ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ СОВРЕМЕННЫЙ УЧЕБНИК
Н. С. Бахвалов, А. А. Корнев,
Е. В. Чижонков
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЯ
ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ
СОВРЕМЕННЫЙ УЧЕБНИК
Н. С. Бахвалов, А. А. Корнев, Е. В. Чижонков
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЯ
Рекомендовано Учебно-методическим советом по математике и механике УМО по классическому университетскому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности «010100 Математика»
МОСКВА
профа
2009
УДК 519.6 (075.8)
ББК 22.193я73 БЗО
Серия «Высшее образование: Современный учебник» основана в 2001 году
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, проф. А. А. Амосов (зав. кафедрой математического моделирования Московского энергетического института (технического университета);
д-р физ.-мат. наук, проф. В. И. Лебедев (Российский научный центр «Курчатовский институт»);
д-р физ.-мат. наук, проф. чл.-корр. РАН Е. Е. Тыртышников (Институт вычислительной математики РАН)
Бахвалов, Н. С.
БЗО Численные методы. Решения задач и упражнения ; учеб, пособие для вузов / Н. С. Бахвалов, А. А. Корнев, Е. В. Чи-жонков. — М. : Дрофа, 2009. — 393, [7] с. : ил. — (Высшее образование: Современный учебник).
ISBN 978-5-358-03610-9
Материал пособия соответствует программе курса «Численные методы», рекомендованной Министерством образования и науки РФ. Содержатся основные положения теории, большое количество подробно разобранных примеров, которые являются основой для компьютерного решения практических и учебных задач различного уровня сложности — от домашних упражнений до курсовых и дипломных работ. Включены упражнения для самостоятельной работы.
Книга такого типа по численным методам не имеет аналогов как в нашей стране, так и за рубежом.
Для студентов университетов, педагогических вузов, вузов с углубленным изучением математики, а также для студентов технических вузов, аспирантов и преподавателей, инженеров и научных работников, использующих в практической деятельности численные методы.
УДК 519.6(075.8)
ББК 22.193я73
ISBN 978-5-358-03610-9
©ООО «Дрофа», 2009
Оглавление
Предисловие............................................. 5
Глава 1. ПОГРЕШНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ..................... 7
1.1. Вычислительная погрешность....................... 7
1.2. Погрешность функции............................. 15
Глава 2. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ.......................... 21
2.1.	Однородные разностные уравнения................. 21
2.2.	Вспомогательные формулы......................... 33
2.3.	Неоднородные разностные уравнения............... 35
2.4.	Фундаментальное решение и функция Грина......... 47
2.5.	Задачи на собственные значения.................. 53
Глава 3. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ И ПРОИЗВОДНЫХ............. 61
3.1.	Полиномиальная интерполяция..................... 61
3.2.	Многочлены Чебышева............................. 73
3.3.	Численное дифференцирование..................... 81
3.4.	Многочлен наилучшего равномерного приближения... 86
3.5.	Приближение сплайнами........................... 93
Глава 4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ..................... 105
4.1.	Интерполяционные квадратуры.................... 105
4.2.	Метод неопределенных коэффициентов............. 113
4.3.	Квадратурные формулы Гаусса.................... 120
4.4.	Главный член погрешности....................... 129
4.5.	Функции с особенностями........................ 134
Глава 5. МАТРИЧНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ......................... 138
5.1.	Векторные и матричные нормы.................... 138
5.2.	Элементы теории возмущений..................... 150
5.3.	Точные методы.................................. 164
5.4.	Линейные итерационные методы................... 173
5.5.	Вариационные методы............................ 183
5.6.	Неявные методы................................. 187
5.7.	Проекционные методы............................ 198
5.8.	Некорректные системы линейных уравнений........ 208
5.9.	Проблема собственных значений.................. 215
Глава 6. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ................. 231
6.1. Метод простой итерации и смежные вопросы....... 232
6.2. Метод Ньютона. Итерации высшего порядка........ 244
Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ.............. 254
7.1.	Основные определения........................... 254
7.2.	Методы построения разностных схем.............. 259
7.3.	Методы прогонки и стрельбы. Метод Фурье........ 280
3
Глава 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ....................
8.1. Задача Коши.....................................
8.2. Краевая задача..................................
Глава 9. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ..............
9.1.	Корректность разностных схем....................
9.2.	Гиперболические уравнения.......................
9.3.	Эллиптические уравнения.........................
9.4.	Параболические уравнения........................
9.5.	Уравнение Шредингера............................
9.6.	Задача Стокса...................................
Глава 10. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ........................
10.1.	Метод замены интеграла.........................
10.2.	Метод замены ядра..............................
10.3.	Проекционные методы............................
10.4.	Некорректные задачи............................
Литература..............................................
Предисловие
Учебное пособие написано на основе многолетнего опыта преподавания численных методов студентам механико-математического факультета и факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М. В. Ломоносова и полностью соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта по математике, рекомендованного Министерством образования Российской Федерации.
Как правило, классический университетский курс, ориентированный на приближенное решение задач, состоит из теоретической (лекции) и практической (семинары) частей и сопровождается лабораторными работами. Поэтому учебная литература традиционно представлена теоретическими учебниками, сборниками задач и вычислительными практикумами.
Предлагаемая вниманию читателя книга содержит в форме задач и упражнений наиболее ценные, по мнению авторов, сведения по численным методам из пособий всех указанных типов, и ее можно использовать не только в учебных, но и в справочных целях. Пособие охватывает материал по разностным уравнениям, приближению функций, численному интегрированию и дифференцированию, интегральным уравнениям, задачам алгебры и решению нелинейных уравнений, приближенным методам решения дифференциальных уравнений как обыкновенных, так и с частными производными, а также по влиянию вычислительной погрешности в различных алгоритмах.
Главная цель пособия — помочь читателю глубоко и последовательно освоить предмет. Для этого материал разбит на крупные теоретические части — главы и, кроме того, на темы — параграфы, содержание которых структурировано специальным образом. Изучение каждой новой темы начинается со знакомства с основными определениями, формулировками фундаментальных теоретических результатов (теорем), полезными вспомогательными фактами и т. п., затем разбираются и анализируются типичные упражнения, отражающие специфику постановок задач и методы их решений. Первые задачи каждого параграфа решены подробно и сопровождаются комментариями. Сложность задач постепенно возрастает, поэтому нередки ссылки на уже разобранные примеры. Далее приводятся упражнения длягсамостоятельных занятий. Они, как правило, достаточно разнообразны и могут удовлетворить запросы большинства читателей. Затем содержатся наборы из нескольких упражнений, которые при одинаковом задании имеют различные условия.
5
Это — образцы для контрольных работ по изучаемой теме, они сопровождены только ответами. В конце каждого параграфа имеются упражнения повышенной сложности, как правило снабженные только указаниями и/или ответами. Их целесообразно использовать в качестве зачетных задач или как основу для небольших курсовых проектов.
Важная методическая особенность пособия — расположение решений, указаний и ответов непосредственно за условиями задач и упражнений, а не в конце книги, как это принято в задачниках. Тщательный отбор и подача материала в такой форме способствует эффективному усвоению численных методов даже при самостоятельной работе. Поэтому данное учебное пособие рекомендуется студентам, аспирантам и преподавателям высших учебных заведений с углубленным изучением математики и всем, кто по роду своей деятельности сталкивается с приближенным решением задач, допускающих математическую формулировку. Даже специалист в области вычислительной математики может найти сформулированные в виде упражнений необычные формулы, факты, утверждения, неизвестные ему ранее. Например, различные численные аспекты решения уравнения Шредингера и задачи Стокса.
Критические замечания и предложения по совершенствованию книги просьба сообщать авторам на кафедру вычислительной математики механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.
Авторы
Глава 1
Погрешность
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Если а— точное значение некоторой величины, а* — известное приближение к нему, то абсолютной погрешностью приближенного значения а* обычно называют некоторую величину Д(а*), про которую известно, что
1я* - а\ < Д(я*).
Относительной погрешностью приближенного значения называют некоторую величину 8(я*), про которую известно, что
1^1
Относительную погрешность часто выражают в процентах.
В этой главе на модельных упражнениях показано принципиальное отличие между математически точными вычислениями и вычислениями с произвольно высокой, но конечной точностью. Приведены примеры катастрофического накопления вычислительной погрешности в стандартных алгоритмах, рассмотрены методы возможного улучшения исследуемых алгоритмов.
1.1. Вычислительная погрешность
Наиболее распространенная форма представления действительных чисел в компьютерах — числа с плавающей точкой. Множество F чисел с плавающей точкой характеризуется четырьмя параметрами: основанием системы счисления р, разрядностью t и интервалом показателей [L, U]. Каждое число х, принадлежащее F, представимо в виде
где целые числар, a, dv ..., ^удовлетворяют неравенствам 0 < dt .< р- 1,
1,...	U.
7
ГЛАВА 1. Погрешность решения задачи
Часто di называют разрядами, t— длиной мантиссы, а— порядком числа. Мантиссой (дробной частью) х называют число, стоящее в скобках. Множество F называют нормализованным, если для каждого х 0 справедливо условие d{ * 0.
Удобно определить, что округление с точностью 8 — это некоторое отображение fl действительных чисел R на множество F чисел с плавающей точкой, удовлетворяющее следующим аксиомам.
1) Для произвольного у g R такого, что результат отображения fl (у) е F, имеет место равенство при fl (у) 0
/7(у) =у(1 +Г|), 1г|I < 8.
2) Обозначим результат арифметической операции * с числами a, b g F через fl (а * Ь). Если fl (а * Ь) * 0, то
fl (а * Ь) = (а * Ь)(1 + т|), I ц I <8.
Приведенные соотношения позволяют изучать влияние ошибок округления в различных алгоритмах.
Если результат округления не принадлежит F, то его обычно называют переполнением и обозначают °°.
Будем считать, что 8 — точная верхняя грань для I r| I. При традиционном способе округления чисел имеем 8 = ^p1-f, при округлении отбрасыванием разрядов 8 = р1"'. Величину 8 часто называют машинной точностью.
□	1.1. Построить нормализованное множество F с параметрами р = 2, t=3,L = -]., U=2.
Решение. Каждый элемент х е F имеет вид x=±(dj/2 + 4,/4 + d3/8)2a, где a g {-1, 0, 1, 2}, d- е {0, 1} и d} * 0 для х^ 0.
Зафиксируем различные значения мантисс mi для ненулевых элементов множества: 1/2, 1/2 -I- 1/8 = 5/8, 1/2 -I- 1/4 = 3/4, 1/2 -I- 1/4 + + 1/8 = 7/8, или mi е {1/2, 5/8, 3/4, 7/8}. Далее, умножая mi на 2а с а е е {-1,0, 1,2} и добавляя знаки ±, получим все ненулевые элементы множества F: ±1/4, ±5/16, ±3/8, ±7/16, ±1/2, ±5/8, ±3/4, ±7/8, ±1, ±5/4, ±3/2, ±7/4, ±2, ±5/2, ±3, ±7/2. После добавления к ним числа нуль имеем искомую модель системы действительных чисел с плавающей точкой.
8
1.1. Вычислительная погрешность
□	1.2. Сколько элементов содержит нормализованное множество F с параметрами р, Г, L, U7.
Ответ: 2(р- 1 )р'_ 1 (L7 — L + 1) + 1.
□	1.3. Каков результат операций при использовании модельной системы из 1.1
х = //(23/32), х = //(1/8), х = //(4), х = //(1/2 + 3/4), х = //(3/8 + 5/4), х = //(3 + 7/2), х = //(7/16 - 3/8), х = //(1/4 • 5/16)?
Ответ: 3/4, 0, ”оо” (х> 7/2), 5/4, 3/2 или 7/4, ”оо”, о, 0.
□	1.4. Верно ли, что всегда// ) е [а, Ь]?
Ответ: нет (см. 1.3).
□	1.5. Пусть отыскивается наименьший корень уравнения у1 - 140у + + 1=0. Вычисления производятся в десятичной системе счисления, причем в мантиссе числа после округления удерживается четыре разряда. Какая из формул у - 70 - /4899 или у ..... дает бо-
70 + /4899 лее точный результат?
Решение. Воспользуемся первой формулой. Так как /4899 = = 69,992..., то после округления получаем /4899 ® 69,99,	« 70 -
- 69,99 = 0,01.
Вторая формула представляет собой результат «избавления от иррациональности в числителе» первой формулы. Последовательно вычисляя, получаем 70 + 69,99 = 139,99 ® 140,0, 1/140 - 0,00714285.... Наконец, после последнего округления имеем у2 = 0,007143.
Если произвести вычисления с большим количеством разрядов, то можно проверить, что в ух и у2 все подчеркнутые цифры результата верные; однако во втором случае точность результата значительно выше. В первом случае пришлось вычитать близкие числа, что привело к эффекту пропадания значащих цифр, часто существенно искажающему конечный результат вычислений. Увеличение абсолютной погрешности также может происходить в результате деления на малое (умножение на большое) число. Еще одна опасность — выход за диапазон допустимых значений в промежуточных вычислениях, например после умножения исходного уравнения на достаточно большое число.
9
ГЛАВА 1. Погрешность решения задачи
□	1.6. Пусть приближенное значение производной функции /(х) определяется при h 1 по формуле /'(*) -	э а сами
значения/(х) вычисляются с абсолютной погрешностью Д. Какую погрешность можно ожидать при вычислении производной, если 1/^(х)1	=	1,...?
Решение. В данном случае имеется два источника погрешности: погрешность метода и вычислительная погрешность. Первая связана с неточностью формулы в правой части при отсутствии ошибок округления. Разложим функцию /(х ± h) в ряд Тейлора в точке х
f(x±h) = f(x) ± hf'(x) + у f"(x) ±	f'"(x+).
Подставляя полученные разложения в правую часть приближенного равенства, получим
f(x+ h)-f(x- h) = ft( } h2
2h	J { }	6
f"W + f"\x)
2
Ограничиваясь главным членом в разложении по степеням Л, имеем оценку для погрешности метода
2п	6
С другой стороны, в силу наличия ошибок округления в вычислениях участвуют не точные значения /(х ± h), а их приближения /*(х ± h) с заданной абсолютной погрешностью. Поэтому полная погрешность выглядит так:
Err = f*(x+h)-f^x-h)_f>M 2h	J
Добавляя в числитель дроби +/(х + h) n+f(x- й), после перегруппировки слагаемых получим
Оценка вычислительной погрешности для каждого из двух первых слагаемых имеет вид Д/(2й), а погрешность метода в предположении ограниченности третьей производной получена выше. Окон-с А , h2 чательно имеем Еггч — + — М,. h 6	3
10
1.1. Вычислительная погрешность
Зависимость такого рода при малых h наблюдается при численных экспериментах: при уменьшении h сначала погрешность квадратично убывает, а затем линейно растет; начиная с некоторого h ошибка может стать больше, чем сама производная /'(х). Здесь эффект пропадания значащих цифр (см. 1.5) усиливается за счет деления на малую величину.
Л h2
Ответ: Err < =• + —- М,.
--------- h 6 J
□ 1.7. Найти абсолютную погрешность вычисления суммы S =
= Е х,, где все х • — числа одного знака.
7-1 7	7
Решение. Используя аксиому
fl(a+ b) = (я+ Ь)(1 + г))> hl < ^р‘~'> имеем
fl(S) = (...((х, + х2)(1 + п2) + х3)(1 +п3) + ... +х„)(1 + Г)„) =
= (х, + х2) П (1 + П,+ j) + х3 П (1 + т] + ,) + ... + х„ П (1+T] +1).
j - 1	J	j = 2	J	j= n-\	J
Перепишем полученное выражение в виде
//($)- i хп + вр,
7=1
где для модулей Е; справедливы равенства
lEjl =	О(р2(|_')),
i£.i = 112—'р'-г+ о(р2(|-г))
при 2 < i < п.
Найденное представление означает, что суммирование чисел на компьютере в режиме с плавающей точкой эквивалентно точному суммированию с относительным возмущением Е- в слагаемом х-. При этом относительные возмущения неодинаковы: они максимальны в первых слагаемых и минимальны в последних. Абсолют-
ная погрешность Д вычисления суммы равна Д =
Z 1х,НЕ,1. Оцен-7= 1	7	7
ки Е- не зависят от х;, поэтому в общем случае погрешность Д будет
11
ГЛАВА 1, Погрешность решения задачи
наименьшей, если числа суммировать в порядке возрастания их абсолютных значений, начиная с наименьшего.
Ответ: Д = Е IxJ IEJ. ;=1 7 7
□ 1.8. Пусть вычисляется сумма
106 |
Е - . Какой алгоритм So = 0, Sn =
= Sn_ j +, n = 1,, 106, или Е 6	= 0,К ] = U + ^,п=10б,...,1,
ГГ	IV
S1()6 - Ro, следует использовать, чтобы суммарная вычислительная погрешность была меньше?
Ответ: следует воспользоваться вторым алгоритмом (см. решение 1.7).
□	1.9. Можно ли непосредственными вычислениями проверить, что оо !
ряд Е - расходится?
□	1.10. Предложить способ вычисления суммы, состоящей из слагаемых одного знака, минимизирующий влияние вычислительной погрешности.
Решение. Рассмотрим оценки величин Е- из 1.7. Имеем
IEJ =	О(р2(1-о)>
| £.1 = п +1 ~1 р'-‘+ O(pw - '>), 2 < i < п.
Из этих оценок следует, что \Е{/Еп\ « и, т. е. первое слагаемое вносит возмущение примерно в п раз большее, чем последнее. Неравноправие слагаемых объясняется тем, что в образовании погрешностей каждое слагаемое участвует столько раз, сколько суммируются зависящие от него частичные суммы.
Влияние всех слагаемых можно уравнять с помощью следующего приема. Пусть для простоты количество слагаемых равно п - 2к. На первом этапе разобьем слагаемые х- на пары и сложим каждую из них. При этом в каждое слагаемое вносится относительное возмущение одного порядка. Далее будем складывать уже полученные суммы. Для этого повторяем процесс разбиения и попарного суммирования до тех пор, пока получающиеся суммы не превратятся в одно число (степень
12
1.1. Вычислительная погрешность
двойки 2к нужна только здесь). Абсолютная погрешность по-прежне-
му имеет вид А = X I х 11Ё I, но теперь для всех Ё- справедлива оценка ; = 1 7 7 7
I£;1 = 1 + ‘°g2 П р1 -' + О(р2<> -')), 1 < j< п.
Таким образом, меняя только порядок суммирования, можно уменьшить оценку погрешности примерно в rz/log2 п раз. Значения Ё-отличаются от Е- в силу другого порядка суммирования.
□	1.11. Предложить способ вычисления знакопеременной суммы, минимизирующий влияние вычислительной погрешности.
□	1.12. Пусть значение многочлена Р„(х) - а0 + ахх + ... + апхп вычисляется в точке х - 1 по схеме Горнера:
Рп(х) = а0 + х(а, + х(...(ап_ ] + апх)...)).
Какую погрешность можно ожидать в результате, если коэффициенты заданы с погрешностью г|?
Указание. Воспользоваться решением 1.7, учитывая ^знакоопределенность а-, и с точностью до слагаемых О(т]2) получить
1Р„(1)- Р*(1)| < пЛ(1«01 + 1^1 +...+ 41).
□	1.13. Оценить погрешность вычисления скалярного произведе-
ния двух векторов S = Z х-у, если их компоненты заданы с по-j = 1 7 7
грешностью т].
Ответ: с точностью до слагаемых О(ц2) имеем IS-5*1 < пх\ Пх11211у112, где ||z||2 = f z2.
j= 1 J
□	1.14. Пусть вычисляется величина S = а}х} + ... + апхп, где коэффициенты ai заданы с погрешностью ц. Оценить погрешность вычисления S при условии, что xf + ... + х2 = 1.
Ответ: с точностью до слагаемых О(т]2) имеем
IS —S*l < мт]IIдII2, где	- Z а2.
7=1	7
13
ГЛАВА 1. Погрешность решения задачи
□ 1.15. Для элементов последовательности
1
Еп = J хпех~1 dx
о
справедливо точное рекуррентное соотношение Еп = 1 - пЕп_ р Ех = 1/е. Можно ли его использовать для приближенного вычисления интегралов, считая, что ошибка округления допускается только при вычислении Ej?
Решение. Пусть в результате округления значения Е} получено значение Е*, использование которого приводит к величинам Е* = - 1 - пЕ*_ р Для погрешности 8n = Еп - Е* имеем соотношение 8п = = -n?)n_v откуда следует 8П = (-1)"+ 1п!81. Полученная формула гарантирует факториальный рост погрешности и ее знакоперемен-ность. Учитывая, что точные значения удовлетворяют неравенству
1
О < Еп < j хп dx = 1/(п + 1),
о
получим, что, начиная с некоторого и, величина погрешности существенно больше искомого результата. Алгоритмы такого рода называются неустойчивыми.
□ 1.16. Можно ли использовать для приближенного вычисления интегралов
1
Еп= j x"ex-1dx
о
точное рекуррентное соотношение Еп_} = (1 - Еп)/п (в обратную сторону по сравнению с 1.15), считая, что ошибка округления допускается только при вычислении стартового значения Ev? Как выбрать это значение?
Ответ: да (см. решение 1.15), Еы « 0 при достаточно больших N.
□ 1.17. Пусть вычисления ведутся по формуле
где п - 1,2,...; у0, у1 заданы точно, \fn\ < М, h 1. Какую вычислительную погрешность можно ожидать при вычислении уп для больших значений и? Улучшится ли ситуация, если вычисления вести по формулам (zn + , - zn)/h = fn, (у„ - уп _, )//i = z„?
14
1.2. Погрешность функции
Решение. Формулы, приведенные в условии, являются численными алгоритмами решения задачи Коши для уравнения у" = — f(x), Рассмотрим модельную задачу у" = M,y(fi) = у'(0) = 0, имеющую точное решение у (х) - х2М12. Введем сетку с шагом h: хп= nhn будем искать приближенное решение по формуле
Уп + 1 = 2Уп~Уп-1 + h2M, п = 1, 2,...; у0 = 0, у, = h2M/2.
При отсутствии ошибок округлений получим уп - (nh)2M/2, т. е. проекцию точного решения на сетку. Вычисления приводят к соотношениям
у0* = о, у* = h2M/2 + 8р
Уп+ 1 = 2 К - Уп- \+h2M+5n+V « =	2> ••• •
Отсюда для погрешности гп = у * - уп получим
rn+i = 2гп~гп-1 +5,.+ 1> и =1,2,...; го = О, г, = 5г.
Для простоты вычислений предположим, что все 8П постоянны и равны 8, тогда для погрешности справедлива формула rn = 8(и2 + и)/2. Сопоставляя точное решение уп и погрешность, приходим к относительной погрешности порядка 8h~2/M. Требование малости этой величины накладывает ограничение на шаг интегрирования h снизу, так как обычно 8 « р1'f.
Аналогичные рассуждения для второго способа расчетов приводят к относительной погрешности порядка 8/rVM, что, в свою очередь, приводит к более слабым ограничениям на h при одном и том же 8. Другими словами, используя формулы
(z„ +! - zn)/h = fn> (уп - уп _ , )/h = zn>
как правило, получаем меньшую вычислительную погрешность
1.2. Погрешность функции
Пусть искомая величина у является функцией параметров х •, j = = 1, 2, ..., п: у - у (хр х2, ..., х„). Область G допустимого изменения параметров х- известна, требуется получить приближение к у и оценить его погрешность. Если у*— приближенное значение величины у, то предельной абсолютной погрешностью называют величину
А(у*)= sup 1у(хрх2,... ,хп)-у*1;
,x„)eG
при этом предельной относительной погрешностью называют величину 7? (у*) =	.
1у*1
15
ГЛАВА 1. Погрешность решения задачи
□ 1.18. Доказать, что предельная абсолютная погрешность А(у*) минимальна при
У* = (У1 + У2)/2’
где у, = infy(xpx2,... ,хп),у2 = supy(xpx2,... ,хи).
G	G
Решение. Используя определения величин у1 и у2, выражение для А(у*) перепишем в виде
А(у*)= sup 1у(хрх2,... ,х„)-у*1, у(*1>*2.......Хп> е [У1’У21
при этом А(ух) = Л(у2) = у2-уг Обозначим А = у2~Уг Так как нас ин’ тересует минимальное значение величины А(у*)> то достаточно проанализировать только у* е [ур у2]. Это следует из того, что для у* ё [ур у2] справедливо неравенство А(у*) > А. Введем для у* параметризацию у* = ау1 + (1 - а)у2 с а е [0, 1] и рассмотрим предельную абсолютную погрешность
А(у*)= sup \у- [ау] + (1 -а)у2]1 =
У е[У1,у2]
= max {aA(yj), (1 - а)Л(у2)} = A max {а, 1 - а}.
Минимум величины max {а, 1 - а} равен 1/2 и достигается при а = 1/2, т. е. минимум А(у*) имеет место при у* = (у1 + у2)/2.
□ 1.19. Показать, что предельная абсолютная погрешность суммы или разности чисел равна сумме их предельных абсолютных погрешностей.
Решение. Если известны оценки \х-~ х*1 < Д(х*), j = 1, 2, то можно определить область G:
G= {(Хр х2): х* - Д(х*) < х.< х* + Д(х*), j = 1, 2}.
Рассмотрим в этой области функции у± = хх ± х2 и их предельные абсолютные погрешности. Имеем
А(у*)= sup |у±- у±\ = sup |(х, ±Х2)-(Х]*± х2)| < (XpxjeG	(x,,x,)eG
2
< i sup \ Xj- x*| = Д(х^) + Д(х2).
□ 1.20. Показать, что предельная относительная погрешность произведения или частного с точностью до членов второго порядка малости равна сумме предельных относительных погрешностей.
16
1.2. Погрешность функции
Решение. Если известны оценки lx; - х*1/1 х*1 < 8(х*), j= 1, 2, то можно определить область G:
G= {(хр х2): х* - Д(х*) < ху < х* +	1, 2},
где Д(х*) = 1х*18(х*). Рассмотрим в этой области функцию у - ххх2 и ее предельную относительную погрешность
*(/*) =	SUP |Х'Х2 “ Х* Х2 1 С
\У I |Х1Х2| (XpX^eG
< -^(Д^х? + Д(х2)х* + Д(х*) Д(х*)).
Х1Х2
Отбрасывая члены второго порядка малости, получим
/?(/*)<	+4^г=5(х*)+5(х2)-
1*Т| |хг|
Аналогично рассматривается случай функции у - х1/х2.
□	1.21. Пусть у = у(хр х2, ..., хп) — непрерывно дифференцируемая функция. Положим
Asup(y*) = ДвуД(х;),
где В = sup
7 G
ду(х{, х2,	х„) .
АНп(Г)= s
J= 1
b;A(x*),
где b- =
Доказать, что А(у*) < ^sup(y*)> и если величина р = Z Д2(х*) J мала, то справедливо равенство Asup(y*) = Alin(y*) + о(р).
Решение. Используя формулу конечных приращений Лагранжа, получим
у(хр х2,..., хп) - у* = £ Ь7(9)(х;.- х*),
где	7-1
х(9) - (х* + 9/Xj - х*),..., х„* + 9„(х„- х„*)), 9- g [0, 1]. Отсюда следует А(у*) < Asup(y*), так как Iir(9)I < В-.
2 - 1025
17
ГЛАВА 1. Погрешность решения задачи
В силу непрерывности производных ду/дх-, справедливо представление В- = Ifcr(0)l + о(1) при р —► 0. Поэтому величину Asup(y*) можно записать в виде Asup(y*) = Alin(y*) + о(р), так как b- = IЬ-(0)I.
На практике часто используют, вообще говоря, неверную «оценку» 1у(хр х2у..., х„) -у*1 < AUn(y*), называемую линейной оценкой погрешности. Величина Alin(y*) вычисляется значительно проще, чем Asup(y*) или А(у*), но не следует забывать о требуемой малости р.
□	1.22. Пусть у - х10, х* = 1 и задано: 1) Д(х*) - 0,001; 2) Д(х*) = 0,1. Вычислить величины Asup(y*), Alin(y*), А(у*).
Решение. 1) Здесь у* = 1,	= Ю • х9, Ь(0) = 10. Пусть Д(х*) -
-	0,001, тогда
В = sup 110 • х91 = 10,09...,
lx - II < 0,001
Asup(y*) = В Д(х*) = 0,01009...,
Alin(y*) = lb(0)l Д(х*) = 0,01,
А(у*) = sup lx10 - II = 1,00110 - 1 = 0,010045.... lx - II <0,001
В этом случае верхняя оценка, предельно точная оценка и линейная оценка отличаются несущественно.
2) Здесь
В = sup НО • х91 = 10 • (1,1)10 = 23,...,
lx — II <0,1
Asup(y*) = В Д(х*) = 2,3...,
Alin(y*) = lfc(0)l Д(х*) = 1,
А(у*) = sup lx10- II = 1,110- 1 = 1,5....
1х- и <0,1
Различие между рассматриваемыми величинами в этом случае более заметно.
□ 1.23. Получить линейную оценку погрешности функции, заданной неявно уравнением F(y, хр ..., хп) = 0.
Решение. Дифференцируя по х;, имеем -I-	= 0, откуда
) • При фиксированных xf,..., х* можно найти у* как решение нелинейного уравнения F(y, х*,..., х*) = 0 с одним неизвест-
18
1.2. Погрешность функции
,приво-
(У*, xf,..., х*)
ным у. Далее вычисляем значения b = - — I
7 ox- v оу /
п
дящие к искомой величине Alin(y*) = £ Ib l Д(х*). j = 1 7	7
□	1.24. Пусть у* — простой (не кратный!) корень уравнения у1 + by + + с - 0, вычисленный при заданных приближенных значениях коэффициентов Ь*, с*, и известны погрешности Д(Ь*) и Д(с*). Доказать, что
Л ИД(&*)+Д(С*)
A,in(/ ' " ~\2у* + Ь*\	
Указание. Воспользоваться решением 1.23, где F(y, Ь, с) = у2 + -h by + с - 0 — неявная функция, и вычислить следующие величины:
dF (dF V1 db V ду '
<У*, Ь\ с*)
У b =-
2у* + Ь* ’ 2	2 у* + Ь* '
□	1.25. Показать, что если уравнение из 1.24 имеет кратный корень, то погрешность приближенного значения корня имеет порядок О(7р ), где р = (Д2(Ь*) -I- Д2(с*))1/2 << 1.
Решение. Пусть в уравнении F(y, Ь, с) = 0 у* — двухкратный корень при b = Ь*, с = с*. Разложим F в ряд Тейлора в окрестности точки (у*, Ь*, с*):
F(y, Ь, с) = F(y*> b*> с*) + Fy(y*, b*, с*)(у-у*) + Ffe(y*, b*, с*)(Ь- Ь*) +
+ Fc(y*, b*> с*)(с-с*) + ^Fyy(y*, b*> с*Уу-у*У + о(р) = 0.
Из условия имеем
F(y*, b*, с*) = Fy(y*, b*> с*) = 0, i Fyy(y\b*, с*) = 1,
что приводит к неравенству
(у-у*У <	ь*, с*)ПЬ- Ь*1 + IFc(y*, b*> с*)11с-с*1 + о(р),
т. е. 1у-у*\ - О( л/р).
□	1.26. Показать, что в случае, когда алгебраическое уравнение
Z - 0 имеет корень кратности и, погрешность значения корня, вычисленного при заданных приближенных значениях коэффициентов я* с известными погрешностями Д(я*)> имеет порядок О(р1/п), где / N	\1/2
р= £Д2«)	.
V i = о	7
Указание. Воспользоваться решением 1.25.
2*
19
ГЛАВА 1. Погрешность решения задачи
□ 1.27. Имеется приближение у* к простому корню уравнения/(у) =
= 0. Вывести приближенное равенство у- у * »	•
Решение. Рассмотрим более общее уравнение/(у) = а и вычислим a* = f(y*). При малыху* -уиз равенства/(у) ~f(y*) = а-а* следует, что/'(у*)(у-У*) « а - а*, откуда получаем
у-у*я = «-ЛГ)
Заметим, что f'(y*)	0 в силу того, что у*— простой корень.
Полагая а - 0 (по условию), приходим к искомой формуле.
□ 1.28. С каким минимальным числом верных знаков надо взять 1g 2 для того, чтобы вычислить корни уравнения у2 - 2у + 1g 2 = 0 с четырьмя верными знаками?
Решение. Уточним условие. Если 1g 2 = 0,30102999566..., то корни принимают значения у1 = 1,83604425979... и у2 = 0,16395574020.... Требуется найти приближение к числу 1g 2, обеспечивающее значения корней у* = 1,836 и yj - 0,164. Теперь воспользуемся решением 1.24 при Ь = -2, Д(Ь*) = 0 и с= 1g 2. После подстановки в Alin(y*) = _ |у *| Д(Ь*) + Д(с*) имеем -----------------
АНП(УЬ ) =	= Д(с*) • 0,5980544....
2 71 - с*
Из этой формулы следует: если требуется в решении получить п верных знаков, то достаточно вс* взять также п верных знаков, так как постоянная, связывающая величины погрешностей, не превосходит единицы. Таким образом, требуется взять 1g 2 с четырьмя верными знаками, т. е. 1g 2 « 0,301.
Если вычисления провести аккуратно, то при 1g 2 « 0,301 получим у* = 1,83606... « 1,836 и у2 = 0,16393...« 0,164. Меньшее количество верных знаков брать нельзя: при 1g 2 « 0,30 имеем у* = 1,83666... « 1,837 и у2 = 0,16333... «0,163.
□ 1.29. Пусть ограниченные по модулю величиной М коэффициенты уравнения ay2 + by + с = О заданы с одинаковой относительной погрешностью 8. Найти максимальную абсолютную (относительную) погрешность, с которой могут вычисляться их корни.
Указание. Воспользоваться решениями 1.24 и 1.25.
20
Глава 2
Разностные
УРАВНЕНИЯ
Пусть неизвестная функция/и заданная функция/являются функциями одного целочисленного аргумента. Тогда линейное уравнение
Оо/(к) -h аху(к + 1) + ... + апу(к + п) = f(k), к = 0, 1, 2,...,
где i = 0,1,..., п — постоянные коэффициенты и а^ 0, ап 0, называют линейным разностным уравнением п-го порядка с постоянными коэффициентами. Если в этом уравнении положить y(k + i) = = ук + • и f(k) = fk, то оно принимает вид
«оУ* + а\Ук+1 + - + апУк+п = /к> к = 0,1,2,....
Для однозначного определения решения требуется задать п условий, например,
= bp i= 0, 1,... , и-1.
Как в постановках задач, так и в методах решения, имеется глубокая аналогия между рассмотренным разностным уравнением и обыкновенным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами
аоу(х) + й]У'(х) + ... + а„/п\х) = f(x).
2.1, Однородные разностные уравнения
Если в разностном уравнении правая часть fk равна нулю, то уравнение называют однородным. Напомним, как ищется общее решение однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Положим у(х) = ехр (Хх). Подставляя это выражение в дифференциальное уравнение и сокращая на ехр (Хх), получим характеристическое уравнение
р(Х) = Е л-А7 = 0.
j = o J
21
ГЛАВА 2. Разностные уравнения
Если Хр ... , Хг — различные корни этого уравнения кратности Ор ..., <5Г соответственно, то общее решение можно записать в виде
/ \ к.х ,	.	а. - 1 Х.,х ,	. Хгх .	.
у(х) = сие 1 + с12хе 1 +... + q х 1 е 1 + ... + crle r + cr2xe г +...
.	аг - 1 Лх
... + сГСТг х r е г ,
где с- — произвольные постоянные.
Аналогично ищется решение разностного уравнения. Положим ук = р*. Подставляя это выражение в разностное уравнение и сокращая на р*, получим характеристическое уравнение
р(р) = Е а;р7 = 0.
j=o 7
Пусть рр ..., рг— его различные корни, ор ..., ог— их кратности. Тогда общее решение однородного разностного уравнения имеет вид
Л = СцМ1 +	+ - + Сю, к°'~' pf +...
••• + Crl Hr + Cr2kVr + ••• + СГОг к°~ 1 Ц*,
где Сц— произвольные постоянные. Таким образом, каждому корню р кратности с соответствует набор частных решений вида р*, кр\ ..., кР~ *р*
□ 2.1. Найти общее решение уравнения
Решение. Найдем корни характеристического уравнения Ьр2 - ср + а - 0. Имеем
р, 2 = с , D = (? - 4лЬ.
r1’2 2Ь
Рассмотрим следующие три случая:
a)	D > 0, gj ц2 — вещественные:
Ук= ciMf +С2М*-
6)	D < 0, ц, 2 = pe±i<p — комплексно-сопряженные.
f arctg (/с), db > 0,
Здесь р = Jaib, <р = 5 л _ arctg (/с), с/b < 0,
1.Л/2,	с=0.
22
2.1. Однородные разностные уравнения
При этом ук = р/с(С1 cos кф + С2 sin кф). Так записывают общее действительное решение; для комплексного решения можно использовать формулу из п. а).
в)	D = 0, gj = ц2 = ц — кратные. Имеем
Ук~ С^к + С2кцк.
В предыдущих формулах Ср С2 — произвольные постоянные.
□	2.2. Найти общее действительное решение уравнения
П+1-П + 2П-1 = °-
Ответ: ук = (Jl )*(С] sin tap + С2 cos ktp), <р = arctg J?.
□	2.3. Верно ли, что любое решение разностного уравнения
У*+1	+ 6У*-1 = 0
удовлетворяет уравнению
Ук +1 - 9Ук + 27Ук-1 - 23П-2- 24yk_3 + 36yt_4 = О?
Ответ: да, так как характеристический многочлен второго уравнения делится на характеристический многочлен первого без остатка.
□	2.4. Пусть <рк и zk — частные решения уравнения
«1П+1 + «оП+ Й-1П-1 = °’ я1> й-1 # °-
Доказать, что определитель матрицы
А _ ( 4>к Фл-м \ Zk Zk + 1 )
либо равен нулю, либо отличен от нуля для всех к одновременно.
Указание. Для определителя Ik = det Ак справедливо разност-
ное уравнение Ik = Ik_v
Соответствующее утверждение можно обобщить на случай разностных уравнений более высокого порядка. Равенство нулю определителя означает линейную зависимость соответствующих частных решений.
□	2.5. Найти решение разностной задачи
Ук + 4 + 2П + з + 3Ук + 2 + 2Ук +1 + Ук = °> Уо = У1 = Уз = °> У2 = -!•
23
ГЛАВА 2. Разностные уравнения
Указание. Характеристическое уравнение имеет следующий вид (ц2 + ц + I)2 = 0. Отсюда получим
□	2.6. Показать, что для чисел Фибоначчи fk + j = fk 4- fk_ р f0 = 0, = 1 справедливо равенство
fkfk + 2~fl + i=^)k+^ * = 0> 1,2,....
Указание. Формула для чисел Фибоначчи имеет вид
= ± Г f1 + Vs
2

□	2.7. Вычислить определитель порядка к:
= det	'b с 0 	 0	О' а b с 0 	 0 0 а b с 0 ... 0
	0 0 ... 0 а b с <0 0 	 0	а Ь;
Решение. Разлагая определитель А* по первой строке, получим следующую разностную задачу:
Ак = b Ак_} - ас Ак_2, A} = b, A2 = b2-ac.
Отсюда формально находим Ао = 1, что упрощает последующие выкладки.
Найдем корни характеристического уравнения
ц12 = (Ь± Jb2 -4ас )/2.
Рассмотрим следующие два случая.
a)	D = Jb2 -4ас # 0, тогда
Д* = с.(
b-D}k, r (b+D\k
~) +СА~Т~) ‘
24
2.1. Однородные разностные уравнения
Из начальных условий Ао = 1,	= b получаем линейную систему
Ci + C2=l,^(b-D) + ^(b+D) = b,
°	z-1	1 ( 1 । b А 1 (1 b A
решение которой имеет вид 2 V р/ 1 = 2 v D>
Для случая ненулевого дискриминанта
д _ (b + Jb2 -4ас)к + х - (b- Jb2 -4ас)к + } 2к + x*]b2 - 4ас
6)	D = *]b2 -4ас - 0, тогда
Из начальных условий получаем линейную систему
с^с^ + с^ь,
решение которой Q = С2 = 1. Для случая нулевого дискриминанта
Данное решение можно получить из вида Ак для D # 0 предельным переходом при 4ас^ Ь2.
□ 2.8. Используя разностное уравнение, записать формулу для вычисления интеграла
/ (g)= 1 poS(/cx)-coS(M dX) я J cos х - cos а
о
где а — параметр из отрезка [0, я].
Указание. Можно показать, что
4-1 + 4+1 = 24cosа> 4 = °>Л = 1>
откуда для 0 < а < п следует формула 4(a) =	• Для оставшихся
значений корни характеристического уравнения кратные, поэтому формула имеет другой вид.
25
ГЛАВА 2. Разностные уравнения
□ 2.9. Найти решение разностного уравнения
Ук + 2-Ук + 1 + 2Ук~Ук-1 + П-2 = °>2< k^N-2, удовлетворяющее следующим краевым условиям:
2/2 “Xi + Уо = 2>
Уз ~Уг + У1 ~Уо = °>
Уы-з_ Уы-2 + Уы-1 ~ Уы ~ О’ 2Уы-2~Уы-1 + Уы = 0-Решение. Характеристическое уравнение имеет вид
Ц4 - Ц3 4- 2ц2- Ц + 1 = (ц2 - Ц + 1)(ц2 4- 1).
Следовательно, общее решение можно записать так:
ук = С1 cos 5 к 4- С2 sin 5 к 4- С3 cos 5 к 4- С4 sin 5 к.
Для определения постоянных воспользуемся краевыми условиями
с матрицей D следующего вида:
sin (2я/3)	-1	-1
0	0	0
sin(Nn/3)	0	0
. (N-2)n	( Nn . Nn\ Nti . Nrc
sin i- l^cos — 4- sin — j cos — - sin —
cos(2л/3) 1
cos (Nn/3)
(N-2)n
COS i----—
3
Определитель этой системы равен -2 sin (Nti/3) cos (Nh/2) и отличен от нуля, если N четное, но не кратное 3. В этом случае С1 = С2 = 0, С3 = С4 = -1.
Ответ: если N четное, но не кратное 3, то решение имеет вид ук - -(cos (л/с/2) 4- sin (лк/2)), 0 < к < N.
В противном случае решение либо не существует, либо оно не единственное.
□	2.10. Предложить удобную форму записи решения уравнения Ук+1 -2РУк + Ук-1 = °>к = ь 2> -; р>°-
26
2.1. Однородные разностиые уравнения
Ответ: при р < 1 положим р = cos а (а 0), тогда ук = Сх cos ка + + С2 sin ка. При р > 1 положим р = cosh а, тогда ук = С\ cosh ка + + С2 sinh ка. При р = 1 имеем ук = С1 4- С2к.
□	2.11. Показать, что если -1 < к < 1, то любое решение разностного уравнения
Л+1-2ХП + П-1 = 0
ограничено при к —* °°. Если X — любое комплексное число, не принадлежащее интервалу действительной оси -1 < X < 1, то среди решений этого разностного уравнения имеются неограниченные при к^ оо.
Решение. Если z— корень характеристического уравнения z2 - Tkz + 1 = 0, то 1/z— другой его корень. Ограниченность решений разностного уравнения равносильна следующему условию: корни характеристического уравнения различны и лежат на единичной окружности. Поэтому (см. 2.10) решение ограничено, если только zx 2 = cos а ± i sin а, а 0, л. В этом случае X = cos а.
□	2.12. Найти общее решение уравнения второго порядка: 1) ук + 2 --ук+1 - 2Ук = °;2) Ук+2~ 5Ук+1 + 4п = °;3) п+2 - 4п+1 + 5п = °-
□	2.13. Найти общее решение уравнения третьего порядка: 1) ук + 2 + + Ук+ 1 + 5Ук + ЗУк-1 = 0; 2) ук + 2 - 5ук + ] + 8yt-4yt_ J = 0.
□	2.14. Найти общее решение уравнения четвертого порядка: О Ук+г + 2Ук+Ук-2 = °;2) Ук+4 + Ук = °-
□	2.15. Доказать, что любое решение разностного уравнения
Ук + ! - 12у*_! 4- 2ук_2 + 27yt_3- 18у*_4 = 0 однозначно представимо в виде суммы решений уравнений
Ук+1 - 3П-1 + 2Ук-2 = 0 и Ук+1 ~9Ук-1 = °-
□	2.16. Найти решение краевой задачи
Ук+1~Ук + Ук-\=°>1<к<1^-^
Уо= 1>yN = 0.
Ответ: если N не кратно 3, то
. (N-k)K/. Nn
Ук =sm з 'sin — •
В противном случае решения не существует.
27
ГЛАВА 2. Разностные уравнения
□	2.17. Найти решение системы
ак+ 1 = (ak+bk)/2, bk + i = (ak+} + Ьк)/2, если др Ь1 заданы.
□	2.18. Найти общее действительное решение уравнения 2ОП-1"8П + П+1 = О.
Ответ: ук = (^2Ь)к(С1 sin fap + С2 cos fap), <р = arctg (1/2).
□	2.19. Найти общее действительное решение уравнения 2n-i-2yt + yt+1 = 0.
Ответ: ук - (J2 )к(С} sin (кл/4) + С2 cos (кл/4)).
□	2.20. Найти общее действительное решение уравнения 26^., + 10yt + yt+1 = 0.
Ответ: ук = (j26)k(C{ sin fap + С2 cos fap), <p = л + arctg (1/5).
□	2.21. Найти общее действительное решение уравнения ^Ук-1+4ук + ук+1 = 0.
Ответ : ук = (Л/13)*(С1 sin fap + С2 cos fap), <р = л + arctg (3/2).
□	2.22. Найти решение разностной задачи
П + 2 + 4П+1 + 4П = О’Уо= 1,У1 = 4.
Ответ: ук = (-2)*(1 - Зк).
□	2.23. Найти решение разностной задачи
П + 2 + 3П+1 + 2П = О,уо = 2,у1 = 1.
Ответ: ук = (-1)1(5-3 • 2к).
□	2.24. Найти решение разностной задачи
П + 2 + П = О’>'о = 2,У1 = 1.
Ответ: ук - 2 cos (л£/2) 4- sin (л£/2).
28
2.1. Однородные разностные уравнения
□	2.25. Найти решение разностной задачи
П +1 - 4Ук + П-1 + 6Л-2 = °> Уо = 6> У1 = 12> У4 = 276-Ответ: ук = (-1)* + 2к + 1 + Зк + *.
□	2.26. Найти общее решение уравнения
Ук + 4 - 2Ук + 3 + 3Ук + 2 + 2Ук+ 1~4Ук = °-Ответ: ук = Q + С2(-1)* + 2*(С3 cos (nfc/3) + С4 sin (л£/3)).
□	2.27. Найти общее решение уравнения
Ук + 4~7Ук + з+ 18П + 2-20П+1+ 8П = 0-
Ответ: ук = С} + 2к(С2 + С3к + С4к2).
□	2.28. Найти общее решение уравнения
Л + 4 + 8П + 2+ 16п = °-
Ответ: ук = 2*[(С] + С2к) cos (ттк/2) + (С3 + С4к) sin (пк/2)].
□	2.29. Вывести и решить разностное уравнение для коэффициентов ряда Тейлора функции 1/( t2 + t + 1).
Указание. Полагая
f |	•'0 •'1	72	Jm >
найдем
1 = (г2+г+ 1) (/0 +/,t + f2t2 + ...+fmtm + ...), откудаf0 = 1>/о +/i = °’ fk + 2 + fk+1 + fk = °> k > °-□ 2.30. Пусть задана последовательность интегралов
оо
Ik = J хке~х sin х dx, к > 0. о
Показать, что для целых неотрицательных п справедливо равен-ство	+ з = °-
Решение. Заметим, что Ik = Im [ J Хке~х + [х dx]. Обозначим через Кк вещественную часть этого выражения:
Кк = J хке~х cos х dx, к >0.
о
29
ГЛАВА 2. Разностные уравнения
Интегрируя по частям, имеем систему разностных уравнений
с начальными условиями Io = KQ = 1/2. Если положить Ik = ^Jk* ^к ~
=	1к, то исходная система с переменными коэффициентами пере-
ходит в систему с постоянными коэффициентами
Л = Л-1 + 4-р?о= lk = -jk_ j + 1к_ р - 1/2.
Исключая 1к, получим разностное уравнение второго порядка относительно^:
ik + 1 “ У к + 2jk- 1 “ О’ Л) ~	= 1.
Его решение имеет вид
Л= ± [а н-о*-1 + а-о*-*], 1 =
Отсюда находим
Заметим, что (1 -F i)4 = —4 = (1 — i)4, следовательно,
J4„ + 3 = (-4)"Л =	[(1 + 2i + i2) + (1 -2i + i2)] = О,
откуда 14п + з = 0.
□ 2.31. Для целых положительных чисел а0 > а1 наибольший общий делитель находится последовательным делением а0 на а19 затем — на первый остаток и т. д. Указать оценку сверху для числа делений (длину алгоритма Евклида).
Решение. Обозначим частное от деления ai на ai+ j через di и запишем систему равенств
ао ~ a\d\ + 4z’
Cl। — Cl2d2 4
am-2 ат-\^т-\+ат’
am- 1 —
Наибольшее количество операций деления т имеет место в том случае, когда все dv d2,..., dm равны единице (доказать почему!). По-
30
2.1. Однородные разностные уравнения
этому введем числа у0,	..., ут при условиях у0 = 0, yt = 1, yi+ j =
=	! + Ур Для которых справедливы неравенства
“т + 1 = У(Р ат > Ур - > «2 > Ут-р > Ут.
Последнее из них можно использовать для определения т, если известно выражение ут = f(m). Но ут — числа Фибоначчи, поэтому
_ 1 Гр + 75	М-75Г1
Ут 752 J I 2 ) J’
т. е. при всех т справедливо неравенство
Отсюда после логарифмирования имеем
lg (1 + а}) + 1g 75 т <-------———.
lg ((1 + /5)12)
Обозначим через р число цифр в av Тогда числитель lg ((1 -I- ах)/5)« « р. Поскольку lg ((1 + /> )/2) < 1/5, получаем т < 5р. Это неравенство называют теоремой Ламе.
□ 2.32. Пусть задано к чисел: fp ..., fk_ j и построена последовательность
1 к - 1	1	к	]	к + 1
fk=i S /а А+|=| 2 f:, fk+2=i Z Z,....
К к j=0 1 JK*' к j=i J JK + Z Jc j = 2 1 Найти lim f.
Решение. Функция fm удовлетворяет разностному уравнению
fm+ к = г fm + j’	t1)
К j = о J
характеристическое уравнение которого имеет вид
ц*-	+ Ц*"2 + — + 1) = 0.
Это уравнение имеет один корень, равный единице: щ = 1, остальные корни различны и по модулю меньше единицы: Iц-1 < 1, i= 2, 3,..., к. Поэтому общее решение fm уравнения (1) имеет вид
fm “ Ci + С2Ц™ + Qpf1 + ... + Скр™ .
31
ГЛАВА 2. Разностные уравнения
Постоянные Ср С2,..., Ск находятся из начальных условий
Q	+	С2	+	...	+	Ск	—	/)>
G	+	С2Ц2	4-	...	4-	Qm	=	fp
Cl	4-	С2^2	1	+	...	4-	Скц£	1	=	fk_v
Эта система имеет единственное решение, так как все корни ц-, i = 2, 3,..., к, — простые.
Так как все I pfl < 1, то lim fm = СР Для определения Ср чтобы избежать решения системы относительно Ср С2,..., Ск, воспользуемся искусственным приемом. Коэффициент Сх линейно зависит от на-
к-\
чальных данных (доказать почему), т. е. Сх = Е а £, где а выражают-j=Q J J	J
ся только через корни характеристического уравнения ц-, следовательно, от начальных данных не зависят. Напомним, что разностное уравнение к-го порядка однозначно определяется к подряд идущими значениями f0,fp..., fk_,, или/р/2,... ,fk, или, вообще, fjyfj+ р... ,fj+ к_, при любом j > 0. При этом для рассматриваемого уравнения всегда будем получать одно и то же решение fm с одними и теми же постоянными Ср С2,..., Ск. Поэтому можно написать равенство
С| - £oajfj - Д ал6 +1 “ Д 1
с произвольным фиксированным L Воспользуемся первым равенством сумм
aofo + а1/1 + — + ак - 1 fk- 1 = ао/1 4" а!^ 4" ••• 4" а^_ J г .
Учитывая произвольность начальных данных /р ... ,fk_x, приравняем коэффициенты при одинаковых Д из обеих частей последнего уравнения:
«0=
«1 = «о + |afc-I = 2ao a2 = «l + |afc-l =3a0
«-fc-1 = OCfc-2 + |«/l-l = fca0-
32
2.2. Вспомогательные формулы
Следовательно,
— ао	^)//>
J=0	J
и остается определить а0. Для этого положим f0 = fx = ... - fk_ j = 1; тогда fm = 1, и lim f = C. = 1. Отсюда имеем an = 2lkl(k -h 1), и окон-чательно получаем
lim 7m=Ci^2/o + 2/' + 3/2 + - + Vt-1
k(k + 1)
Пусть k = 2yfQ = 1, /J = 2, тогда последовательность fm следующая:
1,2, р ,..., а ее предел равен 2-?-±-1- = |.
Z 4 о	+ 1) э
2.2.	Вспомогательные формулы
Пусть (р-— функция целочисленного аргумента i. Введем обозначения для разностей вперед и назад:
Дф, = ф,+1 - ф, > ^ф, = ф, - ф,-1-
Разности более высокого порядка определяются рекуррентно:
Aw(pr.= Д(Д"1’1ф/), т> 1.
Рассмотрим ряд полезных соотношений.
Формулы «разностного дифференцирования» произведения.
Известна формула дифференцирования произведения функций
А |»(х)г(х)| = dx	dx	dx
Аналогичные формулы для разностей имеют вид
Д («,%•) = и, Д+ у- + j Дui = ui+ j Ду- + у- Дмр
V(w-y-) = ui_ j Vy;- + У,- Vu- = ut Vyf + yf_ j Vi/;.
При их проверке достаточно учесть, что Дф;_j - V(p?
□ 2.33. Получить выражения для Д*<pf и в виде линейной комбинации значений ф-.
Ответ: Д*ф; = Е	С/ф, . где С/—биномиальные ко-
-------- 7 = о	К	К
эффициенты.
1025
33
ГЛАВА 2. Разностные уравнения
□	2.34. Найти общее решение уравнения
Д3Фк-ЗДф* +2<^ = 0.
□	2.35. Решить уравнение А3фд. = 0 при начальных условиях ф0 - cpj = = 0, <р2= 1.
Разностные аналоги интегрирования по частям. Рассмотрим выражение ь	ь
J u'(x)v(x) dx = m(x)v(x) - J m(x)v'(x) dx a	a
и введем суммы
N-l	N	N-l
(ф, ф) = S ф,ф,> (ф> ф] = Z ф.ф,, [ф, ф) = Z ф;ф,> i = 1	i=l	/ = 0
b
—	аналоги интеграла J ф(х)ф(х) dx. С помощью формулы Абеля а
N-l	N-1
Z (я,+ )-я;)Ь, = - Е (Ь,+ |-Ь,)я,+ 1 + aNbN-aobQ г = 0	i = 0
можно показать справедливость формулы суммирования по частям (ф, Дф) =-(Фф, ф] з-Ф^-ФоФр
N
□ 2.36. Вычислить сумму — S i2\
i = 1
Решение. Положим u- = i, Av- = 21. Имеем
у1+1 = к + 2‘ = S 2*+ v0 = 2i+ 1 - 1 + v0.
1+1 I	к=0	и	и
Чтобы выполнялось условие vN + j = 0, достаточно положить v0 = 1 -
- 2N+ Далее применим формулу суммирования по частям
N	N	N+ 1
^i2l = S W/Av^- S v^A^.-ь wN+1vN+1-uov1 = i = 1 i = 1	i=l
N+ 1
= - S (2‘-2N+1) =-2(2N+1-1)+ 2N+1(N+1) = (N-1)2N+1+ 2. i= 1
Ответ: SN= (N- 1)2N+ 1 + 2.
n .
□ 2.37. Вычислить сумму SN= X a 1-
i= 1
a' - a™
Указание. Положить u, = i, Av- = v, =----, vw , , = 0.
I	l	l a _ | IN + 1
Ответ: SN= [aN+ x(N(a- 1) - 1) + a]l(a- I)2.
34
2.3. Неоднородные разностные уравнения
□ 2.38. Вычислить сумму SN — S i(i- 1).
i = 1
Ответ: SN = (N3 - N)/3.
Разностные формулы Грина. Формулы
ь
J u(x)Lv(x) dx = а
b	b
= -J fc(x)w'(x)v'(x) dx- Jp(x)u(x)v(x) dx+ к(х)и(х)у'(х)|д, a	a
b
J [u(x)Lv(x) - Lm(x)v(x)] dx= fc(x)[u(x)y'(x) - u'(x)y(x)] |£> a
где £y(x) = (fc(x)v'(x))' ~p(x)v(x) называют соответственно первой и второй формулами Грина для оператора I.
□	2.39. Доказать справедливость соотношений
(ф, ДУф) =-(Уф, Уф) + Ф„_1Уф„-ф0Уф1>
(ф, ДУф) - (А Уф, ф) = ф„_	Ф^_ j + Ф^о ~ <PoVi-
Указание. Воспользоваться формулой суммирования по частям.
□	2.40. Вывести формулы Грина для разностного оператора
Лф, = А (л - Уф-) - d^i = а1+ /ф-+ j - ф,) - лДф,- ф;_
Ответ: (ф, Лф) = -(а Уф, Уф] - (<7ф, ф) + (дф Уф^- ф0(я ^ф)р
(ф, Лф) - (ф, Лф) = ^(ф Уф - ф Уф)„ - а/фо Уф! - ф0 Уф!).
2.3. Неоднородные разностные уравнения
Пусть yQk — общее решение однородного, ук — частное решение неоднородного уравнения. Тогда общее решение линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами можно представить в виде их суммы
У к = У к + Ук-
Если правая часть имеет специальный вид, то частное решение можно найти методом неопределенных коэффициентов. Пусть
fk = ак(Рт(к) cos $к + Qn (к) sin pk),
3*
35
ГЛАВА 2. Разностные уравнения
где Рт(к), Qn(k) — многочлены степени т и п соответственно. Тогда частное решение ищут в виде
у[ - ksak(Rj(k) cos pfc + T^k) sin fik),	(2)
где 5 = 0, если аеи0 не являются корнями характеристического уравнения, и 5 равно кратности корня в противном случае; I = шах (ш, и) — степень многочленов R^k) и Т^к). Чтобы найти коэффициенты этих многочленов, надо подставить выражение (2) в неоднородное уравнение и приравнять коэффициенты при подобных членах.
□	2.41. Найти частное решение уравнения
2П-Л+1 = 1 + 2fc-fc2.
Решение. Корень характеристического уравнения ц = 2, поэтому частное решение ищем в виде yl = bk2 + ск+ d. Подставим его в уравнение
2bk2 + 2ск +2d-[b(k + I)2 + с(к + 1) + d] = 1 + 2fc-fc2Vfc. Совпадение коэффициентов при линейно независимых функциях приводит к следующим равенствам:
при к2 2b - b = -1,
при к1 2с - (2b + с) = 2,
при /с° = 1 2d - (b+ с+ d) = 1.
Отсюда имеем Ь = -1,с=0, б/=О, следовательно, у£ = -к2.
□	2.42. Найти частное решение уравнения
2Л-П+1 = к2к-
Решение. Корень характеристического уравнения ц = 2, поэтому частное решение ищем в виде у[к = 2kk(bk -I- с). Подставим его в уравнение
2k+l(bk2 + ck)-2k+i(b(k + l)2 + c(fc+ 1)) = к2к V к.
Совпадение коэффициентов при линейно независимых функциях приводит к следующим равенствам:
при 2кк2 2b-2b = 0,
при 2кк[ 2с - (4b + 2с) - 1,
при 2ккР -(2b + 2с) = 0.
Отсюда имеем b = -1/4, с - 1/4, следовательно, ук - 2к~2(к - к2).
36
2.3. Неоднородные разностные уравнения
□ 2.43. Найти частное решение уравнения
2П--П + 1 = sin к-
Решение. Корень характеристического уравнения ц = 2, поэтому частное решение ищем в виде = с sin к + d cos к. Подставим его в уравнение
2(csin к+ dcos к) - (csin (к+ 1) + dcos (к+ 1)) = sin к V к.
Так как sin (к + 1) = sin к cos 1 + cos к sin 1 и cos (fc + 1) = cos к cos 1 -- sin ksin 1, то совпадение коэффициентов при линейно независимых функциях приводит к следующим равенствам:
при sin к	(2 - cos 1)с+ dsin 1 = 1,
при cos к	(2 - cos V)d - с sin 1 = О,
следовательно,
2 - cos 1	1 sin 1
с =-------, d =--------
5-4cosl 5-4cosl
и
i 2 - cos 1 . i ,	sin 1	»
у I =-------- sin к +----- cos k.
K 5-4cosl	5-4cosl
□	2.44. Найти решение разностной задачи
Ук+1~ьУк = ак’ Уо = 1 (я>Ь*0).
Ответ: корень характеристического уравнения ц = Ь, поэтому возможны два случая:
при b # а имеем w = -—bk -I- ——г ак,
К a-b а-b
при Ь- а имеем ук = ак~ !(л + к).
□	2.45. Найти решение разностной задачи
n +1 - П -1 =	= °’/2 = °-
Решение. Преобразуем уравнение к виду = _1 ( 1 - 1 1 П+1 Ук-1 2Vfc+l ЫА
Отсюда находим частное решение ук =	- Окончательно имеем
У	к= ^(3-(-1)*)-± о	2к
37
ГЛАВА 2. Разностные уравнения
□	2.46. Найти решение разностной задачи с переменными коэффициентами
n+|-fcn = 2^!>
Решение. При к - 0 из уравнения получим у{ = 1. Запишем исходное уравнение в следующем виде:
yk+i = (2k(k-iy + yk)k.
Воспользовавшись заменой ук - zk(k - 1)!, приходим к разностной задаче для zk
zk+'-zk = 2k’ zl = 1-
Найдем ее решение: zk = 2k- 1, следовательно, ук = (k- l)!(2fc- 1).
□	2.47. Найти решение нелинейной разностной задачи
Ук
71+1 = гтг;7о=к
Решение. Исходное уравнение эквивалентно следующему:
= 1
?к + 1	1 /ук + 1 ‘
Заменяя ук= \/zk, получаем zk = к -I- 1, откуда ук = —— .
к 4" 1
□ 2.48. Найти решение нелинейной разностной задачи аук + b
Ук+'~ cyk + d,y°~ ’
при условии (a - d)2 + 4bc> 0.
Решение. Положим ук = uk/vk, тогда
ик+\ = аик+ bvk vk + 1 CUk + dvk ’
Рассмотрим систему
ик+1 = аик + bvk> vk+1 = сик + dvk>
из которой следует уравнение второго порядка
vk + 2 = (a + d)vk + ] - (ad-bc)vk.
Его характеристическое уравнение имеет вид ц2 - ц(я + d) + ad - be = 0,
38
2.3. Неоднородные разностные уравнения
а корни соответственно равны
..	а + d i 1(а + d)2	~
М1,2= — ±>|	4	-(ad-bc).
Из условия на коэффициенты следует, что дискриминант больше нуля, значит, вещественные корни различны щ # р2, следовательно, vk = Apf + Вр£. Из второго уравнения системы получаем
= Vk+l~dVk = 1 [Aji* (И1 - d) + Вц* (ц2 - </)].
Подставим полученные выражения в ук и разделим числитель и знаменатель, например, на Apf:
_	_ Hl -<^ +
Ук Ч с[1 + ^(И2/М1)Ч
Здесь через К обозначена пока неизвестная постоянная (К = В/А). Определим ее из начального условия у0 = 1:
р1 - d + К(р2 - d)
с(1+К)
1 =
Pi-(c+d) отсюда К - --------- .
ц2-(с+
□	2.49. Найти частное решение уравнения П+2-П+1-6Л = 4-2*-
Ответ: ук = -2к.
□	2.50. Найти решение разностной задачи П + 2~4П=5-3<:’	Уо = °>	П =	1>
Ук + 2~4Ук = 2к>	/о = 0’	У1 =	1’
П + 2-4П+1+4П = 2*>	/о = °>	У1 =	1-
□	2.51 . Найти решение разностной задачи
5.5	,
П + 4"2^ + з+
Уо = °> У\ = И> Уг = ~8> Уз = 6-
39
ГЛАВА 2. Разностные уравнения
□	2.52. Вычислить сумму
к
Sk= Z апу ап = (1 + п + п2) cos Ри. п = О
Указание. Решение удовлетворяет разностному уравнению
S к +1 - Sk = ак + ! и начальному условию $0 = а0.
□	2.53. Найти решение нелинейного уравнения
Решение. Преобразуем исходное уравнение к виду Л+1(1-П) = 1-П + 1
и запишем его в более удобной форме
Уы _ 1
1 - У к + 1	1 - У к'
Заменяя ук = 1 - l/zk, получаем разностную задачу для zk: zk+l- zk= 1. Отсюда
= Уо + к(1-Уо)
Ук 1 + к(1-у0)’
□	2.54. Найти решение нелинейной разностной задачи
Ук + 1 = 2-1/Ук>Уо = 2-
Решение. Преобразуем исходное уравнение к виду
сделав замену ук = 1 + 1/гк, получим zk+ j = zk + 1, откуда yk= (fc-h 2)/(fc-h 1).
□	2.55. Найти решение нелинейного уравнения
Л2 + 1 - ri = 1, А: > о.
Ответ: ук = Jk + С ,С>0.
□	2.56. Найти решение нелинейного уравнения
Л2 + 1 =2Ук-
40
2.3. Неоднородные разностные уравнения
Решение. Прологарифмируем обе части уравнения и выполним замену zk = log ук. Получаем уравнение
2^ + 1 -	= log 2,
общее решение которого
zk=C^/2)k + \og2,
следовательно, ук = 2 С(1/2)*.
□	2.57. Найти решение нелинейной разностной задачи
УкУк + 2 = Ук + I Ук + з> Уо = 1> У1 = е’1/2> У2 = е‘2-
Ответ: ук = е к 12 (см. решение 2.56).
□	2.58. Найти решение нелинейной разностной задачи
при условии (а - d)2 + 4bc = 0.
□	2.59. Найти частное решение уравнения 1 з	(1 У
Ответ: ук = 4к2~к.
□	2.60. Найти частное решение уравнения
Ук + 1~Ук-12Ук-1 = 4к-
□	2.61. Найти частное решение уравнения ЗП+1 + 17Л-6П_, = (1/3)*.
Ответ: ук= 3- 3"*.
□	2.62. Найти частное решение уравнения П+1-5П + 6П-1 = 2*-Ответ: ук = -к2к.
41
ГЛАВА 2. Разностные уравнения
□	2.63. Найти общее решение уравнения
1 - + 1 = cos
□	2.64. Найти общее решение уравнения П + 2-2Л+1-3П + 4П-1 = ^
Ответ: w = С, + С J —— + СJ —— - — к - - к2. -------- /к 1 2V 2	/	3<	2	>	16	8
□	2.65. Найти общее решение уравнения
У*+1+У*-5ук_1 + Зу)1_2=1.
Ответ: ук = С{ + С2к + С3(-3)* + | к2. О
□	2.66. Найти общее решение уравнения
yfc+1-2у*-8У*-1 = «in
Ответ: ук = Сх(-2)к + С24* - Z£252_±2 sjn _ 9s^11 Cos к, где D = (2 + 7 cos I)2 + (9 sin I)2.
Отыскание частного решения методом вариации постоянных. Пусть требуется найти частное решение уравнения
Ук + 2 + акУк+1 + ЬкУк = /к’ ьк*^ fc = 0,±l,±2,...,	(3)
общее решение которого при fk = 0 имеет вид
уО _ £(1)^(1) +с^у<к2\
где у<1 > и у<2> — линейно независимые функции. Будем искать частное решение у[ в виде
Yk= CWy<^ + С(2)у<2),	(4)
считая и С<2) не постоянными, а переменными функциями аргумента к (при Д # 0). Из формулы (4) имеем
n., = cR',>W, +сй’,гй|1 = = <=?><’, + q»rf], + rt'i, лс;ч + урл лс«.
42
2.3. Неоднородные разностные уравнения
где Л	j - ,j = 1,2. Потребуем, чтобы для всех к выпол-
нялось равенство
АС<2>=0,	(5)
тогда
Yk+r=C^y^\ +С^2+\;	(6)
увеличивая индекс к на единицу, получим + С1»!У1»г =
= ЧМ'Л + с;»|Л<»2 + [я!^ дел1, + /А ДСГЛ].
В силу выполнения равенства (5) при замене к на к -I- 1 выражение в квадратных скобках равно нулю, откуда
1^ = 4», yj», + С1»,у1»г = +c^rA +уЛ)2Дс<,| + УЙ|глс(г|- (7) Подставим выражения для Yk+ 1 и Yk + 2 (формулы (6) и (7)) в исходное уравнение (3). Так как у^ и у<2) — частные решения однородного уравнения, получим
Л = У*+2 + «Л+. + ькУк= Ф У^2 + Ф ф2 + ф2 Д Ф + + ф2 Д ф + ср ф\ + cytfh ] + Ьк[ ср ф + с<^)] = = ф [л(1+2 + М+\ + М° ]+ Ф [Л+2 + М+1 + М2) ]+ + П(>)2 дер + ф)2 дер = ур2 дер + ф)2 дер.
Таким образом, A Q1) и А С^2) должны при всех к удовлетворять системе уравнений ф, Дф+Ф, Дф=о,
(8) ур)2дс(»+ф2дср=л.
Напомним, что первое уравнение системы — это уравнение (5). Определитель системы (8), обозначим его через
,,	_ Я'2, д’1.1,
de4+l, к + 2	(1)	(2) ’
43
ГЛАВА 2. Разностные уравнения
отличен от нуля при всех ку так как и у<2) — линейно независимые решения. Поэтому можно записать
v(2)	V(D
ACP> = ~det Л^'>> AC*2) = det fk=F^
aelk+ 1Д + 2	аеЧ+ 1Д + 2
Из этих соотношений находим и :
Ср = Д ^21 + Ср, 1= 1,2.
Так как мы ищем частное решение уравнения (1), то можно положить	= 0. Окончательно получим
к v.(l)v,(2)_ v(l)v(2)
Ук= S У-^-Ц—
к j= 1 det, : , ,	7 1
□ 2.67. Найти частное решение уравнения
Л + 2-5Л+1 +6yt = 6*+1.
Решение. Линейно независимые решения однородного уравнения имеют вид
= 6Л
у^ = 2ку у(2> = 3*, det
Y = z у^у^-уГу^ к 7=1 det,,Ml к	к
2J У 2;+1 з;+1 Воспользуемся формулой для частного решения
V _ v	f = £ 2>Зк - 2к3>	_
hl j=\	6)
= Зк t 2>-2к Ё 3>= - -6к+- -2к-2-Зк. 7=1	у=1	2	2
□	2.68. Найти методом вариации постоянных формулу для решения разностного уравнения
Ук+1 + акУк = /к’ак*°> к = 0,11,12,....
□	2.69. Найти решение разностной задачи
П+1-«П = Л>	У0 = с.
Ответ: ук = сак + Z г
□	2.70. Пусть для элементов последовательности ук справедливо
Ук+ I < аУк + fk’ k>Q> Уо = с> а > °-
Найти оценку для ук в зависимости от а, с, fiy i = 0,..., к - 1.
44
2.3. Неоднородные разностные уравнения
Решение. Из 2.69 следует, что решение уравнения vk+i = avk + fk’vo = yo
к - 1
имеет вид vk = сак + ^ajfk_-_ г Теперь покажем, что ук < vk. Вычтем уравнение из неравенства
Ук +1 - vr + 1 < <Ук~ vk) < - < ак+ '(Уо- vo) = °-
Отсюда получаем ук <
сак+ Z dfk:X, к>0.
j=o К 7 1
□	2.71. Найти общее решение уравнения
ук+х- ехр (2к)ук = 6к2 ехр (к2 + к).
Решение. Найдем сначала решение однородного уравнения ук+ , = ехр (2к)ук = ехр (2к) ехр (2(к- 1))ук_у
к
ук+1 = ... = ехр(2 S ])У\ = ехр(к(к + 1))у,.
j= 1
Отсюда имеем
у% = Сехр (к(к- 1)).
Далее методом вариации постоянных найдем частное решение неоднородного уравнения
у[ = 6 ехр (к(к- 1)) Z j2 = к(к- 1)(2к- 1) ехр (к(к- 1)).
j=1
Ответ: ук- [С+ к(к- 1)(2к- 1)] ехр (к2-к).
□	2.72. Найти общее решение уравнения
<1кУк + 2 + ЬкУк+1 + скУк=/к’
где ак = к2-к + 1, bk = -2(к2 + 1), ск = к2 + к + 1,Д = 2к(к2 - 2>к + 1).
Решение. Заметим, что ск = akv t и Ьк = -(ак + ск)у поэтому данное уравнение можно переписать в виде
ак(Ук + 2-Ук+0-ак+АУк + х-Ук)=/к-	W
Частные решения однородного уравнения v^l) и у<2) выделим условиями
у(!) _ у(1) _	v{2) _ Q, у(2) _
45
ГЛАВА 2. Разностные уравнения
Эти решения линейно независимы, так как определитель отличен от нуля:
VO) V(D _
v(2) „(2) - 3-
Решение находится легко:	= 1, а для определения пре-
образуем (9) при Д = 0. Имеем
П + 2"П + 1 = ^(Л+1-Л) =	(у*-У*-.) = ••• = ^(Л-Уо)-
ак	ак-\	ао
Учитывая начальные значения для у<2>, получим
И2). - у(2) = Зя,. = 3(/с2 - к -h 1). к+1 к	к '	'
Окончательно имеем
у*2» = к(к2 - Зк + 5).
Общее решение исходного однородного уравнения имеет вид
у<°» = С, + С2к(к2 - Зк + 5).
[2i+'ar2iaj+i] =
Построим теперь частное решение неоднородного уравнения методом вариации постоянных
к - 2 у( 2) _ у( 2) г	к _ 2 у( 2) _ у( 2)
у(1) = s	h = х 2----
к '=° V)2?2 " Vj+1 °)	i=° 3aj+ia)
з j=0 k > 1 L«,+1
к- {хк_ ] - 2ЬХ_,].
Введем следующие обозначения: х- = v<2) - ^2)р z- = 24а-, и перепишем частное решение в виде
Применяя формулу суммирования по частям, получаем
По определению хк и zk имеем
XrXj-<= v*2)-v)2+>i=-3a;’ Xt_i=v(2)_v(2)=0> х_>=^-^2> = ^.
46
2.4. Фундаментальное решение и функция Грина
Отсюда
у(1) =	1 v'2> =2*-l-h(fc2-3fc + 5).
к j=Q 3 к	3
Ответ: yk = 2к + Cj + С2к(к2 - 3fc + 5).
2,4, Фундаментальное решение и функция Грина
Фундаментальным решением Gk называют решение разностного уравнения
^Ук + а1Ук+1 + - + апУк + п = /к
с правой частью специального вида Д =	где
§n-JO при к* пу
к ~ [ 1 при к = п.
□	2.73. Найти ограниченное фундаментальное решение уравнения аУк+ьУк+1 = 5к-
Решение. Обозначим искомое фундаментальное решение через Gk. Для определения Gk имеем три группы уравнений:
aGk + bGk + j= 0 при aG0 + bG1 = 1 при к = О, aGk + bGk+ j= 0 при /с>1.
При к < 0 возьмем Gk = 0. Тогда все уравнения первой группы выполнены, из второго уравнения следует, что G, = 1/Ь, а общее решение третьей группы уравнений имеет вид Gk = С|Д где ц = -alb. Определяя константу С из Gp получаем частное решение неодно
родного уравнения
о
< -I У a v b '
ч =
при
при
к < 0, к> 1.
Сложим полученное частное решение с общим решением ) од
нородного уравнения. В результате имеем
_ \А(-а/Ь)к	при к<Оу
к j (A- \ld)(-alb)k при к>\.
47
ГЛАВА 2. Разностные уравнения
Условие ограниченности выражается в виде зависимости постоянной А от величины \а/Ь\:
А=0 при
V А при
А - 1/а при
\a/b\ < 1, \a/b\ = 1, \a/b\ > 1.
□	2.74. Пусть \a/b\	1, \fk\ < F, a Gk— ограниченное фундамен-
тальное решение уравнения
яп + ьп+1=А-
Показать, что частным решением этого уравнения является сходящийся ряд
у'к = J Gk-nfn-
Gk-n~
Решение. Рассмотрим случай \a/b\ > 1. Из 2.73 следует, что
J - -- при к ч и, ] а V b /
' 0	при к > п + 1.
Каждый член ряда может быть оценен сверху членом сходящейся геометрической прогрессии
1 (а \к~п b '
fn
_F |&|"’* |«|N
поэтому ряд сходится. Кроме того, ряд является частным решением заданного уравнения
аУк + ьУк+1 = а £ Gk-Jn+b Е Gk+i-nfn = п - -СО	п - -ОО
СЮ	ОО
= S {aG^n+bGk^_n)fn = S 8?/„ = А. и = -ОО	п = -ОО
Для этого решения верна оценка
I и F v |Ь|"-* _ F
1^1 " |а| ЛЫ |«|-|Ь|’
т. е. полученное частное решение является ограниченным.
Случай \a/b\ < 1 рассматривается аналогично.
□ 2.75. Найти ограниченное фундаментальное решение уравнения П-|-2П + Л+1 = 5е
48
2.4. Фундаментальное решение и функция Грина
Решение. Для определения Gk имеем три группы уравнений:
! Gk-1 -2Gk + Gk+1 = ° при G_t - 2G0 + G| = 1 при k = 0, I Gk_ j - 2Gk + Gk + j = 0 при k>\.
Общие решения первой и третьей групп имеют одинаковый вид, отличающийся только постоянными
Cj" + С£ к при к < 0, к + С2+ к при к > 0.
Так как Go входит во все три группы уравнений, то из полученных соотношений имеем Go = Cf = Cf = А. Теперь воспользуемся уравнением при к = 0 для установления связи между С2 и С2+
(А- С2-)-2А + (А+ С2+) = 1.
Отсюда С2 = В, С2+ = 1 + В. Окончательное выражение для фундаментального решения имеет вид
| А + Вк при к < 0, к~\А + (В+1)к при к > 0.
Ограниченное решение не существует, поскольку В не может одновременно быть равным 0 и -1.
□	2.76. Найти ограниченное фундаментальное решение уравнения П-1-Л + П+1 = 5°-
Ответ: Gk =
A cos — + Гв+ ?^(1-2А)1 sin— 3 L 3 J 3
A cos — + В sin — 3	3
при к > 0,
при к < 0.
□	2.77. Найти ограниченное фундаментальное решение уравнения
П-1-^П + П+1 = 8°-
[ ЛЭ~к
Ответ: G, ~	,
------- к А2к
при при
к>0у к<0,
А = -2/3.
4 - 1025
49
ГЛАВА 2. Разностные уравнения
□	2.78. Найти ограниченное фундаментальное решение уравнения Л+1-5П + 6П-! = 8е
,, г \2к-Зк
Ответ: G,= ~
-------- К IО
при при
к>0.
□	2.79. Найти ограниченное фундаментальное решение уравнения
3Ук-1-^Ук + Ук+\ = 5к-
о	г ;С6к
Ответ: Gt=(C2_t
при при
к<0, к>0,
С= -2/11.
□	2.80. Найти ограниченное фундаментальное решение уравнения
1Ук-1~1Ук + Ук+1 = 5к-
_ f О	при к < 0,
Су Т В С Т . С/г. ] , (L л—к\	1 ''ъ л
---------- к 14(2 к- 4 к) при к >0.
□	2.81. Найти ограниченное фундаментальное решение уравнения
Ук+\-Ук~12Ук-\ = 5к-
г 1°	ПРИ	! /7
Ответ: Gt= rz/	С =1/7.
------- к [ С((-3)к - 4к) при к<0,
Разностная функция Грина для уравнения второго порядка.
Функцией Грина Gkl разностной краевой задачи называют фундаментальное решение, удовлетворяющее однородным краевым условиям. Например, для задачи
ЛП = Vyt) - dkyk = фр ак > 0, dk > 0, 1 < к < N- 1,
Уо = с’У1<-Ук-1 = ь>	(10)
под функцией Грина понимают функцию Gk •, определенную при фиксированном i для 0 < к < N, которая удовлетворяет краевым условиям
Go, i ~ 0, Gn , - Gn_ j • = 0
и уравнению по переменной к
^Gkj=4-
50
2.4. Фундаментальное решение и функция Грина
«Польза» от функции Gk j в первую очередь состоит в представлении частного решения неоднородного уравнения в виде
Ук= £ Gk,i4>f
I = 1
□ 2.82. Построить функцию Грина для уравнения (10) при краевых условиях у0 = 0, yN = 0.
Решение. Пусть ик и vk — решения задач Коши:
Л.ик = 0, и0 = 0, ах(их - Uq) = 1,
= 0, vN = 0, -aN(vN- vN_,) = 1.
Покажем, что они обладают следующими свойствами:
1)	ик — монотонно возрастающая, a vk — монотонно убывающая положительные функции, т. е. ик > 0, vk > 0, ик > ик_ р vk < vk_ р
2)	uN= v0;
3)	ик и vk — линейно независимые функции.
Докажем эти свойства.
1)	Из уравнения Аик = 0 и условия ахих = 1 следует, что
к - 1
«*(«*-=1+ S diu<-
I = 1
Так как правая часть равенства больше нуля и ак > 0, то последовательность ик монотонна, т. е. ик- ик_х > 0, и положительна в силу их > 0. Аналогично показывается, что 0 < vk < vk_ Р
2)	Рассмотрим вторую формулу Грина
N-1
°= S («JtAn-VltAult) = flN(UNVN-|-VNUN-l)-<Jl(UlVO-VlUo)-к = 1
Начальные условия щ и vN дают следующие соотношения: ах = 1 = !>т- е.
O = aNuNvN_l-alulvo^ uN-v0.
3)	Применим вторую формулу Грина от к = 1 до к - к0:
к) ~ I
о = {u^vk - Vk\uk) = ако (ико vko _ 1 - vko «to_ 1) - Vo.
Введем обозначение: det*.
ик
vk
ик-\
vk-\
. Тогда можно записать
0 = ак^ det^ - v0. Так как kQ произвольно, то ак^ det^ = v0 > 0, отку-
да следует, что det^ > 0, т. е. линейная независимость ик и vk.
4*
51
ГЛАВА 2. Разностные уравнения
Будем теперь искать функцию Грина Gk {в виде
= \Aiuk при i>k, fc'	| BjVk при i < к.
При i = к имеем Gk к = Акик - Bkvk и AGk к- 1. Перепишем последнее соотношение в виде
Bktak+ ivk +1 - (ак+ i + ak + dk)vk\ + акАкик-1 = !> ИЛИ
В4ДЧ Vvfc) - dkvk\ + ак[Акик_, - Bkvk_ J = 1.
Так как Avk = 0, то из последнего уравнения имеем
Акик-1~ Bkvk-t = ~ ‘ ак
Таким образом, для определения Ак и Вк получена система уравнений Акик ~ Bkvk = °> Акик-1 - Bkvk-1 = Uak’
определитель которой отличен от нуля в силу свойства 3). Решая систему, учтем равенство ак det*. = v0 = uN. Окончательно получаем
G I ПРИ i>k’ k'' I игУк при i < fc.
□ 2.83. Построить функцию Грина для следующих краевых задач:
1)	A2yjt_i = <pjl,yo = yN = O;
2)	ук+1 - 2 cos аук + ук_ j = <pt, у0 = yN = 0;
3)	П+1 + 2Ук + Ук-1 = Фр Уо = Ур Уы = °:
4)п+1-2со8ап+п-1 = фр дУо = Ум=°;
5)Л + 1-3П + 2П-1 = ФрУо = Ум^°;
6)	Ук +1 - 2АУк - Ук-1 = Фр дУо = Уы = °-
□ 2.84. Доказать, что решение разностной задачи
П-1-2П + П+1=/рУо = а>П/=₽
удовлетворяет неравенству
max \ук\ < max (lai, 101) + t • Указание. Решение удобно записать в виде yk = a + k^+NLGk
52
2.5. Задачи на собственные значения
где функция Грина представима формулой
-j-(k-N) при к > i, N	i= 1,..., N-1, к = 0,..., N.
ПРИ
<л,.=
2.5.	Задачи на собственные значения
□ 2.85. Найти все решения задачи на собственные значения
n+l2~/t'1 =-^>O<fc<N,yo = yN = O,/I=l/N.
Решение. Перепишем разностное уравнение в виде n+i +Wit-n-i = o-
Его характеристическое уравнение
р2 + 2/Лр -1=0
имеет корни Pj = -hk + 71 + h2k2 и р2 = -hk - 71 + h2k2. Можно показать (сделайте это самостоятельно), что при pj = р2 существует только тривиальное решение ук = 0, поэтому общее решение разностного уравнения имеет вид
Ук= +С2ц2<
Константы С\ и С2 определяются из системы
С] + С2 = 0, Cjh" + С2ц^ =0,
откуда получаем, что С2 = -С] и С/ - ц2 ) = 0, т. е. нетривиаль-ное решение разностной задачи существует тогда и только тогда, когда pf7 = р^7. Следовательно,
= ехр fi^ 1 m = 0,1,, N-1.
ц2 r V N )
-г	,	?	Л2лж А
1ак как PjP2 - -1, то pf - -ехр — J, откуда
. (•пт А .	( •пт А
Pi = 1 ехр J, р2 = 1 ехр (^-1— J.
53
ГЛАВА 2. Разностные уравнения
Поскольку
. пм . (	(•птУ ,	(	пт
Ml + М2 = -2/Л = 1 texP J + exp Г1-N J J = 21 COS “n ’ имеем
X(<") = -i cos m = 0,	1.
h N
Соответствующие решения исходной задачи таковы:
У(кт) = C/gf - ц2Ч = C.i^exp ) -exp ) ) =
= C.ik2i sin = Ci* sin , m = 0, 1, 2,..., N- 1.
1	N	N
При m - 0 имеем = 0, поэтому решение (X(o), следует отбросить. Отметим, что количество нетривиальных решений равно N- 1, что совпадает с размерностью задачи.
□	2.86. Найти все решения задачи на собственные значения
Л+1-2л + П. = _^ Q<k<N> yo = yN = o, h=l/N.
Решение. Характеристическое уравнение разностной задачи имеет вид
р2-(2-/12Х)р + 1 = 0.
Если корни характеристического уравнения вещественные, то разностная задача имеет только тривиальное решение. Действительно, пусть gj # р2 — вещественные корни. Тогда общее решение имеет вид ук = С, pf -I- С2р2 и Для определения и С2 из краевых условий имеем систему
Cj + C^O, + C2p2N = 0,
из которой следует pf7 - С\ р^7 =0. Так как pj # р2, то С\ = С2 = 0, т. е. общее решение является нулевым. Аналогично рассматривается случай равных вещественных корней.
Поэтому следует рассмотреть случай комплексно-сопряженных корней pj 2 = cos ф ± i sin ф. В этом случае общее решение разностной задачи представимо в виде ук = cos к<р -I- С2 sin к<р. Из краевых условий получаем С\ = 0 и sin Nep = 0. Отсюда
ф = nm/N, т = 0, ±1, ±2,....
54
2.5. Задачи на собственные значения
Так как щ + ц2 = 2 - /12Х, то cos <р = 1 - h2X/2. Следовательно, Х("0 = 2 h - c°s ^2 1 = A sin2 £2? т = 0,1,2,..., N- 1.
/i2 V	N ) h2 2N
Все собственные числа различны. Из представления общего решения разностной задачи следует, что собственные функции имеют вид
sjn (nkmlNY т = 0, 1, 2,..., N- 1.
При т = 0 имеем = 0, поэтому решение (Х(о),	) следует от-
бросить.
Полезно провести аналогию с дифференциальной задачей /' = -Ху,у(О) = у(1) = О,
умМ = С sin (лгих), \т) = (лги)2, т = 1, 2,....
□	2.87. Найти все решения задачи на собственные значения
(/1 - Уо) = "^Уо>	(7n " Уы-i) = ~Уы-
Решение. Введем обозначение р = 1 - Xh2/2 и перепишем исходную задачу в виде
Ук+1~2РУк + Ук-1 = °>
У1-РУо = °> У1ч-1~РУы = °-
Корни характеристического уравнения ц2 - 2рц + 1 = О имеют вид Pj 2 = р ± 7р2 ~ 1. Отметим полезные соотношения:	= 1,
Р=(Р1 + ц2)/2-
Рассмотрим случай различных (не обязательно вещественных) корней: щ # ц2. Общее решение разностного уравнения имеет вид ук = Cj-pf + С2ц2. Воспользуемся этим решением для записи левого
краевого условия (при к = 0). Имеем
CjH! + С2и2-р(С1 + С2) = 0.
Учитывая, что р — полусумма корней характеристического уравнения, отсюда получаем - С2 (^ 0). Теперь оставшееся краевое условие можно записать в удобной форме
иГ' +цГ'	+
55
ГЛАВА 2. Разностные уравнения
Используем равенство = 1, имеем
gN-l +HN-1 _gN+l	=0,
ИЛИ
(1 - Ц?) + иГ’1 (1- 1*2 ) = о.
Отсюда получаем
мГЧНг-ЩН (Ц1-Ц2):=о-
В силу предположения о неравенстве корней, имеем = 1» что дает = 1, или
ц12 = cos (nm/N) ± i sin (лти/N), т - 1, 2,..., N- 1.
Отсюда получаем, что р = cos (лги/N), и формулу для собственных значений
Х(">) = 1 sin2 m = 1, 2,, N-1.
Приведем формулу для собственных функций
(т)	/^Г (•птк \ ,	( •TtmkY]	птк
Ук = с[ехр J + ехР Н-й" ) J = Ccos “й" •
Осталось рассмотреть случай кратных корней: щ = ц2 = р. Возможны два случая: р = ±1, так как pjp2 = 1- При этом соответствующие собственные значения равны X = 2(1 - p)/h2. Их удобно включить в полученную ранее общую формулу, расширив границы индекса т от нуля до N, т. е. Х(о) = 0 (р = 1), X(N) = 4/h2 (р = -1).
Аналогично поступим и с соответствующими собственными функциями.
Ответ:	sin2 , т = 0, 1,..., N,
y!m) = Ccos ^Д = 0, 1,...,N.
К	N
□ 2.88. Найти все решения задачи на собственные значения
П+1~2п + л! = _х h = 1 j к < N_ ь h2	N
56
2.5. Задачи на собственные значения
Ответ:	= Д- sin2 — 2шхг	, т - 1, 2,..., N,
-------- h2 4N
yj>> = Csin n^Nl)k,k = 0,l,...,N.
□	2.89. Найти все решения задачи на собственные значения
П+1-2п + П-! = h=l h2	/к N
^(/1-/о) = -ХУо>^ = °-
Ответ:	Д sin2	, rn - 1, 2,..., N,
-------- h2 4N
y(-) = Ccos5<2^^,k = 0,l,...,N.
□	2.90. Найти все решения задачи на собственные значения
П+1~2А^--' =-ХЛ, n = n + N, h=l/N, к = 0,±1,+2,....
Ответ: X(m) = sin2 , т - 0, 1,..., N- 1,
(rn) = С(П) cos 2лтк + C(m) sin 2птк^ к —целое.
К 1 N z N
□ 2.91. Найти все решения задачи на собственные значения
= -Хук, /1= —L-, 1 < N- 1, h2	/к N-1
Уо = Ур Уы = Уы-г
Ответ: X(m) = sin2	, т = 1,..., N- 1,
(m) = Ccos K(^- l)(fc-l/2) к = 0; ь R
К	N - 1
□ 2.92. Найти все решения задачи на собственные значения
п+,-2п + п. =_ХукЛ= J< N_ 1,
/о = -/р Уы = -Уы-1-
57
ГЛАВА 2. Разностные уравнения
Ответ:	~ sin2 j* , ги = 1,..., N- 1,
у<т) = С sin	,к = 0,1,..., N.
' К	(N- 1)
□ 2.93. Найти все решения задачи на собственные значения
П+1~2^ + П ~ = h =	1 < к< N- 1,
Уо = Ур /n = 0.
Ответ: Х(,п) = -Д sin2	, т = 1,..., N- 1,
-------- h2 2(2N-1)
(m) = Csin K(2m-l)(N-fc) *	N
7 K	2N - 1
□ 2.94. Найти все решения задачи на собственные значения
^~2^ + >Vl = -ХП, h= 1,1 < N- 1, Уо = °’ У№Ул-г
Ответ: X(m) = sin2 i)’m = y<m) = Csin я(27П~ 1)fc, к = 0, 1,..., N. ' *	2N-1
□ 2.95. Найти все решения задачи на собственные значения
П+127" =-^ h=l,l<k<N-l, Уо = У1> yN = yN-r
Ответ:	cos , ш = 1,..., N- 1,
-------- h N- 1
у(кт) = Ci* Fsin -i sin	1 ,к = 0,1,..., N.
К L N- 1	N - 1 J
Неравенства для сеточных функций. Учитывая определения из § 2.2, введем следующие обозначения:
llyll = Jh [у, у]1/2, llyllc= max 1у-1,
(Ух), = (y-yj.yh, llyx]l = Jhiy^y?]112, где h — постоянный шаг сетки х, = ih.
58
2.5. Задачи на собственные значения
□ 2.96. Пусть у0 = yN = 0 и Nh = 1. Доказать неравенство Ну11с<1||У:г]1.
Решение. Запишем на сетке xi - ih, 0 < i < N для функции yi тождество
У2 =^-^i)y2 +х^.
Принимая во внимание условия у0 = yN = 0, имеем
/ i	\2	/ N	\2
У2 = ( S (y^kh) > У2 = ( ? ,	•
Kfc =1	7	=l+1	7
Подставим полученные равенства в тождество и оценим его правую часть, используя неравенство Коши — Буняковского. Получаем
i i	NN
у? < (1 - х,) h (y^kh + x, k =E I h k Z+ _ (y^kh =
= x,(l-x,) (y^)kh = x,(l - x,)llyx]l2.
Максимум выражения х(1 - x) на отрезке [0, 1] равен 1/4 и достигается при х= 1/2, поэтому у! < llyjl2 и llyllc< Пу7]I.
□	2.97. Пусть у0 = yN = 0 и Nh = I. Доказать неравенство Hyllc<^llyJI.
Указание. Сделать замену х = 1х' и использовать решение 2.96.
□	2.98. Пусть у0 = 0 и Nh = L Доказать неравенство llyllc< V/llyJI.
□	2.99. Для произвольной сеточной функции у<; 0 < i < N, Nh - I доказать неравенства
||у||2 <2(/Нуу]Р + у2) И llyl|2 ^(/IlyJP+y2,).
□	2.100. Пусть у0 = yN = 0 и Nh = L Доказать неравенство llyll < 7/11у11с.
□	2.101. Пусть у0 - yN = 0 и Nh = L Доказать неравенство
lWl.
59
ГЛАВА 2. Разностные уравнения
Указание. Так как
(-Лу,у) = llyjl2, где
то постоянные в сеточных неравенствах можно получить, определив экстремумы собственных значений оператора Л. Из решения задачи на собственные значения Лу = -Ху следует
л 4	. 2 nh л 4	2 nh
^min - р Sln 21 ’ Xmax ~ C0S ТГ
Постоянные в искомом неравенстве получаются из оценок снизу Для и сверху для Хтах.
□	2.102. Доказать тождество Лагранжа
N	N	/ N	х2	1 N
Л,	=2 .? (Х.у-х^,)2.
1=1	1=1	4 I = 1	7	Zi,;=l	J J
□	2.103. Доказать неравенство для неотрицательных сеточных Функций
/ N \1/N	/ N xl/N / N	xl/N
Q 2.104. Доказать при 0 < 0 < 1 неравенство Гельдера для неотрицательных функций
n	/ n	хе / n	xi-e
i=l	V i = 1	7 V i = 1	7
□	2.105. Доказать при 0 < 0 < 1 неравенство Минковского для неотрицательных функций
Глава 3
Приближение функций и ПРОИЗВОДНЫХ
Задачи приближения функции можно условно разделить на два множества. Задачи первого множества сводятся к приближенному восстановлению достаточно гладкой функции по ее заданным значениям в некоторых фиксированных точках. В задачах второго множества речь идет о наилучшем (в некоторой метрике) приближении — замене сложной с точки зрения вычислений функции ее более простым аналогом. Типичным при таком подходе является поиск приближения в виде линейной комбинации «удобных» функций, например ортогональных алгебраических или тригонометрических многочленов. Многообразие математических постановок приводит к большому количеству методов, каждый из которых может оказаться оптимальным в своем классе. В этой главе рассмотрены наиболее известные в теории приближений подходы для функций одного переменного.
3.1. Полиномиальная интерполяция
Пусть а - Xj < х2 < ... < хп - b — набор различных точек (узлов) на отрезке [а, Ь], в которых заданы значения функции/(х) так, что ft = - г = 1,..., п. Требуется построить многочлен наименьшей степени, принимающий в точках xiзначения/^, и оценить погрешность приближения достаточно гладкой функции этим многочленом на всем отрезке [а, Ь].
Приведем в явном виде вспомогательные многочлены Ф-(х) степени п - 1, удовлетворяющие условиям ФДх,) = 1, Ф/х«) = 0 при; ^ /.
п X ~ X-
Имеем Ф,(х) = П-----. Запишем с их помощью формулу для иско-
;= 1 X, - X: j*i
61
ГЛАВА 3. Приближение функций и производных
мого многочлена Лагранжа Ln(x) = Z /^ФДх). Так как существует единственный многочлен степени п - 1, принимающий в п различных точках заданные значения, то многочлен Ln(x) есть решение поставленной задачи.
Теорема. Пусть п-я производная функции f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь]. Тогда для любой точки хе [а, Ь] существует точка^ е [а, Ь] такая, что справедливо равенство
f(x) - L„(x) - Г-^<ап(х), где со„(х) = П (х- х,).
Следствием этого представления является оценка погрешности в равномерной норме
llf(x) - Ln(x)ll < LtUpEl!! Псоп(х)||, где ll/(x)ll = max 1/(х)1. П'	хе [а, Ь]
Величина \п - max Z 1ФДх)1 называется константой Лебега X е [а, Ь]' = 1
интерполяционного процесса. Скорость ее роста в зависимости от величины п существенно влияет как на сходимость Ln(x) к/(х), так и на оценку вычислительной погрешности интерполяции. Для равномерных сеток \п растет экспоненциально. Это приводит к тому, что построенный на равномерной сетке интерполяционный полином Ln(x) при большом числе узлов может сильно отличаться от приближаемой функции. Так, например, для функции Рунге/(х) = 1/(25х2 + 1) на отрезке [-1, 1] известно, что max IL„(x) -/(x)l —* °° при п —* °°.
X 6 [-1,1]
Для чебышевских узлов соответствующий интерполяционный полином сходится к указанной функции; это верно и для произвольной непрерывно дифференцируемой функции: если/(х) удовлетворяет неравенству max l/(rn)(x)l < °°, то для интерполяционного много-[-1.U
члена, построенного по чебышевским узлам, справедливо соотношение max 1/(х) - L„(x)l = О(п~т In п) при п —* [-i,i]
Теорема Фабера. Для любой заданной таблицы узлов интерполяции (xf,..., х") на отрезке [0, 1] существует непрерывная на этом отрезке функция f(x) такая, что погрешность 11 Ln (х) -/(х) 11 в равномерной норме не стремится к нулю при п~* оо.
62
3.1. Полиномиальная интерполяция
□ 3.1. Построить многочлен Лагранжа при п = 3 для следующих случаев:
1)	Xj = -1, х2 = О, Хз = 1,	2) Xj = 1, х2 = 2, Хз = 4,
/1 = У2 ~ 2, /з = 5;	= 3, f2 = 4, f3 = 6.
Ответ: 1) L3(x) = 2х2 + х + 2; 2) L3(x) = х + 2.
□	3.2. Построение многочлена Лагранжа 1„(х) эквивалентно зада-
п - 1
че нахождения коэффициентов с • из системы уравнений S czxj = f-при; = 1,..., п. Показать, что эта система при больших п может быть близка к вырожденной.
Указание. Определителем данной системы уравнений является определитель Вандермонда, следовательно, задача вычисления коэффициентов искомого многочлена имеет единственное решение. Пусть узлы интерполяции принадлежат отрезку [0, 1]. Функции х”~2, х”-1 при больших п на этом отрезке почти неразличимы, поэтому столбцы (xf " 2,..., " 2 )т и (xf " 1,..., х” " 1 )т матрицы получатся близкими.
□	3.3. Найти Z х{Ф,(х) при р = 0,..., п. i= 1
Ответ: х^при р = 0,..., п - 1,их"-соп(х) при р- п.
□	3.4. Пусть на отрезке [а, Ь] заданы равноотстоящие узлы: xi = а +
+	(i- 1), i = 1,..., п. Вычислить Нсо (х)Н при п = 2, 3,4.
п - 1
Решение. Пусть п = 3. Выполним в формуле
<о3(х) = (х-а)[х-	^(х-Ь)
стандартную замену переменных
х= + Ц-?у,гдеу е [-1,1].
В результате получим
®з(у) = (Ц^У (у3-у)-
Точки экстремума кубического многочлена у3 - у на [-1,1] равны соответственно ух 2 = ±1/а/3 . Следовательно,
63
ГЛАВА 3. Приближение функций и производных
Рассуждая аналогично для п = 2 и п = 4, получаем
11<о2(х)Н =	, Нсо4(х)Н =	.
□	3.5. Функция/(х) приближается на [а, Ь] по п равноотстоящим уз-
лам х1; = а + —у (i- 1), i = 1,..., п. Найти наибольшее целоер в оценке погрешности 11/(х) - Ln(х)11 < 10"^ в равномерной норме для следующих случаев: 1) [0, 0,1],/(х) = sin 2х, п - 2; 2) [-1, 0],f(x) = ех, п = 3.
Ответ: 1)р=3;2)р = 2.
□	3.6. Приближение к In 15,2 вычислено следующим образом. Найдены точные значения In 15 и In 16 и построена линейная интерполяция между этими числами. Показать, что если х и у— соответственно точное и интерполированное значения In 15,2, то справедлива оценка 0 < х-у< 4 • 10-4.
Указание. Использовать выпуклость функции In х и представление погрешности (но не оценку погрешности!).
□	3.7. Функция/(х) = —— приближается на [-4, -1] многочле-X
ном Лагранжа по узлам -4, -3, -2, -1.
При каких значениях А оценка погрешности в равномерной нор-
ме не превосходит 10-5?
Решение.
Поскольку /(4)(х) =
4’
- и Н(О4(х)Н = 1, для (А2-х)5
оценки погрешности имеем
llf(x) - L4(x)ll <
1
(А2 - х)5
1
(А2 + I)5
< 10-5.
Следовательно, IAI > 3.
□ 3.8. Доказать, что если узлы интерполяции расположены симметрично относительно некоторой точки с, а значения интерполируемой функции в симметричных узлах равны, то интерполяционный многочлен Лагранжа — функция, четная относительно точки с.
Решение. Покажем сначала справедливость следующего
представления: ФДх) = -----------. Действительно, так как со' (х) =
(х — Х,)(Оп (х;)
64
3.1. Полиномиальная интерполяция
п п
= Е П (х- Xj) и при х = х •, к * i, каждое из произведений под зна
ком суммирования обращается в нуль, то со^ (х-) - П (х-- х ).
j*1
Без ограничения общности можно считать с = 0, т. е. х- = -хп + j _ р i - 1, ..., п. Рассмотрим теперь два слагаемых из общей формулы многочлена Лагранжа, соответствующих равным значениям функции fknfn+x_k ддя некоторого к. Вынося одинаковый числовой множитель за скобку, получим
г со„(х) +______________со„(х)_______-I =
J4 (X - XiX(xjt) (х - х„ + , _ t)®'(х„ + , _ к) J
= г г МО	МО 1
/*L(X-X|l)co;;(xt)	(х+ xjw^-xjj’
Для четного п функция со„(х) — четная, а ее производная со Дх) — нечетная. Поэтому выражение в квадратных скобках принимает вид со„(х) 2хк	.
—------ —- , являясь, очевидно, четной функцией.
х2 - х2к со;(хк)
Аналогично для нечетного п функция соп(х)— нечетная, а ее производная со'(х)— четная, и выражение в квадратных скобках также является четной функцией. В данном случае х = 0 является узлом интерполяции с номером к= (п+ 1)/2, и у этого слагаемого нет пары. Но само слагаемое — четное, что и завершает доказательство.
Доказательство также может быть получено методом от противного из единственности многочлена Лагранжа для заданного набора узлов и значений, так как отражение относительно середины отрезка не меняет входных данных.
□	3.9. Показать, что многочлен Лагранжа может быть построен рекуррентным способом:
2,
£,(х) = /(*.)> L„(x) = Ln_ ,(x) + [f(x„) - Ln_ ,(x)]	, n
где coj(x) = x- xp cd„(x) = co„_ /x)(x- xn),
□	3.10. Построить многочлен Лагранжа Ln(x) степени n - 1, удовлетворяющий условиям Ln(xk) = ук. 1) п = 4; х{ = 0, х2 = 1, х3 = 2, х4 - 4; ух = 2,
у2 = 3, у3 = 4, у4 = 6; 2) п = 3; хк = 2к- 1, ук = 8 sin (2к- 1), к = 1, 2, 3.
5 - 1025
65
ГЛАВА 3. Приближение функций и производных
□	3.11. Построить интерполяционный многочлен для функции /(х) = 1x1 по узлам -1, 0, 1.
□	3.12. Построить интерполяционный многочлен для функции /(х) = х2 по узлам xi = i, i = 0, 1,2, 3.
□	3.13. Построить многочлен Лагранжа 14(х) третьей степени, удовлетворяющий условиям £4(хд.) = yk. xk = к - 5, ук - Зк3 + 2к2 + к + 1, к- 1,2, 3,4.
□	3.14. Функция/(х) приближается на [а, Ь] по п равноотстоящим узлам х, = я + (i - 1), i = 1, ..., п. Найти наибольшее целое р в оценке погрешности вида £ < 10"^ в равномерной норме для сле-1 л
дующих случаев: 1)/(х) - - J cos (xsin t) dr, [0, 1], n = 3; 2)/(x) = 71 о
= In x, [1, 2], n - 4.
□	3.15. Оценить погрешность приближения функции е* интерполяционным многочленом Лагранжа £3(х), построенным по узлам Xq = 0,0, х{ = 0,1, х2 = 0,2, в точке: 1) х- 0,05; 2) х= 0,15.
□	3.16. Функция sin х приближается на отрезке [0, л/4] интерполяционным многочленом по значениям в точках 0, л/8, л/4. Оценить погрешность интерполяции на этом отрезке.
□	3.17. Функция In (х) приближается на отрезке [1, 2] интерполяционным многочленом третьей степени по четырем узлам 1, 4/3, 5/3, 2. Доказать, что погрешность интерполяции в равномерной норме не превосходит 1/300.
□	3.18. Функция/(х) = ехр (2х) приближается на отрезке [-1/2, 1/2] интерполяционным многочленом второй степени по трем узлам: -1/2, 0, 1/2. Доказать, что погрешность интерполяции в равномерной норме не превосходит а/з /9.
□	3.19. Оценить погрешность интерполяции функции /(х) = arctg х на отрезке [0, 1] многочленом Лагранжа пятой степени, построенным по равноотстоящим узлам.
66
3.1. Полиномиальная интерполяция
□	3.20. Оценить число равноотстоящих узлов интерполяции на отрезке [0, л/4], обеспечивающее точность в < 10-2 приближения функции/(х) - sin х.
□	3.21. Определить степень многочлена Лагранжа на равномерной сетке, обеспечивающую точность приближения функции 0х на отрезке [0, 1] не хуже 10-3.
□	3.22. Пусть функция/(х) = sin х задана на отрезке [0, Ь]. При каком b многочлен Лагранжа Р3(х), построенный на равномерной сетке, приближает эту функцию с погрешностью в < 10-3?
□	3.23. Привести пример непрерывной на отрезке [-1, 1] функции, для которой интерполяционный процесс Лагранжа на равномерной сетке расходится.
Ответ: например, функция Рунге или 1x1.
□	3.24. Пусть функция/(х) задана на [а, Ь] и max \f"(x)\ < 1.
X е [а, Ь]
Оценить погрешность приближения/(х) кусочно-линейным интер-полянтом, построенным на равномерной сетке с шагом h.
□	3.25. С каким шагом следует составлять таблицу функции sin х на [0, л/2], чтобы погрешность линейной интерполяции не превосходила 0,5 • 10-6?
□	3.26. Пусть f е С(1)[а, Ь] и р(х) — полином, аппроксимирующий f'(x) с точностью в в норме С[л, Ь]. Доказать, что полином q(x) =
-	/(л) + I р(0 dt аппроксимирует /(х) с точностью в(Ь - а) в норме С[а, Ь].
□	3.27. Построить многочлен Р3(х) =	+ ахх + а2х2 -I- д3х3, удовлет-
воряющий условиям: Р3(-1) = 0, Р3(1) = 1, Р3(2) = 2, а3 = 1.
□	3.28. Построить многочлен Р3(х) = а0 + с^х + а2х2 + а3х3, удовлетворяющий условиям: Р3(0) - Р3(-1) = Р3(1) = 0,	= 1.
□	3.29. Построить многочлен Р3(х) = я0 + а^хз- а2х2 + а3х3, удовлетворяющий условиям: Р3(-1) = 0, Р3(1) - 1, Р3(2) = 2, al ~ 1.
5*
67
ГЛАВА 3. Приближение функций и производных
□	3.30. Построить многочлен Р3(х) = aQ -I- а{х + а2х2 + а3х3, удовлетворяющий условиям: Р3(0) = Р3(-2) = Р3(1) = 0,	= 1.
□	3.31. Построить многочлен Р4(х) = л0 + ахх + с^х2 -h а3х3 -I- а4х*, 4
удовлетворяющий условиям: S а, = 0, Р(0) = 0, Р(-1) = 1, Р(2) = 2, Р(3) = 3.
□	3.32. Построить многочлен Р4(х) = Д() + а^х -I- с^х2 -I- а3х3 + ^х4, удовлетворяющий условиям: Р4(1) = Р4(-1) = Р4(0) = Р4 (0) = 0, Р4(0) = 1.
□	3.33. Построить многочлен Р4(х) = а0 + а^х -I- с^х2 -I- а3х3 -I- а4х4, удовлетворяющий условиям: Р4(0) = 0, Р4(1) = 1, Р4(2) = 2, Р4(3) = 3,
Z а = 0.
i= 1
□	3.34. Доказать при целых t формулу
Ln(x^ + th) = "£ С* Д%Д>Л = Л+1-/;>Д0Л = /рХ;+1=х,+ /г. к = 0
□	3.35. Доказать при целых t формулу
- th) = X (-1)*с* V‘/o,.V/=f-f,_ р v»/-/, xi+1 = x, + h. k-0
□ 3.36. Доказать при целых t формулу
• Ln(xo+th)="i' С^%2,^ = ^112-/,_112,5^ = ^,х1+1 = х{+к. k = Q
□	3.37. Доказать, что если многочлен Р5(х) степени 5-1 удовлетворяет условиям
Ps(x,) = /(х1),...,	- ° (х,) = /<м> - ° (X,),
Ps(x2) =/(х2),...,	- ° (Х2) = /<Мг ’ ° (х2),
Р/х„) =/(х„),..., Р<м"’ °(х„) = /<м"- ° (х„),
Мх + М2 + ... + Мп = 5,
то справедливо равенство
/(х) - Р/х) = »)<о(х), <о(х) = П (х- Х,)М‘.
68
3.1. Полиномиальная интерполяция
□	3.38. Пусть л < х < Ьи-1 < у < 1, и узлы интерполяции х- и у-,
i = 1,..., и, связаны линейным соотношением xi = х(у1) = -у~ +
Доказать, что константы Лебега и Ц-1»1!, соответствующие
этим отрезкам, совпадают.
Решение. По определению, вспомогательные многочлены (и - 1)-й степени Ф/у), i = 1,..., п обладают свойством Ф/у^) = 8^. Положим в формуле для ФДх), обладающей теми же свойствами, х = х(у). Линейное преобразование не меняет степени многочлена. Кроме того, ФДх*) = Ф-(х(/д.)) = ФДуд.) = 8*, т. е. два многочлена (и - 1)-й степени совпадают в п точках. Отсюда следует их тождественное совпадение, следовательно, равенство констант Лебега Ч и Xl"1»1!.
Таким образом, величина Хп не зависит от длины и расположения отрезка интерполяции [а, Ь], а определяется только взаимным расположением узлов.
□	3.39. Показать, что для системы равноотстоящих узлов {х, = i, i = 1,..., п} при и > 2 справедлива оценка снизу для константы Лебега Хп > К2п1п312 с постоянной К, не зависящей от п.
Решение. По определению \п на отрезке [1, п] имеем
= max Ё П Ч—.
хе[1,и]‘=1
Справедливы следующие соотношения:
П li-jl = (i-1)!(и-i)!, п (;-1/2)>-^, п>1, 7=1	7=1	Zjn
первое из которых очевидно, а второе доказывается по индукции. Проведем с их помощью оценку снизу для
max
X е [1, я]
«	1
Z ------i------
i=1(i -!)!(«-i)!
П lx-j\ ।
Я	-I	Я
Z--------!-------П
.= >(< -1)!(«-/)! Д1 >*>
(использовано неравенство max l/(x)I > I/'(3/2)1). Для оценки про-
X е [1, я]
изведения в правой части выполним следующие преобразования:
к
1-’
69
ГЛАВА 3. Приближение функций и производных
Наконец, получим искомое неравенство (К = 1/8):
у > _______J______ у	!)♦	> 1 у Qi - 1 _ 1 2”
" 4(n-3/2)J^H <=i(' - 1)!(и-«)! " 4и3/2 ,= < п~1	8 п^'
□	3.40. Показать, что для системы равноотстоящих узлов {х- = z, i = 1,..., п} при и > 2 справедлива оценка сверху для константы Лебега < К2п с постоянной К, не зависящей от п.
Решение. Покажем, что справедливо неравенство
max П lx-jl < (п- 1)!
х е [ 1,	|
с помощью специальной параметризации аргумента х Пусть х = k + t, где к— целое. При 2 < к < п - 1 будем предполагать, что 11\ < 1/2; при к = 1 параметр t принимает значение из отрезка [0, 1/2], а при к = п — из отрезка [-1/2, 0]. Отметим равенство
п Ix-jl = I?—4—-|(t+l)...(t+fc-1)(1 - r)...(n-fc-t).
J = 1	| * I T I I
При t > 0 справедливы неравенства
(t+ l)...(t+ k- 1) < fc! и (1 - k-t) < (n-k)\,
а при t < 0 — неравенства
(t+ l)...(r+ k- 1) < (it- 1)! и (1 - k-t) < (n-k + 1)!.
В обоих случаях использование соотношений
|fc_-+ J < l.fc!(«-fc)!<(n-l)!,
приводит к искомому неравенству.
Тогда из решения 3.39 имеем
Оценка доказана.
□	3.41. Определить узлы интерполяции, при которых константа Лебега Х3 минимальна.
Ответ: константа Лебега не зависит от отрезка, поэтому будем считать, что хе [-1, 1], тогда	х2 = 0, % = где 2, — произ-
вольное число из отрезка [78/3, 1]; Х3 = 5/4.
70
3.1. Полиномиальная интерполяция
□	3.42. Показать, что если хр ..., х2п— вещественные, то функция 2и . х — Хк
Т(х) = П sin ——- является тригонометрическим полиномом вида
Т(х) = а0/2 + Z (ак cos кх + bk sin fcx) с вещественными коэффици-к = 1
ентами ак, Ьк.
□	3.43. Доказать, что интерполяционный тригонометрический полином Т(х), удовлетворяющий условиям Т(х;) = у-, j = 0, 1, ..., 2п, где 0 < х^ < Xj < ... < х2п < 2л, может быть записан в виде
2n	2п X — X Xi — X
Т(х)= Z Ул^(х), где tk(x) = П sin——s/sin к s.
к=0	s=o 2	2
S* к
□	3.44. Доказать, что для любых х^, хр ..., х2п, удовлетворяющих условиям 0 < х^ < Xj < ... < х2п < 2л, и для любых у0, ур ..., у2п существует единственный тригонометрический полином Т(х) = а^/2 +
п
+ (tffcCOS кх + bfcSin fcx), удовлетворяющий условиям Т(х;) =
j = 0, 1, 2, ..., 2п. Если при этом у0, ур ..., у2п— вещественные, то и коэффициенты ак, Ьк являются вещественными.
□	3.45. Доказать, что для любых х^, хр ..., хп, удовлетворяющих условиям 0 < х^ < Xj < ... < хп < л, и для любых у0, ур ..., уп существует единственный тригонометрический полином С(х) = ак cos кх, удовлетворяющий условиям С(х; ) = y^j= 0, 1, 2,..., п.
□	3.46. Построить интерполяционный тригонометрический полином на отрезке [0,1] по заданным значениям/(0),/(h),/(2h),/(3h), h = 1/3.
□	3.47. Построить тригонометрический интерполяционный полином второй степени Т2(х) = а{) + а{ cos х + sin х + я2 cos 2х + + b2 sin 2х, удовлетворяющий следующим условиям: Т2(0) = 0, Т2(л/4) = 1, Т2(л/2) = 1, Т2(Зл/4) = 1, Т2(л) = 1.
□	3.48. Построить интерполяционный тригонометрический полином минимальной степени по заданным значениям /(-л) = 0, /(-л/2) = 0, /(л/2) = 1.
71
ГЛАВА 3. Приближение функций и производных
□	3.49. Доказать, что тригонометрический полином Tn(z) степени п имеет в любой полосе Re(z) е [а, а + 2л] ровно 2п корней.
□	3.50. Пусть Тп(х} — тригонометрический интерполяционный многочлен степени и, построенный по равноотстоящим узлам на [0,2л] для функции/(х) е С(а), а > 0. Доказать, что в равномерной норме
lim \\T-f\\ = 0.
п^оо п J
□	3.51. Вычислить для 2л-периодической функции Н(х)
= Р ПрИ
' ' 10 при х е (л, 2л)
частичную сумму ряда Фурье Н2п(х) и проанализировать их близость.
Решение. При вычислении суммы первых 2п членов коэффициенты при косинусах равны нулю, поэтому
И 1 . 2 Д sin(2fc- 1)х
H2”w~2 + лЛ\ 2*-1	•
Преобразуем полученное выражение
Н2п(х) = + - Ё ( cos (2k- l)t dt =
2 Л k = 1 о
= 1 + -J fcos(2k-l)tdt=l +	dt,
2 л J k= i	2 л J sint
из которого следует, что максимумы и минимумы для 0 < х < л достигаются в точках
d н (х)= lsin2nx=0>
dx	л sm х
т. е. при хт - тл/(2и), т = 1, 2,..., 2п - 1. При этом экстремумы чередуются. Непосредственные вычисления показывают, что Н2п(0) = 0,5, Н2п(л/2и) -* 1,08949... с дальнейшим убыванием амплитуды колебаний по мере удаления от точки разрыва.
Отклонение разрывной функции от ее ряда Фурье часто называют эффектом Гиббса.
□	3.52. Функция двух переменных/(хр х2) аппроксимируется интерполяционным многочленом Р(хр х2) =	+ aix[ +	4- a3XjX2.
При этомf(0,0) = l,f(l, 0) - 2,7(0, 1) = 4,7(1, 1) = 3. Найти Р( 1/2, 1/2).
72
3.2. Многочлены Чебышева
□	3.53. Пусть Р(хр х2) — многочлен от двух переменных степени не выше п по каждой переменной и P(fc/n, mln) - 0, fc, т- 0, 1,..., п. Доказать, что Р(хр х2) = 0.
3.2. Многочлены Чебышева
Имеется несколько способов определения последовательности многочленов Чебышева первого рода. Рассмотрим некоторые из них.
а)	Рекуррентное соотношение:
Г0(х) = 1, Tj(x) = x, Тп+1(х) = 2хГ„(х)-Тп_1(х).
6)	Тригонометрическая форма. При любом г| имеем cos ((и + 1 )т|) = 2 cos Г| cos (ит|) - cos ((и- 1)т|).
Полагая т| = arccosx, получаем Т„(х) = cos (и arccos х). Простое следствие: ITn(x)l < 1 при Ixl < 1.
в)	Разностное уравнение. Рекуррентное соотношение является разностным уравнением по переменной п. Ему соответствует характеристическое уравнение ц2 - 2хц +1=0. Следовательно, gj 2 = х ± ± 75^1, Tn(x) = Cjg” + С2ц2. Из начальных условий получаем Cj = С2 = 1/2, что приводит к формуле
Т„(х) = i ((х+ Jx2- 1)" + (х- л/х2 - 1)").
Отметим, что все многочлены Т2п(х) — четные, а Т2п+ ,(х) — нечетные. При этом коэффициент при старшем члене равен 2п~1.
□ 3.54. Доказать следующие свойства многочленов Чебышева:
1) Т2я(х) = 2 Т2 (х) - 1;
| Т„(х)Тш(х)
-1	- х1
dx - < л/2
при п ту при п = т 0, при п = т - 0;
3) f W dX= 1	Т..,(«) -	Т„_ ,(«)) -	. »=> 2:
4) (1 - х2)т;'(х) - хТ'п (х) + п2Тп(х) = 0, п > 0.
73
ГЛАВА 3. Приближение функций и производных
Решение. 1) Следствием тригонометрического тождества cos ((и + ги)т|) -I- cos ((и- ги)т|) = 2 COS (ит|) COS (гит|) является полиномиальное тождество
2Тп(х)Тш(х) = Т„+ т(х) +	п > ш > О,
из которого при п = т следует искомое выражение.
2)	Положим х - cos т|, тогда dx = -sin ц dr| и л
Imn= J COS (иг|) COS (ttir])dr| =	+3„ + ш).
о	z
_____ Т'(х) -sin (п arcos х)
3)	Так как — -=------\	—-, то, полагая х = cos и, имеем
_ sin ((и + 1)т|) — sin ((и - 1 )т|) - 2cos (иц)sin т| _	/ у
2sin т|	2sin т|	"
теперь искомое равенство справедливо с точностью до постоянной, которую легко определить, поскольку Т„(-1) = (-1)”.
4)	Непосредственно дифференцированием вычисляется Т"(х); напомним, что (arccos х)' = -(1 - х2)-1/2.
□	3.55. Пусть х2 + у2 - 1. Доказать, что Т2п(у) - (-1)”Т2п(х).
□	3.56. Найти все нули многочлена Чебышева Тп(х).
Ответ: хт = cos	, где т - 1,..., п (все нули лежат вну-
три отрезка [-1, 1], их ровно п).
□	3.57. Найти все экстремумы многочлена Чебышева ТДх) на отрезке [-1, 1].
Ответ: x(m) = cos (лш/п), т = 0, ..., п (на [-1, 1] имеется п + 1 экстремум и Тп(х(т)) = (-1)"1).
□	3.58. Доказать, что приведенный многочлен Чебышева Тп(х) -= 21 _ ”Тп(х) наименее уклоняется от нуля среди всех многочленов со старшим коэффициентом 1 на отрезке [-1, 1], т. е.
НР„(х)Н = maxlP„(x)l > maxlT„(x)l = 21-”.
Н,1]	[-i,i]
74
3.2. Многочлены Чебышева
Решение. Пусть IIPn(x)ll < 21-". Тогда в точках экстремума многочлена Чебышева знак разности Т„(х) - РпМ определяется знаком Т„(х):
sign (Т„(х(ш)) - P„(x(m))) = sign ((-1 )m21 - " - P„(x(m))) = (-1)ш.
При этом указанная разность является отличным от нуля многочленом степени п - 1, но имеет п нулей, поскольку п + 1 раз меняет знак в точках экстремума. Полученное противоречие завершает доказательство.
□	3.59. Доказать единственность многочлена, наименее уклоняющегося от нуля на отрезке [-1, 1] среди всех многочленов со старшим коэффициентом 1.
□	3.60. Найти многочлен, наименее уклоняющийся от нуля на отрезке [а, Ь] среди всех многочленов со старшим коэффициентом 1.
Решение. Выполним линейную замену переменных х =	+
+	^~^х' для отображения отрезка [-1, 1] в заданный отрезок [а, Ь]. Многочлен Тп(х') при этом преобразуется в многочлен со старшим коэффициентом	• В результате
перенормировки и использования схемы доказательства из 3.58 имеем
Ь](х) = (Ь - а)"21 -2пТп (2х~ь(^ а)) •
□	3.61. Пусть <о„(х) - П (х- X;). Показать, что при любом выборе i = 1
узлов X, имеет место неравенство 11со„(х)11 > (Ь- а)л21-2”. Сравнить полученный результат с аналогичным для равномерного распределения узлов.
Указание. Использовать решение 3.60.
□	3.62. В классе алгебраических многочленов степени и, принимающих в точке a (lai > 1) значение b # 0, найти наименее уклоняющийся от нуля на отрезке [-1, 1].
75
ГЛАВА 3. Приближение функций и производных
□	3.63. Пусть 0<а<&. В классе многочленов Рп(х) степени и, удовлетворяющих условию (0) = с 0, найти наименее уклоняющийся от нуля на отрезке [а, Ь].
Ответ:
Р„*(х) = с(^)*
~ (2х- (а + "V b-a J
Т<к)(а + Ь\ п <a-bJ
□	3.64. Среди всех многочленов Рп(х) = хп + ... степени и > 2, удовлетворяющих условиям Р„(-1) = Р„(1) - 0, найти наименее уклоняющийся от нуля на [-1, 1].
Ответ: Р*(х) = 21 "fcos — 1 pfxcos — Y ------ п	v In / "V 2п >
□	3.65. Пусть Р„(х)— многочлен степени п и max IP„(x)l = М.
х е [-1,1]
Доказать, что для всех х, удовлетворяющих условию Ixl > 1, выполняется неравенство IP„(x)l < М1Тп(х)1, где Т„(х) — многочлен Чебышева степени п.
Указание. Предположив противное, т. е. допустив существование такого 1^1 > 1, что IP„(^)I > Ml Т„(^)1, получить противоре
чие, доказав, что у полинома Qn(x) =
Т„(х) - Рп(х), как мини-
мум, п + 1 нуль.
□	3.66. Для производных многочлена Чебышева получить представления следующего вида:
^ = 2(Т,„ . + Т,Я , +	Z^±1 = 2(T,„+Т,„ , + ...+ Т7) + 1.
2 и v Zn-I Zn-5	2 п | 1 v	Zn-Z	2'
Указание. Воспользоваться третьим свойством из 3.54 в виде
Т'
— =2Т .+ п
п-2'
п>2.
□	3.67. Пусть функция/(х) представима при Ixl < 1 в виде/(х) -оо	сю
= X акТАх\ где Z lad < °°, ГДх) — многочлены Чебышева. Дока-к=0	к=0 К	к
зать, что для всех хе [-1,1] справедливо равенство
Г г/ ч 1 а0 2 1 /	чгт./ ч	а1 S (~l)fc+lflfc
\ f(t) dt- — х+	Z у? (ak_ i -	ak+ х)Тк(х) + а0- —	+ Е	— -	.
-I	Z.	к= 1 Z.K	4	к=2	КГ — 1
76
3.2. Многочлены Чебышева
□ 3.68. Вычислить значение многочлена Чебышева n-й степени в точке: 1) х= 1/2; 2) х = -1/2.
Ответ: 1) Т3/1/2) = (-1)*, Tik+ ,(1/2) = (-1)*/2;
2) T3t(-l/2) = 1, T3Jt± ,(-1/2) =-1/2.
□	3.69. Вычислить значение первой производной многочлена Чебышева п-й степени в точке: 1) х= 1; 2) х = -1.
Ответ: 1) T'(l) = n2;2) Г' (-1) = (-1)"+ 'п2.
□	3.70. Функция /(х) = sin 2х приближается многочленом Лагран
жа на отрезке [0, 2] по п чебышевским узлам: х- = 1 + cos
2i- 1 2п
л,
i = 1,..., п. Найти наибольшее целое р в оценке погрешности в рав
номерной норме вида 8 < i 10 Р, если п = 6.
Ответ: р = 2.
□	3.71. Функция /(х) = cos х приближается многочленом Лагранжа
на [-1, 1] по п чебышевским узлам: xf = cos ——- л, i - 1,..., п. Найти ’ 2п
наибольшее целое р в оценке погрешности в равномерной норме вида 8 < 10~Р, если п - 5.
Ответ: р = 3.
□	3.72. Функция ех приближается на [0, 1] интерполяционным многочленом степени 3 с чебышевским набором узлов интерполяции: хк = i + | cos (2&1)л д _ 2, 3, 4. Доказать, что погрешность 2	2	8
интерполяции в равномерной норме не превосходит величины е • 10-3.
□	3.73. Среди всех многочленов вида а3х3 + 2х2 + ахх + найти наименее уклоняющийся от нуля на отрезке [3, 5].
Ответ: Р(х) = 4^^1 =	+ 2х2-^ + ^.
-------- 712)(-4)	6	8	6
□	3.74. Среди всех многочленов вида а2х2 + х 4- найти наименее уклоняющийся от нуля на отрезке [-1, 1].
Ответ: я2 = -а^ при любом laj < 1/2.
□	3.75. Среди всех многочленов вида 5х3 + а2х2 + ахх + найти наименее уклоняющийся от нуля на отрезке [1,2].
Ответ: Р(х) =	Т3(2х-3) =	(З2х3- 144х2 + 210х-99).
77
ГЛАВА 3. Приближение функций и производных
□	3.76. Среди всех многочленов вида а3х3 + а2х2 + ахх + 4 найти наименее уклоняющийся от нуля на отрезке [1,3].
Ответ: РМ = 4Т>(*~ 2)
-------- v 7	Т3(-2) V 13	13	13
□	3.77. Среди всех многочленов вида а3х3 + а2х2 + Зх + я0 найти наименее уклоняющийся от нуля на отрезке [2, 4].
Ответ: Р(х) = 3^* 3) ‘з\ ?)
4х3 _ Збх2 , _ 99
35	35	35 ’
□	3.78. Доказать следующие представления многочленов Чебышева:
1) Т„ (х) = (~!?)n2J-! f-n ((1 - X2)"- >'2), п > 0;
”	(2п)!	dx"
1 - tx
2)Т”(Х)	n!dt"4-2fx+f2^ ,
1 - f2 \
, п > 0;
= о
3) Т„(х) =
.	,,	, п 1;
м Ч - 2tx+ t2' , = 0
1_ 42(In (1 -2fx+ Г2))
4)T"W = -U-	•
[	]	/	1	1 \ I
5) т„(х) = ? s нг" , ; их)-2*, п > 1.
п	2к = о	к!(п-2к)!
1;
, п t= о
□ 3.79. Показать, что для системы узлов интерполяции х- = = cos Ц,—- л, i = 1,..., п (нули многочлена Чебышева ТДх)), справедлива асимптотическая оценка сверху для константы Лебега < К In п с постоянной Ку не зависящей от п.
и„(х)
Решение. Рассмотрим функцию А„(х) = Z  ------------—-—- .
/=1 (х-XJCO'/XJ
По определению имеем кп = max Ап(х). Учитывая выбор узлов
интерполяции,получим
„ |cos (п arccos x)|sin —!-л л"(х) = ,?,—----------------тгтг-
2п
|cos (лпф)|sin	—-л
2z - 1 I cos------л
2и
n|cos (Лф) -
= Z
78
3.2. Многочлены Чебышева
где сделана замена х = cos (тор), а ср меняется на отрезке [0, 1]. Обозначим эту сумму через 0(ф) и заметим, что, в силу симметрии узлов, Лп(х) — четная функция, поэтому при оценке сверху для 0(<р) достаточно рассматривать только отрезок [0, 1/2]. Так как имеют место неравенства
sin lai < lai, sin ipi > I pi при ipi < | л,
sin ipi > ipi при ipi < 5,
то при 0 < P < л/2, 0 < a < л имеем
|sin a| _ __________|sin a|_____ < 3л2 _______a______
|cos P - cos a| 2sin la + pLin la-pl " 2 l« + Pl la - Pl ’
I 2 I I 2 I
откуда, если положить
_2z-l R _ л 2m- 1 - 2t	+ 2
-----— л, p - лер - -------------, 1 m C —— , 0 C tC - ,
2n	2 n	2	2
следует, что
. 2f-1 sin —71	1
2n	< Зли	2i - 1
I	2i-l I 4 /7 \m + i- 1 - t\\m - i - t|*
cos лер - cos--л 1	"
I	2n I
Параметризация ф = (2m- 1 - 2r)/(2n), 1 < m < 1 + и/2, корректна, так как, полагая т в указанных пределах и изменяя t на [0,1/2], можно получить любое значение ф (либо 1 - ф) из отрезка [0, 1/2]. Далее имеем
Icos ЛИф1 =
cos (2т- 1 - 2t)
= sin лг< nt.
Используя два последних неравенства, оценим 0(ф): о(ф) < с i j—.	.—р с =	.
i=i|«1 + I- 1 - r||m— i-t| 4J2
Отсюда следует, что при т = 1
< Cf2+ 1 < Cf3 + J - 1 = С(3 + 1п п).
V I J V \ t )
79
ГЛАВА 3. Приближение функций и производных
При 2 < ги < 1 + п/2 получаем
< с(4 + £ 1 1 < С(4 + In п).
Окончательно имеем
= max 0(q>) < C(4 4- In ri) < К In n.
<pe [0,1]
□	3.80. Доказать, что если узлы интерполяции на отрезке совпадают с нулями многочлена Чебышева соответствующей степени, то п
справедливо неравенство X - max Z 1Ф (х)1 > Kin и с постоян-X i=\
ной К, не зависящей от п.
□	3.81. Определить константу Лебега Х3 для узлов интерполяции — нулей многочлена Чебышева Т3(х).
Ответ: Х3 = 5/3.
В приложениях встречаются также многочлены Чебышева второго рода t/„(x). Они удовлетворяют рекуррентному соотношению и начальным условиям: Un+ Дх) - 2xt/n(x) - Un_ j(x), t/0(x) - 1, U/x) - 2x
□	3.82. Показать, что над полем действительных чисел для t/n(x) справедливо представление
sin + l)arccos х)	при Ixl < 1,
sin (arccos х)
Ц,(х) =	1	!--- ,-------------
--—=((х+ л/х2 - 1)”+ 1 - (х- а/*2 - 1)”+ [) при Ixl > 1.
27х2- 1
□	3.83. Показать, что общее решение разностного уравнения У„ + |(х) - 2ху„(х) + /„_](%) = 0 представимо в видеуп = С{(х)Тп(х) + + C2(x)U„_1(x).
Указание. Вычислить определитель
Т0(х) Tj(x) _ 1 х _
и_}(х) U0(x) " 0 1	;
откуда следует, что Тп{х) и Un_ /х) —линейно независимы.
80
3.3. Численное дифференцирование
□	3.84. Проверить соотношения для Тп(х) и t/n(x):
1)	Т„_ ,(х) - хТ„(х) = (1 - x2)Un_ ,(х);
2)С/„_1(х)-хС/„(х)=-Т„+1(х);
3)	U„ + ,(х) + U„_,(x) = 2ТДх)17„(х);
4)Ця_1(х) = 2Ц_1(Т„(х)).
□	3.85. Показать, что maxlC/ri(x)l = Uni 1) = п + 1.
□	3.86. Вычислить
/м„=
3.3. Численное дифференцирование
Пусть известны значения функции /(х) в точках хр х2, ..., хп и требуется приближенно определить производную/(^(х^) для некоторого 0 < к < п - 1. Построим интерполяционный многочлен Ln(x) и положим/^(х) »	(х); при этом для погрешности справедливо
представление
Для системы равноотстоящих узлов (xi + t - х- = h) часто используют другой подход, основанный на получении приближений для старших производных через младшие, аналогично последовательному дифференцированию в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Базовыми являются следующие выражения:
Э/(х) = Л^+^-Дх) ( 5/(x) = fjx)-fjx-h) ( 5дх) = dfix) + dfix) , которые являются простейшими аналогами первой производной функции/(х). Их называют разностями вперед, назади центральной соответственно. Для вывода оценок погрешностей при данном подходе удобно использовать разложения Тейлора.
Для получения формул численного дифференцирования на практике также используют метод неопределенных коэффициентов. Он заключается в следующем: искомую формулу записывают в виде
6 - 1025
81
ГЛАВА 3. Приближение функций и производных
/(^(л^) = S с/(х-)+ £(/), и коэффициенты с-определяют из систе-i = 1
мы линейных уравнений R(f) = 0, причем последовательно полага-ют/(х) равной 1, х, х2,..., хп~х.
Будем далее использовать обозначение/(х) е С(г), если функция /(х) имеет на интересующем нас отрезке все непрерывные производные до порядка г включительно.
□	3.87. Показать, что в точке х = xi (одном из узлов интерполяции) справедлива оценка погрешности
max |/<”>(х)| „ ---------- П 1х,-х;1.
Г*.	J- J	J
Указание. Использовать явное представление погрешности для производной многочлена Лагранжа.
□	3.88. Доказать равенство:
1)	если/е С(2), то Э/(х) -/'(х) = ^/"(^), х< £ < х+ h;
2)	если/е С(3)> то Э/(х) -f'(x) =	х- h<^< х+ h.
6
Указание. Использовать разложение в ряд Тейлора.
□	3.89. Получить явные формулы для разностных аналогов старших производных:/"(х) » ЭЭ/(х),/"'(х) « ddd/(x),/(4)(x) » Э^Дх).
Ответ: ddf(x) =	/1) - 2/(х) + Дх-/1),
h2
dddf(x) = &х + 2h) ~ 2&х + h) + 2ftx~ h) ~ fix - 2h) , d2d2f(x) = Kx+2h)~ 4&x + tt) + W*) ~ 4Л*~h)+fjx- 2/i)
□	3.90. Найти величину К- = Kt(h) в следующих равенствах:
1)	если/е С(4), то ЭЭДх) ~/"(х) =	х- й < ^ < х + й;
2)	если/е С(5)> то ddd/(x) -f"'(x) =	х- 2h < < х+ 2h\
3)	если/е С(6)>то d2dP-f{x) -f^\x) =	x-2h<^< хз- 2h.
Ответ: 1) K2 = h2l\2\ 2) К3 = й2/4; 3) К4 = /12/6.
82
3.3. Численное дифференцирование
□ 3.91. Считая, что значения функции в формулах численного дифференцирования для аналогов второй и четвертой производных из 3.90 заданы с абсолютной погрешностью е, получить оценки полной погрешности этих формул как сумму погрешности метода и вычислительной погрешности. Найти оптимальный шаг /10, при котором минимизируется величина оценки полной погрешности.
Указание. Решение провести по аналогии со следующим примером для разности вперед (см. также 1.6). Полная погрешность для разности вперед Э/(х) имеет вид
1	h
где /*(х 4- h) и /*(х) — приближенные значения функции /(х) в соответствующих точках. Добавляя в числитель дроби ±/(х -4- Л) и ±/(х), после перегруппировки слагаемых получим
f4* + h)-f(x + h)	.
Оценка вычислительной погрешности для каждого из двух первых слагаемых имеет вид е/Л, а погрешность метода в предположении ограниченности второй производной 1/"(^)1 М2 равна hM2/2. Окончательно имеем
Для определения значения h0, при котором минимизируется полная погрешность, необходимо правую часть полученного выражения продифференцировать по h и приравнять к нулю. Решая уравнение -2е/г2 + М2/2 = 0, находим hQ = 2л/е/М2 и JRj (Ло, е) = 2jsM2.
Ответ: 1)	)'/4 для R2(h, е) <	;
----- и	z h2 12
2	).0 = 2^Гдля«4(М)^+^.
6	'*
□ 3.92. Методом неопределенных коэффициентов построить формулы численного дифференцирования наиболее высокого порядка точности по h: l)f'(0) ~ [af(-2h) -h b/(0) -I- cf(h)]/h;
2) /"(0) « [af(-h) + + bf(h) + cf(2h) + df(3h)]/h2.
Ответ: 1) a = -1/6, b = -1/2, c = 2/3; 2) a= 1/2уЬ = -2,с=2^ = -1/2.
83
ГЛАВА 3. Приближение функций и производных
□	3.93. Доказать, что 1 h af(o)-/4o) = ^f (/1-1х1)2Г'(х) dx
Указание. Разбить интеграл на два, раскрывая модуль, и интегрировать по частям.
□	3.94. Используя формулу Тейлора с остаточным членом в интегральной форме
f(b) =f(a) + (b-a)f'(a) + ... +	+ 1 j (b-	+	d£,
П.	fll a
получить оценки погрешности формул численного дифференцирования (постоянные Ср С2 не зависят от/и h):
IdfM-f'WKCj j lf"(^)ld^
X“ h x + h
C2h j l/<4>(^)l d£.
x-h
□	3.95. Доказать справедливость следующих равенств:
d(/g) = fdg + g df+ h dfdg, d(f /g) =	•
□	3.96. Пусть вычислены точное и приближенное значения /"(Xq) при заданных узлах интерполяции х_р ..., Xq, ..., xz, х- - х-_ t - h. Показать, что справедливо представление
fix.) -	= 2(:1^(у /(2,+2)(^2'
□	3.97. Используя формулу Тейлора с остаточным членом в интегральной форме, получить оценки погрешности следующих формул численного дифференцирования (постоянные С- не зависят от/и h): х+ h
DldfM-f'WICC, j l/"(^)l d^; X х+ h
2)ldf(x)-f'(x)l<C2h J lf"(^)ld^
x- h
x+ 2h
3)\2df(x)-df(x+h)-f’(x)\<C3h J	d%;
X
4)\2df(x)-df(x-h)-f’(x)\<C4h j l/'"(^)ld^
x-2h
_	x+2h
5) \d2&f(x) -/<4>(x)l < C5h f l/6)(^)l d£.
x-2h
84
3.3. Численное дифференцирование
□ 3.98. Доказать справедливость следующих равенств:
1)	d(/g) =fdg+gdf-h dfdg;
2)	d(fg) =fdg + gdf+ (ddfdg+ ddgdf);
3)	d(f /g) = [gdf-fdg]/[g(g+ h 3g)].
□ 3.99. Получить формулу численного дифференцирования наи-более высокого порядка точности по h следующего вида:
1)	f'(0) a h~l[af(O) + bf(h) + cf(2h)];
2)f'(0) « h~*[af(0) + bf(-h) + cf(2h)];
3)f'(0) == h~l[af(O) + bf(-h) + cf(-2h)];
4)f'(0) « h~'[af(0) + bf(2h) + cf(3h)]
и найти й, при котором достигается минимум оценки полной погрешности, если max l/(fc)(x)l < Ак, и абсолютная вычислительная погрешность функции не превосходит е, т. е. max 1/(х) -/*(х)1 < £.
Ответ: 1) а - -3/2, b = 2, с = -1/2; й0 = (2е/А3)1/3;
2)	а= 1/2, й = -2/3, с= 1/6; й0 = (2е/А3)1/3;
3)	а = 3/2, b = -2, с - 1/2; й0 = (2е/А3)1/3;
4)	а = -5/6, Ь = 3/2, с = -2/3; й0 = (Зе/(10А3))1/3.
□	3.100. Пусть f е С3’\ 0 < X < 1, т. е./е С(3), !/"'(*)-
<	fclx-ylz V х, у. Доказать, что ddf(x) = O(hx +z).
□	3.101. Пусть числа а;, не зависящие от й, порождают формулу численного дифференцирования максимального порядка точности
п
среди формул вида/(^(х) « h~k Z a.jf(x + jh). Доказать, что:
j = -n 7
1)	а} = а_;, если к четное, а- = если к нечетное;
2)	формула с дополнительным слагаемым
/^(х)«й-^	р./(х + ;й)
j = -n 7
не может иметь больший порядок точности; причем она имеет тот же порядок точности тогда и только тогда, когда j = 0,	= а;,
j= -пу -п + 1,..., п - 1, п.
□	3.102. Доказать, что если все точки х- различны и удалены от точки Хц на расстояние О(й), где h — малая величина, то при гладкой /(х) приближенная формула численного дифференцирования
85
ГЛАВА 3. Приближение функций и производных
f(k)(x) » X ^/(х,) имеет порядок погрешности O(hm). Здесь ги > j + t -1
+ 1 - /с, j— максимальная степень многочленов, для которых эта формула точна.
□	3.103. Найти аппроксимацию f"(x) по равноотстоящим (х/+1 -- х} = /?) узлам х? х/ ± р х/±2 с максимально возможным порядком точности по h.
□	3.104. Найти коэффициенты формул численного дифференцирования максимальной степени точности:
1)/' (х) « (я/(х) + &/(х + h) + с/(х — h))/h;
2)	/'(х) « (а/(х) + bf(x + h) + cf(x-2h))/h;
3)	f"(x) « (af(x) + bf(x + h) + cf(x + 2/i))//i2;
4)	/"(x) « (a/(x) + fe/(x + h) + c/(x- h))lhh
5)/"(x) « (a/(x) + bf(x-h) + cf(x-2h))/h2.
3.4. Многочлен наилучшего равномерного приближения
Пусть R — пространство ограниченных вещественных функций, определенных на отрезке [а, Ь] вещественной оси с нормой Il/(x)11 = = sup 1/(х)1. Для элемента fe R отыскивается наилучшее прибли-
X 6 [«, Ь]
п
жение вида Q„ (х) = Z сгхГ Многочлен Q9 (х) называется многочле-j=0 J
ном наилучшего равномерного приближения для функции/(х), если для любого многочлена Q„(x) степени п справедливо неравенство II/-
- Q° II < II/- Q„H. Такой многочлен существует всегда, а его единст
венность имеет место при дополнительном предположении о непрерывности /(х).
Теорема Чебышева. Чтобы многочлен Qn(x) был многочленом наилучшего равномерного приближения непрерывной функции f(x), необходимо и достаточно существования на [а, Ь] по крайней мере и + 2 точек % < ... < хп+ 1 таких, что
/(x.)-Qn(x/) = a(-l)qi/-Qnll,
где i = 0,..., п -I- 1 и a - 1 (или a = -1) одновременно для всех i.
Точки ..., хп+ р удовлетворяющие условию теоремы, называются точками чебышевского алътернанса.
86
3.4. Многочлен наилучшего равномерного приближения
□	3.105. Построить многочлен наилучшего равномерного приближения степени п = 50 для/(х) - sin ЮОхна отрезке [0, л].
Ответ: Q50(x) = 0.
□	3.106. Пусть /(х) — выпуклая непрерывная функция на [а, Ь] и Q°(x)— ее многочлен наилучшего равномерного приближения первой степени.
Доказать, что концы отрезка а и b входят в альтернанс.
Решение. Выпуклая функция удовлетворяет неравенству
с /(Х0 +f(x2)
для произвольных хр х2 из отрезка [а, Ь]. Обозначим через {^-} множество точек альтернанса, g(x) = /(х) - Q?(x)> 0 = inf {£•: /(£.) -- Q?(^) = М}. В силу непрерывности/(х) имеем g(0) = М. Доказательство проведем от противного. Пусть, например, а £ {^}, т. е. 0 # а. Тогда, в силу выпуклости/(х) (добавление к ней линейной функций Q0(x) этого свойства не меняет), справедлива следующая цепочка неравенств для достаточно малого е:
м = g(0) < g(6 + е) + g(0 - е) < М+М = М
Полученное противоречие означает, что а е {£•}. Аналогично доказывается принадлежность множеству точек альтернанса другого конца отрезка.
□ 3.107. Построить многочлен наилучшего равномерного приближения степени п = 1 для/(х) = х3 на отрезке [1, 2].
Решение. Введем обозначения: L = ll/(x) - Qt(x)lI, Q/x) = я0 + + ахх, и, воспользовавшись выпуклостью /(х), запишем соотношения из теоремы Чебышева:
аха) = аЦ
f(d)-(Ov + а^)=-аЦ /(b)-(«o + ^b) = aL.
Кроме того, поскольку d— внутренняя точка альтернанса и f(x) — дифференцируема, отсюда получаем недостающее уравнение
(/(х)-(д0 + fl1x))'lx=J = 0.
Ответ: Q/x) = 7х- З-7- J7-.
87
ГЛАВА 3. Приближение функций и производных
□ 3.108. Построить многочлен наилучшего равномерного приближения степени п = 1 для/(х) = 1x1 на отрезке [-1, 5].
Ответ: Qj(x) = | х+ |.
3	6
□	3.109. Построить многочлен наилучшего равномерного приближения Q° (х) степени п для Рп+ Дх) = ап* {хп+ 1 + ... на отрезке [а, Ь].
Указание. По определению многочлена наилучшего равномерного приближения, разность Рп + Дх) и Qjj(x) представляет собой наименее уклоняющийся на отрезке [а, Ь] многочлен степени (и + 1) со старшим коэффициентом ап+ Следовательно, Рп+ Дх) - Q„(x) = = ""...nV'.’w. где Т^](х)— приведенный многочлен Чебышева на отрезке [а, Ь]. Отсюда имеем Q^(x) = Ptl+ ,(х) - ап+ ^^^(х). Точки альтернанса определяются экстремумами многочлена Т^^(х).
□	3.110. Пусть !)(х) не меняет знак на [а, Ь] и Qn(x) — многочлен наилучшего равномерного приближения степени п для /(х). Оценить величины Cj и С2 в неравенстве Ct < П/(х) - Qn (х)П < С2.
Решение. По определению многочлена наилучшего равномерного приближения, L = ll/(x) - Qn (х)И не превосходит нормы погрешности приближения /(х) интерполяционным многочленом по узлам, являющимся нулями многочлена Чебышева, т. е.
max 1/(”+1)(х)1	----.
[a,b] J	22п+х(п + 1)!
С другой стороны, по теореме Чебышева разность /(х) - Qn(x) обращается в нуль в (и -I- 1)-й точке, которые можно рассматривать как узлы интерполяции ... , Р Поэтому верно представление погрешности следующего вида:
гдео\| + ](х) = (х-у1)...(х-уп+ ]) и = ^(х) е [а, Ь]. Пусть точка х^ такова, что 1<оп+ ।(х^)1 = 11оп + /х)!!. Тогда
ь > IM) - Qn(^)i = if("+°•
88
3.4. Многочлен наилучшего равномерного приближения
Поскольку Псоп+ j(x)ll > (b- а)п+Ч22п+ \ окончательно имеем
L > min lf(n+1)(x)l (Ь~ а)п+' . [a, b] J	22п+1(и+1)!
Таким образом, если /(п+ !)(х) сохраняет знак и меняется не очень сильно, то разница между погрешностями приближения функции /(х) многочленом наилучшего равномерного приближения и интерполяционным многочленом по нулям многочлена Чебышева несущественна.
□	3.111. Пусть /(х) — непрерывная нечетная функция на отрезке [-1, 1]. Показать, что многочлен наилучшего равномерного приближения произвольной степени п — также нечетная функция.
Решение. Пусть Qn (х) — многочлен наилучшего равномерного приближения/(х) на [-1, 1]. Тогда 1/(х) - Q„(x)l < L = И/(х) -- Qn (х)Н. Заменяя х на -х и умножая выражение под знаком модуля на -1, получим l-f(-x) - (-Q„(-x))l < I, или l/(x) - (-Qn (-x))l < L. Следовательно, -Qn (-х) также многочлен наилучшего равномерного приближения/(х) на [-1, 1]. По теореме единственности имеем Qn (х) = -Qn (-х), что и требовалось показать.
Аналогично рассматривается случай четной/(х).
□	3.112. Получить оценку вида Сп < II sin х- Q„(x)ll < 2Сп для многочлена наилучшего равномерного приближения степени п на отрезке [-л/3, л/3].
Ответ: llsin х- Q2n_ j (х) 11 = llsin х- Q2n (х) 11;
с =с -(к?"*1	1
Чи-1 Чи	(2и+1)!’
□	3.113. Построить функцию/(х) и ее многочлен наилучшего равномерного приближения Q„(x), не удовлетворяющие теоремам Чебышева и единственности.
Ответ: /(х) - sign хна [-1, 1], Qj(x) = ах, а е [0, 2].
□	3.114. Построить многочлен наилучшего равномерного приближения степени п для функции/(х) на отрезке [а, Ь]:
1) п - 1, /(х) = х3, [-1, 1];	2) п = 3, /(х) = ехр(х2), [-1, 1];
3) п =	= 3 sin2 10х + lx2 - 7x + 101, [3, 4].
Ответ: 1) Q,(x) = - x; 2) Q3(x) = (e- l)x2 + |	(e- 1) In (e - 1);
3) Q3(x) = -x2 + 7x- у .
89
ГЛАВА 3. Приближение функций и производных
□	3.115. Построить многочлен наилучшего равномерного приближения первой степени для функции/(х) = Jx2 + 1 на отрезке [0, 1].
□	3.116. Построить многочлен наилучшего равномерного приближения четвертой степени для функции/(х) = sin (блх) на отрезке [0, я].
□	3.117. Построить многочлен наилучшего равномерного приближения степени и для функции/(х) на отрезке [af Ь]:
1)	n = 2yf(x) = х3, а - 0, b= 1;
2)	п- 2,/(х) - х^у	1;
3)	п = 1,/(х) = sin х, а = -л, Ь = л;
4)	п = 3,f(x) = 1х2-7х + 101, а - 3, Ь = 4;
5)	п = 30,/(х) = 2х2 + Зх+ cos 50х, а = 0, Ь = л;
6)	п- 1,/(х) = 1 + х?у р> 0, а = 0, b= 1;
7)	п = 2,/(х) = 2х2 + Зх+ 5, а - 1, Ь- 7.
□	3.118. Получить оценку вида
C/2 < Ucos х-Q® (х)НС[71/б) я/2] Су
с явным выражением для С, где Qj (х) — многочлен наилучшего равномерного приближения четвертой степени.
□	3.119. Доказать, что llexp (х) - (х) 11 с[0 > 1/64 000, где QJ (х) — многочлен наилучшего равномерного приближения четвертой степени.
□	3.120. Рассматривается задача наилучшего равномерного приближения функции ехр(х) на [-1, 1]. Показать, что 10-6 < llexp (х) -- Qi WHq-i, 1]	Ю-5, где Qi(x)— многочлен наилучшего равно-
мерного приближения шестой степени.
□	3.121. Показать, что чебышевский альтернанс для функции ех всегда содержит крайние точки отрезка, на котором решается задача наилучшего равномерного приближения.
□	3.122. Привести пример функции и соответствующего ей многочлена наилучшего равномерного приближения, для которых среди точек чебышевского альтернанса нет граничных точек отрезка, на котором решается задача приближения.
90
3.4. Многочлен наилучшего равномерного приближения
□	3.123. Пусть Z акТк(х)— некоторый ряд по системе многочленов Чебышева Тк(х). Доказать, что каждая частичная сумма ряда Sn(x) = X акТк(х) — многочлен наилучшего равномерного прибли-к = О
жения степени ина [-1, 1] для Sn+1(x).
□	3.124. Функция/(х) = 1/(х + 9) приближается на [-1, 1] многочленом первой степени следующими способами:
1)	наилучшее равномерное приближение;
2)	отрезок ряда Тейлора в точке х = 0;
3)	интерполяция с оптимальными узлами х{ 2 = ±2“1/2.
Построить эти многочлены и вычислить нормы погрешностей в С[-1, 1].
□ 3.125. Функция/(х) - ех приближается на [-1, 1] многочленом первой степени следующими способами:
1)	наилучшее равномерное приближение;
2)	наилучшее приближение в £2(-1, О;
3)	отрезок ряда Тейлора в точке х = 0, т. е. интерполяция с узлами Xj = х2 = 0;
4)	интерполяция с узлами хх - -1, х2 = 1;
5)	интерполяция с оптимальными узлами х1>2 = ±2“1/2.
Построить эти многочлены и вычислить нормы погрешностей в С[-1, 1].
□	3.126. Найти многочлен наилучшего равномерного приближения степени п - 1 для функции/(х) = 1 + Jx на отрезке [0, 1].
Ответ: Q1(x) = x+9/8.
□	3.127. Найти многочлен наилучшего равномерного приближения степени п - 3 для функции/(х) = sin х2 на отрезке [-Tit, л/л ].
Ответ: Q3(x) = 1/2.
□	3.128. Найти многочлен наилучшего равномерного приближения степени п = 1 для функции/(х) = 1x1 на отрезке [-1, 2].
Ответ: Q/x) = i (х+ 2).
91
ГЛАВА 3. Приближение функций и производных
□	3.129. Найти многочлен наилучшего равномерного приближения степени п = 2 для функции/(х) - х3 на отрезке [-1, 1].
Ответ: Q,(x) = - х. --------- 4
□	3.130. Найти для функции ех наилучшее приближение много-
1
членом нулевой степени в норме I/O, 1), где 11/11L (0 i) = J l/(x)l dx.
1 ’ о
□	3.131. Пусть Р2 — пространство алгебраических полиномов второй степени с нормой НрН = 1р(-1)1 + 1р(0)1 + 1р(1)1. Найти наилучшее приближение функции р(х) = х2 е Р2 константой.
□	3.132. Пусть и > 1 и заданы (хк, ук), к = 0, 1, ..., п. Найти линейную функцию р(х) = ах+ Ь, минимизирующую функционал
Е (ук-ахк-Ь)2.
к = 0
□	3.133. Пусть А и х — вещественные симметричная матрица размерности их пи и-мерный вектор, /(/ = II Ах - fxll2 = J(Ax - fx, Ах - tx).
Доказать, что f(t) достигает минимума при t- •
□	3.134. Найти наилучшее приближение в Р2(а, Ь) функции /(х) алгебраическими многочленами Р„(х) степени п:
1)	я = -1, b- 1,/(х) = Ixl; п - 1;
2)	а = -1, Ь= 1,/(х) = х2; п= 1;
3)	я = -1, Ь= 1,/(х) = х3; п= 1;
4)	а = -1, b = 1,/(х) = х3; п - 2;
5)	а = 0, b = л, /(х) - sin х; п = 2;
6)	а - 0, b = 2,f(x) = х3\п- 3.
□ 3.135. Для заданной функции/(х) найти алгебраический многочлен Р„(х) степени и, минимизирующий весовой функционал
' (/(х) - Р„(х))2 ------------dx.
где: 1) /(х) - (х2 + 2х+ 1), п = 1; 2)/(х) = х2, п = 1; 3) /(х) = х3, п = 2.
92
3.5. Приближение сплайнами
□ 3.136. Показать, что построение коэффициентов многочлена наилучшего приближения для функции /(х) в пространстве £2(0, 1) приводит к системе уравнений с матрицей Гильберта: h-= l/(i + j- 1), 1 < i, j < n.
n
Решение. Наилучшее приближение ищется в виде X «х^-1 j= 1 7
с неизвестными коэффициентами которые определяются из условия минимума функционала J ^/(х)- Е ajX^Q dx Дифференцируя функционал по ai и приравнивая производные к нулю, полу
чим уравнения
J f/(x)- X я х^~11х,_ 1 dx = 0, i= 1, 2,..., и, о k	7	7
или
X -—= f /(х)х,_ 1 dx, i = 1, 2,..., п.
3,5, Приближение сплайнами
Пусть на отрезке [я, Ь] вещественной оси задана сетка: а = х^< хх< < ... < х = Ь, РАх) — множество многочленов степени не выше т (т > > 1), С(г)[я, Ь] — множество функций, имеющих на [я, Ь] непрерывные производные до r-го порядка включительно (г >0).
Функцию Sm(x) = S к(х) называют полиномиальным сплайном степени т дефекта £(!<&< т) с узлами {х-}, i = 0,1,..., и, для функции f(x) е С[а, Ь], если выполнены следующие условия:
1) на каждом из отрезков [х-, xI+ J, i = 0, 1,..., п - 1, она является многочленом, т. е. Sm(x) е Рш(х);
2) на всем отрезке [а, Ь] обладает непрерывностью производных, т.е. Sm(x) е С(т“^[я, Ь].
Ниже термин «дефекта к» будем опускать, так как далее рассматривается только случай к = 1.
Сплайн называют интерполяционным, если в узлах {х-} справедливы равенства Sm(x-) =/(х^, i = 0, 1,..., п.
□	3.137. Построить линейный интерполяционный сплайн по значениям /(0),/(1).
Ответ: S/x) =/(0)(1 -х) +/(1)х
93
ГЛАВА 3. Приближение функций и производных
□	3.138. Получить оценку погрешности приближения функции /(х) линейным интерполяционным сплайном на равномерной сетке с шагом /1, если/(х) е С(2)[0, 1].
Решение. Пусть х, = ih, h = Мп, i - 0, 1,..., и; тогда линейный интерполяционный сплайн на отрезке [х,_ р х-] имеет вид
S,(x) =/(х,_,)— + /(х;)—.
Если /(х) е С(2)[0, 1], то из оценки погрешности для интерполяционного многочлена Лагранжа следует, что
max 1/(х) - Sj(x)l < шах 1/"(х)1~.
Это неравенство справедливо на любом отрезке [х-_ р xj, значит, на [О, 1] в целом.
□	3.139. Обозначим через Mi значения второй производной S3 (х) кубического интерполяционного сплайна в узлах {х-}, i = 0,1,..., п. Показать, что они удовлетворяют системе линейных уравнений СМ = d, где
h, /6	при при	+ 1 1 Il II	
/i,+ 1/6	при	j=i+l, ‘ hi+i	hi
0	при	lj-il > 1;	
i =	1,2,...	, П - 1, h:= X - X _..	
Решение. По определению, S3 (х) — линейная на каждом отрезке [xr_ р xj функция. В силу ее непрерывности в точках х-, имеем представление
Двукратно интегрируя и учитывая условия S3(xr) = fa, S3(x-_ = = fa_x, получим аналитическое представление кубического интерполяционного сплайна на отрезке [х,_ р xj:
С / X _
+

\Х:~Х (г М:№\Х-Х.} J ~h~ +	~6~ )	~
94
3.5. Приближение сплайнами
Вычислим производную сплайна Sj(x) слева в точке хр воспользовавшись представлением на [х-_ р х-]:
^(xi-0) = M(_I^+MI|+^J,
и аналогично найдем производную сплайна S3 (х) справа в точке хр воспользовавшись представлением на [хр х-+ J:
S'(x,. + 0) = -M,^-M/+1^
Непрерывность $з(х) в точках х-, i= 1, 2,..., п- 1, т. е. 5з(х--0) = = 5з(х- + 0), порождает искомую систему из (п - 1) уравнений относительно (п + 1)-го неизвестного.
□	3.140. Построить кубический интерполяционный сплайн по значениям /(0), f (1), f(2).
Решение. Из решения 3.139 имеем, что здесь неизвестными являются величины Мо, Мр М2, удовлетворяющие уравнению
1 Мо + ? М{ + 1М2 =/(2) - 2/(1) + /(0). О	J	О
При этом искомый сплайн имеет следующий вид:
на отрезке [0, 1]
S3(x) =	+М^+ (Я°) - т )(1 ~х) + (/(1)" т )х;
на отрезке [1,2]
S3(x) = м, + м2^-И_3 +
+ {/(1)-^)(2-х) + (/(2)-^)(х-1).
У построенного сплайна две степени свободы, которые фиксируются заданием Мо и М2 или уравнениями для них. Естественному сплайну соответствуют значения Мо = М2 = 0.
□	3.141. Пусть в 3.139 М0 = Мп = 0.
Показать, что в этом случае решение системы СМ = d удовлетворяет неравенству
max |d-| max IM,I < з|<|<'1-1. к /с n- 1	min hi
\< i< n-\
95
ГЛАВА 3. Приближение функций и производных
Решение. Пусть max IM-I = IM;I, 1 < j < п - 1. Рассмотрим j-e уравнение системы
из которого следует неравенство
Ц1 > IMJ blhu - f IМ. . I + \м. .1	] > \м,1 h) + h>+i,
7	}	3 к 7-> 6	7+| 6 )	>	6
так как 1М;± ,1 < 1Л1;1. Оценивая левую часть неравенства сверху через max Idp и множитель в правой его части снизу, как
• ht + hi+1	1	•	.
min —-------1 > - min и,
i 6	3	>	’
приходим к искомому неравенству.
□ 3.142. Пусть/(х) е С(4)[о» Ь]> max 1/(4)(х)1 < А4, задана сетка с по-стоянным шагом й- = й, и дополнительные условия для определения кубического интерполяционного сплайна имеют следующий вид:
5;(^ + о)=/'(^), s;(x„-o)=/'(x„).
Показать, что справедлива оценка погрешности
IS<'>(x) -f(/)(x)l < C(A4/i4-', 1= 0,1,2,3.
Решение. Поточечное неравенство для второй производной. Воспользуемся решением 3.139. Разделив обе части i-ro уравнения системы СМ - d на /1/6, приведем его к виду
1м,._, + 2М,.+ 1м,.+ 1 = 3Л+|-^ + Л-1, i= 1, 2,, n-1.
Вычисляя производную сплайна Sj(x) справа в точке х^, воспользовавшись представлением на [х^, xj
$;(хЬ + О)=-|(2Мо + М1) + Ц^ =f’(xb),
получим первое (для i - 0) уравнение системы
Последнее уравнение (для i = и) строим аналогично
Ч-> + 2М„=^(/'(хп)-^А^).
96
3.5. Приближение сплайнами
Положим <рх- = /"(xf) и вычтем из обеих частей уравнения СМ = d выражение Сф. Имеем С(М- ф) = d- Сф. Для полученной системы, используя решение 3.141, можно получить оценку шах \Mt - ф-1 < < max Id- - (Сф),!. Представляет интерес величина di - (Сф) - в правой части неравенства. Рассмотрим ее для i = 0. Получаем
6 _Г(АЬ) j _ (2/"(ль) +Г(ЛЬ + /!)) =
- (2/"(^) +Г(хЬ) + hpKx.) + ^)(Л1)) = £ (/<4>(^) - 2/W(n,)).
Мы пришли к неравенству ld0- (Сф)01 < с0й2А4с постоянной с{} - 3/4.
Аналогичная оценка справедлива для i - п, в которой также сп - 3/4.
Далее потребуются два следствия формулы Тейлора:
Л+|-24+4-.» =/"(%.) +
Применим их для получения оценок при 1 < i < п - 1:
-QЛ"+1 + 2/г + iЛ-1) =
= 3/"(х,) + ^/(4)(^.) - (3f"(x,.) +	,.)) =
= 7(/(4,(^)-2/(4)(п1))>
т. е. Id- - (Сф)х1 < с, й2А4. Таким образом, получено поточечное неравенство max IM- - /"(х-)1 < С2й2А4, С2 = 3/4. Напомним, что 0< I < п
Mt=sf^Xi).
Оценка для второй производной. Рассмотрим на отрезке [х^-р xj разность
/"(х)- S3 (х) =/"(х)-	+М,Х ) ±
7 - 1025
97
ГЛАВА 3. Приближение функций и производных
Знак ± здесь и далее означает одновременное добавление и вычитание соответствующего слагаемого. Преобразуем эту разность к виду [/"(^-(/"(х,..,)^ +/"(Х,.)^^)] +
+ (/ "(х,._,) - М,_ ,)^ + (/ "(х,) - М;) ^-1.
Первое слагаемое можно оценить как приближение функции f "(х) ее линейным интерполянтом, а для двух оставшихся слагаемых можно применить полученное ранее поточечное неравенство. Учитывая, что величины lx- х-_ J, 1х- х-1 не превосходят h, окончательно получим
max IS, (х) -/"(х)1 < v Т + 2C2h2A4 = C2h2A4, С2 = ^. < х< х,	2 4	о
Правая часть неравенства не зависит от конкретного отрезка [xf-_ р xj, поэтому полученная оценка справедлива для < х < хп.
Оценка для третьей производной. Эта оценка является следствием поточечной оценки для второй производной и явного представления $^3)(х) на [х-_ р xj:
Получаем
PKx)-s^x} + ±fn^Y(X'-i} =
Для оценки первого слагаемого разложим/"(%,)	в точке х.
Получаем
f"(x,.) = /"(х) + (x,-x)f(3)(x) +
f "(X,- ,) =/"(х) + (х,_ , - x)f(3)(x) + (Х-'2~Х)7(4)(^_).
Теперь приходим к неравенству f(3)(x) -1	_ (х‘-с.х17(4)(^))| <
<2±A4 = hA4.
98
3.5. Приближение сплайнами
Для оценок оставшихся слагаемых можно воспользоваться поточечной оценкой для второй производной разности, что приводит к окончательному результату
max I/(3)(х) - S|3)(x)l < hA4 + 2C2hA4 = C3hA4, C3 = 5/2.
Оценка для первой производной. Эта оценка следует из непрерывной оценки для второй производной. Так как/(х,-) = S3(xf),/(x-_ J = S3(xf_ j), то на отрезке [х-_ р х;] существует точка такая, что/'({;•) = S3 (!;•). Отсюда, по формуле конечных приращений Лагранжа, получим
f Чх) - s; (х) - (у \х) - s; (х)) - (у ч^) - s; о =
где х< 0- < Поскольку 1х- £.| < й, сразу имеем оценку
max - S3 (x)l < Cjh3^, Cj = С2 = 13/8.
Оценка для разности. Эту оценку получают из непрерывной оценки для второй производной тем же способом, что и при выводе оценки погрешности интерполяции многочленом Лагранжа. Рассмотрим функцию g(z) =f(z) -S3(z) -R(z-xi)(z-xi_1) на отрезке [х-_р xj, где число R определяется из условия g(x) = О, х хр х-_ р Таким образом, на этом отрезке существуют три точки: х, хр х-_ р в которых g(z) обращается в нуль. Поэтому, в силу теоремы Ролля, существуют две точки, в которых g'(z) обращается в нуль, и, наконец, найдется точка £ такая, что g"(%) = 0. Отсюда получаем g'4^) =У'Ч£) - S3 (^) -2R = 0, следовательно,
IKI = |l.f"Gj)-S^)l< \c2h2A<.
Вспоминая, что точка х выбиралась из условия g(x) = 0, приходим к оценке
max l/(x)-S3(x)l < 1Я1 max l(x-xj(x-xz_ JI < i C2h2A4^ = CQh4A4, с константой Co = C2/8 = 13/64. Все требуемые оценки получены.
□ 3.143. На сетке с постоянным шагом h построены естественные сплайны S3(x) и S3 (х) при использовании точных и приближенных /•* значений функции, так что iy- /*1 < 8. Показать справедливость оценки
max IS3(x)- SJ (x)l < #8, К = 10.
7*
99
ГЛАВА 3. Приближение функций и производных
Решение. Пусть х е [xf_ р xj; тогда, используя аналитическое представление сплайна из 3.139, получим
max, IS3(x) - S3 (x)l <
[x(_pxj J	J
< IM.., - Mf_ ,iy + 1М,- m?\j + 1Л-1 - Л* 11 + 1Л- Л* ’•
Разность Mi - M* удовлетворяет уравнению
С(М - МП = d- d* = 1 [fi+	(fn >-2fr +	,)].
Отсюда, на основании решения 3.141, для коэффициентов естест-12
венного сплайна имеем оценку max М*\ < — 8. Поэтому спра-
ведливо неравенство
max IS3(x) - S3 (x)l <	+ 28 = 108.
и2 3
Правая часть неравенства не зависит от рассматриваемого отрезка [х,-_ р х-], значит, оно справедливо для % < х < хп.
Встречается термин вычислительная устойчивость сплайна. Это означает, что возмущение сплайна пропорционально возмущению исходных данных с некоторой абсолютной постоянной. В рассмотренном примере.получена оценка с постоянной К - 10.
Используют также локальные (аппроксимационные) сплайны, значения которых в узлах, как правило, не совпадают со значениями /(х). Это обстоятельство не принципиально, так как сами значения /(х) обычно известны приблизительно. Рассмотрим построение локального сплайна третьей степени на сетке с постоянным шагом h = = х-+ j - х-, i = 0, 1,..., п - 1, для отрезка [0,1]. Возьмем стандартный сплайн В(х), определяемый соотношениями
В(х) =
2/3 - х2 + 1хР/2 при Ixl < 1, (2- 1х1)3/6	при 1 < 1x1 < 2,
0	при 2 < 1x1.
Локальные сплайны третьей степени В^(х) и В^2)(х) записываются в виде
B*t)(x)=	а^в(^^},к= 1,2,
i = -i	V h /
и отличаются выбором коэффициентов.
100
3.5. Приближение сплайнами
При к = 1 доопределяют значения f_x и fn+x линейной интерполяцией по значениям f0, и fn, fn_x соответственно и полагают а, = j] (Ji = /(х,)) при -1 < i < n + 1. При к - 2 доопределяют значения f_2, f_x и fn+P fn + 2 кубической интерполяцией по значениям fQ, f2, f3 и fn> fn_x, fn_2, fn_3 соответственно и полагают
Значения полученных сплайнов в узлах сетки равны некоторому среднему значений функции в ближайших узлах.
□	3.144. Показать, что при любых к = 1, 2, функции В^(х) являются сплайнами третьей степени, причем они тождественно равны нулю вне отрезка [-Зй, 1 + Зй].
Решение. Справедливость первого утверждения следует из свойств стандартного сплайна В(х): он является кусочно-кубической функцией, имеющей в точках ±1, ±2 непрерывные производные до второго порядка включительно (проверяется непосредственно). Линейная комбинация таких функций удовлетворяет определению кубического сплайна.
Далее рассмотрим в формуле В^ (х) множитель	при а_г
Эта функция обращается в нуль при	2, т. е. при х < -Зй и х > h.
Аналогично множитель В * 0^ ПрИ + обращается в нуль при xn-h- 1 - h и х > 1 +3й. Эти слагаемые являются крайними в сумме (первым и последним), поэтому определяют область, где (х) О, а именно отрезок [-Зй, 1 + Зй]. Областью определения приближаемой функции/(х) является отрезок [0, 1].
□	3.145. Записать значения f_x и fn+p необходимые для определения локального сплайна В^(х).
Решение. Построим многочлен Лагранжа первой степени для /(х) по значениям/р
L2(x) — f0	+ fx	> х-— %+ih, t — 0, 1,
101
II II
ГЛАВА 3. Приближение функций и производных
и вычислим его значение в точке х = х{} - h. Имеем f_x = L2(Xq - h) = 2f0 -fv Аналогично по значениям fn, fn_{ строится величина fn + 1
~ 2fn~fn- г
□	3.146. Записать значения f_2, f_{ и fn+pfn + 2, необходимые для определения локального сплайна В<2) (х).
Решение. Построим многочлен Лагранжа третьей степени дляf(x) по значениям fn,fn_ vfn_2>fn-y Имеем
где xi; = Xq + ih; i = гц п - 1, п - 2, п - 3; h = (xn - Xq)/h, и вычислим значения многочлена в точках хп + h и хп + 2h. Получаем
fn + 1 = L^Xn + h) = 4fn - 6fn-l + 4Л-2 -fn-y
/п + 2=^п-^п-^^п-2-^п-У
Аналогично по значениям fQ, fp f2, f3 строят величины f_2 = 10fQ -- 20/j + 15/2 - 4f3, f_{ = 4/0 -	+ 4/2 -fy
□	3.147. Показать, что величина B^(x) зависит только от значений j] в четырех ближайших к х точках xiy а величина В^2) (х) — в шести точках.
Решение. Пусть х е [х*_ р хк\, тогда х = 0/1, к - 1 < 0 < к. Неравенство |Х = 10-/1 <2 выполняется только для значений i = к - 2, к- 1, fc, к + 1. Так как стандартный сплайн В(х) равен нулю при 1x1 > 2, то Вр\х) зависит только от значений/^, i = к- 2, к - 1, к, к + 1. Напомним, что для В^(х) коэффициенты определяются как а; = f{.
Анализ для В<2) (х) проводится аналогично, только зависимость от значений в шести точках связана с другой формулой для коэффициентов: а - = (8ft -fi+ j	j)/6.
□	3.148. Показать, что В(21) (л^) -fQy (хп) =fn, i = 1, 2; В^2) (Xj) =/р
102
3.5. Приближение сплайнами
Решение. Покажем в качестве примера равенство В^2) (хп) = fn. Так как хп = nh> получим
В<2»(х„)= "Д'	= ая+1В(-1) + аяВ(0) + ая_1В(1) =
_ ап+1 +4«Я + «П-1 _ 1 (-fn + 2 + Zfn+l-fn .A-fn+l + »fn-f„-l
---------6----------б I-------6-------+ 4--------6------+
+	) = 1 (-/,,.+ 4/п + , + 30/, + 4/,., -/,.,) =/,.
Для получения последнего равенства использованы выражения для Л + 2И/П+1ИЗ ЗЛ45-
□	3.149. Пусть l/(4)(x)I < А4. Показать, что
1(В<2) (х))^-/(/)(х)1 < CtA4h4~l> 1= 0,1, 2, 3.
Решение. Чтобы избежать недоразумений с символами производных для сплайна В^2) (х) будем использовать обозначение В2(х).
Поточечное неравенство для второй производной. Рассмотрим выражение В2 (х) в одном из узлов хк - kh. Имеем
В№) = ^(a*_,B"(D + afcB"(0) + ak + tB"(-l)) =
= ak-i-2ak + <h + \ = -fk-24-	18А+ 10A+i-A+2
h2	6h2
Используя разложения в ряд Тейлора для величинА± р А±2 в точке х = хк> получим В2 (xj =f'(xk) + С2й2/(4)(^).
Оценка для второй производной. Эта оценка выводится из поточечного неравенства как для интерполяционного сплайна (см. решение 3.142), если в приведенных там выкладках S3(x) заменить на В2(х).
Оценка третьей производной. В этом случае необходимо отметить, что на отрезке [xk_ р xj справедливо равенство
_ ~afc-2 + 3ak-l-3a^l +ak + 2 _ В2(Хк) -В2<^-1)
В2 М	h,	h
Дальнейшие рассуждения такие же, как для интерполяционного сплайна (см. решение 3.142).
103
ГЛАВА 3. Приближение функций и производных
Оценка для первой производной. Рассмотрим на отрезке [л*_ Р xj функцию g(x), про которую известно следующее:
1) g'(x) непрерывна; 2) lg'(x)l < К. Тогда
g(x) = /	+	lg(x)KKh+
xk-l
В рассматриваемом случае g(x) = B^(x) -/'(х), и имеется оценка Ig'(x)I = IВ2 (х) -f"(x)l < К= C2A4h2. Для нахождения недостающей величины 1#(хд._ j)l рассмотрим значения В2 (х) в узлах xk - kh
*Ы = -h («t- iB'U) + М'(0) + ак + ,В'(-1)) =
fk - 2 8/jt - I + 8/t + 1 fk + 2 12/j
= f'(xk) + C}f^k)h3.
Откуда и следует искомая оценка
шах 1/'(х) _ В2(х)1 <
Оценка для разности. Эта оценка получается таким же способом: g(x) = В2(х) -/(х). В данном случае К - СуА4№,
В2(хк) = ак_]В(1) + акВ(0) + ак+ ]В(-1) =
= а*+- + 4ба* + а*-> =f{Xk) + Cof^k)h\ что приводит к завершающей оценке для / = 0.
□ 3.150. Пусть 1/(2)(х)1 < А2. Показать, что
l(B^(x))(/)< CfA2h2-ly 1=0,1.
Глава 4
Численное
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Рассмотрим интеграл вида
ь
Kf) = j p(x)f(x)dx, а
где [а, Ь] — конечный или бесконечный промежуток числовой оси и /(х) — произвольная функция из некоторого класса F. Если не оговорено противное, то считаем, что все /(х) непрерывны на отрезке [а, Ь]. Заданную функцию р(х) называют весовой. Будем предпола1 гать, что на [а, Ь] она измерима, тождественно не равна нулю (как правило, почти всюду положительна) и ее произведение на любую /(х) € F суммируемо.
Для приближенного вычисления интеграла /(/) строят линейные квадратурные формулы (квадратуры) следующего вида:
Sn(f)=i
I	= 1
Постоянные ci называют коэффициентами (весами) квадратуры, xi — ее узлами.
Для каждой функции f(x) g F погрешность квадратурной формулы Sn(f) определяется как Rn(f) = I(f)-Sn(f). При этом оценкой погрешности на классе F называют величину
Rn(F) = sup \Rn(f)\, \\Rn(F)\\ = sup \Rn(f)l/llfllF.
/eF	/eF,f#0
На практике часто используют оценки сверху для \Rn(f)\, которые будем обозначать через Rn.
4,1,	Интерполяционные квадратуры
Имеется большая группа квадратурных формул, построенных на основе замены f(x) алгебраическим интерполяционным многочленом. Пусть на конечном промежутке [а, Ь] по заданному набору раз-
705
ГЛАВА 4. Численное интегрирование
личных узлов {xjfs ! функция/(х) приближается интерполяционным многочленом Лагранжа Ln(x) степени п - 1
и	п х — X-
LnM= S /(х ) П--------
” i=iJl 7=ix--x-
Положим
S„(/) = J p(x)Ln(x) dx
а
Отсюда получаем явные формулы для набора коэффициентов {cj "= j и оценку погрешности Rn такую, что 1/(/) - Sn(/)l < Rn,
ci = J PM П ^dx, R = J lp(x)llco„(x)l dx, a ;=1X,-X-	nl Ja r
J*» J
где
11	f(n)(x)l I = max l/(n)(x)l, co„(x) = П (x- x-).
[a,b]	i=\
В оценках, приведенных ниже, также используется равномерная норма.
Квадратурные формулы интерполяционного типа, построенные
в случае весовой функции р(х) = 1 для системы равноотстоящих узлов
х- = а + (z - 1)-—у , i = 1, 2 ..., п , называют формулами Ньютона — Котеса.
□ 4.1. Получить формулы Ньютона— Котеса и соответствующие оценки погрешностей при числе узлов п - 1, 2, 3.
Указание. При вычислении интегралов использовать замену
переменной х = х(г) = —у~ + ~у~ В частности,
\ и + 1 1
J ko„(x)ldx = (Ь") J li»o(r)ldr,
п
где о)°(7)= П (f-ff)> а ^являются образами узлов х, на отрезке [-1,1]. i = 1
Ответ: п = 1 — формула прямоугольников
S//) = (b-, Rt = П/'(х)Н^Ц^;
106
4.1. Интерполяционные квадратуры
п-2 — формула трапеций
s2(/) = 4^(/(й) + /(b))> R* =	’
п-д — формула парабол (Симпсона)
s3(f) =	(f(a) + 4/(—у-) + /(b)), R3 = ll/(3)(x)ll^I^.
□ 4.2. Рассмотрим формулы прямоугольников и трапеций. Какая из них имеет лучшую точность?
Решение. Можно сравнивать точность только для функций из одного класса, поэтому необходимо получить для формулы прямоугольников другую оценку погрешности. Воспользуемся в качестве приближения к функции /(х) отрезком ряда Тейлора в точке (а + Ь)12. Имеем
/ы)+qa 4-Т
Тогда для квадратурной формулы Sj(/)> полученной с помощью интегрирования двух первых слагаемых, справедливо равенство w»=i [/(4/ +44/ («-q-/]dx=s1(/), при этом оценка погрешности принимает вид
к = j _«+J?у dx= цГ(х)ц(Ц^
1	2 i V 2 >	7	24
Следовательно, на классе функций с непрерывной второй производной формула прямоугольников имеет оценку погрешности в два раза меньшую, чем формула трапеций.
В общем случае оценка погрешности для формул Ньютона — Котеса имеет следующий вид:
при нечетных п
&„=	k xto«w dx>
при четных n
R„ =	f co„(x) dx .
” nl a n
Отсюда можно получить известную оценку погрешности для формулы Симпсона: R3 = H/X4)(x)ll .
107
ГЛАВА 4. Численное интегрирование
□ 4.3. Пусть весовая функция р(х) четная, узлы xf расположены симметрично относительно нуля, т. е. хл + j _ f = -х? i = 1,..., п. Доказать, что в интерполяционной квадратурной формуле для вычисле-
а
ния интеграла !(/) = j p(x)f(x) dx коэффициенты, соответствую--а
щие симметричным узлам, равны, т. е. сп + 1 _ • = ciy i = 1,..., п.
Указание. В формуле для коэффициента квадратуры
cn+i-, = fl f р(*) . п ГЛ dt
-1
заменить узлы на симметричные tn + j _ •; = -tiy = -tn + j ., формально поменять индекс в произведении и использовать свойство опреде-1 1
ленного интеграла J g(t)dt = J g(-t) dt.
□ 4.4. Доказать, что для погрешности квадратурной формулы трапеций справедливо представление
W) = f /(%) dx- (/(«)+/(b)) = 1J (a-^)(b-^)f"^) d£. а	а
Указание. Проинтегрировать правую часть равенства по частям два раза или использовать формулу Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.
Составные квадратурные формулы. Рассмотрим задачи на построение составных квадратурных формул и вывод оценок их погрешностей. Пусть h = (b- a)/N и хк = а 4- khy к - 0, 1,..., N. Введем следующие обозначения:	= J p(x)f(x) dx, S^(/) = S„(/) для отрезка
[xk> xk+ J, к = 0,..., N- 1.
N- 1
Исходный интеграл /(/) равен 1(f) = E /(/:)(/), поэтому соответ-к = 0
ствующая составная квадратурная формула принимает вид S^(f) = N- 1
= Z	а для ее погрешности справедливо неравенство \R^(f)\ <
к = 0
N- 1
< Z \R^(f)\. Например, в случае составной формулы прямоугольно
ников
108
4.1. Интерполяционные квадратуры
для погрешности на отрезке [xk, хк+ J имеем неравенство
= Hf"(x)llg = 1|/"«11(-^г-
Следовательно, для всего отрезка [а, Ь] оценка погрешности получается суммированием по всем [xfc, хк+ J
К" = Н/"(х)11(Ь~^)3.
1 J 24N2
□ 4.5. Для вычисления J /(х) dx применяется составная формула трапеций. Оценить минимальное число разбиений N, обеспечивающее точность 0,5 • 10-3 на следующих классах функций: 1) П/"(х)11 < 1;
2)	j l/''(x)ldx< 1.
о
Ответ: 1) N = 13; 2) N = 16 (для этого случая полезно использовать решение 4.4).
□ 4.6. Для составной квадратурной формулы трапеций с шагом h = (b-a)/N
R?(f) = J /(*) dx-	+ ±/(xN) + s f(xk))
д	Z	Z	К — 1	z
получить оценки погрешностей следующего вида:
1) R? = % J l/"(x)l dx; 2) R" =	(J 1/''(х)Р dx)"2.
о а	л Эи 4 а	'
Указание. Использовать решение 4.4. Для второго случая дополнительно ввести функцию
m =	на[хк,хк+1],
10	BHelx^x^J.
Тогда имеют место соотношения
V k$\xk-y(xk+l-W"(y d^ =
*=° ъ
= s'j <p^)/"(^)d^ = J f’W V ф^) d£, к-0 а	а	к - 0
к последнему из которых следует применить неравенство Коши — Буняковского.
109
ГЛАВА 4. Численное интегрирование
□	4.7. Вычислить интеграл j exp (х2) dx по формуле Ньютона — о
Котеса с узлами х} = 0, х2 = 1/4, х3 = 1/2, х4 = 3/4, х5 = 1 и оценить погрешность.
1
□	4.8. Найти оценку погрешности вычисления интеграла j /(х) dx о
при/(х) = 1/(1 4- х2) по составной квадратурной формуле
S(f) - [/(0) 4- 4/(0,1) 4- 2/(0,2) 4- 4/(0,3) 4-... 4- 4/(0,9) 4- /(1,0)]/30.
Указание. Покажем, что Н/(п)(х)Н = и!. Для этого введем функцию у - arctg х. Тогда у' - f(x). Используя обратную функцию х = tg у, получим у' = cos2 у, у" - -2у' cos у sin у, .... Эти выражения можно преобразовать к виду
у' = cos у sin (у 4-л/2), у" - cos2 у sin 2(у 4- тс/2),
у(м) _ (и-1)! cos"ysin и(у 4-л/2).
Отсюда следует Н/(п)(х)Н - Ну(п+ 1 >(х)11 = п\.
Ответ: Н/(4)(х)И---5—- -—.
-------- J 2880 • 54 75 000
1
□	4.9. Найти оценку погрешности вычисления интеграла j /(х) dx о
при/(х) = 1/(1 4- х2) по составной квадратурной формуле
S(/) = [/(0) 4- 2/(0,1) 4- 2/(0,2) 4-... 4- 2/(0,9) 4-/(1,0)]/20.
Ответ: П/"(х)И	(см. указание к 4.8).
□	4.10. Оценить число разбиений отрезка N для вычисления ин-1
теграла J sin (х2) dx по составной квадратурной формуле трапеций, о
обеспечивающее точность 10-4.
Ответ: N> 45 > [J&I12 • 102] 4-1,0 = шах (2,4 sin 1 - 2 cos 1) < 2,29.
□	4.11. Оценить число разбиений отрезка N для вычисления ин-1
теграла J exp (х2) dx по составной квадратурной формуле прямо-0
угольников, обеспечивающее точность 10'4.
Ответ: N > [ 50 Те ] 4- 1 = 83.
110
4.1. Интерполяционные квадратуры
□	4.12. Оценить число узлов составной квадратурной формулы 1
трапеций для вычисления интеграла J exp (х2) dx, обеспечивающее точность 8 < 10~4.
□	4.13. Оценить число узлов составной квадратурной формулы *	2
Симпсона для вычисления интеграла j f(x) dx, обеспечивающее
точность 8 < 0,5 • 10“4 на классе функций, удовлетворяющих условию 11/(4)(х)11 < 1.
□	4.14. Записать квадратурную формулу для вычисления с точ-оо	оо
ностью 10“4 интегралов 1(f) = j e“xf(x)dx, 1(f) = j xe-x/(x)dx, если для некоторого фиксированного k > 1 выполнено неравенство llfW(x)ll < 1.
□	4.15. Доказать справедливость следующих представлений погрешностей квадратурных формул:
1)	j Дх) dx -	(/(а) + 3/(^±&) +	+ f(b)) =
2)	| /(х) dx-^ (7f(a) + 32f(^-^) + 12/(^) + 32f(l±-^) +
+ 7/(Ь)) = -(Дгу
з)	f /(х) dx -	(/(й) +;(Н) +	=
□	4.16. Показать, что ни для какой системы узлов и коэффициентов погрешность квадратурной формулы Rn(f) не стремится сильно к нулю на пространстве непрерывных функций (f (х) е С[а, Ь]). Более того, всегда справедливо равенство
Ь	п
11Я„(С)11 = J p(x)dx+ Z lcfl.
Ill
ГЛАВА 4. Численное интегрирование
Решение.	Рассмотрим	непрерывную	на	отрезке [а, Ь] функ-
цию f(x) такую, что
ь	ь
max	l/(x)l =	1, j	p(x)/(x)dx>j	p(x)dx-8
[«, b]	а	а
и /(xz) = -sign i = 1, 2, ..., пу где 8— произвольно малое число. Она строится конструктивно по заданным узлам xf и весам cf f(x) = 1 вне малых окрестностей точек х:, внутри них— непрерывная функция l/(x)l < 1 Hf(xz) = -sign cz. Для такой функции справедливо неравенство
^«(/) = Л/)-S„(/) > J р(х) dx+ Д lc.l-8,
и так как \Rn(f )1 < 11Я„(С)Н max 1/(х)1 = ПЯп(С)И, то имеет место оценка
Ь	п
IIKn(C)ll>J p(x)dx + Z ICjl-e, a	i= 1
откуда в силу произвольности 8 следует, что
Ь	п
ПЛ„(С)П p(x)dx + Z 1с,1. а	1-1
Неравенство противоположного знака устанавливается просто, поэтому искомое утверждение доказано.
Этот факт иллюстрирует «пессимистическую» точку зрения, согласно которой проблема численного интегрирования непрерывных функций, вообще говоря, неразрешима. Однако для практических приложений более важен факт существования системы узлов и весовых коэффициентов таких, что Rn(f) 0 слабо на С[а, Ь] при п —* °о. Это тем более важно, что в приложениях приходится иметь дело не со всем пространством С [а, , а с некоторым его компактным подмножеством, для элементов которого можно указать порядок стремления к нулю величины Rn(f).
ь
□	4.17. Пусть Cq = j l/(^(x)l dx < °°, q = 1, 2. Получить оценку по-а
грешности формулы трапеций \RN(f )l < т^С М, где xq— абсолютная постоянная, h — шаг интегрирования.
ь
□	4.18. Пусть Cq = j dx < °°, q = 1, 2, 3, 4. Получить оценку а
погрешности формулы Симпсона I R$(f )1 < pqCqh% где pq— абсолютная постоянная, h — шаг интегрирования.
/72
4.2. Метод неопределенных коэффициентов
В упражнениях 4.19 — 4.21 рассматривается приближенное вычис-1
ление интеграла I(fb) = J fb(x) dxoT функции с параметром Ibl < 1: о
г, ч 1° при х=0, Дкх; j*ь ПрИ х е j]
□	4.19. Интеграл I(fb) вычисляется по составной квадратурной формуле трапеций с постоянным шагом 1/N. Доказать, что суммарная погрешность удовлетворяет следующему соотношению:	)1 <
<Ц(Ь)/МЧ Ц(Ь)*0.
□	4.20. Интеграл I(fb) вычисляется по составной квадратурной формуле трапеций с распределением узлов xq = <p(q/N), <p(r) = г3/(1 + Ь). Доказать, что суммарная погрешность удовлетворяет соотношению |^(/)|<о2(Ь)Жп2(Ь)^о.
□	4.21. Интеграл I(fb) вычисляется по составной квадратурной формуле трапеций с распределением узлов xq = <p(q/N)y ф(Г) = t*. Доказать, что при а> 2/(b+ 1) суммарная погрешность удовлетворяет соотношению < D(a, D(a, b) 0.
Проверить, что £)(л, Ь) > О2(Ь), где D2(b) определено в 4.20.
4.2. Метод неопределенных коэффициентов
ь
Если интегралы вида J p(x)xk dx вычисляются просто, то при за-а
данном наборе различных узлов можно найти коэффициенты ci из условия точности квадратурной формулы Sn(f) = Z cjix^ для произвольного многочлена наиболее высокой степени, т. е. из равенств I(xk) = Sn(xk), k = 0, 1,..., (и - 1). Полученная система линейных уравнений относительно с • имеет единственное решение.
Если квадратура точна для многочлена степени т (говорят, что она имеет алгебраический порядок точности, равный ги), то справедливо равенство Rn(f) = Rn(f - Pm). Взяв в качестве Рт(х) интерполяционный многочлен для /(х), построенный по нулям многочлена Чебышева, можно получить оценку
1в„(/)| < ......	ipwidx+ Ё |C,|Y
"	(m+ l)122m+ 1 Ч Г	/
X - 1025
113
ГЛАВА 4. Численное интегрирование
Из условия точности квадратурной формулы для функций заданного вида можно выписать уравнения (в общем случае нелинейные) не только для определения коэффициентов, но и для узлов квадратуры.
Квадратурными формулами Чебышева называют квадратуры с одинаковыми коэффициентами, т. е.
S„(f) = c ,S /(х,)»с= - J p(x)dx i=l	п а
Их построение заключается в нахождении узлов х- из условия точности для многочлена максимально высокой степени. Квадратуры Чебышева (их удается построить при п = 1,2, 3,4, 7,10) обычно применяют, если значения f(xj известны с независимыми случайными погрешностями. В этом случае выбор равных коэффициентов обеспечивает минимальную дисперсию Sn(f).
□	4.22. Получить формулу Симпсона методом неопределенных коэффициентов.
Указание. Сначала построить формулу на отрезке [-1, 1], а затем отобразить ее на [а, Ь].
Ответ: S3(f) =	(/(а) + 4/	+ /(&)).
□	4.23. Для формул трапеций и Симпсона найти оценки погрешности, следующие из метода неопределенных коэффициентов.
Ответ: для формулы трапеций 1Я2(/ )1	Ilf"II, так как
8
т - 1; для формулы Симпсона 1Я3(/)1 <	Н/(4)Н> так как т ~ 3-
□	4.24. Для вычисления интегралов 1(f):
2	0	1
1) j (х+ l)f(x) dx; 2) J x2f(x) dx; 3) J x2f(x) dx о	-i	-i
построить формулы вида S(f) = qf(x) + c2f (x2) с одним фиксированным узлом x = 0, точные для многочленов максимально высокой степени.
Ответ: 1) S(f) = U /(0) +	2) 5(f) = 1/(0) + ±/(-| );
3) S(f) = |/(0).
114
4.2. Метод неопределенных коэффициентов
□ 4.25. Рассмотрим многочлен
РпМ = (х-Xj)...(x-хп) = хп + аххп~1 + ^х"-2 + ... + ап. п
Доказать, что величины В- = Е х^, j = 1,..., и, удовлетворяют равенствам	к~[
В{ = -ар
д,В, + В2 - -2а2У а2Вх + а}В2 + В3 = -За3,
ап- 1В1 + Йи-2В2 + - + а1вп- 1 + В,, - -««„•
Решение. Представим производную Р„(х) в виде
P'(x) = P„(x)£lnP„(x)= Z
QX	к = 1 X — Хк
где
Р (х)
—— = хп~1 + (flj + хк)хп~2 + (^ + а{хк + хк)хп~3 + ... х~ хк
... + («„- 1 + 2Хк + - + «1 Хк~ 2 + Хк ’ ‘)’
Положим = 1. Тогда соотношение для производной можно записать в виде
п- 1
Z (и- к)акхп~к~' = их”-1 + (ид, + В,)х"-2 +
к=о	К	1	1
+ (и^ + д1В1 + В2)х""3 + ... + (пап_1 + ап_2В{ + ... + ахВп_2 + Вп_{).
Из равенства коэффициентов при одинаковых степенях х и следуют соотношения для др ..., ап_ г Последнее соотношение (для ап) получается в результате сложения равенств
РЛхк)= Z д хр7 , fc= 1, 2,..., и,
j=0J
ап- 1^1 + ап-2^2 + -• + а\Вп- 1 + Вп = ~апп-
□ 4.26. Построить квадратурные формулы Чебышева на отрезке [-1, 1] с весом р(х) = 1 для п = 2, 3, 4.
Указание. Для f (х) = х4)'= 1, 2,..., и, имеем следующие соотношения:
I(xi) = S„(x’), или	? f хк)' =
"	7+1 nk=i К п '
S‘
115
ГЛАВА 4. Численное интегрирование
где Bj определены в 4.25. Решая эти системы получаем
Р2(х) = х2 - i, Р3(х) = х3 - 1 х, Р4(х) = X4 - ? X2 +	.
□ 4.27. Показать, что квадратурная формула
$„(/) = 5 Z
п ; = 1 V 2 п '
для вычисления интегралов 1(f) = j -A*) dx точна для всех алгеб-
-1	- х2
раических многочленов степени 2п- 1.
Решение. Представим произвольный многочлен Р2п_ i(x) степени 2п - 1 в виде суммы многочленов Чебышева: Р2п_\М = 2п- 1
= X атТт(х), в которой Тт(х) = cos (m arccos х), и проверим ут-m = О
верждение.
При m = 0 имеем
/(Го)= J -п=== dx= л, Sn(T0) = л.
-1 71 - х2
При m > 0 справедливо свойство ортогональности I(TmTQ) = 0. Для квадратурной формулы выполним преобразования
р / гр ч 7Г	\ v	(X/	1
SJ7L) - -	X cos (m arccos x,)	= - X	cos tn—-—	=
n m n j=\	P nj=\	2n
= ± i 2n j=\-n V	2n	/
Далее используем формулу суммы членов геометрической про-
грессии X acf 1 =	—j-2 , q = ехр J , и окончательно для
m= 1,..., 2п - 1 получаем
S„(T ) = 2L " т 2п
(т(2п-\- 1)тг1Л fm(l-2n)7ii ехр —— ------— - ехр —-— ------—
2п J	2п
= 0.
□ 4.28. Показать, что квадратурная формула $п(/)=_2Ц £ sin2
116
4.2. Метод неопределенных коэффициентов
для вычисления интегралов /(f) = j - х2 dx является точ--1
ной для всех алгебраических многочленов степени 2п- 1.
□ 4.29. Показать, что квадратурная формула
П п j= О V п '
(D
для вычисления интегралов /(/) = j f(x) dx точна для всех тригоно-0
метрических многочленов с периодом со степени не выше и - 1.
Решение. Рассмотрим величины /(/) и Sn(f) для функций вида f(x) = exp |^2 л mi j, т - 0, 1,..., п. При этом для интегралов имеем г/гч Iе0 при т = 0, ~ 10 при т 0.
Используя квадратурную формулу, получаем
S(f) - - S exp f2тгпл^ 1 =
П	п j=Q V Ц У
со 1	т
- 2- 1 = со	при — целом,
_ п j=0	п
exp (2nmi) - 1	п	т
—5-^---г-2--- =0 при — нецелом,
exp (2nmiln) - 1	п
Приведенное выражение означает, что квадратурная формула точна для всех sin (2лшх/со) и cos (2лшх/со), если т - 0 или mln не целое, т. е. точна для всех тригонометрических многочленов степени не выше п - 1. Из явного выражения для Sn(f) следует, что эта формула также точна для функции sin (2лпх/со).
□ 4.30. Пусть Т— треугольник на плоскости, S(T) — его площадь, А, В, С — середины сторон. Показать, что квадратурная формула
Kf) = Jf f(x) dx« 1 S(T)(f (А) +ДВ) +f(C))> т
где х = (хр х2), dx = dxj dx2, точна для всех многочленов второй степени вида
а0 + а{х} + а2х2 + aHxf + fl12XjX2 + a^xj.
Указание. Линейным невырожденным преобразованием, якобиан которого постоянен и не равен нулю, произвольный треугольник перевести в равнобедренный прямоугольный, далее проверка утверждения становится простой.
117
ГЛАВА 4. Численное интегрирование
□	4.31. Пусть Р— прямоугольник на плоскости, S(P)— его площадь, А, В, С, D— середины сторон, Е— точка пересечения диагоналей. Показать, что квадратурная формула
/(/) =П fM dxUs(P)(/(A) + f(B) + /(С) +f(D) + 2/(Е)) р	6
точна для всех алгебраических многочленов от двух переменных третьей степени.
Указание. Линейным невырожденным преобразованием, якобиан которого постоянен и не равен нулю, произвольный прямоугольник перевести в квадрат, симметричный относительно нуля.
□	4.32. Для вычисления интегралов 1(f):
1)	f f(x) dx; 2) f f(x) dx; 3) f f(x) dx; 4) f f(x) dx
построить квадратурную формулу Чебышева с тремя узлами.
Ответ: 1) РЛх) = х3 - Зх2 + - х- - , х, - 1, х? . = 1 ±	, с - - ;
--------	3	2	2 1	2’3	72	3
2)	Р3(х) = x3-^x2+5x-1,x1 = A,x2>3=1±-L)c=1;
3)x1=4>x2,3 = 4±-L,C4;4)x1=-1)x,3 = -1±±)c=?.
□ 4.33. Построить квадратурную формулу вида S(f) - c{f(O) +	(х2),
точную для многочленов максимально высокой степени для вычисления интегралов 1(f):
1) j x2f(x)dx; 2) j xf(x) dx; 3) j cos (x)f(x) dx; 4) J (x + -2	0	0	0
+ 2)f(x) dx.
Ответ: 1) S2(f) = 1/(0) +	);2) S2(f) = ±/(0) +	;
3)	$ (f) =	~ 3) fm) + ~ 2)2 f f ~ 8 1 •
л2-8 я2-8 ;12(я-2)>
4Ш/)= jy/(O)+^/g).
□ 4.34. Определить параметры q, с2, х2 так, чтобы квадратурная ь
формула S(f) = c{f(a) + c2f(x2) для вычисления интегралов j f(x) dx была точной на многочленах максимально высокой степени.
118
4.2. Метод неопределенных коэффициентов
□	4.35. Определить параметры q, с2, с3, х2 так, чтобы квадратурная формула S(f) = qf(-l) + c2f (х2) + с3/( 1) для вычисления интегра-1
лов 1(f) = j x2f(x) dx была точной на многочленах максимально -1
высокой степени.
1
□	4.36. Для вычисления интегралов 1(f) = j f(x)dx построить о
квадратурную формулу S2(f) - c{f(O) + c2f (2/3), точную для многочленов максимально высокой степени.
1
□	4.37. Для вычисления интегралов 1(f) = j f(x) dx построить о
квадратурную формулу S2(f) = q/(l/2) + c2f (2/3), точную для многочленов максимально высокой степени.
2
□	4.38. Для вычисления интегралов 1(f) = J f(x)dx построить 0
квадратурную формулу S3(f) = q/(0) + c2f (1/2) + c^f(2)у точную для многочленов максимально высокой степени.
ь
□	4.39. Для вычисления интегралов /(/) = } eaxf(x) dx построить а
квадратурную формулу S2(f) = cxf(a) + c2f (b)y точную для многочленов максимально высокой степени.
Указание. Получить систему уравнений для коэффициентов квадратурной формулы
G + G = - (еаЬ-еал), с}а + c2b- - Feabfb- - 1 -еаа(а- - 1].
ь
□	4.40. Для вычисления интегралов 1(f) = J f(x) dx построить квадратурную формулу	а
S4(f) = cj(a) + c2f(a +	) + c3f(a + 2Ь-^ ) + с4/(Ь),
точную для многочленов максимально высокой степени.
□	4.41. Пусть/е С(l)[-1,1] и Р5(х) — алгебраический многочлен пятой степени, удовлетворяющий условиям P(xk) = f(xk)y Р'(хк) = f'(xk)y к = 1,2,3, где Xj = -1, х2 = 0, х3 = 1. Рассмотрим квадратурную формулу s5(/) = 1 (7/(-1) + 16/(0) + 7/(1) +/'(-1) -/(!)).
119
ГЛАВА 4. Численное интегрирование
Проверить, что S5(/) точна на многочленах пятой степени
1
j Р5(х) dx - S5(P5), но найдется многочлен степени 6, на котором она
-1
не точна.
4.3. Квадратурные формулы Гаусса
Рассмотрим следующую задачу: при заданном числе узлов п по-ь
строить для вычисления интегралов вида /(/) - J p(x)f(x) dx квад-а
ратурную формулу
$„(/) = Z с,/(х,),	(11)
i = 1
точную для многочленов максимально высокой степени. Весовая функция р(х) предполагается почти всюду положительной. В этой постановке имеется 2п свободных параметров (узлы xz и коэффициенты с - неизвестны), поэтому можно попытаться построить квадратуру, точную для многочленов степени 2п - 1. Несложно убедиться в том, что не существует квадратуры с п узлами, точной для всех многочленов степени 2п. Действительно, возьмем Р2пМ = (х- хх)2.,.(х-- хп)2. Тогда 0 = Sn(P2rl) /(Р2п) > 0.
Важную роль при построении квадратурных формул Гаусса (11) играют ортогональные многочлены на отрезке [а, Ь] с весом р(х) > 0 почти всюду. Они могут быть получены, например, в результате стандартной процедуры ортогонализации, примененной к системе {1, х, ..., хк, ...}, при скалярном произведении ь
(f, g) = j pMf(x)g(x) dx a
Пусть на отрезке [а, b] имеется система ортогональных многочленов с весом р(х)
1, ц/Дх), у2(х),, yt(x), ••••
Тогда многочлен к-п степени \ук(х) ортогонален произвольному многочлену Р,(х) при 1= 0,..., к - 1. Действительно, многочлен Р,(х) пред-
/
(х), и при к / имеют место равенства
ставим в виде РДх) = X еду,
7 = 0 7 7
ь
J р(х)<|/^х)<|/((х) dx = 0.
а
120
4.3. Квадратурные формулы Гаусса
На практике наиболее употребительны следующие ортогональные многочлены:
Лежандра ([-1, 1], р(х) = 1),
Чебышева первого рода ([-1, 1], р(х) = -----	),
4	71-х2 7
Лагерра ([0, оо), р(х) = е-х), Эрмита ((-°°, °°), р(х) = е-*2).
Здесь в скобках указаны промежуток интегрирования и весовая функция.
При построении квадратурных формул Гаусса базовым является следующее утверждение:
Теорема. Пусть хр ..., хп — нули ортогонального на [а, в] с весом р(х) многочлена уп(х) степени п и (11) — квадратура, точная для многочленов степени п - 1. Тогда квадратура (11) точна для многочленов степени 2п - 1.
На основании этого утверждения процесс построения квадратуры может быть разбит на два последовательных этапа:
— нахождение нулей ортогонального многочлена;
— нахождение весов методом неопределенных коэффициентов.
Приведем оценку погрешности формул Гаусса
Л„=||/(2и)(х)|| J P(x)^g dx,
которая для отрезка [-1, 1] и веса р(х) = 1 имеет вид
R = llf<2")(x)ll 22n+l<n!)4 . " J ((2n)!)3(2n + 1)
□	4.42. Методом ортогонализации построить многочлены Лежандра со старшим коэффициентом 1, ортогональные на отрезке [-1, 1] с весом р(х) = 1.
1	3
Ответ: \|/0 = 1, \|/j - х, \|/2 = х2 - - , \|/3 = х3 - - х,....
□	4.43. Доказать, что ортогональный многочлен степени п имеет ровно п различных корней на отрезке [а, Ь].
Решение. Если \|/п(х) имеет на [а, Ь] только г < п нулей нечетной кратности, то многочлен
Q„ + г(х) = <|/„(х) П (х-х,)
121
ГЛАВА 4. Численное интегрирование
ь
не меняет знака на этом отрезке. Следовательно, J pMQn + r(x) dx а
отличен от нуля, что противоречит свойству ортогональности \|/п(х) любому многочлену низшей степени.
□	4.44. Построить квадратуру Гаусса с одним узлом для вычисле-
1	1
ния интеграла: 1) /(f) = J xf (х) dx; 2) 1(f) = J exf(x) dx.
о	о
Ответ: 1)	2) (е - 1)/^).
□ 4.45. Построить квадратуру Гаусса с двумя узлами для вычисле-
1	л/2
ния интеграла: 1) /(f) = J x2f(x) dx; 2) /(f) = J cos (x)f (x) dx.
-1	-л/2
Ответ: 1) (/(Тз/5 )+/(-л/з/5 ))/3;
2) /( 7л2/4 - 2 ) +	~ 2 ).
□	4.46. Построить квадратуру Гаусса с тремя узлами для вычисле-
1
ния интеграла I(f)= J f(x) dx.
Ответ: |/(-7з/5 ) + |/(0) + 5-f( ЛГ5 ).
□	4.47. Доказать, что все коэффициенты квадратуры Гаусса положительны.
Решение. Рассмотрим многочлен степени к = 2п- 2 вида РкМ =
( п \2
-	I П (х- х-) I . Для интеграла от этого многочлена формула Гаусса
i * к
дает точный результат
J р(х)Рк(х) dx= Z С:Рк(х:)= Е С)Рк(Х)) + скРк(хк). a	j = 1 J J 7=1 J J
j*k
Так как справедливо Pk(x-) = 0 при j # к, то имеет место равенство
|p(x)Pj(x)dx
122
4.3. Квадратурные формулы Гаусса
□	4.48. Пусть весовая функция р(х) четная относительно середины отрезка интегрирования — точки (а -I- Ь)/2. Доказать, что узлы квад-
ь
ратуры Гаусса для вычисления интегралов /(/) = j p(x)f(x) dx расположены симметрично относительно (а -I- Ь)12, а соответствующие симметричным узлам коэффициенты квадратуры равны.
Ответ: симметрия узлов квадратуры следует из решения 4.70, а равенство коэффициентов — следствие симметрии узлов (см. 4.3).
□	4.49. Пусть Rn(f) — погрешность для функции /(х) - х2п квадратурной формулы Гаусса с п узлами для отрезка [-1, 1] и весовой функции р(х) = 1/71 ~ х2. Вычислить Rn(f) и показать, что lim 22п~ '\R„(f )1 = тс.
м — ОО
□	4.50. Пусть Rn(f) — погрешность для функции /(х) = х2п квадратурной формулы Гаусса с п узлами для отрезка [-1, 1] и весовой функции р(х) = 71 ~ х2. Вычислить Rn(f) и показать, что lim 22"1Я„(/)1 = тс.
п — ОО
□	4.51. Пусть/(х) — непрерывная на отрезке [а, Ь] функция. Доказать, что для формул Гаусса \Rn(f)\ —* 0 при п —* оо.
Указание. Квадратурная формула и вычисляемый по ней интеграл определяют линейные функционалы на пространстве непрерывных функций. Поэтому здесь применима теорема Банаха о сходимости последовательности линейных операторов (необходимым и достаточным условием сходимости является выполнение следующих двух требований: 1) сходимость на множестве элементов, всюду плотном в пространстве, где определены операторы; 2) ограниченность в совокупности норм операторов).
Для квадратур Гаусса положительность коэффициентов гарантирует выполнение второго требования. Проверить, что оценка погрешности дает сходимость по п для произвольного алгебраического многочлена, откуда следует выполнение первого требования.
□	4.52. Построить составную квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами на каждом отрезке разбиения для вычисления интеграла ь
Л/) = { еах/(х) dx, где еах — весовая функция. Оценить погрешность построенной формулы.
123
ГЛАВА 4. Численное интегрирование
ь
□	4.53. Доказать, что не существует квадратур j f(x) dx «
а
« X ^/(х;) с и узлами, точных для всех тригонометрических полиномов степени п с весовой функцией р(х) = 1.
□	4.54. Построить квадратурную формулу Гаусса с одним узлом
1	1
для вычисления интеграла/(f): 1) j x2f(x) dx; 2) j lxlf(x) dx.
о	-1
□ 4.55. Построить квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами
1	1
для вычисления интеграла/(f): 1) J lxlf(x) dx; 2) J x4f(x) dx. -i	-i
□	4.56. Построить квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами
1
для вычисления интеграла /(f) = J p(x)f(x) dx, р(х) — весовая о
функция: 1) р(х) = х; 2) р(х) = sin (лх); 3) р(х) - ех; 4) р(х) = cos (х-- 1/2); 5) р(х) = 1 - х; 6) р(х) = е~х.
□	4.57. Показать, что квадратурная формула
53(/) =	(/(-7з72 ) + 4/(0) +/( 7з72 ))
о
-1-00
для вычисления интегралов I(f)= f exp (-x2)f(x) dx точна для всех
-оо
алгебраических многочленов пятой степени.
□	4.58. Показать, что квадратурная формула
s3(/) = з (/(-7з /2) +/(0) +/(Тз/2))
для вычисления интегралов 1(f) = j бхточна для всех алгеб-
-1 л/1 - X2
раических многочленов пятой степени.
□ 4.59. Построить квадратуру Гаусса с четырьмя узлами для вы-
1
числения интеграла /(f) = j f(x) dx.
Ответ: -х_х = хх = 7(15 - 2Т30)/35, с_, = с} = (18 + 730)/36,
-х_2 = Х2 = 7(15 + 2Т30)/35, с_2 = с2 = (18 - Тзо )/36.
124
4.3. Квадратурные формулы Гаусса
□	4.60. На интервале (-оо, оо) найти ортогональный многочлен
<	|/3(х) = х3 + ... при заданной весовой функции р(х) = ехр (-х2).
Ответ: \|/3(х) = х3 - - х.
□	4.61. На отрезке [-1, 1] найти ортогональный многочлен \|/3(х) =
= х3 + ... при заданной весовой функции р(х) = 1/71 - х2.
а
Ответ: \|/3(х) = х3 - - х
□	4.62. На отрезке [-1, 1] найти ортогональный многочлен \|/3(лс) =
= х3 + ... при заданной весовой функции р(х) = 71-х2.
Ответ: \р3(х) = х3 - х/2.
□	4.63. На полуинтервале [0, оо) найти ортогональный многочлен
<	|/3(х) = х3 + ... при заданной весовой функции р(х) = ехр (-х).
Ответ: у/х) = х- 1, \|/2(х) = х2-4х+2, \|/3(х) = х3-9х2 + 18х-6.
□	4.64. Построить квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами я
для вычисления интегралов /(/) = J sin (х)/(х) dx о
Ответ: S2(/)	+
□	4.65. Построить квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами оо
для вычисления интегралов /(/) = J ехр (~х)/(х) dx о
Ответ: S2(/) =	- Л ) + ?-^/(2 + /2).
□	4.66. Построить квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами
для вычисления интегралов /(/) = J (х- | J/(х) dx
Ответ: S2(/) = [/(1/2 + 7з720)+/(1/2-7з72О)].
□	4.67. Доказать, что ни с каким весом р(х) > 0 многочлены {x^joo^o не Могут быть ортогональны на [0, 1].
125
ГЛАВА 4. Численное интегрирование
□ 4.68. Пусть на отрезке [а, Ь] имеется система ортогональных многочленов {\|/„(х)} с весом р(х) и старшим коэффициентом, равным единице. Доказать, что среди всех многочленов степени п вида Р„(х) = х" + ап_1хп~1 + ... -I- а0 минимальную норму НРПН2 = ь
= j р(х)Р2 (х) dx имеет ортогональный многочлен \|/п(х). а
Решение. Пусть Р„(х) — произвольный многочлен степени п со старшим коэффициентом, равным единице. Тогда Р„(х) = \|/п(х) + + j (х), и из ортогональности \|/„(х) любому многочлену низшей степени следует
11Р„(х)112-11\|/„(х)112 + 11г„_1(х)П2.
□ 4.69. Для ортогональных многочленов вида \|/п(х) = х" + ... показать справедливость рекуррентного соотношения
v„(x) = (х + b„)v„- 1(х) - СЛ- 2w
с коэффициентом сп > 0.
Решение. Представим многочлен x^.j в виде Y гДе коэффициенты а- определяются из условий ортогональности
(ху„_Рур = ау(у., V7)-
При j < п - 2 имеем
(хки„_ р \|/;) = (Vn- Р = (Чп-Р	1W) = °’
т. е. все а- = 0 при j < п - 2 (здесь Q4 Дх) - хц/; — многочлен степени j + 1). Таким образом,
^П-1 =	i + а„_2\|/„_2,
при этом, в силу равенства коэффициентов при старшей степени х, ап = 1. Отсюда следует, что
V„(x) = (x-a„_1)vn_I-a„_2v„-2> bn =
Так как (х^„_ Р V„_2) = (vn-1>	1)> ™
c=a >Q ”	”'2	(V„-2^„-2)
□	4.70. Доказать, что ортогональные многочлены на симметричном относительно нуля отрезке с четным весом р(х) обладают свойством уп(-х) = (-1)>„(х).
Указание. \|/0(х) = 1, \|/j(x) = х. Продолжить решение по индукции, используя рекуррентное соотношение из 4.69 при Ьп = 0.
126
4.3. Квадратурные формулы Гаусса
□	4.71. Пусть задан отрезок [а, Ь]. Доказать, что при b > а > 0 все коэффициенты ортогонального многочлена отличны от нуля.
Решение. Все корни хк многочлена \|/п(х) положительны, а его коэффициенты выражаются через величины В- = Y х^ (см. 4.25). Доказательство также можно построить на основе теоремы Виета.
□	4.72. Доказать, что нули ортогональных многочленов с фиксированным на отрезке [о, Ь] весом р(х) > О перемежаются, т. е.
а < х\п) < х\п~ < ... < х^0 < х^> < Ь.
Решение. Подставим х = х^п) в рекуррентное соотношение (см. 4.69)
V„+1 = (x-an)v„-a„_iV„_i.
Учитывая, что здесь ап_ j > 0, имеем
Vn+1(x^)) + a„_1\|/„_1(^")) = 0.
Пусть утверждение верно для некоторого п. Отсюда и из равенств sign \|/„_ i(b) = 1, sign ч/п_,(д) = (-!)""1 следует, что
а знаки sign у„ + ](х-п)) = -sign \|/п_	) противоположны. Так как
sign уп+ = 1 и sign уп+ /л) = (~1)”+ то \|/п+ Дх) имеет чередующиеся знаки в последовательно расположенных точках а, х^п), ..., xj”\ Ь, что и завершает доказательство.
□ 4.73. Доказать, что для многочленов Лежандра
Lп(х) = — — ((х2-!)") "	2”n! dx"
справедливы следующие соотношения: l)Ln(x)= 1 d" (	1
п! dtn -2tx+ t2? (=0
2)	(п + 1)L„+ ,(х) - (2п + l)xL„(x) + nL„_ ,(х)
3)	L'n+ j(x)- L;_j(x) = (2п + l)Ln(x),n> 1;
4)	L' + j (х) - xi; (х) = (и + l)L„(x), и > 0;
5)	xL;(х) - L'n_ j (х) = и£„(х), п > 1;
127
ГЛАВА 4. Численное интегрирование
6)	(х2- 1)L'(х) = nxLn(x)~ nLn_j(x), n> 1;
7)	(1 -x2)L" (x) -2xL;(x) + n(n+ l)L„(x) = 0, n>0;
1
8) f xkLn(x) dx =
0, 2"+ '(n!)2
(2n + 1)! ’
9) J Lk(x)Lm(x) dx =
-1
o,
2
2k + 1 ’
если 0 < к < n- 1, если k=n;
если к m, если к-т;
10) Если L (хк) = 0, то J	dx = —----—у----—, п > 1;
(n+l)L„+l(xk)
(п/2]
ll)L„(x) = 2-« S (-l)*C*C2"„_2tx"-2\n>0. к = О
□ 4.74. Пусть хр х2, ..., хп— корни многочлена Лежандра Ьп(х) и I п х — X
ук - J П ------]-dx. Доказать, что если /(х), g(x)— алгебраические
-1/=} xk~xj
)*к J
f	П
многочлены степени п - 1, то J /(x)g(x)dx= X Ykf(xk>8(xk>-
-i	к='
□ 4.75. Доказать следующие свойства узлов и коэффициентов квад-1
ратурной формулы Гаусса S„(/) для вычисления интегралов J /(х) dx: -1
1) Ln(xk) = 0, к - 1, 2,..., и, где Ln(x) — ортогональный многочлен Лежандра степени и;
2
2^Ск (п+l)Ln+l(xk)L'n(,xk),k 1,2>
3)q =
k=l 2 n2(Ln_,(xt))2’
п;
4^Ck nL„_t(xk)L'„(xk) ,k 1,2
n.
□	4.76. Для вычисления интегралов 1(f) = J/(x)dx построить квадратурную формулу Маркова—Радо
Sn(f) = cJ(-l)+ Дс^х-), точную для произвольного многочлена степени 2п - 2.
128
4.4. Главный член погрешности
□	4.77. Для вычисления интегралов
Kf) = i f(x)dx.
-1
построить квадратурную формулу Маркова—Лобатто
Sn(f) = cJ(-l) + S’ c,/(x.) + cj(l),
i = 2
точную для произвольного многочлена степени 2п - 3.
Указание. Представить исходный интеграл в виде
1(f) = J Qi(x)dx+ J	p(x) dx,
-1 -1	1 x
где
Q,(x) = f(-l)	+f(l) p(x) = l-x2.
Построить квадратурную формулу Гаусса с п - 2 узлами, соответствующую весовой функции р(х):
J <?(x)p(x)dx = Z dtf(x).
-I	/ = 2
Показать, что квадратурная формула
Jf(x) dx « J Q, (x) dx + z'd. /(X^~Q2(X;)
-1	-1	>-2	1 xj
при c- = d-/ (1 - xj ), j = 2,..., n - 1, является искомой.
4.4. Главный член погрешности
Будем считать промежуток [а, Ь] конечным и предположим, что /(х) имеет на [а, Ь] непрерывные производные до порядка т + s. Для квадратурной формулы Sn(f) = Z qf(xf), имеющей алгебраический порядок точности т- 1, справедливо равенство
/(/) = f p(x)f(x) dx = S„(f) + Rn(f). а
Используя формулу Тейлора для/(а + (х- а)) с остаточным членом
ь ,
в интегральной форме j	—_2_у(^+ О(^) dr, можно получить сле-
дующее представление погрешности
ь
Rn(f^ = ] dt.
9 - 1025
129
ГЛАВА 4. Численное интегрирование
Здесь ядро K(t) имеет вид
“	f\fn- 1	н	(х - t)m ” 1
К(Г) = J р(х)^—Цр dx- s с £(х -f)-y------—,
t (т- 1)!	/=1	1	(т- 1)!
где «гасящая» функция Е(х) определяется формулой ; 1 при х>о, Е(х) = j 1/2 при х=0,
О при х < 0.
Имеет место представление Эйлера для погрешности
*„(/ ) = «,„(/) = Aolf{,n~i}W _/<--!)(«)] + ...
[ArL/x)]dx,L0(t) = K(r),
*m + s(/) = f /<m + 5Ws(f)dt a
Главным членом погрешности обычно называют первое слагаемое в этом представлении. Формула Эйлера позволяет с точностью до O(hni + 2) определить значение главного члена погрешности.
Правило Рунге. Пусть на отрезке длины h для вычисления интеграла 1(f) используется некоторая квадратурная формула Sh(f), имеющая алгебраический порядок точности т - 1. Разлагая f(x) в ряд Тейлора в середине отрезка (точке с), получим
1(f) - Sh(f) = af{m\c)hm+i + O(hm + 2).
Обозначим через Sh/2(f) составную формулу, полученную с помощью формулы Sh(f) для двух половинок отрезка длины h. Тогда при том же а находим
Следовательно, с точностью до членов O(hm + 2) справедливо следующее правило Рунге:
ь
□ 4.78. Пусть интеграл 1(f) = j f(x) dx, где /(х) — гладкая функ-а
ция, вычисляют по составной формуле трапеций S^(/) с постоянным шагом h= (b- a)/N.
130
4.4. Главный член погрешности
1)	Показать, что суммарная погрешность удовлетворяет соотношению
Rtf = a\h2 + й2^4 + аз^6 + ••• •
2)	Показать, что
R?(f) = Kf)~ S? (/) =	J f"M dx + Z(f), Z(f) = o(h2).
1Z a
3)	Пусть l/(3)(x)l < M3 на отрезке [а, Ь]. Показать, что IZ(/)I < < c3M3(b- a)h3.
4)	Пусть l/(4)(x)l < M4 на отрезке [a, Ь]. Показать, что IZ(/)I < < c4M4(b-a)h4.
Указание. Пусть [xf, x/+1] — один из подотрезков длины h, на которые разбит отрезок [а, Ь],и пусть х = (xz + х/ + J/2. Используя тейлоровское разложение подынтегральной функции в точке х, получить следующие представления:
р(х) dx = hf(x) + g/"(x) +	+ ...,
f' f(x) dx= ^(x>) + ^(x->')/i_	- — f«\x) - ....
f J	2	127	48(T
i
□ 4.79. Пусть 1(f) = j f(x) dx вычисляют по составной формуле о
трапеций с переменным шагом интегрирования: xf = <p(ih), <p(f) — гладкая функция, <р(0) = 0, <р(1) = 1. Доказать, что главный член погрешности есть
-£ir(q>(t))(q>'(r))3dt
12 о
Указание. Применить 4.78, учитывая справедливость равенства х-+ j -х-= h<p'(ih) + + о(1).
ь
□ 4.80. Пусть интеграл 1(f) = j f(x) dx, где f(x) — гладкая функ-а
ция, вычисляют по составной формуле Симпсона S3 (f) с постоянным шагом h = (b - a)IN. Показать, что для составной формулы Симпсона суммарная погрешность удовлетворяет соотношению
Я3М(/) = Ь1/24 + Ь2/26 + ....
9*
131
ГЛАВА 4. Численное интегрирование
□	4.81. Пусть интеграл /(/) = J хУ(х) dx, где/(х) — гладкая функ-о
ция и/(0)	0, вычисляют по составной формуле трапеций с посто-
янным шагом h = 1/N. Показать, что при -1 < X < 1 суммарная погрешность удовлетворяет соотношению R2 =	+ x + a2h2 + х + ....
□	4.82. Используя значения Sh и Shr2 квадратуры с главным членом погрешности Chnl, т. е. I = Sh + Chm, построить квадратурную формулу более высокого порядка точности.
О Т В е Т • ^/1, /1/2 = $h/2 + (^/1/2 “	~ !)•
□	4.83. Показать, что при применении правила Рунге к формуле трапеций получается формула Симпсона. Насколько при этом увеличится порядок главного члена погрешности?
Указание. В обозначениях 4.82 имеем т = 2, 5^ hl2 = Sh/2 + + i (Sh/2 - Sh) при Sh =	(/(a) + /(b)), b - a = h. Порядок главного
члена погрешности увеличится на 2.
□	4.84. Показать, что операция построения формулы
с _ с . $h/2 ~ $h h/2 ~ ^h/2	_ 1
является экстраполяционной, т. е. при Sh * Sh/2 величина Sh h/2 всегда лежит вне отрезка с концами Sh и Sh/2.
Решение. Действительно, если Sh/2 > Sh, то Sh hl2 > Sh/2 > Sh. Если Sh/2 < Sh, to Sht h/2 < Sh/2 < Sh.
□	4.85. Пусть для вычисления интеграла I от некоторой функции используется квадратурная формула Sh, фактический порядок главного члена погрешности р которой неизвестен для данной функции. Предложить способ численной оценки значения порядка р.
Решение. Возможен следующий способ (процесс Эйткена), являющийся обобщением правила Рунге. Пусть I— точное значение интеграла. Запишем его приближенные значения с шагами hy h/2 и h/4. Если учитывать только главный член погрешности, то получаем систему трех уравнений
I=Sh+ chP, I = Sh/2 + 1 chP, I = Sh/4 + 1 chP,
132
4.4. Главный член погрешности
в которой значения I, сир неизвестны. Из первого и второго уравнений имеем chP^l -	) = Sh/2 - Sh. Из второго и третьего уравнений
находим
“ 2Р ) = Sh/4~Sh/2-
Из последних двух равенств получаем уравнение для определения р:
2Р = $hl2 ~ $h
$h/4 ~ $h/2
Выражение для главного члена погрешности имеет вид
chP=
2$h/2 $h $h/4
Упражнения 4.86—4.88 иллюстрируют возможные обобщения правила Рунге.
□	4.86. Пусть задан некоторый метод вычисления интеграла с пб’ грешностью 1(f) - Sh(f) = chm + O(hm+l) и вычислен интеграл с шагом и с шагом h2 - hjk. Показать, что
Имеется в виду предельный переход при h2 О, X = const > 1.
□	4.87. Пусть 1(f) - Sh(f) = chm + O(hm + i) и вычислен интеграл с шагом hx и с шагом h2 = hfk. Доказать, что
(li,/h2)"-l
при следующих условиях: -+ О, J- (1 - 1) оо.
"1
□	4.88. Пусть 1(f) - Sh(f) = chm + O(hm + 2) и вычислен интеграл с шагом hj и с шагом h2 = hf'k. Доказать, что
при следующих условиях: hx —► 0, hx > h2.
133
ГЛАВА 4. Численное интегрирование
4.5. Функции с особенностями
Быстро осциллирующие функции. Пусть требуется вычис-ь
лить интеграл J exp {icox}/(x) dx, где co(b - я) >> 1, /(х) — гладкая функция. Функции Re (exp {icox}f(x)), Im (exp {icox}/(x)) имеют на рассматриваемом отрезке примерно co(b - а)/п нулей. Многочлен степени п имеет не более п нулей на этом отрезке, поэтому такие функции могут быть хорошо приближены многочленами степени п лишь при п >> co(b- d) In. Следовательно, для непосредственного вычисления интегралов от таких функций потребуется применение квадратур, точных для многочленов очень высокой степени.
Более выгодным может оказаться использование exp {icox} в качестве весовой функции. Задавшись узлами интерполирования
b + а , b - a j • л ~
Х7= — + —
построим многочлен Лагранжа L„(x) и рассмотрим квадратурную формулу
ь
S®(f) = $ exp {i<ox}L„(x) dx =
a
b	[• fl "I" Ь 1 v* гл ( b a г/ \	/
= —r- exp ico—— Z D: co —— f(x),	(12)
2	[	2 J j = 1	7 v 2	'	7
где
D (p) = f ( П J—у ) exp {ip%} d^> p =	.
-1 dj- dk '	2
При этом оценка погрешности
R = D(dv , dn) max 1/<">(х)1	+ '
[я, о]	2	7
не зависит от со.
□ 4.89. Для приближенного вычисления интегралов вида
1
!(/) - j sin (100лх)/(х) dx
о
построить методом неопределенных коэффициентов квадратурную формулу с заданными узлами $(/) = С]/(0) + c2f(V), точную для многочленов наиболее высокой степени.
Ответ: q = -с2 = 1/( 100л).
134
4.5. Функции с особенностями
□	4.90. Для приближенного вычисления интегралов от быстро ос-
1
циллирующих функций вида 1(f) - j cos (104лх) f(x)dx построить о
методом неопределенных коэффициентов квадратурную формулу с заданными узлами S(f) = q/(0) + c2f (1), точную для многочленов наиболее высокой степени.
Ответ: q = с2 = 0.
□	4.91. Построить формулу вида (12) для п = 2, d{ = -1, d2 = 1.
Ответ: р = оэ(Ь-я)/2,
D,(p) = i '|W - "C -	"" fi,
-I 2	p	p
n (P) = j LBexp di; = sAe - Pcosp-sinPi -1 2	p	p
□	4.92. Показать, что при малых cd формулы, полученные в 4.91, могут иметь большую вычислительную погрешность.
Указание. При малых со величина р мала. Функции cosр и sin р вычисляются с погрешностями O(2_f) и О(р2"') соответственно, где t— длина мантиссы. Как следствие коэффициенты Dfp) и D2(p) из 4.91 приобретают погрешность O(2~f)/p.
□	4.93. Построить формулу вида (12) для п - 3, d} = -1, d2 = 0, d3 = 1 (формулу Филона).
□	4.94. Построить формулу вида (12) для п - 5, d{ = -1, d2 = -0,5, d3 = 0, d4 = 0,5, d5- 1.
Вычисление интегралов от функций с особенностями. Значительная часть реально встречающихся подынтегральных функций — это функции с особенностями, причем особенность может содержаться либо в самой функции, либо в ее производных. Если нерегулярность функции не вызвана колебательным характером ее поведения, то для вычисления больших серий интегралов такого типа используют специальные приемы: выделение особенности в весовую функцию, разбиение интеграла на части, аддитивное представление подынтегральной функции, замену переменных и т. д.
135
ГЛАВА 4. Численное интегрирование
1
□	4.95. Пусть вычисляется интеграл !(/) = j /(х) dx, причем /(х) о
может быть представлена в виде/(х) = g(x)x?> где а е (0, 1), g(x) — гладкая функция, g(O) 0. Построить квадратурную формулу S(g) = м
= Z D g(qh) с оценкой погрешности вида const • max lg"(x)l • М~2. q = 0	*	х е [0, 1]
Указание. Выделить функцию хГ в качестве весовой, a g(x) на каждом отрезке разбиения заменить многочленом Лагранжа первой степени.
□	4.96. Пусть вычисляется интеграл j	dx,/e С(2)[0,1 ], 1X1	1.
Показать, что при использовании составной формулы трапеций с постоянным шагом h = 1/М суммарная погрешность оценивается вели-,	. (h h2\
чинои const • min - , — .
<Х’ X2 >
□ 4.97. Для вычисления интеграла f dx, f е С(1)[0, 1], 1X1	1,
о X2 + х2
используется следующая квадратурная формула с постоянным шагом h = 1/М:
S(f) = £ f^) [arctg g) - arctg
где (j - 1)й <	< jh. Получить оценку погрешности вида 1ЯМ1 <
< const • maXj \f'(x)\M~x.
□ 4.98. Предложить способ вычисления интеграла
г In х
dx по
составной квадратурной формуле с постоянным шагом й, чтобы по-
грешность имела порядок О(й2).
Указание. Представить подынтегральную функцию в виде
/(х) = G(x) + g(x), где G(x) = In х, g(x) = -х х, вычислить j G(x) dxв 1 + x	0
явном виде.
1 In X
□ 4.99. Предложить способ вычисления интеграла J----- dx по
О 1 + X
составной квадратурной формуле с постоянным шагом й, чтобы по-
грешность имела порядок О(й4).
Указание. См. указание к 4.98 при G(x) = (1 - х2) In х.
136
4.5. Функции с особенностями
□	4.100. Пусть /(х)— достаточно гладкая функция. Предложить 1
квадратурную формулу для вычисления интеграла j /(х)х~а sin (сох) dx, о
где а > 1, со 1, /(0) 0.
Указание. Разбить отрезок интегрирования на [0, 8] и [8, 1] с е ® 1 /со. На первом отрезке sin (сох) не является осциллирующей, поэтому в качестве весовой функции можно взять х-01, а на втором отрезке использовать неравномерные узлы.
□	4.101. Построить квадратурную формулу для вычисления с точностью 8 < 10"4 интеграла J dx, если для некот°рого фиксированного fc > 1 справедливо неравенство l/w(x)l < Ак.
□	4.102. Построить квадратурную формулу для вычисления с точ-оо
ностью 8 < 10"4 интеграла J /(x)e-xdx, если для некоторого фикси-0
рованного к > 1 справедливо неравенство 1/(^(х)1 < Ак.
□	4.103. Построить квадратурную формулу (не проводя замену переменных) для вычисления с точностью 8 < 10"3 интеграла j dx, если для некоторого фиксированного к > 1 справедливо 0 л/х
неравенство l/(k)(x)l < Ак.
□	4.104. Построить квадратурную формулу для вычисления с точ-
ностью 8 < 10-4 интеграла J /(х)5/8111 х dx, если для некоторого фик-0	х
сированного к > 1 справедливо неравенство 1/(^(х)1 < Ак.
Глава 5
Матричные вычисления
Значительная часть задач вычислительной математики может быть сформулирована в терминах матричного анализа, который необходим при исследовании вопросов корректности, устойчивости и сходимости различных методов. Алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений — важная часть методов решения уравнений в частных производных.
Глава посвящена вопросам теории устойчивости для матричных задач, приведены наиболее известные прямые и итерационные алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений, подробно разобраны различные способы их построения. Отдельно рассмотрена задача наименьших квадратов для переопределенных систем уравнений. Приведены алгоритмы для решения проблемы собственных значений.
5.1. Векторные и матричные нормы
Нормой вектора х = (хр ..., хп)Т называется функционал, обозначаемый 11x11 и удовлетворяющий условиям:
11x11 > 0, х *0, ПОН = 0;
llaxll = 1а111x11;
Их + yll < 11x11 + 11 у 11.
Наиболее употребительны следующие нормы:
11x1100= max Ix-I,llxll,= Е lx.l, Нх11? =	= 7(х, х).
1 < i < п	i = 1	z i = 1
Нормы II* llj и 11• 11П называются эквивалентными, если для всех х е R" справедливы неравенства с одними и теми же положительными постоянными с, и с2:
Cjllxlljj < llxllj < c2lIxl 1П.
138
5.1. Векторные и матричные нормы
Нормой матрицы А называется функционал, обозначаемый II АН и удовлетворяющий условиям:
II АП > О, А * О, НОН = 0;
НаАН = lai II АН;
НА + ВН<НАН + НВН;
НАСИ < НАН НСН.
Пусть задана некоторая векторная норма II41^ Тогда матричную норму можно определить как операторную
ИЛИ	llAxllv	II Л и
IIАН = sup ,i-  = sup IIAxll .
Ilxljo H llxlljl
В этом случае матричная норма называется подчиненной соответствующей векторной норме IIellv.
□ 5.1. Является ли выражение min (IxJ + 21 x2l, 2lxJ + 1х21) нормой вектора х в R2?
Ответ: нет, поскольку неравенство треугольника не выполнено, например, для векторов (1, 0)ти (0, 1)т.
□ 5.2. Является ли выражение max
В R”?	^[0,1]
£ х/-1 k=i к
нормой вектора х
Ответ: да.
□ 5.3. Найти константы эквивалентности, связывающие нормы 11 xl lTO, llxllp Нх112, а также векторы, на которых они достигаются.
Решение. Из неравенств max lx I < S lx-I < п max 1x1 1 < И	1=1	1 < П
следует
llxllp, < 11 xl I j < «llxllp,.
Так как Z х? < ( Z Ixj) , то IIх112 < llxllp Из неравенства Коши — Буняковского имеем
п	/ п \1/2 / п \1/2	/ п \ 1/2
lx-1 < (1 J (X? J	= и1/2 (£ X? J .
Следовательно, п“1/2Нх111 < HxIL < 11x11 Р Из неравенств max х? < 1 < и
< Z х? < п max х? имеем i = 1	1 < i < п
llxlloo < Нх112 < и1/2Нх11оо.
139
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
□ 5.4. Пусть С — симметричная положительно определенная матрица.
1) Доказать, что величину л/(Сх, х) можно принять за норму вектора х;
2) найти константы эквивалентности, связывающие эту норму с нормой 11 xl 12.
Решение. 1) Для доказательства того, что соответствующее выражение определяет норму, достаточно проверить неравенство треугольника.
2) Найдем константы эквивалентности. Так как С = СТ > 0, то собственные векторы матрицы различны и ортогональны. Пусть ер ..., еп— ортонормированная система собственных векторов матрицы С (т. е. (е? е;) = 8/;), а ..., Хп — соответствующие собственные значения. Любой вектор х представим в виде х = £ с^. Поэтому
i = 1
(Сх,х) = f S Кс:?:, S с.е-^) = S X.cf.
v i = 1	i = 1	' i = 1
Отсюда для произвольного вектора х имеем
min Х(х, х) < (Сх, х) < max Х(х, х), (х, х) = Ё с- .
i	i	i = 1
Так как все ХДС) > 0, то полученное неравенство означает эквивалентность евклидовой норме 11 xll2 с постоянными сх = ^min Х-, с2 = = /max Xf.
□ 5.5. Найти матричные нормы, подчиненные векторным нормам ll-lloe, НИЦ И 11-П2.
Решение. Получим оценку сверху для величины II Axllm:
II AxIIqo - max
Д a4xi
< max f E I a, J max lx-Й <
i <j=\	j
< max
( f la^llxIL.
Покажем, что эта оценка достигается. Пусть максимум по i имеет место при i = /; тогда возьмем х - (sign (an), sign (а^),..., sign (Д/„))т. Имеем llxl I*, = 1 и точные равенства во всей цепочке выше. Та-

ким образом, IIAIloo = max
i
II All, = max ( Z 1д;;1).
Аналогично показывается, что
140
5.1. Векторные и матричные нормы
По определению матричной нормы, подчиненной евклидовой векторной норме,
II All =	= sun 1^Ах’ Ax> = sun kATAx>x)
2 x^IMb хЛ'У (x’x) хЛ'У (x,x)
Имеем (ATA)T = AT(AT)T = ATA, т. e. матрица В = ATA— симметричная, и (ATAx, x) = (Ax, Ax) > 0, следовательно, все X(B) > 0. Рас-
( Вуо. х
суждая далее как в 5.4, получим, что sup -—-—- = max Х/В), а равен-х * О (Х’ Х) 1
ство достигается на соответствующем собственном векторе. Поэтому 11А112= ^тах Х-(АТА).
Отметим важный частный случай симметричной матрицы: А - АТ. Тогда 11A112 = max 1ХДА)1.
□	5.6. Доказать, что модуль любого собственного значения матрицы не больше любой ее нормы.
Решение. Зафиксируем произвольный собственный вектор х матрицы А и построим квадратную матрицу X, столбцами которой являются векторы х. Получим равенство XX = АХ. Отсюда следует 1X1 11X11 < ПАИ 11X11, т. е. 1X1 < ПАП.
□	5.7. Пусть А — вещественная матрица размерности п х т. Доказать следующие свойства спектральной нормы IIАП2:
1) IIАП2 = sup lyrAxl; 2) IIАТ\\2 = IIАП2; 3)11 АТА\\2 = IIААТ\\2 = IIАП22.
Пх112 =1 llyll2 = 1
Решение. Для доказательства свойства 1) надо показать, что существуют такие векторы х и у единичной длины, на которых максимум достигается. В силу неравенства Коши — Буняковского, и учитывая, что спектральная норма подчинена евклидовой векторной норме, получаем неравенство
1утАх1 = 1(у,Ах)1 < Пу112ПАх112 < Пу112ПхП2ПАП2 = IIАП2.
Пусть вектор х такой, что II Axl 12 = IIА112, т. е. на нем достигается максимум в определении подчиненной нормы, и возьмем у = Ах/11Ах112. Тогда П yll2 = 1 и
1утАх1 = (-А4^Ах=	= HAxll,= ПАП,.
||Ах||2	||Ах||2	2	2
Следовательно, искомые векторы х и у построены и свойство 1) доказано.
141
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
Из свойства 1) и равенства
11АТН2 = sup lyrATxl = sup (у, АТх) = Ilxll, = 1	11x11,-1
llyll, = 1	llyll, = 1
= sup (Ау,х) = sup lxTAyl = IIAII2
11x11,= !	Ilxll, = 1
llyll; =1	llyll; =1
следует свойство 2).
Покажем справедливость свойства 3). Из свойства 2) следует неравенство
IIАГАН2 < нагн2 пан2 = IIан2.
Возьмем такой вектор х, что 11 xll2 = I и II Ах112 - 11АН2, и применим свойство 1) к матрице А1 А, положив у = х. Получаем неравенство
11112 > \хтАтАх\ = (Ах, Ах) = 11 Axil = НАН^.
Из этих двух неравенств следует 11АТА112 = НАН j. Аналогично показывается, что II ААгН2 = II АН j. Таким образом, свойство 3) доказано.
□	5.8. Пусть А — вещественная прямоугольная матрица. Показать, что умножение этой матрицы справа или слева на ортогональную матрицу Q соответствующих размеров не меняет ее спектральную норму.
Решение. Из свойства 3) спектральной нормы (см. 5.7) следует, что
11QA112 = II(QA)tQAH2 - \\AtQtQA\\2 = 11ATA ll2 = IIAII2.
Из свойства 2) и полученного равенства имеем
HAQH2 = 11 (AQ) Tl 12 = \\QTAT\\2 = 11 Ат\ 12 = 11А112.
В частности, из равенств
IIQxII2 = (Qx, Qx) = (Qx)rQx - xTQTQx = xTx = (x, x) = Ilxll2
получаем, что умножение ортогональной матрицы на вектор х сохраняет его длину.
□	5.9. Используя выражения для матричных норм из 5.5, показать справедливость неравенства НАН^ < IIАII ,11АН^.
Решение. Модуль любого собственного значения матрицы не больше любой ее нормы (см. 5.6), поэтому имеем
НАН2 = max Х(АГА) < II АМН, < 11A11,11ATII, - II АН, IIАН^.
142
5.1. Векторные и матричные нормы
□	5.10. Рассмотрим функцию от элементов матрицы г|(А) = max \а-\.
Показать, что ц(А) не является нормой в пространстве матриц (хотя и является нормой вектора с компонентами а-в R"2).
Решение. Для любой матричной нормы справедливо неравенство НАВИ < НАН IIBII. Рассмотрим матрицы А = В, а- = b- = IV z, j, для которых имеют место соотношения ц(АВ) = и, ц(А) = ц(В) = 1, противоречащие приведенному выше неравенству.
□	5.11. Доказать, что выражение М(А) = иг|(А) (см. 5.10) является матричной нормой.
Решение. Заметим, что требует проверки только четвертое условие из определения матричной нормы: М(АВ) < М(А)М(В).
М(АВ) = п max
Ч
aikbkj
п
<«maX	<
n(A)n(B) = nn(A)nn(B) = M(A)M(B). k = 1
□	5.12. Доказать, что для векторов х = (хр х2)г и h > 0 выражение llxll, = max (lXjI, fe—) является нормой. Найти матричную норму, подчиненную этой векторной норме.
Решение. Найдем матричную норму. Заметим, что llxllp = = llylloo, где
с Л 1 0 1
>'=sx' i/J
Поэтому
IISAxIL IISAS-'ylloo sup |.c ,,  =suP^n------- =
x*0 PXlIoo y * o llylloo
+ a12	anh
a2\ + a22~ a\\ ~ a\2	„	_ „
T	a22	a\2
II All, = sup
IIAxll,
h
— max (l^ii + ^12'	'^22 ^12'	'^21	^22 ^11 ^12')*
143
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
( п V12
□	5.13. Доказать, что выражение N(А) = I Е а2• I является мат-
Ч / = 1 J J
ричной нормой. Найти константы эквивалентности, связывающие МА)инормыН-111,11-112,11-11^.
Ответ:	N(A) < НАН, < JnN(A), N(A) < 11ЛП2 < МА),
л/п	л/п
-	уз N(A) < IIA11^ < JnN(A). Матричную норму N(A) называют нор-Jn
мой Фробениуса (нормой Шура, евклидовой матричной нормой) и обозначают 11AI lF.
□	5.14. Пусть числа dk > 0, к = 1, ..., п. Доказать, что max (dk\xk\) — норма вектора х. Найти норму матрицы, подчиненную этой векторной норме.
Ответ: IIDAD-1!!^, где D= diag (dp ..., dn).
□	5.15. Пусть числа dk > 0, к = 1, ..., п. Доказать, что Е dk\xk\ —
к = 1
норма вектора х. Найти норму матрицы, подчиненную этой векторной норме.
Ответ: I\DAD-111 j, где D= diag (dp ..., dn).
Г~п ~
□	5.16. Пусть числа dk > 0, к = 1, ..., n. Доказать, что / X ^kxk —
норма вектора х. Найти норму матрицы, подчиненную этой векторной норме.
Ответ: I\DAD~1112, где D = diag (Jd\ ,..., Jd^n)-
□	5.17. Доказать, что max И Е хк J— норма вектора х. Найти норму матрицы, подчиненную этой векторной норме.
Ответ: \\LAL~111^, где I- = 1 при i < j и I- = 0 при i > j.
□	5.18. Пусть М(А) = п • max la-I. Найти наилучшие константы 1 < i, j < п '
Ср С2 в матричном неравенстве CjM(A) < IIА112 < С2М(А).
Ответ: С} - IIп, С2 = 1.
144
5.1. Векторные и матричные нормы
□	5.19. Пусть М(А) = п • max laiJ. Найти наилучшие константы
Ср С2 в матричном неравенстве СХМ(А) < IIAllj < С2М(Л).
Ответ: Q = 1/и, С2 - 1.
( п
□	5.20. Пусть 11 xl 1р = Е IxJ^ J , р > 1. Доказать неравенство Йенсена
llxllp < llxllp, 1 < q < р < оо.
Решение. Считаем, что х 0, так как иначе неравенство тривиально. Пусть для определенности IxJ = max IxJ. Тогда
Ilxll =lx.l(l+ f afR, Ilxll =lx.lfl+ i
ai = IXjHIx-l < 1. Так как q < p, to af < a^, a txl? < Г17** для t > 1. Таким образом,
/ n \l/p / n \l/fl (1+S2af) <(l+Z2a/9 .
□	5.21. Доказать, что при x e R" справедливо равенство lim Ilxll = = llxllp.
Решение. Из неравенств llxllp < llxllp < n^llxll^ в пределе при p —* оо получаем требуемый результат.
□	5.22. Доказать, что сходимость в любой норме в пространстве Rn эквивалентна покоординатной сходимости.
Указание. Воспользоваться эквивалентностью любых норм в конечномерном пространстве.
□	5.23. Пусть 1141 — векторная норма в R™ и А е RWXN— прямоугольная матрица размерности т х п. Показать, что если ранг матрицы rank (А) - пу то II Axil векторная норма в R".
Указание. Убедиться в справедливости первого условия в определении нормы.
□	5.24. Проверить, что 11 xl 1р - ( Е lxfp) \ р > 1, является нормой в пространстве Сп векторов с комплексными координатами. Показать, что при х е Сп справедливо неравенство llxllp < IIRe[x]llp + + lllm[x]llp. Найти такую максимальную постоянную с0 > 0, что c0(l IRe[x] 112 + I llm[x] 112) < 11 xl 12 для всех х е Сп.
Ю - Ю25
145
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
Указание. Обозначить хк = ak + ibk и воспользоваться неравенством треугольника для векторов, координатами которых являются \ак\ и \Ьк\.
Ответ: с0 = II^2 .
□	5.25. Пусть 1141 — некоторая норма в R". Доказать, что равенство
11x11» = sup^p-p у Л llyll
также задает норму в R", называемую двойственной к 11*11. Найти норму, двойственную к II *1100.
Ответ: 11*11^
□	5.26. Пусть 1 < р < оо и В — любая подматрица квадратной матрицы А. Доказать, что IIBI lp < 11А11р.
Решение. Пусть А — матрица размерности п х и и В — некоторая ее подматрица размерности щ х п2, и, < п. Используя при необходимости перестановки строк и столбцов (это не влияет на норму матрицы), представим А в виде
( В А]?
А= 12 .
I л21 Агг )
По определению, НАН = sup IIAxIL. Пусть х*, Нх*Н = 1 — такой
Р llxllp = 1	Р	Р
вектор, что НВНр = НВх*Нр и х = (xf, ..., х*, 0,..., 0)т. В этом случае НхНр = 1 и
НАНр>НАх11р>НВх*11р=НВНр.
□	5.27. Доказать, что если D = diag (dp d2, ..., dk) e R™xn, где к = min {m, и}, to IIDII - max Id-1.
□	5.28. Пусть В— невырожденная матрица, 11*11 — некоторая норма в пространстве векторов размерности п.
Доказать, что 11x11* = IIBxll также является нормой в пространстве векторов. Какая норма в пространстве матриц порождается нормой llxl к в пространстве векторов?
Указание. Воспользоваться решениями 5.12 и 5.23.
146
5.1. Векторные и матричные нормы
□	5.29. Показать, что если А— невырожденная матрица, то для нормы матрицы, подчиненной векторной норме, справедливо равенство
IIА-Ч1-1 = inf IIAxll/llxll. х * О
Указание. По определению
IIА-1Н = sup IIA-1yll/llyll - sup 11x11/11 Axil.
у * 0	ххО
Используя далее определения inf и sup, доказать, что
(sup 11x11/11 Axil)-1 = inf IIAxll/llxll. x*0	x*°
□	5.30. Доказать неравенство IIA ll2 < 11A111/2IIATI11/2 для любой нормы А, подчиненной какой-либо векторной норме.
Указание. Воспользоваться решениями 5.6 и 5.9.
□	5.31. Доказать, что если А = А7, то IIA112 = sup--ftx* х.'.
х*0	||х||2
Указание. Воспользоваться решением 5.5.
□	5.32. Пусть А - АТ > 0 и Нх11л = (Ах, х)1/2. Доказать, что для произвольного многочлена pm(t) степени m > 0 верно равенство
•WA)IIa= llpw(A)ll2.
Решение. Известно, что симметричная и положительно определенная матрица А имеет квадратный корень А1/2. Пусть Q — ортогональная матрица, z-й столбец которой является i-м собственным вектором из полной ортонормированной системы собственных векторов A, a D— диагональная матрица с i-м собственным числом А на z-й строке. Тогда А = QDQT и А1/2 = QD1/2QT. Матрица А1/2 коммутирует с А и любой ее степенью, а также и с р^(А). Используя этот факт, а также определения нормы II • Н2 и энергетической нормы II • Нл, получаем требуемое утверждение из следующей цепочки
равенств:
Прш(А)Пл = sup
х х 0
(Ар„,(А)х, р„,(А)х)|/2 (Ах, х)1/2
(рт(А)А1/2х, рт(А)А|/2х)|/2
-о 11а|/2х||2
= supl£^< у * о ||у||2
= Ирт(А)П2.
10*
147
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
□	5.33. Доказать, что если матрица А — вещественная и (Ах, х) > О для всех вещественных х 0, то существует такая постоянная 3 > О, не зависящая от х, что (Ах, х) > 8(х, х).
Решение. Всякая вещественная матрица А представима в ви-де А = S + К, где S = (А + Аг)/2 — симметричная, а К = (А - Ат)/2 — кососимметричная матрицы. При этом для любого вещественного х 0 имеем (Ах, х) = (Sx, х) > 8(х, х), где 8 >0 — минимальное собственное значение матрицы S. Из неравенства (Ах, х) > 0 следует, что 8 > 0.
□	5.34. Привести пример положительно определенной вещественной матрицы, спектр которой не является вещественным.
Ответ: матрица
А =
а	1	0	...	0	А
-1	а	0	...	0
0 0 В
о о J
с положительной константой а и симметричной положительно определенной подматрицей В положительно определена, но имеет пару комплексно-сопряженных собственных значений X = а ± i.
□	5.35. Доказать, что матричные нормы, определенные равенства-
/ «	7 У/2
ми М(А) = п • max la-I и N(A) = S af: ] , не подчинены ни-4	4,j=l
каким векторным нормам.
Указание. Воспользоваться тем фактом, что для любой подчиненной нормы справедливо следующее равенство: 11/11 = 1, где / = = diag (1,..., 1).
□	5.36. Показать, что для любого собственного значения Х(А) невырожденной матрицы А справедлива оценка 1/11 A-111 < IX(A) I.
Указание. Воспользоваться решением 5.6.
□	5.37. Доказать, что для любого собственного значения Х(А) матрицы А справедливо неравенство IX(A)I < inf ПА*!!17*, где к— натуральное число.
Указание. Воспользоваться решением 5.6.
148
5.1. Векторные и матричные нормы
□	5.38. Доказать, что если А— нормальная матрица (ААТ = АТА), то IIАН2 = р(А), где р(А) = max 1Х-(А)1 — спектральный радиус матрицы А.
Указание. Воспользоваться тем фактом, что нормальная матрица имеет полную ортонормированную систему собственных векторов.
□	5.39. Убедиться, что матрица А размерности п х п при и > 2 не определяется однозначно значениями квадратичной формы (Ах, х) на произвольном векторе х, т. е. найдутся две различные матрицы А и В, для которых (Ах, х) н (Вх, х) для любых вещественных х.
Указание. Воспользоваться решением 5.33.
□	5.40. Доказать, что всякая норма 11*11^ матрицы согласована с какой-либо векторной нормой IHIV, т. е. верна оценка II Axilv < II Allwllxllv.
Решение. Пусть для матрицы А определена некоторая матричная норма IIAIIW. Тогда определим функционал IIxlIv следующим образом:
llxllv =
0	0	...	0	Xj
0	0	...	0	х2
10 0 ... 0 хп )
т
Непосредственно проверяется, что 11x1 ^удовлетворяет всем условиям векторной нормы и согласованна с исходной матричной.
□	5.41. Пусть А— матрица размерности п х и, р(А)— ее спектральный радиус и задано число £ > 0.
Доказать, что существует по крайней мере одна матричная норма, для которой имеют место оценки
р(А) < НАН < р(А) + £.
Решение. Из курса линейной алгебры (теорема Шура об унитарной триангуляции) известно, что найдутся такие унитарная матрица U (U* = U~}) и верхняя треугольная матрица В, что А = URU*. Положим Dt = diag (г, Г2, Г3,..., f2) и вычислим
	( X,		t-2r,3 ..	t~n + 1 г '•	1	Г}п
	0	Х2	t~'r2S -	f—n + 2 г '•	1	Г2п
=	0	0		f-п + Зг •	1	г3п
0	0	0	...
149
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
При достаточно большом t > 0 сумма модулей наддиагональных элементов матрицы	не превосходит £. В частности, это приводит к неравенству	< р(А) + £. Теперь определим мат-
ричную норму с помощью формулы
НАН - \\DtU*AUD~[\\{ = \\(UD;'	)llr
Таким образом, выбор достаточно большого Г в приведенной выше формуле приводит к оценке сверху, а оценка снизу следует из 5.6.
5.2. Элементы теории возмущений
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
Ах = b
с квадратной невырожденной матрицей А. При ее решении в результате вычислений с конечной разрядностью вместо х получается приближенное решение х, которое можно рассматривать как точное решение возмущенной системы
(А + 8А)х = Ь,
где матрица возмущений 8А мала в каком-либо смысле.
Другой источник ошибок в х определяется возмущениями 8А и 8Ь в элементах матрицы Айв компонентах вектора правой части b (например, вследствие ошибок округлений, возникающих в процессе ввода вещественных чисел в память компьютера).
Чтобы оценить, насколько приближенное решение х отличается от точного решения х, используют нормы векторов и подчиненные нормы матриц.
Пусть в системе Ах = b возмущается только вектор Ь, т. е. вместо исходной системы решается возмущенная система Ах = b = b + 8Ь, и пусть х — точное решение возмущенной системы. Тогда для относительной ошибки в х верна оценка
IIх ~ ХН < иди 11 д-i 11ЦЬ ~ ЬЦ — иди и д-i 11ИЬ ~ ^ХИ ||х||	^|1Л1||1Л	||Ь|| НАННА ||ь||	.
Величину НАН II А-1 II называют числом обусловленности матрицы А и часто обозначают cond (А). Для вырожденных матриц cond (А) = оо. Конкретное значение cond (А) зависит от выбора матричной нормы, однако, в силу их эквивалентности, при практических оценках этим различием можно пренебречь.
150
5.2. Элементы теории возмущений
Из приведенного выше неравенства следует, что даже если вектор невязки г = b - Ах мал, относительные возмущения в решении могут быть большими, если cond (А) велико (такие матрицы называют плохо обусловленными).
□	5.42. Доказать неравенство
IIх~*11 < сопа м\11ь-ь|| = cond(zJlb~ ||х|| cond(A) ||Ь|| cond(A) ||b||	
Решение. Из равенства А-1 г = А-1Ь - х = х - х следует, что
Их - xll < IIА-Ч1 llrll.	(13)
Из равенства b = Ах имеем 11 b 11 = IIAxll < II All 11x11, т. е.
11x11 *Й'	(14)
Их - xll
Разделив неравенство (13) на неравенство (14), получим 11	11 <
<	II All II А-1 IIИ = cond (А)И, = cond (А)Отсюда видно, что ЦЬ||	||Ь||	||Ь||
если матрица А плохо обусловлена, то даже очень маленькая невязка не может гарантировать малость относительной ошибки в х. С другой стороны, может оказаться так, что достаточно точное решение имеет большую невязку. Рассмотрим пример:
f 1,000 1,001 f 2,001 “1^ 1,000 1,000	“1^2,000 /
Точное решение системы Ах - b имеет вид х - (1, 1)г. Однако вектор х = (2, 0)г, который никак нельзя назвать близким к х, дает маленькую невязку г = (10-3, 0)г.
Возьмем теперь b - (1, 0)г. Тогда вектор х = (-1000, 1000)Т— точное решение системы. Вектор х = (-1001, 1000)т достаточно близок к х в смысле относительной погрешности, однако х дает большую невязку г = (1, 1)г, близкую по норме к вектору Ь.
□	5.43. Найти решения двух систем с близкими коэффициентами:
। х + Зу = 4,	| х + Зу = 4,
‘ х + 3,00001у = 4,00001; j х + 2,99999у = 4,00001 и объяснить полученный результат.
Ответ: (1, 1)ги (7, -1)г. Обе матрицы получены малыми возмущениями одной вырожденной матрицы. В данном случае это приводит к большой разнице в решениях систем.
151
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
□	5.44. Показать, что cond (А) > 1 для любой матрицы А и cond2 (Q) = 1 для ортогональной матрицы Q.
Решение. Так как I = АЛ-1, то
1 = IIZII = ПАА-41 < НАН 11 A"111 = cond (А).
Умножение матрицы на ортогональную не меняет ее спектральную норму, поэтому
IIQII2 = HQZII2 = HZII2 = 1 и =	=
Таким образом, cond2 (Q) = 11 QI l2l IQ-1112 = 11 QI l2 IIQTII2 = 1.
□	5.45. Можно ли утверждать, что если определитель матрицы мал, то матрица плохо обусловлена?
Решение. Пусть дана диагональная матрица D = б/, где 8 > О — малое число и I— единичная матрица. Определитель det (D) = £” мал, тогда как матрица D хорошо обусловлена, поскольку
cond (D) = IIDII IIZHII = ellZllE-niZ-1!! = 1.
Рассмотрим теперь матрицу
1 -1 -1 ... -1
О	1	-1 ... -1
V 0 0	0 ... 1
у которой определитель равен 1, и вычислим ее число обусловленности. Для этого возьмем произвольный вектор b 0 и, решая систему Ах - b с помощью обратной подстановки, построим элементы обратной матрицы А-1:
Хп = Ьп’
x„_l = b„_l + bn,
Хп-2 = Ьп-2 + Ьп- 1 + 2Ьп>
xn-i = bn_i + bn_2 + 2bn_l + 22bn,
%, = b, + b2 + 2Ь3 + ... + 2n^ibn_ ] + 2п~2Ьп. Запишем полученную обратную матрицу:
( 1 1 2 4 ... 2"-3 2"~2
О 1 1 2 ... 2П~4 2”-J
А-'
О 0 0 0 ...	1	1
, 0 0 0 0...	0	1
152
5.2. Элементы теории возмущений
Следовательно, IIА-1!^ = 1 + 1 + 2 + 22 + ... + 2п~2 = 2”-1. Так как НАНоо = пу то condoo (А) = и2"“1, т. е. матрица А плохо обусловлена, хотя det (А) = 1.
Рассмотренные примеры показывают, что обусловленность матрицы зависит не только от величины определителя.
□	5.46. Пусть дана матрица А размерности п х п с параметром I al 1
' 1	а	0	...	О	0	'
О	1	а	...	О	О
О	0	0	...	1	а
к0	0	0	...	О	1	?
Вычислить condoo (А) и оценить возмущение в компоненте х{ решения системы Ах = Ь, если компонента Ьп вектора b возмущена на £.
Решение. Как в 5.45, методом обратной подстановки получим обратную матрицу
А-1 =
Тогда
1 -а (-а)2 ... (-а)"-2 (-я)"-1
О 1 -а	... (-а)"’3 (~а)п~2
О О
к0 О
О
О
1
О
-а
1
НАНоо = 1 + \а\у
II А-1!!™ = 1 + I я! + я2 + ... + I я1"_ 1
_ |д|п- 1
cond^ (а) = (М -ь оа^г-о.
|а| - 1
Отсюда видно, что матрица А плохо обусловлена при I al > 1 и хорошо обусловлена при lai < 1. Например, при п = 20 и а = 5 имеем condor, (А) « 1014.
Пусть компонента Ьп задана с ошибкой £. Тогда вычисленное зна-
чение Xj компоненты х1 имеет вид
Xj - bx - ab2 + ... + (~а)п~2Ьп_} + (-а)”' 1(Ьп + £) = х, + (~а)п~ 1£.
Следовательно, при lai > 1 возмущение в Ьп увеличивается в компоненте хх в Iа!п~1 раз, а при I я! < 1 во столько же раз уменьшается.
153
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
□	5.47. Пусть А — матрица размерности п х п с элементами а- = = {р для i = jy q для i = j - 1,0 для остальных индексов}. Вычислить матрицу А-1 и показать, что при \q\ < \р\ матрица А хорошо обусловлена, а при Iql > \р\ и больших значениях п — плохо обусловлена.
Указание. Воспользоваться решением 5.46.
□	5.48. Пусть матрица А определена, как в 5.47. Выразить явно решение системы Ах - b через правую часть.
Указание. Воспользоваться решением 5.46.
□	5.49. Решается система Ах - b с матрицей
В результате замены х[ = хх, х2 = £х2> х^ = ех3 для нахождения новых неизвестных х' имеем систему А'х' = Ь' с матрицей
	£	-1	1
А’ =	-1	1	1
	. 1	1	1
В каком случае число обусловленности меньше? Решение. Имеем
	/	_1	1 '		/	1	1 '
	0				0		
		2	2			2	2
	1	1 ~ £	1 + £		1	1 ~ £	1 + £
А-1 =				, (А')-1 =			
	2	4£	4£		2	4	4
	1	1 + £	1 - £		1	1 + £	1 - £
							
	1 2	4£	4£ >		1 2	4	4 )
поэтому число обусловленности исходной матрицы стремится к бесконечности при £—►(), а число обусловленности матрицы А' остается ограниченным.
□ 5.50. Пусть А = АТ > 0, Х(А) е [т, М] и А # р/, где I— единичная матрица. Доказать, что cond2 (А + а/) монотонно убывает по а при а > 0.
j /л . п М+а л t М-т
Ответ: сопа7 (А + а/) =--- = 1 +----.
-------- z	т + а т + а
154
5.2. Элементы теории возмущений
□	5.51. Существуют ли несимметричные матрицы, для которых справедливо cond2 (А) = cond (А2) > 1?
Ответ: примером такой матрицы является "103	о	о	о	"
.	0	2	10
А —	,
0	0	2	0
I 0	0	0	10"Ъ
X(ArA) е {106, КГ6, 4,5 ± А25 }, cond (А2) = IIA2II 11A-2II = 1012, cond (А) = II All IIA-’ll - 106.
□	5.52. Доказать неравенство
1 condj(A) <
п cond2(A)
Решение. Воспользовавшись неравенством для векторных норм
Пх112< 11x1^ < Vnllxll2,
получим	IIA112 < IIA11 т < Jn IIА112, откуда и следует требуемый ре-
зультат.
□ 5.53. Оценить снизу и сверху cond^ (А) невырожденной матрицы А размерности п х и, используя границы собственных чисел матрицы АТА: Х(АТА) е [а, 0].
Решение. Из неравенства для чисел обусловленности в матричных нормах ll’lloo и 11*Н2 и равенства IIА1Ц = Хтах (АГА) следует, что
- Р < condoo (А) < п. п у a	N а
□	5.54. Получить неравенство cond (А) > IX,max M^min (^ для произвольной невырожденной матрицы А и любой матричной нормы, используемой при определении числа обусловленности.
Указание. Воспользоваться решением 5.6.
□	5.55. Доказать, что cond (АВ) < cond (A) cond(B) для любой заданной нормы в определении числа обусловленности и для любых квадратных матриц.
155
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
□	5.56. Оценить cond2 (А) матрицы А размерности п х п
2-100
-12-10
0-12-1
0	0 "
0 О
О О
О	0	0	0	...	2	-1
О	О	О	0	...	-1	2	>
Указание. Воспользоваться для собственных векторов у№, j - 1,	, и, матрицы А явной формулой (см. 2.86): у^ - sin .
Соответствующие собственные числа: А,0’) = 4 sin2 »	, так что
cond2 (А) = ctg2 ——-
4(и + 1 )2 л2
□	5.57. Оценить cond2 (А) матрицы А размерности п х п

'4	1	0	0	...	0	0"
1	4	1	0	...	0	0
0	1	4	1	...	0	0
О	0	0	0	...	4	1
1о	0	0	0	...	1	4,
Указание. Для собственных векторов у^\ j= 1,..., и, матрицы А воспользоваться явной формулой (см. 2.86). Имеем у^ - sin . Соответствующие собственные числа: А,О’) - |	| cos , так что
cond2 (А) < 3.
□ 5.58. Пусть I— единичная матрица и 118/11 < 1. Показать, что матрица I- 8/невырожденная и выполнена оценка
"('-6'г1||<тям-
Решение. Возьмем произвольный вектор х 0. Так как 1 - 115/1I > 0 и llxll = 11(х-8/х) + 8/х11 < Их-8/xlI + 115/xl I, то
11(1-5/)х11 = llx-5/xll > llxll - Н5/х11 >
> llxll -115/11 llxll = (1 -115/11)11x11 >0.
156
5.2. Элементы теории возмущений
Следовательно, если х 0, то (/- 8/)х # 0, т. е. матрица I- 81 невырожденная. Из тождества (/- 8/)(/- 8/)-1 = I получаем (/- 8/)-1 = = /+8/(/-8/)-1. Отсюда
ll(Z-8/)"lll < II7II + 118/11 ll(/— 8/)-1ll = 1 + 11(/-8/)-1Н 118/11.
Из этого неравенства следует решение задачи (ее называют задачей о возмущении единичной матрицы).
□ 5.59. Пусть /— единичная матрица и 118/11 < 1. Получить оценку отклонения матрицы / от матрицы (/- 8/)-1.
Решение. Из (/ - 8/)-1 = I + 8/(/ - 8/)-1 (см. 5.58) получим /- (/- 8/)-1 = -61(1-8/)-1. Отсюда, в силу неравенства из 5.58,
П/-(/-3/)-Ч1< Н5Л1 П(1-31)-Ч1 < -ДЙЬ
1 - 1|О/||
□	5.60. Пусть А— невырожденная матрица и IIА-18АН < 1. Показать, что матрица A -I- 8А невырожденная и выполнена оценка
П(А + 5А)-‘П < — 1 - ||А-’5А||
Решение. Имеем А + ЗА = А(/+ А-18А). Поскольку 11А-18АII < 1, из 5.58 следует, что матрица / -I- А-18А невырожденная. Это означает, что и матрица A -I- 8А также не вырождена.
Из равенства (A -I- 8А)-1 = (/ + А_18А)-1А_1, в силу неравенства из 5.58, следует, что
Н(А + 5А)-Ч1 < 11(7 + А-'8А)->II IIА-Ч1 < —.
1 - ||А-15АЦ
□	5.61. Пусть А— невырожденная матрица и IIА-18АН < 1. Получить оценку отклонения матрицы (A -I- 8А)-1 от А-1.
Решение. Из равенства (А 4- 8А)-1 = (/ + А~18А)-1А~1 следует, что А-1 - (A -I- 8А)-1 = (/- (/ -I- А_18А)_1)А_1. Тогда, в силу неравенства из 5.59,
НА-1 - (А + 5А)-Ч1 < II/- (7 + А-18А)-1 II II А-1 II < l|A~'8Al| „ IIА"1!!.
1-||А-15А||
Относительная ошибка в матрице (A -I- 8А)-1 оценивается неравенством
||А-‘ - (А + 5А)~Ч| < ||А-'||||8А|| = cond (А) ||8А||
||А-Ч|	" 1-||A-’SA||	1-||А-'8А|| ||А|Г
157
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
□ 5.62. Оценить снизу число обусловленности cond2 А матрицы:
	10	10	30 '		' 1	20	-400'
1) А =	0,1	0,5	0,1	; 2)А =	0,2	-2	-20
	0,03	0,01	0,01 }		-0,04	-0,2	1 /
□	5.63. Система Ах = Ь, где
	2-1	1 '		2(1 + Ю’10)'
А =	-1 IO’10 КГ10 1 10-'° 10-10,	, ь =	-10-'° < 10~'° ,
имеет решение х = (Ю-10, -1, 1)т. Доказать, что если (А + I)y = b, 11/11 < < 10-811 АН, то Их - yll < 107. Это означает, что относительно малые изменения в элементах матрицы А не приводят к большим изменениям в решении, хотя cond^ (А) имеет порядок 1О10.
□	5.64. Пусть А = I	I. Доказать, что данная матрица имеет
наибольшее число обусловленности cond2 (А) из всех невырожденных матриц второго порядка, элементами которых являются положительные целые числа, меньшие или равные 100.
Решение. Введем обозначения для элементов матрицы А
и найдем cond2 (А) в явном виде
11А112 = 7max Х(АГА), 11 A-1112 = Jmax Х,((А_1)ГА-1) =
= 7тах Х((АГА)-1) =	1 — .
л/min Х(АГА)
Имеем
cond2(А)= /™хХ(АМ).
min k(ATA)
Введем матрицу
г» ата ( а2 + с2 ab + cd У
В = А1 А =
{ab + cd b2 + d2 )
и запишем ее характеристический многочлен
рв(Х) = V - X tr В + det В, tr В = а2 + Ь2 + с2 + d2.
158
5.2. Элементы теории возмущений
Его корни равны 2 = (tr В ± 7tr2 В - 4det В )/2. Так как tr В > 0, то
cond2 (А) =
tr В + 7tr2 В - 4 det В _ tr В + 7tr2 В - 4 det В N tr В - 7tr2 В - 4 det В	V4det В
tr В
2Vdet В
I tr2 В
4 det В
Таким образом, значение cond2 (А) максимально, если максимально
tr2 (ALAj . Имеем tr2 АТА = (а2 + Ь2 + с2 + J2)2, det (АТА)
det АТА = (а2 + c2)(b2 + d2) - (ab + cd)2 =
= c^d2 + b2c2 - 2abcd = (ad - be)2 =
a
c
b d
= det2 A,
следовательно, значение (a2 + b2 + c2 + d2) I det2A должно быть максимальным. Отсюда получаем, что выражение а2 -I- Ь2 + с2 + d2 максимально при условии det А = ±1. Действительно, если модуль определителя больше 1, то tr В необходимо увеличить больше чем в два раза. При ограничении а- < 100 это невозможно. Таким образом, при п = 98 можно воспользоваться любой из следующих матриц:
п + 2 п + 1 ।	.	। п + 1 п + 2
, Л -
п+1	п )	\ п	п+1
п+1	п I	. |П	п+1
, А4 =
п + 2 п + 1 J I п + 1 п + 2
□ 5.65. Пусть при некотором 1 > а > 0 для элементов каждой строки
i невырожденной матрицы А выполнено неравенство alaj > Е 1я I.
j *»	7
Оценить снизу и сверху cond^ (А), используя только диагональные элементы матрицы и параметр а.
Решение. Отметим оценки
max \а-\ < IIА11^ < (1 + а) max \a{i\.
Введем обозначение С = А-1 и заметим, что для V z, j справедливо lcl;l < IICIIoq. При каждом / имеем (АС = I)
% aikcki=l> S IajJtl Ic^J < laIfl( 1 + а)ПСНоо.
к - 1	к = 1
159
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
Отсюда получаем оценку снизу для нормы матрицы А-1
IIA-4U = ПСПоо > тт— ?  , ,, 00	00	(1 4- a) min |ай|
следовательно,
1 тах |ай|
condoo (А) = IIAIIJIA-4L > -*------i—i—7-
1 + а тт |ай|
Если правая часть неравенства не превышает единицы, то полученная оценка малосодержательна.
В силу невырожденности матрицы А, все диагональные элементы aii отличны от нуля, поэтому можно построить матрицы
7 = diag (д]-,1, д£2' ,..., а~'п ), В = JA -1.
Отметим, что IIBII^ < а < 1 в силу цепочки неравенств max \Ьйх{ + ... + binxn\ < max %\bikxk\ < < IIxIIqq max X \bik\ < allxll^.
i к
Отсюда следует справедливость представления
А'1 = (14- В Г1/ = (/- В 4- В2 - В3 4-...)/, так как ряд является сходящимся.
Далее для произвольного вектора х получаем оценку
II A^xlloo = 11(1- В 4- В2 - В3 4- ...Vxlloo <
< II7xllTO + all/xll», + a2lI Jxlloo + ... = —— II Jxlloo <
1 - a
< —--------L—-llxlloo.
1 - a min |a--|
Следовательно,
max la-J corxU (A) = IIAIIJIA-Mleo <	\
1-a min |ай|
. max la-I	, , max la-I
Ответ: —---------Ц—- < cond^ (A) < -——i——-.
1 4- a min |a--|	1 - a mm |aH|
□ 5.66. Пусть R — верхняя треугольная матрица размерности п х п, у которой: 1) I г£.| < 1 для всех i, j; 2) гй = 1 для всех i. Найти максимально возможное значение числа обусловленности cond^ (В).
160
5.2. Элементы теории возмущений
а
Решение. Рассмотрим вспомогательные матрицы Ак размерности (fc + 1) х (к +1) с элементами \а-\ < 1 следующей структуры: аи при i = j, 1 при i = j+ 1, 0	— иначе.
Для определителя Ак из разложения по первому столбцу следует оценка
Idet (Ак)\ < 1ли1 Idet (A*1* 1 )l + Idet (A<2J 1 )l < < 2 Idet (Ak_ JI < 4 Idet (A^_2)l < ... < 2*,
поскольку
ldet(Aj)l= det
2, Idet (A0)l = 1аи1< 1.
r\. ч
flll fl12 1	а22
Выше было использовано обозначение A(kl} j (/ = 1,2) для подматриц к-го порядка, получающихся из исходной матрицы Ак вычеркиванием первого столбца и /-й строки.
Рассмотрим теперь обратную к R матрицу Я-1 с элементами
। 1 при i = j, 0 при i > jy ify при i<j.
Так как det (R) = 1, то q- имеет смысл алгебраического дополнения элемента г- в определителе матрицы R. При этом его значение равно (с точностью до знака) определителю матрицы, у которой диагональные элементы не превышают единицы, на нижней побочной диагонали ровно к = j - i - 1 единиц, а остальные элементы равны нулю. Отсюда имеем
1%1 < Idet
Рассмотрим случай максимально возможных значений qt \ 1 2	2п~ ъ 2п ~ 2 У
0 1 1 ... 2”~4 2П“3
R-1 =
ко 0 0 ... О \ J
При этом исходная матрица R однозначно определяется как '1-1-1 ... -Р
0	1-1 ... -1
R =
ко О О
I । - 1025
161
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
Легко проверить, что
= 1 + 1+ 2 + ... + 2п~2 = 2п~ llylloo = и,
т. е. построена матрица, на которой одновременно достигаются максимально возможные значения как llylloo, так и Н^-111оо среди всех матриц из заданного класса.
Ответ: max condoo (R) = п 2п~ Г
□ 5.67. Показать, что определитель Dn матрицы Коши с элементами к- - !/(«• + bj) равен
Dn= П (а-а^Ь-ьД П («;+Ь,)Т'.
1 < i< п	7	7 М < п	1 '
Решение. Вычтем первый столбец определителя последовательно из второго, третьего,..., и-го столбцов, а затем вынесем Ь} - Ь2 за знак определителя из второго столбца, Ьх - Ь3 — из третьего и т. д. Затем вынесем	из первой строки, (а2 +	— из второй
строки и т. д. Далее вычтем первую строку последовательно из второй, третьей, ..., и-й строки, а затем вынесем за знак определителя
- а2)...(а1 - ап)(ах + Ь2)~х...(ах +	® результате останется опре-
делитель матрицы Коши (и - 1)-го порядка. Поэтому искомая формула получается по индукции.
□ 5.68. Пусть задана матрица Гильберта Нп с элементами h- = l/(i + + j - 1), 1 < i,j < nt Показать, что элементами матрицы Н~х являются целые числа, которые можно вычислить по формуле
а..= (-1)’+>(<+	l)!(j+ и- 1)!
Решение. Рассмотрим матрицу Коши Кп с элементами к- -- 1/Ц + bj), 1 < i, j < п. Ее определитель вычислен в 5.67. Элементы матрицы являются отношениями алгебраических дополнений к определителю исходной матрицы. Миноры матрицы Коши снова являются матрицами Коши. Поэтому можно получить явные выражения для элементов К~1:
btj= П (aj+bk)(ak+bl)[(aj+bi) П (а,-ак) П (Ь,-^)]"1.
7 к =1 J	J	k*jJ к*i
Полагая = i, b- = i- 1, получим частный случай матрицы Коши — матрицу Гильберта и искомую формулу для элементов Н’1.
162
5.2. Элементы теории возмущений
□	5.69. Оценить рост числа обусловленности conchy (Н;) матрицы Гильберта с элементами h-= l/(i + j - 1), 1 < «относительно параметра размерности п.
Указание. Величина —+ \	— принимает максималь-
((£-l)!)2(n - Z)! Е
ное значение при i = [Ш/2]у поэтому для элементов а- матрицы И"1 (см. 5.68) по формуле Стирлинга
п\ - а/2лп ппе-пе0(п), 10(п)\ < —, 12н
имеем асимптотику
max la-1 = —— (72 + l)4"f 1 + of-Y).
м 7	472л2п	V
Отсюда следует равенство
пн-'н0О=------1—-(72 + i)44i +of-Y).
"	(2п)^2™.Гп
Так как
In п < IIHJIqo = Е т 3 In п (для п > 2),
j=4
то главный член асимптотики cond^ (Нп) имеет вид const 4" In п/ Jn.
□	5.70. Доказать неравенство Адамара для квадратных матриц вида А = АТ > 0:
det (А) < П а... i=i
Решение. Положим 7 = 1/7^L и ПУСТЬ О = diag (dp d2,..., dn). Неравенство det (A) <	равносильно условию det (DAD) < 1,
и в дальнейшем достаточно рассматривать матрицу А, все диагональные элементы которой равны единице. Если Хр Х2,..., Хп — собственные значения матрицы А (обязательно положительные), то
det(A) = П f- Е - fi tr aY' = 1.
i = 1	Y n i = 1 4 Y ri /
Здесь мы воспользовались неравенством между арифметическим и геометрическим средними неотрицательных чисел. Равенство средних имеет место тогда и только тогда, когда все = 1. В силу симметрии, матрица А диагонализируема. При единичных диаго-
Н’
163
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
нальных элементах и собственных значениях это равносильно тому, что А является единичной матрицей. Соответственно равенство в исходном неравенстве достигается тогда и только тогда, когда А — диагональная матрица.
□	5.71. Показать, что для произвольной квадратной матрицы С справедливы неравенства
п / п	\ 1 /2	п / п	\ 1 /2
Idet (С)1 < П ( Z Ic/J , Idet (С)1 < П (/ Ic/J ,
а равенства в них достигаются тогда и только тогда, когда строки (соответственно столбцы) матрицы С попарно ортогональны.
Решение. Если матрица С вырождена, то доказывать нечего. В случае невырожденной матрицы С нужно применить неравенство из 5.70 к положительно определенной матрице А = ССТ и извлечь квадратный корень из обеих частей неравенств. Правая часть доказываемого неравенства — квадратный корень из произведения диагональных элементов матрицы А, а левая часть — квадратный корень из определителя этой матрицы. Строки матрицы С попарно ортогональны тогда и только тогда, когда А — диагональная матрица, а это и есть случай равенства в 5.70. Второе искомое неравенство получается применением первого к матрице Ст.
5.3. Точные методы
К точным методам решения системы Ах - b линейных алгебраических уравнений относятся алгоритмы, которые при отсутствии ошибок округления, позволяют точно вычислить искомый вектор х за конечное число логических и арифметических операций. Если число ненулевых элементов матрицы имеет порядок и2, то большинство алгоритмов такого рода позволяют найти решение за О(и3) арифметических действий. Данная оценка, а также необходимость хранения всех элементов матрицы в памяти компьютера накладывают существенное ограничение на область применимости точных методов. Однако для решения задач размерности п менее 104 разумно применять точные алгоритмы. При численном решении задач математической физики часто требуется обращать матрицы блочно-диагонального вида. В этом случае удается построить точные методы с меньшим по порядку числом арифметических действий. К таким алгоритмам относят методы прогонки, стрельбы, Фурье (базисных функций).
164
5.3. Точные методы
Наиболее известным из точных методов, применяемых для решения задач с матрицами общего вида, является метод исключения Гаусса. В предположении, что коэффициент аи 0, уравнения исходной системы заменяем следующими:
п х. + Z
7 = 2
^'х.= «II 7	«11’
V (	«I/	\ L Ь1
Z I	х -----1 ааХ: \ = ЬГ — ai}
i = 2,...
п.
т. е. первое уравнение делим на аи, затем, умноженное на соответствующий коэффициент ап, вычитаем из последующих уравнений. В полученной системе А(1)х = Ь(1) неизвестное исключено из всех уравнений, кроме первого. Далее, при условии, что коэффициент а$ матрицы А(1) отличен от нуля, исключаем х2 из всех уравнений, кроме первого и второго, и т. д. В результате получаем систему А(л) х = Ь(п) с верхней треугольной матрицей. Данную последовательность вычислений называют прямым ходом метода Гаусса. Из последнего уравнения приведенной системы определяем компоненту решения хп. Далее подставляем хп в (п - 1)-е уравнение, находим хп_ j и т. д. Соответствующую последовательность вычислений называют обратным ходом метода Гаусса. Если на k-м шаге прямого хода коэффициент аккк~ равен нулю, то к-ю строку уравнения переставляют с произвольной /-й строкой, I > к— с ненулевым коэффициентом Л/*” при хк. Такая строка всегда найдется, если det (А) 0.
Если на к-м шаге прямого хода диагональный элемент а^кк~ отличен от нуля, но его абсолютное значение мало, то коэффициенты очередной матрицы будут вычислены с большой абсолютной погрешностью. Полученное в результате решение может значительно отличаться от точного. Поэтому при практической реализации метода Гаусса требуют на каждом шаге прямого хода переставлять на к-е место строку с максимальным по модулю элементом а\к ~ 1) среди всех I > к. Такую модификацию называют методом Гаусса с частичным выбором главного элемента. Данный алгоритм позволяет гарантированно найти приближенное решение х с малой нормой невязки lib - АхII но, возможно, с большой относительной ошибкой Их - х11/11х11.
165
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
□	5.72. Показать, что реализации прямого и обратного хода метода Гаусса требуют по порядку 2/3и3 и п2 арифметических действий соответственно.
Указание. Число умножений прямого хода равно п2 + (п - 1 )2 + ... п
... + 1 » J х2 dx = и3/3, имеем столько же сложений, о
□	5.73. Показать, что прямой ход метода Гаусса соответствует последовательному умножению исходной системы на некоторые диагональные матрицы Ск и нижние треугольные матрицы Ск. Определить вид матриц Ск и Ск.
Указание. Матрица Ск получается из матрицы I заменой
диагонального элемента к-й строки на элемент	• Мат-
рица Ск получается из матрицы I заменой k-vo столбца на столбец (о........................-«'Л-"Г
Таким образом, метод Гаусса соответствует неявному разложению исходной матрицы А на произведение нижней треугольной матрицы L и верхней треугольной матрицы R с rkk = 1. Действительно, как следует из 5.73, С А = R, где R — верхняя треугольная матрица с единичной диагональю, а С = С'п Сп... С[ Сх — нижняя треугольная матрица. Поэтому А = LR, где L = С-1. Аналогично можно построить разложение А = LR с lkk = 1.
□	5.74. Показать, что прямой ход метода Гаусса с частичным выбором главного элемента соответствует последовательному умножению исходной системы на некоторые диагональные матрицы Ск, нижние треугольные матрицы Ск и матрицы перестановок Рк. Определить вид матриц СкУ Ск и Рк.
Ответ: матрицы Ск, Ск совпадают с матрицами из 5.73, матрицы Рк получаются из единичной матрицы I некоторой перестановкой строк.
f g 1 А
□	5.75. Пусть система Ах = b с матрицей А - I I решается ме-
тодом LR-разложения: А = LR, Ly = b, Rx - у. Вычислить cond^ (Г) и condoo(R), если LR-разложение строится методом Гаусса: а) без выбора ведущего элемента; б) с выбором ведущего элемента.
166
5.3. Точные методы
Решение, а) Применим схему без выбора ведущего элемента:
f е 1 _ Р11 ° 1 ( Ги Г}2 к 1 1 J V21 ^22 J к 0 Г22 J
Отсюда для определения элементов матриц L и R получаем систему линейных алгебраических уравнений
Л 1Г11 = 8’ 1 Г12 “	^21 Г11 = Ь ^21 Г12 + ^22r22 ~
Для определенности положим lu = l22 = 1. Тогда
L = \ ^	।	R = | е *	|
I 1/е 1 Г I 0 1 - 1/е Г
L~i=( 1	R-1 = [1/8
-1/8	1 )	О 8/(8- 1) )
Отсюда
condoo (£) = (1 + -И , condoo (R) = -3.
б) Воспользуемся LR -разложением с выбором ведущего элемента:
1 11 = f1 0 Yrn Г12 6 1 j 1^21 1 JI 0 Г22
£=М 0\ R=( 1 1 \ Iе 1 ) lo 1 -£ )
£_1= Г 1 0^ д-1= (1 -1/(1 -6)^ <~е 1 )’	1° 1/(1 ~£) )'
Отсюда
condoo (L) = (1 + е)2, condoo (R) = 2f 1 + —J— Y к 1 - 8 /
□	5.76. Доказать, что для невырожденной матрицы А существуют матрицы перестановок и Р2, нижняя треугольная матрица L и верхняя треугольная матрица R такие, что РХАР2 = LR. Показать, что достаточно использовать одну из матриц Р?
Указание. В матрице Р} А переставлены строки исходной матрицы А, а в матрице АР2 — столбцы. Для того чтобы матрица имела LR-разложение, необходимо и достаточно, чтобы все ее ведущие подматрицы (в том числе и А) были невырожденные.
167
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
Если методом Гаусса получено некоторое приближенное решение х, то можно выполнить следующий процесс уточнения. Найдем вектор невязки г = b - Ах с удвоенным количеством значащих цифр и решим систему Az = r/l I г 11. Положим х: = х + llrllz. Процесс уточнения значительно экономичнее, чем решение исходного уравнения, так как LR-разложение матрицы А уже имеется. Уточнение можно повторять до тех пор, пока убывает норма вектора невязки.
□	5.77. Пусть вещественная матрица А симметрична и положительно определена. Записать формулы для решения системы Ах = Ь, основанные на разложении А = RTR с верхней треугольной матрицей R.
Решение. Определим элементы матрицы R. В силу формулы умножения матриц, имеем
%’ =	+ r2ir2j + - + riirij ПРИ i <
aii=rii + r2i + - + rii при i = j.
Отсюда получаем формулы для определения г-;:
ги =	ri7=«i/rip
i- 1
/----——	а-Г Z rkirkj
r,i= Ja„- X rki ('> rij= —V2--------------------------0 > '),
W к = 1	ra
r,7 = O(i>j).
Дальнейшее решение исходной системы сводится к последовательному решению двух систем с треугольными матрицами: RTy = b и Rx = у. Элементы вектора у определяем по рекуррентным формулам аналогично г1;:
Окончательное решение х находим по формулам
п у,- Z г>кУк
Х„= — , X; = ------< П).
‘ г	»; ;
пп	11
Описанный алгоритм часто называют методом Холецкого.
168
5.3. Точные методы
□	5.78. Показать, что реализации прямого и обратного хода метода Холецкого требуют по порядку 1/Зи3 и п1 арифметических действий соответственно.
□	5.79. Пусть А — вещественная симметричная матрица. Записать формулы для вычисления матричного разложения А = RTDR с верхней треугольной матрицей R и диагональной матрицей D с элементами d- = ±1.
Ответ: последовательно для i = 1,..., п вычислим
d„=sign Ё	Г„-
4 к = 1	7
1/2
aij ZL rkirkj^kk
г~г—----------------для,<>-
В этих формулах, как обычно, если верхний индекс суммирования меньше нижнего, то сумму полагают равной нулю.
□	5.80. Для матрицы
2	3
-5 -6
-6 18
вычислить элементы разложения А = RTDR с верхней треугольной матрицей R и диагональной матрицей D с элементами dit = ±1.
/
1	0
Ответ: D= 0 -1
R =
1^0 0
1 2 3
0 3 4
0 0 5 ?
0
0
1
Среди точных методов, требующих для реализации порядка О(и3) действий, одним из наиболее устойчивых к вычислительной погрешности является метод отражений.
Пусть имеем некоторый единичный вектор w g R", 11 wl 12 = 1. По
строим по нему следующую матрицу: U = I - 2wwT, называемую матрицей Хаусхолдера. Здесь I— единичный оператор, Q = wwT — матрица с элементами со-; = wt;Wj, являющаяся результатом произведения вектор-столбца w на вектор-строку wr.
169
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
□	5.81. Доказать, что матрица U является симметричной и ортогональной матрицей, т. е. U = UT п UTU = /, и все ее собственные значения равны ±1.
Указание. Симметричность U следует из явного вида U. Так
как (w, w) = 1, то QQI • = Z w-WjWjW, = QI • и Ч	I I к к J	IJ
1Д7 =/-4Q + 4QQ =/, т. e. U2 = UTU=L
□	5.82. Показать, что I7w = -w, а если вектор v ортогонален w, то Uv = v.
□	5.83. Показать, что образ Uy произвольного вектора у является зеркальным отражением относительно гиперплоскости, ортогональной вектору w.
Решение. Представим у в виде у = (у, w)w + v. Тогда из 5.82 следует Uy = -(у, w)w + v.
□	5.84. Для векторов единичной длины у и е найти вектор w такой, что Uy - е, где U = I- 2wwr.
Решение. Заметим, что w = ±(у - е)/ V(y - е, у - е). Действительно, (/- 2wwT)y = у - £ = е, так как
_	е'^Ук е^Ук _ 2Q, - е,)(1 - (у, е)) _
1 (у - е, у - е)	2 - 2(у, е)	в,‘
Так как преобразование U не меняет длины вектора, то для неединичного вектора у имеем Uy = ае, а = 11 yll2, и искомыми являются
векторы w - ±	,
Иу-ае||2
□ 5.85. (метод отражений). Показать, что произвольная квадратная матрица А может быть приведена к верхнему треугольному виду в результате последовательного умножения слева на ортогональные матрицы Хаусхолдера.
Указание. По векторам у, = (яь р ..., ап j)th е1 = (1, 0,..., 0)г можно построить вектор и соответствующую матрицу U} (см. 5.84) так, чтобы первый столбец матрицы А(1) = U}A был пропорционален вектору ej g R", т. е. Uxyx = ±а1е1. Вычислим oij = (af j + i + •••
170
5.3. Точные методы
... + a2, j )1/2 и определим Wj = (ль ,/а, + sign (ль,), а2 j/ap ..., ап j/aJ7, Wj = Wj/llWjП2. Такой выбор знака и предварительная нормировка на ocj гарантируют малость вычислительной погрешности и устойчивость алгоритма.
Далее в пространстве R"-1 по вектору у2 =	... , а^1)п)Т по-
строить матрицу U2, отображающую его в вектор, коллинеарный е2 =
= (1, 0,..., О)7 g R" 1. Затем определить U2 = 1 и рассмотреть
10 О 2 J
матрицу А(2) = U2U}A и т. д. На к-м шаге имеем Uk - (	1 j. Таким
образом, матрица отражений Uk строится по вектору wk = w*./IIw^l 12, g R", где wk = (0, ..., 0, a[k~ '}/ak + sign (a(k~ 1}), a^~^klak, ..., ..., a{nk~ [}/ак)т, и ak = ((^\-1))2 + ••• + (a(k~ 1})2)1/2. В результате преобразований получится верхняя треугольная матрица R = UA, где U = Un_v..Uv При практической реализации явное вычисление Uk не требуется, так как UkA^k~= А^к~ - 2w^(w^А^к~})). При этом изменяются только элементы а^к.~ Ч к < i, j < и, матрицы А(к-1). Из условия UU = I имеем А = UR. Таким образом, произвольная квадратная матрица А может быть представлена в виде произведения симметричной ортогональной матрицы U и верхней треугольной матрицы R.
Рассмотренный алгоритм позволяет свести систему линейных уравнений Ах = b к виду Rx = Ub, а затем найти ее решение обратным ходом метода Гаусса. Пусть решается задача с возмущенной правой частью Ах = b + 8Ь и Н8Ы1 « ИЫ1. Так как ортогональные преобразования не меняют евклидову норму векторов, то для приведенной системы Rx = 17b + 178b имеем 11С/8ЫI = IlSbll I lb II = 11 Ubl I, и относительная погрешность правой части не увеличилась.
□ 5.86. Показать, что реализации прямого и обратного хода метода отражений в общем случае требуют по порядку 4/3и3 и п2 арифметических действий соответственно.
171
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
□	5.87. Записать формулы метода отражений для задачи Ах = Ь, где
	/ со	~ьо	0	0	..	0	0	0	0	
	-fll			0	..	0	0	0	0	
	0	~а2	С2	-ь2 ..	0	0	0	0	
А =									
	0	0	0	0	..	• ~aN-2	CN- 2		0	
	0	0	0	0	..	0	~aN - 1	CN- 1	!	I
	0	0	0	0	..	0	0	~aN	CN	)
Оценить вычислительные затраты алгоритма.
Матрицу А можно привести к виду А = QR, где Q-1 = QT— ортогональная матрица, методом вращений, более простым по сравнению с методом отражений.
Элементарной матрицей вращений второго порядка (матрицей Гивенса) называют матрицу
С(Ф) = ( cos<₽ sin (р
-sin (р cos (р
зависящую от некоторого параметра — угла (р.
□	5.88. Найти элементарную матрицу вращений G((p), переводящую произвольный ненулевой вектор (яр а2)Т в вектор со второй нулевой компонентой: (~Jaj + а%, 0)г.
Ответ: cos (р = -ах1 Jaj + а%, sin (р = Jaj + aj.
□	5.89. Показать, что при умножении матрицы А слева на матрицу
	' 1	0		0	
	0	cos (p	0	-sin (p	0
Gkl(4>) =		0	1	0	
	0	sin (p	0	COS (p	0
	<0	0		0	1 ,
(&/ ~ s^n Ф>т- е- синусы и косинусы находятся на пересечении строк и столбцов с номерами к и /) можно получить нуль на позиции элемента ак1.
172
5.4. Линейные итерационные методы
□	5.90 (метод вращений). Показать, что произвольная квадратная матрица А может быть приведена к верхнему треугольному виду в результате последовательного умножения слева на ортогональные матрицы вращений.
Указание. Gnn_l...G}2GnV..G)lG2lA = R.
□	5.91. Показать, что реализации прямого и обратного хода метода вращений в общем случае требуют по порядку 2 и3 и п2 арифметических действий соответственно.
□	5.92. Записать формулы метода вращений для задачи Ах = Ь, где А — матрица из 5.87. Оценить вычислительные затраты алгоритма.
Рассмотренные методы отражений и вращений применяют не только при построении QR-разложения матрицы А, но и для приведения А к специальному виду: (2р + 1)-диагональному, блочному диагональному, хессенбергову. На основании данных разложений удается построить эффективные численные методы решения систем линейных уравнений, а также методы вычисления инвариантных подпространств и решения задачи на собственные значения.
5.4. Линейные итерационные методы
Рассмотрим класс итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений, основанный на сжимающем свойстве оператора перехода. Различные постановки задачи минимизации нормы оператора перехода приводят к различным алгоритмам расчета.
Метод простой итерации. Преобразуем систему линейных алгебраических уравнений
Ах = Ь	(15)
с невырожденной матрицей А к виду
х = Вх + с.	(16)
Если решение системы (16) находят как предел последовательности
хк + 1 = Вхк + с,	(17)
то такой процесс называют методом простой итерации, а матрицу В — оператором перехода. Справедливы следующие теоремы о сходимости метода.
173
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
Теорема 1. Если IIBII < 1, то система уравнений (16) имеет единственное решение и итерационный процесс (17) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии.
Теорема. 2. Пусть система (16) имеет единственное решение. Итерационный процесс (17) сходится к решению системы (16) при любом начальном приближении тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы В по модулю меньше 1.
Асимптотической скоростью сходимости R^B) итерационного метода называют величину R^B) = -In р(В), где р(В) — спектральный радиус (максимальное по модулю собственное значение) оператора перехода В.
Рассмотрим общий способ перехода от системы (15) к системе (16). Всякая система
x = x-D(Ax-b)	(18)
имеет вид (16) и при det (D)	0 равносильна системе (15). В то же
время, всякая система (16), равносильная (15), записывается в виде (18) с матрицей D= (1- В)А-1.
Оптимальный линейный одношаговый метод. Для систем со знакоопределенными матрицами метод (17) обычно строят в виде
------— + Ахк = Ь, т. е. В = I-тА, с = тЬ,	(19) т
где т — итерационный параметр. Так как точное решение х удовлетворяет уравнению (19), то для вектора ошибки zk = х - хк справедливы выражения
zk+ 1 = (I- tA)z*, 11 + 111 < 111- тА II 11 z*l I, к = 0, 1, 2,....
Итерационный параметр т ищется из условия минимума нормы оператора перехода. Если А - АТ > 0 и выбрана евклидова векторная норма, то минимизационная задача
min (max 11 -тХ(А)1) = а т Х(А)
решается явно. Пусть известны точные границы спектра матрицы А, т. е. Х(А) е [т, М], тогда оптимальные значения соответственно равны
т -	- М - т < j
т + М’ М + т
и справедлива оценка
Их - хк\ 12 < qk\\x - х°Н2.
174
5.4. Линейные итерационные методы
(20)
Оптимальный линейный N-шаговый метод. Будем считать, что в итерационном алгоритме
+ Лх* = Ь
4+ 1
допускается циклическое изменение (с периодом N) параметра т в зависимости от номера итерации, т. е. тр т2,..., tn, тр т2, — • В этом случае после N итераций для вектора ошибки имеем
zk + N = П (I-t/Qz*, llz* + Nll2
П(/-т/)| HzMl2, к = 0, 1, 2,....
Будем искать набор т-, j - 1, ..., N, из условия минимума нормы оператора перехода. Если А = АТ > 0, то
N
min
П (1-тА) = min fmax П (1-тД(А)) 1
j=\ Г ||2 Ь 4 МА) ./=1	7	7
Пусть известны точные границы спектра матрицы А, т. е. Х(А) е е [m, М], тогда оптимальные значения параметров равны обратным величинам корней многочлена Чебышева степени N на отрезке [ т, MJ: xj-1 _ М +т + М т cqs л(2^ 1) , и СПраведлива оценка погрешности после N итераций
||х-^||2<74^||х-хО||2<2^11х-хо112,
1 +	JM + Jm
При численной реализации N-шагового метода для устойчивости требуется специальным образом перемешивать значения параметров т-.
Недостатком рассмотренных методов является требование информации о границах спектра матрицы А.
□ 5.93. Пусть элементы матрицы В имеют вид Ьк- = ± • 3~lk~il. Доказать, что система х = Вх + с имеет единственное решение и метод простой итерации сходится при любом начальном приближении.
Указание. НВЩ = IIBII^ < 1.
□	5.94. Найти все а, р, при которых метод простой итерации хк +1 = = Вхк + с, где
а р 0 В= р а р , ч° р % сходится с произвольного начального приближения.
175
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
Решение. Имеем det (В - X/) = (а - Х)(а - X - а/2 Р)(ос - X + + V2 Р) = 0, loci < 1,1а± 72рК 1.
□	5.95. Привести пример задачи х = Вх + с такой, что у матрицы В есть собственное значение X вне единичного круга, но метод (17) сходится при некотором начальном приближении.
Решение. Имеем
D f 1 1/2^1	ГН	Г-1/21
(1/2 1 )	(1)	(-1/2)
Х(В) = 1/2, 3/2; хх= 1/2 = (1, -1)т; х° - х = Гхх= 1/2 при t* 0.
□	5.96. Пусть матрица В в методе (17) имеет вид
В = (а 4\ 0 < а, Р < 1.
I 0 Р J
Показать, что величина ошибки zk = хк - х в норме 11*11СЮ начинает монотонно убывать лишь с некоторого номера итерации N. Оценить N при а = р « 1.
Ответ: N « 1/( 1 - а).
□	5.97. Пусть все собственные значения матрицы А вещественные и положительные: Х(А) > 0.
Доказать сходимость метода
при т = ПАИ 1 с любой матричной нормой.
Решение. Собственные значения оператора перехода В = I - тА имеют вид Х(В) = 1 - II АН-1Х(А). Так как 0 < Х(А) < II АН, то 0 < Х(В) < 1.
□	5.98. Доказать, что все собственные значения матрицы А размерности п х п принадлежат области комплексной плоскости G(A), представляющей собой объединение кругов
G-(A) = {z: \z- аИ\ < В-(А) = Z la-J}, i = 1,..., и.
Решение. Пусть X — произвольное собственное значение матрицы А и х — соответствующий ему собственный вектор. Обозначим через х1 максимальную по модулю компоненту вектора х.
176
5.4. Линейные итерационные методы
Если таких компонент несколько, то xi — любая из них. Из равенства Ах = Хх следует
(Х-«„)х,= Z л,,х .
j* i J J
Отсюда имеем
IX-«I < Е < Е 1а1#1 = К,(А). j*i Ч |х,.|
Это утверждение называется теоремой Гершгорина. Существует обобщение этого факта.
Теорема. Если указанное объединение кругов G(A) распадается на несколько связных частей, то каждая такая часть содержит столько собственных значений, сколько кругов ее составляют.
□	5.99. Доказать, что все собственные значения матрицы А размерности пх п принадлежат области G(A) П G(AT).
Указание. Собственные значения матриц А и АТ совпадают.
□	5.100. Доказать, что у матрицы
2	0,4	0,4	'
0,3 4 0,4 [о,1 0,1 5 )
все собственные значения вещественные и найти интервалы, которым они принадлежат.
Ответ: 1,6 < \ < 2,4, 3,5 < Х2 < 4,5, 4,8 <	< 5,2.
□	5.101. Привести пример, демонстрирующий ложность утверждения: все собственные значения матрицы А размерности п х п принадлежат объединению кругов
\z- ац\ < min {R^A), R^A7)}, i = 1,..., n.
Ответ: у матрицы I	I оба собственных значения Aj = 1
и А2 = 4 не принадлежат системе кругов: Izl < 0,1, \z- 51 < 0,1.
□	5.102. Доказать, что все собственные значения матрицы А размерности п х п принадлежат объединению кругов
\z- аИ\ < Я?(А)Я; -а(Аг), /= 1,..., п,
где а — произвольное число из [0, 1] (теорема Островского).
12 - 1025
177
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
□	5.103. Доказать, что все собственные значения матрицы А размерности пх п принадлежат объединению п(п- 1 )/2 овалов Кассини: \z- аИ\ \z- д-.| < R^AjR^A), ij= 1,..., и, j.
□	5.104. Доказать, что если для некоторого i и при всех j выполняются неравенства \аИ- а--\ > R^A) + Rj(A), то в круге lz- ан\ < R^A) лежит точно одно собственное значение матрицы А.
□	5.105. Пусть рр ..., рп — положительные числа.
Доказать, что собственные значения матрицы А принадлежат объединению кругов
Указание. Пусть S = diag (рр ..., рп) (det (S) 0), тогда достаточно показать, что собственные значения матриц А и S-lAS совпадают.
□	5.106. С помощью 5.105 найти интервалы, которым принадлежат собственные значения матрицы
/ \ 7	-16	8
-16	7	-8	.
< 8	“8	“5	у
Указание. Точные собственные значения матрицы -9, -9 и 27.
□ 5.107. Пусть рр ..., рп — положительные числа.
Получить оценки для спектрального радиуса матрицы А:
1 п р(А) < min max — X pJflJ, рх,...,рп^^"Ри=1 J 4
1 " p(A) < min max - X pJflJ.
Р,,...,рп\<^ npj
□	5.108. Для матрицы A = ( 1	1 показать, что p(A) < min IID"1 x
x ADIIqo, где минимум берется по всем матрицам D = diag (рр р2) с положительными рр р2.
□	5.109. Пусть А — матрица простой структуры, т. е. подобна диагональной (А = QDQ~\ где столбцы qf. матрицы Q— собственные векто
178
5.4. Линейные итерационные методы
ры матрицы А, а элементы диагональной матрицы D — соответствующие собственные значения, т. е. d- - Xf), и все 1(A) g [m, М], т > 0. Доказать, что метод
(х*+ 1 - х*)/т + Ах^ - b
сходится при 0 < т < 2/М.
Решение. Пусть zk — вектор ошибки на к-й итерации. Тогда zk + 1 = (/- xA)zk = (QQ-1 - xQDQ-')zk.
Умножим полученное выражение слева на Q-1 и сделаем замену Q~}zk = - zk. Тогда
zk + 1 = (/- xD)zk.
Здесь В = I - tD— диагональная матрица, а ее собственные значения равны 1(B) = 1 - т!(А). Поэтому необходимым и достаточным условием сходимости метода является выполнение неравенства II - т!(А)1 < < 1 V 1(A) g [т, М], откуда и следует искомый результат.
□	5.110. Пусть матрица системы Ах - b имеет вид
	2	0,3	0,5
А =	0,1	3	0,4
	[о,1	0,1	4,8
Доказать, что метод простой итерации хк + 1 = (/- тА)хк + тЬ при 0 < т < 2/5 сходится с произвольного начального приближения.
Указание. Воспользоваться решениями 5.100 и 5.109.
□	5.111. Пусть 1 и е— собственное значение и соответствующий собственный вектор невырожденной матрицы простой структуры А, х° — начальное приближение в методе простой итерации (19) для решения системы Ах - Ь. Найти такой параметр метода, чтобы в разложении по собственным векторам коэффициент при векторе е на первой итерации был равен нулю.
Указание. Выписать оператор перехода для вектора ошибки за один шаг и получить т = 1/1.
□	5.112. Пусть для невырожденной матрицы простой структуры А порядка п известны все собственные значения 1Р ... , 1П. Построить итерационный метод (20) с переменными параметрами тк, который не более чем за п шагов приводил бы в точной арифметике к решению системы Ах = Ь.
12*
179
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
Указание. Разложить ошибку х - хк по базису ек из собственных векторов матрицы А. Выбор тк - Х^1, к = 1,..., и, обеспечивает на каждом шаге обнуление коэффициента при векторе ек в разложении ошибки (см. решение 5.111).
□	5.113. Пусть в задаче Ах = b с матрицей простой структуры у матрицы А имеется одно отрицательное собственное значение Xj е е [-2 -£, -2 + £],£ = 0,01, а остальные значения — положительные: X- е [1, 3], i = 2,..., п. Предложить итерационный метод (20) для решения такой системы.
□	5.114. Для решения системы х = Вх + с рассмотрим алгоритм с некоторым начальным приближением х°:
yk + i - gxk + с> хк+ i - ахк + (j _ а)ук+ 1.
Пусть В = ВТУ к(В) е [т, М], т > 1. Найти оптимальное значение итерационного параметра а.
Решение. Имеем
хк+ 1 = (а!+ (1 -а)В)хк + (1 -а)с, min ф(а) =
= min maxi а + (1 - а)Х1, а = (m + М)/(т + М-2). а х
□	5.115. Построить квадратную матрицу А размерности 31 х 31 с элементами la-1 < 1 и собственными значениями IХ(А)I < 1 такую, что 11А30!^ > 10\
Ответ: а-
1	при	i=л
1	при	i + 1 = у,
0	—	иначе.
□	5.116. Пусть А— невырожденная матрица размерности п х п и XQ — произвольная матрица размерности п х п. Рассмотрим итерационный процесс
+	fc = o,i,....
Доказать, что ^lim Хк = А-1 тогда и только тогда, когда спектральный радиус матрицы I-АХ(} меньше 1. При этом I-АХк = (/- AJQ2*, к = = 0,1,.... Доказать также, что если AXq = Х^А, то АХк - ХкА для всех к.
Решение. Для приближений нетрудно получить равенство
I-АХк+} = (I-АХк)2.
180
5.4. Линейные итерационные методы
Пусть Хк —* А-1. Тогда I- АХк 0 и (I- АХ0)2* 0 при к оо. Если допустить, что р(1- АХ0) > 1, то для собственного вектора х, соответствующего собственному числу X, 1X1 > 1, вектор (I- АХ^)2кх = = Х2\ не стремится к нулю, т. е. имеет место противоречие.
Пусть теперь p(I- AJQ < 1, тогда найдется (см. 5.41) норма матрицы IHI*, для которой III-АХ0Н* = q < 1 и III-AXJI* < q2k —► 0.
Для доказательства равенства АХк = ХкА при условии АХ^ = Х0А воспользуемся индукцией.
□ 5.117. При каких значениях параметра т метод хк +1 = (I- тА)хк + тЬ для системы уравнений Ах = b с матрицей:
	( 5	0,8	4	Г 2 1	0,5'
1) А =	2,5	2	0	; 2)А = з 5	1 ;
	12	0,8	ъ	U 3	3 J
				/	
	1	0,5	0,3	3	1,2 0,8
3) А =	1	3	0	; 4)А=	1,4	2 0,1
	<1	1	2 ,	0,6	0,4	1
сходится с произвольного начального приближения?
□	5.118. Пусть А = АТ > 0. Записать наилучший по скорости сходимости в норме 11*112 итерационный процесс вида
х* + 1 = хк- Р1(А)(Ах*-Ь), Р/г) = аг+ р.
□	5.119. Пусть приближения метода хк + 1 = Вхк + с, НВII < 1, сходятся к решению х. Доказать, что
Нх-х*11< ll(I-B)-1ll Пх*+1-х*П.
Указание. Вывод оценки следует из следующего равенства: х - хк = (I-В )-1 (хк + 1 - хк).
□	5.120. Для приближений метода хк+ 1 = Вхк + с, IIBII < 1, доказать оценку Нх*Н < IIBI 1*11x°lI + llcl 1/( 1 - IIBII).
□	5.121. Пусть А = I- С, с - > 0. Доказать, что если все компоненты векторов l и f из задачи Az = f неотрицательны, то приближения метода хк + 1 = Схк + f, Х° = 0, СХОДЯТСЯ К Z.
181
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
Решение. В силу того, что Al = f, А = I - С, неотрицательности решения z и элементов матрицы С, справедливо неравенство z
C”f + Сп~ ’f + ... + f для любого п (здесь использован знак для покомпонентного неравенства векторов; аналогичный смысл имеет знак <С). С другой стороны, при х° - 0 приближения удовлетворяют неравенствам х° х1 = f z,..., х" х" + 1 C"f + Сп~ lf + ... + f z. Итак, последовательность {х"} монотонно возрастает (монотонно возрастают все последовательности координат {xf}), ограничена сверху в смысле вектором z и поэтому сходится. Переходя к пределу в равенстве хк + 1 = Схк + f, убеждаемся в том, что ее предел совпадает с z.
□ 5.122. Спектр матрицы А удовлетворяет условиям 0 < 8 < < Re {Х(А)} < 1, Urn {Х(А)} I < 1. Найти область значений вещественного параметра т, при которых итерационный метод хк +1 = (I- тА)хк + тЬ решения системы Ах = b сходится с произвольного начального приближения.
Решение. По условию, собственные значения X оператора перехода I- тА имеют вид
Х(1- тА) = 1 - ти-ixv, 0 < 8 < и < 1, Ivl < 1.
Из условия сходимости IXI2 = (1 - ти)2 + т2г^ < 1 имеем неравенство т < 2u/(u2 + г2). Рассмотрим выражение
шт —------ — шт —---- — —---.
v и2 + V2 и и2 + 1	82 + 1
Отсюда следует ответ: 0 < т <	•
□	5.123. Исследовать сходимость метода х^+ 1 = Вхк + f для решения системы уравнений х = Вх + f с матрицей
	' 0	1/4	1/8	1/16 ..	1/2"	1/2" + 1 '
	1/4	0	1/4	1/8 ..	. 1/2"-1	1/2”
в =	1/8	1/4	0	1/4 ..	.. 1/2""2	1/2"-'
	ч 1/2" + 1	1/2"	1/2"- 1		1/4	0 ,
Ответ: метод сходится с произвольного начального приближения, так как IIBIIj < 1.
182
5.5. Вариационные методы
□	5.124. Построить сходящийся метод простой итерации (19) для системы уравнений с матрицей
0	2	0,5	0 ...	0	0
0	0	1	0,5 ...	0	0
0	0	0	2 ...	0	0
0	0	0	0 ...	1	0,5
0	0	0	0 ...	0	2
Ответ: матрица положительно определена и имеет два кратных собственных числа X, = 1 и Х2 = 2. Условие сходимости 0 < т < 1/2.
□	5.125. При каких условиях итерационный метод
x*+1 = (2B2-l)x* + 2(B+I)f
сходится быстрее метода простой итерации хк + 1 = Вхк -I- f?
Решение. Метод простой итерации хк + 1 = Вхк + f сходится при IX/B)1 < 1. Для погрешности zk метода хк+ 1 = (2В2 - I)xk + 2(В + I)f справедливо равенство zk+ 1 = (2В2 - I)z\ \(2В2 - I) = 2Х2(В) - 1, и этот итерационный метод сходится быстрее метода простой итерации, если спектр матрицы В расположен в подмножестве единичного круга комплексной плоскости, где функция I2z2 - II меньше функции Izl. В частности, если спектр матрицы В вещественный, то он должен принадлежать объединению интервалов (-1, -1/2) и (1/2, 1).
5.5. Вариационные методы
Класс вариационных методов строится как множество методов минимизации некоторых функционалов, минимум которых достигается на решении исходной системы линейных уравнений. Конкретный вид функционала и алгоритм минимизации определяют параметры итерационного процесса. Порядок сходимости рассматриваемых вариационных методов не хуже, чем у линейного одношагового метода. При этом для практической реализации данных методов не требуется знания границ m, М спектра матрицы А.
183
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
Метод наискорейшего градиентного спуска. Пусть А = АТ > 0. Расчетные формулы итерационного процесса имеют вид
хк + 1 _ хк +	_ дхк), тк = (г\ гк)/(Агк, г*), к = 0, 1, 2,...,
где rk = b - Ахк — вектор невязки.
Отметим, что в приведенных формулах на каждой итерации требуется два умножения матрицы А на вектор.
□ 5.126. Преобразовать формулы метода наискорейшего градиентного спуска так, чтобы на каждой итерации использовалось одно умножение матрицы А на вектор.
Ответ: пусть векторы хк и гк известны, тогда последовательно вычислим:
1) у = Агк; 2) тк = (г*, г*)/(у, гк); 3) хк+1 = хк + т^г*; 4) гк+ 1 = гк-тку. Здесь на каждой итерации присутствует только одно умножение матрицы А на вектор, однако требуется хранить два вектора вместо одного.
□ 5.127. Пусть А = Ат > 0 и F(x) = (Ах, х) - 2(Ь, х) — квадратичная функция. Доказать, что:
1)	F(x) = Их* - х11Д - Пх*И^, где х*— точное решение системы Ах = Ь;
2)	равенство F(x*) = min F(x) выполняется тогда и только тогда, когда х* — решение системы Ах = Ь;
3)	для градиента функции F(x) справедлива формула grad F(x) - 2(Ах - b).
Решение. 1) Преобразуем данное выражение
Их* - xll? - II х*Н ? = (А(х* -х), х* -х) - (Ах*, х*) -- (Ах, х) - 2(Ах*, х) = F(x).
2) Если А > 0, то (А(х* - х), х* - х) > 0 при х х*, поэтому функция F(x) имеет минимум, и притом единственный, при х = х*.
3) Последнее утверждение проверяется покомпонентным дифференцированием: dF(x)/dx-.
□	5.128. Пусть решение системы Ах* = b ищется как точка минимума функционала F(x) - {Ах, х) - 2(Ь, х) (см. 5.127) по следующему алгоритму:
хк + 1 =хк-5к grad F(x*),
где параметр 8*. выбирается из условия минимума величины F(xk-$k grad F(x*)).
184
5.5. Вариационные методы
Доказать, что 28*. = хк - (г*, гк)/(Агк, гк) и расчетные формулы совпадают с формулами наискорейшего градиентного спуска.
Указание. Подставив grad F(x) = 2(Ах - b) в выражение для хк + 1, получить
хк + 1 = хк + 28fc(b - Ахк).
Далее из условия F^(xk+ 9 = 0 найти
28*. = тк = (г*, г*)/(Аг\ гк).
□	5.129. Показать, что на к-м шаге метода наискорейшего градиентного спуска минимизируется норма IIгЧ1л - J(Azk, zk) вектора ошибки zk = х - хк, где х — точное решение.
Решение. Действительно, так как zk+ 1 = (I- xkA)zky то
I|zfc+ 111 2 - (Д(/_ ta.A)z9 (I- Ta.A)z9 =
= 11 z^l IД - 2iA.(Azfc, z*) + i^(AAz\ Az*).
Отсюда после дифференцирования по тк находим, что минимум достигается при тк - (Az*, Azk)l(AAzky Azk). Учитывая, что Azk = b - Ахк = г*, имеем тк = (г*, гк)/(Агк, гк).
Отметим, что минимизация евклидовой нормы Ilz* II = 7(z*, zk) вектора ошибки приводит к неконструктивным формулам для параметра тк - (г*, z*)/(r*, гк), так как вектор zk неизвестен.
□	5.130. Пусть А = АТ > 0 и Х(А) е [т, М]. Доказать, что метод наискорейшего градиентного спуска для системы Ах = b сходится с произвольного начального приближения и верна оценка
Uzfc|| < ЛМ—тЛ ||2оц Где z* = х-х*, IIz II3 = (Az, z).
Решение. Действительно, параметр тк минимизирует на к-м шаге норму 11 z*l I л, следовательно, с параметром т0 оптимального линейного одношагового метода оценка не лучше:
llz* + Ч1Л = minll(Z—ta.A)z/cIIx < Н(/-т0А)г*Нл <
< li;-T0AILIIz*IL = Ilz4l.(
° А А М + т А
так как А = АТ > 0 и, учитывая 5.32, для произвольного т0 имеем 11/-т0А11л = 111-т0АН2.
185
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
□ 5.131. Пусть А = АТ> 0 и Х(А) е [т,М]. Доказать следующую оценку скорости сходимости метода наискорейшего градиентного спуска
11 zfcl L < f 1 - т-й II z°l 1?, где zk = х - хк.
Указание. Введем следующие обозначения: Aej = mep Ае2 = = Ме2. Пусть zk = ej + уе2, где у О — произвольный параметр. Тогда
к U Л к лк	(r^', *к) т2 + У2^ п
гК = о - Ахк - AzK и = -——т- = —-—Ц—-. В результате несложных k (Ark,rk) т3 + у2М3 г 7
вычислений имеем z*+1 = т\ (yNPe, - т2е2), что приводит т3 + у2М3
к искомой оценке для этого частного случая. Если в разложении ошибки zk присутствуют векторы, отвечающие собственным значениям Х(А) е (т, М), то несложно показать, что для соответствующих компонент zk + 1 множитель перехода не превосходит величины 1 - т!М,
□ 5.132. Пусть А = АТ > 0 и Х(А) е [т, М]. Доказать следующую оценку скорости сходимости метода наискорейшего градиентного спуска:
Hz*ll2<(^—mA /Af||zO|| zk = x-xk.
2	+ т' \ т 2
Метод минимальных невязок. Пусть А = АТ > 0. Расчетные формулы итерационного процесса имеют вид
хк + 1 _ хк +	_ Ахк\ тк = (Агк, гк)/(Агк, Агк), к = 0, 1, 2,...,
где rk = b - Ахк — вектор невязки.
□ 5.133. Показать, что на к-м. шаге метода минимальных невязок минимизируется норма 11 z^l IА2 = 7(Az\ Azk) вектора ошибки zk = х - хк.
Решение. Действительно, так как zk+ 1 = (I- xkA)zk, то
llz*+ ’ll = (А(1-xkA)zk, A(I-xkA)zk) =
= llz^ll ~ 2xk(A2zk, Azk) + тк (A2z^, A2zk).
Отсюда после дифференцирования по тк, учитывая, что Azk = b -- Ахк = г*, находим: минимум достигается при тк = (Агку г/с)/(Аг/с, Агк). Итерационный алгоритм с таким набором параметров называется методом минимальных невязок, так как
Hz*+ ’ll22 - (Az*+ ’, Azk+ ’) = llrfc+ ’11^.
186
5.6. Неявные методы
□	5.134. Пусть А = АТ > 0 и Х(А) е [т, М]. Доказать, что метод минимальных невязок для системы Ах = b сходится с произвольного начального приближения и верна оценка
11 z*l I л2 - Гтт—11 z°l I .2> zk -х-хк, llzll2. = (Az, Az).
А vM + mJ л
Указание. См. решение 5.130, учитывая, что II/ - т0АНд2 = = 11/-т0АН2.
□	5.135. Пусть А + АТ > 0 и ц = Xmin(A + Аг)/2, о - IIА Н2. Показать, что метод минимальных невязок для решения системы Ах = b сходится с произвольного начального приближения и верна оценка
Нг*+1Н2< 1-М 11г*Щ.
v (J2 /
Решение. Так как zk+ 1 = (/- xkA)zk, где тк = (Ark, гк)/(Агк, Агк), то
Нг*+1Н2— llz*+1ll22 = (А(/-т^А)г*, A(I-xkA)zk) -
- Ilr*ll? - 2те(Аг*, rk) + т?(Аг*, Ark) - IIr^lI ? -	.
2	*	*	2 (Ark, Ark)
Отсюда, учитывая неравенства
(Ar*, Ar*) < IIA11 ^1 Ir *11 j < cr2llr*ll2, (Ar*, r*) =
< A + Ar k	1Л	(A — AT	k k\	(A -p AT	k k\	 йи
= ------r*, r* + ------r*, rk = ------Г*, r* > ullr*lk,
<2	>	v 2	/	v 2	>	2
имеем требуемую оценку.
□ 5.136. Пусть ер е2, ..., еп— базис пространства R". Доказать сходимость с произвольного начального приближения следующего итерационного метода (метода оптимального координатного спуска) решения невырожденной системы уравнений Ах = Ь:
(b-Ах*, Ае)	|(Ь-Ах*, Ае/)|
х‘ = х‘+“нте''7=ars т“ 1^,1; '
5.6. Неявные методы
Скорость сходимости рассмотренных итерационных процессов зависела от отношения т!М границ спектра матрицы А - А1 > 0, т. е. от обусловленности задачи. Для «улучшения» исходной задачи мож
187
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
но перейти к некоторой эквивалентной системе В-1Ах = В-1Ь при условии невырожденности матрицы В
х*+ ' ~ *к + В-'Ахк = В-‘Ь.	(21)
т
Метод спектрально-эквивалентных операторов. Пусть А - АТ> > 0. Перепишем итерационный алгоритм (21) в следующем виде:
"Ь 1  	i
В--------+Ах* = Ь,	(22)
т
который также называют обобщенным методом простой итерации или методом с предобусловливателем В.
Неявный двухслойный итерационный алгоритм (22) требует на каждом шаге решения задач вида By - f и совпадает с рассмотренными выше методами при В = I. Известно, что алгоритм (22) сходится при В > | А. Если дополнительно В = ВТ > 0 и тхВ < А < МХВУ
2
то при т = т + метод сходится со скоростью геометрической
М1 “	ti
прогрессии с показателем а = —---. Неявные методы с перемен-
Mj 4- тх
ными т типа минимальных невязок и наискорейшего градиентного спуска строятся аналогично и имеют скорость сходимости не хуже, чем у неявного оптимального линейного одношагового метода.
При удачном выборе оператора В можно принципиально улучшить скорость сходимости соответствующих итерационных процессов, однако необходимо учитывать трудоемкость нахождения у = B-1f. Например, при В = А, т = 1 метод (22) сойдется за одну итерацию, но потребует решения исходной задачи Ах = Ь.
Методы релаксации. Рассмотрим неявные методы с диагональной или треугольной матрицей В. Представим матрицу системы Ах = b в виде А = L + D + R, где D— диагональная матрица, L и R — соответственно левая нижняя и правая верхняя треугольные матрицы с нулевыми диагоналями (строго нижняя и строго верхняя треугольные матрицы). Будем предполагать, что все диагональные элементы исходной матрицы а- отличны от нуля, следовательно, любая матрица вида D + со! с произвольным параметром со обратима.
Методы релаксации описывают формулой (22) с матрицей В = D + + coL. Здесь итерационный параметр со называется параметром ре-
188
5.6. Неявные методы
лаксации. Методы Якоби (со = 0, т = 1), Гаусса—Зейделя (со = т = 1) и верхней релаксации (в англоязычной литературе — SOR) (со = т) удобно представить соответственно в виде
D(xk + 1 - х*) + Axk = b, (D+ L)(xk+ 1 -xk) + Axk = b,
Yk + 1 _ Y	,
(D + coL)--------- + Ax/c = b.
co
В случае A = AT > 0 (R - LT) используют также симметричный метод релаксации (в англоязычной литературе — SSOR):
Y£+1/2_YA:
(D + coL)---------£_ + Ax* = b,
со
Y^c +1 __Y/c + 1/2	,
(D + со/?)------------------ + Axk+ 1/2 = b.
CO
□ 5.137. Для решения системы Ах = b с матрицей
А= р а р
применяются методы Якоби и Гаусса — Зейделя. Для каждого алгоритма найти все значения параметров а, р, обеспечивающие сходимость с произвольного начального приближения.
Решение. Оператор перехода В (см. (17)) в методе Якоби имеет вид В = -D~l(L + R). Рассмотрим задачу на собственные значения Вх = Хх, т. е. -D~l(L + R)x = Хх. Перепишем последнее уравнение в эквивалентной форме (L + XD + R)x = 0, откуда имеем det (L + XD + R) = 0. Непосредственно вычисляя, находим
/
аХ
det р аХ р = аХ(а2Х2 - 2р2) = 0.
аХ
Следовательно, Xj = 0, Xj 3 = 2р2/а2. Отсюда получаем ответ: Ip/al < < 1/72.
Оператор перехода В в методе Зейделя имеет вид В = -(D + L) lR. Рассмотрим задачу на собственные значения Вх = Хх. Имеем
-(D + Ly-'Rx = Хх, (XL + XD + R)x = 0, det (XL + XD + R) = 0.
189
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
В результате непосредственных вычислений имеем
ссХ р О РХ аХ Р О РХ аХ
det
= aV(a2X-2p2) = 0.
Следовательно, Х1>2 = 0, л3 = 2р2/а2. Отсюда получаем ответ: ip/ccl < < 1/V2.
В данном случае области сходимости методов совпадают.
□	5.138. Доказать, что для систем линейных уравнений второго порядка (и = 2) методы Якоби и Гаусса — Зейделя сходятся и расходятся одновременно.
Решение. Запишем матричные представления операторов пе
рехода
Отсюда имеем следующие формулы для собственных значений:
х;7 =±p^i, xGZ=o, x,GZ = ^i
У а11а22	а11а22
приводящие к искомому утверждению.
□	5.139. Пусть невырожденная матрица А обладает свойством диагонального преобладания, т. е. для всех i справедливо неравенство
Е \а-\ <	0 < q < 1.
Доказать, что для вектора ошибки в методе Гаусса— Зейделя имеет место неравенство
IIx-x^IIqq < qk\\x - x°lIqq.
Решение. Обозначим вектор ошибки через z\ Для этого вектора имеет место соотношение (D + L)zk + 1 + Rzk = 0. Пусть llz* +	=
= \zk+ *1. Запишем /-е уравнение
Ё, Д/.^+ 1 + altzf + 1 + i atrf =0
190
5.6. Неявные методы
и решим его относительно + 1. Имеем
Отсюда получаем
Hz^'lL
где
)='аП J i=l + i «/( 1
= I zf + 11 < allz* + HI», + pilz*!^,
/-i a = X j=i
a,	n
all j=l +
all
Найденное соотношение можно переписать в виде
По условию a + р < q < 1, следовательно,
С	=„
1 - a 1 - a 1 - a ф
откуда имеем искомую оценку.
□ 5.140. Исследовать сходимость метода Гаусса—Зейделя для матриц размерности п х п с элементами:
2	при к = j,
1)	ак-= 3_|*'Л 2) ак- = < -1 при \к- j\ = 1, 0	при \k-j\>,l.
Ответ: метод сходится в обоих случаях.
□ 5.141. Показать, что выполнение неравенства 0 < т < 2 является необходимым для сходимости метода релаксации.
Решение. Если формулу метода релаксации (D + т£)хк+ 1 + [tR + (т - l)D]xk = тЬ
умножить слева на матрицу D~\ то оператор перехода можно записать в следующем виде:
Здесь I— единичная, М = D~XL и N = D~'R — строго нижняя и верхняя треугольные матрицы соответственно. Рассмотрим характеристический многочлен d(X) = det (В - X/). По теореме Виета имеет
место равенство (-1)М(0) = П Х-(В). Так как у треугольных матриц i ~ 1
М и N на главной диагонали расположены нули, то d(0) = det (В) -
191
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
- (1 - т)". Отсюда для спектрального радиуса оператора перехода по
лучаем оценку
р(В) = max 1ХДВ )1 >
П Х-(В) 1/П = Idet (В)11/п = II-т1,
которая, в силу необходимого неравенства р(В) < 1, приводит к искомому ответу.
□ 5.142. Пусть матрица А простой структуры имеет собственные значения Х(А) g [т, М], т > 0. Доказать, что при любом положительном значении итерационного параметра т сходится метод следующего вида:
1 xfc +	1 +	_ b
т v 2	/
Определить оптимальное значение т г
Решение. Используя эквивалентную форму записи метода
(l+ - а1х*+ 1 = fl--Alx* + Tb
V 2 > V 2 /
и общность системы собственных векторов матриц слева и справа, выразим собственные значения оператора перехода В через собственные значения исходной матрицы
- 1-тХ(А)/2 ( '	1 + тХ(А)/2 ’
Отсюда следует сходимость метода при т > 0. Для определения Topt рассмотрим следующую минимаксную задачу:
|1-тХ|
min max 4--------г2 •
т>0 U [m/2, M/2] 1 + ТА
Функция f(X) = (1 - тХ)/( 1 + тХ) при X > 0 и фиксированном т > 0 является убывающей, поэтому максимального значения функция 1/(Х)1 достигает на границе отрезка: при X = т/2 и (или) при X = МП. Можно убедиться, что минимум по т имеет место в случае равенства lf(m/2)l = 1/(М/2)1, которое приводит к уравнению для оптимального параметра
1 -Topt^/2	~ToptM/2
1 + Toptm/2 1 + xoptM/2‘
Решая это уравнение, имеем Topt = 2/ JmM.
192
5.6. Неявные методы
□ 5.143. При каких а е [О, 1] для матрицы из 5.142 метод
-—-—— + А(ахк + 1 + (1 - а)хк) = b
сходится при любом т > О?
Решение. Используя идею решения 5.142, запишем условие сходимости метода
11 - т(1 - а)Х| . , w п max ——1-------3— > 1 V т > 0.
X е [m,M] I 1 + тал |
Сделав замену t = тХ > 0, получим неравенство
II - Г(1 - а)1 < 1 + ta.
Если выражение под знаком модуля неотрицательно, то получаем верное, в силу условия, неравенство —t < 0. Поэтому содержательным является другой случай: 1 - а) - 1 < 1 + tot. Из этого неравенства имеем -211 < 2а - 1, что, так как t > 0, приводит к ответу а > 1/2.
□ 5.144. Система Ах = b с матрицей А = ।	। решается методом
Iй 1 J
Гаусса — Зейделя. Доказать, что:
1) если \а\ > 1, то для некоторого начального приближения итерационный процесс не сходится;
2) если \а\ < 1, то итерации сходятся при любом начальном приближении.
Решение. Спектральный радиус матрицы перехода в методе Гаусса— Зейделя равен lai. Если начальное приближение таково, что начальная погрешность z° имеет ненулевую вторую координату z£, то zf - -a2k~lz%, z% = a2kz% и метод не сходится при lai > 1.
□	5.145. Построить пример системы уравнений третьего порядка, для которой метод Якоби сходится, а метод Гаусса — Зейделя расходится.
□	5.146. Построить пример системы уравнений третьего порядка, для которой метод Гаусса — Зейделя сходится, а метод Якоби расходится.
□	5.147. Доказать, что обобщенный метод простой итерации
Bx^'-xt + Ахк = Ь, А = АТ> 0, det (В) * 0, т > 0, т
сходится при условии В - | А > 0 (т. е. (Вх, х) > | (Ах, х) Vx^oj.
13 - 1025
193
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
Решение. Из уравнения для ошибки
fc + 1 — к
В-------- + Azk = О
т
следует, что
zk + 1 = (I- xB~lA)zk, Azk+} = (A - iAB-1A)z<	(23)
Вычислим скалярное произведение, используя симметрию А,
(Azk+ !, zk+ !) = (Azk, zk) -2т^В- | a]b4Az\ B-1Az^.	(24)
Из первого соотношения (23) имеем B~lAzk = ~(zk + 1 - z*)/t, что позволяет переписать (24) в виде
llz*+ ЧЦ - IIz*llД + ? ([В - | A](z^ 1 -zk), zk+[ -zk^ =0, где I lul 1л = (Au, u)1/2.
В силу конечномерности векторного пространства условие В -
- | А > 0 равносильно условию В - | А > е! с некоторым 8 > 0 (здесь
через /обозначена единичная матрица). Имеем
llz*+ Ч12 - llz*ll2 + 281 1llzk +1 - z*l I < 0 V fc >0.
Из этого неравенства следует монотонное убывание и ограниченность последовательности {II zkll Д}, следовательно, сходимость 11 z*llA к некоторой величине d > 0. Переходя к пределу в исходном неравенстве, получаем llz*+1 - z*ll2 —* 0, поэтому Hm llz*+ 1 - z^ll^ = = Нт Нх* + 1 - хк\\% = 0. Таким образом, метод сходится к некоторому х°°. Из вида итерационного процесса следует неравенство
lib-Axfcll2 < 1|1В11211х* + 1-х*И2,
переходя в котором к пределу, убеждаемся, что х°° — решение уравнения Ах - Ь, т. е. последовательность приближений {хк} сходится к х.
□	5.148. Пусть А = АТ > 0. Доказать, что метод релаксации сходится
с произвольного начального приближения при т е (0, 2).
Указание. Использовать утверждение 5.147 при В - D + т£.
□	5.149. Пусть В = L + U, где L— нижняя треугольная матрица с нулями на диагонали, U— верхняя треугольная матрица. Пусть далее IIBII^ < 1, так что итерационный процесс хк+ 1 = Вхк + с сходится. Доказать, что метод хк+ 1 = Lxk+ 1 + Uxk + с также сходится.
194
5.6. Неявные методы
Указание. Пусть IIBII^ = maxElfe^l = q < 1, qXl. = S lbi;l, q2i =
= S Ifyl. Доказать, что для погрешности итерационного метода хк + 1 = /> i
= Lxk + 1 + Uxk 4- с справедлива оценка
llzk + Mloo < max ^2t II zfcl loo < max -—— 11 z*l 1^ < q 11 z* 11^. ' i-q\i	i i~q\t
□ 5.150. Для системы уравнений
4w,.j- u>+ i.j- ui-i,j-ui,j+ 1 - ui,j-1 = h2fij> i>j= 1>2, - > «- 1; nh = 1;
«0, > = ui,0 = i = ui, „ = 0,i = 0, 1,..., n, записать расчетные формулы и найти асимптотическую скорость сходимости следующих итерационных методов: 1) метода Якоби; 2) метода Гаусса— Зейделя; 3) метода верхней релаксации с оптимальным параметром релаксации; 4) метода симметричной верхней релаксации с оптимальным параметром релаксации.
Ответ: спектральный радиус оператора перехода, асимптотическая скорость сходимости и оптимальный параметр таковы:
1) р(В) = cos ith, R^B) = Ti2h2/2;
2) p(B) = cos2 nh, RootB) = it2h2;
4)р(в)=;;:'"ивд'
□	5.151. Исследовать сходимость метода Якоби для решения системы уравнений с матрицей
' 2	-0,2	0,3	0,4	Л
0,3	-3	1	-1,4
0,4	0,8	4	2,4
ч-0,5	1,2	-2,5	-5	,
Указание. Матрица имеет строгое диагональное преобладание.
□	5.152. Найти все а, р, при которых метод Гаусса — Зейделя является сходящимся для систем уравнений с матрицей:
а 0 Р 0 а 0
Р 0 а
1)
а Р 0
Р а 0
0 0а /
а а 0 а Р Р 0 Р а
;3)
Указание. См. решение 5.137.
/95
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
Ответ: для случаев 1) и 2) имеем условие Ipl < lai; 3) таких а и Р не существует, так как имеется собственное значение оператора
л а2 + Р2	х
перехода л = —^рГ > модуль которого больше единицы.
□ 5.153. Пусть матрицы А-, i = 1,2, простой структуры имеют собственные значения Х(А;) g [т, М], т > 0 и А{А2 = А2АР А = Aj + А2. Доказать, что при любом положительном значении параметра т сходится итерационный метод решения системы уравнений Ах = b следующего вида:
+ 1 /2 _
--------- + А,хк + 1/2 + А2хк = Ь, т--------1	z
][к + 1 _+ 1 ^2
т
+ Аххк+ 1/2 + А2хк+ 1 = Ь.
Определить оптимальное значение т .
Решение. Обозначим zk = х-хк, zk+}/2 = х-хк + 1/2, гдех — решение системы Ах = Ь. Тогда
zk + 1 = (1+ tA2)-1(I-tA1)(I+ tA1)-1(I-tA2)z^h pz<
Матрица перехода Р подобна матрице В = (I - хАх)(1 + tAj)-1 х х (I- тА2)(1 + тА2)-1. Коммутирующие матрицы простой структуры Aj и А2 имеют общую полную систему собственных векторов. Это дает представления А- = QD-Q"1, i - 1, 2, с диагональными матрицами Di и совпадение собственных значений матриц Ai и Dr. Отсюда получаем оценку для спектрального радиуса матрицы В:
P(B)-P((/-tD1)(/+tD1)-1(/-tD2)(/+tD2)-1)-1-тМАЭ 1-т\(А2)	( i _ xt у
i 1 + tX^Aj) 1 + tX-(A2)
Оптимальное значение Topt =	при этом р(В) <
□ 5.154. Доказать сходимость итерационного метода из 5.153, если матрицы Ар А2 удовлетворяют следующим условиям: (А-х, х) > О для i = 1, 2, и V х 0, но не обязательно А}А2 = А2АР
196
5.6. Неявные методы
□ 5.155. Пусть матрицы А-, i = 1,2, простой структуры имеют собственные значения Х(А-) е [т, М], т > 0 и АХА2 = А2АР А = Ах + А2. Доказать, что при любом положительном значении параметра т сходится итерационный метод решения системы уравнений Ах = b следующего вида:
--------— + Аххк + 1/2 + А2хк = Ь,
т	1	z
jqIc + 1 __jqIc + 1/2
Т
+ А2(хк+ 1 -хк) = 0.
Определить оптимальное значение т г
Решение. Обозначим zk - х-хк, zk+l/2 = х-хк+ 1/2, где х — решение системы Ах = Ь. Тогда
zk+ 1 = (/ + tA2)-1(I+ tAJ-1^ + t2A1A2)z/c = Bzk.
Коммутирующие матрицы простой структуры Aj и А2 имеют общую полную систему собственных векторов и представимы в виде Ai - QDtQ~[ с диагональными матрицами D-, у которых те же спектры, что и у А-: X(D-) = Х(А-). В таком случае для спектрального радиуса матрицы В получаем следующую оценку:
р(В) - p((I+ tD2)->(I+ TDJ-4I+ т2ВД)) =
1 + т2^/(А1)Х/(А2)	__ 1 + T2f2 1 w _ п
- тах 7----Г-7ТТТ7-----тах -------------------- <1 V Т > 0.
i (1 + xXJ(i4l))(1 + Т\<А))	' G [ш,М](1 + It)2
Так как матрица А невырождена (система имеет единственное решение) и все собственные значения оператора перехода лежат в единичном круге, то итерационный процесс сходится решению задачи Ах = Ь.
Рассмотрим оптимизационную задачу (см. 5.153). Имеем
/ D х /	•	1 + x2t2 . f 1 + х2т2 1 + ^М2 1
р(В) С min max ----------- - mm max ------------,--------- L
т>0 f g [m,M] (1 + It)2 t>0 I (1 + ТШ)2 (1 + ТМ)2 j
Максимальное значение на отрезке функция достигает в одной
из концевых точек, так как ее производная по t равна
( 1 +т2Г2
+т02
, и f = 1/т — точка локального минимума. Из явного вида
197
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
минимизируемых функций следует, что Topt — решение уравнения
1 + х2т2 1 + т2М2	1	zD4
-------- = --------. Отсюда имеем т . = —=, при этом р(В) <
<	М т
(*/М + Jm)1
□	5.156. Доказать сходимость итерационного процесса из 5.155, если матрицы Ар Л2 удовлетворяют следующим условиям: (А-х, х) > О для i = 1, 2, и V х 0, но не обязательно АХА2 = А2АГ
□	5.157. Показать, что если матрица А = М - N вырожденная, то нельзя получить оценку p(M-1N) < 1 ни для какой невырожденной матрицы М.
Решение. Имеем А - М- N = M(I - M~XN). Если p(M-1N) < < 1, то существует (I -	как следствие существует А-1 = (/-
□	5.158. Пусть А = М- N и итерации Мхк + 1 = Nxk + Ь сходятся при произвольном начальном приближении. Доказать, что p(M-1N) < 1.
Указание. Предположив, что p(M-1N) > 1, выбрать такое начальное приближение х°, что погрешность z° = х - х° пропорциональна собственному вектору матрицы M~XN, соответствующему собственному значению X такому, что 1X1 > 1.
□	5.159. Пусть решаются задачи Azx = b-, i - 1, 2, где
А = [ 1	"1/2 \ А = [ 1	"3/4>|
‘ ^-1/2	1 )	2 ^-1/12	1 J
и Bj и В2— соответствующие этим матрицам операторы перехода в итерационном методе Якоби. Показать, что p(BJ > р(В2), т. е. опровергнуть мнение о том, что относительное усиление диагонального преобладания влечет за собой более быструю сходимость метода Якоби.
Ответ: p(BJ = 1/2, р(В2) - 1/4.
5.7.	Проекционные методы
Эффективными методами решения системы линейных алгебраических уравнений большой размерности Ах* = Ь являются итерационные методы проекционного типа. На каждом шаге такого
198
5.7. Проекционные методы
метода реализуется проекционный алгоритм: в зависимости от текущего приближения х g R" и номера итерации выбирают два m-мерных (т < п) подпространства Хи £; следующее приближение х к точному решению х* ищут в виде х = х + 8х, 8х е Л, из условия г ± £, г = Ь-Ах.
Таким образом, основная идея данного подхода заключается в построении вектора поправки 8х из подпространства X, обеспечивающего ортогональность вектора невязки г подпространству £. Различные правила выбора подпространств К и £ приводят к различным расчетным формулам.
□ 5.160. Показать, что метод Гаусса — Зейделя решения систем линейных уравнений является проекционным методом.
Решение. Определим X = £ = {е-} для i- 1,..., п, где е• — естественный £й базисный вектор пространства R". Тогда последовательно х =х + cieiи (Ь-А(х +	= 0. Отсюда имеем (fy- S
при известных компонентах х-, j = i, i + 1, ..., п и найденных х., j = 1, 2,..., i- 1. Таким образом, за п шагов проекционного алгоритма имеем хк + 1 - хк +	с.е., что соответствует шагу метода Гаусса — Зейде-
i = 1
ля:
ац№ + 1 - х-9 + Z а-х^-+ 1 + Z a:ixf = b:, i = 1,..., п.
1 j - ] Ч J	j - / Ч J 1
Пусть текущие подпространства X = span {kp ..., kw} и £ = = span {lp ..., 1FJ являются линейными оболочками наборов базисных векторов к- и 1-. Определим соответствующие им матрицы размерности п х т, составленные из векторов К = (kj ... kw) и L = = (lj ... lw). Положим х = х + Кс. Тогда условие ортогональности приводит к следующей системе относительно искомого вектора коэффициентов с:
LTAKc=LTr, г = Ь-Ах.
Если матрица UAK невырождена, то формула для очередного приближения имеет вид
х = х + K(LlAK)-'LTr.
На практике большинство алгоритмов не требует нахождения явного вида матриц В = UAK и В-1.
199
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
□	5.161. Пусть либо А = АТ > 0 и £ - К, либо det (А) # 0 и £ - АК. Показать, что для произвольных базисов {kJ и {!•} матрица В = LTAK невырождена.
Указание. Представить матрицу L в виде L = KG с некоторой невырожденной матрицей G (преобразование базисов) для £ - К, либо в виде L - AKG для £ = АК.
□	5.162 (проекционная теорема). Показать, что для произвольного вектора z вектор к является решением следующей задачи минимизации:
min (z-k, z-k) к е Л
тогда и только тогда, когда (z - k, v) = 0 для V v е К.
Решение. Рассмотрим разложение z = Pz + (z - Pz), где Pz g X, z - Pz g Л1. В этом случае P называют оператором ортогонального проектирования на К. Тогда
(z-к, z-к) = Ilz-kll2 = Hz-Pz + Pz-kll2 = Ilz-Pzll2 + HPz-kll2,
т. e. 11 z - kl I2 > 11 z - Pzl I2, равенство возможно лишь при к - Pz.
□	5.163. Пусть А = АТ > 0 и £ - К. Показать, что вектор х является результатом проекционного алгоритма тогда и только тогда, когда Е(х) = min Е(х), где Е(х) = (А(х* - х), х* - х) и Ах* = Ь.
хех + А
Решение. Из 5.162 следует, что решение задачи min (z - k, z - k)A ke A
для z = x* - x, где (u, v)A = (Au, v) эквивалентно нахождению вектора k из условия (z - k, v)A = О V v g А, что соответствует определению проекционного алгоритма
(z - k, v)A = (A(x* - (x + k)), v) = (b - Ax, v) = О V v g K.
Такой подход к аппроксимации вектора х* вектором х называется методом Галеркина: (b - Ах, v) = О V v g К.
□	5.164. Пусть А невырождена и £ = АК. Показать, что вектор х является результатом проекционного алгоритма тогда и только тогда, когда Е(х) = min Е(х), где Е(х) = (А(х* - х), А(х* - х)) и Ах* = Ь.
х е х + А
Указание. Решение совпадает с решением 5.163 с точностью до замены скалярного произведения на (u, v)аТа = (АтАи, v) = (Au, Av). При этом по условию v g К, Av g £. Такой подход к аппроксимации
200
5.7. Проекц ионные методы
вектора х* вектором х называется методом Петрова— Галеркина: (b - Ai, v) = О V v е АК,
Одномерные проекционные методы. В простейшем случае в качестве базовых пространств % и £ выбирают одномерные подпространства.
□	5.165. Показать, что проекционный алгоритм при К = £ = {г}, где г = b - Ах, соответствует методу наискорейшего градиентного спуска.
Решение. Пространства К и £ одномерны, следовательно, х -- х + тг, и т определяется из условия ортогональности (Ь - А(х + тг), г) = = 0. Отсюда имеем (г - тАг, г) = 0 и т = (г, г)/(Аг, г).
□	5.166. Показать, что проекционный алгоритм при К= {г} и £ = {Аг}, где г - b - Ах, соответствует методу минимальных невязок.
Ответ: в обозначениях 5.165 имеем т - (Аг, г)/(Аг, Аг).
□	5.167. Показать, что шаг проекционного метода при К = {Атг} и £ = {ААтг} имеет вид х = х + тг, где г = b - Ах, т = (Атг, Атг)/(ААтг, ААтг).
Указание. Рассмотреть задачу АтАх = АТЬ.
□	5.168. Построить проекционный метод для пространств К = £-- span {г, Аг} и исследовать его сходимость.
□	5.169. Построить проекционный метод для пространств К = = span {г, Аг} и £ - АК и исследовать его сходимость.
Проекционные методы в пространствах Крылова. Пусть пространства £ зависят от номера итерации и £х cz £2 cz... cz £т a£n = R”. Тогда точное решение системы будет получено не позже чем за п шагов. Если же цепочка £т задается некоторым оптимальным образом, то можно рассчитывать, что требуемая точность Их* - хт\I < £, где Ах* = Ь, будет достигнута значительно раньше.
Эффективные алгоритмы удается построить, если в качестве Кт выбрать пространство Крылова Кт = span {г, Аг,..., Ат~ ^} порядка т, При этом пространство £т определяется как £т - Кт, или как £т - АКт.
Метод сопряженных градиентов. Пусть А = АТ > 0. Построим проекционный метод для пары пространств
Л'"= {г°, Аг°,..., А™-^0},	= г° = Ь-Ах°,
при этом очередное приближение найдем в виде х"'= х° + X с^-А^г0,
i = I
а коэффициенты определим из условия гт = (Ь - Ах,п) ± £т, Такая
201
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
форма алгоритма требует для нахождения ci решения системы линейных уравнений. Рассмотрим эквивалентную, но более удобную с практической точки зрения, реализацию этого алгоритма.
Пусть в пространстве Кт - {кр ..., kJ известен А-ортогональ-ныйбазис,т. е. (Ак-,kJ = 0при i^jnk{ = г°. Тогда х777 = х° + Z а^-и гт = Ь - Axni = b - А(х° + Z а; к, \ В этом случае из условия г 777 ± й777 имеем формулы для определения коэффициентов
(г® к Л
(г% кр = (г0, кр - а,(Ак? кр = 0, а, =	, j = 1,, w.
Заметим, что хт - хт~1 + атк"7. Отсюда следует, что гт = гт~1 -- ат Акт иат = (г 777 -кт)/(Акт, кш). Для вычислений такая рекуррентная форма записи предпочтительнее.
Построим соответствующий рекуррентный алгоритм для определения {kJ, так как стандартная процедура типа Грамма—Шмидта, требующая хранения всех элементов базиса {kJ fl р в данном случае оказывается существенно менее эффективна. Имеем
{{г°, Аг°,..., А777 - 1г0}, А777 г0} = {{кр ..., kJ, km+ J.
Отсюда следует, что kw+1 = А777 г° + Z P/kf. Так как i = 1
г 777 = г°-А Z с^А7-1!*0 = г°- Z с-А7г°,
то при г 777 # 0 и ст	0 вектор kw + j можно искать в виде kw + j = г 777 +
+ Z Р-к-. Из условия г777 ± й777 следует равенство (г777, Ак-) = 0 при i < т.
i = 1
Отсюда и из А-ортогональности векторов kf имеем = 0 при i < т,
следовательно, кт +
= гт + Р™К, и ₽т = -м.’	• Приведем фор-
мулы рекуррентного пересчета для очередного приближения х777 и базисного вектора kw:
X777 = X777
+ amkm, am
(Akm, km)
_	(rw, Akw) , A
k = гш + R k R = -v	7 k = r°
Km+1 1	Pm /ди V 1
202
5.7. Проекционные методы
На шаге т данного метода минимизируется А-норма вектора ошибки на подпространствах Крылова Л"', поэтому с точки зрения проекционных методов метод сопряженных градиентов является (см. 5.129) обобщением метода наискорейшего градиентного спуска. Метод сопряженных градиентов минимизирует значение функционала F(x) =
= (Ах,x)-2(b,x) на векторах видах"7 = х° + Z ctAl~ !г°относительно
i = 1
□ 5.170. Показать, что для метода сопряженных градиентов для матриц А = А7 > 0 имеет место следующая оценка скорости сходимости:
llzNll. <	llz°IL,
где zN = х* -xN, Ах* = b и Х(А) е [т, М].
Решение. Сравним задачи минимизации ошибки, соответствующие методу сопряженных градиентов (см. 5.163) и оптимальному линейному N-шаговому методу (20). Принимая во внимание, что оптимальный N-шаговый процесс представляет собой метод простой итерации с чебышевским набором параметров, найдем приближение х^. Имеем
+ Ax^-1=b, fc=l,...,N.
Ч
Отсюда следует, что
x'ch = х° + Т1 r°> xch = xch 1 +	- Axfc •).
По индукции, предполагая, что
х^-1=х°+ Z с^А7-1!*0,
i = 1
N	N
находим х% = x° + X CjA7-^0. Учитывая, что z^ = П (1 - tiA)z°, получаем
11г^Нл<НП (1 -тА)11л11г°11л = II П (1-t,A)II2IIz°IIa < i = 1	i=l
<	||ZO|| < 2qNllz°llA, q =	.
+ q	JM+Jm
По определению, приближение x5^ метода сопряженных гради-n
ентов имеет вид х^ = х° + Z с};А1~ 1г°. Отсюда следует, что прибли-X	i=l
жения х^ и х^ могут отличаться только коэффициентами.
203
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
Так как вектор х^ является решением задачи минимизации min (AzN, zN), где zN = х* - xN, то справедливо неравенство (Az^,z^) = min (AzN,zN) < (Az^, zc^)
и требуемая оценка.
□	5.171. Показать, что в методе сопряженных градиентов необходимыми и достаточными условиями минимума функционала F(xm) = = (Ахт, хт) - 2(Ь, хт) для любого т > 1 являются равенства (г777, rQ = О, j = 0, 1,, m- 1.
□	5.172. Показать, что в методе сопряженных градиентов для любого т > 2 имеют место соотношения ортогональности (Аг"7, г-0 = О, j - 0, 1,..., т-2.
□	5.173. Получить следующие эквивалентные формулы метода сопряженных градиентов:
а = ——НА—тА х777 = хт~1 + awk , Г"7 = г"7-1 -a Ак , ги /дЪ- L- \	fn т’	т т’
/гги ггп\
В„. = —-—Ц- , к , , = г 777 + Pwk .
Г"1	(г771- Г777- )	777 +1	Гт w
Решение. Так как kw = г 777 -1 + Pw_ jk^. j и (г777-!, km_ j) = 0, то ат ~ (гП7~ г"7- kw). Далее, если г 777 - 1 0, то ат * 0 и Akw = = -(г777 - г 777 - 1 )/ccw. Таким образом, (Акш, г777 ) = -(г 777, гт)/ат, следовательно, Рш = (г 777, г 777)/(г 777 - \ Г 777 ’ 9.
□	5.174. Доказать эквивалентную запись метода сопряженных градиентов:
= (rm>rm) = Г _ yw (Г 777, Г777)	1 I ’ 1
Ym (Ar">, rm) ’ Pm L ym_! (!•">-‘.r"1-') pm_, J
xm + 1 = pm(xm + Ym r m) + (1 - pm )xm - >,
rm+ 1 = pm(rm-YmArm) + (1 -pm)rm-‘,
где r° = b - Ax°, x-1 = 0 и p0 = 1.
Обобщенный метод минимальных невязок. Далее будут полезны следующие обозначения: для множества вещественных прямоугольных матриц
R777 х и _ е R1, 1 < i < rrz, 1 < j < и}
204
5.7. Проекционные методы
и для вещественных векторов
Rn = {v: у- е R1,1 <	п}.
Рассматриваемый ниже алгоритм GMRES (General Minimum Residual Method) предназначен для решения разреженных невырожденных линейных систем большой размерности. При этом симметрия и положительная определенность матрицы системы не предполагается, т. е. решается невырожденная система общего вида Ах = Ь, А е RMxn,b g R".
Важным элементом метода является использование пространств Крылова т-го порядка: К"1 - span {г0, Аг°,..., Ат~ 1г0}, где г° - b - Ах°, х° — начальное приближение.
Для каждого т построим в пространстве X"7 ортонормирован-ный базис {кр ..., к^} рекуррентным образом: очередной вектор kw + j определим из условия ортогональности вектора Акт уже найденным векторам кр ..., kw. Это удобно сделать с помощью следующего алгоритма:
1.	kj = г°/11г°112.
2.	Цикл для; = 1, 2,..., т.
3.	Вычисляем скалярные произведения: h- = (Ak;-, к-) для i = 1,..., j.
j
4.	Строим вектор: z- + j - Ak;- Z h-k^
5.	Вычисляем его норму: h-+ = llz; + jll2.
6.	Если h-+ j;= 0, то останавливаемся.
7.	Строим очередной вектор базиса: k4 j = z- + j .
8.	Конец цикла по j.
Этот процесс требует хранения всех предыдущих элементов базиса. Будем их хранить в виде матриц Кт = (к! ... kw), Кт е Rnxri, столбцами которых являются найденные к-.
Проанализируем информацию об исходной матрице А, полученную на основе этого алгоритма ортогонализации. Построим ортого-нальную матрицу Q = (KmKrl_ т) е R"х ", где Кп_ т = (km + j... к„). Учи-тывая, что в результате применения алгоритма вычислены только матрица Кт и вектор kw + р имеем
Н= QTAQ=(KmKn_m)TA(KmKn_m) =
205
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
где Нт е R"1 х т — некоторая верхняя хессенбергова матрица (т. е. h- = О при i > j + 1). Отметим, что, в силу сохранения структуры Нт при любом ту в матрице Hn_fn т имеется единственный ненулевой элемент hm + j т, который расположен в ее правом верхнем углу.
Итак, матрицы Нт п_п1 и Нп_т неизвестны, мы знаем только блоки Нт и Нп_ т.
Определим т-е приближение к решению х по формуле
Хт = х° + Ктст, ст е R'";
тогда для невязок г”1 = b - Ахт справедливо соотношение
гт = г°-АКтст.
Здесь неизвестным является вектор ст е R™. Будем его искать из условия минимума евклидовой нормы невязки rw: Hr0 - AKwcwll2 -► min. Из полученного выше представления матрицы А имеем
Hr" - АКтст\ 12 = Hr»- (QHQT)Kmcm\\2 = IIQV - HQ^mcmll2.
Последнее равенство справедливо в силу сохранения ортогональным преобразованием евклидовой длины вектора. Согласно определению вектора kj и его ортогональности всем остальным векторам базиса, имеем Qrr° = Нг°Н2е1, где е1 = (1, 0, 0,..., 0)т е R". Кроме того, вектор QTKmcm е R", по определению матрицы Q, можно представить в виде (сш, 0, 0, ..., 0)Т g R", поэтому последнее равенство для невязки можно переписать в виде

\\Q^-HQTKmctn\\2 = llr0!!^-
Пг°Н2е1-
В последнем выражении фигурируют только известные (вычисленные ранее) блоки.
Уберем из вектора, стоящего под знаком нормы, нулевые компоненты, т. е. компоненты с номерами i > т + 2. Для этого определим матрицу g R(m + 1 ’х ш как
00 ... 0/1
206
5.7. Проекционные методы
и рассмотрим ее QR-разложение: Нт = где Um е R(^+Dx^; U? Um = I е Rmx т, Rm е Rmx т. Имеем
l!r°ll2e1
LJ пп- tn, tn
Н
nt
= II Ill-oil^ - Нтст\\2 = II 11г0112ё, - UmR,„cmll2,
2
где ej = (1,0, 0,..., 0)т eR"'4. Минимум полученного выражения по всем векторам ст достигается на векторе, удовлетворяющем уравнению
RmCm= Hr°ll2^m®1
(невырожденность Rm следует из невырожденности Нт). Окончательно имеем
х- = хО + НгО|12Ктй-Ч7Ге1.
Таким образом, обобщенный метод минимальных невязок можно сформулировать в следующем виде для т = 1,2,...:
1.	Вычисляем матрицу Нт.
2.	Находим ее QR-разложение: Нт = UmRtn.
3.	Решаем систему Rmcm = U^ev
4.	Находим приближение хт = х° + llr°ll2KrnR^1
Алгоритм завершается, когда норма вектора невязки г"7 становится достаточно малой. Ограничения по памяти и накопление вычислительной погрешности при решении промежуточных задач могут приводить к необходимости перезапуска (restart) алгоритма на шаге М с новым начальным вектором x^ew = хм.
Наиболее трудоемкой процедурой в методе является QR-разложение матрицы Нт. В общем случае для этого требуется О(ги3) арифметических операций, однако, так как Нт— хессенбергова матрица, можно сократить требуемый объем до О(т2) действий.
Оценки скорости сходимости для алгоритмов такого типа малоинформативны и поэтому редко применяются на практике. Рассмотрим пример. Пусть матрица системы А диагонализуема и имеет только вещественные собственные значения, т. е. А = S-lAS, где det (S) О, А = diag (Хр ..., Хп). Определим величину
q = min max 1р(Аг)1.
pWePw(x) k=\,2,...,n
p(0) = 1
207
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
Тогда справедлива оценка
llrmll2 < qm cond2 (S)Ilr°ll2.
Если A = AT > 0, то S-1 = ST(cond2 (S) = 1) и qm такое же, как в оценке для метода сопряженных градиентов. Отметим различие в оценках: в методе сопряженных градиентов оценивается ошибка в А-норме, а здесь невязка — в евклидовой норме.
□ 5.175. Система п уравнений Ах = b с матрицей
Г 0 1 0 ... 0 0
0 0 1 ... 0 0
0	0	0	...	0	1
k 1	0	0	...	0	0
и вектором b = (0, 0,..., 0, 1)трешается обобщенным методом минимальных невязок с начальным вектором х° = (0, 0, ..., 0, 0)г. Найти пространства Крылова %"7 = span {г0, Аг°,..., Ат~ 1г0} для т > 1 и определить количество итераций, необходимое для нахождения точного решения х = (1, 0, 0,..., 0)т.
Ответ: обозначим через ef- вектор с единственной ненулевой i-й компонентой; тогда пространства Крылова имеют вид
= span	...,e„_m+1}, 1 < т< п,
а последовательные приближения определяются как
х° = х1 = ... - хп~1 = (0, 0,..., 0, 0)т, хп - ер
т. е. метод сходится ровно за п итераций.
5.8. Некорректные системы линейных уравнений
Пусть требуется решить систему линейных уравнений с матрицей А размерности т х п
Рассмотрим три случая: 1) т - п, det (А) # 0; 2) т < п и строки линейно независимы, т. е. rank (А) = т\ 3) т > п и rank (А) = п.
208
5.8. Некорректные системы линейных уравнений
В случае 1) задача невырождена и вектор х = А-1Ь является точным решением. Для вектора невязки г = b - Ах имеем llrll = 0. В случае 2) задача недоопределена. Исходная система имеет целое подпространство решений размерности п - т. Для каждого решения имеем llrll = 0. В случае 3) система переопределена и если она несовместна, то точного решения не существует, т. е. для произвольного х g R" имеем lib - Axil = llrll > 0. Представляют интерес методы решения переопределенных задач. Поэтому, если не оговаривается иное, считаем, что т > п и rank (А) = п. Для задач такого рода Гаусс предложил считать решением вектор х, минимизирующий евклидову норму вектора невязки min lib - Ay 112 - lib - Axll2. Рассмотрим некоторые методы решения данной минимизационной задачи, называемой задачей наименьших квадратов (ЗНК).
Метод нормального уравнения. Рассматривают следующую, называемую нормальной, систему уравнений АтАх = АГЬ с квадратной матрицей АТА размерности п х п. Отсюда находят вектор х.
□	5.176. Показать, что нормальное уравнение имеет единственное решение.
Решение. Действительно, АТА = (АгА)ти (АтАх, х) = (Ах, Ах) > > 0, если только Ах 0. Но Ах 0 для всякого х 0, так как rank (А) = п. Следовательно, матрица АТА невырождена и нормальное уравнение имеет единственное решение.
□	5.177. Показать, что вектор х— решение задачи наименьших квадратов min lib - Ayll2 тогда и только тогда, когда х— решение системы АтАх = АГЬ.
Решение. Из 5.176 следует существование и единственность такого вектора х, что АГ(Ь - Ах) = 0. Рассмотрим у = х + Дх. В этом случае lib - Ayl 12 - (b - А(х + Дх), b - А(х + Дх)) - (b - Ах, b - Ах) + + (АДх, А Дх) + 2(А Дх, b - Ах) = lib - Axll^ + (АГА Дх, Дх) + + 2( Дх, АТ(Ь - Ах)). Следовательно, минимум достигается при Дх - 0, т. е. на векторе у = х.
Метод OR-разложения. Метод нормального уравнения прост в реализации, однако в приближенной арифметике неустойчив для почти вырожденных задач большой размерности. Например, в случае квадратной матрицы А - Ат имеем cond2 (А7А) = cond2 (А). По
14 - 1025
209
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
этому численное решение может сильно отличаться от точного. Метод, основанный на QR-разложении матрицы А, более устойчив к вычислительной погрешности. Разложение с QTQ= /, detR # 0 можно построить методом отражений или методом вращений.
□	5.178. Пусть известно представление А = QR. Показать, что решение х задачи наименьших квадратов является решением системы Rx = QTb.
Решение. Из метода нормального уравнения следует, что х = (А7А)"1АГЬ, поэтому
х = (RTQTQR)~lRTQTb = (RTR)~'RTQTb = R~xR~TRTQTb = R~'QTb.
Таким образом, искомый вектор х является решением системы Rx = QTb.
Формально этот метод более трудоемкий, но, построив однажды QR-разложение, можно быстро решать задачи с различными правыми частями.
Вырожденные задачи. Задача наименьших квадратов называется вырожденной, если rank (А) < п. При численном решении вырожденных и почти вырожденных систем требуется изменить постановку задачи и соответственно применять другие методы. Рассмотрим следующий пример: найти решение при т= п = 2
Для данного уравнения имеется семейство решений х = (1 - х2, х2)Т, г = b - Ах = (О, I)7. Можно выбрать решения как с нормами порядка единицы, так и со сколь угодно большими. Однако для возмущенной задачи
формально близкой к исходной при малых 8, имеется единственное решение (1 - е-1, 8-1)г с большой нормой порядка 8-1. Это означает, что сколь угодно малое возмущение элементов матрицы может существенно изменить структуру и норму решения.
□	5.179. Пусть rank (А) - г, A е R"2 х ”, т > п и г < п. Показать, что множество векторов х, минимизирующих lib- Axl 12, образует (п - г)-мерное линейное подпространство.
210
5.8. Некорректные системы линейных уравнений
Решение. Пусть вектор z е ker(A) и dim (ker(A)) = п - г. Тогда Az = 0, и если х минимизирует lib - Ах112, то х + z также минимизирует невязку, так как lib - А(х + z)ll2 = lib - Axll2.
□	5.180. Пусть ранг матрицы А в точной арифметике равен г < п и первые г столбцов линейно независимы. Показать, что матрицу можно привести к виду
a = qk = q|T' Л|2\
I о о )
Q е R",x", Q = (q,...qrqr + ]...q„) =	QrQ=I,
detRn*O, R1IeRrxr, Rl2 e Rrx("-r>, и для задачи наименьших квадратов с матрицей А имеется семейство решений
х = (R7l‘(Q1rb-R12x2),x2)r.
Здесь х = (хр х2)г, Xj е Rr, х2 е R" г.
Решение. Искомое разложение А = QR, где Q е R"!/ ", a R имеет указанный в условии вид, можно построить, например, методом ортогонализации Грама — Шмидта. Решим задачу наименьших квадратов. Построим по матрице Q ортогональную матрицу U е R"1 х т следующим образом. Дополним векторы q, дб базиса в пространстве R"7 некоторой линейно независимой системой р; и проведем ортогонализацию столбцов матрицы В = (QP) методом Грама — Шмидта. Для полученной матрицы U имеем U = (QQ) = (qP..qnj). Матрица U ортогональная, поэтому ортогональны векторы (q? q;) = 0, i‘ j, и QTQ — нулевая матрица. Отсюда следует цепочка равенств
lib-Axllf = IIL7T(b- Q^x)ll| =
QT \b - QRx)||2 =
QT J lb
(ДЪ-Ях Ip =|Qrb-«x|p QT(b-QKx)||2 I Q7b I2
= IIQ1Tb-Rllx1-Rl2x2ll22 + IIQ2rbll2 + IIQrbll2, приводящая к ответу.
Метод QR-разложения с выбором главного столбца. Преобразуем исходную ЗНК так, чтобы первые г столбцов полученной матрицы А были линейно независимы. Для этого в процессе вычис
14*
211
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
лений переставим столбцы в матрице А так, что А = АР = QR, где Р— некоторая матрица перестановок. Отсюда (см. 5.180) найдем решение задачи наименьших квадратов. Цель соответствующих
( R11 R12 А
перестановок — получить в матрице R =	как можно луч-
( 0 R22 )
ше обусловленный блок RH и как можно меньшие по модулю элементы в R22. В приближенных вычислениях блок R22 отличен от нуля, хотя исходная задача могла быть неполного ранга.
Вычисления проводятся на основе стандартного QR -разложения, например методом отражений. На fc-м шаге (fc = 1, ..., и) в матрице выбирают столбец с номером д, к < jk < и, с наибольшей величи-/ т	\ 1/2
ной max Z aj: . Если таких столбцов несколько, то берут проле п Ч=к 4 '	п г
извольный из них. В матрице найденный столбец jk переставляют с к-м столбцом. Далее реализуют очередной шаг QR-разложения.
□ 5.181. Оценить величину элемента гпп в методе QR -разложения
Г1 -1 ... -И
с выбором главного столбца для А =
,AeR"x".
<0 ... 0	1 J
Метод сингулярного (SVD) разложения. Метод применяют для решения гарантированно наилучшим образом плохо обусловленных и вырожденных задач.
Теорема. Пусть А — матрица размерности т х и, т > п. Тогда справедливо сингулярное разложение А = UY VT> где: U — ортогональная матрица размерности тх пу UTU = I;
V — ортогональная матрица размерности их и;
X — диагональная матрица размерности п х п с элементами О] > о2 > ... >	> 0.
Столбцы Up ..., un матрицы U называют левыми сингулярными векторами матрицы А, столбцы vp ..., vn матрицы V— правыми сингулярными векторами, величины ст2— сингулярными числами.
Построив S VD-разложение, можно установить, является ли задача вырожденной (оп = 0), невырожденной (о„ # 0) или «хорошей» (0,/Oj не слишком мало).
212
5.8. Некорректные системы линейных уравнений
Если ги < и, то сингулярное разложение строят для матрицы АТ. Если т - п и А = АТ, то сингулярные числа о- = IXJ, т. е. с точностью до знака совпадают с собственными числами, сингулярные векторы vz являются соответствующими собственными векторами.
Геометрическая интерпретация S VD-разложения. Рассмотрим оператор А, переводящий элемент х е R” в элемент у g R"7. Единичная сфера под действием А переходит в эллипсоид. Векторы uf задают полуоси эллипсоида, v-— их прообразы, a oz— коэффициенты удлинения векторов vz.
Алгебраическая интерпретация S VD-разложения. Рассмотрим оператор А, переводящий элемент х g R" в элемент у g Rw. В этом случае в пространстве R" существует базис vp ..., vn, а в пространстве R"1 — векторы Up ..., un такие, что матрица оператора А имеет ди-
агональный вид, т. е. для произвольного вектора х = Z Pfvz имеем i= 1
у = Ах = Z ozPzuz. Иначе говоря, всякая матрица А становится диагональной, если в области определения и в области значений подходящим образом выбраны ортогональные системы координат.
□	5.182. Найти сингулярное разложение матрицы А размерности п х п вида А = (1, 2,..., п)т(1, 1,..., 1).
□	5.183. Показать, что если А — матрица полного ранга (rank (А) = и), то решение х задачи наименьших квадратов min lib - Ayl 12 имеет вид х= VZ-1 UTb.
Решение. Из метода нормального уравнения следует, что решение х можно представить в виде х - (АГА)-1АГЬ = = (VZ UTU£ V^VZ итЬ= VZ"1 ить.
< £ О А
□ 5.184. Пусть матрица А = (ЦЕЛ) 1	(VjV2)Tимеет ранг г < п.
I о oj
Показать, что пространство решений х задачи наименьших квадратов имеет вид х = V, Zy1 U{b + V2z с произвольным z g R" r. Норма x минимальна при z = 0. Здесь Ц g R"7 x r, Zj g Rrx r, Vj g R"xr.
Указание. См. 5.180, учитывая, что V{ V2z = 0 для любого вектора z. Норма х минимальна при z = 0, так как векторы Vj Z71 DjTbH V2z ортогональны.
213
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
□ 5.185. Пусть столбцы up у., i = 1,..., пу матриц U = (Uj...un), V =
= (vr..v„) такие, что А =	VT = Е и-и,-vf. Доказать, что min IIА-
1=1	А{
- Л(И2 по всем матрицам А'к е R'"х " ранга к < п равен аЬ1и дости-
гается на матрице Ак = Е = Uk YkVkT.
i -1
Решение. По построению, матрица Ак имеет ранг к. Покажем, что 11А - Ак\ 12 = <зк. + j. Действительно,
"Л’Л^=|Ио у0 Ml <IILnb|fn у0 ]| IIVT|I2<^+1-
II Ъп-к) 1|2	ЦО 1п_^||2
Но ПА - AJI2 > П(А - Ak)vk + jll2 = ск+ ,111/е^ ,11 = ск+ ,, где ек+ , = - (О,..., 0, 1,0,..., О)7. Следовательно, II А-А^Щ - <зк + Р Покажем, что не существует матрицы В ранга ку более близкой к А. Так как dim (ker (В)) = п - ки п - к + к + 1 > и, то существует ненулевое пересечение подпространств span {vp ..., vk + J и ker (В). Рассмотрим к + 1	к+ 1
вектор h = Е ci\i из этого пересечения с нормой llhll j = Е с- = 1.
Имеем IIА - Bll2 > ll(A- B)hll2 = IIAhll2 - ПНЕ Г^Ы12 = IIS VThll2, поскольку ортогональная матрица U не изменяет длины векторов. Да-к+ 1
лее, так как VTV = I, то VTNi = Таким образом, VTh = Е и i = 1
к + 1
Е VTh = Е ПуСуву. В результате получаем i -1
fk+\ \1/2
НЕ VThll2>CTj+l ( Z с? J = ак+ ,11Ы12 = ск+
Из 5.185 следует правило решения задачи наименьших квадратов в приближенной арифметике. В реальных вычислениях все Gi получатся (с учетом машинной точности) отличными от нуля, поэтому зафиксируем некоторое значение 80. Будем считать, что величины cjz < £0 при i = к + 1, ..., п соответствуют погрешности вычислений, следовательно, можно заменить исходную задачу задачей с матрицей Ак = Uk ^kVk- Такой способ усечения матрицы А является оптимальным в том смысле, что полученная матрица Ак наиболее близка к А в норме II* Н2.
214
5.9. Проблема собственных значений
5.9» Проблема собственных значений
Пусть S— произвольная невырожденная матрица. Говорят, что матрицы одинаковой размерности А и В = S~[AS подобны, а матрица S осуществляет подобие.
Теорема. Для произвольной вещественной матрицы А е Rnx" найдется вещественная ортогональная матрица Q е Rnx" такая, что
		^12	“		
QTAQ =	0	r22 ..		= R
	1 0	0	R / ’ •	2 v т т	
Здесь каждый диагональный блок Rn (т< п) представляет собой либо вещественное собственное значение, либо 2 х 2-матрицу, отвечающую сопряженной паре комплексных собственных значений. Матрицу R называют действительной формой Шура, из которой можно легко определить собственные векторы и собственные числа исходной матрицы.
Теорема (закон инерции). Каждая матрица А - АТ подобна некоторой диагональной матрице вида diag (1я, -Iv, О^) с единичными матрицами Ц, Iv и нулевой (X, где п, v, S, — соответственно число положительных, отрицательных и нулевых собственных чисел матрицы А.
Теорема (критерий Сильвестра). Число v отрицательных собственных значений невырожденной симметричней матрицы А равно числу перемен знаков последовательности главных миноров Ak, 1 < к < п. Для положительной определенности матрицы А = АТ необходимо и достаточно выполнение неравенств Д^ > 0 при 1 < к < п. Для отрицательной определенности необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров чередовались, при этом Д j < 0.
□ 5.186. Пусть В = S-1AS. Доказать, что матрицы Аи В имеют одни и те же собственные значения, а вектор еЛ является собственным вектором А тогда и только тогда, когда вектор ев = 5-1еЛ — собственный вектор В.
215
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
Решение. Собственные значения В находим из условия det (В-XI) = det (S’1 AS-XS^S) = det (S~'(A-XI)S) = = det (S’1) det (A - XI) det (S) = det (A - XI).
Собственные значения совпадают, так как равны характеристические многочлены. Условие Ае = Хе равносильно следующему: S-1ASS-1e = XS-1e, или BS-1e = XS-1e, т. е. собственные векторы еА и ев связаны соотношением ев = 5-1ел.
□ 5.187. Предположим, что матрица A е R"xn— симметричная и положительно определенная. Показать, что:
1) существует единственная симметричная и положительно определенная матрица X такая, что А = X2;
2) если Xq = /, Хк+ j = (Хк + АХ^1 )/2, то Хк стремится к Та , где JA означает матрицу X из 1).
□	5.188. Пусть А— симметричная матрица размерности п х п, X е R1, х е R” — соответственно произвольные число и вектор, причем 11 xl 12 = 1. Доказать, что существует собственное значение Хк матрицы А, для которого IX^-XI < НАх-Хх112.
Решение. Пусть {ej, к = 1, ..., и, — полная ортонормирован-
п
ная система собственных векторов матрицы А, х = X скек. Тогда НАх-Хх112 = Д (Хк-Х)2с2к > min (Хк-Х)2.
□	5.189. Показать, что для максимального и минимального собственных значений симметричной матрицы А справедливы следующие оценки: Xmin(A) < min я--, Xmax(A) > max я--.
1 < i < п	1 < i < п
Решение. Имеем
kmin(A) = min (^х> Х) < (Aei’е.) - ан> min	||Х||2=1	1	1 п
^max(A) = таХ <Лх> Х> > <Aei> ei) = flii> Их ll2 = 1
где е;— вектор с i-й компонентой 1 и остальными компонентами 0.
□ 5.190. Доказать, что у вещественной трехдиагональной матрицы bi	при	i = j,
при	i = 7+l,
Я;;	I	•	1	•
t]	при	г + 1 =;,
10	—	иначе
все собственные значения вещественные, если а- + jс1? > 0, i = 1,2,..., п - 1.
276
5.9. Проблема собственных значений
Указание. Пусть диагональная матрица D определена следующим образом: D = diag (dH, ..., dnn), = 1, d- = d-_ j	Тогда
В = DAD~X — симметричная матрица, вещественный спектр которой совпадает со спектром подобной матрицы А.
□	5.191. Доказать, что для трехдиагональной матрицы из 5.190 верно неравенство IXДА) I < 1 V fc, если laj + lb2l + I с-I < IV i, = cn = 0, и если хотя бы для одного значения индекса i неравенство строгое, a ai+ {ci 0, i = 1, 2,..., п- 1.
□	5.192. Пусть А и В— матрицы размерности т х п и п х т соответственно, т > п, Рс(\) = det (X/ - С) — характеристический многочлен квадратной матрицы С. Доказать справедливость равенства
PAB(V = ^-”PBAW.
Решение. Рассмотрим следующие тождества для блочных матриц размерности (ш + п) х (т + и):
АВ 0VI А}(АВ АВА
В 0 J 1.0 IJ	I. в ВА
I А у 0 0	АВ АВА
О I [В ВА { В ВА
Здесь I— единичная матрица соответствующей размерности. По-(I А ।
скольку блочная матрица К=	размерности (т+ п) х (т 4- п)
невырожденная, имеем
O/JIboJIo/J (В ВА
Таким образом, две матрицы размерности (т + и) х (т + п)
АВ 0 о = 0	0
В 0 ’	2 I В В А
подобны: К~{О{К = О2. Собственные значения матрицы — это собственные значения матрицы АВ вместе с п нулями, а собственные значения матрицы О2 — собственные значения матрицы ВА
217
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
вместе с т нулями. Поскольку характеристические многочлены подобных матриц совпадают
Ро? (X) = det (X/- О2) - det (ХК~1К-К~[О}К) =
= det К~{ det (X/- OJ det К= РО1(Х), отсюда следует утверждение задачи.
Из рассмотренного решения следует совпадение соответствующих жордановых клеток матриц АВ и ВА.
□	5.193. Доказать, что для квадратных матриц А, В одинаковой размерности спектры матриц АВ и ВА совпадают.
□	5.194. Доказать, что если А, В— симметричные матрицы размерности п х п, то необходимым и достаточным условием равенства АВ = ВА является существование базиса в пространстве R”, составленного из общих собственных векторов матриц А и В.
□	5.195. Доказать, что если матрицы А и В коммутируют, то существует собственное значение Х(АВ), равное произведению собственных значений Х(А)Х(В).
□	5.196. Доказать, что если А— симметричная и положительно определенная матрица, а В — симметричная матрица, то все собственные значения Х(АВ) матрицы АВ вещественные.
Указание. Воспользоваться тем, что матрица АВ подобна симметричной матрице А1/2ВА1/2.
□	5.197. Доказать, что если А, В— симметричные и положительно определенные матрицы, то все собственные значения Х(АВ) матрицы АВ положительные.
Указание. Воспользоваться указанием к 5.196.
□	5.198. Пусть А— симметризуемая матрица, т. е. существует невырожденная матрица Ттакая, что ТАТ-1 — симметричная матрица. Доказать, что система собственных векторов матрицы А образует базис.
Указание. Воспользоваться тем, что если ТАТ~{е = Хе, то Т-1е — собственный вектор матрицы А, соответствующий тому же собственному значению X. Доказать, что из полноты системы векторов {ej следует полнота системы {Т-1е-}.
218
5.9. Проблема собственных значений
□	5.199. Доказать, что если А— симметричная и положительно определенная матрица, а В— симметричная матрица, то система собственных векторов матрицы АВ образует базис.
Указание. Воспользоваться указанием к 5.196 и 5.198.
□	5.200. Доказать, что если А, В — симметричные и положительно определенные, коммутирующие матрицы, то матрица АВ положительно определена.
Решение. Все собственные значения АВ положительны в силу решения 5.197. Из коммутируемости Ап В следует симметрия АВ, а критерием положительной определенности симметричной матрицы является положительность ее собственных значений.
□	5.201. Доказать положительную определенность матрицы
0,5	1	1	1 .	1	1
1	2,5	3	3 .	3	3
1	3	4,5	5 .	5	5
1	3	5	7 .	1/2(4и-7)	2п-3
1 1	3	5	7 .	2п - 3	1/2(4и-3) J
Решение. Обозначим матрицу А размерности n х п через Ап. Пусть далее левая треугольная матрица Рп размерности n х п опреде
лена равенством
( \ о о ... о
-2 1 0 ... 0
Рп =
{-2 0 0	1 J
Тогда
Таким образом, det Ак = 0,5 det Ак_ j = 1/2* > 0 для любого главного минора det Ак, к = 1, ..., п. Согласно критерию Сильвестра положительной определенности, симметричная матрица Ап = А положительно определена.
219
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
□ 5.202. Доказать положительную определенность матрицы:
' 2	-1	1/2 -1/ЗЛ	(12-6 3 -2'
.	-1	3-1 -1/2	ч	-6 18 -6 6
1)А =	,	; 2)А =
7	1/2	-1	4	2	’	3 -6 24 15
<-1/3 -1/2 2	5 J	1-2 6 15 20 >
Указание. 1) Используя теорему Гершгорина, доказать положительность всех собственных значений симметричной матрицы А. 2) Использовать критерий Сильвестра положительной определенности симметричной матрицы и прямое вычисление ее главных миноров. □ 5.203. Пусть матрицы А, АТ е R"х п имеют строгое диагональное преобладание и положительные диагональные элементы. Доказать, что матрица А положительно определена, т. е. (Ах, х) > 0 V х 0.
Решение. Симметричная часть S = (А + Ат)12 матрицы А имеет положительную и строго доминирующую диагональ, поэтому ее собственные значения положительны и S положительно определена, а вместе с ней положительно определена и матрица А.
□	5.204. Построить пример симметричной положительно определенной матрицы размерности 3x3, трехдиагональная часть которой не является положительно определенной.
Ответ: А =
1/2
4
при q = 7(1 + а)/2 , а е (0,1/2).
1
1
11/2
□	5.205. Пусть А = Ат > 0. Доказать, что если Хтах(А) = акк при некотором к, где 1 < к < и, то aik = ак- = 0 при всех i к, j* к.
□	5.206. Пусть А„(о, Ь) — вещественная трехдиагональная матрица
размерности п х п:
а при i = j, b при i = j+ 1, i- j~ 1>
0	— иначе.
Доказать следующие равенства:
1)	det Ап+ Да, b) = a det An(a, b) - b2 det An_ Да, b), n > 2;
2)	det An(a, b) = ((a/2 + Ja2IA - b2 )" + 1 -
- (a/2 - J a21A - b2 )n+ 121J a21A - b2, n > 1;
[n/2]
3)	det A(a,b) = Z C2k+ 1 (а2/4 - Ь2)к(а/2У'2к, к > 1.
к = 0
220
5.9. Проблема собственных значений
□	5.207. Пусть матрица Ап(а, Ь) определена как в 5.206. Найти все ее собственные значения и собственные векторы.
□	5.208. Пусть матрица Ап(а, Ь) определена как в 5.206. Доказать, что она положительно определена тогда и только тогда, когда а-21Ы cos —5— > 0.
п + 1
□ 5.209. Матрица Уилкинсона при 8 = 0
	'20	20	0	0 .	.. 0	0 "
	0	19	20	0 .	.. 0	0
А =	0	0	18	20 .	.. 0	0
	0	0	0	0 .	.. 2	20
	1 8	0	0	0 .	.. 0	1 J
имеет наименьшее по модулю собственное значение, равное 1. Как оно изменится при 8 - 20-19 • 20! « 5 • 10-7?
Решение. Характеристическое уравнение для возмущенной матрицы Уилкинсона имеет вид
det (А - И) = (20 - Х)(19 - Х)...( 1 - X) - 2019 -8 = 0.
Свободный член в этом уравнении равен 0, следовательно, наименьшее собственное значение также равно 0.
□ 5.210. Пусть
<01... 0^1
Ап^ О 0 ... 1
0 ... 0 J
— матрица размерности п х п. Доказать, что характеристическое уравнение матрицы Ап(а) имеет вид X" = а. Сравнить собственные числа близких матриц А20(2~20) и А20(0).
Ответ: Х<1) = 0,5е*'(к~ 1)/10> к = 1,..., 20 и Xj.0’ = 0, к = 1,...,20.
Степенной метод. Алгоритм вычисления максимального по модулю собственного значения X матрицы А имеет вид
хк+'=Ахк, Хк =	х**0; к = 0, 1,2,....
(х\ хк)
221
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
При его практической реализации на каждом шаге нормируют текущий вектор: хк: = x*7llx*ll.
□	5.211. Пусть А — матрица простой структуры (собственные векторы ер е2, ..., е„ матрицы образуют базис в С"). Пусть далее IXJ > > 1Х21 > 1Х31 > ... > IXJ и L — линейная оболочка е2, е3, ..., еп. Доказать, что для степенного метода при условии х° £ L справедлива оценка + О(IX2/XjI*).
□	5.212. Доказать, что если в условии 5.211 матрица А является симметричной, то для степенного метода справедлива оценка >? = Xt + + о(1х2/х,1яг
□	5.213. Пусть матрица А размерности п х п имеет п различных собственных значений. Предположим, что х° принадлежит линейной оболочке некоторых собственных векторов ef- , ef- ,..., е, , но не принадлежит никакой их линейной подоболочке. К какому собственному значению матрицы сходятся итерации степенного метода в точной арифметике и с какой скоростью?
Ответ: к максимальному по модулю X из Xf- , 1 < к < t. При численных расчетах, как правило, имеется ненулевой (порядка машинной точности) коэффициент q в разложении х° по векторам ez, поэтому метод сходится к максимальному по модулю из всех собственных значений Сходимость к следующему по абсолютной величине Х2 (см. 5.211) можно обеспечить только постоянным исключением каким-либо способом вектора е, из очередного приближения хк. На этой идее основан рассматриваемый далее метод итерирования подпространств.
Метод обратной итерации. Этот метод, по сути соответствующий степенному методу для матрицы А-1, можно применять для вычисления наименьшего по модулю собственного значения X:
хк := хк/\Ix^ll, Axk+i=xk, Хк = .-* 	.
(хк+ \хк+ Э
При этом на каждом шаге алгоритма требуется решать систему Ахк+ 1 = = хк.
Степенной метод и метод обратной итерации можно также применять к матрице А - cly что позволяет влиять на сходимость. Например, если с высокой точностью известно приближение X к неко
222
5.9. Проблема собственных значений
торому собственному значению X, то метод обратной итерации с параметром с = X обычно сходится за несколько итераций. Скорость сходимости существенно замедляется при вычислении одного из группы близких собственных значений.
□	5.214. Пусть собственные значения симметричной матрицы А удовлетворяют цепочке неравенств X, < Х2 < ... < Хп. Выяснить, к какому собственному значению Х5 в зависимости от параметра с сходится итерационный процесс
хк + 1 - (А - сГ)хк, № = с + (х ).
(хк9хк)
Найти скорость сходимости.
Ответ: к Х5, для которого справедливо IXS - cl = max I А,. - cl. Скорость сходимости равна O(q2”), где q = max IX,- cl/IX5- cl. Отсюда следует, что процесс сходится к Xj при с > (Xj + Хп)/2 или к Хи при с<(Х1 + Х„)/2.
□	5.215. В условии 5.214 выбрать постоянную с так, чтобы итерационный процесс с наилучшей скоростью сходился к Х1 (или к Хп).
Ответ: как следует из 5.214, оптимальное значение с5 для 5 - 1, п является решением следующей минимаксной задачи: min max IXf-~ - cl/IX5- cl. Так как рассматриваемая функция линейная по Xf, то модуль имеет максимальное значение в граничных точках. Например, при 5 = 1 это соответствует min max {IX2 - cl/IXj - cl, 1ХП - cl/IXj - cl}. Можно показать (например, графически), что оптимальное значение q = (Х2 + Хп)/2. Аналогично сп = (Xj + кп_1)/2. Скорость сходимости степенного метода при оптимальном сдвиге зависит от Хр ..., Хп и не может стать сколь угодно высокой за счет параметра сдвига.
□	5.216. Пусть собственные значения симметричной матрицы А удовлетворяют цепочке неравенств Xj < Х2 < ... < Хп. Выяснить, к какому собственному значению X, сходится в зависимости от параметра с метод обратной итерации со сдвигом
(А - с1)хк + 1 = хк, кк = с + /X;’,***?,. •
(х* + *, хк + *)
Найти скорость сходимости.
223
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
Ответ: к Хр для которого справедливо равенство IXf - d = = min IX;- cl. Скорость сходимости равна O(q2"), где q = IXf- cl/min IX;-- cl. Отсюда следует, что процесс в зависимости от значения с может сходиться к любому Хг При этом q -* 0, если с -* Хг
Скорость сходимости метода обратной итерации со сдвигом можно значительно повысить, если изменять значение сдвига от шага к шагу.
Рассмотрим функцию Ял(х) = х)
называемую отношением Рэлея.
□	5.217. Пусть А = АТ. Доказать, что
Ч,ах(А) = max ЯА(х), Xmin(A) = min RA(x).
Указание. Пусть X;— i-e собственное значение и Ле; - Xiei. Из условия А = Ат следует, что собственные векторы образуют базис
и можно считать, что (в;, е-) = 8J. При этом X; =
(Ае,е)
------ . Предста-
(ей ei)
вив произвольный вектор х в виде разложения по собственным векторам, получим требуемый результат.
□	5.218. Пусть А = Ат. Доказать, что V х g R" и V ц е R1 имеет место свойство минимальности невязки
ll(A-Ял(х)1)х112 < ll(A-pl)xll2.
Решение. Рассмотрим квадратичную по ц функцию II (А -- p/)xl I \ - (Ах, Ах) - 2ц(Ах, х) + ц2(х, х), минимум которой достигается в точке ц = Ял(х).
Неравенство из 5.128 показывает, что наилучший сдвиг для метода обратной итерации, который можно получить из найденного приближения к собственному вектору, есть отношение Рэлея Ял(х^). При таком выборе сдвига сходимость к собственному вектору, если она есть (см. 5.211), является кубической: ^lim l(pfc+ i/ф^ । < 1, где — угол между собственным вектором х и его приближением хк.
□	5.219. Пусть метод обратной итерации со сдвигом сходится к собственному значению Хс матрицы А = Ат. Показать, что начиная с некоторого к выполняется оценка
1ХС-ХЧ <
1
11x^1’
224
5.9. Проблема собственных значений
(Х*,Х* + })	=
Хк + 1, хк 4- !)
т. е. величина ||х* + характеризует скорость сходимости итерационного процесса.
Решение. Для приближений х*, хк + 1 метода обратной итерации справедливо выражение
d ( (Ах*+ х*+ *) RAxk+1) = —j—НН—г2 ” с А	(х*+ ,х*+ )
Отсюда и из 5.218, 5.188 получаем, что
1 = IIх*Н2 = П(А- сГ)хк+ 1 ll2 > ll(A- RA(xk + ')Г)хк+ Ч12 -= П(А-Х*/)х*+1112> min IX,-X*l llx*+1ll2.
Так как метод сходится к то начиная с некоторого к имеем min IX- -- Х*1 = 1ХС- Х*1. Отсюда следует искомая оценка.
□ 5.220. Предположим, что матрица А е R"x"— симметричная и положительно определенная. Рассмотрим следующие итерации: Ао = А, для к = 1, 2,... строим Ак_ j = RkR% (разложение Холецкого) и определяем Ак = Rk^k- Здесь Rk— верхняя треугольная матрица. Показать, что:
1)	эти итерации сходятся;
2)	если матрица А = I а |, а > с, имеет собственные значения b с )
X, > Х2 > 0, то матрицы Ак сходятся к матрице diag (Хр Х2).
Рассмотрим методы нахождения нескольких (всех) собственных значений и поиска инвариантных подпространств.
Подпространство Н cz R" называют инвариантным подпространством матрицы А, если АН с Н. В качестве Н можно взять, например, подпространство span {е-,..., е- }, являющееся линейной оболочкой собственных векторов е •.
□ 5.221. Пусть А — матрица размерности п х п и X - (х} ... хш), х- е g R", — произвольная матрица с линейно независимыми столбцами. Показать, что подпространство span {хр ..., хт} тогда и только тогда инвариантно относительно А, когда найдется такая матрица В размерности т х т, что АХ - ХВ. В случае т = п собственные значения матрицы В являются собственными значениями матрицы А.
И - Ю25
225
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
Указание. Инвариантность подпространства означает, что существуют константы с такие, что Axf = Z с х . В данном случае '	j = 1 ' '
Ах- = Е b-Х:. Если т = п, то В = Х~'АХ и матрицы подобны. Если j = 1 7 7
Ах:- = \х;, то В = diag (Хр ..., Xw).
Ортогональная итерация (итерирование подпространств). Рассмотрим следующий итерационный алгоритм нахождения гк-мер-ного инвариантного подпространства матрицы А, образованного линейной комбинацией собственных векторов, отвечающих т наибольшим по модулю собственным значениям: возьмем произвольную матрицу Vo g R"х т с т ортонормированными столбцами и последовательно для к = 0, 1, ... будем вычислять для матриц Рк+ j = = AVk разложения вида Рк+ j - Vk+ {Рк+ р т. е. проводить ортонормировку столбцов Рк+р
Известно, что если модули всех собственных значений различны и матрица А не вырождена, то метод сходится и столбцы матрицы задают базис в искомом подпространстве. Действительно, рассмотрим AkV0— образ векторов-столбцов исходной матрицы Vo = (vp..¥w). Все векторы-столбцы образа, оставаясь линейно независимыми, при к —► 00 сходятся к старшему собственному вектору, что соответствует методу простой итерации нахождения наибольшего по модулю собственного значения. Чтобы в результате итераций имела место сходимость к ортонормированному базису в подпространстве, образованном первыми собственными векторами, необходимо на каждом шаге проводить ортогонализацию: исключать из вектора Akv2 составляющую АЧР из вектора Akv3 — составляющие Akvv Akv2 и т. д. Из 5.211 следует, что скорость сходимости характеризуется величинами 1Х3/Х21,....
QR-алгоритм. Модифицируем ортогональную итерацию так, чтобы она допускала сдвиги и обращения матрицы, как в методе обратной итерации. Это приводит к идее QR-алгоритма— наиболее популярного метода вычисления всех собственных значений и векторов матрицы не слишком большой размерности. Пусть задана матрица А размерности п х п. Положим = А и вычислим А(} = QoRo> где Qo — ортогональная (в комплексном случае — унитарная) матрица, Ro— верхняя треугольная матрица. Далее определим А, = R0Q0,
226
5.9. Проблема собственных значений
т. е. перемножим полученные в результате разложения матрицы в обратном порядке. Таким образом, на каждом шаге вычисляется QR-разложение матрицы Ак = QkRk и находится Ак+ j = RkQk- Отметим, что все полученные матрицы Ак подобны Ао. Результатом является «почти верхняя треугольная» предельная матрица А^, для которой несложно вычисляются собственные значения. В случае невырожденной матрицы QR-разложение с положительными элементами гИ треугольной матрицы R единственно, поэтому в дальнейшем будем полагать для произвольной матрицы г- > 0.
При практическом использовании метода сначала проводят масштабирование (уравновешивание) матрицы, сближающее ее норму со спектральным радиусом, а затем приводят ее к верхней форме Хессенберга Н (h- = 0 при i> j + 1), которая инвариантна относительно QR-итераций. Само же разложение используют со сдвигами, т. е. применяют к матрицам вида Ак = Нк- ск1.
□	5.222. Показать, что собственные значения матриц А и Ак из QR-алгоритма при к = 1, 2,... совпадают.
Решение. Так как Ак+} = RkQk = Qk (QkRk)Qk = Qk AkQk, то из Qk[ = Q£ следует, что матрицы Ак+1 и Ак ортогонально подобны и имеют одинаковые собственные значения.
□	5.223. Пусть Ак— матрица из QR-алгоритма, a Vk— из метода ортогональной итерации для Vo = I. Показать, что Ак =	AVк.
Указание. Равенство Ак = Vj AVk проверить по индукции.
□	5.224. Доказать, что если А — нормальная матрица (А1 А = АА1), то последовательность треугольных матриц Rk из QR-алгоритма сходится к диагональной матрице.
Р е ш е н и е. Рассмотрим две соседние матрицы QR-алгоритма, обозначая их для простоты через А и В. Переход от А к В описывается формулами
A=QR, B=RQ.	(25)
Пусть bf, а\ г'— столбцы, bp a-, ri — строки соответственно матриц В, A, R (z = 1, ..., п). Так как ортогональные преобразования не меняют евклидову длину вектора, то из (25) следует lla'll2 - llr'l^, is*	227
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
llrjl? - Ilbjl2 (i = 1,..., п). Из нормальности матриц А и В имеем НаЧ12 = = I laj l2,11 b1112 = llb-ll2 (i = 1,..., п). Положим
Am=.S lib,II2 - Ila,II2, т=1,...,и-1.
Тогда
Л, = llb.ll2 - lla.ll2 = llr.ll2 - llr’ll2 = Iг.,12 +... + 1г.„I2, 1	12	12	12	2	12	1П 1
(26)
Д = Е Hr,II2- £ 11г'112= s £ IrJ2, т = 2,...,п-\.
i = 1	i = 1	i = 1 j = m + 1 4
Если теперь составить для каждого к величины = Z llapll j, где i = 1
ар — строки матрицы Ак и т = 1,..., п - 1, то получим п - 1 последовательностей 5р. Из (26) следует, что каждая из этих последовательностей монотонно возрастает и каждая ограничена (например, общим значением квадрата евклидовой нормы матриц Ак). Поэтому последовательности 8$ сходятся. Соответствующие последовательности Др, где Др = 5^+ 1) - 5р, сходятся к нулю, вместе с тем сходятся к нулю все наддиагональные элементы матриц Rk.
Так как 11	11 \ - 11 а[к + 1 >11 \, то
I r<*> I2 =	1) _ |г(*)|2 _ _ _ I Г1(*)|2.
По соглашению, гр > 0 для всех fc, поэтому последовательность rffl имеет предел. Точно так же из равенств
lr2pl2 = 11гр112 - Irpl2 - ... - Irpl2 = -lla^+1)|l2-lrpl2-...-lr2^)|2 = 5^+1)-5^+ 1Mrpl2-...-lrpl2 следует, что сходится последовательность гр. Продолжая рассуждать аналогичным образом, установим существование предела матричной последовательности Rk.
□	5.225. Доказать, что нормальная матрица А вида А = QD, где Q— ортогональная матрица, D— диагональная матрица с неотрицательными элементами, с точностью до симметричной перестановки строк и столбцов является блочно-диагональной. При этом каждый диагональный блок только скалярным множителем отличается от ортогональной матрицы соответствующего порядка.
228
5.9. Проблема собственных значений
Решение. Из равенства ААТ = АТА следует, что D2 - QD2QT, или D2Q = QD2. Отсюда получаем поэлементное равенство -- d2j) = О V z,j, т. е. q- = 0, если d- d-. Матрица перестановок Р, группирующая равные диагональные элементы матрицы D: D —► Ь = - PTDP, приводит Q к блочно-диагональному виду: Q —► Q = PTQP. Но тогда и матрица А = РТАР = (PTQP)(PTDP) = QD — блочно-диаго-нальная, причем каждый диагональный блок есть произведение одноименного блока ортогональной матрицы Q на число d, отвечающее этому блоку.
□	5.226. Исследовать применение QP-алгоритма для матрицы
Р	ешение. Имеем Ао = А1 = ... = А^ V к.
□	5.227. Пусть Хр ..., Хп— собственные значения комплексной матрицы А = F + iG, где F и G— вещественные матрицы. Показать, что числа Хр ..., Хп, Хр ..., Хп составляют спектр вещественной мат-
(F -С рицы удвоенного порядка AR = ^G F
Указание. С каждым собственным вектором z матрицы А ассоциировано двумерное инвариантное подпространство матрицы Ar. Действительно, представим z в виде z = х + iy с вещественными векторами х, у, и пусть X = р + iv — соответствующее собственное значение. Комплексное равенство Az = Xz эквивалентно каждой из следующих систем вещественных равенств:
Fx - Gy = цх - vy, J F(-y) - Gx = p(-y) - vx, Gx + Fy = vx + py; I G(-y) + Fx = v(-y) + px, означающих, что подпространство, являющееся линейной оболочкой векторов z^ = (х, у)т, z^ = (-у, х)г, инвариантно относительно матрицы Ar. Нетрудно проверить, что они линейно независимы.
QP-алгоритм со сдвигом. Скорость сходимости QR -алгоритма можно существенно повысить, если применять разложение к матрицам вида Ак = Нк - ск1. Положим А() = А, выберем сдвиг % вблизи неко
229
ГЛАВА 5. Матричные вычисления
торого собственного значения Х*(А) и вычислим разложение - с^1 = - Q0R0. Найдем матрицу Aj = R0Q0 + CqL Повторим процедуру для матриц Ак, к = 1,2,.... Если ск окажется равным некоторому собственному значению, то у матрицы Rk на диагонали стоит нуль, поэтому можно найти соответствующий собственный вектор и задачу для Ак + j сформулировать как задачу на единицу меньшей размерности.
□	5.228. Показать, что собственные значения матриц А и Ак из QR-алгоритма со сдвигом при к - 1, 2,... совпадают.
Решение. Так как
^к + 1 “ &kQk + Ск^= Qk (Qk&k + ck^Qk = Qk AkQk>
то матрицы Ак и Ак+ , ортогонально подобны.
□	5.229. Показать, что QR-алгоритм со сдвигами ск для начальной матрицы в форме Хессенберга
Нк ~ Ск1 ~ Qk&k> Hk+l = &kQk + Ск^ порождает последовательность Нк хессенберговых ортогонально подобных матриц.
□	5.230. При каком из следующих сдвигов:
1)	базовый алгоритм: ск = 0;
2)	сдвиги по Рэлею: ск = где — правый нижний элемент матрицы Нк,
3)	сдвиги по Уилкинсону: ск выбирается как одно из собственных
значений матрицы
Г
-1. н-
п. п- 1
(правая нижняя подматрица
"п- 1.
/,(*)
и, п
второго порядка матрицы Нк),
	( 0 0 0 0 1 "	
	1 0 0 0 0	
матрица вида Н() =	0 10 0 0	не меняется в процессе QR-
	0 0 10 0	
	. 0 0 0 1 0 ,	
итераций?
Ответ: случаи 1) и 3).
230
Глава 6
Решение нелинейных УРАВНЕНИЙ
Итерационные методы вычисления изолированного (отделенного от других) корня z уравнения /(х) = 0, как правило, требуют указания какой-либо области D, содержащей этот единственный корень, и алгоритма нахождения очередного приближения хп + 1 по уже имеющимся хп,..., хп_к.
Широко используемые способы отделения корней— графический и табличный — базируются на свойствах гладкости функции; в случае, когда/(х) является алгебраическим полиномом степени и, существуют аналитические подходы.
Если функция /(х)— непрерывная, то вещественный корень z принадлежит любому отрезку, на концах которого эта функция имеет значения разных знаков. Деля отрезок пополам, получаем универсальный метод вычисления корня (метод бисекции). Этот подход не требует знания хорошего начального приближения. Если оно имеется, то для гладких функций используют более эффективные методы.
Пусть отыскивается единственный на отрезке [я, Ь] корень z уравнения/(х) = 0 в предположении непрерывности функции/(х). Если в его окрестности функция представляется в виде /(х) = = (х- z)^g(x), где р— натуральное число, a g(x)— ограниченная функция такая, что g(z) # 0, то число р называют кратностью корня. Если р- 1, то корень называют простым. При нечетном р функ-ция/(х) меняет знак на [а, Ь], т. е./(я)/(Ь) < 0, а при четном р — нет.
Итерационный метод решения порождает последовательность приближений х„, которая сходится к корню: lim lxn - zl = 0. Вели-п —’00
чину еп = 1х„ - zl называют абсолютной ошибкой на п-й итерации. Итерационный метод имеет порядок т (или скорость сходимости т), если
231
ГЛАВА 6. Решение нелинейных уравнений
т — наибольшее положительное число, для которого существует такая конечная постоянная q > 0, что
lim sup < q < оо.
и —* ОО	р W	1
Постоянную q называют константой асимптотической ошибки, ее обычно оценивают через производные функции/(х) в точке х= z. При т - 1 (q е (0, 1)) сходимость называют линейной (иногда говорят, что в этом случае метод сходится со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель которой q), при 1 < т < 2 — сверхлинейной, при т - 2 — квадратичной и т. д. Из сходимости с порядком т > 1 следует оценка en+l < qnen, qn~* 0 при п °°. При этом <
< е0 П q? Иногда скорость сходимости может замедляться при приближении к искомому решению, что соответствует qn -+ 1, но еп —► О при п -+ оо. Таким свойством обладают методы с полиномиальной скоростью сходимости еп < е0(1 + апСо)-1//. Данная оценка верна, например, если еп+ j < (1 - ае1п)еп с некоторыми / > 1 и 0 < а < е^1. Для методов с полиномиальной скоростью сходимости число итераций п, необходимое для достижения ошибки порядка 8, имеет асимптотику п ® 8_/, что существенно ограничивает их применение для расчетов с высокой точностью.
Особое внимание в теории решения нелинейных уравнений уделяется методам со сверхлинейной скоростью сходимости. При практических расчетах традиционно применяют методы с квадратичной сходимостью, так как итерационные процессы более высокого порядка (пг> 2) обычно требуют серьезного увеличения вычислительных затрат.
6.1. Метод простой итерации и смежные вопросы
Исходное уравнение/(х) = 0 часто заменяют эквивалентным ему уравнением х= ф(х). Эту замену можно сделать, положив, например, ф(х) = х+\|/(х)/(х),
где ф(х) — произвольная непрерывная знакопостоянная функция.
Метод простой итерации. Выберем некоторое начальное приближение % е [а, Ь] к корню 2, дальнейшие приближения будем вычислять по формуле
х„+1 = фО„)> « = 0, 1,2,....
232
6.1. Метод простой итерации и смежные вопросы
Последовательность хп стремится экспоненциально к z, например, если отображение у = ср(х) является сжимающим, т. е. при некотором 0 < q < 1 выполнено условие р(ф(х1), ф(х2)) < qp(xp х2), либо слабо сжимающим {полиномиально), т. е. при некоторых а > 0, / > 1 выполнено условие
р(ф(х,),ф(х2)) <-------------
(1 +ар'(Х], х2))ш
Здесь р(хр х2) — расстояние между точками Xj и х2.
Гарантировать сходимость метода можно либо при условии, что соответствующие оценки выполняются для всех точек хх 2 е R1, либо для точек х1>2 е [я, Ь], но дополнительно требуется, чтобы ф(х) е е [я, b] V х е [а, Ь]. Из второго условия следует, что все приближения хп принадлежат отрезку [а, Ь].
Метод секущих. Пусть хп-1 и хп— последовательные приближения к корню. Заменим кривую у = f(x) прямой, проходящей через точки (xn_vf(xn_x)) и (хп,/(хи)). В качестве следующего приближения к корню возьмем точку пересечения этой прямой с осью абсцисс. Расчетная формула принимает вид
X = х - Х” ~ Х” ~ 1 f( X )
Метод хорд. Пусть f(a)f(b) < 0. Идея метода (его еще называют методом ложного положения) состоит в замене кривой у = f(x) хордами, проходящими через концы отрезков, в которых функция /(х) имеет противоположные знаки. Метод хорд требует, чтобы один конец отрезка, на котором ищется корень, был неподвижен. В качестве неподвижного конца выбирают конец отрезка, для которого знак/(х) совпадает со знаком второй производной/"(х). Расчетная формула имеет вид
X''+l=X"_/(xn)-/x0)Z(Xn)-
Метод парабол. Пусть хп_2, хп_х и хп— три последовательных приближения к корню. Заменим кривую y = f(x) параболой, проходящей через точки (х„_2, f(x„_2)), (х„_ р/(х„_ J) и (x„,/(xN)). В качестве следующего приближения к корню возьмем ближайшую к хп точку пересечения этой параболы с осью абсцисс. Этот подход исключительно эффективен для нахождения корней многочлена как с действительными, так и с комплексными коэффициентами.
При нахождении кратных корней (р > 1) для большинства алгоритмов характерно замедление скорости сходимости.
233
ГЛАВА 6. Решение нелинейных уравнений
Методы решения систем нелинейных уравнений. Рассмотрим некоторые из этих методов. Будем считать, что в операторной форме данная система записывается в виде F(x) = 0 при х = (х1,..., хт)т:
1/Дх1, х2,..., хт) = О,
'^(х1, х2,..., х”1) = О,
\fm(xl,x2, ...,xm) = 0.
Тогда для решения задачи можно пытаться построить некоторое сжимающее отображение G(x) и применить метод простой итерации xn+1 - G(xn). В многомерном случае также возможна следующая модификация метода:
Хп + 1 = gl(xjl, X2,..., X?), , *2П+1 = &(*!,+ 1 ’ х2П’-’ хп)>
— (Т ( rl	Ytn ~	1
.и + 1 бт^лп + 1 ’ ••• ’	+ 1 ’ п
Оператор G(x) можно взять, например, в виде G(x) = х - tF(x). Это соответствует обобщению метода простой итерации для систем линейных уравнений (хи + j - хп)/т -I- F(xn) - 0 на случай нелинейных задач.
Если из функции F удается выделить некоторую главную линейную часть, т. е. получить представление F(x) = Вх + Н(х), то можно использовать метод Пикара Вхп + 1 + Н(хп) = 0, или его модификацию
X — X
B^J------п + F(x ) = 0.
т	"
Обобщением метода Гаусса— Зейделя и метода Якоби на нелинейный случай является метод покоординатного спуска: компоненты очередного приближения хп + , определяют при решении одномерных нелинейных уравнений следующих систем соответственно:
f1(x‘ + |,x2,...,X„w)=0,
,/2(^+1>^+1>->Х'',) = 0)
£n(xJ+l
/|(х' + 1,х2,...,х™) = 0) /2(х^х2+1,...,Х^) = 0, |/„(х>>...>х--',х-+1) = °.
234
6.1. Метод простой итерации и смежные вопросы
В некоторых случаях нахождение корней системы уравнений удобно свести к нахождению минимума некоторого функционала Ф(х), например Ф(х) = IIF(x)ll2. Напомним, что таким же образом строились методы решения линейных систем. Для решения задачи минимизации Ф(х) можно рассмотреть следующий нестационарный процесс, который называют методом установления:
+ grad<D(x(r)) = 0.
Так как grad Ф(х) # 0, имеем
-^Ф(х) = (grad®(x), ) = -(grad Ф(х), grad Ф(х)) <0,
то вдоль траектории x(t) значение Ф(х) не возрастает.
Другой возможный нестационарный процесс, решение которого также устанавливается в точке минимума, имеет вид
+ Y^ + grad<D(x) = 0, у > 0.
В данном случае вдоль траектории не возрастает значение функ-1 ( dx dx А
ционала -	, — J + Ф(х). При численной реализации операторы
производных заменяют соответствующими разностными аналогами. □ 6.1. Пусть уравнение /(х) = х - ф(х) = 0 имеет корень z, для его вычисления применяется метод простой итерации хп+1 = ф(хп), функция ф(х) имеет непрерывную производную в открытой окрестности ни 1ф'(z)I < q < 1. Доказать, что метод сходится к гпри выборе начального приближения из некоторой окрестности корня.
Решение. Функция ф'(х) непрерывна и 1ф'(г)1 < 1, следовательно, 1ф'(х)1 < 1 в некоторой окрестности Qg = [z- 8, z + 8]. Возьмем произвольную точку е Qg. По теореме Лагранжа имеем ф(х^) -= ф(г) + ф'(£)(х^~ z), где точка £ g Qg. Так как z- ф(г), то 1ф(х^) - zl -- 1ф'(£)(*Ь ~ 2)1 < Ix^ - zl, т. е. функция ф отображает отрезок Qg в себя. Далее, так как
хп+\~ 2=ф(х„)-ф(г), п = 0,1,2,...,
то по теореме Лагранжа для каждого п существует такое что
235
ГЛАВА 6. Решение нелинейных уравнений
Последовательно применяя указанную теорему, получаем Хп+ 1 - Z= (х„- г)ф'(^) = (Х„_ , - z)<p'(U<P'(V 1) = •••
... = Ц) -	,)-ф'(^о)>
где $п, р ..., е Q5. Так как 1ф'(^)1 <<?,» = О, 1, 2,..., п, то
lxn+, - zl < lx^-zlq"+'.
При q < 1 правая часть этого неравенства стремится к нулю, т. е. последовательность хп сходится к корню Z,
□	6.2. Дополнительно к условиям 6.1 потребуем cp'(z) = 0, непрерывность и ограниченность ф"(х). Доказать, что для метода хп+ j = = ф(хп) в окрестности корня z верна квадратичная оценка сходимости lz-Хп+ ,1 С C(z-x„)2.
Решение. Оценим (см. решение 6.1) скорость сходимости метода для хп е Qs:
х„+1-г=ф(х„)-ф(г) = ф(г+ (х„-г))-ф(г) =
= ф(г) + (х„ - г)ф'(г) + (х„ - г)2ф"(^„) - ф(г) =
= Ф_^(хп-г)2,	[х„,г].
□	6.3. Пусть на некотором отрезке Qg = [а - 8, а + 8] функция ф(х) удовлетворяет условию Липшица I<р(х') - ф(х")1 < q\x' - х"1 с константой q < 1 и в точке а выполняется неравенство 1а- ф(я)1 < (1 - q)8. Показать, что на отрезке Qg уравнение/(х) = х- (р(х) = 0 имеет единственный корень zn последовательность хп = ф(хп_ j) сходится к корню гдля произвольного х^ g Qg.
Решение. Пусть х^ е Qg, т. е. I а - х^1 < 8. Тогда
1<Р(*b) “ = |ф(*Ь) ~	+ ф(«) - «I <
< 1ф(х^) - ф(я)1 + 1ф(я) - а\ < q\xQ - а\ + (1 - q)8 < 8.
Таким образом, функция ф(х) отображает Qg в себя и является, по условию Липшица, сжимающей с константой q. Применяя принцип сжимающих отображений, завершаем решение.
□ 6.4. Пусть функция/'(у) непрерывна и 1/(хп)//'(у)1 < 8 для всех у е [х„ - 8, х„ + 8]. Доказать, что для некоторого z е [хп - 8, хп + 8] справедливо равенство/(z) = 0.
236
6.1. Метод простой итерации и смежные вопросы
Решение. По теореме Лагранжа имеем f(xn + t) = f(xn) + f'(y)t, отсюда следует f(xn + t)/f'(y) = f(xn)/f'(y) + t. Выражение в правой части равенства неотрицательно при t= 8 и неположительно при t = -8. Из условия следует, что производная функции не меняет знака при t е [-8, 8], поэтому приходим к выводу, что если оба значения f(xn - 8) и f(xn + 8) отличны от нуля, то они имеют разные знаки.
Установленный факт лежит в основе точки зрения, согласно которой в качестве критерия остановки итерационного метода для нахождения простых корней условие 1/(хп)//'(хп)1 < 8 предпочтительнее, чем условие 1/(хп)1 < 8.
□	6.5. Пусть уравнение/(х) - 0 имеет корень на отрезке [я, Ь], причем функция/(х) дифференцируема, а производная /'(х) знакопостоянна на этом отрезке. Построить равносильное уравнение вида х=ф(х), для которого на [я, Ь] выполнено условие 1ф'(х)1 < q< 1.
Решение. Для определенности будем считать, что f'(x) > 0. Пусть 0 < т < f'(x) < М. Заменим исходное уравнение/(х) - 0 равносильным
х= (р(х), (р(х) = х- Х/(х), X > 0.
Подберем параметр X так, чтобы на [я, Ь] выполнялось неравенство 0 < ф'(х) = 1 “ tf'W < q < 1.
При X = 1/М получаем q = 1 - т!М <1.
□	6.6. Построить итерационный процесс вычисления всех корней уравнения /(х) - х3 + Зх2 -1=0 методом простой итерации.
Решение. Табличным способом выделим отрезки, на концах которых функция/(х) имеет разные знаки:
X	-3	-2	-1	0	1	2	3
sign /(х)	-	+	+	-	+	+	+
Таким образом, корни исходного уравнения лежат на отрезках [-3, -2], [-1, 0], [0, 1], для каждого из которых построим свой итерационный процесс.
Так как на [-3, -2] имеем х^ 0, то исходное уравнение можно разделить на х2. В результате получаем равносильное уравнение
х = ф(х), ф(х) = 1/х2 - 3.
237
ГЛАВА 6. Решение нелинейных уравнений
Итерационный процесс для нахождения первого корня: хп+1 = = 1/х2 - 3. Сходимость имеет место для всех начальных приближений х0 из этого отрезка, так как для х е [-3, -2] имеет место оценка
1<р'(х)1 =
2_
X3
< I < 1, ф(х) е [-3,-2].
Для двух других отрезков исходное уравнение представим следующим образом: х2(х + 3) - 1 = 0, при этом х + 3 0. Если Xq g [-1,0], то определим итерационный процесс в виде хп+1= ,jxn + 3 ; если
Xg g [0, 1 ], то в виде хп + j = 1/ ^/х^ + 3 . Можно показать, что в процессе итераций соответствующие отрезки отображаются в себя, поэтому (см. 6.1) сходимость построенных итерационных процессов сле
дует из оценки
1	3
л/х + 3
1<р'(х)1 =
< 1.
□	6.7. Определить область начальных приближений Xq, для которых итерационный процесс хп+ 1 = (х3 + 1 )/20 сходится.
Решение. Решаем уравнение х3 - 20х +1=0, имеющее три различных вещественных корня: zx <	< zy В зависимости от выбо-
ра начального приближения Xq итерационный процесс либо расходится, либо сойдется к одному из корней zp i = 1, 2, 3.
Запишем формулу итерационного процесса в виде
хп+1~хп= (х+20х„ + 1)/20,
или, что то же самое, — в эквивалентной форме:
х„+ 1 ~х„ = (х„ - zi)(xn - ^)(хп - 2з)/20 •
Отсюда имеем, что при хп < Zj справедливо неравенство хп + j - хп < 0, и последовательность хп монотонно убывает. Это означает расходимость итерационного процесса при х^ < zp так как хп < х[} < z^ i= 1, 2, 3. Аналогично показывается, что при < Xq выполняются неравенства z- < хп < хп + р и метод расходится.
Точки х^ = zp Xq = z2 и Xq = % являются неподвижными, а отображение хи + j = (х3 + 1 )/20 монотонно. Отсюда следует, что для zx < х^ <
238
6.1. Метод простой итерации и смежные вопросы
имеем Zj < хп < х// + 1 < Zj. Таким образом, последовательность хп монотонно возрастает и ограничена сверху, следовательно, итерационный процесс сходится к точке z^ Аналогично доказывается, что для z, < Xq < ц имеем + j < хи < ^, т. е. метод сходится к точке
□	6.8. Оценить скорость сходимости итерационного процесса хп+[ = - хп — х$ + х* к корню z = 0 при малых х^.
□	6.9. Оценить скорость сходимости метода хорд.
Решение. Представим сходящийся метод хорд как частный случай метода простой итерации:
х = ф(х),
Вблизи простого корня z уравнения/(х) = 0 имеем
xn+\-z=(xn-z)<p'(z) + ^(x„-z)2<p"(^),^ е [хп, z], .
где
<p'<z) = 1 +	=
J\xo)
f(z)-f'(z)(z-x0) + -Ц^(2-х0)2 + /'(z)(z-x0)
f(x0)
Если начальное приближение Xq взять в такой окрестности корня, что 1<р'(Х)1 < q < 1, то, учитывая 6.1, приходим к выводу, что метод хорд имеет линейную скорость сходимости.
□ 6.10. Пусть z— простой корень уравнения/(х) - 0. Оценить скорость сходимости метода секущих.
Решение. Преобразуем расчетную формулу метода секущих
X = х -	~	~ 1 f(x }
И+1 " п)
к виду
((*„- z) - (х , — z))f(z + (хп- Z))
Х„ . . - Z = х, - Z- —-------—---------------- .
f(z+ (хп-z)) -f(z+ (х„_ 1 - Z))
239
ГЛАВА 6. Решение нелинейных уравнений
Разложим f(z + (хп - z)) nf(z + (хп_ j - z)) в ряды Тейлора в точке zh подставим в последнюю формулу, учитывая, что f(z) = 0. Имеем
_	(*п - 2)/'(z) + 0>5(х„ - z)2f"(z) + ...	=
"+1	”	/'(z) + 0,5((х„- z) + (*„_! - z))f"(z) + ...
1 + 0,5(х„ - z)£^ + ...
= (х - z) 1 -___________________£1^_____________ =
[	l+0,5(xn-z)^g + 0,5(xn.1-z)^+... ?
= 0,5(х - z)(x„_1-	+ О((х - z)}).
f (z) п
Опустив члены более высокого порядка малости, для ошибки получаем уравнение
xn + l-z=C(x„-z)(xn_l-z), с= f'(z)*o.
Предположим, что скорость сходимости определяется соотношением xn + j - z— А(хп - z)my в котором значения А и т пока неизвестны. Тогда хп - z- А(хп_х - z)w, откуда хп_ , - z = A~i/m(xn - z)[/m. Подставим эти соотношения в уравнение для ошибки
А(хп- z)m = С(хп- z)A~i/m(xn - z)x/m.
Приравнивая степени и коэффициенты многочленов, получаем два уравнения с двумя неизвестными
m = 1 + 1/ш, 1 = С/Н1 +
Из первого уравнения находим показатель скорости сходимости метода секущих т = 0,5(1 + 75) « 1,618. При этом константа А равна <1 f”(z) V,m
<2f\z)J	’
□ 6.11. Доказать, что все корни уравнения
/(х) = апхп -I- ап_ххп~1 -I-... -I- с^х* а0 = 0
расположены в кольце ,	.., < Izl < 1 +	, где с - max {Ш, 1д.1,...
Мдо|	ы
... > 1лп_ J}, b= max {laj, 1л21,..., 1л„1}.
Решение. Для корней Izl > 1 имеем
flnzn = ~(ап- \ Zn 1 + ... + fljZ-l- Ло), Izl < Z I I I I I |,_ ! r~i id । | »
|дл| 1^Г	p„||Z|-l
откуда Izl - 1 < d\an\ и Izl < 1 + d\an\.
240
6.1. Метод простой итерации и смежные вопросы
Если теперь 1^1 > О, то все корни уравнения отличны от нуля. Делая замену и = 1/z, приходим к уравнению а^ип + а}ип~[ + ... + ап = 0. Из предыдущей оценки следует
1м1 < 1 + Ь/1л01, или Izl > laol/(b + 1л01).
□	6.12. Доказать, что если при х - а имеют место неравенства/(а) > 0, f'(a) > 0,...	> 0, то уравнение
/(х) = апхп + ап_ ххп~1 + ... + а{х+ aQ = 0
не имеет действительных корней, больших а.
Указание. Использовать формулу Тейлора для полинома /(х) степени п
f(x)=f(a)+ i 1 /<*)(«)(%-«Я к = 1 К'.
□	6.13. Найти границы действительных корней уравнения
х4 - 35х3 + 380х2 - 1350х + 1000 = 0.
Указание. Применяя метод решения 6.12, получить, что положительные корни расположены на [0,74; 22], а отрицательных корней нет.
□	6.14. Пусть хп+ j = Jxn -I- 2 . Доказать, что lim хп-2 для любого п —* °°
*	io —2.
Решение. Пусть <р(х) - У х + 2 и Xq > -2. Так как (p(Xq) > 0, то сходимость метода достаточно доказать для Xq > 0. Рассмотрим отрезок Q = [0,2 -I- Xq]. Несложно проверить, что Xq g Q и cp(xn) g Q, l<p'(x)l < IVx, xn g Q. Следовательно, приближения xn+1 = cp(xj сходятся к x = 2 — единственной неподвижной точке отображения ф(х).
□	6.15. Доказать, что итерационный процесс хп+[= cos хп сходится для любого начального приближения х^ g R1.
Решение. При любом Xq g R1 имеем х{ g [-1, 1]. Для этого отрезка выполнены условия сходимости метода простой итерации хп+1 = cos хп.
□	6.16. Исследовать сходимость метода простой итерации хп+1 -= х2 - 2хп -I- 2 в зависимости от выбора начального приближения Xq.
16 - Ю25
241
ГЛАВА 6. Решение нелинейных уравнений
Решение. Уравнение х = х2 - 2х + 2 имеет два корня Zj = 1 и = 2. Пусть ф(х) = х2 - 2х 4- 2, тогда при х е (1/2, 3/2) имеем ср(х) е (1/2, 3/2), lcp'(x)l < 1- Поэтому при х0 е (1/2, 3/2) приближения сходятся к zv Дальнейший анализ проводим аналогично решению 6.7, используя, в частности, эквивалентную запись итерационного метода в виде 2)(^„ - D-
Ответ: метод сходится к zx - 1 при х{} е (0, 2). Если Xq = О или Xq = 2, то метод сходится к = 2. Для остальных начальных приближений метод расходится.
□	6.17. Для уравнения х = 2х"1, имеющего корни zx = 1 и = 2, рассмотрим метод простой итерации. Исследовать его сходимость в зависимости от выбора начального приближения Xq.
Решение. Пусть ф(х) = 2Х~ \ тогда ф'(х) < 1 при х е (-°°, х*), где х* е (1, 2) — решение уравнения 2х" 1 In 2 = 1. Функция ф(х) отображает промежуток (-°°, х*) в себя. Таким образом, при % е (-°°, х*) метод сходится к z - 1. При Xq < 2 приближения хп монотонно убывают и при некотором п попадают в (-°°, х*) (ср. с решением 6.14), поэтому сходятся к z- 1. При Xq > 2 приближения стремятся к °°.
□	6.18. Доказать, что метод простой итерации для решения уравнения х - ф(х) сходится при любом начальном приближении: 1) ф(х) = a sin2 х+ р cos2 х -I- у, где 1а - pi < 1; 2) ф(х) - ae~bx2 -I- с, где b > 0, 2а2Ь < е.
Указание. 2) Найти максимальное значение 1ф'(х)1> ф(х) = = ae~bx2 -I- с, и убедиться, что оно при указанных условиях меньше 1.
□	6.19. Уравнение х+ In х= 0, имеющее корень z* 0,6, предлагается решать одним из следующих методов простой итерации: 1) хп+ j = = -In х„; 2) хп + j = е~х" ;3)хп+х = (хп + е~х” )/2; 4) хп+х = (Зх„ + 5е~х” )/8. Исследовать сходимость этих методов и сравнить их скорости.
□	6.20. Пусть ф(х) g C(1)[z- 8, z + 8], где z— единственная неподвижная точка для ф(х). Может ли метод простой итерации сходиться к z, если 1ф'(z)I = 1? Может ли он расходиться в этом случае?
Указание. Рассмотреть два примера. 1)ф(х) = sin х, z = 0, ^'(z)l - 1, метод сходится с любого начального приближения. 2) ф(х) = х2 + х, z- 0,1ф'(z)I - 1, метод расходится, если Xq > 0.
242
6.1. Метод простой итерации и смежные вопросы
□ 6.21. Показать, что для всякого а существует единственное решение ze уравнения x+£sinx+a = 0 при Id < 1.
Решение. Воспользовавшись заменой у - х + а, преобразуем уравнение к виду у + £ sin (у - а) = 0 и обозначим ф(у) = -£ sin (у - а). функция ф(у) преобразует множество R1 в отрезок Qe = [-lei, Id], поэтому можно считать, что у е Qe. При Id < 1 имеем 1ф'(у)1 < Id < 1, поэтому ф(у) является сжимающим отображением на отрезке Qe, следовательно, имеет единственную неподвижную точку у* -
Пусть теперь Id = 1. Тогда для произвольных ур у2 имеем
У1	У2
ф(у2)-ф(у|) = I ф'(0 dt = - е J cos (г-д) dr.
У1	У.
Так как ур у2 е Qe> то cos а) может обратиться в единицу лишь в конечном числе точек, поэтому
У1
J cos (t- a) dt
У1
< <?1у2 - УЛ <7 < L
Таким образом, 1ф(у2) ~ ф(У1)। <?1у2 “/Л т- е- ф(/) задает сжимающее отображение, поэтому имеет единственную неподвижную точку.
□	6.22. Найти область сходимости метода простой итерации для следующих уравнений: 1) х- е2х- 1; 2) х= 1/2 - In х; 3) х = tg х.
□	6.23. Записать расчетные формулы метода парабол и найти корни уравнения 2х + 1g х = -0,5 с точностью 10~2.
□	6.24. Оценить скорость сходимости метода секущих в случае р-кратного корня.
□	6.25. Пусть отображение ф: R” —* R" имеет единственную неподвижную точку Z - ф(г) и непрерывно дифференцируемо в некоторой ее окрестности.
1) Доказать, что если все собственные значения его якобиана ф'(х) в точке z по модулю больше 1, то метод простой итерации не сходится.
2) Известно, что хотя бы одно собственное значение якобиана ф'(г) по модулю больше 1. Можно ли утверждать, что для всех приближений х0, достаточно близких к z, верна оценка Ilz - ф(х0)11 < < II z - х0Н?
16*
243
ГЛАВА 6. Решение нелинейных уравнений
Решение. 1) Введем обозначение: А = cp'(z). Собственные значения матрицы А больше единицы по модулю, поэтому существует А-1 со спектральным радиусом р(А-1) < 1. Известно (см. 5.41), что для любого 8 > 0 найдется норма 11*11* такая, что II А-1 II* < р(А-1) + 8, следовательно, II А-1 II* = q < 1 при достаточно малом 8 > 0. Далее, если IIBII* = а < 1/q, то существует (А + В)-1 и 11 (А -I- В )-111* < q/(l - aq). При достаточно малом а получаем ll(A -I- В)-1 II* = qx < 1.
Пусть теперь U(z) — такая окрестность z, что Нф'(х) _ Ф' (z)11* < ос для х g U(z). Допустим, что начальное приближение х0 g l/(z), метод сходится и все хп g U(z). Тогда для погрешности еп = хп - z имеем en+ j = ф'(у)еп, у е I7(z), поэтому для любого п справедливо равенство
е„ = (А + (ф'(у) - <p'(z)))-1e„+ ,, откуда следует, что
ИеЛ<<?111е„+1П*.
Поэтому IleolI* < qfllejl*, т. е. в пределе получаем IleolI* = 0, что противоречит произвольности выбора начального приближения из окрестности l/(z).
2) Приведенная в условии оценка неверна, что следует из разложения функции z в ряд Тейлора в точке х0 = z + е0:
г - <р(х0) = ф(г) - ф(х0) = ф'(г)е0 + о(IleolI), где е0 имеет достаточно малую норму и пропорционален собственному вектору, отвечающему собственному значению, которое по модулю больше единицы.
6,2, Метод Ньютона. Итерации высшего порядка
Метод Ньютона. В случае одного уравнения формула метода Ньютона имеет вид
Метод состоит в замене дуги кривой у = /(х) касательной к ней в процессе каждой итерации. Это видно из уравнения касательной, проведенной в точке (хп,/(хи)):
у-Ж)=/'(хи)(х-х„)’
из которого следует формула итерационного процесса, если положить у - 0 и х = хп+ р
244
6.2. Метод Ньютона. Итерации высшего порядка
Метод Ньютона соответствует методу простой итерации (хп + ! - хп)/тп + f(xn) - 0 с оптимальным, в некотором смысле, параметром тп. Действительно, пусть z— изолированный простой (т. е. f'(z)	0) корень, пусть также zn все хппринадлежат некоторому от-
резку [а, Ь]. Тогда
Z-*n+l = 2-X„ + Tj(x„)-T„/(z) = (1-Tn/'(^))(Z-Xn), следовательно, при хп - l/y'(J;„) метод сходится за одну итерацию. Точка неизвестна, поэтому на текущем шаге выбираем т„ = Ilf '(*„), при этом верна оценка
max	lz-x„l.
e [д, fe]
Рассмотрим случай системы m нелинейных уравнений
F(x) - 0,
где х = (х1,..., х"1)7, F = (/р ... ,fm)T. Будем предполагать отображение F: R"1 —* R"1 непрерывно дифференцируемым в некоторой окрестности решения z, так что
В предположении обратимости этого оператора метод Ньютона можно записать в виде
х„+1 =x„-(F'(xn))-‘F(xn).
Введем обозначение: Qa = {х: Их - zll < а}, где 11*11 — норма в Rw. Пусть при некоторых a, av а2: 0 < а, 0 < а2 < °°, выполнены следующие условия:
1) 11 (F '(х) )-1yl I < 11 у 11 при х е и V у;
2) IIF^) - F(u2) - F'(u2)(u1 - u2) 11 <	- u2l I2 при up u2 g Cla.
Обозначим также c= b = min (a, c-1).
Теорема. При условиях 1), 2) и х0 g метод Ньютона сходится с оценкой погрешности
llx„-zll < с-1 (cllx0-zll)2”, т. е. квадратично.
Условия теоремы гарантируют, что корень z простой. В случае двукратного корня (р = 2) метод Ньютона сходится линейно; скорость сходимости замедляется при повышении кратности.
245
ГЛАВА 6. Решение нелинейных уравнений
Интерполяционные методы построения итераций высшего порядка. Пусть х„,..., хп_ т + j — набор из т приближений к корню z функции /(х). Тогда в качестве очередного приближения хп+ j целесообразно выбрать ближайший к хп нуль интерполяционного многочлена Lm(x), построенного по узлам хп,..., хп_т+ р Это требует нахождения корней многочлена Ltn(x). Как следствие, широко применяют только алгоритмы при т = 2, 3, т. е. метод секущих и метод парабол.
Чтобы избежать проблем, связанных с решением алгебраического уравнения Lm(x) = 0, естественно интерполировать обратную к у = /(х) функцию х = Ну) по узлам уп_ i = f(xn_ i - 0, ..., т - 1, и в качестве очередного приближения взять значение полученного интерполяционного многочлена в нуле. Линейная обратная интерполяция (т = 2) соответствует методу секущих, но уже при т - 3 прямая и обратная интерполяция приводят к различным алгоритмам.
Метод Чебышёва. Пусть z— простой корень уравнения/(х) = О и Ну) — обратная к/(х) функция. Тогда х = Hf (*)) и z- F(0). Разложим F(0) в ряд Тейлора в окрестности некоторой точки у
F(0) = F(y) + S F<*)(y)bl‘ + ....
Приблизим значение F(0) значением частичной суммы в точке У = /(х)
z = F(0) « ф„,(х) = X +	(-1 )kF'k>(f (х)),
что соответствует замене исходной функции F многочленом <pw, производные которого совпадают с соответствующими производными F в точке у = /(х). Итерационный метод вида хп+1 = 4>т(хп) имеет порядок сходимости т + 1.
52-Процесс Эйткена. Вычислим по имеющемуся приближению хп значения хп+ 1 = <р(хп) и xn + 2 = ср(хп + Так как в малой окрестности простого корня z имеются представления
х„+ J - Z* <p\z\xn - z), х„ + 2 - Z* <p'(^)(x„+ J - z),
то из данных соотношений получаем
ХП+2-Х„+1	X„+2-<p'(z)X„+ , Х„ + 2Х„-х2+1
ф (Z) * --------, Z* -----;---Т—---- «= -----г------- .
хи+|-х„	1-ф(г) хп + 2-2х„+1+хп
246
6.2. Метод Ньютона. Итерации высшего порядка
Таким образом, за следующее после хп приближение разумно принять
_ xn<p(<p(xn))-<p(xn)<p(x,,) _ , , n (<p(<p(x„))-<p(x„))2
Х"+1	ф(ф(х„)) - 2ф(х„) + х„ ф ф Х" ф(ф(х„))-2ф(х„) + х,,'
Известно, что если процесс хп + } = ф(хп) имел линейную скорость сходимости, то данная модификация имеет скорость сходимости более высокого порядка, но, возможно, только сверхлинейную. Применение рассмотренной модификации, например, к квадратично сходящейся последовательности формально не приводит к повышению порядка сходимости. Данное преобразование является частным случаем (при <рх = <р2 = <р) метода Стеффенсона — Хаусхолдера — Островского построения итерационной функции <р3 более высокого порядка по известным срт и ср2:
=	хф1(ф2(х))-ф1(х)ф2(х)
3	х-ф!(х)-ф2(х) + ф!(ф2(х))’
□ 6.26. Построить итерационный метод Ньютона для вычисления %/а, а > 0, где р — вещественное число.
Решение. Значение Pj~a является корнем уравнения
f(x) = хР- а - 0.
Для этого уравнения метод Ньютона имеет вид
/(*„)	х?г~а	р-1	а
Х„ . . = Х~ 77---7 = Хп- --------- = £--Х„ + --------- .
/(х„)	рхР~' р	рхР~1
Для р = 2 получаем х„ + j = | (хп + —
2	Хп
□ 6.27. Пусть уравнение/(х) имеет на отрезке [а, Ь] простой корень, причем /(х) — трижды непрерывно дифференцируемая функция. Показать, что при этих условиях метод Ньютона имеет квадратичную скорость сходимости.
f(x ) Решение. Метод Ньютона имеет вид х„. . = х„ - •••”• . Обо----------- f(x„)
значим через z искомый корень. Тогда z — корень уравнения х= ф(х),
ф(х) = х-
У(х)
Г(х)‘
Таким образом, можно рассматривать метод Ньюто-
на как частный случай метода простой итерации, для которого
ф'(х)
_ /(х)/7х) (Г(Х))2
, следовательно, ф'(<?) = 0.
247
ГЛАВА 6. Решение нелинейных уравнений
Согласно 6.1, найдется такая окрестность корня Qs, что cp(Qs) cz Qs. Оценим скорость сходимости метода Ньютона, используя разложение в ряд Тейлора в окрестности точки z
хп+\- z=<p(xn)-q>(z) = i(x„-z)2(p"(^),^ е [хп, z].
Итак, вблизи корня метод Ньютона имеет квадратичную скорость сходимости.
□	6.28. Пусть уравнение /(х) = 0 имеет на отрезке [а, Ь] корень z кратности р, причем /(х) — дважды непрерывно дифференцируемая функция.
Показать, что при этих условиях метод Ньютона сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем (р- 1)/р.
Решение. Поступая так же, как и в случае простого корня 6.27, получим хп+ ! - z= (х„- z)cp'(z) + о,5(х„- z)2cp "(!;), где е [хп, z], Однако в случае р > 1 в выражении
ф'(х) = W^x)
(/'(х))2
при х = z содержится неопределенность «нуль на нуль», так как z— одновременно корень уравнения/'(х) = 0. Оценим ср'(х).
Функция /(х) в окрестности корня z кратности р ведет себя как а(х- z)P -I- o(lx- zl£), где а— константа. Тогда в малой окрестности корня
ф'(х) = Ах)/"(х) = а(х-г)Рар(р- l)(x-z)P-2	(1)
Т (/'(х))2	а2р2(х-z)2P“2	V ”
4>'(z) =	< 1.
P
Отсюда следует, что чем выше кратность корня, тем медленнее сходимость.
□	6.29. Пусть уравнение f(x) = 0 имеет на отрезке [а, Ь] корень z кратности р, причем f(x)— дважды непрерывно дифференцируемая функция. Построить модификацию метода Ньютона, имеющую квадратичную скорость сходимости.
Решение. Требуемую модификацию будем искать в виде
f(*„)
248
6.2. Метод Ньютона. Итерации высшего порядка
и подберем параметр а так, чтобы имела место квадратичная сходимость. Рассмотрим данную модификацию как специальный случай метода простой итерации хп+х= ф(хп), для которого выполнено z = cp(z), причем вблизи корня
ф'(х) = 1 - а +	= 1 - а + а£—!- -I- о (1),
(/'(х))2	р
р
Для обеспечения квадратичной сходимости параметр а надо подобрать таким, чтобы cp'(z) = 0, что и выполняется при а = р.
□	6.30. Построить метод Ньютона для вычисления значения а~1 так, чтобы расчетные формулы не содержали операций деления. Определить область сходимости метода при а > 0.
Решение. Искомое число является корнем уравнения 1/(ох) - 1 -= 0. Для этого уравнения метод Ньютона имеет вид хп+ j - 2хп - ах^, илихп+1 = хп(2-ахп).
Если х^ = 0 или х^ = 2/а, то сходимость к корню не имеет места, так как все хп равны нулю. Если Xq < 0, то сходимости также не будет, поскольку все хп останутся отрицательными. Если взять Xq > 2/а, то также все хп < 0.
Из вида итерационного процесса следует, если хп е (0,1/а], то хп+ j е е (0, 1/я], если же хп е [1/я, 2/я), то хп + j е [0, 1/я). Пусть хп е (0, 1/я]. Тогда из равенства хп + , - хп = х„( 1 - ахп) получаем, что хп + , > хЛ, а из условия хп + j = хп(2 - ахп)у что хп + j < 1/а. Так как итерационный процесс имеет две неподвижные точки 0 и 1/я, то приближения сходятся к 1/а.
Таким образом, сходимость к корню имеет место, если начальное приближение берется из интервала (0, 2/а).
□	6.31. Пусть уравнение f(x) = 0 имеет на отрезке [я, Ь] корень zнеизвестной кратности р > 1, причем/(х) — трижды непрерывно дифференцируемая функция. Построить модификацию метода Ньютона с квадратичной скоростью сходимости и предложить способ численной оценки величины кратности корня.
Решение. Для уравнения g(x)
/(*) f'(x)
= 0 корень z— простой,
следовательно, для уравнения g(x) = 0 метод Ньютона выглядит так:
"+1	g’(X„)	"	(/'(Х„))2-/(Х„)/"(ХП)
249
ГЛАВА 6. Решение нелинейных уравнений
и имеет квадратичный порядок сходимости. В окрестности z функция/(х) « а(х- z)Py поэтому
а(х) = № * a(x-z)P = 1 , _ . f'(x) ap(x-z)P~l р
Из двух соседних итераций для х} и х2 имеем систему приближенных уравнений
g(*[) * i (х, - z), g(x2) * 1 (x2 - z).
Отсюда получаем оценку для кратности р корня z:
---*2-.
Р £(*2)-£(*1)
Такой способ оценивания р можно применять на каждой итерации.
□	6.32. Пусть для решения уравнения х3 - х - 0 применяется метод Ньютона. При каком начальном приближении он сходится и к какому корню?
Ответ: обозначим области сходимости метода Ньютона
х„+ ] = Ф(х„), ф(х) = 2х3/(Зх2 - 1)
к корням z- -1, 0, +1 через Х_, Хо, Х+ соответственно. Кроме того, определим последовательности точек {х±} для и > О следующими условиями:
ф(х±+ ! ) = х±, Х± =±1/73,
для элементов которых справедливы неравенства
-1/ л/з = Xq < xf < Х2 < ... < -1/ л/5 < 0 <
<1/75 < ... < xj < xj- < х^ = 1/7з
и существуют пределы
lim х^е	= lim хГъ}	= -1/75, lim	xtr = lim	х7е ,	= 1/75.
fc—оо	1	k—°°	к-~°°	1
Тогда
X = (-оо, х0 ) и [(*2£_ j > x2k ) U (x2k_ j , x^{k_ р )],
Xo= (-1/75,1/75),
- (4> 00) U	[ ( X2( k - 1)’ X2k- J U (x2k у X2k_ J )].
250
6.2. Метод Ньютона. Итерации высшего порядка
Кроме того, если = х±, и > 0, то метод не определен, а при % = +!/ имеем х, = ±1/^/5 , т. е. метод «зацикливается».
Таким образом, области сходимости к корням z - ±1 являются объединениями перемежающихся открытых интервалов, разделенных точками зацикливания метода.
□	6.33. Доказать, что если на [а, Ь] функция f'(x) не обращается в нуль, функция/"(х) непрерывна и не меняет знака, кроме того, выполнены условия
/(»)/№< о. тах[|Ж,|Ж|]
Ь- а,
то метод Ньютона для решения уравнения/(х) - 0 сходится при любом е [а, Ь].
□	6.34. Указать область сходимости метода решения уравнения х- 1/а, не содержащего операций деления:
х„+1 = (1 + С)х„- аСх*,
в зависимости от параметра С 0.
□	6.35. Рассматривается метод Ньютона вычисления Ja при 1 < а < 4, полагают равным значению многочлена наилучшего равномерного приближения для J~a на [1, 4]:	= Qf (а) - 17/24 + я/3. Дока-
зать справедливость оценки lx4 - Ja I < 0,5 • 10-25.
□	6.36. Для нахождения я1/3 используют итерационный процесс
х„+1 = Ах„ + 7Ц+с|
Найти значения параметров А, В, С, обеспечивающие максимальный порядок сходимости.
□	6.37. Записать формулы метода Чебышева для функции /(х) = = х? - а.
Решение. Обратная к f функция имеет вид F(y) = (а + у)1/р, а производные F определяются формулой
F<*>(y) = х‘-*:Р п' Г- -/ f = О V О
7=0 Р
251
ГЛАВА 6. Решение нелинейных уравнений
Таким образом,
Фш(х) = х + х S 1	П(1-М
к=\ kl V рх? ' j = o
В частности, <р2(х) = (х/р)(р- 1 + а/х?). При р - 2 получаем формулу Ньютона — Херона хп+ j = Ф2(хл) приближенного вычисления квадратных корней.
Если р = -1, то Фш(х) = х Z (1 - ах)к. В этом случае итерационно
ный процесс хп+ j - <рт(хп) при II - ах\ < 1 сходится к решению уравнения х - 1/а = 0. Данный метод позволяет находить значение 1/а с произвольной точностью, не используя операцию деления.
□	6.38. Показать, что метод вычисления а[,Р
х . = ф(х ) (Р(х) = х(р~ W + n+l *( n)’	(p+ l)xP + (p-D«
имеет третий порядок.
□	6.39. Определить порядок сходимости метода
”+1	” Г(х„)	2(/'(хп))3 •
Ответ: порядок сходимости т - 3.
□	6.40. Определить порядок сходимости модифицированного метода
тт	Яхп)
Ньютона х„+1 = х„-у^.
□	6.41. Определить порядок сходимости метода
=	_ Ж) _ /(^~(Г(х„))-7(х„))
n+1	"	f'(x„)
Ответ: порядок сходимости т = 3.
□	6.42. Для нахождения простого нуля z функции /(х) е С(4) используют итерационный метод
x„ + 1 = 0,5(y„+I +vn+1), где
/(*„)	_	s(x„)	. х _ Лх)
Уи+1 Х" Z'(x„)’ V" + 1 Xn g'(x„)’^(x) /'(X)’
252
6.2. Метод Ньютона. Итерации высшего порядка
Доказать, что если метод сходится, то скорость сходимости — кубичная.
□	6.43. Для нахождения нуля z функции f(x) используют итерационный метод
Х" + 1 = g(%n)’ g(X) = Х~ 
Исследовать поведение функции g(x) в окрестности корня z.
□	6.44. Записать расчетную формулу метода Ньютона для системы уравнений:
J sin (х +у) - 1,3х= 0,1, j х10 + у10 = 1024, 1} ]х2 + у2 = 1;	Z) \ех-еУ= 1.
□	6.45. Указать начальное приближение и оценить число итераций в методе Ньютона, требующихся для достижения точности 10-3 при решении системы уравнений
I х3-у2 = 1, | ху3 - у - 4.
□	6.46. Проверить, что z - (1, 1, 1)т— одно из решений системы уравнений F(x) - 0, где F: R3 R3 имеет вид
~ххх% + х2х3- xf - Г
х2 + Х2 + *3 “ 3
Х2Хз - 1
Сходится ли метод Ньютона к z при достаточно близких начальных приближениях?
□ 6.47. Для решения нелинейной краевой задачи
у" = Ж /) при X е (0, X), у(0) = а, у(Х) = Ь, рассматривается система нелинейных алгебраических уравнений с параметром h = X/N:
Ук+'~2ук + Ук-' =f(xk, ук), к = 1,2,..., N- 1, у0 = a, yN = b.
Здесь ук— приближения к значениям y(kh). Записать расчетные формулы метода Ньютона для решения приведенной системы. Указать способ их реализации: 1) f(x, у) = х2 + у3; 2) f(x, у) = у2 ехр (х); 3) Жу) = sin (у) cos (х).
F(x) =
253
Глава 7
Элементы теории
РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
На первых этапах практического решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных применялись методы, в которых приближенное решение строилось в виде некоторой аналитической формулы. В настоящее время наибольшее распространение получили сеточные, вариационно- и проекционно-разностные методы, позволяющие получать либо приближенные значения решения на некотором множестве точек, либо приближенное разложение решения по некоторой системе базисных функций.
В главе излагаются базовые понятия общей теории численного решения дифференциальных уравнений. Рассматриваются различные способы перехода от дифференциальных задач к разностным и некоторые точные алгоритмы решения полученных уравнений.
7.1. Основные определения
Постановки задач. Пусть в области D с границей Г задана дифференциальная задача
Lu = fbD	(27)
с граничным условием
1и = фнаГ.	(28)
Здесь L и /— дифференциальные операторы; /и ф — заданные элементы, и — искомый элемент некоторых линейных нормированных пространств F, Ф и U соответственно.
Если одной из переменных является время Г, то наиболее часто рассматривают области вида
D(t,x) = d(x) х [t0, Г],
где t— время, x = (xp ..., xn) — совокупность пространственных координат. Это означает, что решение ищется в пространственной об-
254
7.1. Основные определения
ласти d(x) на отрезке времени [г0, Т]. В этом случае условия, заданные при t= t0, называют начальными, а условия, заданные на границе Г(х) области d(x), — граничными или краевыми.
Задачу только с начальными условиями называют задачей Коши. Задачу с начальными и граничными условиями называют смешанной краевой задачей.
Для решения сформулированных задач часто используют разностный метод.
Разностный метод. Для его применения определяют некоторую сетку— конечное множество точек (узлов) Dh = Dh U ГЛ, принадлежащее области D = D U Г. Как правило, а Г. Будем рассматривать только сетки, узлами которых являются все точки пересечения заданных наборов параллельных прямых (плоскостей), причем по каждой переменной выбирается свой, как правило, постоянный шаг. Сетки по времени и пространству обычно определяют независимо. Сеточный параметр h является, в общем случае, вектором, компоненты которого состоят из шагов сетки по каждой переменной. Для изучения свойств разностных схем вводится понятие величины шага сетки, в качестве которого принимается какая-либо сеточная норма вектора h, например,
/ п \1/2
max К или llhll2= ( Z hj ] ,
где п — число независимых переменных в дифференциальной задаче. Чтобы избежать новых и ненужных обозначений, в приводимых ниже оценках под h понимается величина шага сетки.
Если X cz Y и функция v определена на множестве У, то ее следом на множестве X называют функцию, определенную на X и совпадающую там с V. Если функция v определена на некотором множестве У, содержащем Уй, то ее след на Yh будем обозначать (v)h. Часто пространства Fh, ФИ и Uh определяют как пространства следов функций из F, Ф и U на Dh, ГЛ и Dh соответственно. При этом задаются согласованные нормы пространств, т. е. для достаточно гладких функций v е U выполняется соотношение
lim ll(v)/1ll[4 = llvlll7.
Все производные, входящие в уравнение и краевые условия, заменяют разностными аппроксимациями. При записи этих аппроксимаций в каждом внутреннем узле сетки берут одно и то же количество
255
ГЛАВА 7. Элементы теории разностных схем соседних узлов, образующих строго определенную конфигурацию, называемую шаблоном. В результате дифференциальные операторы L и / заменяются разностными Lh и lh.
Для нахождения приближенного решения задачи (27), (28) определим разностную схему— семейство разностных задач, зависящих от параметра h:
Lhuh = fhRDh’	(29)
lhuh = <f>hHarh-	(3°)
Решение разностной схемы uh, называемое разностным, принимается в качестве приближенного решения дифференциальной задачи.
Аппроксимация. Говорят, что разностная схема (29), (30) аппроксимирует с порядком аппроксимации р = min (рр р2) дифференциальную задачу (27), (28), если для любых достаточно гладких функций и, f ф из соответствующих пространств существуют такие постоянные /10, рр % и р2, что для всех h < h0 выполняются неравенства
iiLA(«)A-(WifA + ik/)a-/aiiFa < с^,
11/А(«)А-(/н)АПф/, + 11(ф)А-фА11ф/1<с2/|Ч
причем q, рр с2 и р2 не зависят от h.
Выражения, стоящие под знаком норм, называют погрешностями аппроксимации.
Оператор Lh из (29) локально аппроксимирует в точке х- дифференциальный оператор L из (27), если для достаточно гладкой функции и е U существуют такие положительные постоянные h0, си р, не зависящие от h, что при всех h < h0 справедливо неравенство
l(L,(u),-(L^)lx = Xjl<c^.
Число р при этом называют порядком аппроксимации. Аналогично определяют порядок локальной аппроксимации оператора lh.
Также используется понятие аппроксимации на решении, позволяющее строить схемы более высокого порядка точности на фиксированном шаблоне. Говорят, что разностная схема (29), (30) аппроксимирует на решении и с порядком аппроксимации р = min (рр р2) дифференциальную задачу (27), (28), если существуют такие постоянные h0, Ср рр с2 и р2, что для всех h < й0 выполняются неравенства
< ci /Л11/А(и)А-ФА||ф/1< c2/iP2,
256
7.1. Основн ые определ ен ия
причем ср рр с2 и р2 не зависят от h. Предполагается, что при этом выполнены условия нормировки
"A11 Fh = "/’ip 1™ 144 = НфНф.
Порядки аппроксимаций обычно оценивают с помощью разложений в ряды Тейлора. Порядок аппроксимации разностной схемы может быть разным по разным переменным. Если погрешность аппроксимации стремится к нулю при любом законе стремления шагов по различным переменным к нулю, то такую аппроксимацию называют безусловной. Если же погрешность аппроксимации стремится к нулю при одних законах убывания шагов и не стремится к нулю при других, то аппроксимацию называют условной.
Устойчивость. Разностная схема (29), (30) устойчива, если решение системы разностных уравнений существует, единственно и непрерывно зависит от входных данных Д, ф^, причем эта зависимость равномерна относительно величины шага сетки. Это означает, что для любого 8 > 0 существуют не зависящие от h величины hQ и 8 - 8(e) такие, что для произвольных функций и^\ i = 1, 2, являющихся решениями (29), (30), из неравенств h < h0, Ilf/1) - ffi2^Fh 5, Нф/l) - ф/2) Нф^ < 8 следует, что II и/1) - и/2) 11^ < 8.
Линейная схема устойчива, если
II “Р - «Р	- f^Fh + <^фР - Ф/.(2) ||ф„>
где с1 и с2 — постоянные, не зависящие от h < h0. Это означает, что 8 и 8 здесь связаны линейно.
Устойчивость называют безусловной, если указанные неравенства выполняются при произвольном соотношении шагов по различным переменным. Если же для выполнения неравенств шаги должны удовлетворять дополнительным соотношениям, то устойчивость называют условной.
Непрерывную зависимость по fh (равномерную относительно h) называют устойчивостью по правой части, а непрерывную зависимость по ф^ — устойчивостью по граничным условиям. Если рассматривается смешанная краевая задача, то устойчивость по граничному условию при t - t0 называют устойчивостью по начальным данным.
17 - 1025
257
ГЛАВА 7. Элементы теории разностных схем
Сходимость. Решение uh разностной схемы (29), (30) сходится к решению и дифференциальной задачи (27), (28), если существуют такие постоянные й0, сир, что для всех h < hQ выполнено неравенство
1Ци)А -	< chP,
причем с и р не зависят от h. Число р называют порядком сходимости разностной схемы; при этом говорят, что разностное решение uh имеет порядок точности р.
Теорема Филиппова (о связи аппроксимации, устойчивости и сходимости). Пусть выполнены следующие условия:
1)	операторы L, / и Lh, lh —линейные:
2)	решение и дифференциальной задачи (27), (28) существует и единственно:
3)	разностная схема (29), (30) аппроксимирует дифференциальную задачу (27), (28) с порядком р:
4)	разностная схема (29), (30) устойчива.
Тогда решение разностной схемы uh сходится к решению и дифференциальной задачи с порядком не ниже р.
Доказательство. Операторы L и Lh линейные, поэтому
Lh(uh~ («)/,) = Lh“h~ Lh^h = fh~ Lh(uK ±	=
= ((Lu)h-Lh(u)h) + (f h-
Отсюда имеем уравнение
Lh(uh-(«)Л) = ((Lu)h-Lh(u)h) + (/„-(/)„).
Аналогично для краевых условий находим
lh(uh-(и)Л) = lh(u)h) + (фА- (ф)Л).
Решение разностной задачи устойчиво, поэтому, по определению, для линейных задач получаем
< с1(11(Ьм)й-£а(М)а11Гл + IIA-(f)Allf/i) +
+ с2(П(/н)А- /А(н)АНф + 11фА- (ф)АНф.) < chP. п	п
Это неравенство означает сходимость с порядком р. Теорема доказана.
Если порядок аппроксимации на решении выше р, то для получения более точной оценки доказательство теоремы можно модифицировать. Для этого в первой системе равенств доказательства не
258
7.2. Методы построения разностных схем
следует добавлять ±(£ц)Л, а применить сразу оценку устойчивости к величине fh - Lh(u)h из определения аппроксимации на решении. Аналогичное следует проделать и для краевых условий.
Для многомерных задач порядок аппроксимации по разным переменным может быть неодинаковым, поэтому порядки сходимости по разным переменным также могут быть различными. Если аппроксимация и (или) устойчивость разностной схемы условные, то сходимость имеет место только при тех соотношениях между шагами сетки по разным переменным, при которых выполнены условия аппроксимации и (или) устойчивости. В классе задач с решениями конечной гладкости требование устойчивости является необходимым условием сходимости.
7.2. Методы построения разностных схем
Метод неопределенных коэффициентов. Пусть имеется некоторый шаблон (несколько расположенных группой узлов сетки) и требуется найти разностный оператор Lh, локально аппроксимирующий дифференциальный оператор L в узле х-. В этом случае в выражении (Lh(u)h - (Lu)h)\x= х оператор Lh берут с неопределенными коэффициентами. Для нахождения искомых коэффициентов с помощью формулы Тейлора строят разложения в точке х • для всех функций н(х;), входящих в выражение, и группируют множители при и(х^ и'(х^,	.... Далее, последовательно обнуляя найден-
ные множители, приходят к системе линейных алгебраических уравнений, решая которую находят коэффициенты разностной схемы. Порядок аппроксимации и главный член погрешности определяется после подстановки найденных коэффициентов в первый ненулевой множитель при соответствующей производной функции и(х) в точке х-.
Рассмотрим пример. Пусть для задачи
Lu = и" =f(x), 0 < х< 1, н(0) = н(1) - О
на равномерной сетке Dh = {xi = ih, i = 0,..., N, Nh ~ 1} требуется построить схему методом неопределенных коэффициентов на трехточечном шаблоне. Будем строить оператор Lh в виде
ч aui+ 1 + ^Ui + CUi- 1
(Lh“h)i = -----п-------•
17*
259
ГЛАВА 7. Элементы теории разностных схем
Запишем разложения по формуле Тейлора для достаточно гладкой функции и(х) в точке х = хг-
и(х(± h) = м(х,) +	± 57 «'"(х,) +
+ % U^(Xi) ± £ «(5)(Xj) + * u(6)(S)±y
Подставим полученные выражения в формулу для Lh(u)h и сгруппируем множители при одинаковых производных и(х) (или, что то же самое, — степенях h)
Lh(u)h\x_x. = ^[(fl + b+ c)u(Xj) + h(a-с)и'(х{) +
+ 57 («+ с)«"(х;) + (а - с)и(3>(х,) +	(д+ с)и(4)(х;) +
+ ^(fl-c)fl(5)(x,) + ^(flfl(6)(£t) + Cl/6)(^7))"|.
Э!	О!	J
По определению локальной аппроксимации,
Lh(u)h\x = x. = u"(xi) + O(hP),p>0,
откуда имеем систему уравнений
а+ Ь+ с=0,а-с = 0,(й + с)/2 = 1,
решая которую, получим
Ч-W,., =	= ц„(Х() +	+ 0(М).
т. е. Lh локально аппроксимирует оператор второй производной L в точке х = х • со вторым порядком.
Запишем разностный аналог рассматриваемой задачи
Отметим, что здесь и- — приближение к решению и(х-).
Интегро-интерполяционный метод. Рассмотрим этот метод на примере задачи
Lu = -и” + р(х)и-f(x), 0 < х< 1, 0 < р(х) < рр
u'(0) = ajU(O) + Рр и(1) = О
260
7.2. Методы построения разностных схем
на равномерной сетке Dh = {х,- = ih, i = 0,... ,N,Nh= 1}. Введем обозначение со(х) = и'(х) и перепишем исходное уравнение в виде а>'(х) = p(x)u(x)-f(x).
Проинтегрируем это уравнение от х;_ 1/2 до х,+1/2 (xi± 1/2 = х, ± h/2)
Xi + 1/2
<»(*>+l/2)_<O(*i-l/2)= f [p(x)«(x)-/(x)]dx
Xt - 1/2
и заменим интеграл в правой части равенства, например, по квадратурной формуле прямоугольников
f <р(х) dx® (b-.
Разделив обе части уравнения на й, получим
®(xi+ 1/2)	1/2) _ Л г
h	ri-i Ji-
Так как и'(х) = со(х), то на отрезке [х-, х- + J имеем
u(xi+ ,) - м(х;) = Ы(х,+1/2) + О(й3),
(аналогичное выражение справедливо и для	Поэтому
дискретный аналог исходного уравнения принимает вид
Ui+]-2U:+ U:_}	r
--------------- + р,- м, = fif О < I < N.
Для аппроксимации краевого условия третьего рода проинтегрируем исходное уравнение от 0 до h/2
h/2
u'(h/2)~ и'(0) = f [p(x)«(x)-f(x)] dx
0
Далее опять воспользуемся формулой прямоугольников для интеграла и заменим и'(0) на оцгДО) + 0Р u'(h/2) — на (их - u^/h. В результате получим
= а.ц, + р1 + [p(h/4) u(h/4) —f(h/4)].
В левой части равенства порядок аппроксимации выражения (Uj - u^/h для u'(h/2) равен двум, поэтому мы «ничего не испортим», если в правой части заменим значения функций в точке х = h/4 их значениями в точке х = 0. Имеем
=a1u0 + p1 + ^[р0Ц> "fol-
261
ГЛАВА 7. Элементы теории разностных схем
Окончательная разностная схема имеет вид
U: . 1 “ 2U: + U _ 1 и +Pi“i
fi, 0<i<N,
Uy —	„
—=al«o+ 01> «N = 0>
где новые коэффициенты принимают значения oij =	+ -р0,
Pl = 01-^0-
Интегральное тождество Марчука. Для задачи
Lu = ~(Мх)и'У + р(х)и = f(x), 0 < х< 1, u(0) = и(1) = 0, у которой переменные коэффициенты удовлетворяют условиям 0 < kQ < к(х) <	0 < р(х) < рр и fc(x), p(x),f(x) могут иметь конеч-
ное число разрывов первого рода, построение разностной схемы основывается на интегральном тождестве, которому удовлетворяет решение исходной задачи
+ 'j" iPWuM -fw} d,= 7‘ dx	r dx xi-m
I,	Л,
f dx ‘ V 7 1 <• >/2
J k(xj
+ ^— j J IP»’/» [' _dx_x,_, Kix> x_i/2
Докажем это тождество. Введем обозначение <о(х) = к(х)и'(х) и перепишем исходное уравнение в виде
со'(х) =p(x)u(x)-f(x).
Проинтегрируем уравнение от х(_ 1/2 до х| + 1/2 (xi± 1/2 = х, ± h/2)
Xi + 1/2
С0<А:»+1/2) ~ с°(А:г-1/2) = J [/>(*)«(*)-f(x)] dx
Xt - 1/2
Для нахождения со(х1±1/2) поступим следующим образом. Проинтегрируем уравнение для со'(х) от х-_ 1/2 до х
к(х)«'(х) = со(х,_1/2)+ I [/>(£)«(£)-/(£)] d£.
Xi - 1/2
262
7.2. Методы построения разностных схем
Разделим это выражение на к(х) и проинтегрируем от х/_1 до х? В результате получим
Отсюда находим явное выражение для
<O(jC,_1/2) = ---------
f d* , к(х)
н(х,)-м(х,_,)- J j
X . К\Х) X,
Аналогичное выражение для <о(х|Ч1/2) найдем, заменив в полученной формуле индекс i на i + 1. Теперь, используя со(х/ ± 1/2), приходим к искомому интегральному тождеству.
Рассмотрим следующий пример. Пусть коэффициенты в исходном уравнении имеют вид
| 1 при 0 < х< 1/2,	_
fc(x) = К	1	,	р(х) = 0.
v [2	при 1/2 < х< 1,	7
Запишем интегральное тождество Марчука
_и(х/+1)-и(х,) + u(xf)~ ^х,.,) _ j”	=
71 dx	/ dx	-1/2
1 k(x)	x, 'k(x)
= "j Й7> >	f j №)dl;.
7 dx *. k{x> *-./2	f dx *.
fc(x)	x'.,k(x)
Предположим (для удобства), что точка х = 1/2 — узел сетки при любом /1, т. е. h = 1/N, N = 2К. При этом i = N/2 — соответствующее значение индекса i. Вычислим величины
_ х‘г1 dx _ I h при 0 < i < N/2, f‘" j к(х) ~ | h/2 при N/2 < / < N.
Заменим по формуле прямоугольников интеграл в левой части тождества
j /(х) dx* hf(Xj) = hfj.
Xi - 1/2
Теперь рассмотрим выражения в правой части тождества. Одно из них, например
263
ГЛАВА 7. Элементы теории разностных схем
применяя квадратурную формулу прямоугольников, запишем в виде
Х> + 1	1	X	j	Xi + 1/2
J кг» ffК)	।	=
х, KW*I+1/2	K\Xi+\/2) х,+ 1/2
Множитель при рассматриваемом интеграле в тождестве равен О (/г1), поэтому все выражение для гладких функций имеет порядок О(Ь2) и его можно отбросить. Аналогично можно поступить и с другим выражением в правой части равенства.
Окончательный результат можно записать так:
aiUi + 1 ” b:U: + C:U:_ , г Л
-------1 =fp о < i < N, «0 = uN = 0,
где коэффициенты определяются по следующим формулам:
Ь- = а- + с-,
а- = с• = 1 при 1 < i < N/2, а- = ct = 2 при N/2 < i < N,
- 2, с • - 1 при i = N/2.
Метод Ритца. Пусть требуется найти решение задачи Lu = f, где оператор L — самосопряженный и положительно определенный в гильбертовом пространстве Uco скалярным произведением (•,•). Будем искать элемент и е U, минимизирующий функционал
7(v) = (Lv, v) - 2(v,f); (Lv, v) > 8(v, v), 8 > 0.
Чтобы определить приближения к и, строят последовательность Uh конечномерных подпространств пространства U с известными базисами {(р/1}. В каждом Uh находят элемент uh, минимизирующий J(v). Для этого достаточно найти коэффициенты а - разложения uh по базису {(р/1}
N uh = д а.ф(-
из системы линейных алгебраических уравнений Аа = Ь, где а- = = (pf1), b- = (f, (pf), i, j = 0, 1, 2,..., N, где N + 1 — размерность Uh. Если последовательность Uh полна в U, то lim uh = и.
В качестве базисных функций ср-1 в простейшем случае используют кусочно-линейные функции. Для произвольной сетки < ... ... < xN эти функции имеют вид
фоь(х) =
X, - X ----- при
Х1 -х0
0 при
х^<х<хр
Xj < х<
xN;
264
7.2. Методы построения разностных схем
фМ*) =
О
x~xN-l XN ~ XN - 1
при
при xN_]<x<xN;
ф-Ч*) =
X - X,  1 X,- - х,- _ !
X • + 1 - X
Xi+l~Xi
О
для i= 1,..., N- 1.
при x-.jCxCx-,
при
при остальных х
Если меры носителей базисных функций много меньше меры области, в которой решается задача (как в рассматриваемом случае), то метод Ритца часто называют методом конечных элементов.
Воспользуемся методом Ритца для решения задачи
Lu = -(k(x)u')' + p(x)u = f(x), 0 < x< 1,
u(0) = w(l) = 0,
с коэффициентами fc(x) = 1 + х, р(х) = 1. Выберем сетку равномерной (х-+ ! - х, = h, Nh= 1), базисные функции (р-2 (х) кусочно-линейными и найдем выражения для а-
1
аГ) = (Ltp!1, ф*) = J Щх)(ф/’)'(фу’)' + р(х)ф;|ф*] dx
О
Так как при i = 1, 2,..., N- 1
	1/h	при	X,_1<X<XI>
	-Uh	при	х,<х<х1+1>
	0	при	хй[х,-1>х,+ 1]>
то в результате непосредственных вычислений имеем
	_1 Г, . *i-i + *.•• П	2	.	н	при	
			при	
	ч[-^:	1 + - J 6	при	j=i+ 1,
	0		при остальных/	
Для компонент вектора правой части получим
bi=(f, ф?) = J /ф? dx= j f<rf dx®f(x,) J (pb dx = hfi. 0	x, -1	xt - 1
265
ГЛАВА 7. Элементы теории разностных схем
Разделив обе части уравнения на h, окончательно имеем
,+ j - biai +	} а, + , + 4ау + а,-_ j
“	h~2	+	6
Л> Q<i<N,
ao = aN = O, где коэффициенты определяются формулами cz — 1 + (x^j + xz)/2, яг = 1 + (x- + j + x-)/2, b^ = a^+
Метод Галеркина. В отличие от метода Ритца, метод Галеркина не требует самосопряженности и положительной определенности оператора L из задачи Lu = f.
Для нахождения решения в каждом из конечномерных подпространств Uh отыскивают элемент uh такой, что для любого v е Uh справедливо равенство (Luh-fi v) = 0. Соответствующие коэффициенты а, разложения uh по базису подпространства Uh определяют в результате решения системы уравнений, имеющей тот же вид, что и в методе Ритца.
Рассмотрим применение метода Галеркина для несамосопряженной задачи
Lu = -и" + r(x)u' = f(x), 0 < х< 1, н(0) = м(1) - 0, с коэффициентом г(х) = Зх2. Возьмем равномерную сетку и базисные функции ф-’(х) как в примере, иллюстрирующем метод Ритца, а решение будем искать в виде
N-1
Wh= Е а;ф,\
i = 1
где неизвестные коэффициенты ai определим из системы линейных алгебраических уравнений Аа = Ь, в которой
Д,7= (£<р^, фр, bt = (f, Ф*1), »,;= 1, 2,..., N-1.
Вычислим матричные элементы:
1
й,;= (£ф('', фр = J [(ф^Чфр' + г(х)(фЬ)'фр dx. о
Первое слагаемое в этой формуле имеет вид
-1/h при j = i- 1, ‘j,(<p‘)’(4>?)'dx=;2-'*	*• г* ,
при ^=z+1, 0 при I; - i I > 1.
266
7.2. Методы построения разностных схем
Для второго слагаемого в результате несложных вычислений получаем
j 3x2(<pl,)'<pl' dx- <
[2х?_ , + (х,_ ] + х,)2] при fox,	при
|[2х?+1 +(х1+1 + х,)2] при О	при
j=i~ 1-j= i
j=i+l, lj-il> 1.
Определив / как в предыдущем примере, запишем окончательный
результат в виде
_ai+1-2a, + a,.1	e,ai + , + ^a, + c,a,_ , _
h2	h	Ji'
ao = aN = °> где коэффициенты определяют по формулам
<4 = 4l2*?-i +(x,_1 + xi)2],
bi = hxit at = 1 [2x?+ ! + (xi+ ] + Xi)2].
В случае постоянного коэффициента при производной в исходном уравнении г(х) = г второе слагаемое в разностной схеме имеет вид r(aj+1-a-_1)/(2/i).
Метод аппроксимации функционала. В этом методе минимизируемый функционал J(v) заменяют приближенным функционалом Д(ф). Пусть на отрезке [a, b] введена сетка хр i = 0,1,..., N. Тогда производные в функционале заменяем конечными разностями, а интегралы — квадратурами. Например,
J	— ф • _ I
f (v1)2 dx заменяем на Z ——— Л-a	i=l V h 7
Таким образом, приходим к задаче минимизации приближенного функционала Д(ф). Разностная схема получается приравниванием к нулю величин djh/d(piy i = 0, 1,..., N.
Краевая задача
Lu = -(к(х)и'У + p(x)u = f(x), 0 < х< 1,
О < kQ < fc(x) <	0 < р(х) < рр u(0) = и(1) = О,
267
ГЛАВА 7. Элементы теории разностных схем эквивалентна задаче отыскания точки минимума квадратичного функционала
J(v) = f [k(x)(v')2 + p(x)v2] dx-2 J /(x)vdx. о	о
Введем, как и выше, равномерную сетку и на ней аппроксимируем /(у), предварительно записав его в виде
7(v)= Z J A:(x)(v')2dx + Е J (р(х№ - 2f(x)v) dx '-’*.-1	'"'Vi
Далее аппроксимируем интегралы
J fc(x)(v ')2 dx « k{Xi_ 1/2)	h,
J (p(x)v2-2f(x)v) dx«
« |[(p(xi_1)v2(xi_1)-2/(xi_1)v(xj_1)) + (p(x,)v2(xi)-2/(xi)v(xi))].
Таким образом, вместо /(v) получаем функционал Д(ф):
n	/ф- — ф- л2 1
Ш)=	h+ z
где (р = (ф0, фр ..., фд^) — произвольная сеточная функция, удовлетворяющая условиям Фо = Фм = 0- Приравнивая к нулю первые производные
^=0, i=l........N-1,
5<р;
получаем искомую разностную схему
4	1/2)	- fc(x,_ 1/2) ‘fr- 1 ) + р.ф. = f.y
0<i<N, <po = <pN = O.
Метод сумматорного тождества. Аналогично методу аппроксимации функционала, интегральное тождество (Lu - fi v) = 0 для любого v заменяют сумматорным тождеством (Lh<ph - fh, vh) = 0 для любого vh. Так как в конечномерном пространстве размерности N + 1 векторы ек, к = 0, 1,..., N, образуют базис (к-я. компонента вектора ек равна единице, остальные— нулю), то разностная схема получается из системы уравнений
(Lh<ph-fft,e)t) = 0,k = 0Jl,...JN.
268
7.2. Методы построения разностных схем
Например, для задачи
Lu = -(k(x)u')' + р(х)и = f(x), 0 < х< 1, О < kQ < к(х) < кр О < р(х) < рр к(О)и'(О) = 04^(0) + 0p-k(l)u'(l) = а2и(1) + 02, справедливо интегральное тождество 1
/(u, v) = f (ku'v' + puv -fv) dx -	+ 01)v(O) + (a2u(l) + 02)v(l) = 0,
о
где v = v(x) — произвольная непрерывная на [0, 1] функция, имеющая квадратично-интегрируемую первую производную.
Для построения разностной схемы на равномерной сетке аппроксимируем интегральное тождество сумматорным тождеством для сеточных функций, например,
N-1	_	_	_	_
+ Z (Pi4>i-fi)^ih + (ctjCPo +	+ (a2«PN + ₽2)Vap
J= 1
где у = (v|/0, \|/p ..., V|/N) — произвольная сеточная функция. Коэффициенты ак и 0*. (k = 1,2) связаны с исходными коэффициентами следующими соотношениями:
ai = ai + p0k/2, 0j — 0j — fQh/2\
^2 ~ а2 + Pn^1 02 ~ 02 ~ АЛ /2.
Форма дополнительных слагаемых зависит от выбора квадратур-
1
ной формулы для аппроксимации интеграла J (pu-f)vdx. В данном
о
случае мы воспользовались составной формулой трапеций, т. е.
j))v(x,_ j) + (р(х,)и(х;)-/(х,))г(х,)].
Суммируя по всем i = 1, ..., N, получаем вторую сумму в Zh((p, у), а оставшиеся слагаемые [(роФо ” fo)Vo + (PnVn " изменят значения ак и 0* (k = 1, 2). Например, при i = 0 имеем
(«1Фо + Pl)Фо + I (РоФо ~/о)Фо = («1Фо + ₽1 )фо-
269
ГЛАВА 7. Элементы теории разностных схем
Полагая теперь у = е^> т. е. \pi = 8^ (0 < к < N), и учитывая, что
-1/h l/h
О
при i = к (0 < к < N) получаем
h
при i= к + 1, при i = ку
в остальных случаях,
4 (^Х1/2)Ф' 4 Ф' -^Х,-1/2)Ф' ь*'1 ) +РМ = Г
Далее, если \pi = 8^, то имеем
^(Xi+l/2) ft “ »1Ф0 + Pl’
аналогично при \pi = 8^ находим
-EUn-i/z)9" ф*~‘ =a2<PN+ Рг
Последние три выражения приводят к системе из N + 1 уравнения с N + 1 неизвестным (<р0, фр ... > (pN), т. е. искомая разностная схема построена.
Метод построения точных разностных схем. Разностную схему называют точной, если ее решение совпадает с решением дифференциального уравнения в узлах сетки. На примере уравнения второго порядка
-(k(x)u'Y =f(x)y 0 < k0 < к(х) < kp u(0) = и(1) = О рассмотрим метод построения точной разностной схемы на равномерной сетке. Воспользуемся тем же подходом, что и в методе интегрального тождества Марчука. Проинтегрируем исходное уравнение по отрезку [х-, х] и результат разделим на к(х). Имеем
k(x,)u'(xf)	1 ?
Проинтегрировав последнее равенство по отрезкам [xt_ р х-], [х-, xI+ J и умножив результаты соответственно на величины | а-, ~ ai+ р где а- = = (к[й^'полу,аем
аpR)d5.
270
7.2. Методы построения разностных схем
Исключая fc(xf) «'(*,)> имеем точную схему
ai+\(ui+\- ui)~ ai(ui~ ui-\) h2 *
где
l Й //©“4
а коэффициенты ai определены выше.
На практике реальная точность схемы определяется точностью вычисления интегралов в полученных формулах.
В случае к(х) = 1 коэффициенты а- = 1 при всех /, а выражения для / принимают вид
Iff Ш)<Мх+ J f70;)d£dx).
п 4 Xt Xt	xt _ 1 X	Z
2
2
□ 7.1. Справедливы ли следующие равенства:
цт Ц(х4- h)-2u(x) 4- и(х- h) =
h — 0	h2
u(x+2h) 4- и(х) _ 2и(х)+ и(х) + u(x-2h)
= lim----------------------
h^Q	h2
2) lim u(x+ h)~u(x~ fr) =
7 h—»o	2h
u(x 4-2/0 4- u(x) _ u(x) 4- u(x- 2h)
= lim h — o	2h
если u(x) g C(4)?
Ответ: 1) нет; 2) да.
2
2
В задачах 7.2 — 7.6 следует обращать внимание на области определения искомого решения разностного уравнения и его правой части. В некоторых случаях более высокий порядок аппроксимации схемы может быть достигнут в результате выбора смещенных сеток ih и ih ± h/2, i = 0, 1,....
□ 7.2. Рассмотрим дифференциальную задачу
и' 4- я(х)и(х) =/(х), х е [0, 1], и(0) = 0; я(х), /(х) g С(4)[0» 1].
271
ГЛАВА 7. Элементы теории разностных схем
Считая, что функции ui и ft определены в узлах xi = ih, h = 1/и, i = 0,..., и, определить порядок аппроксимации на решении разностной схемы:
1)	—- + a{U: = ft, О С i С п - 1, Uo = 0;
п 1 1	1	и
2) U,+ '2hUi-' +aiui = fi' 1 < » < « - 1> «о = О, щ = hf0, гдед, = fl(x,),/; = f(x,).
Ответ: 1) О(й); 2) O(h2).
□ 7.3. Рассмотрим дифференциальную задачу
и’ + я(х)и(х) = /(х), х е [0, 1], и(0) = 0; а(х), /(х) е С(4)[0, 1].
Считая, что функция и- определена в узлах х- = i/i, h = 1/и, i = 0,..., и, а функция j]— в узлах х/+ 1/2 = (i + 1/2)h, i = 0,..., п- 1, определить порядок аппроксимации на решении разностной схемы
U:.}~ U:	U: . , + U:	г	Л Л
---------------- +«,---2--- =-£’ uo = 0’ ' = 0,..., n-1, где«, = «(х,+ 1/2),/; = Ж+1/2).
Ответ: порядок аппроксимации равен О(/12), ответ не изменится, если использовать следующие аппроксимации для коэффициента и правой части уравнения: ах - (а(х1+1) + я(х-))/2,
□ 7.4. Для дифференциальной задачи
-u" =/(x),XG [0, 1], и(0) = а, и(1) = Ь, и g С(4)[0, 1], на трехточечном шаблоне с переменными шагами сетки построить разностные схемы первого и второго порядка аппроксимации на решении.
Ответ: для произвольной неравномерной сетки
0 = лЬ<х| <...<х„_1 <х„=	-Х,._р 1 < п,
схема
272
7.2. Методы построения разностных схем
с краевыми условиями и0 = ау ип = b имеет на решении порядок аппроксимации 0(h) при/^; = /(%•) и порядок O(h2) — при
□	7.5. Для дифференциальной задачи
и' + си =f(x), с= const, u(0) = а, интегро-интерполяционным методом на трехточечном шаблоне с постоянным шагом построить схему четвертого порядка аппроксимации.
Указание. Для приближенного вычисления интеграла по отрезку [х-_ pxi+1] использовать формулу Симпсона, а для получения недостающего начального условия их » u(h) применить формулу Тейлора (необходимые производные при х = 0 можно получить, дифференцируя уравнение требуемое число раз).
□	7.6. Для дифференциальной задачи
-(fc(x)u')' = 1> х е [О, 1],
П // ч 1 1/2 ПРИ 0^х< 1/4, u(0) = и(1) = 0, к(х) = 1
v 7 v v 7	| 1 при 1/4 С xC 1,
построить разностную схему с помощью интегрального тождества Марчука, если точка разрыва к(х) является узлом сетки.
□ 7.7. Дана дифференциальная задача
-и" + си = f(x), х е [О, 1], н(0) = и(1) - 0, с - const.
При каких с для решения этой задачи можно применять метод Ритца?
Ответ: с > -л2.
□ 7.8. Для дифференциальной задачи
-(fc(x)u')' — 1> X € [О, 1],
и(0)- м(1)-0Д(х)-|2 при 1/4<х<1>
построить разностную схему методом Ритца, взяв кусочно-линейные функции на равномерной сетке в качестве базисных и считая, что точка разрыва h(x) является узлом сетки.
IX - 1025
273
ГЛАВА 7. Элементы теории разностных схем
□ 7.9. В задаче
-(к(х)и')' + p(x)u = /(x), u(0) = и'(1) = О, переменные коэффициенты которой удовлетворяют условиям О < kQ < fc(x) Op 0 < р(х) < рр методом Ритца (конечных элементов) построить аппроксимацию правого краевого условия, используя кусочно-линейные базисные функции на равномерной сетке.
Решение. Запишем квадратичный функционал, соответствующий исходной задаче,
/(у) = J (fc(x)(v')2 + p(x)v2 -2/(x)v) dx, о
а приближенное решение будем искать в виде
uh= Z а,ф-(х), Nh= 1.
i = 1
Далее подставим uh в / и рассмотрим систему
da,
Нас интересует последнее уравнение системы (при i = N) + baN= с, где
1
« = J (к(х)<Рм-1 <Pn + Р(x)<PN_ ]<pN) dx, О
b = f (к(х)(ф^)2 + Р(х)ф^) dx, с= f /(x^Ndx.
О	о
Запишем формулу для (pN(x):
О	при 0 < х< xN-1 = 1 - й,
(x-xN_x)/h при xN_!<x<xN=l.
Эта базисная функция отлична от нуля только на отрезке [1 - Л, 1], поэтому область интегрирования резко сужается, т. е. потребуется только часть функции (pN_ /х):
(pN_i(x) = (1 -х)/йпри 1 - х< 1.
В случае постоянных коэффициентов к(х) = к, р(х) = р величины а, Ь, с определяются так:
»=-Ь ь= Ь “г- i
h 6 п 3 xJ_h	п
=
274
7.2. Методы построения разностных схем
Для сравнения приведем аппроксимацию второго порядка, построенную методом конечных разностей:
«i«N-i + biMN = q> где к , к , ph hr
□	7.10. Показать, что для краевой задачи
Lu = -(k(x)u')' + р(х)и = /(х), 0 < х< 1, и(0) = 0, и'(1) + аи(1) = р, переменные коэффициенты которой удовлетворяют условиям О < к0 < к(х) < kv 0 < р(х) < рр функционал в методе Ритца имеет вид /(v) = f (fc(x)(v'(x))2 + p(x)v2(x)-2f(x)v(x))dx + о + ait(l)v2(l)-2pit(l)v(l).
Указание. Рассмотреть коэффициент при 2е в неравенстве /(u) < J(u + 8w), справедливом при £ любого знака и любом w е 17.
□	7.11. Для дифференциальной задачи
-и" =/(х), х е [0, 1], u(0) = и(1) = 0, построить разностную схему второго порядка аппроксимации, которая при каждом h является системой линейных алгебраических уравнений с симметричной положительно определенной матрицей.
□ 7.12. Для дифференциальной задачи
-(fc(x)u')' + p(x)u = /(х), х е [0, 1], u'(0) = w(l) = 0, переменные коэффициенты которой удовлетворяют условиям 0 < к0 < к(х) < fcp 0 < р(х) < рр
на равномерной сетке построить разностную схему методом аппроксимации функционала.
□ 7.13. Показать, что решение разностной схемы
fe(x )Ц,+ 1 ~2U, + Ц'~' +	+ 1)-	!-»-! =0
1 h2	2h	2h
0 < i< N, u0= 1, uN = 0, Nh = 1,
18*
275
ГЛАВА 7. Элементы теории разностных схем
построенной на равномерной сетке (х- = ih, 0 < i < N), не сходится к решению дифференциальной задачи
(к(х)и')' = 0, 0 < х< 1, м(0) = 1, и(1) = О
в классе положительных кусочно-постоянных коэффициентов
ПРИ °<*<^ | к2 при £ < х< 1,
где £ — иррациональное число, £ = хп + 0й, 0 < 0 < 1.
Решение. Запишем решение дифференциальной задачи
«ы=|!7,1,ри
|Р0(1—х) при
а0 = (5 + (1-§т %<х<1, Ро = 5а0,5 = k]/k2.
Точное решение разностной задачи имеет вид (1 - ах, при 0 < х, < х„, |р(1-х,) при х„+1<х,<1, где коэффициенты аир можно получить из уравнений в точках хп (слева от разрыва) и xn+ j (справа от разрыва):
Р(1-хп + 1) + а[х„+/1||-;-|]-1=0>
₽[(1-*п+1) + /1|т|] +ах„-1 =0.
Отсюда при 8 = 5 имеем а = 0, 0 = (1 - xn+ j)-1; при 8=1/5 получаем 0 = 0, а = х~х. Здесь переход к пределу при h -* 0 (т. е. х„, xn + j -* не приводит к решению дифференциального уравнения.
В остальных случаях удобно представление 0 = ца, где
a=fn + (l-u)x +/1^-1-/шГ ц = (3 + 8X58-1) а щ + u Ц1х„ + «35+1 «XJ > Н (5-8)(38+1)
Доопределив сеточную функцию и- линейно между узлами, получим непрерывную функцию й(х, /1), совпадающую с ui в узлах х:. Найдем
г -/ м |1-а1х при 0<Х<^, /l-о	| 0j(l — х) при ^<х<1.
При h -+ 0 имеем
lim а = а, = (ц + (1 - ц)^)"1, lim Р = Pj = цаР
276
7.2. Методы построения разностных схем
Совпадение коэффициентов оц с а0 и Р} с Ро возможно только в случае равенства ц = 8, эквивалентного уравнению (8 - I)3 = 0, т. е. только при кх = к2.
□ 7.14. Для дифференциальной задачи
-(к(х)и'У - 1, х е [0, 1],
/ПА- zn-nb/'J1 ПРИ 0<Х<л/5, w(0) u(l) 0, к(х) j1/3 при л/5<х<1> построить разностную схему методом Галеркина, взяв кусочно-линейные функции на равномерной сетке в качестве базисных.
□ 7.15. Для дифференциальной задачи
-и" + аи' + ри = 1, х е [0,1], a- const, р = const > 0, u(0) - u(l) - 1, построить разностную схему методом Галеркина, взяв кусочно-ли-нейные функции в качестве базисных.
□ 7.16. Для дифференциальной задачи
~(к(х)и'У + я(х)и' + р(х)м = /(х), х е [0, 1], м(0) = м(1) = о, переменные коэффициенты которой удовлетворяют условиям О < kQ < к(х) < kv 1я(х)I < ар 0 < р(х) < рр на равномерной сетке построить разностную схему методом сумма-торного тождества.
□ 7.17. Привести пример последовательности сеточных функций {ф?}> i = 0>	••• > № Nh - 1 из семейства пространств {Uh}, которая
сходилась бы при h -+ 0 к некоторой функции и е 17, если 11флП =
=	(ф? )2J > и расходилась, если ПфлП = max Icpfl.
/ч .	[ 1 при i * О,
Ответ: и(х) = 1, ф? = < . , i_1/4	. п
-------- v 7	I 1 + h 1/4 при i - 0.
□ 7.18. Сходится ли последовательность сеточных функций {ф/1}» i = 0, 1,..., N, Nh = 1 в норме 11фл11 = max Iф/11 к функции и и с каким порядком, если
ф? =	+	фол = и(0), фЛ = м(1),
277
ГЛАВА 7. Элементы теории разностных схем
а и принадлежит одному из пространств С^к\ fc > О? Существуют ли функции и(х), к которым {(р/7} сходится с бесконечным порядком?
Ответ: порядок сходимости равен: <?( 1) при и е С, 0(h) при и е С(1), O(h2) при и е С^к\ /с > 2. Если и(х) = const, то порядок сходимости — бесконечный.
□	7.19. Для дифференциальной задачи
-(к(х)и')' = f(x)y
О < к0< к(х) <	u(0) = и( 1) = О,
построить на равномерной сетке схему четвертого порядка аппроксимации, заменяя в точной разностной схеме значения интегралов приближенными.
□	7.20 (проекционная теорема в методе Ритца). Пусть и — точка минимума функционала J(v) = (Lv, v) - 2(v, f) = a(v, v) - 2(v, f) на 17, Uh — замкнутое подпространство 17. Доказать, что:
1)	функция uh g Uh, на которой достигается минимум, удовлетворяет условию
«(«/,> zh) = zh) V zhe Uh.
В частности, если Uh совпадает с 17, то а(и, z) -(f, z) V z g 17;
2)	точка минимума uh есть проекция и на Uh по отношению к энергетическому скалярному произведению д(и, v), или, что то же, ошибка и - uh ортогональна 17Л:
a(u~uh, zh) = 0 V zhe Uh;
3)	минимум J(zh) и минимум a(u - zh, и - zh), где zh пробегает подпространство Uh, достигаются на одной и той же функции uh, так что а(и- uh, и- uh) = min а(и- zhy и- zh).
zhe uh
Решение. 1)Если uh минимизирует J(v) на Uh, то для произвольных £ g R1 и zh е. Uh имеем
I(uh) < I(uh + £zh) = I(uh) + 2e[a(uh, zh) - (f, zh)] + e2a(zh, zh).
Отсюда получаем
О < 2e[a(uh, zh) - (f, zA)] + £2«(zA, zh).
Так как £ может иметь любой знак, а второе слагаемое строго положительно, то a(uh, zh) = (f, zh). В частности, если Uh совпадает с 17, то имеем а(и, z) = (f, z) V z g 17.
278
7.2. Методы построения разностных схем
2)	Второе утверждение следует из первого. Вычитая первое из полученных равенств из второго, так как zhe Uha 17, получим
a(u-uh,zh) = 0 V zhe Uh.
3)	Рассмотрим следующее выражение для произвольного a(u-uh-zh, u-uh-zh) = a(u-uh, и-uh)-2а(и-uh, zh) + a(zh, zh).
В силу предыдущего утверждения, второе слагаемое равно нулю, а третье неотрицательно, поэтому имеем
а(и-uh, и-uh) < а(и-uh-zh, и-uh-zh) V zhe Uh.
Это неравенство обращается в равенство только при a(zh, zh) = 0, т. е. при zh = 0, поэтому
а(и- uh, и- uh) = min а(и- zh, и- zh).
zhG uh
Существование и единственность uh е Uh следует из замкнутости Uh. Если последовательность е Uh — фундаментальная, т. е. д( у% ~ у™> vh ” Vh^ стремится к нулю при и, m оо, то существует элемент vh е Uh, для которого справедливо д( vg - vh, vg - vh) О при п —* оо. Это имеет место всегда, так как пространство Uh конечномерно.
□ 7.21. Пусть функция у (х) удовлетворяет условию
Пу"Н2= J [у"(х)]2 dx< оо и у/х) = f у(х,)ф,(х)
О	'-°
— ее линейный интерполянт, построенный на равномерной сетке х- = ih, 0 < i < и, nh = 1. Доказать справедливость следующих неравенств
Ily'-yJIK £lly"ll,lly-y;ll< Q2 Пу "II.
Решение. Рассмотрим какой-либо отрезок длины h, для простоты удобно взять — [0, h]. Построим на нем функцию
Д(х) = у(х)-у/х).
По предположению о гладкости у (х), функция Д(х) имеет конечный интеграл h	h
J [Д"]2ах= J [y"]2dx<°°,
О	о
279
ГЛАВА 7. Элементы теории разностных схем
также выполнены равенства Д(0) = Д (Л) = 0, поэтому справедливо представление Д(х) в виде ряда Фурье
Д(х) = z d, sin
В результате непосредственных вычислений имеем
L 00 /,— 7x2 h	L 00
J [A'(x)]2dx=^ Z m [A"(x)]2dx = ? Z M d2.
Так как Z > 1, то справедливо неравенство
поэтому, суммируя по /, получаем
/Ь\2 h„	zi,x2 h
J [Д'(х)]2ах< (- f [Д"(х)]2 dx-(-) J [y"]2dx.
о	' о	' о
Последнее неравенство справедливо на каждом отрезке длины h, потому суммирование по всем i дает
/ех2
п/-у;п2< (Jj Ну "и2.
Аналогично получаем
J [A(x)]2dx=^ Z dl< f-Ylly"ll2, т.е. Ily-y,ll< f-Ylly"ll. q	2 1= 1 мг/	мг/
7,3,	Методы прогонки и стрельбы. Метод Фурье
Рассмотрим эффективные методы решения разностных уравнений, основанные на специальных свойствах оператора задачи.
Метод прогонки. Пусть требуется найти решение системы уравнений:
co/o- Vi=/o> ' = 0>
+ с,У,-b,y;+1	1 < N-1,	(31)
-акУь’-1 + cNyN = fN, i=N, или в векторном виде
Ay = f,
280
7.3. Методы прогонки и стрельбы. Метод Фурье
где у = (у0,	..., yN)T— вектор неизвестных, f = (/0, fv ..., fN)r—за-
данный вектор правых частей, А — квадратная матрица размерности (N+l)x(N+l)
' с0	-Ьо	0	0	...	0	0	0	0 -а,	с(	-Ь,	0	...	0	0	0	0 0	-а2	с2	-Ь2	...	0	0	0	0 А =		 0	0	0	0	...	-Лдг_2	cN-2	~^N-2	0 0	0	0	0	...	0	~aN-\	CN - 1 0	0	0	0	...	0	0	-aN	cN
Основная идея метода состоит в представлении решения в виде
Л = «1 + 1У,+ 1 + Р/+Р « =	N-2,...,0,	(32)
для которого значения az, р- и вычисляются по коэффициентам исходной системы и правой части. Перепишем первое из уравнений (31) в виде (32). Имеем
Уо = «1Л + Рр ai = bo/co> Pi = fo/co-
Затем к полученному соотношению добавим уравнение из (31) при i = 1:
Уо = а1У1 + Рр
-«1Уо + С1П “	=Л-	<33)
Исключим из этой системы переменную у0 (q-«iai)yi-bIy2=/i + Я1Р1 и перепишем полученное соотношение в виде (32)
71 =	+ р2> «2 = С|_д1а] ’ Рг =	•
Следующий шаг аналогичен предыдущему: возьмем последнее соотношение и добавим к нему уравнение из (31) при i = 2
У1 = а2у2 + р2,
-а,/! + c2y2-b2y3=f2.
Отличие этой пары уравнений от (33) состоит только в увеличении индексов на единицу, поэтому сразу можно написать результат шага
Уг = “зУз + Рз> «з = с > Рз =	
1<2	U-2CX.2	^2	^2^2
281
ГЛАВА 7. Элементы теории разностных схем
Таким образом, добавляя каждый раз к последнему полученному соотношению вида (32) следующее уравнение из системы (31), найдем формулы для вычисления а? Р-
а = -L_ В =!^ М'] -4-1	> Pf 4- 1	*
ci-aiai 1+1
Этот процесс закончится, когда мы придем к последнему уравнению системы (31), содержащему только два значения неизвестных:
~аыУы-1 + CNyN=fN-
Исключая из этой системы yN_ р получаем
_ /м + aN$N N CN - aNaN ’
что формально соответствует PN + r
Полученные соотношения называют формулами правой прогонки. Сформулируем алгоритм для решения системы (31).
Рекуррентно вычислить прогоночные коэффициенты a-, р.
а, = Ь0/с0, а +1 = —-—, 1 и и ,+ 1	С'-
Pi=/(A> Р,+1 =
где i последовательно принимает значения 1, 2, ..., N- 1. Эту часть алгоритма называют прямым ходом прогонки.
Вычислить yN:
_ fN + aN$N
N cn~^n’
Рекуррентно определить остальные компоненты вектора неизвестных
У/ = “i+i/i+i + Р>+р i=N-l,N-2,...,0.
Эту часть алгоритма называют обратным ходом прогонки. Данный метод является реализацией классического метода Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональными матрицами.
Сформулируем достаточные условия корректности и устойчивости алгоритма.
282
7.3. Методы прогонки и стрельбы. Метод Фурье
Теорема. Пусть коэффициенты системы (31) действительные и удовлетворяют условиям: с0, cN, Ь- при i= 1, 2,..., N - 1 отличны от нуля и
1с-1 > 1д.| + lb-1, i= 1,2,... ,N-1,
IcjJ lbol, причем хотя бы одно из неравенств является строгим. Тогда для формул метода прогонки справедливы следующие неравенства: ci-aiai^0y la-1 < 1, i=l,2,..., N, гарантирующие корректность и устойчивость метода.
□ 7.22. Для решения системы (31) вывести формулы метода прогонки, в которых последующие компоненты вектора неизвестных вычисляются через предыдущие:
У.+1 = £>+ 1Л + П,+ Р а прогоночные коэффициенты — наоборот: £, = <?(£,+ Р Л)> П, = V(n1+ р £i+ р А). Такие соотношения называют формулами левой прогонки.
Ответ: = —, L =---------, i - N- 1, N-2,..., 1,
-------- ci~b&+i
nN = - > 4i = + ^‘, i = N- 1, N- 2, ....О,
To = TW1+i = ^+1У, + П1+р ' = 0>
□	7.23. Для случая коэффициентов системы (31) aN = bQ = 0, ai = bt; = 1, ci = c, i = 1, 2,..., N - 1, комбинируя алгоритмы правой и левой прогонок, записать формулы для нахождения величины ум (М = (N + 1 )/2, N—нечетное).
Ответ: один из возможных вариантов имеет следующий вид: ОЦ = 0, aJ+ j = 1/(с- а,), i = 1, 2,..., М- 1, Р1=Л/со> Pi+1 = (Л+₽,)«(+р
^_1+1 = ар	i=l,2,...,M,
П,= (/, + n,+ i)aN_,+ p i = N-l,N-2,...,M
CN
Ум= (Пм + “mPmVU - ам)-
283
ГЛАВА 7. Элементы теории разностных схем
□	7.24. Можно ли применить метод прогонки, если коэффициенты системы (31) имеют вид сы = с0 = 1, с- = 2, i = 1, 2,..., N- 1, = 1, i = 1,2,... ,N, bi = 1, i = 0, 1,... ,N-1.
Ответ: нельзя, знаменатель в формуле для yN обращается в нуль. Система является вырожденной, так как Ау = 0 при yi = 1.
□	7.25. Записать формулы для решения системы
-«o/n-1 + соУо - boYi = fo> ' = °>
~aiYi-1 + ciY~ biYi+ , = /;, 1 < N- 1,
Yn = Yo-
Указание. Решение yi представить в виде линейной комбинации сеточных функций м- и vi
yi - ui + yovp 0 < i < N,
где «• — решение неоднородной задачи
1 + с>м> - biui+1 = Г 1 < i < N-1, «N = «о;
у- — решение однородной задачи
+ civi~ i = 0, 1 < N- 1, vN = v0 = 1.
Ответ: a9 = bjc„ ₽2“/i^p	= aJcvai+i = ^i^ci~ aiai^ ₽/+i =
= (fi +	/(c — y- + j = a-у,- /(c-- ^a-), где i = 2, 3,..., N;
UN- 1 = Pn> VN- 1 ~ aN + YN’
». = a,+ i«i+1 + Pi+ p v, = a(+, vi+ j + y,+ p
где i = N-2, N-3,..., 1;
Уо = тт;--тт.—7’ У, = ui+ Уо^ 1 N-
1 Yn+1 aN+lVl
Данные соотношения называют формулами циклической прогонки.
□ 7.26. Записать формулы пятиточечной прогонки для решения системы
^Уо-^оУ1 + еоУ2 = /о^ = ()> ~Ь1Уо + С1У1 - ^Уг + е1Уз = /г ' = fliZ-2 " ЬМ-! + с,У;- Ч'У>+1 + eiYi + 2=fi’2<i< N~2> aN- 1Уы-3~ ЬЫ-\Уы~2 + CN-\Уы- 1 “ ^N- 1Уы~ fti-Р 1 = аыУы-2~ ьыУы- 1 + сыУы = frv i= N.
284
7.3. Методы прогонки и стрельбы. Метод Фурье
Указание. Решение у- следует искать в виде
У. = а,+ 1У>+1 -₽i+ 1У1+2 + Yi+ P 0< i<N-2,
Ответ: формулы для прогоночных коэффициентов имеют вид
а1 = 7" ’ а2 = д’ А “ РА)’
С0
а) +1 = £ 14 + ₽/(«;«/-1 “ b,)l> i = 2> 3> - > N- 1;
Yi = 7> Y2 = t-(A+yA),
C0
Yi +1 =	[fi ~ Wi-1 - Y,(«.a,-1 - b,)]> i = 2, 3,..., N;
P> = 7> ₽i+i = ?’ i= 1,2,, N-2,
4)
где A,= tj-ajbp Д,;= с,-, + ai(aiai_l - b,)> 2<»<N.
Формулы для решения таковы:
У/ = а,+ 1У.+1 - Р.ч 1У1 + 2 + Yi+1> » = N- 2, N- 3,..., О,
Уы-1 = аыУы + 1ю Уы = 1ы+1-
Приведенный алгоритм является реализацией классического метода Гаусса решения систем с пятидиагональными матрицами.
Метод стрельбы. Идею этого подхода наиболее просто изложить в терминах дифференциальных уравнений. Пусть требуется решить краевую задачу
и" -р(х)и = f(x), 0 < х< 1, и(0) = а, м(1) = Ь.
Построим частное решение неоднородного уравнения и{’ -p(x)ul =f(x),
удовлетворяющее условию м/0) = а, и какое-либо нетривиальное частное решение ^(х) 0 однородного уравнения
Uf2 -р(х)«2 = 0, удовлетворяющее условию 1^(0) = 0. Решение исходной задачи будем искать в следующем виде:
м(х) = м/х) + Си^х),
285
ГЛАВА 7. Элементы теории разностных схем
где постоянная С определяется из условия
Hj(l) + Cw2(l) = b.
Применим близкую идею к решению системы (31). Будем искать решение yi в виде
у- = 8u- + (1 -5)ур
где 8 — параметр, подлежащий определению, а сеточные функции и- и у. удовлетворяют уравнениям
с0Ц) - Ь0Щ = fo> W> - Vi = /о ПРИ ' = °’
-fl, u, _ t + С; и, - М, +1 = л» ~aivi -1 + civi - bivi+1 =fi при 1 < i < N - 1.
К этим системам для однозначного определения ц- и vi необходимо добавить при bQ # 0 начальные условия м0 и у0 (м0	у0). Если bQ = О,
то добавляют значения их и vx (uj # Vj). Теперь можно последовательно определить и2, иу ..., uN и у2, у3,..., vN. Неизвестный параметр 8 найдем из уравнения
। + (1 — 8) j) + cN(8uN + (1 — 8) у^) = т. е.
g _ Zv + aNvN - 1 ~ CNVN aN(VN-l~ uN-0 + Cn(uN~ VnY
Метод стрельбы — хорошее дополнение к методу прогонки: области их корректности и устойчивости практически не пересекаются.
□ 7.27. Для случая постоянных коэффициентов системы (31): с0 = 1, Ьо - OJo = 3, = 1, Q = 26/5, £> = 1,/^ = О, aN- 0, cN = 1,/N = 4, найти решение методом стрельбы и проанализировать его устойчивость.
Решение. Рассмотрим вспомогательные функции м- и у-. Из исходной системы имеем и0 = 3. Так как bQ = 0, положим щ = ф. Далее находим
uj+! = у и--u-_p I = 1, 2,..., N- 1.
Это решение можно представить в виде
и =	5> +	5-i, i = о, 1,..., N.
'	24	24
Аналогично, полагая приходим к формуле
у = у + 75 - 5 V 5-г /=0, 1,...,N.
1	24	24
286
7.3. Методы прогонки и стрельбы. Метод Фурье
Используя вычисленные uN и vN, определим 5 из уравнения 6uN+ (1 -8)vN = 4;
подставляя это значение в выражение yf = 5м- + (1 - 5)vf, получаем
В данном случае алгоритм является вычислительно неустойчивым. Действительно, max ImJ и max I v11 растут, как 5N. Поэтому малым возмущениям значений их = ф и Vj = \р соответствуют большие возмущения в uN и vN, следовательно, и в величине 5. Для исходной системы выполнены достаточные условия корректности и устойчивости метода прогонки, который и является здесь предпочтительным для нахождения у?
□ 7.28. Методом стрельбы найти решение системы
Уо-У1 = °> 1 = 0>
У/-1-у, + yi+1 = о, yN=l> i=N-
Проанализировать устойчивость и корректность метода.
Решение. В исходной системе Ьо # 0, поэтому положим у0 = ф. Далее находим
У1=Уо> У>+1 = y-yi-1> iCN-1.
Общая формула решения этой задачи Коши, зависящего от величины ф, имеет вид
у- = ф [cos у + -~ sin у J, 0 < i < N.
Для постоянной ф имеем уравнение
1 =У№<Р [cos Т + sin т]’
которое однозначно разрешимо при N * -1 + 3fc, к = 2, 3,.... Это ограничение для N является условием применимости (корректности) метода стрельбы. Сам алгоритм является вычислительно устойчивым, так как корни характеристического уравнения ц2 - ц + 1 = О комплексно сопряжены и по модулю равны единице, следовательно, не приводят к росту возмущений начальных данных.
287
ГЛАВА 7. Элементы теории разностных схем
□ 7.29. Для краевой задачи
-и” + u = f(x), 0 < х< 1, u(0) + u'(0) = a, u(l) + и'(1) = by
построить трехточечную разностную схему порядка аппроксимации O(h2) и проанализировать устойчивость метода стрельбы для нахождения ее решения.
□ 7.30. Для задачи
-и" + u = f(x), 0 < х< 1,
1
u(0) = a, J п(х) dx= by о
построить разностную схему и предложить метод нахождения ее решения.
Метод Фурье (базисных функций). Рассмотрим метод решения системы линейных уравнений Ay = f, у, f g RN, при условии, что известны все собственные векторы и собственные числа матрицы А:
Аф(п) - А,(п)ср(”\ п = 1,..., N,
и ф(п) образуют ортонормированный базис в пространстве RN. Бу-
дем искать решение в виде у - Z спф(п). Подставим данное разложе-п = 1
ние в исходную систему уравнений
/ N	\	N
A S	= f.
^л= 1	7 п-j
Умножая последнее равенство скалярно на ф(гп), т - 1,..., N, и учитывая ортонормированность базиса, получим
fz Х(пА ф(гг), ф(шИ = (f, ф(ш))> п = 1	7
т. е. ст)№ = (f, ф(гл)). Отсюда находим коэффициенты ст = (f, <р(т))/Мт\ т- 1,..., N, и затем вычисляем вектор у.
Проблема нахождения собственных векторов и собственных значений в общем случае значительно сложнее решения системы линейных уравнений, поэтому данный метод применяют для решения задач с известными собственными векторами и собственными числами. Например, для решения задач, возникающих при аппроксимации уравнений в частных производных.
288
7.3. Методы прогонки и стрельбы. Метод Фурье
□	7.31. Найти методом Фурье решение задачи
_У,+ 1-2у, + у,,	,= 1> >N b уо = уы = Оу h=l/N
п
Указание. В данном случае собственные векторы и собственные числа можно найти аналитически:
ф/м) - л/2 sin (лшй),	sin2 , и = 1,, N- 1.
При этом ф(п) ортонормированы относительно стандартного скаляр-
N-1
ного произведения (ф(п), фм) = X ф/"> ф/ш) h. i = 1
□	7.32. Найти методом Фурье решение задачи
_y,+ i-2y, + ri-i = i = j, N_ h = l/Ny №
~^2	~^о) “Л’ ~^2 (Уы~Уы-1> -f^
Указание. Собственные векторы и собственные числа оператора задачи имеют вид
ф.(°) - 1, ф.(н) - cos (лш/1), п = 1,..., N- 1,
ф.(^) = cos (nNih) = (-1)\
Х(0) = о, Х(и) = 1 sin2 (— 1, п = 1,..., N.
При этом ф(п) ортонормированы относительно следующего скалярного произведения:
N-i	L	. .
(ф("),фМ)= S ф/п)ф/"1)/1+ (Фо(п)Фо(т) + Ф^Ф^)-
>9 - 1025
Глава 8
Дифференциальные уравнения
В главе рассматривается численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядка. Общая теория разностных схем применена для построения дискретных аналогов дифференциальных задач с начальными или краевыми условиями. Конкретизированы понятия аппроксимации, устойчивости и сходимости. Особое внимание уделено исследованию методов решения и оценкам погрешности.
8.1. Задача Коши
Конкретизируем в случае задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения
y'=f(x,y);	(34)
У(АЬ)=Уо>	(35)
общие понятия разностного метода. Пусть, для простоты, рассматривается равномерная сетка хк =	+ kh, к > 0. Тогда разностной схе-
мой для задачи (34), (35) называют систему разностных уравнений
ДД Й_,П_,= Д к=п,п+1,...,	(36)
с известными начальными условиями у0 = /(xq), ур , у„_р где я_р не зависят от h, aQ 0 и fk_ i = f(xk_iy ук_ J.
Разностная задача (36) аппроксимирует дифференциальную на отрезке [х^, х^ + X] с порядком р, если для функции погрешности
rk = i	Д М(^-рУ(х*_,))
справедлива оценка llrhllF < с№ и выполнено условие нормировки lim ИДИFh = Напомним, что постоянные с и р не зависят от шага h.
290
8.1. Задача Коши
В общем случае задача (36) — нелинейная система, поэтому аппроксимацию левой и правой частей уравнения (34) нужно рассматривать отдельно. При оценке порядка аппроксимации разностной схемы следует также учитывать порядок, с которым начальные условия аппроксимируют значения точного решения задачи (34), (35) в соответствующих узлах сетки. Если рассматривается только уравнение (34) без начального условия (35), то под разностной схемой понимают систему (36), а ее начальные условия во внимание не принимают.
Рассмотрим характеристическое уравнение для левой части разностной схемы (для уравнения у' = 0):
F(p)= S ^41”"' = 0.
i = 0
Схема называется a-устойчивой, если выполнено следующее условие: все корни характеристического уравнения принадлежат единичному кругу и на границе крута нет кратных корней. Это условие является необходимым. Можно показать, что для любой разностной схемы, не удовлетворяющей условию a-устойчивости, существует дифференциальное уравнение с бесконечно-дифференцируемой правой частью, для которого даже при отсутствии округлений и погрешностей в начальных данных, решение его разностного аналога не стремится к непрерывному решению при измельчении шага.
Если в задаче не приведен конкретный вид правой части, то устойчивость понимают в смысле а-устойчивости.
□ 8.1. Показать, что необходимым и достаточным условием аппроксимации уравнения (34) разностными уравнениями (36) явля-
ется выполнение равенств Z я_, = 0,-Z ia-=l, Е b-=l.
i = 0	i=0	i=0
Решение. Пусть у(х) — произвольная гладкая функция. Тогда условия аппроксимации для левой и правой частей уравнения (34) означают справедливость соотношений в произвольном узле хр к> п:
lim J , = Уlim Д Ь_,М-,) = /(xv ук).
Согласно формуле Тейлора,
у(х- ih) = у(х) - ihy'(x) + O(/z2), f(x- ih, y(x-ih)) = /(x, у (x)) + O(h).
19*
291
ГЛАВА 8. Дифференциальные уравнения
Подставляем эти выражения в условия аппроксимации, имеем
[(J 1?оЙ-0у(^) “ С?0 /й-'У(х*) + 0(/1)] = >''(х^’
lim [(Д &_;)/(**> У (xt)) + 0(h)] = f(xk, у(хк)), откуда, в силу произвольности функции у(х), и следует необходимость и достаточность указанных в условии задачи равенств.
□ 8.2. Проверить, аппроксимирует ли разностная схема уравнение (34):
а)
8/i ^к~^Ук-2 + ^Ук-з) = } (Л-i + А-г)’
В) ^(3^"4^-1+^-2)=А-
Указание. Использовать условия, сформулированные в 8.1.
Ответ: а) да; б) нет; в) да.
□ 8.3. Для задачи у' + у - х + 1, у(0) = 0 рассматривается схема
П+12~/1П~' +^ = fc/j+1> Уо = °>У1 = о-
Каков порядок аппроксимации на решении данной схемы? Можно ли его улучшить?
Ответ: первый; можно, если положить у{ = h, то порядок аппроксимации равен двум. В отличие от дифференциального случая, для разностной задачи необходимы два начальных условия. Поэтому аппроксимация решения в точке х = h — часть формальной аппроксимации дифференциального оператора I.
□ 8.4. Пусть для решения задачи у’ + 5у = 5, у (0) = 2 построена следующая разностная схема:
Ук+12Ьк^ +5n = 5,y0 = 2)y1 = 2-5h.
Исследовать ее аппроксимацию и сходимость.
292
8.1. Задача Коши
Решение. Схема имеет второй порядок аппроксимации на решении. Проанализируем сходимость. Несложно показать, что точные решения дифференциальной и разностной задач имеют вид
у(х) = е“5х+ 1,
ук= 1 +	+ С2ц2*,ц1>2 = -5й± 71 +25Ь2,1|Л11 < 1,1ц21 > 1.
Так как коэффициенты Ср С2 находятся из начальных условий у0, уР
1 + Cj + С2 = 2, 1 + Cjgj + С2ц2 = 2-5h,
то имеем Ср С2 0. Следовательно, решение разностной задачи содержит растущую компоненту, и разностная схема на больших промежутках времени неверно отражает решение дифференциальной задачи, хотя схема a-устойчива и разностное решение сходится на любом конечном интервале к решению дифференциальной задачи.
□ 8.5. Для задачи
/ + а(х)у = f(x), у(0) = с
рассматривается схема
Ук+[ - + («!«(**) + a2fl(Xlt+ 1))(₽1 Ук + ₽2П+ 1) =
= У1/(х*)+Г2Ж+1)>Уо = с-
Какими следует выбрать ap и чтобы получить второй порядок аппроксимации на решении?
Ответ: все коэффициенты равны 1/2.
□	8.6. Построить для уравнения (34) разностную схему с наивысшим порядком аппроксимации р на решении
2h = a\fk+ Ov/k-l* a-lfk-2'
Указание. Использовать метод неопределенных коэффициентов построения разностных схем, заменив f на у' и сдвинув (для удобства вычислений) индексы заменой; = к - 1.
Ответ: а{ - а ч = 1/6, а{} = 2/3, р = 4.
293
ГЛАВА 8. Дифференциальные уравнения
□	8.7. Исследовать устойчивость разностной схемы
еП+1-П + (1_е)П~П-1 = дпри0е [0( ц, h	h K
Ответ: схема устойчива при 0 = Ои1>0>1/2.
□	8.8. При каких а, b и с схема
J (п + “Ук- 1 - “Ук-З -П-4) = bfk-1 + cfk-2 + bfk-3
для уравнения у' = /имеет максимальный порядок аппроксимации на решении? Выполнено ли условие а-устойчивости?
Решение. Учитывая необходимые условия аппроксимации (см. 8.1), запишем систему для определения коэффициентов
2я + 4 = 1,2Ь+с = 1,8 + а = ЗЬ, или а = -3/2, b = 13/6, с = -10/3. При этом характеристическое уравнение имеет вид
(ц2- 1)(ц2-	1) =0,
т. е. условие a-устойчивости выполнено.
Без учета нормировки lim ll/,llF/ = ll/llf можно прийти к неверному ответу: а = 28, b = 12, с = 36, для которого условие а-устойчивости не выполнено.
□ 8.9. Исследовать сходимость решения разностной схемы
^-2+/ф,_1 = 0, ф0 = й, h=r
' ~/(pfc-i= 0’ Vo=fc>	,п,
к решению дифференциальной задачи
и' + lv = 0, м(0) - а,
v’ -1и- 0, v(0) = b
на отрезке хе [0, 1] при /= const # 0, используя решения обеих задач.
Решение. Запишем дифференциальную задачу в виде
у' = -Ау, y(0) = d, где
у=И, А = [ 0 '1 d=H-
294
8.1. Задача Коши
Тогда
у = exp (-Ax)d.
Так как Х1>2(А) = ±U то, обозначив через X матрицу, столбцами которой являются собственные векторы матрицы А, получаем
X^d.
y = X e ,X 0 I 0 e~x
Для нахождения решения разностной задачи представим ее в виде
Ук =AhYk-i> к= Уо =d.
где
у* = [	], A =I-hA = [ 1 hl
IvJ	[hl 1
Так как у£ = (А^Уо, то
yh =x((l~Hh)k О V_1(L t 0 (I + ilh)kJ
При нахождении (Ah)k использовано совпадение собственных векторов матриц Ah и А и связь между их собственными числами
X(Ah) = 1 - /Л(А).
Можно показать, что exp (±i/xk) - (1 ± ilh)k = О(й), и так как по условию kh < 1, то для к = 1, 2, ..., п имеем lly(xk) - у^Поо = O(h). Вводя в пространстве Yh норму
^"y = та* Су*11»)»
Л 0 < к< п приходим к следующей оценке сходимости решения разностной схемы к решению дифференциальной задачи
И(у)Л-УЛ11уА = О(й).
Таким образом, схема имеет первый порядок сходимости.
□	8.10. Для задачи у' = у, у0 = 1 рассмотрим схему
= ук, у0=1, к>0.
В разложении ошибки у(хк) - ук = c{h + c2h2 + ... найти постоянную q для хк = 1.
295
ГЛАВА 8. Дифференциальные уравнения
Решение, Для разностной задачи имеем
Ук = (1 + h)yk_l = (1 + /1)4 = (1 +
а точное решение дифференциальной задачи при х = хк равно у(хк) = = ехр (xfc). Пусть хк = kh = 1, тогда
у(хк) -ук = е- (1 + hY/h - е- exp [i In (1 +	=
= е(1 - exp + О(h2) j ) = | h + O(h2).
Ответ: q = е/2.
□	8.11. Для задачи у' - у, у() = 1 рассмотрим схему
Ук+1~Ук _Ук+\+Ук
> y0=L
h	2
В разложении ошибки у(хк) - ук= c{h + qh2 + ... найти постоянную q для хк - 1.
Ответ: q = 0.
□	8.12. Для задачи у' = у, у0 = 1 рассмотрим схему
П+12~/^' =П’ Уо=1’ У1=е1,’к>1-
В разложении ошибки у(хк) - ук= c{h + q/i2 + ... найти постоянную q для хк = 1.
Указание. Вывести формулу
Ук = УоГ И2 М* - И| Ц2 1 + У1 Г-—— м* + —-— Нг 1 > /0Lh2-h1	J L М2-М1 H2-Mi J
где jq 2 — корни уравнения ц2 + 2/ip -1=0:
ц, = -h + 71 + h2 =l-h+* + O(h*),
M2 = -(l + /i+^2) + О(/Н).
Ответ: q = 0.
□	8.13. Для задачи у' = у, у0 = 1 рассмотрим схему
4П + '27к~' -3^пр=У^Уо=1> У1 = ^^>1-
296
8.1. Задача Коши
В разложении ошибки у(хк) - ук = cxh + c2h2 + ... найти постоянные q и q для хк = 1.
Ответ: эта схема неустойчива, сходимости нет.
□	8.14. Для задачи у' + у = cos 2х, у (0) = 0, построить трехточечную разностную схему второго порядка сходимости.
Ответ: например,
n+l2fen~* + У к = cos	Уо = °> У1 = h> к > !•
□	8.15. Для задачи у' + 5у = sin 2х, у (0) - 2, построить двухточечную разностную схему второго порядка сходимости.
Ответ: например,
Ук+\~Ук ,гУк+1 + Ук _ sin(2/z(fc+ 1)) + sin (2hk) л/ £	+ >	2	2	’ Уо"Д
□	8.16. Для задачи у' - у = ехр (2х), у (0) = 1, построить трехточечную разностную схему второго порядка сходимости.
Ответ: например,
У*+12/*~' “Ук = ехР VW’ Уо = У! = 1 + 2М > 1.
□ 8.17. Для задачи у' - 2у = ехр(х), у (0) = 1, построить двухточечную разностную схему второго порядка сходимости.
Ответ: например,
-<yk+i + Ук) = ехр (h{k +	+ ехр (hk). Уо=1’к>О.
□	8.18. Привести пример неустойчивой разностной схемы, аппроксимирующей уравнение у' = /(х, у) строго: 1) с первым порядком; 2) со вторым порядком; 3) с третьим порядком.
Указание. Например, можно взять заведомо а-неустойчивую схему
4П+12^--1 - 3^1^ =cfki + dfk+^+i
и методом неопределенных коэффициентов получить заданный порядок аппроксимации.
297
ГЛАВА 8. Дифференциальные уравнения
□	8.19. Найти главный член погрешности аппроксимации на решении и исследовать устойчивость разностной схемы
Ук-Ук-2 _fk + 4fk-l+fk-2
2h	6
Ответ:	схема а-устойчива.
□	8.20. Найти главный член погрешности аппроксимации на решении и исследовать устойчивость разностной схемы
Ук+\~Ук = 5fk^Sfk+\~fk + 2
h	12
h3
Ответ: — схема а-устойчива.
□	8.21. Найти главный член погрешности аппроксимации на решении и исследовать устойчивость разностной схемы
Ук + 4~Ук = 2fk+l~fk + 2 + 2fk + 3
4/1	3
Ответ:	у(5)(^)> схема а-устойчива.
□	8.22. Найти главный член погрешности аппроксимации на решении и исследовать устойчивость разностной схемы
Ук + 4Ук-\~5Ук-2 = 2A-i +fk-2 6h	3
Методы Рунге — Кутты и Адамса. Один из наиболее популярных подходов к решению задачи Коши для уравнений первого порядка у = /(х, у), / (Xq) - у0 заключается в следующем. Зафиксируем некоторые числа а2, ..., aq, pv ..., pq, Р,;, 0 < j < i < q, и последовательно вычислим
kx(h) = hf(x, у),
к2( h) = hf(x + a2h, у + p2 ,, kY (h)),
= hf(x+ aqh,y+ + ... + P4>4_t^_i(/i)). Расчетная формула имеет вид
у(х+h) » z(h) = у(х) + Z pik^h).
i = 1
298
8.1. Задача Коши
Обозначим погрешность метода на шаге через ф(/:) = у(х + h) -- z(h). Если /(х, у) — достаточно гладкая функция своих аргументов, то справедлива формула Тейлора
<₽(!,) =
1 = 0	/!	(5 + 1)!
где 0 < 0 < 1. Выберем параметры метода а-, р-, 0.  так, что ф'(0) = — ... = ф(5)(0) = 0. Тогда величина s называется порядком метода,
□	8.23. Построить метод при q = 1 и записать формулу погрешности.
Решение. Имеем
ф(Ь) =у(х + h)-y(x)-p1/zf(x,y), <р(0) = 0, ф'(0) = (/(% + Ю	у))1Л = о = Ж/X1 ~Р1)>
ф"(Ю = у"(х+й).
Равенство ф'(0) = 0 выполняется для всех гладких функций/(х, у) только в случае р{ = 1. Для погрешности этого метода на шаге получаем выражение
ф(щ = гЧх + вщр
□	8.24. Построить все методы при q = 2.
Решение. Запишем расчетную формулу в виде
<р(h) = у (х + h) - у (х) - р{ hf(x, у) - p2hf(x, у), где х = х + a2hy у = Р21/:/(х, у). Вычислим производные функции ф(й): <p'(/i) = у'(х+ h)-pj(x, y)-p2f(x, у)-p2h(a2fx(x, у) + Р21^,(х, y)f(x, у)), ф"(Л) = у"(х+ /1) - 2p2(a2fx(x, у) + Р21^(х, р)/(х> у)) -p2/i(aj^(x, у) + + 2a2p21/xy(x, y)f(x,y) + ^fyy(x, y)(f (х, у))2),
<p'"(/i) = у’"(х+ h) - Ър^а-У^х, у) + 2а2Р21Д,(х, y)f(x, у) + + Р2ЧА р)(/(х,у))2) + О(/1).
Согласно исходному дифференциальному уравнению, y'=fi y"=fx + fyf> y'"^fxx + 2 fxyf+ fyyf2 +fyy''-
299
ГЛАВА 8. Дифференциальные уравнения
Подставим в выражения <р(Az),	<p"(/i), значение h = 0; вос-
пользовавшись этими соотношениями, получим
ф(0) =у-у=О,
(р'(0) = (1-р1-р2)/(х,у),
<р"(0) = (1 - 2р2а2)Цх, у) + (1 - 2р2Р21)/у(х, у)/(х» у),
<р"'(0) = (1 - 3p2aj )/„(«, у) + (2-6р2Р21)/ху(х, y)f(x, у) +
+ (1 -3p2Pj1)^(x>y)(/(x>y))2+fz(x,y)y"(x).	(37)
Соотношение ср'(0) = 0 выполняется при всех/(х, у), если
1“ Р1“Р2 = 0’	(38)
соотношение ср"(0) = 0 выполняется, если
1 - 2р2а2 = 0 и 1 - 2р2Р21 = 0.	(39)
Таким образом, <р(0) = ср'(0) = <р"(0) = 0 при всех/(х, у), если выполнены три соотношения (38), (39) относительно четырех параметров. Задавая произвольно один из параметров, получим различные методы Рунге — Кутты с 5 = 2. Например, при р1 = 1/2 получаем р2 = 1/2, а2 = 1, Р21 ~ 1- При р! = 0 получаем р2 = 1, а2 = 1/2, 021 = 1/2. В случае уравнения у’ = у, согласно (37), имеем ср"'(0) = у независимо от значений рр р2, а2, Р21. Отсюда следует, что нельзя построить формул Рунге — Кутты со значениями q = 2 и s = 3.
□	8.25. Определить порядок метода s для следующей совокупности формул при q = 3:
кх = hf(x,y), к2 = hf(x+ h/2,y + fcj/2),
к3 = hf(x + h> у-kx + 2fc2), z(h) = y(x) + (fcj + 4fc2 + k3)!6.
Ответ: 5=3.
□	8.26. Определить порядок метода s тгля следующей совокупности формул при q = 4:
кх = hf(x,y), к2 = hf(x+ h/2,y+ Aq/2), к3 = hf(x+ h!2yy + fc2/2), fc4 = hf(x+ h,y+ k3)y z(h) = y(x) + (k{ + 2k2 + 2k3 + fc4)/6.
Ответ: 5 = 4.
□	8.27. Доказать, что погрешность метода на шаге <p(/i) имеет главный член, т. е. справедливо представление вида
<p(/i) = \|/(x,y)/i5+1 + O(/i5 + 2).
300
8.1. Задача Коши
Решение. Пусть в уравнении у' = /функция /(х, у) и все ее производные до порядка 5+1 включительно равномерно ограничены в области G: < х <	+ X, -оо < у < оо. Тогда также равномерно
ограничены производные всех решений уравнения у' = /до порядка 5 + 2 включительно. В этом случае, согласно формуле Тейлора, представление погрешности можно записать в уточненной форме
Отсюда имеем
ф(5+ D(o) = у(*+ i)(0) -	D(0).
Величины у<5+ ^(0) и z<5+ ^(0) явно выражаются через значения в точке (х, у) функции/и ее производных порядка не выше 5. Правая часть равенства дифференцируема 5+1 раз, отсюда следует, что функция \|/(х> /) дифференцируема в области Си ее производные \|/х и \|/у равномерно ограничены в этой области. Аналогично устанавливается, что величина <р(5 + 2)(0/i) равномерно ограничена при х^ < х < <x+/i<x^ + X. Таким образом, искомое соотношение имеет место.
□ 8.28. Найти главный член погрешности расчетной формулы
У*+ 1 = У; + hftxp У)Ъ
yj+l = yj+^f(xj,yj)+f(xi+l, уД,)).
Ответ: (В-A)h3, где В = fyy "/6, А = (fxx + If^y' +/уу(у')2)/12.
□ 8.29. Найти главный член погрешности расчетной формулы
У/+1/2 = У/ +
рУ;+1/2)-
Ответ: (В + А/2)й3, где В = fyy"/6, А = (/^ + 2/^у' + fyy(y ')2)/12.
Формулы Адамса. Явной формулой Адамса для решения уравнения у' = /(х, у) называют выражение
n-n-i = /j.f0YiV'A-P
неявная формула Адамса имеет вид
Ук-Ук-^h Д
301
ГЛАВА 8. Дифференциальные уравнения
где
j = 0	J
а коэффициенты у- и у • определяются следующим образом:
Yo = ?о = 1>
Yi= f П f1 ~ т ) dw, Y, = Y_-Y,_ 1 = -J fl (1 - - ) du, i > 1.
0 к= 1 v к 7	о t k = 1 v	a 7
□ 8.30. Вывести явные формулы Адамса р-го порядка точности для р = 2, 3,4.
Ответ: У,+ i = У, +	Р=2'
У) + 1 = У)i + <23/; - 16/;_ ! + 5/Л 2) А , Р = 3;
У; + > = У, + (55f7 - 59fh, + 37/J. 2 - 9/J. 3) А, р = 4.
□ 8.31. Вывести неявные формулы Адамса р-го порядка точности для р = 2, 3, 4.
Ответ: у.., = у- + (f.,, + /)*, р = 2;
У,+ 1 = У, + (5fj+ ! + 8/.А , р = 3;
У,+1 = У, +	1 + I9/; - tfj-1 + fj-2) > Р = 4.
□ 8.32. Показать, что для коэффициентов у- в формулах Адамса при i сю справедлива асимптотика
const - const ~ In i i In i ’
Уравнения второго порядка. Рассмотрим следующую задачу:
У" = Дх, у, у')> У (^) = я, у'(хь) = Ь.	(40)
Вводя новую неизвестную функцию v(x) = у'(*)> ее можно свести к системе уравнений первого порядка
v'=f(x,y, v),	v(*b) =
У’ = у>	У^) = а,
а для ее решения применить рассмотренные выше методы.
302
8.2. Краевая задача
Однако алгоритмы, ориентированные на специальный класс задач,
часто более эффективны. Далее будем предполагать, что функция/не
зависит от у':
fUy>y')=/(x,y).
В этом случае (по аналогии с задачей Коши для уравнения первого порядка) разностной схемой на равномерной сетке xk = х^ + kh, к> О называют систему разностных уравнений
«_,у*_, = Д	к=п,п+\,...	(41)
с известными начальными условиями у0 = у(х^), ур ..., у„_Р где a_iy b_i не зависят от h, aQ 0 и fk_ • = f(xk_i9 yk l)-
Схему для уравнения второго порядка называют а-устойчивойу если выполнено следующее условие: все корни характеристического уравнения принадлежат единичному кругу и на границе круга нет кратных корней, за исключением двукратного корня, равного единице. □ 8.33. Получить необходимые и достаточные условия аппроксимации уравнения (40) разностными уравнениями (41).
Ответ: Z а_{ = 0, Z ia- = 0, Е i2a-=2y Z Ь-=1.
i = Q	i = 0	i = 0	i = 0
□	8.34. Определить порядок аппроксимации на решении разностной схемы Нумерова
у^1-2у* + у*-1 _ A + i + юА + А-1 h2	12
^4
Ответ: главный член погрешности равен — у(6)(^), р = 4.
□	8.35. Определить порядок аппроксимации на решении разностной схемы
Ук^-Ук~Ук-2 + Ук-з = 5Л + 2A-i + 5А-2
3h2	12
1.7 h4
Ответ: главный член погрешности равен у(6)(£)> р - 4.
8.2. Краевая задача
Рассмотрим первую краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка
-(к(х)и'У + p(x)u = f(x), 0 < х< 1,
м(0) = м(1) = 0.
303
ГЛАВА 8. Дифференциальные уравнения
Предполагаем, что коэффициенты уравнения удовлетворяют условиям 0 < fc0 < к(х) <	0 < р(х) < На любом из концов отрезка
краевое условие может быть задано в виде линейной комбинации функции и производной аи -I- Ьи' = с. В этом случае следует обратить внимание на способ его аппроксимации. Если это не оговаривается специально, то в задачах этого параграфа сетка выбирается равномерной: х- = ih, i = 0,..., N, Nh = 1.
□	8.36. Определить локальный порядок аппроксимации в точке х- = ih для операторов L и Lh:
Lu = (к(х)и ) , (Lhuh)i = - ^(х-+ 1/2)	-	- к(х{_ 1/2)	- j,
считая коэффициент к(х) достаточно гладким.
Ответ: р = 2.
□	8.37. Для задачи
-и" -I- и = /(х), u(0) = u(l) = О, рассматривается разностная схема
Ut1 “ 2U: + U- 1	,	Л	ч	ч Й2
--------------1 + (ам;+1 + ₽»,• + у»,-i) =(*,)>
1 < j < N- 1, и0 = uN = 0, Nh = 1.
При каких a, Р и у аппроксимация на решении имеет четвертый порядок?
Ответ: a = у = 1/12, Р = 5/6.
□ 8.38. Используя значения функции и в точках х^ = 0 и х} = h, построить аппроксимацию второго порядка граничного условия аи(0) + -I- fru'(O) = с для уравнения
-и" +p(x)u = f(x).
Решение. По формуле Тейлора
u(h) = и(0) + йн'(О) + у u"(0) + О(/13), откуда получаем
и'(0) = u(h)-u(O) _ h u„(0) + 0(/j2)
Из исходного уравнения имеем
-«"(0)=/(0)-р(0)«(0),
304
8.2. Краевая задача
следовательно,
«»(0) + ь(ц(/,)~ц(0) + ^(/(0)-р(0)м(0))) = c+O(h2).
Искомая аппроксимация имеет вид
(я- &Ро)«о +	= с-^ bf0.
□ 8.39. Для задачи
-и" + р(х)и — f(x), u'(0) = 1, u(l) = 0 построить разностную схему второго порядка аппроксимации на сетке xf = (i- l/2)h, i = 0,... ,N,h= 1/(N- 1/2).
Ответ:	1 + p(x)u =	1 < i< N- l/1	=
h2	h
= 1,un = Q.
Отметим, что щаппроксимирует u(—Az/2), а ^аппроксимирует u(l).
□ 8.40. Исследовать устойчивость разностной схемы
_». + i 2»,+ »,-i=y->	uo = uN = O, Nh-1,
и показать, что при h —* 0 число обусловленности матрицы алгебраической системы для нахождения и- имеет порядок О(/г2).
Решение. Так как (см. 2.86) собственные значения разностной задачи
—2^'+ Ц,~' = -Хи,, и0 = uN = 0, h = 1/N,
имеют вид
Х<т> = 1 sin2 — , т=1>... .N-1, h2 2
то можно проверить, что справедливы оценки
1 . = Х(|> = — sin2 — > 4 X	= X(N~ •> < —
Лтш А	^2 5111 2	^max	h2
Выше было использовано неравенство
sin ipi > - ipi при ipi < 5.
л	2
Отсюда следует порядок обусловленности системы.
20 - 1025
305
ГЛАВА 8. Дифференциальные уравнения
Исходная задача записывается в виде Au = f, или, в силу невырожденности матрицы A, u = A-1f. Отсюда получаем неравенство для евклидовой нормы векторов
llull2 < II A-lll2llfll2.
Подчиненная матричная норма (см. 5.5) имеет вид IIАН2 = = AJXmax(ATA). В рассматриваемом случае
и выполнение неравенства ^mjn(A) > С с постоянной, не зависящей от hy по определению, означает устойчивость схемы в евклидовой норме. Отсюда следует устойчивость в норме пространства L2 h.
□ 8.41. Получить на основе принципа максимума при f е С(2)[0, 1] оценку скорости сходимости
max lu(x,) - U:\ < ~ max I f"(x)l ОС iC N	96 [0, 1]
решения разностной задачи
_»,+ l 2и,-+и,|=^	Mo=Mn = O) N/i=1,
к решению дифференциальной задачи
-и" =fy u(0) = u(l) = 0.
Решение. Введем обозначение
п2
и покажем, что если /(н-) < 0 при i = 1,..., N- 1 и щ = uN = 0, то и- > 0 при всех I.
Пусть d = min ut < 0 и q — такое наименьшее целое, что uq = d.
Тогда и j > dy и j > dn
4	п2
Полученное противоречие доказывает, что ui > 0 при всех i. Следующий шаг — доказательство неравенства
max luf l < - Uy
ОС iC n 8
306
8.2. Краевая задача
где U = omaxN Введем функцию
w. = th^~ tlf> и, i = 0,..., N,
удовлетворяющую условиям w • > 0 и /(иа) = -U. Теперь для функций wi ± и- справедливо
/(w, ± и() = -и± /(и,) < 0, vv0 ± u0 = wN ± uN = 0.
Поэтому, используя доказанное выше свойство, имеем wi ± и- > 0, откуда и следует требуемое неравенство
Iu-l < W: < max w, < - U.
1	1	0<i<N	1	8
Последний этап — определение U. Используя формулу Тейлора, запишем уравнение для погрешности и(х-) - и-
h2
Отсюда находим U = — max I f"(x)l, что и приводит к искомой
12 [о,1]
оценке.
Исследование устойчивости методом априорных оценок.
Рассмотрим этот метод на примере дифференциальной задачи
-и" + p(x)u = f(x), u(0) = u(l) = 0,p(x) > 0.
Возьмем интеграл по отрезку [0, 1] от обеих частей уравнения, предварительно умножив его на и:
1 1 1
J (-u")wdx + J ри2 dx= J fudx.
О	0	0
В результате интегрирования по частям получаем интегральное тождество
1 1 1
J (u')2 dx+ J ри2 dx= J fu dx
О	0	0
Далее нам потребуется неравенство, связывающее интегралы от квадратов функции и ее производной. Из равенства
*0
u(Xq) = f и'(х) dx
о
следует, что
20*
307
ГЛАВА 8. Дифференциальные уравнения
Интегрируя по обе части неравенства, получаем искомое выражение 1	iiii
J lu(x^)l2 сЦ) < J (u')2dxj сЦр или J u2dx< J (u')2dx
о	оооо
Окончательно имеем
1	1	1	1	1 /1	1	\
J w2dx< J (u')2dx+J ри2 dx= J fudx< - Hf2dx+J u2dxj,
о	о	о	о	2 v0	о
откуда
llullL < ll/llL , где llull£ =J u2 dx. 2	2	2 о
Полученная априорная оценка решения означает устойчивость задачи по правой части.
□ 8.42. Исследовать методом априорных оценок устойчивость простейшей разностной схемы
_»,+ [ 2^-+Ц|-1 +рм = Ь 1 < i < N- 1, и0 = uN = 0, Nh = 1.
Решение. Умножим i-e уравнение на и, и просуммируем от 1 до (N- 1). Учитывая, что и0= uN = 0, имеем
। N-1	। N-1
i?l (м«+1 “ м«>м.+	(«.-«i-l)«i=
1 N	л N	1 N
= "й2,?1	^2
Отсюда следует сумматорное (аналог интегрального) тождество
1 N	N-1	N-1
± Т.(и:-и,_у+ Е	Е
ГГ I = 1	1=1	I = 1
N
которое, учитывая обозначения Vu- - щ - и{_ р (u, v] = Z u-v-, (и, г) = i= 1
N-1
= Z запишем таким образом: i = 1
j-2 (Vh, Vh] + (рн, н) = (f, h).
Докажем сеточный аналог неравенства для функции и ее произ-к
водной. Представим значение ик в виде суммы ик = Z (м-- u-_ j). Отсюда следует, что для любого 1 < к < N - 1 справедливо неравенство
к к	N
и2к < Е I2 Е (u-u^y^N Е (Hi-H,.,)2. i = 1 i = 1	i=l
308
8.2. Краевая задача
Суммируя по переменной к, получим
N-l	N	, N	N-1
Z < N2 Z (u - u _ j)2 <Z (u -u _ j)2 + ZPiu> = к=\ К i=\	'	1 1 h2 i=i	i= i
N-l	1 zN-1	N-l	\
= E ( Z Z2+ S u]).
i = 1	Z v i - 1	1=1	'
N-l	N-l
Таким образом, Z и2 < Z ff, и априорная оценка решения раз-i=i	/=1
ностной задачи в норме lluftllj; = uh) пространства L2 h, согласованной с непрерывной нормой Т2, имеет вид 11 uh\I h < Ilfh I\h.
□	8.43. Для гладких функций u(x) таких, что u(0) = u(l) = 0, получить на основе рядов Фурье неравенство
f u2(x)dx< J-f (u'(x))2dx> о	*2 о
и его дискретный аналог на равномерной сетке.
Указание. Воспользоваться спектральной задачей -и" = Хи, и(0) = и(1) = 0 и ее дискретным аналогом (см. задачу 2.86).
Операторы с особенностями. Преобразование декартовых координат в полярные, цилиндрические или сферические может приводить к локально неограниченным дифференциальным операторам.
□	8.44. Построить интегро-интерполяционным методом разностную схему для задачи
-- (ru')' = f(r), 0 < r< R, lim ru' = 0, u(R) = О, Г	г О
на сетке Dh = {г- = (i + 1/2)Ai, 0 < i < N, Nh = R}.
Решение. Важными данными задачи являются условие ограниченности решения в нуле и сдвинутая на h/2 сетка. Во внутренних узлах схема имеет обычный вид
1 1 Г Ui + 1 ” Ui	Ui~ - 1 “I _ £( \ л кт 1
“ 7	1/2 L G'—1/2 L “f(^)> 1
r • /1 L	h 1 1/z h J
Построим уравнение при i = 0 (г = h/2). Умножим уравнение на г и проинтегрируем его от 8 до h. Имеем
f [(ги')' + rf(r)l dr= 0.
309
ГЛАВА 8. Дифференциальные уравнения
Переходя к пределу при £ —► 0 и используя условие ограниченности, получим
h
hu'(h) + J rf(r) dr= 0.
о
Теперь аппроксимируем полученное выражение в точке г - h
Аппроксимация второго порядка для условия и(R) = 0 имеет вид
“n+ “n-\ =о
2
□ 8.45. Построить интегро-интерполяционным методом разностную схему для задачи
-- (ru'Y = f(r), 0<r<R, lim ru' = 0, t/(R) = 0, г	r — о
на сетке Dh = {ri = ih, 0 < i < N, Nh = R}.
Ответ: во внутренних узлах схема имеет вид, как в 8.44 (разница только в определении г,). Правое краевое условие uN = 0, а левое краевое условие таково:
!V-” + -VH = o, h 4 J V4 /
h/2
если интеграл J rf(r) dr заменить выражением h2/(h/4)/8. о
□ 8.46. Построить при г = 0 аппроксимацию уравнения
-l(ru')'=/( г),
считая решение четной функцией (м(г) = м(-г)).
Решение. Представим исходный оператор в виде двух слагаемых
1 /	,ч,	„	1	,
- (ru ) - и + - и г	г
и учтем, что для гладкой четной функции и(г) ее производная в нуле равна нулю. В этом случае из формулы Тейлора следует
и'(e) = £М"(0) + О(е2).
310
8.2. Краевая задача
Подставляя это выражение в слагаемое и’1г и переходя к пределу при 8 —► 0, получим
1(ГМ')'1Г=О = 2и"(0).
Запишем стандартную аппроксимацию для уравнения в нуле
Э«1 -2и0+ И-! _ {
К
Учитывая четность и_} = uv отсюда имеем
h 4/о
□	8.47. Построить интегро-интерполяционным методом схему для задачи
(^и'У =f(ry 0 < r< R, lim г2и' = 0, u(R) = 0, Г2	г-* 0
на сетке | = (i + 1/2Л, 0 < i < N, Nh = R
□	8.48. Построить интегро-интерполяционным методом схему для задачи
= Кг), 0<r<R, limr2i/' = 0, m(R) = 0, r2	г—*0
на сетке = {i\ = ih, 0 < N, Nh = R}.
□	8.49. Построить при г = 0 аппроксимацию уравнения
Ц(г2м')'=/(г), г2
считая решение четной функцией (м(г) = м(-г)).
□	8.50. Построить аппроксимацию второго порядка по точкам xN = 1 и xN_ j = 1 - h краевого условия и'(1) - 3w(l) = 1 для уравнения и” = = cos х + 1.
Ответ: ——“N~ 1 + (cos (1) + 1) - 3mn = 1.
------------------h 2	”
□	8.51. Построить аппроксимацию второго порядка по точкам = 0 и Xj = h краевого условия и'(0) + 4н(0) = 1 для уравнения и” - х2и = 1.
Ответ: —~ + 4м0 = 1.
311
ГЛАВА 8. Дифференциальные уравнения
□	8.52. Построить аппроксимацию второго порядка по точкам xN = 1
и xN_ { = l- h краевого условия и'(1) = 0 для уравнения и " - Зи = ехр х
Ответ: ——^—1 + (3W + еХр (1)) = 0. ------ п 2	”
□
□
□	8.53. Построить аппроксимацию второго порядка по точкам = 0 и хх = h краевого условия и'(0) “ н(0) = 0 для уравнения и" - 2и = = sin х- 1.
Ответ:	“° - |(2ц,- 1) - и0 = 0.
В задачах 8.54—8.57 важной является проверка ортогональности собственных векторов в «правильном» скалярном произведении (ср. с задачей 7.32).
8.54.	Исследовать устойчивость разностной схемы Au = f
U: . 1 - 2 U: + U: , ~ hi	=	0<t<N,
Uo=uv UN_} = uN, Nh=L
Ответ: схема устойчива, так как
*М(А) = ± sin2	+ 1,	Xmin=l.
fl	1 J
8.55.	Исследовать устойчивость разностной схемы Au = f _ui+l-2u,+ Ui l=f^ Q<i<N,
wo = O, uN_t = uN, Nh=l. Ответ: схема устойчива, так как
= sin!W^'" = 1..........«"'
8.56.	Исследовать устойчивость разностной схемы Au = f
U: . 1 - 2 U: + U: i r Л =A-mn = 0, Nh=l. Ответ: схема устойчива, так как
А,(»)(А)= ± sin2 л(2”~	п=1,... ,N-1, lmin>l.
h2 2(2N-1)	’ min
□
312
8.2. Краевая задача
□ 8.57. Исследовать устойчивость разностной схемы Au = f
- ——2£+	- (2 + cos (2лх;))и, = fit 0 < i < N,
uQ- uN = 0, Nh- 1.
Ответ: схема устойчива, так как для разностного аналога второй производной
при условиях щ = uN = 0, Nh = 1 имеем собственные значения ^>(4)= 4 sin2K») „=1)...)N_1) Xmin(A)) > 4;
поэтому для исходной задачи A,min(A) > 4 - 3 = 1.
Глава 9
Уравнения с ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Для обыкновенных дифференциальных уравнений в настоящее время имеются удовлетворительная общая теория и алгоритмы, позволяющие в большинстве случаев эффективно численно находить решение задачи. Для уравнений в частных производных теорию численных методов приходится строить в зависимости от типа уравнения. При этом строгое обоснование сходимости и оценки погрешности чаще всего удается получить только для модельных задач. Алгоритмы для сложных нелинейных уравнений обычно строят, обобщая и комбинируя хорошо изученные методы. В этом случае исследование проводится для различных линеаризованных уравнений и с помощью численных экспериментов для задач с известными точно решениями.
В этой главе изложены численные методы решения некоторых задач математической физики. Особое внимание уделено обоснованию корректности рассмотренных алгоритмов.
9.1. Корректность разностных схем
Прежде чем приступить к формальному исследованию задач математической физики, покажем на простых примерах, что уже в линейном случае наличие аппроксимации и сколь угодно мелкой сетки недостаточно даже для получения правдоподобных результатов — решение разностной задачи и решение дифференциальной задачи могут значительно отличаться. При этом измельчение шага сетки будет только ухудшать ситуацию.
Пример 1. Пусть в полуплоскости f > О решается задача Коши для уравнения ut + аих = 0 при начальном условии м(х, 0) = w0(x). За-
314
9.1. Корректность разностных схем дадимся сеткой с узлами в точках (mh, пт) и заменим исходную дифференциальную задачу разностной
ит ит	+ 1 ит _ q
Т	h
м° = u0(mh).
Тогда значения и" при п > 0 определяются последовательно из соотношения
а£+ 1 =(1 + ат/h) - (ат/h) и" + 1.
Пусть при измельчении сетки справедливо т/h - г - const. В этом случае значения решения сеточной задачи в точке (х^, t0) не зависят от начальных условий вне отрезка [х^,	Точное решение диф-
ференциальной задачи имеет вид и(х, t) - и^(х- at). Поэтому в классе начальных условий, обладающих некоторым ограниченным числом производных, областью зависимости для дифференциальной задачи является точка - at0. Взяв в качестве начальной функции финитный «всплеск» в точке - atQ, можно показать, что необходимым условием сходимости решений в точке (x^, tQ) для произвольной начальной функции ^(х) является условие - atQ € [х^,	4- г-1 Го]. Это эквива-
лентно одновременному выполнению неравенств а < 0 и 1дт/Ь1 < 1. Таким образом, при а > 0 схема непригодна для расчетов.
Строгая формулировка этого утверждения для общего случая называется теоремой Куранта об областях зависимости. Для рассматриваемой схемы необходимое условие сходимости совпадает с условием устойчивости и обеспечивает сходимость для гладких начальных данных.
Пример 2. Пусть в области [0, 1 ] х [О, Т\ решается начально-краевая задача для уравнения теплопроводности
Чех’ О “ H ~ 0’
w(x, 0) = Ck sin (rcfcx), k > 1.
Зададимся сеткой с узлами в точках (mh, пт) и заменим исходную задачу разностной
U"m+ 1 ~ U"m = и^^~2и^ + и^-> f 0 < т< М, h= 1/М, т	h2
Uq = ufa - 0 V n >0, и^ = Ck sin (rcfcmh), 1 < k < M- 1.
315

ГЛАВА 9. Уравнения с частными производными
Применяя метод разделения переменных, найдем точные решения дифференциальной и разностной задач
м(х, Г) = Скр*(к) sin (rcfcx), p(fc) = е~(пк)2 , и
= СкиК (к) sin (jtkrnh), nh(k) = 1 - sin2 (лк% 1
Справедливость неравенств 0 < p(fc) < 1 в дифференциальной задаче определяет экспоненциальное убывание решения с течением времени. Решение разностной задачи также экспоненциально убывает при любых начальных данных, если только lp^(fc)l < 1. Определим отсюда соотношение для т и h. Так как
max Iьь(/с)1 < max J 1, i < м-i n	[
то имеем оценку т < h2/2. Если т/h2 > 1/2 4- у, у = const > 0, то показатель цЛ(/с) при больших к отрицателен и по модулю больше единицы, что полностью изменяет поведение решения разностной задачи при больших значениях п.
Рассмотренные примеры показывают, что для уравнения в частных производных при замене дифференциальной задачи его разностной аппроксимацией возникают следующие вопросы (аналогичные имевшим место ранее при рассмотрении методов решения других задач):
1) сходится ли точное решение разностной задачи к решению дифференциальной;
2) насколько сильно изменяется решение разностной задачи, если при вычислениях допускаются некоторые погрешности?
Требуемый для соответствующих исследований математический аппарат изложен в главе 7. Однако операторная форма записи в определении устойчивости недостаточно детальна при анализе нестационарных уравнений, что затрудняет формализацию алгоритма получения необходимых оценок.
Для нестационарного уравнения теплопроводности, уравнений колебаний струны и уравнения Шредингера устойчивость схем удобно проверять, если в оператор разностной задачи явно включить эволюцию по времени, записав схему в каноническом (по Самарскому) виде. Наиболее употребительными являются двухслойные схемы, связывающие значения решения на следующем и текущем временных слоях, и трехслойные, которые требуют для построения реше
316
9.2. Гиперболические уравнения
ния в следующий момент времени значения с текущего и предыдущего временных слоев.
Для задач гиперболического типа допустимо заменять проверку условия устойчивости применением спектрального признака (СПУ). Такой подход позволяет отсеивать большинство непригодных для расчета схем при значительном упрощении техники исследования.
9.2. Гиперболические уравнения
Построение и исследование разностных схем для уравнений в частных производных гиперболического типа традиционно проводят в открытой полуплоскости
D = {(х, Г): оо > х>-оо, t> 0}
на примере линейного уравнения переноса
Lu=^ + а(х, Г)= /(х, Г) dt	дх
с начальным условием м(х, 0) = м0(х) при t = 0.
Если это не оговаривается специально, то в задачах 9.1—9.33 сетка выбирается равномерной по обеим переменным
хт - rnh, т = 0, ±1,...; tn = пт, п = 0, 1,..., для сеточной функции и в точке (хш, tn) используют обозначение н”.
□	9.1. Определить порядок аппроксимации разностной схемы
+ 1 -	W" - U" 1
т	т । т т — 1 ___ q
т	h
для уравнения ut + аих = 0, а = const > 0. При каком соотношении т и h решение дифференциального уравнения в узлах сетки совпадает с решением разностной схемы?
Ответ: О(т + h), x/h = а.
□	9.2. Определить порядок аппроксимации разностной схемы
для уравнения ut 4- аих = 0.
Ответ: О(т + h2).
317
ГЛАВА 9. Уравнения с частными производными
□	9.3. Определить порядок аппроксимации разностной схемы
ип + 1 _	+ 1 +	1
т	Э	U” у ~ Un у
----------2----- +	"т-1 = 0
т	2h
для уравнения ut 4- аих = 0.
Ответ: О(т 4- h2 4- h2/x) = О(т 4- h2/x).
□	9.4. Для однородного уравнения ut 4- аих = 0 построить схемы первого и второго порядков аппроксимации на решении (если это возможно), используя шаблон из точек (хш, tn), (xm, tn+ j), (xm+ р tn) и условие т - rh (г- const).
Указание. При а < 0 и г = 1/1 аI существует схема с порядком аппроксимации O(h2).
□	9.5. Для уравнения ut- ux = f построить разностную схему
Д° и"+ 1 + й_, и"т _ 1 + До «т + а1 ит + 1 = Фт
максимального порядка аппроксимации при условии т = rh, г - const. Ответ: имеется однопараметрическое семейство схем первого порядка, коэффициенты которого удовлетворяют системе уравнений (Prh - 1,
cfi 4- Uq 4-	4-	— 0,
a°r 4- ar - a_} = 0. Схемы второго порядка не существуют.
□	9.6. Пусть т = rh. Определим оператор Ph = / 4- у — 4- — J, где I— тождественный оператор. Для уравнения P^ut- их) = Ph(f) построить разностную схему
Д°м” + 1 + а_} ипт_ , + agu" + а, и" + , = <р£
максимального порядка аппроксимации на решении.
Ответ: схема второго порядка аппроксимации на решении
n 1	_	1	1 Г _ 1 - Г _	1 4- Г
-у, dn	~~г	4~	, а_\	. , Ну	.	,
rh	rh h 1	2h 1	2h
318
9.2. Гиперболические уравнения
ИЛИ
+ „„ i)=r/+^(/r+/Jy.
□	9.7. Для уравнения ut 4- их = f построить разностную схему a°U"+l +aX++*! +«o«m +«l«m+l =Фт-
имеющую на решении второй порядок аппроксимации при условии т = h.
□	9.8. Пусть для задачи ut- их = f и(х, 0) = (р(х) используется схема пп + 1 _ ип - 1 ип — ип т 2х т~~ m+'2h т-'
Как определить значения функции ихт , чтобы не ухудшить порядок аппроксимации?
Ответ: и'т =	4- T[(px(mh) 4- f(mh,0)].
□	9.9. Для уравнения ut 4- аих - 0 рассматривается схема с пересчетом
11 п	1 и П
п + 1/2 _	Um
ит+\/2 э	ип , . — ип
-----------------2---------------- + а т+\ т = 0, т/2--------------h
+ 1 _ ,,п цП+ 1/2 _ 1,п+ 1/2 Uni ит flum+l/2 “m-1/2 _ q Т	h
Определить ее порядок аппроксимации на решении.
Ответ: исключая м" + 1/2 при дробных ш, получаем схему
+ 1 Um- 1 _ ^2 2	~ 1 — Q
2	’
+ а
г—^- =0’ п
ип+1_ ип ит ит т ’	27Г	"2	h2
имеющую второй порядок аппроксимации (т = rh, г = const).
□	9.10. Для уравнения ut 4- аих = 0 рассматривается схема с пересчетом
11 п + 1/2 — 11П	ип	— 11п
ит ит „т+ 1 ит
Т
ип + ип + 1/2
С+ '-------2---
т/2
Определить ее порядок аппроксимации на решении. Ответ: схема имеет порядок аппроксимации О(т2 4- h2).
+ а
ип + 1/2 _ ип + 1/2
ит ит- 1	_ q
h
319
ГЛАВА 9. Уравнения с частными производными
□	9.11. Для уравнения ut + их = 0 рассматривается семейство схем с параметром 0
и п + 1 _ и п	ип + 1 _ ип + 1	ип — ип
ит ит । Q ит ит - 1 । q — 0)	~ 1 О
т	h	h '
При каких значениях 0 схема имеет на решении порядок аппроксимации О(т2 + й2)?
Ответ: 0=1/2- й/(2т).
□	9.12. Для уравнения ut + их = 0 построить схему с порядком аппроксимации О(т2 + h4) на шаблоне из десяти точек: (хт±2, tk), (xm±p tjt), (xm, tk),k=n, n+ 1.
Указание. Взять разностную схему
tj и	1 I- i/М	+ 1	и и — ijti -I
ит ит 1 Г ит + 1 ит - 1	. ит + 1 ит - 1 | _ q
Т 2 L 2h	2h J ’
имеющую порядок аппроксимации О(т2 + h2) при разложении в ряд Тейлора в точке (xw, 1/2). Исключить ее главный член погрешности по h, аппроксимируя с четвертым порядком производную по переменной х на заданном шаблоне.
□	9.13. Для уравнения переноса ut + я(х> t)nx = /(х> t) построить двухслойную схему порядка аппроксимации: 1) О(т2 + й); 2) О(т + й2); 3) О(т2 + й2); 4) О(т + h), с минимальным, по возможности, числом узлов I в шаблоне.
Указание. Рассмотреть шаблоны из I узлов: 1) I = 4; 2) I = 4; 3) I = 4; 4) I = 3.
Спектральный признак устойчивости. Разностные схемы для однородного уравнения переноса с постоянным коэффициентом а можно записать так:
Lhu” = Z blku"+.ki =0. и т	ik т + I
Рассмотрим их частные решения вида
= (X(cp))neirn(P.
Спектральный признак устойчивости (СПУ) разностной схемы формулируется следующим образом: если при заданном законе стремления т и h к нулю существует постоянная 0 < с < оо такая, что для всех ср справедливо неравенство 1Х(ср)1 < еа, то спектральный
320
9.2. Гипербол ические уравнения
признак выполнен, и схема может быть применена для численного решения соответствующей задачи Коши для уравнения Lu = f.
Можно показать, что если СПУ не выполняется, то для решения задачи не существует априорной оценки вида Пн"II < Мс константой М, не зависящей от параметров сетки, в норме 11*11, которая не зависит от временного слоя.
Упражнения 9.14—9.23 формулируются одинаково: с помощью спектрального признака исследовать устойчивость разностных схем для случая постоянного коэффициента а в операторе L.
□	9.14. Исследовать устойчивость схемы ит ит аит ит-\ _ q т	h
Решение. Подставим в схему частное решение н" = We'™?. В результате имеем
уп + Igimcp _ 'уп^хгтр — Xne^w ~ -------------- + а-------:------ = 0.
т	п
Сокращая на Х"еь"ф, получаем
к_! +01^!_’=о, т	h
откуда следует, что
Х(ф) = 1 - е-Ч h h
Пусть а > 0. Тогда при 0 < ат/h < 1 имеем IX(cp)I < 1 - ax/h + ax/h = 1, т. е. схема устойчива при выполнении указанных выше условий. При ax/h = 1+ у>1,у = const, получаем Х(л) = -1 - 2у < -1, т. е. в этом случае схема неустойчива. Таким образом, разностная схема условно устойчива. При а < 0 схема неустойчива.
Аналогичные рассуждения справедливы при а < 0 для схемы
ит ит	-ь 1 ит _ q
т	h
Данная схема для а < 0 является устойчивой при 0 < I a hlh < 1 и неустойчивой при I a hlh = 1+ у>1,у = const или при а > 0.
□ 9.15. Исследовать устойчивость схемы
“т +	ит+1~ и?п-} _ п
т	2h
21 - 1025
321
ГЛАВА 9. Уравнения с частными производными
Решение. Поступая аналогично 9.14, получаем
Х(ф) = 1 -	(е’ч» - еЧф) = 1 - sin ф,
откуда следует, что
шах 1Х(ф)I = 1Х(л/2)I = 71 + a2x2/h2. ч>
а2А^
Пусть т = Ah2, тогда 1Х(л/2)1 < е 2 , т. е. схема устойчива при т = О(й2).
Исследование устойчивости с помощью спектрального признака позволяет находить искомые (т. е. устойчивые) законы стремления т и h к нулю.
□ 9.16. Исследовать устойчивость схемы
и",+ '~ит .	1 -	1 h2 U",+ l ~lunm	_
—;—	—я,----------й---------------------°-
Ответ: Х(ф) = ± (1 - )ei(p +	~ )e-i(p = cos ф - ~ i sin ф.
Схема устойчива (1Х(ф) ।	1) при выполнении условия I a hlh < 1.
□ 9.17. Исследовать устойчивость схемы
,,п + 1 _ 1tn 1tn _ 1tn	Э 1tn _ Э I 1tn
Utn	+ I - I azT	+ um _ j
--------+ “-------2S------T----------V----------°-
Ответ: к(ф) = 1 -Цят/й) sin ф + (a2x/h2)(cos ф- 1). Схема устойчива при выполнении условия I a h/h < 1.
□ 9.18. Исследовать устойчивость схемы
т	h
Ответ: Х(ф) - (1 +	• Введем следующие обозна-
чения: 8 = sup 1Х(ф)I и у = ат/h. Тогда:
О < ф < 2л
при а > 0 или при у < -1 выполняется неравенство 8 < 1, т. е. схема устойчива;
при -1 < у < 0 имеем 8 - г—-5—г > 1, т. е. схема неустойчива.
322
9.2. Гиперболические уравнения
□	9.19. Исследовать устойчивость схемы
. «r/i-C’i _п
х	2h
( ат V1
Ответ: Х(ср) = (J + — i sin ср J . Так как 1Х(ф) I < 1, то схема устойчива при любых т и h. □ 9.20. Исследовать устойчивость схемы
ип 4- 1 _	+ 1 +	1
m	2	М" . , - и” ,
-------------£--- +	= о.
т	2h
Ответ: Х(ср) = coscp - Rising). Схема устойчива (IX(cp)l < 1) при выполнении условия \а\xlh < 1 (ср. с 9.16).
□	9.21. Исследовать устойчивость схемы
+ ,_ m+l	т-.	_
-----------------2---------------- + a^ + l um t = о т----------------2h
Ответ: схема безусловно устойчива.
□	9.22. Для уравнения ut + их = 0 рассматривается семейство схем с параметром 0
Utn ~ Utn । Q Um 4- 1 ~ Um _|_ ( J _ 0)	~	- 1 _ q
т	h	h '
При каких 0 е [0, 1] схема устойчива?
Ответ: 0 < 0 < 1/2.
□	9.23. Для уравнения ut + их - 0 рассматривается семейство схем с параметром 0
1/П + 1 _ ип	tJn + 1 _ 1/П+ 1	_ ип
“т т । Q “т - 1 । /1 — 0) W т ~ 1 ~ 0
т	h	h '
При каких значениях 0 е [0, 1] схема безусловно устойчива?
Ответ: 1/2 < 0 < 1.
21*
323
ГЛАВА 9. Уравнения с частными производными
Дифференциальное приближение. Пусть для дифференциальной задачи Lu = /построена разностная схема Lhvh = Ди найдено ее решение vh. Предположим, что это решение является следом на сетке некоторой гладкой функции г, т. е. vh = (у )Л.
Дифференциальное уравнение, решением которого является функция у, называют дифференциальным приближением разностной схемы.
Как правило, дифференциальное приближение содержит бесконечное число слагаемых, зависящих от производных функции v с коэффициентами, пропорциональными шагам сетки. Так как интересна асимптотическая зависимость относительно сеточных параметров, то обычно ограничиваются одним или двумя старшими членами асимптотики (т. е. наиболее медленно убывающими слагаемыми). В этом случае говорят о первом дифференциальном приближении. Дифференциальное приближение при этом стараются записать в такой форме, чтобы в дополнительные (по сравнению с исходным дифференциальным уравнением) слагаемые не входили частные производные по временной переменной. Это удобно для анализа различий между решениями и и vh. В частности, первое дифференциальное приближение полезно при исследовании корректности (устойчивости) разностной схемы.
□ 9.24. Получить дифференциальное приближение разностной схемы
у” + 1 _ vn vn _ vn
—------« +	= 0,	(42)
T	h
с точностью до членов порядка О(т3 + h3).
Решение. Используя гладкость функции у, получим разложения в ряды Тейлора в точке (хш, tn) значений у"+ 1 и у”ч с точностью О(т4 + й4) и подставим их в (42). Имеем
1	+	+ %	+ О(г4)1 - v) +
т dt 2 dt2 6 dt3	7J	'
h \ L dx 2 dx2 6 dx3 J '
Это соотношение удобно преобразовать к виду
% +	= -I дЛ +	- L2	+ о(т3 + /?).	(43)
dt dx 2 dt2 2 dx2 6 dt3 6 dx3
324
9.2. Гиперболические уравнения
В левой части равенства (43) находится уравнение, которое аппроксимирует разностная схема (42), а в правой — погрешность аппроксимации, которая в общем случае отлична от нуля.
Производные по времени, входящие в погрешность аппроксимации, заменим с требуемой точностью производными по простран-
„ ту	d2v
ственнои переменной. Для этого выразим производную —- через
dt2
производную по х Формально дифференцируя (43) по времени, по
лучаем
d2v +	а д2у	_ _т d3y	+ ah d3y	_ т2 d4y	_ ah2 d4v	+ qz 3 +
dt2	dtdx 2 dt3 2 dtdx2 6 dt4 6 dtdx3
а дифференцируя (43) по x и умножая на -о, находим
_ d2v	_ о d2v _ ат д3у _	a2h д3у	дт2 д4у	+ a2h2 d4v + qz	3 +
dtdx dx2 2 dt2dx	2 dx3	6 dt3dx 6 dx4
Складывая два последних равенства, имеем
= «2^ + т(_1	+ а	0( Л
dt2 дх2 V 2 dt3 2dt2dx '
+	(44)
^2 dtdx2 2 dx3 '
Из уравнения (43) аналогично можно получить следующие выраже-
d3y d3y d3y
ния для производных —- , —-— ,------:
F	dt3 dt2dx dtdx2
+ Oft + Л),	+ O(r + Л),
dt3 dx3	dtzdx dx5
^=_ad-h.+O^ + h).	(45)
dtdx2 dx3
Заменяя по формулам (44) и (45) в правой части уравнения (43) производные по временной переменной производными по пространственной переменной, получаем
й+4=w - *++0('’+ dt dx 2 dx2 6	dx5
где у = ax/h. Это уравнение и является дифференциальным приближением разностной схемы (42) с точностью до членов порядка О(т3 + h3).
325
ГЛАВА 9. Уравнения с частными производными
Важно, что для замены временных производных пространственными используется уравнение (43), а не исходное уравнение ut + аих - 0. Это связано с тем, что искомое решение u(x, t) в общем случае не совпадает с решением v(x, t) дифференциального приближения.
□	9.25. Получить с точностью до членов порядка О(т3 + h3) дифференциальное приближение разностной схемы
pH + 1 _ уП	уП	уП
т	т । т + 1 т - 1 — Q
т	2/i
dv . dv та2 d2v (ah2 . а3т2 \d3v .	3 . L3A
Ответ: -• + a— =	— - I — + — —: + О(т3 + h3).
dt dx 2 dx2 ^6	3 ' dx3
□	9.26. Получить с точностью до членов порядка О(т3 + h3) дифференциальное приближение разностной схемы
vn + 1 _ vn - 1 vn	- vn t
т y m	। Д W + m - I _ q
2t	2/1
dv	, dv	(ah2	a3?2 \d3v	, z~>/ 3	, >.з\
Ответ: —	+ a—	= -I — -	— 1 —,	+ O(t3	+ h3).
-------- dt	dx V 6	6 ' dx3
□	9.27. Получить с точностью до членов порядка О(т3 + h3) дифференциальное приближение разностной схемы
т	2h 2т	h2
dv . dv ah (1 >d2v , ah2 i\d3v ,	3 , 734
Ответ:	--у — + _(i-y2)	+ O(x3 + h3),
-------- dt dx 2 vy ' dx2 3	dx3
у = та/h.
□	9.28. Получить с точностью до членов порядка О(т3 + h3) дифференциальное приближение разностной схемы
уП + 1 _ уП	уП + 1	_ уП + 1
¥ tn	¥ tn - 1 _ л
т	2h
п _ _	. dv dv та2 d2v (ah2 а3т2 A d3v 3	, ЗА
Ответ: — + а— = —---------- - — + —— —- + (J(V + №).
dt dx 2 dx2 ^6	3 ' dx3
□	9.29. Получить с точностью до членов порядка О(т3 + h3) дифференциальное приближение разностной схемы
т	h
326
9.2. Гиперболические уравнения
dv , dv ah f 14d2v , ah2, , n о \d3v , Ответ: - + a— = — (y - 1)— + — (-1 - 2y2 + 3y) — + ut ox 2	ox2 6	dx3
+ O(t3 + h3), у = та/h.
□	9.30. Получить с точностью до членов порядка О(т3 + h3) дифференциальное приближение разностной схемы
<+ 1 - Л',', а ( vnm\\- V”+ 1 V" - V"  , А т 2 v h	h j
Указание. Воспользовавшись соотношениями
< ++1 - vm+1 _ 1 (С++’1 - vm+1 ’’LrCk h 2 I h	h j
. 1	-V^+1 _ T” + J — v” A
2V	h	h	)'
vn — vn .	1 / Vn + 1 — Vn + ! vn — vn . \
tn m - 1   1 tn	tn - 1 . tn m - 1 i  
h 2 V h	h J
1	/ Vn + 1 — Vn + I Vn — Vn 1 A _ £ I tn v tn - 1 _ m r m - 1 j
2	V h	h
сначала привести схему к виду
vm + '~vm	а ( ^++ 1 -	- 1 vm + I “ vm - 1 V
г	2 v 2/1	2/1	2
ah ( ^++\-^+, + v^-\	v^+l-2vg, + vg,-i = 0
4 V	h2	h2	>
dv	, dv	(a2hx	ah2	а3т2	\d3v	.
Ответ: -	+ a—	=	—-	-	—	- —	—	+	О(т3 + h3).
-------- dt	dx	v 4	6	12	' dx3
Уравнение колебаний струны. Рассмотрим первую краевую задачу для однородного уравнения колебаний струны
, о < t < Т, п(0,1) = w(l, Г) = 0, dt2 дх2
u(x,0) = и0(х), ^ (х, 0) = v0(x), 0<х<1. и dt
□ 9.31. На пятиточечном шаблоне «крест» построить разностную схему со вторым порядком сходимости.
Ответ: при т < h схема
ип+ 1 - 2ип + и"“1
“tn	А П
T2
327
ГЛАВА 9. Уравнения с частными производными
где
11т . 1 -	+ U„ 1
Л = _m_+J------т---m-_l = j м_ j
m	hl
uo + 1 ~ им+ 1 ~	« = 0,, N- 1, u® = u0(mh),
= v0(mh) + -	, m = i,..., M- 1,
т 0	2	h2
имеет второй порядок сходимости.
□ 9.32. Найти порядок аппроксимации и методом разделения переменных условия устойчивости для семейства схем с весами
ип + 1 - 2ип + ип~х
f= 0Лм^+1 +(1-20)Ли" + 0Лн”-1,
М0 + 1 = иМ+ ’ = °’	= u0(mfl)> Um = V0<w/l)>
где 0— весовой параметр, оператор Л определен в 9.31, а функция v0(tnh) выбрана с нужным порядком аппроксимации.
Решение. Если 0 не зависит от шагов сетки, то порядок аппроксимации О(т2 + й2). Если 0 - 0О - й2/( 12т2), то порядок аппроксимации на решении О(т2 + й4). Параметр 0О не зависит от шагов сетки и выбирается из условия устойчивости схемы.
Найдем условие устойчивости. Рассмотрим частные решения разностной задачи следующего вида: и" = )л£(к) sin (nkmh). Здесь и далее для простоты исследования условие Ipi < ест заменяем условием I pl < 1. Тогда для ц получаем уравнение
ц2-2(1-а)ц + 1 = 0, а=1—
2 1 + 0т2ХЛ(к)
Условие IjLij>21 < 1, gj # ц2, выполняется, если дискриминант меньше
нуля, т. е. при 0 < а < 2. Отсюда имеем 0 > - - —-— . Так как = 4 т kh(k)
4 • 2 (nhk А . 4	.	л 1 h2
= — sin2 -у J < — , то условие устойчивости имеет вид 0 > - - — .
Для явной схемы (0 = 0) полученное неравенство приводит к условию т < h.
328
9.2. Гиперболические уравнения
□ 9.33. Найти условия устойчивости двухпараметрического семейства схем
ип+ 1 - 2ип + ип~1
------т =e1Au”+l+(i-e1- е2)л«" + 02л >
«О + 1 = «М+ 1 = °’ 4 =
где 0р 02— параметры, а функция vQ(mh) выбрана с нужным порядком аппроксимации.
Решение. Определив самосопряженный оператор А как оператор (~Л), действующий на пространстве сеточных функций, равных нулю на границе, получаем, что трехслойная схема записывается в канонической форме (57) с самосопряженными операторами
В=(0]-02)тА, R = 1/+ ^Ц-^А.
Условия устойчивости трехслойных схем имеют вид
В > О, R = R* > i А, А = А* > 0.
4
Условие В > 0 приводит к неравенству 0j > 02, а условие R > А можно записать в следующем виде:
ХлМ-’*»-
Данное неравенство, по определению, означает, что
-^1Ы1 +	и) >0 V и* 0,
и так как наибольшее собственное значение оператора А равно
4 . 2 л/1(М- 1) . 4
sin2 —------ < —г, то искомая оценка имеет вид
п2	2 h2
е1 + е2
2
Ответ: из теории устойчивости трехслойных разностных схем (см. § 9.4) следует, что достаточными условиями устойчивости схемы являются следующие неравенства:
329
ГЛАВА 9. Уравнения с частными производными
Методом разделения переменных можно показать, что найденные достаточные условия асимптотически совпадают с необходимыми.
В случае 0^02 = 0 (см. 9.32) схема имеет второй порядок аппрок-
1 h2
симации, а условие устойчивости сводится к неравенству 0 > - - —-.
9.3. Эллиптические уравнения
Построение и исследование разностных схем для уравнений в частных производных эллиптического типа в простейшем случае проводят в области прямоугольной формы
D = {(х, у): Х> х> О, Y> у> 0}
на примере уравнения с переменными коэффициентами	> 0
Lu =	(а^х,	(а2(х, у)^ ) = /(х,у)
дх V 1 дх / ду V z ду ' с однородными краевыми условиями первого рода и(0, у) = и(Х, у) - 0 при У>у>0, и(х, 0) = и(Ху У) = 0 при X > х > 0.
Наиболее употребительным является случай уравнения Пуассона = а2 = 1)
Дн=^ =/(Х)у).
дх2 ду2 7	7 7
В общем случае на любой части границы краевое условие может быть задано в виде линейной комбинации функции и производной первого порядка. Тогда необходимо обратить внимание на способ его аппроксимации.
Типичным примером эллиптического оператора четвертого порядка является бигармонический оператор
+2 д*“ + ^“, дх4 дх2ду2 ду4
для которого краевое условие может содержать линейную комбинацию производных неизвестной функции до третьего порядка включительно.
Особенность постановки эллиптических задач — наличие только краевых условий. Поэтому аппроксимация и устойчивость исследуются как в случае линейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
330
9.3. Эллиптические уравнения
разностного аналога оператора второй производной Lau =
Для удобства независимые переменные также будем использовать в виде Xj = х, х2 = у. Введем обозначение Лан(хр х2), а = 1, 2, для д2и —- по 6x2
переменной ха, например,
и(х1 + /i1? х2) - 2м(хр х2) + u(xl - h^x2) Л1н(х1,х2) =
Аналогичный смысл имеет выражение
U,+ 1J-2u +U, 1	h2
□	9.34. Оценить погрешность аппроксимации оператора Лапласа Д оператором Д;' - Л, + Л2 (стандартная аппроксимация на шаблоне «крест»).
/ U2 h2 \
Ответ: ДАы-Ды =	Ц +	Ц ) и + O(h* + h^) = O(hl + h$).
□	9.35. Построить аппроксимацию оператора Лапласа и оценить ее погрешность на шаблоне «косой крест» при h} = h2 = h
Ahu = [йо ои(хрх2) + «, ,«(Х] + h,x2 + h) +
+	.^(х, + h, х2- h) + д_, ,n(Xj - h, х2 + h) +	.^(Xj - h, x2-h)],
где ; не зависят от h.
Решение. «Косой крест» — это обычный «крест» с шагом h в системе координат, полученной поворотом исходной системы на л/4.
L2	1
Ответ :	= Aj + Л2 + — Л1Л2, или п0 0 = -2 и ак}- - в осталь-
ных случаях. Погрешность аппроксимации равна О(й2).
□	9.36. Построить аппроксимацию оператора Лапласа и оценить ее погрешность на треугольной решетке (область разбита на непересе-кающиеся правильные треугольники со стороной й).
Решение. Вторую производную функции н(х, у) в любом требуемом направлении можно выразить тремя вторыми производ-
ными- д2и д2и ными. —- , —-дх2 ду2
д2и дхсу'
331
ГЛАВА 9. Уравнения с частными производными
Введем новые координаты хп и уп (индекс п означает «новые»): х - х„ cos 0 - у„ sin 0, у= х„ sin 0 + у„ cos 0.
Геометрически это означает, что начальная координатная система поворачивается против часовой стрелки на угол 0 относительно начальных осей. Поэтому вторая производная и(х, у) в направлении 0 вычисляется так:
д2и _ д (ди дх .ди ду \ _ д ади , . ади А _ дх2 дхп дх дхп ду дхп / дхп \ дх ду J
= (cos 0^- + sin 0~ 1 и = cos2 0^ + sin2 0^ + 2 sin 0 cos 0^-^-.
V	дх ду J	дх2	ду2	дхду
Обозначим основные направления линий из узла сетки через а, Ь, с. Значения угла 0 для этих трех направлений соответственно таковы: О, л/3 и 2л/3. Теперь оператор Лапласа можно выразить через частные производные второго порядка по данным направлениям. Имеем д2и _ д^и да2 дх2'
д2и _ 1 д2и	3 д2и + »/з д2и
дЬ2 ~ 4 дх2	4 ду2 2 дхду'
д2и _ 1 д2и + 3 д2и _ 7з д2и дс2 ~ 4 дх2 4 ду2 2 дхду'
Сложив эти равенства, получим
д2и + д2и + д2и _ 3 < д2и	д2и А
да2 дЬ2 дс2 2 ^дх2	ду2
Заменим вторые производные по направлениям а, b и с обычными аппроксимациями второго порядка
(Й) =^2(«4-2«о+«1) + 0(Я, коа уо h
где — значения в соседних с узлах решетки, отстоящих на расстояние h (нумерация ведется против часовой стрелки). В результате имеем искомую аппроксимацию оператора Лапласа
АЧ =	(«1 + «2 + - + «6 - 6мо)-
332
9.3. Эллиптические уравнения
□	9.37. Используя значения функции и в центре Д, и в вершинах Ак правильного и-угольника со стороной h, получить аппроксимацию оператора Лапласа Ahu в центре многоугольника. Оценить ее порядок для различных п.
Ответ: АИи(Ац) = sin2 5 ^-1/(7%) + i
□	9.38. Описать все девятиточечные разностные аппроксимации оператора Лапласа Д/1н(х1, х2), имеющие вид
“ Ч,ом(хр х2> +	Ь х2) +	-Ьх2) +
+ ^(Хр х2 + h) + ^^-^(Хр х2 - h) + хи(хх + h,x2 + h) + +	.^(Xj + h, x2 - h) + a_x juCxj - h> x2 + h) + a_x_xu(xx - h.x^-h)],
где ak j не зависят от h, и обладающие вторым порядком аппроксимации, т. е.
Дйн(хр х2) - Дн(хр х2) = О(й2) при и е С(4).
Ответ: Oq 0 — 4с — 4,	} ~ ^1,-1 ~	1 ~	~ й1,о ~ й-1,о ~
-	1 ~ ^0,-1 ~ 1 “ 2с, или, что то же самое, Д^ = А} + Л2 + c/i2AjA2,
где с— произвольная постоянная.
□	9.39. Какие из разностных операторов в 9.38 отрицательно определенные?
Ответ: все операторы при с< 1/2.
□	9.40. Построить тринадцатиточечную разностную аппроксимацию бигармонического оператора Д2, использующую узлы (хр х2), (Xj ± ft, х2), (Хр х2 ± й), (Xj ± 2й, х2), (Хр х2 ± 2h), (Xj ± hy х2 ± h) и оценить погрешность аппроксимации на функциях и е С(6).
Ответ: (Дй)2н = (Л^ + 2AjA2 + Л^)н = (Aj + Л2)2м; погрешность аппроксимации равна О(й2).
□	9.41. Если и — гармоническая функция в ограниченной области
D с границей Г, то J dr = 0, где — производная по направлению внешней нормали к границе Г. Сформулировать и доказать аналог этого равенства для решений разностного уравнения ДЦ^^ + Л^н-- = 0, Ki<Np l<j<N2,
в прямоугольной области, покрытой равномерной сеткой с шагом h (N{h = X, N2h= У).
333
ГЛАВА 9. Уравнения с частными производными
□	9.42. Записать разностную схему во внутренних узлах сетки для уравнения Пуассона с аппроксимацией на решении О(й4).
У казание. (Aj + Л2 + у = f+ (Aj + Л2)/+ O(h4).
□	9.43. Записать разностную схему во внутренних узлах сетки для уравнения Пуассона с аппроксимацией на решении O(h6).
Указание. (Aj + A^	+ Л2)/-(Af +
V	О '	12	Z4U
+ Л22)/+^Л1Л2/+О(/1ь).
□	9.44. Для уравнения Аи = f построить аппроксимацию на реше-
нии с порядком О(й2) граничного условия - аи = 0 при х{ = О, ОХ ।
используя минимальное количество узлов вдоль оси хг
Ответ:	- Ь. (fQ ._Л2и0 .)-а«0  = 0, и, } = u(ih,,jh2).
□	9.45. Для уравнения Аи = f построить аппроксимацию на реше
нии с порядком О(й4) граничного условия - аи = 0 при хх = О,
используя минимальное количество узлов вдоль оси хг
□	9.46. Пусть в прямоугольной области, покрытой равномерной сеткой с шагом h> определен разностный аналог оператора Лапласа
Д^.н^ + Л^.Ki<Np 1<;<N2.
Показать, что если справедливо неравенство ДЛЦ;7- < 0 при всех 1 < i < Np 1 < j < N2, to функция достигает наименьшего значения хотя бы в одной точке границы, т. е. при i = 0 или i- Np либо при j = 0 или j = N2.
334
9.3. Эллиптические уравнения
Решение. Будем считать, что функция ui  отлична от константы, так как в этом случае утверждение является тривиальным. Предположим теперь противное, т. е. что минимальное значение достигается во внутреннем узле сетки (вообще, таких узлов может быть несколько). Пусть его номер (nz, и); в этом случае справедливо неравенство &hum* п < 0:
4 (	+ 1, п + Um- 1, п + ^т, п + 1 + п-
Знак > не имеет места, так как п — минимальное значение функции на сетке. Знак равенства означает, что в окрестности узла (nz, п) значения функции и-  совпадают:
+ 1, п ~	1, и	и + 1 “ п - 1 — п-
Продолжая рассуждения для этих узлов, затем для их соседей, получим в силу связности сетки, что при выполнении неравенства Д^и,- • < 0 функция обязана быть константой. Это противоречит исходной посылке, значит, наименьшее значение обязано достигаться на границе, где указанное в условии неравенство места не имеет.
□	9.47. Доказать, что если в обозначениях 9.46 справедливо неравенство Ahuitj > 0 при всех 1 < z <	1 < 1 < N2, то функция ui - до-
стигает наибольшего значения хотя бы в одной точке границы.
□	9.48. Пусть в прямоугольной области, покрытой равномерной сеткой с шагом /z, разностный аналог оператора Лапласа
Д^н^ + А^- -, Kz<Np l<j<N2, определен на сеточных функциях . = uh, обращающихся в нуль на границе, т. е. при z - 0, Nj и при j - 0, N2. Доказать, что оператор (-Дh) является симметричным, положительно определенным, и для него справедливы оценки
С,(ил, Mft) < t-khuh> Uh) < c2(uh, uh),
в которых постоянная q > 0 не зависит от сеточного параметра h, а постоянная с2 может быть выбрана равной 8/ Az2.
□	9.49. Показать, что для решения методом Гаусса дискретного уравнения Пуассона Ahuh = fh с однородными условиями Дирихле на границе (см. 9.48) при естественной нумерации неизвестных требуется порядка СКй-4) арифметических действий.
335
ГЛАВА 9. Уравнения с частными производными
□	9.50. Упорядочить неизвестные в задаче 9.49 так, чтобы количество арифметических действий при решении методом Гаусса имело порядок O(h~3).
□	9.51. Пусть в единичном квадрате D задана регулярная («северо-восточная») триангуляция с шагом h и в качестве базисных функций используются кусочно-линейные над треугольниками функции. Записать систему уравнений метода Ритца (конечных элементов) для задачи
-Дм = f(x, у) в D, и - 0 на Г.
Решение. На множестве непрерывно дифференцируемых функций, обращающихся в нуль на границе Г, введем норму
|1м1|и =	+ (|р)2] dxd/} = (j (Vu)2dxdy)'/2.
Замыкание указанного множества функций в этой норме является гильбертовым пространством; обозначим его через U. Рассмотрим задачу нахождения минимума функционала
min J(v) - min И (Vv)2 dxdy-2 f fvdxdy L (46) veU	veU	J)	J
Если классическое решение и исходной задачи существует, то оно доставляет минимум функционалу (46). Обратное, вообще говоря, неверно: функция, доставляющая минимум функционалу (46) на 17, не обязательно должна иметь непрерывные вторые производные. Таким образом, нахождение решения исходной задачи можно заменить более общей задачей нахождения минимума квадратичного функционала (46) на U.
Аппроксимируем U конечномерным подпространством Uh, которое построим следующим способом. Пусть заданы узлы
D/; = {(х, у): х= mh,y = nh;0< т,п< N}.
Разобьем D на квадратные ячейки со стороной h и вершинами в узлах Dh. Каждую ячейку Dmn = {(х, у): mh< х < (т + 1)й, nh < у < < (и + 1)й}, разобьем диагональю, проходящей через вершины (ш, и), (т + 1, п + 1). Таким образом, вся область D = D и Г будет разбита на прямоугольные треугольники с катетами, равными й. Эти треугольники назовем элементарными, а разбиение области D на тре
336
9.3. Эллиптические уравнения
угольники — триангуляцией области D. В качестве подпространства Uh пространства U возьмем пространство непрерывных в D функций, линейных на каждом элементарном треугольнике и обращающихся в нуль на Г. Функции Ф^„(х, у), которые принимают значения, равные единице в узле (ш, п) и нулю в других узлах, образуют базис в Uh.
Для построения конечноэлементной схемы воспользуемся методом Ритца. В качестве приближенного решения задачи (46) будем рассматривать функцию uh, которая минимизирует функционал (46) на подпространстве Uh, т. е.
min J(v) = J(uh).
V е uh
Представим uh в виде
N- 1
Uh= S u^cpJx, у),
t,j=l J
где и-— коэффициенты, подлежащие определению. Отметим, что и-, в силу выбора функций (р-;, является значением uh в точке (i, j). Запишем уравнения для определения этих коэффициентов. В точке минимума uh функционала J(v) должны выполняться равенства
=0, т,п= 1,... ,N-1.
Вычислим левую часть этого соотношения
г г s'
D Li»j= 1 дх дх
+	1 dxdy.
бу ду )	'
Следовательно, система уравнений относительно имеет вид Y и--f	) dxdy = f /ф dxdy,
,j=i % v 5х дх ду ду )	7
(47)
Функция Ф^„(х, у) отлична от нуля только в тех элементарных треугольниках, которые имеют узел (т, п) своей вершиной. Поэтому в каждом из уравнений (47) интегрирование ведется не по всей области D, а только по пересечению таких треугольников с D.
22 - 1025
337
ГЛАВА 9. Уравнения с частными производными
Множество точек, где <ртп * 0, образует шестиугольник (рис. 1). Обозначим этот шестиугольник через Snin, а входящие в него треугольники через Тр ..., Т6. Положим
j У ил ил
^ф тп — г\ т* т1 так как —— = 0 в L и L, то дх
Р С/ Л С/ Л
= J *^dxd/ + f ^^dxdy.
р Р дх дх	т иТ дх дх
Отсюда следует, что 1^п ^Олишьпри;= пи i= m- 1, i- m, i- nz+ 1. Вычисляя интегралы, получаем
(»•.’')= f	f Йг'У dxdy=2'
T, u T6	7\ о T4
I*mn(m+l,n)=I*mn(m-l,n) = f d^d^LL^dxdy=-l. и ж	и ж
Аналогично для
= f ^-"^dxdy
mn ' JD ду dy
Itnntm, n) = 2, I^n(m,n+ 1) = I^n(m, n- 1) =-l;
в остальных случаях 1Упп (i,j) = 0.
338
9.4. Параболические уравнения
Таким образом, уравнение, соответствующее узлу (nz, и), при всех т, п - 1,..., N- 1, записывается в виде
^Ufnn ^т+\,п	I /фгии dy.
$тп
□ 9.52. Пусть единичный квадрат D разбит на элементарные квадраты со стороной h и в качестве базисных используются билинейные функции. Записать систему уравнений метода Ритца (конечных элементов) для задачи
-Дм = / (х, у) в D,
и - 0 на Г.
Ответ: уравнение, соответствующее узлу (nz, zz), при всех туп-- 1, 2,..., N- 1; Nh = 1, записывается в виде
8	1
3 ^тп 3 ( ^т, и + 1 + ^т, п - 1 +	- 1, п +	+ 1, и +
+	+ 1, п + 1 ~^~^т + 1, п- 1 +	1, п+ 1 + ^т- 1, п- 1) — I /фгии dy,
Sm„
где Smn — носитель базисной функции (pWN, т. е. квадрат со стороной 2h и центром в узле (nz, п).
□	9.53. Построить аппроксимацию О(й2) в точке (х, у) для сме-
„ д2и
шаннои производной —— на семиточечном шаблоне дхду
(х,у), (x±/z,y), (x,y±/z), (x-/z,y+/z), (х + Az,у-h).
□	9.54. Построить аппроксимацию O(/z2) в точке (х, у) для смешанной производной на семиточечном шаблоне
(х,у), (х±й,у), (x,y±/z), (х+ h,y + h)y (х- h, у- h).
9.4. Параболические уравнения
Построение и исследование разностных схем для уравнений в частных производных параболического типа традиционно проводят в открытой полуполосе ,,
к	7	£)-{(х, Г): 1 >х>0, Г>0}
на примере простейшего уравнения теплопроводности
ot дх2
с начальным м(х, 0) = м0(х) при t- 0 и краевыми условиями м(0, t) = = м(1, t) = 0 при V t > 0.
22*
339
ГЛАВА 9. Уравнения с частными производными
Предполагается, что начальная функция ^(х) удовлетворяет краевым условиям.
В общем случае на любом из концов отрезка краевое условие может быть задано в виде линейной комбинации функции и производной первого порядка. Тогда необходимо обратить внимание на способ его аппроксимации.
Характерная особенность параболической задачи — смешанный тип данных: краевые условия по х и начальные по t. Поэтому исследование аппроксимации такое же, как в гиперболических и эллиптических уравнениях, а исследование устойчивости проводят специальным образом.
Сетку, если это особо не оговаривается, считают равномерной по обеим переменным
xw - mhy т = 0, 1,..., М, Mh - 1; t = пту п = 0, 1,...,
для сеточной функции и в точке (хш, tn) используют обозначение , а краевые условия берут однородными: ufi =	= О V п.
□	9.55. При каком соотношении т и h схема
т	h2
имеет на решении порядок аппроксимации О(т2 4- /г4)?
Ответ: при т/Az2 = 1/6.
□	9.56. При каких 0 разностная схема
f/n+ 1 _ „п	ип + 1 _ Эпи + 1 _i_ 1,п + 1	„п _	_l ип
Utn Um _ Q Um - 1	Utn ' Utn + 1 _|_ ( J _ Q) - 1	+ 1
Т	/12	h2
имеет на решении порядок аппроксимации О(т2 4- /г4)?
Ответ: при 0=1/2- h2/( 12т).
□	9.57. Определить порядок аппроксимации на решении схемы
1	5 И” + 1 ~ И” 1
1	т + I	т	m_|_i т — 1__т — 1 _
12 т	6 т 12 т
= 1 (^+-\-2и^1 + и^+\	^-1-2< + и” + 1 \
2	V	h2	h2 '
Ответ: О(т2 4- h4).
340
9.4. Параболическиеуравнения
□ 9.58. Для уравнения теплопроводности построить схему наивысшего порядка аппроксимации на шаблоне из точек:
1)	(xm_p 1>, (Xm+ р t„+1), (хт, tk),k=n-l, п, п+ 1;
2)	(*т± р ^)> (xm> U> k=n,n+l;
3)	(xm+l> U> <хт> ^)Д= П~ 1, П, П+ 1;
4)	(xm_p Гя+1), (xm+p *„_,)» (xm, tk),k = п- 1, п,п+1.
Анализ устойчивости схем в равномерной метрике. Определим норму сеточной функции и” на п-м временном слое следующим образом:
llu"ll = max lu"l.
О < т < М
Схема для простейшего уравнения теплопроводности называется устойчивой в равномерной метрике на отрезке [О, Т]у Т = Nt, если имеет место неравенство
max llu"ll < llu°ll 4- с max llf"ll,
1 < n < N	0 < n < N
где с не зависит от шагов сетки т и h, но может линейно зависеть от t.
При исследовании устойчивости схем с краевыми условиями первого рода важную роль играют сеточные функции
= sin (nkmh), m-Q,..., М, k- 1,..., М- 1, являющиеся решениями задачи на собственные значения
7^.-2^ + ^-, = уо = ум=()у h=l/My
С их помощью легко строятся частные решения однородного уравнения вида
ит = Мь (к)Уп? ~ Мь W sin (nkmh), m = Q,...yM, fc=l,..., M-1, удовлетворяющие однородным краевым условиям.
□ 9.59. Найти порядок аппроксимации явной схемы
т-----m = nL l--m-----m+l +	\ m
Um =	U” = U^=0V
и исследовать устойчивость при т < h2/2.
341
ГЛАВА 9. Уравнения с частными производными
Решение. Схема имеет порядок аппроксимации О(т + h2). Введем обозначение р = x/h2 и перепишем схему в удобном для анализа виде
U«+ ‘ = (1 - 2p)u" + p(u” + J +	+
Максимальные значения обеих частей равенства по т совпадают, поэтому при р < 1/2 имеем
\\ип + Ж < (1 -2p)lIип\I + 2рНи"Н + т11/л11 = \\ип\\ + т11/"Н <
< Ни"- Ж + т(1 \fn\I + II/"- Ж) < ... < IIи°П + Д т11/*Н <
< 11 u°l I + (п + 1)т max I l/"l I.
Следовательно, схема удовлетворяет определению устойчивости с постоянной с= (и + 1)т = Г при условии x/h2 < 1/2.
□ 9.60. Исследовать аппроксимацию и устойчивость полностью неявной схемы
и°т = u0(mh), из = u^=0V и>0.
Решение. Порядок аппроксимации схемы О(т + h2). Удобная для анализа форма записи имеет вид
и"+ 1 + p(-M^+ 1 + 2w"+ 1 - и^\\ )=и% +	1, р = т/h2.
Выбирая из всех значений и^+ 1, по модулю равных Hu" + HI, такое, у которого индекс т принимает наименьшее значение, имеем
Отсюда I2u^+1l > I u"t} I 4- lu^+\ I, и знак выражения 2u^+1 -- м” 11 - и%++ \ совпадает со знаком и£+ 1, т. е. справедлива оценка снизу
41 = \и"т+ Ч < \и^ > + р(2«”+ > -	)l = 'С +^fnm+ Ч-
Таким образом, при любых шагах сетки т и h справедливо неравенство IIи” + 1II < IIи"Н 4- т11/"+ 41. Дальнейший вывод оценки безусловной устойчивости аналогичен решению 9.59.
342
9.4. Параболические уравнения
□	9.61. Первая краевая задача для однородного уравнения теплопро-
ди д2 и	~	„
водности — = — аппроксимируется явной двухслойной схемой
и
п + 1 _ т
Т
ип
+ <+1 h2
1 < т < М- 1,
= u0(m/i), u" = u^=0Vn>0.
Определить порядок сходимости решения разностной схемы к решению дифференциальной задачи при различных р = x/h2.
Ответ: сходимость имеет место только при выполнении условия устойчивости р < 1/2, при этом порядок сходимости О(т + /12) для р 1/6 и О(т2 + /l4) для р - 1/6.
□	9.62. Доказать, что явная схема
ит+ ' ~ ит = Ц,п-1 ~2ц," +	1	1 < ш < Vf- 1
Т	h2	’
Мо" = WM = 0V И>0’
—  т/ /j2 _ |/2 неустойчива, если lim ------- = оо.
т, h — О Т
Указание. Проверить, что при выполнении этого условия среди частных решений вида - ^(k) sin (nmhk) найдется решение с номером к таким, что I к) It/x —► оо При т —► 0.
□	9.63. Исследовать устойчивость схемы по начальным данным
“Г1 "“Г1 _	+	1<т<м_1
2т	h2	’
wo = им = 0 V п > °-
Указание. С помощью частных решений вида и” -
-	p£(k)sin(7traM) показать, что схема неустойчива для всех т и h.
□	9.64. Сравнить численные решения однородного уравнения теплопроводности с разрывной начальной функцией, полученные по явной и полностью неявной разностным схемам.
343
ГЛАВА 9. Уравнения с частными производными
Анализ устойчивости схем в интегральной метрике. Положим
/ М-1	\1/2
\\ип\\. =[h Z (м” )2
L2.h k m=l V т> )
и назовем однородную разностную схему устойчивой по начальным данным в метрике L2 h на отрезке [О, Т], Т= Nt, если справедливо неравенство
max llu”llr < с11м°11г ,
1 < N	2,h	Ll,h
где с не зависит от шагов сетки т и h.
□ 9.65. При каких 9 е [0, 1] схема
ип + 1 _ ип	ип + 1 _ о пп + 1 I ..п + 1	ип _ 7 ип I ип
um um _ g “m- 1 £Um ипг + \ -|_ ( J _	Лит um + \
Th2	h2	'
1 < т < М- 1, uQm = u^mh), и$ = и^ = О V и > О, является устойчивой?
Решение. Введем оператор
Л	-----22-.
m	h2
Учитывая однородность краевых условий, под Л будем также понимать матрицу, которая ставит в соответствие вектору ип = (uj1, ..., и^_ Х)Т вектор \ип - (Auf, ...,	_ t)T. Тогда рассматриваемую
схему можно записать в виде
u"+1 = Sun = Sn+W,
где S - (I-тОЛ)ч(1 + т( 1 - 9)Л), а I— единичная матрица.
Рассмотрим задачу на собственные значения на отрезке [0, /] лУт = -^Ут> 1 < т<м~1, Mh=l,yo = yM = O.
Ее решение можно записать в форме
л’=ЛМ^М1,=^"г=^
Так как матрица (I + РЛ)+1 имеет ту же систему собственных векторов, что и А, то собственные значения матрицы S можно выразить через Действительно, пусть Sy = цу. Возьмем в качестве у вектор тогда для соответствующего получим явное выражение
= 1 - т(1 - е)х<^)
Ц ( ’ 1+тОХ^ ’
344
9.4. Параболические уравнения
Отсюда следует, что матрица S является симметричной, так как имеет представление S = QDQ~\ где столбцами ортогональной матрицы Q являются векторы у(k\ a D — диагональная матрица, состоящая из соответствующих Матричная норма
IIAll = supqj^ ,
подчиненная векторной евклидовой норме, равна 11АП2 = Jkmax(ATA). Причем для симметричной матрицы выражение упрощается: IIАН2 -= max Ik(А)I. Метрика L2 h отличается от евклидовой только множителем hy поэтому справедливо выражение
IISIIL = max 1ц^(5)1. 2, h к
Выясним теперь, в каком случае IISII r < 1. Имеем
_1 < 1 - т(1 - е)х(^) < ,
1 + tOV^) ’
для к = 1, 2,..., М- 1. Так как т, > 0, 9 > 0, то знаменатель дроби всегда положителен, поэтому
- (1 + т0Х^) < 1 - т( 1 -	< 1 + Т0АЖ
Правое неравенство выполняется всегда, значит, содержательным является левое неравенство. Перепишем его в виде
т(1-20)Л^<2.
При 1/2 < 9 < 1 это неравенство выполняется при любом т, а при О < 9 < 1/2 имеет место ограничение
2 < h2
(1 - 20)тах *<*> "2-40’
к
Из полученной выше формулы ип = Sntfi следует, что
IIU«IL OlSllr” IIU°llr .
l2, h	l2, h	l2. h
Поэтому для всех 9 g [9, 1] имеем устойчивость в метрике L2 h с постоянной с - 1.
Ответ: для 1/2 < 9 < 1 схема устойчива при любых т и /1, а для 1	h2
О < 9 < - устойчива при выполнении условия т < -——. Здесь в основу решения положен следующий принцип: все собственные значения оператора перехода должны по модулю не превышать едини
345
ГЛАВА 9. Уравнения с частными производными
цы. Это ограничение можно ослабить до величины 1 + ут с постоянной у, не зависящей от т и h (аналогично спектральному признаку для гиперболических уравнений). В этом случае постоянная с в определении устойчивости принимает значение с = еуТ.
3 и	д1 U
□ 9.66. Уравнение теплопроводности	аппроксимируется
dt дх1
схемой Дюфорта — Франкела (схема «ромб»)
ЦП + 1 — цП - 1 ип — 11п ~ 1 — ип + 1 4- ип ит_______ит _ utn + 1 ит ит ит - 1
2т "	h1
1 < т < М — 1,	= О V п > 1.
Выяснить условия ее устойчивости и показать, что если h —► О, т —► 0 так, что xlh = с 0, то эта схема аппроксимирует гиперболическое уравнение
ди ^62ц _ д^и dt dt1 dx1
Решение. Преобразуем схему к виду
ип + 1 _	ЫП- 1	2 ип +	1 - ? ип + 11п - 1	11п	- ?11п	+ 11п
ит итп	। Tz ит L ит ' ит	_ ипг + 1 Z ипг	' ипг - 1
2т h1	т2	h1	’
Отсюда следует ответ на вопрос об аппроксимации.
Для анализа устойчивости воспользуемся частными решениями ит “ Ph W S^n (nmkh), для которых достаточно показать справедливость неравенств lp^(fc)l < 1. Из преобразованной схемы имеем
+	XW = 4 sin2 , Mh = 1;
2т h1 т2	h1 2М
или, введя обозначение р = 2x/h2, получим
(р + 1)ц2-2ц(р-тХ(/с)) + (р- 1) = 0.
Если дискриминант этого уравнения отрицательный, то
1М1Р = 1|^2Р = (р- 1)/(р -F 1) < 1.
В случае положительного дискриминанта в точках ц = ±1 парабола принимает положительные значения, а координата х ее вершины равна (р-тХ(/с))/(р + 1) и располагается внутри интервала (-1, 1). Это гарантирует оценку 21 < 1 Для вещественных корней. Таким образом, в обоих случаях получаем, что схема устойчива для всех т и h.
346
9.4. Параболические уравнения
□ 9.67. Исследовать устойчивость по начальным данным схемы
«г1-«г1 _ нг-|.-2«г| + с;|1 2т	h2
1 < т < М — 1, «о =	= О V и > 1.
□ 9.68. Исследовать устойчивость по начальным данным схемы и"+и"~ - 2и”~ 1 + и"~ > т	т   т — 1	т	т + 1
2т	К	'
1 < т < М- 1, и0” =	= О V п > 1.
□ 9.69. Исследовать устойчивость по начальным данным схемы
“Г 1 - “Г 1 = С1~2С 1 +	1
2т	h1
1	< т < М — 1, и” = ufo - О V п > 1.
Операторная устойчивость двухслойных разностных схем. Далее, когда это не вызывает неоднозначности, будем опускать индекс, соответствующий пространственной координате.
В общем случае двухслойная разностная схема записывается следующим образом:
Вхип+' + Воип = (рп .	(48)
с известным начальным вектором и° из некоторого конечномерного пространства U со скалярным произведением (*,*) и порожденной им нормой 11*11. Учитывая тождество
перепишем схему в канонической форме
ВиП+'~иП + Аип = ср"	(49)
т
где А = Во + В{ и В = TBr
Матричный оператор А (в общем случае комплекснозначный) обычно задает аппроксимацию дифференциального оператора по пространству, а оператор В задает аппроксимацию по времени. Такой вид записи позволяет проверять устойчивость различных схем по общей методике, формулируя условия в терминах свойств операторов А и В.
347
ГЛАВА 9. Уравнения с частными производными
Достаточные условия устойчивости для двухслойных схем имеют вид
В>0, А = А*>0, В>±А	(50)
Обратим внимание на возможность использования естественной формы записи двухслойных схем (48). В этом случае достаточные условия устойчивости (50) эквивалентны условиям
Bj>0, (Во + В1) = (Во + В1)*>О,В1>Во	(51)
Для задач с несамосопряженным оператором А, т. е. А * А*, устойчивость схем проверить значительно сложнее. В качестве примера приведем достаточные условия устойчивости схемы с весами. Пусть дана двухслойная схема с весами
+Л(0цП+1-|-(1-0)цп) = (рП	(52)
где А — несамосопряженный оператор, 0 — весовой параметр. Схема устойчива при
(0-1/2)tIIAuII2 + (Au, м) > 0.
Отсюда следует, что если А > 0, то для 0 > 1/2 схема устойчива при всех т. Если, кроме того, дано, что
IIAull2 < С(Аи, и),	(53)
с некоторой константой С, то схема устойчива при
2	тС
Наконец, если А = А* > 0, то в качестве С можно взять С = II АП, и схема (52) устойчива при
□ 9.70. Исследовать устойчивость по начальным данным схемы
_1_	~ С+1	5	С + ' ~ ит	+ J_ С-1 ~ С-1	_
12	т	6 т 12 т
= 1 (Ли" + 1 + Ли" ), Ли" =	,
1 < т < М — 1, mJ =	- 0 V и > 0.
348
9.4. Параболические уравнения
Решение. Используя соотношения
ит+ 1 + 10wm + I = (»m+ 1 “ 2«m + um- 1) + 12«m = h2Aum + 12um,
уравнение можно преобразовать к виду
или
ип+ 1 - ип (1-сяЛ)^-----™ -Ли" =0,
т	т
где о = i
h2
12т
Ответ: схема устойчива при любых /гит.
□ 9.71. Исследовать устойчивость по начальным данным и найти порядок аппроксимации схемы
2ум« + 1	+ м«+' ) +	+и^+1), у = т/А2,
1 < т < М— 1,	= 0 V гг >0.
ип + * — ип
Ответ: (/- отЛ) -  —- - Ли^+ 1, о = 1 - 1/(2у). Схема ус-
тойчива при у > 1/2 и имеет порядок аппроксимации О(т + h2).
Операторная устойчивость трехслойных разностных схем. В общем случае трехслойная разностная схема записывается следующим образом:
Вхип+Х + Воип + В^и”-' = <р".	(56)
Канонической формой называют представление трехслойной схемы в виде
1,п + 1 _ 1Лп - 1	„ 1tn + 1 _ Э „п _i_ 1tn - 1
В-------— + т2В^------— + Au„ =	(57)
2т	t2
Имеют место следующие достаточные условия устойчивости для трехслойных схем:
В >0, R = R* > А/4, А = А* > 0.	(58)
349
ГЛАВА 9. Уравнения с частными производными
Сравнивая (57) и (56), находим
в = R + ±в, вп = A-2R, В . = R - — В, 1	2т 0	1 2т
В = т(В1-В_1), Я = 1 (В, 4- B_j), А = В1 + В0 + В_1.
Отсюда и из (58) получаем достаточные условия устойчивости для схемы (56)
В. + В_} = (Bj + В_})*у Bq = В*, В1 > В_р	(59)
В| — Bq + В_| >0, Bj + Bq + B j > 0.
Приведем достаточные условия устойчивости трехслойной схемы с весами. Для схемы с весами (0j и 02 — весовые параметры)
+ Д(91и«+ 1 + (1 - 0, - Q2)un + Q2un~ ’) = <р"	(60)
с несамосопряженным оператором А > 0, для которого выполнена оценка II Аи\\2 < С(Ан, и), достаточные условия устойчивости имеют вид
0Р02-^> е1 + е2> 1.	(61)
Трехслойную схему всегда можно записать в виде некоторой двухслойной схемы, что соответствует принятому в теории дифференциальных уравнений сведению задачи второго порядка к системе уравнений первого порядка. Такое представление неединственно; приведем одну из возможных форм записи. Схема (57) эквивалентна
уп + 1 — V”
------- + с4Р = Ф", т
где
Y= ((ип+ ип~ })/2у ип-ип~})Ту Ф = (<р, 0)г,
4=(А	°	1	В+хА/2 T^R-Л/А:)
1^0 R-A/4J [-t(R-A/4) t(R/2- А/8) J
Такая замена позволяет формально применять результаты теории двуслойных разностных схем к трехслойным схемам.
Рассмотренный операторный подход помогает свести доказательство устойчивости схемы к проверке сформулированных достаточных условий для конкретных операторов В, Ry Ау определяемых задачей. В ряде случаев удобно использовать запись схем (49) и (57) в естественном виде (48) и (56), после чего проверять достаточные условия устойчивости (51) и (59) соответственно.
350
9.4. Параболические уравнения
□ 9.72. Исследовать устойчивость по начальным данным и найти порядок аппроксимации схемы
1 1.5<У,-2С+, +о,5Н|"-+', 5 i,5«r'-2C + o,5«"-1
12	т	6	т
_1_ l,5<tj-2^1 +0.5^--'. = . „ + 1
12	т	т ’
м0" = ипм = 0V n> 1.
Решение. Воспользуемся соотношением
и перепишем схему в трехслойной канонической форме с операторами
Л=-Л-
Ответ: схема абсолютно устойчива, погрешность аппроксимации на решении равна О(т2 * + й4).
□ 9.73. Исследовать устойчивость схемы по начальным данным в зависимости от параметра 0
1 < т < М- 1, и" =	= 0 V п > 1.
Решение. Эквивалентная схема
1/л + 1 _ цП / / 1	\	2	\ ип + I — 2ип + ип~ х
(/-тЛ)“т	+((1-е)т/-1.лр---------22—
2т \\2	'	2 '	т2
соответствует трехслойной канонической схеме с операторами
B=I+xA, R=l-A+ I, А = -Л.
2 2т
Отсюда следует, что достаточное условие устойчивости имеет вид
!Л-!д+ [Ъ + Ц29 Ъ>0,Х= A sin2 m
4	4 2т <4 2т >	ft2 v 2 >
так как А > XL Оно выполняется при 0 < 1/2 + тХ/4.
Ответ: схема устойчива при 0 < 1/2 + тХ/4.
351
ГЛАВА 9. Уравнения с частными производными
Факторизованные схемы. Рассмотрим двухслойную разностную схему
ип + 1 _ ип
В-——+ Аип = Ф".
Схему называют факторизованной, если оператор В представим в виде произведения В = Bv..Bp. Для факторизованных схем обращение оператора В сводится к последовательному решению задач
Ваип + а/? = Fa,a= 1,... ,р,
где Fa — известные функции; сами матрицы Ва выбирают, например, треугольными или трехдиагональными.
При решении многомерных задач математической физики требуемое представление может быть получено заменой многомерной задачи с оператором В последовательностью одномерных задач с операторами Ва. В этом случае для промежуточных функций ип + а/Р должны быть заданы соответствующие краевые условия на границе области (однородные, если исходные условия однородные). Такой подход позволяет совместить абсолютную устойчивость неявных схем и простоту реализации одномерных задач. Напомним, что явные схемы (В = I) имеют жесткое ограничение на шаг по времени т = = О(й2), что делает их слишком трудоемкими для реальных расчетов.
Для изучения устойчивости факторизованной схемы с операторами Ва - I + i:Ra можно применять следующий критерий: если схе-р
мае В= I + т Z Ra устойчива и операторы Ra положительные, само-а = 1
сопряженные и попарно перестановочные, то факторизованная схема с В = Bv..Bp также устойчива.
В задачах 9.74—9.78 требуется провести полное исследование разностных схем для уравнения
= ди,
dt
где Д — оператор Лапласа в пространстве двух или трех измерений, при нулевых граничных условиях первого рода. Используемые обозначения разностных операторов введены в § 9.3.
□ 9.74. Исследовать устойчивость и найти порядок аппроксимации схемы Дугласа—Рекфорда
„п + 1/2 _ ип	, _	,.п + 1 _	+1/2
-------- = А,ип+ 1/2 + Л2м", --------- = А,(и"+ 1 - и").
т	1	z	т	z
352
9.4. Параболические уравнения
Указание. Привести схему к виду
uti + 1/2 _ fiti
-----—- = Ам", Л = А, + Л2>
/г А \Чп+ 1 - и" un+il2-un
(I-тЛ2)--------- =----------.
т	т
Исключить (ип+ 1/2 - ип) и получить факторизованную схему
(1-тЛ.)(1-тЛ2)иП+1~иП = Ли. 1 z т
Ответ: порядок аппроксимации схемы равен О(т + h2). Схема устойчива.
□	9.75. Исследовать устойчивость и найти порядок аппроксимации (01 и 02 — весовые параметры) разностной схемы
ijti + 1/2 _
--------— = е1л1ип+1/2 + (1 -e^AjM" + л2и",
Решение. Преобразуем схему к виду
(/- е1тл1)(/- е2тл2)и"+=ли", л = Aj + л2.
Обозначим Аа = -Ла, А = Aj + Л2, где А1 и А2 — положительно определенные, самосопряженные и перестановочные операторы такие, что А,А2 > 0. Проверим условие устойчивости двухслойной схемы
В - - А > 0. Имеем
2
В= (1+ т01А1)(1+ т02Л2) = 1+	+ т02Л2 +
В-1А = 1+(в}- 1/2)тА{ + (02 - 1/2)тА2 + t20j02Aj Л2 >
> 1+ (0j - 1/2)тА1 + (02- 1/2)тА2, так как 0j02 > 0. Учитывая, что I > Аа/И Аа11, и вводя требование
2,+ l fl" 2 )ТЛ“ > (ipj + (В 9°- 2 МЛ-г0,
получаем 0. > 1 -	.
23 -1025	Тез
ГЛАВА 9. Уравнения с частными производными
Ответ: порядок аппроксимации схемы равен О(т2 + h2) +
устойчива при 0}02 > 0 и
т J, т. е. О(т2 + h2) при 0! = 02 = 1/2. Схема
а > 1	1
“ " 2 ’ 2т||Аа|| ’
а = 1, 2.
Схема безусловно устойчива при 0а > 1/2.
□	9.76. Исследовать устойчивость и найти порядок аппроксимации (0Р 02 и 03 — весовые параметры) разностной схемы
ц” * IZJ ~ цП = 01Л1мп+1/3 + (1 -	+ (Л2 + Л3)и",
«,п + 2/3 _	+ 1/3
------------- = 02Л2(ц" + 2/3 - и”),
+ 1 _ ..п + 2/3
-------------- = 03Л3(ц"+ 1 - ип)
(частный случай 0} = 02 = 03 = 1/2 называется схемой Дугласа).
Указание. Обозначим va = (ип + а/3 - ип)/т. Тогда схема принимает вид
(1-= Au”, (I-02тЛ2)у2 =	(I-03tA3)v3 - v2.
Последовательно исключая v2 и Vj и заменяя v3 = (ип+ 1 - ип)/ху приходим к факторизованной схеме
(I-01rAi)(I- 02тЛ2)(1- 93тЛ3) цП + ^~цП = лия,
Л = Л| + Л2 + Л3.
Ответ: порядок аппроксимации схемы равен О(т2 + h2) при 0] = 02 = 03 = 1/2 и О(т + h2) при 0а 1/2, а = 1, 2, 3. Схема устойчива при 0а > 1/2, а = 1, 2, 3.
□	9.77. Исследовать устойчивость и найти порядок аппроксимации (0j и 02 — весовые параметры) разностной схемы
,,п + 1/2 _ «,п
---------- = е,л, ип+1/2 + (1 - e2)A2M",
«/И 4- 1 _	4" 1/2
-------------- = 02Л2и”+| + (1-01)Л1ця+1/2.
354
9.4. Параболические уравнения
1
Показать, что при 0а = - - у—, а - 1,2, порядок аппроксимации схемы равен О(т1 2 + й4).
Решение. Запишем уравнения в виде (1- 0^)^ + 1/2 = (/+(!- 02)тЛ2)и",
Умножая первое из уравнений на (1 - 0^, второе— на 0t и складывая полученные выражения, получим ип+ т - 0J7- 02тЛ2)м"+1 + + (1 - 0j)(/ + (1 - 02)тЛ2)м". Подставляя это выражение в первое уравнение, имеем
= (/ + (1 -01)тЛ1)(/+ (1 -02)тЛ2)и".
Таким образом, факторизованная схема принимает вид
а- е^Л^а- 02тЛ2) иП^~иП = Ли" + (1 - 6j -
где Л = Aj + Л2.
Ответ: порядок аппроксимации схемы при 0j = 02 = 1/2 равен
1 h2
О(т2 + й2); при 0а = 2 “	, а = 1, 2, порядок равен О(т2 + й4).
1	1 h2
Схема устойчива при 0а > - и 0а = - -	, а = 1,2.
□ 9.78. Исследовать устойчивость разностной схемы
цП + 1/т3~цП = | (Л1и" + *'3 + (Л2 + Л3)«"),
ц” *2/3 ~и" + 113 = i (Л,и" +1/3 + Л2н" + 2/3 + Л3и” + 1/3),
цп + 1 - ЦП + 2/3 _ 1	+ Д2)ми + 2/3 + ДзМп+ 1)
Ответ: факторизованная схема имеет вид BiB2B3un+i = CjC2C3u", где В„ = I-тА„/3, С=В„ + тЛ/3, а = 1,2,3, Л = Л. + Л, + Л3. Схема не является безусловно устойчивой.
23*
355
ГЛАВА 9. Уравнения с частными производными
9.5. Уравнение Шредингера
Рассмотрим первую краевую задачу для линейного одномерного нестационарного уравнения Шредингера
=сРи i= 0<x<l,0<f < Т,
dt дх2
М-1
u(x, 0) = u°(x) = Z Ce sin (Атсх), н(0, t) - н(1, t) = 0.
k= i
Применяя метод разделения переменных, можно показать, что решение дифференциальной задачи имеет вид
М-1
м(х, t) = Y СкуГ(к) sin (hex), p(k) = ei(kn) .
Так как для коэффициентов ц(к) выполняется равенство lp(k)l = 1, то норма
1 1м’1
lln(r)ll2=j uudx= - Z IC\I2 = const о	2 *= i
не изменяется с течением времени.
При построении разностных схем разумно учитывать данное свойство дифференциальной задачи и требовать выполнения подобной оценки 1цЛ(^)1 < 1 для разностной задачи, которая гарантирует устойчивость разностной схемы. Однако, как будет показано далее, явные схемы для уравнения Шредингера данному условию не удовлетворяют. Поэтому здесь допустимо применение устойчивых разностных схем с растущими решениями. При этом, как следует из определения устойчивости, необходимо выполнение неравенства max < 1 + ст < ест. Такому условию удовлетворяют, например, явные схемы при т - O(h4).
Двухслойная схема с весами. Зададимся сеткой с узлами в точках (mh, т) и заменим исходную задачу следующей разностной схемой (0 — весовой параметр):
ип + 1 _ ип
1^——-0Лн"+1 + (1-0)Ли”,
US ~ иМ ~ 0’ ит ~	1 ш < М- 1, Vn > 0,
где
Ли* = (ukl + 1-2ukt + икт_ l)/h2, 0 = Оо + iOp h= 1/M.
356
9.5. Уравнение Шредингера
□	9.79. Найти порядок аппроксимации схемы с весами.
Указание. Погрешность аппроксимации представима в виде
1*12 + V0 ~ 2 Г )dtU^X^ fn + °>5х>> +	+ h4>>-
Отсюда, в частности, следует, что схема имеет максимальный поря-а 1 . h2
док аппроксимации при 6 = - -1— .
□	9.80. Применяя метод разделения переменных, записать явный вид решения схемы с весами и показать, что необходимым условием невозрастания решения разностной задачи при всех начальных данных является неравенство 0О > 1/2.
Указание. Так как
М-1
и” = Ckn£(k) sin (nkmh),
л n 2
IU (HR = 1 -	(2e»-')T4»(t)
W (I + 0,Л,,(1:)>г + e^!4(t)’
где kh(k) = sin2 (nk^ j — собственные числа разностного оператора (-Л), то решение не возрастает при lp^(k)l < 1.
□	9.81. Применяя метод разделения переменных, записать явный вид решения м" схемы с весами и показать, что для 0О < 1/2 схема является устойчивой при т - O(h4).
Решение. Из 9.80 следует, что lp^(k)l2 = 1 + К, где
к_ (l- 290)T2X2(fc) (\+Q^h(k))2 + Q2T2k2(k)'
Так как (1 - 20о)тХ21ах т, kmax = А,Й(М- 1), то условие К < сот, означающее устойчивость, имеет место при
т <-----— = O(/i4).
(1-20о)^ах	(1-20о)16
Отсюда следует, что явная схема (0 = 0) устойчива, если т < с0й4/16 = ~ O(h4). При 0=1/2- cxh4lT с произвольной комплексной постоянной сх условие К < сот также выполняется.
357
ГЛАВА 9. Уравнения с частными производными
Таким образом, наличие в уравнении мнимой единицы i принципиально меняет его свойства. В отличие от схем для уравнения теплопроводности (0 > 1/2 — безусловно устойчивые схемы, 0 < 1/2 — устойчивость при т - О(Л2), но в обоих случаях нет растущих решений) для уравнения Шредингера все схемы с 0О > 1/2 безусловно устойчивы, нет растущих решений, а схемы с 0О < 1/2 устойчивы при т = О(М), но допускают растущие решения.
Трехслойная схема с весами
□	9.82. Для уравнения Шредингера найти порядок аппроксимации схемы с весами (0 — действительный весовой параметр):
.и”+1 - U”
• т	т
2т где
=	+(1-20)Лм« +0AU"-1, ug = unM=O,
. l и*, - 2и^ + и*	1
и предложить аппроксимацию начальных условий того же порядка.
Ответ: при всех 0 схема имеет порядок аппроксимации О(т2 + + h2). Требуемая аппроксимация начальных условий:
1/1 — и®	—
и® =. ifi(x ),i—— — — и® (х ) + i- и® (х ) ит	12 хххх^ т''
□ 9.83. Применяя метод разделения переменных, показать, что необходимым условием невозрастания решения трехслойной схемы с весами при любых начальных данных является выполнение нера-1 h4
венства 0 > - - —-.
4	64т2
Решение. Подставляя в разностную схему частное решение вида	sin (лкгий), получаем для = nh (к) квадратное урав-
нение
(i + 2тХА(£)0)	- 2rXA(fc)(20 - 1 )цА + 2rXA(fc)0 - i = О,
Х/Д) = sin2 (пк^ ).
Найдем его дискриминант
D = 4(1 - 40)(tXaW)2 - 4.
Так как модуль произведения корней равен единице, то частные решения не возрастают с увеличением п при D < 0. Отсюда с учетом Xh(k) < 4/h2 получаем ответ: 0 > |	.
358
9,6. Задача Стокса
9.6.	Задача Стокса
Рассмотрим в прямоугольной области D = {(х, у): 0 < х< /р 0 < у < 12} с границей Г задачу Стокса в классической формулировке:
-Au + grad р = f, div и = 0, и1г = 0.	(62)
Здесь задана правая часть — вектор-функция f = (/(1)(х, у),/^2)(х, у))г, а неизвестными являются вектор-функция u = (v(x, у), w(x, уУ)Т и скалярная функция р = р(х, у), определенная с точностью до константы. Для однозначности р, как правило, предполагают выполненным условие нормировки J р(х, у) dxdy = 0. Особенностью поста-
D
новки задачи является набор краевых условий: если для и заданы условия первого рода, то для р никаких дополнительных условий не требуется.
Приведем скалярную форму записи уравнений (62)
^dxz dyz ' ох
~(S + ??) + F=/ra<*>')'	(«)
v дх2 ду2 'ду	дх ду
Схемы метода конечных элементов. Введем следующие пространства:
Р= Iplpe L2(D), J pdxdy=ol, U = (Wq(D))2, I	D	J
WJ (D) = j и I u, g L2(D), ulr = o) z [ дх dy z 1 J
и определим обобщенное решение задачи (62) как функции u g U и р g Р, удовлетворяющие системе интегральных тождеств
(grad u, grad v) - (р, div v) = (/, v) V v g U,
-(q, div u) = 0 V q g P.	(64)
Здесь круглые скобки означают скалярные произведения для обычных функций / gn для векторных функций u = (ир и2)т, v = (ур v2)T:
D
(grad и, grad v) =
(дщ dv} \ (du\ dv\ A (^u2 dv2 A (du2 &v2 A \ dx ’ dx / + v ду ’ ду / + \ дх ’ дх ду dy '
359
ГЛАВА 9. Уравнения с частными производными
Для дискретизации задачи (64) необходимо ввести конечномерные подпространства cz U и Ph cz P, задаваемые, как правило, в виде линейных оболочек наборов базисных функций:
Uh = (span {фр ф2,...,	})2, Ph = span {ур у2>...,
так что
N„/2	N,
uh= S u,<P,>PA= S 1=1	1=1
где Np — общее количество неизвестных, описывающих дискретное давление (размерность РД Nu— общее количество неизвестных, описывающих дискретную скорость (размерность U^). Это приводит к конечномерной задаче: найти g и ph g Ph такие, что (grad uA, grad v) - (ph, div v) = (/, v) V v e UA,
-(q, div u,,) = О V q e Ph.	(65)
При этом независимо от конкретного выбора и Ph система уравнений (65) может быть записана в матричной блочной (2 х 2) форме
А В Vu V ( f вТ о Др J v°
(66)
где и — дискретный аналог вектора скорости и р — дискретный аналог функции давления, порожденные разложениями искомых неизвестных по базисам пространств U/; и Ph соответственно, т. е. коэффициенты в uh и ph.
Важным аспектом конечноэлементных аппроксимаций задачи Стокса является неравенство Ладыженской — Бабушки — Брецци (или LBB-условие). Оно может быть представлено в следующей форме: существует постоянная 8 > 0, не зависящая от параметра дискретизации области ft, такая, что
sup < ДДД 8||р'-11'’е р* (б7) u.eujgrad uh, grad иД/2
При выполнении этого условия гарантируется корректность дискретного аналога задачи Стокса (65), т. е. равномерная ограниченность нормы обратного оператора из (66) по параметру дискретизации h. Невыполнение LBB-условия означает: 8 -* 0 при h -* 0 или 8 = 0 при V h.
Запишем (67) в матричных обозначениях
max (Р’ ВГц* > 5(р, Ср)1/2 V р е RV	(68)
и eRS.(u, Au)1/2
360
9.6. Задача Стокса
В (68) С— матрица масс для давления, т. е. матрица Грама с элементами с- = (\|/-, \|/.) для базисных функций из Ph. Определим для матрицы системы (66) дополнение по Шуру S - ВТА~[В и рассмотрим спектральную задачу Sp - ХСр. Выполнение LBB-условия (68) порождает оценку Zmin(C-1S) > 82 > 0 при всех h.
□ 9.84. Для разбиения прямоугольной области D (рис. 2) построить конечноэлементную схему для задачи Стокса, используя в качестве базисных линейные функции над маленькими треугольниками для компонент и постоянные функции над большими треугольниками для ph.
Решение. Пусть = /р h2N2 = /2. Будем считать i = 1,2, четными. Тогда множество прямых вида х = 2ihv i = 0, 1, ..., N/2; у = 2jh2, j=Q, 1,..., N2/2, разбивает D = D U Г на элементарные (большие) прямоугольники. Разобьем каждый элементарный прямоугольник на два треугольника, проводя диагональ, параллельную прямой у- h2x/hv Таким образом, мы получим регулярное («северо-восточное») разбиение Th прямоугольной области D на треугольники. Далее разобьем каждый треугольник из Th на четыре треугольника средними линиями; это даст триангуляцию Th/2 (см. рис. 2). Определим пространства
Uh = {uh I uh e S/Д), Д e Th/2; uh e C(D); u,, = 0 на Г},
ph = \ph]Phe 50(Д), Д e Th; J p,,dxdy = o|.
I	D	'
Рис. 2
361
ГЛАВА 9. Уравнения с частными производными
Здесь C(D) — пространство непрерывных на D функций, 5Г(Д) — пространство многочленов степени не выше г, определенных на множестве A cz R2, или векторное (размерности 2) пространство функций, каждая компонента которых принадлежит Sr( А).
Функцией формы первого порядка q\(x> у) для треугольного конечного элемента А называют линейную (а0 +	+ а2у) функцию,
удовлетворяющую соотношениям ф*(хр у,) = 8[, где k, i = 1, 2, 3. Количество различных функций форм для фиксированного элемента, как правило, соответствует количеству его вершин.
Каждая базисная функция ф^(х, у) определена на всей области D и строится формальным объединением всех функций форм, принимающих в фиксированной точке (ihp jh2) значение единица. Вне конечных элементов А, из которых брались эти функции формы, базисные функции продолжаются нулем. Таким образом, базисная функция является пирамидой, в основании которой лежит объединение треугольников из Т^2.
Функции формы <pk g S/Д), к = 1,2,3 каждого ij-треугольника А е g Th/2 с вершинами (ihpjhj, ((i +	((i + l)hp (j + l)/^) в локаль-
ных координатах с началом в точке (ih^jhj соответственно имеют вид
Ф1(х>у) = 1-1х> ф2(х,у) =	ф3(х>7) = 17.
Базисные функции ф-(х, у) в совпадают с базисными функциями в 9.51, построенными при решении уравнения Пуассона. Это дает возможность записать явно матричную форму (66). Пусть u = (v, w)т и каждая компонента вектора, в свою очередь, есть вектор с (/-элементами. Тогда после соответствующей нормировки (деления на hjij получим
fv,+ l.r У,_,,7	у,,;+1-2у;
1 hj	hl
= 1,... ,N2-1.
Выражение для (-A^w)- получается заменой v на w в предыдущем выражении. Отметим, что А = diag (-Д\ -А^1).
Далее, учитывая, что функция формы ф0 g S0(A) каждого треугольника A g Th имеет вид
ф(ху) = |1 при (х,у)еД,
Фо^У1 jo ПрИ (х, у)^Д,
362
9.6. Задача Стокса
и совпадает с соответствующей базисной функцией, получим
(Вхр)^ =
	~Pij + Pi - 2, j + Pi-2,j-2 ~Pi,j-2	при	i =21, j - 2k,
1	0	при	i=2l+ l,j=2k,
2/1J	~2Plj-l + 2Pi-2,7-1	при	i=2l,j=2k+l,
	~2Pi-i,j-\ +2pKi,]-i	при	i = 2l+ l,j=2fc+ 1;
	(Byp).j =		
	~Pij “ Pi-2.7 + Pi-2,7-2 +Pi,j-2	при	i = 21, j= 2k,
_ 1	~2Pi- IJ + 2P?- 1J-2	при	i = 2l+ l,j=2k,
lh2	0	при	i=2kj=2k+ 1,
	~2Pl- 1,7-1 +2Pt- 1,7-1	при	i=2l+ l,j=2k+ 1;
	j= 1,..., N]-l, j= 1,	...,n2	- 1.
Кроме	ТОГО,		
(ВТи)У
-vij+ vi + 2,j-2vi+\,j+i +2у1 + 2,;+1
+
+
4/11

4h2
(BTU)2 = -2Пн.-^.Н2 + 2у,+ |-.+-1 + у,. + 21.+ 2
V	4h}
-^7+	+ 2^+1,;+2
4/i2
i = 0, 2,..., Nj - 2, j = 0, 2,..., N2 - 2.
Здесь pt и p? соответствуют значениям p в правом нижнем и левом верхнем «больших» треугольниках; точка с координатами ij находится в левом нижнем углу объединяющего их прямоугольника.
Матричная форма (66) для данной схемы окончательно принимает вид
(-Д'-г),7+(Вхр)1; = ^”)
(Вти)'. = (BTu)2. = о,
363
ГЛАВА 9. Уравнения с частными производными
где к = 1, 2, — нормированная у-компонента проекции заданной функции /(/с) на базис Uh. Напомним, что в полученной системе vij~ wij ~ О ПРИ Z = 0, z - Nj и всех а также при j - 0, j - N2 и всех i.
Построенная схема удовлетворяет LBB-условию, но доказательство этого факта технически сложно.
□ 9.85. Для разбиения прямоугольной области D (рис. 3) построить конечноэлементную схему для задачи Стокса, используя в качестве базисных билинейные функции над маленькими прямоугольниками для компонент и постоянные функции над большими прямоугольниками для ph.
Решение. Пусть hxN} = /р h2N2 = 12. Будем считать i = 1,2, четными. Тогда множество прямых вида х = 2ihv i = 0, 1, ..., N\/2; у = 2jhv j - 0, 1, ..., N2/2, разбивает D на элементарные (большие) прямоугольники. Обозначим это разбиение через Qh. Затем каждый полученный элемент дополнительно разобьем на четыре подобных, соединив середины противоположных сторон прямыми. Построенное таким образом разбиение области обозначим через Qh/2 (см. рис. 3).
Рассмотрим аппроксимацию поля скоростей кусочно-билинейными функциями по отношению к разбиению Qh/2, непрерывными на D и обращающимися в нуль на Г, т. е.
Uh = {и,, 11Ц g $/□), □ G Qh/2; uh G C(D); uh = 0 на Г}.
						
						
			P.. У			
						
						
						
Рис. 3
364
9.6. Задача Стокса
Для аппроксимации давления будем использовать кусочно-постоянные функции, определенные на больших прямоугольниках разбиения Qh и имеющие нулевые средние на D, т. е.
ph = IIh 1 <lh е S0(Q),□ е Qh; J qhdxdy = 0
I	D
В данном случае Sr(D) имеет смысл пространства полиномов не выше г по каждой координате.
Функции формы ip* е S/П), k = 1,2,3,4, каждого (/-прямоугольника □ е QW2 с вершинами ((/ + 1)1^, jhj, (iht, (; + 1)/^), ((i+ l)h,, (j + l)/i2) в локальных координатах с началом в точке (z/ip jh2) имеют соответственно вид
/ ч (kt-x)(h2-y)	x(h2-y)
ф’<лу) = тгг^’ ф<(х’>') = ri-и2	»»2
Это дает возможность записать явно матричную форму (66). Пусть u = (v, w)r и каждая компонента вектора, в свою очередь, есть вектор с iy-элементами. Тогда после соответствующей нормировки (деления на h{h2) находим
=	- ~h> + г
hxh2\_ 3h}h2 ч 6М2	‘’/+1 3hxh2 ,+ l’7
h^ + hj	2hl-hi	2h]-hl
6h,ft2	3h}h2 V‘'i+1	3h{h2
_	+ hj	-hl + 2h% hl + hj q
6Ai/i2	3h}h2	6hxh2
i=	j=
Выражение для (-A^w)^ получается заменой v на w в предыдущем выражении. Отметим, что А = diag (-A/l, -Дл). Далее, учитывая, что функция формы <р0 g S0(D) каждого прямоугольника □ е Q, имеет вид
ф(ху) = |1 при (х,у)еа,
]0 при (х,у)йП
365
ГЛАВА 9. Уравнения с частными производными
и совпадает с соответствующей базисной функцией, получим		
1	~Pij + Pi-2,у + Pi-2,j-2~Pi,j-2 ПРИ	i= 2l,j = 2k,
^=2^	~2Pi,j-l + Pi-2,j-\	При	i = 2l,j=2k+ 1,
1	0	при ~Pi) - Pi-2,у + Pt-2,j-2 + Pi,у- 2 При	i = 2/+ 1; i = 21, j = 2k,
	-2р;-1,; + 2р,_1>7_2	при	i = 2l+ l,j=2k,
2 Кроме того,	0	при i= 1,...	j= 1,...,N2-1.	j = 2k+ 1;
(Вги)..= ^+2,лг + 2у,. + 2,Л| + у,.+ 2,гПл2-2^.+ 1-^
к	8Л,
wi + 2J + 2 + 2wi + 1,у + 2 + wi,j + 2~wi + 2,j ~2wi + l,j ~ wij
»h2
i = 0, 2,..., Nj - 2, j = 0, 2,..., N2 - 2.
Здесь pjj соответствует значению p в «большом» прямоугольнике; точка с координатами ij находится в левом нижнем углу прямоугольника.
Матричная форма (66) для данной схемы окончательно принимает вид
(-^+(Вхр)- = ^'\
(-ДМ,7+(вур),7 = ^2).
(В^и);у = 0,
где к= 1, 2,— нормированная (/-компонента проекции заданной функциина базис иЛ. Напомним, что в полученной системе vij= wij~ 0 ПРИ 1 = 0, i = и всех а также при j -0,j-N2n всех i. Построенная схема удовлетворяет LBB-условию, но доказательство этого факта технически сложно.
Дискретный аналог оператора Лапласа (диагональный блок матрицы А) в данной схеме является нестандартным, и для него имеет место соотношение
-Ah sin (mnihj sin (rmjhj = Xmn sin (mitihj sin
i=	j = 1,... ,N2-1,
366
9.6. Задача Стокса
где
2	Г2(/,| + /,22)	+
J 3i,d -т^~ ~)с»»^h2y-
—cos(nmft,)- 2!1' hl cos (лп/12)1, hxh2	1 hxh2	2 J
m= 1,...	n= 1,... ,N2-1.
Приведенное выражение можно использовать для решения систем вида (-ДЛу) „ = методом разложения в двойной ряд.
□ 9.86. Показать, что если для разбиения прямоугольной области D (см. рис. 2) построить конечноэлементную схему для задачи Стокса, выбирая в качестве базисных линейные функции для компонент uh и постоянные функции для ph над одинаковыми треугольниками, то она не будет удовлетворять LBB-условию.
Решение. В дискретной задаче Стокса имеется уравнение
Вти = 0.	(69)
Покажем сначала, что из этого уравнения следует равенство и = 0. Введем обозначения: у. • = v(ihv jhj, = w(ihv jhj и рассмотрим прямоугольник в нижнем левом углу. В силу нулевых краевых условий, имеем
V0,0 = Vl,0 = v0,1 = ^0,0 = wlj0 = w0>! = 0,
т. e. неизвестными являются только значения u и Wj r Для левого верхнего треугольника в этом прямоугольнике справедливо представление
ил = <V1, 1Ф/(*>У)> W1,у))7’
где фДх, у) = xlhx — функция формы Т,, относящаяся к вершине (ftp h2). Соотношение
J div uh dx dy = 0,
г,
т. e. ортогональность дивергенции произвольной постоянной для фиксированного треугольника Т,, порождает равенство } = 0, так как фДх, у) не зависит от у.
Теперь рассмотрим правый нижний треугольник Тг в этом прямоугольнике. Для Тг имеем
uh = (у1,	у)’ M'l, 1Фг(*> у))г>
367
ГЛАВА 9. Уравнения с частными производными
где фг(х, у) = ylh2 — функция формы треугольника Тг, относящаяся к вершине (йр h2). Соотношение
j div	dx dy = О
Tr
порождает равенство Wj j = 0, так как фг(х, у) не зависит от х.
Далее рассмотрим соседний прямоугольник, расположенный справа. Аналогичные рассуждения, базирующиеся на значениях
Vl,l = Vl,0 = V2,0 = Wl,l = Wl,0 = W2,0 = °>
приводят к равенствам v2 i = 0 и w2 j = 0. Перебирая прямоугольники направо до границы, получим
1 = w-, j = 0, 0 < z < Nv
Исчерпав первую линию прямоугольников, перейдем к следующей: опять рассмотрим примыкающий к левой границе прямоугольник и т. д. Такой последовательный перебор приводит к и = 0, т. е. исходная линейная система
Au + Bp - f,
BTu = 0 принимает вид
Bp = f.	(70)
Рассмотрим размерность этой системы. Количество уравнений системы совпадает с числом степеней свободы вектора и, т. е. равно Nu = 2(N\ - 1)(N2 - 1). Количество неизвестных Np определяется числом треугольников (так как ph(x, у) — кусочно-постоянная на каждом треугольнике функция). В силу специфики носителей базисных функций для компонент скорости, верхний левый и правый нижний треугольники в построении схемы не участвуют, поэтому Np = = 2NjN2 - 2. Таким образом, получено, что в системе уравнений (70) число неизвестных Np больше числа уравнений Nu. Это означает, что ядро матрицы В нетривиально, т. е. 8 = 0 V ft, следовательно, LBB-условие не выполнено.
□	9.87. Показать, что если для разбиения прямоугольной области D (см. рис. 3) построить конечноэлементную схему для задачи Стокса, используя в качестве базисных билинейные функции для компонент и/г и постоянные функции для ph над одинаковыми прямоугольниками, то она не будет удовлетворять LBB-условию.
368
9.6. Задача Стокса
Схемы метода конечных разностей. Схемы, построенные методом конечных разностей, часто называют схемами на смещенных (staggered) сетках Лебедева, или МАС-схемомм. Их спецификой является использование различных сеточных областей определения для компонент решения v, w и р. Пусть Dp D2 и D3 — некоторые дискретные аналоги области D (со своими сеточными границами Г-, i = 1,2, 3). Введем следующие обозначения: U/; — линейное пространство вектор-функ-ций, определенных на D} х D2 и обращающихся в нуль на соответствующих сеточных границах; Ph — пространство функций, определенных на D3 и ортогональных единице. При фиксированных 1У, i = 1, 2, 3, целью является построение сеточных уравнений, решение которых uh ” (v> ™)Тя Ph принадлежит пространствам Uh и Ph соответственно.
На рисунках 4—6 множества Dv D2 и D3 обозначены символами •, о и х соответственно.
□	9.88. Пусть сеточные области (см. рис. 4) определены следующим образом:
61 = {^=((/-1/2)йрД): i = 0,... ,NP ; = 0,... ,N2}, D2 = {x..= (iftp(j-l/2)/i2): i = 0,... ,NP j=0,... ,N2}, О3 = {х0.= (/йРЛ): / = 0,...,^-1, ; = 0,...,N2-l,i2+;2^0}.
Построить разностную схему для задачи Стокса.
Ответ: запишем соответствующие пространства в индексных обозначениях:
Ц,= Vlthx V2th,
Рис. 4
24 - 1025
369
ГЛАВА 9. Уравнения с частными производными
где
Их()): Х;> е Dp voj= vNtJ = vi0 =	= 0},
v2,h = ^>7= xij e D2, wo j= wN}J = wit0= wi Ni = 0}, Ph = {Pi; = P<xij>- xij e D3> S WiPij = Ob
Сеточные уравнения при этом принимают вид у.+ 1.7-2у,7+у,м у,;Л1-2у,.7+у,;л1 _	=_
h*	Л,
wi+t,j~ 2wij+ wi-t.j wi.j+i-2wij+wi.j-i _Pij~ Pi.j-i hl	hj	h2 Ji)
В этой системе первое, второе и третье уравнения заданы на множествах Dv D2 и D3 соответственно (здесь и далее Di = Г>ДГД
□ 9.89. Пусть сеточные области (см. рис. 5) определены следующим образом:
D} = {xtj= (Л 1/2)^):	- i = 0,..., Np j = 0,..., N2 + 1},
Й2 = &ij= ((*- l/2)hp Д):	i= 0,..., Nj + 1, j = 0,..., N2},
D5 = {xij=((i+l/2)hv(jA-l/2)h2): z = 0,..., N, - 1, j = 0,..., N2- 1}.
Построить разностную схему для задачи Стокса.
о	Г\		о			о			о		Q	Q	н
о	>	X	<	। х с	• X С	> X с	►	X	< о	>	X	< о	чх н
	>	X	1 Q	>	X	< Q	►	X	< Q	*	X	< Q	>	X	<	>	X	<	чх
	•	X	1	»	X	<	>	X	<	»	X	<	>	X	<	•	X	<	
о о	»	X	< Q	►	X	I Q	1	X	<	>	X	<	о ►	X	<	О ►	X	1	о
	»	X	<	>	X	<	>	X	<	•	X	<	>	X	<	1	X	<	
	) х (	>	X	(	1	X	<	>	X	<	>	X	I	1	X	<	о
о	О	о	о	о		О	о
Рис. 5
370
9.6. Задача Стокса
Ответ: определим пространства Uh = V} h х V2 h, где
Vi,h={vir	Dp
V0, j = VNt,j = °’ Vi. 0 = ~Vi, 1> V,. N2 + 1 = ~Vi. N2 h
^Ч=и^Мбб2’
WO,j=-Wl,j> WN} + 1,; = ~WN,.j’ Wi.0 = Wi. N2 = °)’
Ph = IPij = P(xijY- xij e D3>	= 0},
и запишем уравнения
h*	hl	ht	Jii
wi+i,j-2wij+ w‘-4 , wm+i-2m4+wm-i _Pi-i.rPi-i.j-i
hj	hl	h2	*>)
Здесь первое, второе и третье уравнения заданы на множествах Dp D2 и D3 соответственно.
□	9.90. Пусть сеточные области (см. рис. 6) определены следующим образом:
о, = {Хц = ((»+ 1/2)/1рЛ): i = 0,..., N, - 1; j = 0,..., N2},
D2 = {Xij = (ihv (j + 1/2^1 = 0,..., Np j = 0,..., N2 - 1},
D3 = {xij = №!>№ i =	}	= 1,...,N2-1}.
Построить разностную схему для задачи Стокса.
Рис. 6
24*
371
ГЛАВА 9. Уравнения с частными производными
Ответ: построим пространства Uh = Vl h х V2 h) где vi,h = {= v(x,7): xij е Dp v0_ = vNi _ ( • = vi 0= v. = 0}, V2, h = Ч; = W<Xij>: Xij € 52> W0,j = WN,.j = Wi,0 = Wi. N2 - 1 = °b ph = {Pij = P(xij)- xij e D3, Z = 0}, и сеточные уравнения
ПЛ|-2^+ум-| _ P.+ i.rPij r(1) h?	ht J>) ’
wi + l,j- 2wij + wi- wi,j + I - 2wij + wi,j- 1 _ Pi,j + 1 - Pi,j __f(2 hl	hj	h2
Здесь первое, второе и третье уравнения заданы на множествах Dv D2 и D3 соответственно.
□	9.91. Пусть сеточные области определены следующим образом:
D, = U,7= (ihi, jh2): i = 0,..., Nvj = 0,..., N2},
D2 = ^xij= (ih^jhj: i = 0,..., Nvj = 0,..., N2},
D} = {Xij= (ih,, jh2): i = 0,..., Nl - l,j=0,..., N2- 1}.
Построить разностную схему для задачи Стокса, используя для аппроксимации операторов div и grad разности вперед и назад соответственно.
Ответ: формулы для разностных уравнений совпадают с ответом 9.88.
□	9.92. Пусть сеточные области определены следующим образом:
D( = \xi)=	i = 0,..., Nvj= 0,..., N2},
D2 = (xij = (ihi> jh2)- i = 0. - > j = 0,..., N2},
Di = {x,7= ((»+ l/2)/iP (j + 1/2)h2Y i=0,..., N, - 1, j = 0,..., N2- 1}.
Построить разностную схему второго порядка аппроксимации для задачи Стокса, используя для операторов div*1 и grad*1 выражения, определенные на симметричных относительно х-шаблонах из ближайших четырех узлов. Показать, что ядро оператора grad*1 не содержит нетривиальных функций, кроме
372
Глава 10
Интегральные уравнения
Обозначим через Gb интегральный оператор следующего вида:
ь
GbyW = j K(x,s)y(s) ds, а
где заданная функция К(х, 5) называется ядром, а верхний предел интегрирования b в общем случае может быть переменным. Типичными примерами интегральных уравнений являются уравнения Фредгольма и Вольтерра, каждое из которых может быть первого или второго рода. В уравнениях Фредгольма b является постоянной заданной величиной
GbyM=fM и yM-XGbyM=fM,
причем в уравнения второго рода входит дополнительный числовой параметр X, который может быть задан или подлежит определению в зависимости от постановки задачи. В уравнениях Вольтерра верхний предел интегрирования совпадает с текущим значением независимой переменной: b = х, поэтому уравнения Вольтерра первого и второго рода соответственно имеют вид
G^x) = /W и УМ - ЩсУМ =f(x).
Функция /(х) задана, а у(х) подлежит определению в уравнениях всех типов.
Наиболее распространенной модельной постановкой является следующая задача для уравнения Фредгольма второго рода: на множествах [а, Ь] и [а, Ь] х [а, Ь] заданы квадратично интегрируемые функции/(х) и К(х, s); для заданного значения параметра X требуется определить квадратично интегрируемую функцию у (х), удовлетворяющую уравнению
ъ
y(x)-Xf К(х, s)y(s) ds = /(x).	(71)
373
ГЛАВА 10. Интегральные уравнения
Предполагается, что (71) имеет единственное решение. Это справедливо, например, если выполнено условие
Шх-1/2
IK(x, 5)l2 dxdsj
10.1. Метод замены интеграла
Самым простым подходом к решению модельной задачи (71) является замена интеграла в уравнении какой-либо квадратурной формулой. В результате получается система линейных алгебраических уравнений относительно значений неизвестной функции, которая решает
ся рассмотренными ранее прямыми или итерационными методами.
ь
Для определения приближенного значения интеграла /(ср) = j <p(s) ds а
воспользуемся квадратурной формулой S„(cp) = Z с• ф($•). Тогда j=i 7	7
дискретный аналог (71) в узлах xi = s? 1 < i < и, принимает вид
у,-Х Z сК(хр$ )у =/(х,)» 1 < К и,	(72)
j = 1 J 11
что представляет собой систему линейных алгебраических уравнений Ay = f относительно неизвестных ур у2,..., yw, являющихся приближениями к точным значениям у (х^, у (х2),..., у (хп).
Предметом рассмотрения при таком подходе являются оценки погрешности приближенного решения (71), возникающей в результате замены интеграла квадратурной формулой, и методы решения полученной системы (72).
В основе метода замены интеграла квадратурной формулой лежит следующее утверждение.
Теорема. Пусть однородное уравнение имеет только нулевое решение, ядро и решение уравнения (71) непрерывно дифференцируемы до т-го порядка включительно, погрешность квадратурной формулы на гладких функциях имеет асимптотику не ниже, чем /(ф) - 5п(ф) = О(п~т). Тогда справедлива оценка погрешности max 1у(х) - и(х)1 < Сп~т,
[«, Ь]
где и(х) — решение уравнения
w(x)-X Z с К(х, s )u(s-) =f(x), i = i J J J
а постоянная С не зависит от n — количества узлов квадратурной формулы.
374
10.1. Метод замены интеграла
□ 10.1. Найти приближенное решение интегрального уравнения
1
у(х) + J х(еХ5- 1 )у (5) ds- ех-х о
методом замены интеграла квадратурной формулой Симпсона и оценить его погрешность.
Решение. Для отыскания приближенного решения у (х) в точках х- 0, 1/2, 1 запишем систему уравнений
У1 = 1>
1 (ео,25 _ 1)у2 + ± (ео,5 - 1)у3 = е0’5 - 1/2,
2(е°,5_1)у + 1 (е + 5)у3 = е - 1, J	о
или (с точностью до четырех знаков после запятой)
1,0947у2 + 0,0541у3 = 1,1487, 0,4325у2 + 1,2864у3 = 1,7183.
Решение этой системы: yr = 1, у2 * 0,9999, у3 » 0,9996. Несложно проверить, что точное решение уравнения у(х) = 1, поэтому абсолютная погрешность не превышает 0,0004.
□ 10.2. Найти приближенное решение интегрального уравнения
5	j 1
у(х) - - х+ - f xsy(s) ds
6	2 0
методом замены интеграла квадратурной формулой Симпсона и оценить его погрешность.
Указание. Точное решение у (х) - х.
□ 10.3. Найти приближенное решение интегрального уравнения
1 1
у(х) = е-х + J xe5y(s) ds о
методом замены интеграла квадратурной формулой Симпсона и оценить его погрешность.
Ответ: с тремя верными десятичными знаками у (х) - 1,003х + + е~х; точное решение у (х) = х + е~х.
375
ГЛАВА 10. Интегральные уравнения
□ 10.4. Найти в узлах а - хх < х2 < ... < хп = b приближенное решение уравнения Вольтерра второго рода
/(x)-Xj К(х, s)y(s) ds = f(x) а
методом замены интеграла составной квадратурной формулой трапеций.
Решение. Для вычисления элементарного интеграла = = j <p(s) ds по отрезку длины hi = xi - xt_ j квадратурная формула трапеций имеет вид
_ 1 ф^.^ + ф^) 1 ~ 1	2
Поэтому для определения приближенного решения имеем систему уравнений
У1=Ж)>
у.-Х Д Ь^’>-1У!-2' + КчУ> =f(Xi), i = 2, 3,..., п, где К- j = К(х^ Sj). Решение системы можно получить рекуррентно: /1 = /(Xj); для i = 2, 3,..., п его находят по формуле
2Дх-) + X/i2K- }у} + X £ (hj + hj+ 0КчУ) у =-----------------Izl-----------
2-мд,,
если знаменатель не обращается в нуль. Результат суммирования в этой формуле равен нулю, если верхний индекс суммирования меньше нижнего (для i = 2).
□ 10.5. Найти в точках х = 0, 1/2, 1 приближенное решение интегрального уравнения
у(х) = е-х+ J e-(x-5)y(s) ds о
методом замены интеграла составной квадратурной формулой трапеций.
Указание. Точное решение у (х) = 1.
376
10.1. Метод замены интеграла
□	10.6. Найти в точках х = 0, 1/2, 1 приближенное решение интегрального уравнения
у(х) = ех + J ex-5y(s) ds о
методом замены интеграла составной квадратурной формулой трапеций.
Указание. Точное решение у (х) - е2х.
□	10.7. Пусть К(х, s) = К = const > 0. Записать в явном виде элементы матрицы в системе (72), если в качестве квадратурной формулы используется составная формула прямоугольников с узлом в центральной точке.
Решение. Пусть h = (b- а)1 п\ тогда составная формула прямо-ь
угольников для вычисления интеграла j <p(s) ds такова: а
$"(ф) = h £ j = 1	4	4 Z ' /
а систему (72) можно записать в виде
S	1 < п,
j=\ J J
где а- = 5/ - MCh, 5/ — символ Кронеккера.
□	10.8. Исследовать сходимость метода простой итерации для решения системы линейных уравнений, полученной в 10.7.
Решение. Запишем метод простой итерации виде ук +1 = Вук + f. Из решения 10.7 имеем явный вид элементов матрицы В: b- = XKh. Матрица размера п х п с постоянными элементами XKh имеет ядро размерности п - 1 и одно собственное значение, равное nkKh. В этом легко убедиться, если рассмотреть действие матрицы на векторы (-1, 1, 0,..., 0)т, (-1, 0, 1, 0,..., 0)т,..., (-1, 0, 0,..., 0, 1)т— базис ядра и (1, 1,..., 1)т— базис образа. Отсюда, по теореме о необходимом и достаточном условии сходимости метода простой итерации, получаем, что сходимость с произвольного начального приближения имеется при выполнении условия \7JK(b- а) < 1.
□	10.9. Пусть К(х, s) = К= const > 0, IXIK(fo — а) < а < 1. Оценить погрешность решения при замене интеграла составной квадратурной формулой прямоугольников.
377
ГЛАВА 10. Интегральные уравнения
Решение. Обозначим через R” (ср) остаточный член составной квадратурной формулы прямоугольников
J <p(s)d5=S1n(<p) + а
Тогда система уравнений для точных значений решения в узлах х • имеет вид
y(X;)-XK^Z-2 £ у(х-) =f(x;) + ХО1"(у)|х = х., 1 < п.
Введя для компонент погрешности обозначение ei = y(xf) - yi и обозначение г- = Я"(у)|х = х для остаточного члена, получим систему Ле - 'кКг. Отсюда, в силу диагонального преобладания элементов матрицы А, так как Yk\K(b-а) < а < 1, имеем НеН^ < IXJKII A-111^1 Irl 1^. Для остаточного члена составной квадратурной формулы прямоугольников справедлива оценка (см. § 4.1)
1яГ(Г)1С11У"1|(к^,
откуда следует неравенство
||Г||ОО<||У"||(^_3.
24 и2
В обоих этих неравенствах использована равномерная норма.
Оценим величину НА-1!^. Так как матрица обладает свойством диагонального преобладания, то, на основании 5.65, имеем IIА-1!^ <
< —-------ггтттг ,h = (Ь- а)/п. Отсюда следует окончательная оценка
1 - а 1 - |л|Ки
Hell < —1_____||у "(х)Н^~	= O(h2)
00	1-а 1-|Х|КА1 У W 24и2	1 Л
Таким образом, если система линейных уравнений «не слишком плоха» и решение достаточно гладкое, то порядок погрешности в узлах xi совпадает с порядком остаточного члена составной квадратурной формулы.
Для получения приближенных значений у(х) при х # xi можно воспользоваться кусочно-линейной интерполяцией, которая в этом случае не ухудшит порядок ошибки, равный двум (см. 3.138). Если используемая квадратурная формула является более точной, то для
378
10.2. Метод замены ядра
получения приближенного решения интегрального уравнения рекомендуется использовать формулу
у(х)*/(х) + A. Z С:К(Х,5:)у: J=1 J	J J
или воспользоваться интерполяцией более высокого порядка.
□ 10.10. Показать, что для решения системы уравнений, полученной в 10.7, классический метод Гаусса является устойчивым, т. е. все элементы матриц, возникающих в процессе треугольной 1В-факто-ризации, равномерно ограничены.
10.2. Метод замены ядра
Если в уравнении (71) ядро К(х, s) вырождено, т. е.
р
К(х, 5) = S Д-(х)В/.(5),
где {Af(x)}f= ! и {Bz(x)}f= j — системы линейно независимых на отрезке [а, Ь] функций, то (71) можно записать в виде
р	ь
у(х)-Х S A,(x)J B,(s)y(s)ds = f(x).
i - 1	а
Решение уравнения такой структуры удобно представить формулой
р
у(х)=/(х) + А Z D,A,(x)> i = 1
где Di— некоторые постоянные, подлежащие определению. В результате подстановки в уравнение формулы для решения у (х) и сокращения на X получим
р	р	р	ь
S £>Д(х)-Х S Д(х) Z Dj A (s)B (s) ds = i=l	i=l	j=\	a 7
P
= Z A,(x) j /(s)B,(s) ds. 1 - 1	a
Обозначим
fi = f	ds, a^ = J A;(s)B,(s)ds
a	a
и на основании линейной независимости функций {A-(x)}f= j перепишем полученное равенство в виде
D,-X £	=	1 < К п.	(73)
379
ГЛАВА 10. Интегральные уравнения	i
Если определитель системы (73) отличен от нуля, то система имеет единственное решение D}, ..., D? и решение интегрального уравнения у(х) будет найдено в явном виде. Если при заданном X определитель (73) равен нулю, то X является собственным значением ядра К(х, 5). В этом случае, находя все линейно независимые решения соответствующей однородной системы, в явном виде можно записать собственные функции ядра К(х, 5), соответствующие этому собственному значению X.
Метод приближенного решения интегральных уравнений Фредгольма с помощью замены ядра К(х, 5) близким к нему вырожденным ядром Н(х, s) основан на следующем результате.
Теорема. Если
ь y(x)-lj K(x>s)y(s)ds = /(x), а
b
z(x)-Xj Н(х, s)z(s) ds = ф(х) а
— два интегральных уравнения, R(x, 5, X) — резольвента второго из этих уравнений, существуют такие константы 8, 8, М, что имеют место неравенства
ь	ь
J IK(x> s) - Н(х, s)l ds < 3, \f(x) - <p(x)l < £, J IR(x> s, X)l ds < М а	а
и выполнено условие
1X15(1 + ШМ)<1,
то первое интегральное уравнение имеет единственное решение у(х) и справедлива оценка
edeN= тах^ 1/(х)1.
Способы построения вырожденных ядер, близких к данному ядру К(х, s), могут быть самые различные. Например, К(х, s) можно приближать частичными суммами степенного или двойного тригонометрического ряда, если оно разлагается в соответствующий равномерно сходящийся в прямоугольнике а < х, 5 < b ряд, или приближать ядро алгебраическими или тригонометрическими интерполяционными многочленами.
380
10.3. Проекц ионные методы
□ 10.11. Найти приближенное решение интегрального уравнения
1 y(x)+J х(еХ5- l)y(s) ds = ех-х о
с помощью замены ядра вырожденным Н(х> s) = x2s +	,
2	6
взятым в виде первых трех членов разложения К(х> $) в ряд Тейлора. Решение. Вместо исходного рассмотрим интегральное уравнение
1
z(x) + J Н(х, s)z(s) ds = ех-х, о
решение которого будем искать в виде
z(x) = ех-х + DjX2 + D2x3 + D3X4.
Для определения постоянных Dp D2, D3 получаем систему
- Di + 1-D2+-Dj^~- 4 1	5 2	6 3	3
- D} + — D2 + - D3 = - - e, 5 1	6	2	7	3	4
1 П 1 П 49 П 0.	29
6D' +7^+-8-D3=2e"T’
решая которую, находим Dx » -0,5010, D2 « -0,1671, D3 » -0,0422. Точное решение уравнения у (х) = 1. Несложно проверить, что абсолютная погрешность не превышает 0,008.
□ 10.12. Найти приближенное решение интегрального уравнения
у(х) =-ix- 1 4- J (1 + 2xs)y(s) ds о 2 о
с вырожденным ядром.
Указание. Точное решение у (х) = х+ 1/2.
10.3. Проекционные методы
Метод наименьших квадратов. Будем искать приближенное решение z(x) интегрального уравнения (71) в виде
z(x) = Е с,ф,(х),
381
ГЛАВА 10. Интегральные уравнения
где {(рДх)}?= ! — известные линейно независимые функции, которые часто называют координатными. Определим невязку уравнения
ь
Rz(x) = z(x) - X J К(х, s)z(s) ds-/(x).	(74)
a
Неизвестные постоянные коэффициенты cv ..., сп находят из усло-ь
вия минимума интеграла ]- J [Rz(x)]2 dx, т. е. из условий а
= 0, 1 < i < п. dct
Используя выражение для невязки (74), получаем для отыскания коэффициентов систему линейных алгебраических уравнений Ас = f
b	ь	1 г ‘	ь
а,, = f ф/х> - М s)<P,(s) ds ф;(х) - х f К(х> s)<p,(s) ds dx, a L	a	-IL	a	J
b	Г	b
fi = ] /(х)Гф,(х)-Х f K(x, $)ф,($) ds | dx. a	L	a	J
Особенность построенной матрицы A— ее симметричность и положительная определенность в случае, если X не является собственным значением интегрального оператора. Это приводит к тому, что алгебраическая система имеет единственное решение и z(x) стремится к у (х) с ростом п.
□ 10.13. Найти методом наименьших квадратов приближенное решение интегрального уравнения
1
у(х) = х + J xsy(s) ds,
используя в качестве координатных функций (рДх) = 1, ф2(х) ~ х-
Решение. Для отыскания приближенного решения z(x) = q + + с2х получаем систему
решая которую находим q = 0, с2 - 3, т. е. приближенное решение интегрального уравнения совпадает с точным: z(x) = у (х) - Зх.
382
10.3. Проекц ионные методы
Метод Петрова—Галеркина. Пусть имеются две различные системы линейно независимых функций. Будем искать приближенное решение z(x) интегрального уравнения (71) в виде
z(x)=/(x) + £ <7Р,(х),
i = 1
где {(pi(x)}"=1— первая система линейно независимых функций. Коэффициенты ср ..., сп находят из условий ортогональности невязки (74) каждой функции из второй системы линейно независимых функций {v|/,(x)} р
ь
J £z(x)y,(x) dx = 0, а
Эти условия представляют собой систему линейных алгебраических уравнений Ас = f для отыскания неизвестных постоянных коэффициентов, где
ь	ь	ь
aji = J Ф,(х)у,(х) dx- X J уДх) f K(x, s)<p,(s) ds dx, a	a	a
b	b
fi = ^ j V,(x) f K(x, dsdx. a	a
□	10.14. Найти методом Петрова—Галеркина приближенное решение интегрального уравнения
1
у (х) = 1 4- J (xs 4- х2)у(s) ds,
-1
используя в качестве первой системы функций (р^х) - х, ф2(х) = х2, а в качестве второй системы ф/х) = 1, \|/2(х) = х.
Решение. Приближенное решение z(x) = 1 + qx -I- с2х2 находим из системы
л .2	4
° ’ С‘ 9 Сг = 3 ’
?С1 + 0-с2 = 0.
Ее решение имеет вид q - 0, с2 = 6. Приближенное решение интегрального уравнения совпадает с точным: z(x) = у(х) = 1 + 6х2.
383
ГЛАВА 10. Интегральные уравнения
Метод Бубнова—Галеркина. Этот метод является частным случаем метода Петрова — Галеркина, когда обе системы функций совпадают: фДх) = фДх), 1 < i < п. Иногда для приближенного решения удобно использовать представление
z(x) = £ с,<р,(х)
(без учета правой части /(х)), например, при определении характеристических (т. е. собственных) значений интегрального оператора.
□	10.15. Найти методом Бубнова—Галеркина приближенное решение интегрального уравнения
1
у (х) = 1 + J (xs + х2)у(s) ds,
-1
используя в качестве системы функций срДх) - х, ф2(х) = х2.
Решение. Приближенное решение z(x) = 1 + qx + с2^ получаем из системы
э
- с, + 0 • с? = О,
9 1	2
решая которую, имеем q = 0, с2 - 6. Приближенное решение интегрального уравнения совпадает с точным: z(x) = у (х) = 1 + 6х2.
□ 10.16. Найти методом Бубнова—Галеркина два младших характеристических числа и соответствующие им собственные функции однородного интегрального уравнения
у(х) = X f К(х, s)y(s) ds, о где
,	ПРИ OCxCsCl,
(X, S) - j 5(1 _ х) ПрИ 0<5<Х<1,
если координатные функции имеют вид: ср/х) = 1, ф2(х) = х(1 - х), ф3(х) = х(1 -х)(1 - 2х).
Решение. Для приближенных собственных функций вида z(x) = Cj + с2х(1 - х) + с3х(1 - х)(1 - 2х) с пока неизвестными коэффициентами имеем уравнения
1
J ф,(x)T^z(x) dx = 0, 1 < i < 3. о
384
10.3. Проекционные методы
Вычисляя интегралы, получаем систему
Приравнивая определитель этой системы к нулю, приближенно (с четырьмя знаками после запятой) находим = 9,8751, Х2 = 40, Х3 =
1
= 170,1249. Отсюда, учитывая условие нормировки J [z(x)]2 dx = 1,
о
определим
Zj(x) = -0,0684 + 5,817х(1 -х), ^(х) = 14,49х(1 -х)(1 - 2х).
Точное решение задачи имеет вид kk = (fcrc)2, yk(x) = sin knxy k= 1,2,....
□	10.17. Найти методом Бубнова—Галеркина два младших характеристических числа и соответствующие им собственные функции однородного интегрального уравнения
л
y(x) = Xf K(x,s)y(s)ds,
о
с вырожденным ядром К(х, s) = cos2 х cos 2s + cos Зх cos3 s.
Ответ: Xj = 4/л, yx(x) = cx cos2 x, X2 = 8/rc, y2(x) = c2 cos 3x.
□	10.18. Найти методом Бубнова—Галеркина приближенное решение интегрального уравнения
1
у (х) = 1 + f (xs + х2)у (s) ds,
используя в качестве координатной системы функций первые три многочлена Лежандра.
Решение. Подставим приближенное решение
z(x) = С] + с2х+ ----
в исходное уравнение. Интегрируя правую часть полученного равенства, имеем
3 г2 — 1	2
С) + с2х + Су -	— 1 + 2xq + - хс2.
25 - 1025
385
ГЛАВА 10. Интегральные уравнения
Последовательно умножаем равенство на функции 1, х, (Зх2 - 1 )/2 и интегрируем по отрезку [-1> 1]. В результате получаем систему линейных уравнений
2с = 2 + - с -с ~-с	- с — — с
1	3Ср 3	92’ 2Сз 15Ср
откуда находим с1 = 3, с2 = 0, с3 = 4, т. е. z(x) = у (х) = 1 + 6х2.
Метод моментов. Пусть задана ортонормированная система координатных функций {ф/х)}^ р рассмотрим вспомогательные функции
ь
и^х) = J Х(х, s)<p.(s) ds, i = 1, 2,..., а
п
и построим вырожденное ядро Нп(х, s) = S u-(s)(p-(x). Определим
i = 1
приближенное решение методом моментов как точное решение z(x) интегрального уравнения
ь z(x)-Xj Нп(х, s)z(s) ds = f(x). а
□	10.19. Найти методом моментов приближенное решение интегрального уравнения
1
у(х) = 1 + J (xs + x2)y(s) ds,
-1
используя в качестве координатных функций два первых многочлена Лежандра.
Метод коллокации. Будем искать приближенное решение z(x) интегрального уравнения (71) в виде
z(x) = S с,<р,(х),
где {фДх)}”= j — известные линейно независимые функции. Искомые коэффициенты определяются из требования обращения в нуль невязки Rz(x) в заданных точках (точках коллокации) отрезка [а, Ь].
□	10.20. Найти методом коллокации с точками -1,0, 1 приближенное решение интегрального уравнения
у(х) = 1 + z х + J (xs2 - x)y(s) ds,
используя в качестве координатной системы функций три первых многочлена Лежандра.
386
10.4. Некорректные задачи
Решение. Для отыскания приближенного решения в виде z(x) = q + qx+ q—1
имеем невязку интегрального уравнения
Rz(x) =	+ ^х^ + с2х +	~2—" +	1 ~
Если потребовать, чтобы она обращалась в нуль в точках -1,0, 1, то получим систему линейных уравнений для отыскания неизвестных коэффициентов
1	4	1
-q + q-F-q--,
Ч = 1,
\ С1 + С2 + Т С3 = \> 3 1	2	3 3	3
откуда находим q = 1, с2 = 0, q = 0, т. е. z(x) = у (х) = 1.
ЮЛ, Некорректные задачи
Типичным примером некорректной задачи является интегральное уравнение Фредгольма первого рода Gby(x) =/(х), т. е.
ь
J K(x,s)y(s)ds = f(x).	(75)
а
Под некорректностью здесь понимается либо несуществование решения у(х), либо его неединственность, которая, как правило, приводит к неустойчивости решения относительно возмущения правой части. Эти эффекты проявляются (или не проявляются) в зависимости от свойств ядра и правой части уравнения.
Напомним некоторые полезные свойства ядра К(х, s) интегрального оператора Gb. Пусть ядро К(х, s) вещественное, симметричное и непрерывное. Тогда существует полная, ортонормированная в метрике пространства 12(л, Ь), система собственных функций {z-(x)}^ j оператора Gb
С^(х) = ^(х), (zif Zj) = 8/.
При этом само ядро определяется сходящимся рядом
K(x,s) = Е \z,(x)z;(s)hIIK(x,s)II2 = Е 1\12,
i = 1	»=1
25*
387
ГЛАВА 10. Интегральные уравнения
где все характеристические (т. е. собственные) числа X- вещественные. В упражнениях 10.21—10.27 по умолчанию речь идет о ядрах с такими свойствами.
□ 10.21. Пусть все характеристические числа оператора Gb отличны от нуля,/(х) — достаточно гладкая вещественная функция. Показать, что решение интегрального уравнения (75) существует и оно единственно.
Решение. Будем искать решение (75) в виде формального ряда
у(х) = Е Л^(х).	(76)
i = 1
Так как правая часть гладкая, имеем сходящийся ряд
Дх) = Е fiZi(x),fi = j fMz^x) dx.
i = 1	a
Подставляя в исходное уравнение предполагаемое решение (76) и разложения по собственным функциям для ядра и правой части, в силу ортонормированности системы {z-(x)}р получаем
>И’'=1'2........
Таким образом, сходимость функционального ряда (76) определяется сходимостью числового ряда
оо	оо f 2
S= S ly,l2= S £ .
/=1	t=i Л-
Будем считать, что неявно наложенное условие гладкости на правую часть /(х) приводит к неравенству S < °°. Тогда решение поставленной задачи существует и оно единственное.
□ 10.22. Пусть характеристические числа оператора Gb обладают следующим свойством: X- # 0 при 1 < i < р и X- = 0 при i > р. Показать, что при сколь угодно гладкой правой части /(х) решение интегрального уравнения (75) может не существовать, а если оно существует, то не является единственным.
Решение. При указанных в условии свойствах характеристических чисел ядро интегрального оператора имеет вид р
К(х, s) = £ X,z,(x)z((s),
388
10.4. Некорректные задачи
т. е. является вырожденным. Поэтому на основании параграфа 10.2 решение уравнения (75) имеет вид конечной суммы
р у(х) = Е у;г,(х)
с некоторыми коэффициентами у,. Пусть правая часть уравнения (75) имеет вид/(х) - fkzk(x), fk 0, при некотором к > р. Тогда равенство 6ьу(х) = f(x)> т. е.
f f Е X z (x)z-(s) V Е y^s)} ds = fkzk(x), a VJ = 1 J J J 7 4= 1	7
противоречит свойству ортонормированности системы собственных функций Ц(х)}~ ! интегрального оператора Gb. Поэтому решение задачи у (х) существует только для правых частей, представимых в виде
р /(х) = Е falx), i = 1
При этом, в силу 10.21, неизвестные коэффициенты в решении определяются равенствами у- = /\, i= 1,2,..., р. Теперь, чтобы установить неединственность решения для таких правых частей, достаточно проверить, что произвольная функция
Р f.	оо
у(х)= Z zf(x) + Z C:z-(x) i= 1 Л,-	i = р + 1
'	оо
с коэффициентами, удовлетворяющими условию X 1с;12 < °°, i=P+1
также является решением исходного интегрального уравнения.
Для решения некорректных задач используют различные способы регуляризации. Например, в качестве приближенного решения у уравнения Фредгольма первого рода (75) рассматривают некоторое решение уа корректного уравнения Фредгольма второго рода (71), зависящее от параметра регуляризации а > 0.
Простейшая регуляризация. Этот способ заключается в том, что исходное уравнение Gby = /заменяют возмущенным уравнением ауа + Gbya = где возникает в результате незнания точной правой части/: 11^-/II < 8.
Метод регуляризации Тихонова. Приближенное решение уа находится из условия минимума функционала
/(z) = IIGbz-/§ll2 + allzll2,
389
ГЛАВА 10. Интегральные уравнения
что приводит к уравнению Эйлера aya + GbGbya=Gbft>’ ь
где G£(p(x) = J K(s, x)cp(s) ds— сопряженный интегральный оператор.
Основным моментом в методах регуляризации является выбор параметра а и его согласование с величиной погрешности входных данных 8: необходимо, чтобы при 8 —► О выполнялось уа у.
□ 10.23. Пусть для решения у уравнения (75) с оператором Gb = = Gb > 0 справедливо неравенство
IIGb 1 yll < М= const.
Показать, что метод простейшей регуляризации сходится (уа у) при а - ЛТм.
Решение. Запишем решения точного и регуляризованного уравнений в виде разложений по собственным функциям интегрального оператора (см. 10.21):
V &	( \	V	/ А
— г'ы’ ;пт,г'(х)'
Обозначим через и решение регуляризованного уравнения с точной правой частью
-(/£,) аи+ Ghu= Г и= L ------— zAx).
и	,= 1ач-Х| 1
Это решение потребуется для получения оценки по неравенству треугольника
Нуа-у11 < Нуа- и\\ + llu-yll.
В силу ортонормированности системы собственных функций Ц(х)}~ р для оценки слагаемых в правой части можно использовать равенство Парсеваля
°° (f z \2	оо sf z\2
\\и- у\\2 = a2 Z \	< a2 Z < a2M2.
t= i (a + Z-)2Zf i=i
390
10.4. Некорректные задачи
В последней оценке использовано неравенство из условия задачи. Из полученных выражений следует
Нуа-у11 < 8/а + аМ.
Минимум правой части выражения достигается при а = 78/М, что приводит к неравенству Нуа - у\\ < 2л/бМ. Эта оценка означает, что уа —► у при 8 —► 0.
□	10.24. Записать регуляризованное интегральное уравнение в методе Тихонова.
Ответ: уравнение имеет вид ауа + Qbya = ср, где ф(х) -ь
= J K(s, x)/(s)ds; ядро Н(х, s) в новом интегральном операторе а
Qb = Gb Gb определяется через исходное К(х, $) по формуле
ь
Н(х, 5) = J K(t, x)K(t, s) df a
и является симметричным.
□	10.25. Пусть в задаче определения характеристических чисел для уравнения у(х) = kGby(x) ядро К(х, s) интегрального оператора симметрично и положительно определено и.по заданной начальной функции ф0(х) строится последовательность функций ф-(х)
ср/+1(х) = G^-(x), i = 1,2,....
Показать, что для минимального характеристического числа ^min можно получить приближения
у ~ Ill'll у ~ ||(Г)
Zmin~ 11<р1+1|Г ^min~ ’
□	10.26. Пусть в задаче определения характеристических чисел для уравнения у(х) = XGby(x) с симметричным ядром найдены числа S- (i-e следы ядра К(х, $)). Показать, что для минимального характеристического числа Xmin при больших i имеется приближение
IZ I ~ / $2i ^min ~ / с 'V d2i + 2
391
ГЛАВА 10. Интегральные уравнения
Указание. След четного порядка для симметричного ядра определяется по формуле
ь ь
S2i = n К?(х, s) dxds,
а а
b
где К, = К(х, 5), Kj(x, s) = J К(х, t)Kt_ t(t, s) dt, i - 2, 3,....
a
□	10.27. Пусть уравнение Gby (x) = /(x) имеет единственное решение и ядро К(х> s) симметрично и положительно определено. Показать, что метод простой итерации
-|-j К(х, s)y*(s) ds = /(х) 'С	а
сходится при 0 < т < 2/Хтах, где ^тах — максимальное характеристическое число.
□ 10.28. Вычислить наименьшее характеристическое число оператора Gb с ядром К(х, s) = х$, 0 < х, s < 1, начиная с <р0(х) = 1.
Литература
1.	Арушанян И, О., Чижонков Е. В. Материалы семинарских занятий по курсу «Методы вычислений» / Под ред. О. Б. Арушаняна. — М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 1999.
2.	Бабенко К. И. Основы численного анализа. — М.: Наука, 1986.
3.	Бахвалов Н. С. Численные методы. — М.: Наука, 1975.
4.	Бахвалов Н. С., Лапин А. В., Чижонков Е. В. Численные методы в задачах и упражнениях / Под ред. В. А. Садовничего. — М.: Высшая школа, 2000.
5.	Бахвалов Н. С., Жидков Н. П.у Кобельков Г. М. Численные методы. — М.: Лаборатория базовых знаний, 2000.
6.	Верланъ А. Ф., Сизиков В. С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. — Киев: Наукова думка, 1986.
7.	Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. — М.: Наука, 1967.
8.	Годунов С. К, Рябенький В. С. Разностные схемы. — М.: Наука, 1977.
9.	ДеммельДж. Вычислительная линейная алгебра. — М.: Мир, 2001.
10.	Дробышевич В. И., Дымников В. ГГ, Ривин Г. С. Задачи по вычислительной математике. — М.: Наука, 1980.
11.	Икрамов X. Д Несимметричная проблема собственных значений. — М.: Наука, 1991.
12.	Корнев А. А., Чижонков Е. В. Упражнения по численным методам. Ч. I, II / Под ред. Н. С. Бахвалова. — М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2002—2003.
13.	Кунц К С. Численный анализ. — Киев: TEXHIKA, 1964.
14.	Марчук Г И. Методы вычислительной математики. — М.: Наука, 1980.
15.	Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. — М.: Мир, 1983.
16.	Попов А. В. Практикум на ЭВМ. Разностные методы решения квазилинейных уравнений первого порядка. — М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 1999.
17.	Самарский А. А. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1983.
18.	Самарский А. А., Вабищевич П. Н., Самарская Е. А. Задачи и упражнения по численным методам. — М.: Эдиториал УРСС, 2000.
19.	Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. — М.: Наука, 1989.
20.	Самарский А. А., Карамзин Ю. Н. Разностные уравнения. — М.: Знание, 1978.
393
ГЛАВА 10. Интегральные уравнения
21.	Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. — М.: Наука, 1978.
22.	ТраубДж. Итерационные методы решения уравнений. — М.: Мир, 1985.
23.	Тыртышников Е. Е. Методы численного анализа. — М.: Издательский центр «Академия», 2007.
24.	Хемминг Р. В. Численные методы. — М.: Наука, 1968.
25.	Хорн Р.у Джонсон Ч. Матричный анализ. — М.: Мир, 1989.
26.	Шокин Ю. И. Методы дифференциального приближения. — Новосибирск: Наука, 1979.
Учебное издание
Бахвалов Николай Сергеевич Корнев Андрей Алексеевич Чижонков Евгений Владимирович
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Решения задач и упражнения
Учебное пособие для вузов
Зав. редакцией Г. Д. Гамбурцева Ответственный редактор Ж. И. Яковлева Художественный редактор А. В, Пряхин Технический редактор И. В. Грибкова Компьютерная верстка А. В. Маркин Корректор Г. И. Мосякина
Санитарно-эпидемиологическое заключение № 77.99.02.953.Д.006315.08.03 от 28.08.2003.
Подписано к печати 25.07.08. Формат 60 х ЭО1/^. Бумага типографская. Гарнитура ♦Miniature». Печать офсетная. Усл. печ. л. 25,0. Тираж 3000 экз. Заказ № 1025.
ООО ♦ Дрофа». 127018, Москва, Сущевский вал, 49.
По вопросам приобретения продукции издательства «Дрофа» обращаться по адресу: 127018, Москва, Сущевский вал, 49.
Тел.: (495) 795-05-50, 795-05-51. Факс: (495) 795-05-52.
Торговый дом «Школьник».
109172, Москва, ул. Малые Каменщики, д. 6, стр. 1А. Тел.: (495) 911-70-24, 912-15-16, 912-45-76.
Магазины ♦ Переплетные птицы »: 127018, Москва, ул. Октябрьская, д. 89, стр. 1.
Тел.: (495)912-45-76;
140408, Московская обл., г. Коломна, Голутвин, ул. Октябрьской революции, 366/2.
Тел.: (495) 741-59-76.
Интернет-магазин: http://www.drofa.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов в ОАО ордена «Знак Почета» «Смоленская областная типография им. В. И. Смирнова».
214000, г. Смоленск, проспект им. Ю. Гагарина, 2.