
G.28)
Ясно также, что выполнение остальных, проверенных выше,
условий теоремы при этом не нарушится. В координатном
представлении умножение на множитель G.28) сведется к дей-
действию на D'1' (jct, ..., Xj) оператора
Выполнение условия G.19) для остальных функций G.24)
достигается совершенно аналогично.
Итак, мы установили, что функция
удовлетворяет всем условиям теоремы. Следовательно, для
импульсов pt р4, удовлетворяющих условиям G.20'),
1 18 ИССЛЕДОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ STau> [§ 7
G.20) ее фурье-образ можно представить в виде:
G.29)
если
= 0,
если
или
(последнее равенство следует из выполнения G.19)).
Переходя теперь к рассмотрению функции DB'(x,, ..., х4),
видим, что все рассуждения проводятся для нее совершенно
аналогичным образом, происходит лишь одновременная замена
переменных
1 ^=± 2 и 3 7—- 4.
Поэтому для фурье-образа функции
имеет место (для импульсов, удовлетворяющих G.20'). G-20))
представление:
G.30)
если
= 0,
если
или
Точно таким же образом устанавливаем, что для двух
других членов в G.15) можем написать:
[Л!* —
если (
= 0,
если 0»! + рАJ < (М + отJ или р\ + р» < 0
G-31)
§ 7] ИССЛЕДОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ ST,Jui 119
и
G.32)
если
если
J или />?-Ь/>4>°-
7.4. Подставим теперь для переменных рх, . . ., р4 инте-
интересующие нас значения G.6), где составляющие векторов
р'', ..., —q в нашей специальной системе координат F.11)
задаются формулами F:12), F.13). Получим тогда:
= _ 4p2;
(Pi
G.33)
Остановимся сначала на фигурирующих в G.29) — G.32)
неравенствах. Если подставить в них значения G.33), то мы
получим, вспоминая F.31):
вместо (А + Р3J 3= (М +
вместо р
G-34)
вместо (Л + PiJ^(Л1
вместо
G-35)
Поскольку для р2, удовлетворяющих F.33), Ee(i) поло-
положительно, то из G.34), G.35) следует, что пары неравенств
0
или
120 ИССЛЕДОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ STaat [§ 7
не могут выполняться совместно. Поэтому функции
(plt ..., р4) и PpP'P34D^ не дадут никакого вклада в пол-
полный фурье-образ D(plt ..., р4) для интересующих нас зна-
значений импульсов.
Учитывая это обстоятельство и используя значения G.33),
приходим к следующему представлению для фурье-образа
би •••- Р4) функции D(xu .... хА):
X 2 PJ*>Sm\ Ж2, х, х, -4
1
+ ;
G.36)
где
Ф „,(...) = О для ?<?с(х); \
G.37)
Ф,„(...) = 0 для Е>—Ес(х),1
справедливому, если
— У<1х < A -)-р)/и2 Aпт: = 0) и р2 < -гт——hi2, G.38)
где Рш и Рш—полиномы относительно компонент импульсов,
а Фщ и Фт—-аналитические функции первых пяти аргумен-
аргументов, регулярные в области
и обобщенные функции шестого аргумента. Кроме того,
надо помнить, что получая G.36), мы делили G.29) и G.31)
на (ЕР±Е). Поэтому представление G.36) справедливо,
конечно, только для
Б?=±Бр(О. G.40)
Но при выполнении условия G.40) функция Т{Е, т)
созпадает с /(?, х) (ср. F.35)). Следовательно, подставлля
§ 7] ИССЛЕДОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ STauJ 121
представление G.36) в G.7), мы получим не функцию
Т„а(Е, т), но функцию /,Ш(Е, ¦:).
Поэтому, не выписывая в дальнейшем не интересующей
нас зависимости от М2 и р2 и обозначая!)
(РО 2 ^ш1>ш № АР, х, т,-4р«; ? + АР + 2р2) u+s (p)
'шФ'т (АР, АР, х, х,-4р2; ?+Af2 + 2p^) u+S (p)
G-41)
приходим к тому окончательному выводу, что
функция Sf,m (E, т) может быть представлена, если
выполняются условия G.38), в виде
(Б, х) = F, B
^ + х; х), G.42)
г^е ^(^т)'—аналитические функции переменной х
в области G.39) и обобщенные функции веществен-
вещественной переменной ?, обладающие свойством
Fi(lx) = 0 для K2Mm + m2- 2р2. G.43)
Тем самым представление F.39), которым мы воспользо-
воспользовались в предыдущем параграфе для вывода дисперсионных
соотношений, обосновано.
') Операция симметризации понадобилась здесь потому, что
полиномы Рш, Рт могут содержать первую степень \, неаналитиче-
неаналитически (ср. F.18)) зависящую от т.
§ 8. ФИЗИЧЕСКИЕ ДИСПЕРСИОННЫЕ
СООТНОШЕНИЯ
Построенные нами в шестом параграфе дисперсионные
соотношения F.66) связывают функции D(E) и А(Е), пред-
представляющие собой не скалярные функции, но «функциональные
матрицы» в спиновом и изотопическом пространствах. Поэтому
в этих соотношениях содержится связь между мнимыми и веще-
вещественными частями амплитуд для всех реально протекающих
процессов рассеяния.
Однако удобнее, конечно, выделить эти амплитуды явно,
с тем, чтобы написанные соотношения отвечали отдельным
определенным физическим процессам. Заметим здесь, что,
например, компоненты мезонного поля ср (х), так как они
были ранее введены,
не описывают мезонов в определенном зарядовом состоянии.
Между тем для интерпретации экспериментальных данных
нам потребуются амплитуды, отвечающие непосредственно
протекающим процессам.
8.1. Возможны 10 различных по зарядовой характе-
характеристике процессов (включая процессы с перезарядкой) рас-
рассеяния трех сортов мезонов тг+, тг°, тг~ на двух нуклонах р
и п. Кроме того, каждый из этих 10 процессов может про-
протекать с переворачиванием спина нуклона (спин-флиповый
процесс) или без переворачивания (не спин-флиповый про-
процесс), так что число амплитуд еще удваивается. Выпишем
все возможные процессы рассеяния тг-мезонов на нуклонах,
указав их очевидные изотопические характеристики:
§ 8]
ФИЗИЧЕСКИЕ ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
123
Процесс
I. ъ+ -\-р->~п+ -\-р
11. г.0-\-р -+-п.0-\-р
111. пО + р -*-я+-(- п
IV. п+ -\- п ->т.0-\-р
V. 71+ + П -> JJ + -\- П
VI. 71- -\- р-+Ъ~~ + р
VII. 71- -1- /> -> 710 -)- Я
VIII. 7сО+« ->7С~+/>
IX. 7tO-|- Л ->7l"-(- П
X. 71- -(- Л -> 7С~ 4" Л
Проек-
Проекция /г
•72
V-
-Vs
-7*
Полный изотопический
спин /
Чистое состояние с / = 3/п
Суперпозиция состояний с
/=7« и /--=:У2. Процессы
идут но двум каналам: «упру-
«упруго» и «с перезарядкой».
Возможно одночастичное
промежуточное состояние —
протон
То же, что и для 11—V, но в
промежуточном состоянии
возможен не протон, а ней-
нейтрон
Чистое состояние с / = %
Если, однако, мы пренебрежем слабым, по сравнению
с ядерным, электромагнитным взаимодействием1), то число
действительно различных амплитуд сведется всего к четырем.
Действительно, вследствие зарядовой независимости ядер-
ядерных сил мы можем приравнять амплитуды процессов I и X
и соответственные амплитуды групп II—-V и VI—IX, ко-
которые получаются друг из друга одновременной заменой:
-о
п.
Кроме того, амплитуды реакций III и IV и VII и VIII по-
попарно связаны принципом детального равновесия.
Дальнейшее уменьшение числа линейно независимых ампли-
амплитуд диктуется требованием общей инвариантности по отно-
отношению к вращениям в изотопическом пространстве.
!) Заметим, что мы пренебрегли электромагнитным взаимодейст-
взаимодействием раньше и весьма существенно, когда, рассматривая полную
систему промежуточных состояний, мы не учитывали состояний,
содержащих фотоны, ограничиваясь тем самым лишь сильными
взаимодействиями.
124 ФИЗИЧЕСКИЕ ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ [§ 8
8.2. При этом проще всего действовать следующим
образом. Составляя изотопические функции системы мезон-
нуклон путем перемножения исходных функций мезона и
нуклона, мы получаем функции в шестимерном пространстве,
являющемся прямым произведением изотопических про-
пространств мезона и нуклона. Однако это представление из-
известным образом распадается в прямую сумму неприводимых
четырехрядного и двурядного представлений, отвечающих
значениям полного изотопического спина 3/2 и 1/2. Инва-
Инвариантность по отношению к вращениям в изотопическом
пространстве будет теперь требовать, чтобы амплитуда рас-
рассеяния зависела лишь от значения полного изотопического
спина. Поэтому амплитуды рассеяния всех перечисленных
выше десяти процессов будут выражаться линейно через две
независимые амплитуды, в качестве которых можно выбрать
амплитуды рассеяния в состояниях с /=8/2 и 1=1/2. Коэф-
Коэффициенты этих линейных комбинаций будут произведениями
соответствующих коэффициентов Клебша — Жордана.
Очевидно, что для того, чтобы, наоборот, выразить
амплитуды рассеяния в состояниях с /=3/2 и /= 1/2,
Ч и Ч.
через амплитуды физических реакций, достаточно также двух
процессов. Возьмем в качестве таковых процессы I и IV,
единственные, сколько-нибудь подробно изученные экспери-
экспериментально, — обозначив их амплитуды через
Т+ и Т_.
Поскольку процесс I сам по себе относится к чистому
состоянию с /= 3/2, то совершенно очевидно, что
Амплитуда же Т_ представляет собой суперпозицию
8.3. Чтобы установить изотопическую структуру матрич-
матричного элемента Tl^ , обратимся к соображениям инвариант-
§ 8] ФИЗИЧЕСКИЕ ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ 125
ности. В нашем распоряжении имеется два изотопических
вектора, описывающих две частицы — нуклон и тг-мезон; из
них мы можем образовать единственный изотопический ска-
скаляр-—-их скалярное произведение. Второй скаляр — это еди-
единичная изотопическая матрица 8p'pot't. Любые другие комби-
комбинации этих векторов, например коммутаторы и степени,
будут приводиться к тем же скалярам. Поэтому
Tr;tt';?t^Abf'?bt't — (^\'f;?tB< (8.3)
где А и В—уже изоскалярные амплитуды. В этой формуле
"Сим означают матричные векторы изотопического спина
нуклонов и мезонов соответственно; t, р— индексы изото-
изотопических состояний.
Чтобы связать А и В с определенными выше Т+ и Т-, вычис-
вычислим собственные значения оператора (ют). Для этого введем Q —
вектор полного изотопического спина; тогда
откуда видно, что собственные значения (ют) равны: 1 в состоянии
| 3/2) и —2 в состоянии l1^)- Поэтому из (8.3) следует:
T,h = (A-B) и T4i =
Заметим, однако, что мы пока еще не позаботились так отнор-
мировать амплитуды рассеяния, чтобы они были связаны с эффек-
эффективными сечениями обычным соотношением A.17). Оказывается,
что для этого следует дополнить ранее определенные величины
множителем Bя2). Поскольку мы переходим теперь к амплитудам
для реальных процессов, то уместно именно сейчас совершить это
переопределение, в соответствии с чем мы запишем вместо (*):
т. е.
^=BВ) ; В
о
Отсюда, пользуясь формулами (8.1) и (8.2), устанавли-
устанавливаем, что
А = Bд2)~1 Т+ + Т~ ; В = Bпг)~1 Т~~^Т+ • (8-4)
126 ФИЗИЧЕСКИЕ ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ f§ 8
Легко показать, что вектор изотопического спина ме-
мезонов w можно записать, как
о)Р" = 1е , ,,
рр рр р •
Следовательно,
'VxP" !V xl (85)
что позволяет нам исключить вектор ft). С помощью (8.4),
(8.5) и (8.3) находим:
^'^S^+^-i'V- х>1- G-+— Т"-)- (8-6)
8.4. Нам осталось еще выделить зависимость от обыч-
обычного спина нуклона, что мы сделаем, также исходя из сооб-
соображений ковариантности. Очевидно, что Tvet может быть раз-
разбито на два члена — не зависящий от а и содержащий а.
Высших степеней я быть не может в силу известных свойств
вектора я. Чтобы получить скаляр, надо умножить я на
какой-либо аксиальный вектор, который строится из имею-
имеющихся векторов р и Хе единственным образом:
Таким образом, мы приходим к зависимости вида
.., 7#A). (8-7)
8.5. Объединяя результаты анализа строения амплитуды
рассеяния в изотопическом и спиновом пространствах ((8.6)
и (8.7)), мы найдем:
+- ± (ар Хе), Д. A t (Т? + Т?) -
^-.^L^C^-T-L4) . (8.8)
§ 8] ФИЗИЧЕСКИЕ ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ 127
Легко видеть, что каждый из четырех членов, суммой
которых является Tret, обладает разной симметрией по про-
пространственному и изотопическому спину. А так как в диспер-
дисперсионные соотношения F.66) Т'[Л входит не непосредственно,
а в симметризованных (антисимметризованных) по р, р' и по е
комбинациях (заметим, что у выражения (8.8) симметрия по
спину и по е совпадает), то в каждое из четырех соотно-
соотношений F.66) входит только один член из суммы (8.8).
Именно:
рр') ©
•. а< -т^ге* I
(8.9)
—/у) ®е rot
A—/>pP.)9U ^ret =1?
Для подстановки в дисперсионные соотношения нам надо
отделить в (8.9) эрмитову и антиэрмитову части. Для этого
достаточно разделить на эрмитову и антиэрмитову части 7±>:
В самом деле, преобразование эрмитова сопряжения состоит
у нас в выполнении комплексного сопряжения при одно-
одновременном проведении замены
р J± р; р' ^± р; s' ?t s; t' 7± t. (8.10)
Легко видеть поэтому, что, во-первых, операции симметри-
симметризации по р, р' и по е коммутируют с эрмитовым сопряже-
сопряжением, и, во-вторых, что все матричные множители в (8.9)
переходят при эрмитовом сопряжении сами в себя.
8.6. Разделяя таким образом соотношения (8.9) на эр-
эрмитову и антиэрмитову части, подставляя их после этого
в дисперсионные соотношения F.66) и пользуясь резуль-
результатами дополнения Б, мы придем к окончательному виду
128 ФИЗИЧЕСКИЕ ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ [§
дисперсионных соотношений для заряженных мезонов:
D!? (?) + D™ (Е) - D(°> (Ео) - D™ (Ео) =
f
j
Mm-p*
»+ р2
.. /2 /с-2 с2\
О?» (?) -
2 2\ г, F
-Qp j
м
„
Р .
A (D(^ (?о) + ОB» (?0)) =
¦СО
оо
Mm— p
VW+p"
м f(E2 — E2)
Щ7» (*;-*) on-*sr (
^> (Eo) + D^ (Eo) =
§ 8] ФИЗИЧЕСКИЕ ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ 129
Следует обратить внимание на то, что в дисперсионные
соотношения для заряженных мезонов входят каждый раз
суммы или разности как мнимых, так и вещественных частей
амплитуд рассеяния мезонов противоположных знаков за-
заряда. Это явилось следствием симметризации, которую мы
проделали ранее, чтобы избавиться от интегрирования по
отрицательным энергиям — по существу дело состоит в том,
что вместо амплитуд рассеяния, отвечающих отрицательным
энергиям, с неизбежностью входят амплитуды рассеяния для
античастиц.
Для рассеяния нейтральных мезонов, когда зарядовое
сопряжение не приводит к впутыванию новых частиц, отме-
отмеченное обстоятельство не имеет, естественно, места и диспер-
дисперсионные соотношения соответственно упрощаются. Положив
в исходной общей формуле (8.7) р = р' = 3, мы приходим,
после простых выкладок, аналогичных предыдущим, к соот-
соотношениям для амплитуд рассеяния нейтральных мезонов:
МЕ% (E3-?g)
00
: — El) P
uu
(р'г— F2\(F'2
VM" + рг
1 Е (Е2 — Е2)
Выпишем, наконец, еще и дисперсионные соотношения
для случая рассеяния вперед на нулевой угол (в нашей
9 Зак. 2670. Боголюбов и др.
130 ФИЗИЧЕСКИЕ ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ [§ 8
системе координат мы достигнем этого, положив
р=0) ). (8.13)
Для заряженных мезонов мы получим в этом случае:
D™ (Е) + D(_o) (Е) - D(+o) (Ео) — D(°> (?0) =
00
2 2 2 Г Е'
Я
^^TlMJ Г„2 /^2\21Гр2 /m2\'l' (8-14-l)
D(i' (E) -1- (D(+4 (Eo) + D@ (Eo)) =
^ ЛР I 2
D<!> (E) - D(^ (Eo
1^_^)я FdE'E>
L 12АГ
2AT
5 (8Л4-4)
§ 8] ФИЗИЧЕСКИЕ ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ 131
для нейтральных —
^(^r^KflflKyi1 (8Л5Л)
\2М) J [ ° \ 2MI
2 /• #i
2—e2)p Г
2 /т
f -l2M
Дисперсионные соотношения в такой форме обладают
двумя вполне конкретными преимуществами — в них отсутст-
отсутствует интегрирование по нефизической области энергий, мень-
меньших т (энергии покоя мезона) и, кроме того, по оптиче-
оптической теореме мнимая часть амплитуды рассеяния будет
пропорциональна полному сечению, что чрезвычайно упро-
упрощает сравнение с опытом.
ДОПОЛНЕНИЕ А
ТЕОРЕМЫ ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ
Введем ряд определений. Будем говорить, что некоторая
функция h(xu ..., х„; »i f)f/) = Л (л:; blt ...,bq), не-
непрерывная в Еп X 2в. где Еп — вещественное евклидово
пространство точек х=^(х1 хп), a Qq — ^-мерный тор,
точки которого характеризуются угловыми переменными
&i. •••. $q, — принадлежат классу C(r,s; я | v; Qq), если
все выражения вида
х
х
ь " ' тг дхч
существуют и ограничены при всех
Если для такой функции h некоторые из показателей г,
s, v могут принимать сколь угодно большие значения, усло-
условимся в обозначении класса С ставить на соответствующих
местах оо. В случае, когда рассматриваемые функции не за-
зависят от хи . . ., хп или соответственно от Ьи . . ., &ч, бу-
будем говорить о классе C(v; Qq) или C(r,s; n).
В классе С (г, s\ n) введем норму по формуле
= sup
dph(x)
Этим самым С {г, s\ n) превращается в линейное нормиро-
нормированное пространство.
доп. а] теоремы об аналитичности 133
Линейные (ограниченные) функционалы /(Л) на простран-
пространствах С (г, s; п), где г, s — любые неотрицательные числа,
будем называть обобщенными функциями, интегрируемыми
на классе С(г, s; п), употребляя при этом обозначения
f(x), ff(x)h(x)dx.
Таким образом, если /—обобщенная функция, то всегда
найдутся такие числа г и s, что / будет интегрируемой
на классе С (г, s; п). Обобщенные функции f1 и /2 будем
называть равными, если найдутся такие достаточно большие
г и s, что функционал fx—/2 равен нулю на С (г, s; п).
Будем говорить, что последовательность обобщенных
функций /„ (х) слабо (в несобственном смысле) сходится
к обобщенной функции f(x) на классе C(r,s; n), если
fn(x) и f(x) интегрируемы на классе С (г, s; n) и для лю-
любого h(x)^C(r, s; п) имеет место:
f /„ (х) h (x) dx —> f f(x) h ix) dx,
Будем говорить, что последовательность обобщенных
функций /„ ix) слабо (в несобственном смысле) сходится
к обобщенной функции fix), если найдутся такие достаточно
большие числа г и s, что последовательность /n ix) будет
слабо сходиться к fix) на классе Cir, s; ri).
Пусть G — открытое множество и-мерного эвклидова
пространства Еп и Г — его граница. Назовем границу Г ре-
регулярной, если для любой точки х?Т любая сфера с цент-
центром в точке х содержит другую сферу, не имеющую с О
общих точек.
Будем говорить, что обобщенная функция fix) равна нулю
в открытом множестве G с регулярной границей Г, если су-
существуют такие достаточно большие числа г и s, что
J fix)hix)dx = O
при всех hix) из Cir, s; п), обращающихся в нуль в Еп — G.
Условимся говорить, что некоторое выражение
fik, t), Л = (Л„ . . ., km), t = (il3 . ... tn)
134 ТЕОРЕМЫ ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ (ДОП. А
является обобщенной функцией, (вещественных) переменных
t, интегрируемой на классе С (г, s; л), и аналитической
функцией комплексных переменных k, регулярной в об-
области D, если для любой функции h{t) из класса С (г, s; n)
интеграл
f f(k,t)h(t)dt
будет аналитической функцией k, регулярной в области D.
Если в подобной формулировке мы не будем специально
упоминать об интегрируемости на некотором конкретном
классе С (г, s; n) и будем говорить просто об обобщенной
функции, то мы тем самым условимся подразумевать, что
такой класс имеется при соответствующих достаточно боль-
больших г я s.
Условимся об обозначениях при п = 4. Преобразование
Фурье f(p) обобщенной функции f(x) мы определим по
формуле
7(Ро' Р) = //Оо. х) ехр / (хоро — хр) dx,
где, как и в дальнейшем, приняты обозначения1):
х = (х0, \) = (х0, хи х2, х3), р = (р0, р) = (/>0, Pi, Pi, РзУ,
3 3
хр = хоро — хр, хр = 2 хара, х2 = 2 х\;
3
А.1. Лемма I. Рассмотрим аналитическую функцию
Ф(А0, ..., ka, ...) четырех комплексных переменных
k0, fta(a=l, 2, 3), регулярную в области:
|А0|<ш. (АЛЛ)
Пусть r0, R будут положительными числами, удовлет-
удовлетворяющими неравенству:
ro<R<u. (АЛ.2)
*) Из соображений удобства письма мы будем помещать в этом
дополнении все тензорные индексы снизу, а не сверху, как обычно.
доп. а] теоремы об аналитичности 135
Пусть, далее, г^ будут положительными числами и N
целым положительным. Тогда в области
\ko\<ro, | Ая] < rtt (A.1.3)
имеет место интегральное представление:
ф
¦««)
(А. 1.4)
Кроме того, здесь
9 «. (в. 80 в,), ...) A -
(Д. 1.5)
sin
г2
ft, = 6а (в0 в3) - г, cos 8а — | ^ sin 280.
Доказательство. Заметим, прежде всего, что благо-
благодаря неравенству (А. 1.2) круги
г0,
лежат целиком в области регулярности функции Ф (k0, . .., k3).
Мы можем поэтому применить в данном случае теорему
Коши к каждой из четырех комплексных переменных
k0 къ, и тем самым установить справедливость соотно-
соотношения (А. 1.4).
Чтобы перейти к доказательству представления (А. 1.5),
рассмотрим аналитическую функцию одной комплексной
136 ТЕОРЕМЫ ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ (ДОП. А
переменной:
^(?) )Ф — *)я. (А.1.6)
Так как функция эта регулярна в области
мы можем воспользоваться теоремой Коши и написать:
2*
С другой стороны, на основании (А. 1.6) имеем:
Подставив эти выражения в обе части равенства (А. 1.7), мы
и приходим к доказываемому представлению (А. 1.5).
А.2. Лемма II. Предположим, что функции ааF0 03),
введенные в предыдущем пункте А. 1, удовлетворяют не-
неравенству:
|а|<1—о, (А.2.1)
где а — некоторое положительное число.
Тогда, если y(t), g(t) будут функциями из класса
С (О, оо; 1) такими, что
—В; ?@ = 0, f< —S, \
то выражение
TW ЙГ(^-х*) J db 2 \* } X
X ехр / {xo/?eie — xu@,8o, ...,98)}, (А.2.3)
доп. а] теоремы об аналитичности 137
рассматриваемое как функция f(xQ, . . ., хя; 60, . . ., 83),
принадлежит к любому классу С (г, s; 4 |v; S4), для которого
г + «-И<Л/+1. (А.2.4)
Доказательство. Заметим прежде всего, что
i {x0Rei9 — xu (8, 80> . . ., 83)} = — x0R sin 8 -f xa R sin2 8 +
-f- lx0R cos 8 — ix {- R sin 28 + b j,
2
Заметим, далее, что функции
= sin 0 (sin б — i cos 6).
принадлежат соответственно к классам С( оо; S2) я С (со; S6).
Поэтому только что сформулированная лемма будет доказана,
если мы сможем установить следующее, более общее утвер-
утверждение:
Если
/(в,в0, ...,
и если значения АЛ вещественны, то функция
Qsin^e /(8,e0 е3)х
X ехр {—
принадлежит к классу
C(r(s;4|v;S4), где
Это утверждение мы и будем сейчас доказывать. Ясно,
прежде всего, что выражение (А.2.5) благодаря условию
(А.2.2) может быть отлично от нуля лишь в области, в которой
jco> —8, x2<Jt2-f§. (A.2.6)
138 ТЕОРЕМЫ ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ [ДОП. А
Заметим, далее, что
dxai ... дх„г д\ ... <Э6^
может быть представлена в виде конечной суммы выражений
типа
тс
/ Д(8, ...,93)Х
X ехр {— Jt0/?sinO-|-xa/?sin26-|-'*o#cos9 — гхА},
в которых
, 0; 4);
= 0 вне области B.6),
и Рл(х0, .. ., х3)—полиномы степени, не большей чем r-f-|i.
Имеем, наконец,
I Г dO sin^B /х ехр {— x0R sin 8 -f xaR sin2 8 -f ix0Rcos 9 —
-ixA} < max |Д(8, 60 8,)
X
X j dB sin^O exp { — x0 R sin 8 + x&R sin2 6).
о
Ввиду всего сказанного убеждаемся, что наше доказатель-
доказательство будет закончено, как только мы покажем, что в об-
области (А.2.6) для достаточно больших х0 имеет место нера-
неравенство:
-П (ха sin 9 -ха sin- в,sinJV fl м < const
К установлению этого неравенства мы сейчас и перейдем.
Примем во внимание, что в рассматриваемой области
х0 sin б — ах sin2 б > л:0 sin 8 — |а I ]Л;2 +8 sin2 9
и потому на основании (А.2.1),
r0 sin 8 — ах sin2 6 > х0 sin 8 — A — а) ух*-\-Ь sin2 8.
доп. а] теоремы об аналитичности 139
Возьмем положительное X так, чтобы
и будем рассматривать х0 ^ X. Тогда
х0 sin 6 — ах sin2 8 >- -|- xosin 6,
откуда
/— Я'ж,sin 9 — xasin*6)
е sinAr8rf8<
Т e'SIn
in* 8 d8 < У2"J* e'R T ^ sin e sin*6 cos 9
X
о
и наше доказательство закончено.
А.З. Мы перейдем теперь к приложению лемм I и II.
Рассмотрим две обобщенные функции Рг(х), Ра{х)
(х = (х0, х)), из которых одна будет запаздывающей, а дру-
другая опережающей:
Fr(x) = 0,
Построим их «сглаженные фурье-образы»:
Fr (k, *) = fPr (х) exp { — е (*g + x2) + / (k0x0 — kx)} dx,
Pa(k, e) = f Fa(x) exp { —e (*g +
s>0, (A.3.2)
140 ТЕОРЕМЫ ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ [ДОП. А
и заметим, что они являются аналитическими функциями
комплексных переменных k(ka, klt . . ., &,), не имеющими
особенностей на конечном расстоянии.
Введем в рассмотрение функцию F(k, e) тех же комплекс-
комплексных переменных, положив:
i) = Fr(k, e)—T(k, s), ImA0>0;
1 \ (A.3.3)
F(k, B) = Fa(k, e)— T(k, e), Im Ao < 0, j
где
T(k, e) = J- f ^ (*¦><, е)-4(^1<- ?)^ (A.3.4)
— a>
и где ш — некоторое положительное число.
Видим отсюда, что F(k, s), T(k, s) не имеют на конеч-
конечном расстоянии других особенностей, кроме «линии разреза»:
Im k0 = 0.
Возьмем k0 на этой линии. Получим:
F(ko-\-iO, к, s) — F(A0 — Ю, k, s) =
= Fr(k0, к, е) -Fa(k0, к, г) —{ r(,fto-f-/O. к, е) —
7V& /0 к sI
Но в случае, когда — ш < k0 < ш, можем написать:
^(Ао + Ю, к, е)—Г(А0 — Ю, к, в) ^
(и
= i У ! ^(^> к' *) — ?«(*. -к, s) 1 j t_^_i0 —
— ш
___ I /У/ :^i= p ^t W р"^ Р (Ъ \z &\
Следовательно,
Ю, к, s) — F(k0 — Ю, k, e) = 0 — u> < Ao < ш.
(A.3.5)
доп. а]
теоремы об аналитичности
141
Видим отсюда, что аналитическая функция F(k, e) является
регулярной в области
|А0|<о) (А.3.6)
(не имеет в ней особенностей на конечном расстоянии) и
потому мы можем применить к ней лемму I.
Таким образом, приходим к интегральному представлению:
F(k, e) =
в котором
2я
го>
(А.3.7)
¦
(A.3.8)
—1Гт{
6> е°' ¦ • •'9з)> • • -:
(А.3.9)
Чтобы воспользоваться леммой II, необходимо обеспечить
выполнение неравенства (А.2.1). Потребуем для этого, чтобы
входящие здесь га удовлетворяли неравенству
2|Г'
4-й)
< 1.
(А.З.Ю)
142 ТЕОРЕМЫ ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ [ДОП. А
Тогда, действительно, как можно усмотреть из (А. 1.6),
требование (А.2.1) выполняется, например, при
0= 1
2|г|
(-1)'
Займемся прежде всего первым слагаемым в правой части
(А.3.8). Подставив в него (А.3.2), найдем:
С
j Fr(x)e()/(x; 60I
/(*;60 6^=
(A.3.11)
Заметим теперь, что функции
— хг)/(х; 60, ..., 63)е v ;-
благодаря наличию режущего экспоненциального фактора,
принадлежат к классу С(оо, оо; 41 оо; Q4). С другой сто-
стороны, их разность равна нулю, если
хо>О, х\ — х2>0.
Но в области, где хо<0 или хг0—х2 < 0, обращается
в нуль сама функция Fr{x) (см. (А.3.1)).
Имеем, таким образом,
Fr(x)e {0 JI(x; 60, . . ., в,) d* =
ffW« l >(xo)g-(x^ —х2)/(х; 60 в,).
ДОП. А] ТЕОРЕМЫ ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ 143
Следовательно, выражение (А.3.11) равно:
где
h+(x; во,...,в,) =
-x.) f Л
f
(А.3.12)
Совершенно аналогично убеждаемся, что второе слагае-
слагаемое в правой части соотношения (А.3.8) равно:
к- \ Fa (х) е ' h_ (лг; 90,. . ., 93) dx,
причем
/г, (*; 60 в,) =
2л
(A.3.13)
Фиксируем теперь сколь угодно высокие показатели г, s, v
и возьмем теперь N= r + s-(-v—1. Тогда в соответствии
с леммой II мы можем утверждать, что обе функции h+ и
h_ принадлежат к классу С (г, s; 4|v; 24).
Итак, указанным способом мы можем построить
в классе С (г, s; 4|v; ?4)c любыми сколь угодно высокими
показателями такие две функции h+ а /г_, что:
(*)•"'W+St) A-(*¦ во.---.8.)^- <А-3-14>
Функции /г+, /г_ мы будем называть универсальными
в том смысле, что они зависят лишь от показателей г, s, ч,
а не от вида функций Fr(x), Fa(x).
144 ТЕОРЕМЫ ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ [ДОП. А
А.4. Для того чтобы провести предельный переход
при е->-)-0 в соотношении (А.3.7), сформулируем и дока-
докажем следующую лемму:
Лемма III. Рассмотрим некоторую обобщенную функ-
функцию /(х) и предположим, что существует такое поло-
положительное т], что
J f(x)e%pcdx=Q (A.4.1)
в области
Pl+P2<-<?- (А.4.2)
Фиксируем положительные R, со, й, удовлетворяющие
неравенствам
R*-\- 32 <W2 + 32<J, (А.4.3)
и построим функцию комплексных переменных
k = (k0, k) = (k0, *!,..., k3):
где
f(k; e) = J/(x)exp{— s (x^ + x2) +'^ } dx. (A.4.5)
Тогда можем утверждать, что
T(k, s)->-
равномерно в замкнутой области комплексных перемен-
переменных:
\ko\^R, |k|^S. . (A.4.7)
Доказательство. Рассмотрим выражение (А.4.5)
и подставим в него фурье-представление:
доп. а] теоремы об аналитичности 145
получим
Фиксируем теперь положительное tj так, чтобы
">2 + 32<f<§ ¦ (А.4.9)
и построим в классе С@, оо; 1)функцию v(t), для которой
У @=1, t-^r?,
?/@ = 0, t^rf.
Заметим, что функции (k фиксировано)
4e
принадлежат к классу С(оо, оо; 4). Разность их равна нулю
при
С другой стороны, по условию леммы, функция /(/?) равна
нулю, когда
2
Видим, следовательно, что соотношение (А.4.8.) может быть
представлено в форме:
f(k,s)=ff(p)Hk(p,s)dp, (A.4.10)
(A.4.11)
Будем проводить дальнейшие рассуждения, фиксировав k
произвольным образом в замкнутой области: f
|fto'|<°». k^8- (A.4.12)
К) Зак. 2670. Боголюбов и др.
146 ТЕОРЕМЫ ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ [ДОП. А
Проанализируем теперь характер стремления к нулю
последовательности Нк(р, е) при е—>-(-0.
Так как, по определению О,
=-0, при р2_,_р2^-2( (А.4.13)
то мы можем ограничиться областью
Имеем здесь:
Re {(л, — *оJ + (Р — Щ =
= (р0 — Refc0J + (р — Re k)* — (Im kof — (Im kJ =
= Pi + P2 + (Re kof + (Re k)« — 2 p0 Re k0—
—2p Re k — (Im kQ)* — (Im k)\
Ho
и потому
-s -—V(ReA!0J+(RekJ — (Im fe0J —(ImkJ—
— (Re kof - (Re kJ ¦+ Щ^ ^Pj^- — (|*012 + Ik I2) •
Поэтому ввиду(А.4.9), (A.4.12), (A.4.14)
где
С2 =i2 —(Ш2 + 52).
Таким образом,
exp j_ (*.-ДД' + (к-РУ| | < fl-i (^o+pa^). (A.4.15)
ДОП. А] ТЕОРЕМЫ ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ
Отсюда следует, благодаря (А.4.11), что
>. 8)->0
147
(А.4.1Ь)
равномерно для всех р и всех k из (А.4.12), при любом
сколь угодно большом значении s.
Более того, поскольку при дифференцировании режущая
экспонента остается неизменной и может лишь умножаться
на полиномиальные выражения, имеем также равномерно для
всех частных производных:
(А.4..7,
Приняв во внимание (А.4.10), видим отсюда, что при e-»-f-0
f(k, s) стремится к нулю со всеми своими частными про-
производными по k0, . . ., k3 равномерно в области (А.4.12).
Воспользуемся теперь этим результатом для исследования
выражения (А.4.4).
Имеем:
+/<*»*•)Si /г?
откуда
| T(k,&)\
— max
fit, к, в)-/(ftp, к,
t — ka
4-
2-r.i J t — k0
Но на основании только что полученного результата
*, к, г)-?(ъ. к,
max
t—k0
«-V+0
e-v+O
10*
148 ТЕОРЕМЫ ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ [ДОП. А
равномерно в области (А.4.12). С другой стороны, если
то интеграл
t-k0
является ограниченным.
Таким образом, в области (А.4.7) имеем в смысле равно-
равномерной сходимости
T(k, s)-> О
и наша лемма доказана.
А.5. Рассмотрим теперь вопрос о предельном переходе
г->0 в интегральном представлении (А.3.7), (А.3.8), (А.3.9),
(А.3.14).
Сделаем сейчас основное допущение о том, что
К(р) — К(р) = о (А-5Л)
для
Ро+Р2<712- (А.5.2)
Тогда, чтобы воспользоваться леммой III, нам надо обеспе-
обеспечить выполнение неравенств (А.4.3) и (А.4.7) аргументами k,
входящими в выражение Т, фигурирукщее в правой части
интегрального представления (А.3.9). Иначе говоря, мы должны
гарантировать, что
#2 + г2<^( Д2 + и2<|. (А.5.3)
Кроме того, для применимости леммы II нам следует также
принять во внимание еще неравенство
¦^<R. (A.5.4)
доп. а] теоремы об аналитичности
Но, как это следует из (А. 1.6):
149
откуда
U2< Г2
Видим, следовательно, что все требуемые условия (А.5.3)
(А.5.4) будут удовлетворены, если выбрать r0, rrJ, R так
чтобы
2 '
(А.5.5)
Этот выбор мы и примем для дальнейшего.
Возвратимся теперь к рассмотрению выражения (А.3.9)
и заметим, что на основании леммы III имеем равномерно на
торе Й5:
Г{/?е« «„(б, 60, ...,63), ...;е}.-+0
(А.5.6)
Поэтому, также в смысле равномерной сходимости:
ФаF0,...Л; е)^0
? -> + о..
Обратимся теперь к формуле (А.3.14). Пусть обобщенные
функции Fr(x) и Fa(x) интегрируемы на классе С (г, s; 4).
Возьмем N ^ г-\-s-\-v ~— 1. По лемме II Л+ и А_ принад-
принадлежат классу С (/", S\ 4). Тогда, переходя к пределу, получим,
150 ТЕОРЕМЫ ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ
в смысле равномерной сходимости
[ДОП. А
(A.5.7)
Приняв во внимание интегральное представление (А.3.7)
и полученные предельные соотношения (А.5.6), (А.5.7), убе-
убеждаемся, что в любой замкнутой области, содержащейся
в рассматриваемой области (А. 1.3) комплексных переменных,
функции F(k,e) равномерно сходятся к пределу:
* Ф(ВО,...,83) d%...d%
Го
i/Fa(x)h_(x,B0,...,B3)dx,
являющемуся аналитической функцией k, регулярной в об-
области A.3).
Преобразуем сейчас полученное интеграчьное представ-
представление к импульсным переменным. Обозначим, как всегда,
фурье-образы функций А+, А_ через h+, h_ и заметим,
что каковы бы ни были показатели ru s,, мы всегда можем
подобрать для них такие г, s, при которых из включений
А+ € C(r,s;4|v; 24
будут следовать включения
h+ ? C(rv st;4
C(r,s; 4 | v;
l; 4 | v;
Возьмем rit Si так, чтобы Fr(p), Fa(P) были интегрируемы
на классе C(r1,sl;v). Тогда
Оо. ¦ • • Л) = (^
н- (i/ / ^« (р) а . (- р, е0
доп. а] теоремы об аналитичности 151
Положим
(А.5.9)
Введя такие функции, мы сможем представить соотношение
(А.5.8) в виде
F(k) = f ~Fr(p)H+{p,k)dp + f Fa{p)H_{p,k)dp.
(A.5.10)
Функции Н+, определенные формулой (А.5.9), очевидно,
обладают тем общим свойством, что какова бы ни была
обобщенная функция f(p), интегрируемая на классе C(ru st; 4),
выражения
"f(p)H±(p,k)dp
являются аналитическими функциями k, регулярными в об-
области (А. 1.3).
Условимся, для сокращения, иметь в виду именно это
свойство, говоря, что Н± (р, k) как функция р принадлежит
к классу C{rus{,%), а как функция k является аналитиче-
аналитической, регулярной в области (А. 1.3). Функции эти мы будем
называть универсальными, поскольку их вид зависит лишь
от показателей класса С, числа yj и т. п., а не от специаль-
специального выбора Fr, Fa в данном классе.
Рассмотрим теперь вещественные *) & —/?, лежащие
в области (А. 1.3). На основании леммы III имеем равномерно
T(po±i0, p,s)-
и потому заключаем из C.3), что в рассматриваемой обла-
области имеем, также в смысле равномерной сходимости,
Fa(p,e) -+F(P), при e->-f-O.
1) Вообще мы условимся вещественные импульсы обозначать
буквами р, а комплексные — буквами к.
152 ТЕОРЕМЫ ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ [ДОП. А
С друго i стороны, во всем пространстве вещественных р
справедливо несобственное (обобщенное) предельное соот-
соотношение . .
Fr(p,t)^Fr{p), Fa(p,e)-+Fa(p), при е-* + 0.
Следовательно,
в области
I А |<>«._ . <* = 0, 1,2, 3.
Полученные здесь результаты можно резюмировать
в виде следующей теоремы:
Теорема. I. 1°. Пусть даны обобщенные функ-
функции Fr{x), F,,{x), из которых первая будет запаздываю-
запаздывающей, а вторая—г опережающей.
2°. Пусть существует такое положительное i\, что
Fr(P) = ~Fa{P)
в области
: , . - . . 1Ро12-Ыр12<^- .
3°. Возьмем положительные числа r0, ra, R, удовле-
удовлетворяющие н-еравенствам
(А.5.11)
Тогда можно построить аналитическую функцию F (ft)
комплексных переменных k(k0, kt, .. ., А3)> регулярную
в области
\К\<га, а = 0,_1 3, (А.5.12)
таким образом, что
в области вещественных переменных р(р0, ..-,р$), опре-
определенной неравенствами (А.5.12).
Кроме того, взяв достаточно большие показатели
г, s, мы можем построить «универсальные» функции
H+(p,k)co свойствами: . .
доп. а] теоремы об аналитичности 153
а) Н t (p, k) как функция р принадлежит к классу
C(r,s;4), а как функция k является аналитической,
регулярной в области (А.5.12);
б) в области (А.5.12) имеет- место интегральное
представление:
= f Fr (р) Н+ (р, k)dp + f Fa (p) H_ (р, ft) dp.
А.6 Перейдем теперь к обобщению теоремы I.
Рассмотрим обобщенные функции:
F г, г (xl> X2J' 'r, a (xl> xl)'
для которых
1,x2) = U, если хх^0 или
^,х2)^^, если xt^<0 или
или х2<^.0,
или лг^>0
Предположим, что при некотором положительном
К, j(Pi, ft) — FaJ(Pl,p2) = 0, если р\0 + р2 < тJ
Fi>r (Pi, Рг) — FUa (pvp2) = 0, есугм
i = г, а, у = г, а.
(А.6.2)
Применим теорему I к выражениям Frj(plt p2), Fa^{px, рг),
рассматривая их как функции pv Перейдем к функциям
к которым опять применим теорему I, но уже по перемен-
переменным р2. Таким' образом, убеждаемся в справедливости сле-
следующего утверждения:
Пусть г0, . . ., г3 — любые положительные числа, удов-
удовлетворяющие неравенствам (А.5.11).
Тогда существует аналитическая функция F (klt k2)
комплексных переменных &i(fe10 ku), k2(k20, . . ., k23),
154 ТЕОРЕМЫ ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ [ДОП. А
регулярная в области
1*и К'.. I^K'.. а=-0 3. (А.6.3)
Для вещественных рх (рю, ..., рп), рг(р20, .. ., p2Z) из
этой области
Р{РиРг)~Рг,}{РкРг)\ i = r,a, j = r,a.
Кроме того, в рассматриваемой области (А.6.3) имеет
место интегральное представление;
F(klt k2) = 2 j Fi,j (pv p2) Hij (plt p2, kv
Hij(Pi> Рг'< &i> *a) = HiiPv &i) Hj(Pz< k2); Hr — H+, Ha = H_,
(A.6.4)
если только показатели класса С (г, s; 4), к которому
должны принадлежать Н+ (как функции р), взяты до-
достаточно высокими.
Рассмотрим обобщенные функции:
Fi,j(xi> X2> O'> hj=r> al t — вещественное число,
обладающие свойствами (А.6.1), (А.6.2) независимо от t.
Заметим, что по самому определению обобщенных функций
существует такой класс С (г, s; 9), на котором Fi,j будут ин-
интегрируемыми. Возьмем произвольную функцию h(t) из класса
С (л, s\ 1) и рассмотрим интеграл
L x2; t)h(f)dt.
Нетрудно видеть, что эти F^j (xu х2) будут обобщенными
функциями, интегрируемыми на классе С (г, s; 8), и что они
удовлетворяют условиям (А.6.1), (А.6.2). Мы можем поэтому
воспользоваться ранее сформулированным утверждением и
прийти, таким образом, к следующе) лемме.
Лемма IV. Пусть даны обобщенные функции
Fitj(xv x2; t), и j = r, a.
доп. а] теоремы ов аналитичности 155
удовлетворяющие условиям:
Fr,r(Xv x2\t) = Q, если х^О или л;2с<0, )
Fr,a(xu х2; 0 = 0, если хг^.О ила х2^,0 I
v (А.о.о)
^o,r(^i. -«г; 0 = 0, «мй *i-^-0 или х^О |
Fa.aiXi, хг; 0 = 0, еслм Xj^.0 или
?г.*(л. л; V — Kjip!, p2; 0 = 0, 1
2 + Р? < т!2; У = '¦- а,
(А.6.6)
i, P2< t) — Fi,a{pi, Рг, 0 = 0,
р220+ p2 < т]2; / = г, а.
Пусть г0, . . ., г3 — любые положительные числа, удо~
влетворяющие неравенствам (А.5.11). Тогда существует
обобщенная функция t, являющаяся аналитической функ-
функцией F(kv k2; 0 комплексных переменных klt k2, регу-
регулярной в области
|*1а|<га; М<г„ а = 0, 1, 2, 3, (А.6.7')
причем
~i, Pi' 0
в области вещественных ри р2, удовлетворяющих нера-
неравенствам (А.6.7).
Рассмотрим теперь обобщенные функции
fi,j(xv x2; 0; i, j = r, a,
удовлетворяющие условиям (А.6.5). Предположим, что вместо
условий (А.6.6) выполняются условия
fr,j(Pi, Pi' t)—fa,j(pi, Рг, 0 = 0,
если |Pl0 —Xlo(O
_ / (А.6.о)
А г (Pi. Рг, t)—fi,a(Pi, p2, 0 = 0, |
если \pm — yw(t)\i-\-\P2—Mf)\t<^4(t), J
fi,j(Pu л;0 = 0, если *<ЛЛ (А.6.9)
156 ТЕОРЕМЫ ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ [ДОП. А
Предположим, далее, что фигурирующие здесь функции
\(t), e(t) обладают нижеуказанными общими свойствами.
1°. )^, (t), Sj(t) непрерывны и неограниченно дифферен-
дифференцируемы в интервале N ^.t < оо;
2°. Xj,(t), Sj(t) полиномиально ограничены;
3°. ?j(t) существенно положительны и удовлетворяют
неравенству
4°. любая производная (какого угодно порядка) функций
).jb(t), ?j(t) равномерно ограничена в интервале N^.t<^oo.
Продолжим теперь каким-либо образом эти функции X G),
s (t) на всю вещественную ось с сохранением всех перечис-
перечисленных свойств. Тогда нетрудно убедиться, что каковы бы
ни были показатели г, s класса С, всегда можно найти
показатели rx, sx таким образом, что из h (xx, x{, t)? C(rx, sx; 9)
вытекает
eibl{t)x'+Mt)x;}h{tl(t)xl, s2(Ox2; t}?C(r, s; 9).
Следовательно, для любой обобщенной функции f(x1, x2, t)
мы можем подобрать такие rv sx, что интеграл
J'f(xux2,t)ei{kl{t)x^(i)x'}h{sl(t)xv s2(t)x2; t\dxxdx2dt
будет тогда определен как линейный функционал от
h(xl,x2;t) ^ С (г, s; 9). Но этот линейный функционал мо-
может быть преобразован к виду
X, (t) _
X т-—^h(xv x2, t)dxldx2dt.
определяющему обобщенную функцию
IXAt) ,
x xt , А х |«7Т0 '
доп. а] теоремы об аналитичности 157
Таким образом, раз ft j(xL, х2; t) являются обобщенными
функциями, выражения
F> Х2> ^) —
- + ч@^( (А.6Л0)
также будут обобщенными функциями.
Далее, вниду того, что ftj удовлетворяют условиям (А.6.5),
введенные функции F%tj также им удовлетворяют. Заменим
еще, что
Поэтому из (А.6.8) вытекает, что Ft j удовлетворяют усло-
условиям (А.6.6).
Итак, мы можем применить к функциям Fi)j(x1, x2; t)
лемму IV, в результате чего убеждаемся в справедливости
следующего утверждения:
Лемма V. Пусть даны обобщенные функции
fi,j(Xi> x2; t), i, j = r, a,
удовлетворяющие условиям (А.6.5), (А.6.8), (А.6.9). Пред-
Предполагается, что 0yHKu,uuXja(t); Sj(t) обладают свойствами
1°, 2°, 3°, 4°. Возьмем числа га, а = 0, ..., 3 так же,
как и в теореме I. Тогда существует обобщенная функция
являющаяся аналитической функцией комплексных пере-
переменных klt k2, регулярной в области
|*м К'.. 1*2. К гв. «=0, ..., 3, (А.6.11)
такая, что в области вещественных plt рг, удовлетво-
удовлетворяющих неравенствам. (А.6.11):
Кроме того,
7 /} = 0 при t<N.
158 ТЕОРЕМЫ ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ [ДОП. А
А.7. Теорема II. При данных постоянных
М>;а>0; 8>0, 1 > ш > 0; К>0
можно найти такое р > 0, чтобы имело место следую-
следующее утверждение: пусть
fi,j(xv x2\ t),
= r, a
являются обобщенными функциями, инвариантными по
отношению к пространственным вращениям {векторов х),
удовлетворяющими условиям (А.6.5) и, кроме того,
условиям
fr, j{P\< J°2> 0 fi,j{Pl> Pi' 0 = 0,
если
(Рю + О2-Р2<(М + иJ (P1O —О2 —P2<
Д г (Pi, />2> О —A a (Pi, Рг, 0 = О,
(Дю + О2 — Р2 < (А1 +1^J (Р2О — О2 — Р22 <
fi i(pi> Pi' 0 == 0> если t <^ -
(А.7.1)
(А.7.2)
(А.7.3)
Тогда существует обобщенная функция переменной t,
являющаяся аналитической функцией комплексных пере-
переменных zц..., zb,
1,...,гъ; t),
регулярной в области
\zt— *|<p;i!, \z2—
где
— ш), 4й2<и2,
(А.7.4)
_W, (A.7.5)
доп. а] теоремы об аналитичности 159
и обладающая свойствами:
1°. <&(*! zb\t) = O, если t<j[M + p(l-\-t)].
2°. В области вещественных 4-векторов р1, р2, для
которых величины
*4=(Ао —О2 —Р|. «б=(Ло — РзоJ — (Pi — P2J )
(А.7.6)
удовлетворяют неравенствам;
(А.7.7)
/ij (А- Л! 0 = ф («!, • • •, гъ\ t). (A.7.8)
• Доказательство. Будем основываться на лемме V.
Положим
^•10 @ — ^-20 @ ^ J^ " '
2с; Х2(г1) = е^ @ — е2а,
(А.7.9)
Здесь е1( е2 — два произвольных, взаимно-перпендикулярных
орта; г, а—произвольные вещественные числа, удовлет-
удовлетворяющие неравенствам:
— ^<^< ix2A — ш), 4й2<и2. (А.7.10)
Введем также
Заметим, что в интересующем нас интервале
160
будет
ТЕОРЕМЫ ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ
[ДОП. А
Поэтому функции Sj(t), Х^(^) удовлетворяют условиям 1°—4°
леммы V. Возьмем, далее, число С так, чтобы
sup
Р — т \2
5Г
4*
! Г2
"г '
. (A.7.12)
Ясно тогда, что
2
- @r- V-+4 @ ^2
I
(A.7.13)
Пусть теперь
I Рю—x10 @12 +1 Pi — *i @12 < C2t*2 s2 @.
Имеем:
(p10 ± tf — p2 = Wo @ =t t? — Ц (t) +
+ 2 [X10 @ =t /] [Рю — X10 @1 — 2*i @ [pi — *i @ ] +
(А.7.14)
Но, очевидно,
[>-ю @ + ^12—^i @ = ^2. 1>-ю @ — W — tf @ = "
доп. а] теоремы об аналитичности 161
и потому на основании (А.7.13) и (А.7.14)
(Рю + *? — Р? < М2 + 2Л*|» + ix2 = (Ж + V-J.
Совершенно аналогично из неравенства
IP20 — *20 @ I2 + I P2 — *2 @ I2 < ? ^ S2 @
будет вытекать
Cfto+О2—рК
(Рго — О2 — Р|<9|А
Таким образом, из (А.7.1) и (А.7.2) получим
7r, j (Pi. Рг\ 0 —/о, j (Pi- Рг-. ^) = 0.
если
I Рю - МО I2 4-1 Pi — *i @12 < Сг>2 е2 @
и
Л, г (а. р2; 0 — л, 0 (Pi- p2; 0 = о,
если
I P20 - ^0 (О I2 + I Р2 - ^2 (О2 К
Мы можем, следовательно, применить лемму V, взяв в ней
Чтобы удовлетворить неравенствам (А.5.11) теоремы I,
примем
1 г II 3 -
|Г|
Теперь, в соответствии с упомянутой леммой, убеждаемся
в справедливости следующего утверждения:
Существует обобщенная функция I
7(kvk2;t), (A.7.15)
11 8«к. 2670. Боголюбов в др.
162
ТЕОРЕМЫ ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ
[ДОП. А
являющаяся аналитической функцией комплексных А-век-
торов kv k2, регулярной в области
|k2 —
(А.7.16)
и обладающая свойствами:
1°. В области вещественных pv p2, удовлетворяющих
неравенствам G.16)
2°. f(Pl, Рг; 0 = 0,
P2. *) = 7(/>i> Pz,
если t <
Воспользуемся сейчас условием инвариантности по от-
отношению к пространственным вращениям. Ввиду этого
условия функция (А.7.15) зависит от kr, k2 лишь через
посредство пяти переменных:
^ю1 *2о> Kii kf, kj, kg.
Вместо них можем ввести совершенно эквивалентную систему
переменных:
(A.7.17)
= {kl0 — tY — V?v z4 = (k2<> — if — k22,
= (А,о — Ьг»? — (kx — k2J,
так что
!. k2; 0 =
5; 0-
(A.7.18)
Следовательно, для завершения доказательства нашей тео-
теоремы нам остается убедиться, что (при соответствующем
подборе числа р) мы можем найти комплексные 4-векторы,
доп. а]
ТЕОРЕМЫ ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ
163
удовлетворяющие неравенствам (А.7.16) для произвольных
комплексных zv ..., z5, удовлетворяющих неравенствам
4a2<u2, —
(A.7.19)
Перейдем поэтому к вопросу о построении kl3 k2 no
данным zv .... 25, ?. Из (А.7.17) найдем
а также
2—r 2
4 4^ j '
(A. 7.20)
(A.7.21)
Чтобы подобрать к1, k2, удовлетворяющие соотношениям
(А.7.16), положим
к1 = Ле1 + Се2, к2 = Ве! — Се2,
где elf e2 — два взаимно-перпендикулярных орта. Тогда для
определения А, В, С из (А.7.21) получим уравнения:
откуда находим
2К
, — Z.\2
(A.7.22)
11*
164 ТЕОРЕМЫ ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ
C(f,zt zb) = ±l—zb-
[ДОП. А
(А.7.22)
_
z4 - zb) + 2 (-?lw
где
D = 4.t2 — (zt
-f-2
Как видно,
A (t; Ж2, Ж2, х, х, — 4а2) == <р (/),
В (t; Ж2, Ж2, т, х, — 4а2) = ср (t),
C(t; Ж2, Ж2, т, т, — 4а2) = а.
Таким образом, наша теорема будет доказана, как только
мы покажем, что
4t
2/6
At
2/6
— Л (*; Ж2, Ж2, х, х, — 4а2)
8/12
At
— B(f; Ж2, Ж2, т, т, — 4а2)
— С(/; Ж2, Ж2, т, t, —4а2) <
8/12
At
(А.7.23)
доп. а] теоремы об аналитичности 16.5
для
8. 7=1. ..-.б.
Но возможность такого подбора достаточно малого зна-
значения р непосредственно следует из рассмотрения1) выраже-
выражений (А.7.22).
Примечание. Рассмотрим частный случай теоремы II,
когда 8 = (о = 0. В этом случае и = 0 и, следовательно,
а = 0. Таким образом, область значений z6, принадлежащих
к области регулярности функции Ф BХ z5; t), будет огра-
ограничена неравенством
Нетрудно, однако, с помощью совершенно элементарных
рассуждений расширить пределы возможного изменения Re zb.
Действительно, возьмем в классе С @, со; 1) функцию А@
так, чтобы
= 0, *<М + -|,
Положим:
хг\ 0 = fij (xu x2; I) +/i,2] (*i, ^2: 0»
*8; 0 = 11 — А @1 Л, > (Jfi, x2; 0.
лг2; 0 = * @ /*, ^ (*i. x2; t).
1) Неравенства (А.7.23) с функциями А, В имели бы место и
без умножения ?3 на —-^-. Такое умножение необходимо лишь для
обеспечения неравенства с функцией С, поскольку только с аргу-
ментом h—ж- левая часть его будет, при больших i, пропорцно-
1 ¦
нальна —.
12 Зак. 2670. Боголюбов и др.
/66 ТЕОРЕМЫ ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ [ДОП. А
Функции Д1], flj удовлетворяют условиям нашей теоремы.
Первая из них при ш = 0, 8 = 0, а вторая — при ш = 0, 8 — —.
Рассмотрим области регулярности функций Ф'1*, Ф<2), выпи-
выписывая соответствующие неравенства лишь для аргумента z6.
Для первой из них
Это неравенство будет выполнено, если
Но, очевидно,
ф(!) = о для
поэтому Ф'1) регулярна при
Далее, для Ф<2'
Поэтому Ф'2' будет регулярна при
— и* < Re zb < 0, | Im zB
Пусть р! будет наименьшим из чисел
Р / М \2
Тогда видим, что обе функции Ф'1), Ф<2', а следовательно
и их сумма Ф = ф(')_|-фB) будут регулярны при
Мы убедились, таким образом, в справедливости сле-
следующего утверждения.
Теорема III. Если условия теоремы II выполнены
при ш = 8 = 0, то можно подобрать достаточно малое
ДОП. А] ТЕОРЕМЫ ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ 167
р > 0 так, чтобы
Ф(*, zb\t)
была регулярна в области
рцЧ 22— М* |< р^, | гь— т |< р;хМ z, —с | < рц2,
Заметим, что нижний предел изменения Re z6 может быть
существенно раздвинут, но это уже потребует более глубо-
глубоких соображений.
А.8. Теорема IV. Рассмотрим обобщенные функции
Fr(x) и Fa{x) 4-вектора х, из которых одна будет за-
запаздывающей, а другая — опережающей. Пусть фурье-
образ f(p) их разности
обращается в нуль (/(р) —0) для |ро|<т. Тогда суще-
существует аналитическая функция F(k) комплексного 4-век-
4-вектора k, регулярная в области
—»8 |, (А.8.
такая, что для вещественных k = p из этой области
Доказательство. Возьмем в классе С@, оо; 1)
функцию ср(^) такую, что
ср(/) = О, лго<—8,
где 8—некоторое положительное число.
Фиксируем сколь угодно малое положительное р и заметим,
что функция
будет принадлежать к классу С(оо, оо; 4), если только
Im k0 > 0 (k0 комплексно). Поэтому можем определить
12*
168 ТЕОРЕМЫ ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ (ДОП. А
интеграл
Fr (kf, р) = Fr (ft0, к; р) = J Fr (х) ср (х0) e-^+ihx dx, (A.8.2)
представляющий аналитическую функцию k, регулярную
в области, где Im k0 > 0. Нетрудно видеть, что этот интеграл
не зависит от специального выбора функции ср (t). Действи-
Действительно, если <рх и ср2 представляют две возможные реализа-
реализации функции ср, то имеем
откуда видим, что в силу свойства запаздывания во всем
4-мерном пространстве
f Fr(x) [Tl (л:0)-ср2(л:0)] e-f*+***dx = 0.
Поэтому мы будем записывать (А.8.2) в форме
Fr(k; P) = fFr(x)e'ex4ikxdx, (A.8.3)
принимая правую часть (А.8.2) за определение такого инте-
интеграла.
Совершенно аналогично определяем функцию
x, (A.8.4)
являющуюся аналитической, регулярной в области, где
0
Заметим, что выражения (А.8.3), (А.8.4) имеют смысл и
для вещественных к0. Действительно, их можно рассмат-
рассматривать тогда, как фурье-образы обобщенной функции одного
переменного х0:
Таким образом, t'r(k0, к; р), t'a(k0, к; р) для вещественных к0
будут обобщенными функциями k0, являющимися аналити-
аналитическими функциями к. Нетрудно убедиться также, что в обоб-
обобщенном смысле (по отношению к вещестзенной переменной р0):
lim Fr(p0-{-is,k;p)=Fr(p0, k; р),
. } (А.8.5)
a{Po — lB>к; Р) = ро (Ро< к"> Р)-
J
доп. а] теоремы ос аналитичности 169
Наконец, в обобщенном смысле по отношению к веществен-
вещественному 4-вектору р
lim Fr(p; p) = Fr(p).
f^° (A.8.6)
lim Fa(p; p) = Fa(p),
p>+o J
где Fr, Fa— обычные фурье-образы функции Fr(x), Fa(x).
Рассмотрим разность:
lim {Fr(p0~{-is, k; p)— Fa(p0 — ts;k;p)} =
«>-ю
= Fr (/>„, k; p) — Fa (/>„, k; P) =//(*) **** е'рх="ikx rfx0 dx.
Но, по условию теоремы,
ff(x)eip'v°dx0=0 для |po|<»,
следовательно,
lim {Fr(Po + fe, k;p) —Fa(po —/s,k;p)} = 0 для \ро\<т
(A.8.7)
и потому Fa(k) p), Fr(k; p) представляют одну и ту же ана-
аналитическую функцию F(fe; p) соответстзенно в областях
Im k0 > 0, Im k0 < 0. Область определения F(k; p) распро-
распространяется на все положения комплексного вектора к; по
отношению к комплексной переменной k0 эта функция имеет
линии разреза
— cx)<feo<; — т., /и<!&0<оо. (А.8.8)
Заметив это, фиксируем числа X, т^.
0<Х<1, 0 </»!<»! (А.8.9)
и построим выражение
Ф (Ао) = f (ft0, ).e Vk\—m\ 4- f; p), (A.8.10)
в котором f — вещественный вектор, е — вещественный орт.
13 Зак. 2670. Боголюбов и др.
170
ТЕОРВМЫ ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ
[ДОП. А
Образуем «симметризованную» и «антисимметризованную»
функции, инвариантные по отношению к перемене знака вхо-
входящего квадратного корня:
* — m\ -t-f;
Для них, ввиду (А.8.7), будем иметь:
f; p)
(A.8.11)
'• J
{
е -> I 0
).e
g —«J + f; p) —
4- j Ъ
-- ^ /Po— m\ + f; p) —
; P) = 0 (A.8.12)
— «J
ДЛЯ |/J0| < /И.
Совершенно аналогично найдем также
lim {Фа(р0-+ /е) — Фа(р0 — /е)} = 0 для |ро|<т.
(А.8.13)
Итак, мы можем рассматривать Ф„(А0), Фп(^о) как аНа'
литические функции комплексного переменного k0, регуляр-
регулярные во всей комплексной плоскости за исключением линий
разреза (А.8.8).
Обсудим теперь вопрос о характере возможного роста
этих функций на бесконечности. Из рассмотрения режущего
фактора:
exp (— px2 — лго1т &ort:Xxe Im |/ k0—n
можно установить следующее свойство: имеется такое целое
положительное л0, что при сколь угодно малой а > 0 вы-
Доп. а] теоремы об аналитичности 171
ражения |Ф8(&0)|. 1фа(^о)| Для Ит^о1>3 ограничены не-
некоторым полиномом степени п0.
Чтобы воспользоваться теоремой Коши, подберем соот-
соответствующий множитель h(k0), который смог бы обеспечить
достаточное убывание произведений
(A.8.14)
на бесконечности.
Возьмем для этого какую-либо функцию g(z) веществен-
вещественного переменного х, обладающую непрерывными производ-
производными всех порядков в интервале
я<т<6 (а>т2),
такую, что она со всеми своими производными обращается
в нуль в граничных точках этого интервала. Построим функ-
функцию комплексного переменного:
б
Trf^dz (A.8.15)
и заметим, что она является аналитической функцией, регуляр-
регулярной во всей комплексной плоскости, за исключением линий
разреза
На бесконечности hn(k0) и ее производные любого порядка
убывают не медленнее, чем
const
U2IM ¦
Кроме того, когда
Im й0 —^ -|- 0, Refeo = /?o,
имеем равномерно >) по отношению к ро(—со <; р0 < со)
>) Здесь имеется в виду обычная равномерная сходимость,
13*
172
Если же
ТЕОРЕМЫ ОВ АНАЛИТИЧНОСТИ
|доп. а
?0-*-— 0,
то имеем, также равномерно по отношению к р0
(— оо < р0 < сю),
, м и(п) (ь ч d<i f^n) in)
° ° ' d^o dpi
Предельные функции
o)
вещественного переменного р0 непрерывны со своими про-
изиодными любого порядка на всей вещественной оси; при
-/.%
,r $
Рис. 3.
po-+dz<x) функции эти и их производные стремятся к нулю
не медленнее, чем -. Ясно, наконец, что h^ (po)—hW (р0),
И'"
если /?о< а или pi > Ь, т. е. во всяком случае, если
Поэтому (J = s,a)
Ф,-(РоН- '°)*+ (/»<)) — (Ь(А) — Ю)hW(Ро) = 0, если \ро\<т,
(А.8.16)
где
lim
е-> I О
доп. а] теоремы об аналитичности 173
Возьмем теперь 2«^>по-|-1. Тогда для сколь угодно
малого з > О
Далее, раз последовательности Ф^{ро±И) сходятся в обобщен-
обобщенном смысле, мы можем по самому определению такой схо-
сходимости найти класс С (г, s; 1), на котором она имеет место.
Возьмем 2ге >- г—1. Тогда последовательности Л(А>±'8)Х
X Ф^- (/V —гз) окажутся сходящимися в обобщенном смысле
на классе C(l, s; 1). При сделанном выборе числа п мы
можем применить теорему Коши, взяв за контур интеграции
контур рис. 3, окружающий линии разреза. Совершив пре-
предельный переход при о—>-f-0, получим
со
С Ф,С+Ю);
!(А0)Л "^- ' >
-т,
Ф^(С + гО)А+@-Ф,(:-/0)А_@ .
— rr—jr ¦ Л, j = s,a
для любого &0, не лежащего на линии разреза (А.8.8). Но
по самому определению Фь, Фа имеем
Ф (k0) = Фь (Ло) -f j/fe^ — mi Фа (k0).
Следовательно,
(С) - Ф„ (С - Ю)_А_ (С) .г
2 2 /"
О 1 I Ф« (¦» ~т~ '^; "+ у»; — 'J'g ^ — '"; "— w ^^ i
/¦ г ;—у Us -
Vk% — m\ Г фп (с + /0) А+ (С) — Ф„ (С - /0) А_ (С)
J — kn 4- С
2л/
-00
. (А. 8.17)
174
ТЕОРЕМЫ ОВ АНАЛИТИЧНОСТИ
[ДОП. А
Рассмотрим теперь произвольный комплексный 4-вектор k,
для которого выполнено неравенство (А.8.1). Ясно, что для
него можно указать такое т^ < r;i2, чтобы
Imk|<
(А.8.18)
Эти значения т\ мы и используем в наших рассуждениях.
Далее, для данного k построим Х(&)> е(&), положив
I 1тп k I
1 lm K I
lmK
Im У fen — "*?
Тогда
Im k = X (ft) e (ft) Im V^—m].
(A.8.19)
(A.8.20)
Возьмем также
f —
где q — произвольный вещественный вектор. Получим из (8.17)
_± С А, (С, q; к, Р) г , \ k%~m\
J "^
~m\ Г Afi (C| q. k>
»Z J -feo +
p)
—ю,
j_ Г 4,(g.q:*.
2*/ J -feo + C
2т:/
2 z1
~~" I ' Cl -a
— со
(A.8.21)
где
Аа (С, q; *, p) =
a(C- v++Rek+q; p)}.
ДОП. А]
ТЕОРЕМЫ ОВ АНАЛИТИЧНОСТИ
175
аС„ q; k, р) =
__ h+ (С)
Fr(<:, v+Rek+q;p) —
— FrC, — v+-f
; p)
(A.8.22)
и введено обозначение
Подчеркнем здесь, что
— mj rt Re
("> q; *. р) =
, если |С|< т. (А.8.23)
Перейдем теперь к исследованию перехода р—>-0. Пока-
Покажем, например, что Д1Я С > т2 выражение
Fr (;, X (k) е (Л) (]/C^=^f — Re Уk\ - /»j) + Rek + q; p}
как функция переменных г„ q сходится в обобщенном
смысле к
Re
Рассмотрим, в самом деле, интеграл
J Fr { :, X (Л) е (Л) (]/^=^
+ Rek+q; p } Я(С,
в котором функция /У(т, q) принадлежит к некоторому
классу С (г, s; 4) с достаточно высокими показателями г, s
и обращается в нуль для С < /и2-
176 ТЕОРЕМЫ ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ [ДОП. А
Имеем:
/ Fr { С, X (к) е (к) {У^^т\-- Re УЩ=Щ -f
-f Rek + q; р }//(;, q) dC rfq = J Fr (A), p; р)Я[А|. Р +
-H (ft) e (A) (Re /^T^__ /Д*=" m~?) — Re к j dp, dp .
Приняв во внимание, что т., > m,, мы можем заметить, что
у рд—ffij регулярен при р0 > т2 > т^ и поэтому выражение
//{р0. р -f >> (А) е (A) (Re /^^f — /р« - /»j) — Re к j,
как функция переменных рп, р, также принадлежит к
C(r, s; 4). Но благодаря (А.8.6)
Fr(Po- p; р)-»-Л-(А). р). р-»- + о.
Имеем, следова^еяьно,
f Fr(p0, p;
I — «?) — Re k ! dp0 dp -»¦ / Fr (p0. p)H\Po,
К (ft) e (%) (Re Yk20 — m\ — V^|f— mf) — Re к | d/;0 dp,
J Fr { :, X (ft) e (ft) (/;2~=?f — Re /ft« —/»j) + Re к +
т. e.
-f q; p ! WC, q) dldp^f Fr f ;, I (ft) e (ft) (/^^mf —
—m2)~f Rek-4-q} ЯС, q)rfCrfq. (A.8.24)
Так как приближение к пределу в (А.8.24) является равно-
равномерным по k (в каждой достаточно малой окрестности точки
рассматриваемой области (А.8.18)), то мы можем сказать,
что соотношение
Fr{C, f g
->Fr{C, X(ft)e(ft)(/^^f —Re/ftJ —/»j)+Re
(A.8.25^
доп. а] теоремы об аналитичности 177
имеет место в обобщенном смысле по отношению к пере-
переменным С, q равномерно по отношению к k. Совершенно
такое же положение будет и с другими функциями Fr, Fa,
входящими в выражения (А.8.22).
Построим неограниченно дифференцируемую функцию
и(.) таким образом, что
а 0 = 0, :</я2,
и О = 1. - >' т.
Тогда в силу (А.8.23) мы можем в формуле (А.8.21) внести
под знак интегралов правой части функции «Q и и (—С).
Возьмем еще произвольную функцию/(q) из класса С (г, s\ 3)
с достаточно высокими показателями г, s. Тогда в соотно-
соотношениях ¦.ипа (А.8.24) можем положить
или
не, Ч) = а_(С)И(=ь:)/^
поскольку степень убывания функций h+ (-.), h~{'-) может
быть взя1а достаточно большой, а знаменатель k0 —у, не
обращаемся в нуль в фак"ической области интеграции. О.сюда
вытекает существование предела
Шп А(Л0) [F(k0, k+q; p)/(q)rfq
р ¦> + о ^
и потому, ввиду произвольности h(k0), существует предел
lim fP(k0, k+q; p)/(q)dq. (A.8.26)
p > -ю ^
Нетрудно также заметить, 4iO приближение к пределу
является равномерным по отношению к k в указанном выше
смысле.
Мы устанозили здесь факт несобственной сходимости.
Усилим этот результат и покажем, что ра-зномерно
F(k0, к; P)->F(>fe0, k). (А.8.27)
Построим в комплексных плоскостях k'a, a=l, 2, 3 окруж-
окружности С, с центром в точках ft, и радиусом 8. Число 5
178 ТКОРЕМЫ ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ [ДОП. А
возьмем столь малым, что все к' с компонентами k', лежа-
лежащими внутри или на границе С,, принадлежали бы к области
(А.8.18). Имеем тогда по теореме Коши:
Ъ(Ь ь_4_„. гч- ' Г Ft** к' + * Р) Udk'
F (К, к + q, р) _ B5? j П </*..
с, х оа х с, Wv в/
Заменив здесь к—>-к— q, найдем
F(k к-о^ — —^ Г У(^, k^ + q; р) и ..,
(А.8.28)
Так как в этом интервале
\k'a—fta| = o,
то при
?«К -J
знаменатель не обращается в нуль и остается по модулю
большим (-rj-J •
Возьмем теперь какую-либо функцию ср (q) вещественных
переменных дл, принадлежащую к классу С (г, s; 3) с доста-
достаточно высокими показателями г, s, такую, что
Г ср (q) rfq = 1 |
s | (A.8.29)
cp (q) = 0, если хотя бы для одного а, | дл | ^ — .
Тогда из (А.8.28) получим
F(k0, k; Р) =
Но ввиду (А.8.29) функция
(А.8.30)
доп. а]
теоремы об аналитичности
179
переменных q,, также принадлежат к классу С (г, s; 3) и мы
можем применить к правой части (А.8.30) ранее установ-
установленный результат о существовании предела (А.8.26) и о рав-
равномерности соответствующего приближения.
Таким образом, убеждаемся, что в достаточно малой
окрестности любой точки k из области (А.8.18) последова-
последовательность
F(K k; р)
аналитических функций k является равномерно сходящейся.
Поэтому в силу известных теорем предельная функция
F(k0, к)= Htn F(k0, k; p) (A.8.31)
р> + о
будет аналитической функцией переменных kit а —0, 1, 2, 3,
регулярной в области (А.8.18).
Замечая, что в наших рассуждениях т1 могло бы быть
взято сколь угодно близким к т, мы видим, что эта функ-
функция оказывается регулярной во всей области (А.8.1). На ос-
основании (А.8.6) убеждаемся, что для вещественных р из этой
области рассматриваемая функция совпадает с Fr=Fa и наша
теорема теперь полностью доказана.
А.9. Доказанная в предыдущем параграфе теорема IV
тривиально обобщается и на случай функций, зависящих от
двух 4-векторов xlt x2 и параметра t. Кроме того, вместо
центрально-симметричного интервала \ро\<^т можно рас-
рассматривать более общий интервал а < р0 < Ь. Тогда нера-
неравенство
|Imk|2< \\
естественно, должно быть заменено на
|Imk|2<
./71 а+Ь\2
Ь —
Таким образом, убеждаемся в справедливости следующего
утверждения.
Лемма VI. Пусть будут даны обобщенные функции
хг; t) l,j = r, a,
180 ТЕОРЕМЫ ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ [ДОП. А
удовлетворяющие условиям (А.6.5). Пусть, кроме того,
fr,j(Pi, Рг, О — /,,,} (Pi, А.: 0 "-= 0, если а < р10 < ?,
, (А.9.1)
fi,r(PuP2, ()—fi,a(Pup2> 0 = 0, если а < /?20 < ,3.
7огда существует обобщенная функция
f(ku k2; t),
являющаяся аналитической функцией комплексных пере-
переменных klt k2, регулярной в области
Im
(A.9.2)
Im k2l"< ' " ' '
такая, что в области вещественных ри р2, удовлетворя-
удовлетворяющих этим неравенствам,
Основываясь на этой лемме, а также на теореме II, докажем
следующее утверждение.
Теорема V. Если выполнены условия теоремы III,
то существует такое положительное р, что «область
регулярности» переменных zit .. .,гъ может быть задана
неравенствами:
-^<х=^и2. (А.9.3)
Доказательство. Будем рассматривать раздельно два
случая:
— 1/г=?т<0, (А.9.4)
0^х^[х2. (А.9.5)
Возьмем сначала случай (А.9.4) и применим теорему II с ш= 1,
8 = 0. Так как все доказываемое сейчас усиление теоремы III
относится только к переменной zb, условимся выписывать
здесь только неравенства, относящиеся к этой переменной.
доп. а] теоремы об аналитичности 181
Имеем в рассматриваемом случае
ffTIJ , 4а2^м2, (А.9.6)
где
Но неравенство (А.9.6)будет удовлетворено, если
С другой стороны, из (А.9.7) имеем
U2 = [М -J- [А + -ГГ-| ) 4Ж2 >
4AI
Итак, в случае (А.9.4) область (А.9.3) действительно входит
в «область регулярности».
Перейдем теперь к рассмотрению случая (А.9.5). Возьмем
достаточно малое число а > 0 (которое впоследствии фикси-
фиксируем более детально) и построим в классе С@,оо, ^функ-
^функцию h (t) такую, что
Положим
где
Докажем нашу теорему в рассматриваемом случае (А.9.5)
раздельно для /|'j и /^-, поскольку тогда она окажется вер-
верной и для их суммы.
Возьмем f[lj и воспользуемся теоремой II при ш = О,
S—-=¦ — 2а. Заметим тогда, что область
182 ТЕОРЕМЫ ОВ АНАЛИТИЧНОСТИ [ДОП. А
где
входит в «область регулярности». Действительно,
I ' Л1 + (АA+В)
Ясно, далее, что
—м + Iх -у [25-f 52] > 1 (А.9.8)
при о =-^-. Поэтому з можно всегда взять так, чтобы (А.9.8)
выполнялась и при о —-^ 2о. Тогда
и область (А.9.3) оказывается подходящей.
Нам остается рассмотреть /|J. Здесь уже мы будем
использовать лемму VI. Так как
7B), ,ч п , , jW4-(x ^^^W|3(x
/У(Л. jO2; 0 =0, если t< ^^или t>j-\-Jf,
то можно ограничиться интервалом
M±J^<t<M + ^. (A.9.9)
Возьмем неравенства
(&0 + 02 — к2<(Ж + |хJ, (Ао —О2 —к2<CаJ. (А.9.10)
Они, очевидно, будут выполнены, если
— М — |*< Ао + ^< M + |J- — 3
т. е. если
* — 3^ < fe0 < М -\- а — t.
Таким образом, (А.9.10) справедливы при
доп. а] теоремы об аналитичности 183
Приняв во внимание соотношения (А.7.1), (А.7.2), убеждаемся
отсюда, что условия леммы VI удовлетворяются в рассматри-
рассматриваемом случае при
в=Ё + ^_з^ = Л+г^Ш); 8 = 1.
(А.9.11)
Но так как в силу условий нашей теоремы функции f\j должны
быть инвариантны по отношению к пространственным враще-
вращениям, видим, что функция
/B>(fei, ftg; t),
регулярная в области (А.9.2), может быть представлена в форме
t .... z5; t),
где z1( ...,zb даются выражениями (А.7.17). Рассуждая как
и при доказательстве теоремы II, выразим klt k2 через
zit ..., z5; t с помощью формул (А.7.20), (А.7.22). Тогда соот-
соответствующая область регулярности может быть задана нера-
неравенствами:
(А.9.12)
Представим себе, что неравенства (А.9.12) справедливы для
Z] = z2 = M2, z3 = zi = x, z6 = —4a2, (A.9.13)
где
а2<
Тогда, ввиду непрерывности функций А, В, С в окрестно-
окрестности (А.9.13) и ограниченности интервала изменения t (A.9.9),
мы всегда могли бы подобрать столь малое положительное р,
чтобы неравенство (А.9.12) выполнялось для всех z из об-
области (А.9.3). Тем самым наша теорема была бы доказана.
Итак, нам остается показать справедливость нера-
неравенств (А.9.12) для значений (А.9.13).
184
ТЕОРЕМЫ ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ
[ДОП. А
Имеем для этих значений
|1тЛ|2<а2; |1т?|2<а2; 1т С = 0.
Правые же части (А.9.12) больше а2, так как в силу (А.9.5)
25
Тб|Х ~
NP
М
25
Итак, неравенства (А.9.12) действительно выполняются для
значений (А.9.13) при условии (А.9.14). Тем самым доказа-
доказательство закончено.
А.10 Лемма VII. Рассмотрим скалярные обобщенные
функции трех 4-векто,юв:
Fi.jiy» У2> Уз) i,j = r, а, (А.10.1)
удовлетворяющие условиям
Рг,г(У\< Уг< Уъ) = ®' есла .У1-^0 иш
Р,-,а(У1'У2>Уз) = в, если у^О или
Ра,г(УиУ2>Уз) = ®> если У^° или
Ра,а(У1>У2>Уз) — й' есла У!^° ала
?r,i(?i. Я* 43) — h,jDi. ?2. ?з) = 0
(A.10.3)
или ?30<0. (А. 10.4)
Тогда можно построить обобщенную функцию веществен-
вещественной переменной z6,
I (zly . . ., 26; z6),
являющуюся аналитической функцией комплексных пере-
переменных zlt . . ., zb со свойствами:
доп. а] теоремы об аналитичности 185
Г. W регулярна в области:
| 2] — Мг | < p;-i2, \z2—/И2|<р^*, \z3 — i '
(А.10.5)
Здесь V — произвольное фиксированное положительное
число, р — достаточно малое положительное число (за-
(зависящее от V).
2°.W(Zl гъ; *,) = <), если ze <
3°. Для вещественных qlt q2, q3, для которых величины
удовлетворяют неравенствам (А.10.5),
^t,j (Чи Чг, Яз) = w (г1г ,..,z6; zt), если q30 > 0.
Доказательство. Будем сводить сделанное утвер-
утверждение к лемме VI и теореме V. Рассмотрим выражения
где q3 = te, а е — времениподобный единичный 4-вектор:
ео>О, ег=1.
Совершим лоренцево преобразование таким образом,
чтобы е оказался направленным по временной оси. В новой
системе координат соответствующие величины условимся от-
отмечать знаком «прим». Выражения (А. 10.7) можно рассма-
рассматривать как функции
Нетрудно видеть, что в силу условий нашей леммы функции
эти удовлетворяют всем условиям теоремы V. Поэтому мы
186 ТЕОРЕМЫ ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ [ДОП. А
можем построить соответствующую функцию
Ф(ги .... 2Б; t),
в которой
Ясно, однако, что
ввиду скалярного характера этих выражений. Но
ФB„ ...,zb; t) = 0 для /<^±i^.
Можем поэтому ввести функцию W(z{, ...,zb\ z6), положив
^ to ^Б; ^е) =?ф («1, • • •. 2Б; l^i). 26 > о,
Справедливость леммы VII теперь становится очевидной.
Примечание. Рассмотрим более общий случай, когда
функции
\ Ун Уз)> v= 1, .. ., /
удовлетворяют всем условиям леммы VII, кроме условия ска-
лярности. Вместо него предположим, что при преобразованиях
L из группы Лоренца наши функции линейно преобразуются:
Fli{Lyu Ly2, Ly3) = 2 K-,'(L)Fi,j(y1,y2,y3), (A.10.8)
1<V<J
с помощью некоторого представления A(L) этой группы,
разбивающегося на обычные тензорные и спинорные пред-
представления. Отсюда будет вытекать, что Fijigu <?2> <7з) будут
линейно выражаться (с полиномиальными коэффициентами
от qt) через скалярные функции qlt q2, q3, чем обеспечи-
обеспечивается возможность применения леммы VII. Нетрудно видеть.
доп. а] теоремы об аналитичности 187
что результаты леммы VII претерпевают здесь следующее
тривиальное изменение.
Можно построить конечную систему обобщенных функ-
функций вещественной переменной ze
"Jxtei zb; гв), к= 1 s,
являющихся аналитическими функциями комплексных пере-
переменных zv ..., zb и обладающих свойствами 1°, 2°. Для ве-
вещественных <7i> Чг> Яз< Для которых величины z удовлетво-
удовлетворяют неравенствам (А. 10.5), имеем представление с помощью
суммы конечного числа членов типа
9? ••¦?# фх^ г*гв)>
если при этом <7зо > 0-
Отсюда вытекает наша основная
Теорема VI. Рассмотрим трансляционно-инвариант-
ные обобщенные функции четырех векторов
l=r,a j — r,a n=1
линейно преобразующиеся при преобразованиях L из груп-
группы Лоренца:
Fli (Lx, LxJ = 2 К v (L) F][ j{xu..., xj (A. 10.9)
1 < v' < I
€ помощью некоторого представления A(L) этой группы,
разбивающегося на обычные тензорные и спинорные
представления. Предположим, кроме того, что введен-
введенные функции удовлетворяют следующим условиям:
(А.10.10)
fr,r(xlt х2, х3,х4) — 0 при лг^Хз или
К,а(хи ¦ ¦ •. xt) = Q при х^х3 или
К,г(х1г . . ., д:4) = 0 при х^х3 или
F"a,a(Xu . . .,ДГ4) = О при Х^Х3 или
Рассмотрим фуръе-образы
i,Sxi> •••' XJ exP t'(AAri+ • •
188 ТЕОРЕМЫ ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ [ДОП. А
Здесь
Fl.iiPu ¦¦¦• Pi)
— обобщенные функции ри ..., р±, определенные на много-
многообразии
Предположим, что они удовлетворяют условиям:
при р\ < (М -\- |хJ, р\ <
(А.Ю.12)
F\, r (Pi Р4) — Fi,a(Pi Pi} = 0
при
P\ i (Pi. • • •. Pi) = 0, ес^гц (р! + p3J <
или р1ОЧ-Рзо<О. (А.10.13)
Тогда можно построить обобщенные функции веществен-
вещественной переменной zt:
являющиеся аналитическими функциями переменных
zb со свойствами:
1°. Фх регулярны в области (А. 10.5).
2°. Фх = 0, если ze< (М-\-р?.
3°. Для вещественных рг pt из многообразия
(А.10.11), для которых величины
удовлетворяют неравенствам (А. 10.5), имеем представле-
представление вида
KilPx Pi) = Hp"i] P'^xizi *Б:>.). (А.Ю. 14)
если РюЧ-Рзо>°
с конечным числом членов в сумме.
ДОП. А| ТЕОРЕМЫ ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ 189
Доказательство. Ввиду трансляционной инвариантности
функций Fitj(xv..., дг4) их можно рассматривать как функ-
функции трех переменных, например:
Уз '== Х\ Х2 I ""¦3 Х1-
Положим
Fnj(Xl> • • • > Xi) == fi, ,1, (Xi '—Х3< Х4 Х2> Х1 ХЧ ~\~ Х3 ~~ Х4:)>
(А.10.15)
где у, = г, если j = a; j\ — a, если j = r. Ясно тогда,
что функции
Fh(yv Уг> Уз)
удовлетворяют условие (А. 10.8) примечания к лемме VII, а
также условиям (А.10.2). Далее, из (А.10.15) следует, что
FujDi-\-Qs> — Яг — Яз> Яз — Я\< Яг — Яз) = Fi.jDi' Я2> Яз)-
Положив
р! = Я1 + Яз' Р2 = —Я2 — Яз' Ръ = Чз — Як Pt—Яг — Яз>
имеем
^. Pi = (Чг + Я,J. Р\ = (Яг + ЯзJ> Р\ = (^1 — ЯзJ>
Р\ = (Яг — ЯзТ. (Pi ~\- РгJ = (Я1 — Яг?-
Видим отсюда, что выполнены и остальные условия леммы VII.
Используя сделанное к ней примечание, мы и получаем дока-
доказательство нашей основной теоремы.
Примечание. Вместо условия (А.10.13) мы можем
ввести условие
КРг + РзJ — МЦ ?^(ри . . ., pj = 0,
ec.rf (Р1-+РзУ<(М-\-\у.J или
14 Зак. 2670. Боголюбов и др.
190 ТЕОРЕМЫ ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ [ДОП. А
Действительно, в этом случае вместо F\j можем рассмотреть
функции
удовлетворяющие всем условиям теоремы VI.
Соотношение (А. 10.14) окажется тогда умноженным на
[(Pi + РзJ — М2\. На этот множитель мы можем, однако,
разделить в области, где
Поэтому (А.10.14) останется верным, если к условию р10-\-
> ° Добавить (л + РзJ Ф М2.
ДОПОЛНЕНИЕ Б
ВЫЧИСЛЕНИЕ ВКЛАДА ОДНОНУКЛОННОГО СОСТОЯНИЯ
Мы займемся теперь явным вычислением описывающих
вклад однонуклонных состояний сумм F.34). Нам будет до-
достаточно вычислить только одну из них, например вторую,
X
X 2 (- Р, S' | /р @) | — U, S") (- Хе, S"\ j?. @) | р, S) \Я=Е pW,
(Б.1)
поскольку первая сумма g2 (т) В (т, р) выражается через вторую
с помощью F.64).
Б.1. Рассмотрим сначала матричный элемент тока между
двумя однонуклонными состояниями
В силу трансляционной инвариантности и определения тока
C.4) можно написать
,-« (р-р") - (р*§ s" | ур @) | р, S) = I (р", S» | -JS-j р, S).
Переходя здесь от варьирования по ср? (jc) к варьированию
по <?р(<7), где (рр (^) — фурье-образ для произвольных q, свя-
связанный с срр (д;) обычным соотношением
9PW = -^ife-iq%(q)dq, (Б.)
мы придем к формуле:
"' S"
= <Р"' S" IЛ @) | Р, 5) 8
(Б.З)
14*
192 ВЫЧИСЛЕНИЕ ВКЛАДА ОДНОНУКЛОННОГО СОСТОЯНИЯ (ДОП. В
Заметим, что эта формула имеет смысл, если все составляющие
векторов q, p и р" вещественны — иначе интеграл
оо
B*Г4 Jexp {-/ (q + р-р") х} dx
— оо
не обладал бы Ь-образными свойствами. Поэтому, если р и р" со-
соответствуют нуклонам, то вектор q обязательно должен быть про-
пространственно-подобным, ф < 0. Поэтому все дальнейшее рассмотре-
рассмотрение будет сначала справедливым только для отрицательных т, удо-
удовлетворяющих условию F.23).
Стоящий в левой части (Б.З) матричный элемент между
однонуклонными состояниями можно преобразовать с по-
помощью Н.C) из § 2 в вакуумное среднее третьей вариаци-
вариационной производной матрицы рассеяния.
Действительно, последовательная замена «протаскивания» опе-
операторов ft'^J (p) и 6'+~J,, (p") через любой бозевский (т. е. четный
по фермиевским полям) оператор в вариационном дифференциро-
дифференцировании дзет нам
<р"
, S" | в | р, S) = V fax dx' [*(+-J,,(p"), 4v (-«О]. X
V-B
0
откуда с помощью перестановочных соотношений B.26) находим:
<p",S"|B|p,S> =
(о
(Б.4)
Переходя еще от варьирования по ф(х) и ф(х) к варь-
варьированию по ф(р) и ф(р) (B.33), B.34)), получим оконча-
окончательно выражение однонуклонного матричного элемента тока
через вакуумное среднее третьей вариационной производной
матрицы рассеяния:
(р", S" | J? @) | р, S) 8 (д + Р — Л = - 2** Bи)* X
(q)
(Б.5)
доп. б] вычисление вклада однонуклонного состояния 193
Б.2. Рассмотрим входящий сюда матричный элемент третьей
вариационной производной. Легко сообразить, что наиболее
общим выражением для него, удовлетворяющим требованиям
трансляционной, лоренцевой (включая отражения) и изотопи-
изотопической инвариантности будет
5 DQ
X 2 [(^Т)Ш1Т5 0'Т)Ш'1х'х'?чА-1-,(Ра.^1.?г). (Б.6)
где ^ю а, (Р2' Р> ?2) —произвольные скалярные функ-
функции, зависящие только от трех четырехмерных квадратов
р2,/'2 и <?.
Заметим теперь, что стоящий здесь слева матричный эле-
элемент переходит сам в себя с обратным знаком, если провести
в нем дираково сопряжение и переставить затем р и р".
Выполняя подобное же преобразование в правой части, при-
придем к равенству
2 п тб А Ч (р2' f2' ч2) =
со,, со2=0,1
откуда следуют правила комплексного сопряжения для ска-
скалярных функций йш.со,:
Л»1Ша (р2, f\ д2) = - /ЧШ1 {р"\ ?, q\ (Б. 7)
Нас интересует сейчас тот случай, когда импульсы р и р"
относятся к реальным однонуклонным состояниям, т. е.
р2 = М2; р = М2. (Б.8)
Далее, спинорные амплитуды «+s"(p"), u+s (p), между кото-
которыми будет стоять в (Б.5) рассматриваемая вариационная
производная (Б.6), удовлетворяют уравнениям Дирака B.32):
и+В" (Р") (Т/0 = «+S" (P) M; (Tp) k+s (p) = yM«+s (p). (Б.9)
Поэтому в (Б.6) можно воспользоваться (Б.8), (Б.9) и на-
написать в правой части
194 ВЫЧИСЛЕНИЕ ВКЛАДА ОДНОНУКЛОННОГО СОСТОЯНИЯ [ДОП. Б
Введем обозначение:
g{q^) = i(^L У M^M^h^Mi.Mt.q*). (В. 10)
ш„ ш, =0,1
Легко видеть, что в силу правил комплексного сопряжения
(Б.7) так определенная функция g(q2) будет вещественной.
Собирая результаты, получаем, что вакуумное среднее
третьей вариационной производной (Б.6) можно записать,
если оно стоит между двумя спинорными амплитудами, удо-
удовлетворяющими уравнению Дирака, в виде
<•
(?) »ф (р)
фф 5 (ЯЛ-Р — Л- (Б-П)
Подставляя (Б. 11) в выражение (Б.5) для матричного эле-
элемента тока, найдем:
1^
(Б.12)
Б.З. Подставим найденное выражение (Б.12) для матрич-
матричных элементов в сумме (Б.1). Во втором матричном элементе
р"=:-Ар(т)е
(мы обозначили через Хр(т) значение X при Е = Ер(ч)). За-
Замечая теперь, что в силу F.18) и F.26)
— У
видим, что
^ZJ- 1). (Б. 14)
Определяя составляющие вектора q из 8-функции в (Б.11),
находим отсюда
(?2 = i7o2_q2=:T. (Б. 15)
!) Подчеркнем здесь еще раз, что пространственные состав-
составляющие вектора р" (а следовательно, и q) оказываются веществен-
вещественными только для положительных }?, т. е. все наше рассмотрение
справедливо пока только для т <^ — р2.
доп. б] вычисление вклада однонуклонного состояния 195
Проводя аналогичные подстановки в первом матричном эле-
элементе, обнаружим, что и в нем квадрат вектора q будет
равен х.
Итак, с помощью выражения (Б. 12) для матричного эле-
элемента тока из суммы (Б.1) действительно сепарируется мно-
множитель
«•со.
а для функции А (х, р) мы находим выражение:
а' ( —Р)Т6«+8" (-^We)«+S" ( —^Р
•" (Б. 16)
где мы расщепили спиновоизотопические индексы 5 на спи-
спиновые s и изотопические t и вынесли изотопические матрицы
за знак суммирования по спиновым состояниям.
Элементарное суммирование по спинам дает нам
^ - fa,,, [р (g (р") + М) - р^ (g (р) + М)]
2 Vi (p) S (р") [S (р) + Щ [С (р") + М] '
где через §(р) и $(р") обозначены соответственно
4- М2 и
Подставляя (Б.17) в (Б.16), пользуясь перестановочными со-
соотношениями матриц а и выполняя несложные, но несколько
громоздкие выкладки, мы получим тогда окончательно:
2Ар(г)(реа8,3))
(М2 + Р5) J (Б.18.1)
и, вспоминая F.64),
В(т,р) = -Р№,РвЛ(т.р). (Б.18.2)
Б.4. Из вида выражения (Б. 18) непосредственно очевидно,
что SA (т, р) будет аналитической функцией х во всей ком-
196 ВЫЧИСЛЕНИЕ ВКЛАДА ОДНОНУКЛОННОГО СОСТОЯНИЯ [ДОП. Б
плексной плоскости—после применения операции <5е в (Б. 18)
останется только первый член, зависящий от т линейно,
а после применения %е — только второй, деленный на X, ко-
который тогда вовсе не зависит от т.
Таким образом мы, для случая т <—р2, вывели формулы
F.34) и подтвердили необходимые свойства А (т, р).
Для реального случая т = т2 изложенные выше рассуж-
рассуждения провести, конечно, нельзя—как мы уже подчеркивали,
при этом пространственные составляющие вектора — Хе стали
бы мнимыми и сведение к вакуумным средним вариационных
производных третьего порядка стало бы невозможным. Сточки
зрения вывода дисперсионных соотношений это обстоятельство
не составляет для нас затруднения—в § 6 мы показали ана-
аналитичность функции ?2(т) в области F.40), которая вклю-
включает и нужное нам значение т=т2. Однако с точки зрения
физического смысла постоянной g(m2) было бы желательным
установить вещественность функции g(z) не только для т,
удовлетворяющих F.23) (как то следовало из рассуждений
в пункте Б.2), но и для реального т=т2.
Б.5. Вернемся для этого к рассмотренному к Б.1 ма-
матричному элементу
который с помощью нашей обычной техники перехода от
однонуклонного состояния к вакуумному можно записать в виде:
V. @)
/о vV. Иа (Р )
Рассмотрим функцию
•/р @)
(У)
p.-V =
(У) Wp @)
фурье-образу
F l <p"; p, S) = f е*М Flf (y) dy
,SY, (Б. 19)
P,s).
(Б.20)
(Б.21)
доп. б] вычисление вклада однонуклонного состояния 197
которой пропорционален интересующий нас матричный эле-
элемент (Б. 19) и,—так же, как мы поступали в выкладках § 7, —
вспомогательную функцию
(|^| (Б.22)
Значки ret и adv указывают здесь на то, что в силу условия
причинности
Flf (у) = О для у2 < 0 или у0 < 0 \
и } (Б.23)
F*pdv (у) = 0 для _у2 < 0 или у0 > 0. J
Как было показано в п. 7.3, разность этих функций можно
представить в виде:
Fit (У) - <т (У) =' @1 [о. (.у), ;р @)]_ | р, S) =
y- (Б.24)
Рассмотрим по отдельности фурье-образы каждого из членов
правой части (Б.24). Используя трансляционную инвариантность,
получаем для первого фурье-образа
7* <j>"; p, S) =
X j е* 1Р"+к-Р) 'Jdy = — B*)* t^fdkbip'' + к —p) X
n
X <0|/p@)| л, k){n, k|Oa@)lp, S),
где в силу обычных аргументов
198 ВЫЧИСЛЕНИЕ ВКЛАДА ОДНОНУКЛОННОГО СОСТОЯНИЯ [ДОП. Б
Таким образом, фурье-образ fl первого члена отличен от нуля
лишь для р", удовлетворяющих неравенствам:
Аналогично, рассмотрение фурье-образа F° второго члена (Б.24)
показывает, что он отличен от нуля только для значений р", удов-
удовлетворяющих неравенствам
Таким образом, мы видим, что фурье-образ разности (Б.24)
обладает свойством
FTet (р«) — p&ir (f/r) = 0, (Б.25)
если одновременно выполняются неравенства
р° — //'°<0 или (р — p"f< CmJ I
и I (Б.26)
р" < 0 или р <{M-\-mf. \
Эти неравенства выполнятся, если потребовать одновременного
выполнения
р"°>р° или — Зт-|-ро< /°< Ът -\-р° )
} (Б.27)
или (M + )<"°(M\) J
что, как легко видеть, сводится к требованию, чтобы р"°
лежало бы в интервале
р° — Зт<р"<>< М + т. (Б.28)
Итак, для фурье-образов (Б.24) выполняется (Б.25), коль
скоро р"° удовлетворяет (Б.28). Поэтому мы можем вос-
воспользоваться теоремой IV (п. 8 дополнения А) и леммой VI
(п. 2 дополнения А), утверждающими, что если разность
фурье-образов запаздывающей и опережающей функций,
т. е. двух функций, удовлетворяющих условиям (Б.23),
обращается в нуль в некотором интервале
а<р"о<$ (Б.29)
значений временной составляющей импульса, то существует
аналитическая функция F(q) комплексного 4-вектора q,
ДОП. Б] ВЫЧИСЛЕНИЕ ВКЛАДА ОДНОНУКЛОННОГО СОСТОЯНИЯ
регулярная в области
|lmq|<
199
(Б.ЗО)
такая, что для вещественных q = p" из этой области
F (//') = Fret (//') == FadT (//').
В применении к нашему случаю, когда роль интервала (Б.29)
играет интервал (Б.28), область регулярности F(q) будет
определяться неравенством:
Im
+ 4М2 (— -с — р2)
4(Ai» + i
<
Im
М + У'ж'
/И-У^М'
(Б.31)
где мы воспользовались значениями (Б. 13), (Б. 14) состав-
составляющих (Б.31) 4-вектора р". Для т, удовлетворяющих F.23),
корень в левой части (Б.31) будет вещественным; поэтому
такие т войдут в область аналитичности функции F(jP). По-
Покажем, что F(p") будет аналитической и для т из интервала
— т2<т</й2, (Б.32)
включающего и реальное значение т = /и2.
Заметим для этого, что подкоренное выражение в правой части
(Б.31) можно записать как
откуда в силу неравенств (Б.32) и F.42), ограничивающих значе-
значения т и р-, будет следовать, что квадрат правой части (Б.31) будет
больше, чем
Зт
/ 3/п т?\
С другой стороны, квадрат левой части (Б.31) будет, как легко ви-
видеть, меньше, чем
200 ВЫЧИСЛЕНИЕ ВКЛАДА ОДНО.-1УКЛОННОГО СОСТОЯНИЯ [ДОП. Б
Тем самым выполнение неравенства (Б.31) для х из интервала (Б.32)
показано.
Таким образом, функция Fret(//'), определенная соотно-
соотношением (Б.21), и отличающаяся от матричного элемента (Б. 19)
лишь множителем
+s"(")
может быть аналитически продолжена по переменной т от
отрицательных т, удовлетворяющих F.23), до точки т = т2.
Замечая теперь, что в силу (Б. 12) и (Б.19—21) функция
FlfCp";p,S) отличается от функции g(q2) = g(x) лишь не
зависящими от г матричными множителями, мы приходим
к тому важному заключению, что функция g'(x) также мо-
может быть аналитически продолжена по переменной т
вплоть до точки х = т2. Поэтому мы получаем возможность
сослаться на теорему из теории функций комплексного пе-
переменного, утверждающую, что если некоторая аналитическая
функция принимает чисто вещественные значения на каком-
либо отрезке вещественной оси (внутри области аналитич-
аналитичности), то она будет вещественна и во всех точках веще-
вещественной оси, расположенных внутри области аналитичности.
Поскольку вещественность g(x) для т, удовлетворяющих F.23),
была показана в разделе Б.2, то из только что доказанной
возможности аналитически продолжить g(x) вплоть до точки
х = т2 следует, что функция
g(x) вещественна для т:=т2. (Б.33)
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
A1 R. К го nig, J., Opt. Soc. Am. 12, 547 A926).
[2] H. A. Kramers, Atti Congr. Intern. Fisici, Como2A927), 545.
[3] W. H e i s e n b e r g, Die «beobachtbaren Огбйеп» in der Theorie
der Elementarteilchen, Zs. f. Phys. 120 A943), 513, 673; Zs. f.
Naturforschung 1 A946), 608.
[4] Ning Hu, On the Application of Heisenbergs Theory of S-matrix
to the Problems of Resonance Scattering and Reactions in Nuclear
Physics, Phys. Rev. 74 A948), 131.
[5] N. 0. v a n К arn pen, S-matrix and Causality Condition I,
Maxwell Field, Phys. Rev. 89 A953), 1072; S-matrix and Causality
Condition II., Nonrelativistic Particles, Phys. Rev. 91 A953), 1267.
[6] M. Г. К р е й н, Об определении потенциала частицы по ее
5-функции, ДАН 105 A955), 433.
[7] С. J. О о е b е 1, R. К а г р 1 u s & М. A. R и d e r m a n, Mo-
Momentum Dependence of Phase Shifts, Phys. Rev. 100 A955), 240.
[8] M. Oell-Mann, M. L. О о Id b erge r & W. E. T h irr i ng,
Use of Oausality Oondition in Quantum Theory, Phys. Rev. 95
A954), 1612.
[9] M. L. Goldberger, Use of Causality Condttionin Quantum
Theory, Phys. Rev. 97 A955), 508.
[10] R. Karplus & M. A. R и d e r m a n, Application of Causality
to Scattering, Phys. Rev., 98 A955), 771.
[11] M. L. Ooldberger, Causality Conditions and Dispersion
Relations. I. Boson Fields, Phys. Rev. 99 A955), 979.
[12] M. L. Ooldberger, H. Miyazawa&R. Ohme, Application
of Dispersion Relations to Pion-Nucleon Scattering, Phys. Rev.
99 A955), 986.
[13] R. Ohme, Dispersion Relations for Pion-Nucleon Scattering I,
The Spin-Flip Amplitude, Phys. Rev. 100 A955), 1503.
[14] R. Ohme, Dispersion Relations for Pion — Nicleon Scattering:
No-Spin-Flip Amplitude, Phys. Rev. 102 A956), 1174.
[15] Дисперсионные соотношения. Проблемы современной физики,
№ 2 A957).
[16] Н. Н. Боголюбов и Д. В. Шнрков, Вопросы квантовой
теории поля; I. Матрица рассеяния; II. Устранение расходи-
мостей из матрицы рассеяния, УФН 55 A955), 149; 57 A955), 3;
Введение в теорию квантованных полей, М. Гостехиздат, 1957.
[17] R. Haag, On Quantum Field Theories, Dan. Mat. Fys. Medd.
29, № 12 A955).
202 ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
[18] A. Klein, Scattering Matrix in the Heisenberg Representation
for a System with Bound States, Prog. Theor. Phys. 14 A955),
580.
[19] H. Lehmann, Ober Eigenschaften von Ausbreitungsfunktionen
und Renormierungskonstanten quantisierter Felder, NuovoCimento
11 A954), 342.
[20] O. Kallen, On the definition of the Renormalization Constants
in Quantum Electrodynamics, Helvetica Phys. Acta 25 A952),
417.
[21] Л. Д. Ландау и И. Я. Померанчук, О точечном взаимо-
взаимодействии в квантовой электродинамике, ДАН СССР 102, 489
A955).
[22] Н. Н. Боголюбов и Д. В. Ш и р к о в, Введение в теорию
квантованных полей, М. Гостехиздат, 1957, § 50.3.
[23] К. Symanzik & D. Jost, Доклад на конференции в Сиаттле
(сентябрь 1956).
[24] М. L. О о 1 d b e r g e r, F. E. Low, О. F. С h e w & Y. N a m b u,
Доклад на конференции в Сиаттле (сент. 1956).
[25] А. А. Логунов и А. Н. Тавхелидзе, Дисперсионные
соотношения для реакций фоторождения тс-мезонов на нуклоне,
[^ ЖЭТФ 32 A957), 1393.
[26] Н. Н. Б о г о л ю б о в, В. Л. Б о н ч-Б р у е в и ч и Б. В. Мед-
Медведев, К инвариантному построению квантовой теории поля,
ДАН СССР 75, 681 A950).
[27] Н. Н. Боголюбов и В. С. Владимиров, Об аналити-
аналитическом продолжении обобщенных функций, Известия АН СССР,
сер. математ. 22, 15 A957); В. С. Владимиров, О расши-
расширении области аналитичности, препринт ОИЯИ A958).
[28] Н. Н. Боголюбов, С. М. Биленький и А. А. Логу-
Логунов, Дисперсионные соотношения для слабых взаимодействий,
Nuclear Physics (в печати).
[29] R. Jоst & Н. Lehmann, Integral darstellung Kausaler Kom-
mutatoren, Nuovo Cimento 5, 1598 A957).
[30] M. Ooldberger, Y. Nambu & R. Oehme, Dispersion
Relations for Nucleon-Nucleon Scattering, Annals of Physics 2,
226 A957).
[31] А. Логунов и Тавхелидзе, Generalized Dispersion Rela-
Relations, Nuclear Physics (в печати).
[32] А. Логунов, К теории дисперсионных соотношений для
виртуальных процессов. Nuclear physics (в печати).
[33] Т.. W. Kibble, Dispersion Relations for Inelastic Scatering,
Proc. Roy. Soc. 244, 355 A958).
[34] H. J. Bremmermann, R. Oehme&J. Q. Taylor, Proof
of Dispersion Relations in Quantized Field Theory, Phys. Rev.
109, 2178 A958).
[35] F. J. Dyson, Integral Representation of Causal Commutators
(препринт).
СОДЕРЖАНИЕ
§ 1. Введение 7
§ 2. Основные физические допущения 19
§ 3. Соотношения между радиационными операторами .... 33
§ 4. Вакуумные средние бозевских радиационных операторов
второго порядка 44
§ 5. Вакуумные средние фермиевских радиационных опера-
операторов второго порядка 61
§ 6. Построение дисперсионных соотношений 71
§ 7. Исследование аналитических свойств функции STau> . . 109
§ 8. Физические дисперсионные соотношения 122
Дополнение А. Теоремы об аналитичности 132
Дополнение Б. Вычисление вклада однонуклонного состояния . 191
Цитированная литература 201