Text
                    2Z19
T46
УДК 519.6
Методы решения некорректных задач. Тихонов А. Н., А р-
сенин В. Я. М.: Наука. Главная редакция физико-математиче-
физико-математической литературы, 1979. Изд. 2-е.
Книга посвящена методам построения устойчивых приближен-
приближенных решений широкого класса некорректно поставленных матема-
математических задач. К этому классу задач относится большой круг так
называемых обратных задач, к которым приводят проблемы обра-
обработки и интерпретации экспериментальных наблюдений. Освеща-
Освещаются вопросы нахождения обобщенных решений обратных задач,
так как в классической постановке эти задачи могут не иметь ре-
решений.
Предыдущее издание выходило в 1974 г.
Предназначена для студентов и аспирантов по специальности
«Прикладная математика», а также для научных работников и
инженеров.
, 20204 - 156
053@2)-79
БЗ 10 19-79. 1702070000
©Главная редакция
физико-математической
литературы
издательства «Наука»,
1979
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к первому изданию 6
Предисловие ко второму изданию 8
Введение 9
§ 1. О некоторых аспектах в постановке математических
задач 9
§ 2. Понятие корректно поставленных и некорректно по-
поставленных задач 15
§ 3. Примеры некорректно поставленных задач . . . 18
§ 4. Некоторые наиболее употребительные понятия . . 32
Глава I. Метод подбора. Квазирешения 37
§ 1. Метод подбора решения некорректно поставленных
задач 38
§ 2. Квазирешения 43
§ 3. Приближенное нахождение квазирептений ... 47
§ 4. Замена уравнения Аг = и близким ему .... 49
§ 5. Метод квазпобращения 50
Глава II. Метод регуляризации решения операторных
уравнений 53
§ 1. Понятие регуляризирующего оператора . . . . 53
§ 2. Вариационный принцип отбора возможных решений.
Существование регуляризирующих операторов . . 53
§ 3. Метод Лагранжа построения регуляризирующпх опэ-
раторов 65
§ 4. Определение параметра регуляризации по невязке 71
§ 5. Пример нелинейного уравнения. Обобщенный ме-
метод Лагранжа 80
§ 6. О построении регуляризирующих операторов с по-
помощью минимизации сглаживающего функционала 83
§ 7. Квазиоптимальное значение параметра регуляриза-
регуляризации и другие 86
§ 8. Еще об одном классе задач, приводящих к миними-
минимизации сглаживающего функционала. Связь регуля-
ризованных решений с квазирешением .... 92
§ 9. Метод итераций нахождения приближенных реше-
решений уравнений вида Аг =¦ и 97
§ 10. О построении приближенных решений уравнения
Аг = и в случаях, когда приближенно заданы пра-
правая часть и оператор А 99
3


Глава III. О решении вырожденных и плохо обусловлен- обусловленных систем линейных алгебраических уравнений . . 110 § f. Метод регуляризации нахождепия нормального ре- решения 114 § 2. Приближенное нахождение нормального решения ио неточно известным правой части и матрице . . 122 § 3. Дополнительные замечания 127 Глава IV. О методе регуляризации решения линейных ин- интегральных уравнений первого рода 128 § 1. Существование регуляризирующпх операторов для интегральных уравнений первого рода .... 128 § 2. Редукция задачи построения регулярпзпрующпх опе- операторов к классической вариационной задаче мини- минимизации функционалов с ограничениями . . . 139 § 3. Получение семейства регуляризирующих операторов с помощью минимизации сглаживающих функциона- функционалов 142 § 4. Алгоритм нахождения приближенных решений, лег- легко реализуемый на ЭВМ 147 § 5. О дискретизации задачи нахождения приближен- приближенных решений интегральных уравнений первого рода 152 § 6. Примеры применения метода регуляризации . . . 158 Глава V. О приближенных решениях интегральных урав- уравнений первого рода типа сверток 167 § 1. Классы регуляризирующих операторов для уравне- уравнений типа сверток 168 § 2. Уклонение регуляризованиого решения от точного 179 § 3. Асимптотические оценки уклонения регуляризован- ного решения от точного для уравнений типа сверт- свертки при а->-0 183 Глава VI. О некоторых оптимальных регуляризирующих операторах для интегральных уравнений типа свертки 197 § 1. Оптимальное регуляризованное решение. Связь мето- метода регуляризации с оптимальной фильтрацией по Винеру 198 § 2. Свойства функции \р(р) для уравнений с ядрами I — IV типов 204 § 3. Определение высокочастотных характеристик сигна- сигнала и шума и оптимального значения параметра ре- регуляризации ..... > 210 Глава VII. Устойчивые методы суммирования рядов Фурье с приближенными в метрике ^ коэффициентами . . . 218 § 1. Классы устойчивых методов суммирования рядов Фурье 220 § 2. Об оптимальных методах суммирования рядов Фурье 227 Глава VIII. Об устойчивых методах минимизации функ- функционалов и решения задач оптимального управления . 231 § 1. Устойчивый метод минимизации функционалов . . 234 § 2. Устойчивый метод решения задач оптимального уп- управления 241 Глава IX. Устойчивые методы решения задач оптимально- оптимального планирования (линейпого программирования) . . . 243 § 1. О постановке задач оптимального планирования и математического программирования .... 248 § 2. Задачи оптимального планирования. Существование решений и единственность 253 § 3. Метод регуляризации решения задач оптимального планирования 258 Литература 271 Предметный указатель 283
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Среди математических задач выделяется класс задач, решения которых неустойчивы к малым изменениям исходных данных. Они характеризуются тем, что сколь угодно малые изменения исходных данных могут приво- приводить к произвольно большим изменениям решений. За- Задачи подобного типа, по существу, являются плохо по- поставленными. Они принадлежат к классу некорректно поставленных задач. ! Если исходные данные известны приближенно, то упомянутая неустойчивость приводит к практической не- неединственности решения в рамках заданной точности и к большим трудностям в выяснении смысла получаемого приближенного решения. В силу этих особенностей дол- долгое время считалось, что некорректно поставленные зада- задачи не могут иметь практического значения. Однако можно указать некорректно поставленные за- задачи, относящиеся как к классическим разделам мате- математики, так и к различным классам практически важных прикладных задач. Это позволяет судпть о широте рас- рассматриваемого класса задач. Названия глав и приводи- приводимые в книге примеры показывают не только широту этого класса задач, но и многообразие их применения. . К числу важных задач относятся задачи создания сис- систем автоматической математической обработки результа- результатов эксперимента (включая интерпретацию), задачи оп- оптимального управления и оптимального проектирования систем. Одним из существенных этапов обработки является решение задач, неустойчивых к малым изменениям ис- исходных данных. Поэтому не вызывает сомнения необхо- необходимость разработки методов решения таких задач. При этом приближенные решения, получаемые по приближен- приближенным исходным данным, должны быть устойчивыми к ма- малым изменениям последних. За последние годы в различных журналах появилось большое количество работ, посвященных этим вопросам. Назрела необходимость написания книги, посвященной методам решения некорректно поставленных вадач, в ко- которой в доступной для широкого круга читателей форме излагались бы основные идеи и вопросы, связанные с по- построением решений таких задач по приближенным дан- данным, устойчивых к малым изменениям последних. Такую книгу мы и предлагаем вниманию читателей. Исходные данные некорректно поставленных задач, получаемые обычно в результате измерений, содержат случайные погрешности. Поэтому при построении при- приближенных решений и при оценке их погрешности, в за- зависимости от характера исходной информации, возможен как детерминированный подход, так и вероятностный. В предлагаемой книге мы ограничиваемся, как правило (кроме гл. V и VI), детерминированным подходом. Ве- Вероятностный подход рассматривается, например, в рабо- работах [69, 70, 95, 107, 133, 137, 138, 190]. В книге развивается метод регуляризации построения приближенных решений некорректно поставленных задач, разработанный в [165—170]. Мы не ставили перед собой цели дать обзор имеющей- имеющейся литературы по некорректно поставленным задачам. Поэтому приводимый в конце книги список литературы не претендует на полноту. Обзор литературы читатель может найти, например, в [130]. Книга предназначается для студентов и аспирантов физико-математических специальностей, а также для инженеров и научных работников, интересующихся воп- вопросами математической обработки и прогнозирования эк- экспериментов. Выражаем глубокую благодарность А. В. Лукшину за многочисленные ценные замечания. Акад. А. Н. Тихонов, проф. В. Я. Арсенин
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ При подготовке второго издания книга была значи- значительно переработана. Наиболее существенной переработке подверглись гл. II и III. Они, по существу, написаны заново. Глава II, посвя- посвященная описанию метода регуляризации нахождения приближенных решений функциональных уравнений, значительно расширена. В главе III, посвященной при- применению метода регуляризации к приближенному реше- решению систем линейных алгебраических уравнений, речь идет о нахождении приближений к нормальному реше- решению системы. При этом используется такое понятие об- обобщенного нормального решения, которое существует у любой системы — вырожденной или невырожденной, раз- разрешимой или неразрешимой (несовместной). Алгоритм нахождения приближений к нормальному решению (т. е. регуляризованных решений) оказывается одинаковым для любых систем. Некоторой переработке подверглись и дру- другие главы. Один из классов некорректных задач составляют ин- интегральные уравнения первого рода. К ним приводится большое число прикладных задач, в том числе задач ма- математической обработки (интерпретации) результатов из- измерений в физических экспериментах. Чтобы сделать методы их решения доступными более широкому кругу читателей, написана глава IV, в которой дается подроб- подробное изложение метода регуляризации нахождения при- приближенных решений интегральных уравнений первого рода, независимое от главы II. При этом используются лишь достаточно известные из математического анализа сведения. При чтении главы IV из главы II надо исполь- использовать лишь §§ 1, 4. В пределах каждой главы дается своя нумерация тео- теорем и лемм. В нумерации соотношений и формул указы- указываются номера главы, параграфа и формулы (соотно- (соотношения) . А. В. Гончарский, А. В. Лукшин, А. И. Прилепко, Б. Л. Рождественский и Е. Д. Соломенцев высказали ряд ценных замечаний по рукописи. Н. П. Марецкая оказала нам помощь в оформлении рукописи. Всем этим товари- товарищам выражаем глубокую благодарность. А. II. Тихонов, В. Я. Арсении ВВЕДЕНИЕ § 1. О некоторых аспектах в постановке математических задач 1. Быстро растущее использование вычислительной техники требует развития вычислительных алгоритмов для решения широких классов задач. Но что надо пони- понимать под «решением» задачи? Каким требованиям долж- должны удовлетворять алгоритмы нахождения «решений»? Классические концепции и постановки задач не от- отражают многих особенностей встречающихся на практике задач. Мы покажем это на примерах. 2. Пример 1. Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма первого рода с ядром К(х, s) v J К (Xj, s) z (s) ds = u где z(s) —искомая функция из пространства F, u(x) — заданная функция из простраства U. Будем полагать, что ядро К(х, s) по переменной х является непрерывной функцией с непрерывной частной производной дК/дх, ь Оператор J К (xt s) z (s) ds для краткости обозначим че- а рез Az. Решение z(s) будем искать в классе непрерывных на . отрезке [а, Ь] функций. Уклонения правых частей друг от друга будем оценивать в квадратической метрике, т. е. по формуле
(метрика ?г), а уклонения решений z(s) —в равномер- равномерной метрике, т. е. по формуле pF (Zi, z2) = max I zx (s) — z2 (s) ] sG[a,b] (метрика С). К уравнениям вида (В; 1,1) приводится ряд физиче- физических задач. Рассмотрим, например, задачу об изучении спектрального состава светового излучения (задача спе- спектроскопии). Пусть наблюдаемое излучение неоднородно и распределение плотности энергии по спектру характе- характеризуется функцией z{s), где s — частота (или энергия). Пропуская это излучение через измерительную аппара- аппаратуру, мы получаем экспериментальный спектр и(х). Здесь х может быть частотой, а может выражаться так- также в терминах напряжений или силы тока измеритель- измерительной аппаратуры. Если измерительная аппаратура лпней- на, то функциональная связь между z(s) и и(х) дается формулой ъ Az == \ К (х, s) z (s) ds = и (х), а где К (х, s) — аппаратная функция, предполагаемая изве- известной. Она представляет экспериментальный спектр (как функция х), если на прибор падает монохроматическое излучение частоты s единичной интенсивности (это есть б-функция 6(s—x)). Здесь а и Ъ — границы спектра. К интегральному уравпению первого рода приводится классическая задача Дирихле для уравнения Лапласа, если ее решение искать в виде потенциала простого слоя. В самом деле, пусть требуется найти функцию и (М) точки М, удовлетворяющую уравнению Дц = 0 в конеч- конечной трехмерной области D, принимающую заданные зна- значения ф(М) на границе S области D и непрерывную в D = D + S. Будем искать такую функцию в виде потен- потенциала простого слоя u(M)=\?p-d<JPt (В; 1,2) 'в мр в котором функция р (Р) подлежит определению. Как из- известно из курса уравнений математической физики*), *) См., например, Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.— М.: Наука, 1972. 10 потенциал простого слоя с произвольной непрерывной функцией р(Р) гармоничен в D и непрерывен в D. Из последнего свойства и условий задачи следует, что для произвольной точки М границы ? должно выполняться равенство ГМР • daP = ф (М). (В; 1,3) Из этого соотношения определяется функция р(Р), подставляя которую в формулу (В; 1,2) получим иско- искомую функцию а (И). Таким образом, задача нахождения функции и(М) сводится к решению интегрального урав- уравнения первого рода (В; 1,3). 3. Пусть для некоторой правой части и = щ (х) функция zi(s) является решением уравнения (В; 1,1), т. е. j К (х, s) Zj (s) ds s= иг (х). Если вместо функции и\{х) нам известно лишь ее при- приближение и(х), мало отличающееся (в метрике Ь2) от Mi (x), то речь может идти лишь о нахождении прибли- приближенного к Z](s) «решения» уравнения (В; 1,1). При этом правая часть и (х) может быть получена в эксперименте, например, с помощью самописца и иметь «угловые» точки, в которых функция и(х) не имеет производной. При такой правой части и(х) уравнение (В; 1,1) не имеет решения, понимаемого в классическом смысле, т. е. определяемого по формуле z = A~lu, где А~1 — оператор, обратный оператору А в уравнении (В; 1,1), так как ядро К(х, s) имеет непрерывную про- производную по х и, следовательно, правая часть также должна иметь непрерывную производную по х. Значит, в качестве приближенного к z\ (s) «решения» уравнения (В; 1,1) нельзя брать точное решение этого уравнения с приближенно известной правой частью и(х) фщ(х), так как такого решения может не суще- существовать. Возникает принципиальный вопрос: что надо понимать под приближенным «решением» уравнения (В; 1,1) с приближенно известной правой частью? Очевидно, уравнение (В; 1,1) имеет решение, пони- понимаемое в классическом смысле, только для таких правых частей и (х), которые принадлежат образу AF множества 11
F функций z(s) при отображении ь \K{x,s)z (s) ds, z (s) e= F. и= Az = 4. Кроме того, решение уравнения (В; 1ДУ, пони- понимаемое в классическом смысле, т. е получаемое по пра- правилу z = А~1и, где А'1 — оператор, обратный оператору А в уравнении (В; 1,1), не обладает свойством устойчивости к малым из- изменениям «исходных данных» (правой части и{х)). В самом деле, функция z2(s) = z\(s) -\-Nsinas явля- является решением уравнения (В; 1,1) с правой частью иг (х) = щ (х) + N J К (х, s) sin cos ds. Очевидно, что для любого числа больших значениях со уклонение ри (ии щ) = | N 11J ] К (х, s) sin cos ds \dx j U La J ) при достаточно 2 можно сделать сколь угодно малым, в то время как укло- уклонение соответствующих решений Z\(s) и Zz{s) равно FP (zn 2г) =* шах | z2 (s) — Zj (s) | = max | N sin cos | = j 7V j [ft] 8S[a,b] п может быть сколь угодно большим. При этом мы оцени- оценивали уклонение функций Z\(s) и Zz{s) в метрике С. Если уклонение решений оценивать в метрике Ь2, то решение уравнения (В; 1,1) также неустойчиво к малым изменениям правой части и(х). Действительно, pi? (zu z2) ¦ ь 1 1/2 1/2 Г I If i J I zi (s) ~ Z2 (s) P ds\ = | Л11| | sin2cos ds\ ^ - -2^- sin со F - a) cos со (b + a). (B; 1,4) 12 Легко видеть, что числа а а N могут быть выбраны так, что при сколь угодно малых уклонениях правых частей П\{х) и щ(х) уклонение соответствующих им ре- решений, вычисляемое по формуле (В; 1,4), может быть произвольным. Однако во многих случаях необходимо находить лишь устойчивые к малым изменениям правой части решения уравнения (В; 1,1), так как это требование связано с физической детерминированностью явления, описываемо- описываемого этим уравнением, с возможностью физической интер- интерпретации решения. В условиях, когда вместо точной правой части ит уравнения (В; 1,1) нам известны лишь некоторое ее при- приближение иц и число б >¦ 0 такие, что ри(ит, ив) ^ б, то в качестве возможных приближенных решений естествен- естественно брать функции z(s) ef, для которых pu(Az, ив) ^ б. Как мы видели, таких функций много и среди них есть такие, которые в метрике пространства F могут как угод- угодно сильно уклоняться друг от друга. Следовательно, в этих условиях задача решения интегрального уравнения (В; 1,1) является недоопределенной и неустойчивой к малым изменениям правой части. Таким образом, надо не только дать ответ на вопрос: что понимать под приближенным «решением» уравнения (В; 1,1), но и указать такой алгоритм его построения, ко- который обладает свойством устойчивости к малым изме- изменениям «исходных данных» и(х). Рассмотренная на этом примере ситуация является ти- типичной для некорректно поставленных задач. 5. Мы рассмотрели случай, когда априори известно, что существует точное решение (понимаемое в классиче- классическом смысле) zT(s) уравнения (В; 1,1), отвечающее пра- правой части uT(s), и требуется найти приближение к нему, если вместо функции ит(х) нам известно ее приближение и (х) такое, что р^(ит, ц)<б. В случае, когда у нас нет информации о существова- существовании точного решения уравнения (В; 1,1), но имеется ин- информация о классе возможных правых частей U, можно также ставить задачу о нахождении приближенного «ре- «решения» уравнения (В; 1,1). Но под приближенным реше- решением надо понимать некоторое обобщенное решение. Определим понятие обобщенного решения (квазире- (квазирешения) уравнения (В; 1,1) на множестве F как тако- такого элемента z из F, на котором расстояние pa(Az, и) 13
достигает точной нижней границы [78, 79], т. е. ри (Azt и) =» inf pu (Az, и), ft Az^\K (x, s) z (s) ds. Очевидно, если при и = цт уравнение (В; 1,1) имеет обычное решение zT e F, то оно совпадает с обобщенным решением уравнения Az = ит. Возникает задача нахождения таких алгоритмов по- построения обобщенных решений, которые устойчивы к малым изменениям правой части и(х). Пример 2. Рассмотрим систему линейных алгебраи- алгебраических уравнений Az = и, (В; 1,5) где z — искомый вектор, а — известный вектор, А = '¦'=¦ {««} — квадратная матрица с элементами ау. Если система (В; 1,5) невырожденная, т. е. det .4 ф •ф 0, то она имеет единственное решение, которое можно найти по известным формулам Крамера или другими спо- способами *). Если система (В; 1,5) вырожденная, то она имеет ре- решение (притом не единственное) лишь при выполнении условий разрешимости, состоящих из равенств нулю со- соответствующих определителей. Таким образом, прежде чем решить систему (В; 1,5), надо проверить, вырожденная она или нет. Для этого требуется вычислить определитель системы det .Л. Если п — порядок системы, то для вычисления det A требуется выполнить около пъ операций. С какой бы точ- точностью мы ни производили вычисления, при достаточно большом значении п, вследствие накопления ошибок вы- вычисления, мы можем получить значение det А, как угодно отличающееся от истинного. Поэтому желательно иметь (построить) такие алгоритмы нахождения решения сис- системы (В; 1,5), которые не требуют предварительного вы- выяснения вырожденности или невырожденности системы (В; 1,5). 1971. 14 К у р о ш А. Г. Курс высшей алгебры.—10-е изд. М.: Наука, Кроме того, в практических вадачах часто правая \ часть и и элементы матрицы А, т. е. коэффициенты сис- !темы уравнений (В; 1,5), известны нам приближенно. \В этих случаях вместо системы (В; 1,5), мы имеем дело Ь некоторой другой системой Az=u такой, что \\А—А\\ ^ ^.h, \\и—wf<j6, где смысл норм обычно определяется характером задачи. Имея вместо матрицы А матрицу А, мы тем более не можем высказать определенного сужде- суждения о вырожденности или невырожденности системы (В; 1,5). В этих случаях о точной системе Az =. и нам известно лишь то, что для матрицы А и правой части и выполня- выполняются неравенства \А — Л|^А и \и — и[^б. Но сис- систем с такими исходными данными (А, и) бесконечно много, и в рамках известного нам уровня погрешности они неразличимы. Среди таких «возможных точных сис- систем» могут быть и вырожденные. Поскольку вместо точной системы (В; 1,5) мы имеем приближенную систему Az =. и, то речь может идти лишь о нахождении приближенного решения. Но приближенная система может быть и неразрешимой. Возникает вопрос: что надо понимать под приближенным решением системы (В; 1,5)? Оно должно быть также устойчивым к малым изменениям исходных данных (А, и). § 2. Понятие корректно поставленных и некорректно поставленных задач 1. Различают корректно поставленные и некорректно поставленные задачи. Понятие корректной постановки за- задач математической физики было введено Ж. Адамаром [204, 205] в связи с желанием выяснить, какие типы граничных условий наиболее естественны для различных типов дифференциальных уравнений (для эллиптических, например,— задача Дирихле и ей аналогичные, для ги- гиперболических — задача Коши). Решение всякой количественной задачи обычно зак- заключается в нахождении «решения» z по заданным «ис- «исходным данным» и, z = R(u). Мы будем считать их эле- элементами метрических пространств F и U с расстояниями между элементами р^(«ь и2), ру(гь z2); U\, U2^U; zu z-i e F. Метрика обычно определяется постановкой задачи, 15
2. Пусть определено понятие «решения» и каждому элементу це?/ отвечает единственное решение z = R(u) из пространства F. Задача определения решения z = R(u) из простран- пространства F по исходным данным и е U называется устойчивой на пространствах (F, U), если для любого числа е >• О можно указать такое число б(е) > 0, что из неравенства ри{и\, и2) < б(е) следует pF(zb z2) < е, где zi=R(ui), z2 = R(u2); Mi,M2eJ7; zuz2^F. Задача определения решения z из пространства F по «исходным данным» и из пространства U называется корректно поставленной на паре метрических прост- пространств (F, U), если удовлетворяются требования (усло- (условия): 1) для всякого элемента u&U существует решение z из пространства F; 2) решение определяется однозначно; 3) задача устойчива на пространствах (F, U). В математической литературе длительное время су- существовала точка зрения, согласно которой всякая ма- математическая задача должна удовлетворять этим требо- требованиям [100]. Задачи, не удовлетворяющие перечисленным требова- требованиям, называются некорректно поставленными. Следует отметить, что определение некорректно по- поставленных задач относится к данной паре метри- метрических пространств (F, U), так как в других метриках та же задача может быть корректно поставленной (см. при- примеры 2 и 3 § 3 настоящего введения). Замечание. Метричность пространств Fи Uисполь- Uиспользуется здесь для выражения близости элементов, как средство описания окрестностей пространств F и U. Основные результаты, приводимые ниже, имеют место и для топологических пространств F и U (см. [80]). Если класс U исходных данных выбран «естественно» для рассматриваемой задачи, то условия 1) и 2) харак- характеризуют ее математическую определенность. Условие 3) связывается с физической детерминированностью задачи, а также с возможностью применения численных методов ее решения по приближенным исходным данным. В самом деле, какую физическую интерпретацию мо- может иметь решение задачи, если сколь угодно малым 16 возмущениям исходных данных могут соответствовать большие изменения решения? ' 3. Корректная постановка задачи часто трактовалась как условие, которому должна удовлетворять всякая ма- математическая задача, соответствующая какой-либо физи- физической или технической задаче. Это поставило под сомне- сомнение целесообразность изучения некорректно поставлен- поставленных задач. Однако такая точка зрения, совершенно есте- естественная в применении к некоторым явлениям, развива- развивающимся во времени, не может быть перенесена на все задачи. Ниже (§ 3) будут приведены примеры некоррект- некорректно поставленных задач, относящихся как к основному аппарату математики, так и к широкому классу приклад- прикладных задач. 4. Задача нахождения приближенного решения не- некорректно поставленной задачи вида Az = и, U, (В; 2,1); в естественном классе элементов F является, как мы ви- видели в § 1,п. 4, практически недоопределенной*). Исход- Исходными данными здесь являются правая часть уравнения и и оператор А. Предположим, что оператор А нам известен точно, а правая часть уравнения (В; 2,1) известна с точностью б, т. е. вместо ее точного значения цт нам известны элемент и и число б такие, что р^(ит, и) < б. По этим данным, т. е. по (и, б), требуется найти такой элемент z^eF, ко- который стремился бы (в метрике F) к гт при б—>-0. Та- Такой элемент мы будем называть приближенным (к zT) решением уравнения Az= и. Элементы геF, удовлетворяющие условию рц-(Az, и) ^ ^ б, будем называть сопоставимыми по точности с ис- исходными данными (и, б). Пусть Qe,— совокупность всех таких элементов геР. Естественно приближенные ре- решения уравнения Az = и искать в классе Qt элементов z, сопоставимых по точности с исходными данными (и, б). *) Эта задача является некорректно поставленной, например, в случаях, когда А — вполне непрерывный оператор. Тогда обрат- обратный ему оператор А~\ вообще говоря, не будет непрерывным на U и решение уравнения (В; 2,1) не будет устойчивым к малым изменениям правой части и (в метрике пространства U). 17
Однако в ряде случаев этот класс элементов слишком широк. Как показано в примере 1 § 1, среди этих элемен- элементов (функций z(s)) есть такие, которые могут сильно от- отличаться друг от друга (в метрике пространства F). Поэтому не все элементы класса Qa можно брать в каче- качестве приближенного решения уравнения (В; 2,1). Необходим принцип отбора возможных решений. Для этого надо использовать обычно имеющуюся дополнитель- дополнительную информацию о решении. Такая информация может иметь количественный или качественный характер. Стремление использовать дополнительную информацию количественного характера приводит к понятию квазире- шення [78, 79], о котором подробнее речь будет идти в гл. I. Использование дополнительной информации, носящей качественный характер (например, гладкость решения), требует иного подхода к построению приближенных реше- решений уравнения (В; 2,1). Этот подход содержится в рабо- работах [165—170] и будет описан в гл. II. § 3. Примеры некорректно поставленных задач 1. П р и м е р 1. Задача решения интегрального урав- уравнения первого рода ъ J К (х, s) z(s) ds = и{х). а Мы подробно рассмотрели этот пример в § 1, где пока- показали отсутствие устойчивости его решения к малым из- изменениям правой части и(х). Пример 2. Задача дифференцирования функции u(t), известной приближенно. Пусть z\(t) есть производ- производная функции Ui(t). Функция u2(t) <= и i(t) -\-N sin at в метрике С отличается от Ui(t) на величину pc(wi,K2)=* = \N\ при любых значениях со. Однако производная z2 (t) = u2 (t) отличается от zx (t) в метрике С на величи- величину |ЛГ<в|, которая может быть произвольно большой при достаточно больших значениях | to |. Заметим, что задача нахождения производной га-го порядка z(i) от функции u(t) такой, что и@) = = в'@) = ... = цп~]@) = 0, сводится к решению отно- 13 i сительно z(t) интегрального уравнения первого рода t Таким образом, эта задача не обладает свойством устойчивости, что приводит к большим затруднениям при приближенном вычислении производных. Замечание 1. Если на множествах F и U (или на одном из них) брать другие метрики, то задача диффе- дифференцирования функции u(t), известной приближенно, мо- может быть и корректно поставленной на паре метрических пространств (F, U). Так, если U есть множество непрерывно дифференци- дифференцируемых на отрезке [а, Ь] функций и если расстояние между функциями u,i(t) и u2{t) из U вычислять по фор- формуле Pv ("i, Щ) = sup ( | их (t) — щ (t) | + \u\ (t) — щ (t) |Ь tS[a,b] а расстояние между функциями z\(t) и гг(?) из F оцени- оценивать в метрике С, то, очевидно, задача дифференцирова- дифференцирования будет корректно поставленной на такой паре метри- метрических пространств (F, U). Однако указанные требования к функциям u(t) в практических задачах часто непроверяемы. Поэтому при- приведенная выше метрика оценки уклонения функций u(t) &U не является естественной для задачи дифферен- дифференцирования. Пример 3. Численное суммирование рядов Фурье, когда коэффициенты известны приближенно в метрике 12. Пусть fx (t) = 2 ап cos nt. Если вместо ап брать коэф- п=о п=о п=о фициенты сп = ап -\- е/га для га S» 1 и Со = а0, получим ряд /2 @ = 2 °п cos nt. Коэффициенты этих рядов отли- п=о чаются (в метрике Ц) на величину °° 11/2 , ^ которую выбором числа е можно сделать сколь угодно 19
малой. Вместе с этим разность 00 71=1 может быть сколь угодно большой (при t = 0 послед- последний ряд расходится). Таким образом, если уклонение суммы ряда брать в метрике С, суммирование ряда Фурье не является устой- устойчивым. Замечание 2. Если уклонение функций f(t) из F оценивать в метрике Li, то задача суммирования рядов Фурье с приближенно заданными (в метрике Щ коэф- коэффициентами будет корректно поставленной на такой па- паре метрических пространств (F, U). В самом деле, по теореме Парсеваля имеем -мор 11/а г— = B-г <'»-*»)* =eiVx Пример 4. Задача Коши для уравнения Лапласа в двумерном случае (пример Адамара [205]). Она состоит в нахождении решения уравнения Ди(ж, у) = 0 по на- начальным данным, т. е. в нахождении решения, удовле- удовлетворяющего условиям =о = Ф (х), — оо<ж< где f(x) и <р(%) —заданные функции. Если положить fx (х) = 0, фх (х) = — sin ах, шением задачи Коши будет функция оо1 то ре- ре— -\ sin ax sb ayr а 0. Если положить /2(ж) = фг(ж) = 0, то решением та- такой задачи Коши будет функция ii2(x, у) s= 0. Если уклонения начальных данных и решений оцени- оценивать в метрике С, то имеем Рс (Фи ф2) = sup | ф! (х) — ф2 (х) | = 1/я. Последняя величина при достаточно больших значениях а южет быть сделана сколь угодно малой. Однако уклоне- уклонение решений Рс ("и Щ) ~ sup | иг (ж, у) — щ (х, у) | =» = sup х sin shay = —r sh ay при любом фиксированном t/ > 0 может быть произволь- произвольно большим при достаточно больших значениях числа а. Таким образом, эта задача не обладает свойством ус- устойчивости и, следовательно, является некорректно по- поставленной. Однако задача Коши для уравнения Лапласа встреча- встречается в приложениях [75—77, 82, 92, 101, 103, 210, 212, 213]. В качестве примера можно указать задачу о про- продолжении потенциала силы тяжести, наблюдаемой на поверхности земли (у = 0) в направлении гравитирую- щих масс*). Пример 5. Задача аналитического продолжения функции, известной на части области, на всю область. Пусть D — конечная область, Е — дуга кривой, принадле- принадлежащей области D. Тогда задача аналитического продол- продолжения функции, заданной на дуге кривой Е, на всю об- область D является неустойчивой. В самом деле, пусть z0 — точка на границе области D, расстояние которой до Е равно d > 0, и /i(z) — аналити- аналитическая в D функция. Функция /2(z) ==/!(z) -f-e/(z — z0), где е — заданное положительное число, также аналитич- на в D. На множестве Е эти функции отличаются одна от другой на величину e/(z — z0), модуль которой не пре- превосходит e[d, т.е. |/г(г) — /i(z)|^e/d на множестве Е. Величина ejd может быть сделана произвольно малой путем выбора соответствующего значения числа е. Однако в области D разность функций /2(z) —/,(z) = = e/(z — zo) не ограничена по модулю (см. также [85, 197, 199]). Пример 6. Обратная задача гравиметрии. Пусть имеется тело, плотность которого отлична от плотности окружающей среды. Определить форму тела по аномалии *) Потенциал гравитационного уравнению Лапласа Аи = 0. 20 поля Земли удовлетворяет 21
г напряжения силы тяжести, создаваемой им на поверх- поверхности Земли (см. [41—43, 45, 46, 157, 174]). Предположим, что среда, находящаяся под поверх- поверхностью Земли B = 0), состоит из масс с известными плотностями pi и р2, раз- разделенных границей z (х) (рис. 1)._ Пусть z\x] = —Н всюду, кроме отрезка а < х < Ъ, на котором z(x) — —Н -\-< + 2(х). Такая конфигура- конфигурация масс создает на по- поверхности Земли аномалию г-0 Z—H_ z(x)=-H+z(x) b x Рис. 1. няющих область S (см рис. 1). Так как F= f-P- J 2я напряжения силы тяжести А^ = -^Цо'; ГД6 V~ потенциал масс с плотно- плотностью р = Р2 — Рь запол- —) dl dn, где г — y\)\ то Ь -H+z(l) о -Н -Н2 Аномалия напряжения силы тяжести на поверхности Зем- Земли может быть измерена. Таким образом, задача определения функции z(x) сводится к решению нелинейного интегрального уравне- уравнения первого рода Az = м где и (х) — — Ag. Здесь А — нелинейный интегральный оператор. Нетрудно показать неустойчивость решения 22 этого уравнения к малым изменениям в правой части и{х). По вопросам единственности решения обратной зада- задачи гравиметрии имеется обширная литература [47, 102, 134, 140-149]. Укажем еще некоторые классы математических задач, в которых имеются некорректно поставленные задачи: решение систем липейных алгебраических уравнений (в условиях равного нулю определителя системы) (см. гл. III); некоторые задачи линейного программирования (см. гл. IX); задачи минимизации функционалов, когда из сходимости значений минимизируемого функционала к его наименьшему значению не следует сходимость мини- минимизирующей последовательности (см. гл. VIII); некото- некоторые задачи оптимального управления (см. гл. VIII), диф- дифференциальных игр и многие другие [111]. 2. Важным классом некорректно поставленных за- задач, имеющих большое прикладное значение, являются задачи проектирования оптимальных систем, конструкций. Ниже приводится одна из таких задач. Рассмотрим одну из задач синтеза физических систем. К этому классу относятся задачи синтеза оптических сис- систем с заданными «коэффициентами пропускания» (отра- (отражения). Такие системы могут быть получены, например, путем создания многослойных покрытий, наносимых в виде тонких пленок на поверхность «подложки». Рассмотрим неограниченную плоскую неоднородную пластину толщины Н с показателем преломления п. Пусть на пластину падает нормально монохроматическая плоская световая волна с длиной К =¦ 2itc/co, а координат- координатная ось переменной z перпендикулярна к пластине. Нача- Начало отсчета на ней возьмем на поверхности пластины так, чтобы внутри пластины удовлетворялись неравенства 0 < z < Н. Предположим, что: а) полупространства {z <С 0} и {z > Щ по обе сто- стороны пластины однородны и имеют одинаковые показа- показатели преломления, равные п0 и пв = п0; б) в пластине и в этих полупространствах отсутству- отсутствует поглощение. Пусть электрическое поле падающей в полупрост- полупространстве {z <С 0} волны имеет вид Еаля = &о(г)еш, где (ой(%)—Еае с —амплитуда волны. Амплитуда 23
электрического поля S\z) в рассматриваемых условиях удовлетворяет уравнению (см. [40]) 0J ¦ В полупространстве {г < 0} электрическое поле будет складываться из полей падающей и отраженной волн. Амплитуда <§"o(z) совокупного поля в этой области будет равна ю &о (z) = %о (z) + W • Амплитуда электрического поля прошедшей через пла- пластину волны равна Амплитуда поля Ш"(z) внутри пластины будет реше- решением краевой задачи (см. [40]) $' @) - t -f n0 [% @) - 2ЕЛ] = 0, (В; 3,1) (В; 3,2) (В; 3,3) Если n(z) — кусочно-непрерывная на промежутке @, Н) функция, то в точках ее разрыва z( должны вы- выполняться условия сопряжения вида S(z, — Q) =<Г(г, + 0), S'(zt — Q) =lf'(z,.-fO). Пропускательная способность такой системы (пласти- (пластины) характеризуется «коэффициентом пропускания» т _ гцн) \гг(Щ\ (В; 3,4) Очевидно, что для заданной системы (пластины) он является функцией длины % падающей на систему волны, Т=Т(<к) *). Прямая задача состоит в нахождении коэффициента пропускания Т(К) по заданным d?o, n (z), Я и сводится *) В ряде случаев вместо Т{\) рассматривают «коэффициент отражения» R{1) =. 1 — Т(к), 24 к решению краевой задачи (В; 3, 1) — (В; 3, 3) отно- относительно e?(z). Часто надо решать задачу, обратную по отношению к этой. Она состоит в том, чтобы по заданной функции Т(К) определить систему (re(z), H), т. е. найти показа- показатель преломления n(z) пластины и ее толщину Н. Эту задачу называют задачей синтеза. Она не является корректно поставленной, так как может не существовать системы (n(z), H) (пластины толщины Н с показателем преломления n(z)), имеющей априори заданный коэффициент пропускания. Возможно также, что данному коэффициенту пропускания Т(;К) могут отвечать различные системы. Кроме того, не всякая система практически реализуема. Представляет интерес рассмотреть задачу синтеза для слоистых систем, когда искомая функция n(z) кусочно- постоянна. В этом случае показатель преломления n(z) имеет постоянное значение щ в ;'-м слое (/==1, 2,..., /V), толщины слоев d5 произвольны, число слоев ^V не явля- является заданным. К таким задачам относится и практиче- практически важная задача о синтезе многослойных покрытий. Рассмотрим подробнее математическую постановку этой задачи, являющейся дискретным аналогом рассмотренной задачи синтеза оптических систем. Систему из N слоев будем описывать 2Л^-мерным век- вектором х = {di, d2,..., dN; пи П2,..., nN}, координатами которого являются толщины dj и показатели преломления щ слоев. Решение задачи (В; 3, 1) — (В; 3, 3) однознач- однозначно сопоставляет по формуле (В; 3, 4) любому ЙМ-мерному вектору х коэффициент пропускания Т(%). Таким обра- образом, на некоторой совокупности 2Л^-мерпых векторов х определен нелинейный оператор А(х, X) = Т(к), (В; 3, 5) Пусть R2W — 2A/-Mepnoe евклидово векторное прост- пространство, Z?2n — замкнутая область в нем, определяемая условиями DiN s[ie R2JV; dt > 0д гетщ < ns < remax; / = 1,,2,1.. .3N]. Отклонение функций Т(к) будем оценивать в метрике Вместо метрики L2 можно брать и метрику С. 25
Пусть Т(Х) — заданная на отрезке [Хи Х2] функция из L2(XU Х2). Полагаем Очевидно, 6i > 62 6m 0. Число б ¦ lim бот m->°o будем называть предельно достижимой точностью. Задача синтеза состоит в нахождении N-слойной сис- системы с заданным коэффициентом пропускания Т(Х). При этом требуется найти систему с наименьшим числом слоев No и с минимальной общей толщиной N d =¦= 2 d]. Эти дополнительные требования обусловле- ны требованиями устойчивости к внешним воздействиям (при большом числе слоев системы легко разрушаются), возможностями напылительной аппаратуры для нанесе- нанесения покрытий и др. Математическая постановка этой задачи состоит в нахождении приближенного решения уравнения (В; 3,6) А(х, Х)=Т(Х), N минимизирующего N и d = 2 djt Для которого О А (х, X) — Т (X) |l, ^ S, где б — заданное число {б > бо). Эту задачу можно решать следующим образом. Последо- Последовательно увеличивая число слоев N, находим наименьшее значение N = No, при котором в D2N существует такой вектор xN,t для которого | A (xNo, X) — Т (X)\\Ll =?^6. Определив таким образом число No, в классе векторов х из Diisiti, удовлетворяющих условию |] А (х, X) — — Т (X) \Ll ^ б, ищем вектор х, минимизирующий d = 2 dj. Решение такой задачи, очевидно, существу- j=i ет, так как D2n, — замкнутое выпуклое множество конечномерного евклидова пространства. В [40] даются примеры численного решения таких задач. 3. Рассмотренная задача синтеза оптических систем есть задача определения коэффициента п(г) уравнения (В; 3,1) по известному функционалу Т{Х) от решения 26 I этого уравнения. Это одна из обратных задач математи- I ческой физики. * Во многих других случаях физические задачи также приводят к задачам определения коэффициентов диффе- дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных) по некоторым известным функционалам от их решений. К таким задачам относится, например, об- обратная кинематическая задача сейсмики. Физическая ее постановка заключается в следующем. В заданной обла- области D, ограниченной поверхностью S, рассматривается волновой процесс (т. е. процесс, описываемый волновым уравнением), порожденный источниками, действующими в точках поверхности S. В других точках границы S ре- регистрируется время прохождения волн через эту область. Требуется по этим данным найти скорость а*=*а(М) распространения волн внутри области как функцию точ- точки М, Можно указать и ряд других физических задач, приводящих к такого типа обратным задачам. Изучение задач этого класса содержится в работах [22, 108—НО, 119, 150-152]. 4. Широким классом некорректно поставленных задач, возникающих в физике, технике и в других отраслях знаний, являются так называемые обратные задачи опре- определения интересующих нас количественных характери- характеристик явления по результатам измерений их косвенных проявлений. Пусть изучаемый объект (явление) характеризуется элементом гт (функцией, вектором), принадлежащим множеству F. Часто zT недоступен для прямого изучения и исследуется некоторое его проявление Azr = uT (uT e е AF, где AF — образ множества F при отображении, осуществляемом оператором А). Очевидно, что уравнение Az = и (В; 3.7) имеет решение на F только для таких элементов и, кото- которые принадлежат множеству AF. Элемент цт обычно по- получается путем измерений и потому известен нам при- приближенно. Пусть и — это приближенное значение. В этих случаях речь может идти лишь о нахождении прибли- приближенного (к гт) решения уравнения Az = и. IB; 3,8) При этом и, вообще говоря, не принадлежит множест- множеству AF, Оператор А во многих случаях таков, что обрат- 27
ный ему оператор А~^ пе является непрерывным (напри- (например, когда А — вполне непрерывный оператор, в част- частности, интегральный оператор примера 1). В этих условиях нельзя в качестве приближенного решения брать точное решение уравнения (В; 3, 7) с приближенной правой частью, т. е. нельзя в качестве приближенного решения брать элемент ъ = А~1и, так как: а) такого решения может не существовать на мпо- жестве F, поскольку и может не принадлежать множест- множеству AF (не выполняется требование 1) корректности); б) такое решение, если даже опо существует, не будет обладать свойством устойчивости, поскольку обратный оператор А'1 не является непрерывным (в то время как условие устойчивости решения задачи (В; 3,7) обычно является следствием ее физической детерминированности, и потому приближенное решение должно обладать этим свойством). Таким образом, не выполняется требова- требование 3) корректности. Следовательно, задача (В; 3,7) является некорректно поставленной. Отсутствие устойчивости во мпогих случаях затруд- затрудняет физическую интерпретацию результатов измерений. Наличие этого свойства необходимо также для использо- использования численных методов решения по приближенным исходным данным. Таким образом, для обратных задач возникает принципиальной важности вопрос: что надо понимать под «приближенным решением» таких задач? Если дан ответ на этот вопрос, то возникает задача на- нахождения таких алгоритмов построения приближенных решений этих задач, которые обладают свойством устой- устойчивости к малым изменениям исходпых данных. 5. Пусть в уравнении (В; 3,7) элементы z и и суть функции точки М и времени t (скалярные или вектор- векторные), а оператор А, определяемый характером преобра- преобразователя от z к а,— линейный. Если нам известна реак- реакция (отклик) преобразователя на б-функцию, обраща- обращающуюся в бесконечность при М = Р и t = т, т. е. фупк- ция Аб(М, Р; t, т) =К(М, Р; t, г), то для произвольной функции z(M, t) из F Az = j К (М, Р; t, х) г (P2 х) dvPdxt где интеграл берется по всей области определенпя функ- функции z(P, t). Функция К(М, Р; t, т) называется импульс- импульсной переходной функцией, короне,— импульсной функ- 28 цией преобразователя (системы). Ее часто называют также аппаратной функцией системы. В этом случае уравнение (В; 3,7) сводится к интегральному уравнению первого рода. 6. Если z зависит лишь от времени и преобразователь (аппаратура) однороден во времени, то функция К (М, Р; t, х) будет зависеть лишь от разности t — т, т. е. K(M,P;t, x)=K(t--c). В этом случае оператор Az имеет вид 1X1 Az ss j К (t — т) z (т) dx, — сю а уравнение (В; 3,7) имеет вид IX) j К (t — т) z (т) dx = и (t). (В; 3,9) Это интегральное уравнение первого рода типа свертки. К уравнению (В; 3,9) сводятся, например, следующие задачи. а) Задача определения формы радиоимпульса z(i), излученного источником, по результатам записи его на больших расстояниях от источника u(t), если известна импульсная функция трассы распространения K(t). Уравнение для z(t) имеет вид {t-x)z (т) dx=u (t). б) Задача определения формы электрического импуль- импульса на входе кабеля z(t) по результатам записи его на выходе кабеля u(t), — x)z(x)dx = u (t)t где K(t)—импульсная функция кабеля (см. гл. II). в) Вычисление производных функции, известной при- приближенно. Для производной re-го порядка z(x) от и(х), для которой ц@)= и'@) = ... = u(n-u@) = 0, 29
имеем уравнение к 1 A1-1I (x — t)n xz (t) dt — и (х). г) Задачи автоматического регулирования, например, определение переходных функций k(t) линейных преоб- преобразователей по входному и выходному сигналам x(t) Ak=;§z{t— т) k (x) dx = у (t)t о и многпе другие (см. [157, 173]). 7. К числу важных задач относится задача создания систем автоматической математической обработки резуль- результатов физического эксперимента. Одним из этапов обра- обработки является решение обратных задач вида Az — и относительно г. Большое число современных экспериментальных уста- установок для исследования различных физических явлений и объектов являются сложными и дорогостоящими комп- комплексами (ускорители элементарных частиц, установки для получения и исследования высокотемпературной плазмы, для исследования свойств вещества при сверх- сверхнизких температурах и др.). Желание иметь надежную информацию об исследу- исследуемом явлении, изучение «редких» и «слабых» эффектов часто приводит к необходимости многократного повторе- повторения единичного эксперимента. Автоматизация проведения эксперимента и способов регистрации его результатов по- позволяют получать за короткое время весьма большой объем необходимой информации (десятки и сотни тысяч снимков, осциллограмм, показаний детекторов и т. п.). Для получения из этой информации необходимых харак- характеристик изучаемого явления или объекта требуется по- последующая обработка результатов наблюдений. Во мно- многих случаях эту обработку надо производить практически одновременно с проведением эксперимента или с неболь- небольшим допустимым сдвигом по времени. Такую обработку, требующую переработки большого объема информации, можно произвести лишь с помощью ЭВМ. Для широкого класса экспериментальных установок можно выделить следующие этапы обработки результатов наблюдений [72]. 30 Первый этап. Снятие информации с регистриру- регистрирующей аппаратуры или с постоянного носителя (напри- (например, с фото- и кинопленки); перевод ее в числовой код и засылка в память ЭВМ. Второй этап. Первичная обработка. Она может включать нормировку данных наблюдения, приведение к определенной снстеме отсчета, статистическую обработ- обработку с оценкой степени доверия, фильтрацию и т. д. Целью ее является получение «выходных результатов» («выход- («выходной кривой») эксперимента. Третий этап. Интерпретация результатов, полу- полученных на втором этапе обработки. Она состоит обычно в оценке искомых характеристик модели изучаемого яв- явления или объекта. Так как в физическом эксперименте регистрируются, как правило, не интересующие нас характеристики явле- явления 2, а лишь их некоторые проявления и = Az, то за- задача интерпретации обычно сводится к решению уравне- уравнения Az = и. Во многих случаях эта задача является не- некорректно поставленной. Программное обеспечение всего комплекса обработки (от первого до третьего этапа) обычно называют полной системой математической обработки результатов наблю- наблюдений, или, короче,— системой обработки. Система обра- обработки может работать как «в режиме диалога», так и автоматически, без вмешательства человека на промежу- промежуточных стадиях. Описанная процедура автоматической математической обработки результатов наблюдений тре- требует использования в системе обработки таких алгорит- алгоритмов решения уравнений Az = и (в том числе и некор- некорректно поставленных задач), которые легко реализуются на ЭВМ. В [38, 185, 188] содержится описание систем автома- автоматической математической обработки результатов физиче- физических экспериментов, относящихся к изучению взаимо- взаимодействия ^-квантов с нейтронами и протонами и к диаг- диагностике плазмы. 8. В дальнейшем основное внимание будет уделено методам решения некорректно поставленных задач вида (В; 3,7). К таким уравнениям относятся, например, си- системы линейных алгебраических уравнений, а также интегральные уравнения Фредгольма первого рода. В первом случае оператор А есть матрица, элементами которой являются коэффициенты системы, во втором —¦ 31
оператор А есть интегральный оператор Az е= j К (xt s) z (s) ds. § 4. Некоторые наиболее употребительные понятия Значительная часть книги посвящена рассмотрению методов решения функциональных уравнений вида Az = и. Напомним некоторые основные понятия функ- функционального анализа, которые используются при этом. Определение 1. Множество М метрического пространства F называется компактным на F (или в F), если из всякой его последовательности {zn} с: М можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некото- некоторому элементу из F. Как известно из курса функционального апалпза*), необходимым и достаточным условием компактности множества М из «-мерного евклидова пространства IV является его ограниченнность. Достаточное условие компактности множества М из пространства С [а, Ь] непрерывных на [а, Ь] функции дается следующей теоремой. Теорема (Арцела). Если функции множества Миз С[а, Ь] равномерно ограничены и равностепенно непре- непрерывны, то из всякой последовательности {zn} функций zn из М можно выделить подпоследовательность, равно- равномерно сходящуюся к некоторой непрерывной на [а, Ь] функции. Определение 2. Если из всякой последовательно- последовательности {г„} элементов из М можно выбрать подпоследова- подпоследовательность, сходящуюся к элементу г е М, то множество М называется компактным в себе. Каждое компактное в себе множество можно рас- рассматривать как отдельное метрическое пространство (компакт). Для того чтобы компактное в метрическом простран- пространстве F множество М было компактом, необходимо и до- достаточно, чтобы оно было замкнуто в F. *) См., например, Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Эле- Элементы теории функций и функционального анализа.— М.: Нау- Наука, 1976. 32 Всякий компакт М содержит конечное или счетное всюду плотное на М множество. Определение 3. Совокупность элементов z мет- метрического пространства F, для которых расстояние до элемента z0 меньше числа г, т. е. р* (zo, z) < г, называ- называется открытой сферой (шаром) радиуса г с центром в z0. Определение 4. Элемент Zo метрического прост- пространства F называется точкой соприкосновения множест- множества М из F, если любая открытая сфера с центром в z<j содержит хотя бы один элемент множества М. Определение 5. Совокупность всех точек сопри- соприкосновения множества М называется его замыканием и обозначается М или [М]. Определение 6. Отрезком линейного метриче- метрического пространства F, соединяющим элементы Z\ и z2, называется совокупность элементов z вида z = az\ -\- [}Z2, где аир — любые числа такие, что а ^ 0, р ^ О, а + Р = 1. Определение 7. Множество М линейного метри- метрического пространства F называется выпуклым, если с каждыми двумя элементами zb z2 множества М ему принадлежат и все элементы отрезка, определяемого парой zb Z2. Определение 8. Числовая функция (т. е функ- функция, значениями которой являются числа), определен- определенная на элементах множества М, называется функциона- функционалом, а множество М — его областью определения. Определение 9. Функционал /(z) называется выпуклым, если он определен на выпуклом множестве М и для любых элементов zu z2 из М и любых чисел а, $ таких, что а > О, Р > 0, а + Р = 1, выполняется нера- неравенство Определение 10. Выпуклый функционал /(z) называется строго выпуклым, если для любых элементов z\, z2 из M\z\ ф z2) и любых чисел a, ?S, таких, что а > 0, р > 0, а + Р = 1, выполняется неравенство /(az1-f-pz2)<a/(z1)-f-p/(z2j. Определение 11. Функционал/(z), определенный на множестве М метрического пространства F, называет- называется непрерывным на М, если, каковы бы ни были элемент zo из М и последовательность {zn} cz M, сходящаяся *• А. Н. Тихонов, В. Я. Арсении 83
(в метрике F) к zo, последовательность {/(zn)} сходит- сходится к /(г0). Определение 12. Функция f(x) одной вещест- вещественной переменной х называется непрерывной справа в точке хо, если Ц +Л) = /(*„). Аналогично определяется непрерывность слева. Определение 13. Последовательность {zn} эле- элементов метрического пространства F называется фунда- фундаментальной, если для любого е > О найдется такое на- натуральное число N(e), что для любых п, m > N(e) zn, zm) e. Определение 14. Метрическое пространство Fна- Fназывается полным, если любая фундаментальная после- последовательность {г„} элементов этого пространства схо- сходится к элементу из F. Определение 15. Пространство F называется линейным, если для любых его двух элементов zu z2 определен третий элемент Ъ\ -f- z2 s F, который называ- называется их суммой, п для любого zef и любого числа [} определен элемент ?z е /?, который называется произ- произведением элемента ъ на число §, причем операции сло- сложения и умножения на число удовлетворяют требо- требованиям: 1) Z\ -f z2 = z2 -f Z\ (коммутативность сложения); 2) zi -f (z2 -f z3) — (zi -f z2) -f z3 (ассоциативность сложения); 3) существует элемент OeF (нуль пространства F) такой, что для любого zeF, z -f 0 = z; 4) для любого элемента zeF существует элемент — z такой, что z + (— z) = 0; 5) для любых чисел a, fi и произвольного ге? a(pz) = («p)z (ассоциативности умножения на число); 6) для любого 2?F, 1 • z = z; 7) для любых чисел а, § и произвольного zeF (а ¦+ §)z = az -f pz (дистрибутивность); 8) для любого числа § п произвольных zb z2^F ( -f Z2) = (Jzi + ^z2 (дистрибутивность). Определение 16. Нормой в линейном простран- пространстве F называется функционал |z|, определенный для 34 Ярбого zeF, принимающий лишь конечные вещест- вещественные значения и обладающий следующими свойст- свойствами: 1) [|г|>0 для любого z s F; 2) 1 z I = 0 только для z = 0; F j|+ Цzx|| (нера- (нера) 1 I д 3) для любых zbz2eF венство треугольника); 4) для любого числа В и произвольного ге? ||PzII = HP 1-И- Если на пространстве F задана норма, то его можно сделать метрическим, положив Pf (zlt z2) = || zx — z21. По- Полученное пространство называется линейным нормиро- нормированным пространством. Примеры линейных нормированных пространств. 1. Пространство R1 вещественных чисел z, 2. n-мерное евклидово пространство R" групп чисел Z= ,2*2} • 3. Пространство Z2 сходящихся последовательностей чисел z =(Zj, z2, .. ., zn, . ¦ •), 2 4. Пространство ^[а, b] функций z(x), интегрируе- интегрируемых с квадратом, 5. Пространство Ln[a, b] функций z(x), интегрируе- интегрируемых с модулем, ь M = )\z(s)\ds. а 6. Пространство С [а, Ь] непрерывных на [а, Ь] функций z(x), -- max \z{x)\. xe[a,bl 2* 35
7. Пространство TF"l[a, &] функций z(x), имеющих обобщенную производную, интегрируемую с квадратом, Ь I Ь dx Щ dx Определение 17. Линейное пространство F на- называется гильбертовым, если, во-первых, на нем задана вещественная числовая функция (zi, z2), z\, z^^F, называемая скалярным произведением, удовлетворяю- удовлетворяющая условиям: а) для любых zh z2 е F, {zx z2) = (z2, z^ ; б) для любых zu z2, z3 пз F (Zi-f z2, z3) = (zuz2)-f + (z2, z3) (аддитивность); в) для любых z\, z2eF и произвольного веществен- вещественного числа Р (§z\, z2)= p(zi, z2) (однородность); г) (z, z) S* 0, причем (z, z) = 0 только для z = 0, и, во-вторых, такое, что если в F ввести метрику PF = 1 Zx — Z2 || = — Z2, Z.2) то пространство F с такой метрикой будет полным. Определение 18. Полное линейное нормирован- нормированное пространство называется банаховым. Все приведенные выше пространства являются ба- банаховыми, а пространства 1—4 и 7 — гильбертовыми. Глава I МЕТОД ПОДБОРА. КВАЗИРЕШЕНИЯ Возможность определения приближенных решений некорректно поставленных задач, устойчивых к малым изменениям исходных данных, основывается на исполь- использовании дополнительной информации относительно реше- решения. Возможны различные типы дополнительной инфор- информации. В первой категории случаев дополнительная инфор- информация, носящая количественный характер, позволяет сузить класс возможных решений, например, до ком- компактного множества, и задача становится устойчивой к малым изменениям исходных данных. Во второй катего- категории случаев для нахождения приближенных решений, устойчивых к малым изменениям исходных данных, ис- используется лишь качественная информация о решении (например, информация о характере его гладкости) (см. [165-170, 184]). В настоящей главе будет рассмотрен метод подбора, имеющий широкое практическое применение, метод квазирешения, а также метод замены исходного уравне- уравнения близким ему и метод квазиобращения. В качестве некорректно поставленной задачи мы будем рассматри- рассматривать задачу решения уравнения Az = и гA; 0,1) относительно z, где веР, zeF; U и F — метрические пространства. Оператор А отображает F на U. Предпо- Предполагается, что существует обратный оператор А~\ но он не является, вообще говоря, непрерывным. Уравнение A; 0,1) с оператором А, обладающим ука- указанными свойствами, будем называть операторным урав- уравнением первого рода, или, короче,— уравнением пер- первого рода, 87
§ 1. Метод подбора решения некорректно поставленных задач 1. Широко распространенным в вычислительной практике способом приближенного решения уравнения A; 0,1) является метод подбора. Он состоит в том, что для элементов z некоторого заранее заданного подклас- подкласса возможных решений М (М с F) вычисляется опера- оператор Az, т. е. решается прямая задача. В качестве при- приближенного решения берется такой элемент z0 из мно- множества М, на котором невязка pv (Az, и) достигает мини- минимума, т. е. ри (Azu, и) = inf р (Az, и). zeM и Пусть правая часть уравнения A; 0,1) известна точ- точно, т. е. и = щ, и требуется найти его решение zT. Обычно в качестве М берется множество элементов z, зависящих от конечного числа параметров, меняющихся в ограниченных пределах так, чтобы М было замкнутым множеством конечномерного пространства. Если искомое точное решение zT уравнения A; 0,1) принадлежит мно- множеству М, то inf pu (Az, и) = 0 и достигается эта нпж- геМ няя граница на точном решении zT. Если уравнение A; 0,1) имеет единственное решение, то элемент z0, минимизирующий pv(Az, и), определен однозначно. Практически минимизация невязки pv(Az, и) произ- производится приближенно и возникает следующий важный вопрос об эффективности метода подбора, т. е. о возмож- возможности как угодно приблизиться к искомому точному ре- решению. Пусть {zn} — последовательность элементов, для ко- которой pv(Azn, ц)->0 при га->оо. При каких условиях можно утверждать, что при этом и pF(zn, zT) ->0, т. е. что {zn} сходится к zT? Это вопрос обоснования эффективности метода подбора. 2. Стремление обосновать успешность метода подбора привело к установлению общефункциональных требова- требований, ограничивающих класс во-зможных решений М, при которых метод подбора является устойчивым и zn-*-zT [164]. Эти требования заключаются в компактности мно- множества М и основываются на приводимой ниже извест- известной топологической лемме. 38 Лемма. Пусть метрическое пространство F отобра- ¦ жается на метрическое пространство U и Uq — образ мно- множества Fo, Fo cz F, при этом отображении. Если отобра- отображение F-*-U непрерывно, взаимно однозначно и множест- множество Fo компактно на F,to обратное отображение Uo^>-Fo множества Uo на множество Fo также непрерывно по мет- метрике пространства F. Доказательство. Пусть ъ — элементы множества F (zeF), а и — элементы множества U (ueU). Пусть функция м = ф(г) осуществляет прямое отображение F-*-U, а функция г = г)з(и)—обратное отображение U —*¦ F. Возьмем произвольный элемент uo из Uo. Покажем, что функция г|з(и) непрерывна на и0. Предположим, что это неверно. Тогда существует такое число ei > 0, что для всякого б > 0 найдется элемент и из Uq, для которого Ри(и, и0) < б, в то время как pF(z, z0) S* еь Здесь z = ^(u), z0 = г|)(и0) и ze=F0, zoeFo. Возьмем последовательность {б„} положительных чи- чисел б„, сходящуюся к нулю при ге->оо. Для каждого б„ найдется элемент ип из^?/0, для которого ри(ип, и0) < б„, но pF(zn, zo)^> г\, где 2„ = г|)(м„). Очевидно, последова- последовательность {ип} сходится к элементу и0. Так как zn при- принадлежат компактному1 на F множеству Fo, то из после- последовательности {zn} можно выбрать подпоследовательность || сходящуюся по метрике F к некоторому элементу z0 е F. При этом z0 ф z0, так как для всякого nk Pf f znh, z0) ^ ex, следовательно и pF(z0, z0) > ei. Этой подпоследовательности \Znh\ отвечает последователь- последовательность элементов unk = <$(znA из Uo, сходящаяся к Uo —фBо) и являющаяся подпоследовательностью по- последовательности {ип}. Так как последовательность {и,,} сходится к «о= фBо), то «о = ф(г0) = Щ = ф(г0)', т. е. ф(г0) == ф(го). В силу взаимной однозначности отоб- отображения F'-*-U z0 = z0, что противоречит ранее установ- установленному неравенству z0 Ф z0. Лемма доказана. Эту лемму можно сформулировать короче. 39
Если отображение Fq —*¦ Uq компакта Fq на множество Uo взаимно однозначно и непрерывно, то обратное отобра- отображение Uo-*~FO также непрерывно. Эквивалентность этих формулировок следует из того, что замыкание Fo множества Fq, компактного на F, явля- является компактом. Таким образом, минимизирующая последовательность {zn} в методе подбора сходится к zT при га->¦«>, если: а) zT принадлежит классу возможных решений М; б) множество М — компакт. Пусть оператор А непрерывен и вместо точной правой части ит мы имеем элемент щ такой, что ри(иа, ат) < б, причем Ut принадлежит множеству AM (образу множест- множества М при отображении его с помощью оператора А) и М есть компакт. Пусть {б„} — последовательность поло- положительных чисел таких, что б„->0 при п-*-оо. Для каж- каждого п методом подбора можно найти такой элемент zn, что ри \Azn, щ) ^ бп. Элементы zn будут близки к ре- решению zT уравнения Az>= щ. В самом деле, при отобра- отображении с помощью непрерывного оператора образ AM компакта М есть компакт и, следовательно, по лемме обратное отображение, осуществляемое оператором А~1, непрерывно на AM. Так как ри {Azi, м ) < ри (Azn, ий) + ри (ив, щ), ри (Azi, ит) < б„ + б = 7*. то Из этого неравенства и из непрерывности обратного отображения АМ-ь-М следует, что р^ \zn, zT) ^e (yn), причем е (уп) -*¦ 0 при Yn->-0. Таким образом, при нахож- нахождении приближения zn к zT надо учитывать уровень по- погрешности б правой части мв. 3. На основе изложенных соображений М. М. Лав- Лаврентьев сформулировал [106] понятие корректности по Тихонову. В применении к уравнению A; 0,1) задача на- называется корректной по Тихонову, если известно, что для точного значения и>=щ существует единственное реше- решение zT уравнения A; 0,1), Az7>= uT, принадлежащее за- заданному компакту М. В этом случае оператор А~[ непре- непрерывен на множестве iV>= AM и, если вместо элемента щ нам известен элемент щ такой, что ри(Щ, иь) < б и 40 щ е N, то в качестве приближенного решения уравнения A; 0,1) с правой частью и=иц можно взять элемент ze = А~хи6. При б->-0 (ut^N) ze будет стремиться к zT. Множество F\ (F\ cz F), на котором задача нахождения решения уравнения A; 0,1) является корректно постав- поставленной, называют классом корректности. Так, если опера- оператор А непрерывен и осуществляет взаимно однозначное отображение, то компакт М, к которому принадлежит zT, является классом корректности для уравнения A; 0,1). Таким образом, если задача A; 0,1) корректна по Тихо- Тихонову и правая часть уравнения и^АМ, то метод подбора с успехом может быть применен к решению такой задачи. На первый вопрос дан исчерпывающий ответ. Рассмотрим задачу решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода ь Axz = J К(х, s)z(s) ds = и(х), и(х)^Ьг, A;1,1) а на множестве М\ монотонно убывающих (возрастающих^ и равномерно ограниченных функций |z(s)| < В. Она корректна по Тихонову, так как множество М\ — компакт в пространстве L2 [48]. Действительно, возьмем любую последовательность Е== {z\(s), z2(s), ..., zn(s), ...} из Mi. Согласно теореме Хелли о выборе *) существуют подпоследовательность ElS=|zni(s),zna(s), ...,znk(s), ...], последовательности Е и функция z(s) из множества Ми z(s) eZ/2, такие, что lim znh (s) = z (s) nh-»x> всюду, кроме, может быть, счетного множества точек разрыва функции z(s). Из поточечной сходимости под- подпоследовательности Ei к функции z(s) всюду, кроме, может быть, счетного множества точек, следует, как *) Титчмарш Е. Разложение по собственным функциям, связанным с дифференцпальпыми уравнениями 2-го порядка.— М.; 1961, 41
известно*), сходимость подпоследовательности Ё\ к функ- функции z (s) по метрике ?г- Таким образом, в качестве приближенного решения на множестве М\ уравнения A; 1,1) с приближенно извест- известной правой частью и е АМ\ можно брать точное решение этого уравнения с правой частью и = и. Эта послед- последняя задача, как известно, эквивалентна задаче нахожде- нахождения на множестве М\ функции, минимизирующей функ- функционал N[z, и] = \\A1z — м||'?2. Пусть ри(иг, и) < б. Тогда, очевидно, в качестве при- приближенного решения уравнения A; 1,1) можно брать функцию Zo, для которой - U б2. A; 1,2) В [48] дается подробное описание алгоритма нахожде- нахождения приближенных решений уразнения A; 1,1) в клас- классе монотонных функций. Если заменить интегральный оператор A\z интеграль- интегральной суммой на фиксированной сетке с п узлами и обозна- обозначить значения искомой функции в узловых точках через zf, то задача построения приближенного решения уравне- уравнения A; 1,1) сведется к задаче нахождения конечномер- конечномерного вектора, минимизирующего функционал AT[z, и] и удовлетворяющего неравенству A; 1,2). В ряде других случаев компактные классы коррект- корректности можно указать эффективно, что дает возможность строить устойчивые приближенные решения. 4. В силу погрешности исходных данных элемент и может не принадлежать множеству AM. В этих условиях уравнение A; 0,1) не имеет решения (классического) и возникает вопрос: что надо понимать под приближенным решением уравнения A; 0,1)? В этом случае вводится понятие квазирешения и метод подбора при условии компактности множества М позво- позволяет найти приближение к квазирешению. В следующем *) Красносельский М. Л., 3 а б р е й к о П. П., П у с- т ы л ь н и к Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные операто- операторы в пространствах суммируемых функций.— М.: Наука, 1966. 42 параграфе вопрос о квазирешении рассматривается под- подробнее. В монографии [88] дается исчерпывающее изло- изложение теории квазирешений и методов приближенного нахождения их. § 2. Квазирешения 1. Пусть оператор А в уравнении A; 0,1) — вполне непрерывный. Построение устойчивого к малым измене- изменениям правой части и приближенного решения уравнения A; 0,1) по формуле z = A~lu A; 2,1) возможно в тех случаях, как отмечалось в § 1, когда ре- решение ищется на компакте AfcFi правая часть уравне- уравнения принадлежит множеству N — AM. Обычно не существует эффективных критериев, поз- позволяющих установить принадлежность элемента и множе- множеству N. Это приходится предполагать известным априори. В практических задачах часто вместо точного значения правой части ит нам известно ее приближенное значение и, которое может не принадлежать множеству iV = AM. В этих случаях нельзя строить приближенное решение уравнения A; 0,1) по формуле A; 2,1), так как сим- символ А~хи может не иметь смысла. 2. Стремление устранить затруднения, связанные с от- отсутствием решения уравнения A; 0,1) при неточной правой части, привело В. К. Иванова [78, 79] к понятию квазирешения уравнения A; 0,1) — обобщению понятия решения этого уравнения. Элемент г е М, минимизирующий при данном и функ- функционал ре/ (^4z, и) на множестве М, называется квазиреше- квазирешением уравнения A; 0,1) иа М, pv (Л ъ ,и) = inf py (Az, и). гем Если М — компакт, то квазирешение, очевидно, существу- существует для любого us U vi если, кроме того, и^АМ, то ква- квазирешение г совпадает с обычным (точным) решением уравнения A; 0,1). Квазирешение может быть и не одно. В этом случае под квазпрешением будем разуметь любой элемент из множества квазирешений D. 43
Можно указать достаточные условия, при которых квазирешение единственно и непрерывно зависит от пра- правой части и. Напомним определение. Пусть элемент у и множество Q принадлежат пространству U. Элемент q множества Q называется проекцией элемента у на множество Q, q — Ру, если выполняется равенство Ри(у, q) =pu(y, <?), где ри (*/,<?) = infpo(V,h). he=Q Теорема 1. Если уравнение Az — и может иметь на компакте М не более одного решения и проекция каждого элемента ue U на множество N = AM единственна, то квазирешение уравнения B; 0,1) единственно и непре- непрерывно зависит от правой части и. Доказательство. Пусть ъ — квазирешение и и = «= Az. Очевидно, и есть проекция элемента и на множе- множество N = AM. По условию теоремы она определяется од- однозначно. Отсюда, в силу взаимной однозначности ото- отображения множества М на множество N, следует един- единственность квазирешения z. Очевидно, что z = А~1и>— А~хРи. Согласно лемме о непрерывности обратного отображения компакта (§ 1) оператор А~1 непрерывен на N. Оператор проектирования Р непрерывен на U*). Поэтому А~1Р — непрерывный на U оператор и, следовательно, квазирешение z непрерывно зависит от правой части и. Таким образом, при переходе к квазирешению восста- восстанавливаются все условия корректности, т. е. задача на- нахождения квазирешения уравнения A; 0,1) на компакте М является корректно поставленной. Если условие единственности решения уравнения A; 0,1) не выполнено, то квазирешения образуют некото- некоторое множество D элементов компакта М. В этом случае без упомянутых в теореме 1 ограничений на множество iV имеет место непрерывная зависимость множества квази- квазирешений D от и в смысле непрерывности многозначных отображений. Нетрудно провести доказательство этого утверждения (см. [79, ИЗ]), для чего необходимо ввести *) Л ю с т е р н п к Л. А., Соболев В. И. Элементы функци- функционального анализа.— М.: Гостехнздат, 1951. 44 ряд новых понятий. Мы не будем останавливаться на этом. Для случая, когда уравнение A; 0,1) линейно, легко получить более общие результаты, содержащиеся в сле- следующей теореме [79]. Теорема 2. Пусть уравнение A; 0,1) линейно, одно- однородное уравнение Az>=0 имеет только нулевое решение, множество М выпукло, а всякая сфера в пространстве U строго выпукла. Тогда квазирешение уравнения A; 0,1) на компакте М единственно и непрерывно зависит от пра- правой части и. Доказательство. Пусть г — квазирешение и ц>— Az. Так как множество М выпукло, то в силу линей- линейности оператора А множество N = AM также выпукло. Очевпдпо, что и есть проекция элемента и на множество N. В силу того, что сфера в пространстве U по условию теоремы строго выпукла, проекция и определяется одно- значпо. Далее доказательство завершается, как в тео- теореме 1. 3. Пусть F и С/ — гильбертовы пространства, М == SR — шар (ЦгЦ^Л) в пространстве F и А — вполне непре- непрерывный линейный оператор. В этом случае квазирешение уравнения A; 0,1) мож- можно представить в виде ряда по собственным элементам (функциям, векторам) ф„ оператора А*А, где А* — опе- оператор, сопряженный оператору А. Известно, что А*А — самосопряженный положитель- положительный вполне непрерывный оператор из F в F. Пусть Ki &* 1.2 ==* • • • ==* ^л ** •.. — полная система его собственных значений, a cpi, фг, ..., ц>п, ... — отвечающая им полная ортонормироваыыая система его собственных элементов (функций, векторов). Элемент А*и можно представить в виде ряда А*и П=1 В этих условиях справедлива [79] Теорема 3. Квазирешение уравнения A; 0,1} на множестве SR выражается формулами: z = п=1 45
если z = если n=l Здесь j3 — корень уравнения Доказательство. Квазирешение минимизирует функционал ) (где (у, w) — скалярное произведение элементов у и и; из С/), уравнение Эйлера для которого имеет вид Решение этого уравнения будем искать в виде ряда по системе {фп}: z= Ц с„ф„. A;2,9) П=1 Подставляя этот ряд в уравнение A; 2,8) и используя разложение A; 2,2), находим с„ = Ь„/Кп. Следователь- Следовательно, неравенство A; 2,4) означает, что || z || < R и речь идет о нахождении безусловного экстремума функциона- функционала A; 2,7). Ряд A; 2,3) и будет решением задачи. Если же выполняется неравенство A; 2,5), то это означает, что \z\~^?R и надо решать задачу на услов- условный экстремум функционала A; 2,7) при условии, что |z||2 = /?2. Методом неопределенных множителей Лаг- ранжа эта задача сводится к нахождению безусловного экстремума функционала (Az-u, Az-u) +p(z, а последняя — к решений отвечающего ему уравнения Эйлера A*Az -f- §z = А*и. Подставляя сюда z в виде ряда A; 2,9) и используя разложение A; 2,2), находим с К Сп Параметр ^ определяем из условия \zf = R2l которое эквивалентно A; 2,6). § 3. Приближенное нахождение квазирешений В предыдущем параграфе мы видели, что нахождение квазирешения связано с нахождением элемента в беско- бесконечномерном пространстве. Для приближенного нахожде- нахождения квазирешения естественно переходить к конечномер- конечномерному пространству. Можно указать достаточно общий под- подход к приближенному нахождению квазирешений урав- уравнения A; 0,1) [66, 79], в котором А — вполне непре- непрерывный оператор. Будем полагать, что выполнены указанные в § 2 дос- достаточные условия существования единственного квазире- квазирешения на заданном множестве М, т. е. полагаем, что множество М — выпуклый компакт и сфера в пространст- пространстве U строго выпукла. Пусть MiCzM2cz...czMncz... — возрастающая цепочка компактных замкнутых мно- жеств Мп такая, что замыкание их объединения (J Мп совпадает с М. Квазирешение уравнения A; 0,1) сущест- существует на каждом множестве Мп. Но оно может быть не единственным. Обозначим через Тп совокупность всех квазирешений на множестве Мп. Покажем, что в качестве приближения к квазиреше- квазирешению z на множестве М можно брать любой элемент zn из Тп. При этом limpFBn,z) = 0. П->оо Пусть Nn = АМп и Вп — множество проекций элемен- элемента и на множество Nn. Очевидно, что Вп — АТп и Ni S Лт2 ? ... Е Nn; тогда Pi, (И, Qu(u, Nn) =pv{U, Az). A; 3,1) 47 46
о» Так как множество U Nn всюду плотно на N то для всякого е > 0 найдется такое число по(е), что для всех п> по(г) Ри(и, Nn) <pv(u, N) +e, Т.. A; 3,2) Из A; 3,1) и A; 3,2) следует, что lim Ри (иг Nn) = ри (и, N). Поскольку то Ри(и, Nn)^Pu(u, Вп), lim pv (ut В„) = ри (иг Az). Каждое множество i?n есть компакт, так как оно является замкнутым подмножеством компакта Nn. Поэтому в В„ найдется такой элемент уп, что Ри (Ущ и) = inf pu (у, и). Последовательность {у„} имеет хотя бы одну пре- предельную точку, принадлежащую N,- так как N — кохмпакт. Пусть г/о — какая-нибудь предельная точка множества {Уп} и {г/„д}—подпоследовательность, сходящаяся к Уо, т. е. limpu(ynhly0) = 0. Из A; 3,3) и A; 3,4) следует, что Ри ("i г/0) = lim pv (и, yHh) == lim ру (м, 5«ft) == = pv (и, Az) = ри (и, N). Таким образом, ри(и, уо),= ри(и, N), Отсюда и из единственности квазирешения на множестве М следует, что Так как г/0 — произвольная предельная точка множества 48 {j/n},TO последовательность {у„} сходится Az. Это и озна- означает, что в качестве приближения к квазирешению мож- можно брать любой элемент л„ из множества Тп, так как в силу леммы § 1 zn-»-z при ге->оо. Если в качестве Мп брать конечномерные (ге-мерные) множества, то задача нахождения приближенного квази- квазирешения на компакте М сводится к минимизации функ- функционала pu(Az, и) на множестве Мп, т. е. к нахождению минимума функции п переменных. Квазирешения изучались также в работах [59, 60, 64, 65, 67, 81, ИЗ]. § 4. Замена уравнения Az—u близким ему Уравнения вида A; 0,1), в которых правая часть и не принадлежит множеству N<=AM, изучались М. М. Лав- Лаврентьевым [104—106]. Ему принадлежит идея замены исходного уравнения A; 0,1) близким ему, в некотором смысле, уравнением, для которого задача нахождения решения устойчива к малым изменениям правой части и разрешима для любой правой части uet/, В простей- простейшем случае это делается следующим образом. Пусть F = U = // — гильбертовы пространства, А — линейный, ограниченный, положительный и самосопря- самосопряженный оператор, SR = {х, \\x\\ < R, ief} есть "шар радиуса R в пространстве F, В — вполне непрерывный оператор, определенный на Sn при любом R >• 0. В ка- качестве класса корректности М берется множество DR-=: = BSR — образ шара SR при отображении с помощью опе- оператора В. Предполагается, что искомое точное решение zT уравнения A; 0,1) с правой частью и>= ит существует и принадлежит множеству DR. Уравнение A; 0,1) заме- заменяется уравнением (А + <хЕ) z = Az + az = и, A; 4,1) где а >• 0 — числовой параметр. Решение уравнения A; 4,1) аЕ)-1и, XI; 4,2) при соответствующем выборе параметра а, принимается за приближенное решение уравнения A; 0,1). Здесь Z?— единичный оператор. 49
Замечание. Для оценки уклонения p/(zT, ze) при- приближенного решения от точного можно использовать мо- модуль непрерывности со обратного оператора на N. Пусть щ, U2^N и pu(ui, u<z) < б. Тогда a(8,N)= sup pf {A-^щ, А-^щ). Очевидно, что если ри("т, ив) ^ б и z6>= A~lu6, то p,(zT, ze) <ш(б, /V). Вернемся к уравнению A; 4,1). Если flAzfl^fi и ш (б, ^я) = sup || zj], то легко получить оценку уклоне- DR нпя za от zT. Очевидно, что za — zT||<|!za — zT A; 4,3) где Следовательно, [za — zT|K w F, DR) ~\- 6/a. A; 4,4) Если известен модуль непрерывности со (б, DR) или его мажоранта, то из A; 4,4) можно найти значение пара- параметра а как функцию б, при котором правая часть в не- неравенстве A; 4,4) будет минимальной. § 5. Метод квазиобращения 1. Известно, что задача Кошп для уравнения тепло- теплопроводности с обратным течением времени является не- неустойчивой к малым изменениям начальных значений. Неустойчивость сохраняется и в случаях, когда решение подчиняется некоторым дополнительным граничным усло- условиям. Для устойчивого решения таких задач разработан метод квазиобращения [111]. Мы изложим существо его для простейшего уравнения теплопроводности, не вда- вдаваясь в вопросы обоснования. Подробное изложение в применении к более широкому классу задач содержится в [111]. 2. Рассмотрим прямую задачу. Пусть D — конечная область гс-мерного евклидова пространства R" точек ?•= (х\, Х2, ..., хп), ограниченная кусочно-гладкой по- поверхностью S, а t — время. Пусть, далее, ц>(х) — заданная 50 непрерывная в D функция. Прямая задача состоит в на- нахождении решения и>= и(х, t) уравнения -j— Аи = 0 A; 5,1) в области G н= {x^D, i>0}, удовлетворяющего гранич- граничным условиям и{х, t) = 0 при ieS A; 5,2) и начальным условиям и(х, 0) = ф(з:). Здесь (l; 5,3) Известно, что решение такой задачи существует. Каждой функции ф(х)еС отвечает решение задачи A; 5,1) — A; 5,3). Будем обозначать его через и(х, f, ц>). Обратная задача состоит в нахождении функции у(х) по известной функции и(х, t; ср). В реальных задачах функция и(х, t; ф) обычно получается в результате изме- измерений и, следовательно, известна приближенно. Будем по- полагать, что и е Ь2. Такая функция может и не соответст- соответствовать никакой «начальной» функции ср(#). Таким обра- образом, может не существовать в классе функций С решения обратной задачи. Поэтому будем рассматривать задачу нахождения некоторого обобщенного решения обратной задачи. Пусть заданы число Г>0 и функция гр(х), опреде- определенная в области D, ty{x) eL2. На функциях у(х) класса С определен функционал /(Ф)= Обобщенным решением обратной задачи будем называть функцию ф (х), на которой достигается /о = inf / (ф)- Фес Замечание. «Естественный» подход к решению этой задачи — выбрать функцию у(х) так, чтобы/(ф) = 0. 51
Для этого достаточно найти решение прямой задачи _-Ди = 0; и(х, t) = 0 для хе S, 0 < t < Т; Глава II МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ и положить ф (х) = и (х, 0). Но такая задача при задан- заданной функции ty(x) из L2, вообще говоря, неразрешима и, кроме того, неустойчива к малым изменениям функ- функции ^{х). На некотором классе обобщенных функций ф(^) f0 = 0 (см. [111]). Поэтому рассматривается задача на- нахождения приближенного значения /0 с заданным уровнем погрешности. Для заданного числа е > 0 найти функцию (ре(х), на которой /(ф«) < е. Эта задача и решается методом квазиобращения. Идея метода квазиобращения состоит в том, что вмес- вместо оператора теплопроводности d/dt — А находится «близ- «близкий» ему оператор Ва, для которого задача с обращением отсчета времени Ваиа = 0,x^D,t<T, a > 0; иа(х, Т) = \|>(я); иа (х, t) = 0 для х е S, t<T устойчива. Решив эту задачу, полагают у(х)— иа(х, 0). Обычно в качестве оператора Ва берут оператор -^ — А — — аД2 и решают прямую задачу ¦^р.-Д1/а-аДгыв = 0, ieD, t<T, а > 0; иа(х, Т) =$(х); иа(х, t) = 0 для x^S, 0<t^T; ДЦа = 0 для x^S, 0 < t < Т. Затем полагают <f(x) = ua(x, 0). Следует отметить, что иа не сходится в обычном смыс- смысле при а -> 0. Описанный метод квазиобращения применим для бо- более широкого класса задач, относящихся к эволюционным уравнениям (см. [111]). 52 В главе I рассмотрены случаи, когда класс возможных решений уравнения A; 0,1) является компактом. Однако для ряда прикладных задач характерна ситуация, когда этот класс F не является компактом, и, кроме того, изме- изменения правой части уравнения Az = и, 'B; 0,1) связанные с ее приближенным характером, могут выво- лить за пределы множества AF — образа множества F при отображении его с помощью оператора А. Такие задачи будем называть существенно некорректными. В [165, 166] разработан новый подход к решению некорректно поставленных задач, позволяющий строить приближенные решения уравнения B; 0,1), устойчивые к малым изме- изменениям исходных данных, для существенно некорректных задач. В основе этого подхода лежит фундаментальное понятие регуляризирующего оператора (P.O.) [166]. Для упрощения изложения в настоящей главе, кроме спе- специально оговоренных мест, мы будем полагать, что в уравнении B; 0,1) приближенной может быть лишь пра- правая часть и, а оператор А известен точно. § 1. Понятие регуляризирующего оператора 1. Пусть оператор А в уравнении B; 0,1)' таков, что обратный ему оператор А~х не является непрерывным на множестве AF и множество возможных решений F не является компактом. Пусть zT есть решение уравнения Az = кт, т. е. AzT = ит. Часто вместо щ мы имеем некоторый элемент и,, и известное число б > 0 такие, что pu{ui,, щ) ^ б, т. е. вместо точных исходных данных (ит, А) мы имеем при- приближенные исходные данные (цв, А) и оценку их погреш- 53
ности б. Задача состоит в том, чтобы по известным исход- исходным данным (щ, А, б) найти приближение ze к элементу гт, обладающее свойством устойчивости к малым измене- изменениям щ. Очевидно, что в качестве приближенного реше- решения Zt, уравнения B; 0,1) нельзя брать точное решение этого уравнения с приближенной правой частью и = ий, т. е. элемент ze, определяемый по формуле так как оно существует не для всякого элемента и е U и не обладает свойством устойчивости к малым изменениям правой части и. Числовой параметр б характеризует погрешность пра- правой части уравнения B; 0,1). Поэтому представляется естественным определить ze с помощью оператора, зави- зависящего от параметра, значения которого надо брать согла- согласованными с погрешностью б исходных данных и6. Эта согласованность должна быть такой, чтобы при б->0, т. е. при приближении (в метрике пространства U) правой части Uc, уравнения B; 0,1) к точному значению ит, при- приближенное решение ze стремилось бы (в метрике прост- пространства F) к искомому точному решению zT уравнения Az = иг. Пусть элементы z,efi a,eF связаны соотношением Azr = ит. Определение 1. Оператор R(u, б), действующий из пространства U в пространство F, называется регуля- ризирующим для уравнения Az = и (относительно эле- элемента ит), если он обладает свойствами: 1) существует такое число 6i > 0, что оператор R(u, б) определен для всякого б, 0 ^ б ^ 6i, и любого ub^U такого, что pu(ut, щ) < б; 2) для всякого е > 0 существует бо = б0(е, щ)'< 6i такое, что из неравенства pv{ut, щ) <8< б0 следует неравенство где pFBe, zT) < е, ze = R(u6, б). Здесь не предполагается, вообще говоря, однозначность оператора R(u, б). Через ze обозначается произвольный I элемент из множества {#(кв, б)} значений оператора Л (в., б). 2. В ряде случаев целесообразнее пользоваться другим определением регуляризирующего оператора (P.O.). Определение 2. Оператор R(u, а), зависящий от параметра а и действующий из U в F, называется регу- ляризирующим для уравнения Az = и (относительно эле- элемента ит), если он обладает свойствами: 1) существуют такие числа 6t > 0, ai > 0, что опера- оператор R(u, a) определен для всякого а, принадлежащего промежутку @, ai), и любого u^U, для которого ри(и, щ) < 6i; . 2) существует такой функционал a = a(u, б), опреде- определенный на множестве Us, = {и; р (и, мт) ^ 6J эле- элементов не U, что для любого е > 0 найдется число б (е) < 6i такое, что если и е U и р^ (и, мт) < б < б (е), то pr(Zr, 2a) <в, где za = R(u, a (и, б)). В этом определении не предполагается однозначность оператора R(u, a(u, б)). Следует отметить, что при a = б получаем определение 1 *). 3. Если ри{щ, и6) < б, то согласно [165, 166] в качест- качестве приближенного решения уравнения B; 0,1) с прибли- приближенно известной правой частью и6 можно брать элемент za = Д(ив, а), полученный с помощью регуляризирующе- регуляризирующего оператора R(u, a), где a = a(ut) = aiF) согласовано с погрешностью исходных данных м6. Это решение назы- называется регуляризованным решением уравнения B; 0,1). Числовой параметр а называется параметром регуляриза- регуляризации. Очевидно, что всякий регуляризирующий оператор вместе с выбором параметра регуляризации а, согласо- согласованного с погрешностью исходных данных мв, a = a(Me), определяет устойчивый к малым изменениям правой час- части и метод построения приближенных решений уравнения B; 0,1). Если известно, что pv(uT, щ) < б, то согласно определению регуляризирующего оператора можно так выбрать значение параметра регуляризации a = a() 54 *) В дальнейшем при пользовании определениями 1 и 2 мы будем опускать слова «относительно элемента цт». 55
что при 6-»-0 регулярйзованное решение za — (, а(иц)) стремится (в метрике F) к искомому точному ре- решению zT, т. е. pf(zT, za/u6\) -*-0. Это и оправдывает пред- предложение брать в качестве приближенного решения урав- уравнения B; 0,1) регуляризованное решение. Таким образом, задача нахождения приближенного решения уравнения B; 0,1), устойчивого к малым изме- изменениям правой части, сводится: а) к нахождению регуляризирующих операторов; б) к определению параметра регуляризации а по до- дополнительной информации о задаче, например, по величи- величине погрешности, с которой задается правая часть щ. Описанный метод построения приближенных решений называется методом регуляризации. 4. Отметим, что регуляризирующие операторы, зави- зависящие от параметра, использовались в математике со времен Ньютона. Так, классическая задача приближеино- du (х) _. го вычисления производной z = rf по приближенным (в метрике С) значениям и(х) может решаться с по- помощью оператора R {щ а) = и(х + а)-а(х) _ О» В самом деле, пусть вместо точных значений функции и(х) мы имеем приближенные значения и6(х) = = и(х) -f- v(x), где \v(x) | < б для всякого х. Тогда R {ий1 а) = ч (* + «)-"(«) + Ptx + cQ-Pto При а->0 первая дробь стремится к производной du/dx. Оценим вторую дробь v (х + а) — v {х) Если брать а — 8/ц(8), где т](б)->0 при б->0, то 2б/а = 2т](б) ->0 при б->0 и, следовательно, при а = <*! (б) = Т)(б) i , , ~ч, du {U6l ОЦ (б)) -> -r~. Другая классическая задача — задача восстановления функции по ее приближенно известным коэффициентам Фурье (задача суммирования рядов Фурье) — также ре- решается с помощью регуляризирующих операторов. В самом деле, пусть для всякого х, принадлежащего некоторому конечному промежутку, z (х) = 2 "ьфл iz) есть ряд Фурье функции z(x) по полной ортонормирован- ной системе функций {фь(?)} таких, что для всякого к sup | фь (х) | ^ М*). Пусть вместо последовательности х и = {ик} коэффициентов Фурье нам известны их при- приближенные значения и = {ик} такие, что 2 ("ft- k=i uh) 2 (х). Как было показано во Введении, в метрике С функции z(x) и z(x) в фиксированной точке х0 могут различаться как угодно сильно. Поэтому нельзя брать в качестве приб- приближенного значения функции z(x) в точке х0 значение z(xo). Устойчивое (к малым изменениям 8) приближенное значение z(x) дается с помощью оператора Д(ц, а) = = R ( и, —) = У, иищ (хо) а = т > если п брать равным целой части функции —^, т.е. п = п(8) == -^ при 6->0 г|(б) ->0, а гг(8) ->оо. игде и 6->0 г|(б) >0, а гг(8) . В самом деле, так как для всякого к \<рк(х) то п(«) {хй) — 2 2 ("к — Uh) 4>h {Xa) 2 Uk(fh (Xo) ft=nF)+l Так как ряд 2 икЩ (х0) сходится, то его остаток fei п(б) оо. 56 2 икуч(хо) стремится к нулю при Далее, применяя неравенство Коши — Буняковского, *) Это условие обычно выполняется. Например, оно выполпя- ется для систем тригонометрических функций {sin кх, cos кх). 67
получим nF) 2 (uk — uk) (nF) < 2 i nF) ; 2 I uh — uk ft=l nF) (x0) [ и F) X /2 '< м УЩТ' - м Yl^}б2 -> о при б->-0. Операторы R(u, а), зависящие от числового параметра а, использовались в математике и при рассмотрении ряда других задач. 5. Описанные в п. 4 примеры применения регуляризи- регуляризирующих операторов, зависящих от параметра, обобщают хорошо известные правила практических вычислений. В математике издавна приближенные значения производ- производных вычислялись как разностные отношения. При этом приращения аргументов брались не слишком малыми по сравнению с погрешностью значений функции. Суммиро- Суммировались и ряды Фурье с приближенными коэффициентами. При этом в качестве приближенной суммы ряда брались частные суммы ряда с не слишком большим числом чле- членов. Это была интуитивная регуляризация, регуляриза- регуляризация по здравому смыслу. Аналогично, т. е. с регуляризацией по здравому смыс- смыслу, решались и некоторые другие неустойчивые задачи. Описанный выше метод регуляризации, основанный на использовании понятия регуляризирующего оператора, можно рассматривать как формализацию и обоснование давно используемой регуляризации по здравому смыслу и распространение такого подхода к построению прибли- приближенных решений на широкий класс задач. § 2. Вариационный принцип отбора возможных решений. Существование регуляризирующих операторов. 1. Будем предполагать, что уравнение Az = щ с непре- непрерывным оператором А имеет единственное решение zT и вместо ит нам дан элемент щ. Пусть известно, что укло- уклонение правой части иб от ит не превосходит б, т. е. р[/(цб, цт) ^ б. Тогда приближенные решения естествен- естественно искать в классе Qt, элементов z e F, сопоставимых по 53 Точности с исходными данными, т. е. таких, что ри (Az, ue) =SS б. Класс Qt, есть множество возможных ре- решений. Однако нельзя брать в качестве приближенного решения уравнения B; 0,1) с приближенной правой частью и = ий произвольный элемент ze из Qt,, так как такое «приближенное решение» не будет, вообще говоря, устойчивым относительно малых изменений правой части. Множество Qi, — слишком широкое. Необходим прин- принцип отбора возможных решений, обеспечивающий по- получение в качестве приближенного решения такого эле- элемента (или элементов) из Qt, который был бы устойчи- устойчивым к малым изменениям правой части. В качестве такого принципа можно брать описываемый ниже ва- вариационный принцип, который также применим и для построения приближений к квазирешению z, если такое существует. Отбор можно осуществлять с помощью специальных, заранее задаваемых фунционалов Q [ z ], входящих в по- постановку задачи. Неотрицательный функционал Q [ z ] , определенный на всюду плотном в F подмножестве F\ множества F, называется стабилизирующим функционалом, если: а) элемент zT принадлежит его области определения; б) для всякого числа d>0 множество Fi.d элемен- элементов z из F\, для которых Q [z] ^ d, компактно на F. 2. Упомянутый выше отбор возможных решений мож- можно осуществлять с помощью стабилизирующих функцио- функционалов, и реализуется ои следующим образом. Пусть Q [ z ] — стабилизирующий функционал, опре- определенный на подмножестве Fi множества F (Fi может совпадать с F *)). Будем рассматривать только такие эле- элементы множества Q6, на которых определен функционал Q [ z ] , т. е. будем рассматривать лишь элементы z мно- множества Fi,e = Fi П (V Среди элементов этого множества найдем такой (такие) элемент ze, который минимизирует функционал Q[z]**). Элемент ze можно рассматривать как результат применения к правой части ц = ц6 уравне- уравнения B; 0,1) некоторого оператора R, зависящего от па- параметра б, т. е. z6 = R(u6, б). *) Например, в конечномерном случае. **) Существование такого элемента будет доказано ниже (стр. 62) при дополнительных ограничениях на Q [z]. 59
Предположим, что такой элемент существует для любых б > 0 и и6 е U- тогда гв = Я(ив) б) можно брать в качестве приближенного решения урав- уравнения Az = кв, так как при этих условиях справедлива Теорема 1. Оператор В (и, б) является регуляри- зирующим оператором для уравнения Az = и. Для доказательства этой теоремы воспользуемся оп- определением 1 регуляризирующего оператора. Мы пред- предположили, что для всякого 8>0 и любогоu(ef/суще- любогоu(ef/существует элемент ze e Fi, минимизирующий функционал Q [ z ] иа множества F\, в — Qt, Л F\. Следовательно, опе- оператор R(u6, б) определен для всякого 6>0 и любого иь е U. Поэтому для доказательства теоремы достаточно показать, что оператор R(u, б) обладает свойством 2) определения. Доказательство. Поскольку элемент ze миними- минимизирует функционал Q [ z ] на множестве Fit в и zT e Fi, e, то очевидно, что Q[z4] <Q[zT]. Таким образом, элемент ze принадлежит компактному на F множеству FT= {z; Q[z] <Q[zT] }. Пусть задана последовательность {ип } такая, что pv(u, ип) «S б„, где {б„}—последовательность положи- положительных чисел, сходящаяся к нулю, т. е. б„—у 0 при п-+-оо. Для каждого б„ определено множество QSn- Пусть В каждом из множеств Flitnno предположению существу- существует элемент 2вп, минимизирующий функционал Q [z] на этом множестве. Таким образом, последовательности чи- чисел {бв} отвечает последовательность элементов {гап]> принадлежащих компактному на F множеству FT. Сле- Следовательно, из [гвп] можно выделить сходящуюся (в мет- метрике F) подпоследовательность 60 Пусть z = lim z6 . Так как Zj^gFi^cC^, то для всякого элемента z. подпоследовательности выполняется неравенство Переходя в нем к пределу при щ—>-со и используя не- непрерывность оператора А, получим pu{Az, цт) = 0. Следовательно, Az = ит. В силу единственности решения уравнения B; 0,1) с правой частью и = ит имеем z ==¦ zt. Таким образом, lim гл — zT. Пк->оо И так для всякой сходящейся подпоследовательности последовательности {z6 ]. Отсюда следует, что для любой последовательности {бп} положительных чисел б„, схо- сходящейся к нулю, соответствующая последовательность (z6j сходится (по метрике пространства F) к элементу гт. Это и означает, что для любого е > 0 существует та- такое б(е), что из неравенства ри(и6, кт) <б<б(е) сле- следует неравенство pF(z6, zT) < e. Справедливость свойства 2) определения Р. О. для со оператора R(u, б) доказана и, следовательно, оператор Я(и, б) является регуляризирующим для уравнения .B; 0,1). 3. Доказательство существования элемента ze ^F\, ми- минимизирующего функционал Q [ z ] на множестве F\_ e = = <?а П ^ь можно провести, например, при описываемых ниже дополнительных требованиях на стабилизирую- стабилизирующий функционал Q [z ] . Пусть F — метрическое пространство с метрикой р( • , • ). Будем говорить, что неотрицательный функци- функционал Q [ z ] , определенный на множестве F\ a F, порож- порождает метризацию множества F\ с мажорантной мет- метрикой pi(-, • ), если на элементах z^Fl функционал |zli = (^ I2]}12 обладает свойствами нормы, причем для 61
любых z\, z2 из F\ Pi Bi> Ч) ^ I! zi - lii Zi, z,). Пусть Fi — пространство с такой метрикой на мно- множестве F[. Пространство F\ будем называть пространст- пространством, порожденным функционалом Q[z]. Теорема 2. Пусть F — линейное метрическое прост- пространство с метрикой р(гь гг) и стабилизирующий функ- функционал Q[z], определенный на множестве F^ciF, по- порождает на F\ гильбертово пространство F\ с мажорант- мажорантной метрикой pi ( ¦, ¦ ) • Тогда, каково бы ни было б > 0, на множестве F\xtl существует элемент z6, реализующий точную ниокнюю грань функционала Q [ z ] на множестве F\t e. Справедливость этой теоремы непосредственно сле- следует из приводимой ниже леммы. Напомним, что функ- функционал / [ г] , определенный на метрическом пространст- пространстве F, называется непрерывным на F, если для всякой по- последовательности {г„} с F, сходящейся по метрике F к элементу zsF, последовательность его значений {/[zn]} сходится к /[z ] . Лемма. Пусть F — линейное метрическое простран- пространство, В — его замкнутое мноо/сество и f[z] — неотри- неотрицательный функционал, определенный и непрерывный на F. Пусть, далее, Q [ z ] — стабилизирующий функционал, определенный на множестве F\ a F и порождающий на Fi гильбертово пространство F\ с мажорантной метрикой. Тогда точная нижняя грань на множестве Flt в — = В П Fx функционала Q[z]=/[z]+ aQ [ z ] , где a > 0, реализуется на элементе z e F\. Доказательство. Так как Q [ z ] — неотрицатель- неотрицательный функционал, то существуют Qo = inf Q[z] и минимизирующая последовательность {z"} cr FltB та- такая, что HmQ[z"j = Q0. Пусть Q[z^]sQn. He or- n-*oo раничпвая общности результатов, можно полагать, что для V п > 1 Qn < Qn-i. Следовательно, для V п > 1 Q^ZnJ^Qj^. Таким образом, последовательность \zfi] при- 62 надлежит множеству элементов z из F\, для которых aQ[z] <Qi. Так как это множество, согласно определению стабили- стабилизирующего функционала Q[z], компактно на F, то из последовательности {z"| можно выделить подпоследова- подпоследовательность, сходящуюся (по метрике F) к некоторому элементу za e F. Ради упрощения записей сохраним для элементов этой подпоследовательности те же обозначе- обозначения, т. е. пусть {г") сходится (по метрике F) к za. Покажем, что последовательность {z"} сходится по норме пространства F\. Предположим, что это неверно. Тогда существуют такое число ео > 0 и такие последова- последовательности целых положительных чисел { m } и {рт } , что для всех т и рт из этих последовательностей . Оче- Здесь || z ]!х — норма элемента z в пространстве F\. Пусть pm = zm — z%+Pm и Em = 0,5 (z^ + Zm+Pm ВИДНО, ЧТО ?m = Zm — 0,5Рт = Zm+pm+0,5$т И Q [?т] = / [1т\ + « [I Zl 111 ~ («m, Pm)l + Так как pF(?m, г,)->-0и Pi?(im. гт)->-0 при силу непрерывности / [ z ] имеем B;2,2) где Дт —*¦ 0 при иг —*- оо . Учитывая сходимость последова- последовательности {Qm} к Qo, из B; 2,1) и B; 2,2) получаем a [- (zam, pm)i + 0,251К Й | | ' Qo - Qm - B;2,3) где Дт > 0 и Лт ->- 0 при т -*- оо . Аналогично, пользуясь формулой \т = Zm+pm-h 0,5 получим неравенство P™)i + 0,251 p где Дт>0 и Дт->-0 при т z± °° • — A™, B;2.,4) 63
Складывая неравенства \2; 2,3)", B; 2,4)" почленно, получаем Следовательно, Так как Дт + Am ->• 0 при иг -> оо, то найдется такое т(ео), что для т&? т(го) будем иметь II 7а — 7а ||глг Z m+p что противоречит предположению. Таким образом, последовательность {z%} является фундаментальной по норме пространства F\. В силу пол- полноты пространства F\ она сходится по метрике Fi (атом самым и по метрике F) к некоторому элементу za s Fi. Но поскольку последовательность {г"} сходится по мет- метрике F к элементу za, то га = га. Демма доказана. Для доказательства теоремы 2 достаточно применить эту лемму для случая, когда / [г ] s 0 и а = 1. Таким образом доказывается существование регуляри- зирующих операторов для любого уравнения вида B; 0,1) с непрерывным оператором А, действующим из линейного метрического пространства F, обратный к которому А~1 может быть определенным не на всяком элементе ие[/ и не является непрерывным. Замечание. Если решение уравнения As — иТ не единственно, то описанным методом также строится регу- ляризирующий оператор. В этом случае всякая сходящая- сходящаяся подпоследовательность {z6n} сходится к одному из ре- решений уравнения B; 0,1) с правой частью и = цт, хотя различные подпоследовательности могут сходиться к раз- различным решениям. 4. Таким образом, при описанном подходе, т. е. при использовании вариационного метода нахождения регуля- ризованного приближенного решения уравнения B; 0,1) с приближенной правой частью а = и6, pv(u>6, и>т) ^ б, за- 64 4 дача нахождения приближенного решения г« состоит в нахождении элемента гв минимизирующего функционал * Q [ г ] на множестве Fi.e = Qt П Fi = {г; г е Fu pv (Az, и6) < б } , где Q6 = {г; pv(Az, ut) < б} . Задачи такого типа можно решать различными прямы- прямыми методами минимизации функционалов. Следует, одна- однако, отметить, что численное решение их прямыми мето- методами на ЭВМ в ряде случаев затруднительно. Поэтому целесообразно рассмотреть и другие методы решения та- таких задач. В следующем параграфе рассматривается один из таких методов. Он состоит в редукции при некото- некоторых условиях исходной вариационной задачи с огра- ограничениями в виде неравенств к вариационной задаче с ограничениями классического типа (в виде равенств ри (Az, щ) = Ь) и последующем применении метода неопределенных множителей Лаграпжа (короче, метода Лагранжа). § 3. Метод Лагранжа построения регуляризирующих операторов 1. Пусть Мй есть множество всех элементов z из Fh на которых функционал fi[z] достигает своей точ- точной нижней грани Qo на множестве Fi, т. е. Д/о =з s= {г; Q[z] = Qo}, где Qo = inf Q [z]. teF, Предположим для простоты, что Мо состоит из одного эле- элемента г0*). Допустимы две возможности: 1) множества Мо и Fi|4 пересекаются, т. е. pv(Az0, u«)<6; 2) множе- множества Мо и Fi,e не пересекаются^ т. е. pu(Az0, ue)> б. Рассмотрим обе возможности. В первом случае реше- решением вариационной задачи на минимум функционала Q [ z ] на множестве Fi, в является элемент го. Это реше- решение устойчиво к малым изменениям Us. В самом деле, при любом е > 0 оно принадлежит компактному на F мно- множеству D, элементов г, для которых Q [ z ] ^ Qo + e. Ото- Отображение, осуществляемое оператором А, непрерывно и *) В случае, когда множество Мс, состоит более чем из одного элемента, устойчивость решения понимается в смысле непрерыв- непрерывности многозначных отображений. 3 А. Н. Тихоиов, В. Я. Арсеаив 65
взаимно однозначно. Следовательно, согласно лемме гл. I, § 1, обратное ему отображение также непрерывно. В даль- дальнейшем будем полагать, что F\t в не содержит точек мно- множества Л/о. Прежде чем рассматривать вторую возможность, вве- введем следующее определение. Стабилизирующий функцио- функционал Q [г] будем называть квазимонотонным*), если ка- каков бы ни был элемент z из F\, не принадлежащий мно- множеству Л/о, в любой его окрестности найдется элемент Z\ из F\, для которого fi[zi] < Q [ z ] , т. е. если функцио- функционал не имеет локальных минимумов на множестве Fj \7I/O. Обратимся к рассмотрению второй возможности. В этом случае задачу минимизации функционала Q [z] па множестве Fie можно свести к классической задаче на условный экстремум функционала Q [г], значительно бо- более удобной для численного решения на ЭВМ. Это можно сделать с помощью следующей леммы. Лемма. Точная нижняя грань на множестве Fls ква- квазимонотонного функционала О, [ z ] такого, что множество Л/о П -f 1, в пусто, достигается на элементе z4, для которого pv(Azt,, иь) = б. Доказательство. Допустим, что inf Q[z] так кан $>и (Az, щ) достигается на элементе zt из Fi,e, для которого pv(Azb, щ) = р < б. По условию, наложенному на величину погрешности б, Zo^Fi,,, т. е. Pv(Az0, щ) > б. Следовательно, ze ф zq. В силу непрерывности оператора А на F существует такая окрестность O(z, zs) элемента ze, для всех элементов которой ри (Az, Az6) < -^-В. Для всякого z из этой окрестности выполняется неравен- неравенство pv(Az, ut) < б, (Az, Az&) + pv (Az6, u6) < < 2 *) М. М. Лаврентьев и другие авторы использовали этот тер- термин ранее, вкладывая в него другое содержание. 66 Следовательно, O(z, zt) czQt. Из квазимонотонности стабилизирующего функционала Q [ z ] следует существование в окрестности О (z, zs) эле- элемента zt, i из F\, для которого Q[i..,]<Q[i.]. B; 3,1) Так как элемент zt, \ принадлежит множествам Qi и Ft, а следовательно, и множеству Flt e, то неравенство B; 3,1) противоречит тому, что на z4 функционал Q[z] достигает своей нижней грани на множестве F\t t. Лемма доказана. 2. Пользуясь этой леммой, вместо задачи минимизации функционала Q [z] на множестве F\tt можно искать ре- решение задачи на минимум функционала Q [ z ] на мно- множестве Fi при условии, что на искомом элементе z вы- выполняется равенство Ри (Az, Ut) =* fi. Это классическая задача вариационного исчисления на ус- условный минимум. Будем решать ее методом неопределен- неопределенных множителей Лагранжа, т. е. будем искать элемент zo, на котором функционал Ма [z, цв] = pb (Az, ut) + aQ [z] B; 3,2) достигает своей точной нижней грани, а параметр а — определять из условия Pu(Aza, ut) = fi. B; 3,3) Число pv (Az, Ut) часто называют невязкой уравнения Az = щ на элементе z. 3. Будем говорить, что метод Лагранжа реализуется, если для всякого и»еGи любого а > 0, принадлежащего некоторому промежутку @, ai), а) существует элемент za из F\,t, минимизирующий функционал Ма [ z, ut ] ; б) существует такое значение а, для которого pv (Aza, щ) — б. 3* 67
Ниже доказывается существование элемента za (см. теорему 3), минимизирующего функционал Ма [ z, щ ], для произвольного непрерывного оператора А, действую- действующего из линейного метрического пространства F в метри- метрическое пространство U, и любого стабилизирующего функ- функционала ?2[z], определенного на множестве F\CiF, по- порождающего гильбертово пространство F\ с мажорантной метрикой. В следующем параграфе рассматриваются усло- условия разрешимости уравнения pu(Aza, щ) = Ь относитель- относительно а. В частности, доказывается однозначная разреши- разрешимость его для линейных непрерывных операторов А, если пространство U гильбертово, функционал Q [г] при всяком 2<=Fi имеет не равную нулю (при г ф 0) производную Фреше Q'[z] и б<ри(^г0, и6), где го<=Д/о. Таким об- образом, в этих условиях устанавливается реализуемость метода Лагранжа. Теорема 3. Пусть А — непрерывный оператор из ли- линейного метрического пространства F в метрическое про- пространство U и Q [ z ] — стабилизирующий функционал, определенный на множестве F\ a F, порождающий гиль- гильбертово пространство Fx с мажорантной метрикой. Тогда для всякого элемента не U и любого а > О существует элемент z™ e Fb на котором функционал Ма [г, и] = рЬ (Az, и) + aQ [г] достигает своей точной нижней грани на множестве F\, т. е. М% = inf Ма [г, и] = Ма [za, и]. Справедливость этой теоремы непосредственно следует из леммы § 2, если положить в ней В г= Ft и / [г] == = рЬ (Az, и). Таким образом, на элементах не U и для всех поло- положительных чисел а>0 определен операторRi(u, a) со значениями из Fi такой, что элемент га = Ri(u, a) минимизирует функционал Ма [г, и]. Замечание. Если А есть линейный интегральный оиератор с ядром К(х, s), то уравнение Az = и имеет вид ь J К (xt s) z (s) ds = u (xI с < x < d. Если в качестве F брать пространство С [ а, ~Ъ ] непре- непрерывных на [a, b ] функций, а стабилизирующий функ- функционал Q [г ] взять вида где q(s) и p(s) — заданные непрерывные на [ a, b ] функ- функции, такие, что q(s)>0, p{s)> рй>0, то для этого слу- случая справедлива теорема 3 (см. также гл. IV). Можно указать достаточные условия, при которых эле- элемент га — единственный. Это справедливо, например, если оператор А — линейный, F — гильбертово пространство и Q [ z ] — квадратический стабилизирующий функционал. В частности, это справедливо для линейных интегральных уравнений. В самом деле, предположим, что существуют два эле- элемента г„ и za , на которых достигается точная нижняя грань функционала Ма [ г, и] . Рассмотрим элементы пространства F\, расположенные на отрезке прямой (про- (пространства F), соединяющей г^1' и г^2): Функционал Ма [ г, и ] на элементах этой прямой есть неотрицательная квадратическая функция от E; следова- следовательно, она не может достигать наименьшего значения при двух различных значениях [5: [5 = 0 (z = 2^) и C = 1 (z=z?). Для нелинейного оператора А эле- элемент га может быть неединственным. 4. Если метод Лагранжа реализуем, т. е. существует такое а, что ри (Az*, и6) = б, то исходная вариационная задача эквивалентна задаче на минимум функционала Ма [z, щ]. В самом деле, если а выбрано так, что ри (Aza, цб) = б, то решение исходной вариационной за- задачи 2в также дает минимум функционалу Л/а[г, н0], и, наоборот, если 2а минимизирует функционал Ma[z, ыб] при условии ри (Az, щ) = б, то на том же элементе za достигается минимум функционала Q [ z ] . Элемент г» можно рассматривать как результат при- применения к правой части и = и6 уравнения B; 0,1) неко- некоторого оператора Ryt зависящего от параметра а, т. е. = Ri(iit, a), .B; 3,4) 69
в котором а = а(б) определяется по невязке, т. е. из со- соотношения ри (Aza, u6) = б. В силу эквивалентности исходной вариационной зада- задачи задаче минимизации функционала Ma[z, щ] с опре- определением параметра а по певязке оператор Ri(u6,а(б)) согласно § 2 является регуляризирующим для уравне- уравнения Az = и. 5. Следует заметить, что функционал Ма [z, и] можно ввести в рассмотрение формально, не связывая его с за- задачей на условный экстремум функционала Q [ z ] , и ис- искать элемент za, минимизирующий его на множестве F\. При этом возникает задача нахождения параметра регу- регуляризации а, как такого функционала от и, а = а{и), для которого оператор /?i(u, a(u)), определяющий эле- элемент z« = Ri(u, a(u)), минимизирующий функционал Ма [ z, а ] , был бы регу- ляризующим для уравнения B; 0,1). При определенных условиях (см. § 4) такой функционал является функцией от б, а = &(б), которая может быть найдена, например, из соотношения ри (Aza, ий) — б. Из последующих рас- рассмотрений (см. § 6) будет видно, что существует множе- множество таких функций а (б). Возможность использования различных функций а (б) в регуляризующем операторе Ri(u, а(б)) связана с неединственностью регуляризирую- щего оператора для уравнения B; 0,1). В связи со сказанным, естественной представляется задача нахождения оптимального (в заранее определен- определенном смысле) вначения параметра регуляризации а = = а(б). Для некоторых операторов А типа свертки эта задача будет рассмотрена в гл. VI. 6. Следует отметить, что в то время как исходная за- задача B; 0,1) не обладает свойством устойчивости, задача минимизации функционала Ма [ z, и ] , как было показа- показано, обладает устойчивостью к малым изменениям правой части и. Эта устойчивость была достигнута сужением класса возможных решений с помощью введения в рас- рассмотрение функционала Q [ z ] с описанными выше свой- свойствами. Он играет, таким образом, стабилизирующую роль. Поэтому его и называют стабилизирующим функционалом для задачи B; 0,1), или стабилизатором. Выбор стабилизирующего функционала Q [ z ] часто подсказывается характером задачи (см., например, гл. III). Однако в ряде случаев выбор его неоднозначен. 70 Функционал Ma[z, и] будем называть сглажива- сглаживающим. 7. Основные результаты, изложенные в §§ 1—3, рас- распространены разными авторами на другие классы опера- операторов: замкнутые, замыкаемые, монотонные (в том числе и разрывные), а также на бодее широкий класс прост- пространств (см., например. [ИЗ, 116, 127]). Рассматривались и другие способы построения регу- ляризованных решений (см., [17, 18, 21, 98, 99, 111]), в том числе проекционные методы (см. [85, 156]). § 4. Определение параметра регуляризации по невязке Вопрос об определении параметра регуляризации мы будем рассматривать здесь лишь для регуляризирующих операторов R\(u, а), получаемых вариационным способом (см. §§ 1-3). При рассмотрении конкретных задач, как правило, за- затруднительно фактически найти параметр регуляризации а как такую функцию погрешности исходных данных б. а = а(б), для которой оператор Ri(u, а(б)) является регуляризирующим. Во многих случаях мы знаем число б. характеризующее погрешность исходной информации. II задача состоит в том, чтобы найти отвечающее ему зна- значение параметра регуляризации а из числа допустимых значений, т. е. таких, которые являются значениями одной из функций а = а(б), для которой оператор R\{u, а(б)) является регуляризирующим. Выбор допустимого значе- значения параметра регуляризации существенно зависит от той информации, которую мы имеем относительно приближен- приближенной исходной информации. В литературе описаны различ- различные способы нахождения такого значения а. Ниже мы рассмотрим некоторые из них. 1. Определение а по невязке. Пусть мы име- имеем приближенную правую часть ц6 уравнения B; 0,1) с известной погрешностью б, т. е. р^ (ц«, ит) *?1 б. Тогда при некоторых ограничениях (см. ниже) параметр регуляриза- регуляризации а можно определять по невязке, т. е. из соотношения pv (Aza, в.) = б. B; 4,1) Рассмотрим условия разрешимости этого уравнения. Обозначим через пг(а), ср(а), г|з(а) значения М™ [za, и], pi (Aza, и), Q[za]. При этом, если множество элементов ^а = {га}, на которых достигается iniMa[z, и], состоит 71
более чем пз одного элемента, то ф(а) и г|з(а) будут мно- го.шачными функциями. Рассмотрим некоторые свойст- свойства функций т(а), ф(а), гр (ее). Лемма 1. Функции т(а), ф(а), гр(а) являются мо- монотонными функциями, иг (а) и ф(а) — неубывающими, а ^(а) —невозрастающей. Доказательство. Пусть он < а2 и ф{ = ри (i4zoi, и), = Mai[zai, и], — 1, 2, \ причем zai — любой элемент из множества F \ Имеют место неравенства т2 = ф2 -f «2^2 > фг + ai^2 > Ф1 + a,\|3i = тоь B; 4,2) пз которых следует монотонность функции пг(а). Далее, ф! + «1^1 ^ ф2 + ai^2 И ф2 + «2^2 ^ ф1 Так как оц < аг, то г|>1 ^ г|зг. Из этого результата и из второго неравенства B; 4,2) следует, что ф2^ф|*)- Замечание. Если множество Fa =з {za } состоит бо- более чем из одного элемента, то, хотя функция m(a) no своему определению однозначна, функции ф(а) и vf (ct) могут быть многозначными, так как на разных элементах za из Fa в пг(а) = ф(а) -f- аг|з(а) слагаемые ф(а) и \|з(а) могут иметь различные значения. Монотонность, дока- доказанная в лемме, относится к любым значениям этих функций. Лемма 2. Если для всякого u^U и любого а > О элемент za, минимизирующий функционал Ма [ z, и] на множестве Fu— единственный, оператор А — линейный, пространство U — гильбертово и функционал Q[z] при всяком zefi имеет не равную нулю (при z =Ф 0) произ- производную Фреше Q'[z], то функции пг(а), ф(а) г|з(а) строго монотонны. Доказательство. Как и прежде, можно полагать, что za не принадлежит множеству Мо (см. стр. 65); сле- следовательно, для всякого a > 0 \|;(a) = Q [ za ] > 0. *) Рахматуллина А. X. Некорректно поставленные за- задачи и методы их решения,— М.: ИПМ АН СССР, 1972. 72 Пусть Gt2 > ai. Тогда пг(а2) = ф(а2) ф(а2) -f -f т. е. пг(аг) > т(а,[). Покажем, далее, что zO| =??= га>. В самом деле, па элементах zai и zai удовлетворяется необходимое условие минимума функционала Ma[z, и], т. е. удовлетворяется уравнение Эйлера. Таким образом, А*Ага, -f aiQr Ы = А*и, A*Aza, -f ««,] = А*и. Вычитая эти равенства почленно, получим A*Azai - А*Ага, = a2Q' [2Ol] - axQ' [2Ol]. B; 4,3) Если zai = 2tt2, то (a2 — ax) Q' [zai] = 0. Так как по усло- условию Q'[zaJ=^O и Gt2 > ai, то последнее равенство не- невозможно, следовательно, zai =^zat.H3 единственности эле- элемента za, минимизирующего функционал МЛ [z, и], и не- несовпадения элементов zai и zaj при ai < аг следует, что Ма' [2О„ а] < М«<[2в„ и], т. е. q>fai)-f-anf>(ai)< ф(а2) B; 4,4) и, аналогично, ф(а2) Из этих неравенств получаем Так как ai < a2, то отсюда получаем xf>(ai) > г|з(а2). Пользуясь этим неравенством и тем, что xf>(ai) > 0 я if(a2) > 0, из B; 4,4) находим f(ai) <ф(аг). Лемма до- доказана. Отметим, что для доказательства неравенства m(ai) < < m(a2) нам понадобилось лишь одно условие леммы — единственность элемента za (это условие выполняется, например, в случаях, когда А — линейный оператор, U — гильбертово пространство и Q[z]—квадратичный функционал (см. стр. 69)). Докажем полунепрерывность слева и справа функций т(а), ф(а) и г|з(а). Для этого предварительно докажем следующую лемму. 73
Пдсть последовательность положительных чисел {а„} сходится к осо > 0 и \zan} — некоторая последователь- последовательность соответствующих элементов zan из множеств F п. Лемма 3. Если последовательность \zan] — сходящая- сходящаяся, то она сходится к элементу из Fa\ т. е. lim г„»гб Fa'. Я-»оа Доказательство. Очевидно, что так как слагаемые функционала Ma[z, и] непрерыв- непрерывны по z и а. Допустим, что элемент z не принадлежит множеству Fa°, т. е. не реализует минимума функционала Ha'[z1u]. Тогда существует элемент zi0 e Fa° такой, что Ма° К, и] = Ma°[~z, и] - р, где р > 0. Ото предположение приводит к противоречию, так как в этом случае lim Man [zat, и] = Ма° [z*., и] = Ма' [I, и] - р п-»оо п, тем самым, начиная с некоторого п($), для всех п 3= С другой стороны, M*n[zan,u]>Ma'[z~,u\-№. Следовательно, Man[zan, u]>Man[zao, и], что противоречит определению элемента zan. Лемма до- доказана. Лемма 4. Функции m(a), <p(a) u г|з(а) полунепре- полунепрерывны слева и справа при каждом а > 0. Так как доказательства этих утверждений одинаконы, приведем доказательство полунепрерывности функции ф(а) слева. 74 Доказательство Пусть {а„} — возрастающая и сходящаяся к ао > 0 последовательность положительных чисел. Ей отвечает последовательность множеств [F "} элементов zan, минимизирующих функционал Mn[z,u]. Рассмотрим произвольную последовательность элементов {zan}, zane F ". Эта последовательность принадлежит компактному множеству (начиная с некоторого п, zan e е {г; Q [г] ^ Q [Za.-e], e > 0}. Следовательно, из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Не меняя обозначений, будем считать, что {zan} и есть эта подпоследовательность. Пусть limzan=z. По лемме Зге Тоща 9и n, и) сходится к Ри (Azao, и). Согласно лемме 1 последовательность {ф(а„)}—не- {ф(а„)}—неубывающая. Она сходится к некоторому числу <р, которое является нижней границей множества значений {ф(ао)}- Если бы это было не так, то существовало бы такое зна- значение ф(а0), которое меньше ф. Тогда для достаточно больших п найдутся элементы zan из с , для которых ф(ап) будет также меньше ф, что нарушает монотонность функции ф(а). Отсюда следует, что для любой подпосле- подпоследовательности исходной последовательности {zan} соот- соответствующая подпоследовательность {ф(ап)} сходится к ф. Это означает, что и вся последовательность {ф(ап)} сходится к ф. Полунепрерывность слева доказана. Принимая во внимание, что m(a) =M«[Za, U] по своему определению является одновначной функцией переменной а, непосредственно получаем Следствие. Функция иг (а) является непрерывной неубывающей функцией а. Отметим, что если множество AF всюду плотно pa U, то m(a)-»-0 при а-»-0 (и т@) =0). Это следует из того, что для всякого е > 0 можно найти такой элемент 75
z1 и такое а = ос(е), что Ма [2х, и] = рЬ (Az1, и) + «Q [z1] < e при а = а(8). Для этого z1 следует выбрать так, чтобы 9и ( * , ц) < — и а (е)< -щтр. Возможность этого следует из того, что AF всюду плотно на U. Отметим также, что ф@) =0. Это следует из того, что Ф (а) + octy (а) = то (а) -> 0 при а -*• 0. Из приведенных лемм непосредственно следует Теорема 4. Если ц> (а) — однозначная функция, то для всякого положительного числа б <р[7(Лг0, и), где г0 г; Q[z] = inf Q[Y\\ Ye Ft ! существует а (б) такое что ри(Ага{й), и) = б. Если оператор А — линейный, пространство U — гиль- гильбертово и функционал Q[z] при всяком zsf, имеет не равную нулю (при z Ф 0) производную Фреше Q'[zl (например, если Q[z]—квадратичный), то согласно лем- лемме 2 а (б) определяется однозначно. Отметим, что однозначность функции ф(а) имеет ме- место, например, в случае, когда элемент za — единственный (см. стр. 69). 2. При сохранении всех перечисленных условий, кро- кроме существования не равной нулю производной Фреше "'[г] У функционала Q[z], параметр а из уравнения ф(а) = б2, может определяться неоднозначно. Это можно увидеть на приводимом ниже примере. Пример. Пусть Fи U — пространства неотрицатель- неотрицательных вещественных чисел гипс нормами }|г|| = |г |, |ц|| = = | и |. Пусть, далее, Az =s z и г2 + -^-[Д21-(г-г0J], 0<z<2l,- Д2 = (г, - 2гJ, Q[z] = где а0 = (zq — 78 z > zx, zx и z0 — положительные числа, -' Zi ¦< z0. Очевидно, Q[z] — непрерывный функционал, имеющий производную для любых z, кроме z = z\. Бу- Будем искать приближенное решение уравнения Az = щ, I Рис. 4. a = a0; ra — любое число отрезка [0, *|]. О z, г„ г Рнс. 5. а > осо; гв = 0. Но > 0, путем минимизации сглаживающего функциона- функционала Ma[z, ц0], где и0 = z0. Нетрудно видеть, что Ма [z, ц„] = (z — z0J + oi.Q [z], Ма [0, и0) = zl, ЛГ [2Х> и0] = Д? + az\t где Д2 = (Zj — Z0)aj m |z0, мо| — «z0, На рис. 2—5 приводятся графики A/a[z, ц0] как 77
функции z для различных значений а. График функции ф (а) «= (го — zo)a представлен на рис. С. А?, ах < а < а0 пе определена, а = а0, z\, а>а0, вающЦ и выпуклой вниз функцией. Поэтому метод каса- касательных Ньютона применим к решению уравпения фA/р) — б относительно E, и он сходится при любом начальном приближении E0 > 0. Найдя решение E урав- уравнения фA/Р)=б, определяем искомое а = 1/р. При- Приближения [}„ к искомому решению вычисляются при этом по формулам*) а _ й . . ф1 (P»-i) а Рис. 6. Очевидно, при 6= |Ai| уравнение ф(а) = б2 имеет множество решений; при вначениях б, |Ai| < б < г0, уравнение ср(а) =¦ б2 не имеет решения. 3. В вычислительной практике определение а по не- вявке можно, например, осуществлять так. Пусть б — погрешность правой части ц« уравнения B; 0,1). Берет- Берется конечный отрезок монотонной последовательности чи- чисел «о, «I, иг, ..., а„, например, отрезок геометрической прогрессии а» = аод\ Л = 0, 1, 2,..., п, q >¦ 0. Для каж- каждого вначения а„ находится элемент (функция) zah, ми- нимивирующий функционал Mah[z, ue], и вычисляется невязка ри (Azak, щу В качестве искомого значения а берется такое число ан0, для которого с тре- требуемой точностью выполняется равенство Pt7 DzaA>, И6) = б- Приближенное решение уравнения pu(Aza, u8) = к=ф(а) ж б относительно а можно находить также ме- методом касательных Ньютона. Действительно, в [123,128] установлено, что функция ц>\($) = фA/[5) является убы- 78 Необходимая при пользовании методом Ньютона про- производная функция qpi(P) будет выражаться через произ- производную уа = dza/da регуляризованного решения za по па- параметру а. Эта последняя находится как решение урав- уравнения, отличающегося от уравнения Эйлера функциона- функционала Ma[z, цб] лишь правой частью. В самом деле, пусть za минимизирует функционал Ma[z, u6]. Тогда za является решением уравнения Эйлера A*Az + aBz = А*щ, B; 4,5) где Bz = Q'[z]—производная функционала Q[z] (по Фреше). Следовательно, A*Aza + aBza А*щ. Дифференцируя это тождество по а, находим, что уа = = dza/da является решением уравнения -Bza, B; 4,6) отличающегося от уравнения Эйлера B; 4,5) лишь пра- правой частью. 4. В ряде работ рассматривалась возможность опреде- определения параметра а из соотношения т(а) = х(б), где х(б) ограничена сверху некоторой константой и /(б)^сб2 (с > 1) и хF)->-0 при 6-+-0. В [127] рассматривалась возможность такого способа определения а (б) для линей- линейных уравнений вида Az — щ (при этом установлена слабая сходимость za(8) кг,), а в [112] дано обоснование такой возможности для уравнений с произвольным не- непрерывным (линейным или нелинейным) или с усилен- усиленно замкнутым оператором А. *) См. Б е р е з и н И. С, Жидков Ы. П. Методы вычислений, т. II, М.: Наука, 1968. 79
Вопросы определения параметра регуляризации : рас- рассматриваются в [28, 54, 57]. Имея в виду потребности вычислительной практики, приведем некоторые оценки пригодных значений параметра регуляризации. Если стабилизирующий функционал Q[z] имеет вид Q[z] = C^zi z)> т0 Для значения параметра регуляриза- регуляризации, определяемого по невязке, справедливы оценки *) JA*AL-1A*\b \А*и6\\-\\А*1Ь' А* 2||Л*ив||-М*|[||ив|Г При некоторых дополнительных предположениях мож- можно пользоваться оценкой I "в II - б' из F в F {т. е. Az = 2п для z V и1 — auz2 + и для 0 < z < zs 2 У~ап z — u для z> z. На рис. 7 приводится график значений оператора А на F, т. е. график функции и = Az. Уравнение /4z = u при и = и имеет, очевидно, единственное решение z = z. § 5. Пример нелинейного уравнения. Обобщенный метод Лагранжа 1. В случае нелинейных уравнений вида B; ОД) не- вяака ф (a) = p^ (Aza, u&), вообще говоря, не является непрерывной функцией а и она может быть не строго мо- монотонной. Поэтому уравнение ср(а) = б2 относительно а может не иметь решения или может иметь множество решений. Приводимый ниже пример (см. [55]) подтверж- подтверждает возможность таких ситуаций. Пусть F есть множество вещественных чисел z с нор- нормой ||z[| == | z\, F есть метрическое пространство с рассто- расстоянием pp{z\, Z2) = \z\ — z2|. Пусть, далее, ao — некото- некоторое фиксированное положительное число, а z и и — фик- фиксированные положительные числа, связанные соотноше- соотношением и = Vaoz. Рассмотрим следующий нелинейный оператор А, оп- определенный на всем пространстве F и действующий *) См. П. Н- Заик и и. Докт. диссертация. ОНЯГ1. 1978 г.; А. С. М е ч е н о в. Канд. диссертация. МГУ, 1976 г. Пусть б — произвольное фиксированное число, удов- удовлетворяющее условиям, 0 < б < [| и\\и= и. Будем считать, что каждому такому числу б соответствует правая часть уравнения «а = и (следовательно, pa(w«, и) =0<б). Приближенные решения уравнения Az = мв будем строить путем минимизации сглаживающего функциона- функционала Ma[z, u6] и последующего определения параметра а. Легко видеть, что (Аг, ий) = п2- для z^O, для 0 < z t ДЛЯ Z > Z. 80 Возьмем в качестве стабилизирующего функционала Q[z] =z2. Тогда Ma[z, ue] = 81 и2 + az2 п2 _+ (« -а.) 25 4 (|/а0 z — u) + az2 для z > z. для z для 0 < z
На рис. 8—10 приводятся графики значений функци- функционала M*[z, Un] для следующих трех случаев: а < ао, а = ао и а > ао. Из приводимых графиков видно, что: а) при а < яо имеется единственный элемент (число) za, мини- минимизирующий функционал Ma[z, и»], равный z; б) при а = ао имеет- имеется бесконечное множество элементов za, минимизи- минимизирующих функционал 2 Ma[z, Мб]: ими являются все числа из отрезка [0, z]; в) при а > ао имеется единственный элемент za = 0, минимизирующий функ- функционал Ma[z, u6]. Таким образом, z, если 0 < а < а0; zu где zx — любое число из [0,z], если а = а0; (О, если а > а0, а невязка ф (а) = р,2,, {Aoza, щ) равна ( 0, если 0 < а < а0, Ф (а) = {-2 - v (u , если а^ а„. Итак, невязка ф(а) является разрывной и не строго Рис. 10. а > а0. монотонной функцией и уравнение относительно а Ф(а) = 62 не имеет решения для всякого б < J и \ц — и. Следователь- Следовательно, для таких б не существует приближенного решения уравнения Az = цв, получаемого с помощью минимизации функционала Ma[z, u6] с определением а по невязке, 2. Если уравнение ф (а) = б2 разрешимо, но для неко- некоторых значений б разрешимо неоднозначно, то для на- нахождения приближенных решений уравнения B; 0,1) с приближенной правой частью и = ц«, уровень погрешно- погрешности которой б известен, можно пользоваться обобщенным методом Лагранжа, состоящим в следующем: 1) находим элемент za, минимизирующий функционал M*[z, u,]; 2) определяем а по невязке, т. е. из соотношения ф(а) = б2, беря при этом любое решение этого уравне- уравнения, например, наименьшее из них. 3. Таким образом, при построении приближенных ре- решений нелинейных уравнений вида Az = и с помощью минимизации сглаживающего функционала Ma[z, й], во- вообще говоря, нельзя определять а по невязке. Однако, если пространства F и U — банаховы, а опе- оператор А — выпуклый, т. е. такой, что для любых z\ и z2 из F выполняется неравенство то, как указывается в [54], в этих случаях параметр a можно определять по невязке, т. е. из соотношения ф(б) = б2. В той же работе [54] для произвольных не- непрерывных операторов А (линейных или нелинейных) обосновывается так называемый альтернативный способ выбора параметра а. § 6. О построении регуляризирующих операторов с помощью минимизации сглаживающего функционала Как мы уже отмечали в § 3, оглаживающий функци- функционал Мл[г, и] можно ввести формально, не связывая его с вариационной задачей на условный экстремум функционала Q[z], и строить регуляризирующий опера- оператор путем решения задачи на минимум функционала Ma[z, и]. При этом а надо брать как соответствующую функцию от б, согласно определению 2 регуляризирую- щего оператора. В настоящем параграфе будет показано, 83
что таким образом можно получить широкий класс регу- ляризирующих операторов. Пусть Q[z] — стабилизирующий функционал, опреде- определенный на множестве F\ с F, всюду плотном на F, и Т в, — класс неубывающих неотрицательных функций, непрерывных на отрезке [О, 6J. Тогда справедлива Теорема 5. Пусть А — непрерывный оператор из F в U и zT — единственное решение уравнения Az — ит. Пусть далее, для произвольного и ^ U и любого а > О существует элемент za e F\, минимизирующий функцио- функционал Ma[z, и] на множестве Fj. Тогда, каковы бы ни были положительное число е>0 в фиксированные функции Pi (б) и (Ь(б) из клас- класса 1'й, такие, что р2 @) = 0 и б2 (б), существует такое бо = бо[е, 0i, р2), что для любых u&U и б ^ бо из условия ри (u, wT) =S б для всех а, удовлетво- удовлетворяющих неравенствам б2 р—E) < а <! Р« (б)> следует неравенство pF(za, zT) < е, где za~Ri(u, а). Доказательство. Поскольку ф5гнкционал Ma[z, и] достигает минимума при z = za, то Ма[7а, и] <.?a[zT, и]. Поэтому aQ [za] < Ma [?a, ы] < Mа [г,, и] = = pi (AzT} и) + aQ [zT] = р& (ит, и) + aQ [zT] < < ба + aQ [zr] = a |-|- + Q [zT] j. Из неравенства р^<а следует, что -? < | fi2 FX) Таким образом, и 0[2т] Следовательно, элементы zT и za принадлежат компактно- компактному на F множеству FH<> элементов z из F\, для которых Q[z] < Яо. Пусть t//r0 есть образ множества Fh0 при отображении u — Az. Поскольку отображение Fu^-^-Uh, непрерывно (так как оператор А — непрерывный), решение уравне- уравнения Az = и единственно для всякого ме[/нл и множест- множество F'я,, компактно на F, то согласно лемме гл. I обратное отображение Uh,,-*- F н0 также непрерывно (в метрике F). Это означает, что для любого числа е > 0 найдется такое число Y(e) > 0, что из неравенства ри(ии и2) < ч(е ии следует неравенство j, z2) если щ = Лгь и2 = Azi. Далее, для и и иа = Aza имеем Ри (иа, и) = Ри (Aza, и) < Ма [ га, и] < < ЛГ [гт, и] = pb {Azt, и) + aQ [zT] = = Ри («т, и) + «Q [zT] < б2 + aQ [zT]. Пользуясь неравенством a < ^2(б), получаем ]}1/г= ф(б), B;6,1) где ф(б) — непрерывная на [0, 6i] монотонно возрастаю- возрастающая функция и ф@) = 0. Очевидно, что Pt/("a, uT) ^pL,(ua, и) +ри(и, щ). B; 6,2) Используя B; 6,1) и неравенство ри(«, ит) < S, получим ри( «а, и») ^б + Ф(б) =i|)F), B; 6,3) где г(э(б) —непрерывная на [0, 6i] монотонно возрастаю- возрастающая функция, для которой \j)@)=0. Полагая бо = == \|з-'(^(е)), где \J3~'(J/) — Функция, обратная функции г/=т|)(б), и используя непрерывность отображения ин„-*- FHo, получаем, что из неравенства ри (и, uz) «S б ^ б0 85
для всех а, удовлетворяющих неравенствам < а < Pi (б), следует неравенство pF(zT, za) < г. Теорема доказана. Замечание 1. Часто на искомое решение zT(x) по смыслу задачи накладываются ограничения типа нера- неравенств <pi(x) < zT(x) < Фг(^), где q>i(#) и фг(#) — задан- заданные функции. Например, решение должно быть неотри- неотрицательным (q>i(#) sa 0). В таких случаях в качестве про- пространства возможных решений F надо брать функции z(x), удовлетворяющие тем же неравенствам. Теоремы 3 и 5 настоящей главы справедливы и в этих случаях и их доказательства остаются прежними. Доказанная выше теорема показывает, что при постро- построении регуляризирующих операторов путем минимизации сглаживающего функционала Мл[г, и] параметр регуля- регуляризации а, как функция погрешности правой части б, определяется неоднозначно. Эту функцию можно опреде- определять не только по невязке, т. е. из условия ри \А%а, не) = = б, как указывалось в § 4, но и другими способами. Некоторые из них рассматриваются в §§ 7 и 8. Выбор того или иного способа определения параметра регуляри- регуляризации определяется характером имеющейся информации об исходных данных. § 7. Квазиоптимальвое значение параметра регуляризации и другие В ряде задач вместо точной правой части ит уравне- уравнения B; 0,1) мы имеем ее приближение и, уровень по- погрешности которого, т. е. ри(и, щ), нам неизвестен. В таких случаях приближения к zT также можно нахо- находить путем минимизации сглаживающего функционала Ma[z, и], но очевидно, при этом не представляется воз- возможным находить параметр регуляризации а по непязко. В таких задачах можно пользоваться квазиоптимальны.м значением а или значением а, определяемым по отно- отношению ДВуХ НОРМ ((Хотя)- В настоящем параграфе дается краткое (рефератив- (реферативное) описание алгоритмов нахождения таких значений а. 86 1. Рассмотрим сначала квазиоптимальные значения, акв.о. Этот способ нахождения а был предложен в [169]. Обоснование его для некоторых классов задач содержится в [112]. Предположим, что пространство F — нормированное. По определению, содержащемуся в [169], квааиоптималь- ным значением параметра а называется такое значение а, которое реализует Idi где sup берется по всем возможным правым частям »<> уравнения B; 0,1), удовлетворяющим неравенству Ри(««, щ) «2 б. Для приближенного нахождения а„„.о требуется нахо- находить регуляризованиые решения za, отвечающие большо- большому числу возможных правых частей щ. В реальных зада- задачах часто мы имеем только одну, конкретную правую часть щ. В этих случаях мы можем найти лишь значе- значение а, реализующее a>0 da Это значение также называют квазиоптпмальным. Если таких значенпй несколько, то в качестве акв.о берут наи- наименьшее нз них. Это ослабленная форма квазиоптималь- пого а. На модельных примерах показана (см. [73, 169, 174]) эффективность этого способа определения параметра а для некоторых классов задач. В [112] дается обоснова- обоснование возможности такого способа выбора параметра регу- регуляризации при решении вырожденных (и плохо обуслов- обусловленных) систем линейных алгебраических уравнений. При этом уточняется определение aHB.o в исходной и ос- ослабленной формах. Приведем основные результаты из [112]. 2. Пусть А — неотрицательно определенная симмет- симметричная матрица размерности пУ^п, а z и и — га-мерные векторы евклидова пространства R". Рассмотрим вырож- вырожденную систему линейных алгебраических уравнений от- относительно z: Az = a, B; 7,1)' 87
где 2, и е= R", ъ— (zi, z2, ..., zn), u= («i, ы2, ..., и„). | 1 ) 1/2 Полагаем И = 2 if Ju( = U=i J _ W=i . Пусть правой части и — и отвечает множество реше- решений FA. Нормальным решением системы B; 7,1) называ- называется такой вектор z0 e FА, что |U0| = inf ||z\\ ). Пусть вместо и мы имеем вектор и е Rn> и пусть \и — «|=6. Требуется найти приближение z к вектору z0 такое, что \\z — zo||-»-O при б->0. В качестве искомо- искомого приближения можно брать решение уравнения [109] Az + az = и, а > 0, B; 7,2) при соответствующем а = а(и), зависящем от и. Уравнение B; 7,2) имеет единственное решение za при всяком векторе «eR* и любом a > 0 [132]. Непо- Непосредственной проверкой убеждаемся, что вектор va = di = a-v— является решением уравнения Av 4- av = Aza — и. Пусть 0 < Xi < %2 < ¦ ¦ ¦ < 'km A <т < п) — нену- ненулевые собственные значения матрицы А, а фь qp2, ••• ..., фт — ортонормированная система соответствующих собственных векторов. Хорошо известно**), что векторы и и и единственным образом можно представить в виде где и (i 2 h—l A. и = 2 B;7,3) 3. Рассмотрим ослабленную форму выбора квазиопти- квазиоптимального значения параметра регуляризации. Пусть i|> (a) = \vaf- В качестве квазиоптимального значения а (в ослабленной форме) берется а = ао(и), являющееся наименьшим из значений а, при котором функция i|)(a) имеет локальный минимум. Отметим, что таким значением может быть и а = 0. *) См ты;.ке гл. III. **) См., например, Колмогорова А. Ы., Ф о м и н С. В. Эле- Элементы теории функций и фуЕШционального анализа.— М.: Наука, 1976. 88 Справедливы следующие свойства функции \|з(сс): 1) ф(а) и ее производная \|/(сс) непрерывны при а>0; 2) если ц = 0, то Иш ф (а) = 0; следовательно, можно полагать, что \|з@) = 0; 3) если и. ф 0, то Нт \|з (а) — + °°- а->+0 Мы не будем останавливаться на их доказательстве. С помощью этих свойств доказывается Теорема 6. Для любой правой части и м 0 ^ 8 < б0, где бо — некоторое положительное число, существует единственное сею, 0 = ссо(«). Отметим, что в случае и. = 0 а,о(и) = 0. Справедливы также следующие теоремы. Теорема 7. Пусть последовательность векторов {ип} сходится к вектору и при гс->оо и для каждого п соот- соответствующий вектор u.n в представлении ип в виде B; 7,3) ф 0 Тд пи и>оо z (u) -*¦ оо zao (un) втущ р не равен нулю, т. е. и„ ф 0. Тогда при и —>-zo, гйе ао(ц„)—квазиоптимальное значение а, отвеча- отвечающее правой части ип. Теорема 8. Пусть последовательность векторов {ип} сходится к вектору и при п-+оо и для всякого п соответствующий вектор ц,, в представлении ип в виде B; 7,3) равен нулю, т. е. и„ = 0, и поэтому акв.о = = ао(«„) == 0. Если в качестве приближенного решения системы B; 7,1) с правой частью и = ип брать вектор z° (и„) = = lira za,, (ип), то последовательность {z°(un)} сходится к 2о при п —*¦ оо и гЗе с — константа, не зависящая от б„ и бп = Цм„ — и|. 4. В [112] рассматривается также «глобальная» фор- форма выбора квазиоптимального значения а, состоящая в следующем. Пусть б — заданное число. Рассмотрим сле- следующую задачу на условный экстремум: найти вектор useR" такой, что при фиксированных а и б (а > 0, б > 0) = sup 89
Если |«1>б, то она эквивалентна такой задаче: найти вектор и™ s Rn такой, что при фиксированных а и б (а > 0, б > 0) W№I* = sup KMf. Устанавливается, что при условии [ и || > б для всех а > 0 определена функция Y6 (а) = max | va (u6) f = max f va (u6) jj2. |u6-u[j<6 [u6-ull=e Под квазиоптимальным в «глобальной» форме значением ссо(б) параметра регуляризации а понимается наимень- наименьшее из чисел а > 0, реализующих локальные минимумы функции V«(a). Справедливы следующие теоремы, на доказательстве которых мы не будем останавливаться (см. [112]). Теорема 9. Если бо — достаточно малое число, то для любого б, 0 < б < б0, существует единственное ао(б) и где Вх и В^ — константы, не зависящие от а и б. Теорема 10. Регуляризованное решение гао(б) урав- уравнения B; 7,2), отвечающее параметру а = ао(б), схо- сходится к z0 при б-»-0. Если матрица А не является неотрицательно опреде- определенной и симметричной, то вместо уравнения Az = и па- до рассматривать уравнение A*Az — A*u, а вместо урав- уравнения B; 7,2) — брать уравнение A*Az -\- az = А*и, являющееся уравнением Эйлера для функционала Ma[z, и), и применять теоремы 6—10 к этому уравне- уравнению. При этом Va. является решением уравнения A*Av-\-av = A*(Aza — и). Эти теоремы позволяют утверждать, что оператор /?г(и, ее) нахождения вектора za, минимизирующего функционал Ma[z, и], с определением а как квазиопти- квазиоптимального значения (в ослабленной или в «глобальной» формах), является регулярпзующим. 90 5. Рассмотрим другой способ определения а = а(м) — по отношению норм ||уа|1 и ||zj|*). Этот способ был пред- предложен в [73] и с успехом применялся при решении не- некоторых классов задач. В работе [112] дается обоснова- обоснование его для систем линейных алгебраических уравнений. При этом в качестве а(и) берется наименьшее из значе- значений а > О, при которых достигается локальный минимум функции |(а): &(«) \Ava-(Aza-~u)f _ Это значение а(и) будем обозначать через <x,q(uJ, Справедливы следующие свойства функции |(сс): 1) |(а) и ее производная |'(а) непрерывны прп а>0. 2) Если ц =5^ 0, то Urn l (а) = lim ? (а) = 1. 3) Если ц = 0, то lim | (а) = 0. Следовательно, можно поло5кить |@) = 0. ТеоремаН, Для всякого вектора а существует един- единственное ссо(ы). Справедливы также теоремы, аналогичные теоремам 7 и 8. Мы не будем останавливаться на доказательстве этих теорем и свойств функции |(а). Подобно «глобальному» выбору квазиоптимального а можно сформулировать определение «глобального» вы- выбора а на основе функции ?(а). Для этого вместо функ- функции ?(а) надо рассматривать функцию Фв (а) = SU_P |]и6-и[]<в lA*A:a(u6)-A*(Aia(u6)-u6)f Пусть ао(б) —соответствующее а. Его свойства анало- аналогичны свойствам «глобального» квазиоптимального осо(б). Приведенные результаты позволяют утверждать, что оператор /?г(«, а) нахождения вектора za, минимизирую- минимизирующего функционал Ma[z, и], с определением а с помощью функции |(а) или Фб(а), является регуляризирующим. *) Матрица А, как и в п. 2, предполагается симметричной я поо грицатедьно определенной. 91
Следует отметить, что описанные здесь способы не требуют знания числа б для определения значений ао(и), осо(б) и <Хо(и), <ХоF) параметра регуляризации. § 8. Еще об одном классе задач, приводящих к минимизации сглаживающего функционала. Связь регуляризованных решений с квазирешением 1. Пусть А — непрерывный оператор, действующий из F в U, обратный к которому А~[ не является непрерыв- непрерывным, и zT) ит — элементы из F и U, связанные соотноше- соотношением AzT = ит. Пусть вместо элемента щ задано некото- некоторое его приближение и е U, на котором обратный опера- оператор Л может быть и не определенным. Пусть, далее, Q[z] —неотрицательный непрерывный функционал, опре- определенный на множестве F\, всюду плотном иа F. Рассмот- Рассмотрим следующую задачу: ч среди элементов множества Fu удовлетворяющих ус- условию Q[z] *S й2, где ft— известное число, найти элемент zR, на котором достигается inf рц (Az, и). Z6F, К таким задачам приводится широкий класс задач синтеза систем (конструкций). В самом деле, пусть z— совокупность компонент (элементов) системы и Az = и — интересующие нас характеристики на «выходе* системы. Обычно требуется создать систему с заданными характе- характеристиками на «выходе», т. е. с заданным и. Полагаем, что z и и являются элементами метрических пространств F и U с расстояниями pF (•, •) и pv (•, •) • При заранее заданном и = и может не существовать элементов z из F, для которых Az — и. Поэтому естест- естественно задачу синтеза системы с заданными характеристи- характеристиками и на ее «выходе» ставить так: найти элементы (или элемент) z^F, на которых функционал pv(Az, и) достигает своей точной нижней грани на F. Однако решение такой задачи может достигаться на элементах z (т. е. совокупностях компонент системы), не реализуемых или трудно реализуемых на практике. По- Поэтому обычно ставят дополнительные условия — ограни- ограничения на сложность совокупности компонент z. Во многих 92 случаях мерой сложности элементов z могут служить значения неотрицательного функционала Q[z], определен- определенного на множестве F\<=-F, и упомянутые дополнительные условия можно записать в виде неравенства Q[z] =^ ft2, где R — известное число. Множество FiR э {z: Qfz] < R2} есть множество допустимых элементов z, т. е. совокупно- совокупностей компонент системы. Таким образом, задачу синтеза системы можно поставить так: среди элементов zef|iK найти элемент z, минимизи- минимизирующий функционал рц(Аг, и) на множестве FiR, т. е. такой, что ри (Az, и) — inf py (Az, и). zeFl,R Задачами такого рода являются некоторые эадачи синтеза антенн с приближенно заданной диаграммой на- направленности и, элементы которых z должны удовлетво- удовлетворять требованиям, выражаемым неравенством (см. гл. VIII) Q[z] <Я2. Пусть F и U — полные нормированные пространства и Q[z] — неотрицательный функционал, определенный на множестве F\ с F, всюду плотном на F, и обладающий свойствами: а) он строго выпуклый; б) Q[0] =0; в) для всякого фиксированного z =ф 0 из множества ^i ф(Р) = Q[^z] есть строго возрастающая функция пе- переменной ? такая, что lim ф (Р) = оо; г) для всякого R > 0 множество FliR = {z; z^ Fu Q[z] <R2} есть компакт на F. Тогда элемент zB, на котором достигается точная ниж- нижняя грань функционала pu(Az, и) на множестве FltR при- принадлежит FllR и удовлетворяет условию Q[zR] = R2 (см. [66]). Поэтому исходная задача в этих условиях сводится к классической задаче на условный экстремум функционала pu(Az, и) при условии Q[z] = R2. Ее мож- можно решать методом неопределенных множителей Лагран- жа, т. е. находить элемент za, минимизирующий сглажи- сглаживающий функционал Ma[z, и], а параметр а определять из условия Q[za] = ft2. 93
Так как функция со (a) =Q[za], как показано в § 4, невозрастающая (а если А—линейный оператор и Q[z] имеет не равную нулю производную Фреше, то строго убывающая), уравнение ш(а)=й2 разрешимо (следо- (следовательно, метод Лагранжа реализуем). В вычислительной практике значение а можно при- приближенно находить как подбором из заданной совокуп- совокупности значений аи ач, ..., а„ (как описано в § 4 п. 3), так и методом касательных Ньютона, так как в [123, 124] установлено, что функция coi(^) =шA/р) является выпуклой вниз и потому метод Ньютона сходится при любом начальном приближении $о > 0. Необходимая при этом производная уа = dza/da является решением урав- уравнения B; 4, 6), Мы рассмотрели возможность построения приближен- приближенных регуляризованных решений путем минимизации сглаживающего функционала Ma[z, u]c последующим оп- определением параметра а тем пли иным способом (соот- (соответственно имеющейся исходной информации) для уравне- уравнений Аъ = и, в которых оператор А — непрерывный. В ряде работ аналогичные вопросы рассматривались для уравне- уравнений, в которых оператор А является замкнутым или за- замыкаемым (см. [116]). 2. Ранее были определены понятия квазирешений и регуляризованных решений уравнения Аъ = и. Здесь мы укажем связь между этими понятиями, установленную в [81]. Пусть Az = u, B; 8,1) z e F, u&U, где F и U — банаховы пространства, А — ли- линейный оператор из F в U с всюду плотной в U областью значений R(A) такой, что обратный ему оператор А~1 су- существует, но не является непрерывным. Пусть Q[z] —непрерывный неотрицательный выпук- выпуклый функционал, определенный на всюду плотном на F линейном многообразии F\ и удовлетворяющий условиям (см. [811): а) Q[0] =0; б) для всякого фиксированного элемента z из F\, гфО, <p({i) = Q[$z] есть строго возрастающая функция переменной р такая, что lira ф (р4) = -f оо; в) для d> 0 множество F\ == {z, z e Fu Q [z] ^ d) есть компакт на F. 94 Очевидно, что Q[z] является стабилизирующим функ- функционалом для уравнения B; 8,1) и Л- U П <Г>0 Пусть zd — квазирешение уравнения B; 8,1) на ком- компакте Fxd, т. е. zd есть элемент, минимизирующий функ- функционал jAz — uf на компакте Fld. В работе [86] пока- показано, что Q[zd] = d. Следовательно, при заданном d >¦ 0 задача нахождения квазирешения zd на компакте F^ сводится к минимизации функционала при условии Q[z] = d, т. е. к задаче на безусловный минимум функционала Ма [z, и] = ри (Azt и) + аи [z] на множестве F\. Если число d известно, то параметр а определяется из условия Q[za] = d (ср. с п. 1 настоя- настоящего параграфа). Пусть элемент za минимизирует функционал Ma[z, и]. Согласно § 3 элемент za есть регуляризованное решение уравнения B; 8,1) на множестве F\. Таким образом, ква- знрешение уравнения B; 8,1) на компакте Fa есть ре- регуляризованное решение этого уравнения. При подста- подстановке элемента za в уравнение B; 8,1) получаем невяз- невязку pu(Aza, и) = 6а. Три числовых параметра: d, а и ба связаны двумя соотношениями: Q[za] = d, Pu (Aza, и) = в.. B; 8,2) Задавая один из них, мы найдем два других параметра пз соотношений B; 8,2). В методе регуляризации задан- заданным обычно является параметр ба — величина погрешно- погрешности правой части уравнения B; 8,1). Так как при d\ < d2, Fj, с Fdt, то регуляризованное решение уравнения B; 8,1) на множестве Fi,« = Fi (I Qt (см. § 2 гл. II) принадлежит множеству Fx •= U F\. Таким образом, семейство регуляризованных прибли- приближенных решений уравнения B; 8,1) состоит из квазире- квазирешений на семействе расширяющихся компактов F\. 95
3. Регуляризованное решение уравнения Az = и мож- можно также строить в виде ряда. Пусть F и U — гильберто- гильбертовы пространства и Л — вполне непрерывный линейный оператор из F в U. Пусть F\ — гильбертово подпростран- подпространство пространства F с такой мажорантной нормой ||z||i, что для любого d > О множество элементов г из Fit для которых ||z||i^d, компактно в F. Тогда в качестве ста- стабилизатора можно брать функционал Q [z] = \z flx = (Lz, z), где L — линейный оператор. В этом случае уравнение Эйлера для сглаживающего функционала Ma[z, и] имеет вид A*Az + aLz = A*u. B; 8,3) А*А — самосопряженный оператор. Пусть {ф„}—полная система его собственных элементов, а {>.„) — отвечающие им собственные значения. Как известно, А*и можно представить в виде ряда оо А*и = 2 Спфп- 71=1 Если решение уравнения искать в виде ряда то для коэффициентов его получаем формулы Ъ - п «*„' где gn — коэффициенты разложения Lz в ряд по элемен- элементам ф„. Параметр а определяется по невязке (ср. с теоре- теоремой 4 на стр. 76). Вариационные методы решения некорректно постав- поставленных задач рассматриваются также в [24]. Оценки погрешностей приближенных решений приводятся в [27, 29]. 4. Задачу решения уравнения Az = и можно рассмат- рассматривать как задачу вычисления оператора z = A~xu. По- Построение регуляризованных приближенных решений уравнения Az = и можно трактовать как задачу нахож- нахождения семейства непрерывных операторов R(u, а),опре- а),определенных на всех элементах и е U и аппроксимирующих значение оператора А~1 на элементах uT^AF. Пользуясь 96 такой трактовкой задачи решения уравнения Az = и, можно решить вопрос об условиях его регуляризуемости. В [26] показано, что для регуляризуемости уравнения Az = и необходимо и достаточно, чтобы оператор А~1 принадлежал первому бэровскому классу. Этот результат аналогичен известной теореме математического анализа о представлении функций первого бэровского класса в виде пределов последовательностей непрерывных функций. 5. Мы описали один из способов построения регулярн- зирующих операторов, основанный на вариационном принципе. Будем называть его в дальнейшем вариацион- вариационным способом построения регуляризирующих операторов (Р. О.). Можно указать и другие способы построения регу- лярпзирующих операторов. Один из способов, основан- основанный на использовании спектра оператора А, содержится, например, в работах [17, 19, 20] (см. также работы [111, 191, 192]). Для операторов А типа свертки в гл. V дается способ построения Р. О. с помощью использования интегральных преобразований Фурье, Лапласа, Меллипа и др. В [5—7] и [158] также рассматриваются Р. О. для уравнений типа свертки. В следующем параграфе рассматривается возможность построения регуляризиру- регуляризирующих операторов методом итераций. § 9. Метод итераций нахождения приближенных решений уравнений вида Az = и 1. Приближенные решения уравнения Az — и, устой- устойчивые к малым изменениям исходных данных, можно также строить методом итераций (см. [18, 98, 99, 106, 120, 125, 160, 162]) вида zn = R(u, zn-u ..., zn_J, k<n. Чтобы онн были устойчивыми к малым изменениям исходных данных, номер итерации zn, которая принима- принимается за приближенное решение, надо брать согласован- согласованным с уровнем погрешности исходных данных. Так, если оператор А задан нам точно, а правая часть и известна с погрешностью б, то надо брать п зависящим от б, п — = п(б). Здесь параметром регуляризации является по- помер итерации, т. е. а = п. 4 А-Н.^Тихонов, В. Я. Арссшш 97
Иногда можно получить априорную оценку уклонения г„ от zT (см. [106, 125]): p,(zn, zT) <B{6, n) и, минимизируя В (б, п), найти и (б). В ряде случаев п(б) находится по невязке. Ниже приводится краткое (реферативное) описание некоторых итерационных алго- алгоритмов. Пусть в уравнении Az = u B; 9,1) А есть линейный, самосопряженный, положительно опре- определенный и вполне непрерывный оператор. В [189] предложен следующий итерационный алгоритм: zn+i = Zn + l.[u—Azn], n = 0,1,2,... B; 9,2). Если правая часть и известна точно, то справедлива Теорема 12. Пусть оператор А действует из гиль- гильбертова пространства Н в Н \т, е. z, не И). Тогда после- последовательность {zn} сходится к решению уравнения B; 9,1) при любом z0 е Н и произвольном X, 0 < X < 2"h\, где Х\ — наибольшее собственное значение оператора А. Если правая часть в уравнении B; 9,1) задана с по- погрешностью б, т. е. вместо иг имеем ив, || «б — «т |] ^ б и zn+1 = zn + X[u6 — Azn], n = 0, 1, 2j ..., то справедлива оценка [189] n-i где с (п) — \ У] \\Е — KA\\ t a E — единичный оператор. Используя теорему 12 и выбирая п = п(б) так, чтобы с (и (б)) б стремилось к нулю при б-»-0, получим сходи- сходимость z* к zT [189]. Если оператор А не является самосопряженным, то вместо уравнения B; 9,1) надо рассматривать эквива- эквивалентное уравнение A*Az = A*u. 2. В [99] рассмотрен следующий итерационный алго- алгоритм для построения приближенных решений уравнения B; 9,1) при тех же предположениях об операторе А (см. п. 1): Azn+l + Bzn+i = Bzn + u B; 9,3) или, в эквивалентной форме, = 0,1, 2, где С =\А -f- B)~]B, а В — линейный ограниченный са- самосопряженный положительно определенный оператор, действующий из // в Н. Справедлива Теорема 13. Если Az? — и? и в уравнении B; 9,1) и = иГу то последовательность {zn}, получаемая по пра- правилу B; 9,3), сходится к zT. Если вместо ит мы имеем ив иЦиа—ит|^б, то для элементов zn, получаемых по правилу B; 9,3), справед- справедлива оценка [99] где mB = inf (z, Bz) > 0, а М0(п)-*-0 при п-*-оо. Вы- бирая п = гс (б) так, чтобы бгс(б) -»-0 при б-»-0, получим "«(б)" ¦zT. Если в уравнении B; 9,1) оператор А задан также с погрешностью, т. е. вместо А = Ао имеем А = Ло + АА и || АА|s^ Л/б, ||щ — ит|^8, то в предположении, что {А +5)~ХАЛ || < 1 и JueK^ справедлива оценка [99] где Т — число, не зависящее от п и б. Выбирая п = га (б) так, чтобы б.*г(б) -*-0 при п-*- со, получим г'6) -*~ zT. § 10. О построении приближенных решений уравнения Az = и в случаях, когда приближенно заданы правая часть и оператор А Мы рассмотрели методы построения приближенных решений уравнений вида Az = ц, устойчивых к малым изменениям исходной информации, когда неточно задан- заданной была лишь правая часть уравнения, а оператор А предполагался известным точно. В, настоящем парагра- параграфе мы рассмотрим задачу построения приближенных решений уравнений Az = и в случаях, когда приближен- приближенными могут быть как правая часть, так и оператор А. Такая задача рассматривалась в [52]. 4* 99
1. Пусть zT единственное решение уравнения AQz = = ит, где zT ^ F, ц,е[/ и оператор Ао осуществляет не- непрерывное отображение из F в U. Пусть вместо точных исходных данных {Aq, uT) мы имеем приближенные ис- исходные данные {Ah, h; u{, 6} характеризуемые положи- положительными числами h п б следующим образом. Число б характеризует погрешность правой части ив неравенством pv(u6, иг)<б. Число h может характери- характеризовать погрешность Ah по-разному. Первый способ. Если Ао и At, — линейные опе- операторы на F и F — нормированное пространство, то мож- можно полагать, что II Ah — А \\и = pup pi/ (Ahz, Aaz) < h. Второй способ. Пусть Q[z] — фиксированный неотрицательный фупкциоиал, определенный на мно- множестве Fi cz F. Тогда можно полагать, что и (V- V) ^ и \Ah-Aafc = IQ N т. е. (Ahz, AQz) [z] на элементах z&Fi, для которых Q[z] =^= 0. Для опре- определенности мы будем в дальнейшем пользоваться этой последней оценкой Ah. Отметим еще раз, что вместо точных исходных данных (Ао, ит) нам даны не только их приближения Ah и ш, но также и пара чисел у = = (h, б) характеризующих погрешности этих прибли- приближений. При наличии такой информации об уравнении Aqz — = ит можно говорить .лишь о нахождении приближений z^ к zT, притом таких, что zT стремится к zT при 8 и /i, независимо стремящихся к нулю. Мы будем выражать это также словами: найти приближенные к zT решения z-i уравнения AhZ = ue, сходящиеся к zT при б-»-0 и h -+ 0. Итак, задача состоит в нахождении приближенных к zT решений zT уравнения Ahz = us, если известно, что ри("в)"т)^б, \Ah — вестны также числа б и h. 100 и из- из2. В качестве таких приближенных решений можно брать регуляризованные решения, получаемые с по- помощью регуляризирующих операторов. Дадим определе- определение Р. О. для рассматриваемых задач. Пусть 91 — некоторое семейство операторов А дейст- действующих из F в U, содержащее оператор Ао. Определение. Оператор R(u, А, а), зависящий от параметра а, со значениями из F, называется регуля- ризирующим оператором для уравнения Az = и (отно- (относительно элемента щ и оператора ^о), если он обладает свойствами: 1) существует такая пара положительных чисел (hi, 6i), что оператор R(ut, Ah, а) определен для всяко- всякого а > 0 и любых щ s U и Ah e §1 таких, что ("в, ит) Ah — Ао h 2) существует такая функция от f = (h, б), a=a( что для любого е>0 найдется пара чисел ч(г) — (h(e), б(е)) такая, что если Ut&U, Ah&% < б < б(е), то pp(za, za = R(ut, Ah, а( где В этом определении не предполагается однозначность оператора R(u, А, а). Отметим, что функция а(^) за- зависит также от Ut и Ah. Если вместо щ и Ао нам известны их приближения щ и Ah, а также числа б и Л, характеризующие степень близости к» к и, и it к Ло, то в качестве приближенных решений уравнения Ahz = ив можно брать значения ре- гуляризирующего оператора, т. е. za = R(uc, Ah, cc( в котором параметр а = а(^, "в, Ah) согласован с пог- погрешностью ч исходных данных (ue, Ah). Получаемые таким образом приближенные решения, очевидно, устой- устойчивы к малым изменениям исходных данных. 3. Доказательство существования регуляризирующих операторов, получаемых вариационным способом путем минимизации стабилизирующих функционалов Q[z], про- проводится совершенно аналогично рассмотренному ранее случаю, когда оператор А известен точно. При этом удобно воспользоваться определением Р. О., аналогичным 101
определению 1 на стр. 54. Мы пе будем здесь приво- приводить доказательства теоремы, аналогичной 2 почти до- дословно совпадающего с рассуждениями, изложенными на стр. 62—64. 4. Регуляризирующие операторы для рассматривае- рассматриваемого здесь случая, как и в § 3, можно строить с по- помощью минимизации сглаживающего функционала вида М« [z, иь, Ah] (Ahz, нв) [z)t где Q[z]—стабилизирующий функционал, определенный на множестве F\, всюду плотном на метрическом прост- пространстве F, иь — элемент метрического пространства U, ри (щ, и,) =sc б, а Ah е Я и || Ah — Ао || Q < h. Для функционала Ma[z, щ, Ah] справедливы теоремы, аналогичные теоремам 3 из § 3 и 5 из § 6. Теорема 14. Пусть Ah — непрерывный оператор из линейного метрического пространства F в метрическое пространство U и Q[z] —стабилизирующий функционал, порождающий гильбертово пространство F\ с мажорант- мажорантной метрикой. Тогда для всякого элемента u^U и любого а > О существует элемент zo e Fu на котором функционал М" [z, и, Ah) = р^ (AhZi и) + aQ [z] достигает своей точной нижней грани на множестве F\. Доказательство этой теоремы проводится совершенно аналогично доказательству теоремы 3, поэтому мы не будем приводить его. Так же, как в случае теоремы 3, показывается, что если оператор Ак — линейный, F — гильбертово пространство, а Q[z]—строго выпуклый (например, квадратический) функционал, то элемент za — единственный. Элемент za можно рассматривать как результат дей- действия оператора i?2(«o, Ah, a), определенного для всех а > 0 и любых щ^и и Ahe91. Из приводимой ниже теоремы 15 непосредственно следует, что оператор /?г(мо, Ак, а) является регуляризирующим для уравнения Az = и, однако этот оператор определяется неоднознач- неоднозначно, так как зависит от выбора функции a = а (о). 5. Пусть Q[z]—стабилизирующий функционал, 91 — семейство операторов Ah, зависящих от параметра h, 0<hh Обозначим через fOl класс неотрицательных, неубы- неубывающих и непрерывных па отрезке [0, Oi] функций Р(о). Справедлива следующая Теорема 15. Пусть zT — решение уравнения Aoz— = иг, Ао и Ah e SI — непрерывные операторы из метри- метрического пространства F в метрическое пространство U и Q[z] —стабилизирующий функционал с областью опре- определения F\ с: F. Пусть, далее, для любого а >¦ 0 и про- произвольных Ut^U и Лле91 таких, что рц(мв, ит) < б < 6i, \Ah — A0\\Q^.h^.h1, где Ь\ и h\ — заданные числа, су- существует элемент za = i?2("e, Ah, a), zae=Fb минимизи- минимизирующий функционал Ma[z, u&, Ah] = p'^(Ahz, u&) +ай [z] на множестве F\. Тогда, каковы бы ни были функции Pi (о) и Рг(о) из класса Tai такие, что o2/pi(o) < р2(о) и fJ2@)=0, для всякой положительной на @, Oi) функции а (о), удо- удовлетворяющей условиям элементы га(л> = Д2(ив, А,„ а (А)), где А = hR + б, схо- сходятся к гт при f^ (h, б)-»-0, r. e. lim pF (га'л\ zT) = 0. v->o Здесь R — произвольное фиксированное число, такое, что Q[zT]<R2. Доказательство. Пусть элемент za минимизирует функционал Ma[z, щ, At,]. Тогда для всякого a > 0 Ma[za, щ, Ah] <Ma[zr, и,, Ah]. Поэтому аи [za] < Ma [za, u6, Ah] < Ma [zT, u6, Ah] = = р^ (AhzT, ме) + «Q [zT] < < {ри (AhzT, Aozr) + ри (AozT, ит) + ри (ит, и6)}2 -f- aQ [zT] Поскольку pu(AhzT, AozT)<h{Q[zT]}U2 и ри{щ, ит)<8, то Следовательно, где 102 юз
Пользуясь условием A2<a(A)j5i(A), получим Q[«e(A)]<p,(A)+Q[zT]<p1(oi)+Q[zI]. B; 10,1) Неравенство B; 10,1) справедливо для любой положи- положительной на @, oi] функции а-—а(Д), удовлетворяющей для всех Де[0, oi] условию A2 ^ Pi(A)a(A). В даль- дальнейших рассуждениях а = а(Л) будем считать фикси- фиксированной функцией такого типа. Пусть [ибп] — последовательность элементов ицп es е U, а {^4дА} — последовательность операторов, осущест- осуществляющих непрерывное отображение F на U таких, что последовательности чисел pv («е„, иЛ = бп, | Ahh — — Aola — hh сходятся к нулю при п, к->-оо. Этим по- последовательностям отвечает последовательность элемен- элементов z"*-". an,ft = a (An.k), An>fc = hhR + б„, принадлежа- принадлежащих компактному на F множеству Q= {z; Q[z] ^p,(o,)+Q[2l]}. Следовательно, из последовательности {za™^) можно вы- выделить сходящуюся к элементу множества F подпоследо- подпоследовательность {z "г**"}. Пусть lim = z. Введем обозначения: п, и к, имеем PU (Aazr,s, "т) < < Ри {Ahhzr>s, u6n) =2^ а„г,^= ar-s. Для всяких «r-s [zT, ич, .,, Aozr,s) {Q [zri + hht {Q [z. ,, [гт] + A», {Q [z,. ozT! "т) f PL' (" ^, мт) 104 -f + hk , б„Г. Используя условие с»г>8^Р2 (АП/.,лв) и оценку B; 10,1) еной za(A ,Zr,sl ИТ) с заменой za(A) на zr, „ получим Ото неравенство выполняется для всякой пары чисел пг, к,. Переходя в нем к пределу при гсг->оо и &,-»-<», получим pu(^4oz, wT) = 0. Следовательно, Auz,— щ. Из условия единственности решения уравнения Auz = = щ следует, что z = zT. И так для всякой сходящейся ( подпоследовательности последовательности (z an-h} Следо- Следовательно, последовательность {z a">h) , сходится к решению zT уравнения Ло2 = мт. А тем самым и za(A> сходится к zT при ^ == (б, А)->-0. Теорема доказана. 6. Из этой теоремы следует, что существует беско- бесконечное множество регуляризирующих операторов для уравнения Az = и. Множественность их определяется как возможностью выбора различных стабилизирующих функционалов Q[z], так и существованием различных функций a = a("f) от погрешностей исходных данных при любом фиксированном стабилизирующем функцио- функционале Q[z], используемом в сглаживающем функционале Ma[z, щ, Ah]. Допустим, что мы выбрали некоторый фиксированный стабилизатор Q [z] и, находя элементы zaefi, миними- минимизирующие сглаживающий функционал, строим прибли- приближенные (к zT) решения уравнения Ahz = иь. Как при этом можно выбирать параметр а? Применим ли в таких задачах широко используемый и удобный для реализации на ЭВМ (в форме, описанной в § 4) способ выбора параметра а по невязке, т. е. из соотношения ри (Ahza, мв) = б? Ответы на эти вопросы даны в [51, 52] и прежде, чем их излагать, приведем следующие рассмотрения. 105
7. Предположим, что при любом h > 0 оператор Ah е е §1 осуществляет непрерывное отображепис F на С/ и замыкание образа F совпадает с U, т. е. Af == U. Пусть AqZt = ит, Q[z]—квазимонотоппый стабилизи- стабилизирующий функционал, определенный на F\ (F\<=F) n zq— единственный элемент из F\, на котором достига- достигается inf Q [z]. z?F, Так как по условию задачи pv(uT, щ) < б, то естест- естественно искать приближенпые решения среди элементов 2, удовлетворяющих условию pu(Aoz, ио)<6. Но вместо оператора Ао мы имеем оператор А, для которого, оче- очевидно, справедливы неравенства z, щ) < pu(Akz, Aoz)-\- ри (Aoz, ив), pu(Ahz, Aoz) <ft{Q[z]}1/2. Следовательно, для возможных решений выполняется неравенство pa(Akz, ms)<6 + u{Q[z]}. B; 10,2) Имея это в виду и следуя идее метода отбора воз- возможных приближенных решений, изложенной в § 2, за- задачу нахождения приближенного решения уравнения Ahz-— щ можно поставить так: среди элементов z множества Fuy = {z; is^i pb (Ahz, ие)<(б -f h {Q найти элемент Zy, у ^з (h, б), реализующий точную ниж- нижнюю грань функционала Q[z] на множестве Flty. Подобно тому, как это было сделано в § 3, нетрудно доказать, что справедлива следующая Лемма. Точная нижняя грань квазимонотонного функционала Q[z] на множестве pb (Ahz, h{Q достигается на элементе zy из F\, для которого выполня- выполняется равенство Доказательство. В самом деле, допустим, что inf Q[z) достигается на элементе zoeFi, для которого 106 В силу непрерывности оператора Ак (из F в U) для вся- всякого числа 6i такого, что 6o<6i<Ao, существует ок- окрестность элемента z0, 0\{z, z0), для всех элементов z которой выполняется неравенство pu(Ahz; Me)<6i. Так как функционал Q[z] непрерывен, то существует окрест- окрестность элемента z0, O2(z, z0), для всех элементов z кото- которой выполняется неравенство $1 < б2 + h2Q [z]. Следова- Следовательно, для всех элементов z, принадлежащих пересече- пересечению окрестностей #i(z, z0) и Oz(z, z0), выполняется не- неравенство pb {Ahzt щ) < б2 + h'Q [a]. B; 10,3) Поскольку функционал Q[z]—квазимонотонный, то в любой окрестности элемента Zo, Оз(г, го), принадлежа- принадлежащей пересечению 0\{z, z0) {\Oz{z, z0), существует элемент гь для которого выполняется неравенство Q[z]]-<Q[z0]. Так как для элемента z\ выполняется неравенство B; 10,3), то это означает, что на элементе z0 не дости- достигается inf Q[z]. Это противоречит предпосылке. Лем- ма доказана. 8. Согласно этой лемме задача минимизации квази- квазимонотонного функционала Q[z] на множестве Fity сво- сводится к задаче минимизации Q[z] при условии и решается методом неопределенных множителей Лагран- жа, описанным в § 3, путем минимизации на F\ соответ- соответствующего сглаживающего функционала Ма [z, щ, Ah] = ри {Ahz1 щ) + aQ [z] с определением а по «невязке», т. е. из условия pb {Ahzl и6) = (б + h{U [z?]}V«)«, B;10,4) где z™ — элемент из Fi, минимизирующий функционал Ma[z, ut,, Ak]. Введем следующие функции, определенные для всех a >¦ 0 при любой фиксированной паре 1 неотрицатель- неотрицательных чисел б и h, i(>= (h, б): cpv (a) = ри (AhZy, ив), cov(a)=Q[z?], Шу (а) = Ma[zy, мв, Ah] = cpY (a) + afflv (a)- 107
Тогда условие B; 10,4) запишется в виде Д,(а) зз cpv(a) — (б + hyio^a) J — 0. Функции cpv(«) и ?Пу(а) при всяком фиксированном "f монотонно не убывают, а сот(а) монотонно не возрастает (см. § 4). В.первые способ нахождения приближенных (к zT) решений уравнений вида Ahz = ue путем минимизации сглаживающего функционала Ma[z, щ, Ah] с определени- определением а из уравнения B; 10,4) был предложен и обоспован в [51, 52]. Функция Д-у(а) была названа обобщенной невязкой. Если AhF ф U, то вместо Ai(a) надо брать обобщенную невязку впда где = inf p2 (Ahz, u6), F и определять а из уравнения Av(a) зэ cpv(a) — (б + hy'ay(a)J—Hy = 0. В случаях, когда операторы ЛА @ < h < /ti) линейны, непрерывны и осуществляют взаимно однозначное отоб- отображение F на U, F и [/ — гильбертовы пространства, Q[z]—квадратичный функционал и б2 -f (xv < || щ ||5, в [52] показано, что при фиксированной паре ^-=(А, б) функция Дт(а) непрерывна, строго монотонно возрастает и исчерпывает интервал (— б2, ||мб|и — б2 — цу). Следова- Следовательно, уравнение Av(a) = 0 имеет единственное реше- решение a = а(ч). Элемент z" можно рассматривать как результат дей- действия некоторого оператора Дг(ив, Ah, а). При перечис- перечисленных выше условиях в [51, 52] показано, что оператор Дг(ИA, Ак, а) с определением а из уравнения Д-у(а) = 0 является регуляризирующим для уравнения Az = и и i?2(we, Ah, aD())-»-zt при у->-0. Как отмечается в [52], если nv<62, то для опреде- определения а вместо уравнения Av(a) = 0 можно пользовать- пользоваться уравнением Ду(а) = 0. Если вместо величины и,т из- всстпа ее оценка сверху [4 такая, что 0 < /у - Ну < 108 то уравнение для определения а по обобщенной невязке можно брать в виде Tv (a) — (б -Ь А Ущ (а)J — и* = 0. В [56] указываются рекуррентные формулы приближен- приближенного вычисления Цу. Замечание. Изложенный метод регуляризации при- применим и для решения корректно поставленных задач вида Az = и, например, для решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода. В ряде работ рассматриваются различные вопросы, относящиеся к некорректно поставленным задачам [1, 4, 8 23 61 89, 96, 118, 121, 131, 156, 159, 161, 163, 178, 183, 196, 198, 201-203, 207, 209, 213, 216, 217, 218, 219].
Глава III О РЕШЕНИИ ВЫРОЖДЕННЫХ И ПЛОХО ОБУСЛОВЛЕННЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 1. Известно, с какими трудностями связано решение так называемых плохо обусловленных*) систем линей- линейных алгебраических уравнений: малым изменениям пра- правых частей таких систем могут отвечать большие (выхо- (выходящие за допустимые пределы) изменения решения. Рассмотрим систему уравнений Az~u, C; 0,1) где А — матрица с элементами ац, А = {a,,}, z— иско- искомый вектор с координатами zs, z—{z3}, и — известный вектор о координатами щ, ц>= {ut}, i, / =, 1, 2, ..., п. Система C; 0,1) называется вырожденной, если опреде- определитель системы равен нулю, det/1 = 0. В этом случае матрица А имеет равные нулю собственные значения. У плохо обусловленных систем такого вида матрица А имеет близкие к нулю собственные значения. Если вычисления производятся с конечной точностью, то в ряде случаев не представляется возможным уста- установить, является ли заданная система уравнений вырожг денной или плохо обусловленной. Таким образом, плохо обусловленные и вырожденные системы могут быть не- неразличимыми в рамках заданной точности. Очевидно, такая ситуация имеет место в случаях, когда матрица А имеет достаточно близкие к нулю собственные вначения. В практических задачах часто правая часть и и эле- элементы матрицы А, т. е. коэффициенты системы C; 0,1), известны приближенно. В этих случаях вместо системы C; 0,1) мы имеем дело с некоторой другой системой Az *= и такой, что \А— A J^ h, | и — и\\^. б, где смысл норм обычно определяется характером задачи. Имея *) Следует ваметить, что этот термин не имеет вполне уста- установившегося определения. НО вместо матрицы А матрицу А, мы тем более пе можем высказать определенного суждения о вырожденности или невырожденности системы C; 0,1). В этих случаях о точной системе Az=u, решение которой надо определить, нам известно лишь то, что для матрицы А и правой части и выполняются неравенства IIА — А | ^/г и \и — и || ^ б. Но систем с такими исходны- исходными данными (А, и) бесконечно много, и в рамках извест- известного нам уровня погрешности они неразличимы. Поскольку вместо точной ^истемы C; 0,1) мы имеем приближенную систему Az — и, то речь может идти лишь о нахождении приближенного решения. Но приближенная система Az — и может быть неразрешимой. Возникает вопрос: что надо понимать под приближенным решением систе- системы C; 0,1) в описанной ситуации? Среди «возможных точных систем» могут быть и вы- вырожденные. Если они разрешимы, то имеют бесконечно много решений. О приближенном нахождении какого из них должна идти речь? Таким образом, в большом числе случаев мы должны рассматривать целый класс неразличимых между собой (в рамках заданного уровня погрешности) систем урав- уравнений, среди которых могут быть и вырожденные, и не- неразрешимые. Методы построения приближенных реше- решений систем этого класса должны быть одними и теми же, общими. Эти решения должны быть устойчивыми к малым изменениям исходных данных C; 0,1). В основе построения таких методов лежит идея «от- «отбора», изложенная в гл. II при рассмотрении метода регуляризации. 2. Итак, рассмотрим произвольную систему линейных алгебраических уравнений (короче — СЛАУ) Az = и, C; 0,2) в которой z и и — векторы, z=(z\, z2, ..., zn)sRn, и —' >=(щ, иг, ..., «m)eRm, A — матрица с элементами ац, А = {пц), где / = 1, 2, ..., п; i-= 1, 2, ..., т, и число п не обязано быть равным числу т. Эта система может быть однозначно разрешимой, вы- вырожденной (и иметь бесконечно много решений) и не- неразрешимой. Псевдорешением системы C; 0,2) называют вектор z, минимизирующий невязку \Az — u\ на всем пространст- 111
Be R". Система (З; 0,2) может иметь йе одно псевдоре- шепие. Пусть FA есть совокупность всех ее псевдореше- псевдорешений и г1 — некоторый фиксированный вектор из R", оп- определяемый обычно постановкой задачи. Нормальным относительно вектора z1 решением си- системы C; 0,2) будем называть псевдорешение 2° с ми- минимальной нормой \\z — z1 jj, т. е. такое, что in ]l/2 Здесь ||z[|= j2 A\ • В. дальнейшем для простоты за- 4=i ) пней будем считать z1 = 0 и нормальное относительно вектора z1 = 0 решение называть просто нормальным ре- решением. Нетрудно показать, что для любой системы вида C; 0,2) нормальное решепие существует и единст- единственно. Замечание 1. Нормальное решение z° системы C; 0,2) можно определить также как псевдорешение, минимизирующее заданную положительно определенную квадратичную форму относительно координат вектора z—z1. Все излагаемые ниже результаты остаются при этом справедливыми. Замечание 2. Пусть ранг матрицы А вырожден- вырожденной системы C; 0,1) равен г <. п и z,+1, zr+2, ..., zn— базис линейного пространства NА, состоящего из элемен- элементов z, для которых Az = 0, NА = {z; Az-= 0}. Решение z° системы C; 0,1), удовлетворяющее п — г условиям ортогональности (? - z\ zT).= 0, * = г + 1, г + 2, .,., п, C; 0,3) определяется однозначно и совпадает с нормальным ре- решением. 3. Нетрудно видеть, что задача нахождения нормаль- нормального решения системы C; 0,2) является некорректно поставленной. В самом деле, пусть А — симметричная матрица. Если она невырожденная, то ортогональным преобразованием г = Vz*, и = Vu* ее можно привести к диагональному виду и преобразо- 112 ванная система будет иметь вид Xiz'i = щ, i — 1, 2,.. ., п, где h — собственные значения матрицы А. Если симметричная матрица А — невырожденная и имеет ранг г, то п—г ее собственных значений равны нулю. Пусть h Ф 0 для t = 1, 2, ..., г и А* = 0 для i = r+ I, r+ 2, ..., п. Полагаем, что система C; 0,2) разрешима. Прп этом и'\ = 0 для i = г + 1, ¦ • ¦, п. Пусть «исходные данные» системы (А и и) заданы с погрешностью, т. е. вместо А и и заданы их прибли- приближения А и и: и-и|<б. Прп этом 1/2 1/2 /о. Л /ч C;0,4) Пусть Xj — собственные значения матрицы А. Извест- Известно, что они непрерывно зависят от А в норме C; 0,4|. Следовательно, собственные значения K+i, Я,г+а, .. -, Я» могут быть сколь угодно малыми при достаточно малом h. Если они не равны нулю, то z\ Таким образом, найдутся возмущения системы в пре- пределах любой достаточно малой погрешности А и и, для которых некоторые z* будут принимать любые наперед заданные значения. Это означает, что задача нахожде- нахождения нормального решения системы C; 0,2) является неустойчивой. Ниже дается описание разработанного в [175, 176] метода нахождения нормального решения системы C; 0,2), устойчивого к малым (в норме C; 0,4)) возму- возмущениям правой части и и матрицы А, основанного на методе регуляризации. 113
§ 1. Метод регуляризации нахождения нормального решения 1. Пусть 2° есть нормальное решение системы Аг = п. C; 1,1)' Сначала для простоты будем полагать, что прибли- приближенной может быть лишь правая часть, а оператор (матрица) А — точный. Итак, пусть вместо и мы имеем вектор н, || и -— и | <; б, т. е. вместо системы C; 1,1) имеем систему Az = u7 C; 1,2) Требуется найти приближение ze к нормальному реше- решению системы C; 1,1), т. е. к вектору_2° такое, что 2в->2° при б->0. Отметим, что векторы и и и (один пз них или оба) могут не удовлетворять классическому ус- условию разрешимости. Поскольку система C; 1,1) может быть неразреши- неразрешимой, то inf|| Az — и ||= (.1^0, где inf берется по всем векторам z е R". Естественно искать приближения za в классе Qt век- векторов г, сопоставимых по точности с исходными данны- данными, т. е. такпх, что j Az — м|< ц + б. Но поскольку вместо вектора и мы имеем вектор и, то мы можем найти лишь (г = inf )| Az — v\. Отметим, что из очевидных неравенств следуют оценки ц < ц + б, ^ < ^ 4- 5, приводящие к не- неравенству |ц — ц|<б. Поэтому будем искать прибли- приближение 2в к нормальному решению 2° в классе Qt, векто- векторов *, для которых \\Az — и || < ц + 26. Отметим, что если имеется информация о разрешимости системы C; 1,1), то ц = 0 ив качестве класса Qt, можно брать класс векторов г, для которых |Лг —м||^б. Класс Q6 есть класс формально возможных приближенных решений, 114 Но нельзя в качестве zs брать произвольный вектор из класса Qt,, так как такое «приближение» будет неустой-1 чивым к малым изменениям правой части уравнения C; 1,2). Необходим принцип отбора. Он естественным образом вытекает из постановки задачи. В самом деле согласно определению нормального решения искомое ре- решение 2° должно быть псевдорешением с минимальной нормой. Поэтому в качестве приближения к 2° естествен- естественно брать вектор ze из Qt,, минимизирующий функционал fi [2] = JJ2I2 на множестве Qt,. Таким образом, задача сводится к минимизации функ- функционала fi [z] = [| 21|2 на множестве Qt, векторов z, для которых выполняется условие \\Az — и [<1 ц + 26. 2. Пусть Zt, — вектор из Qt,, на котором функционал |zj|2 достигает минимума на множестве Q6. Его можно рассматривать как результат применения к правой ^части и уравнения C; 1,2) некоторого оператора R\(u, б), зависящего от параметра б. Справедлива Теорема 1. Оператор R\(u, б) обладает следующи- следующими свойствами: ^ 1) он определен для всякого «eRm и любого б > 0; 2) при 6->0 Zt = R\{u, б) стремится к нормальному решению г° уравнения Az = и, т. е. он является регуля- ризирующим для уравнения Az>= и (см. определение 1, гл. II, § 1). Доказательство. Так как fi [z] = || z f — неотри- неотрицательный функционал, то существует его точная ниж- нижняя грань fi0 = inf fi [г] и такая последовательность 26 Q б {гп} векторов zne=Q<>, что fi [ г„] = | zn|f->fi0 при п-> 00. Не ограничивая общности, можно считать, что для вся- всякого п > 1 Таким образом, последовательность {zn} принадлежит множеству Qt, и замкнутой шаровой области Д. радиуса г "= I zi Id Для всех элементов z (т. е. векторов) которой |z|2 <I || Z-, |2. По теореме Больцано — Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследователь- 115
ность [з„А]. Пусть lim Znh = z4. "ft-»00 Б силу замкнутости множества которому принадлежит последовательность {zn}, вектор zb также принадлежит множеству FT> e, а слдовательно, и множеству Qt,, ze e (?в. Так как то свойство 1) доказано. Докажем свойство 2). Поскольку вектор ze минимизи- минимизирует функционал || zf па множестве Qt,, то || z6 f < ||zu j;2. Таким образом, вектор ze принадлежит ограниченному замкнутому множеству Ft= U; ||zf <||z°f, z e Qt>]. И так для всякого 6 > 0. Пусть задана последовательность векторов {ик} та- таких, чтоЦмл—u|| = 6ft и 6ft->-0 при к-*-оо. Для каждого б* определено множество Q&h- По доказанному свойству 1) в каждом множестве Qt>h существует вектор z6h е 7^= == {z; ||zf <[||z° |Р}, минимизирующий функционал Q [z] = = |[zf на множестве Q&h . Таким образом, иоследователь- ности векторов {ик} отвечает последовательность векто- векторов {Z(,h}, принадлежащих замкнутому ограниченному множеству Fo s{z; |z|j2^||z°||3}, и последовательность чи- чисел Ца = inf \Az — uh\, сходящаяся к ц при /с-*-оо. J6R" По теореме Больцано — Вейерштрасса из последова- последовательности {z6ftj можно выделить сходящуюся подпосле- подпоследовательность [z6ft j. Пусть lim 26 =z. fts-><» s Так как zbh e ^6ft, то для всякого вектора z6ft выполня- выполняется неравенство 110 Переходя в этом неравенстве к пределу при /cs-»-oo в учитывая неравенства ца( — ц| *^Sft(, получим || Az — u|^(.i. Так как для всякого z \Az — и | ^ ц, то \Az — и J ^ ц. Следовательно, \Az — щ = \i. Поскольку векторы zeft об- обладают свойством минимальности нормы, таким же свой- свойством обладает и вектор z. В силу этого- из равенства Az — и|=ц и единственности нормального решения следует, что z = z°. Таким образом, подпоследовательность {z6ft ] схо- сходится к нормальному решению уравнения Az— и. И так для всякой сходящейся подпоследовательности последова- последовательности {2jAj. Отсюда следует, что последовательность \z6h] сходится к нормальному решению z° уравнения Az = и. Свойство 2), а тем самым и теорема 1, дока- доказаны. 3. Пусть Zt, — вектор, на котором функционал Q [z] = = || z ||2 достигает минимума на множестве Qt,. Легко ви- видеть из наглядных геометрических представлений, что вектор zt, лежит на границе множества Qt,, т. е. ||^4z6 — -и|= jl + 26 =6/). Задачу нахождения вектора ze можно поставить так: среди векторов z, удовлетворяющих условию \Az—и| = = |х + 26, найти вектор ze с минимальной нормой, т. е. минимизирующий функционал Q[z] = |z||2. Последнюю задачу можно решать методом Лагранжа, т. е. в качестве ze брать вектор za, минимизирующий фупкционал с параметром а, определяемым по невязке, т. е. из ус- условия \Aza — и\— 6j. При этом параметр а определяется однозначно (см. гл. И, §_4)- 4. Поскольку Ma[z, и] — квадратичный функционал, то для любых и е Rm и a >¦ 0 существует лишь один минимизирующий его вектор za. В самом деле, допустим, *) Это следует непосредственно также из того, что функцио- функционал Й [г] —1|zf является стабилизирующим и квазимонотон- квазимонотонным (см. гл. II, § 3). 117
что существуют два вектора ъа и z", минимизирующие его. Рассмотрим векторы z, расположенные на прямой (пространства Rn), соединяющей z" и za: Функционал Ma[z, и] на элементах этой прямой есть неотрицательная квадратичная функция от р\ Следова- Следовательно, она не может достигать наименьшего значения при двух различных значениях [3: [3 = 0 (z = га) и р = 1 (г = za). Компоненты г" вектора za являются решением си- системы линейных алгебраических уравнений п получающихся из условий минимума функционала Ma[za, и] : Здесь 2^-0, /=1,2,...,». дга il t i i Компоненты г" могут быть определены и с помощью какого-нибудь другого алгоритма минимизации функцио- функционала Ma[z, и]. Вектор za можно рассматривать как результат приме- применения к и некоторого оператора za = R(u, а), завися- зависящего от параметра а. Так как в рассматриваемом случае выполнены условия применимости метода регуляризации, то согласно гл. II, § 2 оператор R{u, а) является регуля- ризирующим, и поэтому вектор za = R(u, а) можно при- принимать в качестве приближенного нормального решения системы C; 1,1). Однако чтобы предоставить возможность читать эту главу независимо от гл. II, мы проведем здесь доказа- доказательство высказанного утверждения и ряда последующих независимо от доказательств аналогичных утверждений, содержащихся в гл. II. Покажем, что оператор Ro(u, а) является регуляри- зирующим для системы C; 1,1), т. е. обладает свойст- 118 вами 1) и 2) определения 2 (см. гл. II, § 1). В п. 2 мы установили, что он определен для всяких и е Rm и a > 0 и, следовательно, обладает свойством 1). Теперь пока- покажем справедливость свойства 2), т. е. существование таких функций a = aF), что векторы za(e> = Rq(u, aF)) сходятся к нормальному решению z° системы C; 1,1) при б —*- 0. Это непосредственно следует из приводимой ниже теоремы 2. Теорема_ 2. Пусть z° есть нормальное решение си- системы Az = и и вместо вектора и мы имеем вектор и такой, что || и — и ||^ б. Пусть, далее, $\(8) и р2(б) — какие-либо непрерывные на [0, бг] и положительные на @, бг] функции, монотонно стремящиеся к нулю при б—>-0 и такие, что j^<M6), P. @) = о. Тогда для любой положительной на @, б2] функции a.= aF), удовлетворяющей условиям векторы га(в) = Rq(u, а(б)) сходятся к нормальному ре- решению z° системы Az = и при б-»-0, т. е. 6-»0 Доказательство. Системы Az = и и Az = и мо- могут не иметь классического решения. Поэтому inf I Az - п|| = ft > 0, inf \Az - и I = ц > 0. Пусть на векторе za функционал Ma[z, и] = ||Лг-и||2 + а||гр достигает своей точной нижней грани на Rn. Тогда, оче- очевидно, выполняются неравенства у2 + а | z" р < Ма [Л u] < Ma [z\ и] = = |^0-uI2+a|z0|2<(|Uz°-ul + ||a-UIJ + + а\ z° Т < A Az* - и 1 + бJ + a|l z° |Г = 119
так как [и — и|^б и ||Az" — и\ = ц по определепшо нормального решения уравнения Ах = и. Таким образом, для любого а > 0 и произвольного и е Rm такого, что \и — и б, имеем Учитывая, что ц < |х + 6 (см. стр. 114), отсюда получаем H|2<4AQ + 6) + |2T. Для значений а, удовлетворяющих условию б/а =^^F), 12а ||2 < Рх (б) 4 (fi + б) + 1*° ||2 < р, (б) 4 (fl + 26) + 1 z° f, или где cpF) = 4(n + 26)PiF)->-0 при б»0. Неравенство C; 1,3) справедливо для любой поло- положительной на промежутке @, 62] функции a = aF), удовлетворяющей для всех б е [0, бг] неравенству а (б) ^ ^6/PiF). В дальнейших рассуждениях a = aF) будет фиксированной функцией такого рода. Пусть {ип} — последовательность векторов, таких, что последовательность чисел 8к = \\ии — Иь || сходится к нулю, т. е. 6й-»-0 при /с-»-оо. Этой последовательности отвеча- отвечает последовательность векторов z , ^ = а (бй), принад- принадлежащих замкнутой шаровой области Из нее можно выбрать сходящуюся подпоследователь- ность {z "/. Пусть lim г " = z. Для всякого к. имеем - й\ - Z" ' — 120 так как \\Az° — п\\ = ц. Используя условие ^)' получим Az s-u\ - P-2 где fF)->-0 при 6-»-0. Таким образом, для всякого индекса к, выполняется неравенство Переходя к пределу при к, -*-оо, получим | A z — и | = (х. Это означает, что z является псевдорешением уравнения C; 1,1). Оно обладает свойством минимальности, нормы. А поскольку нормальное решение z° уравнения C; 1,1) единственно, то г = z°. II так для всякой сходящейся подпоследовательности последовательности {z ]. Следовательно, последователь- последовательность \z ''} сходится к нормальному решению г° системы Az-= и, а тем самым и zaie) сходится к г° при б -*¦ 0. Теорема доказана. Замечание. Обозначим через UA линейное под- подпространство пространства Rm, состоящее из множества всех образов векторов z e Rn, т. е. U а = {и; u = Az, zeR»}, Пусть Az = u — система линейных алгебраических урав- уравнений, z e Rn. Если эта система несовместна, т. е. не имеет классического решения, обозначим через vA про- проекцию вектора и на UA. Как известно, вектор v = и — vA ортогонален подпространству UA, поэтому для всякого eRn Отсюда следует, что u= inf || Az — и I = || и — vA\x zeR" так как inf \\Az — vAj = 0. 121
§ 2. Приближенное нахождение нормального решения по неточно известным правой части и матрице Теперь рассмотрим случай, когда неточно заданы как правая часть и, так и матрица А, т. е. пусть вместо си- системы уравнений Az = и с нормальным решением г° мы имеем систему Az = u, zeR", iTePr, <3; 2,1) где | и — м||< б и || А — А\= sup [ Az — Az J < Д. Требует- ся найти векторы zv, Y = (б, А), такие, что lim||zv — — z°J[= 0. Такие векторы z7 мы будем называть прибли- приближениями к нормальному решению z° уравнения Az = и, а также приближенными нормальными решениями. Их можно находить путем минимизации сглаживающего функционала Ма [z, Z, А] = I Az - и* f + a | z f, C; 2,2) подобно изложенному в § 1. 1. Итак, рассмотрим функционал C;2,2). Для него справедлива Теорема 3. Для всяких и е Rm, А и а~> 0 сущест- существует единственный вектор za, минимизирующий функ- функционал Ma[z, и, А]. Доказательство проводится совершенно так же, как и доказательство аналогичного утверждения для Ma[z, и], проведенное в § 1. Таким образом, для всяких а > 0, и е R и А определен такой оператор R(u, А, а) со зна- значениями из R", что вектор z" = R{u, А, а) минимизирует функционал Ma[z, и, А] на R". Покажем, что оператор R(u, А, а) является регуля- ризирующим для системы C;2,1), т. е. обладает свойст- свойствами 1) и 2) определения (см. стр. 55). Справедливость свойства 1) только что установлена. Покажем справедли- справедливость свойства 2), т. е. существование таких функций а = а(б, h), что векторы zaii'h) — R(u, А, а (б, h))_ схо- сходятся к нормальному решению z° системы Az = и при 122 f->0. Это непосредственно следует из приводимой ниже теоремы 4, аналогичной теореме 2. Теорема 4. Пусть z° — нормальное решение систе- системы Az = и и вместо и и А мы имеем и и А такие, что \и — м|^б, \\А — Л||<;й. Пусть, далее, О\ — заданное положительное число, ^i(o) и Рг(о) — какие-либо непре- непрерывные на отрезке [0, Oi] и положительные на @, о{\ функции, монотонно стремящиеся к нулю при о->-0 к такие, что Тогда для любой положительной на \0, о\] функции а — а (о), удовлетворяющей условиям а (а) < р2 (а), as [0, aj, векторы za(A) = R(u, А, а(Д)), где Л = hq + б ^ а\± схо- сходятся к нормальному решению z° системы Az — и при Y = (б, Д)->0, т. е. lim v->o -z" Ц = 0. Здесь q — произвольное фиксированное число, g>[z°||. Доказательство. Пусть вектор za минимизирует функционал Ma[z, и, А] на R" и ц =¦ inf |2z — wjj. Тогда iSRn для всякого a > 0 Ma[za, в, А] <Жа[г°, в, 3]. Поэтому р* + а \ za f < Ма [za, Z, А] < Ма [z°, в, А] - Поскольку \2 — [I2 + al и — u\^LS и [Az" — и\ = \i, то гЦ+ б + uJ + ajz»la. C; 2,3) 123
Из неравенств \Az-Z\ справедливых для всех z s R", получаем Из неравенств C; 2,3) и C; 2,4) следует, что C; 2,4) C; 2,5) откуда Используя неравенство C;2,5), получаем Для значений а = а(Д), удовлетворяющих условию Д/а^р^Д), где Д = Ад + б, шш где ф(Д) = 4р1(Д)"BД + ц)'->0 при у == (б, й)'-»-0. Неравенство C; 2,6) справедливо для любой положи- положительной на промежутке @, Oi] функции а = ос(Д), удов- удовлетворяющей для всех Ле[0, О[] условию а(Д)^2 ^A/[Ji(A). В дальнейших рассуждениях а = ос(Д) бу- будем считать фиксированной функцией такого рода. Пусть {uh} — последовательность векторов, а {А,} — последовательность матриц, таких, что последователь- последовательности чисел || и л — и || = б* и || 2.s — А || = hs сходятся к ну- нулю, т. е. 8к-*-0 при fc->oo и h,-*-0 при s-»-oo. Этим по- последовательностям отвечает последовательность векторов 124 z s, afti, = а(Дл,8) = а(^||г°| + fift), принадлежащих замкнутой шаровой области 4 Следовательно, из последовательности (z ' j можно вы- t- брать сходящуюся подпоследовательность \z ' J. Пусть ¦f | lira z ' = z. I hr<st^oc, I Введем обозначения z r' = zr(, a;,r S( = ar' . Для всяких kr a st имеем О <'!~Azr,t — и| — \х < J A4zTit — м + I uhr - и| - [x <12,(zr,( - uhr 1 + Л,41zr,tl + 6Ar - ar''[2r,(, ^ftr, Ast] + hH I zr,( i + 8kr - ** \z\ lhr, As] + h.t |zr,(| + 6ftr - + I Az° -п\\ + \\щ- п|J + ar < V>.JZ1 + 4 + KJ + «>lzflla +ufJZri,I+ 6ft/.- так как |4z° — u|= [i. Используя условие ar>f = aftr>S( == a (Aftj. 8() < P2 (Aftr, st), получим 0<\Azr,t- й\- ftr-n> C; 2,7) где bhs,rt = hst\\z\\ + 8kr. Таким образом, для всякой пары чисел кг, s, выпол- выполняется неравенство C; 2,7) п, согласно C;2,6), неравен- неравенство 125
Переходя к пределу при к, и s, -> оо, получим Это означает, что z является псевдорешением уравнения Аъ = ц. Оно обладает свойством минимальности нормы. А поскольку нормальное решение z° уравнения Аг = и единственно, то г = z°. И так для всякой сходящейся подпоследовательности последовательности [z ft'bl. Следо- Следовательно, последовательности [г >s} сходится к нормаль- нормальному решению z° системы Аг = и, а тем самым и га(Л) сходится к z° при ^->0. Теорема доказана. 2. В условиях, когда вместо правой части и =¦ и и оператора А мы имеем их приближения и и А такие, что \и — и|<б, ||Л —Л||</г, классом (?v. Tf = F, А), срав- сравнимых по точности с исходными данными (т. е. допусти- допустимых) приближений к нормальному решению z° уравне- уравнения Аг = и является множество векторов z, удовлетво- удовлетворяющих условию [| 2.Z — и | < 2 (h I z [[ -f- б) -f- ц. Поскольку нормальное решение z° обладает свойством минимальности нормы, то естественно задачу нахождения приближений к нормальному решению z° поставить так; в классе $v векторов z найти вектор zv, минимизирую- минимизирующий функционал ?2[z]=|]z|]2, т. е. найти такой вектор {г; что inf J zf = - ц|<2 (Цг| + б) = |jzv Из наглядных геометрических представлений легко видеть, что справедлива *) Лемма. Вектор zv, минимизирующий функционал \\z\\2 на множестве Qv, удовлетворяет условию 1 Поэтому упомянутая задача сводится к следующей: на множестве векторов г, удовлетворяющих условию ||Лг-ц|=2(/ф|) + б) + |1, найти вектор zv минимальной нормы. *) Формальное доказательство для более широкого класса функционалов Q [z] дано на стр. 66, 128 Если числа S и h известны, то эту задачу можно ре- решать методом неопределенных множителей Лагранжа, т. е. находить вектор га, минимизирующий (на всем про- пространстве R") сглаживающий функционал Ma[z,Z, A\ = \\hAZ-Zt + a\\z\\\ а параметр а определять из условия При этом функции ф (а) = J Aza — и f и \|з (а) = = (а| za\ -f- бJ— строго монотонные, ф(а) — возрастаю- возрастающая, ip(a)—убывающая (см. гл. II, § 4). Поэтому, если числа h и б, т. е. уровни погрешности исходных данных, известны, то а определяется однозначно. § 3. Дополнительные замечания Замечание 1. Поскольку изложение в §§ 1 и 2 не связано (существенно) с конечномерностью прост- пространств F и U, которым принадлежат элементы z и и, оно справедливо для произвольных непрерывных линейных операторов Az (доказательства дословно повторяются), если U — гильбертово пространство, a F принадлежит нормированному пространству, в которое F s-компактно вложено [170]. Это позволяет использовать метод регу- регуляризации для интегральных уравнений Фредгольма вто- второго рода (см. [2, 3]). Замечание 2. Описанный метод пригоден и для решения некорректных задач линейного программирова- программирования (см. гл. IX), в которых ищется решение системы, удовлетворяющее дополнительным ограничениям (реше- (решение должно принадлежать замкнутому выпуклому мно- множеству). Замечание 3. Стабилизатор Й [z] можно также брать в виде п Q [Z] = 2 Pi («f - ZiiJ, 1=1 где р^ > 0, zi='(z[, i, Z[,2, ..., Zi,nj, или в виде произ- произвольной положительно определенной квадратичной фор- формы относительно Z[, Z2, ..., zn. Такое изменение стабилизатора не изменяет ни фор- формулировок теорем §§ 1 и 2, ни их доказательства. 127
Глава IV О МЕТОДЕ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА В настоящей главе подробно излагается метод регу- регуляризации построения приближенных решений линейных интегральных уравнений первого рода. Изложение не опирается на общие результаты, касающиеся метода ре- регуляризации, содержащиеся в гл. II, в применении к про- произвольным уравнениям вида Az — и. Из материала гл. II используется лишь понятие регуляризирующего операто- оператора, введенное в § 1 гл. II. Это позволяет читать главу IV независимо от гл. П. § 1. Существование регуляризирующих операторов для интегральных уравнений первого рода В настоящем параграфе мы рассмотрим вариацион- вариационный способ построения регуляризирующих операторов, т. е. вариационный способ построения приближенных ре- решений, для линейных интегральных уравнений первого рода, устойчивых к малым изменениям правой части (см. [165, 166]). 1. Будем рассматривать уравнеиие вида ъ Az =з J К (х, s) z (s) ds = и (х), ie[c, d), D; 1,1) а с конечным промежутком интегрирования [а, Ь], в кото- котором ядро К(х, s) непрерывно по совокупности перемен- переменных (х, s) в замкнутой области {a^s^b; c^x^dj. Уклонение правой части и(х) будем оценивать в метри- метрике Li, т. е. по формуле 128 а уклонение решения z(s) — в метрике С, т. е. по фор- формуле Pc(zi, zjs)= max | zx (s) — z2 (s) |. se[a,b] Обозначим через F\ класс непрерывных на [а, Ь] функций z(s), имеющих обобщенные производные перво- первого порядка z'(s), интегрируемые с квадратом на [а, Ь]*). Аналогично через Fn будем обозначать класс непрерыв- непрерывных на [а, Ь] функций z(s), имеющих производные до га-го порядка, интегрируемые с квадратом на [а, Ь]. Будем полагать, что уравнение D; 1,1) с точной пра- правой частью и=щ(х) имеет единственное на множестве F\ решение zT(s), zT(s)eFu Рассмотрим совокупность всех функций и(х), интег- интегрируемых с квадратом на [с, d] с метрикой, определяе- определяемой по формуле lu1(x)-ut(x)]*dx Это метрическое пространство L'j(c, d). Пусть вместо функции щ(х) мы имеем функцию щ(х) из L2{c, d) такую, что Pls(^s, и,) < 6, причем а 8* < j ul (x) dx. D:1,2) Таким образом, вместо уравнения j К {х, s) z (s) ds = щ (х) мы имеем уравнение ь \ К {xl s) z (s) ds = и& (x). D;1*3) В этих условиях речь может идти лишь о нахождении приближенного (к zT(s)) решения уравнения D; 1,3). *) См. Соболев С. Л. Некоторые приложения функциональ- функционального анализа в математической физике,— ЛГУ, 1950, а также Смирнов В. И, Курс высшей математики, т. V.— М.: Наука, 1959. 5 А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин 129
2. Будем искать приближенное решение среди функ- функций множества Fh точнее в классе Q6 функций из Fi, для которых D )<6 т. е. в классе функций F\% ь = Qa (~1 ^ь Они сопоставимы по точности с исходными данными. Таким образом, Fit s является множеством возможных приближенных решений уравнения D; 1,3), сопостави- сопоставимых по точности с исходными данными. Однако нельзя брать в качестве приближенного реше- решения уравнения D; 1,3) произвольную функцию из мно- множества F\t j, так как такое «приближенное решение» не будет устойчивым к малым изменениям правой части Ui(x) и может как угодно сильно отличаться от zT(s). Множество Fi, s слишком широкое. Необходим принцип отбора, обеспечивающий получение приближенного ре- решения, устойчивого к малым изменениям правой части и,ь(х). Отбор можно реализовать следующим образом. На функциях z(s) из Fi, очевидно, определены функ- функционалы вида Q[z} = \\q(s)z*(s) D; 1,4) где q(s) и p(s)—заданные неотрицательные непрерыв- непрерывные функции такие, что для всякого se[a, b] <?2(s) + + р2E)=5^0 и p(s)S= po> 0, где ро — число. Возьмем один из них, фиксированный. Поскольку Q[z]—неотрицательный функционал, то существует его точная нижняя грань на множестве F\, ь, т. е. число йо= inf Q[z]. гег1,б Упомянутый выше принцип отбора состоит в том, что в качестве искомого приближенного решения предлага- предлагается брать функцию z6(s), на которой достигается точная нижняя грань функционала Q[z) на множестве Fi,e. Функцию z6(s) можно рассматривать как результат применения к правой части Uu(x) уравнения D; 1,3) не- некоторого оператора R, зависящего от параметра б, т. е. ze(s) = Д(в,, б). Ниже мы покажем, что: 130 1) оператор /?(««, б) определен на всякой функции ив, интегрируемой с квадратом на [с, d] (т. е. щ е <=L2(c, d)), и значения его z6(s) — R(u6, б) принадле- принадлежат множеству F\\ 2) оператор /?(«, б) является регуляризирующим для уравнения D; 1,1). Если за меру гладкости возможных приближенных решений принять значения функционала fl[z], что согла- согласуется с наглядными представлениями о гладкости гра- графиков функций, то согласно предлагаемому принципу от- отбора в качестве приближенного решения уравнения D; 1,3) берется наиболее гладкое из возможных решений. 3. Перейдем к доказательству утверждений 1) и 2). Мы при этом будем пользоваться определением 1 регуля- рнзирующего оператора. Теорема 1. Для всякого б > 0 и произвольной функции iit(x) из L2[c, d] такой, что Pl8 ("в, мт) < б, точная нижняя грань функционала Q[z] вида D; 1,4) на множестве Fit 6 достигается на непрерывной функции ze(s)e ^1,«. Для доказательства нам потребуется Лемма 1. Каково бы ни было положительное число D > 0, из любого семейства функций Ф из Fu удовлет- удовлетворяющих неравенству Q[z] = ds < Df можно выделить последовательность функций {zn(s)}, равномерно сходящуюся на [а, Ь] к некоторой непрерыв- непрерывной функции (т.е. множество FD={z(s); z(s)^Fu Q[z] < D} компактно на F ^s С [a, b]). Доказательство. Из неравенства Q[z] =S D, оче- очевидно, следуют неравенства ь \q(s)z'(s)ds^Dl D; 1,5) 5* D; 1,6) 131
Из неравенства {4; 1,5) следует, что для всякой функ- функции z(s) из Ф существует точка so^[a, b], в которой §Т. (* 1,7) так как в противном случае для функции z(s) не выпол- выполняется неравенство D; 1,5). Далее, для всяких S[ и s^ (s2 > si) из промежутка [а, Ь] и для всякой функции z(s)<= ф имеем 2 j г' (s) ds . Применяя к оценке этого интеграла неравенство Ко- пга — Буняковского, получим - 2 (*l) I" < 1*2 - % I ds ds < —, т. е. - z Это неравенство означает, что функции семейства Ф рав- равностепенно непрерывны. Полагая в неравенстве D; 1,8) S[ = s0, получим для любого S2 s [а, Ь] D; 1,9) Очевидно, Используя неравенства D; 1,9) и D; 1,7) для про- произвольной функции z(s) из Ф и любого s2 s [a, b], 132 получаем = z?, Это означает, что функции z(s) семейства Ф равно- равномерно ограничены константой D\. По теореме Арцела из семейства равномерно ограниченных и равностепенно не- непрерывных функций можно выделить равномерно сходя-, щуюся последовательность {zn(s)} (zn(s) I^z(s)). Пусть lim zn(s) = z4(z). Так как функции семейства Ф непрерывны на [а, Ъ], то функции zn(s) пз последовательности {2n(s)} также не- непрерывны на [а, Ь]. В силу равномерной сходимости последовательности {2n(s)} предельная функция ze(s) также непрерывна на [a, b]. Лемма доказана. 4. Проведем сначала доказательство ослабленной фор- формы теоремы 1. Пусть Fz, м — множество всех функций из Fi, для которых интегралы вида \{z"fds ограничены некоторым числом М, т. е. для всякой функ- функции 2(s)ef2,M b | (г"J ds < iW. Пусть ^j м есть пересечение множеств ^4 и ^г м, т. е. Qb,M=Q\[\F2,M. Покажем, что для всякой функции Kj s L^fc, d] та- такой, что pLj (^a, uT) ^ 8, точная нижняя грань функцио- функционала вида D; 1,4) на множестве Qit M достигается на не- непрерывной функции Zi(s), имеющей непрерывную на от- отрезке [а, Ь] производную. Доказательство. Так как Q[z]—неотрицатель- Q[z]—неотрицательный функционал, то существует его точная нижняя грань inf Q [z]. Существует также минимизирующая последовательность 133
{zn(s)} функций из Qo, м таких, что lim Q [zn] = й0. п-юо Не ограничивая общности последующих результатов, можно полагать, что для всякого п >¦ 1 й[г„] < Q[zn_i] < ... <Q[zi] = Mi. Для всех функций последовательности {zn(s)} выполня- выполняются неравенства Применим лемму 1 к семейству функций Ф, состоя- состоящему из функций, образующих минимизирующую после- последовательность, т. е. Ф={г„(«)}, полагая при этом Согласно этой лемме из последовательности Ф = 222 {zn(s)} можно выделить подпоследовательность (znji(s)b равномерно сходящуюся на [а, Ь] к некоторой непрерывной функции zs(s), т. е. lim znh (s) = z& (s). "к-*00 Очевидно, limQ[znA] = Qe. Yl—>OQ Поскольку для всякого п zn(s)^Q(,iM, то для всех функций подпоследовательности (znft (s)} выполняются неравенства Следовательно, к семейству функций Ф = \znh (s)} мож- можно применить лемму 1, полагая при этом D = max {Ж, М\). Согласно этой лемме существует подпоследовательность {zm(s)) последовательности (znft(s)], равномерно сходя- сходящаяся на [а, Ь] к некоторой функции zs(s). Очевидно, что подпоследовательность {zm(s)} последовательности [2адE)} равномерно сходится на [а, Ь] к функции zs(s). 134 Таким образом, последовательность функций {zm(s)} и последовательность их производных [zm(s)j равномер- равномерно сходятся на [а, Ь]. В этих условиях, как хорошо из- известно, Zb(s) = Zb(s). Очевидно, zs(s)e (^j и так как предельный переход под знаком интеграла в Q[z] при этом законный. Ослабленная теорема доказана. Эта теорема означает, что оператор R(u, б) определен на всех функциях и(х) из Ьг(с, d) и значениями его являются непрерывные функции z^s), имеющие непре- непрерывные на [а, Ь] производные za (s) 5. Доказательство теоремы 1. На функциях z(s) множества F\ можно определить скалярное произве- произведение (zb z2)i b («i. z2)i = ds ds норму \\z1\\ = У(г, z)v п расстояние Множество F\ с такой метрикой является полным прост- пространством W\. Поскольку Q[z]—неотрицательный функционал, то существуют его точная нижняя грань на множестве Fit с,: й0 = inf й [z] zeFi,e и минимизирующая последовательность функций {zn(s)}cz cz Fi,n такая, что lim Qn = Qo, где Qn = Q[zn(s)]. He ограничивая общности, можно по- полагать, что \/п > 1 Qn < Qn_[. Следовательно, утг ^ 1 Q[za] <Q,. Согласно лемме 1 из последовательности {zn} можно выделить равномерно сходящуюся подпоследовательность [znh}. Пусть Hm znk = z. Введем обозначения znh = zh. 135
Покажем, что \%ь\ сходится по норме пространства W\. В самом деле, предположим, что это неверно. Тогда существуют такое е0 >¦ 0 и такие последовательности це- целых положительных чисел {т} и {рт}, что для всех т и р„ |z«—zm+Pm|>e0. Пусть pm = zm — zm+Pm. Рассмотрим функции Очевидно, lm = zm — 0,5-pm = zm+,,m -f- 0,5 -рт и Так как и Q[zm]->Q0 при т-*- оо, то ,25.||pmg>-Am, D; 1,10) где Ат = Q[zm] — Qo > 0 н Ат->0при т-*- оо. Исполь- Используя формулу Hm = zm+Pm + 0,5-pm, аналогично находим i + (zm+Pm, pm)i + 0,25-]| pm||J > Qo. Следовательно, (zm+Pm, Pm)i + 0,25-Цpm Jf > - A;, D; 1,11) где Am = Q [zm+Pm] — Qo и Am->0 при m-> oo. Складывая почленно неравенства D; 1,10) и D; 1,11), получим — \Zm — zm+pm, Pm/1 T U)° || Pm 111 ^ \ant T ^m), ИЛИ -015-|pmg>- Следовательно, I Рт К = | Z „ - Z т+Р Так как Ат -f- Ат —> 0 при 136 Ат + А"т. , то найдется такое т(е0), что для т > т(е0) будем иметь |Zm — zm+pm что противоречит неравенству 1 zm — гт+р Таким образом, последовательность {zk} является фун- фундаментальной. В силу полноты пространства W\ она схо- сходится (по метрике пространства W\, а тем самым и равномерно на отрезке [а, Ь]) к некоторой функции z(s)ef| ,. Но поскольку по построению последователь- последовательность {zj равномерно сходится на [а, Ь] к функции Zt(s), то z(s) = z6(s)^Fii6. Теорема доказана. Теорема 2. Оператор R(u, 8) является регуляри- зирующим для уравнения D; 1,1). Доказательство. Согласно теореме 1 оператор R(u, 8) определен на всякой функции и(х) из L2(c, d) и для любого б > 0. Докажем справедливость свойства 2) определения 2 (см. стр. 55). Здесь f/^L2[c, d). Пусть заданы последовательность функций {"втД^)} из Ьч{с, d) и отвечающая ей последовательность поло- положительных чисел {8п}, сходящаяся к нулю, таких, что для всякого п PL, («в„, "т) < бп- Для каждого 8п определены множества функций О6п и Pi,bn — Q&n П ^i- По теореме 1 в каждом из множеств Flt6n существует функция z&n (s) из W\, минимизирую- минимизирующая функционал Q[z] на множестве ^\,вп • Таким обра- образом, последовательности чисел {8п} отвечает последова- последовательность функций [z6n(s)} из W\, удовлетворяющих неравенствам По лемме 1 из семейства функций |z6ri(s)} можно выделить подпоследовательность {z6ft(s)| , равномерно сходящуюся на [а, Ь) к некоторой непрерывной на [а, Ь] функции z(s). Так как z6n (s) e (?ani то для всякой функ- функции z6ft (s) из подпоследовательности {z6ft (s)] выполня- выполняется неравенство (A <6 137
Переходя в этом неравенстве к пределу при к -*¦ оо и учитывая непрерывность оператора А и равномерную сходимость подпоследовательности (zaft(s)} к z(s)i по~ лучим Pl.Uz, uT) = 0. Так как по предположению уравнение Az = uT имеет единственное решение z = zT(s), то z(s)'= zT(s). Следо- Следовательно, подпоследовательность (z6ft(s)J равномерно схо- сходится к точному решению z^(s). И так для всякой сходящейся подпоследовательности последовательности (Z6n(s)]- Отсюда следует, что для любой последователь- последовательности {б„} положительных чисел б„, сходящейся к нулю, соответствующая последовательность функций \z6n (s}\ равномерно сходится к z?(s). Свойство 2) определения P.O. доказано и, следовательно, оператор R(u, б) явля- является регуляризирующим. Теорема доказана. Таким образом, мы доказали существование регуля- ризнрующих операторов для линейных интегральных уравнений первого рода с конечным промежутком интег- интегрирования. В двух следующих параграфах на основе ва- вариационного подхода мы рассмотрим способы построения регуляризирующих операторов, легко реализуемые на ЭВМ. 6. За меру гладкости возможных приближенных ре- решений можно принять значения функционала вида о = Г где g*(s) (к = 0, 1, ..., п) — неотрицательные непрерыв- непрерывные функции, qn(s) S= с > 0, a z(s)e Fn. Пусть Qn есть класс непрерывных функций, для ко- которых pL, (Az, иь) < б и Fntb = Q6 П Fn. Аналогично предыдущему в качестве искомого прибли- приближенного решения уравнения D; 1,3) берем функцию zb(s) из Fn, на которой достигается точная нижняя грань функционала D; 1,12) на множестве Fn< s. В этом случае в качестве приближенного решения также берется нап- болей гладкое из возможных решений, обладающее глад- гладкостью порядка п. Обоснование этого производится совер- совершенно аналогично случаю, когда используются функцио- функционалы Q[z] вида D; 1,4). § 2. Редукция задачи построения регуляризирующих операторов к классической вариационной задаче минимизации функционалов с ограничениями 1. Таким образом, для нахождения приближенного решения уравнения D; 1,3) с приближенно известной правой частью и6(х) надо решить следующую вариаци- вариационную задачу минимизации функционала Q[z] с ограни- ограничениями: среди функций z(s), принадлежащих множеству Fi (пли Fn) и удовлетворяющих условию Pl, (Az, u&) ^ б, найти такую функцию zs(s), которая минимизирует функционал Q[z] на множестве F\ ь (соответственно на Такие задачи можно решать прямыми методами ми- минимизации функционалов. Однако для этих задач они трудно реализуемы на ЭВМ. Чтобы естественнее и про- проще подойти к их решению, воспользуемся следующей леммой. Лемма 2. Точная нижняя грань функционала Q[z] вида D; 1,4) на множестве Fi|4 достигается на функции Zi(s) из F\, для которой рь, (Az&, u&) = б. Аналогичная лемма справедлива и для функционалов вида D; 1,12). Доказательство. Допустим, что точная нижняя грань inf й [z] достигается на функции z6(s) из Fu для которой pL (Azb, иь) — Р < б. Так как по предположению D; 1,21) н й[0] ратора =0, то Zi(s)^O. В силу непрерывности опе- опеAz = \ К (xt s) z (s) ds 139
на множестве функций z(s) из F\ существует окрест- окрестность O(z, zs) функции Zi(s), принадлежащая множеству Fu для всех элементов z(s) которой (т. е. функций z(s)) выполняется неравенство Для всякой функции z(s) из этой окрестности выполня- выполняется также неравенство pu(Az, «6)<бг D; 2,1) так как Pl, {Az, щ) < pLt (Az, Az&) + pLj (Az6, щ) < Неравенство D; 2,1) означает, что все функции z(s) окрестности O(z, zs) принадлежат множеству Q6. Так как Q[z] есть квадратический функционал и zs(s)#0, то в окрестности O(z, zs) существует функция z«(s) из F\:i, для которой Q[zi] <Q[zs]. Но это противоречит тому, что на функции Zi(s) функ- функционал Q[z] достигает своей точной нижней грани ня Fi,t. Следовательно, предположение, что ^ < б, неверно. Лемма доказана. 2. С учетом этой леммы задача нахождения функции Zj(s) из Fi, удовлетворяющей условию рь, {Az6, u6)^.8 и минимизирующей функционал Q[z] на множестве Fii8, сводится к задаче: среди функций z(s) из F\, удовлетворяющих условию рь, (Az, и6) = б( найти функцию Zi(s), минимизирующую функционал Q[z] на множестве Fii8. Это классическая задача вариационного исчисления на условный минимум. Ее можно решать методом неопре- неопределенных множителей Лагранжа. А именно, находить функцию za(s), минимизирующую сглаживающий функ- функционал Ма [z, ив] = pi, (Az, и6) + aQ [z] 140 (этб задача на безусловный минимум), а параметр а оп- определять из условия Pl, (Aza, u6) = 8t т. е. по невязке. Это уравнение относительно а имеет решение a = aF), зависящее от б, так как при фикси- фиксированном б-функция Ф («) = PL, (Aza, u6) монотонно возрастает и ф@)= 0 (см. гл. II, § 4)\ Следовательно, к задаче минимизации сглаживающего функционала Ма [ z, щ] с определением параметра а по невязке сводится и исходная задача нахождения функ- функции Zj(s) = Za(s,(s) из F\, удовлетворяющей условию и минимизирующей функционал Q [ z ] на множестве F\, j. Последняя задача и исходная эквивалентны. Функцию za(s), где a = aF), можно рассматривать как результат применения к правой части щ(х) урав- уравнения D; 1,3) некоторого оператора Ri(us, aF)). Таким образом, в качестве приближенного решения уравнения D; 1,3) берется решение другой задачи — за- задачи минимизации функционала Ma[z, щ] с определени- определением а по невязке, «близкой» при малой погрешности щ к исходной задаче нахождения решения уравнения D; 1,3). Решение этой последней задачи zaF) (s) устойчиво к малым изменениям в метрике Ь2 правой части и6(х), так как она эквивалентна рассмотренной в § 1 вариационной задаче с ограничениями, устойчивость решения которой была установлена. Аналогичным образом редуцируется исходная вариаци- вариационная задача к задаче на безусловный минимум при поль- пользовании функционалами Q[z] вида D; 1,12). Функционалы й [ z ] играют при этом стабилизирую- стабилизирующую роль. Поэтому их называют стабилизирующими функционалами или стабилизаторами, соответственно 1-го и re-го порядков. 141
§ 3. Получение семейства регуляризирующих операторов с помощью минимизации сглаживающих функционалов Сглаживающий функционал Ма [ z, и] можно ввести в рассмотрение формально, не связывая его с редукцией исходной вариационной задачи к классической. В настоя- настоящем параграфе будет показано, что путем решения за- задачи на минимум сглаживающего функционала с фикси- фиксированным стабилизатором Q[z] и с выбором параметра регуляризации а как некоторой функции а = а(б) от уровня погрешности б правой части и6(х) уравнения D; 1,3) можно получить бесконечное множество регуля- ризирующнх операторов (а, следовательно, и приближен- приближенных решений уравнения D; 1,3)), различающихся выбо- выбором функций а = а(б). Описываемый здесь метод построения приближенных решений уравнения D; 1,3) и его обоснование без всяких изменений применимы и для приближенного нахождения квазирешення того же уравнения. 1. Итак, рассмотрим сглаживающий функционал Ма [z, и] = pi, (Az, и) + аи [z] со стабилизатором Q [z] вида D; 1,4). Тогда справедлива Теорема 3. Каковы бы ни были параметр а > 0 и функция и(х) из L2(c,d), существует единственная функ- функция za(s), имеющая производную z'a(s), интегрируемую с квадратом на [а, Ь], на которой функционал Ma[z, и] достигает своей точной нижней грани на множестве Fu т. е. М% = inf Ma [z, и] = Ма [za, и]. 2SF, Доказательство. Так как для всякой функции z(s) e Fi Ма [ z, и ] > О, то существует * AiJ= inf Ma[z, и]. Существует также минимизирующая последовательность |z™(s)| функций из Fi такая, что lim М™ = М™, где П-»ОО Mfi = Ma [zfi, и\. Очевидно, не ограничивая общности выводов, можно полагать, что для всякого п > 1 Тот^да для любого п>1 п произвольного фиксированного а > 0 выполняется неравенство Следовательно, согласно лемме 1, из последовательности [z«j можно выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся к некоторой функции za(s) ^F\. Ради упро- упрощения записи сохраним для элементов этой подпоследо- подпоследовательности те же обозначения, т. е. пусть [z^j равно- равномерно сходится к za(s). Покажем, что последовательность [z«j фундаменталь- фундаментальна по норме пространства W\. Предположим, что это не- неверно. Тогда существуют такое число ео > 0 и такие по- последовательности целых положительных чисел {пг} и {р™}, что для всех пг и рт из этих последовательностей Здесь (zIj— норма функции z(s) в пространстве Пусть Pm=z«-z-+pm и im = 0,5( Очевидно, 1т = г« - 0,5-$т = z«+Pm + 0,5- Ма \\т, и] = pb (Almi и) + a[\\zl 1« - ), + 0,25 • 'Так как pF(tm, za) -*-0 и ррAт, z™)-^0 в силу непрерывности оператора А имеем р? (А1т, и) = р>и (Az«m, и) + Ат Ма0. D; 3,2) D; 3,3) где Дт->-0 при т-*-оо. Учитывая сходимость последо- последовательности {Мт\ к М™, из D; 3,2) и D; 3,3) получаем «I- (г^, pm)i + 0.25- 1РтШ Ж - Ml - | л;| = - А"тх D;3-4) где Дт > 0 и Дт ->- 0 при т ->- оо . Аналогично, пользуясь формулой Ет = z« +p + 0,5 • Р,п,; получим неравенство где Дт > 0 п 0 при та -v оо . 142 143
Складывая неравенства D; 3,4), D; 3,5) почленно, по- получим -0 при т-+оо, то найдется такое тп(е0) будем иметь Следовательно, Так как Am + A т(е0), что для тге что противоречит неравенству D; 3,1). Таким образом, последовательность [z«] является фундаментальной по норме пространства W\. А поскольку это пространство полное, то последовательность [zn] схо- сходится по метрике W\ \& тем самым и равномерно на [а, Ь]) к некоторой функции za(s)^Fu Но поскольку по построению U™} равномерно сходится к za(s), то za(s) еэ = za(s) и, следовательно, za(s)^F\. Теорема доказана. Таким образом, на функциях и(х) из L2(c, d) для всех положительных чисел a > 0 определен оператор /?i(u, a), значениями которого являются функции из W\ такой, что функция za(s) =Ri(u, a) минимизирует функционал Ма [ z, и] на множестве F\. 2. Нам надо показать, что оператор R\(u, a) является регуляризирующим для уравнения D; 1,1). При этом мы воспользуемся определением 2 регуляризирующего оператора. Свойство 1) этого определения мы установили. Установим свойство 2) для /?i(ч, а). Обозначим через 7"в, класс определенных на некото- некотором отрезке [0, 6i] неотрицательных неубывающих и непрерывных на [0, 6i] функций ?F). Справедлива Теорема 4. Пусть zT(s) из F\ есть решение уравне- уравнения D; 1,1) с правой частью и = ит(ж), т. е. Az^ = ит(х). Тогда, каковы бы ни были положительное число е > О 144 и фуцкции EiF), p2(S)«3 класса T6l такие,что [52@) = = 0 и б2 «? PiF)р2(б), существует такое 8о = бо(в, Pi, р2), что для всякой функции и(х) из Li (с, d) и любого положительного б < So из неравенства рь, {и, "т) ^ б для всех а (б), удовлетворяющих условиям ^б), D; 3,6) следует неравенство \ za(i)(s)—zT(s) |<e для всякого s е [ а, Ь ] , г. е. семейство функций za(s) равномерно схо- сходится к Zi(s). Здесь zaF)(s) =/?i(u, aF)). Доказательство. Поскольку функционал Ма [г, и] достигает минимума на функции z = za(s), то Ма [ za, и ] < Ма [ zT, и ] . Поэтому aQ [z"a] < Ма [7а, и] < Ма [zT, и] = = pL {Azt, и) + aQ [zT] = р!г (uT, и) + aQ [zT] < Из неравенства следует, что Таким образом, т. е. zl(s) и zT(s) принадлежат множеству FD функций z(s), для которых выполняется неравенство Q[z] ^ D: FD= {z(s); Q[z]<D}. Неравенство Q [z"a(e, ] ^ D справедливо для любой по- положительной на {0, 6i) функции a == а (б), удовлетворяю- 145
щей для всех 6 е [ 0, Si] условию S2 > ^i(S)a(S), в том числе, следовательно, и для всех функций <хF), удовлет- удовлетворяющих условиям D; 3,6). В дальнейших рассуждениях а, = a F) будем считать произвольной, но фиксированной функцией такого рода. Пусть {ВД„] — последовательность функций щп (х) из L2 [ с, d] таких, что последовательность чисел PL, (Ивп, UT) = 6Я сходится к нулю при п—»¦ оо. Этим последовательностям отвечает последовательность функций {zan(s)} из F\, где an = a(8n), минимизирующих соответственно функциона- функционалы Ma"[z, и&п\ и удовлетворяющих неравенствам По лемме 1 из последовательности [zan) можно выбрать подпоследовательность, равномерно сходящуюся на [а, Ь] к некоторой непрерывной на [а, Ь] функции z(s). Не меняя для простоты записи обозначений, будем пола- полагать, что {zan} и есть такая подпоследовательность, т. е. Zan(s)zZZ(s). Очевидно, что Pi; (Azan> "г) < PL, (Дх„, «в„) + pL? (Ив„, Wt) = A/an [zT, uen] - |/ р22 (и,, ад„) + а„Й [2Т] + Ьп = ]/б^ + anQ [zT] + 8n. Используя условие а» = a(fi») получим pLl 6n. Это неравенство выполняется для всех п. Переходя в М к пределу при п -*¦ оо и учитывая равномерную схо- сходимость последовательности [za;ij к функции z(s) и 146 сходимость к нулю последовательностей {fb(8ft)} и {Sn}, получим pLl (^z, ut) = 0. Отсюда следует, что Az = вт. В силу единственности решения уравнения Лг = и, z(s)sa zT(s). И так для вся- всякой сходящейся подпоследовательности последовательно- последовательности (zan). Следовательно, последовательность Uo^j равно- равномерно сходится к zT(s), а тем самым {zaje,} равномерно сходится к zT(s) при б->0. Теорема доказана. Эта теорема показывает, что при построении прибли- приближенных решений линейных интегральных уравнений пер- первого рода путем минимизации сглаживающего функцио- функционала Ма [ z, м0 ] параметр регуляризации а как функция погрешности правой части S определяется неоднозначно. Значения а можно определять не только по невязке, т. е. из условия рьг {Aza, щ) — S, как отмечалось в § 1, но и другими способами, некоторые из которых описаны в гл. II, § 4. Замечание. Иногда на искомое решение zT(s) по смыслу задачи накладываются ограничения типа нера- неравенств <pi(s) < zT(s) «S фг(в), где cpi(s) и cp2(s) —заданные • функции. Например, решение должно быть неотрицатель- неотрицательным (cpi(s) гз 0). В таких случаях в качестве пространст- пространства возможных решений F надо брать функции z (s), удов- удовлетворяющие тем же неравенствам. Теоремы 1—4 настоя- настоящей главы справедливы и в этих случаях. При пользовании стабилизаторами /г-го порядка спра- справедливы теоремы, аналогичные теоремам 3 п 4. § 4. Алгоритм нахождения приближенных решений, легко реализуемый на ЭВМ Как было показано в § 3, для нахождения приближен- приближенного (регуляризованного) решения уравнения D; 1,3) до- достаточно найти функцию za(s)^Fu минимизирующую сглаживающий функционал Ma[z, щ] и соответствующее значение а. Задачу минимизации функционала Ma[z, мв] можно решать прямыми методами, например, методами наискорейшего спуска. Однако на ЭВМ удобнее находить функцию za(s), решая уравнение Эйлера, соответствующее функционалу Ma[z, вв]. Более подробному описанию этого способа и посвящен настоящий параграф. 147
I. Можно показать (см. [165]), что если решение zr(s) (zT e W\) уравнения D; 1,1) с правой частью щ{х) удовлетворяет условиям zT(a) = c\, zT(b) = с% или zT(a) = mlt гт (Ь) = тг (или % (а) =clf zT (b)=m2; zT (o)=m1, zTF) =c3), где Ci, c2, mi, m2 — известные числа, то при- приближенные (kz,(s)) решения za(s) из W\, минимизирую- минимизирующие функционал Ma[z, и] с Q[z] вида D; 1,4), имеют непрерывные на [a, b ] производные первого порядка z'a (s). А тогда, согласно известным теоремам вариацион- вариационного исчисления*), функции za(s) имеют непрерыв- непрерывные на [ а, Ъ ] производные второго порядка z"a (s). На функциях z(s), имеющих непрерывные производ- производные второго порядка, стабилизирующий функционал Q [ z ] вида путем интегрирования по частям можно записать в виде Q[z] = (z, Lz) + p(b)z(b)z'(b)-p(a)z(a)z'(aI где оператор Lz имеет вид a (z, Lz) — скалярное произведение вида ь (z, Lz) = J z- Lz ds. a Следовательно, функционал Ма [z, u6] можно записать в виде Ма [z, щ] = = p«f (Az, щ) + a (z, Lz) + а [рЩ z (b) z'(b) - p(a)z(a)z'(a)\,j или, записывая подробнее р? (Az, щ)} d I Ь \й Ма[гх Мб) = j IJ К (ж, s) z (s) ds — ий (х) dx + о la J + a (z, Lz) +a[p (b) z (b)/ (b) - p (a) z (a) z' (a)]. *) См., например, Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариа- Вариационное исчисление,— М.; Наука, 1970. 148 Необходимым условием минимума функционала Ma[z, цв] является равенство нулю его первой вариации ДД/в. Известно, что ДМ° = \— М* [z + yv, щ]\ . Вы- полняя необходимые вычисления, получим ЬМа =s A*Az + aLz + a[p{b)v(b)z'(b) + + p(b)z(b)v'(b) - p(a)v(a)z'(a) - p (a)z(a) v'(a) ] - -A*u6 = 0, D; 4,1) где A *u — оператор вида a A*u ^ J К (х, s) и (х) dxt a сопряженный оператору ь Az ^ j К (xr s) z (s) ds a в пространстве L2, a v(s)—вариация функции z(s). Оператор A*Az можно записать в виде ь A*Az^ijj'K(s,t)z(t)dt, ' D; 4,2) где a d Условие ДМа = 0 выполняется, если A*Az + aLz = А*щ D; 4,3) p(b)[z(b)v'(b)+z'(b)v(b)]- -p(a)[z(a)v'(a) +z'(a)v(a)]= 0. D; 4,4) Условие D; 4,4) выполняется, если на концах s = а и s=b промежутка [a, b] решение za(s) уравнения D; 1,3) или его производная za (s) равны нулю. Таким образом, искомой функцией za(s), минимизи- минимизирующей функционал Ма [ z, щ ] , т. е. искомым прибли- приближенным (регуляризованным) решением уравнения 149
D; 1,3) будет решение интегро-дифференциального урав- уравнения Эйлера A*Az + aLz = А*ил, D; 4,3) или ь (*)*-^[р (*);&]} +]"*(*.*)*(*) * = *(*), D; 4,5) где = $K (х, s) К (х, t) dx, D; 4,6) g (s) = I К (.r, s) ub (x) dx, D; 4,7) удовлетворяющее краевым условиям одного из следующих типов: либо z(«)=0, z(b)=O, D; 4,8) либо z(a)=0, z'{b) =0, ' D; 4,9) либо z»=0, z(b)=O, D; 4,10) либо г'(я)=0, г'(Ь)=О. D; 4,11) 2. Если по смыслу задачи нам известны на концах промежутка [ я, b ] значения точного решения z-y(s) или его производной z'T(s), то естественно искать приближен- приближенные решения в классе функций z(s), удовлетворяющих тем же граничным условиям, что и zT(s), так как в про- противном случае аппроксимация с помощью приближенных решений значений точного решения zT(s) на концах про- промежутка [ a, b ] может быть неудовлетворительной даже при сколь угодно малом уклонении приближенной пра- правой части и6(х) от точной ит(х). Вместе с тем, независимо от информации о граничных условиях точного решения zT(s) на концах промежутка [ a, b ] при редукции задачи минимизации сглаживающего функционала Ма [ z, и> ] к решению соответствующего ему уравнения Эйлера необходимо требовать от решений по- последнего, как было установлено в п. 1, удовлетворения одним из условий вида D; 4,8) — D; 4,11). 150 Для удовлетворительной аппроксимации точного реше- шш уравнения D; 1,2) с помощью решений уравнения Эйлера D; 4,3) на всем промежутке [ a, b ] необходимо иметь согласованные краевые условия точного и прибли- приближенных решений. В ряде случаев этого можно достичь пу- путем замены в исходном уравнении D; 1,1) неизвестной функции z(s) на функцию z{s) по формулам вида z(s) — = /(z(s), s). Если, например, гт(а) = z\, zT(b) = z^, где z\ и Z2 известные числа, то, переходя к функции z(s) по формуле z{s)= 2(s)+-^a(b-s) + -^ra(S-a)l получим уравнение для z(s) с тем же ядром, но с другой правой частью, точное решение которого (с соответствую- соответствующей точной правой частью) удовлетворяет краевым ус- условиям z(a)=0 и z(b) = 0. Приближенные решения уравнения для z(s) уже можно находить с помощью ре- решений уравнения Эйлера (с изменившейся правой ча- частью), удовлетворяющих краевым условиям вида D; 4,8). Если z\ (a) = m1, z'T(b) = m2, то замену функции z(s) в исходном интегральном уравнении можно произвести по формуле и далее приближенные решения уравнения для z{s) уже можно находить с помощью решений уравнения Эйлера (с изменившейся правой частью), удовлетворяющих кра- краевым условиям вида D; 4,11). Если zT(a) = z\, z'T(b) = m2, то замену надо произве- произвести по формуле и далее приближенные решения уравнения относительно z(s) уже можно находить с помощью решений уравнения Эйлера (с изменившейся правой частью), удовлетворяю- удовлетворяющих краевым условиям вида D; 4,9). Аналогично надо поступать, если z'(a) = mu z(b) = z2. 3. Если при нахождении приближенных решений урав- уравнения D; 1,3) пользоваться стабилизаторами n-го поряд- 151
ка, то уравнение Эйлера для сглаживающего функционала Ма [ z, и6 ] будет иметь вид где A*Az + aLz = А*щ, так как стабилизатор n-го порядка можно записать в виде скалярного произведения (z, Lz). Легко написать и возможные краевые условия для ис- искомых решений уравнения Эйлера. Например, z(a) =z'(a) =... = z("-1)(a) = О, z(b) =z'(b) = ...=z("-»(&) ==0 и другие. Все сказанное в п. 2 настоящего параграфа о согласо- согласованности краевых условий точного решения и приближен- приближенных решений, получаемых с помощью уравнения Эйлера, в равной мере относится и к этому случаю. Достичь та- такой согласованности также можно с помощью соответст- соответствующих замен неизвестной функции z(s) на новую функ- функцию z(s). В простейших случаях читатель может это сде- сделать самостоятельно. При фактической реализации описанного алгоритма нахождения приближенных решений надо переходить к дискретному аналогу рассмотренной задачи. Такой пере- переход, или, как мы будем говорить, дискретизацию задачи можно произвести по-разному. Вопросам дискретизации посвящен следующий параграф. § 5. О дискретизации задачи нахождения приближенных решений интегральных уравнений первого рода Переход к дискретному аналогу задачи нахождения регуляризованных приближенных решений уравнения D; 1,3), можно произвести по-разному. Представляются очевидными три подхода к дискретизации этой задачи. Первый подход. Производится дискретизация ис- исходного уравнения D; 1,3) путем замены интеграла ин- интегральной суммой по некоторой квадратурной формуле. В результате получается система линейных алгебраиче- 152 ских уравнений (СЛАУ)",— вырожденная или плохо обу- обусловленная,— приближенное решение которой, устойчивое к малым изменениям вектора правой части, и надо нахо- находить. Это можно сделать методом регуляризации (см. гл. III). Если пользоваться при этом вариационным под- подходом, то взяв дискретный аналог стабилизатора Q [ z ] , образуем аналог сглаживающего функционала. Затем пе- переходим к его уравнению Эйлера, которое будет представ- представлять собою регуляризованную систему линейных алгебраи- алгебраических уравнений. Решения этой системы (с соответст- соответственно подобранными значениями параметра регуляриза- регуляризации а) и будут приближенными решениями уравнения D; 1,3). Второй подход. Производится дискретизация сгла- сглаживающего функционала, а далее решается задача мини- минимизации функции многих переменных с последующим оп- определением параметра регуляризации а. Третий подход. Производится дискретизация крае- краевой задачи для уравнения Эйлера D; 4,3), и далее реша- решается получающаяся при этом система линейных алгебраи- алгебраических Уравнений. Эти способы не эквивалентны друг другу [73]. В не- некотором смысле более предпочтительным представляется третий подход. Рассмотрим его подробнее. 1. Для простоты изложения дискретизацию будем про- производить на равномерной сетке и следовать далее [56]. Будем полагать, что ядро К(х, s) в уравнении D; 1,3) есть вещественная, непрерывная в области {а ^ s ^ Ь; с ^ х =S! d} функция. Возьмем в качестве стабилизирую- стабилизирующего функционала Q [ z ] функционал вида ь Q [г] = J {г2+ />(*')•}<*«« D; 5,1) а где р — положительное число. Пусть точное решение zT(s) принадлежит F\ и удо- удовлетворяет краевым условиям: z'(a) = 0, z'(b) = 0. Тогда в качестве регуляризованных решений za(s) уравнения D; 1,3) можно брать функции, являющиеся решениями следующей краевой задачи для уравнения Эйлера: ь J К (Sl t) z (t) dt + a{z (s) - pz" (s)} = g (s)x D; 5,2) 153
где A (s, t) = j К (х, s) К (х, t) dx, g (S) = j К (x, S) ий (х) dx. Напишем разностный аналог уравнения D; 5,2) на равномерной сетке с шагом h. Разобьем промежуток [а, Ъ] на п равных частей и возьмем в качестве узло- узловых точек сетки середины полученных отрезков, т. е. полагаем (t-i)h, i=l, 2, ...,n; h = b-a Заменив в левой части уравнения D; 5,2) интеграгг соответствующей ему интегральной суммой, например, по формуле прямоугольников, a z"(s) — соответствующим разностным отношением, получим п 2 К (st, t}) hzj + azt + a *!~ ^ ~ ?m = gu D; 5,3) 3=1 где i = 1, 2, .. ., n, g. = j iC (x, st) u6 (x) dx. Значения K(st, ti) и fi либо вычисляются аналитически, либо получаются с помощью соответствующих квадратур- квадратурных формул. Отметим, что при этом число точек сетки по s не связано с числом точек сетки по х. При (=1 и i = « в D; 5,3) входят не определенные еще значения zo и zn+\. Чтобы удовлетворить граничным условиям, полагаем z0 = z\ и zn+] = zn. Пусть В — матри- матрица с элементами Btj = K(st, tj)h. Тогда систему уравнепнй D; 5,3) относительно вектора z с компонентами (zu гг, ... ..., г„) можно записать в виде Baz = Bz + aCz = g, D; 5,4) где ? —вектор с компонентами {gi, g2, ..., g»), a aC — симметричная матрица вида 154 АЛ -Аг О 2 а IF О О О О о о ! 2 \ ¦ а О О ... --J- Jl+ Таким образом, задача сводится к решению СЛАУ D; 5,4). Матрица этой системы Ва симметрична. Поэтому для решения ее можно использовать следующие эконо- экономичные методы. 2. Метод квадратного корня. Так как матрица Ва системы D; 5,4) — вещественная, симметричная и по- положительно определенная, то ее можно представить как произведение вещественных матриц ТаТа, где Та — треу- треугольная матрица вида 'll гр 1 а ta о о а fa —транспонированная к Та матрица. Элементы мат- матрицы Та находятся по формулам [56] - 2 «г, Ki; где B% — элементы матрицы Ва. 155
Заменив в системе D; 5,4) матрицу Ва на произведе- произведение матриц ТаТа, получим T*aTaz=g. D; 5,5) Полагая у = Taz можно заменить систему D; 5,5) эк- эквивалентно двумя системами: Ку = gt Taz = у. Каждая из этих систем решается совсем просто, так как их матрицы треугольные. В книге [ 56 ] приведены экономичные стандартные программы решения систем ли- линейных алгебраических уравнений методом квадратного корня. 3. Метод Воеводина [34]. Пусть для разных а > 0 требуется решать систему линейных алгебраиче- алгебраических уравнений AA где А — вещественная матрица порядка пХм; А* — транспонированная к ней матрица; С — вещественная симметричная положительно определенная матрица, z — вектор-столбец с компонентами {z\, z2, ..., zn), n — век- вектор с компонентами (и\, щ, ..., ит) и п > т. Подобно матрице Ва в п. 2 матрицу С можно представить в виде С = S*S, где S — вещественная треугольная матрица, a S* — ей сопряженная [56]. Положив у = Sz (следовательно, z = S~1y), получим D; 5,6) Умножая D; 5,6) слева на (S~1)*, получим где D = AS~\ a E — единичная матрица. Матрицу D можно представить в виде D = QPR, где Q — ортогональная матрица размерности nXn, R — орто- ортогональная матрица размерности т У(тп, а Р — правая двухдиагональная матрица п\тп, в которой отличны от нуля лишь элементы Pti и Рц+и Для получения такого представления достаточно найти такие матрицы Q~* и Я, чтобы матрица Р = Q~lDR~l была двухдиагональной. Матрицы Q~l и Я~! можно искать, например, в виде 153 где Qt и Я( \i — 1, 2, .,., тп)— унитарные матрицы (мат- (матрицы операторов отражения, см. [34]), удовлетворяю- удовлетворяющие условиям: Qi = Q*i = QJ1, Ri = R* = R~\. При этом Q = QiQ2...QmvR = Rm...R2R1. Матрицы Qi и Rt можно строить следующим способом. Пусть а\ — первый вектор-столбец матрицы D, a qt — /-я вектор-строка матрицы Q\. Элементы матрицы Q\ будем находить из условий ортогональности векторов а\ и qj, т. е. из условий {Яи <2i) = 0 для / = 2, 3, ..., п. Матрицей, удовлетворяющей этим условиям, будет мат- матрица оператора отражения [ 34, 56 ] с образующим век- вектор-столбцом Haff; *"' IK-KIHI' где I — вектор-столбец из Rn с компонентами {1, 0, 0, ... ..., 0). Таким образом, Qi = E-2g™(g™)*. В качестве R\ возьмем такую матрицу, чтобы в матри- матрице (QiD)Ri, во-первых, в первом столбце остались нуле- нулевыми все элементы, начиная со второго, и, во-вторых, элементы первой строки, начиная с третьего, были бы нулями. Первому требованию можно удовлетворить, если искать Я[ в виде '1 0 ... ON 0 Пусть Ъ\ — первая вектор-строка матрицы (Q\D) без первого элемента (следовательно, ^eR-1). Тогда второе требование будет означать, что (b,, vt) =0 для i = 3, ... ..., тп, где i^eR-1 — вектор-столбцы матрицы R\. Следова- Следовательно, R\ — матрица отражения с образующим вектором 7 е= R-1. Но тогда и fli также будет матрицей отражения с обра- образующим вектором @, h) = ha) *= Rm. 157
Таким же образом будем искать Q( и /?, в виде 0\ „ /Е^ О О й, где Qt и /?,- — матрицы отражения в пространствах более низкой размерности. Заметим, что для получения Q и R пет необходимости производить перемножение матриц Qt и Rt; достаточно лишь запоминать образующие векторы gw и h{i) и резуль- результаты действия матриц Qi и Ri на вектор W вычислять по формулам QiW=W-2g"(g(i\ W), RtW = W—2А("(Л(", W). Итак, пусть найдены такие матрицы Р, Q и R, что D = <?Р/?. Теперь, полагая ха = Rya (следовательно, уа = R-lxa) из системы (D*D + aE) ya = D*u получим (R*P*Q*QPR + a^1) R-'xa = D*u, или Так как матрица Р*Р — трехдиагональная, то последняя система легко решается, например, методом прогонки*). На это потребуется порядка т операций. Переход от век- вектора ха к вектору za осуществляется по формуле za = = S~lR~lxa. Однако часто нет необходимости переходить к za. Так, если а определяется по невязке, то надо про- проверять условие ||^4za — «|| = 6, а оно эквивалентно ус- условию \\Рха — <?*ц|| = 6. Существует стандартные программы решения СЛАУ с автоматическим выбором параметра регуляризации а, на- например, по невязке (см. [73]). В следующем параграфе приводятся примеры решения модельных задач. § 6. Примеры применения метода регуляризации Здесь мы приведем несколько примеров применения метода регуляризации к решению интегральных уравне- уравнений первого рода. Пример 1. Рассмотрим задачу численного диффе- дифференцирования (см. также [25, 58, 63]). Производная п-го *) См. Самарский А. А. Теория разностных схем.— М.: Наука, 1977. 158 орядка z(t) от функции w(i) является решенном ин- егрального уравнения D; 6,1) Н При приближенном задании правой части (u = u(t)) I речь может идти лишь о приближенном нахождении про- .' изводной. Рпс. 11. Пусть u(t) =¦ jexp(— y^dy. Тогда u'(t) — exp (— t*). ° {) p() +р(?). Графики функций u'(t) и и'" (t) изображены на рпс. 11 и 12 сплошными линиями. Пусть вместо u(t) мы имеем u(t{) = u(i) (I -f- 0(e), где 04 — случайные числа, —1<0(<1. Вычисление ме- методом регуляризации производных 1-го и 3-го порядков от функции u(t) для одной из последовательностей слу- случайных чисел {0,} дает результаты, изображенные штри- штриховой линией на рис. Ни 12. При этом для u'(t) брали h = 0,1, е = 0,1, а = 0,0055; для u'"{t) брали h = 0,05, е = 0,01, а = 0,55-10. Параметр а определялся по не- невязке. Рассмотрим далее два примера, типичные для задач, связанных с обработкой экспериментальных наблюдений- 159
Пример 2. Рассмотрим задачу определения спект- спектрального состава излучения (электромагнитного, типа у-излучения, или рентгеновского, или корпускулярного) [171, 173, 184]. Пусть интересующее нас излучение неоднородно и распределение плотности числа частиц (фотонов), харак- характеризуется функцией z(s) (s — частота или энергия). Рис. 12. Пропуская это излучение через измерительную аппара- аппаратуру, мы получаем экспериментальный спектр и(х) (х может быть частотой или энергией). Если измеритель- измерительная аппаратура линейна, то функциональная связь между z(s) и и(х) дается формулой (хг s) z (e) ds = и (x)t D; 6,2) 160 L где а и Ь — границы спектра, К(х, s] — «аппаратная функция», предполагаемая известной. К(х, s) представ- представляет собой экспериментальный спектр (по х), если на измерительную аппаратуру падает монохроматическое излучение частоты (энергии) s и единичной интенсивно- интенсивности. Функцию К{х, s) можно также рассматривать как отклик измерительной аппаратуры на б-функцию, z = = 6 (ж—s). Задача состоит в определении истинного спектра из- излучения z(s) по экспериментальному спектру и(х) и сводится к решению уравнения D; 6,2) относительно Рассмотрим математическую модель, задаваясь функ- функцией z(s) и аппаратной функцией К(х, s), близкими к функции zT(s) и аппаратной функции в соответствующих практических задачах. Решая прямую задачу, вычислим «эксперименталь- ь ньш» спектр и (х) = J К (х, s) z (s) ds на сетке по х: а {х\, х2, ..., Хп}. Моделируя процесс появления случай- случайных ошибок при измерении экспериментального спектра и(х), заменим u(xt) на u(xi) по формулам = и где 0( — случайные числа из промежутка (—1,1)" с рав- равномерным законом распределения. Очевидно, что среднее значение u(xt) равно u(xt) и дисперсия u(xi) равна о. Величина квадратического уклонения является характеристикой точности исходных данных. Возьмем в качестве z(s) функцию, изображенную на рис. 13 сплошной линией, a^(z,s) = ll — — )ц{х—s), где ц(х—s) — единичная функция. Берем а = 0, Ъ = 11. 161 6 А Н. Тихонов, В. Я. Арсеяив
Вычисляем ii и (х) — \ К (х, s) z (s) ds. о Затем решаем уравнение ii j К (х, s) z (s) ds = и (х) о относительно z(s). Заменяем последнее уравнение системой линейных алгебраических уравнений п 2 KijZjAsj = и (xt), i'=i аппроксимируя интеграл суммой по формуле Симпсона. Результаты решения этой системы приведены на рис. 13 Z(SU 2,95 2,83 ZA8 2,20 3,24 2,38 2,28 III и и г, (штриховая ломаная). Пилообразная ломаная не имеет ничего общего с z(s). На том же рпсупке кружками отмечены значения zh полученные в результате прпме- 162 яения метода регуляризации. При этом вычисления ве- велись с машинной точностью. На рис. 14 приводится ре- результат применения метода регуляризации для решения уравнения с правой частью и(х{) с относительными ошибками в узловых точках xt, равными 5 и 10%' от измеряемой величины и(х,) (кривые 2 и 3. Кривая i — график z(x)). 60 50 W 30 20 10 — I У - 1_ А У /Л— w \ > i i i \ \ 5 6 7 Рис. 14. 9 10 11 s Рассмотренный пример представляет модель задачи о восстановлении истинного спектра потока быстрых ней- нейтронов, создаваемого полоний-бериллиевым источником. Этот спектр подобен кривой z(s). В качестве регистри- регистрирующей аппаратуры был использован сцинтилляционный датчик [171]. Задаваясь различным уровнем погрешности правой части и(х), мы можем, путем решения рассмотренной задачи, оценить соответствующие погрешности интересу- интересующей нас функции z(s). Таким образом, мы можем прог- прогнозировать исход эксперимента по определению z(s) и тем самым планировать эксперимент. е* 163
Это одна из типичных задач математического проек- проектирования эксперимента. Пример 3. Рассмотрим задачу восстановления фор- формы электрического импульсного сигнала zT(t), зависяще- зависящего от времени, поданного на вход коаксиального кабеля О 2 4 5 8 15 22 t Рис. 15. длины I, по выходному сигналу u(t). Связь zT{t) и н(?) дается соотношением J К (t — т) zT (т) dx = u(t), в котором K(t) — известная импульсная функция D: 6,3) где ц — константа, характеризующая тип кабеля, r\ (t) единичная функция. Возьмем в качестве zT(J) функцию, изображенную на рис. 15 (сплошная линия), и свернем ее с ядром D; 6,3), в котором ц = 3,05-Ю-4, 1=№\ Получим функцию Ш fu(t), изображенную на рис. 16. В узловых точках сетки 'i {*,} внесем в значения u(t{) = ^ К (ti—%) zT(x) dx возмущения по формулам uB,) = u(?() A + б«8), где 6, — случайные числа, _1ч^8(^1. Если положить е = 0,01 ¦ р, то относительная погрешность значений и 0,1 го Рис. 16. u(ti) в сравнении с ц(^) не будет превышать р%. Было взято р == 5. ^ По заданным значениям и{1г) требуется найти при- приближенное к zT{t) решение уравнения j К {t — т) z (т) dx = и (t). Эта задача решалась методом регуляризации на сет- сетке с шагом h = 0,4, 0 *S т < 23. Стабилизирующий функ- 23 цпонал Q[z] был взят вида Q[z] = ] {(z'f + z2}dt. о Краевые условия брались вида z@) = zB3) = 0. При а — 0,00156 получен результат, изображенный на рис 15 штриховой линией. Параметр а определялся по невязке. Рассмотрим обратные задачи теплопроводности. Мож- Можно указать несколько типов таких задач. Мы ограничим- ограничимся двумя из них. Хорошо известна обратная задача теп- теплопроводности, состоящая в решении задачи Коши для уравнения теплопроводности с обратным отсчетом вре- времени. Например, требуется найти решение уравнения ери** = и, для t < Т, если известно его значение при t = Т, 165
f(x) = u(x, T). Это неустойчивая к малым изменениям функции f(x) задача. Одним из устойчивых методов реше- решения таких задач, помимо изложенного выше метода регу- регуляризации, является метод квазиобращения (см. [111]). Представителем другого типа обратных задач теплопро- теплопроводности является следующая обратная задача, имеющая большую практическую важность и приводящаяся к рас- рассмотренному в примере 3 интегральному уравнению. Рассмотрим однородное полупространство х > 0, ог- ограниченное плоскостью х = 0. Пусть начальная темпе- температура в этом полупространстве равна нулю, а темпера- температура на границе есть функция только времени v(t). В этом случае прямая задача теплопроводности состоит в отыскании решения уравнения a2Uxx = м, в области (х > 0, />0), удовлетворяющего условиям: и(х, 0) = = 0, и@, t) = v(t). Ее решение имеет вид , Л Г xv (T) J у Ала (t — 1 о Обратная задача теплопроводности состоит в нахож- нахождении температуры v (t) на границе х = 0 по результа- результатам измерения температуры и(х0, t) на расстоянии хо>О от границы. Эта задача сводится Ъ решению интеграль- интегрального уравнения относительно v(x), т. е. к решению уравнения, рассмот- рассмотренного в примере 3. Задача теплопроводности для обратного времени рас- рассматривалась в [111, 206]. Сходные вопросы рассматри- рассматриваются также в [22, 39, 44, 62, 71]. Глава V О ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЯХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА ТИПА СВЕРТОК Среди интегральных уравнений первого рода часто встречаются уравнения типа свертки K(t)*z(t) = u(t). К таким уравнениям относится, например, уравнение вида J K(t — = u(t). E; 0,1) Метод регуляризации можно, очевидно, применять и к построению приближенных решений уравнений типа свертки. Для этого достаточно указать способы построе- построения регуляризирующих операторов. В гл. II рассмотрен вариационный способ построения таких операторов. В на- настоящей главе, следуя [И, 14, 15], с помощью интеграль- интегральных преобразований для уравнений типа сверток строит- строится широкое семейство (класс) регуляризирующих опе- операторов, легко реализуемых на ЭВМ. Для одного под- подкласса такого класса указывается связь его с Р. О., по- получаемыми вариационным способом. Подробно рассматривается построение Р. О. для урав- уравнения E; 0,1) с использованием преобразования Фурье. Однако все полученные результаты (и их доказательст- доказательства) будут аналогичными для уравнений типа сверток вида 167
где h(v) — функция Бесселя n-ro порядка, требующих применения преобразований Лапласа, Меллнна, Бесселя п др. Поэтому для соответствующих уравнений рассуж- рассуждения и выкладки здесь не приводятся. В § 1 предполагается, что погрешность v(t) правой части иA) имеет аддитивный характер, т. е. u(t) = = ur(t) + v{t). Упомянутый выше класс регуляризирующих операто- операторов строится при весьма слабых требованиях к правой части уравнения u(t) u к погрешности v(t) (и и уе?г) и без учета случайного характера функции v(t). При рассмотрении уклонения (§2) регуляризованно- го решения от точного предполагается, кроме того, что погрешность v(t) (помеха, шум) является реализацией стационарного случайного процесса, не коррелированно- коррелированного с искомым решением zt(t). При этом уклонение оце- оценивается в вероятностной метрике sup[za(?)— zTB)]2, t где черта сверху означает математическое ожидание. Да- Далее рассматриваются регуляризованные решения, полу- получаемые с помощью простейших стабилизаторов р-го порядка. По характеру асимптотики фурье-преобразования яд- ядра уравнения (при ш->-оо) выделяются 4 класса (типа) употребляемых в практике интегральных уравнений типа свертки, для которых при дополнительных предположе- предположениях об асимптотике (при ы-^-оо) спектральной плотно- плотности погрешности v(t) даются асимптотические оценки по а (при а->-0) отклонения регуляризованного решения от точного [9—11, 13] — как части его, обязанной влия- влиянию метода регуляризации, так и части, обязанной по- погрешности правой части. § 1. Классы регулярпзирующих операторов для уравнений типа сверток 1. Рассмотрим уравнение типа свертки z(t)*K(t) = u(t), E; 1,1) в котором K(t) и u(t) — заданные функции, а z(l) — искомая; геF, и & U, F и U — метрические простран- пространства. 168 Полагаем, что при u(t) = uT(t) это уравнение имеет единственное решение zT(f), принадлежащее F, т. е. zT(t)*K(t) бя н,@. Задача заключается в нахождении функции zT(?). Если правая часть известна с погрешностью, т. е. вместо uT(t) имеем функцию u(t) такую, что ри(«т, и) «S б, то вместо нахождения zT можно ставить лишь задачу о нахождении приближенного решения. В качестве при- приближенного решения будем брать регуляризованное ре- решение МО = Д(в, а), где R(u, a) — регуляризирующий оператор. 2. Мы рассмотрим способ построения широкого класса регуляризирующих операторов, получаемых с помощью классических интегральных преобразований. Опишем его. Пусть F и U — некоторые множества функций {FaL\, UaLi) и А — линейный непрерывный оператор с об- областью определения DA zr> F. Рассмотрим уравнение Az = u, u&U. E; 1,2) Полагаем, что оно имеет единственное решение на F. Применяя к соотношению E; 1,2) линейное интеграль- интегральное преобразование $', например, преобразование Фурье (Лапласа, Меллпна и др.), получим f[Az] =f[u] =u(co). E; 1,3) Пусть оператор А таков, что из соотношения E; 1,3) можно определить f[z\ — z(©) в виде z(co) = а|)(и(ш), ш). Если Az есть свертка z(t)*K(t) функций z(t) с некото- некоторой заданной функцией K(t) (ядром) и при применении преобразования f к этой свертке справедлива теорема умножения, т. е. то E; 1,4) 169
где К (а) — преобразование f функции K(t). Формула E; 1,4) справедлива в применении, например, к сверт- сверткам вида оо а) z(t)*K(t)= j K{t — i)z (т) dx, — оо если пользоваться преобразованием Фурье; t б) z (t) * К (t) = j К (t — т) z (т) dx ((<) э z(() =0 для t<CO), если пользоваться одно- односторонним преобразованием Лапласа; в) если пользоваться преобразованием Меллина. 3. Рассмотрим для определенности уравнение вида А% = — т) z (т) rfx = ы (t) E; 1,5) и применим преобразование Фурье. Здесь u(t) ei2(—оо, оо), K{t) eJcL](-oo, oo), z{t) eFcL|(-oo, oo). Если правая часть уравнения E; 1,5) известна при- приближенно, т. е. u(t) = ur(t) -f v(t), где v(t) —помеха (шум), то А'(со) А-(со) "Г А (со)' Так как ит(ы) = Я:(соJт(со), то Эта формула дает нам преобразование Фурье точного решения уравнения E; 1,5) с приближенной правой частью u(t). Казалось бы естественным в качестве при- приближенного решения уравнения E; 1,5) с приближенной правой частью u(t) брать функцию, полученную с по- 470 мощью обратного преобразования Фурье, т. е. функцию оо z (t) = ~ z (со) ехр (— Ш) du> = — оо = ^L j 2т (со) ехр (- Ш) rfco + ^ ) ^gy ехр (- Iorf) dco = Однако такая функция может не существовать, так как последний интеграл может быть расходящимся. В са- самом деле, по свойству преобразования Фурье функции К (и) и v (ы) стремятся к нулю при со-> оо, но это стрем- стремление к нулю «несогласованное», поскольку функция v(t) (а следовательно, и у (со)) обычно носит случайный ха- характер. Поэтому отношение может не иметь обратного преобразования Фурье из-за влияния высоких частот со случайной функции у (со). Но если даже функция и(ы)/К(ы) и имеет обратное преоб- преобразование Фурье w{t), то уклонение функции w(t) от нуля (в метрике С или в L2) может быть сколь угодно большим. Таким образом, в качестве приближенного решения уравнения E; 1,5) с приближенной правой частью нель- нельзя брать точное решение этого уравнения. Такого реше- решения может не существовать, а если оно и существует, то не обладает свойством устойчивости к малым отклоне- отклонениям правой части u(t). Причиной неустойчивости та- такого алгоритма построения «решений» является влияние высоких частот со преобразования Фурье у (со) помехи v(t). Поэтому, если мы хотим строить приближенные ре- решения уравнения E; 1,5), устойчивые к малым уклоне- уклонениям правой части u(t), с помощью обратного преобра- преобразования Фурье, то надо «подавить» влияние высоких ча- частот со, умножая, например, функцию и (со) JK (со). 171
на соответствующий множитель /(м, «У (зависящий от параметра а согласно § 1 гл. II) [11, 14, 15]. 4. Возвращаясь к уравнению E; 1,2), рассмотрим оператор вида Д,(и, «) = /"'[*(«(«в), *>)•/(«, а)], где ^""' — преобразование, обратное преобразованию <^\ а /(со, а) — некоторая заданная функция, определенная для всех неотрицательных значений параметра а и лю- любых со, по которым берется оператор ^""'. Если функцию /(со, а) подчинить соответствующим условиям, то опера- оператор Rj(u, а) будет регуляризирующим для уравнения E; 1,2). В дальнейшем для определенности будем рассматри- рассматривать уравнение типа свертки вида E; 1,5) и в качестве f брать преобразование Фурье. В этом случае E; 1,6) Пусть функция /(со, а) удовлетворяет следующим ус- условиям: 1/) /(со, а) определена в области (а &* 0, —оо < < со < оо); 2/) 0«?/(со, ос) < 1 для всех значений а^О и и; 3,) /(со, 0) = 1; 4,) для всякого а > 0 /(со, а) — четная по со и /(со, a) eL2( —оо, оо); 5/) для всякого а > 0 /(со, «)-*¦() при со->-±оо; 6,) при а-»-0 /(со, а) -+¦ 1, не убывая, причем на вся- всяком отрезке |м| s? coj эта сходимость равномерная; 7,) для всякого а > 0 к .' ¦ е Z,a (— оог с»); 8/) для всякого со =5^= 0 /(со, а) -+¦ 0 при а-»-оо и эта сходимость равномерная на всяком отрезке [соi, сог], 0 <С СО] <С @2. Таким образом, заданием функции /(со, а), удовлет- удовлетворяющей требованиям 1/—8t, определяется однопарамет- рический оператор Rf(u, а) вида E; 1,6). 5. Если уклонение правой части уравнения E; 1,5) оценивать в метрике Z,2(—оо, оо), а уклонение решения z(t) —в метрике С, и полагать, что z(co) ei,(-оо, оо), то справедлива 172 ^ Теорема 1. Если функция /(м, а) удовлетворяет > условиям if—8,, то определенный с ее помощью оператор /?/(ц, а) вида E; 1,6) является регуляризирующим опе- оператором для уравнения E; 1,5). Доказательство. Пусть zT(t) — единственное ре- решение уравнения J К (t - т) 2 (т) dx = и, (О, uu(t) s L2( — оо, оо) и pL»(u«, ит) < б. Оценим модуль разности Az* = Л; (ы6, а) — zT (i): | Д2« | < | Л, (щ, а) - R, (uTf а) | + I Я/ (и,, а) - zT (*) |. Пусть А/?, = Л/(ы4, a)—R,(uT, а), Ага = Д,(цт, а) — —zT(i) и Uj(co) —преобразование Фурье функции u6(t). Тогда 00 Применяя неравенство Коши — Буняковского, получим / (и, «) К {а) По свойствам 6/ и lt интеграл является убывающей функцией от а, стремящейся к -f-oo при а->-0 (а>0). Уклонение Ut,(t) от uT(t) в метри- метрике Ь2, т. е. Pl, (u&, Uj), по теореме Планшереля *) равно ч1 *) Для всякой функции и @ из L2(—°°. °°) справедливо ра- равенство f | и (ш) \2do = = 2л 173
По условию pLJu6l ыт)<б; значит, [АЯ/| Так как ыт(ы) = К(ш)zt(а>), то __ 2л Следовательно, J 2т («) {/ (и, а) — 1} ехр (— f&t) dco -Ш j Мт (со) 11/ (со, а) Так как 0 < /(со, a) ^ 1, ± о,а)- l|dco-f 1 Г 2^J |гт(со)||/(<в, а) — 11 dco. то -f оо ^ j | zT (со) | dco + (Ol Mi ¦^Г j |*т И ||/(ai, а)- Поскольку zT(co)eLj( — оо, оо), то для любого найдется такое coi(e) > 0, что для всякого coi ^ выполняется неравенство ~ j | zT (co)| dco + ~ j | zr (to) | dco < ~. — oo O)i По CBoiiCTBy 6/ функции /(со, а) найдется такое что для a^ao(e) будет выполняться неравенство @,(Е) ^ j |з((в)||/К a)-l|da)<-i-. -Cl)i(E) Если 174 l|dco. е > О ao(e), |то для всех ae[0,5-a0, a0] |АЙ/|^е/3 и, следователь- ,t |Дг*|^е. Теорема доказана. Таким образом, функция za(t) = Rf(и, а), получен- полученная с помощью оператора E; 1,6), является регуляризо- ванным решением уравнения E; 1,5). Функцию двух переменных /(со, а) оператора E; 1,6), обладающую свойствами 1/—8,, будем называть стабилизирующим множителем. Замечание 1. В работе [82], посвященной реше- решению задачи Копга для уравнения Лапласа в полосе, ис- используется стабилизирующий множитель вида /(со, а) = е-^'. Замечание 2. Полагая, / (о), а) = 0. |со|> (a = где h — величина шага сетки, на которой ищется реше- решение уравнения E; 1,5), получим известный метод по- построения приближенного решения уравнения E; 1,5). G. Пусть М(со) —заданная четная функция, причем: а) она кусочно-непрерывна на любом конечном от- отрезке; б) неотрицательна; Д/@) >0и М(ы) >0 при в) для достаточно больших |со| М (со) г) для всякого a > О С> 0; L2(— оо, оо), где Ц<й) = L (со) + аМ (со) (<й)К{—ы)= |Я(со)|2. Полагая f ( \ — ^ (со) получим классы регуляризнрующих оиераторов для урав- уравнения E; 1,5). Каждый такой класс определяется зада- заданием функции М(со). 7. При фиксированной функции М(со) параметр ре- регуляризации а можно находить по невязке. Если уклоне- уклонение правой части u(t) оценивать в метрике Z,2, то квад- квадрат невязки регуляризованного решения za(t) будет 175
вычисляться по формуле оо Pit(Aza,u)= J [Aza-u оо = 2Г J I К И2а (и) - и (со) |2 da = Ф (а;. Так как то ф (а) = J. Г а2Л/8 (со) [» 2л J {? (<о) + а —оо Очевидно, что Ф @) = 0, (<о) + аИ/ (со)}2 и Ф(а) стремится к ||«(*Ща при а-^оо. Кроме того, оо ф/ /ач = J_ Г а?(и)Л/2(со)|ц(шI2^со Q Таким образом, невязка регулярнзованного реше- решения — строго возрастающая функция переменного а, из- изменяющаяся от 0 до || и (t) \\l,- Следовательно, если по- погрешность правой части и4 уравнения E; 1,5) равна б в б <||кб (f)||i,, то существует единственное число а, для которого Ф(а) — б2. Если б ^ | и 4 (t) \\i3, то уравнение Ф(а) = б2 не имеет решения. 8. Очевидно, что Ф (а) зависит от выбора функции Л/(о)), т. е. Ф(а) = Фм(а). При малых значениях а основной вклад в Фм (а) дают большие частоты. Поэтому, если Mi (а) >Л/2(со) для до- достаточно больших со, то для достаточно малых а имеем В частности, если брать Л/1(о)) = а>гр' и М2 (w) = a>lp't 176 То ори р\"> Pi Ф„, (ос) > Ф,„(а)- Решение а уравнения ФР(ос) = б2, очевидно, зависит от р, а = а{р), в при ^i > р2 «(Pi) < «(Рг)- Таким обра- образом, с увеличением порядка регуляризации р а(р) убы- убывает. О практическом нахождении а по невязке следует сказать то же, что было сказано в § 4 гл. II. 9. Легко видеть, что регулярнзованное решение урав- уравнения E; 1,5), определяемое по формуле К (— со) и (со) ехр (— iwt) L (со) + аМ (со) С минимизирует функционал оо ЛГ [2, н] = J (Az - u)* d/ -f aQ [s] со стабилизирующим функционалом вида оо Q[2]= j M (со) | z (со) |2 <to>. Здесь Полагая 00 j tf (i — т) z (t) dx. E; 1,8)" Л/ (со) = где qn — заданные неотрицательные константы и qP > О, по формуле E; 1,8) получим стабилизаторы р-го поряд- порядка. Полагая М(со) = со2', где г — произвольное положи- положительное число, получим стабилизаторы вида 177 Q [2] = В ] | г"> @ |2 Л,
где iL f — т здесь т — целое число, не меньшее целой части числа г, т. е. т > Е[г]; В — положительное число. В качестве М(ы) можно брать функцию, имеющую любой порядок роста при о» —»- оо. Очевидно, подобно рас- рассмотренным примерам, по формуле E; 1,8) можно полу- получить множество других стабилизаторов Q[z]. 10. Целесообразность рассмотрения различных се- семейств регуляризирующих операторов состоит, например, в том, чтобы для каждой конкретной задачи (класса за- задач) выбрать наилучший оператор. Например, такой, ко- который минимизирует уклонение (в заранее определенном смысле) регуляризованного решения za(t) от искомого точного zT(t), или такой, который удобнее при его ма- машинной реализации. Пусть O(zi, 22) —заданный неотрицательный функ- функционал, определенный на множестве функций z, и z%, содержащем регулярнзованные решения za(t) уравнения E; 1,5) и точное решение zT(t) (например, норма укло- уклонения 22 ОТ Z,). Фиксируя функционал Ф(ги z2), можно рассмотреть следующие задачи: Задача 1. При фиксированном стабилизирующем множителе /(со, а) найти такое значение а0 параметра регуляризации а, при котором ФBао, zT) = inf<t>(za, zT). а Задача 2. Пусть iF, = {/(ш, а)}—заданное се- семейство стабилизирующих множителей. Требуется в се- семействе функций &~, найти такую функцию /0(ш, а) н такое значение параметра регуляризации а = аоа, на ко- которых функционал ФBа, zT) достигает минимума, т. е. Здесь zn «on \<х>0 = Д/. (к, аоп). *) Функцию z<r>(t) можно рассматривать как производную нецелого «порядка» г, 178 Регуляризирующий оператор Rto(u, аоп), отвечающий функции /о(о), а) и значению параметра регуляризации а = аоп, будем называть оптимальным на семействе SF',, а а„п — оптимальным значением параметра регуляриза- регуляризации на этом семействе. Регуляризованное решение урав- уравнения E; 1,5), полученное с помощью оптимального ре- гулярпзирующего оператора, будем называть оптималь- оптимальным регуляризованным решением. Иногда не представляется возможным найти в семей- семействе &~t оптимальный стабилизирующий множитель (ал- (алгоритм), но можно указать «близкий» ему (в определен- определенном смысле) множитель. Поэтому представляет интерес Задача 3. Оценить Ф (zauft, za,tf,) при условии P&~(fu U) ^ S, где zaiM = Rh {и, a.,), za,tf, = Ru (и, а2), a pSr(/i, /2) —метрика в STt. Сформулированные задачи (и их модификации) бу- будут рассматриваться в настоящей и в следующей главах. § 2. Уклонение регуляризованного решения от точного 1. Обратимся снова к рассмотрению уравнения E; 1,5). Пусть u{t) = uT(t) + v(t), где v(t) — помеха (шум). Полагаем, что v(t) есть случайная функция, не- некоррелированная с искомым решением zT(t) и ее мате- математическое ожидание равно нулю, т. е. v(t) = 0. Регуляризованное решение можно записать в виде ехр (~ Ш) Следовательно, оо za (t) - zT (t) = ± j {/ (со, a) - 1} ^ ехр (- Ш) rfo, + - E; 2,1) Первое слагаемое в правой части формулы E; 2,1) 179
характеризует влияние регуляризации (ори точной пра- правой части уравнения), второе — влияние шума в правой части уравнения E; 1,5). Пусть 00 Ar (t, а) = ± J {/ (со, а) _ 1} ^ig ехр (- Ш) dco = — оо оо - ^ j {/ (со, а) - 1} zT (со) ехр (- но*) dco; E; 2г2) Тогда МО - zT(t) = ехр (- а)+Аш(«, а). В § 1 настоящей главы было доказано (см. теоре- теорему п. 5), что ЛгB, ос) стремится к пулю при а-*-0, при- причем сходимость равномерная относительно t. Поскольку v(t) — случайная функция, то Лш(?, а) также случайная функция и ее математическое ожидание равно нулю, т. е. AJJTol) =0. Замечание. Если f(t) — случайная функция (слу- (случайный процесс), то функция ь к) =/( называется автокорреляционной функцией процесса /(/)'. Для стационарных случайных процессов автокорреляци- автокорреляционная функция зависит лишь от разности аргументов h — tu т. е. Фурье-преобразование автокорреляционной функции ста- стационарного случайного процесса f(t) называется его спектральной плотностью S((a). Хорошо известно, что на вещественной оси S((o) — четная неотрицательная функция, для которой 5@) S* S(co) и 5'(со)-*-0 при со—»- с» *). *) Свешников А. А. Прикладные методы теории случай- случайных функций.— М.: Наука, 1968. 180 -¦it ш В дальнейшем будем полагать, что v(t) есть реали- реализация стационарного случайного процесса со спектраль- ной плотностью S(со). В этих предположениях дисперсия случайной функции АшA, а) (дисперсия влияния шума) равна o, E; 2,4) где L(co) = В силу свойства 6/ функции /(со, а), очевидно, что о2 (а) растет при а-*-0. Если S(<o) t(— еж, еж), то при а-*-0 о2(а) стремится, возрастая, к конечному значению о2@). Если же S((o) L(co) ф. Lx{— с», с»), то а2(а)-*-оо при а-*-0. Из свойств функции /(со, а) непосредственно следует, что о2(а)-*-0 при а-*-оо. 3. Метрика, в которой оценивается уклонение za{t) от zT(t), выбирается в соответствии с характером инфор- информации о шуме правой части уравнения, которой мы рас- располагаем. Если v(t)—случайная функция, то естествен- естественно использовать вероятностную метрику. Будем оценивать уклонение za{t) от zT(?) по формуле Пусть Тогда i — sup Ar2 (a) = sup A; (t, a), t T, (a) = sup [za (t) - zT (<)]2 = A? (a) + a2 (a). E; 2,5) При a-»0 A? (a)-*-0 (см. стр. 173), а ог(а)—моно- ог(а)—монотонно возрастает. Следовательно, при некотором значении a = a0*) Tf(a) достигает наименьшего значения. Вели- *) Если это значение не единственно, то берем наименьшее из них. 181
чину ао будем называть (С, f) -оптимальным значением параметра регуляризации. Регуляризованное решение, по- полученное при а = ао, будет асимптотически (при а-»-0) наилучшим в смысле vamTt{a) в классе регуляризован- а ных решений, отвечающих заданной функции /(со, а). Представляет интерес выделение таких классов урав- уравнений вида E; 1,5), для которых, пользуясь соответству- соответствующей информацией об искомом решении и шуме, можно определить (С, /)-оптимальное или близкое к нему зна- значение параметра регуляризации а. По самому определе- определению (С, /)-оптимального значения ао, для его нахождения надо уметь вычислять А г (а) и о2 (ос) при малых зна- значениях а, т. е. находить асимптотические представления функций Ar(t, а), А2г(а) и о2(а) при ос —»- 0. Таким образом, возникает задача асимптотической оценки при сс->-0 величин A? (t, а), А, (а) и аг(а). Такие оценки будут даны для некоторых классов уравнений в § 3. 4. На первый взгляд кажется, что упомянутые оценки надо находить для каждого стабилизирующего множителя /(со, а). Однако можно указать такие классы стабилизи- стабилизирующих множителей (см. [14, 15]), что для стабилизи- стабилизирующих множителей из одного и того же класса асимп- асимптотические оценки для А2(?, а), А? (а) и о2(а) при а—>-0 будут одинаковыми. Поэтому достаточно получить упомянутые оценки лишь для простейших стабилизиру- стабилизирующих множителей из рассматриваемого класса. Определение. Стабилизирующие множители /i (со, ai) и Мсо, аг) будем называть асимптотически е-близкими, если для заданного числа е > 0 существует число ао (е) такое, что для ai и аг, меньших ао (е) и таких, что венство Если брать <min[a], a*], выполняется нера- К (а.) ' " <P*) (со) t,^e >• *) | фх (со) — ф2 (со) ||^ — расстояние между функциями cpi(eo) и ф2(со) в метрике L2{— °°, оо). 182 стабилизирующие множители , (со) ft («1 «») + <*!* L(co) определяемые функциями Л/, (со) = Л/2(со) со ,2p E; 2,6) "E; 2,7) где go, 4u ..-, g-p-i^O, являются асимптотически е-близкими при любом значе- значении е > 0. 5. Оценим разность между регуляризованными реше- решениями уравнения E; 1,5), полученными с помощью асим- асимптотически е-близких стабилизирующих множителей /i (со, ai) и /г(со, аг). Очевидно, что I *»,./. С)-*«,;/. С) К 1 =2я J U А (со) А'(со) и (со) | da ^2л|| А (со) А (со) ||l,"« Так как стабилизирующие множители, определяемые функциями E; 2,6) и E; 2,7), являются асимптотически е-близкими при любом е > 0, то при рассмотрении, на- например, регуляризованных решений, получаемых с по- помощью стабилизаторов р-го порядка с постоянными коэф- коэффициентами, достаточно получить асимптотические оцен- оценки функций A? (t, a), A? (a) и o2(a) при a->-0 лишь для регуляризованных решений, полученных с помощью простейших стабилизаторов р-го порядка, т. е. при А/(со)= со2*. § 3. Асимптотические оценки уклонения регуляризованного решения от точного для уравнения типа свертки при a 0 1. Следуя [9, 10], ниже будут получены асимптоти- асимптотические формулы для Ar(t, а) и о2(а) для различных ти- типов уравнений вида E; 1,5). Эти типы определяются 183
характером асимптотики фурье-преобразования ядра /iT(co) при |ш|г*-°°. Мы рассмотрим здесь четыре типа уравнений. I тип. К(а)—рациональная функция, не имеющая нулей на вещественной оси, стремящаяся к нулю при ш-*:оо как А где п — целое положительное число. II тип. Все особые точки функции К (со) (кроме бесконечно удаленной) расположены в ограниченной об- области. Для всякого числа В > 0 интеграл в du> Г(ш) о сходится. При со->-оо /sT(co) имеет асимптотику вида К(<а) =Hexp[-(iAa)Um], где т> 1, А > 0. III тип. При со->-оо /iT(co) пмеет асимптотику вида К(а>) =/7ехр (—Лео2), где Н > 0 и А > 0. IV тип. При |со|-»-оо /iT(co) пмеет асимптотику вида ~ "" 0" ••• 1»|<ц|)А' « раз где Л > 0, п, s, k — целые числа такие, что s > 0, п S» 0; если я > 0, то А — любое, если п = 0, то к > 0, s > 0. 2. К уравнениям с ядрами таких типов сводятся: за- задача вычисления производной n-го порядка (I тип) за- задачи автоматического регулирования (I тип); задачи восстановления электромагнитных сигналов, искажен- искаженных фильтром с сосредоточенными параметрами (ем- (емкость, индуктивность, сопротивление) (I тип); задачи восстановления электромагнитных сигналов, искаженных длинной линией с потерями (кабель, проводящая среда) (II тип, т = 2); задачи восстановления электромагнит- электромагнитных сигналов, распространяющихся по сферической по- поверхности и принятых в области геометрической тени (II тин); задачи восстановления звуковых сигналов, рас- распространяющихся по вязкой среде (III тпп) п многие другие. 3. Будем полагать, что спектральная плотность шума *5(со) при |ш|-*-оо имеет на вещественной оси асимпто- асимптотику вида S (со) = 50/со«,: где а и So — постоянные числа; а "> 0, So > 0. При а = 0 и 5(со) = So имеем «белый» шум, So— характе- характеристика уровня шума. В дальнейшем мы будем рассматривать асимптотику функций Ar(t, а) и о2(а) лишь для стабилизаторов с постоянными коэффициентами Qi(s) = qt = const. В этом случае Af (<о) = со2" + Яр^со2*-2 + ... + Ч0 Цш) ^д стабилизатора р-то порядка). Поскольку стабилизирующие множители , , ,—,,¦¦¦, определяемые функциями Л/, (со) = со2" + + ... +Яо, являются асимптотически е-близкпми при любом е > 0, то согласно § 2 настоящей главы асимптотические оцен- оценки функций Ar(t, а) и о2 (а) достаточно провести лишь для функций М(со) = со2р. 4. Оценка Ar(t, а) для уравнений с ядрами I типа. Для стабилизатора р-то порядка с М(ш) = со2" регуляризованное решение уравнения E; 1,5) с точ- точной правой частью цт(?) имеет вид ^)-тк\ i С Цш) гт (со) ехр (— г'со?) du> или za (t) = j La (t - т) zT (t) d-c = j La (l)zT (t - I) dl E; 3,1) где 184 185
есть четная функция. Поэтому 00 za (t) = J La (I) {zT (t - g) + zT (t + I)} dl E; 3,3) 0 Последний интеграл равен сумме вычетов подынтеграль- подынтегральной функции в ее полюсах (умноженной на 2ш), распо- расположенных в верхней полуплоскости (для t < 0) ив ниж- нижней полуплоскости (для t >0). Полюсами подынтеграль- подынтегральной функции будут лишь нули знаменателя ?(соL- асо2р, которые принадлежат одному из двух типов: 1) нули юia, стремящиеся при а-»-0 к нулям функ- функции Ь((й); 2) нули ©га, стремящиеся к бесконечности при а->0. Рассмотрим вклад тех и других в La(t). Для нулей первого типа имеем coia->-coi при а->0. Если coi — простой нуль функции ?(со), то L (со) ехр (- Ш)) 4 res L (m) °la ,) exp (— го) :4il = K« - oO exp Поскольку / (со) = L (со) Ч ехР H f«Bi - iait) [1 + С (а)] + С [(<в1а - uhy-]. [(со, - TO 0 = Отсюда /(cola) =0 и =0, - со,) Следовательно, «ia — со, = Поэтому res (Мы)вхр(- 'Ц<I {1+0 (а)}. — асо ^- exp(-ico10[l+O(a)] = O(a)exp(—ico^). Если coi — нуль кратности "f, то аналогичными вы- выкладками (в предположении ("f — 1)-кратной дифферен- цируемости функции ?(со)) находим, что в этом случае = 0 (а1^) ехр (— гсо^). I L (со) 4- аы'" Число нулей первого типа конечное и не зависит от а. Поэтому вклад полюсов первого типа coia в функцию Д»@ будет O(a1/Vo), где "fo — наивысшая кратность нулей функции L(co). 5. Рассмотрим вклад полюсов второго типа сог». По- Поскольку со2а—*-°о при а—>-0, то при достаточно малых a можно пользоваться асимптотическим представлением функции ?(со), т. е. полагать ?(со) = |/4|2/со2п. Поэтому гез ехр (— L (со) 4- Таким образом, вклад Lza{t) полюсов второго типа в La (?) равен (для t ^ 0) М |2Ч( f) где суммирование производится по всем корням второго типа уравнения ?(со) 4- асо2р = 0 (лежащим в верхней полуплоскости). При малых а эти корни можно заменить .Лк) корнями ола уравнения 136 E; 3,4) 187
Поэтому = _ -у ш^ ехр (- , 2? для t ^ 0. Аналогично, E; 3,5) E; 3,6) для t 'S* 0. Здесь суммы берутся по всем корням уравне- уравнения E; 3,4), расположенным в верхней (соответственно нижней) полуплоскости для t <0 (t>0). Корни (о(в при а->0 стремятся к бесконечности вдоль лучей argco = 2L+J п) и Ш-\ Заметим, что п + р корней уравнения E; 3,4) находятся в верхней полуплоскости, п п -f- p корней — в нижней. Заменяя в формуле E; 3,3) La(t) через Ь2а(г), по формуле E; 3,6) получим для t > 0 E; 3,7) или E; 3,8) Используем для оценки интегралов асимптотическую формулу оо J/ (* ± I) Р ехр (- РЕ) dl = / @ + -i- /' @ + О (JLj, справедливую при больших значениях Re [5 > 0 и уста- устанавливаемую путем двукратного интегрирования по час- частям. При этом полагаем Р = icoW. Так как в формуле E; 3,7) суммирование производится лишь по корням уравнения E; 3,4), расположенным в нижней полуплос- 13S кости, то Re(icoW)>0. При этом полагаем f(t) =zT(f). Получим *. о=i 2 Поскольку +f-»«; v]+ TO i sin - При этом мы воспользовались соотношениями: 9 9 cos № я) - 0, 2 2? Таким образом, справедлива асимптотическая (при а->0) формула E; 3,9) Следовательно, справедлива Теорема 2. При использовании регуляризации р-го порядка для уравнения E; 1,5) с ядрами первого типа справедлива асимптотическая (при а-»-0) формула E; 3,9) [10]. Эта формула справедлива, в частности, и для стаби- стабилизаторов нулевого порядка, т. е. при р = 0. Известно [191], что при использовании стабилизато- стабилизаторов нулевого порядка регуляризованное решение za(t) уравнения с правой частью щA), вообще говоря, не бу- будет равномерно на (—оо, оо) аппроксимировать точное •) Полагаем, что to < 2j. 189
решение zT(t) при а-»-0. Из полученного выше резуль- результата (формула E; 3,9) при р == 0) получаем Следствие. Если производная искомого решения zr(t) уравнения E; 1,5) с ядром I типа и с правой частью u = u^(t) равномерно ограничена на (— оо, со), то регу- ляризованное решение za(t) уравнения E; 1,5), получен- полученное с помощью стабилизатора порядка р (р = 0, 1, 2, ...), при а-* 0 равномерно на всей прямой (—со, со) аппрок- аппроксимирует точное решение zT(t). 6. Оценки Лг(?, а) для уравнений с ядрами II—IV типа. Для уравнений с ядрами II—IV типов справедливы следующие теоремы: Теорема 3. При использовании стабилизаторов р-го порядка с постоянными коэффициентами для получения регуляризованного решения уравнения E; 1,5) с ядрами II типа справедливы асимптотические (при а—»-0) фор- формулы [10]: ?Г)]' E; 3'10) 2JJ+1OJt где E; 3,11) Ы' Р« =ln Теорема 4. При использовании стабилизаторов р-го порядка с постоянными коэффициентами для получения регуляризованного решения уравнения E; 1,5) с ядрами III типа справедливы асимптотические (при сс-»-0) фор- формулы [10]: 2Р+1 E; 3,13) 190 Теорема 5. При использовании стабилизаторов р-го порядка с постоянными коэффициентами для получения регуляризованного решения уравнения E; 1,5) с ядрами IV типа справедливы асимптотические (при а—>-0) фор- формулы [10]: E; 3,14) 9 sin 2Р + 1 (',«) = 1 \ -я) dt'P E:3,15) s раз Доказательства формул для Ar(t, a), о которых идет речь в теоремах 3—5, производятся аналогично доказа- доказательству теоремы 1 путем вычисления соответствующих интегралов с помощью вычетов, но носят более громозд- громоздкий характер (см. [10, 13]), поэтому мы не будем их здесь приводить. 7. Оценка о2(а) для уравнений с ядрами I—IV типов. При L (со) ' L (со) + аМ (со) формула E; 2,4) принимает вид 1 Г L (со) S (со) da о2 (а) = {L (со) + а.М (ы)}2 E; 3,16) Из этой формулы непосредственно следует, что для урав- уравнения с ядрами I—IV типов (для I и IV типов полагаем п > max (а; '/г)) о2(а)->-оо при а-»-0. С другой сторо- стороны, при любом фиксированном а > 0 интеграл E; 3,16) сходится. Следовательно, при достаточно малых значе- значениях параметра а основной вклад в интеграл E; 3,16) дают большие частоты со. Имея это в виду, представим .191
интеграл E; 3,16) в виде суммы двух интегралов о аь Число соо возьмем настолько большим, чтобы для со > «о функции ?(со) и S(со) можно было заменить их асимп- асимптотическими представлениями. Тогда при М(со) = со2'' имеем о* (а) = 2 J j 2л о Полагая 5@) = D-Sn (D > 0) и имея в виду, что для всякого о) 5 (со) =^ 5@), непосредственно находим, что при а-*-0 I = Sn'° Здесь 5», (со) ц ?ас(а>) —суть значения функций 5(со) и /у (со), вычисленные по их асимптотическим формулам. Следовательно, оЦа)¦ =,S0-O(i)+I, E; 3,17) и задача сводится к оценке (при а->-0) интеграла 2n2J( E; 3,18) Для уравнений с ядрами I типа интеграл 7, имеет вид со / _ 1 —со2 и заменой •? = , , со^9 вычисляется точно. Ползаем 2? sin ——:• E; 3,19) 2? 192 Таким образом, справедлива Теорема 6. Для уравнений с ядрами I типа диспер- дисперсия влияния шума в регуляризованном решении о2 (а) вычисляется по формулам E; 3,17), E; 3,19) и при а->-0 стремится к бесконечности. 8. Для уравнений с ядрами II типа имеем L-Sda, 2Д2 где соо выбирается как в п. 1. При а-*-0, очевидно, L-S da> Таким образом, (L о2(а) = - = S0.O(l). E; 3,20) где , _1_ 2 2n2 СОо Подынтегральную функцию в 7г можно записать в виде to~2aF((o, a). Функция /^(со, а) имеет четко выра- выраженный максимум, положение которого coi стремится к бесконечности при а—»-0. Для оценки 7г можно восполь- воспользоваться методом перевала. Число coi находим из уравне- уравнения <9F(co, a)/3co = O, которое можно записать в виде (со) — К\ (со) К\ (со) — грм^ К1 (со) = 0, E; 3,21) где К, (со) = Я ехр [- 0,5.Ст {Аа>)"т] = {L (со)}1/2. Так как при больших значениях со <аК[ (со) > Кх (со),. то уравнение E; 3,21) можно заменить уравнением ?(со) =асо2р. E; 3,22) Нетрудно видеть, что для единственного положительного 1 А, Н. Тихонов, В. Я. Арсении 193
корня этого уравнения a»i справедлива формула E; 3,23) Применяя для вычисления интеграла h метод пере- перевала, получим A) что вместе с формулой E; 3,23) дает \2p+2a-l+l/m ) ,Q \2p+2a-l+l/m r / , ii (тг) 1 + 0(г • E;3'24) Таким образом, справедлива Теорема 7. Для уравнений E; 1,5) с ядрами II тепа дисперсия влияния шума о2 (а) в регуляризованном решении, получаемом с помощью простейшего стабили- стабилизатора р-го порядка (Л/(а>) = а>2р), вычисляется по фор- формулам E; 3,20), E; 3,24) и стремится к бесконечности при а-»-0, как 12. 9. Аналогичным образом устанавливаются следующие теоремы. Теорема 8. Для уравнений E; 1,5) с ядрами III типа дисперсия влияния шума о2(а) в регуляризованном решении, получаемом с помощью простейшего стабили- стабилизатора р-го порядка, вычисляется по формулам 02(а)=5о.ОA)+7з> E; 3,25) где с /О/(\2р+2а /¦ ^= " ^ ' п-гр-го-1 уз = 77= Рз 8 У я3-а L \Рз/ Теорема 9. Д^гя уравнений E; 1,5) с ядрами IV гцпа дисперсия влияния шума о2 (а) в регуляризованном решении, получаемом с помощью простейшего стабили- стабилизатора р-го порядка, вычисляется по формулам о2(а) = 50-ОA) + /4, * "E; 3,27)' где 2g sin 1 \\« E; 3, 28) 194 I 10. Пользуясь формулами E; 3,9) —E; 3,15), E; 3,17), 'E; 3,19), E; 3,20), E; 3,24) —E; 3,28) и сохраняя в них лишь главные члены, нетрудно найти приближение к (С, /)-оптимальному значению а = а. Так, если восполь- воспользоваться формулами {5; 3,9) и E; 3,19), то получим -тг , а также оценку Пользуясь условием Ar (a) = oa (а), также можно най- найти значение а, близкое к (С, /)-оптимальному. Это зна- значение будем называть почти оптимальным и обозначать ссш,. Для нахождения апо надо внать точные верхние гра- границы для |zT(i)| или для Пусть, например, Тогда из формул E; 3,9) и E; 3,19) находим = 1 А\*. 2a-i sin' sm 2П—2o+8 Замечание 1. Если априори известна информация о верхней границе модуля первой производной точного решения |zT(?)|, то для определения а и апо следует пользоваться формулами E; 3,9), E; 3,10), E; 3,12), E; 3,14) и соответственно формулами E; 3,19), E; 3,24), E; 3,26), E; 3,28). Если же мы располагаем информа- информацией о модуле производной некоторого Bро+1)-го по- порядка, то для решения задачи надо пользоваться стаби- стабилизатором порядка ро, а для определения а и ап0 — соот- 195
ношениями E; 3,9)', E; 3,11)', E; 3,13), E; 3,15)' и соот- соответственно E; 3,19), E; 3,24), E; 3,26), E; 3,28). Замечание 2. Для некоторых из рассмотренных в этой главе случаев в [49] содержатся другие оценки ук- уклонения регуляризовапного решения от точного, когда () В работе [86] рассматриваются асимптотические оценки уклонения регулярпзованиого решения от точно- точного для одномерного интегрального уравнения вида (В; 1,1) не типа свертки. Глава VI О НЕКОТОРЫХ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩИХ ОПЕРАТОРАХ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА СВЕРТКИ 1. Будем считать, что правая часть u(t) уравнения 00 Az == j К (t — т) z (x) dx = и (t) F; 0,1) — о* содержит случайную помеху (шум) v(t) и, следователь- следовательно, является случайной функцией. Регуляризованные ре- решения уравнения F; 0,1) za{t) = Rj(u, a) также будут случайными функциями. Их уклонения от точного решения zT(t) (или между собою) будем оцени- оценивать, как и в гл. V, в вероятностной метрике и полагать a, ZT) "F; 0,2) где черта сверху означает математическое ожидание. Определив таким образом метрику в F, будем рас- рассматривать регуляризованные решения, полученные с по- помощью стабилизирующих множителей вида а) - 2. В настоящей главе среди таких регуляризованных решений будет найдено оптимальное в смысле метрики F; 0,2). Будет показано, что оператор винеровской опти- оптимальной фильтрации является регуляризирующим опера- оператором класса, описанного в гл. V. Для уравнений с ядрами I — II типов (см. гл. V, § 3) будет найдено оптимальное регулярпзованное решение в классе решений, получае- получаемых с помощью простейших стабилизаторов р-го поряд- порядка (М(ы) =<в2р), и изучены отклонения неоптималь- неоптимальных решений от оптимального [11, 14]. 197
3. Следует отметить, что при рассмотрении уравнений Az = и относительно функции z, зависящей от одной пе- переменной t, возможны две постановки задачи. В первой постановке функцця и = uT(t) является де- детерминированной и требуется найти детерминированное решение zT(?). Если вместо функции uT(t) нам известно ее 6-приближение u(t) = щA) + v(t) такое, что ри(и,иг)^ < б, то речь может идти лишь о нахождении прибли- приближенного к zT(t) решения. Помеха v(t) обычно является случайной функцией. Во второй постановке uT(i) есть реализация случай- случайного процесса и требуется найти реализацию другого случайного процесса z?(t), связанного с первым соотно- соотношением AzT = uT. Если вместо ur(t) мы имеем u(t) = = ur(i) + y(i), где v(t)—помеха (шум), являющаяся также случайным процессом, то ищется приближенное к zT(?) «решение». При решении этой задачи существенным является ис- использование дополнительной информации об искомом ре- решении и шуме. Возможны случаи, когда: а) известны спектральные плотности решения и шума; б) известны законы распределения вероятностей ре- решения и шума. В настоящей главе упомянутые выше оптимальное регуляризованное решение и оценки уклонения неопти- неоптимального регуляризованного решения от оптимального даны в применении ко второй постановке задачи при ис- использовании априорной информации типа а). Это сдела- сделано в предположении, что v(t) и искомое решение явля- являются реализациями некоррелированных между собой слу- случайных процессов. Через S(a) и N(a>) будем обозначать соответственно спектральные плотности этих процессов. Будет указан способ приближенного нахождения асимптотических представлений функций S(a) и iV(co) при со-»- оо. § 1. Оптимальное регуляризованное решение. Связь метода регуляризации с оптимальной фильтрацией по Винеру 1. Пусть zT(t) есть точное решение уравнения F; 0,1) с правой частью u = uT(t), т.е. AzTs=uT(t). Полагаем, что u(t) = u?(t) -f- v(t). Будем рассматривать 198 егуляризованные решения уравнения F; 0,1) вида ОО m Г z«@= J l (ю)-I-«Af (<в) ехр (- гсоП dco = Rm (и, а), где функция F; 1,1) принадлежит ?,(-«,, оо) ппи всяком ф ц ?$&& ком а>0 Оператор Д«(и, а) определяется зада- задав виде свертки нием I где сяком а>0 Операр «(, ) функции М(со). Его можно записать в виде свертки RM (и, а) = j La (t - т) и (т) dxt _1 Г - 2я J 1 L (w) + aM (со) 2. Среди операторов такого вида_можно_н^ти опера- оператор Дм. (в. а)- минимизирующий [М*)-*@]2. Всамои деле, очевидно, что za (t) - zT @ - Тл 00 L (ы) + o.M (со) — zT (со) ехр (— Ы) da = __ — 2T (со) I ехр (— Ш) da = 4 f 2S J zT (со) 0Х , так как ит(со) = ^(соJт(со). Поэтому 199
1 f - Q.M (со') гт (со') + К (— со') у (со') Тп J ' (со) М (со') zT (со) ?т ((й')+К(—ш)К(—со') у(со)у(со') [L (со)+аА/ (co)J [L (со') -f а Л/ (со')] Х X ехр [— i (со + со') t\ da da' так как i>(co) = f(co') = 0. Для стационарных случайных процессов zT(co ) • zT(co') = Л'(со) б(со + со') и у(со) у(со') = = S(со) б (со + со'), где б (со + со') есть б-функция. Интег- Интегрируя в последнем двукратном интеграле по переменной со' и пользуясь свойством б-функции и четностью функ- функций М(ол) и Ь(а), получим величину уклонения Т (аМ) = а2М2 (со) Лг (со) -I- /Лео) S (со) [i (со) -j- aM (co)Ja . F; 1,2) Из условия минимума этого функционала на функци- функциях М(со) элементарными вычислениями находим, что ми- минимум достигается на функции М (со) = Мо (со) = — ^21, v ' ° v ' а Л'(со)' min [za(f)—; _^ ^(м)[?(со) + аЛ/о(со)]2 Таким образом, оператор Ru(u, а) вида F; 1,1), ми- минимизирующий уклонение F; 0,2) регуляризованного ре- решения za(t) от точного zT(t) и отвечающий функции не зависит от а и имеет вид со п ,,л 1 Г К (— со) и (со) ^М» (Ц) = п J ~ 200 -оо L (СО) ехр (— Ш) da. F; 1,3) (со) ,, Приближенное (регуляризованноеУ решение уравне- уравнения F; 0,1) zou(t), получаемое с помощью этого операто- оператора, не зависит от параметра а и представляется фор- формулой оо ,., 1 Г К (— со) и (со) . . .ч j /Q . /ч 2on@ = 2H" J — '-~^-ехр (-iat) da. F; 1,4) Мы будем называть его оптимальным регуляризованным решением уравнения F; 0,1). Оно совпадает с резуль- результатом применения оптимальной фильтрации по Винеру для нахождения z(t) no u(t) = uT(t) -j- v(t) [220]. По- Поэтому оператор Rmo(u) будем называть также оператором оптимальной фильтрации по Винеру. Замечание. Для получения оптимального регуляри- регуляризованного решения требуется знать спектральные плот- плотности шума и искомого решения. В практических зада- задачах, приводящих к уравнению F; 0,1), часто имеется ин- информация, позволяющая находить S(a) (хотя бы приб- приближенно). О спектральной плотности решения Л'(со) обычно делаются какие-то предположения, пригодность которых потом надо проверять. Однако," в ряде случаев в конкретных задачах спектральная плотность искомого ре- решения известна. Это имеет место, например, при радиоло- радиолокации. В § 3 настоящей главы при дополнительном предпо- предположении об эргодичности рассматриваемых случайных процессов дается способ приближенного определения асимптотик функций 5(со) и N(a) при со->-оо. 3. Формула F; 1,1) определяет одноиараметрические семейства (классы) линейных регуляризирующих опера- операторов. Каждое такое семейство определяется заданием функции Ж (со), удовлетворяющей условиям а) —г) гл. V, § 1. Таким образом, мы установили справедливость следующей теоремы. Теорема I. Среди функций М(а>), обладающих свойствами а)—г) гл. V, § 1, существует такая функция Л/о (со), что однопарпметрическое семейство регуляризи- регуляризирующих операторов Rm,,(u, а.) содержит в себе оператор оптимальной фильтрации по Виперу. Значение теоремы 1 состоит во-первых, в том, что оператор оптимальной фильтрации включается в семей- семейство устойчивых операторов, непрерывно зависящих от 201
правой части u(t) уравнения (б; 0,1). Следовательно, оператор оптимальной фильтрации устойчив, т. е. непре- непрерывен по ц на всякой фиксированной точной правой ча- части. Во-вторых, из этой теоремы и § 3 гл. V следует, что малым уклонениям функции Ж(со) от S(a) /N(a) (в смы- смысле асимптотической е-близости соответствующих множи- множителей /(со, а)) отвечают малые уклонения регуляризован- ного решения от оптимального. Это открывает возможно- возможности получать приближенные решения уравнения F; 0,1), близкие к оптимальному, используя более простые алго- алгоритмы построения регуляризованного решения. Спектральную плотность шума S(со) во многих слу- случаях можно вычислить (обычно приближенно), исполь- используя информацию о шуме, а спектральная плотность ис- искомого решения N(a>) неизвестна. Поэтому пользоваться для построения приближенного решения оператором оп- оптимальной фильтрации, как правило, не представляется возможным. В связи с этим представляет интерес возмож- возможность заменять оптимальный регуляризирующий оператор (оператор оптимальной фильтрации) близким к нему оператором, используя меньшую априорную информацию для его построения. В § 3 настоящей главы для уравне- уравнений I и II типбв будет показана возможность сколь угодно точного нахождения асимптотик функций S(a>) и Л'(со) по семейству регуляризованных решений в пред- предположении, что рассматриваемые стационарные случай- случайные процессы — эргодические. При этом будут использо- использоваться простейшие регуляризирующие операторы порядка р(М(а>) = со2р). 4. Если М(га) = со2р (р не предполагается целым, р^О), то Т(аМ) будет функцией параметров а ж р. Будем обозначать ее через Т(а, р). Полагая в формуле (б; 1,2) Д/(со)=ы2р, получим L-S-dm a2w4piV-dco Каково бы ни было р > 0, при а-*-0 второй интеграл формулы (б; 1,5) 202 Г u2(Oip-N-dti> монотонно стремится к нулю *) а интеграл (L + монотонно возрастает. Кроме того, А2(оо) = оо и о2(оо) = 0. Поэтому для всякого фиксированного значения р функция Г (а, Р) = а2(а) + Аа(а) имеет минимум при некотором значении а = ар.о. **). Это значение будем называть р-оптималъным значением параметра регуляризации а. Оно определяется из условия дТ/да, = 0, которое имеет вид Г Г S-L-(O2pde> (L + асо2?K (б; 1,6) Очевидно, что ар.о. есть функция от р, ар.г- =а(р). Сле- Следовательно, Т(ар.0.,р) =ф(р). "F; 1,7) 5. Изучим некоторые свойства функции ty(p). Мы сде- сделаем это для уравнений с ядрами K(t), фурье-преобразо- вания которых на вещественной оси при со—»-оо имеют асимптотику одного из следующих видов: 1) К(ш) = -^, п>0 A тип); 2) , v>0, Я > 0, m > 0 (II тип); 3) К (со) = Н ехр (— Лео2), А > 0, Я > 0 (III тип); А n>0 4) со (In In ... In со)я раз (IV тип). Кроме того, будем полагать, что спектральные плотно- плотности N (со) и S (со) при со-»-оо на вещественной оси имеют *) Это доказывается так же, как и для Ar(f, a) в гл. V. **) Если это значение не единственно, то берем наименьшее из uux. 203
асимптотические представления вида iV(co)=-J°, b>0; S (и) = § 2. Свойства функции $(р) для уравнений с ядрами I—IV типов Рассмотрим асимтотическпе оценки интегралов i i 1. Ядра I типа. Повторяя рассуждения § 3 гл. V, находим A2 (a) = —, a2m4piVaf, da, ¦0E,), где символы /ac, как и прежде, означают, что /(со) для всех значений со вычисляется по асимптотической форму- формуле. Таким образом, 2л2J (L о ч 2л2 | Aa 1 = p + n. Этот интеграл вычисляется с помощью замены х = = j со29 *). Поступая таким образом, получим I A \ Д2 (а) = ^2 A _ Y) ^_L_ (JL-V + о (а2), F; 2,1) 26-1 где у 2A ' Аналогично вычисляется о (а): 6; 2,2) *) Рыж и к И. М., Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений,— Изд. 5-е,— М.; 1971, стр. 307, 204 где 2п — 2а + 1 Следовательно, при а->0 для ядер I типа имеем Т (а, р) = Сх F; 2,3) где Anq sin 4л? | |2 s in Предположим, что неотрицательные числа р, п, b, a удовлетворяют условиям О < ч < 1, 0 < ц < 1 и Ь > 2а, F; 2,4) из которых следует, что 1) 2Ь > 1; 26 <2ге +2р + 1; 2) 2а< 2ге + 1; 2р> 1 — 2а. Из этих требований следует, в частности, что в случае «белого» шума (а = 0) надо использовать рсгуляризиру- ющий алгоритм порядка р > '/2- Числа Ъ и ге характеризуют порядок гладкости искомо- искомого решения и ядра K(t). Как показывает неравенство 26 < In + 2р + 1, в случае, когда п <.Ъ, порядок регуля- регуляризации р нельзя выбирать произвольным. Отметим, что числа р, re, b, a — не обязательно целые. Пользуясь формулой F; 2,3) и удерживая лишь глав- главные члены, из условия дТ/да = 0 находим р-оптимальное значение a*): F; 2,5) или = UI NAA\l У _JLlzif!ilLV?Y . F; 2,6) 2 V 1 — у Sill ЦЯ V ¦ *) Такое же значение а получим и из уравнения F; 1,6), вычи- слля в нем интегралы с помощью той же заменых = -—-g- o> ч, I А | 205
Подставляя это значение ар. 0. в формулу F; 2,3), по- получим ^jCu F; 2,7) или — fi) sin yn У v+n J Адл sin yn \ у A — у) sir F; 2,8) Очевидно, что f = ч(р), H = ^0?) l'(/;) — эт0 минималь- минимальное из возможных (при различных значениях параметра регуляризации а) средних значений квадрата, уклонения регуляризованного решения za(t) от точного zT(i) при пользовании простейшей регуляризацией р-го порядка. Как этот минимум уклонения будет изменяться с измене- изменением р? Ответ дает Теорема 2. Для ядер I типа функция г[з(р)обладает следующими свойствами: 1) имеет единственный минимум при р = р0 = b — а; 2) монотонно возрастает в области р>рои прир-*- -*¦ оо стремится к конечному пределу \|з(оо), равному ¦ф (оо) = sin р„) .; • B6 — IJ 1 У а-у)' F; 2,9) , F; 2,10) Доказательство. Вычисляя логарифмическую про- производную функции ty(p), находим V (р) = 4' (р) УМ (V + где Ф(Y. ц) = Поскольку 206 1 ¦ sin (уя) -sin (ця)' A удовлетворяют условиям 0< 0 < ц < 1, функция \|з(р) положительна для всех значе- значений р. Функция <р(ч, ц) ПРИ упомянутых органичениях на 1, ц обращается в нуль лишь при 'у(р) +^(р) = 1> т. е. при р = ро = Ь — а. Свойство 1) доказано. В области р > ро <р(ч, Н*) остается положительной. Следовательно, \|з(р) в этой области монотонно возрастает. Пользуясь формулой F; 2,8), непосредственным пре- предельным переходом находим тч~' Ио 2я2 B6-1) С другой стороны, ^ ^о; ~ 2л sin (я7о) \ 7VQ | Л |2 j ^0 B6 - 1) Из этих формул следует F; 2,9). Свойство 3) уста- устанавливается непосредственным вычислением, исходя из формулы F; 2,8). Следствие 1. Для произвольного р > р0 выполня- выполняется неравенство < i-V Таким образом, наименьшее квадратическое уклонение отвечающее регуляризации произвольного порядка Р > Ро, мало отличается от наименьшего квадратического уклонения \|з(ро), отвечающего регуляризации оптималь- оптимального порядка р0. Следовательно, при достаточно малых значениях у0 можно пользоваться регуляризацией произ- произвольного достаточно большого порядка р > р0. Отметим, что при этом параметр регуляризации а надо брать рав- равным <ХР. о. Оператор 00 4m j K(t-x)z (т) dn — 00 будем называть сильно сглаживающим [10, 11], если п много больше чисел 6 и а, т. е. /г > max {b; a). Следствие 2. Для сильно сглаживающего операто- оператора Az минимум среднего значения квадратического укло- уклонения регуляризованного решения от точного, т. е. функ- функция §{р), слабо зависит от порядка регуляризации р. 207
Действительно, в этом случае число _ 26 — 1 "^ ~~ Чп -;- 26 — 2а мало. Простейший стабилизатор порядка р0 будем называть наилучшим простейшим стабилизатором. Следовательно, для сильно сглаживающего оператора Az в вычислитель- вычислительной практике можно пользоваться простейшим стабилиза- стабилизатором произвольного достаточно большого порядка р (р^>Ро), а ие обязательно наилучшим. ( О А Л Замечание 1. Отношение х-—¦ же оценить, пользуясь свойством 3) функции теоремы 2. Получим ч> (р) - ч> (р„) _(p-p,)'y(*-y можно так- такиз B/,-lJ|sin2(JlJ/) . Значение а = ар.о. (р), отвечающее регуляризации по- порядка р = ро, будем называть оптимальным значением па- параметра регуляризации и обозначать аопт = ССр. о (/?!)). Очевидно, для уравнений с ядрами I типа «опт = 5о/Л/о. Регуляризованное решение zonT(i), полученное регуля- регуляризацией порядка р = ро при а = аопт, совпадает с функ- функцией z0. ф. (?) полученной оптимальной фильтрацией по Винеру, т. е. zonT(t) = го.ф. (i). Замечание 2. Из формул F; 2,1) и F; 2,2) сле- следует, что при р = р0 и а = аипт имеем g ("опт) Л* Кпт) 26 2п~2а У- Следовательно, для сильно сглаживающих операторов (п 3> а; Ь) при использовании регуляризации оптималь- оптимального порядка ро с оптимальпым значением параметра ре- регуляризации (а = Оопт) главным в величине уклонения Т (аопт, Ро) является вклад регуляризации, а не шума. 2. Ядра II и III типов. По соображениям, указан- указанным в начале п. 1, уравнение F; 1,6) для определения 208 | а„. о. можно заменить уравнением ("» о2Р-2аЛас (со) do т. F; 2,11) Интеграл 7, = 1 вычисляется методом перевала и равен где /i (со, а) —вторая производная по со. Здесь oj есть корень уравнения Очевидно, что coj скольку ^2Ь) = «i (а) и со^а) -»- оо цри а->0. По- По{/^ («•) + ¦ то интеграл также вычисляется методом перевала и равен 19 = ! ^-^-„ | I / Г7Г- П wf Подставляя значения I] и /2 в формулу F; 2,11) и удер- удерживая лишь главные члены, получим следующее уравне- уравнение для определения ар.о-: с а = -^ {щ (а)}-2 ПрИ р = ро получаем а0Пт = 209
В п. 1 мы видели, что чем больше п, т. е. чем выше порядок убывания К(а) при со-*-оо, тем меньше разность $(Р)— $>(Ро) для р > ро, т. е. тем слабее влияние порядка регуляризации р на функцию \|з(р) и, следовательно, тем с большим основанием оптимальный порядок регуляриза- регуляризации ро можно заменить произвольным порядком р > р0. В случае уравнений с ядрами II и III типа порядок убывания функции ЛГ(«) при со-»-оо более высокий, чем у любой степени с отрицательным показателем <в"п. Поэ- Поэтому оператор Az с ядром II или III типов можно рассмат- рассматривать как сильно сглаживающий. Следовательно, к нему применимо следствие 2 теоремы 2 настоящего параграфа. В случае уравнения с ядром IV типа все определяется величиной показателя степени п, а не числами s и к. Мы не будем приводить соответствующие вычисления [13]. Замечание 3. Результаты, аналогичные изложен- изложенным в §§ 1, 2, справедливы и для многомерных интеграль- интегральных уравнений первого рода типа свертки (см. [153,154]). § 3. Определение высокочастотных характеристик сигнала и шума и оптимального значения параметра регуляризации 1. Вернемся к вопросу о нахождении оптимального по- порядка регуляризации р0 и оптимального значения пара- параметра регуляризации аот. Как было показано для урав- уравнений I типа, ро = Ъ — а и а0Пт = So/No- Таким образом, для нахождения р0 и «„„т (а также р-оптимального значе- значения а, т. е. ар. 0) надо знать высокочастотные характерис- характеристики сигнала и шума: No, b, So, а. Во многих практиче- практических задачах характеристики шума So и а можно опреде- определить (приближенно) по результатам наблюдений. Не так обстоит дело с высокочастотными характеристика- характеристиками сигнала No и Ъ. Наше предположение о характере функциональной зависимости спектральной плотности сигнала, т. е. A'(oi), выполняется для широкого круга задач. Однако числа No и Ь, определяющие эту зависи- зависимость при больших значениях со, как правило, бывают неизвестными и не представляется возможным опреде- определить их непосредственно по результатам наблюдений. 2. В настоящем параграфе будет показано, что эти па- параметры можно однозначно определить по семейству ре- гуляризованных решений {za(t)}, отвечающих различным 210 значениям а и построенных при помощи простейшего ре- |туляризирующего оператора М((а) = ю2р, порядок кото- которого р можно выбирать достаточно произвольно. Особенно просто это можно сделать для эргодических процессов [И]. Таким образом, в применении к эргодическим процес- процессам метод регуляризации позволяет найти оптимальное приближенное решение уравнения A) (или близкое к нему), используя существенно меньшую априорную ин- информацию об искомом решении и шуме, чем в методе оптимальной фильтрации. 3. Введем в рассмотрение функцию параметра а: -2» " F (а) = ап+р ) {A*[u(t) - Aza{t)\Lt, •—оо где А* — оператор, сопряженный в L2 оператору А. Оче- Очевидно, что F(oc) > 0 для всех а > 0. Рассмотрим уравнения с ядрами I типа. Теорема 3. Функция F(a) при малых шумах (т. е. при малом Sg) имеет локальный минимум в некоторой точ- точке а = ocmi-n и локальный максимум в некоторой точке а = атах, причем amai < ат1-п- Доказательство. Используя теорему Планшереля, а также выражение для спектральной плотности U(a) правой части уравнения (б; 0,1) U {<a) =L находим 2Р или Число «>о выберем так, чтобы для ю > ю0 функции L(co)', N(a), S(a) можно было вычислять по асимптотическим формулам. Для малых а (L+am^J Ио где 0,25 211
Юо где 0,25 < Вг < 1; = Г ^2^co4Prfo) Г J (L + аш^J ~ JJ CO 2? J 4Р-2Ы-1 -1 И + xf \\A\' где ж° = При а->-0 последний интеграл стремится к интегралу в пределах от 0 до оо, который легко вычисляется и равен „ 2р — 2га — 2Л + 1 1 sin Таким образом, где = ^ («) 2? -4Р+26-1 2? лЛ7 2р — 2п — 2Ь- 2? Аналогично находим, что 00 г __ С LS<oipd(o _ г 2~ J (Л + «со2О2 ~ где -4Р + 2П-2Т+1 |2 > 2р — 2я Следовательно, при малых а F(a) = C,(a)(j^2 Z? при а-*-0. О (Л F; 3,1) 212 где -4Р -4Р 9 Ся(а) = 2С1(а)\А\я , С, (а) = 2С2 (а) | Л Г . Поскольку 1 > 0 и ц > 0, то при а->0 F(a) -»-oo. Для больших а(а> 1) интеграл i u>ipL-Ud<i> заключен между интегралами Ho 2P CO о а (P При a->-oo последний интеграл стремится к бесконечно- бесконечности как ain2v\ Следовательно, -Ola-*) Рассмотрим интегралы по промежутку (ю0, оо): „2P\2 ° .] j ^Ia -4Г>+2Ь-1 = -27а 4Р-2Ы-1 i -I х ^ dx am0 При а->-оо последний интеграл стремится к нулю как -1TI--2M-1 9 . Следовательно, a Г L2N ==c(a } 7 Г 213
Аналогично находим, что ? Таким образом, при а-*-со Оценим производную F'(а) при малых значениях а. Очевидно, что где F1 (a) =, N + S) w4?Vw (L + aw2p)a ' Условие F' (a) = 0 эквивалентно соотношению ИЛИ —+1 9 F + tfF(a) = 0. F; 3,2) Повторяя рассуждения, проведенные при оценке функ- функции F(a) для малых значений а, находим, что для малых а левая часть уравнения F; 3,1) имеет вид c"l(aO(i7Ff~?2(a) где С1, (о)'-»-2 М|-«"«С,о, прп a-*¦(). Сумму (б; 3,3) можно записать в виде Л? + О [аТ)г F; 3,3) (Xi = Поскольку у, ц> 0, и CJC-L > 0, то при ма- малых значениях 50 функция переменного имеет нуль в некоторой точке ai = ai, min такой, что ТОЧКа Omln = ai.mm • |^|2 i/"/-aj лежит в области приме- * нпмостн представления F; 3,1) для функции F(a) (рис. 17). Точка a == amio может быть только точ- точкой локального минимума для функции F(a). Оче- Очевидно, что Omi'n == O!mio(>bo)> lim amin (So) = 0. Из оценки функции ^(a) при больших а видно, что при а-*-со функция F (а) монотонно стремится к нулю (для а^> 1). Из этого факта, а также из того, что при a = aminf (a) имеет локальный минимум, следует суще- существование такой точки а = amai, (amai > ат1Ц), в которой функция F(a) имеет локальный максимум. Очевидно, Опыт = Omai('S'o)- Теорема доказана. amin 4. Следует отметить, что отношение к нулю при So—»-0. Условие стремится 214 "max можно считать критерием малости шума и, следовательно, критерием применимости изложенных результатов к ана- анализу экспериментальных кривых ц((). Для значений р, удовлетворяющих неравенству Ар > 26 - 1, первым членом в формуле для /г(оч) можно пренебречь. 215
В этом случае из условия /г(сч) = 0 находим В случае эргодичеспих процессов функция F (а) опре- определяется без априорных знаний высокочастотных харак- характеристик искомого решения и шума по формуле т -2П — 1 С F(a) = aq lim-j-\ {A* (Aza-и)}* dt. т ~»оо * v О Зная функцию F(a), мы можем однозначно опреде- определить значения параметров /Vo, b; So, a. В самом деле, на участке @, amln) кривая y = F(a) определяется только параметрами a, So, p, п, так как для малых значений а в формуле для F (а) преобладает слага- слагаемое 1> о А Г где -4J> С2(а) 2р — 2а sin 2« 2? при а->0. На участке (атщ, атах) кривая y = F(a) определяется только параметрами УУд, Ь; р, п, так как на этом участке в формуле для F (а) определяющим будет член где (а) С А*) С3(а)=2\А\ 2р - 2п - 2& ' — 2га — 26 + 1 при а->0. Поскольку для эргодических процессов F (а) определя- определяется без априорной информации о высокочастотных харак- 216 теристиках сигнала и шума, то в этих случаях мы можем по регуляризованным решениям определить параметры ¦So, a; No, Ъ. Для произвольных стационарных процессов указанные параметры определяются по семейству регуляризованных решений {za{t)}, содержащему достаточно большое чис- число функций za{t) (например, методом наименьших квад- квадратов). 5. Мы подробно рассмотрели вопрос об определении высокочастотных характеристик сигнала и шума в случае уравнений с ядрами I типа. Если ядро сильно сглаживаю- сглаживающее (п ;§> Ь, а), то можно также полагать в> р. Тогда множитель а п+р в функции F(a) можно записать в виде где pin < 1. Имея в виду сказанное, а также то, что ядра II и III типа суть сильно сглаживающие, для них функцию F(a) можно определить следующим образом: F (а) = а = а--+е'Р {A* [Aza — u\fdt, где е • р «С 1. Определив таким образом функцию F(а) и повторяя рассуждения, проведенные для ядер I типа, мы придем к тем же результатам о возможности определения высокоча- высокочастотных характеристик сигнала и шума. Оценки сходимости регуляризованных решений содер- содержатся также в работах [49, 50, 139]. В [91] рассматрива- рассматриваются условия корректности уравнений типа сверток.
Глава VII УСТОЙЧИВЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ РЯДОВ ФУРЬЕ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ В МЕТРИКЕ lt КОЭФФИЦИЕНТАМИ 1. Задача суммирования ряда Фурье по заданной ор- тонормированной системе функций {фп(?)} состоит в на- нахождении функции /(?) по ее коэффициентам Фурье. В ряде случаев в эксперименте для определения ин- интересующей нас функции /(?), характеризующей изучае- изучаемый процесс (явление), измеряются ее коэффициенты Фурье {«„} по некоторой ортонормированной системе функций {фп@}- Измерения всегда носят приближен- приближенный характер. Таким образом, вместо а„ получают при- приближенные значения коэффициентов Фурье с„. Возника- Возникает задача суммирования рядов Фурье с приближенны- приближенными коэффициентами. Во введении указывалось (см. пример 3), что задача суммирования рядов Фурье не обладает свойством устой- устойчивости к малым изменениям (в метрике /г) коэффици- коэффициентов Фурье, если уклонение суммы оценивать в метри- метрике С, и, следовательно, является некорректно постав- поставленной задачей. Издавна употребляемый метод суммирования рядов Фурье с приближенными коэффициентами состоит в том, что в качестве приближенного значения суммы такого ряда /(?) берется сумма конечного (не слишком боль- большого) числа его первых членов, т. е. полагают 2ф() П=1 Устойчивый к малым изменениям коэффициентов в метрике h метод суммирования, основанный на идее ре- регуляризации, был предложен в [167]. Следуя работе [167], будем называть метод сумми- суммирования рядов Фурье функций /(?)<= F с приближенны- приближенными в метрике h коэффициентами {сп} устойчивым в 218 смысле метрики пространства F, если для любого поло- положительного числа е > 0 можно указать такое число 6(е), что из неравенства П—1 следует неравенство где / и / — результаты суммирования данным методом соответственно рядов п (О- П=1 П—1 2. Обозначим через CD пространство непрерывных в конечной замкнутой области D функций с метрикой С. Будем рассматривать ряды Фурье по системе функций {фп(*)} для функций fit) из Со. Следуя [167] и [12], мы построим в § 1 класс устой- устойчивых методов суммирования рядов Фурье, основанных на идее регуляризации. Задачу суммирования ряда Фурье функции /(?) мож- можно рассматривать как задачу решения некоторого опе- операторного уравнения относительно функции f(t). В са- самом деле, если каждой функции из множества F поста- поставить в соответствие элемент и пространства I2, а имеов- но, последовательность ее коэффициентов Фурье {а„} по системе (фп(?)} (с весом p(t)), т. е. элемент и =з {а„}, то это соответствие можно записать в виде Af = u. G; 0,1) Очевидно, что этот оператор из Со на 1% непрерывен на Со- Следовательно, задача суммирования ряда Фурье, со- состоящая в нахождении функции f(l) по заданной после- последовательности ее коэффициентов Фурье ц= {ап}, сво- сводится к решению уравнения G; 0,1) относительно f(t). Из курса анализа известно, что в классе CD эта задача имеет единственное решение. 219
§ 1. Классы устойчивых методов суммирования рядов Фурье 1. Если нам известны приближенные значения коэф- коэффициентов Фурье искомой функции, т. е. элемента и — правой части уравнения G; 0,1), то речь может идти лишь о нахождении приближенного решения задачи. Поскольку эта задача является некорректно поставлен- поставленной, то естественно для нахождения ее приближенного решения воспользоваться методом регуляризации. В качестве стабилизирующего функционала Q [/] со- согласно [12] возьмем некоторый функционал вида оо Й[/]= 2 tl-ln,: G; 1,1) определяемый заданием последовательности {?„}. Здесь /п — коэффициенты Фурье функции /(?) по полной ор- тонормированной системе функций {фп@} (С весом р(?)>0), а {^„}—последовательность положительных чисел, порядок роста которых при n-t-oo не ниже, чем ге2+е, где е>0. Легко видеть, что для любого положи- положительного числа й>0 множество фупкций f(t)^CD, для которых Q [/] ^ d, является компактом в CD*). Стабилизирующие функционалы такого вида явля- являются естественным обобщением функционалов Q [/], ис- использованных нами в гл. II. В самом деле, пусть {ф„(?)} — полная ортонормиро- ванная система собственных функций краевой задачи вида -37- 1к (*) ф' (Щ — Я @ ф @ + Ч @ = 0, 0 < t < I, где k(t) >0 и q(t) > 0 на отрезке [0, I], а {кп} —сово- —совокупность, собственных значений этой задачи. Тогда ста- стабилизирующий функционал i Q[/l= \ о *) Результат остается справедливым и в случае, если после- последовательность {?„} имеет цорядок роста при п—>¦ ос не ниже, чем nlic, 8 > 0. 220 использованный нами в гл. IV для функций /(*), удов- удовлетворяющих условиям /@) =/(/)== 0, можно запи- запи/«-коэффициенты сать в виде ряда Q [/] = Д Фурье функции /@ по системе {ф„@}- Действительно применяя сям получаем интегрирование по частям, получаем dt- Подставляя Следовательно, Q [/] = j / {?/ - 4"(/с//)) в правую часть этой формулы вмесго функции /(?) ее ряд Фурье n,m=l Так как qtfn -^ (fn(t) и ф,«@ ортогональны, ОО о г л — У f / X ТО п при и =/= т функции = 2 2. Уточним постановку задачи. Обозначим через Ш совокупность всех последовательностей {In}, упомяну- упомянутых выше, отвечающих всем возможным значениям чис- числа е > 0 [12]. Пусть в конечной замкнутой области D ^/-мерного ев- евклидова пространства R'Y заданы полная ортонормиро- ванная (с весом p(f) >0) система функций {ф„@1, где t= (tu h, ..., tN), и непрерывная в D функция f(t), представимая своим рядом Фурье по системе {фв(О J(t)= 2 а„ 221
где = J P @ ? (О Пусть вместо коэффициентов Фурье ап нам извест- известны их приближенные значения сп = ап-\- уп с малыми (в h) погрешностями fn, n-i т. е. вместо последовательности и = {а„} нам дана по- последовательность вв=={с„}, для которой pi, (и, мй) < б. Следовательно, вместо ряда Фурье с точными коэффи- коэффициентами п2апфп@ мы имеем ряд с приближенными коэффициентами во 2спфп@- G; 1,2) п=1 Нашей целью является отыскание в классе Св функ- функции /(?), аппроксимирующей функцию /(?), по последо- последовательности чисел {с„}, близкой (в метрике 12) к после- последовательности {ап} коэффициентов Фурье функции оо т. е. такой, что 2 {°п — ап)г <! б2. При этом аппроксима- П1 П=1 ция должна быть такой, чтобы при б -> 0 рс (/, /) -> 0. В качестве f(t) нельзя брать сумму S(t) ряда,G; 1,2), вычисляемую по правилу S(t) = \im 2 с»фп@, ft-»oo п=1 так как такое суммирование, как было показано во вве- введении, не является устойчивым к малым (в 12) измене- изменениям коэффициентов {сп}. Очевидно, решение надо искать в классе Qu функций из CD, для которых выполняется неравенство Р;2 (Af, u6) < б. Но этот класс не является компактным. Он слишком ши- 222 рок. Необходимо сузить его. Для этого возьмем некото- некоторый фиксированный функционал Qi [/] вида G; 1,1), описанного в п. 1, Qi [/1 = S n=-i где {%„} е т. Пусть Fx — множество функций из Св, для которых определен функционал Q\ [/], и Рб.Ъ = <?* П F%. Приближение функции f(t) будем искать на множе- множестве Ft,, 5 с Co- Corn дальнейшем, для определенности, будем рассматри- рассматривать одномерную задачу. В этом случае t — координата точки на прямой, а область D — конечный промежу- промежуток (а, Ь). Поскольку задача нахождения функции по ее коэф- коэффициентам Фурье сводится к решению операторного уравнения G; 0,1), естественно находить приближение функции J(t) методом регуляризации. Для этого рас- рассмотрим функционал содержащий числовой параметр а (параметр регуляри- регуляризации). Его можно написать также в виде Ма [, /1 = S (fn-cnJ + a 2 fnln, G; 1,3) n=l где /„ — коэффициенты Фурье функции f(t) по системе ,{<р„@} с весом p(t) > 0, т. е. /„ G; 1,4) Для сглаживающего функционала Ма [/, вв] справед- справедливы теоремы 3 § 3 и 5 § 6 гл. II. Доказательства их проводятся так же, как и в гл. П. ^ : Таким образом, существует функция fa(t) из F6i, I реализующая минимум функционала Ма [/, мв] на мно- I жестве Ft, \. Эту функцию и будем принимать в качест- f ве приближения функции f(t). 223
Функционал Qi [/] будем называть стабилизирую- стабилизирующим функционалом для задачи об устойчивом суммиро- суммировании рядов вида G; 1,2). Замечание 1. Если в качестве системы функций (?)} взяты собственные функции краевой задачи ф) — cp|s=O (или ^ где S — граница области D, в которой ищется решение, то функционал fii [/] можно брать в виде или в эквивалентном Еиде их [/] = 2 An, где А„ — собственные значения указанной краевой зада- задачи, а /„ — коэффициенты Фурье функции f(t) по систе- системе {ф„(?)} с весом p(t). 3. Коэффициенты Фурье функции fa(t) по системе {(pn(t)} находим из условия равенства нулю частных производных функционала G; 1,3) по переменным /„ (и = 1, 2, ...). Получим /а,п — ^ Таким образом, искомое приближение функции /(/) можно записать в виде Ja(t) (п, a)cn(fn(t), G; 1,5) где и вычислять /а (t) по правилу ft Ja (t) = lira 2 г К а) с„фп (t). G; ft-» оо П—l 224 4. Формулы G; 1,5)" и G; 1,6)" определяют метод суммирования ряда п=1 устойчивый в смысле метрики С к малым '(в метрике h) изменениям его коэффициентов с„. Действительно, описанная процедура получения функции /<,(?) может быть записана в виде оператора R(u, a), т. е. Этот оператор является регуляризирующим для уравне- уравнения G; 0,1) и, следовательно, обладает упомянутым свойством устойчивости. Заметим, что значение параметра а должно быть взято согласованным с погрешностью исходных данных б, a==aF). Оно может быть найдено, например, из ус- условия pi,(-4/a, «й)= 6,которое можно записать также в виде Обоснование этого проводится совершенно так же, как было описано в гл. П. оо При б2 < 2 Сп таким способом а определяется од- п=1 нозначно, так как функция — непрерывная монотонно возрастающая в области а > 0 и ¦ф(О) = 0. Действительно, V («) = " " , СХ) ОО Так как -ф (а) ^ 2 сп. то при б2 > 2 сп уравнение П—1 11=1 <|з (а) = б2 не имеет решения. 8 А. Н. Тихонов, В. Я. Лрссшш 225
Замечание 2. Сумма исходного ряда 00 2 спфп(О» понимаемая как предел lim 2 М>п (О* ft-»oo п—1 не может служить приближением суммы ряда •о 2 с«фп (t) п-=1 вследствие неустойчивости ее к малым (в метрике 1ч) изменениям коэффициентов сп. С другой стороны, сумма ряда понимаемая так же, как предел h lim k-*<x> ', устойчива к малым (в Z2) изменениям коэффициентов сп и при значении a = aF), согласованном с погреш- погрешностью коэффициентов с„, равномерно аппроксимирует функцию f(t). Таким образом, множители играют стабилизирующую роль. Мы будем называть их стабилизирующими множителями. Если положить A, fc<re, l то получим обычно употребляемый метод суммирования, отмеченный на стр. 218. В этом случае надо взять пос- последовательность {?,,} вида lk < 00 для к<п, |ь = оо для к > /г, ватем положить a = 0. 226 Замечание 3. Если в классическом способе сум- суммирования ряда Фурье путем перехода к пределу при п r*z 00 в частичной сумме 2 Ь-1 число /г брать согласованным с погрешностью б коэффи- коэффициентов {с„}, то такое суммирование будет устойчивым. Замечание 4. Если функция f(t) кусочно-непре- кусочно-непрерывна, то описанный метод дает устойчивый метод сум- суммирования в каждой точке непрерывности /(?)• § 2. Об оптимальных методах суммирования рядов Фурье 1. Располагая обширным классом устойчивых мето- методов суммирования рядов Фурье, естественно поставить задачу нахождения оптимального в каком-то смысле устойчивого метода суммирования. В настоящем пара- параграфе дается решение этой задачи в различных поста- постановках [12]. Приближенно известные коэффициенты подлежащего суммированию ряда Фурье могут содержать неконтроли- неконтролируемые случайные погрешности. Поэтому их можно рас- рассматривать как случайные числа и при решении задачи приближенного суммирования ряда пользоваться веро- вероятностными методами. 2. Будем полагать, что погрешности в коэффициен- коэффициентах Фурье, т. е. числа у„, являются случайными числа- числами, удовлетворяющими требованиям: 1) {Yn} есть последовательность попарно некоррели- некоррелированных случайных чисел; 2) математические ожидания этих чисел равны ну- нулю, т. е. уп = 0 для всех значений п. В этих условиях приближенные значения коэффици- коэффициентов Фурье с„ также являются случайными числами. Для математических ожиданий случайных чисел сп и у% выполняются соотношения Дисперсии случайных величин с„ и уп одинаковы и рав- равны а„ = yl. Мы их будем предполагать известными. 8* 227
Функция fa(t), реализующая минимум функциона- функционала Ма при фиксированной последовательности чисел {|n} e Ш, является, следовательно, случайной функцией. Пусть где 7@ = 2«»Ф*@- 71-1 За меру уклонения функции fa(t) от f(t) можно при- принять математическое ожидание квадрата величины (Afa)i, т. е. величину (Д/«)| •), А) или интеграл В) 3. Итак, пусть мы имеем ряд Фурье с приближенны- приближенными коэффициентами {с„}. Приближенная сумма его, устойчивая к малым изменениям (в Z2) коэффициентов {с„}, как мы видели в § 1, зависит от а и от выбора по- последовательности {§„} из 2Я. Поставим задачу нахождения приближенной суммы, наименее уклоняющейся (при фик- фиксированном а) от f(t) в смысле inf j (Щр @ dt и inf Какая дополнительная информация о коэффициентах с„ и шуме потребуется для этого? Чтобы ответить на этот вопрос, найдем оптимальные в указанных смыслах при- *) Если нам известна плотность распределения вероятности р(х) величины (Д/)|, то математическое ожидание (Л) | вычисля- вычисляется по формуле F 228 ближенные суммы. Для уклонения типа В) имеем i f(A/tt)|p(*)<»-2 ^^п11^},^ =ф(^>- •¦>&.,-..) Уклонение будет минимальным при таких значениях In — tn, при которых производные дф/д%п обращаются в нуль. Из этих условий легко находим, что in- Следовательно, r' (n, a) l + «in r-1-^ Таким образом, оптимальная в смысле минимума В) сумма имеет вид U-^\cncfn(t). G; 2,1) n-i \ сп J Аналогично для уклонения типа А) находим, что опти- оптимальная в фиксированной точке t — to сумма будет иметь вид /о 00 ( 2 И ~ а2 П=1 Таким образом, для получения оптимальных в ука- указанных смыслах сумм ряда с приближенными коэффи- коэффициентами {с„} требуется знать для всех п величины сп и On. Это означает знание точных коэффициентов Фурье ап, так как с\ = а* + о**)- Но в формулы G; 2,1) и G; 2,2) входят лишь отно- отношения al/c'n- В ряде конкретных задач мы можем най- найти приближенные значения этих отношений. Как изме- изменятся при этом суммы G; 2,1) и G; 2,2)? *) Сравните с оптпмалъной фильтрацией по Винеру в главе VI, § 2. 229
Пусть где П=1 По этим значениям получим сумму vL (*А 1 /опт.пр @ = 2d И "~ IT I Cn(Cn ' n=l L \ c« /приблJ Если дополнительно известно, что для всех га ф'@<<?, ТО Таким образом, оптимальное суммирование со стаби- стабилизирующими множителями г' (п, а) = 1 — аЛ/с? 2 /~2 устойчиво к малым изменениям чисел оп/сп в указан- указанном смысле. В [97] рассматривается другой способ устойчивого суммирования рядов Фурье. Глава VIII ОБ УСТОЙЧИВЫХ МЕТОДАХ МИНИМИЗАЦИИ ФУНКЦИОНАЛОВ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ 1. Ряд практически важных задач приводится к ма- математическим задачам минимизации функционалов /(г). Надо различать два типа таких задач. К первому типу относятся те из них, в которых надо находить мини- минимальное (максимальное) значение функционала. К это- этому классу относятся многие задачи проектирования оп- оптимальных систем, конструкций. При этом несуществен- несущественно, на каких элементах z достигается искомый минимум, поэтому в качестве приближенных решений можно брать значения функционала на любой минимизирующей по- последовательности {zn}, т. е. такой, что f(zn) -»-inf /(г) при га-»- оо. Среди задач этого типа имеются и неустойчивые, т. е. такие, в которых сколь угодно малым изменениям исход- исходных данных могут отвечать сколь угодно большие из- изменения минимального значения функционала /(z) (см. пример в гл. IX, § 1). Ко второму типу относятся задачи, в которых требу- требуется найти элементы z, на которых достигается мини- минимум функционала /(z). Их мы будем называть задачами минимизации по аргументу. Среди них встречаются та- такие, в которых минимизирующие последовательности мо- могут быть несходящимися. В этих случаях, очевидно, нельзя брать в качестве приближенного решения элемеп- ты минимизирующей последовательности. Естественно называть такие задачи неустойчивыми, или некорректно поставленными. Некорректно поставленными в указан- указанном смысле являются целые классы практически важ- важных задач оптимального управления. К ним относятся, например, задачи, в которых оптимизируемый функцио- функционал зависит только от фазовых переменных [177]. В настоящей главе мы будем рассматривать устойчи- устойчивые методы решения задач именно второго типа. 231
2. Пусть на некотором метрическом пространстве F задан непрерывный функционал /[г]. Задача минимиза- минимизации функционала / [г] на множестве F состоит в оты- отыскании элемента гое?, на котором /[г] достигает свое- своего наименьшего значения /о: /[z,,|-=/0. (8; 0,1) Предположим, что существует единственное реше- решение z0 этой задачи. Пусть {zn} — минимизирующая по- последовательность, т. е. такая, что lim/[zn] =/„. п~*оа Задачу минимизации функционала / [z] на множест- множестве F будем называть устойчивой (см. [180]), если вся- всякая минимизирующая последовательность {г,,} сходится (в метрике пространства F) к элементу z0 из F. Задача (8; 0,1) минимизации функционала f[z] на множестве F называется корректно поставленной, если она разрешима и устойчива. В противном случае она называется некорректно поставленной. Для нахождения элемента z0 широко используются методы прямой минимизации функционала f[z], в кото- которых при помощи какого-либо алгоритма конструируется минимизирующая последовательность {zn}. При этом элементы г„, для которых /[г„] достаточно близко к /о, трактуются как приближенные значения искомого эле- элемента z0. Прямые методы минимизации по своей идее облада- обладают большой универсальностью. Пусть например, F есть множество функций z(t) одной переменной t. Беря для функции z(t) ее сеточное приближение zi = z(^,)I i== = 1, 2, ..., га, мы приходим к задаче о нахождении ми- минимума функции п переменных, методы решения кото- которой имеют достаточно универсальный характер и не свя- связаны с спецификой функционала f [z]. Но такой подход к получению приближенного реше- решения оправдан лишь в тех случаях, когда построенная минимизирующая последовательность {z,,} сходится к элементу z<). Выше отмечалось существование задач минимизации функционалов, не обладающих свойством устойчивости. В таких задачах существуют минимизирующие последо- последовательности, не сходящиеся к элементу zq. 232 Для получения приближенных решений неустойчи- неустойчивых задач минимизации функционалов / [z] достаточно указать алгоритмы построения минимизирующих после- последовательностей {zn}, сходящихся к элементу z0. 3. Рассмотрим решения системы дифференциальных уравнений dx/dt = F(t, х, и), (8; 0,2) удовлетворяющие условиям x(to) = (8; 0,3). где x\t)= W(t), х^{Ь), ..., хп(t)} —вектор-функция re- мерного пространства, определенная на отрезке t0 < t <l <Т, Хо — заданный вектор, a u(t)= {u](t), u?(t), ... ..., um (t)} — управляющая вектор-функция (управле- (управление) тп-мерного метрического пространства U. Пусть / [х(t)] — заданный неотрицательный функ- функционал (целевой функционал), определенный на реше- решениях системы (8; 0,2). Очевидно, что решения системы (8; 0,2) зависят от выбранного управления u(t), т. е. x\t)=xu(t). Поэто- Поэтому значение функционала f[x(t)] на каждом решении системы (8; 0,2) будет функционалом от управляющей функции u(t), определенном на множестве U, т. е. f[()] O[] f[()] [] Задачу оптимального управления, можно, например, поставить как задачу отыскания в некотором классе функций U\ пространства U такой управляющей функ- функции uo(t), на которой функционал Ф [и] =f[xu(t)] до- достигает минимума (или максимума). Подобно задаче минимизации функционала /[z], описанной в п. 1, эта задача также может быть неустой- неустойчивой. Действительно, рассмотрим случай, когда класс допустимых управлений U\ есть пространство функций одной переменной t с равномерной метрикой, и / Iх (t)] — непрерывный функционал. Тогда, каково бы ни было е > 0, можно найти такое управление 4[(t), что 1) /I*», @1 </[*«.(')]+*, 2) разность U\(t)—uo(t) может принимать как угод- угодно большие значения, допустимые принадлежностью функций щA) и uQ(t) классу U\. Возьмем функцию u\(t) совпадающей с uo(t) всюду, кроме интервала (t\ — т, *i+t), в котором разность U\(t) —uo(t) превос- превосходит некоторое фиксированное число В, допустимое 233
Принадлежностью функций щ{1) и uo(t) классу Vx. Оче- Очевидно, что для любого числа 6 > О можно указать такое т = т(б), чтобы для решений хщ (Oi хщ(*) систе- системы (8; 0,2), (8; 0,3), отвечающих управлениям щ{Ь) и uu(t), выполнялось неравенство | xUt (t) — xUo(f)|<6. Вы- Выбирая 6, а тем самым и т = т(б), достаточно малым, бу- будем иметь f[xu(t)] < f[xu.(t)] + е, в то время как sup \u\(t) — uo(t) I > В. Таким образом, установлено су- t ществование неустойчивых задач оптимального управ- управления. Замечание. В качестве целевого функционала можно брать функционал, зависящий как от фазовых переменных, так и от управляющих функций. В настоящей главе рассматриваются алгоритмы по- построения минимизирующих последовательностей, сходя- сходящихся к элементу, на котором рассматриваемый функ- функционал достигает наименьшего значения. § 1. Устойчивый метод минимизации функционалов 1. Пусть требуется найти элемент zo^F, на котором заданный функционал f[z] достигает своего наименьше- наименьшего значения на множестве F, inf/[*]-/[*,]-/,. (8; 1,1) Следуя [180], в этом параграфе будут рассмотрены спо- способы построения минимизирующих последовательностей {zn}, сходящихся к элементу г0. Минимизирующую последовательность S з= {zn} функ- функционала f[z] будем называть регуляризованной, если существует компактное в F множество F, содержа- содержащее S [180]. Очевидно, что регуляризованная минимизирующая последовательность сходится к элементу г0, если задача минимизации функционала f[z] имеет единственное ре- решение го. Если функционал f[z] ограничен снизу, то на любой предельной точке z регуляризованной мини- минимизирующей последовательности {г„} функционал /[г] достигает своей нижней грани, т. е. Имея такие минимизирующие последовательности {г„}, в качестве приближенных значений искомого эле- 234 мента г0 можно брать элементы zn с такими номерами /г, для которых f[zn] в пределах заданной точности сов- совпадает с /о. Таким образом, нам достаточно указать алгоритмы построения регуляризованных минимизирующих после- последовательностей. Это удается сделать путем использова- использования стабилизирующих функционалов Q[z], описанных в гл. П. Введем необходимые для дальнейшего опреде- определения [180]. 2. Пусть множество F принадлежит F, F с F, и Q[z] —стабилизирующий функционал. Пусть на множестве F с F можно ввести метрику рBi, z2), Z\, z2^F, мажорантную по отношению к мет- метрике пространства F*), такую, что сферы Бгзэ {г; ze=F, р(г, z0) < г} в пространстве F с произвольным центром Zo компакт- компактны в F (в метрике пространства F). Будем говорить в этом случае, что F s-компактно вложено в F. Если метрика p(zi, z%) определяет s-компактное вло- вложение пространства F в F и <р (q) — неотрицательная возрастающая функция, то, очевидно, функционал Q[z] =ф(р(л, z0)) является стабилизирующим. 3. При вычислении функционалов /[г] часто пользу- пользуются их приближенными значениями. Приближенное вы- вычисление функционала /[г] можно рассматривать как вычисление другого функционала /[г], имеющего малую норму уклонения от /[г]. Нормой уклонения по отношению к стабилизирующе- стабилизирующему функционалу Q[z] функционалов /[г] и /[г], опре- определенных на множестве F, будем называть наименьшее число б, для которого на всех элементах z^F выполня- выполняется неравенство ^ *) То есть такую, что для всяких элементов *, ет г2 из F (> ) ( ) 235
4. Перейдем к построению регуляризованных мини- минимизирующих последовательностей функционала /[z]. По- Полагаем, что [z] = /[z0] = /„. Пусть Q[z]—стабилизирующий функционал и /«[z] — параметрическое семейство функционалов (определен- (определенных для всех 6 S* 0), аппроксимирующих функционал /[г] на множестве F так, что Будем предполагать, что элемент z0, минимизирующий функционал f[z], принадлежит множеству F. Для всякого а > О рассмотрим функционал M°[z, /4] =/.[*]+aQ [г], определенный на всех z^F. Очевидно, что если 6 < а, то Ma[z, ft,] ограничен снизу (на F), так как Ma[z, fb] >f[z] —Ш[г] +afi[z] > /0. Следовательно, существует точная нижняя грань A/a,e=infMa[z,/6]. Будем говорить, что элемент zO| s почти минимизиру- минимизирует функционал Ma[z, ft,], если где | = |(а) и 0 «S 1 (а) «S |0 = const. Теорема 1. Для любого е>0 существует сс0 = = ссо(е) такое, что для всякого элемента za в, почти ми- минимизирующего функционал Ma[z, /e] с параметрами а^ао(е) и 6/а < q < 1, выполняется неравенство если метрика в F мажорантна по отношению к метрике пространства F. Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно показать, что, каковы бы ни были последо- последовательности чисел {а„} и {б„}, сходящиеся к нулю и такие, что для всякого п 236 последовательность {zan,en| элементов zanienT почти ми- минимизирующих соответственно функционалыМ " [zj /ftnj* сходится к элементу z0. Очевидно, что а'1 [*вп.в„, hn] = /в„ Пользуясь неравенствами [Za?lien] получаем Так как то из (8; 1,2) имеем (а„ — б») Q [г an?o. (8; 1,2) /[*«„.*„] 6„) Q [z0 Поскольку 6„ < qan, то, заменяя здесь 6Я на qan, полу- получаем Таким образом, все элементы последовательности (zan,en} принадлежат компактному множеству Далее, из (8; 1,2) следует, что 0 < /[га„Аг1 - / fzol < («» + 6„) Q [г0] ибо 6Я — а„ < anq — ая = ап (q — 1 , (8; 1,3) 0. Так как ап и 6\, стремятся к нулю при га->оо, то из (8; 1,3) следует, что последовательность {zan,en] являет- является минимизирующей для функционала /[г]. А посколь- поскольку она принадлежит компактному множеству Fat, то она является регуляризованной и, следовательно, схо- сходится к z0. Теорема доказана. 237
5. Рассмотрим случай, когяа F — гильбертово прост- пространство. Будем говорить, что f s-компактно и непрерыв- непрерывно выпукло вложено в F, если: а) сферы компактны в F; б) если последовательности [z^ } и \z^n 1 точек из F таковы, что Pf (zt,", 2(n})-»-0 при п-*-оо, toPfCz»1^ ?п)->- -*0apf (*<,",In) ->0 при п-> оо, где ?„ = 0,5• D1' + Если F s-компактно вложено в F, и ф(д)—неотри- ф(д)—неотрицательная возрастающая непрерывная функция, то, как указывалось выше (см. п. 2), функционал вида является стабилизирующим. Пусть /e[z] есть 6-аппроксимация функционала /[г] по отношению к стабилизирующему функционалу При б <С а существует точная нижняя граница функционала на множестве F, т. е. Теорема 2. .Если F — гильбертово пространство, s-компактно и непрерывно выпукло вложенное в F, то су- сует элемент za, (SF, минимизирующий функционал Ml [z, /e], гели б/а < g < 1. Доказательство. Пусть {zn} — последователь- последовательность, минимизирующая функционал М" [г, /в], так что последовательность \М\{гПх fu]} сходится к Ма,б- Не огра- ограничивая общности, можно считать, что она убывающая, так что для псякого п ? [zu [zn] [гп] + (а - б) Qx [гп]. 238 Отсюда Так как /[zBl > f[z0], где z0 — элемент, на котором функционал /[z] достигает своего наименьшего значе- значения, то ф (i2«2) < №* ^ М f t2]1 c не зависит от п. Отсюда следует, что где константа для всякого п где Сг — константа, не зависящая от п. Таким образом, {zn} с Sr при г = С2. Поскольку сферы ?г, по условию, компактны в F, то последовательность {zn} также ком- компактна в F. Не меняя обозначений, будем считать, что она сходится (в метрике F) к элементу z^F. Покажем, что она сильно сходится к элементу z e F. Для этого покажем, что она фундаментальна в F, т. е. для любого е > 0 существует ге(е) такое, что для га 3» 2s га(е) и любого /? > О Допустим, что это неверно. Тогда существует такое и такие последовательности номерез {щ} и {/%}, где = ГСЙ + Р, ДЛЯ КОТОРЫХ Пусть Тогда С* = 0,5 • [zmh + znft) = z nh zmft Так как znft и zmft — элементы минимизирующей по- последовательности {zn} функционала М? [z, fb\ и последо- последовательность 239
убывающая, то, очевидно, что для достаточно больших к аФ (|| ?кр) - [U\znh] + «ф (|«nkf)l > - 4 h (У + «ф (HSftf) - [/Л[2тА] + ОСф {\Zmkf)\>thi где eft, eft->0 при к-*-оо. В силу непрерывной выпуклости вложения F ъ F lim /e[znft] = Ит /e [zmft] = Щп /e [?ft (8; 1,4) где Eft, eft-»-0 при &->оо. В силу того, что фAН|г) — возрастающая функ- функция, равномерно непрерывная в области |zj|s^C2! иэ (8; 1,4) получаем p :>— >fcj где fift, P/i->-0 при &->oo. Отсюда следует, что znk, или BE* P ^ 0Л5- (pi + p;) _ о при А->оо, что противоречит предположению, согласно которому "mk- 0,5-8,. Итак, {zn} является фундаментальной последователь- последовательностью в F и сильно сходится к некоторому элементу z <= F. Так как метрика^ в F мажорантна по отношению к метрике в F, то г = %. Очевидно, что элемент ze-« = = г = г и есть искомый элемент, на котором функцио- функционал M{[z, f6] достигает своего наименьшего значения. Теорема доказана. 240 % 2. Устойчивый метод решения задач оптимального управления 1. Пусть дана система уравнений dx/dt = F(t, х, и), ;(8; 2,1) где x(t) = {x](t), xz(t), ..., х"(t)} — вектор-функция п- мерного пространства, определенная на отрезке tQ^t^ «s Т, a u(t) = {ul(t), u?(t), ..., um(t)} —управляющая вектор-функция m-мерного полного метрического прост- пространства U. Будем рассматривать решения системы (8; 2,1), удовлетворяющие условиям x\to) = xo, (8; 2,2)' где ?о — заданный вектор. Ниже мы будем рассматривать класс задач на оп- оптимальное управление, в которых целевой функционал зависит лишь от фазовых переменных. Пусть f[x] — заданный неотрицательный непрерыв- непрерывный функционал, определенный на решениях задачи (8; 2,1), (8; 2,2). Так как последние зависят от и,х = = xu(t), то f[xu(t)] =Ф[ц] является функционалом, оп- определенным на U. Будем рассматривать задачу нахож- нахождения управления uo(t), минимизирующего функционал Ф[г] (задача U). Такое управление будем называть оп- оптимальным. Выше отмечалось, что эта задача является некорректно поставленной. Допустим, что в пространст-- ве U существует оптимальное управление Uo{t). В настоящем параграфе описывается устойчивый спо- способ приближенного нахождения uo(t). Это делается с помощью метода регуляризации, следуя [181]. Для получения такого способа достаточно, как отмеча- отмечалось выше, указать алгоритм построения минимизирую- минимизирующих последовательностей {un(t)}, сходящихся к функ- функции uo(t). 2. Рассмотрим сглаживающий функционал где Q[u] — стабилизирующий функционал. Функционал Ва[ц] неотрицательный, поэтому существует его нижняя грань В" на U, В* [и] = Ы Ва[и]. uet/ 241
Пусть U{ — подмножество множества U, допускаю- допускающее метризацию р\(ии щ), мажораптную по отношению к метрике пространства U. Полагаем пг [и] ~ р* (и, ы0), В* [и] = Ф [и] + апг и В%х = inf В* [и], где иа — какой-нибудь фиксированный элемент из U\. Пусть {а„} — убывающая последователь- последовательность положительных чисел, сходящаяся к нулю (а„ -*¦ 0) и {иак(Щ— последовательность управлений из Ui. Справедлива Теорема 3. Если существует единственное опти- оптимальное управление uo(t) задачи U, принадлежащее мно- множеству Ui, то последовательность функций [uah{t)\% удов- удовлетворяющих неравенствам где С — константа, не зависящая от а, сходится к щ (t) в метрике U. Если U\ — гильбертово пространство, то справедлива Теорема 4. Если U\ (с метрикой pi(wi, ыг)) 8-ком- пактно и непрерывно выпукло вложено в U, то сущест- существует элемент ца(?)е U\ минимизирующий В* [и]. Доказательства этих теорем проводятся совершенно аналогично доказательствам соответственно теорем 1 и 2 § 1, поэтому мы не будем их приводить. Очевидно, из этих теорем непосредственно следует устойчивый метод приближенного нахождения оптималь- оптимального управления. Пример. Рассмотрим модельную задачу о верти- вертикальном подъеме ракеты-зонда в однородной атмосфере на максимальную высоту [36, 37], для которой известно точное решение [136]. Вертикальное движение тела переменной массы m(t) в однородной атмосфере описывается системой уравнений dv 1 dt dm m (t) [аи (t) - cv* (t)] - g с начальными условиями: m@) = m0, v@) = Vq. Здесь m(t) — переменная масса тела (m0 3s m(t) ^ ц, jx — масса корпуса ракеты), v(t) —скорость тела, u(t) —уп- —управляющая функция, равная расходу массы (горючего) 242 242 в секунду во время полета; а, с, g — постоянные, а ==¦ = 2500 м/сек — относительная скорость выброса газов, с = 0,2'10~7 кг-сек/м — обобщенный баллистический ко- коэффициент сопротивления воздуха, g =» 9,81 м/сек2 — ускорение силы тяжести. Даже сравнительно грубые приближенные решения этой задачи имеют резкий всплеск в начальный момент (t = 0), т. е. имеют б-образный характер. Поэтому ес- естественно искать решение в виде ui=A8(t) -\-u(t), где А—константа, 8(t)—б-функция. При этом искомая функция u(t) будет непрерывной и достаточно гладкой функцией. Численное нахождение функции u(t) будет много проще, чем нахождение функции с б-образной осо- особенностью. Такое представление решения означает, что для достижения наибольшей высоты подъема выгоднее всего сжечь некоторое количество горючего мгновенно и что по достижении определенной скорости i>i должен на- начаться постепенный расход массы горючего. Очевидно, что оптимальная управляющая функция u(t) должна быть положительной на некотором промежутке 0 ^ t ^ Г1 и равной нулю для t > 7\.Требуется определить u(t) и параметры vx и 7\. Таким образом, надо рассматривать двухпараметриче- ский целевой функционал f[u, V\, T{\, для которого из условия его минимума надо найти u(t) и vlf T . Согласно формуле Циолковского величина массы го- горючего mi, которую надо израсходовать мгновенно для получения скорости vi, определяется из соотношения По mi определяется и А. В дальнейшем полагаем Vq = 0, mo = 1. Высота подъема ракеты Н — H[v(u)] равна интегра- г лу | v (t) dt, где Т — момент времени, для которого ско- о рость становится равной нулю, v(T) =0. Ее можно пред- представить в виде Я = Hi -\- АН, где 11 АН ~ ±1п[1+°? 243
vu — скорость ракеты в момент окончания горения топ- топлива (t— T\). В качестве целевого функционала берем Пи v П -1 где #о — число, близкое к искомой максимальной высоте. Задача его минимизации неустойчива. Решаем ее мето- методом регуляризации. Для нахождения приближенного (регуляризованного) решения берем стабилизирующий функционал Q[u] вида Задача сводится к минимизации функционала Ф"[. Vu Т{] = ![и, vu T{] + ап[и] т при дополнительных условиях u(t) ^ О, J u(t) dt = 1 — ц. о Процедура нахождения приближенного решения этой задачи при фиксированном а такова: задаем последова- тельность пар чисел Г]П)) для каждой такой пары у1П>' Г1П> находим функ- функцию и" @, минимизи- минимизирующую функционал Фа [и, v[n\ П"]. Затем из последовательности К"\ ГГ) находим та- кую пару У], 7*1, на которой функционал ФЧигю.^лг0?] до- стигает минимума. При больших значе- значениях а (порядка 105) минимум функционала Ф'х[и, vi, T{] достигается на функциях, близких к кон- константам. При малых значениях а (а < 0,1) решение сильно неустойчиво к малым случайным ошибкам вы- вычислений. При а =. 103 и vi = 9931,721 м/сек, Т\ = = 176 сек, \х = 0,7 получается приближенное оптималь- оптимальное управление, изображенное на рис. 18 пунктиром; 244 150 17S t,cen X сплошная линия представляет трафик точного оптималь- оптимального управления. При этом // и 11\ имеют значения, содержащиеся в таблице Точное решение Я, = 0,16507-107м Я =0,51496-1 U7 м Приближенное решение Я, = 0,16514-107м Н = 0,51497 -107м Минимизация функционала Фл[и, v}, Т}] производи- производилась методом проектирования градиента. 3. "Рассмотрим одну из практически важных задач, приводящих к минимизации функционалов. Обратная задача теории антенн. Рассмот- Рассмотрим линейную антенну, представляющую собой прямо- прямолинейный стержень длины 21. Вдоль стержня направим координатную ось переменной z. Пусть в стержне с помощью специальных устройств задан ток с амплитудой /(z), изменяющийся со временем по закону е'м(. Этот ток создает в окружающем стержень пространстве электромагнитное поле, обладающее осевой симметрией относительно оси z. Напряженности электри- электрического и магнитного полей, созданных током / (z), и ин- интенсивность излучения антенны определяются этим то- током, т. е. являются функционалами AE[j], AH[j] и Лм[/]. Если в плоскости Q, проходящей через ось стержня, из середины стержня, как из центра, провести окруж- окружность достаточно большого радиуса R (много большего длины волны X и длины стержня 21), то в каждой точке этой окружности вектор напряженности магнитного поля будет иметь одинаковое направление, перпендикулярное к плоскости Q. Величина этого вектора будет функцией радиуса R и угла 0 между осью z и направлением из центра стержня на точку приема, а относительные его значения (отнесенные, например, к его значению в одной из точек окружности) будут функцией Р@) только уг- угла 0, т. е. A[j)=P(Q). Функция Р(в) называется диаграммой направленно- направленности антенны (по напряженности магнитного црля; ана- аналогично определяется диаграмма направленности антсн- 245
ны по напряженности электрического поля и по потоку излучения). В случае более сложной конфигурации антенны ди- аграмма направленности А [/] будет, вообще говоря, век- векторной функцией двух сферических координат, й и (р, точки приема: В случае линейной антенны длины 21 связь между током /(z) и диаграммой направленности Р@) выража- выражается формулой (см. [186]) j (z) e-ihzcoaf> dz = P (Q), (8; 2,3) -i где к = со/с — волновое число, с — скорость света. Прямая задача теории антенны состоит в определении диаграммы направленности /'@, ср) по заданному току ](М), т. е. в вычислении функции P(Q, ф) = A[j). Обычно под обратной задачей теории антенн пони- понимают задачу нахождения распределения тока j(M), по- порождающего заданную диаграмму направленности Р(б, ф). Для линейной антенны такая задача состоит в решении интегрального уравнения Фрсдгольма перво- первого рода (8; 2,3) относительно j(z). Как известно, эта эадача является некорректно поставленной. Следует от- отметить, что уравнение (8; 2,3) имеет решение лишь для узкого класса правых частей P(Q), только для реализуе- реализуемых диаграмм направленности. Заданные же диаграммы обычно не принадлежат этому классу. Кроме того, в практике на распределение тока )(М) накладывается ряд требований и ограничений (например, ограничение величины тока и его производной, минимум реактивной мощности и др.), которые не представляется возможным учесть при решении уравнения (8; 2,3). Дополнительные условия накладываются и на диаграмму направленности. К ним относятся, например, требование близости к за- заданной диаграмме направленности, отличной от нуля в фиксированном интервале углов и равной нулю вне его (это отвечает случаю строго направленной радиопереда- радиопередачи), максимальное значение в главном лепестке, мини- 246 мум энергии в боковых лепестках и др. Поэтому целе- целесообразно иначе поставить обратную задачу теории ан- антенн. Пусть Ф,[Р@, ф)], 1=1, 2, ..., и,—функционалы, такие, что 2-й функционал определен на функциях ^*@| ф)> удовлетворяющих i-му требованию (условию), накладываемому на диаграммы распределения. Пусть УкЩМ)], к= 1, 2, ..., т,— такие функциона- функционалы, что каждый из них определен на функциях ](М), удовлетворяющих условию, накладываемому на распре- распределение токов. Эти функционалы характеризуют слож- сложность конструкции. -> т -» ? [/] = 2 У Рассмотрим функционалы Ш и li Dk и Р> — положительные числа), в ко- ii торых весовые множители yh и р( выбираются согласован- согласованными с значимостью и влиянием соответствующих усло- условий, накладываемых на распределение тока и на диаг- диаграммы направленности. Функционал Ф[Р] определен на функциях, удовлетворяющих всем требованиям (услови- (условиям), накладываемым на диаграммы направленности. Функционал Yf/] определен на функциях ](М), удов- удовлетворяющих всем условиям, накладываемым на распре- распределения токов. Поэтому, следуя [186], приближенным решением об- обратной задачи теории антенн будем называть ток ](М), реализующий минимум функционала Ф при условии W ^ Ч^о, или функционала где б — числовой множитель, характеризующий влияние ограничений на распределение тока. Задачи минимиза- минимизации таких функционалов рассматривались выше. Определение оптимального набора параметров контро- контролируется обычно путем проведения вычислительного эк- эксперимента. Рассмотренная задача является типичной задачей про- проектирования оптимальных систем (конструкций). 247
Глава IX УСТОЙЧИВЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ (ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ), Многие задачи оптимального планирования и матема- математического программирования (линейного и нелинейного) являются неустойчивыми: малым изменениям исходных данных могут отвечать большие (в том числе и сколь угодно большие) изменения решения. В таких задачах мы фактически имеем дело с недоопределенностью ре- решения. Это показывает неполноту постановки задачи. Уточнение постановки задачи имеет существенное при- прикладное значение, так как решение таких задач лежит в основе применения математического аппарата к вопро- вопросам планирования (к разработке оптимальных планов). Существенно важным является разработка методов нахождения устойчивых к малым изменениям исходных данных «решений» таких задач. Настоящая глава и посвящена этим вопросам. В § 1 обсуждается постановка задач оптимального планирова- планирования и математического программирования (в том числе и линейного), показывается их неустойчивость. Вводится понятие нормального решения. В последующих парагра- параграфах рассматриваются вопросы существования и единст- единственности решения и методы нахождения прпближепных решений, устойчивых к малым изменениям исходных данных, основанные на регуляризации (см. гл. II). § 1. О постановке задач оптимального планирования и математического программирования 1. Приведем классическую постановку типичной за- задачи оптимального планирования. Пусть Zj — количество выпускаемых изделий /-го наи- наименования, 1 < / < п; а* - максимально возможное число изделий /-го наименования; с, — суммарная трудоемкость для /-го изделия по всем основным группам оборудова- 248 ния. Тогда скалярное произведение cpi(zj = (с, г) век- векторов с = {ci, C2, ..., с„} и г = {zi, Z2, ..., г„} характе- характеризует загрузку оборудования при плане z выпуска из- изделий. Пусть, далее, bt — фонды времени j-й группы обо- оборудования, 1 < i < т; пц — трудоемкость для /-го изде- изделия на 2-й группе оборудования. Обозначим через G множество векторов z (планов), удовлетворяющих условиям: b—Az > 0, 0 < z < а, где а и Ь — векторы b = {bi, b2, ..., bm), а = {ai, аг, ..., а„}, А гн {atj} — матрица с элементами я«. Задача определения оптимального плана z может со- состоять в нахождении такого вектора z из множества век- векторов (планов) G, для которого загрузка оборудования будет максимальной, т. с. max фх (z) = ф, (z). zee Функцию ф(г) называют целевой функцией задачи. По данным одного из заводов хорошо известным симплексным методом были рассчитаны с разной точ- точностью оптимальные квартальные планы, отвечающие некоторому набору исходных данных [187]. Результаты расчетов приведены в таблице 1, где римскими цифрами пронумерованы варианты решений, отвечающие различ- различным исходным данным, арабскими — компоненты реше- решений (векторов z). Из таблицы видно, что для сравнитель- сравнительно близких оптимальных значений целевой функции ф(г) (при отклонениях порядка 1%) количество изделий, подлежащих выпуску по этим оптимальным планам, по отдельным наименованиям колеблется в пределах не- нескольких сотен. Таким образом, эта задача является не- неустойчивой. 2. Задачи оптимального планирования являются част- частным случаем задач линейного программирования, обобще- обобщением которых являются задачи математического програм- программирования. Пусть R" — гс-мерное пространство векторов z = — (zi, Z2, ..., zn), g(z) и h(z) —заданные вектор-функ- вектор-функции, определенные на R": h(z) = {hP+l{z), hv+2{z), ..., hm(z)} (p<m), где gi(z) и hj(z) — скалярные функции. 249
250 Обозначим через G множество векторов z пространст- пространства R", для которых g(z) > 0 и h(z) = О, т. е. G= {z; g(z) >0, h(z) =0}. Пусть (p(z) — заданная скалярная функция. Задача математического программирования состоит в отыскании вектора z из R", минимизирующего функцию ф(г) на множестве G, т. е. такого, что (z) = min i ZSG ¦(z). (9; 1,1) Функция ф(г) называется целевой функцией задачи (9; 1,1). Если в задаче математического программирования функции ф(г), g(z) и h(z) —линейные, то она называ- называется задачей линейного программирования. Задачи опти- оптимального планирования, как правило, также являются задачами линейного программирования. 3. На практике информация о функциях (p(z), g(z) и h(z) носит приближенный характер. Например, эти функции известны с погрешностью и, следовательно, вместо ф(г), g(z) и h(z) мы можем брать любые функ- функции фв(г), g&(z) и hi(z), для которых 1 Фв (z) - ф (z) | < б, ||g(z) -gt (z При этом выбор функций фе(г), gc(z) и Ле(г) из мно- множества Q& (ф, g, h) =s ft, Ав); I Фв - ф11 < б, 1вгв - «г! < б, | h6 - h |< в}, имеет, как правило, случайный характер. Таким образом, о решении исходной задачи (9; 1,1) можно судить лишь по решению приближенной задачи: min фв (z), (9; 1,2) *) Для простоты записи величина б взята одинаковой для всех функций ф, g, h. Фактически оценку погрешности опре- определяют векторы б' = (б'17 б'2, ..., бр, бр+1, ..., бт) и б" = Fj, 6j, ...,б'п) при соответствующем выборе их норм. 251
где С4 S3 {г; gt{z) > О, ht{z) = О}, случайно выбранной из класса приближенных задач, определяемых Qt. 4. Пусть #4 (ф, g, h) есть совокупность решений z4 задач вида (9; 1,2) для всех (фв, gt, ht) s (?4. Задача (9; 1,1) называется устойчивой, если расположенной в области {у > О, х > 0}. Здесь Хо и у о — > 0 sup — ze||-»-0 при Если же существует такое число В > 0, что для любого б > 0 найдутся две тройки функций (фв, gu, ^в) и (фа, g6,_hu) из (?4 и соответствующие им решения задачи (9; 1,2) za и ze, для которых |ze-z;i>5, то задача (9; 1,1) называется неустойчивой. Неустойчивые задачи оптимального планирования и математического программирования естественно назы- называть также некорректно поставленными. Очевидно, что точные решения ze и ze некорректно поставленной зада- задачи (9; 1,1) с приближенными исходными данными (фв, he, ga) и (фв, he, g&) не несут в себе достаточной информации о решении исходной задачи. Таким образом, точные решения задач такого рода не могут служить надежным способом решения задач оптимального планирования с приближенными исходны- исходными данными. Такая ситуация часто возникает в вычислительной процедуре при использовании многих методов решения задач математического программирования. Отметим, что при этом, несмотря на большие различия решений гд и zg» значения целевых функций фв(^в) и фв (z«) могут ма- мало отличаться друг от друга. Только что сказанное на- находит отражение в результатах, содержащихся в таб- таблице I. Однако приводимый ниже пример показывает, что в задачах линейного программирования с приближенными исходными данными, сколь угодно близкими к точным, минимальные значения целевого функционала (целевой функции) также могут различаться как угодно сильно. Пример. Рассмотрим следующую задачу линейного программирования. Пусть требуется найти минимум функционала Ф(у)=у на части прямой у — Ких -j- y0, 252 {у заданные числа и у0 > 0. П такое, анные числа и у0 > 0. Пусть Хо = 0 и вместо Ко мы имеем число что \Хь—Хо\ < б. Рассмотрим два случая. 1) Kt > 0. В этом случае вместо прямой у = у0 (так как Ко = 0) мы имеем прямую 1\, у = Х6х + Уо (рис. 19). Рис. 19. ОДпнпмум функционала Ф(г/) на части прямой h, распо- расположенной в области {у > 0, х>0}, достигается в точке @; г/о), т. е. при х = 0, и равен у0. 2) Кй < 0. В этом случае вместо прямой у = у0 мы имеем прямую 12, у = Кх-}-у0 (см. рис. 19). Минимум функционала Ф(г/) на части прямой h, расположенной в области {у > 0, х>0}, достигается в точке (ад 0), т. е. при х = х2, и равен нулю. При S->0 h-*-0, a aj2-»-оо. Таким образом, эта задача неустойчива. При этом неустойчива как задача минимизации функционала Ф (у) по аргументу, так и задача минимизации по зна- значению целевого функционала Ф(#). § 2. Задачи оптимального планирования. Существование решений и единственность 1. Пусть_ заданы матрица А == {ац} с элементами ау и векторы и = {ut} и с = {С)}, С} > 0, где i = 1, 2, ..., пг, / = 1, 2, ..., п. Будем рассматривать следующую задачу оптимального планирования. На множестве G элементов (векторов) z = {zj} га-мер- га-мерного пространства R", удовлетворяющих условиям Az = u, (9; 2,1) z,>0 (;= 1, 2, ...,п), (9; 2,2) найти элемент (вектор) z={z,}, минимизирующий 253
функцию т. е. найти z, для которого (9; 2гЗ) Ф (z) = min ф (z). (9; 2,4) Очевидно, что это задача линейного программирования. Здесь g{z) = z, h(z) = Az—и. 2. Если условие (система уравнений) Az — и имеет линейно зависимые строки, то задача (9; 2,1) —(9; 2,3), как правило,— некорректно поставленная. Обычно дела- делается предположение, что строки задаваемых условий ли- линейно независимы. Однако это предположение при при- приближенном задании исходных данных практически не- проверяемо. Поэтому в дальнейшем мы не будем делать предположений о линейной независимости задаваемых условий и будем иметь дело с некорректно поставленны- поставленными задачами вида (9; 2,4). Докажем существование решения таких задач. Теорема 1. Если условия (9; 2,1) и (9; 2,2) сов- совместны, то задача (9; 2,1) —(9; 2,3) имеет по крайней мере одно решение. Доказательство. Пусть с, > 0 для 1 ^ / < /0 и С} — 0 для /о < / ^ п. Обозначим через Ri множество векторов пространства R", для которых выполняется ус- условие (9; 2,2), т. е. Д, я (z; z,>0), j = 1,2, .... п. Пусть /?2 есть множество векторов пространства R", для которых выполняются условия (9; 2,1) и (9; 2,2), т. е. R2 == (z; z s Ru Az = u}. По предположению о совместности условий (9; 2,1) и (9; 2,2) множество R2 не пусто. Пусть фо — нижняя грань значений целевой функции ф(г) (9; 2,3) на множестве R2 и {z(*>} — минимизирую- минимизирующая последовательность точек из /?2, т. е. такая, что ф(гD))->-фо при k-*-o°. Очевидно, можно полагать, что для всякого к > 1 ф(гD)) *S ф(г(*~и). Так как 254 ТО ДЛЯ 1 «S / < /о z Следовательно, для 1 < / =ё /0 координаты г)Л> вектора zw ограничены: (ft) ^ ф (гA)) Каковы бы ни были положительные числа djt множе- множество точек пространства RJ°, для которых (Xz^di, К / < /о, компактно в R;°. Последовательность {z(ft)} векторов z(h)={zf], 1 </</„ А» 1,2,... пространства R;° принадлежит параллелепипеду с реб- ребрами Следовательно, из нее можно выделить сходящуюся к некоторому вектору z s R^» подпоследовательность. Не изменяя обозначений, полагаем, что Так как ф (z) зависит только от первых /о координат век- вектора z (cj = 0 при / > /о), то ф(г) = ф0. Рассмотрим систему уравнений относительно z": A"z" = -A'z' + и, (9; 2,5) где г' = {г,}, 1 < / < /о, г" = {г,}, /0 < / < п, А' = {aj, 1 < j < /о, Л" = {flij}, /о <j<n, i ¦= 1, 2, ..., тп. Так как система A"z" *=~U-A'zm совместна (пусть ъ" = zBh) — ее решение) и вектор и =* = ы—Л'гD) удовлетворяет всем линейным ооотношени- 255
ям, которым удовлетворяют строки матрицы А", то си- система (9; 2,5) также совместна. Она имеет не равное ну- нулю решение, для которого zt S» 0 (/о < / < п). В самом деле, если зто неверно, то линейное многообразие элемен- элементов z", для которых A"z" = и, отстоит от множества /?i ?= {%"; Zj > 0, /о < / < п} на конечном положитель- положительном расстоянии. В этом случае многообразия, определяе- определяемые соотношениями A"z" = и- (к = 1, 2, ...) при достаточно больших к, также отстоят от /?i на ко- конечных расстояниях. Но зто противоречит тому, что ?»»еЛ|. Беря любое не равное нулю решение системы (9; 2,5) z"e/?i, для которого 2;-^ 0 G0<7^'J)i получим, что вектор z = (z1( z2)..., Zj0, Zj,+U..., zn) удовлетворяет условиям (9; 2,1) и (9; 2,2) и (p(z) = фо. Теорема доказана. Следующий пример показывает, что решение задачи (9; 2,1) — (9; 2,3) может быть и не единственным. Пример. Пусть ф(г) = z3, а условие (9; 2,1) име- имеет вид zi—z2 — 0. Очевидно, что минимум функции ф(г) = %ъ на множест- множестве R\ = {z; zj > 0; / = 1, 2, 3} равен нулю и он достига- достигается на точках полупрямой zj 3* 0, определяемой урав- уравнениями Z2 = Zi, Z3 = 0. 3. При наличии множества решений для определен- определенности задачи надо наложить дополнительные условия на искомое решение. Пусть речь идет о задачах оптимального планирова- планирования. Предположим, что работа выполняется в соответст- соответствии с планом z<0) и его надо изменить в связи с тем, что изменились исходные данные. Новым исходным данным соответствуют другие оптимальные планы. Естественно выбрать тот из них, который наименее уклоняется от первоначального плана z@). Подобный критерий выбора будет связан с минимумом затрат на организационные перестройки, если они не были учтены в самой поста- постановке задачи. Мера уклонения нового и старого планов, г@) и z@)( выбирается как взвешенное квадратическов уклонение .@)\2Wl — z z или, вообще, как положительно определенная квадратич- квадратичная форма. Имея это в виду, введем следующее Определение. Пусть дан некоторый вектор z@) e цп Вектор z@) будем называть нормальным реше- решением задачи (9; 2,1) — (9; 2,3) (по отношению к z@)), если где z — любое решение этой задачи. Если решение за- задачи (9; 2,1) — (9; 2,3) определено однозначно, то оно, очевидно, совпадает с нормальным. Если задача имеет не одно решение, то существование нормального реше- решения очевидно, так как множество Н, на элементах (век- (векторах) которого достигается минимум функции ф(г), замкнуто, поскольку оно является общей частью трех 8амкпутых множеств: (г; Az = и), B1 = {z; гу>0, / = 1, 2,.. .х п}% {z; ф (z) = ф0}. Теорема 2. Нормальное решение задачи (9; 2,1)— (9; 2,3) единственно. Доказательство. Предположим, что существуют два различных нормальных решения задачи, гП) и z Каково бы ни было число а > 0, вектор B) г = azw ,+ pzB>, p — l-ct удовлетворяет условию (9; 2,1) (в силу его линейности) и (9; 2,2). Кроме того, ф(г) — аф(гA)) + Рф(гB>) =. щ0 + рфо = фо. Так как zA) и z<2) — нормальные решения, то 256 А. Н. Тихонов, В. Я, Арсевха
С другой стороны, при а = 0,5 z~=0,5(zA>+zC)), Таким образом, 7 — что противоречит тому, что zw.' есть нормальное решение, если z(I) =т^ zB). Теорема доказана. Выше отмечалось, что решение задачи (9; 2,1) — (9; 2,3) вообще говоря, неустойчиво к малым изменениям исходной информации. Следующий параграф посвящен рассмотрению устойчивого метода решения таких за- задач — метода регуляризации. § 3. Метод регуляризации решения задач оптимального планирования 1. Исходные данные в задачах оптимального плани- планирования задаются обычно приближенно. Будем в даль- дальнейшем терминологически различать решаемую (точную) и задаваемую (заданную, приближенную к точной) задачи. Задаваемая задача не позволяет делать заключения ни об устойчивости решаемой задачи, ни о единственно- единственности ее решения, даже если заданная задача этими свой- свойствами обладает. Точное решение заданной задачи, как мы видели, неэффективно для исследования решае- решаемой задачи. С точки зрения имеющейся у нас информа- информации в качестве исходных данных решаемой (точной) за- задачи может служить любой набор исходных данных {ф, К g}, удовлетворяющих условиям [ Фа (г)-Ф (г)К 8, |fte(z)-ftB)||<8. Следует отметить, что прибавление к условиям Az=u линейно зависимых уравнений делает задачу неустойчи- неустойчивой (даже, если она была устойчивой), хотя она и оста- остается эквивалентной ей в классическом смысле. Для задач линейного программирования (оптимального планирова- планирования) с достаточно большим числом условий Az = и мы, 258 как правило, не можем фактически проверить, выполня- выполняется ли условие линейной независимости. Таким образом, необходим такой подход к решению задач линейного программирования (оптимального пла- планирования), который не требует предположения о линей- линейной независимости условий Az = и. Изложению устой- устойчивого метода приближенного нахождения нормального решения точной задачи и посвящен настоящий параграф. 2. Задача оптимального планирования ставится как вариационная задача: найти минимум функции <р (z) (ф(г)^О), или, что то же, функции ф2(г) на множестве G 3= {z; гей|, Az = и}. Если ф2(г) является для этого множества стабилизи- стабилизирующим функционалом, т. е. множество Gi элементов z e G, для которых cp2(z) ^ d, компактно, то существо- существование элемента zo, реализующего минимум ф(г), очевид- очевидно. Однако, как показывает пример, приведенный выше, Ф2(г) не всегда является стабилизирующим функцио- функционалом. Остановимся подробнее на определении меры погреш- погрешности задания ф(г). Пусть на R" заданы стабилизирую- п щпй функционал Q[z] (например, Q[z]= 2pi(z; — z?J) и целевые функции ф(г) и ф(г). Меру уклонения ф2(г) ц ф2(г) определим как наименьшее число б, такое что Для задач линейного программирования, где Ф2(г) и Ф2(г) квадратические функционалы, такое определение естественно. Наличие в правой части слагаемого равного единице необходимо, так как, если Q[zo] =0, то ф2^), вообще говоря, не равно нулю. 3. Пусть в задаче оптимального планирования вместо точных исходных данпьгх {А, и, с} нам даны их 6-при- блшгеения {А, и, с}, такие что ||и - и\\ < б, | Фг (г) - фг (z) | < б A + Q [z])x где (f(z) = (c, z), (f(z) = (c, z) и Q[z] — стабилизирую- стабилизирующий функционал на R" (положительно определенная квадратичная форма). 9* 259
Возьмем вспомогательную целевую функцию Ф2(г) =фB) + X(l + Q[z]), к>0, и будем приближенно решать задачу оптимального пла- планирования с целевой функцией Ф2(г). Такая замена до- допустима с точки зрения точности задания целевой функ- функции, если Ж 6, так как |<D2(z);-V(z) | = Ml + Q[z]) < 6A + Q[z]). Таким образом, среди векторов z, принадлежащих мно- множеству Hi и таких, что \ Az— ы||^ б, требуется найти вектор z6, минимизирующий функцию Ф2(г). Вспомога- Вспомогательная целевая функция Ф2(г) является, очевидно, ква- квазимонотонным стабилизирующим функционалом па мпо- жестве Hi (где Ф2(г) —квадратическпй функционал). Следовательно, мы находимся в условиях примепимо- сти леммы § 3 гл. И, согласно которой точная ннжпяя грань функционала (функции) Ф2(г) достигается ка вок- торе z4 из Hi, для которого || Az& —- ы|| = б.Эта задача эк- эквивалентна задаче нахождения минимума квадратичной формы Ml [zx Z, 71A] = \Az- u|a + а[фг (z) -f к A + Q [z])] с определением параметра а из условия I Aza — и f = б„ где za— вектор, минимизирующий М™ [z, и, с, А]. По- Поскольку \Aza — и? — квадратичная форма, то невяз- невязка ф(а)=|^4га—и |р является непрерывной монотонно возрастающей функцией и поэтому параметр а определя- определяется из условия ф(а) = б2 однозначно. 4. Обычно в математической постановке задач опти- оптимального планирования при выборе целевой функции ф(г) =» (с, z) учитываются не все факторы. К ним может относиться, например, требование небольшого отклоне- отклонения искомого оптимального плана, отвечающего новым (мало отличающимся от прежних) исходным данным от прежнего плана (требование минимума организационной перестройки). Введение в новой целевой функции Ф2(г) слагаемого A,(l+Q[z]) можно рассматривать как по- поправку на влияние неучтенных факторов в целевой функ- функции Ф2(г), а к — как величину экспертной оценки их влияния, 260 Аналогичным образом мотивируется (со ссылкой на гл. II, § 10, где рассматривается задача Az = и с при- приближенно известными оператором А и правой частью и) построение приближенного решения задачи оптимального планирования с приближенными исходными данными {А, и, с} как решения задачи на минимум сглаживающе- сглаживающего функционала Ml [z, и, сг А] = I Az - и |р + а {Фг (z)+k(l+Q [z])}s где а определяется по обобщенной невязке из условия lAZa-Zf^tf + h-piZv)}*-^ где ц — inf \~Az — u ||\ Здесь h характеризует погрешность в задании операто- оператора А (см. § 10, гл. II). 5. Обратимся снова к задаче линейного программиро- программирования: найти элемент z°, мпппмизпрующий функцию ф(г) = (с, z) на множестве /?2 = {z; Az = и, z e Л]}, где А — линейный оператор. Пусть z0 — элемент, относительно которого ищется нормальное решение. Рассмотрим вспомогательную зада- задачу /j.: найти элемент z*, минимизирующий функционал Ф2(г) =Ф2(г) +KQ[z] на множестве /?2- Здесь Q[z] —полонгительно определен- определенная квадратичная форма. Существование элемента z,, очевидно, если условия, определяющие /?2, совместны. Легко убедиться, что эле- элемент zx единствен. В самом деле, для задач линейного программирования множество R.2 выпукло. Пусть сущест- существуют два элемента, z\ и z?, минимизирующие квадрати- ческий функционал Ф2(г). На участке прямой принадлежащей /?2, значения функции Ф2(г) представ- представляют квадратическую функцию от р, которая не может иметь двух минимальных значений. 261
Выше мы рассмотрели задачу оптимального планиро- планирования, где функционал Ф2(г) заменялся на Убедимся, что решение Zi задачи с функционалом (D2(z) стремится при Я-»-0 к нормальному решению исходной задачи. Пусть z@) — нормальное решение задачи (9; 2,1) — (9; 2,3). Справедлива следующая Теорема 3. Для всякого е >¦ О существует такое Яо(е), что для X < Я0(е) т. е. при X -*• О zx стремится к нормальному решению за- задачи (9; 2,1)-(9; 2,3). Доказательство. Предположим, что это невер- неверно. Тогда существует такое ео > 0 и последовательность {Хъ}, сходящаяся к нулю, что для всех к | zXft — z Так как z^h минимизирует функционал Ф2(г) -f то е„. Ф« (z,ft) Отсюда Так как ф(г@))^ф(г) для всех z из множества i?2 — s{z; 4г=в, гей,}, то фB@)) < ф(г^). Следова- Следовательно, Таким образом, последовательность {zXft| принадлежит компактному множеству элементов z, для которых Следовательно, из нее можно выделить сходящуюся под- подпоследовательность {zjift|. Пусть z = lim z%h. Очевидно, || z — z@)|^e0. Так как гц что 262 h-*<x> то Az = и, z Очевидно также, что ФA)=Ф (>»), li-2"I2 = Q[i]<Q[?0)]=||?0)-z»f. Эти условия определяют единственное нормальное реше- решение задачи (9; 2,1) — (9; 2,3). Следовательно, z = z@). Но это противоречит неравенству Цг—z@)ll > е0. Теорема доказана. Замечание. Если условия (9; 2,1) и (9; 2,2)" не выполнены (или трудно проверяемые), то можно искать квазирешение задачи линейного программирования. Для нахождения его применим метод регуляризации, описан- описанный выше. 6. Пусть исходные данные в задаче (9; 2,4) А, и, с известны нам приближенно. Вместо А, и, с мы имеем А, и, с такие, что В этом случае речь может идти лишь о нахождении при- приближенного к нормальному решению задачи (9; 2,4). В настоящем параграфе будет показано, что при надле- надлежащем выборе параметров а и Я, согласованном с по- погрешностью б исходных данных А, и, с, регуляризован- ное решение задачи za, x, минимизирующее функционал Mt[z;A,Z,~c]t аппроксимирует с наперед заданной точностью искомое нормальное решение г^0)_задачи (9; 2,4) с точными ис- исходными данными Л, и, с, и оно устойчиво к малым из- изменениям А, и и с. Отметим прежде всего, что система уравнений Az = и совместна только в том случае, когда и е V"a ss {и; и = Az, z e R"}. Если и <? UJ, то, обозначая через v ортогональную про- проекцию элемента и на С/д, будем иметь 263
Отсюда следует, что Ml [а; А, и,~с] = Ml [z; Ах Ъ~с] +1 v- и (9; 3,2) Второе слагаемое в правой части (9; 3,2) не зависит от а и А.. Следовательно, элемент za,\, минимизирующий функционал Ml [z; А, и, с], минимизирует и функционал М% [z; Л, v, с], и наоборот. Так как оба эти функционала являются положительными квадратичными формами от- относительно Zj, / = 1, 2, ..., п, существование минимизи- минимизирующего их элемента za, \ на R\ очевидно. 7. Обратимся к оценке уклонения регуляризованного решения от точного нормального. Теорема 4. Пусть в задаче (9; 2,1) — (9; 2,3) вме- вместо точных исходных данных А, и, с известны прибли- приближенные данные А, и, с такие, что Пусть, далее, za, * — элемент, минимизирующий Функ- Функционал Ml [z; \ Ъ~с] на множестве R\, а г@> — нормальное решение задачи (9; 2,1) — (9; 2,3) с точными исходными данными. Пусть ао(б) и ро(б) — заданные неотрицательные непрерывные возрастающие функции, равные нулю при б = 0 и удов- удовлетворяющие условию Тогда, каково бы ни было г > 0, существуют такие Яо(е) и бо(е, Хо) (зависящие также от А, и, с, ао(б), Ро(б)), что для всяких К ^К0(е), 6«s6o(e, Xo) и а, удов- удовлетворяющих условиям б2 < а < а, (б), выполняется неравенство |гад — z@ Q ^ е. Доказательство. Согласно теореме 3 для любо- любого е > 0 существует такое Яо(е/2), что при произволь- произвольном К ^ Ао(е/2) для элемента Zx, минимизирующего функ- функционал 264 на множестве /?2, выполняется неравенство Поэтому нам достаточно доказать, что при условиях тео- теоремы 4 для любого фиксированного числа А, > 0 сущест- существует такое бо(е, Я), что при б < бо(е, К) и а, удовлетво- удовлетворяющих условиям ^3)<а<ао(б), (9; 3,3) выполняется неравенство Кл-*х|Ю/2. (9; 3,4) Для доказательства справедливости оценки (9; 3,4) оце- оценим прежде всего Q [гад] и | Aza^ — Лг<0)|. Очевидно, что а«.х] < MX [z"e,x; Л, Ъ,~с] < М? [?0); Л, v,~c] = = 1^@) _7;f + а [fp2 (?»>) + Ш [?")]}. (9; 3,5) Здесь ф(г) = (с, z). Далее, Пользуясь оценками ||Л — лучим б, по- по1Лг@>-^||<б12^| + б+||и-^1. (9; 3,6) Так как ||и — ь>j<|u— Az\ для любого элемента z, то из (9; 3,6) получаем Таким образом, 13?0)-7?1<Д.в1 (9; 3,7) где В = 2A +iz@)l). Пользуясь этой оценкой, из(9; 3,5) 265
получаем a Следовательно, Используя (9; 3,3), получим Так как iVF, X) — монотонно возрастающая функция переменного б, то Q[za, i] =S iVFo, ^), где бо — фиксиро- фиксированное число. Оценим 1 Aza<%— Azw\. Очевидно, что < I Д*,л - АгаЛ || + || 11ал - ~v || + || v- Azw || < <|| Дхд- 27aJ+ [Ml [zaX, А, и,!:]]''' +\\v- Azl0)\\. Пользуясь оценками (9; 3,5), (9; 3,7) и (9; 3,3), полу- получаем Поскольку Лг@) = и и |м 2, ТО kQ[Z(o>]} + \v- м —Лг|| для всякого Пользуясь этой оценкой, получаем II Агал - Л?о) 1 < б B + Р<0) || + 12~a = п (б). Очевидно, что т](б) г*- °° при б -»- 0. Докажем теперь для произвольного е > 0 существо- существование такого бо = бо(е, Х), что для б =S бо(е, %) и для 266 всех а, удовлетворяющих (9; 3,3), будет выполняться неравенство Предположим, что такого бо(е, X) пе существует. Это означает, что существует такое ео > 0 и такие последо- последовательности {Ak}, {uh}, {ck} и {б„}, сходящиеся (по со- соответствующим нормам) соответственно к А, и, с и к нулю, что для любых ah, удовлетворяющих условиям имеем Однако би, х). Следовательно, последовательность {zOft,x} принадлежит компактному множеству. В силу этого из нее^ можно вы- выделить сходящуюся подпоследовательность \Zak,%}- Пусть Очевидно, что z% e Rv Так как п tiFa) ->-0 при /c->cxd, то, переходя к пределу, получим \A~zx-A~z@) \\ = 0, откуда Az'x = ^4z@) = и. Значит, zx ей8. Оценим ф2 (гОЛл) + ^ [4Лл]- Пусть фА(г) = (cft, г)'. Имеем (Ф* 267
л) | • I Ф Ф* [ (ск> z^) - (с" ьк а* (ф* (Чд Таким образом, (9; 3,8) Здесь Zx — элемент, минимизирующий функционал Ф2(г) +Ш[г] на множестве /?г. Совершенно аналогично получим ah \l + ich!). (9; 3,9) Оценим М1к W, Ak, uh, cft] = \Ahzk - гТА Так как Лгх = и, то | 3ftz^ — uh||< J Akzh — Az%\ + [uft <pft-^l||zJ+SA<6ft(l ибо КК|г<0I. Используя (9; 3,9), получим МТ [zu Ah, uh, c~] < в! A +1 z'<°> [)a + + «ft (Фа (zx) + ^ [гJ} + aA¦ бА (|| с || + ||ch ||) ||г, f. Из этой оценки и из (9; 3,8) следует, что ф2 (г«кд) + ^ p;ft,x] <Фг (zJ-HQ [zjj.j-o F7i) +0 (8t/ah). 268 Переходя в этом неравенстве к пределу при к г± °°, по- получим () [] Так как элемент z>, минимизирует функционал ф2(г)" +Л + ?iQ[z], то z* = zK. Следовательно, при достаточно боль- больших к(к^ ка (е0)) fzakiU — zxj < &0/2t что противоречит предположению. Теорема доказана. Замечание. Мы полагали, что Q [г] = | г — z° f и фактически использовали только то, что множество элементов z, для которых Q[z] < d, компактно при лю- любом d > 0. Все результаты сохраняются, если в качестве fi[z] брать произвольную положительную определенную квадратичную форму " " п'и видоизменив соответствующим образом определение по- понятия нормального решения. Применение методов решения некорректно поставлен- поставленных задач получило широкое распространение в различ- различных направлениях научных исследований. К некорректно поставленным задачам приводятся задачи обработки ре- результатов наблюдений, различные задачи управления, планирования, синтеза оптимальных конструкций и мно- многие другие. В настоящей книге рассмотрены основные вопросы, относящиеся к методам решения некорректно поставлен- поставленных задач. В качестве приближенных решений таких задач, устойчивых к малым изменениям исходных дан- данных, берутся регуляризованные решения, т. е. решения, получаемые методом регуляризации. Основное внимание в книге уделено рассмотрению основанных на вариационном принципе отбора алгорит- алгоритмов построения регуляризованных решений уравнений вида Az = и, где z^F, u&U, к которым приводятся за- задачи обработки результатов наблюдений в физических экспериментах, задачи распознавания образов, задачи суммирования рядов Фурье и другие. Обоснование ме- метода регуляризации для такого рода задач в книге дано для типичных операторов А и пространств F и U. Пере- Перенесение результатов на более широкие классы операто- операторов А и пространств F, U сделано другими авторами. 269
Большая часть таких обобщений содержится в публика- публикациях, приводимых в конце книги. Методы решения задач оптимального управления рас- рассмотрены нами на примере задач, описываемых система- системами обыкновенных дифференциальных уравпепий. Подоб- Подобные результаты распространены и на задачи, описывае- описываемые уравнениями с частными производными (например, на задачи о дифференциальных играх). Имеются много- многочисленные публикации, посвященные этим вопросам. Приведенные нами примеры предназначены для рас- рассмотрения типичных ситуаций; изложенный в книге материал по численным методам нахождения приближен- приближенных решений некорректно поставленных задач достато- достаточен для нахождения приближенных решений широкого круга прикладных задач. В журнальных статьях и в других публикациях име- имеется большое разнообразие числепных алгоритмов реше- решения различных конкретных некорректно поставленных задач, учитывающих специфику этих задач. Мы надеемся, что изложенный в книге материал по- позволит широкому кругу читателей войти в круг идей, относящихся к некорректно поставленным задачам, и успешно решать конкретные задачи. ЛИТЕРАТУРА 1. Александров Л. Регуляризационный вычислительный процесс для анализа экспоненциальной зависимости.— ЖВМ и МФ, 1970, 10, № 5. 2 Алиев Б. О двух подходах к разностному методу решения задачи Неймана в прямоугольной области,— ЖВМ и МФ, 1972, 12, № 1. 3. Алиев Б. Регуляризирующие алгоритмы для устойчивого нормального решения уравнения II рода на спектре.— ЖВМ и МФ, 1970, 10, № 3. 4. А н и к о н о в Ю. Е. Об операторных уравнениях I рода.-^ ДАН СССР, 1972, 207, № 2. А н т о х и н Ю. Т. Аналитический подход к проблеме урав- 5. 6. д нений I рода.— ДАН СССР, 1966, 167, № 4. 10 Т Н А н т о х и н 10. Т. Некорректные задачи в гильбертовом про- пространстве и устойчивые методы их решения.— Дифф. уравн., 1967, 3, № 7. 7. А н т о х и н Ю. Т. Некорректные задачи для уравнений типа свертки.— Дифф. уравн., 1968, 4, № 9. 8. А р с е н и н В. Я. О разрывных решениях уравнений первого рода.— ЖМВ и МФ, 1965, 5, № 5. 9. А р с е н и н В. Я., Иванов В. В. О решении некоторых интегральных уравнений первого рода типа свертки методом регуляризации.— ЖВМ и МФ, 1968, 8, № 2. 10. А р с е н и н В. Я., Иванов В. В. О влиянии регуляриза- регуляризации р-го порядка.— ЖВМ и МФ, 1968, 8, № 3. И. Арсенин В. Я., Иванов В. В. Об оптимальной регуля- регуляризации.— ДАН СССР, 1968, 182, № 1. 12. Арсенин В. Я. Об оптимальном суммировании рядов Фурье с приближенными коэффициентами.— ДАН СССР, 1968, 183, Л« 2. 13. А р с е н и н В. Я., Савелова Т. И. О применении метода регуляризации к интегральным уравнениям первого рода ти- типа свертки.— ЖВМ и МФ, 1969, 9, № 6. 14. Арсенин В. Я. Об одном способе приближенных решений интегральных уравнений первого рода типа сверток.— Труды МИАП СССР, 1973, 133. 15. А р с е н и и В. Я. О методах решения некорректно поставлен- поставленных задач.— М.: МИФИ, 1977.— Курс лекций, ротапринт. 16. Арсенин В. Я., Загонов В. П., Трахопнтов- с к а я Р, А. О численном решении интегральных уравнений 271
первого рода типа свертки на неравномерных сетках.— М,! ИПМ АН СССР, 1978.— Препринт № 141. 17. Б а к у ш и н с к и й А. Б. Один общий прием построения ре- гуляризирующих алгоритмов для линейного некорректного уравнения в гильбертовом пространстве,— ЖВМ и МФ, 1968, 7, № 3. 18. БакушинскийА. В., Страхов В. Н. О решении не- некоторых интегральных уравнений первого рода методом после- последовательных приближений.— ЖВМ и МФ, 1968, 8, № 1. 19. Б а к у ш и н с к и й А. Б. Алгоритмы регуляризации для ли- линейных уравнений с неограниченными операторами.— ДАН СССР, 1908, 183, № 1. 20. Б а к у ш и п с к и й А. В. К проблеме построения линейных регулярпзнрующих алгоритмов в банаховых пространствах, ЖВМ и МФ, 1973, 13, № 1. 21. Б а к у ш и н с к и й А. Б. Регуляризирующий алгоритм на ос- основе метода Ньютона — Канторовича для решения вариацион- вариационных неравенств.— ЖВМ и МФ, 1976, 16, № 6. 22. Б у д а к Б. М., Васильева В. И. О решении обратной задачи Стефана.— ЖВМ и МФ, 1973, 13, №Яа 1, 4 23. В а с и н В. В., Т а н а п а В. П. Приближенное решение опе- операторных уравнений первого рода,— Матем. 8ап. УРГУ, 1968, 4, № 6. 24 В а с и н В. В. О связи некоторых вариационных методов приблшкенного решения некорректных задач.— Матем. замет- заметки, 1970, 7, № 3. 25. В а с и н В. В. Об устойчивом вычислении производной.— 26. ЯШМ и МФ, 1973, 13, № 6. Винокуров В. А. О понятии регуляризуемости разрыв- разрывных отображений.—ЖВМ и МФ, 1971, 11, № 5. 27. В и н о к у р о в В. А. Общие свойства погрешности прибли- приближенного решения линейных функциональных уравнений.— ЖВМ и МФ, 1971, 11, № 1. Винокуров В. А. Два замечания о выборе, параметра ре- 28. 29. гуляризации.— ЖВМ и МФ, 1972, 12, № 2. 30. Винокуров В. А. О погрешности приближенного реше- решения линейных задач.— ЖВМ и МФ, 1972, 12, Ш 3. Винокуров В. А. Свойства функционала погрешности А(/, R, б, х) при фиксированном б как функции *. I —ЖВМ и МФ, 1975, 15, № 4 31. В и н о к у р о в В. А. Асимптотические оценки погрешности II.— ЖВМ и МФ, 1975, 15, № 6. 32. В и н о к у р о в В, А. Асимптотические оценки погрешности. III.— ЖВМ и МФ, 1976, 16, № 1. 33. В и н о к у р о в В. А. Интегральные оценки погрешности. IV —» ЖВМ и МФ, 1976, 16, № 3. Воеводин В. В. О методе регуляризации.— ЖВМ и МФ. 1969, 2, № 3. Г а в у р и н М. К., Рябов В. М. Применение полиномов Чебышева при регуляризации некорректных и плохо обуслов- обусловленных уравнений в гильбертовом пространства— ЖВМ и МФ, 1973,' 13, № 6. 36. Г а л к и н В. Я, К расчету управляющей функции при подъе- подъеме ракеты-зонда на максимальную высоту.— В кн.: Вычисл. матем. и программирование, XII, М.: МГУ, 1969. 272 34 35. 37. Галкин В. Я. Задача релейного управления при вертикаль- вертикальном подъеме ракеты.— В кн.: Вычисл. матем. и программиро- программирование, XII, М.: МГУ, 1969. 38. Г а л к и н В. Я. Задачи обработки и интерпретации резуль- результатов некоторых экспериментов в ядерной физике. Авторе- Автореферат канд. диссерт.— М.: Ml У, 1972. 39. Г е й м а н Т. М., 3 а и к и н П. П., Масленников В. А., Седов Н. Н. О некоторых задачах количественной элект- электронной микроскопии.— В кн.: Вычисл. матем. и программиро- программирование, XIV, М.: МГУ, 1970. 40. Гласко В. Б., Тихонов А. Н., Тихонравов А. В. О синтезе многослойных покрытий.— ЖВМ и МФ, 1974, 14, № 1. 41. Г л а с к о В. В., Кравцов В. В., Кравцова Г. Н. Об одной обратной вадаче гравиметрии.— Вестник МГУ, 1970, 2. 42. Г л а с к о В. Б. О единственности решения некоторых обрат- обратных задач сейсмологии.— ЖВМ и МФ, 1970, 10, № 6. 43. Г л а с к о В. Б., Гущин Г. В., С т а р о с т е н к о В. И. О применении метода регуляризации А. Н. Тихонова к ре- решению нелинейных систем уравнений.— ЖВМ и МФ, 1976, 16, № 2. 44. Гласко В. Б. Использование метода регуляризации для ре- решения задачи термического зондирования атмосферы.— Фи- Физика атмосферы и океана, 1968, IV, № 3. 45. Г л а с к о В. В., Володин В. А., Мудрецов Е. А., Нефедова Н. Ю. О решении обратной задачи гравиразвед- ки для контактной поверхности на основе метода регуляриза- регуляризации.— Физика Земли, 1972, 5. 46. Г л а с к о В. Б. К вопросу о единственности определения структуры земной коры по поверхностным волнам Ралея.— ЖВМ и МФ, 1971, 11, № 6. 47. Г л а с к о В. Б. Некоторые математические вопросы интепре- тации геофизических наблюдений, Автореферат докторской диссертации.— М.: МГУ, 1972, 48. Г о н ч а р с к и й А. В., Я г о л а А. Г. О равномерном при- приближении монотонных решений некорректных вадач.— ДАН СССР, 1969, 184, № 4 49. Г о н ч а р с к и й А. В., Леонов А. С, Я г о л а А, Г. Не- Некоторые оценки скорости сходимости регуляризованных при- приближений для уравнений типа свертки.— ЖВМ и МФ, 1972, 12, № 3. Гончарский А. В., Леонов А. С, Я г о л а А. Г. О ре- решении двумерных интегральных уравнений первого рода с ядром, зависящим от разности аргументов.— ЖВМ и МФ, 1971, 11, № 5. 51. Г о н ч а р с к и й А. В., Леонов А. С, Я г о л а А. Г. Об одном регуляризующем алгоритме для некорректно поставлен- поставленных задач с приближенно заданным оператором.— ЖВМ и МФ, 1972, 12, № 6. Гончарский А. В., Леонов А. С, Ягола А. Г. Обоб- Обобщенный принцип невязки.— ЖВМ и МФ, 1973, 13, № 2. 50. 52. 53. Г о н ч а р с к и й А. В., Леонов А. С, Ягола А. Г, Ко- Конечно-разностная аппроксимация линейных некорректных за- задач.- ЖВМ и МФ, 1974, 14, № 1. 273
54. Г о н ч а р с к и й А. В., Леонов А. С, Я г о л а А. Г. О принципе невязки при решении нелинейных некорректных задач.- ДАН СССР, 1974, 214, № 3. 55. Г о н ч а р с к и й А. В., Леонов А. С, Я г о л а А. Г. О применимости принципа невязки в случае нелинейных не- некорректных задач и новом регуляризирующем алгоритме их решения.—ЖВМ и МФ, 1975, 15, № 2. 56. Гончарский А. В., Черепащук А. М., Я г о л а А. Г. Численные методы решения обратных задач астрофизики.^ М.: Наука, 1978. 57. Го р д о н о в а В. И., Морозов В. А. Численные алгорит- алгоритмы выбора параметра в методе регуляризации,— ЖВМ и МФ, 1973, 13, № 3. 58. Д е м и д о в и ч В. Б. Восстановление функции и ее произ- производных по экспериментальной информации.— В кн.: Вычисл. матем. и программирование, VIII, М.: МГУ, 1967. 59. Д е н и с о в А. М. Об аппроксимации квазирешений уравне- уравнения Фредгольма первого рода с ядром специального вида.— ЖВМ и МФ, 1971, 11, № 5; 1972, 12, № 6. 60. Д е н и с о в А. М. Об аппроксимации квазирешешш некото- некоторых интегральных уравнений первого рода.— ЖВМ и МФ, 1974, 14, № 1. 61. Денчев Р. О методе регуляризации А. Н. Тихонова для сла- слабых решений краевых задач,— ЖВМ и МФ, 1969, 9, № 2. 62. Д и д е н к о В. П., Козлов Н. II. О регуляризации некото- некоторых некорректных задач технической кибернетики.— ДАН СССР, 1974, 214, № 3. 63. Долгополова Т. Ф., Иванов В. К. О численном диф- дифференцировании.— ЖВМ и МФ, 1966, 6, № 3. 64. Домбровская И. Н. О линейных операторных уравне- уравнениях первого рода.— Изв. вузов, Математика, 1964, 2. 65. Домбровская И. Н. О решении некорректных линейных уравнений в гильбертовом пространстве.— Матем. зап. УРГУ, 1964, 4, № 4. 66. Д о м б р о в с к а я И. Н., Иванов В. К. К теории некото- некоторых линейных уравнений в абстрактных пространствах.— Си- Сибирский матем. журн., 1965, VI, № 3. 67. Д о м б р о в с к а я И. Н. Об уравнениях первого рода с зам- замкнутым оператором.— Изв. вузов, Математика, 1967, 6. 68. Жуковский Е. Л., Липцер Р. Ш. О рекуррентном спо- способе вычисления нормальных решений линейных алгебраиче- алгебраических систем уравнений.— ЖВМ и МФ, 1972, 12, № 4. 69. Ж у к о в с к и й Е. Л., Морозов В. А. О последовательной байесовской регуляризации алгебраических систем уравне- уравнений.— ЖВМ и МФ, 1972, 12, № 2. 70. Ж у к о в с к и й Е. Л. Статистическая регуляризация алгеб- алгебраических систем уравнений.— ЖВМ и МФ, 1972, 12, № 1. 71. 3 а и к и н П. Н. О численном решении обратной задачи опе- операционного исчисления в действительной области.— ЖВМ и • МФ, 1968, 8, № 2. 72. 3 а и к и н П. Н. Система сплошной автоматической обработ- обработки результатов эксперимента по исследованию сечений фото- фотоядерных реакций, Автореферат канд. диссерт.—М.: МГУ, 1968. 73. 3 а и к и н П. Н., М е ч е н о в А. С. Некоторые вопросы чис- численного решения интегральных уравнений первого рода ые- 274 76. 77. 78. 79. 80. 81. 82. 83. 84. 85. 86. S7. 89. 90. 91. 92. 93. 94. 95. ¦годом регуляризации: М.: МГУ, 1971.— Отчет ВЦ МГУ, № 144—ТЗ, ротапринт. 3 а п к и н П. Н. Системы полпой математической обработ- обработки результатов спектрометрических экспериментов. Авторе- Автореферат докт. диссертации.— Дубна: ОИЯИ, 1978. Иванов В. К. Линейные неустойчивые задачи с много- многозначными операторами.— Сибирский матем. журн., 1970, XI, № 5. Иванов В. К. Обратная задача потенциала для тела, близкого к данному.— Изв. АН СССР, Сер. матем., 1956, 20, № 6. И в а п о в В. К. Об устойчивости обратной задачи логарифми- логарифмического потепциала.— Изв. вузов, Математика, 1958, 4. Иванов В. К. О линейных некорректных задачах.— ДАН СССР, 1962, 145, № 2. Иванов В. К. О некорректно поставленных задачах.— Ма- Матем. сборник, 1963, 61, № 2. Иванов В. К. Некорректные задачи в топологических про- пространствах.— Сибирский матем. журн., 1969, X, JSs 5. И в а п о в В. К. Об одном типе некорректных линейных урав- уравнений в векторных топологических пространствах.— Сибир- Сибирский матем. журн., 1965, VI, № 4. Иванов В. К. Задача Коши для уравнений Лапласа в бес- бесконечной полосе.— Дифф. уравн., 1965, 1, № 1. Иванов В. К., О равномерной регуляризации неустойчи- неустойчивых задач.— Сибирский матем. журн., 1966, VII, № 3. Иванов В. К. О приближенном решении операторных урав- уравнений первого рода.— ЖВМ и МФ, 1966, 6, М 6. Иванов В. К., К о р о л ю к Т. И. Об одной вадаче чис- численного аналитического продолжения гармонических функ- функций.— Матем. зап. УРГУ, 1966, 5, № 4. Иванов В. К. Об интегральных уравнениях Фредгольма первого рода,— Дифф. уравн., 1967, 3, № 3. Иванов В. К., К о р о л ю к Т. И. Об оценке погрешности при решении линейных некорректно поставленных задач.— ЖВМ и МФ, 1969, 9, № 1. Иванов В. К., Васин В. В., Т а н а н а В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения.— М.: Нау- Наука, 1978. Иевлев И. И. О приближенном решении уравнений пер- первого рода.— ЖВМ и МФ, 1973, 13, № 4. Карманов В. Г. Оценки сходимости итерационных мето- методов миниминизации.— ЖВМ и МФ, 1974, 14, J& 1. Князев А. В. Условия корректности нелинейных инте- интегральных уравнений с ядром, зависящим от разности пере- переменных- ЖВМ и МФ, 1970, 10, № 4. Королюк Т. И. О задаче Коши для уравнения Лапласа.— Изв. вузов, Математика, 1973, 1. Коркина Л. Ф. О решении операторных уравнений пер- первого рода в гильбертовых пространствах.— Изв. вузов, Мате- Математика, 1967, 7. Коркина Л. Ф. О регуляризации операторных уравнений первого рода.— Изв. вузов, Математика, 1969, 8. Косарев Е. Л. О численном решении интегрального урав- уравнения Абеля.— ЖВМ и МФ, 1973, 13, № 6. 275
96. К р е й н С. Г., Прозоровская О. И. О приближенных методах решения некорректных задач.— ЖВМ и МФ, 1963, 3, № 1. 97. К р у к о в с к и й Н. М. Об устойчивом по Тихонову сумми- суммировании рядов Фурье с возмущенными коэффициентами не- некоторыми регулярными методами.— Вестник МГУ, Сер. 1, Ма- Математика, механика, 1973, 3. 98. К р я н е в А. В. Решение некорректно поставленных задач методом последовательных приближений.— ДАН СССР, 1973, 210, № 1. 99. К р я н е в А. В. Инерационный метод решения некорректных задач.— ЖВМ и МФ, 1974, 14, № 1. 100. Курант Р. Уравнения с частными производными.— М.: Мир, 1964 101. Лаврентьев М. М. О задаче Коши для уравнения Лапла- Лапласа.— Изв. АН СССР, Сер. матем., 1956, 20. 102. Лаврентьев М. М. К вопросу об обратной задаче тео- теории потенциала.— ДАН СССР, 1966, 106, № 3. 103. Лаврентьев М. М. О задаче Коши для линейных эллип- эллиптических уравнений.—ДАН СССР, 1957, 112, № 2. 104. Лаврентьев М. М. Об интегральных уравнениях первого рода.— ДАН СССР, 1959, 127, № 1. 105. Лаврентьев М. М. Об интегральных уравнениях перво- первого рода.— ДАН СССР, 1960, 133, № 2. 106. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физпкп.— М.: СО АН СССР, 1962. 107. Лаврентьев М. М., Васильев В. Г. О постановке не- некоторых некорректпых задач математической физики.— Си- Сибирский математ. журн., 1966, VII, № 3. 108. Лаврентьев М. М. Об обратной задаче для волнового уравнения.— ДАН СССР, 1964, 157, № 3. 109. Лаврентьев М. М. Об одном классе обратных задач для дифференциальных уравнений.— ДАН СССР, 1965, 160, Л*2 1. 110. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Васильев В. Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных урав- уравнений.—Новосибирск: Наука, 1969. 111. Латтес Р., Лионе Ж. Л. Метод квазиобращения и его приложения.— М.: Мир, 1970. 112. Леонов А. С. К обоснованию выбора параметра регуляри- регуляризации по критериям квазиоптимальности и отношений.—ЖВМ и МФ, 1978, 18, № 6. 113. Ли сков ец О. А. Некорректные задачи с замкнутым не- необратимым оператором.— Дифф. уравн., 1967, 3, № 4. 114. Лисковец О. А. О регуляризации линейных уравнений в банаховых пространствах.— Дифф. уравн., 1968, 4, № 6. 115. Ли сков ец О. А. Метод регуляризации для нелинейных задач с замкнутым оператором.— Сибирский матем. журн., 1971, XII, № 6. 116. Лисковец О. А. О решении некорректных задач с замыка- замыкаемым оператором.— ДАН СССР, 1974, 219, № 5. 117. Лисковец О. А. Способ выбора параметра регуляризации при решении нелинейных некорректных вадач.— ДАН СССР, 1976, 229, № 2. 118. М а р ч у к Г. И., Атанбаев С. А. Некоторые вопросы гло- глобальной регуляризации.—ДАН СССР, 1970, 190, № 3. 276 121. 122. 123. 124. 125. 126. 127. 128. 129. 130. 131. 132. 133. 134. 135. 136. 137. 138. 139. Ma p ч у к Г. И. О постановке некоторых обратных вадач.— ДАН СССР, 1964, 156, № 3. Марчук Г. И., Васильев В. Г. О приближенном ре- решении операторных уравнений первого рода.— ДАН СССР, 1970, 195, № 4. М а с л о в В. П. Регуляризация некорректных задач для син- сингулярных интегральных уравнений.— ДАН СССР, 1967, 176, № 5. Мельникова И. В. О решении уравнений первого рода с замкнутым многозначным оператором.— Изв. вузов, Матема- Математика, 1971, 12, Морозов В. А. О регуляризации некорректно поставлеп- ных задач и выборе параметра регуляризации.— ЖВМ и МФ, 1966, 6, № 1. Морозов В. А. О выборе параметра при решении функ- функциональных уравнений методом регуляризации.— ДАН СССР, 1967, 175, № 6. Морозов В. А. О регуляризирующих семействах операто- операторов.— В кн.: Вычисл. матем. и программирование. VIII, М., МГУ, 1967. Морозов В. А. О принципе невязки при решении несов- несовместных уравнений методом регуляризации А. Н. Тихонова.— ЖВМ и МФ, 1973, 13, № 5. Морозов В. А. Регулярные методы решения некоррект- некорректных задач.—М.: МГУ, 1974.—Ротапринт. Морозов В. А. О припципе оптимальности невязки при приближенном решении уравнений с нелинейными операто- операторами.— ЖВМ и МФ, 1974, 14, № 2. Морозов В. А. О псевдорешениях.— ЖВМ и МФ, 1969, 9, № 6. Морозов В. А. Линейные и нелинейные некорректные за- задачи. Итоги науки и техники. Математический аналиэ. П.— М.: ВИНИТИ, 1973. Морозов В. А. О решении методом регуляризации некор- некорректно поставленных задач с нелинейным неограниченным оператором.— Дифф. уравн., 1970, 6, № 8. М у з ы л е в И. В. Об алгоритме упрощенной регуляриза- регуляризации- ЖВМ и МФ, 1975, 15, № 3. Муравьева М. В. Об оптимальности и предельных свой- свойствах байесовского решения системы линейных алгебраиче- алгебраических уравнепий.— ЖВМ и МФ, 1973, 13, № 4. II о в и к о в П. С. О единственности обратной задачи теории потенциала.— ДАП СССР, 1938, 18, № 3. Оганесян С. М., Старостенко В. И. Регуляризирую- щий итерационный процесс, основанпый на параметрическом функционале А. П. Тихонова.— ДАН СССР, 1978, 238, № 2. О х о ц и м с к и й Д. Е. К теории движения ракет.— ПММ, 1946, 10, № 2. Петров А. П., Хованский А. В. Оценка погрешности решения линейных задач при наличии ошибок в операторах и правых частях уравнений.— ЖВМ и МФ, 1974, 14, № 2. Петров В. В., У с к о в А. С. Информационные аспекты проблемы регуляризации.— ДАН СССР, 1970, 195, № 4. П е р е л ь м а н А. Я., П у н и н а В. А. Применение свертки Мсллпна к решению интегральных уравнений первого ро- 277
да с ядром, зависящим от произведения. — ЖВМ п МФ, 1969, 9, № 3. 140. Прилепко А. И. Внешняя обратная задача объемного по- потенциала переменной плотности для тела, близкого к данно- данному.- ДАН СССР, 1969, 185, № 1. 141. Прилепко А. И. Внутренние обратные задачи теории по- потенциала.— ДАН СССР, 1968, 182, № 3. 142. Прилепко А. И. Контактные обратные задачп обобщен- обобщенных магнитных потенциалов.—ДАН СССР, 1968, 181, № 5. 143. Прилепко А. И. О единственности определения формы п плотности тела в обратных задачах теории потенциала.— ДЛИ СССР, 1970, 193, № 2. 144. Прилепко А. И. О единственности определения фопмт.1 тела по значениям внешнего потенциала.— ДАН СССР, 1965, 160, № 1. 145. Прилепко А. И. О единственности решения одной об- обратной задачи, представленной интегральпьш уравнением пер- первого рода.—ДАН СССР, 1966, 167, № 4. 146. Прилепко А. И. Существовании решений обратных задат теории потенциала.— ДАН СССР, 1971, 199, № 1. 147. Приленко А. И. Внутрепние обратные задачи обобщен- обобщенных потенциалов.— Сибирский матем. журн., 1971, 12, № 3. 148. Прилепко А. И. Об обратпых задачах теории потенциа- потенциала.— Дифф. уравн., 1967, 3, № 1. 149. Приленко А. И. Внутренняя обпатттая задача метагармо- нического потенциала для тела, близкого к дашюму.— Дифф. уравн., 1972, 8, № 1. 150. Романов В. Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа,—Новосибирск: Наука. 1972. 151. Романов В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений.—Новосибирск. ИГУ, 1973. 152. Романов В. Г. Абстрактная обпатттая задача и вопросы ее корректности.— Функтт. анализ, 1973. 7. № 3. 153. Савелова Т. Й., Тихомиров В. В. О решении инте- интегральных уравнений первого рода типа свертки в многомер- многомерном случае.-ЖВМ и МФ, 1973, 13. № 3. 154. Савелова Т. И. О решении уравнений типа свертки с не- неточно заданным ядром методом регуляризации.— ЖВМ и МФ 1972, 12, № 1. 155. Савелова Т. И. О применении одного класса регулярияи- рующих алгоритмов к решению интегральных уравнений пер- первого рода тина свертки в банаховых пространствах.— ЖВМ и МФ, 1974, 14, № 2. 156. Савелова Т. И. Проекционные методы решения линейных некорректных задач.— ЖВМ и МФ, 1974, 14, № 4. 157. Страхов В. Н. О решении некорректных задач магнито и гравиметрии, представляемых интегральными уравнениями типа свертки.— Изв. АН СССР, Сер. Физика Земли, 1967 4 № 5. 158. Страхов В. Н. О численном решении некорректных задач, представляемых интегральными уравнениями типа свертки — ДАН СССР, 1968, 178, № 2. 159. Страхов В. Н. О линейных некорректных задачах в гиль- гильбертовом пространстве.— Дифф. уравн., 1970, 6, № 8. 278 w 1 "Я" |- *¦ > I 162. 163. 164, 165. 166. 167. 168 169, 170, 171 160. Страхов В. Н. О методах последовательных приближений для линейных уравнений в гильбертовом пространстве.— ЖВМ и МФ, 1973, 13, № 4. 161. Страхов В. Н. О построении оптимальных по порядку приближенных решений линейных условно корректных 8а- дач.—Дифф. уравн., 1973, 11, № 10. Страхов В. Н. К вопросу о скорости сходимости и методе простой итерации.— ЖВМ и МФ, 1973, 13, № 6. Т а н а н а В. П. Приближенное решение операторных урав- уравнений первого рода в локально выпуклых пространствах.— Изв. вузов, Математика, 1973, 9. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач.— ДАН СССР, 1943, 39, № 5. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных за- задач.— ДАН СССР, 1963, 151, № 3. Т и х о и о в А. Н. О регуляризации некорректно поставлен- поставленных задач.— ДАН СССР, 1963, 153, № 1. Тихонов А. II. Об устойчивых методах суммирования ря- рядов Фурье.— ДАН СССР, 1964, 156, № 1. Тихонов А. Н. О решении нелинейных интегральных уравнений.— ДАН СССР, 1964, 156, № 6. Тихонов А. Н., Г л а с к о В. Б. О приближенном реше- решении интегральных уравнений Фредгольма первого рода.— ЖВМ и МФ, 1964, 4, № 3. Тихонов А. Н. О нелинейных уравнениях первого рода,—• ДАН СССР, 1965, 161, № 5. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я., Владимиров Л. А., Дорошенко Г. Г., Дулова А. А. К вопросу об обработке аппаратурных спектров ^-квантов и быстрых нейтронов, из- измеренных с помощью однокристальных сцинтилляционных спектрометров.— Изв. АН СССР, Сер. физическая, 1966, XXXIX, № 5. 172. Тихонов А. Н. О методах регуляризации вадач оптималь- оптимального управления.— ДАН СССР, 1965, 162, № 4. 173. Тихонова. Н., А р с е н и н В. Я., Д у м о в а А. А., М a fl- flop о в Л. В., М о с т о в о й В. И. Новый метод восстановления истинных спектров.— Атомная энергия, 1965, 18, № 6. 174. Тихонов А. Н., Гласно В. Б. Применение методов ре- регуляризации в нелинейных задачах.— ЖВМ и МФ, 1965, 5, № 3. 175. Тихонов А. Н. О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивом методе их решения.— ДАН СССР, 1965, 163, Ni 6. 176. Тихонов А. Н. Об устойчивости алгоритмов для решения вырожденных систем линейных алгебраических уравнений.— ЖВМ и МФ, 1965, 5, № 4. 177. Тихонов А. Н. О некорректных вадачах оптимального планирования и устойчивых методах их решения.— ДАН СССР, 1965, 164, № 3. 178. Тихонов А. Н. О методах решения некорректно постав- поставленных задач.— В кн.: Тезисы докладов, Международный кон- конгресс математиков, М., 1966. 179. Тихонов А. Н. О некорректных вадачах оптимального пла- планирования.—ЖВМ и МФ, 1966, 6, № 1. . :¦¦¦''¦'**&« 180. Тихонов А. Н. Об устойчивости задачи минимизации функ- функционалов.— ЖВМ и МФ, 1966, 6, № 4, 279
181. Тихонов А. Н., Галкин В. Я., 3 а и к и н П. Н. О пря- прямых методах решения задач оптимального управления.— ЖбМ и МФ, 1967, 7, № 2. 182. Тихонов А. Н., Гласно В. Б. К вопросу о методах оп- определения температуры поверхности тел.— ЖВМ и МФ, 1967, 7, № 4. 183. Тихонов А. Н. О некорректно поставленных задачах.— В кн. Вычисл. матем. и программирование, VIII, М., МГУ, 1967. 184. Тихонов А. Н., А л и к а е в В. В., А р с е н и н В. Я., Д у- м о в а А. А. Определение функции распределения электро- электронов плазмы по спектру тормозного излучения.— Журнал эксп. и теор. физики, 1968, 55, № 5. Тихонов А. Н., Шевченко В. Г., Галкин В. Я., 3 а и к и н П. Н., Горячев Б. И., И ш х а н о в Б. С, Ка- Капитонов Н. М. Система сплошной автоматической обра- обработки результатов эксперимента по исследованию сечений фо- фотоядерных реакций.— В кп.: Вычисл. матем. и программиро- программирование, XIV. М., МГУ, 1970. Тихонов А. Н., Дмитриев В. И. О методах решения обратной задачи теории антенн.— В кн.: Вычисл. матем. и программирование, XIII, Ml У, 1969. .Тихонов А. II., Карманов В. Г., Руднева Т. Л. Об устойчивости задач линейного программирования.— В кн.: Вычисл. матем. и программирование, XII, М., МГУ, 1969. .Тихонов А. Н., А р с е н и н В. Я., Д у м о в а А. А., М и- трофановВ. Е., Пергамент А. X., Пергамент М. И. О многоцелевой проблемноориентированной системе пбработ- ки результатов экспериментов.— М.: ИПМ, 1976.— Препринт № 142. Фридман В. И. Метод последовательных приближений для интегрального уравнения Фредгольма первого рода.— УМН, 1956, И, № 1. X а л ф и н Л. А., Судаков В. Н. Статистический подход к корректности задач математической физики.— ДАН СССР, 1964, 157, № 5. X у д а к Ю. И. О регуляризации решений интегральных урав- уравнений первого рода.— ЖВМ и МФ, 1966, 6, № 4. X у д а к Ю. И. О сходимости одного семейства регуляризи- рующих операторов.— ЖВМ и МФ, 1972, 12, № 2. Чудов Л. А. Разностные схемы и некорректные вадачи для уравнений с частными производными.— В кн.: Вычисл. матем. и программирование, VIII, М., МГУ, 1967. Arcangeli R., Pseudosolution de I'equation Ax= y.—Comptes Ren. Acad. Sci., 1966, 263, № 8. Bellman R., Kalaba R., Lochett J. Dynamic pro- programming and ill — conditioned linear systems.— J. Math. Anal, and Appl., 1965, 10. Bensonssan A., Keneth P., Sur l'analogue entre les methodes de regularisation et de penalisation.— Rev. franc, inform, et rech. oper., 1968, 2, N» 13. С a v а у a n H. S., В e 1 f о г d G. G. On computing a stable least squares solution to the inverse problem for a pla- planar Newtonian potential.— SIAM J. Appll Math., 1971 20, № 1. 185, 186. 187. 188. 189. 190. 191. 192. 193. 194. 195. 196. 197. 280 198. 199. 200. 201. 202. 203. 204. 205. 206. 207. 208. 209. 210. 211. 212. 213. 214. 215. 216. 217. 218. Cruceanu S. Regularisation pour les problemes i operateurs monotones et la methode de Galerkine.— Comment. Math. Univ. Carol., 1971, 12, № 1. Douglas J. A numerical method for analitic Continuation.— Madison: Boundary Problems Different. Equat. Univ. Wisconsin Press.: 1960. Douglas J. Mathematical programming and integral equa- equations.— In: Sympos. Numerical Treatm. Ordinary Different Equal., Integral and Integro — different. Equat, Birkhauser, 1960. Fox D. W., P u с с i С. The Dirichlet problem for the waves equation.— Annali di Math., 1958, 48. Fichera G. Sur Concetto di problema «benposti» pur una equazione differentiale.— Rend. math. e. appl., 1960, 19, № 1. F u r i M., Vignolli A. On the regularization on nonlinear ill — possod problem in Banach spaces.— J. Optimiz. Theory and Appl., 1969, 4, № 3. Hadamard J. Sur les problemes aux derivees partielles pt leur signification physique.— Bull. Univ. Princeton, 1902, 13. Hadamard J. Le probleme de Caucy et les equations aux derivees partielles lineaires hyperboliques.— P.: Hermann, 1932. John F. Numerical solution on the equation of heat conduction for proceeding times.— Ann. Math. Рига ed Appl., 1955, 40. John F. Numerical solution of problems wich are not well posed in the sense of Hadamard.— Rome: Sympos. Numeric. Trealm. Partial Differen. Equat. with Real Char., 1959. M a r t о n K., V a r g a L. Regularization of certain opera- operator equations by fillers.— Stud. Sci. Math. Hung., 1971, 6, № 3, 4. N e d у a 1 k о v I. P. An Approach in the theory of incorrect problems.— Докл. Болг. АН, 1970, 23. Newman D. J. Numerical method for solution of an elliptic Cauchy problem.—J. Math, and Phys., 1960, 39, № 1. Panel L. E. Bounds in the Cauchy problem for the Laplace equation,— Arch. Rational. Mech. Anal., 1960, 5, № 1: Phillips D. L. A technique for the numerical solution of certain integral eguations of the first kind.— J. Assoc. Comput. Nach. 1962, 9, № 1. Pucci С Sui problemi Cauchy non «ben posti».— Atti Acad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. fis. math, e natur., 1955, 18, № 5. Pucci С Discussione del problema di Cauchy pur le equazioni di tipo elliptico.— Ann. mat. pura ad appl., 1968, 46. Pucci C. On the improperly posed Cauchy problems for parabolic equations.— In: Sympos. Numeric. Treatm. Partial Different. Equat. with Real Characteristics, Rome, 1959. R e p 1 о g 1 e J., H о 1 с о m b B. D. The use of mathematical programming for solving singular and poorly conditional systems of equations.—J. Math. Anal., 1967, 20, M 2. R i b i e r e G. Regularisation des operateurs.— Rev. Trans, inform, et rech. oper., 1967, 1, № 11. Strand O. N., Westwater E. R. Statistical estimation of the numerical solution of a Fredholm integral equations of the first kind,— J, Assoc, Comput. Math., 1968, 15, № 1. 281
219. Twomey S. On the numerical solution of Fredholm integral equations of the first kind by the inversion of the linear system produced by quadratiere.— J. Assoc, Comput. Mach., 1963, 10, № 1. 220. Twomey S. The application of numerical filtering to the solution of integral equations encountered in indirect sensing measurements.— J. Franklin Inst., 1965. 221. Wiener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series with engineering applications.— N. Y.; J, Wiley, 1950. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Вариационный принцип отбора 59 — способ построения регуляри- зирующих операторов 64 Винера оператор оптимальной фильтрации 201 Вложение s-компактное 235 и непрерывно выпуклое 238 Диаграмма направленности 245 Дискретизация задачи нахожде- нахождения приближенного решения интегрального уравнения первого рода 153 Задача аналитического продол- продолжения, пример 21 — задаваемая 258 — корректно поставленная 16 — Коши для уравнения Лапла- Лапласа 20 — — — — теплопроводности с обратным временем 165 — линейного программирования 251 — математического программи- программирования 249 — нахождения устойчивого приближенного решения 56 — некорректно поставленная 16 — обратная 27 — — гравиметрии 21 для уравнения теплопро- теплопроводности 165, 166 . = теории антеин 245 Задача определения переход- переходных функций 30 спектрального состава из- излучения, пример 160 формы радиоимпульса 29 электрического импуль- импульса на входе кабеля 164 — оптимального планирования 253 управления 233, 241 , пример 242 — решаемая 258 — синтеза оптических систем 24 — существенно некорректная 53 — устойчивая 16 — численного дифференцирова- дифференцирования 18, 158 , некорректность 18 — — суммирования рядов Фурье 19, 218, 220 — — — ——, некорректность 19 Замкнутое множество 116 Замыкание множества 33 Интегральное уравнение типа свертки 167, 197 , некорректность 171 — — — —, регулярйзованное решение 173 — — — —, — — оптимальное 198 , типы ядер 184 ¦.— — Фредгольма первого рода 9, 18, 128 283
Интегральное уравнение Фред- гольма, некорректность 18 приближенное решение 147 Квадратическая метрика 9 Квазиоптимальное значение па- параметра регуляризации 86, 87, 89 Квазирешение 43, 47, 94 — в гильбертовом пространстве 96 —, связь с регуляризовавнг.щ решением 94 Класс корректности 41 Компактное в себе мноя.ество 32 — множество 32 Метод Воеводина 156 — замены исходного уравнения близким ему 49 — итераций 97 — квадратного корпя 155 — квазиобращения 50 — Лагранжа построения регу- ляризирующих операторов 65 — подбора 37, 38, 41 , условия сходимости 40 — регуляризации 53—109, 110, 128 , минимизация функциона- функционалов 231—247 — —, примеры применения 158-166 решения интегральных уравнений типа сверток 172 Фредгольма 128— 166 U 172 Метрика пространства Lj Ю, 12, 128, 172 ?2 19 W\ 137 Минимизация функционала по аргументу 231 Множество выпуклое 33 Невязка уравнения 67 Некорректно поставленная зад:-, ча 16 , примеры 18 Норма уклонения 235 ¦— элемента в линейном прост- пространстве 34 Нормальное решение 112, 257 Отрезок линейного метрпческо- го пространства 33 Плотность спектральная 180 Проекция элемента на множест- множество 44 Пространство банахово 36 — гильбертово 36 — линейное 34 — нормированное 35 — полное метрическое 34 — С 35 — L{ 35 — Li 35 — г2 35 - W\ 36 Псевдорешенпе 111 линейпых интегральных уравнений первого рода 128 — — — — задач оптимального планирования 258 — и- — — — управления 241 — — — систем линейных алге- алгебраических уравнений 114 — —, связь с оптимальной фильтрацией по Винеру 198 суммирования рядов Фурье 223 Метрика вероятностная 181 — мажорантная 61 — пространства С 10, 18, 20, 129 2Я4 Равномерная метрика 10 Регуляризации метод 53—109 — параметр 55, 71 — —, квазиоптимальное значе- значение 86, 87, 89 — —, оптимальное значение 179, 208 , (С, /)-оптимальное значе- значение 195 , почти оптимальное значе- значение 195 , способы определения 71 Регуляризирующий оператор 54, 65 , определение 54, 55 — —, способы построения 58, 65, 71, 173 Регуляризованное решение 55 — — в гильбертовом простран- пространстве 69 — —, связь с квазирешениями 94 Систем линейных ал- алгебраических уравнений 127 ¦ — суммирования рядов Фурье 224 Теорема Арцела 32 Свертка функций 167, 168 Сглаживающий сильно оператор 208 — функционал 71 Система обработки результатов наблюдений 31 Стабилизатор 70 — порядка р 183 — простейший 183 наилучший 208 Стабилизирующий множитель 175, 226 , асимптотическая е-бли- зость 182 — —, способы построения 175 — функционал 59, 224, 235 — — задачи минимизации функционалов 235 — оптимального планиро- планирования 259 ¦ решения интегральных уравнений типа свертки 117 — — — — — — Фредгольма 130, 138 Фундаментальная последова- последовательность 34 Функционал выпуклый 33 — квазимонотонный 66 — сглаживающий 71 — стабилизирующий 59, 70 — строго выпуклый 33 — целевой 233 Функция автокорреляционная 180 — аппаратная 29 — импульсная переходная 29 — целевая 249 Эйлера уравнение 150 Элемент почти минимизирую- минимизирующий 236 —, сопоставимый по точности 17, 58 Этапы обработки результатов наблюдений 31