ISSN 0233—6723
ОСУДАРСТВЕННЫИ КОМИТЕТ СССР	АКАДЕМИЯ	НАУК	СССР
ПО НАУКЕ И ТЕХНИКЕ
СЕСОЮЗНЫЙ ИНСТИТУТ НАУЧНОЙ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ
ИТОГИ НАУКИ И ТЕХНИКИ
СЕРИЯ
СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ
МАТЕМАТИКИ
Фундаментальные направления
Том 11
Научный редактор
член-корреспондент АН СССР Р. В. Гамкрелидзе
Серия издается с 1985 г.

Главный редактор информационных изданий ВИНИТИ
профессор А. И. Михайлов
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ
информационных изданий по математике
Главный редактор чл.-корр. АН СССР Р. В. Гамкрелидзе
Члены редколлегии: канд. физ.-матем. наук Д. Л. Келенджеридзе,
канд. физ.-мат. наук М. К■ Керимов, академик А. Н. Колмогоров,
чл.-корр. АН СССР Л. Д. Кудрявцев, профессор В. Н. Латышев,
профессор А. В. Малышев, академик С. М. Никольский,
профессор Н. М. Остиану (ученый секретарь редколлегии),
академик Л. С. Понтрягин, докт. физ.-матем. наук Н. X. Розов,
профессор В. К Саульев, профессор А. Г. Свешников
Редакторы-консультанты серии
профессор Я. М. Остиану, академик Л. С. Понтрягин
Научные редакторы серии
А. А. Аграчев, 3. А. Измайлова, В. В. Никулин,
В. П. Сахарова
Научный консультант
Заслуженный деятель культуры М. И. Левштейн
© ВИНИТИ, 198

АЛГЕБРА-1
Редакторы-консультанты
член-корреспоидент АН СССР А. И.
члеи-корреспоидеит АН СССР И. Р.
Кострикин,
Шафаревич
1*	23

Научный редактор тома В. В. Никулин
Автор И. Р. Шафаревич

УДК 512
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АЛГЕБРЫ
И. Р. Шафаревич
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие	 Т
§ 1. Что такое алгебра?	 9
Идея координатизации. Примеры: словарь квантовой механики и ко-
ордииатизация конечных моделей аксиом сочетания и параллельности.
§ 2.	Поля	15-
Аксиомы поля. Изоморфизм. Поле рациональных функций от незави¬
симых переменных, поле рациональных функций на плоской алгебраи¬
ческой кривой, поле рядов Лораиа и формальных рядов Лорана.
§ 3.	Коммутативные	кольца	21
Аксиомы кольца. Делители нуля и целостные кольца. Поле частных.
Кольцо многочленов. Кольцо полиномиальных функций на плоской
алгебраической кривой. Кольцо степенных рядов и формальных сте¬
пенных рядов. Булевы кольца. Прямые суммы колец. Кольцо непре¬
рывных функций. Разложение на множители. Факториальные кольца.
Примеры факториальных колец.
§ 4.	Гомоморфизмы	и идеалы	29
Гомоморфизмы, идеалы, факторкольца. Теорема о гомоморфизмах.
Гомоморфизмы ограничения в кольцах функций. Кольца главных
идеалов. Связь с факториальностью. Умножение идеалов. Характери¬
стика поля. Расширение, в котором заданный многочлен имеет ко¬
рень. Алгебраически замкнутые поля. Конечные поля. Представление
элементов общих колец как функций иа максимальных и простых
идеалах. Целые числа как функции. Ультрапроизведения и нестан¬
дартный анализ. Коммутирующие дифференциальные операторы.
§ 5. Модули	40
Прямые суммы и свободные модули. Тензорные произведения. Тен¬
зорная, симметрическая и внешняя степень модуля, двойственный
модуль. Эквивалентность идеалов и изоморфизм модулей. Модули
дифференциальных форм и векторных полей. Семейства векторных
пространств и модули.
§ 6. Алгебраический аспект размерности .	 491
Ранг модуля. Модули конечного типа. Модули конечного типа над
кольцом главных идеалов. Нётеровы модули и кольца. Нётеровы
кольца и кольца конечного типа. Случай градуированных колец. Сте¬
пень траисцендеитиости расширения. Конечные расширения.
§ 7. Алгебраический аспект иифинитезимальиых понятий ....	69
Функции с точностью до бесконечно малых второго порядка и каса¬
тельное пространство к многообразию. Особые точки. Векторные
поля и дифференциальные операторы первого порядка. Бесконечно
малые высших порядков. Струи и дифференциальные операторы.
Пополнения колец, р-адические числа. Нормированные поля. Нормы
поля рациональных чисел и рациональных функций. Поля р-адиче-
ских чисел в теории чисел.
5

t§ 8. Некоммутативные кольца
Основные определения. Алгебры над кольцами. Кольцо эндоморфиз¬
мов модуля. Групповая алгебра. Кватернионы и тела. Твисторное
расслоение. Эндоморфизмы «-мерного пространства над телом. Тен¬
зорная алгебра и кольцо некоммутативных многочленов. Внешняя
алгебра. Супералгебры. Алгебра Клиффорда. Простые кольца и ал¬
гебры. Левые и правые идеалы кольца эндоморфизмов векторного
пространства над телом.
§ 9. Модули над некоммутативными кольцами
Модули и представления. Представления алгебр на матричном языке.
Простые модули, композиционные ряды, теорема Жордана — Гёльде-
ра. Длина модуля и кольца. Эндоморфизмы модулей. Лемма Шура.
§ 10. Полупростые модули и кольца
Полупростота. Полупростота групповой алгебры. Модули над полу-
простым кольцом. Полупростые кольца конечной длины: теорема
Веддербёрна. Простые кольца конечной длины и основная теорема
проективной геометрии. Факторы и непрерывные геометрии. Полу¬
простые алгебры конечного ранга над алгебраически замкнутым
полем. Применения к представлениям конечных групп.
•§ 11. Тела конечного ранга
Тела конечного ранга над полем вещественных чисел й конечными
полями. Теорема Тзена н квазиалгебраически замкнутые поля. Цен¬
тральные тела конечного ранга над полем р-адических и полем ра¬
циональных чисел.
§ 12. Понятие группы
Группы преобразований. Симметрии.Автоморфизмы. Симметрии ди¬
намических систем и законы сохранения. Симметрии физических зако¬
нов. Группы, регулярное действие. Подгруппы, нормальные делители,
факторгруппы. Порядок элемента. Группа классов идеалов. Группа
расширений модуля. Группа Брауэра. Прямое произведение двух
групп.
§ 13. Примеры групп: конечные группы
Симметрические и знакопеременные группы. Группы симметрий пра¬
вильных многоугольников и правильных многогранников. Группы сим¬
метрий решеток. Кристаллографические классы. Конечные группы,
порожденные отражениями.
§ 14. Примеры групп: бесконечные дискретные группы ....
Дискретные группы преобразований. Кристаллографические группы.
Дискретные группы движений плоскости Лобачевского. Модулярная
группа. Свободные группы. Задание групп соотношениями. Логиче¬
ские проблемы. Фундаментальная группа. Группа узла. Группа кос.
§ 15. Примеры групп: группы Ли и алгебраические группы
Группы Ли. Торы. Их роль в теореме Лиувилля. Классические ком¬
пактные группы и некоторые связи между ними. Классические ком¬
плексные группы Ли. Некоторые другие группы Ли. Группа Лоренца.
Алгебраические группы. Группы аделен.
•§ 16. Общие результаты теории групп
Прямые произведения. Теорема Веддербёрна — Ремака — Шмидта.
Композиционные ряды. Теорема Жордана—Гёльдера. Простые груп¬
пы. Разрешимые группы. Простые компактные группы Ли. Простые
комплексные группы Ли. Простые конечные группы.
■§ 17. Представления групп
Представления конечных групп. Соотношения ортогональности. Пред¬
ставления компактных групп. Интеграл по группе. Теория Гельмголь¬
ца — Ли. Характеры коммутативных компактных групп и ряды Фурье.
Тензоры Вейля и Риччи в четырехмериой римановой геометрии. Пред¬
ставления групп SU(2) и SO(3). Эффект Зеемана. Представления
некомпактных групп Ли. Полная приводимость представлений конеч¬
номерных классических комплексных групп Ли.
§ 18. Некоторые приложения групп
Q

Теория Галуа. Разрешимость уравнений в радикалах. Теория Галуа
дифференциальных уравнений. Классификация неразветвлениых на¬
крытий и фундаментальная группа. Первая основная теорема теории
инвариантов. Представления групп и классификация элементарных
частиц.
§ 19.	Алгебры Ли и неассоциативиая	алгебра	212
Скобка Пуассона как пример алгебры Ли. Кольца и алгебры Ли.
Теория Ли. Группы Ли и движения твердого тела. Числа Кэли, Ква-
зикомплексная структура на шестимерных подмногообразиях восьми¬
мерного пространства. Неассоциативиые вещественные тела.
§ 20.	Категории	226
Диаграммы и категории. Функторы. Функторы, возникающие в топо¬
логии: пространства петель, надстройки. Группы в категории. Гомо¬
топические группы.
§ 21.	Гомологическая алгебра	239
Комплексы и их гомологии. Гомологии и когомологии полиэдров.
Теорема о неподвижной точке. Дифференциальные формы и когомо¬
логии де Рама. Теорема де Рама. Точная последовательность кого¬
мологий. Когомологии модулей. Когомологии групп. Топологический
смысл когомологий дискретных групп. Пучки. Когомологии пучков.
Теоремы конечности. Теорема Римаиа — Роха.
§ 22. К-теория	259
Топологическая К-теория. Векторные расслоения и функтор Vec(X).
Теорема периодичности и функторы Кп(Х). Группа Ki(X) и беско¬
нечномерная линейная группа. Символ эллиптического дифференци¬
ального оператора. Теорема об индексе. Алгебраическая К-теория.
Группа классов проективных модулей. Группы Ко. А, и Кп кольца.
Группа Кг поля и ее связь с группой Брауэра. К-теория и арифме¬
тика.
Комментарий к литературе	269
Литература	274
Именной указатель	  280
Предметный указатель	282
ПРЕДИСЛОВИЕ
Цель настоящей работы — предложить читателю общий
обзор алгебры, ее основных понятий и разделов. Но какой язык
для этого выбрать? Когда на вопрос — что изучает математи¬
ка? — отвечают: «множества с заданными в них отношениями»
или «структуры», то это вряд ли можно признать ответом. Ведь
среди континуума мыслимых множеств с заданными в них от¬
ношениями или структур реально привлекает математиков очень
редкое, дискретное подмножество, и смысл вопроса как раз и
заключается в том, чтобы понять, чем же особенно ценна эта
исчезающе-малая часть, вкрапленная в аморфную массу. Точно
так же, смысл математического понятия далеко не содержится
в его формальном определении. Не меньше (скорее больше)
дает набор основных примеров (как правило, в не очень боль¬
шом числе), являющихся для математика одновременно и моти¬
вировкой, и содержательным определением, и «смыслом» по¬
нятия.
По-видимому, та же трудность возникает при попытке харак¬
теризовать при помощи общих свойств любое явление, хоть в
какой-то степени обладающее индивидуальностью. Например,
7

нельзя дать «определения» немцев или французов — можно
лишь рассказать об их истории и образе жизни. Нельзя дать
«определения» и конкретного человека — можно либо привести
его «паспортные данные», либо попробовать описать его на¬
ружность и характер, рассказать несколько типчных случаев из
его биографии. По последнему пути мы и попытаемся пойти в
этой работе — в применении к алгебре. Поэтому аксиоматиче-
ски-логическое изложение будет в нашей статье соседствовать с
описательным стилем: тщательным разбором ключевых при¬
меров, точек соприкосновения алгебры с другими разделами
математики и естествознания. Разумеется, отбор материала
здесь очень сильно определяется личными точками зрения и
вкусами автора. В качестве читателя я представлял себе сту-
дента-математика младших курсов или математика-неалгебра-
иста, или физика-теоретика, желающего получить представле¬
ние о духе алгебры и ее месте в математике. В той части
статьи, которая посвящена систематическому изложению поня¬
тий и результатов алгебры, к читателю предъявляются очень
ограниченные требования. Предполагается лишь, что он знаком
с анализом, аналитической геометрией и линейной алгеброй в
том объеме, в котором они сейчас читаются во многих инсти¬
тутах. Сложнее описать объем тех знаний, которые использу¬
ются при разборе примеров. Желательно владение понятиями
проективного пространства, топологического пространства, диф¬
ференцируемого и аналитического многообразия, основами тео¬
рии функций комплексного переменного. Но следует иметь все
время в виду, что неясности, могущие возникнуть при разборе
определенного примера, скорей всего имеют чисто локальный
характер и не помешают пониманию других частей работы.
Статья ни в коем случае не претендует на то, чтобы научить
алгебре, — это лишь попытка о ней рассказать. Я попытался
хоть отчасти компенсировать это подробной библиографией.
В предшествующем ей комментарии читатель найдет указания
на литературу, по которой можно изучить те вопросы, о кото¬
рых было рассказано в статье, а также некоторые другие раз¬
делы алгебры, на изложение которых места не хватило.
Утверждения: предложения, леммы, теоремы нумеруются в
каждом параграфе подряд римскими цифрами, причем название:
предложение, лемма, теорема, как правило, опускается. Знаки
^ и ^ обозначают начало и конец формулировки.
Предварительный вариант этой статьи просмотрели Ф. А. Бо¬
гомолов, Р. В. Гамкрелидзе, С. П. Дёмушкин, А. И. Кострикин,
Ю. И. Манин, В. В. Никулин, А. Н. Паршин, М. К. Поливанов,
В.	J1. Попов, А. В. Ройтер, А. Н. Тюрин. Сделанные ими заме¬
чания и предложения мною с благодарностью учтены.
Я очень благодарен Н. И. Шафаревич за громадную помощь
при оформлении рукописи и многие ценные указания.
Автор
8

§ I. ЧТО ТАКОЕ АЛГЕБРА?
Что такое алгебра? — Является ли она областью математи¬
ки, методом или психологической установкой? На такие вопро¬
сы, конечно, не может быть дано ни однозначного, ни короткого
ответа. Место, занимаемое алгеброй в математике, можно
попытаться описать, обратив внимание на процесс, который Гер¬
ман Вейль назвал трудно произносимым именем «координаты-
зсщия». Человек может ориентироваться во внешнем мире, опи¬
раясь исключительно на свои органы чувств, на зрение, осяза¬
ние, на опыт манипулирования предметами внешнего мира и на
возникающую отсюда интуицию. Однако возможен и другой
подход: путем измерения субъективные ощущения превращают¬
ся в объективные знаки — числа, которые способны сохраняться
неограниченно долго, передаваться другим лицам, не воспри¬
нимавшим тех же ощущений, а главное — с которыми можно
оперировать и таким образом получать новую информацию о
предметах, бывших объектом измерения.
Древнейшим примером являются пересчет (координатиза-
ция) и счет (оперирование), дающие возможность делать за¬
ключения о числе предметов, не перебирая их. Из попыток «из¬
мерить» или «выразить числом» различные объекты возникли,
вслед за целыми, дробные и отрицательные числа. Стремление
выразить числом диагональ квадрата со стороной 1 привело к
известному кризису в раннеантичной математике и построению
иррациональных чисел.
Измерение задает вещественными числами точки прямой и,
гораздо шире, выражает числами многие физические величины.
Галилею принадлежит самая крайняя формулировка идеи ко-
ординатизации в его эпоху: «Измерить все, что измеримо, и
сделать измеримым все, что таковым еще не является». Успех
этой идеи, начиная именно со времени, когда жил Галилей, был
блистателен. Создание аналитической геометрии дало возмож¬
ность задавать точки плоскости парами, а точки пространства —
тройками чисел и путем оперирования с числами открывать все
новые геометрические факты. Однако успех аналитической гео¬
метрии основывается, главным образом, на том, что она «сво¬
дит» к числам не только точки, но и кривые, и поверхности,
и т. д. Например, кривая на плоскости задается уравнени¬
ем F(x, у)= 0. Если это прямая, то F — много¬
член 1-й степени и задается своими тремя коэффициентами: при
х, при у и свободным членом. В случае конического сечения
мы имеем кривую второго порядка, которая задается своими
шестью коэффициентами. Если F—многочлен степени л, то он
имеет, как легко видеть, + *Hn + 2) коэффициентов, которыми
соответствующая кривая задается так же, как точка —
координатами.
9

Чтобы выразить числом корни уравнения, были введены
комплексные числа и тем сделан шаг в совершенно новую об¬
ласть математики, включающую эллиптические функции и ри-
мановы поверхности.
Долгое время могло казаться, что путь, намеченный Галиле¬
ем, сводится к измерению «всего» при помощи известного, необ-
суждаемого запаса чисел, и проблема заключается лишь в том,
чтобы создавать все более тонкие методы такого измерения —
вроде метода координат или новых физических приборов. Прав¬
да, иногда тех чисел, которые считались известными (или про¬
сто, считались числами), оказывалось недостаточно: тогда воз¬
никал «кризис», преодолевавшийся расширением понятия числа,
созданием нового вида чисел, которые вскоре опять восприни¬
мались как единственно возможные. Во всяком случае, в каж¬
дый данный момент понятие числа, как правило, считалось
вполне ясным и развитие шло лишь в направлении его расши¬
рения: 1 и 2 (а потом «много) ^натуральные числа=^целые=>-
=>рациональные=^вещественные=>-комплексные. Но, например,
матрицы представляют собой совершенно самостоятельный мир
«числоподобных» объектов, никак не укладывающийся в эту по¬
следовательность. Одновременно с ними возникли кватернионы,
потом другие «гиперкомплексные системы» (теперь называемые
алгебрами). «Бесконечно малые преобразования» привели к
дифференциальным операторам, для которых естественной ока¬
залась операция совсем нового типа:	«скобка	Пуассона».
В алгебре возникли конечные поля, в теории чисел — р-адиче-
ские числа. Постепенно стало очевидным, что попытка найти
единое, всеобъемлющее понятие числа абсолютно безнадежна.
В такой ситуации прокламированный Галилеем принцип можно
было обвинить в нетерпимости. Ведь требование «сделать изме¬
римым все, что таковым еще не является», явно дискриминиру¬
ет то, что упорно не хочет становиться измеримым, вытесняет
его из сферы интересов науки, а может быть, и разума (стано¬
вится «secunda causa» в терминологии Галилея). Даже если
полемический термин «всё» скромно ограничить объектами фи¬
зики и математики, то и среди них все больше появлялось та¬
ких, которые «измерить» при помощи «обычных» чисел было
невозможно.
Принцип координатизации все же можно было сохранить,
допустив, что множество «числоподобных объектов», при помо¬
щи которых осуществляется координатизация, столь же много¬
образно, как и мир физических и математических объектов, ко¬
торые ими координатизируются. Объекты, служащие «коорди¬
натами», должны удовлетворять лишь некоторым условиям
очень общего характера.
Они должны быть индувидуализируемы. Например, в то вре¬
мя как все точки прямой обладают одинаковыми свойствами
(прямая однородна) и точку можно фиксировать, лишь указав
10

на нее пальцем, — числа все индивидуальны: 3, 7/2, У2, л,...
(тот же принцип применяется, когда новорожденным щенкам,
не. различимым для хозяина, привязывают на шею разноцветные
ленточки, чтобы отличить их друг от друга).
Они должны быть достаточно абстрактны, отражать свой¬
ства, общие широкому кругу явлений.
Некоторые фундаментальные черты изучаемых ситуаций
должны отражаться в операциях, которые можно производить
над координатизирующими их объектами: сложении, умноже¬
нии, сравнении по величине, дифференцировании, составлении
скобки Пуассона и т. д.
Мы можем теперь сформулировать наш тезис подробнее.
Ч Любые объекты, являющиеся предметом математическо¬
го исследования, — кривые и поверхности, отображения, сим¬
метрии, кристаллы, квантово-механические величины и т. д. —
могут быть «координатизированы» или «измерены». Однако
для такой координатизации «обычных» чисел далеко не доста¬
точно.
Наоборот, сталкиваясь с новым типом объектов, мы вы¬
нуждены конструировать (или открывать) и новые типы
координатизирующих их «величин». Построение и исследова¬
ние возникающих таким образом «величин» — этим и характе¬
ризуется (конечно, очень приближенно) место алгебры в мате¬
матике.
С этой точки зрения, развитие любого раздела алгебры со¬
стоит из двух этапов. Первый из них — рождение нового типа
алгебраических объектов из некоторой проблемы координатиза¬
ции; второй — их дальнейшая жизнь, т. е. систематическое раз¬
витие теории этого класса объектов, иногда тесно связанное, а
иногда почти и не связанное с той областью, в связи с которой
объекты возникли. В дальнейшем мы попытаемся не упускать
из виду оба этапа. Но так как алгебраические трактаты часто
посвящены исключительно второму этапу, для сохранения рав¬
новесия мы будем несколько больше внимание обращать на
первый.
Закончим параграф двумя примерами координатизации, не¬
сколько менее стандартными, чем уже рассматривавшиеся
нами.
Пример 1. Словарь квантовой механики, указывающий
.математические объекты, которыми «координатизируются»
основные физические понятия:
Физическое понятие
Математическое понятие
Состояние физической системы
Прямая ф в бесконечномерном
комплексном гильбертовом прост¬
ранстве
11

Физическое понятие
Математическое понятие
Скалярная физическая величина
Самосопряженный оператор
Одновременно измеримые величи-
ы
Коммутирующие операторы'
Величина, имеющая точное значе¬
ние X в СОСТОЯНИИ ф
Оператор, для которого ф—соб¬
ственный вектор с собственным зна¬
чением X
Множество значений величины,
которое можно получить путем из¬
мерения
Спектр оператора
Вероятность перехода из состоя¬
ния ф в состояние ф
| (ф, ф) |, где !ф) = |ф| = 1
Пример 2. Конечные интерпретации системы аксиом со¬
единения и параллельности. Начнем с небольшого отступления.
При аксиоматическом построении геометрии (для конкретности:
будем сейчас говорить только о планиметрии) часто рассматри¬
вают не всю совокупность аксиом, а лишь ее часть. Тогда воз¬
никает вопрос о возможных реализациях выбранной группы ак¬
сиом: существуют ли, кроме «обычной» планиметрии, другие
системы объектов, для которых аксиомы этой группы выполня¬
ются? Обратим сейчас внимание на очень естественную группу
аксиом «соединения и параллельности»:
а) через любые две различные точки проходит одна и только
одна прямая;
б) для каждой прямой и не принадлежащей ей точки сущест¬
вует одна и только одна прямая, проходящая через эту точку и
не пересекающая этой прямой (т. е. параллельная ей);
в) существуют три точки, не лежащие на одной прямой.
Оказывается, что эта группа аксиом допускает много реали¬
заций и среди них и такие, которые, в резком противоречии с
нашей интуицией, имеют лишь конечное число точек и прямых.
Две такие реализации изображены соответственно на рис. 1 и 2.
В реализации, изображенной на рис. 1, мы имеем 4 точки: А, В,
С, D и 6 прямых: АВ, DC; AD, ВС; AC, BD. В реализации на
рис. 2 имеется 9 точек, А, В, С, D, Е, F, G, Я, / и 12 прямых:
ABC, DEF, GHI; ADG, ВЕН, СЕ1; AEI, BFG, DHC; CEG, BDI,
AHF. Читатель может легко проверить, что выполняются аксио¬
мы а), б) и в) (в нашем перечне прямых мы разделили точкой с
запятой семейства параллельных прямых).
Возвращаясь к нашей основной теме, попытаемся «координа-
12

ч
ч
ч
В Б
У
/
/
ч /
ч /
ч /
V
/\
/
У
/
А С
\
ч
\
А
6
С
л
X/
*
F
G
^ У
m
/ /Vr
Ч А У
<\У'
I
н
Рис. 1
Рис. 2
+
ч
н
X
ч
н
ч
ч
н
ч
ч
ч
н
н
ч
и
ч
н
Рис. 3
Рис. 4
тизировать» построенные реализации аксиом а), б) и в). Для
первой из них применим следующую конструкцию: обозначим
через Ч и Н свойства целого числа быть четным или нечетным и
определим действия сложения и умножения над символами Ч и
Н по аналогии с тем, как ведут себя соответствующие свойства
при сложении и умножении. Например, так как сумма четного
и нечетного числа нечетна, положим Ч + Н = Н и т. д. Результа¬
ты можно выразить в «таблицах сложения и умножения», изо¬
браженных на рис. 3 и 4. Пара величин Ч и Н с определенными
так действиями будет служить нам для координатизации «гео¬
метрии» на рис. 1. Для этого зададим точки координатами
(X, У):
Л-(Ч, Ч), В—(Ч, Н), С—(Н, Ч), D—(Н, Н).
Легко проверить, что прямые определяются при этом линейны¬
ми уравнениями:
Л£:ШГ = Ч; CD : НХ=Н- Л£>:ШГ+НУ=Ч;
ВС :НХ + НУ=Н; АС : НУ=Ч; BD : НУ=Н,
13

притом это единственные непротиворечивые линейные уравне¬
ния, которые можно образовать при помощи двух величин Ч
и Н.
Конструкция для геометрии на рис. 2 аналогична, но не¬
сколько сложнее. Разделим целые числа на 3 множества:. U —
делящиеся на 3,У — при делении иа 3 дающие остаток 1 и W —
при делении на 3 дающие остаток 2. Действия над символами
U, V и W определим аналогично первому примеру: например,,
так как сумма числа, принадлежащего V, и числа, принадле¬
жащего W, всегда принадлежит U, то положим V+W=U, а
так как произведение двух чисел, принадлежащих W, всегда
принадлежит V, положим W-W=V. Читатель легко напишет
соответствующие «таблицы сложения и умножения». Теперь
легко проверить, что геометрия на рис. 2 координатизируется
нашими величинами так:
А : ({/, U), В : (£/, V), С : (U, W), D : (V, U), Е : (V, V),
F : (V, W), G : (W, U), Я: (W, V), I: (W, W).
При этом прямые опять задаются всеми линейными уравнения¬
ми, которые можно написать, пользуясь нашими тремя симво¬
лами. Например, прямая AFH задается уравнением VX+VY =
= U, а прямая DCH — уравнением VX + WY= V. Таким обра¬
зом, для коордииатизации «конечных геометрий» мы построи¬
ли «конечные числовые системы». Мы еще вернемся к обсуж¬
дению этих конструкций.
Уже эти немногие примеры дают первое представление, ка¬
кими могут быть объекты, используемые при том или ином ва¬
рианте «коордииатизации». Во-первых, их запас должен быть
строго очерчен. Иными словами, должно быть указано некото¬
рое множество (или, может быть, несколько множеств), эле¬
ментами которого могут быть эти объекты. Во-вторых, мы
должны иметь возможность с ними оперировать, т. е. должны
быть определены операции, которые по одному или нескольким
элементам множества или множеств дают возможность строить
новые элементы. Пока мы больше ничем не ограничиваем при¬
роду используемых множеств. Точно так же и операция может
сыть совершенно произвольным правилом, по которому неко¬
торому набору из к элементов сопоставляется новый элемент.
Однако обычно эти операции будут все же сохранять некоторое
сходство с действиями над числами. В частности, в ситуациях,
о которых мы будем говорить, k=l или 2. Основными приме¬
рами операций, с которыми следует сравнивать все дальнейшие
конструкции, будут: сопоставление любому числу а противо¬
положного —а, сопоставление любому числу 6=^=0 обратного
Ь~1 (£=1), сопоставление двум числам а и & их суммы а + b или
их произведения ab (k=2).
14

§ 2. ПОЛЯ
Мы начнем с описания одного типа таких «множеств с опе¬
рациями», ближе всего соответствующего числовой интуиции.
Полем называется множество К, в котором определены две
операции, каждая из которых сопоставляет двум элементам
множества К третий элемент. Эти операции называются сложе¬
нием и умножением, а результат их применения к элементам
а и b обозначается через а+Ь и ab. Операции должны удовлет¬
ворять следующим условиям:
Сложение:
Коммутативность: а + b = b + а.
Ассоциативность: а+ (b + с) =(а + Ь)'+с.
Существование нуля: существует такой элемент 0, что а+0 =
= а для любого элемента а. (Можно показать, что такой эле¬
мент единственный.)
Существование противоположного: для любого элемента а
существует такой элемент (—а), что а+(—а)= 0. (Можно до¬
казать, что такой элемент единственный.)
Умножение:
Коммутативность: ab = ba.
Ассоциативность (ab)c=a(bc).
Существование единицы: существует такой элемент 1, что*
а1 = а для всякого элемента а. (Можно доказать, что такой
элемент единственный.)
Существование обратного: для любого элемента а=И=0 су¬
ществует такой элемент а~\ что aa~l = 1. (Можно показать, что'
для заданного элемента а такой элемент единственный.)
Сложение и умножение:
Дистрибутивность: a(b + c) —ab +ас.
Наконец, предполагается, что поле не исчерпывается эле¬
ментом 0, или, что то же самое 0=5^ 1.
Совокупность этих условий мы будем называть аксиомами,
поля.
Привычные тождества алгебры, вроде
(a + b)2=a2 + 2ab + b2,
или
а-1—(а +	(а	+1)-1,
следуют из аксиом поля. Надо только иметь в виду, что па, где
п^гО — целое число, обозначает а+а+ ... +а (п раз), а не про¬
изведение числа п (которое может в поле не содержаться) на
элемент а.
Именно над произвольным полем (т. е. предполагая, что-
все встречающиеся в рассуждениях координаты, коэффициен¬
ты и т. д. принадлежат этому полю) естественно строить те
разделы линейной алгебры и аналитической геометрии, в ко¬
15-

торых не идет речь о длине, алгебру многочленов и рациональ¬
ных дробей, и т. д.
Основными примерами полей являются поле рациональных
чисел, обозначаемое Q, поле вещественных чисел R и поле
комплексных чисел С.
Если элементы поля К содержатся среди элементов поля L
и действия в них определены согласованно, то К называется под-
полем поля L, а поле L—расширением К. В этом случае
пишут A'cZ.. Например, QcRcC.
Пример 1. В § 1, в связи с «геометрией», изображенной
на рис. 1, мы определили в множестве, состоящем из элементов
Ч и Н, действия сложения и умножения. Легко проверить, что
это — поле. Нулем в нем является Ч, а единицей — Н. Пере-
обозначив теперь Ч через 0, а Н — через 1, мы увидим, что
«таблица умножения» на рис. 4 совпадает с правилами умно¬
жения чисел 0 и 1 в Q, а «таблица сложения» на рис. 3 отли¬
чается тем, что 1 + 1=0. Построенное поле, состоящее только из
элементов 0 и 1, обозначается F2. Аналогично, элементы U, V и
W, которые мы рассматривали в связи с геометрией на рис. 2,
тоже образуют поле. В нем f/=0, V=l, W= — 1. Мы получаем
примеры полей из конечного числа элементов (из 2-х и из 3-х).
Поля из конечного числа элементов (конечные поля) — очень
интересный и имеющий много приложений объект. Конечное по¬
ле можно задать, выписав таблицу сложения и таблицу умно¬
жения его элементов, как мы делали на рис. 3 и 4. В § 1 мы
встретились с ними в связи с вопросом о реализации некоторой
группы аксиом геометрии в конечном множестве объектов. Но
они возникают не менее естественно и в алгебре как реализа¬
ции аксиом поля в конечном множестве объектов. Поле, со¬
стоящее из q элементов, обозначается F„
Пример 2. Алгебраическое выражение, которое можно по¬
дучить при помощи операций сложения, умножения и деления
из неизвестной х и произвольных элементов поля К, может быть
записано в виде
До + CL\X 4- . . . -f- ЛпХп	ч
^о+ х + .... + Ьтхт'
где аи bi&K и не все Ь*=0. Такие выражения называются ра¬
циональными дробями или рациональными функциями от х. Мы
можем смотреть на них сейчас как на функции, которые любо¬
му х из поля К или из поля L, содержащего К, сопоставляют
указанное выражение, если только знаменатель не обращается
в нуль. Все рациональные функции образуют поле, называемое
полем рациональных функций. Оно обозначается К(х). Некото¬
рые трудности, связанные с этим определением, мы обсудим
в § 3. Элементы поля К содержатся среди рациональных функ¬
ций как «постоянные» функции, так что К(х) является расши¬
рением К.
16

Аналогично определяется поле рациональных функций
К(х, у) от двух переменных и от любого их числа.
Изоморфизмом полей К' и К" называется такое взаимно
однозначное соответствие между их элементами	, что из
а'+-*-а" и b'+-+b" следует a' + b'++a"+b" и a'b'-^-a"b". Поля,
между которыми существует изоморфизм, называются изоморф¬
ными. Если изоморфные поля L' и L" являются расширениями
одного и того же поля К и изоморфизм между ними сопостав¬
ляет каждому элементу поля К тот же самый элемент, то он
называется изоморфизмом над К, а поля V и L"—изоморф¬
ными над К. Изоморфизм полей К' и К" обозначается знаком
Если поля L' и L" конечны, то их изоморфность означает,
что их «таблицы сложения и умножения» одинаковы — отлича¬
ются лишь обозначениями элементов полей L' и L". Аналогич¬
ный смысл имеет понятие изоморфизма и для произвольных
полей. Например, если на некоторой прямой а отметить точку
О и «единичный отрезок» ОЕ, то над направленными отрезками
(или векторами), расположенными на этой прямой, можно гео¬
метрическим путем определить операции сложения и умноже¬
ния. Их определения содержатся в рис. 5 и 6. На рис. 5,
b — произвольная прямая, параллельная a, U — ее произволь¬
ная точка, OU\\AV и VC\\UB\ ОС = ОА + ОВ. На рис. 6, Ь —
произвольная прямая, содержащая О, EU\\BV и VC\\UA\ ОС =
= 0/4-05.
При таком определении действий отрезки прямой образуют
поле Р — проверка всех аксиом представляет собой цепь нетри¬
виальных геометрических задач. Сопоставляя каждому отрезку
вещественное число, например, бесконечную десятичную дробь
(это опять процесс измерения!), мы получаем изоморфизм поля
Р с полем вещественных чисел R.
Пример 3. Вернемся к кривой на плоскости, заданной
уравнением F(x, у) =0, где F — многочлен. Саму кривую обо¬
значим через С. Сопоставление кривой С набора коэффициен¬
тов многочлена F — это очень примитивный способ «координа¬
тизации». Мы опишем сейчас другой, гораздо более тонкий и
эффективный способ.
Рис. 5
Рис. 6
7	2—	9339
17

Нетрудно доказать, что любой отличный от постоянного мно¬
гочлен F(x, у) может быть разложен в произведение несколь¬
ких непостоянных многочленов, каждый из которых уже даль¬
ше так не разлагается. Если F = F^-F2...Ffl— такое разложе¬
ние, то наша кривая с уравнением F=0 есть объединение k
кривых с уравнениями .Fi = 0, ^2=0,..., Fk=0 соответствённо.
Многочлен, не разлагающийся в произведение непостоянных
множителей, называется неприводимым. Дальше мы будем счи¬
тать многочлен F неприводимым.
Рассмотрим произвольную рациональную функцию <р(х, у)
от двух переменных. Она представляется в виде отношения
двух многочленов:
*(*■»>-№£•	И
и мы предположим, что знаменатель Q не делится на много¬
член F. Рассмотрим эту функцию только на точках кривой С.
Она не будет определена в тех точках (х, у), где одновременно
Q(x> У)=0, F(x, у)= 0. Можно доказать, что в силу сделанных
нами допущений таких точек будет только конечное число. Что¬
бы дальнейшее изложение было содержательным, мы предпо¬
ложим; что кривая С имеет бесконечное число точек (т. е. ис¬
ключим кривые вида х2+у2=—1, х*+у*=0 и т. д. Если рас¬
сматривать и точки с комплексными координатами, такие
оговорки не нужны). Тогда функция<р(х, у) определит на множе¬
стве точке кривой С (мы будем говорить короче: на кривой С)
функцию, не определенную, быть может, в конечном числе
точек — подобно тому, как рациональная функция от одной пе¬
ременной (1) не определена при конечном числе значений х,
обращающих в 0 знаменатель выражения (1). Получаемые та¬
ким образом функции называются рациональными функциями
на кривой С. Можно доказать, что все рациональные функции
на кривой С определяют поле (например, можно доказать, что*
функция <р определяет на кривой С отличную от 0 функцию,
только если Р(х, у) не делится на F(x, у), а тогда функция
Q (-х, у)
Ф	7Г7—\	удовлетворяет тому же условию, которое мы
У \х> У)
накладывали на функцию ср, — знаменатель не делится на F —
это доказывает существование обратного элемента). Поле ра¬
циональных функций на кривой С обозначается R(C). Оно яв¬
ляется расширением поля вещественных чисел R. Рассматривая
точки с координатами из произвольного поля К, легко заменить
в этой конструкции R на К.
Сопоставление кривой С поля К(С) является гораздо более
тонким способом «координатизации» этой кривой, чем сопо¬
ставление ей коэффициентов ее уравнения. Прежде всего, при
переходе от системы координат (х, у) к другой системе коорди¬
18

нат (х', у') уравнение кривой меняется, а поле К (С) заменяет¬
ся, как легко видеть, изоморфным. Что еще важно, изоморфизм
полей К(С) и К(С') над К устанавливает важные связи между-
кривыми С и С'.
Пусть, в качестве первого примера, С — это ось х. Так как
ее уравнение есть у=0, то, ограничивая функцию <р на С, мы
должны положить в (2) у=0, и получаем рациональную функ¬
цию от х:
Таким образом, в этом случае поле К(С) изоморфно полю>
рациональных функций К(х). Очевидно, так же обстоит дело,,
когда С — произвольная прямая.
Перейдем к случаю, когда С — кривая второго порядка..
Докажем, что и в этом случае поле К(С) изоморфно полю ра-
ционадьных функций от одной переменной K(t). Для этого вы¬
берем на кривой С произвольную точку (ха, у0) и возьмем за t
угловой коэффициент прямой, соединяющей ее с точкой (х, у)?
с переменными координатами (рис. 7).
Иными словами, положим t = ~~~ (как функцию на С)..
Докажем, что х и у, как функции на кривой С, являются;
рациональными функциями от t. Для этого вспомним, что у—у0 =
= t(x — x0) и, если F (х, г/)=0—уравнение кривой С, то на.
этой кривой
F (-*> У о -г * (х — х0))=10.	(3>
Иными словами, соотношение (3) выполнено в поле К (С). Так каю
С была кривой 2-го порядка, то это квадратное уравнение для
х: a (t) х2b (t) х-\-с (t) —0 (t мы относим к коэффициентам).
Но мы знаем один его корень: х = х0 (это просто отражает тот
факт, что точка (х0, уо) лежит на кривой С). А тогда второй
корень находится уже из условия, что сумма корней равна
—	Мы	получаем	выражение	x	=	f(t)	в	виде	рациональной
2*
19-

■функции t, и аналогичное выражение y = g(t), причем, конечно,
F (/ (t), g(t)) = 0. Таким образом, если сопоставить х*-*- f (t),
y+*g(f), Ф (х, у) ф (/ (t), g (t)), то мы получим изоморфизм полей
К (С) и К (t) над К.
Геометрический смысл полученного изоморфизма заключается
в том, что точки кривой С могут быть параметризованы рацио¬
нальными функциями: х = f(t), y=g(t). Если кривая С имеет
уравнение у2=ах2-\-Ьх-\-с, то на ней y = Vах2-fЬх+ с, и
другая форма полученного результата заключается в том, что
как х, так и ах2-\-bx-\-с, могут быть выражены как рацио¬
нальные функции некоторой третьей функции t. Это выражение
полезно, например, при вычислении неопределенных интегралов:
оно показывает, что любой интеграл
j Ф(х, У ax2-{-bx + c) dx,
где ф — рациональная функция, сводится подстановкой к инте¬
гралу от рациональной функции от't и, значит, выражается
через элементарные функции. В анализе наши подстановки на¬
зываются подстановками Эйлера. Упомянем еще два приложе¬
ния.
а) Поле тригонометрических функций определяется как по¬
ле всех рациональных функций от simp и совф. Так как sin^-f
+cos^=l, то это поле изоморфно R(С), где С — окружность с
уравнением х2+у2=1. Мы знаем, что поле R(C) изоморфно
R(0- Это объясняет, почему каждое тригонометрическое урав¬
нение можно свести к алгебраическому.
б) В случае окружности х2+у2= 1, если мы положим хо=0,
,1/о= — 1, наши выкладки дадут формулы
2t	1—/2	...
Древней задачей теории чисел является вопрос о нахождении
целых чисел а, Ь, с, для которых а2-\- Ь2 = с2. Положив — —х,
— = 1/, t = — и приведя формулы (4) к общему знаменателю, мы
С	С[
получим известные выражения
a = 2pq, b = q2 — pi2, c — q2Arp2.
Уже для кривой С с уравнением у2 = х3Ц~\ поле К (С) не изо¬
морфно полю рациональных функций. Это тесно связано с тем,
■что эллиптический интеграл, например j* у~- р не выражается
через элементарные функции.
Конечно, поле К (С) играет большую роль и при исследова¬
нии других кривых. Его можно определить также и для поверх¬
ностей, заданных уравнением F (х, у, z) = 0, где F — многочлен,
а если рассматривать пространства большего числа измерений,
20

то и для еще более широкого класса геометрических объектов —
алгебраических многообразий, определяемых в ^-мерном простран¬
стве произвольной системой уравнений Fx = 0, ...,Fm —0, где
Fi — многочлены от п переменных.
В заключение приведем примеры полей, встречающихся в
анализе.
Пример 4. Все мероморфные функции в некоторой области
плоскости комплексного переменного (или на произвольном
комплексном многообразии) образуют поле.
Пр и мер 5. Рассмотрим совокупность рядов Лорана-
со
2 anzn, сходящихся в кольце 0<J < /?, причем кольца
сходимости для разных рядов могут быть разными. При обыч¬
ном определении действий над рядами они образуют поле. Ес¬
ли применять те же правила вычисления коэффициентов, то
можно вычислить сумму и произведение двух рядов Лорана,
хотя бы они нигде и не сходились. Так мы приходим к полю
формальных рядов Лорана. Можно пойти дальше и рассмотреть
эту конструкцию для случая, когда коэффициенты ап принадле¬
жат произвольному полю К. Получающееся поле называется
полем формальных рядов Лорана с коэффициентами из поля
К и обозначается К((г)).
§ 3. КОММУТАТИВНЫЕ КОЛЬЦА
Самый простой пример «координатизации»— пересчет при¬
водит (после введения нуля и отрицательных чисел) к целым
числам, которые поля не образуют. Во множестве всех целых
чисел (положительных, отрицательных и 0) определены опера¬
ции сложения и умножения, удовлетворяющие всем аксиомам
поля, кроме одной — существования обратного элемента а-1 для
любого аф0 (например, 72 — уже не целое число).
Множество, в котором заданы две операции, называемые
сложением и умножением, удовлетворяющие всем аксиомам
поля, кроме, может быть, требования существования обратного
элемента а-1 для любого аф0, называется коммутативным
кольцом. При этом удобно считать коммутативным кольцом и
кольцо, состоящее из одного нуля.
Аксиомы поля, из которых исключены аксиома о существо¬
вании обратного элемента и условие 0^1, мы будем дальше
называть аксиомами коммутативного кольца.
По аналогии с полем определяется понятие подкольца Ad В,
изоморфизма колец А' и А" и изоморфизма колец А' и А!'
над кольцом А, если A'd>A и A"d>A. Изоморфизм колец А'
и А" опять записывается как А'—А".
21

Пример 1. Кольцо целых чисел. Оно обозначается Z.
Очевидно, ZczQ.
Пример 2. Столь же фундаментальным примером являет¬
ся кольцо многочленов А[х] с коэффициентами в кольце А.
Ввиду его фундаментальной роли, остановимся подробнее на
определении кольца А[х]. Сначала охарактеризуем его некото¬
рыми свойствами.
Коммутативное кольцо В называется кольцом многочленов
над коммутативным кольцом А, если BzdA и В содержит такой
элемент х, что любой элемент из В однозначно представляется
в виде
a0+aix+ ... +апхп, а&А,
при некотором п^О. Если В'—другое такое кольцо и xf — со¬
ответствующий элемент, то соответствие
ао+ахх+ ... +апхп*-+а0+а1х'+ ... + ап(х')п
определяет, как легко видеть, изоморфизм колец В и В' над А.
Таким образом, кольцо многочленов определено, в разумном
смысле, однозначно.
Этим, однако, не решается вопрос о его существовании.
В большинстве случаев достаточна «функциональная» точка
зрения: надо рассматривать отображения f кольца А в себя,
имеющие вид
/(c) = ao+aiC-r • • • т®/’ с$л-	(!)
Действия над функциями определяются обычным образом:
(/ + g) (c) = f(c) + g(c), (fg) (c) = /(c)g(c). Сопоставив элементу
•абЛ постоянную функцию / (с) = а, мы можем считать А под-
кольцом кольца функций. Если обозначить через х функцию
х(с) = с, то функция (1) запишется в виде
f ~г сцх -f-... -\-апхп.	(2)
Однако в некоторых случаях (например, если число элементов
кольца конечно, а п не меньше чем число его элементов) за¬
пись (2) может оказаться неоднозначной. Так, в поле F2 (при¬
мер 1 § 2) функции х и х2 совпадают. Поэтому мы дадим дру¬
гое определение.
Можно было бы определить многочлены как «выражения»
ao+ai*-|- ... +апхп, понимая здесь + и х* лишь как «типо¬
графские знаки», служащие для записи последовательностей
элементов а0,..., ап из поля К. После этого сумма и произве¬
дение задаются формулами
2	*г 2 akxk = 2	+	ak)	■**»
k	k	k
(2“Hf2a;-*,b2^-*m-	^	akar
\ k	l	\	l	I	m	k+l—m
•22

Несколько более четко та же мысль формализуется следующим
образом. Рассмотрим совокупность бесконечных последователь¬
ностей (а0, аь ..., а„,...) элементов кольца А, причем в каж¬
дой последовательности, начиная с некоторого места, стоят ну¬
ли (это место может быть разным у разных последовательно¬
стей). Сначала определим сложение последовательностей:
(^0)	•	■	ч	•	•	•) “Г (^о1 ^1’ ' * ' ’	’	* * *) ==
= (Л0 + ®0’	+	ап	+	•	• •)•
Все аксиомы кольца, касающиеся сложения, будут выполнены.
Определим теперь умножение последовательности, пока лишь
на элементы кольца А:
CL{dо»	> • м • • •) — {СССС q,	CLCL\i . . ., ddn, . . ,).
Обозначим	последовательность (0, ..., 1, 0, ...),	у	которой
А-ый элемент	равен 1, а	остальные —0, через Ек.	Тогда,	как
легко видеть,
{ао, ftii • •., flu, • • •)сскЕк	(3)
*>о
ввиду ограничения, наложенного на последовательности, сумма
справа конечна). Теперь определим умножение:
2 akEk\(2 a'iEi) = 2 aka\Ek+i	(4)
k	1	\ /	1 k,l
справа надо привести подобные члены со всеми k и I, для кото¬
рых k-rl—n). Из формулы (4) следует, что Е0 является едини¬
цей польца, а Ек = Е\. Положив Ех = х, мы запишем последова¬
тельность (4) в виде 2 акхь. Очевидно, такая запись единственна.
Легко проверить, что умножение (4) удовлетворяет аксиомам
коммутативного кольца, так что построенное кольцо есть кольцо
многочленов A [jcJ.
Кольцо многочленов А [х, у] определяется как А[х]![у] или
обобщением вышеприведенной конструкции. Аналогично опре¬
деляется кольцо А [хъ ..., хп] многочленов от любого числа пе¬
ременных.
Пример 3. Все линейные дифференциальные операторы
с постоянными (вещественными) коэффициентами могут быть за¬
писаны как многочлены от операторов ...,	.	Поэтому	они
образуют кольцо
Сопоставляя	мы	получим	изоморфизм
23
j?
дх
— 1
С""дхпУ

R
д	d
’ dxn
Если A = K является полем, то кольцо К [х] является под-
кольцом поля рациональных функций К (х) — аналогично тому,
как кольцо целых чисел Z является подкольцом поля рацио¬
нальных чисел Q. Кольца, являющиеся подкольцами полей,' об¬
ладают важным свойством: в них соотношение а& = 0 может
выполняться лишь при а = 0 или & = 0. Действительно, из акси¬
ом коммутативного кольца легко следует, что а-0 = 0 для любо¬
го а. Поэтому если в поле а& = 0 и аФ0, то, умножая на а-1,
получаем Ъ — 0. Очевидно, это верно и для кольца, содержаще¬
гося в поле.
Коммутативное кольцо, обладающее тем свойством, что для
его элементов а и Ъ произведение аЪ = 0, только если а=0 или
& = 0, и в котором 0=5^1, называется целостным. Таким образом,
подкольцо любого поля целостно.
I.	Для любого целостного кольца А существует такое поле
К, подкольцом которого является А, что любой элемент из К
представляется в виде аЪ~1, где а и ЬфО— элементы из под-
кольца А. Такое поле называется полем частных кольца А. Оно
определяется кольцом А однозначно (с точностью до изомор¬
физма). ► Например, полем частных кольца Z является поле
Q, кольца многочленов К[х] — поле рациональных функций
К(х), а кольца К[хи •••, х„] — поле К(хи •••, хп). Вообще,
поля частных дают эффективный способ для построения новых
полей.
Пример 4. Если А и В — два кольца, то прямой суммой
их называется кольцо, состоящее из пар (а, Ь), абА, Ь&В, с дей¬
ствиями:
(сц, bi) + (02, b2) = (a1-'ra2, bl -rb2),
(а1( Ь{) (а2, Ь2) = (ща2, Ьф2).
Прямая сумма обозначается А@В. Аналогично определяется
и прямая сумма любого числа колец.
Прямая сумма не является целостным кольцом: (а, 0) (О, Ь) =
= (0,0), а это —нулевой элемент кольца А®В.
Важнейший тип примеров коммутативных колец, среди кото¬
рых встречаются нецелостные, дают кольца функций. Собствен¬
но, прямая сумма А ©...©А п экземпляров кольца А может
рассматриваться как кольцо функций, заданных на множестве
из п элементов (например, 1,2, ...,л) со значениями в А: эле¬
мент (Oi, ..., an)QA®.. .©А можно отождествить с функцией /,
для которой f — Действия над функциями соответствуют
при этом, как обычно, действиям над их значениями.
Пример 5. Совокупность непрерывных функций (для опре¬
деленности, вещественнозначных) на отрезке [0, 1] образует
коммутативное кольцо С при обычном определении действий
24

над функциями. Это кольцо нецелостное: для функций f и g,
изображенных на рис. 8 и 9, очевидно, fg=0. В определении
вместо вещественнозначных можно было бы рассматривать
комплекснозначные функции, а вместо отрезка — произвольное
топологическое пространство. Такие кольца, встречающиеся в
анализе, обычно рассматриваются вместе с топологией на
множестве их элементов, или нормой, определяющей такую
топологию. Например, в нашем случае обычно рассматривается
норма
II /ll = Sup |/ (jc)|.
OC-rd
Примеры, аналогичные изображенным на рис. 8 и 9, можцо
построить и в кольце бесконечно дифференцируемых функций
на отрезке.
Пр и мер 6. Кольцо функций комплексного переменного, голо¬
морфных в начале координат, является целостным, а его поле
частных —это поле рядов Лорана (пример 5 § 2). Аналогично
примеру 5 § 2 можно определить кольцо формальных с тенен-
СО
ных рядов 2 antn с коэффициентами ап из произвольного поля К.
п—0
Его можно определить также конструкцией, изложенной в при¬
мере 2, если отбросить условие, что в последовательности
(ао, аь...,Оп, ...), начиная с некоторого места, стоят нули. Это
кольцо тоже целостно, и его поле частных совпадает с полем
формальных рядов Лорана К ((*)). Кольцо формальных степен¬
ных рядов обозначается /С [[^]] -
Пр и мер 7. Кольцо Оп функций п комплексных переменных,
голоморфных в начале координат, т. е. представимых степенными
рядами
2 ah..-inZi . • • z",
сходящимися в некоторой окрестности начала координат. Анало¬
гично примеру 6 можно определить кольца формальных сте¬
чь

пенных рядов С [fo, ..., z„]] е комплексными коэффициентами и
/f[[zi, . ..,z„]] —с коэффициентами из любого поля К-
Пример 8. Вернемся к кривой С, заданной на плоскости
уравнением F(x, у)= 0, где F — многочлен с коэффициентами
в поле К, которую мы рассматривали в § 2. Каждому много¬
члену Р(х, у) сопоставим функцию на множестве точек кривой
С, определенную его ограничением на эту кривую. Такие
функции называются полиномиальными функциями на кривой
С. Очевидно, они образуют коммутативное кольцо, которое
обозначается К[С]. Если многочлен F разлагается на множи¬
тели, то кольцо К[С] может не быть целостным. Например,
если F=xy, то кривая С — это координатный крест, функция
х равна 0, на оси у, функция у — на оси х, а их произведе¬
ние — на всей кривой С. Но если многочлен F неприводим, то
кольцо /С-ГС] —-целостное. В этом случае полем частных
кольца /С[С] будет поле рациональных функций К (С) на
кривой С.
Сопоставление алгебраической кривой С кольца К[С] есть,
также пример «координатизации>, причем более тонкой, чем
сопоставление поля К(С), так как /О [С] определяет поле К(С)
(его поле частных), но существуют кривые С и С', для кото¬
рых поля К(С) и К(С') изоморфны, а кольца i'CfC] и /С(С'] —
нет.
Разумеется, вместо алгебраической кривой, заданной урав¬
нением F(x, у)= 0, можно рассматривать алгебраическую по¬
верхность с уравнением F(x, у, z)= 0 и, вообще, алгебраиче¬
ское многообразие.
Пример 9. Рассмотрим произвольное множество М и ком¬
мутативное кольцо А, состоящее из всех функций на М со зна¬
чениями в конечном поле F2 из двух элементов (пример 1 § 2).
Таким образом, А состоит из всех отображений М в F2. Так как
поле F2 имеет лишь 2 элемента: 0 и 1, то функция со значения¬
ми в F2 однозначно определяется множеством U сМ тех элемен¬
тов, на которых она равна 1 (на остальных она равна 0). Обрат¬
но, каждое подмножество U с М определяет функцию Фу,
Фу(/га) = 1, если mdU, и Фу(т) = 0, если mW. Легко видеть,
какие действия над подмножествами соответствуют операциям
над функциями:
Фу'Фк = Фур|К> Фи + Ч)к=;ф£/дк,
где UAV— симметрическая разность: UAV=(U[)V)\{Uf\V).
Таким образом, наше кольцо может быть описано как состоя¬
щее из подмножеств UczM с операциями симметрической раз¬
ности и объединения в качестве суммы и произведения. Это
кольцо было введено Булем для формальной записи высказы¬
ваний в логике. Так как в поде F2 хг—х для любого элемента
26

х, то это же соотношение выполнено для любой функции со
значениями в F2, т. е. в нашем кольце. Кольцо, для каждого
элемента х которого х2=х, называется булевым.
Более общие примеры булевых колец можно построить
совершенно аналогично, беря не все подмножества, а лишь не¬
которую систему S подмножеств множества М, содержащую
вместе с двумя подмножествами U и V также Uf|V и U\]V и
вместе с U — его дополнение. Например, можно рассмотреть
топологическое пространство, обладающее тем свойством, что
любое его открытое множество замкнуто (такие пространства
называются нульмерными), и взять за S множество всех его
открытых подмножеств. Доказано, что на этом пути можно
получить любое булево кольцо. В следующем параграфе будет
указан принцип, на котором основывается доказательство.
При переходе от полей к произвольным коммутативным
кольцам возникает качественно новое явление — нетривиаль¬
ная теория делимости. Элемент а кольца А называется деля¬
щимся на элемент Ь, если существует такой элемент с, что
а — Ьс. Поле — это как раз такое кольцо, в котором теория де¬
лимости тривиальна: любой элемент делится на любой отлич¬
ный от 0, так как a=b(ab~l). Классическим примером теории
делимости является теория делимости в кольце Z: она была
построена еще в античности. Основная теорема этой теории
заключается в том, что целое число однозначно разлагается в
произведение простых множителей. Доказательство этой тео¬
ремы, как известно, основывается на делении с остатком (или
алгоритме Евклида).
Пусть А — произвольное целостное кольцо. Элемент а(*А
называется обратимым (делителем единицы), если он обла¬
дает обратным в Л. (В Z —это ±1, в К\х\ — отличные от О
СО
«постоянные» свК, в К [[хЦ — это ряды ^ апхп с а0=£0). На них
л=0
делятся все элементы кольца. Элемент а называется простым,
если он может быть разложен на множители только так: а =
= с(с~1а), где с — обратимый элемент. Если любой отличный
от 0 элемент целостного кольца А может быть представлен в
виде произведения простых и это разложение единственно с
точностью до нумерации простых сомножителей и умножения
их на обратимые элементы, то А называется факториальным.
Так, Z — факториально, К[я]—тоже факториально (доказа¬
тельство использует деление многочленов с остатком). Можно
доказать, что если А — факториальное кольцо, то и кольцо
А[х] факториально. Отсюда и А[хи..., *п] факториально.
Простые элементы колец многочленов называют неприводи¬
мыми многочленами. В кольце С[х] неприводимы только ли¬
нейные многочлены, в кольце R[x] —линейные и те квадрат¬
ные, которые не имеют вещественных корней. В кольце Q[x]
27

существуют неприводимые многочлены любой степени — на¬
пример, многочлен х"—р, где р — любое простое число.
Важными примерами факториальных колец являются коль¬
цо Оп функций п комплексных переменных, голоморфных в
начале координат, и кольцо K[:[/i,..., £>]] формальных- сте¬
пенных рядов (пример 7). Доказательство основывается на
подготовительной теореме Вейерштрасса, при
помощи которой вопрос сводится к функциям (или формаль¬
ным степенным рядам), являющимся многочленами от одной
из переменных. Потом применяется факториальность кольца
А [*] (для факториального А) и индукция.
Пример 10. Комплексные числа вида m+ni, где тип—
целые числа, образуют, как легко видеть, кольцо. Оно являет¬
ся факториальным — это также доказывается при помощи де¬
ления с остатком, но теперь при делении понижается т2+п2.
Так как в этом кольце
т2+п2 = (m + ni) (т—ш),
то на теории делимости в нем основывается решение задачи
теории чисел о представлении целых чисел в виде суммы
двух квадратов.
Пример 11. Пусть е — корень (комплексный) уравнения
е2+е+1 = 0. Комплексные числа вида т+пъ, где т и п — це¬
лые, тоже образуют кольцо и оно тоже факториально. Выра¬
жение т3+п3 разлагается в этом кольце на множители:
/те3 + пъ = (т + п) (т -j- пе) (пь + пг),
где s =—1—е — комплексно сопряженное число. Благодаря это¬
му, теория делимости в этом кольце служит основой доказа¬
тельства теоремы Ферма для кубов. Математиков
XVIII века — Лагранжа и Эйлера очень поражал тот факт, что
доказательство теорем теории чисел (т. е. теории кольца Z)
основывается на привлечении других чисел (элементов других
колец).
Пример 12. Приведем пример нефакториального целостного
кольца. Это кольцо, состоящее из комплексных чисел вида
т + п-У —5, где т и /гбZ. Вот пример двух разных разложений
на простые множители:
& = (2-'гу-=Ъ)(2-У~^5).
Нам надо только убедиться, что 3, 2+^-5 и 2~]/ -5-
простые элементы. Для этого обозначим квадрат модуля числа се
через N (а). Если а = п-\-тУ —5, то N(a) = (n-\-m Y—5) X
X (п—т У —5) = п2-\- 5/и2 и является положительным целым
числом. Кроме того, из свойств модуля следует, что N (оф) =
= N (а) N ф). Если, например, 2+У —5 непросто: 2+V —5 =
=сф, то ^(24-К=:5) = ^(а)Л^(Р). Но N(2 + V-5)=9t
28

и, значит, существуют только три возможности: N («)=*• 7V(P) = 3,
или N(а) = 9, А^(Р) = 1, или N (а) = 1, А^(Р) = 9. Первый случай
не может реализоваться, так как 3 нельзя представить в виде
n2Jr5т2 при целых т и п. Во втором случае Р= ± 1, т. е. р
обратимо, а в третьем а— ± 1, т. е. р или а обратимо. Это
доказывает, что число 2-{-У —5 просто.
То что кольцо не является факториальным, не означает, что
у него нет интересной теории делимости. Наоборот, в этом
случае теория делимости и становится особенно нетривиаль¬
ной. Подробнее об этом будет сказано в следующем пара¬
графе.
§ 4. ГОМОМОРФИЗМЫ И ИДЕАЛЫ
Другое принципиальное отличие произвольных коммута¬
тивных колец от полей — это существование нетривиальных
гомоморфизмов. Гомоморфизмом кольца А в кольцо В назы¬
вается такое отображение f : Л-»-В, что
f(ai+a2) =/(ai) -hf(a2), f(ata2) =f(at) -f(a2), f(lA) = lB
(мы обозначаем через 1а и 1В единичные элементы колец А
и В). Изоморфизм — это гомоморфизм, имеющий обратный.
Если кольцо снабжено топологией, то интерес обычно пред¬
ставляют лишь его непрерывные гомоморфизмы.
Типичные примеры гомоморфизмов возникают, когда коль¬
ца А и В реализуются как кольца функций на множествах X и
У (например, непрерывных, дифференцируемых, аналитических
или полиномиальных функций на алгебраической кривой С).
Отображение <р : У-»-Х переводит функцию F на X в функцию
Ф*Е на У, определенную условием
(Ф *F)(y)=F(v(y)).
Если ф удовлетворяет условиям, естественным в рассматрива¬
емой теории (т. е. является непрерывным, дифференцируемым,
аналитическим отображением или задается полиномиальными
формулами), то ф* определяет гомоморфизм кольца А в коль¬
цо В. Простейший частный случай — это когда ф является
вложением, т. е. У — подмножество множества X. Тогда ф*
есть просто ограничение функций, заданных на X, на подмно¬
жество У.
Пример 1. Если С — кривая, определенная уравнением
F(x, у) — 0, где F^K[x, у] —неприводимый многочлен, то огра¬
ничение на С определяет гомоморфизм К[х, у]^~К[С].
Чаще всего встречается случай, когда У — одна точка мно¬
жества X: У={х0}, ХобХ; тогда речь идет о сопоставлении лю¬
бой функции ее значения.
Пример 2. Если х0бС, то сопоставление каждой функции
29

из /СГС1 ее значения в точке х0 определяет гомоморфизм
*[С]->ЛС.
Пример 3. Если С — кольцо непрерывных функций на
[О, 1] и хо6[0, 1], то сопоставление функции <рбС ее значения1
<р (хо) является гомоморфизмом C->-R. Если А — кольцо функ¬
ций, голоморфных в окрестности 0, то сопоставление функции
фбЛ значения <р(0) является гомоморфизмом А-*-С. ►
Интерпретация значения в точке как гомоморфизма приве¬
ла к общей точке зрения на теорию колец, согласно которой
коммутативное кольцо очень часто может быть интерпретиро¬
вано как кольцо функций на множестве, «точки» которого
соответствуют гомоморфизмам исходного кольца в поля. Ис¬
ходным примером является кольцо А" [С], где С — алгебраиче¬
ское многообразие, а с него геометрическая интуиция распро¬
страняется на более общие кольца. Таким образом, концеп¬
ция, согласно которой «всякий геометрический объект
координатизируем некоторым кольцом функций на нем», до¬
полняется другой, согласно которой «любое кольцо координа-
тизирует какой-то геометрический объект».
С этими двумя точками зрения — алгебраической и функ¬
циональной, — мы уже столкнулись при определении кольца
многочленов в § 3. Связь между ними будет постепенно углуб¬
ляться и проясняться, в дальнейшем.
Пример 4. Кольцо .А функций, голоморфных в круге |г|<1
и непрерывных при | z | < 1. Все тем же способом любая точка го,
|г0|<1, определяет гомоморфизм А ->С, при котором функции
ФбА сопоставляется ф (г0). Можно доказать, что этим исчерпы¬
ваются все гомоморфизмы А ->С над С. Рассмотрим граничные
значения функций из А: это непрерывные функции на окруж¬
ности |г| = 1, для которых все коэффициенты Фурье с отрица¬
тельными индексами равны 0, т. е. разложения в ряд Фурье
имеют вид 2 c„e2*inv. Так как функция /6А определяется
п>О
своими граничными значениями, то А изоморфно кольцу не¬
прерывных функций на окружности, имеющих ряды Фурье
указанного типа. В такой интерпретации сразу бросаются в
глаза лишь его гомоморфизмы, соответствующие точкам
окружности | z | = 1. Таким образом, рассмотрение множества
всех гомоморфизмов иногда помогает восстановить то мно¬
жество, на котором элементы кольца естественно рассматри¬
вать как функции.
В кольце функций, голоморфных и ограниченных при |z|<
<1, далеко не все гомоморфизмы описываются точками z0,
|zo|<l. Их исследование связано с тонкими вопросами теории
аналитических функций.
Для булева кольца (ср. пример 9 § 3) образ гомоморфизма
Ф : A—>-F в поле F является, как легко видеть, полем из двух
30

элементов. Поэтому, наоборот, любой элемент абЛ сопоставь
ляет гомоморфизму ф элемент ф(а)бр2. Такова идея доказа¬
тельства основной теоремы о булевых кольцах: за М берется
множество всех гомоморфизмов А-*~F2, и А интерпретируется
как кольцо функций на М со значениями в F2.
Пример 5. Пусть УС — компактное подмножество в про¬
странстве п комплексных переменных Сп и Л—кольцо функций,,
являющихся равномерными пределами полиномов на УС. Гомомор¬
физмы над С А ->С не исчерпываются теми, которые соответствуют
точкам г£УС. Они находятся во взаимно однозначном соответствии
с точками так называемой полиномиально выпуклой оболочки
УС, т. е. точками гбСл, для которых
|/(z)l<Sup|/| для всех полиномов /.
УС
Пример 6. Сопоставим целому числу символ Ч, если оно
четно, и Н — если нечетно. Мы получим гомоморфизм Z-*-F2;
кольца целых чисел в поле из 2-х элементов, таблицы сложе¬
ния и умножения которого приведены на рис. 3 и 4. (Собст¬
венно, действия над символами Ч и Н так и определялись,
чтобы это отображение было гомоморфизмом.)
Пусть f : А-*-В — гомоморфизм коммутативных колец. Мно¬
жество элементов f(a), абЛ, составляет, как видно из опреде¬
ления гомоморфизма, подкольцо кольца В. Оно называется
образом гомоморфизма f и обозначается через Imf или /(Л)..
Множество элементов абЛ, для которых }(а)= 0, называется
ядром гомоморфизма f и обозначается Kerf. Если 5 = Imf, то
В называется гомоморфным образом кольца А.
Если Kerf=0, то f — изоморфизм между Л и подкольцом:
f(A) кольца В. Действительно, если f(a)=f(b), то из опреде¬
ления гомоморфизма следует, что f(a—b) =0, т. е. а—ft6Kerf=
= 0 и а—Ь. Таким образом, f — взаимно однозначное соответ¬
ствие между Л и f (Л) и, значит, изоморфизм. Это обстоятель¬
ство обращает наше внимание на ядра гомоморфизмов.
Если ах и a26Kerf, то ai + a26Kerf и, если a6Kerf, то.
ах6 Кег f для любого элемента хбЛ — как сразу следует из
определений.
Непустое подмножество I кольца Л называется идеалом,.
если оно обладает этими двумя свойствами:
из ai6/ и а2б/ следует, что ai + a26/,
и из аб/ следует, что ахб/ для любого элемента хвА.
Таким образом, ядро любого гомоморфизма является идеалом.
Универсальный способ конструкции идеалов таков. Рассмотрим
произвольное множество {аД элементов кольца А и множество
I тех элементов, которые представимы в виде 2 хьаь с некото¬
рыми х%£.А (предполагается, что в каждой сумме только конеч¬
ное число слагаемых отлично от 0). I является идеалом. Он
ЗЕ

называется идеалом, порожденным множеством {а*,}. Чаще
всего множество {аД конечно—{сц, ..., am}. В этом случае пишут
I = {аь ..am). Идеал, порожденный одним элементом: I = (а),
называется главным. Если а делит Ь, то (Ь) с (а).
В поле К есть только два идеала —(0) и (1) =/С. Действи¬
тельно, если 1сК—идеал поля К, 1$аф0, то I^aa~1b = b для
любого Ь(*К и, значит, I =К (это перефразировка того, что
в К теория делимости тривиальна). Отсюда следует, что любой
гомоморфизм поля К-+В является изоморфизмом с некоторым
подполем кольца В.
Наоборот, если в коммутативном кольце нет идеалов, от¬
личных от 0 и(1), и Оф 1, то оно — поле. Действительно, тогда
для любого афО мы должны иметь (а) =Л, в частности, 16(a),
т. е. 1 = ab при некотором Ь£А, т. е. элемент а имеет обратный.
В кольце целых чисел Z любой идеал I главный; легко ви¬
деть, что если 1ф(0), то /=(п), где п — наименьшее содер¬
жащееся в I положительное число. То же верно для кольца
К[х\. Там идеал I=(f(x)), где f(x)—многочлен наименьшей
степени, содержащийся в I. В кольце К[х, у] идеал I, состо¬
ящий из многочленов без свободного члена, как легко ви¬
деть, — не главный; он имеет вид {х, у). Кольцо, в котором
всякий идеал главный, называется кольцом главных идеалов.
Не случайно, что кольца Z и /С [jcJ факториальны:	можно
доказать, что любое кольцо главных идеалов факториально.
Но пример кольца К[х, у] показывает, что факториальных ко¬
лец больше, чем колец главных идеалов. Точно так же, фак¬
ториальным, но не кольцом главных идеалов, является коль¬
цо ап функций п>1 комплексных переменных, голоморфных в
начале координат (пример 7 § 3). Исследование идеалов в
этом кольце играет важную роль при изучении локальных
аналитических многообразий, определенных в окрестности
начала координат уравнениями
fi=0,.., fm=0
На свойствах этих идеалов основывается представление таких
многообразий как объединения неприводимых, введение для
них понятия размерности и т. д.
Пример 7. В кольце С функций, непрерывных на отрезке,
ядро гомоморфизма, сопоставляющего функции Ф значение
ф(х0), —это идеал /*0={ФеС, Ф(х0) = 0}. Легко доказать, что
он — неглавный: функция, стремящаяся к 0 значительно медлен¬
нее заданной функции Ф (х) (например, У"| Ф (х) |), не содержится
в идеале (Ф(х)). Аналогично доказывается, что идеал I Хо не
порождается даже никаким конечным числом Фг, ..., Фт вхо¬
дящих в него функций.
Другой пример подобного типа можно получить в кольце 8
ростков бесконечно дифференцируемых на прямой функций
32

в точке О. (По определению, две функции задают один и тот
же росток в точке О, если они совпадают в какой-то окрест¬
ности этой точки.) Идеал Мп, состоящий из ростков функций,
равных нулю в точке О вместе со всеми производными порядка
< п, главный и равен (xn+1), но идеал ростков функций, все
производные которых в точке О равны 0 (вроде функции
как можно доказать, не порождается никакой конечной систе¬
мой функций. Впрочем, убедительность этих примеров не сле¬
дует преувеличивать: используя топологию кольца С непре¬
рывных функций, естественнее рассматривать идеалы, тополо¬
гически порожденные функциями фЬ ..., срт, т. е. замыкание
идеала (фь ..., фт). В этом, топологическом смысле, любой
идеал кольца С порождается одной функцией. Те же сообра¬
жения применимы и к кольцу &, но топология в нем опреде¬
ляется более сложным способом и, например, тот факт, что
идеал	не порождается никакой конечной системой функ¬
ций, несет в себе более реальную информацию.
Пусть I и J — два идеала кольца А. Идеал, порожденный
множеством всех произведений ij, гб/, /б/, называется произ¬
ведением идеалов I и / и обозначается //. Умножение главных
идеалов согласовано с умножением элементов:	если	/=(а),
J=(b), то IJ=(ab). По аналогии с вопросом об однозначности
разложения элементов на простые множители можно поставить
вопрос о разложении идеалов кольца на идеалы, не разложи¬
мые в произведение идеалов. Конечно, оба свойства имеют
место в целостном кольце главных идеалов. Но существуют
важные типы колец, которые не факториальны, но в которых
идеалы на неразложимые множители разлагаются однозначно.
Пример 8. Рассмотрим кольцо чисел вида ш-\-пУ —5,
m, /iGZ, которое мы приводили в качестве примера нефакториаль¬
ного кольца (пример 12 § 2). Разложение
3* = (2-гК^5)(2-К^5),	(1)
которое мы привели выше, не является (если заменить числа
соответствующими главными идеалами) разложением на простые
множители. Нетрудно убедиться, что (2+1/—5) = (2-f У —5, З)2,
(2-уГ=5) = (2-]/^5, 3)2,	(3)	= (2 + V-5, 3)(2-V^ 3),
так что (1) есть произведение (2 + 1/ — 5, З)2 (2 — У — 5, З)2,
в котором только по-разному сгруппированы множители. Воз¬
можность аналогичного разложения является основой арифметики
алгебраических чисел. В этом и историческое объяснение тер¬
мина «идеал»: простые идеалы, на которые разлагается неразло¬
жимое число (например, 3 или 2 + 1/ —5), рассматривались сна¬
чала как его «идеальные простые сомножители».
Числа 3 и 2 + 1/" — 5 не имеют общего множителя, отличного
от ±1, так как они простые. Но идеал (3, 2 + 1/—5) является
3—9339	23
33

их общ™ наибольшим делителем (точнее, идеалов (3) и
(2 +V —5)). Аналогично тому как общий наибольший делитель
целых чисел а и & представляется в виде au-{-bv, идеал
(3, 2-\-У —5) состоит из чисел вида За-р(2 + У — 5)Р-
Понятие идеала особенно важно тем, что отмеченная нами
связь между гомоморфизмами и идеалами обратима: каждый
идеал является ядром некоторого гомоморфизма. Чтобы по¬
строить по идеалу I кольца А то кольцо В, в которое этот го¬
моморфизм будет отображать А, вводятся следующие опреде¬
ления.
Элементы ах и а2 кольца А называются сравнимыми по
идеалу I этого кольца (или по модулю этого идеала), если
ai—а2Ы.
Это записывается так:
ai==a2(/).
Если А = Z, 1—(п), то мы приходим к классическому понятию
сравнения в теории чисел: сравнимость чисел ах и а2 означает,,
что они дают одинаковые остатки при делении на п.
Отношение сравнимости является отношением эквивалент¬
ности, и кольцо А разбивается на непересекающиеся классы
сравнимых друг с другом чисел по модулю идеала I. Эти клас¬
сы называются также классами вычетов по модулю I.
Пусть Г1! и Г2 — два класса вычетов по модулю идеала L
Легко видеть, что как бы мы ни выбирали элементы ai6ri и
а2бГ2, их сумма будет лежать в одном и том же классе выче¬
тов Г. Этот класс называется суммой классов вычетов Ti и Г2
Аналогично определяется произведение классов вычетов. Сово¬
купность всех классов вычетов по модулю идеала I с опреде¬
ленными выше действиями образует, как легко проверить,
коммутативное кольцо. Оно называется кольцом классов вы¬
четов или факторкольцом кольца А по идеалу I и обозначает¬
ся А//.
Например, если А = Z, /=(2), то имеется 2 класса вычетов::
четные числа и нечетные числа, а кольцо Z/(2) совпадает в;
полем F2.
Легко видеть, что сопоставление элементу абЛ того класса
вычетов, к которому он принадлежит, является гомоморфизмом:
f: A-+A/I, ядром которого является /. Этот гомоморфизм на¬
зывается каноническим.
Канонические гомоморфизмы колец на их факторкольца
дают более явное описание произвольных гомоморфизмов.
Именно, легко проверить утверждение:
I.	Каков бы ни был гомоморфизм колец Ф:Л->.В, кольцо.
1га Ф изоморфно факторкольцу А/КегФ и изоморфизм между
ними можно выбрать так, что он будет переводить канонический
гомоморфизм ф:Л->Л/Кегф в гомоморфизм Ф: Л ->1тф. ►
34

Точнее говоря, этот изоморфизм от переводит элемент ф (а}
в Ф (а) для любого а£А. (Надо помнить, что ог(ф(д))б1тФс.5,
так что о (ф (а)) и Ф (а) оба содержатся в В.) Чаще всего этот
результат применяется к случаю, когда 1тФ =В. В этом случае
наше утверждение гласит:
II.	Теорема о гомоморфизмах. Гомоморфный образ изо¬
морфен факторкольцу по ядру гомоморфизма. ►
При каноническом гомоморфизме f прообраз f~l(J) любого
идеала JczA/I является идеалом в А, содержащим I, а образ
f(I') любого идеала /', содержащего /, является идеалом в
А/I. Так устанавливается взаимно однозначное соответствие
между идеалами факторкольца АН и идеалами кольца А, со¬
держащими I.
В частности, как мы знаем, А/1 является полем тогда и
только тогда, когда оно имеет ровно два идеала, (0) и (1),.
а это значит, что I не содержится ни в каком большем идеале,,
отличном от А. Такой идеал называется максимальным. Мож¬
но доказать (используя лемму Цорна из теории множеств), что>
любой идеал, отличный от А, содержится хотя бы в одном,
максимальном.
Рассмотрение факторколец по максимальным идеалам яв¬
ляется (наряду с рассмотрением полей частных) важнейшим
методом конструкции полей. Сейчас мы получим этим путем
много новых примеров полей.
Пример 9. Очевидно, что в кольце Z максимальными яв¬
ляются идеалы (р), где р — простое число. Таким образом,.
Z](р) —поле. Оно состоит из р элементов и обозначается F,*
Раньше мы построили только поля из 2-х и 3-х элементов —
F2 и F3. Если число п не просто, то кольцо Z/(п) не только не
является полем, а и, как легко видеть, не целостно.
Пример 10. Рассмотрим теперь кольцо многочленов К[х\~
В нем максимальные идеалы имеют вид (<p(x)), где <р(х) —
неприводимый многочлен. В этом случае факторкольцо L=
= -К|Х|/(ф(я)) является полем. Обозначим через а образ пере¬
менной х при гомоморфизме
K[x]-+L = K[x]/( ф(*)).
Тавтологически ф(а)=0, т. е. в поле L многочлен ф имеет-
корень. Обозначим степень многочлена ф через п. Используя:
деление с остатком, можно однозначно представить любой мно¬
гочлен u(x)G/C[x] в виде
и(х) =ф(х)ф(х) +v(x),
где степень многочлена и меньше чем п. Отсюда следует, что*
любой элемент поля L однозначно представляется в виде
До -J- fljoc -f- а^р? —... —{— ап-\о?^,	(2)>
где а0,..., а„-1 — произвольные элементы поля К.
3*
35»

Если /C=R, <р(х) =х2+1, то мы построим таким образом по¬
ле комплексных чисел С, причем i есть образ х в R[x\j(x2+1),
a+bi — образ a + bx.
Выше мы построили расширение ЦК, в котором заданный
многочлен q>(f) имеет корень. Итерируя этот процесс, можно
доказать, что у любого поля К существует расширение- ЦК,
в котором любой многочлен <рбЕ [f] имеет корень. Поля, обла¬
дающие этим свойством, называются алгебраически замкну¬
тыми. Например, С — алгебраически замкнутое поле.
Пусть К — поле из р элементов. Если <р — неприводимый в
этом поле многочлен степени п, то запись (2) показывает, что
поле L состоит из рп элементов. Исходя из этих соображений,
доказываются следующие результаты, в совокупности описы¬
вающие все конечные поля.
*4 1. Число элементов конечного поля имеет вид рп, где
р — его характеристика.
2. Для каждых р и п существует поле, состоящее из рп
элементов.
3. Конечные поля, имеющие одинаковое число элементов,
изоморфны.
Конечные поля имеют очень много применений. Одно из них
связанное именно с их финитностыо, относится к теории кодов
исправляющих ошибки. Код, по определению, состоит из ко¬
нечного множества Е («алфавита») и подмножества U в множестве Еп
всевозможных последовательностей {аъ ..., ап), а£Е. Это под¬
множество надо выбрать так, чтобы любые две входящие в него
последовательности различались в достаточно большом числе
мест. Тогда, передавая «сообщения» (иь ..., un)cU, мы можем,
даже если в них будет искажено небольшое число знаков, вос¬
становить исходное сообщение. Богатый материал для подобного
выбора получается, если брать за Е некоторое конечное поле F?,
а за U — линейное подпространство в векторном пространстве FJ.
Более того, наибольшего успеха удалось добиться, выбирая
в качестве F£ и U конечномерные подпространства в поле F? (t)^
или даже в поле Fq(C), где С — алгебраическая кривая, и оп¬
ределяя выбор этих подпространств некоторыми геометриче¬
скими условиями (вроде рассмотрения функций, имеющих за¬
данные нули и полюса). Так теория кодов оказалась связанной
с очень тонкими вопросами алгебраической геометрии над ко¬
нечным полем.
Уже рассмотрение простейшего кольца 2/{п) приводит к
интересным выводам. Пусть К — произвольное поле и 1 — его
единичный элемент. Рассмотрим отображение f кольца Z в К:
f(n) =п-1
(это значит, что f(n) = 1+ ... +1 (п раз), если п>0, —(1 +
26

.. ..+ 1) (—п раз), если п<О, и О, если п = 0). Легко убедиться,,
что f— гомоморфизм. Возможны два случая:
a) Kerf=О и б) Kerf#0.
В первом случае f(Z)—подкольцо поля К, изоморфное Z.
Так как К— поле, то в нем должны содержаться и отношения
элементов этого кольца, которые, как легко видеть, образуют
подполе Ко поля К. Из единственности поля частных следует,,
что Ко изоморфно полю Q, т. е. К содержит подполе, изоморф¬
ное Q.
В случае б) пусть Kerf=(n). Очевидно, п должно быть
простым числом, так как иначе f(Z)=Z/(n) не было бы целост¬
ным. Но тогда f(Z) =Z/(p) =FP — поле из р элементов.
Таким образом, мы видим, что любое поле содержит или
поле рациональных чисел Q, или поле из некоторого простого
числа элементов Fp. Эти поля называются простыми, а любое
поле является расширением одного из них. Если поле К содер¬
жит поле из р элементов, то рх — 0 для любого х&К. В этом
случае р называется характеристикой поля К, и говорят, что-
К — поле конечной характеристики. Если К содержит поле Q,
то пх = 0, только если п = 0, или х=0. В этом случае говорят,
что поле К имеет нулевую (а иногда — бесконечную) характе¬
ристику.
Поля Q, R, С, Q(x), R(x), С(х) имеют нулевую характерис¬
тику. Поле Fp из р элементов имеет характеристику р, также
как и поле F(x), Fp(x, у) и т. д.
Кольцо А/I вкладывается в поле тогда и только тогда, когда
оно целостно. Это означает, что 1фА, и если абА, ЬвА, abGl, то
или а б/, или 66/. Идеалы, обладающие этим свойством, называ¬
ются простыми. Например, главный идеал
; I=(F{x, у))<=:К[х, у]
прост, если F — неприводимый многочлен: кольцо Щ_(х, у]/1=
= К[С] (где С — алгебраическая кривая с уравнением F(x, у)*=
= 0) вкладывается в поле К (С). Мы можем сказать, что прос¬
тые идеалы — это ядра гомоморфизмов <р:А-*-К, где К — поле
(причем, может быть, ср(А)ФК).
Можно показать, что в примере 8 «простые» (т. е. неразло¬
жимые на сомножители) идеалы в точности совпадают с про¬
стыми идеалами в смысле данного выше определения.
В начале этого параграфа изложена точка зрения, согласно
которой любое кольцо можно мыслить как кольцо функций на
некотором множестве X. «Точки» этого множества соответствен
вали гомоморфизмам кольца в поля. Поэтому мы можем их ин-,
терпретировать как максимальные (в другой версии — простые)
идеалы кольца. Если М — идеал, «определяющий» точку х£Х, и
абЛ, то «значение» а(х) есть класс вычетов а + М в А/М. Воз-,
никающая так геометрическая интуиция поначалу кажется до¬
вольно причудливой. Например, в кольце целых чисел макси-
37

малыше идеалы соответствуют простым числам, и значение в
жаждой «точке» (р) принадлежит своему полю Гр. (Так, число
1984 = 26-31 надо мыслить себе как функцию на множестве
простых чисел, обращающуюся в 0 в точках 2 и 31. Можно да¬
же сказать, что эта функция имеет в точке 2 нуль кратности 6,
а в точке 31 — кратности 1.) Однако она является всего лйшь
логическим развитием аналогии между кольцом целых чисел Z
л кольцом многочленов /flfj, в которой простым числам рбZ со¬
ответствуют неприводимые многочлены P(t)&K{t}. Продолжая
«ее, надо считать аналогом уравнения
а0+ахх + ... +anxn=0, а{GZ,
определяющего алгебраическое число, уравнение
а0(0 + ax{t)x+ ... +an(t)xn = О,
определяющее алгебраическую функцию x(t). Действительно,
к исследованию алгебраических чисел оказалось возможным
применить интуицию теории алгебраических функций и, даже,
связанных с ними римановых поверхностей. Систематическому
развитию этой точки зрения теория чисел обязана некоторыми
из красивейших своих достижений.
Другой вариант тех же идей играет важную роль при рас¬
смотрении отображений ф:У-+Х (например, аналитических ото¬
бражений аналитических многообразий). Если Л—кольцо анали¬
тических функций на X, а В — на У, то, как сказано в начале
этого параграфа, отображение Ф определяет гомоморфизм ф* :А-+В.
Пусть Z—подмногообразие X и /сА—идеал обращающихся
на нем в 0 функций из А. Если / = (/i, ..., /г), то это значит,
что Z определено уравнениями /i = 0, ..., /г —0. Прообраз
ф-1 (Z), подмногообразия Z, в У определяется уравнениями
4>*fi=0, ..ф*/г=0, и ему естественно поставить в соответ¬
ствие кольцо
£/(<P*/i> •••> Ф*Л)==5/(Ф*/)Д.
Пусть, например, Ф есть отображение прямой У на прямую X,
заданное условием х = у2. Если Z есть точка х = аф0, то
ф_1(Z) состоит из двух точек у= ±У~а, а
В/(Ф*/)5=С [у]/(г/2 —а)—С [у\/(у—У~а)Ф
©С [у]1(у + 1Лх)~СФС,
т. е. является действительно кольцом функций на паре точек.
Но если Z есть точка х — 0, то Ф'1 (Z) — это одна точка у=0,
а В 1(9*1)В—С[у\/у2. Это кольцо состоит из элементов вида
а;+ре, а» рбС, в — образ у, причем е2=0. Его можно интерпре¬
тировать как «кольцо функций на двукратной точке», и оно дает
гораздо более тонкую информацию о поведении отображе¬
ния х=у* ъ окрестности точки х = 0, чем теоретико-множествен¬
38

ный прообраз этой точки. Таким же образом изучение особен¬
ностей аналитических отображений приводит к рассмотрению,
в качестве инвариантов этих особенностей, гораздо более слож¬
ных коммутативных колец.
Пример 11. Пусть К и Къ • • •■> Кп> • • • —бесконечная после¬
довательность полей. Рассмотрим всевозможные бесконечные
последовательности (Oj, Дг, ..., а„,...), где afcKi, и определим
над ними действия:
(#1, #2» • • •»	• • •) ipl, • t Фл» • • *)
= (ai + ^n ch-j-b2, ..., ап-\-Ьп, ...),
(fl\, Оф . . ., йп, . . .) (Ь\, &2> • • ч Ьп, . . .) =
= (0*\Ь\, #2^2> • • • *	•	• • )•
Так получается коммутативное кольцо, называемое произведе¬
нием полей К. Оно обозначается П/С<.
Некоторые гомоморфизмы кольца Ш(< в поля (а значит, и
его максимальные идеалы) бросаются в глаза: это сопостав¬
ление последовательности (аи а2,..., аП)...) ее ге-й компонен¬
ты (при фиксированном п). Но имеются и менее тривиальные
гомоморфизмы. Действительно, рассмотрим все последователь¬
ности, в которых только конечное число компонент at отлично
от 0. Они образуют идеал /, а всякий идеал содержится в мак¬
симальном. Пусть 371 — некоторый максимальный идеал, содер¬
жащий I. Он отличен от ядер указанных выше тривиальных
гомоморфизмов, так как они не содержат I. Факторкольцо
IiKi/Ш является полем и называется ультрапроизведением по¬
лей Ki. Мы получаем интересную «помесь» полей Кй например,
если все Ki имеют разные конечные характеристики, то их
ультрапроизведение имеет характеристику 0. Это — способ пе¬
рехода от полей конечной характеристики к полям характерис¬
тики 0, используя который удалось доказать некоторые трудные
теоремы теории чисел.
Если все поля Ki совпадают с полем вещественных чисел,
то их ультрапроизведение имеет аналитические приложения.
Оно лежит в основе, так называемого, нестандартного анализа,
который, например, дает возможность в некоторых вопросах
теории дифференциальных уравнений избегать трудных оценок
и обоснований сходимости.
С точки зрения математической логики, ультрапроизведения
интересны тем, что любое «элементарное» высказывание, вер¬
ное во всех полях Кг, верно и в их ультрапроизведении.
Пример 12. Рассмотрим дифференциальные операторы
вида
/~0 аг
39

где f i (z) — ряды Лорана, сходящиеся или формальные. Умноже¬
ние таких операторов необязательно коммутативно. Но для неко¬
торых пар операторов 2D и Д все же может оказаться, что 55Д =
— A2D— например, если
и Д~£-Зг->й- + З*-3.	'■
Тогда совокупность всех многочленов P(2D, Д) от операторов 2D
и Д с постоянными коэффициентами является коммутативным
кольцом, которое обозначим РфА. Имеет место неожиданный
факт: если 2DA — A2D, то существует такой ненулевой многочлен
F (х, у) с постоянными коэффициентами, что F (2D, Д) = 0, т. е.
2D и Д связаны полиномиальным соотношением. Например, при
т -	дг’-2 Д— d’“  ч?-3
-V— dz2	А	dzz	dz	,
многочлен F =^2DZ— Д2. При этом многочлен F можно считать
неприводимым. Тогда кольцо R%> д изоморфно
С [л:, y]l(F(x, у)),
или, иначе говоря, кольцу С [С], где С—неприводимая кривая с
уравнением F (х, у) = 0. Если операторы ® и Д обладают общей
собственной функцией /, то эта функция будет собственной и
для любого оператора из кольца Rg> д. Сопоставление любому
оператору собственного значения, соответствующего собственной
функции /, является гомоморфизмом Rg, А ->С. Ввиду изомор¬
физма Rgi А—С [С] этот гомоморфизм определяет точку на кри¬
вой С. Можно показать, что всякая точка этой кривой соответ¬
ствует общей собственной функции операторов 2D и Д. Описан¬
ная связь между коммутирующими дифференциальными опе¬
раторами и алгебраическими кривыми позволила, в последнее
время, значительно прояснить строение коммутативных колец
операторов.
§ S. МОДУЛИ
Рассмотрим некоторую область V в пространстве и вектор¬
ные поля, определенные в этой области. Их можно складывать
и умножать на числа, производя эти операции с векторами,
приложенными в одной точке. Таким образом, все векторные
поля образуют линейное пространство (бесконечномерное). Но
сверх того, их можно умножать на функции. Эта операция очень
полезна, так как любое векторное поле представляется в виде
40

где А, В и С — функции, и поэтому «над кольцом функций>
множество векторных полей естественно считать трехмерным.
Так мы приходим к понятию модуля над коммутативным (в
этом параграфе) кольцом. От векторного пространства оно от¬
личается лишь тем, что в модуле определена операция умноже¬
ния его элементов не на элементы некоторого поля (как в слу¬
чае векторного пространства), но на элементы кольца. Осталь¬
ные аксиомы, как для операции сложения элементов, так и.
для умножения на элементы кольца, остаются точно теми же,
и мы не будем их повторять.
Пример 1. Кольцо является модулем над собой (аналог
одномерного векторного пространства).
Пример 2. Дифференциальные формы заданной размер¬
ности на многообразии (дифференцируемом, вещественно ана¬
литическом, комплексно аналитическом) образуют модуль над
кольцом функций (дифференцируемых, вещественно аналити¬
ческих, комплексно аналитических) на многообразии. То же от¬
носится к векторным полям и, вообще, полям тензоров фикси¬
рованного типа. (Определение всех этих понятий мы обсудим
подробнее в §§ 5 и 7.)
Пример 3. Если ф — линейное преобразование векторного
пространства L над полем К, то L является модулем над коль¬
цом KfXJ, если для f(t)GK[f\ и хбL положить
f(t)x=(f(iv))(x).
Пример 4. Кольцо линейных дифференциальных операто¬
ров с постоянными коэффициентами (пример 3 § 3) действует
в пространстве функций (бесконечно дифференцируемых, фи¬
нитных, экспоненциально убывающих, полиномиальных) и пре¬
вращает каждое из этих пространств в модуль над этим коль¬
цом. Так как это кольцо изоморфно кольцу многочленов RJYi,...
. .., t^\ (пример 3 § 3), то каждое из указанных пространств
является модулем над кольцом многочленов. Конечно, то же
верно при замене поля R на С.
Пример 5. Пусть М и N — модули над кольцом А. Рас¬
смотрим модуль, состоящий из пар
(пг, п) (гпШ, n£N),
которые складываются и умножаются на элементы кольца А
по правилам:
(пг, п) + (ти пх) =(т + ти п+пх),
а(т, п) — (ат, ап).
Этот модуль называется прямой суммой модулей М и N и обо¬
значается через M®N. Так же определяется прямая сумма
любого числа модулей. Сумма п модулей А (пример 1) обо¬
значается Ап и называется свободным модулем ранга п. — Это
41

где fi(z)—ряды Лорана, сходящиеся или формальные. Умноже¬
ние таких	операторов	необязательно	коммутативно. Но	для	неко¬
торых	пар	операторов	Ф и Д	все же	может	оказаться,	что	ФА —
= АФ — например, если
и ^-£;-Зг->£- + Зг->.
Тогда совокупность всех многочленов Р(Ф, Д) от операторов Ф
и Д с постоянными коэффициентами является коммутативным
кольцом, которое обозначим R& А. Имеет место неожиданный
факт: если ФА — АФ, то существует такой ненулевой многочлен
F (х, у) с постоянными коэффициентами, что F (Ф, Д) = 0, т. е.
Ф и Д связаны полиномиальным соотношением. Например, при
6Т)	 d\	Оп>-2	д— d’“	 I 5?-3
dz*	ZZ '	dz‘	6Z	dz r6Z ’
многочлен F — фъ—Д2. При этом многочлен F можно считать
неприводимым. Тогда кольцо Rg, д изоморфно
Срс, y]l(F(x, у)),
или, иначе говоря, кольцу С [С], где С—неприводимая кривая с
уравнением F (х, у) — 0. Если операторы Ф и Д обладают общей
собственной функцией /, то эта функция будет собственной и
для любого оператора из кольца Rg, д. Сопоставление любому
оператору собственного значения, соответствующего собственной
функции /, является гомоморфизмом R& А^ С. Ввиду изомор¬
физма Rs> a—С [С] этот гомоморфизм определяет точку на кри¬
вой С. Можно показать, что всякая точка этой кривой соответ¬
ствует общей собственной функции операторов Ф и Д. Описан¬
ная связь между коммутирующими дифференциальными опе¬
раторами и алгебраическими кривыми позволила, в последнее
время, значительно прояснить строение коммутативных колец
операторов.
§ S. МОДУЛИ
Рассмотрим некоторую область V в пространстве и вектор¬
ные поля, определенные в этой области. Их можно складывать
и умножать на числа, производя эти операции с векторами,
приложенными в одной точке. Таким образом, все векторные
поля образуют линейное пространство (бесконечномерное). Но
сверх того, их можно умножать на функции. Эта операция очень
полезна, так как любое векторное поле представляется в виде
40

где А, В и С — функции, и поэтому «над кольцом функций>
множество векторных полей естественно считать трехмерным.
Так мы приходим к понятию модуля над коммутативным (в.
этом параграфе) кольцом. От векторного пространства оно от¬
личается лишь тем, что в модуле определена операция умноже¬
ния его элементов не на элементы некоторого поля (как в слу¬
чае векторного пространства), ко на элементы кольца. Осталь¬
ные аксиомы, как для операции сложения элементов, так и.
для умножения на элементы кольца, остаются точно теми же,
и мы не будем их повторять.
Пример 1. Кольцо является модулем над собой (аналог
одномерного векторного пространства).
Пример 2. Дифференциальные формы заданной размер¬
ности на многообразии (дифференцируемом, вещественно ана¬
литическом, комплексно аналитическом) образуют модуль над
кольцом функций (дифференцируемых, вещественно аналити¬
ческих, комплексно аналитических) на многообразии. То же от¬
носится к векторным полям и, вообще, полям тензоров фикси¬
рованного типа. (Определение всех этих понятий мы обсудим
подробнее в §§ 5 и 7.)
Пример 3. Если ср — линейное преобразование векторного
пространства L над полем К, то L является модулем над коль¬
цом KJYJ, если для f(t)£K{f] и xeL положить
f(t)x= (f( ф))(У).
Пример 4. Кольцо линейных дифференциальных операто¬
ров с постоянными коэффициентами (пример 3 § 3) действует
в пространстве функций (бесконечно дифференцируемых, фи¬
нитных, экспоненциально убывающих, полиномиальных) и пре¬
вращает каждое из этих пространств в модуль над этим коль¬
цом. Так как это кольцо изоморфно кольцу многочленов RjYb ...
..., £п] (пример 3 § 3), то каждое из указанных пространств
является модулем над кольцом многочленов. Конечно, то же
верно при замене поля R на С.
Пример 5. Пусть М и N — модули над кольцом А. Рас¬
смотрим модуль, состоящий из пар
(пг, п) (пгЪМ, n£N),
которые складываются и умножаются на элементы кольца А
по правилам:
(пг, n) + (mu п{) =(m + mu n+n,).
a(m, n) — (am, an).
Этот модуль называется прямой суммой модулей М и N и обо¬
значается через МФЫ. Так же определяется прямая сумма
любого числа модулей. Сумма п модулей А (пример 1) обо¬
значается Ап и называется свободным модулем ранга п. — Это
41

самое непосредственное обобщение n-мерного векторного про¬
странства. Его элементы — это последовательности вида
т= (аь .. •, ап), afeA.
Если е,= (0,..., 1,..., 0) с 1 на i-м месте, то m=2afeJ и такое
представление однозначно.
Иногда бывает полезно рассматривать алгебраические аналоги
и бесконечномерного пространства: прямую сумму семейства 2 мо¬
дулей, изоморфных А. Их элементы задаются последовательно¬
стями {аа}, где а<£А, а пробегает семейство 2 и ааф 0 лишь для
конечного числа crgS. При прежнем определении элементов е„ каж¬
дый элемент прямой суммы однозначно представляется в виде
конечной суммы 2а^0. Построенный модуль также называется
свободным, а {еа}—системой его свободных образующих.
Пример 6. В модуле М над кольцом Z умножение на чис¬
ла nGZ уже определено, если задана операция сложения: если
п>0, то пх=х+ ... +х (п раз),
если п = —т, т>0, то пх=—(тх). Поэтому М есть просто абе¬
лева группа1', записанная аддитивно.
Мы опускаем определения изоморфизма и подмодуля, кото¬
рые дословно повторяют определения изоморфизма и подпро¬
странства для векторных пространств. Изоморфизм модулей М
и N записывается как M~N.
Пример 7. Любая r-мерная дифференциальная форма на
л-мерном евклидовом пространстве записывается однозначно в виде
2 aii...idxh{\.../\dxir,
где atl...i принадлежат кольцу А функций на этом простран¬
стве (дифференцируемых, вещественно или комплексно аналити¬
ческих, см. пример 2). Поэтому модуль дифференциальных форм
(л)
изоморфен А Т , где (” ) — биномиальный коэффициент.
Пример 8. Рассмотрим кольцо многочленов С[хь ... хп]
как модуль М над самим собой (пример 1); с другой стороны,
рассмотрим его как модуль над кольцом дифференциальных
операторов с постоянными коэффициентами (пример 4). Так
как это кольцо изоморфно кольцу многочленов, то мы получа¬
ем новый модуль N над С[хь ..., хп]. Эти модули не изоморф¬
ны. Действительно, для любого элемента m'£N существует та¬
кой ненулевой аб С[хь ..., хп], что ат'=0 (любой оператор
дифференцирования достаточно большого порядка). А в М из
am = 0 следует, что а=0, или /гг=0, так как кольцо С[хь ..., хп]
целостно.
о Мы предполагаем, что читателю известны определения группы и абе¬
левой группы. Они будут повторены в § 12.
42

В ряде случаев преобразование Фурье устанавливает изо¬
морфизм модулей М и N над кольцом А =С [jcj, ..л:„], если
М и N состоят из функций и А действует на М умножением,
,а на Л/ — через изоморфизм
Например, это будет так, если M=N есть пространство беско¬
нечно дифференцируемых функций F (хг,..., хп), для которых
ограничено при любых а>0, pf > 0.
Вспоминая определение из § 4, мы можем теперь сказать,
дто идеал кольца А—это подмодуль А, если рассматривать А
как модуль над самим собой (пример 1). Разные (как подмно¬
жества кольца А) идеалы могут быть изоморфны как Л-моду¬
ли. Например, идеал I целостного кольца А изоморфен А как
Л-модуль тогда и только тогда, когда он главный (если /=(£),
то a-*-ai — нужный изоморфизм; наоборот, если ф :Л->/ — изо¬
морфизм Л-модулей, 1 — единичный элемент кольца Л и <р(1) =
= £6/, то ф(а) =ф(а1) = аф(1) =ai, т. е. /=(£)). Поэтому множе¬
ство неизоморфных (как модули) идеалов кольца является
мерой его отклонения от колец главных идеалов. Например, в
кольце Л* состоящем из чисел вида a + b^d, a, bGZ (d — неко¬
торое целое число), существует лишь конечное число неизо¬
морфных идеалов. Это число называется числом классов кольца
Ad и является его основной арифметической характеристикой.
Пример 9. Пусть {/гаа}—множество элементов модуля М
((над кольцом Л). Рассмотрим всевозможные их линейные комби¬
нации 'Zaima.l с коэффициентами at из Л (даже если множество
{/71а} бесконечно, в каждую линейную комбинацию входит лишь
конечное число элементов). Они составляют подмодуль модуля М,
называемый подмодулем, порожденным элементами {та}-
.В частности, если М—это А как модуль над самим собой, то
мы приходим к уже встречавшемуся понятию идеала, порожден¬
ного элементами {та}. Если система элементов {та) порождает
весь модуль М, то она называется системой образующих М.
Понятие линейного отображения одного векторного прост¬
ранства в другое дословно переносится на модули, но в этом
случае такое отображение называется гомоморфизмом. Для
подмодуля NczM дословно так же, как и в случае идеала
кольца, определяются классы вычетов, фактормодуль M/N и
канонический гомоморфизм	Переносятся	также	поня¬
тия образа и ядра и связь между гомоморфизмами и подмоду¬
лями, сформулированная для случая колец и идеалов в § 4.
43

Эти понятия дают возможность определить некоторые важные
конструкции. По определению, в модуле М имеются операции
сложения его элементов и умножения их на элементы кольца А,
но не определено умножение элементов друг на друга. Однако
в некоторых ситуациях возникает операция умножения элементов
модуля М на элементы модуля N, значениями которой являются
элементы некоторого третьего модуля L. Например, если М
состоит из векторных полей 2/;-^, a N — из одномерных диф¬
ференциальных форм ZpidXi, то определено произведение 2f iPi,
лежащее в кольце функций (и не зависящее от выбора систе¬
мы координат хь ..., хп). Аналогично можно определить (не
зависящим от выбора координат образом) произведение век¬
торного поля на r-мерную дифференциальную форму — в ре¬
зультате получится г—1-мерная дифференциальная форма.
Умножением, определенным на двух модулях М и N со
значением в модуле L, называется отображение, сопоставля¬
ющее паре элементов х&М, уШ элемент ху, принадлежащий
L и обладающий свойствами:
(Xj-'rx2)y = хху + х2у, Хи х2ем, уем;
х (У\+У 2) = хух 4- ху2, хвМ, у у, y£N\
(ах)у=х(ау) = а(ху), хвМ, yeN, аеА.
Если определено умножение ху на модулях М и N со зна¬
чениями в А и гомоморфизм Ф \L-+L', то Ф (ху) определяет умно¬
жение со значениями в U. Оказывается, что все возможные
умножения на заданных модулях М и N можно этим способом
получить из некоторого «универсального». Оно имеет значения
в модуле, который обозначается через M®N, и произведение
элементов х и у тоже обозначается х®у. Универсальность
заключается в том, что для любого умножения ху, заданного
на М и N со значениями в L, существует и притом только один
гомоморфизм
Ф:M®N ^L, для которого ху = ((>(х®у).
Легко показать, что если модуль и произведение с таким свой¬
ством универсальности существуют, то они определены однознач¬
но с точностью до изоморфизма. Конструкция же модуля М®М
и умножения х®у такова. Предположим, что ЛГ имеет конечную-
систему образующих хг,...,хт, а М—уь...,уп. Рассмотрим
символы (хг, уj) и свободный модуль S = АтП, имеющий их
в качестве образующих. В этом модуле 5 рассмотрим элементы
2 at (xt, у-), для которых 2агхг= 0 в М,
i
и элементы
44

2 (xi> У})» для которых 26д, = 0 в JV,
J
и рассмотрим подмодуль 50, порожденный этими элементами.
Мы положим
M®N = SlSQ
и, если x—’Za.iXi, y — 'LbJy}, то
x®y = ^aibj{xl®y]),
i>i
где через xt®yj мы обозначаем образ (xi? у;) в SJSQ при кано¬
ническом гомоморфизме S^S/S0. Легко проверить, что х®у
не зависит от выбора выражения хну через образующие и что
получается действительно универсальный объект. Более инвари¬
антно и не требуя, чтобы М и N имели конечную систему обра¬
зующих, можно построить модуль M®N, взяв за образующие
модуля S всевозможные пары (х, у), xQM, yQN, а за SQ —
подмодуль, порожденный элементами
(хг + х2, у) — (*!, у) — (х2, у),	{х, ух-\-у2) — (х, £/х) — (х,	у2),
{ах, у) — {х, ау),	а (х, у) — (ах, у).
При этом нам приходится использовать свободный модуль S
с бесконечным числом образующих, даже когда имеем дело
с модулями М и N, обладающими конечным числом образующих!
Зато конструкция не содержит никакого произвола, связанного
с выбором системы образующих.
Так определенный модуль M®N называется тензорным
произведением модулей М и N, а х®у—тензорным произве¬
дением элементов хну. Если М и N — конечномерные вектор¬
ные пространства над полем К, то M®N— тоже векторное про-
странство, и
dim (М ® N) = dim М • dim N.
Если А1 — пространство тензоров типа (р, у) над некоторым век¬
торным пространством L, а N — пространство тензоров типа
(р\ д'), то M®N — пространство	тензоров типа (р+р',	У А-У'),
а	®— это операция умножения тензоров. Если М — модуль	над
кольцом Z, то	это векторное пространство над Q.
Например, если М—Z", то M®Q=^Qn. Если же М—Z/(a), то
M®Q = 0: таким образом, М при переходе к /W0Q «исчезает».
Хотя любому элементу т£М и соответствует элемент т® 1
в Af®Q, он в силу условий (1), как легко проверить, равен 0.
Аналогично из модуля М над целостным кольцом А можно
45

получись векторное пространство М®К над полем частных К
этого кольца. Точно так же, векторное пространство Е над полем
К определяет пространство E®L над любым расширением L
этого поля. При К—R, £=С — это операция комплексифика-
ции, очень полезная в линейной алгебре (например, при изучении
линейных преобразований).
Если Mi — линейное пространство функций f(xt) переменной
xt (например, многочленов / (xt) степени <kt), то Мх® ...
состоит из линейных комбинаций функций
А (-«О ••• /я (■*«). /гбМг,
в пространстве функций от хх, ..., хп. Такой вид имеют, в
частности, «вырожденные ядра», в теории интегральных урав¬
нений. Естественно попытаться вообще интерпретировать
пространства функций (того или иного типа)' К(х, у) от пере¬
менных х и у как тензорные произведения пространств функ¬
ций от х и от у. Так возникают аналоги понятия тензорного
произведения в рамках банаховых и топологических векторных
пространств. Классические функции К(х, у) встречаются как
ядра интегральных операторов
f-*- J К(х, y)f(y)dy.
В общем случае элементы тензорных произведений также ис¬
пользуются для задания операторов фредгольмовского типа.
Аналогичную роль играют тензорные произведения в кванто¬
вой механике. Если пространства Мх и М2 являются простран¬
ствами состояний квантово-механических систем Si и S2, то
М\®М2 описывает состояния системы, составленной из частей
S1 и S2.
Пр и мер 10. Модуль М®...®М (г раз) обозначается
А А
ТГ(М). Если М—конечномерное пространство над полем К, то
ТГ{М)—это пространство контравариантных тензоров
ранга г.
Пример 11. Фактормодуль модуля М®М по подмодулю,
А
порожденному элементами х<&у—у®х, х, увМ, называется
симметрическим квадратом модуля Л1 и обозначается S2M.
Он является «универсальным» для коммутативных умножений ху,
х, убМ. Аналогично можно определить r-ю симметрическую сте¬
пень: SrM. Это фактормодуль ТГ{М) по подмодулю, порожден¬
ному всевозможными элементами хх®...	.	®хг	—
— хх®.. .®xi+i®Xt®.. .®хг, / = 1, ..., г— 1, XtQM. Например,
если М—модуль линейных форм от переменных tx,
с коэффициентами в поле К, то S'M состоит из всех форм
степени г.
Очевидно, что всегда определено произведение г элементов
46

Xi, ..хг модуля М со значениями в S'M, причем произведение
это не зависит от порядка множителей: надо рассмотреть образ
Xi® • • .®хг при каноническом гомоморфизме T'(M)->S'M*
Такими произведениями модуль S'M порождается.
Пример 12. r-й внешней степенью модуля М называется
фактормодуль ТГ(М) по подмодулю, порожденному выражениями
Xi®...®xr, в которых два сомножителя совпадают: хг = ху.
Внешняя степень обозначается А'М. Например, модуль г-мерных
дифференциальных форм на дифференцируемом многообразии
изоморфен А'714, где М—модуль одномерных дифференциальных
форм. Аналогично случаю симметрической степени определено
умножение г элементов xt, ..., хт модуля М со значениями
в А'М. Оно обозначается XjA... /\хг и называется их внешним,
произведением. По определению XiA ... дх,. = 0, если xt = ху..
Отсюда легко следует, что XjД... А-^гА хг+1д... ДхГ =
= — XiA • • • Лхг+1Лх/А ■ • • Л-^г- Если модуль М имеет конеч¬
ное число образующих х15 ...,х„, то произведения хг1д...
... /\Xt , 1 < < h < • • • < i-т <являются образующими для
АГМ. При г>/1, в частности, А'М — 0. Если М — «.-мерное
пространство над полем К, то dim А'М = (^ ) ПРИ г
Пример 13. Если М—модуль над кольцом А, то множест¬
во М* всех гомоморфизмов М в А является модулем, если
определить операции формулами
(f+g)(m) = f(m) + g{m),	m№;
(af)(m)=af (m), feM*, aeA, m^M.
Этот модуль называется двойственным М. Если А1 — вектор*
ное пространство над полем К, то Л4*—сопряженное простран¬
ство. Элементы пространства Т'(М*) называются ковариант-
ными тензорами. Элементы модуля Тр (М)®ТЧ {М*) называются
тензорами типа (р, q).
Модуль одномерных дифференциальных форм на диффе¬
ренцируемом многообразии (над кольцом дифференцируемых
функций) является двойственным к модулю векторных полей.
В заключение попытаемся распространить на модули ту
«функциональную» интуицию, о которой мы говорили в § 4 в.
применении к кольцам. Начнем с примера.
Пусть X — дифференцируемое многообразие, А — кольцо'
дифференцируемых функций на нем и М — модуль (над А) век¬
торных полей на X. В заданной точке xQX каждое векторное
поле т имеет значение т (х), т. е. определено отображение
М-*-Тх, где Тх — касательное пространство к АГ в точке х.
Это отображение можно описать в алгебраических терминах,
определив умножение констант «GR на функции /бА как
/•а = /(х)а. Тогда R будет модулем над А и Тх—M®R, а.
47

паше отображение сопоставляет т элемент т®1. В таком виде
мы можем построить это отображение и для произвольного
модуля М над произвольным кольцом А. Пусть ф\А->К есть
гомоморфизм А в поле, Ф(А) = АГ и ш.—максимальный идеал —
ядро Ф. Тогда К становится модулем над А, если положить
аа~Ф(а)а для абА, а£К. Поэтому определено векторное
пространство Мш = М®К над полем К — «значение М в точке
А
т». Например, если А = К [С], где С — алгебраическая кривая
(или любое алгебраическое многообразие), то, как мы видели
в § 4, любая точка cgC определяет гомоморфизм фС:А-+К,
где Фс (/) = / (с), и м аксимальный идеал тс, состоящий из функ¬
ций /6А, /(с) = 0.
Таким образом, каждый модуль М над кольцом К [С] опре¬
деляет семейство векторных пространств Мх, «параметризованных»
многообразием С, а совершенно аналогичным образом, модуль М
над произвольным кольцом А определяет семейство векторных
пространств М ® (Aim) над разными полями А/m, «параметризо¬
ванное» множеством максимальных идеалов m кольца А.
Геометрический аналог этой ситуации таков. Семейством
векторных пространств над топологическим простран¬
ством X называется топологическое пространство & с непре¬
рывным отображением
/ :&->Х,
в котором каждый слой f'1 (х) снабжен структурой векторного
пространства (над полем R или С), в естественном смысле согла¬
сованной с топологией &. Гомоморфизмом семейства f:S->X
д семейство g:!F->X называется непрерывное отображение
ф: $ -> iF,
переводящее слой /_1 (л:) в слой g'1 (х) и индуцирующее в нем
линейное отображение. Семейство & векторных пространств
определяет модуль Mg над кольцом А {X) непрерывных функций
на пространстве X. Если семейство $ — обобщение векторного
пространства, то элемент модуля Nig — обобщение вектора: это
выбор вектора в каждом слое f~l{x), х(*Х. Точнее, его эле¬
менты, называемые сечениями, определяются как непрерывные
отображения
s:X->g,
для которых точка s(x) лежит в слое	(т.	е.	fs(x)=x)
для всех х£Х. Операции
(Si -f s2) {X) = s 1 (х) + 59 (л:), s„ s2eMg, хеХ;
{4>s)(x) = <¥(x)s{x), Фб А(Х), х£Х, s6Mg,
превращают Mg в модуль над кольцом А (АТ).
48

§ 6. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ АСПЕКТ РАЗМЕРНОСТИ
Основным инвариантом векторного пространства является
его размерность, и в связи с этим выделяется класс конечно¬
мерных пространств. Для модулей, являющихся непосредствен¬
ным обобщением векторных пространств, существуют анало¬
гичные понятия, играющие столь же фундаментальную роль.
С другой стороны, мы рассматривали алгебраические кривые,
поверхности и т. д. и каждый такой объект С «координатизи-
ровали» сопоставлением ему кольца К [С] и поля К(С). Ин¬
туитивное понятие размерности (1 — для алгебраической кри¬
вой, 2 — для поверхности и т. д.) отражается в алгебраических
свойствах кольца К [С] и поля К(С), причем эти свойства
имеют смысл и важны для колец и полей более общего типа.
Естественно, что положение усложняется сравнительно с про¬
стейшими примерами: мы увидим, что существуют различные
способы выражать числом «размерность» колец и модулей и
различные аналоги «конечномерности».
Размерность векторного пространства можно определить ис¬
ходя из разных точек зрения. Во-первых, как максимальное
число линейно независимых векторов. Во-вторых, как число
векторов базиса (при этом необходимо доказать, что все бази¬
сы одного и того же пространства состоят из одинакового чис¬
ла векторов). Наконец, можно воспользоваться тем, что если
размерность уже определена, то в «-мерном пространстве L
существует п—1-мерное пространство Lu в нем п—2-мерное Ь2
и т. д. Так что мы получаем цепочку
LzdLiZdL2гэ ... ZDLn—0, в которой L^Li+y.
Поэтому размерность можно определить как наибольшую дли¬
ну такой цепочки. Каждое из этих определений размерности
можно применить к модулям, но при этом мы получим уже
разные свойства, дающие разные численные характеристики
модуля. Они приводят и к разным аналогам «конечномерно¬
сти» для модулей. Все три этих подхода мы и рассмотрим.
В первом мы предположим кольцо А целостным.
Элементы ти ..., mh модуля М над кольцом А называют¬
ся линейно зависимыми, если существуют такие элементы
аи ..., ak кольца А, не все равные нулю, что
 \-akmh=Q.
В противном случае — линейно независимыми. Максимальное
число линейно независимых элементов модуля называется его
рангом-, гgM. Если оно конечно, то мы имеем дело с модулем
конечного ранга. Сам® кольцо А, как Л-модуль, имеет ранг 1,
свободный модуль Ап ранга п имеет ранг п и по новому опре¬
делению.
Несмотря на внешнее сходство, содержание понятия ранга
4—9339
49

весьма далеко от размерности векторного пространства. Если
даже ранг п конечен и тъ ..., тп — максимальное число ли¬
нейно независимых элементов модуля, то отнюдь неверно,
что любой элемент т через них выражается: в линейной за¬
висимости ат+ахт\-\ \-аптп = 0, вообще говоря, нельзя
разделить на а. Поэтому мы не получаем такого каноническо¬
го описания всех элементов модуля, какое дает понятие базиса
в случае векторного пространства. Более того, модули ранга
О, являющиеся аналогами 0-мерного пространства, которые,
казалось бы, должны быть чем-то весьма тривиальным, могут
быть сколь угодно сложны. Действительно, один элемент т&М
линейно зависим, если существует такой элемент аф0, абЛ,
что am—0. Тогда т называется элементом кручения. Модуль
имеет ранг 0, если он состоит только из элементов кручения; тог¬
да он называется модулем кручения. Модулем кручения являет¬
ся, например, любая конечная абелева группа как модуль над
Z. Векторное пространство L с линейным преобразованием
Ф как модуль над кольцом многочленов Щх\ (пример 3
§	5) также является модулем кручения:	существует
акой многочлен f (х)=?= 0, что /(Ф) = 0, т. е. (/ (Ф))(л:)==0
или /-х = 0) для любого xQL. Кольцо многочленов R [jc1( ...
..., хп\ как модуль над кольцом дифференциальных операторов
кручения. Все эти модули имеют ранг 0, хотя, например, послед¬
ний интуитивно трудно признать даже конечномерным.
Большее приближение к интуиции «конечномерности» дает
определение конечномерного векторного пространства, основан¬
ное на существовании базиса.
Модуль, имеющий конечную систему образующих, назы¬
вается модулем конечного типа. Таким образом, в нем сущест¬
вует такая конечная система элементов тъ ..., тк, что любой
элемент является линейной комбинацией элементов этой сис¬
темы, однако, в отличие от векторных пространств, мы не мо¬
жем требовать однозначности такого представления.
Кольцо как модуль над собой и, вообще, свободный модуль
конечного ранга являются модулями конечного типа, также как
конечная абелева группа как модуль над Z и линейное прост¬
ранство с заданным в нем линейным преобразованием как модуль
над К\х\. Кольцо многочленов R[*i хп\ как модуль над
является модулем конечного типа: из конечного числа многочле¬
нов Fx Fk, применяя операторы дифференцирования, нельзя
получить многочлена большей степени.
Гомоморфный образ модуля конечного типа обладает тем
же свойством: образ системы образующих является системой
образующих. В частности, гомоморфные образы свободного
(пример 4 § 5) —еще один пример модуля
кольцом дифференциальных операторов
не
50

модуля А" все имеют конечный тип и не более чем п образу¬
ющих. Эта связь обратима. Если М имеет образующие ть ....
..., тк, то сопоставление элементу (аь ..., ак) GA* (по опреде¬
лению Ак состоит из таких наборов) элемента ai/nH Ьоуя*.-
является гомоморфизмом с образом М. Поэтому
I. Любой модуль конечного типа является гомоморфным об¬
разом свободного модуля конечного типа. ►
В частности, модуль с одной образующей является гомо¬
морфным образом самого кольца А, т. е. (ввиду теоремы о го¬
моморфизмах) имеет вид А/I, где I — идеал А. (Если /=0, то>
М изоморфен А.) Такие модули называются циклическими.
Можно считать их аналогами одномерных пространств.
В некоторых случаях модули конечного типа довольно*
близки конечномерным векторным пространствам. Например,,
если в целостном кольце А все идеалы главные, то имеет
место:
II. Теорема о модулях над кольцом главных
идеалов. Любой модуль конечного типа над целостным
кольцом главных идеалов изоморфен прямой сумме конечного»
числа циклических. Циклические же модули изоморфны А
или разлагаются дальше в прямую сумму циклических моду¬
лей вида А,/(л*), где я — простой элемент. Представление мо¬
дуля в виде прямой суммы таких модулей однозначно. ►
Если модуль А является модулем кручения, то слагаемые,,
изоморфные А, отсутствуют. Так обстоит дело, когда А = Z, а-
М — конечная абелева группа. В этом случае приведенная тео¬
рема дает классификацию конечных абелевых групп. Так же*
обстоит дело, если А = С[х], M — L — конечномерное векторное-
пространство над С с заданным в нем линейным преобразова¬
нием (пример 3 § 5). В этом случае наша теорема дает, как
легко видеть, приведение линейного перобразования к жорда-
новой нормальной форме.
Одно из доказательств теоремы II основывается на пред¬
ставлении (согласно предложению 1) модуля М в виде
M=An/N, NdAn.
Легко доказать, что и N — модуль конечного типа. Если
А" = Ае1®.. .®Аел, N = (uv ...,ит), то «г = 2сгА>
и представление M = An/N показывает, что М «определяется;
системой линейных уравнений»
П
2 с1}в] = 0, i = l, т.
/=i
К этой системе применяется идея классического метода;
Г аусса из теории систем линейных уравнений.
4;
51

Основная лемма. Над кольцом главных идеалов
любая матрица приводится к диагональному виду при помощи
элементарных преобразований: перестановки двух строк, при¬
бавления к одной строке кратности другой и аналогичных опе¬
раций над столбцами. ►
В применении к матрице (с0) элементарные преобразовав
ния соответствуют простейшим преобразованиям системы об¬
разующих е\,..., еп и «1... ит. Основная лемма дает воз¬
можность найти такие системы образующих, для которых мат¬
рица (Cij) диагональна. Если
то М= AnlN— Alfa)®.. .®A/(ar)®An~r. Отсюда уже недалеко
до утверждения теоремы II.
В частности, при A — Z теорема II описывает строение абе¬
левых групп с конечным числом образующих. Такие группы
встречаются, например, в топологии как группы гомологий или
когомологий конечного комплекса (см. о них в § 21).
Однако одно свойство, интуитивно тесно связанное с «ко¬
нечномерностью», не имеет, вообще говоря, места для модулей
конечного типа: их подмодули могут уже не быть модулями ко¬
ленного типа. И причем в самом простом случае:	подмодуль
кольца А, т. е. его идеал не всегда является модулем конечно¬
го типа. Например, в кольце 3" ростков в точке О бесконечно
дифференцируемых функций идеал функций, обращающихся в
О в нуль вместе со всеми производными, не имеет конечного
числа образующих (пример 7 § 4). Точно так же, в кольце
многочленов от бесконечного числа переменных хи х2,...
... ,хп,... (причем, конечно, каждый многочлен зависит лишь
от некоторого конечного их числа) многочлены без свободного
члена образуют идеал, не имеющий конечного числа образу¬
ющих. Поэтому естественно еще усилить условие «конечно¬
мерности», рассмотрев модули, все подмодули которых явля¬
ются модулями конечного типа. Такие модули называются
нётеровыми. Это понятие можно связать с еще не использован¬
ной характеризацией размерности векторного пространства
при помощи цепочек подпространств. Именно, нётеровость эк¬
вивалентна следующему свойству модуля (называемому усло¬
вием обрыва возрастающих цепей): любая последовательность
подмодулей
— конечна. Проверка этой эквивалентности почти очевидна.
О
52

Эти соображения можно применить и к классификации ко»-
лец с точки зрения аналогов конечномерности. Естественна
обратить внимание на такие кольца, над которыми любой мо¬
дуль конечного типа нётеров. Такие кольца тоже называются
нётеровыми. Для этого, прежде всего, необходимо, чтобы само
кольцо было нётеровым как модуль над самим собой, т. е.
чтобы в нем любой идеал обладал конечной системой образу¬
ющих. Но нетрудно проверить, что этого и достаточно: если а
кольце А все идеалы имеют конечный базис, то нётеровыми
являются свободные модули Ап, а тогда и их гомоморфные
образы, т. е. все модули конечного типа.
Каков же объем понятия нётерова кольца? Очевидно, чта
всякое кольцо, в котором все идеалы главные — нётерово.
Другим фундаментальным фактором является
III. Теорема Гильберта о базисе. Для нётеро¬
ва кольца А нётерово и кольцо многочленов А[х].р.
Доказательство основывается на рассмотрении иде¬
алов /псЛ (п= 1, 2,...), состоящих из элементов, являющих¬
ся коэффициентами при старших членах многочленов степени
п, входящих в заданный идеал IczA [х], и на многократном
использовании нётеровости кольца А. Из теоремы Гильберта
следует, что кольцо многочленов А [хи ..., хп] от любого чис¬
ла переменных нётерово, если нётерово кольцо А. В частности,
нётерово кольцо К{хь .. ., х„]. Именно ради этого результата
Гильберт и доказал носящую его имя теорему. Он формули¬
ровал ее в следующей явной форме.
4Какое бы множество {Fa} многочленов из К [xi,..., хп\
ни было задано, существует такое его конечное подмножествб
Fai,..., Fam, что любой многочлен Fa представляется в виде
линейной комбинации
Р\Р ai ~h ■ • • ~i-FmFam> Pi,..., Ртв/С[х 1,..., xn]. ►
Но можно сделать и еще один шаг. Очевидно, что если
кольцо А нётерово, то это верно и для любого его гомоморф¬
ного образа В. Кольцо R, содержащее подкольцо А, называет¬
ся кольцом конечного типа над А, если в нем существует такая
конечная система элементов Г\,..., г„, что все остальные вы¬
ражаются через них в виде многочленов с коэффициентами из
А. Элементы гь ..., г„ называются образующими кольца R
над А. Рассмотрим кольцо многочленов А[х ь ..., х„] и сопо¬
ставление
F(xь .. ., x„)->F(rb ..., rn).
Это гомоморфизм, образом которого является R. Таким обра¬
зом, имеем:
IV. Любое кольцо конечного типа над кольцом А является
гомоморфным образом кольца многочленов А [хь ..., х„]. Из
53

предшествующего следует поэтому, что кольцо конечного типа
над нётеровым кольцом — нётерово.^
Например, кольцо К [С], где С — алгебраическая кривая
(или поверхность, или алгебраическое многообразие), — нёте-
рово. (Если С задается уравнением F(x, у) = 0, то х и уоб¬
разующие К [С] над К )
Важными для приложений примерами нётеровых колец яв¬
ляются также кольца Оп функций п комплексных переменных,
голоморфных в начале координат, и K[[h,..., ^„]] формаль¬
ных степенных рядов.
Нётеровы кольца — наиболее естественные кандидаты на
роль «конечномерных колец». Для них можно определить и
понятие размерности, но это потребовало бы несколько более
тонких рассмотрений.
В то время как условие «быть кольцом конечного типа над
каким-то простым кольцом» (например, полем) является
конкретной, эффективной формой условия «конечномерности»,
нётеровость представляет собой более инвариантное, хотя и
более слабое условие. В одном важном случае эти понятия
сливаются.
Кольцо А называется градуированным, если в нем выделе¬
ны подгруппы (т. е. подмодули А как модуля над Z) Ап, п —
= 0, 1,..., причем если х&Ап, у£Ат, то ху&Ап+т, и любой эле¬
мент xGA однозначно представляется в виде
х = Хо-\~х1~т ' • • xk>	(1)
.Элементы хбЛп называются однородными, а представление
(1)—разложением на однородные составляющие. Подмноже¬
ство А о, очевидно, образует подкольцо в А.
Например, кольцо К[хи ..., xmJ градуировано, АЛ — прост¬
ранство однородных многочленов степени п от хи ..., хт,
А0=К.
Легко проверяется
V.	Если градуированное кольцо А нётерово, то оно — коль¬
цо конечного типа над А0. ►
Очевидно, что совокупность элементов .хбЛ, у которых в (1)
jc0 = 0, образует идеал /0. Оказывается, что для справедливости
утверждения V достаточно, чтобы один этот идеал имел конеч¬
ное число образующих. Действительно, возьмем образующие
идеала /0, представим каждую в виде (1) и рассмотрим все встре¬
чающиеся при этом xL. Мы получим систему однородных эле¬
ментов JCj,..., хм, которые, конечно, опять порождают все /0.
х£Ап.. Эти элементы jclt..., Хм и являются образующими А
над А0- Действительно, достаточно доказать, что любой элемент
х£Ап, /г >0, выражается через хи..., xN с коэффициентами из
А0 в виде многочлена. По условию /0 — (хь..., xN) и, в частно¬
сти,
54

jc = aixx +... + clnXn, as A.
Рассматривая для элементов at их разложения на однородные
составляющие и учитывая, что слева стоит х£Ап, мы можем
считать aSAm., xsAni, nt + nii^n. Для tii—n мы получаем
искомое выражение через xt с коэффициентами aSA& а для
/гг < /г мы можем применить к а{ такое же рассуждение, как к х.
После конечного числа шагов получается нужное выражение для х.
Для полей интуиция «конечномерности» реализуется по
аналогии с кольцами. Поле L называется расширением конеч¬
ного типа своего подполя К, если существует такое конечное
число элементов си,..., a„GL, что все остальные элементы из
L могут быть представлены как рациональные функции от
«1	 а„	с коэффициентами из К. В этом случае пишут Ь =
= /C(cti,..., а„), и L называется расширением, порожденным
элементами он, • • •» а™ над К. Например, поле рациональных
функций К(х\,..., хп)—расширение конечного типа поля К-
Поле комплексных чисел — расширение конечного типа поля
действительных чисел: комплексные числа представляются в
виде очень простых рациональных функций от единственного
элемента i: a + bi. Любое конечное поле F9 является расшире¬
нием конечного типа содержащегося в нем простого поля: за
а„ можно взять, хотя бы, все элементы из F,. Если
С — неприводимая алгебраическая кривая, заданная уравнени¬
ем F(x, у) =0, то К(С)—расширение конечного типа поля К,
так как все входящие в него функции являются рациональны¬
ми функциями от координат х и у. Так же обстоит дело, если
С — алгебраическая поверхность, и т. д.
Последние примеры делают правдоподобным то, что для
расширений конечного типа существует аналог понятия раз¬
мерности, соответствующий интуитивному понятию размерно¬
сти для алгебраических кривых, поверхностей и любых
алгебраических многообразий.
Система элементов а\,..., ап поля L, являющегося расши¬
рением поля К, называется алгебраически зависимой, если су¬
ществует такой неравный тождественно нулю многочлен
F&K [хи хп], что
F(аи ..., а„) =0.
Если при этом Оп действительно входит в это соотношение, то
элемент а„ называется алгебраически зависимым от «ь ...
..., ctn-i. Некоторые простейшие свойства понятия алгебраиче¬
ской зависимости совпадают с известными свойствами линей¬
ной зависимости. Например, если элемент а алгебраически
зависит от ai, , an_i, а каждое из а,—от элементов fr,...
..., pm, то а алгебраически зависит от (Ji,..., pm. Отсюда,
формально повторяя рассуждения, известные для случая ли¬
нейной зависимости, можно доказать, что в расширении ко¬
55

нечного типа существует верхняя граница для числа алгебраи¬
чески независимых элементов. Максимальное число алгебраи¬
чески независимых элементов расширения конечного типа LjK.
называется его степенью трансцендентности. Оно обозначается
tr deg L/K.
Если степень трансцендентности расширения L/К равна п,
то в L существуют такие п алгебраически независимых эле¬
ментов, что любой другой элемент от них алгебраически за¬
висит. Наоборот, если такие п элементов существуют, то сте¬
пень трансцендентности равна п.
Например, степень трансцендентности поля рациональных
функций К(хи ■ ■ ■, хп) как расширения поля К равна п. Пусть
С — неприводимая алгебраическая кривая, определенная урав¬
нением F(x, у) = 0. Если, например, у действительно в это
уравнение входит, то в поле К (С) элемент х алгебраически не¬
зависим, а у и, значит, все другие элементы поля от х алгеб¬
раически зависимы. Поэтому степень трансцендентности рас¬
ширения К(С)/К равна 1. Так же доказывается, что если
С — алгебраическая поверхность, то степень трансцендентно¬
сти поля К (С) равна 2. Мы пришли, таким образом, к понятию
размерности, действительно согласующемуся с геометрической
интуицией. Степень трансцендентности поля К (С), где С — ал¬
гебраическое многообразие, называется размерностью С и
обозначается dim С. Она обладает естественными свойствами:
например,
dim Ci ^ dim С2,
если Cic:C2.
Пример 1. Пусть X — компактное комплексно аналитиче¬
ское многообразие размерности п и Ж{Х)—поле всех меро-
морфных на X функций. Можно доказать, что
tr deg^(^)/C^/z.
Если X — алгебраическое многообразие над С, то
Ж(Х)=С(Х) и trdegjf(*)=n.
Таким образом, число trdeg^(Jf)/C является мерой близости
многообразия X к алгебраическому. Все возможные значения
от 0 до я встречаются уже в частном случае комплексных то¬
ров (см. § 15).
Что представляют собой расширения L//C конечного типа и
степени трансцендентности 0? Равенство нулю степени транс¬
цендентности означает, что любой элемент aGZ, удовлетворяет
уравнению F(a)= 0, где F — многочлен. Такой элемент а на¬
зывается алгебраическим над К. Так как L/K—расширение ко¬
нечного типа, то
L = K(au ..., а„) для некоторых а1(..., а„бL.
56

Таким образом, L/К может быть получено последователь¬
ностью расширений вида К (а)/К, где а — алгебраический
элемент. Наоборот, последовательность таких расширений
всегда имеет степень трансцендентности 0.
Пусть Ь = ЬС(а), где а — алгебраический над К элемент.
Среди всех многочленов F(x)&K[x], для которых F(a)=0 (они
существуют, так как а алгебраично над К), есть многочлен наи¬
меньшей степени. Остальные на него делятся — иначе, произво¬
дя деление с остатком, мы пришли бы к многочлену еще мень¬
шей степени с тем же свойством. Такой многочлен Р(х) наи¬
меньшей степени определен однозначно с точностью до посто¬
янного множителя. Он называется минимальным многочленом
элемента а. Очевидно, он неприводим над К. Зная минимальный
многочлен Р, можно в очень явной форме задать все элементы
поля L = K(а). Для этого рассмотрим гомоморфизм
Ф : K[x]^L,
сопоставляющий многочлену F&K.[x] элемент F(a)&L. Ядро это¬
го гомоморфизма, как легко видеть, есть главный идеал (Р).
Поэтому его образ (по теореме о гомоморфизмах) изоморфен
К[х]1(Р). Нетрудно показать, что этот образ совпадает со всем
L (для этого надо заметить, что 1шф — поле и содержит а).
Поэтому L изоморфно К[х]/(Р). Если степень многочлена Р
равна п, то, как мы видели в § 4 (формула (2)), в поле L,
изоморфном К>[х]/(Р), каждый элемент представляется в виде
1=*а0+а1а-{-... -Гап-1а.п-\ а&К,	(2)
и притом единственным образом. Классический пример этой
ситуации: К= R, L=C = R(i), Р(х)=х2+1: любое комплексное
число представляется в виде a+bi, а, R.
Представление (2) для элементов поля L=K{а) приводит к
важному следствию. Забудем об операции умножения в поле L
и сохраним лишь операцию сложения и умножения на элементы
поля К■ Запись (2) показывает, что линейное пространство L
конечномерно над К и элементы 1, а,..., а"-1 являются его ба¬
зисом. Расширение LJK называется конечным, если L как век¬
торное пространство над К конечномерно. Его размерность
называется степенью расширения LjK и обозначается [L : /(].
В предшествующем примере [L : К] —п, в частности, [С : R] =
= 2.
Например, если F„ — конечное поле и р — его характеристи¬
ка, то ¥д содержит простое подполе из р элементов Fp. Очевид¬
но, что F,/Fp — конечное расширение. Если i[F,: FJ =л, то су¬
ществуют такие п элементов аь ..., a„eFs, что любой другой
однозначно представляется в виде
а=а\а,\А—ипап, af6FP,
откуда следует, что число элементов конечного поля F, равно
р", т. е. всегда является степенью р.
57

Легко проверяется транзитивность свойства расширений
быть конечными: если L/К и Л/Ь — конечные расширения, то и
расширение Л/К конечно, причем
\Л:К\ = [Л:Ь\\Ь:К\.	(3)
Из предыдущего следует, что любое расширение конечного типа
и степени трансцендентности 0 конечное. Наоборот, если L/К —
конечное расширение и [L : К] =«, то для любого a€L элементы
1, а,..., а" должны быть линейно зависимы над К (так как
число их п+1). Отсюда следует, что а — алгебраический эле¬
мент, а значит, L имеет степень трансцендентности 0. Таким об¬
разом, получается другая характеристика расширений конечно¬
го типа и степени трансцендентности 0 — это конечные расши¬
рения. По сказанному выше любое конечное расширение
получается цепочкой расширений вида К (а). Но в очень широ¬
ких предположениях — например, для полей характеристики
0 — имеет место
VI.	Теорема о примитивном элементе. Если а и
Р — алгебраические элементы поля Ь=К(а, |3), то существует
такой элемент a&L, что Ь = К(у).
В этом случае и любое конечное расширение Ь=*К(»ь • • •
..., On) может быть представлено в виде L = K(а), так что L=*
=*К[х]/(Р) и для его элементов имеет место представление
(2). ►
Если в поле К каждый многочлен имеет корень, т. е. поле К
алгебраически замкнуто, то все неприводимые многочлены ли¬
нейны и в его расширениях не может быть алгебраических эле¬
ментов, не содержащихся в К■ Поэтому у К нет других конеч¬
ных расширений, кроме него самого. Таково поле комплексных
чисел С. У поля вещественных чисел есть только два конечных
расширения: R и С. Но у поля рациональных чисел Q и поля
рациональных функции K(t) (даже при К=С) имеется очень
много конечных расширений. Они являются инструментом для
изучения алгебраических чисел (в случае Q) и алгебраических
функций (в случае С(/)). Можно показать, что любое конечное
расширение поля K(t) имеет вид К (С), где С— некоторая ал¬
гебраическая кривая, а конечное расширение поля К(хь ...
.... хп) имеет вид K(V), где V—алгебраическое многообра¬
зие (размерности п).
Расширение К(а), где а — корень неприводимого многочле¬
на Р(х), задается этим многочленом, поэтому теория конечных
расширений есть определенный язык (но также и «философия»)'
в теории многочленов от одного неизвестного. В одном и том же
расширении L/К существует много элементов я, для которых
L = /((«), и много соответствующих им многочленов Р(х). Рас¬
ширение же отражает те свойства, которые у них являются об¬
щими. Мы имеем здесь еще один пример «коордииатизации»,
аналогичный сопоставлению поля К(С) алгебраической кривой
58

С.	Да и конструкция поля К (а) в виде К[х]ЦР) совер¬
шенно параллельна конструкции поля К(С) по уравнению кри¬
вой С.
Наиболее элементарный пример, иллюстрирующий примене¬
ние свойств конечных расширений к конкретным вопросам, —
это теория построений при помощи циркуля и линейки. Пере¬
водя такие построения на язык координат, легко убедиться, что
они сводятся либо к действиям сложения, вычитания, умноже¬
ния и деления над числами, выражающими уже построенные
отрезки, либо к решению квадратных уравнений, коэффициен¬
ты которых являются такими числами (нахождение точек пере¬
сечения прямой и окружности или точек пересечения двух
окружностей). Поэтому если обозначить через К. расширение
поля Q, порожденное всеми заданными в условиях задачи вели¬
чинами, а через а — численное выражение искомой величины,
то задача построения этой величины циркулем и линейкой све¬
дется к допросу о том, содержится ли а в расширении L[K, ко¬
торое получается цепочкой
LJL1, L.j[L2,..., Ln—2lLn—\, Ln—i/Ln = К.,
где все расширения цепочки имеют вид L(_i = L((|J), а (} удов¬
летворяет квадратному уравнению. Последнее, конечно, равно¬
сильно тому, что степень [£j_i : LJ =2. Применяя соотношение
(3), мы получаем, что \L : Д) =2". Если a€L, то и К{а)аЬ, и
опять из (3) мы получаем, что степень [Д"(а) : К] должна быть
степенью двойки. Это только необходимое условие. Но и доста¬
точное условие разрешимости задачи циркулем и линейкой так¬
же формулируется в терминах поля К (а), только несколько
сложнее. Однако уже полученное необходимое условие показы¬
вает, например, что задача об удвоении куба не разрешима цир¬
кулем и линейкой: она сводится к построению корня много¬
члена
л3-2, a [Q(^2“):Q]=3.
Точно так же задача о трисекции угла сводится, например, к
построению a=cos<p/3, если известно a=cos<p. Они связаны ку¬
бическим уравнением
4 а3—За—а = 0.
Мы должны считать а независимым переменным, т. к. <р — про¬
извольное. Поэтому К есть поле рациональных функций Q(a),
а [К(а) : К] =3, и опять задача не разрешима циркулем и ли¬
нейкой.
Таким же образом и вопрос о разрешимости алгебраических
уравнений в радикалах сводится к некоторым вопросам о
структуре конечных расширений. Об этом будет подробнее ска¬
пано в § 18.
59

§ 7. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ АСПЕКТ
ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫХ ПОНЯТИЙ
Рассмотрения «с точностью до бесконечно малых п-го по¬
рядка» удобно перевести на алгебраический язык, рассматривая
в качестве аналога бесконечно малых элементы е (некоторых
колец), для которых еп = 0. Пусть, например, С—алгебраиче¬
ская кривая, для простоты рассматриваемая над полем комп¬
лексных чисел С. Введем коммутативное кольцо
£/={a + aie; а, а^С, е2=0).
Можно его точно описать как С[х]/(х2), взяв за е образ х при
каноническом гомоморфизме С[х]-»-£/. Рассмотрим гомоморфиз¬
мы С[С]-»-£/ над С, т. е. такие гомоморфизмы, при которых
комплексные числа отображаются тождественно (по постро¬
ению, Сс:С[С] и СciU). Такой гомоморфизм q> определяется
образами <р(х) и <р(у) координат хну, так как другие элемен¬
ты кольца С [С] являются многочленами h(x, у) от х и у и
<р(й(х, г/))=й(ф(х), ф(у)). При этом если уравнение кривой С
есть F(x, у)= 0, то элементы ф(х) и ф {у) кольца U должны
удовлетворять тому же уравнению
^(Ф(4 <P(</)) = 0.	(1)
Запишем Ф (х) в виде а-\-ахе, а Ф(г/) — как й + Кольцо U
обладает стандартным гомоморфизмом ty:U->С; ф>(а + а1г)=а.
Применяя его к соотношению (1), мы получаем, что F (а, Ь)—О,
т. е. гомоморфизм Ф определяет точку (а, Ь) кривой С. Однако,
зная эту точку, мы можем восстановить только члены а и Ь
в выражениях для Ф(-к) и Ф (у). Каков же смысл коэффициентов
ах и Ьх? Подставим в (1) значения для Ф (х) и Ф (у) и запишем
F (а-\-ахе, Ь-\-Ьхг) в стандартном виде с-\-схг. Развертывая
многочлен F по формуле Тейлора и воспользовавшись тем, что
F (а, Ь)=0 и е2=0, мы увидим, что F (a-j-fl^e, й + й1е) =
— (axF'x(a, b) -{- blFy {а, Ь))г, и условие (1) принимает вид
F (а, Ь) =О,
axF'x (а, b) + bxF'y (а, Ь) — 0.
Оно означает, что (а, Ь)—точка кривой С, а (аъ Ьх)— вектор,
лежащий на касательной прямой к С в точке (а, Ь). При этом
мы предполагаем, что точка (а, Ь) не является особой точкой
кривой С, т. е. F'x (а, Ь) и F'y (а, Ь) не обращаются одновременно
в 0. Легко видеть, что наши рассуждения дают описание всех
гомоморфизмов кольца С[С] в U, т. е. эти гомоморфизмы со¬
ответствуют парам: точке кривой С и вектору касательной пря¬
мой к кривой в этой точке. Аналогично, для случая алгебраиче¬
ской поверхности мы получим описание касательных плоско¬
стей и т. д.
60

Сформулируем предшествующие рассуждения несколько по-
иному. Гомоморфизм ф : С[С]->-£/ мы соединили со стандартным
гомоморфизмом ф : U-+-С и получили последовательность гомо¬
морфизмов:
С [С]%//Лс.
Сквозной гомоморфизм ф = фф определяет точку хй£С и сопо¬
ставляет функции ее значение в х0 (пример 2 § 4). Поэтому ядро
совпадает с максимальным идеалом 271*,, кольца С [С], состоящим
из функций, обращающихся в 0 в точке х. Если xQ=(а, Ь), то
х — а и у—b принадлежат $RXo. Этому соответствует то, что
ф(дг — а) и Ф (у—Ь) имеют вид ахг и Ьге, т. е. принадлежат
идеалу I = Кег ф кольца U. Вектор же касательного пространства
в точке х0 (в нашем случае—касательной прямой) определяется
образами х — а и у—Ь, лежащими в этом идеале, т. е. ограни¬
чением Ф на SKjr,,. Очевидно, что на идеале 2Ях гомоморфизм ф
обращается в 0 (так как е2=0). Поэтому Ф определяет линейное
отображение пространства TlxjM2XlI в С и именно эта линейная
функция и задает вектор касательного пространства в точке х0.
Нетрудно доказать, что любая линейная функция 2Яд.0/2Я^0->-С
определяет касательный вектор в точке х0■ Таким образом,
4 касательное пространство в точке х0 описывается как
сопряженное пространство к пространству ШХ„1ШХ1>, где 27ij:0 —
максимальный идеал, соответствующий точке х0. ►
Аналогично обстоит дело и в случае алгебраической поверх¬
ности С с уравнением F (х, у, z) = 0: касательная плоскость
к С в неособой точке х0=(а, Ь, с) (т. е. такой, что
F'x (а, Ь, с), F'y (а, Ь, с) и F\ (а, Ь, с)
не обращаются одновременно в 0) отождествляется с сопряженным
пространством к ШХо!Ш2Хо. Позже мы применим эти соображения к
произвольному алгебраическому многообразию, а сейчас покажем, что
они применимы и не только в алгебраической ситуации.
Пр и мер 1. Пусть Л—кольцо функций, дифференцируемых
в окрестности точки О я-меркого векторного пространства Е,
и 271 —идеал функций, обращающихся в О в нуль. По формуле
Тейлора функция /6®* представляется в виде f = 1 (mod 2К2), где
/ — линейная функция. Линейные функции образуют пространство
Е*, сопряженное Е, и мы имеем опять изоморфизм Ш/Ш—Е*.
Если £бЕ, то I (£) можно интерпретировать как частную про¬
изводную / (|) = -^|- (О).
Аналогично обстоит дело, если Л—кольцо дифференцируемых
функций на дифференцируемом многообразии X и 271 состоит
из функций, обращающихся в нуль в точке х<£Х. Опять
2>1/5К2^7'*0, где ТХа—касательное пространство в точке xQ
и изоморфизм задается тем, что для Ъ^Ти / = f -\-М2
61

*(£)=-§fм-
(2>
Предшествующее рассуждение предполагало, что мы уже рас¬
полагали определением касательного пространства дифферен¬
цируемого многообразия, но его можно обратить и превратить
в определение касательного пространства:
TxMwxjm\y.	(3>
Таким образом, £67'*,, — это, по определению, линейная функция/
на 2Яд.„, равная 0 на Ш2Х„. Положив /, по определению, равной
нулю на константах, мы получим функцию на всем А. Легко ви¬
деть, что наложенные на нее условия можно записать как
а (а/ 4- fig) = а/ (/) + р/ (g), а, 06R, /> g6Д,
\nfg) = nf)g{xo) + l(g)f(xо).	( >
В таком виде они аксиоматизируют интуицию касательного век¬
тора как «того, по чему можно дифференцировать функцию»
(см. формулу (2)). Соотношение (3) (или эквивалентные ему
условия (4)) дают, пожалуй, самое инвариантное определение
касательного пространства в точке дифференцируемого много¬
образия;
В этой связи естественно рассмотреть понятие векторного
поля на дифференцируемом многообразии. По определению
векторное поле 0 сопоставляет любой точке хЗХ вектор 0(х)€Гх.
Для любой функции fC4 и точки хбХ вектор 0(х) определяет
число 0(x)(f), т. е. функцию g(x) =в(х) (f). Этот оператор мы
обозначим 2)(f). Соотношения (4) показывают, что он удов¬
летворяет условиям
%> («/ -г Pg) = а® (/) + Р® (g).
®(/gW®(g) + ®(/)g-
Такой оператор называется линейным дифференциальным опе¬
ратором первого порядка. В некоторой системе координат
(jq,..., хл) он записывается, как легко видеть, формулой
Т1
<6>
1 1
где а{=ф{х^. Обратно, каждый оператор 3D. обладающий
свойствами (5), определяет векторное поле 0, для которого
0(*)(/) = ® (/)(*)•
Для произвольного кольца А отображение 3D: АА назы¬
вается дифференцированием, если оно удовлетворяет условиям
3D {a -f b) = 3D (а) + 3D (й),
3D (ab) = a3D (b) + 3D (а) Ь.
62

Если 5с А — подкольцо, то 2D называется дифференцированием
над 5, если 2D(b) =0 при bQB. Тогда 2D(ab)=<D(a)b при а£А,
йб5. Дифференцирования А над 5 образуют модуль над А,
если положить:
(2>i + 3)2) (а) = SDi (а) + 3>2 (а),
(с 2D) {а) = с2> (a), a, cQA.
Мы можем, таким образом, сказать, что модуль векторных
полей на дифференцируемом многообразии X— это, по опреде¬
лению, модуль дифференцирований над полем R кольца диф¬
ференцируемых функций на X. Вместе с утверждениями при¬
меров 13 и 12 § 5 мы получаем теперь алгебраическое опреде¬
ление всех основных понятий: векторных полей, одномерных и
/•-мерных дифференциальных форм на многообразии.
Теперь вернемся к произвольным коммутативным кольцам-
В § 4 мы сформулировали общую концепцию, согласно которой
элементы произвольного коммутативного кольца А можно рас¬
сматривать как функции на «пространстве», точками которого»
являются максимальные (в другом варианте — простые) идеа¬
лы кольца, причем гомоморфизм А-+-А/Ш является определени¬
ем значения «функции» абЛ в «точке», соответствующей макси¬
мальному идеалу 2Я. Теперь мы можем эту концепцию углу¬
бить, приписав каждой «точке» — «касательное пространство»-
Для этого рассмотрим максимальный идеал Ш, определяющий
«точку», и фактор 2Я/2Я2. Пусть k—A/Ш — «поле значений» в
«точке», соответствующей 2Я. Для элементов /пбЗЯ и абЛ класс
вычетов am по модулю 2Я2 зависит только от класса вычетов а
по модулю 2Я, т. е. от элемента поля k, определяемого элемен¬
том а. Это показывает, что Ш/Ш2 является векторным простран¬
ством над полем k. Сопряженное пространство, т. е. совокуп¬
ность линейных функций на 2Я/2Я2 со значениями в к, и является
аналогом касательного пространства к «точке», соответствую¬
щей идеалу 2R.
Такая точка зрения полезна при анализе различных геометри¬
ческих и алгебраических ситуаций. Например, если неприводимая
алгебраическая кривая С задана уравнением F (х, у)— 0, то для
ее точки (а, Ь) касательное пространство задается уравнением
F'x (а, Ь) (х — а) + Fy (а, Ь) (у — Ь) = 0.
Оно одномерно для всех точек (а, Ь), кроме тех, для которых
F'x{a, Ь)=0, Fy(a, b) = 0. Точки, для которых выполняются эти
равенства, называются особыми, остальные — простыми. Легко
видеть, что число особых точек конечно. Мы видим, что каса¬
тельное пространство одномерно (т. е. его размерность совпада¬
ет с размерностью С) для простых точек и имеет большую раз¬
мерность (а именно, 2) для особых. Аналогичная картина име¬
ет место и для более общих алгебраических многообразий:
33

касательные пространства имеют одинаковую размерность во
всех точках, кроме точек некоторого собственного алгебраиче¬
ского подмногообразия, для которых эта размерность подскаки¬
вает. Это дает нам: во-первых, новую характеристику размер¬
ности неприводимого алгебраического многообразия (размер¬
ность касательных пространств всех точек, кроме точек некоторого
собственного подмногообразия), во-вторых, выделяет осо¬
бые точки (точки этого собственного подмногообразия), и,
в-третьих, дает важную характеристику особой точки — подскок
размерности касательного пространства. Но, пожалуй, наибо¬
лее замечательно — что эти понятия применимы к произволь¬
ным кольцам, хотя бы и не геометрического происхождения, и
дают возможность воспользоваться при их изучении геометри¬
ческой интуицией. Например, максимальные идеалы кольца
целых чисел Z описываются простыми числами и для 2Я=(р)
пространство Ш/Ш2 одномерно над полем Fp, так что здесь мы
не встречаем особых точек.
Пример 2. Рассмотрим кольцо А, состоящее из элементов
а + Ьа, а, ЬбZ, действия над которыми определены по обычным
правилам, исходя из условия о2= 1 (оно встречается в связи с
арифметическими свойствами группы второго порядка). Его
максимальные идеалы описываются следующим образом. Для
любого простого числа рф2 мы имеем два максимальных
идеала
SDT={<2-f-6a, a-\-b делится на р}
и
Шр = {афЬа, а — Ь делится на р}.
Очевидно, Ш'р = (р, 1 — о), 2Я' = (р, 1 + о). Для каждого из них
пространство 2Я/2Я2 одномерно над полем Fp. Кроме того, суще¬
ствует еще один максимальный идеал Ш2={афЬа, а и b одина¬
ковой четности} == (2, 1 -J-а). Легко видеть, что ш1=(А,2ф2а) и
Ш2/ш1 состоит из четырех элементов — классов смежности эле¬
ментов 0,2, l+cr и 3 + сг. Таким образом, это двумерное прост¬
ранство над полем F2. Идеал Ш2 соответствует единственной
особой точке.
Все предшествующие рассуждения связаны с рассмотрением
«с точностью до бесконечно малых 2-го порядка», что для про¬
извольного кольца А и максимального идеала 3W сводится к
рассмотрению кольца Л/2Я2. Разумеется, возможно рассмотре¬
ние и «с точностью до бесконечно малых r-го порядка», что
приводит к кольцу А/Шг. Например, если А есть кольцо много¬
членов С[хь ..., хп] или кольцо аналитических в начале коор¬
динат функций от переменных zu ..., zn, или кольцо бесконеч¬
но дифференцируемых (комплекснозначных) функций от п
переменных, а Ш — идеал функций, обращающихся в нуль в точ¬
64

ке О — (0,..., 0), то А/Щт является конечномерным векторным
пространством над С. Оно обобщает уже ранее рассматривав¬
шееся нами пространство Л/ЭЛ2 и называется пространством
струй г—1-го порядка.
Пример 3. Дифференциальные операторы порядка >1.
Линейный дифференциальный оператор порядка <г на диф¬
ференцируемом. многообразии X можно определить формально,
как такое линейное (над R) отображение 3>:А->А кольца Л
дифференцируемых функций на X, что для любой функции g£A
оператор <Dx{})~2b{gf)—g2)(f) имеет порядок <г— 1. Фор¬
мулы (5), определяющие оператор порядка 1, показывают, что
— g®(f) есть оператор умножения на функцию (именно,
2) (g)), т. е. порядка 0. Наоборот, если 2){gf)—gS) (/) есть
оператор умножения на функцию, то, как легко проверить,
2D (f) = 2) {/)-{- 2д (1) /, где iZ) —оператор порядка I.
Из определения, по индукции следует, что если S5 —оператор
порядка <г, то a>(5K'+i)c5W^„ где Шх,аА —максимальный
идеал, соответствующий точке х0£Х. В координатах это озна¬
чает, что 2) (/) (х0) зависит только от значений в точке х0 част¬
ных производных функции / порядков < г. Иначе говоря, имеет
место запись
W)= 2i ач..ла(Хь..., хп) — L, ah...ineA.
i1+...+in<r	dxp.^dxf
Для любой точки хйРХ отображение / (x) -+2){f) (jc0) опре¬
деляет линейную функцию I на пространстве струй порядка
r:l£(A/W)* совершенно аналогично тому, как линейный диффе¬
ренциальный оператор 1-го порядка определяет линейную функ¬
цию на пространстве Шх^1Ш2Хо.
Но наиболее тонкий аппарат для изучения кольца А «в окрест¬
ности максимального идеала Шъ мы получим, рассмотрев одно-
временно все кольца А/Шп, п = 1, 2, 3,— Их все можно объе-
А
динить в одно кольцо А, называемое их проективным преде¬
лом. Для этого заметим, что существует канонический
гомоморфизм Чп:А1ШпП->А/Шп, ядром которого служит 3й'73йя+1.
✓ч	Г
Кольцо А определяется как последовательность элементов {«„,
ап£А/ЗЛге}, согласованных в том смысле, что ?n(an+i) = a„. Дей¬
ствия над последовательностями производятся покомпонентно.
Каждый элемент абД определяет такую последовательность:
А
an = aJrTln, и, таким образом, мы получаем гомоморфизм Ф:Д -»■ А.
Ядром его является пересечение всех идеалов Шп. Во многих
интересных случаях это пересечение равно 0 и, значит, А вкла-
А
дывается в А как подкольцо.
Пример 4. Пусть Л=К[х], SQt=(x). Элемент а кольца
Щх\/{хп) однозначно задается многочленом
5—9339
65

f« = ao+ai*+• • •i+an-i*"--1,
и последовательность элементов {с&п} согласована, если много¬
член fn+u соответствующий ап+и получается из fn приписыва¬
нием члена степени п. Вся последовательность тогда определя¬
ет бесконечный (формальный) степенной ряд. Иными словами,
Л
кольцо Л изоморфно кольцу формальных степенных рядов
/CfMi] (пример 6 § 3). Вложение <р :	продолжает¬
ся до вложения полей частных ф: К(х)-*-К((х)), где /(((*)) —
поле формальных рядов Лорана (пример 5 § 2). Легко видеть,
что это вложение совпадает с сопоставлением рациональной
функции ее ряда Лорана в точке х=0. В частности, если функ¬
ция не имеет полюса при х=0, ей сопоставляется ее ряд Тей¬
лора. Например, если /Чх) = 1/1—х, то f(x) = l'+x+...+
+xn-1(xn), т. е. знаменатель функции f(x)—1—х—...—х"-1 на
х не делится, а числитель делится хп. Это и значит, что f(x)
сопоставляется ряд 1+х+х2+ ...
Пример 5. Пусть А — кольцо Д[С], где С — произвольное
алгебраическое многообразие. Если SQtc — максимальный идеал
А
этого кольца, соответствующий простой точке с&С, то кольцо А
изоморфно кольцу Л[[хь ..., х„]] формальных степенных рядов
(п — размерность С в любом из обсуждавшихся ранее вариан¬
тов этого определения). Более того, вложение
ВД-^Щхь..., х„]]
продолжается на те функции из К (С), которые конечны в точ¬
ке с, т. е. могут быть представлены в виде Р/Q, где Р, Q6/([C]
и Q(c)=фО. Это дает представление таких функций в виде фор¬
мальных степенных рядов. Если поле К совпадает с полем
комплексных чисел С или действительных R, то можно дока¬
зать, что соответствующие ряды сходятся при достаточно ма¬
лых значениях хь ..., х„. Именно таким образом доказывается,
что алгебраическое многообразие без особых точек является
также топологическим, дифференцируемым и аналитическим
многообразием.
Пример 6. Пусть А — кольцо бесконечно дифференцируе¬
мых функций в окрестности х=0, а / — идеал функций, обра¬
щающихся в 0 в этой точке. Тогда /" — это функции, обра¬
щающиеся при х = 0 в 0 вместе со всеми производными поряд¬
ка <п, а А/1п — это кольцо R[x]/(xn), и гомоморфизм А-*~
-*-R[x]/(x") задается формулой Тейлора. В нашем случае П^^О,
так как существуют отличные от 0 бесконечно дифференцируе¬
мые функции, все производные которых равны 0 при х=0. Го-
А
моморфизм А-*-А сопоставляет каждой функции ее формальный
ряд Тейлора. Так как согласно теореме Бореля существу¬
ют бесконечно дифференцируемые функции с наперед заданны-
-А
ми значениями всех производных в 0, то ,4~R [[/]].
Но можно применить те же идеи к кольцам совершенно
другой природы.
66

Пример 7. Пусть А есть кольцо целых чисел Z и М=(р)г
где р — некоторое простое число. В качестве А мы получаем1
кольцо Zр, называемое кольцом целых р-адических чисел. По*
аналогии с рассмотренным выше случаем кольца Л[х], можно*
убедиться, что элемент кольца Zp задается последовательно¬
стью целых чисел вида
QEm = ao' + fllP+ • • • an-iPn~l,
где а{ принадлежит фиксированной системе представителей?
классов вычетов по модулю р: 0<о^<р, и On+i получается из*
ап приписыванием члена апрп. Такую последовательность мож¬
но записать в виде формального ряда
Uo+Uip + a2p2+ ... .
Действия над такими рядами производятся совершенно анало¬
гично действиям над целыми числами, записанными в р-ичной
системе счисления: если, действуя над коэффициентами аи мы
переходим к числу с>р, то мы должны поделить с с остатком иа.
р: c=c0+cip, и перенести су «в следующий разряд». Кольцо Zp.
целостно, его поле частных Qp называется полем р-адических:
чисел. Вложение Z->ZP продолжается до вложения Q->QP.
Чтобы более выпукло очертить связь приведенных выше?
конструкций, вернемся к примеру кольца/С[х] и поля /С(х).Для
более точной численной характеристики того, что функция*
f^K(x), f-ф0, является бесконечно малой заданного порядка в.
точке х=Ь, введем показатель v{f), равный «>0, если f имеет"
нуль кратности п в точке 0, и —п, если f имеет там полюс-
кратности п. Выберем раз навсегда вещественное число 0<с<1>
(например, c=j) и положим <р(f) =cvW для 1Ф0 и <р(0)=0.
Тогда <р(/) мало, если f—бесконечно малая большого порядка;
при х=0. Введенное нами выражение q>(f) обладает формаль¬
ными свойствами модуля рационального, вещественного или"
комплексного числа: <р(/)=0 тогда и только тогда, когда /=О,
Ф(/2) = Ф(/)Ф(ё), Ч>(/ + й)<Ф(/) + Ф(§).	(7).
Поле L, на котором задана вещественнозначная функция с эти¬
ми тремя свойствами, называется нормированным, а функция;
ф — его нормой. Простейший пример нормированного поля —
это поле рациональных чисел Q с ф(х) = |х|. Процесс построе¬
ния поля вещественных чисел по Коши, исходя из рациональ¬
ных чисел, при помощи фундаментальных последовательностей,,
дословно переносится на любое нормированное поле L. Мы по¬
лучаем новое нормированное поле L, в которое L вкладывается*:
как подполе с сохранением нормы, в котором образ L всюду-
плотен и которое (в смысле его нормы) полно, т^е. удовлет¬
воряет критерию сходимости Коши. Это поле L называется1
пополнением поля L по норме <р.
5*
6 Г

Построение ноля К ({х)) и вложения К(х) ->К((х)) является,
■как очень легко убедиться, применением этой общей конструкции
к случаю введенной наш нормы ф (/) = cv(n. Теперь мы можем
А
пользоваться тем, что в поле К (х)=* К ((.т)) имеется норма, про¬
должающая норму ф поля К (х). Легко увидеть, какова она: если
/6К{(х)), /ФО, f^cnx" + cn+lxn+1 + ..., спФ0, то Ф(.Я=с»;
ф(0)=0. Но в нормированном поле имеет смысл говорить о схо¬
димости рядов, и легко убедиться, что любой формальный ряд
Лорана в этом смысле сходится (в частности, Xя->0 при п--* оо
в смысле нашей нормы). Сопоставление рациональной функции /
ее ряда Лорана теперь превращается в равенство, имеющее тот
-А
смысл в поле К(х)=К((х)), что / равна сумме сходящегося
к ней ряда.
В связи с этим интересно выяснить, какие, вообще, нормы
можно определить в поле К(х). Мы ограничимся случаем, ког¬
да К=С (поле комплексных чисел), и усилим понятие нормы,,
прибавив к условиям (7) еще одно:
Ф(а) = 1, если agC, а =£0.	(8)
■Очевидно, что построенная норма ф (/) = cv<f> этому дополни¬
тельному условию удовлетворяет. Конечно, мы можем варьиро¬
вать нашу конструкцию, рассматривая вместо точки х = О произ¬
вольную точку х = а, т. е. определяя v (/) как порядок нуля
или полюса функции / в точке х = сс. Полученную норму
•обозначим через Фа. Можно построить еще одну аналогичную
.норму, рассматривая порядок нуля или полюса функции в беско¬
нечности. Эту норму мы обозначим через ф^,. Проще всего
р
•определить ее равенством Фм (/) = ст~п, если /==q, Р и Q —
ыногочлены степени пит соответственно (и, конечно, ф(0) = 0).
Нетрудно доказать, что все нормы тюля С (х) этими нормами
и исчерпываются.
I.	Все нормы поля С (х) (с дополнительным свойством (8))
исчерпываются нормами Фа, agC, и нормой Фоо- ►
Таким образом, нормы поля С(х) очень естественно дают
мам все точки прямой (включая бесконечно удаленную) или
римановой сферы, на которой рациональные функции опреде¬
лены.
Поставим теперь тот же вопрос для конечных расширений
поля С(х). Они имеют вид С (С), где С — некоторая неприво¬
димая кривая. Ответ оказывается похожим, но несколько бо¬
лее тонким. Каждой простой точке с кривой С соответствует
некоторая норма <рс, характеризуемая, например, тем, что
фс(/)<1 тогда и только тогда, когда f(c)= 0. Но сверх того при¬
бавляется еще конечное число норм. Во-первых, соответствую¬
щие бесконечно удаленным точкам кривой С (которые возни¬
кают, если рассматривать кривую в проективной плоскости).

Во-вторых, особым точкам может соответствовать несколько*
разных норм. Вся совокупность норм находится во взаимно од¬
нозначном соответствии с точками некоторой неособой кривой,,
лежащей в проективном пространстве и определяющей то же
поле С (С), — так называемой неособой проективной модели
кривой С. Ее точки, следовательно, замечательным образом ха¬
рактеризуются полем С'(С) совершенно инвариантно. Другая1
формулировка того же описания заключаются в том, что если
кривая С задана уравнением F(x, у)= 0, то все нормы поля
С (С) находятся во взаимно однозначном соответствии с точ¬
ками римановой поверхности функции у как аналитической
функции от х. Это можно рассматривать как чисто алгебраи¬
ческое описание римановой поверхности алгебраической функ¬
ции.
Пусть ! = (а, Ь) — некоторая точка алгебраической кривой С
с уравнением F (х, у) = 0, а Ф — одна из норм, соответствующих
точке Тогда пополнение поля С (С) по норме Ф опять изоморф¬
но полю формальных рядов Лорана С ((£)). Пусть при вложении
С(С)сС((0)
х — a=cktk + Ck+itbH+	г ckфО.
Тогда x—a=tkf{t), /(0)^0. Отсюда
х—a=xk,
где
т =
а / (i)1/* надо понимать как формальный ряд, имеющий смысл
Ввиду условия f (0}ф0. Легко показать, что т является, как и t,
«параметром» поля С ((£)), т. е. все элементы этого поля пред¬
ставляются как ряды Лорана и от т: С ((*)) = С ((т)). В частности,
у=Srf/T1'=2dt (х — а)г
Такие разложения алгебраической функции у по дробным степе¬
ням х — а называются разложениями Пюизо.
Перейдем теперь к полю рациональных чисел Q. Пусть р—
простое число, а с—вещественное число, 0<с<1. Обозначим
через v (л) наибольшую степень числа р, на которую делится л,
и положим для рационального числа а = -^, n, mfZ,
Ф p(a)=cv<n>-v<'n>.
Легко проверить, что Фр—норма на поле рациональных чисел Q.
Рассматривая пополнение Q по этой норме, мы придем к полю
р-адических чисел Qp, которое было введено ранее. В нем имеет
смысл понятие сходимости рядов, и формальные ряды, которыми
мы задавали р-адические числа, сходятся. Например, равенство.
т^-=1+р+р2+...

имеет тот смысл, что число слева есть сумма сходящегося ряда
справа.
По аналогии с полем С(х) естественно спросить: каковы же
все нормы поля Q?
II. Теорема Островского. Все нормы поля Q—это
^з-адические нормы срр и, сверх того, нормы вида <р(а) —
где с — вещественное число, 0<с<1. ►
Число с является таким же несущественным параметром,
•как и аналогичное число в определении /з-адической нормы и
кормы <р0 в поле С(х): нормы, получающиеся при разном выбо¬
ре этого числа, определяют одно и то же понятие сходимости и
изоморфные пополнения. Пополнение по норме <р=|	|с,	конеч¬
но, дает поле вещественных чисел. Таким образом, все поля
/з-адических чисел Qp и поле вещественных чисел R играют
совершенно одинаковую роль. Сравнение с полем С(х) показы¬
вает, что простые числа р (определяющие поля Qp) аналогич¬
ны конечным точкам х=а, и вложения Q-»-Qp аналогичны
разложениям в ряды Лорана в конечных точках, а тогда вло¬
жение Q-*-R является аналогом разложения в ряд Лорана в
бесконечности. Это дает единую точку зрения на два типа
"Свойств целых (и рациональных) чисел: делимость и величину.
.Например, то, что уравнение fix) =0, /GZ[х], имеет веществен¬
ный корень, означает, что существуют рациональные числа а„,
для которых |/(а„) | сколь угодно мало. Аналогично, разреши¬
мость уравнения /(x)=0 в поле /з-адических чисел означает,
что существуют рациональные числа а„, для которых фр(/(ап))
«сколь угодно мало, т. е. f(an) делится на все более высокую
степень р. Можно показать, что для многочлена f(xи..., хп)
разрешимость уравнения
f(x  	хп)=0
® поле Qp равносильна тому, что сравнение
f(x 1,..., х„)	0 (mod/з4)
разрешимо при любом k. Так как сравнения по любому модулю
сводятся к сравнениям по модулям рк, то разрешимость урав¬
нения /=0 во всех полях Qp эквивалентна разрешимости срав¬
нений
/=0(modjV)
для всех модулей N. Например, классический результат теории
чисел утверждает:
III. Теорема Лежандра.
Уравнение
ax2+btjz=c (a, b, сеZ, с>0)
тогда и только тогда разрешимо в рациональных числах, когда
выполнены условия:
1)	а>0 или Ь~>0,
70

2)	сравнение ах2 -)- by2 == с (modTV) разрешимо для всех N.
В силу сказанного выше это. значит: уравнение ах2 -\-Ьу2 = с
разрешимо в рациональных числах тогда и только тогда, когда
оно разрешимо в любом из полей Qp и в R. ►
Этот результат может быть обобщен:
IV.	Теорема Минковского — Хассе. Уравнение
/ (jCli • • ■»-£я)== с,
где /—квадратичная форма с рациональными коэффициентами,
<?6Q> тогда и только тогда разрешимо в Q, когда оно разрешимо
во всех полях QP и R. ►
Поле р-адических чисел отражает арифметические свойства
рациональных чисел (делимость на степени р), но, с другой
стороны, имеет ряд общих свойств с полем R: в Qp можно рас¬
сматривать меры, интегралы, аналитические функции, интерпо¬
ляцию и т. д. Это дает мощный теоретико-числовой метод, при
помощи которого (особенно при совместном рассмотрении всех
полей Qp и R) получено большое число глубоких арифметиче¬
ских результатов.
В заключение рассмотрим конечное расширение К поля Q.
Такое поле называется полем алгебраических чисел. Какие
нормы в нем существуют? Каждая его норма индуцирует неко¬
торую норму поля Q, и можно показать, что любая норма по¬
ля Q индуцируется конечным числом норм & Те из них, кото¬
рые индуцируют норму |а|, связаны с вложениями поля К в
поле вещественных чисел R или комплексных чисел С и функ¬
цией \х\ в этих полях. Рассмотрим другие нормы. В поле Q
подкольцо Z выделяется условиями фр(а)<1 для всех р. По
аналогии, рассмотрим те элементы поля К, для которых <р(а)^
<;1 для всех норм поля К,- индуцирующих нормы <рр поля Q
для какого-либо р. Эти элементы, как нетрудно доказать, обра¬
зуют кольцо А, которое играет роль кольца целых чисел в К.
Его элементы называются целыми алгебраическими числами.
Поле частных кольца А совпадает с К. Очевидно, A=)Z. Можно
доказать, что Л как модуль над Z является свободным модулем;
ранг его равен степени [К: Q] расширения К/Q. Кольцо А, во¬
обще говоря, не является факториальным, но в нем всегда спра¬
ведлива теорема об однозначности разложения идеала в произ¬
ведение простых идеалов. В частности, для любого простого
идеала р и элемента aczA определен показатель v(а), показы¬
вающий, на какую степень идеала $ делится главный идеал (а).
Выберем вещественное число с, 0<с<1, и для любого элемента
ViKi i=r=0.	а, Рб-Ai
положим
cPp(£) = cV(“)-vlP)-
ч

Таким образом, ка;кдому простому идеалу р из кольца А сопо¬
ставляется норма Ф?. Сказывается, что этими нормами исчерпы¬
ваются все нормы поля К, индуцирующие нормы <рр поля <2.
Эти факты составляют первые шаги арифметики полей алге¬
браических чисел. Сравнивая их с аналогичными фактами,
приведенными выше в связи с полями С(С) (С — алгебраиче¬
ская кривая), можно заметить далеко идущий параллелизм
между арифметикой полей алгебраических чисел и геометрией
алгебраических кривых (или свойствами соответствующих ри-
мановых поверхностей). Это — дальнейшая реализация той
«функциональной» точки зрения на числа, о которой мы го¬
ворили в § 4 (см. замечания после примера 3).
§ 8. НЕКОММУТАТИВНЫЕ КОЛЬЦА
В множестве линейных преобразований конечномерного век¬
торного пространства определены две операции:	сложение	и
умножение, а при записи линейных преобразований матрица¬
ми эти операции переносятся и на матрицы. Существование
обеих операций исключительно важно и постоянно испольаует-
ся. Например, только, благодаря этому можно определить мно¬
гочлены от линейного преобразования, а они используются,
хотя бы, при исследовании структуры линейного преобразова¬
ния, существенно зависящей от кратности корней его минималь¬
ного многочлена. Те же две операции и предельный переход
дают возможность определить аналитические функции от мат¬
рицы (вещественной или комплексной). Например,
оо
ед=2 Ап1п\,
л—О
а это позволяет, записав систему п, линейных обыкновенных диф¬
ференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффи¬
циентами и с п неизвестными в виде
где х — вектор неизвестных функций, А — матрица коэффици¬
ентов, написать решение в виде x(t)=eAtxо, где х0 — вектор на¬
чальных данных. Операции сложения и умножения линейных
преобразований подчиняются всем аксиомам коммутативного
кольца, за исключением коммутативности умножения. Отбрасы¬
вая это требование в определении коммутативного кольца, мы
и в названии нового понятия отбрасываем эпитет «коммутатив¬
ное».
4 Таким образом, кольцо есть множество с операциями сло¬
жения и умножения, удовлетворяющими условиям:
72

а-г{Ь-гс)=(а-{-Ь) + е,
(ab)c=a(bc),
a(b-{-c)—ab -\-ac,
(b -\-с)а = Ьа-\- ca.
Существует элемент 0, для которого а-{-0—0-{-а=а для
всех а. Существует для любого а элемент —а со свойством
а+(— а)—0. Существует такой элемент 1, что \а—а\=а
для всех а. ►
Приведем несколько примеров колец (некоммутативных;
примеры коммутативных колец мы уже во множестве рассмат¬
ривали.) .
Пример 1. Кольцо линейных преобразований векторного,
пространства L и его естественное обобщение — кольцо всех
гомоморфизмов в себя модуля М над коммутативным кольцом
А. Гомоморфизмы модуля в себя называются эндоморфизмами,
а определенное выше кольцо обозначается EndA(.M). Если А =
— К — поле, получаем кольцо линейных преобразований век¬
торного пространства L, которое мы будем дальше также обо¬
значать EndKL.
Пример 2. Простейшим бесконечномерным аналогом коль¬
ца линейных преобразований является кольцо ограниченных
лйнейных операторов в банаховом пространстве.
Пример 3. Кольца линейных дифференциальных операто¬
ров от одного или п переменных, коэффициентами которых яв¬
ляются многочлены или аналитические, или бесконечно диффе¬
ренцируемые функции, или формальные степенные ряды (ко¬
нечно, от того же числа переменных).
Прежде чем идти дальше в рассмотрении примеров, отме¬
тим те понятия, которые были нами введены для коммутатив¬
ных колец, но на самом деле коммутативности не использова¬
ли. Это — изоморфизм, гомоморфизм, ядро и образ гомомор¬
физма, подкольцо, градуированное кольцо.
Например, выбор базиса в п-мерном пространстве L над по¬
лем К определяет изоморфизм кольца End* (Г) е кольцом мат¬
риц порядка п, которое обозначается М„(К).
В кольце R совокупность элементов а, коммутирующих со
всеми элементами R (т. е. ах—ха для всех x£R), образует под¬
кольцо, которое называется центром. Оно обозначается Z(R).
Если центр кольца R содержит подкольцо А, то R назы¬
вается алгеброй над А. Забыв об умножении в R и обращая
внимание лишь на умножение элементов из R на элементы из
Л, мы превращаем R в модуль над Л. Понятие гомоморфизма
двух алгебр над коммутативным кольцом Л отличается от про¬
сто гомоморфизма колец тем, что требуется, чтобы каждый эле¬
мент из Л отображался сам в себя, т. е. чтобы гомоморфизм
73

Таким образом, каждому простому идеалу р из кольца А сопо¬
ставляется норма Ф?. Оказывается, что этими нормами исчерпы¬
ваются все нормы поля К, индуцирующие нормы <рр поля Q.
Эти факты составляют первые шаги арифметики полей алге¬
браических чисел. Сравнивая их с аналогичными фактами,
приведенными выше в связи с полями С (С) (С — алгебраиче¬
ская кривая), можно заметить далеко идущий параллелизм
между арифметикой полей алгебраических чисел и геометрией
алгебраических кривых (или свойствами соответствующих ри-
мановых поверхностей). Это — дальнейшая реализация то»
«функциональной» точки зрения на числа, о которой мы го¬
ворили в § 4 (см. замечания после примера 3).
§ 8. НЕКОММУТАТИВНЫЕ КОЛЬЦА
В множестве линейных преобразований конечномерного век¬
торного пространства определены две операции:	сложение	и
умножение, а при записи линейных преобразований матрица¬
ми эти операции переносятся и на матрицы. Существование
обеих операций исключительно важно и постоянно ислольаует-
ся. Например, только, благодаря этому можно определить мно¬
гочлены от линейного преобразования, а они используются,
хотя бы, при исследовании структуры линейного преобразова¬
ния, существенно зависящей от кратности корней его минималь¬
ного многочлена. Те же две операции и предельный переход
дают возможность определить аналитические функции от мат¬
рицы (вещественной или комплексной). Например,
СО
еА— 2 Ап/п1,
л=*0
а это позволяет, записав систему п линейных обыкновенных диф¬
ференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффи¬
циентами и с п неизвестными в виде
где х — вектор неизвестных функций, А — матрица коэффици¬
ентов, написать решение в виде x(t)—eAtx0, где х0 — вектор на¬
чальных данных. Операции сложения и умножения линейных
преобразований подчиняются всем аксиомам коммутативного
кольца, за исключением коммутативности умножения. Отбрасы¬
вая это требование в определении коммутативного кольца, мы
и в названии нового понятия отбрасываем эпитет «коммутатив¬
ное».
М Таким образом, кольцо есть множество с операциями сло¬
жения и умножения, удовлетворяющими условиям:
72

(t Ь — Ь (tj
л-\-(Ь -г с) — (л -(- b) -j- с,
(ab)c=a(bc),
a{b-\-c)—ab +<zc,
{Ь + с)а = Ьа-\-са.
Существует элемент 0, для которого а+0г=0-}-л=а для
веех а. Существует для любого а элемент —о со свойством
а-Ц—а)=0. Существует такой элемент 1, что \а—а\=а,
для всех а. ►
Приведем несколько примеров колец (некоммутативных;
примеры коммутативных колец мы уже во множестве рассмат¬
ривали) .
Пример 1. Кольцо линейных преобразований векторного,
пространства L и его естественное обобщение — кольцо всех
гомоморфизмов в себя модуля М над коммутативным кольцом
Л. Гомоморфизмы модуля в себя называются эндоморфизмами,
а определенное выше кольцо обозначается ЕпЙа(М). Если А =
=К—-поле, получаем кольцо линейных преобразований век¬
торного пространства L, которое мы будем дальше также обо¬
значать End KL.
Пример 2. Простейшим бесконечномерным аналогом коль¬
ца линейных преобразований является кольцо ограниченных
линейных операторов в банаховом пространстве.
Пример 3. Кольца линейных дифференциальных операто¬
ров от одного или п переменных, коэффициентами которых яв¬
ляются многочлены или аналитические, или бесконечно диффе¬
ренцируемые функции, или формальные степенные ряды (ко¬
нечно, от того же числа переменных).
Прежде чем идти дальше в рассмотрении примеров, отме¬
тим те понятия, которые были нами введены для коммутатив¬
ных колец, но на самом деле коммутативности не использова¬
ли. Это — изоморфизм, гомоморфизм> ядро и образ гомомор¬
физма, надкольцо, градуированное кольцо.
Например, выбор базиса в n-мерном пространстве L над по¬
лем К определяет изоморфизм кольца End*(L) е кольцом мат¬
риц порядка п, которое обозначается М„(К).
В кольце R совокупность элементов а, коммутирующих со
всеми элементами R (т. е. ах=ха для всех x&R), образует под-
кольцо, которое называется центром. Оно обозначается Z(R).
Если центр кольца R содержит подкольцо А, то R назы¬
вается алгеброй над А. Забыв об умножении в R и обращая
внимание лишь иа умножение элементов из R на элементы из
Л, мы превращаем R в модуль над Л. Понятие гомоморфизма
двух алгебр над коммутативным кольцом Л отличается от про¬
сто гомоморфизма колец тем, что требуется, чтобы каждый эле¬
мент из Л отображался сам в себя, т. е. чтобы гомоморфизм
73

определял гомоморфизм соответствующих модулей над А. Так
же определяется понятие подалгебры алгебры R над А — она
должна быть подкольцом, содержащим А.
Если А = R есть поле я R — алгебра над К, то размерность R
как линейного пространства над К. называется рангом алгебры
R. Мы уже встречались с этим понятием: конечное расширение
L/К — это расширение, являющееся алгеброй конечного ранга.
Алгебра конечного ранга п над полем К по определению обла¬
дает базисом е\ е„, и умножение в алгебре определяется
умножением элементов этого базиса. Так как etes есть снова
элемент алгебры, то он записывается в виде
CljkGK'	(1)
Элементы cijk называются структурными, константами,
алгебры,. Они определяют умножение в алгебре:
(2 а*е*) (2 bJei]=2 aibicn^k-
Соотношения (1) называются таблицей умножения алгебры.
Конечно, структурные константы нельзя задавать произвольно:
они должны удовлетворять условиям, отражающим требование
ассоциативности умножения и существования единичного эле¬
мента.
Например, кольцо матриц М„(К) является алгеброй ранга
п2 над полем К. За ее базис можно взять п2 матриц Eih у ко¬
торых все элементы равны 0, за исключением стоящих на пере¬
сечении t-й строки и /-го столбца, которые равны 1. Ее структур¬
ные константы определяются равенствами:
ЕчЕк1 = 0 при ]фк,
ЕцЕп = Еи.	()
Теперь можно привести еще несколько примеров колец, за¬
дающихся проще всего как алгебры над полем.
Пример 4. Пусть G — конечная группа (мы предполагаем,
что читатель с этим понятием знаком, но все же напомним его
в § 12). Построим алгебру над полем К, элементы базиса кото¬
рой занумерованы элементами группы: ев, g£G, и перемножа¬
ются так же, как эти элементы:
egiegz== eglgz-
Полученная алгебра называется групповой алгеброй группы, G
и обозначается /C[G]. Точно так же определяется групповая
алгебра A [G] конечной группы G над коммутативным кольцом А.
Отождествляя элементы gfG с соответствующими элементами
базиса eg, можно считать, что элементы алгебры K[G\ запи¬
сываются в виде сумм ^ agS- Произведение | S agS ) [ 2 (Мч
*6? (>;' ..	W?	/	\Л6°	/
74

записывается, конечно, в таком же виде 2 ygg, где, как легко
gQQ
^проверить,
^ =	(3)
“б°
Элемент 2 agg задается своими коэффициентами, которые можно
рассматривать как функцию на б и соответственно записывать
в виде a(g). Тогда мы получим интерпретацию алгебры К [С?]
как алгебры функций на Группе, с умножением, сопоставляющим
функциям a(g)-H-p(g) функцию y(g) (см. (3)):
4(g) =2 a(tt)P(tt-1g)-	(4)
“6°
Эта запись служит отправной точкой для обобщений на беско¬
нечные группы.	Например, если	G —	единичная	окружность
\z\ =1, то,	записывая ее элементы	через	аргумент ф, мы увидим,
’что функция на G — это просто периодическая функция от ф с
■периодом 2л. По аналогии с формулой (4) групповую алгебру
нашей группы определяют как алгебру периодических функций
•а(ф) (например, непрерывных и абсолютно интегрируемых) с
законом умножения, сопоставляющим а(ср) и р(ф) функцию
2л
о
Эта операция называется в анализе сверткой функций.
Это определение обладает одним формальным недочетом —
агрупповая алгебра не содержит единицы, которая является
6-функцией единичного элемента. От этого легко избавиться,
присоединив к построенной алгебре R единицу, т. е. рассмотрев
® пространстве С®R умножение
(а + х) (Р+у) =ар+ (ау+$х+ху).
Другой путь обобщения понятия групповой алгебры на бес¬
конечные группы применим к счетным группам и связан с рас¬
смотрением рядов вместо функций. Рассматриваются бесконеч¬
ные ряды (например, абсолютно сходящиеся) вида 2aeg, а8бС,
■с законом умножения (3).
Пример 5. Знаменитейший пример некоммутативного
кольца — это алгебра кватернионов Н. Она является алгеброй
.ранга 4 над полем вещественных чисел R и имеет базис 1, i, /, k
с законом умножения:
i2=/2=&2=—1, ij=k, ji=—k, jk=i, kj=—i, ki=j, ik=—/,
т. e. если записать t, / и k по кругу (рис. 10), то произведение
75

двух соседних элементов, взятое в порядке по часовой стрелке»
равно третьему, а против часовой стрелки — ему же с обратным
знаком.
Модулем кватерниона q=a-\-bi-\-cj ~-dk называется
число ! g,|=|/a2H-£2 + c2 + d2»	сопряженным—кватернион.
q=a—bi— cj—dk. Имеют место соотношения
qq=jjq.= \q р, qtf2,= q2qx,	(5>
которые легко проверить. Из них следует, что если q^b О, то
кватернион qrl*= q является обратным к q, т. е. qq~x —
= ГгЯ = 1 • Если q=aArbi-'Tc j -\-dk, то а называется вещест¬
венной частью q, a bi-rcj -{-dk — мнимой; они обозначаются
Re q и Im q. При а=>0 кватернион называется чисто мнимым.
В этом случае он соответствует трехмерному вектору х= (Ь, с„
d). Произведение двух чисто мнимых кватернионов выражается!
через обе основные операции алгебры трехмерных векторов:
скалярное и векторное произведения: (я, у) и [х, у\. Именно,
если чисто мнимые кватернионы р и q соответствуют векторам.
х и уt то Re(pq) = (х, у), a Im (pq) соответствует вектору [х, г/].
Из равенств (5) легко следует, что для кватернионов qx и q?
\Я\Я2\ — \Я\\ | Я21- Это означает, что если а, Ь, с, d и
а1, Ьь сь ^ — произвольные числа, то произведение
{а?+Й2	+ 02) (д2+	+	+	d\)
может быть представлено в виде + Щ + c\-\-d\, где а2, b2, с2 d2,
(коэффициенты при 1, г, / и k у кватерниона qxq^ выражаются,
очень просто через а, Ь, с, d и аь Ьъ съ dx (читатель может эти
выражения легко выписать). Получающееся тождество было»
впрочем, найдено Эйлером задолго до введения кватернионов*
Гамильтоном. Оно полезно» например, при доказательстве зна¬
менитой теоремы Лагранжа о том, что; любое натураль¬
ное число п равно сумме квадратов четырех целых чисел: бла¬
годаря этому тождеству, вопрос сразу сводится к случаю про-
стого числа, п.

Пример 6. Кватернионы содержат поле комплексных чисел
С в качестве элементов вида а+Ы. Любой кватернион одно¬
значно записывается в виде Z\+z2j, zb z2GС. Эта запись
н=сес/	(В)
дает удобное представление кватернионов. При действиях над
записанными в этом виде кватернионами надо только помнить,
что zGС и j не коммутируют. Однако легко проверить, что их
перестановка подчиняется простому правилу:
yz = zy.	(7)
Представление (6) имеет одно важное геометрическое при¬
менение. Рассмотрим пары (qu q2), qu qfiН, отличные от пары
(0,0), и отождествим пропорциональные (слева) пары: (q\, q2)
и (qqь qq2) при q=^0. Мы получим кватернионную проективную
прямую Р1 (Н). Подобно вещественной или комплексной проек¬
тивной прямой, оиа содержит конечную часть — пары {q\, q2) с
<72#0, которую можно отождествить с Н (считая <72=1), и по¬
лучается из нее присоединением бесконечно удаленной точки
(<7ь 0). Это показывает, что Р^Н) как многообразие диффео-
морфно четырехмерной сфере S4. Представляя Н в виде (6) и
полагая qi — zi+z2j, q2=z2+Zij, мы заменим пару {qu q2) чет¬
веркой (zi, z2, 2з, z+), в которой не все z< равны 0. Эти четвер¬
ки, рассматриваемые с точностью до отличного от 0 комплекс¬
ного множителя, образуют трехмерное комплексное проективное
пространство Р3(С). Как Р^Н), так и Р3(С) получались из од¬
ного и того же множества пар (qi, q2), но разными процессами
отождествления. (Эти процессы различаются выбором множите¬
ля пропорциональности: <76 Н в первом и q&С — во втором слу¬
чае.) Так как пары, отождествляемые во втором случае, заве¬
домо отождествляются и в первом, то мы получаем отобра¬
жение
Р3(С)->54.
Это — очень важное в геометрии твисторное расслоение над
сферой S4, слоями которого является некоторое четырехмер¬
ное семейство прямых в Р3(С). Оно дает возможность свести
многие дифференциально-геометрические вопросы, связанные
со сферой S4, к вопросам комплексно аналитической геометрии
пространства Р3(С).
С другими приложениями кватернионов — к изучению групп
ортогональных преобразований трех- и четырехмерного прост¬
ранства — мы познакомимся в § 14.
Кольцо, в котором для любого отличного от 0 элемента а
существует обратный элемент а-1, т. е. такой, что аа-1 = а-1а = 1,
называется телом. Впрочем, достаточно требовать существова¬
ния лишь левого обратного элемента а-1, т. е. такого, что
а-|а=1 (или лишь правого обратного). Если а' — левый обрат¬
77

ный к а и а" — левый обратный к а', то, по ассоциативности*
а"а'о равно и а, и а". Это значит, что аа'=1, т. е. а' является-
и правым обратным. Поле — это коммутативное тело, кватер¬
нионы — первый встретившийся нам пример некоммутативного
тела. Легко проверить, что обратный элемент к данному эле¬
менту в теле существует только один. В теле разрешимо про¬
извольное уравнение ах=Ь при аФО: х=а~хЬ. Для уа=Ь, аФ
ФО, аналогично у=Ьагх.
Стандартные понятия линейной алгебры над полем К пере¬
носятся дословно на случай линейных пространств иад любым
телом D. Отметим только единственное, хотя и формальное, но
существенное различие. Если линейное преобразование <р
«-мерного векторного пространства над некоторым телом за¬
дается в базисе h,..., /„ матрицей (a{j), а ф— матрицей (Ьм),
то преобразование <рф задается, как легко проверить, матрицей.
Си, где
Сц-=^Ьк1с1к.	(8)
k
Иначе говоря, в обычной формуле умножения матриц множи¬
тели меняются местами. (Это можно обнаружить уже на при¬
мере одномерных пространств!)
В связи с этим вводится следующее определение.
Кольца R и R' называются инверсно-изоморфными, если
существует взаимно однозначное соответствие си+а', dQR, a'QR',
обладающее свойствами: из ах++а\ и а^а2 следует ах а^а\ -j-
-|— «2 ^ аха2*-^а^а^.
Если соответствие «<->«' устанавливает инверсный изоморфизм
кольца R с собой, то оно называется инволюцией. Таково соот¬
ветствие а+*а* в кольце матриц М„ (Л) над коммутативным коль¬
цом А (а* — транспонированная матрица) или 2	«gS-1 в
групповой алгебре или q<->q в алгебре кватернионов Н.
Для каждого кольца R существует инверсно-изоморфное ему
кольцо R'. Для этого надо просто в множестве элементов R
сохранить операцию сложения, а произведение элементов а и
b определить как Ьа.
Теперь мы можем описать наш результат, выраженный
формулой (8), так:
I.	Кольцо линейных преобразований «-мерного векторного
пространства над телом D изоморфно кольцу матриц Mn(D')
над инверсно-изоморфным телом D
С учетом этого изменения общеизвестные результаты линей¬
ной алгебры сохраняются для векторных пространств над те¬
лами. Идя дальше, можно определить и проективное простран¬
ство Pn (D) над телом D, и оно тоже будет обладать большин¬
ством привычных нам свойств.
78

Пример 7. Рассмотрим пространство Tr(L) контравариант-
ных тензоров ранга г над я-мерным векторным пространством L
над полем К (ср. определение модуля Та (/И) в § 5). Операция
тензорного умножения определяет произведение ф-ф тензоров
tP67v(Z.) и ф€7'S(L) как тензор из Tr+S(L). Чтобы при помощи
этой операции построить кольцо, рассмотрим прямую сумму
®7V (L) всех пространств Tr(L), состоящую из последовательно¬
стей (Ф0, фц.......), в каждой из которых только конечное чис¬
ло членов отлично от нуля. Сумму последовательностей опреде¬
лим покомпонентно, а произведение (%, Фц...) и (ф0, tft,'...) как
где ЬР= Фгфр-г. Из свойств умножения тензоров.
О<г<р
вытекает, что таким образом мы получаем кольцо. Оно содержит
подпространства Tr(L), г=0, 1,..., и каждый его элемент пред¬
ставляется как конечная сумма
Фо-гФгг.-.+Ф*, Ч,еГ'{Ц.
Элементы Ц>0вТа(Ц=К отождествляются с полем К, так что*
построенное кольцо является алгеброй над К- Оно называется
тензорной алгеброй векторного пространства L и обозна¬
чается Т (L). Разложение Т (L) в сумму всех Тт (Z.) делает алгебру
T(L) градуированной.
Выберем некоторый базис |2> • • •. £я в пространстве Т1 (L) =L.
Известные свойства тензорного умножения показывают, что про¬
изведения
где (ii,—любые наборы по m индексов, каждый из кото¬
рых может принимать значения 1,..., п, образуют базис в
Tm(L). Поэтому все такие произведения (при всех т) образу¬
ют бесконечный базис тензорной алгебры над полем К. Таким,
образом, любой элемент тензорной алгебры представляется как
линейная комбинация произведений элементов ..., при¬
чем разные произведения (отличающиеся также и порядком,
сомножителей) линейно независимы. Ввиду этого алгебру T(L)
называют также алгеброй некоммутативных многочленов от п.
переменных ..,, В таком качестве она обозначается
Kilu... g„>.
Указанная выше характеристика алгебры Т (L) имеет важные,
приложения. Элементы {ха\ (в конечном или бесконечном числе)
называются образующими алгебры R над коммутативным коль¬
цом А, если любой элемент представляется в виде линейной ком¬
бинации с коэффициентами из А некоторых их произведений.
Пусть алгебра R имеет конечное число образующих хи...,хп,
над полем К. Сопоставим любому элементу о.—	-	-
алгебры /С (?i,..., |„ > элемент a.' — '^iail...inXi1...xim алгеб¬
79*

ры R. Легко убедиться, ято в результате мы получаем гомо¬
морфизм
К ( £ц. • • , In )
образом которого является все R. Таким образом, любая алгебра,
имеющая конечное число образующих, является гомоморфным
образом алгебры некоммутативных многочленов. В этом смыс¬
ле алгебры некоммутативных многочленов играют в теории
некоммутативных алгебр такую же роль, как алгебры коммута¬
тивных многочленов в коммутативной алгебре или свободные
модули в теории модулей.
Мы должны опять прервать наш обзор примеров некомму¬
тативных колец, чтобы познакомиться с простейшим методом
их конструкции. Как и в случае коммутативных колец, естест¬
венно обратить внимание на свойства, которыми обладают ядра
гомоморфизмов. Очевидно, что если <р : R-*-R' — гомоморфизм,
то его ядро вместе с элементами а и b содержит и их сумму и
вместе с элементом а содержит как ах, так и ха, где х — любой
элемент кольца R. Мы сталкиваемся с тем, что понятие иде¬
ала коммутативного кольца в некоммутативном случае может
быть обобщено тремя способами: а), б) и в) ниже. Рассмот¬
рим подмножество IaR, содержащее вместе с любыми двумя
элементами их сумму.
а) Если вместе с любым элементом аб/ и любым x&R эле¬
мент ха тоже содержится в /, то / называется левым идеалом.
б)	Если (при тех же условиях) ах содержится в /, то I назы¬
вается правым идеалом, в) Если выполнены одновременно
условия а) и б), то / называется двусторонним идеалом. Таким
образом, ядро гомоморфизма является двусторонним идеалом.
Приведем примеры на эти понятия. В кольце линейных пре¬
образований конечномерного векторного пространства L над те¬
лом D подпространство VaL определяет левый идеал VI, состо¬
ящий из всех преобразований <р, для которых ф(У)=0, и пра¬
вый идеал 1г, состоящий из тех преобразований ф, для которых
ф(/,)сУ. В кольце ограниченных линейных операторов в бана¬
ховом пространстве все вполне непрерывные (или компактные)'
операторы образуют двусторонний идеал.
Совокупность элементов вида ха, x^R, образует левый идеал,
а элементы ау, г/6/?, образуют правый. Для двусторонних идеа¬
лов соответствующая конструкция немного сложнее. Мы приведем
ее сразу в более общем виде. Пусть {аа}—система элементов
кольца R. Все суммы вида xxaaiyi + г xraaryr, xt, y&R, об¬
разуют двусторонний идеал. Он называется идеалом., порож¬
денным системой {Оа).
Совершенно аналогично коммутативному случаю определя¬
ются классы смежности по двусторонним идеалам и кольцо
этих классов. Для него сохраняется прежнее обозначение Rfl
и термин факторкольцо. Например, если R — кольцо ограничен¬
но

ных линейных операторов в банаховом пространстве и / — его
двусторонний идеал вполне непрерывных операторов, то многие
свойства оператора <р зависят только от его образа в R/I. Так,
выполнение альтернативы Фредгольма равносильно тому, что
образ ф в R/I имеет обратный.
Совершенно параллельно коммутативному случаю формули¬
руется и доказывается теорема о гомоморфизмах.
Пусть {фа} — система элементов кольца некоммутативных
многочленов K<h> • • • > 5п> и / — двусторонний идеал, ею порож¬
денный. В алгебре R~K<tu ■ • •,	обозначим	через	щ,...
..., ап образы элементов ..., Очевидно, что они явля¬
ются образующими алгебры R. Говорят, что алгебра R опре¬
делена образующими а\,..., ап и соотношениями фо = 0. Сог¬
ласно теореме о гомоморфизмах любая алгебра с конечным
числом образующих может быть определена некоторой системой
образующих и соотношений. Но в то время как система образу¬
ющих по определению конечна, систему соотношений иногда
конечной выбрать нельзя.
Кольцо коммутативных многочленов К \Хх, ..., х„] опреде¬
ляется соотношениями XiXj = XjXi. Пусть R—кольцо дифферен¬
циальных операторов с полиномиальными коэффициентами от п
переменных Х\, ..., хп. Образующими в этой алгебре являются,
например, операторы qt умножения на х,:
Применим эту конструкцию к построению еще нескольких
важных примеров алгебр. Пусть в re-мерном векторном прост¬
ранстве L задана билинейная симметричная форма, которую
мы обозначим через (х, у). Рассмотрим алгебру, образующие
которой взаимно однозначно соответствуют элементам некото¬
рого базиса пространства L (и обозначаются теми же буква¬
ми), а соотношения имеют вид:
Таким образом, наша алгебра является факторалгеброй тензор¬
ной алгебры T(L) по идеалу /, порожденному элементами
Pi dxf
Легко показать, что она определяется соотношениями:
PiPt=PiPi' Qi4j=*qfln
Pi4j — QiPi при i Ф j, ptqi — QiPi = \-
(9)
ху-тух — (X, у), x, yeL.
(10)
(x, у) —ху—ух.
Мы рассмотрим два крайних случая.
6—9339
81

Пример 8. Пусть билинейная форма (х, у) тождественно
равна 0. Тогда из соотношений (10) следует х2=0 (если харак¬
теристика поля К отлична от 2; в характеристике 2 условие
лс2=0 надо взять за определение). Произвольный элемент
построенной алгебры является линейной комбинацией произведе¬
ний eil...eir векторов базиса пространства L. Легко видеть, что
все такие произведения порождают пространство Ar(L) (ср. опре¬
деление модуля АГ(М) в § 5). Вся же построенная алгебра
представляется в виде прямой суммы
А0 (L)@A1 (£)®... ФА" (L).
Она является градуированной и конечномерной: ее ранг равен 2я.
Эта алгебра называется внешней алгеброй пространства L
и обозначается A(Z.), а умножение в ней обозначается х/\у.
Легко видеть, что если х£А'(L), yBAs(L), то
хАУ—уАх, если или г, или s четно;
хАУ = — У Ах, если и г, и 5 нечетно.
Это можно выразить и по-другому. Обозначим
A(L) = R, А°(£)ФА2(£)©А4(£)©... =/?<>, А1 (£)®А3 (£)©... =/?>-
Тогда
r=ro®r\ ro.ro^ro, RoRCR\ R'ROczR1, Wc/?>. (12)
Разложение со свойствами (12) называется градуировкой по мо¬
дулю 2 алгебры R. Для R = A(L) мы можем сформулировать
условие (8), сказав, что хАу = уАх, если или х, или yQR°, и
хАУ= —уАх, если xQR1 и yQR1. Алгебры, обладающие гра¬
дуировкой по модулю 2 с такими свойствами, называются су¬
пералгебрами. Внешняя алгебра A(L) дает их важнейший при¬
мер. Интерес к теории супералгебр был стимулирован кванто¬
вой теорией поля. С другой стороны, оказалось, что чисто мате¬
матически они представляют собой очень естественное
обобщение коммутативных колец и могут служить основой для
построения геометрических объектов — аналогов проективных
пространств (суперпроективные пространства), дифференциру¬
емых и аналитических многообразий (супермногообразия). Эта
теория применяется в физике к супергравитации, а занимаются
ею суперматематики.
Пример 9. Определение внешней алгебры использовала
базис пространства L (ему принадлежат векторы х в у в фор¬
мулах (8)). Конечно, оно от выбора этого базиса не зависит.
Можно дать совершенно инвариантное (хотя и менее эконом¬
ное) определение, считая, что х и у в равенствах (8) — это все
векторы пространства L. Легко видеть, что мы придем к той же
алгебре. В таком виде определение применимо к любому модулю
М над коммутативным кольцом А. Мы приходим к понятию
внешней алгебры модуля:
82

AM = ©ЛМ-Г.
Г
Если М имеет систему из п образующих, то АГМ=0 при г > rv,
В частности, внешняя алгебра модуля одномерных дифференциаль¬
ных форм Q1 на д-мерном дифференцируемом многообразии назы¬
вается алгеброй дифференциальных форм:
С важными применениями операции внешнего умножения форм,
мы позже встретимся.
Пр и мер 10. Рассмотрим противоположный случай, когда
билинейная форма (х, у) в равенствах (10) невырождеиа и соот¬
ветствует квадратичной форме F (л;), т. е. (х, x)=F (х) (мы.
предполагаем, что характеристика поля К отлична от 2)..
Мы можем рассуждать в этом случае так же, как и в предше¬
ствующем, переставляя в произведении eXl ... сомножители
при помощи соотношения (10). Разница только в том, что при
j < i из произведения etej возникает два слагаемых: содержа¬
щее—е}ег и содержащее (е;, ej), которое дает произведение с г—2:
множителями. В результате мы точно так же доказываем, что,
произведения eXl ... eif, ix < ... < ir образуют базис нашей:
алгебры, так что ее ранг равен тоже 2". Она называется клиф-
фордовой алгеброй векторного пространства L с квадратичной,
формой F и обозначается С (I). Значение ее заключается в том,
что в ней квадратичная форма F становится «квадратом линейной»::
Таким образом, квадратичная форма F становится «полным квад¬
ратом», но с коэффициентами в некоторой некоммутативной,
алгебре. Пусть
тогда согласно (13)	х\-{-	... -|-x^ = (Xjex-{- ... -\-хпеп)2. Вос¬
пользовавшись изоморфизмом между кольцом дифференциальных.
и кольцом многочленов R [хх, ...,х„], мы можем переписать это
соотношение:
Именно идея «извлечения квадратного корня» из дифференци¬
ального оператора 2-го порядка двигала Дираком, когда он ввел:
понятие, аналогичное клиффордовой алгебре, при выводе так.
называемого «уравнения Дирака» в релятивистской квантовой
механике.
Q= Ф Qr.
F (xxei-F • • • Jr xnen) — {x\Si + ... + хпеп)2.	(13)
F{xb ...,xn) = xl+ ... +лг;
■2
л’
операторов с постоянными коэффициентами
6*

Произведения e^.-.et счетным числом сомножителей г
порождают в клиффордовой алгебре подпространство С0, с не¬
четным— подпространство С1. При этом dim С0 = dim С1 ==2П"1.
Легко видеть, что С=С°®С1 и что таким образом определяется
градуировка по модулю 2. В частности, С0 образуют подалгебру
алгебры С. Она называется четной клиффордовой алгеброй.
Сопоставим любому элементу базиса etl... eir алгебры С (L)
произведение et ... etl в обратном порядке. Легко видеть, что
таким образом возникает антиавтоморфизм этой алгебры. Мы
•будем обозначать его а->л*.
Пример 11. Пусть F (хх, x2) = x2l + X%, К = R. Тогда С (L)
имеет ранг 4 и базис 1, еь е2, ехе2, где е\—е\=*\, е2ех =— ехе2.
Легко убедиться, что C(i)^M2(R). Для этого надо положить
с	l+^i р	—р	—Й2 + е1е2	р	1—ei
Си	2—’	Cl2	2	’ С21=	2	’	С22=—2—
и убедиться, что элементы Ец перемножаются по правилу (2).
Изоморфизм алгебры С (L) с М2 (R) сопоставляет е, матрицу
(о — ?)> а «2 —(_i _о)- ТогДа оператор Лапласа ^гг + -^
/У1 о\ а , / 0 —1\ д у
записывается согласно (14) как ((q _ j J -j^-+ j 0) д~у ) :
Если оператор Ю, т.e.jp -S- + (_ j о) ^ действует на
столбец то уравнение	= 0 дает:
да dv	да	dv
дх	ду’ ду	дх	’
т. е. уравнения Коши —Римана.
Пусть теперь F {хх, ..., х2п) = х\ + ... + х\п. Разобьем
индексы 1,...,2л на п пар: (1,2), (3, 4), ..(2л— 1, 2л), обо¬
значим через а, р и т. д. произвольные наборы \iu ..., i„), где ip
принадлежит р-й паре. Если а = (ix, ..., in), Р = (Л, ..., j„),
то положим
Еci$ Еttjt'Еitja.. .Ei^j^i
где Eij выражаются через et и е} как в случае п = 1 выше.
Легко убедиться, что Еа$ опять перемножаются по правилам (2),
т. е. С (Z)^Mj» (R).
Пример 12. Если F (Xj, х2, х3) — х\ + х\ + х\, К = Ч, то
четная алгебра C°(L) изоморфна алгебре кватернионов: ехе2, е2е3
н е,е3 перемножаются по правилам примера 5.
В коммутативном случае поля характеризуются как кольца
•без идеалов (кроме 0). В некоммутативном случае, как обыч¬
но, соотношения усложняются. Совершенно так же, как и в
Ы

коммутативном случае, доказывается, что отсутствие левых
идеалов (кроме 0) равносильно тому, что любой элемент, от¬
личный от 0, имеет левый обратный (удовлетворяющий усло¬
вию а-1а==1), а правые идеалы так же связаны с правыми об^
ратными. Таким образом, тела — это кольца, не имеющие ле¬
вых (или не имеющие правых) идеалов, кроме 0.
Что же дает отсутствие двусторонних идеалов? Кольцо, не
имеющее двусторонних идеалов, кроме 0, называется простым,
Мы увидим дальше их исключительно важную роль в теории
колец, так что их можно наравне с телами рассматривать как
естественное продолжение понятия поля в некоммутативную'
область.
Пример 13. Выясним строение левых идеалов кольца
линейных преобразований «-мерного пространства L над телом D.
Покажем, что ранее приведенная конструкция (идеалы vl и /ц)
все их описывает. Ограничимся левыми идеалами. Пусть /с/? —
такой идеал и VaL — подпространство, состоящее из всех xQL,
для которых Ф(х) = 0 для всех Ф6/. Если Ф15 ..., Фй —базис Г
как векторного пространства над D, то П Кег Ф; = V. Легко'
видеть, что если для Ф6/? ядро КегФ = 1/, то в виде фф, ipER,
может быть представлено любое преобразование ф', для которого
КегФ'зИ. Отсюда легко следует, что если Ф! и Ф26/, то в /
содержится преобразование Ф с Кегф = КегФ1ПКегФ2. Применяя
это замечание к преобразованиям фг, ..., фй, мы находим в Г
элемент ф, для которого КегФ = 1Л а отсюда получаем (по
предыдущему), что все преобразования Ф с ф(1/)=0 содержатся
в /, т. е. / = {Ф; Ф(И) = 0} = ^7. Правые идеалы рассматриваются
аналогично. Пусть, наконец, 7 — двусторонний идеал. Как левому
идеалу ему соответствует некоторое подпространство V, так что
/ = {Ф, Ф(И)=0}. Возьмем xQV, хфО. Для Ф6/ имеем ф(х) = 0.
Так как / — правый идеал, то для любого фб/? имеем ффб/ и,
значит, ф(ф(х)) = 0. Но в качестве ф(х) можно получить любой
вектор L, так что / = 0. Таким образом, кольцо R, изоморфное
AIn(D), просто.
Другим примером простого кольца является кольцо R диф¬
ференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами.
Для уяснения основной идеи, положим л=1. Интерпретируя р
(1
как оператор ^-р легко проверить соотношение
pf{q)—f(,4)p=f'{q)-
Если 2)=Щ((ц)р* содержится в двустороннем идеале / и 2)ф
фО, то, образуя несколько раз выражения р2)—2)р, мы най¬
дем в I элемент А, являющийся ненулевым многочленом от р с
постоянными коэффициентами: A=g(p). Так как в соотноше¬
нии (9) р и q равноправны, то имеет место соотношение
g(p)q—qg{p)=g'(p)- Составляя несколько раз такие выраже?
ния, мы найдем в / отличную от 0 константу. Значит, /==/?.
85

(Для справедливости этих рассуждений надо предположить,
"что характеристика поля коэффициентов равна 0.)
Пр и мер 14. Близкими к простым являются клиффордовы
алгебры С (L) и С0 (L) для произвольного пространства L, снабжен¬
ного квадратичной формой F (мы предполагаем, что характеристи¬
ка основного поля 7^=2). Нетрудно проверяются следующие
результаты. Алгебра С (L) проста, если /г = 0(2) (tt = dimZ,),
и тогда Z (С (L)) = К. Алгебра С0 (L) проста, если я = 1(2),
и тогда Z (С0 (L))=К. Оставшиеся случаи связаны со свойствами
элемента z=el.. .еп^С (L), где еъ ..., еп — ортогональный базис
в L. Легко убедиться, что z содержится в центре алгебры C(L)
при ft=l(2) и алгебры C°(Z), если п = 0(2), и в обоих случаях
центр этих алгебр имеет вид K+Kz. При этом z2=a£K,
a = (—l)"l2D, или а = 2(— 1)('!—1)/2D в зависимости от того,
четно п или нет. D обозначает дискриминант формы F в базисе
■elt	Если	а	не есть квадрат в К, то K^-Kz=K(У^) и
соответствующая алгебра проста с центром К (Уа). Если же а
есть квадрат, то алгебра K-\-Kz изоморфна К® К и соответ-
твующая клиффордова алгебра изоморфна прямой сумме двух
;ростых алгебр одинакового ранга с центром К.
§ 9. МОДУЛИ НАД НЕКОММУТАТИВНЫМИ КОЛЬЦАМИ
Модуль над произвольным кольцом R определяется так же,
как и в случае коммутативных колец: это такое множество М,
что для двух его элементов х, у£М определена сумма х+у^М и
для элемента хбМ и элемента кольца abR определено произве¬
дение ax&R, причем выполнены условия (для всех х, у, z, а, b):
х+У = У + х;
(-Ж-Т-y)-rZ = x + (y + z)\
существует такой элемент ОбМ, что
0+х=х+0=х;
существует такой элемент — х, что
х+ (^х) =0;
1 -х = х;
(.ab)x=a(bx);
(а + Ь)х=ах + Ьх-,	'
а(х-{-у)=ах -\-ау.
Точно так же, понятия изоморфизма, гомоморфизма, ядра,
образа, фактормодуля, прямой суммы — не зависели от пред-
лоложения коммутативности. Кольцо R является модулем над
самим собой, если положить произведение а (как элемента
>86

кольца) на х (как элемент модуля) равным ах. Подмодулями
этого модуля являются левые идеалы кольца R. Если / — ле¬
вый идеал, то классы вычетов по / образуют модуль R/I над
кольцом R. Умножение элемента х (как элемента модуля) на
а (как элемента кольца R) справа не определяет модуля над
кольцом R. Действительно, если временно обозначить это произ¬
ведение как {ах}=ха (слева — как в модуле, справа — в коль¬
це), то {(ab)x) = {6{ах}} — в противоречии с аксиомой (1). Мы
можем, однако, сказать, что таким образом R становится мо¬
дулем над инверсно-изоморфным кольцом R'. В этом модуле
над R’ подмодули соответствуют правым идеалам кольца R.
Наиболее существенные примеры модулей над некоммута¬
тивными кольцами — это, во-первых, кольцо и его идеалы как
модули над кольцом. Мы вскоре увидим, насколько рассмотре¬
ние этих модулей полезно для изучения самих колец. Во-вто¬
рых, многочисленные модули над групповыми кольцами — их
изучение является предметом теории представлений групп, о ко¬
торой будет подробнее сказано позже.
Если кольцо R является алгеброй над полем К, то всякий
модуль М над R автоматически является векторным простран¬
ством (может быть, бесконечномерным) над этим полем. Акси¬
омы модуля показывают, что для любого a£R отображение
Фв(х) =ах (х£М) является линейным преобразованием этого
пространства. Более того, сопоставление элементу а линейного
преобразования <р„ является гомоморфизмом алгебры R в ал¬
гебру EndKM всех линейных преобразований М как векторного
пространства над К. Очевидно, что и обратно, гомоморфизм
Z?->-EndKL, а <-*■ ф»,
в алгебру линейных преобразований векторного пространства L
определяет L как модуль над R\
ах = Ча(х), a^R, х£L.	(2)
В такой ситуации иногда применяется терминология, несколько
отличающаяся от принятой в общем случае. Ввиду особой важ¬
ности этого специального случая мы повторим, в новой терми¬
нологии, основные определения, данные выше в общем случае.
Переформулировка определения модуля.
Представлением, алгебры R над полем К в векторном прост¬
ранстве L над этим полем называется гомоморфизмом R в ал¬
гебру EndKL линейных преобразований этого пространства.
Иными словами, представление R — это сопоставление каж¬
дому элементу a&R линейного преобразования ф0, причем это
сопоставление должно удовлетворять условиям:
Ф!=Я (единичное преобразование);	(3)
Фаа = сбФа, «€К, aeR;	(4)
Ф«+4 = Фв+%, а, b£R;	(5)
87

Фаб = ФаФб, a, beR.
(6)
Переформулировка определения подмодуля.
Подпредставлением называется подпространство VczL, инвари¬
антное относительно всех преобразований ф„, aGR, вместе с ин¬
дуцированным в нем этими линейными преобразованиями пред¬
ставлением М.
Переформулировка определения фактормо-
дуля. Факторпредставлением по подпредставлению VaL на¬
зывается пространство L/V с представлением, индуцированным
в нем преобразованиями ф„.
Если R — алгебра конечного ранга над полем К с базисом
1=е1,...,е„ и таблицей умножения eiej=Hcijkek, то условия
(3) —(6) в определении представления сводятся к заданию преоб¬
разований Фг,, ..., Феп, удовлетворяющих соотношениям
Если R=К [С?] — групповая алгебра конечной группы G,
то условия (7), (8) принимают вид;
Условия (9) — (10) гарантируют обратимость всех преобразо¬
ваний.
Если группа G бесконечна и групповая алгебра определена
как совокупность линейных комбинаций элементов группы (ср.
пример 4 § 8), то представление задается теми же условиями
(10). Если же групповая алгебра определяется как алгебра
функций на группе с операцией свертки, то элементы группы
G в ней содержатся лишь как б-функции, поэтому операторы ф*
могут не существовать. С другой стороны, если заданы опера?
торы ф8, удовлетворяющие соотношениям (9) и (10), то опера¬
тор ф/, соответствующий: функции f, можно определить как ин¬
теграл операторной функции f(g)ф„ по всей группе. Поэтому
для представлений групп условия (9) и (10) дают больше, чем
условия (3)—(6) для групповой алгебры, и за определение
представления группы берутся соотношения (9) и (10).
Если модуль М, в котором реализуется представление ал¬
гебры R, конечномерен над полем К, то представление назы¬
вается конечномерным. В этом случае линейные преобразования
ф0 задаются (при выборе базиса в М) матрицами. Переформу¬
лируем основные понятия теории представлений еще раз, на
этом языке.
Конечномерное представление алгебры R — это гомомор¬
физм R-*~Mn(K), т. е. сопоставление каждому элементу aGR
матрицы С06Л1п(/(), удовлетворяющее условиям:
9i=£,
ФггФг; = 2^Ф,А.
(7)
(8)
ф i=£,
Фгш = Ф.?1Фг2-
(9)
(10)
88

Cab— СаСь.
В случае представления группы G эти условия заменяются на
Се=Е,
Переформулировка понятия изоморфизма моду¬
лей. Два представления а-+Са и а -+С’а эквивалентны, если
существует такая невырожденная матрица Р, что С'а=РСаР~1
для всех авР-
Переформулировка понятия подмодуля. Пред¬
ставление а-+Са имеет подпредставле ние a-+Da, если
существует така? невырожденная матрица Р, что матрицы
С'а=РСаР-х имеют вид:
с;=(о "£)•	(»>
Переформулировка понятия фактормодуля.
Матрица Fa образуют факторпредставление по данному под-
представлению.
Переформулировка понятия прямой суммы
модулей. Если в (11) 5„=0, то представление С„ называет¬
ся прямой суммой представлений Da и Fa.
Рассматривая, в частности, алгебру Р как модуль над ней
самой, мы получаем важное представление этой алгебры. Оно
называется регулярным, представлением. Если алгебра имеет
конечный базис еъ ..., еп со структурными константами cijk, то
элементу агег +...	в регулярном представлении соответ¬
ствует матрица (pjk), где Pjk = ^cikjщ.
i
Мы возвращаемся к модулям над произвольным кольцом R
(необязательно алгеброй) и рассмотрим важное условие, име¬
ющее характер «конечномерности». Оно связано с определени¬
ем размерности векторного пространства как наибольшей дли¬
ны цепочки его подпространств.
Длиной модуля М над кольцом R называется верхняя грань
длин г цепочек его подмодулей:
M=M0Z)MlZ)... з/Иг = 0, МлфМи1.
Разумеется, длина модуля может быть как конечной, так и
бесконечной. Рассмотрим модуль конечной длины г и в нем
самую длинную цепочку	... Z)Mr = 0. Если модуль
MtjMt+i имел бы подмодуль N, отличный от всего модуля
и нулевого подмодуля, то, его прообраз М' при кано¬

ническом гомоморфизме Mt ->Mi/AIi+l был бы подмодулем,
Мг+1. Вставив его в нашу цепочку, мы
получили бы более длинную. Поэтому такого подмодуля в
Mi/Mi+i быть не может. Мы приходим к очень важному поня¬
тию.
Модуль М называется простым, если он не имеет подмоду¬
лей, отличных от него и 0.
Представление алгебры (группы), которому соответствует
простой модуль, называется неприводимым.
Простота — очень сильное условие.
Пример 1. В случае векторных пространств над полем
простыми являются лишь одномерные.
Пример 2. Пусть L — конечномерное векторное простран¬
ство с заданным в нем линейным преобразованием ф, рассмат¬
риваемое как модуль над кольцом С[(] (пример 3 § 5). Так как
Ф всегда имеет собственный вектор и, значит, одномерное инва¬
риантном подпространство, то опять модуль L прост, только ес¬
ли L одномерно.
Пример 3. Рассмотрим кольцо R как модуль над самим
собой. Простота этого модуля означает, что в R иет левых иде¬
алов, т. е. R является телом.
Пусть М и N — два простых модуля и ф : M-+-N — гомомор¬
физм. По условию, Кегф = 0 или М, и 1тф = 0 или N. Если
Кегф=-М, или 1шф = 0, то ф — нулевой гомоморфизм. В остаю¬
щемся случае Кегф = 0, 1тф = Л/', гомоморфизм <р является изо¬
морфизмом. Таким образом, имеет место
I. Лемма Шура. Гомоморфизм одного простого модуля в
другой является нулевым или изоморфизмом. ►
Вернемся к понятию длины. Мы видели, что если М—модуль
длины г, то в цепочке AI=M0nMiZ)... з/Иг = 0 с Mt=AMi+1
все модули	должны быть простыми.
Последовательность подмодулей /И = М0 э Mi э M2Z)...,
в которой модули Mi/Мщ просты, называется композиционным
рядом.
Имеет место
II. Теорема Жордана — Гёльдера. Все композици¬
онные ряды одного и того же модуля имеют одинаковую длину
(в частности, они все одновременно конечны или бесконечны).
Модули M{/MiJr 1 в них изоморфны, хотя, может быть, в другом
порядке. ^
Таким образом, в модуле конечной длины самые длинные
цепочки—это в точности композиционные ряды.
Распространим понятие длины и на кольца.
Длиной кольца R называется его длина как модуля над
самим собой.
Таким образом, кольцо имеет длину г, если в нем есть
цепочка левых идеалов RzdIx^d. .. э/г = 0, R=£Iх, /ft=£/*+i>
и нет более длинных цепочек.
90

Мы уже видели, что тела—это кольца длины 1. Левые
идеалы кольца матриц Mn(D) над телом D соответствуют ли¬
лейным подпространствам /г-мерного пространства L над ин¬
версно-изоморфным телом D' (пример 13 § 8). Поэтому длина
кольца M„(D) равна п.
Конечно, если кольцо R является алгеброй над полем К, то
длина R не превосходит ее ранга над К.
Модуль конечной длины конечно порожден (или, что то же
самое, является модулем конечного типа), аналогично такому
же свойству нётеровых модулей в случае коммутативных колец.
Если кольцо R имеет конечную длину, то длина любого ко¬
нечно порожденного модуля над ним тоже конечна. Это следу¬
ет из того, что если элементы Хи ..., хп порождают модуль М,
то М является гомоморфным образом модуля Rn (при гомомор¬
физме (дь ..., an)-*-aiXi+ ... + а„х„) и имеет конечную длину
как фактор модуля конечной длины.
В заключение, рассмотрим подробнее понятие, встречавше¬
еся нам часто в теории модулей над коммутативным кольцом.
Гомоморфизм модуля М (над кольцом R) в себя называет¬
ся эндоморфизмом.
Очевидно, что все эндоморфизмы модуля образуют кольцо.
Оно обозначается Епбл(Л4).
Важное отличие от коммутативного случая заключается в
том, что нет возможности определить умножение эндоморфиз¬
ма <p6EndH(M) на элемент a£R: отображение х-»-аф(х), вообще
говоря, не является эндоморфизмом над R, т. е. умножение эн¬
доморфизмов на элементы из R в кольце EndH(M) не опреде¬
лено.
Пример 4. Рассмотрим кольцо R как модуль над самим
собой. Каково кольцо эндоморфизмов EndH(i?) этого модуля?
По определению, эндоморфизмы — это отображения ф кольца
R в себя, удовлетворяющие условиям:
Ф (JC г/) = Ф (->с) -4- Ф (г/), ф(ад:) = аф(л-), где а, х, y£R. (12)
Полагая ф(1)=/, мы получаем из (12) при х=\, что ф(а) =
= af для любого a&R. Таким образом, любой эндоморфизм за¬
дается элементом f£R и имеет вид умножения на этот элемент
•справа. Отсюда следует, что кольцо EndH(7?) инверсно-изо¬
морфно кольцу R.
Пример 5. Пусть модуль М изоморфен прямой сумме п
изоморфных друг другу модулей Р: М~Рп. Тогда М состоит
из последовательностей (xi,..., хп), х&Р. Ситуация точно та
же, что и при описании линейных преобразований векторного
пространства, и ответ вполне аналогичен. Пусть
<PeEnd* (М), х£Р,
ф((0, ... х, ... 0)) = (фа(х), ..., фг„(*))
91

(слева х стоит на г-ом месте). Здесь г|у;-— гомоморфизмы Р в Р,
т е. фг/-бЕпбЛ (Р). Сопоставив Ф матрицу (-ф/;) с элементами
из кольца Ends (Я), мы получим изоморфизм
Ends (Рп)—Мп (Ends (Р))*
В частном случае, когда Р — это тело D (как модуль над
собой), мы приходим (учитывая результат примера 4) к уже
найденному выражению для кольца линейных преобразований
над телом (теорема I § 8).
Пр им ер 6. Кольцо Епбн(Л4) эндоморфизмов простого мо¬
дуля М является телом. Это — непосредственное следствие
утверждения 1.
§ 10. ПОЛУПРОСТЫЕ МОДУЛИ и кольца
Теория модулей над некоммутативными кольцами и исследо¬
вание структуры самих колец могут быть продвинуты далеко
за рамки общих определений и почти очевидных свойств, изло¬
женных в предшествующем параграфе, если ограничиться объ¬
ектами, обладающими сильным, но в то же время часто встре¬
чающимся свойством полупростоты.
Модуль М называется полупростым, если любой его подмо¬
дуль выделяется прямым слагаемым.
Это условие означает, что для любого подмодуля NczM су¬
ществует такой второй подмодуль N'czM, что M=N®N'.
Очевидно, что подмодуль, гомоморфный образ и прямая
сумма полупростых модулей полупростоты. Простой модуль
полупрост. Любой модуль конечной длины содержит простой
подмодуль. Поэтому полупростой модуль конечной длины яв¬
ляется прямой суммой простых. Из теоремы Жордана—Гёльде-
ра следует (или еще проще может быть выведено из теоремы I
§ 9), что разложение полупростого модуля в сумму простых
единственно (т. е. простые слагаемые определяются однозначно
с точностью до изоморфизма). Число этих слагаемых и является
длиной модуля.
Если РсМ — простой, a NczM—любой подмодуль, то или
P<zN, или Р Г\ N — 0- Отсюда следует:
I.	Если модуль порождается конечным числом простых под'
модулей, то он полупрост и имеет конечную длину. ►
Действительно, если простые подмодули Р15 ..., Рп порож¬
дают М и N а М, но N=fcM, то существует P^N. Тогда
Pi f)N —0 и подмодуль, порожденный Р. и N, изоморфен их
прямой сумме Pi®N... Применяя то же рассуждение к нему, мы
в несколько шагов дойдем до разложения M=N®N'.
Пример 1. Пусть М — это конечномерное векторное про¬
странство L с линейным преобразованием <р, рассматриваемое
как модуль над Щ] (пример 3 § 5). Если модуль' М прост, то
92

пространство L одномерно (пример 1 § 9). Поэтому М полу-
прост тогда и только тогда, когда L представляется как прямая
сумма одномерных инвариантных подпространств, т. е. когда ф
приводится к диагональному виду. И в общем случае смысл
полупростоты близок к «отсутствию жордановых клеток».
Пример 2. Пусть М соответствует конечномерному пред¬
ставлению Ф алгебры R над полем С. Предположим, что в М
(как векторном пространстве над С) определено эрмитово скаляр¬
ное произведение (х, у) и представление Ф обладает свойством:
для любого a(zR существует такое a'ER, что Фд = ФД' (ф* обоз¬
начает сопряженное преобразование). Тогда модуль М полупрост.
Действительно, если NaM—подпространство, инвариантное
относительно преобразований Фа, adR, то его ортогональное
дополнение N' будет инвариантно относительно преобразований
ф*а, т. е., ввиду условия, всех преобразований Фа. Поэтому
М = N®N'.
Пример 3. Пусть М соответствует конечномерному пред¬
ставлению ф группы G над полем С, и опять в нем определено
эрмитово скалярное произведение, относительно которого все
операторы фг, g&G, унитарны, т. е.
(Фг(х), фй(у)) = (х, у).	(	)
Тогда модуль М полупрост.
Доказательство то же, что и в примере 2.
Понятие полупростоты распространяется и на бесконечномер¬
ные представления групп с тем изменением, что М как вектор¬
ное пространство над С считается снабженным топологией или
нормой, а подмодуль N предполагается замкнутым. В частно¬
сти, если в ситуации примера 3, М является гильбертовым про¬
странством относительно эрмитова произведения (х, у), то
рассуждение сохраняет силу.
Пример 4. Конечномерное представление над полем С
конечной группы G определяет полупростой модуль.
Ситуация может быть сведена к предшествующему примеру.
Введем в модуле М (рассматриваемом как векторное простран¬
ство над полем С) произвольное эрмитово скалярное произве¬
дение {х, у), а потом положим
(X,	(2)
I g£G
где сумма распространена на все элементы g группы G и |G|
обозначает число элементов G. Легко видеть, что произведение
(х, у) удовлетворяет условиям примера 3.
То же рассуждение можно приспособить к представлениям
над произвольным полем.
Пример 5. Если порядок п конечной группы не делится на
характеристику поля К, то любое конечномерное представление
этой группы над полем К определяет полупростой модуль.
93

Пусть М — пространство, в котором действует представление
Ф„, и NdM — подмодуль. Выберем произвольное подпростран¬
ство N' так, что M = N@N' (как векторное пространство). Обо¬
значим через я' проектирование на N параллельно N', т. е.
если х=у+у', хбМ, y£N, у'Ш', то п'(х)=у. Рассмотрим линей¬
ное преобразование
*=4-2ф*1л'ф*-	<3>
г£в
Легко проверить, что iiMaN, кх=х при jcGN и <ргя = гарг для
gbG. Отсюда следует, что я является проектированием на К
параллельно подпространству iVi = Kent и Nx инвариантно отно¬
сительно для всех <pg, g$G, т. е. определяет подмодуль NxczMr
для которого M=N®Ni.
Перенесем понятие полупростоты с модулей на кольца.
Кольцо R называется полупростым, если оно полупросто как
модуль над собой. Из примеров 4 и 5 следует, что групповая
алгебра конечной группы G над полем К полупроста, если по¬
рядок группы не делится на характеристику поля.
II. Простое кольцо R (см. § 8) конечной длины полупро-
сто. ►
Действительно, рассмотрим подмодуль / в R, порожденный
всеми простыми подмодулями. Из конечности длины R следует,
что I порождается конечным числом подмодулей: Ри ..., Рп.
Очевидно, I — левый идеал кольца R. Но I является и правым
идеалом, так как для a£R Pta является левым идеалом и прос¬
тым подмодулем, т. е. Р,дс:/ и, значит, /дед/. Так как кольцо R
просто, то /=Р, т. е. R порождается простыми подмодулями Р,
и полупросто ввиду предложения I.
Теория модулей над полупростыми кольцами имеет очень,
явный характер.
III. Если R — полупростое кольцо конечной длины и
R^Px®...®Pn
— разложение его (как модуля над собой) в прямую сумму
простых подмодулей, то Р,- (1 С г <д)— единственные простые
модули над R. Любой модуль конечной длины полупрост и яв¬
ляется прямой суммой некоторых из модулей Рг. ►
Действительно, если AI — любой модуль, а хх, ..., xk — неко¬
торые его элементы, то определен гомоморфизм
/ ((ац ..., д*.)) =	-j-...
Из конечности длины М следует, что при некотором выборе
элементов jci, ..., х* образ Im / = М. Таким образом, М—гомо¬
морфный образ полупростого модуля и, значит, полупрост. Если
М прост, то, записав Rk как Pi®...®P«, мы увидим, что
/ (Ру)=0, если Рj ие изоморфно М, а значит, при некотором г,
Pt изоморфно М.
94

4 В частности, мы видим, что над полупростым кольцом
конечной длины имеется только конечное число простых модулей
(с точностью до изоморфизма). ►
Приступаем к описанию структуры полупростых колец ко¬
нечной длины. Такое кольцо как модуль над собой разлагается
в прямую сумму простых подмодулей:
R = Pl®...®Pk.	(4>
В этом разложении сгруппируем вместе слагаемые, изоморфные
друг другу как модули над R:
R = (Л© • • • ©Р*,)©(/\+1©... ©/>*,+*.)©...
.. .®(Pkt+...+kp__i+1®.. .©P*1+...+fe/?)=/?i®/?2®- • ■©Rp,	(5>
R1=Pbt+...+ki_l+1©. ■ .©Р*,(6).
причем в (6) все простые модули Р} (k^	-г ki-1 <С j• • •
...-{-ki) изоморфны друг другу, а модули Рр входящие в раз¬
ные слагаемые Ra и R$, не изоморфны.
Любой простой подмодуль PczR изоморфен одному из Рат
откуда нетрудно вывести, что он содержится в том же Rh что
и Ра. В частности, модуль Раа при a(*R изоморфен Ра и, зна¬
чит, PafldRi, если РаczRi. Иными словами, Rs не только левые
идеалы (каковыми они являются как подмодули), но и правые,.,
т. е. они являются двусторонними идеалами. Отсюда следует, что.
RiRjCRi и RiRjdRj и, значит, RiRj=0 при 1ф). Легко,
видеть, что компоненты единицы 1 в разложении (5) являются
единицами колец Rt, так что мы имеем разложение в прямую,
сумму колец
Здесь Ri определены совершенно однозначно: каждое из них:
порождено всеми простыми подмодулями модуля R, изоморф¬
ными друг другу.
Рассмотрим теперь одно из колец Rf. Для него разложение.
(6) удобно переписать как
Rl = Pi,1®Pl,2®...®Pi.9l,
где простые подмодули	все	изоморфны друг другу, т. е..
Ri—Ni‘, где TV* —какой-то модуль, изоморфный всем Pitj, j =
= 1, ..<Ji-
Найдем кольцо эндоморфизмов этого модуля над R. Так как:
RsRi = ® ПРИ s¥=i> то End# (/?;) = End#. (Rt), и, значит, изо¬
морфно кольцу Ri, инверсно-изоморфному R (пример 4 § 9).
С другой стороны, ввиду примера 3	§	9, End# (Ri) —
—M4i (End#(iVi))> a End#(7Vj) является телом D£ (пример 6 § ?}._
Поэтому R'l = Mqi(Di) и
95*

(D't)-
(7)
Мы видели (пример 13 § 8), что кольцо Mq(D) просто, и, зна¬
чит, кольца R{ в (7) просты. Соединяя разложение (5) с изо¬
морфизмом (7), мы получаем следующую основную теорему.
IV. Теорема Веддербёрна. Полупростое кольцо конеч¬
ной длины изоморфно прямой сумме конечного числа простых.
Простое кольцо конечной длины изоморфно кольцу матриц над
некоторым телом. ►
Мы видели, что, наоборот, кольцо Mq(D) (где D—тело) —
просто (пример 13 § 8) и легко видеть, что прямая сумма
полупростых колец полупроста. Поэтому теорема Веддербёрна
полностью описывает объем класса полупростых колец:, это
прямые суммы колец матриц над телами. Как частный случай
получаем:
V. Коммутативное кольцо конечной длины полупросто тогда
и Только тогда, когда оно есть прямая сумма полей. &■
Для произвольного полупростого кольца /? коммутативным
является его центр Z (/?). Легко видеть, что Z {Ri®R2)~Z (/?0ф
.4 Поэтому центр полупростого кольца изоморфен прямой
сумме полей и число прямых слагаемых центра равно числу пря¬
мых слагаемых кольца при его разложении (5) в прямую сумму
простых. ^
В частности,
VI.	Полупростое кольцо конечной длины просто тогда и толь¬
ко тогда, когда его центр —поле. ^
Проиллюстрируем теперь общую теорию на основном примере
кольца Мп (D). В примере 13 §8 мы видели как выглядят левые
идеалы кольца R=Mn(D), где D — тело. Любой левый идеал
этого кольца имеет вид у1 ={аб7?> aV = 0}, где а рассматривает¬
ся как линейное (над D') преобразование «-мерного векторного
пространства L над телом D', а V — некоторое его линейное под¬
пространство. Простые подмодули соответствуют минимальным
идеалам. Очевидно, если VaV, то ylzDyl. Поэтому мы полу¬
чим минимальный идеал yl, если за V возьмем п — 1-мерное
подпространство в L. Выберем в L некоторый базис е1,...,еп и
обозначим через Vt пространство векторов, у которых г-ая коор¬
дината в этом базисе равна 0. Идеал у I состоит из матриц,
у которых только i-й столбец отличен от 0. Разложение
R—N-i®.. ■ ®Nn соответствует разложению матрицы
При умножении матрицы слева на произвольную матрицу i-й
столбец преобразуется точно так же, как вектор из L. Таким
®Z(/?2) и Z(Mn(D))~Z{D).
(
(70
96

образом, все идеалы N,i изоморфны как модули над R, и изо¬
морфны L. Это и есть единственный простой модуль над R.
В случае произвольной полупростой алгебры R конечной
длины положение лишь немного сложнее. Если R разлагается
в прямую сумму р колец матриц
/? = МП1 (А)© • • • ®Мпр {Dp),
то оно имеет р простых модулей Nu..., Np причем Nt есть
йгмерное векторное пространство над телом D\ и R действует
на Nt так: Mnj{Dj) при j ф i аннулирует Ni, а матрицы из
МП{ (Dt) действуют так, как положено матрице действовать на
вектор.
Оставшаяся часть этого параграфа посвящена примерам и
применениям изложенной теории.
Вернемся к произвольному простому кольцу конечной дли¬
ны, которое согласно теореме Веддербёрна изоморфно кольцу
матриц Mn(D) над некоторым телом D. Мы привели описание
левых идеалов этого кольца: они находятся во взаимно одно¬
значном соответствии с подпространствами «-мерного простран¬
ства над телом D', причем это соответствие отражает и вклю¬
чение (с обращением порядка: Vic=V2 тогда и только тогда,
когда £ 1^>уг1)- В какой мере все кольцо (т. е. тело D и число
«) отражаются в этом частично упорядоченном множестве?
Множество линейных подпространств «-мерного пространства
над телом D совпадает с множеством линейных подмногообра¬
зий «—1-мерного проективного пространства Pn-1(D) над этим
телом. Таким образом, наш вопрос — это, по-существу, вопрос
об аксиоматике проективной геометрии. Напомним его решение.
(Приводимые ниже аксиомы зависимы; мы выбрали их ради
большей интуитивной убедительности.)
Пусть — частично упорядоченное множество, т. е. в нем
для некоторых пар элементов (х, у) определено отношение
xt£Zy, удовлетворяющее условиям: а) если х^.у и y^z, то
^z, и б) х^.у и у^х, если и только если х=у.
Предположим, что выполнены следующие аксиомы:
1. Для любого множества элементов	существует	такой
элемент у, что у> ха при всех а и, если 2 > ха при всех а, то
z>y. Элемент у называется суммой элементов ха и обозна¬
чается и ха. В частности, существует сумма всех х6?Р («все про¬
ективное пространство»). Он обозначается I или /($).
2. Для любого множества элементов ха6ф существует такой
элемент у', что у' < ха при всех а и, если z' < ха при всех а,
то z'<y'. Элемент у' называется пересечением элементов ха
и обозначается П ха. В частности, существует пересечение всех
элементов хбф («пустое множество»). Он обозначается О или
О (ф)-
7—9339
97

Дальше через х/у, где х и убф, у<х, мы будем обозначать
частично упорядоченное множество таких элементов .гбф, что
y<z-*cx. Очевидно, что условия 1 и 2 выполнены в х/у для
любых х я у.
3. Для любых х и убф и а£х/у существует такой элемент
Ь^х/у, что аи6 = /(л:/у) и af\b = 0(x/y). Если b'Qx/у—дру¬
гой элемент с теми же свойствами и 6<6Л, то b — b'.
4. Конечность длины: длины всех цепочек aj^a2^ ... ^ar
ai^=a2, а2Фа3,..., ar_i^ar ограничены.
Элемент a€# называется точкой, если из Ь^а, Ьфа следует
6=0.
5. Для двух различных точек а и 6 существует такая точка
сфа, сФЬ, что c^aljb.
Частично упорядоченное множество, удовлетворяющее усло¬
виям 1—5, называется проективным пространством. Доказы¬
вается, что максимальная длина цепочки, начинающейся в О и
кончающейся в абф, определяет функцию размерности d(a),
которая удовлетворяет соотношению
d (а П 6) -f d (а и Ь)=d (а.) + d (6).
Число d(I) называется размерностью пространства ф. Приме¬
ром п-мерной геометрии является множество Pn(D) всех ли¬
нейных подпространств л+ 1-мерного векторного пространства
над телом D.
Имеет место
VII. Основная теорема проективной геомет¬
рии. а) при п^2 проективное пространство РП(Д) (как ча¬
стично упорядоченное множество) определяет число п и тело D
и б) если размерность п проективного пространства ф не мень¬
ше трех, то оно изоморфно (как частично упорядоченное множе¬
ство) пространству Р"(Ь) над некоторым телом £>.►
Доказательство основано на искусном введении координат
(т. е. «коордииатизации») проективного пространства, идею ко¬
торого можно усмотреть уже в «исчислении отрезков» на пло¬
скости (ср. рис. 5 и 6 в § 2). Как и в том исчислении, множе¬
ство элементов, которые служат в качестве координат, строит¬
ся довольно просто. В нем определяются операции сложения и
умножения, но трудной задачей является проверка аксиом тела.
Ключевым здесь является утверждение, известное под названи¬
ем «теоремы Дезарга»:
VIII. Т еорема Дезарга. Если прямые, соединяющие
соответственные вершины двух треугольников ABC и А'В'С
пересекаются в одной точке О, то точки пересечения соответ¬
ственных сторон лежат на одной прямой (рис. 11). ►
98

о
Рис. 11
Однако это утверждение может быть выведено из аксиом;
проективного пространства, только если размерность простран¬
ства ^3. В размерности 2 (т. е. на плоскости) оно из аксиом,
не следует, и не всякая проективная плоскость изоморфна.
Р2 (Я). Чтобы это было так, необходимо и достаточно выполне¬
ние указанного предложения, которое надо добавить в качестве-
дополнительной аксиомы — аксиомы Дезарга.
Приведенные результаты характеризуют роль совершенно»
произвольных тел в проективной геометрии: они дают возмож¬
ность явно перечислить все неизоморфные реализации системы;
аксиом л-мерной проективной геометрии (при л=2 — с аксио¬
мой Дезарга). Естественно, что алгебраические свойства,
тел проявляются как геометрические свойства соответствующей)
геометрии. Например, коммутативность тела D эквивалентна
справедливости в пространстве РП(Я) (л^2) следующего»
условия:
IX.	«Теорема» П а п п а. Если вершины шестиугольника
Р\Р2Р\ЧЧ лежат по три на двух прямых, то точки пере¬
сечения противоположных сторон (PiP2 и Я4Я5, Я2Я3 и Я5Я6,.
Я3Я4 и Я6Я0 лежат на одной прямой- (рис. 12). ►
Рис. 12
7*
33>

То что тело D имеет характеристику 2, равносильно акси¬
оме:
X.	Аксиома Фан о. Точки пересечения противоположных
сторон АВ и DC, AD и ВС, АС и BD плоского четырехугольника
ABCD лежат на одной прямой.
На рис. 13 это свойство не выполняется, так как характери¬
стика поля вещественных чисел отлична от 2.
Рассматривавшиеся в § 1 конечные реализации систем неко¬
торых геометрических аксиом (см. рис. 1 и 2) относятся к то-
:му же кругу идей. Они представляют собой аффинные конечные
ллоскости над полями F2 и F3, т. е. получаются из проективных
Плоскостей P2(F2) и P2(F3) выбрасыванием одной прямой и то¬
чек на ней (которые с точки зрения геометрии оставшихся точек
и прямых будут бесконечно удаленными).
Имеются различные бесконечномерные обобщения простых
жолец конечной длины и вышеизложенной их теории. Одно из
них исходит из условия полупростоты (пример 2) и критерия VI
лростоты полупростого кольца. Это приводит к определению.
Подкольцо iR кольца ограниченных операторов комплексного
тильбертова пространства называется фактором, если вместе с
оператором ф в 1? Содержится и сопряженный оператор <р*,
центр R совпадает со скалярными операторами и R замкнуто в
естественной топологии (так называемой, слабой).
Аналогично тому, как простое кольцо конечной Длины опре¬
деляет проективное пространство, удовлетворяющее аксиомам
1—5, любой фактор определяет частично упорядоченное множе¬
ство, удовлетворяющее похожим аксиомам. На этом множе¬
стве тоже определена функция размерности, но теперь может
представиться несколько случаев.
1п: Размерность принимает значения 0, 1, 2,..., п, тогда
■ фактор изоморфен кольцу М„(С).
/о=: Размерность принимает значения 0, 1,2,..., оо, в этом
случае фактор изоморфен кольцу всех ограниченных операторов
.в бесконечномерном гильбертовом пространстве.
Пь Размерность принимает значения из интервала [0, 1].
lie»: Размерность принимает значения из интервала |[0, оо].
III: Размерность принимает лишь значения 0 и оо.
Соответствующие Пь По и III частично упорядоченные мно¬
жества, являющиеся очень нетривиальными бесконечномерными
J00

аналогами проективных плоскостей (подчеркнем, что в них раз¬
мерности «подпространств» могут быть любыми вещественными1
числами!), называются непрерывными геометриями.
Далее мы ограничимся рассмотрением алгебр конечного1
ранга над полем К.
Пример 6. Мы видели (пример 11 § 8), что клиффордова
алгебра С (I), где L — вещественное 2я-мерное пространство1
с метрикой х? + ... + х\п, изоморфна алгебре матриц М
22П (R).
Поэтому эта алгебра имеет единственное (с точностью до эквива*
лентности) неприводимое представление, степень которого равна
22л. Значит, возможна запись
■*?+•••+ х2п ~	1	"Г • ■ • + x2tF2л)2>
где Г, Г2п — матрицы порядка 22п, и такие матрицы опре¬
делены однозначно с точностью до замены Гг-^СГ^С-1. Никакие
матрицы Г4 степени меньшей чем 22" такой записи не дают.
Теперь предположим, что поле К алгебраически замкнуто1.
Тогда теория полупростых алгебр над К и их представлений
приобретает особенно конкретный характер. В основе лежит
следующий простой результат:
XI.	Тело конечного ранга над алгебраически замкнутым по¬
лем К совпадает с /(. ►
Действительно, если ранг тела D равен п и абД то элемен¬
ты 1, а, а2,..., ап должны быть линейно зависимы над К. По*
этому существует не равный тождественно 0 многочлен Еб/С[(|
степени для которого F(a) = 0. Ввиду алгебраической замк¬
нутости поля К, F (t) =yll(t—о»), так что П(а—а<) =0. Так как
D — тело, то при некотором i, а—а< = 0, т. е. абД Таким обра¬
зом:
XI'. Над алгебраически Замкнутым полем К любая простая
алгебра конечного ранга изоморфна Мп(К), а полу простая—
прямой сумме таких алгебр. ►
Раньше мы явно указали разложение регулярного) представ^
ления алгебры Мп(К) на неприводимые (формулы (7). Оттуда
следует что ее регулярное представление есть сумма п эквива¬
лентных представлений размерности п (соответствующих п-мер-
ному пространству Кп как модулю надкольцом матриц Мп(К)).
Если же R—Мщ (К)®... ®Мп (К), то /? имеет р неприводимых
представлений Nt размерностей (соответствующих неприводи¬
мым представлениям матричных алгебр МП{ {К)) и регулярное
представление R имеет вид:
RaiN?®N?©...®Napp, n^dimNt.
Для разложения центра мы тоже имеем лишь одну возмож¬
ность:
Z
101

В результате теория представлений полупростых алгебр ко¬
нечного ранга над алгебраически замкнутым полем сводится к
-следующим положениям:
XII. Всякое представление есть прямая сумма неприводи¬
мых. ►
XIII. Все неприводимые представления содержатся среди
неприводимых слагаемых, на которые разлагается регулярное
представление. Число неэквивалентных среди этих слагаемых
равно рангу центра алгебры. ►
XIV. Всякое неприводимое представление содержится в регу¬
лярном столько раз, какова его размерность. ►
XV. Теорема Бернсайда. Сумма квадратов размерно¬
стей неприводимых представлений равна рангу алгебры:
п = п\ф	►
Для конкретного задания представления ф \R-*Mn(JK) исполь¬
зуют следы матриц ф (а), a(*R. Функция Sp (ф (а)) определена
на R и линейна, и поэтому задается своими значениями на базис¬
ных элементах алгебры R. Так как Sp (С.AC-1) = Sp (Л), то следы
эквивалентных представлений одинаковы. Функция Sp (ф (а)) обо¬
значается 5 ф (а).
Если представление Ф есть прямая сумма двух: Ф = Ф!©Ф2,
то, очевидно, 5ф(а) = 5ф1(а) + 5фг(а). Следы неприводимых пред¬
ставлений называются характерами алгебры R. Пусть Xi (а),
Хг(а)> • • •. Х/Дя) — характеры, соответствующие всем р неприводи¬
мым представлениям Фь ..., фр. Любое представление Ф разлагает¬
ся в прямую сумму неприводимых, и если среди них X/ встречает¬
ся mt раз, то
S<t)(a)=ttii%i(a)-\-	.	-{-тр%р(а).	(8)
Мы знаем, что в разложении алгебры R в прямую сумму простых^
R=Ri®... ®RP неприводимое представление Фг отображает в О
все слагаемые Rj, j ФЬ. Поэтому функции ул линейно независимы
па R. Отсюда и ввиду формулы (8) следует
XVI. Представления полупростой алгебры однозначно задаются
своими функциями следа 5Ф (а). ►
Приведенные результаты имеют очень большое число прило¬
жений, главным образом в частном случае, когда i? = /C[G] яв¬
ляется групповой алгеброй. С ними мы встретимся позже, а
сейчас укажем одно совершенно элементарное применение к
алгебре матриц.
XVII. Теорема Бернсайда. Неприводимая подалгеб¬
ра R алгебры матриц EndK(L) над алгебраически замкнутым
полем К совпадает со всей EndK(L). ►
Условие теоремы означает, что если при помощи вложения
/?-*-End*(I) определить представление алгебры R в «-мерном
пространстве L, то это представление будет неприводимым. Для
любого x&L отображение а-*~ах определяет гомоморфизм R как
102

модуля над собой в простой модуль L. Выберем в качестве х
л элементов ей, еп базиса пространства L. Мы получим п
гомоморфизмов fi : R-+-L, или один гомоморфизм /=fi+ • • -H-fn,
f:R-+Ln. Если для некоторого а€£, /(а)=0, то f{(a)= 0, т. е.
ае,= 0 и ах=0 при всех x£L. Но Z?crEnd L, и поэтому а=0. Сле¬
довательно, RczLn как модуль над R. Так как L — простой мо¬
дуль, то отсюда следует, что модуль R полупрост, а значит, и
алгебра R полупроста, и как модуль R~Lh при некотором k.
Но, согласно свойству XV, fe=n = dim L. Поэтому ранг R есть
л2 и, значит, /? = End*(L).
Для иллюстрации приведем одно эффектное применение
этого результата:
XVIII.	Теорема Бернсайда. Если G— группа, состоя¬
щая из матриц порядка п над алгебраически замкнутым полем
К характеристики 0, и существует такое целое число N>0, что
grr= 1 для всех g$G, то G конечна. ►
При доказательстве мы будем пользоваться некоторыми са¬
мыми элементарными понятиями теории груцп. Очевидно, что
поле К можно считать алгебраически замкнутым, расширив его
в случае необходимости. Обозначим через R совокупность всех
комбинаций вида
Очевидно, что R — алгебра над К и RcMn(K). Рассмотрим
сначала случай, когда алгебра R неприводима. Согласно пред¬
шествующей теореме Бернсайда тогда R = Mn (К). По условию,
собственные значения любого элемента gGC? являются корнями
степени N из 1. Так как след Sp(g) матрицы порядка п есть
сумма п собственных значений, то Sp(g), g£G, может принимать
не более Nn значений. Легко проверить, что билинейная форма
Sp(A2?) на пространстве /VI„ (К) невырождена. Ввиду того, что
R = M„(K), существует п2 элементов gl5 ..., gn>^G, образующих
базис Мп (К). Обозначим через еь ..., <?„• дуальный базис отно-
ние произвольного элемента ggC? через этот базис, то а£ =
— Sp (ggi). Таким образом, коэффициенты al могут принимать
лишь конечное число значений, а значит, и группа G конечна.
Если алгебра R приводима, то матрицы, соответствующие
элементам группы G, одновременно приводятся к виду
Применяя индукцию, можно считать уже доказанным, что A (g)
и В (g) образуют конечные группы G' и G". Рассмотрим гомо¬
морфизм f:G-+G'XG!', /(g) = (A(g^3(g)). Его ядро состоит
из элементов ggG, которым соответствуют матрицы
“lgi-T • ■ •	“iGA',	gi6G.
Л*
сительно билинейной формы Sp(AВ). Если g — ^ aiei ~ выраже-
1
И»

Легко видеть, что такая матрица при C(g) =^0 не может иметь
конечного порядка, если характеристика поля К равна 0: при
ее возведении в степень т матрица C(g) умножается на т.
Поэтому ядро f состоит только из единичного элемента, т. е.
группа G содержится в конечной группе G'xG" и, значит, са¬
ма конечна.
§ II. ТЕЛА КОНЕЧНОГО РАНГА
Теоремы Веддербёрна полностью сводят изучение полупро-
стых алгебр конечного ранга над полем К к изучению тел ко¬
нечного ранга над тем же полем. Последним вопросом мы
дальше и займемся. Если D — тело конечного ранга над полем
К и L — центр D, то L — конечное расширение К и мы можем
рассматривать D как алгебру над L. Поэтому задача расщеп¬
ляется на две: изучение конечных расширений (это вопрос ком¬
мутативной алгебры) и изучение тел конечного ранга над по^
лем, являющимся их центром. Если алгебра конечного ранга
над полем К имеет К своим центром, то она называется цент¬
ральной над К.
Вопрос о существовании центральных тел конечного ранга
над заданным полем К и об их строении очень существенно
зависит от индивидуальных свойств поля К. Один, очень про¬
стой результат в этом направлении, мы уже встречали:	над
алгебраически замкнутым полем К не существует тел конечного
ранга, отличных от К■ В частности, это верно для поля комш
лексных чисел.
Для случая поля вещественных чисел положение не намного
сложнее.
I.	Теорема Фробениуса. Единственными телами конеч¬
ного ранга над полем вещественных чисел R являются: само R,
поле комплексных чисел С и алгебра кватернионов Н. ►
Вот еще два случая, когда положение просто:
И. Теореме Веддербёрна. Над конечным полем К
не существует центральных тел конечного ранга, кроме
самого К. ►
Иными словами, конечное тело коммутативно. Это, конечно,
интересно для проективной геометрии, так как показывает, что
для конечной проективной геометрии размерности >2 «теорема>
Паппа следует из других аксиом (а в размерности 2 — из акси¬
омы Дезарга).
III.	Теорема Тзена. Если поле К алгебраически замкну¬
то и С — неприводимая алгебраическая кривая над ним, то над

полем К (С) не существует центральных тел конечного ранга,
кроме самого К (С).►
Все три случая, в которых мы утверждали, что над некото-
рым полем К не существует центральных тел конечного ранга,
отличных от К, объединены общим свойством:
Поле К. называется квазиалгебраически замкнутым, если, ка¬
ков бы ни был однородный многочлен F(tu..., f„) GK [-*ь ...
у, степень которого меньше числа переменных п, урав¬
нение
F(xu..., хп) =0
имеет ненулевое решение в К.
Можно показать, что над любым квазиалгебраически зам¬
кнутым полем К любое центральное тело конечного ранга совпа¬
дает с К- С другой стороны, любое из рассматривавшихся выше
полей квазиалгебраически замкнуто: алгебраически замкнутые
поля, конечные поля и поля К(С), где К алгебраически замкнуто,
а С — неприводимая алгебраическая кривая. Исходя из последне¬
го свойства, и доказывается теорема Тзена, а для теоремы
Веддербёрна такой путь — одно из возможных доказательств.
Теорема о том, что конечное поле квазиалгебраически замкну¬
то, называется теоремой Шевалле. В случае поля Fp —
это интересное свойство сравнений. Квазиалгебраическая зам-
кнутость есть непосредственное ослабление алгебраической
замкнутости. Это становится очевидным, исходя из следующей
характеристики алгебраической замкнутости:
•4 Поле К тогда и только тогда алгебраически замкнуто,
когда для любого однородного многочлена F (tu ..., tn)£
6/С[<1» •••’ *пЬ степень которого не превосходит числа перемен¬
ных, уравнение
F&, ...,*„)=0	(1)
имеет ненулевое решение в поле К. ►
Очевидно, что для алгебраически замкнутого поля К урав¬
нение (1) имеет ненулевое решение. Пусть поле К не алгебраи¬
чески замкнуто. Тогда над ним существует неприводимый мно¬
гочлен P(t.) степени п>1. Кольцо L = K[t]/{P) является по¬
лем—расширением степени п поля К и, значит, алгеброй ранга
п над Кг Рассматривая регулярное представление этой алгебры,
мы сопоставляем каждому элементу xGL матрицу Ах£Мп(К).
Определитель матрицы Ах называется нормой элемента х и
обозначается N{x). Из свойств представления (и определите¬
лей) следует, что АТ (1) = 1, N (ху) = N (x)N (у). Отсюда, если
хф0, то N(x)N(x~l) = 1 и, значит, П(х)Ф0. Рассмотрев люфй
бэзяс еи ..., еп в L/К (например, образы элементов 1, t,..., tn~l
кольца КМ), мы запишем любой элемент X&L в виде xxei+ ...
...+xnen, Xi&K. Легко видеть, что N(x) является многочленом
степени п от Хи , хп> и, положив
105

Легко видеть, что такая матрица при С(§)Ф0 не может иметь
конечного порядка, если характеристика поля К равна 0: при
ее возведении в степень т матрица C(g) умножается на т.
Поэтому ядро / состоит только из единичного элемента, т. е.
группа G содержится в конечной группе G'xG" и, значит, са¬
ма конечна.
§ 11. ТЕЛА КОНЕЧНОГО РАНГА
Теоремы Веддербёрна полностью сводят изучение полупро-
стых алгебр конечного ранга иад полем К к изучению тел ко¬
нечного ранга над тем же полем. Последним вопросом мы
дальше и займемся. Если D — тело конечного ранга иад полем
К и L — центр D, то L — конечное расширение К и мы можем
рассматривать D как алгебру над L. Поэтому задача расщеп¬
ляется на две: изучение конечных расширений (это вопрос ком¬
мутативной алгебры) и изучение тел конечного ранга над по¬
лем, являющимся их центром. Если алгебра конечного ранга
над полем К имеет К своим центром, то она называется цент¬
ральной над К.
Вопрос о существовании центральных тел конечного ранга
над заданным полем К и об их строении очень существенно
зависит от индивидуальных свойств поля К. Один, очень про¬
стой результат в этом направлении, мы уже встречали:	над
алгебраически замкнутым полем К не существует тел конечного
ранга, отличных от К. В частности, это верно для поля комп¬
лексных чисел.
Для случая поля вещественных чисел положение не намного
сложнее.
I. Теорема Фробениуса. Единственными телами конеч¬
ного ранга над полем вещественных чисел R являются: само R,
поле комплексных чисел С и алгебра кватернионов Н. ►
Вот еще два случая, когда положение просто:
II. Теорема Веддербёрна. Над конечным полем К
не существует центральных тел конечного ранга, кроме
самого К. ►
Иными словами, конечное тело коммутативно. Это, конечно,
интересно для проективной геометрии, так как показывает, что
для конечной проективной геометрии размерности >2 «теорема»
Паппа следует из других аксиом (а в размерности 2 — из акси¬
омы Дезарга).
III. Теорема Тзена. Если поле К алгебраически замкну¬
то и С — неприводимая алгебраическая кривая над ним, то над

полем К (С) не существует центральных тел конечного ранга,
кроме самого К(С).^
Все три случая, в которых мы утверждали, что над некото¬
рым полем К не существует центральных тел конечного ранга,
отличных от К, объединены общим свойством:
Поле К называется квазиалгебраически замкнутым, если, ка¬
ков бы ни был однородный многочлен F(tu..., tn)&K[tb ...
...,	, степень которого меньше числа переменных п, урав¬
нение
F{xu..., хп) =0
имеет ненулевое решение в К.
Можно показать, что над любым квазиалгебраически зам¬
кнутым полем К любое центральное тело конечного ранга совпа¬
дает с К. С другой стороны, любое из рассматривавшихся выше
полей квазиалгебраически замкнуто: алгебраически замкнутые
поля, конечные поля и поля К (С), где К алгебраически замкнуто,
а С — неприводимая алгебраическая кривая. Исходя из последне¬
го свойства, и доказывается теорема Тзена, а для теоремы
Веддербёрна такой путь — одно из возможных доказательств.
Теорема о том, что конечное поле квазиалгебраически замкну¬
то, называется теоремой Шевалле. В случае поля Fp —
это интересное свойство сравнений. Квазиалгебраическая зам-
кнутость есть непосредственное ослабление алгебраической
замкнутости. Это становится очевидным, исходя из следующей
характеристики алгебраической замкнутости:
•4 Поле К тогда и только тогда алгебраически замкнуто,
когда для любого однородного многочлена F (tu ..., tn)6
6 AT ft, .	степень которого не превосходит числа перемен¬
ных, уравнение
F{t 	Q=0	(1)
имеет ненулевое решение в поле К. ►
Очевидно, что для алгебраически замкнутого поля К урав¬
нение (1) имеет ненулевое решение. Пусть поле К не алгебраи¬
чески замкнуто. Тогда над ним существует неприводимый мно¬
гочлен P(t.) степени п> 1. Кольцо L — K[t]l{P) является по¬
лем—расширением степени п поля К и, значит, алгеброй ранга
п над К Рассматривая регулярное представление этой алгебры,
мы сопоставляем каждому элементу x6L матрицу ЛжеМ„(/С).
Определитель матрицы Ах называется нормой элемента х и
обозначается N(x). Из свойств представления (и определите¬
лей) следует, что JV(1) = 1, N (ху) =N(x)N (у). Отсюда, если
хфО, то N(x)N(x~1) = 1 и, значит, Ы(х)ф0. Рассмотрев люфй
бащс ей .,., е„ в L/К (например, образы элементов 1, t,..., in_1
кольца К И), мы запишем любой элемент x&L в виде ххе\ + ...
...+х„е„, xfiK. Легко видеть, что N(x) является многочленом
степени п от Х\,, хп, и, положив
Юб

F(xь ..., xn)=N(.xie{+ ... +xnen),
мы получаем пример неразрешимого уравнения (1)'.
Перейдем к полям, над которыми центральные тела конеч¬
ного ранга существуют. До сих пор нам известно одно такое
поле — поле вещественных чисел R, причем над ним существу¬
ет центральное тело ранга 1 (само R) и ранга 4 (Н). Эти числа
не совсем случайны, как показывает следующий результат:
Л Ранг центральной простой алгебры является полным квад¬
ратом. ►
Доказательство основывается на важной операции расширения
поля. Если А —алгебра конечного ранга над полем К и L—про¬
извольное расширение поля К, то рассмотрим модуль R®L (см.
§ 5). Определим умножение его образующих а®|, a£R, &L:
(а.® £) (6®т]) = аЬЩц.
Легко проверить, что оно превращает R®L в кольцо, причем L
К
содержится в нем (как 1®/,), т. е. это кольцо является алгеброй
над L. Если еь ..., еп—базис R над К, то <?!®1, ..., еп®\ обра¬
зуют базис R®L над L. Поэтому ранг R®L над L равен рангу R
К	к
над К. Переход от R к R®L и называется расширением основ-
ного поля. Говоря попросту, R®L — это алгебра над L, имею-
1C
щая ту же таблицу умножения, что и R.
Нетрудно доказывается утверждение:
IV. Свойство алгебры быть центральной и простой сохра¬
няется при расширении поля. ►
Теперь остается взять за L алгебраическое замыкание поля К:
согласно общей теории R®L^Mn(L), поэтому ранг R над К
{равный рангу R®L над L) есть п?-.
Таким образом, алгебра кватернионов реализует минималь¬
ную возможность для ранга нетривиального центрального тела.
Следующий по сложности случай, интересный в основном для
теории чисел, это поле р-адических чисел Qp, введенное в § 7.
V. Теорема Хассе. Над полем Qp для любого п сущест¬
вует <р(/г) центральных тел ранга п2 (ср — функция Эйлера).
При доказательстве теоремы указывается способ, позволяющий
каждому такому телу D сопоставить некоторый первообразный
корень степени п из 1, который его определяет. Этот корень из
1 называется инвариантом тела D и обозначается pp(D). ►
Рассмотрим простейший пример. Пусть для любого поля К
характеристики Ф2, а и b — два его элемента, аф0, Ъф0. По¬
строим алгебру ранга 4 над К с базисом 1, i, /, к и таблицей
умножения:
i2—a, j*=*b, ji=~-i}	,
106

(остальные произведения из этих правил уже вычисляются на
основании ассоциативности). Полученная алгебра называется
обобщенной кватёрнионной и обозначается (а, Ь). Например,
Н=(—1, —1). Легко доказать, что алгебра (а, Ъ) проста и
центральна, и любая центральная простая алгебра ранга 4 в'
таком виде записывается. Таким образом, по общей теории ал¬
гебра (а, Ь) или является телом, или изоморфна Щ{К). Выяс¬
ним, как различить эти два случая. Для этого, по аналогии с
кватернионами, назовем сопряженным элементу x=a.+ $i+
+yj+bk элемент х—а——yj—8k. Легко видеть, что
Положим N (х) — хх. Из (2) следует, что N (xy) = N (х) N {у).
Поэтому если хоть для одного хфО jy(x)=0, то (а, Ь) не тело:
jcjc=0, хотя хфЪ и хф0. Если же N (х)ф0 для всех хф0,
то x~*=N (х)"1 х и (а, Ь) является телом. Таким образом, (а, Ь)
тогда и только тогда является телом, когда уравнение а2—ар2 —
— b f-r аЬ8? = 0 имеет только нулевое решение (а, р, у, б) из К.
Это уравнение можно еще упростить, записав в виде
Таким образом, условие того, что (а, Ь) есть тело, принимает
.вид: уравнение |2—ат)2=Ь не имеет решений в К■ Однородная
запись того же уравнения:
Оно не должно иметь в К ненулевого решения, в противном
случае (a, 6)=Af2(/C). Легко показать, что если (3) имеет нену-
.левое решение, то имеет и такое, в котором 1=5^0. Тогда оно
сводится к уравнению
ах2+Ьу2 = 1.	(4)
Пусть теперь К есть поле рациональных чисел Q. Уравне¬
ние (3)—как раз такое, к каким относится теорема Лежандра,
сформулированная в конце § 5. Она утверждает, что уравнение (3)
разрешимо в поле Q тогда и только тогда, когда оно разрешимо
В поле R и всех полях Qp. —В таком виде эта теорема дает нам
сведения об обобщенной кватернионной алгебре (а, Ъ), a, £gQ-
Ввиду сказанного выше, она означает, что алгебра С = (а,Ь)
изоморфна M2(Q) тогда и только тогда, когда C®R^Af2(R)
ху=ух,
(2)
хх = а2 — ар2—Ьф—ab&6K.
а2 —	=	b	(у2—аб2)=0
|2—ат)2—б£2=0.
(3)
107

и C®QP—M2(Q.P) для всех р. Но ту же линию рассуждений
можно продолжить и дальше, для описания всех алгебр обобщен¬
ных кватернионов над Q. Именно, можно показать, что две такие
алгебры С = {а,Ь) и С' = (а', Ь') изоморфны тогда и только
тогда, когда C®R^C'®R и C®QP—C'®QP для всех р. Иначе
говоря, рассмотрим инварианты цр тел ранга 4 над Qp (которые,
по определению, равны —1) и положим для центральной просто*
алгебры С над Q:
(С) =	(C®Qp),	если C®QP—тело;
рр(С) = 1, если C®QP—Л42(Ор);
и, сверх того, положим
Pr(C)= — 1, если C®R есть тело (т. е. Н);
pR(C) = I, если C®R^/V/2(R).
Тогда сформулированный выше результат переформулируется так;-
VI. Тело С ранга 4 над Q определяется своим набором
инвариантов pr(C) и рр(С) для всех р. ►
Каким же может быть этот набор инвариантов? Мы видели,
что все Pr(C) и р.р(С) не могут быть равны 1 (в силу теоремы
Лежандра тогда С не будет телом). Кроме того, легко доказать,
что у.р {С) = — 1 только для конечного числа простых р. Оказы¬
вается, что кроме этих условий существует только еще одно:
VII. Произвольный набор чисел (j-r и рр = ± 1 для любого
простого числа р тогда и только тогда является набором инва¬
риантов центрального тела ранга 4 над Q, когда а) не все (j.r
и иР равны 1, б) только конечное число их равно —1 и
в)	(xR П (хр = 1.	(5>
р
Поразительно то, что соотношение (5) оказывается лишь пере¬
формулировкой гауссовского закона взаимности, который,
таким образом, превращается в один из центральных результатов
теории тел над Q. ►
Приведенные результаты непосредственно обобщаются на.
произвольные центральные тела конечного ранга над Q. Пусть
С—центральное тело конечного ранга л2 над Q. Алгебра C®R =
= Cr изоморфна или Af„(R) —тогда положим pr(C)=1, или
Мп/2 (Н)—тогда, по определению, (xR (С)= — 1. Аналогично, для
любого простого числа р алгебра С®Qp имеет вид Mk (Ср), где:
Ср—центральное тело над Qp, Мы положим иР (С,) = цр(Ср)
(qp. теорему Хассе), Имеют место следующие результаты:
VIII. Теорема Хассе — Брауэра — Нётер. C^Af„(Q)’
тогда и только тогда, когда Cr^AJ„(R) и C®Qp^Af„(Q„) ддт
всех р, т. е. [1r(C)=pp(C) = I для всех р.
108

Теорема Хассе. Два центральных тела С и С' над Q
тогда и только тогда изоморфны, когда C®R^C'®R и C®QP—
— C'®QP для всех р, т. е. pR (C) = fxR (С') и Рр(С)=рр(С')
для всех р. Набср чисел pR и рр (Для всех р) тогда и только
тогда реализуется в виде pR=pR(C), р.р=р,р(С), где С—цент¬
ральное тело над Q, когда а) рр=^1 лишь для конечного числа р и
б)ркПи.р=1. ►	(6)
р
Совершенно аналогичные результаты имеют место для ко¬
нечных расширений К поля Q (полей алгебраических чисел).
Они составляют часть теории полей классов. Аналог соотно¬
шения (6) для любого поля алгебраических чисел является
далеко идущим обобщением гауссова закона взаимности.
Набросанная здесь картина строения тел над полем рацио¬
нальных чисел может служить примером того, как тесно связа¬
но строение тел над полем К с тонкими свойствами этого поля.
Приведем еще один пример: строение центральных тел ко¬
нечного ранга над полем R(C), где С—вещественная алгеб¬
раическая кривая. В этом случае любое центральное тело яв¬
ляется обобщенной кватернионной алгеброй и даже имеет вид
(—1, a), aGR(C), аф0. Алгебра (—1, а) тогда и только тогда
изоморфна Af2(R(C)), когда а(х)>0 для любой точки хвС
(включая бесконечно удаленные на проективной плоскости).
Функция а(х) на кривой С меняет знак в конечном числе точек
этой кривой: Хи ..., xN (на рис. 14 изображен случай кривой
у2+ (х2— 1) (х2—4) =0
и функции а=у).
Этими точками перемен знака хь..., xN тело (—1, а) и опре¬
деляется. Более сложен, но и более интересен пример поля
С (С) где С — алгебраическая поверхность. Строение тел в этом
случае отражает очень тонкие геометрические свойства поверх¬
ности. Мы вернемся к этим вопросам в § 12 и § 22.
109

§ 12. ПОНЯТИЕ ГРУППЫ
Начнем с понятия группы преобразований: понятие группы
возникло впервые в этой форме и в этой же форме чаще всего
встречается в математике или математической физике.
Преобразованием множества X называется взаимно од¬
нозначное отображение /: Х-*-Х этого множества на себя;
т. е. такое отображение, для которого существует обратное
отображение . Х-+Х, f~1f=f f~l = e. Здесь fg обозначает
произведение отображений (т. е. их последовательное выпол¬
нение) :
(/g) (•*) = /(8 (■*)).	(1)
а е — тождественное преобразование:
е (л) = х, х£Х.
Совокупность G преобразований множества X называется
группой преобразований, если G содержит тождественное преоб¬
разование е, вместе с любым преобразованием g$G — его об¬
ратное g~l, и вместе с любыми двумя преобразованиями gi,
g2eG— их произведение gig2.
Обычно выполнение этих условий очевидно, так как группа
G определяется как совокупность преобразований, сохраняю¬
щих некоторое свойство. Например, преобразования, сохраня¬
ющие умножение на число и сложение векторов линейного
пространства (т. е. такие, что g{ux) =<zg(x), g{x+y)=g(x) +
+g(y))'- они образуют группу невырожденных линейных пре¬
образований этого пространства. Преобразования, сохраняю¬
щие расстояние р(х, у) между точками евклидова пространства
(т. е. такие, что p(g(x), g{y))= р(х, у)), образуют группу дви¬
жений. Если все они сохраняют одну точку, то мы имеем дело
с группой ортогональных преобразований.
Группа тех или иных преобразований, сохраняющих неко¬
торый объект, может часто интерпретироваться как совокуп¬
ность его симметрий. Например, то, что равнобедренный треу¬
гольник симметричнее неравнобедренного, а равносторонний
симметричнее равнобедренного, но неравностороннего, можно
«измерить» тем, что число перемещений плоскости, переводя¬
щих треугольник в себя, разное для этих трех типов треуголь¬
ников. Оно состоит а) из одного тождественного преобразова¬
ния для неравнобедренного треугольника, б) из тождественного
преобразования и отражения относительно оси симметрии для
равнобедренного треугольника и в) из шести преобразований
для равностороннего треугольника — тождественного, поворо¬
тов на углы 120° и 240° вокруг центра О и отражений относи¬
тельно трех осей симметрий (рис. 15 а, б, в).
110

а)
5)
8)
Рис. 15
Приведем несколько типичных примеров разного типа сим¬
метрий.
Группа симметрий плоского узора состоит из всех перемеще¬
ний плоскости, переводящих его в себя. Например, группа сим¬
метрий узора, изображенного на рис. 16, состоит из следую¬
щих перемещений: параллельного переноса на отрезок ОА, па¬
раллельного переноса иа отрезок ОВ вместе с зеркальным
отражением относительно оси ОВ, и всех их комбинаций.
Под симметрией молекулы понимается движение простран¬
ства, совмещающее каждый атом молекулы с атомом того же
типа и сохраняющее все валентные связи между атомами. На¬
пример, молекула фосфора состоит из четырех атомов, распо¬
ложенных в вершинах правильного тетраэдра, и ее группа сим¬
метрий совпадает с группой симметрий тетраэдра, о которой
подробнее будет сказано в следующем параграфе.
Большой степенью симметрии обладают кристаллы, и по¬
этому группа симметрий кристалла является его важной ха¬
рактеристикой. Здесь под симметрией подразумевается такое
перемещение пространства, которое сохраняет расположение
атомов кристалла и все связи между ними, перемещая каждый
атом в атом того же элемента. Опишем, например, группу сим¬
метрий кристалла поваренной соли NaCl, изображенного на
рис. 17. Он состоит из примыкающих друг к другу кубов, в
вершинах которых попеременно расположены атомы Na(®) и.
О	А
Рис. 16
С1(0):
111.

Рис. 17
Совокупность симметрий задается (если выбрать начала систе¬
мы координат в одном из атомов, а Осй вдоль сторон кубов,
.Длины которых считаются равными 1) перестановками осей ко¬
ординат, зеркальными отражениями относительно плоскостей
координат и некоторыми сдвигами на векторы с целочисленны¬
ми координатами. Она записывается формулами:
•Xj =—	-|— k,
*2 = ^ Xi,-rU
хг = ЪхиАгт,
•&, г], £ = +1, k, I, mO.Z, (il5 i2, z3) — перестановка чисел 1, 2, 3,
причем k-{-l-{-m—четно.
Симметриями могут обладать и алгебраические или аналити¬
ческие выражения. Симметрией многочлена F (х{, ..., хп) назы¬
вается перестановка неизвестных jc15 ..., хп, сохраняющая F.
Отсюда происходит, например, термин симметрическая функ¬
ция— она сохраняется при всех перестановках. Функция же
П(*! — Xk) сохраняется лишь при четных перестановках. Вообще,
i<k
симметрией функции F, заданной на множестве X, можно счи¬
тать преобразование множества X, сохраняющее эту функцию.
В предшествующем примере X было конечным множеством
{хи ..., х„}. Заданная в пространстве функция вида
+z2) в качестве симметрий имеет все ортогональные преобразо¬
вания. Подобные симметрии часто отражаются в физических
явлениях. Например, согласно теореме Э. Нётер, если ди¬
намическая система на многообразии X описывается функцией
Лагранжа &, которая ,в качестве симметрий, допускает завися¬
щую от одного параметра группу преобразований {gt} много¬
образия X, то система имеет легко выписываемый первый интег¬
рал. Так, в случае движения системы материальных точек, ин¬
вариантность относительно параллельных переносов приводит
,к закону движения центра масс, а инвариантность относительно
вращений — к закону сохранения момента.
112

Для любого типа рассматривавшихся ранее алгебраических
объектов — полей, колец, алгебр, модулей — симметриями явля¬
ются преобразования соответствующих множеств, сохраняющие
основные операции. В этом случае они называются автоморфиз¬
мами.
Таким образом, автоморфизмы га-мерного векторного про¬
странства F над полем К — это невырожденные линейные пре¬
образования, их группа обозначается GL(.F) или GL(ra, К). При
выборе базиса они задаются невырожденными матрицами по¬
рядка п. Аналогично, автоморфизмы свободного модуля Ап иад
коммутативным кольцом А образуют группу GL(n, А) и зада¬
ются матрицами с элементами из А, определитель которых об¬
ратим в А. Группа, состоящая из матриц с определителем 1,
обозначается SL(ra, А).
Автоморфизм а кольца К (в частности, поля)' — это преоб¬
разование К, для которого
a (a -f b) = о (а) + о (Ъ),
Например, если R=Mn(K), то невырожденная матрица
cGGL(n, К) определяет автоморфизм о(а)=сас~1 в R.
Преобразование a(z)=z является автоморфизмом поля ком¬
плексных чисел С как алгебры над полем вещественных чисел
R, т. е. автоморфизмом расширения С/R. Аналогично, любое
расширение Ь/К степени 2 имеет, если характеристика поля К
отлична от 2, ровно 2 автоморфизма. Действительно, легко ви¬
деть, что Ь = К(у), где у2=с&К. Каждый автоморфизм одно¬
значно определяется своим действием на у, так как о(а+йу) =
— а+Ьа(у). Но так как он сохраняет действия над элементами
поля L и элементы поля К, то (о(у))2 — о(у2)—о(с)=с. Поэто¬
му ст(у) =±у. Таким образом, существует лишь тождественный
автоморфизм <j(a+by) =а+Ьу и такой, для которого о(у)=—у,
т. е. a(a+by) =а—by. Существуют и «менее симметричные» рас¬
ширения. Например, расширение К= Q(y), у3=2, степени 3 над
Q имеет только тождественный автоморфизм. Действительно,
как и выше, любой автоморфизм сг определяется своим действи¬
ем на элемент у и (<т(у))3 = 2. Если о(у) =yi=/=y, то (yi/y)3 = l,
т. е. e=yi/y удовлетворяет уравнению е3—1 = 0, а так как
гф 1, то уравнению е2+е+1=0, откуда (2е+1)2=—3. По¬
этому в К должно содержаться поле Q(Y—3). Но степени рас¬
ширений К/Q и Q(y—3)/Q равны 3 и 2, а это противоречит
тому, что степень расширения делится на степень любого содер¬
жащегося в нем расширения ((3) § 6).
Наконец, симметрии физических законов являются их важ¬
нейшей характеристикой. Под этим подразумеваются преобразо¬
вания координат, при которых закон сохраняется. Так, законы
механики должны сохраняться при переходе от одной инер-
8—9339
113

циальной системы координат к другой. Соответствующие преоб¬
разования координат имеют в механике Галилея—Ньютона вид
(для движения по прямой):
х' — х — vt, t' — t,	(3)
а в механике специального принципа относительности вид:
V
х-v* ,/ *~стх	(4)
Vl— (v/cf	Vl	— (v/c)2’
где с — скорость света в пустоте.
Группа симметрий в первом случае называется группой
Галилея—Ньютона, а во втором — группой Лоренца.
Примером другого типа симметрии физических законов яв¬
ляется так называемый закон четности, согласно которому все
физические законы должны сохранить свой вид, если одновре¬
менно изменить знак времени, знаки зарядов и ориентацию про¬
странства. Здесь мы имеем группу, состоящую всего из двух
симметрий.
Упомянем несколько очень простых понятий, связанных с
группами преобразований. Ообитой элемента хвХ относительно
группы преобоячпоо;-;^ jr множества а называется множество-
Ох, состоящее из элементов вида g(x), где g пробегает все эле¬
менты из G. Стабилизатором элемента х называется множество
Gx элементов группы, сохраняющих элемент х, т. е. множество
Gx={g, £(*)=*}.
Стабилизатор элемента сам образует группу преобразований,
содержащуюся в G.
Рассмотрим следующее отношение между двумя элементами
х, увХ:
существует такое преобразование g$G, что g(x)=y.
Оно является отношением эквивалентности, т. е. рефлексивно,
симметрично и транзитивно. Проверка этого есть просто пере¬
фразировка трех свойств, входящих в определение группы пре¬
образований. Все эквивалентные друг другу элементы образуют
одну орбиту. Поэтому множество X распадается на непересека-
ющиеся орбиты. Это множество орбит обозначается G\X. Если
орбита только одна, т. е. для любых двух х и у существует та¬
кое преобразование g&G, что y=g(x), то группа преобразований.
G называется транзитивной.
Переходим теперь к понятию группы. Оно абстрагирует
лишь некоторые аспекты групп преобразований:	возможность
умножения преобразований (формула (1)) и закон ассоциатив¬
ности для этого умножения: (fg)h = f(gh) (он проверяется не¬
посредственно, исходя из определения).
114

Группой называется множество G элементов, в котором опре¬
делена операция, называемая умножением, которая ставит в со¬
ответствие любым двум элементам gb g2 множества G элемент
gig2 этого множества и удовлетворяет условиям:
ассоциативность: (gig2) g3=gi (g2gz);
существование единицы: существует такой элемент e&G, что
eg=ge=g, gGG
(легко доказать, что такой элемент только один);
существование обратного: для любого gGG существует такойз
элемент g_1GG, что
gg~l = g~1g=se
(легко доказать, что такой элемент g_I только один).
Исходя из свойства ассоциативности, легко доказать, что иг
для любого числа элементов glt g2,...,-g„ их произведение
(в заданном порядке) не зависит от расстановки скобок и мо¬
жет быть поэтому записано как g,g2... g„. Элемент g ■ ■ ■ g
(п раз) записывается как g", (g~!)n — как g~\
Если умножение коммутативно:
g2gi=gig2 для любых gb g2GG,
то группа называется коммутативной или абелевой. По сущест¬
ву, это понятие нам встречалось — оно совпадает с понятием-
модуля над кольцом целых чисел Z. Чтобы подчеркнуть эту
связь, операцию в абелевой группе обычно называют суммой и
обозначают как gi+g2- Тогда вместо g_1 пишут —g, вместо g"-
пишут ng. Для nGZ, gGG, ng есть произведение, определяющее-
G как модуль над Z.
Если число элементов группы G конечно, то она называется:
конечной. Число ее элементов называется тогда ее порядком ис
обозначается |G|.
Изоморфизмом двух групп Gi и С2 называется такое взаим¬
но однозначное отображение f : Gi-^G2, что
f(giga)=f(gi)f(gi).
Тогда пишут: Gi = G2.
Две группы называются изоморфными, если между ними су¬
ществует хотя бы один изоморфизм.
Конечную группу G, состоящую из элементов gb ..., g„,„
можно задать при помощи ее «таблицы умножения» или так на¬
зываемой таблицы Кэли. Это квадратная матрица, на пересече¬
нии i-ой строки и /-го столбца которой стоит элемент gtgj- На¬
пример, если порядок группы равен 2 и она состоит из элемен¬
тов е (единичного) и g=£e, то g2, как легко видеть, может быть,
равно только е. Поэтому ее таблица Кэли имеет вид:
8*
11S

е
g
е
е
g
g
g
е
Если порядок группы G равен 3, е — ее единичный элемент и
МФе, то легко видеть, что g2¥=g и ё2фе, поэтому G = {e, g, h),
Ji=g2. Так же легко убедиться, что gh=e. Поэтому таблица
-Кэли такой группы имеет вид:
е g h
е	е	g	h
g	g	h	е
h	h	e	g
Изоморфизм двух групп означает, что (с точностью до обо¬
значения элементов) их таблицы Кэли одинаковы. Конечно,
таблицу Кэли удобно выписывать лишь для групп небольших
порядков. Существуют другие способы задать операцию в груп¬
пе. Например, пусть G — группа симметрий равностороннего
треугольника (рис. 15в)). Обозначим через s отражение от¬
носительно одной из высот, а через t — поворот на 120° вокруг
центра. Тогда t2 — это поворот на 240°. Легко убедиться, что s,
st и st2 — отражения относительно трех высот. Таким образом,
все элементы группы G записываются в виде:
е, t, t2, 5, st, st2.
■Очевидно,
s2 = e, t3 = e.
'Кроме того, легко проверить, что
ts = st2.	(7)
Эти правила уже определяют операцию в группе. Например,
(st)2 --- stst = sst2t = s2t3 — e,
t2$ = its = tst2 = st2t2 = st.
Такой метод задания групп называется заданием образующими
и соотношениями. (Более точно он будет описан в § 14.) В та¬
кой записи изоморфизм групп С и С' означает, что в группе G'
также существуют 2 элемента s', t', через которые все другие
таким же образом записываются, как ив (5), и которые удов¬
летворяют условиям (6) и (7). Рассмотрим, например, группу
GL(2, F2) невырожденных матриц 2-го порядка с элементами
из поля F2. Их легко все написать, так как их столбцы обязаны
вметь вид:
1*6
(5)
(6)

(8>
а непропорциональность столбцов (равносильная невырожденности1
матрицы) означает в данном случае несовпадение. Мы получаем
6 матриц:
Легко убедиться, что это как раз запись в виде (5), если взять.
^/==(l lj’ s/ = (l О/’ и что соотношения (6) и (7) выполнены-
Таким образом, эта группа изоморфна группе симметрий равно¬
стороннего треугольника. Найденный изоморфизм кажется со¬
вершенно непонятным. Но его можно истолковать более содер¬
жательно: для этого мы должны обратить внимание на то, что-
симметрии треугольника осуществляют перестановки трех его-
вершин и реализуют в нашем случае все возможные 6 переста¬
новок. Невырожденные матрицы над F2 действуют на 3 столбца
(8) и тоже осуществляют все возможные их перестановки. Та¬
ким образом, каждая из двух рассмотренных групп изоморфна
группе всех перестановок множества из трех элементов.
На этом и на множестве других примеров можно увидеть,,
что изоморфными могут быть группы, состоящие из объектов,
совершенно различной природы и возникшие в связи с различ¬
ными вопросами. Понятие изоморфизма фиксирует наше внима¬
ние лишь на правиле умножения в этих группах, абстрагируясь
от конкретного характера их элементов. Можно представлять
себе, что существует некоторая абстрактная группа, элементы,
которой просто обозначены некими символами, над которыми
указаны правила умножения (вроде таблицы Кэли), а конкрет¬
ные группН являются ее реализациями. Удивительным образом-
оказывается, что свойства этой абстрактной группы, т. е. свой¬
ства одной лишь групповой операции, дают часто очень много»
для понимания конкретной реализации, которая «координатизи-
руется» этой абстрактной группой. Классическим примером,
является теория Галуа, о которой будет сказано позже. В боль¬
шинстве же приложений теории групп эти свойства абстрактной;
группы соединяются со свойствами конкретной реализации.
Выше были приведены примеры только групп преобразова¬
ний, и чтобы у читателя не создалось впечатления, будто это —
единственный путь, на котором группы естественно возникают,,
приведем здесь несколько примеров иного характера. Таковыми
являются гомотопические группы я„(Х),. группы гомологий
Нп(Х) и когомологий Нп(Х) топологического пространства X,.
но их обсуждение мы отложим до §§ 20 и 21.
Пример 1. Группа классов идеалов. В § 3 была определе¬
на операция умножения идеалов произвольного коммутативного»
кольца А. Эта операция ассоциативна и имеет единицу (КОЛЬ¬
НИ

до Л), но обратный идеал почти никогда не существует (даже
в кольце Z). Объединим теперь в классы те ненулевые идеалы,
которые изоморфны как модули над А (ср. § 5). Операция ум¬
ножения переносится и иа классы, и уже они для многих колец
А образуют группу: попросту это значит, что для каждого иде¬
ала /=7^(0) существует такой идеал I, что II — главный идеал.
В этом случае говорят о группе классов идеалов кольца А.
Обозначается она С1(Л). Так обстоит дело, например, в случае
кольца целых алгебраических чисел конечного расширения X/Q
(ср. § 7). Здесь группа С1(Л) конечна. Для кольца А чисел ви¬
да а + Ь]/—5, a, bGZ, (пример 12 § 3) она имеет порядок 2: это
значит, что все неглавные идеалы эквивалентны (т. е. изоморф¬
ны как Л-модули) и произведение любых двух из них — глав¬
ный идеал.
Пример 2. Группа ExtB(^, В). Пусть А и В — модули над
кольцом R. Модуль С называется расширением А при помощи
B, если он содержит подмодуль Вх, изоморфный В, и С/Вх изо¬
морфен А. При этом в понятие расширения мы включаем и изо¬
морфизмы и : Д=*Д 1 и о : С/В^А. Тривиальное расширение —
это С=Л©Д. Группа Zfp2Z является нетривиальным расширени¬
ем группы Z/pZ при помощи Z]pZ. Точно так же, линейное
преобразование, имеющее в некотором базисе матрицу, явля¬
ющуюся жордановой клеткой второго порядка с собственным
значением X, определяет модуль С над кольцом К [*], являю¬
щийся нетривиальным расширением модуля А, соответствующе¬
го одномерной матрице А,, при помощи того же Л.
Два расширения С и С' модуля А при помощи В назы¬
ваются эквивалентными, если существует изоморфизм Ф:С^С',
переводящий ВхаС в B\czC' и согласованный с изоморфизмами
ВХ—В^В[ и СIВх^А—С'/В’Г Множество всех расширений Л
при помощи В, рассматриваемых с точностью до эквивалент¬
ности, обозначается Ех1:я(Л, В). Для полупростых колец R
оно состоит из одного тривиального расширения, а в общем
случае измеряет отклонение от ситуации, характерной для полу¬
простоты.
Превратим множество Ех1:я(Д,Д) в группу. Пусть
C, C'gExt/?(Л, В), f:B^BxaC и g:C/Bx^А — изоморфизмы,
входящие в определение С, а /' и g' имеют тот же смысл для С'.
Рассмотрим подмодули: DciC®C', состоящий из пар (с, с'), для
которых g(c)=g' (с'), и ЕсСфС', состоящий из пар (/ (Ь),
— /'(&)), bGB, и положим C" = DjE. Гомоморфизм /":/"(&) =
= (/ (&)> 0) -т-Е = (0, /' (&))-(- Е определяет изоморфизм В с под¬
модулем Дх’с: С", а для (c,c')eD, g"(c, с') — g (с) — g' (с') — гомо¬
морфизм D на все Л, равный 0 на Е, т. е. гомоморфизм g":е"->
-»-Л, определяющий, как легко проверить, изоморфизм С" jBx
и А. Таким образом, С" является расширением Л при помощи Д.
Соответствующий элемент C"6Ext (Л, Д) называется суммой рас¬
1Л8

ширений С и С'. Нетрудно проверить все аксиомы группы.
Нулем является тривиальное расширение.
Пример 3. Группа Брауэра. Мы определим групповой
закон на множестве центральных тел конечного ранга над задан¬
ным полем К (ср. § 11). Пусть Rx и /?2 —две центральные прос¬
тые алгебры конечного ранга над К. В модуле Rx®KRi опреде¬
лим операцию умножения, положив для его образующих
(ах <g>a2) {b\®b?) — ахЬх®аф2,
этим RX®KR2 превращается в алгебру над К, причем нетрудно
доказать, что она тоже простая и центральная. Например,
МЯ1 {К)®МПг (К)~МП1п, (К).
Если Dx и D2—два центральных тела конечного ранга над К,
то ввиду сказанного выше и по теореме Веддербёрна (теорема IV
§10) Dl®KD2—Мп (D), где D — некоторое центральное тело.
Его мы и назовем произведением тел Dx и Z)2. Можно показать,
что таким образом определяется группа (обратным элементом
для тела D является инверсно-изоморфное тело D*). Эта группа
называется группой Брауэра поля К и обозначается Вт (К).
Можно показать, что описания тел над полями Qp и Q, данные
в § 11 (теоремы V и VIII), дают и групповой закон групп Бра¬
уэра этих полей: надо только встречающиеся там корни из 1
рассматривать как элементы группы корней из 1. Например,
группа Br(Qp) изоморфна группе всех корней из 1, а группа
Br(Q) —группе наборов
(Pr, рр,...) корней из 1,
удовлетворяющих условиям, указанным в теореме VIII § 11.
Группа Br(R) имеет порядок 2.
Следующие параграфы мы посвятим обзору примеров чаще
всего встречающихся типов групп и наиболее полезных конкрет¬
ных групп. Это дает обзор (конечно, очень условный) тех путей,
которые связывают общее понятие группы с остальной матема¬
тикой (да и не только математикой). Но сначала мы должны
изложить некоторые простейшие понятия и свойства, примыка¬
ющие к самому определению группы, без которых рассмотрение
примеров было бы затруднительно.
Подгруппой группы G называется такое ее подмножество,
которое вместе с любым элементом содержит его обратный и
Вместе с двумя элементами — их произведение. Примером под¬
группы является стабилизатор любого элемента в группе пре¬
образований. Пусть {ga} — произвольное множество элементов
группы G. Совокупность всех произведений элементов ga и их
обратных (в любом порядке) образует, как легко видеть, под¬
группу группы G. Она называется подгруппой, порожденной
элементами {ga}. Если эта подгруппа совпадает с G, то ga на¬
зываются образующими группы G. Например, в группе Z (запи¬
119

санной аддитивно) 1 является образующей. В группе симмет¬
рий равностороннего треугольника образующими являются s и
t (см. (5)).
Гомоморфизмом называется такое отображение f: G-*-G'
группы G в группу G', что
f(gl§2)=f(gl)f(g2).
Гомоморфизм f группы G в группу преобразований множе¬
ства X называется действием G на множестве X. Чтобы задать
действие, надо определить для любого элемента gdG соответст¬
вующее ему преобразование f(g), т. е. f(g)(x) для любого лг€X.
Записывая f(g) (х) сокращенно в виде gx, мы видим, что зада¬
ние действия G на X равносильно сопоставлению любому эле¬
менту g£G и любому х£Х элемента gx£X, т. е. отображения
GXХ->-Х, (g, x)-+gx,
причем должны выполняться условия (эквивалентные гомоморф-
ности отображения f):
(glg2)X = g1 (g2x).
Два действия одной и той же группы G на двух разных
множествах X и X' называются изоморфными, если между эле¬
ментами множеств X и X' можно установить такое взаимно
однозначное соответствие х-^-х', что из х+-+х' следует gx++gxf
для любого g£G.
Пр имер 4. Рассмотрим группу G вещественных матриц вто¬
рого порядка с определителем 1. Такая матрица jjj действует
на верхней полуплоскости С+={2, 1шг>0} комплексного пере¬
менного по закону
Очевидно, что мы получаем действие G на С+. С другой сторо¬
ны, G действует на множестве 5 положительно определенных
симметрических матриц второго порядка, причем S’1131!* §) перево¬
дит матрицу s в gsg*, где g* — транспонированная матрица.
Записывая 5 в виде ^ * j, мы характеризуем 5 условиями а> О,
ас — Ь2 > 0, которые определяют на проективной плоскости
с однородными координатами (а:Ь:с) внутренность ty кривой вто¬
рого порядка с уравнением ас — Ь2. Очевидно, G действует и на
ф при помощи проективных преобразований, переводящих эту
кривую в себя. Положительно определенную квадратичную форму
ах2-х~2Ьху-\-су2 можно записать в виде a(x — zy) (x — zy), где
26С+. Сопоставляя матрице	число z, мы получим, как легко
120

увидеть, взаимно однозначное соответствие между множествами
$ и С+, определяющее изоморфизм двух действий группы G.
Как известно, С+ и $ определяют две интерпретации планимет¬
рии Лобачевского: интерпретации Пуанкаре и Кэли—Клейна..
Группа же G в каждой из этих интерпретаций определяет груп¬
пу собственных (не меняющих ориентацию) движений плоско¬
сти Лобачевского.
Три очень важных примера действия группы на самой себе:
g-x = gx,
g-x = xg-\
g' х —gxg~*
(слева стоит действие, справа — произведение в G). Они назы¬
ваются левым регулярным, правым регулярным и присоединен¬
ным действием. Правое регулярное и левое регулярное действия
изоморфны:	изоморфизм определяется отображением
группы G на себя.
Действие группы G на множестве X определяет, конечно,
действие любой подгруппы ЯсО. В частности, левое
регулярное действие определяет действие любой подгруп¬
пы Ясб на всей группе G. Орбиты полученной таким
образом группы преобразований называются левыми клас¬
сами смежности G по Я. Таким образом, левый класс
смежности состоит из всех элементов вида hg, где g£G—
некоторый фиксированный элемент, a h пробегает всевозможные
элементы из Я. Он обозначается через Hg. Согласно сказанно¬
му выше об орбитах любой элемент gi^Hg определяет тот же
самый класс смежности, и вся группа разлагается в объедине¬
ние непересекающихся классов смежности. Аналогично, правое
регулярное действие подгруппы HczG определяет правые клас¬
сы смежности вида gH. Орбиты присоединенного представления
называются классами сопряженных элементов, элементы одной
орбиты — сопряженными. Элементы gi и g2 сопряжены
если g2—ggig~l при некотором g£G. Если HaG— подгруппа,,
то все элементы ghg~l, ЫН, при фиксированном g^G образуют,
как легко видеть, подгруппу. Она называется сопряженной груп¬
пой к Я и обозначается gHg~x. Например, если G — группа-
преобразований множества X, g£G, х£Х и y—gx, то Gy=gGxg~1.
Число левых классов смежности по подгруппе Яс=(3 (конечное
или нет) называется ее индексом и обозначается (G: Я). Если
группа G конечна, то число элементов в каждом классе смеж¬
ности по подгруппе Я равно ее порядку |Я|. Поэтому
|С| = |Я|(0:Я).	(9>
В частности, |Я| делит |G|.
Предположим, что действие группы G на множестве X тран-
зитивно. Тогда для любых х и y£G существует такой элемент
g£G, что g{x)=y, и все такие элементы образуют правый класс
121

смежности gGx по стабилизатору элемента х. Мы получаем, та¬
ким образом, взаимно однозначное соответствие между элемен¬
тами множества X и классами смежности G по Gx. Если X ко¬
нечно, то, обозначая число его элементов через |Х|, мы видим:
\X\ = (G:Gx).	;
Если действие группы G не транзитивно, то пусть Ха — его
орбиты:	X—ljXa-	Выбрав по представителю ха в каждом
из Ха, мы получим взаимно однозначное соответствие между
элементами орбиты и классами смежности G по GXa. В част¬
ности, если X конечно, то
|*H2(G:Ga),	0°)
где Ga — стабилизаторы элементов, выбранных по одному из
всех орбит.
Образом Im f гомоморфизма f: G-+G' называется совокуп¬
ность элементов вида f(g), g£G. Образ является подгруппой
в G'.
Ядром Kerf гомоморфизма f называется совокупность тех
элементов g&G, для которых f(g)=e. Ядро, конечно, является
подгруппой, но удовлетворяет дополнительному условию:
g-'/igeKer f, если WKerf, g£G.	(11)
Проверка этого условия очевидна. Подгруппа NaG, удовлет¬
воряющая условию (11), называется нормальным делителем.
Иначе говоря, нормальный делитель N должен быть инвариант¬
ным относительно присоединенного действия:
g-'Ng = N.
То что N есть нормальный делитель, записывается как N <] G.
Определение нормального делителя N равносильно тому, что
любой левый класс смежности по подгруппе N является и пра¬
вым: gN = Ng. Таким образом, хотя левое и правое регулярное
действие нормального делителя на группе, вообще говоря, не
совпадает, их орбиты совпадают.
Разбиение группы G на классы смежности по ее нормально¬
му делителю N согласовано с операцией умножения: если за¬
менить gi или g2 на элемент из того же класса смежности, то
и gig2 останется в своем классе смежности. Это тавтологическая
переформулировка определения нормального делителя. Отсюда
вытекает, что операция умножения может быть перенесена на
классы смежности, которые образуют группу, называемую фак¬
торгруппой по нормальному делителю N. Она обозначается
G/N, сопоставление элементу g£G класса смежности gN опре¬
деляет гомоморфизм G на G/N, называемый каноническим.
Имеют место уже привычные из теории колец и модулей со¬
отношения:
122

Теорема о гомоморфизмах. Образ гомоморфизма
изоморфен факторгруппе по его ядру.
Любой гомоморфизм / может быть сведен к каноническому:
существует изоморфизм G/Ker / и 1т/, который при компози¬
ции с каноническим гомоморфизмом G-^-G/Кег/ дает /. ►
Пример 5. Рассмотрим группу G всех движений евклидова
пространства Е, т. е. преобразований, сохраняющих расстояние
между точками. Она может быть распространена на векторное
пространство! (свободных) векторов в Е: если х, у£Е и ху — век¬
тор с началом х и концом у, то g (ху), по определению, равен
g(x)g(y). Легко проверить, что если ху = хгуг (т. е. отрезки ху
и хгуг равны и параллельно расположены), то и g (х) g (у) —
= g(xi)g (г/г), так что преобразование g определено непротиво¬
речиво. В пространстве L преобразование g является ортогональ¬
ным. Отображение g->g является гомоморфизмом группы движе¬
ний в группу ортогональных преобразований. Образ этого
гомоморфизма совпадает с группой всех ортогональных преобра¬
зований. Его ядро состоит из параллельных переносов простран¬
ства Е на векторы u£L. Таким образом, группа параллельных
переносов является нормальным делителем. Это можно проверить
и непосредственно: если Ти—параллельный перенос на вектор и,
то, как легко видеть, gT„g-1 — Тг(И). Мы видим, что группа
ортогональных преобразований изоморфна факторгруппе груп¬
пы движений по нормальному делителю параллельных перено¬
сов. В данном случае это легко усмотреть непосредственно,
выбрав какую-либо точку 0&Е. Тогда любое движение можно
записать в виде g = Tug', где g'£G0 (стабилизатор точки О).
Очевидно, что G0 изоморфен группе ортогональных преобразова¬
ний, а сопоставление классу смежности Tug' преобразования g'
дает наш гомоморфизм.
Пусть g — элемент группы G. Отображение cpg: Z-+G,
<fg(n) =g" очевидно является гомоморфизмом. Его образ состоит
из всех степеней элемента g. Он называется циклической под¬
группой, порожденной g, и записывается {g}. Если существует
такой элемент g, что G = {g} (т. е. все элементы G являются
степенями g), то группа G называется циклической, a g — ее
образующей. Примером циклической группы является группа Z
целых чисел по сложению. Ее образующей является число 1.
Всякая подгруппа группы Z состоит или из одного 0, или из
всех кратных kZ наименьшего входящего в нее положительного
числа k, т. е. тоже является циклической. Возвращаясь к гомо¬
морфизму ф*: Z-*-G, мы можем сказать, что либо Кегф8=0—
это значит, что все степени g" элемента g различны, — либо
,Кегф8=^г. Это значит, что gh=e и группа {g} изоморфна Z/kZ,
123

т. е. является группой порядка k. В первом случае g называется
элементом бесконечного порядка, во втором — порядка k. Если
группа G конечна, то согласно (9), k делит |G|.
Из всех методов конструирования групп отметим здесь про¬
стейший. Пусть G\ и G2 — Две группы. Рассмотрим совокупность
пар (gi, £2), giGGi, g26G2. Действия над парами определим по¬
элементно:
(gb g^igv g2) = (gig[, &g2).
Легко видеть, что таким образом мы получаем группу. Она на¬
зывается прямым произведением групп G\ и G2 и обозначается
G]XG2. Если в\ и е2— единичные элементы групп Gj и G2, то>
отображения gi-*-(gi, е2) и gz-^(e 1, g2) являются изоморфизма¬
ми групп G\ и G2 с подгруппами группы GiXG2. Обычно эле¬
менты групп Gi и G2 отождествляют с их образами относитель¬
но этих изоморфизмов, т. е. (gb е2) обозначают gu а (еи g2) —
g2. Тогда G1 и G2 становятся подгруппами GiXG2. В этой груп¬
пе g2gi=gig2, если giGGi, g2£G2, откуда следует, что б, и С2 —
нормальные делители в Gj X G2. Любой элемент из G1X G2 одно¬
значно записывается в виде gig2, giGGu g2GG2. Если G\ и G2
коммутативны (и записаны аддитивно), то мы получаем извест¬
ную из § 5 операцию прямой суммы модулей над Z.
§ 13. ПРИМЕРЫ ГРУПП: КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ
Так же, как общее понятие группы связано с понятием груп¬
пы преобразований произвольного множества, конечные группы
связаны с преобразованиями конечного множества (преобразо¬
вания в этом случае называются также подстановками).
Пример 1. Группа всех преобразований конечного множест¬
ва X, состоящего из п элементов хи ..., хп, называется сим¬
метрической группой. Она обозначается ©„. Стабилизатор ©х,.
изоморфен, очевидно, ©„_]. Класс смежности g©*, состоит из.
всех подстановок, переводящих хг в заданный элемент xL-
Поэтому число классов смежности равно п. Отсюда | ©„ | =
и п0 индукции | ©„ | = /г!.
Обозначим через ог(г = 1,	1)	преобразование,	пере¬
ставляющее xt и хи 1 и не меняющее остальных элементов.
Очевидно,
(1)
Так как любую перестановку элементов хг, ..хп можно осу¬
ществить, последовательно переставляя соседей, то любой
элемент g6®n является произведением оь ..., ал_ь т. е.
cTj, ..., аге_! — образующие группы @„. Очевидно,
OiOj^OjOi при |i —у |>1,	(2>
124

в этом случае аг и о} переставляют разные пары элементов.
Произведение стгсх;+1 циклически переставляет xit хм и хи2.
Поэтому
=	\<i<n — 2.	(3)
Л Можно показать, что закон умножения в группе пол¬
ностью определяется соотношениями (1), (2) и (3) между обра¬
зующими аь..., ап.г. ►
Более точный смысл этого утверждения будет выяснен в § 14.
Пусть <тб@п —произвольная подстановка и Н = {о}—порождае¬
мая ею циклическая подгруппа. Относительно действия группы Н
множество X распадается на k орбит Хъ..Xk, число элемен¬
тов в которых обозначим Лц..., nk. Очевидно,
n = nl+...^-nk.	(4)
Внутри каждого Xt группа Н = {а) циклически переставляет
элементы. Задание разбиения X—\jXi и циклической переста¬
новки элементов внутри Xt (например, запись Х1={ха1, хаг,...
гДе ax^j = xa,.+i,	— 1, а*« =*в1, однозначно
определяет подстановку а. Такое задание называется ее разложе¬
нием на циклы. Числа пь..., iik составляют цикленный тин
подстановки.
Если o'^gag-1 — сопряженный элемент, то для него разло¬
жение на циклы имеет вид Х= [JgXi, gXi=^gXai> • • • > ё-^сц},
т. е. числа П\,..., пк остаются теми же. Наоборот, если <т' —
любая подстановка того же цикленного типа щ,..., nk, то лег¬
ко строится подстановка g, для которой of=g~1og. Таким об¬
разом, две подстановки сопряжены тогда и только тогда, когда
имеют один и тот же цикленный тип. Иными словами, классы
сопряженных элементов группы @„ взаимно однозначно соот¬
ветствуют наборам натуральных чисел П\,..., nk, удовлетворя¬
ющих условию (4). В частности, число классов сопряженных
элементов группы @„ равно числу разбиений п на положитель¬
ные слагаемые.
Пример 2. Будем теперь считать, что переставляемые эле¬
менты Х\,..., хп — это независимые переменные в кольце
Z [хи ..., хп], и рассмотрим многочлен
Д = П {Xi—Xj).
i<J
Очевидно, что при подстановке о многочлен А или не изменится,
или изменит знак:
А (о (хг),а {хп))=г (о) А (ду,..., хп), г (о) = + 1,
и что a->e(a) является гомоморфизмом в группу порядка 2,
состоящую из 1 и —1. Ядро этого гомоморфизма называется
знакопеременной группой и обозначается 91„, подстановки абЗ„
125

называются четными,, а	о$Яп — нечетными.	Очевидно,
(®„:91я) = 2 и, значит, |Яп| = л!/2.
Во многих вопросах важно перечисление всех нормальных
делителей группы @п и Яп. Ответ таков:
I. При пф4 группа не имеет других нормальных делите¬
лей, кроме {е}, \ и а — кроме {е} и 3„. При п=4, сверх
того, существует (как в @п, так и в нормальный делитель
порядка 4, состоящий из б и подстановок, имеющих цикленный-
тип (2,2). ►
Другой путь, на котором возникают важные примеры конеч¬
ных групп, — это изучение конечных подгрупп некоторых хоро¬
шо известных групп. Разберем классический пример — конечные
подгруппы группы ортогональных преобразований евклидова
пространства.
Наибольший геометрический и физический интерес представ¬
ляют группы, действующие в трехмерном пространстве. Но в
качестве простой модели изложим сначала аналогичные резуль¬
таты для плоскости. Ортогональные преобразования, сохраняю¬
щие ориентацию, мы будем называть вращениями — они тоже
образуют группу.
Пример 3. Конечные подгруппы группы вращений пло¬
скости.
II. Конечные группы вращений плоскости являются цикличе¬
скими. Каждая такая группа порядка п состоит из всех поворо-
тов на углы —, £ = 0, 1,..., п— 1, вокруг фиксированной точ¬
ки. ►
Эта группа обозначается через С„. Ее можно характеризо¬
вать как группу всех симметрий ориентированного правильного
га-угольника (см. рис. 18 для га=7).
Рис. 18
III.	Конечная подгруппа группы ортогональных преобразо¬
ваний плоскости, содержащая также и отражения, совпадает с
группой всех симметрий правильного n-угольника. Эта группа
обозначается Dn. Ее порядок равен 2га, она состоит из преобра¬
зований группы С„ и га отражений относительно га осей симмет¬
рии правильного га-угольника. ►
12S

Пример 4. Классические примеры конечных групп враще-.
ний трехмерного пространства связаны с правильными много¬
гранниками: каждому правильному многограннику М соответ¬
ствует группа Gu всех вращений, сохраняющих этот многогран¬
ник. «Правильность» многогранника отражается в наличии у
него большого числа симметрий. Пусть ЛКвыпуклый ограничен¬
ный п-мерный многогранник в n-мерном пространстве. Назовем
флагом набор F={M0, Mi,..., Мп-1}, где АК является i-мерной
гранью и M{aMi+i. Многогранник М называется правильным,.
если группа его симметрий Gu транзитивно действует на мно¬
жество его флагов. В частности, при п=3, группа GM должна
действовать транзитивно на множестве пар:	вершина	много¬
гранника и выходящее из нее ребро. Легко видеть, что стабили¬
затор такой пары состоит только из тождественного преобразо¬
вания, так что порядок группы GM равен произведению числа
вершин правильного многогранника на число ребер, выходящих,
из одной вершины. Все правильные многогранники были опреде¬
лены еще в античности (они и называются иногда платоновски¬
ми телами). Это тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр..
С каждым правильным многогранником связан двойственный,,
вершинн которого явл^ют^я дентрами граней исходного. Оче¬
видно, что группы GM у них одинаковые. Тетраэдр двойственен,
сам себе, куб — октаэдру, а додекаэдр — икосаэдру. Таким об¬
разом, мы получаем лишь три группы правильных многогран¬
ников: группу тетраэдра, октаэдра и икосаэдра (см. рис. 19)?
Tempasdp
Октаэдр
Рис. 19
Икосаэдр
Они обозначаются Т, О и Y соответственно. Их порядки соглас¬
но сказанному выше равны:
|Г| = 12, | О| = 24, | У| =60.
Кроме этих групп, существуют еще очевидные примеры конечных
подгрупп группы вращений: циклическая группа Сп порядка я,
2&ТЕ
состоящая из вращений вокруг*- заданной оси I на углы —,
S	п
k = 0,..., п— 1, и группа диэдра D„ ^порядка 2п, содержащая
Сп и, сверх того, п поворотов на угол я относительно осейг
127

лежащих в одной плоскости, пересекающих ось I и образующих
2д
друг с другом углы, кратные —. Группу Dn можно рассматри¬
вать как группу вращений вырожденного правильного много¬
гранника— плоского га-угольника (рис. 20). В таком качестве
она уже встречалась нам в примере 3.
Рис. 20
IV.	Циклические группы и группы диэдра, тетраэдра, окта¬
эдра и икосаэдра исчерпывают все конечные подгруппы группы
вращений трехмерного пространства. ►
Точный смысл этого утверждения заключается в том, что
каждая такая группа G или циклическая, или для нее можно
найти такой правильный многогранник М, что G—Gu. Так как
все правильные многогранники одного типа получаются друг из
друга вращением и равномерным растяжением, то отсюда сле¬
дует, что соответствующие им группы являются сопряженными
подгруппами группы вращений.
Группа вращений правильного тетраэдра действует на мно¬
жестве его вершин. Она осуществляет лишь четные их переста¬
новки — это очевидно, если объем тетраэдра записать в виде
I	I	1	1
Xi	хг	х3	х4
У1	Уг	Уз	2/4
Zl	z2	z3	z4
где (Xi, yu Zi) — координаты его вершин. Отсюда видно, что
группа тетраэдра изоморфна знакопеременной группе Я*. Алгеб¬
раически действие группы Т на множестве вершин соответству¬
ет действию группы в присоединенном представлении на
множестве подгрупп третьего порядка (каждая такая подгруп¬
па состоит из поворотов вокруг оси, соединяющей вершину с
центром противоположной грани).
Совершенно аналогично, подгруппы третьего порядка груп¬
пы октаэдра О соответствуют осям, соединяющим центры про¬
тивоположных граней. Таких осей (а значит, и подгрупп) четы¬
ре, и действие на них группы О определяет изоморфизм 0=®4.
128

В группе икосаэдра Y рассмотрим сначала элементы второ¬
го порядка — они задаются поворотами на 180° вокруг осей, со¬
единяющих середины противоположных ребер. Так как число
ребер равно 30, то число таких осей (а значит, и элементов по¬
рядка 2) равно 15. Можно показать, что для каждой оси второ¬
го порядка существуют еще две, ей и друг другу ортогональные
(например, ось, соединяющая середины сторон АВ и CF на
рис. 19, и две другие, получающиеся из нее поворотами вокруг
оси 3-го порядка, проходящей через центр треугольника CFE).
Такая тройка элементов второго порядка вместе с единичным
элементом образует абелеву группу четвертого порядка, изо¬
морфную прямому произведению двух групп второго порядка.
Всего, следовательно, таких подгрупп четвертого порядка в
группе икосаэдра У имеется 5. Действие группы У присоединен¬
ным представлением на этих пяти группах (или на пяти трой¬
ках попарно ортогональных осей второго порядка) определяет
изоморфизм У~315-
Часто играет роль одна важная связь между этими группа¬
ми. Из изоморфизмов О—@4,	и теоремы I следует, что в
группе О существует единственный нормальный делитель ин¬
декса 2, изоморфный Т. Увидеть это включение можно, если у
правильного тетраэдра отсечь углы около всех вершин так, что¬
бы секущие плоскости делили его ребра пополам (рис. 21).
В результате останется правильный октаэдр. Все симметрии
тетраэдра составляют группу Г и сохраняют вписанный окта¬
эдр, поэтому содержатся в О.
Рис. 21
Группы правильных многогранников встречаются в природе
в качестве групп симметрий молекул. Например, группой сим¬
метрии молекулы Н3С—СС13 (рис. 22) является группа С3, мо¬
лекулы СгН6 — группа Z)3, молекулы метана СН4 — группа тет¬
раэдра (атом С расположен в центре тетраэдра, вершины кото¬
рого образуют атомы Н), гексафорида урана UFe— группа
9—9339	23
129

н
UF'
н3с-ссе3 стн.
zns
Рис. 22
октаэдра О (атом U расположен в центре октаэдра, вершины
которого образуют атомы F).
Перечисление конечных подгрупп группы всех ортогональных
преобразований легко вытекает из теоремы IV. Группа Г' всех
ортогональных преобразований является прямым произведением
ГХ{е, е'}, где Г —группа вращений трехмерного пространства,
a Z—{e, е'} — группа второго порядка, состоящая из единичного
преобразования е и центральной симметрии е': е' (х) = — х.
Исследовать подгруппы прямого произведения Г х Н, если
известны погруппы в Г и в Н, — несложная алгебраическая зада¬
ча. В простейшем случае, когда, как у нас, H=Z~группа
второго порядка, ответ таков. Подгруппа GczF XZ или содер¬
жится целиком в Г, или имеет вид G0 X Z, где О0с:Г, или
получается из группы GczF следующим приемом. Выбираем в G
подгруппу G0cG индекса 2, и пусть G = G0{jV — ее разложение
на классы смежности по С0. Тогда множество элементов g0gGa
и e'v, vQV, как легко проверить, образует группу, которую мы
и должны взять за G. Например, в двумерном случае, группа Dm
получается таким способом из С = С2п, G0=Cn. Построе¬
ние групп последнего типа требует перебора групп вращений G
и их подгрупп С0 индекса 2. Соответствующая группа ортого¬
нальных преобразований G обозначается ОО0. Таким способом,
получаем:
V.	Конечные группы ортогональных преобразований трех¬
мерного пространства, не состоящие из одних вращений, исчер¬
пываются следующими:
CnXZ, DnXZ, TXZ, OXZ, YxZ, C2nCn, D2nDn, DnCn, ОТ.
Последняя группа возникает ввиду включения ТаО (см~
рис. 21). ►
Напомним, что для любой конечной группы GcGL(n, R)
существует инвариантная относительно нее положительно опре¬
деленная квадратичная форма / (пример 4 § 10). Из того, что»
130

форма f при помощи невырожденного линейного преобразования
Ф приводится к сумме квадратов, следует, как легко убедиться»
что группа ф-1С?<р состоит из ортогональных преобразований.
Поэтому теоремы III и V дают нам также классификацию ко¬
нечных подгрупп групп GL(2, R) и GL(3, RJ.
Пример 5. Каждая конечная группа вращений простран¬
ства сохраняет сферу S с центром в начале координат, так что'
может быть интерпретирована и как группа движений сфериче¬
ской геометрии. Если же отождествить сферу с римановой сфе¬
рой комплексного переменного z, то дробно-линейные преобра¬
зования
“» Р> ббС, аб —07=^0,	(5>
реализуются как конформные преобразования сферы S. Ее дви¬
жения составляют часть конформных преобразований, и по¬
этому построенные конечные группы движений сферы дают ко¬
нечные подгруппы группы дробно-линейных преобразований.
VI.	Таким образом получаются все конечные подгруппы;
группы дробно-линейных преобразований (5). Можно показать,,
сверх того, что подгруппы, соответствующие правильному мно¬
гограннику одного и того же типа, сопряжены в группе дробно¬
линейных преобразований. ►
Одно из применений этого результата таково. Пусть
ЛгШ) ,	, ч dm ,	,	.	Л
rf? + P(*)5F-r?(z)w = 0
— дифференциальное уравнение с рациональными коэффициентами;
и wb —два его линейно независимых решения. Функция v —
=W2i'wl является многозначной аналитической функцией комп¬
лексного переменного z. При обходах в z-плоскости вокруг
полюсов функций p(z) и q (z) функции wx и w2 заменяются их:
линейными комбинациями, а значит, v преобразуется по форму¬
ле (5): у-»—Предположим теперь, что v — алгебраическая:
функция. Тогда у нее только конечное число ветвей и, следо¬
вательно, мы получаем конечную группу преобразований вида.
(5). Зная все такие группы, можно описать все линейные диф¬
ференциальные уравнения второго порядка, имеющие алгебраи¬
ческие решения.
Пример 6. Группа симметрий плоских решеток. Дискрет¬
ным аналогом поля вещественных чисел R является кольцо це¬
лых чисел Z, векторного пространства R” — модуль Z”, а груп¬
пы GL (п, R) — группа GL(ra, Z). Следуя этой аналогии, мы
разберем теперь конечные подгруппы группы GL(2, Z), а в сле¬
дующем примере — GL (3, Z). Нас будет интересовать класси¬
фикация этих групп с точностью до сопряженности в содержа¬
щих их группах GL(2, Z) и GL(3, Z). В следующем параграфе
9*
131

мы увидим, что эта задача имеет физические приложения в кри¬
сталлографии.
Рассматриваемой нами задаче можно дать следующую гео¬
метрическую интерпретацию. Реализуем группу Z” как группу
С векторов га-мерного линейного пространства R".
Такая подгруппа CcrR" называется решеткой. Любая группа
GcrGL(ra, Z) реализуется как группа линейных преобразований
R", сохраняющих решетку С. Для любой конечной группы G ли¬
нейных преобразований R” существует инвариантная метрика,
т. е. такая положительно определенная квадратичная форма
f(x) на R™, что f(g(x))—f(x) для всех g£G (см. пример 4 § 10).
Жвадратичная форма f определяет в R” структуру евклидова
пространства, а группа G становится конечной группой ортого¬
нальных преобразований, переводящих в себя решетку С. Наша
задача, таким образом, эквивалентна классификации групп сим¬
метрий решеток в евклидовом пространстве R". Под симметри¬
ями мы понимаем, конечно, ортогональные преобразования, пе¬
реводящие в себя решетку. Легко убедиться, что группа всех
симметрий любой решетки конечна. Группы G( и G2 симметрий
решеток Сх и С2 будут соответствовать сопряженным подгруп¬
пам в группе целочисленных матриц с определителем ±1, если
существует линейное преобразование <р, переводящее С] в С2, а
Gx в G2. То есть C2 = <p(Ci), G2 = (pGi<p-1 и <р переводит действие
Gj на С[ в действие G2 на С2. Такие решетки и группы называ¬
ются эквивалентными.
Решетки, обладающие нетривиальными симметриями (отлич¬
ными от центральной симметрии), называются в кристаллогра¬
фии решетками Браве, а группы их симметрий — группами
Браве.
Мы исследуем сейчас этот вопрос в случае плоскости. Ис¬
следование распадается на два этапа. Прежде всего, надо вы¬
яснить, какие конечные группы ортогональных преобразований
оставляют на месте некоторую решетку, (т. е. состоят из ее
симметрий). Такие группы называются (по причине, которая
станет ясна в следующем параграфе) кристаллографическими
классами. Конечно, они содержатся в списке, который дает
теорема III. Основой отбора является элементарно доказываемое
утверждение: плоская решетка может переводиться в себя по¬
воротами вокруг некоторой своей точки только на углы 0, л,
2я л л_
ТГ’ 2’ 3-
VII.	Имеется 10 двумерных кристаллографических классов:
С], С2, Сз, С4, Св, Dx, D2, D3, D4, D6. ^
Основные параллелограммы решеток, допускающих различ¬
ные группы симметрий, изображены на рис. 23. Под каждым из
них указаны те группы симметрий, которые соответствующие ре¬
шетки допускают. Мы имеем здесь (слева направо): произволь-
132

ный параллелограмм, произвольный прямоугольник, произволь¬
ный ромб, квадрат и параллелограмм, составленный из двух
равносторонних треугольников. Соответствующие решетки:
назовем: общей, прямоугольной, ромбической, квадратной и ше¬
стиугольной и обозначим Г0, Гп, Гр, Гк, Гш.
Однако теорема VII еще не решает нашу задачу: неэквива
лентные группы симметрий могут принадлежать одному и тому
же кристаллографическому классу. Алгебраически это значит,
что две группы О и G'cGL (2,Z) могут быть сопряжены в группе
ортогональных преобразований, но не в GL(2, Z). Примером слу¬
жат группы второго порядка G и G', где G порождена матри-
симметрии второго порядка, которой обладают решетки, имею¬
щие в качестве основного параллелограмма прямоугольник и
ромб на рис. 23. Симметрия состоит в зеркальном отражении
относительно горизонтальной стороны квадрата в первом случае
и горизонтальной диагонали ромба — во втором. Они не эквива¬
лентны, так как решетка, соответствующая прямоугольнику,
имеет базис из векторов, умножающихся на +1 и —1 при рас¬
сматриваемой симметрии, а в решетке, соответствующей ромбу,
векторы, инвариантные относительно симметрии, и векторы, ум¬
ножающиеся при симметрии на —1, решетку не порождают.
Такое явление встречается, однако, не очень часто.
VIII.	Имеется 13 неэквивалентных групп симметрий плоских
решеток
В скобках указаны решетки, в качестве симметрий которых
соответствующие группы реализуются. ►
Пример группы Ьь реализующейся в двух решетках Гп и Гр,
мы уже разобрали. Группа D2 реализуется в тех же решетках
и получается добавлением к D\ центральной симметрии. Наиболее
тонкими являются реализации D'3 и D" группы D3 в качестве
симметрий решетки Гш. Обе они содержатся в группе D6 и (как
и полагается группе Z)3) являются группами симметрий тре¬
угольника, но эти треугольники по-разному вписаны в шести¬
угольник, который сохраняет Ds (рис. 24).
С, ( Cj
цей
Геометрически они соответствуют
133

Пример 7. Группы симметрий пространственных решеток.
Рассмотрим конечные подгруппы группы GL(3, Z), используя,
•без пояснений, терминологию, введенную при разборе приме¬
ра 6.
IX.	Имеется 32 трехмерных кристаллографических класса.
Сингонии
кристаллографические классы
Триклинная
CtXZ, Сг
Моноклинная
C2XZ1 С21 О2С1
Орторомбическая
O2XZ 1 О О2С2
Тригональная
D3XZ, D„ D3C3, C3XZ, С,
Т етрагональная
DiXZ, D& O4C4, D4Dzt O4Z, C4t C4C2
Г ексагональная
JD3xZ 1 Dgi DaCst DSD3, CtZ, Cbi C3C3
Кубическая
Oxz, О, ОТ, TxZ, T
Обозначения групп взяты из теоремы V. Группы расположены в
таблице так, что в одной строке собраны подгруппы одной и той
же группы, стоящей первой в этой строке. ►
Эти серии групп называются в кристаллографии сингониями
и имеют экзотические названия, приведенные в таблице. Каж¬
дая сингония характеризуется как совокупность симметрий не¬
которого многогранника. Эти многогранники приведены на
рис. 25. (Их аналогами на плоскости являются параллелограмм,
прямоугольник, квадрат и равносторонний треугольник.)
134

Триклинная
[произвольный,
параллелепипед)
Моноклинная
(:прямая призма)
Орторомби ческая
(произвольный
прямоугольный
параллелепипед)
Тригональная
(куд сжатый Вдоль
пространственной
диагонали)
Тетра зональная
(прямая призма
с квадратным
основанием )
I
Л"
Гексагональная
(прямая призма,
основание которой
составлено из двух
равносторонних
треугольников )
Ап
/
у
7
Кубическая
(куб)
Рис. 25
Очень наглядно все кристаллографические классы представ¬
лены на рис. 26 в таблице 1, заимствованной из книги 1[9].
В ней использованы обозначения, приведенные ниже в табли¬
це 2 к рис. 26.
Мы не будем перечислять всех типов неэквивалентных групп
симметрий трехмерных решеток. Их имеется 72 различных.
Многомерные обобщения изложенных выше дву- и трех¬
мерных конструкций, конечно, не могут быть исследованы с
такой детальностью. Здесь имеется лишь несколько общих
теорем.
X. Теорема Жордана. Для любого числа п конечная
группа G движений n-мерного пространства обладает абеле¬
вым нормальным делителем А, индекс которого (G.A) ограни¬
чен константой ф(п), зависящей только от «.►
В трехмерной ситуации теорема хорошо иллюстрируется
группой диэдра D„, содержащей циклический нормальный дели¬
тель С„ индекса 2.
Для аналогов групп Браве легко доказывается теорема:
XI. При заданном п имеется конечное число неизоморфных

/1
о—
с1 с,* г
IX
СгС1
C,*Z
А.
§
Ъг
вгс2
ZZ7
С,	'	^	C^Z

Таблица 7
ест
Вв в3
Сб
Oxz
Рис: 26, таблица 1

/ - ufiHmp симметрии.
"f-PCb Вращения на угол 24/3
ось Вращения на угол Ч /3
?-ось Вращения на угол ТС./3,
соединенного с отражением
6 ортогональной плоскости.
Рис. 26,
ТаВлиц,а 2
- ось вращения на угол ft
г- ось вращения на угол 4/2
Г- ось вращения на угол ?Е/2,
соединенного с отражением
б ортогональной плоскости.
таблица 2
конечных подгрупп в группе целочисленных матриц с определи¬
телем ±1. ►
Таким образом, задача сводится к описанию, с точностью до
сопряженности, подгрупп группы GL (n, Z), изоморфных задан¬
ной группе G. Мы сталкиваемся с задачей, аналогичной задаче
о представлениях конечных групп, о которых речь шла в § 10 и
будет идти в § 17. Разница заключается в том, что теперь роль
линейных преобразований пространства (и невырожденных мат¬
риц) играют автоморфизмы модуля Zn (и целочисленные мат¬
рицы порядка п с определителем ±1). Соответствующее понятие
(которое мы не будем уточнять) — целочисленное представление
размерности п. Основной результат — другая теорема Жордана:
XII.	Теорема Жордана. У каждой конечной группы
существует лишь конечное число неэквивалентных целочислен¬
ных представлений заданной размерности. ►
Пр и мер 8. Симметрические группы являются частным случаем
важного типа групп: конечных групп, порожденных отраже¬
ниями. Выберем в «-мерном евклидовом пространстве R" орто-
нормированный базис еь ..., еп и сопоставим подстановке о мно¬
жества {1,...,«} линейное преобразование от, переставляющее
векторы базиса: a{ei)=e0(i). Сопоставление о->Ъ является изо¬
морфизмом группы и некоторой подгруппы 5 группы орто¬
гональных преобразований пространства R". Очевидно, что 5
порождается преобразованиями стг, соответствующими транспози¬
циям ot. Множество векторов, инвариантных относительно
есть линейное подпространство L с базисом еь ..., е^ь + ei+1,
•••>«„. Очевидно, dimZ. = « —1. Если рассмотреть вектор е,
ортогональный гиперповерхности L (например, et — е^), то стг
138

•будет задано формулами
Oi(x) = x, x£L\
аг(е)=— е, {е, L)=0.
Произвольное преобразование s, задаваемое такими формулами
(при некотором выборе гиперплоскости L), называется отраже¬
нием. Очевидно, s2 = e. Группа ортогональных преобразований,
имеющая систему образующих, состоящую из отражений, назыг
вается группой, порожденной отражениями.
Основные результаты теории конечных групп, порожденных
отражениями, заключаются в следующем.
XIII.	Для любой конечной группы G, порожденной отраже¬
ниями в евклидовом пространстве Е, существует однозначно
определенное разложение
Е =£'оФ£'1Ф... ФЕр
пространства Е в прямую сумму попарно ортогональных под¬
пространств Ей инвариантных относительно группы G, обла¬
дающее следующими свойствами
(1) Е0 состоит из векторов xGE, g{x)=x для всех gGG. Е{
(i=l,..., р) не имеет подпространств, инвариантных относи¬
тельно G, кроме 0 и £<.
(2) Группа G представляется в виде прямого произведения
групп Gu i=l,..., р, где G{ состоит из всех преобразований
gGG, не меняющих векторов xGЕ}, }ф1, и тоже порождена отра¬
жениями. ►
Например, для указанного выше действия группы ©„ в «-мер¬
ном пространстве Rn мы имеем разложение: Rn=£'0©£'1, где
Я0=={а(еi+ • • • + £«)}> E\={cl... -\-а„еп,
cq-f... +ап = 0}.	(6)
Группа G называется неприводимой, если пространство Е
не имеет подпространств, инвариантных относительно G и отлич¬
ных от 0 и Д.
Пусть otj, ..., ok — множество отражений. Очевидно,
о\ = е.	(7)
Существует удобный способ для описания некоторых других специ¬
альных соотношений между отражениями, а именно, имеющих вид
(otOj)mv = e.	(8)
.Для этого рисуется граф, в котором точки соответствуют отра¬
жениям	оь ...,	Oh,	и	они	соединяются	отрезком,	если	имеется
соотношение	(8)	с	т^>2.	Если при этом	mi}>3, то	над соответ¬
ствующим отрезком пишется это число. Легко видеть, что соот¬
ношение (8) с т,ц — 2 означает просто перестановочность от*
И Oj.
139

XIV. В каждой неприводимой конечной группе G, порожден¬
ной отражениями, имеется система образующих оь ..., ак, так¬
же являющихся отражениями и связанных соотношениями, опи¬
сываемыми одним из приведенных ниже графов. Эти соотно¬
шения определяют группу G.
-о—о
ч
Н*
Нх
12(р) О—О	р } 5 ,
Индекс « (в Ап, Вп и т. д.) означает число вершин графа и, од¬
новременно, размерность пространства, в котором действует
группа G. ►
Графу Ап соответствует известный нам уже пример группы
©n+i, действующей в пространстве Ех в разложении (6). Ее
можно интерпретировать как группу симметрий правильного
«-мерного тетраэдра, заданного в координатах условиями аН—
—ba„+i = 1, а^О.
Графу Вп соответствует группа, состоящая из любых пере¬
становок и изменений знаков у векторов некоторого ортонорми-
рованного базиса n-мерного пространства. Это группа симмет¬
рий n-мерного куба (и октаэдра). Ее порядок равен 2"«! При
«=3 это OxZ. Графу D„ соответствует подгруппа индекса 2 в
группе, соответствующей графу В„. Она состоит из таких пере¬
становок и умножений векторов базиса на числа е< = ±1, что
Пб4=1. При и = 3 это OTaOxZ (ср. рис. 21). Графу Я3 соот¬
ветствует группа YxZ симметрий икосаэдра, a h(p) —группа
140

диэдра Dp. Графам Hi и F4 соответствуют группы симметрий
некоторых правильных четырехмерных многогранников.
Все группы, перечисленные в теореме IV, являются кристал¬
лографическими, кроме #3, Hi и Ь(р) при р = 5 и р^7.
Пример 9. Существует еще один метод конструкции конеч¬
ных групп, о котором мы скажем подробнее позже, а сейчас
только намекнем следующим примером. Рассмотрим группу
GL (я, F?), состоящую из невырожденных матриц порядка п
с коэффициентами из конечного поля F?. Она изоморфна группе
AutF Fg линейных преобразований пространства F,, каждое же
такое преобразование определяется выбором базиса в этом про¬
странстве. Поэтому | GL (й, F?) | равняется числу базисов еь...,еп
в пространстве F". За вектор ех можно взять любой из qn~l — 1
отличных от 0 векторов этого пространства, при выбранном ех
за е2 можно взять любой из qn — q векторов, не пропорциональ¬
ных в\, при выбранных ег и е2, за е3 —любой из qn~ q2 векторов,
не являющихся линейными комбинациями ех и е2, и т. д. В результате,
\ GL{n,F4)\ = (qn-})(qn — q)(qn — q^)...{q'l — qn-1).	(9)
Одно из применений групп GL(n, Fg) —доказательство тео¬
ремы XI. Фиксируем простое рф2 и рассмотрим гомоморфизм
ФР : Z->Z/{p) =FP. Он определяет гомоморфизм групп матриц
фр : GL(ra, Z)->GL(п, Fp),
ядро которого состоит из матриц вида А = Е + рВ, detA = ±l.
Докажем, что любая конечная группа Gc=GL(n, Z) отображает¬
ся при этом изоморфно на некоторую подгруппу группы GL(«,
Fp). Так как в GL(n, Fg) число подгрупп конечно, то отсюда бу¬
дет следовать утверждение, а равенство (9) даст оценку для
|G|. Ядро гомоморфизма G->-GL(n, Fp) есть GDKei-фр, и нам
надо доказать, что эта подгруппа состоит только из единичного
элемента. Для этого докажем, что группа Кегфр не содержит
элементов конечного порядка, отличных от Е. Предположим,
что A = E+prB, B&Mn(Z) и не делится на р, а Ап=Е, где не
все элементы матрицы В делятся на р. По формуле бинома
П
пртВ ~ 2 CknprkBk =0.
k=2
Но элементарное арифметическое рассуждение показывает, что
при р>2 и £>1 все числа под знаком суммы делятся на боль¬
шую степень р, чем прт, что и приводит к противоречию.
§ 14. ПРИМЕРЫ ГРУПП:
БЕСКОНЕЧНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ ГРУППЫ
Мы переходим к рассмотрению бесконечных групп. Конечно,
чисто негативная характеристика «не быть конечной» не отра¬
жает тех ситуаций, которые реально возникают. Обычно беско-
141

XIV.	В каждой неприводимой конечной группе G, порожден¬
ной отражениями, имеется система образующих Оь .. ., о*, так¬
же являющихся отражениями и связанных соотношениями, опи¬
сываемыми одним из приведенных ниже графов. Эти соотно¬
шения определяют группу G.
Ап О О 0-----0—О
Ч
8п О О О -О—О
л,
h
F*
H*
"з
12(р)	0^-0	Р>5.
Индекс п (в Ап, Вп и т. д.) означает число вершин графа и, од¬
новременно, размерность пространства, в котором действует
группа G. ►
Графу Ап соответствует известный нам уже пример группы
©„+ь действующей в пространстве Ех в разложении (6). Ее
можно интерпретировать как группу симметрий правильного
n-мерного тетраэдра, заданного в координатах условиями аН—
— +а„+1 = 1, а,5*0.
Графу Вп соответствует группа, состоящая из любых пере¬
становок и изменений знаков у векторов некоторого ортонорми-
рованного базиса n-мерного пространства. Это группа симмет¬
рий n-мерного куба (и октаэдра). Ее порядок равен 2пп\ При
п = 3 это OxZ. Графу Dn соответствует подгруппа индекса 2 в
группе, соответствующей графу Вп. Она состоит из таких пере¬
становок и умножений векторов базиса на числа е< = ±1, что
Пе(=1. При п — 3 это OTczOxZ (ср. рис. 21). Графу Я3 соот¬
ветствует группа YxZ симметрий икосаэдра, а Л(р)—группа
140

диэдра Dp. Графам #4 и F4 соответствуют группы симметрий
некоторых правильных четырехмерных многогранников.
Все группы, перечисленные в теореме IV, являются кристал¬
лографическими, кроме #3, Я4 и h(p) при р = 5 и р~^7.
Пример 9. Существует еще один метод конструкции конеч¬
ных групп, о котором мы скажем подробнее позже, а сейчас
только намекнем следующим примером. Рассмотрим группу
GL (/г, F?), состоящую из невырожденных матриц порядка п
с коэффициентами из конечного поля F?. Она изоморфна группе
Autp F™ лине йных преобразований пространства FJ, каждое же
такое преобразование определяется выбором базиса в этом про¬
странстве. Поэтому | GL (п, F?) | равняется числу базисов ех, ..., еп
в пространстве F". За вектор ех можно взять любой из qn~l — 1
отличных от 0 векторов этого пространства, при выбранном ех
за е.2 можно взять любой из qn — q векторов, не пропорциональ¬
ных ей при выбранных ех и е2, за е3 — любой из qn~q2 векторов,
не являющихся линейными комбинациями ех и е2> и т. д. В результате,
\ GL(л, Fe)| = (0» — l)(<7n — q){qn — q2). . .(qn — qn'1).	(9)
Одно из применений групп GL(n, Fg)—доказательство тео¬
ремы XI. Фиксируем простое рф2 и рассмотрим гомоморфизм
ФР : Z^-Z/(p) =FP. Он определяет гомоморфизм групп матриц
9P:GL(n, Z)-*GL(n, Fp),
ядро которого состоит из матриц вида А = Е + рВ, det/4 = ±l.
Докажем, что любая конечная группа Gc=GL(n, Z) отображает¬
ся при этом изоморфно на некоторую подгруппу группы GL(«,
Fp). Так как в GL(n, Fg) число подгрупп конечно, то отсюда бу¬
дет следовать утверждение, а равенство (9) даст оценку для
|G|. Ядро гомоморфизма G->GL(n, Fp) есть GflKei fp, и нам
надо доказать, что эта подгруппа состоит только из единичного
элемента. Для этого докажем, что группа Кегфр не содержит
элементов конечного порядка, отличных от Е. Предположим,
что A = E+prB, B&Mn(Z) и не делится на р, а Ап=Е, где не
все элементы матрицы В делятся на р. По формуле бинома
П
пр'Вф^СкпргкВь=0.
к= 2
Но элементарное арифметическое рассуждение показывает, что
при р>2 и k>\ все числа под знаком суммы делятся на боль¬
шую степень р, чем прт, что и приводит к противоречию.
§ 14. ПРИМЕРЫ ГРУПП:
БЕСКОНЕЧНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ ГРУППЫ
Мы переходим к рассмотрению бесконечных групп. Конечно,
чисто негативная характеристика «не быть конечной» не отра¬
жает тех ситуаций, которые реально возникают. Обычно беско¬
141

нечное множество элементов группы определяется каким-то кон¬
структивным процессом или формулой. В эту формулу входят
некоторые параметры, которые могут принимать целые значе¬
ния или быть вещественными числами (или даже точками мно¬
гообразий). Это дает основу для неформальной классификации:
группы первого типа называют дискретными, второго — непре¬
рывными. Простейшим примером дискретной группы служит
бесконечная циклическая группа, все элементы которой имеют
вид gn, где п пробегает все целые числа.
Впрочем, дискретные группы часто возникают как дискрет¬
ные (в более точном смысле слова) группы преобразований.
Так, группа целых чисел изоморфна группе тех сдвигов прямой:
х->-х+а, которые сохраняют функцию sin 2ях, и состоит из
сдвигов с целым а. Такую ситуацию мы прежде всего и рас¬
смотрим.
Пусть X — топологическое пространство. Во всех примерах
оно будет предполагаться локально компактным, а чаще всего,
будет многообразием — дифференцируемым или комплексно
аналитическим. Группа G автоморфизмов пространства X назы¬
вается дискретной (или разрывной), если для любого компакт¬
ного множества KczX существует лишь конечное множество
преобразований g&G, для которых KflgK не пусто. В множестве
орбит G\X можно ввести топологию, назвав открытыми мно¬
жествами те, полный прообраз которых при каноническом
отображении
f:X-+G\X
открыт. Если стабилизаторы всех точек х&Х равны е, то гово¬
рят, что G действует свободно. В этом случае любая точка
|£G\X имеет окрестность, прообраз которой при каноническом
отображении f : X-*~G\X распадается в несвязное объединение
открытых множеств, каждое из которых при отображении /
отображается гомеоморфно. Иными словами, X является не-
разветвленным накрытием пространства G\X. В частности, ес¬
ли X было многообразием, то и G\X будет многообразием того
же типа (дифференцируемым или аналитическим).
Если некоторая группа @ возникает одновременно и как
многообразие (такие случаи будут рассмотрены в следующем
параграфе), то ее подгруппа G называется дискретной, если
она дискретна при левом регулярном действии на @.
Построение пространств G\X — важный метод конструкции
новых топологических пространств. Их наглядное представле¬
ние связано с понятием фундаментальной области. Так назы¬
вается множество DczX, если оно пересекается с орбитой любой
точки х€Х и орбита его внутренней точки xGZ) пересекает D
только в точке х. Тогда разные точки одной орбиты, принадле¬
жащие замыканию D множества D, лежат лишь на границе D,
142

и пространство G\X можно представлять себе склеенным из D„
когда на границе D отождествляются точки, принадлежащие од¬
ной орбите. Например, для описанной выше группы сдвигов нря-
мой, состоящей из преобразований х-^-х+а,, фундаментальной
областью является отрезок [0, 1]. Отождествляя граничные точ¬
ки, мы получим окружность. Пространство G\X компактно тог¬
да и только тогда, когда G обладает фундаментальной об¬
ластью, замыкание которой компактно.
Пример 1. Дискретные подгруппы группы векторов ге-мер-
ного вещественного пространства R".
1.	Любая дискретная подгруппа группы Rn изоморфна Zm,
т^.п, и состоит из всех линейных комбинаций некоторых т ли¬
нейно независимых векторов ей , ет с целыми коэффициен¬
тами. ►
Такая группа называется решеткой. Фундаментальную об¬
ласть решетки можно построить, дополнив систему векторов.
ei em до базиса еи ..., еп и положив
D = {a1ei-r •••	0<аг,	.	.., ат< 1}.
Пространство G\Rn компактно тогда и только тогда, когда т=
— п. В этом случае фундаментальная область D является па¬
раллелепипедом, построенным на векторах е\ еп.
Если п — 2, то можно рассматривать плоскость R2 как пло¬
скость одного комплексного переменного. В таком качестве она
обозначается С. Если G — решетка в С, то факторпространство
G\C наследует от С структуру одномерного комплексного мно¬
гообразия, т. е. является компактной римановой поверхностью-
Ее род1’ равен 1, и можно показать, что все компактные рима-
новы поверхности рода 1 так получаются. Мероморфные функ¬
ции на римановой поверхности G\С — это мероморфные функции
f(z) одной комплексной переменной, инвариантные относи¬
тельно сдвигов z-*-z+a, абG, т. е. эллиптические функции, име¬
ющие элементы G своими периодами. Две римановы поверх¬
ности Gi\C и G2\C тогда и только тогда конформно эквива¬
лентны, когда решетки G\ и G2 подобны.
Пример 2. Кристаллографические группы. Это прямое
обобщение примера 1 (точнее, частного его случая с т=п).
Атомы кристалла расположены в пространстве дискретно и
очень симметрично. Это сказывается в том, что их взаимное
расположение в пространстве неограниченно повторяется. Точ¬
нее, существует такая ограниченная область D, что любую точ¬
ку пространства можно перевести в точку этой области при по¬
мощи симметрии кристалла, т. е. движения пространства,
сохраняющего физические свойства кристалла (переводящего
любой его атом в атом того же элемента и сохраняющего все
Здесь мы предполагаем, что читатель знаком с понятием римановой;
поверхности и рода поверхности.
143:

связи между атомами). Иначе говоря, группа G симметрий
кристалла является дискретной группой движений трехмерного
пространства R3 и пространство G\R3 компактно. В связи с
этим, кристаллографической группой называется дискретная
группа G движений n-мерного евклидова пространства Rn, для
которой пространство G\Rn компактно.
Основным результатом теории кристаллографических групп
является
II. Теорема Бибербаха. Параллельные переносы, со¬
держащиеся в кристаллографической группе G, образуют нор¬
мальный делитель А, для которого	компактно,	а	индекс
(G : Л) конечен. ►
Для случая п—3 это означает, что у каждого кристалла су¬
ществует такой параллелепипед П (фундаментальная область
группы Л О G, где G — группа симметрий кристалла), что все
свойства кристалла одинаковы в параллелепипеде П и всех его
сдвигах gll, £бЛ, заполняющих пространство. П называется па¬
раллелепипедом повторяемости кристалла.
В общем случае согласно утверждению 1 группа Л состоит
из параллельных переносов на векторы некоторой решетки
“Z”. Конечная группа F = GIA является группой симметрий ре¬
шетки С. Отсюда, используя теорему Жордана XII § 13, можно
вывести:
III. Число кристаллографических групп в пространстве за¬
данной размерности п конечно. ►
Одинаковыми при этом считаются группы Gi и G2, если их
можно перевести друг в друга аффинным преобразованием про¬
странства Rn. Можно показать, что это свойство совпадает с
изоморфизмом групп Gi и G2 как абстрактных групп.
Возникшие под влиянием кристаллографии кристаллографи¬
ческие группы имеют и очень естественную теоретико-групповую
характеристику. Именно, это в точности те группы G, которые
обладают нормальным делителем конечного индекса, изоморф¬
ным Z" и не содержащимся ни в какой большей абелевой под¬
группе.
Для кристаллографии чрезвычайно важно иметь перечень
всех типов кристаллографических групп в трехмерном прост¬
ранстве. Действительно, указав для каждого кристалла его
группу, ее фундаментальную область и расположение его ато¬
мов в ней, мы тем самым определяем весь кристалл, как бы он
ни разрастался. Это дает метод финитного изображения кри¬
сталлов, реально используемый при составлении кристаллогра¬
фических таблиц. Список всех кристаллографических групп
слишком длинен, чтобы его здесь привести, но представление о
нем может дать двумерный случай.
IV. Число различных кристаллографических групп на пло¬
скости равно 17. ►
144

Каждая из них имеет нормальный делитель A <]G, состоящий
из параллельных переносов на векторы некоторой решетки С.
Преобразования g&G переводят, конечно, эту решетку в себя.
При этом g&A лишь параллельно сдвигают ее. Поэтому конеч¬
ная группа F = G[A является группой симметрий этой решетки
и принадлежит х одному из тринадцати типов, описанных в
теореме VIII § 13. Может, однако, случиться, что две разные
группы G имеют одну и ту же решетку С и определяют одну
и ту же группу ее симметрий. Чтобы привести пример, рассмот¬
рим прямоугольную решетку Гп и группу ее симметрий D, со¬
стоящую из тождественного преобразования и зеркального от¬
ражения относительно оси ОБ (рис. 27).
С^>
суэ
СЗР
в
Рис. 27
Мы можем рассмотреть группу G, порожденную группой Т
параллельных переносов на векторы решетки С и этой группой
ортогональных преобразований D. Группу G можно характеризо¬
вать как группу симметрий узора, изображенного на рис. 27.
С другой стороны, рассмотрим движение s, состоящее из парал-
лельного переноса на вектор ОВ/2 и одновременного зеркального
отражения относительно оси ОВ, и параллельный перенос t на
вектор О А. Обозначим через Gx группу, порожденную s и t.
Так как s2 есть параллельный перенос на вектор О В, то группа
Т и решетка С в обоих случаях будет одна и та же и ее группы
симметрий, порождаемые движениями групп G и Gx, также бу¬
дут совпадать. Однако группы G и Gx не изоморфны: в группе G
содержатся зеркальные отражения, а в группе Gu как легко
проверить, — лишь параллельные переносы и движения, в ко¬
торых зеркальное отражение комбинируется с параллельным
переносом вдоль одной из вертикальных прямых решетки.
В частности, группа G содержит элемент порядка 2, а группа
G, элементов порядка 2 не содержит. Группа Gх совпадает с
группой симметрий узора, изображенного на рис. 16.
Аналогично этому примеру мы можем из 13-ти групп сим¬
10—9339	23
145

метрий, перечисленных в теореме VIII § 13, образовать 13 дву¬
мерных кристаллографических групп, порожденных параллель¬
ными переносами на векторы соответствующей решетки и орто¬
гональными преобразованиями ее симметрий (т. е. действовать
как при построении группы G в рассмотренном примере).
В этом случае стабилизатор G*, где х — любая точка решетки,
будет изоморфен выбранной нами одной из 13-ти групп симмет¬
рий. Но в некоторых случаях возможна более тонкая конструк¬
ция (аналогичная построению группы Gi в примере). Тогда ста¬
ционарная подгруппа будет меньше группы симметрий, так как
некоторые симметрии будут входить в группу G лишь в комби¬
нациях с параллельными переносами (аналогично преобразова¬
нию s в примере). Таким образом, можно построить одну новую
группу для группы симметрий Z>i(rn) (уже построенная нами
выше группа Gi), две группы для ^(Гп) и одну для /)4(ГК).
Так получаются 17 групп.
Закончим примером «новой» группы, соответствующей симмет¬
рии D4 (Гк ). Мы включим в нее группу С4 поворотов плоскости
0/-v	«пс	Зл	<
на углы	О,	^ * я и	~2~ и сДвиг 5 вдоль оси 1У
проходящей	через	точку	О,	соединенный с зеркальным отраже¬
нием относительно	этой оси.	Группа	G порождается этими пре¬
образованиями. Если о —поворот на угол то s' — orsor1 — пре¬
образование, аналогичное s, но с осью V, ортогональной I.
Подгруппа параллельных переносов порождается сдвигами s2 и
(s')2 вдоль осей / и /'. Построенная группа G является группой,
симметрии узора на рис. 28.
Рис. 28
Построенные группы называются также группами орнамен¬
тов, так как их можно интерпретировать как группы симметрий
орнаментов. Полный список орнаментов, соответствующих всем
17-ти группам, содержится, например, в книге [15]. Примерами
таких орнаментов, специально придуманных для характеристи¬
146

ки групп, являются рис. 16, 2? и 28. Но, конечно, гораздо инте¬
реснее те орнаменты, которые были созданы из чисто эстетиче¬
ских соображений. Примером является орнамент на рис. 29, за¬
имствованный из книги [101]. Он интересен тем, что взят из.
некрополя в Фивах и создан древнеегипетскими мастерами. Это-
показывает, что глубокое понимание идеи симметрии, аксиома¬
тизированное в понятии группы, возникло очень давно.
Рис. 29
Положение в трехмерном случае гораздо сложнее.
V.	Число различных кристаллографических групп в трехмер¬
ном пространстве равно 219. При этом, как и в теореме III, мьв
считаем одинаковыми группы, если они изоморфны или, что од¬
но и то же, переводятся друг в друга аффинным преобразовани¬
ем пространства. В кристаллографии число различных кри¬
сталлографических групп часто указывается как 230. Это про¬
исходит от того, что одинаковыми считаются лишь группы,,
переводящиеся друг в друга преобразованием, сохраняющим
ориентацию пространства. Для случая плоскости оба понятия:
«одинаковости» приводят к одной и той же классификации. ►
Все 219 групп реализуются как группы симметрий реальных,
кристаллов.
Теория кристаллографических групп объясняет роль конечных:
групп симметрий решеток, которыми мы занимались в § 13
(пример 7). Симметрии кристалла задаются всей кристаллографи¬
ческой группой О, но ввиду того, что расстояния между его'
атомами очень малы, макроскопически наиболее заметна не группа
параллельных переносов А, а факторгруппа G/А—группа сим¬
метрий решетки А. Интересно отметить, что в списке групп-
в теореме VII § 13 мы встречаем лишь группы, в которых
содержатся повороты только на углы	и	их	кратные. По¬
этому лишь такие повороты могут встречаться в качестве сим¬
метрий кристаллов. Тем более поразительно, что в живой при¬
роде очень часто встречаются и другие симметрии. Например,,
симметрию пятого порядка имеют всем знакомые цветы герани
10*
147"

и колокольчика. На рис. 30, заимствованном из книги [11], вид¬
на симметрия пятого порядка цветка колокольчика (а) и стапе-
лии пестрой (б), и симметрия седьмого порядка в расположении
листьев баобаба (в).
в)
Рис. 30
Пример 3. Неевклидова кристаллография. Часто интерес¬
ны дискретные группы движений не только евклидовых, но и
других пространств. Здесь будет сказано о случае плоскости Ло¬
бачевского Л, причем мы рассмотрим лишь дискретные группы
сохраняющих ориентацию движений G плоскости А, удовлетво¬
ряющие двум условиям: 1) движение gGG, g^e, не оставляет
на месте ни одной точки плоскости А и 2) пространство G\A
компактно. В случае евклидовой плоскости этими свойствами
обладают лишь группы параллельных переносов на векторы не¬
которой решетки.
Интерес к подобным группам G возник в связи с тем, что
пространство G\A при выполнении условия 1) является много¬
образием, в данном случае — поверхностью. Если же воспользо¬
ваться интерпретацией Пуанкаре плоскости Лобачевского в
148

верхней полуплоскости С+ плоскости комплексного переменного,
то поверхность G\А наследует комплексную структуру верхней
полуплоскости, т. е. (при выполнении условия 2)) является ком¬
пактной римановой поверхностью. Мероморфные функции на
римановой поверхности G\C+— это мероморфные функции на
С+, инвариантные относительно группы G. Они называются ав-
томорфными функциями. Это можно сопоставить с ситуацией в
примере 1, где мы рассматривали пространство G\С. В том
случае мы получали компактные римановы поверхности рода 1.
Доказано, что в рассматриваемом теперь случае мы получаем;
как раз все компактные римановы. поверхности рода большего 1
(теорема Пуанкаре — Кёбе об у н и ф о р м а ц и и).
Таким образом, оба эти случая вместе дают теоретико-группо¬
вое описание всех компактных римановых поверхностей. (Оста,
ющийся случай рода 0 — это риманова сфера.)'
В качестве фундаментальной области группы G рассматри¬
ваемого типа можно взять 4/7-угольник на плоскости Лобачевского>
с равными парами сторон, идущими через одну: аъ Ьъ avb\, ...
...,ар, Ьр,а'р, Ьр, где и а\, bL и Ь\ — равные отрезки. Преоб¬
разования, переводящие сторону а2 в а\ или bt в Ь\ (направления
сторон, которые при этом отождествляются, указаны на рис. 31),.
являются образующими группы G.
Рис. 31
Единственным соотношением, которому при этом должен удов¬
летворять многоугольник, —это, конечно, равенство сторон ае
и а\ (и Ьп и Ь[) и то, что сумма его углов должна быть 2я
(это связано с тем, что з G\A все его вершины склеиваются
в одну точку).
Пример За. Важный частный случай примера 3 возникает,
если рассматривать интерпретацию Кэли—Клейна (а не Пуан¬
каре) плоскости Лобачевского. Пусть f(x, у, z) — неопределен¬
ная квадратичная форма с целыми коэффициентами. Рассмот¬
рим группу Gc:SL(3, Z), состоящую из целочисленных преоб¬
разований, сохраняющих форму /. Интерпретируя х, у, z как
149

■однородные координаты на проективной плоскости, мы реализу¬
ем G как группу проективных преобразований множества f>О,
т. е. группу движений плоскости Лобачевского Л в интерпрета¬
ции Кэли—Клейна. Можно доказать, что пространство G\A
компактно тогда и только тогда, когда уравнение f(x, у, z)=0
-не имеет в Q решений, кроме (0, 0, 0). (Признак разрешаемо-
сти этого уравнения дает теорема Лежандра — теорема III
§ 7.) В этом случае условие 1) из примера 3 может быть не
выполнено — это будет так, если G содержит элементы конечно¬
го порядка, кроме е. Но тогда существует подгруппа G'czG ко¬
нечного индекса, удовлетворяющая условию 1): применяя рас¬
суждение, приведенное в конце примера 9 § 13, можно показать,
что годится подгруппа, состоящая из матриц g£G, g=E(mod р)
(при любом выборе простого числа рф 2).
Пример 4. Группа SL(2, Z), состоящая из целочисленных
матриц второго порядка с определителем 1. Значение этой
группы связано с тем, что в двумерной решетке два базиса в\,
е2 и /ь /г связаны соотношениями
f i = aei-\-св2, f 2~bei-\-de2,
а, b, с, deZ, ad—bc—±\,
т. e. ^6GL (2, Z). Если же мы хотим, чтобы направление дви¬
жения от fx к /2 совпадало с направлением движения от ех к е2,
то ad—bc= 1, т. е. ^ ^jgSL (2, Z). Часто встречающаяся зада¬
ча— это классификация решеток на евклидовой плоскости
■с точностью до подобия. В примере 1 мы видели, что к ней
«водится, например, классификация компактных римановых поверх¬
ностей рода 1. Как и там, мы реализуем нашу плоскость как
плоскость комплексного переменного С: тогда подобия задаются
как умножения на комплексные числа, отличные от 0, Пусть
zlt z2 — базис решетки С с С. Угол между векторами zx и z2 мы
будем считать <я, а порядок векторов выбирать так, чтобы
поворот от z, к z2 происходил против часовой стрелки. Произведя
подобие, которое выражается умножением на z~l, мы получим
подобную решетку С' с базисом 1, z, где z = z~1z2, причем
ввиду сделанных предположений z лежит в верхней полупло¬
скости С+. Такие базисы 1, z и 1, w определяют подобные
решетки, если базис bz-\-d, az-j-c, где а, b,c,d£Z,ad — bc = 1,
может быть подобием переведен в 1, <ш. Это подобие должно
задаваться умножением на (bz-\-dyl и, значит, w = ~^c-. Таким
ог + а
образом, мы определяем действием группы SL (2, Z) на верхней
полуплоскости С+: для g=(^ ^JFSL (2, Z),	=	При этом
450

матрица I о — 1) действует тождественно, так что мы имеем
торгруппа обозначается PSL(2, Z). Она называется модулярной
группой. Мы видим, что множество решеток с точностью до
подобия изображается как G\C+, где G— модулярная группа.
Модулярная группа дискретно действует на верхней полупло¬
скости. Ее фундаментальная область изображается фигурой,
заштрихованной на рис. 32.
Эта область D называется модулярной фигурой. Она не
ограничена, но обладает другим важным свойством. Как изве¬
стно, верхняя полуплоскость является моделью плоскости Лоба¬
чевского, причем движения, сохраняющие ориентацию, задаются
в ней как преобразования
Таким образом, модулярная группа есть дискретная группа
движений плоскости Лобачевского. В смысле геометрии Лоба¬
чевского площадь модулярной фигуры конечна. Ввиду этого по¬
верхность G\C+ некомпактна, но в естественной метрике имеет
ограниченную площадь.
Модулярная группа аналогична группам, рассматривавшим¬
ся в примере 3, но не относится к их числу: во-первых, некото¬
рые ее преобразования имеют неподвижные точки (например,
z->—1/z), а во-вторых, G\А некомпактно. Аналогия с приме¬
ром 3 будет яснее, если представить себе модулярную фигуру
с точки зрения геометрии Лобачевского. Она представляет со¬
бою треугольник с одной бесконечно удаленной вершиной, при¬
чем сходящиеся к ней стороны неограниченно сближаются. Это
лучше видно для эквивалентной области D' на рис. 32.
Пример 5. Группа G = GL(n, Z). Она является дискретной
подгруппой группы GL(n, R) и действует там же, где и эта
группа. Особенно важно ее действие на множестве вещест¬
венных положительно определенных матриц А, определенных с
аб —ру = 1, а, р, у, 66R.
-1 -1/2 О 1/Z	1
Рис. 32
151

точностью до положительного множителя: g(Л) — gAg* (ср. при¬
мер 4 § 12 для п = 2). Это действие выражает понятие целочис¬
ленной эквивалентности квадратичных форм. Фундаментальная
область здесь тоже некомпактна, но имеет ограниченный объем
(в смысле меры, инвариантной относительно действия группы
GL(n, R)).
Группы GL(n, Z) относятся к важному классу арифметиче¬
ских групп, о которых будет сказано в следующем параграфе.
Пример 6. Свободные группы. Рассмотрим множество
символов Si, ..., sn (для простоты мы будем его мыслить конеч¬
ным, хотя рассуждения от этого не зависят). Каждому символу st
сопоставим еще один символ sy1. Словом называется последова¬
тельность (рядом написанных) символов s; и sjx в произвольном
порядке, например, s&SzSy-Допускается и пустое слово е,
в которое не входит ни один символ. Слово называется приведен¬
ным, если в нем нигде рядом не стоят символы st и sy1 или sy1
и St. Обратным к слову называется такое слово, в котором все
символы написаны в обратном порядке с заменой на sy1 и sy1
на Si- Произведением слов А и В называется слово, которое
получается, если написать В за А и потом выбрасывать все
стоящие рядом пары st и sr1, пока не получится приведенное
слово (может быть, пустое). Множество приведенных слов с этой
операцией умножения образует, как нетрудно проверить, группу.
Эта группа называется свободной группой с п образующими
и обозначается 9п. Очевидно, что слова sh...,sn, состоящие
каждое из одного символа, являются ее образующими, sy1 будет
обратным к st, и произвольные слова можно трактовать как произ¬
ведения Si и sy1.
Свободную группу 9>2 с образующими х и у можно реализо¬
вать как группу преобразований одномерного комплекса, т. е.
топологического пространства, состоящего из точек и соединя¬
ющих их отрезков. Для этого за точки возьмем все различные
элементы группы и соединим точки, соответствующие приве¬
денным словам А и В, если В получается из А умножением
справа на х, у, х~х или у~х (см. рис.33).
Очевидно, что если слова А и В изображены точками, соединен¬
ными отрезком, то это верно и для СА и СВ для любого С^92.
Поэтому левое регулярное действие (§ 12) группы 92 опреде¬
ляет ее действие на этом комплексе. Если ввести в комплексе
«биориентацию», выделив два направления отрезков — вправо и
вверх (это сделано на рис. 33), то группа 92 будет, как легко
убедиться, полной группой автоморфизмов биориентированного
комплекса.
Рассмотрим произвольную группу G, имеющую п образую¬
щих gi,..., gn. Легко видеть, что соответствие, сопоставляющей
приведенному слову от Si,..., такое же выражение от gu ...
152

Рис. 33
..., gn, является гомоморфизмом 9*„ на G. Поэтому любая груп¬
па является гомоморфным образом свободной — свободные
группы играют в теории групп ту же роль, что свободные моду¬
ли в теории модулей и некоммутативные кольца многочленов в.
теории алгебр (см. §§ 5 и 8).
Пусть
G=9>JN
— представление группы G как факторгруппы свободной груп¬
пы З’п по нормальному делителю N. Элементы гь ..., гт, кото¬
рые, вместе со своими сопряженными, порождают группу Ny
называются определяющими соотношениями группы G. Очевид¬
но, что в G выполнены соотношения
Гх = е, .. .,rm = e
(гг рассматриваются как слова от образующих gb ..., g„ группы
G). Указание определяющих соотношений однозначно определяет
нормальный делитель N, а значит, и группу G. Это придает
точный смысл термину группа, заданная соотношениями,
которым мы уже пользовались. Группа, имеющая конечное число
образующих, называется конечно порожденной, а если она
может быть задана и конечным числом соотношений — то и конеч¬
но определенной. Например, формулы (1),	(2)	и	(3)	предшест¬
вующего параграфа являются определяющими соотношениями
группы <3„, а формулы (7) и (8) — конечной группы, порожденной
отражениями. Можно показать, что в группе PSL (2, Z) (см. при¬
133

мер 4) матрицы s = ^_j q| и * = (i _]) являются образующи¬
ми, а определяющие соотношения этой группы имеют вид:
s2 = е, t3 = e.
Можно ли считать задание группы образующими и соотноше¬
ниями адекватным ее описанием (даже если число образующих
и соотношений конечно)? Если gx, ..., gn — образующие группы G,
то для того чтобы иметь представление о самой группе, мы
должны знать, когда разные выражения вида
fTl
определяют (в силу заданных соотношений) один и тот же эле¬
мент группы. Этот вопрос был назван проблемой тождества.
Она тривиальна для свободных групп и была решена для неко¬
торых очень специальных классов групп, например, для групп,
заданных одним соотношением, но в общем случае оказалась
недоступно трудной. То же можно сказать и о другой пробле¬
ме такого типа — узнать, будут ли изоморфны две группы, за¬
данные образующими и соотношениями. (Она называется про¬
блемой изоморфизма.)
Обе эти проблемы были перенесены в другую плоскость, ког¬
да в математической логике было создано точное определение
алгоритма. До этого можно было только решить проблему тож¬
дества и предъявить процедуру, называемую алгоритмом, для
установления тождественности двух выражений, составленных
из образующих. Теперь же оказался точно поставленным во¬
прос — всегда ли проблемы тождества и изоморфизма разре¬
шимы? Вскоре он был решен. Оказалось, что среди групп, за¬
данных конечным числом образующих и соотношений, сущест¬
вуют группы, для которых не разрешима проблема тождества, и
группы, для которых не разрешима проблема изоморфизма да¬
же с единичной группой!
Пожалуй, наиболее ярким примером принципиальной необ¬
ходимости привлечения понятий математической логики к
исследованию чисто теоретико-групповых проблем является
М Теорема Хигмана. Группа с конечным числом обра¬
зующих и бесконечным числом определяющих соотношений тог¬
да и только тогда изоморфна подгруппе группы, определенной
конечным числом соотношений, когда множество ее соотноше¬
ний рекурсивно перечислимо. (Последний термин, также отно¬
сящийся к математической логике, формализует интуитивное
понятие об индуктивном способе перебрать все элементы неко¬
торого множества, строя их один за одним). ^
Задание групп образующими и соотношениями чаще всего
встречается в топологии.
Пример 7. Фундаментальные группы. Пусть X — тополо¬
гическое пространство. Его фундаментальная группа состоит
из замкнутых путей, рассматриваемых с точностью до непрерыв-
154

мой деформации. Путем с началом в точке х£Х и концом уЧХ
называется непрерывное отображение
f : 1~*-Х отрезка /= [0^^1]
:в X, при котором f(0)=x, f(l)=y. Путь называется замкнутым,
-если х—у. Композицией пути f: 1~*-Х с началом х и концом у и
пути g : 1-*-Х с началом у и концом z называется отображение
,fg : 1-*-Х, заданное формулами
(/g) (*) = /(20 при 0<*<1/2,
(/g)W=g(2< —1) при 1/2<*<1.
Пути f : I-+-X и g: 1-*-Х оба с началом х и концом у называют¬
ся гомотопными, если существует такое непрерывное отображе¬
ние квадрата
/={0s£f, и<1}, <р
что ф(^ 0)=f(t), ф(t, 1 )=g(t), ф(0, и)=х, ф(1, и) =у.
Замкнутые пути с началом и концом лг0, рассматриваемые с
точностью до гомотопии, образуют группу относительно умно¬
жения, определенного как композиция путей. Эта группа назы¬
вается фундаментальной группой пространства X. Она обозна¬
чается я^).'1 В общем случае фундаментальная группа зави¬
сит от выбора точки х0 и обозначается я(Х, х0), но если любые
две точки пространства X можно соединить путем (а мы будем
дальше это всегда предполагать), то все группы я(Х, х0),
х0£Х, изоморфны. Пространство X называется односвязным, ес¬
ли я(Х) = 1.
Если X является клеточным комплексом (т. е. объединением
депересекающихся «клеток» — образов шаров разных размерно¬
стей) и имеет единственную нульмерную клетку, то фундамен¬
тальная группа л(Х) имеет в качестве образующих пути, соот¬
ветствующие одномерным клеткам, а определяющие ее соотно¬
шения соответствуют двумерным клеткам. Например,
одномерный комплекс не имеет двумерных клеток, и поэтому
его фундаментальная группа — свободная. Фундаментальная
группа «букета» из п окружностей (см. рис. 34 для п—4) яв¬
ляется свободной группой с п образующими.
ч Она обозначается также Я\(Х), в связи с тем, что существуют и груп¬
пы пп(Х) для п =1,2,3..., которые будут определены в § 20.
155

Ориентируемая компактная поверхность, гомеоморфная сфе¬
ре с р ручками (см. рис. 35 при р = 2), может быть получена
склеиванием идущих через одну пар сторон 4/7-угольника —
так, как это изображено (при р — 2) на рис. 31.
Рис. 35
Она является, следовательно, клеточным комплексом с одной
нульмерной, 2р одномерными и одной двумерной клетками. По¬
этому ее фундаментальная группа имеет 2р образующих: Si,
Sb h, •••, sp, tp, где st получаются из путей at и a';	—из bt
и b\. Они связаны соотношением, отражающим направления
сторон при обходе границы 4/7-угольника:
sKtxsTxt\X...sptps~xt~x = e.	(1)
Неразрешимость проблемы изоморфизма для групп дает
возможность (строя многообразия с такими фундаментальны¬
ми группами) показать неразрешимость проблемы гомеомор¬
физма для многообразий размерности ^4.
Фундаментальная группа тесно связана с рассматривавшимися
нами раньше дискретными группами преобразований. Именно,
если X—пространство, в котором любые две точки соединяются
путем, то существует такое односвязное связное пространство X
(т. е. такое, что я(Х) = е), на котором действует группа G,
/Ч	А
изоморфная я(Х), причем X=G\X. Пространство X назы¬
вается универсальной накрывающей для X. Наоборот, если
As
—связно и односвязно, а группа G действует на нем дискретно
As
и свободно, то X является универсальной накрывающей для
AS
X = G\X, а G изоморфна я(20- Так, в примере 3, риманова
поверхность X представляется как G\С+. Значит, С+ является
универсальной накрывающей для X и G=^n(X). Отсюда мы
получаем, что группа G задается определяющим соотношением
As
(1). Комплекс X, изображенный на рис. 33, очевидно, односвязен,
и на нем свободно действует группа 92. Легко видеть, что
фундаментальной областью для этой группы будут два отрезка
ех и еу. Поэтому 92\Х есть букет двух окружностей (полу¬
156

чающихся отождествлением е с х и с у), как на рис. 34 (но при
п = 2), и X — универсальная накрывающая для этого букета.
Пример 8. Группа узла. Узлом называется гладкая, не
пересекающая себя замкнутая кривая в трехмерном простран¬
стве. Задача заключается в классификации узлов с точностью
до изотопии — непрерывной деформации пространства. При
этом, основным инвариантом является группа узла Г — фунда¬
ментальная группа дополнения n(R3\T). Для наглядного изо¬
бражения узла, его проектируют на плоскость, указывая на по¬
лучающемся чертеже, для каждой точки пересечения, какая
кривая идет снизу, а какая — сверху (рис. 36).
Образующие группы узла соответствуют отрезкам, на кото¬
рые точки пересечения разделяют получающуюся кривую (на¬
пример, путь у на рис. 36 соответствует отрезку АБС). Можно
показать, что определяющие соотношения соответствуют точ¬
кам пересечения. Простейший узел — незаузленная окруж¬
ность — может быть спроектирован без самопересечений, и по¬
тому его группа является бесконечной циклической группой.
Роль группы узла иллюстрирует, например, следующая тео¬
рема:
< Узел тогда и только тогда изотопен незаузленной окруж¬
ности, когда их группы изоморфны. ►
Мы встречаемся здесь с примером, когда содержательный
топологический вопрос приводит к частному случаю проблемы
изоморфизма.
Пример 9. Группы кос. Рассмотрим квадрат ABCD и по¬
местим как на стороне АВ, так и на стороне CD по набору из п
точек: Ри ..., Рп и Qb ... Qn. Косой называется набор п глад¬
ких непересекающихся кривых, содержащихся в кубе, построен¬
ном на квадрате ABCD, начинающихся в точках Ри ■ ■ ■, Рп и
кончающихся в точках Qi,. • •, Qn (но, может быть, в другом по¬
рядке (рис. 37а)). Коса рассматривается с точностью до изо¬
топии. Умножение кос изображено на рис. 376. Отождествив
точки P.i и Qi, мы получаем замкнутые косы. Классы замкну¬
тых кос с точностью до изотопии образуют группу кос 2П. Об¬
разующими в группе являются косы <т,г-, £ = 1, . .., п—1, в ко-
Рис. 36
157

в
с
А
Л
5)
5)
Рис. 37
торых переставляются лишь две нити (рис. 37 в). Определяю¬
щие соотношения имеют вид:
Вопрос об изотопической эквивалентности кос переформули¬
руется как проблема тождества в группе кос, определенной со¬
отношениями (2). В таком частном случае проблема тождества
разрешима и решена — это одно из приложений теории групп к
топологии.
Значение группы кос заключается в том, что коса определяет
движение п несливающихся точек на плоскости, причем порядок
точек не играет роли. Точный результат таков. Обозначим через
^множество тех точек (zb ..., г„)бСл, в которых zt = Zj для
некоторых J. Симметрическая группа действует в С",
переставляя координаты, и сохраняет 2). Обозначим через Хп
многообразие @П\(СЛ\.25). Группа кос 2„ является его фунда¬
ментальной группой: 2„=я(А'„).
Точка	—	это	неупорядоченный	набор	п различных ком¬
плексных чисел Zj, ..., zn. Его можно задать, указав коэф¬
фициенты аъ ..., ап многочлена tnOitn~l ~\~ ... -{-an = (t — Zj)...
. ,(t — zn). Поэтому мы можем сказать, что 2„—я(Сл\Л), где
С" — пространство переменных аь ..., а„, а Л получается прирав¬
ниванием 0 дискриминанта многочлена с коэффициентами Оц ..., ап.
Мы переходим к рассмотрению групп, элементы которых за¬
даются непрерывно меняющимися параметрами. Иными слова¬
ми, множество элементов такой группы, возникающей часто в
связи с геометрическими или физическими вопросами, само об¬
ладает «геометрией». Эта геометрия может иногда быть очень
простой, а иногда — далеко не тривиальной.
Например, группа сдвигов числовой прямой: х-*-х+а, ot;6R,.
отражающая изменение координаты при изменении начала от¬
счета, изоморфна, очевидно, группе вещественных чисел по сло¬
alaJ = ajal при ]фь± 1,
GiGuiai = Oi+iOtaM-
(2>
§ 15. ПРИМЕРЫ ГРУПП:
ГРУППЫ ЛИ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
158

жению и параметризуется точками прямой. В группе вращений
плоскости вокруг неподвижной точки О каждый элемент за¬
дается углом поворота <р, причем два значения <р определяют
одно и то же вращение, когда они отличаются на целое крат¬
ное 2л. Поэтому наша группа изоморфна R/2nZ и параметри¬
зуется точками окружности с центром в О: поворот задается
той точкой окружности, в которую он переводит некоторую точ¬
ку, выбранную как начало отсчета. Ту же окружность можно
представлять себе как фундаментальную область группы 2nZ—
отрезок ! [О, 2л], у которого отождествлены крайние точки. Од¬
нако, столь простые примеры еще не дают возможности почув¬
ствовать специфику возникающих здесь ситуаций.
Пример 1. Группа вращений трехмерного пространства.
Эта группа возникает в связи с описанием движения твердого
тела, у которого одна точка остается неподвижной (мы будем
предполагать это тело трехмерным, не вмещающимся в пло¬
скость). Свяжем теперь с телом жестко систему координат с
центром в неподвижной точке О. Тогда движение тела опреде¬
лит движение всего пространства: такое, прн котором координа¬
ты каждой точки относительно подвижной системы координат
не меняются, т. е. пространство движется вместе с телом. Если
сравнить положение всех точек в моменты 1=0 и t=t0, то оче¬
видно, что они переместятся так, что расстояния меняться не:
будут. Иными словами, переход от начального положения к
положению в момент t=tо будет ортогональным преобразовани¬
ем ф( трехмерного пространства (оставляющим на месте нача¬
ло координат О). Однако, так как преобразование <pt зависит
от i и зависит, очевидно, непрерывно, оно должно сохранять,
ориентацию пространства. Ортогональное преобразование трех¬
мерного пространства, сохраняющее его ориентацию, называет¬
ся вращением. Оно действительно реализуется как поворот на
определенный угол вокруг некоторой оси:	эта теорема
Эйлера может быть доказана элементарным геометрическим
рассмотрением. Она также следует из того, что характеристи¬
ческий многочлен |Х£—Л| нашего преобразования А, как мно¬
гочлен 3-й степени с отрицательным свободным членом
(|Л|>0, так как А не меняет ориентацию), должен иметь по¬
ложительный корень, который ввиду ортогональности А равен
1, — соответствующий собственный вектор и определяет ось
вращения.
Таким образом, элементы группы вращений описывают все
положения, которые может занимать неподвижное тело, двига¬
ясь с закрепленной точкой О, а любое реальное движение этого
тела описывается кривой (параметризуемой временем t) в этой
группе; группа вращений является конфигурационным прост¬
ранством движущегося твердого тела с закрепленной точкой.
Какова же она «геометрически»? Чтобы ее увидеть, зададим
поворот на угол <р вокруг оси I вектором, идущим в направле-
159-

■Нии I и имеющим величину <р (считая, что — я^ф^я). Такие
векторы заполнят шар радиуса я с центром О. Однако, точки
граничной сферы, соответствующие одной и той же оси, но
разным значениям ф=—я и ф = я, определят одно и то же вра¬
щение. Таким образом, группа вращений описывается шаром в
трехмерном пространстве R3, у которого отождествлены диа¬
метрально противоположные точки границы. Как известно, при
таком отождествлении получается трехмерное проективное про¬
странство Р3: это и есть геометрическое описание группы вра¬
щений.
То же описание группы вращений трехмерного пространства
можно получить и другим способом. Рассмотрим группу G, со¬
стоящую из кватернионов q с нормой 1 (ср. пример 5 § 8). Она
задается (если q = a + bi + cj + dk) уравнением
a2 + b2--c2 + d2 = \,
т. е. является трехмерной сферой S3. Пусть & — трехмерное про¬
странство чисто мнимых кватернионов, определенных условием
Rex = 0. Группа G действует на & по закону x-+qxq~l, хв&,
qeG. Так как | qxq~l [ = | q \[х \ \ q\-1 = | х |, то в S’ возникает
ортогональное преобразование. Легко видеть, что q действует
единично, только если <7 = ±1, так что мы получаем гомомор¬
физм f группы G в группу ортогональных преобразований трех¬
мерного пространства, с ядром ±1. Так как группа G связна,
то образ f должен содержаться в группе вращений, а из срав¬
нения размерностей легко увидеть, что он должен с ней совпа¬
дать. Иными словами
I. Группа вращений трехмерного пространства изоморфна
факторгруппе группы G кватернионов с нормой 1 по подгруппе,
состоящей из ±1.^
Так как группа G есть трехмерная сфера, то, значит, группа
вращений трехмерного пространства получается из сферы S3
отождествлением диаметрально противоположных точек. Мы,
тем самым, еще раз получили отождествление этой группы с
трехмерным проективным пространством.
Мы встречаемся, таким образом, с примерами групп преоб¬
разований (группа сдвигов прямой, вращений плоскости, вра¬
щений трехмерного пространства), элементы каждой из которых
естественно взаимно однозначно параметризуются точками не¬
которого многообразия X (прямой, окружности, трехмерного
проективного пространства). Следующий шаг заключается в
том, чтобы абстрагироваться от задания нашей группы как
группы преобразований и считать, что многообразие X являет¬
ся адекватным описанием множества элементов группы и груп¬
повой закон задан на этом множестве X. Так мы приходим к
понятию группы Ли, имеющему два варианта в зависимости от
того, предполагаем ли мы X дифференцируемым, или комплекс¬
но аналитическим многообразием. Тогда и группа Ли называет¬
160

ся дифференцируемой или комплексно аналитической. Опреде¬
ление таково:
<4 Группа G, являющаяся одновременно дифференцируемым
(или комплексно аналитическим) многообразием, называется груп¬
пой Ли, если отображения
G-+G,g-+g~l
и
G X G->G, (gb g2)->gig2
дифференцируемы (или комплексно аналитические). ^
То что множество элементов группы Ли G образует много¬
образие, снабжает его геометрией. Алгебра (т. е. наличие груп¬
пового закона) делает эту геометрию однородной. Элементы
левого регулярного представления называются сдвигами на
элементы группы и определяет транзитивную группу преобразо¬
ваний (дифференцируемых или комплексно аналитических)
группы G. Пользуясь ими, можно, например, исходя из каса¬
тельного вектора т в единичной точке eGG, получить, при помо¬
щи левого сдвига на элемент g, касательный вектор хв в точке
gGG, т. е. векторное поле на всей группе G. Такие векторные по¬
ля называются левоинвариантными. Точно так же можно стро¬
ить лев о- (или право)-инвариантные дифференциальные фор¬
мы на G. Наконец, тем же способом можно построить на G
лево- (или право) -инвариантную риманову метрику.
Теорема 1, описывающая группу вращений трехмерного про¬
странства, дает пример геометрических свойств, типичных для
многих групп Ли. Во-первых, гомоморфизм G-»-G./(± 1) (где
G — группа кватернионов с нормой 1) является, очевидно, не-
разветвленным накрытием. Так как группа G диффеоморфна
трехмерной сфере, то она связна и односвязна, т. е. является
универсальной накрывающей группы вращений (ср. пример 7
§ 14). Отсюда следует, что для группы вращений фундаменталь¬
ная группа п имеет порядок 2. Мы можем получить не только
топологическую, но и дифференциально-геометрическую инфор¬
мацию о группе вращений. Ее инвариантная риманова метрика
может быть согласована с такой же метрикой группы G. Но G
есть сфера S3 и, значит, многообразие положительной римано¬
вой кривизны. Тем самым, это верно и для группы вращений.
Можно показать, что для любой компактной группы Ли инва¬
риантная риманова метрика имеет неотрицательную кривизну,
а направления, в которых эта кривизна нулевая, соответствуют
коммутативным подгруппам.
Замкнутое подмногообразие HczG, одновременно являюще¬
еся подгруппой группы Ли G, называется ее подгруппой Ли.
В этом случае множество классов смежности H\G, как мож¬
но показать, также является многообразием, причем отображе¬
ние G-+H\G и действие G на H\G дифференцируемы (или
11—9339	23
161

комплексно аналитичны). Так как действие G на H\G тран¬
зитов нно, то H\G является однородным многообразием отно-.
сительно группы G. Соотношению (9) § 12 здесь соответствует
соотношение
dimG=dim//+dim//\G.	(iy
Дальше мы разберем подробнее два типа групп Ли: компакт¬
ные и комплексно аналитические, опишем важнейшие приме¬
ры того и другого типа и их связи,
А.	Компактные группы Ли.
Пример 2. Торы,. В /г-мерном вещественном векторном про¬
странстве L рассмотрим решетку С = Zei + ... -f Zen, где еъ...
..., ел — некоторый базис L. Факторгруппа Т =LjC компактна.
Она является группой Ли и называется тором. Так как
L = Rei + .. • -г Re„, то
r^(R/Z)X-..X(R/Z).
Факторгруппа R/Z является окружностью, а /г-мерный тор — пря¬
мым произведением и-окружностей. Торы имеют громадное коли¬
чество применений, из которых укажем три.
а) Периодические функции с периодом 2п — это функции
на окружности R/2nZ. Такая точка зрения, как мы дальше
увидим, дает новый взгляд на теорию рядов Фурье.
б) Возьмем за L плоскость комплексного переменного С.
Этот случай мы уже рассматривали в примере 1 § 14. Если
СсС — решетка, то тор С/С наследует от С структуру комп¬
лексного аналитического многообразия. Как комплексные мно¬
гообразия торы С/С имеют размерность 1. Можно показать,
что это — единственные компактные комплексно аналитические
группы Ли комплексной размерности 1. Аналогично, произволь¬
ная компактная комплексно аналитическая группа Ли являет¬
ся тором
СП/С, где C=Zei+—Ze2n
— решетка в 2л-мерном вещественном пространстве С7*..
В частности, такая группа обязательно абелева.
в) В классической механике теорема Лиувилля утверж¬
дает, что если в механической системе с п. степенями свободы
известны п независимых первых интегралов 1Ъ..., /и, находя¬
щихся в инволюции (т. е. таких, что все скобки Пуассона-,
l/ct, р] =0), то система интегрируется в квадратурах. Доказа¬
тельство основывается на том, что в 2/г-мерном фазовом прост¬
ранстве /г-мерное многообразие уровня
Тс: 1а = Са. (а = 1,. • •, п, c = (ci,.-..,cn))
является тором. Это сразу следует из того, что на Тс функции:
/<х определяют п векторных полей: они задаются дифференци-
162

альными формами dla (при помощи симплектической метрики,
определенной на фазовом пространстве). Каждое векторное поле
определяет однопараметрическую группу преобразований Ua(t)T
а соотношения [/а, /р]=0 означают, что преобразования Ua(tj
и Uр (i2) коммутируют. Таким образом, на многообразии Тс дей¬
ствует группа Ли R": точке	..., *„)6Rn соответствует преобра¬
зование Ux{t^).. .Un (tn). Отсюда следует, что Тс является
факторгруппой R" по стационарной подгруппе Н некоторой точ¬
ки x<jbTe. Так как размерность Гс есть я и Те компактно (на
нем постоянна кинетическая энергия, являющаяся положи¬
тельно определенной формой), то Tc = Rn(H есть тор. Таким об¬
разом, движение точки, соответствующей системе, всегда про¬
исходит по тору, причем, сверх того, доказывается, что точка
движется по одномерной подгруппе этого тора (чему соответ¬
ствует введение, так называемых, координат «действие—угол»).
Перейдем к примерам некоммутативных компактных грушь
Ли. Мы опишем три серии групп (примеры 3, 4, 5), обычно на¬
зываемых классическими. Каждая из этих групп появляется в
нескольких вариантах. Обычно это некоторые группы матриц.
Для такой группы G все содержащиеся в ней матрицы с опре¬
делителем 1 обозначаются SG (S— от слова «специальная»).
Факторгруппы групп G и SG по их центрам обозначаются PG
и PSG (Р — от слова «проективная»).
Пример 3. Ортогональная группа О(п), состоящая из
всех ортогональных преобразований я-мерного евклидова про¬
странства. Эта группа действует на единичной сфере Sn_I в
я-мерном пространстве. Если еб5"-1, | е | — 1, то стабилизатор'
точки е действует в гиперплоскости, ортогональной е, и изо¬
морфен 0(я—1). Поэтому ввиду (1)
dim О (я) = dim О (я— 1) -j- я— 1,
dim О (я)=я (я—1)/2.
Группа О (я) не связна. Она имеет важную подгруппу ин¬
декса 2, обозначаемую SO (я) и состоящую из ортогональных
преобразований с определителем 1. Легко доказать, что группа
SО(я) связна. Если я нечетно, то центр группы SO (я) состо¬
ит из Е, а если четно — то из £ и —Е. Факторгруппа группы
SO (я) по ее центру обозначается PSO(fi). Группа вращений
трехмерного пространства (пример 1)—это SO(3).
Естественное обобщение группы О (я) связано с рассмотре¬
нием произвольной невырожденной квадратичной формы
-*1+ ••• + Xl — Xl+i — ••• — Х1+д' £ + <7 = «"
Линейные преобразования пространства R", сохраняющие эту
форму, образуют группу Ли, обозначаемую 0{р, q). Эта
группа компактна, лишь если р=0 или <7 = 0. Мы встретимся с
ней (при других значениях ряд) позже.
11*
163

Пример 4. Унитарная группа U (п), состоящая из унитар¬
ных преобразований n-мерного эрмитова комплексного прост¬
ранства. Как и в примере 3, доказывается, что dimU(n)=n2.
Определитель преобразования из U(n) есть комплексное чис¬
ло, по модулю равное 1. Преобразования с определителем 1
образуют подгруппу SU(n) размерности п2—1. Центр под¬
группы SU(rt) состоит из преобразований sE, s"=l. Фактор¬
группа по центру обозначается PSU(n).
Пример 5. Рассмотрим n-мерное пространство Н" над те¬
лом кватернионов (пример 5 § 8). Определим в нем скалярное
произведение со значениями в Н:
П
((xi> • • • >	{У\,	...) уп)) =	х1Уи	(2)
/=1
где yt — сопряженные кватернионы. Группа линейных преобразо¬
ваний из AutHHn, сохраняющих это скалярное произведение,
называется унитарно симллектияеской, и обозначается Sp U (п,).
При п = 1 мы получаем группу кватернионов q с модулем 1.
В общем случае
dim Sp U {п)=2га2 + п.
Между различными классическими группами существуют связи,
которые часто оказываются полезными.
Теорема I может быть теперь коротко записана так:
SpU(l)/(±l)^SO(3).	(3)
Как мы видели, из нее следует, что |n(SO(3)|=2.
Аналогичное представление для группы SO(n) и даже для
произвольной (вообще говоря, некомпактной) группы SO(p, q)
получается при помощи клиффордовой алгебры (пример 10
§ 8).
То что любой кватернион q при преобразовании x-+qxq~x
переводит пространство чисто мнимых кватернионов в себя,
является особенностью, связанной со случаем п=3. В общем
случае рассмотрим алгебру Клиффорда C(L), соответствую¬
щую пространству L над R с метрикой
х1+	-г*2р-х2р+1-	...	—х2р+д,	p	+	q	=	n.
Напомним, что Ас С (£). Введем группу G обратимых элементов
а£С°(L), для которых a~xLac.L. Очевидно, что G —группа.
Легко проверить, что для agG отображение х -*а~1ха при xQL,
a$G сохраняет метрику L. Таким образом, мы получаем гомо¬
морфизм
f:G^O(p,q).
Легко видеть, что ядро / состоит из a6R, аф0. Доказывается
(с использованием того известного факта, что любое ортого¬
164

нальное преобразование можно представить как произведение
отражений), что образ / есть SO(p,q) н что любой элемент
из G представляется в виде а — С\...сг, сцGL, с некоторым чет¬
ным г. Отсюда вытекает, что для aGG элемент aa*GR, где а-*-
-+а* — инволюция в алгебре C(L) (см. пример 10 § 8), и, если
мы положим aa*=N(a), то для a, b&G, M(ab)=M(a)N(b).
Поэтому элементы aGG, N(a)~ 1, образуют группу. Она назы¬
вается спинорной группой и обозначается Spin (/з, q). При q=&
она обозначается Spin(n). Легко видеть, что группа Spin(p, q)
связна. Ядро гомоморфизма /:Spin(p, q)-+0(p, q) состоит иа
+ 1 и —1. Образ же зависит от чисел р и q. Если <7=0, оче¬
видно 0(р, q)=0(n), и легко проверить, что /(Spin(n)) =
= SO(n). То есть
Spin (п) I (± 1) = SO (п).	(4)
Таким образом, группа Spin(n) является двулистной накрыва¬
ющей группы SО(п). Используя индукцию, легко доказать
(начиная	с	п=3),	что порядок группы it(SO(n))	есть	1	или	2.
Но	мы	построили	двулистное накрытие Spin(n)->SO(n)	и	тем
самым доказали, что |л (Spin(n)) | =2, а группа Spin(n) одно¬
связна.
Если р>0 и q>0, то в группе G существуют элементы как
с положительной, так и с отрицательной нормой, и их образы
определяют в S0(р, q) две разные компоненты. Образы эле¬
ментов с положительной нормой образуют в SO(p, q) под¬
группу SO+(p, q) индекса 2, и /(Spin(p, <7))=SO+(p, q), т. e.
Spin (p, q)l(± 1) ^ SO+(p, q).	(5)
Как мы видели в примере 6 § 8, любой кватернион можно
записать в виде
z\-\- jZb ZU Z26C.	(6>
При этом у‘2= — 1 и zj = jz. В записи (6) кватернионы обра¬
зуют пространство С2 над С, если умножение на гбС понимать
как умножение справа. Поэтому левое регулярное представление
даст представление кватернионов линейными (над С) преобразо¬
ваниями С2, т. е. матрицами 2-го порядка. Взяв базис {1, у'}, мы
/ —Zi Z4
сопоставим кватерниону (6) матрицу - -
\ — z2 Z\
В записи (6) модуль кватерниона равен ([ Z!|2 + | z2|2)1/2.
Поэтому умножение на кватернион с нормой 1 даст унитарное
преобразование пространства С2 (с метрикой ) z^2-!-1 -г2|2). Кроме
того, определитель матрицы равен тоже \ zl\2Jr\z2\2, т. е. в нашем
случае 1. Так мы получаем гомоморфизм
SpU(l)->SU(2),	(7)
ядро которого равно 1. Из соображений размерности и ввиду
связности группы SU(2), мы видим, что это — изоморфизм»
155

т. е. группа SU(2) изоморфна группе кватернионов с моду¬
лем 1. Объединяя (3) и (7), мы получаем изоморфизм:
SO(3) = SU(2)/(_±l).	(8)
Его элементарная интерпретация такова: рассмотрим множе¬
ство L двумерных эрмитовых матриц со следом 0. На нем
действует по правилу A-+UAU~l группа SU(2). Введя для A&L
кетрику \А\2——deM, мы превратим L в трехмерное вещест¬
венное пространство. Преобразование, соответствующее
£/6SU(2), определяет в нем преобразование yGSO(3). Это и
есть гомоморфизм
SU(2)-»SO(3).
Пусть SB — четырехмерное пространство кватернионов с
метрикой, определенной модулем. Определим действие группы
SpU(l)XSpU(l) на S’:
(<7i. 42)(x) = qiXq-\' х&.	(9)
Легко видеть, что тривиально действуют только пары (1,1) и
(—1, —1). Очевидно, что наши преобразования сохраняют мо¬
дуль, т. е. являются ортогональными. Определитель преобразо¬
вания (9) есть |?i| |<72|-1> т. е., в нашем случае, 1. Мы полу¬
чаем гоморфизм
SpU(l) XSpU(l)-»-SO(4),
ядро которого нам известно. Образ, по соображениям связно¬
сти и размерности, есть все SO (4). Мы получаем изоморфизм:
SO (4)^(Sp U (l)XSpU(l))/tf,	(10)
где Н — подгруппа центра второго порядка. Весь центр группы
SpU(l) XSpU(l) есть произведение двух групп второго по¬
рядка— центров SpU(l). Профакторизовав (10) слева по
центру SO(4), мы должны справа профакторизовать SpU(l)X
XSpU(l) по всему центру. Но факторгруппа SpU(l) по цент¬
ру есть SO(3). Поэтому
PS О (4)^ SO (3) X SO (3).	(11)
Б. Комплексно аналитические группы Ли. Следующие их
три серии также носят название классических (примеры 6,
7, 8).
Пример 6. Полная линейная группа GL (п, С) невырож¬
денных линейных преобразований «-мерного комплексного
пространства. Размерность группы (как комплексного анали¬
тического многообразия), очевидно, равна «2. Она содержит
подгруппу SL(«, С) линейных преобразований с определите¬
лем 1. Центр группы GL(«, С) состоит из скалярных матриц.
Ее факторгруппа по центру обозначается PGL(«, С).
166

П р и м е р 7. Подгруппа группы GL (га, С), состоящая из пре
образований, сохраняющих некоторую невырожденную квадратич
яую форму (в надлежащей системе координат имеющую вид
я2 + ...-j-х2), обозначается О (п., С) и называется ортогональ¬
ной группой. Ее размерность как комплексно аналитического
многообразия равна п
Пример 8. Подгруппа группы GL(2ra, С), состоящая из пре¬
образований, сохраняющих некоторую невырожденную кососим¬
метрическую форму (в надлежащей системе координат имеющую
вид
П
^2 (^tyn+i -^и+гУг))»
i=1
называется симплектаческой группой и обозначается Sp (2п, С).
Связь между комплексными и компактными классическими
группами заключается в следующем. Очевидно, что U(n)c
c:GL(n, С). Можно доказать, что U(n) —максимальная ком¬
пактная подгруппа в GL(n, С), т. е. не содержится ни в какой
большей компактной подгруппе. Все другие компактные под¬
группы группы GL(ra, С) сопряжены с подгруппами группы
U(/г). Причину этого мы поясним в § 17Б. Аналогично, группа
0(л)с:0(п, С), является в ней максимальной компактной под¬
группой, все компактные подгруппы О (/г, С) сопряжены ее
подгруппам. Чтобы установить аналогичный результат для
симплектических групп, воспользуемся записью (6) кватернио¬
нов как двумерного пространства над С: Н = С+/С. Тогда век¬
тор х= (хи ..., х„)бНп запишется как (zu ..., z„, zn+i,...
..., 22п), где ZjGC, xk=zk+jzk+n. В этих координатах, как
очень легко проверить, произведение (2) (см. пример 5) при¬
нимает вид (при у= (Уи ■ ■ ■ , Уп), yk=wk+jwk+4
п
(X, у) -= 2 z№i + У‘2 (ZiW^n—WiZ^n).
i—1
Таким образом, если (х, у)—а.-\-уф, то а есть эрмитово скаляр¬
ное произведение комплексных векторов х и у, а р—значение
на них кососимметрической формы 'L{zlwun—wlzu^. Всякое
линейное (над Н) преобразование Ф пространства Нв записывается
как линейное над С преобразование пространства С2”, а условие
Фб£5р U (/г), ввиду сказанного выше, означает что Фби (2л.)
и 9gSp (2га, С). Таким образом,
Sp U (я)=G (2га) П Sp (2га, С).
В частности, SpU(n)—подгруппа группы Sp(2n, С)’. Она яв¬
ляется ее максимальной компактной подгруппой, и все ком¬
167

пактные подгруппы группы 5р(2п, С) сопряжены подгруппам
группы Sp U(л).
Во всех трех случаях размерность объемлющей комплек¬
сной группы (как комплексно аналитического многообразия)
равна размерности компактной подгруппы (как дифференциру¬
емого многообразия).
В заключение укажем на некоторые важные группы Ли
небольшой размерности.
Группа 0(3,1) называется группой Лоренца, a SO (3,1)—
собственной группой Лоренца. Если интерпретировать х0 как
время, а Яц х2, х3—как пространственные координаты, то сохра¬
нение формы / = — х\-\-х\-гх\-{-х\ равносильно сохранению
скорости света (которая считается равной 1). Та же группа имеет
другую, не менее важную интерпретацию. Рассмотрим х0 хх, хг
и х3 как однородные координаты в трехмерном проективном про¬
странстве Р3. Равенство / = 0 определяет в Р3 поверхность вто¬
рого порядка, в неоднородных координатах у1 = х11х3, i —1,2, 3,
записывающуюся как у\+у\+у\— 1. Таким образом, это сфера
5сР3. Преобразования из 0(3, 1), если их рассматривать в
однородных координатах, будут проективными преобразовани¬
ями Р3, сохраняющими 5. Разумеется, умножение всех коор¬
динат на —1 будет давать в Р3 тождественное преобразование,
так что действовать в Р3 будет Р0(3, 1). Очевидно, эта груп¬
па сохраняет и внутренность сферы 5. Но, как известно, в мо¬
дели Кэли—Клейна трехмерного пространства Лобачевского
это пространство изображается как раз точками внутренности
сферы, а его движения — проективными преобразованиями,
сохраняющими сферу. Таким образом, группа Р0(3,1) изо¬
морфна группе всех движений, a PS0(3, 1)—собственных
(сохраняющих ориентацию) движений трехмерного простран¬
ства Лобачевского.
Конечно, это утверждение носит общий характер:	группа
Р0(п, 1) изоморфна группе движений n-мерного пространства
Лобачевского.
Группа 0(3, 1) (т. е. группа Лоренца) имеет еще одну важ¬
ную интерпретацию. Она основывается на рассмотрении группы
Spin(3, 1) (ср. (5)). При построении этой группы мы видели, что
для agG норма yV(<2) = <za*6R. В нашем же частном случае это
условие достаточно: если aa* = agR и а=^=0, то а~12’а<^2>, т. е.
a6G. Действительно, из а*— а. получаем аг1 = a-1a*, откуда
следует, что для х^З?, {а-1ха)* — а~1ха. С другой стороны,
агЪсабС1, а С1 состоит из линейных комбинаций элементов et
и произведений е^^ь, где ег образуют ортогональный базис в Я?.
Из них только линейные комбинации элементов et не меняются
при замене х->х* и, значит, а'гха&. Теперь воспользуемся
тем, что мы можем найти явное задание алгебры С° в виде
матричной алгебры (ср. пример 11 § 8 и пример 6 § 10). Если
168

% еи е2, е3—тот базис, в котором форма имеет вид—
+ х\ -г •*§> то 1, ео^и е.Фъ sxe2 порождают алгебру М2 (С), !
и еф\вче3—алгебру С, а вся С0 изоморфна Л'12 (С). Легко прове¬
рить, что при этом изоморфизме инволюции а-+а* соответствует
отображение
и условие аа*6R означает, что det AgR, AqM2 (С). Поэтому
группа Spin(3, 1) изоморфна SL(2, С), и мы получаем гомоморфизм
SL(2, C)^SО (3, 1).
Образ его есть SO+(3, 1), а ядро (±1). Таким образом,
PSL(2, C)^SO+(3, 1).
Гомоморфизм SL(2, C)->SO (3, 1) имеет следующую элемен¬
тарную интерпретацию. Рассмотрим пространство L двумерных
эрмитовых матриц и действие на нем группы SL(2, С):А->-САС*,
A£L, C6SL(2, С). Введем в L метрику: | А |2= — det А, которая
в некотором базисе имеет вид — х\-\-х*\-х\-\-Указанное
выше действие группы SL (2, С) определяет, поэтому, гомомор¬
физм SL(2, С) -*-0(3, 1). Он совпадает с нашим гомоморфизмом
SL (2, C)^S0(3, 1).
Теперь рассмотрим один класс групп, дающий интересные
примеры и групп Ли, и дискретных, н конечных групп.
В.	Алгебраические группы. Из них мы разберем один тип:
алгебраические матричные группы. Они могут быть определены
над произвольным полем К как такие подгруппы группы
GL(n, К), которые задаются алгебраическими уравнениями с
коэффициентами в К. Примеры: SL(n, /С);	0(f, К)—группа
матриц, сохраняющих f, где f — некоторая квадратичная фор¬
ма с коэффициентами из /С; Sp(2n, К)\ группа треугольных
матриц (Uij), ai5 = 0 при i<j, аиф0, или ее подгруппа, в кото¬
рой все йц = 1. В частности, группа, состоящая из матриц вто¬
рого порядка вида ( о ?	)> изоморфна группе элементов^
поля К по сложению. Она обозначается G0. Группа GL (1, i^C)
изоморфна группе элементов поля К по умножению. Она обоз¬
начается Gm или К*- Если поле Кс:R или KczC, a G — алгеб¬
раическая группа, определенная над К, то вещественные или
комплексные матрицы в группе G определяют вещественную'
группу Ли G(R) или комплексно аналитическую G(C). Боль¬
шинство рассматривавшихся нами групп Ли принадлежит к
этому типу. Но общее понятие — более гибкое, так как оно>
позволяет, например, рассматривать алгебраические группы;
над полем рациональных чисел. Так, рассмотрение группы
0(f, Q) дает теоретико-групповой метод изучения арифметиче¬
ский свойств рациональной квадратичной формы f. Более то¬
169*

го, рассматривая матрицы с целыми элементами и с определи-
7елем ±1 в матричной алгебраической группе G, определен¬
ной над полем Q, мы получаем дискретную подгруппу G(Z)
группы Ли G(R). Для групп G = SL(n), 0(f), Sp(n) факторг
пространства G(Z)\G(R) или компактны, или имеют конечт
ный объем (в смысле меры, определенной инвариантной мерой
в группе G(R)). Ср. пример За § 14. Такие группы, а также
их подгруппы конечного индекса, называются арифметически¬
ми (в естественной общности это понятие требует рассмотрев
яия наряду с полем Q любых полей алгебраических чисел).
Наконец, такие алгебраические группы, как GL(n), 0(п),
Sp(n), можно рассматривать и над конечными полями, и они
дают интересные примеры конечных групп. С группой
GL (п, Fg) мы уже встречались.
Существует еще один совершенно неожиданный путь, на ко¬
тором возникают дискретные группы в связи с алгебраическими
группами. Если матричная группа G определена над полем рацио¬
нальных чисел (К — Q), то мы можем рассматривать группу ее
рациональных точек G (Q), вещественных точек G (R) и р-адиче-
ских точек G (Qp) (ср. конец § 7). Наиболее инвариантный способ
учесть равноправие полей R и Qp — это рассмотреть «произведе¬
ние» (бесконечное) G(R) и всех G (Qp). Мы не будем давать
точного определения этого произведения, которое называется
группой аделей группы G и обозначается GA. Так как G(Q)c
cG(R) и G(Q)cG(Qp), то G (Q) с GA («диагональное» вложение).
Оказывается, что группа G(Q) дискретна в GA. То что матрицы
с рациональными элементами образуют дискретную подгруппу,
представляется очень непривычным, однако причину легко понять
иа примере G = Qa группы всех чисел по сложению. Если
x£G (Q) — рациональное число, то условие Фр (х) < 1 для всех р
(определение нормы Фр см. в § 7) означает, что х—целое, и
Фк(х)<1 дает тогда х = 0. В ряде случаев (таких, как
G = SL (п),	0(f), Sp (п)) факторпространство Gq\Ga имеет
конечный объем. Можно показать, что он определен совершен¬
но однозначно одной лишь группой G. Этот объем — так назы¬
ваемое число Тамагавы t(G) группы G — является ее важней¬
шим арифметическим инвариантом. Например, если f — раци¬
ональная положительно определенная квадратичная форма, то
из теоремы Минковского—Хассе (теорема IV § 7) следует, что
уравнение f(x)—a при рациональных л; и а разрешимо тогда
и только тогда, когда оно разрешимо в R (т. е. а>0) и во всех
Qp (т. е. сравнения f(x)ssa (mod р") все разрешимы). Но если
этн условия выполнены, то можно дать численные характери¬
стики числа целых решений, в терминах чисел решений сравне¬
ний f(x) 2= a (mod рп). И это оказывается равносильным на¬
хождению числа Тамагавы t(G) (оно равно 2: это отражение
того факта, что |jt(SO(n) | =2).
170

§ 16. ОБЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
Идеалом «абстрактной» теории групп было бы описание
всех возможных групп с точностью до изоморфизма, но совер¬
шенно независимо от их конкретных реализаций. Столь об¬
щая задача, конечно, совершенно не реальна. Конкретнее мож¬
но себе ее представить на задаче (все еще очень широкой)
классификации конечных групп. Так как из конечного числа
элементов можно составить лишь конечное число таблиц Кэли,
то существует лишь конечное число неизоморфных групп данно¬
го порядка. В идеале, хотелось бы знать закон, по которому
можно указать все конечные группы заданного порядка. Для не
очень больших порядков это сделать нетрудно, и мы приведем
соответствующие группы.
Следует вспомнить, что для коммутативных конечных групп
ответ дает основная теорема о модулях с конечным числом об¬
разующих над кольцом главных идеалов (ср. пример 6 § 5 и
теорему II § 6). Она дает, что конечная коммутативная группа
(записанная аддитивно) представляется в виде прямой суммы
групп Z/ (ph), где р — простые числа, и такое представление
единственно. Поэтому трудность представляют только некомму¬
тативные группы.
Перечислим все конечные группы (с точностью до изомор¬
физма) порядков ^10:
G
= 2
G«Z/(2).
G
= 3
G«Z/(3).
G
= 4-
G^Z/(4) или Z/ (2)®Z/(2).
G
= 5
G—/(5).
G
= 6
здесь впервые возникает некоммутативная группа,
изоморфная @3 .(или группе симметрий правильного треугольника),
задаваемая, также, соотношениями (6) и (7) § 12,
G=^S3 или Z/(2)®Z/(3).
|0| = 7	—Z/(7).
|G|=8 здесь возникают уже две неизоморфные некоммута¬
тивные группы. Одна из них изоморфна £>* — группе симметрий
квадрата. Она также порождается двумя элементами s и £ и
определяется соотношениями: s2=e, t*~e, (st)2 — e (s— это от¬
ражение относительно одной из средних линий, t — поворот на
90°). Другая некоммутативная группа — Нъ может быть описа¬
на при помощи алгебры кватернионов (пример 5 § 8): она со¬
стоит из 1, £, /, k, —1, —i, —/, —k, умножаемых как кватерни¬
оны. Итак,
G—Di или #8, или Z/(8), или Z/(4)®Z/(2), или (Z/(2))3.
|а 1=9 G —Z/(9) или Z/(3)®Z/(3).
|G| = 10 здесь опять возникает некоммутативная группа,
изоморфная группе £>5 симметрий правильного пятиугольника,
порожденная элементами s и t и определенная соотношениями
171

го, рассматривая матрицы с целыми элементами и с определи¬
телем ±1 в матричной алгебраической группе G, определен¬
ной над полем Q, мы получаем дискретную подгруппу G(Z)
группы Ли G(R). Для групп G = SL(/x), 0(f), Sp (п) факторг
пространства G(Z)\G(R) или компактны, или имеют конеч¬
ный объем (в смысле меры, определенной инвариантной мерой
в группе G (R)). Ср. пример За § 14. Такие группы, а также
их подгруппы конечного индекса, называются арифметически¬
ми (в естественной общности это понятие требует рассмотрев
яия наряду с полем Q любых полей алгебраических чисел).
Наконец, такие алгебраические группы, как GL(ra), О(п),
Sp (п), можно рассматривать и над конечными полями, и они
дают интересные примеры конечных групп. С группой
QL (п, Fq) мы уже встречались.
Существует еще один совершенно неожиданный путь, на ко¬
тором возникают дискретные группы в связи с алгебраическими
группами. Если матричная группа G определена над полем рацио¬
нальных чисел (К — Q), то мы можем рассматривать группу ее
рациональных точек G (Q), вещественных точек G (R) и р-адиче-
рсих точек G (Qp) (ср. конец § 7). Наиболее инвариантный способ
учесть равноправие полей R и Qp— это рассмотреть «произведе¬
ние» (бесконечное) G (R) и всех G (Qp). Мы не будем давать
точного определения этого произведения, которое называется
группой аде лей группы G и обозначается GA. Так как G(Q)cr
cG(R) и G(Q)cG(Qp), то G (Q)сGA («диагональное» вложение).
Оказывается, что группа G(Q) дискретна в GA. То что матрицы
с рациональными элементами образуют дискретную подгруппу,
представляется очень непривычным, однако причину легко понять
на примере G = Qa группы всех чисел по сложению. Если
JcgG (Q) — рациональное число, то условие Фр(я)<1 для всех р
(определение нормы Фр см. в § 7) означает, что jc—целое, и
Тц(л;)<1 дает тогда х = 0. В ряде случаев (таких, как
G = SL(/i), 0(f), Sp (п)) факторпространство Gq\Ga имеет
конечный объем. Можно показать, что он определен совершен¬
но однозначно одной лишь группой G. Этот объем — так назы¬
ваемое число Тамагавы х(G) группы G — является ее важней¬
шим арифметическим инвариантом. Например, если f — раци¬
ональная положительно определенная квадратичная форма, то
из теоремы Минковского—Хассе (теорема IV § 7) следует, что
уравнение f(x)=a при рациональных х и а разрешимо тогда
й только тогда, когда оно разрешимо в R (т. е. а>0) и во всех
Qp (т. е. сравнения f(x) =sa (modp") все разрешимы). Но если
эти условия выполнены, то можно дать численные характери¬
стики числа целых решений, в терминах чисел решений сравне¬
ний f(x)s=a(modp"). И это оказывается равносильным на¬
хождению числа Тамагавы t(G) (оно равно 2: это отражение
того факта, что |xc(SO(/i) | =2).
170

§ 16. ОБЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
Идеалом «абстрактной» теории групп было бы описание
всех возможных групп с точностью до изоморфизма, но совер¬
шенно независимо от их конкретных реализаций. Столь об¬
щая задача, конечно, совершенно не реальна. Конкретнее мож¬
но себе ее представить на задаче (все еще очень широкой)
классификации конечных групп. Так как из конечного числа
элементов можно составить лишь конечное число таблиц Кэли,
то существует лишь конечное число неизоморфных групп данно¬
го порядка. В идеале, хотелось бы знать закон, по которому
можно указать все конечные группы заданного порядка. Для не
очень больших порядков это сделать нетрудно, и мы приведем
соответствующие группы.
Следует вспомнить, что для коммутативных конечных групп
ответ дает основная теорема о модулях с конечным числом об¬
разующих над кольцом главных идеалов (ср. пример 6 § 5 и
теорему II § 6). Она дает, что конечная коммутативная группа
(записанная аддитивно) представляется в виде прямой суммы
групп 2/(рк), где р — простые числа, и такое представление
единственно. Поэтому трудность представляют только некомму¬
тативные группы.
Перечислим все конечные группы (с точностью до изомор¬
физма) порядков ^10:
01 = 2
G^Z/(2).
01 = 3
G — ZI(3>).
01 = 4
G^Z/(4) или Z/ (2)0Z/(2).
G 1 = 5
G~l{ 5).
G | = 6
здесь впервые возникает некоммутативная группа
изоморфная @з .(или группе симметрий правильного треугольника),
задаваемая, также, соотношениями (6) и (7) § 12,
G^@з или Z/(2)0Z/(3).
| G | = 7 (?—Z/(7).
|G|=8 здесь возникают уже две неизоморфные некоммута¬
тивные группы. Одна из них изоморфна D4 — группе симметрий
квадрата. Она также порождается двумя элементами s и £ и
определяется соотношениями: s2=e, t*—e, (st)2=e (s — это от¬
ражение относительно одной из средних линий, t — поворот на
90°). Другая некоммутативная группа — Я8 может быть описа¬
на при помощи алгебры кватернионов (пример 5 § 8): она со¬
стоит из 1, i, /, k, —1, —i, —/', —k, умножаемых как кватерни¬
оны. Итак,
Q^Di или Н&, или Z/(8), или Z/(4)0Z/(2), или (Z/(2))3.
| G i = 9 G^Z/(9) или Z/(3)0Z/(3).
| О ] = 10 здесь опять возникает некоммутативная группа,
изоморфная группе Д5 симметрий правильного пятиугольника,
Порожденная элементами s и t и определенная соотношениями
171

s2=e, tb—e, (sff—e (s—отражение относительно оси, t — пово-
2я'
рот на угол -g- J. Таким образом,
0—D5 или Z/(5)©Z/(2).
Приведем таблицу, указывающую число групп заданного по¬
рядка ^32:
Ю1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
число
групп
1
1
2
1
2
1
5
2
2
1
5
1
2
1
14
Ю1
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
число
групп
1
5
1
5
2
2
1
15
2
2
3
4
1
4
1
51
Конечно, на самом деле, исследование структуры конечных
групп использует не только их порядки, но и другие, более тон¬
кие инварианты, а также методы конструкции более сложных
групп из более простых.
Вернемся к общему понятию группы и опишем основные ме¬
тоды построения групп. Одним из них мы уже пользовались —
это прямые произведения. Аналогично случаю двух множителей
определяется прямое произведение G\X---xGm любого конечно¬
го числа групп Gj,..., Gm: оно состоит из последовательностей
(йГь ..., gm), gi^Gi, с поэлементным умножением. Группы Gi
можно считать подгруппами группы GiX--XGm, отождествив
элемент g£G( с последовательностью (е,..., g,..., е), где он
стоит на i-ом месте. Тогда G, окажутся нормальными делителя¬
ми GiX---xGm, порождающими всю эту группу, причем
Gi Л (Gi X • • • X Gn-i ХеХ G,+i X " • X Gm) = е. Нетрудно показать,
что обратно, группа, обладающая нормальными делителями со
свойством Gin(Gr”Gi_i-Gi+r"Gm) =е изоморфна их прямому
произведению.
Мы видели, что для конечных абелевых групп и даже для
абелевых групп с конечным числом образующих прямое произ¬
ведение оказывается достаточно эффективной конструкцией и
приводит к их полной классификации. Однако при этом сущест¬
венно, что разложение в прямое произведение, с которым мы
сталкиваемся в классификационной теореме (теорема II § 6),—
единственно. Вопрос о единственности разложения в прямое про¬
изведение неразложимых далее групп естественно поставить и
для неабелевых групп. Мы приведем ответ в простейшем слу¬
чае, который, однако, оказывается достаточным в большинстве
172

приложений. По аналогии с модулями, рассмотрим цепочки
подгрупп группы G:
СэЯрЯ2Ь...эЯ^, Н^Ни1.	(1)
Если длины всех таких цепочек ограничены, то G называется
группой конечной длины. Таковы конечные группы. Если G —
группа Ли или алгебраическая группа, то естественно в опреде¬
лении рассматривать цепочки (1), в которых Яt являются связ¬
ными замкнутыми подгруппами Ли или алгебраическими под¬
группами. Тогда в цепочке (1) должна убывать размерность, и
поэтому ее длина ограничена размерностью группы G.
I.	Теорема Веддербёрна — Ремака—Шмидта.
Группа конечной длины может быть только одним способом раз¬
ложена в прямое произведение неразложимых далее нормаль¬
ных делителей. Точнее говоря, в двух таких разложениях число
сомножителей одинаково и сомножители попарно изоморфны. ►
Однако неабелева группа (например, конечная или группа
Ли) только в исключительных случаях разлагается в прямое
произведение: подавляющая их масса неразложимы. Более
универсальный метод сведения групп к их более простым ча¬
стям дает понятие гомоморфизма. Если G' = G/N, то гомомор¬
физм G-*-G' показывает, что группа G' является как бы упро¬
щенной версией группы G, которая получается, если последнюю
группу рассматривать «с точностью до элементов из Я». До ка¬
кого последнего нетривиального предела можно таким способом
«упрощать» группу? Мы можем рассматривать гомоморфизм
группы G'-»-G" и т. д. Если группа G имеет конечную длину, то
наш процесс оборвется, когда мы дойдем до группы G, которая
не имеет нетривиальных гомоморфизмов. Это значит, что в
группе 5 нет нормальных делителей, отличных от нее и от {е}.
Группа, не имеющая нормальных делителей, отличных от нее
и единичного элемента, называется простой. Для случая групп
Ли естественно говорить о связных нормальных делителях, яв¬
ляющихся подгруппами Ли, для алгебраических групп — алгеб¬
раическими подгруппами. Таким образом, группа Ли, являюща¬
яся по нашему определению простой, может не быть простой как
абстрактная группа, если она содержит дискретный нормальный
делитель. Например, группа R, содержащая подгруппу Z. Мы
видели, что любая группа конечной длины обладает гомомор¬
физмом на простую группу. Пусть G—>-G' — такой гомоморфизм
и Я, — его ядро. Теперь естественно применить тот же прием к
Я]. Мы получаем гомоморфизм Nx-*-G" на простую группу G"
с ядром Я2, которое является нормальным делителем в Nx (но
необязательно в G). Продолжая этот процесс, мы получаем це¬
почку
G —Nol>Ni\>... \>Nk>Nk+l={e},
в которой факторгруппы Я,/Я<+1 простые. Такая цепочка назы¬
173

вается композиционным рядом группы. G, а факторгруппы
NtJNi+j — факторами этого композиционного ряда. Разумеется,
одна и та же подгруппа может иметь различные композицион¬
ные ряды. Поэтому очень важна.
II.	Теорема Жордана — Гёльдера. Два композици¬
онных ряда одной и той же группы имеют одинаковую длину, и
их факторы попарно изоморфны, хотя, может быть, в другом
порядке. ►
Доказательства теоремы Жордана—Гёльдера и Веддербёр-.
на—Ремака—Шмидта используют очень мало свойств групп.
Основное из них — следующее:
4 Если // — подгруппа, a N — нормальный делитель группы
G, то Н ON—нормальный делитель группы Н и
Н!НО N—HN/N. ►	(2)
Здесь HN есть подгруппа группы G, состоящая из всех произве¬
дений hn, Лея, /гбЯ. Действительно, рассмотрим гомоморфизм
f: G->-G///. При ограничении на Я он определяет гомоморфизм
/1 : H^-G/N с ядром Я|"|Я и образом Я^Я/ЯПЯ. Полный про¬
образ группы Я1 при гомоморфизме f есть ЯЯ и, значит, Я^
<=*ЯЯ/Я, откуда и следует (2).
Доказательства обеих теорем основываются на том, что, за¬
меняя пару Я, ЯПЯ на пару ЯЯ, Я при разных выборах Я и Я,
мы можем перейти от одного разложения группы в прямое про¬
изведение неразложимых подгрупп к другому, или от одного
композиционного ряда к другому. По существу, они использу¬
ют только свойства частично упорядоченного множества под¬
групп группы G и могут быть в этой форме аксиоматизированы.
Такая трактовка полезна тем, что применима и к модулям ко¬
нечной длины и дает для них аналог тех же теорем.
Таким образом, задача описания групп (конечных, групп Ли,
алгебраических) сводится к двум вопросам:
(1) Каковы все группы, имеющие заданный набор факторов
композиционного ряда?
(2) Какими могут быть факторы композиционного ряда?
Первый вопрос можно исследовать индуктивно, и тогда мы
приходим к вопросу: при заданных группах Я и F описать все
группы G, имеющие изоморфную Я группу в качестве нормаль¬
ного делителя с факторгруппой, изоморфной F. Группа G назы¬
вается тогда расширением F при помощи N. Например, кристал¬
лографическая группа G (пример 2 § 14) является расширением
группы F при помощи А, где А — содержащаяся в G группа
переносов на векторы некоторой решетки С, a F — группа сим¬
метрий С.
Хотя в такой общности вопрос вряд ли имеет четкий ответ,
к нему найдено несколько подходов, которые в конкретных си¬
туациях приводят к более или менее удовлетворительной карти¬
не (см. об этом пример 4 § 21).
174

Гораздо более интригующим является второй из сформулиро¬
ванных выше вопросов. Так как факторы композиционного ря¬
да — простые группы и любой набор простых групп является
фактором композиционного ряда некоторой группы (например,
их прямого произведения), то наш вопрос эквивалентен следую¬
щему:
Каковы простые группы?
В настоящее время для важнейших типов: конечных групп,
групп Ли, алгебраических групп, ответ на этот вопрос известен.
Сначала приведем примеры групп, про которые можно дока¬
зать, что они простые (обычно это довольно кропотливые, хотя
принципиально не сложные рассуждения).
Начнем со случая, казалось бы тривиального, но имеющего
множество приложений: коммутативных простых групп. С точ¬
ки зрения абстрактной теории групп, ответ очевиден: простыми
коммутативными группами являются лишь циклические группы
простых порядков. В теории же групп Ли мы рассматривали,
при определении простой группы, только связные нормальные
делители. Поэтому в теории дифференцируемых связных
групп Ли прибавляются еще два примера: группа R веществен¬
ных чисел по сложению и окружность. Мы не будем приводить
ответ для комплексно аналитических групп Ли — он более сло¬
жен.
Для алгебраических матричных групп над алгебраически
замкнутым полем аналогично прибавляются два примера;
группы G„ элементов основного поля по сложению и Gm — па
умножению.
Этот скудный запас коммутативных простых групп приво¬
дит к весьма обширному классу групп, если мы, следуя приве¬
денным выше рассуждениям, используем их как факторы ком¬
позиционного ряда.
Группа, обладающая композиционным рядом с абелевыми
факторами, называется разрешимой.
Легко проверяются свойства:
III.	Подгруппа и гомоморфный образ разрешимой группы
разрешимы.
Если группа имеет разрешимый нормальный делитель, фак¬
торгруппа по которому разрешима, то она разрешима.
Если группа разрешима, то она обладает нормальным де¬
лителем с абелевой факторгруппой, т. е. нетривиальным гомо¬
морфизмом в абелеву группу. ►
Для произвольной группы G пересечение всех ядер ее гомо¬
морфизмов f: G-*~A в абелевы группы называется ее коммутан¬
том и обозначается через G'.
Очевидно, что для любых элементов gh g2GG, gig2 и g2gi
переходят в один и тот же элемент при любом гомоморфизме
в абелеву группу, а значит, g^tegO'^g^gr1^1 переходит
в единицу. Элемент вида gig2g1f1gi_1 называется коммутатором.
175.

Мы видим, что все коммутаторы лежат в коммутанте группы.
Нетрудно доказать, что они ее порождают, т. е.
‘ft. &6G}.
Если группа G разрешима, то О'фО, если G=£{e}. Но,как
подгруппа разрешимой группы и G' разрешима, т. е. G' —{е}
или G" — (G')'=£G'. Продолжение этого процесса показывает,
что, образуя последовательные коммутанты разрешимой группы,
мы дойдем до {е}. (Т. е. если G(0=(G(i-1))', то G(n) —{е} при
некотором п). Легко видеть, что этот признак и достаточен для
разрешимости группы конечной длины. Абелевы группы харак¬
теризуются тем, что уже G/ = {e}. В этом смысле, разрешимые
группы—естественное обобщение абелевых.
Среди встречавшихся нам конечных групп разрешимы (сверх
.абелевых):
Группа @з, имеющая композиционный ряд @3э^3^э{е}.
Группа @4, имеющая композиционный ряд
где U4 — подгруппа, состоящая из е и подстановок цикленного
типа (2,2).
Группы GL(2, F2), GL(2, F3).
Конечная группа называется /7-группой, если ее порядок
есть степень простого числа р.
IV.	Конечная /7-группа разрешима. ►
Действительно, рассмотрим присоединенное действие G на
себя. Его орбиты — это классы сопряженных элементов
О : Си , Ch. Предположим, что С\ состоит из kf элементов.
Как мы видели ((10) § 12), |G|=feH \-kh, kt=(G:Si), где
Si — стабилизатор некоторого элемента £,6С,-. Стабилизатор
—это подгруппа группы G. Поэтому (G:Ss) делит порядок
группы G, т. е. является степенью р. В частности, kt = \ тогда
и только тогда, когда Ct состоит из одного элемента, содержа¬
щегося в центре. В равенстве |G|=feH \-kh слева стоит сте¬
пень р, а слагаемые справа — тоже степени р (может быть,
равные 1). Отсюда следует, что число тех из kt, которые равны
1, должно делиться на р. Это показывает, что конечная р-груп-
па имеет нетривиальный центр Z. Так как Z абелев, то он раз¬
решим, а применяя индукцию, можно считать разрешимой и
факторгруппу G/Z. Поэтому группа G разрешима.
Примеры разрешимых групп Ли: Группа Е (2) всех
сохраняющих ориентацию движений евклидовой плоскости,
имеющая композиционный ряд: £'(2)з7э7/з{е}, где Т — группа
всех параллельных переносов, а Т' — ее подгруппа всех парал¬
лельных переносов в одном каком-либо направлении. Факторы
этого ряда:
f (2)/7'«50(l)«R/Z, T/T'^R, T'^R.
Группа всех треугольных матриц вида:
176

(
где принадлежат некоторому полю К. Это — алгебраическая
группа, при К=Я или /С= С —группа Ли, а при конечном К —
конечная группа.
Вернемся к исходному вопросу о строении простых групп и
ограничимся теперь нетривиальным случаем некоммута¬
тивных простых групп. Для совершенно произвольных
групп никакого четкого ответа на наш вопрос, конечно, не су¬
ществует. Перечислим, какие из встречавшихся нам некоммута¬
тивных групп являются простыми.
Для конечных групп:
Знакопеременная группа %п при п >5.
Группа PSL(n, F?), кроме случая п = 2, q = 2, 3.
Для компактных групп Ли:
Для алгебраических матричных групп (над про¬
извольным алгебраически замкнутым полем):
В согласии со сделанным выше замечанием, эти группы не
являются простыми в абстрактном смысле. Они содержат
нетривиальный центр, и, если Z0— любая подгруппа центра
одной из приведенных групп <3, то G/Z0 (например, группа
PSU(ft) = S(J(/z)/Z0 при Z0 = Z) также будет простой группой
в смысле нашего определения. Такие тривиальные модификации
мы дальше будем, не оговаривая, причислять к тем же сериям
%отр, S’iec, s&lgic-
Одним из крупнейших достижений математики нашей эпохи
явилось доказательство того, что в последних трех случаях
приведенные примеры почти исчерпывают все простые группы.
В различных постановках вопроса, это открытие, сделанное
впервые в прошлом веке, распространялось и уточнялось, пока
%отр SU(/z), я>1;
SO (я), пф 1,2,4;
SpU (я), п > 1.
Для комплексно аналитических групп Ли:
3?iec SL (п, С), я>1;
SO(п, С), пф 1,2,4;
Sp (2я, С), п > 1.
•s&lgx SL (п, К), п> 1;
SO (я, К), пф 1,2,4;
Sp(2п, К)> п>1.
12—9339	7
177

не охватило все приведенные случаи (а также любые, необя¬
зательно компактные, дифференцируемые простые группы Ли).
Оно нашло громадное число приложений. Открытие правильных
многогранников, соответствующих конечным подгруппам группу
движений пространства, рассматривалось как высшее достиже¬
ние античной математики — описание правильных многогранни¬
ков завершает «Элементы Евклида». Это были самые глубокие
симметрии, открытые античной математикой. То же место за¬
нимает открытие и перечисление простых групп Ли в матема¬
тике нового времени — это самые тонкие симметрии, до пони¬
мания которых современная математика поднялась. И точно
так же, как Платон считал тетраэдр, октаэдр, куб и икосаэдр
формами элементарных составляющих четырех стихий — огня,
воздуха, земли и воды (оставляя додекаэдр как символ Космо¬
са), так современные физики пытаются при помощи свойств
различных простых групп SU(2), SU(3), SU(4), SU(6) и др.
найти общие закономерности в многообразии элементарных ча¬
стиц.
Полную формулировку результата мы не приводим. Оказы¬
вается, что существуют еще ровно пять групп, обозначаемых
Е6, Е7, Е$, G2 и Fi и имеющих размерность 78, 133, 248, 14 и 52
(они называются исключительными простыми группами), при¬
бавление которых к трем указанным выше сериям дает пере¬
чень всех простых групп (в каждом из трех вариантов). Связь
между тремя типами получающихся простых групп: компактных,
комплексно аналитических и матричных алгебраических над
полем К, очень проста для двух последних типов:	комплексные
группы получаются из алгебраических при К=С. Связь между
комплексными и компактными группами фактически указана
нами в § 15: компактные группы являются максимальными ком¬
пактными подгруппами соответствующих комплексно аналити¬
ческих, причем все максимальные компактные подгруппы со¬
пряжены.
Классификация дифференцируемых простых групп Ли не¬
сколько сложнее классификации одних компактных, но идейно
также ясна. Каждый из типов компактных простых групп имеет
в некомпактном случае несколько аналогов. Для примера опи¬
шем аналоги компактных групп SU(n): это группы SU(p, q)„
где U(p, q) —группа комплексных линейных преобразований,
сохраняющих форму l^l2-!	\zv\2— |zp+i |2	\zp+q\2,	и
группы SL(n, R), SL(n, С) и SL(ra/2, Н), рассматриваемые как
дифференцируемые группы Ли. Последняя группа SL(n, Н)
требует некоторых разъяснений. Так как обычное определение
детерминанта не применимо к матрицам из некоммутативного
кольца, то не ясно, что означает здесь знак S. Выход находят
в.том, что группы SL(ra, R) и SL(n, С) можно определить и
по-другому. Именно, нетрудно доказать, что SL(n, R) совпада¬
ет с коммутантом группы GL(n, R), a SL(n, С) так же полу¬
178

чается из GL(/i, С). Поэтому за SL(n, Н), по определению, бе¬
рется коммутант группы GL(/i, Н).
Мы еще ничего не сказали о простых конечных груп¬
пах. Их классификация — захватывающая задача. Еще с
прошлого века высказывалась смелая мысль, что они должны
быть в каком-то смысле аналогичны простым группам Ли. На
эту связь намекает встречавшийся нам пример групп PSL(/i,.
F3). Конкретнее, здесь возможен следующий подход, который,,
по крайней мере, может дать много примеров. Надо рассмот¬
реть все простые алгебраические матричные группы над конеч¬
ными полями F, и для каждой такой группы G рассмотреть-
группу G(F3) содержащихся в ней матриц с элементами из F,..
Простые алгебраические группы G над полем F, нам почти из¬
вестны: если заменить поле F, его алгебраическим замыканием
К, то простые алгебраические группы над К нам дает описан¬
ная выше теория: список s&lgE и 5 исключительных групп. Од¬
нако может случиться, что две группы, определенные над F, и:
не изоморфные над F„ окажутся изоморфными над К (или пе¬
рестанут быть простыми). Такое явление нам, по существу,
встречалось в теории вещественных групп Ли, только аналогом:
поля F, было R, а поля К — поле С. Например, все группы
SU(p, q), p+q — n, являются алгебраическими группами над R'
(если каждый комплексный элемент матрицы задавать его ве¬
щественной и мнимой частью). Но если рассмотреть их над С,,
то, как можно показать, все они станут изоморфны друг другу
и SL(/i, С). Аналогичная ситуация возникает и для полей F,..
Вопрос о перечислении всех алгебраических групп над полем F„.
если уже известны алгебраические группы над его алгебраиче¬
ским замыканием, связан, в основном, с преодолением техниче¬
ских трудностей, и ответ на него известен. Так возникает список
определенных над F, алгебраических простых групп G, и для
каждой из них можно построить конечную группу G(FS). Если
провести эту конструкцию с надлежащей осторожностью (напри¬
мер, рассматривать группу PSL(n, F3), а не SL(n, F,)), то ока¬
жется, что все эти группы — простые уже как конечные, а не
только как алгебраические группы. Существует лишь несколько'
исключений, соответствующих малым размерностям групп G
и малым значениям q (с этим эффектом мы встречались на
примере групп PSL(ra, F,)). Так приходят к нескольким сериям
простых конечных групп, называемых группами алгебраическо¬
го типа.
К группам алгебраического типа мы должны прибавить еще
одну серию: группы при га^5. Однако, еще начиная с прош¬
лого века, стали появляться примеры, ни в одну из этих серий
не укладывающиеся. Но такие примеры всякий раз появлялись
индивидуально, а не бесконечными сериями. До сих пор этих
простых конечных групп, не являющихся ни группами алгебра¬
ического типа, ни знакопеременными группами 31„, найдено 26.
12*
179

Их называют спорадическими простыми группами. Наибольшая
из них имеет порядок
246-320>59-76- 11МЗМ7-19-23-29-31 -41-47-59-71
(недаром ее называют Большим Монстром). В настоящее вре¬
мя, по-видимому, доказано, что группы алгебраического типа,
знакопеременные и 26 спорадических групп исчерпывают все
конечные простые группы. Это, несомненно, результат первосте^
пенной важности. К сожалению, он получен в результате много¬
летних усилий десятков математиков, и его изложение распы¬
лено в сотнях статей, насчитывающих вместе десятки тысяч
страниц. Поэтому пройдет, вероятно, немало времени, прежде
чем это достижение будет воспринято и осознано математика-
пи в такой же мере, как аналогичная классификация простых
групп Ли и алгебраических групп.
§ 17. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП
Напомним, что представлением группы называется ее гомо¬
морфизм в группу Aut(L) линейных преобразований некоторого
линейного пространства L (см. § 9). Это понятие тесно связано
с идеей «координатизации». Смысл «координатизации» заклю¬
чается в том, чтобы задавать «объекты», составляющие «одно¬
родное» множество X, некоторыми индивидуально различимыми
«величинами». Конечно, такое сопоставление в принципе невоз¬
можно, так как, рассматривая обратное отображение, мы сде¬
лали бы индивидуализируемыми и объекты множества X. Про¬
тиворечие снимается тем, что, на самом деле, в процессе коор¬
динатизации, кроме объектов и величин, всегда присутствует
еще третий участник — система координат (в том или ином
смысле слова) — нечто вроде физического измерительного при¬
бора. Только если фиксирована система координат S, можно
сопоставить объекту х£Х некоторую величину — его «обобщен¬
ную координату». Но тогда возникает основная проблема: как
отличить те свойства величин, которые отражают свойства са¬
мих объектов, от тех, которые привнесены выбором системы ко¬
ординат. Это — проблема инвариантности различных соотноше¬
ний, возникающих в такого рода теориях. По духу, она пол¬
ностью аналогична проблеме наблюдателя в теоретической фи¬
зике.
Если мы имеем две «системы координат» S и S', то обычно
можно определить автоморфизм g множества X (т. е. его пре¬
образование, сохраняющее все понятия, которые в этом множе¬
стве определены), переводящий 5 в S' : g определяется тем, что
переводит каждый объект х в объект х', «координата» которого
относительно системы S' равна «координате» х относительно
системы 5. Таким образом, все допустимые в нашей теории сис¬
180

темы координат соответствуют некоторым автоморфизмам мно¬
жества объектов X, и легко видеть, что получающиеся таким
образом автоморфизмы образуют группу G. Эта группа естест¬
венно действует на множестве «величин»: если g&G и gS = S'r
то g переводит координату каждого объекта в системе коорди¬
нат 5 в его же координату в системе S'. Если множество вели¬
чин образует линейное пространство, то это действие определя¬
ет представление группы G.
Поясним все это на примере. Рассмотрим га-мерное вектор¬
ное пространство L над полем К■ Выбрав в нем систему коорди¬
нат (т. е. базис) S, мы зададим вектор набором п чисел. Пере¬
ход к другой системе координат задается линейным преобразо¬
ванием g-GGL(n, К), которое одновременно преобразует и tt
координат при помощи матрицы линейного преобразования. Мы
получаем «тавтологическое представление» группы GL(n, К)
матрицами. Но, если в качестве объектов взять квадратичные
формы, которые в каждой системе координат задаются симмет¬
рической матрицей, то переход к другой системе координат вы¬
зовет переход от матрицы А к С АС*, и мы получим представле¬
ние группы GL (п, К) в пространстве симметрических матриц,
сопоставляющее матрице CGGL(n, К) линейное преобразование
А-*-САС*. Точно так же, рассматривая вместо квадратичных
форм линейные преобразования, мы получим другое представле¬
ние группы GL(п, К), на этот раз в пространстве всех матриц,
сопоставляющее С преобразование А-+САС~1. Ясно, что те же
соображения применимы к любым тензорам. Как в случае квад¬
ратичных форм, так и в случае линейных преобразований, нас
интересуют обычно свойства соответствующих им матриц, не
зависящие от выбора системы координат, т. е. сохраняющиеся
при замене А->-С*АС в первом случае и А-*~С~1АС — во втором.
Такими будут ранг матрицы в первом случае и коэффициенты
характеристического многочлена — во втором.
Похожее положение встречается, когда в некоторой задаче
ее условия обладают определенной симметрией (т. е. сохраня¬
ются при каком-то преобразовании g). Тогда то же преобразо¬
вание должно переводить в себя совокупность X всех решений
этой задачи, т. е. определено действие группы симметрий зада¬
чи на множестве X, обычно являющееся представлением группы
симметрий.
Изящный пример такой ситуации приведен в работе [90J.
Рассмотрим задачу: как построить сеть дорог наименьшей дли¬
ны, по которой можно было бы пройти из любой вершины квад¬
рата ABCD в любую другую вершину? Ответ, как нетрудно до¬
казать, дается сетью, изображенной на рис. 38 а), в которой уг¬
лы AED и BFC равны 120°. Квадрат обладает группой симмет¬
рий Z)4 (теорема III § 13), но рисунок 38 а, очевидно, этой
группой в себя не переводится! Объяснение заключается в том,
что поставленная задача имеет два решения, изображенные на
181

А
В
А
8
2
С
D
С
а)
5)
Рис. 38
рис. 38 а и б, и вместе они обладают полной симметрией Z)4:
группа Z)4 действует на множестве из двух рисунков 38 а) и б).
Вот другой пример, приводящий к представлению группы
симметрий. Пусть дано линейное дифференциальное уравнение
коэффициенты которого — периодические функции с периодом 2я.
Тогда вместе с f (t) функция f(t-\-2nk), k£Z, тоже будет
решением, и отображение	f	{t	+	2nk)	определяет линейное
преобразование Uk в «-мерном пространстве решений. Мы полу¬
чаем представление группы Z: k^Uk, U^l = UkUl и, значит,
Ub — U\. Более сложный вариант того же явления связан с рас¬
смотрением уравнения (1) в комплексной области. Пусть
&х(£) — рациональные функции комплексного переменного t.
Если t0 не является полюсом ни одной из функций ai(t), то (1)
имеет п линейно независимых решений, голоморфных относи¬
тельно t. Продолжая эти решения по замкнутому контуру s с
началом и концом в t0, не проходящему через полюса функций
aj(/), мы вернемся к тому же пространству решений, т. е., как
и выше, получим линейное преобразование U (s), определяющее
л-мерное представление фундаментальной группы я(С\Рь ...
..., Рт), где Р\,..., Рт— полюса функций	Это	представ¬
ление называется монодромией уравнения (1).
Еще пример. Пусть в линейном дифференциальном урав¬
нении L(xu ..., хп, F)= 0 коэффициенты зависят симметрично
от хь . .., хп. Тогда перестановки хи ..., хп определяют пред¬
ставление групп @п в пространстве решений. Такая ситуация
встречается в квантовой механике при описании системы, состо¬
ящей из п одинаковых частиц. Состояние такой системы задает¬
ся волновой функцией ф(<7ь ..., qn), где q(— набор координат
t-й частицы, причем функция определена с точностью до посто¬
янного множителя Я, |Я| = 1. Любая перестановка <т частиц не
должна менять состояния, т. е. должна умножать функцию ф
на константу. Мы получаем соотношение
П
(1)
Ф (*70(1)) • • • > <7о(л)) — ^ (°) Ф (<7i> • • •! <7л)>
182

из которого следует, что А,(а1а2) = Х(а1)-Я(а2), т. е. а->А,(сг)
является одномерным представлением группы Известно два
таких представления: единичное, е (а) — 1; и т|(а), где т|(а) —1
для четных, и — 1 — для нечетных подстановок. Легко доказать,
что других одномерных представлений ©„ не имеет. Таким
образом, или
4>(?с(1> Яв(п)) = ф {Яь •.., qa) для всех а,
или
{Яо(1)> • • ■ • Яс(п) = п (о) 1)3 (^1, . . . , Яп)‘
Какой из этих двух случаев имеет место, зависит от природы
частиц. В первом случае говорят, что они подчиняются стати¬
стике Бозе—Эйнштейна (таковы, например, фотоны), во-вто-
ром — статистике Ферми—Дирака (таковы электроны, протоны
и нейтроны).
В § 9 были определены основные понятия теории представ¬
лений групп: инвариантного подпространства неприводимого
представления, прямой суммы представлений, регулярного пред¬
ставления, характеров представлений. Дальше мы рассмотрим
представления над полем комплексных чисел некоторых из
встречавшихся нам основных типов групп: конечных, компакт¬
ных, комплексных групп Ли.
А.	Представления конечных групп. Для них там же, в § 10,
был получен ряд теорем (как частный случай теории полупро-
стых алгебр). Это — конечность числа неприводимых представ¬
лений; теорема о том, что каждое неприводимое представление
содержится среди неприводимых слагаемых, на которые разла¬
гается регулярное представление; теорема Бернсайда:
А
|о|=2«?
1
{tii — степени неприводимых представлений группы G); теорема
о том, что число h неприводимых представлений равно рангу
центра Z (С [G]) групповой алгебры С [G] группы G; задание не¬
приводимых представлений характерами.
Рассмотрим сначала случай коммутативных групп.
Пусть р: G->AutcL —неприводимое представление такой группы
(безразлично —конечной или нет). Тогда преобразования {2агр (g),
geG, aff6C} образуют неприводимую алгебру в EndcД которая
согласно теореме Бернсайда (теорема XVII § 10) должна совпадать
с ЕпйсЬ. Ввиду коммутативности группы G, и алгебра Endc£
должна быть коммутативна, а это возможно лишь, если степень
представления п равна 1. Таким образом, неприводимое пред¬
ставление коммутативной группы одномерно.
Для конечных коммутативных групп тот же результат оче¬
виден и из других соображений. Групповая алгебра C[G] ком¬
183

мутативна и, значит, изоморфна прямой сумме полей: C[G]*=:
“С71 (теорема V § 10). Неприводимые представления ее сводят¬
ся к проектированию на слагаемые С этого разложения: если
Х = (2i, . . . , 2„), ТО %i (*) =Zi. ПОЭТОМУ
I.	Все неприводимые представления конечной коммутативной
группы одномерны, и число их равно порядку группы. ►
Таким образом, неприводимые представления конечной ком¬
мутативной группы G совпадают с ее гомоморфизмами
X: G+C*
в группу C* = GL(1, С) комплексных чисел по умножению. Они
совпадают со своими следами и поэтому называются харак¬
терами.
Гомоморфизмы группы G (любой, а не только коммутатив¬
ной) в группу С* (и в любую коммутативную группу) можно
перемножать покоординатно: по определению, произведением
характеров xi и хг является характер x=Xi-X2>
l(g) = h(g)b(g)-	(2)
Легко видеть, что характеры коммутативной группы G образу"
ют, относительно этого определения умножения, группу харак¬
теров, которая обозначается через G. При этом единицей
является характер е, где e(g) = l для ggG; обратным к характе¬
ру X—характер X'1 (g) = % (g)_1 Для всех gGG. Можно показать,
что группа G для коммутативной группы G не только имеет тот
же порядок, что и G, но и изоморфна ей как абстрактная груп¬
па. Однако не существует «естественного» изоморфизма между
этими группами. Но группа характеров О группы G естественно
изоморфна группе G: формула (2) показывает, что отображение
G-s-G:g(x) = X(g) является гомоморфизмом, который, как легко
проверить, является изоморфизмом. Положение здесь такое же,
как с понятием сопряженного линейного пространства.
Связь между группой G и ее группой характеров распростра¬
няется и на их подгруппы. Поставив в соответствие подгруппе
Hc.G подгруппу //*cG, состоящую из характеров %, которые
обращаются в 1 на всех элементах группы Н, мы получим вза¬
имно однозначное соответствие между подгруппами группы и ее
группы характеров. Это соответствие обращает включение: если
Я1СЯ2, то ЯрЯг. Кроме того, H*^(G/H).
Характеры связаны рядом важных соотношений. Прежде всего,
если %фг (единичному характеру), то
>' %(g)-0.	(3)
Действительно, по условию существует go€G, для которого
X (go) Ф1 • Подставляя в левую часть (3) gog вместо g, легко убе¬
184

диться, что она, с одной стороны, не изменится, а с другой,—
умножится на y(g0), откуда следует (3). Для у = е, e(g) = l для
всех g60, и поэтому
2e(g)H°l-	(4)
fi-gG
Подставив в (3) X = ХгХ^-1, где ух, у2 — два характера, мы полу¬
чаем из (3) и (4):
2	Xitdfcte)-1-!0’ еСЛИ К'*1*	(5)
«6°	II	0|,	если ух = у2.
Так как элементы g имеют конечный порядок, то числа у (g) яв¬
ляются корнями	из	1 и, значит, по модулю	равны	1.	Поэтому
y(g)-1 = y(g),	и это	дает возможность интерпретировать	равенства
(5) как ортонормированность характеров в пространстве
комплекснозначных функций на G, если в нем скалярное произ¬
ведение определено как
СА. /2) = 757 2 /1 (в) 77(g)-
'	'	SQQ
Таким образом, характеры образуют ортонормированный базис,
по которому любая функция на G разлагается:
/ = 2
%6g
а «коэффициенты Фурье» с% определяются по формулам
cx = j-gT 2/(g)7(i)•
fi'6G
Воспользовавшись симметрией между группой и группой харак"
теров (G = G), мы получаем из (3) и (5) соотношения:
2x(g)=°- % +	(4')
x6g
2уЫуГй-1) = 10’ если gl=^gb	(50
1|С| если gx = g2.	1	'
Одно из важных приложений теории характеров конечных
коммутативных групп относится к теории чисел. В качестве G
рассматривается группа обратимых элементов кольца Z/(m),
т. е. группа классов вычетов a+mZ, состоящих из чисел, взаим¬
но простых с т. Ее характер у, если доопределить его равным 0
на необратимых элементах* можно рассматривать как функцию
на Z с периодом т. Такие функции называются характерами
Дирихле. Связанные с ними ряды Дирихле
185

п> О
являются одним из основных инструментов теории чисел. На их
рассмотрении основывается, например, доказательство теоремы
Дирихле о том, что в классе вычетов a-'rmZ, если а и т
взаимно просты, содержится бесконечно много простых чисел.
В процессе доказательства возникает необходимость выделить
частичную сумму 2 распространенную лишь на п, принадле¬
жащие классу вычетов a-\~mZ. Здесь применяются соотношения
{5'), из которых следует, что эта сумма записывается как
'i{a)L (s, х), где Ф (лг) — порядок группы обратимых эле-
> х
ментов кольца Z 1{т) (функция Эйлера), а сумма распространена
на все характеры этой группы.
Переходя к некоммутативным конечным группам,
начнем с вопроса о числе их неприводимых представлений.
Согласно теореме XIII § 10 оно равно рангу центра Z (С [G])
групповой алгебры С [G] группы G. Легко видеть, что элемент
х = 2 / (g) g, jcgC [G], лежит в центре (т. е. коммутирует со все-
g£G
ми u£G) тогда и только тогда, когда / (wgw1) = / (g) для всех
и, ggG. Иными словами, функция / (g) постоянна на классах
сопряженных элементов группы G. Это значит, что базис центра
образуют элементы
zc = 2 &
г6с
где С—различные классы сопряженных элементов. В частности’
мы получаем:
II.	Число неприводимых представлений конечной группы равно
числу классов ее сопряженных элементов. ►
Можно ли найти в общем случае аналог того, что характеры
коммутативной группы сами образуют группу? Мы имеем ана¬
лог единичного характера — единичное одномерное представле¬
ние: e(g') = l для g£G. Можно предложить и аналог обратного
элемента для представления р. Это так называемое контрагра-
диентное представление p(g) =p(g~')*, где * означает сопря¬
женный оператор, действующий в пространстве L*, сопряжен¬
ном тому пространству L, в котором действуют р. Если пред¬
ставление р унитарно (т. е. все p(g) унитарны относительно
некоторой эрмитовой метрики — в § 9 мы видели, что такая мет¬
рика всегда существует), то матрица преобразования p(g), про¬
сто, комплексно сопряжена матрице p(g).
Наконец, существует и аналог произведения характеров.
Начнем со случая, когда даны две группы Gx и Gi и
186

px:Gx ->Aut(£x), p2:G2->Aut(Z.2) — их представления линейными пре¬
образованиями линейных пространств Lx и L2. Рассмотрим тен¬
зорное произведение L—LX®L2 этих пространств (см. § 5) и
отображение р прямого произведения Gx X G2 групп Gx и G2,
определенное свойством р (gx X g2) (-ft®x2) = ft (gx) (*i)®pa (g2) (x2).
■Легко видеть, что так определяется отображение р: Gx х G2 ->
Aut (Lx®L2), являющееся представлением группы Gx X G2. Оно
С
называется тензорным произведением представлений рх и р2
« обозначается рх®р2.
Например, если группы Gx и G2 действуют на множествах
Хх я Х2 и Lx, L2—пространства функций на Хх и на Х2,
инвариантные относительно этих действий, а рх, р2—определен¬
ные в этих пространствах представления, то в пространстве,
порожденном функциями /х(д:х), f2(x2), f£Lh f2QL2, на Xx X X2,
действует представление px®p2. Нетрудно доказать, что все
неприводимые представления группы GxXG2 имеют вид рх®р2,
где рх —неприводимое представление группы Gx, а р2—G2. Все
эти соображения переносятся на представления любых полупрос-
тых алгебр (вместо групповой алгебры С [G]).
Пусть теперь группы Gx и G2 совпадают: GX = G2==G. Тогда
(и здесь решающим образом используется специфика групп)
можно построить «диагональное вложение» Ф:G-^GXG, ф(g) =
— (g> ё)- Композиция (рх®р2) Ф определяет представление самой
труппы G ->Aut (1х<э£2), называемое также тензорным произве¬
дением представлений рх и р2.
Существенное отличие от коммутативного случая заключается
в том, что для двух неприводимых представлений рх и р2 группы
G их произведение рх®р2 может оказаться приводимым. Таким
•образом, неприводимые представления не образуют группу:
произведение двух из них является линейной комбинацией
остальных. Например, представления р и р, действующие в про¬
странствах L и L*, определяют представление р<Эр в простран¬
стве L®L*. Из линейной алгебры известно, что L®L* изоморфно
с	с
пространству линейных преобразований End/, (изоморфизм
сопоставляет вектору а®Фб£®£* преобразование ранга 1,
с
->-ф(л:)а). Легко видеть, что в End L представление р<Эр запи¬
сывается как a->p(g)ap(g)~\ agEndl. Но, при этом преобразо¬
вания, кратные единичному, не меняются, а значит, и представ¬
ление р<Эр приводимо, и при его разложении на неприводимые
встречается единичное представление. (Можно показать, что
для неприводимого представления р представление р—единствен¬
ное такое неприводимое представление а, что в разложении
р®а на неприводимые встречается единичное—в очень слабом
187

смысле р все лее является «обратным» к р). Легко проверить,
что если и %2 — характеры представлений рх и р2, то характе¬
ром представления pi®p2 является
Итерируя эту конструкцию, мы можем рассмотреть для груп¬
пы G представления р®р®...0р в пространстве L®
Оно называется тензорной степенью представления р и
обозначается Тр(р) (если число множителей равно р). Отсюда
факторизацией получаются представления Sp (р) в пространстве
SpL и Лр(р) в ApL.
Выберем для каждого неприводимого представления рг базис,
в котором преобразования р2 (g) записываются унитарными мат¬
рицами (r^(g)) (согласно примеру 3 § 10 такой базис сущест¬
вует).
Введем на множестве функций на группе скалярное произве¬
дение:
(/и Л)=7^7 2/1(8)7®
fi-gG
Приблизительно так же, как и соотношения (5), доказывается:
III.	Различные функции rljk (g) ортогональны между собой-
Квадрат модуля функции rljh равен —, где /г2 — степень
представления рг. ►
В частности, характеры образуют ортонормированную систему
функций.
Пример 1. Группа @3 имеет два одномерных представления:
единичное представление s(o) и представление т| (а), равное 1
или — 1 в зависимости от четности о. Реализуя @3 как пере¬
становки множества X = {xv х2, х3}, мы получаем в пространстве
функций на X, для которых 2/(.х) = 0, двумерное представ-
х£Х
ление р2, которое также неприводимо. Так как |63| = 6 = l2-f-
+ 12 + 22, то из теоремы Бернсайда следует, что это — все непри¬
водимые представления группы @3.
Пример 2. Группа октаэдра О (пример 4 § 13). Группа О
переставляет между собой пары противоположных вершин окта¬
эдра, что определяет гомоморфизм 0-»-@з. Поэтому представле¬
ния, найденные в примере 1, дают нам некоторые неприводимые
представления группы О. С точки зрения геометрии октаэдра,
смысл их таков. Мы видели в § 13 (пример 4), что группа О
содержит подгруппу тетраэдра Т и (О: Г) =2; тогда rj (g-) = 1
для g&T и —1 для g$T. Представление р2 реализуется в прост¬
ранстве функций на множестве вершин октаэдра, принимающих
одинаковые значения в противоположных вершинах, и с суммой
всех значений, равной 0. Кроме того, включение 0->-S0(3)
определяет трехмерное «тавтологическое» представление р3 груп¬
пы О. Наконец, тензорное представление p3®ri (которое в дан¬
188

ном случае сводится, просто, к умножению преобразования p3(g)
на число ri(g')) определяет еще одно представление р3'. С точки
зрения геометрии октаэдра, его смысл таков. Мы видели в тео¬
реме V § 13, что в группе 0(3) имеется подгруппа ОТ, изоморф¬
ная группе октаэдра, но не содержащаяся в S0(3). Компози¬
ция гомоморфизмов 0=*0Г->-0(3) и определяет р3'. Так как
10| =24= 12+12+22+32+32, то мы нашли все неприводимые
представления группы октаэдра.
Б. Представления компактных групп Ли. Представления
компактных групп Ли обладают почти всеми свойствами, прису¬
щими представлениям конечных групп. В основе всех свойств
представлений конечных групп лежит их полупростота, а она,
как мы видели в § 10, выводится в разных вариантах (для
представления над полем С или над произвольным полем) при
помощи одного и того же соображения:	рассмотрения сумм
вида 2 F(g) для разных величин F(g), связанных с элемен¬
тами группы (т. е. возможности суммировать или усреднять
по группе). Вот это-то соображение и имеет аналог в теории
компактных групп Ли. Соответствующее выражение называет¬
ся «интегралом по группе». Оно сопоставляет любой непре¬
рывной функции f(g) на компактной группе Ли G число 1(f),
называемое интегралом по группе и обладающее следующими
свойствами:
/(/i + /2) = /(/1) + /(/2),
I (af) = al (/), agC,
/(/) = 1, если / = 1,
/(|/12)>0, если /фО,
/(/г) = /(/).	*	=	1. 2, 3, если /1(g) = /(r1).
/2 (g) = / (щ), /з (g) = / (gtt)
и и — некоторый элемент группы G. Доказательство основывается
на построении инвариантной я-мерной дифференциальной формы
выбрано так, что /(/) = 1 при /==1. Форма и называется
инвариантной, если т*ю = © для всех u$G, где та —преобразова¬
ние группы g-^gu. Инвариантная форма строится приемом, опи¬
санным в начале § 15: надо выбрать я-мерную форму ©ебЛп7'е
в касательном пространстве Те к единичной точке egG и опре¬
делить значение со^ в Tg как (т* )_1иг.
Существование интеграла по группе 1(f) дает возможность
дословно перенести рассуждение из примера 3 § 10 на компакт¬
ные группы и доказать, что компактная подгруппа GcGL(rc, С)
сохраняет некоторую эрмитову положительную форму <р. Так
*6°
© на группе G, где ti=d\va.G. Полагают
а
189

как эта форма эквивалентна стандартной 2|^|2, то Gсг
сСЩ/^С-1 при некотором CeGL(n, С). Этот результат о ком¬
пактных подгруппах GL(n, С) мы приводили без доказательства
в примере 6 § 15. Аналогично, компактная подгруппа группы
GL(n, R) сопряжена с подгруппой группы О(п). Вот одно изве¬
стное применение тех же соображений.
Пример 3 (теорема Гельмгольца —Ли). Флагом F
в /i-мерном вещественном векторном пространстве L называется
последовательность вложенных ориентированных подпространств
LiCL2c: ... cLn-iC:L, где Lt имеет размерность i. Если ввести
в L евклидову метрику, то флаг однозначно соответствует такому
ортонормированному базису еь ..., еп, что Lt = {eb ..., е,}
(с учетом ориентации). Из этого следует, что многообразие 3F
всех флагов компактно. Группа GL(/i, R) действует на немг
g (Z.j, L2,..., Ln-i) = (g (A), g (L%)»• • • > g (Lri-1))>
geGL(n, R), (Lv Li,..., Ln)e^.
4 Пусть группа GcrGL (n, R) действует на многообразии &
транзитивно и свободно (т. е. для двух флагов Fx и F2 суще¬
ствует одно единственное преобразование ggG, для которого
g(Fl) = F2). Тогда в L можно ввести евклидову метрику так, что
О превратится в группу ортогональных преобразований. ►
Действительно, так как при действии G на 2F стационарна»
подгруппа точки тривиальна, то G отождествляется с орбитой
любой точки, которая, ввиду транзитивности действия, совпада¬
ет с 9Г. Поэтому G, как и SF, компактна. Отсюда уже следует,
как мы видели, существование евклидовой метрики, инвариант¬
ной относительно G. То что G совпадает со всей ортогональной
группой этой метрики, легко вытекает из транзитивности ее
действия на
Доказанное утверждение является локальным аналогом и
первым шагом в доказательстве известной теоремы Гельм¬
гольца— Ли, дающей внутреннюю характеристику римано-
вых пространств постоянной кривизны. А именно, пусть X —
дифференцируемое многообразие и G — группа диффеоморфиз¬
мов, транзитивно и свободно действующая на множестве точек
х£Х и флагов в их касательных пространствах Тх (т. е. для лю¬
бых х, у£Х и флагов FXGTX, FyGTy существует единственное такое
преобразование g6G, что g(x)=y, g(Fx)=Fv). Тогда на X мож¬
но так ввести метрику, что оно превратится в одно из про¬
странств постоянной кривизны: евклидово, Лобачевского, сфе¬
рическое или Римана (фактор сферы по центральной симмет¬
рии), a G — в группу его движений. Доказанное нами утверж¬
дение дает возможность ввести на X риманову метрику и при¬
менить дальше технику римановой геометрии.
Транзитивность действия группы движений на множестве
флагов называют аксиомой свободной подвижности риманова
190

многообразия. Таким образом, римановы многообразия, удовлет¬
воряющие этой аксиоме, являются аналогами правильных мно¬
гогранников (ср. пример 4 § 13) и, наоборот, правильные мно¬
гогранники — конечными моделями римановых пространств
постоянной кривизны.
По-видимому, при доказательстве теоремы Гельмгольца—Ли
впервые была понята роль многообразия флагов ST. Впослед¬
ствии оно неоднократно возникало: в топологии, теории пред¬
ставлений групп Ли, теории алгебраических групп. Причем,
всегда отражая встретившееся нам свойство: это «наилучшее»
компактное многообразие, на котором группа GL(n, R) транзи¬
та в но действует.
Теперь вернемся к теории представлений компактных групп,
которая также основывается на существовании интеграла по*
группе.
IV.	1) Конечномерное представление компактной группы Ли
G эквивалентно унитарному и полупросто.
2) В пространстве L2(G) функций /, для которых /(|Л2)<
<оо, введем скалярное произведение
(/. g)
Имеет место дословный аналог соотношений ортогональности
для матриц неприводимых конечномерных представлений (ср-
теорему III).
3) Определим регулярное представление группы G в прост¬
ранстве I2(G) условием Tg(f) (u)=f(ug). Регулярное представ¬
ление разлагается в прямую сумму счетного числа конечномер¬
ных неприводимых, и каждое неприводимое входит в него столь¬
ко раз, какова его степень. Конечномерное представление-
однозначно определяется своими следами.
4) Неприводимые представления группы G, обладающей вло¬
жением p:G->Aut(V), исчерпываются теми, на которые разла¬
гаются представления вида Тр (р)®Тч (р).
5) Неприводимые представления группы G1xG2 имеют вид
Р!®р2, где р! и р2—неприводимые представления группы и G2.^
Первое и второе утверждения доказываются дословно так же,
как и для конечных групп. Идею доказательства третьего можно*
проиллюстрировать, если предположить, что G является замкну¬
той подгруппой в группе линейных преобразований Aut (V) ко¬
нечномерного пространства V (на самом деле, такое представле¬
ние для G возможно всегда, а для важных примеров, таких как
классические группы, входит в определение). Тогда мы имеем*
«тавтологическое представление» p:G Aut(I/) или G->GL (п., С),
где /t = diml/. Если матрица р (g) = {rjk (g)). то значения 2п2'
функций xjk = Re rjk (g) и yJk = Im rjk (g) однозначно определяют
элемент g. По теореме Вейерштрасса любую непрерывную функ¬
цию / на G можно аппроксимировать многочленами от xjk и yjk.
19L

Но многочлены от xjk и yJk совпадают, как легко видеть, с ли¬
нейными комбинациями матричных элементов всевозможных пред¬
ставлений Тр(р)<2>Тд (р) или их неприводимых составляющих.
Поэтому любая непрерывная функция на G аппроксимируется
линейными комбинациями функций /"^(g), соответствующих не¬
приводимым конечномерным представлением ps, откуда легко
следует, что любая функция f&L2(G) разлагается в ряд по этой
ортогональной системе. Отсюда уже легко следует утверждение
3). Это доказательство дает и больше — сведения о неприводи¬
мых представлениях группы G — утверждения 4), 5).
Заметим, в заключение, что те же свойства 1)—3) верны
для любой компактной топологической группы. В этом случае
интеграл по группе 1(f) определяется по-другому — изящной
теоретико-множественной конструкцией.
Пример 4. Коммутативные компактные группы Ли.
Здесь все неприводимые представления одномерны, и мы имеем
полный аналог теории характеров конечных коммутативных групп.
Компактная коммутативная группа G имеет счетное число харак¬
теров: неприводимых гомоморфизмов %:G->С*. Они связаны соот¬
ношениями ортогональности, аналогичными соотношениям (5),
и любая функция f£L2(G) разлагается по ним в ряд / = 2огХ-
х
Характеры образуют группу С (дискретную), и имеет место та¬
кая же связь между группами групп G и G, как и в случае
конечных групп. В частном случае, когда G —R/Z—окружность,
группа G изоморфна Z, так как все характеры имеют вид
«-«гегляу
Хп( ф)=г2я‘*ч>.
Разложение / = Ес„х„ есть разложение в ряд Фурье. Это «объяс¬
няет» роль функций е2я‘Л|р (Или sin2ягеф и cos 2яяф) в теории
рядов Фурье, как характеров группы G.
Теория приобретает наибольшую завершенность, если рас¬
пространить ее на класс локально компактных коммутативных
групп. Связь между группой G и ее группой характеров G
(которая тоже локально компактна) описывается теоремой
двойственности Понтрягина.
Пример 5. Пусть р: SO(п)->L — «тавтологическое» представ¬
ление S0(п) ортогональными преобразованиями /г-мерного евклидо¬
ва пространства L. Представление 52р можно реализовать в про¬
странстве билинейных симметрических функций на L (отождествляя
L с L*, ввиду евклидовости L). При этом «6SO(/i) действует
на функцию Ф (a, b), (a, b£L), переводя ее в ф (р (и)'1 а, р (и)-1 Ь).
В ортонормированном базисе функция Ф записывается симметри¬
ческой матрицей А и закон преобразования имеет привычный вид:
А ->р (и) Ар (и)'1 (так как р (и)* = р (и)-1). Очевидно, что единичная
192

матрица остается при этом инвариантной. Поэтому S2p = /©Sop,
где/ —единичное представление, а Sop —представление в прост¬
ранстве матриц со следом 0. Легко убедиться, что S^p неприводимы.
Следующие примеры 6 — 8 играют роль в теории четырех¬
мерных римановых многообразий.
Пример 6. Рассмотрим специально случай п=4. Тогда
SO(4)^(SpU(l)xSpU(l))/(+l, -1)	((10) § 15). Поэтому
5ор может рассматриваться как представление группы
SpU (1) х SpLF (1) и, значит, ввиду утверждения 5) теоремы IV
имеет вид pi®p2, где pj и р2—представления группы SpU(l).
Найдем эти представления. Представление Sop действует, как
и в предыдущем примере, на пространстве симметрических функ¬
ций Ф(а, Ъ), где теперь можно считать, что а, &6Н—пространству
кватернионов. При этом ttgSpU (1) X SpLT (1) имеет вид u=(qb q2), где
qb q£Н, 1^1 = 1^21 = 1, и р (и) a = q^aqjl ((10) §15). Рассмотрим
действие pj группы SpU(l) на пространстве чисто мнимых
кватернионов Н': x->qxq~l, |^| = 1, лДН-, ^6Н. По ^двум эле¬
ментам х, t/GH" построим функцию Фх,у{а, b) = Re(xayb), a, 6gH.
Легко убедиться, что Чх,у(а, Ь) = (Рх,у(Ь, а) и что действие
x->q1xq2, y->qiyq2l равносильно преобразованию функции
Ух,у (я, Ь) по закону преобразования представления S2p (надо
воспользоваться тем, что Re(£) = Re(g), Re(gT)) = Re(i]g), х = — х,
у——у и q=q~\ если |^| = 1). Таким образом, мы имеем гомо¬
морфизм p^pj-vSSpiJc^iz-vVx,,,, где р! — стандартное представ¬
ление SpLJ (1) (и даже SO (3)) в Н". Легко видеть, что ядро его
равно 0. Образ же может быть только So(p). Поэтому Sop—p1<S>p1.
Пример 7. Опять при п=4 рассмотрим представление А2р
(р —тоже, что и в примерах 5,6), которое реализуем в прост¬
ранстве билинейных кососимметрических форм на Н. Для дгбН"
рассмотрим билинейную форму ф* (a, b) = Re(axb). Тогда
фх(^> а)——Фх(а’ Ь), и x->tyx определяет гомоморфизм представ¬
лений 1®р!->Л2р. Аналогично, сопоставление х(*Н~ формы
%х(а, b) = Re(axb) определяет гомоморфизм (pjXl) ->Л2р. Склады¬
вая их, мы получаем гомоморфизм (р1®1)®(1Ср1) ->Л2р, который,
как легко видеть, является изоморфизмом и дает разложение Л2р
на неприводимые слагаемые.
Пример 8. Рассмотрим, наконец, представление S2A2p. Это
представление группы SO (4), в тензорах с теми же условиями
симметрии, которым удовлетворяет тензор кривизны четырех¬
мерного риманова многообразия. Согласно примеру 7, Л2р =
= (р1®1)Ф(1®р1), где pj —тавтологическое представление группы
SO(3) в R3. Легко видеть, что для любых представлений § и г|
любой группы S2 (£®ri) = S2|®S2r]©(g®Ti). В частности, S2A2p =
= (S2pi® 1)Ф(1 ®S2p1)®(p1®p1). Согласно результатам примеров 5
и 6 мы можем написать
13-9339	23
193.

S2A2p = (/® 1)® (5oPi® 1 )ф (1 ® /)® (1 ®5oPi)©5op,	(6)
что дает разложение представления S2A2p на неприводимые.
Оно показывает, какие группы компонент тензора кривизны
можно инвариантно выделить так, что они имеют геометриче¬
ский смысл.
Запишем элемент |б52Лр согласно (6):
| = «о + ai + Ро+Pi “г Y*
С£о6/®1> «l65oPi®l, Po6l®/. Pl6l®5op, уб^ор.
Ввиду одномерности представлений /® 1 и 1®/ элементы а0 и ро
задаются числами а и Ь. Так называемое тождество Бианки по¬
казывает, что для тензора кривизны риманова многообразия
всегда а = Ь. Число \2а=\2Ь называется скалярной кривизной,
симметрическая матрица у (со следом 0) — бесследным тензо¬
ром Риччи, а «1 и р! — положительным и отрицательным тен¬
зором Вейля.
Пример 9. Неприводимые представления группы SU(2).
Эта группа имеет тавтологическое представление
р : SU (2)->Aut C*=Aut£.
Согласно утверждению 4 теоремы IV отсюда следует, что все
неприводимые представления этой группы получаются при тензор¬
ном перемножении в любом числе представлений р и р. Представ¬
ление р эквивалентно комплексно сопряженному к р и,
в данном случае, эквивалентно самому р. Действительно, при
dimZ = 2 пространство А2/, одномерно, и при выборе в нем базиса
со0 мы получаем билинейную форму ф на £:хдг/ = Ф (х, у) со0,
которая устанавливает изоморфизм между L и сопряженным про¬
странством L*. С другой стороны, эрмитова структура на L (вхо¬
дящая в определение SU(2)) задает изоморфизм L с эрмитово
сопряженным, L*. Из этих двух изоморфизмов вытекает изомор¬
физм L* и L*, т. е. L и L, а значит, — эквивалентность р и р.
Таким образом, все неприводимые представления SU(2) полу¬
чатся при разложении одних только представлений Гр(р). Один
набор представлений бросается в глаза. Унитарные (как, впрочем,
и любые) матрицы второго порядка можно рассматривать как
матрицы преобразований двух переменных хну. Как таковые
они действуют в пространстве однородных многочленов степени;я.
от х и у: матрица ^ переводит форму г (х, у) в F (ах^-уу,
Рх + бу). Это представление размерности п-\-1 обозначают р;-, где
j = -j (следуя традиции, возникшей в квантовой механике). Оче¬
видно, что ру = S'2-'.). Если сопоставить однородному многочлену
F (х, у) неоднородный многочлен f (z) — F (z, 1), то представле¬
ние запишется так:
194

Нетрудно проверить, что представления pj неприводимы (это ста¬
нет совсем очевидным в следующем пункте). Чтобы доказать,
1 . 3
что р;- при ) == g-, 1, т, , - ■ ■ —это все неприводимые представления:
группы SLT (2), нам достаточно, ввиду вышесказанного, проверить,,
что представления Тр(р) разлагаются в сумму представлений
Так как само р есть рх/2, то индуктивно достаточно доказать,,
что Pj®p., разлагается в сумму представлений р*. Можно угадать,
закон этого разложения, если рассмотреть в SU (2) подгруппу Н„
состоящую из диагональных матриц. Это группа
*»-[о	)•	!«I-L	<8>
Она коммутативна и, значит, при ограничении на нее, представ¬
ление рх распадается на одномерные. Действительно, базисом
инвариантных одномерных подпространств (при реализации в
пространстве форм) служат одночлены
хп, х^у, ...,уп,	(9)-
на которые действуют характеры Xn{ga) = <zn, Хп-2 (ga)=a""2, ...
• • ч K-n(ga) = a'f!- При разложении ограничения на Н представ¬
ления	встречаются	попарные произведения характеров,
возникающих при ограничении на Н представлений ру- и рт. е.
характер %п+п' — 1 раз (где я = 2/, n' = 2j'), %п+п'-2 — 2 раза,
%п+п'-4 — 3 раза и т. д. Отсюда легко усмотреть, что если пред¬
ставление ру®р;' разлагается в сумму представлений р6, то это-
разложение может иметь только вид:
Р;®Р/' = Pj+j'®Pj+J'—2Ф •	• •®Pl/—i'V	(Ю)'
Чтобы	доказать соотношение (10),	можно воспользоваться
свойством	3)	в теореме IV, т. е. тем,	что представление	одно¬
значно задается своими следами. Достаточно заметить, что уни¬
тарная матрица всегда диагонализируема и, значит, сопряжена
матрице вида (8), так что характер представления определяет¬
ся его заданием на таких матрицах. В частности, для пред¬
ставления рх мы можем его легко найти (используя запись ga в
базисе (9)):
а2Л-1_а-(2/-(-1)
ЮЫ =%(“) = ——•	(П>
Теперь (10) сводится к простой формуле
Xj (°0 X)' (“) = Xj+j- (а) + Xi+r-2 (“) -г • ■ • + Х\j-j'\(a)>
13*	195

которая легко проверяется. Таким образом, мы нашли неприво¬
димые представления группы SU(2) и доказали формулу (10),
она называется формулой Клебша—Гордана.
Так как SO(3)=*SU(2)/(+l, —1), то неприводимые пред¬
ставления SO(3) содержатся среди неприводимых представле¬
ний SU (2) — это те, в которых матрица — Е действует триви¬
ально.
Очевидно, что так будет в точности тогда, когда / — це¬
лое число. Из (11) мы получаем и формулы для характеров
этих представлений: для поворота gv на угол ф
Интересно, что использованный нами прием ограничения на
коммутативную подгруппу (в случае группы SO(3) это была
бы подгруппа всех поворотов вокруг одной оси) имеет квантово¬
механическую интерпретацию. Пусть электрон находится в поле
с центральной симметрией. Эта симметрия должна отражаться
и на функции Гамильтона, которая должна быть инвариантной
относительно действия SO(3). Тогда и пространство состояний
должно быть инвариантным относительно действия SO(3) и,
значит, разлагаться в прямую сумму неприводимых представ¬
лений SO(3). Неприводимое подпространство, входящее в про¬
странство состояний, определяется двумя числами, из которых
одно (азимутальное квантовое число) равно / и определяет тип
соответствующего неприводимого представления, а другое (глав¬
ное квантовое число) различает разные инвариантные подпро¬
странства, соответствующие эквивалентным друг другу пред¬
ставлениям. При этом все состояния, входящие в одно неприво¬
димое подпространство, обязаны иметь один энергетический
уровень.
Если включено магнитное поле, обладающее вращательной
симметрией вокруг оси, то каждое неприводимое представление
группы SO(3) ограничивается на подгруппу #c=SO(3), состоя¬
щую из вращений вокруг оси магнитного поля. Ограничение
неприводимого представления SO(3) на Я разлагается, как мы
видели, на одномерные неприводимые представления, причем
состояния, соответствующие разным инвариантным подпрост¬
ранствам относительно подгруппы Я, уже имеют разные энерге¬
тические уровни. Это описывает расщепление спектральных ли¬
лий в магнитном поле — эффект Зеемана. Например, на рис. 39,
заимствованном из статьи [53], приведены спектрограммы, по¬
казывающие, что пространство состояний атома ниобия преоб¬
разовывалось согласно представлению pi группы SO(3), кото¬
рое распалось на 3 представления группы Я после включения
магнитного поля.
196

В.	Представления классических ком¬
плексных групп Ли. Дальше будут рас¬
сматриваться аналитические представле¬
ния классических групп, т. е. будет пред¬
полагаться, что элементы матрицы ли¬
нейного преобразования p(g) являются
комплексно аналитическими функциями
элементов матрицы g£G. Мы используем
связь между классическими комплексны¬
ми и компактными группами Ли, которую
описали в § 15: каждая классическая ком¬
пактная группа содержится в некоторой
классической комплексной группе в ка¬
честве ее максимальной компакт¬
ной подгруппы:	U(n) в GL(n, С),
SU(n) в SL(n, С), SpU(n) в Sp(n, С)
и т. д. Эта связь дает возможность ис¬
следовать конечномерные представления
комплексных групп исходя из получен¬
ных в предшествующем пункте сведений
о представлениях групп компактных.	Рис.	39
Первый основной результат здесь таков:
V.	Конечномерные представления классических комплексных
групп Ли полупросты. ►
Поясним идею доказательства на примере группы GL(/i),
Мы сделаем одно упрощающее предположение: будем считать,
что в представлении р : GL(n)->-Aut (L) элементы r^ig) мат¬
рицы преобразования p(g) являются рациональными функция¬
ми от элементов матрицы g. (На самом деле, это всегда так, к
не только для группы GL(n), но и для всех классических
групп.) Пусть в пространстве L есть подпространство М, инва¬
риантное относительно всех преобразований p(g), gGGL(n)'.
Ввиду доказанной полупростоты представлений группы Щп)
существует подпространство N, инвариантное относительно пре¬
образований p(g), g£U(n), и такое, что L=M©N. В базисе,
составленном из базисов подпространства М и N, преобразова¬
ния p(g), gGGL(n), имеют матрицы вида:
При этом элементы ci}(g) матрицы C(g) являются, по сказан¬
ному выше, рациональными функциями от элементов матрицы
g, равными 0, если gGU(n). Все сводится, ввиду этого, к дока¬
зательству леммы, уже не относящейся к теории представлений:
Лемма. Рациональная функция F(Z) от элементов пере¬
менной матрицы ZGGL(n), равная 0 для всех Z6U(n), равна О
тождественно. ►
137

Как известно (и мгновенно проверяется), любая матрица Z
*с det(£' + Z) =т^0 представляется в виде
Z=(E— Т) (Е+Т)~\
причем Z унитарна тогда и только тогда, когда Т* = —Т. Поло¬
жим F(Z)=G(T). Тогда наша задача сведется к тому, чтобы
.доказать, что рациональная функция G(T) от элементов мат¬
рицы Г, равная 0 для косоэрмитовых матриц Т, равна тождест¬
венно 0. Положим T=X+iY. Условие Г* = — Т примет вид Х* =
= —X, Y* = Y, где t обозначает транспонирование. Наша функ¬
ция будет рациональной функцией от элементов Xij(t<j) ко¬
сосимметрической матрицы X и элементов уц (i^j) симметри¬
ческой матрицы У, являющихся независимыми вещественными
переменными. Поскольку рациональная функция равна 0 для
всех вещественных значений переменных, то она равна 0 тож¬
дественно, т. е. G(T)= 0 для всех Т вида X+iY, Х* = —X, Y* = Y,
где X и Y — любые комплексные матрицы. Но так можно пред¬
ставить любую матрицу Г, положив
Х=\(Г -Т‘), У=^.(Т — Т‘).
Доказательство теоремы V является лишь одним примером
общего метода исследования представлений классических комп¬
лексных групп Ли. Этот метод аналогичен аналитическому про¬
должению вещественных функций в комплексную область. Он
называется унитарным приемом. Ограничивая представление
такой группы G на ее максимальную компактную подгруппу К,
мы получаем представление группы К. Наоборот, из представле¬
ния группы К получается представление группы G, если вещест¬
венным параметрам, от которых зависят матрицы k£K, прида¬
вать также комплексные значения.
Так устанавливается взаимно однозначное соответствие между
представлениями групп G и К. Например, неприводимые пред¬
ставления группы SL (2, С) записываются точно теми же форму¬
лами (7), с той лишь разницей, что элементы матрицы ^ gj
принимают теперь любые комплексные значения, связанные соот¬
ношением аб —0у = 1. (Отсюда, между прочим, сразу следует их
неприводимость.) Ввиду связи, существующей между группой
SL (2, С) и группой Лоренца, это описание важно для физики.
Все изложенное до сих пор могло бы создать впечатление,
что теория представлений классических комплексных групп
Ли полностью аналогична теории представлений компактных
групп. На самом деле, это далеко не так; теория представлений
любой некомпактной группы Ли связана с некоторыми совер¬
шенно новыми явлениями.
Как и в компактном случае, существует инвариантная «-мер¬
ная дифференциальная форма на группе G (n = dimG), и при
198

ее помощи можно определить регулярное представление в про¬
странстве L2(G). Регулярное представление опять «разлагается
на неприводимые», но теперь эти слова имеют другой смысл.
Неприводимые представления, вообще говоря, бесконечномер¬
ные и зависят от непрерывно меняющихся параметров, так что
здесь возникает ситуация типа «непрерывного спектра». Регу¬
лярное представление разлагается не в сумму, а в «интеграл»
неприводимых. Например, характеры группы R вещественных
чисел по сложению имеют вид
%ь(х) = е2*^,
и «разложение» регулярного представления сводится к пред¬
ставлению функций в виде интеграла Фурье (а не ряда Фурье,
как в случае компактной группы R/2jtZ). Как само регулярное
представление, так и те неприводимые представления, на кото¬
рые оно разлагается, являются унитарными. Из этого вытекает,
что в большинстве случаев они не могут быть конечномерными.
Например, если группа G простая, то ее неединичное представ¬
ление является вложением и не может быть вложением в неко¬
торую группу U(n), так как группа G некомпактна, a U(n) —
компактна. Как правило, не все неприводимые унитарные пред¬
ставления встречаются при разложении регулярного. Но и те,
которые там встречаются, не содержатся в регулярном пред¬
ставлении в виде подпредставления: подобно тому, как точка
непрерывного спектра оператора не соответствует никакому соб¬
ственному вектору. Те исключительные случаи, когда неприво¬
димое представление содержится в регулярном, очень интерес¬
ны— они аналогичны дискретной части спектра. Такими яв¬
ляются, например, представления (при п^-гО) группы SL(2, R),
действующие в пространстве функций f{z), аналитических в
верхней (или нижней) полуплоскости со скалярным произведе¬
нием
[ fi(z) /2 (2) yndx Д dy, z = x + iy,
c+
по формулам
Сама их конструкция подсказывает, что они связаны с теорией
автоморфных функций.
§ 18. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ГРУПП
А.	Теория Галуа. В теории Галуа изучаются «симметрии»,
т. е. автоморфизмы, конечных расширений. Определение конеч¬
ного расширения и простейшие свойства их см. в § 6. Мы будем,
ради простоты, предполагать, что рассматриваемые поля имеют
199

характеристику 0, хотя все основные результаты на самом деле
верны в гораздо большей общности, например, также и для
конечных полей.
Каждое конечное расширение LjK (в предположении, что
характеристика поля равна 0) имеет вид К {а), где а — корень
неприводимого многочлена P(t)£K[t\ и степень этого много¬
члена равна l[L:K]. Поэтому теория Галуа может быть изло¬
жена в терминах многочленов (как это и делал сам Галуа),
хотя такое изложение не инвариантно в том смысле, что разные
многочлены P(t) могут порождать одно и то же расширение
ЦК.
Автоморфизмом расширения L/K называется автоморфизм
о поля L, оставляющий на месте все элементы поля К. Все
автоморфизмы заданного расширения образуют группу Aut (ЦК)
относительно операции композиции. Автоморфизм о расширения
К (а)/К однозначно определяется тем, куда он переводит эле-
It— 1
мент а: любой элемент поля К (а) записывается в виде 2 ata‘,
о
а£К, и если <т(а) = (3, то a(2aiai)=2aip/. С другой стороны,
если a (а) = (5 и Р(a) = 0, P(t)£K[t\, то и Я((5) = 0. Поэтому
\Aut(LlK)\<degP(t) = \L:K].	(1)
Расширение L[K тем симметричнее, чем больше группа
Aut(L/K). Предельный случай — когда в соотношении (1) име¬
ет место знак равенства:
| Aut (L/K)|=,[L:K].
Тогда ЦК называется расширением Галуа. Согласно сказанно¬
му выше, для этого необходимо, чтобы неприводимый многочлен
P(t), корнем которого является а (если Ь — К(а)), разлагался
в L на линейные множители. Можно показать, что этого и до¬
статочно. В § 12 был приведен пример расширения, не являю¬
щегося расширением Галуа, и даже «максимально асимметрич¬
ного»: Aut (LfК) = {е}. Возможность применения теории групп к
изучению структуры полей основывается на том, что расшире¬
ния Галуа все же дают достаточно полную информацию:
I.	Каждое конечное расширение содержится в расширении
Галуа. ►	_
Рецепт построения расширения Галуа LjK, содержащего'
заданное расширение LjK, не сложен: если Ь = К(а), Р(а)= 0,
P(t)^K[t], то надо, положив в L многочлен P(t) = (t—a)Pi(t),
Pi(t)£L[f], построить расширение Ц = Ь(а.\), Pi(ai)=Q, и про¬
должать так до тех пор, пока P(t) не разложится на линейные
множители. Из всех расширений Галуа ЦК, содержащих за¬
данное расширение ЦК, существует минимальное, содержащее¬
ся в остальных.
200

Группой Галуа расширения Галуа L/К называется группа
Aut(L/K). Она обозначается Gal (L/К). По определению
[Gal (L/K)\ = [L:K].
Группой Галуа конечного расширения LjK называется груп¬
па Галуа наименьшего расширения Галуа L/К, содержащего
НК.
Группой Галуа неприводимого многочлена P{t)^K[f] назы¬
вается группа Галуа расширения L/K=K(a), Р(а)= 0.
_ Если L—K (а), Р(а) = 0, то наименьшее расширение Галуа
L/К, содержащее LjK, получается последовательным присоеди¬
нением корней многочлена Р (t), как это было описано выше.
Любой автоморфизм agGal (LjK) определяется тем, куда он
переводит корни аг многочлена Р (t). С другой стороны, он
может переводить их только в корни того же многочлена. Поэто¬
му о осуществляет перестановку корней многочлена Р (f),
а вся группа Gal {LjK) действует на множестве этих кор¬
ней. Например, для «асимметричного» расширения £ = Q( У~2),
рассмотренного в §12, а=у/2, многочлен P(i) = t3—2=
= {t — a)(*2 + a£ + oc2), и в поле Q(|^2) многочлен	2
корней не имеет. Мы полагаем L=L{П), где а{+ааг -j- а2=О,
откуда =	Отсюда	следует,	что L=L {У—3) и
любой его элемент записывается в виде | -f- цУ—3, £, r]gQ (У 2 }.
Очевидно, что автоморфизм agAut(Z/Q) определяется значениями
а (У2) и а (]/ — 3). При этом (о (У2 ))3—2 и, значит,
0 (У2 ) — 8&уЛ2 , k = 0, 1, 2, где е =—— корень куби¬
ческий из 1, а а (У—3)= ± У—3. Легко проверить, что любые
комбинации таких значений для о (У2 ) и о (У — 3) действи¬
тельно определяют автоморфизм расширения L/Q, так что»
1 Aut (Z^/Q) |=6, а так как и [£:Q]=6, то i/Q —расширение
Галуа. Его группа Галуа действует на корнях многочлена х3 — 2
и, очевидно, задает любые их перестановки, так что в этом,
случае Gal(i/Q)—@3. Выпишем в явном виде действие группы
Gal(£/Q) на корнях многочлена х3 — 2 в виде таблицы (корни
занумерованы в порядке У2 , &У2, г2У2):
а(УТ)
ут
У2
бУ2~
ь*У2
У/2
в*уг
а (/ГГ)
У—3
-У=Г
у=г
У—т
—у^з*
У^з"
перестановка
корней
О)
(23)
(123)
(132)
(12)
(13)
231

В основе теории Галуа лежит замечательная связь между
подрасширениями Kc:Z/c:Z. расширения Галуа ЦК, и подгруп¬
пами его группы Галуа G = Gal(L/K). Для любой подгруппы
HcGa\(L/K) обозначим через L(H) подполе, состоящее из
всех элементов поля L, инвариантных относительно всех авто¬
морфизмов подгруппы Н, а для подполя L', K^L'czL, черёз
G(L') —подгруппу Aut(LIU) группы Gal(L/K).
II.	Основная теорема теории Галуа. Отображения
H-^L(H) и L'^-G(L') обратны друг другу. Они определяют
взаимно однозначное соответствие между подгруппами На
czGal {LlК) и подполями L', KdL'dL. Это соответствие обра¬
щает включение: HdHi тогда и только тогда, когда L(Hx)d
dL(H). Кроме того, \L(H)-.K\ = \G-.H\. Расширение L'/K,
KdL'dL, тогда и только тогда является расширением Галуа,
когда подгруппа G (L')dG является нормальным делителем.
В этом случае Gal (U iK)—GiG(L'). ►
Классической иллюстрацией методов теории Галуа является
применение их к вопросу о решении, уравнений в радикалах.
Основой здесь является естественная интерпретация, которую
радикал уга приобретает в теории Галуа.
Предположим, что основное поле К содержит все Л корней
степени п из 1, т. е. многочлен хп — 1 разлагается в нем на ли¬
нейные множители, а многочлен хп — а неприводим, т. е.
\К(/а)-.К\ = п. Из сказанного выше следует, что в этом случае
К (Vа)/К является расширением Галуа и все его автоморфизмы
ogGal{К(f'a)IK) = G определяются тем, что а(уга) = гуга, где
гл = 1. Иными словами, положив о (уга)/уЛа = х(а), мы получим
характер группы G, и этот характер будет точным (т. е. его
ядро равно е), так что группа G циклическая. Поле К (Vа)/К
как векторное пространство над К определяет представление
группы G, которое должно разлагаться на одномерные. И дейст¬
вительно,
К (уа) = К®К (у7 а)® К (у¥)2© ,..®К (уау-\
причем а ((у^а)') = %' (б) (Уа)Г. Таким образом, радикалы у аг
соответствуют разложению представления циклической группы G
в пространстве L на одномерные. Эта картина обратима: пусть
L/K—расширение с циклической группой Галуа G порядка и;
тогда аналогично предыдущему мы должны иметь
Z,==Arai®.. . ®Кап, а (ar) — %г (а) аг,
где у (o’) — характер, являющийся образующим в группе характе¬
ров группы G. Отсюда нетрудно вывести, что аГ = а[сГ, сг(*К,
а<1 = а^К и L=K{Va).
202

Таким образом, если корни степени п из 1 содержатся
в поле К, то радикальные расширения К (уа) — это в точ¬
ности расширения с циклической группой Галуа. Отсюда,
применяя теорему II и простейшие свойства разрешимых групп,
можно доказать:
III. Расширение А/АГ тогда и только тогда является подполем
расширения Л/А', получающегося последовательным присоедине¬
нием радикалов (т. е.
a=Ai3A23...злг==/с, л,+1=лг(^), а^ел,),
когда его группа Галуа разрешима. ►
Из этого факта и родилось впервые как понятие разреши¬
мой группы, так и сам термин.
Рассмотрим, например, поле рациональных функций k(tu
■fa, ■. ■, tn)=L и подполе К симметрических функций. Как изве¬
стно, K=k(a\,..., а„), где а4 — элементарные симметрические
функции, и сопоставление <т4-и/4 определяет его изоморфизм с
полем рациональных функций k(y\,..., уп). Очевидно, что
Gal(L/A)=@„ и состоит из всех перестановок переменных
/1, ..., tn. Но г4 — корни уравнения хп—OiXn~l+ ... +а„ = 0.
Применяя изоморфизм ст(-*-г/*, мы можем сказать, что группа
Галуа уравнения
хп — у1хп'1 +... ±г/л = 0	(2)
над полем k(yh ..., уп), где уи , уп — независимые пере¬
менные, есть симметрическая группа ®„.
Уравнение (2) называется общим уравнением степени п.
Соединяя теперь критерий III с известными фактами о
структуре групп @„ (теорема I § 13), получаем:
IV. Общее уравнение степени п разрешимо в радикалах при
л = 2, 3, 4 и неразрешимо при п^5. &>•
Структура формул для решения уравнений степени п= 2, 3,
4 в радикалах также может быть предсказана на основании
свойств групп @„, п=2, 3, 4 (теорема I § 13).
Б. Теория Галуа линейных дифференциальных уравнений
(теория Пикара—Вессио). Рассмотрим дифференциальное урав¬
нение
(/<пЧ-а10(я-1)-г • • • -\~апу = 0,	(3)
коэффициенты которого — мероморфные в некоторой области
функции одного комплексного переменного. Обозначим через К
поле С (аь ..., а„), а через L — поле, состоящее из всех раци¬
ональных функций от аи ..., а„, п линейно независимых ре¬
шений уравнения (3) и всех производных этих решений.
Дифференциальным автоморфизмом расширения L/К назы¬
вается автоморфизм поля L, не меняющий элементов поля К и
перестановочный с дифференцированием элементов поля L.
203

Группа всех дифференциальных автоморфизмов расширения
ЦК называется дифференциальной группой Галуа этого рас¬
ширения или уравнения (3).
Так как дифференциальный автоморфизм перестановочен с
диференцированием и не меняет коэффициентов уравнения (3),-
то он переводит решение этого уравнения снова в решение. Так
как решения уравнения (3) образуют «-мерное линейное прост¬
ранство, то дифференциальная группа Галуа уравнения (3)'
изоморфна некоторой подгруппе группы GL(«, С). Можно до¬
казать, что эта подгруппа является алгебраической матричной
группой (см. § 15). Таким образом возникает вариант теории
Галуа, в котором вместо конечных расширений рассматривают¬
ся дифференциальные расширения типа рассматривавшихся вы¬
ше, а место конечных групп занимают алгебраические группы.
В этом варианте также имеется полный аналог «основной тео¬
ремы теории Галуа». Аналогом разрешимости в радикалах ока¬
зывается разрешимость в квадратурах. Например, у=!а(х)йх
есть решение уравнения у"—(а'/а)у' = 0. Дифференциальные
автоморфизмы имеют в этом случае вид у-*-у + с, сбС, и, значит,
группа Галуа изоморфна группе G„ (группе элементов поля по>
сложению, см. § 15). Функция
y_eJadx есть решение уравнения у'—ау=0.
Дифференциальные автоморфизмы его имеют вид у-*-су, сбС*,
и дифференциальная группа Галуа изоморфна Gm (группе эле¬
ментов поля по умножению, см. § 15).
Аналогично классической теории Галуа имеет место теорема:
V.	Корни уравнения (3) тогда и только тогда могут быть
выражены через его коэффициенты путем рациональных опера¬
ций, взятия интеграла, экспоненты интеграла и решения алгеб¬
раических уравнений, когда его дифференциальная группа Га¬
луа имеет нормальный ряд, факторами которого являются
группы Ga, Gm и конечные группы. ►
Например, нетрудно найти группу Галуа уравнения у"+ху =
==0: она совпадает с SL(2, С). Так как эта группа имеет толь¬
ко нормальный делитель ±Е, факторгруппа по которому
PSL(2, С) проста, то уравнение у"+ху=0 не решается в квад¬
ратурах.
В.	Классификация неразветвленных накрытий. Пусть X —
связное многообразие, х0£Х и G—л(Х, х0) —его фундаменталь¬
ная группа. Многообразие У с отмеченной точкой yo&Y и непре¬
рывное отображение p:Y-*-X, р(уо)~х0, называются конечно¬
листным неразветвленным накрытием, если любая точка х&Х
обладает такой окрестностью U, что p~l{U) распадается на п
непересекающихся открытых множеств Uu на каждом из кото¬
рых р : U{-*~U является гомеоморфизмом. Число п одно и то же
для всех точек х; оно совпадает с числом прообразов каждой
точки и называется степенью накрытия.
204

Отображение р : Y-+X естественно определяет гомоморфизм
Р.: л (У, у0)-+т(Х, х0) — это композиция отображения <р : I-*~Y,
определяющего петлю, и отображения р. Его образ обозначим
через G(7). Имеет место следующий аналог основной теоремы
теории Галуа:
VI.	Отображение р: (У, y0)^-G(Y) определяет взаимно од¬
нозначное соответствие между связными неразветвленными ко¬
нечнолистными накрытиями и подгруппами конечного индекса
группы G. Степень накрытия (У, у0)-+(Х, х0) равна (G : (?(У));
Цепочке неразветвленных накрытий (Z, г0)->-(У, у0)-*-(Х, х0)
соответствует включение подгрупп G (Z) c=G (У). Если подгруппа
<3(У) является нормальным делителем в G, то факторгруппа
F = G[G(Y) действует без неподвижных точек на У, перестав¬
ляя прообразы точек из X, и X=F\Y. ►
Аналогия с основной теоремой теории Галуа столь велика,
что возникает желание попытаться установить и какие-то пря¬
мые связи. В некоторых случаях это действительно возможно.
Пусть многообразие X является алгебраическим многообразием
над полем комплексных чисел, а р : Y-+X — его неразветвленное
накрытие. Используя локальный гомеоморфизм р: Ui-^U, су¬
ществующий, согласно определению неразветвленного накрытия,
между открытыми множествами Ц(с=У и UczX, можно пере¬
нести комплексную структуру с X на У. Таким образом, У об¬
ладает однозначно определенной структурой комплексно анали¬
тического многообразия. Можно показать, что вместе с этой
структурой У изоморфно алгебраическому многообразию. Мы
приходим к ситуации, аналогичной рассматривавшейся в конце
§ 6. Если X и У неприводимы, отображению р : У->Х соответ¬
ствует отображение рациональных функций р* : С(Х)->-С(У),
которое является гомоморфизмом, а значит, вложением полей.
Таким образом, С(Х)с:С(У), и можно показать, что это — ко¬
нечное расширение, причем [С(У) : С(Х)] = (G : б(У)). Мы ви¬
дим, что группа G дает нам описание некоторых конечных рас¬
ширений поля С(Х). Однако это не все его конечные расшире¬
ния, а лишь «неразветвленные». Общее конечное расширение
LfC(X) также имеет вид Г = С(У), где У—алгебраическое
многообразие, и существует отображение р : Y-+X, определяю¬
щее вложение полей С(Х)с:С(У). Но, вообще говоря, отобра¬
жение р разветвлено в некотором подмногообразии ScX, т. е.
для x6S число прообразов р~х(х) меньше, чем степень расшире¬
ния С(У)/С(Х). Описание таких расширений может быть полу¬
чено аналогичными методами, если рассматривать группу
n(X\S).
В случае, когда X — компактная комплексная неприводимая
алгебраическая кривая, пространство X гомеоморфно ориенти¬
руемой поверхности. Если род этой поверхности равен g, то
группа л(Х) имеет 2g образующих хи ..., Х2в, связанных един¬
ственным соотношением
205

Х^Х^Х^ХзХ^Х-1 . . . Хц-^дХ-^Х-1 = 1
(4)
(пример 7 § 14). Таким образом, подгруппы конечного индекса
этой явно определенной группы описывают неразветвленные на¬
крытия Y-*~X.
Упомянем один, внешне похожий результат. Пусть К — ко¬
нечное расширение поля р-адических чисел Qp (пример 7 § 7),
причем К содержит корень степени р из 1. Предположим, что К
содержит корень степени ре из 1, но не содержит корень степе¬
ни ре+1 из 1, и реф2. Положим п= [К: Qp].
VII. Конечные расширения Галуа L/К поля К, для которых
[L : К] является степенью р, находятся во взаимно однозначном
соответствии с нормальными делителями, индекс которых есть
степень р, группы с п+2 образующими ai <тп+2, связанными
единственным соотношением
afea1o2ar1a-1...a„+1a„+2a-^1a-|2 = 1.	(5)
Несмотря на разительное сходство соотношений (5) и (4),
причина такого параллелизма далеко не ясна.
Г. Теория инвариантов. Пусть G = GL(n, С) —группа линей¬
ных преобразований га-мерного векторного пространства L, а
Т (L) — пространство тензоров определенного типа над L. Эта
ситуация определяет представление группы G в пространстве
T{L): ф : G-*-Aut T(L). Особый интерес представляют собой мно¬
гочлены F, заданные на пространстве T(L) и инвариантные от¬
носительно действия группы G: они выражают внутренние свой¬
ства тензоров из T(L), ие зависящие от выбора системы коор¬
динат в L (если интерпретировать элементы g6GL(ra, С) как
переход к другой системе координат). Удобно несколько осла¬
бить это требование: внутреннеес войство тензора выражается,
часто, приравниванием 0 некоторого многочлена, который под
действием элементов группы g умножается на константу:
Ф (g)F=c(g)F.	(6)
Легко видеть, что c(g) есть некоторая степень определителя g>
и равенство (6) равносильно тому, что <$(g)F = F для g'6SL(n, С).
Такие многочлены называются инвариантами группы. SL(n, С).
Например, если T(L)=S2L — пространство квадратичных форм,
то дискриминант квадратичной формы будет инвариантом.
Мы рассмотрим дальше простейший случай, когда Т (L) =
— Sm(L) является пространством форм степени m на простран¬
стве L. В кольце A = C[Sm(L)] всех многочленов от коэф¬
фициентов форм содержится подкольцо инвариантов В. Мы
проиллюстрируем применение основных фактов теории пред¬
ставлений групп, приведя доказательство одного из основных
результатов теории инвариантов:
VIII. Первая основная теорема. Кольцо инвариантов
конечно порождено над полем С. ►
206

Оно основывается на простой лемме:
Лемма. Если /сБ — идеал кольца инвариантов, то
1АГ\В = 1. ►
Доказательство связано с тем, что кольцо многочленов гра¬
дуировано (ср. теорему V § 6): А = Л0©Л!®Л2® ■ • •. а В, как
его подкольцо, также градуировано. Каждое из пространств At
определяет представление группы G = SL (п, С). Любой элемент
а,9А содержится в некотором конечномерном инвариантном под¬
пространстве Ad А (например, в	где ДА —степень а).
Ввиду полупростоты представлений этой группы (теорема V
§ 17) Л разлагается в сумму А = А®В, где Л —сумма всех не¬
приводимых представлений, входящих в А, отличных от единич¬
ного, a BdB. Пусть а = Ь-\-а, где Ь£В, а^А, А — конечномер¬
ное подпространство, инвариантное относительно G, причем
ЛПД = 0. Пусть хбIA и x —	ifil, afiA. Полагая
_	_	_	_	i
at = Oi-\-bi, afi.At, btQB, где At — подпространство, соответствую¬
щее А для ^элемента a„ мы получим: х = 27 А 4- 2/,-а,-. Но
a itAt есть инвариантное подпространство, в котором
индуцируется представление, изоморфное Лг. Поэтому 2гга,6
62i,_Az. Из основных свойств полупростых модулей (см. теорему 1;
§ 10) вытекает, что в модуле 2/,Лг содержатся только такие
простые подмодули, которые изоморфны простым подмодулям;
одного из /гЛг. В частности, (2г';Л/)Г|Б = 0, и если х£В, то.
2гга,= 0, xgI. Лемма доказана.
Основная теорема теперь очевидна. Сопоставление Т-*-1А
является отображением идеалов кольца В в идеалы кольца А,
причем ввиду леммы разным идеалам сопоставляются разные.
Но тогда из нётеровости кольца многочленов А следует нё-
теровость В. А градуированное нётерово кольцо является ко¬
нечно порожденным кольцом над В0= С (теорема V § 6).
Именно для доказательства этой теоремы Гильберт и ввел,
понятие «нётеровости» и доказал «нётеровость» кольца много¬
членов (хотя это и звучит абсурдно, так как Эмми Нётер, в
честь которой потом был введен термин «нётеровость», в мо¬
мент, когда Гильберт публиковал свои работы по теории ин¬
вариантов, находилась еще в младенчестве).
Д. Представления групп и классификация элементарных ча¬
стиц. В последние два десятилетия большой энтузиазм физиков
вызвали попытки использовать теорию представлений групп Ли,
чтобы выработать единый взгляд на загадочную картину откры¬
тых к настоящему времени во множестве элементарных частиц.
Из трех рассматриваемых в физике типов взаимодействий: элек¬
тромагнитных, слабых и сильных, речь будет идти только о*
сильных, связанных с ядерными силами. Частицы, принимаю¬
207

щие участие в сильных взаимодействиях (адроны), это — мезо¬
ны (промежуточные частицы) и барионы (тяжелые).
Начнем с замечаний, приведенных в конце разбора приме¬
ра 9 в § 17. Изображенные на рис. 39 три спектральные линии
{триплет, в физической терминологии) возникли в результате
нарушения первоначальной симметрии относительно группы
SO(3), которая уменьшилась до ее подгруппы H^SO(2). Огра¬
ничение трехмерного представления pi группы SO(3) на под¬
группу Я перестает быть неприводимым и разлагается на три
одномерных представления, которым соответствуют наблюда¬
емые линии. Эта картина, в качестве модели, и лежит в основе
всех соображений, о которых будет сказано дальше; если имеет¬
ся совокупность г похожих по своим свойствам частиц, то мож¬
но попытаться представить ее себе как вырождение, связанное
с понижением симметрии. Математически это связано с тем,
что состояния всех рассматриваемых частиц образуют простран¬
ства L\,.. ., Lr, в которых действуют представления pi,..., рг
одной и той же группы Я. Ищется большая группа GzdH, име¬
ющая неприводимое представление в пространстве Li®-”®Lr
такое, что ограничение этого представления на подгруппу Я
эквивалентно ее представлению pi® ... ©рт.
Первый шаг — это рассмотрение пары, состоящей из прото¬
на (р) и нейтрона (п). Протон и нейтрон имеют одинаковый
■спин и очень близкие (хотя и не совпадающие) массы, равные
938,2 и 939,8 Мэе. Они имеют разные заряды, но это сказы¬
вается лишь при рассмотрении электромагнитных взаимодейст¬
вий, которыми в этой теории пренебрегают. В связи с этим, еще
в 30-х годах Гейзенберг предложил рассматривать их как два
квантовых состояния одной и той же частицы — нуклона. Соот¬
ветственно они будут дальше обозначаться через N+ и №, а
нуклон — через N. Согласно общим принципам квантовой меха¬
ники в качестве пространства состояний нуклона мы получаем
двумерное комплексное пространство L с эрмитовой метрикой:
N+ и № соответствуют базису в L. Симметрии такого простран¬
ства образуют группу U(2). Мы будем дальше рассматривать ее
подгруппу SU(2), имеющую очень близкие свойства, и опустим
физическую аргументацию, оправдывающую это ограничение.
В системе, состоящей из многих нуклонов, пространство состоя¬
ний будет иметь вид L®Z.(§> ... <8>L. В нем действует представле¬
ние группы SU(2). Представление (тавтологическое) в L мы
обозначали (согласно классификации, приведенной в примере 9
§ 17) через pi/2. Представление в пространстве состояний новой
системы будет тогда Тр (pi/2)- Мы знаем (согласно примеру 9
§ 17), что все неприводимые представления группы SU(2) имеют
вид ру, где у >0—целое или полуцелое число (dim р^ = 2у-f-1).
Кроме того, формула Клебша — Гордана (10) § 17 дает нам
возможность разложить представление ру®рна неприводимые.
Поэтому мы можем найти разложение на неприводимые нашего
-208

представления 7’р(р1/2). Это дает большую физическую информа¬
цию. Дело в том, что согласно «словарю квантовой механики»
(см. § 1) вероятность перехода из состояния, изображенного век¬
тором ф, в состояние, изображаемое вектором ф, равна | (ф, ф) |
(если |ф| = |ф| = 1). Но разложение представления на неприводи¬
мые можно всегда считать ортогональным, а это значит, что
состояния, изображаемые векторами, которые преобразуются
согласно различным неприводимым представлениям, не могут
переходить друг в друга: это так называемые правила запрета.
Более того, кроме номеров j неприводимых представлений р,-,
на которые разлагается представление 7p(pi/2), можно указать
и реальные базисы подпространств, в которых эти представления
реализуются, т. е. преобразование матриц р (Р1/2 (g)) в прямую
сумму матриц рj(g). Это дает возможность найти вероятности
переходов для разных состояний системы.
Теперь естественно применить тот же ход мысли к исследо¬
ванию других элементарных частиц. Оказывается, они обнару¬
живаются группами по 2—3—4, причем массы в пределах одной
группы очень близки (хотя встречаются и «одиночные» части¬
цы). Среди барионов мы имеем, например, кроме уже рассмот¬
ренных нуклонов, «одиночный» (синглет) А-гиперон (масса —
1115 Мэе), S-дублет (т. е. две частицы 3+ и 3“ с массами 1314
и 1321 Мэе) и 2-триплет (т. е. три частицы 2+, 2°, 2“ с масса¬
ми 1189, 1192 и 1197 Мэе). Так же обстоит дело с мезонами:
имеются «синглеты» ц-мезон, ф-мезон и со-мезон, К и К*-дубле¬
ты и дублеты их античастиц, л- и р-триплеты. Естественно при¬
менить к ним те же соображения, считая, что частицы одной
группы являются квантовыми состояниями одной и той же час¬
тицы, пространство состояний которой одномерно для синглетов,
двумерно для дублетов и трехмерно для триплетов и соответст¬
вует представлениям ро, pi/2 и pi группы SU(2). В случае мно¬
гих частиц опять возникают тензорные произведения представ¬
лений, которые разлагаются на неприводимые согласно формуле
Клебша—Гордана. Если состояние преобразуется по непри¬
водимому представлению р3 группы SU(2), то ему приписы¬
вается изотопический спин /. Все эти рассуждения, вращающи¬
еся в рамках группы SU(2), составляют теорию изотопического
спина. Эта теория хорошо себя оправдала. Так, на основании
ее было предсказано существование триплета я-мезонов, кото¬
рые были позже открыты.
Самым смелым является следующий шаг. Если быть после¬
довательным, то надо применить те же рассуждения ко всем
барионам. Они составляют октет, т. е. их 8: синглет А, дублеты
N и 3 и триплет 2. Следует предположить, что это их разнооб¬
разие происходит лишь от нарушения некоторой высшей сим¬
метрии. Физики говорят иначе: они предполагают, что сущест¬
вует идеализированное «сверхсильное» взаимодействие, относи¬
14—9339

тельно которого все свойства этих частиц идентичны. Для
математика — это задача найти некую группу G, содержащую
подгруппу Я, изоморфную SU(2), и такое восьмимерное непри¬
водимое представление р группы G, что при ограничении р на
Я оно распадается на р0 (соответствующее A), pi/2 (соответ¬
ствующее N), еще одно pi/2 (соответствующее S) и pi (соответ¬
ствующее 2).
Такая группа и представление действительно существуют:
это C? = SU(3) и ее присоединенное представление в простран¬
стве /Из (С) всех матриц 3-го порядка со следом 0, когда мат¬
рица ggSLJ(3) определяет преобразование x-+g-lxg, хбМз (С)
(dimeМ3(С) = 9 и поэтому dimc/Из (С) = 8). Мы выпишем это
представление в матричной форме. Запишем матрицу х£М3 (С)
в виде
где А—матрица типа (2,2), Я —(2,1), С —(1,2) и а —число.
Условие Sp х = 0 означает, что сс=—Sp А. В группе SU(3)
рассмотрим подгруппу Н матриц вида j j. Тогда, очевидно,
£/gSU(2), так что Н изоморфна SU(2). Так как
то выделение блоков А, В, С и а задает нам разложение при¬
соединенного представления на два двумерных и четырехмерное.
Двумерные, очевидно, совпадают с pi/г. Четырехмерное приво¬
димо, так как М2 (С) разлагается на скалярные матрицы и мат¬
рицы со следом 0. В результате это четырехмерное представление
разлагается на одномерное, состоящее из матриц вида
SpA=0. Это и есть нужное нам разложение.
Возврат от идеализированной картины, описываемой пред¬
ставлением группы SU(3), к более реальным барионам есть
задача теории возмущений. Записывая возмущенный гамильто¬
ниан на основании эвристических, но естественных соображе¬
ний, приходят к ситуации, в которой ответ зависит от двух про¬
извольных констант. За счет выбора двух констант удается по¬
лучить известные массы четырех групп барионов (A, N, S, 2) с
хорошим приближением. Более того, тот же подход оказался
применимым к мезонам, в которых выделяются два октета:
псевдоскалярных мезонов (т|, К, их античастиц и я) и вектор¬
ных мезонов (ф, К*, их античастиц и р), приводящих к той же
задаче теории представлений.
U-lAU U-lB
CU а
и трехмерное, состоящее из матриц
210

Новая ситуация возникла при рассмотрении другой группы-
барионов, также классифицировавшихся по изотопическому спину.
Это дублет Е*-гиперонов, триплет 2*-гиперонов и квадруплет
Д-гиперонов. Согласно изложенной выше идеологии, речь идет
о нахождении 9-мерного неприводимого представления группы
SU (3), которое при ограничении на SU (2) разлагалось бы как;
Pi/2®pi®P3/2- Такого представления нет. Однако существует
«близкое» представление SU(3) — это 53р: симметрический куб>
тавтологического представления р группы S(J(3) в трехмерном
пространстве. Если р действует в пространстве линейных форм:
от переменных х, у и z, то 53р действует в 10-мерном простран¬
стве L кубических однородных многочленов от х, у и z. Рас¬
смотрим подгруппу //cSU(3), изоморфную SU(2), не меняющую-
z и действующую на х и у при помощи тавтологическога
двумерного представления рцг группы SLf (2). Тогда мы имеем
разложение L—Lz@L2z®Llz2®Qzz, где Lt — пространство одно¬
родных многочленов степени i от х и у (сНт£г =i-j-1). Мы;
получаем разложение (представления 53р, ограниченного на //):.
P3/2®Pl®Pl/2®Po-
Оно отличается от желаемого на слагаемое р0. Естественна-
предположить, что это слагаемое соответствует еще одной час¬
тице, которую нужно было бы включить в наше семейство ба¬
рионов. Из теоретико-групповых соображений можно предска¬
зать некоторые свойства этой частицы — например, ее массу.
Такая частица действительно была обнаружена: она называется’
Q'-гипероном.
Наконец, все эти рассуждения можно попытаться осмыслить,,
исходя из общих свойств представлений группы SU (3). Мы зна¬
ем (свойство 4) в теореме IV § 17), что все неприводимые пред¬
ставления этой группы получаются из разложения на неприво¬
димые слагаемые произвольных тензорных произведений двух,
представлений: тавтологического представления р и контрагра-
диентного р (для SU(3), в отличие от SU(2), они не эквива¬
лентны).
Поэтому возникает вопрос:	не	соответствуют	ли этим;
элементарным представлениям некоторые «самые элементар¬
ные» частицы? Такие гипотетические частицы названы кварками:
и антикварками. Ряд экспериментов говорит в пользу их су¬
ществования.
Многие очень важные вопросы остаются, по-видимому, за-
пределами и SU(3)-теории. Поэтому рассматривались и теории
симметрии, основывающиеся на привлечении других групп, на¬
пример, SU(6). Подобные идеи получили в последние двадцать
лет большое развитие, найдя применение и вне области сильных
взаимодействий. Но здесь скудные сведения автора в этом во¬
просе обрываются.
14*

§ 19. АЛГЕБРЫ ЛИ И НЕАССОЦИАТИВНАЯ АЛГЕБРА
А.	Алгебры Ли. Естественные и важные алгебраические
системы, обладающие всеми свойствами колец, за исключением
ассоциативности умножения, возникли очень давно, хотя и не
сразу стала ясной алгебраическая природа этих объектов. В § 5
было дано описание векторных полей на многообразиях как
линейных дифференциальных операторов первого порядка 2D (F) =
=	или	дифференцирований	колец	функций на многообра¬
зиях, т. е. таких отображений 2D\A-*-A этих колец, что
2D (а + b) = 2D (а) 4- 3> (Ь),
2D(ab) = a2D(b)-\-b2D(a) и 2)(а)=0,	(1)
если а —константа. Композиция 2DX2D2 двух дифференциальных
операторов есть, конечно, снова дифференциальный оператор, но
если 2D\ и 2D2 имели порядок 1, то &)X2D2 будет иметь порядок 2,
так как в него будут входить уже вторые производные (это
особенно ясно видно на операторах с постоянными коэффициен¬
тами: ввиду изоморфизма R	• • ■>	Речь
просто идет о том, что произведение многочленов первой степени
дает многочлен второй степени). Однако существует очень важ¬
ное выражение, снова являющееся оператором первого порядка —
так называемый коммутатор:
[2>ц ®2] = 2D\2D2 - 2D22DX.	(2)
То что коммутатор — снова оператор 1-го порядка, легче всего
проверить, интерпретируя 2DX и 2D2 как дифференцирования
кольца функций и проверив подстановкой,	что	для	\2DX,	2D^
выполнено соотношение (1), если оно выполнено	для	2DX	и	2D2.
д	д
В координатной записи, если SDx = 'LPi	=	то
[®„ (3)
Отсюда непосредственно видно, что [3)\, 2)2] — оператор 1-го
порядка, но определение (2) имеет то преимущество, что оно
инвариантно, т. е. не зависит от выбора системы координат
хх, .. ., хп, в то время как для выражений (3) это непосред¬
ственно не видно. Через интерпретацию в виде дифференциаль¬
ных операторов операция коммутирования переносится и на век¬
торные поля. Здесь она называется скобкой Пуассона и также
обозначается через [01, 02].
Линейное пространство векторных полей вместе с операцией
i( , ] очень похоже на кольцо. Действительно, если интерпрети¬
ровать [ , ] как умножение, то будут выполнены все аксиомы
кольца (и даже алгебры), кроме одной — ассоциативности ум-
212

ножения. Но зато выполняются другие тождества, специфиче¬
ские для этой операции:
\з>, 2>]=о, щ, а>з1+[[д>2, ад з>\\ -г [[2>з. ад, ад=о.
Они легко следуют из определения (1). Второе из них назы¬
вается тождеством Якоби. Оно является заменой ассоциативно¬
сти и, как мы увидим, тесно связано с ассоциативностью.
Множество 2 с двумя операциями: сложением а+b и ком¬
мутированием [а, Ь] называется кольцом Ли, если в нем вы¬
полнены все аксиомы кольца, кроме ассоциативности умноже¬
ния, но зато
[а, а]=0, [[а, Ь], с]--[■[&, с], а] + [[с, а], Ь] = 0	(4>
для всех a, b, с£2. Если 2 является векторным пространством
над полем К и
i[ya, Ъ] = [а, у6]=у[а. Ы] Для a, ЬЬ2, уб/С,
то 2 называется алгеброй Ли над К. Элемент [а, Ь] называет¬
ся коммутатором а и Ь. Из соотношения [а, а] =0 следует, чта
,[Ь, с] =—{с, Щ для любых b и с (надо положить а=Ь + с).
Пример 1. Векторные поля на многообразии, с опера¬
цией— скобкой Пуассона образуют алгебру Ли (над полем R
или С в зависимости от того, является ли многообразие вещест¬
венным или комплексно аналитическим).
Пример 2. Все дифференцирования кольца А образуют
кольцо Ли относительно операции коммутирования (2). Если А —
алгебра над полем КаА, то дифференцирования, удовлетворя¬
ющие условию 2(a) = 0 для а&К, образуют алгебру Ли над К.
Проверка — та же, что и для дифференциальных операторов.
Пример 3. Пусть А — кольцо, ассоциативное, но необяза¬
тельно коммутативное. Положим для a, bGA |[а, b] —ab—Ьа.
С этой операцией коммутирования А образует кольцо Ли. Если
А было алгеброй над полем К, то мы получаем алгебру Ли над
тем же полем. Проверка опять та же, что и для дифференци¬
альных операторов.
Если А=Мп(К) —есть алгебра матриц порядка га, то полу¬
чаемая алгебра называется полной линейной алгеброй Ли к
обозначается gl(ra, К) или gl(ra).
Заметим, что случай линейных дифференциальных операто¬
ров 1-го порядка не подходит под пример 3, но мы можем взять
за А кольцо всех линейных дифференциальных операторов и
выбрать в нем подпространство 2czA операторов 1-го порядка,
которое хотя и не является подкольцом (т. е. не замкнуто отно¬
сительно операции ab), замкнуто относительно операции
[a, b]—ab—Ьа. Очевидно, что тогда мы получаем алгебру Ли.
Аналогичный прием, в применении к алгебре А=Мп(К), дает
новые важные примеры (замкнутость относительно коммутиро¬
вания матриц легко проверяется):
213

Пример 4. Подпространство 2dMn(K) и состоит из всех
матриц со следом 0. 2 называется специальной линейной ал-
.геброй Ли и обозначается з1(га, К) или з1(га).
Пример 5. 2dMn(K) и состоит из всех кососимметриче-
-скйх матриц а:
• а* = —а,	(5)
где * обозначается транспонирование. 2 называется ортого¬
нальной алгеброй Ли и обозначается о (га, К) или о (га).
Пример 6. Пусть KdC, 2dMn{C) и характеризуется
опять соотношением (5), но * обозначает эрмитово сопряже¬
ние. 2 является алгеброй Ли над R. Она называется унитар¬
ной и обозначается а (га). Накладывая дополнительное условие
-Spra = 0, получаем специальную унитарную алгебру Ли зи (га).
Пример 7. Пусть /С=Н —алгебра кватернионов, 2d
<zAf„(H) и опять характеризуется соотношением (5), но * —
кватерионно-эрмитово сопряжение. Алгебра Ли 2 над R назы¬
вается унитарно симплектической и обозначается зри (га).
Пример 8. Пусть J — невырожденная кососимметрическая
матрица порядка 2га над полем К и 2dM2n(K) состоит из всех
aGM2n(K), для которых
aJ+Ja* = 0.	(6)
2 называется симплектической алгеброй Ли и обозначается
5р(2га, К) или зр(2га).
Происхождение терминов, введенных в примерах 4—8, вско¬
ре станет понятным.
Если алгебра 2 имеет как векторное пространство над
полем К конечную размерность, то она называется конечномер¬
ной, а размерность пространства 2 называется также размер¬
ностью алгебры 2 и обозначается dim 2 или dimK2.
Например, алгебра Ли векторных полей в области трехмерного
пространства бесконечномерна на R, так как векторное поле
записывается в виде A^-f.B^ + Cj^, где А, В и С —любые
дифференцируемые функции. Алгебра gl(ra) и алгебры примеров
4—8 конечномерны:
dimgl(ra) = ra2, dim3l(ra) = ra2 —1, dimо(п)=-
dimRu(ra)=ra2, dimR3U(ra)=ra2—1,
dimR зри (га) = 2га?-fra, dimA-3p(ra, АГ)=(2я-г 1)я.
Изоморфизм определяется для колец и алгебр Ли точно
так же, как и для ассоциативных колец. Например, известно,
что все невырожденные кососимметрические матрицы порядка
2га сопряжены (над полем К). Отсюда легко следует, что алгеб¬
ры, определенные условием (6) при разных матрицах /, изо¬
214

морфны (почему эта матрица и не указывается при обозначе¬
нии зр(2п, К)). Вот менее тривиальный пример изоморфизма.
Пример 9. Векторы трехмерного евклидова пространства R3
относительно операции векторного произведения [, ] образуют
алгебру Ли 2 над R (тождество Якоби (4) здесь хорошо изве¬
стно). Сопоставим каждому вектору а линейное преобразование
фа (х) = \а, х]. Теорема о смешанном произведении двух векто¬
ров показывает, что преобразование фа кососимметрично: ф* =
= — Фа. С другой стороны, для любого кососимметрического
лреобразования ср в R3 существует такой вектор с, что ср(с)=0,
| с | = 1. В плоскости, ортогональной к с, ср индуцирует тоже ко¬
сосимметрическое преобразование, т. е. (если ф=й=0) поворот
на 90° и умножение на число k. Легко проверить, что cp = cp0 при
a — kc. Таким образом, сопоставление а-*-сра — взаимно однознач¬
ное линейное отображение пространства 2 на о(3). Из тожде¬
ства Якоби сразу следует, что это сопоставление — изоморфизм
алгебр Ли. Таким образом, алгебра 2 изоморфна о(3).
Аналогично ассоциативным алгебрам, для алгебр Ли опре¬
деляется понятие подалгебры, гомоморфизма, идеала (ввиду
соотношения [Ь, а] = — [а, Ь] понятия левого, правого и дву¬
стороннего идеала совпадают), простой алгебры, факторалгеб-
ры. Имеет место аналог теоремы о гомоморфизмах. Алгебра
(кольцо) Ли 2 называется коммутативной, если ;[а, 6] =0 для
всех а, Ь%2. Как и в ассоциативном случае, для конечномерной
алгебры с базисом е\,..., еп операция коммутирования опреде¬
ляется структурными константами cijk;
\et,
Б. Теория Ли, Речь идет об изучении групп Ли с инфините-
зимальной точки зрения в окрестности единичного элемента:
-«дифференциальном исчислении» на уровне групп. Аналогом
дифференцирования является здесь сопоставление группе Ли
некоторой алгебры Ли. Выясняется, насколько группа Ли
определяется соответствующей ей алгеброй Ли, т. е. строится
аналог интегрального исчисления.
Мы начнем изложение этой теории (как оно и происходило
исторически) с примера группы Ли G, действующей на много¬
образии X. Такое действие задается отображением:
V.GXX^X	(7)
(см. § 12). Введя координаты ии . .., «„ в окрестности единич¬
ного элемента e£G и Х\,..., хт в окрестности точки ХобА, мы
зададим это действие функциями
ф! (^Ь ■ • • 1 Мп, Х\, . . . , Xm) , . » . , фт (^1, ■ • • , Un, Хи . . . , Хт) >
Для определенности мы будем считать их дальше вещественно
аналитическими. Точно так же и закон умножения группы Ли
будет предполагаться вещественно аналитическим. Другие ва,-
215

рианты (п раз дифференцируемые или комплексно аналитиче¬
ские функции) рассматриваются совершенно аналогично.
Если G есть группа вещественных чисел R по сложению,
то действие (7) определяет однопараметрическую группу пре¬
образований многообразия X. В механике, когда qp(£, х), £GR,
х£Х, интерпретируется как перемещение точки конфигурацион¬
ного пространства X за время t, очень давно рассматривались
и «бесконечно малые» перемещения. Под этим подразумевается
поле скорости 0 преобразования y(t, х), имеющее (в точке t=
=0) координаты
хи...,хп) I •	,
0*	т |<=о,	т.
Соответствующий дифференциальный оператор определяется
условием:
®(F)(*) = -^(F (Ф(*. *))|г-о.
В случае произвольной группы G, Г. Вейль предлагает мыслить
себе многообразие X заполненным средой, допускающей пере¬
мещения, которые соответствуют действию (7) этой группы.
Мы можем и здесь рассмотреть поля скоростей соответствующих
движений. Каждое такое поле определяется вектором g каса¬
тельного пространства Те,а к группе G в ее единичном элемен¬
те. Действие (7) задает отображение касательных пространств
(d(f)^e,x)'^'e,a®Tx,X-*-Tx,X,
где Тх:,х — касательное пространство к X в точке х. Для любо¬
го вектора gGТе,а вектор
(й№)(г,лг) (|®0)£ТХ'Х
определяет нужное нам векторное поле 0* на X. Как легко ви¬
деть, в координатах оно задается формулами	г‘	= 1,...,от,
и аналитично. Соответствующий дифференциальный оператор
на X имеет вид
ЗУ\ (F) (jc) = dF	(дифференцирование по аргументу g).
Отсюда видно, что он определен инвариантно (не¬
зависимо от выбора системы координат). Отображение g-*05,.
очевидно, линейно по g и определяет, следовательно, конечно¬
мерное пространство & векторных полей на X. Основным фак¬
том является то, что построенное конечномерное семейство век¬
торных полей & замкнуто относительно взятия скобки Пуассо¬
на и, значит, определяет некоторую алгебру Ли.
Мы поясним причину этого в том случае, который нам дальше
только и будет встречаться: когда действие Ф является левым
регулярным действием, т.е.1=биф (gu g2) = gig2 (gi€G, g26^ = G).
Левое регулярное действие коммутирует с правым регулярным:
216

если левое действие соответствует gi и имеет вид g->gig, а пра¬
вое соответствует g2 и имеет вид g^gg“’, то их коммутативность*
просто, выражает ассоциативность умножения в группе: (gig)g^1 =
=gi(ggj'1). Отсюда при помощи очевидной формальной проверки
легко увидеть, что для любого |67%,с векторное поле 0|(л) =
= (й?ф)(е,лг) (|©0) тоже инвариантно относительно правого регу¬
лярного действия. Иначе говоря, касательный вектор 0| (gg~!)
получается из касательного вектора 0g (g) при помощи дифферен¬
циала d, (g^1) правого действия (g->ggj_1). Поля 0 с этим свой¬
ством называются правоинвариантными (ср. замечания в § 15,
следующие за определением группы Ли). Такое поле однозначно
определяется заданием вектора 0 (е), и любой касательный вектор
ЧбТе,а определяет поле 0, для которого 0 (ё) = ц\ вектор 0(g) по¬
лучается из г] правым сдвигом, переводящим е в g. Таким обра¬
зом, линейное пространство правоинвариантных векторных полей
на группе G изоморфно пространству Те,а. Построенное выше
пространство векторных полей
# =»{05 = (<»)(«..) (6©0), £67%,о},
как только что было сказано, состоит из правоинвариантных
полей и, значит, изоморфно подпространству пространства Те,а.
Но отображение £->0|, как легко видеть, не имеет ядра, и, зна¬
чит, dim.2:, = cHm7%,G, и поэтому 2 состоит из всех правоинва¬
риантных полей. Наконец, тот факт, что множество всех право¬
инвариантных векторных полей замкнуто относительно коммути¬
рования, следует из очевидного соотношения: если / — преобра¬
зование многообразия X, переводящее точку х в у, а 0' и 0" —
векторные поля на X, то
(d/)* [е;. e;] = [(rf/),e;. (<*/),е;].
Таким образом, построенное нами семейство векторных полей 2
является алгеброй Ли. Оно называется алгеброй Ли группы G
и обозначается через 2 (G). Мы получили:
Л Алгебра Ли 2 (G) группы G состоит из всех векторных
полей
0|=(й№)(в1.)(£©О), 1&в.а,
где Ф:0xG-^G есть закон умножения группы. Она совпадает
также с множеством дифференциальных операторов вида
mF)(g) = ^F^(g, у)),
ШТе.а и дифференцирование производится по второму аргументу
(у). Наконец, алгебра 2(G) совпадает с алгеброй правоинвари¬
антных векторных полей на G или же правоинвариантных линей¬
ных дифференциальных операторов 1-го порядка. ^
217

Структурные константы алгебры 2 (G) могут быть очень
явно выражены через коэффициенты закона умножения ф (х, у)
группы G в окрестности элемента е. Так как вектор %ЕГе,а одно¬
значно определяется значениями 2)\ (х;) (е) для координат Хц...
..., хп, то нам достаточно найти эти значения для коммутатора
[2>Ь, 2>ц]. Из того что Ф(х, е) = х, Ф (е, у) = у, следует, что чле¬
ны первой и второй степени в разложении Ф (х, у) имеют вид:
Ф(х, у) = х+у + В(х, у)+	(8)
где В(х,у)— линейно как по х, так и по у.	Простая	подста¬
новка	показывает, что 2)%D^ (х*) (е) = В (|, г])г, где	В (£,	т])4 — зна¬
чение г-й координаты. Поэтому
[|,r]] = 5(i,ri)-5(Ti,i).	(9)
Формулы (8) и (9) показывают, что члены первой степени в
законе умножения ф(х, у) у всех групп Ли одинаковой размер¬
ности совпадают — они такие же, как у группы R”, — а члены
второй степени определяют алгебру Ли 2(G).
Инвариантный характер определения алгебры 2(G) делает
почти очевидным ряд ее естественных свойств. Если f:G-*H—
гомоморфизм групп Ли, то df определяет гомоморфизм
df :2 (G)->2 (И),
ядро которого совпадает с алгеброй Ли ядра гомоморфизма /.
Если // — замкнутая подгруппа Ли G, то 2 (Я)—подалгебра
алгебры Ли 2(G), а если Н—нормальный делитель, то 2(H) —
идеал в 2(G) и 2 (G / Н)=2 (G)j 2 (Н). Если У:(ЗхХ-+Х —
действие алгебры Ли на многообразии X, то определенное выше
семейство 2 векторных полей на X
^={06•)(£$()), leTe.a}
является алгеброй Ли, гомоморфным образом алгебры 2(G):
2=2 (G)l2 (N), где N—ядро действия.
Соотношение (9) показывает, что алгебра Ли коммутативной
группы коммутативна.
Пример 10. Пусть G = GL(n). В окрестности единичной
матрицы мы имеем запись А=Е-тХ, и если B=E + Y, то
АЗ=Е -т~Х-\- Y-\-XY. Таким образом, в формулах (8)
В(Х, Y)=XY, и (9) показывает, что коммутатор элементов X
и Y в алгебре 2 (GL (п)) имеет вид XY—YX, т. е. 2 (GL (п.)) =
= gl (л). При этом, если // — матрица E-\-(Xij), где х1} — коор¬
динатные функции, то вектору £6Те,0 сопоставляется матрица
dJL^\tEU\
дЪ \ д1 )■
Пример 11. Пусть теперь G=SL (rt). Тогда G с GL (п)
и задается уравнением det(£'-[-//) = l. Вектор £, касательный
218

к GL(ra), будет касательным и к SL (л), если щ (det (Е + X))=0.
Но, как известно,
|E(det(£+JQ)-Sp(5f}
Поэтому для g, касательного к SL (я), Sp =0 и, значит,
2 (SL (/г)) == si (п).
Пример 12. Аналогично, если 0 = 0 (п) и E-\-X£G, то
{Е + Х)(Е + Х*)=Е. Отсюда
(4(^ + J0)(^ + ^*)k-o+(ff + J0k-o(fg(£ + ^*))=0
или	т аким Образом, 2 (О (п)) = о (я).
Пример 13. Как было указано в начале § 15, группа
SO (3) является конфигурационным пространством для твердого
тела с закрепленной точкой: движение такого тела задается кри¬
вой g(^)6SO (3). Касательный вектор ~ принадлежит касатель¬
ному пространству Тк точке g(t) в группе SO(3). Мы можем
преобразовать его при помощи правого сдвига g"1 в вектор
d.£
у (t) =-jj g'l£Tе, т. е. элемент алгебры Ли о(3). Из того что
d<r
g(0 ортогонально, т. е. g(t) g(t)* = е, следует, что
(d£ \*
^7 =0, т. е. у (^)*= — у (£) — в соответствии с примером 12.
Если некоторая точка тела движется по закону x(t)=g(t) (х0),
то, очевидно, 57=^77^ (•*<)) = У (0 g (0 (*о) = У (*)(*(*))• Согласно
примеру 9 преобразованию у (t) соответствует такой вектор со (г?),
что у сводится к векторному умножению на со (t). Следовательно,
^ = [0(0, ^(01,
Это равенство показывает, что в каждый момент времени t ско¬
рости точек тела такие же, как при вращении с постоянной
угловой скоростью со (t). Вектор со (t) называется вектором мгно¬
венной угловой скорости. Мы могли бы преобразовать вектор
^7 при помощи левого сдвига в вектор У (0	576Т е. Легко
видеть, что y=g'1yg, а соответствующий вектор co=g_1co — это
мгновенная угловая скорость в системе координат, жестко свя¬
занной с телом.
Точно то же рассуждение, что и в примерах 11 и 12, дает
возможность найти алгебры Ли других известных нам групп Ли:
2 (U (я))=u (ri), 2 (SU (и))=зи (п),
219

2 (Sp (л)) = sp (я), 2 (Sp и (я)) = spu (я).
Напомним еще раз, что асе предшествующие рассуждения при¬
менимы и к комплексным группам Ли: соответствующие алгебры Ли
2(G), как легко видеть, являются алгебрами над полем С.
В частности:
2 (GL (я, С)) = gl (я, С), 2 (SL (я, С) = si (я, С),
2 (О (я, С)) = о (я, С), 2 (Sp (2я, С) = sp (2я, С).
Перейдем ко второй части теории Ли—вопросу о том, в ка¬
кой мере группа Ли Q может быть восстановлена по алгебре Ли
2 (О). Здесь возможны две постановки вопроса. Мы можем,
во-первых, исследовать закон умножения ф лишь в некоторой
окрестности единичного элемента группы. Если в этой окрест¬
ности е введены координаты хь ..., хп, то закон умножения
задается я степенными рядами
Ф (х, у) = (Фх (jfj, ..., хп\ У\, ..., Уя),'..., Фя (-£i> • • •) хп; t/j, .. ■, t/я) )*
Они должны удовлетворять соотношениям ассоциативности:
ф(х, Ф (у, *))=Ф(Ф(х, у), z)
и существования единичного элемента:
ф(х, 0) = Ф(0, х) = х
(существование обратного элемента, т. е. такого ряда ф(х), что
ф (х, ф (х)) = ф (ф (х), х) х,
легко вытекает отсюда на основании теоремы о неявных функ¬
циях). Геометрически, такой постановке вопроса соответствует
изучение локальных групп. Ли, т. е. аналитических законов
умножения, определенных на некоторой окрестности V точки О
в пространстве R" (произведение лежит в R", но, может быть,
не в той же окрестности) и удовлетворяющих аксиоме ассоциа¬
тивности и существования единичного элемента, которым являет¬
ся О. Две локальные группы Ли, заданные в окрестностях V\
V2, называются изоморфными, если существуют окрестности нуля
V[a.Vb V'2dV2 и диффеоморфизм /:\/'->!/’, переводящий
первый закон умножения во второй. Аналогично определяется
гомоморфизм локальных групп Ли. При такой постановке вопроса
ответ очень прост.
Теорема Ли. Каждая алгебра Ли 2 является алгеброй
Ли некоторой локальной группы Ли. Локальная группа Ли
определяется своей алгеброй Ли однозначно с точностью до изо¬
морфизма. Каждый гомоморфизм ф : 2(Gi)^-2(G2) алгебр Ли
двух локальных групп Ли имеет вид ф = (df)e, где f : Gi->G2 —
220

гомоморфизм локальных групп, однозначно определенный этим
условием. ►
Наиболее элементарный и поразительный вид эта теорема
приобретает, если воспользоваться формулой (9) для коммути¬
рования в алгебре Ли. Теорема показывает, что уже члены
второй степени В(х, у) в групповом законе определяют группо¬
вой закон однозначно с точностью до изоморфизма (т. е. до
аналитического преобразования координат). Если рассматри¬
вать ф(х, у) как формальный степенной ряд, то теорема приоб¬
ретает чисто алгебраический характер, без всякой примеси ана¬
лиза. Она верна для «формальных групповых законов» над про¬
извольным полем характеристики 0. Мы вернемся еще к этому
алгебраическому аспекту теории Ли.
При переходе к глобальным группам Ли, т. е. к тому (те¬
перь общепринятому) определению, которое было дано в § 15,
положение несколько усложняется. Действительно, уже аддитив¬
ная группа R и окружность R/Z не изоморфны, хотя имеют од¬
ну и ту же алгебру Ли: коммутативную одномерную алгебру.
Однако идеальное положение восстанавливается, если ограни¬
читься связными и односвязными группами (ср. пример 7 § 14).
Доказанная Картаном теорема утверждает, что приведенная
выше формулировка теоремы Ли дословно сохраняется, если
заменить термин «локальная группа Ли» термином «связная и
односвязная группа Ли». (В утверждении о гомоморфизмах
2?	{G%) достаточно, чтобы односвязной была груп¬
па Gi.)
Теория Ли может быть применена и к исследованию связных,
но неодносвязных групп Ли, так как универсальная накрывающая
О группы G сама может быть превращена в группу (и единст¬
венным способом), причем G = GlN, где N— дискретный нор¬
мальный делитель, содержащийся в центре G. Это дает кон¬
струкцию всех связных групп Ли с одной и той же алгеброй Ли.
Примером представления G = GiN являются:
G = 0(/j), G — Spin (я), N={E, — E}-,
G = PSL (n, C), G = SL (n, C), iV = {e£, гп = \}.
В.	Применения алгебр Ли. Большая их часть основана на
теории Ли, сводящей многие вопросы теории групп Ли к анало¬
гичным вопросам об алгебрах Ли — как правило, более про¬
стым. Так, самый прямой способ вывода классификации про¬
стых групп Ли, о которой шла речь в § 16, заключается в клас¬
сификации простых алгебр Ли и применения теории Ли—Э. Кар-
тана. Например, доказывается, что над полем комплексных
чисел существуют следующие простые конечномерные алгеб¬
ры Ли:
Л(п, С), о(л, С), 5¥(п, С)
221

и еще 5 исключительных алгебр размерностей 78, 133, 248, 14 и
52, обозначаемых соответственно Ее, Е7, Е8, G2 и F*. Согласно»
теории Ли—Картана это дает классификацию комплексных
связных простых групп Ли. Каждой алгебре Ли соответствует
одна односвязная группа, например, si(п, С)—SL(/i, С). Такие
же алгебры Ли имеют их факторгруппы вида G/N, где N —
дискретный нормальный делитель, содержащийся в центре.
Так как сам центр Z для каждой из этих групп конечен, то мы
получаем вместе с каждой односвязной группой конечное число
ее факторгрупп, о которых говорили в § 16.
Точно так же, теория простых вещественных групп Ли сводит¬
ся к теории простых алгебр Ли над полем R. Их изучение про¬
водится методами, аналогичными тем, о которых мы говорили
в § 11, где изучались простые алгебры и тела над алгебраически
незамкнутыми полями. Именно, точно так же, как это было
сделано в § 11 для ассоциативных алгебр, операция расширения
основного поля SК'	определяется и для случая, когда
& — алгебра Ли над полем К, а К' — расширение этого поля.
Доказывается, что если S—простая алгебра над R, то Sc— или
простая алгебра над С, или прямая сумма двух изоморфных
простых. Таким образом задача исследования простых алгебр»
над полем R сводится к аналогичной задаче для поля С. Имен¬
но таким образом можно обосновать понятие «вещественных
аналогов комплексной группы Ли G», о котором говорилось в
Укажем, наконец, на связь алгебр Ли с механикой.
Пример 14. Рассмотрим движение по инерции твердого
тела с закрепленной точкой. Поскольку на тело не действуют
внешние силы, закон сохранения момента количества движения
/ дает:
Пусть движение описывается, как в примере 13, кривой g(t)6
gSO(3). Введя момент J—g-lJ в системе координат, жестко
связанной с телом, мы перепишем уравнение (10), после очевид¬
ных преобразований, в виде
Эти уравнения (их 3 соответственно трем координатам вектора У),
называются уравнениями, Эйлера. Их можно рассматривать как
§ 16.
(Н)
уравнения для /, так как связь между со и J осуществляется
при помощи тензора инерции /:
/ = / ((d),
(12)
222

где /—симметрическое линейное преобразование, не зависящее от
t. Преобразование / определяет кинетическую энергию по формуле
т=^~(7, ©) = !(/(5), ш)	(13)
и прэтому является положительно определенным.
В формулах (11) [ , ] обозначает векторное произведение,
но согласно примеру 9 может быть интерпретировано и как
коммутирование в алгебре о(3). В таком виде уравнения (11).
могут быть обобщены на очень широкий класс групп и алгебр
Ли. При этом энергия Т интерпретируется как риманова метри¬
ка на группе Ли G, инвариантная относительно левых сдвигов;
(так как преобразование / в формуле (13) постоянно). Она
определяется симметрическим преобразованием 2’(G)-^2’(G)*.
Так как за ю берется (по аналогии со случаем твердого тела и
группы SO(3)) элемент алгебры 9?{G), то J&S’IG)* и для не¬
го может быть написано уравнение (11). Оказывается, что та¬
кие уравнения в ряде случаев имеют интересный физический
смысл. Например, случай, когда G есть группа всех движений
трехмерного евклидова пространства (G = 0(3)- Т, где Т — груп¬
па параллельных переносов), соответствует движению тела по*
инерции в идеальной жидкости. Имеет физический смысл и слу¬
чай группы SO (4). Но наиболее интересным является случай
«бесконечномерной группы Ли» всех диффеоморфизмов много¬
образия — алгеброй Ли ее является алгебра Ли всех векторных
полей. Этот случай связан с явлениями типа движения идеаль¬
ной жидкости. Однако он не укладывается в стандартную тео¬
рию групп и алгебр Ли, и теория находится здесь, по-видимому»
на эвристическом уровне.
Г. Другие неассоциативные алгебры. Теория алгебр Ли очень
убедительно показывает, что глубокие и важные результаты в.
теории колец необязательно связаны с требованием ассоциа¬
тивности. Пожалуй, алгебры Ли — это самый яркий пример
важных для всей математики неассоциативных колец. Но су¬
ществуют и другие.
Пример 15. В примере 5 § 8 было рассказано о записи
кватернионов в виде Z1+Z2/, где Z\ и z2 — комплексные числа.
В таком виде умножение кватернионов описывается очень про¬
сто: если предполагать выполненными_все аксиомы кольца, то-
достаточно указать, что /2=—1 и jz=zj (и что действия над,
комплексными числами производятся так же, как в поле С).
Можно попытаться пойти дальше по этому пути, построив алгеб¬
ру размерности 8, состоящую из элементов вида qi + q%l, где qi
и q2 — кватернионы; а I — новый элемент. Оказывается, так
можно прийти к интересному неассоциативному телу. Если по¬
стулировать все аксиомы кольца, кроме ассоциативности умно¬
жения, то нам достаточно указать произведения вида <71
223-

Qiiqtl), (?iO?2, {q\t)(q2l). Мы будем считать, что кватернио¬
ны перемежаются как элементы тела Н, и положим, сверх того,
Ч\ Ш) = ШхУ,	(Я\1)Яъ = Шд U
-Здесь q означает кватернион, сопряженный q.
Иными словами, умножение определяется формулой
(А+Р2О (<7i + Р\Я\—?2P2+(?2AtMi) I-
Все аксиомы кольца, кроме ассоциативности умножения, легко
проверяются. Элемент 1GH является единицей нового кольца.
Оно является алгеброй над R размерности 8: базисом является,
например, {1, г, /, k, I, il, jl, kl}. Построенная алгебра называет¬
ся алгеброй Кэли или алгеброй октав и обозначается О.
Для «60, u = qx-\-q2l, положим u = qx — q2t, |tt| =
= (|<7i|2-rl <72р)1/2> Sptt = Re^i. Легко видеть, что ии=иа =
— |и|2, Sp rra = Sp vu. Элемент и удовлетворяет квадратному
уравнению
и2—(Spu)a-\- |и|2 = 0.	(14)
■4 Алгебра О обладает следующим свойством, являющимся
ослаблением требования ассоциативности: произведение трех
элементов не зависит от расстановка скобок, если два из
них совпадают. Иными словами,
u(uv) = (uu)-v, (uv) v — u (vv), a (vu) = (uv) a
(третье является следствием первых двух). Кольца, обладающие
этим свойством, называются альтернативными. Можно доказать,
"что в них подкольцо, порожденное любыми двумя элементами,
ассоциативно. ►
Из приведенных выше свойств следует, что для иф0 элемент
.и~1 = \и\~2и является обратным и u(u'lv) = v (vu~l)u = v, т. е.
алгебра О является неассоциативным телом.
Нетрудно проверить, что | uv | = | и |-| v |. В базисе 1, i, j, k,
I, il, jl, kl это дает любопытное тождество:
где — целочисленные билинейные формы от хх,..., Хв и
У и ■ ■ ■, Не¬
существование алгебры О является причиной целой серии
интересных явлений «маломерной» геометрии (в размерностях
6; 7 и 8). Например, заметим, что для любой плоскости Е=
= Rh+RuczO совокупность элементов шбО, для которых wEczE,
224

образует подалгебру С(£), изоморфную полю комплексных чи¬
сел. Это легко проверить (надо воспользоваться альтернатив¬
ностью алгебры О, подалгебра С (£) натянута на 1 и а = иы-1).
Любое 6-мерное подпространство FczO может быть задано
уравнениями
Sp(xH)=0, ыб£, где Е — некоторая плоскость.
Отсюда следует, что FaczF для а6С(£) (надо воспользоваться
легко проверяемым свойством: Sp (u(vw)) =Sp ((uv)w). Таким
образом, каждое шестимерное подпространство £сгО обладает
естественной структурой трехмерного пространства над С.
В частности, если XczO — гладкое 6-мерное многообразие, то
это относится и к его касательным пространствам в разных точ¬
ках, причем получающаяся комплексная структура гладко за¬
висит от точки. Многообразия с этим свойством называются
квазикомплексными. Стандартный пример квазикомплексного
многообразия — комплексное аналитическое многообразие. Мы
видим, что любое 6-мерное гладкое ориентируемое подмногооб¬
разие в R8 является квазикомплексным. Однако очень редкие
из них определяются комплексной структурой, на том же мно¬
гообразии. Например, квазикомплексная структура, возни¬
кающая таким образом на шестимерной сфере S6, не опреде¬
ляется никакой комплексной структурой.
Другое применение октав связано с исключительными про¬
стыми группами Ли (см. § 16) — например, компактными.
А именно, компактная исключительная простая группа Ли G2
изоморфна связной компоненте группы автоморфизмов алгебры
О. Группы £6 и £4 также реализуются как двумерная «проек¬
тивная» и «ортогональная» группы, связанные с О.
Наконец, алгебры Кэли играют особую роль с чисто алгеб¬
раической точки зрения. Обобщенной алгеброй Кэли называет¬
ся алгебра размерности 8, состоящая из элементов вида q\ + qrf.,
где qlt у2 принадлежат некоторой обобщенной алгебре кватерни¬
онов над полем К (см. § 11) и умножение задается формулой
(А + P2I) (А + Яг1) = Р\Ч\ -г 1Я2Р2 -г («72рх + Р2Я1) А
где у^=0—некоторый элемент поля К. Эта алгебра всегда
альтернативна и проста. Она является неассоциативным телом
тогда и только тогда, когда уравнение Я1Я1 — ЧЯ2Я2 =0
не имеет ненулевых решений в алгебре кватернионов.
Оказывается, что любое альтернативное тело или ассоци¬
ативно, или изоморфно некоторой обобщенной алгебре Кэли.
Любое альтернативное простое кольцо или ассоциативно, или
изоморфно обобщенной алгебре Кэли.
Как и при помощи ассоциативных тел, можно построить
проективные плоскости с «координатами» в произвольном аль¬
тернативном теле. Это — один из простейших примеров недезар-
15—9339	23
225

говых проективных плоскостей (см. § 10). Они имеют простую
геометрическую характеристику — должна выполняться неко¬
торая ослабленная форма теоремы Дезарга. ►
Существуют и некоторые другие типы ассоциативных алгебр,
теория которых может быть построена с достаточной полнотой
(хотя бы, в предположениях конечной размерности и простоты)
и которые имеют математические применения. Но никакой об¬
щей теории неассоциативных алгебр (сопоставимой, в этом смыс¬
ле, с теорией ассоциативных алгебр или алгебр Ли) до сих пор
не существует. Может быть, она и вообще невозможна? Ведь
произвольная конечномерная неассоциативная алгебра задается
таблицей умножения cijT, не связанной никакими ограничения¬
ми, так что это — произвольный тензор C%L®L®L*, определен¬
ный с точностью до преобразования из Aut(L). Но тогда воз¬
никает вопрос: Каковы те естественные ограничения, при кото¬
рых такая теория существует? Как понять с единой' точки
зрения теорию простых ассоциативных алгебр, алгебр Ли, аль¬
тернативных и еще некоторых других типов? Тестовой задачей
может здесь служить вопрос о строении неассоциативных тел
над R. Здесь существует замечательный факт: такие тела имеют
размерности только 1, 2, 4 и 8. Однако алгебраическое доказа¬
тельство этого результата неизвестно. Существующее доказа¬
тельство — топологическое и основано на исследовании тополо¬
гических свойств отображения
(Rn\0) X (Rn\0)->R"\0,
определенного умножением в алгебре (которая отождествляется
с R").
§ 20. КАТЕГОРИИ
Понятие категории и несколько других связанных с ним по¬
нятий образуют математический язык, обладающий особой спе¬
цификой сравнительно со стандартным языком теории множеств;
и оттеняющий несколько иной характер математических по¬
строений. Начнем его описание с примера.
Мы будем пользоваться диаграммами, изображая множест¬
ва точками, а отображения множества X в множество У—стрел¬
ками, ведущими из точки, изображающей множество X, в точ¬
ку, изображающую У. Если на диаграмме изображены множе¬
ства X, А\, А2,..., Ап, У и отображения fi : Х-*-Аи f2-At-»-
-+А2,..., /n+i : An-*-Y, то fn+vhh является некоторым отобра¬
жением X в У. Если для любых выборов таких множеств А* и
отображений возникает одно и то же отображение X в У и
если это верно для любых множеств X и У, изображенных на
диаграмме, то диаграмма называется коммутативной. Примеры
коммутативных диаграмм: Диаграммы
226

A f
■|\
коммутативны, если vu=gf и h = vu—gf соответственно.
Перейдем теперь к самому примеру. В теории множеств су¬
ществуют две операции над произвольными множествами X к
У (которые не предполагаются содержащимися в едином мно¬
жестве): несвязное объединение или сумма, обозначаемая Х+У,
и произведение, обозначаемое X X У (состоящее из пар (дг, у) „
х£Х, г/6 У). Эти операции можно описать не конструкцией, как
мы это сделали выше, а их общими свойствами. Например, для
суммы Х+ У заданы отображения вложения f:X~^~X-{-Y и.
g : Y-*-X+Y, причем выполнено следующее свойство универсаль¬
ности: для любого множества Z и отображений и: X-+Z и
v : Y->-Z существует и притом одно единственное отображение:
h : X+Y-+Z, для которого будет коммутативна диаграмма
Точно так же, для произведения X X У определены проекции’
f: XxY-*-X и g : XxY-^-Y, для любого множества Z и отобра¬
жений: и : Z-+X и v : Z-+Y существует и единственное отображе¬
ние h : Z-+XXY, для которого коммутативна диаграмма
(т. е. fh = u, gh=v). Очевидно, h(z) = (u(z), v(z)).
В качестве следующего шага можно рассмотреть множества,,
в которых выделены некоторые специальные типы отображений,,
и посмотреть, какие конструкции определяются требованием су¬
ществования диаграмм (1) или (2). Для топологических прост¬
ранств и их непрерывных отображений мы получим, конечно,,
понятие несвязной суммы и произведения топологических про¬
странств. Интереснее обстоит дело в случае групп, если в каче¬
стве отображений рассматривать лишь их гомоморфизмы-
В случае абелевых групп и даже модулей над заданным коль-
15*
227

цом прямая сумма АРВВ обладает и вложениями А^-А@В,
В-+АРВВ н каноническими гомоморфизмами А®В-*-А, А®В^>-В
(проекциями), причем выполнены свойства, изображенные как
диаграммой (1), так и (2) (конечно, и, v и h теперь являются
гомоморфизмами, а не произвольными отображениями). Таким
образом, здесь аналоги двух операций теории множеств — не¬
связной суммы и произведения — сливаются. Но не так обстоит
дело в случае некоммутативных групп. Для прямого произведе¬
ния GxH определены канонические гомоморфизмы GxH-*-G и
GxH-^-H, причем выполнены свойства, изображенные диа¬
граммой (2). Но хотя вложения f:G-»-Gxtf и g:H-+GxH и
определены, ситуация, изображенная на диаграмме (1) не име¬
ет места. Достаточно взять за К группу, имеющую подгруппы,
лзоморфные G и Я, но такие, что их элементы попарно не ком¬
мутируют, а за и и о — изоморфизмы G и Н с этими подгруп¬
пами. Так как ъ GxH элементы gPG и hGH коммутируют, то
ли при каком гомоморфизме h диаграмма
f	£
5 —С * И — И
яе будет коммутативной. Все же конструкция, дающая группу с
нужным свойством, существует. Она называется свободным
произведением групп G и Я. Это группа, порожденная двумя
подгруппами G' и Н', изоморфными G и Н, в которой их эле¬
менты не связаны никакими соотношениями, кроме выполняю¬
щихся в G' и в Н' в отдельности. Точное определение может
быть дано по аналогии с определением свободной группы (при¬
мер 6 § 14). В частности, свободная группа S2 с двумя образу¬
ющими — это свободное произведение двух бесконечных цикли¬
ческих групп.
Разберем еще один вариант: в качестве множеств рассматри¬
ваются коммутативные кольца, являющиеся алгебрами над
заданным кольцом К, а в качестве отображений —их гомомор¬
физмы как алгебр над К. Прямая сумма А®В и ее каноничес¬
кие проекции f:A®B-*A и g: А®В -+В обладают свойствами,
лзображенными на диаграмме (2). Хотя имеются естественные
вложения /:А -+ А®В и g:B А®3, но аналог диаграммы (1)
не имеет места: дело в том, что для элементов арА и ЬрВ
в А®В всегда аЬ—0, но может существовать кольцо С, содер¬
жащее кольца А' и В', изоморфные А и В, для которых такое
соотношение не выполнено, и тогда гомоморфизма h:C ->• А®В
с нужными свойствами нет. Легко видеть, что здесь кольцо
с нужными свойствами — это тензорное произведение А® В
[(пример 3 § 12).
228

Проверим, в заключение, что во всех рассмотренных случаях
конструкция, для которой выполнены свойства, изображенные
на диаграммах (1) или (2), — единственна. Пусть, например,
речь идет о диаграмме (1) и мы имеем для заданных X и У
два таких множества: R и S. Тогда должна быть коммутатиы-
ной диаграмма
Отсюда f—hu, u — kf, т. е. f= (hk)f, и аналогично g = (hk)g. Тре¬
бование единственности отображения h в диаграмме (1), приме¬
ненное к тривиальному случаю S=R, дает, что hk — тождест¬
венное отображение R в себя. Аналогично доказывается, что и
kh — тождественное отображение S в себя. Поэтому R и S изо¬
морфны.
Теперь выведем мораль из рассмотренного примера. Во всех
предшествующих рассуждениях играли роль множества и не¬
которые их отображения. Но мы нигде не использовали то, иэ
каких элементов состоят наши множества и как эти элементы
преобразуются при наших отображениях. Играла роль лишь
композиция отображений и сравнение разных отображений
друг с другом, как это особенно ярко видно при использовании
коммутативности диаграмм в последнем рассуждении в связи
с рассмотрением диаграммы (3). Такой подход и аксиоматизи¬
руется понятием категории.
Категория ЯЗ предполагает задание:
а) Множества ОЬ('ё’), элементы которого называются ее
объектами.
б) Для любых A vi В бОЬ(^) множества Н(А, В), элементы
которого называются морфизмами А в В.
в) Для любых А, В и CGObffi), f&H(A, В) и gGH(В, С)
морфизма /z бН(А, С), называемого произведением f и g и
обозначаемого gf.
г) Для любого АбО&(<?Г) морфизма 1 Аб#(Л, А), называемо¬
го единичным. При этом должны быть выполнены условия:
для /ен(А,в), geн(в, с), ле#(с, £>),
*(«/) = (*«)/•
Для /бН(А,В)
/1д = 1в/ = /.
Таким образом, в теории категорий объект АЮЬ(Яо) ха¬
рактеризуется не как множество, не тем, из каких элементов это-
229

множество состоит, а своими «отношениями» с другими объек¬
тами В£ОЪ{Ч?). Первичными являются его «связи», а не его
«строение».
В нижеследующих примерах категорий мы будем стоять на
точке зрения «наивной» теории множеств, пренебрегая логиче¬
скими противоречиями, которые возникают при оперирований
такими понятиями, как «все множества», «все группы» и т. д.
Специалистами разработаны приемы (использующие понятие
класса), позволяющие (по крайней мере, по мнению большин¬
ства специалистов) от этих противоречий избавиться.
Пример 1. Категория 9et, объектами которой являются
произвольные множества, а морфизмами — их произвольные
отображения.
Пример 2. Объектами категории являются произвольные
подмножества заданного множества X, а морфизмами — нх
вложения (таким образом, Н{А, В) или пусто, или состоит
из одного элемента). Вариант:	X — топологическое прост¬
ранство, объекты — его открытые множества, морфизмы — их
вложения.
Пример 3. Категория 9~ор, объектами которой являются
топологические пространства, а морфизмами — непрерывные
отображения. Варианты:	объекты — дифференцируемые (или
аналитические) многообразия, морфизмы — их дифференциру¬
емые (или аналитические) отображения. Другой важный вари¬
ант: объекты — топологические пространства (X, х0) с отмечен¬
ной точкой хо, морфизмы — непрерывные отображения, f : X-*-Y,
переводящие отмеченную точку в отмеченную, т. е. такие, что
f{xо) =Уо- Эта категория обозначается 9~ор0.
Пример 4. Категория 96ot топологических пространств с точ¬
ностью до гомотопического типа. Два непрерывных отображения
f:X-+Y и g:X-+Y топологических пространств называются гомо¬
топными, если их можно непрерывно деформировать друг в
друга, т. е. если существует такое непрерывное отображение
h:XXl-+Y (где /={0, 1]—интервал), что h(x, 0)=f(x),
h(x, l)=g(x). Тогда говорят также, что f и g принадлежат од¬
ному гомотопическому типу. Пространства X и У принадлежат
одному гомотопическому типу, если существуют такие непре¬
рывные отображения f : X-*-Y и g : Y-+-X, что gf гомотопно тож¬
дественному отображению 1х пространства X, a fg — отобра¬
жению 1г. Объектами категории 3%>ot являются топологические
пространства с точностью до гомотопического типа, а морфиз¬
мами — их непрерывные отображения с точностью до гомотопи¬
ческого типа. Аналогично определяется категория 3&otQ (ср.
пример 3).
Пр и мер 5. Категория Жойц, объектами которой являются
модули над заданным кольцом R, а морфизмами — их гомомор¬
физмы: Н (М, 7V)=Hom/?(M, N). Категория Modz абелевых
групп обозначается s&b.
230

Пример 6. Категория групп: объектами являются произ¬
вольные группы, а морфизмами — их гомоморфизмы.
Пример 7. Категория колец: объектами являются произ¬
вольные кольца, а морфизмами — их гомоморфизмы. Варианты:
рассматриваются только коммутативные кольца, или только
алгебры над заданным кольцом А (в последнем случае мор¬
физмы должны быть гомоморфизмами алгебр над А).
Пример 8. Приведем пример категории, в которой мор¬
физмы не определяются как отображения множеств. Он связан
с «формальными групповыми законами», о которых мы упоми¬
нали в предшествующем параграфе в связи с теорией Ли. Бо¬
лее стандартный термин — формальные группы. Напомним,
что так называется набор ф=(фь ..., ф„) формальных степен¬
ных рядов
ф* (Z, ^0 фг (^1, • • - , Х-пу У\у • • • , УпУ
от двух наборов переменных: Х= (дсь ..., хп) н У = (уи ..., уп)'.
Коэффициенты степенных рядов принадлежат произвольному
полю К, а сами они удовлетворяют условиям: ф(0, 0) = 0,
ф (X, Ф (К, Z))=ф (ф (X, Y), Z),
<t(X, 0) = Ф(0, Х) = Х.
Число п называется размерностью формальной группы ф. Гомо¬
морфизмом группы ф размерности п в группу ф размерности от
называется набор F= {fu ..., fm) из от формальных степенных
рядов от п переменных, удовлетворяющий условиям:
F (0)=0,
WjF(X),F(Y))=F(Ч(Х, V)).
Объектами нашей категории являются формальные группы,
определенные над заданным полем К, а морфизмами — гомо¬
морфизмы одной группы в другую. Если поле К имеет характе¬
ристику 0, то теория Ли полностью сводит изучение нашей ка¬
тегории к изучению категории конечномерных алгебр Ли над
полем К и их гомоморфизмов. Но если характеристика р по¬
ля К не равна 0, возникает совершенно специфическая, новая
область. Уже теория формальных групп размерности 1 далеко
не тривиальна и имеет важные приложения в алгебраической
геометрии, теории чисел и топологии.
Пример 9. Категория с единственным объектом, 0. В этом
случае она определяется множеством Н(0, 0), которое являет¬
ся произвольным множеством с ассоциативной операцией — ум¬
231

ножением и единичным элементом. Это алгебраическое понятие
носит название полугруппы с единицей.
Пример 10. Дуальная категория Ф*. Для каждой катего¬
рии ф категория ф* имеет те же объекты, но в ней Н(А, В)
совпадает с Н(В, А) в У, а умножение морфизмов f и g опре¬
деляется как произведение g и / в ф. Если представлять себе
категорию как одну диаграмму, в которой объекты изображены
точками, а морфизмы — стрелками, то ф* получается из Ф из¬
менением направления стрелок.
Понятие дуальной категории приводит к некоторой двой¬
ственности в теории категорий. Именно, любое общекатегорное
понятие или утверждение, если его применить к категории ф*,
дает в категории Ф «двойственное» понятие или утверждение,
получающееся из первоначального «обращением стрелок».
Возвращаясь к примеру, разобранному в начале параграфа,
мы можем теперь определить для любой категории операции
над объектами, аналогичные сумме и произведению множеств.
Для этого надо воспользоваться диаграммами (1) и (2), кото¬
рые имеют смысл в любой категории. Соответствующие объекты,
если они существуют, называют суммой и произведением объек¬
тов в категориях. Как мы видели, они существуют не всегда.
Например, сумма не существует в категории конечных групп,
но существует в категории всех групп. Однако если сумма или
произведение существуют, то они единственны с точностью до
изоморфизма — приведенное выше доказательство имеет смысл
в любой категории. (Объекты А я В называются изоморфными,
если существуют такие морфизмы /6Я(Л, В) и g£H(B, А), что
gf— 1а, fg— 1в.) Мы можем сказать, что в категории модулей
сумма и произведение совпадают с прямой суммой модулей; в
категории групп сумма совпадает со свободным, а произведе¬
ние — с прямым произведением групп; в категории коммутатив¬
ных колец сумма совпадает с тензорным произведением, а про¬
изведение — с прямой суммой. В категории топологических про¬
странств сумма и произведение совпадают с теми же
операциями над множествами. В категории топологических про¬
странств с отмеченной точкой произведение пространств (X, х0)
и (У, уо) —это их обычное произведение, с отмеченной точкой
(х0, Уо). Суммой же является так называемый букет X\/Y, т. е.
пространства X и У, склеенные по точкам х0 и уо. Например, бу¬
кетом окружностей является «восьмерка» (рис. 40).
Так как диаграммы (1) и (2), служащие для определения
суммы и произведения, получаются друг из друга обращением
стрелок, то эти понятия «двойственны», т. е. переходят друг в
друга при переходе от категории ф к дуальной категории ф*.
Идея «инвариантной», «естественной» конструкции в языке
категорий выражается через понятие функтора.
Ковариантный функтор из категории ф в категорию 2)—
это два отображения (обозначаемые одной буквой):
232

XvY
Рис. 40
F: Ob(W)-^Ob(S>) и для любых А,ВФ&, F:H(A, B)-*-H(F(А)у
F(В)),причем удовлетворяются условия:
F(U) = 1W AeObCS);
Fr{fg)=F(f)F(g), если fg определено в %.
Например, в категории векторных пространств % сопоставление
Е^-Т'Е пространству его тензоров ранга г очевидно согласовано
с линейными преобразованиями: если /:Е^-Е' — линейное преоб¬
разование, то / (X!® ... ®xr) = / (Xj)® ... ®/ (хг) определяет
линейное отображение ТтЕ-+ТГЕ’. Легко видеть, что вместе эти
два отображения определяют ковариантный функтор F =ТГ—
«тензорную степень». Это функтор из % в
Кошправариантный функтор также задается отображением
F:ОЬ (Щ->ОЬ {ЗУ), но теперь для А, В^ОЪ (ё) он определяет
отображение
F:H(A, B)-*Ff(F{B), F (А))
(в обратном порядке) с условиями:
E[(Ia) = \f(A) и F(fg)*=*F(g)F(f)
(тоже в обратном порядке). Типичным примером контравариант-
ного функтора является сопоставление векторному пространству
сопряженного пространства.
Пример 11. Пусть Л—коммутативное кольцо, М, N —
модули над ним. При фиксированном модуле N положим
Fn(Ai)=M®N и гомоморфизму	сопоставим	такой
гомоморфизм F	что F (f)(m®n) = f (т)®п.
Таким образом, FN — ковариантный функтор из категории ЖойА
в нее же. Положим Gm (/И) = HomA (/И, N) и для f;M-+ М'
и ФбНотл (М', N) обозначим через F (/) (ф) композицию Ф/.
Таким образом, Gm—контравариантный функтор из категории
Mod а в нее же. Если R — некоммутативное кольцо, то Gm(M) =
=Hom #(М, N)— контравариантный	функтор из категории
JtodR в si-b.
233

Вот еще несколько примеров, в которых мы будем указывать
действие функтора только на множестве Ob (ё): читатель легко
угадает его действие на множествах Н (А, В).
Пример 12. Функторами являются стандартные конструк¬
ции в топологии. Рассмотрим пространство путей Я(/, X) топо¬
логического пространства X: это множество непрерывных ото;
бражений ф : I-+-X интервала /=[0, 1] в X. Топология в Я(/, X)
определяется требованием, чтобы множество {ф, ф(/)с=Я}, где
UспХ — открытое множество, было открытым. Так как любое
отображение f£H(X, У) вместе с любым путем фбЯ(/, X) опре¬
деляет путь /фбЯ(/, У), то Я(/, X) является ковариантным
функтором из категории &~ор в эту же категорию. Чаще он рас¬
сматривается в категории &~оро топологических пространств
{X, хо) с отмеченной точкой. Тогда Я(/, X), по определению,
состоит лишь из тех отображений ф : I-+X, для которых ф(0) =
= х0. Наконец, если оставить в Я(/, X) лишь те отображения,
для которых ф(0)=ф(1)=хо (это H{Sl, X), где S1 — окруж¬
ность с отмеченной точкой), то получим пространство петель
QX пространства X. Все эти ковариантные функторы естествен¬
но переносятся и в категорию Mot (пример 4).
Пр и м е р 13. Большинство топологических инвариантов яв¬
ляются группами и функторами из категорий Тор или Mot в
категорию групп или абелевых групп. Так, фундаментальная
группа л(Х) (пример 7 § 14) является ковариантным функто¬
ром из категории топологических пространств с отмеченной точ¬
кой в категорию групп. Гомотопические группы л^СХ-), п^2,
группы гомологий Нп(Х, А) и группы когомологий Нп(Х, А) (об
определении которых будет сказано ниже) являются функтора¬
ми из той же категории в категорию абелевых групп. Функторы
л„ и Я, — ковариантны, Я" — контравариантны. Все эти объек¬
ты инвариантны относительно гомотопической эквивалентности
и переносятся в категорию Mot.
Пример 14. Важным функтором является пространство
функций (скажем, вещественных) ST{X, R) на множестве X.
Здесь возможен ряд вариантов: если множество X дискретно
(например, конечно), то рассматриваются все функции, если
X — топологическое пространство, то непрерывные функции,
если X снабжено мерой, то функции с интегрируемым квадра¬
том и т. д. Так как отображение f : X-^-Y сопоставляет функции
фб^-(У, R) функцию фf£@~(X, R), то F(X) =&~(Х, R) является
контравариантным функтором из категории множеств (или то¬
пологических пространств, или пространств с мерой...) в ка¬
тегорию векторных пространств. Именно благодаря тому, что
&~(Х, R) является функтором, любому преобразованию мно¬
жества X соответствует обратимое линейное преобразование
пространства ЗГ{Х, R), а если G— группа преобразований мно¬
жества X, то в &~{Х, R) определено ее представление. В част¬
ности, если X=G и мы рассматриваем левое действие G на се¬
234

бе, то в &~{G, R) определено регулярное представление груп¬
пы G.
Пример 15. В произвольной категории % любой объект
А 6Ob (ё) определяет ко^ариантный функтор hA из % в кате¬
горию множеств 9>et. Мы полагаем hA(X) = Н(А, X) и для
любого /£Н(Х, У) определяем отображение hA (/): Н(А, Х)^>-
->//(А,У) как композицию: для g£H (А, X), hA (/) (g) = /g.
Аналогично, hA (X) = Н (X, A), hA (/) (g) = gf (/etf (X, V),
g£H(Y, А)) определяют контравариантный функтор. Мы уже
встречались с функтором А^(УИ)==Нотд (М, N) в категории
ModR (пример 11) и hs'(X)=QX в категории STopQ (пример 12).
Функторы hA и hA полезны в очень общей ситуации,
когда мы хотим перенести некоторую конструкцию, определенную
для множеств, на любые категории. Если Ф обозначает теоретико¬
множественную конструкцию, а ф —искомую конструкцию в ка¬
тегории то требуют, чтобы функторы А,Ь(Л) и Ф(АЛ) были
эквивалентны. (Применение функтора hA вместо hA дает другую,
«двойственную» конструкцию.) При этом два функтора Fг и F2
из % в 9>et называются эквивалентными, если для любого
-АГбОЬ($) определено такое обратимое отображение Ф^-Р^АТ)-*-
->/72(АГ), что для любого FgObfg) и любого fQH(X,Y) ком¬
мутативна диаграмма
F\(X)^-F2(X)
Fl(f) | фу | ЫП
F^^F^Y).
Легко видеть, что, например, определение суммы А+В в кате¬
гории сводится к тому, что функторы hA+B(X) и hA(X)XhB(X)
должны быть эквивалентны. Произведение аналогично связано
с функтором hA.
В качестве приложения расскажем об очень важном поня¬
тии группы (или группового объекта) в категории . Мы бу¬
дем предполагать, что в ^ существуют произведения. Групповой
закон на объекте GeObC<P) определяется как морфизм
цбH(GxG, G). Операция перехода к обратному определяется
заданием морфизма i&H(G, G). Наконец, существование еди¬
ничного элемента проще сформулировать, если предположить,
что в & существует финальный объект О&ОЪ (W), т. е. такой, что
Н{А, О) для любого ЛбОЬ(IP) состоит ровно из одного элемен¬
та (точка в 9?et и в &~ор, нулевая группа в si-b и т. д.). Тогда
единичный элемент определяется через морфизм е€Я(<?, G).
Все эти три морфизма: ц, i и е должны подчиняться ряду
условий, выражающих ассоциативность умножения и другие
аксиомы группы, которые формулируются в виде требования
коммутативности некоторых диаграмм. Но мы не будем их
приводить, так как более простая эквивалентная форма тех же
235

условий заключается в том, что для любого АьОЪ(Ч?) в мно¬
жестве Н(А, G) определена групповая операция (отображения
в группу сами образуют группу!), причем для любого fetf (Л, В)
отображение композиции Н(В, б)-»-#(Л, G) является гомо¬
морфизмом. Иными словами, функтор hG должен быть функто¬
ром из % в категорию групп.
Пример 16. Рассмотрим пространство петель над топо¬
логическим пространством X с отмеченной точкой х0 (при¬
мер 12). Композиция петель, как она определена в примере 7
§ 14, определяет непрерывное отображение р,:	х ЙХ-ИМ,
обращение петли — отображение i:	а петля, сводя¬
щаяся к точке Хо, — единичный элемент. Эти данные не опре¬
деляют группу: например, произведение петли на обратную не
равно единичной петле, а только ей гомотопно. Но в катего¬
рии 36otо (пример 4), как легко проверить, получается группа.
Пример 17. Мы будем использовать конструкцию «стяги¬
вания в точку замкнутого подмножества А топологического про¬
странства X». Так называется топологическое пространство,
обозначаемое Х/А, теоретико-множественно состоящее из ХХЛ
и еще одной точки а. Тогда определено отображение р:Х-+Х/Ау
тождественное на Х\А и переводящее А в а. Открытыми в
Х/А называются множества, прообразы которых при отобра¬
жении р открыты в X,
Надстройкой над топологическим пространством X назы¬
вается пространство 2Х, получающееся стягиванием в точки
верхнего и нижнего основания ХхО и XX 1 в цилиндре Хх1,
где /=[0, 1], (рис. 41).
Рис. 41
В категории пространств с отмеченной точкой рассматрива¬
ют «приведенную надстройку» SX, получающуюся, если, кроме
того, стянуть в точку х0Х/ и принять эту точку за отмеченную
в SX. Свойства надстройки SX проще всего формулируются при
помощи операции Д — произведения в категории &~ор0 или
3&otQ. По определению, для пространств (X, х0) и (У, г/о),
Х/\Y—XX, Y/(Х0Х,Уо\]х0Х У). Легко проверить, что эта операция
дистрибутивна по отношению к операции суммы Х\/ У (ср.
рис. 40)
236

XA(Y\/Z)=(XAV)V(XAZ)
и	(4)
(XVY)AZ = (XAZ)\AYAZ).
В частности, SX = S'aX, где S1 — окружность, полученная
из / склеиванием точек 0 и 1. Легко видеть, что SS1=S1A
A S: — S2 и, вообще, SSn = Snn (где Sn /i-мерная сфера).
Отождествление в окружности 51 = //{0,1} точек 0 и 1/2
дает отображение S'-i-S'vS1 (рис. 42),
а значит, в категории £Гор0 и 2№ot0
SX^SX+SX
(ввиду того, что V есть сумма в этой категории, SX — S'AX,
и в силу дистрибутивности операции Д).
По двойственности мы имеем морфизм р: (SAT) X (SX)^ySX
в дуальной категории. «Обращение» окружности, соответствую¬
щее симметрии / относительно точки 1/2, определяет отображе¬
ние 5U51 и, значит, i:SX->SX. Отображение пространства
в точку определяет единичный элемент. Легко видеть, что таким
образом SX определяет группу в категории 3@ot*0.
Пример 18. Группы в категориях	и 36otо, построен¬
ные в примерах 16 и 17, определяют важные инварианты,
являющиеся уже обычными группами. И это по той простой
причине, что если О — группа в категории то для любого
А^ОЬ (в) множество Н (A, G) по определению является группой.
Аналогично, если GeOb(W) является группой в дуальной кате¬
гории &*, то для любого ЛбОbCg?) множество H(G, А) являет¬
ся группой. Поэтому, как бы мы ни выбирали топологическое
пространство R (с. отмеченной точкой), для любого простран¬
ства X как Н(Х, QR), так и H(SR, X) будут группами и функ¬
торами из категории Шои в категорию групп. С одним из них
мы уже встречались: если R состоит из двух точек, то SR = S1
(рис. 43) и Н (SR, А) совпадает с фундаментальной группой
я(Х). Но так как 5"=55п-1, то и Я(5П, X) для любого п^1
является группой. Она обозначается через я„(А) и называется
п-й гомотопической группой. В частности, л (А)—это ni(A).
237

При я>2 группа яп{Х) коммутативна, и причина этого
тоже категорная. Она заключается в том, что при я>2 Sn =
= S(5Sn_2) и для любых пространств R и X группа
Н (S (SR), X) коммутативна. Действительно, представление
SSR — S1/\S1AR дает возможность определить два отображения
SSR->SSR\ySSR
— используя изображенное на рис. 42 отображение Sl-*-SlVS 1
для первого множителя S1 в SSR—S1/\S1f\R и для второго.
Отсюда в Н (S (SR), X) получаются два групповых закона,
которые мы будем обозначать точкой «.» и звездочкой «*». Они
обладают свойством дистрибутивности: (f'g)*(u-'a) — (f*a)-(g*v) —
это очень легко проверяется из определения, используя дистри¬
бутивность операции Л (4). Кроме того, единичный элемент е
у обеих операций совпадает. Но отсюда уже формально выте¬
кает, что операции совпадают и коммутативны:
f-g=(f*e)- (e*g) = (/ • е)*(е • g) = f*g,
g. / = (e*g)• Сf*e) = (e■ f)*(g-e)=f*g=f -g.
Аналогично, для любых пространств R и X группа
Н(Х,	коммутативна.
В том же духе можно дать и определение групп когомоло¬
гий. Для этого доказывается, что при любом выборе абелевой
группы А существует последовательность таких пространств Кпг
п= 1, 2, 3,..., с отмеченной точкой, что
Я/п(^я)==0 при тф О, я,
я„(Кп) = А,	(5)
A'n_i==QA'„ (в категории 36ot0).
Тогда множество Н(Х, Кп), по-предыдущему, является абеле¬
вой группой, которая и называется п-й группой когомологий
пространства X с коэффициентами в А и обозначается Нп(Х, А).
(Это — не самый естественный способ определения групп кого¬
238

мологий и не тот, которым они были первоначально определены:
о нем будет сказано в следующем параграфе.) Для п-мерной
сферы S":
Hm{Sn, А) = 0 при тфО, п,
Hn{Sn, А) = А,
Sn — SS!t~l (в категории Mot),
так что сферы 5" в этом смысле аналогичны пространствам Кп.
(с заменой групп л4 на Я*).
Многие очень яркие достижения топологии (например, свя¬
занные с исследованием групп Jtm(5n)) основывались на той
идеологии, о которой мы пытались намекнуть предшествующи¬
ми построениями: что категорию Mot0 можно трактовать как
в значительной степени алгебраическое понятие, что она во мно¬
гом аналогична, например, категории модулей и к ее изучению
можно с успехом применить алгебраическую интуицию.
§ 21. ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
А. Происхождение понятий гомологической алгебры из топо¬
логии.
Алгебраический аспект теории гомологий не сложен. Цепным
комплексом называется последовательность
{С„, n6Z}
абелевых групп (причем чаще всего С„ = 0 при п<0) и связы¬
вающих их гомоморфизмов: дп : Сп-+С„-и называемых гранич¬
ными. Коцепным комплексом называется последовательность,
абелевых групп
{С", n6Z}
и гомоморфизмов
dn : Сп-+С'+\
называемых кограничными или же дифференциалами. При
этом в случае цепного комплекса граничные гомоморфизмы
должны удовлетворять условиям d„dn+i = 0 для всех n6Z, а в.
случае коцепного комплекса кограничные — условиям dn+idn =
= 0. Таким образом, комплекс определяется не только системой
групп, но и системой гомоморфизмов, и мы будем обозначать
цепной комплекс, например, через А'={СП, дп}.
Условие dndn+i = 0 в определении цепного комплекса пока¬
зывает, что образ d„+i(Cn+i) гомоморфизма <?п+1 содержится в
ядре гомоморфизма дп : Im dn+iC=Ker дп. Факторгруппа
Кег d„/Im dn+i
23»

При я >2 группа лп(Х) коммутативна, и причина этого
тоже категорная. Она заключается в том, что при я> 2 5Л =
= S(SSn_2) и для любых пространств R и X группа
Н (S (SR), X) коммутативна.	Действительно,	представление
SSR = S1/\SlAR Дает возможность определить два отображения
SSR-^SSRySSR
— используя изображенное на рис. 42 отображение Sl-+S1\/St
для первого множителя S1 в SSR=S1/\S1aR и для второго.
Отсюда в Н (S (SR), X) получаются два групповых закона,
которые мы будем обозначать точкой «.» и звездочкой «*». Они
обладают свойством дистрибутивности: (f-g)*(U'V) = (f»u.)-(g*v) —
это очень легко проверяется из определения, используя дистри¬
бутивность операции А (4). Кроме того, единичный элемент е
у обеих операций совпадает. Но отсюда уже формально выте¬
кает, что операции совпадают и коммутативны:
/ • g = (f*e) • (e*g) = (/ • ё)*{е • g) = f*g,
g'f = (e*g) ■ if*e) = (e • f)*(g-e)=f*g=f-g.
Аналогично, для любых пространств R и X группа
Н(Х, QQR) коммутативна.
В том же духе можно дать и определение групп когомоло¬
гий. Для этого доказывается, что при любом выборе абелевой
группы А существует последовательность таких пространств К„,
п= 1, 2, 3,..., с отмеченной точкой, что
ят(Кп)=0 при тф 0, я,
яп(Кп) = А,	(5)
Кп-\ = О.К„ (в категории 2№ot0).
Тогда множество Н(Х, Кп), по-предыдущему, является абеле¬
вой группой, которая и называется п-й группой когомологий
пространства X с коэффициентами в А и обозначается Нп{Х, А).
(Это — не самый естественный способ определения групп кого¬
238

мологий и не тот, которым они были первоначально определены:
о нем будет сказано в следующем параграфе.) Для «-мерной
сферы 5":
Hm(Sn, А) = 0 при тфО, п,
Hn(Sn, А) = А,
Sn = SSn-1 (в категории Mot),
так что сферы 5" в этом смысле аналогичны пространствам Кп
(с заменой групп я4 на Я4).
Многие очень яркие достижения топологии (например, свя¬
занные с исследованием групп	основывались	на	той
идеологии, о которой мы пытались намекнуть предшествующи¬
ми построениями: что категорию Mot0 можно трактовать как
в значительной степени алгебраическое понятие, что она во мно¬
гом аналогична, например, категории модулей и к ее изучению
можно с успехом применить алгебраическую интуицию.
§ 21. ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
А.	Происхождение понятий гомологической алгебры из топо¬
логии.
Алгебраический аспект теории гомологий не сложен. Цепным
комплексом называется последовательность
{Сп, H6Z}
абелевых групп (причем чаще всего С„ = 0 при н<0) и связы¬
вающих их гомоморфизмов: дп : Cn-+Cn-i, называемых гранич¬
ными. Коцепным комплексом называется последовательность
абелевых групп
{С", пЩ
и гомоморфизмов
dn : С”-+С'+\
называемых к ограничивши или же дифференциалами. При
этом в случае цепного комплекса граничные гомоморфизмы
должны удовлетворять условиям <3„(Зи+1 = 0 для всех «GZ, а в
случае коцепного комплекса кограничные — условиям dn+idn =
= 0. Таким образом, комплекс определяется не только системой
групп, но и системой гомоморфизмов, и мы будем обозначать
цепной комплекс, например, через А'= {С„, дп).
Условие dndn+i=0 в определении цепного комплекса пока¬
зывает, что образ dn+i(Cn+i) гомоморфизма dn+i содержится в
ядре гомоморфизма дп : Im dn+i<rKer дп. Факторгруппа
Ker djlm дп+х
239

называется п-й группой гомологий цепного комплекса К—
={сп, <?п} и обозначается Нп(К). Аналогинчо, для коцепного
комплекса /С={СП, dn}, lm dn-idK&T dn и группа
Кег djlm dn-i
называется п-й группой когомологий и обозначается Нп(К).
Вот две основные ситуации, в которых эти понятия возни¬
кают.
Пример 1. п-мерным симплексом называется выпуклая
оболочка н+1 точек евклидова пространства, не лежащих в
я—1-мерном подпространстве. Комплексом называется множе¬
ство, состоящее из симплексов, примыкающих друг к другу по
целым граням, причем вместе с симплексом в комплекс входят
и все его грани и каждая точка принадлежит лишь конечному
числу симплексов. Как топологическое пространство, комплекс
определяется множеством его вершин и указанием того, какие
из них образуют симплексы. Таким образом, это финитный спо¬
соб задания топологического пространства, аналогичный зада¬
нию группы ее образующими и соотношениями. Топологическое
пространство, гомеоморфное комплексу, называется полиэдром,
а его гомеоморфизм с комплексом — триангуляцией. Таким об¬
разом, триангуляция — это разбиение пространства на куски,
гомеоморфные симплексам, «хорошо» прилегающие друг к дру¬
гу. На рис. 44 изображена триангуляция сферы. Реально встре-
Рис. 44
чающиеся пространства, как правило, обладают триангуля¬
цией; например, таковы дифференцируемые многообразия. Но
таких триангуляций много, как и заданий группы образующими
и соотношениями.
Каждому комплексу X можно сопоставить цепной комплекс
К = {С„, дп, п > 0}. Здесь Сл есть ®Zoi — свободный Z-модуль,
образующие которого соответствуют я-мерным симплексам о,
комплекса X. Для определения гомоморфизмов дп каждый симп¬
лекс at ориентируется, т. е. выбирается определенный порядок
240

п
его рершин: о* ={х0,хп}. Тогда полагают <?паг = 2(— 1)*Х
А=0
Xefta*, где а* обозначает симплекс {лг0,xk.x, xkJrX,..., хп}, а
е* = 1 или —1 в зависимости от того, будет переход от после¬
довательности х0,..., хк.х, xi+x,..., х„ к той последовательно¬
сти вершин симплекса о*, которая определена его ориентацией,
четной или нечетной подстановкой. На всю группу С„ гомомор¬
физм дп распространяется по аддитивности. Свойство дпдп+х —
= 0 легко проверяется. Элементы х„бКегдп называются цикла¬
ми, a Imd„+i — границами. Группы Н„(Х) называются
группами гомологий комплекса X и обозначаются Нп(Х). Гео¬
метрический смысл элемента х£Нп(Х) заключается в том, что
это замкнутый «-мерный кусок пространства X, причем два ку¬
ска отождествляются, если вместе ограничивают «+ 1-мерный
кусок. Например, замкнутые кривые с и с' на торе на рис. 45
определяют один элемент в Нх(Х), а кривая d на «двойном то¬
ре» — нулевой элемент.
а	Ь
Рис. 45
Основное свойство групп Нп(Х), совершенно не очевидное,
если исходить из данного нами определения, заключается в том,
что они не зависят от триангуляции полиэдра X, а определяют¬
ся лишь самим топологическим пространством. Более того, они
определяют ковариантный функтор из категории 36ot в катего¬
рию М абелевых групп. Иными словами, непрерывному
отображению f : X-*-Y сопоставляется гомоморфизм
f.n:Hn(X)^Hn(Y),
зависящий лишь от гомотопического класса отображения f и
удовлетворяющий условиям, входящим в определение функ¬
тора.
Именно «функториальный» характер групп Нп(Х) делает их
столь полезными для топологии: они определяют «проекцию»
топологии в алгебру. Приведем простейший пример. Легко до¬
казать, что для «-мерной сферы S”,
H0(Sn)^Z~Hn(Sn), Hh{Sn)= 0 при 1гф0, п.
Для «-мерного шара В", поскольку он имеет гомотопический
тип точки (стягивается в центр по радиусам),
16—9339	23
241

Hh(Bn)= 0 при 1гфО.
Приведем теперь доказательство знаменитой теоремы
Брауэра: всякое непрерывное отображение Ф : Б"-»-Бп имеет
неподвижную точку. Если это не так, то для любой точки х£Вп
проведем луч из точки Ф(х) в х и обозначим через f(x) его точ¬
ку пересечения с границей Sn_I шара Вп. При этом непрерыв-'
ном отображении f \x)=x для хбЗ"-1, или f i= 1, где i — вложе¬
ние Sn-1->-5n (в качестве его границы), а 1—тождественное
отображение S"-1. Теперь по функториальности мы имеем ото¬
бражение /. п-i ■ Hn-i(B)-^Hn-i(Sn~1), которое должно быть ото¬
бражением в 0 (так как Нп-\(В) =0). Но с другой стороны,
f, „-pi.„_!= 1, что и приводит к противоречию.
Наряду с цепным комплексом К = {Сп, дп}, построенным выше
для произвольного полиэдра X, можно построить, взяв произ¬
вольную абелеву группу А, цепной комплекс K®zA = {Cn®zA, дп
и коцеп.юй комплекс Нога (А-, Л)={Нот(С„, A), dn) (напомним,
что функтор F (С) = С®2 А ковариантен, a G(C)=Hom(C, А) —
контравариантен, см. пример 11 § 20). Группа Нп(К®А) обозна¬
чается Нп(Х, А), а Нп (Нош (К, А)) = Нп (X, А). Они назы¬
ваются группами гомологий и когомологий с коэффициента¬
ми в группе А. Первые являются ковариантными, а вторые—
контравариантными функторами из категории Mot в категорию
sib. О группах Нп (А-, А) мы уже упоминали в конце § 20.
Пример 2. Пусть X — дифференцируемое многообразие
и Qr —пространство r-мерных дифференциальных форм на X.
Дифференциалом формы Ф6ЙГ, записывающейся в локальных
координатах как
Ф = 2f ^...idx^A • ■ ■ Adxtf,
называется форма
dV=*Zdf h...ir/\ - • ■ Adxtl/\... Adx,r.
Это выражение не зависит от выбора системы координат и опре¬
деляет гомоморфизм
dr:Qr-*-Qr+1.
Нетрудно проверить соотношение dr+1dr = 0. Таким образом,
K = {Qr, dr} — это коцепной комплекс. Его когомологии Нг (К)
называются когомологиями де Рама многообразия X и обо¬
значаются Я® 32 (А'). Аналогично внешней алгебре векторного
пространства E:A(E) = ®Ak(E) (ср. пример 12 § 5), можно рас¬
смотреть градуированное кольцо Q(A’) = ©Qr всех дифферен¬
циальных форм на X. Операция внешнего умножения переносится,
с него на группу
H*z>gi =	(X),
которая является градуированным кольцом (и супералгеброй).
242

Связь между примерами 1 и 2 основана на операции интег¬
рирования дифференциальной формы по цепи. Именно, можно
найти триангуляцию многообразия X, столь «мелкую», что каж¬
дый симплекс <7/ будет лежать в некоторой координатной окрест¬
ности, и столь гладкую, что гомеоморфизм его f t’.ai-+Gi с симп¬
лексом аг в евклидовом пространстве будет достаточное числа
раз дифференцируемым. Т огда (положив j* Ф = 2 nt j ф для
V	а	°1
o = 2^iai€Cr, Ф6&Г) мы сведем определение интеграла по цепи сг
к определению j ф. Используя же диффеоморфизм /;:а, ->аг, мы
ai	t	_
сведем его уже к интегрированию формы /*ф по симплексу сг
в евклидовом пространстве, т. е. к вычислению обычного крат¬
ного интеграла.
Л Обобщенная теоремаСтокса утверждает, что для
Ф'-1€й'-1 и цепи сгбСг,
J фг-1= j* й^фг-1. р.
dcT	Сг
Ввиду аддитивной зависимости интеграла по цепи от цепи, дока¬
зательство этой теоремы сводится к случаю, когда сТ — симплекс
в евклидовом пространстве. В этой ситуации при г = 1,2, 3 она
сводится к известным теоремам Грина и Стокса, а в общем слу¬
чае доказывается совершенно так же. Если ввести обозначение
(с, Ф) = |ф для сеСг, Ф6ЙГ
С
и распространить произведение (с, ф) и на c6Cr<8>R, то теорема
Стокса превратится в утверждение о сопряженности оператора д‘
в пространстве Cr®R и оператора d в Qr. Из нее вытекает, чта
произведение (с, Ф) при дс — йЧ = 0 обращается в 0, если с = дс'
или ф = й№', и, значит, переносится на пространства НГ (X, R)
и Hcpgi (X). Теорема де Рама утверждает, что построенное
произведение определяет двойственность между этими прост¬
ранствами, так что когомологии де Рама дают аналитический
метод вычисления гомологий многообразий. Эквивалентная фор¬
мулировка заключается в том, что пространство Н^^(Х)
изоморфно Hr{X, К). Этот изоморфизм дает возможность пере¬
нести умножение в кольце Н*ар^ (см. пример 2) на группу
Я* (X, R) = @Hr(X, R),
которая становится, благодаря этому, кольцом. Конечно,
16*
243

существует способ определить умножение в Н* (X, R), не исполь¬
зуя связь с дифференциальными формами и не ограничиваясь
случаем, когда X—многообразие.
Теперь мы вернемся к алгебраической теории комплексов,
причем ограничимся коцепными комплексами — теория цепных
комплексов получается просто обращением стрелок. Комплекс
Ki={Cu dn) называется подкомплексом комплекса K={Cn,d„},
если группы Ci являются подгруппами групп С", а дифференциа¬
лы в них получаются ограничениями дифференциалов dn, задан¬
ных на группах Сп (и, значит, dn(Ci)czCl+1). В этой ситуации
дифференциалы переносятся и на группы Сг = Сл/Сь и мы по¬
дучаем комплекс Кг, называемый факторкомплексом комплек¬
са К по К\ и обозначаемый К1К\.
Группы когомологий комплексов К, К\ и K2 — KIK1 связаны
важными соотношениями. Понимая под Ker dn ядро dn в группе С”,
мы имеем по определению
Нп (К)=Ker d„ I dn (Сл-1), Ял (Ki) = (Ker dn n C?)/dn (СГ\
Так как С?"1 с С"'1 и dn(Ci~l)adn (С?-1), то, сопоставляя эле¬
менту из Y&dnr\Cl~l!dn(Ci~l) его класс смежности по большей
подгруппе dn (Сл-1), мы получаем гомоморфизм in: Ял (Ki) Нп (К).
Аналогично, используя гомоморфизм Сл->Сг =СЛ/Сь мы полу¬
чаем столь же очевидным образом гомоморфизм jn: Нп (К) ->
—>■ Ял (Кг)- Существует еще один, несколько менее очевидный
гомоморфизм. Пусть х^Нп (К?). Ему соответствует элемент у
из Kerdn в группе Сл/С". Рассмотрим прообраз у этого элемента
в Сп. Так как dy=0 в СлЧ/СГ+1, то dyQC"+1, и из определения
комплекса следует, что dt/бКег d^. Легко проверить, что класс
•смежности dy+djfil определяет элемент группы Нп+1(К{), за¬
висящий только от первоначального элемента х, но не от выбора
вспомогательных элементов у я у, и что таким образом мы полу¬
чаем гомоморфизм бл:Ял(А’2)->Ял+1(А'1). Все построенные гомо¬
морфизмы объединяются в бесконечную последовательность:
Эта последовательность обладает очень важным свойством,
которое проще всего формулируется при помощи одного весьма
полезного алгебраического понятия. Последовательность групп
и гомоморфизмов
.	^Л-1 . fn fn+l
• • • -*■	—гАп-ь-Ап+х—► ...
называется точной, если для любого
л образ гомоморфизма fn~i совпадает с ядром гомоморфизма fn.
Это свойство равносильно тому, что {Лп, /„} образуют коцепной
244

комплекс, когомологии которого равны 0. Наоборот, когомоло¬
гии произвольного комплекса измеряют его отклонение от точ¬
ности. Точность последовательности
0-^А^В
означает просто, что f — вложение группы А в В, а точность
последовательности
я-tc-^o
— что g — гомоморфизм В на всю группу С. Наконец, точность
последовательности
0-+А-гВ-*С-+0
— это другая запись того, что C=BjA.
Теперь можно высказать основное свойство последователь¬
ности (1) в следующей сжатой форме:
Ч Теорема о точной последовательности
когомологий. Для точной последовательности коцепных
комплексов
О^К^К-^Кг+0
(т. е. для К2 — К1К\) последовательность (1) точна. ►
Доказательство является почти тавтологической проверкой.
Последовательность (1) называется точной последователь¬
ностью когомологий.
Если X — триангулированное топологическое пространство, а
У — его замкнутое подпространство, состоящее целиком из не¬
которых симплексов триангуляции пространства X, то мы мо¬
жем сопоставить им цепные комплексы Кх и Кг, причем /СУсг
czKx- Поэтому имеет место точная последовательность цепных
комплексов
0-^-К.г—*-Кх~^Кх/Кг—И)
и, как очень легко проверить, для любой абелевой группы
А — точная последовательность коцепных комплексов:
0->Ыот(Кх1Ку, Д)->Нот(А'х, А.)->Нот(Ку, А)^-0.
Не алгебраическим, а уже геометрическим фактом является
интерпретация когомологий комплекса Нот(Кх/Ку, А): ДляпфО
Н"(Кх1Ку, А)^Н"(Х1У, А),
где XlY получается из X стягиванием Y в точку. Это утверж_
дение будет верным и в размерности п—0, если слегка видо
изменить в размерности п=0 определение комплексов Кх (для
X, Y и Х/Y), приняв за группу С0 совокупность лишь тех
0-мерных цепей 2л;о°, для которых 2лг=0.
245

Возникающие группы когомологий обозначаются Й° (X, А).
Алгебраическая теорема о точной последовательности когомологий
теперь дает нам утверждение о точности последовательности
О-+Й°(Х/У, А)-+Но(Х, А)^Й°(У, А)->-... -+Йп'1(У, А)-»-
->Hn(XlY, А)-+Йп(Х, А)-*-//" (Г, А)-*...,	(2)
тде Йп(Х, А) = Ип(Х, А) при л> 0. Из нее следует, например,
что если все Йп{Х, А)=0, то группы Йп (У А) и Йп+1(Х/У, А)
изоморфны.
На этот результат можно взглянуть с такой точки зрения.
Группа Й°(Х, А) определяет функтор из категории Mot
в категорию абелевых групп. Для пространств X, У и Х/У эти
функторы связаны точной последовательностью
0-+Й°(ХjY, А)-+Й°(Х, А)-*#°(Г, А),
которая, однако, не будет точной, если ее дополнить нулем в
конце. Но ее можно дополнить до точной последовательности
(2), вводя бесконечное число новых функторов Яп(Х, А). Такая
ситуация встречается часто, и рассмотренный нами частный
случай подсказывает общий принцип: если для некоторого важ¬
ного функтора F(A) со значениями в категории абелевых групп
в естественных ситуациях возникают «короткие» точные после¬
довательности, например:
О-+F(B)-*-F(C)-+F(A),
то следует подумать, нельзя ли определить семейство функто¬
ров Fn(A), в котором F°=F и которое связано бесконечной
точной последовательностью типа (1) или (2). Это совершенно
новый способ построения функторов. Сейчас мы приведем две
иллюстрации этого немного расплывчатого принципа. Третьей
его реализации посвящен следующий параграф.
Б. Когомологии модулей и групп. Мы уже виделн в § 20
(пример 11), что для фиксированного модуля А над кольцом R
и «переменного» модуля М, F(M) =Ношн(М, А) представляет
собой контравариантный функтор из категории ^-модулей в ка¬
тегорию абелевых групп. Поэтому точная последовательность
модулей
q^L^M^N^O	(3)
определяет гомоморфизмы
F (g):Horn/? (N, А) -*■ Нот* (/И, А) и
F (/): Нот* (М, А)->Нотя (L, А).
Легко проверить, что последовательность
P(S)	P(f)
0-i-Horn# (JV, A)^-Hom/? (M, A)-s-Hom/?(Z., A)	(4)
246

является точной, однако если дополнить ее нулем в конце, то
она точной не будет. Последнее означает, что гомоморфизм
F(f) не обязан быть отображением на всю группу: это можно
видеть на примере точной последовательности Z-модулей:
0-^pZ/p2Z-Z/p2Z-vZ/pZ-vO
при A = Z/pZ.
Однако последовательность (4) можно продолжить с сохра¬
нением точности. Это связано с группами ExtH(A, В), введен¬
ными в примере 2 § 12. Можно показать, что, подобно группе
Нотя(А, В), группа ExtH(A, В) определяет при фиксированном
А ковариантный функтор G(5)=Ext„(A, В) из категории
■ModR в М, а при фиксированном В — контравариантный функ¬
тор £(А) =ExtH(A, В). Модуль М ввиду точной последователь¬
ности (3) можно считать элементом группы ExtH(lV, L), а лю¬
бой гомоморфизм фбНошн(/-, Л) определяет гомоморфизм
G(<p) : ExtR(N, L)-»-ExtB(iV, А). В частности, G(<p) (M)eExtH(iV,
А) и как функция от <р определяет гомоморфизм д : HomH(L,
A)-+ExtR(N, А). Можно показать, что последовательность
Пе)	ПП	.	9
0-*-Нот/?(ЛГ, A)->Hom/?(7W, Л)->Нот/?(/., A)->Ext/?(AT, А)
— точна. Но мы можем включить ее и в еще более длинную
последовательность
P(g)	Р (f)	д
0-*Hom/?(JV, A)-*-Horn# (7W, A)->-Hom/?(Z., А)->
9	E(g)	E(f)
->Ext/?(jV, А) Ext/? (Л1, A)->Ext/?(Z„ Л)	(5)
(где E(g) и Е (/) —гомоморфизмы, определяемые функтором
Е (Л1) = Ext/? (М, А)), и данная последовательность тоже будет
точной! Это, конечно, укрепляет надежду продолжить ее до
бесконечной точной последовательности.
Мы действительно построим систему абелевых групп, которую
обозначим Ext£(A, В); при фиксированном п и фиксированном
аргументе В они будут контравариантными функторами первого
аргумента и для любой точной последовательности модулей
O-+L-+M-+N-+0 будут связаны точной последовательностью
(для всех п >0)
... -*Ext#-1 (L, A)-*-Ex$(W, A)^Ext£(M, А)->
->Ext^ (L, А) -»■ Ext£+1 (N, А) ...	.	(6)
При этом Ext# — это Horn#, a Ext)? —группа Ext/?.
Идея построения такой системы функторов очень проста.
Предположим, что наша задача уже решена и что, сверх того,
нам известен какой-то тип модулей (мы будем обозначать их
буквой Р), для которых эти функторы аннулируются:
247

Ext* (P, Л)=0 для всех модулей А и всех п> 1.
Предположим, кроме того, что нам удалось включить модуль АГ
в точную последовательность
0->Z,->P->iV->0
с модулем Р этого сорта (т. е. представить его как гомоморф¬
ный образ модуля Р). Тогда из точной последовательности (6)
следует, что группа Ext# (АГ, А) изоморфна Ext*-1 (L, Л), и мы
получили индуктивное определение наших функторов.
Дело, таким образом, за отысканием модулей Р, которые
должны аннулировать еще не известные нам функторы Ext#. Но
часть этих функторов нам известна —это Ext# = Ext#, и начать
надо с рассмотрения аннулирующих их модулей. Такой модуль
Р, что Ext#(P, Л) = 0 для любого модуля Л, называется про¬
ективным. Более просто это значит, что если модуль Р пред¬
ставляется как гомоморфный образ модуля Л, то существует
такой подмодуль ВсА, что А^РФР (и проекция Л на Р
совпадает с заданным гомоморфизмом Л->Р). Таким образом,
встречаясь с проективным модулем, мы как бы возвращаемся
в полупростую ситуацию. Простейшим примером проективного
модуля является свободный модуль. Действительно, пусть &—
свободный модуль над кольцом Р и хг, ..хп — система его
свободных образующих (мы лишь для простоты записи считаем
f г
ее конечной). Если	-> О—точная последователь¬
ность, то g отображает М на весь модуль YF и, значит, сущест¬
вуют такие элементы у&М, что g(i/i) = xi. Пусть УИ/=рг/1 +...
... + Руп — порожденный ими подмодуль. Из того, что {xt —
=g(t/i)} составляют свободную систему образующих, следует,
что то же верно и для {yt}. Отсюда легко вытекает, что g
отображает NY изоморфно на & и M—L&M', где L — Kerg.
Оказывается, класса проективных модулей уже и достаточ¬
но для выполнения нашей программы, так как любой модуль
является гомоморфным образом свободного н тем более —
проективного. Пусть
0->1->Р->АГ-*0	(7)
— такое представление для модуля АТ с проективным Р. Пред¬
положим, что функторы Ext# (L, А) уже определены для
—1, и положим
Ext# (AT, i4) = Ext#-1 (L, А).
Мы опускаем несложное определение гомоморфизма
Ext# (Ф): Ext? (Z/, А) Ext? (L, А),
соответствующего гомоморфизму 4>:L-+L'. Доказывается, что »
248

группы Extj?(£, Л), н гомоморфизмы Ext д (Ф) не зависят от вы*
бора точной последовательности (7) для модуля N, т. е. опре¬
делены вполне корректно. Они образуют контравариантный
функтор (при фиксированных п и Л) и связаны точной после¬
довательностью (6).
Объединяя вместе п шагов, мы можем получить неиндуктив¬
ное определение функторов Ext/?". Для этого представим
в последовательности (7) модуль L в аналогичной форме, т. е.
включим его в точную последовательность 0->-Z/->-P'->Z.->0
с проективным Р', потом поступим так же с L' и т. д. Мы
получим бесконечную точную последовательность
...-*Р?Л...-+Р2%Р^Р0->Ы-+0)	(8)
с проективными Рп, называемую проективной резольвентой
модуля N. Применяя к ней функтор Horn/? (Р, Л) и отбрасывая
первый член, мы получим последовательность
Нот/? (Р0, Л)^Нот/? (Ри Л)-2 ... -*Нош/? (Р„, А)^.(9)
которая необязательно будет точной, но будет коцепным
комплексом (из того, что Ф„ Фд+1 = 0 в (8), по определению
функтора следует, что ф„+1ф„ = 0 в (9)). Когомологии комплекса
(9)	и совпадают с группами Ext/? (TV, Л).
Пример 3. Когомологии групп. Важнейший случай,
в котором группы Ext/? (N, Л) имеют много алгебраических и
общематематических применений, — это когда кольцо Р является
целочисленным групповым кольцом Z [С?] группы G, так что
категория P-модулей совпадает с категорией С?-модулей. Для
(7-модуля Л группа Extz (Z, Л) (где Z рассматривается как
модуль с тривиальным действием) называется п-й группой кого¬
мологий группы G с коэффициентами в Л и обозначается
//"((?, Л).
Построить проективную резольвенту (или даже состоящую
из свободных модулей) для модуля Z (с тривиальным дейст¬
вием группы G) — это техническая и нетрудная задача. В ре¬
зультате получается вполне явная форма комплексов (8) и (9).
Мы выпишем второй из них. Для него С1 (равное Hom0(Pi, Л))
состоит из произвольных функций f(gi,..., gn) от п элементов
группы G со значениями в модуле Л. Дифференциал dn : С"->-
—>-Cn+1 определяется так:
(df) (ft, .. •, gn+0=gif (g2, • ■ •, gn+i) -I-
immn
+2 (—!)*/(&’ ■ •■>&&+1> •••»&)+( i)n+i/(&> • ••'"«)•
/-=i
249

(Надо помнить, что / (g2, ..., gn+i)6A и что А является моду¬
лем над С? —это определяет смысл gi/(g2, ■.., g„+1)).
Выпишем простейшие случаи
п=0 /=абЛ, (df)(g) = ga—a\
п =1	/ (g)€ Л,	(df) (gi, g2)=gj/ (g2) — / (g!g2) + / (g,);
« = 2 /(ft, &)6Л,
(^/) (gi> gs, g3) = ft/ (ft> g3)+/ (ft, g2g3) — / (gigs- gj) — / (gi- &)•
Таким образом, H°(G, A) —это совокупность таких элементов
абЛ, что ga—а — 0 для всех g6G, т. е. совокупность G-инвари¬
антных элементов А.
Hl(G, А)—это группа функций f(g), g€G, со значениями
в А, удовлетворяющих условию
/ (gigs) = / (gi) + gi/ (gs).	(10)
факторизованная по группе функций вида
/(g)=*ga—«, аеА.	(11)
Если действие С? на Л тривиально, то Hl(G, Л)=Нот(С?, Л).
Н2 (С?, Л) — это группа функций / (gj, g2), gu g26G, со значе¬
ниями в Л, удовлетворяющих условиям
/ (ft, g2g3)+gl/ (g2. g3) = / (gift, g3)-T-/ (ft, gs)> (12)
факторизованная по группе функций вида
/ (ft. ft) = h (gjg2) — A (gx) — gji (g2),	(13)
где A(g) (g€G) — любая функция со значениями в Л.
Приведем несколько примеров ситуаций, в которых эти груп¬
пы возникают.
Пример 4. Расширения групп. Пусть группа Г имеет нор¬
мальный делитель N с факторгруппой T/N=G. Как реконстру¬
ировать G по Г и N? С этим вопросом мы встречались в § 16
(напомним, что Г называется расширением G при помощи N).
Сейчас мы разберем его подробнее в случае, когда группа N
абелева. Мы будем обозначать ее теперь не N, а Л.
Для любых убГ и абЛ элемент у~'ау тоже содержится в Л.
Более того, отображение а-^уау'1 является автоморфизмом
группы Л. Ввиду коммутативности группы А элемент уйу-1 не
изменится, если изменить у в его классе смежности по Л. Сле¬
довательно, уау~1 зависит лишь от класса смежности g6G =
= Г/Л, которому принадлежит у. Он обозначается поэтому
g(a). Таким образом, группа G действует на Л, и Л превра¬
щается в G-модуль (однако с операцией, записанной не адди¬
тивно, а мультипликативно — как и операция в группе Г).
Выберем в каждом классе смежности g&G = T/A любым об¬
разом по представителю, который обозначим 5(g) б Г. Вообще
250

говоря, s(gi)s(g2) ¥=s(gig2), но эти два элемента лежат в од¬
ном и том же классе смежности по А. Поэтому существуют та¬
кие элементы f(gu g2)&4, что
S (gi) S (g2) = / (gi> g2) 5 (gig2).	(14)
Элементы / (gb g2) можно выбирать далеко не произвольно. Пе¬
реписывая условие ассоциативности (s (gi) 5 (g2)) s (g3) =
= s (gi) (5 (^2) ^ (g3)) при помощи соотношения (14), мы
получим для них условие
/ (gb gig3) g 1 (/ (g2. g3)) = f (glgi, g3) f (ft, gi), (15)
т. e. соотношение (12), записанное мультипликативно. Легко
проверить, что структура G-модуля в Л и набор элементов
f (g 1. g2)6a, gi, g2GG, удовлетворяющих условию (15), уже опре¬
деляет расширение Г группы G прн помощи А. Однако в нашей
конструкции имелась неоднозначность: произвол в выборе пред¬
ставителей 5(g). Другой выбор имеет вид s'{g) =h(g)s(g), где
h(g)GA. Легко проверить, что, пользуясь им, мы получим новую
систему элементов f'(gu g2), связанную со старой соотноше¬
нием
/' (ft. gi) = / Шь gi) h (g,) g, (h (g2)) h (gjga)-1.
Принимая во внимание соотношение (13), мы можем теперь
сказать, что расширение группы G при помощи А однозначно
задается структурой G-модуля в А и элементом группы
НЦО,А).
Остановимся еще на случае, когда элемент группы H2(G, А),
соответствующий расширению, — нулевой. Ввиду (14) это озна¬
чает, что можно выбрать такие представители s(g) классов
смежности Г,/А, что s(gi, g2) =s(gi)5(g2). Иначе говоря, эти
представители сами образуют группу G', изоморфную G, и лю¬
бой элемент убГ однозначно записывается в виде у=ag', абЛ,
g'6G'. В этом случае расширение называется распадаюшимся,
группа Г — полупрямым произведением А и G, а подгруппа
G' — дополнением Л в Г. Например, группа движений плоско¬
сти является полупрямым произведением группы параллельных
переносов и группы вращений, а в качестве дополнения группы
параллельных переносов можно выбрать группу вращений во¬
круг какой-нибудь фиксированной точки. Насколько однозначно
в общем случае определяется дополнение в распадающемся
расширении? Речь идет о другом выборе представителей
s'{g)=f(g)s(g), f(g)bA. Для того чтобы они тоже образовыва¬
ли группу, нужно, как легко видеть, чтобы удовлетворялось
соотношение:
f(glgi)=f(gl)gl(f(g2)),
т. е. соотношение (10), записанное мультипликативно. Но суще¬
251

ствует «тривиальный» способ построения из одного дополнения
других — трансформирование при помощи элемента а€А, когда
G' заменяется на G"=aGa~l. Легко видеть, что при этом f(g)
заменяется на f(g)ag(a)~l. Ввиду соотношения (11) мы полу¬
чаем, что дополнения в полупрямом произведении А и G описы¬
ваются (с точностью до сопряженности элементами из А) груп¬
пой Я1 (G, А).
Пример 5. Когомологии дискретных групп. Предположим,
что X — топологическое пространство, имеющее гомотопический
тип точки, а группа Г действует на X дискретно и свободно
(см. § 14). В этом случае можно построить такую триангуля¬
цию пространства X, что Г будет свободно действовать на ней.
Тогда группа n-мерных цепей С„ будет свободным Г-модулем,
а цепной комплекс {С„, д„} будет проективной (даже состоя¬
щей из свободных модулей) резольвентой модуля Z. Теперь
простое сопоставление определений показывает, что для любой
абелевой группы А, рассматриваемой как Г-модуль с тривиаль¬
ным действием, группы когомологий Я”(Г, А) имеют геометри¬
ческую реализацию — они изоморфны группам когомологии
Нп(Г\Х, А) пространства Г\Х (ср. пример 1) Любую группу
Г можно реализовать как группу преобразований, удовлетворя¬
ющую сформулированным выше условиям. На этом пути по¬
лучается геометрическое определение групп ЯП(Г, А).
Эта ситуация реализуется, в частности, когда X=G/K, где
G — связная группа Ли, а К — ее максимальная компактная
подгруппа, так как в этом случае X гомеоморфно евклидову
пространству. Пусть Tc:G — дискретная группа, не имеющая
элементов конечного порядка. Тогда Г свободно действует на
пространстве классов смежности G/К левыми сдвигами, и мы
видим, что
Я"(Г, A)°‘H*(T\G/K, А).
В частности, ввиду конечномерности пространства T\GfK,
Яп(Г, А) =0 для всех п, начиная с некоторого. Для групп
ЯП(Г, Z) мы можем ввести понятие эйлеровой характеристики
х(Г, Z) =2 (—l)”rgЯ"(Г, Z),
где rg — ранг. Мы видим, что %(Г, Z) =x(r\G/K), где справа
стоит топологическая эйлерова характеристика для простран¬
ства X, определяемая как
xW = 2(-l)«diraR(Z, R).
В частности, это применимо к случаю, когда G — алгебраи¬
ческая группа над полем Q, а Г является ее арифметической
подгруппой: Tc:G(Z) и имеет в G(Z) конечный индекс (ср.
§ 15, В). В этом случае х(Г, Z) часто имеет тонкий арифмети¬
ческий смысл, например, выражается через значения ^-функции
Римана в целых точках. Так, для любой подгруппы Fc;SL(2, Z),
252

имеющей конечный индекс и не имеющей элементов конечного
порядка,
X(Г, Z) = (SL(2, Z):r)g(-l)=-(SL(2]2Z):r).
Наконец, упомянем о еще одном очень важном применении
когомологий групп. Пусть К — поле и LjK — его расширение Га¬
луа с группой Галуа G (ср. § 18,А). Группа L* отличных от О
элементов поля L с операцией умножения является G-модулем,
и ее когомологии Hn(G, L*) имеют очень много применений как
в алгебраических вопросах, так и в арифметических (если К —
поле алгебраических чисел).
В.	Когомологии пучков. Пусть X — топологическое прост¬
ранство и категория, объектами которой являются его откры¬
тые множества, а морфизмами (пример 2 § 20) —их вложения.
Контравариантный функтор из категории % в категорию абеле¬
вых групп называется предпучком абелевых групп на простран¬
стве X. Таким образом, предпучок предполагает задание для
каждого открытого множества UczX абелевой группы #"(£/) и
для любых двух открытых множеств V cz U—гомоморфизма
р v-.F{U)->iF{V),
причем р^=1 д-(и) и, если WczVczU, то р& = р£р^.
Пример 6. Предпучок Сс непрерывных функций на X,
По определению, Сс (U) — это все непрерывные на U функции,
а р^ —ограничение функций с U на V. В связи с этим примером,
и в общем случае гомоморфизмы р^ называют ограничениями.
Предпучок & называют пучком, если для любого открытого
множества UczX а любого его представления в виде объедине¬
ния открытых множеств U={jUa выполняются условия:
1. Для 5б*Г(U) из р^ х=0 для всех Ua следует, что 5=0.
2. Если 5а6^" (Ua) таковы, что Py“p|Uf)sa =	для	всех
а и р, то существует такое 5б#"(£/)> что sa = Pcas для всех а-
Пучки на заданном пространстве сами образуют категорию.
Гомоморфизмом пучка & в пучок $ называется система гомо¬
морфизмов /u'-& (£/)->$ (U) для всех открытых множеств U6А",
согласованная условием коммутативности диаграмм (для VczU)
fu
&(U)-+$(U)
pv\ fy | PV
F(V)-+g(V),
где рк и ри — отображения ограничения для & и для (§. Пучок
& —подпучок пучка если & (U) — подгруппа группы W(U)
для всех открытых множеств UczX.
253

Определение пучка указывает на локальный характер за¬
дания групп !F(U). Например, пучком является предпучок не¬
прерывных функций Ос, а если X — дифференцируемое много¬
образие, то пучок OntczOc дифференцируемых функций, для
которого Ont(U) состоит изо всех функций, дифференцируемых
(т. е. имеющих производные до заданного порядка Ns^oо) на
U. Аналогично, если X — комплексно аналитическое многообра¬
зие, то пучком является предпучок 0ЛП аналитических функций,,
для которого 0an(U) —совокупность функций, аналитических в.
U. Все эти примеры мотивируют общую точку зрения, объеди¬
няющую определения различного типа пространств. Определе¬
ние должно состоять из топологического пространства X, под¬
пучка 0 пучка непрерывных функций на нем и некоторого за¬
паса М моделей (кубы в R*c пучком дифференцируемых там
функций или кубы в С"с пучком аналитических функций) и
требования, чтобы каждая точка хбХ имела окрестность U, ко¬
торая бы вместе с ограниченным на нее пучком 0 была изо¬
морфна одной из моделей. Такая концепция дает возможность
найти естественные определения объектов, которые иначе было
бы сформулировать не просто: например, «комплексно анали¬
тических многообразий с особыми точками» («комплексных
пространств»). При надлежащей модификации она приводит и к
естественному определению алгебраических многообразий над
произвольным полем и их далеко идущих обобщений (схем).
Другие примеры пучков: пучок Qr дифференциальных форм
на дифференцируемом многообразии X (Qr(U)—совокупность
дифференциальных форм на U) или векторных полей.
Пример 7. Пусть X — риманова поверхность (одномерное
комплексно аналитическое многообразие), хи ..., xkGX — любой
набор точек на X и пи ..., nh — любой набор положительных
целых чисел. Формальная комбинация
D = ri\X\-\	1-nhxh
называется дивизором (условие 0 обычно не накладывает¬
ся). Соответствующий дивизору пучок D определяется услови¬
ем: @~D(U) есть совокупность функций, мероморфных в U и име¬
ющих полюса лишь в тех точках хь ..., xh, которые содержатся
в U, и причем в точке х, — кратности, не большей чем п,.
Если	— гомоморфизм пучков, то Ж (U) —Kerf и
определяет подпучок пучка называемый ядром /. Аналогич¬
ное определение образа было бы неудачно: предпучок /'(£/) =
= Im fu, вообще говоря, не является пучком. Но его можно
вложить в минимальный пучок f\ f (U) состоит из таких s
что у каждой точки xQU существует окрестность Uх, в кото¬
рой Pyxs6 Im fux- Этот пучок и называется образом гомоморфиз¬
ма /. Имея понятия ядра и образа, мы можем определить точные
последовательности пучков, дословно повторяя определение, дан¬
254

ное для модулей. Для каждого пучка & и его подпучка 3
можно построить пучок Ж, для которого последовательность
О-+3-*-&'-*-Зё -*■0 точна. Он называется факторпучком !Fl3-
Важнейшим инвариантом пучка 2F на пространстве X яв¬
ляется группа &~(Х). Обычно это совокупность глобальных
объектов, определенных локальными условиями. Например,,
для пучка дифференциальных форм — это группа дифференци¬
альных форм на всем многообразии, для пучка векторных по¬
лей — группа глобальных векторных полей. В примере 7 — это
группа функций, мероморфных на всей римановой поверхности.
X и имеющих полюса лишь в точках хи ..., xh, причем в крат¬
ностях не выше пи ..., nh. Из определения гомоморфизма пуч¬
ков следует, что сопоставление пучку группы	(X) является
ковариантным функтором из категории пучков в категорию-
групп. Пусть
— точная последовательность пучков. Легко проверить, что
последовательность групп
0->3(Х)-+Р{Х)-+Ж(Х)
точна, но она не будет точной, если дополнить ее нулем. Вот
пример этого явления. Пусть X — риманова сфера, a 0ап — пучок
аналитических на ней функций. Для определения пучка Ж выбе¬
рем конечное множество точек <D = {jci,..., xk}c:X, припишем
точке xt свой экземпляр группы комплексных чисел Сг и положим
2ё (U) = ®Cj, где сумма распространена на х;-6ФП U. Сопостав¬
ление функции f£0an(U) набора {/ (х;)}б©С;. для х;6ФП £/-
определяет гомоморфизм 0аа->Ж с образом Ж. Если 3 — его-
ядро, то мы получаем точную последовательность 0-+3 -+0ап->
-*-Ж->0. В ней 0ап(Х) = С по теореме Лиувилля, а Ж(Х) = Ск~
по определению, и поэтому при k > 1 даже последовательность-
0ап(Х)-*-Ж (Х)->0 не точна.
Мы находимся в той же ситуации, которую уже обсуждали,
и нашей задачей будет построение таких функторов Fn из кате¬
гории пучков на пространстве X в категорию групп, что
F0(&") = 2F(^Г) и для точной последовательности
-+Ж-+0 точна последовательность
... ->Fn-l{3$)-+F"{3)->Fn{F)^Fri(2e)->F'l+'{3)-> .... (16).
Рассуждать мы будем так же, как при построении функто¬
ров Ext\ Предположим, что функторы Fn- с нужными свойства¬
ми построены, что мы знаем класс пучков (которые будем
обозначать 0), для которых Fn(0) = 0 при п>\, и что мы пред¬
ставили пучок 2F как подпучок такого пучка 0. Тогда мы будем,
иметь точную последовательность
255,

О——>"0
и соответствующую точную последовательность типа (16). Из
того, что Fn(0 =0, мы получим, что Fn(3F) =Fn~l{3S), а это
даст индуктивное определение функторов Fn.
Теперь переходим к построению пучков Q с нужным свой¬
ством. Так как, в частности, для них F1(Q) =0, то если такой'
ф ф
пучок входит в точную последовательность 0-+Q-^0,
U	V
то последовательность 0-*-Q(X)-+!F(Х)-+&{Х)^-0 должна быть
точной (это вытекает из рассмотрения первых 4-х членов после¬
довательности (16)). Один класс пучков с таким свойством
известен —так называемые вялые пучки. Пучок Q называется
вялым,, если для него все гомоморфизмы р^\Q{X)-^Q{U) для
UciX являются гомоморфизмами на всю группу Q{U). Элемен¬
тарное рассуждение показывает, что для вялого пучка Q и точной
ф Ц>
последовательности пучков 0-^Q-+0 последовательность
групп Q-*-Q(X)-+SF (Х)-*-& (А)->0 точна.
Типичным примером вялого пучка является пучок Q, для ко¬
торого Q(U) есть множество всех функций на U (вещественно-
или комплекснозначных). Пучки Ос, CW, Сап являются его
подпучками. Аналогичным образом, любой пучок является под¬
пучком вялого. Мы находимся теперь в ситуации, совершенно
аналогичной той, которая была рассмотрена в разделе Б, н мо¬
жем дать определение новых функторов Fn сначала индуктив¬
но: если пучок SF входит в точную последовательность пучков
с вялым Q, то Fn(T) =F^(S); F°{&-) =5Г(Х).
Доказывается, что группы Fn(!F) не зависят от выбора точной
последовательности Gh+3~Они называются группами
когомологий пучка SF и обозначаются Нп(Х, 2F).
Объединяя вместе п шагов, необходимых для определения
групп Нп(Х, &~), мы можем получить неиндуктивное их опреде¬
ление. Точная последовательность
0Со-*'Ci-*■ • • • -*-Сл-*' • • •
пучков, в которой пучки Qi вялые, называется вялой резольвен¬
той пучка Применяя к ней функтор F (ZF) —	(А)	и	отбра¬
сывая первый член, мы получаем коцепной комплекс
Q,(X)-+Qx{X)-+...->Qn{X)^...
Его когомологии и дают нам группы Нп{Х, &).
Приложения когомологий пучков связаны с некоторыми отно¬
сящимися к ним теоремами конечности. Л Первая заключается
в том, что для любого пучка & на ц-мерном многообразии X,
Hq(X, #") = 0, если у > п, так что пучок имеет только конечное
число отличных от 0 групп когомологий. ► Вторая теорема
256

конечности связана со случаем, когда все группы & (U) являют¬
ся векторными пространствами (над полем R или С), а гомомор¬
физмы — линейными преобразованиями. Тогда и группы
Hq(X, 2F) являются векторными пространствами, и возникает
вопрос об их размерностях. Особенно интересна размерность
пространства Н°(Х, 8Г) =&~(Х)—обычно наиболее важного
инварианта. Вообще говоря, эта размерность бесконечна даже
в самых простых ситуациях. Например, для пучков (Ус или Сва
Н°(Х, (Ус) —это пространство всех непрерывных, а
Н° (X, (Уст) — всех дифференцируемых функций на X. Однако су¬
ществуют важные случаи, когда соответствующие пространства
конечномерны. М Пусть, например, X — это риманова сфера.
Тогда Н°(Х, (Уап) —это пространство функций, голоморфных во
всех точках (включая бесконечно удаленную). По теореме Лиу-
вилля такие функции постоянны, т. е. Н°(Х, С?ап)=С— одно¬
мерно. Так обстоит дело для любого компактного связного
комплексно аналитического многообразия X: на нем Н°(Х, (Уап) =
= С. Можно доказать, что в этом случае и все группы ко¬
гомологий НЯ(Х, (Уап) конечномерны над С. Так же обстоит
дело с пучком голоморфных дифференциальных форм, или го¬
ломорфных векторных полей на компактном комплексно анали¬
тическом многообразии и с пучком STD примера 7, если римано¬
ва поверхность X компактна. Мы не будем точно формулировать
имеющуюся здесь общую теорему, а ограничимся приведен¬
ными примерами. ►
Во всех случаях, когда X — конечномерное многообразие и
пространства НЯ{Х, SF) конечномерны, можно определить эйле¬
рову характеристику пучка 2F:
X(*, У) = 2(-1)» dim//«(*.£■)	(17)
(сумма состоит из конечного числа членов ввиду сформулиро¬
ванной сначала теоремы конечности).
Роль этого нового инварианта двоякая. Во-первых, эйлерова
характеристика некоторых стандартных пучков, инвариантно
связанных с многообразием, дает инварианты самого многооб¬
разия. Например, для компактной римановой поверхности X
%(Х, Оаа) = \—р,
где р — род римановой поверхности X. (Заметим, что 1—р —
это половина топологической эйлеровой характеристики
%(Х, R) поверхности X.) Аналогично, для любого компактного
комплексно аналитического многообразиях эйлерова характери¬
стика %(Х, (Уап) дает его важный инвариант:	арифметический
род.
С другой стороны, эйлерова характеристика оказывается
«грубым», легко вычислимым инвариантом. В большинстве
случаев нас интересует размерность первого слагаемого в сум¬
17—9339	23
257

ме (17) —dim#°(X, но это уже более тонкая задача, ко¬
торая решается, например, если удается доказать, что осталь¬
ные слагаемые равны 0. Так, в случае пучка SF в примера 7,
связанного с дивизором D — 'Znixi на компактной римановой по¬
верхности X, эйлерова характеристика %(Х, SFв) зависит не от
индивидуального выбора точек хи а лишь от их числа d=2n4
С другой стороны, можно показать, что Ня (X, &'о) = 0 при
д>2, а при d>2p — 2 и Нх(Х, ^Ъ) = 0, так что
Напомним, что ST в (X) — это пространство функций, мероморф-
ных на X и имеющих полюса в точках х4 с кратностями
Равенство (19), прежде всего, является теоремой существования
таких функций. Имея в распоряжении эти функции, можно
строить отображения римановых поверхностей друг на друга,
исследовать вопрос об их изоморфизме и т. д. В качестве про¬
стейшего примера, пусть р — 0, D=x (одна точка). Из (19) мы
получаем, что пространство £Гв(Х) двумерно. Так как посто¬
янные функции составляют в нем одномерное подпространство,
то мы видим, что существует мероморфная функция f с полю¬
сом первого порядка в точке х. Нетрудно доказать, что отобра¬
жение, определенное такой функцией, является изоморфизмом
римановой поверхности X и римановой сферы, т. е. что римано-
ва поверхность рода 0 аналитически изоморфна (или, в дру¬
гой терминологии, конформно эквивалентна) римановой сфере.
Пример 8. Аналог пучка 8Fn примера 7 можно построить
на произвольном и-мерном комплексно аналитическом многооб¬
разии X. Для этого точки Xi заменяют п—1-мерными комплекс¬
но аналитическими подмногообразиями, полагают Z) = 2njCi и
берут за в (U) совокупность функций, мероморфных в U и
имеющих полюса лишь в подмногообразиях UflCiaU, причем с
кратностями <я4. И в этой, гораздо более общей ситуации со¬
храняется тот же принцип: можно рассматривать подмногообра¬
зия С4 как циклы размерности 2п—2, так что D определяет
класс гомологий Ея4С4 в Н2n-i{X, Z), и эйлерова характеристи¬
ка %(Х, 8Гв) зависит лишь от этого класса гомологий (при я =
= 1 класс гомологий 0-мерного цикла 2я4х4 определяется чис¬
лом d = 2n4). «Грубость» эйлеровой характеристики выражается
теперь в том, что она является топологическим инвариантом,
зависит лишь от элемента дискретной группы #2П_2(А, Z). Ана¬
лог формулы (18) существует и в этом случае, но он, конечно,,
гораздо сложнее. Соотношение (18) называется теоремой
Римана — Роха. То же название сохраняется и за ее обоб¬
щением, о котором мы говорили.
X (AT, Fо) = X (X, Ош) +d=n + \-p.
(18)
dim ^£>(20 = 1 — p-~d, d>2p—2.
(19)
258

§ 22. К-ТЕОРИЯ
А. Топологическая /(-теория. Мы будем пользоваться дальше
понятием семейства векторных пространств f : Е-*-Х над тополо¬
гическим пространством X, введенным в конце § 5. Гомоморфиз¬
мом ф : Е-^Е' семейства f : Е-+Х в семейство /': Е'-*~Х назы¬
вается непрерывное отображение ф, переводящее слой f~l(x) в
(f')~l(x) и линейное в этом слое для каждой точки хбХ. Еслес
Ф определяет изоморфизм слоев, то оно называется изомор¬
физмом семейств.
Для всякого открытого множества U&X и семейства f : Е-*-Х
его ограничение f~l(U) определяет семейство векторных прост¬
ранств над U.
Простейшим примером является семейство XX R", где / —
проекция на X, называемое тривиальным. Основной класс се¬
мейств, который мы будем рассматривать, — это векторные
расслоения. Так называется семейство, являющееся локально?
тривиальным, т. е. такое, что любая точка х£Х обладает окрест¬
ностью U, для которой семейство f~l(U) изоморфно тривиально¬
му семейству UX R". Для произвольного непрерывного отобра¬
жения ф : Y~*-X и векторного расслоения Е над X определяется?
его прообраз ф*(£), слой которого над точкой у отождествляет¬
ся со слоем расслоения Е над точкой ф(у). Точное определение:
Ф*(Е) состоит из точек (у, е)вYxE, для которых ф(у)=/(е).
Множество классов изоморфных расслоений над заданным про¬
странством X обозначается Wec(X). Благодаря операции ф*—
это контравариантный функтор Wee из категории топологиче¬
ских пространств в категорию множеств.
В множестве Wee (X) определены операции E®F и E&F,
которые сводятся к взятию прямой суммы и тензорного произве¬
дения слоев над одной и той же точкой X. Операция © ком¬
мутативна и ассоциативна, но не определяет группы ввиду
очевидного отсутствия обратного. Иначе говоря, Wec(X) —
коммутативная полугруппа (записываемая аддитивно) с нулем:
(расслоением X X (0)) (Ср. пример 9 § 20). Можно попробовать
сделать из нее группу так же, как из неотрицательных целых;
чисел строятся все целые или из целых — рациональные. Надо
отметить здесь одно «патологическое» свойство сложения,
в Wec(X): из того, что а®с—Ь®с, не следует, что а = Ь..
Ввиду этого нужная группа строится из пар (a, b), a, bQWec(X),
причем пары (а, Ь) и (а', Ь') отождествляются, если существует
такое с, что а®Ь'®с — а'®Ь®с. Сложение пар определяется
покомпонентно. Легко видеть, что множество классов пар обра¬
зует группу, в которой класс пары (а, Ь) есть разность (а, 0) и
(6,0). Полученная группа обозначается К{Х). Сопоставляя рас¬
слоению afrWec (X) класс пары (а, 0), мы получаем гомоморфизм
Wec{X)^K{X),
17*
259\

причем а и Ь^ес{Х) склеиваются в К(Х), лишь если сущест¬
вует такое с^ес(Х), что а@с=Ь(Вс. Легко видеть, что К(Х)
определяет контравариантный функтор из категории &~ор в ка¬
тегорию абелевых групп. Например, если X — это точка, то
V'eciX) просто состоит из конечномерных векторных простт
ранств и, значит, его элементы задаются размерностью м^О, а
K(X)~Z. В общем случае, изучение группы К(Х)—это «ли¬
лейная алгебра над топологическим пространством X».
Дальше мы ограничимся категорией компактных тополо¬
гических пространств с отмеченной точкой. Для них доказы¬
вается, что если <р : Y-*~X — гомотопическая эквивалентность, то
<р* определяет изоморфизм групп К(Х) и К (У). Таким образом,
функтор К(Х) можно перенести в категорию Зё’ё’о, компактных
.пространств с точностью до гомотопического типа (и с отмечен¬
ной точкой). Если х0£Х — отмеченная точка и f : Е-*Храссло¬
ение, то сопоставление Е размерности слоя /-1(х0) определяет
гомоморфизм
ф : K(X)-+Z
(можно сказать, что ф=<р*, где <р : Ха-+Х— вложение точки).
Ядро ф обозначается Я(ЙГ). Эта конструкция аналогична вве¬
дению групп Я°(Х, А) в связи с точной последовательностью
(2) § 21. Легко доказать, что
K(X) = Z®K(X).
Если УсХ—замкнутое подмножество У$х0, то отображения"
f	8
вложения (К, х0)->(Х, х0) и сжатия У в точку: Х->Х/У (причем
образ У считается выделенной точкой) определяют гомоморфизмы
в последовательности
к(х/у)-*к(Х)->к(У),
:про которую нетрудно доказать, что она точна. Мы приходим к
уже обсуждавшейся в § 21 задаче о продолжении этой последо¬
вательности в виде бесконечной точной последовательности.
В данном случае она решается следующим образом: обоз на
чим через SX приведенную надстройку пространства X (опре
деление см. в примере 17 § 20). Положим индуктивно: К0 (^0 =
*=k(X), к~п (X)=k~n+1(SX). Тогда последовательность
.... ->к-п-1 (У) ->к-п (xiY)^k-n (X) -ук-п (У) ^к-п*х (х/у)^-...
точна (при надлежащем определении гомоморфизмов К'п (У) -*
->к-пЧ(Х1У), которое мы опускаем). Это определение можно
пояснить следующим образом. Заменим приведенную надстройку
надстройкой ИХ (см. опять определение в примере 17 § 20),
имеющей тот же гомотопический тип. Обозначим через СХ
конус над X, т. е. (X X I)i (X X !)• Считая, что X совпадает
260

с АхОсСА, мы можем сказать, что ИХ = СХjX. Конус
имеет гомотопический тип точки (он стягивается в вершину).
Поэтому вложение Х^-СХ аналогично представлению модуля М
в виде гомоморфного образа проективного: Р^->М, а СХIX
аналогично Кег /. Тогда наше определение станет похожим на
индуктивное определение функторов Ext", данное в п. Б § 21.
Вернее, однако, сказать, что оно двойственно ему (вложение
пространства X и отображение на модуль М поменялись
местами) на что и указывают отрицательные индексы в К~п.
Замечательным фактом этой «теории когомологий» является
ее периодичность
К'п (Х)^К'п+ЦХ).	(1)
На доказательстве этой теоремы периодичности мы не можем
здесь останавливаться. Она естественно дает возможность про¬
должить нашу последовательность функторов Кп и на положи¬
тельные значения л, сохраняя условие (1). Возникающая так
«теория когомологий» и называется АГ-теорией. Конечно, сущест¬
венными в ней оказываются лишь два функтора К0 и К1. По.
определению, К0{Х)^=К(Х), Kl(X)=K(SX).
Дадим другую интерпретацию функтора /С1 (^). Для этого
опять заменим приведенную надстройку SX обычной — ЕХ и
вспомним, что она может быть получена как склеивание двух
конусов
СгХ = (Хх [О, Ц2])1(ХХ0) и С2Х = (Х х [1/2, 1])/(АГ XI)1
по их основаниям (А" X1/2. На каждом конусе расслоение Е
изоморфно тривиальному (ввиду стягиваемости конуса). Поэтому
и расслоение Е над ИХ получается склеиванием расслоений
Rn X СхХ и R"X С2Х по R" X X. Это склеивание осуществляется
изоморфизмом Ф. слоев R" над соответствующими точками осно¬
ваний конусов, т. е. семейством отображений T^eGL (л, С), х£Х,
или же непрерывным отображением X-^-GL{it, С),	Из	этих
соображений получается нужная интерпретация:
К1 (Х) = К (SX) = H (A, GL).	(2)
Здесь Н( ) обозначает множество морфизмов в категории 3@ot,
а несколько неопределенный символ GL означает, что надо брать,
отображения в GL (л, С) со сколь угодно большим л. Можно
вложить группы GL (л, С) друг в друга: GL (л, С) -*■ GL (л +1, С'
как Л-^q и взять их объединение: оно будет нашим
пространством GL.
Д-теория, как и всякая «теория когомологий», дает некото¬
рую проекцию гомотопической топологии в алгебру. В данном
261

-случае проекция очень точно воспроизводит оригинал, так как
/(-функторы снабжены целым рядом операций, происходящих
из операций внешних и симметрических степеней векторных про¬
странств, и эти операции «функториальны», т. е. согласованы
с отображениями Kn(X)-^Kn(Y), соответствующими непрерыв¬
ному отображению f : Y-*-X. Часто, суммируя всю эту информа¬
цию, получают противоречие — это теоремы несуществования
тех или иных отображений. Например, наиболее простое дока¬
зательство сформулированной в конце § 19 теоремы о том, что
конечномерные тела над полем вещественных чисел имеют раз¬
мерность 1, 2, 4 или 8, получается из /(-теории. Другое извест¬
ное применение /(-теории — решение старого вопроса о том,
сколько линейно независимых векторных полей можно задать
на n-мерной сфере (т. е. таких полей 01,..., 0*, что в любой
точке х соответствующие векторы 0i(jc),..., 0А(х) линейно не¬
зависимы). Если п делится на 2Г (точно), то их число равно 2г
лри 41г, 2г—1 при г вида 4£+1 или 4£ + 2, 4г+1 при г вида
4*—1.
Но самое красивое применение /(-теории относится к вопро¬
су об индексе эллиптического оператора. Линейные дифферен¬
циальные операторы произвольного конечного порядка на диф¬
ференцируемом многообразии X были определены в примере 3
§ 7. В локальной системе координат они задаются в виде
VI	dU+...+in
2) = V ait...in(x)-Y- (3)
п дх!*...дхяп
тде	(х) — дифференцируемые комплекснозначные функции.
Матрица (2>i}) размера (ти т2) из дифференциальных операто¬
ров определяет дифференциальный оператор в тривиальных рас¬
слоениях
2:Хх -s-/С X Rm'-	(4)
Нетрудно (пользуясь локальной тривиальностью) распростра¬
нить это определение на операторы 2): E~*-F, действующие в
любых дифференцируемых векторных расслоениях, но мы, крат¬
кости ради, ограничимся случаем (4).
Выясним, что дает нам оператор (4) в одной точке много¬
образия X. Для этого надо в (3) зафиксировать точку х,
в результате чего a,ii...in(x) превратятся в константы. Операторы
_£_=|г являются элементами касательного пространства Т х
многообразия X (см. пример 13 § 5) и 2) дает нам многочлен
/>(£, д:) = 2аг1.../п|{1.. .^я на кокасательном пространстве Т*х.
Оператор (4) определяет матрицу размера т2) из таких
многочленов (Р,;(£. х)). Пусть k—максимум степеней всех много-
262

членов Ри(1, х) и Pijil, х) — их однородные составляющие,
степени k. Если тх = т2 = т и Det(Рг1 (£, х))Ф0 при \ф0, то
оператор (4) называется эллиптическим, в точке х, а если
это верно для всех х£Х, то — эллиптическим оператором на
X. Таким образом, эллиптический оператор 2 определяет
в каждой точке х и для каждого	линейное преобра¬
зование (Р1}(§, x))6GL (m), которое мы обозначим через о^(|, х)..
Отображение (£, х)~^а^(\, х) определено для сфТ*х, 1=£0. Иначе
говоря, оно определено на многообразии T*x\s, где Т*х— ко-
касательное расслоение, а 5 задает в каждом слое Г* нулевую
точку. Векторное пространство R"\(0) гомеоморфно R+ X
и, значит, имеет гомотопический тип сферы S"-1. Поэтому мы
можем сказать, что (£, х) определено на некотором расслоении
Sx (не векторном!) над X, слоями которого являются сферы S'*"1,
и задает отображение
o®:Sa-->GL(m, С).	(5)
Это отображение называется символом эллиптического опе¬
ратора 2), и его гомотопический класс является важнейшим
топологическим инвариантом эллиптического оператора 2. Ввиду
(2),	(S*-),	что	уже	устанавливает	связь	с	АГ-теорией.
Перейдем теперь к формулировке «проблемы индекса». Опера¬
тор 2) (4) дает отображение A(X)mi->A(X)mi, где А (^Г) —
кольцо дифференцируемых функций на X. Ядро этого отображе¬
ния обозначается Кег 2 с А (Х)т\ образ — Im (2) с А (Х)т’.
В теории эллиптических операторов доказывается, что прост¬
ранства Кег 2 и А (Х)т/1т2 (называемое коядром и обозна¬
чаемое Coker 2) конечномерны. Иными словами, пространство
решений уравнения 2f = 0, /бЛ (Х)т, конечномерно и число
условий (на g) для разрешимости уравнения 2f=g, /бЛ (Х)т,
конечно. Разность этих размерностей
Ind 2 = dim Кег 2 — dim Coker 2	(6)
называется индексом эллиптического оператора 2.
Теорема об индексе утвернадает, что индекс эллипти¬
ческого оператора 2 зависит только от его символа, и дает
явную формулу, выражающую Ind 2 через а^. Немного более
точно можно сказать, что на пространстве GL существуют не¬
которые специальные, ни от чего не зависящие классы когомо¬
логий. Отображение дает возможность перенести их на
многообразие Sx. С другой стороны, на Sx также существуют
некоторые специальные классы когомологий, уже вообще не за¬
висящие от оператора 2. Наконец, в кольце когомологий
Н* (Sx) существует стандартный многочлен от всех указанных
263

классов когомологий, дающий класс а^>6Н2п~х (Sx, Z) максималь¬
ной размерности 2п.— 1 = dim Sx. Из топологии известно, что
Я*1'1 (5а-, Z) = Z, поэтому класс а^> задается целым числом,
которое и оказывается равным Ind 2). Хотя мы говорили лишь об'
операторах в тривиальном расслоении, теорема об индексе имеет
место для эллиптических операторов в произвольном расслоении.
Уже сам качественный факт зависимости индекса лишь от
символа оператора 2) (а не от его более тонких аналитических
свойств) показывает «грубость» разности (6), аналогичную
«грубости» эйлеровой характеристики (17) § 21, Эта аналогия
не случайна. Теорема об индексе дает — в применении к комп¬
лексно аналитическим многообразиям и некоторым очень про¬
стым действующим на них операторам — теорему Римана—Ро-
ха, о которой говорилось в п. В § 21.
Б. Алгебраическая /(-теория. Мы отметили в § 5 аналогию
между семействами векторных пространств f : Е->Х и модулями
над кольцом А. В частности, семейство Е-+Х, как мы видели,
определяет модуль над кольцом С(Х) непрерывных функций
на X. Какие модули соответствуют в этой аналогии векторным
расслоениям? Многие соображения указывают на то, что это —
проективные модули конечного ранга (ср. п. Б, § 21). Прежде
всего, на это указывает следующий результат.
I.	Пусть X — компактное топологическое пространство и
Е-+Х — семейство векторнхы пространств. Модуль М над коль¬
цом С(Х), соответствующий этому семейству, будет проектив¬
ным тогда и только тогда, когда £ — векторное расслоение. Со¬
поставление Е+-+М определяет взаимно однозначное соответ¬
ствие между векторными расслоениями над X и конечно
порожденными проективными модулями над кольцом С(Х).^
Можно указать и некоторые алгебраические свойства конеч¬
но порожденных проективных модулей, являющиеся аналогом
локальной тривиальности.
Таким образом, оправдано введение (по аналогии с
п. А) полугруппы П(А), элементами которой служат классы
конечно порожденных проективных модулей над кольцом А, а
операцией — прямая сумма модулей. В точности повторяя рас¬
суждения из раздела А, мы можем построить теперь группу
К(А) и отображение <р : П (А)->/( (А), при котором множество
ф(П(А)) порождает /((А) и для двух проективных модулей Р,
Q6n(A) их образы ф(Р) и cp(Q) совпадают тогда и только тог¬
да, когда существует третий модуль #611 (А), для которого
Для любого простого идеала /сА кольцо А// вкладывается
в поле k и, значит, существует гомоморфизм А k с ядром /.
Таким образом, k является A-модулем и определена операция
M®Ak. Если М конечно порожден, то	конечномерное
векторное пространство над k. Можно доказать, что для целост¬
264

ного кольца А и проективного модуля М размерность этого
пространства не зависит от выбора идеала 7 и (при 7—0) равна
рангу гgM модуля М (ср. § 5). Функция rg М переносится
на К (А) и дает гомоморфизм AT (A)-*- Z, ядро которого обозна¬
чается через К (А). Легко видеть, что К {А) — К (A)®Z.
Рассмотрим группы К (Л) и К (Л) для некоторых простейших
колец.
II. Если A — k является полем, то П (й) состоит из конечно¬
мерных векторных пространств над k, гомоморфизм К (k) ->Z
определяется размерностью и, очевидно, является изоморфизмом,
так что К (k) = 0. ►
III. Если Л—целостное кольцо главных идеалов, то для лю¬
бого модуля М конечного типа, М = А!0@АГ, где М0—модуль
кручения. (Ср. II § 6). Если М проективен, то он является пря¬
мым слагаемым свободного и, значит, не имеет кручения. Поэтому
Мо = 0 и М^АГ, а это опять означает, что /С(Л) = 0. ►
Рассмотрим кольцо А чисел вида a-\-bY—5, a, b(*Z, (при¬
мер 8 § 4). Мы видели в § 4, что идеал Р = (3, 2+)/ — 5) —
неглавный. Нетрудно показать, что Ф (Я) — Ф (А)бАГ (Л) и Ф (Р)ф
=^Ф(А), так что К(А)Ф0.
IV. Для кольца целых алгебраических чисел А любого поля
алгебраических чисел (см. конец	§ 7) группа К (А) конечна	и	изо,
морфна группе классов идеалов	этого поля	(ср.	пример 1	§	12).
В частности, для кольца А,	состоящего	из	чисел вида	a-f-
+ bV-5, a, bez, \К (А)| = 2.	►
V. Если X — компактное топологическое пространство, то
группы К(С(Х)), определенные в этом пункте, изоморфны
группам К(Х), определенным в п. А.
Определение высших /(-функторов /(„(А)	происходит по
уже привычной схеме. Прежде всего, для идеала 7с:А также
определяется группа К(1) (прежнее определение не применимо,
так как мы рассматривали всегда кольца с единицей). Потом
конструируется точная последовательность
К(1)-+К(А)-+К(АЦ)	(7)
и, наконец, определяются группы Кп(А) для которых Ко—К
и которые продолжают (7) до бесконечной точной последователь¬
ности
... -э-АГ„+1 (A 11) -+Кп (7) -+Ка (А) -+Кп (Л/7)->7Г„_1 (7) -> ...
(в алгебраической /(-теории функторы Кп ковариантны, поэто¬
му индекс п пишется внизу). Мы не будем формулировать все
эти определения, а приведем лишь интерпретации некоторых из
возникающих таким образом групп.
Интерпретация групп К\{А) аналогична той, которую в то¬
18—9339
265

пологическом случае дает соотношение (2). Непрерывное ото¬
бражение <p:A-vGL(tt)—это обратимая матрица с коэффици¬
ентами, непрерывно зависящими от точки X, т. е. элемент
GL(n, С(Х)) (С (А) —кольцо непрерывных на X функций). Та¬
ким образом, естественной точкой отправления должны быть
группы GL(n, А) и, как и в разделе А, их бесконечный предел
при и—>оо, GL(A). Но теперь мы должны интерпретировать и
букву Н в формуле (2), т. е. вспомнить, что отображения <р : Х->
-*GL рассматриваются с точностью до гомотопин. Это значит, что
мы рассматриваем факторгруппу GL(A)/GL(A)o, где GL(.4)o—
связная компонента единицы в GL(A). Каков аналог этой под¬
группы в алгебраическом случае? Во многих вопросах в качест¬
ве преобразований, «очевидным образом деформируемых в еди¬
ничное», возникают матрицы вида
Е+аЕи,	(8)
где Ец — матрица с 1 на (i, /)-ом месте и нулями на остальных,
называемые элементарными. (Например, связность группы
SL(n, R) доказывается на основании того, что любой ее эле¬
мент разлагается в произведение элементарных матриц.) Под¬
группа, порожденная всеми элементарными матрицами в группе
GL(A), обозначается через Е(А). Неожиданный, хотя и вполне
элементарно доказываемый факт, заключается в том, что
Е(А) —это коммутант группы GL(A). (При доказательстве су¬
щественно то, что мы рассматриваем объединение всех групп
GL(n, А), п= 1, 2,... . Для индивидуальной группы это, вооб¬
ще говоря, не верно.) В частности, группа GL(A)JE(A) комму¬
тативна. Она и дает то, что нам нужно:
/C,(A)-GL(A)/E(A).
Переход к определителю задает гомоморфизм GL(A)/E(A)-*A*
и даже представление
К, (А) = A*©S#, (A), SKi (A)=SL (А)/Е (А)
(где, правда, безнадежно перепутались аддитивная и мультипли¬
кативная запись).
Из курса элементарной линейной алгебры известно, что для
поля k, SL(n, А)=Е(п, А): это, по существу, следует из мето¬
да Гаусса решения систем линейных уравнений. Поэтому
SKi(k)=Q. Если А — кольцо главных идеалов, то основная лем¬
ма, на которой основывается доказательство теоремы о стро¬
ении модулей конечного типа, дает тот же результат: SKi(A) =
=0. Группа Ki возникает (и впервые возникла) в топологии для
случая, когда A = Z[Gr]—групповое кольцо конечной коммута¬
тивной группы G. (G является фундаментальной группой неко¬
торого многообразия). В этом случае она часто нетривиальна.
Вообще говоря, гомоморфизм GL(A)-v/(i(A) является «универ¬
266

сальным определителем». В таком виде он может быть обобщен
и на случай некоммутативного кольца А.
Группу Кг мы опишем лишь в случае, когда A = k является
полем.	Она	может	быть задана образующими	{а,	Ь},	соответ¬
ствующими	любым	элементам a, b£k, афО,	Ьф0.	Определяю¬
щие соотношения имеют вид:
{аф, &} = {ах, Ь}{аъ Ь},	(9j)
{а, Ьф2} = {а,	Ь$,	(92)
{а, 1— а}=1 (аф0, аф\).	(93)
Особенно яркое применение имеет группа Кг(Щ к описанию
тел конечного ранга над полем k. (См. § 11 и пример 3 § 12 для
■определения встречающихся понятий.1)
Можно показать, что для произвольного поля k все элемен¬
ты группы Брауэра Br(fe) имеют конечный порядок:	если
dimhD — n2 (Ср. IV § 11), то элемент, соответствующий D в
группе Брауэра, в п-й степени равен 1. Это показывает, в част¬
ности, что обобщенные кватернионные алгебры (а, Ь), введен¬
ные в § 11, определяют элементы порядка 2 или 1 в группе
Br(k).
Мы опишем точно связь группы Кг(к) с группой Br(fe) лишь
для элементов второго порядка этих групп. В любой коммута¬
тивной группе С элементы, удовлетворяющие условию с2 = 1,
образуют, очевидно, подгруппу: мы будем обозначать ее С2.
Элементы, имеющие вид с2, сбС, тоже образуют подгруппу: ее
мы обозначим С2. Сопоставим теперь любой образующей {а, Ь},
где a, b£k, аф0, Ьф0, группы Кг(к) в ее задании (9) обоб¬
щенную кватернионную алгебру (а, Ь). Нетрудно проверить, что
в группе Брауэра соотношения (9) при этом сохранятся: про¬
верка (9i) и (92)—это простое упражнение на тензорное ум¬
ножение, доказательство (93) следует из того, что алгебра
(а, Ь) тогда и только тогда определяет единичный элемент в
Вг(&), когда уравнение ax2 + by2 = 1 разрешимо в k (см. (4)
§ 11), но а 12+(1—а) 12=1! Таким образом, мы имеем гомомор¬
физм <р2: ^2(fe))-vBr (fe). Как мы видели, ф2(/Сг(£))с:Вг (k)2,
а поэтому щ(Кг(к)2) = 1- В результате мы получаем гомомор¬
физм
<f:K2(k)lK2(k)2->Bi(k)2.	(10)
Основной результат заключается в том, что гомоморфизм
(10)	является изоморфизмом. Это очень сильное утверждение:
ввиду описания (9) группы K2(k) оно дает описание группы
Вг(&)2 через образующие и соотношения, причем для совершен¬
но произвольного поля k\ Аналогичное описание имеет место и
для группы Вг(&)„, состоящей из элементов сбВг(й), для кото¬
рых сп= 1. Так как в Br(fe) все элементы имеют конечный по¬
267

рядок, то Br(£) =l)Br (k)n, так что в результате получается
очень явное описание всей этой группы.
Все большую роль алгебраическая /(-теория играет в
арифметических вопросах. Мы приведем примеры, которые
лишь намекнут на одну линию таких приложений:	связь
/(-теории со значениями ^-функции. Классическая ^-функция Ри-
мана определяется рядом
оо
£(5) = 2i(Res>l)
л==1
и аналитически продолжается на всю плоскость комплексного1
переменного s. Она удовлетворяет тождеству Эйлера;
(П)
р
в котором произведение распространено на все простые числа
Определим для конечного поля F? из q элементов его ^-функцию
условием
Тогда тождество Эйлера (11) переписывается в виде
е(5)=ЩРр(х).	(12)
р
Оно хорошо вписывается в «функциональную точку зрения» на
кольца (см. § 4), согласно которой кольцо Z надо рассматри¬
вать как кольцо функций на множестве простых чисел р со зна¬
чениями в полях Fp. Это подсказывает определение ^-функции,
аналогичное (12), для широкого класса колец.
Вернемся теперь к /(-теории. В случае конечных полей F,
все группы Кп(F?),	1,	как можно доказать, конечны. Ин¬
формация об их порядках может быть записана в следующей
изящной форме:
Для случая кольца Z известные в настоящий момент факты
дают возможность предполагать какую-то связь между значе¬
нием дзета-функции Римана £(—т), где т>О— нечетное чис¬
ло (известно, что эти значения — рациональные числа, а
£(—т) = 0, если т>0 и четно), и отношениями |/(^m(Z) |/
/|/(2m+i (Z) | (известно, что в этом случае группы Kzmi^) и
Къп+1 (Z) конечны). Соотношение
I Кгт (Z) |

неверно уже в простейшем случае т = 1, так как | /С2 (Z) | =2,.
|/C3(Z)| = 48, но £( — 1)=— Однако не исключено, что оно-
выполняется с точностью до степеней двойки. Во всяком случае,
доказано, что знаменатель числа £( — т) делит | K^m+i (Z) |.
С другой стороны, если простое число рут, то | Kim (Z) | делит¬
ся на не меньшую степень р, чем числитель £(—т) (при одном
дополнительном условии на р, которое гипотетически выпол¬
няется всегда и проверено для р< 125ООО). Напомним, что зна¬
чения дзета-функции в целых точках нам уже встречались в
связи с когомологиями арифметических групп (пример 5 § 21).
Это совпадение не случайно — здесь действительно имеется,
связь с группами /(„(Z).
Связи /(-теории с теорией чисел многообразны, но не могут
быть здесь описаны с большей подробностью, так как это по¬
требовало бы привлечения сложных технических средств.
КОММЕНТАРИИ К ЛИТЕРАТУРЕ
Вся работа основана на переплетении двух тем: систематического изло¬
жения алгебраических понятий н теорий и разбора ключевых примеров. Мы
опишем отдельно литературу по каждой из этих двух тем. Мне кажется, что,
как правило, первое издание книги бывает свежее и интереснее последую¬
щих, хотя бы они и были технически в чем-то совершеннее. Поэтому даль¬
ше ссылки будут всегда делаться на первые издания из числа доступных
автору.
Основные понятия алгебры: группы, кольца, модуля, поля, и основные
связанные с этими понятиями теории, включая теорию полупростых моду¬
лей и колец и теорию Галуа, изложены в классическом двухтомном учеб¬
нике Ван дер Вардена [106]. Хотя со времени выхода в свет этой замеча¬
тельной книги прошло уже более полувека, она нисколько не устарела, для
большинства излагаемых в ней вопросов и сейчас не существует лучшего-
изложения.
Процесс выделения основных алгебраических понятий, перестройка ал¬
гебры в духе аксиоматизированного изложения занили более столетия.
В этом процессе участвовали Гаусс, Галуа, Жордан, Клейн, Кронекер, Деде-
кинд, Гильберт. Но фиксирование результатов векового процесса в форме
стандартного языка алгебры занило едва ли более одного десятилетия —
20-е годы нашего века. Особенно велика в этом была роль Э. Нётер. Тогда
же появилась и книга Ван дер Вардена. Чтобы почувствовать, как изменил¬
ся весь дух алгебры и особенно манера ее изложения, полезно сравнить
книгу Ван дер Вардена с курсом Вебера [107], по которому учились алгеб¬
ре предшествующие поколения.
Из более поздней литературы необходимо отметить посвященные алгеб¬
ре книги из серии «Элементов математики» Бурбакн [34] и [35]. Эти
книги могут создать впечатление, что они могли бы служить учебниками
для начинающего, так как изложение в них практически полностью замкну¬
то и начинаются они с простейших определений. Такое впечатление было бы,
269

рядок, то Вг(А) =UBr(A)„, так что в результате получается
очень явное описание всей этой группы.
Все большую роль алгебраическая /(-теория играет в
арифметических вопросах. Мы приведем примеры, которые
лишь намекнут на одну линию таких приложений:	связь
/(-теории со значениями ^-функции. Классическая ^-функция Ри-
мана определяется рядом
оо
S(*) = 2i( Res>l)
л==1
и аналитически продолжается на всю плоскость комплексного1
переменного s. Она удовлетворяет тождеству Эйлера:
£(*)=Пт^.	(П)
р
в котором произведение распространено на все простые числа
Определим для конечного поля F? из q элементов его ^-функцию
условием
Тогда тождество Эйлера (11) переписывается в виде
е(х)=ЩРр(х).	(12)
р
Оно хорошо	вписывается в «функциональную	точку	зрения» на
кольца	(см.	§	4),	согласно которой кольцо	Z	надо	рассматри¬
вать как кольцо функций на множестве простых чисел р со зна¬
чениями в полях Fp. Это подсказывает определение ^-функции,
аналогичное (12), для широкого класса колец.
Вернемся теперь к /(-теории. В случае конечных полей F,
все группы Кп(Fg), 1, как можно доказать, конечны. Ин¬
формация об их порядках может быть записана в следующей
изящной форме:
nsS$n-ic-,(—)|. ■>1-
Для случая кольца Z известные в настоящий момент факты
дают возможность предполагать какую-то связь между значе¬
нием дзета-функции Римана £(—т), где т>0 — нечетное чис¬
ло (известно, что эти значения — рациональные числа, а
£(—т)~0, если т>О и четно), и отношениями |/(2fn(Z)|/
/|/(2m+l(Z)| (ИЗВеСТНО, ЧТО В ЭТОМ СЛучае ГруППЫ /(2m(Z) и
Кы+i (Z) конечны). Соотношение
гй^я-1 £(-“)!• ю=1<2>'
268

неверно уже в простейшем случае /71 = 1, так как j (2) | =2».
|/C3(Z)| = 48, но £( — 1)=— j^! Однако не исключено, что оно-
выполняется с точностью до степеней двойки. Во всяком случае,
доказано, что знаменатель числа £( — т) делит | /C2m+i(Z)|~
С другой стороны, если простое число р>т, то | К2т (Z) | делит¬
ся на не меньшую степень р, чем числитель £(—т) (при одном
дополнительном условии на р, которое гипотетически выпол¬
няется всегда и проверено для р< 125ООО). Напомним, что зна¬
чения дзета-функции в целых точках нам уже встречались в
связи с когомологиями арифметических групп (пример 5 § 21).
Это совпадение не случайно — здесь действительно имеется,
связь с группами /(„(Z).
Связи /(-теории с теорией чисел многообразны, но не могут
быть здесь описаны с большей подробностью, так как это по¬
требовало бы привлечения сложных технических средств.
КОММЕНТАРИИ К ЛИТЕРАТУРЕ
Вся работа основана на переплетении двух тем: систематического изло¬
жения алгебраических понятий и теорий и разбора ключевых примеров. Мы
опишем отдельно литературу по каждой из этих двух тем. Мне кажется, что,
как правило, первое издание книги бывает свежее и интереснее последую¬
щих, хотя бы они и были технически в чем-то совершеннее. Поэтому даль¬
ше ссылки будут всегда делаться на первые издания из числа доступных
автору.
Основные понятия алгебры: группы, кольца, модуля, поля, и основные
связанные с этими понятиями теории, включая теорию полупростых моду¬
лей и колец и теорию Галуа, изложены в классическом двухтомном учеб¬
нике Ван дер Вардена [106]. Хотя со времени выхода в свет этой замеча¬
тельной книги прошло уже более полувека, она нисколько не устарела, для
большинства излагаемых в ней вопросов и сейчас не существует лучшего
изложения.
Процесс выделения основных алгебраических понятий, перестройка ал¬
гебры в духе аксиоматизированного изложения заняли более столетия.
В этом процессе участвовали Гаусс, Галуа, Жордан, Клейн, Кронекер, Деде-
кинд, Гильберт. Но фиксирование результатов векового процесса в форме
стандартного языка алгебры заняло едва ли более одного десятилетня —
20-е годы нашего века. Особенно велика в этом была роль Э. Нётер. Тогда
же появилась н книга Ван дер Вардена. Чтобы почувствовать, как изменил¬
ся весь дух алгебры и особенно манера ее изложения, полезно сравнить
книгу Ван дер Вардена с курсом Вебера [107], по которому учились алгеб¬
ре предшествующие поколения.
Из более поздней литературы необходимо отметить посвященные алгеб¬
ре книги из серии «Элементов математики» Бурбаки [34] н [35]. Эти
книги могут создать впечатление, что они могли бы служить учебниками
для начинающего, так как изложение в них практически полностью замкну¬
то и начинаются они с простейших определений. Такое впечатление было бы,
269

однако, совершенно иллюзорным ввиду основного их принципа — рассматри¬
вать предмет в максимальной возможной общности, и полного отсутствия
материала, мотивирующего введение понятий и направления построения тео¬
рии. Однако специалист может найти в них множество ценных деталей.
Из более специальных книг укажем на курс коммутативной алгебры
Атьи—Макдональда [26], написанный с учетом интересов также и читателей:
неалгебраистов.
Специальные результаты о строении тел, приведенные в § 11, система¬
тически изложены в обзоре Дейринга [49] или в книге А. Вейля [108].
Приведенная литература покрывает, в основном, материал §§ 2—11 этой
книги. С § 12' мы переходим к теории групп. Для ее основ можно опять
рекомендовать книгу Ван дер Вардена и (для некоторого расширения точки
зрения) посвященные теории групп главы классической монографии
Г. Вейля [109]. Хотя примерами групп являются такие наглядные объекты,
как группы движений, наиболее стимулирующим для выработки общего
понятии группы и превращения теории групп в самостоятельную науку был
пример группы перестановок конечного множества — а именно, множества
корней уравнения. Идеи, идущие от Лагранжа и Абеля, воплотились в ра¬
ботах Галуа [6]. В них можно очень отчетливо увидеть, как возникало
понимание того, что вопросы теории полей связаны со свойствами группы
Галуа именно как абстрактной группы — хотя реализуется она как конкрет¬
ная группа подстановок. (Лагранж выразил эту идею словами—«подстанов¬
ки—метафизика уравнений»). Другим стимулом было систематическое
использование Гауссом классов вычетов и классов квадратичных форм н
определение операций над ними [60], создававшие чувство, что за этим
скрывается какое-то общее понятие.
Первым известным сочинением, посвященным теории групп, была книга
Жордана [81], богатая множеством примеров и идей, ие потерявших свою
ценность н до снх пор. В этой книге рассматриваются только конечные
группы преобразований. С деятельностью Клейна и Ли иа первый план
выдвигается рассмотрение бесконечных дискретных и непрерывных групп.
Здесь мы впервые имеем повод сослаться на изумительные «Лекции о раз¬
витии математики в XIX столетии» Клейна [83]. Тот период развития теории
групп, о котором сейчас идет речь, описан в них с точки зрения одного из
наиболее влиятельных его участников. Но и по поводу развития других
разделов алгебры (как и всей математики) в ней можно найти много очень
интересного.
Первая книга, посвященная абстрактной теории групп, рассматривала
лишь конечные группы — это книга Бернсайда [39]. Долгое время следую¬
щие изложения лишь улучшали ее. Наибольшего совершенства удалось
достичь Шпейзеру [101]. Современный курс теории конечных групп—трех¬
томник Хупперта [79]. Точка зрения бесконечных групп выдвигается на
первый план в книге А. Г. Куроша [14]. Интересный исторический обзор
теории задания групп образующими и соотношениями содержится в [41].
С логическими проблемами, которые при этом возникают, можно познако¬
миться, например, по курсу Ю. И. Манина [88].
Первой книгой по теории групп Ли является трехтомное сочинение
Ли—Энгеля [87] — с ним интересно познакомиться как со свидетельством
рождения нового раздела науки. Более современное изложение основных
понятий можно найтн в книге Л. С. Понтрягина [17], а еще более совре¬
менное (это значит, по возможности без использования систем коорди¬
нат) — в книге Шевалле [42]. Изящное изложение содержится также в кнц,-
ге Хохшильда [76].
По поводу алгебраических групп можно указать на обзор Шевалле
[45] и книги [31], [78] и [102]. Перечисление простых групп Ли можно
найти: для компактных групп в [10] и [17], для комплексных—в [98],
для вещественных групп Ли — в [62]. Классификация простых алгебраиче¬
ских групп содержится в семинаре Шевалле [44] и книгах [78] и [102].
По поводу простых конечных групп укажем иа обзор [105] и книгу Горен-
270

•стейна [64] (однако эта книга не содержит вывода классификации —
единого ее изложения до сих пор не существует).
Основы теории представлений конечных групп заложены Фробениусом —
с его работами можно познакомиться по его собранию сочинений [58]
и переведенным на русский язык работам в [21]. Более современное изло¬
жение можно найти в посвященных этому параграфах монографии Г. Вейля
[109] и в начальных параграфах (1—8) книги Серра [99]. По поводу
представлений компактных групп см. также книги Г. Вейля [109], Л. С. Пон-
трягнна [17], Шевалле [42] и Д. П. Желобенко [10]. Широким обзором по
теории представлений групп (Ли) является книга А. А. Кириллова [12].
Введением в более современные вопросы может служить цикл докладов,
изданный под редакцией Атьи [27].
Классическим исследованием по теории представлений является книга
Г. Вейля [111]. Она сильно повлияла на дальнейшее развитие всей области.
В ней содержится, в частности, концепция «координатизации» и идеи о свя¬
зях понятий симметрии и представления, использованные в нашей работе.
Теория Ли содержится практически во всех руководствах по группам
Ли, на которые мы ссылались. Различные этапы ее оформления можно уви¬
деть в [87], [17], [42], [76].
По поводу алгебр Кэли (октав) укажем обзор Фрейденталя [57]. Об их
геометрических приложениях см. обзор [86].
Доказательство основной теоремы об алгебрах с делением (неассоци^-
тивных) над полем вещественных чисел содержится в работе [25].
Понятия категории и функтора были сформулированы в работах Эйлен-
берга и Маклейна [54] и [55], где подробно аргументировано их значе¬
ние как нового языка для аксиоматизации математики. Систематического
изложение основных понятий теории категорий можно найти в гл. II книги
Хилтона н Штамбаха [73]. Некоторые ее аспекты рассмотрены в первых
.параграфах статьи Гротендика [63]. Подробное обсуждение понятия группы
в категории содержится в его книге [65].
Систематическое изложение основ гомологической алгебры содержит
книга [73]. Классическим сочинением в этой области является книга А. Карта-
на и Эйленберга [40], ио она написана более абстрактно. Теория гомологий
трупп в духе, близком нашей статье, содержится в книге Брауна [38].
Общие понятия теории гомологий пучков изложены в [104]. Классическим
руководством, посвященным, в основном, приложениям к теореме Римана—■
Роха, является книга Хирцебруха [74].
Та часть К-теории, которая изложена в нашей статье, в основном
покрывается двумя обзорами: по топологической К-теории—Атьи [25], по
-алгебраической — Милнора [91]. По поводу вопросов алгебраической
/(-теории, изложенных в конце § 22, можно указать обзор А. А. Суслииа
[18], написанный, однако, меиее популярно.
Наконец, в связи с тем, что мы во многих случаях использовали тополо¬
гические понятия н результаты (особенно в параграфах, посвященных тео¬
рии категорий и гомологической алгебре), укажем некоторую топологическую
литературу. Близко к нашей статье (ср. со сформулированной и § 20 точкой
зрения), написаны руководства Дольда [52] и Свитцера [103]. Но там, где
больше играет роль геометрическая наглядность, например, в связи с то¬
пологией поверхностей, незаменимой остается старая книга Зейферта и
Трельфалля [97]. С теорией дифференцируемых многообразий и интегри¬
рованием дифференциальных форм на них можно познакомиться по книгам
Шевалле [42] и де Рама [96].
Теперь перейдем к литературе, связанной с разбором отдельных приме¬
ров. Пожалуй, наиболее богато иллюстрированная примерами тема,
всплывающая в работе, — это «двойственность» функциональной и алгебраи¬
ческой точки зрения, интуиция элементов кольца как «функций» на множест¬
ве его идеалов (максимальных или простых), аналогия числа и функции.
Это — очень старый комплекс идей. Собственно, уже аналитическое продол¬
жение из вещественной в комплексную область ставит вопрос о каком-то
«естественном» множестве, на котором должно функцию рассматривать.
271

Большим шагом вперед в этом направлении было создание понятия рима¬
новой поверхности. В работе [48] Дедекннд и Вебер определяют рнманову
поверхность поля алгебраических функций одной переменной (поля К (С) в
наших обозначениях, где С—алгебраическая кривая) чисто алгебраически,
как множество «гомоморфизмов» поля К(С) в К (причем к К присоеди¬
няется символ оо). В статье Кронекера [85], опубликованной в том же номе¬
ре журнала, развертывается программа построения теории, объединяющей
алгебраические числа и алгебраические функции от любого числа перемен¬
ных. Обсуждение идеи параллелизма число—функция можно найти в
«Лекциях» Клейна [83]. На идеях работы Дедекинда и Вебера построено
изложение теории алгебраических функций одной переменной в книге [43].
В связи с вопросами топологии и логики была доказана представимость
булевых алгебр как колец непрерывных функций со значениями в поле F2
на топологическом пространстве определенного типа (см. об этом [30]).
О применении тех же идей к кольцам непрерывных вещественно- или ком¬
плекснозначных функций можно познакомиться по книге [7]. О кольцах
бесконечно дифференцируемых функций см. [37], аналитических — [77].
Наконец, концепция, охватывающая как теорию чисел, так и алгебраиче¬
скую геометрию, и дающая возможность применить геометрическую интуицию
к теоретико-числовым вопросам, была разработана Гротенднком. Об этом
см. его обзорный доклад [64], лекции Ю. И. Манина [16] и посвященную,
этому вопросу главу 5 в книге [22]. Сюда относится и перенесение в теоре¬
тико-числовую область инфинитезимальных методов, в частности — построе¬
ние р-адических чисел. В качестве элементарного введения (также и в тео¬
рию колец целых алгебраических чисел) см. книгу [4], более глубокую тео¬
рию— в [108].
Другая «сквозная» тема—это «координатизацня» в узком смысле, вве¬
дение координат на плоскости и в проективных пространствах. Об этом
(в частности, о роли аксиом Дезарга и Паппа) см. книгу Гильберта [71], а
в более алгебраическом аспекте — книги [24] и [28]. Непрерывным геомет¬
риям посвящена книга Неймана [93].
Конечные поля, которые часто нам встречались, открыл Галуа. В его-
сочинениях [6] содержится уже полная их теория. Их приложения (особен¬
но приложения алгебраической геометрии над конечными полями) к теории
кодов изложены в обзорах [8] и [5].
Алгебраические методы в теории коммутирующих дифференциальных,
операторов начались с результата, изложенного в § 5.5 кинги [80]. Эта
результаты были позабыты н несколько десятилетий спустя вновь переоткры-
ты. Современный обзор см. в [92].
По поводу ультрапроизведений см. [68].
Тензорные произведения, внешние н симметрические степени модулей
определены в [13] н [34]. Свойства пополнений изложены в [26].
Большое число примеров связано с алгебрами Клиффорда. Они были
введены Клиффордом в прошлом веке (см. его собрание сочинений [46]) и
переоткрыты (в частном случае) Дираком в этом веке [51], в связи с же¬
ланием представить линейный дифференциальный оператор второго порядка
в качестве квадрата оператора первого порядка с матричными коэффициен¬
тами. Подробное современное изложение можно найти в [35].
Переходим к примерам, связанным с понятием группы. Обсуждению
понятия симметрии посвящена изящная книжка Г. Вейля [112]. По поводу
связи симметрий н законов сохранения в механике (твеорема Э. Нётер)
см. [47] или [2]. Симметрии физических законов обсуждаются в интересной
книжке Фейнмана [56].
Из числа примеров групп, реализующихся не как группы преобразова¬
ний, группы Ext (А, В) рассматриваются в любом из цитированных курсов;
гомологической алгебры, группа Брауэра — в [49], а группа классов идеа¬
лов — в [26].
Платоновские тела и их снязь с конечными группами движений подроб¬
но рассмотрены в книге Адамара [66]. Конечные подгруппы группы дробно¬
272

линейных преобразований комплексной плоскости — в другой его книге [I].
Симметрии решеток разбираются в книге [84].
Детальный анализ конечных групп, порожденных отражениями, содер¬
жится в книге Бурбаки [36]. Поразительно, что те схемы, приведенные в
§ 13, при помощи которых эти группы классифицируются, встречаются в
ряде других классификационных задач. (Самая важная из них — классифи¬
кация простых компактных или комплексных групп Ли). Обзору этих свя¬
зей посвящена статья [70].
Геометрической кристаллографии посвящена книга Б. Н. Делоне с соав¬
торами [9]. Более современное изложение содержится в [84], где рассматри¬
ваются также группы орнаментов и n-мерная кристаллография. Этому во¬
просу посвящена также глава в книге Гильберта [72]. Полный список орна¬
ментов, характеризующих все 17 групп, можно найти в обзоре
А. И. Мальцева [15].
Все кристаллографические группы были перечислены Е. С. Федоровым
(1889) и Шёнфлисом (1890) (независимо друг от друга). На следующий
год Е. С. Федоров перечислил все группы орнаментов [19], что указывает
на очень нетривиальное, для кристаллографа, понимание геометрического
характера проблемы. Поразительно, что такой широкий математик, как
Г. Вейль, пишет: «... математическое понятие группы преобразований не
было создано до XIX века, а только на его основе можно доказать, что
17 типов симметрий, неявно известных египетским ремесленникам, исчерпы¬
вают все возможности. Странным образом, доказательство было проведено
только в 1924 г. Георгом Полна, сейчас преподающем в Стенфорде»,
[112]. Еще более странно, что приведенная выше цитата из Г. Вейля недав¬
но стала предметом дискуссии в нескольких номерах издающегося для ма¬
тематиков журнала [89]. Однако предметом обсуждения было утверждение,
что египетские ремесленники знали все 17 симметрий, и никто из участников
не обратил внимание на неверное утверждение о том, кто же решил мате¬
матическую задачу их перечисления.
По поводу дискретных групп движений плоскости Лобачевского и их
связи с теорией римановых поверхностей см. книгу Адамара [1]. В связи
с фундаментальной группой, накрывающим пространством и группой узла
сошлемся на старомодную, но геометричную книгу [97].
По поводу связи между алгоритмическими проблемами теории групп
и топологии см. [20].
Группы кос (без этого названия) были впервые рассмотрены Гурвицем
и в геометрической форме (как они теперь обычно определяются), и в ка¬
честве фундаментальных групп — а потом переоткрывалцсь, много позже,
отдельно в каждой из этих их реализаций. Об этом см. [41].
По поводу роли торов в теореме Лиувилля см. книгу В. И. Арнольда
[2]. Классические компактные группы тщательно разобраны в [42].
Примеры других групп Ли и важных связей между ними в специальных
размерностях см. в [13].
По поводу алгебраических групп и их связей с дискретными группами
см. обзор А. Бореля [32].
Теория Гельмгольца—Ли, приведенная в качестве примера в § 17 в
связи с теорией представлений, составляет содержание красивой, хотя не¬
сколько трудной для чтения, книги Г. Вейля [110].
По поводу примеров, связанных с представлениями группы 0(4) и с
тензором кривизны четырехмерного риманова многообразия, см. [29].
Представления группы SU(2) и их связь с квантовой механикой
разобраны в книге Г. Вейля [109].
О примерах, приведенных как применения теории групп: Теория Галуа
изложена в [106]. Кратким введением в дифференциальную теорию Галуа
является книга Капланского [82]. Пример групп, возникающих в теории
Галуа расширений поля р-адических чисел (так называемые группы Де-
мушкина) и загадочно параллельных фундаментальным группам поверхно¬
стей, разбирается в книге [23]. По поводу применений к теории инвариан¬
тов см. книгу [50].

В связи с применениями представлений групп к классификации элемен¬
тарных частиц автор может лишь привести ту литературу, по которой он
с этой теорией познакомился. В основном, это лекции Н. Н. Боголюбова
[3]. Интересным введением является обзор Дайсона [53]. Полезно допол¬
нение III в книге Д. И. Желобенко [10].
По поводу интерпретации уравнений движения твердого тела в терми¬
нах алгебр и групп Ли и обобщений этих связей см. книги [2] и [20] I
Наиболее полный обзор по теории формальных групп—книга [69].
Более подробное рассмотрение топологических конструкций, . которые
приводятся в качестве примеров в связи с теорией категорий, можно найти
в книгах [52] и [103].
О группах гомологий и когомологий комплекса см. в [73]. Когомологии
де Рама и доказательство теоремы де Рама содержится в [96], однако,
проще всего теорема де Рама доказывается при помощи теории пучков [74].
Основной пример на когомологии пучков — это теорема Римана—Роха.
Ей посвящена книга [74].
Основной пример на топологическую К-теорию —теорема об индексе;
Прекрасным введением может служить обзор [,75]. Полное изложение до¬
казательства можно найти в [94].
В алгебраической К-теории теорема о связи группы Кг и группы Брауэ¬
ра поля принадлежит А. С. Меркурьеву и А. А. Суслнну см. [18]. Резуль¬
таты о вычислении порядков групп Кп для конечных полей принадлежат
Квиллену [95]. По поводу гипотез и результатов о порядках групп Кп
для кольца целых чисел см. работу Суде [100].
Для того чтобы представить себе историю развития алгебры в ее взаи¬
модействии со всей математикой, неоценимым источником являются «Лекции»-
Клейна [83]. Много интересных замечаний можно найти в исторических
примечаниях к книгам Бурбаки. Интересное исследование, хотя и посвя¬
щенное истории специального вопроса, — книга Чандлера и Магнуса [41].
ЛИТЕРАТУРА
1. Адамар Ж., Неевклидова геометрия в теории автоморфных функций.
М. —Л.: ГИТТЛ, 1951, 133 с.
2. Арнольд В. И., Математические методы классической механики. М.:
Наука, 1974, 431 с.
3. Боголюбов Н. Н., Теория симметрии элементарных частиц. В кн! «Физи¬
ка высоких энергий и теория элементарных частиц». Киев:	Наукова
думка, 1967, 5—112
4. Боревич 3. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел. М.: Наука, 1964, 566 с.
5. Влэдуц С. Г., Мания Ю. И., Линейные коды и модулярные кривые.
В сб. «Современные проблемы математики. Новейшие достижения.
(Итоги науки н техники ВИНИТИ АН СССР)». М., 1984, 25, 209—256
6. Галуа Э., Сочинения. Серия «Классики естествознания». М. — Л.: Глав,
ред. общетехн. и технико-теор.' лит., 1936, 336 с.
7. Гельфанд И. М., Райков Д. А., Шилов Г. Е., Коммутативные нормиро¬
ванные кольца. М.: Фнзматгнз, 1960, 316 с.
8. Гоппа В. Д., Коды и информация. Успехи мат. наук, 1984, 39,	№	1,
77—120
9. Делоне Б., Падуров Н., Александров А., Математические основы струк¬
турного анализа кристаллов и определение основного параллелепипеда
повторяемости при помощи рентгеновских лучей. М. — Л.: ОНТИ,
ГТТИ, 1934, 328 с.
10. Желобенко Д. П., Компактные группы Ли и их представления. М-:
Наука, 1970, 664 с.
11. Жизнь растений, М.: «Просвещение», 1981, 5, № 1, 430 с.
274

12. Кириллов А. А., Элементы теории представлений: М.:	Наука,	4972»
336 с.
13. Кострикин А. И., Манин Ю. И., Линейная алгебра и геометрия. М.:
МГУ, 1980, 318 с.
14. Курош А. Г., Теория групп. М. — Л.: ГИТТЛ, 1944, 372 с.
15. Мальцев А. И., Группы и другие алгебраические системы. Математика»
ее содержание, методы н значение, т. 3. М.: АН СССР, 1956, 336 с.
16. Манин Ю. И., Лекции по алгебраической геометрии. Часть 1. Аффинные
схемы. М.: МГУ, 1970, 133 с.
17. Понтрягин Л. С., Непрерывные группы. М. — Л.: Ред. техн.-теор. лит.»
1938, 316 с.
18. Суслик А. А., Алгебраическая Х-теория и гомоморфизм норменного вы¬
чета. В сб. «Современные проблемы математики. Новейшие достижения»
(Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР)». М., 1984, 25, 115—208.
19. Федоров Е. С., Симметрия на плоскости. Записки императорского Санк-
Петербургского минералогического общества, 1891, 28 (2), 345—390
20. Фоменко А. Т., Дифференциальная геометрия н топология. Дополни¬
тельные главы. М.: МГУ, 1983, 216 с.
21. Фробениус Г., Теория характеров и представлений групп. (Сборник ра¬
бот.) Харьков: ГНТИ Украины, 1937, 214 с.
22. Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии. М.: Наука, 1972»
565 с.
23. Algebraic number theory. (ed Cassels I. W. S., Frohlich A.) London-
New York, Academic Press, 1967, 366 p. (Пер. на рус. яз.: Алгебраиче¬
ская теория чисел (Под ред. Касселса Дж., Фрёлиха А.) М.: Мир,.
1969, 484 с.)
24. Artin £., Geometric algebra. New York—London, Interscience Publ., 1957»
214 p. (Пер. на рус. яз.: Артин Э., Геометрическая алгебра. М.: Наука,,
1969 283 С)
25. Atiyah М. F„ Х-Theory. New York—Amsterdam, W. A. Benjamin, 1967»
166 p. (Пер. на рус. яз.: Атья М., Лекции по /(-теории. М.: Мир, 1967»
260 с.)
26. —, Macdonald I. G., Introduction to commutative algebra. Reading, Mass»
Addison-Wesley, 1969, 128 p. (Пер. на рус. яз.: Атья М., Макдональд И.,.
Введение в коммутативную алгебру. М.: Мир, 1972, 160 с.)
27. —, et al„ Representation theory of Lie groups. London Math. Soc. LecL
Note Series 34, Cambridge-New York, Cambridge Univ. Press, 341 p.
28. Baer R., Linear algebra and projective geometry. New York, Academic
Press, 1952, 318 p. (Пер. на рус. яз.: Бэр Р., Линейная алгебра н проек¬
тивная геометрия. М.: ИЛ, 1955, 399 с.)
29. Besse A. (ed.), Geometrie Riemannienne еп dimension 4. Seminaire Arthur
Besse 1978/1979. Paris, Edit. CEDIC, 1981, 383 p.
30. Birkhoff G., Lattice theory. New York, Amer, Math. Soc. Coll. Publ.»
1940, 155 p. (Пер. на рус. яз. (3-го издания): Биркгоф Г., Теория реше¬
ток. М.: Наука, 1984, 568 с.)
31. Borel A., Linear algebraic grooups. New York—Amsterdam, Benjamin, 1969,
398 p. (Пер. на рус. яз.: Борель А., Линейные алгебраические группы.
М.: Мир, 1972, 267 с.)
32. —, Arithmetic properties of linear algebraic groups. Proc. Intern. Congress.
Math. Stockholm, 1962, 10—22
33. —, Serr I.-P., Le theoreme de Riemann—Roch. Bull. Soc. Math. France.
1958, 86, № 2, 97—136 (Пер. на рус. яз.: Борель А., Серр Ж--П., Теоре¬
ма Римана—Роха. Математика. Период, сб. перев. ин. статей, 1961, 5»
№ 5, 17—54)
34. Bourbaki N.. Elements de Mathematique. Algebre. Chap. 1—3. Paris, Her¬
mann, 1970, 625 p. (Пер. на рус. яз. (предыд. издания): Бурбаки Н.,
Алгебра. Гл. 1—3, М., Физматгиз, 1962, 516 с.)
35. —, Elements de Mathematique. Algebre. Chap. 9. Paris, Hermann, 1959»
258 p. (Пер. на рус. яз.: Бурбаки Н., Алгебра. Гл. 7—9. М.: Наука»
1966, 555 с.)
275.

■36. —, Elements de Mathematique. Groups et algebres di Lie. Chap. 4—6.
Paris, Hermann, 1968, 288 p. (Пер. на рус. яз.: Бурбаки Н., Группы и
алгебры Ли. Гл. 4—6. М.: Мир, 1972, 334 с:) '
37. Brocker Th., Lander L., Differentiable germs and catastrophes. Cambrid¬
ge, Univ. Press, 1975 (Пер. на рус. яз.: Брёкер Т., Ландер Л., Диффе¬
ренцируемые ростки и катастрофы. М.: Мир, 1977, 208 с.)
38. Brown К. S., Cohomology of groups. New York—Heidelberg, Springer,
1982, 306 p.
39. Burnside W., Theory of groups of finite order. Cambridge, Univ. Press,
1897, 512 p.
40. Cartan H., Eilenberg S., Homological algebra. Princeton, New Jersey,
Princeton Univ. Press, 1956, 390 p. (Пер. на рус. яз.: Картон А., Эйлен-
берг С., Гомологическая алгебра. М.: ИЛ, 1960, 510 с.)
41. Chandler В., Magnus W„ The history of combinatorical group theory.
Heidelberg e. a., Springer, 1982, 234 p.
42. Chevalley C., Theory of Lie groups. Princeton, New Jersey, Princeton
Univ. Press, 1946 (Пер. на рус. яз.: Шевалле К, Теория групп Ли. т. I.
М.: ИЛ, 1948, 315 с.)
43. —, Introduction to theory of algebraic functions of one variable. New
Jersey, Waverly Press, 1951, 188 p. (Пер. на рус. яз.: Шевалле К., Вве¬
дение в теорию алгебраических функций от одной переменной. М.:
Физматгиз, 1959, 334 с.)
44. —, Seminair С. Chevalley. Classification des groupes de Lie algebriques.
I, II. Paris, Hermann, 1958, 277 p.
45. —, La theorie des groupes algebriques. Proceed. Intern. Congress Ma-
them. Edinburh, 1958. Cambridge, Univ. Press, 1960, 53—68 (Пер. на рус.
яз.: Международный математический конгресс. Эдинбург. 1958 г. М.:
Физматгнз, 1962, 276 с.)
46. Clifford W. К-, Mathematical papers. London, Macmillan, 1882, 658 p.
47. Courant R„ Hilbert D., Methoden der Mathematischen Physic. Bd I. Ber¬
lin, Springer, 1931, 469 S. (Пер. на рус. яз.: Курант Р., Гильберт Д.,
Методы математической физики. М. — Л.: ГТТИ, 1933, 525 с.)
48. Dedekind R„ Weber Н., Theorie der algebraishen Funktionen einer Ve-
randerlichen. J. de Crelle, 1882, 92, 181—290
49. Deuring М., Algebren. Berlin, Springer, 1937, 143 p.
50. Dieudonne J., Carrol J., Invariant theory, old and new. New York—Lon¬
don, Academic Press, 1971, 85 p. (Пер.	на рус.	яз.: Дьёдонне	Ж.,	Кер-
рол Дж., Мамфорд Д., Геометрическая	теория	инвариантов.	М.:	Мнр,
1974, 278 с.)
51. Dirac Р. А. М., The principles of quantum mechanics. Oxford, Clarendon
Press, 1930 (Пер. на рус. яз.: Дирак П. А. М., Основы квантовой меха¬
ники. М. —Л.: ГТТИ, 1932, 323 с.)
52. Dold A., Lectures on algebraic topology. Berlin e. a., Springer, 1980,
377 p. (Пер. на рус. яз.: Дольд А., Лекции по	алгебраической тополо¬
гии. М.: Мир, 1976, 463 с.)
53. Dyson F., Mathematics in physical sciences. Scientific American, 1964,
211, № 3, 128—146 (Пер. на рус. яз.: Дайсон Ф., Математика и физика.
Успехи физ. наук, 1965, 85, № 2, 351—364)
54. Eilenberg S., McLane S., Natural isomorphisms in group theory. Proc.
Nat. Acad. Sci. USA, 1942, 28, 537—543
55. —, —, General theory of natural equivalence. Trans. Amer. Math. Soc.,
1945, 58, 231—294
56. Feynemann R., The character of physical law. London, British broadcas¬
ting corp., 1965, 173 p. (Пер. на рус. яз.: Фейман Р., Характер физи¬
ческих законов. М.: Мир, 1968, 231 с.)
57. Freudenthal Н., Ociaven, Ausnahmegruppen und Octavengeometrien.
Math. Instit. Rijksuniversiteit Utreeht, 1951, 49 p. (Пер. на рус. яз.:
Фрейденталь Г., Октавы, особые группы и октавная геометрия. Матема¬
тика. Период, сб. перев. ин. статей, 1957, 1, № 1, 117—153
276

58. Frobenius G„ Gesammelte Abhandlungen. Bd. 1—3. Berlin e. a., Springer,
1968; 650, 733, 740S.
59. Galois E„ Oeuvres mathematiques d’Evarist Galois. Paris, Gauthier Vil-
lars, 1951; 64, 57 p.
60. Gauss К■ F-, Disquisitiones Arithmeticae. Werke. Bd. 1. Berlin, Springer,
1870, 474S. (Пер. на рус. яз.: Гаусс К. Ф-, Труды по теории чисел. Се¬
рия классики науки. М.; Изд. АН СССР, 1959, 978 с.)
61. Gorenstein D„ Finite simple groups. An introduction to their classifica¬
tion. New York, Plenum Publ. Corp., 1982, 333 p. (Пер. на рус. яз.: Го-
ренстейн Д., Конечные простые группы. Введение в их классификацию.
М.: Мир, 1985, 352 с.)
62. Goto М., Grosshans F. D„ Semisimple Lie algebras. Pure and Applied
Math., 38, New York-Basel, Marsel Dekker, 1978, 480 p. (Пер. на рус.
яз.: Гото М., Гроссханс Ф., Полупростые алгебры Ли. М.: Мир, 1981,
336 с.)
63. Grothendieck A., Sur quelque points d’algebre homologique. Tohoku Math.
J., 1957, 9, № 2, 119—183; № 3, 185—221 (Пер. иа рус. яз.: Гротен-
дик А., О некоторых вопросах гомологической алгебры. М.: ИЛ, 1961,
175 с.)
64. —, The cohomology theory of abstract algebraic varieties. Proc. Intern.
Congress Mathem. Edinburh, 1958, Cambridge, Univ. Press, 1960, 103—
118 (Пер. на рус. яз.: Международный математический конгресс. Эдин¬
бург. 1958 г. М.: Фнзматгиз, 1962, 116—137)
65. —, Diedonne J., Elements de geometri algebrique. III. Etude cohomologi-
que coherents (Ch. 0, § 8). Instit. Hautes Etudes Scientif., Public.
Mathem., 1961, № 11, 167 p.
66. Hadamard /., Lecons de geometrie elementaire. II. Geometrie dans
l’espace. Paris, Colin, 1908, 308 p. (Пер. на рус. яз.: Адамар Ж., Элемен¬
тарная геометрия, ч. 2. Стереометрия. М.: Учпедгиз, 1938, 640 с.)
67. Hamermesh М., Group theory and its applications to physical problems.
Reading, Mass., 1964. (Пер. на рус. яз.: Хамермеш М., Теория групп и
ее приложение к физическим проблемам. М.: Мир, 1966, 587 с.)
68. Handbook of mathematical logic, (ed Barwise J.) Amsterdam, 1977, (Пер.
на рус. яз.: Справочная книга по математической логике, ч. I. Теория
моделей. М.: Наука, 1982, 109—138)
69. Hazewinkel М., Formal groups and applications. New York, Academic
Press, 1978, 573 p.
70. —, Hasselink W., Siersma D„ Veldkamp F. D., The ubiquity of Coxe-
ter-Dynkin diagrams (an introduction to the A-D-E problem). Nieuw Arch.
Wisk., 1977, 25, № 3, 255—307
71. Hilbert D,, Grundlagen der Geometrie. Leipzig — Berlin, Teubner, 1930,
326S. (Пер. на рус. яз.: Гильберт Д., Основания геометрии. М. —Л.:
ГИТТИ, 1948, 491 с.)
72. —, Cohn-Vossen S., Anschauliche Geometrie. Berlin, Springer, 1932,
310S. (Пер. на рус. яз.: Гильберт Д., Кон Фоссен С., Наглядная гео¬
метрия. М. — Л.: Гл. ред. общетехн. лат и номогр., 1936, 302 с.)
73. Hilton P. J., Stammbach U., A course in homological algebra. New York
e. a., Springer, 1971, 338 p.
74. Hirzebruch F., Neue topologische Methoden in der algebraischen Geo¬
metrie. Berlin e. a.. Springer, 1956, 165 S. (Пер. на рус. яз. (с 3-го изда¬
ния): Хирцебрух Ф., Топологические методы в алгебраической геометрии.
М.: Мир, 1973, 280 с.)
75. —, Elliptische Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten. Arbeitgemein-
schaft fur Forschung des Landes Nordrheim-Westfalen, Natur-, Ingenieur-
und Gesellschaftswissenschaften, Heft 157; Cologne, Westdeutscher Ver-
lag, 1966, 33—60
76. Hochschild G., The structure of Lie groups. San Francisco e. a., Holden-
Day, 1965, 230 p.
77. Hoffman K-, Banach spaces of analytic functions. Englewood Cliffs, New
Jersey, Prentice—Hall, Inc., 1962, 217 p. (Пер. на рус. яз.: Гофман К,
19—9339
277

Банаховы пространства аналитических функций. М.: ИЛ, 1963, 311 с.)
78. Humphrey J. Е., Linear algebraic groups. New York e. a., Springer, 1975,
247 p. (Пер. на рус. яз.: Хамфри Дж., Лииейиые алгебраические
группы. М.: Наука, 1980, 400 с.)
79. Huppert В., Endliche Gruppen. Bd. I. 1979, 793S.; (with Blackburn N.)
Finite groups: II, III. 1982, 531, 454 p.; Berlin e. a., Springer
80. Ince E. L., Ordinary differential equations. London, Longmans, Green,
1927, 558 p. (Пер. на рус. яз.: Айне Э. Л., Обыкновенные дифференци¬
альные уравнения. Харьков, ГНТИ, 1939, 719 с.)
81. Jordan С., Traite des substitutions des equations algebriques. Paris, Gau-
thier-Villars, 1870, 667 p.
82. Kaplansky I., An introduction to differential algebra. Publ. Inst. Math.
Univ. Nancago, 1957, № 5_ 63 p. (Пер. на рус. яз.: Капланский М.,
Введение в дифференциальную алгебру. М.: ИЛ, 1959, 85 с.)
83. Klein F., Vorlesungen uber die Entwicklung der Mathematik im 19.
Jahrhundert. Bd. 1. Berlin, Springer, 1926, 386S. (Пер. на рус. яз.:
Клейн Ф„ Лекции о развитии математики в XIX столетии. М. — Л.:
ГОНТИ, 1937, 429 с.)
84. Klemm М., Symmetrien von Ornamenten und Kristallen. Berlin e. a..
Springer, 1982, 214 p.
85. Kronecker L., Grundziige einer arithmetischen Theorie der algebraischen
Grossen. J. de Crelle, 1882, 92, 1—122
86. Lawson H. B., Jr., Surfaces minimales et la construction de Calabi—
Penrose. Seminair N. Bourbaki, 1983—1984, Exp. 624.
87. Lie S., Engel F., Theorie der Transformationsgruppen. Bd. I—III. Leipzig,
Teubner, 1883—1893, 632, 554, 830 S.
88. Manin Ju. I., A course in mathematical logic. New. York e. a., Springer,
1977, 288 p.
89. The Mathematical Intelligencer, 1983, 4, № 5, 32—37; 1984, 6, № 4, 47—
53, 54—67
90. Michel L„ Symmetry defects and broken symmetry. Configurations,
Hidden symmetry. Rev. Modern Phys., 1980, 52, № 2, 617—652
91. Milnor J., Introduction to algebraic К-theory. Princeton, New Jersey,
Princeton Univ. Press, 1971, (Пер. на рус. яз.: Милнор Дж., Введение в
алгебраическую К-теорию. М.: Мир, 1974, 196 с.)
92. Mumford D„ An algebro-geometric construction of commuting operators
and of solutions to Toda lattice equation, Korteweg de Vries equations
and related non-linear equations, Proc. Intern. Symp. on algebraic geo¬
metry Kyoto, 1977, 115—153
93. Neumann J. von, Continious geometries. Princeton, New Jersey, Princeton
Univ. Press, 1960, 299 p.
94. Palais R. S., Seminar on the Atiyah-Singer index theorem. Ann. Math.
Study, № 57, Princeton, New Jersey, Princeton Univ. Press, 1965, 366 p.
(Пер. иа рус. яз.: Пале Р., Семинар по теореме Атья-Зингера	об	ин¬
дексе. М.: Мир, 1970, 359 с.)
95. Quillen D., On the cohomology and К-theory of the general linear groups
over a finite field. Ann. Math., 1972, 96, № 3, 552—586
96. Rham G. de, Varietes differentiables. Formes, courants, formes harmoni-
ques. Paris, Hermann, 1955, 196 p. (Пер. на рус. яз.: де Рам Ж., Диф¬
ференцируемые многообразия. М.: ИЛ, 1956, 250 с.)
97. Seifert Н., Threllfall W., Lerbuch der Topologie. Leipzig—Berlin, Teub¬
ner, 1934, 353 S. (Пер. иа рус. яз.: Зейферт Г., Трельфалль Т., Тополо¬
гия. М. —Л.: ГОНТИ 1938, 400 с.)
98. Seminair «Sophus Lie». Theorie des algebres de Lie. Topologie des groupes
de Lie. Paris, 1955, 200 p. (Пер. на	рус. яз.:	Семинар	«Софус	Ли».	Тео¬
рия алгебр Ли. Топология групп Ли.	М.: ИЛ,	1962, 305	с.)
99. Serre J.-P., Representations lineaires des groupes finis. Paris, Hermann,
1967, 182 p. (Пер. на рус. яз.: Серр Ж--П., Линейные представления ко¬
нечных групп. М.: Мир, 1970, 132 с.)
278

100. Soule К., A-theorie des anneaux d’antiers de corps de nombres et coho-
mologie etale. Invent. Math., 1979, 55, № 3, 251—295
101. Speiser A., Die Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung. Berlin*
Springer, 1937, 263 S.
102. Springer T. A., Linear algebraic groups. Boston e. a., Birkhauser, 1981,.
304 p.
103. Switzer R. М., Algebraic topology-homotopy and homology. Berlin e. a.,.
Springer, 1975, 526 p. (Пер. на рус. яз.: Свитцер Р. М., Алгебраическая?
топология—гомотопии и гомологии. М.: Наука, 1985, 608 с.)
104. Tennison В. R., Sheaf theory. London Math. Soc. Lect. Note Ser., 1975*
№ 20, 164 p.
105. Tits J., Groupes simples et geometries associees. Proc. Intern. Congress.
Mathem. Stockholm, 1962., Uppsala 1963, 197—221
106. van der Waerden.	Moderne Algebra. Bd. 1-2. Berlin, Springer,	1930-
1931 (Пер. на рус. яз. (2-го издания): Ван Дер Варден., Современная:
алгебра, т. 1, 2. М.: ГОНТИ, 1947, 339, 260 с.)
107. Weber Н., Lehrbuch der Algebra. Bd. 1-2. Braunschweig, Vieweg, 1898—
1899
108. Weil A., Basic number theory. Berlin e. a., Springer, 1967, 294 p. (Пер.
на рус. яз.: Вейль А., Основы теории чисел. М.: Мир, 1972, 408 с.)
109. Weyl Н., Gruppentheorie und Quantenmechanic. Leipzig, Hirzel, 1928*
360S.
110. —, Mathematiche	Analyse des Raumproblems. Berlin, Springer,	1923;.
117S.
111. —, The classical groups. Their invariants and representations. Princeton,.
New Jersey, Princeton Univ. Press, 1939, 302 p. (Пер. иа рус. яз.:
Вейль Г., Классические группы, их инварианты и представления. М.: ИЛ,.
1947, 408 с.)
112. —, Symmetry. Princeton, New Jersey, Princeton Univ. Press, 1952,	168 p*
(Пер. на рус. яз.:	Вейль Г., Симметрия. М.: Наука, 1968, 191 с.)
19*

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абель (Abel N.) 115, 270
Адамар (Hadamard J.) 272, 273
Арнольд В. И. 273
Атья (Atiyah М.) 270, 271
Бернсайд (Burnside W.) 102, 103,
270
Бианки (Bianchi L.) 194
Бибербах (Bieberbach L.) 144
Боголюбов Н. Н. 274
Бозе (Bose R. S.) 183
Борель A. (Borel А.) 273
Борель Э. (Borel Е.) 66
Браве (Bravais А.) 132
Браун (Brown К- S.) 271
Брауэр (Brauer R.) 108, 119, 242
Буль (Boole G.) 26, 27
Бурбаки (Bourbaki N.) 269, 273, 274
Ван дер Вардеи (Van der Waer-
den В. L.) 269, 270
Бебер (Weber H. F.) 269, 272
Веддербёрн (Wedderburn J. H. M.)
96, 104, 173
Вейерштрасс (Weierstrass K) 28,
191
Вейль A. (Weil A.) 270
Бейль Г. (Weyl H.) 194, 216, 270,
271, 273
Бессио (Vessiot E.) 203
Галилей (Galilei G.) 9—10, 114
Талуа (Galois E.) 117, 200, 203,
269, 270, 272
Гамильтон (Hamilton W.) 110, 196
Гаусс (Gauss C. F.) 51, 108, 269,
270
Гейзенберг (Heisenberg W.) 208
Гёльдер (Holder O.) 90, 174
Гельмгольц (Helmholtz H.) 190
Гильберт (Hilbert D.) 53, 93, 207,
269, 272
Гор дан (Gordan P. A.) 196
Горенстейн (Gorenstein D.) 270
Грнн (Green G.) 243
Гротендик (Grothendieck A.) 271,
272
Гурвиц (Hurwitz A.) 273
Дайсои (Dyson F. J.) 274
Дедекиид (Dedekind R.) 269, 272
Дезарг (Desargues G.) 99
Дейринг (Deuring M.) 270
Делоие Б. H. 273
Дёмушкнн С. П. 273
Дирак (Dirac P. A. M.) 83, 183, 272
Дирихле (Dirichlet P. G. L.) 185,
186
280
Дольд (Dold A.) 271
Евклид (Eukleides) 126, 178
Желобенко Д. П. 271
Жордаи (Jordan С.), 90, 93, 135,
138, 174, 269, 270
Зееман (Zeeman P.) 196
Зейферт (Seifert Н.) 271
Капланский (Kaplansky I.) 273
Картан A. (Cartan Н.) 271
Картан Э. (Cartan Е.) 221
Квиллен (Quillen D. G.) 274
Кёбе (Koebe Р.) 149
Кириллов А. А. 271
Клебш (Clebsch R. F. А.) 196
Клейн (Klein F.) 121, 269, 270,
272, 274
Клиффорд (Clifford W.) 84, 272
Коши (Cauchy А.) 67, 84
Кронекер (Kronecker L.) 269, 272
Курош А. Г. 270
Кэли (Cayley А.) 116, 121, 224
Лагранж (Lagrange J. L.) 28, 76,
112, 270
Лаплас (Laplace Р.) 84
Лежандр (Legendre А.) 70
Ли (Lie S.) 161, 190, 215—221, 270
Лиувилль (Liouville J.) 162
Лобачевский Н. И. 121
Лораи (Laurent Р. А.) 21
Лореиц (Lorentz Н.) 114
Магнус (Magnus W.) 274
Макдональд (MacDonald I. G.) 270
Маклейн (MacLane S.) 271
Мальцев А. И. 273
Манин Ю. И. 270, 272
Меркурьев А. С. 274
Милнор (Milnor J.) 271
Минковский (Minkowski Н.) 71
Неймаи (Neumann J. von.) 272
Нётер (Noether Е.), 52, 108, 112,
207, 269
Ньютон (Newton I.) 114
Островский (Ostrowski А.) 70
Папп (Pappos) 99
Пикар (Picard Е.) 203
Платон (Platon) 127, 178
Полна (Polya G.) 273
Понтрягин Л. С. 192, 270, 271
Пуанкаре (Poincare Н.) 121, 149

Пуассон (Poisson S. D.) 10, 212
Пюизо (Puiseux V.) 69
де Рам (Rham G. de) 242, 243, 271
Ремак (Remak R.) 173
Римаи (Riemann B.) 84, 191, 252,
258
Риччи (Ricci G.) 194
Pox (Roch E.) 258
Свитцер (Switzer R.) 271
Cepp (Serre J.-P.) 271
Стокс (Stokes G. G.) 243
Суле (Soule C.) 274
Суслин A. A. 271, 276
Тамагава (Tamagawa T.) 170
Тейлор (Taylor B.) 60
Тзен (Tsen C.) 104
Трельфалль (Threlfall W.) 271
Фано (Fano G.) 100
Фёдоров E. C. 273
Фейнмаи (Feynman R. P.) 272
Ферма (Fermat P.) 28
Ферми (Fermi E.) 183
Фредгольм (Fredholm E.) 46, 81
Фрейденталь (Freudenthal H.) 271
Фробеинус (Frobenius F.) 104, 271
Фурье (Fourier J.) 30, 199
Xacce (Hasse H.) 71, 106, 108
Хигман (Higman G.) 154
Хилтои (Hilton P. J.) 271
Хирцебрух (Hirzebruch F.) 271
Хохшильд (Hochschild G.) 270
Хупперт (Huppert B.) 270
Цори (Zorn M.) 50
Чандлер (Chandler B.) 274
Шевалле (Chevalley C.) 105, 270
271
Шёнфлис (Schonflies A.) 273
Шмидт О. Ю. 173
Шпейзер (Speiser А.) 270
Штамбах (Stammbach U.) 271
Шур (Schur I.) 9Q
Эйленберг (Eilenberg S.) 271
Эйлер (Euler L. 20, 28, 76, 159,
222, 257, 268
Эйнштейн (Einstein A.) 183
Энгель (Engel F.) 270
Эрмит (Hermite Ch.) 93
Якоби (Jacobi C.) 213

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелева (коммутативная) группа
115
Автоморфизм 113
— расширения 200
Автоморфная функция 149, 199
Аксиома Дезарга 99
— Фано 100
Аксиомы кольца 72
— коммутативного кольца 21
— поля 15
— проективного пространства 98
Алгебра 9, 73
— кватернионов 75
— Кэли (октав) 224
— Ли 213
— Ли группы Ли: i?(G) 217
— Ли: gl(га), gl(га, К), Л(га, К),
о (га, Я), и (га), зи(га), зри(га),
зр(2га, К) 213—215
— иад кольцом 73
— некоммутативных многочленов
79
— октав (Кэли) 224
Алгебраическая матричная группа
169
Алгебраически зависимые элемен¬
ты поля 55
— замкнутое поле 58
Алгебраический элемент поля 56
Альтернативное кольцо 224
Аитикварки 211
Арифметическая группа 152, 170
Арифметический род компактного
комплексного аналитического мно¬
гообразия 257
Ассоциативность 15
Баобаб 148
Бариоиы 208
Большой Монстр 180
Букет топологических пространств:
X\/Y 232
Булево кольцо 27
Векторное расслоение 259
Вещественная часть кватерниона:
Re(x) 76
Внешнее произведение элементов 47
Внешняя алгебра векторного про¬
странства: A(Z.) 82
    модуля 82
— степень модуля: А*М 47
Возрастающая цепь модулей 52
Вялая резольвента пучка 256
Вялый пучок 256
£2--гиперон 211
Главный идеал 32
Гомоморфизм групп 120
— коммутативных колец 29
— модулей 43
— пучков 253
— семейств векторных пространств
70, 259
Гомотопические группы: я*(А) 237
Гомотопический тип непрерывного
отображения 230
  топологического пространства
230
Гомотопные пути 155
Градуированное кольцо 54
Градуировка по модулю два 82
Граница 241
Граничный гомоморфизм 239
Группа 115
— автоморфизмов модуля Ап :
: GL (га, А) 266
 целочисленной тройничной
квадратичной формы 149
— аделей 170
— алгебраического типа 179
— Брауэра: Вг(А) 1191
— вращений трехмерного простран¬
ства: SO(3), 159, 160
— Галилея—Ньютона 114
— Галуа 201
— гомологий полиэдра: Нп(Х) 241
  с коэффициентами: Нп (X, А)
238, 242
 цепного комплекса: Н-а(К)
240
— движений 110, 168
— диэдра 127
—, заданная соотношениями 153
— икосаэдра 127
— классов идеалов кольца: С1(А),
117, 118
— когомологий группы: Hn(G, А)
249
 де Рама: Нплт(Х), 242
 коцепного комплекса: Нп(К)
240
 с коэффициентами: Нп(Х, А),
238, 242
  пучка: Нп(Х, !F) 256
— конечной длины 172
— кос 157
— куба 127
— Ли 161
 GL(ra), О(га), SО(га), PSО(га),
0(p,q), S0(р, q), SO+(p, q),
Spm(n), Spin(p, q), U(/i), SU(/i),
PSU(ra), SpU(n) 162—170
— Лоренца 114, 168
— орнамента 146
—, порожденная отражениями 138,
282

139
— правильного многогранника 127
— преобразований 101
— расширений модуля: ExtH(E, М)
118
— симметрий 110
  кристалла 111
 решетки (группа Браве) 131,
132, 133, 134
— тетраэдра 127
— узла 157
— характеров 184
— ExtB"(L, М) 118
— К(Л), К(А), Кп(А), SKi(A)
265—266
— Кп(Z) 268, 269
— К(Х), К(Х), Rn(X) 260-262	„
— Ki(.k) 267—268
Групповая алгебра 74
Групповой объект (группа) в кате¬
гории 235
Двойственный модуль: М* 47
Двусторонний идеал 80
Действие группы 120
  свободное 142
Делимость в кольце 27
Делитель единицы (обратимый эле¬
мент) 27
Диаграмма 226
Дивизор на римановой поверхности
254
Дискретная группа движений плоско¬
сти Лобачевского 148—151
 преобразований (разрывная)
142
Дискретная подгруппа группы Rn
143—148
Дифференциал (комплекса) 239
— дифференциальной формы: da
242
Дифференциальная группа Галуа 204
Дифференциальный автоморфизм 203
— оператор на векторном расслое¬
нии 262
  иа многообразии 65
Дифференцирование 62
Длина группы 173, 174
— кольца 90
— модуля 89
Додекаэдр 127
Дополнение нормального делителя
251
Дуальная категория: ‘S’* 232
Единичный морфизм категории 229
— элемент группы 115
    поля 15
Задание группы соотношениями 116
Закон четности 114
Знакопеременная группа: 9£п 125
Идеал алгебры Ли 215
— коммутативного кольца 31
—, порожденный системой элемен¬
тов 32, 33, 80
— простой 37
Изоморфизм алгебр Ли 214
— групп 115
— действий группы 120
— колец 29, 214
— модулей 42
— объектов категории 232
— полей 17
Изотопический спии 209
Икосаэдр 127
Инвариант группы 206
— тела 106, 108
Инвариантная дифференциальная
форма 161
— риманова метрика 161
Инвариантное векторное поле 161
Ииверсио-изоморфные кольца 78
Инволюция кольца 78
Индекс подгруппы 121
— эллиптического дифференциально¬
го оператора 263
Интеграл по группе 189
Интегрирование дифференциальной
формы 243
Интерпретация Кэли—Клейна плос¬
кости Лобачевского 121
— Пуанкаре плоскости Лобачевского
121
Исключительные простые группы Ли:
.Ее, EV, Es, Е4, G2 178
Канонический гомоморфизм 34, 43,
122
Категории SPet, JtodR, 3~op, Уоро,
Mot, moto 230—231
Категория 229
— формальных групп 231
Квазиалгебраически замкнутое поле
105
Кварки 211
Кватернионы: Н 75
Класс вычетов по модулю идеала 34
	 	 подмодуля	48
— смежности по подгруппе (левый,
правый) 121
— сопряженных элементов 121
Классические группы 164
Клиффордова алгебра: С(Е) 83
Ковариантный тензор 47
— функтор 233
Когомологии де Рама: Нппг(Х)
242
Кограничный гомоморфизм 239
283

Коды, исправляющие ошибки 36
Колокольчик 148
Кольцо 21, 72
— бесконечно дифференцируемых
функций: 8 (ЛТ) 32
— главных идеалов 32
— дифференциальных операторов с
постоянными коэффициентами:
ГА JL1 г ГА- -А]
^ \_dx-i "дхп\' \_dXi дхп\
24, 39
— когомологий: Н*(Х, R), Н* (X, С)
242—243
— конечного типа 53
— Ли 213
— матриц над полем: Мп(К) 73
  над телом: Mn(D) 78
— многочленов: А[х], А [х\,..., Хп]
22, 23
— некоммутативных многочленов:
К<х 1,...,Хп} 79
— непрерывных функций: С(Х) 24,
264
— полиномиальных функций на ал¬
гебраической кривой: К[С] 26
— ростков аналитических функций:
О-п. 25
— формальных степенных рядов:
Ш*]1, №,, .... х„]] 35, 36
— целых чисел поля алгебраических
чисел 71
— целых р-адических чисел: Zv 67
Коммутант группы: G' 175
Коммутативная (абелева) группа 115
— диаграмма 226
Коммутативное кольцо 21
 дифференциальных операторов
39—40
 Ли 215
Коммутативность 15
Коммутатор 212
Коммутатор в кольце Ли 213
— дифференциальных операторов
212
— дифференцирований 212
— элементов группы 175
Комплекс 240
Комплексная ортогональная группа:
0(п, С) 167
— симплектическая группа:
Sp(2n, С) 167
Композиционный ряд группы 174
  модуля 90
Конечная группа 115
Конечно определенная группа 153
— порожденная группа 153
— порожденный (конечного типа)
модуль 50, 91
Конечное поле 36
— расширение 57
Конечнолистное неразветвленное на¬
крытие 204—206
Конечные группы, порожденные от¬
ражениями 138, 139
 порядка <10 171, 172
Конечные подгруппы группы враще-'
ний плоскости 126
	 пространства	127
	ортогональных	преобразова¬
ний плоскости 126
	 пространства	130
	дробно-линейных	преобразо¬
ваний 131
Контравариантный тензор 46
— функтор 233
Коитраградиентиое представление
186
«Координатизация» 9—14
Коса 157
Коцепной комплекс 239
Кристаллографические группы 143—
148
  в пространстве 147—148
  на плоскости 144—147
Кристаллографические классы 132,
134
  в пространстве 134
  иа плоскости 132
Куб 127
Левое регулярное действие 121
Левоинвариантиое (правоинвариант-
иое) векторное поле 161
Левый идеал 80
Лемма Шура 90
Линейная зависимость элементов по¬
ля 57
Линейно зависимые элементы моду¬
ля 49
— независимые элементы модуля 49
Линейный дифференциальный опера¬
тор первого порядка 62
	порядка <г 65
Локальная группа Ли 220
Максимальный идеал 35
Мгновенная угловая скорость 219
Мезоны 208
Минимальный многочлен 57
Мнимая часть кватерниона: Im(x)
76
Модуль 86
— кватерниона 76
— конечного типа (конечно порож¬
денный) 50
— кручения 50
— над кольцом К[х], соответствую¬
щий линейному преобразованию 41
284

— над коммутативным кольцом 41
— над произвольным кольцом 86
— ранга т 49
Модулярная группа 151
— фигура 151
Момент количества движения 112,
222
Монодромия дифференциального
уравнения 182
Морфизм категории 229
Надстройка: 2Х 236
Неассоциативное тело 224
Непрерывная геометрия 101
Неприводимое представление алгеб¬
ры (группы) 90
Неприводимый многочлен 18, 27
Неразветвлеиное накрытие простран¬
ства 142, 204—206
Нестандартный анализ 39
Нетеров модуль 52
Нётерово кольцо 53
Норма в поле 67
Нормальные делители групп б. в 1»
126
Нормальный делитель 122
Нормированное поле 67
Нуклон 208
Нулевой элемент 15, 73
Обобщенная алгебра Кэли 225
— кватериионная алгебра 107
— теорема Стокса 243
Образ гомоморфизма: Imf 31, 122,
254
Образующие алгебры 81
— группы 119
— кольца 53
— модуля 43
Обратимый элемент (делитель едини¬
цы) 27
Обратный кватернион 76
Обратный элемент в группе 115
  в поле 15
Общее уравнение 203
Объект категории 229
Односвязность 156
Октавы 224
Октаэдр 127
Определяющие соотношения группы
153
Орбита элемента 114
Ортогональная группа: О (га), 0(p,q)
163
Основная теорема проективной гео¬
метрии 98
  теории Галуа 202
Отражение 139
Первая основная теорема теории ин¬
вариантов 206
Платоновские тела 127
Подгруппа 175
— Ли группы Ли 161
Подкольцо 24, 73
Подкомплекс 244
Подмодуль 42
Подмодуль, порожденный системой:
элементов 43
Подполе 16
Подпредставление 88, 89
Подпучок 253
Подстановка Эйлера 20
Поле 15
— алгебраических чисел 71
— рациональных функций:	К(х),.
К(ХХп) 16
	на	алгебраической кривой
(алгебраическом многообразии):
К(С) 18
— формальных рядов Лорана: K((t)Y
21, 25
— частных кольца 24
— р-адических чисел: 67
— Q, R, С 16
Полиномиальная функция иа кривой
26
Полиэдр 240
Полная линейная группа: GL(ra, С),
GL (п,К) 166, 169
Полугруппа с единицей 232
Полупростое кольцо 94
Полупростой модуль 92
Полупрямой произведение групп 251
Пополнение поля по норме 67
Порядок группы: |G| 115
Порядок элемента группы 124
Построения при помощи циркуля %
линейки 59
Правильный многогранник 127
Правое регулярное действие 121
Правый идеал 80
Предпучок 253
Представление алгебры 87
— группы 88
Представления группы куба 188—199
 SO(3) 196
 SO (4) 193-194
 SU (2) 194—196
 €>з 188
— классических комплексных групп
Лн 197—199
— коммутативных групп	183—186,
192
— компактных групп Ли 189—196,
207—211
— конечных групп 183—189
Преобразование 110
285

Преобразование Фурье как изомор¬
физм модулей 43
Приведенная надстройка: SX 236
Присоединенное действие 121
Проблема гомеоморфизма многообра¬
зий 156
— изоморфизма групп 154
— тождества в группе 154
Проективная резольвента модуля 249
Проективное пространство 98
 над телом: Рп(£>) 97
Проективный модуль 248
— предел системы колец 65
Произведение идеалов 33
— объектов категории 232
Д-произведение пространств: ХДY
236
Простая алгебра Ли 215
— группа 173
Простое кольцо 85
— поле 37
Простой идеал 37
— модуль 90
Пространство петель: QX 234
— путей 284
—• струй 65
Простые алгебраические группы 173,
175, 177, 178
— группы Ли 173, 175, 177, 178
— компактные группы Ли 173, 175,
177, 178
— комплексные группы Ли 173, 175,
177, 178
— конечные группы 173, 177, 179—
180
Прямая сумма колец 24
 ! модулей 41
  представлений 89
Прямое произведение групп 124,172
Путь 155
Пучок 253
—, связанный с дивизором на рима¬
новой поверхности: &~D 254
Радикальное расширение 203
Разложение Пюизо 69
Размерность алгебры Ли 214
Разрешимая группа 175—177
Разрешимость дифференциального
уравнения в квадратурах 204
— уравнения в радикалах 202
Разрывная (дискретная) группа 142
Ранг алгебры над полем 74
— модуля 41, 49
Расширение Галуа 200
— конечного типа 55
— поля 16
Расширения групп 174, 250—252
— модулей 118
Рациональная дробь 16
286
— функция 16
Регулярное представление 89
Решетка 132, 143
— Браве 132
Риманова поверхность рода 1 143
		>1	149
Свободная группа 152
Свободное действие группы 142
— произведение групп 228
Свободный модуль 41
Сдвиг на элемент группы Ли 161
Семейство векторных пространств 48,
259
Сечение семейства векторных про¬
странств 48
Символ эллиптического дифференци¬
ального оператора 263
Симметрии физических законов 113
Симметрическая группа: ©„ 124
— степень модуля: SnM 47
— функция 112
Симметрический квадрат модуля:
S2M 46
Симметрия 110
Симплекс 240
Сингония 134
Система образующих группы 116,, 119
  кольца 53
  модуля 43
— свободных образующих 42
Скобка Пуассона: >[,;] 212
Словарь квантовой механики 11
Слово 152
Соотношения ортогональности для
характеров коммутативных групп
185
 для матричных элементов нет
приводимых представлений конеч¬
ных групп 188
	компактных групп
191
Сопряженный кватернион 76
Спинорная группа 165
Спорадическая простая группа 180
Сравнение по модулю идеала 34
Стабилизатор элемента: G* 114
Стапелия пестрая 148
Степень расширения 57
— трансцендентности 56
Структурные константы алгебры 74,
215
Сумма объектов в категории 232
— расширений модулей 118
Супералгебра 82
Таблица Кэли конечной группы 115
Тело 77
Тензор Вейля 4-мерносо риманова

многообразия 194
— Риччи (бесследный) 4-мерного ри-
маиова многообразия 194
Тензорная алгебра векторного про¬
странства: T(L) 79
— степень модуля: ТГ(М) 46
Тензорное произведение алгебр 119
  модулей 45
  представлений 187, 188
Теорема Бернсайда 102, 103
— Бибербаха 144
— Брауэра о неподвижной точке 242
— Веддербёрна (о конечных телах)
104
 (о полупростых кольцах) 96
— Веддербёрна — Ремака — Шмидта
172
— Гельмгольца — Ли 190
— Гильберта о базисе 53
— двойственности Понтрягина 192
— Дезарга 98
— де Рама 243
— Жордана — Гельдера для групп
174
—| для модулей 90
— Жордана о конечных подгруппах
группы О(п) 135
	GL(/i,	Z)	138
— Лагранжа 76
— Лежандра 70, 76
— Ли 220
— Лиувилля 162
— Минковского—Хассе 71
— Э. Нётер 112
— о гомоморфизмах 35, 43, 123
— о модулях над кольцом главных
идеалов 51
—■ о примитивном элементе 58
— об индексе эллиптического опера¬
тора 263
— Островского 70
— Паппа 99
— периодичности в К-теории 261
— Пуанкаре — Кёбе об униформиза-
ции 149
— Римана — Роха 258
— Тзена 104
— Фробениуса 104
— Хассе — Брауэра — Нётер 108
 о телах над полем Qp 106
	Q	108
— Хигмана 154
— Шевалле 105
Тетраэдр 127
Тождество Якоби 213
Тор >162
Точная последовательность 244
  когомологий 245
 >, соответствующая подпростран¬
ству 246
Транзитивная группа преобразований
114
Тривиальное семейство векторных
пространств 259
Узел 157
Ультрапроизведение полей 39
Умножение в когомологиях 243
— дифференциальных форм 242
  на двух модулях М н IV со зна¬
чениями в модуле L 44
Универсальное накрывающее про¬
странство 156
Унитарная группа: U(n) 164
Унитарно симплектнческая группа:
SpU(n) 164
Унитарный прием 198
Уравнения Эйлера движения твердо¬
го тела 222
Фактор композиционного ряда 174
Факторгруппа 122
Факториадьность 27
Факторкольцо (кольцо классов выче¬
тов) 34
Фактор комплекс 244
Фактормодуль 43
Факторпредставленне 88, 89
Факторпучок 255
финальный объект в категории 235
Флаг 190
Формальная группа (групповой за¬
кон) 231
Формула Клебша — Гордана 196
Фундаментальная группа:	(X),
я(Х), л(Х, х0) 154, 155
Фундаментальная область дискретной
группы 142
Функтор 232, 233
—V'ec (X) 259
Функторы ExtHn(Z-, М) 249
— кл и АА, соответсвующие объекту
А 235
Характеристика поля 37
Характеры алгебры 102
— группы 184
 SU (2) 194—195
Характеры Дирихле 185
Целостное кольцо 24
Целые алгебраические числа 71
Центр алгебры 73, 104
Центральная алгебра 104
Цепной комплекс 239
Цикл 241
Цикленный тип подстановки 125
Циклическая группа 123, 127
— подгруппа 123
Циклический модуль 51
287

Частично упорядоченное множество 97
Четная клиффордова алгебра 84
— подстановка 126
Числа Кэлн 224
Число неприводимых представлений
конечной группы 186
— Тамагавы 170
Чисто мнимый кватернион 76
Эйлерова характеристика группы 252
 пучка: %(Х,ЗГ) 257
Эквивалентность расширений 118
— функторов 235
Элемент кручения 50
Эллиптические функции 143
Эллиптический дифференциальный
оператор 263
Эндоморфизм модуля 73, 91
Ядро гомоморфизма групп: Кег/122
 колец: Ker f Э1
  пучков 254

ОГЛАВЛЕНИЕ
(соответствует рубрике 271.17 Рубрикатора ГАСНТИ,)
И. Р. Шафаревич, Основные понятия алгебры	 5
Предисловие	  7
§ 1.	Что такое алгебра?	 9
§ 2.	Поля	15
§ 3.	Коммутивиые кольца	21
§ 4.	Гомоморфизмы и идеалы	29
§ 5.	Модули	40
§ 6.	Алгебраический аспект размерности	49
§ 7.	Алгебраический аспект инфинитезнмальных понятий ...	60
§ 8.	Некоммутативные кольца	72
§ 9.	Модули над некоммутативными кольцами	86
§ 10.	Полупростые модули и кольца	92
§ 11.	Тела конечного ранга	104
§ 12.	Понятие группы	110
§ 13.	Примеры групп: конечные группы	124
§ 14.	Примеры, групп: бесконечные дискретные группы .	.	.	141
§ 15.	Примеры групп: группы Ли и алгебраические группы .	.	158
§ 16.	Общие результаты теории групп	171
§ 17.	Представления групп	180
§ 18.	Некоторые приложения групп	199
§ 19.	Алгебры Ли и неассоциативная алгебра	212
§ 20.	Категории	226
§ 21.	Гомологическая алгебра	239
§ 22.	К-теория	259
Комментарий к литературе	269
Литература	274
Именной указатель	280
Предметный указатель	282
Технический редактор Н. И. Костюнина
Высокая печать.	Уел.	печ.	л.	18,25	Уел.	кр.-отт.	18,50	Уч.-изд. л. 17,81
Индекс 56847
ИНТ, Современные проблемы математики. Фундаментальные направления,
Адрес редакции: 125219, Москва, А-219, Балтийская ул., 14. Тел. 155-42-41
Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ
140010, Люберцы, 10, Московской обл., Октябрьский просп., 403
Т. 11, 1986, 1—292

ДВАЖДЫ написать точный почтовый адрес
БЛАНК-ЗАКАЗ
Просим выслать наложенные платежом «	»	экз. инфор¬
мационного издания «Итоги науки и техники», серия Современ¬
ные проблемы математики. Новейшие достижения. Том 29.
Куда.
Кому.
Заказчик
198
J*.
140010, Люберцы 10,
Московской обл.
ЦЕННАЯ БАНДЕРОЛЬ
С НАЛОЖЕННЫМ ПЛАТЕЖОМ
Наложенный платеж
		РУб.
коп.
Ценная на
руи.
КОП.
Куда --
Кому -	 -
Вес	кг.
Я Весовой	р.	.
Г-3
о Страховой	 р
а. За налож.	платеж,	р.
*
Итого	...	.р.
г.
к.
к.
к.
к.
140010, г. Люберцы 10, Мо¬
сковской обл., Октябрьский
проспект, 403. Производст¬
венно-издательский комби¬
нат ВИНИТИ

ОПЕЧАТКИ
ИНТ, Современные пробл. матем. Фундам. направления.
Т. 10, 1986 г.
Страница
Строка
Напечатано
Следует читать
12
3—4 сверху
величин
70
4 снизу
ах*+Ьу2=с
172
таблица
число групп 27 порядка
равно 3
203
19 сверху
хп—aiXn~[-\- ... +ал = 0.
224
2 сверху
перемежаются
225
12 снизу
Р2~<?1
236
3 снизу
... А'оХУо . • ■
264
24 снизу
векторнхы
величины
ах2-\-Ьу2—с
число групп 27 порядка
равно 5
Хп —CTiJC"—’+ ...
...+(-1)»а» = 0
перемножаются
Р2<?1
...Ххуо...
векторных
Зак. 9339