Author: Чижонков Е.В. Н.С. Бахвалов КорневА. А.
Tags: вычислительная математика численный анализ математика математический анализ численные методы математическое моделирование
ISBN: 978-5-93208-205-8
Year: 2016
Text
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
КЛАССИЧЕСКИ/ УНИВЕРСИТЕТСКИЙ УЧЕБНИК
Н.С. Бахвалов, А. А. Корнев, Е.В. Чижонков
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЯ
Московский । г и улар| iiwhhh.i vhhim^x nn г имени M. В. Ломоносова
Н.С. Бахвалов, А. А. Корнев, Е.В. Чижонков
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
И УПРАЖНЕНИЯ
2-е издание,
исправленное и дополненное
(электронное)
Допущено
У МО по классическому университетскому образованию
в качестве учебного пособия для студентов высших
учебных заведении, обучающихся по специальности
01.05.01 «Фундаментальные математика и механика»
Москва
Лаборатория знаний
2016
УДК 519.6(075.8)
ББК 22.193я73
БЗО
Печатается
по решению Ученого совета
Московского государственного университета
имени М. В. Ломоносова
Бахвалов Н. С.
БЗО
Численные методы. Решения задач и упражнения [Элек-
тронный ресурс] : учебное пособие для вузов / Н. С. Бахвалов,
А. А. Корнев, Е. В. Чижонков. — 2-е изд., испр. и доп. (эл.).—
Электрон, текстовые дан. (1 файл pdf : 355 с.)- —М. : Ла-
боратория знаний : Лаборатория Базовых Знаний, 2016.—
(Классический университетский учебник). — Систем, требова-
ния: Adobe Reader XI ; экран 10".
ISBN 978-5-93208-205-8
Материал пособия соответствует программе курса «Численные
методы», рекомендованной Министерством образования и науки
РФ. Содержатся основные положения теории, большое количество
подробно разобранных примеров, которые являются основой для
компьютерного решения практических и учебных задач различного
уровня сложности — от домашних упражнений до курсовых и ди-
пломных работ. Включены упражнения для самостоятельной рабо-
ты.
Книга такого типа по численным методам не имеет аналогов как
в нашей стране, так и за рубежом.
Для студентов университетов, педагогических вузов, вузов
с углубленным изучением математики, а также для студентов тех-
нических вузов, аспирантов и преподавателей, инженеров и научных
работников, использующих в практической деятельности численные
методы.
УДК 519.6(075.8)
ББК 22.193я73
Деривативное электронное издание на основе печатного
аналога: Численные методы. Решения задач и упражнения : учебное
пособие для вузов / Н. С. Бахвалов, А. А. Корнев, Е. В. Чижонков. —
2-е изд., испр. и доп. — М. : Лаборатория знаний, 2016. — 352 с. : ил. —
(Классический университетский учебник). —ISBN 978-5-906828-04-0.
Подготовлено при участии
ООО «Лаборатория Базовых Знаний»
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных техническими средствами защиты авторских прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации
ISBN 978-5-93208-205-8
© Лаборатория знаний, 2016
© МГУ
им. М. В. Ломоносова,
художественное
оформление, 2003
Оглавление
Предисловие ....................................... 5
Глава 1. Погрешность решения задачи ............... 7
1.1. Вычислительная погрешность ....................... 7
1.2. Погрешность функции ............................. 14
Глава 2. Разностные уравнения .............................. 20
2.1. Однородные разностные уравнения ................. 20
2.2. Вспомогательные формулы ......................... 30
2.3. Неоднородные разностные уравнения................ 32
2.4. Фундаментальное решение и функция Грина ......... 42
2.5. Задачи на собственные значения................... 47
Глава 3. Приближение функций и производных.................. 55
3.1. Полиномиальная интерполяция...................... 55
3.2. Многочлены Чебышёва ............................. 66
3.3. Численное дифференцирование...................... 73
3.4. Многочлен наилучшего равномерного приближения ... 77
3.5. Приближение сплайнами ........................... 84
Глава 4. Численное интегрирование .......................... 94
4.1. Интерполяционные квадратуры ..................... 94
4.2. Метод неопределенных коэффициентов.............. 102
4.3. Квадратурные формулы Гаусса..................... 108
4.4. Главный член погрешности ....................... 117
4.5. Функции с особенностями ........................ 121
Глава 5. Матричные вычисления ............................. 125
5.1. Векторные и матричные нормы..................... 125
5.2. Элементы теории возмущений ..................... 135
5.3. Точные методы .................................. 148
5.4. Линейные итерационные методы ................... 155
5.5. Вариационные методы ............................ 164
5.6. Неявные методы ................................. 168
5.7. Проекционные методы ............................ 178
5.8. Некорректные системы линейных уравнений ........ 186
5.9. Проблема собственных значений................... 192
Глава 6. Решение нелинейных уравнений ..................... 207
6.1. Метод простой итерации и смежные вопросы........ 208
6.2. Метод Ньютона. Итерации высшего порядка ........ 219
Глава 7. Элементы теории разностных схем .................. 228
7.1. Основные определения............................ 228
7.2. Методы построения разностных схем .............. 232
7.3. Методы прогонки и стрельбы. Метод Фурье ........ 254
4
Оглавление
Глава 8. Дифференциальные уравнения ................. 263
8.1. Задача Коши .................................. 263
8.2. Краевая задача ............................... 274
Глава 9. Уравнения с частными производными ............. 283
9.1. Корректность разностных схем ................. 283
9.2. Гиперболические уравнения .................... 285
9.3. Эллиптические уравнения ...................... 296
9.4. Параболические уравнения ..................... 304
9.5. Уравнение Шрёдингера ......................... 318
9.6. Задача Стокса ................................ 320
Глава 10. Интегральные уравнения ........................ 333
10.1. Метод замены интеграла ...................... 333
10.2. Метод замены ядра ........................... 338
10.3. Проекционные методы ......................... 340
10.4. Некорректные задачи ......................... 345
Литература .............................................. 351
Предисловие
Учебное пособие написано на основе многолетнего опыта преподава-
ния численных методов студентам механико-математического факуль-
тета и факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ
им. М. В. Ломоносова и полностью соответствует требованиям Государ-
ственного образовательного стандарта по математике, рекомендованного
Министерством образования Российской Федерации.
Как правило, классический университетский курс, ориентированный
на приближенное решение задач, состоит из теоретической (лекции)
и практической (семинары) частей и сопровождается лабораторными ра-
ботами. Поэтому учебная литература традиционно представлена теоре-
тическими учебниками, сборниками задач и вычислительными практику-
мами. Предлагаемая вниманию читателя книга содержит в форме задач
и упражнений наиболее ценные, по мнению авторов, сведения по числен-
ным методам из пособий всех указанных типов, и ее можно использовать
не только в учебных, но и в справочных целях.
Пособие охватывает материал по разностным уравнениям, приближе-
нию функций, численному интегрированию и дифференцированию, ин-
тегральным уравнениям, задачам алгебры и решению нелинейных урав-
нений, приближенным методам решения дифференциальных уравнений
как обыкновенных, так и с частными производными, а также по влиянию
вычислительной погрешности в различных алгоритмах.
Главная цель пособия — помочь читателю глубоко и последовательно
освоить предмет. Для этого материал разбит на крупные теоретические
части — главы и, кроме того, на темы — параграфы, содержание которых
структурировано специальным образом. Изучение каждой новой темы
начинается со знакомства с основными определениями, формулировками
фундаментальных теоретических результатов (теорем), полезными вспо-
могательными фактами и т. п., затем разбираются и анализируются ти-
пичные упражнения, отражающие специфику постановок задач и методы
их решений. Первые задачи каждого параграфа решены подробно и со-
провождаются комментариями. Сложность задач постепенно возрастает,
поэтому нередки ссылки на уже разобранные примеры. Далее приводятся
упражнения для самостоятельных занятий. Они, как правило, достаточно
разнообразны и могут удовлетворить запросы большинства читателей. За-
тем содержатся наборы из нескольких упражнений, которые при одинако-
вом задании имеют различные условия. Это — образцы для контрольных
работ по изучаемой теме, они сопровождены только ответами. В конце
каждого параграфа имеются упражнения повышенной сложности, как
правило, снабженные только указаниями и/или ответами. Их целесообраз-
но использовать в качестве зачетных задач или как основу для небольших
курсовых проектов.
6
Предисловие
Важная методическая особенность пособия — расположение решений,
указаний и ответов непосредственно за условиями задач и упражнений,
а не в конце книги, как это принято в задачниках. Тщательный отбор
и подача материала в такой форме способствуют эффективному усвоению
численных методов даже при самостоятельной работе. Поэтому данное
учебное пособие рекомендуется студентам, аспирантам и преподавателям
высших учебных заведений с углубленным изучением математики и всем,
кто по роду своей деятельности сталкивается с приближенным решением
задач, допускающих математическую формулировку. Даже специалист
в области вычислительной математики может найти сформулированные
в виде упражнений необычные формулы, факты, утверждения, неиз-
вестные ему ранее. Например, различные численные аспекты решения
уравнения Шрёдингера и задачи Стокса.
Критические замечания и предложения по совершенствованию кни-
ги просьба сообщать авторам на кафедру вычислительной математики
механике-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.
Авторы.
Глава 1 —
Погрешность решения задачи
Если а — точное значение некоторой величины, а* — известное приближе-
ние к нему, то абсолютной погрешностью приближенного значения а*
обычно называют некоторую величину Д(а*), про которую известно, что
|а* — а| Д(а*) •
Относительной погрешностью приближенного значения называют
некоторую величину 6(а*), про которую известно, что
а
Относительную погрешность часто выражают в процентах.
В этой главе на модельных упражнениях показано принципиальное
отличие между математически точными вычислениями и вычислениями
с произвольно высокой, но конечной точностью. Приведены примеры
катастрофического накопления вычислительной погрешности в стандарт-
ных алгоритмах, рассмотрены методы возможного улучшения исследуе-
мых алгоритмов.
1.1. Вычислительная погрешность
Наиболее распространенная форма представления действительных чи-
сел в компьютерах — числа с плавающей точкой. Множество F чисел
с плавающей точкой характеризуется четырьмя параметрами: основанием
системы счисления р, разрядностью t и интервалом показателей [L, U].
Каждое число ж, принадлежащее F, представимо в виде
x = ±(<h+& + .. +
V р р2
dt \
р*)
где целые числа р, a, di,..., dt удовлетворяют неравенствам 0 di р — 1,
i = 1, ...,£; L а U. Часто di называют разрядами, t — длиной
мантиссы, а — порядком числа. Мантиссой (дробной частью) х называют
число в скобках. Множество F называют нормализованным, если для
каждого х 0 справедливо условие di 0.
Удобно определить, что округление с точностью г — это некоторое отоб-
ражение fl действительных чисел R на множество F чисел с плавающей
точкой, удовлетворяющее следующим аксиомам.
1) Для произвольного у Е R такого, что результат отображения
fl(y) Е F, имеет место равенство при fl (у) 0
//(у) = У (1 + rj), < г.
2) Обозначим результат арифметической операции * с числами а,Ъ 6 F
через fl(a * Ъ). Если fl(a * b) 0, то
fl(a * b) = (а * Ь)(1 + р), |р| е.
8
Глава 1. Погрешность решения задачи
Приведенные соотношения позволяют изучать влияние ошибок округле-
ния в различных алгоритмах.
Если результат округления не принадлежит F, то его обычно называют
переполнением и обозначают оо.
Будем считать, что е— точная верхняя грань для \т}\. При тради-
ционном способе округления чисел имеем е = при округлении
отбрасыванием разрядов е = p1-t. Величину е часто называют машинной
точностью.
1.1. Построить нормализованное множество F с параметрами р = 2,
t = 3, L = -1, U= 2.
<] Каждый элемент х G F имеет вид
х = ± 2“, где а £ {-1,0,1,2}, е {0,1}
И dl 0 ДЛЯ X 7^ 0.
Зафиксируем различные значения мантисс mi для ненулевых элемен-
тов множества:
1 1 , 1 = 5 1 , 1-3 1 . 1 , 1 _ 7
2 ’ 2'8 8 ’ 2'4 4 ’ 2 4 8 8’
1 5 3
2 ’ 8 ’ 4 ’ 8
ИЛИ ТПг 6
. Далее, умножая тг на 2° с а Е { — 1,0,1,2}
о J
и добавляя знаки ±, получим все ненулевые элементы множества F: ±i,
— ± - ± — + - ± - + - + - ±1 + - + - + Г +9 + - ±3
16’ 8’ 16’ 2’ 8’ 4’ 8’ ’ 4’ 2’ 4’ ’ 2’
± . После добавления к ним числа нуль имеем искомую модель системы
действительных чисел с плавающей точкой. [>
1.2. Сколько элементов содержит нормализованное множество F с пара-
метрами р, ty Ly U?
Ответ: 2(р - 1)р*~1(и — L 4- 1) 4-1.
1.3. Каков результат операций fl(x) при использовании модельной систе-
мы из 1.1 для следующих значений х:
23 1 4 1 I 3 3,5 о.7 7 _ 3 1 _5_
32’8’ ’2-Г4’8_Г4’ _Г2’16 8’4 16 '
Ответ: , 0, оо или ~ , оо, 0, 0.
1.4. Верно ли, что всегда fl (
6 [а, 6]?
Ответ: нет (см. 1.3).
1.1. Вычислительная погрешность
9
1.5. Пусть отыскивается наименьший корень уравнения у2 —140?/+ 1 = 0.
Вычисления производятся в десятичной системе счисления, причем в ман-
тиссе числа после округления удерживается четыре разряда. Какая из
формул у — 70 — \/4899 или у — дает более точный результат?
<] Воспользуемся первой формулой. Так как \/4899 = 69,992..., то после
округления получаем л/4899 ss 69,99 , yi ss 70 - 69,99 = 0,01.
Вторая формула представляет собой результат «избавления от ирра-
циональности в числителе» первой формулы. Последовательно вычисляя,
получаем 70 + 69,99 = 139,99 » 140,0, = 0,00714285... . Наконец,
после последнего округления имеем у 2 — 0,007143.
Если произвести вычисления с большим количеством разрядов, то
можно проверить, что в yi и У2 все подчеркнутые цифры результата
верные; однако во втором случае точность результата значительно вы-
ше. В первом случае пришлось вычитать близкие числа, что привело
к эффекту пропадания значащих цифр, часто существенно искажающему
конечный результат вычислений. Увеличение абсолютной погрешности
также может происходить в результате деления на малое (умножение на
большое) число. Еще одна опасность — выход за диапазон допустимых
значений в промежуточных вычислениях, например после умножения
исходного уравнения на достаточно большое число. [>
1.6. Пусть приближенное значение производной функции f(x) опре-
деляется при /z « 1 по формуле ff(x) ~ ~ > а са"
ми значения f(x) вычисляются с абсолютной погрешностью Д. Ка-
кую погрешность можно ожидать при вычислении производной, если
|/(fe)W| к = 0,1,...?
<] В данном случае имеется два источника погрешности: погрешность
метода и вычислительная погрешность. Первая связана с неточностью
формулы в правой части при отсутствии ошибок округления. Разложим
функцию /(ж ± h) в ряд Тейлора в точке х:
f{x ± h) = /(ж) ± hff(x) + у- /"(ж) ± f"'(x±).
Подставляя полученные разложения в правую часть приближенного ра-
венства, получим
/(х + /г)-/(Ж-/г) = + ГЛ(х+) + Л(х)- _
Ограничиваясь главным членом в разложении по степеням h, имеем оцен-
ку для погрешности метода
Л + ^) ~ /(Ж - К) _ -// х < Л Л//
2/г J W 6 •
10
Глава 1. Погрешность решения задачи
С другой стороны, в силу наличия ошибок округления в вычислениях
участвуют не точные значения Дж±/г), а их приближения /*(ж±/г) с задан-
ной абсолютной погрешностью. Поэтому полная погрешность выглядит
так: г*/
Err =
Err
Дж + Л) -/(ж-Л)
2h
2h J ‘
Добавляя в числитель дроби ±/(ж+/г) и ±/(ж —h), после перегруппировки
слагаемых получим
Г (ж+Л) - f(x+ h) Г (x-h)- f(x - h)
2h 2h
Оценка вычислительной погрешности для каждого из двух первых сла-
гаемых имеет вид а погрешность метода в предположении огра-
ниченности третьей производной получена выше. Окончательно имеем
Err М3.
h 6
Зависимость такого рода при малых h наблюдается при численных
экспериментах: при уменьшении h сначала погрешность квадратично убы-
вает, а затем линейно растет; начиная с некоторого h ошибка может стать
больше, чем сама производная f'(x). Здесь эффект пропадания значащих
цифр (см. 1.5) усиливается за счет деления на малую величину. |>
Ответ: Err
n
1.7. Найти абсолютную погрешность вычисления суммы S = 52 где
j=1
все Xj — числа одного знака.
<] Используя аксиому
— р1 *
2 р
имеем
fl (S) = +а>2)(1 + ??2) + яз)(1 + *7з) + ... + яп)(1 + т/п) =
п— 1 п—1 п— 1
j=i j=2
Перепишем полученное выражение в виде
п
j=n~i
j=1
где для модулей Ej справедливы равенства
1^11 = р1-‘+ О(
|Bi| =
п—1
n+l-i
2 1
при 2^7
П.
1.1. Вычислительная погрешность
11
Найденное представление означает, что суммирование чисел на ком-
пьютере в режиме с плавающей точкой эквивалентно точному сумми-
рованию с относительным возмущением Ej в слагаемом Xj. При этом
относительные возмущения неодинаковы: они максимальны в первых
слагаемых и минимальны в последних. Абсолютная погрешность Д вы-
п
числения суммы равна Д = 52 1^7'1 l^jl- Оценки Ej не зависят от Xj,
7=1
поэтому в общем случае погрешность Д будет наименьшей, если числа
суммировать в порядке возрастания их абсолютных значений начиная
с наименьшего. [>
Ответ: Д = 52 1Ж711 -&j I •
7=1
ю6
1.8. Пусть вычисляется сумма 52 Какой алгоритм So = О,
7=1 3
Sn — Sn—i -|- у •> 5 или । — 0, — Rn “Ь 2 7
п п
п = 10е,..., 1, Siq6 = Ro, следует использовать, чтобы суммарная вы-
числительная погрешность была меньше?
Ответ: следует воспользоваться вторым алгоритмом (см. решение 1.7).
1.9. Можно ли непосредственными вычислениями проверить, что ряд
52 = расходится?
7 = 1 3
1.10. Предложить способ вычисления суммы, состоящей из слагаемых
одного знака, минимизирующий влияние вычислительной погрешности.
О Рассмотрим оценки величин Ej из 1.7. Имеем
|Я11 = Р1-‘ + О(р2(1-‘)),
|£<| = »+21~» р1"4 + О(р2<1-4), 2 < i п.
Из этих оценок следует, что
Еп
п, т. е. первое слагаемое вносит
возмущение примерно в п раз большее, чем последнее. Неравноправие
слагаемых объясняется тем, что в образовании погрешностей каждое
слагаемое участвует столько раз, сколько суммируются зависящие от него
частичные суммы.
Влияние всех слагаемых можно уравнять с помощью следующего при-
ема. Пусть для простоты количество слагаемых равно п = 2к. На первом
этапе разобьем близкие слагаемые Xj на пары и сложим каждую из них.
При этом в каждое слагаемое вносится относительное возмущение одного
порядка. Далее будем складывать уже полученные суммы. Для этого
повторяем процесс разбиения и попарного суммирования до тех пор, пока
получающиеся суммы не превратятся в одно число (степень двойки 2к
12
Глава 1. Погрешность решения задачи
нужна только здесь). Абсолютная погрешность по-прежнему имеет вид
п
Д = 52 l^jl \Ej I, но теперь для всех Ej справедлива оценка
з=1
|Д | = l + loggn pl-t + o(p2(l-f)) t п_
Таким образом, меняя только порядок суммирования можно уменьшить
оценку погрешности примерно в раз. Значения Е3 отличаются от Ej
в силу другого порядка суммирования. [>
1.11. Предложить способ вычисления знакопеременной суммы, миними-
зирующий влияние вычислительной погрешности.
1.12. Пусть значение многочлена Рп(х) = ao+Q'i<r + ...+ап<тп вычисляется
в точке х = 1 по схеме Горнера:
Рп(х) = ао + х(ах + ж(...(ап-1 + апж)...)).
Какую погрешность можно ожидать в результате, если коэффициенты
округлены с погрешностью ту?
Указание. Воспользоваться решением 1.7, учитывая незнакоопределен-
ность аг, и с точностью до слагаемых О (ту2) получить
l-Fn(l) - Д£(1)| $ пг/ (|а0| + |ai| + ... + |«п|) •
1.13. Оценить погрешность вычисления скалярного произведения двух
п
векторов S — 52 хзУjy если их компоненты округлены с погрешностью ту.
j=1
Ответ: с точностью до слагаемых О (ту2) имеем |5 - 5*| п т) ||т||21|у|Ь> гДе
hili = £ *1
3 = 1
1.14. Пусть вычисляется величина 5 = aia;i+...+anrrn, где коэффициенты
(И округлены с погрешностью ту. Оценить погрешность вычисления 5 при
условии, что х\ + ... + я2 = 1.
Ответ: с точностью до слагаемых О (rj2) имеем |5 — 5* | пт/ ||а||2? где ЦаЦг =
п
— 2^ aj-
з=1
1.15. Для элементов последовательности
1
In = J xnex~xdx
о
справедливо точное рекуррентное соотношение In = 1 — Д =
Можно ли его использовать для приближенного вычисления интегралов,
считая, что ошибка округления допускается только при вычислении Д?
1.1. Вычислительная погрешность
13
<] Пусть в результате округления значения Zi получено значение /j*,
использование которого приводит к величинам I* = 1 — nl*_1. Для
погрешности Дп = In — I* имеем соотношение = — пДп-ь откуда
следует = (—l)n+1n!Ai. Полученная формула гарантирует фактори-
альный рост погрешности и ее знакопеременность. У читывая, что точные
значения удовлетворяют неравенству
1
О < In < f xndx = ,
j n 1
получим, что начиная с некоторого п величина погрешности существен-
но больше искомого результата. Алгоритмы такого рода называются
неустойчивыми. [>
1.16. Можно ли использовать для приближенного вычисления интегралов
1
In = J хпех~г(1х
о
точное рекуррентное соотношение In-i = 1 (в обратную сторону по
сравнению с 1.15), считая, что ошибка округления допускается только при
вычислении стартового значения /дг? Как выбрать это значение?
Ответ: да (см. решение 1.15), /дг ~ 0 при достаточно больших N.
1.17. Пусть вычисления ведутся по формуле
?/п+1 ~ '2уп Уп— 1 “Ь h fn ,
где n = 1,2,; уо, у\ заданы точно, |/п| Л/, h 1. Какую вычис-
лительную погрешность можно ожидать при вычислении уп для больших
значений п? Улучшится ли ситуация, если вычисления вести по формулам
Zn f Уп Уп— 1 о
h ~ }п ’ Л -Zn •
<] Формулы, приведенные в условии, являются численными алгоритмами
решения задачи Коши для уравнения у" = f(x). Рассмотрим модельную
задачу уи = М ,t/(0) = t/'(0) = 0, имеющую точное решение у(х) = х2^-.
Введем сетку с шагом h: хп = nh и будем искать приближенное решение
по формуле
Уп+1 = 2уп - уп-1 + h2 М , и = 1,2,...; у0 =0,x/i = h2 Ц-.
£
При отсутствии ошибок округлений получим Уп = (nh)24p, т. е. проекцию
точного решения на сетку.
Вычисления приводят к соотношениям
y* = 0,y; = h2f + m,
Уп+i =2у^-y^i+h2M+t)n+i, «=1,2,....
14
Глава 1. Погрешность решения задачи
Отсюда для погрешности тп = ?/* — уп получим
Гп+1 = п ‘f'n—l Т ^?п+1 5 1? 2,... , то 0 > Г1 .
Для простоты вычислений предположим, что все т]п постоянны и равны тр
тогда для погрешности справедлива формула тп = п . Сопоставляя
точное решение уп и погрешность, приходим к относительной погрешности
порядка h~2^. Требование малости этой величины накладывает ограни-
чение на шаг интегрирования h снизу, так как обычно у ~ prt -
Аналогичные рассуждения для второго способа расчетов приводят
к относительной погрешности порядка п что, в свою очередь, при-
водит к более слабым ограничениям на h при одном и том же у. Другими
словами, используя формулы
— Zn _ £ Уп ~ Уп— 1 __ ~
h -/п’ h п ’
как правило, получаем меньшую вычислительную погрешность. [>
1.2. Погрешность функции
Пусть искомая величина у является функцией параметров Xj,
j = 1,2,...,п: у = . ,хп)- Область G допустимого изменения
параметров Xj известна, требуется получить приближение к у и оценить
его погрешность. Если г/* — приближенное значение величины у, то
предельной абсолютной погрешностью называют величину
А(уО = Sup \у(х1,х2,--.,хп') -у*\-,
(х1,х2). .,xn)eG
при этом предельной относительной погрешностью называют величину
«(»-) -
1.18. Доказать, что предельная абсолютная погрешность А(у*) мини-
мальна при
_ У1 + У2
у ~ 2 ’
где yi = inf ?/(^1, ж2,. • • ,Жп), У2 = Ыру(х1,х2,...,хп)-
G G
О Используя определения величин у\ и у2, выражение для А(у*) перепи-
шем в виде
А(у*) = Sup \у(х1,Х2,...,Хп) -у*\ ,
у(х1,х2,..,хп)^.[у1,у2]
при этом А(у1) = А(у2) = У2 — yi- Обозначим А = у2 — у^. Так как нас
интересует минимальное значение величины А(г/*), то достаточно проана-
лизировать только г/* 6 [?д,у2]. Это следует из того, что для у* [?д,у2]
1.2. Погрешность функции
15
справедливо неравенство А(у*) > А. Введем для у* параметризацию
у* = ау\ + (1 — а) у2 с a 6 [0,1] и рассмотрим предельную абсолютную
погрешность
А(т/*) = sup |i/ - [a yi + (1 - а) у2] | =
УС[У1,У2]
= max{61 A(yi), (1 - а) А(у2)} = A max{a, 1 - а} .
Минимум величины max{ct, 1 — а} равен i и достигается при а = т. е.
минимум А(у*) имеет место при у* = . О
1.19. Показать, что предельная абсолютная погрешность суммы или
разности чисел равна сумме их предельных абсолютных погрешностей.
О Если известны оценки \xj — ж*| Д(а;*), j = 1,2, то можно определить
область G:
G = {(х\,х2) : ж* - < Xj < х* + Д(а;*), j = 1,2} .
Рассмотрим в этой области функции у± = xi ± х2 и их предельные
абсолютные погрешности. Имеем
А(у*) = sup |з/±-?4|= sup 101 ±Х2) - (к! ±Ж2)| <
2
52suP - т*| = A(a:J) + Д(^). >
j=l xi
1.20. Показать, что предельная относительная погрешность произведения
или частного с точностью до членов второго порядка малости равна сумме
предельных относительных погрешностей.
О Если известны оценки 3 3 <5(ж*), j = 1,2, то можно определить
I
область G:
G = {(ж1,ж2) • ж* - Д(ж*) < х3 < х* + , j = 1,2} ,
где &(х*) = |ж* | <5(х*). Рассмотрим в этой области функцию у = х^х2 и ее
предельную относительную погрешность
I J ♦. sup |а?1Ж2 - 1 <
1^1^21 (xx,x2)eG
Отбрасывая члены второго порядка малости, получим
ад «т§г+т§г=«<*;>+«)
Аналогично рассматривается случай функции у = |>
16
Глава 1. Погрешность решения задачи
1.21. Пусть у = y(xi,а?2,. ..,хп) — непрерывно дифференцируемая функ-
ция. Положим
Aup(y*) = £ > гДе В3 = sup .
j=l G aX]
Aiin(y*) = E6JA(a:‘), где 6,-=
j = l J х=(ж1,х2,...,х*)
/ n \ 1/2
Доказать, что А(у*) ASUp(?/*)> и если величина р = [ Д2СЛ I
\j=i /
мала, то справедливо равенство ASUp(?/*) = Aim (у*) + о(р) •
О Используя формулу конечных приращений Лагранжа, получим
y(xltX2,...,Xn) ~У* = ^bj(0)(Xj -X*),
j=1
где
М0) = dy(Xi,X2,.
3 к ' OXj
х=х(0)
х(0) = (д?1 + er(xi - ж1),..., л* + оп(хп - я*)), е [о, 1].
Отсюда следует A(t/*) Asup(?/*), так как |6j(0)| Bj.
В силу непрерывности производных справедливо представление
Bj = |5Д0)| + о(1) при р —> 0. Поэтому величину ASUn(?/*) можно записать
в виде AsuP(?/*) = Ацп(Л + °(р) , так как bj = |6j(0)|.
На практике часто используют, вообще говоря, неверную «оценку»
|з/(ж1, ж2»• • 5 Хп) — У* | Aim (у*), называемую линейной оценкой погреш-
ности. Величина Ацп(?/*) вычисляется значительно проще, чем ASUp(?/*)
или A(t/*), но не следует забывать о требуемой малости р. [>
1.22. Пусть у = ж10, / = 1и задано: 1) Д(ж*) = 0,001; 2) Д(ж*) = 0,1.
Вычислить величины ASUp(y*), Апп(?/*), A(t/*).
О 1) Здесь ?/* = !, = 10 жВ 9, 5(0) = 10. Пусть Д(ж*) = 0,001, тогда
В = sup 110 • х91 = 10,09 ... ,
|«-1|<0,001
Asup(?/*) = в Д(дЛ) = 0,01009... ,
А1т(ЛЧ^(0)| дел = 0,01,
А(у*) = sup |т10 - 1| = 1,00110 - 1 = 0,010045 • •. .
|ж-11 <0,001
В этом случае верхняя оценка, предельно точная оценка и линейная оценка
отличаются несущественно.
1.2. Погрешность функции
17
В = sup |10-ж9| = 10 (1,1)10 = 23,... ,
|ас—1|<0.1
Asup(y*) = BA(a:*)=2,3... ,
Аи„(у*) = |6(0)| Д(О=1,
А(?/*)= sup |я10 — 1| = (1,1)10 — 1 = 1,5 ... .
|ж-1|£0,1
Различие между рассматриваемыми величинами в этом случае более
заметно. О
1.23. Получить линейную оценку погрешности функции, заданной неявно
уравнением F(y, xi,... ,жп) = 0.
О Дифференцируя по xjt имеем = 0> откуда =
-1
. При фиксированных rrj,..., я* можно найти у* как
решение нелинейного уравнения ,я*) = 0 с одним неизвестным
9F
дх^
у. Далее вычисляем значения
к искомой величине Aiin(t/*) = 12
j=1
= _ dF_ (dF\
i dxj \ ду /
п
, приводящие
(у* ,х\
1.24. Пусть у* — простой (не кратный!) корень уравнения у2 + by + с = 0,
вычисленный при заданных приближенных значениях коэффициентов
5*,с*, и известны погрешности Д(5*), Д(с*). Доказать, что
Лип(у*) =
|yW*)W)
|2т/* + 6*|
Указание. Воспользоваться решением 1.23, где F(y, Ъус) = у2 + Ъу + с =
= 0 — неявная функция, и вычислить следующие величины:
h = _ dF (dFLV1 = - Hl h = - 1
01 db \ду) w,c.} 2у*+ь* ’ °2 2у* + Ъ* •
1.25. Показать, что если уравнение из 1.24 имеет кратный корень, то
погрешность приближенного значения корня имеет порядок О (д/р), где
р = (Д2(6*) +Д2(с*))1/2< 1.
<] Пусть уравнение F(y, 6, с) = у2 + by + с = 0 имеет у* — двухкратный
корень при 6 = 6*, с = с*. Разложим F в ряд Тейлора в окрестности точки
(2/*, 6*, с*):
F(y, 6,с) = F(y*, 6*,с*) + Fv(y*, Ь*,с*)(у- у*) + Fb(y*,6*, с*)(6 - 6*) +
+Fc(y*, b*,c*)(c - с*) + 1 Fvv(y*,b*, с*)(у - у*)2 + о(р) = 0 .
Из условия имеем
F(2/*,6*,C*) = Fy(2/*,6*,c*)=O, | Fra(?/*,6*,C*) = 1,
18
Глава 1. Погрешность решения задачи
что приводит к неравенству
W,b*,O b-b* + W,6*,c*)| с-с* + о(р),
т. е. |у - р*| = О(ч/р).
N
1.26. Показать, что в случае, когда алгебраическое уравнение а^Уг — О
г=0
имеет корень кратности п, погрешность значения корня, вычисленного
при заданных приближенных значениях коэффициентов а? с известными
/ N \ 1/2
погрешностями Д(а^), имеет порядок О(р^п), где р = ' A2(aJ) ]
\г=0 /
У Казание. Воспользоваться решением 1.25.
1.27. Имеется приближение у* к простому корню уравнения f(y) - 0.
Вывести приближенное равенство У — у* ~ — ———-
Г < V*)
О Рассмотрим более общее уравнение f(y) — а и вычислим а* =
При малых \у* — у\ из равенства f(y) — f(y*) = а - а* следует, что
— У*) ~ а — а*, откуда получаем
7/ - 7/* ~ а~а* =
у у ~ /V) ТШ '
Заметим, что f'(y*) 0 в силу того, что у* — простой корень. Полагая
а = 0 (по условию), приходим к искомой формуле. [>
1.28. С каким минимальным числом верных знаков надо взять 1g 2 для
того, чтобы вычислить корни уравнения у2 — 2 ?/ + 1g 2 = 0 с четырьмя
верными знаками?
<| Уточним условие. Если 1g 2 = 0,30102999566..., то корни принимают
значения yi = 1,83604425979... и у2 = 0,16395574020.... Требуется найти
приближение к числу 1g 2, обеспечивающее значения корней г/J = 1,836
и У2 — 0,164. Теперь воспользуемся решением 1.24 при Ъ — —2, Д(6*) — 0
1 о тт л < |з/*|Д(6*) + Д(с*)
и с = 1g2. После подстановки в А\\п{у ) = |9 ♦ —- имеем
+ о I
. = Д(с‘)' °’5980544' •' '
’ 2 v1 — с*
Из этой формулы следует: если требуется в решении получить п верных
знаков, то достаточно в с* взять также п верных знаков, так как посто-
янная, связывающая величины погрешностей, не превосходит единицы.
Таким образом, требуется взять 1g 2 с четырьмя верными знаками, т. е.
1g 2 « 0,301.
Если вычисления провести аккуратно, то при 1g 2 & 0,301 получим
yl = 1,83606 • • • « 1,836 и у2 = 0,16393 • • • « 0,164. Меньшее количество
верных знаков брать нельзя: при 1g 2 0,30 имеем у$ = 1, 83666 • • • « 1,837
и у2 = 0,16333 • • • 0,163. >
1.2. Погрешность функции
19
1.29. Пусть ограниченные по модулю величиной М коэффициенты урав-
нения ау2+Ьу + с = 0 заданы с одинаковой относительной погрешностью
5. Найти максимальную абсолютную (относительную) погрешность, с ко-
торой могут вычисляться их корни.
У Казание. Воспользоваться решениями 1.24 и 1.25.
2тг
1.30. Найти приближенное значение интеграла Лоо = J sin100TcLz: с от-
о
носительной погрешностью не более 10%.
У Казание. Вывести по индукции с помощью интегрирования по частям
формулу для точного значения интеграла /юо
100! 2тг
2100(50!)2 ’
затем приме-
нить формулу Стирлинга (см. указание к 5.69) с учетом 1.20.
Ответ: с заданной погрешностью Лоо ~
Глава 2
Разностные уравнения
Пусть неизвестная функция у и заданная функция f являются функциями
одного целочисленного аргумента. Тогда линейное уравнение
аоу(к) + aiy(k + !)+••• + апу(к + п) = f(k\ к = 0,1,2, . .. ,
где i = 0,1,... ,п — постоянные коэффициенты и ао 0 0, ап 0 О,
называют линейным разностным уравнением п-го порядка с постоянны-
ми коэффициентами. Если в этом уравнении положить у(к + г) = yk+i
и f(k) — fk, то оно принимает вид
аоУк +aiyk+i + • • • + ОпУк+п = fk, к = 0,1,2, ... .
Для однозначного определения решения требуется задать п условий, на-
пример,
yt = bi, I = 0,1, ... , п - 1.
Как в постановках задач, так и в методах решения, имеется глубокая
аналогия между рассмотренным разностным уравнением и обыкновенным
дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами
ао?/(а:) + ацЦя:) + • • • + ОпУ^х) = /(ж).
2-1. Однородные разностные уравнения
Если в разностном уравнении правая часть fk равна нулю, то уравнение
называют однородным. Напомним, как ищется общее решение однородного
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Поло-
жим у(х) = ехр(Ля). Подставляя это выражение в дифференциальное
уравнение и сокращая на ехр(Л х), получим характеристическое уравнение
Р(А) = 52 ajXi = 0.
7=0
Если Л1,... ,ЛГ — различные корни этого уравнения кратности cfi, ...,
соответственно, то общее решение можно записать в виде
у(х) = сцеА1Х + ci2^eA1X + • • • + с^ж01-"1еА1ЯГ + • • •
---Н +сг2жеА,'г + ••• + сп,гх°г~1еХгХ >
где Cij — произвольные постоянные.
Аналогично ищется решение разностного уравнения. Положим у^ = р,к.
Подставляя это выражение в разностное уравнение и сокращая на рк,
получим характеристическое уравнение
= 52 аз^ =0
J=o
2.1. Однородные разностные уравнения
21
Пусть /Z1,..., рг — его различные корни, <л,..., ar — их кратности. Тогда
общее решение однородного разностного уравнения имеет вид
Ук = сцрк + c-yzkpi +......+ kai~1pk + • • •
+сг1/х£ + Cr2kpkr + • + Стагк(7г 1 рк ,
где Cij — произвольные постоянные. Таким образом, каждому кор-
ню р кратности о соответствует набор частных решений вида
рк,крк,...,ка~1рк .
2.1. Найти общее решение уравнения by^+i — су к + ayk-i = 0 •
О Найдем корни характеристического уравнения bp2 — ср + a = 0. Имеем
А«1,2 = < =2Л ^ ’ -D = с2 - 4а6.
Рассмотрим следующие три случая:
a) D > 0, pi Р2~ вещественные:
Ук — С1У1 + О2Р2
б) D < 0, pi,2 — ре±1</> — комплексно-сопряженные.
При этом у к — рк (Ci cos ktp + С2 sin кер). Так записывают общее дей-
ствительное решение; для комплексного решения можно использовать
формулу из п. а).
в) D = 0, pi = Р2 = р — кратные. Имеем
Ук = Cipk + С2крк.
В предыдущих формулах Ci, С2 — произвольные постоянные. [>
2.2. Найти общее действительное решение уравнения у к+1 — Ук+2ук-1 = 0 .
Ответ: ук = (V2)fe(Ci sin кер + С2 cos к<р\ <р = arctg\/7.
2.3. Верно ли, что любое решение разностного уравнения
Ук+i ~ tyk + бУк-1 = 0
удовлетворяет уравнению
g/fc+i — 9Ук + 27yk-i — 23z/fc-2 — 24?/fc-3 + 36ук-4 =0?
Ответ: да, так как характеристический многочлен второго уравнения делится
на характеристический многочлен первого без остатка.
22
Глава 2. Разностные уравнения
2.4. Пусть <рк и zk—частные решения уравнения
отУк-1 + аоук + = 0, aba_i ^0.
Доказать, что определитель матрицы
л (<рк <Pfc+i\
Ак —
\zk zk+iJ
либо равен нулю, либо отличен от нуля для всех к одновременно.
Указание. Для определителя 1к = det4fc справедливо разностное урав-
нение 1к = 1к-1 •
Соответствующее утверждение можно обобщить на случай разностных
уравнений более высокого порядка. Равенство нулю определителя означа-
ет линейную зависимость соответствующих частных решений.
2.5. Найти решение разностной задачи
Ук+4 + 2?/fc+3 + 3?/fc+2 + 2?/fc+i + ук = 0, yQ = Ух = у3 = о, у2 = -1.
У к а з а н и е. Характеристическое уравнение имеет следующий вид
(м2 + М + I)2 = 0- Отсюда получим
= 2(fc - 1) . 2тгА-
2.6. Показать, что для чисел Фибоначчи
fk+1 = fk + /fc-Ь /о = /1=1
справедливо равенство
fkfk+2 - fk+i = (-l)fc+1, fc = 0,1,2,... .
У Казаниe. Формула для чисел Фибоначчи имеет вид
F = 1 +
v/5 X 2 7 V 2 ) •
2.7. Вычислить определитель порядка к:
Л с 0 . 0
a b с 0 . 0
0 a b с 0 0
Ак = det * ♦ ♦ *
0 . 0 a b с
\0 • 0 a 6/
О Разлагая определитель Д к по первой строке, получим следующую
разностную задачу:
= ЬД fc-i - асД fe-2 , Д1 = b, Д2 = b2 - ac.
2.1. Однородные разностные уравнения
23
Отсюда формально находим Дд = 1, что упрощает последующие вы-
кладки.
Найдем корни характеристического уравнения
,, _ b ± Vb2 -
Ml,2 - ---2-----'
Рассмотрим следующие два случая.
a) D — Vb2 - 4ac 0, тогда
у 2 / у 2 /
Из начальных условий До = 1, Д1 = Ь получаем линейную систему
C1 + C2 = 1, S.(b-D) + ^(b+D) =Ь,
решение которой имеет вид Сг = + д) ’ Ci ~ i — л) * Для
случая ненулевого дискриминанта
д _ (6 + \/b2 - 4ac)/c+1 — (b - \/b2 — 4ac)fc+1
k ~ 2k+1Vb2-4ac '
б) D = \/b2 — 4ас = 0, тогда
Да: =Сг (| +С2Ш
Из начальных условий получаем линейную систему
С1 = 1, С1|+С2|=Ь,
2 2
решение которой Ci = С2 = 1- Для случая нулевого дискриминанта
/ X /с
Д*=(£) (1 + fc).
У 2 у
Данное решение можно получить из вида Д^ для D 0 предельным
переходом при 4ас -У Ь 2. [>
2.8. Используя разностное уравнение, записать формулу для вычисления
интеграла
(а) = I cos(to) - cos(to) dx
х ' 7Г J COS# - COS Ct
0
где а —параметр из отрезка [0, тг].
У Казание. Можно показать, что
ik-\ + /а:+1 = 2Д cos a, Io =0, Ц = 1,
откуда для 0 < a < тг следует формула Ik (су) = • Для оставшихся
значений корни характеристического уравнения кратные, поэтому форму-
ла имеет другой вид.
24
Глава 2. Разностные уравнения
2.9. Найти решение разностного уравнения
2/fe+2 - Ум +2Ук ~ Ук—1 + Ук-2 = 0, 2 k N - 2 ,
удовлетворяющее следующим краевым условиям:
21/2—2/14-2/0 = 2,
2/з~2/2-1-2/1—2/о = О,
PN—3 ~ yN-2 + yN-1 ~ yN = 0 ,
2 yN-2 ~ yN-1 + yN =0 •
О Характеристическое уравнение имеет вид
р^ — р? 4- 2 р% — р + 1 = (//,2 — р + 1) (р2 _|_ .
Следовательно, общее решение можно записать так:
у к = Ci cos k + С2 sin 2 k + Сз cos £ й + С4 sin k.
о о Z Z
Для определения постоянных воспользуемся краевыми условиями
(с'\ /2\
D Р
Сз о
V"./ \0/
с матрицей D следующего вида:
cosf?^) sinf^} —1 —1
10 0 о
cos(^l) sin (Др) 0 0
(7V — 2) 7г . (7V — 2) 7г / \'тГ| • X 7г \ N тг • N тг
cos о у sin 2 - cos , + sin I cos 0 - sin
Определитель этой системы равен — 2 sin (Др) cos (ДД) и отли-
чен от нуля, если N четное, но не кратное 3. В этом случае
С1=С2=0, С3=С4 = -1. >
Ответ: если N четное, но не кратное 3, то решение имеет вид
Ук = - (cos к + sin к ) , 0 к N .
В противном случае решение либо не существует, либо оно не единственное.
2.10. Предложить удобную форму записи решения уравнения
УМ-2р^ + ^-1 =0, А:=1,2,...; р>0.
Ответ: при р < 1 положим р = cos а (а / 0), тогда у к = Ci cos ка + С2 sin ка.
При р > 1 положим р = cosh а, тогда у к = Ci cosh ка + С2 sinh йен. При р = 1
имеем у к = С1 + Счк>
2.1. Однородные разностные уравнения
25
2.11. Показать, что если — 1 < Л < 1, то любое решение разностного
уравнения
g/fc+i — + yk-i — О
ограничено при к —> оо. Если Л — любое комплексное число, не принадле-
жащее интервалу действительной оси — 1 < Л < 1, то среди решений этого
разностного уравнения имеются неограниченные при к —> оо.
<] Если z — корень характеристического уравнения z2 — 2Лг + 1 = О, то
— другой его корень. Ограниченность решений разностного уравнения
равносильна следующему условию: корни характеристического уравнения
различны и лежат на единичной окружности. Поэтому (см. 2.10) решение
ограничено, если только zy2 = cos а ± isina, a 0, тг. В этом случае
Л = cos а. О
2.12. Найти общее решение уравнения второго порядка: 1) ук+2 ~ У к+i —
-2уь=0; 2) у к+2 - 5?/fc+i + 4ук = 0; 3) у к+2 -4?/fc+i +§Ук = 0.
2.13. Найти общее решение уравнения третьего порядка: 1) у к+2 +
+ Ук+i + $Ук + Зук-1 = 0; 2) yk+2 ~ ЬУк+i + 8Ук ~ 4Ук-1 = 0.
2.14. Найти общее решение уравнения четвертого порядка: 1) ук+2 +
+ 2 Ук + Ук-2 = 0; 2) z/fc+4 + уь = 0.
2.15. Доказать, что любое решение разностного уравнения
У к+1 — ^Ук-1 + 2 у к-2 + 27 Ук-З — 18 Ук-4 = 0
однозначно представимо в виде суммы решений уравнений
Ук+i - Зук-i -I- 2ук-2 = 0 и ук+i - 9ук-i = 0 .
2.16. Найти решение краевой задачи
Ук+i ~Ук + у к-1 = 0, 1 < к < N - 1,
?/о = 1, yN = 0 .
Л sin ((N — fc) я „ _
Ответ: если N не кратно 3, то у к = ----------sin(TVA:7r/3)/. В противном
3)
случае решения не существует.
2.17. Найти решение системы cifc+i = Q/c-l~ b-, bk+i = afc+1 + , если ai,
£
bi заданы.
q _ ai + 26j I 2(ai - 6i) , _ ai + 26i _ Д1 - 61
ответ. ak — 3 ± — 3 3.4^-1 '
2.18. Найти общее действительное решение уравнения
202/fc-1 - 8ук + уk+i = 0 .
Ответ: ук = (\/20)fe (Ci sin699 + С2 coshp), arctg f |
26
Глава 2. Разностные уравнения
2.19. Найти общее действительное решение уравнения
2ук-1 - 2ук + yk+i = 0.
Ответ: у к = (Cisin + C2COS
2.20. Найти общее действительное решение уравнения
2вУк-1 + 10?/fc + уk+i = 0 •
Ответ: у к — (\/26)fe (Ci sin fap + C2 cos fap), p — тг + arctg .
2.21. Найти общее действительное решение уравнения
13?/fc-i + 4Ук + Ук+i — 0
Ответ: у к — (^13)^ (Ci sin fap + C2 cos fap), p — тг + arctg .
2.22. Найти решение разностной задачи
Ук+2 + 4г/Ал-1 + 4ук - о, Уо = 1, yi = 4.
Ответ: ук = (—2)fc(l — 3&).
2.23. Найти решение разностной задачи
Ук+2 + Зг/fc+i + 2ук = 0, у0 = 2, yi = 1.
Ответ: ук = (—l)fc(5 — 3 • 2fc).
2.24. Найти решение разностной задачи
Ук+2 + ук = 0, Уо - 2, уг - 1.
Ответ: ук = 2cos + sin •
2.25. Найти решение разностной задачи
Ук+1 - tyk + Ук-1 + §Ук-2 =0, у0 = 6, У1 = 12, У4 = 276 .
Ответ: ук = (-l)fc +2fc+1 +3fc+1.
2.26. Найти общее решение уравнения
ук+4 - 2 ук+з + 3 ук+2 + 2 Ук+1 - 4ук = 0.
Ответ: ук = Ci +С2(—l)fc + 2fc ^Сз cos +С4 sin
2.27. Найти общее решение уравнения
Ук+4 — У Ук+з + 18 Ук+2 — 20 Ук+1 +8>Ук со-
ответ: ук = Ci +2к (С2 + Сз^ + С4&2) .
2.1. Однородные разностные уравнения
27
2.28. Найти общее решение уравнения ук+4 + 8 pk+2 + 16 ук = 0 .
Ответ: ук = 2к [(Ci+C2A:)cos(^) + (Сз + С4А:) sin .
2.29. Вывести и решить разностное уравнение для коэффициентов ряда
Тейлора функции -2 .
Указание. Полагая
2 Л , = А + fit + f2t2 + + fmtm + ... ,
С “г t । 1
найдем
1 = (t + t + 1) (/о + fit + /2^ + ' ‘ ' + fmtm + ) ,
откуда /о = 1, /о + Л = 0, fk+2 + fk+i + fk = 0, & 0.
2.30. Пусть задана последовательность интегралов
оо
Ik = J xke~x sinz dx, к 0.
о
Показать, что для целых неотрицательных п справедливо равенство
Лп+З — О*
оо
<] Заметим, что Д = Im J Хке~х+1Х (^х Обозначим через Кк веществен-
. о
ную часть этого выражения:
оо
Кк =
e x cos x dx, к ^0.
о
Интегрируя по частям, имеем систему разностных уравнений
Л = 4 (h-i + A'fc-i)» К к — 7 (—Л-1 4- A't-i)
с начальными условиями Iq = Ко = Если положить
h = 4 ib к* = 4 и -
лк лк
то исходная система с переменными коэффициентами переходит в систему
с постоянными коэффициентами
3k — Зк-i + Л-1» jo — ? Л = ~3k-i + Л-1, Л = •
Исключая Л, получим разностное уравнение второго порядка относитель-
но jk’
jk+i - 2jk + 2jfc-i = 0, jo = ^, Ji = l.
Его решение имеет вид
jk = 1 [(1 + i)*-1 + (1 - i)*-1], i = уП.
28
Глава 2. Разностные уравнения
Отсюда находим
л = Д [(i+o^ + a-i)*-1]-
£
Заметим, что (1 + i)4 = —4 = (1 — i)4, следовательно,
Яп+з = (-4Пз = [(1 + 21 + i2) + (1 - 2i + i2)] = 0,
откуда Дп+з = О-
2.31. Для целых положительных чисел aG > ax наибольший общий
делитель находится последовательным делением а0 на ах, затем ai — на
первый остаток и т. д. Указать оценку сверху для числа делений (длину
алгоритма Евклида).
<] Обозначим частное от деления аг на через di и запишем систему
равенств
Q,q = Q>idi + 0,2 J
al — а2&2 + a3 ,
G'-m—2 = Q'm—ldm—l + ,
Om — 1 = O'mdm •
Наибольшее количество операций деления тп имеет место в том случае,
когда все dx, d%,. .., dm равны единице (доказать почему!). Поэтому введем
числа Уо, ух,..., ут при условиях у0 = 0, ух = 1, . . , yi+x = Уг-1 + Уг, ДЛЯ
которых справедливы неравенства
Q'm+l — 3/0, ат У1ь • • • , &2 Ут—1» О>1 Ут-
Последнее из них можно использовать для определения т, если известно
выражение ут = /(т). Но ут — числа Фибоначчи, поэтому
?/т — /=•
V о
т. е. при всех т справедливо неравенство
или
сьх + 1 >
Отсюда после логарифмирования имеем
Обозначим через р число цифр в ах. Тогда числитель 1g ((l + a-i )\/5) р.
Поскольку 1g получаем т < 5р. Это неравенство называют
теоремой Ламе.
2.1. Однородные разностные уравнения
29
2.32. Пусть задано к чисел: /о,/ь • • • > А-i и построена последователь-
ность к-1 k к+1
fk = k Л ’ Л+1 = k Л ’ Л+2 = k Л > ’
3=° j = 1 3 = 2
Найти lim fm.
О Функция fm удовлетворяет разностному уравнению
к-1
fm+k ~ У7 fm+j ’ (2-1)
j=0
характеристическое уравнение которого имеет вид:
/zfe-i(/zfe-1+/zfe-2+--+1)=°.
Это уравнение имеет один корень, равный единице: pi = 1, остальные
корни различны и по модулю меньше единицы: |/^| < 1, i = 2,3,
Поэтому общее решение fm уравнения (2.1) имеет вид
fm — Ci + С2Р2 + Сзр™ + ------Н СкР^к '
Постоянные Ci, С2, • , Ск находятся из начальных условий:
Ci + С2 + - - - + Ck = /о 1
Ci + С2Р2 + ... + CkPk = fi ,
Ci + С2Р2 1 + ••• + Скркк 1 = fk-i •
Эта система имеет единственное решение, так как все корни
pi, i — 2,3,..., /с, — простые.
Так как все \pi\ < 1, то lim fm = Ci- Для определения Ci, чтобы
избежать решения системы относительно Ст, С2, •••, Сь воспользуемся
искусственным приемом. Коэффициент Ci линейно зависит от началь-
fc-i
ных данных (доказать почему), т. е. Ci — 5Z ajfj > гДе аз выражаются
j=o
только через корни характеристического уравнения pi, следовательно,
от начальных данных fj не зависят. Напомним, что разностное уравне-
ние к-го порядка однозначно определяется к подряд идущими значения-
ми /о, /1, • • • у fk-iy или /1, /2, • • •, А, или вообще fj, fjyi, fj+k-i при
любом j 0. При этом для рассматриваемого уравнения всегда будем
получать одно и то же решение fm с одними и теми же постоянными
Ci, С2у • • •, Ck- Поэтому можно написать равенство
к-1 к-1 к-1
Ci — ajfj — У? — У? ajf з+^
j=0 j=0 j=0
с произвольным фиксированным Z. Воспользуемся первым равенством
сумм
tto/o + fl +----н (Дк-lfk-l — (*ofl + <21/2 +-Н <Дк-1 У—(
30
Глава 2. Разностные уравнения
Учитывая произвольность начальных данных /о? fi > ♦ ♦ ♦ > А-ъ приравняем
коэффициенты при одинаковых fi из обеих частей последнего уравнения:
«о = ,
<*i — — 2 cio ч
I 1 о
d2 — di + & dfc-i — 3 do ,
dfc-i = dfc-2 + v- dfc-i = ka$.
Следовательно,
Д’_~|
Cl = do >2 (j + i)a ,
j=0
и остается определить do. Для этого положим /о — Л — • • • — fk-i — 1;
тогда fm = 1, и lim fm = Ci = 1. Отсюда имеем d0 = 7Z72 ,—,
m^>c* к[к 4- 1)
и окончательно получаем
lim fm = Ci - 2
m—>oe
/о + 2 /i + 3 /2 + • • • + fc fk-1
к(к + 1)
Пусть к = 2, fo = 1, Л = 2, тогда последовательность fm будет
3 7 13
следующая: 1,2, , 4 , —
а ее предел равен 2 А 4
2.2. Вспомогательные формулы
Пусть — функция целочисленного аргумента i. Введем обозначения для
разностей первого порядка:
= mi - Фгч V<Pi ~'Рг 4>i-l-
Разности более высокого порядка определяются рекуррентно:
m > 1.
Рассмотрим ряд полезных соотношений.
Формулы «разностного дифференцирования> произведения. Из-
вестна формула дифференцирования произведения функций
[ад(х)г>(ж)] = гг(ж)
Аналогичные формулы для разностей имеют вид
Д {uv)i = Ui&Vi + Vi+i^Ui = ui+i^Vi + VjAizi,
V («v)i = Ui-iVvi + Vi^Ui = u^Vi + Vj-iV«i.
При их проверке достаточно учесть, что Д<Рг-1 =
2,2, Вспомогательные формулы
31
2.33. Получить выражения для &ktpi и Vk(pi в виде линейной комбинации
значений <pj.
к k к—
Ответ: Д K(pi = (—1)3 Cf/pi+j, где Ск — биномиальные коэффициенты.
j=o
2.34. Найти общее решение уравнения Д3^ — ЗД^/с + 2<рк = 0.
2.35. Решить уравнение Д3^ = 0 при начальных условиях сро — (pi — 0,
р2 = 1-
Разностные аналоги интегрирования по частям. Рассмотрим выра-
жение
о о
Гu'(x)v(x)dx — - j*u(x)v'(x)dx
а а
и введем суммы
N-l N N-1
(<Л^) = 12 = £2*^’ [v^)= J2
i=l i=l г=0
b
— аналоги интеграла J (р(х)'ф(х^х. С помощью формулы Абеля
а
TV —1 N-1
У 5 (a«+i - Qi)bi = — (bi+i — bi)ai+i + мЬм — ао^о
г=0 г=0
можно показать справедливость формулы суммирования по частям:
(^, Д^) =
N
2.36. Вычислить сумму Sn = 52 ^2г.
г = 1
<] Положим m — i.Avi — 2г. Имеем
г
Vj+1 = Vi + 2г = 52 + vo = 2г+1 - 1 + W.
fc=0
Чтобы выполнялось условие vn+i — 0, достаточно положить vq — 1—2Л+1.
Далее применим формулу суммирования по частям
N N N+1
У 5 ^2г = 52 Ui^Vi = — 52 Vi&Ui + UN+lVN+1 — UQV1 =
г=1 г=1 г=1
ЛГ+1
= “Х2 (2s — sW’1'1) = —2 (2W+1 — 1) 1) =(.№—1)2Л,+1+2. >
г=1
Ответ: SN = (A-1)2n+1 +2.
32
Глава 2. Разностные уравнения
N
2.37. Вычислить сумму Sn — 1аг, a 1.
г=1
г _ N
Указание. Положить щ = i, Av* = a1, = a & _ 1 , v/v+i = 0.
Ответ: Sy =
gN+l (N(a - j) j) + g
(a l)2
N
2.38. Вычислить сумму Sn = 52 г(г — 1).
г=1
Ответ: Sn — з •
Разностные формулы Грина. Формулы
b b ь
J* u(x)Lv(x)dx = - J* k(x)u'(x)v'(x)dx — § p(x)u(x)v(x)dx + ,
a a a
b
J [u(x)Lv(x) — Lu(x)v(x)] dx = k(x) [u(x)v'(x) — w'(x)v(x)]|a ,
a
где Ly(x) = (k(x)v'(x))' —p(x)v(x), называют соответственно первой и вто-
рой формулами Грина для оператора L.
2.39. Доказать справедливость соотношений
(</?,AV^) = -(УрУФ) -<PoV^i,
(р, Mhp) - (AV<p,^) = Pn-I^N - <PN^N-1 + </?1^0 - SPo^l-
Указание. Воспользоваться формулой суммирования по частям.
2.40. Вывести формулы Грина для разностного оператора
— A di<Pi = (2г+1 (^г+1 ai (‘pi Pi— 1) diSpi-
Ответ: (-0, fap) — —(aVtjp, VV>] — (^, V5) + —
((/?, fap) - ('Ip, Xtp) = aN(^<p ~ ^4>)n - ayX'ipcfaJtpx - (poV'ipi).
2.3. Неоднородные разностные уравнения
Пусть — общее решение однородного, у^. — частное решение неоднород-
ного уравнения. Тогда общее решение линейного неоднородного уравнения
с постоянными коэффициентами можно представить в виде их суммы
Ук = У° + Ук
Если правая часть имеет специальный вид, то частное решение можно
найти методом неопределенных коэффициентов. Пусть
fk = ак (Pm(k) cos&k + Qn(k) sin/3fc),
2.3. Неоднородные разностные уравнения
33
где Pm(k), Qn(k)—многочлены степени тип соответственно. Тогда
частное решение ищут в виде
yj, = ks ak (Ri(k^) cos /Зк + 7}(А) sin /ЗА), (2.2)
где s = 0, если ае^1^ не являются корнями характеристического урав-
нения, и s равно кратности корня в противном случае; I = max(m, п) —
степень многочленов Ri(k) и Ti(k). Чтобы найти коэффициенты этих
многочленов, надо подставить выражение (2.2) в неоднородное уравнение
и приравнять коэффициенты при подобных членах.
2.41. Найти частное решение уравнения 2уь — уъ+i = 1 ~г 2А — А2 .
<] Корень характеристического уравнения р = 2, поэтому частное реше-
ние ищем в виде у*. = bk2 + ск + d. Подставим его в уравнение
2bk2 + 2ск + 2d- [b(k + I)2 + с(к + 1) + d] = 1 + 2к - к2 V к.
Совпадение коэффициентов при линейно независимых функциях приво-
дит к следующим равенствам:
при к2 2b — b = — 1,
при к1 2с — (2b + с) = 2,
при к° = 1 2d - (Ь + с + d) = 1.
Отсюда имеем: b — — 1, с = О, d = О, следовательно, yj, = —к2. [>
2.42. Найти частное решение уравнения 2уь — yk+i — к2к.
<] Корень характеристического уравнения р = 2, поэтому частное реше-
ние ищем в виде yj. = 2kk(bk + с). Подставим его в уравнение
2fc+1 (bk2 + ск) - 2k+1(b(k + I)2 + с(к + 1)) = к2к Ук.
Совпадение коэффициентов при линейно независимых функциях приво-
дит к следующим равенствам:
при 2к к2 2b — 2Ь = О,
при 2к к1 2с — (4b + 2с) = 1,
при 2к к° — (2Ь + 2с) = 0.
Отсюда имеем: b = — i, с = следовательно, у\ = 2к~2(к — к2). [>
2.43. Найти частное решение уравнения 2yk — yk+i = sin А.
<] Корень характеристического уравнения р = 2, поэтому частное реше-
ние ищем в виде = с sin к + d cos А. Подставим его в уравнение
2(с sin к + d cos А) — (с sin(A + 1) + d cos(A + 1)) = sin к V к .
Так как sin(A + 1) = sin A cosl + cos A sinl и cos(A + 1) = cos A cosl —
— sin A sinl, то совпадение коэффициентов при линейно независимых
функциях приводит к следующим равенствам:
при sin А (2 — cos 1) с + d sin 1 = 1,
при cos А (2 — cos 1) d — с sin 1 = 0,
34
Глава 2. Разностные уравнения
следовательно,
_ 2 - cos 1 j _ sin 1
5 — 4 cos 1 ? 5 — 4 cos 1
и
Ук =
2 — cos 1
5 — 4 cos 1
sin A; +
sin 1
5 — 4 cos 1
COS k .
2.44. Найти решение разностной задачи уь+i-byk = ак, Уо — 1 (а, 6 0).
Ответ: корень характеристического уравнения р = Ь, поэтому возможны два
случая:
при b а имеем ук = a 1 Ък + aL .
при b = а имеем ук = ак ~1 (а + к).
2.45. Найти решение разностной задачи yk+i — Ук-i = ш = 0,
Аг -1
У2 =0.
<1 Преобразуем уравнение к виду
У/с+1 - Ук-1 = ~ |
1
к 1J
1
к - 1
Отсюда находим частное решение ук
— . Окончательно имеем
2.46. Найти решение разностной задачи с переменными коэффициентами
Ук+\ -кук =2кк\, к^О.
О При к = 0 из уравнения получим у^ = 1. Запишем исходное уравнение
в следующем виде:
уьц = (2*(*-1)! + у*)А:.
Воспользовавшись заменой у к = zk {к — 1)!, приходим к разностной задаче
Для Zk
к
Zk+\ - zk = 2 , z-[ = 1.
Найдем ее решение: zk — 2к — 1, следовательно, Ук = (& — 1)! (2fe — 1). [>
2.47. Найти решение нелинейной разностной задачи ук+\ =
У о = 1.
<1 Исходное уравнение эквивалентно следующему:
2/fc+1 = Ш + 1
Заменяя Ук = —, получаем zk = k + 1, откуда ук = , 1
2.3. Неоднородные разностные уравнения
35
2.48. Найти решение нелинейной разностной задачи ук+1 = с ' + ,
Уо = 1, при условии (a - d)2 + 4 be > 0.
<] Положим ук = —, тогда
uk+l _ Qttfc + bvk
Vkyi cuk+dvk
Рассмотрим систему
Uk+i = &uk + bvk, vfe+i = cuk +dvk ,
из которой следует уравнение второго порядка
v/c+2 = (а + d)vk+i - (ad - bc)vk .
Его характеристическое уравнение имеет вид
У? — у (а + d) + ad — be = 0,
а корни соответственно равны
Д1.2 = 4^ ± - (ad - 6с).
Из условия на коэффициенты следует, что дискриминант больше ну-
ля, значит, вещественные корни различны mi Р-2, следовательно,
vk = Ар\ + В рк. Из второго уравнения системы получаем:
Uk = vk+1 - dvk = i _ d) + Bflk(fi2 _ d)]
Подставим полученные выражения в ук и разделим числитель и знамена-
тель на Арк:
pi—d + K(—^\ (р2 — d)
uk \pi /
Ук = ^ =--------г--------------•
к с 1 + К(^Г
V/Z1 )
Здесь через К обозначена пока неизвестная постоянная (К = ^). Опре-
делим ее из начального условия уо = 1:
1 Ml - d + К(м2 - d)
с(ЦК)
TV- Ml “ (С + d)
отсюда К = — -----7——£ . О
М2 - (с + d)
2.49. Найти частное решение уравнения ук+2 - yk+i - ^Ук = 4 2к .
Ответ: ук = — 2fe.
2.50. Найти решение разностной задачи
1) Ук+2 ~ 4ук = 5 • 3fe,
2) Ук+2 ~ 4yk = 2к,
3) Ук+2 - 4 Mfc+i + 4 ук = 2к ,
Уо = 0 , Mi = 1,
Мо = 0 , Mi = 1,
Уо = 0, Mi = 1.
36
Глава 2. Разностные уравнения
2.51. Найти решение разностной задачи
?А+4 - | Ук+З + | Ук+1 “ Ук = 1 ,
Уо = 0, У1 = И , У2 = -8 , УЗ = 6 .
Ответ: pi = 1 и р2 = —1, Ук = 8 • (-l)fe-1 + 8 • 2_fe - к.
к
2.52. Вычислить сумму Sk = Л an> an = (1 + п + п2)cos/Зп.
п=0
Указание. Решение удовлетворяет разностному уравнению Sk+i — Sk =
= и начальному условию Sq = oq.
2.53. Найти решение нелинейного уравнения Ук+i = 9 J
Ук
<] Преобразуем исходное уравнение к виду
У*+1(1 ~Ук) = 1 ~Ук+1
и запишем его в более удобной форме
Ук+i = 1
1 - Ук+1 ^-Ук'
Заменяя у к = 1 — —, получаем разностную задачу для Zk‘. Zk+i — Zk = 1.
zk
Отсюда
_ Уо +*(1 - Уо)
Ук 1+*(1-у0) '
2.54. Найти решение нелинейной разностной задачи yk+i = 2— --, уо = 2.
Ук
<] Преобразуем исходное уравнение к виду
-1 -
сделав замену ук = 1 + —, получим zk+i = Zk + 1, откуда ук = • [>
Zk л г j.
2.55. Найти решение нелинейного уравнения Ук+\ ~Ук.~ 0.
(। г пет: у» \ А- • (С 0.
2.56. Найти решение нелинейного уравнения Ук+i = % Ук
<] Прологарифмируем обе части уравнения и выполним замену
Zk = log у к- Получаем уравнение
2 zk+i - Zk = log 2,
общее решение которого
Zk = C1 (|)' + ,0§2’
следовательно, ук = 2С^/2^.
2.3. Неоднородные разностные уравнения
37
2.57. Найти решение нелинейной разностной задачи
УкУк+2 = Ук+1Ук+з > Уо = 1, У1 = е-1/2, У2 = е-2 .
Ответ: у к — е~к /2 (см. решение 2.56).
2.58. Найти решение нелинейной разностной задачи у к+1 = aykt^i >
с У k I
уо = 1, при условии (а — d)2 + 4b с = 0.
1 3 (1 \к
2.59. Найти частное решение уравнения g yk-i - j Ук + ?/fc+i = ( |) •
Ответ: yk =4&2— к.
2.60. Найти частное решение уравнения yk+i - Ук ~ = 4fc .
Ответ: у к = у 4к .
/1 х к
2.61. Найти частное решение уравнения 3?/fc+i + 17?/fc — бук-1 = ( 3 ) •
Ответ: Ук = 3-fe .
2.62. Найти частное решение уравнения у к+i — бу к + бу к-1 = 2fc .
Ответ: у к = — к2к .
2.63. Найти общее решение уравнения ук+i - тт Ук + Ук-1 = cos к .
Ответ: ук=Сг2к +С22~к + , 2c?fc ,
** х । а 4 cos 1—5
2.64. Найти общее решение уравнения у к+2 — 2ук+1 ~ бУк + 4yk-i = к .
z . ч к , 1— х к
Ответ: =Ci +С2 +Сз(1~УТ?) - 3fc_lfc2
2.65. Найти общее решение уравнения у к+i +Ук~ бук-i + Зук-2 = 1 ♦
Ответ: ук = Ci + Съ к + Сз (—3)к + | к2 .
2.66. Найти общее решение уравнения ук+i — tyk — 8Ук-1 = sin к.
Ответ: yk=Ci (—2)fc +С2 4fc — 7СОр + 2 sin к— 9s^ 1 cos ку где D = (2+7cos I)2 +
+ (9sin l)2 .
Отыскание частного решения методом вариации постоянных.
Пусть требуется найти частное решение уравнения
Ук+2 + акУк+1 + ЬкУк = /к > Ьк ф 0, к = 0, ±1, ±2,... , (2.3)
общее решение которого при fk = 0 имеет вид
УОк = С^} + С%^\
где ук и у—линейно независимые функции.
38
Глава 2. Разностные уравнения
Будем искать частное решение ук в виде
П = , (2.4)
считая и не постоянными, а переменными функциями аргумента
к (при fk 0).
Из формулы (2.4) имеем
- «>. + <«, + „'«ЛС»' + „К'.ЛС®,
где , j = 1,2. Потребуем, чтобы для всех к выполня-
лось равенство
(2.5)
ул ____ I /^»(2) (2) . /о
Г/с+1 — ^к Ук+1 + Г'А: ?/А:+1 ’ (2.6)
увеличивая индекс к на единицу, получим
v _ г-СО ..<>) . /-Л*) ..(2> _
в &+2^к+2 + к+?Ук+2 *“
_r,(ll (1) . ^(2) (2) . Г (1) а/-.(1) , J2) Ар(2)
к+1^4-2 + ^4-1 Ук+2 + fe+l Ук+2^ fc+1] *
В силу выполнения равенства (2.5) при замене к на к + 1 выражение
в квадратных скобках равно нулю, откуда
Г*+2 = С к+\Ук~2 + Ct+l»*+2 =
»' 1 1 / ’ - 1 * ' I * Л f »’ I 1 - 1 \ I / Г) >-г\
1. . 2 * f I № . 2 ' 2'“^ ! ' - 2^( I - (2’7)
Подставим выражения для IT+i и 1^+2 (формулы (2.6) и (2.7)) в исход-
ное уравнение (2.3). Так как у^ и у^ — частные решения однородного
уравнения, получим
г -ту . ТЛ _LAV I (2) . Л.(1) I
fk — Tfc+2 + dkYk + l + OfcXfc — ск yk+2 + ^k Ук+2 + Ук+2^^к +
(2) ЛГ(2) -L Г(2\/2) 1 _L h -L r(2\/2)] -
+ Ук+2^ск + ak Ук+1 + ск Ук+1\ + °k Ук + Gfc Ук -
- cl" [& + «.««, + M"] + C«' [v™2 + „„Й, + <,„«'] +
+ »1V2AC'" + ,- C,AC<" + „1»гЛС<" .
Таким образом, &Ck 7
уравнений
и AC^.2^ должны при всех к удовлетворять системе
+ „ЦаЛС«' , Л.
2.3. Неоднородные разностные уравнения
39
Напомним, что первое уравнение системы —это уравнение (2.5). Опреде-
литель системы (2.8), обозначим его через
J1)
УкУ1
JD
у*+2
I С1)
отличен от нуля при всех к, так как yk
решения. Поэтому можно записать
(2)
ДС^ = _ Ук+1--------- д = р(1)
* detfc+l fc+2 J «
Из этих соотношений находим и С^:
к
det fc + l,A:+2
„(2)
«А:+1
(2) ’
Ук+2
(2)
и yk —линейно независимые
Д<?
^+1
т-. fk =
I = 1,2.
j=i
Так как мы ищем частное решение уравнения (2.3), то можно положить
Cq1) = Cq2^ = 0. Окончательно получим
* у^у^-у^у^
. . * Vj У к У к yj $
----det -Х1 Л”1
“1 аеЪ<?+1
2.67. Найти частное решение уравнения
?/fc+2 ~ §Ук+\ + ^Ук — 6fe+1
О Линейно независимые решения однородного уравнения имеют вид
У
3J+1
Ук
у/* = З4 , det
= 6Л
Воспользуемся формулой для частного решения
det«+l &
к „(1), (2) (1) С
п = v Ук ~Ук
detjj+i
к к
= 3* 2j - 2* 3
j=i j=i
-2к3> & =
1 . 6к + 3 . 2к _ 2 . з*
2.68. Найти методом вариации постоянных формулу для решения раз-
ностного уравнения
Ук+1 + &кУк = fk , &к # 0 , к = 0, ±1, ±2,....
2.69. Найти решение разностной задачи
yfe+i - ayk = fk , к 0, у0 = с.
, А:-1 .
Ответ: ук = сот + 52 °? fk-j-1-
3=0
40
Глава 2. Разностные уравнения
2.70. Пусть для элементов последовательности ук справедливо
Ук+i ^ayk + fk, к^О, уо = с, а > 0.
Найти оценку для ук в зависимости от а, с, fi,i = 0,... , к — 1.
О Из (2.69) следует, что решение уравнения
vk+i = a vk + fk > Уо = Уо
fc-i
имеет вид vk = сак + ^2 Теперь покажем, что ук vк' Вычтем
j=o
уравнение из неравенства
Ук+1 ~ vk+i a(yk ~Vk) < • • • afe+1 (уо - Уо) = 0.
fc-i
Отсюда получаем ук сак + £2 а3' fк-j-i, к 0. О
j=o
2.71. Найти общее решение уравнения
У к+i ~ ехр(2&) ук = 6к2 ехр(&2 + к) .
О Найдем сначала решение однородного уравнения
Ук+i = ехр(2&) ук = exp(2fc) exp(2(fc - 1)) ук_г,
(fc \
2 52 з I Vi = ехр(к(к + 1)) J/i.
J=1 /
Отсюда имеем
Ук = С ехр(к(к - 1)).
Далее методом вариации постоянных найдем частное решение неоднород-
ного уравнения
fc-i
Ук = 6ехр(к(к - 1)) j2 = к(к - 1)(2А; — 1)ехр(&(& - 1)). [>
j=i
Ответ: ук = [G + k(k — 1)(2& - 1)] ехр(&2 - к).
2.72. Найти общее решение уравнения
Ук.Ук+2 “Ь Ькук-\-1 + СкУк, /к ,
где ак = к2 - к + 1, Ък = -2(к2 + 1), ск = к2 + к + 1, fk = Ък(к2 - Зк + 1).
О Заметим, что ск = ак+i и Ьк = — (ак + c/с), поэтому данное уравнение
можно переписать в виде
^к(Ук+2 Ук+1} ^к+1(Ук+1 Ук} fk • (^-9)
тт (1) (2)
Частные решения однородного уравнения vk и vk выделим условиями
Jl) _ JD _ 1 ?.(2) _ 0 (2) _ 3
2 3. Неоднородные разностные уравнения
41
Эти решения линейно независимы, так как определитель отличен от нуля:
det
VQ
v{2)
v0
(1)
(2)
Решение находится легко: = 1, а для определения преобразуем
(2.9) при fk — 0. Имеем
Ук+2 - Ук+1 = (Ук+1 - У к) = (Ук - Ук—l) = • = (yi - у0).
flk ilk — 1 **о
Учитывая начальные значения для получим
«4+1 - = Зак = 3(fc2 - к + 1).
Окончательно имеем 9
v'2} = к(к2 - Зк + 5).
Общее решение исходного однородного уравнения имеет вид
?Д°' = С1 + С2к(к2 - Зк + 5).
Построим теперь частное решение неоднородного уравнения методом
вариации постоянных
г4х) =
к-2 „(2) _и(2)
\ ' vj±l
^J2) -т/2)
j=0 vj+2 vj+l
f k~2v^-v^
h _ v k j+1
Q>+ i
J j=0 J J
[2>+1O> - 2Jaj+i] =
Введем следующие обозначения: Xj = vk — vj +1, Zj = —, и перепишем
частное решение в виде
fc-2
У к = 3 У fe+i - .
3=0
Применяя формулу суммирования по частям, получаем
fc-i
Ук} = ~ | 12 z3 + | [Zk-ixk-i ~ гоя-1]
j=0
По определению Xk и Zk имеем
~ vk vj+i ~ >
(2) (2) n
Xk-\ = 4 -Vfc =0,
(2) (2) (2)
x-i = vk ~ vo } = Vk '
Отсюда kl
Ук1)= ХУ - ±v(k2) = 2к - 1 - ± k(k2 - Зк + 5) t>
j=o
Ответ: =2* — 1 — X (А:2 —3fc + 5)+Ci + С2к(к2 - 3k + 5).
42
Глава 2. Разностные уравнения
2.4. Фундаментальное решение
и функция Грина
Фундаментальным решением Gk называют решение разностного уравне-
ния
а$Ук + + ‘ ♦ * + апУк+п = fk
с правой частью специального вида Д = , где
С 0 при
[1 при
к + j.
к = j.
2.73. Найти ограниченное фундаментальное решение уравнения
ауь + Ьук+1 = •
О Обозначим искомое фундаментальное решение через (7ь Для опреде-
ления Gk имеем три группы уравнений:
aGk Н- bGk+i — О
aG§ + b Gi = 1
aGk + к Gk+x = О
при
при
при
к — 1,
к = О,
к 1.
При к 0 возьмем Gk = 0- Тогда все уравнения первой группы вы-
полнены, из второго уравнения следует, что Gi = -jr, а общее решение
третьей группы уравнений имеет вид Gk = С pk, где р = — р Определяя
константу С из Gi, получаем частное решение неоднородного уравнения
О при к О,
— - (— при к 1.
а \ Ь/
/ \ k
Сложим полученное частное решение с общим решением А ( — 1 одно-
родного уравнения. В результате имеем
I А (— т-) при /г С О,
Gfc=b 1\/ Ч*
ЦЛ"а)("к) ПРИ
Условие ограниченности выражается в виде зависимости постоянной А от
величины £ :
А = 0 при а b < 1,
VA при а b = 1,
А = 1/а при а b > 1.
2.4. Фундаментальное решение и функция Грина
43
2.74. Пусть | / 1, \fk\
решение уравнения
F, a Gk —ограниченное фундаментальное
ayk +byk+i = fk-
Показать, что частным решением этого уравнения является абсолютно
сходящийся ряд
у1 = 52 Gk-nfn-
n= —ов
<] Рассмотрим случай > 1. Из 2.73
следует, что
при
при
к п,
к п + 1.
k —п
Каждый член ряда может быть оценен сверху членом сходящейся геомет-
рической прогрессии
(\ k—П г-, , П—k
_ а \ г г о
b) Jn |а| a
поэтому ряд сходится абсолютно. Кроме того, ряд является частным
решением заданного уравнения
оо оо
О Ук “Ь ЬУк+1 — \ Gk—nfn “Ь Ь , Gk+1—nfn —
оо оо
— 5л (aGk-П + b Gk+l-n) fn — <$k fn = fk-
n=—oe n=—oe
Для этого решения верна оценка
т. е. полученное частное решение является ограниченным.
Случай
1 рассматривается аналогично.
2.75. Найти ограниченное фундаментальное решение уравнения
Vk-l ~2Ук + Ук+1 = <5°-
<] Для определения Gk имеем три группы уравнений:
Gk-i - + Gfc+i = 0 при
G—i — 2 Gq -|- Gi = 1 при
Gk-i ~ 2 Gk + = 0 при
к < -1,
к = 0,
к^ 1.
Общие решения первой и третьей групп имеют одинаковый вид, отлича-
ющийся только постоянными
{Ci + к при к О,
+ С^к при к 0.
44
Глава 2. Разностные уравнения
Так как Gq входит во все три группы уравнений, то из полученных соот-
ношений имеем Gq = = А. Теперь воспользуемся уравнением
при к = 0 для установления связи между и
(А - С2") - 2 А + (А + С2+) = 1-
Отсюда = B.C't = 1 + В. Окончательное выражение для фундамен-
тального решения имеет вид
(А + В к при к О,
k + (В+ l)fc при к 0.
Ограниченное решение не существует, поскольку В не может одновремен-
но быть равным 0 и —1. О
2.76. Найти ограниченное фундаментальное решение уравнения
Ук-1 - Ук + Ук+1 = <$♦
Ответ: Gk = <
Acos^+ В + — 2 A) sin при к
О О д'
ктг
3
^cos^+Bsin^
О о
ктг
0,
при к 0.
3
2.77. Найти ограниченное фундаментальное решение уравнения
Ук-1 - | Ук +?/fc+l =
Ответ: Gk =
Л 2 к при к 0,
. А = -^
А 2к при к 0,
2.78. Найти ограниченное фундаментальное решение уравнения
Ук+1 -5ук + бук-1 = $•
2к - Зк при к < 0,
0 при к 0.
Ответ: Gk =
2.79. Найти ограниченное фундаментальное решение уравнения
1 - Y Ук + Ук+1 = <5°.
Ответ: Gk =
С 6fe при к 0
С 2-fe при к 0
2
11 '
2.80. Найти ограниченное фундаментальное решение уравнения
^Ук-1 - ^Ук + Ук+1 = <$£•
Ответ: Gk =
Г°
1.4 (2-te
4-fc)
при
при
к 0,
к 0.
2.4. Фундаментальное решение и функция Грина
45
2.81. Найти ограниченное фундаментальное решение уравнения
Ук+i - Ук - ЮУк-1 =
Ответ: Gk =
О
с ((-3)* - 4fc)
при
при
к О,
к О,
1_
7‘
Разностная функция Грина для уравнения второго порядка.
Функцией Грина Gk,i разностной краевой задачи называют фундамен-
тальное решение, удовлетворяющее однородным краевым условиям. На-
пример, для задачи
Лук = Д (akX7yk) - dkyk = <pk, > 0, dk > 0, 1 k N - 1,
Уо = c, Vn ~ Vn-i = <PN,
под функцией Грина понимают функцию Gk,i, определенную при фикси-
рованном i для 0 к 7V, которая удовлетворяет краевым условиям
= 0, Giv,i — Gy-Ц = О,
и уравнению по переменной к
AGk,i = di
«Польза» от функции Gk,i в первую очередь состоит в представлении
частного решения неоднородного уравнения в виде
Ук = \ Gk^i^i'
г=1
2.82. Построить функцию Грина для уравнения (2.10) при краевых
условиях ?/о = О, ум = 0.
<] Пусть ик и Vk — решения задач Коши:
Аик = 0, но = 0, «1(п1 — по) = 1,
Аик — 0, vN = 0, — ам(им — ад-i) = 1.
Покажем, что они обладают следующими свойствами:
1) и к — монотонно возрастающая, а ик— монотонно убывающая поло-
жительные функции, т. е. ик > 0, vk > 0, щ > uk-i, и к < v к- 15
2) им = ад
3) ик и ик — линейно независимые функции.
Докажем эти свойства.
1) Из уравнения Аик = 0 и условия aiUj = 1 следует, что
fc-i
ак(ик — Uk-1) = 1 + У7 diUi-
г=1
46
Глава 2. Разностные уравнения
Так как правая часть равенства больше нуля и > 0, то последователь-
ность Uk монотонна, т. е. щ > 0, и положительна в силу щ > 0.
Аналогично показывается, что 0 < vk < щь-i-
2) Рассмотрим вторую формулу Грина
w-i
о = (uk^Vk - vk\uk) = - ai(«iv0 - Vi«o).
k=i
Начальные условия uq и vn дают следующие соотношения: агщ = 1
и = 1, т. е.
О = — «МЩТо = — t<0.
3) Применим вторую формулу Грина от к = 1 до к = ко'-
fco —1
0 = - vkAuk) = - vk0uk0-i) - ^o-
k=i
Введем обозначение: det^ =
Ufc-l
Vk-1
. Тогда можно записать 0
v k
= akQ detfc0 — vo- Так как ко произвольно, то ak0 detfc0 = vq > 0, откуда
следует, что detfc0 > 0, т. е. линейная независимость uk и vk-
Будем теперь искать функцию Грина Gk,i в виде
при
при
г к,
i < к.
При I — к имеем Gk,k = AkUk = BkVk и AGk,k = 1- Перепишем последнее
соотношение в виде
В к [«*+Г “к + 4 tf fcAjriffc-i » 1.
или
Bk [Д (flfcVt’fc) - dfcV*| + a* MjfeUjb i - BkVk i] = 1.
Так как = 0, то из последнего уравнения имеем
AfcUfc-i — BkVk-i = —- .
Таким образом, для определения Ak и Bk получена система уравнений
A*ujk - BkVk = 0, - BkVk-i = у-,
ак
определитель которой отличен от нуля в силу свойства 3). Решая систему,
учтем равенство ak detfc = vq = tt/y. Окончательно получаем
при i^k,
Ofc ( — < L>
[uj'i; при i k.
2.5. Задачи на собственные значения
47
2.83. Построить функцию Грина для следующих краевых задач:
1) Д2?/*-! = рк,Уо = Vn = 0;
2) Ук+1 ~ 2cosat/fc + Ук-1 = Фк,Уо = Vn = °i
3) Ук+1 + tyk + Ук-l = Vk,VO = У I, 'UN = 0>
4) Ук+1 -2 cos ayк + У к-1 = Vk, Дуо = 2/w = 0;
5) Ук+i ~ ЗУк + 2;yfcl = tpk, Уо = '!/n = 0;
6) Ук+1 ~ 2АУк ~ Ук-i = Vk, Д?/о = yN = 0.
2.84. Доказать, что решение разностной задачи
- 2ук + ук+1 = fk,yQ = а,Ум = Р
удовлетворяет неравенству
ту-2
max ук max( a , (3 ) + max fk .
Указание. Решение удобно записать в виде
я N~r
= « + /и —у— + ^2
г=1
где функция Грина представима формулой
- N) при k^i,
к, i = k = 0,...,N.
^(i — N) при k < i,
2.5. Задачи на собственные значения
2.85. Найти все решения задачи на собственные значения
=—Хук, 0<k<N, yo = yN = 0, h=j^.
О Перепишем разностное уравнение в виде
Ук+1+2НХук-ук^1 = 0.
Его характеристическое уравнение
м2Ч-2АЛм- 1 = 0
имеет корни рд = —h\ + /1’+ А2А2 и ръ = —hX — v’l + А2А2. Можно
показать (сделайте это самостоятельно), что при р^ = р2 существует
только тривиальное решение ук _ 0, поэтому общее решение разностного
уравнения имеет вид
Ук — Ci Pi + С2р2 -
Константы Ci и С2 определяются из системы
С1 + С2 = О, С1дГ + С2^ = о,
48
Глава 2. Разностные уравнения
откуда получаем, что С2 = —Ci и Ci{Pi — р%) = 0, т. е. нетривиальное
решение разностной задачи существует тогда и только тогда, когда р^ =
= pH. Следовательно,
= exp , m = 0,1, ... , N — 1.
Р2 \ in /
Так как р\р2 — -1, то pi = — exp откуда
Mi = iexp (i2^) , р2 = iexp (-i2^) •
Поскольку
pi + М2 = -2АА = i (exp (i2^) + exp - 2icos-™,
имеем
A(m) = _ 1 cos2™ m = 0,1, ... ,7V- 1.
h JN
Соответствующие решения исходной задачи таковы:
Ук — (Mi - ^2) ~~ ^i1 I exP 11 “77“J - exP
/ 7vkm\\
\ N JJ
= Ciifc2isin = Cik sin m = 0,1,2... TV — 1.
При m — 0 имеем y^ = 0, поэтому решение следует отбро-
сить. Отметим, что количество нетривиальных решений равно N — 1, что
совпадает с размерностью задачи. [>
2.86. Найти все решения задачи на собственные значения
ук+1-2ук+ук 1 =_XyktQ<k<Nt yo=yN = Oj h = j_~
О Характеристическое уравнение разностной задачи имеет вид
д2 -(2-/г2А)д + 1 =0.
Если корни характеристического уравнения вещественные, то раз-
ностная задача имеет только тривиальное решение. Действительно,
пусть pi ф Р2 — вещественные корни. Тогда общее решение имеет вид
У к = С1Р1 + С2Р2 и для определения Ci и С2 из краевых условий имеем
систему
Ci + Сг = о, Ci/м + С2Д2 = о,
из которой следует СцУ — Сцг^ = 0. Так как д, 0 Дг> то Ci = Сг = 0, т. е.
общее решение является нулевым. Аналогично рассматривается случай
равных вещественных корней.
Поэтому следует рассмотреть случай комплексно-сопряженных корней
Mi,2 = cos 99 ± isin 99. В этом случае общее решение разностной задачи
представляется в виде у^ = Ci cos к<р + С2 sin к<р. Из краевых условий
получаем Ci — 0 и sin7V99 = 0. Отсюда
99=5^, т = о,±1,±2,... .
2.5. Задачи на собственные значения
49
Так как pi + /12 = 2 — Л2 Л, то cosc^ = 1 — Л2^-. Следовательно,
А(т)=_2.Л_ cos™4 =^sin2^; го = 0,1,2, ... ,N-1.
Все собственные значения различны. Из представления общего решения
разностной задачи следует, что собственные функции имеют вид
= C2sin , т = 0,1,2,... ,JV-1.
При m = 0 имеем у^ = 0, поэтому решение (А® ,?/!?) следует отбросить.
Полезно провести аналогию с дифференциальной задачей:
у" = ~Ху, 1/(0) = 1/(1) = о,
?/(т)(я) = Сsin(TrmiB), A(m) = (тгт)2, m = 1,2,... . >
2.87. Найти все решения задачи на собственные значения
mi-2^ + №-i =_Л^, /г = ±, юа-1,
A (Vi — Уо) = — Ауо , - Л- (yN - Vn-i) = -Хун •
h h
<] Введем обозначение р = 1 — h2 и перепишем исходную задачу в виде
Mfc+i - 2рyk + ук_г = 0, 1 < k < N - 1,
У1 -РУо = 0, yN-i -pyN = 0.
Корни характеристического уравнения у2 — 2 р /х Ч- 1 — 0 имеют вид
Р1,2 — Р ± \/р2 — 1. Отметим полезные соотношения:
М1М2 = 1 , Р = М1 2 •
Рассмотрим случай различных (не обязательно вещественных) кор-
ней: pi Ф р>2- Общее решение разностного уравнения имеет вид
У к = C*i^i + С2Р2 • Воспользуемся этим решением для записи левого
краевого условия (при k — 0). Имеем
СТ pi + С2Р2 ~Р (0*1 + 0*2) = 0.
Учитывая, что р — полусумма корней характеристического уравнения, от-
сюда получаем СТ =0*2 (#0). Теперь оставшееся краевое условие можно
записать в удобной форме
flN-l I W-l Ml +.М2 /,л I N'i _ л
Ml + М2----------+ М2 / — U •
Используем равенство М1М2 = Т имеем
Mi + М2 Mi М2 —и ?
или _
Mi 1 (1 — Mi) + М2 (1— М2) = о •
50
Глава 2. Разностные уравнения
Отсюда получаем
Д? (Д2 “ Д1) + Д? (Д1 ~Дг) = 0.
В силу предположения о неравенстве корней имеем Ц- 1, что дает
9 АГ
p2N = 1 или
Mi,2 — cos ±isin ’ m ~ ’ ’ ’ ’ ~ 1'
Отсюда получаем, что р = cos ^7Г^" |, и формулу для собственных значе-
ний , л
А(т) = 4 sin2 m = l,2,...,N-1.
h2 * '
Приведем формулу для собственных функций
= С exp + exp i =Ccos7ri^ .
Осталось рассмотреть случай кратных корней: рл — р2 = Р- Возможны два
случая: р = ±1, так как рлр2 = 1- При этом соответствующие собственные
значения равны А = 2 1—— . Их удобно включить в полученную ранее
Л*
общую формулу, расширив границы индекса m от нуля до N, т. е. А^0^ = О
(р = 1), A(W) = 4- (р = -1).
п.
Аналогично поступим и с соответствующими собственными функ-
циями. О
Ответ: А1 1 = sin2 , m = 0,
j/<m’= С cos , k = 0,l,...,N.
2.88. Найти все решения задачи на собственные значения
a,fcti ~ 1 = _ \. ь = 4. 1 • \ -1.
й)=0, /'. 1'1
Ответ: П , 7П = 1,2,...Л,
у(кт} = С sin , k = 0,l,...,N.
2.89. Найти все решения задачи на собственные значения
^+1~2^+^-1 =-ХУк, Л-Т I .
Л2 Л
4(?/1-Уо) =-А?/о, ^=о.
2.5. Задачи на собственные значения
51
Ответ: А^ = sin2 , т = 1,2,...,7V,
у^ = С cos ^2^.1)fc , * = 0,1,...,N.
2.90. Найти все решения задачи на собственные значения
Ук+1 - 2w+w-l _ . ] к = П +1 +9
-2 Uk' Ук Ук+Ny " — v' • ^4, -^"5 • • •
h, л
Ответ: А^ =-A-sin2 7™™ m = 0,1,..., N — 1,
П,
у(т) = с(т) cos 2 тт т fc + ^(т) 2rmk , к _ целое
2.91. Найти все решения задачи на собственные значения
Ук+i ~^Ук+Ук-1 ^_Ху /, = —1—, l^fc^/v-i,
h2 .V - 1 ’
Уо = Уъ Ум = Ум-1
~ х(т) 4 2 7r(m — 1) _ nt -1
Ответ: Ак ; = ^-sin _ -q > m = 1,..., TV - 1,
(тп\ 7г(т — 1) (2k — 1) , ~
S/J. —Ceos 2(^-1)------- ’ k=°A,---,N-
2.92. Найти все решения задачи на собственные значения
^±‘—2^+^~1. = -ХУкУ ft = ybj-, 1O=£./V-1,
Уо = “УЬ УМ = -УА'-1 •
Ответ: A(m) = sin2 2(^1) 7 m =
(m) _ . -тгш (2k - 1) , _ n i \r
Ук Osin 2(jV____1) ’ 0,1,...,A^.
2.93. Найти все решения задачи на собственные значения
Ум~2Ук+ук-1 =-Ху+. h=2N2_1,
Уо = У1> VN = 0 .
Ответ: А(та) = jpsva2 ^21V-ij ’ m = 1,• • • >^ ~ 1,
^то) =Csin,r(2m2]v1l(^~fc) , * = 0,1,...,N.
52
Глава 2. Разностные уравнения
2.94. Найти все решения задачи на собственные значения
=_Хук, h = ^-r[, Ю<ЛГ-1,
Уо = 0, ум = ум-\.
с\ \(™) 4 2 тг(2ш — 1) 1
Ответ: Л1 J = p-sm > m = 1,...,/V - 1,
Ук -Csm 2JV-1 ’ fe = °> 1,
2.95. Найти все решения задачи на собственные значения
=~Л^ь ,(=у- Ю^-1,
УО = У1, yN = yN-1 •
Ответ: 1 cos у™ । , m = 1,..., N - 2,
у™ = Cik [sin #2*. - ism , к = 0,1,... ,N.
А(о)=О, у^=С^0.
Неравенства для сеточных функций. Учитывая определения из
п. 2.2, введем следующие обозначения:
\]y\ = Vh[y,y]1/2, IIj/Цс = max Ij/J,
(«iOi = = - ~^-1 , ILVj-II - У5 (y.-!L I1 ‘
где h — постоянный шаг сетки Xi = ih.
2.96. Пусть Уо — ум — 0 и N h — 1. Доказать неравенство
Iklc < |1Ы1-
<] Запишем на сетке Xi = ih, 0 С i N для функции pi тождество
yl ~ С1 -^i)yi + Xiyi .
Принимая во внимание условия yQ = =0, имеем
/ i .2 / N \2
Vi = ( > ' (и< )i >>] > Vi = I 52 h •
fc=l ‘ \fc=i+l /
Подставим полученные равенства в тождество и оценим его правую часть,
используя неравенство Коши—Буняковского. Получаем
г i NN
Vi (1 -Xi) (yx)kh + xi 52 h (yx)kh =
fc=l fc=l fc=i+l fc=i+l
N
= XiO -Xi) У (yx)2kh = Xi(l -Zi)||?fe] 2 •
fc=l
2.5. Задачи на собственные значения
53
Максимум выражения т(1 — х} на отрезке [0,1] равен | и достигается при
х = поэтому у] < | llv®]I2 И |Ы1с < | 11Ы1 1>
2.97. Пусть у0 = yN = 0 и N h = I. Доказать неравенство
Ы1с^Ы1-
Указание. Сделать замену х = lxf и использовать решение 2.96.
2.98. Пусть у$ = 0 и N h = I. Доказать неравенство
|Ы1с < ^|Ы| •
2.99. Для произвольной сеточной функции у^О i N, Nh = I доказать
неравенства
llvll2 «£ 2 (Z ||т/®]|2 + T/о) и ||?/||с < 2(/||?/г]|2.
2.100. Пусть yQ = yN = Q и N h = I. Доказать неравенство
ll?/K ^Ihlllc.
2.101. Пусть Уо = yi^ = 0 и N h = I. Доказать неравенство
|1Ы^Аы-
2\/ 2
Указание. Так как
(-А?/,?/)= 1Ы1,
где
Ayt = У1+к—^±У^. , 1<г<ЛГ-1, y0=yN = О,
/г
то постоянные в сеточных неравенствах можно получить, определив экс-
тремумы собственных значений оператора Л. Из решения задачи на соб-
ственные значения Ху = — Ау следует
\ _ 4 - 2 тгД \ _ 4 2 тгЛ
✓чтлп — ^2 21 ? z'niax ^2 .
Постоянные в искомом неравенстве получаются из оценок снизу для Лт,п
и сверху для Лтах.
2.102. Доказать тождество Лагранжа для сеточных функций
N N / N \ 2 N
i=l i=l \i=l /
2.103. Доказать неравенство для неотрицательных сеточных функций
/N \1/^ /N \1/^ /N у/^
(Пжи +(П&) +
\i=l / \i=l / \i=l /
54
Глава 2. Разностные уравнения
2.104. Доказать при 0 < 0 < 1 неравенство Гельдера для неотрицатель-
ных сеточных функций
2.105. Доказать при 0 < 0 < 1 неравенство Минковского для неотрица-
тельных сеточных функций
-----------------Глава 3------------------
Приближение функций
и производных
Задачи приближения функции можно условно разделить на два множе-
ства. Задачи первого множества сводятся к приближенному восстановле-
нию достаточно гладкой функции по ее заданным значениям в некоторых
фиксированных точках. В задачах второго множества речь идет о наи-
лучшем (в некоторой метрике) приближении — замене сложной с точки
зрения вычислений функции ее более простым аналогом. Типичным при
таком подходе является поиск приближения в виде линейной комбина-
ции «удобных» функций, например ортогональных алгебраических или
тригонометрических многочленов. Многообразие математических поста-
новок приводит к большому количеству применяемых методов, каждый
из которых может оказаться оптимальным в своем классе. В этой главе
рассмотрены наиболее известные в теории приближений подходы для
функций одного переменного.
3.1. Полиномиальная интерполяция
Пусть а — < • • • < хп — Ъ — набор различных точек (узлов) на
отрезке [а, 6], в которых заданы значения функции /(ж) так, что fi = f(xi),
i = 1,... ,п. Требуется построить многочлен наименьшей степени, прини-
мающий в точках Xi значения fi, и оценить погрешность приближения
достаточно гладкой функции /(ж) этим многочленом на всем отрезке [а, 6].
Приведем в явном виде вспомогательные многочлены Ф^(д:) степени
п — 1, удовлетворяющие условиям Фг(жг) = = О при j 7^ i. Имеем
п X ~ X'
Фг(а:) = П ——2~ . Запишем с их помощью формулу для искомого мно-
j=i — xj
n
гочлена Лагранжа Ln(x) = Е AM*)- Так как существует единственный
г=1
многочлен степени п — 1, принимающий в п различных точках заданные
значения, то многочлен Ln{x) есть решение поставленной задачи.
Теорема. Пусть п-я производная функции f(x) непрерывна на от-
резке [а, 6]. Тогда для любой точки х 6 [а, 5] существует точка £ 6 [а, 6]
такая, что справедливо равенство
/(.г) - j • где шп(х) = П(ж-Жг)-
г=1
Следствием этого представления является оценка погрешности в рав-
номерной норме
||№) - Ьп(я)| < ||wn(®)|l, где |/(ж)|| = max /(ж)|.
'*' хЕ [а,о]
56
Глава 3. Приближение функций и производных
п
Величина An = max 52 |Фг(ж)| называется константой Лебега ин-
г=1
терполяционного процесса. Скорость ее роста в зависимости от вели-
чины п существенно влияет как на сходимость Ln{x) к /(я), так и на
оценку вычислительной погрешности интерполяции. Для равномерных
сеток Ап растет экспоненциально. Это приводит к тому, что построенный
на равномерной сетке интерполяционный полином Ln(x) при большом
числе узлов может сильно отличаться от приближаемой функции. Так,
например, для функции Рунге f(x) =
j +1 на отРезке [~ Т 1] из-
вестно, что max |£п(ж) — /(ж)| —> оо при п —> оо. Для чебышевских
«е[-1Д1
узлов соответствующий интерполяционный полином сходится к указанной
функции; это верно и для произвольной непрерывно дифференцируемой
функции: если f(x) удовлетворяет неравенству max < оо, то
[ 1Д]
для интерполяционного многочлена, построенного по чебышевским узлам,
справедливо соотношение max \f(x) — Ln(x)\ = О(п' т In п) при 77 —> ОО.
Если приближаемая функция не обладает достаточной гладкостью, то
никакая таблица узлов интерполяции не может гарантировать сходи-
мость интерполяционного процесса. Под таблицей узлов интерполяции на
отрезке [а, 6] понимают любой треугольный массив
~2 ,г2
Х\ ^2
~3 ,гз ,гз
с тем свойством, что все xj G [а, 6] и элементы каждой строки различны.
Теорема Фабера. Для любой заданной таблицы узлов интерполяции
на отрезке [а, 6], существует непрерывная на этом отрезке функция
f(x) такая, что погрешность | |£п(ж) — /(ж)|| в равномерной норме не
стремится к нулю при п —> оо.
3.1. Построить многочлен Лагранжа при п = 3 для следующих случаев:
1) Xi = -1,я2 = = 1, 2) = 1,т2 = 2,т3 = 4,
Л = 3, /2 = 2, /з = 5; Л = 3, /2 = 4, /3 = 6.
Ответ: 1) Ьз(х) = 2х2 + ж + 2; 2) ЬДх) = х 4-2.
3.2. Построение многочлена Лагранжа Ln(x) эквивалентно задаче на-
п—1
хождения коэффициентов с? из системы уравнений 52 CiX\ ~ fj ПРИ
г=0
j = 1,..., п. Показать, что эта система при больших п может быть близка
к вырожденной.
3.1. Полиномиальная интерполяция
57
Указание. Определителем данной системы уравнений является опреде-
литель Вандермонда, следовательно, задача вычисления коэффициентов
искомого многочлена имеет единственное решение. Пусть узлы интерпо-
ляции принадлежат отрезку [0,1]. Функции п 1 при больших п
на этом отрезке почти неразличимы, поэтому столбцы (х™~2,... ,х™~2)т
и (я™-1, - - ., ^п-1)Т матрицы получатся близкими.
3.3. Найти 22 ПРИ Р — 0, ... , п.
г=1
Ответ: хр при р = 0, ... , тг — 1, и хп — uin(x) при р = п.
3.4. Пусть на отрезке [а, 6] заданы равноотстоящие узлы: Хг
= а -|- (г — 1), i = 1,..., п. Вычислить | Wn(z) при п = 2,3,4.
<| Пусть п = 3. Выполним в формуле
о>з(я) = (х — а) (х — (я — Ь)
стандартную замену переменных
X = ЗЛ где у G I-1’ 11 •
В результате получим
^з(у) = (“2^) (У3 ~ У\
Точки экстремума кубического многочлена у3 — у на [—1,1] равны соот-
ветственно 3/1,2 = Следовательно,
Рассуждая аналогично для п = 2 и п = 4, получаем
кг(ж)|| = ~а) , |ш4(ж)|| = • >
3.5. Для многочлена сип(ж) с равноотстоящими корнями на отрезке [а, 6]
। / \ । Ф ~ а)п(п - 1)! - о
получить оценку | wnW 4(п-1)п при п
<] Выполним в формуле
п
Wn(i) = П (ж - Xj),
3=1
где Xj = а -I- /1__1 (j — 1), j = 1,... ,n, n 2, замену переменных
11 — i
x _ na—6 _|_ 6 a e [i n],
71 — 1 П — 1 L’J
58
Глава 3. Приближение функций и производных
В результате получим
= шп(у) = П - Л
3=1
Покажем, что справедливо неравенство
шах
2/6(1,
(п~ !)
4
с помощью специальной параметризации аргумента у. Пусть у = k +t, где
& —целое. При 2 к п — 1 будем предполагать, что \t\ при к = 1
а при к = п — из отрезка
параметр t принимает значение из отрезка 0, |
—1,0 . Отметим равенство
п
П \У- J'l = Ю+1) •••(< + *- 1)(1 — -к- t).
3=1
При t > 0 справедливы неравенства
(t + 1)... (t + к — 1) < к\ и |t|(1 — t)... (n — к — t) < 1 (n — &)!,
а при t < 0 — неравенства
|i|(t + 1)... (t + к — 1) < | (k — 1)! и (1 — t)... (n — к — t) < (n — к + 1)1.
В обоих случаях использование соотношения
к\(п — к)1 (п — 1)!, 1 к < п
приводит к искомому неравенству.
Окончательно имеем
wnWII = max
я£[а,6]
Ь — а
,n — 1
п
max
2/6 (1,п]
J=1
(Ь-а)п(п-1)!
4(п —1)п
3.6. Функция /(ж) приближается на [а, Ь] по п равноотстоящим узлам
Xi = а + Z " G — Найти наибольшее целое р в оценке
погрешности ||/(ж) — Ьп(ж)|| 10_р в равномерной норме для следующих
случаев: 1) [0,0,1],f(x) = sin2T,n = 2; 2) [—1,0],/(т) = еж,п = 3.
Ответ: 1) р = 3;2)р=2.
3.7. Приближение к числу In 15,2 вычислено следующим образом. Най-
дены точные значения In 15 и In 16 и построена линейная интерполя-
ция между этими числами. Показать, что если х и у — соответственно
точное и интерполированное значения In 15,2, то справедлива оценка
0 < х — у < 4 • 104 .
Указание. Использовать выпуклость функции Inх и представление по-
грешности (но не оценку погрешности!).
3.1. Полиномиальная интерполяция
59
3.8. Функция f(x) = —я----- приближается на [-4,-1] многочленом
А — х
Лагранжа по узлам -4,-3,-2,-1. При каких значениях А оценка по-
грешности в равномерной норме не превосходит Ю-5?
О Поскольку f^(x) =
имеем
4!
(А2 -т)5
= 1, для оценки погрешности
|/(«) - Лд(х)|
1
(А2 +1)5
< 1(Г5.
и IHW
Следовательно, А > 3.
3.9. Доказать, что если узлы интерполяции расположены симметрично
относительно некоторой точки с, а значения интерполируемой функции
в симметричных узлах равны, то интерполяционный многочлен Лагран-
жа — функция, четная относительно точки с.
О Покажем сначала справедливость следующего представления:
/ \ п п
ФДх) = 7-------т-7—- . Действительно, так как ш'(х) — У" П (а? — хА
\Х — Xi)cdn\Xi) fc=lJ=l
и при х = хг. к f- i каждое из произведений под знаком суммирования
п
обращается в нуль, то ufn(xi) = П — хэ)-
j=i
Без ограничения общности можно считать с — 0, т. е. Xi
— —Xn+i-i, i = 1, Рассмотрим теперь два слагаемых из общей
формулы многочлена Лагранжа, соответствующих равным значениям
функции fk и fn+i-к для некоторого к. Вынося одинаковый числовой
множитель за скобку, получим
CUn(x) | CUn(x)
(х — Хк )^n ) (т — Xn+l-fc)Wn(xn+i-fc)
сип(ж)______।_____сип(ж)____
(ж + хк^'п(-Хк)
Для четного п функция cd™ (я) — четная, а ее производная ц>(п(х} —
нечетная. Поэтому выражение в квадратных скобках принимает вид
шп(ж) 2хк « 1
2— -2 • , , , являясь, очевидно, четной функцией.
X ~xk ып\хк)
Аналогично для нечетного п функция wn(^) — нечетная, а ее производ-
ная — четная, и выражение в квадратных скобках также является
четной функцией. В данном случае х = 0 является узлом интерполяции
с номером к = п ‘ , и у этого слагаемого нет пары. Но само слагаемое —
четное, что и завершает доказательство.
Доказательство также может быть получено методом от противного
из единственности многочлена Лагранжа для заданного набора узлов
и значений, так как отражение относительно середины отрезка не меняет
входных данных задачи. [>
60
Глава 3. Приближение функций и производных
3.10. Показать, что многочлен Лагранжа может быть построен рекур-
рентным способом:
Li(z) = /(я1), Ln(x) = Ьп-1(ж) + [/(жп) - Ьп-1(жп)] , я > 2,
k'n— 1 {хп)
где
cji(rr) - х - ж1? u>n(x) = cJn_ 1 (ж) (ж - хп).
3.11. Построить многочлен Лагранжа Ln(x) степени п — 1, удовлетворя-
ющий условиям Ln(xk) = У к'
1) п = 4; X! = 0, х2 = 1, жз = 2, х4 =4; уг = 2, у2 = 3, у3 = 4, у4 = 6;
2) п — 3; хк — <2к — 1, yk — 8sin (2к — 1), к — 1,2,3.
3.12. Построить интерполяционный многочлен для функции /(ж) = |ж|
по узлам —1,0,1.
3.13. Построить интерполяционный многочлен для функции /(т) = х2
по узлам 0,1, 2, 3.
3.14. Построить многочлен Лагранжа L4(x) третьей степени, удовлетво-
ряющий условиям L4(xk) — Xk — к—Ъ, yk — ЗА;3+2А;24-А;+1, к = 1,2,3,4.
3.15. Функция f(x) приближается на [а, 6] по п равноотстоящим узлам
Xi = а + ^21 (« — 1) Д = 1, • • •, п. Найти наибольшее целое р в оценке по-
грешности ||/(т)—£п(т)|| 10_р в равномерной норме для следующих слу-
чаев: 1) f(x) = — Jcos(z sin i) di, [0,1], n = 3; 2) f(yc) = In ж, [1,2], n = 4.
% о
3.16. Оценить погрешность приближения функции ех интерполяционным
многочленом Лагранжа £2(^)5 построенным по узлам то = 0,0, х± = 0,1,
х2 — 0,2, в точке: 1) х — 0,05; 2) х = 0,15.
0 2L
’ 4J
3.17.
Функция sin я приближается на отрезке
интерполяционным
многочленом по значениям в точках 0, д-. Оценить погрешность интер-
поляции на этом отрезке.
3.18. Функция 1пт приближается на отрезке [1,2] интерполяционным
4 5
многочленом третьей степени по четырем узлам 1, 2. Доказать, что
О о
л 1
погрешность интерполяции в равномерной норме не превосходит
oUU
3.19.
Функция f(x) = ехр(2я) приближается на отрезке
ин-
терполяционным многочленом второй степени по трем узлам: — 0,
Доказать, что погрешность интерполяции в равномерной норме не пре-
восходит
3.1. Полиномиальная интерполяция
61
3.20. Оценить погрешность интерполяции функции /(ж) — arctgrr на
отрезке [0,1] многочленом Лагранжа пятой степени, построенным по рав-
ноотстоящим узлам.
3.21. Оценить число равноотстоящих узлов интерполяции на отрез-
ке 0, у
4.
обеспечивающее точность £ 10 2 приближения функции
/(ж) = sin х.
3.22. Определить степень многочлена Лагранжа на равномерной сетке,
обеспечивающую точность приближения функции еж на отрезке [0,1] не
хуже 10-3.
3.23. Пусть функция Дт) = sinz задана на отрезке [0,6]. При каком 6
многочлен Лагранжа Ьз(ж), построенный на равномерной сетке, прибли-
жает эту функцию с погрешностью £ 10-3?
3.24. Привести пример непрерывной на отрезке [ — 1,1] функции, для
которой интерполяционный процесс Лагранжа на равномерной сетке рас-
ходится.
Ответ: например, функция Рунге или |ж|.
3.25. Пусть функция f(x) задана на [а, 6] и max |Д?(т)| 1. Оценить
[а,Ь]
погрешность приближения f(x) кусочно-линейным интерполянтом, по-
строенным на равномерной сетке с шагом h.
3.26. С каким шагом следует составлять таблицу функции sin х на 0,
£
чтобы погрешность линейной интерполяции не превосходила 0,5 10(5?
3.27. Пусть / 6 6] и р(х)—полином, аппроксимирующий Д(т)
х
с точностью £ в норме С[а, 6]. Доказать, что полином q(x) = f(a)+§p(t)dt
а
аппроксимирует Дт) с точностью е(6 — а) в норме С[а, 6].
3.28. Построить многочлен Рз(х) — ао + aix + + аз#3? удовлетворя-
ющий условиям: Рз(—1) — 0, РЬ(1) — 1, Рз(2) = 2, аз — 1.
3.29. Построить многочлен Рз(х) — ао + а^х + а%х2 + азх3, удовлетворя-
ющий условиям: Рз(0) = Рз(1) — Р*з(1) = 0, а<2 = 1.
3.30. Построить многочлен Рз(х} — ао + а^х + а^х2 + азх^, удовлетворя-
ющий условиям: Рз(—1) — 0, РЬ(1) — 1, Рз(2) = 2, а± — 1.
3.31. Построить многочлен Рз{х) — «о + + аз#3? удовлетворя-
ющий условиям: Рз(—1) = Р3(-2) — Рз(1) — 0, ао — 1.
3.32. Построить многочлен Ра(х) = ао + а±х + а%х2 + азх3 + щя4, удовле-
4
творяющий условиям: 52 = 0, Р(0) = 0, Р(—1) = 1?^(2) = 2, Р(3) = 3.
i=0
62
Глава 3. Приближение функций и производных
3.33. Построить многочлен Ра(х) = ао + адх + а2ж2 + азх3 + а^х4, удовле-
творяющий условиям: Р4(1) = Р4(—1) = Р4(0) — ^4 (0) — 0, Р4(0) = 1.
3.34. Построить многочлен Р4(ж) = ао + ацх + а^х2 + азх3 + а^х4, удовле-
4
творяющий условиям: Р4(0) — 0, Р4(1) — 1>Р4(2) = 2,Р4(3) = 3, 52 щ = 0.
i=i
3.35. Доказать при целых t формулу:
п-1
£„(Ж0 + th) = £ CM7o, Д*/< = Л+1 - А Д°А = А Жг+1 = Xi + h.
k=0
3.36. Доказать при целых t формулу:
Ln(x0-th) = П^(-1)кС^к/о, V'fi = fi-fi-i, V°fi = fi, xi+i = Xi + h.
k=0
3.37. Доказать при целых t формулу:
n — 1
Ln(xo+th) = Cfdkfk/2, = fi+l/2 - fi-l/2, ^Qfi = fi, Xi+1 =Xi + h.
k=0
3.38. Доказать, что если многочлен Ps(x) степени s — 1 удовлетворяет
условиям
РДЖ1) =f(xi), ..., Ps(M1-1)(a?i) = /(М1-1)(Ж1),
рДд2) = /Ы, ...» р3(М2“1)Ы=/(м2-1)Ы,
PsM = f(xnl
Mi + М2 + • + Mn = s,
то справедливо равенство
/(ж) - Ps(x) = f ц(ж), ш(х) = П(я - Xi)Mi.
1=1
3.39. Пусть а х b и -1 у 1 и узлы интерполяции Xi и у^
i = 1,... связаны линейным соотношением Xi = x(yi) = 2 Q yi.
Доказать, что константы Лебега и aL-1,1L соответствующие этим
отрезкам, совпадают.
<] По определению, вспомогательные многочлены (п — 1)-й степени
обладают свойством &i(yk) = Положим в фор-
муле для Фг(ж), обладающей теми же свойствами, х = х(у). Ли-
нейное преобразование не меняет степени многочлена. Кроме того,
= &i(x(yk)) = $i(yk) = т. е. два многочлена (п — 1)-й степени,
совпадают в п точках. Отсюда следует их тождественное совпадение,
следовательно, равенство констант Лебега А{?,г>’ и А^ 1?12
Таким образом, величина Ап не зависит от длины и расположения
отрезка интерполяции [а, Ь], а определяется только взаимным расположе-
нием узлов. [>
3.1. Полиномиальная интерполяция
63
3.40. Показать, что для системы равноотстоящих узлов {xi — i,
i = 1,...,«} при n 2 справедлива оценка снизу для константы Лебега
Ап > К ——7 с постоянной К, не зависящей от п.
П'
<] По определению Ап на отрезке [1, п] имеем
шах
[1 ,п]
п
п
дг -3
з¥-г
Справедливы следующие соотношения:
п п .
п к - з = о - х)! («-«)!, п О' -’
5=1 7=1 4
7#г
П 1 ,
первое из которых очевидно, а второе доказывается по индукции. Прове-
дем с их помощью оценку снизу для Ап:
п п п п
An = max -Л,— у? ГТ х J тхъ П л — j
хе|1,п) ; - (г- 1)1(п—г)! 11 J (г - 1)!(и - г)! 11 2 J
3^-i 7#г
(использовано неравенство max /(ж) /(3/2) ). Для оценки произве-
х€[1,п]
дения в правой части выполним преобразования:
п
хЕ [1,п]
п— 1
3 = -S-n
2|i-|U=l
7 = 1
7Vi
Наконец, получим искомое неравенство (К = 1/8):
1 (п — 1)! ъ 1 рг—1 _ 1
3 Iv/—f (г-1)!(п-г)! " 4ггз/2 ^-1 ~ 8
77 I \ п 1 г - 1 г=1
'П
п
X
2
4(п - т:)у/п - 1
3.41. Показать, что для системы равноотстоящих узлов {xi
i = 1,..., п} при n > 2 справедлива оценка сверху для константы Лебега
Ап К 2П с постоянной К, не зависящей от п.
<] Покажем (ср. 3.5), что справедливо неравенство
п
П х~3
=е[1,п] дд
с помощью специальной параметризации аргумента х. Пусть х = к + t,
где & —целое. При 2 к п — 1 будем предполагать, что \t при
к = 1 параметр t принимает значение из отрезка
0,1
а при к = п — из
отрезка — Jj-,0 • Отметим равенство
п ।
П ж“51= jt- _ , , ? I (^ + !) (^ + fe - 1)(1
3=1
3^i
64
Глава 3. Приближение функций и производных
При t > 0 справедливы неравенства
(t + 1)... (t + k — 1) < к\ и (1 — t)... (n — к — t) < (n — fc)!,
а при t < 0 — неравенства
(i + 1)... (t + к — 1) < (к — 1)! и (1 — t)... (n — к — t) < (n — к + 1)!.
В обоих случаях использование соотношений
7—К—— 1, kiln — кУ (п — 1)!, 1 к < п
k — г +1 4 ' 4 '
приводит к искомому неравенству.
Тогда из решения 3.40 имеем
Л" = х€(1 п] (г - l)|X(n - г)! П Т Сп-1 = К 2П> К = | •
1 J г=1 .7=1 г=1
ЗУг
Оценка доказана. |
3.42. Определить узлы интерполяции, при которых константа Лебега Лз
минимальна.
Ответ: константа Лебега не зависит от отрезка, поэтому будем считать, что
ж 6 [ — 1,1], тогда Xi = — £, Х2 =0, хз = £, где £ — произвольное число из
3.43. Показать, что если ж1?..., Х2П — вещественные, то функция Т(х) =
2п _
= П sin Х является тригонометрическим полиномом вида Т (х) =
fc=i 2
— + У? (ftfc cos kx + bk sin kx) с вещественными коэффициентами bk-
3.44. Доказать, что интерполяционный тригонометрический полином
Т(ж), удовлетворяющий условиям T(rcj) — yj, j — 0,1,...,2п, где
0^a?o<^i <• < X2n < 2тг, может быть записан в виде
2п 2п
Т(х) = ^2 Vktk(x), где tk (х) = П sin x~2Xs I sin .
fc=0 s=0
3.45. Доказать, что для любых х§, #i,... ,Х2П, удовлетворяющих
условиям 0 XQ < Х1 < ••• < Х2п < 2тг, и для любых
У Оу У1 > • • • > У2П существует единственный тригонометрический полином
п
Т(х) = -^ + У2 (afc cos kx + bk sinkx), удовлетворяющий условиям T(xj) =
fc=i
— yjy j — 0,1,2, ..., 2n. Если при этом ?/i,..., y2n — вещественные, то
и коэффициенты , bk являются вещественными.
3.46. Доказать, что для любых жо, , жп, удовлетворяющих условиям
0 хо < Ж1 < < хп < тг, и для любых УоуУ^у • • • уУп существует
единственный тригонометрический полином С(х) = У2 afc cos кх, удовле-
fc=0
творяющий условиям C(xj) = Уj, j = 0,1,2,..., n.
3.1. Полиномиальная интерполяция
65
3.47. Построить тригонометрический полином на отрезке [0,1] по задан-
ным значениям/(0), f(2h), f(3h), h=^.
3.48. Построить тригонометрический интерполяционный полином второй
степени Т2 (х) = a0+ai cos rr+bi sin ж+а2 cos 2rr+62 sin 2rr, удовлетворяющий
следующим условиям: Т2(0) = 0, Т2 = 1, Т2 (д) = 1, Т2 = 1,
Г2(тг) = 1.
3.49. Построить интерполяционный тригонометрический полином мини-
мальной степени по заданным значениям /(-7г)=0,/(—=0, / = 1.
3.50. Доказать, что тригонометрический полином Tn(z) степени п имеет
в любой полосе Re(;z) G [а, а + 2?г] ровно 2п корней.
3.51. Пусть Тп(гг) — тригонометрический интерполяционный многочлен
степени п, построенный по равноотстоящим узлам на [0,2?г] для функции
/(i)e(M а > 0. Доказать, что в равномерной норме
lim ||Тп-/|| = 0.
п—>оо
3.52. Вычислить для 2?г-периодической функции
я(х)=Р при же[°’4
(0 при х G (?г, 2?г)
частичную сумму ряда Фурье Н2п (х) и проанализировать их близость.
<] При вычислении суммы первых 2п членов коэффициенты при косину-
сах равны нулю, поэтому
тт ( \ 1,2 sin(2A:— 1)ж
н2п(я) = | •
fc=l
Преобразуем полученное выражение
п
Н2п(х) — “ 52 Jcos^fc — Y)tdt —
к=1 0
х
smW dt
sin t
X
г П
= 2 + — cos(2/c — \)tdt = ~ + —
2 тг ' 2 тг
0fe=1 0
из которого следует, что максимум и минимум для 0 х тг достигаются
В Т°ЧКаХ А н2п(а;) = I si^ = 0,
dx sin ж ’
Т. е. при х-т, =
ттг
2п ’
m = 1,2,...,2п — 1. При этом экстремумы чере-
дуются. Непосредственные вычисления показывают, что H2n(0) — 0,5,
(й
—> 1,08949 ... с дальнейшим убыванием амплитуды колебаний
по мере удаления от точки разрыва.
Отклонение разрывной функции от ее ряда Фурье часто называют
эффектом Гиббса. [>
66
Глава 3. Приближение функций и производных
3.53. Функция двух переменных /(жьжг) аппроксимируется интерполя-
ционным многочленом Р(ж 1,^2) = «о + <4^1 + «2^2 + «3^1 ^2- При этом
/(0,0) = 1, /(1,0) = 2, /(0,1) = 4, /(1,1) = 3. Найти Р (1 Г .
3.54. Пусть P(^i,^2) —многочлен от двух переменных степени не выше
п по каждой переменной и Р = 0, к, т — 0,1,..., п. Доказать, что
Р(^1,Ж2) = 0.
3.2. Многочлены Чебышёва
Имеется несколько способов определения последовательности многочле-
нов Чебышёва первого рода. Рассмотрим некоторые из них.
а) Рекуррентное соотношение'.
То (ж) = ТДж) = ж, Тп+1(ж) = 2жТп(ж) - Тп_1(ж).
б) Тригонометрическая форма. При любом у имеем
cos ((п + 1)»/) = 2 cos у cos(ny) — cos ((п — 1)?;).
Полагая у = агссоэж, получаем
Tn(x) = cos(narccosT).
Простое следствие: |Тп(ж) | < 1 при |ж| < 1.
в) Разностное уравнение. Рекуррентное соотношение является раз-
ностным уравнением по переменной п. Ему соответствует характеристи-
ческое уравнение р2 — 2хр +1 = 0. Следовательно, piy. = ж ± \/х2 — 1.
При ж ±1 справедливо Тп(х) — + С2Р2 • Из начальных условий
получаем С\ = С2 = тр что приводит к формуле
В силу непрерывности многочлена формула верна и при ж = ±1.
Отметим, что все многочлены Т2п(х) — четные, a T2n+i(x) — нечетные.
При этом коэффициент при старшем члене равен 2П-1.
3.55. Доказать следующие свойства многочленов Чебышёва:
1) Т2п(Ж) = 2Т2(Ж) - 1;
1 р Т — Угг (ж) Tm(x) 1 _ 1 7Г ^mn J ^_х2 аХ 12 -1 17Г X 3) $ Tn(y)dy=±(-^Tn+1(x)- -1 4 4) (1 - х2) Г"(х) -хТ’п(х) + п2 Т, При П 7^ ш, при n = m / 0, при n = m = 0; 1 \ (-ip . Q. п 1 / п — 1 г(ж) =0, п 0 .
3.2. Многочлены Чебышева,
67
<] 1) Следствием тригонометрического тождества
cos ((п + + cos ((п — m\q) = 2 cos(w?) cos(m7?)
является полиномиальное тождество
2Тп(х)Тт(х) = Тп+т(х) + Тп_т(х), ,
из которого при п = т следует искомое выражение.
2) Положим х = cos т/, тогда dx = — sin 77^77 и
7Г
Рпп — J* COS(h7?) COS^TTlT/^dT/ —т '
О
о \ гг, Т„ (ж) — sin(n arccos ж)
3) Лак как — - =---- .. —то. полагая х = cos77, имеем
± - Ari-iW) =
2 \тг +1 n+lv 7 п — 1 п }
_ sin((n+ 1)77) — sin((n — 1)77) _ 2 cos(n?7)sin77 _ j, / \ .
— 2sin77 — 2sin77 n^' ’
теперь искомое равенство справедливо с точностью до постоянной, кото-
рую легко определить, поскольку Тп( — 1) = (—1)п.
4) Непосредственно дифференцированием вычисляется Т"(х); напом-
ним, что (arccos^)' = —(1 — я2)-1/2. О
3.56. Пусть х2 + у2 — 1. Доказать, что Т2п(у) = (-1)пТ2п(я)-
3.57. Найти все нули многочленов Чебышева Тп(х).
~ тг (2m — 1) , ,
Ответ: Жт = cos —4 2П—гДе m — 1, • • • ,тг (все нули лежат внутри отрезка
[—1,1], их ровно п).
3.58. Найти все экстремумы многочлена Чебышева Тп(х) на отрез-
ке [-1,1].
Ответ: = cos^l, m = О,...,тг (на [—1,1] имеется п + 1 экстремум
иТп(ж(т))=(-1)т).
3.59. Доказать, что приведенный многочлен Чебышева Тп(х) = 21~пТп(х)
наименее уклоняется от нуля среди всех многочленов Рп(х) со старшим
коэффициентом 1 на отрезке [—1,1], т. е.
НЗДН = max |РП(Ж)| шах |Т„(Я)| = 21~п.
НМ] [-1,1]
<] Пусть ||Рп(ж)|| <_21^п. Тогда в точках экстремума многочлена Чебы-
шева знак разности Тп(х) — Рп(х) определяется знаком Тп(х):
sign (Tn(S(m)) - Pn(S(m))) = Sign ((-l)m21-n - Pn(S(m))) = (“I)"* •
При этом указанная разность является отличным от нуля многочленом
степени тг — 1, но имеет тг нулей, поскольку п + 1 раз меняет знак в точках
экстремума, т. е. Рп(х) = что невозможно в силу ||РП|| < ||ТП||.
Полученное противоречие завершает доказательство. О
68
Глава 3. Приближение функций и производных
3.60. Доказать единственность многочлена, наименее уклоняющегося от
нуля на отрезке [—1,1] среди всех многочленов со старшим коэффициен-
том 1.
3.61. Найти многочлен, наименее уклоняющийся от нуля на отрезке [а, Ь]
среди всех многочленов со старшим коэффициентом 1.
О Выполним линейную замену переменных X — а ., , Q ДЛЯ
отображения отрезка [—1,1] в заданный отрезок [а, Ь]. Многочлен Тп(х')
при этом преобразуется в многочлен Тп со старшим коэффи-
/ э \п
циентом К “ ) - В результате перенормировки и использования схемы
доказательства из 3.59 имеем
= (b- а)п2^2пТп (— , ' 111 ) . >
п ' \ О — 11 /
3.62. Пусть сип(т) = П (т — Показать, что при любом выборе узлов
г= 1
Xi € [а, 6] имеет место неравенство |wn(^)l| (Ъ — а)п 21-2п. Сравнить
полученный результат с аналогичным для равномерного распределения
узлов.
Указание. Использовать решения 3.61 и 3.5.
3.63. Пусть 0 а < Ь. В классе многочленов Рп(х) степени п, удовлетво-
ряющих условию Рп(0) = с О, найти наименее уклоняющийся от нуля
на отрезке [а, 6] и вычислить его равномерную норму.
тп / 2ж ~~ (Q + ь) \
Ответ: Рп(х) - с------ А, ||Р*(а:)|| = qi =
др [ — Q + в ] “Ь V о + у/а
3.64. Пусть к а < Ь. В классе многочленов Рп(х) степени п, удо-
влетворяющих условию Pnfc\o) = с 7^ 0, найти наименее уклоняющийся
от нуля на отрезке [а, 6].
/ 2.т - (а + Ь) \
1 J ml > I
3.65. Среди всех многочленов Fn(rr) = хп + ... степени п 2, удовлетво-
ряющих условиям Pn(—1) = Рп(1) = 0, найти наименее уклоняющийся от
нуля на [ — 1,1].
Ответ: Рп(х) = 21-n (cos Tn (х cos^-).
£ n J
3.66. Пусть Рп (х) — многочлен степени п и max | Pn (х) | = М. Доказать,
хб [-1,1]
что для всех ж, удовлетворяющих условию х ^1, выполняется неравен-
ство |Рп(ж) М Тп(х) , где Тп(х) — многочлен Чебышёва степени п.
3.2. Многочлены Чебышёва
69
Указание. Предположив противное, т. е. допустив существование такого
С, |£| 1, что |Рп(С)| > М|ТП(£)|, получить противоречие, доказав, что
Р (О
у полинома Qn(x) = (А Тп(х) — Рп(х\ как минимум, п + 1 нуль.
3.67. Для производных многочлена Чебышёва получить представления
следующего вида:
= 2(72п_1 + Т2п-з + • • • + 71), Jf? = 2(Т2п + Т2П_2 + - • - + т2) + 1.
Zj Г 6 Zitb “1“ 1
Указание. Воспользоваться третьим свойством из 3.55 в виде
rryt rrtf
ь. = 2Tn_! + п>2.
п п 1 п —2’
3.68. Пусть функция f(x) представима при |гс| 1 в виде
оо оо
f(x) = 52 akTk(x), где 52 lafc| < Tk(х) —многочлены Чебышёва.
к=0 к=0
Доказать, что для всех хЕ [— 1,1] справедливо равенство
Я оо
J /(t)dt = X + У2 (ак-1
1 к=1
00. (_1\к+1
— Я£+1)7\(ж) + 0,0 ~ 7^" + У —75---“•
4 k=2 к -1
3.69. Вычислить значение
1) х = 2) х =
Ответ: 1) Тзк (|) = (-1)*,
2) Тзк (-|) = 1,
многочлена Чебышёва п-й степени в точке:
3.70. Вычислить значение первой производной многочлена Чебышёва п-й
степени в точке: 1)х = 1; 2)х = — 1.
Ответ: 1) ТА(1) = п2; 2)ТА(-1) = (-l^+V .
3.71. Функция f(x) = sin2rc приближается многочленом Лагранжа на
отрезке [0,2] по п чебышёвским узлам: Xi = 1 + cos 1 тг,
г = 1,..
п.
Найти наибольшее целое р в оценке погрешности в равномерной норме
вида е < Ю р, если п = 6.
О
Ответ: р = 2.
3.72. Функция /(rc) = cos гс приближается многочленом Лагранжа на
[—1,1] по п чебышёвским узлам: Xi = cos 1 тг, i = 1,...,п. Найти
наибольшее целое р в оценке погрешности в равномерной норме вида
£ 10~р, если п = 5 .
Ответ: р = 3.
70
Глава 3. Приближение функций и производных
3.73. Функция f(x) = ех приближается на [0,1] интерполяционным
многочленом степени 3 с чебышёвским набором узлов интерполяции:
Xk = А + A cos , k = 1, 2,3,4. Доказать, что погрешность интер-
поляции в равномерной норме не превосходит величины е- 10~3.
3.74. Среди всех многочленов вида а3х3 + 2 х2 + щх + oq найти наименее
уклоняющийся от нуля на отрезке [3,5].
Ответ: Р(х) = 4 ^-4) = - ^ + 2Ж2 - ф + ^ .
6 8 6
3.75. Среди всех многочленов вида а%х2 + х + ао найти наименее уклоня-
ющийся от нуля на отрезке [—1,1].
Ответ: а2 = — ао при любом |&ol С
3.76. Среди всех многочленов вида 5х3 + азх2 + адх + ао найти наименее
уклоняющийся от нуля на отрезке [1,2].
Ответ: Р(х) = Т3(2х - 3) = А. (З2ж3 _ 144ж2 + 210х - 99).
3.77. Среди всех многочленов вида а3х3 + а%х2 + а-^х + 4 найти наименее
уклоняющийся от нуля на отрезке [1,3] .
Ответ- Р(т\ — 4 7з^Ж ~ 2) — (8а?3 - 48ж2 -к 9°ж 4^
итвет.Г^-4 Т3(-2)---“Т^ + Лз" “4 S) * * *J '
3.78. Среди всех многочленов вида а3х3 + а^х2 + 3 х + ао найти наименее
уклоняющийся от нуля на отрезке [2,4] .
Ответ: Р(х) = 3 ~ 3) = ^- ^+3x-g.
jl у О J би О О О О
3.79. Доказать следующие представления многочленов Чебышёва:
1) Тп(х) = ( ?2п)"П! ((1 “ ж2)П“1/2)
& f L J *
тг 0;
2) Тп(х) =
1 [ 1-tx А
n! dtn у 1 _ 2tx + t2 J
0;
t=()
n
3) i-^
v 2 n! dtn \ 1 -2tx + t2
4) Tn{x) = - | dF (ln^ “ 2tx + t 0’ n 1;
[«/2] { ,
S) TM - a £ (-1)» (b)-’*, „ » l.
k=0
3.80. Показать, что для системы узлов интерполяции Xi = cos 1 ?г,
i = 1,...,п (нули многочлена Чебышёва Тп(ж)), справедлива асимптоти-
ческая оценка сверху для константы Лебега Ап К Inn с постоянной К,
не зависящей от п.
3.2. Многочлены Чебышёва
71
О Рассмотрим функцию Лп(ж) = V
•=1
имеем Лп = i
п
. По определению Лп
j=l 37г)^п(^г)
шах Ап(ж). Учитывая выбор узлов интерполяции, получим
г=1
| cos(narccosrr)|sin тг n | cos(7rn99)| sin —- тг
О’ 1 / -4 о.’ 1 ’
п\х — COS —- 7Г| г=1 n| COs(tT(j9) — COS - - 7г|
2п 2гг
где сделана замена х = cos(tt^), а ср меняется на отрезке [0,1]. Обозначим
эту сумму через 9(ср) и заметим, что, в силу симметрии узлов, Лп(ж) —
четная функция, поэтому при оценке сверху для 9 (ср) достаточно рассмат-
ривать только отрезок 0, .
Так как имеют место неравенства
sin |а| |а|, sin /3 =-^ /3\ при /3
sin |/3| |/?| при |3| >
ТГ &
3
2 ’
то при 0 < (3 Т ? о < а тг, имеем
| sin а |
| cos /3 — cos а|
о . <у + /3
2 sin
а — /3
2
З*2 о
2\/2 \а+/3\\а-/3\ ’
откуда, если положить
п = 3 = , 1 < m < 21±2 , о Z 1 ,
следует, что
. 2г — 1
2га < Зтгп ______2г — 1______
| cos - cos тг| " 4^ |m + i-l-t||m-i-«| '
1 2п
Параметризация ср = 2т ; 1—— , 1 т 1 + корректна, так как,
полагая т в указанных пределах и изменяя t на
°> Г
можно получить
любое значение <р (либо 1 — ср) из отрезка
о, 2
. Далее имеем
| cos7rn<£| = cos (2m — 1 — 2t)
= sin 7Tt < 7ri.
Используя два последних неравенства, оценим 9(ср):
< PV (2г — l)t _ Зтг2
у- Im + i-i-iHm-i-il ’ 4^2 '
Отсюда следует, что при т = 1
п
С -L- + ty(. ‘ + । ) <
1 — t \ г — I + t г — t J
L г=2 J
п—1 \ f П X
< с (2+Ет (з + Jt =С(3+1ПП).
г=1 / X 1 '7
72
Глава 3. Приближение функций и производных
При 2 т 1 + получаем
т — 1 . .
L г=1
+ ? Е ( -ц 1 1 / +-——7)Uc’(,4 + y-kc'(4-lnn).
2 \т 4- г — 1 —t г — т +t / \ ' г у х '
i=m+l J \ 1=2 7
Окончательно имеем
Лп = max 6(<р) С (4+ Inn) К Inn.
<РС[О,1]
3.81. Доказать, что если узлы интерполяции на отрезке совпадают с нуля-
ми многочлена Чебышёва соответствующей степени, то справедливо нера-
п
венство Xn = max 1^4^)! /Г Inn с постоянной К, не зависящей от п.
ж i=i
3.82. Определить константу Лебега Аз для узлов интерполяции — нулей
многочлена Чебышёва Тз(х).
Ответ: Аз = ^.
В приложениях встречаются также многочлены Чебышёва второго ро-
да Un(x). Они удовлетворяют рекуррентному соотношению и начальным
условиям: Un+i(x) = 2xUn(x) — Un-i(x), Uq(x) = 1, Ui(x) = 2x.
3.83. Показать, что для Un(x), х G R, справедливо представление
Un(x) =
sin((n + 1) arccos x)
sin(arccos x)
(x + \/x2 - l)n+ - (ж - Vx2 — l)n+1
2Vx2 - 1
при |ж| 1 ,
при |я|
3.84. Показать, что общее решение разностного уравнения
?/п+1(я) - 2xyn(x) + yn-i(x) = 0 представимо в виде: yn = Ci(x)Tn(x) +
+ C2(x)Un-i(x).
Указание. Вычислить определитель
7о(ж) Ti(x) _ 1 х _
и^(х) U0(x) “0 1
откуда следует, что Тп(х) и Un-1(х) — линейно независимы.
3.85. Проверить соотношения для Тп(х) и Un(x)t
1) Tn-i(x) - xTn(x) = (1 - x2)Un-i(x)]
2) Un—1(^) xUn{x^ = Тп-\-1(х} j
3) Un+i(x) + Un-i(x) = 2Ti(x)Un(x) ’
4) Uin-i(x) = 2Ui_x (Tn(x)).
3.3. Численное дифференцирование
73
3.86. Показать, что max |f/n(a;)| = Un(l) = п + 1.
1
3.87. Вычислить Ann = J л/1 — х2 Un(x) Um(x) dx .
-1
3.3. Численное дифференцирование
Пусть известны значения функции /(ж) в точках #i, Х2, . . . ,хп и тре-
буется приближенно определить производную /^(#о) Для некоторого
О к п — 1. Построим интерполяционный многочлен Ln(x) и положим
f^k\x) и L^\x); при этом для погрешности справедливо представление
к
/*)(«) - Цк)(х) = У г,-----лт/(п+>)(6)ш?->)(ж).
J ' п \ / (fc - j)!(n + J n \ f
j=0
Для системы равноотстоящих узлов (жг+i — Xi = h) часто используют
другой подход, основанный на получении приближений для старших про-
изводных через приближения для младших, аналогично последовательно-
му дифференцированию. Базовыми являются следующие выражения:
= /w-Ax-fe) , 5/(а;) = g/(x)+w)>
которые являются простейшими аналогами первой производной функции
f(x). Их называют разностями вперед, назад и центральной соответ-
ственно. Для вывода оценок погрешностей при данном подходе удобно
использовать разложения Тейлора.
Для получения формул численного дифференцирования на прак-
тике также используют метод неопределенных коэффициентов. Он
заключается в следующем: искомую формулу записывают в виде
п
/ (^о) = Cif(xi) + R(f), и коэффициенты а определяют из системы
г=1
линейных уравнений при R(f) = 0, для получения которой последователь-
но полагают f(x) равной 1 , X, X , . • . , X .
Будем далее использовать обозначение f(x) € \ если функция /(ж)
имеет на интересующем нас отрезке все непрерывные производные до
порядка г включительно.
3.88. Показать, что в точке х — Xi (одном из узлов интерполяции)
справедлива оценка погрешности
i , шах |/(п)(я)| ft Ь*~хз\-
j^i
Указание. Использовать явное представление погрешности для произ-
водной многочлена Лагранжа.
74
Глава 3. Приближение функций и производных
3.89. Доказать равенства:
1) если / е С(2), то df(x) - f'(x) = х < С < х 4- /г;
2) если / € С{3), то df(x) - f'(x) = /"'(£), x-h<£<x + h.
Указание. Использовать разложение в ряд Тейлора.
3.90. Получить явные формулы для разностных аналогов старших про-
изводных: f"(x) « ddf(x), ffff(x) « dddf(x), f^(x) « d2d2f(x).
Ответ:
ddf(x) =
/(я + /г)-2/|.м + Дж-/г)
Л’
dddf(x\ = ~~ 2 ^x + + 2 Rx ~h^ ~ f(x ~~ 2fe)
d2d2f(x)
f(x + 2ft) - 4 f(x + ft) + 6 f(x) — 4f(x — h) + f(x - 2ft)
-------------------------------ft'-----------------------------------
3.91. Найти величину Ki = Кг(К) в следующих равенствах:
1) если f е то ddf(x) — f"(x) = K2f^(£), х — h<^<x + h\
2) если f € то dddf(x} — ffff(x) = K^5\Q7 x — 2h<£<x + 2h\
3) если f e , to d2d2f(x) — f^4\x) = K±f^ (£), x — 2h < £ < x + 2h.
Ответ: 1) K2 = 2) K3 = 3) K4 = •
3.92. Считая, что значения функции в формулах численного дифферен-
цирования для аналогов второй и четвертой производных из 3.91 заданы
с абсолютной погрешностью г, получить оценки полной погрешности этих
формул как сумму погрешности метода и вычислительной погрешности.
Найти оптимальный шаг hGy при котором минимизируется величина оцен-
ки полной погрешности.
Указание. Решение провести по аналогии со следующим примером для
разности вперед (см. также 1.6). Полная погрешность для разности вперед
df(x) имеет вид
Ri(h,e) = гь+^hXki_Г(а:) ,
где f*(x + h) и /*(х) — приближенные значения функции f(x) в соответ-
ствующих точках. Добавляя в числитель дроби ±/(гс + А) и ±/(гс), после
перегруппировки слагаемых получим
Г(т 4- М - /(х 4- Л) /Чх/- /(г) //<х - Л) ./hi
Л h "Г k h J '
Оценка вычислительной погрешности для каждого из двух первых сла-
гаемых имеет вид а погрешность метода в предположении ограничен-
ности второй производной /,7(С) С М2 равна Окончательно имеем
Ri(h,e) . Для определения значения Ад, при котором мини-
мизируется полная погрешность, необходимо правую часть полученного
3.3. Численное дифференцирование
75
выражения продифференцировать по h и приравнять к нулю. Решая
уравнение — 2eh~2 + ДД- = 0, находим ho — 2 . —- и Ri(ho^) — 2y/eMi.
Z \ М‘2
/ х1/4
Ответ: 1) ho = 2 I 1 дляТ?2(Л-,б)
4s I h АДгд <-)
+ 12 > 2) ho = 2
3s
M6J
1/6
Для
Ri{h,e) <
h °
3.93. Методом неопределенных коэффициентов построить формулы чис-
ленного дифференцирования наиболее высокого порядка точности по h:
1) /ДО) Q ~2А) 4- &/(0.1 4- с/(h) .
2) //Х(0) ~ °/(-^') Т b/(h) 4-c/(2h) 4-rf/(3h)
h2
Ответ: 1) a = — Д, b = — Д, с= |> 2) а= Ь = ~2,с = 2, d = —
3.94. Доказать, что 5/(0) — /'(0) =
h
J* (h — \x[f ffff(x)dx.
— h
Указание. Разбить интеграл на два, раскрывая модуль, и интегриро-
вать по частям.
3.95. Используя формулу Тейлора с остаточным членом в интегральной
форме
ь
f{b) = /(а) + (6 - а)/'(а) + • • • + /<”>(«) + ± J(6 - E,)nf(n+1\^
а
получить оценки погрешности формул численного дифференцирования
(постоянные Ci, С2 не зависят от / и h)
X
\df(x) - /V)l < Ci J f"tt)\dH,
x—h
x-}-h
\ddnx)-f"(x)\^C2h J |/<4)(?)И€
x—h
3.96. Доказать справедливость следующих равенств:
S(/») = /aS + W + W», =
3.97. Пусть вычислены точное и приближенное значения f"(xo) при
заданных узлах интерполяции х-i,...,Xq, ... ,xi, Xi — Xi-i = h. Показать,
что справедливо представление
rw-Фо) = f(2l+24^)h2i.
yAl' I- J r
76
Глава 3. Приближение функций и производных
3.98. Используя формулу Тейлора с остаточным членом в интегральной
форме, получить оценки погрешности следующих формул численного
дифференцирования (постоянные Ci не зависят от f и h):
х —|— h
1) \df(x)-f'(x)\^Ci j |/"(<)|d<;
X
х —|— h
2) ]df(x)-f(x)\^C2h j
x — h
х +2 h
3) 12df(x) - df(x + h) - / V) I < csh J |/"'«) |
X
X
4) \2df(x)-df(x-h)-f'(x)\^C4h J \f"'tf)\d$
x—2h
x -\-2h
5) \&&f(x) <C5h J |/<6’«)|dC
x — 2h
3.99. Доказать справедливость следующих равенств:
1) g) = f dg + g df — hdf dg;
2) d(f g) = f dg + g df + (ddf dg + ddg df);
3) =
/ 9^9 + hdg)
3.100. Получить формулу численного дифференцирования наиболее вы-
сокого порядка точности по h следующего вида:
1) /'(0) « Л-1[а/(О) +bf(h) + с/(2А)];
2) /'(0) « Л"1[а/(0) + 6/(-Л) + с/(2Л)];
3) /'(0) « /г-1[а/(О) + bf(-h) + с/(-2Л)];
4) /'(0) « Л-1 [а/(0) + 6/(2Л) + с/(ЗЛ)]
и найти h, при котором достигается минимум оценки полной погрешно-
сти, если шах |/^(т)| С и абсолютная вычислительная погрешность
х
функции не превосходит е, т. е. шах |/(ж) — /*(ж)| е.
Ответ: 1) а —
2И1/3-
2) а — 2 , Ъ — з , с — 6 ;
4) <2— g, Ъ—2» — д’»
1/3
3.101. Пусть f е С3’\ 0 Л1, т. е. / G |/'"(т) - f\y)\
k\x — у\х Доказать, что ddf(x) — f"(x) = О(/г1+Л).
3.4. Многочлен наилучшего равномерного приближения
77
3.102. Пусть числа оу, не зависящие от /г, порождают формулу числен-
ного дифференцирования максимального порядка точности среди формул
п
вида х) « h к 52 ajf(x + jh). Доказать, что:
j=—n
1) aj = <*-j, если к четное, aj = —если к нечетное;
2) формула с дополнительным слагаемым
п+1
j = —n
не может иметь больший порядок точности; причем она имеет тот же
порядок точности тогда и только тогда, когда /Зп+\ = 0, fij = aj,
j = — n, —n + 1,..., n — 1, n.
3.103. Доказать, что если все точки Xi различны и удалены от точки
Xq на расстояние 0(h), где h — малая величина, то при гладкой f(x) при-
ближенная формула численного дифференцирования f^(xo) « 52 Cif(xi)
г=1
имеет порядок погрешности O(hm). Здесь т j + 1 — к, j — максимальная
степень многочленов, для которых эта формула точна.
3.104. Найти аппроксимацию f"(x) по равноотстоящим (xi+i — Xi = h)
узлам Тг, Ti-ы, Тг±2 с максимально возможным порядком точности по h.
3.105. Найти коэффициенты формул численного дифференцирования
максимальной степени точности:
af(x) + bf(x - h) + cj(x - h I
7Г '
2) ff(x) ~ — M + cf(* — 2/>) t
3) f"(x) « a^x^ + № + M + c/(s + 2/Q .
h~
4) f"(x) и + b^x + + c^x ~ •
h~
5) /"(я)«
1) /'(*)«
3.4. Многочлен наилучшего равномерного
приближения
Пусть R — пространство ограниченных вещественных функций, опреде-
ленных на отрезке [а,6] вещественной оси, с нормой f(x)\ = sup /(т)|.
Для элемента f G R отыскивается наилучшее приближение вида
п
Qn(^) — У? aj х^ . Многочлен <2^(т) называется многочленом наилучшего
j=Q
равномерного приблиэюения для функции /(т), если для любого много-
члена Qn(x) степени п справедливо неравенство |/ — <2„|| С | f — Qn\
78
Глава 3. Приближение функций и производных
Такой многочлен существует всегда, а для непрерывной функции он
определяется единственным образом.
Теорема Чебышёва. Чтобы многочлен Qn(x) был многочленом наи-
лучшего равномерного приближения непрерывной функции f(x), необхо-
димо и достаточно существования на [а, 6] по крайней мере п + 2 точек
xq < ... < Хп+1 таких, что
/(^)-Q„(^)=a(-l)1||/-Qn||,
где г = 0,..., n + 1 и а — 1 (или а = — 1) одновременно для всех I.
Точки хо,... ,xn+i, удовлетворяющие условию теоремы, называются
точками чебышевского альтернанса.
3.106. Построить многочлен наилучшего равномерного приближения
степени п = 50 для f(x) = sin 100т на отрезке [0, ?г].
Ответ: Qso(x) = О-
3.107. Пусть /( х) —выпуклая непрерывная функция на [d,6] и Q^(x}
ее многочлен наилучшего равномерного приближения первой степени.
Доказать, что концы отрезка а и b входят в альтернанс.
О Выпуклая функция удовлетворяет неравенству
XI + х2
2
/(xi) +/(х2)
2
для произвольных Xi,Х2 из отрезка [а,6]. Рассмотрим непрерывную вы-
пуклую функцию g(x) = f(x) — Q®(x) (добавление к /(т) линейной
функции Qi(x) эти свойства сохраняет) и обозначим через {£;} множество
точек альтернанса. Доказательство проведем от противного.
Пусть, например, а <£ {£;}• Тогда для 0 = inf{£i} имеем д(0) = М
i
и 6 > а. Следовательно, в силу выпуклости д(х) справедлива следующая
цепочка неравенств для достаточно малого г:
М = д(9) < э(^ + е) + ^-е) <; М+д{9-е)
М У М = м .
2
Полученное противоречие означает, что а € {&}• Аналогично дока-
зывается принадлежность множеству точек альтернанса другого конца
отрезка. [>
3.108. Построить многочлен наилучшего равномерного приближения
степени п = 1 для f(x) = х3 на отрезке [1,2].
О Введем обозначения: L = ||/(ж) — Qi(x)||, Qi(t) = а$ + а±х, [1,2] = [а, 6]
и, воспользовавшись выпуклостью f(x), запишем соотношения из теоремы
Чебышёва: f(a) - (ао + ai а) = L , f(d) - (а0 + aid) = -aL , /(6) — (do + ai b) = a L .
3.4. Многочлен наилучшего равномерного приближения
79
Кроме того, поскольку (/ — внутренняя точка альтернанса и f(x) — диф-
ференцируема, отсюда получаем недостающее уравнение
(/(•’’) “ («о Ч- «1 х))Г|
О
Задача также имеет наглядное геометрическое решение: строим по точкам
(ft,/(ft)) и (5, /(6)) прямую 1/1(ж) = олх + а2; находим такое d G [ft, 6], что
f'(d) = ац проводим прямую у2(а?), параллельную yi(x) и проходящую через
точку (d,/(d)); функция Qi(x) = a±x + ао? параллельная т/1(ж) и у2(х) и рав-
ноотстоящая от них, будет искомым многочленом наилучшего равномерного
приближения согласно теореме Чебышёва.
3.109. Построить многочлен наилучшего равномерного приближения
степени n = 1 для /(т) = х на отрезке [—1,5].
Ответ: Qr(x) =
3.110. Построить многочлен наилучшего равномерного приближения
Q^[x) степени п для Рп+1(ж) = ап+1жп+1 -I- ♦ ♦ на отрезке [а, 6].
Указание. По определению многочлена наилучшего равномерного
приближения, разность и Q^(t) представляет собой наименее
уклоняющийся на отрезке [а, 5] многочлен степени (п + 1) со старшим
коэффициентом &п+1- Следовательно, Рп+1(я) — <?п(я) =
где 7д\’^(я)— приведенный многочлен Чебышёва. Отсюда имеем
Qn(^) — ?n+i(x) — '-'г» - .О'। На отрезке [а, 5] точки альтернанса
определяются экстремумами многочлена т!+1(я).
3.111. Пусть /<п+1>(х) непрерывна, не меняет знак на [а, 6] и Qn(x) —
многочлен наилучшего равномерного приближения степени п для f(x).
Оценить величины Q и в неравенстве C*i С f(x) — Qn(z)| I < С2 •
<] По определению многочлена наилучшего равномерного приближения,
ь = II/(*)-<?»(х)\ не превосходит нормы погрешности приближения f(x)
интерполяционным многочленом Ln+i(x) по узлам, являющимся нулями
многочлена Чебышёва, т. е.
(d-a)n+1
12п+1(п + 1)!
С другой стороны, по теореме Чебышёва разность /(т) — Qn(x) обраща-
ется в нуль в (п + 1)-й точке, которые можно рассматривать как узлы
интерполяции 2/1? • • • ? Уп+1- Поэтому верно представление погрешности
следующего вида:
80
Глава 3. Приближение функций и производных
где шп+1(ж) - (х - У1) (х - уп+1) и С = С(ж) € [а, 6]. Пусть точка х0
такова, что |д»п+1(®о)| = I шп+1(®)||- Тогда
Ь> 1Л«а)-Qn(.r0>|-|/’*««(«о))| •
Поскольку ||wn+i (я) || (b — a)n+1 /22п+1, окончательно имеем
Таким образом, если f(n+1\x) сохраняет знак и меняется не очень
сильно, то разница между погрешностями приближения функции f(x)
многочленом наилучшего равномерного приближения и интерполяцион-
ным многочленом по нулям многочленов Чебышёва несущественна. О
3.112. Пусть /(ж) — непрерывная нечетная функция на отрезке [—1,1].
Показать, что многочлен наилучшего равномерного приближения произ-
вольной степени п — также нечетная функция.
<| Пусть Qn (х)— многочлен наилучшего равномерного приближения
f(x) на [-1,1]. Тогда |/(я) — Qn(z)| < L — |/(ж) — Qn(z)||. Заменяя
х на —х и умножая выражение под знаком модуля на —1, получим
| - f(-x) - (-<Эп(-я))| < L или f(x) - (-<9п(-я))| Ь. Следовательно,
х) также многочлен наилучшего равномерного приближения f(x)
на [—1,1]. По теореме единственности имеем Qn(x) = —Qn(~x\ что
и требовалось показать.
Аналогично рассматривается случай четной f(x). О
3.113. Получить оценку вида Cn | sin^—Qn(x) || 2С*П для многочлена
наилучшего равномерного приближения степени и на — Т Т .
О о
Ответ: || sin# - (?2п- 1(ж)II = || sin# - <Э2п(ж)|| ;
/\2п+1 1
Z*i __ /1 ( ТГ 1 1
О2п-1 -О2п- (2п + 1)! •
3.114. Построить функцию f(x) и ее многочлен наилучшего равно-
мерного приближения Qn(x), не удовлетворяющие теоремам Чебышёва
и единственности.
Ответ: f(x) = signa? на [—1,1], Qi(x)=axy а 6 [0,2].
3.115. Построить многочлен наилучшего равномерного приближения
степени п для функции f(x) на отрезке [а, Ь]:
1) n = 1, /(я) = ж3, [-1,1];
2) п = 3, /(я) = ехр(я2), [-1,1];
3) п = 3, /(ж) = 3sin2 10® + |®2 — 7х + 10|, [3,4].
Ответ: 1) Qi(x) = 4 х; 2) <2з(®) = (е — I)®2 + £ — X (е — 1) 1п(е - 1);
3) <2з = -ж2 + 7ж - .
3.4. Многочлен наилучшего равномерного приближения
81
3.116. Построить многочлен наилучшего равномерного приближения
первой степени для функции f(x) = /г2 + 1 на отрезке [0,1].
3.117. Построить многочлен наилучшего равномерного приближения
четвертой степени для функции f(x) = 8ш(6тгт) на отрезке [0, тг].
3.118. Построить многочлен наилучшего равномерного приближения
степени п для функции f(x) на отрезке [а, 6]:
1) п = 2, f(x) — х3, а = 0, 6 = 1:
2) п = 2, f(x) = х4, а = —1, 6=1;
3) /1—1. f(x) = sin х, a = —тг, 6 = тг;
4) и — 3. f(x) — х2 — 7х 4-10 , a = 3, 6 = 4;
5) n = 30, f(x) — 2z2 + 3x + cos 50т, а = 0, b = ir;
6) n = 1, f(x) = 1 + >0. a — 0, 6=1;
7) n — 2, f(x) — 2r2 + 3x 4- 5, a — 1, 6 — 7.
3.119. Получить оценку вида
COS Л — <?д(ж)| C[fJ] < С
с явным выражением для С, где Q2(x)—многочлен наилучшего равно-
мерного приближения четвертой степени.
3.120. Доказать, что ехр(ж) - Ql(x) o[o,i] > гДе Qa(x)~ много-
член наилучшего равномерного приближения четвертой степени.
3.121. Рассматривается задача наилучшего равномерного приближе-
ния функции ехр(я) на [—1,1]. Показать, что 10-6 < I ехр(я)
— Q^rc) lc[—i,i] Ю-5, где Q^rc)— многочлен наилучшего равномерного
приближения шестой степени.
3.122. Показать, что чебышёвский альтернанс для функции ехр(ж) всегда
содержит крайние точки отрезка, на котором решается задача наилучшего
равномерного приближения.
3.123. Привести пример функции и соответствующего ей многочлена
наилучшего равномерного приближения, для которых среди точек чебы-
шевского альтернанса нет граничных точек отрезка, на котором решается
задача приближения.
3.124. Привести пример функции и соответствующего ей многочлена
наилучшего равномерного приближения 6-й степени, для которых имеется
99 точек чебышёвского альтернанса.
Указание. На отрезке [а, 6] сначала зафиксировать многочлен 6-й сте-
пени Qe(x) и построить вокруг него «коридор» из двух многочленов:
Q+(x) = С?б(ж)+£ и Q-(x) = Qe(x)—e. Затем внутри «коридора» провести
колеблющуюся относительно многочлена Qe(x) непрерывную функцию
f(x), имеющую наперед заданное (например, 99) количество точек касания
(альтернанса) с обеими границами <2+(ж) и Q_(x).
82
Глава 3. Приближение функций и производных
оо
3.125. Пусть 22 aklk(x) — некоторый ряд по системе многочле-
fc=o
нов Чебышёва Ть(х). Доказать, что каждая частичная сумма ряда
п
Sn(x) — 22 &kTk(x) — многочлен наилучшего равномерного приближения
к=0
степени п на [—1,1] для 5п+1(я).
3.126. Функция f(x) = * Q приближается на [ — 1,1] многочленом первой
+ У L ' 1
степени следующими способами:
1) наилучшее равномерное приближение;
2) отрезок ряда Тейлора в точке х = 0;
3) интерполяция с оптимальными узлами я 12 = ±“7=-
у 2
Построить эти многочлены и вычислить нормы погрешностей
В С[-1,1].
3.127. Функция f(x) = ехр(—х) приближается на [—1,1] многочленом
первой степени следующими способами:
1) наилучшее равномерное приближение;
2) наилучшее приближение в L2(—1,1);
3) отрезок ряда Тейлора в точке х = 0, т. е. интерполяция с узлами
= а?2 = 0;
4) интерполяция с узлами Xi — —1,^2 — lj
5) интерполяция с оптимальными узлами m,2 —
у 2
Построить эти многочлены и вычислить нормы погрешностей
В С[-1, 1].
3.128. Найти многочлен наилучшего равномерного приближения степени
n = 1 для функции /(ж) = 1 + \/х на отрезке [0,1] .
Ответ: Qi (ж) = ж + .
3.129. Найти многочлен наилучшего равномерного приближения степени
п = 3 для функции f(x) = sin х2 на отрезке [—V^l •
Ответ: <Эз(ж) = •
3.130. Найти многочлен наилучшего равномерного приближения степени
п — 1 для функции /(ж) — |ж| на отрезке [—1,2].
Ответ: <Э1(ж) = (ж+ 2).
3.131. Найти многочлен наилучшего равномерного приближения степени
п — 2 для функции /(ж) — х3 на отрезке [—1,1].
Ответ: <Э1(ж) = j х.
3.4. Многочлен наилучшего равномерного приближения
83
3.132. Найти для функции ехр(ж) наилучшее приближение многочленом
1
нулевой степени в норме £х(0,1), где Ц/ЦьЛоД) = J \f(x)\dx.
О
3.133. Пусть Р? — пространство алгебраических многочленов второй сте-
пениснормой ||р|| = |р(—1)|+|р(0)| + |р(1)|. Найти наи лучшее приближение
функции р(х) — х2 € Р2 константой.
3.134. Пусть n 1 и заданы к — 0,1,...,п. Найти линейную
функцию р(х) = ах + 6, минимизирующую функционал
(Ук -ахк~ Ъ)2.
к=0
3.135. Пусть А и х — вещественные симметричная матрица размерности
п х п и n-мерный вектор, /(i) = ||Ах — tx||2 = у/(Ах — ix, Ах — ix).
(Лх х)
Доказать, что f(t) достигает минимума при t = —Ц2- .
3.136. Найти для функции f(x) наилучшее приближение в норме £2 (а, 6),
11Л1ь2{0,1) — J
о
1) а = —1,
2) а = -1,
3) а = -1,
4) а = —1,
|/(ж) |2£т, алгебраическими
многочленами Рп(х) степени п:
6 = 1, f(x) = |Д n = 1;
6 = 1, f(x) = х2, n = 1;
6 = 1, f(x) = х3, n = 1;
6 = 1, f(x) = х3, п = 2;
5) а = 0, 6 = тг, f(x) = sin ж, п = 2;
6) а = 0, 6 = 2, f(x) = т3, п = 3.
3.137. Для заданной функции /(т) найти алгебраический многочлен
Рп(х) степени п, минимизирующий весовой функционал
1 .
Г (/(.г) - Мг))2
\/1 — Ж2
где 1) /(т) = | (т2 + 2т + 1), n = 1; 2)/(т) = ж2, n = 1; 3)/(ж) = х3, п = 2.
3.138. Показать, что построение коэффициентов многочлена наилучшего
приближения для функции f(x) в пространстве £2(0,1) приводит к систе-
ме уравнений с матрицей Гильберта' hij =
1
i + j ~ 1
1 г, j п.
п
<1 Наилучшее приближение ищется в виде ^2 UjX^1 с неизвестными
j=1
коэффициентами а^, которые определяются из условия минимума функ-
р / п \ 2
ционала I I /(т) — ajx^1 j dx. Дифференцируя функционал по ai
84
Глава 3. Приближение функций и производных
и приравнивания производные к нулю, получим уравнения
1 / п \
J I f(x) — I xz-1dx = 0 , i = 1,2,..., п
0 \ j=i /
ИЛИ ]
52 i + i- 1 ~ J~ Аж) , i=l,2,...,n.
j=i +j о
3.5. Приближение сплайнами
Пусть на отрезке [а, 6] вещественной оси задана сетка: а = xq < xi <. •.
.. .< хп = 6? ~ множество многочленов степени не выше т (m 1),
(7^ [а, 5] — множество функций, имеющих на [а, 6] непрерывные производ-
ные до г-го порядка включительно (г 0).
Функцию Sm(x) = называют полиномиальным сплайном сте-
пени т дефекта k (1 С к С т) с узлами {я^}, i = 0,1,..., п, для функции
f(x) Е С[а, Ь], если выполнены следующие условия:
1) на каждом из отрезков [xi,Жг+1]> i = 0, — 1. она является
многочленом, т. е. Sm(x) Е Рт(х);
2) на всем отрезке [а, 6] обладает непрерывностью производных, т. е.
Sm(x) € С'(т-*=)[а,6].
Ниже термин «дефекта к» будем опускать, так как далее рассматри-
вается только случай к = 1.
Сплайн называется интерполяционным, если в узлах {х^ справедливы
равенства Sm(xi) = i = 0,1,..., п.
3.139. Построить линейный интерполяционный сплайн по значениям
Ответ: Si (ж) = /(0)(1 - ж) + /(1)ж.
3.140. Получить оценку погрешности приближения функции f(x) линей-
ным интерполяционным сплайном на равномерной сетке с шагом /г, если
/О) е С<2>[0,1].
О Пусть Xi = ih, h — -L, г = 0,1,... ,n; тогда линейный интерполяцион-
ный сплайн на отрезке [т;_1,Тг] имеет вид
ЭД = + /(^) .
Если f(x) Е С(2)[0,1], то из оценки погрешности для интерполяционного
многочлена Лагранжа следует, что
max \f(x) - 51(ж)| max |/"(z)| .
Это неравенство справедливо на любом отрезке хД, значит, на [0,1]
в целом. О
3.5. Приближение сплайнами
85
3.141. Обозначим через Mi значения второй производной (х) кубиче-
ского интерполяционного сплайна в узлах {^i}, i = 0,1,... ,п. Показать,
что они удовлетворяют системе линейных уравнений С М = d, где
X при j = i - 1,
cij ~ hi +Дг4-1 3 hi+i 6 при при 3 = 1 _ fi+i — fi _ fi - fi-i Л г hi+1 hi j = г + 1,
< 0 при Ь-г| > 1;
i = 1,2,.. . ,n-l, hi = Xi-Xi-г.
<| По определению, Sf^(x) — линейная на каждом отрезке [xi-i,rcj функ-
ция. В силу ее непрерывности в концах отрезков имеем представление:
S£(x) = Mi-г + Mi х .
Двухкратно интегрируя и учитывая условия Sa(xi) = fi, £3(^-1) = А-ь
получим аналитическое представление кубического интерполяционного
сплайна на отрезке [rci-i,rcj:
S3(x) = М^ + Mi (ж~ Жг~1)3 +
, (f f Mih^yx-x^i
6 J hi + 6 ) hi *
Вычислим производную сплайна S'3(x) слева в точке т*, воспользовавшись
представлением на
З'3(хг - 0) = Mi-г + Мг Л ,
и аналогично найдем производную сплайна Sf3(x) справа в точке т*,
воспользовавшись представлением на [ж%, ж%+1]:
S'3(xi + 0) = -Мг ^±1- - Mi+1 ~ h .
□ О Щ+1
Непрерывность S'3(x) в точках Xi,i = 1,...,п-1,т.е. Sf3(xi~ 0) = £3(^+0),
порождает искомую систему из (п — 1) уравнения относительно (п + 1)-го
неизвестного. D>
3.142. Построить кубический интерполяционный сплайн по значениям
/(0),/(1),/(2).
О Из решения 3.141 следует, что здесь неизвестными являются величины
Mo, Mi, М2, удовлетворяющие уравнению
1 М0 + | Мг + | М2 = /(2) - 2/(1) + /(0).
При этом искомый сплайн имеет следующий вид:
86
Глава 3. Приближение функций и производных
на отрезке [0,1]
53(х) = Мо + М1 + (/(0) - ) (1 - х) + (/(1) - ) х
на отрезке [1,2]
53(х) = мг + М2 +
+ (/(1) - %) (2 - х) + (/(2) - (х - 1).
У построенного сплайна две степени свободы, которые фиксируются за-
данием Мо и М2 или уравнениями для них. Естественному сплайну
соответствуют значения Mq = М2 = 0. [>
3.143. Пусть в 3.141 Мо = Мп = 0.
Показать, что в этом случае решение системы С М = d удовлетворяет
неравенству
max |dj I
max |ЛЛ I •:/ 3 1 '' .
l1 nun П,
KKn-1
О Пусть max Mi\ = Mj , 1 < J < n — 1. Рассмотрим j-e уравнение
системы
d3 = ^ + Mj ^+1 + A/,+1 .
из которого следует неравенство:
|d. Mj - ( ^_j| ", - If . ,| ^±L) > |Л// Ь+рИ .
так как Mj±^ Mj . Оценивая левую часть неравенства сверху через
max \di и множитель в его правой части снизу, как
г
/ц •+ h-i 11 j .
пни-------—— -я miii/ii,
t й 3 «
приходим к искомому неравенству. [>
3.144. Пусть /(ж) € С^4^[а, 6], шах /4)(т) Д4, задана сетка с по-
(а,6)
стоянным шагом hi = h, и дополнительные условия для определения
кубического интерполяционного сплайна имеют следующий вид:
$з(хо + 0) = /'(хо), 5з(хп - 0) = /'(хп).
Показать, что справедлива оценка погрешности
/’'(j)| < G-lj/i4 1 - 0.1.2.3.
3.5. Приближение сплайнами
87
<] Поточечное неравенство для второй производной. Воспользуемся ре-
шением 3.141. Разделив обе части г-го уравнения системы СМ = d на
приведем его к виду
I Мг-г + 2Mi + 1 Mi+1 = 3 Л+1 -+ Л~х , i=l,2,...,n-l.
Вычисляя производную сплайна S3 (х) справа в точке воспользовав-
шись представлением на [яо, #i]
S'3(x0 + 0) = -1 (2 Mo + Ml) + = /'(so),
получим первое (для i = 0) уравнение системы
2 Mo + Mr = l ~ f\x0)) .
Последнее уравнение (для i = п) строим аналогично
Мп_! +2М„= | (/(xn) - fn -J”-1) .
Положим tpi = и вычтем из обеих частей уравнения СМ = d выра-
жение С <р. Имеем С(М—= d—С <р. Для полученной системы, используя
решение 3-143, можно получить оценку max|Mi — <pi| max|di — (C<p)i|
i i
Представляет интерес величина di — (Ccp)i в правой части неравенства.
Рассмотрим ее для i = 0. Получаем
| - (2 Л^о) + /"(*0 + Л)) =
6 То + hf'(xo) + f"(х0) + £ /<3’(х0) + /<4)«1) - /о
h \ h
~ГЫ) - (2/"(хо) + ГЫ + /г/(3)Ы + ^/(4)(»Л)) =
= ^(/<4)(6)-2/<4’ы).
Мы пришли к неравенству |cfo — (С<р)о | сой?Ад с постоянной со = |
о
Аналогичная оценка справедлива для i = п, в которой также сп =
Далее потребуются два следствия формулы Тейлора:
fi+l - 2fi + A-l = + g Z(4)(Ci)j
Л+i + 4 ft + Л-i = 6fi+
Применим их для получения оценок при 1 i п — 1:
3 Л+1-2А + А 1 _ (1 Г(ж.+1) + 2Г(ж.) + 1 /"(Si.j)) =
= З/'Vi) + ^/(4)(G) - (3/"(xi) + ^/(4)(>Л)) =
= ¥ (/(4>te)-2/(4>(%)).
88
Глава 3. Приближение функций и производных
т.е. \сЦ—(Ccp)i сф?А±. Таким образом, получено поточечное неравенство
max 'Mi — (72^2^4, = у. Напомним, что Mi = S^(xi).
Оценка для второй производной. Рассмотрим на отрезке Раз-
ность
Г(Х) - S3(x) = f'(x) - (м,_! + Mi ±
Знак ± здесь и далее означает одновременное добавление и вычитание
соответствующего слагаемого. Преобразуем эту разность к виду
+ (/"(xi-l) - Mi_x) - Мг) Х Xi~X .
Первое слагаемое можно оценить как приближение функции /"(ж) ее ли-
нейным интерполянтом, а для оставшихся двух слагаемых можно приме-
нить полученное ранее поточечное неравенство. Учитывая, что величины
|х — Xi-11, х — хд не превосходят /г, окончательно получим
шах З'УУ) - f"(x)\ < -11 £ + 2C2h2A4 = C2h2A4, С2 = .
Правая часть неравенства не зависит от конкретного отрезка
поэтому полученная оценка справедлива для хо х хп.
Оценка для третьей производной. Эта оценка является следствием по-
точечной оценки для второй производной и явного представления S^\x)
на
S{33)(x) =----
Mj - Mj-1
Получаем
/<3>(Ж) - ,sf Л + =
_ / (J1> 1.1 \ । Mj—i
Для оценки первого слагаемого разложим f"(xi) и /"(гЕг-i) в точке х.
Получаем
= f\x) + - X)f^(x) + /(4)(е+Х
= f"(x) + (Xi-i ~ Я)2
Теперь приходим к неравенству
|/(3)(ж) - ± (hf(3\x) + g)2 /(4)(С+) - g)2 I $
2 At = hA4.
3.5. Приближение сплайнами
89
Для оценок оставшихся слагаемых можно воспользоваться поточечной
оценкой для второй производной разности, что приводит к окончатель-
ному результату
max |/(3) (х) - 43’ WI < h Л4 + 2 C2h Л4 = C3h А4, С3 = %.
X Z
Оценка для первой производной. Эта оценка следует из непре-
рывной оценки для второй производной. Так как f(xi) — Ss(xi),
= 5з(яа-1), то на отрезке [х;-].,xi] существует точка такая, что
= 5з(&). Отсюда, по формуле конечных приращений Лагранжа,
получим
/'(*) - S’3(x) = (/'(г) - ^(х)) - (/'(<*) - ЗШ) =
где х Oi Поскольку |х — &| /г, сразу имеем оценку
max |/'(Ж) - S£(;t)| «С С1/г3А4, C'i = С2 = И
X о
Оценка для разности. Эту оценку получают из непрерывной оценки
для второй производной тем же способом, что и при выводе оценки по-
грешности интерполяции многочленом Лагранжа. Рассмотрим функцию
g(z) = f{z) — Ss(z) — R(z — xi){z — xi-i) на отрезке где число
R определяется из условия g(x) = 0, х Xi,Xi-i. Таким образом, на
этом отрезке существуют три точки: х, Xi, x/-i, в которых g(z) обращается
в нуль. Поэтому в силу теоремы Ролля существуют две точки, в которых
g'(z) обращается в нуль, и, наконец, найдется точка £ такая, что д"(£) = 0.
Отсюда получаем д”(£) = /"(£) — (С) — 2 R = 0, следовательно,
|Л| = | 1/"(£)-5зО<| C2h2А4.
Вспоминая, что точка х выбиралась из условия д(х) = 0, приходим
к оценке
max |/(ж) - 53(ж)| max |(ж - xi)(x - ~ C2h2A4 — = C0/i4A4,
X X Z 44
с константой Со = = ||. Все требуемые оценки получены. [>
3.145. На сетке с постоянным шагом h построены естественные сплайны
5з(х) и 5з(х) при использовании точных fi и приближенных /* значений
функции, так что \fi — /*| е. Показать справедливость оценки
max |5з(ж) — St (ж) | К е, К = 10.
X
<1 Пусть х € [жг-1,Тг]; тогда, используя аналитическое представление
сплайна из 3.141, получим
max |S3(x) -S3(ж)|
+ \Mi - <1 + IA-! - /‘-J + 1Л - /*|.
90
Глава 3. Приближение функций и производных
Разность Mi — М* удовлетворяет уравнению
C(Mi - М*) = di - d* = 1 [Л+1 - 2 fi + Л-1 - (/*+1 - 2 f* + /*-!)].
Отсюда на основании решения 3.143 для коэффициентов естественного
сплайна имеем оценку max | Mi — М- | -Ц- е. Поэтому справедливо
i h
неравенство
max |5з(ж) - 5з(х)| < б + 2б = 10б.
[□ч-ьяч] /Г 3
Правая часть неравенства не зависит от рассматриваемого отрезка
[xi-i,Xi], значит, оно справедливо для яо х хп.
Встречается термин вычислительная устойчивость сплайна. Это
означает, что возмущение сплайна пропорционально возмущению исход-
ных данных с некоторой абсолютной постоянной. В рассмотренном при-
мере получена оценка с постоянной К = 10. О
Используют также локальные (аппроксимационные) сплайны, значе-
ния которых в узлах, как правило, не совпадают со значениями f(x). Это
обстоятельство не принципиально, так как сами значения f(x) обычно из-
вестны приблизительно. Рассмотрим построение локального сплайна тре-
тьей степени на сетке с постоянным шагом h = Xiyi —Xi, i = 0,l,...,n — 1,
для отрезка [0,1]. Возьмем стандартный сплайн В(х), определяемый
соотношениями
| — х2 + |а?|3/2
(2-Н)3/6
о
при
при
при
|я| < 1,
1< и <2,
2 < 14
Локальные сплайны третьей степени B^lx) и вУ(х) записываются в ви-
Де
В?\х) = £ ауВ(^), к = 1,2,
г=—1
и отличаются выбором коэффициентов.
При к = 1 доопределяют значения /-1 и fn+x линейной интерполя-
цией по значениям /о,Л и fn,fn-x соответственно и полагают щ — fi
(fi = f(Xi)) при -1 i п + 1. При к — 2 доопределяют значения
и /„+1,/„+2 кубической интерполяцией по значениям /о,/ь/2,/з
и /п-2, fn-з соответственно и полагают
Значения полученных сплайнов в узлах сетки равны некоторому сред-
нему значений функции в ближайших узлах.
3.146. Показать, что при любых а\к\ к — 1, 2, функции В^ (х) являются
сплайнами третьей степени, причем они тождественно равны нулю вне
отрезка [—37г, 1 + 3/ф
3.5. Приближение сплайнами
91
О Справедливость первого утверждения следует из свойств стандартного
сплайна В(х): он является кусочно-кубической функцией, имеющей в точ-
ках ±1,±2 непрерывные производные до второго порядка включитель-
но (проверяется непосредственно). Линейная комбинация таких функций
удовлетворяет определению кубического сплайна.
Далее рассмотрим в формуле В^(х) множитель В (~с у ) при a_i-
Эта функция обращается в нуль при
2, т.е. при х —3/z
и х h. Аналогично множитель В —1)^) ПрИ ап+1 обращается
в нуль при x^xn-h = l- hux^ 1 + 3 h. Эти слагаемые являются
крайними в сумме (первым и последним), поэтому определяют область,
где В^к\х) 0, а именно отрезок [—3/z, 1 + З/z]. Областью определения
приближаемой функции f(x) является отрезок [0,1]. |>
3.147. Записать значения /-1 и /n+i, необходимые для определения
локального сплайна В^\х).
<] Построим многочлен Лагранжа первой степени для f(x) по значениям
/о, /1-
Xi = xq + th, i = 0,1,
и вычислим его значение в точке х = xq — h. Имеем /-i = L2(xq — /z) =
= 2/о — Л- Аналогично по значениям fn, fn-i строится величина
fn+i — 2 fn — fn—i- D>
3.148. Записать значения и /n+i, /п+2, необходимые для опреде-
ления локального сплайна В^\х).
<] Построим многочлен Лагранжа третьей степени для f(x) по значениям
fm fn—i, fn—2, fn—з- Имеем
4 4
L4(x) = П .
Г \ Xn+l~i Xn+l—j
г=1 4=1 J
где Xi = xo + ihy i = n,n- l,n-2,n - h = Xn~x°, и вычислим значения
многочлена в точках xn + h и хп + 2 h. Получаем
/п+1 = + h) = 4 fn — 6 fn-1 + 4 /п-2 — /п-3,
fn+2 = Ю fn ~ 20 /п-1 + 15 fn-2 — 4 /п—3‘
Аналогично по значениям /о, /1, /2, /з строят величины
/-2 = 10/о-20/1 + 15/2-4/3, /_1 = 4/о-6/1 + 4/2-/3.
92
Глава 3. Приближение функций и производных
3.149. Показать, что величина зависит только от значений fi
в четырех ближайших к х точках х^ а величина В2 \х) — в шести точках.
<| Пусть х €
тогда х
= 0 h, к — 1 0 к. Нера-
венство
x — ih
h
выполняется только для значений
|0 - г|
i = к —2, к — 1,к,к+1. Так как стандартный сплайн В(х) равен нулю при
|х| > 2, то В^\х) зависит только от значений fi, i = к — 2,к — 1, &, к + 1.
Напомним, что для В^\х) коэффициенты определяются как аг = fa.
Анализ для В^\х) проводится аналогично, только зависимость от
значений в шести точках связана с другой формулой для коэффициентов:
а. = 8Л-Л+1-Л-1 >
3.150. Показать, что В^г)(хо) = /0, B%\xn) = fni i= 1,2; В^2)(я1) = /1?
В2 — /п-1-
<| Покажем в качестве примера равенство В2 дхп) — fn- Так как
xn = nh, получим
п+1 , .
В^Ы = £ aiB = ап+1В(-1) + «»В(0) +«п-1В(1) =
г=1
_ <*п+1 + 4 O!n + Qn-l _ 1_ / ~/п+2 + 8/n+l ~ fn । a —fn+1 +& fn — /п-1
6 6 \ 6 6
+ ~^~2) = Т (-/п+2 + 4/„+1 + 30/„ + 4/п-1 - /п_2) = /п.
Для получения последнего равенства использованы выражения для /п+2
и /п+1 из 3.148. >
3.151. Пусть |/(4\х)| А4. Показать, что
(в’2)(+)т -/«+)
< С'гА4+^,
Z = 0,1,2,3.
<] Для сплайна В^(х) будем использовать обозначение В2И, чтобы
избежать недоразумений с символами производных.
Поточечное неравенство для второй производной. Рассмотрим выра-
жение B^ix) в одном из узлов xk = kh. Имеем
В2Ы = (afc-iB"(l) + «*+"(0) + afc+iB"(-l)) =
п
_ o?fc-l - 2Qfc + Qfc+1 _ -fk-2 + 10 /fc-1 ~ 18 /fc + 1° fk+l - fk+2
h2 6h2
Используя разложения в ряд Тейлора для величин /fc±i, А±2 в точке
х = Xk, получим Bz(xk) = f”(zk) + c2h2
3.5. Приближение сплайнами
93
Оценка для второй производной. Эта оценка выводится из поточечного
неравенства как для интерполяционного сплайна (см. решение 3.144), если
в приведенных там выкладках S3 (ж) заменить на ^(ж).
Оценка третьей производной. В этом случае необходимо отметить, что
на отрезке [xk-ь Xk] справедливо равенство
х — —+ 3б**:-1 — 3afc+l +«А:+2 _ #2 (xk) ~ &2 (жА:-1)
Дальнейшие рассуждения такие же, как для интерполяционного сплайна
(см. решение 3.144).
Оценка для первой производной. Рассмотрим на отрезке [xk-i,Tfc]
функцию <?(ж), про которую известно следующее:
1)</(х) непрерывна; 2)|</(х)| < К. Тогда
X
9(Й= J” $'«)<£ +р(зд-1) и |р(ж)| Kh-t- |p(a:fc_1)|.
®fc-l
В рассматриваемом случае g(x) = В2(х) — ff(x), и имеется оценка
|^,(ж)| — В2(х) — /"(ж)| К = C2A^h2. Для нахождения недостающей
величины |(?(жа;—i)| рассмотрим значение В2(х) в узлах хь = kh
В’2(хк) = + akB'(0) + ак+1В'(-1)) = Qfc+12~Qfc-1 =
= А-2-8Л^+8Д+1-А+2 =/'(^)+С1/(4)Ы/13.
Откуда и следует искомая оценка:
max \f'(x) — В2(х) Gi/i3^4.
X
Оценка для разности. Эта оценка получается таким же способом:
g(x) = В2(х) — f(x). В данном случае К = СцЛд/г3,
В2(хь) — ak—iB(l) + afcB(O) + afc+iB(-l) =
= + = /(я.) + C0/(4’(&) h\
что приводит к завершающей оценке для I — 0. [>
3.152. Пусть |/(2\х) А2. Показать, что
(вр’(x))W - /«(ж) ССМ2/12-', / = 0,1.
Глава 4
Численное интегрирование
Рассмотрим интеграл вида
ь
1(Л = J р(х)
а
где [а, Ь] — конечный или бесконечный промежуток числовой оси и /(х) -
произвольная функция из некоторого класса F. Если не оговорено про-
тивное, то считаем, что все f(x) непрерывны на отрезке [а, Ь]. Заданную
функцию р(х) называют весовой. Будем предполагать, что на [а, Ь] она
измерима, тождественно не равна нулю (как правило, почти всюду поло-
жительна) и ее произведение на любую /(х) G F суммируемо.
Для приближенного вычисления интеграла 1(f) строят линейные квад-
ратурные формулы (квадратуры) следующего вида:
п
Sn(f) = 52 сг/(^г)-
г=1
Постоянные а называются коэффициентами (весами) квадратуры, Xi —
ее узлами.
Для каждой функции f(x) € F погрешность квадратурной формулы
Sn(f) определяется как Rn(f) — 1(f) — Sn(f)> При этом оценкой погреш-
ности на классе F называют величину
Rn(F) = sup Rn(f) . ||/?n(F)| = sup пгттг^ '
На практике часто используют оценки сверху для Rn(f) , которые будем
обозначать через Rn-
4.1. Интерполяционные квадратуры
Имеется большая группа квадратурных формул, построенных на основе
замены f(x) алгебраическим интерполяционным многочленом. Пусть на
конечном промежутке [а, Ь] по заданному набору различных узлов {.г,}” х
функция f(x) приближается интерполяционным многочленом Лагранжа
Ln(x) степени п — 1
Ln(x) = ^f(xi)
г=1
11 Xi - J-j
J=1 J
Положим
b
Sn(f) = f p(x) Ln(x) dx .
a
4.1. Интерполяционные квадратуры
95
Отсюда получаем явные формулы для набора коэффициентов {сД/_ г
и оценку погрешности Rn такую,что \I(f) — Sn(f)\ < Rn,
b п |у(п)(ж) I b
Ci = J* p(x) * 2 7 dx' Rn = —- J р(ж)| Wn(ri dx,
a j=i 1 a
3 i
гда
')|| = max |/(п)(ж)|, wn(x) = П(а: - Xi).
zeta,6) ДД
В оценках, приведенных ниже, также используется равномерная норма.
Квадратурные формулы интерполяционного типа, построенные в слу-
чае весовой функции р(х) — 1 для системы равноотстоящих узлов
Xi = а+(г — 1) ~a , i = 1,..., п, называют формулами Ньютона—Котеса.
TL I
4.1. Получить формулы Ньютона—Котеса и соответствующие оценки
погрешностей при числе узлов n = 1,2, 3.
Указание. При вычислении интегралов использовать замену перемен-
ной х = x(t) = b - ci + Ь а. £. в частности,
Ь / \п+1 1
J |w„(x), rf-r = (^) J ,
a —1
n
где tjO(t) — П а U являются образами узлов Xi на отрезке [—1,1].
г=1
Ответ: n = 1 — формула прямоугольников
5,(Л = (Ь-а)/(2^Ь)( ft = ||/'(а!)|| {ЦйИ ;
п = 2 — формула трапеций
&(/) = (/(а) + /(b)), R2 = Н/"(ЛН ;
п = 3 — формула парабол (Симпсона)
«з(Л = Ц^(/(а)+4/(24А)+/(Ь)), R3 = ||/<3)(ЛН
4.2. Рассмотрим формулы прямоугольников и трапеций. Какая из них
имеет лучшую точность?
О Можно сравнивать точность только для функций из одного класса,
поэтому необходимо получить для формулы прямоугольников другую
оценку погрешности. Воспользуемся в качестве приближения к функ-
ции f(x) отрезком ряда Тейлора в точке a Имеем
а b
2
= f
+/'
2
96
Глава 4. Численное интегрирование
Тогда для квадратурной формулы 5i(/), полученной с помощью интегри-
рования двух первых слагаемых, справедливо равенство
ь
W) (х~ ^\\ dx = Si(f),
при этом оценка погрешности принимает вид
Й1 = гм | / _ ф\2 dx = ||Г(х)||
a
Следовательно, на классе функций с непрерывной второй производной
формула прямоугольников имеет оценку погрешности в два раза мень-
шую, чем формула трапеций. О
В общем случае оценка погрешности для формул Ньютона—Котеса
имеет следующий вид:
при нечетных п
при четных п
Отсюда можно получить известную оценку погрешности для формулы
Симпсона: R3 = ||/(4)(i)|| .
4.3. Пусть весовая функция р(х) четная, узлы Xi расположены симмет-
рично относительно нуля, т. е. xn+i~i = — х^ i = 1,... ,п. Доказать, что
в интерполяционной квадратурной формуле для вычисления интеграла
a
1(f) = J p(x)f(x)dx коэффициенты, соответствующие симметричным
—а
узлам, равны, т. е. = Ci, i = 1,... ,п.
Указание. В формуле для коэффициента квадратуры
Gi+1-i = a Г р (at) ГГ _/ dt
—1
заменить узлы на симметричные in+i-« — — ti, tj = — tn+i_j, формально
поменять индекс в произведении и использовать свойство определенного
1 1
интеграла J g(t)dt = j* g(—t)dt.
-1 -i
4.4. Доказать, что для погрешности квадратурной формулы трапеций
справедливо представление
ь ь
R2(f) = I/(^) dx - (/(а) + /(6)) = | /(а - 0(6 - 0/"(0 d?.
а а
4.1. Интерполяционные квадратуры
97
Указание. Проинтегрировать правую часть равенства по частям два
раза или использовать формулу Тейлора с остаточным членом в инте-
гральной форме.
Составные квадратурные формулы. Рассмотрим задачи на построе-
ние составных квадратурных формул и вывод оценок их погрешностей.
Пусть h = и Xk = a + khy k = 0,1,..., TV. Введем следующие
£fc+i
обозначения: = J p(x)f(x) dxy Sn\f) = Sn(f) для отрезка
k = 0, ... ,N - 1.
N-l
Исходный интеграл 1(f) равен 1(f) = 52 I^(f), поэтому co-
fc=0
ответствующая составная квадратурная формула принимает вид
N-1 (А.)
S"(f) = Z а для ее погрешности справедливо неравенство
fc=0
N-l (k}
|Я*(/)1 52 Rn (f) • Например, в случае составной формулы
fc=0
прямоугольников
sf (/) = £
fc=O
для погрешности на отрезке [££,^+1] имеем неравенство
<\/) l/"MII(x*+1~Ifc)3 - 1/"М1|£ =
/V
Следовательно, для всего отрезка [а, 6] оценка погрешности получается
суммированием по всем [^b^fc+i]
R? = I /"МП
(6 - а)3
24 N2
1
4.5. Для вычисления J* f(x)dx применяется составная формула тра-
о
пеций. Оценить минимальное число разбиений АГ, обеспечивающее точ-
ность 0,5 10-3 на следующих классах функций: 1) f"(x)\ 1;
1
2) J f"(x) dx < 1.
о
Ответ: 1)N = 13; 2) N = 16 (для этого случая полезно использовать 4.4).
4.6. Для составной квадратурной формулы трапеций с шагом h =
погрешность которой имеет вид
Ь , N-1 \
R? (/) = 1 /М “ 6 ,v“ (I /М) + I /(«М + 12 ЦХк) I
a • fc=l
98
Глава 4. Численное интегрирование
получить оценки погрешности следующего вида:
2 Ь -----/Ь \1/2
1) J|ГW 2) /Ц Т'.'тйГ Ш* •
Указание. Использовать 4.4. Для второго случая дополнительно ввести
( \ = J (х* _ - я) на
t 0 вне [£fc,Xfc+i]-
Тогда имеют место соотношения
ЛГ-1 Sfc+i
Е J (зд-о(ад+1-е/"(е^ =
/с=0
2V-1 Ь Ь 2V-1
= Е J <pk (?)/"(?) # = J ле е <%,
fc=0 а а fc=0
к последнему из которых следует применить неравенство Ко-
ши—Буняковского.
1
4.7. Вычислить интеграл J exp(x2)dx по формуле Ньютона—Котеса с уз-
о
113
Лами XI = О, Х2 = Жз = 2 } ^4 = ^5 = 1 и оценить погрешность.
1
4.8. Найти оценку погрешности вычисления интеграла J f(x)dx при
о
/(ж) = 1 9 по составной квадратурной формуле
1 + х
/(0) + 4/(0,1) + 2/(0, 2) + 1/(0.3) + .. + 4/(0,9) + /(1,0)
30
Указание. Покажем, что \f(n\x) | = п\. Для этого введем функцию
у = arctgж. Тогда у' = f(x). Используя обратную функцию х = tgу,
ПОЛУЧИМ , 2 п /
У = COS у, у = —2у C0S7/S1I17/, ....
Эти выражения можно преобразовать к виду
у' = cos т/sin (у + ,
у” = cos2 у sin 2 (у + ,
^(п) = cosn у sinп (^у -Ь j) .
Отсюда следует |/^(ж)| = ||?/п+1)(х)'| = п\.
Ответ: ||/4)(ж)||_1_^ =7^Я7 .
4.1. Интерполяционные квадратуры
99
1
4.9. Найти оценку погрешности вычисления интеграла J* /(ж) dx при
о
f(x) = —по составной квадратурной формуле
1 + ж
S(j) = /(0) + 2/(0,1) + 2/(0,2) 4 ... + 2/(0,9) + /(1,0)
20
Ответ: ||/"(я)|| —1 п - 1 (см. указание к 4.8).
J. II
4.10. Оценить число разбиений отрезка N для вычисления интеграла
1
j* sin (ж2) dx по составной квадратурной формуле трапеций, обеспечиваю-
о
щее точность 10-4.
Ответ: N 45 >
^"1о2 + 1,
0 — птах(2,4 sin 1 — 2 cos 1) < 2,29.
4.11. Оценить число разбиений отрезка N для вычисления интеграла
1
j*ехр(ж2) dx по составной квадратурной формуле прямоугольников, обес-
о
печивающее точность 10-4.
Ответ: N [50^/е] + 1 = 83 .
4.12. Оценить число узлов составной квадратурной формулы трапе-
1
ций для вычисления интеграла J exp(x2)dxy обеспечивающее точность
о
е 10“4.
4.13. Оценить число узлов составной квадратурной формулы Симп-
2
сона для вычисления интеграла J f(x)dxy обеспечивающее точность
о
е < 0,5 • 10-4 на классе функций, удовлетворяющих условию f^4\x) | 1.
4.14. Записать квадратурную формулу для вычисления с точностью 10 4
оо оо
интегралов/(/) = J е~х f(x)dx, 1(f) = J* хе~х f(x)dx, если для некоторого
о о
фиксированного k 1 выполнено неравенство f^k\x) < 1.
100
Глава 4. Численное интегрирование
4.15. Доказать справедливость следующих представлений погрешностей
квадратурных формул:
ь
1) J f(x)dx - (/(а) + 3/ (^) + 3/ + /(6)) =
а
b
2) J f(x)dx - (7Да) + 32/ + 12/ (^) + 32/ (<^) +
а
+ 7/(Л)) = -(^)‘ 535 /(6)Ю, а<С<&;
b 2
3) J f(x)dx - 4^ (Да) + ДЬ)) - (f'(a) - f'(b)) =
а
4.16. Показать, что ни для какой системы узлов и коэффициентов
погрешность квадратурной формулы Rn(f) не стремится сильно к нулю
на пространстве непрерывных функций (/(ж) G С[а, 6]). Более того, всегда
справедливо равенство
|Яп(О I = +
a i=l
О Рассмотрим непрерывную на отрезке [а, 6] функцию /(ж) такую, что
ь ь
тах|/(ж)| = 1, (p(x)f(x) dx Гр(ж) dx - е
а а
и f(xi) — — signer, i — 1,2, где e — произвольно малое число. Она
строится конструктивно по заданным узлам Xi и весам с^. f(x) = 1
вне малых окрестностей точек Жг, внутри них — непрерывная функция
|/(ж) 1 и f(xi) — — sign Ci. Для такой функции справедливо неравенство
Ь п
Rn(f) = 1(f) - Sn(f)^ §p(x)dx + ^2\a -е,
a i=l
и так как \Rn(f) Яп(С)| max f(x) = | RnfC) , то имеет место оценка
Ь п
I Яп(С’)|| dx + lcd “
а i=l
откуда в силу произвольности е следует, что
Ь п
| Яп(С)(| /р(ж) dx + Ы-
a i=l
4.1. Интерполяционные квадратуры
101
Неравенство противоположного знака устанавливается просто, поэтому
искомое утверждение доказано.
Этот факт иллюстрирует «пессимистическую» точку зрения, согласно
которой проблема численного интегрирования непрерывных функций,
вообще говоря, неразрешима. Однако для практических приложений более
важен факт существования системы узлов и весовых коэффициентов
таких, что Rn (/) —> 0 слабо на С[а, 6] при п —> оо. Это тем более важно, что
в приложениях приходится иметь дело не со всем пространством С[а, 6],
а с некоторым его компактным подмножеством, для элементов которого
можно указать порядок стремления к нулю величины Rn(f). [>
ь
4.17. Пусть Cq — j* < оо, q — 1,2. Получить оценку погрешно-
а
сти формулы трапеций \R2 (J) I TqCqhq у где тя — абсолютная постоянная,
h — шаг интегрирования.
ь
4.18. Пусть Cq = J \f(q\x)\dx < оо, q — 1,2,3,4. Получить оценку
а
погрешности формулы Симпсона pqCqhq, где ря — абсолютная
постоянная, h — шаг интегрирования.
В упражнениях 4.19-4.21 рассматривается приближенное вычисление
1
интеграла /(/ь) — J* fb(x)dx от функции с параметром |6| < 1:
о
О при х — О,
хь при х G (0,1].
AW = |
4.19. Интеграл /(/ь) вычисляется по составной квадратурной формуле
трапеций с постоянным шагом . Доказать, что суммарная погрешность
удовлетворяет следующему соотношению:
, А (6)^0.
4.20. Интеграл I(fb) вычисляется по составной квадратурной формуле
трапеций с распределением узлов Xq = Gv) ’ = <3/(1+Ь)- Дока-
зать, что суммарная погрешность удовлетворяет соотношению
^2 (6)
N2
D2(b) + 0.
4.21. Интеграл I(fb) вычисляется по составной квадратурной формуле
трапеций с распределением узлов xq = (^0 , <p(i) — С. Доказать,
2
что при а > суммарная погрешность удовлетворяет соотношению
|Длг(/)|^ W); д(а,&)/0.
Проверить, что D(a,b) > D2(b), где D2(b) определено в 4.20.
102
Глава 4. Численное интегрирование
4.2. Метод неопределенных коэффициентов
ь
Если интегралы вида J р(х)хк dx вычисляются просто, то при заданном
a
наборе различных узлов можно найти коэффициенты а из условия точ-
п
ности квадратурной формулы Sn{f) — J2 Для произвольного
г=1
многочлена наиболее высокой степени, т. е. из равенств I(xk) = Sn(xk),
к = 0,1,..., (п — 1). Полученная система линейных уравнений относитель-
но Ci имеет единственное решение.
Если квадратура точна для многочлена степени m (говорят, что она
имеет алгебраический порядок точности, равный т), то справедливо ра-
венство Rn{f) = Rn(f — Pm)- Взяв в качестве Pm(x) интерполяционный
многочлен для /(х), построенный по нулям многочлена Чебышёва, можно
получить оценку
im/)ic;;? ,ьдг' (Um+ёы).
Из условия точности квадратурной формулы для функций заданного
вида можно выписать уравнения (в общем случае нелинейные) не только
для определения коэффициентов, но и для узлов квадратуры.
Квадратурными формулами Чебышёва называют квадратуры с одина-
ковыми коэффициентами, т. е.
п &
Sn(f) = с = 1 Jр(я) dx.
i=l а
Их построение заключается в нахождении узлов Xi из условия точности
для многочлена максимально высокой степени. Квадратуры Чебышёва
(их удается построить при п = 1,2,3,4,7,10) обычно применяют, если
значения f(xi) известны с независимыми случайными погрешностями.
В этом случае выбор равных коэффициентов обеспечивает минимальную
дисперсию Sn(/).
4.22. Получить формулу Симпсона методом неопределенных коэффици-
ентов.
Указание. Сначала построить формулу на отрезке [—1,1], а затем отоб-
разить ее на [а, Ь].
Ответ: S3(/) = Цр (/(а) + 4/(^) +/(6)
4.23. Для формул трапеций и Симпсона найти оценки погрешности,
следующие из метода неопределенных коэффициентов.
Ответ: для формулы трапеций |/?2(/)| ||/„||, так как т = 1; для
формулы Симпсона |Д3(/)| < ||/4)||, так как пг = 3.
4.2. Метод неопределенных коэффициентов
103
4.24. Для вычисления интегралов 1(f):
2
1) J(a; + l)/(a;)da;;
о
о
2) J x2f(x)dx;
-1
1
3) j* x2f(x)dx
-i
построить формулы вида S(f) = a f(x)+c2 /(ж2) с одним фиксированным
узлом х — 0, точные для многочленов максимально высокой степени.
Ответ: 1)3(/) = т|/(0) + т|/(т); 2) = IS + W / (" I)5
3) S(f) = | f(0).
4.25. Рассмотрим многочлен
Pn(x) = (x - Xi) ... (x - xn) = Xn + aixn~l + a2xn~2 + . . . + On-
Доказать, что величины Bj = 5Z xk> 3 = 1 ’ • • удовлетворяют равен-
fc=i
ствам
Bi — -аъ
aiBi + — 2a2,
o^Bi + aiB2 + B3 — —Заз,
dn—iBi T a^-2-02 4“ • • • T aiBn_i 4~ Bn — nan.
<] Представим производную Pn(x) в виде
n .
= Pn(x) fa In Pn(x) = 52 x- xk ’
fc = l
где
= a?n-1 + (ai + Xk)xn~2 + (a2 + axxk + x2k)xn~3 + ...
•.. + (dn-i + an-2xk + • • • + 2 P xk X)’
Положим oq = 1. Тогда соотношение для производной можно записать
в виде
П — 1
52(п — к)акхп~к~1 =nxn~1 + (nai+Bi) хп~2+
k=Q
+(n&2 + &1B1 + В2) xn 3 + ... + (nan-i + an-2Bi + • • • Tai-Sn-2 + Bn_i).
Из равенства коэффициентов при одинаковых степенях х и следуют со-
отношения для ai,..., On—1- Последнее соотношение (для ап) получается
в результате сложения равенств
Pn(xk) = ^ajx2~] 1 ^ = 1,2, ... ,п,
j=0
On — 1В1 + dn—2B2 T • • • + CblBn — 1 + Bn = — Qnfl. О
104
Глава 4. Численное интегрирование
4.26. Построить квадратурные формулы Чебышёва на отрезке [—1,1]
с весом р(х) = 1 для п = 2,3,4.
Указание. Для f(x) = х3, j = 1,2,...,п, имеем следующие соотноше-
ние < v+1
1(х3) = Sn{x3), или 1 - [“1 ~ 2 У ' - J ~ 2 Г’;.,
' ' 4/7 j +1 п t—* А п J
где Bj определены в 4.25. Решая эти системы, получаем
Рз(®) = X2 - I . Рз(-р) = - i X. Pi(x) = Z4 - | х2 4- Jr .
О а О ‘1ч>
4.27. Показать, что квадратурная формула
5п(/) = ^Е/
J=1
2/ 1
cos —4—
1
для вычисления интегралов 1(f) = Г ;!1" dx точна для всех алгебра-
_г V 1 - X2
ических многочленов степени 2п — 1.
О Представим произвольный многочлен Р2п-1(ж) степени 2п - 1 в виде
2n—1
суммы многочленов Чебышёва: Р2п-1 (*) = Z QmTm(x), ДЛЯ КОТОРЫХ
тп=0
Тт(х) — cos(m arccosx), и проверим утверждение.
При m = 0 имеем
1
/(То) = Г . 1 dx = тг, Sn(T0) = тг.
_х V 1
При m > 0 справедливо свойство ортогональности I(TmTo) = 0. Для
квадратурной формулы выполним преобразования
Sn(Tm) — “ 52 cos(m arCCOSXj) = 52 COS т
j=l j=l
Далее используем формулу суммы членов геометрической прогрессии
у aQj-i _ «(9П - 1) 0 = ехр
J=1 4
получаем
j , и окончательно для т = 1,..., 2п— 1
/ m(2n 4- Dri \
(—ъ,—)
m(l — 2n)ri
2п
= 0.
4.2. Метод неопределенных коэффициентов
105
4.28. Показать, что квадратурная формула
j=l
1
для вычисления интегралов /(/) = J f(x)y/l — х2 dx точна для всех
-1
алгебраических многочленов степени 2п — 1.
4.29. Показать, что квадратурная формула
п —1 . .
М/) = йУ/(£)
j=0
tv
для вычисления интегралов /(/) = J f(x)dx точна для всех тригономет-
о
рических многочленов с периодом степени не выше п — 1.
<] Рассмотрим величины 1(f) и Sn(f) для функций вида f(x) =
= exp ( 2?rmi — ) , m = 0,1, ... , n. При этом для интегралов имеем
\ и? /
w при m = 0,
О при m 7^ 0.
Используя квадратурную формулу, получаем
Sn(f) = П ZexP (2,rmi n) =
3=0
n — 1
— 52 1 = при — — целом,
П ^=0
< exp (27rmi) - 1 ~ m
—---------------= 0 при — — не целоем.
I 2тгт1 \ -i n
lexp — h1
Приведенное выражение означает, что квадратурная формула точна для
* / / 'ТГ'т Х \ I i'TT'TTI ОТ* I
всех sin I-----— I и cos ------— I, если m = 0 или — не целое, т. е. точна для
всех тригонометрических многочленов степени не выше п — 1. Из явного
выражения для Sn(f) следует, что эта формула также точна для функции
Sin ( 2ттж \ >
\ U7 /
4.30. Пусть Г —треугольник на плоскости, S(T) — его площадь, Л, В,
С — середины сторон. Показать, что квадратурная формула
!(/) = Я №) | 5(Т)(/(А) + /(В) + /(C)),
т
где х = (xi,X2), dx = dx-)dx2, точна для всех многочленов второй степени
вида 2 2
а0 “Ь <11^1 + а>2х2 “Ь а11^1 + ^12^1^2 а22х2-
106
Глава 4. Численное интегрирование
Указание. Линейным невырожденным преобразованием, якобиан кото-
рого постоянен и не равен нулю, произвольный треугольник перевести
в равнобедренный прямоугольный, далее проверка утверждения становит-
ся простой.
4.31. Пусть Р — прямоугольник на плоскости, S(P) — его площадь, Л,
В, С, D — середины сторон, Е — точка пересечения диагоналей. Показать,
что квадратурная формула
Д/) = Я №) « I 5(F) (/(А) + /(В) + /(С) + /(В) + 2/(Е))
р
точна для всех алгебраических многочленов от двух переменных третьей
степени.
Указание. Линейным невырожденным преобразованием, якобиан кото-
рого постоянен и не равен нулю, произвольный прямоугольник перевести
в квадрат, симметричный относительно нуля.
4.32. Для вычисления интегралов 1(f):
2 10 0
1) J*№) dx; 2) //(я) dx; 3) J /(ж) dx; 4) J f(x) dx
0 0-1-2
построить квадратурную формулу Чебышёва с тремя узлами.
О тв е т: 1) Р3(ж) = ж3 - Зж2 + ж - |, Ж1 = 1, жг,з = 1 ± ’ с = |»
2) Рз(ж) = ж3-|ж2 + |ж-^, Ж1 = |, ж2,з = | ± , С = |; 3) Ж1 = - |,
^2,3 — 2" 2^2 ’ — 3 ’ 1’ ^2,3 — 1 i , С —
4.33. Построить квадратурную формулу вида S(f) = Cif(O) + ^2/(^2),
точную для многочленов максимально высокой степени для вычисления
интегралов 1(f)'
0 1 */2 2
1) j x2f(x)dx; 2) §xf(x)dx; 3) J cos(z)f (x)dx\ 4) j*(rr + 2)f(x)dx.
-200 0
Ответ: 1) &(/) = |/(0) + >/(->); 2) S2(/) = j^/(0) +
3)S2(/) = + 4)S2(/) = f/(0) +
. 100 f /7^
21 J \b) ‘
4.34. Определить параметры С1,С2,Ж2 так, чтобы квадратурная формула
ъ
8(f) = Ci/W + ^2/(^2) Для вычисления интегралов J* f(x)dx была точной
а
на многочленах максимально высокой степени.
4.2. Метод неопределенных коэффициентов
107
4.35. Определить параметры С1,С2,сз,а;2 так, чтобы квадратурная фор-
мула 5(/) = ci/(—1) + C2f(%2) + сз/(1) для вычисления интегралов
1
1(f) — J* x2f(x)dx была точной на многочленах максимально высокой
-1
степени.
1
4.36. Для вычисления интегралов 1(f) = J* f(x)dx построить квадра-
0
ТУРНУЮ формулу 5г(/) = ci/(0) + С2/ , точную для многочленов
максимально высокой степени.
4.37. Для вычисления интегралов 1(f)
турную формулу 52(/) = + c2f
максимально высокой степени.
1
- J* f(x)dx построить квадра-
о
i1 , точную для многочленов
О /
2
4.38. Для вычисления интегралов 1(f) — J f(x)dx построить квадратур-
о
ную формулу S3(f) = ci/(0) + c2f + с3/(2), точную для многочленов
максимально высокой степени.
ь
4.39. Для вычисления интегралов 1(f) = J еахf(x)dx построить квад-
а
ратурную формулу 82(f) = cif(a) + C2f(b), точную для многочленов
максимально высокой степени.
Указание. Получить систему уравнений для коэффициентов квадра-
турной формулы
Л ____ 1 ( otb аа\
С1 + С2 “ а *е “ е Ь
с,а+ С2&= 1 [е“ь (b- I') -еаа (а-
о [ \ л/ х л/
ь
4.40. Для вычисления интегралов 1(f) = f(x)dx построить квадратур-
а
ную формулу
S^(f) = cif(a) + С2/ (а + + сз/ (а + 2 а + СфДЬ),
\ О / \ О /
точную для многочленов максимально высокой степени.
4.41. Пусть f G С^[—1,1] и (х) — алгебраический многочлен пятой
степени, удовлетворяющий условиям Р(хь) = f(^k), Pf(xk) = ff(xk),
к = 1,2,3, где xi = —1, Х2 = 0, хз = 1. Рассмотрим квадратурную
формулу
%(/) = i (7/(-1) + 16/(0) + 7/(1) + /'(-1) - /'(1)) •
108
Глава 4. Численное интегрирование
Проверить, что точна на многочленах пятой степени
1
[ P$(x)dx — , но найдется многочлен степени 6, на котором она не
-1
точна.
4.3. Квадратурные формулы Гаусса
Рассмотрим следующую задачу: при заданном числе узлов п построить
ъ
для вычисления интегралов вида !(/) = §p(x)f(x)dx квадратурную
a
формулу
Sn(f) = tciflxt), (4.1)
г = 1
точную для многочленов максимально высокой степени. Весовая функция
р(х) предполагается почти всюду положительной.
В этой постановке имеется 2п свободных параметров (узлы Xi и коэф-
фициенты а неизвестны), поэтому можно попытаться построить квадра-
туру, точную для многочленов степени 2п — 1. Несложно убедиться в том,
что не существует квадратуры с п узлами, точной для всех многочленов
степени 2п. Действительно, возьмем Рзп(х) — (х — аа)2 • • • (х — хп)2• Тогда
О — Sn^Pbn) 7^ Р\Ръп) > 0.
Важную роль при построении квадратурных формул Гаусса (4.1) иг-
рают ортогональные многочлены на отрезке [а, 6] с весом р(х) > 0 почти
всюду. Они могут быть получены, например, в результате стандартной
процедуры ортогонализации, примененной к системе {1, ж,..., хк,... },
при скалярном произведении
ъ
(f,g) = J*Р(ж)/(ж)з(ж) dx .
а
Пусть на отрезке [а, 6] имеется система ортогональных многочленов
с весом р(х)
1, ^1(ж),^2(ж), ... ,Фк(х\ ... .
Тогда многочлен /с-й степени tfk(x) ортогонален произвольному многочле-
ну Pi(x) при I — 0,..., k — 1. Действительно, многочлен Pi(x) представим
I
в виде Р(х) = сзФАх\ и ПРИ & I имеют место равенства
J=o
ъ
Jdx = 0.
а
На практике наиболее употребительны следующие ортогональные много-
члены:
Лежандра ([-1,1], р(х) = 1),
4.3. Квадратурные формулы Гаусса
109
Чебышёва первого рода ( [—1,1], р(х) = - 1 ),
\ VI — х2 )
Лагерра ([0, оо), р(ж) = е-ж),
Эрмита (j—оо,оо), р(ж) = е-*2).
Здесь в скобках указаны промежуток интегрирования и весовая функция.
При построении квадратурных формул Гаусса базовым является сле-
дующее утверждение:
Теорема. Пусть xi,.. . ,жп — нули ортогонального на [а, 6] с весом
р(х) многочлена 'фп(х) степени п и (4-1) — квадратура, точная для мно-
гочленов степени п — 1- Тогда квадратура (4-1) точна для многочленов
степени 2п — 1.
На основании этого утверждения процесс построения квадратуры мо-
жет быть разбит на два последовательных этапа: — нахождение нулей
ортогонального многочлена; — нахождение весов методом неопределенных
коэффициентов.
Приведем оценку погрешности формул Гаусса
Ь 2
которая для отрезка [—1,1] и веса р(ж) = 1 имеет вид
22п+1 (п!)4
((2п)’)3(2п+ 1)
4.42. Методом ортогонализации построить несколько первых многочле-
нов Лежандра со старшим коэффициентом 1, ортогональных на отрезке
[— 1,1] с весом р(х) = 1.
Ответ:-00 = 1» 01 = ж, 02 = х2 — , 0з = х3 — | х, ... .
4.43. Доказать, что ортогональный многочлен степени п имеет ровно п
различных корней на отрезке [а, 6].
<] Если 0п(я) имеет на [а, 6] только г < п нулей нечетной кратности, то
многочлен г
Qn+r(x) = 0n(rr) П(* -
?=1
не меняет знака на этом отрезке. Следовательно, интеграл
ь
J*p{x)Qn+r(x) dx отличен от нуля, что противоречит свойству ортого-
а
нальности 0П (х) любому многочлену низшей степени. О
110
Глава 4. Численное интегрирование
4.44. Построить квадратуру Гаусса с одним узлом для вычисления
1 1
интеграла: 1) 1(f) = J xf(x) dx\ 2) 1(f) = J exf(x) dx .
о о
Ответ: 1) (e - 1) / (jTy).
4.45. Построить квадратуру Гаусса с двумя узлами для вычисления
1 7г/2
интеграла: 1) 1(f) = J* x2f(x)dx; 2) 1(f) = j* cos(x)f(x) dx.
— 1 —7г/2
Ответ: 1) | (f + f (У T" “ 2 ) ‘
4.46. Построить квадратуру Гаусса с тремя узлами для вычисления
1
интеграла 1(f) = J* f(x)dx.
-1
Ответ: +
4.47. Доказать, что все коэффициенты квадратуры Гаусса положи-
тельны.
/ п \ 2
<] Рассмотрим многочлен степени к = 2п—2 вида Pk(x) = I П (х~хг) ) •
\ г=1 /
Для интеграла от этого многочлена формула Гаусса дает точный резуль-
тат ь
Jр(х)Рк(х) dx = ^2 CjPk^Xj) = CjPk&j') + скРк(хк)
a 7=1 5=1
Так как справедливо Pk(xj) = 0 при j к, то имеет место равенство
ь
с*: = ° р , .--->0. О
™k\xk)
4.48. Пусть весовая функция р(х) четная относительно середины отрезка
интегрирования — точки a + . Доказать, что узлы квадратуры Гаусса для
ь
вычисления интегралов 1(f) = J* p(x)f(x) dx расположены симметрично
a
относительно qа соответствующие симметричным узлам коэффици-
енты квадратуры равны.
Ответ: симметрия узлов квадратуры следует из решения 4.70, а равенство
коэффициентов — следствие симметрии узлов (см. 4.3).
4.3. Квадратурные формулы Гаусса
111
4.49. Пусть Rn(f) — погрешность для функции f(x) = х2п квадратур-
ной формулы Гаусса с п узлами для отрезка [—1,1] и весовой функции
р(х) = 1 . Вычислить Rn(f) и показать, что lim 22п-11Rn(f) | = тг.
V 1 — Ж2 П—>ОО
4.50. Пусть Rn(f) — погрешность для функции f(x) = х2п квадратур-
ной формулы Гаусса с п узлами для отрезка [—1,1] и весовой функции
р(х) = л/1 — х2. Вычислить Rn(f) и показать, что lim 22n | Rn(f) I = тг.
п—>со
4.51. Пусть f(x) — непрерывная на отрезке [а, Ь] функция. Доказать, что
для формул Гаусса |Яп(/)| —> О при п —> оо.
Указание. Квадратурная формула и вычисляемый по ней интеграл
определяют линейные функционалы на пространстве непрерывных функ-
ций. Поэтому здесь применима теорема Банаха о сходимости последова-
тельности линейных операторов (необходимым и достаточным условием
сходимости является выполнение следующих двух требований: 1) сходи-
мость на множестве элементов, всюду плотном в пространстве, где опре-
делены операторы; 2) ограниченность в совокупности норм операторов.)
Для квадратур Гаусса положительность коэффициентов гарантирует
выполнение второго требования. Проверить, что оценка погрешности дает
сходимость по п для произвольного алгебраического многочлена, откуда
следует выполнение первого требования.
4.52. Построить составную квадратурную формулу Гаусса с дву-
мя узлами на каждом отрезке разбиения для вычисления интеграла
ь
1(f) — J* eaxf(x)dx, где еах— весовая функция. Оценить погрешность
построенной формулы.
ь
Доказать, что не существует квадратур §f(x)dx
а
4.53.
У, Cif^Xi)
i=l
с п узлами, точных для всех тригонометрических полиномов степени п
с весовой функцией р(х) = 1.
4.54. Построить квадратурную формулу Гаусса с одним узлом для вы-
1 1
числения интеграла/(/): 1) ^x2f(x)dx\ 2) J* |х|/(ж)с£ж.
о -1
4.55. Построить квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами для
1 1
вычисления интеграла 1(f): 1) J* |ж|/(ж)</ж; 2) J* x4f(x)dx.
-1 -1
4.56. Построить квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами для
1
вычисления интеграла 1(f) = J*p(x)f(x)dx, р(х) — весовая функция:
о
112
Глава 4. Численное интегрирование
1) р(х) = ж; 2) р(х) = sin(?rj:); 3) р(х) = еж; 4) р(х) = cos (я - | j ;
5) р(х) = 1 — х\ 6) р(х) = е~х.
4.57. Показать, что квадратурная формула
+ о»
для вычисления интегралов 1(f) = J ехр(—x2)f(x)dx точна для всех
ОС
алгебраических многочленов пятой степени.
4.58. Показать, что квадратурная формула
W) = f(/(-^)+/(0) + /(^))
1
для вычисления интегралов 1(f) = Г . dx точна для всех алгебра-
_1 V 1 — ж2
ических многочленов пятой степени.
4.59. Построить квадратуру Гаусса с четырьмя узлами для вычисления
1
интеграла 1(f) = J* f(x)dx.
-1
Ответ: — Х-i = Ж1 =
- Х-2 =Х2 =
15-2V30 -/> - 18 + V30
35 ’ С1 1— 36 ’
15 + 2\/30 „ _18->/зб
35 ’ С-2 - С2 - 36
4.60. На интервале (—оо,оо) найти ортогональный многочлен <фз(х) =
= х3 + ... при заданной весовой функции р(х) = ехр(—х2).
Ответ: 0з(х) = ж3 — х.
4.61. На отрезке [—1,1] найти ортогональный многочлен tyzfx) = х3 + ...
при заданной весовой функции р(х) = 1 .
V 1 — Ж2
Ответ: 0з (ж) = ж3 — ж .
4.62. На отрезке [—1,1] найти ортогональный многочлен ^(х) = х3 + ...
при заданной весовой функции р(х) = \/1 — х2^
Ответ: -03 (ж) = ж3 — j ж.
4.63. На полуинтервале [0, оо) найти ортогональный многочлен
0з(ж) = х3 + ... при заданной весовой функции р(х) = ехр(—х).
Ответ: -03 (ж) = ж3 - 9ж2 + 18ж — 6.
4.3. Квадратурные формулы Гаусса
113
4.64. Построить квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами для
7Г
вычисления интегралов 1(f) = J sin(tf) f(x) dx.
о
Ответ: &(/) =/Р1'+Ч/* ~ 8 ) +/Л~ Vf* —
4.65. Построить квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами для
оо
вычисления интегралов 1(f) = J* ехр(—х) f(x) dx.
о
Ответ: S2(/) = Ц^/(2-^2) + ^^/(2+V2).
4.66. Построить квадратурную формулу Гаусса
р / 1 \ 2
вычисления интегралов 1(f) = J (я - 2 ) f(x)dx.
о v 7
с двумя узлами для
Ответ: S2(f) =
4.67. Доказать, что ни с каким весом р(х) > 0 многочлены {жт}“=0 не
могут быть ортогональны на [0,1].
4.68. Пусть на отрезке [а, 6] имеется система ортогональных мно-
гочленов {'фп(х)} с весом р(х) и старшим коэффициентом, рав-
ным единице. Доказать, что среди всех многочленов степени п
вида Рп(х) ~ хп + On-ixn~1 + . .. + ао минимальную норму
ь
x)Pf (x) dx имеет ортогональный многочлен 'фп(х).
a
<] Пусть Рп (х) — произвольный многочлен степени п со старшим коэф-
фициентом, равным единице. Тогда Рп(х) = ^п(х) + rn-i(x), и из ортого-
нальности 'фп(х) любому многочлену низшей степени следует
||Рп(гг)| 2 = l^n(rr) 2 + ||rn_l(rr) 2. >
4.69. Для ортогональных многочленов вида 'Фп(х) = хп + ... показать
справедливость рекуррентного соотношения
'Фп(х) = (х ~ bn)^n-l(x) ~ Cn^n_2(x)
Г Ко •ффиНИ 111МН Л, - ‘ ‘ : ’ 4 1 j . .. - ' 1 • 1 > 0.
V'n-l)
n
<] Представим многочлен ац£п-1 в виде ^2 <*ki>ki где коэффициенты
k=Q
определяются из условий ортогональности
J t'j) = 1 Vj h j = 0,..., n.
114
Глава 4. Численное интегрирование
При j < п — 2 имеем
= (V’n-l^V’j) = (V’n-bQj+lW) =0,
т. е. все aj — 0 при j < п — 2 (здесь Qj+i(x) = хф3 — многочлен степени
j + 1 ). Таким образом,
хфп-1 = ап'Фп + Ctn-i^n-i + an-2^n-2 ,
при этом в силу равенства коэффициентов при старшей степени х, ап = Г
Отсюда следует, что
V’n(x) = (х - Qn-lJV’n-l - «п-2^п-2> bn-ttn-l, Сп - «п-2 •
Умножая скалярно равенство на фп-1, получаем Ьп — ' 1. Умно-
•'-V I 1 'П-1 I
жая скалярно равенство на фп-2У с учетом (ж^п_1, ^п-г) — (V’n-ij V’n-i),
находим сп = ^п-ь^п-1) > о , о
(Фп-2, Фп-2)
4.70. Доказать, что ортогональные многочлены на симметричном от-
носительно нуля отрезке с четным весом р(х) обладают свойством
Фп(-Х) = (-1)Пфп(х)'
Указание. -00 W = 1, ^1(я) = Продолжить решение по индукции,
используя рекуррентное соотношение из 4.69 и доказав, что Ьп — 0.
4.71. Пусть задан отрезок [а, 6]. Доказать, что при b > а 0 все
коэффициенты ортогонального многочлена отличны от нуля.
<] Все корни Xk многочлена фп(х) положительны, а его коэффициенты
П
выражаются через величины Bj = Exk (см- 4-25). Доказательство также
fc=i
можно построить на основе теоремы Виета. [>
4.72. Доказать, что нули ортогональных многочленов с фиксированным
на отрезке [а, 6] весом р(х) > 0 перемежаются, т. е.
a < ж Г < а?,71-15 < . . < < х<р < Ь.
<] Подставим х — х{^ в рекуррентное соотношение (см. 4.69)
^п+1 = (х - ап)Фп - «n-iV’n-i •
Учитывая, что здесь an-i > 0, имеем
^п+1 +ап-1Фп-1 =°-
Пусть утверждение верно для некоторого п. Отсюда и из равенств
sign i(6) = 1, signV’n-i(a) = (-I)"-1
следует, что
V„-1 (х*"’) =
4.3. Квадратурные формулы Гаусса
115
а знаки sign^n+i = — sign^n-i (ж.-п^ противоположны. Так как
signt/’n+iW = 1 и signt/>n+i(a) = (-l)n+1,
то V’n+iCc) имеет чередующиеся знаки в последовательно расположенных
точках аух\ у ... уХп УЬ, что и завершает доказательство. [>
4.73. Доказать, что для многочленов Лежандра
Ln(x) =
1 ((х2
2пп! dxn И
1)П)
справедливы следующие соотношения:
2) (п + 1)£п+1(ж) - (2п + l)xLn(x) + nLn^^x) = 0, п 1;
3) Ln+i W - Ln-i W = (2ri + 1)Ьп(ж), n 1;
4) L'n+1 (x) - xL'n(x) = (n + 1)£п(ж), n 0;
5) xLfn(x) - (ж) = nLn(x), n 1;
6) (ж2 — 1)/4(ж) = nxLn(x) — nLn-i(x), n 1;
7) (1 — ж2)£^(ж) — 2ж£„(ж) + n(n + 1)£п(ж) =0, n 0;
1 f 0,
8) j* xkLn(x)dx = < 2n+1(n!)2
-1 I (2n + 1)! ’
еслиО к n — 1,
если к =
i 0, если к m,
9) J Lk(x)Lm(x)dx = | 2 , еслиk = m.
10) Если Ln(xk) = 0, to J dx = - (га + 1)Д+1Ы , « > 1;
[n/2]
11) Ln(x) = 2-" £ (-l)kC^n_2kxn~2k, n 2 0.
fc=0
4.74. Пусть жi,Ж2, ...,жп — корни многочлена Лежандра Ьп(ж)
1 п
и 7fc = J И Х dx. Доказать, что если /(ж),д{х) — алгебраические
-1 j=i Xk Xj
1 n
многочлены степени n — 1, то J* f{x)g(x)dx = ^kf(xk)g(xk)-
-i fc=i
4.75. Доказать следующие свойства узлов и коэффициентов квадратур-
1
ной формулы Гаусса Sn(f) для вычисления интегралов j* f(x)dx:
116
Глава 4. Численное интегрирование
1) Ьп(х^) = 0, к = 1,2,... ,п,где Ln(x) — ортогональный многочлен
Лежандра степени п;
(n+ DLn+iUiJLnGa'I ’
к = 1, 2,..., щ
3) ск = Л1 . fc = l,2,...,n;
li <... -----------у-----. к = 1, 2,..., тг.
1
4.76. Для вычисления интегралов j* f(x)dx построить квадратурную
-1
формулу Маркова—Радо
5„(/) = С1/(-1) + ^е<Ж),
г=2
точную для произвольного многочлена степени 2п — 2.
1
4.77. Для вычисления интегралов J f(x)dx построить квадратурную
-1
формулу Маркова—Лобатто
п— 1
5„(/) = ei/(-l) + £ с J (Xi) +
г=2
точную для произвольного многочлена степени 2п — 3.
Указание. Представить исходный интеграл в виде
1 1
1(Л = J* Qi(x)dx+ J ~ Ч1 W p(x)dx,
-1 -1 1 ~х
где
<?.(*) = л-0 + /(1)Ц-£. рИ = i-«2.
Л *
Построить квадратурную формулу Гаусса с п — 2 узлами, соответству-
ющую весовой функции р(х):
1 п—1
J q(x)p(x)dx к 52 djq(xj).
-1 3=2
Показать, что квадратурная формула
J f(x)dx « J Qi(x)dx + 52 <1,
-1 -1 >-2 1 Xi
с/ ‘
при Cj = —j = 2,...,n — 1, является искомой.
4.4. Главный член погрешности
117
4.4. Главный член погрешности
Будем считать промежуток [а, Ь] конечным и предположим, что /(т) имеет
на [а, Ь] непрерывные производные до порядка m + s. Для квадратурной
п
формулы Sn(f) = У? имеющей алгебраический порядок точности
г=1
m — 1, справедливо равенство
ъ
1(f) = JpM /(я) dx = Sn(/) + Rn(f).
a
Используя формулу Тейлора для f(a + (х — а)) с остаточным членом
X
в интегральной форме J ——р—f(m+1\t)dt, можно получить следующее
а
представление погрешности Rn(f):
ь
Яп(/) = J7(m)(t)K(t)dt.
а
Здесь ядро К (t) имеет вид
=Iри - е- о .
£ г=1
где «гасящая» функция Е(х) определяется формулой
{1 при х > О,
j при х = О,
О при х < 0.
Имеет место представление Эйлера для погрешности:
/?„(/) = Ят(/) = Ло + ...
• • • + Л*-1 [f<-m+e4»(b) - fm+s~2\a)] +
b t
Аз = J Li(t)dt, £j+i(i) = J - Lj(x)]dx,Lo(t) = K(t),
a a
b
Rm+s(f) = J f{m+sKt)Ls(t)dt.
a
Главным членом погрешности обычно называют первое слагае-
мое в этом представлении. Формула Эйлера позволяет с точностью до
О (hm+2) определить значение главного члена погрешности.
Правило Рунге. Пусть на отрезке длины h для вычисления интегра-
ла 1(f) используется некоторая квадратурная формула Sh(f), имеющая
118
Глава 4. Численное интегрирование
алгебраический порядок точности m — 1. Разлагая f(x) в ряд Тейлора
в середине отрезка (точке с), получим
1(f) =a/(m)(c)/im+l + О (Лт+2).
Обозначим через Sh/2(f) составную формулу, полученную с помощью
формулы Sh(f) для двух половинок отрезка длины h. Тогда при том же
а находим
/(/) - 5л/г(/) = а/(”°(с) + O(hm+i).
Следовательно, с точностью до членов О (hm+2) справедливо следующее
правило Рунге'
КП - sh/2(f) * 5h/2(/Lfh(/)
ь
4.78. Пусть интеграл 1(f) — J f(x)dx, где f(x) — гладкая функция,
а
вычисляют по составной формуле трапеций Sz(f) с постоянным шагом
h = ъ~а
N
1) Показать, что суммарная погрешность удовлетворяет соотношению
Rjf — aih2 + azh4 + a3hQ + ... .
2) Показать, что
b
X£(f) = 1(f) - S?(f) = - Й f /"(*)<& + Z(S\ Z(f) = o(h2).
a
3) Пусть f^(x) Ms на отрезке [a,5]. Показать, что Z(/)|
csMs(b - a)h3.
4) Пусть f^(x) M4 на отрезке [a, 6]. Показать, что Z(f)\
СдМд(Ь - a)h4.
Указание. Пусть [х^ Жг+1] — один из подотрезков длины /г, на которые
разбит отрезок [а, 6], и пусть х — Хг Используя тейлоровское
разложение подынтегральной функции в точке ж, получить следующие
представления:
J f(x) dx = hf(x) + || f"(x) + fw(x) + ... ,
J f(x) dx = h - g f"(x) - Al /<4)(Я) - ... .
Xi
4.4. Главный член погрешности
119
1
4.79. Пусть 1(f) = J f(x)dx вычисляют по составной формуле трапеций
о
с переменным шагом интегрирования: х± — tp(ih), <p(t) — гладкая функ-
ция, 9?(0) = 0, (^(1) = 1. Доказать, что главный член погрешности есть
1
-gjrnww)3*.
о
У казан ие. Применить 4.78, учитывая справедливость равенства
^г+i - = htp'(ih) + о(1).
ь
4.80. Пусть интеграл 1(f) = §f(x)dx, где f(x) — гладкая функция,
a
вычисляют по составной формуле Симпсона S$(f) с постоянным шагом
h = Показать, что для составной формулы Симпсона суммарная
погрешность удовлетворяет соотношению
R$ (f) = Ьък4 + b2hQ + ....
i
4.81. Пусть интеграл 1(f) = § хх f(x) dx, где /(ж) —гладкая функция
о
и /(0) 0? вычисляют по составной формуле трапеций с постоянным
шагом h = ^. Показать, что при — 1 < Л < 1 суммарная погрешность
удовлетворяет соотношению R2 = aih1+x + a2^2+A +
4.82. Используя значения Sh и Sh/2 квадратуры с главным членом
погрешности ch™, т. е. I = Sh + chm, построить квадратурную формулу
более высокого порядка точности.
Sh/2 ~ Sh
Ответ: Sh,h/2 = Sh/2 Ч-2™ - 1 '
4.83. Показать, что при применении правила Рунге к формуле трапеций
получается формула Симпсона. Насколько при этом увеличится порядок
главного члена погрешности?
Указание. В обозначениях 4.82 имеем m = 2, Sh,h/2 — Sh/2 +
+ | (Sh/2 ~ Sh) при Sh = (f(a) + f(b)), b- a = h. Порядок главного
члена погрешности увеличится на 2.
4.84. Показать, что операция построения формулы
q ____________________________ q । Sh/2 Sh
^hth/2 — ^h/2 4 _ j
является экстраполяционной, т. е. при Sh Sh/2 величина Sh,h/2 всегда
лежит вне отрезка с концами Sh и Sh/2-
<1 Действительно, если Sh/2 > Sh, то Sh,h/2 > Sh/2 > Sh- Если Sh/2 < Sh,
T0 Sh,h/2 < Sh/2 < Sh- D>
120
Глава 4. Численное интегрирование
4.85. Пусть для вычисления интеграла I от некоторой функции исполь-
зуется квадратурная формула Sh, фактический порядок главного члена
погрешности р которой неизвестен для данной функции. Предложить
способ численной оценки значения порядка р.
<] Возможен следующий способ {процесс Эйткена), являющийся обоб-
щением правила Рунге. Пусть I — точное значение интеграла. Запишем
его приближенные значения с шагами /г, и Если учитывать только
главный член погрешности, то получаем систему трех уравнений
I = Sh + chp, I = Sh/2 + ±chT, I = Sk/4+ i chP,
в которой значения /,с и р неизвестны. Из первого и второго уравнений
имеем chp (1 — Л-) = Sh/2~ Sh- Из второго и третьего уравнений находим
£ chp (1 -
— S>h/4 &h/2’
Из последних двух равенств получаем уравнение для определения р:
<2/р § К/2 ~
Sh/4 “ Sfr/2 '
Выражение для главного члена погрешности имеет вид
= (5fe/2 ~
2Sft/2 - Sh - Sh/i
Упражнения 4.86-4.88 иллюстрируют возможные обобщения правила
Рунге.
4.86. Пусть задан некоторый метод вычисления интеграла с погрешно-
стью /(/) — Sh(J) = chm + O{hm+l) и вычислен интеграл с шагом h\
и с шагом /i2 = • Показать, что
Имеется в виду предельный переход при /22 —> О, Л = const > 1.
4.87. Пусть I{f) — Sh(J) = chm + O{hm+l) и вычислен интеграл с шагом
hi и с шагом /i2 = Доказать, что
при следующих условиях: > О,
цп -
/ 41 \ _ -1
\h2
4.5. Функции с особенностями
121
4.88. Пусть 1(f) — Sh(f) = chm + 0(hm+2) и вычислен интеграл с шагом
h\ и с шагом /i2 — Аг • Доказать, что
ЦП-sun « Sh2z(/\ /hl(/)
f I _i
при следующих условиях: /ц —> 0, /и > /12-
4.5. Функции с особенностями
Быстро осциллирующие функции. Пусть требуется вычислить инте-
ь
грал J exp{iuxr} f (x)dx, где си(6—а) 1, f(x) — гладкая функция. Функции
а
Re (exp{icurr}/(^)), Im (exp{icurr}/(^)) имеют на рассматриваемом отрезке
примерно си^ ~ Q нулей. Многочлен степени п имеет не более п нулей на
этом отрезке, поэтому такие функции могут быть хорошо приближены
многочленами степени п лишь при п си Q. Следовательно, для
непосредственного вычисления интегралов от таких функций потребуется
применение квадратур, точных для многочленов очень высокой степени.
Более выгодным может оказаться использование ехр{1сит} в качестве
весовой функции. Задавшись узлами интерполирования
построим многочлен Лагранжа Ln(x) и рассмотрим квадратурную фор-
мулу
S%(f) = J exp{iux}Ln(x)dx =
( ° . z ч (4-2)
Zji I f — \ Li J
j=l
где
i
Д(р) =
-1
П 5, 1 ехр{^}^, P = W 4^ .
/
При этом оценка погрешности
R„ = D(di,.. .,dn) max |/<п)(ж)|
( b — a A
\ 2 J
n+l
не зависит от си.
122
Глава 4. Численное интегрирование
4.89. Для приближенного вычисления интегралов вида
1
1(f) = J 81п(100тгж)/(ж) dx
о
построить методом неопределенных коэффициентов квадратурную фор-
мулу с заданными узлами S(f) — С\ /(0)+С2 / (1), точную для многочленов
наиболее высокой степени.
Ответ: ci =-С2
4.90. Для приближенного вычисления интегралов от быстро осцилли-
1
рующих функций вида 1(f) = j* cos (104тгх) f (х) dx построить методом
о
неопределенных коэффициентов квадратурную формулу с заданными уз-
лами S(f) — с-[ /(0) + С2 /(1), точную для многочленов наиболее высокой
степени.
Ответ: q = С2 =0.
4.91. Построить формулу вида (4.2) для п = 2, d\ = — 1, = 1-
Ответ: р = aft t
Dl(p) = j ^exp{ip«}^ = + pC°Sp,Sinpi,
-1 P p
D?(p) = J ф exp{i,<H = ^ -
4.92. Показать, что при малых w формулы, полученные в 4.91, могут
иметь большую вычислительную погрешность.
Указание. При малых си величина р мала. Функции cosp и sinp вы-
числяются с погрешностями О(2_£) и О(р2~1) соответственно, где t —
длина мантиссы. Как следствие коэффициенты D^(p) и jD2(p) из 4.91
приобретают погрешность -.
4.93. Построить формулу вида (4.2) для п = 3, di = — 1, с?2 = 0> ds = 1
(формула Филона).
4.94. Построить формулу вида (4.2) для п — 5, </| — — 1,
d2 — -0.5, ds — 0, d4 — 0.5, d5 — 1.
Вычисление интегралов от функций с особенностями. Значи-
тельная часть реально встречающихся подынтегральных функций — это
функции с особенностями, причем особенность может содержаться либо
в самой функции, либо в ее производных. Если нерегулярность функции
не вызвана колебательным характером ее поведения, то для вычисления
4.5. Функции с особенностями
123
больших серий интегралов такого типа используют специальные приемы:
выделение особенности в весовую функцию, разбиение интеграла на части,
аддитивное представление подынтегральной функции, замену переменных
и т. д.
1
4.95. Пусть вычисляется интеграл I — J f(x)dx, причем f(x) может быть
о
представлена в виде f(x) = д(х)ха, где (У G (0,1), д(х) — гладкая функция,
м
$(0) 0. Построить квадратурную формулу S(g) = Djg(jh) с оценкой
j=o
погрешности вида const ♦ max |<7,,(я)| • М~2.
Указание. Выделить функцию ха в качестве весовой, а д(х) на каждом
отрезке разбиения заменить многочленом Лагранжа первой степени.
4.96.
Пусть вычисляется интеграл
f е С7<2>[0, 1], |А| 1.
Показать, что при использовании составной формулы трапеций с посто-
янным шагом h — -ц- суммарная погрешность оценивается величиной
/ L г2
const ♦ min v ,
\ А А2
интеграла J dx, f е C^jO, 1]. |А| <С 1
ПА + х
4.97. Для вычисления интеграла I 2 } 2 dx, f G C^qO, 1], |A| 1,
□ A 4- x
используется следующая квадратурная формула с постоянным шагом
/г =
М
M
= XL Ж-) arcts (x) “arctg
.7 = 1
(j ~ W
где (j — l)h jh. Получить оценку погрешности вида
|йм| const • max -7И-1.
хе[од]
1
4.98. Предложить способ вычисления интеграла J dx по составной
квадратурной формуле с постоянным шагом h, чтобы погрешность имела
порядок О (Ji2).
Указание. Представить подынтегральную функцию в виде
2 1
f(x) = G(x) + д(х), где (7(ж) = 1пт, д(х) = — х вычислить Г(7(т)с&
1 + х %
в явном виде.
124
Глава 4. Численное интегрирование
1
4.99. Предложить способ вычисления интеграла j* dx по составной
квадратурной формуле с постоянным шагом h, чтобы погрешность имела
порядок О (Д4).
Указание. См. указание к 4.98 при G(x) — (1 — х2) Inх.
4.100. Пусть /(ж)—достаточно гладкая функция. Предложить квад-
1
ратурную формулу для вычисления интеграла J f(x)x~a sin(wx)dx, где
о
а > 1, ш 1, /(0) 0.
Указание. Разбить отрезок интегрирования на [0,е] и [е, 1] с £ ~ i. На
первом отрезке sin(axc) не является осциллирующей, поэтому в качестве
весовой функции можно взять х~а, а на втором отрезке использовать
неравномерные узлы и весовую функцию sin(a>£).
4.101. Построить квадратурную формулу для вычисления с точностью
оо
£ 10“ 4 интеграла J* 2 если для некоторого фиксированного к 1
справедливо неравенство |/^(ж)| Ak-
4.102. Построить квадратурную формулу для вычисления с точностью
оо
£ 10“4 интеграла J f(x)e~xdx, если для некоторого фиксированного
о
к 1 справедливо неравенство |/^(ж)1
4.103. Построить квадратурную формулу (не проводя замену перемен-
1
ных) для вычисления с точностью е С Ю“3 интеграла Г dx, если для
о
некоторого фиксированного к 1 справедливо неравенство |/^(я)| Ak-
4.104. Построить квадратурную формулу для вычисления с точностью
1
е 10“4 интеграла J /(ж) -х dx, если для некоторого фиксированного
о х
к 1 справедливо неравенство |/^(ж)| Ak-
--------Глава 5-------
Матричные вычисления
Значительная часть задач вычислительной математики может быть сфор-
мулирована в терминах матричного анализа, который необходим при ис-
следовании вопросов корректности, устойчивости и сходимости различных
методов. Алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравне-
ний — важная часть методов решения уравнений в частных производных.
Глава посвящена вопросам теории устойчивости для матричных задач,
приведены наиболее известные прямые и итерационные алгоритмы ре-
шения систем линейных алгебраических уравнений, подробно разобраны
различные способы их построения. Отдельно рассмотрена задача наимень-
ших квадратов для переопределенных системы уравнений. Приведены
алгоритмы для решения проблемы собственных значений.
5.1. Векторные и матричные нормы
Нормой вектора, х = (ж,,..., хп)Т называется функционал, обозначаемый
||х и удовлетворяющий условиям:
1|Х|| > 0, х # 0, ||0|| = 0;
||ах|| = |а| ||х||;
||х + у < х| + у||.
Наиболее употребительны следующие нормы:
llxlloo = max Xi , ||х||1 = £ яч|, IMh = i/'ZX2 = v'(x,x).
1<г<п .—* I —Z
г=1 I i=l
Нормы j • |i и :| • и называются эквивалентными, если для всех
х € Rn справедливы неравенства с одними и теми же положительными
ПОСТОЯННЫМИ Ci И С2'
С| ||х|||| < ||х||1 < CJ ||х||ц.
Нормой матрицы А называется функционал. обозначаемый | А|| и удо-
влетворяющий условиям:
|| А|| >0, A# 0, ||0|| = 0;
||а А|| = |а| ЦАЦ;
pA + BIM ЦАЦ + 1 ВЦ;
ЦАСЦ < ||АЦЦСЦ.
Пусть задана некоторая векторная норма ||*||г. Тогда матричную норму
можно определить как операторную
II I Slip 1х- ' sup Ах||„.
х ../II Х • ||x|L = l
126
Глава 5. Матричные вычисления
В этом случае матричная норма называется подчиненной соответствую-
щей векторной норме • v.
Квадратную матрицу А размерности п х п с элементами = 6? будем
обозначать / и называть единичной матрицей. Если не оговаривается
противное, в задачах и упражнениях имеются в виду матричные нормы,
для которых справедливо |/|| = 1. В частности, указанное равенство
выполнено для любой подчиненной нормы.
5.1. Является ли выражение min( xi +2 Х2 ,2 х\ + X2 ) нормой вектора
х в R2?
Ответ: нет, поскольку неравенство треугольника не выполнено, например для
векторов (1,0)т и (0,1)т.
5.2. Является ли выражение шах
Mo,i]
1 нормой вектора х в Rn?
Ответ: да.
5.3. Найти константы эквивалентности, связывающие нормы х оо, х
х 2 > а также векторы, на которых они достигаются.
<1 Из неравенств max |.г,| < \ т,| п max Xi следует
IWloo £ ||x||i n||x||^.
2
п / п \
Так как ^2 xi ( 52 W I , то Ilxll2 ||x||i. Из неравенства Ко-
г = 1 \г=1 /
ши—Буняковского имеем
Следовательно,
и-1/2||х||1 С ||х||2 ||х||1.
п
Из неравенств max х^ < ^2 хг п тах хг имеем
1^-г^п г=1 1^-г^'П
||х||о« |Х 2 n1/2 llxlloo.
Легко заметить, что в полученных неравенствах константы эквива-
лентности достигаются на векторах либо с равными компонентами, либо
с единственной ненулевой компонентой. О
5.4. Пусть В — симметричная положительно определенная матрица.
1) Доказать, что величину : />’х . х) можно принять за норму вектора х;
2) найти константы эквивалентности, связывающие эту норму с нормой
Iх |2-
5.1. Векторные и матричные нормы
127
<] 1) Для доказательства того, что соответствующее выражение опреде-
ляет норму, достаточно проверить неравенство треугольника. 2) Найдем
константы эквивалентности. Так как В = Вт > 0, то собственные век-
торы матрицы различны и ортогональны. Пусть ei,..., еп — ортонорми-
рованная система собственных векторов матрицы В (т.е. (вг,еД = 5^),
а А1,..., Хп — соответствующие собственные значения. Любой вектор х
п
представим в виде х = 52 c«e«- Поэтому
г=1
(п п \ п
52 52Ciei)= 12 XiCt
i = l г=1 i=l
Отсюда для произвольного вектора х имеем
min АДх, х) (Вх, х) max А;(х, х),
г г
(х, х) = V. С-.
г=1
Так как все Xi(B) > 0, то полученное неравенство означает эквивалент-
ность евклидовой норме j х| 2 с постоянными
ci = mm Аг,
с2 = . 'шах Х^
5.5. Найти матричные нормы, подчиненные векторным нормам || • Ц^,
II • 111 и II ' ||2-
О Получим оценку сверху для величины ЦЛхЦоо:
Покажем, что эта оценка достигается. Пусть максимум по i имеет ме-
т
сто при i = Z; тогда возьмем х = (sign (an),sign (а^), • • • ,sign (а?п)) .
Имеем НхЦоо — 1 и точные равенства во всей цепочке выше. Та-
С* л \
5 ’ 11 , | ) • Аналогично показывается, что
4=1 /
(п \
S 1ач1 ) •
г=1
По определению матричной нормы, подчиненной евклидовой вектор-
ной норме,
||Л 2 = SUp
х0О
1|Лх||2
Нх1|2
(Лх, Лх)
sup . \ * 7
Х0о\ М
= sup
х0О
1 (Ат. 1х,х)
V (х,х)
Имеем, что (ЛтА)т = АТ(АТ)Т = ЛТЛ, т.е. матрица В = АТА —
симметричная, и (ЛтЛх, х) = (Лх, Лх) 0, следовательно, все Х(В) 0.
128
Глава 5. Матричные вычисления
Рассуждая далее, как в 5.4, получим, что sup ^х’= maxAi(B), а ра-
Х^О г
венство достигается на соответствующем собственном векторе. Поэтому
IHIh = /max АДД^Л).
V *
Отметим важный частный случай симметричной матрицы: А = Ат.
Тогда ||Л||2 = max |A;(4)|. >
5.6. Доказать, что модуль любого собственного значения матрицы не
больше любой ее нормы.
<] Зафиксируем произвольный собственный вектор х матрицы А и по-
строим квадратную матрицу X, столбцами которой являются векторы х.
Получим равенство XX = АХ. Отсюда следует: |А| ||Х|| ||А|| ||Х||, т. е.
|Д| < 1И||. о
5.7. Пусть А — вещественная матрица размерности m х п. Доказать
следующие свойства спектральной нормы ЦЛЦ2:
1) Plh = sup |утАх|; 2) РТ||2 = Р||2; 3) ||АТА||2 = ||ААТ||2 = ||А||2-
||х| |2=1
1|У||2=1
<j Для доказательства свойства 1) надо показать, что существуют такие
векторы х и у единичной длины, на которых максимум достигается. В си-
лу неравенства Коши—Буняковского и с учетом того, что спектральная
норма подчинена евклидовой векторной норме, получаем неравенство
|уТЛх| = |(У,Лх)| $ ||у||2 рх||2 ||У||2 ||х||2 Р||2 = Р||2.
Пусть вектор х такой, что ||Дх||2 = IHIh, т. е. на нем достигается мак-
/4 "У Г~|
симум в определении подчиненной нормы, и возьмем у = .. ,, . Тогда
1Дх||2
ПуПз = 1 и
|уТЛх|-рС'4х-!МГ-||'4х|12-11'4112-
Следовательно, искомые векторы х и у построены и свойство 1) доказано.
Из свойства 1) и равенства
1ИТ||2 = sup |угЛгх| = sup (уРтх) =
||х||2=1 ||х||2=1
11У|12 = 1 1|У||2 = 1
= sup (Ау,х) = sup |хтЛу| = Р||2
1И|2 = 1 1|х||2 = 1
1|У||2=1 1|У||2=1
следует свойство 2).
Покажем справедливость свойства 3). Из свойства 2) следует неравен-
ство
РтА||2р|Ат||2р||2 = Р||2.
5.1. Векторные и матричные нормы
129
Возьмем такой вектор х, что ||х||2 = 1 и ||А х||2 = ЦАЦ2, и применим
свойство 1) к матрице АТА, положив у = х. Получаем неравенство
1|АТА||2 |хтАтАх| = (Ах,Ах) = ||Ах||2 = ||А|Ц.
Из этих двух неравенств следует ||АТА||2 = ||А||2. Аналогично показыва-
ется, что | |ААТ 112 — ||А||2. Таким образом, свойство 3) доказано. О
5.8. Пусть А — вещественная прямоугольная матрица. Показать, что
умножение ее справа или слева на ортогональную матрицу Q соответ-
ствующих размеров не меняет ее спектральную норму.
О Из свойства 3) спектральной нормы (см. 5.7) следует, что
lIQAHi = ||(QA)TQA||2 = \\AtQtQA\\2 = \\АТ А112 = ||А||*.
Из свойства 2) и полученного равенства имеем
||AQ||2 = ||(AQ)t||2 = ||QtAt||2 = ||Ат||2 = ||А||2.
В частности, из равенств
||Qx||2 = (Qx,Qx) = (Qx)TQx = xTQTQx = хтх = (x,x) = ||x||2
получаем, что умножение ортогональной матрицы на вектор х сохраняет
его длину. О
5.9. Используя выражения для матричных норм из 5.5, показать спра-
ведливость неравенства || А || 2 || А||11| А Цое.
О Модуль любого собственного значения матрицы не больше любой ее
нормы (см. 5.6), поэтому имеем
IIA|li = maxA(ATA) < ЦА^АЦх < ||А||1||АТ||1 = ИАМАЦ^. >
5.10. Рассмотрим функцию от элементов матрицы
77(A) = max \aij |, 1 < ij < п.
Показать, что 77(A) не является нормой в пространстве матриц (хотя
и является нормой вектора с компонентами aij в R ).
О Для любой матричной нормы справедливо неравенство ||АВ||
< ||А|| ||В||. Рассмотрим матрицы А = В, агз = bij = 1 для которых
имеют место соотношения г/(АВ) = п, р{А) — — 1, противоречащие
приведенному выше неравенству. О
5.11. Доказать, что выражение М(А) = 7177(A) (см. 5.10) является
матричной нормой.
О Заметим, что требует проверки только четвертое условие из определе-
ния матричной нормы: М(АВ) М(А)М(В).
п п
М(АВ) = типах V aikbkj < nma,xV <
ij ij
k=l ' k=l
n 77(A) 77(B) = 7177(A) 7177(B) = M(A)M(B). D>
fc=i
130
Глава 5. Матричные вычисления
5.12. Доказать, что для векторов х = и h > 0 выражение
ЦхЦ/j. = max (|ai|, ) является нормой. Найти матричную норму,
подчиненную этой векторной норме.
<] Найдем матричную норму. Заметим, что ||х11/г — ||У||оо? гДе
1 °\
-1 1 ’
h h J
у = Sx, S =
Поэтому
ПЛ IL = sun ILdZSllk = SUD I lg^xl l°°
11 llft x“o IWIh x“o HSxll°°
Oil + 012
q21 + G22 — Q11 ~ 042
= ||SAS'-1||oo
_GUDH^S-ly||oo
y^o llylloo
Д12/г \
022 — 012 /
h
оо
— max ^|ац + ai21 + h |<2-i21? |®22 — ®121 + |ti2i + a22 ~ йн
5.13.
Доказать, что выражение TV (Л) =
Г/2
является матрич-
n
E 4
ной нормой. Найти наилучшие константы эквивалентности, связывающие
JV(A) и нормы || • ||1, || • ||2 || • ||оо.
Ответ: -L N(A) ||Л||ж y/nN(A), N(A) ||Л||2 N(A),
V 71 V 71
Л ЛГ(А) или оо 7п^(Л). Матричную норму TV(A) называют нормой
Фробениуса (нормой Шура, евклидовой матричной нормой) и обозначают 11 А|| р.
5.14. Пусть числа dk > 0, k = 1,...,п. Доказать, что max (с4|ац|)
k
норма вектора х. Найти норму матрицы, подчиненную этой векторной
норме.
Ответ: ||£>Aj9-1 Ц^, где D = diag(di,.. ,dn).
n
5.15. Пусть числа dk > 0, k = 1,...,п. Доказать, что 52 — норма
fc=i
вектора х. Найти норму матрицы, подчиненную этой векторной норме.
Ответ: ||DAD~11|i, где D = diag(di,.. - ,dn).
/ п
5.16. Пусть числа d^ >0, k — 1,..., п. Доказать, что < / 52 ~ н0Рма
у fc=l
вектора х. Найти норму матрицы, подчиненную этой векторной норме.
Ответ: ||£)А£)_ 11|2, где D = diag(\/di,.
5.17.
Доказать, что
max
l^i^n
Е xk
fc=i
— норма вектора х. Найти норму
матрицы, подчиненную этой векторной норме.
Ответ: HLAL 1||оо, где lij = 1 при i j и lij = 0 при i > j.
5.1. Векторные и матричные нормы
131
5.18. Пусть М(А) = п max Найти наилучшие константы Ci, С2
в неравенстве С\ М{А) | Д||2 С2 М(А).
Ответ: Ci = = 1-
5.19. Пусть М(А) = п ^ах Найти наилучшие константы Ci, С2
в неравенстве Ci М(А) Л| г 62 М(Л).
Ответ: Ci = = 1.
5.20. Пусть х 1р = | V г , р 1- Доказать неравенство Йенсена
' i=i
|х р х g, 1 q р оо.
<] Считаем, что х 0, так как иначе неравенство тривиально. Пусть для
определенности ti = max Xi . Тогда
i
/ г» \ 1/р / п \
||х||р = |®1|[ 1 + V,,'') , ||x||4 - |®1|( I V,.; | ,
' г=2 7 X г=2 7
Лг = х\ < 1. Так как q < р, то а? < оф a t1^ < t1^ для i > 1.
Таким образом,
п \ 1/р / n \ 1/q
1 + 52^?) 1 + 52 о
г=2 / V 1=2 '
5.21. Доказать, что при х € Rn справедливо равенство lim |х р — ||х||оо.
р—>оо
<] Из неравенств ||х| ||х||р n17P||x |оо в пределе при р —> ос
получаем требуемый результат. [>
5.22. Доказать, что сходимость в любой норме в пространстве Rn экви-
валентна покоординатной сходимости.
Указание. Воспользоваться эквивалентностью любых норм в конечно-
мерном пространстве.
5.23. Пусть j • —векторная норма в Rm и А € RmXn—прямо-
угольная матрица, размерности т х п. Показать, что если ранг матрицы
гапк(Д) = п, то Ах. — векторная норма в Rn.
Указание. Убедиться в справедливости первого условия в определении
нормы.
(п \ 1/р
52 1Р ) , Р 1, является нормой в про-
г=1 /
странстве Сп векторов с комплексными координатами. Показать, что при
х G Сп справедливо неравенство х р Re(x) р + Im(x) р. Найти та-
кую максимальную постоянную Cq > 0, что cq( Re(x) 2+ Im(x)lh) l|x||2
для всех x e Cn.
132
Глава 5. Матричные вычисления
Указание. Обозначить Xk = + ibk и воспользоваться неравенством
треугольника для векторов, координатами которых являются |ajfc| и I&aJ.
Ответ: со = “т=-
V2
5.25. Пусть || • — некоторая норма в Rn. Доказать, что функционал
также задает норму в Rn, называемую двойственной к || • . Найти норму,
двойственную к || | |оо-
Ответ: || • ||1.
5.26. Пусть 1 <оо и В — любая подматрица квадратной матрицы А.
Доказать, что В р А р.
О Пусть А — матрица, размерности п х п, и В — некоторая ее подматрица
размерности тц х П2, щ п. Используя при необходимости перестановки
строк и столбцов (это не влияет на норму матрицы), представим А в виде
л = / в л12Ч.
\^21 ^22/
По определению, JA| р = sup ||Дх||р. Пусть х*,||х*||р = 1—такой
вектор, что ||В||р = ||Вх*||р и х = (ж?,..., ж*2,0,... ,0)т. В этом случае
|х L = 1 и
||А||Р > ||Лх||р > ||Вх* Р = ||В||Р. >
5.27. Доказать, что если матрица D = diag(di,d2,...,d*) € RmXn, где
k — min{m,n}, то ||P||p = max di\.
i
5.28. Пусть В — невырожденная матрица, • — некоторая норма в про-
странстве векторов размерности п. Доказать, что х| * = Вх|| также
является нормой в пространстве векторов. Какая норма в пространстве
матриц порождается нормой х * в пространстве векторов?
Указание. Воспользоваться 5.12 и 5.23.
5.29. Показать, что если А — невырожденная матрица, то для нормы
матрицы, подчиненной векторной норме, справедливо равенство
ЦЛ-1
1 = inf
Указание. По определению,
II л-i _БЦР1И У|| _SUD ЦХ||
||Л ||у|| -^рх|Г
Используя далее определения inf и sup, доказать, что
inf н^н
х#0 ||х|| '
5.1. Векторные и матричные нормы
133
5.30. Доказать неравенство ЦЛЦ2 ||Л||1/2||ЛТ||1/2 для любой нормы А,
подчиненной какой-либо векторной норме.
Указание. Воспользоваться решениями 5.6 и 5.9.
5.31. Доказать, что если А — Ат\ то ||Л||2 = sup
х^О IWI2
Указание. Воспользоваться решением 5.5.
5.32. Пусть А — Ат > 0 и ||х||д = (Лх, х)1/2. Доказать, что для
произвольного многочлена pm(Z) степени m 0 верно равенство
||рт(Л)||д = ||рт(Л)||2.
<] Известно, что симметричная и положительно определенная матрица
А имеет квадратный корень Л1/2. Пусть Q — ортогональная матрица,
г-й столбец которой является г-м собственным вектором из полной ор-
тонормированной системы собственных векторов Л, a D — диагональная
матрица с г-м собственным числом Л в г-й строке. Тогда Л = QDQT
и Л1/2 = QD^Q7. Матрица Л1/2 коммутирует с Л и любой ее степенью,
а также и с рт(Л). Используя этот факт, а также определения нормы
|| • ||г и энергетической нормы || ||д, получаем требуемое утверждение из
следующей цепочки равенств:
||рт(Л)||д = sup Ирт(Л)х,;М 4)х)1/2 =
х^О (Лх, х)1*
- snn (₽«(Л)Л1/2х>Р>п(Л)Л1/2х)1/2 _ ||Рт(Л)у||2 _ II ( лч||
- SUP---------н „1/2 и--------- — ЬиР----|О|--- “ НРт\АЖ2-
х^О Л1' х |2 у^О НУ||2
5.33. Доказать, что если матрица Л — вещественная и (Лх, х) > 0 для всех
вещественных х 0, то существует такая постоянная д > 0, не зависящая
от х, что (Лх,х) д (х,х).
<] Всякая вещественная матрица Л представима в виде Л = S + К,
где S — +2^----симметричная, а К = — кососимметрич-
ная матрицы. При этом для любого вещественного х О имеем
(Лх, х) = (Sx, х) д (х, х), где (5^0 — минимальное собственное значение
матрицы S. Из неравенства (Лх,х) >0 следует, что д > 0. [>
5.34. Привести пример положительно определенной вещественной мат-
рицы, спектр которой не является вещественным.
Ответ: матрица
134
Глава 5. Матричные вычисления
с положительной константой а и симметричной положительно определенной
подматрицей В положительно определена, но имеет пару комплексно-сопря-
женных собственных значений Л 1,2 = о ± i-
5.35. Доказать, что матричные нормы, определенные равенствами
п
М(А) = п • шах |<2г7'| и = ( 52 не подчинены никаким
i,j=l
векторным нормам.
Указание. Воспользоваться тем фактом, что для любой подчиненной
нормы справедливо следующее равенство: ||/|| = 1, где I = diag(l,..1).
5.36. Показать, что для любого собственного значения А(А) невырожден-
ной матрицы А справедлива оценка ——j—
|А(Л)|.
Указание. Воспользоваться решением 5.6.
5.37. Доказать, что для любого собственного значения Л(Л) матрицы А
справедливо неравенство |Л(А)| inf где к — натуральное число,
/с
Указание. Воспользоваться решением 5.6.
5.38. Доказать, что если А — нормальная матрица (ЛЛТ = ЛТЛ), то
||^||2 — где р(А) = шах | А«(Л) | — спектральный радиус матрицы А.
г
Указание. Воспользоваться тем фактом, что нормальная матрица име-
ет полную ортонормированную систему собственных векторов.
5.39. Убедиться, что матрица А размерности п х п при п 2 не
определяется однозначно значениями квадратичной формы (Лх,х) на
произвольном векторе х, т. е. найдутся две различные матрицы А и В,
для которых (Лх,х) = (£?х,х) для любых вещественных х.
Указание. Воспользоваться решением 5.33.
5.40. Доказать, что всякая норма || • ||т матрицы согласована с какой-
либо векторной нормой || ||v> т. е. верна оценка |Hx||v |Щ|™|1х1к-
О Пусть для матрицы А определена некоторая матричная норма ||Л||т.
Тогда определим функционал ||x||v следующим образом:
Хп/
т
Непосредственно проверяется, что ||х|| v удовлетворяет всем условиям век-
торной нормы и согласован с исходной матричной.
5.2. Элементы теории возмущений
135
5.41. Пусть А — матрица размерности п х п, р(А)— ее спектральный
радиус и задано число е > 0. Доказать, что существует по крайней мере
одна матричная норма, для которой имеют место оценки
р(лк цлИр(л)+£.
О Из курса линейной алгебры (теорема Шура об унитарной триангу-
ляции) известно, что найдутся такие унитарная матрица U (U* = U~l)
и верхняя треугольная матрица R, что А = U R U*. Положим
Df = diag (i, i2, i3,..., tn) и вычислим матрицу
Xi t~n+1rin^
0 А2 £-1г2з t~n+2r2n
DtRDp = 0 0 Аз t~n+3r3n
0 0 Xn j
При достаточно большом t > 0 сумма модулей наддиагональных эле-
ментов матрицы DtRD^1 не превосходит s. В частности, это приводит
к неравенству ||i р(Л)+е. Теперь определим матричную норму
с помощью формулы
|А|| = \\DtU*A UDp\\x = || (UDp) *А (U Dp) ||l
Таким образом, выбор достаточно большого t в приведенной выше фор-
муле приводит к оценке сверху, а оценка снизу следует из 5.6. О
5.2. Элементы теории возмущений
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
Ах b
с квадратной невырожденной матрицей А. При ее решении в результате
вычислений с конечной разрядностью вместо х получается приближенное
решение х, которое можно рассматривать как точное решение возмущен-
ной системы
(А + 6 А) х = Ь,
где матрица возмущений 6А мала в каком-либо смысле.
Другой источник ошибок в х определяется возмущениями 6 А и 6Ь
в элементах матрицы Див компонентах вектора правой части b (на-
пример, вследствие ошибок округлений, возникающих в процессе ввода
вещественных чисел в память компьютера).
Чтобы оценить насколько приближенное решение х отличается от
точного решения х, используют нормы векторов и подчиненные нормы
матриц.
Пусть в системе Ах = b возмущается только вектор Ь, т. е. вместо
исходной системы решается возмущенная система Ах = b = b Н- <5Ь,
136
Глава 5. Матричные вычисления
и пусть х — точное решение возмущенной системы. Тогда для относитель-
ной ошибки в х верна оценка
А л-1|
Величину А | Л-1 называют числом обусловленности матрицы А
и часто обозначают cond(A). Для вырожденных матриц cond(A) = оо.
Конкретное значение cond(A) зависит от выбора матричной нормы, одна-
ко в силу их эквивалентности при практических оценках этим различием
можно пренебречь.
Из приведенного выше неравенства следует, что даже если вектор
невязки г = b — Ах мал, относительные возмущения в решении могут
быть большими, если cond(A) велико (такие матрицы называют плохо
об условленными).
5.42. Доказать неравенство
IIх-*11 < Cond(A) ||Ь “ £11 - cond(A) Нь~л*Н
||х|| ----«икца! liEij—
<] Из равенства А-1г = А-1Ь — А-1Ах = х — х следует, что
||х-х||<||Л->||||г||, (5.1)
Из равенства b = Ах имеем, что Ь =||Лх < A llxll.T.s.
IMI > й <5-2)
Разделив неравенство (5.1) на неравенство (5.2), получим
ТРГ « .4111И-Ч1 ft = сопа<Л) М = е«<1(4) "bfta
Отсюда видно, что если матрица А плохо обусловлена, то даже очень
маленькая невязка не может гарантировать малость относительной ошиб-
ки в х. С другой стороны, может оказаться так, что достаточно точное
решение имеет большую невязку. Рассмотрим пример:
/1,000 1,001\ /2,001\
А “ \ 1, 000 1, 000/ ’ b \2, ООО J
Точное решение системы Ах = b имеет вид х = (1,1)т. Однако вектор
х = (2,0)т, который никак нельзя назвать близким к х, дает маленькую
невязку г = (10-3,0)т.
Возьмем теперь b = (1,0)т. Тогда вектор х = (—1000,1000)Т — точное
решение системы. Вектор х = (—1001,1000)т достаточно близок к х
в смысле относительной погрешности, однако х дает большую невязку
г = (1,1)т, близкую по норме к вектору Ь. О
5.2. Элементы теории возмущений
137
5.43. Найти решения двух систем с близкими коэффициентами:
'х 4- Зу =4, (х + Зу = 4,
\х -4- 3,00001?/ = 4,00001; [ж 4- 2,99999?/ = 4,00001
и объяснить полученный результат.
Ответ: (1,1)т и (7, — 1)г. Обе матрицы получены малыми возмущениями од-
ной вырожденной матрицы. В данном случае это приводит к большой разнице
в решениях систем.
5.44. Показать, что cond(X) 1 для любой матрицы А и conc^CQ) = 1
для ортогональной матрицы Q.
<1 Так как I = ЛЛ-1, то
1 = ||/|| = ||А А-1|| ||А|| ||А-1|| = cond(A).
Умножение матрицы на ортогональную не меняет ее спектральную норму,
поэтому
||Q||2 = imi2 = IMl2 = l и ||QT||2 = ||QT/||2 = ||/||2 = 1.
Таким образом, cond2(Q) = ||<?||2 ||<Э-1||2 = ||<Э||2 ||<2Т||2 = 1- >
5.45. Можно ли утверждать, что если определитель матрицы мал, то
матрица плохо обусловлена?
<] Пусть дана диагональная матрица D = el, где е > 0 — малое число
и / — единичная матрица. Определитель det(D) = еп мал, тогда как
матрица D хорошо обусловлена, поскольку
cond(D) = ||D|| ЦР-Ч1 = £||/||£-1||d-1|| = 1.
Рассмотрим теперь матрицу
у которой определитель равен 1, и вычислим ее число обусловленности.
Для этого возьмем произвольный вектор b 0 и, решая систему Лх = b
с помощью обратной подстановки, построим элементы обратной матри-
цы Л-1:
Хп —
Хп-1 — &П-1 +
хп-2 = Ъп-2 4- Ьп-1 + 25п,
хп-з = Ьп-з 4- Ьп-2 + 26п-1 + 225п,
xi = bi + 62 4- 263 + • • • 4- 2n '^bn—i 4- 2"' 26n.
138
Глава 5. Матричные вычисления
Запишем полученную обратную матрицу:
' 1 1 2 2п~ з 2п~2\
0 1 1 со 1 S см 1 S см см
Л’1 = е . е • е е ♦ е е ее. .ее ♦
0 0 0 0 ... 1 1
к 0 0 0 0 ... 0 1 /
Следовательно, | Л-1 loo 1 + 1 + 2 + 22 + + 2"-2 = = 2П-1. Так как
ll^lloo = то condoo(A) = п2п~г, т. е. матрица А плохо обусловлена, хотя
det(A) = 1.
Рассмотренные примеры показывают, что обусловленность матрицы
зависит не только от величины определителя. О
5.46. Пусть дана матрица А размерности п х п с параметром |а| 1
А - /1 0 a 1 0 a 0 0 0\ 0
0 0 0 0 0 0 ... 1 0 а 1 j
Вычислить condoe(A) и оценить возмущение в компоненте решения
системы Ах = Ь, если компонента Ьп вектора b возмущена на г.
<| Как в 5.45, методом обратной подстановки получим обратную матрицу
/1 —а (—а)2 ... (—а)п 2 (—а)п
0 1 —а ... (—а)п~3 (—а)п~2
л-* = ... ... ... ...
0 0 0 ... 1 —а
1° 0 0 0 1 /
Тогда ПЛ !оо = 1 + |а >
|л-Ч оо 1 + а| + а2 4 F |а П-1 = — — .
Отсюда видно, что матрица А плохо обусловлена при |а| > 1 и хоро-
шо обусловлена при а < 1. Например, при п = 20 и a = 5 имеем
condoe(A) и 1014.
Пусть компонента Ъп задана с ошибкой е. Тогда вычисленное значе-
ние xi компоненты xi имеет вид
£1 = &1 — + • • + a)n 26n-i + (—а)п 1 (bn + <s) = + (—а)п .
Следовательно, при a > 1 возмущение в Ьп увеличивается в компоненте
з,'1 в |а|п-1 раз, а при |а| < 1 во столько же раз уменьшается. |>
5.2. Элементы теории возмущений
139
5.47. Пусть А — матрица размерности п х п с элементами
= {р для i — j, q для i = j — 1 , 0 для остальных индексов}.
Вычислить матрицу Л-1 и показать, что при |д| < |р| матрица А хорошо
обусловлена, а при |д| > |р| и больших значениях п — плохо обусловлена.
Указание. Воспользоваться решением 5.46.
5.48. Пусть матрица А определена как в 5.47. Выразить явно решение
системы Лх = b через правую часть.
Указание. Воспользоваться решением 5.46.
5.49. Решается система Лх = b с матрицей
/ 1 —1 1\
Л = I -1 е е I ,
\ 1 € £/
|е| < 1.
В результате замены xf± — a?i, х2 = для нахождения новых
неизвестных х' имеем систему Л'х' = bz с матрицей
В каком случае число обусловленности меньше?
О Имеем
-1 1 \
2 2
1 - £ 1 + £
4£ 4£
1 + £ 1 ~ £
4е 4£ у
поэтому число обусловленности
нечности при е —> 0, а число
исходной матрицы
_ 1 1 \
2 2
1 - £ 1 + £
4 4 ’
1 + £ 1 — £
4 4 /
стремится к беско-
обусловленности матрицы А остается
ограниченным.
5.50. Пусть Л = Лт > О, А(Л) € [m, М] и А /ЗЦ где I — единичная
матрица. Доказать, что сопс^Л+ монотонно убывает по & при а > 0.
Указание. Вычислить сопбДЛ + al) — Q = 1 + .
v ' my а тУа
5.51. Существуют ли несимметричные матрицы, для которых справед-
ливо сош12(Л) = сопсЦЛ2) >1?
Ответ: примером такой матрицы является
/103 0 0 0 А
_ ° 2 i 0
Л = 0 0 2 0
0 0 0 ю-3^
А(4Т4) е {10е, Ю-е, 4,5 ± \А?25},
cond(42) = || А21| ИД’21| = Ю12; cond(4) = М||М-1|| = Ю6.
140
Глава 5. Матричные вычисления
5.52. Доказать неравенство для квадратных невырожденных матриц
размерности п х п
1 < condi(A)
п cond2(>l)
<] Воспользовавшись неравенством для векторных норм
||х||2 < ||х||1 V^||x||2,
получим -5= ||Л||2 < ЦАЦ, л/й||А||2 , откуда и следует требуемый
результат. >
5.53. Оценить снизу и сверху condoo(X) невырожденной матрицы А
размерности п х п , используя границы собственных чисел матрицы Ат А:
Х(АТА) е [а, /3].
<] Из неравенства для чисел обусловленности в матричных нормах || • ||
и || ||2 и равенства ЦЛЦ2 = AmaxG4T^4) следует, что
1 yi < condTO(A) < n yi.
5.54. Получить неравенство сопб(Л)
Атах(-А)
Ащш (А)
для произвольной
невырожденной матрицы А и любой матричной нормы, используемой при
определении числа обусловленности.
Указание. Воспользоваться решением 5.6.
5.55. Доказать, что cond(XB) со nd (Л) cond(B) для любой заданной
нормы в определении числа обусловленности и для любых невырожден-
ных квадратных матриц.
5.56. Оценить сопбгСЛ) матрицы А размерности п х п
А = /2—10 0 ... 0 0 \ -12-10 ... 0 0 0 -1 2 -1 ... 0 0 0 0 0 0 ... 2 -1 0 0 0 0 ... -1 2 у
Указание. Воспользоваться для собственных векторов у , j = 1,..., п,
матрицы А явной формулой (см. 2.86): = sin . Соответствующие
собственные числа: А^ = 4 sin2 77 J—г, так что
2(n + 1)
cond2(A) = ctg2 К 4<та + х)
5.2. Элементы теории возмущений
141
5.57. Оценить сопё2(Д) матрицы А размерности п х п
<4100
14 10
0 14 1
О 0 >
О О
О О
4 1
0 0 0 0
к 0 0 0 0
Указание. Для собственных векторов уС*), j — 1 ,...,п матрицы А най-
ти явную формулу (см. 2.86). Получим = sin -—Ц-. Соответствующие
собственные числа: Х^ — i + 1 cos * J , так что сопс^Л) 3.
3 3 п +1
5.58. Пусть I — единичная матрица, 61 — ее возмущение и |<5Z|
Показать, что матрица I — 61 невырожденная и выполнена оценка
|р-Щ II i-II^II •
< 1.
<] Возьмем произвольный вектор х 0. Так как 1 — | 61\\ > 0
и ПХН = Н(х — £7х) + £/х| | х — £Zx + д/х , то
||(/- <5/)х I = ||х- <5/х|| $ ||х|| - ||<5/х|| $
х - -WI х =(1- 61 ) х| >0.
Следовательно, если х 0, то (I — 61) х 0, т. е. матрица I — 61
невырожденная. Из тождества (I—61) (I—6I)1 = I получаем (Z— 61)~г =
— I • 61 (7 — 6I)-1. Отсюда
IP - W)-1!! ||Л1 +11«11 IP - W)-4| = i + |р - Щ-Ч1 liw||.
Из этого неравенства следует решение задачи (ее называют задачей о воз-
мущении единичной матрицы). [>
5.59. Пусть / — единичная матрица, 61 — ее возмущение и \6I\ < 1.
Получить оценку отклонения матрицы I от матрицы (Z — б!)-1.
<] Из (I — 6I)-1 — I + 61(1 — б!)-1 (см. 5.58) получим I — (I — 61)~* =
= —61(1 — 61)~г. Отсюда в силу неравенства из 5.58
5.60. Пусть А — невырожденная матрица, 6А — ее возмущение и A Y6A < 1.
Показать, что матрица А + 6А невырожденная и выполнена оценка
IM-41
142
Глава 5. Матричные вычисления
О Имеем А-\-8А — А(/ + А-15А). Поскольку А~15А|| < 1, из 5.58 следу-
ет, что матрица I + А-МА невырожденная. Это означает, что и матрица
А + 6 А также не вырождена.
Из равенства (А + 5А)-1 = (/ + А-15А)-1А-1, в силу неравенства из
5.58, следует, что
||(-4 । <>.11 Ч|С||(/Ч л sir'llЦЛ-1 II • >
5.61. Пусть А — невырожденная матрица, 6 А—ее возмущение
и | А-15А|| < 1. Получить оценку отклонения матрицы (А + 5А)-1 от
А-1.
<] Из равенства (А + 5А)-1 = (/ + А-15А)-1 А-1 следует, что
А'1 — (А + 5А)"1 — (/—(/ + А-15А)-1)А-1. Тогда в силу неравенства
из 5.59
ил-1 - (4+<5А)-1 I < ||/ - (/ + А-ЧА)-Ч| ЦА-Ч1 „ ЦЛ-Ч1.
1 - IIЛ <5Л||
Относительная ошибка в матрице (А+<5А)-1 оценивается неравенством
||А-1-(А + <?А)-Ч| < ||А-1||||<5А|| _ cond(A) ||<5А|| .
ЦД-1Ц " 1 -114-4411 1-Ц4-44Ц 1И1
5.62. Оценить снизу число обусловленности cond2(A) матрицы:
/ 10 10 30 \ / 1 20 —400\
1) А = 0,1 0,5 0,1 ; 2) А = I 0,2 -2 -20 .
\0,03 0,01 0,01/ \—0,04 -0,2 1 /
5.63. Система Ах = Ь, где
А =
-1
ю-10
lO-w
1 \
ю-101
Ю-10/
ь =
/2(1 + 10~10)\
-ю-10
\ 1О-10 /
имеет решение х = (10-1°, — 1,1)г. Доказать, что если (А + 5А)у = Ь,
| 5А 10-8 А , то х — у 10~7. Это означает, что относительно ма-
лые изменения в элементах матрицы А не приводят к большим изменени-
ям в решении, хотя condoo(A) имеет порядок 1О10.
А /100 99\
5.64. Пусть А = ( gg 98 J ’ Доказать, что данная матрица имеет наи-
большее число обусловленности cond2(A) из всех невырожденных матриц
второго порядка, элементами которых являются положительные целые
числа, меньшие или равные 100.
<] Введем обозначения для элементов матрицы А
/а
А = I j ]
\ с a /
5.2. Элементы теории возмущений
143
и найдем conch (Л) в явном виде
|| Л 2 = у шах А V А), Л 1 2 = у шах Al 1 1 )тА х) —
= ЛТЛ)-1) = —. 1 _ .
V ' ' v ИННАМ'А)
Имеем
conch (Л) =
III.IX A; t j А)
min Л(АТА)
Введем матрицу
_ .-г. /а2 + с2 аб + cd'
В = А А = I , . ,2 I »2
\ab + cd b + d t
и запишем ее характеристический многочлен
РвМ = Л2 — Atr В + det В, trB = а2 + 62 + с2 + d2.
Его корни равны Al ;2 = tr # ± V1 —^det В Так как tr В > 0, то
cond2(A) =
/tr В + у/it2 В — 4 det В _ tr В + 11 - В — 4 det В
\ tr В - y tr2B- 4 det В v 4 det В
_ trВ_____tr2В _ 1
Д+ГЙ \ 4detB
Таким образом, значение cond2(A) максимально, если максимально
tr (А А) имеем tr2 (АТА) = (а2 + Ъ2 + с2 + d2)2 ,
det । 1 V
det (ATA) = (a2 + (?) (62 + d2) — (a6 + cd)2 =
2
= a2 d2 + b2c2 - 2abcd — (ad - be) =
b \
d/
2
= det2 A,
2 , l2 2 । j2
следовательно, значение a должно быть максимальным. От-
det "A
сюда получаем, что выражение а2 + Ь2 + с2 + d2 максимально при условии
det А = ±1. Действительно, если модуль определителя больше 1, то trJE?
необходимо увеличить больше, чем в два раза. При ограничении ац 100
это невозможно. Таким образом, при п = 98 можно воспользоваться лю-
бой из следующих матриц:
(п + 2 п -1- 1 к / п + 1 и + 2 '
\ п + 1 п / ? J 2 у п п + 1) ’
(п +1 п \ / п п +1 \
п + 2 п + 1/ ’ /4 — уп + 1п + 2/
144
Глава 5. Матричные вычисления
5.65. Пусть при некотором 1 > q > 0 для элементов каждой строки i
невырожденной матрицы А выполнено неравенство q |а^| 52 Оце-
нить снизу и сверху condoo(>l) > используя только диагональные элементы
матрицы и параметр q.
<] Отметим оценки
max |лй| < ЦАЦоо < (1 + q) max |дй|.
г i
Введем обозначение С = А1 и заметим, что для Vi,j справедливо
|cij| || О'Це. При каждом i имеем (АС = I)
У2 ^ikCki = 1, 1 J" kMIM la«l Il^ll^-
к=1 к = 1
Отсюда получаем оценку снизу для нормы матрицы Л-1
||л-Ч|те = ||сцте^(1 + 9)^пЫ,
i
следовательно,
max^d
«d.W . 11.-ЧМ-4
г
Если правая часть неравенства не превышает единицы, то полученная
оценка малосодержательна.
В силу невырожденности матрицы Л, все диагональные элементы ан
отличны от нуля, поэтому можно построить матрицы
J = diag (oq i , а<22 •> • • - > апп) •> В А ~ I *
Отметим, что ||В Цое q < 1 в силу цепочки неравенств
max|barri Н--+ binxn\ < max V < НхЦ^тах V IM < q ||х||оо-
г г и г и
к к
Отсюда следует справедливость представления
А~' = (/ + В)-1 J = (1 - В + В2 - В3 + • • •) J,
так как ряд является сходящимся.
Далее для произвольного вектора х получаем оценку
М-1х||оо = 11(7 - в + В2 - В3 + • • •) JxU <
< Н^хЦоо + q рхЦоо + ^рхЦоо -4------ Il-Mo*
1 - д min|aj
г
Следовательно,
maximal
condoo(A) = ||АЦооИ-Чоо < >
-L у шш |«гг|
г
Ответ: 1 max,|a”,1 condo.(A) тах,|ай,1 .
1 + <7 тш|ай1 4 ' 1 - <7 шт |ай|
5.2. Элементы теории возмущений
145
5.66. Пусть R — верхняя треугольная матрица размерности п хп, у кото-
рой: 1) |nj| 1 для всех г, j; 2) гц = 1 для всех г. Найти максимально
возможное значение числа обусловленности condoo(7?).
О Рассмотрим вспомогательные матрицы Ак размерности (&+1)х(&+1)
с элементами |а^ | 1 следующей структуры:
г ац при г = j,
dij = < 1 при i = j + 1,
10 иначе.
Для определителя А к из разложения по первому столбцу следует оценка
| det (Xfc) < ац det + det ( Л," <2 det(Xfc-i) <
sg4 det(A_2)K...^2fc,
поскольку
| • ict । Л i) | = det
an
1
«12
fl 22
2,
|det(40) | = l«u| < 1-
Выше было использовано обозначение -4^1 j (Z = 1,2) для подматриц k-го
порядка, получающихся из исходной матрицы Ль вычеркиванием первого
столбца и l-й строки.
Рассмотрим теперь обратную к R матрицу R-1 с элементами
при
при
при
’ = J,
t <
Так как det(/?) = 1, то qij имеет смысл алгебраического дополнения эле-
мента rji в определителе матрицы R. При этом его значение равно (с точ-
ностью до знака) определителю матрицы, у которой диагональные эле-
менты не превышают единицы, на нижней побочной диагонали ровно
к — j — i — 1 единиц, а остальные элементы равны нулю. Отсюда име-
ем
|gv| <: det ) £ 2J~' .
Рассмотрим случай максимально возможных значений qij:
( 1 1 2 ... 2^-3 2П—2 \
R-1 = 0 1 1 со 1 £ сч 1 g сч
• * « • ♦ ♦ • ♦ . ♦ ♦ • • ♦ •
(° 0 0 0 1 /
При этом исходная матрица R однозначно определяется как
/ 1 -1 -1 ... -1 \
0 1 -1 ... -1
R = ♦ е . ♦ е е е е е
k° 0 0 ...
146
Глава 5. Матричные вычисления
Легко проверить, что
II/г-1U = 1 + 1 + 2 + + 2"-2 = 2"-1, ЦЯПо. = п,
т. е. построена матрица, на которой одновременно достигаются максималь-
но возможные значения как ЦйЦоо? так и ||Л-1||оо среди всех матриц из
заданного класса. О
Ответ: max condoo(R) =п2п 1
5.67. Показать, что определитель Dn матрицы Коши Кп с элементами
„ Г.' 1 < «> J < п равен
Dn
(\ -1
П (««+М )
<] Вычтем первый столбец определителя последовательно из второго, тре-
тьего, ..., n-го столбцов, а затем вынесем bi — 62 за знак определителя из
второго столбца, 61 — 63 — из третьего и т. д. Затем вынесем (ai + 61 )-1 из
первой строки, («2 +61)-1 —из второй строки и т. д. Далее вычтем первую
строку последовательно из второй, третьей, ..., п-й строки, а затем вы-
несем за знак определителя
(ai - а2) -.. («1 - an)(ai + Ы-1... (ш + М-1 •
В результате останется определитель матрицы Коши (п — 1)-го порядка.
Поэтому искомая формула получается по индукции. [>
5.68.
Пусть задана матрица Гильберта Нп с элементами hij =
1
г + j - 1 ’
1 п- Показать, что элементами матрицы Нп 1 являются целые
числа, которые можно вычислить по формуле
«О' = (-!)*+>
__________(г + п - 1)! (j 4-п - 1)!_______
[(j-l)!]2((j-l)!]2(„-i)!(n-j)!(i + j-l) '
<] Рассмотрим матрицу Коши Кп с элементами kij =
1
щ + bj ’
1 г, j п.
Ее определитель вычислен в 5.67. Элементы матрицы Кп 1 являются отно-
шениями алгебраических дополнений к определителю исходной матрицы.
Миноры матрицы Коши снова являются матрицами Коши. Поэтому мож-
но получить явные выражения для элементов К”1:
п
^0 = 11 (^J + ^г)
fc=l
(dj + bi} П (aj - Qfc) П (bi - bk)
Полагая = г, bi = i — 1, получим частный случай матрицы Коши —
матрицу Гильберта и искомую формулу для элементов Я”1. [>
5.2. Элементы теории возмущений
147
5.69. Оценить рост числа обусловленности cond00(brn) матрицы Гиль-
берта с элементами hij = , 1 г, j п относительно параметра
размерности п.
г (i Я- 71 — 1V
Указание. Величина — --------5—-— принимает максимальное значение
((г — 1)1)2(п — г)!
НпХ
при г =
, поэтому для элементов aij матрицы
(см. 5.68) по фор-
муле Стирлинга
п! = \/277i nne~neff(n), |0(п) I .
1X71 12п '
имеем асимптотику
^,ТМ = vfa^ + 1)4n (1+°О •
Отсюда следует равенство
1|Яп 1||с° = (2тг)3/227/4^ + +
Так как п
In п ||Я„|ГО = 22 4 3 Inn (для п 2),
>=1 3
то главный член асимптотики condoo(/Zn) имеет вид const • 4n 1п -у=.
5.70. Доказать
А = Ат > 0:
неравенство Адамара для квадратных матриц вида
п
det(A) < ] an.
г=1
<] Положим di — г— и пусть D — diag(di, t/2, • • •, dn). Неравенство
\/aii
det(A) аца22 •• • ann равносильно условию det(DAD) 1, и в дальней-
шем достаточно рассматривать матрицу А, все диагональные элементы
которой равны единице. Если А1, Аг,.. • ,АП —собственные значения мат-
рицы А (обязательно положительные), то
det (А) = JJ Xi <
г=1
(- trA^
\тг /
Здесь мы воспользовались неравенством между арифметическим и гео-
метрическим средними неотрицательных чисел. Равенство средних имеет
место тогда и только тогда, когда все Xi = 1. В силу симметрии, матрица
А диагонализуема. При единичных диагональных элементах и собствен-
ных значениях это равносильно тому, что А является единичной матри-
цей. Соответственно равенство в исходном неравенстве достигается тогда
и только тогда, когда А — диагональная матрица. [>
148
Глава 5. Матричные вычисления
5.71. Показать, что для произвольной квадратной матрицы С справед-
ливы неравенства
n / n \ 1/2 п / п \ 1/2
|det(C)| < fl f £ Ы2 I > IMC9I < П (^Ы2)
г=1 \J = 1 / J=1 '*4=1 '
а равенства в них достигаются тогда и только тогда, когда строки (соот-
ветственно столбцы) матрицы С попарно ортогональны.
О Если матрица С вырождена, то доказывать нечего. В случае невырож-
денной матрицы С нужно применить неравенство из 5.70 к положительно
определенной матрице А = С Ст и извлечь квадратный корень из обеих
частей неравенства. Правая часть доказываемого неравенства — квадрат-
ный корень из произведения диагональных элементов матрицы Л, а ле-
вая часть — квадратный корень из определителя этой матрицы. Строки
матрицы С попарно ортогональны тогда и только тогда, когда А — диа-
гональная матрица, а это и есть случай равенства в 5.70. Второе искомое
неравенство получается применением первого к матрице Ст. [>
5.3. Точные методы
К точным методам решения системы Ах = b линейных алгебраиче-
ских уравнений относятся алгоритмы, которые при отсутствии ошибок
округления, позволяют точно вычислить искомый вектор х за конечное
число логических и арифметических операций. Если число ненулевых
элементов матрицы имеет порядок п2, то большинство алгоритмов тако-
го рода позволяют найти решение за О(п3) арифметических действий.
Данная оценка, а также необходимость хранения всех элементов матрицы
в памяти компьютера накладывают существенное ограничение на область
применимости точных методов. Однако для решения задач размерности п
менее 104 разумно применять точные алгоритмы. При численном решении
задач математической физики часто требуется обращать матрицы блочно-
диагонального вида. В этом случае удается построить точные методы
с меньшим по порядку числом арифметических действий. К таким алго-
ритмам относят методы прогонки, стрельбы, Фурье (базисных функций).
Наиболее известным из точных методов, применяемых для решения
задач с матрицами общего вида, является метод исключения Гаусса.
В предположении, что коэффициент ап 0 0, уравнения исходной системы
заменяем следующими:
( । аь 01
I ail J ап
। w / \ к
j (ацх j ) — bi ~ ад, i — 2,..., л,
\ J J ац ап
т. е. первое уравнение делим на ац, затем, умноженное на соответству-
ющий коэффициент ац, вычитаем из последующих уравнений. В полу-
ченной системе А^х = Ы1) неизвестное х^ исключено из всех уравнений,
5.3. Точные методы
149
кроме первого. Далее при условии, что коэффициент матрицы А (Г от-
личен от нуля, исключаем Х2 из всех уравнений, кроме первого и второго,
и т. д. В результате получаем систему А^х = с верхней треугольной
матрицей. Данную последовательность вычислений называют прямым
ходом метода Гаусса. Из последнего уравнения приведенной системы
определяем компоненту решения хп. Далее подставляем хп в (п — 1)-е
уравнение, находим zn-i и т. д. Соответствующую последовательность
вычислений называют обратным ходом метода Гаусса. Если на к-м шаге
прямого хода коэффициент а^кк равен нулю, то к-ю строку уравнения
переставляют с произвольной l-й строкой, I > к — с ненулевым коэффици-
ентом а^к при Xk> Такая строка всегда найдется, если det (А) 0.
Если на к-м шаге прямого хода диагональный элемент аккк 1 отличен
от нуля, но его абсолютное значение мало, то коэффициенты очередной
матрицы будут вычислены с большой абсолютной погрешностью. По-
лученное в результате решение может значительно отличаться от точного.
Поэтому при практической реализации метода Гаусса требуют на каждом
шаге прямого хода переставлять на к-е место строку с максимальным по
модулю элементом а^к среди всех I к. Такую модификацию называют
методом Гаусса с частичным выбором главного элемента. Данный алго-
ритм позволяет гарантированно найти приближенное решение х с малой
нормой невязки ||Ь—Ах|| но, возможно, с большой относительной ошибкой
II* - х||
Цх|| •
5.72. Показать, что реализации прямого и обратного хода метода Гаусса
требуют по порядку in3 и п2 арифметических действий соответственно.
О
У казан и е. Число умножений прямого хода приближенно равно п2
имеем столько же сложений.
5.73. Показать, что прямой ход метода Гаусса соответствует последо-
вательному умножению исходной системы на некоторые диагональные
матрицы Ск и нижние треугольные матрицы Ск. Определить вид матриц
Ск и С'к.
Указание. Матрица Ск получается из матрицы / заменой диагонально-
го элемента к-й строки на элемент (а^кк ] . Матрица Ск получается из
матрицы I заменой к-ro столбца на столбец (0,..., 1, —— ^k+ik > • • •>
ап,к
Таким образом, метод Гаусса соответствует неявному разложению
исходной матрицы А на произведение нижней треугольной матрицы L
и верхней треугольной матрицы R с Ткк = 1- Действительно, как следует
из 5.73, С А = R, где R — верхняя треугольная матрица с единичной
150
Глава 5. Матричные вычисления
диагональю, а С — CnC^l_1Cn-i.. .C[Ci — нижняя треугольная матрица.
Поэтому А = LR, где L = С-1_ Аналогично можно построить разложение
А = LR с Ikk ~ Г
5.74. Показать, что прямой ход метода Гаусса с частичным выбором
главного элемента соответствует последовательному умножению исходной
системы на некоторые диагональные матрицы Сь нижние треугольные
матрицы Ск и матрицы перестановок Pk. Определить вид матриц Ск, Ск
и Pfc.
Ответ: Матрицы С'/., Ск совпадают с матрицами из 5.73, матрицы Рк получа-
ются из единичной матрицы I некоторой перестановкой строк.
5.75. Пусть система Ах = b с матрицей А = ' ) решается методом
LjR-разложения: А = LR, Ly — b, Нх = у. Вычислить condoo(L)
и condoo(i?), если LH-разложение строится методом Гаусса: а) без выбора
главного элемента; б) с выбором главного элемента.
О а) Применим схему без выбора главного элемента:
Отсюда для определения элементов матриц L и R получаем систему
линейных алгебраических уравнений /нГц = е, 1цп2 = 1, kiTii = 1?
/21Г12 + /22^22 — Г Для определенности положим /ц = Z22 — Т Тогда
Отсюда
/. (1 I - | . сопбоо(Л) = Д.
X * / £
б) Воспользуемся Т2?-разложением с выбором главного элемента:
Отсюда
condm(L) = (1 + е)2, condo.(jR) = 2 ^1 +
5.3. Точные методы
151
5.76. Доказать, что для невырожденной матрицы А существуют мат-
рицы перестановок Pi и Р2, нижняя треугольная матрица L и верхняя
треугольная матрица R такие, что Р1АР2 = LR. Показать, что достаточно
использовать одну из матриц Pi.
Указание. В матрице Pi А переставлены строки исходной матрицы А,
а в матрице АР2 — столбцы. Для того чтобы матрица имела LP-разложе-
ние, необходимо и достаточно, чтобы все ее ведущие подматрицы (в том
числе и А) были невырожденные.
Если методом Гаусса получено некоторое приближенное решение х, то
можно выполнить следующий процесс уточнения. Найдем вектор невязки
г = b — Ах с удвоенным количеством значащих цифр и решим систему
Az
. Положим х := х + ||r||z. Процесс уточнения значительно
экономичнее, чем решение исходного уравнения, так как LP-разложение
матрицы А уже имеется. Уточнение можно повторять до тех пор, пока
убывает норма вектора невязки.
5.77. Пусть вещественная матрица А симметрична и положительно
определена. Записать формулы для решения системы Ах = Ь, основанные
на разложении А = RTR с верхней треугольной матрицей R.
<] Определим элементы матрицы R. В силу формулы умножения матриц
имеем aij = гцг^ + r2ir2j + ... + гцг^ при i < jy
ац = ru + r2i ++ при t = j.
Отсюда получаем формулы для определения nj:
П1 = = 7^ и > 1),
/ г —1
Гц = Jац - rki (г > 1),
V k = l
г—1
aij ~ ki^kj
га =------v1------ 0' >«),
' гг
rij = 0 (г > j).
Дальнейшее решение исходной системы сводится к последовательному
решению двух систем с треугольными матрицами: RT у = b и Rx = у.
Элементы вектора у определяем по рекуррентным формулам анало-
гично rijt г-1
bi - Е rkiyk
yi = , Уг =-------—------- (г > 1)-
П1 Гц
Окончательное решение х находим по формулам
п
Vi~ Е гИгУк
Хп = Xi =------------- (г < п).
1 пп • гг
Описанный алгоритм часто называют методом Холецкого. [>
152
Глава 5. Матричные вычисления
5.78. Показать, что реализации прямого и обратного хода метода Хо-
лецкого требуют по порядку и п2 арифметических действий соответ-
О
ственно.
5.79. Пусть А — вещественная симметричная матрица. Записать форму-
лы для вычисления матричного разложения А — RTDR с верхней тре-
угольной матрицей R и диагональной матрицей D с элементами da — ±1.
Ответ: последовательно для i = 1,..., п вычислим
da = sign ( da 5 dkk j ,
' fc=i '
aa 5 dkk
k=\
1/2
<Lij - 53 'f'kiTkjdkk
Для i < j .
В этих формулах, как обычно, если верхний индекс суммирования меньше
нижнего, то сумму полагают равной нулю.
5.80. Для матрицы
/12 3 \
А= 2 -5 -6
\3 -6 18 /
вычислить элементы разложения А — RT DR с верхней треугольной
матрицей R и диагональной матрицей D с элементами da = ±1-
/1 0 0\ /12 3\
Ответ: J9 = I О —1 0 | , R = I 0 3 4 I .
\0 0 1/ \0 0 5/
Среди точных методов, требующих для реализации порядка О(п3)
действий, одним из наиболее устойчивых к вычислительной погрешности
является метод отражений.
Пусть имеем некоторый единичный вектор w G Rn, ||w||2 = 1- Постро-
им по нему следующую матрицу: U = I — 2wwT, называемую матрицей
Хаусхолдера. Здесь I — единичная матрица, П = w wT — матрица с элемен-
тами ujij — wtWj, являющаяся результатом произведения вектор-столбца
w на вектор-строку wT.
5.81. Доказать, что матрица U является симметричной и ортогональной
матрицей, т. е. U — UT и UTU = /, и все ее собственные значения равны
±1.
У к а з а н и е. Симметричность U следует из явного вида U. Так как
(w, w) = 1, то QQ|^ = 52 WiWkWkWj = и
к=1
UU = / - 4Q + 4QQ = /, т. е. U2 = UTU = I.
5.82. Показать, что Uw = —w, а если вектор v ортогонален w, то Uv = v.
5.3. Точные методы
153
5.83. Показать, что образ Uу произвольного вектора у является зеркаль-
ным отражением относительно гиперплоскости, ортогональной вектору w.
О Представим у в виде у
Uy = -(у, w)w + V.
(у, w)w + v. Тогда из 5.82 следует
5.84. Для векторов единичной длины у и е найти вектор w такой, что
Uy = е, где U = I — 2w wT.
О Заметим, что w = ±-------— -----. Действительно, (/—2wwT)y =
v'(y-e>y -е)
= у £ = е, так как
2 52 (Уг ~ ег)(Ук ~ ек)Ук , ,, . ..
с _ к=1 _ 2(^-е.)(1-(у,е))
(у-е,у-е) 2-2(у,е) ~Уг
Так как преобразование U не меняет длины вектора, то для неединичного
вектора у имеем Uy = ае, а = у 2, и искомыми являются векторы
W = ± У-^е
||у-М2'
5.85. (Метод отражений). Показать, что произвольная квадратная мат-
рица А может быть приведена к верхнему треугольному виду в результате
последовательного умножения слева на ортогональные матрицы Хаусхол-
дера.
Указание. По векторам yi = (ai,i, • •, апд)т и ei = (1,0,... ,0)т можно
построить вектор wi и соответствующую матрицу (см. 5-84) так,
чтобы первый столбец матрицы = Ui А был пропорционален вектору
©i € Rn, т. е. t/iyi = ±ai©i. Вычислим оц = (ajд + a^i + • • • + ап,1)Х'2
и определим wj = + signal,i), ..., J , Wj = У'* . Такой
выбор знака и предварительная нормировка на ai гарантируют малость
вычислительной погрешности и устойчивость алгоритма.
Далее в пространстве Rn-1 по вектору уг = (<4*2, • • , а^п)т
построить матрицу U^ отображающую его в вектор, коллинеарный
©2 = (1,0,..., 0)т € Rn-1. Затем определить t/2 = ( п I и рассмотреть
XU U 2;
матрицу А^ = UUj\A. И так далее. На к-м шаге имеем Uk = ( * ~1 тт, )
\ 11 U к/
Таким образом, матрица отражений Uk строится по вектору -.
(•»—1 д-i» a-i\T
n л ак.к . ’ r flk+!.k M 1
U...0.--------k signify A. .--......—:- 1 ,
и ak = ((<4*fc ^)2 + • • • + (апД 1^)2)1/2. В результате преобразований по-
лучится верхняя треугольная матрица R = UА, где U = Un-\...U\.
При практической реализации явное вычисление Uk не требуется, так
154
Глава 5. Матричные вычисления
как UkA^k = А^к — 2wfc (wj А^к J)). При этом изменяются только
элементы к г, j п, матрицы Л^-1\ Из условия UU = I имеем
А = UR. Таким образом, произвольная квадратная матрица А может быть
представлена в виде произведения симметричной ортогональной матрицы
U и верхней треугольной матрицы R.
Рассмотренный алгоритм позволяет привести систему линейных урав-
нений Лх = b к виду Rx. — UЬ, а затем найти ее решение обратным
ходом метода Гаусса. Пусть решается задача с возмущенной правой ча-
стью Лх = b + <5Ь и |5Ь <С Ь. Так как ортогональные преобразова-
ния не меняют евклидову норму векторов, то для приведенной системы
Rx = Ub + £7<5Ь имеем | 77<5Ь| = ||<5Ь|| Ь| = I гть I, и относительная
погрешность правой части не увеличилась.
5.86. Показать, что реализации прямого и обратного хода метода от-
ражений в общем случае требуют по порядку ^п3 и п2 арифметических
действий соответственно.
5.87. Записать формулы метода отражений для задачи Лх = Ь, где
/ со ~5о 0 0 ... 0 0 0 0 \
— ai С1 -51 0 ... 0 0 0 0
А = 0 -«2 С2 —62 ... 0 0 0 0
0 0 0 0 ... -aN-2 CN-2 ~&7V-2 0
0 0 0 0 ... 0 ~М-1 Cyv-i —6jv-i
0 0 0 0 ... 0 0 —UN CN /
Оценить вычислительные затраты алгоритма.
Матрицу Л можно привести к виду Л = QR- где Q1 = QT —
ортогональная матрица, методом вращений, более простым по сравнению
с методом отражений.
Элементарной матрицей вращений второго порядка (матрицей Гивен-
са) называют матрицу
G(^) =
/'cos (р — sin^T
\ sin ip cos <p j
зависящую от некоторого параметра — угла <р.
5.88. Найти элементарную матрицу вращений G(p), переводящую про-
извольный ненулевой вектор (ai,a2)T в вектор со второй нулевой компо-
нентой: V°1+G2oO)T.
Ответ: cos р =---, Q1 ,
;"i + ai
sin р
5.4. Линейные итерационные методы
155
5.89. Показать, что при умножении матрицы А слева на матрицу
< 1 0 0
0 COS (р 0 — sin 0
Gki^) — • . 0 1 0 5
0 sin 9? 0 COS 99 0
(° 0 • . 0 1
(gki = sin<p, т. е. синусы и косинусы находятся на пересечении строк
и столбцов с номерами k и I, остальные диагональные элементы равны
единице) можно получить нуль на позиции элемента ащ.
5.90. (Метод вращений). Показать, что произвольная квадратная матри-
ца А может быть приведена к верхнему треугольному виду в результате
последовательного умножения слева на ортогональные матрицы враще-
ний.
Указание. Gnn-i . . • &з2&п i • • - G31G2 iA = R
5.91. Показать, что реализации прямого и обратного хода метода вра-
щений в общем случае требуют по порядку 2п3 и п2 арифметических
действий соответственно.
5.92. Записать формулы метода вращений для задачи Ах = Ь, где А —
матрица из 5.87. Оценить вычислительные затраты алгоритма.
Рассмотренные методы отражений и вращений применяют не только
при построении QjR-разложения матрицы А, но и для приведения А
к специальному виду: (2р + 1)-диагональному, блочному диагонально-
му, Хессенбергову. На основании данных разложений удается построить
эффективные численные методы решения систем линейных уравнений,
а также методы вычисления инвариантных подпространств и решения
задачи на собственные значения.
5.4. Линейные итерационные методы
Рассмотрим класс итерационных методов решения систем линейных ал-
гебраических уравнений, основанный на сжимающем свойстве оператора
перехода. Различные постановки задачи минимизации нормы оператора
перехода приводят к различным алгоритмам расчета.
Метод простой итерации. Преобразуем систему линейных алгебраиче-
ских уравнений
Ах = b (5.3)
с невырожденной матрицей А к виду
х = В х + с. (5.4)
Если решение системы (5-4) находят как предел последовательности
xfc+1 = Вхк +с, (5.5)
156
Глава 5. Матричные вычисления
то такой процесс называют методом простой итерации, а матрицу В —
оператором перехода. Справедливы следующие теоремы о сходимости
метода.
Теорема 1. Если ||В|| < 1; то система уравнений (5.4) имеет един-
ственное решение и итерационный процесс (5.5) сходится к решению со
скоростью геометрической прогрессии.
Теорема 2. Пусть система (5.4) имеет единственное решение. Ите-
рационный процесс (5.5) сходится к решению системы (5.4) при любом
начальном приближении тогда и только тогда, когда все собственные
значения матрицы В по модулю меньше 1.
Асимптотической скоростью сходимости R^(B) итерационного ме-
тода называют величину Roo(B) = — 1пр(В), где р(В) — спектральный
радиус (максимальное по модулю собственное значение) оператора пере-
хода В.
Рассмотрим общий способ перехода от системы (5.3) к системе (5.4).
Всякая система
x = x-D(4x-b) (5.6)
имеет вид (5.4) и при det(B) 0 равносильна системе (5.3). В то же
время всякая система (5.4), равносильная (5.3), записывается в виде (5.6)
с матрицей D = (/ — В) А-1.
Оптимальный линейный одношаговый метод. Для систем со зна-
коопределенными матрицами метод (5.5) обычно строят в виде
Yfc+i ,
---------|-Axfc=b, т.е. В =1 — т А, с = тЬ, (5.7)
где т — итерационный параметр. Так как точное решение х удовлетворяет
уравнению (5.7), то для вектора ошибки zk — х — xfc справедливы выра-
жения
zfc+1 = (/ - тА) vk, ||zfc+1|| с ||/-тА||р||, fc = 0,l,2,....
Итерационный параметр т ищется из условия минимума нормы оператора
перехода. Если А = Ат > 0 и выбрана евклидова векторная норма, то
минимизационная задача
min( max |1 — тА(А)| I = q
Т \А(Л) /
решается явно. Пусть известны точные границы спектра матрицы А, т. е.
А(А) G [т,М], тогда оптимальные значения соответственно равны
т = __2___ п = М-т < 2
т + М * 4 М + т
и справедлива оценка
||x-xfc||2 $ Q*||x- х°||2.
5.4. Линейные итерационные методы
157
Оптимальный линейный TV-шаговый метод. Будем считать, что
в итерационном алгоритме
х х + Лх* = Ь (5.8)
Tfc+1
допускается циклическое изменение (с периодом 2V) параметра т в зави-
симости от номера итерации, т. е. Т1,Т2,... , . В этом случае
после N итераций для вектора ошибки имеем:
z*+" =[](/--г,-А) Л
J=1
ПН-М)
J=1
|zfc|2, fc = 0,1,2,... .
z 2
Будем искать набор Tj, j = 1,..., TV, из условия минимума нормы опера-
тора перехода после N итераций. Если А = Ат > 0, то
N
max ПС1 _м(л))
П V ~
min
У
= min ]
Tj I А( А)
Пусть известны точные границы спектра матрицы А, т. е.
А(А) € [т,Л/], тогда оптимальные значения параметров равны обратным
величинам корней многочлена Чебышёва степени N на отрезке [m, М]:
М +т
2
М - m с(к - 1)
2 8 2У
и справедлива оценка погрешности после N итераций
x - X 2 ;----TV x - X 2 ^91 x - X 2> Ц] ~^=----------—
1 + ql V + \/ni
При численной реализации TV-шагового метода для устойчивости тре-
буется специальным образом перемешивать значения параметров Tj.
Недостатком рассмотренных оптимальных методов является требова-
ние информации о границах спектра матрицы А.
5.93. Пусть элементы матрицы В имеют вид 1 • 3 Доказать,
что система х = Вх + с имеет единственное решение и метод простой
итерации сходится при любом начальном приближении.
Указание. ||В| i = (ВЦфо < 1.
5.94. Найти все Q, Д при которых метод простой итерации xfc+1
= В + с, где
/а /3 О'
В = I /3 a /3
\0 /3 а.
сходится с произвольного начального приближения.
О Имеем det (В — AZ) = (а — А) (а — А — у/2/3)(а — А + V2/3) = 0, |о| < 1,
|а±\/2^|<1. >
158
Глава 5. Матричные вычисления
5.95. Привести пример задачи х = Вх + с такой, что у матрицы В есть
собственное значение Л вне единичного круга, но метод (5.5) сходится при
некотором начальном приближении.
О Имеем
Л 1\ z ч /_1\
п_ / 1 2 I _ ЛА _ I 2 ]
в 11 1/’ х~\1/’ с 11]’
\2 / V 7 \ 2/
А(В) = хА=1/2 = (1,-1)т; x°-x = txA=i/2 при t^O. t>
5.96. Пусть матрица В в методе (5.5) имеет вид
a 4
В =
О /3
О < а, /3 < 1.
Показать, что величина ошибки zk = х — хк в норме || • начинает
монотонно убывать лишь с некоторого номера итерации N. Оценить N
при a = /3 ~ 1.
Ответ: N а: т—.
1 - се
5.97. Пусть все собственные значения матрицы А вещественные и поло-
жительные: Л(А) > 0. Доказать сходимость метода
при т = ЦАЦ 1 с любой матричной нормой, которая подчинена векторной.
О Собственные значения оператора перехода В — I — т А имеют вид
А(В) = 1 - ЦАЦ-1 А(А). Так как 0 < А(А) ЦАЦ, то 0 А(В) < 1.
5.98. Доказать, что все собственные значения матрицы А размерности
пхп принадлежат области комплексной плоскости С?(А), представляющей
собой объединение кругов
C?j(j4) = {z : | Z £1ц| R-i(A) J \®ij |}> 1,... , П .
j/i
О Пусть Л — произвольное собственное значение матрицы А и х — соот-
ветствующий ему собственный вектор. Обозначим через Xi максималь-
ную по модулю компоненту вектора х. Если таких компонент несколько,
то Xi — любая из них. Из равенства Ах = Лх следует соотношение
(Л — da)Xi = aijXj• Отсюда имеем
£Ы=ЯДА)-
|
j&
Это утверждение называется теоремой Гершгорина. Имеется обобщение
этого факта. [>
5.4. Линейные итерационные методы
159
Теорема. Если указанное объединение кругов G(A) распадается на
несколько связных частей, то каждая такая часть содержит столько
собственных значений, сколько кругов ее составляют.
5.99. Доказать, что все собственные значения матрицы А размерности
п х п принадлежат области (7(A) Q (7(АТ).
Указание. Собственные значения матриц А и АТ совпадают.
/ 2 0,4 0,4\
5.100. Доказать, что у матрицы I 0,3 4 0,4 все собственные значе-
\0,1 0,1 5 )
ния вещественны и найти интервалы, которым они принадлежат.
Ответ: 1,6 А1 2,4, 3,5 Л2 4,5, 4,8 Аз 5,2.
5.101. Привести пример, демонстрирующий ложность утверждения: все
собственные значения матрицы А размерности п х п принадлежат объеди-
нению кругов
< min{R;(A), Ri(AT)},
i = 1, ... , п.
твет: у матрицы
0 0,1
оба собственных значения А1 = 1иА2=4не
принадлежат системе кругов: |z| 0,1, |z - 5| 0,1.
5.102. Доказать, что все собственные значения матрицы А размерности
п х п принадлежат объединению кругов
|г- ай| Rf(A)R] л(Ат),
где а — произвольное число из отрезка [0,1] (теорема Островского).
5.103. Доказать, что все собственные значения матрицы А размерности
п х п принадлежат объединению п^повалов Кассини'.
k aa\\z ajjl Rj(A) Rj(A), i, j — 1,.. ., n,
5.104. Доказать, что если для некоторого i и при всех j выполняются
неравенства — ajj\ > Ri(A) + Rj(A), то в круге \z — Ri(A) лежит
точно одно собственное значение матрицы А.
5.105. Пусть pi,... ,рп — положительные числа. Доказать, что собствен-
ные значения матрицы А принадлежат объединению кругов
-|
i = 1,..., n.
У казан ие. Пусть S — diag (pi,... ,рп) (det(5) 7^ 0)> тогда достаточно
показать, что собственные значения матриц А и S^1 AS совпадают.
160
Глава 5. Матричные вычисления
5.106. С помощью 5.105 найти интервалы, которым принадлежат соб-
ственные значения матрицы
/ 7
I -16
\ 8
-16
8 \
-8 | .
—5/
Указание. Точные собственные значения матрицы —9, —9 и 27.
5.107. Пусть pi, ...,рп— положительные числа. Получить оценки для
спектрального радиуса матрицы А:
.41 min
Pl.....
р(А) min
Р1,---,Рп
,п‘ях гЬММ
Ltib-.Fl Pt Л\
J = 1
п
“а*
I < п < t/o
г=1
1
1,5
где минимум берется по всем матрицам D = diag (рьРг) с положительными
Р1,Р2-
5.108. Для матрицы А =
2 I показать, что р(А) min D гАО ©©,
5.109. Пусть А — матрица простой структуры, т. е. подобна диагональ-
ной (А = QDQ~\ где столбцы q; матрицы Q — собственные векторы
матрицы А, а элементы диагональной матрицы D — соответствующие
собственные значения, т.е. da — АД и все А(А) € [m, М], т > 0. Доказать,
что метод
fc+l к ,
х -х - .1х* = Ь
сходится при 0 < т < с произвольного начального приближения.
О Пусть zfc — вектор ошибки на k-и итерации. Тогда
zfc+i = (j_TA)zfc = (QQ-1 ~tQDQ~1) ък .
Умножим полученное выражение слева на Q-1 и сделаем замену
Q-1 гк = zk. Тогда
z*+l = (Z-rD)i*.
Здесь В = I — т D — диагональная матрица, а ее собственные значения
равны А (В) = 1 — тЛ(А). Поэтому необходимым и достаточным условием
сходимости метода является выполнение неравенства
|1 — тА(А) <1 VA(A) е [ш,М],
откуда и следует искомый результат.
5.4. Линейные итерационные методы
161
5.110. Пусть матрица системы А х = b имеет вид
/ 2 0,3
А = 0,1 3
\0,1 0,1
0,5\
0,4 .
4,8/
Доказать, что метод простой итерации xfc+1 = (/ — тА)хк + тЬ при
0 < т < = сходится с произвольного начального приближения.
О
Указание. Воспользоваться аналогией с 5.100 и решением 5.109.
5.111. Пусть А и q — собственное значение и соответствующий собствен-
ный вектор невырожденной матрицы простой структуры Л, х° — началь-
ное приближение в методе простой итерации (5.7) для решения системы
Лх = Ь. Найти такое значение параметра метода, чтобы в разложении
ошибки по собственным векторам коэффициент при векторе q на первой
итерации был равен нулю.
Указание. Выписать оператор перехода для вектора ошибки за один
1
шаг и получить т = у-.
5.112. Пусть для невырожденной матрицы простой структуры Л поряд-
ка п известны все собственные значения Ai,..., Ап. Построить итерацион-
ный метод (5.8) с переменными параметрами т&, который не более чем за п
шагов приводил бы в точной арифметике к решению системы Лх = Ь.
Указание. Разложить ошибку х — по базису {q^} из собственных
векторов матрицы Л. Выбор = AjT1, к = 1, обеспечивает на
каждом шаге обнуление коэффициента при векторе q^ в разложении
ошибки (см. 5.111).
5.113. Пусть в задаче Лх = b с матрицей простой структуры у матрицы
Л имеется одно отрицательное собственное значение Ai € [—2 — г, —2 + г],
е = 0,01, а остальные значения — положительные: А« 6 [1, 3], i — 2,..., п.
Предложить итерационный метод (5.8) для решения такой системы.
5.114. Для решения системы х = Вх + с рассмотрим алгоритм с некото-
рым начальным приближением х°:
/+1 = Bxfe -|- с, xfe+1 = + (1 — Qf)yfe+1 -
Пусть В — Вт и А(В) € [m, М], m > 1. Найти оптимальное значение
итерационного параметра а.
О Имеем
xfc+1 = {al + (1 - a)B)xfc + (1 - <*)с,
min = minmax |а + (1 — а)А |, а =
а а А
тп + М
т + М — 2'
162
Глава 5. Матричные вычисления
5.115. Построить квадратную матрицу А размерности 31
ментами |a4J|
ЩЗОЦоо^ 109.
1 и собственными значениями |Л(А)|
х 31 с эле-
такую, что
1
Ответ: —
'1
< 1
к0
при i = j,
при i + 1 = j,
иначе.
5.116. Пусть А — невырожденная матрица размерности п х п и Xq -
произвольная матрица размерности п х п. Рассмотрим итерационный
к Хк+1 = Хк + Xk(I - АХк), к = 0,1,... .
Доказать, что lim Хк — А-1 тогда и только тогда, когда спек-
k^-OQ
тральный радиус матрицы I — AXq меньше 1. При этом I — АХк —
= (7 — AXq)2 , к = 0,1,.... Доказать также, что если AXq = XqA, to
АХк = ХкА для всех к.
О Для приближений нетрудно получить равенство
I - АХк+1 =(1- АХк)2.
Пусть Хк —> Л-1. Тогда 1 — АХк —> 0 и (/ — АХог —> 0 при k -> оо. Если
допустить, что р(1 — AXq) 1, то для собственного вектора х, соответ-
ствующего собственному числу Л, |Л| 1, вектор (7 — AXq)2 х = Л2 х не
стремится к нулю, т. е. имеет место противоречие.
Пусть теперь p(J — AXq) < 1, тогда найдется (см. 5.41) норма матрицы
II II*, для которой \\I - AXoll* = g < 1 и ||7 - АХк11* < д2* 0.
Для доказательства равенства АХк — ХкА при условии AXq — XqА
воспользуемся индукцией. [>
5.117. При каких значениях параметра т метод х^4 1
для системы уравнений А х = b с матрицей:
= (7 — тА)хк + тЬ
0,8 4\
2
0,8 4/
1) А= 2,5
\ 2
0,5 0,3
3
1
3) А =
2
0 ; 2) А = I 3
\1
3
1,4
0,6
4) А =
0
2
сходится с произвольного начального приближения?
1
5
3
1,2
2
0,4
0,5\
1 ;
3 /
0,8\
0,1
1
1
1
5.118. Пусть А = Ат > 0 и Л(А) G [m,М], m > 0. Записать наилучший
по скорости сходимости в норме || ♦ ||г итерационный процесс вида
х*+1 = хк _ Р1(Л)(Лх* _ b)t Р1^ =at+0.
5.119. Пусть приближения метода х*+1 = Вхк + с, ||£?|| < 1, сходятся
к решению х. Доказать, что
||х-х*Н ||(/-В)-1|| ||х*+1-х*||.
Указание. Вывод оценки следует из равенства х—х* = (7—В)-1 (xfc+1—хк).
5.4. Линейные итерационные методы
163
5.120. Для приближений метода xfc+1 = Bxk + с, ||£?|| < 1, доказать
оценку ||xfc|| $ ||В||'г||х°|| + } дц •
5.121. Пусть А = I — В, bij 0. Доказать, что если все компоненты
векторов х и с из задачи Ах — с неотрицательны, то приближения метода
xfc+1 = Bxk + с, х° = 0, сходятся к х.
< В силу того, что Ах = с, А = I — В, неотрицательности реше-
ния х и элементов матрицы В, справедливо неравенство х Впс +
+ Вп-1с + • + с для любого п (здесь использован знак для поком-
понентного неравенства векторов; аналогичный смысл имеет знак <с).
С другой стороны, при х° = 0 приближения удовлетворяют неравенствам
х° < х1 = с <С х,..., xn <С xn+1 <С Впс + Вп-1с + + с х. Итак,
последовательность {хп} монотонно возрастает (монотонно возрастают
все последовательности координат {я™}), ограничена сверху в смысле
вектором х и поэтому сходится. Переходя к пределу в равенстве
xfc+1 = Bxk + с, убеждаемся в том, что ее предел совпадает с х. [>
5.122. Пусть спектр матрицы А удовлетворяет условиям 0 < 6
Не{А(Л)} 1, |Im{A(A)}| 1. Найти область значений вещественного
параметра т, при которых итерационный метод xfc+1 = (I — тА)хк + тЬ
решения системы А х = b сходится с произвольного начального прибли-
жения.
< По условию собственные значения А оператора перехода I — т А имеют
А(/ — т А) = 1 — ти — i tv , 0 < <5 u 1, |u| 1.
Из условия сходимости |А|2 = (1 —ти)2 + т2и2 < 1 имеем неравенство
т < е? u г,. Рассмотрим выражение
и2 + V
*
min 9 Q = mm —
u,v U + v2 u -|- 1
<52
Отсюда следует ответ: 0 < т <
5.123. Исследовать сходимость метода xfc+1 = Вхк + с для решения
системы уравнений х = Вх + с с матрицей
0 1 4 1 8 1 16 1 2” 1 \ 2п+1
1 4 0 1 4 1 8 ' 1 2n-i 1 2П
в = 1 8 1 4 0 1 4 1 2п-2 1 2n-i
1 \2п+1 1 2П 1 2п-! ... 1 4 0
Ответ: метод сходится с произвольного начального приближения, так как
11^111 <1.
164
Глава 5. Матричные вычисления
5.124. Построить сходящийся метод простой итерации (5.7) для системы
уравнений с матрицей
/ 1 0,5 0 0 ... 0 ° 1
0 2 0,5 0 ... 0 0
0 0 1 0,5 ... 0 0
А = 0 0 0 2 ... 0 0
0 0 0 0 ... 1 0,5
0 0 0 ... 0
Ответ: матрица положительно определена и имеет два кратных собственных
числа Л1 = 1 и Л2 = 2, поэтому условие сходимости имеет вид: 0 < г <
5.125. При каких условиях итерационный метод
xfe+i = (2д2 _ + 2(В +
сходится быстрее метода простой итерации xfe+1 = + с?
<] Метод простой итерации xfe+1 = Bxfc +с сходится при |А«(^)| < Г
Для погрешности zfe метода xfc+1 = (2В2 — /)xfe + 2(В + 1)с справедливо
равенство zfe+1 = (2В2—/)zfe, А«(2В2—I) = 2А2(В)—1, и этот итерационный
метод сходится быстрее метода простой итерации, если спектр матрицы В
расположен в подмножестве единичного круга комплексной плоскости, где
функция |2г2 — 1| меньше функции |z|. В частности, если спектр матрицы
В вещественный, то он должен принадлежать объединению интервалов
— 2) и (2 ’0'
5.5. Вариационные методы
Класс вариационных методов строится как множество методов минимиза-
ции некоторых функционалов, минимум которых достигается на решении
исходной системы линейных уравнений. Конкретный вид функционала
и алгоритм минимизации определяют параметры итерационного процес-
са. Порядок сходимости рассматриваемых вариационных методов не ху-
же, чем у линейного одношагового метода. При этом для практической
реализации данных методов не требуется знания границ m, М спектра
матрицы А.
Метод наискорейшего градиентного спуска. Пусть А = Ат > 0.
Расчетные формулы итерационного процесса имеют вид
Xfc+1 = xfc + rfc(b-Дх*), Tfe = = 0,1,...,
где гк = b — Axfe — вектор невязки.
Отметим, что в приведенных формулах на каждой итерации требуется
два умножения матрицы А на вектор.
5.5. Вариационные методы
165
5.126. Преобразовать формулы метода наискорейшего градиентного
спуска так, чтобы на каждой итерации использовалось одно умножение
матрицы А на вектор.
к к
Ответ: пусть векторы х иг известны, тогда последовательно вычислим:
1) у=Лгй;2) 7b = ^42;3)xfe+1=xfe+Tfcrfei4) г+1=г-пу.
(у=г 1
Здесь на каждой итерации присутствует только одно умножение матрицы А на
вектор, однако требуется хранить два вектора вместо одного.
5.127. Пусть А = Ат > 0 и F(x) = (Лх, х) — 2(Ь, х)— квадратичная
функция. Доказать, что:
1) F(x) = х* — х д — ||х*| д, где х*—точное решение системы
Лх = Ь;
2) равенство F(x*) = minF(x) выполняется тогда и только тогда,
х
когда х* —решение системы Лх = Ь;
3) для градиента функции F(x) справедлива формула
gradF(x) = 2 (Лх - Ь).
О 1) Преобразуем данное выражение
IIх* - х||д - х*| А = И(х‘ -х)>х‘ - х) - (Лх*,х‘) =
— (Лх,х) - 2(Лх*,х) = F(x).
2) Если Л > 0, то (Л(х* — х), х* — х) > О при х х*, поэтому функция
F(x) имеет минимум, и притом единственный, при х = х*.
3) Последнее утверждение проверяется покомпонентным дифференци-
dF(x)
рованием: - . |>
5.128. Пусть решение системы Лх* = b ищется как точка минимума
функционала F(x) = (Лх,х) — 2(Ь,х) (см. 5.127) по следующему алгорит-
му:
Х&+1 _ _ (5/egradF(x/e),
где параметр 6к выбирается из условия минимума величины
F(xfc - <5fcgradF(x*)).
(rfc rfc)
Доказать, что 26^ _ —£—f- и расчетные формулы совпадают
(Arfc,rfe)
с формулами наискорейшего градиентного спуска.
Указание. Подставив gradF(x) = 2(Лх — Ь) в выражение для xfc+1,
получить
x*+I = х* + 2<5t(b - Лх*).
. , (г*
Далее из условия Fi (х ) = 0 найти 2d* = = ——£——
* (Дг*,г*)
166
Глава 5. Матричные вычисления
5.129. Показать, что на k-м шаге метода наискорейшего градиентно-
го спуска минимизируется норма zk д = Y '(Az^z^j вектора ошибки
к к
= х — хЛ, где х — точное решение.
О Действительно, так как zfc+1 = (1 — TkA)zky то
I ^+1||д = (A(I - nA)zk, (I - TkA)zk) =
= | z" 11^-2^^, Az") + r%(AAzk,Azk).
Отсюда после дифференцирования по находим, что минимум достига-
(Azk Azk] t. к к
ется пои Тк — —---г---Учитывая, что Az* — b — Ах* = г\ имеем
и (AAzk,Azk)
Отметим, что минимизация евклидовой нормы | zfc| = v ’(zfc,zfc) век-
тора ошибки приводит к неконструктивным формулам для параметра
(rk Zk} I,
Тк = - fc’ , так как вектор zfc неизвестен. О
(г ,г )
5.130. Пусть А — Ат > 0 и Л(А) € [ш,М]. Доказать, что метод наи-
скорейшего градиентного спуска для решения системы А х = b сходится
с произвольного начального приближения и верна оценка
ll^h < (м + m) гДе =x-xfc, ||г||д = (Az,z).
<] Действительно, параметр тк минимизирует на fc-м шаге норму || z*||д,
следовательно с параметром тд оптимального линейного одношагового
метода оценка не лучше:
||zfc+1 д = min| (/ - rkA)zk |л ||(/ - T(M)zfc |л
\\1 — 7оЛ||Л ||zfc||A = ||zfch,
так как А = Ат > 0 и, учитывая 5.32, для произвольного tq имеем
111-тоЛ||л = | Г-т0Л||2. >
5.131. Пусть А — Ат > 0 и Л(А) € [m, М]- Доказать следующую оценку
скорости сходимости метода наискорейшего градиентного спуска
||zfc 2 ||z°||2, где zk = x-xk.
Указание. Ведем следующие обозначения: Ае^ — mei, Ае2 — Ме2-
Пусть zk — ei + 7е2, где 7 7^ 0 — произвольный параметр. Тогда
к к л к л к m2 + 72Л12 п
rfc = b Ах* — Az и Тк = = —з----2 результате подста-
bJ_1 МЛ/ — ш) / лл-2 2 \
новки имеем z = ---------5-^ (7^Z ©i — m e2J, чт0 приводит к искомой
ms+72MJ
5.5. Вариационные методы
167
оценке для этого частного случая. Если в разложении ошибки zk присут-
ствуют векторы, отвечающие собственным значениям Л(А) € то
несложно показать, что для соответствующих компонент zfc+1 множитель
перехода не превосходит величины 1 — уу.
5.132. Пусть А = Ат > О и Л(А) € [ш, М]. Доказать следующую оценку
скорости сходимости метода наискорейшего градиентного спуска:
М-т\к Гм, „О ,
М + т / у т । 2
zk = х — xfc
Метод минимальных невязок. Пусть А — АТ > 0. Расчетные форму-
лы итерационного процесса имеют вид
= Xfc + n(b-Ах*), П ж А"4 ’J 1, А; = 0,1,...,
(Аг , Аг )
где rk = b — Ах.к — вектор невязки.
5.133. Показать, что на А:-м шаге метода минимальных невязок миними-
зируется норма zk А2 = ч Aza. Azk) вектора ошибки zk = х — xfc.
О Действительно, так как zfc+1 — (I — TfcA)zfc, то
I z^+1Ha2 = ~ rkA)zk,A(I - rkA)zk) =
= ||z*||^2 -2rk(A2zk,Azk) + T2(A2zk,A2zk).
Отсюда после дифференцирования по т^, учитывая, что Azk = b — Ах.к =
, (Агк гк}
= г , находим: минимум достигается при ть = — > ' Итерационный
(Агк,Агк)
алгоритм с таким набором параметров называется методом минимальных
невязок, так как |zfc+11|^2 = (Azk~i'1fAzk+1) = |rfc+1| 2. [>
5.134. Пусть А = Ат > 0 и Л(А) € [ш, М]. Доказать, метод минимальных
невязок для системы Ах = b сходится с произвольного начального
приближения и верна оценка
М —
М + т )
1^|Л2 <
:z° |д2,
z‘ X х‘. |z| = (Az, Az).
Указание. См. решение 5.130, учитывая, что \1 — тоАЦдг = \I — tqA| 2-
7^
5.135. Пусть А + АТ > 0 и р — а = | Л||2. Показать, что ме-
тод минимальных невязок для системы А х = b сходится с произвольного
начального приближения и верна оценка
168
Глава 5. Матричные вычисления
< Так как zk+1 = (/ - ткА)хк, где тк = , то
(Лг*,Лг*)
||rk+1 I = ||г'!+1||д2 = (А(/ - rkA)zk,
А{1 - ткА)гк) = ||гА ||| - 2rfc(Ark. rk) + т%(Агк.Агк) = |г*||| - •
Отсюда, учитывая неравенства
(Ark,Ark) < |A|||||rk||| а2||г'=||,
(Ark,rk) = + rk,rk^ + /4 rktrk\ = (^ %Л rk,rk>) fi rk ||,
имеем требуемую оценку. [>
5.136. Пусть ei,e2, ...,en —базис пространства Rn. Доказать сходимость
с произвольного начального приближения следующего итерационного ме-
тода {метода оптимального координатного спуска) решения невырож-
денной системы уравнений Ах — Ь:
х*+1 -х*+ (Ь-ЛхМе7) - _ |(Ь - Лхк,Ле()|
+ ||Ле,.||| -7-а1«тГ-----------------
5.6. Неявные методы
Скорость сходимости рассмотренных итерационных процессов зависела от
отношения уу границ спектра матрицы А = АТ > 0, т. е. от обусловленно-
IVi
сти задачи. Для «улучшения» исходной задачи можно перейти к некото-
рой эквивалентной системе В^1 Ах = В-1Ь при условии невырожденности
матрицы В
х*:+1^ х* B-lAxk = В-1Ъ (5.9)
Метод спектрально-эквивалентных операторов. Пусть А = Ат > 0.
Перепишем итерационный алгоритм (5.9) в следующем виде:
в Ахк = Ь, (5.10)
который также называют обобщенным методом простой итерации или
методом с предобусловливателем В.
Неявный двухслойный итерационный алгоритм (5.10) требует на каж-
дом шаге решения задач вида By = f и совпадает с рассмотренными
выше методами при В = I. Известно, что алгоритм (5.10) сходится при
В > | Д, т > 0. Если дополнительно В = ВТ > 0 и т^В А М\В, то
2
при т = метод сходится со скоростью геометрической прогрессии
5.6. Неявные методы
169
с показателем q = 4-mi ' Неявные методы с переменными т типа
минимальных невязок и наискорейшего градиентного спуска строятся
аналогично и имеют скорость сходимости не хуже, чем у неявного оп-
тимального линейного одношагового метода.
При удачном выборе оператора В можно принципиально улучшить
скорость сходимости соответствующих итерационных процессов, однако
необходимо учитывать трудоемкость нахождения у = В~Д. Например,
при В = А, т = 1 метод (5.10) сойдется за одну итерацию, но потребует
решения исходной задачи Ах = Ь.
Методы релаксации. Рассмотрим неявные методы с диагональной или
треугольной матрицей В. Представим матрицу системы Ах = b в виде
А = L + D + R, где D — диагональная матрица, L и R — соответствен-
но левая нижняя и правая верхняя треугольные матрицы с нулевыми
диагоналями (строго нижняя и строго верхняя треугольные матрицы).
Будем предполагать, что все диагональные элементы исходной матрицы
аи отличны от нуля, следовательно, любая матрица вида D + д L с про-
извольным параметром д обратима.
Методы релаксации описывают формулой (5.10) с матрицей
В = D + дЬ. Здесь итерационный параметр д называется параметром
релаксации. Методы Якоби (д = 0, т = 1), Гаусса—Зейделя (д = т — 1)
и верхней релаксации (в англоязычной литературе — SOR) (д — т) удобно
представить соответственно в виде
D(xk+1 - xk) + Axk = b,
(D + L)(xk+1 - xk) + Axk = b,
(D + aiL) x +1 ~ x + Axk = b.
В случае A = AT > 0(R = LT) используют также симметричный
метод релаксации (в англоязычной литературе — SSOR):
(D + дЬ) xfc+ —— + Axfc = b,
(£> + x*+1 + Axk+1'2 = Ь.
5.137. Для решения системы Ах = b с матрицей
/а /3
А - /За
\0 0
0\
/з
а у
применяются методы Якоби и Гаусса—Зейделя. Для каждого алгоритма
найти все значения параметров а, /3, обеспечивающие сходимость с про-
извольного начального приближения.
170
Глава 5. Матричные вычисления
О Оператор перехода В (см. (5.5)) в методе Якоби имеет вид
В = (L+R). Рассмотрим задачу на собственные значения Вх- Ах,
т. е. — D1 (L + Н) х = А х. Перепишем последнее уравнение в эквивалент-
ной форме (£ + XD + R) х — 0, откуда имеем det(£ + XD + R) — 0.
Непосредственно вычисляя, находим
/аА /3 0 \
det I fi a\ fi j = a\ (а2Д2 - 2/32) = 0.
\ 0 /3 aX)
Следовательно, Ai = 0, A2 3 = Отсюда получаем ответ < -^=.
Оператор перехода В в методе Гаусса—Зейде ля имеет вид
В = —(£> + £)1 R. Рассмотрим задачу на собственные значения Вх = Ах.
Имеем
— (D + L) 1 Вх = Ах, (AL + AD + R) х = 0, det(A£ + АВ + В) = 0.
В результате непосредственных вычислений имеем
/аА /0 0 \
det [/ЗА «А /3 = аА2(а2А-2/32) = 0.
у 0 fiX aX)
в2
Следовательно, А12 =0, Аз = 2^.
ОТ
Отсюда получаем ответ
£_
a
В данном случае области сходимости методов совпадают.
5.138. Доказать, что для систем линейных уравнений второго порядка
(п = 2) методы Якоби и Гаусса—Зейделя сходятся и расходятся одновре-
менно.
О Запишем матричные представления операторов перехода
_ Q12
оц
Q12q21
011022
Отсюда имеем следующие формулы для собственных значений:
1,2
012021
у ОцО22
\GZ _ g ^GZ _ 012^21
1 ’ 2 ацо22
приводящие к искомому утверждению.
5.139. Пусть невырожденная матрица А обладает свойством диагональ-
ного преобладания, т. е. для всех i справедливо неравенство
Е
l&ij I Q\aii |j
О C Q < 1.
Доказать, что для вектора ошибки в методе Гаусса—Зейделя имеет место
неравенство
II х - Xfc||oo Як ||х - хс'||оо .
5.6. Неявные методы
171
О Обозначим вектор ошибки через zk. Для этого вектора имеет место
соотношение (D + L) zfc+1 +Rzk = 0. Пусть i|zfc+1 1^ = |z*+1|- Запишем Z-e
уравнение
£ atj + ац zk+1 + £ aij zk = 0
j=l j=Hi
и решим его относительно zk+1. Имеем
1— 1 п 1 а11 др ап i ’
j=i j=t+i
Отсюда получаем
||zfc+1| о. = |г*+1| < a ||zfc+1||0. + /3 | z* ]|о.,
где 6—1 п j=/+l alj
Найденное соотношение можно переписать в виде
По условию а + (3 q < 1, следовательно,
/3 < д-о < д-да <
1—а"" 1 — а '
откуда имеем искомую оценку. О
5.140. Исследовать сходимость метода Гаусса—Зейделя для матриц раз-
мерности п х п с элементами:
1) 2) akj= -1 lo при к = j, при |A;-j| = l, при |A:-j|>l.
Ответ: метод сходится в обоих случаях.
5.141. Показать, что выполнение неравенства 0 < т < 2 является
необходимым для сходимости метода верхней релаксации.
О Если формулу метода релаксации
(D + т L) хк+1 + [т R + (т - 1) £>] хк = тЬ
умножить слева на матрицу D~k, то оператор перехода можно записать
в следующем виде:
В = (/ + т М)"1 ((1 - г) I + тАГ) .
Здесь I — единичная, М = О-1 L и N = D~lR— строго нижняя и верхняя
треугольные матрицы соответственно. Рассмотрим характеристический
172
Глава 5. Матричные вычисления
многочлен d(A) = det (В — XI). По теореме Виета имеет место равенство
п
(—l)n d(0) = П Хг(В). Так как у треугольных матриц М и N на главной
г=1
диагонали расположены нули, то d(0) = det(B) = (1 — т)п. Отсюда для
спектрального радиуса оператора перехода получаем оценку
р(В) = max |Хг(В)
i
п I/™
ПАг(В) = |det(B)= |1 - т|,
г=1
которая в силу необходимого неравенства р(В) < 1 приводит к искомому
ответу. О
5.142. Пусть матрица А простой структуры имеет собственные значения
А(А) Е [m,M], m > 0. Доказать, что при любом положительном значении
итерационного параметра т сходится метод следующего вида:
х—__4- а —_±2S_ J = ь.
Определить оптимальное значение ropt.
<] Используя эквивалентную форму записи метода
(l + р) xfc+1 = (l - 1 л) xfc + Tb
\ z / \ 2 /
и общность системы собственных векторов матриц слева и справа, вы-
разим собственные значения оператора перехода В через собственные
значения исходной матрицы
1-7^
Отсюда следует сходимость метода при т > 0. Для определения ropt
рассмотрим следующую минимаксную задачу:
min max
т>0
|1--гА|
1 +тА
0 является
Функция /(А) = -j—при А > 0 и фиксированном г >
1 "Г Т Л
' II.. кипи ,:у мнк<ibiioi । шачгмия функция )/(А)| iih'ih .и i
на границе отрезка: при А = и (или) при А = Можно убедиться,
что минимум по т hmcvi мсчто в слу ше равенства — I
которое приводит к уравнению для оптимального параметра
— ^opt
J- 'rTopt‘2"
1 - м
•1 Topt 2
1 М
J- I- TOpt 2
Решая это уравнение, имеем ropt = >
5.6. Неявные методы
173
5.143. При каких а 6 [0,1] для матрицы А из 5.142 метод
х + х ' + A (axfc+1 + (1 - a)xfc) = b
сходится при любом т > О?
О Используя идею решения 5.142, запишем условие сходимости метода
max
1 — т(1 — а)А
1 -|- тсиА
<1 Vr > 0 •
Сделав замену t = т А > 0, получим неравенство
Если выражение под знаком модуля неотрицательно, то получаем верное,
в силу условия, неравенство — t <0. Поэтому содержательным являет-
ся другой случай: i(l — а) — 1 < 1 + ta. Из этого неравенства имеем
о 1
- j < 2ot - 1, что, так как t > 0, приводит к ответу ol О
/1
5.144. Невырожденная система Ах = b с матрицей А = f 1 решается
методом Гаусса—Зейделя. Доказать, что:
1) если |а| > 1, то для некоторого начального приближения итераци-
онный процесс не сходится;
2) если |а| < 1, то итерации сходятся при любом начальном приближе-
нии.
О Спектральный радиус матрицы перехода в методе Гаусса—Зейделя ра-
вен |а|. Если начальное приближение таково, что начальная погрешность
z° имеет ненулевую вторую координату z^ то z% = —a^^z^ z% = a2kz^
и метод не сходится при |а| > 1. О
5.145. Построить пример системы уравнений третьего порядка, для
которой метод Якоби сходится, а метод Гаусса—Зейделя расходится.
5.146. Построить пример системы уравнений третьего порядка, для
которой метод Гаусса—Зейделя сходится, а метод Якоби расходится.
5.147. Доказать, что обобщенный метод простой итерации
В ——~ х + Axfc = b , А = Ат > 0 , det(B) ДО, т > 0 ,
сходится при условии В — А > 0 (т. е. (Вх, х) > (Ах, х) Vx Д 0).
О Из уравнения для ошибки
В ----=^~ + Azk = О
т
следует, что
zk+1 = (I - тВ~х A)zk , Azk+1 = (A — rAB~lA)zk . (5.11)
174
Глава 5. Матричные вычисления
Вычислим скалярное произведение, используя симметрию Л,
(Az*+1,z*+1) = (Azk,zk) - 2т ( В-^А В~х Azk, В~х Azk^ .
(5.12)
Из первого соотношения (5.11) имеем В хАък = — --— , что позволяет
переписать (5.12) в виде
||zfc+1||2 - ||zfc||^ + 1 ([в - 1 л] (z*+l - z*),Z*+1 - z*) = О,
где ||и||д = (Ли,и)1/2.
В силу конечномерности векторного пространства условие В — А > О
равносильно условию В — £ А е! с некоторым £ > 0 (здесь через I
обозначена единичная матрица). Имеем
||z*+1 А - llz*l а +2ет-1 |z*+1 -z*| 0 Vfc^O.
Из этого неравенства следует монотонное убывание и ограниченность по-
следовательности { zk ^}, следовательно, сходимость |zfc к некоторой
величине d 0. Переходя к пределу в данном неравенстве, получаем
||zfc+1 — zfe||2 —> 0, поэтому lim zfe+1 — zk 2 = Ит ||xfc+1 — xfe 2 = 0.
k—>oo k—>oo
Таким образом, метод сходится к некоторому х°°. Из вида итерационного
процесса следует неравенство
||Ь - Ах*||2 1|В||2||х*+1-х*||2)
переходя в котором к пределу, убеждаемся, что х°° — решение уравнения
Лх = Ь, т. е. последовательность приближений {х^} сходится к х = т4-1Ь.
5.148. Пусть А = Ат > 0. Доказать, что метод релаксации сходится
с произвольного начального приближения при т G (0,2).
Указание. Использовать утверждение 5.147 при В = D + tL.
5.149. Пусть В = L + В, где L — нижняя треугольная матрица с нулями
на диагонали, R — верхняя треугольная матрица. Пусть далее |;В ©• < 1,
так что итерационный процесс xfc+1 = Вхк 4- с сходится. Доказать, что
метод xfe+1 = Lxk+1 + Rxk + с также сходится.
Указание. Пусть ||В| = inax^Zlb^ = q < 1, qu = £ =
i j j<i
= bij . Доказать, что для погрешности итерационного метода xfc+1 =
= Lxk+1 + Rxk -I- с справедлива оценка
> 1 ~ г 1 41г
5.6. Неявные методы
175
5.150. Для системы уравнений
^4+1 ^г— l,j + l — 1 — h fijj ?,J — 1,2,...,П 1} nh = l'}
^0,i У'гД = ^nyi ~ ~ 0, i = 0, 1, ..., П ,
записать расчетные формулы и найти асимптотическую скорость схо-
димости следующих итерационных методов: 1) метода Якоби; 2) метода
Гаусса—Зейделя; 3) метода релаксации с оптимальным параметром релак-
сации; 4) симметричного метода релаксации с оптимальным параметром
релаксации.
Ответ: спектральный радиус оператора перехода, асимптотическая скорость
сходимости и оптимальный параметр таковы:
1) р(В) = costf/l, Rqq(B) = тг2^-;
2) р(В) = cos2 тг/г, = tt2/l2;
з) р{в) = х + sin , Яоо(В) = 2тгЛ, Wopt = х +
l-sin7-^
4) р(В) = --------j-, Roo(B) = кН, wopt = -----2z х .
1. • vl/fr -I i • /71 ГЪ \
-I- sin “2“ 1 -I- sin [ -Q- I
5.151. Исследовать сходимость метода Якоби для решения системы
уравнений с матрицей
2 -0,2
0,3 -3
0,4 0,8
-0,5 1,2
0,3
1
4
-2,5
0,4 \
-1,4
2,4
-5/
Указание. Матрица имеет диагональное преобладание.
5.152. Найти все а, /?, при которых метод Гаусса—Зейделя является
сходящимся для системы уравнений с матрицей:
/а 0 /3\
1) I 0 а 0 | ; 2)
\/3 0 а/
/3 0\ /а а 0\
а 0 ) ; 3) а /0 £ .
0 а/ \0 Р а/
Указание. См. решение 5.137.
Ответ: для случаев 1) и 2) имеем условие |/3| < |а|; 3) таких а и Р не суще-
ствует, так как имеется собственное значение оператора перехода А = —,
модуль которого больше единицы.
5.153. Пусть матрицы А<, i = 1, 2, простой структуры имеют собствен-
ные значения Л(А<) € [ш,М], m > 0 и А1А2 = A2Ai, А = Ai + А2.
Доказать, что при любом положительном значении параметра т сходится
итерационный метод решения системы уравнений Ах = b следующего
176
Глава 5. Матричные вычисления
Определить оптимальное значение ropt.
О Обозначим zfc = х — xfc, zfc+1/2 = х — xfc+1/2, где х — решение системы
Ах = Ь. Тогда
zfc+1 = (/ + тА2)-1{1 - rAt)(I + тАЩ1^ - rA2)zk = Pzk.
Матрица перехода Р подобна матрице
В = (7 - тА1)(7 + rAi)-1(7 - тА2)(/ + тА2)-!.
Коммутирующие матрицы простой структуры Ai и Аг имеют об-
щую полную систему собственных векторов. Это дает представления
Ai = QDiQ~\ i = 1,2, с диагональными матрицами Di и совпадение
собственных значений матриц Ai и Di. Отсюда получаем оценку для
спектрального радиуса матрицы В:
р(В) = р{{1 - tD^I + tD^-^I - tD2)(I + tD2)~1) =
l-rAi(Ai) 1-тАг(А2) fl-nV
i 1 + тЛг(А1) 1 + TAi(A2) \ 1 + Tt /
/ __ /— \ 2
Оптимальное значение rOnt = ,1 } при этом p(B) I —=—.
y/mM
5.154. Доказать сходимость итерационного метода из 5.153, если матрицы
Ai,A2 удовлетворяют следующим условиям:
(А<х, х) > 0 для i = 1,2, и Ух 0, но не обязательно AiА2 = А2Ai.
5.155. Пусть матрицы А<, i = 1,2, простой структуры имеют собствен-
ные значения А(А<) 6 [ш, Л/], m > 0 и AiA2 = А2А1, А = Ai + А2.
Доказать, что при любом положительном значении параметра т сходится
итерационный метод решения системы уравнений Ах = b следующего
вида:
х*+1/* - ** + А1Хк+1'2 + А2хк = Ь,
xfc+l xfc+i/2 + Л2(хь+1 _ х<!) = 0
Определить оптимальное значение ropt.
О Обозначим zfc = х — xfc, zfc+1^2 = х — xfc+1/2, где х— решение системы
Ах = b. Тогда
zfc+i = (/ + тА2)-1(/ + TAt)~l(I + r2AiA2)zk = Bzk.
5.6. Неявные методы
177
Коммутирующие матрицы простой структуры Ai и А2 имеют общую
полную систему собственных векторов и представимы в виде Аг = QDiQ1
с диагональными матрицами у которых те же спектры, что и Ас
A(Di) = A(Ai). В таком случае для спектрального радиуса матрицы В
получаем следующую оценку:
р(В) = p((I + tD2)~\I + + т2А^2)) =
= max , 1 + \\ max 1 + т % < 1 Vr > 0.
i (1 +тЛг(А1))(1 +тЛг(Д2)) (1+7-i)2
Так как матрица А невырождена (система имеет единственное решение)
и все собственные значения оператора перехода лежат в единичном круге,
то итерационный процесс сходится к решению задачи Ах = Ь.
Рассмотрим оптимизационную задачу (см. 5.153). Имеем
1 _1_ ./2,2
р(В) min шах —у = min шах
т>0 (1+т0 т>°
Максимальное значение на отрезке функция достигает в одной из конце-
/ 1 ^2+2
2
1 + т2т2 1 + т2М2
(1 + rm)2 ’ (1 + тМ)2
вых точек, так как ее производная по t равна
2т(1т — 1)
— XT” ’
Hi = i — точка локального минимума. Из явного вида миними-
зируемых функций следует, что ropt — решение следующего уравне-
ния- '
JAL 11 Ут * q
(1 4- тт)2
Л <г М + ш
2 2
Отсюда имеем ropt = 2.—, при этом
уттгМ
2 •
2 *
5.156. Доказать сходимость итерационного процесса из 5.155, если матри-
цы Ai, А2 удовлетворяют следующим условиям: (А$х, х) > 0 для i = 1,2,
и \/х 0, но не обязательно AiA2 = А2А1.
5.157. Показать, что если матрица А = М — N вырожденная, то нельзя
получить оценку р(М ~[N) < 1 ни для какой невырожденной матрицы М-
О Имеем А — М — N — M[I — M~XN). Если p(M~rN) < 1, то существует
(I — как следствие существует А-1 = (I О
5.158. Пусть А = М — N и итерации Mxfc+1 = Nxk + b сходятся при
произвольном начальном приближении. Доказать, что p(M~rN) < 1.
Указание. Предположив, что p(M~lN) 1, выбрать такое начальное
приближение х°, что погрешность z° = х — х° пропорциональна собствен-
ному вектору матрицы М~х N, соответствующему собственному значению
А такому, что |А| 1.
5.159. Пусть решаются задачи А^х = bi, i = 1,2, где
_ 1
2
I 1
_3
4
1
А? —
Aj =
_ 1
\ 12
178
Глава 5. Матричные вычисления
и Bi и В2 — соответствующие этим матрицам операторы перехода в ите-
рационном методе Якоби. Показать, что р(В±) > р(В2)У т. е. опровергнуть
мнение о том, что относительное усиление диагонального преобладания
влечет за собой более быструю сходимость метода Якоби.
Ответ: р(В1) = р(В2) =
5.7. Проекционные методы
Эффективными методами решения системы линейных алгебраических
уравнений большой размерности Ах* = b являются итерационные ме-
тоды проекционного типа. На каждом шаге такого метода реализуется
проекционный алгоритм: в зависимости от текущего приближения х G Rn
и номера итерации выбирают два m-мерных (т п) подпространства
/С и £; следующее приближение х к точному решению х* ищут в виде
х = х + <5х, (5х е /С, из условия г ± £, г = b — Ах.
Таким образом, основная идея данного подхода заключается в по-
строении вектора поправки <5х из подпространства /С, обеспечивающего
ортогональность вектора невязки г подпространству £. Различные пра-
вила выбора подпространств /С и £ приводят к различным расчетным
формулам.
5.160. Показать, что метод Гаусса—Зейделя решения систем линейных
уравнений является проекционным методом.
<] Определим /С = £ = {еД для i = 1, ...,п, где ei — естественный
г-й базисный вектор пространства Rn. Тогда последовательно находим
п
bi ^ijXj
х = х + aei и (b — А(х + СгеДвг) = 0. Отсюда имеем а = --------------
°гг
при известных компонентах Xj, j — г,г + и найденных xjy
j = 1,2,... ,г — 1. Таким образом, за п шагов проекционного алгоритма
п
имеем xfc+1 = xfc+ У2 Сг©г» что соответствует шагу метода Гаусса—Зей дел я:
г = 1
г — 1 п
а«(ж*+1 ~xi) + £ atjXj + 1 + Ё = bit i = >
j=l 3=г
Пусть текущие подпространства /С span {k 1,..., кш} и £
span{li,..., 1Ш) являются линейными оболочками наборов базисных
векторов кг и Ь. Определим соответствующие им матрицы К = (кi... кш)
и £ = (И ... lw) размерности п х т. Положим х = х + К с. Тогда условие
ортогональности приводит к следующей системе относительно искомого
вектора коэффициентов с:
LT АКс = £Tr, г = b — Ах.
Если матрица LT А К невырождена, то формула для очередного прибли-
жения имеет вид
х = х 4- K(L! АК) 1 L1 г
5.7. Проекционные методы
179
На практике большинство алгоритмов не требует нахождения явного вида
матриц В = LT АК и В-1.
5.161. Пусть либо А = Ат > 0 и £ = К,, либо det(A) 0 и £ = А/С.
Показать, что для произвольных базисов {кД и {1J- матрица В = LT АК
невырождена.
Указание. Представить матрицу L в виде L — KG с некоторой невы-
рожденной матрицей G (преобразование базисов) для £ — /С либо в виде
L = AKG для £ = А/С.
5.162. (Проекционная теорема). Показать, что для произвольного векто-
ра z вектор к является решением следующей задачи минимизации
min(z — к, z — к)
кек
тогда и только тогда, когда (z — к, v) = 0 для Vv Е /С.
О Рассмотрим разложение z = Pz + (z — Pz), где Pz E /С, z — Pz E /С-1-.
В этом случае P называют оператором ортогонального проектирования
на /С. Тогда
(z — k,z — к) = ||z — к||2 = ||z — Pz + Pz — к||2 = ||z — Pz||2 + ||Pz — k||2,
t. e. ||z — k||2 ^ ||z — Pz||2, равенство возможно лишь при к = Pz. [>
5.163. Пусть А = АТ > О и £ — /С. Показать, что вектор х является
результатом проекционного алгоритма тогда и только тогда, когда
Р(х) = min Р(х), где Р(х) = (А(х* — х),х* — х) и Ах* = Ь.
хЕх+К
<1 Из 5.162 следует, что решение задачи min(z — k,z — к)д для z = х* — х,
кек
где (u, v)x = (Аи, v) эквивалентно нахождению вектора к из условия
(z — к, у)д = 0 Vv Е /С, что соответствует определению проекционного
алгоритма
(z - к, v)x = (А(х* - (х + к)), v) = (Ь - Ах, v) - 0 Vv Е /С.
Такой подход к аппроксимации вектора х* вектором х называется мето-
дом Галеркина: (b — Ах, v) = 0 Vv Е /С. О
5.164. Пусть А невырождена и £ = А/С. Показать, что вектор х является
результатом проекционного алгоритма тогда и только тогда, когда
Р(х) = min Е(х), где Е(х) = (А(х* - х), А(х* — х)) и Ах* — Ь.
хЕх+К
Указание. Решение совпадает с решением 5.163 с точностью до замены
скалярного произведения на (и, у)дтд = (ATAu,v) = (Au, Av). При этом
по условию v Е /С, Av Е £. Такой подход к аппроксимации вектора х*
вектором х называется методом Петрова—Галеркина: (b — Ах, v) = О
Vv Е А/С.
180
Глава 5. Матричные вычисления
Одномерные проекционные методы. В простейшем случае в качестве
базовых пространств /С и £ выбирают одномерные подпространства.
5.165. Показать, что проекционный алгоритм при /С = £ = {г}, где
г = b — Лх, соответствует методу наискорейшего градиентного спуска.
<| Пространства /С и £ одномерны, следовательно, х = х + тг, и т
определяется из условия ортогональности (Ь — Л(х + тг),г) = 0. Отсюда
имеем (г — тЛг, г) = 0 и г = /.г?г\ . [>
v ’ 7 (Аг, г)
5.166. Показать, что проекционный алгоритм при /С = {г} и £ = {Лг},
где г = b — Лх, соответствует методу минимальных невязок.
Ответ: в обозначениях 5.165 имеем т = -А—ЧА-.
(Аг, Аг)
5.167. Показать, что шаг проекционного метода при /С = {Атг}
т т
и £ = {ЛЛтг} имеет вид х = х + тг, где г = Ь — Лх, т = .
(AAJ г, AAJ г)
Указание. Рассмотреть задачу АтАх = АТЬ.
5.168. Построить проекционный метод для пространств /С = £ =
= span {г, Лг} и исследовать его сходимость.
5.169. Построить проекционный метод для пространств /С = span{r, Лг}
и £ = Л/С и исследовать его сходимость.
Проекционные методы в пространствах Крылова. Пусть простран-
ства £ зависят от номера итерации и СУ С С? С ... С £т С ... С £n = Rn.
Тогда точное решение системы будет получено не позже, чем за п шагов.
Если же цепочка £т задается некоторым оптимальным образом, то можно
рассчитывать, что требуемая точность ||х* — xm|| е, где Лх* = Ь, будет
достигнута значительно раньше.
Эффективные алгоритмы удается построить, если в качестве К.™ вы-
брать пространство Крылова /Ст = span{r, Лг,..., Лт-1г} порядка тп. При
этом пространство £т определяется как £т = /Ст или как £m = А/Ст.
Метод сопряженных градиентов. Пусть Л = Ат > 0. Построим
проекционный метод для пары пространств
1Ст = {г°, Лг°,..., Л^г0} , £т = Г, г° = b - Лх°,
т
при этом очередное приближение найдем в виде хт = х° + СгЛг-1г°,
г=1
а коэффициенты определим из условия г™ = (b — Axm) ± £т. Такая
форма алгоритма требует для нахождения а решения системы линейных
уравнений. Рассмотрим эквивалентную, но более удобную с практической
точки зрения, реализацию этого алгоритма.
5.7. Проекционные методы
181
Пусть в пространстве — {ki,...,km} известен А-ортогональный
тп
базис, т. е. (Ak^kj) = 0 при i j и ki = г°. Тогда хт = х° +
г=1
(тп \
х° + I. В этом случае из условия rm ± £т
г=1 /
имеем формулы для определения коэффициентов
(rTO,kj) = (r°,kj) - MAk^kj) = о,
(г . kj)
Мк..к/| •
j = 1,..., m.
—
Заметим, что xm = xm 1+amkm. Отсюда следует, что г™ = rm г—amAkm
(rm-1 к )
и ат = —-?. Для вычислений такая рекуррентная форма записи
(Акт • Кт .1
предпочтительнее.
Построим соответствующий рекуррентный алгоритм для определения
{к*}, так как стандартная процедура типа Грама—Шмидта, требующая
хранения всех элементов базиса {к^}™ 1? в данном случае оказывается
существенно менее эффективна. Имеем
span< {г°, Аг°,..., А™ 1г0} , Amr° k = span^ {ki,..., km} ,km+i
m ~
Отсюда следует, что km+1 = Amr° + 52 &k$. Так как
г=1
тп тп
rm = г° — A^2ciAt-1r° = r° — У2сгАгг°,
г=1 г=1
то при rm 7^ 0 и cm 0 вектор km+! можно искать в виде
km+i = rm+ 52 Ak^. Из условия rm X £m следует равенство (rm, AkJ = О
г= 1
при г < тп. Отсюда и из А-ортогональности векторов кг имеем /3^ = 0 при
(rm Ак )
г < т, следовательно, km+i = rm + 3r„km и .i„. = — J- ’ m'. Приве-
(Дкт,
дем формулы рекуррентного пересчета для очередного приближения хт
и базисного вектора km:
хгл = х™-1 1 п ь о _
( Zlkjri Y kill Г
Ь ж lib ж (^* ? Акт) 1 О
кщч-! — Г * *ткп»ч Рт — |\к к •) л ’
На шаге т данного метода минимизируется A-норма вектора ошибки
на подпространствах Крылова /Ст, поэтому с точки зрения проекционных
методов метод сопряженных градиентов является (см. 5.129) обобщением
метода наискорейшего градиентного спуска. Метод сопряженных гради-
ентов минимизирует значение функционала F(x) = (Ах,х) — 2(Ь, х) на
m
векторах вида хто = х° + 52 СгАг-1г° относительно а.
г=1
182
Глава 5. Матричные вычисления
5.170. Показать, что для метода сопряженных градиентов для матриц
А = Ат > 0 имеет место следующая оценка скорости сходимости:
где zN = х* — xN, Ах* = b и Л(А) € [ш,М].
<1 Сравним задачи минимизации ошибки, соответствующие методу сопря-
женных градиентов (см. 5.163) и оптимальному линейному TV-шаговому
методу (5.8). Принимая во внимание, что оптимальный TV-шаговый про-
цесс представляет собой метод простой итерации с чебышёвским набором
параметров, найдем приближение x£h. Имеем
-**>.' + Axg-i = h k = i,...,N.
Отсюда следует, что
= х° + nr0, x*h = х*”1 +rfc(b- Ax*-1).
По индукции, предполагая, что
х*,' = х° + с^А’-’г0,
1
N N
находим x^ = x° + £сгАг-хг0. Учитывая, что z^ — П(1 “ t^A)z°,
i=i i=i
получаем
w
1 ’ IK1 - TiA) Д Z° д = | П(1 - ТгА) 2 Z° Д «
1=1 1=1
По определению приближение х^ метода сопряженных градиентов
N
имеет вид: = х° + сМг-1г°. Отсюда следует, что приближения
г=1
и х^ могут отличаться только коэффициентами.
Так как вектор х^ является решением задачи минимизации
min (AzN,zN), где zN = х* — то справедливо неравенство
х^-х°е/с
(Az;4.z;'p) = min (Aa\«v) < (Az;'a,z;\)
v * хЛ-х°€<
и требуемая оценка. О
5.171. Показать, что в методе сопряженных градиентов необ-
ходимыми и достаточными условиями минимума функционала
F(xm) = (Axm,xm) — 2(b, xm) для любого m 1 являются равенства
(г™, г-0 =0, j = 0, — 1.
5.7. Проекционные методы
183
5.172. Показать, что в методе сопряженных градиентов для любо-
го тп 2 имеют место соотношения ортогональности (Arm,rJ) = О,
j =0, l,...,m-2.
5.173. Получить следующие эквивалентные формулы метода сопряжен-
ных градиентов:
И '1 ) тп _ m-1 I k m _ m-1 _ дк.
^/IKmj Km )
(rm ЛЦ
firn ~ ( m—X m—1\ ’ ^т~1Г +
<| Так как km = г™ 1 + /ViVi и (rm \km-i) = 0, to am =
(rm-1 rm-1) _1 (rm _ rm-1)
= / hi ’ iДалее, если rm-1 0, to 0 и AkTn — — -----------
(Акт ? Km ) Otm
fYm Ym\ (Ym Ym\
Таким образом, (Akm,rm) = — —- - 7, следовательно, 0m = z 2. J .
От (г .Г )
5.174. Доказать эквивалентную запись метода сопряженных градиентов:
(Ym Ym^
'Ут — { 4rm rm) ’ ~
J _ Ъп (Гта,гга) I
7m-l (г™-1,!-™-1) Pm-1
X™+1 =pm(xm + w"*j + (1 -pra)xra-]
rm+1 =pm(r™ - -mArm) + (1 -pm)rm~\
где r° — b — Ax°, x 1 = 0 и ft = 1.
Обобщенный метод минимальных невязок. Далее будут полезны
следующие обозначения: для множества вещественных прямоугольных
матриц
Rmxn _ . fl._ € Rl, ! 1 < J п)
и для вещественных векторов
Rn = {v : щ е R1, 1 i n} .
Рассматриваемый ниже алгоритм GMRES (General Minimum Residual
Method) предназначен для решения разреженных невырожденных линей-
ных систем большой размерности. При этом симметрия и положительная
определенность матрицы системы не предполагается, т. е. решается невы-
рожденная система общего вида А х = b, А € Rnxn, b е Rn.
Важным элементом метода является использование пространств Кры-
лова m-го порядка: /Ст = span{r°, Аг°,..., Ат-1г0}, где г° = Ь —Ах°, х° —
начальное приближение.
Для каждого т построим в пространстве /Ст ортонормированный
базис {к1?..., кт) рекуррентным образом: очередной вектор km+i опреде-
лим из условия ортогональности вектора Акт уже найденным векторам
ki, ...,km. Это удобно сделать с помощью следующего алгоритма:
184
Глава 5. Матричные вычисления
2. Цикл для j = 1,2,..., m.
3. Вычисляем скалярные произведения: h^j — (Akj, kJ для i — 1,..., j.
з
4. Строим вектор: zj+i = Akj — ^2 hijk-i-
i= 1
5. Вычисляем его норму: Aj+ij = hj+ih-
6. Если hj+ij — 0, то останавливаемся.
7. Строим очередной вектор базиса: kj+i = /^+1 •
8. Конец цикла по j.
Этот процесс требует хранения всех предыдущих элементов базиса. Бу-
дем их хранить в виде матриц Ктп = (ki ... km), Km Е RnXm, столбцами
которых являются найденные kj.
Проанализируем информацию об исходной матрице А, полученную
на основе этого алгоритма ортогонализации. Построим ортогональную
матрицу Q = G Rnxn, где Kn_m = (km+i ... kn). Учитывая,
что в результате применения алгоритма вычислены только матрица Ктп
и вектор km+1, имеем
к;.,
к: .„.ia;,
где Hm Е RmXm — некоторая верхняя хессенбергова матрица (т. е. hij = О
при i > j +1). Отметим, что, в силу сохранения структуры Нгп при любом
т, в матрице Нп~тп,т имеется единственный ненулевой элемент
который расположен в ее правом верхнем углу.
Итак, матрицы Н^п-т и Нп-т неизвестны, мы знаем только блоки
Нт Нп—т,т-
Определим т-е приближение к решению х по формуле
X «хМщС™ 0meRm;
тогда для невязок rm — b — А хт справедливо соотношение
Здесь неизвестным является вектор cm Е Rm. Будем его искать из условия
минимума евклидовой нормы невязки rm: | r° — AKmcm I2 min. Из
полученного выше представления матрицы А имеем
||r° - A/Cmcra||2 = I г° - (QHQT)Kmcm 2 = QTr° - HQT Ктст\2 .
Последнее равенство справедливо в силу сохранения ортогональным пре-
образованием евклидовой длины вектора. Согласно определению векто-
ра к 1 и его ортогональности всем остальным векторам базиса, имеем
QTr° = |г° (261, где ex = (1,0, 0,... ,0)т Е Rn. Кроме того, вектор
QT К тс™ Е Rn, по определению матрицы Q, можно представить в виде
5.7. Проекционные методы
185
(cm, 0,0,..., 0)т е Rn, поэтому последнее равенство для невязки можно
переписать в виде
||<?гг° - HQTK„,cm
2
2
В последнем выражении фигурируют только известные (вычисленные
ранее) блоки.
Уберем из вектора, стоящего под знаком нормы, нулевые компоненты
т. е. компоненты с номерами г m + 2. Для этого определим матрицу
Hm е R(™+i)x™ как
Нт
00 ... О /Zm+l ,тп
и рассмотрим ее QR-разложение: Нт = UmRm, где Um G R(m+1)Xm
U^Um = I Е Rmxm, Rm е Rmxm. Имеем
Г J ^тп
п—т,тп
- |ll|r" |2ё1-ЯтСт||2 = |i
2
где ei (1,0, 0,... ,0)T e Rm+1. Минимум полученного выражения по
всем векторам ст достигается на векторе, удовлетворяющем уравнению
RmS^m — Г
(невырожденность Rm следует из невырожденности HmY Окончательно
имеем
хт = х° + I r°| 2KmR^U^.
Таким образом, обобщенный метод минимальных невязок можно сфор-
мулировать в следующем виде для т = 1,2,...:
1. Вычисляем матрицу Нт .
2. Находим ее Q^-разложение: Нт = UmRm
3. Решаем систему Rmvm = Um&i •
4. Находим приближение х™ = х° + | rQ\\2 К.
Алгоритм завершается, когда норма вектора невязки гт становится до-
статочно малой. Ограничения по памяти и накопление вычислительной
погрешности при решении промежуточных задач могут приводить к необ-
ходимости перезапуска (restart) алгоритма на шаге М с новым начальным
вектором x^ew =хм.
Наиболее трудоемкой процедурой в методе является Q^-разложение
матрицы НТП. В общем случае для этого требуется О(т3) арифметических
операций, однако так как Нт — хессенбергова матрица, можно сократить
требуемый объем до О(т2) действий.
186
Глава 5. Матричные вычисления
Оценки скорости сходимости для алгоритмов такого типа мало-
информативны и поэтому редко применяются на практике. Рассмот-
рим пример. Пусть матрица системы А диагонализуема и имеет
только вещественные собственные значения, т. е. А = 5-1А5, где
det (5) О, А = diag (Ль ..., Лп). Определим величину
Тогда справедлива оценка
НЛ|2 <}mcond2(S)||r0||2.
Если А = Ат > 0, то 5-1 = ST (conc^S) = 1) и qm такое же, как в оцен-
ке для метода сопряженных градиентов. Отметим различие в оценках:
в методе сопряженных градиентов оценивается ошибка в A-норме, а здесь
невязка — в евклидовой норме.
5.175. Система п уравн А — ений Ах = b с матрицей ^0 1 о ... 0 о\ 0 0 1 ... 0 0
0 0 0 ... 0 1 1 0 0 ... 0 Оу
и вектором b = (0,0,..., 0,1)т решается обобщенным методом мини-
мальных невязок с начальным вектором х° = (0,0,..., 0,0)т. Найти про-
странства Крылова К™ = span{r°, Аг°,..., Аш1г0} для т 1 и опреде-
лить количество итераций, необходимое для нахождения точного решения
х= (1,0,0,...,0)т.
Ответ: обозначим через е« вектор с единственной ненулевой г-й компонентой;
тогда пространства Крылова имеют вид
= span{en,вп-1, • • • ,©п-т-м}, 1 т п,
а последовательные приближения определяются как
хо=х1=-=хп_1 = (0,0,...,0,0)'г, x" = ei,
т. е. метод сходится ровно за п итераций.
5.8. Некорректные системы
линейных уравнений
Пусть требуется решить систему линейных уравнений с матрицей А раз-
мерности т х п
/ 0-11
\Grnl
О1п
О тп
61 \
Ьт /
5.8. Некорректные системы линейных уравнений
187
Рассмотрим три случая: 1) m = п, det(A) 7^ 0; 2) m < n и строки линейно
независимы, т. е. гапк(А) = т; 3) m > п и гапк(А) = п.
В случае 1) задача невырождена и вектор х = А-1Ь является точным
решением. Для вектора невязки г = b — Ах имеем ||г|| = 0.
В случае 2) задача недоопределена. Исходная система имеет целое
подпространство решений размерности п-m. Для каждого решения имеем
||г|| = 0. В случае 3) система переопределена и если она несовместна,
то точного решения не существует, т. е. для произвольного х 6 Rn
имеем ||b — Ах|| = ||г|| > 0. Представляют интерес методы решения
переопределенных задач. Поэтому, если не оговаривается иное, считаем,
что т > п и rank(A) = п. Для задач такого рода Гаусс предложил считать
решением вектор х, минимизирующий евклидову норму вектора невязки
min ||Ь—Ау||2 = ||Ь —Ах Цг- Рассмотрим некоторые методы решения данной
у
минимизационной задачи, называемой задачей наименьших квадратов
(ЗНК).
Метод нормального уравнения. Рассматривают следующую, называ-
емую нормальной, систему уравнений Ат Ах = АТЬ с квадратной матри-
цей АТ А размерности п х п. Отсюда находят вектор х.
5.176. Показать, что нормальное уравнение имеет единственное решение.
<1 Действительно, АТА = (АТА)Т и (АтАх,х) = (Ах, Ах) > 0, если
только Ах 7^ 0. Но Ах 7^ 0 для всякого х 7^ 0, так как гапк(А) = п.
Следовательно, матрица АтА невырождена и нормальное уравнение име-
ет единственное решение. [>
5.177. Показать, что вектор х — решение задачи наименьших квадра-
тов min ||Ь — Ау||г тогда и только тогда, когда х — решение системы
Ат Ах — АТЬ.
О Из 5.176 следует существование и единственность такого вектора х, что
АТ(Ь — Ах) = 0- Рассмотрим у = х + Дх. В этом случае ||Ь — АуЩ =
= (Ь — А(х + Дх), b — А(х + Дх)) = (b — Ах, b — Ах) + (АДх, АДх) +
+ 2(АДх, Ь —Ах) = ||Ь —Ах||з + (АДх, АДх) + 2(Дх, АТ(Ь —Ах)). Сле-
довательно, минимум достигается при Дх = 0, т. е. на векторе у = х. [>
Метод QR-разложения. Метод нормального уравнения прост в реа-
лизации, однако в приближенной арифметике неустойчив для почти вы-
рожденных задач большой размерности. Например, в случае квадратной
матрицы А = Ат имеем cond2(ATA) = cond^A). Поэтому численное
решение может сильно отличаться от точного. Метод, основанный на
QjR-разложении матрицы А, более устойчив к вычислительной погреш-
ности. Разложение А = QR при QTQ = /, detjR 7^ 0 можно построить
методом отражений или методом вращений.
188
Глава 5. Матричные вычисления
5.178. Пусть известно представление А = QR. QTQ = /, deti? 7^ 0. По-
казать, что решение х задачи наименьших квадратов является решением
системы Нх = QTb.
< Из метода нормального уравнения следует, что х = (АтА)-1 АТЬ,
поэтому
X = (RTQTQR)~1 ЛГ<2ГЬ = (Лг Л)"1RTQT Ь = Л"1 R~TRTQTb = R-'Qrb.
Таким образом, искомый вектор х является решением системы Лх = Q' Ь.
Формально этот метод более трудоемкий, но, построив однажды
QjR-разложение, можно быстро решать задачи с различными правыми
частями.
Вырожденные задачи. Задача наименьших квадратов называется вы-
рожденной, если rank(A) < п. При численном решении вырожденных
и почти вырожденных систем требуется изменить постановку задачи и со-
ответственно применять другие методы. Рассмотрим следующий пример:
найти решение при m = п = 2
1
0
Для данного уравнения имеется семейство решений х = (1 —
г = b — Ах = (0,1)т Можно выбрать решения как с нормами порядка
единицы, так и со сколь угодно большими. Однако для возмущенной
задачи
формально близкой к исходной при малых е, имеется единственное ре-
шение (1 — с большой нормой порядка г-1. Это означает, что
сколь угодно малое возмущение элементов матрицы может существенно
изменить структуру и норму решения.
5.179. Пусть rank(A) = г, А е RmXn, m п и г < п. Показать, что мно-
жество векторов х, минимизирующих b — Ах 2, образует (п — г)-мерное
линейное подпространство.
< Пусть вектор z е ker(A) и dim (ker(A)) = п — г. Тогда Az = 0, и если х
минимизирует b — Ах| 2, то х + z также минимизирует невязку, так как
||b - A(x + z)||2 = |b - Ах|2. >
5.180. Пусть ранг матрицы А в точной арифметике равен г < п и первые
г столбцов линейно независимы. Показать, что матрицу можно привести
5.8. Некорректные системы линейных уравнений
189
К виду
A = QR = Q^U Нп\
Q е Rmxn,Q = (qi .. qr qr+i ... qn) = (Q1 Q2), QTQ = I,
det-Rn 0, Rn e Rrxr, Rl2 e Rrx(n-r\
и для задачи наименьших квадратов с матрицей А имеется семейство
решений
х = — Л12Х2), Х2) .
Здесь х = (xi,x2)T,xi е Rr,x2 е Rn-r .
О Искомое разложение А = QR, где Q 6 RmXn, a R имеет указанный
в условии вид, можно построить, например, методом ортогонализации
Грама—Шмидта. Решим задачу наименьших квадратов. Построим по
матрице Q ортогональную матрицу U € RmXm следующим образом.
Дополним векторы qi до базиса в пространстве Rm некоторой линейно
независимой системой pj и проведем ортогонализацию столбцов матрицы
В — (Q Р) методом Грама—Шмидта. Для полученной матрицы U имеем
U — (QQ) = (qi ... qm). Матрица U ортогональная, поэтому ортогональ-
ны векторы (q^, qj) = 0, i j, и QTQ — нулевая матрица. Отсюда следует
цепочка равенств:
| b - Ах || = I UT(b - QjRx)| 2 =
2
2
\ ) (b-QRx)
w /
QTb-7?x 2
QTb , ’
QTb - Rx
QT(b - QRx)
I Qlb - Я11Х1 - Я12Х2 i 4 b| 5 4 <)Tb j.
приводящая к ответу.
Метод QR-разложения с выбором главного столбца. Преобразуем
исходную ЗНК так, чтобы первые г столбцов полученной матрицы А
были линейно независимы. Для этого в процессе вычислений переставим
столбцы в матрице А так, что А — АР — QR, где Р — некоторая матрица
перестановок. Отсюда (см. 5.180) найдем решение задачи наименьших
квадратов. Цель соответствующих перестановок — получить в матрице
R —д12 I как можно лучше обусловленный блок Ли и как можно
меньшие по модулю элементы в /?22- В приближенных вычислениях блок
R22 обычно отличен от нуля, хотя исходная задача могла быть неполного
ранга.
Вычисления проводятся на основе стандартного QjR-разложения, на-
пример, методом отражений. На k-м шаге (k = 1,...,п) в матрице А^
выбирают столбец с номером jk, k jk п, с наибольшей величиной
190
Глава 5. Матричные вычисления
/ m / /^\ \ 2\
max ( 52 (aii ) • Если таких столбцов несколько, то берут произ-
\i=k \ J J J
вольный из них. В матрице А^ найденный столбец jk переставляют с k-м
столбцом. Далее реализуют очередной шаг QjR-разложения.
5.181. Оценить величину элемента гпп в методе QjR-разложения с выбо-
ром главного столбца для А = / 1 -1 0 1 ... -1\ -1 ... , А е Rn*n.
\ 0 ... о 1/
Метод сингулярного (SVD) разложения. Метод применяют для ре-
шения гарантированно наилучшим образом плохо обусловленных и вы-
рожденных задач.
Теорема. Пусть А—матрица размерности т х п} т п. Тогда
справедливо сингулярное разложение А = UTVTf где:
U — ортогональная матрица размерности т х п7 UTU = I;
V — ортогональная матрица размерности п х п;
Е — диагональная матрица размерности п х п с элементами
<^1 02 оп 0.
Столбцы Ui,..., un матрицы U называют левыми сингулярными век-
торами матрицы А, столбцы vi,..., vn матрицы V — правыми сингуляр-
ными векторами, величины — сингулярными числами.
Построив ^VD-разложение, можно установить, является ли задача
вырожденной (ап = 0), невырожденной (ап 7^ 0) или «хорошей» (у1
не слишком мало).
Если т < п, то сингулярное разложение строят для матрицы АТ. Если
т = п и А = АТ, то сингулярные числа а = |Аф т.е. с точностью до знака
совпадают с собственными числами, сингулярные векторы являются
соответствующими собственными векторами.
Геометрическая интерпретация SVD-разложения. Рассмотрим опе-
ратор А, переводящий элемент х G Rn в элемент у G Rm. Единич-
ная сфера под действием А переходит в эллипсоид. Векторы ui задают
полуоси эллипсоида, Vi — их прообразы, — коэффициенты удлинения
векторов Vi.
Алгебраическая интерпретация SVD-разложения. Рассмотрим опе-
ратор А, переводящий элемент х € Rn в элемент у € Rm. В этом
случае в пространстве Rn существует базис vi,...,vn, а в простран-
стве Rm векторы Ui,...,un такие, что матрица оператора А имеет
п
диагональный вид, т. е. для произвольного вектора х = V £iVi имеем
i=l
п
у = Ах = 52 ai/3iUi. Иначе говоря, всякая матрица А становится диаго-
?=1
5.8. Некорректные системы линейных уравнений
191
нальной, если в области определения и в области значений подходящим
образом выбраны ортогональные системы координат.
5.182. Найти сингулярное разложение матрицы А размерности п х п
А = (1,2,... ,n)T(l, 1,..., 1).
5.183. Показать, что если А — матрица полного ранга (rank(A) = п),
то решение х задачи наименьших квадратов min | b — Ау || 2 имеет вид
х =
О Из метода нормального уравнения следует, что решение х можно пред-
ставить в виде х = (АТА)~ХАТЪ = WTb = УТгхитЪ.
5.184. Пусть матрица А — (U1U2) ( g
(V] имеет ранг г < п.
Показать, что пространство решений х задачи наименьших квадратов
имеет вид х = + V2Z с произвольным z G Rn-r. Норма х
минимальна при z = 0. Здесь U\ 6 Rmxr, Ei 6 Rrxr, Vi G Rnxr.
Указание. См. 5.180, учитывая, что = 0 для любого вектора
z. Норма х минимальна при z = 0, так как векторы и V2Z
ортогональны.
5.185. Пусть столбцы Uj, Vi, i = 1,...,п, матриц U = (щ . ..un),
n
У = (vi ... vn) такие, что A = WY-’. Доказать, что
i=l
min I A — A(k 2 по всем матрицам A(k G Rmxn ранга k < n равен Ck+i
A',
k
k
и достигается на матрице Ak = = и^кУ^ •
г=1
О По построению матрица А^
|| Л — А*| 2 = &к+1‘ Действительно,
имеет ранг к. Покажем, что
IIл - А*|а = I
и (° 0 V
\о sn_J
р 0 '| III'
1.0 Sn-feJJ
< ||С/.|2
2
Но | А - Ak |2 > | (А - Afe)vfe+1 |2 6Tfe+1|f/efe+i afe+i, где
ek+i = (0,..., 0,1,0,..., 0)т. Следовательно, | A — АД 2 = сг/c+i. Покажем,
что не существует матрицы В ранга к, более близкой к А. Так как
dim(ker(B)) = п — к и (п — к + к + 1) > п, то существует ненуле-
вое пересечение подпространств span{vi,... ,v&+i} и ker(B). Рассмотрим
к+1 к+1
вектор h = из этого пересечения с нормой ЦЬЦ^ — ci = 1-
i=l г=1
Имеем||А-В|2 ;|(А - B)h| 2 = |Ah| 2 = UT.yTh\ 2 = |E(VTh)|2,
поскольку ортогональная матрица U не изменяет длины векторов. Далее,
192
Глава 5. Матричные вычисления
к 4-1
так как VTV = /, то = ег. Таким образом, VTh = ciGi
i=l
к 4-1
и SVTh = ^2 о^с^. В результате получаем
i=l
Zfe+1 ч 1/2
||SVTh||2 5? crfc+11 52 е?) = <Tfc+1||h||2 = <Tfc+i. >
4=1 '
Из 5.185 следует правило решения задачи наименьших квадратов в при-
ближенной арифметике. В реальных вычислениях все аг получатся (с уче-
том машинной точности) отличными от нуля, поэтому зафиксируем неко-
торое значение £о- Будем считать, что величины о\ < ео при i = k+1,..., п
соответствуют погрешности вычислений, следовательно, можно заменить
исходную задачу задачей с матрицей Ak = Такой способ усечения
матрицы А является оптимальным в том смысле, что полученная матрица
Ak наиболее близка к Л в норме || • Цг-
5.9. Проблема собственных значений
Пусть 5 — произвольная невырожденная матрица. Говорят, что матрицы
одинаковой размерности А и В = S-1 AS подобны, а матрица S осуществ-
ляет подобие.
Теорема. Для произвольной вещественной матрицы A G RnXn най-
дется вещественная ортогональная матрица Q 6 RnXn такая, что
/Rn #12 • • • Rim
QTAQ = 0 R22 . . . R2m = R.
\о 0 • • • Rmm /
Здесь каждый диагональный блок Rn (т п) представляет собой
либо вещественное собственное значение, либо 2 х 2-матрицу, отвечающую
сопряженной паре комплексных собственных значений. Матрицу R назы-
вают действительной формой Шура, из которой можно легко определить
собственные векторы и собственные числа исходной матрицы.
Теорема 1 (закон инерции). Каждая матрица А = АТ подобна
некоторой диагональной матрице вида diagC^, — 1У, О %) с единичными
матрицами Д, Д и нулевой О^, где соответственно число поло-
жительных, отрицательных и нулевых собственных чисел матрицы А.
Теорема 2 (критерий Сильвестра). Число и отрицательных соб-
ственных значений невырожденной симметричной матрицы А рав-
но числу перемен знаков последовательности главных миноров
1 < & < п. Для положительной определенности матрицы А = АТ
необходимо и достаточно выполнение неравенств Afe > О при 1 k п.
Для отрицательной определенности необходимо и достаточно, чтобы
знаки главных миноров чередовались, при этом Ai < 0.
5.9. Проблема, собственных значений
193
5.186. Пусть В = S-1 AS. Доказать, что матрицы А и В имеют одни и те
же собственные значения, а вектор ед является собственным вектором А
тогда и только тогда, когда ев = S~*eA — собственный вектор В.
О Собственные значения В находим из условия
det(B - А/) = det(S-1AS - AS"1^ =
= det(5"1(X - A/)S) = det(5"1)det(X - A/)det(S) = det(A - A/).
Собственные значения совпадают, так как равны характеристиче-
ские многочлены. Условие Ае Л е равносильно следующему:
5-1Л55-1е = А5-1е, или BS~le = А5-1е, т. е. собственные векторы
ед и ев связаны соотношением ев = 5-1ед. [>
5.187. Предположим, что матрица A G Rnxn—симметричная и положи-
тельно определенная. Показать, что:
1) существует единственная симметричная и положительно определен-
ная матрица X такая, что А = X2;
2) если Xq = I, Xk+i = , то Х^ стремится к \ . i. где v .1
означает матрицу X из 1).
5.188. Пусть А — симметричная матрица размерности п х п,
А € R1, х Е Rn — соответственно произвольное число и вектор, причем
| |х 2 = 1- Доказать, что существует собственное значение Afc матрицы А,
для которого |Afc — А| ||Лх — Ах||2.
О Пусть {q/c}, k = — полная ортонормированная система соб-
п
ственных векторов матрицы Л, х = Е ck4k« Тогда |Лх — Ах 2
/с=1
= Е (А* - ^)2ck min(Afe - A)2. D>
k=i к
5.189. Показать, что для максимального и минимального собствен-
ных значений симметричной матрицы Л справедливы следующие оценки:
Аппп(Л) min Атах(Л) max
<] Имеем Ат5п(Л) = min (Лх,х) (Лег,ег) = «й,
11^112=1
Атах(Л) = । тах^(Лх,х) > (Лег,ег) = «й,
где ei—вектор с г-й компонентой 1 и остальными компонентами 0. О
5.190. Доказать, что у вещественной трех диагональной матрицы
pi при г = j,
G'i при i = j + l,
Ci при г + 1 = j,
>0 иначе,
все собственные значения вещественные, если > 0, i = 1,2, ...,n — 1.
194
Глава 5. Матричные вычисления
Указание. Пусть диагональная матрица D определена следующим об-
разом:
Тогда В = DAD 1 —симметричная матрица, вещественный спектр кото-
рой совпадает со спектром подобной матрицы А.
5.191. Доказать, что для трех диагональной матрицы из 5.190 верно
неравенство Afc(A)| < 1 Vfc, если |ai| + + |ci| 1 Vi, гд = сп = 0,
и если хотя бы для одного значения индекса i неравенство строгое,
a Oi+icz 0, г = 1,2,..., п - 1.
5.192. Пусть АиВ — матрицы размерности m х п и п х m соответственно,
тп п; PcW — det (А/ — С) — характеристический многочлен квадратной
матрицы С. Доказать справедливость равенства
Рлв(А) = Ат-ЛРВЛ(А).
О Рассмотрим следующие тождества для блочных матриц размерности
(т + п) х (т + п):
АВ 0Х /7 А\ _ /АВ
В 0/ \0 l) \ В
АВА\
В А ) '
А В А\
В А ) ‘
I А\ /0 ОХ
0 l)\B в а)
Здесь I — единичная матрица соответствующей размерности. Поскольку
/7 А\
блочная матрица К = | 1 размерности (т + п) х (т + п) невырож-
денная, имеем
(I ДА 1 (АВ 0\ (I А\
\0 I) \В о До I)
0 0 \
В ва) '
Таким образом, две матрицы размерности (т + п) х (т + п)
Oi
АВ ОХ
В 0.J
Ch
о о \
в ва)
подобны: К~гО1К = Ch* Собственные значения матрицы Oi—это соб-
ственные значения матрицы А В вместе с п нулями, а собственные значе-
ния матрицы О2 — собственные значения матрицы В А вместе с т нулями.
Поскольку характеристические многочлены подобных матриц совпадают
PO2(A) = det(A/-O2) =det(A/f-1/f - K~lOiK) =
= det К-1 det(A I - Oi) det К = POt (A),
отсюда следует утверждение задачи.
Из рассмотренного решения следует совпадение соответствующих жор-
дановых клеток матриц АВ и ВА. [>
5.9. Проблема, собственных значений
195
5.193. Доказать, что для квадратных матриц А, В одинаковой размерно-
сти спектры матриц АВ и В А совпадают.
5.194. Доказать, что если А, В — симметричные матрицы размерности
п х п, то необходимым и достаточным условием равенства АВ = В А яв-
ляется существование базиса в пространстве Rn? составленного из общих
собственных векторов матриц А и В.
5.195. Доказать, что если матрицы А и В коммутируют, то существует
собственное значение А(А£?), равное произведению собственных значений
A(A)AGB)-
5.196. Доказать, что если А — симметричная и положительно определен-
ная матрица, а В — симметричная матрица, то все собственные значения
Л(А£?) матрицы АВ вещественные.
Указание. Воспользоваться тем, что АВ подобна симметричной матри-
це А1/2ВА1/2.
5.197. Доказать, что если А, В — симметричные и положительно опре-
деленные матрицы, то все собственные значения Х(АВ) матрицы АВ
положительные.
Указание. Воспользоваться 5.196.
5.198. Пусть А — симметризуемая матрица, т. е. существует невырожден-
ная матрица Т такая, что ТАГ-1 — симметричная матрица. Доказать, что
система собственных векторов матрицы А образует базис.
Указание. Воспользоваться тем, что если ТАТ~*е = Ле, то Т 1 е —
собственный вектор матрицы А, соответствующий тому же собственному
значению Л. Доказать, что из полноты системы векторов {е^} следует
полнота системы {T_1ei}.
5.199. Доказать, что если А — симметричная и положительно опреде-
ленная матрица, а В — симметричная матрица, то система собственных
векторов матрицы АВ образует базис.
Указание. Воспользоваться 5.196 и 5.198.
5.200. Доказать, что если А, В — симметричные и положительно опреде-
ленные, коммутирующие матрицы, то матрица АВ положительно опреде-
лена.
О Все собственные значения АВ положительны в силу 5.197. Из ком-
мутируемости А и В следует симметрия АВ, а критерием положительной
определенности симметричной матрицы является положительность ее соб-
ственных значений. Г>
196
Глава 5. Матричные вычисления
5.201. Доказать положительную определенность матрицы
<0,5 1 1 1 ... 1 1 \
1 2,5 3 3 3 3
1 3 4,5 5 ... 5 5
А = ... ... ... ... ... ...
1 3 5 7 ... |(4п-7) 2п - 3
к1 3 5 7 2п — 3 1 (4п — 3) 2 /
< Обозначим матрицу А размерности п х п через Ап. Пусть далее левая
треугольная матрица Рп размерности п х п определена равенством
/ 1 0 0 ... О \
-2 1 0 ... О
\-2 0 0 ... 1 /
Тогда
/0,5 1 ...
О
• • • -4-п—1
\ О
Таким образом, detA^ = 0,5detAfc-i = 2~fc > 0 для любого главного
минора detAfc, к — 1,...,тг. Согласно критерию Сильвестра положи-
тельной определенности, симметричная матрица Ап = А положительно
определена. [>
5.202. Доказать положительную определенность матрицы:
2 -1
-1 3
1) л = 1 __1
2
_ 1 _ 1
< 3 2
Указание. 1) Используя теорему Гершгорина, доказать положитель-
ность всех собственных значений симметричной матрицы А. 2) Использо-
вать критерий Сильвестра положительной определенности симметричной
матрицы и прямое вычисление ее главных миноров.
5.203. Пусть матрицы А, Ат G RnXn имеют строгое диагональное
преобладание и положительные диагональные элементы. Доказать, что
матрица А положительно определена, т. е. (Ах, х) > 0 Vx 5/ 0.
5.9. Проблема, собственных значений
197
О Симметричная часть S = — матрицы А имеет положительную
и строго доминирующую диагональ, поэтому ее собственные значения по-
ложительны и S положительно определена, а вместе с ней положительно
определена и матрица А. [>
5.204. Построить пример симметричной положительно определенной
матрицы размерности 3x3, трехдиагональная часть которой не является
положительно определенной.
/1 Я
1\
2
Q
Ответ: А =
при q = а е (О, .
\2 1
5.205. Пусть А = Ат > 0. Доказать, что если Amax(A) = при
некотором к, где 1 к п, то = &kj = 0 при всех i к, j к.
5.206. Пусть Ап(а, Ь) — вещественная трехдиагональная матрица размер-
ности п х п:
{а при i = j,
b при i = j + 1, i = j — 1,
О иначе.
Доказать следующие равенства:
1) det An+1(a, b) — a det Ап(а, b) — b2 det An-i(cL, b), n 2;
(/ i 2 —\n+1
2) det.4n(Q,6) = {Д|+ Jx~b2j
h/2) r z о \ к z \ n-2k
3) det^n(a,6)= £ (f) , fc > 1.
k=0
5.207. Пусть матрица An(a, b) определена, как в 5.206. Найти все ее
собственные значения и собственные векторы.
5.208. Пусть матрица Ап(а,Ь) определена, как в 5.206. Доказать, что она
положительно определена тогда и только тогда, когда а—2 |b cos ,г > 0.
5.209. Матрица Уилкинсона при е = 0
/20 20 0 0 ... 0 0 \
0 19 20 0 ... 0 0
А = 0 0 18 20 ... 0 0
0 0 0 0 ... 2 20
1 - 0 0 0 ... 0 И
198
Глава 5. Матричные вычисления
имеет наименьшее по модулю собственное значение, равное 1. Как оно
изменится при £ = 20 19 • 20! ~ 5 10“7?
О Характеристическое уравнение для возмущенной матрицы Уилкинсона
имеет вид
det(A - Л/) = (20 - Л)(19 - Л) • • • (1 - Л) - 2019 • е = 0.
Свободный член в этом уравнении равен 0,
собственное значение также равно 0.
следовательно, наименьшее
5.210. Пусть
/0 1 ... 0
Ап(<л) — 0 о ... 1
\а 0 ... 0/
— матрица размерности п х п. Доказать, что характеристическое урав-
нение матрицы Ап(а) имеет вид Лп = а. Сравнить собственные числа
близких матриц А2о(2-20) и А2о(О)«
Ответ: А*(2-20) = 0,5еп'^,к = 1,... ,20 и А*(0) = 0, к = 1,... ,20.
Степенной метод. Алгоритм вычисления максимального по модулю
собственного значения Л матрицы А имеет вид
/ /г -К 1 /г х
ьн = А к Xk+1 = (х X ) k А; = 0,1,2,....
(х\ хЛ)
При его практической реализации на каждом шаге нормируют текущий
вектор: х* заменяют на . .
II* II
5.211. Пусть А — матрица простой структуры (собственные век-
торы 41,42, ,Qn матрицы образуют базис в Сп). Пусть далее
|Ai| > |Лз| > |Аз| ... |АП| и L — линейная оболочка 42,43, -,4п
Доказать, что для степенного метода при условии х° L справедлива
оценка Afc = Ai + О
А2
Ai
5.212. Доказать, что если в условии 5.211 матрица А является симметрич-
ной, то для степенного метода справедлива оценка Хк = Ai + О
Л 2
Ai
2к
5.213. Пусть матрица А размерности п х п имеет п различных собствен-
ных значений. Предположим, что х° принадлежит линейной оболочке
некоторых собственных векторов 4й, 4г2» • • •, Чч ? н0 не принадлежит ника-
кой их линейной подоболочке. К какому собственному значению матрицы
сходятся итерации степенного метода в точной арифметике и с какой
скоростью?
5.9. Проблема, собственных значений
199
Ответ: к максимальному по модулю А из Ajfc, 1 k t. При численных рас-
четах, как правило, имеется ненулевой (порядка машинной точности) коэффи-
циент ci в разложении х° по векторам qz, поэтому метод сходится к максималь-
ному по модулю из всех собственных значений А1. Сходимость к следующему
по абсолютной величине А2 (см. 5.211) можно обеспечить только постоянным
исключением каким-либо способом вектора qi из очередного приближения xfe.
На этой идее основан рассматриваемый далее метод итерирования подпро-
странств.
Метод обратной итерации. Этот метод, по сути соответствующий
степенному методу для матрицы Л-1, можно применять для вычисления
наименьшего по модулю собственного значения А:
xk-= Х<С Axfc+l = xfc Хк = (xfc’ x*:+1)
||xfc||’ ’ (x^.x^1)'
При этом на каждом шаге алгоритма требуется решать систему
Axfe+1 = х.к.
Степенной метод и метод обратной итерации можно также применять
к матрице А — cl, что позволяет влиять на сходимость. Например, если
с высокой точностью известно приближение А к некоторому собственному
значению А, то метод обратной итерации с параметром с = А обычно
сходится за несколько итераций. Скорость сходимости существенно замед-
ляется при вычислении одного из группы близких собственных значений.
5.214. Пусть собственные значения симметричной матрицы А удовле-
творяют цепочке неравенств Ai < А2 < ... < Ап. Выяснить, к какому
собственному значению As в зависимости от параметра с сходится итера-
ционный процесс
х*+1 = (Л - . I X А* =с+ .
(х\х*)
Найти скорость сходимости.
Ответ: к As, для которого справедливо |AS - с| = max |Xi - с|. Скорость
г
сходимости равна O(g2n), где q = max , с|. Отсюда следует, что процесс
ijLs Rs Я
СХОДИТСЯ К А1 при с > ,— или к Хп при С < .
5.215. В условии 5.214 выбрать постоянную с так, чтобы итерационный
процесс с наилучшей скоростью сходился к Ai (или к Ап).
Ответ: как следует из 5.214, оптимальное значение cs для s = 1,п яв-
и и • ' , с| гр
ляется решением следующей минимаксной задачи; min max -Н---V. 1 ак как
с г^з |АЛ С|
рассматриваемая функция линейная по Аг, то модуль имеет максимальное
значение в граничных точках. Например, при s 1 это соответствует
min max/ , L Можно показать (например, графически), что оп-
С 1’1 -'I J
200
Глава 5. Матричные вычисления
тимальное значение ci = . Аналогично сп = —- Скорость
сходимости степенного метода при оптимальном сдвиге зависит от Ai,...,An
и не может стать сколь угодно высокой за счет параметра сдвига.
5.216. Пусть собственные значения симметричной матрицы А удовле-
творяют цепочке неравенств Л1 < Л2 < ... < Ап. Выяснить, к какому
собственному значению At сходится в зависимости от параметра с метод
обратной итерации со сдвигом
(A-cZ)x^1 = х*
(Х^ Х*44 )
Найти скорость сходимости.
Ответ: к At, для которого справедливо |Л« — с| = min | Аг — с|. Скорость
г
сходимости равна O(q2n), где q = тш С'сг Отсюда следует, что процесс
min с 1
в зависимости от значения с может сходиться к любому At. При этом q —> О,
если с —> At.
Скорость сходимости метода обратной итерации со сдвигом можно значи-
тельно повысить, если изменять значение сдвига от шага к шагу. Рассмот-
рим функцию RA (х) = •--*•-*!, называемую отношением Рэлея.
1 X. X I
5.217. Пусть А = Ат > 0. Доказать, что
Атах(Л) = max RA (х), Ат-щ(Л) = min RA (х).
х^О х^О
Указание. Пусть Аг — г-е собственное значение и Лцг = АгЧг- Из условия
А = Ат следует, что собственные векторы образуют базис и можно счи-
тать, что (qi, Qj) = При этом Аг = tf| 4 Представив произвольный
1Ч» • Ч»'
вектор х в виде разложения по собственным векторам, получим требуемый
результат.
5.218. Пусть А = Ат > 0. Доказать, что Ух 6 Rn и € R1 имеет место
свойство минимальности невязки
||(Л - Дд(х) Z)x |2 ||(Л - до/)х| 2.
< Рассмотрим квадратичную по р функцию ||(Л —^/)х|| = (Лх,Лх)
— 2^(Лх,x)+/i2(x, х), минимум которой достигается в точке p=RA(pc). [>
Неравенство из 5.218 показывает, что наилучший сдвиг для метода об-
ратной итерации, который можно получить из найденного приближения
к собственному вектору, есть отношение Рэлея RA(pck). При таком выборе
сдвига сходимость к собственному вектору, если она есть (см. 5.211),
5.9. Проблема, собственных значений
201
является кубической: lim ———
/с—>оо tpk
вектором х и его приближением xfc.
1, где — угол между собственным
5.219. Пусть метод обратной итерации с постоянным сдвигом сходится
к собственному значению Ас матрицы А = Ат. Показать, что начиная
с некоторого к выполняется оценка
1
ii^+T
т. е. величина xfc+1 2 1 характеризует скорость сходимости итерационного
процесса.
О Для приближений xfe, xfc+1 метода обратной итерации справедливо
выражение
„fc+lx _ (Ах^+^х^1) __ (х* х**1) _ А.
YAH-h yAH-1
Отсюда и из 5.218, 5.188 получаем, что
1 = ||xfc||2 = 1(4- c/)xfc+1| 2 > (4 - J?4(xfc+1)/)xfc+1|2
= |(4- Afc/)xfc+1||2 > minlAt - Afc ||xfc+1|2.
i
Так как метод сходится к Лс, то начиная с некоторого к имеем
min |Ai — Afe = |АС — Afe|. Отсюда следует искомая оценка. [>
5.220. Предположим, что матрица А 6 RnXn— симметричная и поло-
жительно определенная. Рассмотрим следующие итерации: Ао — А, для
к = 1,2,... строим Afe_i = RkR? (разложение Холецкого) и определяем
А/. = R?Rk- Здесь Rk — верхняя треугольная матрица. Показать, что:
1) эти итерации сходятся;
( ° \
2) если матрица А — | с I ? а с, имеет собственные значения
Ai Аг > 0, то матрицы Аь сходятся к матрице diag(Ai, Аг).
Рассмотрим методы нахождения нескольких (всех) собственных значе-
ний и поиска инвариантных подпространств.
Подпространство Н С Rn называется инвариантным подпростран-
ством матрицы А, если АН С Н. В качестве Н можно взять, например,
подпространство span {е^,..., ejm}, являющееся линейной оболочкой соб-
ственных векторов е$..
5.221. Пусть А —матрица размерности п х п и X = (xi ...xw),
Хг 6 Rn — произвольная матрица с линейно независимыми столбцами.
Показать, что подпространство span {xi,... ,xm) тогда и только тогда
202
Глава 5. Матричные вычисления
инвариантно относительно А, когда найдется такая матрица В размерно-
сти m х m, что АХ = XВ, В случае m = п собственные значения матрицы
В являются собственными значениями матрицы А.
Указание. Инвариантность подпространства означает, что существуют
ш п
константы Cj такие, что Ахг = ^2 cjxj. В данном случае Ах^ =
j=i j=i
Если m = п, то В = Х~1АХ и матрицы подобны. Если Ах^ = AiXj, то
В =diag(Ai,.. •, Am).
Ортогональная итерация (итерирование подпространств). Рас-
смотрим следующий итерационный алгоритм нахождения m-мерного ин-
вариантного подпространства матрицы А, образованного линейной ком-
бинацией собственных векторов, отвечающих m наибольшим по модулю
собственным значениям: возьмем произвольную матрицу Vo € Rnxm с m
ортонормированными столбцами и последовательно для k = 0,1,... будем
вычислять для матриц Pfc+i — AVk разложения вида Pfc+1 = Vfc+iPfc+i,
т. е. проводить ортонормировку столбцов Pfc+1-
Известно, что если модули всех собственных значений различны и мат-
рица А не вырождена, то метод сходится и столбцы матрицы задают
базис в искомом подпространстве. Действительно, рассмотрим AfcVo—
образ векторов-столбцов исходной матрицы Vo = (vi ... v,n). Все векторы-
столбцы образа, оставаясь линейно независимыми, при k —> сю сходятся
к старшему собственному вектору, что соответствует методу простой ите-
рации нахождения наибольшего по модулю собственного значения. Чтобы
в результате итераций имела место сходимость к ортонормированному
базису в подпространстве, образованном первыми собственными вектора-
ми, необходимо на каждом шаге проводить ортогонализацию: исключать
из вектора Akv2 составляющую Afcvi, из вектора Afcv3—составляющие
Afcvi, AfcV2, и т. д. Из 5.211 следует, что скорость сходимости характери-
зуется величинами у2- , у2- ,....
QR-алгоритм. Модифицируем ортогональную итерацию так, чтобы она
допускала сдвиги и обращения матрицы, как в методе обратной итера-
ции. Это приводит к идее QP-алгоритма — наиболее популярного метода
вычисления всех собственных значений и векторов матрицы не слишком
большой размерности. Пусть задана матрица А размерности п х п. Поло-
жим Aq = А и вычислим Aq = QqRq, где Qq — ортогональная (в комплекс-
ном случае — унитарная) матрица, Rq — верхняя треугольная матрица.
Далее определим Ai = RoQo, т. е. перемножим полученные в результате
разложения матрицы в обратном порядке. Таким образом, на каждом
шаге вычисляется QP-разложение матрицы Ак = QkRk и находится
5.9. Проблема, собственных значений
203
А/=_] = RkQk- Отметим, что все полученные матрицы Ад. подобны А$.
Результатом является «почти верхняя треугольная» предельная матрица
Аоо, для которой несложно вычисляются собственные значения. В случае
невырожденной матрицы QjR-разложение с положительными элементами
гц треугольной матрицы R единственно, поэтому в дальнейшем будем
полагать для произвольной матрицы гц 0.
При практическом использовании метода сначала проводят масшта-
бирование (уравновешивание) матрицы, сближающее ее норму со спек-
тральным радиусом, а затем приводят ее к верхней форме Хессенберга
Н (hij = 0 при i > j+1), которая инвариантна относительно QjR-итераций.
Само же разложение используют со сдвигами, т. е. применяют к матрицам
вида Ak = Hk - Cfc I.
5.222. Показать, что собственные значения матриц А и Ад. из QH-алго-
ритма при к = 1,2,... совпадают.
< Так как Afc+i = RkQk = Ql(QkRk)Qk = Q^AkQki то из Qk} = Q? сле-
дует, что матрицы Лд.+1 и А^ ортогонально подобны и имеют одинаковые
собственные значения. О
5.223. Пусть Ад.—матрица из QjR-алгоритма, а 14—из метода ортого-
нальной итерации для Vq — I. Показать, что Ак — VkAVk.
Указание. Равенство Ак — VkAVk проверить по индукции.
5.224. Доказать, что если А —нормальная матрица (АТА = ААТ), то
последовательность треугольных матриц Rk из QjR-алгоритма сходится
к диагональной матрице.
<| Рассмотрим две соседние матрицы QjR-алгоритма, обозначая их для
простоты через А и В. Переход от А к В описывается формулами
A = QR, B = RQ. (5.13)
Пусть Ьг, аг, гг — столбцы, Ь^, а^ г^—строки соответственно матриц 5,
A, R(i = 1,...,п). Так как ортогональные преобразования не ме-
няют евклидову длину вектора, то из (5.13) следует: ||аг||2 = ||гг||2,
ri I2 — ||bj||2 (i — 1,..., п), Из нормальности матриц А и В имеем:
аг I2 = ||aj||2, ||Ьг||2 = ||Ь»||2 (г = Положим
тп
Am = IIM2 - ||Ма> m=l,...,n-l.
i=i
Тогда
Ai = l|biЦ2 - ||ai||| = llrjlH- Цг1^ = |г12|2 + •••+ |ri„|2,
m тп тп п / г i
Am = 52 ЦпЩ - 52 = 52 52 lrol2> m = 2,...,n-i.
i=l i = l i = lj = w-|-l
204
Глава 5. Матричные вычисления
т? I r(fc) I (k) 2
Если теперь составить для каждого к величины о™ = > , | aj 2, где
г=1
—строки матрицы Ak и тп — — 1, то получим п — 1 после-
довательностей 6mИз (5.14) следует, что каждая из этих последова-
тельностей монотонно возрастает и каждая ограничена (например, общим
значением квадрата евклидовой нормы матриц А^). Поэтому последова-
тельности 6т^ сходятся. Соответствующие последовательности где
л (к) r(fc + l) Ak)
= От —От , СХОДЯТСЯ К НуЛЮ, ВМвСТв С ТвМ СХОДЯТСЯ К НуЛЮ ВСв
наддиагональные элементы матриц Rk .
Так как Цг^’н^ = ||а(/+1)| то
„(*) 2 _ .•(*+!) _ (*)|2___ | (*) 2
rll - V r12 I Pin •
По соглашению 0 для всех /с, поэтому последовательность имеет
предел. Точно так же из равенств
= !|^+1)| 2
|r(*) 2
И 22
2 __ (к) 2 _
2 Г23
(к) 12 (к) , 2
= llr2 Il2 - r23 I -
(*+l)
(к) .2
•-I^|2 =
-H*’l2-|4з1
(fc) 2
(*)i2
• • - C'|
следует, что сходится последовательность Продолжая рассуждать
аналогичным образом, установим существование предела матричной по-
следовательности Rk> О
5.225. Доказать, что нормальная матрица А вида А — QD, где Q —
ортогональная матрица, D — диагональная матрица с неотрицательными
элементами, с точностью до симметричной перестановки строк и столбцов
является блочно-диагональной. При этом каждый диагональный блок
только скалярным множителем отличается от ортогональной матрицы
соответствующего порядка.
О Из равенства А АТ = АТА следует, что D2 = Q D2QT, или D2Q = Q D2.
Отсюда получаем поэлементное равенство — d2j) = 0 Vi, j, т. е.
Qij — 0, если da 7^ djj. Матрица перестановок Р, группирующая равные
диагональные элементы матрицы D: D —ъ D = PTDP, приводит Q
к блочно-диагональному виду: Q —> Q — PTQP. Но тогда и матрица
А = РТАР = (JPTQP)(JPTDP) = QD — блочно-диагональная, причем
каждый диагональный блок есть произведение одноименного блока ор-
тогональной матрицы Q на число d, отвечающее этому блоку. [>
5.226. Исследовать применение QP-алгоритма для матрицы
/О 1\
-1 О/
А =
< Имеем: Aq = Ах = ... = Ak Ук.
5.9. Проблема, собственных значений
205
5.227. Пусть А1,...,АП—собственные значения комплексной матрицы
А — F + i G*, где F и G — вещественные матрицы. Показать, что числа
Ах,. •, An, Ai,..., Ап составляют спектр вещественной матрицы удвоенно-
4 (F ~G
го порядка Ar = I F
Указание. С каждым собственным вектором z матрицы А ассоциирова-
но двумерное инвариантное подпространство матрицы AR. Действитель-
но, представим z в виде z = x+i у с вещественными векторами х, у, и пусть
А = р + i и — соответствующее собственное значение. Комплексное равен-
ство A z = A z эквивалентно каждой из следующих систем вещественных
равенств:
Fx - Gy = рх - i/y,
Gx + Пу = их + ру;
F(~y) -Gx = р(-у) - l/x,
<2(-у) + Fx = i/(-y) + рх,
означающих, что подпространство, являющееся линейной оболочкой век-
торов zR = (x,yf, zR = (—у,х)т, инвариантно относительно матрицы
AR. Нетрудно проверить, что они линейно независимы.
QR-алгоритм со сдвигом. Скорость сходимости QjR-алгоритма можно
существенно повысить, если применять разложение к матрицам вида
Ак = Hk — ск F Положим Ао = А, выберем сдвиг со вблизи некоторого
собственного значения А/ДЛ) и вычислим разложение Ao — cq! = QoRo-
Найдем матрицу А± = RoQo + cqI- Повторим процедуру для матриц А к,
к = 1,2,.... Если ск окажется равным некоторому собственному значе-
нию, то у матрицы Rk на диагонали стоит нуль, поэтому можно найти
соответствующий собственный вектор и задачу для Л^+1 сформулировать
как задачу на единицу меньшей размерности.
5.228. Показать, что собственные значения матриц А и Ак из QF-алго-
ритма со сдвигом при к = 1,2,... совпадают.
О Так как
Afc+i = RkQk + ckI = Q?(QkRk + CkI)Qk = QkAkQk,
то матрицы Ак и Л^+1 ортогонально подобны. О
5.229. Показать, что QjR-алгоритм со сдвигами ск для начальной матри-
цы в форме Хессенберга
Н/г CkI QkRk i Н-к+1 RkQк Т Ск!
порождает последовательность Нк хессенберговых ортогонально подоб-
ных матриц.
206
Глава 5. Матричные вычисления
5.230. При каком из следующих сдвигов:
1) базовый алгоритм: = 0;
2) сдвиги по Рэлею: — h^n где — правый нижний элемент
матрицы Hk 5
3) сдвиги по Уилкинсону: q выбирается как одно из собственных зна-
fh(kl _ h{kl \
чений матрицы I п^п 1 ) (правая нижняя подматрица второго
/0 0 0 0 1\
1 0 0 0 0
порядка матрицы Hk), матрица вида Hq = 0 10 0 0 не меняется
0 0 10 0
\0 0 0 1 0/
в процессе QjR-итераций?
Ответ: случаи 1 и 3.
Глава 6
Решение
нелинейных уравнений
Итерационные методы вычисления изолированного (отделенного от дру-
гих) корня z уравнения /(ж) = 0, как правило, требуют указания какой-
либо области D, содержащей этот единственный корень, и алгоритма на-
хождения очередного приближения жп+1 по уже имеющимся жп, ...,тп_д..
Широко используемые способы отделения корней — графический и таб-
личный — базируются на свойствах гладкости функции; в случае, когда
/(ж) является алгебраическим полиномом степени п, существуют анали-
тические подходы.
Если /(ж)—непрерывная, то вещественный корень z принадлежит
любому отрезку, на концах которого эта функция имеет значения разных
знаков. Деля отрезок пополам, получаем универсальный метод вычисле-
ния корня (метод бисекции). Этот подход не требует знания хорошего
начального приближения. Если оно имеется, то для гладких функций
используют более эффективные методы.
Пусть отыскивается единственный на отрезке [а, Ь\ корень z уравнения
f(x) = 0 в предположении непрерывности функции f(x). Если в его
окрестности функция представляется в виде /(ж) = (ж — г)рд(ж), где р —
натуральное число, а д(х)—ограниченная функция такая, что g(z) О,
то число р называют кратностью корня. Если р = 1, то корень назы-
вают простым. При нечетном р функция /(ж) меняет знак на [а, 6], т. е.
/(а)/(6) < 0, а при четном р — нет.
Итерационный метод решения порождает последовательность при-
ближений жп, которая сходится к корню: lim \хп — z =0. Величину
п—>оо
еп = хп — z называют абсолютной ошибкой на п-й итерации. Итера-
ционный метод имеет порядок т (или скорость сходимости т), если
т — наибольшее положительное число, для которого существует такая
конечная постоянная q > 0, что
lim sup q < ос.
п—еп
Постоянную q называют константой асимптотической ошибки, ее обыч-
но оценивают через производные функции f(x) в точке ж = z. При
т = 1 (q 6 (0,1)) сходимость называют линейной (иногда говорят, что
в этом случае метод сходится со скоростью геометрической прогрессии,
знаменатель которой д), при 1 < т < 2— сверх линейной, при т = 2-
квадратичной и т. д. Из сходимости с порядком т > 1 следует оценка
п
еп+1 Япвт Qn —> 0 при п —> оо. При этом en+i С ео П Qi' Иногда скорость
г=0
сходимости может замедляться при приближении к искомому решению,
что соответствует^ —> 1, но еп —> 0 при п —> оо. Таким свойством облада-
ют методы с полиномиальной скоростью сходимости еп ео^+апе^)-1^1.
208
Глава 6. Решение нелинейных уравнений
Данная оценка верна, например, если en+i (1 — ае!п)еп с некоторыми
1 и 0 < а е0{. Для методов с полиномиальной скоростью сходимости
число итераций п, необходимое для достижения ошибки порядка е имеет
асимптотику п « е-г, что существенно ограничивает их применение для
расчетов с высокой точностью.
Особое внимание в теории решения нелинейных уравнений уделяет-
ся методам со сверхлинейной скоростью сходимости. При практических
расчетах традиционно применяют методы с квадратичной сходимостью,
так как итерационные процессы более высокого порядка (т > 2) обычно
требуют серьезного увеличения вычислительных затрат.
6-1. Метод простой итерации
и смежные вопросы
Исходное уравнение f(x) = 0 часто заменяют эквивалентным ему уравне-
нием х — <р(х). Эту замену можно сделать, положив, например,
<р(х) = х + ^(x)f(x),
где ij)(x) — произвольная непрерывная знакопостоянная функция.
Метод простой итерации. Выберем некоторое начальное приближение
xq € [а, 6] к корню г, дальнейшие приближения будем вычислять по
формуле
п 0,1,2, ... .
Известно, что последовательность хп сходится к z, если отображение
у = <р(х) является сжимающим (сжимающим экспоненциально), т. е. при
некотором 0 q < 1 выполнено условие
p(<p(xi),<p(x2)) ^qp(x!,x2),
либо слабо сжимающим (сжимающим полиномиально), т. е. при некото-
рых а > О, I 1 выполнено условие
рЫх1)Мх2У) < --------.
(1 + ар (а?1, а?2))1/4
Здесь p{xi,X2) — расстояние между точками xi и Т2- Сходимость после-
довательности хп гарантируется, если оценка сжатия выполняется либо
для всех точек ху2 £ либо для точек ху2 £ [а, Ь] при условии, что
<р(х) € [а, 6], \/х € [а, 6].
Метод секущих. Пусть хп-1 и ^—последовательные приближения
к корню. Заменим кривую у = f(x) прямой, проходящей через точки
(жп-ь/(жп-1)) и (хп, f(xn)). В качестве следующего приближения к кор-
ню возьмем точку пересечения этой прямой с осью абсцисс. Расчетная
формула принимает вид
Хп+1 —
Хп ~ Хп—1
f(xn) ~ f(xn_i)
6.1. Метод простой итерации и смежные вопросы
209
Метод хорд. Пусть f(a)f(b) < 0. Идея метода (его еще называют ме-
тодом ложного положения} состоит в замене кривой у = f(x) хордами,
проходящими через концы отрезков, в которых /(ж) имеет противополож-
ные знаки. Метод хорд требует, чтобы один конец отрезка, на котором
ищется корень, был неподвижен. В качестве неподвижного конца жо вы-
бирают конец отрезка, для которого знак f (ж) совпадает со знаком второй
производной f"(x). Расчетная формула имеет вид
^П+1—
/(х„)-/(®0) Д nJ'
Метод парабол. Пустьхп-2->^n-i и хп — три последовательных прибли-
жения к корню. Заменим кривую у = f(x) параболой, проходящей через
точки (жп-2>/(жп-2)), (xn-i,f(zn-i)) И (жп,/(жп)). В качестве следующе-
го приближения к корню возьмем ближайшую к хп точку пересечения
параболы с осью абсцисс. Этот подход исключительно эффективен для
нахождения корней многочлена как с действительными, так и с комплекс-
ными коэффициентами.
При нахождении кратных корней (р > 1) для большинства алгоритмов
характерно замедление скорости сходимости.
Методы решения систем нелинейных уравнений. Рассмотрим
некоторые из этих методов. Будем считать, что заданная система
fi(x\x2,...,xm) = О,
= 0,
. /т(ж\ж2
хт) = 0
записывается в операторной форме как F(x) = 0, х = (ж1, ...,жт)т. Тогда
для решения задачи можно пытаться построить некоторое сжимающее
отображение G(x) и применить метод простой итерации xn+i = G(xn).
В многомерном случае также возможна следующая модификация метода:
*^п+1 (ЖП> *^п ) >
*п+1
'п+1 — •••> хп+1 ’ Я™)-
Оператор G(x) можно взять, например, в виде G(x) = х — tF(x), т —
параметр. Это соответствует обобщению метода простой итерации для
систем линейных уравнений *n+1—— + F(xn) = 0 на случай нелинейных
задач.
Если из функции F удается выделить некоторую главную линейную
часть, т. е. получить представление F(x) = Вх + Н(х), то можно исполь-
зовать метод Пикара Bxn+i + Н(хп) = 0 или его модификацию
В Хп+1 Хп + F/x X = 0
210
Глава 6. Решение нелинейных уравнений
Обобщением метода Гаусса—Зейделя и метода Якоби на нелинейный
случай является метод покоординатного спуска: компоненты очередного
приближения xn+i определяются при решении одномерных нелинейных
уравнений следующих систем соответственно:
/1(^п + Г * 5
^п+Ъ • • • 5
/т(Жп+1,^+1,...,Ж™+1) = О,
/1 (^п+1 ’
^n+l’ *
• ,^) = 0,
=0,
' /,т1 ут— 1 ут \ __________
• • • 5 , ^n+l)
Иногда нахождение корней системы уравнений удобно свести
к нахождению минимума некоторого функционала Ф(х), например
Ф(х) = ||F(x)||2. Напомним, что таким же образом строились методы
решения линейных систем. Для минимизации Ф(х) можно рассмотреть
следующий нестационарный процесс, который называют методом уста-
новления: ,
^•x(t) + §гааФ(х(^)) = 0.
При grad Ф(х) 0 имеем
1ф(х)= (gradO(x),f
grad Ф(х), grad Ф(х
<0,
т. е. вдоль траектории x(t) значение Ф(х) не возрастает.
Другой возможный нестационарный процесс, решение которого также
устанавливается в точке минимума, имеет вид
+ 7 + grad$(x) = 0, 7 > о.
В данном случае вдоль траектории не возрастает значение функционала
| 0 + При численной реализации операторы производных
заменяют соответствующими разностными аналогами.
6.1. Пусть уравнение /(ж) = х — <р(х) — 0 имеет корень г, для его
вычисления применяется метод простой итерации 2n+i = функ-
ция <р(х) имеет непрерывную производную в открытой окрестности z
и |<//(z)| q < 1. Доказать, что метод сходится к z при выборе начального
приближения xq из некоторой окрестности корня.
О Функция <р'(х) непрерывна и |<р'Сг)| < 1, следовательно, |<р'(о:)| < 1
в некоторой окрестности Qs = [z — д. z + 5]. Возьмем произвольную точку
xq £ Qs- По теореме Лагранжа имеем = <p(z) + ^(0(^0 — z), где
точка $ € Qy Так как z — ¥>(z), то — z\ — ~ z)\ < |хо — z\,
т. е. функция (р отображает отрезок в себя. Далее, так как
Жп+1 - Z = р(хп} - 4>(z), п = 0,1,2, ... ,
то по теореме Лагранжа для каждого п существует такое £п, что
^n+l - Z = (хп - z}
6.1. Метод простой итерации и смежные вопросы
211
Последовательно применяя указанную теорему, получаем
«^п+1 Z (Я'П Р (Сп) (*^п—1 (Сп)^ (Сп—1) •
... = (х0 - z) </(fn)</(fn-l) • •♦</(£()),
где •• • ,Со £ Qd> Так как |</(£,)| g, i = 0,1,2, ... п, то
kn+i - z\ |ж0 - z\qn+1.
При q < 1 правая часть этого неравенства стремится к нулю, т. е. после-
довательность Хп сходится к корню Z. [>
6.2. Дополнительно к условиям 6.1 потребуем p'(z) — 0, непрерывность
и ограниченность р”(х). Доказать, что для метода хп+1 — р(хп) в окрест-
ности корня z верна квадратичная оценка сходимости
1^ ^n+l| C^Z Хп} •
О Оценим (см. решение 6.1) скорость сходимости метода для хп €
xn+l ~ Z = р (хп) - Р U) - p(z + (хп - z)) - р (z) =
= p(z) + (хп - z)p'(z) + | (хп - z)2 р"(^п) ~ P(z) =
(Хп - z)2 , е [хп, z].
6.3. Пусть на некотором отрезке Q$ — [a — 5, a + функция р(х)
удовлетворяет условию Липшица |<Хж/) ~ У’(ж,,)| Я.\х — х((\ с константой
q < 1 и в точке а выполняется неравенство |а — p(a) | < (1 — q)$- Показать,
что на отрезке Q$ уравнение f(x) = х — р(х) = 0 имеет единственный
корень z и последовательность хп = р(хп-1) сходится к корню z для
произвольного xq G Q$.
О Пусть xq G т. е. |а — хо| Тогда
|</?(гсо) - а| = М^о) - р(о} + р(а) - а\
|<£>(гго) - <Ха)1 + \р(а) - а| д|жо - а\ + (1 - q)6 6,
Таким образом, функция р(х) отображает Q$ в себя и является, по
условию Липшица, сжимающей с константой q. Применяя принцип сжи-
мающих отображений, завершаем решение. [>
6.4. Пусть функция f\y) непрерывна и
f(xn)
f'(y)
г для всех
у € [хп — £,хп + е]. Доказать, что для некоторого z € [хп — жп + £]
справедливо равенство f(z) = 0.
О По теореме Лагранжа имеем f(xn + *0 = /(жп) + /7?/)^ отсюда следует
f(xn +1) _ Л^п) Выражение в правой части равенства неотрицательно
f (з/) / (у)
при t = ё и неположительно при t = — ё. Из условия следует, что
212
Глава 6. Решение нелинейных уравнений
производная функции не меняет знака при t G [—г, г], поэтому приходим
к выводу, что если оба значения f(xn — е) и f(xn + г) отличны от нуля, то
они имеют разные знаки.
Установленный факт лежит в основе точки зрения, согласно которой
в качестве критерия остановки итерационного метода для нахождения
простых корней условие
|/(ж„)| е.
f'M
£ предпочтительнее, чем условие
6.5. Пусть уравнение f(x) = 0 имеет корень на отрезке [а, 6], причем
функция f(x) дифференцируема, а производная f'(x) знакопостоянна на
этом отрезке. Построить равносильное уравнение вида х = <р(х), для
которого на [а, Ь] выполнено условие |</?,(ж)| q < 1.
О Для определенности будем считать, что ff(x) > 0- Пусть
О < т f'(x) М. Заменим исходное уравнение f(x) = 0 равносильным
х = <р(х) = х- Xf(x), Л > 0.
Подберем параметр Л так, чтобы на [а, Ь] выполнялось неравенство
0 <pf(x) = 1 - Xf'(x) С q < 1.
При А = -у получаем q = 1 — < 1.
Ivl
6.6. Построить итерационный процесс вычисления всех корней уравнения
f(x) = т3 + Зт2 — 1=0 методом простой итерации.
О Табличным способом выделим отрезки, на концах которых функ-
ция f(x) имеет разные знаки:
X -3 -2 -1 0 1 2 3
sign/(к) — + + — + + +
Таким образом, корни исходного уравнения лежат на отрезках
[—3, —2], [ — 1, 0], [0, 1 ], для каждого из которых построим свой итераци-
онный процесс.
Так как на [—3, —2] имеем х 0, то исходное уравнение можно
разделить на х2. В результате получаем равносильное уравнение
х = ^), ¥>(*) = ^2 - 3.
Итерационный процесс для нахождения первого корня: xn+i — — 3.
Сходимость имеет место для всех начальных приближений xq из этого
отрезка, так как для х G [—3, —2] имеет место оценка
k'w I =
2
<р(х) 6 [-3, -2].
Для двух других отрезков исходное уравнение представим следующим
образом гс2 (гс + 3) — 1 = 0, при этом х + 3 0. Если х§ € [—1,0], то
6.1. Метод простой итерации и смежные вопросы
213
определим итерационный процесс в виде xn+i = — 1 ; если xq € [0,1],
уЖп + 3
то в виде xn+i = + j1 • Можно показать, что в процессе итераций соот-
ветствующие отрезки отображаются в себя, поэтому (см. 6.1) сходимость
построенных итерационных процессов следует из оценки
I I = I
1
\/ж + 3^
з
6.7. Определить область начальных приближений для которых ите-
4- 1
рационный процесс жп+1 = +Т сходится.
<| Решаем уравнение ж3 — 20х +1=0, имеющее три различных веще-
ственных корня: z\ < Z2 < Z3‘ В зависимости от выбора начального
приближения хо итерационный процесс либо расходится, либо сойдется
к одному из корней z^ i = 1, 2, 3.
Запишем формулу итерационного процесса в виде
_ ж£ — 20жп + 1
3/71 + 1 Хп 2Q 5
или, что тоже самое, — в эквивалентной форме:
_ _ (жп - ^1)(жп - г2)(жп - г3)
3/7l + l ПЛ
Отсюда имеем, что при хп < ^1 справедливо xn+i — хп < 0, и последова-
тельность хп монотонно убывает. Это означает расходимость итерацион-
ного процесса при xq < zi, так как хп < xq < Zi, i = l. 2,3. Аналогично
показывается, что при гз < xq выполняются неравенства zi < хп < ^n+i,
и метод расходится.
Точки xq = ^i, xq = Z2 и xq = Z3 являются неподвижными, а отображе-
Ж3 + 1 za
ние Яп+i = -Цттг— монотонно. Отсюда следует, что для zi < xq < z2 имеем
zi < хп < Хп+1 < ^2- Таким образом, последовательность хп монотонно
возрастает и ограничена сверху, следовательно, итерационный процесс
сходится к точке г2. Аналогично доказывается, что для г2 < xq < гз
имеем Z2 < xn+i < хп < Z3, т. е. метод сходится к точке г2. [>
6.8. Оценить скорость сходимости итерационного процесса ^n+i =
= хп — х^ + х^ к корню z = 0 при малых xq.
6.9. Пусть z —простой корень уравнения /(ж) = 0. Оценить скорость
сходимости метода хорд в его окрестности.
О Представим сходящийся метод хорд как частный случай метода про-
стой итерации:
X = <Дх),
/(xW(xo) {х-хо)-
214
Глава 6. Решение нелинейных уравнений
Вблизи простого корня z уравнения /(ж) = 0 имеем
*n+l -« = (*„- z)/(z) + | (rn - :)’/((), € €
где
'₽,^ = 1 + йГ2 1-^ =
Л*) - f{z\z - Xq) + (z - Xq)2 + f'(z)(z - Xq)
_ (г-*0)2 ГМ _ (г-*о)2 f"M
2 Л^о) 2 f(z) + /'(£)(z - хо)
С 6 [ж0,2].
Если начальное приближение xq взять в окрестности корня, для которой
справедливо |<//(z) Q < Л то, учитывая 6.1, приходим к выводу, что
метод хорд для х^ из достаточно малой окрестности [z — 5, z + 5] имеет
линейную скорость сходимости. [>
6.10. Пусть z—простой корень уравнения /(ж) = 0. Оценить скорость
сходимости метода секущих в его окрестности.
О Преобразуем расчетную формулу метода секущих
*Efl+l -Тп
Хп —Хп-х
f(xn) f(xn_
к виду
((дъ - z) - (Jn-I - г))Л^ 4- (гп - z))
Разложим f[z + (тп — г)) и f{z + (тп-1 — г)) в ряды Тейлора в точке z
и подставим в последнюю формул)’. учитывая, что f(z) =0. Имеем
Опустив члены более высокого порядка малости, для ошибки получаем
уравнение
1 f"( 1
Жп+1 - Z=C(Xn- z) (Жп-J - z), С = , /'(z) / 0.
6.1. Метод простой итерации и смежные вопросы
215
Предположим, что скорость сходимости определяется соотношением
жп+1 — z = А (хп — z)m, в котором значения А и т пока неизвестны. Тогда
хп - z = А (жп-1 - z)m, откуда хп-\ - z = А~^т (хп - z)1'/m. Подставим
эти соотношения в уравнение для ошибки
А(хп - z)m = С (хп - z) A-1/m (хп - z)1/m.
Приравнивая степени и коэффициенты многочленов, получаем два урав-
нения с двумя неизвестными
т = 1 + —, 1 — С А~(1+^.
Из первого уравнения находим показатель скорости сходимости мето-
да секущих т = 0,5(1 + л/5) « 1,618. При этом константа А равна
1
(1 & m Г>
6.11. Доказать, что все корни уравнения
f (#) == 0>пХП + Cln — iXn 1 + . . . + CLiX + ао = 0
Iciol
расположены в кольце ।
K-1|}? b = тах{ ах ,|а2|,---, ап }•
<1 Для корней \z >1 имеем
Н 1 + с , где с = max{|ao|, |«1 Ь
|ttn|
„л—1
J__ < с Н
|г-1 |ап| |г| - 1
откуда z — 1 — и z 1 + .
Лг. | |«п
Если теперь |ао| > 0, то все корни уравнения отличны от нуля. Делая
замену u = приходим к уравнению aoun + aizzn-1 + ... + ап 0. Из
предыдущей оценки следует |u| 1 + , Ц, или
Ъ
Ы
b 4- |ао| ’
6.12. Доказать, что если при х — а имеют место неравенства
/(а) > 0 , f'(а) > 0 ,... , f^n\a) > 0 , то уравнение
/(ж) = апхп + ап-1^п 1 + • • • + ахх + ао = 0
не имеет действительных корней, больших а.
Указание. Использовать формулу Тейлора для многочлена f(x) степе-
ни ц п
/(ж) = /(а) + 52 п - а)к-
fc=l
216
Глава 6. Решение нелинейных уравнений
6.13. Найти границы действительных корней уравнения
л4 - 35 л3 + 380ж2 - 1350 л + 1000 = 0.
Указание. Применяя 6.12, получить, что положительные корни распо-
ложены на [0,74,22], а отрицательных корней нет.
6.14. Пусть Хп+1 = \/хп + 2. Доказать, что lim хп — 2 для любого
п—>оо
х0 -2.
О Пусть ц>(х) — у/х + 2 и xq —2. Так как (р(хо) 0, то сходимость
метода достаточно доказать для xq 0. Рассмотрим отрезок Q = [0,2+яо] ♦
Несложно проверить, что xq € Q и <р(хп) € Q, < 1 Vt, хп € Q.
Следовательно, приближения жп+1 = (р(хп) сходятся к х = 2 —единствен-
ной неподвижной точке отображения <р(х). О
6.15. Доказать, что итерационный процесс rrn+i = cosa;n сходится для
любого начального приближения xq € R1.
О При любом xq 6 R1 имеем х-[ 6 [—1,1]. Для этого отрезка выполнены
условия сходимости метода простой итерации xn+i — cosxn- D>
6.16. Исследовать сходимость метода простой итерации яп+1 =
= ^Хп + 2 в зависимости от выбора начального приближения xq.
О Уравнение х = х2 — 2ж + 2 имеет два корня z\ = 1 и Z2 = 2. Пусть
ф(х) — х2 — 2х + 2, тогда при хе (ту, Я ) имеем <р(х) е ( 4, , |<//(я) | < 1.
Поэтому при xq е (1, Я ) приближения сходятся к z^. Дальнейший анализ
проводим аналогично решению 6.7, используя, в частности, эквивалент-
ную запись итерационного метода в виде rrn+i — хп — (хп — 2){хп ~ !)♦ D>
Ответ: метод сходится к z\ — 1 при xq € (0,2). Если xq — 0 или xq — 2,
то метод сходится к Z2 = 2. Для остальных начальных приближений метод
расходится.
6.17. Для уравнения х = 2Ж-1, имеющего два корня zi = 1 и Z2 = 2,
рассмотрим метод простой итерации. Исследовать его сходимость в зави-
симости от выбора начального приближения xq.
О Пусть ф(х) — 2Ж-1, тогда < 1 при х е (—сю, ж*), где х* е (1,2) —
решение уравнения 2®-1 In 2 = 1. Функция <р(х) отображает промежуток
(—сю, ж*) в себя. Таким образом, при xq е (—сю,х*) метод сходится к z — 1.
При xq < 2 приближения хп монотонно убывают и при некотором п
попадают в (—оо,ж*) (ср. с решением 6.14), поэтому сходятся к z = 1.
При xq > 2 приближения стремятся к сю. [>
6.1. Метод простой итерации и смежные вопросы
217
6.18. Доказать, что метод простой итерации для решения уравнения
х — <р(х) сходится при любом начальном приближении:
1) ip(x) = a sin2 х + 0 cos2 x + 7
2) Дх)=ае-Ьх2 +c,
где |a — 0| <1;
где b 0 , 2a2b < e.
Указание. 2) Найти максимальное значение |<//(а>)|, ip(x) = ае bx + с,
и убедиться, что оно при указанных условиях меньше 1.
6.19. Уравнение х + In х = 0, имеющее корень z « 0.6, предлагается ре-
шать одним из следующих методов простой итерации: 1) хп+1 = — 1пхп;
2) Хп+1 = е Хп ; 3) xn+i = Хп +2е—4) xn+i = jrCn +g5e—Исследо-
вать сходимость этих методов и сравнить их скорости.
6.20. Пусть функция ф'(х) непрерывна на отрезке [z — 5, z + 5], где
z — единственная неподвижная точка для <р(х). Может ли метод простой
итерации сходиться к z, если = 1? Может ли он расходиться в этом
случае?
Указание. Рассмотреть два примера. 1) <р(х) — sinz, z — 0, |<р'(з)| — 1,
метод сходится с любого начального приближения. 2) <р(х) — т2 + т, z — 0,
|<p'(£)| = 1, метод расходится, если xq > 0.
6.21. Показать, что для всякого а существует единственное решение
е) уравнения х + £ sin х + а — 0 при |е| 1.
<] Воспользовавшись заменой у — х + а, преобразуем уравнение к виду
у + £ sin(y — а) = 0 и обозначим <р(у) = —£ sin(y — а). Функция <р(у)
отображает множество R1 в отрезок Qe — [— |е|,|е|], поэтому можно
считать, что у € Qe. При |е| <1 имеем |<£'(?/) |s| < 1, поэтому <р(у)
является сжимающим отображением на отрезке следовательно, имеет
единственную неподвижную точку у* — z(a,s).
Пусть теперь |s| — 1. Тогда для произвольных yi, у2 имеем
2/2
<р(г/2> - = J <p'{t)dt =
2/1
J* cos(t — a)dt.
Так как у\,у2 € Q£, то cos(t — а) может обратиться в единицу лишь
в конечном числе точек, поэтому
2/2
J cos(t - a)dt ^q\y2- yi |, q
2/1
Таким образом, |<p(y2) — <р(з/1)| < q|*/2 — 3/i |, t- e- 4>(у) задает сжимающее
отображение, поэтому имеет единственную неподвижную точку. [>
6.22. Найти область сходимости метода простой итерации для следующих
уравнений: 1)х — е2ж — 1; 2)х — — In х; 3)х = tgz.
218
Глава 6. Решение нелинейных уравнений
6.23. Записать расчетные формулы метода парабол и найти корни урав-
нения 2х + 1gж = —0,5 с точностью 10-2.
6.24. Пусть z—р-кратный корень уравнения f(x) = 0. Оценить скорость
сходимости метода секущих в его окрестности.
6.25. Пусть отображение : Rn -4 Rn имеет единственную неподвижную
точку z = <p(z) и непрерывно дифференцируемо в некоторой ее окрестно-
сти.
1) Доказать, что если все собственные значения его якобиана <pf (х)
в точке z по модулю больше 1, то метод простой итерации не сходится.
2) Известно, что хотя бы одно собственное значение якобиана <p'(z) по
модулю больше 1. Можно ли утверждать, что для всех приближений xq,
достаточно близких к z, верна оценка ||z — <р(хо)|| < ||z — хо |?
<] 1) Введем обозначение: А = cp'(z). Собственные значения матрицы А
больше единицы по модулю, поэтому существует А-1 со спектральным
радиусом р(А-1) < 1. Известно (см. 5.41), что для любого е > 0 найдется
норма • * такая, что Л-1 * р(А-1)+б, следовательно, А-1 * = q < 1
при достаточно малом е
(А + В)-1 и ЩА + В)-1
IIU + B)-1!!. = 91<1.
I, если ||В * = a < то существует
. При достаточно малом а получаем
0. Далее, если В
1 — aq
Пусть теперь U(z) — такая окрестность z, что </(х) ~ I* < a
для х € U(z). Допустим, что начальное приближение х0 € £/(z), метод
сходится и все хп € Щг). Тогда для погрешности en = xn — z имеем
еп+! = <р'(у)еп, у € t7(z), поэтому для любого п справедливо равенство
с„ = (А + (/(у) - y?'(z))) ‘еп+1,
откуда следует, что
41 ||е«+1 1•
Поэтому ео| * qf еп т. е. в пределе получаем во * = 0, что проти-
воречит произвольности выбора начального приближения из окрестности
B(z).
2) Приведенная в условии оценка неверна, что следует из разложения
функции z в ряд Тейлора в точке xq = z + ед:
z - 9?(х0) = </?(z) - (£>(хо) = <p'(z)e0 + о(| е0 |),
где ео имеет достаточно малую норму и пропорционален собственному
вектору, отвечающему собственному значению, которое по модулю больше
единицы. [>
6.2. Метод Ньютона. Итерации высшего порядка
219
6.2. Метод Ньютона.
Итерации высшего порядка
Метод Ньютона. В случае одного уравнения формула метода Ньютона
имеет вид .. .
_ ДЖп)
^п + 1 — ХП £f f X •
f Ы
Метод состоит в замене дуги кривой у = /(х) касательной к ней в процессе
каждой итерации. Это видно из уравнения касательной, проведенной
в точке (жп,/(яп)):
У - f(xn) = f'(xn)(x - Xn),
из которого следует формула итерационного процесса, если положить
у = 0 и X = ГСп+1-
Метод Ньютона соответствует методу простой итерации
Хп+^~ Хп + f(xn) = 0 с оптимальным, в некотором смысле, переменным
параметром тп. Действительно, пусть г — изолированный простой (т.е.
f'(z) 7^ 0) корень, пусть также z и все хп принадлежат некоторому
отрезку [а, 6]. Тогда
Z — ЖП4-1 — Z — Хп + Tnf(xn) — Tnf(z) — (1 — 7n/,(Cn))(^ — Хп)->
следовательно, при тп — метод сходится за одну итерацию. Точка
J (Сп)
неизвестна, поэтому на текущем шаге выбираем тп = , при этом
/ (хп)
верна оценка ,
\z — Zn+i| max |1 —тп/ (£) z —^n|-
CGM
Рассмотрим случай системы m нелинейных уравнений
F(x) = 0,
где х = (ж1,...,xm)T, F = (/i,..., fm)T- Будем предполагать отоб-
ражение F : Rm —> Rm непрерывно дифференцируемым в некоторой
окрестности решения z, так что
F'(x) =
д/г
дх3
1 ij т.
В предположении обратимости этого оператора метод Ньютона можно
записать в виде
Xn+1 = Xn - (F'(Xn)) F(Xn).
Введем обозначение: = (х : ||х — z|| < а}, где || • || — норма в Rm. Пусть
при некоторых а, си, аг • 0 < а, 0 < а^аг < оо, выполнены следующие
условия:
ll(F'(x))-1y|| ai||y|| при хеПа и Vy;
2) ||F(ui) — Г(иг) — F'(u2)(ui — u2)|| агЦш — U2II2 при tn,u2 €
Обозначим также с = aia2, b = min (a, c-1).
220
Глава 6. Решение нелинейных уравнений
Теорема. При условиях 1, 2 и хо € Q& метод Ньютона сходится
с оценкой погрешности
||х„ — z|| < с 1 (с||хо - z||)2 ,
т. е. квадратично.
Условия теоремы гарантируют, что корень z простой. В случае дву-
кратного корня (р = 2) метод Ньютона сходится линейно; скорость сходи-
мости замедляется при повышении кратности.
Интерполяционные методы построения итераций высшего по-
рядка. Пусть жп,жп_т+1 — набор из т приближений к корню z функ-
ции /(ж). Тогда в качестве очередного приближения xn+i целесообразно
выбрать ближайший к хп нуль интерполяционного многочлена
построенного по узлам жп, ...,жп_т+1. Это требует нахождения корней
многочлена Lm(x}. Как следствие, широкое применение имеют только
алгоритмы при т = 2, 3, т. е. метод секущих и метод парабол.
Чтобы избежать проблем, связанных с решением алгебраического
уравнения Lm(x) — 0, естественно интерполировать обратную к у = f(x)
функцию х = F(y) по узлам уп-г = f(xn-i\ г — 0, ...,m — 1, и в качестве
очередного приближения взять значение полученного интерполяционного
многочлена в нуле. Линейная обратная интерполяция (т = 2) соответству-
ет методу секущих, но уже при т = 3 прямая и обратная интерполяция
приводят к различным алгоритмам.
Метод Чебышёва. Пусть z — простой корень уравнения f(x) = О
и F(y) —обратная к f(x) функция. Тогда х = F(f(x)) и z = F(0).
Разложим F(0) в ряд Тейлора в окрестности некоторой точки у
F(0) = F(t/) + £ F<k4y) + ... .
fc=l
Приблизим значение F(0) значением частичной суммы в точке у = f(x)
пт» f -Р( \\^
z = F(0) « рт(х) = х + £(-l)fcF«(/(z)) ,
/с = 1
что соответствует замене функции F многочленом <рт, производные ко-
торого совпадают с соответствующими производными F в точке у = f(x).
Итерационный метод вида хп+1 = <рт(жп) имеет порядок сходимости т+1.
д2-процесс Эйткена. Вычислим по имеющемуся приближению хп значе-
ния xn+i = <р(хп) и Хп+2 = ^(^n+i). Так как в малой окрестности простого
корня z имеются представления
хп+1 - z » <p\z)(xn - z), Хп+2 ~ z ж <p'(z)(xn+i - z),
6.2. Метод Ньютона. Итерации высшего порядка
221
то из данных соотношений получаем
Xn-j-2 Тп-\-1 3?п+2 ф (2)жп+1 #п+2#п ^п+1
Тп+1 ~ Хп * 1 — cpf(z} Тп+2 ~ 2жп+1 Н~ Хп
Таким образом, за следующее после хп приближение разумно принять
д,п^(У(д?п)) — ^(л?»)^?(Хп) / / у. _ ~
— 2^(ln) + .If» * 11 p(p(xn)) “ 2^?(Xn ) + In
Известно, что если процесс xn+i = <p(xn) имел линейную скорость сходи-
мости, то данная модификация имеет скорость сходимости более высокого
порядка, но возможно, только сверхлинейную. Применение рассмотренной
модификации, например, к квадратично сходящейся последовательности
формально не приводит к повышению порядка сходимости. Данное пре-
образование является частным случаем (при <pi = <Р2 = <р) метода Стеф-
фенсона—Хаусхолдера—Островского построения итерационной функции
(рз более высокого порядка по известным (pi и (р2'
Рз(х) =
Хф1 (<Р2 W) - <Р1(х)ф2(х)
X - Ф1(х) - Ф2(х) + Р1 (<£>2<ж)) *
6.26. Построить итерационный метод Ньютона для вычисления {/а,
a > 0, где р — положительное вещественное число.
О Значение {/а является корнем уравнения
f(x) ~ хр — a = 0.
Для этого уравнения метод Ньютона имеет вид
^п + 1 — Хп
f(xn) _T_x?l-a_p-l a
7м n р^-1 " р " р^-1'
Для р = 2 получаем а?п+1 —
хп +
6.27. Пусть уравнение f(x) = 0 имеет на отрезке [а, 6] простой корень,
причем f(x) — трижды непрерывно дифференцируемая функция. Пока-
зать, что при этих условиях метод Ньютона имеет квадратичную скорость
сходимости.
f(x )
О Метод Ньютона имеет вид xn+i = xn — п\. Обозначим через z
J W
искомый корень. Тогда z — корень уравнения х = (р{х), (р(х) = х — А .
/ ( j :
Таким образом, можно рассматривать метод Ньютона как частный случай
метода простой итерации, для которого
^'(^) =
Ж) Ла)
(Г(ж))2
следовательно,
<p'(z) = 0.
222
Глава 6. Решение нелинейных уравнений
Согласно 6.1, найдется такая окрестность корня Qs, что <p(Qs) С Q§. Оце-
ним скорость сходимости метода Ньютона, используя разложение в ряд
Тейлора в окрестности точки z
®п+1 -z = <p {хп} - (г) = i (хп - г)2 р"(£), С G [тп, г].
Итак, вблизи корня метод Ньютона имеет квадратичную скорость сходи-
мости. Г>
6.28. Пусть уравнение f(x) = 0 имеет на отрезке [а, 6] корень z кратности
р, причем f(x) — дважды непрерывно дифференцируемая функция.
Показать, что при этих условиях метод Ньютона сходится со скоростью
„ р- 1
геометрической прогрессии со знаменателем —.
<] Поступая так же, как и в случае простого корня 6.27, получим
^п+1 — z = (хп — z) <p'(z) + 0,5(^n — z)2(p"(£), где £ € [xn, z]. Однако
в случае р > 1 в выражении
9?'(ж) =
/(*)/"(*)
при х = z содержится неопределенность «нуль на нуль», так как z —
одновременно корень уравнения f'(x) = 0. Оценим
Функция f(x) в окрестности корня z кратности р ведет себя как
а (х — z)p + о(|ж — z|p), где a — ненулевая константа. Тогда в малой окрест-
ности корня
/(ж) f”(x) = a (х - z)p ap(p - 1) (х - z)P 2
2 2, _ .2р-2
Р- 1
Р
Отсюда следует, что чем выше кратность корня, тем медленнее сходи-
мость. Г>
6.29. Пусть уравнение f(x) = 0 имеет на отрезке [а, 6] корень z крат-
ности р, причем f(x) — дважды непрерывно дифференцируемая функция.
Построить модификацию метода Ньютона, имеющую квадратичную ско-
рость сходимости.
<] Требуемую модификацию будем искать в виде
•Рп+1 — Хп О!
/(Жп)
ГЫ
и подберем параметр а так, чтобы имела место квадратичная сходимость.
Рассмотрим данную модификацию как специальный случай метода про-
стой итерации хп+1 = Для которого выполнено z = <p(z), причем
6.2. Метод Ньютона. Итерации высшего порядка
223
вблизи корня
= 1 - а + а = г _ + + ц)
(/'(*)) р
,Д( А р-а
Ч> И =
Для обеспечения квадратичной сходимости параметр а надо подобрать
таким, чтобы <p'(z) — 0, что и выполняется при a — р. О
6.30. Построить метод Ньютона для вычисления значения а"1 так, чтобы
расчетные формулы не содержали операций деления. Определить область
сходимости метода при a > 0.
О Искомое число является корнем уравнения ~ — 1 =0. Для это-
го уравнения метод Ньютона имеет вид: xn+i = 2rrn — ax2n, или
^n+i = жп(2 — а Хп)
9
Если хо = 0 или хо = -, то сходимость к корню не имеет места, так как
О>
все хп равны нулю. Если Хо < 0, то сходимости также не будет, поскольку
все хп останутся отрицательными. Если взять Xq > то также все хп < 0.
Из вида итерационного процесса следует, если хп €
^П+1 £
если же хп G
а’а)’ ТО Хп+1 6
0,i j. Пусть хп е
Тогда из равенства rrn+i — хп = жп(1 — ахп) получаем, что xn+i > rrn, а из
условия Xn+i = хп(2 — ахп)ч что xn+i -• Так как итерационный процесс
О>
имеет две неподвижные точки 0 и i, то приближения сходятся к
Таким образом, сходимость к корню имеет место, если начальное при-
(2 \
0, -j. о
6.31. Пусть уравнение f(x) =0 имеет на отрезке [а, Ь] корень z неизвест-
ной кратности р > 1, причем f(x) — трижды непрерывно дифференцируе-
мая функция. Построить модификацию метода Ньютона с квадратичной
скоростью сходимости и предложить способ численной оценки величины
кратности корня.
О Для уравнения g(x) = = 0 корень г —простой, следовательно,
f W
для уравнения д(х) — 0 метод Ньютона выглядит так:
„ л - г _ 9&п) __________________f(xn)ff(xn)
Л'П + А — ! / \ , о
«Ы (/'(ж„))
и имеет квадратичный порядок сходимости.
224
Глава 6. Решение нелинейных уравнений
В окрестности z функция /(ж) « а(х — z)p, поэтому
=1(Д_г).
v } / (ж) ар^-г)^-1 Р
Из двух соседних итераций для х\ и х% имеем систему приближенных
уравнений
д(х}) ss - (xj - д(хъ) - (zj - 2).
Р Р 4
Отсюда получаем оценку для кратности р корня z:
Р
Такой способ оценивания р можно применять на каждой итерации.
6.32. Для решения уравнения х3 — х =0 применяют метод Ньютона. При
каком начальном приближении он сходится и к какому корню?
Ответ: обозначим области сходимости метода Ньютона
Яп+1 = <р{х) =
к корням z = — 1,0, +1 через X-, Xq, %+ соответственно. Кроме того, определим
последовательности точек {я для п 0 следующими условиями:
Тг- Xq i p-,
V О
для элементов которых справедливы неравенства
4. = хо < Х1 < х2 < • • < —U < 0 < -7? < • • < х2 < Х1 < хо = 7=
Vo V5 V5 v«3
и существуют пределы
1ЙП Х2к = lim = - L. lilu J lit» 1 = Л-
к—>оо к—>00 Vu A»-к — OG V v
Тогда
оо
X- = (—ОО, Tq ) U [(®2fc-V Х2к) U (Ж2Al—1’ Ж2(А? — 1))] ’
к=1
оо
Х+ — (жо ?°о) U [(ж2(& — 1)’ Ж2А — 1) U (ж2/й7Ж2А—1
fc=l
Кроме того, если xq = х±, п 0, то метод не определен, а при xq • --
1
имеем Xi =
д/5
т. е. метод «зацикливается».
Таким образом, области сходимости к корням z = ±1 являются объединени-
ями перемежающихся открытых интервалов, разделенных точками зациклива-
ния метода.
6.2. Метод Ньютона. Итерации высшего порядка
225
6.33. Доказать, что если на отрезке [а, Ь] функция f'(x) не обращается
в нуль, функция f"(x) непрерывна и не меняет знака, кроме того, выпол-
нены условия
/(а)/(6)<0,
шах
/И
ГМ
ЛЬ)
Гт
Ь — a ,
то метод Ньютона для решения уравнения f(x) — 0 сходится при любом
Xq е [а, Ь].
6.34. Указать область сходимости метода решения уравнения х = 1, не
содержащего операций деления:
з>п+1 — (1 Т С) Хп о> С хп ,
в зависимости от параметра С 0.
6.35. Рассматривается метод Ньютона вычисления у а при 1 а 4, Xq
полагают равным значению многочлена наилучшего равномерного при-
ближения для \fa на [1,4]: xq — <2?(а) = • Доказать справедливость
оценки |т4 — у/a 0, 5 • 10~25.
6.36. Для нахождения а1/3 используют итерационный процесс
2
^п+1 — А хп + В + С -Ц- .
Тп Тп
Найти значения параметров А, В, С, обеспечивающие максимальный по-
рядок сходимости.
6.37. Записать формулы метода Чебышёва для функции /(ж) = хр — а.
О Обратная к / функция имеет вид F(y) — (а + у)Лр, а производные F
определяются формулой
Таким образом,
тп — 1 . fc — 1
(Ч^") П(!-М
fc = l ' j=0
В частности, <р2(ж) — (р — 1 + рг)* При р = 2 получаем формулу
Ньютона—Херона жп+1 = ФъМп) Для приближенного вычисления квад-
ратных корней.
?п—1
Если р = —1, то <рт(я) = х 52 (1 — ах)к. В этом случае итерационный
fc=0
процесс жп+1 = (ртп(хп) при 1 — ах <1 сходится к решению уравнения
х — = 0. Данный метод позволяет находить значение с произвольной
точностью, не используя операцию деления.
226
Глава 6. Решение нелинейных уравнений
6.38. Показать, что метод вычисления аг'р
х - ф(х ) ф(х) - х (р - ikp + (p + i)g
Яп+1 - <Р(Хп), <р{Х) X + + (р _ 1)Л
имеет третий порядок.
6.39. Определить порядок сходимости метода
„ _ т _ f(xn) _ f (^n)(/(^n))2
71+1 Хп /'Ы 2(/'(*п))3
Ответ: порядок сходимости т = 3.
6.40. Определить порядок сходимости модифицированного метода Ныо-
У(жп)
тона xn+i - хп~ .
/ (ад)
6.41. Определить порядок сходимости метода
„ _ Лжп) _ f (хп - (/'(®n))-1/(®n))
”+1 - Хп fl{xn} fl(xn}
Ответ: порядок сходимости т — 3.
6.42. Для нахождения простого нуля z функции /(ж) G используют
итерационный метод
•^п + 1 — 0. ({/п+1 * 1
где
Т 4- V п - Т - 9(Хп} п(1Л ~
/ (®n) 9 W / (r)
Доказать, что если метод сходится, то скорость сходимости — кубичная.
6.43. Для нахождения нуля z функции f(x) используют итерационный
метод
Хп+1 = ,9(Хп) • 9<У) = ж - .
Исследовать поведение функции д(х) в окрестности корня z.
6.44. Записать расчетную формулу метода Ньютона для системы урав-
нений:
. (sin(a; + у) - 1,3ж = 0,1, Jж10 + ?/10 = 1024,
I х2 + у2 = 1; (еж —е^ = 1.
6.45. Указать начальное приближение и оценить число итераций в ме-
тоде Ньютона, требующихся для достижения точности 10~3 при решении
системы уравнений
_ у1 _ 1,
ХУ^ ~ У = 4-
6.2. Метод Ньютона. Итерации высшего порядка
227
6.46. Проверить, что z = (1,1,1)т —одно из решений системы уравнений
F(x) = 0, где F : R3 -4 R3 имеет вид
F(x) =
tit3 + Т2Т3 — — 1
+ Т2 + - 3
^2^3 - 1
Сходится ли метод Ньютона к z при достаточно близких начальных
приближениях?
6.47. Для решения нелинейной краевой задачи
у” = f(x,y) при х е (О, X), 2/(0) = а, у(Х) = Ь
рассматривается система нелинейных алгебраических уравнений с Пара-
'У'
метром h =
——2Л* + 1 = f(xk, yk), fc = 1, 2,..., ДГ - 1, Уо = а, yN = b.
Здесь — приближения к значениям y(kh). Записать расчетные формулы
метода Ньютона для решения приведенной системы. Указать способ их
реализации: 1)/(т,?/) = т2 + у3; 2)/(т,?/) = у2 ехр(т); 3)f(x,y) = cost sin у.
Глава 7 —-
Элементы теории
разностных схем
На первых этапах практического решения обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений и уравнений в частных производных применялись методы,
в которых приближенное решение строилось в виде некоторой аналитиче-
ской формулы. В настоящее время наибольшее распространение получили
сеточные, вариационно- и проекционно-разностные методы, позволяющие
получать либо приближенные значения решения на некотором множестве
точек, либо приближенное разложение решения по некоторой системе
базисных функций.
В главе излагаются базовые понятия общей теории численного реше-
ния дифференциальных уравнений. Рассматриваются различные способы
перехода от дифференциальных задач к разностным и некоторые точные
алгоритмы решения полученных уравнений.
7.1. Основные определения
Постановки задач. Пусть в области D с границей Г задана дифферен-
циальная задача
Lu = f в D (7.1)
с граничным условием
lu = ip на Г. (7.2)
Здесь L и I — дифференциальные операторы; / и (р — заданные элементы,
« — искомый элемент некоторых линейных нормированных пространств
F, Ф и U соответственно.
Если одной из переменных является время i, то наиболее часто рас-
сматривают области вида
D(i, х) = d(x) х [i0, Т],
где t — время, х = (a?i,..., хп) — совокупность пространственных коорди-
нат. Это означает, что решение ищется в пространственной области d(x)
на отрезке времени [io, 71]. В этом случае условия, заданные при i = io,
называют начальными, а условия, заданные на границе Г(х) области
d(x), — граничными или краевыми.
Задачу только с начальными условиями называют задачей Коши. Зада-
чу с начальными и граничными условиями называют смешанной краевой
задачей.
Для решения дифференциальных задач часто используют разностный
метод.
Разностный метод. Для его применения определяют некоторую сет-
ку — конечное множество точек (узлов) Dh = принадлежащее
области D = £)|jr. Как правило, с Г. Будем рассматривать только
7.1. Основные определения
229
сетки, узлами которых являются все точки пересечения заданных наборов
параллельных прямых (плоскостей), причем по каждой переменной выби-
рается свой, как правило, постоянный шаг. Сетки по времени и простран-
ству обычно определяют независимо. Сеточный параметр h является,
в общем случае, вектором, компоненты которого состоят из шагов сетки
по каждой переменной. Для изучения свойств разностных схем вводится
понятие величины шага сетки, в качестве которого принимается какая-
либо сеточная норма вектора /г, например,
/ п \ 1/2
Halloo = max hi или Ц/1Ц2 = ( Vhj ,
1 /
где п — число независимых переменных в дифференциальной задаче. Что-
бы избежать новых и ненужных обозначений, в приводимых ниже оценках
под h понимается величина шага сетки.
Если X С Y и функция v определена на множестве У, то ее следом на
множестве X называют функцию, определенную на X и совпадающую там
с г». Если функция v определена на некотором множестве У, содержащем
У/i, то ее след на Yh будем обозначать (г»)^. Часто пространства F/i, Фн и Uh
определяют как пространства следов функций из F, Ф и U на Dh> и Dh
соответственно. При этом задаются согласованные нормы пространств,
т. е. для достаточно гладких функций v G U выполняется соотношение
lim || (v)h ||uh = Ik ||у •
h—>0
Все производные, входящие в уравнение и краевые условия, заменяют раз-
ностными аппроксимациями. При записи этих аппроксимаций в каждом
внутреннем узле сетки берут одно и то же количество соседних узлов,
образующих строго определенную конфигурацию, называемую шаблоном-
В результате дифференциальные операторы L и I заменяются разностны-
ми Lh и lh-
Для нахождения приближенного решения задачи (7.1), (7.2) определим
разностную схему — семейство разностных задач, зависящих от парамет-
ра h:
Lhuh = fh в Dh , (7.3)
lhUh = Vh на I\. (7.4)
Решение разностной схемы ик- называемое разностным, принимается
в качестве приближенного решения дифференциальной задачи.
Аппроксимация. Говорят, что разностная схема (7.3), (7.4) аппрокси-
мирует с порядком аппроксимации р = min(pi,p2) дифференциальную
задачу (7.1), (7.2), если для любых достаточно гладких функций и, f, из
соответствующих пространств существуют такие постоянные ci, pi, с^
и р2, что для всех h ho выполняются неравенства
fLh(u}h - (Lu)h\\Fh + ||(/)fc - fh\\Fh < ClhP\
ИМ«)л - + ||(^ - №||#k < c2№,
причем ci, pi, C2 и p2 не зависят от h.
230
Глава 7. Элементы теории разностных схем
Выражения, стоящие под знаком норм, называют погрешностями ап-
проксимации.
Оператор Lh из (7.3) локально аппроксимирует в точке хг дифферен-
циальный оператор L из (7.1), если для достаточно гладкой функции и G U
существуют такие положительные постоянные /го, с и р, не зависящие от
/г, что при всех h hQ справедливо неравенство
|(Lft(u)h - ch?.
Число р при этом называют порядком аппроксимации. Аналогично опре-
деляют порядок локальной аппроксимации оператора lh.
Также используется понятие аппроксимации на решении, позволяю-
щее строить схемы более высокого порядка точности на фиксированном
шаблоне. Говорят, что разностная схема (7.3), (7.4) аппроксимирует на
решении и с порядком аппроксимации р = min(pi,p2) дифференциальную
задачу (7.1), (7.2), если существуют такие постоянные /го, Ci? Pi, и Р2?
что для всех /г Hq выполняются неравенства
||bh(«)h - /fc||Fh С1ЛР1, ||ih(«)h - «аНф,, e2hP2,
причем Ci, pi, С2 и P2 не зависят от /г. Предполагается, что при этом
выполнены условия нормировки
lim || fh lln = II f IIf > lim || Vh ||ф„ = || V ||ф •
n—>0 n—>0
Порядки аппроксимаций обычно оценивают с помощью разложения
в ряды Тейлора. Порядок аппроксимации разностной схемы может быть
разным по разным переменным. Если погрешность аппроксимации стре-
мится к нулю при любом законе стремления шагов по различным пере-
менным к нулю, то такую аппроксимацию называют безусловной- Если
же погрешность аппроксимации стремится к нулю при одних законах
убывания шагов и не стремится к нулю при других, то аппроксимацию
называют условной.
Устойчивость. Разностная схема (7.3), (7.4) устойчива, если решение
системы разностных уравнений существует, единственно и непрерывно
зависит от входных данных Д, ерь, причем эта зависимость равномерна
относительно величины шага сетки. Это означает, что для любого е > О
существуют не зависящие от h величины ho и 6 = <5(г) такие, что для
произвольных функций и^, i = 1,2, являющихся решениями (7.3), (7.4),
из неравенств /г /го,
(1) (2)
Uh - Uh
Линейная схема устойчива, если
(!) (2)
4>h ~ П
6 следует, что
Fh
Uh
(1) (2)
Uh ~ Uh
Uh
Fh
. (1) (2)
+ c2 rh-rh}
&h
где ci и C2 — постоянные, не зависящие от h Hq. Это означает, что е и 6
здесь связаны линейно.
7.1. Основные определения
231
Устойчивость называют безусловной, если указанные неравенства вы-
полняются при произвольном соотношении шагов по различным перемен-
ным. Если же для выполнения неравенств шаги должны удовлетворять
дополнительным соотношениям, то устойчивость называют условной.
Непрерывную зависимость по fh (равномерную относительно h) назы-
вают устойчивостью по правой части, а непрерывную зависимость по —
устойчивостью по граничным условиям. Если рассматривается смешанная
краевая задача, то устойчивость по граничному условию при t = ig
называют устойчивостью по начальным данным.
Сходимость. Решение иь разностной схемы (7.3), (7.4) сходится к ре-
шению и дифференциальной задачи (7.1), (7.2), если существуют такие
постоянные /гд, сир, что для всех h /гд выполнено неравенство
||(^)/1 — uh \fjh chp,
причем с и р не зависят от h. Число р называют порядком сходимости
разностной схемы; при этом говорят, что разностное решение Uh имеет
порядок точности р.
Теорема Филиппова (о связи аппроксимации, устойчивости
и сходимости). Пусть выполнены следующие условия:
1) операторы L, I и Lh, lh — линейные;
2) решение и дифференциальной задачи (7.1), (7.2) существует
и единственно;
3) разностная схема (7.3), (7.4) аппроксимирует дифференциальную
задачу (7.1), (7.2) с порядком р;
4) разностная схема (7.3), (7.4) устойчива.
Тогда решение разностной схемы Uh сходится к решению и дифферен-
циальной задачи с порядком не ниже р.
О Операторы L и Lh линейные, поэтому
Lhfah (^)h) = Lh/Uh Lh{^)h —
= fh~ Lh(u)h ± (Lu)h = (fLu)h ~ Ьь<Ж)ь) + (fh ~ (/W •
Отсюда имеем уравнение
I*h(uh •“ (w)h) — ((Ьи)д — Lft(u)h) + (A (/)*)•
Аналогично для краевых условий находим
6»(мл — (и)/») = ((/u)h — ^л(м)л) 4- ~ •
Решение разностной задачи устойчиво, поэтому по определению для ли-
нейных задач получаем
Hh - (u)h uh Cl (II {Lu)h - Lh(u)h\ Fh + \\fh ~ (f)h\ Fh) +
+c2( l(^)h ~ + ll^h ~ chp .
Это неравенство означает сходимость с порядком р. Теорема доказана. О
232
Глава 7. Элементы теории разностных схем
Если порядок аппроксимации на решении выше р, то для получения
более точной оценки доказательство теоремы можно модифицировать.
Для этого в первой системе равенств доказательства не следует добавлять
±(£u)h, а применить сразу оценку устойчивости к величине fh~ Lh(u)h из
определения аппроксимации на решении. Аналогичное следует проделать
и для краевых условий.
Для многомерных задач порядок аппроксимации по разным перемен-
ным может быть неодинаковым, поэтому порядки сходимости по разным
переменным также могут быть различными. Если аппроксимация и (или)
устойчивость разностной схемы условные, то сходимость имеет место толь-
ко при тех соотношениях между шагами сетки по разным переменным,
при которых выполнены условия аппроксимации и (или) устойчивости.
В классе задач с решениями конечной гладкости требование устойчивости
является необходимым условием сходимости.
7.2. Методы построения разностных схем
Метод неопределенных коэффициентов. Пусть имеется некоторый
шаблон (несколько расположенных группой узлов сетки) и требует-
ся найти разностный оператор Lh, локально аппроксимирующий диф-
ференциальный оператор L в узле х^ В этом случае в выражении
(Lh(u)h — (Lu)h )|ж=ж. оператор Lh берут с неопределенными коэффи-
циентами. Для нахождения искомых коэффициентов с помощью фор-
мулы Тейлора строят разложения в точке xt для всех значений функ-
ции «(х), входящих в выражение Lh(u)h и группируют множители при
u(xi),uf(xi), u”(xi),.... Далее, последовательно обнуляя найденные мно-
жители, приходят к системе линейных алгебраических уравнений, решая
которую находят коэффициенты разностной схемы. Порядок аппроксима-
ции и главный член погрешности определяется после подстановки найден-
ных коэффициентов в первый ненулевой множитель при соответствующей
производной функции и(х) в точке Xi •
Рассмотрим пример. Пусть для задачи
Lu = u = /(я), 0 < х < 1, w(0) = w(l) = О
на равномерной сетке Dh = {xi = th, i = 0,... N h = 1} требуется по-
строить схему методом неопределенных коэффициентов на трехточечном
шаблоне.
Будем строить оператор Lh в виде
(LhUh\ = a u1±1 + b^±cui^
Запишем разложения по формуле Тейлора для достаточно гладкой
функции и(х) в точке х = хр
u(xi ±h) = u(xi) ± hu\xi) + 3,- u”(xi) ± u"'(xi)+
7.2. Методы построения разностных схем
233
Подставим полученные выражения в формулу для Lh{u)h и сгруппируем
множители при одинаковых производных и(х) (или, что то же самое, —
степенях h)
^h{u)h |ж=а- ^2
(а + b + c)u(xi) + h(a — c)uf(xi)+
+ (а + с)и”(хг) + < (а - c)u^3\xi) + (а + с)и(4\хг)+
+ £ (а - с)И<5>(^) + (a«<6W) + c«<e>(et-))‘.
По определению локальной аппроксимации
Lh(u)h \х=х. = uff(xi) + O(hp), р > О,
откуда имеем систему уравнений
а + b + с = 0, а - с = 0, = 1,
решая которую, получим
Lh(u)h lx=xi - + = + +
т.е. локально аппроксимирует оператор второй производной L в точке
X = Xi со вторым порядком.
Запишем разностный аналог рассматриваемой задачи:
^г+1 2 Ui Н- Ui—j р л ✓ лг _ л
—-----^2------- = Л» 0 < г < N, uQ = uN = 0.
Отметим, что здесь щ — приближение к решению u{xi).
Интегро-интерполяционный метод. В качестве примера опишем при-
менение этого метода к построению разностной схемы на равномерной
сетке Dh = {xi = ih, i = 0,... ,2V; Nh = 1} для задачи
Lu = —u” + p(x) u = f(x), 0 < x < 1, 0 p(x) < pi,
г/(0) = aiu(0) + /3i, «(1) = 0 .
Введем обозначение w(x) — u'(x) и перепишем исходное уравнение в виде
u/(x) = p(x)u(x) — f{x). Проинтегрируем в пределах от Ti_i/2 ДО ^«+1/2
(ж«±1/2 = ± h/2):
жг+1/2
wfe+l/2) - ^(Жг-1/2) = J [pH и(х) - /(ж)] dx .
xi-l/2
Полученное равенство служит основой для построения разностных схем.
Заменим интеграл в правой части, например, по квадратурной формуле
прямоугольников
ь
J<р(х) dx = (b- а)<р + О((Ь - а)3),
а
Разделив обе части на h, получим:
^(^+1/2) ^(^-1/2) = р(ж.)и(ж.) _ /(ж.) + O{h2}
234
Глава 7. Элементы теории разностных схем
Так как u\x) = w(x), то на отрезке [я^, имеем
«(^i+l) - u(Xi) = /iw(Zi + l/2) + O(h3).
Аналогичное выражение
u(xi) - u{xi-i) = 7iw(zi-i/2) + O(h3)
справедливо на отрезке [я^_i, я^]. Поэтому дискретный аналог исходного
уравнения принимает вид
^г+1 “Ь ^4—1
-----------------
О < i < N,
“Ь РгЩ — /г ?
где щ обозначает приближение к точному решению ад(я:Д в то время как
Pi = p{xi) и fi = f(xi) — значения известных функций в узлах сетки.
Для аппроксимации краевого условия третьего рода проинтегрируем
исходное уравнение от 0 до у:
h/2
u' f - ti'(o) = J [р(я) и(х) - f(x)] dx .
Далее опять воспользуемся формулой прямоугольников для интеграла
и заменим на cei‘u(O) +/31, а и' ( на ~_u(ty +О(Л2). В результате
получим
Ц(Л) ~ - aiu0 - Л + O(h2) = | [р (I) и (I) - f (£)] + O(h3).
Левая часть равенства содержит слагаемое О(/г2), поэтому в его правой
части значения функций в точке х = можно заменить их значениями
в точке х = 0, сохранив тот же порядок аппроксимации O(h2}. В резуль-
тате получим
Ъ = + о (р(0)и<1 ~ /(О)) •
Окончательная разностная схема имеет вид
_ Ui+1 2U1+U1-! +р.и. = Д, 0 < г < а ио _ 7?1„(1 + „д = 01
где новые коэффициенты принимают значения a, = । + , •.,
_ , V(0)
“ “2“ '
Интегральное тождество Марчука. Для задачи
Lu _ —(к(х) и')' +р(х) и — f(x), 0 < х < 1, хб(О) = «(1) = О,
у которой переменные коэффициенты удовлетворяют условиям
О < Lq к(х) С A:i, О С р(х) Pi, и к(х),р(х), f{x) могут иметь конечное
число разрывов первого рода, построение разностной схемы основывается
на интегральном тождестве, которому удовлетворяет решение исходной
7.2. Методы построения разностных схем
235
задачи
* А(х)
и(т1+1) - и(х»)
f(r)\dx
^—’Т& J И£)»«)-/(С)|« +
Г dx Xi Яг + 1/2
— 7 #т I тн(Ж
•^г , ЛIZI
Г di xi~l ^i-!/2
W , V'-ri
1
Докажем это тождество. Введем обозначение си(ж) = к(х)и\х) и перепи-
шем исходное уравнение в виде
ш'(ж) = р(ж)а(ж) - /(я).
Проинтегрируем уравнение от aii-i/a до x.+i/a (ж;±1/2 = я; ± /г/2)
жг + 1/2
^г + 1/2) - ^(Жг-1/2) = J [pW u(x) ~ /(ж)] dx.
®l—1 /2
Для нахождения о>(жг±1/2) поступим следующим образом. Проинтегриру-
ем уравнение для wf(x) от Жг-1/2 Д° х
X
k(x)uf(x) = ^{xi-Y/2} + J 1X0 WO - /(01
Разделим это выражение на к(х) и проинтегрируем от Xi-i до хр В ре-
зультате получим
Xi Xi х
u(xi) -и(хгД = w(xi_I/2) J 7777+ J 7777 f [p(f) a(f)-/(?)] df-
Л I »i- I * I «4 9
X 2, — 1 i — 1 i —1/2
Отсюда находим явное выражение для
f Xi х Ч
ш(Яг_1/2)= ---- < «(Жг)-а(ж;-1)- J Щ) J [?(£)“(£)-/(£)]<?•
р d.i Xi-i ' Xi-1/2 f
W ! Z| •’’)
Аналогичное выражение для ^(^^+1/2) найдем, заменив в полученной фор-
муле индекс i на i + 1. Теперь, используя w(a?i±i/2), приходим к искомому
интегральному тождеству.
Рассмотрим следующий пример. Пусть коэффициенты в исходном
уравнении имеют вид
1
к(х) = <
I 2
при
при
0
р(х) — 0.
236
Глава 7. Элементы теории разностных схем
Запишем интегральное тождество Марчука:
u(Xi) - u(Xi-i)
*^г + 1/2
J* f(x)dx =
xi-l/2
ж?4-1 ж Xi х
—-— f f /(0#-------------------------— Г Г /(£)#•
!i+i J k(x) J J v 7 Xi J k(x) J J '
Г dx Xi ®i+l/2 f dx Zi-l/2
Xi k&) xLk^
Предположим (для удобства), что точка х = | — узел сетки при любом
h, т. е. h = i , N = 2К. При этом i = ^ — соответствующее значение
индекса i. Вычислим величины
^+i (h при 0 i < Q ,
Xi I | при у < i < N.
Заменим по формуле прямоугольников интеграл в левой части тождества
жг+1/2
J f(x)dx и hf(xi) = h fi-
xi — l/2
Теперь рассмотрим выражения в правой части тождества. Одно из них,
например,
£ Ъ +1 37
.f J леж,
xi xi + l/2
применяя квадратурную формулу прямоугольников, запишем в виде
Xi+l X xi + l/2
Т J ЛСЖ-ад^-у I Л«Ж + О(1>>)-О(1.>).
Xi xi+l/2 г+L/ZJ х.+1/2
Множитель при рассматриваемом интеграле в тождестве равен О(/г-1),
поэтому все выражение для гладких функций имеет порядок O(h2) и его
можно отбросить. Аналогично можно поступить и с другим выражением
в правой части равенства.
Окончательный результат можно записать так:
_ а,ц,+1 -bi^+c^-i = у о < i < , Uo = UN = О,
где коэффициенты определяются по следующим формулам:
Ьг = СЫ + Cj,
1 1 / • N
СЦ = Сг = 1 при 1 < г < у ,
ai = ci = 2 при Ц- < i < N,
ai = 2,a = 1 при г = у
7.2. Методы построения разностных схем
237
Метод Ритца. Пусть требуется найти решение дифференциального
уравнения Lu = / в гильбертовом пространстве Uy учитывающем краевые
условия. Пусть оператор L является самосопряженным и положительно
определенным относительно скалярного произведения (•,•), т. е. v е U
(Luyv) = (u, Lv) и (Lv, v) 5(v, v), 6 > 0.
Тогда решение исходной задачи сводят к поиску элемента u € U, миними-
зирующего функционал
J(v) = (Lv,v) -2(f,v) = a(v,v) -2(j,v),
где a(u,v)— билинейная форма, как правило, получаемая в результате
интегрирования по частям с учетом краевых условий выражения (L«, v)
для Uy v е U.
Чтобы определить приближения к элементу и у строят последователь-
ность конечномерных подпространств Uh С U с известными базисами
N
{Pj у j = 0,1,..., N} ив каждом Uh находят элемент Uh = S мини-
>=о
мизирующий J(v). Из условий минимума функционала J(v) на элементе
иле[/Лимеем М«41 = 05 i =
откуда следует система линейных алгебраических уравнений Да = b для
определения вектора коэффициентов а, где = а (р1^ , 6® = (/, Pi),
iyj = 0,1,..., TV. Если последовательность Uh полна в U (т.е. \/v 6 U
существует последовательность {иь Е Uh} такая, что ||v — v/JIcz —> 0 при
h — > 0), то lim ||u - uh\\u = 0. h—>0
В качестве базисных элементов р^ в простейшем случае использу-
ются кусочно-линейные функции. Например, для произвольной сетки
XQ < xi < • • • < x/v эти функции имеют вид С xi — х . — — при Хп С X Xi, p*(x)=\xx-xQ р 15 ( 0 при Х1 X Х_у; 0 при Хп X Ждг-1, ¥>7у(х) = < x-XN-i . . при
= <
X - Xj-1
xj ~ xj—1
Xj+1 — X
xj+l ~ xj
0
при
при
при остальных X
для j = ly...,N — 1. Если меры носителей базисных функций много
меньше меры исходной области (как в рассмотренном случае), то метод
Ритца часто называют методом конечных элементов.
Воспользуемся методом Ритца для решения дифференциального урав-
нения Lu=—{k{x)u,), + p{x)u = f[x)y 0 < х < 1,
238
Глава 7. Элементы теории разностных схем
с краевыми условиями w(0) = «(1) = 0 и коэффициентами
k(x) = 1 + ж, р(х) = 1.
Возьмем пространство функций
{1 X
u(x) : J [('и'М)2 + ^2(ж)] dx < w(0) — w(l) = 0 г
о J
1
со скалярным произведением (w, v) = J u(x)v(x) dx и поставим в соответ-
о
ствие исходной дифференциальной задаче с краевыми условиями задачу
минимизации на пространстве U функционала
1
J(v) = j* [fc(z) (v'(x))2 + p(x)v2(x) — 2/(t)v(j:)] dx = a(v, v) — 2(f, v).
о
Определим последовательность конечномерных подпространств
Uh С U как последовательность линейных оболочек
span{<^i(a:),^2(z),-•
полных наборов кусочно-линейных базисных функций <р^(ж) € U на
равномерной сетке (zj+i — х3 — h, N h = 1), и будем искать приближенное
решение иь в виде
Uh = XZ аз^-
J=1
В силу краевых условий iz^(O) = 'Uh(l) =0 (так как Uh € Uh С U) функции
и в представлении Uh отсутствуют; поэтому формально можно
считать, что соответствующие коэффициенты о?о и седг равны нулю.
Найдем выражения для матричных элементов aij системы Аа = Ь:
1
Oij = a J [А:(я:)(<р£)'(</>'“)' + р(я:) dx, = 1.
о
Так как при i = 1,2,..., N — 1
Л
h
ш = <-±
h
<0
При Xi-1 < X < Xiy
При Xi < X < Xi+1,
ПрИ X \Х{—
в результате непосредственных вычислений имеем
при 7 =
____ ё[1+^] + ^г при j = b
—
- £ [1 + ai+12+-] +| при j - i + 1,
v0 при остальных j.
7.2. Методы построения разностных схем
239
Для компонент вектора правой части получим
1 жг+1 жг+1
bi = = 5 fVidx = J f ifiidx » f(xi) J iPidx = hft.
О 2- i — i X-i — 1
Разделив обе части уравнения на /г, окончательно имеем
МЧ+1 4- Q»-n +4о» +<*>-1 я / О < i < N
6 7”
где коэффициенты определяются формулами
1 I —1 Н- ~ 1 । #г+1 Ь Xi । j
Ci = 1 +---2--- > а* = 1 + -^"2----- , *> ‘ •
Для корректного замыкания системы в ней следует положить, как отме-
чено выше, CUq = СЕдг = 0.
Метод Галеркина. В отличие от метода Ритца метод Галеркина не
требует самосопряженности и положительной определенности оператора
L из задачи Lu = /, u € U.
Для нахождения приближенного решения в каждом из конечномер-
ных подпространств Uh отыскивают элемент иь такой, что для любого
v Е Uh справедливо равенство (Luh — /, г») = 0, которое обычно записы-
вают в более удобной, следующей из интегрирования по частям, форме
a(uhi v) = Соответствующие коэффициенты aj разложения Uh по
базису подпространства Uh определяют в результате решения системы
уравнений, имеющей тот же вид, что и в методе Ритца. Однако обосновать
сходимость метода Галеркина удается для более широкого класса задач.
Рассмотрим применение метода Галеркина для несамосопряженной
задачи
Lu — -и" + г(ж) и = /(ж), 0 < х < 1, к(0) = и(1) = 0,
с коэффициентом г(ж) = Зж2. Определим пространства ILUh и скалярное
произведение (•,•), как в примере на метод Ритца. Решение будем искать
в виде
ЛГ—1
Uh = YZ
3=1
где неизвестные коэффициенты aj найдем из системы линейных алгебра-
ических уравнений Аа = Ь, в которой
CHj = a , bi = (J,4>b), = 1,2,... ,JV-1.
Вычислим матричные элементы:
«о = а (v*. r4) = J М)'(^)' + r(x) dx.
о
240
Глава 7. Элементы теории разностных схем
Первое слагаемое в этой формуле имеет вид
г 1 h при j = г - 1,
• 1 1 J = < 2 h -1 при J = г,
Xi-1 h lo при при j = г+1, I? - «I > 1
Для второго слагаемого в результате несложных вычислений получаем
Хг+1
J Зх2($)'rfdx =
Xi-1
' - I [2 х2_г + (^i-l + Xi)2] при j = i - 1,
hxi при j = i,
I | [2 ж?+1 + (а:<+1 + xt)2} при j = i + 1,
0 при | j — i | > 1.
Определив fi, как в предыдущем примере, запишем окончательный ре-
зультат в виде
сч+1 2 O-i -С Oi—1 + bjOi И-i /• za xr
^2 h -Л,
CEO = aN — 0,
где коэффициенты определяют по формулам
a = — [2 х2_} + (xi—i + xf) ],
6^ — h Xi, G>i — д [2 T T Xi) ] •
В случае постоянного коэффициента r(x) = г при производной и' в исход-
ном уравнении, второе слагаемое в левой части линейной системы имеет
Qa+i — o>i—i
вид г .
Метод аппроксимации функционала. В этом методе минимизиру-
емый функционал J(y) заменяют приближенным функционалом (<£>).
Пусть на отрезке [а, 6] введена сетка xi, i = 0,1,..., N. Тогда производные
в функционале заменяем конечными разностями, а интегралы — квадра-
турами. Например, используя составную формулу прямоугольников,
интеграл
ь
J (У)2
a
заменяем на
Таким образом, приходим к задаче минимизации приближенного функ-
ционала Jh(sp)> Разностная схема получается приравниванием к нулю
величин , i = 0,1,..., N.
OPi
7.2. Методы построения разностных схем
241
Краевая задача с достаточно гладким решением и(х)
Lu = —(к(х) u')' + р(х) u = f(x), 0 < x < 1,
О < &o &(я) A?i, 0 p(x) pi, tt(O) = u(l) = 0,
эквивалентна задаче отыскания точки минимума u <£ U квадратичного
функционала
1 1
J(v) = J [к(х) (vf)2 + р(я) dх — 2 J /(ж) v dx.
о о
Введем, как и выше, равномерную сетку и на ней аппроксимируем J(y),
предварительно записав его в виде
N Xi N Xi
Д«)=52 J k(x)(v')2dx + ^ J (p(x)v2 -2f(x)v)dx.
2=1 Xi — 1 2=1 Xi — 1
Далее аппроксимируем интегралы по формулам прямоугольников и тра-
пеций соответственно
д? 2, 2
J k(x) (v’)2 dx=k(x^1/2) h+O(h3),
Xi-1
/ (p(x)v2-2 f(x)v)dx=
Xi-l
= [(p{xi-i)v2(xi-i)-2f(xi-i)v(xi-1))-\-(p(xi)v2{xi)-2f{xi)v(xi))]^-O(h^).
Таким образом, вместо J (у) получаем функционал А (<£>):
N / _ \2 N-1
Л(^=£Ш'г-1/2) ^-Ч h+ ^(р^-2/^)*,
2 = 1 2 = 1
где <р=((ро, <pi, • • •, w) — произвольная сеточная функция, удовлетворяю-
щая условиям <ро=(руу=О. Приравнивая к нулю первые производные
dpi
получаем искомую разностную схему:
- ± (^k(xi+i/2) т1Л~^-А;(яг-1/2) У ) +Рг<Рг-/г,
O<s<7V,(po=^w=O.
Метод сумматорного тождества. Аналогично методу аппроксима-
ции функционала, интегральное тождество (Lu— f^v)=Q для любого
v^U заменяют сумматорным тождеством (Lhtph—fh, vh)=Q для любого
Так как в конечномерном пространстве размерности 7V+1 век-
торы е&, А:=0,1,... ,7V образуют базис (k-я компонента вектора е& равна
242
Глава 7. Элементы теории разностных схем
единице, остальные — нулю), то разностная схема получается из системы
уравнений
— 0? & 0, 1, •• • т N *
Например, для задачи
Lu=- (k{x)u,yu—f(x), 0<х< 1,
Q<ko^k(x)^ki,Q^p(x)^pi,
к(0) w,(0)=aiw(0)+^i, — &(1) г?(1)=а2«(1)+$2>
справедливо интегральное тождество
1
I(u,v)=^ (ku'v' +puv—f v) do:+(ai«(O)+j0i)v(O)+(a2«(l)+/32)v(l)=O,
о
где v=v(x) — произвольная непрерывная на [0,1] функция, имеющая
квадратично-интегрируемую первую производную.
Для построения разностной схемы на равномерной сетке аппрокси-
мируем интегральное тождество сумматорным тождеством для сеточных
функций, например,
Л(¥’,^)=Д fe(^-i/2) (У<Т-1) h+
N-1 _ _ _
+ £ (Pi^i-/i)^i/i+(«i^o+/3i)^o + (a2^N+/32>^,
г=1
где 0=(0о, ♦ ♦ ♦ > — произвольная сеточная функция. Коэффициен-
ты oik и ^д.(Ат=1,2) связаны с исходными коэффициентами следующими
соотношениями: _
Qi+po 2 у Р1=/31~ fo у
a2 = a2+PN , /^2=^2 —fN J
Форма дополнительных слагаемых зависит от выбора квадратурной фор-
1
мулы для аппроксимации интеграла §(ри— f) vdx. В данном случае мы
о
воспользовались составной формулой трапеций, т. е.
Xi
J (pu-f)vdx=^[(p(xi-i)u(xi-i)-
-/(ж«-1)) v(xi-i)+(p(xi)u(xi)-f(xi)) v(aii)]+O(/i3).
Суммируя по всем г = 1,... ,7V, получаем вторую сумму в Д(сд0), а остав-
шиеся слагаемые у [(ро<£о — /о) 'Фо + ^Рмфм — /n) ^n] изменят значения otk
и /3fc(fc=l,2). Например, при г=0 имеем
(«1^о+^1)^о+^ (ро^о-/о) V'o=(«l^o+/31)^O •
7.2. Методы построения разностных схем
243
Полагая теперь ,ф=е^ т. е. (0<fc<7V), и учитывая, что
r_ 1
h
h h
.0
при ?=fc+l,
при i=k,
в остальных случаях,
при i=k(Q<k<N) получаем
1 /2) W 1 ) + Ptfi•
Далее, если то имеем
аналогично при 1^=3^ находим
— k(xN-\f2) kN 1=О;2Улг+^2-
Последние три выражения приводят к системе из ^4-1 уравнения с ^+l
неизвестным (<ро> • • •? т. е- искомая разностная схема построена.
Метод построения точных разностных схем. Разностную схему на-
зывают точной, если ее решение совпадает с решением дифференциаль-
ного уравнения в узлах сетки. На примере уравнения второго порядка
- (к(х)и')'=f(x), 0<ж<1, O<ko^k(x)^ki, гл(О) =гл(1) =0
рассмотрим метод построения точной разностной схемы на равномерной
сетке. Воспользуемся тем же подходом, что и в методе интегрального тож-
дества Марчука. Проинтегрируем исходное уравнение по отрезку [тг,ж]
и результат разделим на к(х). Имеем
к(х
37 г
Проинтегрировав последнее равенство по отрезкам [ж»—г, ж»], [Яг,:Гг+1]
и умножив результаты соответственно на величины сц, ± сн+i, где
/ т \ 1
/ я-г \
11 Г d.T 1
kJ ед ’полУчаем
\ 37 г—1 /
Xi-1 Xi
37г4-1 x
J- jgJ/Kx
Xi Xi
244
Глава 7. Элементы теории разностных схем
Исключая k(xi)u'(xi)y имеем точную схему
аг+1(мг+1 ^г) ai{ui ^г—1) f
h2
ГД® / ®i+l X Xi Xi
(a<+1 J” W J'№)rf£+a» J J ЖМ
\ & i, •£ i & i— 1 X
а коэффициенты di определены выше.
На практике реальная точность схемы определятся точностью вычис-
ления интегралов в полученных формулах.
В случае коэффициенты fli = l при всех г, а выражения для fi
принимают вид
'Xi+i х Xi Xi
J” J” f(£)d£dx+ J J f(g)d£dx
Xi Xi Xi — 1 X
7.1. Справедливы ли следующие равенства:
. ч u(x-\-h)—2u(x}+u(x—h) r
1] lim —------7 V ----------=lim
h^Q hr h^>0
u(x+2h)+u(x) u(x)-\-u(x—2h)
2) lim Ц(Ж+^)~Ц(Ж~Л) — ijm_______£_____________£______
} h™ 2h 2h
если u[x)qC^7>
Ответ: 1) нет; 2) да.
В задачах 7.2-7.7 следует обращать внимание на области определения
искомого решения разностного уравнения и его правой части. В некото-
рых случаях более высокий порядок аппроксимации схемы может быть
достигнут в результате выбора смещенных сеток ih и zh±^-, г=0,1,....
7.2. Рассмотрим дифференциальную задачу
uf+a(x)u(x)=f(x), же[0,1], w(0)=0; а(я), f(x)€C^[(f 1].
Считая, что функции щ и fi определены в узлах Xi=ih, h=
г=0,... ,2V, найти порядок аппроксимации на решении разностной схемы:
1) Ui+1h Ui+aiUi=fi, 0<i<2V—1, uo=O;
^i+l 1
2h
VdiUi=fi, Uo=O,ui=hfo,
где ai=a(xi), fi=f(xi).
Ответ: 1) О(Л); 2) О(Л2).
7.2. Методы построения разностных схем
245
7.3. Рассмотрим дифференциальную задачу
uf+a(x)u(x)=f(x), же[0,1], ц(0)=0; a(x), /(я)ЕС^[0,1].
Считая, что функция щ определена в узлах Xi=ih, Н=±-, £=0,• - yN,
а функция fi — в узлах Жг+1/2=^+^ h, г=0,... ,7V-1, найти порядок
аппроксимации на решении разностной схемы
+а. “»+1+«г =д uo=O,i=O,...,W-l,
где ai=a(Xi+l/2), А=/(я*+1/2)-
Ответ: порядок аппроксимации равен О (/г2); ответ не изменится, если исполь-
зовать следующие аппроксимации для коэффициента и правой части уравне-
„мст. ,, _ а(жг + 1) + а(^г) г / (^+1)+/(^)
ния. ai—----2----> Ji=------2----'
7.4. Для дифференциальной задачи
—г?'=/(я), ж€[0,1], ц(0) =ц(1)=0,
построить разностную схему второго порядка аппроксимации, которая
при каждом h является системой линейных алгебраических уравнений
с симметричной положительно определенной матрицей.
У казан ие. Рассмотреть схему из примера на метод неопределенных
коэффициентов, для которой воспользоваться решением 2.86.
7.5. Для дифференциальной задачи
-гг"=/(ж), ж€[0,1],
а(0)=а,гг(1)=&, а€С^4^[0,1],
на трехточечном шаблоне с переменными шагами сетки построить раз-
ностные схемы первого и второго порядка аппроксимации на решении.
Ответ: для произвольной неравномерной сетки
0=Жо<Ж1<- • <ЖЛГ-1<Ж№1, hi=Xi~Жг-1, l^i^TV,
схема
2 Ui Uj — Ui — A \ „
- Т----------------h ]=fi> ®<i<N
с краевыми условиями uo=a, и^=Ь имеет на решении порядок аппроксимации
О (Лг) при fi=f(xi) и порядок О (Лг2) — при
А=/(««Н
7.6. Для дифференциальной задачи
uf+cu=f(x), c=const, ц(0)=а,
интегро-интерполяционным методом на трехточечном шаблоне с постоян-
ным шагом построить схему четвертого порядка аппроксимации.
Ответ: Для приближенного вычисления интеграла по отрезку i>ЖгН-1]
использовать формулу Симпсона, а для получения недостающего начального
условия ui^tu(h) применить формулу Тейлора (необходимые производные при
х=0 можно получить, дифференцируя уравнение требуемое число раз).
246
Глава 7. Элементы теории разностных схем
7.7. Для дифференциальной задачи
- (к(х)и)'= 1, хе [0,1],
fi при
а(0)=а(1)=0, к(х) = < ,
[1 при
построить разностную схему с помощью интегрального тождества Марчу-
ка, если точка разрыва к(х) является узлом сетки.
7.8. Показать, что для дифференциальной задачи
Lu=—(k(x)ufy+p(x)u=f(x), жб[0,1), гг(О) =г/(1)=0,
переменные коэффициенты которой удовлетворяют условиям
Q<ko^k(x)^ki, квадратичная часть a(v,v) функционала
J(v) в методе Ритца удовлетворяет оценке снизу
1 1
a(v, v) = J + p(x)v2(x)] dx (ко +Po) J v2(x) dx Vv e U.
о 0
1 1
Указание. Вывести неравенство J v2(x) dx J (vf(x))2dx для произволь-
0 о
ной функции v(x) е С/, где
{1 X
u(x) : J* + гг2(ж)] dx < оо, w(0) = 0 > .
о J
7.9. Для произвольной функции v е U, где
{1 А
u(x) : ]* [(гг'(ж))2 + гг2(ж)] dx < оо, u(0) = w(l) = 0 >
о
показать справедливость неравенства
1 1
§v2(x)dx -у §(v'(x))2dx.
о 77 о
Указание. Воспользоваться решением спектральной задачи
—w" = Aw, w(0) = w(l) = 0.
7.10. Дана дифференциальная задача
—и" + си = f(x), хе [0,1],
w(0) = «(1) = 0, с = const.
При каких с для решения этой задачи можно применять метод Ритца?
Ответ: с > —7г2.
7.2. Методы построения разностных схем
247
7.11. Для дифференциальной задачи
—и" + и = /(ж), ж G [0,1], w'(0) = г/(1) = О,
построить разностную схему методом Ритца, взяв кусочно-линейные
функции на равномерной сетке в качестве базисных.
Ответ: функция и(х) доставляет минимум функционалу
1
= J ((г/)2 + v2 — 2/(ж)г>) dx
о
на пространстве
7.12. Показать, что для дифференциальной задачи
Lu = + р(х)и = /(ж), ж G [0,1],
гс(О) = 0, г/(1) + ац(1) = Д
переменные коэффициенты которой удовлетворяют условиям
О < ко к(х) &i, 0 р(х) pi, функционал в методе Ритца имеет вид
1
J(v) = J (&(ж)(?/(ж))2 + р(ж>2(ж) — 2f(x)v(x)) dx+
о
4-afc(l)v2(l) — 2/3fc(l)v(l).
У к а з а н и е. Рассмотреть коэффициент при 2е в неравенстве
J(u) J(u + ew), справедливом при е любого знака и любом w € U,
где
U = < и(х) : J + г^2(ж)] dx < оо, гс(О) = 0 >.
I о
7.13. Для дифференциальной задачи
— (А:(ж)ц/)/= 1, ж G [0,1],
!Й при 0 ж < 1,
2 при д ж 1,
построить разностную схему методом Ритца, взяв кусочно-линейные
функции на равномерной сетке в качестве базисных и считая, что точка
разрыва к(х) является узлом сетки.
7.14. Пусть функция и(х) доставляет минимум функционалу
1
J(y) = a(v,v) - 2(f,v) = J (k(x) (v')2 + p(x)v2 - dx,
ox '
248
Глава 7. Элементы теории разностных схем
где переменные коэффициенты удовлетворяют условиям 0< ко к(х) к1у
0^р(ж)^р1, на пространстве
{1 Ч
u(x) : J [(г?(я))2 + и2(ж)] dx < оо, u(0) = 0 >.
о
Показать справедливость равенства a(u, v) = (/, v) с произвольной функ-
цией v 6 U.
Если дополнительно функция и(х) удовлетворяет уравнению
- (к(х) uf)' + р(х) и = /(ж),
т. е. является достаточно гладкой, то краевое условие г/(1) =0 для нее вы-
полняется автоматически (без включения в определение пространства U).
<] Если функция и доставляет минимум функционалу J(v) на простран-
стве U, то для произвольных величин — числа е и функции v 6 U — имеем
J(u) J(u + ev) = J(u) + 2s [a(u, v) — (/, v)] + e2a(v, v),
t. e. 2s [a(«, v) — (/, v)] + e2a(v,v) 0. В силу произвольности знака е
и положительности величины a(v, v) при (см. 7.8), отсюда следует
а(«, v) = (/, v) Vv е U. Полученное равенство лежит в основе определения
слабого (или обобщенного) решения дифференциальной задачи.
Если функция и(х) — достаточно гладкая, то интегрирование по частям
дает
1
0 = а(щ v) — (f, v) = j*(k(x)u'v' + p(x)uv — fv) dx =
о
1
= j* v [— (k(x)u')' + p(x)u — f] dx + fc(l)i?(l)v(l) = fc(l)i?(l)v(l).
о
Из этого равенства, в силу произвольности значения v(l) и положитель-
ности к(х), следует г?(1) =0. О
7.15. Пусть функция и(х) е С^2^[0,1] является решением дифференци-
альной задачи
— (к(х) и')' + р(ж) и = /(ж), ж€ [0,1], и(0) = u'(l) = 0,
достаточно гладкие переменные коэффициенты которой удовлетворяют
условиям 0 < ко к(х) &i, 0 р(ж) р\. Показать, что и(х) доставляет
единственный минимум функционалу J(y) = a(v, v) — 2(/, v) на простран-
стве
( 1
U = < и(х) : J [(и (ж))2 + гг2(ж)] dx < оо, гг(О) = 0
I о
<] Запишем квадратичный функционал, соответствующий исходной за-
даче,
1
J(v) = a(v,v) — 2(/, v) = J (к(х) (v')2 +p(x)v2 — 2/(ж)*Л dx.
о 4
7.2. Методы построения разностных схем
249
Функция и(х) принадлежит £7, зафиксируем ее и рассмотрим выражение
a(v — u, v — и) — а(и, и) как функционал от v G U. Этот функционал имеет
единственную точку минимума v = и, так как первое слагаемое неотрица-
тельно и в силу 7.8 обращается в нуль только тогда, когда аргумент равен
нулю. При этом второе слагаемое от v не зависит.
Раскрывая скобки, получим
а(у — и,и — и) — а(и, и) = a(v, v) — 2а(и, v) + a(w, и) — а(и, и) =
= a(y,v) - 2(f,v) = J(у).
Выше было использовано равенство a(u,v) = (f,v) из 7.14. О
7.16. В задаче
~(к(х) и')' + р(х) и = /(ж), х е [0,1], u(0) = «'(1) = О,
переменные коэффициенты которой удовлетворяют условиям
О < ко < к(х) &i, 0 < р(х) pi, методом Ритца (конечных элемен-
тов) построить аппроксимацию краевого условия «'(1) = 0, используя
кусочно-линейные базисные функции на равномерной сетке.
<] Запишем квадратичный функционал, соответствующий исходной за-
даче, г
J(v) = j* (к(х) М2 + p(x)v2 — 2f(x)v\ dx,
о 4 7
а приближенное решение будем искать в виде
N
Uh = (ЖХ Nh=\.
j=1
Далее подставим Uh в J и рассмотрим систему
= 0, 1 < i N.
Нас интересует последнее уравнение системы (при i = N)
+ bow = с,
где х
а = J + p(z)w-i</w) dx,
О
1 1
Ь = J (к(х) (^)2 +p(x)<p2N j dx, с = J* f(x)<pNdx.
о 4 7 о
Запишем формулу для <рм(х):
О при 0 х жлг-1 = 1 — h,
ХМ —1
— при Х^-у X XN = 1.
Эта базисная функция отлична от нуля только на отрезке [1 — Аг, 1], по-
этому область интегрирования сужается, т. е. потребуется только часть
функции y?n-i(s):
<^лг-1(ж) = 1 ~ - при 1 — h < х < 1.
<рм(х) =
250
Глава 7. Элементы теории разностных схем
В случае постоянных коэффициентов к(х) — к, р(х) — р величины а, 6, с
определяются так:
1
а=-^ + ^’ Ь=1 + ¥’ с= /
1—h
Для сравнения приведем аппроксимацию второго порядка, построен-
ную интегро-интерполяционным методом:
WV-1 + 61 UN = Ci,
где
л =— ^ а _ & । Рh — 4 f
О'1 h , О д + 2 ’ С1 2 *
7.17. Для дифференциальной задачи
— (k(x)u')' + р(х) и = /(ж), х 6 [0,1], г/(0) = «(1) = О,
переменные коэффициенты которой удовлетворяют условиям
О < ко < к(х) fci, 0 < р(х) <
на равномерной сетке построить разностную схему методом аппроксима-
ции функционала.
7.18. Показать, что решение разностной схемы
A wi+l + iLi—i i /с(Жг-{-1) —1) —1 q
h2 2h 2h ~ U’
0 < i < N, uq = 1, un = 0, N h = 1,
построенной на равномерной сетке (xi = ih, 0 г N), не сходится к ре-
шению дифференциальной задачи
(k(x)u')f = 0, х 6 [0,1], гг(О) = 1, гг(1) = 0
в классе положительных кусочно-постоянных коэффициентов
к\ при 0 < х < £,
к2 при £ < х < 1,
где £ — иррациональное число, £ = хп + Gh> 0 < 6 < 1.
к(х) =
<] Запишем решение дифференциальной задачи
{1 — &qx при 0 < х < £, «о = (<5 + (1 —
/Зо(1 - х) при $ ж 1, /Bq = <5<*о, д = тг •
Точное решение разностной задачи имеет вид
{1 — O'Xi ПрИ 0 < Xi < Жтг,
/3(1 - Xi) при Жп+1 Xi 1,
где коэффициенты а и /3 можно получить из уравнений в точках хп (слева
от разрыва) и жп+1 (справа от разрыва):
/3 (1 — Жп+1) + О' хп + h + * —1 = 0,
(1 Жп+1) + з |. £
+ ажп — 1 = 0.
7.2. Методы построения разностных схем
251
Отсюда при 6 = 5 имеем a = 0, /3 = (1 — rrn+i) *; при 5 = | получаем
О
13 = 0, a = х~г. Здесь переход к пределу при /г —> 0 (т. е. xn,Xn+i —> С)
не приводит к решению дифференциального уравнения.
В остальных случаях удобно представление /3 = pa, где
(3 + 5)(55 - 1)
(5 - <5)(3<5 + 1) ’
Доопределив сеточную функцию щ линейно между узлами, получим
непрерывную функцию й(х, h), совпадающую с щ в узлах хр Найдем
1 — aix при 0
/?1(1 -х) при £
р + (1 - р)хп + h + 1
a —
lim u(x,h) =
h^O
1.
При /г —> 0 имеем
lim a = «1 = (р + (1 — lim /3 = [Вт = pap
h—>0 h—>0
Совпадение коэффициентов fti c do и Д c (3q возможно только в случае
равенства р — 5, эквивалентного уравнению (5 — I)3 = 0, т. е. только при
кг = к2. >
7.19. Для дифференциальной задачи
— (к(х)и')' = 1, х
[ 1
u(0) = «(1) = 0, к(х) = < 1
I з
е [0,1],
при 0 х < ,
при X 1,
построить разностную схему методом Галеркина, взяв кусочно-линейные
функции на равномерной сетке в качестве базисных.
7.20. Для дифференциальной задачи
—и" iau1 + ри = 1, х £ [0,1],
a = const, р = const 0, u(0) = w(l) = 1,
построить разностную схему методом Галеркина, взяв кусочно-линейные
функции в качестве базисных.
7.21. Для дифференциальной задачи
— (к(х)и')' + а(х) и' + р(х) и = f(x), х е [0,1],
w(0) = w(l) = 0,
переменные коэффициенты которой удовлетворяют условиям
0 < ко к(х) кр |а(я)| ар 0^р(х)^рг,
на равномерной сетке построить разностную схему методом сумматорного
тождества.
252
Глава 7. Элементы теории разностных схем
7.22. Привести пример последовательности сеточных функций
{^},г = 0,1, ...,ЛГ, Nh = 1 из семейства пространств {Uh}, ко-
торая сходилась бы при h —> 0 к некоторой функции и € U, если
/ N 2\V2
||(ph|| = I h 52 I , и расходилась, если ||<ph|| = max|^|.
\ i=Q J «
~ f \ -i h f 1 ПрИ i 7^ 0,
Ответ: «(x) = 1, 'A=S1 ,,_i/4 „
[1 + n ' при % = 0.
7.23. Сходится ли последовательность сеточных функций {^},
i = 0,1,..., ЛГ, Nh = 1, в норме ||</?Л|| = max |<р^| к функции и(х) и с каким
порядком, если
| + и ’ ^0 = ^(0), Ч& = w(l), Xi = ih,
а и(х) принадлежит одному из пространств к 0? Существуют ли
функции и(х), к которым {<р^} сходится с бесконечным порядком?
Ответ: порядок сходимости равен: о(1) при и 6 С, O(h) при и 6 O(h2)
при и G 2. Если и(х) = const, то порядок сходимости — бесконечный.
7.24. Для дифференциальной задачи
- (k(x)uf)f = f(x), X G [0,1],
0 < to < k(x) fci, u(0) = u(l) = 0
построить на равномерной сетке схему четвертого порядка аппроксима-
ции, заменяя в точной разностной схеме значения интегралов приближен-
ными.
7.25. (Проекционная теорема в методе Ритца). Пусть tt — точка мини-
мума функционала J(v) — (Lv,v) — 2(v,/) = «(«,«) — 2(«,/) на U, Uh —
замкнутое подпространство U. Доказать, что:
1) функция Uh € Uh, на которой достигается минимум, удовлетворяет
условию
а(«л, zh) = (f, zh) ^zh s Uh
В частности, если Uh совпадает с £/, то a(u, z) = (f,z) \/z eU;
2) точка минимума иь есть проекция и на Uh по отношению к энерге-
тическому скалярному произведению «(«,«) или, что то же, ошибка и — иь
ортогональна Uh*
a(u — Uh,Zh)=Q VzhtUh',
3) минимум J(zh) и минимум а(и — Zh,u — Zh), где Zh пробегает под-
пространство Uh, Достигаются на одной и той же функции так что
а(и — иь, и — Uh) = min а(и — Zh,u — Zh)-
7.2. Методы построения разностных схем
253
<1 1) Если Uh минимизирует J(v) на Uh, то для произвольных е 6 R1
и Zh G Uh имеем
< l(uh + €za) = /(uh) 4- 2e(a(tMi - (/, za)| + е2а(зд,зь).
Отсюда получаем
О С 2ф(ид,хЛ) - (/,2д)] + e2a(zh, zh).
Так как г может иметь любой знак, а второе слагаемое строго положи-
тельно, то a(uh, Zh) = (f,Zh).B частности, если Uh совпадает с U, то имеем
a(u, z) = (/, z) VzeU.
2) Второе утверждение следует из первого. Вычитая первое из полу-
ченных равенств из второго, так как Zh € Uh С U, получим
a(u - uh, Zh) = 0 \/zh € Uh-
3) Рассмотрим следующее выражение для произвольного Zh-
a(u - uh~ zh,u- uh~ zh) = a(u -uh,u- uh) - 2a(u - uh, zh) + a(zh, Zh)-
В силу предыдущего утверждения, второе слагаемое равно нулю, а третье
неотрицательно, поэтому имеем
a(u - uh,u - uh) < a(u -uh- zh,u-uh- zh) Vzh £ Uh-
Это неравенство обращается в равенство только при a(zh, Zh) = 0, т. е. при
Zh = 0, поэтому
al'u — ид,и — Uh) - min a(u — u — 2д).
Существование и единственность Uh £ Uh следует из замкнуто-
сти Uh- Если последовательность Е Uh фундаментальная, т. е.
a(v£ — vm,vfi — v]™) стремится к нулю при n, m —> оо, то существует эле-
мент Vh Uh, для которого справедливо a(v£ — Vh, vh ~vh) —> 0 при п —> оо.
Это имеет место всегда, если пространство Uh конечномерно. [>
7.26. Пусть функция у(х) удовлетворяет условию
Г N
II?/'||2 = J [y"(x)]2dx < оо и yi(x) = ^2y(xi)<Pi(x)
0 i=o
— ее линейный интерполянт, построенный на равномерной сетке
Xi = ih, 0 i N, Nh = 1. Доказать справедливость следующих
неравенств
\\y'-y'i < 1|У'Ц,
О Рассмотрим какой-либо отрезок длины /г, для простоты удобно взять —
[О, h]. Построим на нем функцию
Д(ж) =з/(ж)
254
Глава 7. Элементы теории разностных схем
По предположению о гладкости у(х) функция Д(ж) имеет конечный инте-
грал h h
< °0’
о о
также выполнены равенства Д (0) = А (/г) = О, поэтому справедливо пред-
ставление Д(ж) в виде ряда Фурье
оо
Д(я) = .
Z=1
В результате непосредственных вычислений имеем
Так как / > 1, то справедливо неравенство
поэтому, суммируя по Z, получаем
h h h
/[Д'Се)!2^ (7) J[A"Cr)]2<fa = J[3/"]2cto.
ООО
Последнее неравенство справедливо на каждом отрезке длины /г, потому
суммирование по всем г дает
к-г4Н2^(£) НЛ12.
Аналогично получаем
оо z . 4 \ 2
||у"||2,т.е.||2/-2//К (|) ЦЛ- >
О 1=1
7.3. Методы прогонки и стрельбы.
Метод Фурье
Рассмотрим эффективные методы решения разностных уравнений, осно-
ванные на специальных свойствах оператора задачи.
Метод прогонки. Пусть требуется найти решение системы уравнений:
СоУо — ЬоУ1 = /о ,
(ЧУг-1 + СгУг ^iVi+1 fi >
—dNyN-L + CNyN = fN ,
или в векторном виде
Ay = f,
i = 0,
1 i N - 1,
i = N,
7.3. Методы прогонки и стрельбы. Метод Фурье
255
где у = (|/о,2/1, ••• ,У1ч)т —вектор неизвестных, f = (/о, Л, • • , /n)T —
заданный вектор правых частей, А — квадратная матрица размерности
(N + 1) х (N + 1)
/ Со —6о 0 0 0 0 0 0 \
-«1 С1 -61 0 0 0 0 0
0 -«2 С2 —62 .. 0 0 0 0
А- 0 0 0 0 • ~«/V-2 CN-2 —6/V-2 0
0 0 0 0 0 —UN-1 CN-1 —6n~i
1 0 0 0 0 0 0 -&N CN /
Основная идея метода состоит в представлении решения в виде
Уг = «г+12/г+1 + 3i+l , i = N - 1, N - 2, . . . , 0 , (7.6)
для которого значения иуу вычисляются по коэффициентам исход-
ной системы и правой части. Перепишем первое из уравнений (7.5) в виде
(7.6). Имеем
t/о " + 31»
«О Со
Затем к полученному соотношению добавим уравнение из (7.5) при i = 1:
УО = &1У1 +31 ,
—И1У0 + С1У1 — 61|/2 = Л ♦
Исключим из этой системы переменную уо
(ci - с^а^у! - Ь\.у2 = fi + «1З1
и перепишем полученное соотношение в виде (7.6)
a b\ а /i + ftl^l
У1 = <*2.V2 + Р2 ♦ «2 = --1-- ? Р2 = 22---—L «
01 -Ojai Н - О|*|
Следующий шаг аналогичен предыдущему: возьмем последнее соотноше-
ние и добавим к нему уравнение из (7.5) при i = 2
У1 = <*2У2 + З2 ,
— «22/1 + С2У2 — 622/3 = /2 •
Отличие этой пары уравнений от (7.7) состоит только в увеличении ин-
дексов на единицу, поэтому сразу можно написать результат шага
____ Л , о , (-) 4- «2^2
2/2 — азуз + Зз , «•_< -. .
Таким образом, добавляя каждый раз к последнему полученному соотно-
шению вида (7.6) следующее уравнение из системы (7.5), найдем формулы
для вычисления а$,3г
256
Глава 7. Элементы теории разностных схем
Этот процесс закончится, когда мы придем к последнему уравнению
системы (7.5), содержащему только два значения неизвестных:
У N-1 = ^nVn + Pn ,
+ CNyN = /n
Исключая из этой системы т/yv—1, получаем
У = fN + aN&N
что формально соответствует
Полученные соотношения называют формулами правой прогонки.
Сформулируем алгоритм решения системы (7.5). Рекуррентно вычислить
прогоночные коэффициенты
01 = ОД ’ “i+1 = Ci - ’
где i последовательно принимает значения 1,2, ...,7V — 1. Эту часть
алгоритма называют прямым ходом прогонки.
Вычислить yN:
у — fN + aN@N
on —
Рекуррентно определить остальные компоненты вектора неизвестных
У{ — С^г+1?/г+1 “Ь fti+l > 2, .. . , 0 .
Эту часть алгоритма называют обратным ходом прогонки. Данный метод
является реализацией метода Гаусса решения систем линейных алгебраи-
ческих уравнений с трехдиагональными матрицами.
Сформулируем достаточные условия корректности и устойчивости ал-
горитма.
Теорема. Пусть коэффициенты системы (7.5) действительные
и удовлетворяют условиям: Cq,cn, Щ, bi при i = 1,2, ...,7V — 1 отличны
от нуля и
|<ч| Ы + IM , i = 1,2,.. .,7V - 1,
|со I |&01 > |Ov| > \aN I ,
причем хотя бы одно из неравенств является строгим. Тогда для формул
метода прогонки справедливы следующие неравенства:
a^OL-i 7^ 0, | |^1, i 1,2,..., TV,
гарантирующие корректность и устойчивость метода.
7.27. Для решения системы (7.5) вывести формулы метода прогонки,
в которых последующие компоненты вектора неизвестных вычисляются
через предыдущие:
?/г+1 £г+1?/г "Г •>
7.3. Методы прогонки и стрельбы. Метод Фурье
257
а прогоночные коэффициенты — наоборот:
Ci V^(Ci+l ’-^) ’ Уг ^(^Zi+l, Ci+1’-^) -
Такие соотношения называют формулами левой прогонки.
Ответ: «JV = ^, ",;r . , » = ЛГ-1,ЛГ-2,...,1,
сг °гЛг+1
ijN = ^-, nt = — < г =ЛГ-1Л
C7V ' ci- biti+i
УО = йО, Уг+1 = &+1Уг + ??г+1 , « = 0, 1, . . . , N - 1 .
7.28. Для случая коэффициентов системы (7.5)
ftjV — Ьо — 0 , Qj bi 1 , Ci C , i 1,2,..., JV 1,
комбинируя алгоритмы правой и левой прогонок, записать формулы для
нахождения величины ум, где М = , дг— нечетное.
Ответ: один из возможных вариантов имеет следующий вид:
«1=0, ^«4-1 — c _ qj. > 1,2,...,M 1,
A = &- , c0 ’ — (Уi “b i)o!i4-l i — 1j 2,.. . , M 1 , CiV—i~bl — ^i j lj 2,, . . , TV/ ,
Уг (f i —i-j-l , i bV 1>У 2, . . . , M , VM 1 - ' ' 1 aM
7.29. Можно ли применить метод прогонки, если коэффициенты си-
стемы (7.5) имеют вид = со = 1,Сг = 2,г = 1,2,... ,ЛГ — 1,
ai = l, i = 1,2,... ,N,bi = 1, г =0,1,..., AT-1.
Ответ: нельзя, знаменатель в формуле для у^ обращается в нуль. Система
является вырожденной, так как Ду = О при yi = 1.
7.30. Записать формулы для решения системы
-fto^-1 + соУо - ЬоУ1 = fo , г = о,
-адг-1 + CiPi - biPi+i = fi, 1 С « С АГ - 1 ,
PN = УО ♦
Указание. Решение yi представить в виде линейной комбинации сеточ-
ных фуНКЦИЙ Щ И Vi
Уг = щ+ yoVi, 0 i N,
где щ — решение неоднородной задачи
QiUi—1 4" CiUi biUiyi = fi , — 1, = UQ j
Vi — решение однородной задачи
—a>iVi-i + CiVi — biVi+i = 0, 1 < г < AT — 1, w = г»о = 1.
258
Глава 7. Элементы теории разностных схем
Ответ: о2 = , £2 = , 72 = Г? ’
_ bj о _ fi ~Ь aiPj _ О-г7г
г+1 Ci - агаг ' Рг+1 ~ ci - а^г 7 7г+1 сг - с^оц 1
где г = 2,3,...
un-i = /3n, vn-i = «дг + 7n 5
Ui = СКг+lTti-f-1 Ч- £i+l , Vi Лг+1?/г+1 + 7г+1 ,
где i = N — 2, N — 3,..., 1;
/?W+1 + °^+ПИ , ,
Данные соотношения называют формулами циклической прогонки-
7.31. Записать формулы пятиточечной прогонки для решения системы
соУо - doyi + eGy2 = fo, i = 0,
- 612/0 + С12/1 - (hy2 + 612/3 = /1, i = 1,
О'гУг—2 bipi—i + Cipi dipi-\-i + 6^2/i+2 = fi , 2 5^ t N 2 ,
(lN-lpN-3 — bN-ipN-2 + CN-ipN-1 ~ d^-\pN = f N-l , I = N — 1 ,
CbNpN-2 ~ bNpN-1 + CnPN = }n , i = N .
Указание. Решение Pi следует искать в виде
Pi ^г+12/i+l /^i+l?/i+2 Н“ 7i+l ? О 5^ i 5^ N 2 ,
PN-1 — OlNpN + 7ЛГ •
Ответ: формулы для прогоночных коэффициентов имеют вид
Л1 = ’ «2 = хг №-£1&1),
«г+1 = 4-[ф +Д(агО!г-1 - 6*)] , г = 2,3,..., У - 1;
71 = ’ 72 = +7161),
7г+1 = 4- [fi - «г7г-1 - 7i(<Wi-i - &г)] , i = 2,3,..., N;
01 = ^-, 0^! = -^, г = 1,2,...^-2,
с0
где Д1 = Cl — «161, Лг = а — (Зг£г-1 + 1 — 6г), 2 i N.
Формулы для решения таковы:
Pi О:г+1?/г+1 £г+1?/г+2 + 7г+1 ? = •‘У 2, N 3,. . . , 0 ,
VN-1 = OiNpN + 7ДГ , PN = 7W+1
Приведенный алгоритм является реализацией метода Гаусса решения систем
с пятидиагональными матрицами.
7.3. Методы прогонки и стрельбы. Метод Фурье
259
Метод стрельбы. Идею этого подхода наиболее просто изложить в тер-
минах дифференциальных уравнений. Пусть требуется решить краевую
задачу
uff -р(х)и = f(x), 0 < х < 1, гс(О) = а, tt(l) = b.
Построим частное решение гс1(ж) неоднородного уравнения
«1 - р(х) «1 = /(ж),
удовлетворяющее условию ш(0) = а, и какое-либо нетривиальное частное
решение Uz(x) 0 однородного уравнения
tt" -р(^)«2 = о,
удовлетворяющее условию tt2(0) = 0. Решение исходной задачи будем
искать в следующем виде:
и{х) = К1(ж) + CU2(x),
где постоянная С определяется из условия
tii (1) + С гл2(1) = Ь.
Применим близкую идею к решению системы (7.5). Будем искать
решение уг в виде
Vi = + (1 - d) Vi,
где 6 — параметр, подлежащий определению, а сеточные функции щ и vt
удовлетворяют уравнениям
cotto - botti = /о , со^о ~ bovi = fo при г = 0,
-aiu^x + ащ - = fi, + CiVi - biVi+i = fi при 1 г TV - 1.
К этим системам для однозначного определения щ и Vi необходимо
добавить при Ьо 7^ 0 начальные условия и$ и ад (tto 7^ ад). Если до — 0,
то добавляют значения щ и tn (ui / vi). Теперь можно последовательно
определить tt2, ггз, ♦ , им и г»2, г»з, ♦ ♦, W. Неизвестный параметр 6 найдем
из уравнения
-aN(6иуд + (1 - 5) vn-1) + cn($ un + (1 - £) зд) = fw ,
$ _ __________________________
~ Ч/V—1) + Cn(un - vN)
Метод стрельбы — хорошее дополнение к методу прогонки: области их
корректности и устойчивости практически не пересекаются.
7.32. Для случая постоянных коэффициентов системы (7.5): со = 1,
Ьо = 0, /о - 3, = 1, а = у , bi = 1, fi = 0, aN = 0, cN = 1, fN = 4,
найти решение методом стрельбы и проанализировать его устойчивость.
О Рассмотрим вспомогательные функции щ и Vi> Из исходной системы
имеем ttg = 3. Так как до = 0, положим их = (р. Далее находим
96
Ui+i = щ - Ui-i, i = 1,2,..., N - 1.
260
Глава 7. Элементы теории разностных схем
Это решение можно представить в виде
«.= Ц^5г+^^5^, i = 0,l,...,N.
Аналогично, полагая щ = ф, приходим к формуле
Используя вычисленные un и щу, определим 6 из уравнения
д un + (1 — vn = 4;
подставляя его значение в выражение yi = 5 щ + (1 — 5) Vi, получаем
xN-i ci—N ci c--i
у. — 3 2_Z12___L 4 ~ __
Уг -5~n 5n-5~n '
В данном случае алгоритм является вычислительно неустойчивым.
Действительно, тах|ш| и тах|ъ’г растут, как 5N. Поэтому малым воз-
мущениям значений щ = <р н vi = ф соответствуют большие возмущения
в un и vn> следовательно, и в величине 5. Для исходной системы выполне-
ны достаточные условия корректности и устойчивости метода прогонки,
который и является здесь предпочтительным для нахождения у/. О
7.33. Методом стрельбы найти решение системы
Уо - У1 = о, i = 0 ,
Уг-1 - Уг + yi+1 = 0, 1 < TV - 1,
yN = 1, г = N.
Проанализировать устойчивость и корректность метода.
<] В исходной системе Ьо 0, поэтому положим уо = р. Далее находим
У1 = Уо , Уг+1 =Уг- Уг-1 , 1 i N - 1 .
Общая формула решения этой задачи Коши, зависящего от величины <р,
имеет вид
Vi = ¥> cos у- + 4= sin
О г < N.
Для постоянной <р имеем уравнение
1 = yN = Ф cos + у= sin
которое однозначно разрешимо при N — l + 3fc,fc = 2,3,... . Это огра-
ничение для N является условием применимости (корректности) метода
стрельбы. Сам алгоритм является вычислительно устойчивым, так как
корни характеристического уравнения
ц2 — р 4" 1 = О
комплексно сопряжены и по модулю равны единице, следовательно, не
приводят к росту возмущений начальных данных. О
7.3. Методы прогонки и стрельбы. Метод Фурье
261
7.34. Для краевой задачи
- и” + и = f(x), 0 < х < 1, ад(0) + w'(0) = а , и(1) + и(1) = 6,
построить трехточечную разностную схему порядка аппроксимации O(h2)
и проанализировать устойчивость метода стрельбы для нахождения ее
решения.
7.35. Для задачи
1
— и" + и = f(x), 0 < х < 1, и(0) = а, §u(x)dx = b,
о
построить разностную схему и предложить метод нахождения ее решения.
Метод Фурье (базисных функций). Рассмотрим метод решения си-
стемы линейных уравнений Ay = f, у, f G R7^, при условии, что известны
все собственные векторы и собственные значения матрицы А:
АфМ =Л(пМп), n=l,...,N,
и система {<р^} образует ортонормированный базис в пространстве К.7*.
N
Будем искать решение в виде У = сп^п^- Подставим данное разложе-
п = 1
ние в исходную систему уравнений
/ N X N
А ( £ cn^ J = £ = f.
''П=1 ' п=1
Умножая последнее равенство скалярно на т = 1,..., N, и учитывая
ортонормированность базиса, получим
' N
£ Х^сп^п\<р^
71=1
т. е. стХ^т^ = Отсюда находим коэффициенты ст = ’ ,
т = 1,... ,7V, и затем вычисляем вектор у.
Проблема нахождения собственных векторов и собственных значе-
ний в общем случае значительно сложнее решения системы линейных
уравнений, поэтому данный метод применяют для задач с известными
собственными векторами и собственными значениями. Например, для
решения задач, возникающих при аппроксимации уравнений в частных
производных.
7.36. Найти методом Фурье решение задачи
_ ~ + Уг—у — f. A — 1 дг _ 1 — 7. — n U ____ J_
,2 «/t? 1, ..., iv 1, 7/q уу[ U, П — •
262
Глава 7. Элементы теории разностных схем
Указание. В данном случае собственные векторы и собственные значе-
ния можно найти аналитически:
= х/2 sin(7rm/z), Х^ = 4r sin2 (4^) , п = 1,..., N - 1.
При этом ортонормированы относительно стандартного скалярного
N-1
произведения — 22 ЩЩ Ь-
г=1
7.37. Найти методом Фурье решение задачи
_Уг+1~2Уг+Уг-1 =f^ i = h =
- А (У1 - Уо) = /о, -^(.VN - VN-1) = fN-
Указание. Собственные векторы и собственные значения имеют вид
<>40) = = cos(TvNih) = (-1)\
4^ = \/2 cos(7rmh), n = 1,... N — 1,
A(0) = 0, X^> = 4 sin2 , n = 1,.. .N.
h2 \ 2 )
При этом ортонормированы относительно следующего скалярного
произведения:
TV-i . / , \
/ (п} (тп)\ («) (m) I I h ( (п) (т) . (п) (ш) 1
= 22 <Р- Vi h + f Vo Vo + ‘Pn 4>n ) •
1=1
-----------Глава 8---------
Дифференциальные уравнения
В главе рассмотрено численное решение обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений первого и второго порядка. Общая теория разностных
схем применена для построения дискретных аналогов дифференциальных
задач с начальными или краевыми условиями. Конкретизированы поня-
тия аппроксимации, устойчивости и сходимости. Особое внимание уделено
исследованию методов решения и оценкам погрешности.
8.1. Задача Коши
Конкретизируем в случае задачи Коши для обыкновенного дифференци-
ального уравнения
V = (8.1)
у(хо) = Уо, (8.2)
общие понятия разностного метода. Пусть, для простоты, рассматривается
равномерная сетка xk = хо + kh, к 0. Тогда разностной схемой для
задачи (8.1), (8.2) называют семейство разностных уравнений
т- 52 a-iVk-i = 52 к = П,П + 1, ..., (8.3)
i=0 *=°
с известными начальными условиями у$ = ?/(жо), 2/ь • - • ? Уп-i, где u_i,
не зависят от /г, ао 7^ 0 и fk-i = Ук-гУ
Разностная задача (8.3) аппроксимирует на решении (8.1) диффе-
ренциальную на отрезке я?о + X] с порядком р, если для функции
погрешности
п п
rk = jP£ a-iy{xk-i) - 52 b-if(xk-i,y(xk-i)')
i=0 i=Q
справедлива оценка ||гЛ| ph chp и выполнено условие нормировки
lim || fh |rh — I f II f- Напомним, что постоянные с и р не зависят от шага
h—>0
h.
В общем случае задача (8.3)—нелинейная система, поэтому аппрок-
симацию левой и правой частей уравнения (8.1) нужно рассматривать
отдельно. При оценке порядка аппроксимации разностной схемы следует
также учитывать порядок, с которым начальные условия аппроксими-
руют значения точного решения задачи (8.1), (8.2) в соответствующих
узлах сетки. Если рассматривается только уравнение (8.1) без начального
условия (8.2), то под разностной схемой понимают систему (8.3), а ее
начальные условия во внимание не принимают.
264
Глава 8. Дифференциальные уравнения
Рассмотрим характеристическое уравнение для левой части разностной
схемы (фактически для аппроксимации уравнения уг = 0):
п
г=0
Схема называется a-устойчивой, если выполнено следующее условие: все
корни характеристического уравнения принадлежат единичному кругу
и на границе круга нет кратных корней. Это условие является необ-
ходимым. Можно показать, что для любой разностной схемы, не удо-
влетворяющей условию Q-устойчивости, существует дифференциальное
уравнение с бесконечно-дифференцируемой правой частью, для которого
даже при отсутствии округлений и погрешностей в начальных данных,
решение его разностного аналога не стремится к непрерывному решению
при измельчении шага.
Если в задаче не приведен конкретный вид правой части, то устойчи-
вость понимают в смысле а-устойчивости.
8.1. Показать, что необходимым и достаточным условием аппроксимации
уравнения (8.1) разностными уравнениями (8.3) является выполнение
п п п
равенств: ^2 a-i — 0? — 52 — 1, 52 b-i — 1 •
£=0 г=0 г=0
<] Пусть у(х) — произвольная гладкая функция. Тогда условия аппрокси-
мации для левой и правой частей уравнения (8.1) означает справедливость
соотношений в произвольном узле Xk, к п:
lim a-iyk-i = y'(xk), lim V b_if(xk-i, Vk-i) = f(xk, Ук)-
h—>0 n h—>0
г=0 г=0
Согласно формуле Тейлора,
у(х - ih) = у(х) - ihy'(x) + (Э(/г2),
/(ж - ih, у(х - ih)) = f(x, у(х)) + 0(h).
Подставляем эти выражения в условия аппроксимации, имеем
откуда в силу произвольности функции у(х) и следует необходимость
и достаточность указанных в условии задачи равенств. [>
8.2. Проверить, аппроксимирует ли разностная схема уравнение (8.1):
1) £ (.Ук - Ук-i) = fk-Г, 2) % (Ук - Ук-1) = 7pfk + fk-1)-,
(Ук Ук—1) = 2 (.*Ик — 1 fk — 'z')} 4) (т/fc Ук—з) = fk—Г,
5) (ук-Зук-2+2ук-з') = ^ (А-1+А-2); 6) (Зз/к-4г/к-1+г/к-2) = А.
8.1. Задача Коши
265
Указание. Использовать условия, сформулированные в 8.1.
Ответ: 1) да; 2) да; 3) да; 4) да; 5) нет; 6) да.
8.3. Для задачи у' + у = х +1, ?/(0) = 0 рассматривается схема
2* + ^+1+^ = (fc+1) /I +1, уо = О.
fl £ \ /
Каков порядок аппроксимации на решении данной схемы?
Ответ: второй.
8.4. Для задачи у1 + у — х +1, г/(0) = 0 рассматривается схема
У*+1'ЙУ*~1 +yk = kh + l, 2/о=О, 2/1=0.
Каков порядок аппроксимации на решении данной схемы? Можно ли его
улучшить?
Ответ: первый; можно, если положить yi = Л,, то порядок аппроксимации
равен двум. В отличие от дифференциального случая для разностной задачи
необходимы два начальных условия. Поэтому аппроксимация решения в точке
х = h — часть формальной аппроксимации дифференциального оператора L.
8.5. Пусть для решения задачи у' -\-оу = о. у(0) = 2 построена следующая
разностная схема:
Ук+1^1Ук~1 +5^ = 5. 3/о = 2, t/! =2-5Л.
Исследовать ее аппроксимацию и сходимость.
О Схема имеет второй порядок аппроксимации на решении. Проанализи-
руем сходимость. Несложно показать, что точные решения дифференци-
альной и разностной задач имеют вид
у(х) =е~5х-\-1?
yfc = l + Ci^i+ С2М2, м .• ~ ± \ 1 * -!mi <1, M2I> 1-
Так как коэффициенты 6i, С <2 находятся из начальных условий у^ у у.
1 + 61+62=2, 1 + С1//1+С2М2 = 2-5/г,
то имеем 61,62 0. Следовательно, решение разностной задачи содер-
жит растущую компоненту, и разностная схема на больших промежутках
времени неверно отражает решение дифференциальной задачи, хотя схема
Q-устойчива и разностное решение сходится на любом конечном интервале
к решению дифференциальной задачи. О
8.6. Для задачи
y' + a(x)y = f(x), y(Q) = с
рассматривается схема
+ (a )) (&1/* + &2Ук+ 1) = 7i /(xjt) 4- 721),
:уо = с-
266
Глава 8. Дифференциальные уравнения
Какими следует выбрать cik-.pk и '/&, чтобы получить второй порядок
аппроксимации на решении?
1
Ответ: все коэффициенты равны j.
8.7. Построить для уравнения (8.1) разностную схему с наивысшим
порядком аппроксимации р на решении
Ук 2fefc~2 =ai/fc~l~Qo/fc-i + a-ifk-2-
У к а з а н и е. Использовать метод неопределенных коэффициентов по-
строения разностных схем, заменив / на t/ и сдвинув (для удобства
вычислений) индексы заменой j = k — 1.
Ответ: щ =a-i = ^-,ао = |,р=4.
8.8. Исследовать устойчивость разностной схемы
£ ?/ь+1 ~ У к + _ 0) Ук. У к-1 _ д при е [О,
П
Ответ: схема устойчива при 0 = 0 и 1^0^^.
8.9. При каких а, b и с схема
I (.Ук 4-ayk-1 -аук-з -Ук-л) = bfk-i + cfk-2 + bfk-з
для уравнения у' = f имеет максимальный порядок аппроксимации на
решении? Выполнено ли условие а-устойчивости?
<] Учитывая необходимые условия аппроксимации (см. 8.1), запишем
систему для определения коэффициентов
2а + 4=1, 26 + с=1, 8 + а = 36,
или a = —1> Ъ = с = — у-. При этом характеристическое уравнение
имеет вид
(м2-1) р-| /1+1) =0,
у & J
т. е. условие Q-устойчивости выполнено.
Без учета нормировки lim || fh ||р = || / ||р можно прийти к неверному
h—>0
ответу: a = 28,6 = 12, с = 36, для которого условие Q-устойчивости не
выполнено. [>
8.10. Исследовать сходимость решения разностной схемы
+Wk-i=0, <po = a, h = ±,
^-^-1 ^0 = b, к = 1,
8.1. Задача Коши
267
к решению дифференциальной задачи
wz+Zv = 0, u(0) = a,
v' — lu = 0, v(Q)=b
на отрезке хб [0,1] при 1 = const 0, используя решения обеих задач.
<1 Запишем дифференциальную задачу в виде
у' = -Ау, y(0) = d,
где
Тогда
у = ехр(—Ах) d.
Так как Л1т2(Л) = ±П, то, обозначив через X матрицу, столбцами которой
являются собственные векторы матрицы А, получаем
Для нахождения решения разностной задачи представим ее в виде
Ук=Ау£_1> *=1, Уо=а,
где
Ук~\Фк)’ Ah~1 hA \hl 1 J'
Так как yjt = (Ah)k уд, то
vh=X 0 Y-i<i
Ук V 0 (l + ilh)k)X
При нахождении (Ah)k использовано совпадение собственных векторов
матриц и А и связь между их собственными числами
X(Ah) = l-hX(A).
Можно показать, что ехр (±ilxk) — (1 ± ilh)k = 0(h), и так как по условию
kh 1, то для к = 1,2,. ..,7V имеем ||y(zfc) - у£||оо = 0(h). Вводя
в пространстве Y^ норму
Цул1|ун ^max^lly^lloo),
приходим к следующей оценке сходимости решения разностной схемы
к решению дифференциальной задачи
||(у)л-Ул||ул=О(/1).
Таким образом, схема имеет первый порядок сходимости. [>
8.11. Для задачи у1 = у, у(0) = 1 рассмотрим схему
Ук+1 ~Ук _ _ 1 -к > л
д —Ук> yd— Л К з?и •
В разложении ошибки y(xiv) — yN = Cih-\-c2h2 J- найти постоянную ci
для xn — Nh = l.
268
Глава 8. Дифференциальные уравнения
О Для разностной задачи имеем
Vn = (1 + h~}yN-i = (1 + h)Ny0 = (1 + h)N,
а точное решение дифференциальной задачи при х
у(Дм) =ехр(а?уу). Пусть хм = N h = l, тогда
xм равно
е —exp iln(l + ft)
) = | h + O(h2).
/ £
y(xN) - yN = е - (1 + h)1/h =
= е ^1 — exp — у + О(Л2)
Ответ: Ci =
8.12. Для задачи у( = у, t/(0) = 1 рассмотрим схему
?/fc+l Ук _ Ук+А. + Ук ___ -1 £♦ "> О
----д--- ----2---’ Уо ~ 15 * °'
В разложении ошибки у(хм) -ум = сДг Ч- C2h2 Ч--найти постоянную сг
для хм = Nh = 1-
Ответ: ci = О-
8.13. Для задачи у' = у, у(0) = 1 рассмотрим схему
=Ук, ^ = 1, ш=е\ fc>l.
В разложении ошибки у(хм) - Ум = cih + C2h2 Ч--найти постоянную сг
для хм = Nh — 1.
Указание. Вывести формулу
ук = у0 [ >4 „*=---->4— д*1 + У1 Г----!- д* + ---!-- д*1 ,
Lm2 - Ml М2 -Ml 2J L М2-Ml 1 М2-Ml j
где Mi,2 — корни уравнения p2 4- 2hp — 1 = 0:
щ = -h + Vх! + h2 = 1 - h + 'у + O(/i4), ц2 = - (1 + h + + O(/i4).
Ответ: Ci =0.
8.14. Для задачи yf = у, y(fi) = 1 рассмотрим схему
4 Ум^-х _ 3 Vk = ук^ yQ = ъ У1 = efej к L
В разложении ошибки у(хм) — ум = cih Ч- C2h2 Ч- найти постоянные ci
и С2 для хм = Nh = 1.
Ответ: эта схема неустойчива, сходимости нет.
8.15. Для задачи у' + у = cos 2х, у(0) = 0, построить трехточечную
разностную схему второго порядка сходимости.
Ответ: например,
yk+1K} Vk~ фук = cos(2/ifc), ?/о=0, 2/1= /г, k 1.
8.1. Задача Коши
269
8.16. Для задачи у' + оу = sin 2х, у(0) = 2, построить двухточечную
разностную схему второго порядка сходимости.
Ответ: например,
Ук+1 ~ Ук I к yfc+1 + Ук _ sin(2/i(fc + 1)) + sin(2/ifc) о п
---------г О----2----------------2---------’ К U‘
8.17. Для задачи у' — у = ехр 2ж, ?/(0) = 1, построить трехточечную
разностную схему второго порядка сходимости.
Ответ: например,
Ук+12НУк~1 ~Ук = exP(2/i^)’ 3/0 = 1, У1 = 1 + 2/i, k 1.
8.18. Для задачи yf — 2у = exp х, ?/(0) = 1, построить двухточечную
разностную схему второго порядка сходимости.
Ответ: например,
=expWfc + + exp(ftfc). уо = 1> *><>
8.19. Привести пример неустойчивой разностной схемы, аппроксимиру-
ющей уравнение у' = f(x,y) строго: 1) с первым порядком; 2) со вторым
порядком; 3) с третьим порядком.
Указание. Например, можно взять заведомо а-неустойчивую схему
4 Ук+12кк~г ~ 3 Ук =cfk-i + dfk + e Л+1
и методом неопределенных коэффициентов получить заданный порядок
ап п роксимаци и.
8.20. Найти главный член погрешности аппроксимации на решении
и исследовать устойчивость разностной схемы
У к ~ У к—2 _ fk + 4/fc-l + fk-2
2h 6
Ответ: — схема a-устойчива.
8.21. Найти главный член погрешности аппроксимации на решении
и исследовать устойчивость разностной схемы
Ук+i ~ Ук _ 5fk + 8/k+i - fk+2
h 12
Ответ: схема a-устойчива.
8.22. Найти главный член погрешности аппроксимации на решении
и исследовать устойчивость разностной схемы
Ук+А ~ Ук _ 2 /fc+1 ~ fk+2 + 2 /fc+3
4/i 3
Ответ: схема а-устойчива.
270
Глава 8. Дифференциальные уравнения
8.23. Найти главный член погрешности аппроксимации на решении
и исследовать устойчивость разностной схемы:
Ук + АУк-1 - 5Ук-2 _ 2/fc-i + fk-2
-------6Л---------------3-----•
Методы Рунге—Кутты и Адамса. Один из наиболее популярных
подходов к решению задачи Коши для уравнений первого порядка
yf = у(хо) — У о заключается в следующем. Зафиксируем некото-
рые числа «2, • ♦ •, Pi, •. •, Pg, 0гj>, 0 < j < i < q, и последовательно
вычислим
ki(h) = hf(x, у),
A:2(/i) = hf(x+a2h, у +/32:iki(h)),
А'д1,Л) = hf(x 4- Otqh, У + h I + • • • + 3g.g-l (Л-)).
Расчетная формула имеет вид
у(х + Л) as г(Л) = у(х) +
г=1
Обозначим погрешность метода на шаге через = y(x + h) — z(h). Если
/(ж, у) — достаточно гладкая функция своих аргументов, то справедлива
формула Тейлора
где 0 < 0 < 1. Выберем параметры метода р$, 0^ так, что
(р'(0) = • • • = <р^(0) = 0. Тогда величина s называется порядком метода.
8.24. Построить метод при q = 1 и записать формулу погрешности.
<| Имеем
<р(/г) = у(х + Л) — у(х) - Pihf(x, у), <р(0) = 0,
</(0) = (у'(х + Л) - Р1/(ж, у)) Л=о = /(ж, у)(1 - pi),
= у"(х + /г).
Равенство <р'(0) = 0 выполняется для всех гладких функций /(ж, у)
только в случае = 1. Для погрешности этого метода на шаге получаем
выражение
8.25. Построить все методы при q = 2.
<1 Запишем расчетную формулу в виде
<р(/г) = у(х + /г) - у(х) - Pihf^x, у) -p2hf(x, у),
8.1. Задача Коши
271
где х = х + (*2^5 У = 02ihf(x, у). Вычислим производные функции (p(h):
’p'W =y'(x+h) -Plf(x, у) -P2f(x, y)-p2h(a2fx(x, y)+021fV(x,y)f(x, y)),
(h)=y”(x+h)-2p2(a2fx{x, y)+02ify(x,y)f(x, y))~P2h(o%fxx(x, y) +
+2a202lfxy(.X, y)f(x, y) + /3hfyy(x, y)(J(x, y))2),
<p"'W =y"'(x+h)-3p2(alfxx(x, y) + 2a2B2lfxy(x, y)f(x, y)) +
+02ifvy{x,y){f{x,y))2)+O(h).
Согласно исходному дифференциальному уравнению
yf = f- yff— fx + fyf, y((( = fxx + 2fxyf + fyy f2 + fyy” •
Подставим в выражения <p(/i), <pz(/i), ^Ч^)? p'” W значение /г=0; восполь-
зовавшись этими соотношениями, получим
^(о)=?/-?/=о>
<Z>'(O) = (1—Pi —у),
<р"(0) = (1-2р2а2)/ж(ж, p) + (l-2p2j02i)/?/(a;, y)f(x, у), (8.4)
#"(0) = (1-Зр2а|)/жж(а:, ?/)+(2-6Р2^21)/Ж2/(ж, y)f(x, у) +
+ (1-3^21)/^(Ж, p)(/(^, y))2 + fy(.X, у)у"(х).
Соотношение </(0) = 0 выполняется при всех /(ж, р), если
1-Р1-?2 = 0, (8.5)
соотношение <р"(0) = 0 выполняется, если
1 - 2р2«2 = 0 и 1 — 2р2/^21 — 0- (8.6)
Таким образом, <р(0) = <р'(0) = <pz,(0) = 0 при всех у), ес-
ли выполнены три соотношения (8.5), (8.6) относительно четырех па-
раметров. Задавая произвольно один из параметров, получим различ-
ные методы Рунге—Кутты с з = 2. Например, при pi = получаем
Р2 = |, <*2 = 1, ^21 = 1. При р1 = 0 получаем р2 = 1, а2 = £21 =
В случае уравнения у' = у, согласно (8.4), имеем ^"'(0) = у независимо от
значений pi, р2, а2, Д21. Отсюда следует, что нельзя построить формул
Рунге—Кутты со значениями g = 2 и s = 3, О
8.26. Определить порядок метода s для следующей совокупности формул
ki = hf(x, у), к2 = hf (х + у + ,
k3 = hf{x + h,y-k1+2k2\ z(h)=y(x)+ fci+4fe + fc?
Ответ: 5 = 3.
272
Глава 8. Дифференциальные уравнения
8,27, Определить порядок метода s для следующей совокупности формул
при q = 4:
ki = hf(x, у), к.. = l.f ( г + у - .
кз = hf (x + у + , k4 = hf(x + h, у + fc3),
z(h) = v(x) + *1+2*2 '.2fc3+fcl.
Ответ: s = 4.
8.28. Доказать, что погрешность метода на шаге 99(h) имеет главный
член, т. е. справедливо представление вида
92(h) = <ф(х, y)hs+1 + O(hs+2).
<| Пусть в уравнении yf — f функция f(x,y) и все ее производ-
ные до порядка s + 1 включительно равномерно ограничены в области
G : жо С х С ж0 + X, —оо < у < оо. Тогда также равномерно
ограничены производные всех решений уравнения у' = f до порядка s + 2
включительно. В этом случае согласно формуле Тейлора представление
погрешности можно записать в уточненной форме
=
'Л+2)(ОД
(з 4-2)1
Отсюда имеем
</s+1)(0) = j/s+1)(0) - /s+1)(0).
Величины y<s+,)(0) и z(s+1)(0) явно выражаются через значения в точке
(Ху у) функции / и ее производных порядка не выше з. Правая часть ра-
венства дифференцируема s + 1 раз, отсюда следует, что функция ^(х, у)
дифференцируема в области G и ее производные 4>x и равномерно
ограничены в этой области. Аналогично устанавливается, что величина
9^s+2\0h) равномерно ограничена при Xq х < х + h жо + X. Таким
образом, искомое соотношение имеет место. [>
8.29. Найти главный член погрешности расчетной формулы
Уз*+1 = Уз + hf(xj, Уз),
Уз+i = Уз +7 (Ж. %) + Ж+1, %+1))-
Ответ: (B — A)h3, где В = A=fxx +
8.30. Найти главный член погрешности расчетной формулы
У>+1/2 = + 2
Уз+i = Уз + hf (xj + 1,2/J-1-1/2) •
Ответ: (в+4)л3,гдеВ = ^, А = /^+2by^+W^)2 .
8.1. Задача Коши
273
Формулы Адамса. Явной формулой Адамса для решения уравнения
yf = f(x,y) называют выражение
т
Ук - У к-i = h ^2'7jV7fc-i;
г=0
неявная формула Адамса имеет вид
т.
У к - У к-i = h 52 fi^fk,
i=0
где .
V'A = Xt-WClfk-j,
j=o
а коэффициенты 7i и yi определяются следующим образом:
8.31. Вывести явные формулы Адамса р-го порядка точности для
р = 2,3,4.
Ответ: yj+i=yj +(3/j , Р = 2’
Уз+l — Уз + (23 Л - +5/j-2)& , р = 3;
Уз+1 = % + (55 fj - 59/j-i +37/j_2 - 9/j-3) £ , p = 4.
8.32. Вывести неявные формулы Адамса р-го порядка точности для
Р = 2,3,4-
Ответ: yj+i = Vj + (Ь+i +/j) | , р = 2;
yj+i =yj 4" (5 fj+i + 8 fj — fj—i) , p = 3;
yj+i =Уз + - yf > p = 4.
8.33. Показать, что для коэффициентов у± в формулах Адамса при г —> оо
справедлива асимптотика
~ const ~ const
~ In г ’ ” ~ i In г
Уравнения второго порядка. Рассмотрим следующую задачу:
р" = /(ж, у, у'), у(хо) = а, у'(хо) = Ь. (8.7)
Вводя новую неизвестную функцию v(x) = у'(х), ее можно свести к систе-
ме уравнений первого порядка
v' = f(x,y,v), «(®о) = 6,
у' = V, ?/(яо) = а,
а для ее решения применить рассмотренные выше методы.
274
Глава 8. Дифференциальные уравнения
Однако алгоритмы, ориентированные на специальный класс задач,
часто более эффективны. Далее будем предполагать, что функция / не
зависит от у': z /ч
f(x,y,v) = f(x,y).
В этом случае (по аналогии с задачей Коши для уравнения первого
порядка) разностной схемой на равномерной сетке Xk = хо + kh, к О
называют семейство разностных уравнений
А ^2 a-iVk-i = > к = П,п+\, ... . (8.8)
™ г=0 г=0
с известными начальными условиями уо = у(хо), У1, • • • } Уп-i, где b_i
не зависят от /г, ао 0 и Д-г = Ук-i)-
Схему для уравнения второго порядка называют а-устойчивой, если
выполнено следующее условие: все корни характеристического уравнения
принадлежат единичному кругу и на границе круга нет кратных корней,
за исключением двукратного корня, равного единице.
8.34. Получить необходимые и достаточные условия аппроксимации
уравнения (8.7) разностными уравнениями (8.8).
Ответ: £й_г=0, 52 ia-i — 0, 52*2а-*=2> 52 = 1-
i=0 i=0 i=0 г=0
8.35. Определить порядок аппроксимации на решении разностной схемы
Нумерова р
Ук+1 ~ ^Ук + Ук—1 _ fk+1 ~Ь IQ/fc fk—1
h2 ~ 12
Ответ: главный член погрешности равен ?/6)(£),р = 4.
8.36. Определить порядок аппроксимации на решении разностной схемы
Ук+1 ~Ук~ У к-2 + Уь-Ъ = 5fk + 2/fc-! + 5Д-2
3/i2 12
Ответ: главный член погрешности равен т/6) (£) ,р = 4.
8.2. Краевая задача
Рассмотрим первую краевую задачу для обыкновенного дифференциаль-
ного уравнения второго порядка:
-(k(x) и)' + р(х) и = f(x), 0 < х < 1, и(0) = г/(1) = 0 .
Предполагаем, что коэффициенты уравнения удовлетворяют условиям
О < ко к(х) 0 р(х) pi. На любом из концов отрезка
краевое условие может быть задано в виде линейной комбинации функции
и производной а и + buf = с. В этом случае следует обратить внимание
на способ его аппроксимации. Если это не оговаривается специально,
то в задачах параграфа сетка на отрезке [0,1] выбирается равномерной:
Xi = i h, i = 0,..., TV, N h = 1.
8.2. Краевая задача
275
8.37. Определить локальный порядок аппроксимации в точке xi = ih для
операторов ЬиЬь:
Lu = (Lhuh)i = ± [fc(xi+i/2) Ui+l~Ui ~ Щ "ft*-1] ,
считая коэффициент k(x) достаточно гладким.
Ответ: р=2.
8.38. Для задачи
—и" + и = f(x), w(0) = u(l) = О,
рассматривается разностная схема
_ ^4.1-2^+^-! + (cm.+i + + = /(а.г) + g ,
1 < i < N — 1, uq = un = 0, Nh = 1.
При каких a, и 7 аппроксимация на решении имеет четвертый порядок?
Ответ: a = 'у = /3 = ^.
8.39. Используя значения функции и(х) в точках xq = 0 и Xi = /г,
построить аппроксимацию второго порядка граничного условия
aw(0) + bu'ffi) = с для уравнения
- и" + р(х) и = f(x).
<] По формуле Тейлора
u(h) = а(0) + Ли'(0) + и"(0) + О(7г3),
откуда получаем
а'(0) = uW - «(0) _ h u„(0) + 0(/l2)
Из исходного уравнения имеем
-«"(0) = /(0) - р(0) «(0),
следовательно,
аи(0) + b | (/(0) - р(0) а(о))] = с + O(h2).
После замены гг(О) на uq и u(h) на tti получим, что искомая аппроксимация
имеет вид / . \
(а-|Ьр(0))ио + Ь^4-а=с-ЪЛ0). >
\ jL J I I J-J
8.40. Для задачи
— и” + р(х) и = f(x), г/(0) = 1, «(1) = 0
построить разностную схему второго порядка аппроксимации на сетке
хг = (j' - h, i = 0,..., N, h = (^N - .
Ответ: — ц*+1 ~2^2 + Ц*-1 3rp(xi)ui = 1 г N - 1, 1X1 ~ и° = 1,
un = 0 . Отметим, что «о аппроксимирует и (- ^1, un аппроксимирует w(l).
276
Глава 8. Дифференциальные уравнения
8.41. Исследовать устойчивость разностной схемы
_ щ - 2ui + = N _ Uo = UN = о, Nh = 1
h
и показать, что при h —> 0 число обусловленности матрицы алгебраической
системы для нахождения щ имеет порядок O(h~2).
<] Так как (см. 2.86) собственные значения разностной задачи
Цг+1 -2и,+Цг-1 =_Xuit l^i^N-l,Uo=UN=O, /l=V’
имеют вид
Д(">) = 4 Sin2 21^ , т=1,...,ЛГ-1,
h3 -
то можно проверить, что справедливы оценки
Amin = А(1) = 4 sin2 7-ф > 4, Amax = A(N-1) 4 .
h z h
Отсюда следует порядок обусловленности системы. Выше было использо-
вано неравенство
sin|/3|>2|/3| при | j| < -
Исходная задача записывается в виде A u = f, или в силу невы-
рожденности матрицы A u = A-1f. Отсюда получаем неравенство для
евклидовой нормы векторов
|и||2 С || А 11| 2 ||flh’
Подчиненная матричная норма (см. 5.5) имеет вид А| 2 = Allt 1ЧI UА).
В рассматриваемом случае
и выполнение неравенства Amjn(A) = А^1^ ^Сс постоянной, не зависящей
от h, по определению означает устойчивость схемы в евклидовой норме.
Отсюда следует устойчивость в норме пространства £2,/и которая отлича-
ется от евклидовой постоянным множителем h. О
8.42. Получить на основе принципа максимума при / € [0,1] оценку
скорости сходимости
,2
, !"(<) - '•!< gg max|/"(aj)|
решения разностной схемы
_ f.t i^i^N-l,uo= uN = 0, Nh = l,
к решению дифференциальной задачи
— u" = /, u(0) = u (1) = 0 .
<] Введем обозначение
НуЛ — ~ ~Г 1
8.2. Краевая задача
277
и покажем, что если 0 при ? = 1,..., 7V — 1 и ад = им = 0, то щ О
при всех г.
Пусть d = min г/i < 0 и q — такое наименьшее целое, что uq = d. Тогда
i
Uq— х dy -1-1 d и
ц ) = - d) + (“g-l - <*) > 0
hr
Полученное противоречие доказывает, что щ 0 при всех I.
Следующий шаг — доказательство неравенства
max luj т U, где U = max
3 0<i<N
Введем функцию
W { = ^(1~^ и, г = 0,
удовлетворяющую условиям Wi 0 и l(wi) — —U. Теперь для функций
Wi ± щ справедливо
l(wi ± Ui) = —U ± l(ui) О, Wq ± Uq = WN ± Un = 0 .
Поэтому, используя доказанное выше свойство, имеем wi ± Ui 0, откуда
и следует требуемое неравенство
luJ < Wi < max wi < U.
0<i<N 8
Последний этап — определение величины U. Используя формулу Тейлора,
запишем уравнение для погрешности u(xi) — щ
/(«(*<) - = § «(4)fe) = - 17 /"(&) •
.2
Отсюда находим U = тах|/"(ж)|, что и приводит к искомой оценке.
[0,1]
Исследование устойчивости методом априорных оценок. Рассмот-
рим этот метод на примере дифференциальной задачи
— utf + р(х) и = /(ж), 0 < х < 1, u(0) = u(1) = 0, р{х) 0 .
Возьмем интеграл по отрезку [0,1] от обеих частей уравнения, предвари-
тельно умножив его на ut
1 11
j*(-u,f)u dx + j* pu2dx = j* fudx.
0 0 0
В результате интегрирования по частям получаем интегральное тождество
1 1 1
§(uf)2dx + j*pu2dx = fudx .
ооо
Далее нам потребуется неравенство, связывающее интегралы от квадратов
функции и ее производной. Из равенства
«о
u(xq) = J u'(x) dx
о
278
Глава 8. Дифференциальные уравнения
следует, что
|tt(^o)|2< 12(±е^ ( J (u')2dx\ J (u')2dx §(u')2dx .
\ о / \ о / о о
Интегрируя по xq обе части неравенства, получаем искомое выражение
1 1 1
]* |гс(жо) \2dxo < §(u')2dx J dxQ,
о оо
Окончательно имеем
11 11
j* u2dx J(uf)2dx + Jpu2dx = j* /'
oo oo
откуда
ll“lk2 < II/IIl2, где ||a||22 = Ju2dx.
0
Полученная априорная оценка решения означает устойчивость задачи по
правой части.
8.43. Исследовать методом априорных оценок устойчивость простейшей
разностной схемы
_ Ш+1 ~ 2Щ + Ш-1 + р. ц. = 1 < , йС TV — 1, U0 =UN=0, Nh = 1.
h
О Умножим ?-е уравнение на щ и просуммируем от 1 до (N — 1). Учиты-
вая, что uq = un = 0, имеем
N-1 ЛГ —1
- ^2 И “ Ui^Ui + 52 ^Ui ~ =
i=l 2 = 1
N NN
5 Ui— 1 yili — 1 Н- 5 ^(ш Ui—l^Ui — Ui— 1)
i=l i=l i=l
Отсюда следует сумматорное (аналог интегрального) тождество
N N-l N-1
-Г - ш-i)2 + ^2 piU? = ^2 ftui,
h i=l i=l i=l
N
которое, учитывая обозначения Vz/i = щ — Wi-i, (w,t>] = 5? (w,v) =
i=i
N-l
= 52 uiViy запишем таким образом:
2 = 1
i (Va, Vwj + (pa,a) = (/,«).
Докажем сеточный аналог неравенства для функции и ее производной.
к
Представим значение ик в виде суммы ик = 52 (^ — Ш-i)- Отсюда следует,
2 = 1
что для любого 1 к N — 1 справедливо неравенство
fc fc N
uk У2 l2 52(ш - Ш-1)2 < N 52(ш - Ш-1)2.
2 = 1 2 = 1 2 = 1
8.2. Краевая задача
279
Суммируя по переменной к, получим
N—l 7V-1
Таким образом, ui 22 fi-> и априорная оценка решения разност
г=1 г=1
ной задачи в норме ||tih.|lh — к(и^,и^) пространства согласованной
с непрерывной нормой £2, имеет вид < IIА II/г- С>
8.44. Для гладких функций и(х) таких, что гг(О) = и(1) = 0, получить на
основе рядов Фурье неравенство
1 1
J*u2{x)dx -1- §(u'(x))2dx
о % о
и его дискретный аналог на равномерной сетке.
Указание. Воспользоваться спектральной задачей
-и" = Хи, и(0) - «(1) = О
и ее дискретным аналогом (см. 2.86).
Операторы с особенностями. Преобразование декартовых координат
в полярные, цилиндрические или сферические может приводить к локаль-
но неограниченным дифференциальным операторам.
8.45. Построить интегро-интерполяционным методом разностную схему
для задачи
- - (ru)' = f (г), 0 < г < R, lim г и' = 0 ,
Р г—>0
на сетке = 1 = Р + N h = R }
u(R) = 0,
<] Важными данными задачи являются условие ограниченности решения
в нуле и сдвинутая на £ сетка. Во внутренних узлах схема имеет обычный
ВИД
11г. /о
^г+1
h
Щ ~ иг_г
h
— ri-\/2
Построим уравнение при i = 0 (это соответствует значению г = j).
Умножим уравнение на г и проинтегрируем его от е до h. Имеем
h,
J* [(т-'м/У + г f(r)] dr = 0 .
s
280
Глава 8. Дифференциальные уравнения
Переходя к пределу при о ч 0 и используя условие ограниченности,
получим
h uf(h) + jт f (r)dr = 0 .
о
Теперь аппроксимируем полученное выражение в точке г =
ц>1 — цр . h f / — П
h 2 J \2)
Аппроксимация второго порядка для условия u(R) =0 имеет вид
U/V + U/V-1 = Л
8.46. Построить интегро-интерполяционным методом разностную схему
для задачи
— - (ruf)f = f (г) , 0 < г < R, lim г uf = 0, u(R) = 0 ,
г г—>0
на сетке Dh — {п = ih, 0 i N, N h = R} .
Ответ: во внутренних узлах схема имеет вид, как в 8.45 (разница только
в определении ri). Правое краевое условие иу = 0, а левое краевое условие
таково:
ui - цр нН —о
h 4 J ~
Н/2 2
если интеграл J г f(r)dr заменить выражением f (
о 4 7
8.47. Построить при г = 0 аппроксимацию уравнения
- 7 (’’“'Г = /W,
считая решение u(r) четной функцией, т. е. u(r) = «(—г).
<] Представим исходный оператор в виде двух слагаемых:
- (ruf)f - и" + - и'
и учтем, что для гладкой четной функции и(т) ее производная в нуле
равна нулю. В этом случае из формулы Тейлора следует:
и'(е) — s ц"(0) + О(е2).
Подставляя это выражение в слагаемое и переходя к пределу при е - 0,
получим
Запишем стандартную аппроксимацию для уравнения в нуле
_ 2 гц - 21/.Q + Ц-1
h2
Учитывая четность, т. е. u_i = щ, отсюда имеем:
+ 4 /(0) = 0.
h 4 J v 1
(ruf) =2uff(0).
8.2. Краевая задача
281
8.48. Построить интегро-интерполяционным методом схему для задачи
----------У (т2и)' = f(r), 0 < г < R, lim г2 uf — 0, u(R) = 0 ,
г 1—>-0
на сетке Dh = = (г + /г, 0 г TV, N h = .К J .
8.49. Построить интегро-интерполяционным методом схему для задачи
---V (r2u'/ = /(г), 0 < г < R , lim г2 и' = 0 , u(R) = 0,
г г—>0
на сетке Dh = {гг = ih, 0 г N, N h = R} .
8.50. Построить при г = 0 аппроксимацию уравнения
- (г2 и'/ = /(г),
г
считая решение и (г) четной функцией, т. е. и(г) = и(—г).
8.51. Построить аппроксимацию на решении второго порядка по точкам
xn = 1 и xn-i = 1 — h краевого условия г/(1) — Згл(1) = 1 для уравнения
и" = cos х + 1 .
Ответ: —-—-1 + 4 (cos(l) + 1) — 3= 1.
8.52. Построить аппроксимацию на решении второго порядка по точкам
хо = 0 и xi = h краевого условия uf(fi) + 4w(0) = 1 для уравнения
ип — х2 и = 1 -
Ответ: U1 ~ ц° — у + 4ад = 1 •
8.53. Построить аппроксимацию на решении второго порядка по точкам
xn — 1 и хм-i — 1 - h краевого условия г/(1) = 0 для уравнения
и" — Зи = ехр х .
Ответ: ———hN-1 4 (3UN + exp(l)) — 0•
8.54. Построить аппроксимацию на решении второго порядка по точкам
хо = 0 и 2'1 — h краевого условия и' (0) — гл(О) = 0 для уравнения
и" — 2и — sin х - 1.
Ответ: Ц1 ц° — 4 (2^о — 1) — ио = 0.
В задачах 8.55 — 8.58 важной является проверка ортогональности соб-
ственных функций в соответствующем скалярном произведении (см. 7.37).
8.55. Исследовать устойчивость разностной схемы Au = f
^i+l Ч~ 1 . __ p
г Ui — J if
h
0 < i < N,
U0=Ul, UN^I=UN, (N — 1) h = 1.
Ответ: схема устойчива, так как
А(та) (Л) = sin2 ~ + 1, п = 1,...,ЛГ-1, Amin = l.
282
Глава 8. Дифференциальные уравнения
8.56. Исследовать устойчивость разностной схемы Ли = f
_ ui+i + = j о < г < TV,
h
ио = 0, uN-i=un, (27V-l)/z = 2.
Ответ: схема устойчива, так как
4 2^(2п-1) м
А (Л, — Sin — • —• , п — 1,. ..,TV 1, Amin 1 •
fl 21 2 X — I J
8.57. Исследовать устойчивость разностной схемы Ли = f
- ui+1-2«i + «i 1 = j. 0<i<N,
h
uq = ш, un = о, (2N — 1) h = 2 .
Ответ: схема устойчива, так как
A(n)H) = ^-sin2^=‘l, n = i,...,N-l, Amln^l.
8.58. Исследовать устойчивость разностной схемы Ли = f
_ Ui+i - 2ut + ut-i _ (2 + cos(27rj/i))M. = f., 0 < i < N,
h
uq =un = 0, Nh = 1.
Ответ: схема устойчива, так как для главной части оператора
\ 7, =---И----, 1 г N - 1,
пЛ
при условиях uq = un =0, Nh = 1 имеем собственные значения
>(n)Ho) = ^-sin2^, п = 1,...Л-1, Ат>п(Л0)^4;
поэтому ДЛЯ ИСХОДНОЙ задачи Amin (Л) 4 — 3 = 1.
— -Глава 9 —
Уравнения
с частными производными
Для обыкновенных дифференциальных уравнений в настоящее время
имеются удовлетворительная общая теория и алгоритмы, позволяющие
в большинстве случаев эффективно численно находить решение задачи.
Для уравнений в частных производных теорию численных методов при-
ходится строить в зависимости от типа уравнения. При этом строгое обос-
нование сходимости и оценки погрешности чаще всего удается получить
только для модельных задач. Алгоритмы для сложных нелинейных урав-
нений обычно строят, обобщая и комбинируя хорошо изученные методы.
В этом случае исследование проводится для различных линеаризованных
уравнений и с помощью численных экспериментов для задач с известными
точно решениями.
В данной главе изложены численные методы решения некоторых задач
математической физики. Особое внимание уделено обоснованию коррект-
ности рассмотренных алгоритмов.
9.1. Корректность разностных схем
Прежде чем приступить к формальному исследованию задач математиче-
ской физики, покажем на простых примерах, что уже в линейном случае
наличие аппроксимации и сколь угодно мелкой сетки недостаточно даже
для получения правдоподобных результатов — решение разностной задачи
и решение дифференциальной задачи могут значительно отличаться. При
этом измельчение шага сетки будет только ухудшать ситуацию.
Пример 1. Пусть в полуплоскости t 0 решается задача Коши для
уравнения щ + аих = 0 при начальном условии и(х, 0) = uq(x). Зададимся
сеткой с узлами в точках (m/г, пт) и заменим исходную дифференциаль-
ную задачу разностной
“in + а = о, Uam = u0{mti).
Тогда значения и?п при п > 0 определяются последовательно из соотно-
шения z х , х
7/П+1 = I 1 -I- аТ 1 ?/П I ftT I
\ ~ h J ' h /
Пусть при измельчении сетки справедливо Т = г = const. В этом случае
значения решения сеточной задачи в точке (rro> to) не зависят от на-
чальных условий вне отрезка [хо, xq + г-1 to]- Точное решение диффе-
ренциальной задачи имеет вид и(х, t) = uq(x — at). Поэтому в классе
начальных условий, обладающих некоторым ограниченным числом про-
изводных, областью зависимости для дифференциальной задачи является
284
Глава 9. Уравнения с частными производными
1. Таким образом, при a > 0 схема
ат
h
точка хо — ato. Взяв в качестве начальной функции финитный «всплеск»
в точке £q — ato, можно показать, что необходимым условием сходимости
решений в точке (rro, to) Для произвольной начальной функции ио(х) явля-
ется условие яо — ato Е [жо> + г“Чо]- Это эквивалентно одновременному
выполнению неравенств а 0 и
непригодна для расчетов.
Строгая формулировка этого утверждения для общего случая называ-
ется теоремой Куранта об областях зависимости. Для рассматриваемой
схемы необходимое условие сходимости совпадает с условием устойчивости
и обеспечивает сходимость для гладких начальных данных.
Пример 2. Пусть в области [0,1] х [0, Т] решается начально-краевая
задача для уравнения теплопроводности
Щ = ихх, u(0, t) = u(l, t) = 0,
u{x, 0) = Ck sin^fca;), к 1.
Зададимся сеткой с узлами в точках (mh, пт) и заменим исходную задачу
разностной
__ цт+1 ^и7-п + Um-1
h М’
------------ ----------- 75-- , U I/L \ 11
г-----------------------------h2
wo = = 0 Vn 0, um = Ck sm(wkmh), 1 < к < М — 1.
Применяя метод разделения переменных, найдем точные решения диф-
ференциальной и разностной задач
u(xyt) = Сьр1(к) sin(7Ub;), р(к) = е~^к} ,
= С\я'Д^’) вт(яАтлЛ), ph (к) = 1 — т sin2 (ггА* .
Справедливость неравенств 0 < р(к) < 1 в дифференциальной задаче
определяет экспоненциальное убывание решения с течением времени. Ре-
шение разностной задачи также экспоненциально убывает при любых на-
чальных данных, если только Ph(k) < 1. Определим отсюда соотношение
для т и h. Так как
max
Ph(k)\ < max< 1,
.2 1
то имеем оценку т Если тг + 7> 7 = const > 0, то величина
h *
Ph(k) при больших к отрицательна и по модулю больше единицы, что
полностью изменяет поведение решения разностной задачи при больших
значениях п.
Рассмотренные примеры показывают, что для уравнения в частных
производных при замене дифференциальной задачи его разностной ап-
проксимацией возникают следующие вопросы (аналогичные имевшим ме-
сто ранее при рассмотрении методов решения других задач):
9.2. Гиперболические уравнения
285
1) сходится ли точное решение разностной задачи к решению диффе-
ренциальной;
2) насколько сильно изменяется решение разностной задачи, если при
вычислениях допускаются некоторые погрешности?
Требуемый для соответствующих исследований математический аппа-
рат изложен в гл. refch7. Однако операторная форма записи в определении
устойчивости недостаточно детальна при анализе нестационарных уравне-
ний, что затрудняет формализацию процедуры получения необходимых
оценок.
Для нестационарного уравнения теплопроводности, уравнения колеба-
ний струны и уравнения Шрёдингера устойчивость схем удобно прове-
рять, если в оператор разностной задачи явно включить эволюцию по
времени, записав схему в каноническом (по Самарскому) виде. Наиболее
употребительными являются двухслойные схемы, связывающие значения
решения на следующем и текущем временных слоях, и трехслойные,
которые требуют для построения решения в следующий момент времени
значения с текущего и предыдущего временных слоев.
Для задач гиперболического типа допустимо заменять проверку усло-
вия устойчивости применением спектрального признака (СПУ). Такой
подход позволяет отсеивать большинство непригодных для расчета схем
при значительном упрощении техники исследования.
9.2. Гиперболические уравнения
Построение и исследование разностных схем для уравнений в частных
производных гиперболического типа традиционно проводят в открытой
полуплоскости „ г,
D = : оо > х > -оо, t > 0}
на примере линейного уравнения переноса
с заданными функциями a(x,t), /(#>£) и начальным условием
и(ху 0) = uq(x) при t = 0.
Если это не оговаривается специально, то в задачах 9.1-9.33 сетка
выбирается равномерной по обеим переменным
xm = mhy ш = 0, ±1, tn = nr, п = 0,1, ... ,
а для сеточной функции и в точке используется обозначение и?п.
9.1. Определить порядок аппроксимации разностной схемы
n+1 ип - ,
Um — и-щ | a _ q
t h
для уравнения щ + aux = 0, a = const > 0. При каком соотношении
т и h решение дифференциального уравнения в узлах сетки совпадает
с решением разностной схемы?
Ответ: О (г + h), = а.
См) в =
286
Глава 9. Уравнения с частными производными
9.2. Определить порядок аппроксимации разностной схемы
1ZZ__Д + a u"‘+1 'Zn-1 = 0
т 2/i
для уравнения щ + a ux = 0.
Ответ: О (т + h2).
9.3. Определить порядок аппроксимации разностной схемы
.п+1 цтл + 1 ЦГП—1
2 ^m+1-^m-l _о
Т ° 2h
для уравнения щ + a ux = 0.
Ответ: О (т + А2 + = О (т + —г)-
9.4. Для однородного уравнения щ + a их = 0, a = const, построить
схемы первого и второго порядков аппроксимации на решении (если это
возможно), используя шаблон из точек (zcm,in), (zcm,in+i), (жт+i, in)
и условие т = rh (г = const).
Указание. При a < 0 и т = ~ существует схема с порядком аппрокси-
мации O(h2).
9.5. Для уравнения щ — ux = f построить разностную схему
® ^тп —1 + ®1^тп4-1 Рш
максимального порядка аппроксимации при условии т = rhy г = const.
Ответ: имеется однопараметрическое семейство схем первого порядка, коэф-
фициенты которого удовлетворяют системе уравнений
aQrh=l, а0 4-«о + «1 + а-1 = 0, а°г + ai — а-i = 0.
Схемы второго порядка не существуют.
9.6. Пусть r = rh. Определим оператор Ph = I + I j , где I —
тождественный оператор. Для уравнения Рь(щ — ux) = Ph(f) построить
разностную схему
максимального порядка аппроксимации на решении.
Ответ: схема второго порядка аппроксимации на решении
01 1 . г 1 — г 1 + г
° - 7К > °" - ~ 7К + Т7 1 а~1 - "77Г ’ ai - иг
и.ш
п4*1 Г* Г . ЧП
**гп ~ Щи п»+1 * in —! г / п а ..п \ f л. т‘* ( f л. F \
--------- -----2^ 277 f um_i) — \J f -j- l/t ♦ jJ(|j
9.2. Гиперболические уравнения
287
9.7. Для уравнения щ + ux = f построить разностную схему
a°Wm+1 + aQUm + al^m+l = 4>m ,
имеющую на решении второй порядок аппроксимации при условии т = h.
9.8. Пусть для задачи щ — ux = f, u(x, 0) = (р(х) используется схема
u^+1-4Г1 _ - с-1 = uOm = ^mhy
Как определить значения функции и^, чтобы не ухудшить порядок ап-
проксимации на решении?
Ответ: uin = + т [<px(mh) + f (rnh. О)].
9.9. Для уравнения щ + а их = 0 рассматривается схема с пересчетом
n+1 / 2 «m+l + ^'гп
т+1/2 2 । « m+1- « m_ q
0,5т
п+1/2 _ п+1/2
<+1 - «т + a иш+1/2 Um-1/2 = 0
т h
Определить ее порядок аппроксимации на решении.
Ответ: исключая при дробных ш, получаем схему
и^-и™ , um+l~um-l 2 т ит+1~2иш + «т-1 _п
т + a 2h a 2 h2 U ’
имеющую второй порядок аппроксимации (т = rh, г = const).
9.10. Для уравнения щ + аих = 0 рассматривается схема с пересчетом
п+1/2 п лп Л п
Um — Um । um+l Um
т h
n । n+1/2
n+1 Um + Um
am 2
6^7
n+l/2 _un+l/2
Um-1 _ fl
h
a
Определить ее порядок аппроксимации на решении.
Ответ: схема имеет порядок аппроксимации О(т2 -|- /i2).
9.11. Для уравнения щ + их = 0 рассматривается семейство схем с пара-
метром в
Um Um । д m m—1 _|_ ^2 ______ 0) Um ^m—l __ q
При каких значениях 0 схема имеет на решении порядок аппроксимации
О(т2 + h2)?
Ответ: 0 =
2 2Т
288
Глава 9. Уравнения с частными производными
9.12. Для уравнения ut + ux = 0 построить схему с порядком аппрок-
симации на решении О(т2 + h4) на шаблоне из десяти точек: (xm±2,tk)>
^fc), к — 71, П -|- 1.
Указание. Взять разностную схему
»»_!_ 1 « „.W-+1 П П
I 1 um+l um—l । um+l ~ ит—1
т 2 2h "r 2h
имеющую порядок аппроксимации О(т2 + h2) при разложении в ряд
Тейлора в точке [тт, tn+1/2). Исключить ее главный член погрешности по
h, аппроксимируя с четвертым порядком производную по переменной х
на заданном шаблоне.
9.13. Для уравнения переноса щ + a(x,t) ux = f(x, t) построить двухслой-
ную схему порядка аппроксимации на решении: 1) О(т2+/г); 2) О(т4-/г2);
3) О(т2 + /г2); 4) O(r + h), с минимальным, по возможности, числом узлов
I в шаблоне.
Указание. Рассмотреть шаблоны из I узлов: 1)Z = 4; 2)1 = 4; 3)Z = 4;
4)Z = 3.
Спектральный признак устойчивости. Разностные схемы для од-
нородного уравнения переноса с постоянным коэффициентом а можно
записать так:
Lhunm =
к,1
Рассмотрим их частные решения вида
<=(Л(¥’))"е‘га*’.
Спектральный признак устойчивости (СПУ) разностной схемы форму-
лируется следующим образом: если при заданном законе стремления т
и h к нулю существует постоянная 0 с < оо такая, что для всех р
справедливо неравенство |Л(<^) | ест, то спектральный признак выполнен,
и схема может быть применена для численного решения соответствующей
задачи Коши для уравнения Lu = f.
Можно показать, что если СПУ не выполняется, то для решения задачи
не существует априорной оценки вида ||un| М с константой М, не
зависящей от параметров сетки, в норме | ||, которая не зависит от
временного слоя.
В упражнениях 9.14—9.23 требуется с помощью спектрального признака
исследовать устойчивость разностных схем для случая постоянного коэф-
фициента а в операторе L^.
9.14. Исследовать устойчивость схемы
.,п+1 л __ л.п
Um Um । a Um Um—± _ g
Т h
9.2. Гиперболические уравнения
289
О Подставим в схему частное решение = Aneim^. В результате имеем
\nyl imtp \пЛт<р хпЛ-пир \ nA (m—1) и?
—--е----^л_е----1_ a Л е=ле------- = q
т h
Сокращая на Ап е‘получаем
A-L + а = 01
т h
откуда следует, что
vr' h h
Пусть a > 0. Тогда при 0 < 1 имеем |Л(<£) | 1— 77 + 77- = 1, т.е. схема
устойчива при выполнении указанных выше условий. При^ = 1+ 7>1,
7 = const получаем А(тг) = —1 — 27 < -1, т.е. в этом случае схема
неустойчива. Таким образом, разностная схема условно устойчива. При
a < 0 схема неустойчива.
Аналогичные рассуждения справедливы при a < 0 для схемы
п+1 п ..П , , _ ,..п
Um Um । а fynfl Цтп ______ g
т h
Данная схема для a < 0 является устойчивой при 0 < 1 и неустой-
чивой при = 1+ 7>1,7 = const или при a > 0. [>
9Д5. Исследовать устойчивость схемы и™ Um- + a + 1 — q.
<1 Поступая аналогично 9.14, получаем
А(<р) — 1 — (е1<р — е“‘Н = 1 — i sin
2а v f а
откуда следует, что
шах | А(</?) | = А
2
Пусть т = Ah2, тогда А ( у
а2 А
е“2“т, т. е. схема устойчива при т = O(h2).
Исследование устойчивости с помощью спектрального признака поз-
воляет находить искомые (т. е. устойчивые) законы стремления т и h
к нулю. О
9.16. Исследовать устойчивость схемы
— Um | nm+l — um—1 _ А2 ит+1 ~ ^•ит + ит-1 _ л
Т 2h 2т lA
Ответ: А(<£>) = | fl - тг) е1!р -Ь 1 fl + = cos99 - isin<р. Схема
устойчива (|Л(<р)| 1) при выполнении условия 1.
290
Глава 9. Уравнения с частными производными
9.17. Исследовать устойчивость схемы
п-И Т) Л<П О „.П ।
Um ~ Um , „ um+l um—l ОТT um+l ^um + um — l
т 2h 2 ^2
Ответ: A(y?) = 1 — i ( ЯГ ) sin(p + ( (cosy? — 1).
\ u / \ h. J
lair -
выполнении условия 1.
un+1 - un
9.18. Исследовать устойчивость схемы ——-----— +
Схема устойчива при
?Л+1 _ 7/п+1
«тп цт-1 _ q
h
a
-i
. Введем следующие обозначения:
Ответ: A(y?)
6 =
1 + _ <£. е~^
n ri
sup |А(у?)I и 7 = Тогда:
0^^2тг '
при a > 0 или при 7^—1 выполняется неравенство 6 1, т е. схема
устойчива;
при — 1 < 7 < 0 имеем 6 = > 1, т. е. схема неустойчива.
п+1 n un+
9.19. Исследовать устойчивость схемы -—— + a m+1 m-1 = 0.
/ \-i
Ответ: А(у?) = (1 + i sinу?j . Так как |А(у?)| 1, то схема устойчива при
любых т и h.
9.20. Исследовать устойчивость схемы
П I п
. п+1 "“m+l ' um—1
Um 9 пп — пп .
____________________1_ л um+l um—l __
т a 2h ~
?,n+1 _
цтп+1 um-l = п
2h и’
Ответ: A(tp) = cosy? — isinСхема устойчива (|А(у?)| ^1) при выполнении
условия 1 (ср. с 9.16).
9.21. Исследовать устойчивость схемы
. П I . п
л п+1 ,ц7п+1 ~г um—l
^771 2
--------------------Ь a
Ответ: схема безусловно устойчива.
9.22. Для уравнения щ + их = 0 рассматривается семейство схем с пара-
метром в
п-М n л.п „ п
Um - Um । g um+l um । q _ Un? цт??-1 _ q
t h h
При каких 0 € [0,1] схема устойчива?
Ответ: 0^0^
9.2. Гиперболические уравнения
291
9.23. Для уравнения щ + их = 0 рассматривается семейство схем с пара-
метром в
п + 1 n ,,,^-+1 П
। Q m______rn— 1 I / Um Um—1 q
t h > h
При каких значениях 0 G [0,1] схема безусловно устойчива?
Ответ: ^-^0^1.
Дифференциальное приближение. Пусть для дифференциальной за-
дачи Lu = f построена разностная схема LhVh = fh п найдено ее решение
ин* Предположим, что это решение является следом на сетке некоторой
гладкой функции v, т. е. Vh. = (v)h-
Дифференциальное уравнение, решением которого является функция
v, называют дифференциальным приближением разностной схемы.
Как правило, дифференциальное приближение содержит бесконечное
число слагаемых, зависящих от производных функции v с коэффициента-
ми, пропорциональными шагам сетки. Так как интересна асимптотическая
зависимость относительно сеточных параметров, то обычно ограничива-
ются одним или двумя старшими членами асимптотики (т. е. наиболее
медленно убывающими слагаемыми). В этом случае говорят о первом
дифференциальном приближении. Дифференциальное приближение при
этом стараются записать в такой форме, чтобы в дополнительные (по
сравнению с исходным дифференциальным уравнением) слагаемые не
входили частные производные по временной переменной. Это удобно
для анализа различий между решениями и и v^. В частности, первое
дифференциальное приближение полезно при исследовании корректности
(устойчивости) разностной схемы.
9.24. Получить дифференциальное приближение разностной схемы
v™+1 ~ + а Vй-1 = 0 (9.1)
т h 4 7
с точностью до членов порядка О(т3 + h3).
<| Используя гладкость функции v, получим разложения в ряды Тейлора
в точке (жт, ) значений и с точностью О(т4 + h4) и подставим
их в (9.1). Имеем
1
+ £ v -
h \
= 0.
т- ду_ + т2 д2у । т3 д3у I 4>
dt + 2 Qt2 dt3 1 '
v _ h + o
dx 2 dx2 6 dx3
Это соотношение удобно преобразовать к виду
dv 1 dv _ _ г д2у ah d2v _ т2 d3v _ ah2 d3v
dt^adx~ 2 dt2 2 dx2 6 at3 6 дх3
292
Глава 9. Уравнения с частными производными
В левой части равенства (9.2) находится оператор уравнения, которое
аппроксимирует разностная схема (9.1), а в правой — погрешность аппрок-
симации, которая в общем случае отлична от нуля.
Производные по времени, входящие в погрешность аппроксимации,
заменим с требуемой точностью производными по пространственной пе-
ременной. Для этого выразим производную -Ц- через производную по х.
dt‘
Формально дифференцируя (9.2) по времени, получаем
d2v । n d2v___т d3v । ah d3v т2 _ ah2 0% L ± ^3^
dt^a7)Uh 2 2 dtdx2 g fh-. G b
а дифференцируя (9.2) по x и умножая на —а, находим
d2v 2 d2v _ ar d3v _ a2h d3v , ar2 d^v , a2/i2 .dr . . i
a^>.r a ^2- 2 0t2dx * d^ “6" d^di cir4 Л
Складывая два последних равенства, имеем
1 - °
2 tiF ?
3
tit2 tix
a _ a2 d3v
2 dtdx2 2-^3+CW )-
Из уравнения (9.2) аналогично можно получить следующие выражения
d3v d3v
для производных
& = -«3Й+о(^ +
dt? ох
dtdx2
d3v _ 2 d3v
’ dt2dx dx3
£v=-a^+O(r + h).
dtdx2 dx3
(9.4)
Заменяя по формулам (9.3) и (9.4) в правой части уравнения (9.2) про-
изводные по временной переменной производными по пространственной
переменной, получаем
где 7 = ' , . Это уравнение и является дифференциальным приближением
разностной схемы (9.1) с точностью до членов порядка О(т3 + h3).
Важно, что для замены временных производных пространственными
используется уравнение (9.2), а не исходное уравнение щ + aux = 0. Это
связано с тем, что искомое решение u(x,t) в общем случае не совпадает
с решением г?(жД) дифференциального приближения. [>
9.25. Получить с точностью до членов порядка О(т3 + h3) дифференци-
альное приближение разностной схемы
•п+1 n .JI .X.
vm ~ I „ vm+l vm~l ________ л
т т а 2Д
Й+о(т3 + ь3)-
(Г г
9.2. Гиперболические уравнения
293
9.26. Получить с точностью до членов порядка О(т3 + h3) дифференци-
альное приближение разностной схемы
7Z-I-1 72 — 1 ...72-
^7П — ^ГП I п ^''п+1 ^771—1 _ П
2т " а 2h и*
Ответ: ^+а^- = - + О(т3 +/Л
•t dx у о о ) jj.3 4 /
9.27. Получить с точностью до членов порядка О(т3 4- h3) дифференци-
альное приближение разностной схемы
.. . t I. П П .9 । _.П
» ' г'. 1 „ Vm—1 _ h vm+l 2vm + 1
т 2h ~ 2t h2 ’
Ответ.^+^ = ^
д2у । ah2
dx^ 3
(l-72)gj + O(r3 + /i3)) 7 = r«.
9.28. Получить с точностью до членов порядка О (т3 + h3) дифференци-
альное приближение разностной схемы
—1----,, '-И-!" ' V I = Q
т 2Л
Ответ: t+^ = T22-£"
ah2 । а3т2 \ d3v , г,/ 3 , 3
6 + з ) ,.,.гз + °(т + /( .
9.29. Получить с точностью до членов порядка О(т3 + h3) дифференци-
альное приближение разностной схемы
Ответ: &+а&-=
at дх 2 '
273 + 37) ^8- + О(т3+Л3),
-г
9.30. Получить с точностью до членов порядка О(т3 + h3) дифференци-
альное приближение разностной схемы
с точностью до членов порядка О(т3 + h3).
Указание. Воспользовавшись соотношениями
П П /Л.ПЧ-1 „.П-Г1 П П \ / ,.U~ I ,♦ 1 п п
Vm, — 1 1 / vm—1 1 Il '1 । ~ — 1
~R 2 I h h / 2 I К h~
294
Глава 9. Уравнения с частными производными
сначала привести схему к виду
«_1_1 эт / „,71-^1 п+1 п п \
М-т —^п| 1 г* ( ^'т+1 vm—1 । 1 'i
r 2 \ 2/i /
i ah ! * -.,-k 2-., - - 1‘'J,-i
+ 4 + h2
л „ Zh’ _ fa2h т ah2 \ d^v irn^ ।
" пет; ЭГ+а5* - (“1---------5---------rTj£?+o(r +Л >
Уравнение колебаний струны. Рассмотрим первую краевую задачу
для однородного уравнения колебаний струны
= u(0,t) = u(M) = 0,
Иг*
u(x, 0) = «о(ж),
(ar,O) = vo(a?),
0 < x < 1.
9.31. На пятиточечном шаблоне «крест» построить разностную схему
второго порядка сходимости.
Ответ: при т h схема
—----- ft * m = At£,
— »
где
Дцт = ^1+1 ~ + , т = 1,...,М -1,
Uq+1 = u^1 = О, п = 0, . , N - 1, Щп = uQ(mh),
um~um = vo(mti) + Z "™+1 ~ + m =
‘ n*
имеет второй порядок сходимости.
9.32. Найти порядок аппроксимации и методом разделения переменных
условия устойчивости для семейства схем с весами
«йг+1 ~2^ +ИЙГ1 = g^un+l + Q _ 2^)Лм” + 0AU"-1,
Т
г$+1 = = 0, = uG(mh), = vo(mh),
где 0 — весовой параметр, оператор Л определен в 9.31, а функция vo(mh)
выбрана с нужным порядком аппроксимации.
<] Если в не зависит от шагов сетки, то порядок аппроксимации О(т2+/г2).
,2
Если 0 = Oq-----то порядок аппроксимации на решении О(т2 + /г4). Па-
12т
раметр не зависит от шагов сетки и выбирается из условия устойчивости
схемы.
9.2. Гиперболические уравнения
295
Найдем условие устойчивости. Рассмотрим частные решения разност-
ной задачи следующего вида: = р^(к) sin(7rkmh). Здесь и далее для
простоты исследования условие \рь\ С ест заменяем условием Ph О-
Для получаем уравнение
р1 2 — 2(1 - а)р + 1=0, а
1
2 1 +0г2>а(*) ‘
Условие |М1,2| 1, р\ 7^ Р2у выполняется, если дискриминант мень-
ше нуля, т. е. при 0 < о < 2. Отсюда имеем 0 > i — —• Так
4 т ^h(k)
как Хь(к) = -i- sin2 , то условие устойчивости имеет вид
h \ * / h*
Для явной схемы (0 = 0) полученное неравенство приводит к условию
т С h. [>
9.33. Найти условия устойчивости двухпараметрического семейства схем
я.п+1 Г) П । „,П — 1 , , ,
----2"t'i +um = МС, + (1 - 01 - %№ + 02^m ,
т*
ио+1 = «+ = 0, 4 = ио(тЛ), < = ад(тЛ),
где 01, 02 — параметры, а функция н$(тН) выбрана с нужным порядком
аппроксимации.
<] Определив самосопряженный оператор А как оператор (—Л), дей-
ствующий на пространстве сеточных функций, равных нулю на границе,
получаем, что трехслойная схема записывается в канонической форме (см.
(9.15) в разделе 9.4) с самосопряженными операторами
В = (0! - 02)тЛ, R = 4 I +01 А.
Условия устойчивости трехслойных схем имеют вид
В > 0, R = R* > | А, А = А* > 0.
Условие В 0 приводит к неравенству 01 02, а условие R > | А можно
записать в следующем виде:
1
2
01 I 02 _ 1
2 4
Данное неравенство по определению означает, что
— I и + { ——— - V Ап и} *> О
и так как наибольшее собственное число оператора А равно
4 • 2 Kh(M — 1) . 4
^2 sin v2 7 < ^, то искомая оценка имеет вид
2
1
4
1- h2
~-2
296
Глава 9. Уравнения с частными производными
Ответ: из теории устойчивости трехслойных разностных схем (см. раздел 9.4)
следует, что достаточными условиями устойчивости схемы являются следующие
неравенства:
01 >02, ^4^ ^1(1-^)-
Методом разделения переменных можно показать, что найденные достаточные
условия асимптотически совпадают с необходимыми.
В случае 0\ = 02 = 0 (см. 9.32) схема имеет второй порядок аппроксимации,
1 Л2
а условие устойчивости сводится к неравенству 0 д ——
9.3. Эллиптические уравнения
Построение и исследование разностных схем для уравнений в частных про-
изводных эллиптического типа в простейшем случае проводят в области
прямоугольной формы
D = {(ж, у) : X > х > О, Y > у > 0}
на примере уравнения с заданными переменными коэффициентами
®Дж, ?/) clq 0, i — 1,2,
Lu = ± (а2(^) g) = f(x,y)
с однородными краевыми условиями первого рода
u(0,y) = и(Х,у) = 0 при Y^y^Q,
и(ж, 0) = u(x, Y) = 0 при X х 0.
Наиболее употребительным является случай уравнения Пуассона
(аДж,?/) = 1, i = 1,2)
ди=&+&=^-
В общем случае на любой части границы краевое условие может быть
задано в виде линейной комбинации функции и производной первого по-
рядка. Тогда необходимо обратить внимание на способ его аппроксимации.
Типичным примером эллиптического оператора четвертого порядка
является бигармонический оператор
д 2 _ д^и । <-) д^и , д4и
dxi+ дх2ду2 + Эу4 ’
для которого краевое условие может содержать линейную комбинацию
производных неизвестной функции до третьего порядка включительно.
Особенность постановки эллиптических задач — наличие только кра-
евых условий. Поэтому аппроксимация и устойчивость исследуются как
в случае линейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных
уравнений.
9.3. Эллиптические уравнения
297
Для удобства независимые переменные также будем использовать в ви-
де xi = х, х2 = у. Введем обозначение AqU^ei,^), си = 1,2, для разност-
/I2}
ного аналога оператора второй производной Lau= по переменной ха,
дх&
например,
A1W(xi х2) = U^X1 + /и>Ж2) -2ц(ж1,Ж2)+и(ж1 -Ь1,а2)
л?
Аналогичный смысл имеет выражение
hl
где mj соответствует u(ihi,jh^)-
9.34. Оценить погрешность аппроксимации оператора Лапласа Д опера-
тором Дл = Ai + Л.2 (стандартная аппроксимация на шаблоне «крест»).
/г2 г2 \
Ответ: Д hu — Ди = + O (/ii + — О (Л? + .
9.35. Построить аппроксимацию оператора Лапласа и оценить ее погреш-
ность на шаблоне «косой крест» при = h2 = h
^hu = -Ь [aOioи(х1,х2) + ai,m(^i + h,x2 + h) + ay-iu(xi + h,x2 - h) +
+а_1дц(ж1 — h,x2 + h) + a_i5-iw(a;i — h,x2 — h)],
где не зависят от h.
О «Косой крест» —это обычный «крест» с шагом л/2/i в системе коор-
динат, полученной поворотом исходной системы на [>
Ответ: Д^1 = Ai +Л2 4- А1Л2, или ао,о = —2 и ak,j = в остальных случаях.
Погрешность аппроксимации равна O{h2).
9.36. Построить аппроксимацию оператора Лапласа и оценить ее по-
грешность на треугольной решетке (область разбита на непересекающиеся
правильные треугольники со стороной /1).
О Вторую производную функции и(х,у) в любом требуемом направлении
можно выразить тремя вторыми производными: ^-4, ^-4. -7-7-•
Введем новые координаты хп и уп (индекс п означает «новые»):
х = xn cosfl — 2/nsin0, у = xn sinfl + yn cos 0.
Геометрически это означает, что начальная координатная система повора-
чивается против часовой стрелки на угол в относительно начальных осей.
Поэтому вторая производная и(х, у) в направлении в вычисляется так:
д2и _ д (ди дх । ди ду \ _ д а ди > д ди \ _
\ дх дхп ду дхп / дхп \ дх ду)
= (cos0 -Д + sin0 Д4) и = cos2 в + sin2 0 + 2 sin в cos в % .
\ дх ду) дхду
298
Глава 9. Уравнения с частными и роизводными
Обозначим основные направления линий из узла сетки tq через а, 6, с.
Значения угла 0 для этих трех направлений соответственно таковы: 0, у
и Теперь оператор Лапласа можно выразить через частные производ-
ные второго порядка по данным направлениям. Имеем
d2u d2u
da2 dx2
d2u db2 1 d2u । 3 d2u 1 v3 d2u 4 dx2 4 dy2 4- 2 dxdy
d2u _ C d2u , 3 d2u уЛ _d2u
de2 4 dx2 4 Qy^ 2 dxdy
Сложив эти равенства, получим
d2u । d2u i d2u _ 3 / d2u . i
da2 db2 de2 2 \ dx2 dy2 /
Заменим вторые производные по направлениям а, b и с обычными аппрок-
симациями второго порядка
— ^2" (^4 — Т ш) + O(/i2),
I i
( ) = 4г (“з - 2«о + ад) + О(Л.2),
\ *0
(Й) = А(«б-2ад + ад) + О(Л2),
Q П
где щ — значения в соседних с хо узлах решетки, отстоящих на расстоя-
ние h (нумерация ведется против часовой стрелки). В результате имеем
искомую аппроксимацию оператора Лапласа
A w° ~ 7ГГ7 + и2 + ’ * Т ~ 6 Иц)- [>
9.37. Используя значения функции и в центре ф и в вершинах Ak
правильного n-угольника со стороной h, получить аппроксимацию опе-
ратора Лапласа Ahu в центре многоугольника. Оценить ее порядок для
различных п.
Ответ: Ahu(Ao) = М sin2 —
h п
-и(Ао) 4- ± £ и(Ак)
k=i
9.38. Описать все девятиточечные разностные аппроксимации оператора
Лапласа Д\ имеющие вид
~7 [«о,о^(^1, ^2) + + /1, х2) + — h, #2)+
+a0)i?z(j;i,a;2 + h) + ao,-iw(a;i,X2 — h) + /1,0:2 +7i) +
+ai-iu(zi + h,xi - h) + a_i5iw(o;i - /i,t2 + h) + a_i]-iw(o;i - h,x2 - h)] ,
9.3. Эллиптические уравнения
299
где akj не зависят от /г, и обладающие вторым порядком аппроксимации,
т. е.
Х2) — Дгб(Ж1,Жг) = О (Л2) при u € .
Ответ: ао,О = 4с —4, ai,i = ai,-i = а-1,1 = а-1,-1 = с, ai,o = a-1,0 =
= ao,i = ao,-i = 1— 2c, или, что то же самое, Д^ = Л1 +Л2 + c/z2AiA2 , где с —
произвольная постоянная.
9.39. Какие из разностных операторов в 9.38 отрицательно определен-
ные?
Ответ: все операторы при с < ^ .
9.40. Построить тринадцатиточечную разностную аппроксимацию би-
гармонического оператора Д2, использующую узлы (я1,яг), (^1 ± /г5^г),
(д;1,Ж2±/г)5 (a;i±2h, х2), (ж1, Ж2^Ь2/г), (xi±/z, x2±h), и оценить погрешность
аппроксимации на функциях u Е .
Ответ: (Д^)2и = (Л2 +2Л1Л2 + А2) и = (Ал 4- A2)2tt; погрешность аппрок-
симации равна О (Л2).
9.41. Если и — гармоническая функция в ограниченной области D с гра-
ницей Г, то J dT = 0, где — производная по направлению внешней
нормали к границе Г. Сформулировать и доказать аналог этого равенства
для решений разностного уравнения
Д^«м = (Ai + Л2) = 0, 1 г < М, 1 j < №,
в прямоугольной области, покрытой равномерной сеткой с шагом
= N2h = Y).
Л?2-1 / \
Ответ: h у (UN^j ) +
\ h nJ
3=1 4 z
Ni-1 / \
1 L ' I ^^2 ui,N2~ 1 1 wi,0 j _ n
™ Д h h J
г=1 \ /
9.42. Записать разностную схему во внутренних узлах сетки для уравне-
ния Пуассона с аппроксимацией на решении О (/г4).
Указание. (Ал + Лг + ^-Л1Л2) и = f + (Л1 + Л2) f + О (h4) .
9.43. Записать разностную схему во внутренних узлах сетки для уравне-
ния Пуассона с аппроксимацией на решении О (/i6).
Указание. (Ал +А2+^-А1Аг^гг = / + ^(Лг+Лг)/ - (Л2+Л2)/ +
+ ^A!A2/+C>(A6)-
уи
300
Глава 9. Уравнения с частными производными
9.44. Для уравнения Ди = f построить аппроксимацию на решении
с порядком О (h2) граничного условия —аи = 0 при = 0, используя
СУД'1
минимальное количество узлов вдоль оси Xi.
Ответ: (Л,j ~ ^2UQ,j) -auo,j =0.
9.45. Для уравнения Ди = f построить аппроксимацию на решении
с порядком О (h4) граничного условия — а и = 0 при х^ = 0, используя
минимальное количество узлов вдоль оси х±.
9.46. Пусть в прямоугольной области, покрытой равномерной сеткой
с шагом /г, определен разностный аналог оператора Лапласа
Д^^м = (Ai + Л2) Uij у 1 г < JVi, 1 j < N2
Показать, что если справедливо неравенство Дни^ 0 при всех
1 г < Ni, 1 j < N2 , то функция достигает наименьшего значения
хотя бы в одной точке границы, т. е. при i = 0 или i = Ni, либо при j = О
ИЛИ j = N'2-
О Будем считать, что функция u^j отлична от константы, так как в этом
случае утверждение является тривиальным.
Предположим теперь противное, т. е. что минимальное значение до-
стигается во внутреннем узле сетки (вообще таких узлов может быть
несколько). Пусть его номер (ш, п); в этом случае справедливо неравенство
ДНит,п < 0:
Um,n Н- Um—1,п “Ь Um7n-\-l И- Um,n~ 1) •
Знак > не имеет места, так как um,n — минимальное значение функции на
сетке. Знак равенства означает, что в окрестности узла (ш, п) значения
функции совпадают
14тп+1,п = Um—l,n = Um,n+1 ~ Um,n—1 ~ Um,n ♦
Продолжая рассуждения для этих узлов, затем для их соседей, получим
в силу связности сетки, что при выполнении неравенства Дкщ^ 0
функция обязана быть константой. Это противоречит исходной посылке,
значит наименьшее значение обязано достигаться на границе, где указан-
ное в условии неравенство места не имеет. О
9.47. Доказать, что если в обозначениях 9.46 справедливо неравенство
Дни^ 0 при всех 1 i < М, 1 j < то функция Ui,j достигает
наибольшего значения хотя бы в одной точке границы.
9.48. Пусть в прямоугольной области, покрытой равномерной сеткой
с шагом /г, разностный аналог оператора Лапласа
Д^м = (Аг + А2) Uid , 1 < г < Afx, 1 < j < N2 ,
определен на сеточных функциях Ui,j = и^, обращающихся в нуль на
границе, т. е. при i = 0,М и при j = 0, АГ2- Доказать, что оператор
9.3. Эллиптические уравнения
301
(—Д72) является симметричным, положительно определенным, и для него
справедливы оценки
Cl < (-Aft«ft,«ft) < С2 («ft,«ft) , («ft, Vft) =
id
в которых постоянная ci > 0 не зависит от сеточного параметра Л,
а постоянная может быть выбрана равной -Дг.
№
9.49. Показать, что для решения методом Гаусса разностного
уравнения Пуассона Д^гл^ = Д с однородными условиями Ди-
рихле на границе (см. 9.48) при естественной нумерации ненуле-
вых неизвестных (либо по строкам, либо по столбцам, например,
Uh = (ш,1, W2,1, ... , ЦЦ2, требуется порядка
О (h~4) арифметических действий.
9.50. Упорядочить неизвестные в 9.49 так, чтобы количество арифмети-
ческих действий при решении методом Гаусса имело порядок О (Л-3).
9.51. Пусть в единичном квадрате D задана регулярная («северо-восточ-
ная») триангуляция с шагом h и в качестве базисных функций использу-
ются кусочно-линейные над треугольниками функции. Записать систему
уравнений метода Ритца (конечных элементов) для задачи
— Д u = f(x, у) в D, и = 0 на Г.
О На множестве непрерывно дифференцируемых функций, обращаю-
щихся в нуль на границе Г, введем норму
Г г/ \2 / \2-1 'I1/2 / X1/2
||«||с/ = и (fj) + (ж?) dxdy\ = ( J(V«)2 dxdy 1
Замыкание указанного множества функций в этой норме является гиль-
бертовым пространством; обозначим его через U. Рассмотрим задачу
нахождения минимума функционала
min J(v) = min < Г(Vv)2 dxdy — 2 Г fv dxdy ? . (9.5)
VtU £) J
Если классическое решение u исходной задачи существует, то оно до-
ставляет минимум функционалу (9.5). Обратное, вообще говоря, неверно:
функция, доставляющая минимум функционалу (9.5) на £7, не обязательно
должна иметь непрерывные вторые производные. Таким образом, нахож-
дение решения исходной задачи можно заменить более общей задачей
нахождения минимума квадратичного функционала (9.5) на U.
Аппроксимируем U конечномерным подпространством %, которое по-
строим следующим способом. Пусть заданы узлы
Dh = {(^, у) : х = mh, у = nh\ 0 m, n 7V}.
Разобьем D на квадратные ячейки со стороной h и вершинами в узлах Dh-
Каждую ячейку Dmn = {(ж, у) : mh х (т + 1)/г, nh у (и + 1)Л,},
302
Глава 9. Уравнения с частными производными
разобьем диагональю, проходящей через вершины (тп, п), (m + 1, п + 1).
Таким образом, вся область D = D U Г будет разбита на прямоугольные
треугольники с катетами, равными h. Эти треугольники назовем эле-
ментарными, а разбиение области D на треугольники — триангуляцией
области D. В качестве подпространства Uh пространства U возьмем про-
странство непрерывных в D функций, линейных на каждом элементарном
треугольнике и обращающихся в нуль на Г. Функции <ртп(х,у), которые
принимают значения, равные единице в узле (тп, п) и нулю в других узлах,
образуют базис в %.
Для построения конечноэлементной схемы воспользуемся методом Рит-
ца. В качестве приближенного решения задачи (9.5) будем рассматривать
функцию иь, которая минимизирует функционал (9.5) на подпространстве
Uь, т. е.
min J(v) = J(uh)-
v£Uh
Представим Uh в виде
TV —1
ин = ^2
i,T=l
где Uij — коэффициенты, подлежащие определению. Отметим, что иг].
в силу выбора функций pij, является значением иь в точке (г, j). Запишем
уравнения для определения этих коэффициентов. В точке минимума иь
функционала J(v) должны выполняться равенства
^^ = 0;
OUmn
Вычислим левую часть этого соотношения:
dJ
Oumn
d
dumn
N-l \2 W-l
£ Uii ) “2/ У7 uijWj
/ M=1
dxdy-
Следовательно, система уравнений относительно U{j имеет вид
Е J ( tit dxdy = / dx^
i,j = l D X У D
m, n = 1,..., N - 1.
Функция (pmn отлична от нуля лишь в тех элементарных треугольниках,
которые имеют узел (т, п) своей вершиной. Поэтому в каждом из урав-
нений (9.6) интегрирование ведется не по всей области D, а только по
пересечению таких треугольников с D.
9.3. Эллиптические уравнения
303
Множество точек, где (pmn 0, образует
шестиугольник (рис. 1). Обозначим этот ше-
стиугольник через а входящие в него тре-
угольники через 71,..., Т$. Положим
(т,л-1)
Рис. 1
Цп(*> з) = J dxdy;
D
так как = о
дх
в !2 и 7-, то
Цп(м) = f dxdy = Г drd>i+ f (ЫУ
mnx иj j дх дх ” J дх дх ” J дх дх
D г,итй тул\
Отсюда следует, что /^п7^0 лишь при j—n и i—m — 1, i—m, г=ш)1. Вы-
числяя интегралы, получаем
йп(ш, J \ dxdy+ J ) dxdy=2,
ЛиТб 4 Х T3UT4 v (J
Ц„(т+1, n)=Z^(m-l, «)= J dxdy=-l.
Тз'-гТд
Аналогично для
dxdy
имеем
•Ггпп(тЩ 71) 2,
Jmn(m> n+l) = I^n(m, n-l)=-l;
в остальных случаях 1^(1, j)— 0.
Таким образом, уравнение, соответствующее узлу (ш, п), при всех
m, n=l,...,7V—1, записывается в виде
Um-\~yn 7Lm—l,n ^m, n— 1
/^mn dxdy
9.52. Пусть единичный квадрат D разбит на элементарные квадраты со
стороной h и в качестве базисных используются билинейные функции.
Записать систему уравнений метода Ритца (конечных элементов) для
задачи
— A u — f(x, у) в D , и = 0 на Г.
Ответ: уравнение, соответствующее узлу (т, п), при всех m, n = l,2,...,A—1;
Nh = 1, записывается в виде
8 1
um,n g- [Um,n + 1 + ^m,n —1 + Wm— l,n + Wm+l,n +
+Um+l,n+l + Um + l,n-l + Um-l,n + l + = f f (Pmndxdy,
S'mn
где Smn — носитель базисной функции т. e. квадрат co стороной 2 h и цен-
тром в узле (ш, п).
304
Глава 9. Уравнения с частными производными
9.53. Построить аппроксимацию О (h2) в точке (х,у) для смешанной
производной л на семиточечном шаблоне
(ж, у) , (х ± h, у) , (х, у ± h) , (х - h, у + h) , (х + Л, у - h) .
9.54. Построить аппроксимацию О (Л2) в точке (х,у) для смешанной
производной 1,1 ,ь'- на семиточечном шаблоне
<h(hj
(х, у) ,(x±h,y) ,(х,у± h) ,(х+ h,y + h) ,(х - h,y - h) .
9.4. Параболические уравнения
Построение и исследование разностных схем для уравнений в частных
производных параболического типа традиционно проводят в открытой
полуполосе
D — {(x,t) : 1 > х > 0, t > 0}
на примере простейшего уравнения теплопроводности
с начальным и(х, 0) — uq(^) при t — 0 и краевыми условиями
w(O,t) = u(l, t) = 0 при Vt 0.
Предполагается, что начальная функция uq(x) удовлетворяет краевым
условиям.
В общем случае на любом из концов отрезка краевое условие может
быть задано в виде линейной комбинации функции и производной первого
порядка. Тогда необходимо обратить внимание на способ его аппроксима-
ции.
Характерная особенность параболической задачи — смешанный тип
данных: краевые условия по х и начальные по t. Поэтому исследование
аппроксимации такое же, как в гиперболических и эллиптических уравне-
ниях, а исследование устойчивости проводят специальным образом.
Сетку, если это особо не оговаривается, считают равномерной по обеим
переменным
xm = mh, m = М h = 1; tn = пт, n = 0,1, ...,
для сеточной функции и в точке используют обозначение н;',,
а краевые условия берут однородными: Uq = — 0 Уп.
9.55. При каком соотношении т и h схема
_ пй-1-2^ + <+1
г h2
имеет на решении порядок аппроксимации О(т2 + h4)?
Ответ: при
9.4. Параболические уравнения
305
9.56. При каких 0 разностная схема
71-1-1 П 4,П+1 П,,П+1 I -,П П-.П I Л.П
Цщ — Um д Um—\ ^um I Цщ-|-1 ц?п—1 ^uwi + Цт-ц
T ~ h2 V h2
имеет на решении порядок аппроксимации О(т2 + /г4)?
1 л2
Ответ: при О = 4 — &—.
2 12т
9.57. Определить порядок аппроксимации на решении схемы
?.п+1 _..п п_|_1 п . 7»П+1 — 71П
1 Um+1 , 5 Хп ~ ^гп _|___1 Um—1 ит—1 .
12 г -Г 6 т 12 т
1 ( “ш+-\ - 2<+1 + u£+\ _J - 2и” + <+1 '
“ 2 h2 + h2
Ответ: О (т2 + Д4).
9.58. Для уравнения теплопроводности построить схему наивысшего
порядка аппроксимации на шаблоне из точек:
1) (З-т—1, X—1), + ^п+1), (х 171, & — Cl 1, Tl^Tl 1,
2) (^m±i Nk), (жт, Zfc), к = Пу n + 1;
3) (^rnzbl, к = П 1, 77., 71 —|— 1*
4) (%m—1, ^n+1), (^m+b —1), (З'т, к — Tl 1, 72, 72. —|— 1 «
Анализ устойчивости схем в равномерной метрике. Определим
норму сеточной функции u™n на n-м временном слое следующим образом:
||wn|| = max |.
1 1 ml
Схема для простейшего уравнения теплопроводности называется
устойчивой в равномерной метрике на отрезке [О, Т], Г = Nt, если имеет
место неравенство
max ||«п|| ||«°11 + с “ах ||/п||,
где с не зависит от шагов сетки т и /г, но может линейно зависеть от Т.
При исследовании устойчивости схем с краевыми условиями первого
рода важную роль играют сеточные функции
у^ = sin(7r kmh), m = к = 1,..., М — 1,
являющиеся решениями задачи на собственные значения
— 2 ут + 7ш-1 __ _ \ П т К/Г — П ih — 1
^2 У^П"1 — ум — м *
С их помощью легко строятся частные решения однородного уравнения
вида
ит = sin(7T kmh), т = 0,..., М, к = 1,..., М - 1,
удовлетворяющие однородным краевым условиям.
306
Глава 9. Уравнения с частными производными
9.59. Найти порядок аппроксимации явной схемы
п+1 п 7,п __ о П I „,п
Цщ ~ Um _ um—l ~i~ Цй+1 । уп 1 < ш
T m
um = uo(mh), uq = = 0 Vn 0,
h-
и исследовать устойчивость при т .
<| Схема имеет порядок аппроксимации О(т + h2). Введем обозначение
и перепишем схему в удобном для анализа виде
И”+1 = (1 - 2р) а” + р (unm+x + а” _,) + rf” .
Максимальные значения обеих частей равенства по m совпадают, поэтому
при р имеем
| a"+1| (1 - 2р)| a" + 2р||ап|| + т||Г|| = ||а"|| + 7||Г|| <
< U"-*| +т( П +||/n-l|.K...^ !|«°|| + £r|/fc| <
fc=0
< l|a°|| + (a + 1) т max |/fc|.
к
Следовательно, схема удовлетворяет определению устойчивости с посто-
янной с = Т (так как {n + 1)т = in+i) при условии 7- |>
9.60. Исследовать аппроксимацию и устойчивость полностью неявной
схемы
---Д. + ™+1 + /«+1, 1 < m М - 1,
h
um ~ uo(mh\ uq=u^=0 Vn^O.
<] Порядок аппроксимации схемы О (т + /г2). Удобная для анализа форма
записи имеет вид
1*4-/. ( — Лк+1 4- 9мм 1 1 - м0"1"1 4- гР' 1 п — т
ит ’ Р \ *Лн -1 ’ I / Р д2 *
Выбирая из всех значений по модулю равных | un+1 , такое, у кото-
рого индекс m принимает наименьшее значение, имеем
|<+1 > с+_\ и к+11 > KV1I-
Отсюда |2u"+1| > «"t1!! + |а^+11> и знак выражения 2u"+1 -«"t1! -«m'+i
совпадает со знаком т. е. справедлива оценка снизу
hn+1ll = К+11 < K+1 +p(2<+i -<t\ - <+!i)l = И + т/"+1|.
Таким образом, при любых шагах сетки т и h справедливо неравен-
ство un+1 |un| + т fn+1 . Дальнейший вывод оценки безусловной
устойчивости аналогичен решению 9.59. О
9.4. Па раболические у равнения
307
9.61. Первая краевая задача для однородного уравнения теплопроводно-
ди д2и
сти -ттг —7 аппроксимируется явной двухслойной схемой
дх*
_ ,цт-1 ~ + Um+l 1 < ш < Л/ — 1
г h2 ’
ит = UO^Tnh), Uq = u'm = О 0 .
Определить порядок сходимости решения разностной схемы к решению
дифференциальной задачи при различных р = .
Ответ: сходимость имеет место только при выполнении условия устойчивости
Р С при ЭТОМ порядок СХОДИМОСТИ О (т Н- Л2) для р 7^ и О(т2 + Л4) для
Ч
9.62. Доказать, что явная схема
ц™+1 - 4 _ С-i ~2Ч\+С+1 г m м _
т h2
Um = Uq = u^ =0 V?l 0
неустойчива, если lim - ( Л5 — - = oo.
T,h^0 T \ д2 2 /
Указание. Проверить, что при выполнении этого условия среди част-
ных решений вида = p$(jk) sininmhk) найдется решение с номером к
таким, что —> оо при т —> 0.
9.63. Исследовать устойчивость схемы по начальным данным
"И 1 ~ п"| 1 = Цт-1-2«4+«й+1 ; 1 М _ 1
2т h2
ио = им = 0 Vn 0 .
Указание. С помощью частных решений вида С = р^(к) 8т(тгтНк)
показать, что схема неустойчива.
9.64. Сравнить численные решения однородного уравнения теплопровод-
ности с разрывной начальной функцией, полученные по явной и полно-
стью неявной разностным схемам.
Анализ устойчивости схем в интегральной метрике. Положим
/ м-1 ,
li«"lw = (/lEWn)2)
m=l
и назовем однородную разностную схему устойчивой по начальным дан-
ным в метрике на отрезке [0,Т],Т = Nt, если справедливо неравен-
ство . „. . п
ma* ||La ,
где с не зависит от шагов сетки т и h.
308
Глава 9. Уравнения с частными производными
9.65. При каких 0 е [0,1] схема
«т+‘ _a <t\-2«йг+1 +С+1 , h й. «т-1 ~2«m + «m+l
Т ~ ° 1? + Ц - в> 7? ’
1 m М — 1, < = «о(т/г), ио — им = 0 Vn О,
является устойчивой?
<] Введем оператор
Л«_ = Цт+1~2и m + Um—1
Учитывая однородность краевых условий, под Л будем также понимать
матрицу, которая ставит в соответствие вектору un = (uj,... ,игм_1)т
вектор Aun — (Au?,..., Au i )т- Тогда рассматриваемую схему можно
записать в виде „ . _ ,, Л
un+1 = Sun = Sn+1u°,
где S — (I — тОА)~X(I + т(1 — 0)Л), а I — единичная матрица.
Рассмотрим задачу на собственные значения на отрезке [О, I]
Аут = - Хут, 1 m Л/ - 1, Mh, = 1, Уо — Ум = 0.
Ее решение можно записать в форме
Л<*:’= Asin2^ , lOsSM-l.
h2 2Z
7rmk\
М ) ’
Так как матрица (Г + /ЗЛ)^1 имеет ту же систему собственных векторов,
что и Л, то собственные значения матрицы S можно выразить через А^.
Действительно, пусть Sy = ру. Возьмем в качестве у вектор у^к\ тогда
для соответствующего р^ получим явное выражение
M(fc)(S) =
Ут = \ Tsin
1+т0А^
Отсюда следует, что матрица S является симметричной, так как имеет
представление S = QDQ~\ где столбцами ортогональной матрицы Q
являются векторы у^к\ a D — диагональная матрица, состоящая из со-
ответствующих р^. Матричная норма
||л|| = х“оТТ ’
подчиненная векторной евклидовой норме, равна ЦАЦ2 = \/Атах(АтА).
Причем для симметричной матрицы выражение упрощается: ЦАЦ2 —
= шах |Л(А) |. Метрика Ьъд отличается от евклидовой только множителем
/г, поэтому справедливо выражение
||S||t2h =тах|д<*’(5)|.
к
Выясним теперь, в каком случае ||S||£2/i 1- Имеем
-1 < -—— < 1
1 _|_
9.4. Параболические уравнения
309
для к = 1,2,..., М — 1. Так как т, Х^ > 0, 0 О, то знаменатель дроби
всегда положителен, поэтому
- (1 + r6Xw) 1 - т(1 - 9)XW 1 + t6Xw .
Правое неравенство выполняется всегда, значит, содержательным являет-
ся левое неравенство. Перепишем его в виде
т(1 - 26>)A<fc) 2.
При 1 6 1 это неравенство выполняется при любом т, а при 0 6 < i
имеет место ограничение
< < ft2
(1 — 20) max 2 — 40
к
Из полученной выше формулы un = SnuQ следует, что
ll«nllL2,^ll5|IUII«°U.fc-
Поэтому для всех 0 € [0,1] имеем устойчивость в метрике с постоян-
ной с = 1. О
Ответ: для 2 0 1 схема устойчива при любых т и ft, а для 0 0 <
г. 2
устойчива при выполнении условия т 2 — 40 Здесь в основу решения положен
следующий принцип: все собственные значения оператора перехода должны по
модулю не превышать единицы. Это ограничение можно ослабить до величины
1+7Т с постоянной 7, не зависящей от т и ft (аналогично спектральному призна-
ку для гиперболических уравнений). В этом случае постоянная с в определении
„ уТ
устойчивости принимает значение с = е .
9.66. Уравнение теплопроводности аппроксимируется схемой
ot дх
Дюфорта—Франкела (схема «ромб»):
u”+l - и"-1 = цт+1 - цт-1 - ”m+1 + ”т-1
2т h2
1 m М — 1, Uq = u1^ = 0, \/п 1.
Выяснить условия ее устойчивости и показать, что если ft —> 0, т —> О так,
что = с 7^ 0, то эта схема аппроксимирует гиперболическое уравнение
ди । 2 д2и _ д2и
dt + dt2 ~ дх2 '
О Преобразуем схему к виду
- «йг1 , £ t4+1-2«£ + t&~L = с+1-2<+<-1
2т h2 т2 h2
Отсюда следует ответ на вопрос об аппроксимации.
310
Глава 9. Уравнения с частными производными
Для анализа устойчивости воспользуемся частными решениями
= /$(&) sin(?r m А; Л), для которых достаточно показать справедливость
неравенств д^(А;) 1- Из преобразованной схемы имеем
+ ;4 , >«> = $ g,, Ml,=1.
или, введя обозначение р =
2т
к2'
получим
р(р) - (р + 1)Р2 - 2р (р - rA(fc)) + (р - 1) = 0.
Если дискриминант этого уравнения неположительный, то
Ы2 = н2 = £.□.< 1.
В случае положительного дискриминанта в точках р = ±1 парабола
р(р) принимает положительные значения, а координата р* =
р - rA(fc>
Р+ 1
ее
вершины располагается внутри интервала (—1,1). Это гарантирует оценку
|дмд| < 1 для вещественных корней. Таким образом, в обоих случаях
получаем, что схема устойчива для всех т и h. [>
9.67. Исследовать устойчивость по начальным данным схемы
п+1 п—1 -I-
~ __ Um—1 ^um ' ит+1
h2
l^m^M — 1, Uq = unM = 0 Уп 1.
9.68. Исследовать устойчивость по начальным данным схемы
<+1 - «ЗГ1 _ - 2U-"1 + и--\
2т h2
1 т М — 1, Uq = = 0 Уп 1.
9.69. Исследовать устойчивость по начальным данным схемы
V.JJT - «ЙГ* _ «т-1 - 2«т+1 + «т+1
2г h2
1 ТП M l, Uq = u^ = 0 Уп 1.
Операторная устойчивость двухслойных разностных схем. Далее,
когда это не вызывает неоднозначности, будем опускать индекс, соответ-
ствующий пространственной координате.
В общем случае двухслойная разностная схема записывается следую-
щим образом:
Brl/n+l+ во«п =>?" (9.7)
9.4. Параболические уравнения
311
с известным начальным вектором и0 из некоторого конечномерного про-
странства U со скалярным произведением (•,•) и порожденной им нормой
|. Учитывая тождество
перепишем схему в канонической форме
В + Аип = <рп, (9.8)
где А — Во + Bi и В — т Bi.
Матричный оператор А (в общем случае комплекснозначный) обычно
задает аппроксимацию дифференциального оператора по пространству,
а оператор В задает аппроксимацию по времени. Такой вид записи
позволяет проверять устойчивость различных схем по общей методике,
формулируя условия в терминах свойств операторов А и В.
Достаточные условия устойчивости для двухслойных схем имеют вид
В > О,
Л = Л*>0, В^%А.
(9.9)
Обратим внимание на возможность использования естественной формы
записи двухслойных схем (9.7). В этом случае достаточные условия устой-
чивости (9.9) эквивалентны условиям
Bi > 0, (В0 + В1) = (В0 + В1)* >0, В^Во- (9.10)
Для задач с несамосопряженным оператором Л, т. е. А Л*, устойчи-
вость схем проверить значительно сложнее. В качестве примера приведем
достаточные условия устойчивости схемы с весами. Пусть дана двухслой-
ная схема с весами
/1-4-1 72
и уи + A(0un+1 + Q-9)un') = tpn, (9.11)
где А — несамосопряженный оператор, 0 — весовой параметр. Схема устой-
чива при
2 + (Ащи) 0.
Отсюда следует, что если А > 0, то для в схема устойчива при всех т.
Если, кроме того, дано, что
| Лг/2 С(Аи,и) (9.12)
с некоторой константой С, то схема устойчива при
> 2 — -FC * (9.13)
Наконец, если А — Л*
(9.11) устойчива при
0, то в качестве С можно взять С = | А |, и схема
1 _ _1 _
2 т||Д|| ’
(9-14)
312
Глава 9. Уравнения с частными производными
9.70. Исследовать устойчивость по начальным данным схемы
1 Um-1rl ^тп+1 , 5 i/,n . 1 Um—1 ^m—1
12 т h 6 т 12 т ~
лп о„Д । „Д-
_ 1 . л ./• М а Л9.П _ um—l ^цтп + ^m+l
• > .9 ’
л h
- 1, = unM = 0 Vn 0.
О Используя соотношения
lim+1 4“ 10lZm + lim—1 — (lim+1 2l£m 4“ lim —1) 4“ 12l£m = h AlZm 4~ 12l£m,
?.n+l _ n . un+1 -un
T
схему можно преобразовать к виду
..w + l _.п _.н+1 _,п
цгп - »ГП аг \ Ц.Д1 ЦВ1 = Л^,
ИЛИ п+1 п
(/ - <7ТЛ) т - л< = о,
гдест=5-^’ С
Ответ: схема устойчива при любых Нит.
9.71. Исследовать устойчивость по начальным данным и найти порядок
аппроксимации схемы
27<+1 = (? - |) «+_\ + <Vi) + 4 «-1 + <+1)> 7 =
1 772 М - 1, Uq — U^f = 0 V?2 0.
Ответ: (Z — сттЛ) ст = 1 — Схема устойчива при
т Л'У
7 и имеет порядок аппроксимации О (г 4- Л2).
Операторная устойчивость трехслойных разностных схем. В об-
щем случае трехслойная разностная схема записывается следующим об-
разом:
+ Bhu" + В дГ~х=^. (9.15)
Канонической формой называют представление трехслойной схемы в ви-
де
в и?*1-*”-1 + t2R + Лмп = (9 1б)
Имеют место следующие достаточные условия устойчивости для трехслой-
ных схем:
^0,
А = А* > 0.
(9.17)
В
R = R* > 4.
9.4. Параболические уравнения
313
Сравнивая (9.16) и (9.15), находим
Bt = R + j- В, Во = A-2R, В_1 = R- ±В,
В = r(Bi — В-i), В = | (Bi + В-i), А = Bi + Во + В-i.
Отсюда и из (9.17) получаем достаточные условия устойчивости для схемы
(9Л5) Bi+B-i =(В1+В_1)‘, Во = Во. Bl В-1. (9.18)
/1| — /1ц 4- о-i > О, П\ 4- Bq 4- В. । > 0.
Приведем достаточные условия устойчивости трехслойной схемы с ве-
сами. Для схемы с весами (01 и 02 — весовые параметры)
u"+1- + ип+1 + Ц _ _ Q^un + = фП (9 19)
с несамосопряженным оператором А > 0, для которого выполнена оценка
\Аи\ 2 < С(Аи , и), достаточные условия устойчивости имеют вид
01 > 62 - X , 0J + 02 > 1 . (9.20)
Трехслойную схему всегда можно записать в виде некоторой двухслой-
ной схемы, но уже для системы уравнений, что соответствует принятому
в теории дифференциальных уравнений сведению задачи второго порядка
к системе уравнений первого порядка. Такое представление неединствен-
но; приведем одну из возможных форм записи. Схема (9.16) эквивалентна
Б yn+1 - уп + AYn = Фп,
т
ГДе + 1\Т т
Y = ( «_-----jU" _ и"-1) , ф _ (ГМ))Г.
М 0 \ / В +^А rpt А\\
л = о r-Л , в= / д\ /о л I
Такая замена позволяет формально применять результаты теории
двухслойных разностных схем для исследования трехслойных схем.
Рассмотренный операторный подход помогает свести доказательство
устойчивости схемы к проверке сформулированных достаточных условий
для конкретных операторов В, R, А, определяемых задачей. В ряде слу-
чаев удобно использовать запись схем (9.8) и (9.16) в естественном виде
(9.7) и (9.15), после чего проверять достаточные условия устойчивости
(9.10) и (9.18) соответственно.
9.72. Исследовать устойчивость по начальным данным и найти порядок
аппроксимации схемы
1 - ^4+1 + O^C’+i , 5 l,5u”+1 - 2u^ + 0,514г1
12 т 6 т
1 lA4zd — — Л? n+1
12 T ~ Um 7
1 m M — 1, Uq = u^ = 0 Vn 1.
314
Глава 9. Уравнения с частными производными
Указание. Воспользоваться соотношением
I 1 1 „.П + 1 „.П—1 - Г»+1
1,5<+> - 2< + 0,5<~’ = т + г2Sa-
и переписать схему в трехслойной канонической форме с операторами
В = 1 + G - £)тА’ Д = 7/+(|-^)Л’ А=~л-
Ответ: схема абсолютно устойчива, погрешность аппроксимации на решении
равна О(т2 + Л4).
9.73. Исследовать устойчивость схемы по начальным данным в зависи-
мости от параметра О
„.п+1 ..п ..п .,п—1
um um । um um
= A«”+1,
1 m M — 1, Uq — unu = 0 Уп 1.
<] Эквивалентная схема
„п+1 л,п / / i \ 2 \ „ п+1 о» п , Л п—1
(/ - TA) ™ + ( ( | - (?) т/ - Т Л ) “s-2а™ +«m _ Лпч
"' \ \ £ J / 'У
соответствует трехслойной канонической схеме с операторами
В = 1+тА, Я=1д+Ц-^Д д = -л.
Отсюда следует, что достаточное условие устойчивости имеет вид
/? — 1 А — 1 А + 1 ~ I > (X 4- А — 4 Ч1п2 (^\
так как А XI. Оно выполняется при 0 < Д + .
Ответ: схема устойчива при 0 < + гД
4t
Факторизованные схемы. Рассмотрим двухслойную разностную схему
„.п+1 „,п
в ----zAL- + Aun =
Схему называют факторизованной, если оператор В представим в ви-
де произведения В = В± - Вр. Для факторизованных схем обращение
оператора В сводится к последовательному решению задач
где Fa — известные функции; сами матрицы Ва выбирают, например,
треугольными или трехдиагональными.
При решении многомерных задач математической физики требуемое
представление может быть получено заменой многомерной задачи с опе-
ратором В последовательностью одномерных задач с операторами Ва.
9.4. Параболические уравнения
315
В этом случае для промежуточных функций ип+а^р должны быть заданы
соответствующие краевые условия на границе области (однородные, если
исходные условия однородные). Такой подход позволяет совместить абсо-
лютную устойчивость неявных схем и простоту реализации одномерных
задач. Напомним, что явные схемы (В = I) имеют жесткое ограничение
на шаг по времени т = O(h2)> что делает их слишком трудоемкими для
реальных расчетов.
Для изучения устойчивости факторизованной схемы с операторами
Ва = / + rRa можно применять следующий критерий: если схема
р
с В = I + т 22 устойчива и операторы Ra положительные, са-
а=1
мосопряженные и попарно перестановочные, то факторизованная схема
с В = By... Вр также устойчива.
В задачах 9.74-9.78 требуется провести полное исследование разност-
ных схем для уравнения
dt щ
где Д — оператор Лапласа в пространстве двух или трех измерений, при
нулевых граничных условиях первого рода. Используемые обозначения
разностных операторов введены в разделе 9.3.
9.74. Исследовать устойчивость и найти порядок аппроксимации схемы
Дугласа—Рекфорда
Ц"+1Л-Ц" = Д1Цп+1/2 + - и'-1 2
Указание. Привести схему к виду
{1-тХ^—= Au'\ А = А1 + А2,
(/ - тА2) цП+‘ ~ цП = цП+1/2 ~ »" .
т т
Исключить (ггп+1/2 — ип) и получить факторизованную схему
„,п+1 п
(/ — тЛ1)(/ — тАг) -———— =
Ответ: порядок аппроксимации схемы равен О(т + А2). Схема устойчива.
9.75. Исследовать устойчивость и найти порядок аппроксимации ($i
и 02 — весовые параметры) разностной схемы
цп+1/2 цп = 01A1Un+l/2 + Q _ 01)A1Un + Л2Ип?
tt +1 ~= 02Л2(«"+1 - иП), 0102 > 0.
316
Глава 9. Уравнения с частными производными
<] П[мх)6разурм схему к виду
(/ - ^тЛ1)(/ - 02гЛ2) ц >41/ = Ли", Л = Ai + Л2.
Обозначим Аа = — Ла, А = Ai + А2, где Ai и А2—положительно
определенные, самосопряженные и перестановочные операторы такие, что
Ai А2 > 0. Проверим условие устойчивости двухслойной схемы В — ~ А 0.
Имеем
В = (I + t0iAi)(J + т02Аг) = I + r0i Ai + т02Аг + т2010гА1 Аг,
В - А = I + (th - tAi + ($2 - -И тАг + t20i02Ai Аг
I + (^0i — 'rAi + ^0г — 'тАг,
так как 0102 0. Учитывая, что I АД Аа|л и вводя требование
I / + тАа > (2Ц | .J| + 'т) > 0?
л 1 1 г-
получаем 0* > 2 “ 2ЯЩ' >
Ответ: порядок аппроксимации схемы равен О(т2 + /г2
+ О f 02 —
и
1|т) +
т), т. е. О(т2 + h2) при 01 = 02 = Схема устойчива при 0102 О
0« у — 0,1!\—гг > а = 1,2.
Схема безусловно устойчива при 0« .
9.76. Исследовать устойчивость и найти порядок аппроксимации (01,0г
и 0з — весовые параметры) разностной схемы
= 01Д1ггп+1/3 + (1 - б»1 )Л1ИП + (Л2 + л3)ип,
-н,п+2/3_ n+1/З «-1-2/3 п\
-----= 02Л2(цп+ - цп),
,.п+1 n+2/З
Gt Lt
0:tA:((un+1 - un)
(частный случай 0i = 0г = 0з = называется схемой Дугласа).
,-п+а/З_ п
Указание. Обозначим va = - , а = 1,2,3. Тогда схема прини-
мает вид
(/ - 01тА1)г>1 = Лцп, (/ - 02тАг)^2 = ^1, U - ^з'тЛз)^ = “у2.
nn+1 — иП
Последовательно исключая v2 и v-^ и заменяя = -----------, получить
факторизованную схему
(/ - f)lTAi)U - ватАг)(/ - ^тЛз) ц,' + 'г- ц" = Ли”,
Л = Л1 + Л2 ~Ь Л3.
9.4. Параболические уравнения
317
Ответ: порядок аппроксимации схемы равен О(т2 + h2) при 01 = 02 = 03 =
и О(т + h2) при 6a 1, a = 1, 2,3. Схема устойчива при 6a a = 1,2,3.
9.77. Исследовать устойчивость и найти порядок аппроксимации (01
и 02 — весовые параметры) разностной схемы
цП+1/2 цп = 6'iA1Un+1''2 + (1 - 02)Л2МП,
цп+1 цп+1/2 = 02Л2М„+1 + ц _ ^)Л1ип+1/2
Показать, что при 0а =
1 h2
2 12т
a = 1,2, порядок аппроксимации схемы
равен О(т2 + А4).
О Запишем уравнения в виде
(/ - 01тЛ1)мп+1/2 = (/ + (1 - 02)тЛ2)ип,
(/+ (1 - 6>i)rAi)«n+1/2 = (/ - 6>2тЛ2)мп+1.
Умножая первое из уравнений на (1 — 01), второе —на 01 и склады-
вая полученные выражения, получим un+1^2 = 0i(/ — 02vA2)wn+1 +
+ (1—0i)(l+(l—02)тЛ2)«п. Подставляя это выражение в первое уравнение,
имеем
(Z - 01тЛ1)(/ - 027-А2К+1 = (Z + (1 - 01)тЛ1)(/ + (1 - 02)тЛ2)гхп.
Таким образом, факторизованная схема принимает вид
(I - 6»1тЛ1)(/ - 02тЛ2) ц"+1г~цП = Ли” + (1 - 01 - 02)т-Л1Л2ггп,
где Л — Ах + Л2-
Ответ: порядок аппроксимации схемы при 0j = 02 = равен О(т2 + Л2); при
№
0а = 1 — тпД-, a = 1,2, порядок равен О(т2 + Л4).
Л Тл I
1 1 h,2
Схема устойчива при 0а тт и 0а = — -т^-, а = 1,2.
Л J.ZT'
9.78. Исследовать устойчивость разностной схемы
ц"+1/т3-цта = 1 (Ai^1'3 + (Л2 + Лз)«"),
ц"+2/3 ~ »"+1/3 = j (Л1И"+'/з + Л2«"+2/3 + Лз«п+1/3),
цп+1 цп+2/3 = j ((Д1 + д2)и„+2/з + дзИ„+1) _
Ответ: факторизованная схема имеет вид В1В2Взип+1 = С1С2Сзип, где
Ва = / — JAq,, Са = Ва + JЛа, а = 1,2,3, А = Ai + Лг + Аз. Схема не
U о
является безусловно устойчивой.
318
Глава 9. Уравнения с частными производными
9.5. Уравнение Шрёдингера
Рассмотрим первую краевую задачу для линейного однородного простран-
ственно одномерного нестационарного уравнения Шрёдингера
= i = 0<z<l, 0<tcT,
ot dx
М-1
«(ж,0) = UQ(x) = Cfc 8ш(тг&ж), tz(O,t) = — 0.
k=i
Применяя метод разделения переменных, можно показать, что решение
дифференциальной задачи имеет вид
М-1
«(ж, t) = С к р1 (к) sin (тг к х), р(к) = е1^к^2.
/е=1
Так как для коэффициентов р(к) выполняется равенство |д(&)| = 1, то
норма i М1
||u(£)||2 = J uudx = 5? l^l2 — const
о /с=1
не изменяется с течением времени.
При построении разностных схем разумно учитывать данное свой-
ство дифференциальной задачи и требовать выполнения подобной оценки
|мь(&)| 1 для разностной задачи, которая гарантирует устойчивость
разностной схемы. Однако, как будет показано далее, явные схемы для
уравнения Шрёдингера данному условию не удовлетворяют. Поэтому
здесь допустимо применение устойчивых разностных схем с растущими
решениями. При этом, как следует из определения устойчивости, необхо-
димо выполнение неравенства max | С 1 4- ст ест. Такому условию
к
удовлетворяют, например, явные схемы при т = О(/г4).
Двухслойная схема с весами. Зададимся сеткой с узлами в точках
(m/z, пт) и заменим исходную задачу следующей разностной схемой (0 —
весовой параметр):
i ~ = 0Ла"+1 + (1 - 0)Ла" , 1 $ m $ М - 1, Vn 0,
“о = им = 0.
где
Лит = um+l - + um i 0 = 0о + h =
9.79. Найти порядок аппроксимации схемы с весами.
Указание. Погрешность аппроксимации представима в виде
(' h2 ( 1 \ \ я
О У2 + \ — 2 / / ^хх 4~ 0? 5т) 4~ О (т2 4- /z4).
Отсюда, в частности, следует, что схема имеет максимальный порядок
аппроксимации при
0 =
1 h2
2 12т ’
9.5. Уравнение Шрёдингера
319
9.80. Применяя метод разделения переменных, записать явный вид реше-
ния и™п схемы с весами и показать, что необходимым условием невозрас-
тания решения разностной задачи при всех начальных данных является
неравенство 0о
Указание. Так как
М-1
um = 5Z sin^Trkmh),
fc=i
\цН(к) 2 = 1 - {2в° ~ 1}J2A^fc)2 2
(l + eiTAh(fe))2 + ^T2A^(fe)
\ sin2
Л2
где Xh(k) =
— собственные числа разностного оператора
(—Л), то решение не возрастает при Ph(k) 1-
9.81. Применяя метод разделения переменных, записать явный вид
решения и™п схемы с весами и показать, что для во < схема является
устойчивой при т = O(h4).
<1 Из 9.80 следует, что |Мь(&)|2 = 1 + К, где
к = (l-2e0)T2Ag(fc)
(i+eirAft(fc))2+egr2A^(fc) ’
Так как К С (1 - 26>й)тАгПахт, Amax = Xh(M - 1), то условие К $ сот,
означающее устойчивость, имеет место при
Т (1 - 20°о)Л^ (1-4)16 = °(/l
Отсюда следует, что явная схема (в = 0) устойчива, если т ' -j'= O(h4).
При 0 = i — с произвольной комплексной постоянной ci условие
2 т
К < cqt также выполняется. О
Таким образом, наличие в уравнении мнимой единицы i принципиально
меняет его свойства. В отличие от схем для уравнения теплопроводно-
сти (0 — безусловно устойчивые схемы, в < ± — устойчивость при
т = O(h2), но в обоих случаях нет растущих решений) для уравнения
Шрёдингера все схемы с во безусловно устойчивы, нет растущих
решений, а схемы с во < устойчивы при т = O(h4), но допускают
растущие решения.
320
Глава 9. Уравнения с частными производными
Трехслойная схема с весами
9.82. Для уравнения Шрёдингера найти порядок аппроксимации схемы
с весами (0 — действительный весовой параметр)
Tf Tf — X
i ~'"m = 0Aw"+1 + (1 - 20)Aw£, + flAw""1, «J = = 0, n > 1,
где
A«m = ~ 2“2m + ,tm-' , h=±,
и предложить аппроксимацию начальных условий того же порядка.
Ответ: при всех 6 схема имеет порядок аппроксимации О(т2 + /г2). Требуемая
аппроксимация начальных условий:
tijyj — U (Жш)> 1 т Ч- 1
9.83. Применяя метод разделения переменных, показать, что необходи-
мым условием невозрастания решения трехслойной схемы с весами при
1
любых начальных данных является выполнение неравенства 0 ± 9 .
<] Подставляя в разностную схему частное решение вида =
= Ph sin(?rA:m/z), получаем для р^ = Ph(k) квадратное уравнение
(i+2rAft(A:)0)^-2TAft(A:)(2(9-l)/ift+2TAfe(A:)(9-i=O> Xh(k) = ±sin2 (тгЦ)
Найдем его дискриминант
£> = 4(1 —40)(тА^(А:))2 —4.
Так как модуль произведения корней равен единице, то частные решения
не возрастают с увеличением п при D < 0. Отсюда с учетом А/г(&) <
1
получаем ответ: в . |>
9.6. Задача Стокса
Рассмотрим в прямоугольной области D — {(ж,у) : 0 < х < £i,0 < у < 1%}
с границей Г задачу Стокса в классической формулировке:
Ди + gradp = f, div и = 0, и|г = О- (9.21)
Здесь задана правая часть — вектор-функция f = (/^^(а?,?/),/^(а?,у))т,
а неизвестными являются вектор-функция u = (v(a?> у), w(x, у))т и ска-
лярная функция р — р(х,у), определенная с точностью до константы.
Для однозначности р, как правило, предполагают выполненным условие
нормировки I р(ж, у)dxdy — 0. Особенностью постановки задачи является
9.6. Задача Стокса
321
набор краевых условий: если для и заданы условия первого рода, то для
р никаких дополнительных условий не требуется.
Приведем скалярную форму записи уравнений (9.21)
- fe + й) +
ч (9.22)
_ + j + sp = /(2)( ) а« + а™=о.
\dx2 dy2 J dx dy
Схемы метода конечных элементов. Введем следующие простран-
ства:
Р = S Р\р 6 L2(D), Jpdxdy = О
I D
(D) = {«I и, , g e L2(P), «|г = о}
и определим обобщенное решение задачи (9.21) как функции u G U
и р G Р, удовлетворяющие системе интегральных тождеств
(grad u, grad v) - (р, div v) = (f,v) Vv € U,
— (q,divu) = 0 VqeP. ( J
Здесь круглые скобки означают скалярные произведения для обычных
функций для векторных функций u = («i,«2)T, v = (vi,V2)T:
(/,£) = / fgdxdy,
D
(gradu,gradv)= + + +
40 ° ' \ dx dx ) \ dy dy ) \ ox ox J \ dy dy )
Для дискретизации задачи (9.23) необходимо ввести конечномерные
подпространства Щ С U и Ph С Р, задаваемые, как правило, в виде
линейных оболочек наборов базисных функций:
Щ = (span{<pi,¥>2,...,<pwu/2})2 , Ph =span{?/>i,?/>2,...,'0w„},
так ЧТ0 W„/2 Np
Ufe = ’ Ph = >
i=l i=l
где Np — общее количество неизвестных, описывающих дискретное давле-
ние (размерность Ph), Nu —общее количество неизвестных, описывающих
дискретную скорость (размерность Uh). Это приводит к конечномерной
задаче: найти Uh £ Uh и ph Е Ph такие, что
(gradUh, gradv) - (ph,div v) = (f, v)
- (g, div Uh) = 0
Vv G Uh
VQ G Ph-
(9.24)
При этом независимо от конкретного выбора Uh и Ph система уравне-
ний (9.24) может быть записана в матричной блочной (2x2) форме
Л _ /f\
Вт О J ~ \0J ’
(9.25)
322
Глава 9. Уравнения с частными производными
где и — дискретный аналог вектора скорости, р — дискретный аналог
функции давления, порожденные разложениями искомых неизвестных по
базисам пространств Uh и Ph соответственно, т. е. коэффициенты в iih
и Ph-
Важным аспектом конечноэлементных аппроксимаций задачи Стокса
является неравенство Ладыженской—Бабушки—Брецци (или LBB-усло-
вие). Оно может быть представлено в следующей форме: существует
постоянная 5 > 0, не зависящая от параметра дискретизации области
h, такая, что
(»h, div и/>) г г li - п
sup чч. т 1\
“пвЩ (grad Uh, grad Uh) '
(9.26)
При выполнении этого условия гарантируется корректность дискретного
аналога задачи Стокса (9.24), т. е. равномерная ограниченность нормы об-
ратного оператора из (9.25) по параметру дискретизации h. Невыполнение
LBB-условия означает: 5 —> О при h —> 0 или 5 = 0 при Vh.
Запишем (9.26) в матричных обозначениях
max 2 > 6(р, Ср)1'2 Ур е R/V
uEjRr/tt (иДи)1'^
(9.27)
В (9.27) С — матрица масс для давления, т. е. матрица Грама с элементами
Cij = для базисных функций из Ph. Определим для матрицы
системы (9.25) дополнение по Шуру S = Вт В и рассмотрим спек-
тральную задачу Sp = ХСр. Выполнение LBB-условия (9.27) порождает
оценку Amin (С-1 S) 52 > 0 при всех h.
9.84. Для разбиения прямоугольной области D (рис. 2) построить конеч-
ноэлементную схему для задачи Стокса, используя в качестве базисных
линейные функции над маленькими треугольниками для компонент iih
и постоянные функции над большими треугольниками для Ph-
<] Пусть hi.Vi = li, hj\j = Будем СЧВЖЬ »VM i = 1,2, чет-
ными. Тогда множество прямых вида х ~ 2zhi, г = 0,1,...
9.6. Задача Стокса
323
у = 2j/i2, j = 0,1, • •, -j-5 разбивает D = D U Г на элементарные (боль-
шие) прямоугольники. Разобьем каждый элементарный прямоугольник на
два треугольника, проводя диагональ, параллельную прямой у = fex.
ai
Таким образом, мы получим регулярное («северо-восточное») разбиение
прямоугольной области D на треугольники. Далее разобьем каждый
треугольник из на четыре треугольника средними линиями; это даст
триангуляцию Th/2 (см. рис. 2). Определим пространства
U/г. = (u/г, | u/i G Si (Д), Д G Th^2i £ O(Z?); u/г, = О на Г},
Ph = I Ph \Ph G 5о(Д), Д е Th; J Phdxdy = 0 ►.
I D j
Здесь С(D) —пространство непрерывных на D функций, 5Г(Д)—про-
странство многочленов степени не выше г, определенных на множестве
Д С R2, или векторное (размерности 2) пространство функций, каждая
компонента которых принадлежит 5Г(Д).
Функцией формы первого порядка рк(х,у) для треугольного конечного
элемента Д называют линейную (ао + и±х + а2у) функцию, удовлетворяю-
щую соотношениям ^(^i, Pi) = дгк, где /г, i = 1,2, 3. Количество различных
функций форм для фиксированного элемента, как правило, соответствует
количеству его вершин.
Каждая базисная функция Pij(x,у) определена на всей области D
и строится формальным объединением всех функций форм, принимаю-
щих в фиксированной точке (гЛ-i, 7/12) значение единица. Вне конечных
элементов Д, из которых брались эти функции формы, базисные функция
продолжаются нулем. Таким образом, базисная функция является пира-
мидой, в основании которой лежит объединение элементарных треуголь-
ников из Th/2-
Функции формы Pk £ £>(Д), & = 1,2,3, каждого ij-треугольника
Д € Th/2 с вершинами (i/ii,J/i2), ((« + l)/ib jhv), ((« + 1)>И, (j + 1)/г2)
в локальных координатах с началом в точке (г/чД^г) соответственно
имеют вид
<Р1(х,у) = 1 - Х-х, <р2(х,у) = -^-2/, Рз(х,у) = ^У-
Базисные функции Pij(x,y) в U& совпадают с базисными функциями
в 9.51, построенными при решении уравнения Пуассона. Это дает возмож-
ность записать явно матричную форму (9-25)- Пусть u = (v,w)T и каждая
компонента вектора, в свою очередь, есть вектор с гу-элементами. Тогда
после соответствующей нормировки (деления на /г^г) получим
( ~ + Vi—lJ — ^Vij
1 V hl hl )’
Выражение для (-Afew)^ получается заменой v на w в предыдущем
выражении. Отметим, что в (9-25) матрица А = diag(—Д^, —Дл).
324
Глава 9. Уравнения с частными производными
Далее, учитывая, что функция формы (р0 Е So (А) каждого треуголь-
ника А Е Th имеет вид
1
при (т,?/) € А,
О при (т, у) А
и совпадает с соответствующей базисной функцией, имеем
—
~Pij + P\-2,j + Pi-2 J-2 - PiJ-2
0
-2рГ_1 + 2p|_2J_1
L—2р|_! +2^_1J_1
p)ij —
Pij Pi—2,j + Pi—2,j—2 Pi,j~2
+2^L1j-2
0
2Рг—1Д —1 + ^Pi—l,j — 1
i = -1
Кроме того,
(ВТи)Х. = ~Vij + Vi+2’3 ~ 2vi+1J+1 + 2vi+2,j+l
То&у) =
1
2/11
1
2/12
4/zi
при
при
при
при
при
при
при
при
i = 21, j = 2fc,
i = 21 + 1, j = 2/c,
i = 2/, j = 2k + 1,
i = 21 + 1, j = 2k + 1;
г = 21, j = 2к,
i = 21 + 1, j = 2fc,
i = 2/, j = 2k + 1,
i = 21 + 1, j' = 2k 1;
j = 1, . . . , N2 - 1-
i -2wj+i,j - + 2wi+i,j+i + wi+2,j+2
+ 4/i2
/дТц\2 _ ~2t,i,j+l ~vi,j+2 H~ 2щ|-1; j+i Jr^i-ir2,j+2
' 4/ii
, -Wij + Wij+2 - 2wi+ij+i + 2wi+ij+2
+ 4/i2
z-0,2,...,M -2, j = 0,2,...,N2-2.
Здесь p]j и pjj соответствуют значениям p в правом нижнем и левом
верхнем «больших» треугольниках; точка с координатами ij находится
в левом нижнем углу объединяющего их прямоугольника.
Матричная форма (9.25) для данной схемы окончательно принимает
вид (-ЛЧ^(ВхР^ = ^\
(-Ahw)ij + (ByP)ij = f(j2\
= (Вти)1 = 0,
где fij\ k — 1,2, — нормированная гу-компонента проекции задан-
ной функции на базис Uh. Напомним, что в полученной системе
Vij — = 0 при г — 0, z — Ni и всех у, а также при j = 0, j = N2
и всех г.
Построенная схема удовлетворяет LBB-условию, но доказательство
этого факта технически сложно. О
9.6. Задача Стокса
325
9.85. Для разбиения прямоугольной области D (рис. 3) построить конеч-
ноэлементную схему для задачи Стокса, используя в качестве базисных
билинейные функции над маленькими прямоугольниками для компонент
иь и постоянные функции над большими прямоугольниками для
О Пусть hiNi — — I2* Будем считать i = 1,2, чет-
ными. Тогда множество прямых вида х — 2г/и, i = 0,1,....^-;
у = 2jh2, j = 0,1,...,4г“- разбивает D на элементарные (большие)
прямоугольники. Обозначим это разбиение через Qh. Затем каждый полу-
ченный элемент дополнительно разобьем на четыре подобных, соединив
середины противоположных сторон прямыми. Построенное таким образом
разбиение области обозначим через Qh/2 (см. рис. 3).
Рассмотрим аппроксимацию поля скоростей кусочно-билинейными
функциями по отношению к разбиению Qh/2, непрерывными на Л и об-
ращающимися в нуль на Г, т. е.
Uft = {u6 ил € 51 (□),□€ ил € C(D); ил = О ня Г}.
Для аппроксимации давления будем использовать кусочно-постоянные
функции, определенные на больших прямоугольниках разбиения Qh
и имеющие нулевые средние на Д т. е.
А • 5n(d)*D <?•.: J Phdxdy = 0 .
I d J
В данном случае 5г(п) имеет смысл пространства полиномов не выше г
по каждой координате.
Функции формы <fk € 5i(n), к = 1,2,3,4, каждого ^‘-прямоуголь-
ника □ € Qh/2 с вершинами (г ЛД, ((« + 1) 3 ^2), (г hi,(j + 1) ЛД ,
((г + 1) Л1, (j + 1) Лг) в локальных координатах с началом в точке
326
Глава 9. Уравнения с частными производными
(i hi,j /г2) имеют соответственно вид
Это дает возможность записать явно матричную форму (9.25). Пусть
и = (у, w)T и каждая компонента вектора, в свою очередь, есть вектор
с гу-элементами. Тогда после соответствующей нормировки (деления на
/г 1/12) находим
1(А? 4- А 5 I А 7 4" Аг
За/а/ ViJ ~ 6AiA2 V<+M+1
А< 4 hj , 2А j - Aj 2hj - h?2
6Л1Л2 ЗА1А2 V,^+I ЗЛ1Л2
hl + h2 v
6A|A2 '
I«j4i
—A) 4-2h|
3AiA2
Ai + h2 ,,
oAi Aj ‘
lu
1J
i = 1, 1, j = 1,... ,TV2 - 1-
Выражение для (—получается заменой v на w в предыдущем
выражении. Отметим, что в (9.25) матрица А = diag (—Д\ — Д^). Далее,
учитывая, что функция формы 920 £ ^о(П) каждого прямоугольника
□ G Qk имеет вид
9?о (х, у) -
при
при
(ж, у) е □,
(х, у) £ □
и совпадает с соответствующей базисной функцией, получим
Г ~Pij + Pi—2,j + Pi-2,j-2 ~ Pi,j—2
1 , 1 — ^Pi,j~ 1 T 2pi— 2,j—1
Io
I ~Pij ~ Pi-2 J + Pi-2,j-2 + Pi,j~2
Qh Pbj 5^- •. + 2pi-lJ-2
2 lo
при г = 2Z, j — 2/с,
при г = 2/, j = 2k 4- 1,
при г = 2/+ 1,
при г = 2Z, j = 2к,
при i = 21 + 1, j = 2k,
при j = 2k + 1;
z = l,...,M-l, y = l,...,JV2-1.
Кроме того,
(BAuГ = 1^+2,j+2 + T — ^iJ+2 ~ ~
v 8A1 “h
Wj+2,j+2 + 2wj+lJ+2 + Wj,j+2 - ^i+2,j — 2w^+ij — Wjj
8A2 ’
г = 0,2,..., №-2, у =0,2,...,7V2-2.
9.6. Задача Стокса
327
Здесь соответствует значению р в «большом» прямоугольнике; точка
с координатами ij находится в левом нижнем углу прямоугольника.
Матричная форма (9.25) для данной схемы окончательно принимает
ВИД Z, •>
(-AS)o + (ВгР)о-=/£’,
= о,
где f[j\ k — 1,2, — нормированная ^/-компонента проекции задан-
ной функции на базис U/i. Напомним, что в полученной системе
Vij — Wij = 0 при i — 0, i — М и всех у, а также при j — 0, j = N2 и всех г.
Построенная схема удовлетворяет LBB-условию, но доказательство этого
факта технически сложно. О
Дискретный аналог оператора Лапласа (диагональный блок матрицы
А) в данной схеме является нестандартным, и для него имеет место
соотношение
—Д^ sin(m7rz/zi) sin(n7rj7z2) = Хтп sin(m7n&i) sii^wryT^),
г = 1,...,М-1? у = 1,... Л2-1,
где
Хтп = Ж7Г [ cos(7rm/ll) cos(^) -
—hi + 2/z|
h\h2
COs(tT771/11) —
2/lf —
COs(7rn/l2) ,
m = 1,... - 1, n = 1,..., N2 - 1.
Приведенное выражение можно использовать для решения систем вида
(—Д^и)- = fij методом разложения в двойной ряд.
9.86. Показать, что если для разбиения прямоугольной области D
(см. рис. 2) построить конечноэлементную схему для задачи Стокса, вы-
бирая в качестве базисных линейные функции для компонент u/i и посто-
янные функции для рн над одинаковыми треугольниками, то она не будет
удовлетворять LBB-условию.
О В дискретной задаче Стокса имеется уравнение
ВТи = 0. (9.28)
Покажем сначала, что из этого уравнения следует тождество и = О.
Введем обозначения: Vij — v(ihx,jh2), Wi,j — w(ih\,jh2) и рассмотрим
прямоугольник в нижнем левом углу. В силу нулевых краевых условий,
имеем
^0,0 = ^1,0 = ^0,1 = w0,0 = wl,0 = w0,l = 0 7
т. е. неизвестными являются только значения vi,i и wij. Для левого верх-
него треугольника Ti в этом прямоугольнике справедливо представление
U/Z = у), Wl.lPlfX, у))т ,
328
Глава 9. Уравнения с частными производными
где <pi(x,y) — — функция формы 7}, относящаяся к вершине (hi,hz).
Соотношение р
J div Uh dxdy = 0 ,
Ti
т. е. ортогональность дивергенции произвольной постоянной для фикси-
рованного треугольника Тр порождает равенство щд = 0, так как (pi(xfy)
не зависит от у.
Теперь рассмотрим правый нижний треугольник Тг в этом прямоуголь-
нике. Для Тг имеем
«Л = ,
где ipr(x,y) = -р— — функция формы треугольника Тг, относящаяся к вер-
шине Соотношение
I* div Uh dxdy — О
тг
порождает равенство wij = 0, так как у) не зависит от х.
Далее рассмотрим соседний прямоугольник, расположенный справа.
Аналогичные рассуждения, базирующиеся на значениях
гщ = viso = ^2,0 = w i, 1 = wi, о — w2,o = 0,
приводят к равенствам г/2д = 0 и W2,i = 0. Перебирая прямоугольники
направо до границы, получим
Vi,i = wi,i — 0, 0 i Ni.
Исчерпав первую линию прямоугольников, перейдем к следующей:
опять рассмотрим примыкающий к левой границе прямоугольник и т. д.
Такой последовательный перебор приводит к и = О, т. е. исходная линей-
ная система
Ли । Вр^ f
Вти = 0
принимает вид
Bp = f. (9.29)
Рассмотрим размерность этой системы. Количество уравнений си-
стемы совпадает с числом степеней свободы вектора и, т. е. равно
Nu — 2(Ni — 1)(N2 — 1)- Количество неизвестных Np определяется числом
треугольников (так как Рн(х,у) ~кусочно-постоянная на каждом тре-
угольнике функция). В силу специфики носителей базисных функций для
компонент скорости, верхний левый и правый нижний треугольники в по-
строении схемы не участвуют, поэтому Np = 2N1N2 — 2. Таким образом,
получено, что в системе уравнений (9.29) число неизвестных Np больше
числа уравнений Nu. Это означает, что ядро матрицы В нетривиально,
т. е. 5 = 0 V/г, следовательно, LBB-условие не выполнено. О
9.6. Задача Стокса
329
9.87. Показать, что если для разбиения прямоугольной области D
(см. рис. 3) построить конечноэлементную схему для задачи Стокса, ис-
пользуя в качестве базисных билинейные функции для компонент iih
и постоянные функции для ph над одинаковыми прямоугольниками, то
она не будет удовлетворять LBB-условию.
Схемы метода конечных разностей. Схемы, построенные методом
конечных разностей, часто называют схемами на смещенных (staggered)
сетках Лебедева, или МАС-схемами. Их спецификой является использо-
вание различных сеточных областей определения для компонент решения
v, w и р. Пусть Di, D2 и ТЭз — некоторые дискретные аналоги области
D (со своими сеточными границами I\, i = 1,2,3). Введем следующие
обозначения: Uh — линейное пространство вектор-функций, определенных
на D\ х D2 и обращающихся в нуль на соответствующих сеточных грани-
цах; Рк — пространство функций, определенных на D% и ортогональных
единице. При фиксированных Di, i = 1,2,3, целью является построение
сеточных уравнений, решение которых iih = (v, w)T и рь принадлежит
пространствам Uh и Рк соответственно.
На рисунках 4-6 множества Dj, D2 и D% обозначены символами •, о
и х соответственно.
9.88. Пусть сеточные области (см. рис. 4) определены следующим обра-
зом:
Pi = {= (О - |) Л1. jh2): i = 0,..., ЛГ1, j - 0.......N2 },
D2 = {xij= (ihi, ^2) : г = 0,...,М, j=0,...,N2},
Ds = {xij = (ihi,jh2): i = 0,..., M - 1, J = 0,..., № - 1, z2+y2^0}.
Построить разностную схему для задачи Стокса.
Ответ: запишем соответствующие пространства в индексных обозначениях:
Uh = Vi,h х V2,h?
330
Глава 9. Уравнения с частными ироизводными
Рис. 5
где
I 1Л = {г»7 = ' •J’l . > •' ' 771 - Voj = — vi£ — Vi^2 — 0}>
V2,h = {™ij = : Xij € D2y w0J = wNliJ = wij0 = wijN2 = 0},
Ph = {Pij = p(Xij) : Xij G Рз, hih2 Pij = 0}.
ij
Сеточные уравнения при этом принимают вид
~ Zvjj +
Wi+\,j - Zwjj +
/ij
vi,j+l ^vij + ui,j —1 Pij Pi—l,j_________r(l)
wi,j+l — ZWij + Wij- 1 Pij~ Piyj — 1 ____ r(2)
wi,j - Vjj - "''J =0
r />2
В этой системе первое, второе и третье уравнения заданы на множествах
Di, D2 и Do соответственно (здесь и далее Di — Di \ Гг).
9.89. Пусть сеточные области (см. рис. 5) определены следующим обра-
зом:
А = {х^ = ^ihiy /i2) г = 0,... yNiy j = 0,.. ., N2 + 1},
B2 = {xij = ((« - : г = 0,... ,M + 1, j = 0,. • • ,№},
D3 = {x^ = ((« + |) hi, h2^ : i = 0,..., Ni - 1, j = 0,..., N2 - 1}.
Построить разностную схему для задачи Стокса.
Ответ: определим пространства = Vi,h х V2,h> Где
Vi,h = {vij =v(xij): x^ G £>i, voj =vN1 }j =0, v^o = -Vi,\, Vi,n2+1 = ~vkN2 }>
Vz,h ={wij =w(xij):XijeD2y wo,j^~wijyWN1 + 1j = -wN1jyWiio^wi^2 =0},
Ph = {Pij = p{xij): Xij G Do, hi/i2 Pij = 0},
9.6. Задача Стокса
331
и запишем уравнения
vi+l,j ~2vij + . viJ+l ~2vij +VW-1 _
-------—+-------------------7%-------- ------’
wi+ij -2wij -i-Wi-ij t wi,j+i - %wij + _ f(2)
-----------------+---------Ц ^2 ’
-------------+ “ Ъ u'
Здесь первое, второе и третье уравнения заданы на множествах Di, D2 и D3
соответственно.
9.90. Пусть сеточные области (см. рис. 6) определены следующим обра-
зом:
Dr = {xij — hi,jh2^ : i = О,..., М - 1, j = 0, - • •>№},
D2 = {xij = (ihi, h2^ : ? = 0,...,№, j = 0,...,N2 - 1},
D3 = {xij = г = 1,..., M — 1, j = 1,..., № — 1}-
Построить разностную схему для задачи Стокса.
Ответ: построим пространства U/> = V^h х Иг,h-> где
Vl,h = {Vij = v(Xij) : Xij e 51, Vo J = tWi-l J = Vifi =VifN2 =0},
^2.h = {vJij = : Xij E D2,wo,j = = Wifi = = 0},
Ph = {Pij =p(Xij) : Xij e Ds^fiih2pij =0},
и сеточные уравнения
vi+l i ~ 2vii + vi— l.j , ^,7+1 — 2vij "* vifi~ 1 _ ~ Pij _ _ f(l)
--------+------ Л] ’
'Wi+lJ ~ 2wij + wi — l,j . wi,?+l — 2wij + wi,j~ 1 pi,j+l ~ __ f(2)
-------Л?---------+ ----------
4j - Ц , I _ Q
hl f»2
332
Глава 9. Уравнения с частными производными
Здесь первое, второе и третье уравнения заданы на множествах Z>i, D2 и £>з
соответственно.
9.91. Пусть сеточные области определены следующим образом:
Pi = {xij = i = 0,... ,7Vi, j = 0, . . • ,№},
D2 = {xij = (ihijh2): i = 0,.. -,7Vi, j = 0,.
Вз = {xij = (ihi,jh2): i = 0,. . ., Ni - 1, j = 0,... ,№ - 1}.
Построить разностную схему для задачи Стокса, используя для аппрок-
симации операторов div и grad разности вперед и назад соответственно.
Ответ: формулы для разностных уравнений совпадают с ответом 9.88.
9.92. Пусть сеточные области определены следующим образом:
Bi = {х^ = (ih-i, jh2): i = 0,..., M, j = 0,.
D2 = {x^ = г = 0,..., M, j = 0,..., №},
P3 = = ((« + |) H G + I) ^2) : = 0,.. - 1, j = 0,.. 1}.
Построить разностную схему второго порядка аппроксимации для задачи
Стокса, используя для операторов divh и gradh выражения, определенные
на симметричных относительно xij шаблонах из ближайших четырех
узлов. Показать, что ядро оператора grad h не содержит нетривиальных
функций, кроме
Глава 10
Интегральные уравнения
Обозначим через Gb интегральный оператор следующего вида:
ъ
Gby(x) = J К(х, s)y(s) ds ,
а
где заданная функция К(х, s) называется ядром, а верхний предел ин-
тегрирования b в общем случае может быть переменным. Типичными
примерами интегральных уравнений являются уравнения Фредгольма
и Вольтерры, каждое из которых может быть первого или второго рода.
В уравнениях Фредгольма b является постоянной заданной величиной
Gbv(x) = f(x) и у(х) - XGhy(,x) = /(ж),
причем в уравнения второго рода входит дополнительный числовой па-
раметр Л, который может быть задан или подлежит определению в зави-
симости от постановки задачи. В уравнениях Вольтерры верхний предел
интегрирования совпадает с текущим значением независимой переменной:
b = х, поэтому уравнения Вольтерры первого и второго рода соответствен-
но имеют вид
Gxy(x) = f(x) и у(х) - XGxy(x) = f(x).
Функция f(x) задана, а у(х) подлежит определению в уравнениях всех
типов.
Наиболее распространенной модельной постановкой является следую-
щая задача для уравнения Фредгольма второго рода: на множествах [а, Ь]
и [а, 6] х [а, 6] заданы квадратично интегрируемые функции f(x) и К(х, s);
для заданного значения параметра Л требуется определить квадратично
интегрируемую функцию у(х), удовлетворяющую уравнению
ъ
у(х) — Л J* К(х, s)y(s) ds = f(x). (10.1)
а
Предполагается, что (10.1) имеет единственное решение. Это справедливо,
например, если выполнено условие
/Ъ Ь \-1/2
|А| < ( J* J* \K(x,s)\2dxds I
\ a a J
10-1. Метод замены интеграла
Самым простым подходом к решению модельной задачи (10.1) являет-
ся замена интеграла в уравнении какой-либо квадратурной формулой.
В результате получается система линейных алгебраических уравнений
относительно значений неизвестной функции, которая решается рассмот-
ренными ранее прямыми или итерационными методами.
334
Глава 10. Интегральные уравнения
b
Для определения приближенного значения интеграла 1(<р) = j* <p(s)ds
Л
N
воспользуемся квадратурной формулой Sw(p) — 52 cjV(5j)* Тогда дис-
j=1
кретный аналог (10.1) в узлах хг — Si, 1 i N, принимает вид
N
yi- А 52 CjK(xi, Sj)Vj = f(xi), 1 < N , (10.2)
з=1
что представляет собой систему линейных алгебраических уравнений
А у = f относительно неизвестных yi,y2, ♦ • являющихся приближе-
ниями к точным значениям у(хТ),у(х2),... ,y(xiy).
Предметом рассмотрения при таком подходе являются оценки погреш-
ности приближенного решения (10.1), возникающей в результате замены
интеграла квадратурной формулой, и методы решения полученной систе-
мы (10.2).
В основе метода замены интеграла квадратурной формулой лежит
следующее утверждение.
Теорема. Пусть однородное уравнение имеет только нулевое ре-
шение, ядро и решение уравнения (10.1) непрерывно дифференцируе-
мы до т-го порядка включительно, погрешность квадратурной фор-
мулы на гладких функциях имеет асимптотику не ниже, чем
Тогда справедлива оценка погрешности
max |у(ж) — и(х) | < С N~m ,
Ы
где и(х) — решение уравнения
N
и(х) ~ А Z2 сзК(х’ si)u(si) = f(x)>
J=1
а постоянная С не зависит от N — количества узлов квадратурной
формулы.
10.1. Найти приближенное решение интегрального уравнения
1
у(х) + J x(exs — l)^(s) ds = ех — х
о
методом замены интеграла квадратурной формулой Симпсона и оценить
его погрешность.
<] Для отыскания приближенного решения у(х) в точках х = 0,^,1
запишем систему уравнений
У1 = 1, I (е0,25 - 1)Иг + А- (е0,5 - 1)уз = е0’5 - | ,
| (е0-5 - + | (е + 5Ь = е - 1,
10.1. Метод замены интеграла.
335
или (с точностью до четырех знаков после запятой)
yi = l, 1,09471/2 + 0,0541?/з = 1,1487,
0,43251/2 + 1, 28641/3 = 1, 7183.
Решение этой системы: у\ = 1, 1/2 ~ 0,9999, уз « 0,9996. Несложно
проверить, что точное решение уравнения у(х) = 1, поэтому абсолютная
погрешность не превышает 0,0004. [>
10.2. Найти приближенное решение интегрального уравнения
1
у(х) = | х + | Jxsy(s) ds
2 о
методом замены интеграла квадратурной формулой Симпсона и оценить
его погрешность.
Указание. Точное решение у(х) — х.
10.3. Найти приближенное решение интегрального уравнения
1
у(х) = е-ж + | Jxesy(s) ds
2 о
методом замены интеграла квадратурной формулой Симпсона и оценить
его погрешность.
Ответ: с тремя верными десятичными знаками у(х) — 1,003а; + е~х, точное
решение у(х) — х +е~х.
10.4. Найти в узлах a ~ хЛ < Х2 < • < х^ = b приближенное решение
уравнения Вольтерры второго рода
х
2/(ж) - Aj’/f(a:,s)y(s)ds = /(к)
a
методом замены интеграла составной квадратурной формулой трапеций.
Xi
О Для вычисления элементарного интеграла li = J <p(s) ds по отрезку
Xi-l
длины h{ — Xi — Xi-i квадратурная формула трапеций имеет вид
T.^h ^te-i)+^(^)
A tli 2
Поэтому для определения приближенного решения имеем систему урав-
нений
У1 = /Ы, Vi - А £ hj i = 2,3,... ,N,
3 = 2
где Kij = K(xiySj). Решение системы можно получить рекуррентно:
1/1 = /(a?i); для i = 2,3,...,JV его находят по формуле
г—1
2/(®i) + ahzKiXM + А 52 (hj + hj+i)
_ з=2
Vi~ 2 - XhiK^i
336
Глава 10. Интегральные уравнения
если знаменатель не обращается в нуль. Результат суммирования в этой
формуле равен нулю, если верхний индекс суммирования меньше нижнего
(для i = 2). [>
10.5. Найти в точках ж = 0, 1 приближенное решение интегрального
уравнения
у(х) = е~х + J ds
о
методом замены интеграла составной квадратурной формулой трапеций.
Указание. Точное решение у(х) = 1.
10.6. Найти в точках х = 0, 1 приближенное решение интегрального
уравнения
у{х) = еж + J* ex~sy(s) ds
о
методом замены интеграла составной квадратурной формулой трапеций.
Указание. Точное решение у(х) = е2т.
10.7. Пусть К(х, s) = К = const > 0. Записать в явном виде элементы
матрицы в системе (10.2), если в качестве квадратурной формулы исполь-
зуется составная формула прямоугольников с узлом в центральной точке.
О Пусть h = (b — a)/N; тогда составная формула прямоугольников для
ь
вычисления интеграла j* <p(s)ds такова:
а
= ьуу (а + h (j - |)) ,
J=1
а систему (10.2) можно записать в виде
N
52 = Лж*)> 1 г -W,
3 = 1
где aij = 5^ — Л К h, —символ Кронекера. [>
10.8. Исследовать сходимость метода простой итерации для решения
системы линейных уравнений, полученной в 10.7.
О Запишем метод простой итерации в виде yfc+1 = Byk + f. Из решения
10.7 имеем явный вид элементов матрицы В : bij = XKh. Матрица
размера N х N с постоянными элементами XKh имеет ядро размерности
N — 1 и одно собственное значение, равное NXKh. В этом легко убе-
диться, если рассмотреть действие матрицы на векторы (—1,1,0...,0)т,
(—1,0,1,0... ,0)т,..., (—1,0,0... ,0,1)т — базис ядра и (1,1,..., 1)т — ба-
зис образа. Отсюда, по теореме о необходимом и достаточном условии
10.1. Метод замены интеграла.
337
сходимости метода простой итерации, получаем, что сходимость с про-
извольного начального приближения имеется при выполнении условия
\X\K(b — a) <1. о
10.9. Пусть К(х, s) = К = const >0, |А| К (b — а) < a < 1. Оценить
погрешность решения при замене интеграла составной квадратурной фор-
мулой прямоугольников.
О Обозначим через (9?) остаточный член составной квадратурной фор-
мулы прямоугольников
ъ
J 4>(s)ds = 3*(р) + Л? (V).
a
Тогда система уравнений для точных значений решения (10.1) в узлах Xi
имеет вид
уЫ y{Xj) = f(Xi) + Atf
3 = 1
Введя для компонент погрешности обозначение Zi = у(жг) — Уг и обозначе-
ние = Ri (у)\х=х . для остаточного члена, получим систему Az = ХКг.
Отсюда в силу диагонального преобладания элементов матрицы Л, так как
|А| К (5 — a) < а < 1, имеем ЦгЦ^ |А|К||Л-1||о>||г||оо. Для остаточного
члена составной квадратурной формулы прямоугольников справедлива
оценка (см. раздел 4.1)
K(l/)l
С II!/"|1
(6 - а)3
24W2 ’
откуда следует неравенство
Моо^ПЛ
(6-а)3
247V2
В обоих этих неравенствах использовалась равномерная норма.
Оценим величину ||Л—1||ое. Так как матрица обладает свойством
диагонального преобладания, то, на основании 5.65, имеем ||Л_ 1||оо
1 1
1-а 1 — |А|А71
h = (b — a)/N. Отсюда следует окончательная оценка
(fi - g)3
247V2
= O(h2).
Таким образом, если система линейных уравнений «не слишком плоха»
и решение достаточно гладкое, то порядок погрешности в узлах хг совпа-
дает с порядком остаточного члена составной квадратурной формулы.
Для получения приближенных значений у(х) при х xi можно вос-
пользоваться кусочно-линейной интерполяцией, которая в этом случае не
ухудшит порядок ошибки, равный двум (см. 3.140). Если используемая
338
Глава 10. Интегральные уравнения
квадратурная формула является более точной, то для получения прибли-
женного решения интегрального уравнения рекомендуется использовать
формулу
N
у{х) ss /(я) + A CjK(xi, sj)yj
J=1
или воспользоваться интерполяцией более высокого порядка.
10.10. Показать, что для решения системы уравнений, полученной в 10.7,
метод Гаусса является устойчивым, т. е. все элементы матриц, возникаю-
щих в процессе треугольной L/2-факторизации, равномерно ограничены.
10.2. Метод замены ядра
Если в уравнении (10.1) ядро K(x,s) вырождено, т. е.
K(x,s) =
г=1
где {АДж)}’’ х и {ВДж)^’ х — системы линейно независимых на отрезке
[а, Ь] функций, то (10.1) можно записать в виде
р
У&) ~ Л j Bi(s)y(s)ds = /(ж).
i=l a
Решение уравнения такой структуры удобно представить формулой
1/(ж) = /(к) + А ^2 А А (к),
г=1
где Di — некоторые постоянные, подлежащие определению. В результате
подстановки в уравнение формулы для решения у(х) и сокращения на Л
получим
У?DiAi(x) - X^Ai(x) Dj J* Aj(s)Bi(s)ds — У^ Ai(x) j* f(s)Bi(s)ds .
г = 1 г=1 J = 1 a ?=1 a
Обозначим b b
fi = f f(s)Bi(s)ds, aij = ] Aj{s)Bi(s)ds
a a
и на основании линейной независимости функций {АДж)]'.' х перепишем
полученное равенство в виде
р
Di-Xy^aijDj = fi, (10.3)
J=1
Если определитель системы (10.3) отличен от нуля, то система имеет
единственное решение Di,... ,DP и решение интегрального уравнения
10.2. Метод замены ядра
339
у(х) будет явно найдено в указанном виде. Если при заданном Л опре-
делитель (10.3) равен нулю, то Л является характеристическим числом
уравнения (ядра К(х, s)). В этом случае, находя все линейно независимые
решения соответствующей однородной системы, в явном виде можно запи-
сать собственные функции ядра К(х, $), соответствующие этому характе-
ристическому числу Л (собственным значением называется величина ^-).
Метод приближенного решения интегральных уравнений Фредгольма
с помощью замены ядра К(х, s) близким к нему вырожденным ядром
Н(х, s) основан на следующем результате.
Теорема. Если
ь
у(х) - Л j* K(x,s)y(s) ds = f(x),
a
b
z(x) — A j* H(x, s)z(s) ds = <p(x)
a
— два интегральных уравнения, R(x,s, Л) — резольвента второго из этих
уравнений, существуют такие константы что имеют место
неравенства
ъ ъ
J* |Х(ж, $) - Н(х, s)\ds <5, |/(ж) - <р(х) | е, ]* |Я(я, s, A)|ds М
а а
и выполнено условие
|А|<5(1 + |А|М) < 1,
то первое интегральное уравнение имеет единственное решение у(х)
и справедлива оценка
Ш -г<’>1« Г-ЭД.АХм) +'« + W">
где F = max |/(ж)|.
а^х^Ъ
Способы построения вырожденных ядер, близких к данному ядру
K(x,s), могут быть самые различные. Например, К(х, s) можно прибли-
жать частичными суммами степенного или двойного тригонометрического
ряда, если оно разлагается в соответствующий равномерно сходящийся
в прямоугольнике а х, s b ряд, или приближать ядро алгебраическими
или тригонометрическими интерполяционными многочленами.
10.11. Найти приближенное решение интегрального уравнения
1
у(х) + j*x(exs - 1)у($) ds — - х
о
_ _ / ч л q.3 2 4 3
с помощью замены ядра вырожденным п [х, s) — х s-\—~—I—, взятым
в виде первых трех членов разложения K(x,s) в ряд Тейлора.
340
Глава 10. Интегральные уравнения
<| Вместо исходного рассмотрим интегральное уравнение
1
z(x) + J* Я(я, з)г(з) ds = еж — х,
о
решение которого будем искать в виде
z(x) = ех — х + Dix2 + D2X3 + D3X4 .
Для определения постоянных Т)1,Л2,Лз получаем систему
4 + 5 -^2 + 6 -^3 — - 3 > 5 + 6 -^2 + у Вз — 4 - е,
П1 + -В2+тП3-2е- - ,
решая которую, находим Di « — 0,5010, В2 « — 0,1671, Вз « —0,0422.
Точное решение уравнения у(х) _ 1. Несложно проверить, что абсолютная
погрешность не превышает 0,008. О
10.12. Найти приближенное решение интегрального уравнения
1
у(х) = -|a;-| + j’(l + 2xs)y(s) ds
о
с вырожденным ядром.
Указание. Точное решение у(х) = х + 1.
10.3. Проекционные методы
Метод наименьших квадратов. Будем искать приближенное решение
z(х) интегрального уравнения (10.1) в виде
N
*(*) = £2 ci4>i(x),
1=1
где [ ^ , । г । ’ х — известные линейно независимые функции, которые часто
называют координатными. Определим невязку уравнения
ь
Rz(x) = z(x) — Л JК(х, s)z(s) ds — f(x). (Ю.4)
а
Неизвестные постоянные коэффициенты ci,...,c/v находят из условия
ь
минимума интеграла J = j* [Rz (ж)] 2dx, т. е. из условий
а
Q = О. 1 < >' £ АГ.
10.3. Проекционные методы
341
Используя выражение для невязки (10.4), получаем для отыскания
коэффициентов систему линейных алгебраических уравнений А с = f
ь
<Pj(x) - A j*K(x,s)tpj(s) ds
a
b "I
<Pi(x) — A j* K(x, s)<pi(s) ds dx
a
b
fi = J
a
dx.
Особенность построенной матрицы A — ее симметричность и положи-
тельная определенность в случае, если А не является характеристическим
числом интегрального оператора. Это приводит к тому, что алгебраи-
ческая система имеет единственное решение и z(x) стремится к у(х)
с ростом N.
10.13. Найти методом наименьших квадратов приближенное решение
интегрального уравнения
1
у(х) — х + J* xsy(s) ds,
-i
используя в качестве координатных функций tpi(x) = 1, <р?(х) = х.
О Для отыскания приближенного решения z(x) — Ci + с?х получаем
систему
8 2 2 2,2 2
3 С1 9 С2 - 3 ’ 9 С1 + 27 С2 - 9 ’
решая которую, находим С\ — 0, С2 = 3, т. е. приближенное решение
интегрального уравнения совпадает с точным: z{x) = у(х) — Зх. [>
Метод Петрова—Галеркина. Пусть имеются две различные системы
линейно независимых функций. Будем искать приближенное решение z(x)
интегрального уравнения (10.1) в виде
N
г(ж) = /(ж) + сз‘Рз(х) >
где {(pj;(ж)— первая система линейно независимых функций. Коэф-
фициенты Ci,... ,cn находят из условий ортогональности невязки (10.4)
каждой функции из второй системы линейно независимых функций
j Лг(ж) ^(ж) dx = 0, 1 $ г С 7V.
а
Эти условия представляют собой систему линейных алгебраических урав-
нений А с = f для отыскания неизвестных постоянных коэффициентов,
342
Глава 10. Интегральные уравнения
&ij = j* Фз(х) $i(x)dx — Л j*^{(x) j* K(x, sfpj(s) ds dx ,
d Q. Q.
b b
fi = Л j*^(x) j* K(x, s)f(s) ds dx.
a a
10.14. Найти методом Петрова—Галеркина приближенное решение инте-
грального уравнения
1
у(х) = 1 + J (xs + x2)y(s) ds ,
-i
используя в качестве первой системы функций <pi(x) = х, <р2(х) = х2,
а в качестве второй системы 01 (х) = 1, 02(х) = х.
О Приближенное решение z(x) = 1 + схх + С2Х2 находим из системы
0 • Ci + С2 = I , С1 + 0 • С2 = 0.
Ее решение имеет вид ci = О, С2 = 6. Приближенное решение интеграль-
ного уравнения совпадает с точным: z(x) = у(х) = 1 + 6 х2. [>
Метод Бубнова—Галеркина. Этот метод является частным случа-
ем метода Петрова—Галеркина, когда обе системы функций совпадают:
<Pi(x) = ^i(x), 1 i N. Иногда для приближенного решения удобно
использовать представление
N
4Ж) = IS CjVj C®)
J=1
(без учета правой части f(x)), например, при определении характеристи-
ческих значений интегрального оператора.
10.15. Найти методом Бубнова—Галеркина приближенное решение инте-
грального уравнения
1
у(х) = 1 + J* (яз + x2)y(s) ds,
используя в качестве системы функций <Р1(ж) = х, <рг(ж) = х2.
О Приближенное решение z(x) = 1 + с\х + съх2 получаем из системы
|- Ci + 0 С2 = 0 , 0 ) С2 = | ,
решая которую, находим ci = О, С2 = 6. Приближенное решение инте-
грального уравнения совпадает с точным: z(x) = у(х) = 1 + 6ж2. О
10.3. Проекционные методы
343
10.16. Найти методом Бубнова—Галеркина два младших характеристи-
ческих числа и соответствующие им собственные функции однородного
интегрального уравнения
1
= A J* s)y(s) ds ,
о
где
r.z ч f ж(1 — s) при 0 < х s < 1,
KyX^S) — \ с\ л
[ s(l — X) при 0 < S < X 1,
если координатные функции имеют вид: <р±(х) = 1, v?2(^) = ж(1 - х),
<Рз(я) = я(1 - ж)(1 - 2ж).
<| Для приближенных собственных функций вида z(x) = ci + С2х(1 — х) +
+ сзх(1 — ж)(1 — 2х) с пока неизвестными коэффициентами имеем уравне-
ния г
J* ч\(х) Rz(x) dx = 0, 1 < i < 3.
о
Вычисляя интегралы, получаем систему
С1 f 1 — —+ — fl — — — 0
1 \ 12/ ф 6 \ 10j -
— fl — A A I с2 (1 _ 17А _ q сз /-1 _ А А _ q
6 \ Ю^ЗО \ 168/ ’ 210 \ 40/
Приравнивая определитель этой системы к нулю, приближенно (с четырь-
мя знаками после запятой) находим
Ai « 9,8751, А2 « 40, А3 « 170,1249.
1
Отсюда, учитывая условие нормировки j* [г(ж)]2 dx = 1, определим
о
zi(x) = —0,0684 + 5, 817ж(1 — ж), Z2^x) = 14,49^(1 — я)(1 — 2х).
Точное решение задачи имеет вид: = (кт1')2у ykM — V2sin(fc7r;r),
к =1,2,.... [>
10.17. Найти методом Бубнова—Галеркина два младших характеристи-
ческих числа и соответствующие им собственные функции однородного
интегрального уравнения
7Г
У(.х) = Aj K(x,s)y(s) ds,
о
с вырожденным ядром К(х, s) = cos2 х cos 2s + cos 3т cos3 s.
Указание. Точное решение: Ai = —, yi(x) = Ci cos2 x; A2 = —, У2М =
TV TV
— C2 COS 3x.
344
Глава 10. Интегральные уравнения
10.18. Найти методом Бубнова—Галеркина приближенное решение инте-
грального уравнения
1
у(х) = 1 + J (Ж5 + x2)y(s) ds ,
-1
используя в качестве координатной системы функций первые три много-
члена Лежандра.
<] Подставим приближенное решение
z(x) = Cl + С2Х + Сз 2~ 1
в исходное уравнение. Интегрируя правую часть полученного равенства,
имеем 2
Cl -I- С2Х + Сз 3'Г ~ 1 = 1 + 2ХС1 + | ХС2 .
Q 2 1
Последовательно умножаем равенство на функции 1, ж, 2~— и инте-
грируем по отрезку [—1,1]. В результате получаем систему линейных
уравнений
2ci = 2 + | ci, | с2 = | с2 , | с3 = ci,
откуда находим Ci = 3, с2 = 0, Сз = 4, т. е. z(x) = у(х) — 1 + 6я2.
Метод моментов. Пусть задана ортонормированная система координат-
ных функций рассмотрим вспомогательные функции
ь
Ui{x) = f К(х, s)<pi(s) ds ,
a
i = 1, 2,... ,
TV
и построим вырожденное ядро Hn(x,s) = Ui(s)<pi(x). Определим при-
i=l
ближенное решение методом моментов как точное решение z(x) инте-
грального уравнения
ъ
z(x) - A j* Н^(х, s)z(s) ds = /(ж).
a
10.19. Найти методом моментов приближенное решение интегрального
уравнения
у(х) = 1 + j* (xs + x2)y(s) ds,
-i
используя в качестве координатных функций первые два многочлена
Лежандра.
10.4. Некорректные задачи
345
Метод коллокации. Будем искать приближенное решение z(x) инте-
грального уравнения (10.1) в виде
N
*(*) = 12 с^%(ж) >
J = 1
где { 99 j (ж) т — известные линейно независимые функции. Искомые ко-
эффициенты определяются из требования обращения в нуль невязки
Rz(x) в заданных точках (точках коллокации) отрезка [а, 6].
10.20. Найти методом коллокации с точками — 1,0,1 приближенное ре-
шение интегрального уравнения
1
у(х) = 1 + - х + j* (xs2 - x)y(s) ds,
-i
используя в качестве координатной системы функций первые три много-
члена Лежандра.
<] Для отыскания приближенного решения в виде
z(x) = Cl + С2Х + Сз 2~ 1
имеем невязку интегрального уравнения
Rz(x) = ci (1 + 1яА + С2Х + сз (Зх ~ 1 Н- ж') — 1 — 4 ж •
Если потребовать, чтобы она обращалась в нуль в точках —1,0,1, то
получим систему линейных уравнений для отыскания неизвестных коэф-
фициентов
|с1+С2 + |с3=|,С1 = 1, | Ci + С2 + у Сз = | ,
откуда находим ci = 1, С2 = 0, Сз = 0, т. е. z(x) = у(х) = 1. [>
10.4. Некорректные задачи
Типичным примером некорректной задачи является интегральное урав-
нение Фредгольма первого рода Сьу(х) = /(ж), т. е.
ъ
JК(x,s)y(s) ds = f(x). (10.5)
а
Под некорректностью здесь понимается либо несуществование реше-
ния у(х), либо его неединственность, которая, как правило, приводит
к неустойчивости решения относительно возмущения правой части. Эти
эффекты проявляются (или не проявляются) в зависимости от свойств
ядра и правой части уравнения.
346
Глава 10. Интегральные уравнения
Напомним некоторые полезные свойства ядра K(x,s) интегрального
оператора Gb* Пусть ядро К(х,$} вещественное, симметричное и непре-
рывное. Тогда существует полная, ортонормированная в метрике про-
странства L2(a,b), система собственных функций {^(ж)}?^ оператора Gb
GbZi(x) = XiZi(x), (zi,Zj) = д-.
При этом само ядро определяется сходящимся рядом
оо оо
K{x,s) = XiZi(x)zi(s) И ||K(j;, 5)||2 = ^2 A;|2,
i=i i=i
где все характеристические числа Xi вещественные. В упражнениях
10.21-10.27 по умолчанию речь идет о ядрах с такими свойствами.
10.21. Пусть все характеристические числа Gb отличны от нуля, f(x) —
достаточно гладкая вещественная функция. Показать, что решение инте-
грального уравнения (10.5) существует и оно единственно.
<] Будем искать решение (10.5) в виде формального ряда
оо
у(х) = (10-6)
i=l
Так как правая часть гладкая, имеем сходящийся ряд
□с Ь
/(я) = 52 Л = J f(x)zi(x) dx .
i=i ®
Подставляя в исходное уравнение предполагаемое решение (10.6) и раз-
ложения по собственным функциям для ядра и правой части, в силу
ортонормированности системы {гг(ж)}^1? получаем
& = £ > i = 1,2,... .
Таким образом, сходимость функционального ряда (10.6) определяется
сходимостью числового ряда
Будем считать, что неявно наложенное условие гладкости на правую часть
/(ж) приводит к неравенству S < оо. Тогда решение поставленной задачи
существует и оно единственное. О
10.22. Пусть характеристические числа Gb обладают следующим свой-
ством: Xi 0 при 1 г р и Лг = 0 при г > р. Показать, что при
сколь угодно гладкой правой части f(x) решение интегрального уравне-
ния (10.5) может не существовать, а если оно существует, то не является
единственным.
10.4. Некорректные задачи
347
О При указанных в условии свойствах характеристических чисел ядро
интегрального оператора имеет вид
р
К(Х, S) = ^2 ,
г=1
т. е. является вырожденным. Поэтому на основании раздела 10.2 решение
уравнения (10.5) имеет вид конечной суммы
р
у{х) = IS
г=1
с некоторыми коэффициентами уг. Пусть правая часть уравнения (10.5)
имеет вид /(ж) = fkZk(x), fk 0, при некотором k > р. Тогда равенство
Сьу(х) = /(ж), т. е.
ь / \
/ р \ / р \
52 I 52 Ids = А^(ж),
• \j=i / 4=1 7
ц
противоречит свойству ортонормированности системы собственных функ-
ций {^(ж)}^ интегрального оператора Gb- Поэтому решение задачи у(х)
существует только для правых частей, представимых в виде
/(*) = IS/»*»(*)•
г=1
При этом, в силу 10.21, неизвестные коэффициенты в решении определя-
ются равенствами yi = Д, г = 1,2,...,р.
Аг
Теперь, чтобы установить неединственность решения для таких правых
частей, достаточно проверить, что произвольная функция
?/(ж) = IS 2<(Ж) + IS dZi(X)
г = 1 г=р+1
оо
с коэффициентами, удовлетворяющими условию ^2 2 < оо, также
i=P+l
является решением исходного интегрального уравнения. [>
Для решения некорректных задач используют различные способы ре-
гуляризации. Например, в качестве приближенного решения у уравнения
Фредгольма первого рода (10.5) рассматривают некоторое решение уа
корректного уравнения Фредгольма второго рода (10.1), зависящее от
параметра регуляризации а > 0.
Простейшая регуляризация. Этот способ заключается в том, что
исходное уравнение Gby f заменяют возмущенным уравнением
ayQ + Gbyа — /<5, где /<5 возникает в результате незнания точной правой
части |
348
Глава 10. Интегральные уравнения
Метод регуляризации Тихонова. Приближенное решение уа находит-
ся из условия минимума функционала
j(2) = ||С^-Л|2 + «М2,
что приводит к уравнению Эйлера
+ G*bGby« = G*bfd ,
b
где G^p(x) — J* K(syx)<p(s) ds — сопряженный интегральный оператор.
a
Основным моментом в методах регуляризации является выбор пара-
метра о и его согласование с величиной погрешности входных данных 5:
необходимо, чтобы при 5 —> 0 выполнялось уа —> у.
10.23. Пусть для решения у уравнения (10.5) с оператором Gb = G% > 0
справедливо неравенство
1 М = const.
Показать, что метод простейшей регуляризации сходится (?/» —> у) при
01 = > 5 °'
<1 Запишем решения точного и регуляризованного уравнений в виде раз-
ложений по собственным функциям интегрального оператора (см. 10.21):
Обозначим через и решение регуляризованного уравнения с точной правой
частью ч
au + Gt,u = f, « = У" ^4 гДг).
(ж!
Это решение потребуется для получения оценки по неравенству треуголь-
ника
|3/а “И Й<» “«Il + и~У\-
В силу ортонормированности системы собственных функций
для оценки слагаемых в правой части можно использовать равенство
Парсеваля
В последней оценке использовано неравенство из условия задачи. Из
полученных выражений следует
1з/а -2/1 < £ +аМ.
10.4. Некорректные задачи
349
/ А
Минимум правой части выражения достигается при а — \ что при-
водит к неравенству ||?/а — у\\ 2\/5 М. Эта оценка означает, что уа —$ у
при <5 —> 0. О
10.24. Записать для (10.5) регуляризованное интегральное уравнение
в методе Тихонова.
ъ
Ответ: уравнение имеет вид ау& 4- Qby& — ip, где <р(х) — JK(s,x)f(s) ds;
а
ядро Н(х, s) в новом интегральном операторе Qb = G^Gb определяется через
исходное К (ж, s) по формуле
ъ
Н(х, s) = J K(t,x)K(t, s)dt
а
и является симметричным.
10.25. Пусть в задаче определения характеристических чисел для урав-
нения у(х) = XGby(x) ядро К(х, s) интегрального оператора симметрично
и положительно определено и по заданной начальной функции <Ро(х)
строится последовательность функций <pi(x)
^?i+l(^) Gb^i(^x\
2=0,1,... .
Показать, что для минимального характеристического числа Amjn можно
получить приближения
тш llmill ’
А„„п~ |ЫГ1А.
10.26. Пусть в задаче определения характеристических чисел уравнения
у(х) = XGby(x) с симметричным ядром найдены числа Si (г-е следы ядра
К(х, $)). Показать, что для минимального характеристического числа Amin
при больших i имеется приближение
min
Указание. След четного порядка для симметричного ядра определяется
по формуле
ь ь
$2i = j* JK?(x,s) dxds,
a a
b
где Кд = K(x, s), Ki(x, s) = J K(x,t) Ki-\(t, s) dt, i = 2, 3,... .
a
350
Глава 10. Интегральные уравнения
10.27. Пусть уравнение Gby(x) = f(x) имеет единственное решение и ядро
K(xys) симметрично и положительно определено. Показать, что метод
простой итерации
-----4. J ,s) yk(s) ds = f(x)
a
o
сходится при 0 < т < -г--, где Лтах — максимальное характеристическое
Атах
число.
10.28. Вычислить методом из (10.25) наименьшее характеристическое
число ядра K(xys) = жз, 0 С ж, s С 1, начиная с <ро(х) = 1.
Ответ, Amin —
Литература
1. Арушанян И. О., Чижонков Е. В. Материалы семинарских занятий
по курсу «Методы вычислений» / под ред. О. Б. Арушаняна: Учеб,
пособие. —2-е изд. — М. : Изд-во ЦПИ при механико-математическом
факультете МГУ, 1999 (1-е изд., 1998).
2. Бабенко К. И. Основы численного анализа.—М. : Наука, 1986.
3. Бахвалов Н. С. Численные методы. — М. : Наука, 1975.
4. Бахвалов Н. С.} Лапин А. В., Чижонков Е. В. Численные методы
в задачах и упражнениях. Учеб, пособие. / Под ред. В. А. Садовниче-
го — 2-е издание; перераб. и доп. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний,
2010.
5. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. —
6-е издание — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.
6. Верлань А. Ф.} Сизиков В. С. Интегральные уравнения: методы, ал-
горитмы, программы. Справочное пособие. — Киев : Наукова думка,
1986.
7. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. — М. : Наука, 1967.
8. Годунов С. К.} Рябенький В. С. Разностные схемы. — М. : Наука, 1977.
9. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. — М. : Мир, 2001.
10. Дробышевич В. И., Дымников В. И., Ривин Г. С. Задачи по вычисли-
тельной математике.—М. : Наука, 1980.
11. Икрамов X. Д. Несимметричная проблема собственных значений.—
М. : Наука, 1991.
12. Корнев А. А., Чижонков Е. В. Упражнения по численным методам.
Части I, II / под ред. Н. С. Бахвалова —М. : Изд-во ЦПИ при меха-
нико-математическом факультете МГУ, 2002, 2003.
13. Кунц К. С. Численный анализ. — Киев : TEXHIKA, 1964.
14. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. — М. : Наука,
1980.
15. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений.—М. :
Мир, 1983.
16. Попов А. В. Практикум на ЭВМ. Разностные методы решения ква-
зилинейных уравнений первого порядка.—М. : Изд-во ЦПИ при
механико-математическом ф-те МГУ, 1999.
17. Самарский А. А. Теория разностных схем. — М. : Наука, 1983.
18. Самарский А. А., Вабищевич П. Н., Самарская Е. А. Задачи
и упражнения по численным методам. — М. : Эдиториал УРСС, 2000.
352
Литература,
19. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. — М. : Наука, 1989.
20. Самарский А. А., Карамзин Ю. Н. Разностные уравнения. — М. : Зна-
ние, 1978.
21. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравне-
ний. — М. : Наука, 1978.
22. Трауб Дж. Итерационные методы решения уравнений. — М. : Мир,
1985.
23. Тыртышников Е. Е. Методы численного анализа. — М. : Издатель-
ский центр «Академия», 2007.
24. Хемминг Р В. Численные методы. — М. : Наука, 1968.
25. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. — М. : Мир, 1989.
26. Шокин Ю. И. Методы дифференциального приближения. — Новоси-
бирск : Наука, 1979.
Минимальные системные требования определяются соответствующими требо-
ваниями программы Adobe Reader версии не ниже 11-й для платформ Windows,
Mac OS, Android, iOS, Windows Phone и BlackBerry; экран 10"
Учебное электронное издание
Серия: «Классический университетский учебник»
Бахвалов Николай Сергеевич, Корнев Андрей Алексеевич,
Чижонков Евгений Владимирович
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ.
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЯ
Учебное пособие для вузов
Ведущий редактор М. С. Стригунова. Художественный редактор В. Е. Шкерин
Оригинал-макет подготовлен О. Г. Лапко в пакете 2g
Подписано к использованию 11.08.16
Формат 145x225 мм
Подготовлено при участии
ООО «Лаборатория Базовых Знаний»
129110, Москва, ул. Гиляровского, д. 54, стр. 1
Издательство «Лаборатория знаний»
125167, Москва, проезд Аэропорта, д. 3
Телефон: (499) 157-5272, e-mail: info@pilotLZ.ru, http: /www.pilotLZ.ru
Московский государственный университет имени МЛ Ломоносова
КЛАССИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТСКИЙ УЧЕБНИК
Основная парадигма вычислительной математики гласит: Щель
расчетов - понимание, а не числа». Это означает, что ни гигантские
хранилища информации, ни вычислительная мощь современных
суперкомпьютеров не в состоянии заменить интеллектуальные воз-
можности математика-исследователя. Развитие цивилизации ставит
перед обществом проблемы, решение которых вынуждает не толь-
ко использовать все уже накопленные знания, но и интенсивно раз-
двигать научные горизонты. Изучение нелинейностей окружающего
мира приводит к естественной математизации других, в том числе
гуманитарных наук, что проявляется в построении и анализе мате'
матических моделей численными и аналитическими методами.
Данное пособие написано на основе многолетнего опыта препода-
вания численных методов в МГУ им М В Ломоносова Содержание
пособия тесно связано с классическим учебником Н. С. Бахвалова,
Н. П. Жидкова, Г. М. Кобелькова «Численные методы» и книгой Н. С. Ба-
хвалова. А. В. Лапина, Е.В.Чижонкова «Численные методы в задачах
и упражнениях».