Author: Тихонов А.Н. Арсенин В.Я.
Tags: вычислительная математика численный анализ задачи по математике высшая математика прикладная математика
Year: 1979
Text
2Ζ19
Τ46
УДК 519.6
Методы решения некорректных задач. Тихонов А. Н., А р-
с е н и н В. Я. М.: Наука. Главная редакция физико-математиче-
ской литературы, 1979. Изд. 2-е.
Книга посвящена методам построения устойчивых приближен-
ных решений широкого класса некорректно поставленных матема-
тических задач. К этому классу задач относится большой круг так
называемых обратных задач, к которым приводят проблемы обра-
ботки и интерпретации экспериментальных наблюдений. Освеща-
ются вопросы нахождения обобщенных решений обратных задач,
так как в классической постановке эти задачи могут не иметь ре-
шений.
Предыдущее издание выходило в 1974 г.
Предназначена для студентов и аспирантов по специальности
«Прикладная математика», а также для научных работников и
инженеров.
литературы
издательства «Наука»,
1979
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к первому изданию 6
Предисловие ко второму изданию 8
Введение 9
§ 1. О некоторых аспектах в постановке математических
задач 9
§ 2. Понятие корректно поставленных π некорректно по-
ставленных задач 15
§ 3. Примеры некорректно поставленных задач . . . 18
§ 4. Некоторые наиболее употребительные понятия . . 32
Глава I. Метод подбора. Квазирешения 37
§ 1. Метод подбора решения некорректно поставленных
задач 38
§ 2. Квазирешения 43
§ 3. Приближенное нахождение квазирешений ... 47
§ 4. Замена уравнения Аг = и близким ему .... 49
§ 5. Метод квазиобращения 50
Глава II. Метод регуляризации решения операторных
уравнений 53
§ 1. Понятие регуляризирующего оператора . . . . 53
§ 2. Вариационный принцип отбора возможных решепий.
Существование регуляризирующих операторов . . 53
§ 3. Метод Лагранжа построения регуляризирующих опе-
раторов 65
§ 4. Определение параметра регуляризации по невязке 71
§ 5. Пример нелинейного уравнения. Обобщенный ме-
тод Лагранжа 80
§ 6. О построении регуляризирующих операторов с по-
мощью минимизации сглаживающего функционала 83
§ 7. Квазиоптимальное значение параметра регуляриза-
ции и другие 86
§ 8. Еще об одном классе задач, приводящих к миними-
зации сглаживающего функционала. Связь регуля-
ризованных решений с квазирешением .... 92
§ 9. Метод итераций нахождения приближенных реше-
ний уравнений вида Аz =· и 97
§ 10. О построении приближенных решений уравнения
Az = и в случаях, когда приближенно заданы пра-
вая часть и оператор А 99
3
Глава III. О решении вырожденных и плохо обусловлен-
ных систем линейных алгебраических уравнений . . 110
§ 1. Метод регуляризации нахождения нормального ре-
шения 114
§ 2. Приближенное нахождение нормального решения ио
неточно известным правой части и матрице . . 122
§ 3. Дополнительные замечания 127
Глава IV. О методе регуляризации решения линейных ин-
тегральных уравнений первого рода 128
§ 1. Существование регуляризирующих операторов для
интегральных уравнений первого рода .... 128
§ 2. Редукция задачи построения регуляризирующпх опе-
раторов к классической вариационной задаче мини-
мизации функционалов с ограничениями . . . 139
§ 3. Получение семейства регуляризирующих операторов
с помощью минимизации сглаживающих функциона-
лов 142
§ 4. Алгоритм нахождения приближенных решений, лег-
ко реализуемый на ЭВМ 147
§ 5. О дискретизации задачи нахождения приближен-
ных решений интегральных уравнений первого
рода 152
§ 6. Примеры применения метода регуляризации . . . 158
Глава V. О приближенных решениях интегральных урав-
нений первого рода типа сверток 167
§ 1. Классы регуляризирующпх операторов для уравне-
ний типа сверток 168
§ 2. Уклонение регуляризованиого решения от точного 179
§ 3. Асимптотические оценки уклонения регуляризован-
иого решения от точного для уравнений типа сверт-
ки при а->-0 183
Глава VI. О некоторых оптимальных регуляризирующпх
операторах для интегральных уравнений типа свертки 197
§ 1. Оптимальное регуляризованное решение. Связь мето-
да регуляризации с оптимальной фильтрацией по
Винеру 198
§ 2. Свойства функции ψ(ρ) для уравнений с ядрами
I —IV типов 204
§ 3. Определение высокочастотных характеристик сигна-
ла и шума и оптимального значения параметра ре-
гуляризации 210
Глава VII. Устойчивые методы суммирования рядов Фурье
с приближенными в метрике l2 коэффициентами . . . 218
§ 1. Классы устойчивых методов суммирования рядов
Фурье 220
§ 2. Об оптимальных методах суммирования рядов
Фурье 227
4
Глава VIII. Об устойчивых методах минимизации функ-
ционалов и решения задач оптимального управления . 231
§ 1. Устойчивый метод минимизация функционалов . . 234
§ 2. Устойчивый метод решения задач оптимального уп-
равления 241
Глава IX. Устойчивые методы решения задач оптимально-
го планирования (линейпого программирования) . . . 243
§ 1. О постановке задач оптимального планирования и
математического программирования .... 248
§ 2. Задачи оптимального планирования. Существование
решений и единственность 253
§ 3. Метод регуляризации решения задач оптимального
планирования 258
Литература 271
Предметный указатель 283
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Среди математических задач выделяется класс задач,
решения которых неустойчивы к малым изменениям
исходных данных. Они характеризуются тем, что сколь
угодно малые изменения исходных данных могут приво-
дить к произвольно большим изменениям решений. За-
дачи подобного типа, по существу, являются плохо по-
ставленными. Они принадлежат к классу некорректно
поставленных задач.
Если исходные данные известны приближенно, то
упомянутая неустойчивость приводит к практической не-
единственности решения в рамках заданной точности и к
большим трудностям в выяснении смысла получаемого
приближенного решения. В силу этих особенностей дол-
гое время считалось, что некорректно поставленные зада-
чи не могут иметь практического значения.
Однако можно указать некорректно поставленные за-
дачи, относящиеся как к классическим разделам мате-
матики, так и к различным классам практически важных
прикладных задач. Это позволяет судпть о широте рас-
сматриваемого класса -задач. Названия глав и приводи-
мые в книге примеры показывают не только широту
этого класса задач, но и многообразие их применения.
К числу важных задач относятся задачи создания сис-
тем автоматической математической обработки результа-
тов эксперимента (включая интерпретацию), задачи оп-
тимального управления и оптимального проектирования
систем.
Одним из существенных этапов обработки является
решение задач, неустойчивых к малым изменениям ис-
ходных данных. Поэтому не вызывает сомнения необхо-
димость разработки методов решения таких задач. При
этом приближенные решения, получаемые по приближен-
6
ным исходным данным, должны быть устойчивыми к ма-
лым изменениям последних.
За последние годы в различных журналах появилось
большое количество работ, посвященных этим вопросам.
Назрела необходимость написания книги, посвященной
методам решения некорректно поставленных вадач, в ко-
торой в доступной для широкого круга читателей форме
излагались бы основные идеи и вопросы, связанные с по-
строением решений таких задач по приближенным дан-
ным, устойчивых к малым изменениям последних. Такую
книгу мы и предлагаем вниманию читателей.
Исходные данные некорректно поставленных задач,
получаемые обычно в результате измерений, содержат
случайные погрешности. Поэтому при построении при-
ближенных решений и при оценке их погрешности, в за-
висимости от характера исходной информации, возможен
как детерминированный подход, так и вероятностный.
В предлагаемой книге мы ограничиваемся, как правило
(кроме гл. V и VI), детерминированным подходом. Ве-
роятностный подход рассматривается, например, в рабо-
тах [69, 70, 95, 107, 133, 137, 138, 190].
В книге развивается метод регуляризации построения
приближенных решений некорректно поставленных задач,
разработанный в [165—170].
Мы не ставили перед собой цели дать обзор имеющей-
ся литературы по некорректно поставленным задачам.
Поэтому приводимый в конце книги список литературы
не претендует на полноту. Обзор литературы читатель
может найти, например, в [130].
Книга предназначается для студентов и аспирантов
физико-математических специальностей, а также для
инженеров и научных работников, интересующихся воп-
росами математической обработки и прогнозирования эк-
спериментов.
Выражаем глубокую благодарность А. В. Лукшину
за многочисленные ценные замечания.
Акад. А. Я. Тихонов,
проф. В. Я. Арсенин
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
При подготовке второго издания книга была значи-
тельно переработана. Наиболее существенной переработке
подверглись гл. II и III.
Они, по существу, написаны заново. Глава II, посвя-
щенная описанию метода регуляризации нахождения
приближенных решений функциональных уравнений,
значительно расширена. В главе III, посвященной при-
менению метода регуляризации к приближенному реше-
нию систем линейных алгебраических уравнений, речь
идет о нахождении приближений к нормальному реше-
нию системы. При этом используется такое понятие об-
общенного нормального решения, которое существует у
любой системы — вырожденной или невырожденной, раз-
решимой или неразрешимой (несовместной). Алгоритм
нахождения приближений к нормальному решению (т. е.
регуляризованных решений) оказывается одинаковым для
любых систем. Некоторой переработке подверглись и дру-
гие главы.
Один из классов некорректных задач составляют ин-
тегральные уравнения первого рода. К ним приводится
большое число прикладных задач, в том числе задач ма-
тематической обработки (интерпретации) результатов из-
мерений в физических экспериментах. Чтобы сделать
методы их решения доступными более широкому кругу
читателей, написана глава IV, в которой дается подроб-
ное изложение метода регуляризации нахождения при-
ближенных решений интегральных уравнений первого
рода, независимое от главы II. При этом используются
лишь достаточно известные из математического анализа
сведения. При чтении главы IV из главы II надо исполь-
зовать лишь §§ 1, 4.
В пределах каждой главы дается своя нумерация тео-
рем и лемм. В нумерации соотношений и формул указы-
ваются номера главы, параграфа и формулы (соотно-
шения) .
А. В. Гончарский, А. В. Лукшин, А. И. Прил^пко,
Б. Л. Рождественский и Е. Д. Соломенцев высказали ряд
ценных замечаний по рукописи. II. П. Марецкая оказала
нам помощь в оформлении рукописи. Всем этим товари-
щам выражаем глубокую благодарность.
А. II. Тихонов,
В. Я. Арсении
8
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. О некоторых аспектах
в постановке математических задач
1. Быстро растущее использование вычислительной
техники требует развития вычислительных алгоритмов
для решения широких классов задач. Но что надо пони-
мать под «решением» задачи? Каким требованиям долж-
ны удовлетворять алгоритмы нахождения «решений»?
Классические концепции и постановки задач не от-
ражают многих особенностей встречающихся на практике
задач. Мы покажем это на примерах.
2. Пример 1. Рассмотрим интегральное уравнение
Фредгольма первого рода с ядром К(х, s)
ь
'jjK(x1s)z(s)ds = u(x)1 c<z<d, (В; 1,1)
а
где z(s) —искомая функция из пространства F, и(х) —
заданная функция из простраства U. Будем полагать,
что ядро К(х, s) по переменной х является непрерывной
функцией с непрерывной частной производной дК/дх,
ь
Оператор J К (хг s) z (s) ds для краткости обозначим че-
а
pes Az.
Решение z(s) будем искать в классе непрерывных на
отрезке [а, Ь] функций. Уклонения правых частей друг
от друга будем оценивать в квадратической метрике, т. е.
по формуле
рс/ (ии щ) = j [wx (х) — щ (#)]а dx
1/2
9
(метрика L2), а уклонения решений z(s) —в равномер-
ной метрике, т. е. по формуле
Pi (Zi, z2) = max | zx (s) — z2 (s) |
se[a,i>]
(метрика С).
К уравнениям вида (В; 1,1) приводится ряд физиче-
ских задач. Рассмотрим, например, задачу об изучении
спектрального состава светового излучения (задача спе-
ктроскопии). Пусть наблюдаемое излучение неоднородно
и распределение плотности энергии по спектру характе-
ризуется функцией z(s), где s — частота (или энергия).
Пропуская это излучение через измерительную аппара-
туру, мы получаем экспериментальный спектр и(х).
Здесь х может быть частотой, а может выражаться так-
же в терминах напряжений или силы тока измеритель-
ной аппаратуры. Если измерительная аппаратура линей-
на, то функциональная связь между z(s) ц и(х) дается
формулой
ъ
Az ξ= J К (х, s) z (s) ds = и (x),
a
где К(х, s) — аппаратная функция, предполагаемая изве-
стной. Она представляет экспериментальный спектр (как
функция х), если на прибор падает монохроматическое
излучение частоты s единичной интенсивности (это
есть δ-функция 6(s—х)). Здесь а и Ъ — границы
спектра.
К интегральному уравпению первого рода приводится
классическая задача Дирихле для уравнения Лапласа,
если ее решение искать в виде потенциала простого слоя.
В самом деле, пусть требуется найти функцию и(М)
точки М, удовлетворяющую уравнению Δ и = 0 в конеч-
ной трехмерной области D, принимающую заданные зна-
чения <f(M) на границе S области D и непрерывную в
D = D -\- S. Будем искать такую функцию в виде потен-
циала простого слоя
11(Μ)=\ψ±-ασΡΙ (В; 1,2)
·' ГМР
а
в котором функция р(Р) подлежит определению. Как из-
вестно из курса уравнений математической физики*),
*) См., например, Тихонов А. Н., Самарский А. А.
Уравнения математической физики.— М.: Наука, 1972.
10
потенциал простого слоя с произвольной непрерывной
функцией р(Р) гармоничен в D и непрерывен в D. Из
Последнего свойства и условий задачи следует, что для
произвольной точки Μ границы £ должно выполняться
равенство
f±£L<toP = <p(Ji). (В; 1,3)
J гмр
Из этого соотношения определяется функция р(^),
подставляя которую в формулу (В; 1,2) получим иско-
мую функцию и(М). Таким образом, задача нахождения
функции и(М) сводится к решению интегрального урав-
нения первого рода (В; 1,3).
3. Пусть для некоторой правой части и = щ (х)
функция Z)(s) является решением уравнения (В; 1,1),
т. е.
ь
К (х, s) zx (s) ds == иг (х).
a
Если вместо функции щ(х) нам известно лишь ее при-
ближение и(х), мало отличающееся (в метрике L2) от
Mi (х), то речь может идти лишь о нахождении прибли-
женного к Zj(s) «решения» уравнения (В; 1,1).
При этом правая часть и(х) может быть получена в
эксперименте, например, с помощью самописца и иметь
«угловые» точки, в которых функция и(х) не имеет
производной. При такой правой части и(х) уравнение
(В; 1,1) не имеет решения, понимаемого в классическом
смысле, т. е. определяемого по формуле z = A~lu, где
А~1 — оператор, обратный оператору А в уравнении
(В; 1,1), так как ядро К (х, s) имеет непрерывную про-
изводную по х и, следовательно, правая часть также
должна иметь непрерывную производную по х.
Значит, в качестве приближенного к Z\ (s) «решения»
уравнения (В; 1,1) нельзя брать точное решение этого
уравнения с приближенно известной правой частью
и(х) Фщ(х), так как такого решения может не суще-
ствовать. Возникает принципиальный вопрос: что надо
понимать под приближенным «решением» уравнения
(В; 1,1) с приближенно известной правой частью?
Очевидно, уравнение (В; 1,1) имеет решение, пони-
маемое в классическом смысле, только для таких правых
частей и (х), которые принадлежат образу AF множества
11
F функций z(s) при отображении
ь
и= Az = ) K(x,s)z (s) dsj z (s) <= F.
a
4. Кроме того, решение уравнения (В; 1ДУ, пони-
маемое в классическом смысле, т. е получаемое по пра-
вилу
z = А~хи,
где А~х — оператор, обратный оператору А в уравнении
(В; 1,1), не обладает свойством устойчивости к малым из-
менениям «исходных данных» (правой части и{х)).
В самом деле, функция z2(s) = zi(s) -{-NsincDS явля-
ется решением уравнения (В; 1,1) с правой частью
ц2 (х) = ih(x) ~\- N } % (xi s) sin as ds.
a
Очевидно, что для любого числа N при достаточно
больших значениях ω уклонение
<аГь I2 )i/8
ри (иии2) = \N \1\ J К (х, s) sin ωβ ds dx\
можно сделать сколь угодно малым, в то время как укло-
нение соответствующих решений Z\(s) и Z2(s) равно
F Ρ (2i> z2) =* max | z2 (s) — zx (s) \ = max | N sin ms | = \N\
«e[a,ft] sS[a,b]
п может быть сколь угодно большим. При этом мы оцени-
вали уклонение функций Z\(s) и Z2(s) в метрике С.
Если уклонение решений оценивать в метрике L2, то
решение уравнения (В; 1,1) также неустойчиво к малым
изменениям правой части и(х). Действительно,
Pi· (zi, z2) =
(Ь ·|1/2 lb Π/2
= J|z1(s)-z2(s)|2ds = Ι Λτ! К siccus ds\ =
= \N\ ]/-Ц^ - "2^- sin ω (b - a) cos ω (b + a). (B; 134)
12
Легко видеть, что числа ω α Ν могут быть выбраны
так, что при сколь угодно малых уклонениях правых
частей и,\{х) и U2(x) уклонение соответствующих им ре-
шений, вычисляемое по формуле (В; 1,4), может быть
произвольным.
Однако во многих случаях необходимо находить лишь
устойчивые к малым изменениям правой части решения
уравнения (В; 1,1), так как это требование связано с
физической детерминированностью явления, описываемо-
го этим уравнением, с возможностью физической интер-
претации решения.
В условиях, когда вместо точной правой части щ
уравнения (В; 1,1) нам известны лишь некоторое ее при-
ближение щ и число δ > 0 такие, что ρ^(κτ, цб) ^ δ, то
в качестве возможных приближенных решений естествен-
но брать функции z(s) si1, для которых ρυ(ΑΖ, и6) < δ.
Как мы видели, таких функций много и среди них есть
такие, которые в метрике пространства F могут как угод-
но сильно уклоняться друг от друга. Следовательно, в
этих условиях задача решения интегрального уравнения
(В; 1,1) является недоопределенной и неустойчивой к
малым изменениям правой части.
Таким образом, надо не только дать ответ на вопрос:
что понимать под приближенным «решением» уравнения
(В; 1,1), но и указать такой алгоритм его построения, ко-
торый обладает свойством устойчивости к малым изме-
нениям «исходных данных» и(х).
Рассмотренная на этом примере ситуация является ти-
пичной для некорректно поставленных задач.
5. Мы рассмотрели случай, когда априори известно,
что существует точное решение (понимаемое в классиче-
ском смысле) zT(s) уравнения (В; 1,1), отвечающее пра-
вой части uT(s), и требуется найти приближение к нему,
если вместо функции ит(х) нам известно ее приближение
и(х) такое, что р[7(цт, υ)<δ.
В случае, когда у нас нет информации о существова-
нии точного решения уравнения (В; 1,1), но имеется ин-
формация о классе возможных правых частей U, можно
также ставить задачу о нахождении приближенного «ре-
шения» уравнения (В; 1,1). Но под приближенным реше-
нием надо понимать некоторое обобщенное решение.
Определим понятие обобщенного решения (квазире-
шения) уравнения (В; 1,1) на множестве F как тако-
го элемента z из F, на котором расстояние pa(Az, и)
13
достигает точной нижней границы [78, 79], т. е.
ри (Az 1 и) = inf pu (Az, и),
Ъ
Az s=3 J К (х, s) z (s) ds.
a
Очевидно, если при и = ит уравнение (В; 1,1) имеет
обычное решение zT e F, то оно совпадает с обобщенным
решением уравнения Az = ит.
Возникает задача нахождепия таких алгоритмов по-
строения обобщенных решений, которые устойчивы к
малым изменениям правой части и(х).
Пример 2. Рассмотрим систему линейных алгебраи-
ческих уравнений
Az = u, (В; 1,5)
где z — искомый вектор, и — известный вектор, А =
!■= {ац} — квадратная матрица с элементами aiS.
Если система (В; 1,5) невырожденная, т. е. det .4 φ
•φ 0, то она имеет единственное решение, которое можно
найти по известным формулам Крамера или другими спо-
собами *).
Если система (В; 1,5) вырожденная, то она имеет ре-
шение (притом не единственное) лишь при выполнении
условий разрешимости, состоящих из равенств нулю со-
ответствующих определителей.
Таким образом, прежде чем решить систему (В; 1,5),
надо проверить, вырожденная она или нет. Для этого
требуется вычислить определитель системы det Л.
Если η — порядок системы, то для вычисления det A
требуется выполнить около пг операций. С какой бы точ-
ностью мы ни производили вычисления, при достаточно
большом значении п, вследствие накопления ошибок вы-
числения, мы можем получить значение det А, как угодно
отличающееся от истинного. Поэтому желательно иметь
(построить) такие алгоритмы нахождения решения сис-
темы (В; 1,5), которые не требуют предварительного вы-
яснения вырожденности или невырожденности системы
(В; 1,5).
*) К у ρ о ш А. Г. Курс высшей алгебры.—10-е изд. М.: Наука,
1971.
14
Кроме того, в практических задачах часто правая
часть и и элементы матрицы А, т. е. коэффициенты сис-
темы уравнений (В; 1,5), известны нам приближенно.
В этих случаях вместо системы (В; 1,5), мы имеем дело
\, некоторой другой системой Az=u такой, что \\А—А\\ «S
^.h, I и—и||^б, где смысл норм обычно определяется
характером задачи. Имея вместо матрицы А матрицу А,
мы тем более не можем высказать определенного сужде-
ния о вырожденности или невырожденности системы
(В; 1,5).
В этих случаях о точной системе Az =. и нам известно
лишь то, что для матрицы А и правой части и выполня-
ются неравенства \А — Л|<[Л и \и — и|<!б. Но сис-
тем с такими исходными данными (А, и) бесконечно
много, и в рамках известного нам уровня погрешности
они неразличимы. Среди таких «возможных точных сис-
тем» могут быть и вырожденные.
Поскольку вместо точной системы (В; 1,5) мы имеем
приближенную систему Az =. и, то речь может идти лишь
о нахождении приближенного решения. Но приближенная
система может быть и неразрешимой. Возникает вопрос:
что надо понимать под приближенным решением системы
(В; 1,5)? Оно должно быть также устойчивым к малым
изменениям исходных данных (А, и).
§ 2. Понятие корректно поставленных
и некорректно поставленных задач
1. Различают корректно поставленные и некорректно
поставленные задачи. Понятие корректной постановки за-
дач математической физики было введено Ж. Адамаром
[204, 205] в связи с желанием выяснить, какие типы
граничных условий наиболее естественны для различных
типов дифференциальных уравнений (для эллиптических,
например,— задача Дирихле и ей аналогичные, для ги-
перболических — задача Коши).
Решение всякой количественной задачи обычно зак-
лючается в нахождении «решения» z по заданным «ис-
ходным данным» и, z = R(u). Мы будем считать их эле-
ментами метрических пространств F и U с расстояниями
между элементами ри(и\, и2), рИ2ь z2); «i, «2<= U; z\,
Z2 <ξ F. Метрика обычно определяется постановкой задачи.
15
2. Пусть определено понятие «решения» и каждому
элементу u^U отвечает единственное решение z = R(u)
из пространства F.
Задача определения решения z = R(u) из простран-
ства F по исходным данным и е U называется устойчивой
на пространствах (F, U), если для любого числа ε > О
можно указать такое число δ (ε) > 0, что из неравенства
ри(ии и2) < δ (ε) следует pF(zb z2) < ε, где
zi=R(ui), Z2 = R(u,2); u\,u%^U; z\,z2^F.
Задача определения решения z из пространства F по
«исходным данным» и из пространства U называется
корректно поставленной на паре метрических прост-
ранств (F, U), если удовлетворяются требования (усло-
вия):
1) для всякого элемента u&U существует решение z
из пространства F;
2) решение определяется однозначно;
3) задача устойчива на пространствах (F, U).
В математической литературе длительное время су-
ществовала точка зрения, согласно которой всякая ма-
тематическая задача должна удовлетворять этим требо-
ваниям [100].
Задачи, не удовлетворяющие перечисленным требова-
ниям, называются некорректно поставленными.
Следует отметить, что определение некорректно по-
ставленных задач относится к данной паре метри-
ческих пространств (F, U), так как в других метриках та
же задача может быть корректно поставленной (см. при-
меры 2 и 3 § 3 настоящего введения).
Замечание. Метричность пространств Fи Uисполь-
зуется здесь для выражения близости элемептов, как
средство описания окрестностей пространств F и U.
Основные результаты, приводимые ниже, имеют место и
для топологических пространств F и U (см. [80]).
Если класс U исходных данных выбран «естественно»
для рассматриваемой задачи, то условия 1) и 2) харак-
теризуют ее математическую определенность. Условие 3)
связывается с физической детерминированностью задачи,
а также с возможностью применения численных методов
ее решения по приближенным исходным данным.
В самом деле, какую физическую интерпретацию мо-
жет иметь решение задачи, если сколь угодно малым
16
возмущениям исходных данных могут соответствовать
большие изменения решения?
3. Корректная постановка задачи часто трактовалась
как условие, которому должна удовлетворять всякая ма-
тематическая задача, соответствующая какой-либо физи-
ческой или технической задаче. Это поставило под сомне-
ние целесообразность изучения некорректно поставлен-
ных задач. Однако такая точка зрения, совершенно есте-
ственная в применении к некоторым явлениям, развива-
ющимся во времени, не может быть перенесена на все
задачи. Ниже (§ 3) будут приведены примеры некоррект-
но поставленных задач, относящихся как к основному
аппарату математики, так и к широкому классу приклад-
ных задач.
4. Задача нахождения приближенного решения не-
корректно поставленной задачи вида
Az = u, u^U, (В; 2,1)'
в естественном классе элементов F является, как мы ви-
дели в § 1,п. 4, практически недоопределенной*). Исход-
ными данными здесь являются правая часть уравнения
и и оператор А.
Предположим, что оператор А нам известен точно, а
правая часть уравнения (В; 2,1) известна с точностью δ,
т. е. вместо ее точного значения ит нам известны элемент
и и число б такие, что р^(ит, и) < δ. По этим данным,
т. е. по (и, δ), требуется найти такой элемент z6eF, ко-
торый стремился бы (в метрике F) к zT при δ—>-0. Та-
кой элемент мы будем называть приближенным (к zT)
решением уравнения Az = и.
Элементы z^F, удовлетворяющие условию р0 (Az, и) <
< δ, будем называть сопоставимыми по точности с ис-
ходными данными (и, δ). Пусть Qt — совокупность всех
таких элементов z<=F. Естественно приближенные ре-
шения уравнения Az = и искать в классе Qt элементов
z, сопоставимых по точности с исходными данными (и, δ).
*) Эта задача является некорректно поставленной, например,
в случаях, когда А — вполне непрерывный оператор. Тогда обрат-
ный ему оператор А~\ вообще говоря, не будет непрерывным на
U и решение уравнения (В; 2,1) не будет устойчивым к малым
изменениям правой части и (в метрике пространства {/).
17
Однако в ряде случаев этот класс элементов слишком
широк. Как показано в примере 1 § 1, среди этих элемен-
тов (функций z(s)) есть такие, которые могут сильно от-
личаться друг от друга (в метрике пространства F).
Поэтому не все элементы класса Qt можно брать в каче-
стве приближенного решения уравнения (В; 2,1).
Необходим принцип отбора возможных решений. Для
этого надо использовать обычно имеющуюся дополнитель-
ную информацию о решении. Такая информация может
иметь количественный или качественный характер.
Стремление использовать дополнительную информацию
количественного характера приводит к понятию квазире-
шения [78, 79], о котором подробнее речь будет идти в
гл. I.
Использование дополнительной информации, носящей
качественный характер (например, гладкость решения),
требует иного подхода к построению приближенных реше-
ний уравнения (В; 2,1). Этот подход содержится в рабо-
тах [165—170] и будет описан в гл. II.
§ 3. Примеры некорректно поставленных задач
1. Π ρ и м е ρ 1. Задача решения интегрального урав-
нения первого рода
ъ
К (х, s) z(s) ds = и(х).
а
Мы подробно рассмотрели этот пример в § 1, где пока-
зали отсутствие устойчивости его решения к малым из-
менениям правой части и(х).
Пример 2. Задача дифференцирования функции
u(t), известной приближенно. Пусть zi(i) есть производ-
ная функции iii(f). Функция u2(t) '= Ui(t) -\-N sin at
в метрике С отличается от Ui(t) на величину рс\и\,и<ь)=*
= \N\ при любых значениях ω. Однако производная
z2 (i) = u2 (t) отличается от zx (£) в метрике С на величи-
ну |ΛΓω|, которая может быть произвольно большой при
достаточно больших значениях | ω |.
Заметим, что задача нахождения производной га-го
порядка z[t) от функции u(t) такой, что и(0) =
= и'(0) = ... = un~i(0) = 0, сводится к решению отно-
18
сительно z(t) интегрального уравнения первого рода
i
о
Таким образом, эта задача не обладает свойством
устойчивости, что приводит к большим затруднениям при
приближенном вычислении производных.
Замечание 1. Если на множествах F и U (или на
одном из них) брать другие метрики, то задача диффе-
ренцирования функции u(t), известной приближенно, мо-
жет быть и корректно поставленной на паре метрических
пространств (F, U).
Так, если U есть множество непрерывно дифференци-
руемых на отрезке [а, Ь] функций и если расстояние
между функциями щ(Ц и u2(t) из U вычислять по фор-
муле
Ри («1, Щ) = sup ( | щ (t) - щ (t) | + К (f) - щ (t) I],
iS[a,b]
а расстояние между функциями Zi(t) и Z2(t) из F оцени-
вать в метрике С, то, очевидно, задача дифференцирова-
ния будет корректно поставленной на такой паре метри-
ческих пространств (F, U).
Однако указанные требования к функциям u(t) в
практических задачах часто непроверяемы. Поэтому при-
веденная выше метрика оценки уклонения функций
u(t) s.\J не является естественной для задачи дифферен-
цирования.
Пример 3. Численное суммирование рядов Фурье,
когда коэффициенты известны приближенно в метрике
оо
12. Пусть /i (i) = 2 ап cos nt. Если вместо а„ брать коэф-
п=о
фициенты сп = ап -\- ε/η для η > 1 и Со = ао> получим
оо
ряд U (*) =
cos nt. Коэффициенты этих рядов ОТЛИ-
ЛО
чаются (в метрике h) на величину
[у, J'" (у ilM -ЛУ
которую выбором числа ε можно сделать сколь угодно
19
малой. Вместе с этим разность
M')-/i(9 = e2 ircosre<
71=1
может быть сколь угодно большой (при t = О послед-
ний ряд расходится).
Таким образом, если уклонение суммы ряда брать в
метрике С, суммирование ряда Фурье не является устой-
чивым.
Замечание 2. Если уклонение функций f(t) из F
оценивать в метрике L2, то задача суммирования рядов
Фурье с приближенно заданными (в метрике h) коэф-
фициентами будет корректно поставленной на такой па-
ре метрических пространств (F, U).
В самом деле, по теореме Парсеваля имеем
I } Ifi (0 - U (О J2 dt\ = (2 "Г(с" _ а")2 = 8l ^Т"·
Пример 4. Задача Коши для уравнения Лапласа в
двумерном случае (пример Адамара [205]). Она состоит
в нахождении решения уравнения Аи(х, у) = 0 по на-
чальным данным, т. е. в нахождении решения, удовле-
творяющего условиям
φ (х), — оо < х < оо,
и (*,0) = /(*), ду
и=о
где f(x) и φ (ж)' —заданные функции.
Если положить /i (ж) == О, φΧ (ж) = — sin яж, то ре-
шением задачи Коши будет функция
ui (xi У) — —τ s*n ax sn ОД» α > 0.
a
Если положить /г (х) = срг(;г) = 0, то решением та-
кой задачи Коши будет функция и2{х, у) = 0.
Если уклонения начальных данных и решений оцени-
вать в метрике С, то имеем
9 с (А, /а) = sup | /х (ж) - /2 (х) | = О,
9с (<Pi, Фа) = sup I q>! (τ) — ф2 (х) | == 1/α.
Χ
20
Последняя величина при достаточно больших значениях α
может быть сделана сколь угодно малой. Однако уклоне-
ние решений
9с ("и Щ) ~ sup | иг (ж, у) — щ (х, у) | =»
= sup
X
1 I 1
—j- sin ах sh at/ = —=- sh at/
a a
при любом фиксированном у > 0 может быть произволь-
но большим при достаточно больших значениях числа а.
Таким образом, эта задача не обладает свойством ус-
тойчивости и, следовательно, является некорректно по-
ставленной.
Однако задача Коши для уравнения Лапласа встреча-
ется в приложениях [75—77, 82, 92, 101, 103, 210, 212,
213]. В качестве примера можно указать задачу о про-
должении потенциала силы тяжести, наблюдаемой на
поверхности земли (у = 0) в направлении гравитирую-
щих масс*).
Пример 5. Задача аналитического продолжения
функции, известной на части области, на всю область.
Пусть D — конечная область, Ε — дуга кривой, принадле-
жащей области D. Тогда задача аналитического продол-
жения функции, заданной на дуге кривой Е, на всю об-
ласть D является неустойчивой.
В самом деле, пусть z0 — точка на границе области D,
расстояние которой до Ε равно d > 0, и /i(z) — аналити-
ческая в D функция. Функция /2(z) = /i(z) +e/(z —z0),
где ε — заданное положительное число, также аналитич-
на в D. На множестве Ε эти функции отличаются одна
от другой на величину e/(z — z0), модуль которой не пре-
восходит ε/d, т.е. |/2(z) — /i(z)|^e/d на множестве Е.
Величина ε/d может быть сделана произвольно малой
путем выбора соответствующего значения числа ε.
Однако в области D разность функций /2(z) —/,(z) =
= e/(z — zo) не ограничена по модулю (см. также [85,
197, 199]).
Пример 6. Обратная задача гравиметрии. Пусть
имеется тело, плотность которого отлична от плотности
окружающей среды. Определить форму тела по аномалии
*) Потенциал гравитационного поля Земли удовлетворяет
уравнению Лапласа Аи = 0.
21
напряжения силы тяжести, создаваемой им на поверх-
ности Земли (см. [41-43, 45, 46, 157, 174]).
Предположим, что среда, находящаяся под поверх-
ностью Земли (2 = 0), состоит из масс с известными
плотностями pi и р2, раз-
деленных границей z (х)
(рис. 1).
Пусть z\x] = —Η всюду,
кроме отрезка а < х < Ъ,
на котором z(x)——Η-\->
-\-z(x). Такая конфигура-
ция масс создает на по-
верхности Земли аномалию
напряжения силы тяжести
л где V —
Z=sO
г
г-0
z—H,
а
i«
S" ·\«&9
X
z(x)=-H+ilx)
S ^^\
Ь Χ
Δ£ =
dz
Рис. 1.
потенциал масс с плотно-
стью ρ = Р2 — Рь запол-
няющих область S (см рис, 1). Так как
J 2л
s
In
dl· dr\,
где г =« V(x — ξ)2+ (2 — η)2, то
Ь -H+z(l)
ο -Η
Δ* =
_P_
2л
In
S)' + яа
(z-!)' + (#.
41))
2^·
Аномалия напряжения силы тяжести на поверхности Зем-
ли может быть измерена.
Таким образом, задача определения функции z(x)
сводится к решению нелинейного интегрального уравне-
ния первого рода
ь
J (τ-ξ)2+(#-Ζ(ξ))2
2л
где !i(i) = — Ag. Здесь Л
нелинейный интегральный
оператор. Нетрудно показать неустойчивость решения
22
этого уравнения к малым изменениям в правой части
и (х).
По вопросам единственности решения обратной зада-
чи гравиметрии имеется обширная литература [47, 102,
134, 140-149].
Укажем еще некоторые классы математических задач,
в которых имеются некорректно поставленные задачи:
решение систем линейных алгебраических уравнений (в
условиях равного нулю определителя системы) (см.
гл. III); некоторые задачи линейного программирования
(см. гл. IX); задачи минимизации функционалов, когда
из сходимости значений минимизируемого функционала к
его наименьшему значению не следует сходимость мини-
мизирующей последовательности (см. гл. VIII); некото-
рые задачи оптимального управления (см. гл. VIII), диф-
ференциальных игр и многие другие [111].
2. Важным классом некорректно поставленных за-
дач, имеющих большое прикладное значение, являются
задачи проектирования оптимальных систем, конструкций.
Ниже приводится одна из таких задач.
Рассмотрим одну из задач синтеза физических систем.
К этому классу относятся задачи синтеза оптических сис-
тем с заданными «коэффициентами пропускания» (отра-
жения). Такие системы могут быть получены, например,
путем создания многослойных покрытий, наносимых в
виде тонких пленок на поверхность «подложки».
Рассмотрим неограниченную плоскую неоднородную
пластину толщины Η с показателем преломления п.
Пусть на пластину падает нормально монохроматическая
плоская световая волна с длиной λ = 2xtc/ct>, а координат-
ная ось переменной z перпендикулярна к пластине. Нача-
ло отсчета на ней возьмем на поверхности пластины так,
чтобы внутри пластины удовлетворялись неравенства
0 < 2 < Н.
Предположим, что:
а) полупространства (z <с 0} и {z > Щ по обе сто-
роны пластины однородны и имеют одинаковые показа-
тели преломления, равные п0 и пИ = п0;
б) в пластине и в этих полупространствах отсутству-
ет поглощение.
Пусть электрическое поле падающей в полупрост-
ранстве {z < 0} волны имеет вид #пая = 8'о(г)еш,
где $\{z) — Е0е с —амплитуда волны. Амплитуда
23
электрического поля S\z) в рассматриваемых условиях
удовлетворяет уравнению (см. [40])
0)2 '
ё" + — п 8 = 0·
с
В полупространстве {г < 0} электрическое поле будет
складываться из полей падающей и отраженной волн.
Амплитуда <§O(Z) совокупного поля в этой области будет
равна
2-п.»
#о (г) = #„ (г) + схе ° .
Амплитуда электрического поля прошедшей через пла-
стину волны равна
cPh(z) = c2e?o(z).
Амплитуда поля <8{z) внутри пластины будет реше-
нием краевой задачи (см. [40])
&» + ^η*(Ζ)&=0, 0<z<IIx (Β; 3,1)
%' (0) - t -f n0 \S (0) - 2ЕЛ) = 0, (В; 3,2)
&'(H)+l-2-n„g(H)=0. (В; 3,3)
Если ге(г) — кусочно-непрерывная на промежутке
(0, Н) функция, то в точках ее разрыва zt должны вы-
полняться условия сопряжения вида
&(z,-0) = <Г(г, + 0), «"(««-О)'=«"(*,+ 0).
Пропускательная способность такой системы (пласти-
ны) характеризуется «коэффициентом пропускания»
S (Я) 2
т _п(Н)
МО)
(В; 3,4)
Очевидно, что для заданной системы (пластины) он
является функцией длины λ падающей на систему волны,
Γ=Γ(λ)*).
Прямая задача состоит в нахождении коэффициента
пропускания Τ (λ) по заданным ef0, n(z), H и сводится
*) В ряде случаев вместо Г (λ) рассматривают «коэффициент
отражения» /?(λ) =1 — Τ(λ).
24
к решению краевой задачи (В; 3, 1) — (В; 3, 3) отно-
сительно e?(z).
Часто надо решать задачу, обратную по отношению
к этой. Она состоит в том, чтобы по заданной функции
Г (λ) определить систему (n(z), Η), т. е. найти показа-
тель преломления n(z) пластины и ее толщину Н. Эту
задачу называют задачей синтеза.
Она не является корректно поставленной, так как
может не существовать системы (n(z), H) (пластины
толщины Η с показателем преломления n(z)), имеющей
априори заданный коэффициент пропускания. Возможно
также, что данному коэффициенту пропускания Г (λ)
могут отвечать различные системы. Кроме того, не всякая
система практически реализуема.
Представляет интерес рассмотреть задачу синтеза для
слоистых систем, когда искомая функция n(z) кусочно-
постоянна. В этом случае показатель преломления n(z)
имеет постоянное значение п} в ;'-м слое (/=1, 2,..., N),
толщины слоев dj произвольны, число слоев N не явля-
ется заданным. К таким задачам относится и практиче-
ски важная задача о синтезе многослойных покрытий.
Рассмотрим подробнее математическую постановку этой
задачи, являющейся дискретным аналогом рассмотренной
задачи синтеза оптических систем.
Систему из N слоев будем описывать 2Л^-мерным век-
тором х = {di, Й2,..., dN; пи П2,..., nN}, координатами
которого являются толщины dj и показатели преломления
щ слоев. Решение задачи (В; 3, 1) — (В; 3, 3) однознач-
но сопоставляет по формуле (В; 3, 4) любому ЙЛЛмерному
вектору х коэффициент пропускания Τ (к). Таким обра-
зом, на некоторой совокупности 2]У-мерных векторов х
определен нелинейный оператор
А(х, к) = Γ (λ), λ,<λ<λ2. (Β; 3, 5)
Пусть R2W — 2Лг-мериое евклидово векторное прост-
ранство, L>2n — замкнутая область в нем, определяемая
условиями
D2N sji£ R2JV; dj > 0Д гетщ < n} < remax; / = i,,2,1.. .3N].
Отклонение функций Τ (к) будем оценивать в метрике
L2(ku λ2)*).
*) Вместо метрики L2 можно брать и метрику С.
25
Пусть Τ (λ)— заданная на отрезке [λ^ λ2] функция
из Lz(%u %г).
Полагаем
bN = inf\\A(x,X)-T(%)]L,.
xeD2N
Очевидно, 6i > 62 > ... > 6m > ... > 0. Число δ 0 = lim δ,„
m->oo
будем называть предельно достижимой точностью.
Задача синтеза состоит в нахождении Ν-слойной сис-
темы с заданным коэффициентом пропускания Τ (λ). При
этом требуется найти систему с наименьшим числом
слоев No и с минимальной общей толщиной
N
d ж= 2j dj. Эти дополнительные требования обусловле-
на
ны требованиями устойчивости к внешним воздействиям
(при большом числе слоев системы легко разрушаются),
возможностями напылительной аппаратуры для нанесе-
ния покрытий и др.
Математическая постановка этой задачи состоит в
нахождении приближенного решения уравнения
А(х, λ) =?(λ), (Β; 3,6)
N
минимизирующего N и d — 2 &'п Для которого
О А (х, λ) — Τ (λ) \l, ^ δ, где δ — заданное число \δ> δο).
Эту задачу можно решать следующим образом. Последо-
вательно увеличивая число слоев Ν, находим наименьшее
значение Ν = Ν0, при котором в D2N существует такой
вектор Хп,, для которого | A (xNo, λ) — Τ (λ)ft,, < δ.
Определив таким образом число Ν0, в классе векторов
х из D2Nt, удовлетворяющих условию [ А (х, λ) —
— Τ (λ) h ^ δ, ищем вектор х, минимизирующий
d = 2 ^i· Решение такой задачи, очевидно, существу-
3=1
ет, так как D2n, — замкнутое выпуклое множество
конечномерного евклидова пространства. В [40] даются
примеры численного решения таких задач.
3. Рассмотренная задача синтеза оптических систем
есть задача опредолеппя коэффициента η(z) уравнения
(В; 3,1) по известному функционалу Г (λ) от решения
26
этого уравнения. Это одна из обратных задач математи-
ческой физики.
Во многих других случаях физические задачи также
приводят к задачам определения коэффициентов диффе-
ренциальных уравнений (обыкновенных или в частных
производных) по некоторым известным функционалам от
их решений. К таким задачам относится, например, об-
ратная кинематическая задача сейсмики. Физическая ее
постановка заключается в следующем. В заданной обла-
сти D, ограниченной поверхностью S, рассматривается
волновой процесс (т. е. процесс, описываемый волновым
уравнением), порожденный источниками, действующими
в точках поверхности S. В других точках границы S ре-
гистрируется время прохождения волн через эту область.
Требуется по этим данным найти скорость α===α(Μ)
распространения волн внутри области как функцию точ-
ки М. Можно указать и ряд других физических задач,
приводящих к такого типа обратным задачам. Изучение
задач этого класса содержится в работах [22, 108—110,
119, 150-152].
4. Широким классом некорректно поставленных задач,
возникающих в физике, технике и в других отраслях
знаний, являются так называемые обратные задачи опре-
деления интересующих нас количественных характери-
стик явления по результатам измерений их косвенных
проявлений.
Пусть изучаемый объект (явление) характеризуется
элементом zT (функцией, вектором), принадлежащим
множеству F. Часто zT недоступен для прямого изучения
и исследуется некоторое его проявление AzT = uT {щ е
е AF, где AF — образ множества F при отображении,
осуществляемом оператором А). Очевидно, что уравнение
Az = и (В; 3.7)
имеет решение на F только для таких элементов и, кото-
рые принадлежат множеству AF. Элемент цт обычно по-
лучается путем измерений и потому известен нам при-
ближенно. Пусть и — это приближенное значение. В этих
случаях речь может идти лишь о нахождении прибли-
женного (к гт) решения уравнения
Az=~u. (В; 3,8)
При этом и, вообще говоря, не принадлежит множест-
ву AF, Оператор А во многих случаях таков, что обрат-
27
ный ему оператор А~1 пе является непрерывным (напри-
мер, когда А — вполне непрерывный оператор, в част-
ности, интегральный оператор примера 1). В этих
условиях нельзя в качестве приближенного решения брать
точное решение уравнения (В; 3, 7) с приближенной
правой частью, т. е. нельзя в качестве приближенного
решения брать элемент z = А~хи, так как:
а) такого решения может не существовать на мно-
жестве F, поскольку и может не принадлежать множест-
ву AF (не выполняется требование 1) корректности);
б) такое решение, если даже опо существует, не будет
обладать свойством устойчивости, поскольку обратный
оператор А~1 не является непрерывным (в то время как
условие устойчивости решения задачи (В; 3,7) обычно
является следствием ее физической детерминированности,
и потому приближенное решение должно обладать этим
свойством). Таким образом, не выполняется требова-
ние 3) корректности. Следовательно, задача (В; 3,7)
является некорректно поставленной.
Отсутствие устойчивости во многих случаях затруд-
няет физическую интерпретацию результатов измерений.
Наличие этого свойства необходимо также для использо-
вания численных методов решения по приближенным
исходным данным. Таким образом, для обратных задач
возникает принципиальной важности вопрос: что надо
понимать под «приближенным решением» таких задач?
Если дан ответ на этот вопрос, то возникает задача на-
хождения таких алгоритмов построения приближенных
решений этих задач, которые обладают свойством устой-
чивости к малым изменениям исходпых данных.
5. Пусть в уравнении (В; 3,7) элементы г и и суть
функции точки Μ и времени t (скалярные или вектор-
ные), а оператор А, определяемый характером преобра-
зователя от г к и,— линейный. Если нам известна реак-
ция (отклик) преобразователя на δ-функцию, обраща-
ющуюся в бесконечность при Μ = Ρ и t = τ, т. е. фупк-
ция Α δ (Μ, Ρ; t, τ) — Κ (Μ, Ρ; t, τ), то для произвольной
функции г (М, t) из F
Az=z$ К (Л/, Р; t, τ) z (Ρ, τ) аирах,.
где интеграл берется по всей области определения функ-
ции z(P, t). Функция К (Μ, Ρ; t, τ) называется импульс-
ной переходной функцией, короне,— импульсной функ-
28
цией преобразователя (системы)". Ее часто называют
также аппаратной функцией системы. В этом случае
уравнение (В; 3,7) сводится к интегральному уравнению
первого рода.
6. Если г зависит лишь от времени и преобразователь
(аппаратура) однороден во времени, то функция
К(М, Р; t, τ) будет зависеть лишь от разности t — τ, т. е.
К(М, Р; t, τ) = K(t-x).
В этом случае оператор Az имеет вид
00
Az ев J K(t-x)z (τ) dx,
— oo
а уравнение (В; 3,7) имеет вид
oo
J K(t — x)z(x)dx = u (t). (B; 3,9)
— oo
Это интегральное уравнение первого рода типа свертки.
К уравнению (В; 3,9) сводятся, например, следующие
задачи.
а) Задача определения формы радиоимпульса z(i),
излученного источником, по результатам записи его на
больших расстояниях от источника u(t), если известна
импульсная функция трассы распространения K(t).
Уравнение для z(t) имеет вид
t
Az = j К (t - τ) z (τ) dx = и (i).
о
б) Задача определения формы электрического импуль-
са на входе кабеля z(t) по результатам записи его на
выходе кабеля w(i),
j К (t — τ) z (τ) dx = и (*),
о
где K(t)—импульсная функция кабеля (см. гл. II).
в) Вычисление производных функции, известной при-
ближенно. Для производной re-го порядка z(x) от
и(х), для которой ц(0)= и'(0)= ... = ц(п-1,(0) = 0,
29
имеем уравнение
ее
О
г) Задачи автоматического регулирования, например,
определение переходных функций k(t) линейных преоб-
разователей по входному и выходному сигналам x(t)
и y(t),
Л/i = j x(t— τ) /ν (τ) dx = у (t)t
о
и многие другие (см. [157, 173]).
7. К числу важных задач относится задача создания
систем автоматической математической обработки резуль-
татов физического эксперимента. Одним из этапов обра-
ботки является решение обратных задач вида Az — и
относительно г.
Большое число современных экспериментальных уста-
новок для исследования различных физических явлений
и объектов являются сложными и дорогостоящими комп-
лексами (ускорители элементарных частиц, установки
для получения и исследования высокотемпературной
плазмы, для исследования свойств вещества при сверх-
низких температурах и др.).
Желание иметь надежную информацию об исследу-
емом явлении, изучение «редких» и «слабых» эффектов
часто приводит к необходимости многократного повторе-
ния единичного эксперимента. Автоматизация проведения
эксперимента и способов регистрации его результатов по-
зволяют получать за короткое время весьма большой
объем необходимой информации (десятки и сотни тысяч
снимков, осциллограмм, показаний детекторов и т. п.).
Для получения из этой информации необходимых харак-
теристик изучаемого явления или объекта требуется по-
следующая обработка результатов наблюдений. Во мно-
гих случаях эту обработку надо производить практически
одновременно с проведением эксперимента или с неболь-
шим допустимым сдвигом по времени. Такую обработку,
требующую переработки большого объема информации,
можно произвести лишь с помощью ЭВМ.
Для широкого класса экспериментальных установок
можно выделить следующие этапы обработки результатов
наблюдений [72].
30
Первый этап. Снятие информации с регистриру-
ющей аппаратуры или с постоянного носителя (напри-
мер, с фото- и кинопленки); перевод ее в числовой код
и засылка в память ЭВМ.
Второй этап. Первичная обработка. Она может
включать нормировку данных наблюдения, приведение
к определенной системе отсчета, статистическую обработ-
ку с оценкой степени доверия, фильтрацию и т. д. Целью
ее является получение «выходных результатов» («выход-
ной кривой») эксперимента.
Третий этап. Интерпретация результатов, полу-
ченных на втором этапе обработки. Она состоит обычно
в оценке искомых характеристик модели изучаемого яв-
ления или объекта.
Так как в физическом эксперименте регистрируются,
как правило, не интересующие нас характеристики явле-
ния г, а лишь их некоторые проявления гг = Az, то за-
дача интерпретации обычно сводится к решению уравне-
ния Az = и. Во многих случаях эта задача является не-
корректно поставленной.
Программное обеспечение всего комплекса обработки
(от первого до третьего этапа) обычно называют полной
системой математической обработки результатов наблю-
дений, или, короче,— системой обработки. Система обра-
ботки может работать как «в режиме диалога», так и
автоматически, без вмешательства человека на промежу-
точных стадиях. Описанная процедура автоматической
математической обработки результатов наблюдений тре-
бует использования в системе обработки таких алгорит-
мов решения уравнений Az = и (в том числе и некор-
ректно поставленных задач), которые легко реализуются
на ЭВМ.
В [38, 185, 188] содержится описание систем автома-
тической математической обработки результатов физиче-
ских экспериментов, относящихся к изучению взаимо-
действия γ-квантов с нейтронами и протонами и к диаг-
ностике плазмы.
8. В дальнейшем основное внимание будет уделено
методам решения некорректно поставленных задач вида
(В; 3,7). К таким уравнениям относятся, например, си-
стемы линейных алгебраических уравнений, а также
интегральные уравнения Фредгольма первого рода.
В первом случае оператор А есть матрица, элементами
которой являются коэффициенты системы, во втором —
31
оператор А есть интегральный оператор
ь
Аъ ξ= J К (xt s) z (s) ds.
§ 4. Некоторые наиболее употребительные понятия
Значительная часть книги посвящена рассмотрению
методов решения функциональных уравнений вида
Az = и. Напомним некоторые основные понятия функ-
ционального анализа, которые используются при этом.
Определение 1. Множество Μ метрического
пространства F называется компактным на F (или в F),
если из всякой его последовательности {zn} cz M можно
выделить подпоследовательность, сходящуюся к некото-
рому элементу из F.
Как известно из курса функционального апалпза*),
необходимым и достаточным условием компактности
множества Μ из n-мерного евклидова пространства It"
является его ограниченниость.
Достаточное условие компактности множества Μ из
пространства С [а, Ь] непрерывных на [я, Ь] функции
дается следующей теоремой.
Теорема (Арцела). Если функции мноокества Μ из
С[а, Ь] равномерно ограничены и равностепенно непре-
рывны, то из всякой последовательности {zn} функций
zn из Μ можно выделить подпоследовательность, равно-
мерно сходящуюся к некоторой непрерывной на [а, Ь]
функции.
Определение 2. Если из всякой последовательно-
сти {zn} элементов из Μ можно выбрать подпоследова-
тельность, сходящуюся к элементу z <= М, то множество Μ
называется компактным в себе.
Каждое компактное в себе множество можно рас-
сматривать как отдельное метрическое пространство
(компакт).
Для того чтобы компактное в метрическом простран-
стве F множество Μ было компактом, необходимо и до-
статочно, чтобы оно было замкнуто в F.
*) См., например, Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Эле-
менты теории функций и функционального анализа.— М.: Нау-
ка, 1976.
32
Всякий компакт Μ содержит конечное или счетное
всюду плотное на Μ множество.
Определение 3. Совокупность элементов z мет-
рического пространства F, для которых расстояние до
элемента z0 меньше числа г, т. в. рР (zo, z) < г, называ-
ется открытой сферой (шаром) радиуса г с центром в z0.
Определение 4. Элемент zo метрического прост-
ранства F называется точкой соприкосновения множест-
ва Μ из F, если любая открытая сфера с центром в z<j
содержит хотя бы один элемент множества М.
Определение 5. Совокупность всех точек сопри-
косновения множества Μ называется его замыканием и
обозначается Μ или [М].
Определение 6. Отрезком линейного метриче-
ского пространства F, соединяющим элементы %\ и z2,
называется совокупность элементов z вида z = о.Ъ\ -f- βΖ2,
где α и β — любые числа такие, что а 5s 0, β ^ О,
α + β = 1.
Определение 7. Множество Μ линейного метри-
ческого пространства F называется выпуклым, если
с каждыми двумя элементами zb z2 множества Μ ему
принадлежат и все элементы отрезка, определяемого
парой Z\, z2.
Определение 8. Числовая функция (т. е функ-
ция, значениями которой являются числа), определен-
ная на элементах множества М, называется функциона-
лом, а множество Μ — его областью определения.
Определение 9. Функционал /(z) называется
выпуклым, если он определен на выпуклом множестве Μ
и для любых элементов zu z2 из Μ и любых чисел α, β
таких, что а > О, β ~> О, a -f β = 1, выполняется нера-
венство
/(αΖ1 + βΖ2)<α/(Ζ1)+β/(Ζ2).
Определение 10. Выпуклый функционал /(z)
называется строго выпуклым, если для любых элементов
z\, z2 из M\z\ φ z2) и любых чисел α, β, таких, что
α > 0, β > 0, а + β = 1, выполняется неравенство
/(αΖ1-{-βΖ2)·<α/(Ζ1)4-β/(Ζ^,
Определение 11. Функционал /(z), определенный
на множестве Μ метрического пространства F, называет-
ся непрерывным на М, если, каковы бы ни были элемент
zo из Μ и последовательность {z„} с: Л/, сходящаяся
2 А. Н. Тихонов, В. Я. Арсении
83
(в метрике F) к zo, последовательность {/(z„)} сходит-
ся к /(z0).
Определение 12. Функция /(ж) одной вещест-
венной переменной х называется непрерывной справа в
точке хо, если
limf(x0 + h) = f(x0).
h>0
Аналогично определяется непрерывность слева.
Определение 13. Последовательность {z„} эле-
ментов метрического пространства F называется фунда-
ментальной, если для любого ε > О найдется такое на-
туральное число Ν(ε), что для любых п, m > Ν(ε)
Pf(z„, zm) ^ ε.
Определение 14. Метрическое пространство Fна-
зывается полным, если любая фундаментальная после-
довательность {z„} элементов этого пространства схо-
дится к элементу из F.
Определение 15. Пространство F называется
линейным, если для любых его двух элементов Z\, z2
определен третий элемент ъх -f z2 s F, который называ-
ется их суммой, π для любого zef i любого числа β
определен элемент βΖ е F, который называется произ-
ведением элемента z на число β, причем операции сло-
жения и умножения на число удовлетворяют требо-
ваниям:
1) Zi -f z2 = z2 -f Zi (коммутативность сложения);
2) zi -f (z2 -f z3) = (zi -f z2) -f z3 (ассоциативность
сложения);
3) существует элемент OeF (нуль пространства F)
такой, что для любого zeF, z-fO = z;
4) для любого элемента zef существует элемент
— z такой, что z + (— z) = 0;
5) для любых чисел α, β и произвольного ге?
α(βΖ) = (αβ)Ζ (ассоциативность умножения на число);
6) для любого zeF, 1 · z = z;
7) для любых чисел α, β и произвольного zeF
(а ■+ β) z = az -f βΖ (дистрибутивность);
8) для любого числа β π произвольных z\, z2^F
β (z\ -f z2) = βΖ[ -f βΖ2 (дистрибутивность).
Определение 16. Нормой в линейном простран-
стве F называется функционал fzfl, определенный для
34
Ярбого z&F, принимающий лишь конечные вещест-
венные значения и обладающий следующими свойст-
вами:
1) l!z 11^=0 для любого z e= F;
2) || z || = 0 только для z = 0;
3) для любых zbz2eF fzj -f ZjIKIzjH- |z2|| (нера-
венство треугольника);
4) для любого числа β и произвольного zeF |βΖ|| =
нм-н-
Если на пространстве F задана норма, то его можно
сделать метрическим, положив Pf (zlt z2) = || zx — z21|. По-
лученное пространство называется линейным нормиро-
ванным пространством.
Примеры линейных нормированных
пространств.
1. Пространство R1 вещественных чисел z,
N1 = 14
2. и-мерное евклидово пространство R" групп чисел
z = (zb z2, . .., z„),
3. Пространство 1з сходящихся последовательностей
чисел z =(zlf z2, .. . ,z„, ...),
4. Пространство £-2 [α, &] функций z(x), интегрируе-
мых с квадратом,
if Г"
W = \)z'(x)dx\ .
5. Пространство Li[a, b] функций z(x), интегрируе-
мых с модулем,
ь
| z Ц = j I z (s) I ds.
a
6. Пространство С [a, b] непрерывных на [α, b]
функций z(x),
I z || ■= max | z (x) \.
ace[a,bj
2* 35
7. Пространство W2[a, Ъ) функций z(x), имеющих
обобщенную производную, интегрируемую с квадратом,
j г2 (х) dx + j (~А2 dx\ .
а а '
Определение 17. Линейное пространство F на-
зывается гильбертовым, если, во-первых, на нем задана
вещественная числовая функция (zi, z2), z\, z2^F,
называемая скалярным произведением, удовлетворяю-
щая условиям:
а) для любых zu z2 е= F, (z, z2) = (z2, zx);
б) для любых zu z2, z3 пз F (Zi-f z2, z3) = (zbz2)-f-
+ (z2, 2з) (аддитивность);
в) для любых z\, z2eF и произвольного веществен-
ного числа β (βΖΙ, z2) = β(Ζ1, z2) (однородность);
г) (z, z) S* 0, причем (z, z) = 0 только для z = О,
и, во-вторых, такое, что если в F ввести метрику
Pf (Zi, z4) = 1 zx — z2 J = ]/(Zi — z2, zx — z2),
то пространство F с такой метрикой будет полным.
Определение 18. Полное линейное нормирован-
ное пространство называется банаховым.
Все приведенные выше пространства являются ба-
наховыми, а пространства 1—4 и 7 — гильбертовыми.
Глава I
МЕТОД ПОДБОРА. КВАЗИРЕШЕНИЯ
Возможность определения приближенных решений
некорректно поставленных задач, устойчивых к малым
изменениям исходных данных, основывается на исполь-
зовании дополнительной информации относительно реше-
ния. Возможны различные типы дополнительной инфор-
мации.
В первой категории случаев дополнительная инфор-
мация, носящая количественный характер, позволяет
сузить класс возможных решений, например, до ком-
пактного множества, и задача становится устойчивой к
малым изменениям исходных данных. Во второй катего-
рии случаев для нахождения приближенных решений,
устойчивых к малым изменениям исходных данных, ис-
пользуется лишь качественная информация о решении
(например, информация о характере его гладкости) (см.
[165-170, 184]).
В настоящей главе будет рассмотрен метод подбора,
имеющий широкое практическое применение, метод
квазирешения, а также метод замены исходного уравне-
ния близким ему и метод квазиобращения. В качестве
некорректно поставленной задачи мы будем рассматри-
вать задачу решения уравнения
Аъ = и г(1; 0,1)
относительно ъ, где не U, zeF; U и F — метрические
пространства. Оператор А отображает F на U. Предпо-
лагается, что существует обратный оператор А~\ но он
не является, вообще говоря, непрерывным.
Уравнение (1; 0,1) с оператором А, обладающим ука-
занными свойствами, будем называть операторным урав-
нением первого рода, или, короче,— уравнением пер-
вого рода,
87
§ 1. Метод подбора решения
некорректно поставленных задач
1. Широко распространенным в вычислительной
практике способом приближенного решения уравнения
(1; 0,1) является метод подбора. Он состоит в том, что
для элементов z некоторого заранее заданного подклас-
са возможных решений Μ (Μ с F) вычисляется опера-
тор Az, т. е. решается прямая задача. В качестве при-
ближенного решения берется такой элемент z0 из мно-
жества М, на котором невязка р^ (Az, и) достигает мини-
мума, т. е.
pu(Azll,u) = inf p (Az, и).
геМ ь
Пусть правая часть уравнения (1; 0,1) известна точ-
но, т. е. и = цт, и требуется найти его решение zT.
Обычно в качестве Μ берется множество элементов z,
зависящих от конечного числа параметров, меняющихся
в ограниченных пределах так, чтобы Μ было замкнутым
множеством конечномерного пространства. Если искомое
точное решение zT уравнения (1; 0,1) принадлежит мно-
жеству М, то inf pu (Az, и) = 0 и достигается эта нпж-
геМ
няя граница на точном решении zT. Если уравнение
(1; 0,1) имеет единственное решение, то элемент z0,
минимизирующий pu(Az, и), определен однозначно.
Практически минимизация невязки pv(Az, и) произ-
водится приближенно и возникает следующий важный
вопрос об эффективности метода подбора, т. е. о возмож-
ности как угодно приблизиться к искомому точному ре-
шению.
Пусть {zn} — последовательность элементов, для ко-
торой pu(Azn, и)-*-0 при га->оо. При каких условиях
можно утверждать, что при этом и pF(zn, zT) ->0, т. е.
что {z„} сходится к zT?
Это вопрос обоснования эффективности метода подбора.
2. Стремление обосновать успешность метода подбора
привело к установлению общефункциональиых требова-
ний, ограничивающих класс возможных решений М, при
которых метод подбора является устойчивым и zn-+z?
[164]. Эти требования заключаются в компактности мно-
жества Μ и основываются на приводимой ниже извест-
ной топологической лемме.
38
Лемма. Пусть метрическое пространство F отобра-
жается на метрическое пространство U и U0 — образ мно-
жества Fq, F0 cz F, при этом отображении. Если отобра-
жение F^>-U непрерывно, взаимно однозначно и множест-
во F0 компактно на F,to обратное отображение Uo^*-Fq
множества U0 на множество F0 также непрерывно по мет-
рике пространства F.
Доказательство. Пусть z — элементы множества
F (zeF), а и — элементы множества U (ueU). Пусть
функция и = φ(Ζ) осуществляет прямое отображение
F-*-U, а функция Ζ = ψ(«)—обратное отображение
U-+F.
Возьмем произвольный элемент Uo из U0. Покажем,
что функция ψ (и) непрерывна на и0. Предположим, что
это неверно. Тогда существует такое число ei > 0, что для
всякого δ > 0 найдется элемент и из U0, для которого
Ри(и, uo) < δ, в то время как pF(z, z0) > я\. Здесь
z = ψ (и), z0 = ψ(«0) π zeF0, z0eiO·
Возьмем последовательность {δ„} положительных чи-
сел δ„, сходящуюся к нулю при п—*-оо. Для каждого δ„
найдется элемент ип из U0, Для которого pv (и„, и0) < δ„,
но pF(z„, zo) S5 ei, где г„ = г|)(и„). Очевидно, последова-
тельность {ип} сходится к элементу и0. Так как z„ при-
надлежат компактному1 на F множеству F0, то из после-
довательности {z„} можно выбрать подпоследовательность
|гпЛ, сходящуюся по метрике F к некоторому элементу
Zo e F. При этом z0 Φ z0, так как для всякого nh
pF (znh, zA ^ εΧ, следовательно и pF(z0, z0) > г\. Этой
подпоследовательности \ΖηΛ отвечает последователь-
ность элементов unh = q>(znA из U0, сходящаяся к
α0 = φ(Ζο) и являющаяся подпоследовательностью по-
следовательности {ип}. Так как последовательность {и,,}
СХОДИТСЯ K!i0= φ(Ζ0), ТО
«о = φ(Ζ0) = «о = φ(Ζο)',
т. е. φ(Ζ0)=φ(Ζο). В силу взаимной однозначности отоб-
ражения F-*-U z0 = z0, что противоречит ранее установ-
ленному неравенству z0 φ z0. Лемма доказана.
Эту лемму можно сформулировать короче.
39
Если отображение Fo -*■ Uo компакта Fo на множество
Uq взаимно однозначно и непрерывно, то обратное отобра-
жение Uo-*-FQ также непрерывно.
Эквивалентность этих формулировок следует из того,
что замыкание FQ множества F0, компактного на F, явля-
ется компактом.
Таким образом, минимизирующая последовательность
{zn} в методе подбора сходится к zT при ге->-оо, если:
а) zT принадлежит классу возможных решений М;
б) множество Μ — компакт.
Пусть оператор А непрерывен и вместо точной правой
части ит мы имеем элемент щ такой, что ри(иа, ит) < δ,
причем щ принадлежит множеству AM (образу множест-
ва Μ при отображении его с помощью оператора А) и
Μ есть компакт. Пусть {б„} — последовательность поло-
жительных чисел таких, что б„->-0 при ге->-оо. Для каж-
дого η методом подбора можно нантн такой элемент zn,
что ри {Azn, щ) <: δη. Элементы z„ будут близки к ре-
шению zT уравнения Az>= щ. В самом деле, при отобра-
жении с помощью непрерывного оператора образ AM
компакта Μ есть компакт и, следовательно, по лемме
обратное отображение, осуществляемое оператором А~х,
непрерывно на AM. Так как
ри {Azn, и ) < Pl; {Azn, ий) + ри (и&, ит),
то
ри (Azn, щ) < δ„ + δ = γ„.
Из этого неравенства и из непрерывности обратного
отображения АМ^>-М следует, что р^ {zn, zT) <Ξε (γη),
причем ε (γ„) -*■ 0 при γη-^0. Таким образом, при нахож-
дении приближения z„ к zT надо учитывать уровень по-
грешности δ правой части и6.
3. На основе изложенных соображений Μ. Μ. Лав-
рентьев сформулировал [106] понятие корректности по
Тихонову. В применении к уравнению (1; 0,1) задача на-
зывается корректной по Тихонову, если известно, что для
точного значения и>= щ существует единственное реше-
ние zT уравнения (1; 0,1), Az?\= ит, принадлежащее за-
данному компакту М. В этом случае оператор А~[ непре-
рывен на множестве N>— AM и, если вместо элемента ит
нам известен элемент и6 такой, что pv(Ui, иь) ^ δ и
40
lit e Ν, то в качестве приближенного решения уравнения
(1; 0,1) с правой частью и=щ можно взять элемент
zs = A~lut. При δ-ν О (ii^eN) zs будет стремиться к zT.
Множество Fi (F\ czF), на котором задача нахождения
решения уравнения (1; 0,1) является корректно постав-
ленной, называют классом корректности. Так, если опера-
тор А непрерывен и осуществляет взаимно однозначное
отображение, то компакт М, к которому принадлежит zT,
является классом корректности для уравнения (1; 0,1).
Таким образом, если задача (1; 0,1) корректна по Тихо-
нову и правая часть уравнения и еАМ, то метод подбора
с успехом может быть применен к решению такой задачи.
На первый вопрос дан исчерпывающий ответ.
Рассмотрим задачу решения интегрального уравнения
Фредгольма первого рода
ь
Axzs J К(х, s)z(s) ds = и(х), u(x)^Lz, (1;1,1)
α
на множестве Mi монотонно убывающих (возрастающих^
и равномерно ограниченных функций |z(s)| ^ В. Она
корректна по Тихонову, так как множество М\ — компакт
в пространстве L2 [48].
Действительно, возьмем любую последовательность
Ε ξ= {z\(s), z2(s), ..., zn(s), ...} из Mi. Согласно теореме
Хелли о выборе *) существуют подпоследовательность
£1 = (Zr,1(s),z„2(s), ...,znh(s), ...),
последовательности Ε и функция z(s) из множества М{,
z(s) eL2, такие, что
lim znh (s) = z (s)
всюду, кроме, может быть, счетного множества точек
разрыва функции z(s). Из поточечной сходимости под-
последовательности Ei к функции z(s) всюду, кроме,
может быть, счетного множества точек, следует, как
*) Титчмарш Е. Разложение по собственным функциям,
связанным с дифференциальными уравнениями 2-го порядка.—
М.; 1961,
41
известно*), сходимость подпоследовательности Е\ к функ-
ции z (s) по метрике L2.
Таким образом, в качестве приближенного решения на
множестве М\ уравнения (1; 1,1) с приближенно извест-
ной правой частью и е АМ\ можно брать точное решение
этого уравнения с правой частью и = и. Эта послед-
няя задача, как известно, эквивалентна задаче нахожде-
ния на множестве Mi функции, минимизирующей функ-
ционал
N[z,u] = ||41z — ы|{|2.
Пусть ри(и-г, и) < δ. Тогда, очевидно, в качестве при-
ближенного решения уравнения (1; 1,1) можно брать
функцию zt, для которой
*
\\AlZ6 -u!l„<62. (1; 1,2)
В [48] дается подробное описание алгоритма нахожде-
ния приближенных решений уравнения (1; 1,1) в клас-
се монотонных функций.
Если заменить интегральный оператор A\z интеграль-
ной суммой на фиксированной сетке с η узлами и обозна-
чить значения искомой функции в узловых точках через
z„ то задача построения приближенного решения уравне-
ния (1; 1,1) сведется к задаче нахождения конечномер-
ного вектора, минимизирующего функционал Лт[г, и] и
удовлетворяющего неравенству (1; 1,2).
В ряде других случаев компактные классы коррект-
ности можно указать эффективно, что дает возможность
строить устойчивые приближенные решения.
4. В силу погрешности исходных данных элемент и
может не принадлежать множеству AM. В этих условиях
уравнение (1; 0,1) не имеет решения (классического) и
возникает вопрос: что надо понимать под приближенным
решением уравнения (1; 0,1)?
В этом случае вводится понятие квазирешения и метод
подбора при условии компактности множества Μ позво-
ляет найти приближение к квазирешению. В следующем
*) Красносельский М. Л., 3 а б ρ е н к о П. П., Π у с-
тыльнвк Е. П., Соболевский П. Е. Интегральные операто-
ры в пространствах суммируемых функций.— ΑΙ.; Наука, 1966.
42
параграфе вопрос о квазирешенпи рассматривается под-
робнее. В монографии [88] дается исчерпывающее изло-
жение теории квазирешений и методов приближенного
нахождения их.
§ 2. Квазирешения
1. Пусть оператор А в уравнении (1; 0,1) — вполне
непрерывный. Построение устойчивого к малым измене-
ниям правой части и приближенного решения уравнения
(1; 0,1) по формуле
z = A~lu (1; 2,1)
возможно в тех случаях, как отмечалось в § 1, когда ре-
шение ищется на компакте JicFti правая часть уравне-
ния принадлежит множеству N = AM.
Обычно не существует эффективных критериев, поз-
воляющих установить принадлежность элемента и множе-
ству N. Это приходится предполагать известным априори.
В практических задачах часто вместо точного значения
правой части ит нам известно ее приближенное значение
и, которое может не принадлежать множеству N = AM.
В этих случаях нельзя строить приближенное решение
уравнения (1; 0,1) по формуле (1; 2,1), так как сим-
вол А~1и может не иметь смысла.
2. Стремление устранить затруднения, связанные с от-
сутствием решения уравнения (1; 0,1) при неточной
правой части, привело В. К. Иванова [78, 79] к понятию
квазирешения уравнения (1; 0,1) — обобщению понятия
решения этого уравнения.
Элемент z e M, минимизирующий при данном и функ-
ционал pu(Az, и) на множестве М, называется квазиреше-
нием уравнения (1; 0,1) иа М,
pv(Az,u) = inf pa{Az,u).
гем
Если Μ — компакт, то квазирешение, очевидно, существу-
ет для любого u<=U и если, кроме того, us AM, то ква-
зирешение z совпадает с обычным (точным) решением
уравнения (1; 0,1). Квазирешение может быть и не одно.
В этом случае под квазирешением будем разуметь любой
элемент из множества квазирешений D.
43
Можно указать достаточные условия, при которых
квазирешение единственно и непрерывно зависит от пра-
вой части и.
Напомним определение. Пусть элемент у и множество
Q принадлежат пространству U. Элемент q множества Q
называется проекцией элемента у на множество Q, q = Ру,
если выполняется равенство
Ри(у, q) =pv(y, <?),
где
Pu(i/. 0= infpo(y,h).
Теорема 1. Если уравнение Az — и может иметь на
компакте Μ не более одного решения и проекция каждого
элемента u^U на множество N = AM единственна, то
квазирешение уравнения (2; 0,1) единственно и непре-
рывно зависит от правой части и.
Доказательство. Пусть z — квазирешение и и =
«= Az. Очевидно, и есть проекция элемента и на множе-
ство N = AM. По условию теоремы она определяется од-
нозначно. Отсюда, в силу взаимной однозначности ото-
бражения множества Μ на множество Ν, следует един-
ственность квазирешения г.
Очевидно, что % = А~хи>= А~{Ри. Согласно лемме о
непрерывности обратного отображения компакта (§ 1)
оператор А~х непрерывен на N. Оператор проектирования
Ρ непрерывен на £/*). Поэтому А~1Р — непрерывный на
U оператор и, следовательно, квазирешение г непрерывно
зависит от правой части и.
Таким образом, при переходе к квазирешению восста-
навливаются все условия корректности, т. е. задача на-
хождения квазирешения уравнения (1; 0,1) на компакте
Μ является корректно поставленной.
Если условие единственности решения уравнения
(1; 0,1) не выполнено, то квазирешения образуют некото-
рое множество D элементов компакта М. В этом случае без
упомянутых в теореме 1 ограничений на множество N
имеет место непрерывная зависимость множества квази-
решений D от и в смысле непрерывности многозначных
отображений. Нетрудно провести доказательство этого
утверждения (см. [79, ИЗ]), для чего необходимо ввести
*) Л ю с τ е ρ н π к Л. Α., Соболев В. И. Элементы функци-
онального анализа.— М.: Гостехнздат, 1951.
44
ряд новых понятий. Мы не будем останавливаться на
этом. Для случая, когда уравнение (1; 0,1) линейно, легко
получить более общие результаты, содержащиеся в сле-
дующей теореме [79].
Теорема 2. Пусть уравнение (1; 0,1) линейно, одно-
родное уравнение Az>= 0 имеет только нулевое решение,
множество Μ выпукло, а всякая сфера в пространстве U
строго выпукла. Тогда квазирешение уравнения (1; 0,1)
на компакте Μ единственно и непрерывно зависит от пра-
вой части и.
Доказательство. Пусть z — квазирешение и
м.= Az. Так как множество Μ выпукло, то в силу линей-
ности оператора А множество N = AM также выпукло.
Очевидпо, что и есть проекция элемента и на множество
N. В силу того, что сфера в пространстве U по условию
теоремы строго выпукла, проекция и определяется одно-
значно. Далее доказательство завершается, как в тео-
реме 1.
3. Пусть F и U — гильбертовы пространства, Μ ξ= Sr —
шар (I z \\^.R) в пространстве F и А — вполне непре-
рывный линейный оператор.
В этом случае квазирешение уравнения (1; 0,1) мож-
но представить в виде ряда по собственным элементам
(функциям, векторам) φη оператора А*А, где А* — опе-
ратор, сопряженный оператору А.
Известно, что А*А—самосопряженный положитель-
ный вполне непрерывный оператор из F в F. Пусть
Ki > λ2 5s ... > λ„ S*... — полная система его собственных
значений, a cpi, ψ2, ..., φπ, ... — отвечающая им полная
ортонормироваыная система его собственных элементов
(функций, векторов). Элемент А*и можно представить в
виде ряда
00
4*ц=2^„ф„. (152,2)
В этих условиях справедлива [79]
Теорема 3. Квазирешение уравнения (1; 0,1) на
множестве SR выражается формулами:
00 ь
n=1 П
45
если
2-|<Д2, (i;2,4)
δ.
-Σ
„„ ρ+1»
φη>
если
η=1 Λη
Здесь β — корень уравнения
%>R2· (1; 2,5)
~(λ« + β)2
Д». (1;2,6)
Доказательство. Квазирешение минимизирует
функционал
pa(Az,u) = (Az — u, Az —и) (1;2,7)
(где (у, w) — скалярное произведение элементов и и w из
С/), уравнение Эйлера для которого имеет вид
A*Az = A*u. (1;2,8)
Решение этого уравнения будем искать в виде ряда по
системе {ψη}:
2= Σ c„q>„. (1;2,9)
П==1
Подставляя этот ряд в уравнение (1; 2,8) и используя
разложение (1; 2,2), находим с„ = Ь„/Хп. Следователь-
но, неравенство (1; 2,4) означает, что || z J] <; /? и речь
идет о нахождении безусловного экстремума функциона-
ла (1; 2,7). Ряд (1; 2,3) и будет решением задачи.
Если же выполняется неравенство (1; 2,5), то это
означает, что |z||^i? и надо решать задачу на услов-
ный экстремум функционала (1; 2,7) при условии, что
\zf — R%. Методом неопределенных множителей Лаг-
ранжа эта задача сводится к нахождению безусловного
экстремума функционала
(Az — к, Az — и) + {5(z, z),
46
а последняя — к решейию отвечающего ему уравнейия
Эйлера A*Az -f- Bz = А*и. Подставляя сюда z в виде ряда
(1; 2,9) и используя разложение (1; 2,2), находим
К
Сп ~ TTV
Параметр В определяем из условия \zf = R2l которое
эквивалентно (1; 2,6).
§ 3. Приближенное нахождение квазирешений
В предыдущем параграфе мы видели, что нахождение
квазирешения связано с нахождением элемента в беско-
нечномерном пространстве. Для приближенного нахожде-
ния квазирешения естественно переходить к конечномер-
ному пространству. Можно указать достаточно общий под-
ход к приближенному нахождению квазирешений урав-
нения (1; 0,1) [66, 79], в котором А — вполне непре-
рывный оператор.
Будем полагать, что выполнены указанные в § 2 дос-
таточные условия существования единственного квазире-
шения на заданном множестве М, т. е. полагаем, что
множество Μ — выпуклый компакт и сфера в пространст-
ве U строго выпукла. Пусть
Мх cr М2 cr ... с Мп с ..
— возрастающая цепочка компактных замкнутых мно-
оо
жеств М„ такая, что замыкание их объединения \J Mn
совпадает с М. Квазирешение уравнения (1; 0,1) сущест-
вует на каждом множестве М„. Но оно может быть не
единственным. Обозначим через Т„ совокупность всех
квазирешений на множестве Мп.
Покажем, что в качестве приближения к квазиреше-
нию 2 на множестве Μ можно брать любой элемент z„ из
Тп- При этом
lim pf (z„,~z) = 0.
П-»оо
Пусть N„ — AMn и В„ — множество проекций элемен-
та и на множество Nn. Очевидно, что Вп = АТп и
Ni £ Лт2 £ ... S Nn; тогда
pv(u, Nx)> ...> pv{u, Nn)> ...> pv(u, N)=pv{u, Az).
(l; 3,1)
47
Так как множество U Nn всюду плотно на TV, то для
п=1
всякого ε > 0 найдется такое число η0(ε), что для всех
η > п0(г)
Ри(и, Nn) <Ри(и, Ν) +ε, (1; 3,2)
Из (1; 3,1) и (1; 3,2) следует, что
limpuiu.Nn) = pu{u,N). (1;3,3)
П-»оо
Поскольку
Ри(и, Nn)<=pu(u, Вп),
то
Итри(ихВп) = pu^Az). (1;3,4)
п-*оо
Каждое множество Вп есть компакт, так как оно является
замкнутым подмножеством компакта Nn. Поэтому в В„
найдется такой элемент уп, что
Ρυ (Ут и) = inf py (у, и).
уевп
Последовательность {уп} имеет хотя бы одну пре-
дельную точку, принадлежащую N,- так как N — компакт.
Пусть г/о — какая-нибудь предельная точка множества
{Уп} и {г/nj—подпоследовательность, сходящаяся к
г/о, т. е.
limPc;(j/nftli/o) = 0.
Из (1; 3,3) и (1; 3,4) следует, что
9и К у0) = lim pv (и, упЛ = lim ρυ (и, ВпЛ =
== Ри (и, Ал) = Ρυ (и, /V).
Таким образом,
ри(и, у0)>=ри(и, Ν).
Отсюда и из единственности квазирешения на множестве
Μ следует, что
г/о>= Az.
Так как г/0 — произвольная предельная точка множества
48
{уη}, то последовательность {у„} сходится Az. Это и озна-
чает, что в качестве приближения к квазирешению мож-
но брать любой элемент z„ из множества Т„, так как в
силу леммы § 1 z„->-z при ге->оо.
Если в качестве Д/„ брать конечномерные (ге-мерные)
множества, то задача нахождения приближенного квази-
решения на компакте Μ сводится к минимизации функ-
ционала pu(Az, и) на множестве Мп, т. е. к нахождению
минимума функции η переменных.
Квазирешения изучались также в работах [59, 60, 64,
65, 67, 81, 113].
§ 4. Замена уравнения Az=u близким ему
Уравнения вида (1; 0,1), в которых правая часть и не
принадлежит множеству N>=AM, изучались Μ. Μ. Лав-
рентьевым [104—106]. Ему принадлежит идея замены
исходного уравнения (1; 0,1) близким ему, в некотором
смысле, уравнением, для которого задача нахождения
решения устойчива к малым изменениям правой части
и разрешима для любой правой части и е U. В простей-
шем случае это делается следующим образом.
Пусть F == U = // — гильбертовы пространства, А —
линейный, ограниченный, положительный и самосопря-
женный оператор, SR = {х, \\х\\ < R, ief} есть "шар
радиуса R в пространстве F, В — вполне непрерывный
оператор, определенный на S„ при любом R >· 0. В ка-
честве класса корректности Μ берется множество DR-=
«= BSR — образ шара SB при отображении с помощью опе-
ратора В. Предполагается, что искомое точное решение
zT уравнения (1; 0,1) с правой частью и>= ит существует
и принадлежит множеству DR. Уравнение (1; 0,1) заме-
няется уравнением
(А-{■ аЕ) z = Az + az = и, (1; 4,1)
где α > 0 — числовой параметр. Решение уравнения
(1; 4,1)
za.= (A + aE)-lu, ;(1; 4,2)
при соответствующем выборе параметра а, принимается
за приближенное решение уравнения (1; 0,1). Здесь Ε —
единичный оператор.
49
Замечание. Для оценки уклонения р^(гт, z6) при-
ближенного решения от точного можно использовать мо-
дуль непрерывности ω обратного оператора на N.
Пусть ии m^N и ри(щ, Ui) < δ. Тогда
ω(δ,Ν)= sup ρΓ (Λ-1^, Л_1иг).
Очевидно, что если ри("т, u>t) ^ δ π z6>= Л~!1г6, то
pF(zT, z„) < ω(δ, /V).
Вернемся к уравнению (1; 4,1). Если ЦАгЦ^б и
ω (δ, DR) = sup I z j], то легко получить оценку уклоне-
DR
нпя za от zT. Очевидно, что
1 za — zTК fl za — zT I + 12α — za|, (1; 4,3)
где
Ζο'= (^ -f α/?)"'^·
Следовательно,
[Ζα-Ζτ||<ω(δ,Ζ)Η) + δ/α. (1; 4,4)
Если известен модуль непрерывности ω (δ, DR) или его
мажоранта, то из (1; 4,4) можно найти значение пара-
метра α как функцию δ, при котором правая часть в не-
равенстве (1; 4,4) будет минимальной.
§ 5. Метод квазиобращения
1. Известно, что задача Кошп для уравнения тепло-
проводности с обратным течением времени является не-
устойчивой к малым изменениям начальных значений.
Неустойчивость сохраняется и в случаях, когда решение
подчиняется некоторым дополнительным граничным усло-
виям. Для устойчивого решения таких задач разработан
метод квазиобращения [111]. Мы изложим существо его
для простейшего уравнения теплопроводности, не вда-
ваясь в вопросы обоснования. Подробное изложение в
применении к более широкому классу задач содержится
в [111].
2. Рассмотрим прямую задачу. Пусть D — конечная
область гс-мерного евклидова пространства R" точек
х-= (х\, Х2, ..., хп), ограниченная кусочно-гладкой по-
верхностью S, a t — время. Пусть, далее, φ (я) — заданная
50
непрерывная в D функция. Прямая задача состоит в на-
хождении решения и<— и(х, t) уравнения
~-Ьи = 0 (1; 5,1)
в области G ξξ= {x^D, <>0}, удовлетворяющего гранич-
ным условиям
и{х, t) = 0 при ieS (1; 5,2)
и начальным условиям
и(х, 0) = ц>~(х). (1; 5,3)
Здесь
а V d2u
Известно, что решение такой задачи существует. Каждой
функции ф(з;)еС отвечает решение задачи (1; 5,1) —
(1; 5,3). Будем обозначать его через и(х, t; φ).
Обратная задача состоит в нахождении функции φ (х)
по известной функции и(х, t; φ). В реальных задачах
функция и(х, t; φ) обычно получается в результате изме-
рений и, следовательно, известна приближенно. Будем по-
лагать, что и е L2. Такая функция может и не соответст-
вовать никакой «начальной» функции φ(#). Таким обра-
зом, может не существовать в классе функций С решения
обратной задачи. Поэтому будем рассматривать задачу
нахождения некоторого обобщенного решения обратной
задачи.
Пусть заданы число Г>0 и функция ψ(х), опреде-
ленная в области D, ty{x) e L2. На функциях у(х) класса
С определен функционал
/(φ) = $\u(x,t;4)-y(x)\4x.
b
Обобщенным решением обратной задачи будем называть
функцию φ (х), на которой достигается
/о = inf / (ф)·
Фес
Замечание. «Естественный» подход к решению
этой задачи — выбрать функцию у(х) так, чтобы/(φ) = 0.
51
Для этого достаточно найти решение прямой задачи
— _ Au = 0;
и(х, t)i == 0 для а: е 5, 0 < < < Г;
и(я, Г) = ψ(*)
и положить φ (а;) = и (х, 0). Но такая задача при задан-
ной функции ψ(#) из L2, вообще говоря, неразрешима и,
кроме того, неустойчива к малым изменениям функ-
ции ψ (я).
На некотором классе обобщенных функций φ(^)
/о = 0 (см. [111]). Поэтому рассматривается задача на-
хождения приближенного значения /0 с заданным уровнем
погрешности.
Для заданного числа ε > 0 найти функцию φβ(£), на
которой /(φ«) < ε.
Эта задача и решается методом квазиобращения.
Идея метода квазиобращения состоит в том, что вмес-
то оператора теплопроводности d/dt — Δ находится «близ-
кий» ему оператор Ва, для которого задача с обращением
отсчета времени
Ваиа = 0, х е D, t < Τ, α > 0;
иа(х, Τ) = ψ (я);
ua (x, t) = 0 для x^S, t < Τ
устойчива. Решив эту задачу, полагают у(х)=иа\х, 0).
Обычно в качестве оператора Ва берут оператор -jr — Δ —
— αΔ2 и решают прямую задачу
диа
— Δ иа — αΔ?«α = 0, х е D, t < Г, α > 0;
«а (ж, Г) = ψ (ж);
u„(a:, f) = 0 для seS, 0 < i < Г;
Alia = 0 ДЛЯ Χ «Ξ 5, 0 < i < Г.
Затем полагают
<f(x) — иа(х, 0).
Следует отметить, что иа не сходится в обычном смыс-
ле при a -> 0.
Описанный метод квазиобращения применим для бо-
лее широкого класса задач, относящихся к эволюционным
уравнениям (см. [111]).
52
Глава II
МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ
ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ
В главе I рассмотрены случаи, когда класс возможных
решений уравнения (1; 0,1) является компактом. Однако
для ряда прикладных задач характерна ситуация, когда
этот класс F не является компактом, и, кроме того, изме-
нения правой части уравнения
Az = и, '(2; 0,1)
связанные с ее приближенным характером, могут выво-
лить за пределы множества AF — образа множества F при
отображении его с помощью оператора А. Такие задачи
будем называть существенно некорректными. В [165,
166] разработан новый подход к решению некорректно
поставленных задач, позволяющий строить приближенные
решения уравнения (2; 0,1), устойчивые к малым изме-
нениям исходных данных, для существенно некорректных
задач. В основе этого подхода лежит фундаментальное
понятие регуляризирующего оператора (P.O.) [166]. Для
упрощения изложения в настоящей главе, кроме спе-
циально оговоренных мест, мы будем полагать, что в
уравнении (2; 0,1) приближенной может быть лишь пра-
вая часть и, а оператор А известен точно.
§ 1. Понятие регуляризирующего оператора
1. Пусть оператор А в уравнении (2; 0,1)' таков, что
обратный ему оператор А~х не является непрерывным на
множестве AF и множество возможных решений F не
является компактом.
Пусть 2Т есть решение уравнения Az = вт, т. е.
AzT = ит. Часто вместо щ мы имеем некоторый элемент
lis и известное число δ > 0 такие, что ρ^(«β, ит) < δ, τ. е.
вместо точных исходных данных (ит, А) мы имеем при-
ближенные исходные данные (щ, А) и оценку их погреш-
53
ности б. Задача состоит в том, чтобы по известным исход-
ным данным (lie, Α, δ) найти приближение г6 к элементу
zT, обладающее свойством устойчивости к малым измене-
ниям и6. Очевидно, что в качестве приближенного реше-
ния z6 уравнения (2; 0,1) нельзя брать точное решение
этого уравнения с приближенной правой частью и = иь,
т. е. элемент z6, определяемый по формуле
z6 = A-lUt,,
так как оно существует не для всякого элемента и е U и
не обладает свойством устойчивости к малым изменениям
правой части и.
Числовой параметр δ характеризует погрешность пра-
вой части уравнения (2; 0,1). Поэтому представляется
естественным определить z6 с помощью оператора, зави-
сящего от параметра, значения которого надо брать согла-
сованными с погрешностью δ исходных данных иб. Эта
согласованность должна быть такой, чтобы при δ-*-0, τ. е.
при приближении (в метрике пространства U) правой
части Ut, уравнения (2; 0,1) к точному значению ит, при-
ближенное решение z6 стремилось бы (в метрике прост-
ранства F) к искомому точному решению zT уравнения
Az = цт.
Пусть элементы z,efi в,е[/ связаны соотношением
Определение 1. Оператор R(u, δ), действующий
из пространства U в пространство F, называется регуля-
ризирующим для уравнения Az = и (относительно эле-
мента ит), если он обладает свойствами:
1) существует такое число δ\ > 0, что оператор
R(u, δ) определен для всякого δ, 0 < δ < 6i, и любого
иь е U такого, что
Ри(и6, щ) < δ;
2) для всякого ε > 0 существует δο = δ0(ε, us)'< δ{
такое, что из неравенства
ри(иь, ит) < δ < δ0
следует неравенство
pF(26, zT) < ε,
где
z6 = R(ut, δ).
Здесь не предполагается, вообще говоря, однозначность
оператора R(u, δ). Через z6 обозначается произвольный
54
элемент из множества {#(к6, 6)} значений оператора
Л (в., δ).
2. В ряде случаев целесообразнее пользоваться другим
определением регуляризирующего оператора (P.O.).
Определение 2. Оператор R(u, α), зависящий от
параметра α и действующий из U в F, называется регу-
ляризирующим для уравнения Az = и (относительно эле-
мента вт), если он обладает свойствами:
1) существуют такие числа δλ > 0, ai > 0, что опера-
тор R(u, a) определен для всякого а, принадлежащего
промежутку (0, ai), и любого u^U, для которого
ри(и, щ) < 6i; .
2) существует такой функционал a = a (u, δ), опреде-
ленный на множестве Ьь, = {в; ρ (и, щ) ^ 6J эле-
ментов не С/, что для любого ε > О найдется число
δ (ε) < δ\ такое, что если и е U и р^ (и, ит) < δ < б (ε), то
Pp(Zi, 2a) <8,
где
za = Д(и, α (и, δ)).
В этом определении не предполагается однозначность
оператора R(u, а(и, δ)). Следует отметить, что при
a = δ получаем определение 1 *).
3. Если рс/(ит, lie) < δ, то согласно [165, 166] в качест-
ве приближенного решения уравнения (2; 0,1) с прибли-
женно известной правой частью иб можно брать элемент
2a = R(u6, а), полученный с помощью регуляризирующе-
го оператора R(u, a), где a = a(u4) = ai(6) согласовано
с погрешностью исходных данных щ. Это решение назы-
вается ре г у ля ризо ванным решением уравнения (2; 0,1).
Числовой параметр α называется параметром регуляриза-
ции. Очевидно, что всякий регуляризирующий оператор
вместе с выбором параметра регуляризации а, согласо-
ванного с погрешностью исходных данных иь, a = а(щ),
определяет устойчивый к малым изменениям правой час-
ти и метод построения приближенных решений уравнения
(2; 0,1). Если известно, что ри(щ, и„) < δ, то согласно
определению регуляризирующего оператора можно так
выбрать значение параметра регуляризации а = а(и6),
*) В дальнейшем при пользовании определениями 1 и 2 мы
будем опускать слова «относительно элемента ит».
55
что при δ-»-0 регулярйзованное решение za — R(u6,
а(и6)) стремится (в метрике F) к искомому точному ре-
шению zT, т. е. ρ*·(Ζτ, Zo(u6)) -»-0. Это и оправдывает пред-
ложение брать в качестве приближенного решения урав-
нения (2; 0,1) регуляризованное решение.
Таким образом, задача нахождения приближенного
решения уравнения (2; 0,1), устойчивого к малым изме-
нениям правой части, сводится:
а) к нахождению регуляризирующих операторов;
б) к определению параметра регуляризации α по до-
полнительной информации о задаче, например, по величи-
не погрешности, с которой задается правая часть щ.
Описанный метод построения приближенных решений
называется методом регуляризации.
4. Отметим, что регуляризирующие операторы, зави-
сящие от параметра, использовались в математике со
времен Ньютона. Так, классическая задача приближенно-
сти (х) _,
го вычисления производной z = —^— по приближенным
(в метрике С) значениям и(х) может решаться с по-
мощью оператора
R („ α) = и(х + а)-и(х)
В самом деле, пусть вместо точных значений функции
и(х) мы имеем приближенные значения и6(х) =
= и(х) -f- v(x), где \v(x) I < δ для всякого х. Тогда
R (и& а) = ц (д + ") ~ " (х) _l " (д + «) — " (д)
* ! ' α а
При а—>-0 первая дробь стремится к производной du/dx.
Оценим вторую дробь
ν (х + а) — ν (х)
а
а
Если брать α = δ/η (δ), где η(δ)->0 при δ->0, то
2δ/α = 2η (δ) -*-0 при δ->0 и, следовательно, при
α = at (δ) = ^щ R {u6i Kl (δ)) -> ~.
Другая классическая задача — задача восстановления
функции по ее приближенно известным коэффициентам
Фурье (задача суммирования рядов Фурье) — также ре-
шается с помощью регуляризирующих операторов.
56
В самом деле, пусть для всякого х, принадлежащего
00
некоторому конечному промежутку, z{x) — Σ "ьфь ix)
есть ряд Фурье функции z(x) по полной ортонормирован-
ной системе функций {ук(х)} таких, что для всякого к
sup | щ (х) | ^ М*). Пусть вместо последовательности
х
и s= {uk} коэффициентов Фурье нам известны их при-
ближенные значения и = {uh} такие, что
σο
Σ (uh — "ft)3 < δ2,
fe=l
Ζ {Χ) = Σ Ukyk (Χ).
fe=l
Как было показано во Введении, в метрике С функции
z(x) и z(x) в фиксированной точке Хо могут различаться
как угодно сильно. Поэтому нельзя брать в качестве приб-
лиженного значения функции z(x) в точке х0 значение
z{xo)· Устойчивое (к малым изменениям δ) приближенное
значение z(x) дается с помощью оператора R(u,a) =
= R ( и, — ] = ^ щщ (^о) (а — ~)> ecjra n брать равным
целой части функции —j-, т.е. η = η(δ) = l^-^ 4где
при δ->0 η (δ) ->0, а η(δ) ->οο.
В самом деле, так как для всякого к |φ&(£) | ^ Μ, то
п(«)
Ζ (*„) — Σ "ft<Pfc К) <
ft=l
n(fl)
<
Σ (ил — «л) фй Ю
ft=l
+
Σ "fe9ft (#0)
ft=n(6)+l
Так как ряд Σ w&9fe (^о) сходится, то его остаток
Σ Мкфй(^о) стремится к нулю при м(б)->оо.
fe=n(6)+l
Далее, применяя неравенство Коши — Буняковского,
*) Это условие обычно выполняется. Например, оно выполня-
ется для систем тригонометрических функций {sin кх, cos кх}.
67
получим
η(δ)
2 (uk — uh) <pfe (x0)
n(6)
< Σ I uh — uk 11 cpft (.r0) I <
ft=l
fn(6) n(6) μ/a с
U=i fe=i ^ I
n(6) ·|1/2 ΓΤ
η (δ)
б2
δ2->0
при δ-»-0.
Операторы й(и, α), зависящие от числового параметра
а, использовались в математике и при рассмотрении ряда
других задач.
5. Описанные в п. 4 примеры применения регуляризи-
рующих операторов, зависящих от параметра, обобщают
хорошо известные правила практических вычислений.
В математике издавна приближенные значения производ-
ных вычислялись как разностные отношения. При этом
приращения аргументов брались не слишком малыми по
сравнению с погрешностью значений функции. Суммиро-
вались и ряды Фурье с приближенными коэффициентами.
При этом в качестве приближенной суммы ряда брались
частные суммы ряда с не слишком большим числом чле-
нов. Это была интуитивная регуляризация, регуляриза-
ция по здравому смыслу.
Аналогично, т. е. с регуляризацией по здравому смыс-
лу, решались и некоторые другие неустойчивые задачи.
Описанный выше метод регуляризации, основанный на
использовании понятия регуляризирующего оператора,
можно рассматривать как формализацию и обоснование
давно используемой регуляризации по здравому смыслу и
распространение такого подхода к построению прибли-
женных решений на широкий класс задач.
§ 2. Вариационный принцип отбора возможных решений.
Существование регуляризирующих операторов.
1. Будем предполагать, что уравнение Az = цт с непре-
рывным оператором А имеет единственное решение zT и
вместо ит нам дан элемент и5. Пусть известно, что укло-
нение празой части цб от и? не превосходит δ, τ. е.
ри(и6, ит) =ξ δ. Тогда приближенные решения естествен-
но искать в классе Qt, элементов zef, сопоставимых по
58
точности с исходными данными, т. е. таких, что
ρν (Az, и6) < δ. Класс Qt есть множество возможных ре-
шений. Однако нельзя брать в качестве приближенного
решения уравнения (2; 0,1) с приближенной правой
частью и = и„ произвольный элемент z6 из Qt, так как
такое «приближенное решение» не будет, вообще говоря,
устойчивым относительно малых изменений правой части.
Множество Qt, — слишком широкое. Необходим прин-
цип отбора возможных решений, обеспечивающий по-
лучение в качестве приближенного решения такого эле-
мента (или элементов) из Qt, который был бы устойчи-
вым к малым изменениям правой части. В качестве
такого принципа можно брать описываемый ниже ва-
риационный принцип, который также применим и для
построения приближений к квазирешению г, если такое
существует.
Отбор можно осуществлять с помощью специальных,
заранее задаваемых фунционалов Ω [ z ], входящих в по-
становку задачи.
Неотрицательный функционал Ω [ z ] , определенный
на всюду плотном в F подмножестве F\ множества F,
называется стабилизирующим функционалом, если:
а) элемент zT принадлежит его области определения;
б) для всякого числа d > 0 множество Fi-ti элемен-
тов z из F\, для которых Ω [z] ^ d, компактно на F.
2. Упомянутый выше отбор возможных решений мож-
но осуществлять с помощью стабилизирующих функцио-
налов, и реализуется оп следующим образом.
Пусть Ω [ z ] — стабилизирующий функционал, опре-
деленный на подмножестве F\ множества F (Fi может
совпадать с F*)). Будем рассматривать только такие эле-
менты множества Qt, на которых определен функционал
Ω [ z ] , т. е. будем рассматривать лишь элементы z мно-
жества Fi,t = Fi Г) Qb· Среди элементов этого множества
найдем такой (такие) элемент z5, который минимизирует
функционал Q[z]**). Элемент z6 можно рассматривать
как результат применения к правой части и — щ уравне-
ния (2; 0,1) некоторого оператора R, зависящего от па-
раметра δ, τ. е.
z6 = R(ut, δ).
*) Например, в конечномерном случае.
**) Существование такого элемента будет доказано ниже
(стр. 62) при дополнительных ограничениях на Ω [г].
59
Предположим, что такой элемент существует для любых
δ > 0 и и6 е U; тогда
г6 = Я(и6, δ)
можно брать в качестве приближенного решения урав-
нения Аъ = к6, так как при этих условиях справедлива
Теорема 1. Оператор R.(u, δ) является регуляри-
зирующим оператором для уравнения Az — и.
Для доказательства этой теоремы воспользуемся оп-
ределением 1 регуляризирующего оператора. Мы пред-
положили, что для всякого δ > 0 и любого щ е JJ суще-
ствует элемент z4 e F\, минимизирующий функционал
Ω [ z ] на множества F\, ь — Qb Л F\. Следовательно, опе-
ратор R(ut, δ) определен для всякого δ>0 я любого
и6 е U. Поэтому для доказательства теоремы достаточно
показать, что оператор R(u, δ) обладает свойством 2)
определения.
Доказательство. Поскольку элемент z6 миними-
зирует функционал Ω [ z ] на множестве F\t β и zT e F\t 6,
то очевидно, что
Ω[2β]<Ω[«,].
Таким образом, элемент z6 принадлежит компактному на
F множеству
FT= {z; Ω [г] <Ω[ΖΤ] }.
Пусть задана последовательность {ип} такая, что
ри(и, и„) «ξ δ„, где {δ„}—последовательность положи-
тельных чисел, сходящаяся к нулю, т. е. δη-»-0 при
п-+-оо. Для каждого δ„ определено множество Qbn-
Пусть
Flfin = <?δη Π Fv
В каждом из множеств /*Ι,βηπο предположению существу-
ет элемент Ζβη, минимизирующий функционал Ω [z] на
этом множестве. Таким образом, последовательности чи-
сел {δΒ} отвечает последовательность элементов {2jn},
принадлежащих компактному на F множеству FT. Сле-
довательно, из (Ζβη] можно выделить сходящуюся (в мет-
рике F) подпоследовательность
60
Пусть
1= limze .
Так как zj^F^c^, то для всякого элемента z6n
подпоследовательности выполняется неравенство
Переходя в ием к пределу при nh -*■ оо и используя не-
ирерывность оператора А, получим
pu{Az, цт) = 0.
Следовательно, Az = ит. В силу единственности решения
уравнения (2; 0,1) с правой частью α = и, имеем z ==■ zT,
Таким образом,
lim z& = zT.
И так для всякой сходящейся подпоследовательности
последовательности [z6 ]. Отсюда следует, что для любой
последовательности {δ„} положительных чисел δ„, схо-
дящейся к нулю, соответствующая последовательность
[Ζδ)1] сходится (по метрике пространства F) к элементу
Ζτ. Это и означает, что для любого е > 0 существует та-
кое δ(ε), что из неравенства pu(ui,, кт) ^δ<δ(ε) сле-
дует неравенство pj?(z6, zT) < ε.
Справедливость свойства 2) определения Р. О. для
со
оператора R(u, δ) доказана и, следовательно, оператор
R(u, δ) является регуляризирующим для уравнения
.(2; 0,1).
3. Доказательство существования элемента z6 eF), ми-
нимизирующего функционал Ω [ z ] на множестве Fi_ s =
= <?β Π Fu можно провести, например, при описываемых
ниже дополнительных требованиях на стабилизирую-
щий функционал Ω[z ] .
Пусть F — метрическое пространство с метрикой
р( · , · ). Будем говорить, что неотрицательный функци-
онал Ω [ z ] , определенный на множестве F\ с F, порож-
дает метризацию множества F\ с мажорантной мет-
рикой pi(·, · ), если на элементах zef, функционал
l[zii = (Ω [z]}12 обладает свойствами нормы, причем для
61
любых z\, z2 из F\
Pi К, z2) - [I Zi - z2 [|Ι > ρ (zb z,).
Пусть Fi — пространство с такой метрикой на мно-
жестве F\. Пространство F\ будем называть пространст-
вом, порожденным функционалом Ω [г].
Теорема 2. Пусть F — линейное метрическое прост-
ранство с метрикой p(zi, гг) и стабилизирующий функ-
ционал Q[z], определенный на множестве F\CiF, по-
рождает на F\ гильбертово пространство F\ с мажорант-
ной метрикой pi ( ·, · ) ·
Тогда, каково бы ни было δ > 0, на множестве Fii6
существует элемент z6, реализующий точную нижнюю
грань функционала Ω [ z ] на множестве F\t 9.
Справедливость этой теоремы непосредственно сле-
дует из приводимой ниже леммы. Напомним, что функ-
ционал / [ z] , определенный на метрическом пространст-
ве F, называется непрерывным на F, если для всякой по-
следовательности {z„} с F, сходящейся по метрике F к
элементу zef, последовательность его значений {/[zn]}
сходится к /[z ] .
Лемма. Пусть F — линейное метрическое простран-
ство, В — его замкнутое множество и f[z] — неотри-
цательный функционал, определенный и непрерывный на
F. Пусть, далее, Ω [ z ] — стабилизирующий функционал,
определенный на множестве F{cz F и порождающий на
Fl гильбертово пространство Fi с мажорантной метрикой.
Тогда точная нижняя грань на множестве Fi, в =
= В fl Fi функционала Ω [ z ] = / [ z ] -\- αΩ [ z ] , где
α > О, реализуется на элементе z e F{.
Доказательство. Так как Ω [ z ] — неотрицатель-
ный функционал, то существуют
Ω0 = inf Ω [z]
π минимизирующая последовательность {z™} с Flts та-
кая, что Ηπ1Ω[Ζ"] = Ω0· Пусть S2[z"]siJ„, He ог-
П-»оо
раничпвая общности результатов, можно полагать, что
для V η > 1 Ω„ < Ω„_1. Следовательно, для Vn> 1
Щ2»]^^. Таким образом, последовательность {zft} при-
62
надлежит множеству элементов z из F\, для которых
oQ[z]<Qi.
Так как это множество, согласно определению стабили-
зирующего функционала Q[z], компактно на F, то из
последовательности {z"j можно выделить подпоследова-
тельность, сходящуюся (по метрике F) к некоторому
элементу za e F. Ради упрощения записей сохраним для
элементов этой подпоследовательности те же обозначе-
ния, т. е. пусть {zn} сходится (по метрике F) к z„.
Покажем, что последовательность { Zn\ СХОДИТСЯ ПО
норме пространства F\. Предположим, что это неверно.
Тогда существуют такое число εο > 0 и такие последова-
тельности целых положительных чисел { т } и {рт } , что
для всех т и рт из этих последовательностей
Здесь Цг^ — норма элемента г в пространстве Fi.
ПуСТЬ β™ = Ζ™ — Zm+Pm И ?пг= 0,5(z^ + Zm+pm)· Очв-
ВИДНО, ЧТО ξ», = Zm — 0,5β,„ = Zm+Pm + 0,5p\„ И
Ω [ξ™] = / [lm] + a [|| zlH - (z£, pm),. +
• +0,25|1Μ?]>Ω0. (2;2,1)
Так как рГ(|т, za) -ν 0 и Рр(|т, г,*)-»-О при пг->- с» , το в
силу непрерывности / [ z ] имеем
/ [1т] = / [z£] + Δ^, (2;2,2)
где Δ,„ —>- 0 при т —*■ °° . Учитывая сходимость последова-
тельности {Qm} к Ωο, из (2; 2,1) и (2; 2,2) получаем
a [- (z« , β™)! + 0,25 Jβ™fi] >Ω0 —Qm —|δ„| Amf
(2;2,3)
где /S.m > 0 и Лщ ->- 0 при m -*- оо .
Аналогично, пользуясь формулой |т = 2^+ΡηΙ+ 0,5pmi
получим неравенство
a[(zm+Pm, Pm)i + 0,251 βΜ||?]>-Δ1 (252,4)
где Дт > U и Δ„, -»- 0 при т z±. °° ·
63
Складывая неравенства \2; 2,3)", (2; 2,4)" почленно,
получаем
а[- (г« -z«+Pm, β|η)1 +0, 5|^m||i] =
Следовательно,
iiPmfi=14 - г*+Рт1?< 4 (δ; + δ;).
Так как Дт + Am -*- 0 при т -> оо , то найдется такое
т(го), что для т> т(го) будем иметь
I! .а а ||2 ~ /о
|]zm zm+pm |Jl <^ bo/Zi
что противоречит предположению.
Таким образом, последовательность {z£} является
фундаментальной по норме пространства F\. В силу пол-
ноты пространства F\ она сходится по метрике F\ (атом
самым и по метрике F) к некоторому элементу za е Fi.
Но поскольку последовательность (г„) сходится по мет-
рике F к элементу zB, то za = za. Демма доказана.
Для доказательства теоремы 2 достаточно применить
эту лемму для случая, когда / [г ] = 0 и α = 1.
Таким образом доказывается существование регуляри-
зирующих операторов для любого уравнения вида (2; 0,1)
с непрерывным оператором А, действующим из линейного
метрического пространства F, обратный к которому А~[
может быть определенным не на всяком элементе а е U
и не является непрерывным.
Замечание. Если решение уравнения Az — uT не
единственно, то описанным методом также строится регу-
ляризирующий оператор. В этом случае всякая сходящая-
ся подпоследовательность {z6n} сходится к одному из ре-
шений уравнения (2; 0,1) с правой частью и = цт, хотя
различные подпоследовательности могут сходиться к раз-
личным решениям.
4. Таким образом, при описанном подходе, т. е. при
использовании вариационного метода нахождения регуля-
рнзованного приближенного решения уравнения (2; 0,1)
с приближенной правой частью и — и6, ри(ш, иТ) < δ, за-
64
дача нахождения приближенного решения г« состоит в
нахождении элемента г» минимизирующего функционал
Ω [ z ] на множестве
Fi*=*Qt (]Fi= {г; z^Fu pv(Az, α.) <δ},
где <?β з= {г; рс(Лг, ив) < б} .
Задачи такого типа можно решать различными прямы-
ми методами минимизации функционалов. Следует, одна-
ко, отметить, что численное решение их прямыми мето-
дами на ЭВМ в ряде случаев затруднительно. Поэтому
целесообразно рассмотреть и другие методы решения та-
ких задач. В следующем параграфе рассматривается один
из таких методов. Он состоит в редукции при некото-
рых условиях исходной вариационной задачи с огра-
ничениями в виде неравенств к вариационной задаче
с ограничениями классического типа (в виде равенств
ри (Az, lie) = б) и последующем применении метода
неопределенных множителей Лаграпжа (короче, метода
Лаграгопа).
§ 3. Метод Лагранжа построения
регуляризирующих операторов
i. Пусть М0 есть множество всех элементов г из Fu
на которых функционал Q[z] достигает своей точ-
ной нижней грани Ω0 на множестве F\, т. е. Мо ξ=ξ
s= {г; Q[z] =Ωο}, где
Ω0 = inf Ω [z].
teF,
Предположим для простоты, что Мо состоит из одного эле-
мента z0*). Допустимы две возможности: 1) множества
Мо и F[<t пересекаются, т. е. pu(Az0, ий)<6; 2) множе-
ства М0 и Fi,e не пересекаются^ т. е. pu(Az0, ив)> б.
Рассмотрим обе возможности. В первом случае реше-
нием вариационной задачи на минимум функционала
Ω [ z ] на множестве F\_ β является элемент zo. Это реше-
ние устойчиво к малым изменениям ue. В самом деле, при
любом ε > О оно принадлежит компактному на F мно-
жеству D, элементов z, для которых Ω [ z ] < Ωο + ε. Ото-
бражение, осуществляемое оператором А, непрерывно и
*) В случае, когда множество Ма состоит более чем из одного
элемента, устойчивость решения понимается в смысле непрерыв-
ности многозначных отображений.
3 а. Н. Тихоиов, В. Я. Арсеаив
65
взаимно однозначно. Следовательно, согласно лемме гл. I,
§ 1, обратное ему отображение также непрерывно. В даль-
нейшем будем полагать, что F\t β не содержит точек мно-
жества Mq.
Прежде чем рассматривать вторую возможность, вве-
дем следующее определение. Стабилизирующий функцио-
нал Ω [г] будем называть квазимонотонным*), если ка-
ков бы ни был элемент % из F\, не принадлежащий мно-
жеству Mq, в любой его окрестности найдется элемент Z\
нз F\, для которого Ω [ zj ] < Ω [ z ] , т. е. если функцио-
нал не имеет локальных минимумов на множестве Fj \ Л/о.
Обратимся к рассмотрению второй возможности.
В этом случае задачу минимизации функционала Ω [z] на
множестве Fie можно свести к классической задаче на
условный экстремум функционала Ω [г], значительно бо-
лее удобной для численного решения на ЭВМ. Это можно
сделать с помощью следующей леммы.
Лемма. Точная нижняя грань на множестве Fjj ква-
зимонотонного функционала Ω [ г ] такого, что множество
Μ α Π -f 1, β пусто, достигается на элементе г4, для которого
pv(Az6, ut) = δ.
Доказательство. Допустим, что
inf Ω [z]
ieFi,e
достигается на элементе ze пз Fi,», для которого
pv(Az6, и6) = β < δ.
По условию, наложенному на величину погрешности
δ, Zo^Fi,,, т. е.
pv(Az0, и6) > δ.
Следовательно, z» φ zq. В силу непрерывности оператора
А на F существует такая окрестность 0(z, z6) элемента
zs, для всех элементов которой
Ри (Az, Az6) < δ-^.
Для всякого z из этой окрестности выполняется неравен-
ство
pv(Az, и6) < δ,
*) Μ. Μ. Лаврентьев и другие авторы использовали этот тер-
мин ранее, вкладывая в него другое содержание.
6Θ
так кан
9и (Az, и4) < рс/ (Az, Azb) + pv (Az6, u6) <
<δ-^-β+β=δ4-β<δ.
Следовательно,
0(z, i.) c=<?4.
Из квазимонотонности стабилизирующего функционала
Ω [ z ] следует существование в окрестности О (г, z6) эле-
мента zt, 1 из F\, для которого
Q[f..i]<Q[f.]. (2; 3,1)
Так как элемент z», i принадлежит множествам Qt и F\,
а следовательно, и множеству Flt e, то неравенство
(2; 3,1) противоречит тому, что на zs функционал Q[z]
достигает своей нижней грани на множестве Ft, е. Лемма
доказана.
2. Пользуясь этой леммой, вместо задачи минимизации
функционала Ω [z] на множестве F\tt можно искать ре-
шение задачи на минимум функционала Ω [ z ] на мно-
жестве F\ при условии, что на искомом элементе z вы-
полняется равенство
pv(Az, us) =x δ.
Это классическая задача вариационного исчисления на ус-
ловный минимум. Будем решать ее методом неопределен-
ных множителей Лагранжа, т. е. будем искать элемент za,
на котором функционал
Ма [z, ив] = pb (Az, щ) + αΩ [ж] (2; 3,2)
достигает своей точной нижней грани, а параметр α —
определять из условия
Pv{Aza, и,) =δ. (2; 3,3)
Число ρυ (Az, us) часто называют невязкой уравнения
Az = lie на элементе z.
3. Будем говорить, что метод Лагранжа реализуется,
если для всякого щ е JJ и любого α > О, принадлежащего
некоторому промежутку (0, oti),
а) существует элемент га из F\,t, минимизирующий
функционал Ма [ z, щ ] ;
б) существует такое значение а, для которого
Ри (Aza, ц5) — δ.
3* G7
Ниже доказывается существование элемента га (см.
теорему 3), минимизирующего функционал Ма [ z, щ ],
для произвольного непрерывного оператора А, действую-
щего из линейного метрического пространства F в метри-
ческое пространство U, и любого стабилизирующего функ-
ционала Q[z], определенного на множестве FiCiF, по-
рождающего гильбертово пространство F\ с мажорантное
метрикой. В следующем параграфе рассматриваются усло-
вия разрешимости уравнения ри(^4га, щ) = δ относитель-
но а. В частности, доказывается однозначная разреши-
мость его для линейных непрерывных операторов А, если
пространство U гильбертово, функционал Ω [г] при всяком
zefi имеет не равную нулю (при z φ 0) производную
Фреше Q'[z] и б<ри(^4го, щ), где zq<=Mq. Таким об-
разом, в этих условиях устанавливается реализуемость
метода Лагранжа.
Теорема 3. Пусть А — непрерывный оператор из ли-
нейного метрического пространства F в метрическое про-
странство U и Ω [ г ] — стабилизирующий функционал,
определенный на множестве F\ cr F, порождающий гиль-
бертово пространство Fx с мажорантной метрикой. Тогда
для всякого элемента и^ U и любого α > 0 существует
элемент г™ е F\, на котором функционал
Ма [г, и] = ри (Az, и) + αΩ [г]
достигает своей точной нижней грани на множестве F\,
т. е.
М% = inf Ма [г, и] = Ма [za, и].
Справедливость этой теоремы непосредственно следует
из леммы § 2, если положить в ней В s= Fx и / [г] =
= ри (Az, и).
Таким образом, на элементах и е U и для всех поло-
жительных чисел а>0 определен операторRi(u, α)
со значениями из Fi такой, что элемент
га = Ri(u, а)
минимизирует функционал Ма [г, и].
Замечание. Если А есть линейный интегральный
оиератор с ядром К(х, s), то уравнение Az — и имеет
вид
ь
К (хг s) z (s) ds = и (x)1 с ^ я ^.d.
68
Если в качестве F брать пространство С [ а, ~Ь ] непре-
вных на Га, b ] функ-
ционал Ω [2 J взять вида
рывных на Га, b ] функций, а стабилизирующий функ-
: J be
ow= Я* <*)** + * <«)(£)'
ds
где q(s) и p(s) — заданные непрерывные на [ a, b ] функ-
ции, такие, что q(s)^0, p(s)> po> 0, то для этого слу-
чая справедлива теорема 3 (см. также гл. IV).
Можно указать достаточные условия, при которых эле-
мент 2а — единственный. Это справедливо, например, если
оператор А — линейный, F — гильбертово пространство и
Ω [ г ] — квадратический стабилизирующий функционал.
В частности, это справедливо для линейных интегральных
уравнений.
В самом деле, предположим, что существуют два эле-
мента 2„ и 2„ , на которых достигается точная нижняя
грань функционала Ма [z, и] . Рассмотрим элементы
пространства F\, расположенные на отрезке прямой (про-
странства F), соединяющей z„ и z„ :
2=2^ + β'(2<α2>-2^).
Функционал М* [ 2, и ] на элементах этой прямой есть
неотрицательная квадратическая функция от β; следова-
тельно, она не может достигать наименьшего значения
при двух различных значениях β: β = 0 (z = 2„ ) и
β= 1 (z=2((|)). Для нелинейного оператора А эле-
мент za может быть неединственным.
4. Если метод Лагранжа реализуем, т. е. существует
такое а, что ри (Az*, и6) — δ, то исходная вариационная
задача эквивалентна задаче на минимум функционала
Ма [z, Us]. В самом деле, если α выбрано так, что
ри (Aza·, us) = δ, то решение исходной вариационной за-
дачи 2в также дает минимум функционалу M"[z, н0], и,
наоборот, если 2а минимизирует функционал Ma[z, иб]
при условии ри (Az, щ) = δ, то на том же элементе za
достигается минимум функционала Ω [ z ] .
Элемент za можно рассматривать как результат при-
менения к правой части и = щ уравнения (2; 0,1) неко-
торого оператора /?i, зависящего от параметра а, т. е.
гв = Д,(и4) а), (2; 3,4)
69
в котором α = α(δ) определяется по невязке, т. е. из со-
отношения ри {Aza, и6) = δ.
В силу эквивалентности исходной вариационной зада-
чи задаче минимизации функционала Ma[z, щ] с опре-
делением параметра α по певязке оператор Ri(u6, α (δ))
согласно § 2 является регуляризирующим для уравне-
ния A z = и.
5. Следует заметить, что функционал Ма [z, и] можно
ввести в рассмотрение формально, не связывая его с за-
дачей на условный экстремум функционала Ω [ z ] , и ис-
кать элемент za, минимизирующий его на множестве F\.
При этом возникает задача нахождения параметра регу-
ляризации ос, как такого функционала от и, а = а(ц),
для которого оператор Ri(u, a(u)), определяющий эле-
мент
z„ = Ri(u, a(u)),
минимизирующий функционал Ма [ z, и ] , был бы регу-
ляризующим для уравнения (2; 0,1). При определенных
условиях (см. § 4) такой функционал является функцией
от δ, α = α(δ), которая может быть найдена, например,
из соотношения ри (Aza, ий) — δ. Из последующих рас-
смотрений (см. § 6) будет видно, что существует множе-
ство таких функций α (δ). Возможность использования
различных функций α (δ) в регуляризующем операторе
/?i(ii, α(δ)) связана с неединственностью регуляризирую-
щего оператора для уравнения (2; 0,1).
В связи со сказанным, естественной представляется
задача нахождения оптимального (в заранее определен-
ном смысле) вначения параметра регуляризации α =
= α(δ). Для некоторых операторов А типа свертки эта
задача будет рассмотрена в гл. VI.
6. Следует отметить, что в то время как исходная за-
дача (2; 0,1) не обладает свойством устойчивости, задача
минимизации функционала Ма [ z, и ] , как было показа-
но, обладает устойчивостью к малым изменениям правой
части и. Эта устойчивость была достигнута сужением
класса возможных решений с помощью введения в рас-
смотрение функционала Ω [ z ] с описанными выше свой-
ствами. Он играет, таким образом, стабилизирующую роль.
Поэтому его и называют стабилизирующим функционалом
для задачи (2; 0,1), или стабилизатором.
Выбор стабилизирующего функционала Ω [ z ] часто
подсказывается характером задачи (см., например,
гл. III). Однако в ряде случаев выбор его неоднозначен.
70
Функционал Ma[z, и] будем называть сглажива-
ющим.
7. Основные результаты, изложенные в §§ 1—3, рас-
пространены разными авторами на другие классы опера-
торов: замкнутые, замыкаемые, монотонные (в том числе
и разрывные), а также на бодее широкий класс прост-
ранств (см., например. [ИЗ, 116, 127]).
Рассматривались и другие способы построения регу-
ляризованных решений (см., [17, 18, 21, 98, 99, 111]),
в том числе проекционные методы (см. [85, 156]).
§ 4. Определение параметра регуляризации
по невязке
Вопрос об определении параметра регуляризации мы
будем рассматривать здесь лишь для регуляризирующих
операторов R\(u, а), получаемых вариационным способом
(см. §§ 1-3).
При рассмотрении конкретных задач, как правило, за-
труднительно фактически найти параметр регуляризации
а как такую функцию погрешности исходных данных
δ. α = α(δ), для которой оператор Ri(u, α(δ)) является
регуляризирующим. Во многих случаях мы знаем число
δ, характеризующее погрешность исходной информации.
II задача состоит в том, чтобы найти отвечающее ему зна-
чение параметра регуляризации α из числа допустимых
значений, т. е. таких, которые являются значениями одной
из функций α = α(δ), для которой оператор /?i(«, α(δ))
является регуляризирующим. Выбор допустимого значе-
ния параметра регуляризации существенно зависит от той
информации, которую мы имеем относительно приближен-
ной исходной информации. В литературе описаны различ-
ные способы нахождения такого значения а. Ниже мы
рассмотрим некоторые из них.
1. Определение α по невязке. Пусть мы име-
ем приближенную правую часть ц6 уравнения (2; 0,1) с
известной погрешностью δ, т. е. ри (и6, ит) < δ. Тогда при
некоторых ограничениях (см. ниже) параметр регуляриза-
ции α можно определять по невязке, т. е. из соотношения
pu(Aza, iie) = δ. (2; 4,1)
Рассмотрим условия разрешимости этого уравнения.
Обозначим через т(а), φ (α), ψ (а) значения М"[za, и],
pu(Aza, и), Ω[Ζα]. При этом, если множество элементов
Fa = {га}, на которых достигается iniMa[z, и], состоит
71
более чем пз одного элемента, то φ (α) и ψ (а) будут мно-
гозначными функциями. Рассмотрим некоторые свойст-
ва функций т(а), φ (α), ψ (а).
Лемма 1. Функции т(а), φ(α), ψ(α) являются мо-
нотонными функциями, тп(а) и φ(α) —неубывающими, а
ψ (α) —невозрастающей.
Доказательство. Пусть а,\ < α2 и
ср{ = pb (Azai, и), ψ1 = 0[«Ο1], mi = МЩ [ze„ и],
i « 1, 2,
причем zai — любой элемент из множества F \ Имеют
место неравенства
т2 = φ2 -f «2^2 > Ф2 + α[ψ2 ^ ф1 + ai^i = toi, (2; 4,2)
пз которых следует монотонность функции пг(а). Далее,
ф! + ai^i ^ ф2 + аф и ср2 -f «2^2 < ΦΙ + α2ψ1.
(ai — α2)ψ1 < (ai — α2)ψ2.
Так как оц < а2, то ψ[ ^ ψ2. Из этого результата и из
второго неравенства (2; 4,2) следует, что φ2^ψ|*).
Замечание. Если множество F* = {za } состоит бо-
лее чем из одного элемента, то, хотя функция m(a) no
своему определению однозначна, функции φ (α) н ψ (а)
могут быть многозначными, так как на разных элементах
za из Fa в m(a) = φ(α) -f- αψ(α) слагаемые φ (α) и ψ (а)
могут иметь различные значения. Монотонность, дока-
занная в лемме, относится к любым значениям этих
функций.
Лемма 2. Если для всякого u^U и любого а > О
элемент га, минимизирующий функционал Ма [ г, и] на
множестве F\,— единственный, оператор А — линейный,
пространство U — гильбертово и функционал Ω [г] при
всяком ге?| имеет не равную нулю (при z Φ 0) произ-
водную Фреше Q'[z], то функции иг (α), φ (α) ψ (а)
строго монотонны.
Доказательство. Как и прежде, можно полагать,
что za не принадлежит множеству М0 (си. стр. 65); сле-
довательно, для всякого a > 0 ψ (α) = Ω [ za ] > 0.
*) Рахматуллина А. X. Некорректно поставленные за-
дачи и методы их решения,— М.: ИПМ АН СССР, 1972.
72
Пусть α2 > ai. Тогда ш
m(a2) = φ(α2) + α2ψ(α2) > ф(аг) + α1ψ(α2,) >
> φ(αΟ -f aiT|3i(ai) = m(ai),
τ. e. m(a2) > т(а.\).
Покажем, далее, что za, Φ za>. В самом деле, па
элементах zai и zai удовлетворяется необходимое условие
минимума функционала Ma[z, и], т. е. удовлетворяется
уравнение Эйлера. Таким образом,
A*Azai + αΧΩ' [2θ1] = А*и, A*Aza, + α2Ω' [2aJ = A*u.
Вычитая эти равенства почленно, получим
A*Azai - A*Aza, = α2Ω' [2θ1] - ο^Ω' \za>). (2; 4,3)
Если zai = 2tt2, то (a2 — ax) Ω' [zaJ = 0. Так как по усло-
вию Ω'[zaJ =^0 и α2 > ai, то последнее равенство не-
возможно, следовательно, za, =,^га,.Из единственности эле-
мента za, минимизирующего функционал Ма [г, и], и не-
совпадения элементов zai и zaj при ai < a2 следует, что
Μα' [2θ1, а] < М«.[2в1, и], т. е.
9(ai)-fant)(ai)< φ(α2) + 0Ηψ(α2) (2; 4,4)
и, аналогично,
<p(ai)-f α2ψ(α,)> φ(α2) + α2ψ(α2).
Из этих неравенств получаем
(ai - α2)ψ(α!) < (ai — α2)ψ(α2)'.
Так как ai < a2, то отсюда получаем ·ψ(oti) >ψ(α2).
Пользуясь этим неравенством и тем, что ψ(α[) >0 и
Ψ(«2) > 0, из (2; 4,4) находим qp(ai) <φ(α2). Лемма до-
казана.
Отметим, что для доказательства неравенства m(a,i) <
< m(a2) нам понадобилось лишь одно условие леммы —
единственность элемента za (это условие выполняется,
например, в случаях, когда А — линейный оператор,
U — гильбертово пространство и Ω [z] — квадратичный
функционал (см. стр. 69)).
Докажем полунепрерывность слева и справа функций
т(а), φ (α) и ψ (ее). Для этого предварительно докажем
следующую лемму.
73
Дусть последовательность положительных чисел {α„}
сходится к ссо > О и {zan\ ~ некоторая последователь-
ность соответствующих элементов zan из множеств г .
Лемма 3. Если последовательность \zan] — сходящая-
ся, то она сходится к элементу из Fa\ т. е.
lim zls»2S Fa'.
Доказательство. Очевидно, что
UmMan\zan, и]-А/0" [5, и],
так как слагаемые функционала Ma[z, и] непрерыв-
ны по z и а. Допустим, что элемент г не принадлежит
множеству Fa°, т. е. не реализует минимума функционала
Ma'[z1u]. Тоща существует элемент z£e e Fa° такой,
что
Ма° К, u] = Ma°[~z, и] - β, где β > 0.
Ото предположение приводит к противоречию, так как в
этом случае
lim Мап [га„ и] = М" [za„ и] = Ма° [z, u] - β
П-+0О
π, тем самым, начиная с некоторого п($), для всех η 3=
Μ°"[4."Ι<^Μ]-^.
С другой стороны,
Ai"" [ze„, и] > Afe- [z, uj - ρ/2.
Следовательно,
Man[zan, u]>M*n[zao, и],
что противоречит определению элемента zan. Лемма до-
казана.
Лемма 4. Функции иг (α), φ (а) и ψ (а) полунепре-
рывны слева и справа при каждом а > 0.
Так как доказательства этих утверждений одинаковы,
приведем доказательство полунепрерывности функции
φ (α) слева.
74
Доказательство Пусть {α„} — возрастающая и
сходящаяся к ао>0 последовательность положительных
чисел. Ей отвечает последовательность множеств [F }
влементов zan, минимизирующих функционал Mn[z,u].
Рассмотрим произвольную последовательность элементов
{zan}, !але/ . Эта последовательность принадлежит
компактному множеству (начиная с некоторого п, zan e
е {г; Ω [г] ^ Ω [zatt-e], ε > 0}. Следовательно, из нее
можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Не
меняя обозначений, будем считать, что {гап} и есть эта
подпоследовательность. Пусть limzan=z. По лемме Зге
еГ1. Тогда
сходится к
Ре/ (Aza„, и).
Согласно лемме 1 последовательность {φ(α„)}—не-
убывающая. Она сходится к некоторому числу φ, которое
является нижней границей множества значений {φ(αο)}·
Если бы это было не так, то существовало бы такое зна-
чение φ(α0), которое меньше φ. Тогда для достаточно
больших η найдутся элементы zan из г , для которых
φ (αη) будет также меньше φ, что нарушает монотонность
функции φ (α). Отсюда следует, что для любой подпосле-
довательности исходной последовательности {zan} соот-
ветствующая подпоследовательность {φ(α„)} сходится к
φ. Это означает, что и вся последовательность {φ (ατ.)}
сходится к φ. Полунепрерывность слева доказана.
Принимая во внимание, что
т(а) =M«[za, и]
по своему определению является однозначной функцией
переменной а, непосредственно получаем
Следствие. Функция т(а) является непрерывной
неубывающей функцией а.
Отметим, что если множество AF всюду плотно на U,
то τη (α) -*- 0 при а -*■ 0 (и m (0) = 0). Это следует из
того, что для всякого ε > 0 можно найти такой элемент
75
z1 и такое α = α(ε), что
Μα [z\ и] = рЬ (Az1, и) + αΩ [z1) < ε
при α = α(ε). Для этого z1 следует выбрать так, чтобы
pb (Az\ и)< -J- и α (ε)< ^г .
Возможность этого следует из того, что AF всюду плотно
на U.
Отметим также, что φ(0) =0. Это следует из того,
что
φ (α) + «Ψ (α) = m (α) -> 0 при α -»- 0.
Из приведенных лемм непосредственно следует
Теорема 4. Если φ (α) — однозначная функция, то
для всякого положительного числа
б <p[/(4z0, и), где z0 <ξξ iz; Ω [z] = inf Ω[Υ\
I Ye F,
I
существует α (δ) такое что pv(Aza(i), и) = δ.
Если оператор А — линейный, пространство U — гиль-
бертово и функционал Q[z] при всяком ге?| имеет не
равную нулю (при г =й= 0) производную Фреше Q'[zl
(например, если Ω [г] — квадратичный), то согласно лем-
ме 2 α (б) определяется однозначно.
Отметим, что однозначность функции φ (α) имеет ме-
сто, например, в случае, когда элемент za — единственный
(см. стр. 69).
2. При сохранении всех перечисленных условий, кро-
ме существования не равной нулю производной Фреше
"'[г] У функционала Ω [г], параметр α из уравнения
φ (α) = δ2, может определяться неоднозначно. Это можно
увидеть на приводимом ниже примере.
Пример. Пусть Fи U — пространства неотрицатель-
ных вещественных чисел гипс нормами | г || = |z |, flufl =
= | и |. Пусть, далее, Az = z и
zi + -L[Ai-(z-z0)2], 0<z<2l,-
Ω[Ζ] =
Δ2 = (г, - г^2,
2> 2Χ,
где α0 = (zq — Ajj/zij zx и z0 — положительные числа,
78
Ζ\ <. z0. Очевидно, Ω [г] — непрерывный функционал,
имеющий производную для любых г, кроме z = ъ\. Бу-
дем искать приближенное решение уравнения Az = Uq»
j i
га za z О
L-*-Z
Рис. 2. О < α < α, = -Л—
1 г.
-; Рис. 3. Ki < α < α0; za = z\.
« _ 1 + a
Рис. 4. a = a0; г» — любое
число отрезка [0, г,].
Рнс. 5. a > осо; г« = 0.
и0 > 0, путем минимизации сглаживающего функциона-
ла Ma[z, щ], где «о = Ц. Нетрудно видеть, что
Ma[z, uu] = (z-z0)2 + aQ[z],
м° [о, и0\ = г;, лг [2Х> и0] = δ; + α«;,
где
Д? = (г1-г0)а,
Ма [z0, ц01 = az*,
На рис. 2—5 приводятся графики ЛР[г, ц0] как
77
функции z для различных значений а. График функции
φ (α) «= (za — z0)a =>
представлен на рис. С.
——2 а· О < α < он
(1 + α) °
AJ, αΧ < α < α0,
пе определена, α = α0,
α > α0,
ο'
Очевидно, при δ= |Ai| уравнение φ(α) = δ2 имеет
множество решений; при вначениях δ, |Ai| < δ < z0,
уравнение φ (α) =■ δ2 не имеет решения.
3. В вычислительной практике определение α по не-
вявке можно, например, осуществлять так. Пусть δ —
погрешность правой части ц4 уравнения (2; 0,1). Берет-
ся конечный отрезок монотонной последовательности чи-
сел oto, «i, иг, ..., α„, например, отрезок геометрической
прогрессии ah = aog\ к = 0, 1, 2,..., re, q > 0. Для каж-
дого вначения а„ находится элемент (функция) za|l, ми-
нимизирующий функционал
Ма"[г, не],
и вычисляется невязка pi/(4zafe, иЛ. В качестве искомого
значения α берется такое число аА(), для которого с тре-
буемой точностью выполняется равенство
Приближенное решение уравнения pu(Aza, us) =
ε=φ(α) ж δ относительно α можно находить также ме-
тодом касательных Ньютона. Действительно, в [123,128]
установлено, что функция ф1 (β) = φ (Ι/β) является убы-
78
вающей и выпуклой вниз функцией. Поэтому метод каса-
тельных Ньютона применим к решению уравпения
φ(1/β)—δ относительно β, и он сходится при_любом
начальном приближении β0 > 0. Найдя решение β урав-
нения φ(1/β)=δ, определяем искомое α = l/β. При-
ближения β„ к искомому решению вычисляются при
этом по формулам*)
В -β φ1 (p"-i)
"Pi (Pn-i)
Необходимая при пользовании методом Ньютона про-
изводпая функция φ! (β) будет выражаться через произ-
водную уа = dza/da регуляризованного решения za по па-
раметру а. Эта последняя находится как решение урав-
нения, отличающегося от уравнения Эйлера функциона-
ла Ma[z, цб] лишь правой частью.
В самом деле, пусть za минимизирует функционал
Ma[zt lit]. Тогда za является решением уравнения Эйлера
A*Az + aBz = А*ий, (2; 4,5)
где Bz = Q'[z]—производная функционала Q[z] (по
Фреше). Следовательно,
A*Aza + CiBZa Ξ= А*Щ.
Дифференцируя это тождество по а, находим, что уа =
= dza/da является решением уравнения
A*Ay + aBy = -Bza, (2; 4,6)
отличающегося от уравнения Эйлера (2; 4,5) лишь пра-
вой частью.
4. В ряде работ рассматривалась возможность опреде-
ления параметра α из соотношения т(а) = х(б), где х(б)
ограничена сверху некоторой константой и х(б)> сб2
(с > 1) и х(б)->0 при 6-+-0. В [127] рассматривалась
возможность такого способа определения α (δ) для линей-
ных уравнений вида Az — ws (при этом установлена
слабая сходимость za(S) к г,), а в [И2] дано обоснование
такой возможности для уравнений с произвольным не-
прерывным (линейным или нелинейным) или с усилен-
но замкнутым оператором А.
*) См. Б θ ρ е з и н И. С, Жидков Ы. П. Методы вычислений,
т. II, М.: Наука, 1968.
79
Вопросы определения параметра регуляризации : рас-
сматриваются в [28, 54, 57]. Имея в виду потребности
вычислительной практики, приведем некоторые оценки
пригодных значений параметра регуляризации.
Если стабилизирующий функционал Q[z] имеет вид
Q[z] = (Lz, z), то для значения параметра регуляриза-
ции, определяемого по невязке, справедливы оценки*)
\a*al-1a*U
α<·.
Λ·«β||-Μ·||β'
AL-lA*\b
\Ы-ь '
им£-'||м«||Диа||
!|μ*"β||-Μ*ΙΙ|"β|
При некоторых дополнительных предположениях мож-
но пользоваться оценкой
n<r b\\A\f
δ·
§ 5. Пример нелинейного уравнения.
Обобщенный метод Лагранжа
1. В случае нелинейных уравнений вида (2; 0,1) не-
вязка φ (a) = p^ (Aza, uc), вообще говоря, не является
непрерывной функцией α и она может быть не строго мо-
нотонной. Поэтому уравнение φ (α) = δ2 относительно а
может не иметь решения или может иметь множество
решений. Приводимый ниже пример (см. [55]) подтверж-
дает возможность таких ситуаций.
Пусть F есть множество вещественных чисел z с нор-
мой || z | = | z\, F есть метрическое пространство с рассто-
янием Pf(zi, Z2) = \z\ — Z2I. Пусть, далее, ао — некото-
рое фиксированное положительное число, а г и и — фик-
сированные положительные числа, связанные соотноше-
нием и = Va0z.
Рассмотрим следующий нелинейный оператор А, оп-
ределенный на всем пространстве F и действующий
*) См. П. Η. Заик и и. Докт. диссертация. ОИЯИ. 1978 г.;
А. С. Μ θ ч θ н о в. Канд. диссертация. МГУ, 1976 г.
80
иа F в F \τ. e. t/s= F):
Az =
для z ^ О,
У и* — auz2 -f- и для О < z < г,
2 |/а0 z — ц для z > z.
Ha рис. 7 приводится график значений оператора А
на F, т. е. график функции и = Лг. Уравнение Лг =^
при и = и имеет, очевидно, единственное решение z — г.
Рис. 7.
Пусть δ — произвольное фиксированное число, удов-
летворяющее условиям, 0 < б < [| и |[7= и. Будем считать,
что каждому такому числу б соответствует ^равая часть
уравнения ив = и (следовательно, pv(u6, и) =0<б).
Приближенные решения уравнения Az = u6 будем
строить путем минимизации сглаживающего функциона-
ла Ma[z, Uc] и последующего определения параметра а.
Легко видеть, что
Pjj (Лг, г/б) =
и для z^O,
и2 — а022 для 0 < z г^ г,
4 (Ка0 2-й) для z > z.
Возьмем в качестве стабилизирующего функционала
Q[z]
Тогда
и2 + az2
Ma[z, w6]=j й2 + (а - а„) г2
z — ц) -f- аг2
" -I-
для г «ξ О,
для 0 < z^z,
ДЛЯ Ζ > Z.
81
На рис. 8—10 приводятся графики значений функци-
онала M'x[z, ц6] для следующих трех случаев: α < cto,
а — ссо и а > осо.
Из приводимых графиков видно, что: а) при α < з0
имеется единственный
элемент (число) za, мини-
мизирующий функционал
Ma[z, Ui], равный z;
б) при α = αο имеет-
ся бесконечное множество
элементов za, минимизи-
рующих функционал
Ma[z, Ui]: ими являются
все числа из отрезка [0, z];
в) при а > αο имеется
единственный элемент za = 0, минимизирующий функ-
ционал AP[z, и«].
Таким образом,
z, если 0 < а < а0;
Ζα =■' zL, где zL — любое число из [θ, г], если а = а0;
0, если а > а0,
а невязка φ (α) = ρ,2, (Λ0Ζα, ыа) равна
I 0, если 0 < a < a0,
[и2, если а^г а„.
Итак, невязка φ(α) является разрывной и не строго
/Л ""
φ (α)
монотонной функцией и уравнение относительно a
φ (α) =δ2
S2
не имеет решения для всякого б < | и \и — и. Следователь-
но, для таких б не существует приближенного решения
уравнения Az = цв, получаемого с помощью минимизацпи
функционала Ma[z, u6] с определением α по невязке,
2. Если уравнение φ (α) = δ2 разрешимо, но для неко-
торых значений б разрешимо неоднозначно, то для на-
хождения приближенных решений уравнения (2; 0,1) с
приближенной правой частью и — и«, уровень погрешно-
сти которой б известен, можно пользоваться обобщенным
методом Лагранжа, состоящим в следующем:
1) находим элемент za, минимизирующий функционал
Ma[z, и,];
2) определяем α по невязке, т. е. из соотношения
φ (α) =. δ2, беря при этом любое решение этого уравне-
ния, например, наименьшее из них.
3. Таким образом, при построении приближенных ре-
шений нелинейных уравнений вида Az = и с помощью
минимизации сглаживающего функционала Ma[z, и], во-
обще говоря, нельзя определять α по невязке.
Однако, если пространства F и U — банаховы, а опе-
ратор А — выпуклый, т. е. такой, что для любых z\ и z2
из F выполняется неравенство
\А^^т1^±{\\А21-и61Ь + 1лг,-и61ь},
то, как указывается в [54], в этих случаях параметр α
можно определять по невязке, т. е. из соотношения
φ (δ) = δ2. В той же работе [54] для произвольных не-
прерывных операторов А (линейных или нелинейных)
обосновывается так называемый альтернативный способ
выбора параметра а.
§ 6. О построении регуляризирующих операторов
с помощью минимизации сглаживающего функционала
Как мы уже отмечали в § 3, оглаживающий функци-
онал Ma[z, и] можно ввести формально, не связывая
его с вариационной задачей на условный экстремум
функционала Q[z], и строить регуляризирующий опера-
тор путем решения задачи на минимум функционала
Ma[z, и]. При этом а надо брать как соответствующую
функцию от δ, согласно определению 2 регуляризирую-
щего оператора. В настоящем параграфе будет показано,
83
что таким образом можно получить широкий класс регу-
ляризирующих операторов.
Пусть Ω[z] — стабилизирующий функционал, опреде-
ленный на множестве F\ <=■ F, всюду плотном на F, и
Τ β, — класс неубывающих неотрицательных функций,
непрерывных на отрезке [0, 6i]. Тогда справедлива
Теорема 5. Пусть А — непрерывный оператор из F
в U и zT — единственное решение уравнения Аъ = щ.
Пусть далее, для произвольного ве U и любого а > О
существует элемент za e F\, минимизирующий функцио-
нал Ma[z, и] на множестве F\.
Тогда, каковы бы ни были положительное число
б>0 в фиксированные функции (Мб) и β2(θ) из клас-
са 2'в, такие, что β2 (0) = 0 и
δ2
существует такое δο = δ0(ε, Bj, (Ь), что для любых u^U
и δ ^ δο из условия ри (и, ит) < δ для всех а, удовлетво-
ряющих неравенствам
б2
< а < β2 (δ),
βΧ(6)
следует неравенство pF(z„, zT) < ε, где za = /?!(«, a).
Доказательство. Поскольку функционал Ma[z, и]
достигает минимума при z — za, то
Ма[7а, и] <ЛГ«[г„ £].
Поэтому
αΩ [za] < Ma [za, ы] < Ma [zt, и] =
= ри (4zTj и) + αΩ [zT] = ри (ит, a) + αΩ [zr] <
<δ2 + αΩ[ΖΓ]=α{-^ + Ω[Ζτ]}.
л2 л2
Из неравенства s-τττ < α следует, что — < βΧ (δ) <βΧ (δΧ)
и — + Ω [zT] < βΧ (бх) + Ω [гт] = Я0.
Таким образом,
Q[ze] <#ο и Ω[ΖΤ] ^Я0.
84
Следовательно, элементы zT и za принадлежат компактно-
му на F множеству FНо элементов z из Fu для которых
Q[z] < Н0.
Пусть Uи0 есть образ множества Fh0 при отображении
u — Az. Поскольку отображение FH(i-^-Uhc непрерывно
(так как оператор А — непрерывный), решение уравне-
ния Az = и единственно для всякого ие£Ун0 и множест-
во Fn„ компактно на F, то согласно лемме гл. I обратное
отображение £/«„-> F Но также непрерывно (в метрике
F). Это означает, что для любого числа ε > 0 найдется
такое число γ(ε) > 0, что из неравенства
ри(щ, и2) < γ(ε) Ui,u2&Ub„
следует неравенство
Pf(zi, z2) «Ξ е,
если щ = Az\, и2 = Az2.
Далее, для и и иа = Aza имеем
Ри (и«, «) = Ри (Ala, и) < Ма [ га, и] <
^ Л/а [гт, и] = рц (Лгт, и) + αΩ [zT] =
= Ру («τ, и) + «Ω [zT] < δ2 + αΩ [zT]. (2;6,1)
Пользуясь неравенством α < β2 (б), получаем
Рс(ва, в)< {δ2 + β2(δ)Ω[ΖΓ]}''' = φ(6),
где φ (δ) — непрерывная на [0, 6i] монотонно возрастаю-
щая функция и φ(0) = 0. Очевидно, что
риЫа, ит) <ри(иа, и) +ри(и, ат). (2; 6,2)
Используя (2; 6,1) и неравенство
ри(«, ит) < δ,
получим
рЛ «а, и,) <δ+φ(δ) =ψ(δ), (2; 6,3)
где ψ (δ) —непрерывная на [0, 6i] монотонно возрастаю-
щая функция, для которой -ψ (0) = 0. Полагая δο =
= \|τ'(γ(ε)), где \|г'(2/) ~ функция, обратная функции
!/=ψ(δ), и используя непрерывность отображения
Uн<>->- FHo, получаем, что из неравенства
ри (и, щ) «S δ «S δ0
85
для всех а, удовлетворяющих неравенствам
^<α<β.2(δ),
следует неравенство
pjr(zT> z„) < ε.
Теорема доказана.
Замечание 1. Часто на искомое решение zT(x) по
смыслу задачи накладываются ограничения типа нера-
венств q>i(x) < zT(x) < ф2(я), где ф! (#) и <рг(#) — задан-
ные функции. Например, решение должно быть неотри-
цательным (q>i(#) *Ξ3 0). В таких случаях в качестве про-
странства возможных решений F надо брать функции
z(x), удовлетворяющие тем же неравенствам. Теоремы 3
и 5 настоящей главы справедливы и в этих случаях и их
доказательства остаются прежними.
Доказанная выше теорема показывает, что при постро-
ении регуляризирующих операторов путем минимизации
сглаживающего функционала Мг[г, и] параметр регуля-
ризации а, как функция погрешности правой части δ,
определяется неоднозначно. Эту функцию можно опреде-
лять не только по невязке, т. е. из условия ри \Aza, wj) =
= δ, как указывалось в § 4, но и другими способами.
Некоторые из них рассматриваются в §§ 7 и 8. Выбор
того или иного способа определения параметра регуляри-
зации определяется характером имеющейся информации
об исходных данных.
§ 7. Квазиоптимальное значение параметра
регуляризации и другие
В ряде задач вместо точной правой части щ уравно-
ния (2; 0,1) мы имеем ее приближение и, уровень по-
грешности которого, т. е. ри(и, ит), нам неизвестен.
В таких случаях приближения к zT также можно нахо-
дить путем минимизации сглаживающего функционала
Ma[z, и], но очевидно, при этом не представляется воз-
можным находить параметр регуляризации α по ненязко.
В таких задачах можно пользоваться квазиоптимальпы.м
значением α или значением а, определяемым по отно-
шению ДВуХ НОРМ ((Хотя)·
В настоящем параграфе дается краткое (рефератив-
ное) описание алгоритмов нахождения таких значений а.
£6
1. Рассмотрим сначала квазиоптимальные значения,
two. Этот способ нахождения α был предложен в [169].
Обоснование его для некоторых классов задач содержится
в [112].
Предположим, что пространство F — нормированное.
По определению, содержащемуся в [169], квааиоптималь-
ным значением параметра а называется такое значение
а, которое реализует
ml sup
α p£/(ue,ttT)<6ll
da. fl/'
где sup берется по всем возможным правым частям иь
уравнения (2; 0,1), удовлетворяющим неравенству
Ри(щ, Hi) *ε δ.
Для приближенного нахождения акв.0 требуется нахо-
дить регуляризованиые решения z„, отвечающие большо-
му числу возможных правых частей щ. В реальных зада-
чах часто мы имеем только одну, конкретную правую
часть ««. В этих случаях мы можем найти лишь значе-
ние а, реализующее
inf
a>0
dzt
а
da
Это значение также называют квазиоптпмальным. Если
таких значений несколько, то в качестве акв.0 берут наи-
меньшее пз них. Это ослабленная форма квазиоптималь-
пого а.
На модельных примерах показана (см. [73, 169, 174])
эффективность этого способа определения параметра a
для некоторых классов задач. В [112] дается обоснова-
ние возможности такого способа выбора параметра регу-
ляризации при решении вырожденных (и плохо обуслов-
ленных) систем линейных алгебраических уравнений.
При этом уточняется определение анв.0 в исходной и ос-
лабленной формах. Приведем основные результаты из
[112].
2, Пусть А — неотрицательно определенная симмет-
ричная матрица размерности пХп, а z и ц — га-мерные
векторы евклидова пространства R". Рассмотрим вырож-
денную систему линейных алгебраических уравнений от-
носительно z:
Az = и, (2; 7,1)'
87
где 2, i/eR", z= (zi, z2, ..., zn), u= («i, и2, · · ·, и„).
Полагаем |jz| = Ι 2 z4 \ Ц и | = j 2 u\\ .
U=l J _ 4=1 J
Пусть правой части и = и отвечает множество реше-
ний FA. Нормальным решением системы (2; 7,1) называ-
ется такой вектор z0 <= FA, что || z01 = inf || г \\ ).
герд
Пусть вместо и мы имеем вектор и е Rn, и пусть
| и — и J = δ· Требуется найти приближение z к вектору
z0 такое, что ||z — zofl->-0 при δ->0. В качестве искомо-
го приближения можно брать решение уравнения [109]
Az + az = u, a > 0, (2; 7,2)
при соответствующем а = а(и), зависящем от и.
Уравнение (2; 7,2) имеет единственное решение za
при всяком векторе iteR" и любом а>0 [132]. Непо-
средственной проверкой убеждаемся, что вектор va =
= a-v— является решением уравнения
Αν -\- αν = Aza — и.
Пусть 0 < λ, *£ λ2 =С ... < Km (1 < m ^ n)' — нену-
левые собственные значения матрицы А, а g>i, φ?, ·.·
..., cpm — ортонормированная система соответствующих
собственных векторов. Хорошо известно**), что векторы
и ж и единственным образом можно представить в виде
η η
и = μ + 2 "аФь. " = Σ "fc<Pb, (2;7,3)
где ||μ[|<δ и μεΡΑ.
3. Рассмотрим ослабленную форму выбора квазиопти-
мального значения параметра регуляризации.
Пусть ψ(α) =[i>cc|P· В качестве квазиоптимального
значения а (в ослабленной форме) берется a = ao(u)>
являющееся наименьшим из значений а, при котором
функция ψ (α) имеет локальный минимум. Отметим, что
таким значением может быть и a = 0.
*) См ты;,ке гл. III.
**) См., например, Колмогорова Α. Η., Φ о м и и С. В. Эле-
менты теории функций и фуршционального анализа.— М.: Наука,
1976.
88
Справедливы следующие свойства функции ψ (α):
1) ψ (а) и ее производная \|/ (α) непрерывны при
α >0;
2) если μ = 0, то Нш ψ (α) = 0; следовательно,
α-+0
можно полагать, что \|з(0) — 0;
3) если μ φ 0, то Hm ψ (α) = + οο.
α->+0
Мы не будем останавливаться на их доказательстве.
С помощью этих свойств доказывается
Теорема 6. Для любой правой части и и 0 < 6 < б0,
где бо — некоторое положительное число, существует
единственное cw 0 = <Хо(«).
Отметим, что в случае μ = 0 ссо(м) = 0.
Справедливы также следующие теоремы.
Теорема 7. Пусть последовательность векторов {ип}
сходится к вектору и при гс->оо и для каждого η соот-
ветствующий вектор μη в представлении ип в виде (2; 7,3)
не равен нулю, т. е. μπ φ 0. Тогда при и->оо zao (un) -*■
->zo, где ао(и„)—квазиоптимальное значение а, отвеча-
ющее правой части ип.
Теорема 8. Пусть последовательность векторов
{ип} сходится к вектору и при п-+оо и для всякого η
соответствующий вектор μ„ в представлении ип в виде
(2; 7,3) равен нулю, т. е. μ„ = 0, и поэтому акв.0 =
= αο(«η) = 0.
Если в качестве приближенного решения системы
(2; 7,1) с правой частью и = ип брать вектор z° (un) =
= lira za„ (иη), то последовательность {z°(un)} сходится
к Zq при η —*■ оо и
|Ζ°("η) — 20||<сбп,
где с — константа, не зависящая от δη и δη = \ип — и\.
4. В [112] рассматривается также «глобальная» фор-
ма выбора квазиоптимального значения а, состоящая в
следующем. Пусть б — заданное число. Рассмотрим сле-
дующую задачу на условный экстремум:
найти вектор u%^W такой, что при фиксированных
α и δ (α > 0, δ > 0)
1 ^α ("δ) Τ = sup Ι νΛ (и6) f.
|)и6-й|)<в
89
Если |и|>б, то она эквивалентна такой задаче:
найти вектор и" е Rn такой, что при фиксированных
α и δ (а > 0, δ > 0)
lk(«6a)I2= sup KMip.
l!u6-u|-6
Устанавливается, что при условии | и || > δ для всех
α > 0 определена функция
Ψ6 (α) = max fl va (u6) f = max | va (u6) jj2.
|"δ-""1<δ ||иб-"!И
Под квазиоптимальным в «глобальной» форме значением
cio(б) парахметра регуляризации а понимается наимень-
шее из чисел α > 0, реализующих локальные минимумы
функции Ψ&(α).
Справедливы следующие теоремы, на доказательстве
которых мы не будем останавливаться (см. [112]).
Теорема 9. Если δο — достаточно малое число, то
для любого δ, 0 < δ ^ δο, существует единственное α0(δ)
и
где Вх и Въ — константы, не зависящие от а и δ.
Теорема 10. Регуляризованное решение zao{6) урав-
нения (2; 7,2), отвечающее параметру α = αο(δ), схо-
дится к Zo при δ-»-0.
Если матрица А не является неотрицательно опреде-
ленной и симметричной, то вместо уравнения Az = и па-
до рассматривать уравнение A*Az = A*u, а вместо урав-
нения (2; 7,2) — брать уравнение
A*Az + az = А*и,
являющееся уравнением Эйлера для функционала
Ma[z, и], и применять теоремы 6—10 к этому уравне-
нию. При этом υα является решением уравнения
Α* Αν -f αν = A*(Aza — и).
Эти теоремы позволяют утверждать, что оператор
Ri{u, а) нахождения вектора za, минимизирующего
функционал Ma[z, и], с определением а как квазиопти-
мального значения (в ослабленной или в «глобальной»
формах), является регуляризующом.
_90
5. Рассмотрим другой способ определения а = а(и) —
по отношению норм ||i>all и ||zj|*). Этот способ был пред-
ложен в [73] и с успехом применялся при решении не-
которых классов задач. В работе [112] дается обоснова-
ние его для систем линейных алгебраических уравнений.
При этом в. качестве α (и) берется наименьшее из значе-
ний α > О, при которых достигается локальный минимум
функции 1(a):
k.-K-'lfJ'.f ♦(«)
ξ(α) IU*-u«3 и „f μ.
α Ι
Это значение а(и) будем обозначать через <x,q(uJ.
Справедливы следующие свойства функции ξ (а):
1) |(а) и ее производная ξ'(α) непрерывны прп
а>0.
2) Если μ φ О, то lim ξ (α) = lim ξ (α) =* 1.
а-»+0 а->а>
3) Если μ = 0, то lim ξ (α) = 0.
а-»+0
Следовательно, можно положить %(0) = 0.
ТеоремаИ, Для всякого вектора и существует един-
ственное ао(и).
Справедливы также теоремы, аналогичные теоремам
7 и 8. Мы не будем останавливаться на доказательстве
этих теорем и свойств функции ξ (α).
Подобно «глобальному» выбору квазиоптимального
а можно сформулировать определение «глобального» вы-
бора а на основе функции % (а). Для этого вместо функ-
ции ξ (α) надо рассматривать функцию
фв(«)- sup И'А«(»Л-ЛЧ*8Ы-".)Г.
|]иб-й|]<в И2а("б)-"б12
Пусть а0(б) —соответствующее а. Его свойства анало-
гичны свойствам «глобального» квазиоптимального αο(δ).
Приведенные результаты позволяют утверждать, что
оператор /?г(м, а) нахождения вектора za, минимизирую-
щего функционал Ma[z, и], с определением а с помощью
функции %(а) или Фа(а), является регуляризирующим.
*) Матрица А, как а в п. 2, предполагается симметричной и
που грицателыш определенной.
91
Следует отметить, что описанные здесь способы не
требуют знания числа δ для определения значений
ao(u), αο(δ) и ао(и), αο(δ) параметра регуляризации.
§ 8. Еще об одном классе задач, приводящих
к минимизации сглаживающего функционала.
Связь регуляризованных решений с квазирешением
1. Пусть А — непрерывный оператор, действующий из
F в U, обратный к которому А~{ не является непрерыв-
ным, и zT, мт — элементы из F и U, связанные соотноше-
нием AzT = uT. Пусть вместо элемента щ задано некото-
рое его приближение α <ξ £/, на котором обратный опера-
тор Л-1 может быть и не определенным. Пусть, далее,
Q[z] —неотрицательный непрерывный функционал, опре-
деленный на множестве Fi, всюлу плотном на F. Рассмот-
рим следующую задачу: ч
среди элементов множества /*\, удовлетворяющих ус-
ловию Q[z] < R2, где R — известное число, найти элемент
zR, на котором достигается
inf pu {Az, и).
К таким задачам приводится широкий класс задач
синтеза систем (конструкций). В самом деле, пусть z—
совокупность компонент (элементов) системы и Az — а —
интересующие нас характеристики на «выходе* системы.
Обычно требуется создать систему с заданными характе-
ристиками на «выходе», т. е. с заданным и. Полагаем,
что z и и являются элементами метрических пространств
F и U с расстояниями рР(·, ·) я рЛ·, ·) ·
При заранее заданном и = и может не существовать
элементов z из F, для которых Az — и. Поэтому естест-
венно задачу синтеза системы с заданными характеристи-
ками и на ее «выходе» ставить так:
найти элементы (или элемент) zeF, на которых
функционал pu(Az, и) достигает своей точной нижней
грани на F.
Однако решение такой задачи может достигаться на
элементах z (т. е. совокупностях компонент системы), не
реализуемых или трудно реализуемых на практике. По-
этому обычно ставят дополнительные условия — ограни-
чения на сложность совокупности компонент z. Во многих
92
случаях мерой сложности элементов z могут служить
значения неотрицательного функционала Q[z], определен-
ного на множестве F\<=-F, и упомянутые дополнительные
условия можно записать в виде неравенства Q[z] < /?2,
где R — известное число. Множество Р\я s (z: Q[z] < R2}
есть множество допустимых элементов z, т. е. совокупно-
стей компонент системы. Таким образом, задачу синтеза
системы можно поставить так:
среди элементов z <= Fi „ найти элемент z, минимизи-
рующий функционал pu(Az, и) на множестве /'Ун, т. е.
такой, что
ри (Az, и) = inf ру (Az, и).
zeFl,R
Задачами такого рода являются некоторые эадачи
синтеза антенн с приближенно заданной диаграммой на-
правленности и, элементы которых z должны удовлетво-
рять требованиям, выражаемым неравенством (см.
гл. VIII) Q[z] <R2.
Пусть F и U — полные нормированные пространства
и Q[z] — неотрицательный функционал, определенный
на множестве Ft с F, всюду плотном на F, и обладающий
свойствами:
а) он строго выпуклый;
б) Ω[0] =0;
в) для всякого фиксированного z φ 0 из множества
^i φ (β) = Ω[βΖ] есть строго возрастающая функция пе-
ременной β такая, что
lim φ (β) = + оо;
β-»+οο
г) для всякого R > 0 множество FliR = {z; ze Fu
Q[z] *ξ R2} есть компакт на F.
Тогда элемент zR, на котором достигается точная ниж-
няя грань функционала pu{Az, и) на множестве FliR при-
надлежит FitR и удовлетворяет условию Ω[ΖΒ] = R2
(см. [66]). Поэтому исходная задача в этих условиях
сводится к классической задаче на условный экстремум
функционала pu(Az, и) при условии Q[z] = R2. Ее мож-
но решать методом неопределенных множителей Лагран-
жа, т. е. находить элемент za, минимизирующий сглажи-
вающий функционал Ma[z, и], а параметр а определять
из условия Q[za] = R2.
93
Так как функция ω (α) =Q[z„], как показано в § 4,
невозрастающая (а если А—линейный оператор и Ω [г]
имеет не равную нулю производную Фреше, то строго
убывающая), уравнение ω (α) = R2 разрешимо (следо-
вательно, метод Лагранжа реализуем).
В вычислительной практике значение а можно при-
ближенно находить как подбором из заданной совокуп-
ности значений «i, аг, ..., а„ (как описано в § 4 п. 3),
так и методом касательных Ньютона, так как в [123,
124] установлено, что функция он (β) =ω(1/β) является
выпуклой вниз и потому метод Ньютона сходится при
любом начальном приближении βο > 0. Необходимая при
этом производная уа = dza/da является решением урав-
нения (2; 4, 6),
Мы рассмотрели возможность построения приближен-
ных регуляризованпых решений путем минимизации
сглаживающего функционала Ma[z, u]c последующим оп-
ределением параметра а тем или иным способом (соот-
ветственно имеющейся исходной информации) для уравне-
ний A z =*■ и, в которых оператор А — непрерывный. В ряде
работ аналогичные вопросы рассматривались для уравне-
ний, в которых оператор А является замкнутым или за-
мыкаемым (см. [116]).
2. Ранее были определены понятия квазирешений и
регуляризованных решений уравнения Аъ = и. Здесь мы
укажем связь между этими понятиями, установленную
в [81]. Пусть
Az = u, (2; 8,1)
z e F, и e U, где F и U — банаховы пространства, А — ли-
нейный оператор из F в U с всюду плотной в U областью
значений R(A) такой, что обратный ему оператор Л-1 су-
ществует, но не является непрерывным.
Пусть Ω[2] —непрерывный неотрицательный выпук-
лый функционал, определенный на всюду плотном на F
линейном многообразии F\ и удовлетворяющий условиям
(см. [811):
а) Ω[0] =0;
б) для всякого фиксированного элемента z из F\,
z φ 0, φ (β) = Ω[βΖ] есть строго возрастающая функция
переменной β такая, что Ига φ (β) = -f oo;
в) для d > 0 множество F\ ξ= {z, z e Flt Ω [z] < d)
есть компакт на F.
94
Очевидно, что Q[z] является стабилизирующим функ-
ционалом для уравнения (2; 8,1) и
Л- U К-
Пусть zd — квазирешение уравнения (2; 8,1) на ком-
пакте Fld, т. е. zd есть элемент, минимизирующий функ-
ционал \Az — uf на компакте F\. В работе [86] пока-
зано, что Q[zd] = d. Следовательно, при заданном d >■ О
задача нахождения квазирешения zd на компакте Fa
сводится к минимизации функционала
рЦАг, u) = \Az-uf
при условии Ω [2] = d, т. е. к задаче на безусловный
минимум функционала
Ма [г, и] = ри (Лг, α) + «Ω [z]
на множестве ^J. Если число d известно, то параметр
α определяется из условия Q[za] = d (ср. с п. 1 настоя-
щего параграфа).
Пусть элемент za минимизирует функционал Ma[z, и].
Согласно § 3 элемент za есть регуляризованное решение
уравнения (2; 8,1) на множестве F\. Таким образом, ква-
зирешение уравнения (2; 8,1) на компакте Fa есть ре-
гуляризованное решение этого уравнения. При подста-
новке элемента za в уравнение (2; 8,1) получаем невяз-
ку pu(Aza, и) = δα.
Три числовых параметра: d, а и δα связаны двумя
соотношениями:
Ω [г.] = d, p„ (Aza, и) «= в.. (2; 8,2)
Задавая один из них, мы найдем два других параметра
из соотношений (2; 8,2). В методе регуляризации задан-
ным обычно является параметр δα — величина погрешно-
сти правой части уравнения (2; 8,1).
Так как при d\ < d2, Fxdl cz F\t1 то регуляризованное
решение уравнения (2; 8,1) на множестве Fi,«=Fi (1 Qt
(см. § 2 гл. II) принадлежит множеству Fx =« U F\.
Таким образом, семейство регуляризованных прибли-
женных решений уравнения (2; 8,1) состоит из квазире-
шений на семействе расширяющихся компактов /' <j.
95
3. Регуляризованное решение уравнения Az = и мож-
но также строить в виде ряда. Пусть F и U — гильберто-
вы пространства и Л — вполне непрерывный линейный
оператор из F в U. Пусть Fi — гильбертово подпростран-
ство пространства F с такой мажорантной нормой |]z||i,
что для любого d > О множество элементов г из F\, для
которых |]z||i^d, компактно в F. Тогда в качестве ста-
билизатора можно брать функционал Ω [z] = ||z |x = {Lz, z),
где L — линейный оператор. В этом случае уравнение
Эйлера для сглаживающего функционала Ma[z, и] имеет
вид
A*Az + aLz = A*u. (2; 8,3)
А*А — самосопряженный оператор. Пусть {φ„}—полная
система его собственных элементов, а {λη) — отвечающие
им собственные значения.
Как известно, А*и можно представить в виде ряда
оо
А*и = 2 спЦ>п.
п=1
Если решение уравнения искать в виде ряда
со
z= Σ bnyn,
n=l
то для коэффициентов его получаем формулы
Ъ = '"
где g„ — коэффициенты разложения Lz в ряд по элемен-
там φη. Параметр α определяется по невязке (ср. с теоре-
мой 4 на стр. 76).
Вариационные методы решения некорректно постав-
ленных задач рассматриваются также в [24]. Оценки
погрешностей приближенных решений приводятся в
[27, 29].
4. Задачу решения уравнения Az = и можно рассмат-
ривать как задачу вычисления оператора z = A~xu. По-
строение регуляризованных приближенных решений
уравнения Az = и можно трактовать как задачу нахож-
дения семейства непрерывных операторов R(u, α),опре-
деленных на всех элементах и е U и аппроксимирующих
значение оператора А'1 на элементах u^^AF. Пользуясь
96
такой трактовкой задачи решения уравнения Az = и,
можно решить вопрос об условиях его регуляризуемости.
В [26] показано, что для регуляризуемости уравнения
Az = и необходимо и достаточно, чтобы оператор А~1
принадлежал первому баровскому классу. Этот результат
аналогичен известной теореме математического анализа
о представлении функций первого бэровского класса
в виде пределов последовательностей непрерывных
функций.
5. Мы описали один из способов построения регуляри-
зирующих операторов, основанный на вариационном
принципе. Будем называть его в дальнейшем вариацион-
ным способом построения регуляризирующих операторов
(Р. О.).
Можно указать и другие способы построения регу-
ляризирующих операторов. Один из способов, основан-
ный па использовании спектра оператора А, содержится,
например, в работах [17, 19, 20] (см. также работы
[111, 191, 192]). Для операторов А типа свертки в гл. V
дается способ построения Р. О. с помощью использования
интегральных преобразований Фурье, Лапласа, Меллина
и др. В [5—7] и [158] также рассматриваются Р. О.
для уравнений типа свертки. В следующем параграфе
рассматривается возможность построения регуляризиру-
ющих операторов методом итераций.
§ 9. Метод итераций нахождения приближенных
решений уравнений вида Az = и
1. Приближенные решения уравнения Az — и, устой-
чивые к малым изменениям исходных данных, можно
также строить методом итераций (см. [18, 98, 99, 106,
120, 125, 160, 162]) вида
zn = R(u, zn_i, ..., zn_J, к < га.
Чтобы они были устойчивыми к малым изменениям
исходных данных, номер итерации z„, которая принима-
ется за приближенное решение, надо брать согласован-
ным с уровнем погрешности исходных данных. Так, если
оператор А задан нам точно, а правая часть и известна
с погрешностью б, то надо брать η зависящим от δ, η —
= η(δ). Здесь параметром регуляризации является по-
мер итерации, т. е. а = п.
4 А · Н.^Тихонов, В. Я. Арссшш
97
Иногда можно получить априорную оценку уклонения
z„ от zT (см. [106, 125]):
pF(z„, zT) <В(8, η)
и, минимизируя В (δ, η), найти и (δ). В ряде случаев
η (δ) находится по невязке. Ниже приводится краткое
(реферативное) описание некоторых итерационных алго-
ритмов.
Пусть в уравнении
Az = u (2; 9,1)
А есть линейный, самосопряженный, положительно опре-
деленный и вполне непрерывный оператор. В [189]
предложен следующий итерационный алгоритм:
zn+l = zn + X[u-Azn], « = 0,1,2,... (2; 9,2).
Если правая часть и известна точно, то справедлива
Теорема 12. Пусть оператор А действует из гиль-
бертова пространства Η β Η (т. е. z, не Н). Тогда после-
довательность {zn} сходится к решению уравнения
(2; 9,1) при любом z0^ Η и произвольном λ, 0 < λ < 2λ],
где λ[ — наибольшее собственное значение оператора А.
Если правая часть в уравнении (2; 9,1) задана с по-
грешностью δ, т. е. вместо щ имеем «s, || «в — ит | ^ δ и
zn+1 = zn + λ [иб — Azn], n = Q,\,21...,
то справедлива оценка [189]
l<-z.r|<|zn-zI|l4c(«)6i
n-l
где c(n) = %£j\\E — λ^|| , a E — единичный оператор.
Используя теорему 12 и выбирая п = п{Ь) так, чтобы
с (и (δ)) δ стремилось к нулю при δ->0, получим сходи-
мость z* к zT [189].
Если оператор А не является самосопряженным, то
вместо уравнения (2; 9,1) надо рассматривать эквива-
лентное уравнение
A*Az = А*и.
2. В [99] рассмотрен следующий итерационный алго-
ритм для построения приближенных решений уравнения
(2; 9,1) при тех же предположениях об операторе А
(см. п. 1):
Azn+i + Bzll+l = Bzn + u (2; 9,3)
98
или, в эквивалентной форме,
zn+1 = Czn+(A+B)-*u, п = 0, 1, 2, ....
где С = \А -f- В) ~1В, а В — линейный ограниченный са-
мосопряженный положительно определенный оператор,
действующий из Η в Н. Справедлива
Теорема 13. Если Лгт — ит и β уравнении (2; 9,1)
м == ifTj ro последовательность {zn}, получаемая по пра-
вилу (2; 9,3), сходится к zT.
Если вместо ит мы имеем «s и J иц,— ит|^б, то для
элементов zn, получаемых по правилу (2; 9,3), справед-
лива оценка [99]
где тпв = inf (z, Bz) > 0, а Л/0(гс)->-0 при п->-оо. Вы-
бирая п — п(Ь) так, чтобы би(б) -»-0 при δ -ν 0, получим
7δ —ν 7
Если в уравнении (2; 9,1) оператор А задан также с
погрешностью, т. е. вместо А — А0 имеем А — А0-\- АА
и j|A^4[|s^ Μδ, Ι «β —- "τ Κ δ, то в предположении, что
(А +В)~1АА\\ < 1 и [JujKiVj. справедлива оценка [99]
lzb-zTl^M0(n)+£-[T + o(6))t
В
где Г —число, не зависящее от η и б. Выбирая η = η (δ)
так, чтобы бга(б) -*-0 при и-»- оо, получимz6 & ->- zT.
§ 10. О построении приближенных решений
уравнения Az — и в случаях, когда приближенно
заданы правая часть и оператор Л
Мы рассмотрели методы построения приближенных
решений уравнений вида Az = ц, устойчивых к малым
изменениям исходной информации, когда неточно задан-
ной была лишь правая часть уравнения, а оператор А
предполагался известным точно. В, настоящем парагра-
фе мы рассмотрим задачу построения приближенных
решений уравнений Az = и в случаях, когда приближен-
ными могут быть как правая часть, так и оператор А.
Такая задача рассматривалась в [52].
4*
99
1. Пусть гт единственное решение уравнения AQz =
= u.s, где Ζτ ef, цт <ξ U и оператор Ло осуществляет не-
прерывное отображение из F в U. Пусть вместо точных
исходных данных {Aq, uT) мы имеем приближенные ис-
ходные данные {Ah, h; u6, δ} характеризуемые положи-
тельными числами h π δ следующим образом.
Число δ характеризует погрешность правой части ив
неравенством ри(иь, ΜΓ)<δ. Число h может характери-
зовать погрешность Ah по-разному.
Первый способ. Если Ао и Ац — линейные опе-
раторы на F и F — нормированное пространство, то мож-
но полагать, что
II Ah — Л ||и = sup pu {Ahz, Aaz) < h-
И1=1
Второй способ. Пусть Q[z] — фиксированный
неотрицательный фупкциоиал, определенный на мно-
жестве Fi cz F. Тогда можно полагать, что
*е£, {Ω [z]}l/i
ОМ=£0
на элементах z&Fi, для которых Q[z] =И= 0. Для опре-
деленности мы будем в дальнейшем пользоваться этой
последней оценкой Ah. Отметим еще раз, что вместо
точных исходных данных (А0, ит) нам даны не только
их приближения Ah и и6, но также и пара чисел γ =
= (h, δ) характеризующих погрешности этих прибли-
жений.
При наличии такой информации об уравнении AQz =
= uT можно говорить .лишь о нахождении приближений
z-f к zT, притом таких, что zT стремится к zT при δ и /i,
независимо стремящихся к нулю. Мы будем выражать
это также словами: найти приближенные к zT решения
z^ уравнения Ahz = us, сходящиеся к zT при б-»-0 и
/г->0.
Итак, задача состоит в нахождении приближенных к
zT решений zT уравнения
если известно, что ри ("β> "τ) ^ δ, \\Ah — A0\\a^h n из-
вестны также числа δ π h.
100
2. В качестве таких приближенных решений можно
брать регуляризованные решения, получаемые с по-
мощью регуляризирующих операторов. Дадим определе-
ние Р. О. для рассматриваемых задач.
Пусть SI — некоторое семейство операторов А дейст-
вующих из F в U, содержащее оператор Аа.
Определение. Оператор R(u, А, а), зависящий
от параметра а, со значениями из F, называется регуля-
ризирующим оператором для уравнения Az = и (отно-
сительно элемента щ и оператора А0), если он обладает
свойствами:
1) существует такая пара положительных чисел
(hi, б\), что оператор R(ut, Ah, а) определен для всяко-
го а > 0 и любых щ е U и Ah e §1 таких, что
Ри(ив, "τ)<δ<δκ 1Ил — Л|а<Л<Л1;
2) существует такая функция от γ = (h, δ), α=α(γ),
что для любого ε>0 найдется пара чисел γ(ε) =
— (h(e), δ (ε)) такая, что если Ut&U, /Це§1 и
μΛ -40||в<А<А(е),
pci(tis, ит)< δ < δ(ε), то pp(za, Ζτ)<ε,
где
za = /?(us, 4Λ, α (γ)).
В этом определении не предполагается однозначность
оператора R(u, А, а). Отметим, что функция α(γ) за-
висит также от Ut и Ah.
Если вместо щ и AQ нам известны их приближения
щ и Ah, а также числа δ и А, характеризующие степень
близости и» к и, и it к До, то в качестве приближенных
решений уравнения Ahz = us можно брать значения ре-
гуляризирующего оператора, т. е.
z„ = R(us, Ah, α(γ)),
в котором параметр α = α(γ, us, 4Λ) согласован с пог-
решностью γ исходных данных (us, /4ft). Получаемые
таким образом приближенные решения, очевидно, устой-
чивы к малым изменениям исходных данных.
3. Доказательство существования регуляризирующих
операторов, получаемых вариационным способом путем
минимизации стабилизирующих функционалов й[г], про-
водится совершенно аналогично рассмотренному ранее
случаю, когда оператор А известен точно. При этом
удобно воспользоваться определением Р. О., аналогичным
101
определению 1 на стр. 54. Мы пе будем здесь приво-
дить доказательства теоремы, аналогичной 2 почти до-
словно совпадающего с рассуждениями, изложенными на
стр. 62—64.
4. Регуляризирующие операторы для рассматривае-
мого здесь случая, как и в § 3, можно строить с по-
мощью минимизации сглаживающего функционала вида
М* [z, щ, Ah] = pi (Ahz, и6) + αΩ [z]t
где Ω[z] — стабилизирующий функционал, определенный
на множестве F\, всюду плотном на метрическом прост-
ранстве F, щ — элемент метрического пространства U,
ри(иь, uT)sS δ, а 4„е§1 n\\Ah— Л0|1о<Л.
Для функционала Ma[z, ue, Ah] справедливы теоремы,
аналогичные теоремам 3 из § 3 и 5 из § 6.
Теорема 14. Пусть Ah — непрерывный оператор из
линейного метрического пространства F в метрическое
пространство U и Q[z]—стабилизирующий функционал,
порождающий гильбертово пространство F\ с мажорант-
ной метрикой.
Тогда для всякого элемента u^U и любого а > О
существует элемент za e F\, на котором функционал
М* [z, ux Ah] = p^ (AhZi и) + αΩ [г]
достигает своей точной нижней грани на множестве F\.
Доказательство этой теоремы проводится совершенно
аналогично доказательству теоремы 3, поэтому мы не
будем приводить его. Так же, как в случае теоремы 3,
показывается, что если оператор Ah — линейный, F —
гильбертово пространство, а Ω[2]—строго выпуклый
(например, квадратический) функционал, то элемент
2а — единственный.
Элемент za можно рассматривать как результат дей-
ствия оператора /?г(«о, А к, ее), определенного для всех
а >■ 0 и любых иь е £/ и Ah e 91. Из приводимой ниже
теоремы 15 непосредственно следует, что оператор
/?2(«о, Ah, а) является регуляризирующим для уравнения
Az= и, однако этот оператор определяется неоднознач-
но, так как зависит от выбора функции α = α(σ).
5. Пусть Ω[2]—стабилизирующий функционал, 51 —
семейство операторов Ah, зависящих от параметра h,
102
Обозначим через Γσ, класс неотрицательных, неубы-
вающих и непрерывных па отрезке [0, oi] функций
β (σ). Справедлива следующая
Теорема 15. Пусть гт — решение уравнения A0z —
= Щ, А0 и 4,,е§1—непрерывные операторы из метри-
ческого пространства F в метрическое пространство U
и Q[z] —стабилизирующий функционал с областью опре-
деления F\ с: F. Пусть, далее, для любого а > 0 и про-
извольных Ut^U и ЛЛе91 таких, что ри(и^, щ) < δ < 6i,
\Ah— A0\\Q^.h^.hi, где Ь\ и h\ — заданные числа, су-
ществует элемент za = i?2(we, Ah, a), za&F\, минимизи-
рующий функционал Ma[z, ив, Ah] = p'^(Ahz, иь) -j-αΩ [z]
на множестве F\.
Тогда, каковы бы ни были функции pi (σ) и β2(σ) из
класса Τσ, такие, что o2/pi(o) *S β2(σ) и β2(0)=0, для
всякой положительной на (0, oi) функции α(σ), удо-
влетворяющей условиям
ρ-^<α(σ)<β2(σ), σ < σΧ = hxR + δΧ,
элементы 2α(Δ> = i?2(ti0, ^/., α (Δ)), где Δ = Ai? + δ, сво-
дятся к zT и/ж γ Ξ= (Α, δ)->-0, г. е. lim pF (га(Л\ гт) = 0.
v-»o
Здесь R — произвольное фиксированное число, такое, что
Q[zT]<R2.
Доказательство. Пусть элемент za минимизирует
функционал Ma[z, щ, Ah]. Тогда для всякого α >· 0
Ma[za, и,, Ah] <M°[zr, и,, А].
Поэтому
αΩ [za] < Ma [za, ив, Ah] < Μα [zT, ив, Ah\ =
= p^ (4hzT, ме) + «Ω [zT] <
< {ρυ {AhzT, A0zT) + ρυ (A0zT, uT) -f- pu (uT, u6)}2 -f- αΩ [zT]
Поскольку ρυ(ΑηΖτ, Α0Ζτ)<. h{Q[zT]}U2 и pv(u6, ит)<б,
то
aQ[z»] < (Α{Ω[ΖΙ]}1/2 + δ)2 + αΩ[ΖΙ].
Следовательно,
Ω[2α]<^ + Ω[ΖΤ],
где
103
Пользуясь условием A2<a(A)|5i(A), получим
Ω[Ζα(Δ)]<β,(Δ)+Ω[Ζτ]<β1(σ,)+Ω[ΖΙ]. (2; 10,1)
Неравенство (2; 10,1) справедливо для любой положи-
тельной на (0, oi] функции α·=α(Δ), удовлетворяющей
для всех Де[0, oi] условию Δ2 < Pi(A)a(A). В даль-
нейших рассуждениях α = α(Δ) будем считать фикси-
рованной функцией такого типа.
Пусть [ибп] — последовательность элементов uen es
ei/, а [Ahh\ — последовательность операторов, осущест-
вляющих непрерывное отображение F на U таких, что
последовательности чисел ρυ («δ„, ит) = δη, \\А,1к —
— Ай1)д — кк сходятся к нулю при п, к-+ео. Этим по-
следовательностям отвечает последовательность элемен-
тов zan·". an,h = a (An.fc), S.n,h — hkR + δ„, принадлежа-
щих компактному на F множеству
ρ= {z; Q[z] ^β,(σ,)+Ω[2Ι]}.
Следовательно, из последовательности {z™"·'1! можно вы-
делить сходящуюся к элементу множества F подпоследо-
вательность [z r "].
Пусть
hm z r' « = z.
Введем обозначения: za"'-''<i=zr,„ а„гЛ = ar·8. Для всяких
η, и /с, имеем
Ри (A0zr,e, нт) <
Ahhszr,s, Aoz>,s) 4- pu ("e„r> "τ) <
< Pv (Ahhzr< „ u6nr) + hhs {Ω [z,.,]}1'2 + бПг <
< |/~M«r's[z„5, щПг, Лч] + Α», {Ω [г,.,]}1/" + бПг <
< |/"M«r·5 [zT, ич, 4ftAJ + hht {Ω [z. ,,]}ν2 + 8пг <
< Υ~9%(ΑΗΖΥ, Μ6;1)) + α'·*Ω[Ζτ] + Α», {Ω [z,.,] }V» + б„г <
<{[pu (AhhazT, A0zT) + pu (/luzT, uT) +- рс (щ11г, ит)]2 f
104
+ α'··Ω [z,]}1/2 + hk$ {Ω [2pi,]}^ + 6Пг <
<{{hhAQ[zT)}^+6ni)4a^lzT]}^+hks{Q[zrJ}^+bnr^
= (Mr,hs + α'·'Ω [Ζτψ* + hki {Ω [zr,s]}1/.2 + 8nr.
Используя условие ar,s^P3 (АП/.,й8) и оценку (2; 10,1)
с заменой za(A) на zr, „ получим
9и {A0zr,ai ит) < (Δ^,Λβ + β·2(Δη,.Λ) Ω [z,])1/^ +
Ото неравенство выполняется для всякой пары чисел пт,
λ·,. Переходя в нем к пределу при пг-*-°° и /с.-^оо,
получим pu(^4oZ, wT) = 0. Следовательно,
ΑαΖ,— Ит.
Из условия единственности решения уравнения A0z =
= щ следует, что z = zT. И так для всякой сходящейся
подпоследовательности последовательности {z""·'1). Следо-
вательно, последовательность {га">й} сходится к решению
zT уравнения A0z = щ. А тем самым и Ζα(Δ> сходится к
zT при γ == (δ, h)-*-0. Теорема доказана.
6. Из этой теоремы следует, что существует беско-
нечное множество регуляризирующих операторов для
уравнения Az = и. Множественность их определяется
как возможностью выбора различных стабилизирующих
функционалов Q[z], так и существованием различных
функций α = α(γ) от погрешностей исходных данных
при любом фиксированном стабилизирующем функцио-
нале Ω[Ζ], используемом в сглаживающем функционале
M*[z, и», Ak].
Допустим, что мы выбрали некоторый фиксированный
стабилизатор Ω[Ζ] и, находя элементы zaeFi, миними-
зирующие сглаживающий функционал, строим прибли-
женные (к zT) решения уравнения Ahz = иь.
Как при этом можно выбирать параметр а? Применим
ли в таких задачах широко используемый и удобный для
реализации на ЭВМ (в форме, описанной в § 4) способ
выбора параметра α по невязке, т. е. из соотношения
ри (Ahza, ив) = δ?
Ответы на эти вопросы даны в [51, 52] и прежде,
чем их излагать, приведем следующие рассмотрения.
105
7. Предположим, что при любом h > О оператор Ah e
е SI осуществляет непрерывное отображение F на £7 и
замыкание образа F совпадает с U, т. е. Af == U.
Пусть ΑοΖτ = ит, Ω [г]—квазимонотоппый стабилизи-
рующий функционал, определенный на Fi (Fi-= F) π
2о — единственный, элемент из F\, на котором достига-
ется inf Ω [z].
Так как по условию задачи ри(щ, ий)<6, то естест-
венно искать приближенные решения среди элементов
2, удовлетворяющих условию pu(Aoz, ив)<б. Но вместо
оператора А0 мы имеем оператор Ан, для которого, оче-
видно, справедливы неравенства
pa(Akz, u6)<pu(Ai,z, Aoz)+pu(AQz, щ),
pu{A,z, A0z) <h{Q[z]}u*.
Следовательно, для возможных решений выполняется
неравенство
Pu(Ahz, Ui)^b + h{Q[z]}"\ (2; 10,2)
Имея это в виду и следуя идее метода отбора воз-
можных приближенных решений, изложенной в § 2, за-
дачу нахождения приближенного решения уравнения
Ahz·— иь можно поставить так:
среди элементов z множества
FliV = {z; ie^; Pu(Ahz, ив) < (б -f- h {Ω [г]}1/*)»}
найти элемент zv, γ = (h, δ), реализующий точную ниж-
нюю грань функционала Ω [г] на множестве Fity.
Подобно тому, как это было сделано в § 3, нетрудно
доказать, что справедлива следующая
Лемма. Точная нижняя грань квазимонотонного
функционала Q[z] на множестве
FuySa[z; ief„ рЬ (Ahz, нв)<(б + h{Q [г]}1/*)*}
достигается на элементе zv из F\, для которого выполня-
ется равенство
pb(Ahzy,u6) = b2 + h*Q[zy].
Доказательство. В самом деле, допустим, что
inf Ω[Ζ) достигается на элементе z0eF\, для которого
Ри (Ahzai ив) = δΙ < δ" + h2Q [ze] = Δ^.
106
В силу непрерывности оператора Ак (из F в U) для вся-
кого числа 6i такого, что 6o<6i<Ao, существует ок-
рестность элемента z0, 0\(z, z0), для всех элементов z
которой выполняется неравенство pu(Akz; Me)<6i. Так
как функционал Q[z] непрерывен, то существует окрест-
ность элемента z0, 02(z, z0), для всех элементов z кото-
рой выполняется неравенство б2 < δ + h2Q [z]. Следова-
тельно, для всех элементов z, принадлежащих пересече-
нию окрестностей 0\{z, z0) и 0^(z, Zo), выполняется не-
равенство
pb (Ahzt и6) < δ2 + h2Q [z]. (2; 10,3)
Поскольку функционал Q[z]—квазимонотонный, то
в любой окрестности элемента z0, 03(z, z0), принадлежа-
щей пересечению 0\(z, Zo) [\Oa{z, z0), существует элемент
Z\, для которого выполняется неравенство Q[z\] <Ω[Ζ0].
Так как для элемента z\ выполняется неравенство
(2; 10,3), то это означает, что на элементе z0 не дости-
гается inf Q[z]. Это противоречит предпосылке. Лем-
ма доказана.
8. Согласно этой лемме задача минимизации квази-
монотонного функционала й[г] на множестве F iy сво-
дится к задаче минимизации Q[z] при условии
pb{Ahz,u6) = (6-t-h{Q[z\W
и решается методом неопределенных множителей Лагран-
жа, описанным в § 3, путем минимизации на F\ соответ-
ствующего сглаживающего функционала
Ма [z, щ, Ah\ = ри (ΛΖ1 "«) + αΩ [z]
с определением α по «невязке», т. е. из условия
pb (Ahzl щ) = (б + h[Q [г?]}1/")", (2;10,4)
где z™ — элемент из F\, минимизирующий функционал
Ma[z, и,, Ак].
Введем следующие функции, определенные для всех
α >■ 0 при любой фиксированной паре γ неотрицатель-
ных чисел δ и h, γ►= (h, δ):
φν (α) = pb (AhZy, u6),
ων (α) = Ω [z"],
mv (α) — Ma[zyt щ, Ah] = φν (α) + αων (α).
107
Тогда условие (2; 10,4) запишется в виде
Δν(α) за φν(α) — (δ + h^wyia))2 — 0.
Функции φν(α) и m-i(a) при всяком фиксированном γ
монотонно не убывают, а ωτ(α) монотонно не возрастает
(см. § 4).
В.первые способ нахождения приближенных (к zT)
решений уравнений вида Ahz = ue путем минимизации
сглаживающего функционала Mrx[z, щ, Ah] с определени-
ем α из уравнения (2; 10,4) был предложен и обоспован
в [51, 52]. Функция Δγ(α) была названа обобщенной
невязкой. Если AhF φ U, то вместо Δ·,(α) надо брать
обобщенную невязку впда
Δγ(α)= φν(α) — (δ + 1гУюу(а))2 — μν,
где
μν = inf p2v (Ahz, ue),
и определять α из уравнения
Δν(α) гэ φν(α) — (δ + Α}'ων(α))2— μν = 0.
В случаях, когда операторы Ah (0 < h < /ti) линейны,
непрерывны и осуществляют взаимно однозначное отоб-
ражение F на U, F s U — гильбертовы пространства,
Ω [г]—квадратичный функционал и δ2 4- μν < II иб \\и, в
[52] показано, что при фиксированной паре γ-=(Α, δ)
функция Δτ(α) непрерывна, строго монотонно возрастает
и исчерпывает интервал (— δ2, ||мв|и — б2 — μν). Следова-
тельно, уравнение Δγ(α) = 0 имеет единственное реше-
ние α = α(γ).
Элемент zv можно рассматривать как результат дей-
ствия некоторого оператора #г(^в, Ah, а). При перечис-
ленных выше условиях в [51, 52] показано, что оператор
i?2(iie, Ah, а) с определением α из уравнения Δν(α) = 0
является регуляризирующим для уравнения Az — и и
i?2(we, Ah, α(γ))-»-ΖΓ при γ->-0.
Как отмечается в [52], если μγ<δ2, то для опреде-
ления α вместо уравнения Δγ(α) = 0 можно пользовать-
ся уравнением Δγ(α) = 0. Если вместо величины μτ из-
е
вестпа ее оценка сверху μγ такая, что
0 < μγ — μν < Ч
108
то уравнение для определения α по обобщенной невязке
можно брать в виде
rpv (α) — (δ -f h Ущ (α))2 — μ* = 0.
В [56] указываются рекуррентные формулы приближен-
ного вычисления μν.
Замечали с. Изложенный метод регуляризации при-
меним π для решения корректно поставленных задач
вида Аъ = и, например, для решения интегральных
уравнений Фредгольма второго рода.
В ряде работ рассматриваются различные вопросы,
относящиеся к некорректно поставленным задачам [1, 4,
8, 23, 01, 89, 96, 118, 121, 131, 156, 159, 161, 163, 178,
183, 196, 198, 201-203, 207, 209, 213, 216, 217, 218, 219].
Глава III
О РЕШЕНИИ ВЫРОЖДЕННЫХ
И ПЛОХО ОБУСЛОВЛЕННЫХ СИСТЕМ
ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
1. Известно, с какими трудностями связано решение
так называемых плохо обусловленных*) систем линей-
ных алгебраических уравнений: малым изменениям пра-
вых частей таких систем могут отвечать большие (выхо-
дящие за допустимые пределы) изменения решения.
Рассмотрим систему уравнений
Az=*u, (3; 0,1)
где А — матрица с элементами ац, А = {а^}, z— иско-
мый вектор с координатами zJt z~{z,}, и — известный
вектор с координатами ut, u>= {u{}, i, / ==, 1, 2, ..., п.
Система (3; 0,1) называется вырожденной, если опреде-
литель системы равен нулю, det^=0. В этом случае
матрица А имеет равные нулю собственные значения.
У плохо обусловленных систем такого вида матрица А
имеет близкие к нулю собственные значения.
Если вычисления производятся с конечной точностью,
то в ряде случаев не представляется возможным уста-
новить, является ли веданная система уравнений вырожг
денной или плохо обусловленной. Таким образом, плохо
обусловленные и вырожденные системы могут быть не-
различимыми в рамках заданной точности. Очевидно,
такая ситуация имеет место в случаях, когда матрица А
имеет достаточно близкие к нулю собственные значения.
В практических задачах часто правая часть и и эле-
менты матрицы А, т. е. коэффициенты системы (3; 0,1),
известны приближенно. В этих случаях вместо системы
(3; 0,1) мы имеем дело с некоторой другой системой
Az «= и такой, что \А— A\^h, \ и — ц|^6, где смысл
норм обычно определяется характером задачи. Имея
*) Следует ваметить, что этот термин не имеет вполне уста-
новившегося определения.
НО
вместо матрицы А матрицу А, мы тем более пе можем
высказать определенного суждения о вырожденности или
невырожденности системы (3; 0,1).
В этих случаях о точной системе Az—u, решение
которой надо определить, нам известно лишь то, что для
матрицы А и правой части и выполняются неравенства
| А — А | ^/г и \\и — и J ^ δ. Но систем с такими исходны-
ми данными (А, и) бесконечно много, и в рамках извест-
ного нам уровня погрешности они неразличимы. Поскольку
вместо точной ^истемы (3; 0,1) мы имеем приближенную
систему Az — и, то речь может идти лишь о нахождении
приближенного решения. Но приближенная система
Az — и может быть неразрешимой. Возникает вопрос:
что надо понимать под приближенным решением систе-
мы (3; 0,1) в описанной ситуации?
Среди «возможных точных систем» могут быть и вы-
рожденные. Если они разрешимы, то имеют бесконечно
много решений. О приближенном нахождении какого из
них должна идти речь?
Таким образом, в большом числе случаев мы должны
рассматривать целый класс неразличимых между собой
(в рамках заданного уровня погрешности) систем урав-
нений, среди которых могут быть и вырожденные, и не-
разрешимые. Методы построения приближенных реше-
ний систем этого класса должны быть одними и теми
же, общими. Эти решения должны быть устойчивыми к
малым изменениям исходных данных (3; 0,1).
В основе построения таких методов лежит идея «от-
бора», изложенная в гл. II при рассмотрении метода
регуляризации.
2. Итак, рассмотрим произвольную систему линейных
алгебраических уравнений (короче — СЛАУ)
Az = и, (3; 0,2)
в которой z и и — векторы, z=(z\, Z2, ..., zn)sRn, и —'
►= (u-i, иг, ..., «m)^Rm, A — матрица с элементами atj,
A = {at,}, где ;■ = 1, 2, ..., η; 1·= 1, 2, ..., m, и число
η не обязано быть равным числу т.
Эта система может быть однозначно разрешимой, вы-
рожденной (и иметь бесконечно много решений) и не-
разрешимой.
Псевдорешением системы (3; 0,2) называют вектор z,
минимизирующий невязку \Az — u\ на всем пространст-
111
ве R". Система (З; 0,2) может иметь не одно псевдоре-
шспие. Пусть FA есть совокупность всех ее псевдореше-
ний и г1 — некоторый фиксированный вектор из R", оп-
ределяемый обычно постановкой задачи.
Нормальным относительно вектора z1 решением си-
стемы (3; 0,2) будем называть псевдорешение z° с ми-
нимальной нормой \\z— z11|, т. е. такое, что
llzo-z1)^ inf ||z-zi[|.
zeFA
in ^1/2
Здесь ||z[| = |2j z)) ■ В. дальнейшем для простоты за-
писи будем считать z1 = 0 и нормальное относительно
вектора z1 = 0 решение называть просто нормальным ре-
шением.
Нетрудно показать, что для любой системы вида
(3; 0,2) нормальное решепие существует и единст-
венно.
Замечание 1. Нормальное решение z° системы
(3; 0,2) можно определить также как псевдорешение,
минимизирующее заданную положительно определенную
квадратичную форму относительно координат вектора
z—zK Все излагаемые ниже результаты остаются при
этом справедливыми.
Замечание 2. Пусть ранг матрицы А вырожден-
ной системы (3; 0,1) равен г <С η и z,+1, zr+2, ..., z„ —
базис линейного пространства NA, состоящего из элемен-
тов z, для которых Az = 0, NA = {z; Az~= 0}. Решение
z° системы (3; 0,1), удовлетворяющее п — г условиям
ортогональности
(? - z\ z,).= 0, * = г + 1, г + 2, ...., щ (3; 0,3)
определяется однозначно и совпадает с нормальным ре-
шением.
3. Нетрудно видеть, что задача нахождения нормаль-
ного решения системы (3; 0,2) является некорректно
поставленной. В самом деле, пусть А — симметричная
матрица. Если она невырожденная, то ортогональным
преобразованием
z = Vz*, и = Vu*
ее можно привести к диагональному виду и преобразо-
112
ванная система будет иметь вид
λ-iZi = и\, I — 1, 2,..., п,
где Xt — собственные значения матрицы А.
Если симметричная матрица А — невырожденная и
имеет ранг г, то η—г ее собственных значений равны
нулю. Пусть
h φ 0 для i = 1, 2, ..., г
и
h = 0 для i = г + 1, г + 2, ..., п.
Полагаем, что система (3; 0,2) разрешима. При этом
и{ = 0 для i = r -f- 1, ..., п.
Пусть «исходные данные» системы (А и и) заданы
с погрешностью, т. е. вместо А и и заданы их прибли-
жения А и и:
\А — Л[<Л, |и —и|<б.
Прп этом
И« = {2«Ц1/2, и = |1Ц1/2. (3;о,4)
Пусть ^ — собственные значения матрицы А. Извест-
но, что они непрерывно зависят от А в норме (3; 0,4).
Следовательно, собственные значения λΓ+Ι, λτ+3, ..., λ„
могут быть сколь угодно малыми при достаточно малом h.
Если они не равны нулю, то
Таким образом, найдутся возмущения системы £ пре-
делах любой достаточно малой погрешности А и и, для
которых некоторые Z{ будут принимать любые наперед
заданные значения. Это означает, что задача нахожде-
ния нормального решения системы (3; 0,2) является
неустойчивой.
Ниже дается описание разработанного в [175, 176]
метода нахождения нормального решения системы
(3; 0,2), устойчивого к малым (в норме (3; 0,4)) возму-
щениям правой части и и матрицы А, основанного на
методе регуляризации.
113
§ 1. Метод регуляризации нахождения
нормального решения
1. Пусть 2° есть нормальное решение системы
Az = u. (3; 1,1)'
Сначала для простоты будем полагать, что прибли-
женной может быть лишь правая часть, а оператор
(матрица) А — точный.
Итак, пусть вместо и мы имеем вектор и, || и — и || <! δ,
т. е. вместо системы (3; 1,1) имеем систему
Az = u7 (3; 1,2)
Требуется найти приближение ze к нормальному реше-
нию системы (3; 1,1), т. е. к вектору z° такое, что
2в->2° при δ->0. Отметим, что векторы и а и (один пз
них или оба) могут не удовлетворять классическому ус-
ловию разрешимости.
Поскольку система (3; 1,1) может быть неразреши-
мой, то inf||.4z— Μ||=μ^0, где inf берется по всем
векторам z е R". .
Естественно искать приближения га в классе Qt век-
торов г, сопоставимых по точности с исходными данны-
ми, т. е. таких, что J Az — и||<; μ + δ. Но поскольку вместо
вектора и мы имеем вектор и, то мы можем найти лишь
μ = inf J Az — u\.
Отметим, что из очевидных неравенств
\Az - и\ < I Az - и\ + | и - й\г
\Az — u\^,\Az— ыЦ + Ци —ы|
следуют оценки μ < μ + δ, μ < μ + δ, приводящие к не-
равенству |μ — μ|<δ. Поэтому будем искать прибли-
жение 2в к нормальному решению г° в классе Qt, векто-
ров z, для которых \Az — и ! <; μ -f- 2δ. Отметим, что если
имеется информация о разрешимости системы (3; 1,1),
то μ = 0 ив качестве класса Qt можно брать класс
векторов z, для которых \Az — w|^6. Класс Qc есть
класс формально возможных приближенных решений,
114
Но нельзя в качестве zs брать произвольный вектор из
класса (?в, так как такое «приближение» будет неустой-1
чивым к малым изменениям правой части уравнения
(3; 1,2). Необходим принцип отбора. Он естественным
образом вытекает из постановки задачи. В самом деле
согласно определению нормального решения искомое ре-
шение 2° должно быть псевдорешением с минимальной
нормой. Поэтому в качестве приближения к 2° естествен-
но брать вектор ze из Qt, минимизирующий функционал
Ω [г] = J 2 f на множестве Qt,.
Таким образом, задача сводится к минимизации функ-
ционала Ω[Ζ]=[|2||2 на множестве 06 векторов 2, для
которых выполняется условие \Аг — и [<Ι μ -f- 2δ.
2. Пусть 2β — вектор из Qt,, на котором функционал
|zj|2 достигает минимума на множестве Qt,. Его можно
рассматривать как результат применения к правой части
и уравнения (3; 1,2) некоторого оператора R\{u, б),
зависящего от параметра б. Справедлива
Теорема 1. Оператор R\(u, б) обладает следующи~
ми свойствами:
1) он определен для всякого u^Rm и любого б > 0}
2) при δ->0 zt = R\(u, δ) стремится к нормальному
решению г° уравнения Az = и, т. е. он является регуля-
ризирующим для уравнения Az>= и (см. определение
1, гл. II, § 1).
Доказательство. Так как Ω [г] = || г ||2 — неотри-
цательный функционал, то существует его точная ниж-
няя грань Ω„ = inf Ω [г] и такая последовательность
zeQa
{гп} векторов Ζ»ε^ что Ω [ z„] = | Ζ„|2->Ω0 при гс-> оо.
Не ограничивая общности, можно считать, что для вся-
кого η > 1
Таким образом, последовательность {zn} принадлежит
множеству Qt и замкнутой шаровой области Д. радиуса
г "= I zi |i Для всех элементов z (т. е. векторов) которой
|z|2 <[ || Zj f. По теореме Больцано — Вейерштрасса из
нее можно выделить сходящуюся подпоследователь-
115
ность [znh]. Пусть
]im ~z„k = z6.
В силу замкнутости множества
F,,a^{2;I2f</-2 = ||2lf, ze^|,
которому принадлежит последовательность {z,,}, вектор
2β также принадлежит множеству Ι<\, в, а слдивательно,
и множеству (?β, 2β е (V Так как
Ω0= liraP„J|2=[|26||\
то свойство 1) доказано.
Докажем свойство 2). Поскольку вектор ze минимизи-
рует функционал || z f па множестве (?в, то || z6 f <: ||zu j;2.
Таким образом, вектор ze принадлежит ограниченному
замкнутому множеству /<'е= {z; ||zf ^|z°|a, z «ξ Qa]. И так
для всякого δ > 0.
Пусть задана последовательность векторов {uk} та-
ких, что 1 «α—wjj == δη и 6ft —»- 0 при /с->оо. Для каждого
δ* определено множество @6ft. По доказанному свойству
1) в каждом множестве Qth существует вектор z&h e F0=
=а {z; || z J2 <[ ||2° f}, минимизирующий функционал Ω [z] =
= |zf на множестве Qoh . Таким образом, носледователь-
ности векторов {uk} отвечает последовательность векто-
ров {Z6ft}, принадлежащих замкнутому ограниченному
множеству F0ss{z; ||zf^||z°f}, и последовательность чи-
сел μ& = inf \Az — uh\, сходящаяся κ μ при к-*-оо.
zeR"
По теореме Больцано — Вейерштрасса из последова-
тельности [z6ftj можно выделить сходящуюся подпосле-
довательность [z6ft j. Пусть
lira z6k = z.
fts->cxi »
Так как z6ft «= Qok, то для всякого вектора z6h выполня-
ется неравенство
110
Переходя в этом неравенстве к пределу при /г,-»-оо в
учитывая неравенства \Цк, ~ μ| <s°\t получим ||.4z —и ||^μ.
Так как для всякого z || Az — и (| ^ μ, то \Az — и J ^ μ.
Следовательно, \Аг — Щ= μ· Поскольку векторы zeft об-
ладают свойством минимальности нормы, таким же свой-
ством обладает и вектор z. В силу этого- из равенства
| Лг — и | = μ и единственности нормального решения
следует, что z = z°.
Таким образом, подпоследовательность [z6h] схо-
дится к нормальному решению уравнения Az— и. И так
для всякой сходящейся подпоследовательности последова-
тельности {Z(,k}. Отсюда следует, что последовательность
[z&h] сходится к нормальному решению z° уравнения
Az = и. Свойство 2), а тем самым и теорема 1, дока-
заны.
3. Пусть 2в — вектор, на котором функционал Ω [z] =
= I z f достигает минимума на множестве (?в. Легко ви-
деть из наглядных геометрических представлений, что
вектор ze лежит на границе множества Qt, т. е. \\Az6 —
-и 1=^ + 26=6/).
Задачу нахождения вектора ze можно поставить так:
среди векторов z, удовлетворяющих условию \Az — и | =
= μ + 26, найти вектор ze с минимальной нормой, т. е.
минимизирующий функционал Q[z] = fzf.
Последнюю задачу можно решать методом Лагранжа,
т. е. в качестве ze брать вектор za, минимизирующий
фупкционал
Ma[z, и]=||Лг-м|2+а||г|Р, а > О,
с параметром а, определяемым по невязке, т. е. из ус-
ловия \Aza — и\— б). При этом параметр α определяется
однозначно (см. гл. И, §_4)·
4. Поскольку Ma[z, и] — квадратичный функционал,
то для любых и е Rm и a > 0 существует лишь один
минимизирующий его вектор za. В самом деле, допустим,
*) Это следует непосредственно также из того, что функцио-
нал Ω [z] — || z |f является стабилизирующим и квазимонотон-
ным (см. гл. II, § 3).
117
что существуют два вектора za и za, минимизирующие
его. Рассмотрим векторы z, расположенные на прямой
(пространства Rn), соединяющей za и za:
z = za-f β(? —za).
Функционал Ma[z, и] на элементах этой прямой есть
неотрицательная квадратичная функция от β. Следова-
тельно, она не может достигать наименьшего значения
при двух различных значениях β: β = О (z = za) и
β = 1 (2 = га).
Компоненты Zj вектора za являются решением си-
стемы линейных алгебраических уравнений
η
az" + 2 akizf =bhl k = ll2l.. M nx
j=»i
получающихся из условий минимума функционала
jWa[za, и] :
5Л/а
Здесь
75--0, /=1,2,...,».
m m
aAj "" Σ aifcatj. fa =· 2 «ift"i·
i-1 4-1
Компоненты z" могут быть определены и с помощью
какого-нибудь другого алгоритма минимизации функцио-
нала M*[z,~u).
Вектор za можно рассматривать как результат приме-
нения к и некоторого оператора za = R{u, α), завися-
щего от параметра а. Так как в рассматриваемом случае
выполнены условия применимости метода регуляризации,
то согласно гл. II, § 2 оператор R (и, а) является регуля-
ризирующим, и поэтому вектор za = R(u, а) можно при-
нимать в качестве приближенного нормального решения
системы (3; 1,1).
Однако чтобы предоставить возможность читать эту
главу независимо от гл. II, мы проведем здесь доказа-
тельство высказанного утверждения и ряда последующих
независимо от доказательств аналогичных утверждений,
содержащихся в гл. П.
Покажем, что оператор Ro(u, α) является регуляри-
вирующим для системы (3; 1,1), т. е. обладает свойст-
118
вами 1) и 2) определения 2 (см. гл. II, § 1). В п. 2 мы
установили, что он определен для всяких и е Rm и α > О
и, следовательно, обладает свойством 1). Теперь пока-
жем справедливость свойства 2), т. е. существование
таких функций α = α(δ), что векторы zaW — R0(u, а(6))
сходятся к нормальному решению z° системы (3; 1,1)
при δ -> 0. Это непосредственно следует из приводимой
ниже теоремы 2.
Теорема 2. Пусть z° есть нормальное решение си-
стемы Az = и и вместо вектора и мы имеем вектор и
такой, что || и — и||^б. Пусть, далее, β) (δ) и β2 (δ) —
какие-либо непрерывные на [0, бг] и положительные на
(0, бг] функции, монотонно стремящиеся к нулю при
6->0 и такие, что
£75)<β.(δ)» Ы0) = 0.
Тогда для любой положительной на (0, Ь%\ функции
α·= α (δ), удовлетворяющей условиям
^<α(δ)<β2(δ),
векторы zaii) = R0(a, α(δ)) сходятся к нормальному ре-
шению z° системы Az = и при б-»-0, т. е.
lim[|za(6)-zi = 0.
6-<·ο
Доказательство. Системы Az = и π Az = и мо-
гут не иметь классического решения. Поэтому
inf [ Az — и || = μ ^ 0, inf | Az — и \ = μ ;> 0.
zeRn 7SH"
Пусть на векторе za функционал
Ma[z,li\ = \Az -и\г + a\\z\?
достигает своей точной нижней грани на Rn. Тогда, оче-
видно, выполняются неравенства
μ2 + a! za |р < Ma [za, I] < Ma [z\ u] =
= Mz0-u|r+a|20|2<(M2°-ul + ||a-UI)2 +
+ «J 2° f < (1 Az" - и 1 + δ)2 + a|| z° f =
= (μ + δ)2 + α||Ζ°||2„
119
так как | и — и | ^ δ и J Az° — и \ = μ по определению
нормального решения уравнения Ах = и.
Таким образом, для любого α >■ 0 и произвольного
и е Rm такого, что || и — и | ^ б, имеем
^- + αΙΖΤ<(μ + 6)'2 + α||^||2.
Учитывая, что μ =S μ + б (см. стр. 114), отсюда получаем
Η|2<4Α(μ + 6)+||2οΓ
Для значений а, удовлетворяющих условию б/а =S β] (δ),
12аf < Мб) 4 (μ + б) + I z° ||2 < β, (δ) 4 (μ + 26) + || z°f,
или
Ι*°? < φ (б) + Ι z° Ι2 < φ (δ4) + 1z° f, (3; 1,3)
где φ(δ)=4(μ + 2δ)β1(6)->·0 при δ-»·0.
Неравенство (З; 1,3) справедливо для любой поло-
жительной на промежутке (0, б2] функции α = α(δ),
удовлетворяющей для всех б е [0, бг] неравенству α(δ) >
>bj$i(b). В дальнейших рассуждениях α = α(δ) будет
фиксированной функцией такого рода.
Пусть {uk} — последовательность векторов, таких, что
последовательность чисел 6k = \\uh — uh\ сходится к нулю,
т. е. 6„-»-0 при к-*-сю. Этой последовательности отвеча-
ет последовательность векторов z , α& = α (б&), принад-
лежащих замкнутой шаровой области
Z)s{z;||zf<cp(62)+i|z°p}.
Из нее можно выбрать сходящуюся подпоследователъ-
/ ahA „ аК
ность \z '/. Пусть lim z ' = z. Для всякого к, имеем
hs-*x
II α^ -1 II аь. ~ II
О ^ | Аъ s — и |] — μ <: || Az " — и k$ || + bki — μ ^
<
/л/"*' [Λ, S J - μ + 6hs < /"λ/"*' [z°, u J -
~ μ + 4 = Kl^°-"ft,f+aftjz°f - μ + 6,s <
<]^(Mz°-ui + 6ft|()s+afcJ|z0f - μ + 6fci =
*= }/(μ bog-"' + aftjz«f- μ + 6ftsj
120
так как ΙΙ-Az0 — и\\ = μ. Используя условие oCb.s~ α(δΑΛ^
^β2("Α0' получим
II ось _|| .
0<μ2 8-Μ1-μ<-Κ(μ + 6Λ8)2+β·2(4)1Ζ°Γ-
-μ + β*. = γ(δ*.).
где γ (δ)—»- 0 при δ-»-0.
Таким образом, для всякого индекса к, выполняется
неравенство
1 ak - II
0<||4z s —и|| — μ<γ(δ\).
Переходя к пределу при А,-*-(», получим | А z — и | = μ.
Это означает, что z является псевдорешеняем уравнения
(3; 1,1). Оно обладает свойством минимальности, нормы.
А поскольку нормальное решение z° уравнения (3; 1,1)
единственно, то г = z°.
II так для всякой сходящейся подпоследовательности
последовательности [г ). Следовательно, последователь-
ность U '} сходится к нормальному решению г° системы
Az-= и, а тем самым и га1в) сходится к г° при δ -*■ 0.
Теорема доказана.
Замечание. Обозначим через UA линейное под-
пространство пространства Rm, состоящее из множества
всех образов векторов z e Rn, т. е.
С/А== {и; u = Az, zeR"}.
Пусть Az = u — система линейных алгебраических урав-
нений, z e R". Если эта система несовместна, т. е. не
имеет классического решения, обозначим через νΑ про-
екцию вектора и на VA. Как известно, вектор ν = и — νΑ
ортогонален подпространству UA, поэтому для всякого
zeR"
\\Az~uf^\\Az-vAf + \\u-vAf.
Отсюда следует, что
μ = inf I Az — и f = || и — vA\\,
геИп
так как inf || Az — υΑ\ = 0.
121
§ 2. Приближенное нахождение нормального решения
по неточно известным правой части π матрице
Теперь рассмотрим случай, когда неточно заданы как
правая часть и, так и матрица А, т. е. пусть вместо си-
стемы уравнений Az = и с нормальным решением z° мы
имеем систему
Az = u, z«=R", iTsir, X3; 2,1)
где ! и — и||^б и Ι "Α — А\= sup J "Az — Azf<;fo. Требует-
ся найти векторы zv, γ= (δ, h), такие, что lim|zv —
v-»o
— z°J[= 0. Такие векторы z7 мы будем называть прибли-
жениями к нормальному решению z° уравнения Az = и,
а также приближенными нормальными решениями. Их
можно находить путем минимизации сглаживающего
функционала
Ма [z, и, А] = I Az - Ζ f + α I z f, (3; 2,2)
подобно изложенному в § 1.
1. Итак, рассмотрим функционал (3;2,2). Для него
справедлива
Теорема 3. Для всяких и е Rm, А и а > 0 сущест-
вует единственный вектор za, минимизирующий функ-
ционал Ma[z, и, А].
Доказательство проводится совершенно так же, как
и доказательство аналогичного утверждения для Ma[z, и],
проведенное в § 1. Таким образом, для всяких α > 0,
и е R"* и А определен такой оператор R{u, А, а) со зна-
чениями из R", что вектор
z* = R(u, А, а)
минимизирует функционал Ma[z, и, А] на Rn.
Покажем, что оператор R(u, А, а) является регуля-
ризирующим для системы (3; 2,1), т. е. обладает свойст-
вами 1) и 2) определения (см. стр. 55). Справедливость
свойства 1) только что установлена. Покажем справедли-
вость свойства 2), т. е. существование таких функций
α = α(δ, h), что векторы Ζα(5·Λ) = R(u, Α, α (δ, k))_ схо-
дятся к нормальному решению z° системы Az = и при
122
γ->0. Это непосредственно следует из приводимой ниже
теоремы 4, аналогичной теореме 2.
Теорема 4. Пусть z° — нормальное решение систе-
мы Az = и и вместо и и А мы имеем и и А такие, что
\и — w||^6, ||Л— Л|^й. Пусть, далее, Ci — заданное
положительное число, $i(a) и Рг(о) — какие-либо непре-
рывные на отрезке [0, Oi] и положительные на (0, Oi]
функции, монотонно стремящиеся к нулю при о->-0 а
такие, что
£75)<β*(σ). β2(0) = 0.
Тогда для любой положительной на \0, а\] функции
α = α(σ), удовлетворяющей условиям
p-^5J ^ α W ^ Р« (σ), σ е [0, σΧ],
векторы Ζα(Δ) = Я(и, Л, α(Δ)), где Δ = Ag + δ «S σ^ сяо-
дятся к нормальному решению г° системы Лг = и при
γ = (δ, Д)->0, г. е.
lim||za(A,-z°l = 0.
v-»o
Здесь q — произвольное фиксированное число, д,>|г°||.
Доказательство. Пусть вектор га минимизирует
функционал Ma[z, и, А] на R" и μ =■ inff Лг — w|j. Тогда
iSRn
для всякого α > О
M*[z*, в, А] <Ma[z°, и, 3].
Поэтому
μ2 + а | za Υ < Μ* [za, Z, A] < Ma [z°, и, Л] =*
= 1 Л> - и[» + а|г%«<(1 Лг" -Лг°|| + ЦЛг" - uf)2 +
+ a|2"f<p-Illz(,|| + |^-Ul + |u-u||)2+a|Z(,|p.
Поскольку [Л — Л|<Д, \и — и\-^.б и |Лг0 — wj= μ, то
μ2 + αβΖα|< (h\z<4 + δ + μ)2 + αμ°Ι2. (3; 2,3)
123
Из неравенств
-$Az - й|< \\2z - Az J + 1 Az - ц || + |u - u||<
<^;|z||+||2z — и[ + в,
12z — и j < pz — Ъ J + \~Az — u I + [| и — u|| <
</ф|| + ||Лг — uj + δ,
справедливых для всех z е R", получаем
μ<μ+^Ζ»|[ + δ, (3; 2,4)
μ<μ + /φ°|| + δ. (3; 2,5)
Из неравенств (3; 2,3) и (3; 2,4) следует, что
μ2 + α1Η2<{2(φ°1 + δ)+μ}2+α||Ζ°ρ,
откуда
|,«|«<4*Ц}±-в(М*Ч + в + ?) + 1*Т-
Используя неравенство (3;2,5), получаем
||Ζα|2<4Φ1±δ[2(^Ζο1 + δ)+μ]+|Ζ"ρ.
Для значений α = α(Δ), удовлетворяющих условию
Δ/α^ΜΔ), где Δ = Ад + δ,
|Ζα||3<4β1(Δ)(2Δ + μ)+||Ζ'Ι|ρ,
шш
||Ζα13<φ(Δ)+ΙΖ'4^φ(σ1)+|Ζ»^ (3; 2,6)
где φ(Δ) = 4βΙ(Δ)"(2Δ + μ)'->0 при γ == (δ, h)-*-0.
Неравенство (3; 2,6) справедливо для любой положи-
тельной на промежутке (0, Oi] функции α = α(Δ), удов-
летворяющей для всех Δ е [0, 0[] условию α(Δ)>
>Δ/β1(Δ). В дальнейших рассуждениях α = α(Δ) бу-
дем считать фиксированной функцией такого рода.
Пусть {uh} — последовательность векторов, а {Аа} —
последовательность матриц, таких^ что последователь-
ности чисел || uh — и || = бй и \\AS — А || = hsсходятся к ну-
лю, т. е. δ4->-0 при fc->oo и Д.->-0 при s->-oo. Этим по-
следовательностям отвечает последовательность векторов
124
z s, α*,, = a(Aft,s) = а(/г,||г°| -f- 8h), принадлежащих
замкнутой шаровой области
D^{z;|zp<9(ffl)+||Z»l}.
Следовательно, из последовательности \z J можно вы-
брать сходящуюся подпоследовательность \z ' J. Пусть
lira z ' = z.
afi Si t
Введем обозначения z r' — zr(, аит S( = ocr' . Для всяких
к, a st имеем
О < I lzr,t — и I — μ < |j 2S(zM — иК f + \AspTtt — ~Azr%t I +
+ I uK —u\— μ <|| A,tzrA — UftJ + feSj|zri,|| -f 6Aj. — μ<
Г„им
< V Μ"'* [zr,fl ufcr, Л,,] + Л„ I zr,( J + 8kr - μ <
\f **<?·*
^V MaT' [z\lhr, As] +hjzrj\\ + 8kr- μ^
<K| Airz°- uhrf + ar"\\z"f + hJzT,t\ + 6„r- μ<
< /(Ц A,,z° - Az« 1 + I Azfl - ul + 1 «ftr- u|)2 + a''''||z"f +
+ ^(112м11 + 8kr — μ<
</(Мг1 + Ч + μ)2 + «Г,'ИЯ + М2м1+ Ч- μ*
так как J Лг° — и|| = μ. Используя условие аг' = алг>>< =
= α (Aftj. н) < β2 (Ahr, 3(), получим
О < || AzrJ - й\ - μ < K(Aftr.,, +μ)2+β2(Δν.,4)||Ζ^2 +
+ AeJzr.,(H-eftr —μ, (3; 2,7)
где Afc„r< = A,Jz«| + 6ftr.
Таким образом, для всякой пары чисел fcr, st выпол-
няется неравенство (3; 2,7) п, согласно (3;2,6), неравен-
ство
|ΖΓ>(κ(φ(Δ^)+ΙΖ1Υ/3.
125
Переходя к пределу при к, и s,->oo, получим
|Ж — й| = μ.
Это означает, что z является псевдорешением уравнения
Az = ц. Оно обладает свойством минимальности нормьь
А поскольку нормальное решение z° уравнения Az = и
единственно, то г = z°. И так для всякой сходящейся
подпоследовательности последовательности [z l'bJ. Следо-
вательно, последовательности [z ) сходится к нормаль-
ному решению z° системы Az = и, а тем самым и Ζα(Λ)
сходится к z° при γ->0. Теорема доказана.
2. В условиях, когда вместо правой части и — и и
оператора А мы имеем их приближения и ω А такие, что
\и — и|г^б, \\А — A\^.h, классом Qy, γ = (δ, ft), срав-
нимых по точности с исходными данными (т. е. допусти-
мых) приближений к нормальному решению z° уравне-
ния Az = и является множество векторов z, удовлетво-
ряющих условию | Az — и | ^ 2 (h | z [ -f δ) -f μ.
Поскольку нормальное решение z° обладает свойством
минимальности нормы, то естественно задачу нахождения
приближений к нормальному решению z° поставить так;
в классе Q·/ векторов z найти вектор zy, минимизирую-
щий функционал i2[z]=|z|J2, т. е. найти такой вектор
zv е= & = М^ - ц|<2 (/ф| + δ) + μ},
что inf ||zf = Jzvf.
Из наглядных геометрических представлений легко
видеть, что справедлива *)
Лемма. Вектор zv, минимизирующий функционал
||z]|2 на множестве Qy, удовлетворяет условию
12Ζν-£|| = 2(/φν| + δ) + μ.
Поэтому упомянутая задача сводится к следующей:
на множестве векторов z, удовлетворяющих условию
13а-и1=2(Л|а| + б) + ?,
найти вектор zv минимальной нормы.
*) Формальное доказательство для более широкого класса
функционалов Ω [г] дано на стр. 66,
128
Еслп числа δ π ft известны, то эту задачу можно ре-
шать методом неопределенных множителей Лагранжа,
т. е. находить вектор za, минимизирующий (на всем про-
странстве R") сглаживающий функционал
Ма [z,u,A] = lhAz-u f + a\\z[»,
а параметр α определять из условия
||Ι2α-£1 = 2(φα! + δ) + μ.
При этом функции φ (a) = J ~Aza — uf и ψ (α) =
= (ftf za\ -f- δ)2— строго монотонные, φ(α) — возрастаю-
щая, ψ (a)—убывающая (см. гл. II, § 4). Поэтому, если
числа ft и δ, τ. е. уровни погрешности исходных данных,
известны, то α определяется однозначно.
§ 3. Дополнительные замечания
Замечание 1. Поскольку изложение в §§ 1 и 2
не связано (существенно) с конечномерностью прост-
ранств F и U, которым принадлежат элементы г и и, оно
справедливо для произвольных непрерывных линейных
операторов Аъ (доказательства дословно повторяются),
если U — гильбертово пространство, а F принадлежит
нормированному пространству, в которое F s-компактно
вложено [170]. Это позволяет использовать метод регу-
ляризации для интегральных уравнений Фредгольма вто-
рого рода (см. [2, 3]).
Замечание 2. Описанный метод пригоден и для
решения некорректных задач линейного программирова-
ния (см. гл. IX), в которых ищется решение системы,
удовлетворяющее дополнительным ограничениям (реше-
ние должно принадлежать замкнутому выпуклому мно-
жеству).
Замечание 3. Стабилизатор Ω[z] можно также
брать в виде
η
Ω [Ζ] = 2 pi (Z; — ZU)\
1=1
где Pi > 0, z\=\z\,\, zi,2, ..., Ζ[,„)\ или в виде произ-
вольной положительно определенной квадратичной фор-
мы относительно zu z%, ..., z„.
Такое изменение стабилизатора не изменяет ни фор-
мулировок теорем §§ 1 и 2, ни их доказательства.
127
Глава IV
О МЕТОДЕ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ
ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПЕРВОГО РОДА
В настоящей главе подробно излагается метод регу-
ляризации построения приближенных решений линейных
интегральных уравнений первого рода. Изложение не
опирается на общие результаты, касающиеся метода ре-
гуляризации, содержащиеся в гл. II, в применении к про-
извольным уравнениям вида Az — гг. Из материала гл. II
используется лишь понятие регуляризирующего операто-
ра, введенное в § 1 гл. II. Это позволяет читать главу IV
независимо от гл. II.
§ 1. Существование регуляризирующих операторов
для интегральных уравнений первого рода
В настоящем параграфе мы рассмотрим вариацион-
ный способ построения регуляризирующих операторов,
т. е. вариационный способ построения приближенных ре-
шений, для линейных интегральных уравнений первого
рода, устойчивых к малым изменениям правой части
(см. [165, 166]).
1. Будем рассматривать уравнение вида
ь
Az =з J К (х} s) z (s) ds = и (x), ie[c,(i|, (4; 1,1)
α
с конечным промежутком интегрирования [а, Ь], в кото-
ром ядро К(х, s) непрерывно по совокупности перемен-
ных (х, s) в замкнутой области {a<s^b; c^x^d}.
Уклонение правой части и(х) будем оценивать в метри-
ке Li, т. е. по формуле
Id γ/2
PL, (uu иг) = \\ ("i (х) — иг (x)i2 dx\ «
128
а уклонение решения z (sj — в метрике С, т. е. по фор-
муле
Pc(zi, z2)= max | z1 (s) — z2 (s) |.
se[a,b]
Обозначим через F\ класс непрерывных на [α, δ]
функций z(s), имеющих обобщенные производные перво-
го порядка z'(s), интегрируемые с квадратом на [а, Ь]*).
Аналогично через Fn будем обозначать класс непрерыв-
ных на [а, Ь] функций z(s), имеющих производные до
га-го порядка, интегрируемые с квадратом на [а, Ь].
Будем полагать, что уравнение (4; 1,1) с точной пра-
вой частью и=щ(х) имеет единственное на множестве
F\ решение zT(s), zT(s)<=Fu
Рассмотрим совокупность всех функций и(х), интег-
рируемых с квадратом на [с, d] с метрикой, определяе-
мой по формуле
id и/а
Pl,("i. ui) = ] 1Щ.(Х) — иг(х)\*ах\ .
Это метрическое пространство L2(с, d).
Пусть вместо функции щ(х) мы имеем функцию
ut,(x) из L2{c, d) такую, что Pl,(wj, щ) «S δ, причем
л
& <\ul{x)dx. (4;1,2)
β
Таким образом, вместо уравнения
ь
\ К (xs s) z (s) ds = uT (x)
a
мы имеем уравнение
ь
j К {х, s) z (s) ds = щ (x). (4; 1,3)
a
В этих условиях речь может идти лишь о нахождении
приближенного (к zT(s)) решения уравнения (4; 1,3),
*) См. Соболев С. Л. Некоторые приложения функциональ-
ного анализа в математической физике.— ЛГУ, 1950, а также
Смирнов В. И, Курс высшей математики, т. V.— М.: Наука,
1959.
5 А. Н. Тихонов. В. Я. Арсенин
129
2. Будем искать приближенное решение среди функ-
ций множества Fu точнее в классе Q6 функций из Fi,
для которых
т. е. в классе функций F\% t,= Qt [\ F\. Они сопоставимы
по точности с исходными данными.
Таким образом, Fit s является множеством возможных
приближенных решений уравнения (4; 1,3), сопостави-
мых по точности с исходными данными.
Однако нельзя брать в качестве приближенного реше-
ния уравнения (4; 1,3) произвольную функцию из мно-
жества Fi% j, так как такое «приближенное решение» не
будет устойчивым к малым изменениям правой части
Ui(x) и может как угодно сильно отличаться от zT(s).
Множество Fit s слишком широкое. Необходим принцип
отбора, обеспечивающий получение приближенного ре-
шения, устойчивого к малым изменениям правой части
и5 (х). Отбор можно реализовать следующим образом.
На функциях z(s) из Fu очевидно, определены функ-
ционалы вида
ь
Ω [г] = j [q (s) Z*- (s) -f p (s) (-§·)2) ds, (4; 1,4)
α
где q(s) и ρ (s) — заданные неотрицательные непрерыв-
ные функции такие, что для всякого se[a, b] g2(s) +
+ ρ2(ε)φΟ π p{s)> po> 0, где ро — число. Возьмем
один из них, фиксированный.
Поскольку Ω [г]—неотрицательный функционал, то
существует его точная нижняя грань на множестве F\, ь,
т. е. число
Ω0= int Ω [z].
Упомянутый выше принцип отбора состоит в том, что
в качестве искомого приближенного решения предлага-
ется брать функцию z6(s), на которой достигается точная
нижняя грань функционала Ω[2] на множестве Fi,e.
Функцию z6(s) можно рассматривать как результат
применения к правой части Ut,(x) уравнения (4; 1,3) не-
которого оператора R, зависящего от параметра δ, τ. е.
z4(s) = fl(tts, δ).
Ниже мы покажем, что:
130
1) оператор R(u6, δ) определен на всякой функции
ив, интегрируемой с квадратом на [с, d] (т. е. и6 е
&L2(c, d)), и значения его zc(s) — Й(и6, δ) принадле-
жат множеству F\\
2) оператор R(u, δ) является регуляризирующим для
уравнения (4; 1,1).
Если за меру гладкости возможных приближенных
решений принять значения функционала Ω [г], что согла-
суется с наглядными представлениями о гладкости гра-
фиков функций, то согласно предлагаемому принципу от-
бора в качестве приближенного решения уравнения
(4; 1,3) берется наиболее гладкое из возможных решений.
3. Перейдем к доказательству утверждений 1) и 2).
Мы при этом будем пользоваться определением 1 регуля-
рнзирующего оператора.
Теорема 1. Для всякого δ > О и произвольной
функции Ut(x) из L2[c, d] такой, что
PL, (ив, ит) < δ,
точная нижняя грань функционала Q[z] вида (4; 1,4) на
множестве Flt 6 достигается на непрерывной функции
z6(s)^FU6.
Для доказательства нам потребуется
Лемма 1. Каково бы ни было положительное число
D > 0, из любого семейства функций Φ из F\, удовлет-
воряющих неравенству
ъ
Ω [z] = J [q (s) z* (s) + ρ (s) (-g-)2} ds < Df
a
можно выделить последовательность функций {zn(s)}t
равномерно сходящуюся на [а, Ь] к некоторой непрерыв-
ной функции (т. е. множество FD= {z(s); z(s)^Fi,
Ω [z] < D} компактно на F ξ== С [a, b]).
Доказательство. Из неравенства Ω[Ζ]=^Ζ), оче-
видно, следуют неравенства
ь
^q(s)zHs)ds^D1 (4; 1,5)
а
Ь
α
5*
131
Из неравенства {4; 1,5) следует, что для всякой функ-
ции z(s) из Φ существует точка s0<= [a, b], в которой
l'WI<Ka
(4; lj)
так как в противном случае для функции z(s) не выпол-
няется неравенство (4; 1,5). Далее, для всяких S[ и $2
(s2 > S[) из промежутка [α, δ] и для всякой функции
z(s)e φ имеем
2
I z (*0 - г (Sl) I
j z' (s) ds
Применяя к оценке этого интеграла неравенство Ко-
пга — Буняковского, получим
ds
<
<1
<
<1
т. е
I z (s2) - z (s,) I2 < |s2 - % |
ь
\**-*1\^^Р(*)(Щ i*<|s2-*i|—i
α
I г (*г) - z (Sl) I < Kl *2 — *i ] Y^r- (4; 1,8)
Это неравенство означает, что функции семейства Φ рав-
ностепенно непрерывны.
Полагая в неравенстве (4; 1,8) S[ = s0, получим для
любого S2 s [α, δ]
\z(st) -z(se)|</|ir^J j/f </&^ /£,
(4; 1,9)
Очевидно,
|z(s2) | = |z(s2) —z(s0) + z(s0) |<|z(s2)'—z(s0)| + |z(s0) |.
Используя неравенства (4; 1,9) и (4; 1,7) для про-
извольной функции z(s) из Φ и любого s2 e [a, b],
132
получаем
I z (St) i < vT=^ Yj- + Υ^£Ζ = Dl.
Это означает, что функции z(s) семейства Φ равно-
мерно ограничены константой D\. По теореме Арцела из
семейства равномерно ограниченных и равностепенно не-
прерывных функций можно выделить равномерно сходя-,
щуюся последовательность {z„(s)} (zn(s) ~£z(s)).
Пусть
liman (s) = ze(z).
П-»оо
Так как функции семейства Φ непрерывны на [а, Ь), то
функции zn(s) пз последовательности {2„(s)} также не-
прерывны на [а, Ь]. В силу равномерной сходимости
последовательности {2„(s)} предельная функция z4(s)
также непрерывна на [а, Ь]. Лемма доказана.
4. Проведем сначала доказательство ослабленной фор-
мы теоремы 1. Пусть F%t м — множество всех функций из
Ft, для которых интегралы вида
ь
J (z")2 ds
а
ограничены некоторым числом М, т. е. для всякой функ-
ции 2 (s) е?2м
ь
j (2")2 ω < Л/,
α
Пусть (?j, м есть пересечение множеств Qt и F2, м, т. е.
(?4, М=?« Π F<1, Μ.
Покажем, что для всякой функции и6 <= L2[c, d] та-
кой, что pLj ("β> цт) ^ δ, точная нижняя грань функцио-
нала вида (4; 1,4) на множестве Qt,t м достигается на не-
прерывной функции zs(s), имеющей непрерывную на от-
резке [а, Ь] производную.
Доказательство. Так как Q[z]—неотрицатель-
ный функционал, то существует его точная нижняя грань
Ω0 = inf Ω [z].
Существует также минимизирующая последовательность
133
{zn(s)} функций из Оа,м таких, что
lim Ω [z„] = Ω0.
Не ограничивая общности последующих результатов,
можно полагать, что для всякого η > 1
Ω[Ζ„] < Ω[Ζ„_|] < ... <Ω[Ζ,] = Λ/,.
Для всех функций последовательности {zn(s)} выполня-
ются неравенства
Ω[Ζ„] <Mi.
Применим лемму 1 к семейству функций Ф, состоя-
щему из функций, образующих минимизирующую после-
довательность, т. е. <J>={z„(s)}, полагая при этом
Согласно этой лемме из последовательности Φ =
= {zn(s)} можно выделить подпоследовательность
[z"hVs)b равномерно сходящуюся иа [а, Ь] к некоторой
непрерывной функции zs(s), т. е.
lim z„ft (s) = ze (s).
nfc-»oo
Очевидно,
lim Ω fz 1 = Ω„.
M-.00 J
Поскольку для всякого η z„(s)e()j M, то для всех
функций подпоследовательности [znft (s)J выполняются
неравенства
ь
lp(s)[z',,k(s)Yds<:M1,
а
Ь
\[znh{s)}-ds^M.
а
Следовательно, к семейству функций Φ = [z„k (s)} мож-
но применить лемму 1, полагая при этом D = max {Ж, М\).
Согласно этой лемме существует подпоследовательность
{zm(s)l последовательности (zn;i(s)], равномерно сходя-
щаяся на [а, Ь] к некоторой функции Zt(s). Очевидно,
что подпоследовательность {zm(s)} последовательности
[znh(s)} равномерно сходится на [а, Ь] к функции zs(s).
134
Таким образом, последовательность функций {z,„(s)}
и последовательность их производных [zm(s)) равномер-
но сходятся на [а, Ь]. В этих условиях, как хорошо из-
вестно, Zb(s) = ze,(s). Очевидно, zs(s)e (^j и
lim Q[zm] = Ω[Ζδ] = Ω„,
m-»oo
так как предельный переход под знаком интеграла в
Q[z] при этом законный. Ослабленная теорема доказана.
Эта теорема означает, что оператор Й(и, δ) определен
на всех функциях и(х) из £г(с, d) и значениями его
являются непрерывные функции z6(s), имеющие непре-
рывные на [а, Ь] производные ze (s)
5. Доказательство теоремы 1. На функциях
z(s) множества F\ можно определить скалярное произве-
дение (zu z2)i
(zx, z2)x = J \q (s) zj% + ρ (s) -37-^~j dst
a
норму \\z1\\ = Y{z, z)x п расстояние
Pi(2i. 2s) = K —«ill-
Множество F\ с такой метрикой является полным прост-
ранством W\.
Поскольку Q[z]—неотрицательный функционал, то
существуют его точная нижняя грань на множестве F\t s:
Ω0= inf Q[z]
и минимизирующая последовательность функций {z„(s)}cz
czFi, j такая, что
lim Ωη = Ω0,
П-»оо
где Ω„ = Q[z„(s)]. He ограничивая общности, можно по-
лагать, что \f η > 1 Ω„ < Ω„_[. Следовательно, утг ^ 1
Q[z„] <Ω,.
Согласно лемме 1 из последовательности {z„} можно
выделить равномерно сходящуюся подпоследовательность
[zn }. Пусть lim znk = z. Введем обозначения z„ft = zh.
135
Покажем, что {Zk\ сходится по норме пространства
W\. В самом деле, предположим, что это неверно. Тогда
существуют такое εο > 0 и такие последовательности це-
лых положительных чисел {т} и {рт}, что для всех т
и рт
|Zm— Zm+Pm|>80.
Пусть βη» = zm — zm+Pjn. Рассмотрим функции
fern = OjD· V.zm + zm+pm)·
Очевидно, lm = 'zm — 0,5-βη, = zm+Pm -f- 0,5-β™ и
Ω Urn] = I Zm I! - (Zm, Pm)i + 0,25-II β* f>Q„.
Так КЭК I 2 pi
Ji = Ω [zm] и Q[zm]->Q0 при m-> oo, то
- (zm, Pm)i + 0,25.Црт J?>-Δ;, (4; 1,10)
где Ат = Q[zm] — Ω0 > 0 и Ат->0при т-*-оо. Исполь-
зуя формулу + 0,5-β т» ЭНЭЛОГИЧНО НЭХОДИМ
β„1)1+0,25.||β,„||5>Ω0.
Следовательно,
(zm+Pm, β™)Χ + 0,25-ЦpmIf > - δ;, (4; 1,11)
где Δ„, = Q[zm+Pm] — Ω0 и Лт->0при т->оо.
Складывая почленно неравенства (4; 1,10) и (4; 1,11),
получим
— (zm — zm+Pm, β„)! +0,5.||pm||f> —(Δ„ + Δ^),
или
-015·||βη1Κ>-(ΔΒ, + Δ;).
Следовательно,
8 Pm ||l = I Z m — Ζ m+pm | j ^ Δη» -\- Am·
Так как Am-|-Am->0 при лг-х», то найдется такое
136
m(e0), что для т> т(е0) будем иметь
|zm— zm+Pm||1<e0/2t
что противоречит неравенству I zm — zm+Pjn|1^ei.
Таким образом, последовательность {zk} является фун-
даментальной. В силу полноты пространства W\ она схо-
дится (по метрике пространства W2, а тем самым и
равномерно на отрезке [а, Ь]) к некоторой функции
z(s)sFlpt. Но поскольку по построению последователь-
ность {zk} равномерно сходится на [а, Ь] к функции
Zj(s), то z(s) = z4(s)s/?lifl. Теорема доказана.
Теорема 2. Оператор R{u, δ) является регуляри-
зирующим для уравнения (4; 1,1).
Доказательство. Согласно теореме 1 оператор
i?(ii, δ) определен на всякой функции и(х) из £г(с, d)
и для любого δ > 0. Докажем справедливость свойства
2) определения 2 (см. стр. 55). Здесь Π = bi\c, d).
Пусть заданы последовательность функций [и&п(х)]
из L2{c, d) и отвечающая ей последовательность поло-
жительных чисел {δ„}, сходящаяся к нулю, таких, что
для всякого η
PL, (и&п, ит) < δ„.
Для каждого δ„ определены множества функций 0&п и
^1,в„ = Q&n Π Fi- По теореме 1 в каждом из множеств
Fli6n существует функция z6n (s) из W2, минимизирую-
щая функционал Q[z] на множестве ^Ι,βη · Таким обра-
зом, последовательности чисел {δ„} отвечает последова-
тельность функций [z6n(s)} из W\, удовлетворяющих
неравенствам
ΩΚ]<Ω[ΖΤ1.
По лемме 1 из семейства функций (Zen(s)} можно
выделить подпоследовательность {z6fc(s))> равномерно
сходящуюся на [а, Ь] к некоторой непрерывной на [а, Ь]
функции z(s). Так как zbn (s) e 0&n, то для всякой функ-
ции z(sk(s) из подпоследовательности [z&h (s)] выполня-
ется неравенство
pL.(Aztk, «6ft)<6ft.
137
Переходя в этом неравенстве к пределу при к -*■ оо и
учитывая непрерывность оператора А и равномерную
сходимость подпоследовательности \z&k{s)} к z(s), по-
лучим
pL,{Az, uT) = 0.
Так как по предположению уравнение Az — ит имеет
единственное решение z = zT(s), то z(s) = zT(s). Следо-
вательно, подпоследовательность \z6h(s)\ равномерно схо-
дится к точному решению zT(s). И так для всякой
сходящейся подпоследовательности последовательности
(z6n(s)]· Отсюда следует, что для любой последователь-
ности {δ„} положительных чисел δ„, сходящейся к нулю,
соответствующая последовательность функций (z6n (s}\
равномерно сходится к z^ls). Свойство 2) определения
P.O. доказано и, следовательно, оператор R(u, δ) явля-
ется регуляризирующим. Теорема доказана.
Таким образом, мы доказали существование регуля-
ризнрующих операторов для линейных интегральных
уравнений первого рода с конечным промежутком интег-
рирования. В двух следующих параграфах на основе ва-
риационного подхода мы рассмотрим способы построения
регуляризирующих операторов, легко реализуемые на
ЭВМ.
6. За меру гладкости возможных приближенных ре-
шений можно принять значения функционала вида
Ω[Ζ] = j 2 «ft <*)($) ]ds> &ΑΛ2)
где qh(s) (fc = 0, 1, ..., n) — неотрицательные непрерыв-
ные функции, qn(s) 2* с > 0, a z(s)<^ Fn.
Пусть Qt есть класс непрерывных функций, для ко-
торых
Pl2 (Az, щ) < δ и Fn,b = Qb Π Fn.
Аналогично предыдущему в качестве искомого прибли-
женного решения уравнения (4; 1,3) берем функцию
zb(s) из F„, на которой достигается точная нижняя грань
функционала (4; 1,12) на множестве F„_ s. В этом случае
в качестве приближенного решения также берется нап-
l?s
болео гладкое из возможных решений, обладающее глад-
костью порядка п. Обоснование этого производится совер-
шенно аналогично случаю, когда используются функцио-
налы Q[z] вида (4; 1,4).
§ 2. Редукция задачи построения регуляризирующих
операторов к классической вариационной задаче
минимизации функционалов с ограничениями
1. Таким образом, для нахождения приближенного
решения уравнения (4; 1,3) с приближенно известной
правой частью щ(х) надо решить следующую вариаци-
онную задачу минимизации функционала Q[z] с ограни-
чениями:
среди функций z(s), принадлежащих множеству F{
(или Fn) и удовлетворяющих условию Pl, (Az, и6) ^ δ,
найти такую функцию zs(s), которая минимизирует
функционал Q[z] на множестве Fi 4 (соответственно на
Fa,,).
Такие задачи можно решать прямыми методами ми-
нимизации функционалов. Однако для этих задач они
трудно реализуемы на ЭВМ. Чтобы естественнее и про-
ще подойти к их решению, воспользуемся следующей
леммой.
Лемма 2. Точная нижняя грань функционала Q[z]
вида (4; 1,4) на множестве Fi,t достигается на функции
Zt(s) из F\, для которой pL, (Az6, ий) = δ.
Аналогичная лемма справедлива и для функционалов
вида (4; 1,12).
Доказательство. Допустим, что точная нижняя
грань
inf Ω [z]
достигается на функции z6(s) из Fu для которой
pL (Az6, u6) = β < δ. Так как по предположению (4; 1,21)
d
δ2 < [ ul (x) dx
С
π Ω[0] =0, то Ζδ(5)#0. В силу непрерывности опе-
ратора
ь
Az = J К (xl s) z (s) ds
a
139
на множестве функций z(s) из F\ существует окрест-
ность 0(z, zs) функции Zj(s), принадлежащая множеству
Fu для всех элементов z(s) которой (т. е. функций
z(s)) выполняется неравенство
PLtiAz,Az6)<6-^.
Для всякой функции z(s) из этой окрестности выполня-
ется также неравенство
pL,(Az, «e)<6t (4; 2,1)
так как
Pl, (Лг, щ) < ptj (Az, Az6) + pLj (4z6, щ) <
Неравенство (4; 2,1) означает, что все функции z(s)
окрестности 0(z, zs) принадлежат множеству Q6. Так как
Q[z] есть квадратический функционал и zs(s)#0, то
в окрестности 0(z, Zj) существует функция z«(s) из Fi,e,
для которой
Q[zs] <Q[z„].
Но это противоречит тому, что на функции z6(s) функ-
ционал Q[z] достигает своей точной нижней грани ня
Fi,s. Следовательно, предположение, что β < δ, неверно.
Лемма доказана.
2. С учетом этой леммы задача нахождения функции
zs(s) из Fi, удовлетворяющей условию рьг (Az6, u&)^.8
и минимизирующей функционал Q[z] на множестве Fiti,
сводится к задаче:
среди функций z(s) из F\, удовлетворяющих условию
Pl, (Az, ue) = δ,
найти функцию z4(s), минимизирующую функционал
Q[z] на множестве FiiS.
Это классическая задача вариационного исчисления
на условный минимум. Ее можно решать методом неопре-
деленных множителей Лагранжа. А именно, находить
функцию za(s), минимизирующую сглаживающий функ-
ционал
Ма [z, ив] = pi, (Az, u6) + αΩ [z]
δ + β
<δ.
140
(это задача на безусловный минимум), а параметр α оп-
ределять из условия
pLa (Aza, щ) = δ,
т. е. по невязке. Это уравнение относительно а имеет
решение α = α(δ), зависящее от δ, так как при фикси-
рованном δ-функция
Φ (α) = PL, (Aza, u6)
монотонно возрастает и φ(0) = 0 (см. гл. II, § 4)\
Следовательно, к задаче минимизации сглаживающего
функционала Ма [ z, щ ] с определением параметра а по
невязке сводится и исходная задача нахождения функ-
ции zs(s) = Za(6)(s) из F\, удовлетворяющей условию
Pl2(Az&> "β)<δ
и минимизирующей функционал Ω [ z ] на множестве
F\, s. Последняя задача и исходная эквивалентны.
Функцию za(s), где α = α(δ), можно рассматривать
как результат применения к правой части и6(х) урав-
нения (4; 1,3) некоторого оператора /?i(iij, α(δ)).
Таким образом, в качестве приближенного решения
уравнения (4; 1,3) берется решение другой задачи — за-
дачи минимизации функционала Ma[z, щ] с определени-
ем α по невязке, «близкой» при малой погрешности щ
к исходной задаче нахождения решения уравнения
(4; 1,3).
Решение этой последней задачи za(6)(s) устойчиво к
малым изменениям в метрике L2 правой части и6(х), так
как она эквивалентна рассмотренной в § 1 вариационной
задаче с ограничениями, устойчивость решения которой
была установлена.
Аналогичным образом редуцируется исходная вариаци-
онная задача к задаче на безусловный минимум при поль-
зовании функционалами Q[z] вида (4; 1,12).
Функционалы Ω [ z ] играют при этом стабилизирую-
щую роль. Поэтому их называют стабилизирующими
функционалами или стабилизаторами, соответственно 1-го
и re-го порядков.
141
§ 3. Получение семейства регуляризирующих
операторов с помощью минимизации
сглаживающих функционалов
Сглаживающий функционал Ма [ z, и] можно ввести
в рассмотрение формально, не связывая его с редукцией
исходной вариационной задачи к классической. В настоя-
щем параграфе будет показано, что путем решения за-
дачи на минимум сглаживающего функционала с фикси-
рованным стабилизатором Q[z] и с выбором параметра
регуляризации α как некоторой функции α = α(δ) от
уровня погрешности δ правой части и6(х) уравнения
(4; 1,3) можно получить бесконечное множество регуля-
ризирующих операторов (а, следовательно, и приближен-
ных решений уравнения (4; 1,3)), различающихся выбо-
ром функций α = α(δ).
Описываемый здесь метод построения приближенных
решений уравнения (4; 1,3) и его обоснование без всяких
изменений применимы и для приближенного нахождения
квазирешення того же уравнения.
1. Итак, рассмотрим сглаживающий функционал
Ма [z, и] = р£, (Az, и) + αΩ [z]
со стабилизатором Ω [z] вида (4; 1,4). Тогда справедлива
Теорема 3. Каковы бы ни были параметр а > 0 и
функция и(х) из Ьг(с, d), существует единственная функ-
ция za(s), имеющая производную z'a(s), интегрируемую
с квадратом на [а, Ь], на которой функционал Ma[z, и]
достигает своей точной нижней грани на множестве F\,
т. е.
Λ/J = inf Ma [z, и] = Ма [za, и].
Доказательство. Так как для всякой функции
z(s) <ξ Fi Ma [ z, и ] > 0, то существует
• Мо = inf Ma[z, и].
Существует также минимизирующая последовательность
{z™(s)| функций из Fi такая, что lim М* = М", где
П->0О
Ml = Ma [zS, и]. Очевидно, не ограничивая общности
выводов, можно полагать, что для всякого η > 1
Mn+i<M™<...<M?.
142
Тот^да для любого η>1 π произвольного фиксированного
α > О выполняется неравенство
q[z«]<:-Lm? = d.
Следовательно, согласно лемме 1, из последовательности
[z^J можно выделить подпоследовательность, равномерно
сходящуюся к некоторой функции za(s) ^F\. Ради упро-
щения записи сохраним для элементов этой подпоследо-
вательности те же обозначения, т. е. пусть {z^} равно-
мерно сходится к za(s).
Покажем, что последовательность [z«j фундаменталь-
на по норме пространства W2- Предположим, что это не-
верно. Тогда существуют такое число εο > 0 и такие по-
следовательности целых положительных чисел {т} и
{Рт}, что для всех т и рт из этих последовательностей
II z« — z« Ι >ε0. (4;3,1)
(Ι m m+i'm ||l °
Здесь Iz 1^— норма функции z(s) в пространстве^·
Пусть $m=za—za и Ет = 0,5· (za -\-za , V
JW1D rm "m m+pm ~m ' ^ m ' m+pmJ
Очевидно, Hm = z« — 0,5 ·β„, = z«+f,m + 0,5 ·β№,
Α?α [ξ™, и] = р& {ASmi и) +
+ a[\\zl I - (zm, β™), + 0,25 · Ι β„, β] > Μ?. (4; 3,2)
'Так как pf(|m, za) ->-0 и ρ^(ξ™, Ζ™)-^0 при т-»-оо, το
в силу непрерывности оператора А имеем
р* (Л?т, и) = р5 (Лг«, и) + Δ;, (4; 3,3)
где Ат—>-0 при та —>-оо. Учитывая сходимость последо-
вательности (М„) к Μ"' из (4; 3,2) и (4; 3,3) получаем
α I - (zm, βΜ)1 + 0,25 · I (im ||i] >М%-М%-\ь:т\=- Amr
(4;3-4)
где Лт > 0 и Am ->- 0 при т ->- oo .
Аналогично, пользуясь формулой Em = z« + 0,5·β,„,
получим неравенство
«[(^+Ρη,-β™)1 + 0.25-1βη.|Ε]>-Α;, (4; 3,5)
где Δ,„ > 0 π Дт -у 0 при та -> оо .
143
Складывая неравенства (4; 3,4), (4; 3,5) почленно, по-
лучим
a[-(*S-*WH+0.5-|M]-
Следовательно,
Так как Ат + Дт->-0 при т->-оо, то найдется такое
т(е0), что для m > /η(εο) будем иметь
что противоречит неравенству (4; 3,1).
Таким образом, последовательность [z«] является
фундаментальной по норме пространства TF2. А поскольку
это пространство полное, то последовательность {zn} схо-
дится по метрике W2 {а тем самым и равномерно на
[а, Ь]) к некоторой функции za(s)^F\. Но поскольку по
построению U™} равномерно сходится к za(s), то za(s) еэ
= za(s) и, следовательно, Ζα(5)ε/Ι. Теорема доказана.
Таким образом, на функциях и(х) из L2(c, d) для
всех положительных чисел a > 0 определен оператор
/?i(u, a), значениями которого являются функции из W\
такой, что функция
za(s) — R\(u, a)
минимизирует функционал Ма [ z, и] на множестве F\.
2. Нам надо показать, что оператор R\(u, а) является
регуляризирующим для уравнения (4; 1,1). При этом
мы воспользуемся определением 2 регуляризирующего
оператора. Свойство 1) этого определения мы установили.
Установим свойство 2) для /?i(it, a).
Обозначим через Т&г класс определенных на некото-
ром отрезке [0, 6i] неотрицательных неубывающих и
непрерывных на [0, 6i] функций β (δ). Справедлива
Теорема 4. Пусть zT(s) из F\ есть решение уравне-
ния (4; 1,1) с правой частью и = ит(х), т. е. ΑΖΙ = цт(ж).
Тогда, каковы бы ни были положительное число ε > О
144
и фуцкции β1(δ), §2{Ь)из класса Ув, такие,что рг(0) =
= 0 и δ2«£ β1(δ)β2(δ), существует такое δ0 = δ0(ε, |Ji,
β2), что для всякой функции и(х) из £г(с, d) и любого
положительного δ < δο из неравенства рь, {и, ит) ^ δ для
всех α (δ), удовлетворяющих условиям
62 <α(δ)<β2(δ), (4; 3,6)
Рх(в)
следует неравенство | za(a)(s)—zT(s) | < ε для всякого
s «ξ [ а, Ь ] , г. е. семейство функций za(s) равномерно схо-
дится к Zt(s). Здесь za(S)(s) = R\(u, α(δ)).
Доказательство. Поскольку функционал Ма [z, и]
достигает минимума на функции z = za(s), то
Ма [ za, и] < Ма [ Ζτ, и ] .
Поэтому
αΩ [z~a] < Ма [za, и] < Ма [zT, и] =
= pi, {ΑΖτ, и) + αΩ [zT] = pLi (uT, u) + αΩ [zT] ^
< δ2 + αΩ [zT] = a |^ + Ω [zT]
Из неравенства
δ* ^
следует, что
и
? + Ω[Ζτ]<β1(δ1)+Ω[Ζτ)=£».
Таким образом,
Ω[Ζα] <Ζ) и Ω[Ζ,] s££,
т. е. za(s) и zr(s) принадлежат множеству FD функций
z(s), для которых выполняется неравенство Ω [ z ] =S Z):
FD={z(S); Ω[Ζ]<£»}.
Неравенство Ω [ za(S) ] «S D справедливо для любой по-
ложительной на (0, 6i) функции a = α (δ), удовлетворяю-
145
щей для всех δ «= [ 0, Si] условию δ2 > β} (6)ct (θ), в том
числе, следовательно, и для всех функций α(δ), удовлет-
воряющих условиям (4; 3,6). В дальнейших рассуждениях
а — α (S) будем считать произвольной, но фиксированной
функцией такого рода.
Пусть {иьп}— последовательность функций щп (х) из
L2 [ с, d ] таких, что последовательность чисел
PL, (U6n, ИТ) = 6„
сходится к нулю при п—»■ оо. Этим последовательностям
отвечает последовательность функций {za„(s)} из Fi, где
α„ = α(δ„), минимизирующих соответственно функциона-
лы Ma'l\z, ие,п] и удовлетворяющих неравенствам
Ω [zan] < D.
По лемме 1 из последовательности [zan) можно выбрать
подпоследовательность, равномерно сходящуюся на [я,
Ь] к некоторой непрерывной на [а, Ь] функции z(s).
Не меняя для простоты записи обозначений, будем пола-
гать, что {zan} я есть такая подпоследовательность, т. е.
zan(s)^.z(s).
Очевидно, что
Pi., {Azan, "τ) < Pl2 (Azan, u6„) + 9l, (u6n, i/T) =
= PL, (Azan, ««„) + δ„ < 1Л/апрвв, Ufln] + δ„ <
<]/ма" [zT, ывп] + δ„ = |/рЦЛ2т, 'ив„) + αηΩ [Ζτ]+δ„ =
^ Κ Ρ£2 ("τ, "β„) + α„Ω [zT] + δ„ = Υ6η + αηΩ [zT] -f δη.
Используя условие
α„ = α(δ„) sg β2(δ„),
получим
pLl (A~zan, и,) < ]/δ^ + β2(δ„)Ω[Ζτ] + δη.
Это неравенство выполняется для всех п. Переходя в
нем к пределу при η -> оо и учитывая равномерную схо-
димость последовательности {zaJ к функции z(s) и
146
сходимость к нулю последовательностей {fb(Sft)} и {δ„},
получим
pLl (Az, uT) = 0.
Отсюда следует, что Az = щ, В силу единственности
решения уравнения Az = и, z(s) = zT(s). И так для вся-
кой сходящейся подпоследовательности последовательно-
сти (zan). Следовательно, последовательность U^} равно-
мерно сходится к zT(s), а тем самым {za(a)} равномерно
сходится к zT(s) при δ->0. Теорема доказана.
Эта теорема показывает, что при построении прибли-
женных решений линейных интегральных уравнений пер-
вого рода путем минимизации сглаживающего функцио-
нала Ма [ z, ив ] параметр регуляризации α как функция
погрешности правой части δ определяется неоднозначно.
Значения а можно определять не только по невязке,
т. е. из условия рьг (Aza, щ) — δ, как отмечалось в § 1,
но и другими способами, некоторые из которых описаны
в гл. II, § 4.
Замечание. Иногда на искомое решение zT(s) по
смыслу задачи накладываются ограничения типа нера-
венств cpi(s) < zT(s) =S cp2(s), где cpi(s) и cp2(s) —заданные
• функции. Например, решение должно быть неотрицатель-
ным (cpi(s) ss 0). В таких случаях в качестве пространст-
ва возможных решений F надо брать функции z (s), удов-
летворяющие тем же неравенствам. Теоремы 1—4 настоя-
щей главы справедливы и в этих случаях.
При пользовании стабилизаторами η-го порядка спра-
ведливы теоремы, аналогичные теоремам 3 π 4.
§ 4. Алгоритм нахождения приближенных решений,
легко реализуемый на ЭВМ
Как было показано в § 3, для нахождения приближен-
ного (регуляризованного) решения уравнения (4; 1,3) до-
статочно найти функцию za(s) ^Fh минимизирующую
сглаживающий функционал Ma[z, ut] и соответствующее
значение а. Задачу минимизации функционала Ma[z, u6]
можно решать прямыми методами, например, методами
наискорейшего спуска. Однако на ЭВМ удобнее находить
функцию za(s), решая уравнение Эйлера, соответствующее
функционалу Ma[z, в0]. Более подробному описанию этого
способа и посвящен настоящий параграф.
147
I. Можно показать (см. [165]), что если решение
z-r(s) (zTelfj) уравнения (4; 1,1) с правой частью ит(х)
удовлетворяет условиям гт(а) = с\, zT(b)=C2 или
гт(а) = mlt гт (Ъ) = тг (или % (а) =clf zT ф)=т2; zT (а)=ттг1,
zT(fr) =с3), где clt сг, ть т2 — известные числа, то при-
ближенные (k!,(s)) решения za(s) via Wt, минимизирую-
щие функционал Ма [z, и] с Q[z] вида (4; 1,4), имеют
непрерывные на [а, Ь ] производные первого порядка
z'a (s). А тогда, согласно известным теоремам вариацион-
ного исчисления*), функции za(s) имеют непрерыв-
ные на [ а, Ъ ] производные второго порядка z'a (s).
На функциях z(s), имеющих непрерывные производ-
ные второго порядка, стабилизирующий функционал
Ω [ z ] вида
ь
Q[z\=^q(s)z*(s) + p(s)^j2}ds
а
путем интегрирования по частям можно записать в виде
Q[z] = (z, Lz) + p(b)z(b)z'(b)-p(a)z(a)z'(a),
где оператор Lz имеет вид
, d I dz\
a (z, Lz) — скалярное произведение вида
ь
(z, Lz) = J z- Lz ds.
a
Следовательно, функционал Ма [z, щ] можно записать в
виде
Ма [z, щ] =
= p«f (Az, щ) + a (z, Lz) + a [p(b) z (b) z'(b) - p{a)z{a)z'(a)\,,
или, записывая подробнее р£ (Az, щ)1
cic V
Μ"[Zj ив) = J j J К (x, s) z (s) ds — u& (x) | dx +
+ a (z, Lz) + a[p (b) z (b)/ (b) - ρ (a) z (a) z' (a)].
*) См., например, Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариа-
ционное исчисление,— М.; Наука, 1970.
148
Необходимым условием минимума функционала
Ma[z, us] является равенство нулю его первой вариации
АМа. Известно, что АМа = Ц- Ма [г + yvt u&]\ . Вы-
полняя необходимые вычисления, получим
АД/аз= A*Az + aLz + a[p(b)v(b)z'(b) +
+ p(b)z{b)v'(b) -p(a)v(a)z'(a) - ρ (a)z (a) v'(a) ] —
-А*щ = 0, (4; 4,1)
где А *и — оператор вида
d
A*u s= J K(x, s)u (x) dxs
в
сопряженный оператору
υ
Az ξξξ j К (х, s) z (s) ds
в пространстве L2, a v(s) — вариация функции z(s).
Оператор A*Az можно записать в виде
ь
A*Az^<jj'K(s,t)z(t)dt, ' (4; 4,2)
α
где
л
Ti{s,t) = \K{xls)K{x1t)dx.
с
Условие ΔΜα = 0 выполняется, если
A*Az + aLz = А*щ (4; 4,3)
и
p(b)[z(b)v'(b)+z'(b)v(b)]-
-p(a)[z(a)v' (α) + z' (α) ν (α) ] = 0. (4; 4,4)
Условие (4; 4,4) выполняется, если на концах s = а и
s~b промежутка [а, Ь] решение za(s) уравнения
(4; 1,3) или его производная za (s) равны нулю.
Таким образом, искомой функцией za(s), минимизи-
рующей функционал Ма [ г, ц8 ] , т. е. искомым прибли-
женным (регуляризованным) решением уравнения
149
(4; 1,3) будет решение шиегро-дифференциального урав
нения Эйлера
A*Az + ocLz = А*ил,
или
ь
a\q(s)z--r-
где
ds
Р(*)
ds
K(s, t)z(t)dt
(4; 4,3)
g 00, (4; 4,5)
К (s, t) = j К (x, s) К (x, t) dx, (4; 4,6)
g (.<?) = \ К (,r, s) m (x) dx,
(4; 4,7)
удовлетворяющее краевым условиям одного из следующих
типов:
либо
либо
либо
либо
z{a) = 0, z(b) = 0,
г(я)=0, z'(b)=Q,
z'{a) ='0, z(b) = 0,
z'(e)=0, г'(Ь)=0.
(4; 4,8)
(4; 4,9)
(4; 4,10)
(4; 4,11)
2. Если по смыслу задачи нам известны на концах
промежутка [ а, Ь ] значения точного решения zT(s) или
его производной z'T(s), то естественно искать приближен-
ные решения в классе функций z(s), удовлетворяющих
тем же граничным условиям, что и zr(s), так как в про-
тивном случае аппроксимация с помощью приближенных
решений значений точного решения z-t(s) на концах про-
межутка [ a, b ] может быть неудовлетворительной даже
при сколь угодно малом уклонении приближенной пра-
вой части ut(x) от точной кт(,г).
Вместе с тем, независимо от информации о граничных
условиях точного решения zT(s) на концах промежутка
[ a, b ] при редукции задачи минимизации сглаживающего
функционала Ма [ z, Ио ] к решению соответствующего ему
уравнения Эйлера необходимо требовать от решений по-
следнего, как было установлено в п. 1, удовлетворения
одним из условий вида (4; 4,8) — (4; 4,11).
150
Для удовлетворительной аппроксимации точного реше-
ния уравнения (4; 1,2) с помощью решений уравнения
Эйлера (4; 4,3) на всем промежутке [а, Ь] необходимо
иметь согласованные краевые условия точного и прибли-
женных решений. В ряде случаев этого можно достичь пу-
тем замены в исходном уравнении (4; 1,1) неизвестной
функции z(s) на функцию z(s) по формулам вида z(s) —
= j(z(s), s). Если, например, zT(a) = z\, zT(b) = z2, где
Z] и Ζ2 известные числа, то, переходя к функции z(s) по
формуле
z(s)=z(s)+-^-a(b-S) + T^-a(S-a)l
получим уравнение для z(s) с тем же ядром, но с другой
правой частью, точное решение которого (с соответствую-
щей точной правой частью) удовлетворяет краевым ус-
ловиям z(a)=0 и z(b)—Q. Приближенные решения
уравнения для z(s) уже можно находить с помощью ре-
шений уравнения Эйлера (с изменившейся правой ча-
стью), удовлетворяющих краевым условиям вида (4; 4,8).
Если ъ\ (а) = т1, z'T(b) = тг, то замену функции z(s)
в исходном интегральном уравнении можно произвести по
формуле
2 W = «О - щЬт) <6 - *)' + sfN <s - а>г
и далее приближенные решения уравнения для z(s) уже
можно находить с помощью решений уравнения Эйлера
(с изменившейся правой частью), удовлетворяющих кра-
евым условиям вида (4; 4,11).
Если zT(a) = zu z'T(b) = тг, то замену надо произве-
сти по формуле
z(s) = ~z(s) + I^7)(s-a)i+z1,
и далее приближенные решения уравнения относительно
z(s) уже можно находить с помощью решений уравнения
Эйлера (с изменившейся правой частью), удовлетворяю-
щих краевым условиям вида (4; 4,9). Аналогично надо
поступать, если z'{a) = m,\, z(b) = гг.
3. Если при нахождении приближенных решений урав-
нения (4; 1,3) пользоваться стабилизаторами /г-го поряд-
151
ка, то уравнение Эйлера для сглаживающего функционала
Ма [ z, щ ] будет иметь вид
A*Az -f- aLz = А*щ,
где
r=o as
Яг (s) —
as
так как стабилизатор η-го порядка можно записать в виде
скалярного произведения (z, Lz).
Легко написать и возможные краевые условия для ис-
комых решений уравнения Эйлера. Например,
z(a) = z'(a) = ..
z(b)=z'(b)=..
. = z(»-i)(a) _o,
p=z(«-i)(b) =0
и другие.
Все сказанное в п. 2 настоящего параграфа о согласо-
ванности краевых условий точного решения и приближен-
ных решений, получаемых с помощью уравнения Эйлера,
в равной мере относится и к этому случаю. Достичь та-
кой согласованности также можно с помощью соответст-
вующих замен неизвестной функции z(s) на новую функ-
цию z(s). В простейших случаях читатель может это сде-
лать самостоятельно.
При фактической реализации описанного алгоритма
нахождения приближенных решений надо переходить к
дискретному аналогу рассмотренной задачи. Такой пере-
ход, или, как мы будем говорить, дискретизацию задачи
можно произвести по-разному. Вопросам дискретизации
посвящен следующий параграф.
§ 5. О дискретизации задачи нахождения
приближенных решений интегральных
уравнений первого рода
Переход к дискретному аналогу задачи нахождения
регуляризованных приближенных решений уравнения
(4; 1,3), можно произвести по-разному. Представляются
очевидными три подхода к дискретизации этой задачи.
Первый подход. Производится дискретизация ис-
ходного уравнения (4; 1,3) путем замены интеграла ин-
тегральной суммой по некоторой квадратурной формуле.
В результате получается система линейных алгебраиче-
152
ских уравнений (СЛАУ),— вырожденная или плохо обу-
словленная,— приближенное решение которой, устойчивое
к малым изменениям вектора правой части, и надо нахо-
дить. Это можно сделать методом регуляризации (см.
гл. III). Если пользоваться при этом вариационным под-
ходом, то взяв дискретный аналог стабилизатора Ω [ z ] ,
образуем аналог сглаживающего функционала. Затем пе-
реходим к его уравнению Эйлера, которое будет представ-
лять собою регуляризованную систему линейных алгебраи-
ческих уравнений. Решения этой системы (с соответст-
венно подобранными значениями параметра регуляриза-
ции а) и будут приближенными решениями уравнения
(4; 1,3).
Второй подход. Производится дискретизация сгла-
живающего функционала, а далее решается задача мини-
мизации функции многих переменных с последующим оп-
ределением параметра регуляризации а.
Третий подход. Производится дискретизация крае-
вой задачи для уравнения Эйлера (4; 4,3), и далее реша-
ется получающаяся при этом система линейных алгебраи-
ческих Уравнений.
Эти способы не эквивалентны друг другу [73]. В не-
котором смысле более предпочтительным представляется
третий подход. Рассмотрим его подробнее.
1. Для простоты изложения дискретизацию будем про-
изводить на равномерной сетке и следовать далее [56].
Будем полагать, что ядро К{х, s) в уравнении (4; 1,3)
есть вещественная, непрерывная в области {а ^ s <: b;
с < х < d} функция. Возьмем в качестве стабилизирую-
щего функционала Ω [ г ] функционал вида
ь
Q[z] = \{z* + p{z'Y)dSi (4; 5,1)
α
где ρ — положительное число.
Пусть точное решение zT(s) принадлежит F\ и удо-
влетворяет краевым условиям: г'(а) = 0, z'(b) = 0. Тогда
в качестве регуляризованных решений za(s) уравнения
(4; 1,3) можно брать функции, являющиеся решениями
следующей краевой задачи для уравнения Эйлера:
ь
J К {Sl t) z (t) dt + a{z (s) ~ pz" (s)} = g (s), (4; 5,2)
α
Ζ'(α)=01 Ζ'(&) = 0,
153
где
d d
L (s, t) — J К (x, s) К (x, t) dx, g(s) = j К (х, s) u6 (x) dx.
с с
Напишем разностный аналог уравнения (4; 5,2) на
равномерной сетке с шагом h. Разобьем промежуток
[а, Ь] на η равных частей и возьмем в качестве узло-
вых точек сетки середины полученных отрезков, т. е.
полагаем
st = а + 0,5-A -f- (I — 1) h, i — 1, 2, . .., п\ h = ——.
Заменив в левой части уравнения (4; 5,2) интеграл
соответствующей ему интегральной суммой, например, по
формуле прямоугольников, a z" (s)—соответствующим
разностным отношением, получим
η
2 К (Sl, t}) hz} + azi + a Z;~ H~\ ~ ?m = git (4; 5,3)
P\ h
где
d
i = 1, 2, .. ., n, gt = ) К (х, s^ u6 (x) dx.
Значения K(sit tj) и gt либо вычисляются аналитически,
либо получаются с помощью соответствующих квадратур-
ных формул. Отметим, что при этом число точек сеткп по
s не связано с числом точек сетки по х.
При i = 1 и г = η в (4; 5,3) входят не определенные
еще значения z0 и zn+\. Чтобы удовлетворить граничным
условиям, полагаем z0 = z\ и zn+\ = z„. Пусть В — матри-
ца с элементами Bt} = K{Si,tj)h. Тогда систему уравнений
(4; 5,3) относительно вектора z с компонентами (zu z%, ...
..., z„) можно записать в виде
Baz = Bz + aCz = g, (4; 5,4)
где g — вектор с компонентами (gi, g2, ■.., gn), a aC —
симметричная матрица вида
154
Ы) -$
а
~1?
0
0
0
afl +
a
IF
0
Ь)
a
h1 ·
4+f) ·
0
0
0
·· К1 vi?
a
1?
0
0
)-*
«
Таким образом, задача сводится к решению СЛАУ
(4; 5,4). Матрица этой системы Ва симметрична. Поэтому
для решения ее можно использовать следующие эконо-
мичные методы.
2. Метод квадратного корня. Так как матрица
Ва системы (4; 5,4) — вещественная, симметричная и по-
ложительно определенная, то ее можно представить как
произведение вещественных матриц TaTai где Та — треу-
гольная матрица вида
'll 12 ·■■ 'in
о о ...
а Та ~ транспонированная к Та матрица. Элементы мат-
рицы Та находятся по формулам [56]
па
/<* _ у R<* ta ■ — -Li 7^1·
cii — у °ib 'i,i -^i 1 *> *>
11
$ =—7-—. *<>';
'it
*?, = 0, i > /;
где B% — элементы матрицы Ba.
155
Заменив в системе (4; 5,4) матрицу Ва на произведе-
ние матриц ТаТа% получим
T*aTaz=g. (4; 5,5)
Полагая у — Taz можно заменить систему (4; 5,5) эк-
вивалентно двумя системами:
Т*ау = g, Taz = у.
Каждая из этих систем решается совсем просто, так
как их матрицы треугольные. В книге [ 56 ] приведены
экономичные стандартные программы решения систем ли-
нейных алгебраических уравнений методом квадратного
корня.
3. Метод Воеводина [34]. Пусть для разных
α > О требуется решать систему линейных алгебраиче-
ских уравнений
XA*A + aC)z = A*u,
где А — вещественная матрица порядка η Χ τη; Α* —
транспонированная к ней матрица; С — вещественная
симметричная положительно определенная матрица, z —
вектор-столбец с компонентами (zu z%, ..., z„), n — век-
тор с компонентами (щ, Иг, .·., ит) и η > т. Подобно
матрице Ва в п. 2 матрицу С можно представить в виде
С = S*S, где S — вещественная треугольная матрица,
a S* — ей сопряженная [56].
Положив у = Sz (следовательно, z — S~ly), получим
(A*A + aC)S-1y = A*u. (4; 5,6)
Умножая (4; 5,6) слева на (£"')*, получим
(D*D + aE)y = D*u,
где D = AS~\ а Е — единичная матрица.
Матрицу D можно представить в виде D = QPR, где
Q — ортогональная матрица размерности η X /г, R — орто-
гональная матрица размерности иХм, а Р — правая
двухдиагональная матрица η Χ т, в которой отличны от
нуля лишь элементы Ри и Pit+i.
Для получения такого представления достаточно найти
такие матрицы Q'1 и Я-1, чтобы матрица Ρ = Q~xDR~l
была двухдиагональной.
Матрицы Q~l и Я-1 можно искать, например, в виде
Q~l^Qm...QoQu R-x = RxR2...Rm,
156
где Qt и й, \i = 1, 2, .,., τη] — унитарные матрицы (мат-
рицы операторов отражения, см. [34]), удовлетворяю-
щие условиям: Qi = Q*t = QJ1, R{ = R* = R~\. При этом
Q = QiQ2...Qmn R = Rm...R2Ru
Матрицы Qi и Ri можно строить следующим способом.
Пусть а\ — первый вектор-столбец матрицы D, a (fr — /-я
вектор-строка матрицы <Ji. Элементы матрицы Qi будем
находить из условий ортогональности векторов а.\ и qu
т. е. из условий
'(?;. ai) = 0 для / = 2, 3, ..., п.
Матрицей, удовлетворяющей этим условиям, будет мат-
рица оператора отражения [ 34, 56 ] с образующим век-
тор-столбцом
gW= ai-liaifl;
где I — вектор-столбец из R" с компонентами {1, 0, 0, ...
..., 0). Таким образом,
Ql = E-2gil>(g™)*.
В качестве R\ возьмем такую матрицу, чтобы в матри-
це (QiD)Ri, во-первых, в первом столбце остались нуле-
выми все элементы, начиная со второго, и, во-вторых,
элементы первой строки, начиная с третьего, были бы
нулями. Первому требованию можно удовлетворить, если
искать Ri в виде
/1 0 ... 0\
4i *)
Пусть b\ — первая вектор-строка матрицы (Q\D) без
первого элемента (следовательно, t^R"1-1). Тогда второе
требование будет означать, что (b,, vt) =0 для i = 3, ...
..., τη, где y,sRm_1 — вектор-столбцы матрицы Ri. Следова-
тельно, R\ — матрица отражения с образующим вектором
Si—ИМ*
l6i-I Μ1 II
Но тогда и Ri также будет матрицей отражения с обра-
зующим вектором (0, h) = ha) <= Rm.
157
Таким же образом будем искать (), и Д, в виде
„ /£<'-» 0\ „ 1С?» 0\
где Qt и /?,· — матрицы отражения в пространствах более
низкой размерности.
Заметим, что для получения Q u R пет необходимости
производить перемножение матриц Q{ и /?,·; достаточно
лишь запоминать образующие векторы g<0 и A(i) и резуль-
таты действия матриц Qi и R, на вектор W вычислять по
формулам
QtW = W - 2g(i) (g(i\ W),
RtW= W-2h(i)(h(i\ W).
Итак, пусть найдены такие матрицы Ρ, Q и R, что
D = QPR. Теперь, полагая ха = Rya (следовательно,
уа = R~lXa) из системы {D*D -f- aE) ya = D*u получим
(R*P*Q*QPR + aE) R-'xa = D*u,
или
(Р*Р + аЕ)Ха = RD*u = f.
Так как матрица Р*Р — трехдиагональпая, то последняя
система легко решается, например, методом прогонки*).
На это потребуется порядка т операций. Переход от век-
тора ха к вектору za осуществляется по формуле za =
= S~lR~lxa. Однако часто нет необходимости переходить
к za. Так, если α определяется по невязке, то надо про-
верять условие ||^4za — и|| = б, а оно эквивалентно ус-
ловию | Рха — Q*u || = δ.
Существует стандартные программы решения СЛАУ с
автоматическим выбором параметра регуляризации а, на-
пример, по невязке (см. [73]). В следующем параграфе
приводятся примеры решения модельных задач.
§ 6. Примеры применения метода регуляризации
Здесь мы приведем несколько примеров применения
метода регуляризации к решению интегральных уравне-
ний первого рода.
Пример 1. Рассмотрим задачу численного диффе-
ренцирования (см. также [25, 58, 63]). Производная п-го
*) См. Самарский А. А. Теория разностных схем.— М.:
Наука, 1977.
158
порядка z(t) от функции u(t) является решением ин-
тегрального уравнения
t
j,(Hriji(i_'c)n"l2(T)dT=su(i)· (4; 6Л)
При приближенном задании правой части (u — u(t))
речь может идти лишь о приближенном нахождении про-
изводной.
Рис. 11.
t
Пусть u(t) = |ехр(~ yl)dy. Тогда u'(t) = ехр (— i4).
u'"(t) =_12i2ex°p(-i4) +16i6exp(-i4).
Графики функций u'(t) и и'" (t) изображены на
рис. 11 и 12 сплошными линиями.
Пусть вместо u(t) мы имеем u(tt) — u(i) (1 -f- θ(ε),
где θ4 — случайные числа, — 1*£θ(*51. Вычисление ме-
тодом регуляризации производных 1-го и 3-го порядков
от функции u(t) для одной из последовательностей слу-
чайных чисел {Θ,} дает результаты, изображенные штри-
ховой линией на рис. Ни 12. При этом для u'{t) брали
h = 0,1, ε = 0,1, а = 0,0055; для «'"(*) брали h = 0,05,
ε = 0,01, α = 0,55· Ю-6. Параметр α определялся по не-
вязке.
Рассмотрим далее два примера, типичные для задач,
связанных с обработкой экспериментальных наблюдений-
159
Пример 2. Рассмотрим задачу определения спект-
рального состава излучения (электромагнитного, типа
γ-излучения, или рентгеновского, или корпускулярного)
[171, 173, 184].
Пусть интересующее нас излучение неоднородно и
распределение плотности числа частиц (фотонов), харак-
теризуется функцией z(s) (s — частота или энергия).
Рис. 12.
Пропуская это излучение через измерительную аппара-
туру, мы получаем экспериментальный спектр и(х)
(х может быть частотой или энергией). Если измеритель-
ная аппаратура линейна, то функциональная связь между
z(s) и и(х) дается формулой
ь
Az = § К (х, s) z (s) ds = u (x)s (4; 6,2)
160
где а и Ь — границы спектра, К(х, s] — «аппаратная
функция», предполагаемая известной. К(х, s) представ-
ляет собой экспериментальный спектр (по х), если на
измерительную аппаратуру падает монохроматическое
излучение частоты (энергии) s и единичной интенсивно-
сти. Функцию К(х, s) можно также рассматривать как
отклик измерительной аппаратуры на δ-функцию, z =
= δ (ж—s).
Задача состоит в определении истинного спектра из-
лучения z(s) по экспериментальному спектру и(х) и
сводится к решению уравнения (4; 6,2) относительно
*(*)■
Рассмотрим математическую модель, задаваясь функ-
цией z(s) и аппаратной функцией К(х, s), близкими к
функции zT(s) и аппаратной функции в соответствующих
практических задачах.
Решая прямую задачу, вычислим «эксперименталь-
ь
ньш» спектр и (х) = J К (х, s) z (s) ds на сетке по х:
а
{х\, ж2, ..., Хп). Моделируя процесс появления случай-
ных ошибок при измерении экспериментального спектра
и(х), заменим u(Xi) на u(xt) по формулам
U (Хг) = И (Xi) (l + θ, V^jrEj °\
где θ( — случайные числа из промежутка (—1,1)" с рав-
номерным законом распределения. Очевидно, что среднее
значение u(xt) равно u(Xi) и дисперсия и(х() равна σ.
Величина квадратического уклонения
J и(х) — и (х) || =
= U[u{x)-u{x))*dx\ » За2!^9'
= σ
является характеристикой точности исходных данных.
Возьмем в качестве z(s) функцию, изображенную на
рис. 13 сплошной линией, а К (х, s) = (1 — —j η (х— s),
где ц(х—s) — единичная функция. Берем а — О, b — 11.
6 А Н. Тихонов, В. я. Арсеяив 161
Вычисляем
11
и (х) = J К (х, s) z (s) ds.
Затем решаем уравнение
Li
J К (х, s) z (s) ds = и (х)
относительно z(s).
Заменяем последнее уравнение системой линейных
алгебраических уравнений
η
2 KijZjAsj == и (xi),
j'=l
аппроксимируя интеграл суммой по формуле Симпсона.
Результаты решения этой системы приведены на рис. 13
2,95 2,83 1М
2,20 3,2Ь 2,3В 2,28
Рис. 13.
(штриховая ломаная). Пилообразная ломаная не имеет
ничего общего с z(s). На том же рпсупке кружками
отмечены значения zh полученные в результате приме-
162
Ьения метода регуляризации. При этом вычисления ве-
лись с машинной точностью. На рис. 14 приводится ре-
зультат применения метода регуляризации для решения
уравнения с правой частью u(xt) с относительными
ошибками в узловых точках х{, равными 5 и 10%' от
измеряемой величины и(хх) (кривые 2 и 3. Кривая i —
график z(x)).
Рис. 14.
Рассмотренный пример представляет модель задачи
о восстановлении истинного спектра потока быстрых ней-
тронов, создаваемого полоний-бериллиевым источником.
Этот спектр подобен кривой z(s). В качестве регистри-
рующей аппаратуры был использован сцинтилляционный
датчик [171].
Задаваясь различным уровнем погрешности правой
части и(х), мы можем, путем решения рассмотренной
задачи, оценить соответствующие погрешности интересу-
ющей нас функции z(s). Таким образом, мы можем прог-
нозировать исход эксперимента по определению z(s) и
тем самым планировать эксперимент.
О*
163
Это одна из типичных задач математического проек-
тирования эксперимента.
Пример 3. Рассмотрим задачу восстановления фор-
мы электрического импульсного сигнала zT(t), зависяще-
го от времени, поданного на вход коаксиального кабеля
zft),
1,5
1,0
0,5
-4
\ II
V
NJ ч
I I I I I I I I \ \ II »_
О 2 4 5 δ 15
Рис. 15.
22 t
длины I, по выходному сигналу u(t). Связь zT(t) и u(t)
дается соотношением
t
J К (t — τ) zT (τ) ατ = и (t),
в котором K(t) — известная импульсная функция
Я(*)=т)(0-Д=ехр
У Ant3
μ¥
4/ У
(4; 6,3)
где μ — константа, характеризующая тип кабеля, η (t) —
единичная функция.
Возьмем в качестве zT(f) функцию, изображенную на
рис. 15 (сплошная линия), и свернем ее с ядром (4; 6,3),
в котором μ = 3,05 · Ю-4, I = 104, Получим функцию
164
u(t), изображенную на рис. 16. В узловых точках сетки
{£,} внесем в значения u(tt) = Г К (t4 — τ) zT (τ)
dx
возмущения по формулам u(t,) — u(i() (1 -f- θ1ε), где
θ4 —случайные числа, — 1*5Θ(*51. Если положить
ε = 0,01 · ρ, то относительная погрешность значений
u(ti) в сравнении с u(ti) не будет превышать р%. Было
взято ρ — 5.
По заданным значениям u(ti) требуется найти при-
ближенное к 2T(i) решение уравнения
i
f К (t - τ) z (τ) dx = u (i).
Эта задача решалась методом регуляризации на сет-
ке с шагом h = 0,4, 0 ^ τ ^ 23. Стабилизирующий функ-
23
цпонал Ω[ς] был взят вида Ω [г] = j {(з')2 + z2}dt.
о
Краевые условия брались вида z(0) =z(23) =0. При
α = 0,00156 получен результат, изображенный на рис. 15
штриховой линией. Параметр α определялся по невязке.
Рассмотрим обратные задачи теплопроводности. Мож-
но указать несколько типов таких задач. Мы ограничим-
ся двумя из них. Хорошо известна обратная задача теп-
лопроводности, состоящая в решении задачи Коши для
уравнения теплопроводности с обратным отсчетом вре-
мени. Например, требуется найти решение уравнения
а2Ых* = и,
для t <; Τ, если известно его значение при t = Т,
165
f(x) = u(x, T). Это неустойчивая к малым изменениям
функции f(x) задача. Одним из устойчивых методов реше-
ния таких задач, помимо изложенного выше метода регу-
ляризации, является метод квазиобращения (см. [111]).
Представителем другого типа обратных задач теплопро-
водности является следующая обратная задача, имеющая
большую практическую важность и приводящаяся к рас-
смотренному в примере 3 интегральному уравнению.
Рассмотрим однородное полупространство х > 0, ог-
раниченное плоскостью х = 0. Пусть начальная темпе-
ратура в этом полупространстве равна нулю, а темпера-
тура на границе есть функция только времени v(t).
В этом случае прямая задача теплопроводности состоит
в отыскании решения уравнения аги^ = и, в области
(х > 0, i>0), удовлетворяющего условиям: и(х, 0) =
= 0, и(0, t) — v(t). Ее решение имеет вид
t
Г xv (τ)
и (х, t) =. '> ,. === ехр
о
/W(«-t)3 l I 4-fe </ — xj
2
■ X
dx.
Обратная задача теплопроводности состоит в нахож-
дении температуры v(t) на границе х = 0 по результа-
там измерения температуры и(х0, t) на расстоянии жо>0
от границы. Эта задача сводится К решению интеграль-
ного уравнения
I
Χ0ν(τ)
-,/ ,, =~ехр
KW(i —τ)3
4о2 (г — τ)
dx = и (ха, t)
относительно v(x), т. е. к решению уравнения, рассмот-
ренного в примере 3.
Задача теплопроводности для обратного времени рас-
сматривалась в [111, 206]. Сходные вопросы рассматри-
ваются также в [22, 39, 44, 62, 71].
Глава V
О ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЯХ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПЕРВОГО РОДА ТИПА СВЕРТОК
Среди интегральных уравнений первого рода часто
встречаются уравнения типа свертки K(t)*z(t) = u(t).
К таким уравнениям относится, например, уравнение
вида
J К (t ~ х) z (τ) dx = и (t). (5; 0,1)
— 00
Метод регуляризации можно, очевидно, применять и
к построению приближенных решений уравнений типа
свертки. Для этого достаточно указать способы построе-
ния регуляризирующих операторов. В гл. II рассмотрен
вариационный способ построения таких операторов. В на-
стоящей главе, следуя [И, 14, 15], с помощью интеграль-
ных преобразований для уравнений типа сверток строит-
ся широкое семейство (класс) регуляризирующих опе-
раторов, легко реализуемых на ЭВМ. Для одного под-
класса такого класса указывается связь его с Р. О., по-
лучаемыми вариационным способом.
Подробно рассматривается построение Р. О. для урав-
нения (5; 0,1) с использованием преобразования Фурье.
Однако все полученные результаты (и их доказательст-
ва) будут аналогичными для уравнений типа сверток
вида
I
j К (t — τ) 2 (τ) dx = и (<)s
о
or
j"tf(i)Z(T)f -B(i),
0
oo
J/n(<T)a(T)dT = u(/)J
0
167
где J„{ ν) — функция Бесселя re-го порядка, требующих
применения преобразований Лапласа, Меллнна, Бесселя
π др. Поэтому для соответствующих уравнений рассуж-
дения и выкладки здесь не приводятся.
В § 1 предполагается, что погрешность v(t) правой
части u(i) имеет аддитивный характер, т. е. u(t) —
= BT(i) + w(i).
Упомянутый выше класс рсгуляризирующих операто-
ров строится при весьма слабых требованиях к правой
части уравнения u(t) и к погрешности v(t) (и и yeL2)
π без учета случайного характера функции v(t).
При рассмотрении уклонения (§ 2) регулярпзованно-
го решения от точного предполагается, кроме того, что
погрешность v(t) (помеха, шум) является реализацией
стационарного случайного процесса, не коррелированно-
го с искомым решением zr(t). При этом уклонение оце-
нивается в вероятностной метрике sup[za(i) — zT(t)]2,
где черта сверху означает математическое ожидание. Да-
лее рассматриваются регуляризованные решения, полу-
чаемые с помощью простейших стабилизаторов р-го
порядка.
По характеру асимптотики фурье-преобразования яд-
ра уравнения (при ω->-οο) выделяются 4 класса (типа)
употребляемых в практике интегральных уравнений типа
свертки, для которых при дополнительных предположе-
ниях об асимптотике (при ω—»-оо) спектральной плотно-
сти погрешности v(t) даются асимптотические оценки
по α (при а—»-0) отклонения регулярпзованного регаенпя
от точного [9—11, 13] — как части его, обязанной влия-
нию метода регуляризации, так π части, обязанной по-
грешности правой части.
§ 1. Классы регулярпзирующих операторов
для уравнений типа сверток
1. Рассмотрим уравнение типа свертки
z{t)*K{t) =u(t), (5; 1,1)
в котором K(t) и u{t) — заданные функции, а z(t) —
искомая; z&F, и е U, F и U — метрические простран-
ства.
168
Полагаем, что при u(t) = uT(i) это уравнение имеет
единственное решение zT(i), принадлежащее F, т. е.
zT{t)*K{t) s uT(i).
Задача заключается в нахождении функции zT(t).
Если правая часть известна с погрешностью, т. е. вместо
uT(i) имеем функцию u(t) такую, что
Pir(wT, и) «ς б,
то вместо нахождения zT можно ставить лишь задачу о
нахождении приближенного решения. В качестве при-
ближенного решения будем брать регуляризованное ре-
шение
МО = R{u, α),
где R(u, a) — регуляризирующий оператор.
2. Мы рассмотрим способ построения широкого класса
регулярпзнрующих операторов, получаемых с помощью
классических интегральных преобразований. Опишем его.
Пусть F и U — некоторые множества функций (FaL\,
UC1L2) η А — линейный непрерывный оператор с об-
ластью определения DA => F. Рассмотрим уравнение
Az-= и, u<=U. (5; 1,2)
Полагаем, что оно имеет единственное решение на F.
Применяя к соотношению (5; 1,2) линейное интеграль-
ное преобразование f, например, преобразование Фурье
(Лапласа, Меллпна и др.), получим
f[Az] =?[u] =и(са). (5; 1,3)
Пусть оператор А таков, что из соотношения (5; 1,3)
можно определить f[z\ = Ζ(ω) в виде
Ζ(ω) = ψ(^(ω), ω).
Если Az есть свертка z(t)*K(t) функций z(t) с некото-
рой заданной функцией K(t) (ядром) и при применении
преобразования ? к этой свертке справедлива теорема
умножения, т. е.
f[z*K]=f[z].f[K],
то
4>(«(ω),ω) = !^, (5; 1,4)
169
где Κ(ω)—преобразование f функции K(t). Формула
(5; 1,4) справедлива в применении, например, к сверт-
кам вида
оо
а) z(t)*K(t)= j K{t — %)z (τ) dxx
— оо
если пользоваться преобразованием Фурье;
б) z (t) * К (t) = j К (t - τ) z (τ) dx
ο
(K(t) S3 z(t) = 0 для i<0), если пользоваться одно-
сторонним преобразованием Лапласа;
оо
в) * (f). * (f) = ]'*(-£-)* (τ) f-,
если пользоваться преобразованием Меллпна.
3. Рассмотрим для определенности уравнение вида
оо
Az = j AT (i — τ) 2 (τ) dx = u (f) (5; 1,5)
— оо
и применим преобразование Фурье. Здесь u(t) eij(—оо,
со), K(t) <=Ж <=:Щ—оо, со),
z(i) e F с: Li (—оо, оо).
Если правая часть уравнения (5; 1,5) известна при-
ближенно, т. е. u(t) = uT(t) -f- v(t), где i>(f) —помеха
(шум), то
Ζ(ω) . "(ω) _"тИ ■ ν(ω)
ΔΚ-ω> ~~ Κ (ω) Κ (ω) ^ Α'(ω)·
Так как uf(u>) = Κ(ω)Ζτ(ω), то
Ζ(ω)=ΖΤ(ω) + Ζ^·
Эта формула дает нам преобразование Фурье точного
решения уравнения (5; 1,5) с приближенной правой
частью u(t). Казалось бы естественным в качестве при-
ближенного решения уравнения (5; 1,5) с приближенной
правой частью u(t) брать функцию, полученную с по-
170
мощью обратного преобразования Фурье, т. е. функцию
σο
(t) = γ- \ z (ω) exp (— £ο)2) αω =
— οο
Οο 00
= 2π J 2τ ^ βΧρ (~ гЫ^ rfa) + ^Γ J F^) exp ("~ ia)i) dc0 :
= Zt W + ж j rSexp (~ia)i) d(u-
— oo
Однако такая функция может не существовать, так
как последний интеграл может быть расходящимся. В са-
мом деле, по свойству преобразования Фурье функции
К (ω) и ν (ω) стремятся к нулю при ω-> °°, но это стрем-
ление к нулю «несогласованное», поскольку функция v(t)
(а следовательно, и ν (ω)) обычно носит случайный ха-
рактер. Поэтому отношение
ν{ω)/Κ(ω)
может не иметь обратного преобразования Фурье из-за
влияния высоких частот ω случайной функции ν (ω). Но
если даже функция ν(ω)/Κ(ω) и имеет обратное преоб-
разование Фурье w(t), то уклонение функции w(t) от
нуля (в метрике С или в Li) может быть сколь угодно
большим.
Таким образом, в качестве приближенного решения
уравнения (5; 1,5) с приближенной правой частью нель-
зя брать точное решение этого уравнения. Такого реше-
ния может не существовать, а если оно и существует,
то не обладает свойством устойчивости к малым отклоне-
ниям правой части u(t). Причиной неустойчивости та-
кого алгоритма построения «решений» является влияние
высоких частот ω преобразования Фурье ν (ω) помехи
v(t). Поэтому, если мы хотим строить приближенные ре-
шения уравнения (5; 1,5), устойчивые к малым уклоне-
ниям правой части u(t), с помощью обратного преобра-
зования Фурье, то надо «подавить» влияние высоких ча-
стот ω, умножая, например, функцию
и (ω)/Я (со),
171
на соответствующий множитель /(ω, а) (зависящий от
параметра а согласно § 1 гл. II) [11, 14, 15].
4. Возвращаясь к уравнению (5; 1,2), рассмотрим
оператор вида
Д/(в, α) = ^-1[Ψ(«(ω), ω)-/(ω, α)],
где f~l — преобразование, обратное преобразованию f,
а /(ω, α) —некоторая заданная функция, определенная
для всех неотрицательных значений параметра α и лю-
бых ω, по которым берется оператор f~x. Если функцию
/(ω, α) подчинить соответствующим условиям, то опера-
тор Rj(u, а) будет регуляризнрующим для уравнения
(5; 1,2).
В дальнейшем для определенности будем рассматри-
вать уравнение типа свертки вида (5; 1,5) и в качестве
f брать преобразование Фурье. В этом случае
σο
R, (и, a) s ± j ψ^υ. и (ω) ехр (_ Ш) αω. (5; 1,6)
— со
Пусть функция /(ω, α) удовлетворяет следующим ус-
ловиям:
1/) /(ω, α) определена в областп (а > 0, — оо <
< ω < оо);
2/) 0^/(ω, α) < 1 для всех значений a^Oii и;
3,) /(ω, 0) = 1;
4,) для всякого α > 0 /(ω, α) —четная по ω π
/(ω, α) е£2(_оо, оо);
5/) для всякого а > 0 /(ω, α) -»-0 при ω->-±οο;
6,) при а-»-0 /(ω, а) -+■ 1, не убывая, причем на вся-
ком отрезке |ω| < (dj эта сходимость равномерная;
7/) для всякого α > 0 к ,' <= L2 (— оог оо);
8/) для всякого ω φ- 0 /(ω, α) -> 0 при α-»-σο и эта
сходимость равномерная на всяком отрезке [ел, сог],
0 < Ш1 < CU2.
Таким образом, заданием функции /(ω, α), удовлет-
воряющей требованиям 1/—8у, определяется однопарамет-
рический оператор Rt(и, а) вида (5; 1,6).
5. Если уклонение правой части уравнения (5; 1,5)
оценивать в метрике L2( — оо, оо), а уклонение решения
z(i) — в метрике С, и полагать, что z(oo) e £,( — 00, оо),
то справедлива
172
Теорема 1. Если функция /(ω, α) удовлетворяет
условиям 1,—8,, то определенный с ее помощью оператор
Л/(ц, а) вида (5; 1,6) является регуляризирующим опе-
ратором для уравнения (5; 1,5).
Доказательство. Пусть zT(t) — единственное ре-
шение уравнения
σο
j K(t-T)z (τ) dj = и, (i),
Ut(t) e L2{ — oo, oo) и Pl,(u4, ит) < б.
Оценим модуль разности Az* = Д; (ы6, а) — zT (i):
|Дг«|<|Я/("б, а) — Д/(ыт, а) | + | Я, (мт, «) —zT(i)|.
Пусть А/?/ = Л/(ыв, а)—Л/(ит, а), Ага = Д,(цт, а) —
—zT(i) π mj((d) —преобразование Фурье функции us(0·
Тогда
оо
— 00
Применяя неравенство Коши — Буняковского, получим
— оо / ^ —оо '
По свойствам 6/ и Ts интеграл
оо
— оо
является убывающей функцией от а, стремящейся к -f-°°
при а->-0 («>0). Уклонение u6(t) от ur(t) в метри-
ке Z/2, т. е. pL, («б» цт)> по теореме Планшереля *) равно
± К |αδ(ω)-Μτ(ω)|^ω2
ν—оо '
*) Для всякой функции и (г) из Ьг(—°°. °°) справедливо ра-
венство
(" | и (ω) |'2£?ω = 2д f |гг(г)|2Л,
— ОО —ОО
173
По условию pL (и8, μτ) < δ; значит, |Δ/?/| *S δ/φ(α).
Так как ыт(ы) = Κ(ω)Ζτ(ω), то
\bza\ = \R,{u,a)-zT(t)\ =
J_
2π
ση
гт (ω) {/ (ω, α) — 1} exp (— iat) αω
Следовательно,
σο
^«К^И Μω)||/(ω,α)-1Μω =
— οο
— fl>! ΟΟ
= 2π" J Ι *τ (ω) 11/ (ω, β) — 11 Λ» + ^ J |zt(u))| |/(ω,α)— l\da +
-00 (Ol
ω,
+ 27 J |«τ(ω)||/(ω,α)-1μω.
-ω.
Так как 0 < /(ω, α) < 1, то
-ω! οο
I Дг„ | < ~ J I M«) | ds> + -~ J | zT (ω) | tfa> -f
-оо (Ol
«1
+ 2iT J |*τ(ω)||/(ω,α)-1μω.
-ω,
Поскольку г,(ш) eLi( — оо, оо), то для любого ε>0
найдется такое ω) (ε) > 0, что для всякого ω\ > ω\(ε)
выполняется неравенство
2π
I zT (ω)| <2ω + 2j J I zT (ω) | cho < ~.
По CBoficTBy 6/ функции /(ω, α) найдется такое αο(ε),
что для ο^αο(ε) будет выполняться неравенство
ω,(ε)
^ j I з (ω) 11 / (ω, α)_1μω<-^-.
-ω,(Ε)
Если
β<δο = -§-[φ(0,5 αο)]"0'5,
174
то для всех ае[0,5-ао, ао] |АЙ,|<е/3 и, следователь-
HOj |Дг*|^б. Теорема доказана.
Таким образом, функция za(t) = Rt{и, α), получен-
ная с помощью оператора (5; 1,6), является регуляризо-
ванным решением уравнения (5; 1,5). Функцию двух
переменных /(ω, α) оператора (5; 1,6), обладающую
свойствами if—8/, будем называть стабилизирующим
множителем.
Замечание 1. В работе [82], посвященной реше-
нию задачи Копш для уравнения Лапласа в полосе, ис-
пользуется стабилизирующий множитель вида
/(ω, α) = е-а2(°!.
Замечание 2. Полагая,
II, |ω|<1/Α;
/(ω'α)==Κ |ω|>1/Λ; (α==/1)·
где h — величина шага сетки, на которой ищется реше-
ние уравнения (5; 1,5), получим известный метод по-
строения приближенного решения уравнения (5; 1,5).
G. Пусть Μ (ω) —заданная четная функция, причем:
а) она кусочно-непрерывна на любом конечном от-
резке;
б) неотрицательна; Д/(0) ^Ои Λ/(ω) > 0 при ωφΟ;
в) для достаточно больших | ω |
Л/(ω) > С > 0;
г) для всякого ос > 0
Κ(~ω)
L (ω) + аМ (ω) е L* (~ °°» °°)'
где Ζ,(ω)=Κ(ω)£(—ω) = \Κ(ω)\\ Полагая
it \ — ^(ω)
J (ω, α) - L (ω) + αΜ ^ω),
получим классы регуляризнрующих онераторов для урав-
нения (5; 1,5). Каждый такой класс определяется зада-
нием функции Μ (ω).
7. При фиксированной функции Μ (ω) параметр ре-
гуляризации α можно находить по невязке. Если уклоне-
ние правой части u(t) оценивать в метрике £2, то квад-
рат невязки регуляризованного решения za(t) будет
175
вычисляться по формуле
σο
plt(Aza,u)=* J [Aza-u(t)Fdt =
— oo
= ± J | Κ (ω)Ζα (со) - и (ω) |2 Λο = Φ (α,.
—oo
Так как
. . К Ι—ω) и (ω)
za (ω) =
L (ω) +αΛ/(ω)'
ΤΟ
οο
φ (α) = — f а'Л/* (ω)'" (ω) |2 ^ω
— ΟΟ
Очевидно, что Φ(0) = 0,
οο
φ(«)<27 Jl"(«)|2d(o = !l«(0|||,
—οο
и Φ (α) стремится к || и (£)[(£ при α-^οο. Кроме того,
οο
φ/ ,α) = J_ Γ α!(ω)Λ/2(ω)|»(ω)12^ω Q
л J {/-(со) + аЛ/(со)}8
— OO
Таким образом, невязка регулярпзованного реше-
ния — строго возрастающая функция переменного а, из-
меняющаяся от 0 до | и (t) \\l,- Следовательно, если по-
грешность правой части и0 уравнения (5; 1,5) равна δ
в δ <|иб (t)JL,, то существует единственное число а, для
которого Φ (α) = δ2. Если δ ^ || и b (t) |;,s, то уравнение
Φ (α) = δ2 не имеет решения.
8. Очевидно, что Φ (α) зависит от выбора функции
Д/(со), т. е.
Φ (α) = Фм(а).
При малых значениях а основной вклад в Фдг(а) дают
большие частоты. Поэтому, если Μ\(ω) >Λ/2(ω) для до-
статочно больших ω, то для достаточно малых α имеем
Фм,(а)>Фл/Да).
В частности, если брать ΑΙ1(ω) — ω2ρ' α Μ2 (ω) = ω1ρ\
176
То ори pi > рч
Ф„, (α) > Φρ. (α).
Решение α уравнения ΦΡ(α) = δ2, очевидно, зависит от
ρ, α = α(ρ), и при ^i > р2 a(pi) < α(ρ2)· Таким обра-
зом, с увеличением порядка регуляризации ρ α (ρ) убы-
вает.
О практическом нахождении α по невязке следует
сказать то же, что было сказано в § 4 гл. II.
9. Легко видеть, что регулярнзованное решение урав-
нения (5; 1,5), определяемое по формуле
σο
— oo
минимизирует функционал
00
Л/* [z, н] = J (Аг- u)*dt + aSi[z]
со стабилизирующим функционалом вида
oo
Ω [2] = j Μ (ω) Ι z (ω) |2 da>. (5; 1,8)'
— 00
Здесь
Лгз j Κ (t - τ) z (τ) ατ.
— ОС
Полагая
ρ
Μ (ω) = Σ ?«ω2η,
где <7„ — заданные неотрицательные константы и qP > О,
по формуле (5; 1,8) получим стабилизаторы р-го поряд-
ка. Полагая Μ (ω) = ω2', где г — произвольное положи-
тельное число, получим стабилизаторы вида
σο
Ω[Ζ] = β J I *">(*) I1 #,
— oo
177
где
w Г (m -f 1 — r) J v ' dx'"fl
— oo
здесь m — целое число, не меньшее целой части числа г,
т. е. т> Е[г]; В — положительное число.
В качестве Μ(ω) можно брать функцию, имеющую
любой порядок роста при ω->- оо. Очевидно, подобно рас-
смотренным примерам, по формуле (5; 1,8) можно полу-
чить множество других стабилизаторов Ω [г].
10. Целесообразность рассмотрения различных се-
мейств регуляризирующих операторов состоит, например,
в том, чтобы для каждой конкретной задачи (класса за-
дач) выбрать наилучший оператор. Например, такой, ко-
торый минимизирует уклонение (в заранее определенном
смысле) регуляризованного решения za(t) от искомого
точного zT(t), или такой, который удобнее при его ма-
шинной реализации.
Пусть Φ(ΖΙ, 22) —заданный неотрицательный функ-
ционал, определенный на множестве функций Ζ\ и z<i,
содержащем регуляризованыые решения za(t) уравнения
(5; 1,5) и точное решение zT(t) (например, норма укло-
нения 2г ОТ Z\).
Фиксируя функционал Φ (z,, z2), можно рассмотреть
следующие задачи:
Задача 1. При фиксированном стабилизирующем
множителе /(ω, α) найти такое значение ао параметра
регуляризации а, при котором
Φ(Ζαο, zT) = infO(za, zT).
а
Задача 2. Пусть ^,= {/(ω, α)}—заданное се-
мейство стабилизирующих множителей. Требуется в се-
мействе функций &Ι найти такую функцию /о (ω, α) и
такое значение параметра регуляризации α = аоа, на ко-
торых функционал Φ (za, Ζτ) достигает минимума, т. е.
φ(Ζ" , 2,)= Ы Φ(2α, ΖΤ).
\α>0
Здесь
z" = Я/„ (и, αοΠ).
*) Функцию z(r>(i) можно рассматривать как производную
нецелого «порядка» г,
178
Регуляризирующий оператор Rf0(u, а0„У·, отвечающий
функции /о(ω, α) и значению параметра регуляризации
α = осоп, будем называть оптимальным на семействе 8Гh
а аоп — оптимальным значением параметра регуляриза-
ции на этом семействе. Регуляризованное решение урав-
нения (5; 1,5), полученное с помощью оптимального ре-
гулярпзирующего оператора, будем называть оптималь-
ным регуляризованным решением.
Иногда не представляется возможным найти в семей-
стве #"/ оптимальный стабилизирующий множитель (ал-
горитм), но можно указать «близкий» ему (в определен-
ном смысле) множитель. Поэтому представляет интерес
Задача 3. Оценить Φ (zai,/,, Za„f,) при условии
P^"(/i, /2) < δ, где zaiifl = Rh {и, ax), za„t, = Rf, (и, a,),
a pSr(/i, /2) —метрика в &~,.
Сформулированные задачи (и их модификации) бу-
дут рассматриваться в настоящей и в следующей главах.
§ 2. Уклонение регуляризованного решения
от точного
1. Обратимся снова к рассмотрению уравнения
(5; 1,5). Пусть u(t) = aT(t) + v(t), где v(t) ~ помеха
(шум). Полагаем, что v(t) есть случайная функция, не-
коррелированная с искомым решением zT(t) и ее мате-
матическое ожидание равно нулю, т. е. v{t) = 0.
Регуляризованное решение можно записать в виде
оо
//ν 1 Г / (ω, α) , . , . ,. , , ,
Za W = 2π J К ((υ) Ut ^ω) eXp (~ mt) d(u +
— ОО
ОО
, 1 f / (ω, a) , * , . .. ,
+ Ш J Κ (ω) V ^ βΧΡ (~~ шР> d(ut
—00
Следовательно,
ОО
za (t) - zT (t) = ± j {/ K«)-l}^ exp (- Ш) da, +
— oo
00
+ Ж J /-^^Hexp(-^)rf«. (5; 2,1)
—00
Первое слагаемое в правой части формулы (5; 2,1)
179
характеризует влияние регуляризации (при точной пра-
вой части уравнения), второе — влияние шума в правой
части уравнения (5; 1,5).
Пусть
ОО
Аг(«, «) = ± J {/(ω, а) - IJ^gexp (- Ш) αω =
— оо
оо
■* h \{/ (ω·α) ~1} Ζτ (ω) Qxp (_ Ш) d(u'· (5; 2*2)
— CO
оо
Аш (t, a) = ± j 7-£~^ у (ω) ехр (- «ω/) do>. (5; 2,3)
— оо
Тогда
МО -МО =A,(f, «)+Лш(*, α).
В § 1 настоящей главы было доказано (см. теоре-
му п. 5), что Аг(2, а) стремится к пулю при а-*-0, при-
чем сходимость равномерная относительно t. Поскольку
ν(t) — случайная функция, то Аш(£, ос) также случайная
функция и ее математическое ожидание равно нулю, т. е.
Аш(г, а) =0.
Замечание. Если /(0 — случайная функция (слу-
чайный процесс), то функция
Я(«ь h) =f(ti)f(t2)
называется автокорреляционной функцией процесса /(/)'.
Для стационарных случайных процессов автокорреляци-
онная функция зависит лишь от разности аргументов
ti~ U, т. е.
f(T)f(t + x)=il(t).
Фурье-преобразование автокорреляционной функции ста-
ционарного случайного процесса f(t) называется его
спектральной плотностью 5(ω). Хорошо известно, что
на вещественной оси S((u) — четная неотрицательная
функция, для которой S(0)>S((u) π 5(ω)-*-0 при
ω—*■ оо *).
*) Свешников А. А. Прикладные методы теории случай-
ных функций.— М.: Наука, 1968.
180
В дальнейшем будем полагать, что v(t) есть реали-
зация стационарного случайного процесса со спектраль-
ной плотностью iS(cd). В этих предположениях дисперсия
случайной функции Am(t, а) (дисперсия влияния шума)
равна
00
Δ^,α) = σ*(α) = ±. j /^2> S (ω) αω, (5; 2,4)
— се
где
L(a)—K{a)K(—a).
В силу свойства 6/ функции /(ω, α), очевидно, что
σ2(α) растет при а-*-0. Если
2^ е Lj (-оо, оо),
то при а-*-О σ2(α) стремится, возрастая, к конечному
значению σ2(0). Если же
S (ω)
^ Li(— °°. °°).
L(co)
то σ2(α)-*-σο при а-*-0. Из свойств функции /(ω, а)
непосредственно следует, что σ2(α)-*-0 при а-*-оо.
3. Метрика, в которой оценивается уклонение za{t)
от 2T(i), выбирается в соответствии с характером инфор-
мации о шуме правой части уравнения, которой мы рас-
полагаем. Если v(t)—случайная функция, то естествен-
но использовать вероятностную метрику.
Будем оценивать уклонение za(t) от zT(i) по формуле
Pf (Ζα, Ζτ) = SUp [Za(t) — ZT(i)]2.
i
Пусть
Δ? (α) = sup Δ? (i, a),
t
Тогда
Tf (a) = sup [za (t) - zT (<)]2 = Δ? (α) + σ2 (a). (5; 2,5)
i
При a->-0 Δ? (a)->-0 (см. стр. 173), а σ2(α)—моно-
тонно возрастает. Следовательно, при некотором значении
a = a0*) Tf(α) достигает наименьшего значения. Вели-
*) Если это значение не единственно, то берем наименьшее
из них.
181
чину αο будем называть (С, /) -оптимальным значением
параметра регуляризации. Регуляризованное решение, по-
лученное при α = «о, будет асимптотически (при а-»-0)
наилучшим в смысле min71/(a) в классе регуляризован-
a
ных решений, отвечающих заданной функции /(ω, α).
Представляет интерес выделение таких классов урав-
нений вида (5; 1,5), для которых, пользуясь соответству-
ющей информацией об искомом решении и шуме, можно
определить (С, /)-оптимальное или близкое к нему зна-
чение параметра регуляризации а. По самому определе-
нию (С, /)-оптимального значения αο, для его нахождения
надо уметь вычислять Δ^ (α) и о2(ос) при малых зна-
чениях а, т. е. находить асимптотические представления
функций Ar (t, α), Δ? (α) и ог(а) при а-»-0. Таким
образом, возникает задача асимптотической оценки при
сс->-0 величин Af (t, α), Δ° (α) и σ3(α). Такие оценки
будут даны для некоторых классов уравнений в § 3.
4. На первый взгляд кажется, что упомянутые оценки
надо находить для каждого стабилизирующего множителя
/(ω, α). Однако можно указать такие классы стабилизи-
рующих множителей (см. [14, 15]), что для стабилизи-
рующих множителей из одного и того же класса асимп-
тотические оценки для A2(i, α), Δ? (α) и σ2(α) при
α-ν 0 будут одинаковыми. Поэтому достаточно получить
упомянутые оценки лишь для простейших стабилизиру-
ющих множителей из рассматриваемого класса.
Определение. Стабилизирующие множители
/i(co, ai) и /г(<и, «г) будем называть асимптотически
ε-близкими, если для заданного числа ε > 0 существует
число αο (ε) такое, что для ai и аг, меньших αο (ε) и
таких, что
венство
Если брать
а,
-*■ -1
< min [а], а*]
выполняется нера-
/l (ω> ai) U (M' a2
К (а.)
f (ω, α) =
Κ (ω)
<ε*).
L((u)
£(ω) +aAf (ω)*
*) Л φ (ω) — φ2 (ω) h — расстояние между функциями ψ\{ω)
и фг(ш) в метрике L2{— °°, оо).
182
го стабилизирующие множители
£(ω)
L{m) + alMl(ay
, . . £ (ω)
определяемые функциями
АГГ(ш) =ω2ρ, (5; 2,6)
Λ/2(ω) =ω2ρ + ^_,ω2ρ-2 + ... + ?ο, "(5; 2,7)
где
9ο, 9i, ···, qP-\>0,
являются асимптотически ε-близкими при любом значе-
нии ε > 0.
5. Оценим разность между регуляризованными реше-
ниями уравнения (5; 1,5), полученными с помощью асим-
птотически ε-близких стабилизирующих множителей
/i(co, oci) и /г(ω, аг). Очевидно, что
|4,λ(')-4α(0Ι<
^IS" J —кШ кТ^Г | и (ω) | Лв <
^ 2π
Λ'(ω) Α'(ω)
-оо
/i (ω. *0 Μω> α»4
*<ω, r(t0)-||Lt-I"WIK<e||u(i)|k.
Так как стабилизирующие множители, определяемые
функциями (5; 2,6) и (5; 2,7), являются асимптотически
ε-близкими при любом ε > 0, то при рассмотрении, на-
пример, регуляризованных решений, получаемых с по-
мощью стабилизаторов р-го порядка с постоянными коэф-
фициентами, достаточно получить асимптотические оцен-
ки функций Ar(t, α), Аг (α) и σ2(α) при α->-0 лишь
для регуляризованных решений, полученных с помощью
простейших стабилизаторов р-го порядка, т. е. при
Λ/(ω)=ατρ.
§ 3. Асимптотические оценки уклонения
регуляризованного решения от точного
для уравнения типа свертки при ее —*■ 0
1. Следуя [9, 10], ниже будут получены асимптоти-
ческие формулы для Ar(i, α) и σ2(α) для различных ти-
пов уравнений вида (5; 1,5). Эти типы определяются
183
характером асимптотики фурье-преобразоваяия ядра
Κ(ω) при |ω|τ*-°°. Мы рассмотрим здесь четыре типа
уравнений.
I тип. Κ(ω)—рациональная функция, не имеющая
нулей на вещественной оси, стремящаяся к нулю при
ω-*:οο как
где π — целое положительное число.
II тип. Все особые точки функции К (ω) (кроме
бесконечно удаленной) расположены в ограниченной об-
ласти. Для всякого числа В > 0 интеграл
в
J £(ω)
о
сходится. При ω-»-οο Κ(ω) имеет асимптотику вида
Κ(ω) = Яехр[-(гЛсо)1/т], где то > 1, А > 0.
III тип. При ω-»-οο Κ(ω) пмеет асимптотику вида
К (ω) =Нехр{-Аа2),
где Η > 0 и А > 0.
IV тип. При |ω|-»-οο Κ (ω) пмеет асимптотику вида
V ' ω" (In In ... In J ω Ι)*'
s раз
где A > 0, n, s, к — целые числа такие, что s "> 0, η 3s 0;
если η >· 0, то к — любое, если η — 0, то к > 0, s > 0.
2. К уравнениям с ядрами таких типов сводятся: за-
дача вычисления производной η-го порядка (I тип) за-
дачи автоматического регулирования (I тип); задачи
восстановления электромагнитных сигналов, искажен-
ных фильтром с сосредоточенными параметрами (ем-
кость, индуктивность, сопротивление) (I тип); задачи
восстановления электромагнитных сигналов, искаженных
длинной линией с потерями (кабель, проводящая среда)
(II тип, то = 2); задачи восстановления электромагнит-
ных сигналов, распространяющихся по сферической по-
верхности и принятых в области геометрической тени
(II тин); задачи восстановления звуковых сигналов, рас-
пространяющихся пр вязкой среде (III тип) π многие
другие.
184
3. Будем полагать, что спектральная плотность шума
5(ω) при |ω|->οο имеет на вещественной оси асимпто-
тику вида
S (со) = 50/ω«\
где α и 50 — постоянные числа; а "> 0, So > 0. При
а = 0 и 5(ω) = 50 имеем «белый» шум, £q— характе-
ристика уровня шума.
В дальнейшем мы будем рассматривать асимптотику
функций Ar(i, α) и σ2(α) лишь для стабилизаторов с
постоянными коэффициентами qi(s) = qt = const. В этом
случае
Μ (ω) = ω2" + ?Ρ_1ω2*-2 + ... + qa
\дпя стабилизатора ρ-το порядка).
Поскольку стабилизирующие множители тш\ 4-аМ Ш)'
определяемые функциями
Л/, (ω) = ω2" + дР-,со2р-2 + ... -f q0,
Μ2(ω) =ω2ρ,
являются асимптотически ε-близкпми при любом ε > 0,
то согласно § 2 настоящей главы асимптотические оцен-
ки функций A,(i, α) и σ2(α) достаточно провести лишь
для функций if (ω) = со2".
4. Оценка Ar(i, α) для уравнений с ядрами
Ι τ и π а. Для стабилизатора р-то порядка с Μ (ω) = со2р
регуляризованное решение уравнения (5; 1,5) с точ-
ной правой частью uT(i) inieeT вид
00
1 ρ Δ(ω) z (ω)
za (Ο = ой" ΤΓΤ~ sp 6ΧΡ (~ Ш) d(u
или
za (t) = j La (t - τ) zT (τ) dx = j La (g)zT (i - ξ) d|,
— 00 — OC
(5; 3,1)
где
- (ω) + αω2
00
1 Ρ Μω)βΧΡ(-^0 d 5 3j2)
2л J L (ω) + αω2Ρ '
185
есть четная функция. Поэтому
00
га (t) = J La (I) {zT (i - ξ) + zT (i + I)} dl (5; 3,3)
о
Последний интеграл равен сумме вычетов подынтеграль-
ной функции в ее полюсах (умноженной на 2ш), распо-
ложенных в верхней полуплоскости (для t < 0) ив ниж-
ней полуплоскости (для £>0). Полюсами подынтеграль-
ной функции будут лишь нули знаменателя L(ω) 4- αω2ρ,
которые принадлежат одному из двух типов:
1) нули ω 1α, стремящиеся при α-»-Ο к нулям функ-
ции L(<u)\
2) нули Ш2а, стремящиеся к бесконечности при a->U.
Рассмотрим вклад тех и других в La(t).
Для нулей первого типа имеем coia-XDi при а->0.
Если coi — простой нуль функции £(ω), то
reg (L (ω) exV (-Ш)) L (ω1α) exp (- i<o10f) =
■ - ii exp (- mxt) 4- 0[(ω1α - Ml)2] =
<Β"=<Γ·
a^i^ + ili-)
= (ω1α— ω!)βΧρ(— гш^)[1 4" Ο (α)] 4-<? [(«ю- «х)2).
Поскольку
/ (ω) == L (ω) 4- «ω2? =
/(ω1)4-(ω-ω1)№ + Ο [(ω, - ω)2],
\ /ω=ω,
/(ω,β) =0 и Ζ,(ω,) = 0,
).
то
г/л г \
4-2/>06ω»"-1 (ω1α-ω1)4-
4-0[ω1α-ω1)2].
Отсюда
ω1α - ω1 = ' {1 4- Ο W 4- Ο 1(ω1α - ω^]}.
186
Следовательно,
-αω?ρ
ω1α-ω1== 1 {1+Q(«)}.
Поэтому
(L (ω) exp (— {(at)']
res ^ —^————-' I
-αω2Ρ
— exp(— iWjOll+Ofa)]:
= 0(a) exp (— ia^i).
Если Ш| — нуль кратности γ, то аналогичными вы-
кладкалт (в предположении (γ — 1)-кратной дифферен-
цируемости функции £(ω)) находим, что в этом случае
(L (ш)ехр (— i(ut)} ~, .,,,. . . ..
res —————τττ2 = ° (a /v) exP (— Ιω1*)·
1 L (ω) + αω2ρ ]ω-ω1α ν ' y ν * '
Число нулей первого типа конечное и не зависит от
а. Поэтому вклад полюсов первого типа ci)ia в функцию
La(0 будет 0(a1/v°), где "fo — наивысшая кратность нулей
функции L(a).
5. Рассмотрим вклад полюсов второго типа шг«. По-
скольку а)2а->-«э при а-»-0, то при достаточно малых a
люжно пользоваться асимптотическим представлением
функции Ζ/(ω), τ. е. полагать £(ω) = |/4|2/ω2η. Поэтому
f&(co)exp(— i(ut)) |Л|гехр(—;ω2α<)·ω2α
ГеЧ Ζ,(ω) + αω2ρ ]ω=ω2α~ 2?αω*« '
Таким образом, вклад Z,2a(i) полюсов второго типа в
La (i) равен (для t «ξ Ο)
U |2<ω2α exp (- ico2ai)
^α(0 = -Σ!
2gaco;
29
где сулшпрование производится по всем корням второго
типа уравнения L(ω) + αω2ρ = 0 (лежащим в верхней
полуплоскости). При малых α эти корни можно заменить
корнялш ωα уравнения
1 + -^0^ = 0. (5; 3,4)
187
Поэтому
xi <ω<Α) exp (- !O)<A10
L2a («) = - 2 — Ч-g — (5; 3'5>
для t ^ 0. Аналогично,
Lm {t) « 2 ° V. *-' (5: 3,6)
для i > 0. Здесь суммы берутся по всем корням уравне-
ния (5; 3,4), расположенным в верхней (соответственно
нижней) полуплоскости для f < 0 (t>0).
Корни ω*'α при a-*·0 стремятся к бесконечности
вдоль лучей
arg ω = 2-Ш π (Α· < η) и | ω(,*' | = (i-±i!)1/(29).
Заметим, что η -f- P корней уравнения (5; 3,4) находятся
в верхней полуплоскости, п η -f- p корней — в нижней.
Заменяя в формуле (5; 3,3) La(t) через L2c,(t), по
формуле (5; 3,6) получим для t > 0
°г4, iaf»nP (-tag*)
*.(*) = J 2 ~ it 2-ΖΜΜ* + ξ)+Μ*-ξ)}<*5
(5; 3,7)
или
ч °°
z« (0 = h Σ J14*' exP (~ /ω,« ^) Ι2τ(*+ξ)+2τ(*-ξ)})ωξ.
(5; 3,8)
Используем для оценки интегралов асимптотическую
формулу
σο
j/ (t ± ξ) β exp (- βξ) ωξ = / (0 + -i- /' (t) + О (±у
справедливую при больших значениях Re β > 0 и уста-
навливаемую путем двукратного интегрирования по час-
тям. При этом полагаем β = icoW. Так как в формуле
(5; 3,7) суммирование производится лишь по корням
уравнения (5; 3,4), расположенным в нижней полуплос-
133
кости, то Re(ki)№))>0. Прп этом полагаем f(t) = zT(i).
Получим
z« о = i Σ К о+Jr,«; о)+о (к>]-«).
Поскольку
/I л |2v2g 29
то
-1
sin'"2i-j
Прп этом мы воспользовались соотношениями:
9 9
" 1 — п ^ Sin —Η— Я =
fc=o \ ' fc-o ^ ' sin
in(i)
Таким образом, справедлива асимптотическая (при
α->0) формула
*я'.«)-7,,в-,(т)(1-7рГ1тГ11+0^1').·
(5; 3,9)
Следовательно, справедлива
Теорема 2. Яри использовании регуляризации р-го
порядка для уравнения (5; 1,5) с ядрами первого типа
справедлива асимптотическая (при а-*-0) формула
(5; 3,9) [10].
Эта формула справедлива, в частности, и для стаби-
лизаторов нулевого порядка, т. е. при ρ = 0.
Известно [191], что при использовании стабилизато-
ров нулевого порядка регуляризованное решение za(t)
уравнения с правой частью uf(t), вообще говоря, не бу-
дет равнол!ерно на (—оо, оо) аппроксимировать точное
*) Полагаем, что γ0 < 2j.
189
решение zT(i) при α-»-0. Из полученного выше резуль-
тата (формула (5; 3,9) при ρ === 0) получаем
Следствие. Если производная искомого решения
zr(t) уравнения (5; 1,5) с ядром I типа и с правой частью
и — uT(t) равномерно ограничена на (—со, оо), то регу-
ляризованное решение za(t) уравнения (5; 1,5), получен-
ное с помощью стабилизатора порядка ρ (ρ = 0, 1, 2, ..·.),
при α-»-0 равномерно на всей прямой (—оо, оо) аппрок-
симирует точное решение zT(i).
6. Оценки ΔΓ(i, α) для уравнений с ядрами
II—IV типа. Для уравнений с ядралш II—IV типов
справедливы следующие теоремы:
Теорема 3. При использовании стабилизаторов р-го
порядка с постоянными коэффициентами для получения
регуляризованного решения уравнения (5; 1,5) с ядрами
II типа справедливы асимптотические (при а-»-0) фор-
мулы [10]:
M',«) = /i;#
(0
1+ч
(5; 3,10)
Ar(f, а)
<2р+1
2р-\-
1 \ л
—/O(2P+1)mrf2P+1z,
dt-p+l
1+0'i)
где
(5; 3,11)
2cosW
β2
In
//Μ2
Теорема 4. При использовании стабилизаторов р-го
порядка с постоянными коэффициентами для получения
регуляризованного решения уравнения (5; 1,5) с ядрами
III типа справедливы асимптотические (при а-»-0) фор-
мулы [10]:
где
~ Ι2Α \i/2«T
"2" 1 /24 \
2Р+1
~rf2P+4ii ic(l\
(5; с
,12)
5,13)
Ρ» =ln L~s—J·
190
Теорема 5. При использовании стабилизаторов р-го
порядка с постоянными коэффициентами для получения
регуляризованного решения уравнения (5; 1,5) с ядрами
IV типа справедливы асимптотические (при α-νΟ) фор-
мулы [10]:
Α'"·«>=—Ы^'·") п1+°{х
q sm
Δ, (',«) = ■
(5; 3,14)
q sin
гр+i
dt2P+l
1 +0
(5; 3,15)
где
Л2\29
J / « R2fr
2? Я/
β4 = In In. . .In
s раз
Доказательства формул для Ar(t, α), ο которых идет
речь в теоремах 3—5, производятся аналогично доказа-
тельству теоремы 1 путем вычисления соответствующих
интегралов с помощью вычетов, но носят более громозд-
кий характер (см. [10, 13]), поэтому мы не будем их
здесь приводить.
7. Оценка σ2 (α) для уравнений с ядрами
I—IV типов. При
/ (ω, α)
L((0)
L (ω) + aM (ω)
формула (5; 2,4) принимает вид
оо
L (ω) S (ω) do)
°*<»> = 2?Ι
{L (ω) -J- aM (<й)у
(5; 3,16)
Из этой формулы непосредственно следует, что для урав-
нения с ядрами I—IV типов (для I и IV типов полагаем
η > max (α; '/г)) σ2(α)-»-οο при а-*-0. С другой сторо-
ны, при любом фиксированном α > 0 интеграл (5; 3,16)'
сходится. Следовательно, при достаточно малых значе-
ниях параметра α основной вклад в интеграл (5; 3,16)
дают большие частоты ω. Имея это в виду, представим
.191
интеграл (5; 3,16) в виде суммы двух интегралов
(1>П СО
о ωο
Число ωο возьмем настолько большим, чтобы для ω > ωο
функции £(ω) и S(ω) можно было заменить их асимп-
тотическими представлениями. Тогда при Μ (ω) = ω2ρ
имеем
σ2 (α) =
2л2 J {(L + aco^)2 (^ + αω2<Λ2) 2π2 J (Lac + a»·')1"
Полагая 5(0) =D-50 (Ζ) > 0) и имея в виду, что для
всякого о) 5(ω) < 5(0), непосредственно находим, что
при а-»-0
£„„,?
■гл-J \(Ь + аш^)2 (^ + οω")!| η
Здесь 5а1 (ω) н £ac(co) —суть значения функций 5(ω) и
L((u), вычисленные по их асимптотическим формулам.
Следовательно,
σ2(α) =50·Ο(1)+/, "(5; 3,17)'
и задача сводится к оценке (при а-*-0) интеграла
■ '-£й£й$* <5;3·,8>
о
Для уравнений с ядрами I типа интеграл 7| имеет впд
5„ω2η-2° d<o
h
2*aJui2ii
+
rt2?
и заменой ·£ = i—j-, ω2? вычисляется точно. Получаем
Λ = —Ai'—i"^1 ?; + 2я-1 ■ (5; 3,19)
192
Таким образом, справедлива
Теорема 6. Для уравнений с ядрами I типа диспер-
сия влияния шума в регуляризованном решении σ2(α)
вычисляется по формулам (5; 3,17), (5; 3,19) и при а->-0
стремится к бесконечности.
8. Для уравнений с ядрами II типа илшем
0 W 2π2 J (L + atf f + 2π2 J (iac + «ω"·)»1
0 u>o
где ω0 выбирается как в п. 1.
При а—*-0, очевидно,
(О о
о
Таким образом,
σ2(α) =SQ-0(i)+I2, (5; 3,20)
где
со
2 2naJ(iac + aco2")2'
Подынтегральную функцию в /г можно записать в
виде ω_2α/?(ω, α). Функция У7(ω, α) имеет четко выра-
женный максимум, положение которого coi стремится к
бесконечности при а-»-0. Для оценки 1% можно восполь-
зоваться методом перевала. Число «м находим из уравне-
ния дР(а, а)/да = 0, которое можно записать в виде
αω2ρΚ\ (ω) -- К\ (ω) Κ\ (ω) - 2ρω"-Ρ~1 Κλ (ω) = 0, (5; 3,21)
где
Κ, (ω) = Η exp [- 0,5-Cm (Лео)"™] = {L (ω)}1/2.
Так как при больших значениях ω
ωΚ[ (ω) > Кх (ω),.
то уравнение (5; 3,21) можно заменить уравнением
Ζ,(ω)=αω2ρ. (5; 3,22)
Нетрудно видеть, что для единственного положительного
1 А. Н. Тихонов, В. Я. Арсении 193
корня этого уравнения ац справедлива формула
1
ω1 = Α[υΖ
Ji
1 + 0
(5; 3,23)
Применяя для вычисления интеграла h метод пере-
вала, получим
^VnsCma{Aa1)l'm''
что вместе с формулой (5; 3,23) дает
дЧ-р+га-! /С \2р+2о-1 + 1/т
mSo Ay+,a-i ,Су
4Ст У£ а U2 /
1+0
(5;3,24)
Таким образом, справедлива
Теорема 7. Для уравнений \5; 1,5) с ядрами II
типа дисперсия влияния шума о2 (а) в регуляризованном
решении, получаемом с помощью простейшего стабили-
затора р-го порядка (Λ/(ω) = ω2ρ), вычисляется по фор-
мулам (5; 3,20), (5; 3,24) и стремится к бесконечности
при а-»-0, как 12.
9. Аналогичным образом устанавливаются следующие
теоремы.
Теорема 8. Для уравнений (5; 1,5) с ядрами III
типа дисперсия влияния шума а2(а) в регуляризованном
решении, получаемом с помощью простейшего стабили-
затора р-го порядка, вычисляется по формулам
о»(а)"=Я>-0(1)+/з, (5; 3,25)
где
/, - - ° \2. β,-*--1 1 + 0 1 . (5; 3,26)
8 У π3 ·α L \Ps/J
Теорема 9. Для уравнений (5; 1,5) с ядрами IV
типа дисперсия влияния шума σ2 (α) в регуляризованном
решении, получаемом с помощью простейшего стабили-
затора р-го порядка, вычисляется по формулам
a2(a) = S0-O(l) + h, ' "(5; 3,27)'
где
Τ -Г Tq)SoA (А\ *« *
2q sin [~2ξ~η
2p+2a-l
14
[1 + 0(i)l
(5;3
*28)
194
10. Пользуясь формулами (5; 3,9) —(5; 3,15), (5; 3,17),
'(5; 3,19), (5; 3,20), (5; 3,24) — '(5; 3,28) и сохраняя в них
лишь главные члены, нетрудно найти приближение к
(С, /)-оптимальному значению α = α. Так, если восполь-
зоваться формулами {5; 3,9) и (5; 3,19), то получим
29
а = |А|р·
(2я - 2а + 1) SQ . , /я\ 2р + 2а-1 \ 2п-2и+з
где 50 = sup
1
16π2£^ I А |г
m
sin
[2p + 2a —1
2g
—β- , а также оценку
a<|4|
π (2η — 2a + 1) 5п12"-2°+з
128 B\ \A |г
Пользуясь условием ΔΓ (α) = σ2 (α), также можно най-
ти значение а, близкое к (С, /)-оптимальному. Это зна-
чение будем называть почти оптимальным и обозначать
<%ео. Для нахождения аП0 надо внать точные верхние гра-
ницы для |zT(i)| или для
Пусть, например,
«К«*+1
sup|zT(t)|=50
Тогда из формул (5; 3,9) и (5; 3,19) находим
ап
-М1!
S0 2p + 2a-l
ш
4»х
sm
[2р + 2о —1
I 2g
29
2n-2a+S
Замечание 1. Если априори известна информация
о верхней границе модуля первой производной точного
решения |zT(i)|, то для определения α и апо сдедует
пользоваться формулами (5; 3,9), (5; 3,10), (5; 3,12),
(5; 3,14) и соответственно формулами (5; 3,19), (5; 3,24),
(5; 3,26), (5; 3,28). Если же мы располагаем информа-
цией о модуле производной некоторого (2/>о+1)-го по-
рядка, то для решения задачи надо пользоваться стаби-
лизатором порядка ро, а для определения α и аПо — соот-
7*
195
ношениями (5; 3,9)', (5; 3,11)', (5; 3,13)', (5; 3,15)" и соот-
ветственно (5; 3,19), (5; 3,24), (5; 3,26), (5; 3,28).
Замечание 2. Для некоторых из рассмотренных в
этой главе случаев в [49] содержатся другие оценки ук-
лонения рсгуляризовапного решения от точного, когда
Μ(ω) =ω2. '
В работе [86] рассматриваются асимптотические
оценки уклонения регулярпзованного решения от точно-
го для оджшерного интегрального уравнения вида
(В; 1,1) не типа свертки.
Глава VI
О НЕКОТОРЫХ ОПТИМАЛЬНЫХ
РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩИХ ОПЕРАТОРАХ
ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ТИПА СВЕРТКИ
1. Будем считать, что правая часть u{t) уравнения
сю
Az s= j К (t — τ) z (τ) dx = и (t) (6; 0,1)
содержит случайную помеху (шум) г; (г) и, следователь-
но, является случайной функцией. Регуляризованные ре-
шения уравнения (6; 0,1)
za(t)~ Rt(u, a)
также будут случайными функциями. Их уклонения от
точного решения zT(t) (или между собою) будем оцени-
вать, как и в гл. V, в вероятностной метрике и полагать
pF(za, Ζτ) = (za —z,)2, "(6; 0,2)
где черта сверху означает математическое ожидание.
Определив таким образом метрику в F, будем рас-
сматривать регуляризованные решения, полученные с по-
мощью стабилизирующих множителей вида
. , . _ L (ω)
/(ω, α) - Lico) + aikf(co)·
2. В настоящей главе среди таких регуляризованных
решений будет найдено оптимальное в смысле метрики
(6; 0,2). Будет показано, что оператор винеровской опти-
\1альной фильтрации является регуляризирующим опера-
тором класса, описанного в гл. V. Для уравнений с ядрами
I — II типов (см. гл. V, § 3) будет найдено оптимальное
регулярпзованное решение в классе решений, получае-
мых с помощью простейших стабилизаторов ^-го поряд-
ка (Л/(ω) = ω2ρ), и изучены отклонения неоптималь-
ных решений от оптимального [11, 14].
197
3. Следует отметить, что при рассмотрении уравнений
Az = и относительно функции z, зависящей от одной пе-
ременной i, возможны две постановки задачи.
В первой постановке функцця а = uT(t) является де-
терминированной и требуется найти детерлшнированное
решение zT(i). Если вместо функции uT(i) нам известно ее
δ-приближение u(t) = itT(f) + v(t) такое, что ри{и, ит)^
< δ, то речь может идти лишь о нахождении прибли-
женного к zT(i) решения. Помеха v(t) обычно является
случайной функцией.
Во второй постановке uT(i) есть реализация случай-
ного процесса и требуется найти реализацию другого
случайного процесса zT(i), связанного с первым соотно-
шением Azr = цт. Если вместо uT(i) мы имеем u(i) =
= ttr(i) + v{t), где v(t)—помеха (шум), являющаяся
также случайным процессом, то ищется приближенное к
zT(i) «решение».
При решении этой задачи существенным является ис-
пользование дополнительной информации об искомом ре-
шении и шуме. Возможны случаи, когда:
а) известны спектральные плотности решения и шума;
б) известны законы распределения вероятностей ре-
шения и шума.
В настоящей главе упомянутые выше оптимальное
регуляризованное решение и оценки уклонения неопти-
мального регуляризованного решения от оптимального
даны в применении ко второй постановке задачи при ис-
пользовании априорной информации типа а). Это сдела-
но в предположении, что v(t) и искомое решение явля-
ются реализациями некоррелированных между собой слу-
чайных процессов. Через 5(ω) и Ν(ω) будем обозначать
соответственно спектральные плотности этих процессов.
Будет указан способ приближенного нахождения
асимптотических представлений функций £(со) и А^со)
при ω->- оо.
§ 1. Оптимальное регуляризованное решение.
Связь метода регуляризации
с оптимальной фильтрацией по Винеру
i. Пусть zT(i) есть точное решение уравнения
(6; 0,1) с правой частью u = «T(i), т.е. ^Ьт = ит(£).
Полагаем, что u(t) = uT(i) -f- v(t). Буде\1 рассматривать
198
регуляризованные решения уравнения (6; 0,1) вида
σο
,,, Г К (— ω) и (ω) , . .. , 0 , .
Z* W = J L(co)-ba^) ΘΧΡ (- lat) dti> = Д« <"' a)-
(6; i*i)
где функция L (ω) -|ГЯ^75·) принадлежит L2( — oo, oo)
при всяком a > 0. Оператор RM{u, а) определяется зада-
нием функции Μ (ω). Его можно записать в виде свертки
RM {и, а) = j La (t — τ) it (τ) dxf
где
oo
La (0 = 7- 1 г / ч i ^т, ч exP (— *ω£) dco.
v ' 2π J L (ω) -f- αΛ/ (ω) r v '
-00
2. Среди операторов такого вида можно найти опера-
тор Rm„ (и, а), лшнимизирующий [za{t)~ zT(i)]2. В самом
деле, очевидно, что
оо
*а (0 - 2т W = £ J {т^Щ, - 2т Цехр (-М)Ло=
— 00
1 Г /*(-ω)[κΤ(ω) + «»(ω)] |
= 211 J 1 Μω)+«Μ(ω) Ζτ Η) eXP (- iC0i) dc° =
— 00
! 7 |£(ω)2τ(ω) + Α'(-ω)«»(ω) 1
= Γπ J I /,(ω)+«Μ(ω) Zt И j exp (- i*t) d<* =
— 00
00
так как ατ(ω) = ΛΓ(ω)Ζτ(ω). Поэтому
[za(i)-zT(i)]2
t Г -яМ (ω) 7,^(0,) +Κ (-ω) ν (ω)
Γπ J Γ(ω)+αΜ(«) ΘΧρ <~ 1С°^ ЙС° Х
199
Χ — γ . .·- ,—.,; ,, ехр (— ш t) da —
2π J L (ω')-fait/(ω') rv '
— JO
' a2M (ω) Λ/ (ω') zT (ω) ?τ (ω')+£(—ω)Κ(—ω') υ(ω)ν(ω')
4π0 J
— oo
4π2 J J iL (ω)+αΜ (co)J [L (ω') -f aiW (ω')]
X ехр [— i (ω + ω') t] αω αω'
так как υ(ω) = ν(ω') = 0. Для стационарных случайных
процессов Ζτ(ω ) · zT(o/) = Λ'(ω)δ(ω + ω') α ν (ω) ν (a') =
= 5(ω)δ(ω + ω'), где δ (ω-(-ω') есть б-функция. Интег-
рируя в последнем двукратном интеграле по переменной
ω' и пользуясь свойством б-функции и четностью функ-
ций /¥(ω) и £(ω), получим величину уклонения
[za(t)-zT(t)]2 = T(aM)
.ЛлЛ
1 С о^Л/*(<о) ΛΓ(ω) -Ι- ΙΑ ω) .9 (ω)
(a.V/) = —s !—-—L^- -4 -Ло. (6; 1,2)
— σο
Из условия минимума этого функционала на функци-
ях Μ (ω) элементарными вычислениями находим, что ми-
нимум достигается на функции
1 S (со)
Μ (ω) = М0 (ω) =
a TV (ω)'
•,2
<Λ«ω» 4jT_J TV (ω) [L (ω) + αΜ (co)f
Таким образом, оператор йм(«, а) вида (6; 1,1), ми-
нимизирующий уклонение (6; 0,2) регуляризованного ре-
шения za(i) от точного zT(t) и отвечающий функции
Μ(ω)=Μ0(ω) = -1-ΡΡ\,
ν ' "ν ' a TV (ω)'
не зависит от α и имеет вид
σο
Rm° (») = "ИГ i ^("ω>5|ω5 ΘΧΡ (~ ^ ^ (6; *>3)
200
Приближенное (регуляризованноеУ решение уравне-
ния (6; 0,1) zon(i), получаемое с помощью этого операто-
ра, не зависит от параметра α и представляется фор-
мулой
оо
*«« w = i I К(~а)1ш) ехр (- ш) αω- (6; 1λ)
Мы будем называть его оптимальным регуляризованным
решением уравнения (6; 0,1). Оно совпадает с резуль-
татом применения оптимальной фильтрации по Винеру
для нахождения z(i) no u(t) = uT(t) -j- v(t) [220]. По-
этому оператор Rm0(u) будем называть также оператором
оптимальной фильтрации по Винеру.
Замечание. Для получения оптимального регуляри-
зованного решения требуется знать спектральные плот-
ности шума и искомого решения. В практических зада-
чах, приводящих к уравнению (6; 0,1), часто имеется ин-
формация, позволяющая находить Ξ(ω) (хотя бы приб-
лиженно). О спектральной плотности решения Ν(ω)
обычно делаются какие-то предположения, пригодность
которых потом надо проверять. Однако," в ряде случаев в
конкретных задачах спектральная плотность искомого ре-
шения известна. Это имеет место, например, при радиоло-
кации.
В § 3 настоящей главы при дополнительном предпо-
ложении об эргодичности рассматриваемых случайных
процессов дается способ приближенного определения
асимптотик функций S(co) и Ν (ω) при со—>-оо.
3. Формула (6; 1,1) определяет одноиараметрические
селшйства (классы) линейных регуляризирующих опера-
торов. Каждое такое семейство определяется заданием
функции Μ (ω), удовлетворяющей условиям а) —г) гл.
V, § 1. Таким образом, мы установили справедливость
следующей теоремы.
Теорема 1. Среди функций Μ(ω), обладающих
свойствами а)—г) гл. V, § 1, существует такая функция
Μ0(ω), что однопараметрическое семейство регуляризи-
рующих операторов Rm0(u, а) содержит в себе оператор
оптимальной фильтрации по Виперу.
Значение теоремы 1 состоит во-первых, в том, что
оператор оптимальной фильтрации включается в семей-
ство устойчивых операторов, непрерывно зависящих от
201
правой части u(t) уравнения (6; 0,1)'. Следовательно,
оператор оптимальной фильтрации устойчив, т. е. непре-
рывен по в на всякой фиксированной точной правой ча-
сти. Во-вторых, из этой теоремы и § 3 гл. V следует, что
малым уклонениям функции Μ (ω) от 8(ω)/Ν(ω) (в смы-
сле асимптотической ε-близостп соответствующих множи-
телей /(ω, а)) отвечают малые уклонения регуляризован-
ного решения от оптимального. Это открывает возможно-
сти получать приближенные решения уравнения (6; 0,1),
близкие к оптимальному, используя более простые алго-
ритмы построения регуляризованного решения.
Спектральную плотность шума S(ω) во многих слу-
чаях можно вычислить (обычно приближенно), исполь-
зуя информацию о шуме, а спектральная плотность ис-
комого решения Ν(ω) неизвестна. Поэтому пользоваться
для построения приближенного решения оператором оп-
тимальной фильтрации, как правило, не представляется
возможным. В связи с этим представляет интерес возмож-
ность заменять оптимальный регуляризирующии оператор
(оператор оптимальной фильтрации) близким к нему
оператором, используя меньшую априорную информацию
для его построения. В § 3 настоящей главы для уравне-
ний I и II типов будет показана возможность сколь
угодно точного нахождения асимптотик функций S(ω)
и Λ'(ω) по семейству регуляризованпых решений в пред-
положении, что рассматриваемые стационарные случай-
ные процессы — эргодические. При этом будут использо-
ваться простейшие регуляризирующие операторы порядка
ρ(Μ(ω) =ω2ρ).
4. Если 71/(га) = ω2ρ (ρ не предполагается целым,
рЭ=0), то Т (аМ) будет функцией параметров аир.
Будем обозначать ее через Τ (а, р).
Полагая в формуле (6; 1,2) 1/(ω)=ω2ρ, получим
т/ . if L-S-dco . 1 С a2(uipN-d(0 /0 . с.
т{а>р)~Щ (ΖΤ^^ + ^](ΖΤ^¥· (6; ll5)
Каково бы ни было ρ > 0, при а->-0 второй интеграл
формулы (6; 1,5)
Δ2^=^Ι
1 1"α2ω4ρ·ΛΓ-Λ>
2n2J (Λ + αω2ρ)3
202
монотонно стремится к нулю*) а интеграл
со
монотонно возрастает.
Кроме того, Δ2(οο) = оо и σ2(οο) = 0. Поэтому для
всякого фиксированною значения ρ функция
Τ(α,ρ) = σ2(α)+Δ*(α)
имеет минимум при некотором значении α = сср.0. **).
Это значение будем называть р-оптималъным значением
параметра регуляризации а. Оно определяется из условия
дТ/да = 0, которое имеет вид
оо оо
j (& + ,»")' *° = ] (L + a»»r (6; ll6)
Очевидно, что ар.0. есть функция от р, ар.г- =a(p). Сле-
довательно,
Γ(ορ.„., Ρ) =Ψ(Ρ)'. "(6; 1,7)
5. Изучим некоторые свойства функции ψ(/>). Мы сде-
лаем это для уравнений с ядрами K(t), фурье-преобразо-
вания которых на вещественной оси при ω-»-οο имеют
асимптотику одного из следующих видов:
1) Κ(ω) = -^, п>0 (1 тип);
! I
2) K((u=H<u-"exv(—{t(uA)m], Л>0, v>0, Я >0,
m > 0 (II тип);
3) Я (ω) = Я ехр (- Αω*), Л >0( Я > 0 (III тип);
4) Κ(<ο)=* „„ / , ,h, »>0, fe>04 n + fc^Q
ω '(In In ... In ω)"
а раз
(IV тип).
Кроме того, будем полагать, что спектральные плотно-
сти Ν(ω) и S(ω) при ω-»-οο κα вещественной оси имеют
*) Это доказывается так же, как и для A,(f, a) в гл. V.
**) Если это значение не единственно, то берем наименьшее
из них,
203
асимптотические представления вида
ΛΤ(ω)=4|. b>0; 5 (ω) = % а>°-
§ 2. Свойства функции ψ(/>) для уравнений
с ядрами I—IV типов
Рассмотрим асимтотическпе оценки интегралов
00 ОО
... . if a2(OipNd(o , , . if 5·Ζ,ο!ω
Δ (a) = 2^J(iT^r и σ(α) = ^0|
2π2 J (L + αω*)2 w 2π2 J (Z, + αω**)2 '
о о
1. Ядра I типа. Повторяя рассуждения § 3 гл. V,
находим
Δ'(°"-2τ4(,,.+::-).+°'^
σο
где символы /ас, как и прежде, означают, что /(ω) для
всех значений ω вычисляется по асимптотической форму-
ле. Таким образом,
9 = Ρ + η.
Этот интеграл вычисляется с помощью замены х =
= j ω29 *). Поступая таким образом, получим
I A \
Δ2 (α) = ^ (1 - γ) ^ (^)V + О (а2), (6; 2,1)
26-1
где Т=-27"·
Аналогично вычисляется σ2(α):
*) Рыж и к И. М., Градштейн И. С. Таблицы интегралов,
сумм, рядов и произведений,— Изд. 5-е,— М.; 1971, стр. 307,
204
где
In — 2я + 1
v = —тя—·
Следовательно, при α->0 для ядер I типа имеем
(6; 2,3)
Τ (α, р) = Ci (ттр)" + С г (у^рГ S. + О (а*) + О (S0),
где
-1 Лттл tfin νπ
4л<7 sin γπ' - 4ж/1 Л |2 s'n l·111'
Предположим, что неотрицательные числа р, п, Ъ, а
удовлетворяют условиям
О < γ < 1, 0 < μ < 1 и Ь>2а, (6; 2,4)
из которых следует, что
1) 2Ь> 1; 26<2n + 2p-fl;
2) 2а<2га + 1; 2р > 1 — 2в.
Из этих требований следует, в частности, что в случае
«белого» шума (а = 0) надо использовать рсгуляризиру-
ющий алгоритм порядка ρ > 1/2.
Числа b и га характеризуют порядок гладкости искомо-
го решения и ядра K(t). Как показывает неравенство
26 <С 2га + 2р+1, в случае, когда η <С Ь, порядок регуля-
ризации ρ нельзя выбирать произвольным. Отметим, что
числа р, га, 6, а — не обязательно целые.
Пользуясь формулой (6; 2,3) и удерживая лишь глав-
ные члены, из условия dTJda — 0 находим р-оптимальное
значение а *):
1
«p.o = U|2(4^50 t (6; 2,5)
7 Сг
или
1
АР.О.
£„ μ 1 — μ sin γπ\ν+μ
Ν Ι Л Ι2 У 1 — ΥβΓημπ
(6; 2,6)
*) Такое же зпачение α получим в ич уравнения (6; 1,6), вычи-
слля в нем интегралы с помощью тон же заменых = -—ти',
Ml2
205
Подставляя это значение ар. 0. в формулу (б; 2,3), по-
лучим
у
q(p) = T(aV0.,p) = (^^SlX+iX.(l+^}C1, (6; 2,7)
или
_ V
'О
μ) sin νπ £.. )v+n
'w ^ "■" μ у 4?nsin γπ |γ(1 — γ) sin μπ дг | д ^
(6; 2,8)
Очевидно, что γ = γ (ρ), μ = μ'(ρ) -^(ρ) — это минималь-
ное из возможных (при различных значениях параметра
регуляризации а) средних значений квадрата, уклонения
регуляризованного решения za(t) от точного zT(i) при
пользовании простейшей регуляризацией р-го порядка.
Как этот минимум уклонения будет изменяться с измене-
нием р? Ответ дает
Теорема 2. Для ядер I типа функция ^(р)обладает
следующими свойствами:
1) имеет единственный минимум при ρ — ро = b — а;
2) монотонно возрастает в области р>рои прир-*·
-*- оо стремится к конечному пределу ψ (со), равному
sin fv.nl
3) ^(P„)-(26-l)Msin2(ny) * (l-^J'(b'''1U)
где
Σ/ = 7Γ' Vo=V(Po). μο = μ(Ρο)·
Доказательство. Вычисляя логарифмическую про-
изводную функции ψ(ρ), находим
Ψ' (Р) = ψ (/>) ΤΤνΤμΓ 'Ф ^' ^*
где
, . _ __1 1 , __1 1 , sin [π (у + μ)1
ΦνΥ, μ; — !_γ γ "Τ*1_μ μ +π sin (νπ)·sin (μπ)-
Поскольку γ и μ удовлетворяют условиям 0<γ<1,
206
О <; μ < 1, функция ψ (ρ) положительна для всех значе-
ний р. Функция φ (γ, μ) при упомянутых органичениях
на γ, μ обращается в нуль лишь при γ(ρ) +μ(ρ) = 1,
т. е. при ρ = ро = Ъ — а.
Свойство 1) доказано.
В области ρ > рй φ (γ, μ) остается положительной.
Следовательно, ψ(ρ) в этой области монотонно возрастает.
Пользуясь формулой (6; 2,8), непосредственным пре-
дельным переходом находим
' Но 2π2 (26 - 1) \ ЛГ0 I 4 Ι1 )
С другой стороны,
* ^ 2π sin (nVo) \ 7VQ | Л |2 j μβ (26 - 1) *
Из этих формул следует (6; 2,9). Свойство 3) уста-
навливается непосредственным вычислением, исходя из
формулы (6; 2,8).
Следствие 1. Для произвольного ρ > ро выполня-
ется неравенство
0 ЬР)-У(Ро) < ?о
Ψ (Р0) * ~ V
Таким образом, наименьшее квадратическое уклонение
ψ(ρ), отвечающее регуляризации произвольного порядка
Ρ > Ро, мало отличается от наименьшего квадратического
уклонения ty(po), отвечающего регуляризации оптималь-
ного порядка ро. Следовательно, при достаточно малых
значениях γ0 можно пользоваться регуляризацией произ-
вольного достаточно большого порядка ρ > ро. Отметим,
что при этом параметр регуляризации α надо брать рав-
ным сср. о.
Оператор
4zs{ i(i-x)z (τ) dx
будем называть сильно сглаживающим [10, 11], если η
много больше чисел Ь и а, т. е. re > max {Ь; а).
Следствие 2. Для сильно сглаживающего операто-
ра Az минимум среднего значения квадратического укло-
нения регуляризованного решения от точного, т. е. функ-
ция ·§(ρ), слабо зависит от порядка регуляризации р.
207
Действительно, в этом случае число
_ 26 — 1
γ° ~~ In -f- 'lb — 2а
мало.
Простейший стабилизатор порядка р0 будем называть
наилучшим простейшим стабилизатором. Следовательно,
для сильно сглаживающего оператора Az в вычислитель-
ной практике можно пользоваться простейшим стабилиза-
тором произвольного достаточно большого порядка ρ
(р~>-ро), а ие обязательно наилучшим.
4 η Ψ (pi - Ψ (р„)
Замечание 1. Отношение -т-—■ можно так-
же оценить, пользуясь свойством 3) функции ψ(ρ) из
теоремы 2. Получим
Ψ(ρ)-ψ(ρ0) (p-p„)2y(i-y)f nV -2 ^
1
Ψ(Ρο) 2 l2''-l) {sin2 (яу) (l~2/)2j
Значение α = αρ.0. (ρ), отвечающее регуляризации по-
рядка ρ = ро, будем называть оптимальным значением па-
раметра регуляризации и обозначать
™опт С£р. о \P0j*
Очевидно, для уравнений с ядрами I типа
Регуляризованное решение zonT(i), полученное регуля-
ризацией порядка ρ = ро при α = αοπτ, совпадает с функ-
цией г0. ф. (i) полученной оптимальной фильтрацией по
Винеру, т. е.
Замечание 2. Из формул (6; 2,1) и (6; 2,2) сле-
дует, что при ρ = р0 и а = аипт имеем
σ2(αοπτ) _ 26-1
Δ* («опт) 2"~2«+1
Следовательно, для сильно сглаживающих операторов
(п ^$> а; Ь) при использовании регуляризации оптималь-
ного порядка ро с оптималышм значением параметра ре-
гуляризации (а = (Хопт) главным в величине уклонения
Τ (α„πτ, Ро) является вклад регуляризации, а не шума.
2. Ядра II и III типов. По соображениям, указан-
ным в начале п. 1, уравнение (6; 1,6) для определения
208
αρ. ο. можно заменить уравнением
00 , ОО
ш*Р"2Чяг (ω) ^ω п С ω2Ρ-2αΛ.. (ω) αω
<xNn
о
lLac. (ω) + αω
2p|3 "θ J
О
(£aC И + α(υ
2Ρ13'
(6; 2,11)
Интеграл
,.2ρ-2α.
d©
вычисляется методом перевала и равен
ω2ρ-2α^ο(ω)
где
/Χ (ω, α) = aln-
£3Ρ(ω) + αω
2P13
/i (ω, α) —вторая производная по ω. Здесь ω\ есть корень
уравнения
(—2Lac+αω2ρ)^ — а-ш2р-ьас + — Lac = 0.
Очевидно, что о^ = ωΙ (α) и ω! (α) -»- οο цри α->0. По-
скольку
ο4ρ-25^ο(ω)
то интеграл
_ ω2ρ-26 + 2α gXp
— Λ (ω- °0
/2 =
<в4р-2Ь£асЛо
также вычисляется методом перевала и равен
,2Р-2а
"яг. l"MJ / π
h =
ω'" " Lar. (wl)
i
АсЮ + И(01
2Ρ13
|/1(ω1'β)|
p-2b+2a + 0, T
Подставляя значения /j и /2 в формулу (6; 2,11) и удер-
живая лишь главные члены, получим следующее уравне-
ние для определения αρ.0·:
α = -^ {β»! (a)}-2P-2b+2«.
При ρ = Ро получаем α0Πτ = So/No·
209
В п. 1 мы видели, что чем больше п, т. е. чем выше
порядок убывания Κ(ω) при ω-э-оо, тем меньше разность
■ф(Р) — ty(Po) Для ρ > р0, т. е. тем слабее влияние порядка
регуляризации ρ на функцию ψ(ρ) и, следовательно, тем
с большим основанием оптимальный порядок регуляриза-
ции р0 можно заменить произвольным порядком ρ > ро-
В случае уравнений с ядрами II и III типа порядок
убывания функции Κ(ω) при ω-»-οο более высокий, чем
у любой степени с отрицательным показателем ω-η. Поэ-
тому оператор Az с ядром II или III типов можно рассмат-
ривать как сильно сглаживающий. Следовательно, к нему
применимо следствие 2 теоремы 2 настоящего параграфа.
В случае уравнения с ядром IV типа все определяется
величиной показателя степени п, а не числами s и к. Мы
не будем приводить соответствующие вычисления [13].
Замечание 3. Результаты, аналогичные изложен-
ным в §§ 1, 2, справедливы и для многомерных интеграль-
ных уравнений первого рода типа свертки (см. [153,154]).
§ 3. Определение высокочастотных характеристик
сигнала и шума и оптимального значения
параметра регуляризации
1. Вернемся к вопросу о нахождении оптимального по-
рядка регуляризации р0 и оптимального значения пара-
метра регуляризации ααπτ. Как было показано для урав-
нений I типа, ро = b — а и а0Пт = SoJNo- Таким образом,
для нахождения р0 и α„πτ (а также р-оптимального значе-
ния а, т. е. ар. 0) надо знать высокочастотные характерис-
тики сигнала и шума: N0, b, So, а. Во многих практиче-
ских задачах характеристики шума S0 и а можно опреде-
лить (приближенно) по результатам наблюдений. Не
так обстоит дело с высокочастотными характеристика-
ми сигнала No и Ь. Наше предположение о характере
функциональной зависимости спектральной плотности
сигнала, т. е. A'(oi), выполняется для широкого круга
задач. Однако числа No и Ь, определяющие эту зависи-
мость при больших значениях ω, как правило, бывают
неизвестными и не представляется возможным опреде-
лить их непосредственно по результатам наблюдений.
2. В настоящем параграфе будет показано, что эти па-
раметры можно однозначно определить по семейству ре-
гуляризованных решений {za(t)}, отвечающих различным
210
значениям α и построенных при помощи простейшего ре-
гуляризирующего оператора Μ (ω) = ω2ρ, порядок кото-
рого ρ можно выбирать достаточно произвольно. Особенно
просто это можно сделать для эргодических процессов
Таким образом, в применении к эргодическим процес-
сам метод регуляризации позволяет найти оптимальное
приближенное решение уравнения (1) (или близкое к
нему), используя существенно меньшую априорную ин-
формацию об искомом решении и шуме, чем в методе
оптимальной фильтрации.
3. Введем в рассмотрение функцию параметра а:
— 2η °°
F (а) = а +р J {A*[u(t) - Aza{t)\}4t,
•—оо
где А* — оператор, сопряженный в L% оператору А. Оче-
видно, что F(a) > 0 для всех α > 0.
Рассмотрим уравнения с ядрами I типа.
Теорема 3. Функция F(a) при малых шумах (т. е.
при малом So) имеет локальный минимум в некоторой точ-
ке а = Omn, и локальный максимум в некоторой точке
а = <хтах, причем amai < own·
Доказательство. Используя теорему Планшереля,
а также выражение для спектральной плотности 0(ω)
правой части уравнения (6; 0,1)
υ(ω) =£(ω)Λ/(ω) +5(ω),
находим
или
2Р °°
„. , ~ С L(LN + S)v>*pdu
F l„\ 9«~ Г L(LN+S)mip , , Г L(LN+S)mip , I
i(a)=2<X J (L + a»W)· ^+J (L+ »»·")· Τ
Число oio выберем так, чтобы для ω > ω0 функции Δ (ω)",
Ν (ω), S (ω) можно было вычислять по асимптотическим
формулам.
Для малых a
Ио Ио
i (ΤΤ?^ = β1Ι^ω4^ω==0(1)1 где °.25<*i<U
о ^ + ω ' о
211
1_~ J α + αω8")2 ~ JJ
где 0,25 < #s < 1;
ш4р-2ЬЛо
/ α \2
Ч1 + м/»Н
4Р-2Ы-1
σο 1
{ Χ dx
J ll + xf
( a v
w,
-4P+26-1
\ 2?
)
2<7
SCO ■ ■ ....
где ж0 = ω„ .
Ml20
При α—»-0 последний интеграл стремится к интегралу
в пределах от 0 до оо, который легко вычисляется и равен
п 2р — 2п — 2Ъ + 1 1
2? . /4га + 2ft — 1
/4га_
2?
Таким образом,
-4Р+26-1
где
πΛ7 2р — 2га — 2ft + 1
d (а)-»-С10 =—зг 77 ПТ; Г~\ ПРИ а-*-0.
(2?)2 sin f4»- + 26-1 π)
Аналогично находим, что
00
ω0
-4Р + 2П-21+1 ς
где
С2 (а)-»·С20 = ■—j- у ^ Ν при а-^0.
2?
Следовательно, при малых а
. π)
F (α) = С8 (α) (^ + С. la) (^ · ^ + О (Jj,
(6; 3,1)
212
где
-4Р -4Р
С3(а) = 2С1(а)МГ , С4 (а) = 2С2 (а) | А\ ч .
Поскольку γ > 0 и μ > 0, то при а->0 F(a) -»-оо.
Для больших ci(a> 1) интеграл
(О о
ω4ρ/,·Γ,'Λο
о (Λ+αω2")2
заключен между интегралами
(LU)m^ ω«ρΑο С (£t/)minco4PrfcD
J (Δ„1„ + οω2ρν J
J (Lmin + aco2p)2 J (imax + a«^)2·
Ho
2P , , 1
ω ,ptfra 1 2P f £ dx
и О
При α—>-оо последний интеграл стремится к бесконечно-
сти как a1/(2i). Следовательно,
0)о 2 0 ωο /
(u4"d(i> n, ,. Τ Γ aip-L-Ud(u .J ~
-—а = О (а"2), а , , .р.„· = 0U
2*>)2 v " J (Λ + αω2ρ)2
Рассмотрим интегралы по промежутку (ω0, оо)
12ΝωΙΡαω Ν Γ со4р-2ЬЛо
\2 "О
(L + αω2ρ)
ω» ω
I / a
°i1 + |7?
I2
ω2^
2?
f
a
-47>+2f>-
29
-1
oo
i
29
αω0
4Р-2Ы-1 _^
251 Λ
£ ax
(l + x?
При a->-oo последний интеграл стремится к нулю как
-4Т1--2М-1
α 2ρ . Следовательно,
Г L2Na4Pd(u . , _„. Τ Γ /Λνω4ΡΛο ( ^\
(Λ+αω2ρ)2 v " J(L + c№2p)2
213
Аналогично находим, что
2Р °? / -2П\
J(i+acDap)2 V '
Таким образом, при а-*-со
F(a) = 0\a~).
Оценим производную F' (а) при малых значениях а.
Очевидно, что
^[lnF(a)]=H+^[lnFl(a)],
где
Fl (a) = J (/; + «»«)· '
Условие F' (a) = 0 эквивалентно соотношению
или
α9+Ι^(α)+-^^(α)=-0. (6; 3,2)
Повторяя рассуждения, проведенные при оценке функ-
ции F(a) для малых значений а, находим, что для малых
а левая часть уравнения (6; 3,1) имеет вид
С г (а) у {^J - С2 (α) μ (^^ ^ + О [J\ (6; 3,3)
где
Cl(a)-+2\A\-i"*Cw, С2(а)-+2\А\-*"<Ст
при а-»-0.
Сумму (6; 3,3) можно записать в виде
а
ai = 7T7F·
214
Поскольку V, μ>0, — + μ>0 и CjCx > 0, то при ма-
лых значениях S0 функция переменного ся
l s.. с, . ( 24+Л
/а (ах) = а{
ν+μ
У | Л|2 С
^ + 0\*?
имеет нуль в некоторой
точка amia = ai.mm · \А\2
лежит в области приме-
нимости представления
(6; 3,1) для функции F(a)
(рис. 17). Точка
может быть только точ-
кой локального минимума
для функции F(a), Оче-
видно, что
O^mi'n ^^ O^mia (*^0/)
lim amin (Sa) = 0.
точке ai = aiimia такой,
Г(а)
что
Из оценки функции F(a) при больших а видно, что
при а-*-оо функция F(a) монотонно стремится к нулю
(для а ^ 1). Из этого факта, а также из того, что при
a = am,,, F (α) имеет локальный минимум, следует суще-
ствование таКОЙ ТОЧКИ a = (Хтах, («max > Otmin), В КОТОрОЙ
функция F(a) имеет локальный максимум. Очевидно,
аш<л = ата1(5о). Теорема доказана.
4. Следует отметить, что отношение
к нулю при S0-*-Q. Условие
Amin
стремится
*mln
<1
можно считать критерием малости шума и, следовательно,
критерием применимости изложенных результатов к ана-
лизу экспериментальных кривых u(t).
Для значений р, удовлетворяющих неравенству
Ар > 26 - 1,
первым членом в формуле для /г(оч) можно пренебречь.
215
В этом случае из условия /2(011) = 0 находим
а _/'?!_ JL *о У^
В случае эргодических процессов функция F(a) опре-
деляется без априорных знаний высокочастотных харак-
теристик искомого решения и шума по формуле
F(a) = a9 lim-±r \ {A* (Aza - и)}2 dt.
О
Зная функцию F(a), мы можем одпозначно опреде-
лить значения параметров /V0, b; So, a.
В самом деле, на участке (0, ат1„) кривая y = F(a)
определяется только параметрами a, So, ρ, η, так как для
малых значений а в формуле для F (а) преобладает слага-
емое
А\- \\А\
где
С4(а) = 2С2(а)И| ' ,
„ , . π 2р — 2п -f 1 Л
С2 (а) -> —5 г1 ! г ПРИ а -*- 0.
(2?)2 sin (2р - 2« ' ' N
'■Я I
2q
Ha участке (ашщ, ow) кривая y = F(a) определяется
только параметрами УУд, Ь; />, п, так как на этом участке
в формуле для F (а) определяющим будет член
с3(«)( а 'У
где
-4Р
С8(а)=2|4| « С,«
С\(а)-* у- ! при а->0.
. 12р~2п~2Ъ+1 \
sin _ .— π
\ 2? /
Поскольку для эргодических процессов F{а) определя-
ется без априорной информации о высокочастотных харак-
216
теристиках сигнала и шума, то в этих случаях мы можем
по регуляризованным решениям определить параметры
So, a; N0, Ъ.
Для произвольных стационарных процессов указанные
параметры определяются по семейству регуляризованных
решений {za(t)}, содержащему достаточно большое чис-
ло функций za(t) (например, методом наименьших квад-
ратов).
5. Мы подробно рассмотрели вопрос об определении
высокочастотных характеристик сигнала и шума в случае
уравнений с ядрами I типа. Если ядро сильно сглаживаю-
щее (n» b, а), то можно также полагать п~Э> р. Тогда
множитель а п+р в функции Fia) можно записать в виде
α l " η" ;«α V n\
где ρ/η < 1.
Имея в виду сказанное, а также то, что ядра II и III
типа суть сильно сглаживающие, для них функцию F(a)
можно определить следующим образом:
00
F (а) = α-;+ε·Ρ j" {A*{Aza — u\fdt,
— со
где ε · ρ <С 1.
Определив таким образом функцию F(a) и повторяя
рассуждения, проведенные для ядер I типа, мы придем к
тем же результатам о возможности определения высокоча-
стотных характеристик сигнала и шума.
Оценки сходимости регуляризованных решений содер-
жатся также в работах [49, 50, 139]. В [91] рассматрива-
ются условия корректности уравнений типа сверток.
Глава VII
УСТОЙЧИВЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ
РЯДОВ ФУРЬЕ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ
В МЕТРИКЕ 1а КОЭФФИЦИЕНТАМИ
1. Задача суммирования ряда Фурье по заданной ор-
тонормированной системе функций {<Pn(i)} состоит в на-
хождении функции /(f) по ее коэффициентам Фурье.
В ряде случаев в эксперименте для определения ин-
тересующей нас функции f(t), характеризующей изучае-
мый процесс (явление), измеряются ее коэффициенты
Фурье {а„} по некоторой ортонормированной системе
функций {ф„(0}· Измерения всегда носят приближен-
ный характер. Таким образом, вместо а„ получают при-
ближенные значения коэффициентов Фурье сп. Возника-
ет задача суммирования рядов Фурье с приближенны-
ми коэффициентами.
Во введении указывалось (см. пример 3), что задача
суммирования рядов Фурье не обладает свойством устой-
чивости к малым изменениям (в метрике h) коэффици-
ентов Фурье, если уклонение суммы оценивать в метри-
ке С, и, следовательно, является некорректно постав-
ленной задачей.
Издавна употребляемый метод суммирования рядов
Фурье с приближенными коэффициентами состоит в том,
что в качестве приближенного значения суммы такого
ряда f(t) берется сумма конечного (не слишком боль-
шого) числа его первых членов, т. е. полагают
k
/(0« Σ e„(p„(i).
n=l
Устойчивый к малым изменениям коэффициентов в
метрике h метод суммирования, основанный на идее ре-
гуляризации, был предложен в [167].
Следуя работе [167], будем называть метод сумми-
рования рядов Фурье функций /(i)<=F с приближенны-
ми в метрике 1% коэффициентами {сп) устойчивым в
218
смысле метрики пространства F, если для любого поло-
жительного числа ε > 0 можно указать такое число δ (ε),
что из неравенства
Σ (сп-'?п)2<б2(е)
следует неравенство
Р»(А /)<в,
где / и / — результаты суммирования данным методом
соответственно рядов
оо σο
2 спфп (t) И 2 спфп (О·
п=1 п—1
2. Обозначим через CD пространство непрерывных в
конечной замкнутой области D функций с метрикой С.
Будем рассматривать ряды Фурье по системе функций
{φ„(0} Для функций f(t) из CD.
Следуя [167] и [12], мы построим в § 1 класс устой-
чивых методов суммирования рядов Фурье, основанных
на идее регуляризации.
Задачу суммирования ряда Фурье функции f(t) мож-
но рассматривать как задачу решения некоторого опе-
раторного уравнения относительно функции f(t). В са-
мом деле, если каждой функции из множества F поста-
вить в соответствие элемент и пространства h, а имен-
но, последовательность ее коэффициентов Фурье {а„} по
системе {(fn(t)} (с весом p(i)), т. е. элемент и ξ= {α„},
то это соответствие можно записать в виде
Af = u. (7; 0,1)
Очевидно, что этот оператор из Св на h непрерывен
на Со.
Следовательно, задача суммирования ряда Фурье, со-
стоящая в нахождении функции /(£) по заданной после-
довательности ее коэффициентов Фурье и={ап}, сво-
дится к решению уравнения (7; 0,1) относительно f(t).
Из курса анализа известно, что в классе CD эта задача
имеет единственное решение.
219
§ 1. Классы устойчивых методов
суммирования рядов Фурье
1. Если нам известны приближенные значения коэф-
фициентов Фурье искомой функции, т. е. элемента и —
правой части уравнения (7; 0,1), то речь может идти
лишь о нахождении приближенного решения задачи.
Поскольку эта задача является некорректно поставлен-
ной, то естественно для нахождения ее приближенного
решения воспользоваться методом регуляризации.
В качестве стабилизирующего функционала Ω [/] со-
гласно [12] возьмем некоторый функционал вида
оо
Ω[/]= ΣΓη·Ιη( (7; 1,1)
71=1
определяемый заданием последовательности {£„}. Здесь
/п — коэффициенты Фурье функции f(t) по полной ор-
тонормированной системе функций {ψη(0} (С весом
p(i)>0), а {ξη}—последовательность положительных
чисел, порядок роста которых при гс-*-оо не ниже, чем
ге2+е, где ε 5s 0. Легко видеть, что для любого положи-
тельного числа d>0 множество фупкций /(i) e С0) для
которых Ω [/] ^ d, является компактом в С0*).
Стабилизирующие функционалы такого вида явля-
ются естественным обобщением функционалов Ω [/], ис-
пользованных нами в гл. II.
В самом деле, пусть {<p„(i)}—полная ортонормиро-
ванная система собственных функций краевой задачи
вида
4г [к (*) φ' (*)1 - д (t) φ (*) + λφ (t) = о, о < t < i,
φ(0)=0 = φ(0,
где k(t) >0n q(t) > 0 на отрезке [0, /], а {λη} —сово-
купность, собственных значений этой задачи. Тогда ста-
билизирующий функционал
i
Ω[/]= \{k{iy + qfi)dt1
о
*) Результат остается справедливым и в случае, если после-
довательность {%„} имеет цорядок роста при η—*■ °° не ниже,
чем пИе, ε > 0.
220
использованный нами в гл. IV для функций f(t), удов-
летворяющих условиям /(0) = f{l) = 0, можно запи-
оо
сать в виде ряда Ω [/] = 2j/n^n, где /„—коэффициенты
Фурье функции f(t) по системе {φη(*)}· Действительно,
применяя интегрирование по частям, получаем
( I 1
j* к (/')2 dt = ff'k |Ь - j / -|- W) dt = ~\llu (А/'> dL
0 0 0
I
Следовательно, Ω [/] = \ f \qf — — (kf')\dt. Подставляя
о
в правую часть этой формулы вместо функции f(t) ее ряд
σο
Фурье 2 /η·ψη(*), получаем
п=1
i
I
n,m=l у
Так как q<pn -^ {k(fn) zs λ„φη, π при η φ τη функции
(fn(t) и φ„.(i) ортогональны, то
<Х> ' 00
Ω [/] — 2 fnfmhn (fmtpndt = 2 /ηλ„.
2. Уточним постановку задачи. Обозначим через 2JI
совокупность всех последовательностей {|л}, упомяну-
тых выше, отвечающих всем возможным значениям чис-
ла ε > 0 [12]. _
Пусть в конечной замкнутой области D ^/-мерного ев-
клидова пространства R'Y заданы полная ортонормиро-
ванная (с весом p(i) > 0) система функций {φ»(£)},
где t= (tu t2, ..., tN), и непрерывная в D функция /(£),
представимая своим рядом Фурье по системе {<pn(t)},
00
221
где
βη= )p(t)?(t)<PnV)dt.
D
Пусть вместо коэффициентов Фурье ап нам извест-
ны их приближенные значения сп = ап -f- fn с малыми
(в h) погрешностями γη,
n-1
т. е. вместо последовательности и = {а„} нам дана по-
следовательность цв=={с„}, для которой Pi, {и, ий) <: δ.
Следовательно, вместо ряда Фурье с точными коэффи-
циентами
2 αηψη(О
мы имеем ряд с приближенными коэффициентами
Σ*ηφη(«). (7; 1,2)
n=l
Нашей целью является отыскание в классе CD функ-
ции /(i), аппроксимирующей функцию /(£), по последо-
вательности чисел {с„}, близкой (в метрике 1%) к после-
довательности {а„} коэффициентов Фурье функции /(£),
оо
т. е. такой, что 2 (с» — α")2 ^ δ2· При этом аппроксима-
п=1 __ ^
ция должна быть такой, чтобы при δ -> 0 рс (/, /) -> 0.
В качестве /(i) нельзя брать сумму S(t) ряда,(7; 1,2),
вычисляемую по правилу
ft
S(f) = lim 2 с»фп(0.
ft-»ctt n=l
так как такое суммирование, как было показано во вве-
дении, не является устойчивым к малым (в 12) измене-
ниям коэффициентов {сп}.
Очевидно, решение надо искать в классе Qa функций
из Со, для которых выполняется неравенство
Р;2 (Af, и6) < δ.
Но этот класс не является компактным. Он слишком ши-
222
рок. Необходимо сузить его. Для этого возьмем некото-
рый фиксированный функционал Qi [/] вида (7; 1,1),
описанного в п. 1,
Qi [/] = Σ Kin*
п=-1
где {%„} е=ЗЯ.
Пусть F% — множество функций из CD, для которых
определен функционал Ω! [/], и
Рьл = Qb П F%.
Приближение функции /(£) будем искать на множе-
стве Ft,, 5 с: С в.
В дальнейшем, для определенности, будем рассматри-
вать одномерную задачу. В этом случае t — координата
точки на прямой, а область D — конечный промежу-
ток (а, Ь).
Поскольку задача нахождения функции по ее коэф-
фициентам Фурье сводится к решению операторного
уравнения^(7; 0,1), естественно находить приближение
функции f(t) методом регуляризации. Для этого рас-
смотрим функционал
Ma[u6,f] = Pl(Af,u6) + aQ1[f]t
содержащий числовой параметр α (параметр регуляри-
зации). Его можно написать также в виде
оо оо
Ма [нв, /] = Σ (fn-cn)2 + α Σ /ηξη, (7; 1,3)
где /η — коэффициенты Фурье функции f(t) no системе
'{ф"(0} с весом ρ (г) > 0, т. е.
/„= f/(f)p(f)q>„(i)di. (7; 1,4)
b
Для сглаживающего функционала Ма [/, цв] справед-
ливы теоремы 3 § 3 и 5 § 6 гл. II. Доказательства их
проводятся так же, как и в гл. П.
Таким образом, существует функция /a(i) из F6i,
реализующая минимум функционала Ма [/, ий] на мно-
жестве Ft, ξ. Эту функцию и будем принимать в качест-
ве приближения функции /(£).
223
Функционал Ω] [/] будем называть стабилизирую'
щим функционалом для задачи об устойчивом суммиро-
вании рядов вида (7; 1,2).
Замечание 1. Если в качестве системы функций
{φ„(0} взяты собственные функции краевой задачи
div(Av φ) — ?2(0Φ + λρ(0φ = 0. ieZ).
φ|5=0 (или§-|5=о),
где S — граница области D, в которой ищется решение,
то функционал Qi [/] можно брать в виде
Ω1[/] = |{Α(ν/)2 + !?2/3}^
D
или в эквивалентном Еиде
ОС;
ΩΧ [/] = Σ An,
где λη — собственные значения указанной краевой зада-
чи, а /„ — коэффициенты Фурье функции f(t) по систе-
ме {(fn(t)} с весом p{t).
3. Коэффициенты Фурье функции fa(t) по системе
{(pn(i)} находим из условия равенства нулю частных
производных функционала (7; 1,3) по переменным /„
(п = 1, 2, ...). Получим
Ια·η ~ 1 + αξη ■
Таким образом, искомое приближение функции /(/)
можно записать в виде
во
/«(*) = Σ r(n,a)cn<pn(t)t (7; 1,5)
где
и вычислять fa(t) по правилу
_ ft
/α (0 = lim Σ г {η, α) с„Ф„ (f). (7; 1Λ6)
ft-» со n=l
224
4. Формулы (7; 1,5)" и (7; 1,6)" определяют метод
суммирования ряда
оо
Σ Cn<Pn(0i
n=i
устойчивый в смысле метрики С к малым "(в метрике
k) изменениям его коэффициентов с„. Действительно,
описанная процедура получения функции fa(t) может
быть записана в виде оператора R(u, α), т. е.
U{t) =R(uu, a).
Этот оператор является регуляризирующим для уравне-
ния (7; 0,1) и, следовательно, обладает упомянутым
свойством устойчивости.
Заметим, что значение параметра α должно быть
взято согласованным с погрешностью исходных данных
δ, α = α(δ). Оно может быть найдено, например, из ус-
ловия pi,(Afa, U(s)== б,которое можно записать также в
виде
1л Сп — г—» = О ·
П=1
(1 + Оа
Обоснование этого проводится совершенно так же,
как было описано в гл. II.
оо
При б2 < Zi Сп таким способом α определяется од-
п=1
нозначно, так как функция
w- непрерывная монотонно возрастающая в области
α > 0 и ψ(0) = 0. Действительно,
ψ' (α) =
Так как -ψ (a) <J 2j cn, то при б2 > 2 cn уравнение
n=i n = = 1
ψ (α) = б2 не имеет решения.
8 А. Н. Тихонов, В. П. Лресшш 225
Замечание 2. Сумма исходного ряда
00
2 Спфп(0»
понимаемая как предел
lim 2 Cn<pn(f)i
ft-»ot> n—1
не может служить приближением суммы ряда
•о
2 спфп (*)
П-=1
вследствие неустойчивости ее к малым (в метрике h)
изменениям коэффициентов с„. С другой стороны, сумма
ряда
Σ r+ic w» w·
понимаемая так же, как предел
λ
lim2 14-αΕ спФп(0»
устойчива к малым (в /г) изменениям коэффициентов с„
и при значении α = α(δ), согласованном с погреш-
ностью коэффициентов с„, равномерно аппроксимирует
функцию /(f).
Таким образом, множители
г (п, a) = τ—,—=-
играют стабилизирующую роль. Мы будем называть их
стабилизирующими множителями.
Если положить
(1, к^.п,
г (к, а) = {А ,
4 * ; (О,, к > /г,
то получим обычно употребляемый метод суммирования,
отмеченный на стр. 218. В этом случае надо взять пос-
ледовательность {£„} вида
I* < оо для к < /г, ξ„ = оо для к > /г,
ватем положить α =. 0.
226
Замечание 3. Если в классическом способе сум-
мирования ряда Фурье путем перехода к пределу при
η -*z oo в частичной сумме
η
2 Whit)
число п брать согласованным с погрешностью δ коэффи-
циентов {с,,}, то такое суммирование будет устойчивым.
Замечание 4. Если функция f(t) кусочно-непре-
рывна, то описанный метод дает устойчивый метод сум-
мирования в каждой точке непрерывности /(i).
§ 2. Об оптимальных методах
суммирования рядов Фурье
1. Располагая обширным классом устойчивых мето-
дов суммирования рядов Фурье, естественно поставить
задачу нахождения оптимального в каком-то смысле
устойчивого метода суммирования. В настоящем пара-
графе дается решение этой задачи в различных поста-
новках [12].
Приближенно известные коэффициенты подлежащего
суммированию ряда Фурье могут содержать неконтроли-
руемые случайные погрешности. Поэтому их можно рас-
сматривать как случайные числа и при решении задачи
приближенного суммирования ряда пользоваться веро-
ятностными методами.
2. Будем полагать, что погрешности в коэффициен-
тах Фурье, т. е. числа γ„, являются случайными числа-
ми, удовлетворяющими требованиям:
1) {уп} есть последовательность попарно некоррели-
рованных случайных чисел;
2) математические ожидания этих чисел равны ну-
лю, т. е. уп = 0 для всех значений п.
В этих условиях приближенные значения коэффици-
ентов Фурье с„ также являются случайными числами.
Для математических ожиданий случайных чисел сп и уп
выполняются соотношения
Сп — ап + уп.
Дисперсии случайных величин с„ и γ„ одинаковы и рав-
ны а„ — уп- Мы их будем предполагать известными.
8*
227
Функция fa(t), реализующая минимум функциона-
ла Ма при фиксированной последовательности чисел
{|n} e Ш, является, следовательно, случайной функцией.
Пусть
(Δ/.),=7-(0-Γ(0,
где
оо
/ (0 = Σ Οηψη (Ο-
ΤΙ—1
За меру уклонения функции /a(i) от f(t) можно при-
нять математическое ожидание квадрата величины
(Δ/α)ξ, τ. е. величину
А) ' (Д/«)|*),
или интеграл
В) J" Ρ (Ο (Δ/5! di.
D
3. Итак, пусть мы имеем ряд Фурье с приближенны-
ми коэффициентами {с„}. Приближенная сумма его,
устойчивая к малым изменениям (в h) коэффициентов
{с„}, как мы видели в § 1, зависит от α и от выбора по-
следовательности {%„} из 2Я. Поставим задачу нахождения
приближенной суммы, наименее уклоняющейся (при фик-
сированном а) от /(i) в смысле
inf f (Щ ρ (0 dt и inf (Δ/^1.
Какая дополнительная информация о коэффициентах сп
и шуме потребуется для этого? Чтобы ответить на этот
вопрос, найдем оптимальные в указанных смыслах при-
*) Если нам известна плотность распределения вероятности
р(х) величины (Δ/)|, то математическое ожидание (Л) | вычисля-
ется по формуле (а<я<Ь)
ь
(А/)| = j Ш)\ Ρ (*) dx.
а
228
ближенные суммы. Для уклонения типа В) имеем
(Δ/α)ΙΡ (0 « - 2i „ , \ ч8 ^==Φ(ξ,,...,ξ„,...)
D "-1
(1 + <Г
Уклонение будет минимальным при таких значениях
In — In, при которых производные дф/д%п обращаются
в нуль. Из этих условий легко находим, что
ξ»'
Следовательно,
Таким образом, оптимальная в смысле минимума В)
сумма имеет вид
/опт (0 =■ 2 ( * - 4 I С»Ф» (0· (7; 2,1)
п-1 \ еп /
Аналогично для уклонения типа А) находим, что опти-
мальная в фиксированной точке t — i0 сумма будет
иметь вид
/опт («о) = 2 (i - 4) С«Ф" &)· (7; 2.2)
n=i
Таким образом, для получения оптимальных в ука-
занных смыслах сумм ряда с приближенными коэффи-
циентами {с„} требуется знать для всех η величины сп
и оп. Это означает знание точных коэффициентов
Фурье а„, так как с\ = α£ + σ**).
Но в формулы (7; 2,1) и (7; 2,2) входят лишь отно-
шения Оп/сп- В ряде конкретных задач мы можем най-
ти приближенные значения этих отношений. Как изме-
нятся при этом суммы (7; 2,1) и (7; 2,2)?
*) Сравните с оптимальной фильтрацией по Винеру в главе
VI, § 2.
229
Пусть
где
'4) .
V сп Jприбл η
4(1 + βη),
По этим значениям получим сумму
/опт.пр (') — ^^
η I прибл_
СпЦ>п (О·
Если дополнительно известно, что для всех га
φ'(0<<?,
то
|/опт,пр(')-/(0К
Г п-=1
£
Таким образом, оптимальное суммирование со стаби-
лизирующими множителями
г' (га, а) = 1 — а'/сп
устойчиво к малым изменениям чисел ol/cn в указан-
ном смысле.
В [97] рассматривается другой способ устойчивого
суммирования рядов Фурье.
Глава VIII
ОБ УСТОЙЧИВЫХ МЕТОДАХ МИНИМИЗАЦИИ
ФУНКЦИОНАЛОВ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
1. Ряд практически важных задач приводится к ма-
тематическим задачам минимизации функционалов /(г).
Надо различать два типа таких задач. К первому типу
относятся те из них, в которых надо находить мини-
мальное (максимальное) значение функционала. К это-
му классу относятся многие задачи проектирования оп-
тимальных систем, конструкций. При этом несуществен-
но, на каких элементах z достигается искомый минимум,
поэтому в качестве приближенных решений можно брать
значения функционала на любой минимизирующей по-
следовательности {z„}, т. е. такой, что /(z„) -*-inf /(г)
при га-»- оо.
Среди задач этого типа имеются и неустойчивые, т. е.
такие, в которых сколь угодно малым изменениям исход-
ных данных могут отвечать сколь угодно большие из-
менения минимального значения функционала /(z) (см.
пример в гл. IX, § 1).
Ко второму типу относятся задачи, в которых требу-
ется найти элементы z, на которых достигается мини-
мум функционала /(z). Их мы будем называть задачами
минимизации по аргументу. Среди них встречаются та-
кие, в которых минимизирующие последовательности мо-
гут быть несходящимися. В этих случаях, очевидно,
нельзя брать в качестве приближенного решения элемен-
ты минимизирующей последовательности. Естественно
называть такие задачи неустойчивыми, или некорректно
поставленными. Некорректно поставленными в указан-
ном смысле являются целые классы практически важ-
ных задач оптимального управления. К ним относятся,
например, задачи, в которых оптимизируемый функцио-
нал зависит только от фазовых переменных [177].
В настоящей главе мы будем рассматривать устойчи-
вые методы решения задач именно второго типа.
231
2. Пусть на некотором метрическом пространстве F
задан непрерывный функционал /[г]. Задача минимиза-
ции функционала / [г] на множестве F состоит в оты-
скании элемента z0^F, на котором /[г] достигает свое-
го наименьшего значения /0:
mf/[z] = /[z„|-=/0. (8; 0,1)
Предположим, что существует единственное реше-
ние z0 этой задачи. Пусть {z„} — минимизирующая по-
следовательность, т. е. такая, что
lim/[z„] =/„.
н-км
Задачу минимизации функционала / [z] на множест-
ве F будем называть устойчивой (см. [180]), если вся-
кая минимизирующая последовательность {z„} сходится
(в метрике пространства F) к элементу zo из F.
Задача (8; 0,1) минимизации функционала /[z] на
множестве F называется корректно поставленной, если
она разрешима и устойчива. В противном случае она
называется некорректно поставленной.
Для нахождения элемента z0 широко используются
методы прямой минимизации функционала f[z], в кото-
рых при помощи какого-либо алгоритма конструируется
минимизирующая последовательность {гп}. При этом
элементы z„, для которых /[z„] достаточно близко к /о,
трактуются как приближенные значения искомого эле-
мента Zo.
Прямые методы минимизации по своей идее облада-
ют большой универсальностью. Пусть например, F есть
множество функций z(t) одной переменной t. Беря для
функции z(t) ее сеточное приближение zi = z(ii)1 г =
= 1, 2, ..., га, мы приходим к задаче о нахождении ми-
нимума функции η переменных, методы решения кото-
рой имеют достаточно универсальный характер и не свя-
заны с спецификой функционала f[z].
Но такой подход к получению приближенного реше-
ния оправдан лишь в тех случаях, когда построенная
минимизирующая последовательность {z„} сходится к
элементу zq.
Выше отмечалось существование задач минимизации
функционалов, не обладающих свойством устойчивости.
В таких задачах существуют минимизирующие последо-
вательности, не сходящиеся к элементу zq.
232
Для получения приближенных решений неустойчи-
вых задач минимизации функционалов / [z] достаточно
указать алгоритмы построения минимизирующих после-
довательностей {г„}, сходящихся к элементу г0.
3. Рассмотрим решения системы дифференциальных
уравнений
dxldt = F(t, х, и), (8; 0,2)
удовлетворяющие условиям
x(to) = x0, (8; 0,3).
где x\t) = {x](t), xz(t), ..., xn(t)} — вектор-функция п-
мерного пространства, определенная на отрезке t0 *S t <
<Т, Хо — заданный вектор, a u(t)= {u](t), u2(i), ...
..., um (f)} — управляющая вектор-функция (управле-
ние) /n-мерного метрического пространства U.
Пусть f [x(t)]—заданный неотрицательный функ-
ционал (целевой функционал), определенный на реше-
ниях системы (8; 0,2).
Очевидно, что решения системы (8; 0,2) зависят от
выбранного управления u(t), т. е. x(t)=xu(t). Поэто-
му значение функционала f[x(t)] на каждом решении
системы (8; 0,2) будет функционалом от управляющей
функции u(t), определенном на множестве U, т. е.
f[xu(t)] = 0[u].
Задачу оптимального управления, можно, например,
поставить как задачу отыскания в некотором классе
функций U\ пространства U такой управляющей функ-
ции u0(t), на которой функционал Φ [u] —f[xu(t)] до-
стигает минимума (или максимума).
Подобно задаче минимизации функционала /[z],
описанной в п. 1, эта задача также может быть неустой-
чивой. Действительно, рассмотрим случай, когда класс
допустимых управлений U\ есть пространство функций
одной переменной t с равномерной метрикой, и
/ [я(0] — непрерывный функционал. Тогда, каково бы
ни было ε > 0, можно найти такое управление tfi(i), что
1) /[*„, (01 </[*«. (')]+*.
2) разность Ui(t) —u0(t) может принимать как угод-
но большие значения, допустимые принадлежностью
функций Ui(t) и u0(t) классу U\. Возьмем функцию
u\(t) совпадающей с u0(t) всюду, кроме интервала
(fi — τ, <!+τ), в котором разность u^(t) —u0(t) превос-
ходит некоторое фиксированное число В, допустимое
233
принадлежностью функций Ui(i) и uQ(t) классу V\. Оче-
видно, что для любого числа δ > О можно указать такое
τ = τ(δ), чтобы для решений xUl (i), xu„(t) систе-
мы (8; 0,2), (8; 0,3), отвечающих управлениям U\(t) и
iio(i)i выполнялось неравенство | жи1 (i) — a-U(l(t)|<6. Вы-
бирая δ, а тем самым и τ = τ (δ), достаточно малым, бу-
дем иметь f[xu(t)] < f[xu,(t)] + ε, в то время как
sup |"i(i) — u0(t) J > В. Таким образом, установлено су-
ществование неустойчивых задач оптимального управ-
ления.
Замечание. В качестве целевого функционала
можно брать функционал, зависящий как от фазовых
переменных, так и от управляющих функций.
В настоящей главе рассматриваются алгоритмы по-
строения минимизирующих последовательностей, сходя-
щихся к элементу, на котором рассматриваемый функ-
ционал достигает наименьшего значения.
§ 1. Устойчивый метод минимизации функционалов
1. Пусть требуется найти элемент z0^F, на котором
заданный функционал f[z] достигает своего наименьше-
го значения на множестве F,
inif[z]-f{z0]~U (8; 1,1)
Следуя [180], в этом параграфе будут рассмотрены спо-
собы построения минимизирующих последовательностей
{zn}, сходящихся к элементу г0.
Минимизирующую последовательность S = [zn] функ-
ционала f[z] будем называть регуляризованной, если
существует компактное в F множество F, содержа-
щее S [180].
Очевидно, что регуляризованная минимизирующая
последовательность сходится к элементу го, если задача
минимизации функционала f[z] имеет единственное ре-
шение го. Если функционал f[z] ограничен снизу, то
на любой предельной точке z регуляризованной мини-
мизирующей последовательности {г„} функционал /[г]
достигает своей нижней грани, т. е.
/Ы=/о.
Имея такие минимизирующие последовательности
{г„}, в качестве приближенных значений искомого эле-
234
мента z0 можно брать элементы zn с такими номерами
п, для которых f[zn] в пределах заданной точности сов-
падает с /о.
Таким образом, нам достаточно указать алгоритмы
построения регуляризованных минимизирующих после-
довательностей. Это удается сделать путем использова-
ния стабилизирующих функционалов Ω[Ζ], описанных
в гл. II. Введем необходимые для дальнейшего опреде-
ления [180].
2. Пусть множество F принадлежит F, F с F, и
Q[z] —стабилизирующий функционал.
Пусть на множестве F <z:F можно ввести метрику
p(zi, z2), Z\, z2^F, мажорантную по отношению к мет-
рике пространства F*), такую, что сферы
Sr зэ {г; z eF, р(г, z0) < r}
в пространстве F с произвольным центром г0 компакт-
ны в F (в метрике пространства F). Будем говорить в
этом случае, что F s-компактно вложено в F.
Если метрика p(zi, z2) определяет s-компактное вло-
жение пространства F в F и φ (q) — неотрицательная
возрастающая функция, то, очевидно, функционал
Ω[*] =φ(ρ(Ζ, zo))
является стабилизирующим.
3. При вычислении функционалов f[z] часто пользу-
ются их приближенными значениями. Приближенное вы-
числение функционала f[z] можно рассматривать как
вычисление другого функционала f[z], имеющего малую
норму уклонения от /[z].
Нормой уклонения по отношению к стабилизирующе-
му функционалу Q[z] функционалов f[z] и /[г], опре-
деленных на множестве F, будем называть наименьшее
число δ, для которого на всех элементах z^F выполня-
ется неравенство
|/[Ζ]_/[Ζ]|<δΩ[Ζ].
*) То есть такую, что для всяких элементов », ет г2 из F
(М>ь ч) > рИгь гз).
235
4. Перейдем к построению регуляризованных мини-
мизирующих последовательностей функционала /[z]. По-
лагаем, что
inf/[z] = /[z0]==/0.
zeF
Пусть Ω [z] — стабилизирующий функционал и /e[z] —
параметрическое семейство функционалов (определен-
ных для всех δ ^ 0), аппроксимирующих функционал
/[г] на множестве F так, что
№]-/[*]|*ssQ[s].
Будем предполагать, что элемент z0, минимизирующий
функционал f[z], принадлежит множеству F.
Для всякого α > 0 рассмотрим функционал
M*[z,h] =ft[z]+aQ[z],
определенный на всех z&F. Очевидно, что если δ ·< а,
то Ma[z, ft] ограничен снизу (на F), так как
Ma[z, U] >f[z] -δΩ[Ζ] +αΩ[Ζ] > /0.
Следовательно, существует точная нижняя грань
Л/а,в=тШа[г,/6].
Будем говорить, что элемент zaf s почти минимизиру-
ет функционал Ma[z, /«], если
Ma[za,b, /β] <Μα,β + α|,
где ξ = ξ (α) и 0 «S | (α) *S |0 = const.
Теорема 1. Для любого ε>0 существует «о3
= «ο(ε) такое, что для всякого элемента zei β, почти ми-
нимизирующего функционал Ma[z, /β] с параметрами
α^α0(ε) ω δ/α < q < 1, выполняется неравенство
Рр (2α,β, Ζ0) < ε,
если метрика в F мажорантна по отношению к метрике
пространства F.
Доказательство. Для доказательства теоремы
достаточно показать, что, каковы бы ни были последо-
вательности чисел {а„} и {δ„}, сходящиеся к нулю и
такие, что для всякого η
δ„/α„ < q < 1,
236
последовательность {zan,en| элементов zanienT почти ми-
нимизирующих соответственно функционалы мап [*, /*„]»
сходится к элементу z0. Очевидно, что
Ма'1 [2an,etl, /βη] = /βη [za„,en] + α>»Ω [2ailien] <
< Λ/α„,β„ + «ηξ„ < /βη [Ζ0] + ΟηΩ [Ζ0] + CXn?„.
Пользуясь неравенствами
/*„[2]</[2] + SnQt2b
получаем
/ [*«„.«»] - δαΩ [2αη,βη] + α„Ω [zan,en] <
</[Ζ„] + (αη + δ,1)Ω[Ζ0] + αηξ0. (8; 1,2)
Так как
f [ZanAi]> f lZol
то из (8; 1,2) имеем
(a„ — δ,,) Ω [zaniftn] < (a„ + 6„) Ω [z„] + αηξ0·
Поскольку δ„ < ga„, то, заменяя здесь δ„ на ga„, полу-
чаем
Таким образом, все элементы последовательности (zan,6„}
принадлежат компактному множеству
Fdo = {z;ze=F,Q[z]<d0l.
Далее, из (8; 1,2) следует, что
0 < /[Ζα„,βη1 - / [*ol < (a» + β„) Ω [z.J + α„ξ0, (8; 1,3)
ибо
δ„ — α„ < anq — α„ = α„ (g — 1) < 0.
Так как α„ и δ„ стремятся к нулю при га->оо, то из
(8; 1,3) следует, что последовательность {zan,en) являет-
ся минимизирующей для функционала /[г]. А посколь-
ку она принадлежит компактному множеству Fd„ то
она является регуляризованной и, следовательно, схо-
дится к г0. Теорема доказана.
237
5. Рассмотрим случай, когда F — гильбертово прост-
ранство. Будем говорить, что Ь' s-компактно и непрерыв-
но выпукло вложено в F, если:
а) сферы
компактны в F;
б) если последовательности [z„ } и \z(n 1 точек из F
таковы, что Pf (zn , Zn )-*-0 при га-»- оо, то Pf (z'n1, £„) ->■
-*■ О и pF (zH\ Z„) ->- 0 при η-*- оо, где ξ„ = 0,5- (411 +
Если F s-компактно вложено в F, и φ (g) — неотри-
цательная возрастающая непрерывная функция, то,
как указывалось выше (см. п. 2), функционал вида
QiN = q>(NP)
является стабилизирующим.
Пусть /e[z] есть δ-аппроксимация функционала /[г]
по отношению к стабилизирующему функционалу
Qi[*l = q>(N*)·
При δ -< α существует точная нижняя граница Λ/α,δ
функционала
на множестве F, т. е.
Л^в = ЫЛ/?[г,/в].
Теорема 2. Если F — гильбертово пространство,
s-компактно и непрерывно выпукло вложенное в F, то су-
ет элемент za,isF, минимизирующий функционал
Ml [z, /β],
если δ/α < q <C 1.
Доказательство. Пусть {z„} — последователь-
ность, минимизирующая функционал Μ" [г, /β], так что
последовательность {Λ/?[Ζ„,/Л]} сходится к Ма<ь. Не огра-
ничивая общности, можно считать, что она убывающая,
так что для всякого η
Mi [zu /4] > /β [zn] + otQJznJ > / [zn] + (a - δ) ΩΧ [zn].
238
Отсюда
01К] = ф(Ы*)^гг(П^1^1*1./41--/1*»1)·
Так как /[zBl > /[z0], где z0 — элемент, на котором
функционал /[z] достигает своего наименьшего значе-
ния, то
φ (KIP) <^г^г №" Ι*» Μ ~ f t2»]1 " ^
где константа С\ не зависит от п. Отсюда следует, что
для всякого η
К К с»
где Сг — константа, не зависящая от п. Таким образом,
{z„} cz Sr при г = С2. Поскольку сферы Sr, по условию,
компактны в F, то последовательность {z„} также ком-
пактна в F. Не меняя обозначений, будем считать, что
она сходится (в метрике F) к элементу zeF,
Покажем, что она сильно сходится к элементу z e F.
Для этого покажем, что она фундаментальна в F, т. е.
для любого е>0 существует га (ε) такое, что для ге^
> п(г) и любого /? > О
|2п+р-2п||<8.
Допустим, что это неверно. Тогда существует такое
ε0 и такие последовательности номерсз \пк} и {/%}, где
тга» = пк + /?, для которых
Пусть
ε* = 0,5.(2^-»^).
Тогда
th = θ!5 · (zmft + znk) = Znft + ξΑ <■= Zm — ξν
Так как z„ft и zmft — элементы минимизирующей по-
следовательности {z„} функционала Μ? [z, /ft] и последо-
вательность
W[«»,/t|]
239
убывающая, то, очевидно, что для достаточно больших к
/а [Ы + «φ (|| U') ~ [h[znh] + «φ ((«nkf)l > ~ 4
h lU + αφ (iCftf) - m*mh] + «φ (\Ы12)} >4
где eft, 8ft->0 при А;-»-оо.
В силу непрерывной выпуклости вложения F в F
Hm/e[znft| = lim/e[zmft| = lim/e[£ft],
ф(|{»П-ф(КР)>-*. 4
φ(|[ξηΙ2)-φ(|μη1Α|Ρ)>4 ' li}
где fTft, Eft->-0 при &->оо.
В силу того, что φ (Jzf) ~ возрастающая функ-
ция, равномерно непрерывная в области ||z||^C2l иэ
(8; 1,4) получаем
{||^Ι2-2(Ζ^,ξΛ)+«ξ,121~|^(|2 >-fhi
где βη, βΙ-^Опри fc->oo.
Отсюда следует, что
2\\lhr-2(zmh~znk,lh) = -ntkf>-(t>k + &),
пли
I?ft|l2<0i5.(pft + Pft)^0 при к-+ао,
что противоречит предположению, согласно которому
1Ы-0.5-11*^- Ζη,||>0,5.ε0.
•
Итак, {zn} является фундаментальной последователь-
ностью в F и сильно сходится к некоторому элементу
ге?. Так как метрика в F мажорантна по отношению
к метрике в F, то z = z. Очевидно, что элемент zai« =
= z = z и есть искомый элемент, на котором функцио-
нал М| [z, /«] достигает своего наименьшего значения.
Теорема доказана.
240
§ 2. Устойчивый метод решения задач
оптимального управления
1. Пусть дана система уравнений
dxldt = F(t, х, а), {8; 2,1)
где x(t)= {xy(t), xz(t), ..., ж"(i)} —вектор-функция п-
мерного пространства, определенная на отрезке i<j < t <■
< Τ, a u(t) = {и1 (i), u2(t), ..., um{t)} —управляющая
вектор-функция m-мерного полного метрического прост-
ранства U. Будем рассматривать решения системы
(8; 2,1), удовлетворяющие условиям
х\к) = хо, (8; 2,2)
где хо — заданный вектор.
Ниже мы будем рассматривать класс задач на оп-
тимальное управление, в которых целевой функционал
зависит лишь от фазовых переменных.
Пусть f[x] — заданный неотрицательный непрерыв-
ный функционал, определенный на решениях задачи
(8; 2,1), (8; 2,2). Так как последние зависят от и,х —
= xu(t), то f[Xu(t)] =Ф[ц] является функционалом, оп-
ределенным на U. Будем рассматривать задачу нахож-
дения управления u0(t), минимизирующего функционал
Ф[г] (задача U). Такое управление будем называть оп-
тимальным. Выше отмечалось, что эта задача является
некорректно поставленной. Допустим, что в пространст-
ве U существует оптимальное управление u0(t).
В настоящем параграфе описывается устойчивый спо-
соб приближенного нахождения u0(t). Это делается с
помощью метода регуляризации, следуя [181]. Для
получения такого способа достаточно, как отмеча-
лось выше, указать алгоритм построения минимизирую-
щих последовательностей {un{t)}, сходящихся к функ-
ции u0(t).
2. Рассмотрим сглаживающий функционал
В· [и] =Ф[и] +αΩ[α],
где Ω [и] — стабилизирующий функционал. Функционал
Ва[и] неотрицательный, поэтому существует его нижняя
грань β" на U,
Щ[и] = inf fi" [и].
ueU
241
Пусть U\ — подмножество множества U, допускаю-
щее метризацию pi(ui, u2), мажораптную по отношению
к метрике пространства U.
Полагаем Qj [и] = р{ (и, щ), £" [и] = Φ [и] + «ΩΧ и
5™!= inf В" [и], где и0— какой-нибудь фиксированный
иеи
элемент из Uu Пусть {а„} — убывающая последователь-
ность положительных чисел, сходящаяся к нулю (а„-»-0)
и {иаь(Щ-~ последовательность управлений из U\.
Справедлива
Теорема 3. Если существует единственное опти-
мальное управление uo(t) задачи U, принадлежащее мно-
жеству Ui, то последовательность функций {waft(i)j, удов-
летворяющих неравенствам
Bah[uah(t)]^Baai + akC
где С — константа, не зависящая от а, сходится к Uq (t)
в метрике U.
Если U\ — гильбертово пространство, то справедлива
Теорема 4. Если U\ (с метрикой pi(ui, ыг)) ε-ком-
пактно и непрерывно выпукло вложено в U, то сущест-
вует элемент wa(i)s U\ минимизирующий Вх [и].
Доказательства этих теорем проводятся совершенно
аналогично доказательствам соответственно теорем 1 и 2
§ 1, поэтому мы не будем их приводить.
Очевидно, из этих теорем непосредственно следует
устойчивый метод приближенного нахождения оптималь-
ного управления.
Пример. Рассмотрим модельную задачу о верти-
кальном подъеме ракеты-зонда в однородной атмосфере
на максимальную высоту [36, 37], для которой известно
точное решение [136].
Вертикальное движение тела переменной массы m(t)
в однородной атмосфере описывается системой уравнений
с начальными условиями: тга(О) = m0, v(0) = Vo- Здесь
m(t) —переменная масса тела (т0 "> m(t) &* μ, μ—
масса корпуса ракеты), v(t) —скорость тела, u(t) —уп-
равляющая функция, равная расходу массы (горючего)
242
б секунду во время полета; я, с, g — постоянные, а ==■
= 2500 м/сек — относительная скорость выброса газов,
с = 0,2-10~7 кг·сек/м — обобщенный баллистический ко-
эффициент сопротивления воздуха, g =» 9,81 м/сек2 —
ускорение силы тяжести.
Даже сравнительно грубые приближенные решения
этой задачи имеют резкий всплеск в начальный момент
(< = 0), т. е. имеют δ-образный характер. Поэтому ес-
тественно искать решение в виде щ = A6(t) -\-u(t), где
А—константа, 6(i)—δ-функция. При этом искомая
функция u(t) будет непрерывной и достаточно гладкой
функцией. Численное нахождение функции ы(<) будет
много проще, чем нахождение функции с δ-образной осо-
бенностью. Такое представление решения означает, что
для достижения наибольшей высоты подъема выгоднее
всего сжечь некоторое количество горючего мгновенно и
что по достижении определенной скорости v± должен на-
чаться постепенный расход массы горючего. Очевидно,
что оптимальная управляющая функция u(t) должна
быть положительной на некотором промежутке 0 <С t ^ Тх
и равной нулю для t > Т^.Требуется определить u(t) и
параметры v1 и Т1·
Таким образом, надо рассматривать двухпараметриче-
ский целевой функционал f[u, v\, T{\, для которого из
условия его минимума надо найти u(t) и ν1, Τ .
Согласно формуле Циолковского величина массы го-
рючего тп\, которую надо израсходовать мгновенно для
получения скорости ν\, определяется из соотношения
ь\ = у0 + а
ln(l-^i
По mi определяется и А. В дальнейшем полагаем Vq = 0,
mo = 1.
Высота подъема ракеты Я = Я[у(ы)] равна интегра-
т
лу j v (t) dt, где Τ — момент времени, для которого ско-
о
рость становится равной нулю, ν (Τ) =0. Ее можно пред-
ставить в виде Η = Н\-\- АН, где
243
vu — скорость ракеты в момент окончания горения топ-
лива (t = Т\).
В качестве целевого функционала берем
где Но — число, близкое к искомой максимальной высоте.
Задача его минимизации неустойчива. Решаем ее мето-
дом регуляризации.
Для нахождения приближенного (регуляризованного)
решения берем стабилизирующий функционал Ω [в] вида
г
Й[в] = l(uydt.
о
Задача сводится к минимизации функционала
Ф"К vu Тх] = /[в, vi, Г,] + αΩ[α]
τ
при дополнительных условиях в (г) > О, J u{t) dt — 1 — μ.
о
Процедура нахождения приближенного решения этой
задачи при фиксированном α такова: задаем последова-
тельность пар чисел
20
1S
{ν{"\ Т\пЦ; для каждой такой пары
vx , 11 находим функ-
цию в™ (£), минимизи-
рующую функционал
Фа [в, v[n\ ТГ1 Затем
из последовательности
\νψ>^ уЧ"·)} нах0дИМ та.
кую пару У], ii, на
которой функционал
Ф^^ГлПЧ До-
стигает минимума.
При больших значе-
ниях α (порядка 105)
минимум функционала
ФС1[в, vi, T{\ достигается на функциях, близких к кон-
стантам. При малых значениях ее (а < 0,1) решение
сильно неустойчиво к малым случайным ошибкам вы-
числений. При а =. 103 и vi = 9931,721 м/сек, Т\ =
= 176 сек, μ = 0,7 получается приближенное оптималь-
ное управление, изображенное на рис. 18 пунктиром;
16
14
50
Ш
Рис. 18.
150 176t,ceK
244
сплошная линия представляет трафик точного оптималь-
ного управления. При этом // и Ц\ имеют значения,
содержащиеся в таблице
Точное решение
Я, = 0,16507-107м
Я =0,51496-107 м
Приближенное решение
Я, = 0,16514-107м
И = 0,51497-107м
Минимизация функционала Фа[и, ν и Т\] производи-
лась методом проектирования градиента.
3. "Рассмотрим одну из практически важных задач,
приводящих к минимизации функционалов.
Обратная задача теории антенн. Рассмот-
рим линейную антенну, представляющую собой прямо-
линейный стержень длины 21. Вдоль стержня направим
координатную ось переменной z.
Пусть в стержне с помощью специальных устройств
задан ток с амплитудой /(z), изменяющийся со временем
по закону е'°". Этот ток создает в окружающем стержень
пространстве электромагнитное поле, обладающее осевой
симметрией относительно оси z. Напряженности электри-
ческого и магнитного полей, созданных током /(z), и ин-
тенсивность излучения антенны определяются этим то-
ком, т. е. являются функционалами -4*[/], Ая[]] и AM[j].
Если в плоскости Q, проходящей через ось стержня,
из середины стержня, как из центра, провести окруж-
ность достаточно большого радиуса R (много большего
длины волны λ и длины стержня 21), то в каждой точке
этой окружности вектор напряженности магнитного поля
будет иметь одинаковое направление, перпендикулярное
к плоскости Q. Величина этого вектора будет функцией
радиуса R и угла θ между осью z и направлением из
центра стержня на точку приема, а относительные его
значения (отнесенные, например, к его значению в одной
из точек окружности) будут функцией Ρ(θ) только уг-
ла Θ, т. е.
A[j) = Р(0).
Функция Ρ(Θ) называется диаграммой направленно-
сти антенны (по напряженности магнитного црля; ана-
логично определяется диаграмма направленности антен-
245
ны по напряженности электрического поля и по потоку
излучения).
В случае более сложной конфигурации антенны ди-
аграмма направленности A[j] будет, вообще говоря, век-
торной функцией двух сферических координат, θ и ψ,
точки приема:
Α[1]=Ρ(β,<ρ).
В случае линейной антенны длины 21 связь между
током /(z) и диаграммой направленности Ρ(θ) выража-
ется формулой (см. [186])
I
AlftassinQ j/(z)e-iAz°°si)dz = P(0)f (8; 2,3)
-г
где к = со/с — волновое число, с — скорость света.
Прямая задача теории антенны состоит в определении
диаграммы направленности Ρ(θ, φ) но заданному току
](М), т. е. в вычислении функции Ρ(θ, φ) = A[j].
Обычно под обратной задачей теории антенн пони-
мают задачу нахождения распределения тока ]{М), по-
рождающего ваданную диаграмму направленности
—>-
Ρ(θ, φ). Для линейной антенны такая задача состоит
в решении интегрального уравнения Фрсдгольма перво-
го рода (8; 2,3) относительно /(z). Как известно, эта
задача является некорректно поставленной. Следует от-
метить, что уравнение (8; 2,3) имеет решение лишь для
узкого класса правых частей P{Q), только для реализуе-
мых диаграмм направленности. Заданные же диаграммы
обычно не принадлежат этому классу. Кроме того,
в практике на распределение тока ){М) накладывается
ряд требований и ограничений (например, ограничение
величины тока и его производной, минимум реактивной
мощности и др.), которые не представляется возможным
учесть при решении уравнения (8; 2,3). Дополнительные
условия накладываются и на диаграмму направленности.
К ним относятся, например, требование близости к за-
данной диаграмме направленности, отличной от нуля в
фиксированном интервале углов и равной нулю вне его
(это отвечает случаю строго направленной радиопереда-
чи), максимальное значение в главном лепестке, мини-
246
мум энергии в боковых лепестках и др. Поэтому целе-
сообразно иначе поставить обратную задачу теории ан-
тенн.
Пусть Φ,[Ρ(Θ, φ)], i = 1, 2, ..., η,—функционалы,
такие, что i-й функционал определен на функциях
—>-
^(θ| ф)> удовлетворяющих i-му требованию (условию),
накладываемому на диаграммы распределения.
—*-
Пусть Ψη[]'{Μ)], к= 1, 2, ..., т,— такие функциона-
—>-
лы, что каждый из них определен на функциях j(M),
удовлетворяющих условию, накладываемому на распре-
деление токов. Эти функционалы характеризуют слож-
ность конструкции.
Рассмотрим функционалы Ψ [/'] = 2и y^k Ш и
Ф[^1 = 2 Pi^t [^3. (th и Pi — положительные числа), в ко-
торых весовые множители γ4 и β( выбираются согласован-
ными с значимостью и влиянием соответствующих усло-
вий, накладываемых на распределение тока и на диаг-
раммы направленности. Функционал Ф[Р] определен на
функциях, удовлетворяющих всем требованиям (услови-
ям), накладываемым на диаграммы направленности.
Функционал Ψ[/] определен на функциях }(М), удов-
летворяющих всем условиям, накладываемым на распре-
деления токов.
Поэтому, следуя [186], приближенным решением об-
ратной задачи теории антенн будем называть ток j(M),
реализующий минимум функционала Φ при условии
Ψ ^ Ψ о, или функционала
Ф[А[}]] +·δψ"[/].
где δ — числовой множитель, характеризующий влияние
ограничений на распределение тока. Задачи минимиза-
ции таких функционалов рассматривались выше.
Определение оптимального набора параметров контро-
лируется обычно путем проведения вычислительного эк-
сперимента.
Рассмотренная задача является типичной задачей про-
ектирования оптимальных систем (конструкций).
247
Глава IX
УСТОЙЧИВЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ
(ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ)
Многие задачи оптимального планирования и матема-
тического программирования (линейного и нелинейного)
являются неустойчивыми: малым изменениям исходных
данных могут отвечать большие (в том числе и сколь
угодно большие) изменения решения. В таких задачах
мы фактически имеем дело с недоопределенностью ре-
шения. Это показывает неполноту постановки задачи.
Уточнение постановки задачи имеет существенное при-
кладное значение, так как решение таких задач лежит
в основе применения математического аппарата к вопро-
сам планирования (к разработке оптимальных планов).
Существенно важным является разработка методов
нахождения устойчивых к малым изменениям исходных
данных «решений» таких задач.
Настоящая глава и посвящена этим вопросам. В § 1
обсуждается постановка задач оптимального планирова-
ния и математического программирования (в том числе
и линейного), показывается их неустойчивость. Вводится
понятие нормального решения. В последующих парагра-
фах рассматриваются вопросы существования и единст-
венности решения и методы нахождения прпближепных
решений, устойчивых к малым изменениям исходных
данных, основанные на регуляризации (см. гл. II).
§ 1. О постановке задач оптимального планирования
и математического программирования
1. Приведем классическую постановку типичной за-
дачи оптимального планирования.
Пусть Zj — количество выпускаемых изделий ^-го наи-
менования, 1 < 1 < п; oj - максимально возможное число
изделий /-го наименования; cs — суммарная трудоемкость
для /-го изделия по всем основным группам оборудова-
248
ния. Тогда скалярное произведение cpi(zj = (с, г)" век-
торов с = {с\, С2, ..., с„} и г = {zi, Z2, ..., z„} характе-
ризует загрузку оборудования при плане z выпуска из-
делий. Пусть, далее, bt — фонды времени i-й группы обо-
рудования, 1 < i < m; ay — трудоемкость для /-го изде-
лия на i-й группе оборудования.
Обозначим через G множество векторов z (планов),
удовлетворяющих условиям: b—Az > 0, 0 < z < α, где α
и Ь — векторы Ь = {Ьь Ь2, .. ·, Ьт}, α = {ai, аг, ..., а„},
А ев {a,j} — матрица с элементами я«.
Задача определения оптимального плана z может со-
стоять в нахождении такого вектора z из множества век-
торов (планов) G, для которого загрузка оборудования
будет максимальной, т. е.
max φΧ (г) = φ, (z).
гее
Функцию (p(z) называют целевой функцией задачи.
По данным одного из заводов хорошо известным
симплексным методом были рассчитаны с разной точ-
ностью оптимальные квартальные планы, отвечающие
некоторому набору исходных данных [187]. Результаты
расчетов приведены в таблице 1, где римскими цифрами
пронумерованы варианты решений, отвечающие различ-
ным исходным_данным, арабскими — компоненты реше-
ний (векторов z). Из таблицы видно, что для сравнитель-
но близких оптимальных значений целевой функции
cp(z) (при отклонениях порядка 1%) количество изделий,
подлежащих выпуску по этим оптимальным планам, по
отдельным наименованиям колеблется в пределах не-
скольких сотен. Таким образом, эта задача является не-
устойчивой.
2. Задачи оптимального планирования являются част-
ным случаем задач линейного программирования, обобще-
нием которых являются задачи математического програм-
мирования.
Пусть R" — гс-мерное пространство векторов z =
= (zi, Z2, ..., z„), g(z) и h(z) —заданные вектор-функ-
ции, определенные на R":
g(z) — {gi(z),g2{z), ..., g,(z)},
h{z) = {hp+i{z), hP+2(z), ..·, hm(z)} (p < m),
где gi{z) и hj(z) — скалярные функции.
249
a
a
Η
в
vo
(β
Μ
И
а
ΠΙΛ
VII
>
>
>
III
w
l«
383
!
s
l?S
8
to
to
to
en
о
с»
to
•V4
581
3
s
3
to
to
St
to
CO
to
■#
to
to
CO
to
OB
CO
to
N
479
en
en
5?
CO
3 5
to en
is ■*
to
CO
CO
St
"У
00
CO ·*
238
CO
CM
to
to
о
8
to
to
ui
8
о
о
to
to
to
CO
to е- о
237
8
CM
3
en
ем
m
en
CM
CO
CS
CM
CO
en
CM
CO
СП
CM
en
CM
to
en
CM
«-I CM
CO «M
3
CO s}
со A
<5
CO
en
1Л
CO
•3
о
en
о
1Л
CO -tf
I
^4
to
co
О
ОС
со
CM
CM
CO
CO
CM
CO
CO
CM
CO
CM
о
en
CO
CM
о
en
CO
CM
en
CO
CM
«о
>>
—' О
250
Обозначим через G множество векторов z пространст-
ва R", для которых g(z) > 0 и h(z) = 0, т. е.
G= {z; e-(z) >0, ft(z) =0}.
Пусть (p(z) — заданная скалярная функция.
Задача математического программирования состоит в
отыскании вектора z из R", минимизирующего функцию
φ (г) на множестве G, т. е. такого, что
φ (z) = mincp(z). (9; 1,1)
z<=G
Функция <p(z) называется целевой функцией задачи
(9; 1,1).
Если в задаче математического программирования
функции cp(z), g(z) и h(z) —линейные, то она называ-
ется задачей линейного программирования. Задачи опти-
мального планирования, как правило, также являются
задачами линейного программирования.
3. На практике информация о функциях <p'(z)', g(z)
и h(z) носит приближенный характер. Например, эти
функции известны с погрешностью и, следовательно,
вместо <p(z), g(z) и h(z) мы можем брать любые функ-
ции cps(z), gi(z) и hi(z), для которых
1φδ(Ζ)-φ(Ζ)|<δ, l*(z)-*e(z)|K8i
μΛ(Ζ)-Α(Ζ)[<δ*).
При этом выбор функций фе(г), g6(z) и h6(z) из мно-
жества
<?й (ф, *i ft) «
^ {(φβ, ей, h); I φβ — φ||< δ, ||gfl — g\\ < δ, J h& — h ||< 6}t
имеет, как правило, случайный характер.
Таким образом, о решении исходной задачи (9; 1,1)
можно судить лишь по решению приближенной задачи:
min ф0 (z), (9; 12)
*) Для простоты записи величина δ взята одинаковой для
всех функций φ, g, h. Фактически оценку погрешности опре-
деляют векторы δ' = (6'lt δ'2, ..., δρ, δρ+1, ..., бт) и δ" = (fiv
6g, ... i δ,Λ upu соответствующем выборе их норм.
251
где G6s3 {z; gt(z) > 0, ht{z) = 0}, случайно выбранной
из класса приближенных задач, определяемых Qt.
4. Пусть #4 (φ, g, h) есть совокупность решений z4
задач вида (9; 1,2) для всех (φβ, gs, fc«) e (?4. Задача
(9; 1,1) называется устойчивой, если
Δ0 = sup fzi —ze||-»-0 при δ-νΟ.
г,,г,еЯ,
0 0 О
Если же существует такое число В > О, что для любого
δ > 0 найдутся две тройки функций (φβ, go, Λδ) и (φ«,
gu!«oj из Q>j и соответствующие им решения задачи
(9; 1,2) z0 и z0, для которых
|z0-z;i>5,
то задача (9; 1,1) называется неустойчивой.
Неустойчивые задачи оптимального планирования
и математического программирования естественно назы-
вать также некорректно поставленными. Очевидно, что
точные решения za и ze некорректно поставленной зада-
чи (9; 1,1) с приближенными исходными данными
(φβ, he, gu) и (φδ, ft0, ge) не несут в себе достаточной
информации о решении исходной задачи.
Таким образом, точные решения задач такого рода
не могут служить надежным способом решения задач
оптимального планирования с приближенными исходны-
ми данными.
Такая ситуация часто возникает в вычислительной
процедуре при использовании многих методов решения
задач математического программирования. Отметим, что
при этом, несмотря на большие различия решений z0 и Zu*
значения целевых функций φβ^β) и φβ (z6) могут ма-
ло отличаться друг от друга. Только что сказанное на-
ходит отражение в результатах, содержащихся в таб-
лице I.
Однако приводимый ниже пример показывает, что в
задачах линейного программирования с приближенными
исходными данными, сколь угодно близкими к точным,
минимальные значения целевого функционала (целевой
функции) также могут различаться как угодно сильно.
Пример. Рассмотрим следующую задачу линейного
программирования. Пусть требуется найти минимум
функционала Φ (г/) = г/ на части прямой у — k0x -f- г/о,
252
расположенной в области {у > О, х > 0}. Здесь λο и у о —
заданные числа и у0 > 0.
Пусть λο = 0 и вместо λο мы имеем число λβ такое,
что |λο—λο| < δ. Рассмотрим два случая.
1) λο > 0. В атом случае вместо прямой у = у0 (так
как λο = 0) мы имеем прямую 1и у = Xtx + Уо (рис. 19).
Рис. 19.
Минимум функционала Φ (г/) на части прямой 1\, распо-
ложенной в области {г/З5 0, а: 3=0}, достигается в точке
(0; у0), т. е. при х = 0, и равен у0.
2) it < 0. В этом случае вместо прямой у =■ Уо мы
имеем прямую h, у = ХцХ-{-у0 (см. рис. 19). Минимум
функционала Φ (у) на части прямой h, расположенной
в области {у > 0, х 3=0}, достигается в точке {х%\ 0),
т. е. при х = х2, и равен нулю. При δ->0 Kt-*-0,
а х2-*-оо. Таким образом, эта задача неустойчива. При
этом неустойчива как задача минимизации функционала
Φ (у) по аргументу, так и задача минимизации по зна-
чению целевого функционала Φ (г/).
§ 2. Задачи оптимального планирования.
Существование решений и единственность
1. Пусть_ заданы матрица Α ξ= {ац} с элементами ау
и векторы и = {и{} и с = {С)}, с} > 0, где i = 1, 2, ..., т,
/ = 1, 2, ..., га. Будем рассматривать следующую задачу
оптимального планирования.
На множестве G элементов (векторов) z = {zs} га-мер-
ного пространства R", удовлетворяющих условиям
Az = u, (9; 2,1)
z,>0 (7= 1, 2, ..., η), (9; 2,2)
найтп элемент (вектор) z={z,}, минимизирующий
253
функцию
η
<p(z) = (Clz) = Σομ» (9; 2г3)
3=1
т. е. найти г, для которого
φ (z) = min φ (z). (9; 2,4)
zeG
Очевидно, что это задача линейного программирования.
Здесь g(z) = z, h(z) = Az—u.
2. Если условие (система уравнений) Az = ц имеет
линейно зависимые строки, то задача (9; 2,1) —(9; 2,3),
как правило,— некорректно поставленная. Обычно дела-
ется предположение, что строки задаваемых условий ли-
нейно независимы. Однако это предположение при при-
ближенном задании исходных данных практически не-
проверяемо. Поэтому в дальнейшем мы не будем делать
предположений о линейной независимости задаваемых
условий и будем иметь дело с некорректно поставленны-
ми задачами вида (9; 2,4).
Докажем существование решения таких задач.
Теорема 1. Если условия (9; 2,1) и (9; 2,2) сов-
местны, то задача (9; 2,1) —(9; 2,3) имеет по крайней
мере одно решение.
Доказательство. Пусть с, > 0 для 1 < / < /0 и
С) = 0 для /о < / < п. Обозначим через R\ множество
векторов пространства Rn, для которых выполняется ус-
ловие (9; 2,2), т. е.
#i= {z;z,^0}, /==1,2, .... д.
Пусть #2 есть множество векторов пространства R", для
которых выполняются условия (9; 2,1) и (9; 2,2), т. е.
R2 s {г; г е #i, Az = и}.
По предположению о совместности условий (9; 2,1) и
(9; 2,2) множество R2 не пусто.
Пусть q>o — нижняя грань значений целевой функции
φ(Ζ) (9; 2,3) на множестве R2 и {zik)} — минимизирую-
щая последовательность точек из Яг, т. е. такая, что
(f(zm)-*-(fa при /с->оо. Очевидно, можно полагать, что
для всякого к > 1 ψ(z00) < φ(2(Κ"1>)..
Так как
φ(Ζ<*>)<φ(Ζ<*-'>},
254
то для i «S / < /о
Следовательно, для 1 < / =ё /о координаты z'j1' вектора ziM
ограничены:
Каковы бы ни были положительные числа dj, множе-
ство точек пространства Rio, для которых
О < 2, ^ d,, К / < /о,
компактно в R^. Последовательность {z(,1)} векторов
?h)={zf], 1 </</„ А =1,2,...
пространства R;° принадлежит параллелепипеду с реб-
рами
d, = i^.
Следовательно, из нее можно выделить сходящуюся к
некоторому вектору z e RJ° подпоследовательность. Не
изменяя обозначений, полагаем, что
limz(H= 2 = 1^}, 1</</0.
fc-»oo
Так как φ(Ζ) зависит только от первых /о координат век-
тора z (с, = 0 при / > /о), то cp(z) = φ0.
Рассмотрим систему уравнений относительно %"\
A"z" = -АV + ц, (9; 2,5)'
где
г' = {г;}, 1<;</о, г" == {г,}, /0 </ < п,
А' = {a(j}, i<j < /о, Л" = {flfj}, /о <j<n,
I ■= 1, 2, ..., т.
Так как система
совместна^ (пусть ъ" = Zj — ее решение) и вектор и =*
= ы—Л'г(4) удовлетворяет всем линейным ооотношени-
255
ям, которым удовлетворяют строки матрицы А", то си-
стема (9; 2,5) также совместна. Она имеет не равное ну-
лю решение, для которого z} 3» 0 (/о <;'<«). В самом
деле, если зто неверно, то линейное многообразие элемен-
тов z", для которых A"z" = и, отстоит от множества
Ri s= {ъ"\ Zj > 0, /о < / < η) на конечном положитель-
ном расстоянии. В этом случае многообразия, определяе-
мые соотношениями
A"z" = и-А'?*> {к = 1, 2, ...).
при достаточно больших к, также отстоят от Ri на ко-
нечных расстояниях. Но зто противоречит тому, что
?чеЛ,.
Беря любое не равное нулю решение системы (9; 2,5)
z"eli1, для которого Zj^0 (;„ < ; ^ га), получим, что
вектор
~ /~ ~ ~ »\
Ζ — \Zlt Z2). . ., Zj0, Zji+lt. . ., Z„)
удовлетворяет условиям (9; 2,1) и (9; 2,2) и φ(Ζ) = φο.
Теорема доказана.
Следующий пример показывает, что решение задачи
(9; 2,1) — (9; 2,3) может быть и не единственным.
Пример. Пусть cp(z) = Z3, а условие (9; 2,1) име-
ет вид
zi—z2 — 0.
Очевидно, что минимум функции cp(z) = z3 на множест-
ве Ri = {z; Zj> 0; j = 1, 2, 3} равен нулю и он достига-
ется на точках полупрямой zj 3* 0, определяемой урав-
нениями
Z2 == Zi, Z3 = 0.
3. При наличии множества решений для определен-
ности задачи надо наложить дополнительные условия на
искомое решение.
Пусть речь идет о задачах оптимального планирова-
ния. Предположим, что работа выполняется в соответст-
вии с планом z(0) и его надо изменить в связи с тем, что
изменились исходные данные. Новым исходным данным
соответствуют другие оптимальные планы. Естественно
выбрать тот из них, который наименее уклоняется от
первоначального плана z(0>. Подобный критерий выбора
будет свяган с минимумом затрат на организационные
256
перестройки, если они не были учтены в самой поста-
новке задачи. Мера уклонения нового и старого планов,
г(0> и z(0)( выбирается как взвешенное квадратическов
уклонение
или, вообще, как положительно определенная квадратич-
ная форма. Имея это в виду, введем следующее
Определение. Пусть дан некоторый вектор
zco) е Rn_ вект0р z(0> будем называть нормальным реше-
нием задачи (9; 2,1) —(9; 2,3) (по отношению к z<0)),
если
|i<°>-z(0>I<fl*-^L
где z — любое решение этой задачи. Если решение за-
дачи (9; 2,1) —(9; 2,3) определено однозначно, то оно,
очевидно, совпадает с нормальным. Если задача имеет
не одно решение, то существование нормального реше-
ния очевидно, так как множество Н, на элементах (век-
торах) которого достигается минимум функции cp(z),
замкнуто, поскольку оно является общей частью трех
вамкпутых множеств:
[z;Az = u}, R1~{z; Zj^O, j = 1, 2,.. .t n}f
{z; φ (z) = φ0}.
Теорема 2. Нормальное решение задачи (9; 2,1)—
(9; 2,3) единственно.
Доказательство. Предположим, что существуют
два различных нормальных решения задачи, zn) и z(2>.
Каково бы ни было число а > 0, вектор
* —α2(,),+ βΖ«>, β —Ι—α
удовлетворяет условию (9; 2,1) (в силу его линейности)
и (9; 2,2). Кроме того,
ф(г) «= αφ(Ζ(υ) + βφ(Ζ(2)) =■ αφ0 + βφ0 = φο.
Так как z(1) и z<2) — нормальные решения, то
|*(1>-г(0)1 = 1*(2)-*<сЧ
9 А Н. Тихонов, В. Я. Арсевта «<57
С другой стороны, при α = 0,5
z~=0,5(z(1)+z<3)),
|| z - Ζ(0)|2 = Iz(1)- Ζ(0)||2 - 10,5 (z(1) - z(2,)|2.
Таким образом,
что противоречит тому, что zn) есть нормальное решение,
если z(I) φ z(2). Теорема доказана.
Выше отмечалось, что решение задачи (9; 2,1) —
(9; 2,3) вообще говоря, неустойчиво к малым изменениям
исходной информации. Следующий параграф посвящен
рассмотрению устойчивого метода решения таких за-
дач — метода регуляризации.
§ 3. Метод регуляризации решения задач
оптимального планирования
1. Исходные данные в задачах оптимального плани-
рования задаются обычно приближенно. Будем в даль-
нейшем терминологически различать решаемую (точную)
и задаваемую (заданную, приближенную к точной)
задачи.
Задаваемая задача не позволяет делать заключения
ни об устойчивости решаемой задачи, ни о единственно-
сти ее решения, даже если заданная задача этими свой-
ствами обладает. Точное решение заданной задачи, как
мы видели, неэффективно для исследования решае-
мой задачи. С точки зрения имеющейся у нас информа-
ции в качестве исходных данных решаемой (точной) за-
дачи может служить любой набор исходных данных
{ф, h, g), удовлетворяющих условиям
1 Фа (г) - Φ (*) | < б, | fte (z) - h (z) 1 < δ,
Ы*)-*(*Жв· № з,1)
Следует отметить, что прибавление к условиям Az=n
линейно зависимых уравнений делает задачу неустойчи-
вой (даже, если она была устойчивой), хотя она и оста-
ется эквивалентной ей в классическом смысле. Для задач
линейного программирования (оптимального планирова-
ния) с достаточно большим числом условий Az *= и мы,
258
как правило, не можем фактически проверить, выполня-
ется ли условие линейной независимости.
Таким образом, необходим такой подход к решению
задач линейного программирования (оптимального пла-
нирования), который не требует предположения о линей-
ной независимости условий Аъ = и. Изложению устой-
чивого метода приближенного нахождения нормального
решения точной задачи и посвящен настоящий параграф.
2. Задача оптимального планирования ставится как
вариационная задача: найти минимум функции cp(z)
((f(z)>0), или, что то же, функции cp2(z) на множестве
G == {z; z е= Я,, Az = u).
Если tp2(z) является для этого множества стабилизи-
рующим функционалом, т. е. множество Gd элементов
z e G, для которых cp2(z) ^ d, компактно, то существо-
вание элемента zo, реализующего минимум cp(z), очевид-
но. Однако, как показывает пример, приведенный выше,
Ф2(г) не всегда является стабилизирующим функцио-
налом.
Остановимся подробнее на определении меры погреш-
ности задания cp(z). Пусть на R" заданы стабилизирую-
п
щпй функционал Q[z] (например, Q[z]= 2pi(z; — Zj)2)
и целевые функции q>(z) и cp(z). Меру уклонения cp2(z)
u tp2(z) определим как наименьшее число δ, такое что
|φ2(2)-φ2(2)|^δ(1 + Ω[Ζ]).
Для задач линейного программирования, где cp2(z) и
tp2(z) квадратические функционалы, такое определение
естественно. Наличие в правой части слагаемого равного
единице необходимо, так как, если Ω[Ζο] =0, то cp2(zo),
вообще говоря, не равно нулю.
3. Пусть в задаче оптимального планирования вместо
точных исходных данпых {А, и, с} нам даны их δ-при-
ближения {А, и, с}, такие что
\\и - Й|| < δ, | φ2 (Ζ) - φ2 (z) | < δ (1 + Ω [Ζ])Λ
где cp(z) = (c, z), cp(z) = (c, z) и Q[z] — стабилизирую-
щий функционал на R" (положительно определенная
квадратичная форма).
Возьмем вспомогательную целевую функцию
Ф2.(*) =ψ(Ζ)+λ(1 + Ω[Ζ]), λ>0,
и будем приближенно решать задачу оптимального пла-
нирования с целевой функцией Ф2(г). Такая замена до-
пустима с точки зрения точности задания целевой функ-
ции, если λ <Ι δ, так как
|<D2(z)-V(z) | = λ(1 + Q[z]) < δ(1 + Q[z]).
Таким образом, среди векторов z, принадлежащих мно-
жеству Rl и таких, что || Az— Щ^. δ, требуется найти
вектор ze, минимизирующий функцию Ф2(г). Вспомога-
тельная целевая функция Ф2(г) является, очевидно, ква-
зимонотонным стабилизирующим функционалом па мно-
жестве i?i (где (D2(z) —квадратическпй функционал).
Следовательно, мы находимся в условиях применимо-
сти леммы § 3 гл. II, согласно которой точная ннжпяя
грань функционала (функции) Ф2(г) достигается па Вик-
торе z4 из Ri, для которого \Az6 — и| = δ.Эта задача эк-
вивалентна задаче нахождения минимума квадратичной
формы
Ml [zx Ζ, с, А] = \Az - uf + α [φ2 (z) -f λ (1 + Ω [z])]
с определением параметра α из условия f Aza — и || = δ„
где z„ —вектор, минимизирующий М™ [z, ы, с, Л]. По-
скольку \Aza — и|£— квадратичная форма, то невяз-
ка q>(a)=\Aza—и f является непрерывной монотонно
возрастающей функцией и поэтому параметр а определя-
ется из условия φ (α) = δ2 однозначно.
4. Обычно в математической постановке задач опти-
мального планпрования при выборе целевой функции
cp(z) =» (с, z) учитываются не все факторы. К ним может
относиться, например, требование небольшого отклоне-
ния искомого оптимального плана, отвечающего новым
(мало отличающимся от прежних) исходным данным от
прежнего плана (требование минимума организационной
перестройки). Введение в новой целевой функции Ф2(г)
слагаемого λ(1+Ω[Ζ]) можно рассматривать как по-
правку на влияние неучтенных факторов в целевой функ-
ции cp2(z), а λ — как величину экспертной оценки их
влияния.
260
Аналогичным образом мотивируется (со ссылкой на
гл. II, § 10, где рассматривается задача Az = и с при-
ближенно известными оператором А и правой частью и)
построение приближенного решения задачи оптимального
планирования с приближенными исходными данными
{А, и, с} как решения задачи на минимум сглаживающе-
го функционала
hit [z, и, 7, А] = \\Az - Ζ|Γ + α {φ2 (z) + λ (1 + Ω {z})}t
где α определяется по обобщенной невязке из условия
12Ζα-Μ||2 = {δ + ^Φ(Ζ«)}2-μ<
где
μ — inf \~Az — u f.
zeilt
Здесь h характеризует погрешность в задании операто-
ра А (см. § 10, гл. II).
5. Обратимся снова к задаче линейного программиро-
ванпя: найти элемент z°, мпппмизпрующии функцию
<p(z) = (с, s) на множестве
R2 ξξξ {z; Az = и, z e /?,},
где А — линейный оператор.
Пусть zo — элемент, относительно которого ищется
нормальное решение. Рассмотрим вспомогательную зада-
чу h: найти элемент Ζλ, минимизирующий функционал
ф2(г) = ф2(2) -f. λΩ[Ζ]
на множестве Л2. Здесь Q[z] — положительно определен-
ная квадратичная форма.
Существование элемента z», очевидно, если условия,
определяющие /?2, совместны. Легко убедиться, что эле-
мент Ζλ единствен. В самом деле, для задач линейного
программирования множество Яг выпукло. Пусть сущест-
вуют два элемента, zx и Z\, минимизирующие квадрати-
ческий функционал Ф2(г). На участке прямой
« = zl + β (z\ - zl)t - oo < β < oo,
принадлежащей /?2, значения функции Ф2(г) представ-
ляют квадратическую функцию от β, которая не может
иметь двух минимальных значений.
261
Выше мы рассмотрели задачу оптимального планиро-
вания, где функционал (p2(z) заменялся на
Φ2(Ζ) =^(Ζ)+λ(1 + Ω[Ζ])'.
Убедимся, что решение Ζλ задачи с функционалом (D2(z)
стремится при λ-»-Ο к нормальному решению исходной
задачи.
Пусть zl0) — нормальное решение задачи (9; 2,1) —
(9; 2,3). Справедлива следующая
Теорема 3. Для всякого ε >■ О существует такое
λο(ε), что для λ < λ0(ε)
т. е. при λ -*· 0 Ζλ стремится к нормальному решению за-
дачи (9; 2,1)-(9; 2,3).
Доказательство. Предположим, что это невер-
но. Тогда существует такое εο > 0 и последовательность
{λ„}, сходящаяся к нулю, что для всех к | zXft — z(0) j ^ ε„.
Так как zXk минимизирует функционал <p2(z) -f XkQ[z],
то
ψ2 (2fck) + λ*Ω [ΖλΑ] < φ2 (i(0)) + λ*Ω [?0)].
Отсюда
Так как φ (z )^tp(z) для всех z из множества i?2 —
= {z; Лz = и, ze=i?,}, то (p(z(0)) < ф(г^). Следова-
тельно,
Ω[ΖλΑ]<Ω[^0)].
Таким образом, последовательность {zXh\ принадлежит
компактному множеству элементов z, для которых
Ω[Ζ]<Ω[?0)].
Следовательно, из нее можно выделить сходящуюся под-
последовательность {zXf}· Пусть z = lim z^ft. Очевидно,
что J z — Ζ(0)|>ε0. Так как z'%k e R2l то
4z = и, z e Дь
262
Очевидно также, что
φ(Ι)= φ (>»)·,
lz-ZoI2 = Q[i]<Q[?0)]=||?0)-Z»||a.
Эти условия определяют единственное нормальное реше-
ние задачи (9; 2,1) —(9; 2,3). Следовательно, z = z(0).
Но это противоречит неравенству \\z—z(0,ll > εο. Теорема
доказана.
Замечание. Если условия (9; 2,1) и (9; 2,2)" не
выполнены (или трудно проверяемые), то можно искать
квазирешение задачи линейного программирования. Для
нахождения его применим метод регуляризации, описан-
ный выше.
6. Пусть исходные данные в задаче (9; 2,4) А, и, с
известны нам приближенно. Вместо А, и, с мы имеем
А, и, с такие, что
!л-4|<б, |£-и|<б, |^-cj<6.
В этом случае речь может идти лишь о нахождении при-
ближенного к нормальному решению задачи (9; 2,4).
В настоящем параграфе будет показано, что при надле-
жащем выборе параметров α и λ, согласованном с по-
грешностью δ исходных данных А, и, с, регуляризован-
ное решение задачи za, x, минимизирующее функционал
Mt[z;A,u,~c]t
аппроксимирует с наперед заданной точностью искомое
нормальное решение z(0) задачи (9; 2,4) с точными ис-
ходными данными А, и, с, и оно устойчиво к малым из-
менениям А, и и с.
Отметим прежде всего, что система уравнений
Аъ = и
совместна только в том случае, когда
и е= U"а = {и; и = Az, z e R"}.
Если и Φ UJ, то, обозначая через ν ортогональную про-
екцию элемента и на Ua, будем иметь
l\Az-ul^l\Az-vf-i-iv-~ui\
263
Отсюда следует, что
Ml [а; А, щ~с] = Ml [z; At i~c] +1 ν- иf. (9; 3,2)
Второе слагаемое в правой части (9; 3,2) не зависит от
α и λ. Следовательно, элемент z„,x, минимизирующий
функционал Ml[z;A~u,~c\, минимизирует и функционал
Ж™ [z; Л, f, с], и наоборот. Так как оба эти функционала
являются положительными квадратичными формами от-
носительно Zj, / = 1, 2, ..., η, существование минимизи-
рующего их элемента z„, % на i?i очевидно.
7. Обратимся к оценке уклонения регуляризованного
решения от точного нормального.
Теорема 4. Пусть в задаче (9; 2,1) —(9; 2,3) вме-
сто точных исходных данных А, и, с известны прибли-
женные данные А, и, с такие, что
|2-41<в, Ци-й^в, Цв-в|<а.
Пусть, далее, za, >. — элемент, минимизирующий функ-
ционал
Ml [z; А, Ъ~с\
на множестве R\, a z(0) — нормальное решение задачи
(9; 2,1) — (9; 2,3) с точными исходными данными. Пусть
αο(δ) и βο(δ) — заданные неотрицательные непрерывные
возрастающие функции, равные нулю при δ = 0 и удов-
летворяющие условию
δ2«£α0(δ)βο(δ).
Тогда, каково бы ни было ε > 0, существуют такие
λο(ε) и δο(β, λ0) (зависящие также от А, и, с, αο(δ),
βο(δ)), что для всяких λ ^λο(ε). δ^δ0(ε, λ0) и а, удов-
летворяющих условиям
б'
Р7б) < α < «ο (δ),
выполняется неравенство [гад — z( | ^ е.
Доказательство. Согласно теореме 3 для любо-
го е > 0 существует такое λο(ε/2), что при произволь-
ном λ <λο(ε/2) для элемента zK, минимизирующего функ-
ционал
V(z) +λΩ[Ζ]
264
на множестве /?2, выполняется неравенство
1Ζλ-?0)Ι<ε/2.
Поэтому нам достаточно доказать, что при условиях тео-
ремы 4 для любого фиксированного числа λ > 0 сущест-
вует такое δο(ε, λ), что при δ < δη (ε, λ) и α, удовлетво-
ряющих условиям
δ2
|j-jrgj < α < α0 (δ), (9; 3,3)
выполняется неравенство
Κλ-Ζλ||<ε/2. (9; 3,4)
Для доказательства справедливости оценкп (9; 3,4) оце-
ним прежде всего Ω [гад] и | Aza^ — Azw\. Очевидно, что
1«λΩ [ав|Х] < Ml [z~aX, А, Ъ,~с] < Mf [z<0); А, ρ, с] =
= 1 A'zw -~vf + а [г? (?»>) + λΩ [i(n)]). (9; 3,5)
Здесь cp(z) = (с, z). Далее,
Ia70)-^Iaz(0)-a70)\\ + \\a~z(0)-Z\\ + \\u-~v\\^
= lAzw - Az^i+lH-ll + lZ-Ц).
Пользуясь оценками |Л — ЛЦ^биЦи—и[^б, по-
лучим
\&»-ъ\^б\1*\ + б+\ъ-ц (9;з,б)
Так как J и — f|^[|u—Az\ для любого элемента z, то
из (9; 3,6) получаем
||Iz(0)-~HI<6(i+|i<0)|)+|u-3i(0)[<
<δ(1+||Ζ-(ο)||)+||-_-| + ||-_3Ζ-(ο)|μ
= fi (l +1 z(0) I) +1 и - и 1 +1 a~z(0) - ΓΖ(0) 1 <
<б(1+||?о)||) + б + р_л||!?0)||<2б(1+|^|).
Таким образом,
13?0)-7?|<Я.б1 (9; 3,7)
где В = 2(l + flz(0 I). Пользуясь этой оценкой, из(9; 3,5)'
265
получаем
αλΩ fox] < αλ g + ^p + Ω [?0)]}.
Следовательно,
Используя (9; 3,3), получим
Ω KJ <^ + 2-Р + Ω И = Ν (δ, λ).
Так как Λ^(δ, λ) — монотонно возрастающая функция
переменного δ, то Q[za, л] =ξ Ν(δο, λ), где δο — фиксиро-
ванное число.
Оценим 1 Aza<% — Azw\. Очевидно, что
1!л2аД-л?0)1<
< || МаХ - АгаЛ || + || АглА -v\ + \v- Azw J <
<|| ДхЛ- 3vJ+ [Ml [zax, Α, νΓ4}'/1+\\ν- A~zl0)\\.
Пользуясь оценками (9; 3,5), (9; 3,7) π (9; 3,3), полу-
чаем
μ;α,λ-Λ;(ο)1<δ!^,λΙ+
+ У^Т^ЖШ^УТЩ^Т} + \ν- azw i
Поскольку Az(0) = и и \и — у|< |и — Лг|| для всякого
2, ТО
|:Γ-4Ι(0)|<||«-7;1 + |«-1Ι1<
<1«-ΙΖ"(ο)1 + δ<1«-«|+μ"Ζ(ο)-3?ο)[ + δ<
<26 + p-^Hz(0)|<6(2 + [z(0)i).
Пользуясь этой оценкой, получаем
I лг«д - А?» 1 < 6(2 + ii(0)|| + I^JI) +
+ νΓ5δ2 + α0(δ)|φ4^(ο)) + λΩ[2"(ο)]} = η (δ).
Очевидно, что η (δ) г*- °° при δ -*■ 0.
Докажем теперь для произвольного ε > 0 существо-
вание такого δο = δο(ε, λ), что для δ «S δο(ε, λ) и для
266
всех α, удовлетворяющих (9; 3,3), будет выполняться
неравенство
lVx-zJ<e/2.
Предположим, что такого δο(ε, λ) пе существует. Это
означает, что существует такое εο > 0 и такие последо-
вательности {Ah}, {uk}, {ск} и {6\}, сходящиеся (по со-
ответствующим нормам) соответственно к А, и, с и к
нулю, что для любых <xh, удовлетворяющих условиям
а!
^<aft<a0(fifc),
имеем
(галл — Ζλ|>ε0/2.
Однако
ω [iah,q < ν (β,, λ).
Следовательно, последовательность (Ζα&,λ} принадлежит
компактному множеству. В силу этого из нее можно вы-
делить сходящуюся подпоследовательность {zaft,x}· Пусть
zi, = limzaft,x.
k~*oo
Очевидно, что z%<=lRv Так как
Ιρ2;„λ-^(ο)1<η(δΑ)
п Η (δ*) -*"0 при /с-»-оо, то, переходя к пределу, получим
\а7х-а70)\ = о,
откуда Az'x = Az(0) = и. Значит, z'x ей,.
Оценим φ2 (zah,i) + λΩ [z'akl)]. Пусть cpft{z) = (ch, z).
Имеем
a& (<P2(zaft,x) + λΩ [zaft,x]) <
<«ft {Ψ2 (zaft,x) — φ2 (ΖβΑ,λ) + $ft(zaft,x) + λΩ [ΖΟΛ,λ]} <
< aft [φ? (Ζ^>λ) + λΩ [zak,i]} +aft || φ2 (zak>x) - φ? (г^д) | «
= aft [ Ц>1 (zaft,x) + λΩ [z'ak,i.]} +
267
+ α* l'i (*«йл)-ф* Р«йд) 1 · 1Φ (>кд) + φ* (*акд) I <
< aft {9ft (гакл) + λΩ ракд]] +
+ α& Ι (ck, *α*.λ) ~ (£ *акд) 1 (I (с, 2«hA) | + Ц (сц *αΑ.λ) ||) <
<αΛ|φ»(«αΛ.λ) + λΩ[?;Λ,λ]} +
+ «л I ck - c|| p'ak,x I (fc I + lei 1) I «акл 1 <
< ok Ι φ* (z4,k) + λΩ [1;,,λ] ] -f α A I а^д |f (j с | + J <ГЛ Ц) <
< Mlh [z%, Ak, ик, Гк] + О (ок · 6k).
Таким образом,
αΠφ2(2αΑ,Χ)+λΩ[Ι;„λ]}<Λ/^·[Ζλ, Лк1 «Α,?,]+(9(αη·δη).
(9; 3,8)
Здесь Ζλ — элемент, минимизирующий функционал
φ2 (г) +λΩ[Ζ] на множестве 7?г.
Совершенно аналогично получим
α&№(Ζλ) + λΩ[Ζλ])<
< ctA {φ2 (2λ) + λΩ[Ζλ]} +«ЛI^IPdkll + I^I)· .(9; 3,9)
Оценим
МГ [zfc; Ik> wk, ck] = fllft2x - i7A f + «A {$ (zx) + λΩ [2λ]}.
Так как AzK = и, то
I \ч — й* I < II Л«х — 4«л I +1 йк — «Ι <
<I2k-^li|zj+6A<6k(i + iz,i)<6A(i + jz(0)I)J
ибо ы<1*<0)1·
Используя (9; 3,9), получим
мТ [zu лк, uh, c~] < β; (l + i ;<·> 1У +
+ «ь {фа Ы + λΩ [г,]} + aA■ δΑ (|| с fl + 1 ch ||) ||zx f.
Из этой оценки и из (9; 3,8) следует, что
φ2 (>Ад) + λΩ [5;ft,x] <Фг (z,)-f λΩ [z,.] -1-0 (δ,) +0 (δΑ2/αΑ)·
268
Переходя в этом неравенстве к пределу при к z± °°, по-
лучим
φ* (Ζλ) + λΩ [zjj < φ* (zx) + λΩ [Ζλ].
Так как элемент z* минимизирует функционал cp2(z)" -f
+ λΩ[Ζ], то Ζλ = Ζλ. Следовательно, при достаточно боль-
ших к(к^к0(&0)) |z0ft>X| — Ζλ|| <e0/2f что противоречит
предположению. Теорема доказана.
Замечание. Мы полагали, что Ω [z] = | z — z° f
π фактически использовали только то, что множество
элементов г, для которых Q[z] < d, компактно при лю-
бом d > 0. Все результаты сохраняются, если в качестве
Ω [г] брать произвольную положительную определенную
квадратичную форму
i,J
видоизменив соответствующим образом определение по-
нятия нормального решения.
Применение методов решения некорректно поставлен-
ных задач получило широкое распространение в различ-
ных направлениях научных исследований. К некорректно
поставленным задачам приводятся задачи обработки ре-
зультатов наблюдений, различные задачи управления,
планирования, синтеза оптимальных конструкций и мно-
гие другие.
В настоящей книге рассмотрены основные вопросы,
относящиеся к методам решения некорректно поставлен-
ных задач. В качестве приближенных решений таких
задач, устойчивых к малым изменениям исходных дан-
ных, берутся регуляризованные решения, т. е. решения,
получаемые методом регуляризации.
Основное внимание в книге уделено рассмотрению
основанных на вариационном принципе отбора алгорит-
мов построения регуляризованных решений уравнений
вида Az = и, где z<=F, u&U, к которым приводятся за-
дачи обработки результатов наблюдений в физических
экспериментах, задачи распознавания образов, задачи
суммирования рядов Фурье и другие. Обоснование ме-
тода регуляризации для такого рода задач в книге дано
для типичных операторов А и пространств F и U. Пере-
несение результатов на более широкие классы операто-
ров А и пространств F, U сделано другими авторами.
269
Большая часть таких обобщении содержится в публика-
циях, приводимых в конце книги.
Методы решения задач оптимального управления рас-
смотрены нами на примере задач, описываемых система-
ми обыкновенных дифференциальных уравнений. Подоб-
ные результаты распространены и на задачи, описывае-
мые уравнениями с частными производными (например,
на задачи о дифференциальных играх). Имеются много-
численные публикации, посвященные этим вопросам.
Приведенные нами примеры предназначены для рас-
смотрения типичных ситуаций; изложенный в книге
материал по численным методам нахождения приближен-
ных решений некорректно поставленных задач достато-
чен для нахождения приближенных решений широкого
круга прикладных задач.
В журнальных статьях и в других публикациях име-
ется большое разнообразие числепных алгоритмов реше-
ния различных конкретных некорректно поставленных
задач, учитывающих специфику этих задач.
Мы надеемся, что изложенный в книге материал по-
зволит широкому кругу читателей войти в круг идей,
относящихся к некорректно поставленным задачам, и
успешно решать конкретные задачи.
ЛИТЕРАТУРА
1. Александров Л. Регуляризационный вычислительный
процесс для анализа экспоненциальной зависимости.— ЖВМ
и МФ, 1970, 10, № 5.
2 Алиев Б. О двух подходах к разностному методу решения
задачи Неймана в прямоугольной области.— ЖВМ и МФ, 1972,
12, № 1.
3. Алиев Б. Регуляризирующие алгоритмы для устойчивого
нормального решения уравнения II рода на спектре.— ЖВМ и
МФ, 1970, 10, № 3.
4. А н и к о н о в Ю. Е. Об операторных уравнениях I рода.—■
ДАН СССР, 1972, 207, № 2.
5. А н т о х и н Ю. Т. Аналитический подход к проблеме урав-
нений I рода.- ДАН СССР, 1966, 167, № 4.
6. А н т о х и н 10. Т. Некорректные задачи в гильбертовом про-
странстве и устойчивые методы их решения.— Дифф. уравн.,
1967, 3, № 7.
7. А н т о х и н Ю. Т. Некорректные задачи для уравнений типа
свертки.— Дифф. уравн., 1968, 4, № 9.
8. А р с e н и н В. Я. О разрывных решениях уравнений первого
рода.— ЖМВ и МФ, 1965, 5, № 5.
9. А р с e н и н В. Я., Иванов В. В. О решении некоторых
интегральных уравнений первого рода типа свертки методом
регуляризации.— ЖВМ и МФ, 1968, 8, № 2.
10. А р с e н и н В. Я., Иванов В. В. О влиянии регуляриза-
ции р-го порядка.— ЖВМ и МФ, 1968, 8, № 3.
11. Арсенин В. Я., Иванов В. В. Об оптимальной регуля-
ризации.- ДАН СССР, 1968, 182, № 1.
12. Арсенин В. Я. Об оптимальном суммировании рядов Фурье
с приближенными коэффициентами.— ДАН СССР, 1968, 183,
Л« 2.
13. А р с e н и н В. Я., Савелова Т. И. О применении метода
регуляризации к интегральным уравнениям первого рода ти-
па свертки.— ЖВМ и МФ, 1969, 9, № 6.
14. Арсенин В. Я. Об одном способе приближенных решений
интегральных уравнений первого рода типа сверток.— Труды
МИЛИ СССР, 1973, 133.
15. А р с e и и и В. Я. О методах решения некорректно поставлен-
ных задач,—М.: МИФИ, 1977.—Курс лекций, ротапринт.
16. Арсенин В. Я., Загонов В. П., Трахопитов-
с к а я Р, А. О численном решении интегральных уравнений
271
первого рода типа свертки на неравномерных сетках.— M.î
ИПМ АН СССР, 1978.- Препринт № 141.
17. Б а к у ш и н с к и й А. Б. Один общий прием построения ре-
гуляризирующих алгоритмов для линейного некорректного
уравнения в гильбертовом пространстве,— ЖВМ и МФ, 1968,
7, № 3.
18. БакушинскийА. Б., Страхов В. Н. О решении не-
которых интегральных уравнений первого рода методом после-
довательных приближений.— ЖВМ и МФ, 1968, 8, № 1.
19. Б а к у ш и н с к и й А. Б. Алгоритмы регуляризации для ли-
нейных уравнений с неограниченными операторами.— ДАН
СССР, 1968, 183, № 1.
20. Б а к у ш и п с к и й А. В. К проблеме построения линейных
регулярпзнрующих алгоритмов в банаховых пространствах,
ЖВМ и МФ, 1973, 13, № 1.
21. Б а к у ш и н с к и й А. Б. Регуляризирующий алгоритм на ос-
нове метода Ньютона — Канторовича для решения вариацион-
ных неравенств.— ЖВМ и МФ, 1976, 16, № 6.
22. Б у д а к Б. М., Васильева В. Н. О решении обратной
задачи Стефана.— ЖВМ и МФ, 1973, 13, №№ 1, 4
23. В а с и н В. В., Т а н а п а В. П. Приближенное решение опе-
раторных уравнений первого рода,— Матем. зап. УРГУ, 1968,
4, № 6.
24 В а с и н В. В. О связи некоторых вариационных методов
приближенного решения некорректных задач.— Матем. замет-
ки, 1970, 7, № 3.
25. В а с и н В. В. Об устойчивом вычислении производной.—
ЖВМ и МФ, 1973, 13, № 6.
26. Вино к у ров В. А. О понятии регуляризуемости разрыв-
ных отображений.—ЯШМ и МФ, 1971, 11, № 5.
27. Винокуров В. А. Общие свойства погрешности прибли-
женного решения линейных функциональных уравнений.—
ЖВМ и МФ, 1971, 11, № 1.
28. В и н о к у р о в В. А. Два замечания о выборе, параметра ре-
гуляризации.— ЖВМ и МФ, 1972, 12, № 2.
29. В и н о к у р о в В. А. О погрешности приближенного реше-
ния линейных задач.— ЖВМ и МФ, 1972, 12, № 3.
30. В и п о к у р о в В. А. Свойства функционала погрешности
Δ(t, R, δ, х) при фиксированном δ как функции х. I —ЖВМ
и МФ, 1975, 15, № 4
31. В и н о к у р о в В. А. Асимптотические оценки погрешности.
II.- ЖВМ и МФ, 1975, 15, № 6.
32. В и н о к у р о в В, А. Асимптотические оценки погрешности.
III.— ЖВМ и МФ, 1976, 16, № 1.
33. В и н о к у р о в В. А. Интегральные оценка погрешности. IV,—«
ЖВМ и МФ, 1976, 16, № 3.
34 Воеводин В. В. О методе регуляризации.— ЖВМ и МФ,
1969, 2, № 3.
35. Г а в у р и н М. К., Рябов В. М. Применение полиномов
Чебышева при регуляризации некорректных и плохо обуслов-
ленных уравнений в гильбертовом пространстве».— ЖВМ и
МФ, 1973, 13, № 6.
36. Г а л к и н В. Я. К расчету управляющей функции при подъе-
ме ракеты-зонда на максимальную высоту.— В кн.: Вычисл.
матем. и программирование, XII, М.: МГУ, 1969.
272
37. Галкин В, Я. Задача релейного управления при вертикаль-
ном подъеме ракеты.— В кн.: Вычисл. матем. и программиро-
вание, XII, М.: МГУ, 1969.
38. Г а л к и н В. Я, Задачи обработки и интерпретации резуль-
татов некоторых экспериментов в ядерной физике. Авторе-
ферат канд. диссерт.— M.: MI У, 1972.
39. Г e й м а н Т. М., 3 а и к и н П. И., Масленников В. А.,
Седов H. H. О некоторых задачах количественной элект-
ронной микроскопии.— В кн.: Вычисл. матем. и программиро-
вание, XIV, М.: МГУ, 1970.
40. Гласко В. Б., Тихонов А. Н., Тихонравов А. В.
О синтезе многослойных покрытий.— ЖВМ и МФ, 1974, 14,
№ 1.
41. Г л а с к о В. В., Кравцов В. В., Кравцова Г. Н.
Об одной обратной задаче гравиметрии.— Вестник МГУ,
1970, 2.
42. Г л а с к о В. Б. О единственности решения некоторых обрат-
ных задач сейсмологии.— ЖВМ и МФ, 1970, 10, № 6.
43. Г л а с к о В. Б., Гущин Г. В., С т а р о с т e н к о В. И.
О применении метода регуляризации А. Н. Тихонова к ре-
шению нелинейных систем уравнений.— ЖВМ и МФ, 1976,
16, № 2.
44. Гласко В. Б, Использование метода регуляризации для ре-
шения задачи термического зондирования атмосферы.— Фи-
зика атмосферы и океана, 1968, IV, № 3.
45. Г л а с к о В. В., Володин В. А., Мудрецов Е. А.,
Нефедова Н. Ю. О решении обратной задачи гравиразвед-
ки для контактной поверхности на основе метода регуляриза-
ции.— Физика Земли, 1972, 5.
46. Г л а с к о В. Б. К вопросу о единственности определения
структуры земной коры по поверхностным волнам Рэлея.—
ЖВМ и МФ, 1971, 11, № 6.
47. Г л а с к о В. Б. Некоторые математические вопросы интепре-
тации геофизических наблюдений, Автореферат докторской
диссертации.— М.: МГУ, 1972.
48. Г о н ч а р с к и й А. В., Я г о л а А. Г. О равномерном при-
ближении монотонных решений некорректных задач.— ДАН
СССР, 1969, 184, № 4.
49. Г о н ч а р с к и й А. В., Леонов А. С, Я г о л а А. Г. Не-
которые оценки скорости сходимости регуляризованных при-
ближений для уравнений типа свертки.—ЖВМ и МФ, 1972,
12, № 3.
50. Г о н ч а р с к и й А. В., Леонов А. С, Я г о л а А. Г. О ре-
шении двумерных интегральных уравнений первого рода с
ядром, зависящим от разности аргументов.— ЖВМ и МФ, 1971,
11, № 5.
51. Г о н ч а р с к и й А. В., Леонов А. С, Я г о л а А. Г. Об
одном регуляризующем алгоритме для некорректно поставлен-
ных задач с приближенно заданным оператором.— ЖВМ и МФ,
1972, 12, № 6.
52. Г о н ч а р с к и й А. Б., Леонов А. С, Я г о л а А. Г. Обоб-
щенный принцип невязки.— ЖВМ и МФ, 1973, 13, № 2.
53. Г о н ч а р с к и й А. В., Леонов А. С, Я г о л а А. Г. Ко-
нечно-разностная аппроксимация линейных некорректных за-
дач.- ЖВМ и МФ, 1974, 14, № 1.
273
54. Гончарский А. В., Леонов А. С, Я г о л а А. Г.
О принципе невязки при решении нелинейных некорректных
задач.- ДАН СССР, 1974, 214, № 3.
55. Г о н ч а р с к и й А. В., Леонов А. С, Я г о л а А. Г.
О применимости принципа невязки в случае нелинейных не-
корректных задач и новом регуляризирующем алгоритме их
решения.—ЖВМ и МФ, 1975, 15, № 2.
56. Г о н ч а р с к и й А. В., Ч e p e п а щ у к А. М., Я г о л а А. Г.
Численные методы решения обратных задач астрофизики.^
М.: Наука, 1978.
57. Го р д о н о в а В. И., Морозов В. А. Численные алгорит-
мы выбора параметра в методе регуляризации,— ЖВМ и МФ,
1973, 13, № 3.
58. Д e м и д о в и ч В. Б. Восстановление функции и ее произ-
водных по экспериментальной информации.— В кн.: Вычисл.
матем. и программирование, VIII, M.: МГУ, 1967.
59. Д e н и с о в А. М. Об аппроксимации квазирешений уравне-
ния Фредгольма первого рода с ядром специального вида.—
ЖВМ и МФ, 1971, 11, № 5; 1972, 12, № 6.
60. Д e н и с о в А. М. Об аппроксимации квазирешений некото-
рых интегральных уравнений первого рода.— ЖВМ и МФ,
1974, 14, № 1.
61. Денчев Р. О методе регуляризации А. Н. Тихонова для сла-
бых решений краевых задач,— ЖВМ и МФ, 1969, 9, № 2.
62. Д и д e н к о В. П., Козлов Н. II. О регуляризации некото-
рых некорректных задач технической кибернетики.— ДАН
СССР, 1974, 214, № 3.
63. Д о л г о п о л о в а Т. Ф., Иванов В. К. О численном диф-
ференцировании.— ЖВМ и МФ, 1966, 6, № 3.
64. Домбровская И. Н. О линейных операторных уравне-
ниях первого рода.— Изв. вузов, Математика, 1964, 2.
65. Домбровская И. Н. О решении некорректных линейных
уравнений в гильбертовом пространстве.— Матем. зап. УРГУ,
1964, 4, № 4.
66. Д о м б р о в с к а я И. Н., Иванов В. К. К теории некото-
рых линейных уравнений в абстрактных пространствах.— Си-
бирский матем. журн., 1965, VI, № 3.
67. Д о м б р о в с к а я И. Н. Об уравнениях первого рода с зам-
кнутым оператором.— Изв. вузов, Математика, 1967, 6.
68. Жуковский Е. Л., Липцер Р. Ш. О рекуррентном спо-
собе вычисления нормальных решений линейных алгебраиче-
ских систем уравнений,— ЖВМ и МФ, 1972, 12, № 4.
69. Ж у к о в с к и й Е. Л., Морозов В. А. О последовательной
байесовской регуляризации алгебраических систем уравне-
ний.— ЖВМ и МФ, 1972, 12, № 2.
70. Ж у к о в с к и й Е. Л. Статистическая регуляризация алгеб-
раических систем уравнений.— ЖВМ и МФ, 1972, 12, № 1.
71. 3 а и к и н П. Н. О численном решении обратной задачи опе-
рационного исчисления в действительной области.— ЖВМ и
МФ, 1968, 8, № 2.
72. 3 а и к и н П. Н. Система сплошной автоматической обработ-
ки результатов эксперимента по исследованию сечений фото-
ядерных реакций, Автореферат канд. диссерт.— М.: МГУ, 1968.
73. 3 а и к н н П. H., M e ч e н о в А. С. Некоторые вопросы чис-
ленного решения интегральных уравнений первого рода ме-
ги
тодом регуляризации: M.: МГУ, 1971.— Отчет ВЦ МГУ,
№ 144—ТЗ, ротапринт.
74. 3 а п к и н П. Н. Системы подпой математической обработ-
ки результатов спектрометрических экспериментов. Авторе-
ферат докт. диссертации.— Дубна: ОИЯИ, 1978.
75. И в а н о в В. К. Линейные неустойчивые задачи с много-
значными операторами.— Сибирский матем. журн., 1970, XI,
№ 5.
76. И в а н о в В. К. Обратная задача потенциала для тела,
близкого к данному.— Изв. АН СССР, Сер. матем., 1956, 20,
№ 6.
77. И в а п о в В. К. Об устойчивости обратной задачи логарифми-
ческого потепциала.— Изв. вузов, Математика, 1958, 4.
78. Иванов В. К. О линейных некорректных задачах,— ДАН
СССР, 1962, 145, № 2.
79. И в а н о в В. К. О некорректно поставленных задачах.— Ма-
тем. сборник, 1963, 61, № 2.
80. И в а н о в В. К. Некорректные задачи в топологических про-
странствах.— Сибирский матем. журн., 1969, X, Ns 5.
81. Иванов В. К. Об одном типе некорректных линейных урав-
нений в векторных топологических пространствах.— Сибир-
ский матем. журн., 1965, VI, № 4.
82. И в а н о в В. К. Задача Коши для уравнений Лапласа в бес-
конечной полосе.— Дифф. уравн., 1965, 1, № 1.
83. И в а н о в В. К., О равномерной регуляризации неустойчи-
вых задач.— Сибирский матем. журн., 1966, VII, № 3.
84. И в а н о в В. К. О приближенном решении операторных урав-
нений первого рода.— ЖВМ и МФ, 1966, 6, M 6.
85. И в а н о в В. К., К о р о л ю к Т. И. Об одной вадаче чис-
ленного аналитического продолжения гармонических функ-
ций.— Матем. зап. УРГУ, 1966, 5, № 4.
86. И в а н о в В. К. Об интегральных уравнениях Фредгольма
первого рода,— Дифф. уравн., 1967, 3, № 3.
S7. И в а н о в В. К., К о р о л ю к Т. И. Об оценке погрешности
при решении линейных некорректно поставленных задач.—
ЖВМ и МФ, 1969, 9, № 1.
88. И в а н о в В. К., Васин В. В., Т а н а н а В. П. Теория
линейных некорректных задач и ее приложения.— М.: Нау-
ка, 1978.
89. И e в л e в И. И. О приближенном решении уравнений пер-
вого рода.— ЖВМ и МФ, 1973, 13, № 4.
90. К а р м а н о в В. Г. Оценки сходимости итерационных мето-
дов миниминизации.— ЖВМ и МФ, 1974, 14, № 1.
91. К н я з e в А. В. Условия корректности нелинейных инте-
гральных уравнений с ядром, зависящим от разности пере-
менных.— ЖВМ и МФ, 1970, 10, № 4.
92. К о р о л ю к Т. И. О задаче Коши для уравнения Лапласа.—
Изв. вузов, Математика, 1973, 1.
93. К о р к и н а Л. Ф. О решении операторных уравнений пер-
вого рода в гильбертовых пространствах.— Ивв. вузов, Мате-
матика, 1967, 7.
94. К о р к и н а Л. Ф. О регуляризации операторных уравнений
первого рода.— Изв. вузов, Математика, 1969, 8.
95. К о с а р e в Е. Л. О численном решении интегрального урав-
нения Абеля.- ЖВМ и МФ, 1973, 13, № 6.
275
96. К p e й н С. Г., Прозоровская О. И. О приближенных
методах решения некорректных задач.— ЖВМ и МФ, 1963,
3, № 1.
97. К р у к о в с к и й H. M. Об устойчивом по Тихонову сумми-
ровании рядов Фурье с возмущенными коэффициентами не-
которыми регулярными методами.— Вестник МГУ, Сер. 1, Ма-
тематика, механика, 1973, 3.
98. К р я н e в А. В. Решение некорректно поставленных задач
методом последовательных приближений.— ДАН СССР, 1973,
210, № 1.
99. К р я н e в А. В. Итерационный метод решения некорректных
задач.- ЖВМ и МФ, 1974, 14, № 1.
100. Курант Р. Уравнения с частными производными.— М.:
Мир, 1964
101. Лаврентьев M. M. О задаче Коши для уравнения Лапла-
са.— Изв. АН СССР, Сер. матем., 1956, 20.
102. Лаврентьев M. M. К вопросу об обратной задаче тео-
рии потенциала.— ДАН СССР, 1966, 106, № 3.
103. Лаврентьев M. M. О задаче Коши для линейных эллип-
тических уравнений.—ДАН СССР, 1957, 112, № 2.
104. Лаврентьев M. M. Об интегральных уравнениях первого
рода.— ДАН СССР, 1959, 127, № 1.
105. Лаврентьев M. M. Об интегральных уравнениях перво-
го рода.— ДАН СССР, 1960, 133, № 2.
106. Лаврентьев M. M. О некоторых некорректных задачах
математической физики.— М.: СО АН СССР, 1962.
107. Лаврентьев М. М., Васильев В. Г. О постановке не-
которых некорректпых задач математической физики.— Си-
бирский математ. журн., 1966, VII, № 3.
108. Лаврентьев M. M. Об обратной задаче для волнового
уравнения.— ДАН СССР, 1964, 157, № 3.
109. Лаврентьев M. M. Об одном классе обратных задач для
дифференциальных уравнений,— ДАН СССР, 1965, 160, Л*2 1.
110. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Васильев В. Г.
Многомерные обратные задачи для дифференциальных урав-
нений.—Новосибирск: Наука, 1969.
111. Латтес Р., Лионе Ж. Л. Метод квазиобращения и его
приложения,— М.: Мир, 1970.
112. Леонов А. С. К обоснованию выбора параметра регуляри-
зации по критериям квазиоптимальности и отношений.—ЖВМ
и МФ, 1978, 18, № 6.
113. Ли ск овец О. А. Некорректные задачи с замкнутым не-
обратимым оператором.— Дифф. уравн., 1967, 3, № 4.
114. Ли cito в ец О. А. О регуляризации линейных уравнений в
банаховых пространствах.— Дифф. уравн., 1968, 4, № 6.
115. Ли сков ец О. А. Метод регуляризации для нелинейных
задач с замкнутым оператором.— Сибирский матем. журн.,
1971, XII, № 6.
116. Л исков e ц О. А. О решении некорректных задач с замыка-
емым оператором.— ДАН СССР, 1974, 219, № 5.
117. Лисковец О. А. Способ выбора параметра регуляризации
при решении нелинейных некорректных задач.— ДАН СССР,
1976, 229, № 2.
118. M а р ч у к Г. И., Атанбаев С. А. Некоторые вопросы гло-
бальной регуляризации.—ДАН СССР, 1970, 190, № з.
276
119. Ma p ч у к Г. И. О постановке некоторых обратных вадач.—
ДАН СССР, 1964, 156, № 3.
120. M a p ч у к Г. И., Васильев В. Г. О приближенном ре-
шении операторных уравнений первого рода.— ДАН СССР,
1970, 195, № 4.
121. M а с л о в В. П. Регуляризация некорректных задач для син-
гулярных интегральных уравнений.—ДАН СССР, 1967, 176,
№ 5.
122. Мельникова И. В. О решении уравнений первого рода
с замкнутым многозначным оператором.— Изв. вузов, Матема-
тика, 1971, 12,
123. Морозов В. А. О регуляризации некорректно поставлен-
ных задач и выборе параметра регуляризации.— ЖВМ и МФ,
1966, 6, № 1.
124. Морозов В. А. О выборе параметра при решении функ-
циональных уравнений методом регуляризации.— ДАН СССР,
1967, 175, № 6.
125. Морозов В. А. О регуляризирующих семействах операто-
ров.— В кн.: Вычисл. матем. и программирование. VIII, М.,
МГУ, 1967.
126. Морозов В. А. О принципе невязки при решении несов-
местных уравнений методом регуляризации А. Н. Тихонова.—
ЖВМ и МФ, 1973, 13, № 5.
127. Морозов В. А. Регулярные методы решения некоррект-
ных задач.— М.: MI У, 1974.— Ротапринт.
128. Морозов В. А. О припцине оптимальности невязки при
приближепном решении уравнений с нелинейными операто-
рами.— ЯШМ и МФ, 1974, 14, № 2.
129. Морозов В. А. О псевдорешениях.—ЖВМ и МФ, 1969, 9,
№ 6.
130. Морозов В. А. Линейные и нелинейные некорректные за-
дачи. Итоги науки и техники. Математический аналиэ. II.—
М.: ВИНИТИ, 1973.
131. Морозов В. А. О решении методом регуляризации некор-
ректно поставленных задач с нелинейным неограниченным
оператором,— Дифф. уравн., 1970, 6, № 8.
132. M у з ы л e в Н. В. Об алгоритме упрощенной регуляриза-
ции.- ЖВМ и МФ, 1975, 15, № 3.
133. Муравьева М. В. Об оптимальности и предельных свой-
ствах байесовского решения системы линейных алгебраиче-
ских уравнепий.— ЖВМ и МФ, 1973, 13, № 4
134. II о в и к о в П. С. О единственности обратной задачи теории
потенциала.— ДАИ СССР, 1938, 18, № 3.
135. Оганесян С. М., Старостенко В. И. Регуляризирую-
щий итерационный процесс, основанпый на параметрическом
функционале А. П. Тихонова— ДАН СССР, 1978, 238, № 2.
136. О х о ц и м с к и й Д. Е. К теории движения ракет.— ПММ,
1946, 10, № 2.
137. Петров А. П., Хованский А. В. Оценка погрешности
решения линейных задач при наличии ошибок в операторах
и правых частях уравнений.— ЖВМ и МФ, 1974, 14, № 2.
138. Петров В. В., У сков А. С. Информационные аспекты
проблемы регуляризации.— ДАН СССР, 1970, 195, № 4.
139. П e р e л ь м а н А. Я., П у н и н а В. А. Применение свертки
Мсллпиа к решению интегральных уравнений первого ро-
277
да с ядром, зависящим от произведения. - ЖВМ п МФ,
1909, 9, № 3.
140. Прилепко А. И. Внешняя обратная задача объемного по-
тенциала переменной плотности для тела, близкого к данно-
му.- ДАН СССР, 1969, 185, № 1.
141. Прилепко А. И. Внутренние обратные задачи теории по-
тенциала.— ДАН СССР, 1968, 182, № 3.
142. Прилепко А. И. Контактные обратные задачи обобщен-
ных магнитных потенциалов.— ДАН СССР, 1968, 181, № 5.
143. Прилепко А. И. О единственности определения формы п
плотности тела в обратных задачах теории потенциала.— ДЛИ
СССР, 1970, 193, № 2.
144. Прилепко А. И. О единственности определения формы
тела по значениям внешнего потенциала.— ДАН СССР, 1965,
160, № 1.
145. Прилепко А. И. О единственности решения одной об-
ратной задачи, представленной интегральпым уравнением пер-
вого рода.—ДАН СССР, 1966, 167, № 4.
146. Прилепко А. И. Существование решений обратных задач
теории потенциала.— ДАН СССР, 1971, 199, № 1.
147. Прилепко А. И. Внутрепние обратные задачи обобщен-
ных потенциалов.—Сибирский матем. журн., 1971, 12,
№ 3.
148. Прилепко А. И. Об обратпых задачах теории потенциа-
ла.— Дифф. уравн., 1967, 3, № 1.
149. Прилепко А. И. Внутренняя обратпая задача метагармо-
нического потенциала для тела, близкого к дапному.— Дифф.
уравн., 1972, 8, № 1.
150. Романов В. Г. Некоторые обратные задачи длч уравнений
гиперболического типа.—Новосибирск: Наука. 1972.
151. Романов В. Г. Обратные задачи для дифференциальных
уравнений.—Новосибирск. НГУ, 1973.
152. Романов В. Г. Абстрактная обратная задача и вопросы ее
корректности.— Функп. анализ, 1973. 7. № 3.
153. Савелова Т. Й., Тихомиров В. В. О решении инте-
гральных уравнений первого рода типа свертки в многомер-
ном случае.—ЖВМ и МФ, 1973, 13. № 3.
154. Савелова Т. И. О решении уравнений типа свертки с не-
точно заданным ядром методом регуляризации.— ЖВМ и МФ,
1972, 12, JV» 1.
155. Савелова Т. И. О применении одного класса регуляризи-
рующих алгоритмов к решению интегральных уравнений пер-
вого рода тина свертки в банаховых пространствах.— ЖВМ и
МФ, 1974, 14, № 2.
156. Савелова Т. И. Проекционные методы решения линейных
некорректных задач.— ЖВМ и МФ, 1974, 14, № 4.
157. Страхов В. Н. О решении некорректных задач магнито
и гравиметрии, представляемых интегральными уравнениями
типа свертки.— Изв. АН СССР, Сер. Физика Земли, 1967, 4,
№ 5.
158. Страхов В. Н. О численном решении некорректных задач,
представляемых интегральными уравнениями тина свертки.—•
ДАН СССР, 1968, 178, № 2.
159. Страхов В. Н. О линейных некорректных задачах в гиль-
бертовом пространстве.— Дифф. уравн., 1970, 6, № 8.
278
160. Страхов В. H. О методах последовательных приближений
для линейных уравнений в гильбертовом пространстве.— ЖВМ
и МФ, 1973, 13, № 4.
161. Страхов В. Н. О построении оптимальных по порядку
приближенных решений линейных условно корректных 8а-
дач.—Дифф. уравн., 1973, 11, № 10.
162. Страхов В. И. К вопросу о скорости сходимости и методе
простой итерации.— ЖВМ и МФ, 1973, 13, № 6.
163. Т а н а п а В. П. Приближенное решение операторных урав-
нений первого рода в локально выпуклых пространствах.—
Изв. вузов, Математика, 1973, 9.
164. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач,— ДАН
СССР, 1943, 39, № 5.
165. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных за-
дач.— ДАН СССР, 1963, 151, № 3.
166. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставлен-
ных задач.— ДАН СССР, 1963, 153, № 1.
167. Т и х о н о в А. II. Об устойчивых методах суммирования ря-
дов Фурье.— ДАН СССР, 1964, 156, № 1.
168. Тихонов А. И. О решении нелинейных интегральных
уравнений.— ДАН СССР, 1964, 156, № 6.
169. Тихонов А. Н., Г л а с к о В. Б. О приближенном реше-
нии интегральных уравнений Фредгольма первого рода.—
ЖВМ и МФ, 1964, 4, № 3.
170. Тихонов А. Н. О нелинейных уравнениях первого рода,—«
ДАН СССР, 1965, 161, № 5.
171. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я., Владимиров Л. А.,
Дорошенко Г. Г., Д у м о в а А. А. К вопросу оо обработке
аппаратурных спектров f-квантов и быстрых нейтронов, из-
меренных с иомощью однокристальных сцинтилляционных
спектрометров.— Изв. АН СССР, Сер. физическая, 1966,
XXXIX, № 5.
172. Тихонов А. Н. О методах регуляризации вадач оптималь-
ного управления.— ДАН СССР, 1965, 162, № 4.
173. Тихонов А. Н., А р с e н и н В. Я., Д у м о в a A. A., M a fl-
op о в Л. В., M о с т о в о й В. И. Новый метод восстановления
истинных спектров.— Атомная энергия, 1965, 18, № 6.
174. Тихонов А. Н., Гласно В. Б. Применение методов ре-
гуляризации в нелинейных задачах.— ЖВМ в МФ, 1965, 5,
№ 3.
175. Тихонов А. Н. О некорректных задачах линейной алгебры
и устойчивом методе их решения.— ДАН СССР, 1965, 163, Ni 6.
176. Тихонов А. Н. Об устойчивости алгоритмов для решения
вырожденных систем линейных алгебраических уравнений.—
ЖВМ и МФ, 1965, 5, № 4.
177. Тихонов А. Н. О некорректных вадачах оптимального
планирования и устойчивых методах их решения.— ДАН
СССР, 1965, 164, № 3.
178. Тихонов А. Н. О методах решения некорректно постав-
ленных задач.— В кн.: Тезисы докладов, Международный кон-
гресс математиков, М., 1966.
179. Тихонов А. Н. О некорректных вадачах оптимального пла-
нирования.—ЖВМ и МФ, 1966, 6, № 1. -■■■''■'*4à^
180. Тихонов А. Н. Об устойчивости задачи минимизации функ-
ционалов.— ЖВМ и МФ, 1966, 6, № 4.
279
181. Тихонов А. Н., Галкин В. Я., 3 а и к и н П. Н. О пря-
мых методах решения задач оптимального управления.— ЖВМ
и МФ, 1967, 7, № 2.
182. Тихонов А. Н., Гласно В. Б. К вопросу о методах оп-
ределения температуры поверхности тел.— ЖбМ и МФ, 1967,
7, № 4.
183. Тихонов А. Н. О некорректно поставленных задачах.—
В кн. Вычисл. матем. и программирование, VIII, М., МГУ,
1967.
184. Тихонов А. Н., А л и к a e в В. В., А р с e н и н В. Я., Д у-
м о в а А. А. Определение функции распределения электро-
нов плазмы по спектру тормозного излучения.— Журнал эксп.
и теор. физики, 1968, 55, № 5.
185. Тихонов А. Н., Шевченко В. Г., Галкин В. Я.,
3 а и к и н П. Н., Горячев Б. И., И ш х а н о в Б. С, Ка-
питонов H. M. Система сплошной автоматической обра-
ботки результатов эксперимента по исследованию сечений фо-
тоядерных реакций.— В кп.: Вычисл. матем. и программиро-
вание, XIV. М., МГУ, 1970.
186. Тихонов Â. Н., Дмитриев В. И. О методах решения
обратной задачи теории антенн.— В кн.: Вычисл. матем. и
программирование, XIII, MI У, 1969.
187. Тихонов А. II., Карманов В. Г., Руднева Т. Л.
Об устойчивости задач линейного программирования.— В кн.:
Вычисл. матем. и программирование, XII, М., МГУ, 1969.
188. Тихонов А. Н., А р с e н и н В. Я., Д у м о в a A. A., M и-
трофановВ. Е., Пергамент А. X., Пергамент М. И.
О многоцелевой проблемноориентированной системе обработ-
ки результатов экспериментов.— М.: ИПМ, 1976.— Препринт
№ 142.
189. Фридман В. И. Метод последовательных приближений для
интегрального уравнения Фредгольма первого рода.— УМН,
1956, И, № 1.
190. X а л ф и н Л. А., Судаков В. Н. Статистический подход
к корректности задач математической физики.— ДАН СССР,
1964, 157, № 5.
191. X у д а к Ю. И. О регуляризации решений интегральных урав-
нений первого рода,— ЖВМ и МФ, 1966, 6, № 4.
192. X у д а к Ю. И. О сходимости одного семейства регуляризи-
рующих операторов.— ЖВМ и МФ, 1972, 12, № 2.
193. Чудов Л. А. Разностные схемы и некорректные вадачи для
уравнений с частными производными.— В кн.: Вычисл. матем.
и программирование, Vili, M., МГУ, 1967.
194. Arcangeli R., Pseudosolution de fequation Лг= у.—Comptes
Ren. Acad. Sci., 1966, 263, № 8.
195. Bellman R., К a 1 a b a R., L о с h e 11 J. Dynamic pro-
gramming and ill — conditioned linear systems.— J. Math. Anal,
and Appi., 1965, 10.
196. Bensonssan A., Keneth P., Sur l'analogue entre les
méthodes de régularisation et de penalisation.— Rev. franc,
inform, et rech, oper., 1968, 2, № 13.
197. С a v a y a n H. S., В e 1 f о r d G. G. On computing a stable
least squares solution to the inverse problem for a pla-
nar Newtonian potential,— SIAM I. Appli Math., 1971 20,
№ 1.
280
198. Cruceanu S. Régularisation pour les problèmes a operateurs
monotones et la méthode de Galerkine.— Comment. Math. Univ.
Carol., 1971, 12, № 1.
199. Douglas J. A numerical method for analitic Continuation.—
Madison: Boundary Problems Different. Equat. Univ. Wisconsin
Press.: 1960.
200. Douglas J. Mathematical programming and integral equa-
tions.— In: Sympos. Numerical Treatm. Ordinary Different
Equat., Integral and Integro — different. Equat, Birkhauser,
19G0.
201. Fox D. W., P u с с i С. The Dirichlet problem for the waves
equation.— Annali di Math., 1958, 48.
202. Fichera G. Sur Concetto di problema «benposti» pur
una equazione differentiale.— Rend. math. e. appi., 1960, 19,
№ 1.
203. Furi M., Vignolli A. On the regularization on nonlinear
ill — possed problem in Banach spaces.— J. Optimiz. Theory
and Appi., 1969, 4, № 3.
204. Hadamard J. Sur les problèmes aux dérivées partielles et
leur signification physique.— Bull. Univ. Princeton, 1902, 13.
205. Hadamard J. Le problème de Caucy et les équations
aux dérivées partielles linéaires hyperboliques.— P.: Hermann,
1932.
206. John F. Numerical solution on the equation of heat conduction
for proceeding times.— Ann. Math. Pura ed Appi., 1955, 40.
207. John F. Numerical solution of problems wich are not well
posed in the sense of Hadamard.— Rome: Sympos. Numeric.
Treatm. Partial Differen. Equat. with Real Char., 1959.
208. M a r t о n K., V a r g a L. Regularization of certain opera-
tor equations by fillers.— Stud. Sei. Math. Hung., 1971, 6,
№ 3, 4.
209. N e d y a 1 к о v I. P. An Approach in the theory of incorrect
problems.— Докл. Болг. АН, 1970, 23.
210. Newman D. J. Numerical method for solution of an elliptic
Cauchy problem.—J. Math, and Phys., 1960, 39, № 1.
211. Panel L. E. Bounds in the Cauchy problem for the Laplace
equation,— Arch. Rational. Mech. Anal., 1960, 5, № 1:
212. Phillips D. L. A technique for the numerical solution of
certain integral eguations of the first kind.— J. Assoc. Comput.
Nach. 1962, 9, № 1.
213. Pucci С. Sui problemi Cauchy non «ben posti».—Atti Acad.
Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. fis. math, e natur., 1955, 18, № 5.
214. Pucci С Discussione del problema di Cauchy pur le equazioni
di tipo elliptico.— Ann. mat. pura ad appi., 1968, 46.
215. Pucci C. On the improperly posed Cauchy problems for
parabolic equations.— In: Sympos. Numeric. Treatm. Partial
Different. Equat. with Real Caracteristics, Rome, 1959.
216. Replogle J., Holcomb B. D. The use of mathematical
programming for solving singular and poorly conditional systems
of equations.— J. Math. Anal., 1967, 20, M 2.
217. R i b i e r e G. Régularisation des operateurs.— Rev. Trans,
inform, et rech, oper., 1967, 1, № 11.
218. Strand O. N., Westwater E. R. Statistical estimation
of the numerical solution of a Fredholm integral equations of
the first kind,— J, Assoc, Comput. Math., 1968, 15, № 1.
281
219. T w o m e y S. On the numerical solution of Fredholm integral
equations of the first kind by the inversion of the linear system
produced by quadratiere.— J. Assoc. Comput. Mach., 1963, 10,
№ 1.
220. T w о m e y S. The application of numerical filtering to the
solution of integral equations encountered in indirect sensing
measurements.— J. Franklin Inst., 1965.
221. Wiener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of
stationary time series with engineering applications.— N. Y.;
J, Wiley, 1950.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Вариационный принцип отбора
59
— способ построения регуляри-
зирующих операторов 64
Винера оператор оптимальной
фильтрации 201
Вложение s-компактное 235
— — и непрерывно выпуклое
238
Диаграмма направленности 245
Дискретизация задачи нахожде-
ния приближенного решения
интегрального уравнения
первого рода 153
Задача аналитического продол-
жения, пример 21
— задаваемая 258
— корректно поставленная 16
— Коши для уравнения Лапла-
са 20
— теплопроводности с
обратным временем 165
— линейного программирования
251
— математического программи-
рования 249
— нахождения устойчивого
приближенного решения 56
— некорректно поставленная 16
— обратная 27
гравиметрии 21
для уравнения теплопро-
водности (65, 166
. = теории антенн 245
Задача определения переход-
ных функций 30
— — спектрального состава из-
лучения, пример 160
формы радиоимпульса 29
электрического импуль-
са на входе кабеля 1Θ4
— оптимального планирования
253
управления 233, 241
, пример 242
— решаемая 258
— синтеза оптических систем
24
— существенно некорректная
53
— устойчивая 16
— численного дифференцирова-
ния 18, 158
, некорректность 18
суммирования рядов
Фурье 19, 218, 220
—————, некорректность
19
Замкнутое множество 116
Замыкание множества 33
Интегральное уравнение типа
свертки 167, 197
— — — —, некорректность 171
г- — — —, регулярйзованное
решение 173
— — — —, — — оптимальное
198
, типы ядер 184
*— — Фредгольма первого рода
9, 18, 128
283
Интегральное уравнение Фред-
голъма, некорректность 18
, приближенное решение
147
Квадратическая метрика 9
Квазиоптимальное значение па-
раметра регуляризации 86,
87, 89
Квазирешвние 43, 47, 94
— в гильбертовом пространстве
96
—, связь с регуляризовангшм
решением 94
Класс корректности 41
Компактное в себе множество
32
— множество 32
Метод Воеводина 156
— замены исходного уравнения
близким ему 49
— итераций 97
— квадратного корпя 155
— квазиобращения 50
— Лагранжа построения регу-
ляризирующих операторов 65
— подбора 37, 38, 41
, условия сходимости 40
— регуляризации 53—109, 110,
128
, минимизация функциона-
лов 231—247
— —, примеры применения
158-166
решения интегральных
уравнений типа сверток 172
Фредгольма 128—
166
линенпых интегральных
уравнений первого рода 128
— — — — задач оптимального
планирования 258
— и- — — — управления 241
систем линейных алге-
браических уравнений 114
— —, связь с оптимальной
фильтрацией по Винеру 198
суммирования рядов
Фурье 223
Метрика вероятностная 181
— мажорантная 61
— пространства С 10, 18, 20, 129
U 172
Метрика пространства L3 10, 12,
128, 172
It 19
W\ 137
Минимизация функционала но
аргументу 231
Множество выпуклое 33
Невязка уравнения 67
Некорректно поставленная зада
ча 16
, примеры 18
Норма уклонения 235
— элемента в линейном прост-
ранстве 34
Нормальное решение 112, 257
Отрезок линейного метрическо-
го пространства 33
Плотность спектральная 180
Проекция элемента на множест-
во 44
Пространство банахово 36
— гильбертово 36
— линейное 34
— нормированное 35
— полное метрическое 34
— С 35
— L, 35
— £235
— h 35
— W\ 36
Псевдорешенпе 111
Равномерная метрика 10
Регуляризации метод 53—109
— параметр 55, 71
— —, квазиоптимальное значе-
ние 86, 87, 89
— —, оптимальное значение
179, 208
, (С, /)-оптимальное значе-
ние 195
, почти оптимальное значе-
ние 195
, способы определения 71
Регуляризирующий оператор 54,
65
2Я4
, определение 54, 55
— —, способы построения 58,
65, 71, 173
Регуляризованное решение 55
в гильбертовом простран-
стве 69
— —, связь с квазирешениями
94
Свертка функций 167, 168
Сглаживающий сильно оператор
208
— функционал 71
Система обработки результатов
наблюдений 31
Стабилизатор 70
— порядка ρ 183
— простейший 183
наилучший 208
Стабилизирующий множитель
175, 226
, асимптотическая ε-бли-
зость 182
— —, способы построения 175
— функционал 59, 224, 235
— — задачи минимизации
функционалов 235
■ — оптимального планиро-
вания 259
■ решения интегральных
уравнений типа свертки 117
— — ——— — Фредгольма
130, 138
систем линейных ал-
гебраических уравнений 127
— — — суммирования рядов
Фурье 224
Теорема Арцела 32
Фундаментальная последова-
тельность 34
Функционал выпуклый 33
— квазимонотонный 66
— сглаживающий 71
— стабилизирующий 59, 70
— строго выпуклый 33
— целевой 233
Функция автокорреляционная
180
— аппаратная 29
— импульсная переходная 29
— целевая 249
Эйлера уравнение 150
Элемент почти минимизирую-
щий 236
—, сопоставимый по точности
17, 58
Этапы обработки результатов
наблюдений 31