К.Васидзу
Вариационные
методы
в теории упругости
и пластичности

VARIATIONAL METHODS IN
ELASTICITY AND PLASTICITY
Third edition
Kyuichiro Washizu
Professor of Aeronautics & Astronautics
University of Tokyo, Japan
Pergamon Press
Oxford New York Toronto Sydney Paris Frankfurt
1982

К.Васидзу
Вариационные
методы
в теории упругости
и пластичности
Перевод с английского
В. В. Кобелева и А. П. Сейраняна
под редакцией
Н. В. Баничука
Москва «Мир» 1987

ББК 22.25+22.101.»
В19
УДК 539.3+517.972
Васидзу К.
В19 Вариационные методы в теории упругости и пластичности:
Пер. с англ. — М.: Мир, 1987. — 542 с, ил.
Монография известного японского специалиста, излагающая с единых пози-
позиций построение вариационных принципов в теории упругости и пластичности и
описывающая их приложения X конкретный задачам. Наряду с классическими
варнациоиныии принципами приведены модификации зтнх принципов, образую-
образующие основу построения методов конечных элементов; собран большой фактический
материал, незаменимый при решении задач механики деформируемого тела.
В научной н методическом отношении киигу можно поставить в один ряд с извест-
известными монографиями С. П. Тимошенко.
Для научных работников, аспирантов и студентов, специализирующихся
по прикладной математике и по механике, а также для инженеров и конструкторов.
„ 1703040000-321 <9_87 ц , ББК 22.25+22.161.8
041@1)-87
Редакция литературы по математическим наукам
1982 К. Washizu
перевод на русский нэык,
с исправлениями
н уточнениями,
«Мир». 1987

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Имя японского ученого профессора К. Васидзу (Вашицу х))
широко известно в СССР и за рубежом специалистам в области
механики деформируемого твердого тела, строительной механики
и прикладной математики. Его именем назван один из основных
вариационных принципов теории упругости, ему принадлежит
ряд оригинальных работ, развивающих вариационные методы
и описывающих их применение к практическим задачам.
В предлагаемой вниманию читателя книге содержится система-
систематическое изложение вариационных принципов и их приложений
к различным задачам статики и динамики деформируемых твер-
твердых тел и конструкций. Книга публиковалась на английском языке
издательством «Пергамон пресса трижды (в 1968, 1975 и 1982 гг.).
При подготовке к печати второго и в особенности третьего издания
текст книги существенно перерабатывался и в него вносились
значительные дополнения, отражающие новые результаты исполь-
использования вариационных методов и применения вариационных
принципов в методах конечных элементов. Настоящий перевод
осуществлен с третьего издания.
Во введении к части А дается общее представление о вариа-
вариационных принципах и методах механики. Первые 10 глав посвя-
посвящены формулировкам и применениям вариационных принципов
и методов в теории упругодеформируемых сложных тел, скручива-
скручиваемых стержней, балок, пластин, оболочек и конструкции. Первая,
третья и четвертая главы иосят подготовительный характер,
и в них обсуждаются основные соотношения теории упругости
для случаев малых и больших деформаций. Здесь же содержится
изложение классических принципов виртуальной работы и до-
дополнительной виртуальной работы, которые существенным обра-
образом используются в других главах при выводе минимальных
вариационных принципов статики упругого тела. Важные обобще-
*) К сожалению, именно в такой ошибочной транскрипции (в частности, в
нпонском языке нет звука ш) фамилия автора неоднократно фигурировала в моно-
монографиях и учебниках, изданных в нашей стране (вариационный принцип Ва-
Вашицу и т. п.).

6 Предисловие редактора перевода
ния классических вариационных принципов теории упругости,
описанные в гл. 5, относятся к задачам с начальными напряже-
напряжениями и деформациями, с температурными напряжениями, с ква-
квазистатическими нагрузками, а также к динамическим задачам,
включая задачи динамики для незакрепленных тел. Значительный
интерес представляет изложение применений вариационных прин-
принципов в теории кручения стержней, изгиба балок, растяжения
и изгиба пластин и оболочек, деформирования конструкций
(гл. 6—10). Изложение материала здесь отличается общностью
подхода, позволяющей с единых позиций проанализировать основ-
основные вариационные свойства рассматриваемых задач. Другой
характерной чертой является ясность и строгость приводимых
формулировок. При изложении многих ставших уже классиче-
классическими результатов чувствуется личная сопричастность автора,
внесшего значительный вклад в развитие вариационных прин-
принципов.
Главы 11 и 12 посвящены вариационным формулировкам
и вариационным методам в деформационной теории пластичности
и теории пластического течения соответственно. Рассмотрение
деформационной теории мотивируется в основном методологи-
методологическими соображениями (гл. 11). Вариационная теория пласти-
пластического течения излагается в последней главе части А
(гл. 12). Здесь обсуждаются вариационные постановки задач
как для идеально пластических тел, так и для упругопластических
тел с упрочнением. Приводятся также некоторые основные сведе-
сведения, относящиеся к теории предельной несущей способности,
имеющей важные практические приложения. Вместе с тем следует
отметить, что материал данной главы изложен слишком конспек-
конспективно и в ней не освещены в достаточной степени такие важные
для теории пластичности вопросы, как единственность решений
и учет происходящих при деформировании пластических разгру-
разгрузок. Отсутствуют и примеры применения вариационных методов
для анализа упругопластических задач.
В части В книги (гл. 13—18) наряду с классическими вари-
вариационными принципами систематически изложены модифициро-
модифицированные вариационные принципы со смягченными условиями
непрерывности, которые положены в основу построений методов
конечных элементов. Материал этой части книги в отечественной
литературе освещен недостаточно.
К достоинствам книги следует безусловно отнести то, что в ее
основу положены принципы виртуальной работы и дополнитель-
дополнительной виртуальной работы. Это позволяет читателю уяснить смысл
статически допустимых полей напряжений и кинематически
допустимых полей деформаций и выделить общие вариационные
свойства, не зависящие от реологических свойств материала,
т. е. от таких соотношений между напряжениями и деформациями,

Предисловие редактора перевода
как закон Гука в случае упругого тела или закон Прандтля —
Рейсса в случае упругопластического тела. Эти законы рассма-
рассматриваются в книге на более поздних этапах при формулировке
вариационных принципов теории упругости и пластичности.
Несомненно, что выход иа русском языке настоящей книги
будет способствовать развитию исследований по теории упругости,
теории пластичности и другим разделам механики деформиру-
деформируемого твердого тела. Ее можно рекомендовать студентам и аспиран-
аспирантам, специализирующимся в области механики, прикладной и
вычислительной математики. Специалисты же найдут в ней си-
систематическое изложение как достаточно известных фактов, так
и сведений, с которыми можно ознакомиться только по журналь-
журнальной литературе.
Работа по переводу книги была распределена следующим
образом: В. В. Кобелев перевел гл. 1—4, 11, 12 части А и часть В,
А. П. Сейранян — предисловия, введение к части А, гл. 5—10,
упражнения к гл. 1—10 и приложения. При переводе и редак-
редактировании был замечен ряд погрешностей и неточностей; как
правило, соответствующие изменения (исправления в формулах,
уточнение терминологии и т. п.) сделаны без специальных ого-
оговорок.
Я. В. Баничук

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
Третье издание книги разбито на две части, часть А и часть В.
Содержание части А, озаглавленной «Формулировка вариацион-
вариационных принципов в теории упругости и пластичности», практически
не отличается от первого издания, за исключением некоторых
новых тем в гл. 5 и 7. Содержание части В, озаглавленной «Ва-
«Вариационные принципы как основа методов конечных элементов»,
мыслится как улучшенное изложение приложения I второго из-
издания. В этой части систематически излагаются классические
вариационные принципы и модифицированные вариационные
принципы со смягченными (ослабленными) требованиями непре-
непрерывности применительно к задачам статической теории упругости
(теория малых перемещений и теория конечных перемещений)
и динамической теории упругости, а также к теориям геометри-
геометрической и физической нелинейности и теории изгиба упругих
пластин. Последняя глава посвящается методам дискретизации
и содержит вновь добавленное введение в метод граничных эле-
элементов.
Расширение приложений являлось одной из главных целей
подготовки нового издания. Приложения А — N посвящены
четырнадцати различным темам. Среди новых тем, включенных
в приложения, отметим «Вариационные принципы в динамике
системы материальных точек» (приложение В), «О функциях
энергии деформации и дополнительной энергии» (приложение D),
«О различных видах тензоров напряжений в теории конечных
перемещений» (приложение Е) и «О методе граничных элементов»
(приложение N).
Д-р Зенкевич в предисловии к своему фундаментальному
труду «Метод конечных элементов» (третье издание, 1977 г.) писал:
«Число научных публикаций по методу конечных элементов воз-
возрастает почти экспоненциально». Автор настоящей книги пришел
к выводу, что полное обновление второго издания для удовлетво-
удовлетворения современным требованиям вынудило бы его написать новую
книгу, которая потребовала бы неимоверных усилий, несовмести-
несовместимых с возможностями автора. Поэтому он удовлетворился лишь

Предисловие к третьему изданию
частичным обновлением и улучшением содержания данной книги
с надеждой, что она сможет служить хорошим учебным пособием
для студентов старших курсов технических специальностей. Как
и прежде, библиография нового издания не претендует на пол-
полноту.
Автор выражает свою глубокую благодарность проф. Т. Пиану
(Массачусетский технологический институт), д-ру Пин Тонгу
(Кембридж, Массачусетс), проф. Сатия Н. Атлури (Технологи-
(Технологический институт штата Джорджия) и проф. Герберту А. Мангу
(Венский технический университет) за их советы и доброжелатель-
доброжелательную критику, высказанные при чтении рукописи третьего из-
издания. Д-р Оскар Оррингер (Кембридж, Массачусетс) вновь
сотрудничал с автором при исправлении рукописи. Д-р Цукаса
Накаяма и г-жа Кейко Накамити (Токийский университет) по-
помогали автору в подготовке и напечатании рукописи. Всем им
автор выражает искреннюю признательность.
Июнь 1980 г. К- Васидзу

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Вариационные принципы и их применение во многих областях
механики, включая теорию упругости и пластичности, насчиты-
насчитывают долгую историю развития. Однако важность этих принципов
стала ясно осознаваться лишь в настоящее время благодаря
развитию метода конечных элементов, который получил широкое
распространение, начиная с пионерской работы Тернера (Tur-
(Turner М. J. et al. — Journal of Aeronautical Sciences, 1956, v. 23,
No. 9). С тех пор было неоднократно доказано, что вариационные
принципы являются мощным средством при математической фор-
формулировке метода конечных элементов и что, обратно, быстрое
развитие метода конечных элементов стимулировало совершен-
совершенствование вариационных принципов. За последнее десятилетие
были разработаны новые формы вариационных принципов (см.
§ 1 приложения I настоящей книги).
Первое издание книги профессора Васидзу «Вариационные
методы в теории упругости и пластичности», опубликованное
в 1968 г., было хорошо принято инженерами, преподавателями
и студентами, занимающимися механикой деформируемого твердого
тела и строительной механикой. Публикация этой книги была
своевременной, потому что она совпала с периодом бурного раз-
развития приложений метода конечных элементов. Принципиальные
отличия первого издания состояли в систематическом подходе
при выводе вариационных принципов в теории упругости и пла-
пластичности, в преобразовании одного вариационного принципа
в другой и в обеспечении систематического подхода при матема-
математической формулировке метода конечных элементов. Книга полу-
получила широкое распространение, и на нее часто ссылаются в ли-
литературе, связанной с методом конечных элементов.

Предисловие ко второму изданию 11
В настоящее время профессор Васидзу подготовил переработан-
переработанное издание своей книги, в которую включено новое приложение I.
Это приложение дает представление об основных вариационных
принципах, которые часто используются как базис для математи-
математической формулировки задач теории упругости и пластичности,
включая новые вариационные принципы, разработанные в связи
с методом конечных элементов. Так же как и в первом издании,
приложение I написано ясно, кратко и элегантно — стиль, вообще
свойственный профессору Васидзу.
Переработанное издание явится чрезвычайно ценным приобре-
приобретением и для библиотек, и для всех тех, кто интересуется механи-
механикой деформируемого твердого тела и строительной механикой.
Национальный научный фонд Р. Л. Бисплингхофф
Вашингтон

БЛАГОДАРНОСТИ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Автор чувствует себя чрезвычайно признательным и приносит
свою глубочайшую благодарность д-ру Р. Л. Бисплингхоффу,
заместителю директора Национального научного фонда, за пре-
предисловие к переработанному изданию этой книги. Автор выражает
свою искреннюю признательность проф. Т. Пиану (Массачусет-
ский технологический институт) и проф. Р. Галлагеру (Корнелл-
ский университет) за ценные замечания к рукописи нового при-
приложения. Д-р Оскар Оррингер снова сотрудничал с автором при
исправлении рукописного текста нового приложения. Кроме того,
автор помнит о многочисленных замечаниях, критике и поддержке,
которые он получал от читателей с момента публикации первого
издания этой книги, и приносит свою искреннюю благодарность
всем этим лицам, без поддержки и сотрудничества с которыми
переработанное издание не могло бы быть осуществлено.
1974 г. К. Васидзу

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Цель, которую автор преследовал при написании этой книги,
состояла в том, чтобы создать учебное пособие по вариационным
формулировкам в теории упругости и пластичности для студентов
старших курсов технических специальностей. Особое внимание
уделяется демонстрации эффективности принципа виртуальной
работы и связанных с ним вариационных принципов при система-
систематическом способе вывода определяющих уравнений и соответству-
соответствующих граничных условий.
Книгу условно можно разделить на три части. Первая часть
(гл. 1—5) посвящена основам теории упругости. В первой и вто-
второй главах излагается теория малых упругих перемещений,
а в третьей главе — теория конечных упругих перемещений
в прямоугольной декартовой системе координат. В гл. 4 форму-
формулируется теория конечных упругих перемещений в криволинейной
системе координат. В гл. 5 принцип виртуальной работы и свя-
связанные с ним вариационные принципы обобщаются на задачи
с начальными напряжениями, задачи с начальными деформа-
деформациями и динамические задачи.
Вторая часть книги (гл. 6—10) посвящается применению
принципа виртуальной работы и связанных с ним вариационных
принципов к частным задачам теории упругости. Здесь рассмо-
рассмотрены задачи о кручении стержня, о балках, о пластинах, об
оболочках и конструкциях и показана мощь вариационных прин-
принципов для получения приближенных определяющих уравнений
и соответствующих граничных условий.
В третьей части (гл. 11 и 12) излагаются вариационные прин-
принципы теории пластичности. Деформационная теория пластичности
рассматривается в гл. 11. Вариационные принципы и теория
предельной несущей способности излагаются в гл. 12.
Предполагается, что читатель знаком с основами теории упру-
упругости, теории пластичности и вариационного исчисления. Из-за
недостатка места в книге отсутствует изложение основ вариацион-
вариационного исчисления, и автор ограничился лишь ссылками на некото-
некоторые книги по этому предмету, приведенными в конце введения.

14 Предисловие к первому изданию
Автор выражает свою глубокую благодарность
проф. Р. Л. Бисплингхоффу (Массачусетский технологический
институт) за его предложение написать эту книгу и за постоянное
внимание, критику и доброжелательность, проявленные им при
подготовке рукописи. Автор благодарит проф. Э. Рейсснера (Мас-
(Массачусетский технологический институт) и проф. А. Оно, Т. Хаяси
и С. Моригути (Токийский университет), пробудивших интерес
автора к вариационным методам. Автор также благодарит авторов
книг и статей, на которые есть ссылки в книге. Он считает необ-
необходимым упомянуть ряд лиц, с которыми обсуждалась рукопись
книги в процессе ее создания: проф. Т. Ф. О'Брайена (Вашингтон-
(Вашингтонский университет), проф. М. Кураниси (Университет Нихон),
проф. И. Ямамото, Т. Каваи, С. Кобаяси, X. Фудзита и М. Ири
(Токийский университет) и проф. Т. Мура (Северозападный уни-
университет). Д-р Оскар Орриыгер (Массачусетский технологический
институт) помогал автору при работе над рукописью.
Г-жа И. Йосихара, г-н X. Томидзава н г-жа М. Йосида (Токий-
(Токийский университет) помогали автору при подготовке и печатании
рукописи. Автор выражает свою искреннюю признательность
всем указанным выше лицам, а также г-ну Д. Д. Рай-
Раймонду и г-ну М. С. Гейлу из издательства «Пергамон пресс»
за их внимательное отношение и терпение.
Сентябрь 1965 г. К. Васидзу

Часть А
ФОРМУЛИРОВКА ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ
В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ
ВВЕДЕНИЕ
Вариационное исчисление является разделом математики, в ко-
котором изучается свойство стационарности функции от функций,
т. е. функционала. Таким образом, цель вариационного исчисле-
исчисления состоит не в отыскании экстремума функции конечного числа
переменных, а в нахождении среди множества допустимых функ-
функций такой, которая придает заданному функционалу стационарное
значение *). Широко известным примером является нахождение
среди допустимых кривых, соединяющих две точки в заданном
пространстве, такой кривой, на которой расстояние между этими
точками будет минимальным. Другой типичный пример — задача
отыскания кривой минимальной длины, охватывающей заданную
площадь.
Вариационное исчисление имеет обширную область приложе-
приложений в математической физике благодаря тому, что физическая
система часто ведет себя таким образом, что некоторый функци-
функционал, зависящий от ее поведения, принимает стационарное значе-
значение. Иначе говоря, уравнения, описывающие физические явления,
часто являются условиями стационарности некоторой вариацион-
вариационной задачи. Типичным примером является принцип Ферма в оп-
оптике. Он состоит в том, что луч света между двумя точками про-
проходит по пути, который требует наименьшего времени. Отсюда
непосредственно следует вывод, что в любой однородной среде
свет распространяется по прямой.
Механика является одним из разделов математической физики,
в котором широко применялись вариационные методы. В качестве
примера рассмотрим задачу о системе материальных точек и об-
обсудим ряд ее вариационных формулировок а).
Рассмотрим сначала задачу о системе точек, которая находится
в статическом равновесии под действием внешних и внутренних
сил. Известно, что основой для вариационной формулировки слу-
х) О вариационном исчислении см., например, работы [1—8].
г) О вариационных
9—III и приложение В.
г) О вариационных методах в механике системы точек см. работы B,

16 Часть А. Формулировка вариационных принципов
жит принцип виртуальной работы 1), который заключается в сле-
следующем: пусть механическая система, на которую наложены
заданные геометрические связи, находится в равновесии под дей-
действием приложенных сил. Тогда сумма всех виртуальных работ
8' W всех внешних и внутренних сил, действующих на эту систему,
на любых бесконечно малых виртуальных перемещениях, удовлет-
удовлетворяющих заданным геометрическим связям, равна нулю 2):
8'W~0. A)
Этот принцип может быть сформулирован и следующим образом:
если 8' W равна нулю на любых бесконечно малых виртуальных
перемещениях, удовлетворяющих заданным геометрическим связям,
то механическая система находится в равновесии. Таким образом,
принцип виртуальной работы эквивалентен уравнениям равно-
равновесия системы. Однако вариационная формулировка имеет значи-
значительно большее поле для приложений в задачах механики. Когда
все внутренние и внешние силы обладают потенциалом U, который
является функцией координат точек системы 3), так что
8'W = — 8U, B)
принцип виртуальной работы сводится к принципу стационарно-
стационарности потенциальной энергии: среди множества всех допустимых
конфигураций состояние равновесия характеризуется свойством
стационарности потенциальной энергии U:
8U = 0. C)
Приведенная выше формулировка может быть распространена
на динамические задачи о системе точек, для которой действу-
действующие силы и геометрические связи явно зависят от времени.
С использованием принципа Даламбера, который состоит в том,
что система может считаться находящейся в равновесии, если
принимаются во внимание силы инерции, принцип виртуальной
работы может быть распространен на динамические задачи ана-
аналогично статическому случаю, за исключением того, что в этом
случае учитываются и члены, представляющие виртуальную
работу сил инерции. Результат, полученный таким образом,
интегрируется по времени t от t = tt до t = t2- Используя интег-
интегрирование по частям и соглашение о том, что виртуальные пере-
перемещения в начальный и конечный моменты времени равны нулю,
1) Этот принцип также называется принципом виртуальных перемещений.
[В ряде курсов по механике этот принцип именуется началом возможных пере-
перемещений. — Ред.]
2) 6'W не является вариацией некоторой функции состояния W, а всего
лишь обозначает полную виртуальную работу.
3) Такие силы называются консервативными силами.

Введение 17
приходим, наконец, к следующему принципу виртуальной работы
для динамических задач:
Ь \Tdt f J8'Wdl = 0, D)
и d
где Т — кинетическая энергия системы. Так как из выведенного
таким образом принципа виртуальной работы могут быть полу-
получены уравнения Лагранжа движения системы, то очевидно, что
этот принцип является в высшей степени полезным для получения
уравнений движения системы материальных точек при наличии
геометрических связей.
Если далее предположить, что все внешние и внутренние силы
обладают потенциалом U, который определяется так же, как
и в уравнении B), и является функцией координат и времени *),
то придем к принципу Гамильтона, который утверждает, что
среди множества всевозможных конфигураций системы действи-
действительное движение придает величине
t,
I(T-U) dt E)
t,
стационарное значение при условии, что конфигурации системы
в начальный и конечный момент tt и /2 фиксированы. Математиче-
Математическая формулировка принципа Гамильтона состоит в следующем:
* 2
б J Ldt = 0, F)
где L — Т — U — функция Лагранжа системы 2). Известно, что
с помощью преобразования Лежандра принцип Гамильтона может
быть сведен к другому эквивалентному принципу и что уравнения
движения Лагранжа сводятся в этом случае к так называемым
каноническим уравнениям. Преобразования принципа Гамиль-
Гамильтона интенсивно изучались, в результате чего была создана изящ-
изящная теория, известная под названием теории канонических пре-
преобразований.
Основная цель этой книги состоит в систематическом изложе-
изложении принципа виртуальной работы и связанных с иим вариацион-
1) Если U не зависит явно от времени, то, как уже было указано выше,
силы называются консервативными. В работе [2] для обозначения сил, поро-
порожденных скалярной функцией (потенциалом), которая в общем случае является
функцией координат и скоростей точек, а также времени, используется термин
«моногениые».
г) Этот принцип в общем случае при наличии нестационарных связей был
сформулирован и обоснован М. В. Остроградским. — Прим. ред.

18 Часть А. Формулировка вариационных принципов
ных принципов теории упругости и пластичности *). Мы сформу-
сформулируем эти принципы аналогично тому, как это было сделано
в задаче о системе точек. Схема рассуждений будет следующей:
поставим задачу определения равновесия твердого деформируемого
тела под действием массовых сил при заданных на поверхности
тела граничных условий в напряжениях и перемещениях (меха-
(механических и геометрических граничных условиях). Сначала вы-
выведем принцип виртуальной работы. Этот принцип эквивалентен
уравнениям равновесия твердого тела при граничных условиях
в напряжениях. Он будет выведен как для теории малых пере-
перемещений, так и для теории конечных перемещений а). В рамках
теории малых перемещений получим другой принцип, который
будет называться принципом дополнительной виртуальной ра-
работы 3). Здесь уместно заметить, что принципы виртуальной ра-
работы и дополнительной виртуальной работы инвариантны относи-
относительно преобразования координат и остаются справедливыми
независимо от соотношений напряжения — деформации материала
тела. Однако соотношения напряжения — деформации должны
приниматься во внимание при формулировании вариационных
принципов, так что случаи упругого и пластического тела должны
рассматриваться по отдельности.
Вариационные методы наиболее плодотворно применяются
в теории малых деформаций упругого тела. В случае когда суще-
существует функция энергии деформации и при вариациях перемеще-
перемещений внешние силы остаются неизменными, принцип виртуальной
работы приводит к установлению принципа минимума потен-
потенциальной энергии. Этот вариационный принцип с помощью вве-
введения множителей Лагранжа дает семейство вариационных прин-
принципов, включающее принцип Хеллингера — Рейсснера, принцип
минимума дополнительной энергии и т. д.
1) О вариационных принципах в теории упругости и пластичности см. ра-
работы [II—20]. [Следует указать, что к числу первых монографий, посвященных
систематическому применению вариационных методов в теории упругости, отно-
относятся работы Л. С. Лейбензона: Лейбензон Л. С. Вариационные методы решения
задач теории упругости с приложением к кручению н изгибу авиационных про-
профилей. — Труды ЦАГИ, вып. 495, 1940; Лейбензон Л. С. Вариационные методы
решения задач теории упругости. — М.: ГИТТЛ, 1943; см. также Лейбензон Л. С.
Собрание трудов. Том I. Теория упругости. — М.: Изд-во АН СССР, 1951.
с. 177—463.— Ред.]
¦) В теории малых перемещений перемещения считаются столь малыми, что
допускается линеаризация всех уравнений твердого тела, за исключением соот-
соотношений напряжения—деформации. Следовательно, в теории малых переме-
перемещений уравнения равновесия, соотношения деформации—перемещения и гра-
граничные условия сводятся к линеаризованным соотношениям.
3) Этот принцип также называется принципом виртуальных напряжений,
принципом виртуальной силы или принципом виртуальных изменений напря-
напряженного состояния.

Введение 19
С другой стороны, принцип дополнительной виртуальной
работы приводит к установлению принципа минимума дополни-
дополнительной энергии в случае, когда соотношения напряжения —
деформации таковы, что существует функция дополнительной
энергии и предполагается, что при вариации напряжений гранич-
граничные условия в перемещениях остаются неизменными. Принцип
минимума дополнительной энергии с помощью введения множи-
множителей Лагранжа приводит к принципу Хеллингера — Рейсснера,
принципу минимума потенциальной энергии и т. д. Показано, что
в рамках теории малых деформаций упругого тела эти два подхода
к формулированию вариационных принципов являются взаимными
и эквивалентными друг другу.
В теории конечных деформаций упругого тела принцип вир-
виртуальной работы приводит к установлению принципа стационар-
стационарности потенциальной энергии при условии, что существуют функ-
функция энергии деформации материала тела и функции потенциалов
внешних сил. Как только принцип стационарности потенциальной
энергии установлен, он может быть обобщен с использованием
множителей Лагранжа.
Развитые методы распространяются на динамические задачи
теории упругости путем учета сил инерции. Таким образом, прин-
принцип виртуальной работы для динамических задач выводится с по-
помощью понятия кинетической энергии. Принцип виртуальной
работы преобразуется в новый вариационный принцип, если
предположить, что существуют функция энергии деформации
и функции потенциалов внешних сил. Полученный таким обра-
образом вариационный принцип можно рассматривать как принцип
Гамильтона, распространенный на динамические задачи теории
упругости. Он может быть далее обобщен с применением правила
множителей Лагранжа.
Из вариационных принципов теории упругости определяющие
уравнения вытекают как условия стационарности, и в этом смысле
они эквивалентны определяющим уравнениям. Однако вариацион-
вариационные формулировки имеют ряд преимуществ. Во-первых, функци-
функционал, который подлежит варьированию, имеет вполне определен-
определенный физический смысл и инвариантен относительно преобразова-
преобразования координат. Следовательно, если вариационный принцип
сформулирован в одной системе координат, то можно получить
определяющие уравнения в другой системе координат, выписав
инвариантную величину в новой системе координат, а затем при-
применив варьирование.
Например, если вариационный принцип был сформули-
сформулирован в прямоугольной декартовой системе координат,
то определяющие уравнения в цилиндрической или сферической
системах координат могут быть получены с помощью указанной
выше процедуры. Отсюда видно, что это свойство делает вари-

20 Часть А. Формулировка вариационных принципов
ационные методы исключительно мощным средством исследования
конструкций.
Во-вторых, вариационная формулировка является удобной
для выполнения обычных математических процедур, а именно
преобразования данной задачи к эквивалентной, которая решается
проще исходной задачи. В вариационной формулировке с до-
дополнительными условиями это преобразование осуществляется
с применением метода множителей Лагранжа — весьма эффек-
эффективного и систематического средства. Таким образом можно
получить целое семейство вариационных принципов, эквивалент-
эквивалентных друг другу.
В-третьих, иногда вариационные принципы приводят к форму-
формулам для верхней и нижней оценки точного решения задачи. В гл. 6
с помощью одновременного применения двух вариационных прин-
принципов будут получены формулы для верхней и нижней оценок
крутильной жесткости стержня. Другим примером служит фор-
формула для верхней границы наименьшей частоты колебаний упру-
упругого тела, полученная из принципа стационарности потенциальной
энергии.
В-четвертых, когда точное решение задачи теории упругости
не может быть найдено, вариационный метод зачастую обеспечи-
обеспечивает формулировку для приближенного решения задачи, которая
дает приближенное решение с заданной степенью точности. Здесь
вариационный метод обеспечивает не только приближенное реше-
решение определяющих уравнений, но и условия приближенного
выполнения граничных условий. Поскольку точное решение за-
задачи теории упругости возможно лишь в очень редких случаях,
то для практических целей следует удовлетвориться приближен-
приближенными решениями. Теории балок, пластин, оболочек и многоком-
многокомпонентных конструкций являются типичными примерами при-
приближенных формулировок, демонстрирующими мощь принципа
виртуальной работы и связанных с ним вариационных методов.
Однако при оценке точности получаемых таким образом при-
приближенных решений следует соблюдать осторожность. Рассмо-
Рассмотрим, например, применение метода Релея — Ритца в сочетании
с принципом стационарности потенциальной энергии. Этот метод
обеспечивает хорошее приближенное решение для перемещений,
если допустимые функции выбраны соответствующим образом.
Однако точность в распределении напряжений, вычисленных
с использованием приближенных значений перемещений, нельзя
признать удовлетворительной. Это становится очевидным, если
вспомнить, что в определяющих уравнениях, полученных прибли-
приближенным методом, точные уравнения равновесия и граничные усло-
условия в напряжениях заменяются их взвешенными средними и что
точность приближенных решений уменьшается при дифферен-
дифференцировании. Таким образом, уравнения равновесия и граничные

Введение 21
условия в напряжениях в приближенном решении обычно нару-
нарушаются по меньшей мере локально.
Для понимания природы приближенных решений, получаемых
таким образом, иногда полезно вспомнить принцип Сен-Венана.
Он гласит [14]: *Если силы, действующие на небольшую часть
поверхности упругого тела, заменить другой, статически экви-
эквивалентной системой сил, действующих на ту же поверхность,
то это перераспределение нагрузки приведет к существенным
изменениям напряжений локально, но окажет пренебрежимо малое
влияние на напряжения на расстояниях, которые велики по сравне-
сравнению с линейными размерами поверхности, на которой были пере-
перераспределены силы».
Из-за авторского предпочтения приближенные уравнения за-
задачи теории упругости будут часто выводиться из принципа
виртуальной работы, поскольку он остается справедливым не-
независимо от соотношений напряжения — деформации и существо-
существования потенциальных функций. Приближенный метод решения,
использующий принцип виртуальной работы, будет называться
обобщенным методом Галеркина *). Для консервативных задач
теории упругости результаты, получаемые с помощью сочетания
принципа виртуальной работы и обобщенного метода Галеркина,
эквивалентны результатам, получаемым с помощью сочетания
принципа стационарности потенциальной энергии и метода Ре-
лея—Ритца.
В теории пластичности вполне естественно использовать прин-
принцип виртуальной работы в качестве основы для установления ва-
вариационных принципов. Если в задаче можно ограничиться тео-
теорией малых перемещений, то в качестве такой основы может
быть использован и принцип дополнительной виртуальной ра-
работы. Поскольку соотношения напряжения—деформации в тео-
теории пластичности сложнее, чем в теории упругости, можно ожи-
ожидать, что установление вариационных принципов теории пластич-
пластичности будет более сложным. Можно показать, что различные
вариационные принципы, которые были установлены в теории
пластичности, формально выводятся аналогично принципам тео-
теории упругости, хотя для справедливости этих вариационных
принципов должны быть даны строгие доказательства.
Наиболее успешным применением вариационных методов в тео-
теории пластического течения служит теория предельной несущей
способности для тела из материала, описываемого уравнением
пластичности Прандтля—Рейсса. В теории предельной несущей спо-
способности определяется собственное значение, называемое разруша-
разрушающей нагрузкой тела. Два вариационных принципа обеспечивают
получение верхней и нижней границ разрушающей нагрузки.
*) Он также называется методом весовых функций и является частным слу-
случаем приближенного метода, называемого методом взвешенных невязок [21].

22 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Так как вариационным задачам и методам теории упругости
и пластичности посвящено огромное число работ, то библиогра-
библиография этой книги не может претендовать на полноту. Автор удо-
удовлетворился ссылками на ограниченное число работ. Работы [22]
и [23 ] могут помочь читателю составить представление о современ-
современных исследованиях в этой области.
Вариационные методы, конечно, могут быть применимы и
к задачам, отличным от упомянутых выше. Например, они могут
применяться к задачам механики жидкости, теплопроводности
и т. д. [24—26]. Из современных приложений можно указать
проблемы, связанные с летательными аппаратами, которые ин-
интенсивно изучаются с помощью методов оптимизации [271.

Глава I
ГЕОМЕТРИЧЕСКИ ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ
§ 1.1. Постановка задач в линейной теории
В начале своего классического труда [II Ляв писал: «Мате-
«Математическая теория упругости стремится, с одной стороны, найти
количественные соотношения, характеризующие деформацию или
внутренние относительные смещения в твердом теле, на которое
действует статически уравновешенная система сил или которое
находится в состоянии малого внутреннего относительного дви-
движения, а с другой — получить результаты, имеющие практическое
значение для строительства, инженерного дела и других приклад-
прикладных областей, где приходится иметь дело с конструкциями, мате-
материалом для которых служат твердые тела». По-видимому, это
высказывание может служить общим определением теории упру-
упругости.
В гл. 1 и 2 книги мы будем рассматривать теорию упругости
при малых перемещениях (геометрически линейную теорию упру-
упругости) и выведем принцип виртуальной работы и связанные с ним
вариационные принципы для задачи о статическом равновесии
упругого тела, находящегося под действием массовых (объемных)
сил, при заданных граничных условиях [1,2 ]. Для описания трех-
трехмерного пространства, в котором рассматривается тело, при-
применяются ортогональные декартовы координаты (х, у, г). В гео-
геометрически линейной теории упругости компоненты перемеще-
перемещений и, v, w в точке тела считаются столь малыми, что уравнения
задачи выполняются в линейном приближении. Запишем эти
линеаризованные уравнения:
(а) Напряжения. Напряженное состояние в точке тела опре-
определяется девятью компонентами тензора напряжений:
A.1)

24 Часть А. Формулировка вариационных принципов
которые должны удовлетворять уравнениям равновесия х)
1 от*« 1 У ~ ft
дх ' ду ~ dz
Этж,, . да,
дх ' dy dz
2= о
doz
dz
Здесь X, Y, Z — компоненты массовых сил, отнесенные к единич-
единичному объему. Мы исключим tzy, rxz и %,1Х при помощи A.3) и будем
описывать напряженное состояние в точке тела только шестью
компонентами (ах, а!п аг, xtJZ, %zx, %xy). Тогда уравнения A.2)
примут вид
У = 0, A.4)
Z = 0.
даж
дх
дх
+ ¦
ду !
дту2
, дтгзс
dz
дтуг
dz
daz
дх ^ ду ^ dz
(b) Деформации. Деформированное состояние в точке опре-
определяется шестью компонентами тензора деформаций (е^, гу, гг,
V»z, Vzx, Yx»)-
(c) Соотношения деформации—перемещения. В геометри-
геометрически линейной теории упругости используются следующие соот-
соотношения между деформациями и перемещеииями:
Vvz
dw
--*
-t-
dv
dz
du
dx
J
Ya =
1
du
dz
dv
dy
+
'' Ez
dw
dw
~ IF
Y,« =
dv
dx
du
A.5)
x) На протяжении всей книги буквы, надчеркнутые сверху, означают, что
соответствующая величина задана, если специально не оговорено противное.

Гл. 1. Линейная теория упругости в декартовых координатах
25
(d) Соотношения напряжения—деформации. В линейной
теории упругости напряжения являются однородной линейной
формой деформаций:
A.6)
Коэффициенты в этих уравнениях называются упругими по-
постоянными. Не все они различны; между этими постоянными су-
существуют соотношения симметрии
an
«21
«31
«41
«51
«61
«12
«22
«32
«42
«52
«62
«13
«23
«33
«43
«53
«63
«14
«24
«34
«44
«54
«64
Щъ
агь
«35
«45
«55
«65
«16
«2в
«36
«46
«56
«66 _
«г< =
= 1, 2, ..., 6.
A.7)
Зависимости (
гх
е„
е*
Ууг
Угх
-Уху.
.6)
можно обратить;
" Ьц bl2
Ь2г Ь.п
b3i Ь32
Ьи bi2
hx Ььг
_ ^61 ^62
b13 b
Ь2з b
Ьзз b
bi3 b
Ььз b
Ьцз b
тогда
14 Ь1Ь
24 Ь.№
34 5
44 ^45
34 Ьк
A.8)
где
brs = bSr, r,s = 1,2, ..., 6.
A.9)
Для изотропного материала число независимых упругих постоян-
постоянных уменьшается до двух 1) и соотношения напряжения—де-
напряжения—деформации даются формулами
rx = 2G [ex +
Ttf = 2G[e!/-!
' J '
Yyz>
2v
(МО)
a, ^
-f
1 — 2v
Ту I, '
г) Модуль Юнга Е, коэффициент Пуассона v и модуль сдвига G связаны
соотношением ? = 2G(l-}-v)- Поэтому независимых упругих постоянных
все же только две.

26 Часть А. Формулировка вариационных принципов
разрешая соотношения A.10) относительно деформаций, полу-
получаем
Еех = ах — v (сг„ -f ог), Gyyz = ту„
?еу = о,, — v (аг + cr*), Gv» = ^х. (Ы1)
= ог — v (ах + сг„), Gv»» = т*г
(е) Граничные условия. Поверхность тела S может быть раз-
разделена на две части в зависимости от того, как на них заданы
граничные условия: часть Sx, на которой граничные условия
задаются через внешние нагрузки, и часть S2, на которой заданы
перемещения. Очевидно, S = Si -j- 52. Обозначая компоненты
заданных внешних сил, отнесенных к единице площади поверх-
поверхности, через Хч, Kv, Zv, получаем граничные условия в напря-
напряжениях:
где
Хч = ах1 + xxvm + т^л,
ytn + хугп, A.13)
tt m, n — направляющие косинусы единичной внешней нормали v
к поверхности 2): / = cos (x, v), т = cos {у, v), л = cos (z, v).
Если обозначить заданные компоненты перемещений через б, б, ш,
то граничные условия в перемещениях запишутся в виде
а = й, о = б, w = w на S2. A-Н)
Итак, мы получили все определяющие соотношения для задачи
линейной теории упругости: уравнения равновесия A.4), соотно-
соотношения деформации—перемещения A.5), соотношения напряже-
напряжения—деформации A.6) внутри тела V и граничные условия
в напряжениях и перемещениях A.12), A.14) на границе тела S.
Эти соотношения показывают, что мы имеем 15 неизвестных,
а именно 6 компонент напряжений, 6 компонент деформаций,
3 компоненты перемещения в 15 уравнениях A.4) и A.5), A.6).
Нашей задачей является решить эти 15 уравнений при граничных
условиях A.12) и A.14). Поскольку все уравнения линейны, то
для построения решений может быть использовано правило
суперпозиции. Следовательно, мы получили линейные соотноше-
соотношения между заданными величинами, скажем нагрузками на Slt
и неизвестными, какими являются напряжения и перемещения
внутри тела.
*) В зависимости от контекста символ v применяется для обозначения как
единичной внешней нормали к поверхности, так и коэффициента Пуассона.

Гл. 1. Линейная теория дпругости в декартовых координатах 27
§ 1,2» Условия совместности
Из A.5) нетрудно заметить, что при деформации сплошной
среды шесть компонент деформаций (ех, sv, ег, ууг, yzx, yxy) не
являются независимыми, поскольку они могут быть получены
из трех независимых функций, как указано выше. Это утвержде-
утверждение может быть выражено другим способом; пусть рассматрива-
рассматриваемая сплошная среда до деформации разделена на большое число
бесконечно малых прямоугольных параллелепипедов. Пусть каж-
каждый элемент испытывает заданные деформации (ех, еу, ..., yxv)
произвольной интенсивности. Далее предполагается, что можно
попытаться вновь составить из деформированных элементов сплош-
сплошное тело. В общем случае такая попытка успехом не увенчается.
Для того чтобы такая «сборка» была возможной, между величи-
величинами деформаций должны выполняться определенные соотноше-
соотношения. Итак, возникает вопрос, который можно сформулировать
следующим образом: каким необходимым и достаточным усло-
условиям должны подчиняться деформации каждого элемента, чтобы
из этих элементов можно было составить сплошное тело?
Необходимые и достаточные условия того, чтобы шесть компо-
компонент деформаций выражались через три однозначные функции
соотношениями типа A.5), называются условиями совместности.
Как показано, например, в [1—5], условия совместности в ма-
матричном виде имеют вид
R* и, а
U, Rv U
[R]
где
„ _ д*ег ¦ ЗЧи д*ууг
к* ~ ду3 ~Т~ дг2 дудг '
- О, A.15)
Ку =3 I 53J
дх* дгдх '
д\ , дЧх
дх* ~1~~ду*
A.16)
иг=-
То, что A.15) являются необходимыми условиями, немедленно
следует из того факта, что они получаются из A.5) прямым диф-

28 Часть А. Формулировка вариационных принципов
ференцированием. Доказательство достаточности гораздо труд-
труднее и здесь не приводится. Заинтересованный читатель может
ознакомиться с ним в указанных выше книгах (см. также задачи 4
и 5 в конце главы).
Следует отметить, что между величинами Rx, Ry, ..., Uz
выполняются три тождественных отношения:
dRx dUj ^v __ n
дх > ду т дг
диг , dRy дцх
дх г ду ' аг
^^/» , dUx . dRz
(Ы7)
дх
Эти тождества нетрудно установить прямым дифференцированием.
Из них следует, что величины Rx, Ry, ..., Uz не являются взаимно
независимыми и условия совместности A.I5) можно заменить
следующими [6]:
Rx = Ry = R2^=0 в V, (
Rx=Ry = Rz = Ux = Uy = Ut = O на S, (
или, по-другому:
Ux = Uy = Ut = 0 в V, (
Rx = Ru = ^г = Ux = t/y = t/2 = 0 на S, (I.l9b)
§ 1.3. Функции напряжений
Как видно из A.4), при отсутствии массовых сил уравнения
равновесия могут быть записаны в виде
дх 1 ду ^ дг
дт>Х1. да,, di,IT
-5Г- + -*Г+-^- = °. С1-20)
Эти уравнения удовлетворяются тождественно, если компоненты
напряжений выражены через функции напряжений Максвелла %ъ
Ъ и- Хз:
ду дг '

Гл. 1. Линейная теория упругости в декартовых координатах 29
или функции напряжений Морера Ц\, \\>2, tps-
_ 1 д I d$i , д^2 , dip
г~ ~2 дх \ ~дх~+ ду'+~д
дудг '
Ггх = ~T~dy\~di dtT^^dir)' ^'22^
г дхду ' ху 2 дг \ дх ду дг )'
Интересно отметить, что если два типа функций напряжений
сочетаются так, что
п —
ду дг
. I д / ai|3j dtya dty<i \
• —f— 1 —— L- ~i~ '— 1
1 2 ax \ дх ' ду ¦ дг Г
то выражения A.16) и A.23) принимают одинаковый вид.
В задаче о плоском напряженном состоянии, для которого
уравнения равновесия имеют вид
*? ^& 0, 0.24)
дх ду ' дх ду '
вводим так называемую функцию Эри. Определяемые через нее
компоненты напряжений
удовлетворяют уравнениям A.24) тождественно.
§ 1.4. Принцип виртуальной работы
В этом параграфе мы выведем принцип виртуальной работы
для задачи теории упругости, сформулированной в § 1.1. Рас-
Рассмотрим тело, находящееся в состоянии равновесия под дей-
действием массовых и поверхностных нагрузок и испытывающее
на части границы заданные смещения. Обозначим компоненты
напряжений через ах, ау, ..., ххи. Очевидно,
Xv - Xv = 0 Zv - Zv = 0 на Sv A.27)

30 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Далее предполагаем, что тело испытало произвольные бесконечно
малые виртуальные перемещения би, би, bw из состояния равно-
равновесия. Тогда имеем
+ J J 1(ХУ - Ху) Ьи + (...) бу + (Zv - Zv) бш] dS = 0, A.28)
s.
где dV = dx dy dz a dS — элементарный объем и элемент площади
поверхности тела соответственно.
Возьмем теперь другой класс виртуальных перемещений, при
которых граничные условия на S3 не нарушаются. А именно,
виртуальные перемещения выбираются так, чтобы удовлетворя-
удовлетворялись граничные условия
бы = 0, бо = 0, dw = 0 на S,. A.29)
Тогда, используя геометрические зависимости
dydz = ±ldS, dzdx = ±mdS, dxdy = ±ndS, A.30)
выполняющиеся на границе, и интегрируя по частям, так что *)
\\\^-budxdydz= \ \axlbudS ~ \ \ \ax^-dxdy dz, A.31)
V S V
преобразуем A.28) к виду
— j J J (X 6a + Y 8v + Z bw) dV —
v
— J J (Xv бы + y"v 60 + Z~v бда) dS = 0, A.32)
s,
где
х) Здесь используется теорема Гаусса о дивергенции, выраженная урав-
уравнением
v s
(Данную теорему принято называть теоремой Гаусса—Остроградского. — Ред. ]

Гл. I. Линейная теория упругости в декартовых координатах 31
Это н есть принцип виртуальной работы для задачи, поставленной
в § 1.1. Этот вариационный принцип остается в силе для произ-
произвольных бесконечно малых виртуальных перемещений, удовлет-
удовлетворяющих заданным граничным условиям в перемещениях *).
Далее рассмотрим, какого рода уравнения могут быть полу-
получены из принципа виртуальной работы, если принять, что этот
вариационный принцип справедлив для произвольного допусти-
допустимого перемещения. Проводя все рассуждения в обратном порядке,
можно получить A.28) из уравнения A.32). Поскольку бы, 6v, 6w
произвольны в У и на Su требуется, чтобы все коэффициенты
в A.28) были равны нулю. Отсюда мы получаем уравнения A.26)
и A.27). Таким образом, принцип виртуальной работы эквива-
эквивалентен уравнениям равновесия в V н граничным условиям в на-
напряжениях на Sj. Стоит отметить, что принцип виртуальной
работы выполняется безотносительно к конкретному выбору
зависимостей напряжений от деформаций.
§ 1.5. Приближенный метод решения, основанный
иа принципе виртуальной работы
Используя принцип виртуальной работы, можно предложить
приближенный метод решения задач теории упругости [51. Из-
Излагаемый ниже подход будет называться обобщенным методом
Галеркина8). На первом этапе применения этого метода при-
принимаются следующие приближенные выражения для компонент
перемещения 3)t
л
и (х, у, г) = и0 (х, у, г) + 2 аги, (х, у, г),
л
v (х, у, г) = vo(x, у, г)+ 2] b,v,(x, у, г), A.34)
/¦=1
л
w (х, у, г) = w0 (х, у, г) -f ? c,wr (x, у, г),
/¦=1
где и0, v0, w0 выбираются так, чтобы
и0 = й, v0 = v, w0 = w на 5„ A.35)
О физической интерпретации принципа см. приложение С.
Этот метод является обобщением метода Галеркииа, в котором требуется,
чтобы приближенные выражения для перемещений A.34) выбирались ие только
удовлетворяющими геометрическим граничным условиям иа Sit ио также с уче-
учетом уравнений, выражающих напряжения через перемещения, и механическим
граничным условиям иа St (метод Галеркина см., например, в [5, 7—11]).
3) Отметим, что числа членов в каждой сумме ие обязательно должны быть
равными. Иными словами, некоторые члены из ur, vr, wr могут быть опущены.

32 Часть А. Формулировка вариационных принципов
а иг, vr, wr (r = 1, 2, ..., л) — линейно независимые базисные
функции, которые удовлетворяют однородным граничным усло-
условиям
иг = 0, vr = 0, wT = О (г = 1, 2, .... л) на 52. A.36)
Постоянные ar, br, сТ произвольны. Для вариаций перемещений
из A.34) нетрудно получить выражения:
п п п
Ьи = ? Ьагип 6v = ? бМг. во; = ? 6сгоуг. A.37)
г=1 /-=1 г=1
Подставляя A34) в A.32), имеем
[L, баг г Мг ЬЬГ + Л/г бсг] - 0, A.38)
2
где
- = J И (°- -?+т- ж+т« -^ - ^)dK - И ^dS-
S,
A.39)
Поскольку баг, 6ftr, бсг произвольны, имеем следующие урав-
уравнения:
Lr = 0, Мг - О, Л/Г = 0 (г - 1, 2, ..., л). A.40)
Интегрируя по частям, преобразуем выражения A.39) к виду
S,
V S,
A.41)
Вторым этапом применения метода является вычисление компо-
компонент напряжений с использованием формул A.34) и A.5), а также
связи напряжения—деформации. Предполагая здесь изотро-

Гл. 1. Линейная теория упругости в декартовых координатах 33
пию материала, получаем следующие соотношения напряжения—
перемещения:
n Г
V п dUr J_ V ди0 I *>0 , <fa>0
2
Подставляя A.42) в A.40), получаем систему Зп линейных
уравнений относительно Зп неизвестных постоянных ат, Ьт, ст (г =
= 1, 2, .... п). Разрешая эти уравнения, определяем величины аг,
Ьт, ст. Подставляя полученные числа в A.34), получаем прибли-
приближенное решение в перемещениях.
Выбрав соответствующим образом функции и0, v0, w0, ur, vr,
wr (r = 1, ..., n) и число п, можно получить хорошее приближен-
приближенное описание деформированного состояния. Однако точность опре-
определения напряженного состояния из A.42) с постоянными аг,
Ь„ с„ как правило, не столь хороша. Это становится ясным, как
только мы вспомним, что заменили уравнения равновесия A.4)
и граничные условия в напряжениях A.12) Зп-членным выраже-
выражением с весовыми коэффициентами A.41), а также то, что точность
приближенного решения понижается при дифференцировании.
Уравнения равновесия и краевые условия в напряжениях при
применении этого метода обычно удовлетворяются, по крайней
мере локально, с невысокой точностью.
Точность приближенного решения может быть повышена,
если увеличить число членов в суммах, т. е. п. Если представить
себе A.34) как совокупиость всех допустимых функций при п ->¦
-*• оо, то можно надеяться, что приближенное решение будет стре-
стремиться к точному решению при достаточно больших пив пределе
перейдет в точное решение. Однако требуется опыт и интуиция,
чтобы получить точное решение, оставляя только несколько
членов в уравнениях A.34).
Модификации изложенного метода находят широкое примене-
применение. Например, можно взять
п
и(х, у, г)= 2 um(x, y)gm(z),
m=0
»(*. У> *)= 2>m(*. y)gm(i), A-43)
m=0
W(X, у, Z) = 2j wm(x, y)gm(z),
m=0
2 К. Васидзу

34 Часть А. Формулировка вариационных принципов
где gm(z), т = О, 1, 2, ..., п, — заданные функции от z, а ит,
vm, wm — неизвестные. Уравнения для ит, vm, wm можно полу-
получить из принципа виртуальных работ. Разнообразные примеры
применения изложенного метода будут даны в гл. 7, 8 и 9.
§ 1.6. Принцип дополнительной виртуальной работы
Находясь в рамках применимости линейной теории, можно
сформулировать другой вариационный принцип, двойственный
к вариационному принципу виртуальной работы для задачи тео-
теории упругости, поставленной в § 1.1. Рассмотрим тело, находя-
находящееся в состоянии равновесия при заданных массовых силах и
граничных условиях, и обозначим компоненты деформации и
перемещений в этом теле через ех, ..., ухи и и, v, w соответственно.
Очевидно, что
ди Л ди dv л ,, ,. ...
е*~17 = 0' •••' V*«--oY--dx- = 0 BV> С-44)
и — п — 0, ..., w — w = 0 на S2. A-45)
Предположим, что напряжения в теле испытывают малые вари-
вариации от положения равновесия фах, 8ау, ..., Ьхху). Тогда имеем
равенство
+ (т«~Щ- - %г) Ку] dV + J J [(и - п) 6XV +
+ (w- wNZv]dS = 0, A.46)
которое после интегрирования по частям переходит в соотно-
соотношение
Ш[-
«t,,
-JJ(.«t.-
— 11 F 6XV + 0 6KV + a» 6ZV) dS = 0. A.47)
5,
Выберем теперь виртуальные напряжения так, чтобы уравнения
равновесия и граничные условия в напряжениях не нарушались,

Гл. 1. Линейная теория упругости в декартовых координатах
35
а именно так, чтобы виртуальные напряжения удовлетворяли
следующим уравнениям:
д6ах
дх
дбву
дх "~\ ду~
д^гх ... 36V
дх
¦+¦
ду
+
+
д6т:
~дг
д8аг
уг =0,
внутри тела V', A.48)
6УУ = 8тху1 + бо^т +
6ZV = 6т237 + бту2т +
Тогда A.47) сводится к равенству
n = 0;
n = 0,
п — 0
на
A.49)
— f J (fi 6XV + v 6YV + w 6ZV) dS = 0.
A.50)
J
Формула A.50) выражает принцип дополнительной виртуальной
работы. Этот вариационный принцип справедлив для произволь-
произвольных бесконечно малых вариаций напряжений, удовлетворяющих
уравнениям равновесия и заданным граничным условиям в на-
напряжениях. Как видно, принцип дополнительной виртуальной
работы имеет форму, двойственную к вариационному принципу
виртуальной работы A.32).
Далее рассмотрим, какие уравнения можно вывести из прин-
принципа дополнительной виртуальной работы, если предполагается,
что он справедлив для произвольных вариаций напряжений. Уни-
Универсальным методом решения задач такого рода является метод
множителей Лагранжа1). Будем рассматривать A.48) и A.49)
как ограничения, а перемещени-я и, v, w как множители Лаг-
Лагранжа, ассоциированные с этими ограничениями. Тогда, проводя
все рассуждения в обратном порядке, получим A.46) из A.50).
Поскольку величины бах, 8ау, ..., 8хху считаются независимыми
в соответствии с общей схемой применения множителей Лагранжа,
все коэффициенты в уравнениях A.46) обращаются в нуль, и мы
получаем уравнения A.44) и A.45). Таким образом, принцип
дополнительной виртуальной работы эквивалентен соотношениям
напряжения—деформации и граничным условиям в напряже-
х) О методемножителей Лагранжа см. гл. 4 [12],гл.2и5 [13], а также при-
приложение А данной книги.
2*

36 Часть А. Формулировка вариационных принципов
ниях на S2. Отметим, что принцип дополнительной виртуальной
работы справедлив при любом соотношении напряжения — де-
деформации.
§ 1.7. Приближенный метод решения, основанный
на принципе дополнительной виртуальной работы
Используя принцип дополнительной виртуальной работы,
можно предложить приближенный метод решения задач теории
упругости. Такой подход аналогнчен сформулированному в § 1.5
и может быть назван обобщенным методом Галеркииа. Для про-
простоты будем рассматривать двумерную задачу теории упругости
для односвязного тела *). Боковая поверхность тела цилиндри-
цилиндрическая, причем образующая цилиндра параллельна оси г, а де-
деформация тела считается не зависящей от координаты г. Также
предполагается, что компоненты напряжений az, т„, хуг равны
нулю. Остальные компоненты ах, ау и тху считаются функциями
только от х и у и связаны с деформациями при помощи соотно-
соотношений
Еех — ах — vofj,, Ееу = —хах + ау, Gyxy — тху, A.51)
где
ди dv ди . dv ,. -„.
ох " ду оу ' ох
При отсутствии массовых сил уравнения равновесия сводятся
к A.24), которые удовлетворяются при введении функции напря-
напряжений Эри A.25).
Граничные условия на боковой поверхности не зависят от г
и для простоты задаются только в напряжениях, а именно
у У V V 1\ КУ\
на боковой поверхности С, где
Xv=axl + Txym, Fv = тх„/-f oyn. A.54)
Выше / и т — направляющие косинусы направления внешней
нормали к С. Если контур боковой поверхности С задай пара-
параметрически через длину дуги s, измеренной вдоль С, так что
„ _ „ /(Л .. __ ,. /с\ /1 се\
то
/ = dy/ds, m =—dx/ds. A.56)
х) Один нз вариантов постановки двумерной задачи теории упругости —
это задача о плоском .напряженном состоянии тонкой изотропной пластины со
свободными поверхностями. Для плоского напряженного состояния аг = О
и поэтому Eez = —v (ax -)- Оу) [2]. Другим вариантом двумерной задачи тео-
теории упругости является задача о плоской деформации, которая также описы-
описывается уравнениями A51), где следует только заменить Е и v на ?" = ?7A —v8),
v' = v/(l — v) и использовать соотношения е2 = 0, oz = —v (a,, -f- Oy) f2J.

Гл. I. Линейная теория упругости в декартовых координатах
37
Длииа дуги измеряется так, как показано на рис. 1.1. Если ввести
функцию напряжений Эри и подставить A.56) в A.54), то получим
Xv и Yv< выраженные через F:
X д2р dy I d*F dx _ d / dF \
v " ду* ds ~т~ дхду ds ~ ds \ ду ) '
d± __ d*F dx _ d_/ dF
ds
V — r ay
* v ~~~ гч„ a.. j_
дхду ds dx2 ds
Для функции напряжений примем выражение
п
F (х, у) = Fo (х, у) -f S arFr (x, у),
Г=\
A.58)
где Fo и Fr выбираются так, чтобы на границе С выполнялись
равенства
d I dFо \ _ у d I dF« \ - V
ds \~ду~) ~ v> ~ ds \ дх ) ~ Yv'
v, .
A.59)
d I dFr \
ds \ dy I
а аг (г = 1, 2, .... п) — произвольные постоянные. Из A.59)
видно, что dFrldx и dFrldy постоянны вдоль С. Поскольку для
односвязной области прибавле-
прибавление к функции напряжений F
линейной формы ах -f- by + с (а,
Ь, с — произвольные постоянные)
не сказывается на напряжениях,
можно принять без ограничения
общности
dFr
= 0,
dFr
= 0
A.60)
дх ~~"' ду
на С (г = 1, 2 п).
Подстановка A.58) в A.25)
дает следующие выражения для
компонент напряжений:
X
О,¦ =
а„ =
ду2
ду*
г=\
Рис. 1.1. Двумерная задача.
д^
2г ду
,2 '
дх*
d*F
дхду
г=1
дхду
дх* '
A.61)
r=l
"г дхду ¦

38 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Совокупность допустимых виртуальных напряжений дается вы-
выражениями
A-62)
d*Fr f.
Подставляя A.62) в A,50) и вспоминая, что на поверхности
заданы только условия в напряжениях, имеем
J]L,6a, = 0, A.63)
где
f f /
s
При выводе A.64) предполагается, что размер тела в направле-
направлении г равен единице, и поэтому интеграл берется по двумерной
области, соответствующей проекции тела на плоскость (к, у).
Поскольку вариации коэффициентов Ьаг произвольны, получаем
уравнения
Lr = 0 (r= 1,2, ...,я). A.65)
Отметим, что при помощи A.60) и интегрирования по частям
выражения A.64) приводятся к виду
При помощи уравнений A.51) и A.61) уравнения A.65) можно
свести к системе п уравнений относительно аг (г = 1,2, ..., п).
Решая эти уравнения и подставляя найденные величины аг в A.61),
получаем приближенные выражения для напряжений. Удачно
подбирая функции Fo, Flt ..., Fn, можно определить напряжения
с большей точностью. Точность приближенного решения зависит
от некоторых факторов, влияние которых оценивается так же,
как и в § 1.5.
Отметим здесь, что деформации, определенные из решения,
использующего приближение для функции напряжений, в общем
случае не удовлетворяют уравнениям совместности. Например,
как видно из A.66), уравнения A.65) имеют вид взвешенных
средних и, следовательно, аппроксимируют уравнения совме-
совместности в двумерной задаче. Хотя в качестве примера рассматри-
рассматривалась двумерная задача, обобщение на случай трех измерений
выполняется непосредственно.

Гл. 1. Линейная теория, упругости в декартовых координатах 39
§ 1.8. Связь между условиями совместности
и функциями напряжений 1)
В § 1.4 мы вывели принцип виртуальной работы. Выбирая
далее бея, 8еу, .... буху, фигурирующие в A.32), в качестве не-
независимых варьируемых переменных и принимая A.33) и A.29)
в качестве ограничений, получим иную формулировку принципа
виртуальной работы: использование соотношений перемещения —
деформации A.5) и граничных условий в перемещениях A.14)
в принципе виртуальной работы A.32) приводит к уравнениям
равновесия A.4) и граничным условиям в напряжениях A.12).
Учитывая вышеприведенное утверждение, зададимся вопро-
вопросом: какого рода соотношения будут получены, если в вариацион-
вариационный принцип A.32) вместо вариации перемещений и, v, w будут
введены условия совместности A.15) при помощи множителей
Лагранжа? Для простоты объемные силы положим равными нулю.
Уравнения A.18а) будем использовать в качестве условий совме-
совместности и запишем принцип виртуальной работы
JJJ К бе, + оу6гв+- ¦ -+гхв6уху - Xi «Л* - Х.6Д» - %,6Rt]dV +
v
+ (поверхностные члены) = 0, A.67)
гДе %i> %2> Хз — множители Лагранжа. После некоторых пре-
преобразований, включая интегрирование по частям, уравнение
A.67) преобразуется к виду
+ Ь [гху + -j^y-] 6г*г/| dV + (поверхностные члены) = 0.
A.68)
Отсюда в силу произвольности вариаций бех, Ьгу, ..., 8уху полу-
получим
откуда следует, что множители Лагранжа %1г Хг. Хз СУТЬ функции
напряжений Максвелла. Аналогичная процедура с использова-
использованием A.19а) в качестве условий совместности приводит к функ-
функциям напряжений Морера. Указанный метод поиска функций
напряжений можно использовать в любой задаче, для которой
сформулирован принцип виртуальной работы и установлены
условия совместности.
х) См. работы [14—19].

40 Часть А. Формулировка вариационных принципов
С другой стороны, в § 1.6 мы вывели принцип дополнительной
виртуальной работы. Выбирая далее 8ах, Ьаи, ..., бхху, фигуриру-
фигурирующие в A.50), в качестве независимых варьируемых переменных,
и принимая A48) и A.49) в качестве ограничений, получим иную
формулировку принципа дополнительной виртуальной работы:
использование уравнений равновесия A.4) и граничных условий
в напряжениях A.12) в принципе дополнительной виртуальной
работы A.50) приводит к соотношениям перемещения — деформа-
деформации A.5) и граничным условиям в перемещениях.
Учитывая вышеприведенное утверждение, зададимся вопро-
вопросом: какого рода соотношения будут получены, если в вариацион-
вариационном принципе дополнительной виртуальной работы вместо урав-
уравнений равновесия и множителей Лагранжа будут использованы
функции напряжений?
Например, возьмем функции напряжений Максвелла A.21).
Принцип A.50) запишем в следующем виде:
V
+ (поверхностные члены) = 0. A-70)
Преобразуя и интегрируя по частям, преобразуем A.70) к виду
+ (поверхностные члены) = 0. A.71)
Поскольку 6%i, 6%2, бхз произвольны, имеем
Rx = Ry = Rz = 0. A.72)
Отсюда заключаем, что A.71) обеспечивает выполнение A.18а)
как условий совместности. Аналогичная процедура с использо-
использованием функций напряжений Морера приводит к уравнениям
совместности A.19а).
Читатель уже убедился в § 1.7, что использование функции
напряжений Эри в принципе дополнительной виртуальной работы
приводит к условию совместности для двумерной задачи.
Отметим, что для многосвязного тела, каким является тело
с отверстиями, формулировка принципа дополнительной виртуаль-
виртуальной работы при подстановке функций напряжений дает другие
геометрические условия, так называемые условия совместности
в большом [20, 21 ]. Простой пример этих условий будет приведен
в § 6.3. В гл. 10 мы покажем, что условия совместности в большом
играют важную роль в теории конструкций.

Гл. 1. Линейная теория упругости в декартовых координатах 41
§ 1.9. Некоторые замечания
В § 1.4 и 1.6 было установлено, что принципы возможных
перемещений и дополнительной виртуальной работы являются
двойственными при изучении задач теории упругости.
При выводе принципа виртуальной работы предполагалось,
что виртуальные перемещения выбираются так, чтобы удовлетво-
удовлетворялись соотношения A.29). Это ограничение можно устранить,
записав принцип виртуальной работы в следующей форме:
\ J \
(ох бех + аи6еи ~\ h тху 8у
— JJJ(X6« + f to+ 2 too) dV -
v
— J J (Xv бы + У v &> + Zv Щ dS -
(Xv6« + yv6y + Zv6o;)dS = 0. A.73)
С другой стороны, при выводе принципа дополнительной вир-
виртуальной работы принималось, что виртуальные вариации компо-
компонент напряжений выбираются так, чтобы удовлетворялись усло-
условия A.48) и A.49). Эти ограничения также устраняются, если
расширить функционал в принципе дополнительной виртуальной
работы:
j J \ (ея 6а, + ви Ьои Н Ь Уху btxy)dV -
A.74)
где 8Х, 6У, 8Z даются выражениями
d8txy
Ту
дх

42 Часть А. Формулировка вариационных принципов
В силу вышеприведенных рассуждений оказывается, что оба
принципа являются частными случаями следующей теоремы
о дивергенции:
J J J (о А + ауъу +••_•+ тхиух„) dV =
Si
A.76)
где (ax, а у xxy) — произвольная совокупность компонент
напряжений, удовлетворяющих уравнениям равновесия A.4),
(Xv, Yv, Zv) выводятся из компонент напряжений при помощи
A.13), а (и, v, w) — произвольная совокупность компонент пере-
перемещений и (еж, г у, ..., уху) связаны с Перемещениями соотноше-
соотношениями A.5). Доказательство теоремы A.76) проводится способом,
аналогичным указанному в § 1.4 и 1.6. Необходимо отметить, что
совокупности (ах, ау, ..., тху; X, Y, Z) и (гх, еу, ..., yxv; и, v, w)
независимы, а именно предполагается, что не существует никакой
связи между ними. Здесь следует также заметить, что и, v, w
в доказательстве теоремы о дивергенции не предполагаются далее
бесконечно малыми. Теорема о дивергенции широко используется
в механике сплошных сред. Укажем, что эта теорема лежит
в основе метода единичного перемещения и метода единичной
нагрузки 1), играющих важную роль в расчетах конструк-
конструкций [11].
Упражнения
Задачи к § 1.1 и 1.2 2)
1. Докажите, что при помощи соотношений A.5) и A.10) можно выразить
A.4) и A.12) через перемещения следующим образом:
*) Этот метод также называется методом компенсирующих нагрузок [10].
а)См. [1] и [21].

Гл. 1. Линейная теория упругости в декартовых координатах 43
ди . до \ , / ди
где Д( ) = ( ),хх + ( ). j,j/ + ( ). и. е = и, x + v,y + w,z, ( ),х = д( )/дх'
( ), у = д ( )/5i/, ( ), 2 = д ( )/dz. Докажите также, что задача теории упругости
своднтся к решенню уравненнй (i) с граничными условиями (ii) н A.14).
2. Докажите, что при отсутствии массовых сил условия совместности (J.15)
при помощи A.11) и A.20) преобразуются к следующим:
где в = ах -(» а^ -(- ff2' Докажите также, что если на границе накладываются
условия лишь на силы, то задача теории упругости своднтся к решенню уравне-
уравнений (i) н A.20) с граничными условиями Xv = Xv, Kv = Kv и 2V = Zv на S.
3. Рассмотрим две прямоугольные декартовы системы коордннат (*, у, г)
н (х, у, г) и обозначим компоненты деформаций и напряжений в этих системах
через ех, ц, .... уху; ах, аи, ...,1ху н ёж, еу \ху; дх, av ixy соответ-
соответственно, где черточка сверху указывает на различие этих двух снстем коордннат.
Для краткости часто также используются следующие обозначения:
x — Xi, у = хг, г — х3, * = *! г — х3;
6Я = ец, еу = е22, ег = е33,
A /2) Ууг = е2э = е32, A /2) угх = e3i = е13, A /2) уху — е12 = е21,
ё* = ёи, .... A/2) V3C|/ = eia = «ai;
ox~aix> Оу — Оц, oz = ai3, 1уг = а23, ^zy=a3i,
дх = Оц, .., ТуХ = а21.
A) Докажите справедливость следующих соотношений:
з з
2 2 y, Xn)emn.
з з
J] J] cos(*;, Arm)cos(*;-, д;п) amn.
m=l n=\

44 Часть А. Формулировка вариационных принципов
B) Докажите, что при переходе от одной прямоугольной декартовой системы
координат к другой следующие величины инвариантны:
е* -+• е,у + ez,
Va + 8*8* + V» -О'4) Ыг + YL + У%),
ехгугг + A /4) (yyzyzxVxy - exy2yz - eyy2zx - ezy2xy), (j j)
Ox -+• ay + Oz.
Докажите также, что эти величины можно записать следующим образом:
. г/ з s2 з
[()
i,j,k,r.s,t=\ .....
, Г/ 3 - о . С»)
/=) " 2
1
3 "I
соответственно, где
О, если два любые из индексов »', /, k совпадают,
+1, если j, /, k образуют четную перестановку 1, 2, 3, (iv)
—1, если «, у, k образуют нечетную перестановку 1, 2, 3.
C) Докажите, что для изотропного упругого тела существуют только две
независимые упругие постоянные (см. примечание к формуле A.10)).
4. Покажите, что
И/ 1 \ /1
4" V

Гл. 1. Линейная теория упругости в декартовых координатах 45
2 дг дх
Q
где шж, wv и й2 являются компонентами ротора, определяемого следующим
образом:
__ dw dv „_ d« to „_ du ди .....
2g)v= — r- , 2wu = — — , 2w, = ^ r—, (in)
ду дг у дг дх дх ду ' '
a P и Р являются двумя произвольными точками тела и интегрирование осу-
осуществляется вдоль произвольного пути между точками Р и Q.
Далее с использованием этих соотношений докажите, что для односвязного
тела условия совместности выражаются уравнениями A.15).
Примечание: для доказательства удобно воспользоваться теоремой Стокса
f [
-ds (iv)
и прийти к выводу, что если равенство
|)F-ds = O (v)
справедливо для любого замкнутого контура в областн V, то
rot F = 0 (vi)
всюду в V.
Возвращаясь к условиям совместности, выберем произвольный замкнутый
контур С внутри твердого тела н заменим j в уравнениях (i) и (и) на ф,
р
т. е. на интеграл по контуру. Так как условия совместности требуют, чтобы
функции и, v, w, «ж, шу и «2 были однозначно определены, то, например, для
ах получим
" (L dx + M dy + N da) = 0, (vii)

46
Часть А, Формулировка вариационных принципов
где
_ 1 / дугх духу \ ., _ 1 дууг деу _ дег I дууг
2 \ ду дг I' т ~ 2 ду дг ' ду 2 й '
Полагая
(viii)
F = Li + М] + Nk,
находим, что
rot F = Rxi + Uz\ + ?/j,k, (ix)
где i, j и к — единичные базисные векторы в направлениях осей х, у и г соответ-
соответственно, a Rx, Uz и Uy определяются
формулами A.16). Следовательно, из ра-
равенства rot F = 0 следует, что
Яя = 0, ?/2 = 0, Uy = 0. (х)
Примените эти рассуждения и выкладки
к остальным соотношениям (i) и (И).
5. Рассмотрим двусвязное тело, изо-
изображенное на рис. 1.2, и сведем его
к односвязному с помощью «барьерной»
поверхности Q. Выберем произвольный
замкнутый контур С, начальная (i) и
конечная (/) точки которого лежат иа Q.
Применяя уравнения (i) и (и) задачи 4
Рис. 1.2, к контуру С, докажите, что даже если
деформации тела являются непрерыв-
непрерывными и удовлетворяют условиям совместности A.15), то
Vf - Vi =
Р1У -
где li, l2, l3 и p^ pa, P3 — константы, а индексы / и i относятся к конечной и
начальной точкам контура соответственно.
Задачи к § 1.7
6. Докажите, что плоская задача теории упругости, рассмотренная в § 1.7,
сводится к решению приведенных ниже уравнений:
A) Метод перемещений: решить дифференциальные уравнения
— v дх
с граничными условиями
1 —¦
±1%-
— v ду
ду
%-=0 в S
д
Е Г1 — х ( dv . ди\ . . ( ди . dv\ Л
1 — v2 L 2 \ дх ду ) \ дх ' ду ) J
где Д ( ) = а2 ( Iдх* + а2 ( Iду* и е = и1Х + v,y.
(i)
00
на С,

Гл. 1. Линейная теория упругости в декартовых координатах
47
B) Метод сил: решить дифференциальное уравнение
AAF = О в S (Hi)
с граничными условиями
J-(J>L\-X -—(—)-? наС Hvl
ds \ dy I ds \ ox 1 '
где ДД ( ) ¦= <Э4 ( )/дх* + 2d4 ( )/дх2ду2 + а4 ( )/dy4.
7. Докажите, что принцип дополнительной виртуальной работы для плоской
задачи, рассмотренной в § 1.7, можно записать в виде
(?х бах + ?» бо„ -f- ух„ 6txj,) dx dy — (и 6XV -f- у 6KV) dS = О,
's с
где аж, О;,, tXj,, Xv и Kv выражаются через F при помощи A25) и A.57), а и ни
являются множителями Лагранжа. Докажите также, что из этого принципа
можно вывести следующие уравнения:
гх. уу + Еу, хх — Уху, ху = О
в S и
и (s) = [ [e^dx+ (A/2) ужу — w2)dy] -f ay + b,
6
s
v(s) = J [(A/2) уху + «*) dx + ey dy] - ox + с
на С, где
s
j
:= J [(A/2) yxy,x->
0
(ey, x — A/2) уж„, у) dy],
a, b kc — произвольные постоянные, а s отсчитыва-
ется вдоль границы С.
Задача к § 1.9
8. Напомним, что при выводе теоремы Гаус-
Гаусса— Остроградского A.76) предполагалась непре-
непрерывность напряжений н перемещений всюду внутри
тела. Если существуют разрывы в напряжениях илн
перемещениях, то в выражении A.76) появятся до-
дополнительные члены.
Предположим, что тело V фиктивно разбито на
две подобласти Va и Vb (рнс. 1.3). Как перемещения,
так и напряжения предполагаются непрерывными в каждой из подобластей.
A) Докажите, что если перемещения и напряжения разрывны на границе Saj,,
то к правой части A.76) добавятся члены1)
Sab
РНС. 1.3. Va, Vft HSaft.
J j
dS
J J (
S
Sab
dS, (i)
J) Величины (u(a), y(a), a>(a)) и («'*', к'*', а)(*')явлиются компонентами пе-
перемещений в Va и Vb соответственно, а (с,"', ..-, т^) н (ог^>), ..., т^) — компо-
компонентами напряжений в Va и Vb соответственно.

48 Часть А. Формулировка вариационных принципов
где
причем Aаь, mab, «aft) н Aьа, Ща, ifta)— направляющие косинусы нормалн к гра-
границе Saft, направленной нз Va в Vb и нз Vb в Va соответственно. Очевидно, 1аь=
= —Iba, таЬ = —Ща, nab = —пЬа-
B) Докажите, что если напряжения на границе удовлетворяют равенствам
то выражение (i) принимает вид
J f (X(,a> («<a> - «<»>) + K<«> (»<«> - o<*>) + Zia» (»<«> - »<»>)} dS. (iv)
S'
Sab
Примечание: см. [23].

Глава 2
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ ПРИ МАЛЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ
§ 2.1. Принцип минимума потенциальной энергии
В настоящей главе обсуждаются вариационные принципы тео-
теории упругости при малых перемещениях. В этом параграфе прин-
принцип минимума потенциальной энергии будет выведен из принципа
виртуальной работы, установленного в § 1.4.
Сначала заметим, что можно вывести функцию состояния
А (ех, гу, ..., уху) из соотношений напряжения — деформации
A.6), так что *)
8А = ах 8гх + аь8гу + • • • + тху 8уху, B.1)
где
2А = (аи&х + а1ггу + • • • + аыуху) е, + • • • +
+ (fleiBx + ав2гу -\ \- амуху) уху. B.2)
Для соотношений напряжения — деформации изотропного мате-
материала, т. е. уравнений A.10), имеем
А= 2(l+vHl-2v) (^ + е;/ + егJ + С(е| + е| + е|) +
% B-3)
Величину А будем называть функцией энергии деформации2).
Из физических соображений, которые будут приведены в гл. 3,
можно предположить, что энергия деформации должна быть по-
положительно определенной функцией компонент деформаций 3). Это
допущение приводит к некоторым неравенствам между упругими
постоянными. Для удобства в дальнейшем мы вводим обозначе-
обозначение А (и, v, w) для того, чтобы подчеркнуть, что функция энергии
деформации выражается через компоненты перемещений с по-
1) Величины 8А, 8ех, ... являются первыми вариациями А, ех, ... соот-
соответственно.
2) Величина А называется также потенциальной энергией деформации,
отнесенной к единичному объему, или плотностью энергии деформации (см.
также приложение D).
3) Определение положительно определенной функции см. в приложении А.

50 Часть А. Формулировка вариационных принципов
мощью введения соотношений деформации — перемещения A.5).
Например,
л I \ Е\ I ди , dv . dw \ 2
A(u' v> W^~ 2(i+v)(i-2v) CaF+W + 'ar) +
/ dv
для изотропного материала.
Когда существование функции энергии деформации таким об-
образом установлено, первый член подынтегрального выражения
в принципе виртуальной работы A.32) может быть переписан сле-
следующим образом:
д&и , / d 8v , d би \ с . . .
a*-dT + • • • + т*« {-§Г + IF) = бЛ ("' и' ^'
причем следует помнить, что ах, ... и тху — действительные ком-
компоненты напряжения и что бы, 8и и 6ш — вариации компонент
перемещений от действительных перемещений. После этих пред-
предварительных замечаний можно преобразовать принцип виртуаль-
виртуальной работы A.32) к виду
б JJJ^(«, v, w)dV
V V
— J J (Xv бы + Fv 8v + Zv Щ dS = 0. B.5)
Si
Этот принцип будем называть расширенным принципом виртуаль-
виртуальной работы. Такое выражение полезно при исследовании тех за-
задач теории упругости, в которых внешние силы не являются потен-
потенциальными.
Предположим далее, что объемные и поверхностные силы вы-
выводятся из потенциальных функций Ф (и, v, w) и Ф (и, v, w), так
что
—6Ф = Х8и 4- Ybu + Z 8w, B.6)
—б? = Xv бы + Yv 8v + Zv 8w. B.7)
Тогда принцип B.5) можно преобразовать к виду
6П = 0, B.8)
где
П = JJJ[^(m, v, ш) + Ф(и, v, w)]dV + JJt(m. v, w)dS
v s,
B.9)

Гл. 2. Вариационные принципы при перемещениях 51
— полная потенциальная энергия. Принцип B.8) гласит, что среди
всех допустимых перемещений и, v и w, которые удовлетворяют
заданным геометрическим граничным условиям, действительные
перемещения приводят к стационарности полной потенциальной
энергии.
В дальнейшем при исследовании задачи теории упругости ог-
ограничимся случаем, когда объемные силы (X, Y, Z), поверхност-
поверхностные нагрузки (Лу, Yv, Zv) и поверхностные перемещения (п, v,
w) заданы и при варьировании не меняются ни по величине, ни
по направлению. Тогда функции потенциальной энергии записы-
записываются для таких сил следующим образом;
—ф = Ни + Yv + Zw, B,10)
—W = Hvu + Yvv + Z>. B.11)
Для них можно сформулировать принцип минимума потенциаль-
потенциальной энергии: среди всех возможных перемещений действительные
перемещения сообщают полной потенциальной энергии П
П= j\\A(u, о, w)dV- \\\(Xu + 7v + Zw)ay -
V V
- J J (X,u + Yvv + Zvw) dS B.12)
s,
абсолютный минимум.
Для доказательства принципа минимума потенциальной энер-
энергии допустим, что компоненты действительных и произвольно вы-
выбранных возможных перемещений обозначены через и, v, w и
м*, о*, w* соответственно, и положим и* — и + бы, v* = v +
+ 6w, w* = w + 8w. Тогда
П(м*. v*, w*) = U(u, v, оу) + 6П + 62П, B.13)
где 6П и 62П — первая и вторая вариации полной потенциальной
энергии. Первая вариация линейна, вторая квадратична по 8м,
bv, 6w и их производным, а именно:
fff Г
v
- (X 8и + F 8v ]
B.14)
¦s,
= |Дл(8м, 6v, 6w)dV, B.15)
v

52 Часть А. Формулировка вариационных принципов
где ах, ..., хху — компоненты действительных напряжений. По-
Поскольку бы — bv = bw = 0 на S2 и компоненты напряжений
являются решениями уравнений теории упругости, первая ва-
вариация B.14) обращается в нуль:
6П = 0. B.16)
Более того, поскольку А — положительно определенная функция,
то
62П ^ 0, B.17)
причем знак равенства имеет место только в случае, когда все
компоненты деформаций, которые вычисляются по перемещениям
бы, bv, bw, равны нулю. Следовательно, получаем
¦^возможное i^2 ^действительное* (•<-• *&)
Поскольку никаких ограничений на величины бы, bv, bw при до-
доказательстве не накладывалось, мы заключаем, что полная по-
потенциальная энергия достигает абсолютного минимума на дейст-
действительном решении.
§ 2.2. Принцип минимума дополнительной энергии
Здесь будет показано, что из принципа дополнительной вир-
виртуальной работы A.50) может быть получен другой вариационный
принцип. Заметим, что функция состояния В (ах, oyi ..,, хху)
может быть выведена из соотношений напряжения — деформации
A.8), так что
6В - гх Ьах + гу Ьау + • • • + ухи brxy, B.19)
где
2В = (Ьпах 4- Ъпау + •¦¦ + Ьыхху) ох -f • • •
) хху. B.20)
Из соотношений напряжения — деформации изотропного мате-
материала A.11) имеем
В = ~2Т \(°* + аУ + агJ +
+ 2A+ v)(t»4 + th + rty ~ Оуог ~ агах - ахау)\. B.21)
Будем называть В функцией дополнительной энергии х). Очевидно,
функция энергии деформации А, определенная уравнением B.2),
равна функции дополнительной энергии B.20), и поскольку пер-
первая положительно определена, то же самое можно сказать и о
второй.
1) Величина В также называется плотностью дополнительной энергии или
энергией напряжений. См. также приложение D.

Гл. 2. Вариационные принципы при малых перемещениях 53
Когда таким образом установлено существование функции
дополнительной энергии, принцип дополнительной виртуальной
работы переписывается в виде
б jjj В(ах, оИ, ..., ixy)dV — \\(ubXv -г v bYv ^-w bZv) dS 0,
V S2
B.22)
где ox, ..., xxy — действительные напряжения, a bax, ..., bxxy —
вариации компонент напряжения из действительного решения.
Этот принцип будет называться расширенным принципом допол-
дополнительной виртуальной работы. Отметим, что ах, ... и Ьох, ...
в B.22) подчиняются ограничениям, задаваемым уравнениями A.4),
A.12), A.48), A.49).
Полагая, что величины и, v, w не изменяются при варьирова-
варьировании, из уравнения B.22) можно вывести вариационный принцип
минимума дополнительной энергии: среди всех систем возможных
напряжений ах, ау, ..., тху, которые удовлетворяют уравнениям
равновесия и заданным краевым механическим условиям на St,
действительные напряжения сообщают полной дополнительной
энергии Пс
B(ax,at,...,Txy)dV-\j(uXv ^vYv^wZv)dS B.23)
абсолютный минимум.
Для доказательства обозначим компоненты действительных
и произвольно выбранных возможных напряжений через ах, ау, ...
..., хху и ах, Оу, ..., т*ху соответственно и положим ах = ах +
4- Ьоу, о* = оу + Ьву, ..., хху — тху + Ьхху. Рассуждая так же,
как и в предыдущем параграфе, получим, что первая вариация
полной дополнительной энергии для действительного решения
равна нулю, и поскольку В — положительно определенная квад-
квадратичная функция, то вторая вариация полной дополнительной
энергии неотрицательна. Это и доказывает справедливость прин-
принципа минимума дополнительной энергии х).
Заметим, что А — функция компонент деформаций, а В — фун-
функция компонент напряжений. Если напряжения зависят от де-
деформаций линейно [A.6), A.8)], то В равно А и имеет тот же фи-
физический смысл: это энергия деформации в единичном объеме
упругого тела. Однако надо заметить, что если напряжения за-
J) Для задачи теории упругости, для которой на части S2 поставлены усло-
условия жесткой заделки п = v = w = 0, функционал Пс сводится к виду:
^ох,оу, ..., ixy)dV,
v
откуда выводится принцип минимальной работы [2].

34
Часть А. Формулировка вариационных принципов
висят от деформаций нелинейно, то функция В B.19) не равна фун-
функции А B.1). Рассмотрим, например, стержень при растяжении
Имеем
о* = ох(гх), гх = гх(ах). B.24)
функции А и В определяются формулами
А = J axdtx, В ¦-= J exdox.
B.25)
О
Рнс. 2.1. Энергия деформации н
дополнительная энергия прн одно-
одноосном растяжении.
Эти величины изображены на рис. 2.1. Площадь заштрихованной
фигуры OPS соответствует интегралу А, а незаштрихованной
ORS — интегралу В. Как видно
из рисунка, А и В дополняют
друг друга, и в сумме их площади
равны площади фигуры OPSR,
а именно А + В = охех.
§ 2.3. Обобщение принципа
минимума потенциальной энергии
В этом параграфе будут рас-
рассмотрены обобщения принципа ми-
минимума потенциальной энергии.
Сначала напомним рассуждения,
которые привели к выводу прин-
принципа минимума потенциальной
энергии из принципа виртуальной работы. Мы предполагали:
A) можно вывести положительно определенную функцию состоя-
состояния А (ех, ги, ..., уху) из соотношений между деформациями и
напряжениями; B) компоненты деформаций удовлетворяют урав-
уравнениям совместности, т. е. их можно вычислить по формулам A,5)
из и, v, w; C) компоненты перемещений и, v, w определены так,
чтобы удовлетворялись геометрические граничные условия A.14);
D) объемные и поверхностные нагрузки должны выводиться из
потенциальных функций Ф и W по формулам B.10) и B.11). Если
принять эти предположения, то, согласно принципу минимума
потенциальной энергии, действительные деформации могут быть
получены из условий минимума функционала П, определенного
по формуле B.12).
Ниже будет показано, что дополнительные условия B) и C)
могут быть учтены с помощью множителей Лагранжа 1), и таким
образом принцип минимума потенциальной энергии несколько
обобщается. Путем введения девяти множителей Лагранжа ах,
J) О множителях Лагранжа и преобразованиях функцноналов см. [3, гл. 4,
§ 9],' а также приложения А и В.

Гл. 2. Вариационные принципы при малых перемещениях 55
оу, ..., iXy и Рх, Ру, Pz, определенных в V и на S2 соответственно,
обобщенный принцип можно выразить следующим образом: дей-
действительное решение может быть определено из условий стацио-
стационарности функционала Пг, определяемого как интеграл *)
= Ш[А(е
ди dw
- J J [(и - б) Л + (v - v) py + (w- w) pz) dS. B.26)
s2
Всего под интегралом в B.26) варьируется восемнадцать незави-
независимых величин: ех, гу, ..., уху; и, v, w; ах, ау, .... т^; рх, ру,
pz, причем на них не накладывается никаких дополнительных
условий. Вычисляя вариацию функционала, обусловленную из-
изменением каждой из указанных величин, имеем
8П-=Ш
B.27)
откуда выводятся условия стационарности
<УХ = «цвх + «ив» Н + alt,Yxj,, ... в V, B.28)
* = ?, ....*. = ?+? -У- B-29)
х) Следует заметить, что как только вводятся множители Лаграижа, слова
«условия минимальности», используемые в принципе минимума потенциаль-
потенциальной энергии, надо заменить на «условия стационарности».

56 Часть А. Формулировка вариационных принципов
^f + ^f+ ^f + X = O, ... в V, B.30)
V
на Si, B.31)
и = ы, ¦••, оу = w на S2, B.32)
рж — Xv, • ¦ •, pz = Zv на 52. B.33)
Из уравнений B.28) и B.33) очевиден физический смысл мно-
множителей Лагранжа ах, оу, ..., тху, рх, ру и pz. Ясно, что условия
стационарности функционала Г^ совпадают с уравнениями крае-
краевой задачи теории упругости, сформулированной в § 1.1. Если
B.29) и B.32) считаются дополнительными условиями, которые
удовлетворяются тождественно, то Г^ сводится к П, определяе-
определяемому по формуле B.12).
Можно получить и другое выражение для вариационного прин-
принципа, в который не входят множители Лагранжа рх, ру, рг. С этой
целью потребуем, чтобы коэффициенты при бы, bv, bw в интеграле
по поверхности S2 в B.27) обращались в нуль. Таким образом,
с использованием B.33) преобразуем функционал B.26) к виду
ПГ1 = JJJ [А(ех, гу, ¦¦¦, уху) - (Хи + Yv + Zw) -
v
ди \ I dv ди
- JJ [(u - u)Xv + (v - v) Yv + (w~ w)ZjdS, B.34)
или, интегрируя по частям, к виду:
Пш = — J*J*J" [а*Вх + а«в« ^ + Тх«Ух" ~~ Л
V
JJ [(Xv -Xv)u + (Yv -Yv)v + (Zv - Zv)w]dS +
B.35)
В функционалах B.34) и B.35) варьируется по пятнадцати неза-
независимых величин: ех, гу, ..., уху; и, v, w; av, ay хху, на

Гл. 2. Вариационные принципы при малых перемещениях 57
которые не накладывается никаких дополнительных условий.
После варьирования получаем условия стационарности для этих
функционалов B.28) — B.32).
§ 2.4. Вариационные принципы,
которые выводятся из основных
В этом параграфе будет показано, что принцип Хеллингера —
Рейсснера и принцип минимума дополнительной энергии можно
рассматривать как частные случаи обобщенного вариационного
принципа B.26). Пусть коэффициенты при Ьгх, Ь&у 8уху
в выражении для 8IIi равны нулю. Это означает, что ех, гу уху
больше не считаются независимыми величинами, а определяются
по формулам B.28), а именно:
е* = Ьпах -\ + Ь16тху,
B.36)
Уху = Ьпох + • • • + Ьввтху.
Используя уравнение B.36), компоненты деформаций можно ис-
исключить из подынтегрального выражения B.26). Выполняя эти
преобразования, получаем функционал Пд следующего вида*):
тт Г Г Г Г ди . dv , , I dv , ди \
v
- В (огя, ау, . . ., хху) - (Хи + ?v + Zw)]dV -
- JJ(Хчи + Yvv + Zvw)ds - \\[{u -u)px +
s, s,
+ (v-v)pv + (w-w)px]dS. B.37)
Как несложно показать, в последней формуле величина В опре-
определяется по формуле
В = ахвх + ауеу + • • • + тхууху - А, B.38)
в которой компоненты деформаций выражаются через напряжения
по формулам B.36). Поскольку
65 = ах8ех Н f- rxy8yxy + вх8ах -j -f- уху8тх!, - 8А =
= ех8ах Н + Чху8тху, B.39)
где использовано определение B.1) для функции А, величина В
есть не что иное, как функция дополнительной энергии, определен-
1) Это частный случай преобразования Лежандра, применяемого в вариа-
вариационном исчислении. Можно доказать, что существует единственное соотноше-
соотношение, являющееся обращением уравнения B.28).

58 Часть А. Формулировка вариационных принципов
ная в B.19). Функционал B.37) эквивалентен функционалу в прин-
принципе Хеллингера — Рейсснера [6, 7].
Поскольку функционал уже не зависит от компонент деформа-
деформаций, число независимых величин, варьируемых в функционале Пн,
понижается до двенадцати: и, v, w; ох, ау хху\ рх рг.
Какие-либо дополнительные условия на эти величины не накла-
накладываются. Если проварьировать функционал по этим переменным,
получим необходимые условия стационарности:
ди , . ,
-^ = buax + • • • + опхху,
B.40)
до , ди . , ,
ж + ly-= Ьл1°х ^ 1- ь«*х*у
Систему необходимых условий стационарности дополняют также
уравнения B.30) — B.33).
Производя интегрирование по частям в функционале B.37),
приходим к другой форме записи вариационного принципа:
+ J J [(Xv - Xv) и + (Fv - Fv) v + (Zv - Zv) w] dS +
Xvu + Yvv+Zvw]dS, B.41)
где для исключения величин рх, ру, р2 были использованы урав-
уравнения B.33). В функционале B.41) варьируются без каких-либо
дополнительных условий и, v, w; ax, ay, ..., тхУ.
Наложим дальнейшие ограничения на число независимых
функций в обобщенном функционале. Все коэффициенты при Ьгх,
6еу, ..., ЬухУ; бы, бу, bw в выражении для 6ПГ должны свестись
к нулю; таким образом, деформации и перемещения исключаются
с помощью уравнений B.28), B.30), B.31) и B.33), и функционал
Пг преобразуется в Пс, определяемый по формуле
Пс=-
с
B.42)

Гл. 2. Вариационные принципы при малых перемещениях 59
где величины ах, ау, ... и тху варьируются при дополнительных
условиях B.30) и B.31). Прлнимая во внимание положительную
определенность функции В, можно сформулировать этот новый
принцип следующим образом: из всех допустимых функций ах,
ву, ... и хху, удовлетворяющих уравнениям B.30) и B.31), компо-
компоненты напряжений действительного решения сообщают функцио-
функционалу Йс абсолютный максимум. Заметим, что принцип B.42)
эквивалентен принципу минимума дополнительной энергии, вы-
выведенному в § 2.2. Проведя рассуждение в обратном порядке,
мы убеждаемся, что функции и, v, w в функционале B.41) играют
роль множителей Лагранжа при дополнительных условиях B.30)
и B.31) в вариационном принципе.
Мы убедились, что в выражении для П допустимые функции
выбираются так, чтобы удовлетворялись условия совместности
A.5) и граничные условия в перемещениях на S2 A.14), тогда как
в выражении для Пс выбираются допустимые функции, удовлетво1
ряющие уравнениям равновесия A.4) и силовым граничным усло-
условиям на Sx A.12). Следовательно, П и Пс дополняют друг друга
при решении задачи упругости. Преобразование П в Пс известно
как преобразование Фридрихса [3, 8]; действительное решение*
которое характеризуется минимальным значением П, также соот-
соответствует максимальному значению Пс (см. также приложение А).
Таким образом, было показано, что поскольку принцип ми-
минимума потенциальной энергии выводится из принципа виртуаль-
виртуальной работы, он может быть обобщен путем введения множителей
Лагранжа и дает ряд вариационных принципов-, включающих
принцип Хеллингера — Рейсснера, принцип минимума дополни-
дополнительной энергии и т. п. Это показано в виде диаграммы на табл. 2.1.
Принцип минимума дополнительной энергии был выведен в
§ 2.2 из принципа Дополнительной виртуальной работы. Легко
проверить, что принцип минимума потенциальной энергии можно
вывести из принципа минимума дополнительной энергии, проводя
в обратном порядке рассуждения этого и предыдущего парагра-
параграфов. Эквивалентность этих двух подходов очевидна, так как
речь идет о теории упругости при малых перемещениях. Однако
особо отметим тот путь, который ведет от принципа виртуальной
работы к принципу минимума потенциальной энергии и другим
связанным с ним вариационным принципам, потому что этот метод
имеет больше преимуществ при систематическом решении задач
в механике твердого тела.
Заметим, что эти вариационные принципы можно применить
к упругому телу, состоящему из нескольких различных материалов,
если соотношения напряжения — деформации каждого материала
обеспечивают существование функции энергии деформации или
функции дополнительной энергии. Например, если тело состоит

Таблица 2.1
Вариационные принципы линейиой теории упругости
Соотношения напряжения —
деформации
Потенциалы объемных сил
и поверхностных нагрузок
Функция энергии деформации
1 t
Функция дополнительной энергии
Соотношения перемещения —
деформации и граничные
условия в перемещениях
Принцип дополнитель-
дополнительной виртуальной
работы
Уравнения равновесия и граничные
условия в напряжениях
Принцип виртуальной работы
Принцип минимума потенциальной
энергии
I t
Обобщенный принцип
I I
Принцип Хеллиигера—Рейсснера
Принцип
1
минимума
t
дополнительной
энергии

Гл. 2. Вариационные принципы при малых перемещениях 61
из га различных материалов, а функция энергии деформации г-го
материала обозначена через At, то принцип минимума потенциаль-
потенциальной энергии можно переформулировать, заменив jjj A dV на
Ш
At dV. Непрерывность компонент перемещения на границе
"«
различных материалов должна сохраниться, если нет проскаль-
проскальзывания или разрыва. Подобные утверждения можно сделать и
относительно других вариационных принципов. Отметим, что
несколько других родственных вариационных принципов в теории
упругости были предложены в [9—11].
§ 2.5. Метод Релея—Ритца A)
Как было показано ранее, задачу теории упругости для малых
перемещений можно сформулировать вариационными методами,
предположив существование трех функций А, Ф, Y. Точные диф-
дифференциальные уравнения и граничные условия тогда получаются
из условий стационарности общей потенциальной энергии или
родственных функционалов. Однако одно из основных преимуществ
вариационного исчисления — это его применимость для получе-
получения приближенных решений. Так называемый метод Релея —
Ритца — один из лучших способов получения приближенных ре-
решений путем использования вариационного метода [2, 3, 12—17].
Проиллюстрируем метод Релея—Ритца двумя примерами.
Рассмотрим сначала принцип минимума потенциальной энер-
энергии применительно к задаче упругости § 1.5. Пусть функции воз-
возможных перемещений и, v, w задаются соотношениями A.34) —
A.36). Подставляя A.34) в B.12) и вычисляя объемный и поверх-
Постный интегралы, можно выразить П через ar, br, ст (г = 1,
2, ..., га). Значения этих постоянных в методе Релея — Ритца
определяются условием 6П = 0, которое в данном случае сводится
к виду
iH = 0 ?1 = 0 ^_0 (г=1, 2, . . га) B 43)
дйг дог дсг
Уравнения B.43) эквивалентны системе Зга линейных алгебраиче-
алгебраических уравнений, в которые входят Зга неизвестных аг, Ьп ст (г =
= 1, 2, .... га). Отметим, что система Зга уравнений, полученных
таким способом, эквивалентна системе, выведенной в § 1.5.
Далее рассмотрим принцип минимума дополнительной энергии
применительно к двумерной задаче § 1.7. Заметим, что напряже-
напряжения, выраженные соотношениями A.61), образуют систему допу-
допустимых функций. Подставим их в функционал
Пс= Я i [(<т* + а^ + 2 A + v) (т$, - охоу)) dx dy, B.44)

62 Часть А, Формулировка вариационных принципов
который после интегрирования можно выразить через аТ (г = i,
2 п). Метод Релея — Ритца утверждает, что условия стацио-
стационарности точного решения можно удовлетворить приближенно,
потребовав выполнения равенств
"" . = 0 (/¦=!, 2,..., я). B.45)
даг
Полученная таким образом система п уравнений определяет зна-
значения аг (г = 1, 2, ..., п), которые при подстановке в A.61)
дают приближенные выражения для компонент напряжения. За-
Заметим также, что эти уравнения эквивалентны уравнениям § 1.7.
Таким образом, видно, что метод Релея — Ритца в теории упру-
упругости при малых перемещениях ведет к формулировкам, эквива-
эквивалентным тем, которые получены с помощью приближенных мето-
методов § 1.5 и 1.7. Однако каждый метод имеет свои преимущества и
недостатки в применении к задачам, отличным от задач теории
упругости. Эти приближенные методы справедливы независимо
от соотношений напряжения — деформации и потенциалов внеш-
внешних сил, но обычно трудно доказать, что приближенное решение
сходится к точному при увеличении п. С другой стороны, соотно-
соотношения напряжения — деформации, объемные силы и поверхност-
поверхностные силы должны обеспечивать существование функций состояния
А, В\ Ф и ? при использовании вариационных формулировок ме-
метода Релея — Ритца. Однако доказательство сходимости решений
здесь менее сложно, особенно когда найдено минимальное или
максимальное значение функционалов.
Если краевую задачу теории упругости можно решить только
приближенно, желательно найти верхнюю и нижнюю границы
точного решения. Но это требование редко удовлетворяется, так
как обычно найти границы гораздо сложнее, чем приближенные
решения. Треффтц предложил способ нахождения формул для
верхней и нижней траниц для крутильной жесткости стержня пу-
путем одновременного использования принципов минимума потенци-
потенциальной энергии и дополнительной энергии (см. [18] и § 6.5).
После того как его работа была опубликована, появилось множе-
множество работ по этому и близким вопросам теории упругости. Среди
них можно отметить введение важного понятия функционального
пространства, предложенное Прагером и Синджем [19].
В функциональном пространстве совокупность компонент на-
напряжений (ах, оу тху), соответствующих в силу уравнения
A.6) компонентам деформации (гх, гу, .... гху), образует вектор.
Обозначив два произвольных вектора через N и N*, а компоненты
напряжения и деформации соответственно через (ах, .... xxv),
(е*, .... уху) и (а;, ..., тху), (г*х, ..., у'ху), определим скалярное

Гл. 2. Вариационные принципы при малых перемещениях 63
произведение двух векторов в функциональном пространстве:
(N, 1ST) = J}} (охг*х -{- ауг*у + • • • + xxyy%y)dV. B.46)
v
Интеграл берется по объему тела. Поскольку функция энергии
деформации положительно определена, получаем сразу следую-
следующие соотношения:
(N, N)ssO, B.47)
(N, N*)<(N, N)'/2(N*, N*I/2. B.48)
Введенное таким образом функциональное пространство дает воз-
возможность понять приближенные методы решения и оценить их
сходимость и ошибку приближенных решений [20]. Из-за ограни-
ограниченности объема книги способ вывода предельных формул в функ-
функциональном пространстве здесь рассматриваться не будет. Заин-
Заинтересованный читатель может познакомиться подробнее с понятием
функционального пространства в [21] (см. также задачи 7—11).
§ 2.6. Варьирование граничных условий
и теорема Кастильяно
Мы вывели принцип минимума потенциальной энергии и род-
родственные ему принципы из предположения, что граничные усло-
условия на Si и S2 при варьировании не изменяются. Теперь рассмо-
рассмотрим варьирование граничных условий. Пусть задача § 1.5 решена
и компоненты напряжения и деформации, а также функции А и В
действительного решения выражены через заданные объемные
и поверхностные силы на Sx и поверхностные перемещения на Sa.
Обозначим здесь компоненты напряжений, деформаций и переме-
перемещений действительного решения через ах, ау, ...; еж, еу, ez, ...;
и, v, w соответственно.
Рассмотрим сначала варьирование геометрических граничных
условий. Компонентам перемещения даны бесконечно малые при-
приращения du,dv, dw на 52, в то время как объемные силы и механиче-
механические граничные условия на St остаются неизменными. Пусть при-
приращения перемещений привели к новому равновесному состоянию.
Обозначим перемещения при этом состоянии тела через du, dv, dw.
Тогда имеем
dU = f f I (X du + Y dv + Zdw) dV +
jjj
+ J J (Xv du + Vv dv + Zv dw) dS + B.49)
s,
+ J J (Xy, du + Yv dv -)- Zv dw) dS,

64
Часть А. Формулировка вариационных принципов
где
B.50)
— энергия деформации упругого тела. Выводим B.49) так же,
как и теорему о дивергенции A.76), помня о том, что
dA = ax dex -f oydey -\ \-rxy dyxy, B.51)
и замечая, что компоненты напряжения ах, ... и приращения де-
деформаций dex, ... удовлетворяют уравнениям равновесия и усло-
условиям совместности соответ-
соответственно. В гл. 3 увидим, что
равенство B.49) верно также
для теории упругости при
конечных перемещениях.
Формула B.49) примени-
применима для определения значе-
значений Xv, Yv и Zv на грани-
границе S2. В качестве примера
рассмотрим ферму, состоя-
состоящую из двух равных элемен-
элементов постоянного поперечного
сечения, показанную на
рис. 2.2. Поставим задачу
так, что перемещение б в уз-
узле задано и надо найти ре-
результирующую силу Р. Обо-
Обозначим длины элементов до
и после деформации через /„ и / соответственно, а их деформацию
через е. Из геометрических соображений имеем /2=а2 + (Ь+6J,
II = а2 + Ь2; тогда
е = (/ — /„)//„ = Ьб/1о, B.52)
где мы пренебрегли членами высшего порядка. Следовательно,
U = [A/2) ЕА010г2] ¦2 = EA0b2 (IfHi, B.53)
где Ао — площадь поперечного сечения элемента. Используя
уравнение B.49), получаем
B.54)
Рис. 2.2. Ферма.
Р = dU/д'Ь = {2EA0b2/ll) б.
Рассмотрим далее варьирование объемных сил и механических
граничных условий. Объемным силам и внешним силам на Si
даны бесконечно малые приращения dX, dY, dZ и dXv, dYv, dZv
^ответственно, в то время как геометрические граничные усло-
условия на S2 остаются неизменными. Мы предполагаем, что эти силы

Гл. 2. Вариационные принципы при малых перемещениях 65
создают новую конфигурацию; обозначим приращения напряже-
напряжений в теле через dax, ..., dxxy. Тогда
dUc= \\\ (udX + v dY'+w dZ) dV +
dS + B.55)
-h J J (й <*XV + v dYv + w dZv) dS,
s,
где
\\\ B.56)
— дополнительная энергия упругого тела. Уравнения B.55) вы-
выводятся так же, как и теорема о дивергенции 1), учитывая, что
dB = txdox^ Ь 4xydxxy, B.57)
и отмечая, что компоненты деформации ех, ... и приращения на-
напряжений dax, ... удовлетворяют условиям совместности и урав-
уравнениям равновесия соответственно.
Формула B.55) применяется для определения значений ы, v,
w иа границе Sv В качестве примера рассмотрим тело, которое
жестко закреплено на границе S2 и подвергается действию п со-
сосредоточенных нагрузок Ръ Р2 Рп на границе Sj. Для про-
простоты будем считать эти нагрузки независимыми. Другими слова-
словами, любой из этих сил придаются независимые приращения.
Обозначив через А( компоненты перемещений в направлении
действия нагрузки в точке приложения нагрузки Pt, из B.55) имеем
п
dUe = 2 A, dP,. B.58)
Поскольку Uc — функция внешних сил, то
dUe=^(dV/dP,)dPt. B.59)
Объединяя эти два уравнения, получаем
Так как силы предполагаются независимыми, то
= l, .... я). B.61)
1) Имеется в виду теорема Гаусса—Остроградского. — Прим. ред.
3 К. Васндзу

66 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Формулу B.55) и родственные ей соотношения называют теоремой
Кастильяно, которая широко применяется при решении задач тео-
теории упругости при малых перемещениях (см., например, [2,
12—15]).
§ 2.7. Свободные колебания упругого тела
Выведенные до сих пор вариационные принципы касались
краевой задачи теории упругости. В последних двух параграфах
этой главы рассмотрим вариационные формулировки задачи о сво-
свободных колебаниях упругого тела при малых перемещениях. Зада-
Задача формулируется так, что тело свободно на 5Х и закреплено на S2.
Поскольку мы ограничиваемся случаем малых перемещений, все
уравнения задачи линейны, а перемещения и напряжения в теле
изменяются гармонически во времени. Обозначив амплитуды на-
напряжений, деформаций и перемещений через ах, ..., ех, ..., и,
v, w соответственно, получим уравнения движения
дах . д*ху дхгх
-г-? 4- -з-= -\ 5 к Яры = О,
дх ' ду ' дг ' г
Здесь Я = со2, где со — собственная частота, ар — плотность ма-
материала. Граничные условия заданы следующим образом:
Из
B
.63)
и B
X v = 0, Yv
u = 0, v
.64) имеем
= 0,
= 0,
zv
w
= 0
= 0
на
на
Si,
S,.
B.63)
B.64)
J J [Xv6u
= 0. B.65)
s,
Выберем произвольные виртуальные перемещения бы, 6и, 6w так,
чтобы граничные условия в перемещениях не нарушались, а
именно би = 6и = бдо = 0 на S,. Тогда можно преобразовать
B.65) в уравнение
j j J (ах6ея + оуЬгу Н 1- тхуЬуху) dV -
B.66)

Гл. 2. Вариационные принципы при малых перемещениях 67
Это принцип виртуальной работы для задачи свободных колеба-
колебаний.
Если заданы соотношения между амплитудами напряжений и
деформаций
ах = апгх + а1ае„ -\ \- аиуху, . . ., B.67)
где пц — пи (i, / = 1, 2 6), то будет существовать функция
энергии деформации, определяемая по B.2). Объемные силы Jipu,
Xpv, Xpw выводятся из потенциальной функции Ф, определяемой
по B.6), так что
— Ф = A/2) кр (и* + v* + ш2). B.68)
Из B.66) получаем следующий принцип стационарности потен-
потенциальной энергии: среди всех возможных перемещений и, v, w,
удовлетворяющих заданным граничным условиям, действительные
перемещения удовлетворяют условиям стационарности полной
потенциальной энергии
П = JJJ Л (u, v, w)dV --i-A,jJJ(u2 + ua + tt>2)pdK. B.69)
V V
В функционале B.69) варьируются величины ы, v, w при дополни-
дополнительных условиях B.64), в то время как параметр Я не варьируется.
Принцип стационарности потенциальной энергии можно об-
обобщить с помощью введения множителей Лагранжа следующим
образом:
= J|| [А (гх, гу yxv) -
- \\(рхи + pvv + ptw)dS, B.70)
s,
где варьируются независимые величины ех, ...; и, ...; ах, ...;
рх, ..., рг. Условиями стационарности являются B.67), B.62),
B.63) и
px = Xv , pz = Z4 на S,; B.71)
г* ~ дх "*» ~ дх "+" ду ' V-U>
а также B.64).
Некоторые другие вариационные принципы можно вывести из
обобщенного принципа [22]. Здесь будет выведен функционал для
принципа стационарности дополнительной энергии. Показано, что
исключение компонент деформаций g помощью B.67) и использова-
з»

68 Часть А. Формулировка вариационных принципов
ние B.62), B.63) и B.71) приводит функционал B.70) к следую-
следующему виду:
П, = JJ J В (ах, аи ххи) dV-\ JJJ («• + °г + ^2) Р dV, B.73)
v v
где варьируются величины и, ...; ах, ...; тхи при дополнитель-
дополнительных условиях B.62) и B.63), а условия стационарности эквива-
эквивалентны B.64) и B.72). Функционал B.73) используется при фор-
формулировке принципа стационарности дополнительной энергии в
задаче о свободных колебаниях. Заметим, что эквивалентная фор-
формулировка принципа стационарности дополнительной энергии по-
получается, если исключить и, v, w из функционала B.73) с исполь-
использованием B.62) и выразить таким образом функционал только че-
через ах, ау, ..., хху.
В [23, 24] показано, что принцип стационарности дополни-
дополнительной энергии можно распространить на задачи о собственных
значениях, например задачи о свободных колебаниях и устойчи-
устойчивости упругих тел. Этот принцип ввел и доказал Рейсснер в [25]
для задачи, в которой нагрузки, напряжения и перемещения —
простые гармонические функции времени. Функционал B.73)
эквивалентен функционалу, введенному Рейсснером.
Известно, что принцип стационарности потенциальной энергии
B.69) эквивалентен нахождению среди возможных функций и, v,
w, удовлетворяющих заданным граничным условиям в перемеще-
перемещениях, тех функций, которые удовлетворяют условиям стационар-
стационарности отношения Релея
Я, = UIT, B.74)
где
\\\(и, v, w)dV, B.75)
j B.76)
v
Стационарные значения %. суть собственные значения задачи. Для
доказательства заметим, что
± B.77)
где варьируются величины ы, v, w. Следовательно, условие ста-
стационарности функционала Я эквивалентно принципу стационар-
стационарности потенциальной энергии. Выражение B.74) есть отношение
Релея для задачи о свободных колебаниях [16, 26].
Принцип стационарности потенциальной энергии B.69) экви-
эквивалентен задаче нахождения среди возможных функций и, v, w,
удовлетворяющих условиям в перемещениях, функций, которые

Гл. 2. Вариационные принципы при малых перемещениях 69
обеспечивают стационарность функционала U при дополнитель-
дополнительном условии
Т (u, v, w) — 1 == 0. B.78)
Для доказательства заметим, что эта задача эквивалентна нахо-
нахождению условий стационарности функционала, определенного
формулой
U — % (Т — 1), B.79)
где X играет роль множителя Лагранжа, а варьируются величины
и, v, w, к при дополнительных условиях B.64).
§ 2.8, Метод Релея—Ритца B)
В предыдущем параграфе мы ознакомились с вариационными
принципами для задачи о свободных колебаниях. Когда установ-
установлены вариационные принципы, то удобно использовать метод
Релея — Ритца, который является эффективным средством нахо-
нахождения приближенных собственных значений. Взяв за основу
этот метод, рассмотрим в качестве примера задачу о свободных ко-
колебаниях балки.
Будем рассматривать балку, защемленную на одном конце х =
= 0 и свободно опертую на другом х = /, как показано на
рис. 7.5. Функционал в принципе стационарности потенциальной
энергии для такой задачи дается выражением *)
B.80)
и и
где El, w, m — соответственно изгибная жесткость, прогиб и
масса балки, отнесенная к единице длины, а ( )' = d ( )ldx.
В функционале B.80) варьируется величина w при дополнитель-
дополнительных условиях
w @) = w @ = w' @) = 0. B.81)
Обозначим точные собственные значения через
X, (t=l, 2, 3, ...) B.82)
в порядке возрастания величин, так что 0 < Ях < Х2 < ... .
Преобразованием функционала B.80) можно получить функ-
функционал для принципа стационарности дополнительной энергии х)
B.83)
*) Вывод этого функционала дай в § 7.4.

70 Часть А. Формулировка вариационных принципов
где варьируются величины М и w при дополнительных условиях
М" + Imw = 0, B.84)
М (/) = 0. B.85)
Рассмотрим сначала применение метода Релея — Ритца к прин-
принципу стационарности потенциальной энергии. Будем следовать
известной процедуре этого метода и выберем систему п линейно
независимых допустимых функций wt (x), называемых базисными
функциями, которые удовлетворяют B.81). Предположим, что
w — линейная комбинация базисных функций, а именно, что
л
w = ? ctwt, B.86)
где с, (/¦= 1, .... п) — произвольные постоянные. Подставляя
B.86) в B.80) и полагая
dWdct = 0 (/ = 1, 2 п), B.87)
получаем систему из п однородных уравнений. Условие, что для
существования нетривиального решения однородной системы оп-
определитель матрицы системы должен равняться нулю, дает ха-
характеристическое уравнение в виде
det (ти — Хпи) = 0. B.88)
Обозначив корни характеристического уравнения B.88) через
Л, (i = 1, 2, ..., п) и перенумеровав их в порядке возрастания
модулей, т. е. Лх < Л2 < ... < Лп, имеем х)
Я,, «Л, (»= 1, 2 п). B.89)
Далее рассмотрим применение метода Релея — Ритца к прин-
принципу стационарности дополнительной энергии. Иногда эту проце-
процедуру называют модифицированным методом Релея — Ритца [13],
и суть ее заключается в следующем: выбираем w, как и в B.86),
где базисные функции wt (x) подобраны так, чтобы удовлетворя-
удовлетворялись B.81). Подставим B.86) в B.84) и выполним интегрирование
с граничным условием B.85):
A/Я) М = с (х - I) - 2 с( N J m (I) wt (I) d? \dr\, B.90)
где о — постоянная интегрирования. Подставим B.86) и B.90)
в функционал B.83) и потребуем, чтобы
dWJdc = 0, B.91)
дПе/дс, = 0 (I = 1, 2 л); B.92)
1) Доказательство см. в [3, 26, 27 J.

Гл. 2. Вариационные принципы при малых перемещениях 71
отсюда нетрудно получить характеристическое уравнение, слу-
служащее для приближенного вычисления собственных значений.
В дальнейшем для удобства эти приближенные собственные зна-
значения обозначим через Л? (t = 1, 2, ..., п); они также занумеро-
занумерованы в порядке возрастания, т. е. Л? < Л? < ... < AJ.
Наличие члена с (х — /) в B.90) и требование B.91) стационар-
стационарности функционала Пс эквивалентны нахождению точного про-
прогиба балки под действием инерционной нагрузки: km 2 ctwt. Та-
Таким образом, этот метод аналогичен методу Граммеля, в котором
точный прогиб, вызванный инерционной нагрузкой, находится
с помощью функции Грина или так называемых функций влияния
[28, 29]. В [28] утверждается, что при применении базисных
функций B.86) имеем следующие неравенства:
X, < Л', < Af (t=l, 2 п). B.93)
Следовательно, метод Релея — Ритца приводит к определению
верхних границ всех собственных значений. Установлено, что
точность найденных таким образом приближенных собственных
значений хорошая, а иногда и превосходная, если базисные функ-
функции выбраны соответствующим образом. Однако поскольку при-
приближенный метод применяется к задачам, точное решение которых
найти невозможно, то обычно нельзя заранее ожидать какой-либо
информации о собственных значениях. Поэтому для оценки соб-
собственных значений необходимо получить формулы, определяю-
определяющие нижние границы собственных значений.
Для иахождения нижних границ было предложено несколько
теорем. Среди них упомянем как наиболее типичные теорему
Темпла — Като и метод Вайнштейна. Теорема Темпла — Като
обеспечивает нахождение нижней границы для собственного зна-
значения кп в случае, когда известно точное значение или нижняя
граница следующего значения Яп+Х [30—35]. Эта теорема часто
оказывается эффективной для нахождения границ, отделяющих
собственные значения. С другой стороны, в основе метода Вайн-
Вайнштейна лежит один из принципов Релея, состоящий в том, что если
частично ослабить заданные граничные условия, то величины
всех собственных значений уменьшатся [36—38]. Значит, если
обозначить собственные значения задачи со смягченными гранич-
граничными условиями (или промежуточной задачи) через Я< (i = 1,
2, ..., п), причем A.J < к2 < .... то
к, <Х, (» = 1, 2 п). B.94)
Следовательно, если найдены точные собственные значения про-
промежуточной задачи, то они выделят нижние границы для собствен-
собственных значений основной задачи.

72 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Мы проиллюстрировали метод Релея — Ритца для задачи о
свободных колебаниях. Очевидно, что этот метод применим и к дру-
другим задачам на собственные значения. Подробности и примеры
численных расчетов по методу Релея — Ритца в приложении к за-
задачам на собственные значения читатель найдет в [13, 16 и 26].
§ 2.9, Некоторые замечания
В § 1.9 мы несколько расширили принципы дополнительной
работы и дополнительной виртуальной работы. Очевидно, что
можно заменить первые члены A.73) и A.74) на 8U и 6V для задач
теории упругости. Предлагается следующая модификация метода
Галеркина, обсуждавшегося в § 1.5. Поскольку
6U = ? [(dUidar) bar + FU/dbr) 6br + FU/dcr) 6cr], B.95)
получаем, что принцип B.5) дает приближенный метод решения,
в котором уравнения для нахождения неизвестных постоянных
ar, br, сг (г = 1,2, ..., л) имеют вид
Lr = 0, Af, = O, Nr = 0 (r =1,2 л), B.96)
где
S,
= -^ - J J J ?MV - J J Yvvr dS, B.97)
r v s,
V S,
В § 5.6 будет показано, что этот приближенный метод решения
эквивалентен методу вывода уравнений движения Лагранжа для
динамической задачи. Очевидно, что принцип B.22) предполагает
аналогичную модификацию обобщенного метода Галеркина по
сравнению с рассмотренным в § 1.7.
Упомянутый выше приближенный метод решения можно при-
применить в задачах на собственные значения для упругого тела,
если внешние силы и не выводятся из потенциальных функций.
Такое использование этого метода обычно основано на принципе
виртуальной работы B.5) (см. [39, 40]).
Отметим в заключение, что в качестве упражнения для чита-
читателя в конце этой главы приведены два типичных вариационных
принципа.

Гл. 2. Вариационные принципы при малых перемещениях
73
Упражнения
Задачи к § 2.1 и 2.2
1. Докажите теорему Кирхгофа о единственности решения задачи теории
упругости, изложенной в § 1.1.
2. Докажите, что условия стационарности функции П, определенной фор-
формулой B.9), в случае изотропного тела совпадают с уравнениями (i) и (и) задачи
1 к гл. 1.
3. Докажите, что для плоской задачи, рассмотренной в § 1.7, функционал
принципа минимума дополнительной энергии имеет вид
11, _
-з~5 з~5~ \ )
дхг ду* J J
dx.du
и что условие стационарности этого функционала совпадает с уравнением (Hi)
задачи 6 к гл. 1.
4. Докажите, что преобразования II, приводящие к выражению Пс, анало-
аналогичны выкладкам в разделе сЭкстремум функции при дополнительном условии>
приложения А.
5. Разобьем упругое тело, рассмотренное в § 1.1, на две части Уа и Уъ и
обозначим границу между ними через Sab, как показано на рис. 1.3.
A) Докажите, что функционал принципа минимума потенциальной энергии
B.12) при использовании множителей Лагранжа преобразуется к виду
v(a), ш)(а)) — (Хи(а) + Yv{a) + Zwla))]dV +
vib)
V
а
/
(
J j
4- Vvv<a) + Zvwia)) dS -
4- кг
dS.
(i)
Здесь без ограничения общности предполагается, что S1 принадлежит
В функционале (i) независимыми варьируемыми величинами являются и
V ^z c дополнительными условиями A.14).
(а),
()
), ш'а), u'ft), t)'6), ш'6) н
1) Под dVa понимается вся граница Va.

74 Часть А. Формулировка вариационных принципов
B) Выведите условии стационарности функционала (i) и докажите, что усло-
условия стационарности на границе Soj имеют иид
иС«)=ц<Ч р<«) = 0<»), ш<«)=ш<*> (ii)
где Х[а), У[аК Z<f> и XifK Y^K Z[b> получаются из (ii) задачи 8 к гл. 1 путем
выражения их через величины и'а', р'"', ю'"' и ы'6', о' \ до'6' соответственно с по-
помощью соотношений напряжения — деформации и деформации — перемещения.
C) Докажите, что функционал (i) и условия стационарности (ii) и (iii)
останутся неизменными в случае, когда упругие константы в подобластях Va
и Vft различны. Примечание: см. § 13.4.
в. Разобьем упругое тело, рассмотренное в § 1.1, на две части Va и Vb и
обозначим границу между ними через Sat, (рис. 1.3).
Докажите, что функционал принципа минимума дополнительной энергии
B.23) при введении множителей Лагранжа цж, ц„ и цг преобразуется к виду
s,
- JJ К
где без ограничения общности предполагается, что S, принадлежит дУь, а вели-
величины Х[а), У[а), 4а) " ^t*'. КЬ)> 46) на Sfl6 определены в соотношениях (ii)
задачи 8 к гл. 1. В функционале (i) незаиисимыми варьируемыми величинами яв-
являются ст^а), ..., т^°', а^*', .... т^*' и цх, ри, цг с дополнительными условиями
A.4) и A.12). Примечание: см. § 13.5.
Задачи, свизаяиые с понятием функционального пространства
Здесь мы будем рассматрииать задачу теории упругости, поставленную в
§ 1.!, для простоты предполагая, что объемные силы отсутствуют.
7. Докажите, что принципы минимума дополнительной энергии и минимума
потенциальной энергии в векторных обозначениях записываются соответственно
в виде неравенств
i-(S\ S')-[S, Ь'\г>±-(Ь, S)-[S, S]2 (i)
и
-i- (S", S«) - [S«, S]i > ~ (S, S) - [S, S],, (ii)

Гл. 2. Вариационные принципы при малых перемещениях 75
где S — точное решение, S' удовлетворяет уравнениям A.20) и A.12), S" удовле-
удовлетворяет уравнениям A.5) и A.14). Скобки [ ]г и [ ]г обозначают интегралы по
поверхностям Sj и Sa соответственно, так что
[S", S]t = [ f (u"Xv + v"Y4 + w"Zv) dS,
•s,
[S, S'J, = J J (uX'v + vVv + wZ'J dS.
s,
Скобка определена так, что она содержит компоненты перемещений первого век-
вектора и компоненты напряжений второго. Примечание: см. работу [20].
8. Рассмотрим частный случай задачи теории упругости, когда граничные
условия задаются в виде
Xv = Av, KV = FV, ZV = ZV иа Si (i)
и
и = v = w = 0 на Sj. (il)
Возьмем
p=l 17=1
и определим ар (р = 1, 2, . . ., т) и bq (q = I, 2, ..., я) таи, чтобы они соответ-
соответственно доставляли минимум выражениям
A/2) (S', S') (iv)
и _
A/2) (S«, S") - [S', Sh, (v)
где So удовлетворяет уравнениям A.20) и (i), \'p удовлетворяет A.20) и однород-
однородным граничным условиям на Sj, а именно Хч = Kv = Zv = 0, a \"q удовлетво-
удовлетворяет A.5) и (И).
Докажите, что в этом случае справедливы неравенства
(S\ S")<(S, S)<(S', S'). (vl)
9. Рассмотрим другой частный случай задачи теории упругости, когда гра-
граничные условия задаются в виде
Xv = Yv = Zv = 0 на Si (i)
и
и=п, v = &, w = w на 5]. (И)
Возьмем
s'= f apK' S" = SS+SVJ (iii>
и определим ар (р = 1, 2, ..., т) и bq(q =1,2, ..., я) так, чтобы они соответ-
соответственно доставляли минимум выражениям
A/2) (S\ S') — [S, S'J, (iv)
A/2) (S*. S"), (v)

76 Часть А. Формулировка вариационных принципов
где \'р удовлетворяет A.20) н (i), Sg удовлетворяет A.5) н (П), У"д удовлетворяет
A.5) и однородным граничным условиям на S,, а именно и = ч = а> = 0.
Докажите при этих условиях справедливость неравенств
(S'f S') < (S, S) < (S', S"). (vi)
Примечание: из последнего неравенства н неравенства (vi) задачи 8 могут
быть получены верхние и нижние оценки для некоторых скалярных величин ана-
аналогично тому, как это делается в§ 6.5; см. также работу [41].
10. Получите следующие векторные уравнения:
(S\ S) = [S'( Sh + [S% SJ, (i)
н
(S, S') = [S, S'Ji + fS, S']t, (ii)
где S, S' и S* определяются так же, как и в задаче 7. Обсудите связи между ра-
равенством (i) и методом единичного перемещения, а также между равенством (ii)
и методом единичной нагрузки. Примечание: о методах единичного перемещения
н единичной нагрузки см. работу [14]1).
11. Выберем вектор S* с компонентами перемещений
U* — ОцХ + НШ + "IS*,
о* = а21х + а22У + "as*. (')
и>* — а31х + а31у + а33г,
где Ofa (l,k = I, 2, 3) — постоянные. Докажите, что
(S, S*) = J J J [axau + ауа,ш Н + %х„ (а„ + аи)] dV =
или
(S, S») • /J J Квв + а;в# +...+•
=. J| [иХ* + vY* + aiZ»J dS, (iii)
s,+s,
где S — точное решение. Примечание: приведенные выше соотношении показы-
показывают, что если граничные условия выражаются только через силы или только
через перемещения, то можно вычислить среднюю величину напряжений или
деформаций точного решения.
Задачи к § 2.6
12. Рассмотрим упругое тело, которое закреплено на части границы St.
Приложим к этому телу независимо две системы объемных сил н поверхностных
сил иа Si
%) См. также справочник «Прочность, устойчивость, колебания»/Под ред.
И. О. Биргера, Я. Г. Пановко. Т. 1. — М.: Машиностроение, 1968. —Прим.
ред.

Гл. 2. Вариационные принципы при малых перемещениях 77
~У V ~7 ТС V 7 "У* ~V* ~7* ~У* V* 7*
в обозначим компоненты перемещений, обусловленных этими силами
и, о, w; и*, о*, w*
соответственно. Докажите справедливость теоремы Максвелла — Бетти
(Xu* + Yv* + Zw*) dV + \
*u + y'v + Z'w) dV + J J (XJm + ?»o + Z'eo) dS.
S,
13. Докажите, что если на части границы Sj задан сосредоточенный момент
М, то из теоремы Кастнльяно следует
дис/дМ = в, (i)
Где в — угол закручивания локальной поверхности (на которой приложен М)
в направлении М.
14. Исследуйте связь между методом единичных перемещеннй и уравненнем
B.49). Исследуйте также связь между методом единичной нагрузки и теоремой
Кастнльяно.
Задачи, связанные с вариационными формулировками
15. Рассмотрим следующую задачу на собственные значения для функции
и (ж), определенной на отрезке а ^ ж < 6:
r[lr] -*«-° (D
е граничивши условиями
в' (а) - аи (а) - 0, и'{Ь) + р« F) = 0, (»)
где &— параметр, связанный с собственным значением, а а и E — заданные по-
постоянные. Докажите, что для этой задачи иа собственные значения варьируемый
функционал имеет вид
~$р(Ь)[и(Ь)]\ (iii)
где варьируемой функцией является и (х).
16. Рассмотрим задачу теплопроводности, которая описывается уравненнем
U. г), (i)

78
Часть А. Формулировка вариационных принципов
где (Qx, Qy, Qz) — тепловой поток, a q — тепловой источник. Предполагается,
что между тепловым потоком и градиентом температуры существует зависимость
Qy
LOzJ
e.
в.
-И Cj, Cls
¦Ml CM Ct9
. C8I C91 C99
где 0 — температура, a c*y— постоянные, удовлетворяющие условиям симметрии:
cij = cji, i, / = 1, 2, 3. (iii)
Предполагается, что граничные условия имеют вид
Qxl + Qvm + <2*« = — К фа — б) на St (iv)
и
в = 6 на St, (v)
где I, т, п — направляющие косинусы внешней иормали, К — константа, а ве-
величины ба и 0 заданы. Докажите, что в данной задаче варьируемый функционал
имеет вид
П = 4"
*
Л s + 2с1ае, хв,
где варьируемой функцией является 6 (х, д, г) при дополнительном условии (v).

Глава 3
ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ
УПРУГОСТИ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ
ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ
§ 3.1. Напряженное состояние
В этой главе будет излагаться геометрически нелинейная тео-
теория упругости в прямоугольных декартовых координатах [1—6].
При формулировке задач геометрически нелинейной теории упру-
упругости необходимо подчеркнуть разницу между пространственными
и материальными переменными. Пока не оговорено противное,
будем использовать лагранжев подход, в котором координаты то-
точек деформируемого тела выражаются через координаты точек до
деформации 1).
Пусть прямоугольная декартова координатная система (х1,
х%, х3) фиксирована в пространстве и радиус-вектор произвольной
точки />@) до деформации записан в виде
Г«>> =^0)^^ X2t x3)t C.1)
как показано на рис. 3.1. Верхний индекс @) означает, что данная
величина относится к недеформированному состоянию 2). Далее
будем считать координаты (х1, х2, х3) точки Р@) до деформации
параметрами, характеризующими материальную точку в процессе
деформирования.
Базисные векторы этой координатной системы даются форму-
формулами 3)
U=-|J-r!2> (Я.= 1,2.3). C.2)
Здесь и далее запись ( )д обозначает дифференцирование по пере-
переменной хх, именно ( ),*. = д ( Iдхх. Ортонормированные базисные
векторы i% направлены вдоль осей координат, так что 4)
и-'ц = б^в. C-3)
J) Наоборот, в эйлеровом подходе применяются координаты, связанные
с деформированным состоянием тела.
а) Верхний индекс не следует путать с показателем степени.
8) В гл. 3—5 греческие индексы принимают значения 1, 2, 3.
4) Запись а-Ь означает скалярное произведение векторов а и Ь.

80
Часть А. Формулировка вариационных принципов
где
символ Кронекера, определяемый как
C.4)
Выберем в окрестности точки Р@) точку Q@) с координатами
(х1 + ^. *2 + ^*2. *9 + dxs). Тогда радиус-вектор dr<°> и рас-
Рис. 3.1. Геометрия элементарного параллелепипеда до деформации (слева)
и после деформации (справа).
стояние dsi0> между этими точками могут быть записаны в виде *)
dr 0) = г,°х dxk — \х dxl, C.5)
= 8Xu,dxxdx» C.6)
соответственно. Для удобства в дальнейшем будем считать, что
в теле выделен бесконечно малый прямоугольный параллелепипед,
ограниченный следующими шестью поверхностями: хх = const,
J) В гл. 3—5 будет применяться следующее соглашение о суммировании.
Греческие индексы, возникающие дважды в одном члене, означают суммирова-
суммирование в пределах от I до 3. Например,
А1
-f

Гл 3. Нелинейная теория упругости в декартовых координатах 81
хх + dx% — const (Я — 1, 2, 3). В вершине Р<0) пересекаются
главная диагональ параллелепипеда P@)Q<0) и три ребра Р@>/?'0),
p@M@) р«>OЧ0)
Пусть теперь тело переводится в деформированное состояние.
Точки Р<0\ Q<0), R@), S<0), T@) перемещаются в новые положе-
положения, обозначаемые соответственно через Р, Q, R, S, Т, а беско-
бесконечно малый прямоугольный параллелепипед переходит в парал-
параллелепипед, который, вообще говоря, уже не прямоугольный. Ра-
Радиус-вектор точки Р обозначим через
г = г (х1, х2, х3) C.7)
и введем базисные векторы
Е, -^г = г,, (А. = 1, 2, 3). C.8)
Ребра параллелепипеда, пересекающиеся в точке Р, равны
Ех dx1, E2 dx2, E, dx3. Следовательно, радиус-вектор dx и рас-
расстояние ds между точками Р и Q соответственно равны
dr = r,xdx>- = Exdx*-, C.9)
(dsJ = dr • dr = ?^ dxk dx», C.10)
где
?щ = Е^.Е„=?^. C.11)
Выясним теперь геометрический смысл величины Е%^. Длины
бесконечно малого линейного элемента P<0'i?(°) до и после дефор-
деформации соответственно равны величинам
(ds<°>J = (dx1J, (dsJ = ?н (dx1J.
Следовательно, удлинение отрезка Р<°)^<°) будет равно
(ds ds<°>)/ds<°> = /?^ 1. C.12)
Геометрический смысл величин Е22 и Е33 получается аналогично.
Рассмотрим далее два бесконечно малых линейных элемента
р@)/^@) и р(о>5(ОI образующих до деформации прямой угол.
В деформированном теле элементы PR и PS задаются векторами
Е1 dx1 и Е2 dx2 соответственно. Если мы обозначим острый угол
между PR и PS через (я/2 — Yi2)> T0 получим
Ех dx1 ¦ Е2 dx2 - | Ei 11 Еа | dx1 dx2 cos (я/2 ylt)
или l)
C.13)
Это равенство выражает геометрический смысл величины
Смысл величин Е23 и ?8i устанавливается аналогично.
|a| = (a-aI/2.

82 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Следовательно, бесконечно малый прямоугольный параллеле-
параллелепипед при деформировании превращается в скошенный параллеле-
параллелепипед, и геометрию деформации можно охарактеризовать набором
величин Е\ц (Я, ц. = 1, 2, 3). Итак, тензор деформаций Грина eKv.
параллелепипеда определяется как
еХ]1 = A/2) (^,,-8^) = е^ (К |1 = 1, 2, 3). C.14)
Девять величин е%^ с учетом условий симметрии e%Vi = e^ пол-
полностью характеризуют деформации бесконечно малого параллеле-
параллелепипеда.
Представим радиус-вектор точки Р в виде
г = г<°> + и, C.15)
где и — вектор перемещения, компоненты которого (и1, и2, и3)
определяются как
и = иЧх. C.16)
Из C.8) и C.15) имеем
Ex = (8Z + и\) \„ C.17)
где 8* — символ Кронекера. Из C.14) и C.17) получаем выраже-
выражения для деформаций через компоненты перемещения:
йщ = A/2) (и\ -+- и\ г и\и%) = е„х. C.18)
Если вместо и1, и2, и3 использовать символы и, v, w, а х1, х2, х3
или 1, 2, 3 заменить соответственно на х, у, г, то C.18) можно
переписать в следующем виде 1):
, _1_ Г / ди\2
2
dx
dw
dj/ + 2 LV"^"/ + V dy I : \ dy
du
/_^_\2'
C.19)
du du dv dv
du dw du du dv dv
dv du du du dv dv uw uw „
dw
dy
dw
dz
dw
dw
dz
dw
dx
dw
l) Ср. с уравнением A.5).

Гл. 3. Нелинейная теория упругости в декартовых координатах 83
Отметим, что когда компоненты деформаций малы, C.12) и
C.13) можно линеаризовать и получить следующие приближен-
приближенные соотношения;
(ds - dsW)/dsW = /1 + 2eu - 1 « eu, C.20)
Yia = arc sin (Е12/У ЕпЕ22 ) » 2eia. C.21)
Аналогичные соотношения справедливы и для других компо-
компонент деформаций.
§ 3.2. Напряжения и уравнения равновесия
В предыдущем параграфе было показано, что бесконечно малый
прямоугольный параллелепипед при деформации переходит в ско-
скошенный параллелепипед. Изучим равновесие деформированного
параллелепипеда [1].
^p(a3dx'dxz)dx3
0zdx3dx!+
-^-z(dZdx3dx1)dx2
-a3dx'dxz
Рис. 3.2. Равновесие элементарного параллелепипеда до деформации (слева)
и после деформации (справа).
Силы, действующие на деформированный параллелепипед,
можно разделить на внутренние усилия, производимые соседними
частями тела через шесть боковых поверхностей, и массовые силы,
как показано на рис. 3.2. Пусть внешние усилия, действующие на
одну из боковых поверхностей, площадь которой до деформации
была равна dx2 dx? и стороны которой после деформации равны
Еа dx*, E3 dx3, представляются в виде — огх dx2 dx*. Аналогично
вводятся величины ога и а3.

84
Часть А. Формулировка вариационных принципов
Внутренние силы, действующие на шесть боковых сторон,
имеют следующий вид!
— a1 dx3 dx3, a1 dx2 dx3 + -Jj- (a1 dx2 dx3) dx1,
— o* dx3 dx1, a2 dx3 dx1 + -~- (a2 dx3 dx1) dx2,
— a3dx1dx2, a3dx1dx2-j--~(a3dx1dx2)dx3.
Массовые силы, действующие на деформированный параллеле-
параллелепипед, могут быть представлены как Р dx1 dx2 dx3. Запишем урав-
уравнения равновесия деформиро-
деформированного параллелепипеда!
о\ + Р = 0. C.22)
Определим компоненты векто-
векторов а* в базисе векторов Ей'I
от* = ст^Е„. C.23)
Величины or*" образуют тен-
тензор, называемый вторым тен-
тенРис. 3.3. a1 = olk E*,.
шем условие равенства
зором Пиолы — Кирхгофа (рис.
3.3). Пренебрегая членами вы-
высшего порядка малости, запи-
нулю суммы моментов внешних сил,
действующих на параллелепипед
(aidxtdx3) x Etdxi-\-(dtdx3dxi) x
-f- (a3 dx1 dx2) x EJdxs =
= (a* x Ex) dx1 dx2 dx3 = 0.
C.24)
Отсюда, используя C.23), получаем следующие соотношения 8)i
а^ = о**-. C.25)
*) Величины oX]i, введенные соотношениями C.23), называются компонен-
компонентами тензора напряжений Кирхгофа, но в дальнейшем эти величины будут на-
называться просто напряжениями.Относительно первого и второго тензоров Пио-
Пиолы—Кирхгофа см. приложение Е, где также введен и тензор Эйлера (или Кош и).
3) Обозначение а X b означает векторные произведения двух векторов
а и Ь.
*) Заметим, что
(о21 -
,
_ а»з) Е, X Е, + (а»3 — а") Е, X Е,
и три вектора Е, X Е2, Е2 X Еэ, Еа X Et взаимно независимы.

Гл. 8. Нелинейная теория упругости в декартовых координатах 85
Девять величин аХ|», удовлетворяющих условию симметрии C.25),
характеризуют напряженное состояние бесконечно малого па-
параллелепипеда.
Уравнение C.22) — векторное уравнение. Его можно свести
к системе скалярных уравнений, проектируя на направления век-
векторов i\. Обозначая компоненты массовых сил через
Р = ?МХ, C.26)
получаем из C.22) следующие скалярные уравнения (ср. с уравне-
уравнениями A.2)):
Ш + О а"й1. к + Р*- = О (Я. = 1, 2, 3). C.27)
Отметим, что ак отнесены к единичной площади и Р — к единич-
единичному объему недеформированного тела.
§ 3.3. Преобразование тензора напряжений
Величины а**, определяющие напряженное состояние в точке
Р, зависят от выбора координат. Сейчас мы получим закон преоб-
преобразования компонент тензора напряжений. Образуем бесконечно
-<33{dx'dxz/Z)
Рис. 3.4. Равновесие элементарного тетраэдра до деформации (слева) и после
деформации (справа).
малый тетраэдр p(D>#(°>S@Ol(a), ограниченный частями трех
граней прямоугольного параллелепипеда и наклонной плоскостью,
как показано на рис. 3.4. Если обозначить площадь наклонной по-
поверхности до деформации через d2, а внутренние силы, действую-
действующие на поверхность RST после деформации, представить в виде
FdZ.TO уравнение равновесия бесконечно малого тетраэдра запи-
запишется в виде
= о» (dx* dx*l2) + a* {df dxll2) + a3 (dx1 dx*!2). C.28)

86 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Используя геометрические соотношения для недеформируемого
тела, имеем *)
C.29)
где v — единичный вектор внешней нормали к недеформирован-
ной поверхности #<°>S«»T<0>. Подставляя C.29) в C.28), имеем
C.30)
Этим выражением определяется направление и интенсивность
внутренней нагрузки F, действующей на наклонную поверхность.
Проектируя F на направления базисных векторов
F = /74X, C.31)
получаем уравнение C.30) в скалярной форме
/* = <тя|1Лх(ва + н*11), C.32)
где пя = i4v.
§ 3.4. Соотношения напряжения — деформации
В этом параграфе будем считать, что деформирование происхо-
происходит либо адиабатически, либо изотермически, и постулируем
существование функций, выражающих напряжения через дефор-
деформации [1]:
afc" = ох" (вц, е12 ем) (Я, ц = 1, 2, 3), (З.ЗЗJ)
причем в отсутствие деформаций напряжения считаются равными
нулю: ок* @, 0, ..., 0) = 0. Будем также считать, что деформации
выражаются однозначно через напряжения!
е» = е^ (а11, а" а33) (Л, (л = 1, 2, 3). C.34) *)
Когда деформации предполагаются достаточно малыми, можно
разложить функции C.33) в ряд по степеням еае и в пренебреже-
пренебрежении членами высшего порядка малости получить следующую
линейную связь напряжений с деформациями:
о*-» = ак№еар. C.35)
Очевидно, что из свойств симметрии тензоров напряжений и дефор-
деформаций вытекают следующие условия симметрии коэффициентов 3):
х) См. примечание к уравнениям D.63), а также приложение Е.
3) Из этих величин только шесть независимы, но их можно записать в виде
девяти симметричных функций, как это сделано в формулах C.33) и C.34).
») Величины a^lVa^ называются модулями упругости. — Прим. ред.

Гл. 3. Нелинейная теория упругости в декартовых координатах 87
Уравнения C.35) можно обратить:
C-36)
Если материал изотропный, то величины аХ(ихр не должны за-
зависеть от системы отсчета, в которой определяются напряжения
и деформации. Отсюда следует, что тензор аХ(ихр — изотропный
тензор четвертого ранга, имеющий вид [3, 5 ]
. _
G (б^б^ + SW*), C.37)
а уравнения C.35) и C.36) сводятся к соотношениям 1)
Е -* п/"-' C.38)
C.39)
соответственно, причем Е = 2 A + v) G. Величины ох»' и е'%^
называются девиаторами напряжений и деформаций и определя-
определяются формулами
где
е = A/3) е%% = A/3) (в„ +- е22 + е„).
§ 3.5. Постановка задачи
Итак, сформулируем краевую задачу теории упругости при
конечных перемещениях. Предположим, что на упругое тело дей-
действуют массовые силы и поверхностные нагрузки, так что гранич-
граничные условия следующие:
A) Граничные условия в напряжениях на St:
F = F, C.40)
где F дается уравнением C.30), в котором считается, что v — еди-
единичная внешняя нормаль к поверхности и F— заданные внешние
силы. Величины F и F отнесены к единице площади недеформиро-
ванного тела. Проектируя F на направления базисных векторов
F-F4, C.41)
Ср. с выражениями A.6), A.8), A.10), A.11). См. также задачу 1.

Часть А. Формулировка вариационных принципов
C.42)
C.43)
из C.40) получаем скалярные уравнения *)
F* = F* (Л= 1, 2, 3).
B) Граничные условия в перемещениях на Sa
«*¦ = «*¦ (Л= 1, 2, 3).
C) Массовые силы
Р* {X = 1, 2, 3). C.44)
Ставится задача отыскания напряжений и перемещений в дефор-
деформированном теле, для которого справедливы соотношения C.33).
Р
Рис. 3 5 Кривая нагрузка—перемещение для фермы
М
Рнс. 3.6. Неустойчивость цилиндрической оболочки при изгнбе.
Из C.18) и C.33) можно получить выражения для aKlx через ы*.
Подставляя так определенные величины ах* в C.27) и C.42),
получаем систему трех дифференциальных уравнений и механиче-
механические граничные условия, выраженные через их. Решение этих
>) Ср. C.42). C.43) о A.12) и A.14) соответственно.

Гл. 3. Нелинейная теория дпрдгости в декартовых координатах
уравнений равносильно отысканию искомой равновесной конфи-
конфигурации при заданных на Sx и Sa граничных условиях. Как только
найдены компоненты перемещений ия, напряженное состояние тела
определяется из C.18) и C.33).
Рис. 3.7. Прощелкивание арки.
Поскольку задача нелинейна, решение (если его можно полу-
получить) приводит обычно к нелинейным соотношениям между при-
приложенными нагрузками и результирующими деформациями. Не-
Некоторые типичные примеры нелинейных зависимостей приведены
на рис. 3.5—3.8, в кото-
которых по оси ординат отло-
отложена приложенная внеш-
внешняя нагрузка, а по оси аб-
абсцисс — результирующее
перемещение точки при-
приложения нагрузки в на-
направлении действия по-
последней [7].
В примере, приведен-
приведенном на рис. 3.5, наклон
кривой dPIdb возрастает
с прогибом. Отсюда сле-
следует, что эта конструк-
конструкция устойчива при дей- Рис. 3.8. Потеря устойчивости стержня при
ствии внешней нагрузки, сжатии,
пока ведет себя упруго.
С другой стороны, в следующем примере (рис. 3.6) наклон dM/dq>
уменьшается с увеличением деформации, и нагрузка М в конце
концов достигает максимального значения М„. Это указывает на
то, что тело перестает быть устойчивым при Мсг, по достижении
которой разрушается [8, 9] Это явление, проиллюстрированное

90 Часть А. Формулировка вариационных принципов
рис. 3.7, где кривая нагрузка—прогиб имеет S-образную форму,
называется прощелкиванием [10]. Если направление Р не изме-
изменяется, а величина нагрузки меняется от нуля до Рсг, то прогиб
изменяется от бсг до бц причем величина кинетической энергии
равна площади, заштрихованной на рис. 3.7. При разгрузке также
происходит прощелкивание, когда усилие равно Per. Если на-
нагрузка зависит от прогиба так, как показано на рис. 3.8, то при
Рсг возникает бифуркация и система имеет два положения равно-
равновесия при нагрузках, превосходящих критическую нагрузку.
Тело предпочитает устойчивую конфигурацию и под действием
малых внешних возмущений внезапно переходит от неустойчивого
положения равновесия к устойчивому. Явления, проиллюстри-
проиллюстрированные последними тремя рисунками, составляют предмет ис-
исследований теории упругой устойчивости [11—13].
§ 3.6. Принцип виртуальной работы
В этом параграфе будет выведен принцип виртуальной работы
для рассматриваемого сплошного тела. Предположим, что оно
находится в равновесии под действием массовых сил, приложенных
на части поверхности Sx внешних сил и при заданных перемеще-
перемещениях на Sa. Пусть точки тела испытывают бесконечно малые вир-
виртуальные перемещения би из положения равновесия, которые
удовлетворяют краевым условиям на Sa. С использованием урав-
уравнений равновесия C.22) и краевых условий в напряжениях C.40),
а также равенства би = fir получаем
- [ [ J (а\ + Р).б?dV + J|(F_F).fir dS = 0, C.45)
v s,
где dV = dxl dx2 dx3 и dS — соответственно элемент объема и
площади поверхности тела до деформации. Используя геометри-
геометрические соотношения ')
dx2 dx3 = ±я, dS, dx3 dx1 = ±n2 dS, dx1 dx2 = ±n3 dS,
C.46)
справедливые на поверхности тела, преобразуем первый член
C.45) к виду
- f J \o\-brdV = - f f F-firdS + [ jjV-Fr). KdV.
V St+S, ' V
Подставляя последнее выражение в уравнения C.45) и учитывая,
что бг = 0 на 52, получаем
\ I \aK-Fr), %dV - \ J \P-6rdV - J jF-6rdS = 0. C.47)
V ¦ V S,
x) См. примечание к соотношениям D.79).

Гл. 8. Нелинейная теория упругости в декартовых координатах 91
Подынтегральное выражение ог*-(бг)д dV в первом члене урав-
уравнения C.47) можно трактовать как виртуальную работу, совер-
совершенную на бесконечно малых виртуальных перемещениях вну-
внутренними силами, действующими на деформируемый элементар-
элементарный параллелепипед. Второй и третий члены представляют собой
виртуальную работу, совершенную внешними силами над всем
телом и на S^ Комбинируя уравнения C.23), C.11), C.25) и C.14),
имеем
о* • (fir), fc = сх^г, „ • (fir), „ = A/2) о* 8EXVI = а^ fie^.
Подставляя последнее выражение в C.47), получаем
J J J o^Se^dV — J J J P-8rdV — j J F-firdS = 0. C.48)
V V S,
В этих уравнениях е^ выражаются через и* с помощью уравне-
уравнений C.18).
Это и есть принцип виртуальной работы для задачи теории
упругости при конечных деформациях *). Используя C.16), C.26),
C.41), можно также представить этот принцип в виде а)
J J J (о*-" fie*,, - Рк Ьик) dV - f J FK 8ux dS = 0. C.49)
Проводя все выкладки в обратном порядке, можно из принципа
виртуальной работы получить уравнения равновесия C.27) и
условия в напряжениях C.42). При выводе предполагается, что
удовлетворяются граничные условия C.43), соотношения между
деформациями и перемещениями C.18) и условия симметрии
тензора напряжений C.25). Отметим, что этот принцип выпол-
выполняется безотносительно к конкретному виду соотношений напря-
напряжения—деформации.
§ 3.7. Потенциальная энергия деформации
Рассмотрим элемент тела в виде прямоугольного параллеле-
параллелепипеда, занимающего до деформации единичный объем. Вычислим
интеграл вдоль заданного пути нагружения, переводящего эле-
элемент в состояние, при котором деформации его равны (еп, е1а, ...
)
C.50)
(Q,0, ".., 0)
причем о*" и еав связаны соотношениями C.33). Величина полу-
полученного интеграла, вообще говоря, зависит от пути интегрирова-
') Физическую интерпретацию принципа см. в приложении С.
') Ср. с выражением A.32).

92 Часть А. Формулировка вариационных принципов
ния. Однако если она не зависит от пути интегрирования, а зави-
зависит только от конечного состояния, то величина о1Ыещ называется
полным дифференциалом и существует функция состояния А (еп,
еХг, •-, е33), такая, что
dA = a^de^. C.51)
Это соотношение эквивалентно равенству
-!?- = о*» (Я, р = 1, 2, 3). C.52)
Определенная так функция состояния имеет смысл плотности
энергии деформации в геометрически нелинейной теории упру-
упругости.
В этом параграфе изучаются условия, для которых величина
является полным дифференциалом. Подробное обсуждение
этих условий можно найти в любой книге по дифференциальным
уравнениям с частными производными. Их можно кратко сформу-
сформулировать следующим образом.
Если соотношения напряжения—деформации C.33) удовлетво-
удовлетворяют условиям
д^» дсРВ ^ |», а, р = 1, 2, 3), C.53)
то величина 0%Ые%.№ есть полный дифференциал.
Следовательно, если C.35) подчиняются условиям
_ оаЭА.0, C.54)
то1)
А = {\Ц2) <***€&*. C.55)
Когда материал изотропный и соотношения напряжения—де-
напряжения—деформации задаются уравнениями C.38), имеем
3f e* + Ge'eU C.56)
А = 2A.f2v) e
Итак, условия существования плотности энергии деформации
можно сформулировать, исходя из математических построений.
Однако их можно обосновать и из физических соображений. Такая
функция действительно существует как при изотермической, так
и адиабатической обратимой деформации упругого тела [2, 14, 15].
Рассмотрим снова единичный элемент объема упругого тела.
Используя первый закон термодинамики для приращения вну-
внутренней энергии Uo при деформировании элемента de^, получим
dU0 = d'Q + о** deXli, C.57)
») Ср. C.55) и C.56) о B.2) и B.3) соответственно.

Гл. 8. Нелинейная теория упругости в декартовых координатах 93
где d'Q — количество тепла, подведенное к элементу, a dU0 —
приращение внутренней энергии. Величина dU0 есть дифферен-
дифференциал внутренней энергии Uo, которая является однозначной функ-
функцией температуры и текущего деформированного состояния эле-
элемента. Физически это означает, что 00 есть функция кинетической
энергии колебаний молекул около их средних положений [16].
Однако Q не является функцией состояния и d'Q просто обозна-
обозначает приращение подведенной тепловой энергии (поэтому и исполь-
используется символ d'). Величина ox»deXil — приращение подведенной
механической энергии. После того как эти два типа энергии подве-
подведены к элементу, нет никакой разницы, увеличилась ли внутрен-
внутренняя энергия за счет d'Q или a^de^.
Второй закон термодинамики предполагает существование
другой функции состояния 5, а именно энтропии, такой, что
d'Q = T dS, C.58)
где Т — абсолютная температура элемента. Сравнивая C.57)
и C.58), получаем
dU0 = TdS + a^deXll. C.59)
Уравнение C.57) показывает, что если деформация протекает
адиабатически в обратимом процессе, то
dU0 = a^de^. C.60)
Следовательно, механическая энергия запасена в элементе в форме
внутренней энергии, и мы имеем
А - UQ + const. C.61)
С другой стороны, если деформация происходит изотермически
в обратимом процессе, из C.59) следует
dF0 = a^deXil, C.62)
где
Fo = Uo — TS C.63)
— функция свободной энергии Гельмгольца. Отсюда видно, что
механическая энергия запасается в форме свободной энергии
Гельмгольца, и мы имеем
А = Fo + const. C.64)
Следовательно, можно сделать вывод, что величина ахМе\^
в обоих рассмотренных случаях есть полный дифференциал и
существование функции энергии деформации гарантируется.
Разница между адиабатическим и изотермическим деформи-
деформированиями проявляется математически только в разнице величин
адиабатических и изотермических упругих постоянных. Но,
вообще говоря, экспериментально доказано, что разница между
этими упругими постоянными пренебрежимо мала. Поэтому в тео-

94 Часть А. Формулировка вариационных принципов
рии упругости всегда постулируется существование функции
энергии деформации, хотя реальный процесс деформации прохо-
проходит где-то между адиабатическим и изотермическим.
Из экспериментальных наблюдений обнаружено, что если де-
деформации малы, то элемент упругого тела ведет себя устойчиво.
Математически это означает, что при малых деформациях плот-
плотность потенциальной энергии деформаций положительно опреде-
определена. Поскольку это требование также относится к функции
потенциальной энергии для малых деформаций C.55), то ясно,
что квадратичная форма C.55) положительно определена.
§ 3.8. Принцип стационарности потенциальной
энергии
В предыдущем параграфе обсуждались условия существова-
существования функции потенциальной энергии деформации. Если функция
потенциальной энергии деформации существует, принцип вир-
виртуальной работы C.49) может быть записан в виде *)
б \ \ \ A{u>)dV - \ \ \~Р* Ьи*- dV - \ \1*Ьи>- dS = О, C.65)
V V S,
где функция потенциальной энергии деформации А (их) выра-
выражается через их с помощью C.18). Принцип C.65) используется
в тех задачах теории упругости, когда внешние силы не выра-
выражаются через потенциальные функции.
Примем далее, что приложенные внешние силы консервативны,
а именно что они находятся при помощи потенциальных функций
Ф (ы*) и 7 (и*):
6Ф = — Р* би\ 6Y = —F* бы*. C.66)
Если внешние силы не меняются ни по величине, ни по направле-
направлению при виртуальных перемещениях (мертвые нагрузки), то
Ф = —Р*-и\ W = —F*-u*-. C.67)
В предположении, что существуют функция потенциальной
энергии деформации А и две потенциальные функции Ф и ?,
принцип виртуальной работы C.49) сводится к принципу стацио-
стационарности потенциальной энергии
6П = 0, C.68)
где2)
П = J J J [А (и*-) + Ф (u*)] dV + J J ? (н*) dS C.69)
х) Ср. с уравнением B.5).
г) Ср. с выражением B.9).

Гл. 3. Нелинейная теория упругости в декартовых координатах 95
называется полной потенциальной энергией механической системы
и является функционалом от их. Последние рассматриваются как
варьируемые независимые переменные и выбираются так, чтобы
удовлетворялись краевые условия на S2 и требования непрерыв-
непрерывности и дифференцируемости внутри области. Принцип C.68)
может быть сформулирован следующим образом: среди всех до-
допустимых перемещений их действительные перемещения достав-
доставляют функционалу полной потенциальной энергии стационарное
значение. Обращая цепочку рассуждений второй половины § 3.6,
можно легко показать, что условия, при которых полная потен-
потенциальная энергия стационарна, есть не что иное, как уравнения
равновесия и механические граничные условия на Sx. Однако
в этих уравнениях и условиях все компоненты напряжений выра-
выражаются через компоненты перемещений и сводятся к системе
трех дифференциальных уравнений равновесия в V и трем гранич-
граничным условиям на Slt выраженным через их. Эти формулы также
могут быть легко получены подстановкой C.18) и C.33) в уравне-
уравнения равновесия и граничные условия в напряжениях, как ука-
указано в конце § 3.5.
§ 3.9, Обобщение принципа стационарности
потенциальной энергии
Очевидно, что принцип стационарности потенциальной энер-
энергии, выведенный в § 3.8, можно обобщить с использованием прин-
принципа множителей Лагранжа. Применяя аналогичную методику,
получаем обобщенный функционал в виде *)
+ J J W (и*) dS - J J р>- (и* - &) dS, C.70)
s, s,
где варьируются без каких-либо условий величины eXli, ux, рх,
ох». Функционал принципа Рейсснера [17] может быть получен
из C.70) путем исключения еХи. при помощи C.34):
("^ + "^ + и>Гд) (^-Б @^ + 0(
-¦- J JY(u*)dS- J J р* (и* - в*) dS. C.71)
s, s,
>) Ср. C.70) и C.71) с функционалами B.26) и B.37) (см. также задачу 2).

96 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Здесь варьируются функции их, ох», р% без каких-либо дополни-
дополнительных условий.
Величина В (о*-*), появляющаяся в C.71), есть функция
дополнительной энергии. Как видно из проведенных выкладок,
В = o^extl~ А. C.72)
Связь напряжений с деформациями C.34) вводится в C.72) для
того, чтобы считать В зависимой только от компонент напряжений.
Из C.51) и C.72) имеем
dB = ехи do*-», C.73)
или, эквивалентно,
^ = e,u (х, ,4 = 1, 2, 3). C.74)
Отметим, если зависимости C.34) удовлетворяют условиям
=1. 2. 3), C.75)
то функция В существует и может быть получена из C.73) неза-
независимо от функции А. Следовательно, если C.36) удовлетворяют
уравнениям
*»<«* = Ь«вМ1 (К ц, а, р= 1, 2, 3), C.76)
то *)
5 = A/2) Ь^о^о»*. C.77)
Если C.39) выполняется, то для изотропного материала имеем
в = 3(l-2v) CT2 ^ _L_ CTMi<CT^-. (з.78)
В предположении о малости перемещений принцип минимума
дополнительной энергии может быть выражен через компоненты
напряжений, как показано в § 2.2. Однако сложная связь напря-
напряжений с перемещениями в теории упругости при конечных дефор-
деформациях усложняет вывод принципа стационарности дополнитель-
дополнительной энергии из Пд; принцип более не выражается только через
компоненты напряжений а).
§ 3.10. Энергетический критерий устойчивости
Известно, что пока приложенные внешние нагрузки относи-
относительно невелики, связь нагрузки с деформациями линейна. Однако
при возрастании нагрузки деформационные характеристики по-
постепенно отклоняются от линейных зависимостей. Эта тенденция
х) Ср. C.77) и C.78) с B.20) и B.21) соответственно.
*) Дальнейшие подробности см. в гл 14.

Гл. 3. Нелинейная теория упругости в декартовых координатах 97
обычно выявляется в тонких или вытянутых телах, и существует
точка, при достижении которой тело перестает быть устойчивым
при определенных условиях нагружения, как показано на
рис. 3.7—3.8. В этом параграфе будет изложен энергетический
критерий определения устойчивости и критической нагрузки по-
потери устойчивости для упругих тел при консервативных внешних
нагрузках [1, 18—22].
Рассмотрим равновесное состояние тела (в задаче теории упру-
упругости, сформулированной в § 3.5), которое будем называть исход-
исходной конфигурацией. Пусть теперь исходная невозмущенная кон-
конфигурация претерпевает заданные малые виртуальные возмуще-
возмущения, не нарушающие краевых условий в перемещениях; таким
образом, образуется новая так называемая возмущенная конфи-
конфигурация. Если виртуальная работа, совершенная внешними си-
силами, не превосходит возрастания запасенной потенциальной
энергии, то тело устойчиво. Если это условие не выполняется для
некоторых виртуальных перемещений, то излишек энергии пре-
превращается в кинетическую энергию. Это означает неустойчивость
исходной конфигурации по отношению к малым возмущениям.
Эти соображения можно выразить математически. Пусть ком-
компоненты перемещений в исходной и возмущенной конфигурациях
обозначены через и% и ых + бых соответственно. Обозначая
полную потенциальную энергию исходной и возмущенной конфи-
конфигураций через П(ых) и П(ых + Ьик), имеем
П (и* + бы*) = П (и*) + 6П + 62П + 63П + ..., C.79)
где 6П, 62П, 68П, ... — первая, вторая, третья, ... вариации
полной потенциальной энергии. Они являются соответственно ли-
линейной, квадратичной, ... формами относительно бы* и их произ-
производных, а их коэффициенты содержат компоненты перемещений
исходной конфигурации как параметры. Поскольку исходная
конфигурация находится в состоянии равновесия, имеем
6П = 0. C.80)
После этих предварительных обсуждений сформулируем кри-
критерий, позволяющий судить об устойчивости положения равно-
равновесия по отношению к малым возмущениям по знаку второй
вариации 6аП, в следующем виде.
A) Конфигурация устойчива, если 62П > 0 для всех допусти-
допустимых виртуальных перемещений *).
B) Конфигурация неустойчива, если хотя бы для одного до-
допустимого виртуального перемещения 62П < 0.
1) Отсюда и из принципа минимума потенциальной энергии (§ 2.1), кстати,
следует, что не существует неустойчивых положений равновесия, если изучается
задача линейной теории упругости.
4 К. Васидэу

98 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Следуя работе Треффтца [18], рассмотрим способ определения
наинизшей критической нагрузки, при превышении которой тело
теряет устойчивость впервые при монотонном нагружении. Как
мы видели, исходная конфигурация устойчива до тех пор, пока
для всех допустимых виртуальных перемещений выполняется
условие 62П > 0. Этот критерий будет представлен другим об-
образом. Введем соответственно подобранный функционал N, кото-
который является положительно определенной квадратичной формой
относительно б«^ и их производных х), и будем отыскивать среди
допустимых виртуальных перемещений, удовлетворяющих ус-
условию
8и* = 0 на 52, C.81)
такие, которые доставляют отношению
К = 62П/# C.82)
минимум. Критерий устойчивости гласит: если минимум отноше-
отношения C.82) есть положительная величина, то исходная конфигура-
конфигурация равновесия устойчива.
Из C.82) видно, что, поскольку
6А = б FаП/Л0 = [б F2П) - MN]/N, C.83)
где б означает варьирование относительно Ьих, условие стационар-
стационарности указанного отношения имеет вид
б F2П) — UN = 0. C.84)
Из уравнения C.84) получаются дифференциальные уравнения
и граничные условия в напряжениях, которые вместе с граничными
условиями в перемещениях C.81) образуют замкнутую краевую
задачу на собственные значения. Величина А. является собствен-
собственным значением этой краевой задачи. Следовательно, критерий
устойчивости можно сформулировать следующим образом: если
минимальное собственное значение положительно, то исходная
конфигурация устойчива.
Изложенное позволяет сделать вывод: внешняя нагрузка, дей-
действующая на тело, будет критической, когда минимальное соб-
собственное значение становится нулевым; вариационное уравнение
б FаП) = 0 C.85)
при дополнительных условиях C.81) дает тогда основные уравнения
для определения наименьшей критической нагрузки. Отметим, что
основные уравнения позволяют найти все критические конфигу-
конфигурации, для которых хотя бы одно собственное значение задачи на
*) Заметим, что конкретный вид функционала N, который применяется для
нормирования виртуальных перемещений, не повлияет иа окончательный ре-
результат C.85).

Гл. 3. Нелинейная теория упругости в декартовых координатах 99
собственные значения C.84) равно нулю, и, в частности, конфи-
конфигурацию, которая соответствует наинизшей критической нагрузке.
Полученная таким образом критическая нагрузка определяет
величину усилия, при превышении которой может возникнуть
неустойчивость; возникновение же неустойчивости определяется
знаком вариации более высокого порядка.
§ 3,11. Метод Эйлера в задаче устойчивости
Применяется также и другой метод определения критической
нагрузки в случаях, когда наряду с невозмущенной формой
равновесия имеется смежная возмущенная форма равновесия.
Если существует смежная равновесная конфигурация, то тело
может внезапно перейти от одной равновесной конфигурации к дру-
другой при воздействии малых внешних возмущений. Мы будем рас-
рассматривать задачу устойчивости способом, который иногда назы-
называют эйлеровым методом, для тела, нагруженного неконсерватив-
неконсервативными внешними нагрузками [21, 23]. Заметим, что, как указано
в [23], задача устойчивости для консервативных систем должна
изучаться не только методом Эйлера, решающим задачу статиче-
статической устойчивости, но и динамическим методом, который позво-
позволяет определить колебательные формы ухода от исходного поло-
положения равновесия системы.
Будем предполагать существование первоначального положе-
положения равновесия при критической нагрузке и получим уравнения
линеаризованной теории, из которой определяется вид возмущен-
возмущенной конфигурации. Обозначим напряжения, перемещения и внеш-
внешние нагрузки исходного и смежного положении равновесия через
и 0х* + о* еХA + eU, uK + ux, Рх + /*,** + /*
соответственно, причем, поскольку геометрические граничные
условия в обоих конфигурациях одинаковы,
uJ = O на 52. C.86)
Из C.49) можно вывести принцип виртуальной работы для смеж-
смежного положения равновесия, заменяя а%*, «х, ... на о*»1 + *
их + их, ... соответственно:
- J J (?х + Fx) б«х dS - 0, C.87)
причем
2 (еХд + е^) = («* + и\)ш ц + (и» + «». х + (и* + К», л (и* + «Э.»
C.88)
4*

100 Часть А. Формулировка вариационных принципов
и варьируются величины и\. Уравнение C.87) — принцип вир-
виртуальной работы для приращений перемещений.
Поскольку изучается линеаризованная теория, можно считать,
что а*", Р\ и F\ — линейные функции относительно и* и их
производных. Вспоминая, что в исходном состоянии выполняются
условия равновесия, и пренебрегая членами высшего порядка
малости, можно свести C.87) к соотношению
JJJ (
Г. J dV -
*6u)dS = 0, C.89)
s,
где
2е^ = (б? + «Г0 "Г, д 4- № + «Г д) "Г, я- C.90)
Уравнение C.89) эквивалентно дифференциальным уравнениям
в V и граничным условиям в напряжениях иа S2:
[аГ (e? + ^,) + а^н^. д]. х + Р^ = 0, C.91)
оТ F^ + ^д) пя + ах%^, д = F). C.92)
Следовательно, если связь приращений напряжений и деформаций
линеаризована:
а^ = а^ареаа, C.93)
получаем замкнутую краевую задачу для определения критиче-
критической нагрузки и смежного равновесного состояния.
Если C.93) удовлетворяет условиям симметрии
а\ца& _ саЗХД( C.94)
то принцип записывается в виде
6 {т Ш №*а^'°* + №.. *.< JdV\-
Jf^6uirfS = 0, C.95)
— J J \
причем е^ц должны быть выражены через «? с использованием
C.90). Если тело упругое, а внешние силы консервативные, прин-
принцип C.89) сводится к C.85).
Предыдущее рассмотрение показывает, что критическая на-
нагрузка больше зависит от соотношений между приращениями
напряжений и деформаций, чем от связи напряжений и деформа-
деформаций в исходном состоянии. Отсюда следует, что более общая трак-
трактовка задачи об определении критической нагрузки заключается

Гл. 3. Нелинейная теория упругости в декартовых координатах 101
в исследовании устойчивости тел с начальными напряжениями
и деформациями. Такая задача будет изучаться в § 5.2 в предполо-
предположении, что изменение геометрии тела до потери устойчивости
пренебрежимо мало.
§ 3.12. Некоторые замечания
Итак, выведен принцип виртуальной работы, а также родствен-
родственные ему принципы для задачи теории упругости при конечных
перемещениях. Отметим, что приближенные методы решения типа
обобщенного метода Галеркина (§ 1.4) или Релея—Ритца (§ 2.5)
могут быть аналогично применены и в задаче с конечными пере-
перемещениями. Отметим также, что при изменении условий на 52
на величину du* имеем
dU = JJ jP*-du*-dV + J f F*du*dS+JJFM6MS, C.96)
V S, S,
что является обобщением B.49) на задачи теории упругости при
конечных перемещениях.
В § 1.2 были выведены уравнения совместности для задачи
с малыми перемещениями в декартовых координатах. Аналогич-
Аналогичные условия можно вывести и в нелинейной теории упругости.
В этой главе они, однако, не приводятся, но в § 4.2 мы их сформу-
сформулируем при рассмотрении теории упругости при конечных пере-
перемещениях в криволинейных координатах.
Упомянем здесь также о принципах дополнительной виртуаль-
виртуальной работы и минимума дополнительной энергии. Мы видели, что
эти принципы играют существенную роль в линейной теории упру-
упругости. Однако обобщение их на геометрически нелинейную теорию
упругости оказывается безуспешным из-за того, что перемещения
сложным образом связаны с компонентами напряжений, как ука-
указано в § 3.9.
Упражнения
Задача к § 3.4
1. Докажите, что уравнения C.38) и C.39) можно записать в виде

102 Часть А. Формулировка вариационных принципов
tyz =
2Geyz
-¦ 2Geyz,
Eexx
Eeyy
Ее„.
tIX =
= ax-
= ax —
2Gezx,
-v(ay-
Txy =
* V*1
20вх„
2G*,y
¦"V
где входящие в уравнения C.38) и C.39) величины
(а», а», а", а" = о**, о« = о»?, а" = о«)
и
(«lit «2ai в33, e2J = е%%, езх = в13, ех| = ем)
обычным образом обозначены через (ох, ау, аг, Ту2 = Ъу> 'гж = тжг. хху ~ хух)
и (вХх, еуу, ег1, eyz = ezy, егя = eXi, еху = еуж) соответственно.
Задача к § 3.9
2. Выведите условия стационарности функционалов C.70) и C.71). Приме-
чание: рекомендуется воспользоваться свойством симметрии «хц — ^цх. oXfl =
= о^ и выразить Л (вХц). В (<*») н а^ [^ц - A/2) (<ЛД + «^ + в» в»)]
только через величины (е^, e2*i «я» е*з> «м» *i*) и (ац, а22, о33, о23, о3*, о12).
Например,
a» [«„-(«I, + A/2) «>Г ,)]+••¦ +
Задача к § 3.10
3. Покажите, что если приложенные внешние силы являются «мертвыми»,
а их функции потенциалов выражаются соотношениями C.67), то вторая вариа-
вариация 62П равна
-т J J J [i?ki<e^+a*^6u->]dv-
где величины а^ являются компонентами напряжений в исходной конфигура-
конфигурации и

Глава 4
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ
КООРДИНАТАХ
§ 4.1. Геометрия недеформированного тела
Эта глава посвящена задачам теории упругости, представлен-
представленным в обобщенных криволинейных координатах [1—6]. Предпо-
Предположим, что положение точек недеформированного тела опреде-
определяется пространственными координатами (а1, а2, а3). Точнее
говоря, введем тройку величин (а1, а2, а3), которая задает положе-
положение произвольной точки тела Р@> до деформации. Этим набором
чисел мы будем характеризовать материальную точку тела Р и
в процессе деформации. Введем радиус-вектор точки Р@> да де-
деформации
г«>> = г(°)(а1, а2, а3). D.1)
Связь между прямоугольными декартовыми координатами (х1,
х2, х3) и криволинейными (а1, а2, а3) обычно записывается в виде
х*- = х*-(а*, а2, а3) (к = 1, 2, 3). D.2)
Простой пример криволинейной системы координат — цилин-
цилиндрические координаты, в которых соотношения D.2) суть
х1 = г cos 0, х2 = г sin 0, х3 = z, D.3)
где ах=г, а2 = 0, а3 = г. Вводя единичный вектор i\ ассоцииро-
ассоциированный с направлением х%, уравнения D.1) запишем в следующем
виде:
r<°> =rcos0i1 + rsin9i2 + zi3. D.4)
Изложим кратко основные факты из дифференциальной гео-
геометрии, необходимые для дальнейшего. С деталями вывода при-
приводимых формул можно ознакомиться по книгам, посвященным
дифференциальной геометрии и тензорному анализу [7—11I1)
*) См. также Рашевскнй П. К- Курс дифференциальной геометрии. — 4-е
нзд. — М.: ГИТТЛ, 1956; Рашевскнй П. К- Риманова геометрия н тензорный
анализ,. — 3-е нзд. — М.: Наука, 1967; Векуа И. Н. Основы тензорного анализа
н теории ковариантов. —М.: Наука, 1978; Мак-Коннел А. Введение в тензор-
тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике н физике. —М.: Фнзмат-
гиз, 1963; Схоутен Я. Тензорный анализ для физиков. —М.: Наука, 1965. —
Прим. перев.

104
Часть А. Формулировка вариационных принципов
(см. также приложение F). Определим сначала ковариантные
базисные векторы в точке Я<°>:
йк = —~= г' *' D-^
как показано на рис. 4.L Здесь и далее запись ( )д означает диф-
дифференцирование по <х\ а именно ( )д = д ( )/дах. Используя
Рнс. 4.1. Геометрия элементарного параллелепипеда до деформации (слева)
н после деформации (справа).
ковариантные базисные векторы, определим ковариантный ме-
метрический тензор gxpi
g^ = ёт, ¦ gu = gu • gx = g»>., D.6)
контравариантный метрический тензор gkil:
gX*g*» = bl D.7)
где бц — символ Кронекера, и контравариантный базисный век-
вектор gx:
gx = «Г^Йц- D-8)
Из этих соотношений получаем
gx = ^ug»4, D.9)
gX-gu = 6?- D.10)
Далее, определим производную ковариантного базисного век-
вектора gu no av. Поскольку производная является снова вектором,
можно записать
X |
И- vj
D11)

Гл. 4. Теория упругости в криволинейных координатах
105
1М> v
Так как
проекции компонент вектора gUiV на направление
^). „ = gv. „.
ТО
Дифференцируя обе части выражения g^gv = g^ по ах, получим
2ц. к-gv -f" йц-gv, х = guv, х-
Подставляя в это выражение D.11), приходим к равенству
Р 1 { Р
Переставляя местами х и v, имеем
Еще одна замена х на ц в (а) дает
Р
х ц
Р
V Ц
(а)
(Ь)
(с)
Вычитая (а) из суммы (Ь) и (с), получаем
Р
v
Умножая обе части этого уравнения на gx* и суммируя по х,
окончательно получаем
рх — ?xU. v T 8*v, ц — §tiv, х-
D.13)
I
Величина > называется трехиндексным символом Кристоф-
феля второго рода. Символы Кристоффеля являются мерой искрив-
искривленности координатных линий и играют важную роль в тензорном
анализе. Из D.8) и D.11) получаем производную контравариант-
иого базисного вектора gw no <xv:
D.14)

106 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Рассмотрим далее векторное поле и (а1, а2, а3). Определим
компоненты вектора и по отношению к базисным векторам gx
в точке />(°>:
u = t^gk, D.15)
где vk — контравариантные компоненты вектора и. Дифферен-
Дифференцируя u no av и используя D.11), имеем
U. v = (vXgx), v = V%gx + Vlgx, v = V^vgx, D.16)
где v\— ковариантные производные Vх:
vJt;p. D.17)
Можно определить и ковариантные компоненты их вектора и,
определяя проекции и на векторы gk в точке Р<0>:
u = u,g\ D.18)
Как видно из D.9), D.15) и D.18), они равны
Vb = gx*v». D.19)
Дифференцируя u no av, получаем
u,v = (vxg^), v = Vx; vg*; D.20)
где их-, v — ковариантная производная vk:
PVJV D.21)
Из тензорного анализа известно, что ковариантная производ-
-Х....Х v
ная тензора Т^ ...ц по а выражается в виде
Г
2 ^i ¦ ^.iP^+i ¦ • ¦ •
Применение этого правила к векторам показано в уравне-
уравнениях D.17) и D.21). В качестве другого примера его использо-
использования можно показать, что ковариантные и контравариантные
производные метрического тензора gx>i и gx>x равны нулю:
= 0, ?» = 0. D.23)
Из D.22) также следует формула для ковариантных производных
тензорного произведения тензоров S\\\\ и Тр...:
); v
D.24)

Гл. 4. Теория упругости в криволинейных координатах 107
Прежде чем переходить к следующему параграфу, приведем
еще два геометрических соотношения. Если выбрать точку Q<°>
вблизи Р@> и обозначить координаты Q<0) через (а1 + da1, a2 +
+ da2, a3 + da3), то расстояние между Я<°> и Q<0) будет равно
(ds^f = dr<°> • dr<°) = (gfc da»-) • (g^ da») = gXv. da*- da». D.25)
Рассмотрим далее бесконечно малый параллелепипед, ограни-
ограниченный поверхностями a*- = const, a*- + da*- = const (A, = 1,
2, 3). Его объем равен
dV = /i da1 da2 da?, D.26)
где
/i = Si' (gs X g3) = g2 • (gs X gj = g3 • (gi X g2); D.27)
тогда
8u gu Su
gst ёзг gss
Используя эти результаты, перейдем к анализу напряжений и
деформаций.
§ 4.2. Анализ деформаций и условия совместности
После деформации точка Р@> смещается в новое положение Р,
которое дается радиусом-вектором
г = г (а1, а*, а3). D.29)
Обозначим ковариантный базисный вектор деформированного
тела через
Gx = r.Xf D.30)
а ковариантный и контравариантный метрические тензоры после
деформации через
Gxu = Gx-Gw = G,ix, D-31)
U ихд = Од \ЧшО&)
соответственно, где 6ц — символ Кронекера. Дифференцирова-
Дифференцирование GB no av дает
((Д}) D.33)
аналогично D.11), где
{{>'}} D.34)

108 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Расстояние между двумя точками Р и Q после деформации дается
выражением
{dsf ^dr-dr = (Gx da*)• (вй da») = GXtl da*- da». D.35)
Используя D.25) и D.35), определим компоненты тензора де-
деформаций в криволинейных координатах:
/мх. D-36)
Уравнения D.36) суть не что иное, как естественное обобщение
на случай криволинейных координат определений C.14). Вели-
Величины /хц определяют деформированное состояние в криволиней-
криволинейном бесконечно малом параллелепипеде, который до деформации
ограничен шестью поверхностями ах ~ const, ak + dak = const.
Рассмотрим соотношения деформации—перемещения. Опреде-
Определяя из D.37) вектор перемещений и (а1, а2, а3) соотношением
г == г<°> 4- и D.37)
и раскладывая его на составляющие *)
и = 1Лйя, D.38)
получаем
G, = (вхЧА)йх- D-39)
Подставляя D.39) в D.36), получаем выражения деформации
через перемещения
/м» = A/2) (гхииГй 4 gwtfb + йГхр"Г^?й)- D-40)
С другой стороны, используя D.19), D.23), D.24), предыдущие
соотношения можно записать в виде
/хи = A/2) (t>x: й + »й: х + ^; л»Гй)- D-41)
Далее, приведем условия совместности в криволинейной си-
системе координат, а именно необходимые и достаточные условия
того, что компоненты деформаций /Хц могут быть получены диф-
дифференцированием однозначной векторной функции г (а1, а2, а3).
Из тензорного анализа известно, что условия совместности даются
в виде
/?V« = 0, D.42)
') Отметим, что соотношение D.38) — это не единственный способ определе-
определения компонент и. Например, и можно спроектировать на направление ix, как
сделано в формуле C.16), или направление g\ как сделано в формуле D.18).
Впрочем, как бы ни были определены компоненты, выражение для деформа-
деформации D.36) остается в силе.

Гл. 4. Теория упругости в криволинейных координатах 109
где /^щчй — тензор кривизны Римана—Кристоффеля:
{{ ы) J
vjj-n.. Jhi ('(¦ D-43)
dot dot
(H vj J ((x w,
Доказательство необходимости условия D.42) легко получается
из D.33) и равенства
д I (Юм \ д3г д3г (} / dGu
/4 44>
5аш \ да? j да? да1 да» dav да? да» dav \ да? '' V ' ;
Поскольку доказательство достаточности значительно длиннее,
оно здесь не приводится. Интересующихся отсылаем к книгам
по тензорному анализу или теории упругости. В этой связи
отметим, что ковариантный тензор кривизны Rxnvw, определяе-
определяемый в виде
?>. — /1, /?х (Л. Л.К\
*\\\ХХИ} *-*ЛХ*^ - J1VCO? \^*^*-V
обычно используется вместо /?^Vco, и условия совместности D.42)
также выражаются следующим образом:
Ям™ = 0, D.46)
где, как легко показать,
„ ^ _1_ / дЮХш ,_ дЮ^ _ дЮ^ __ дЮХх
"™ ~ Z\da?-dav ' да^да дах да? да» да?
Греческие индексы в D.42) принимают значения A, 2, 3). Поэтому
создается впечатление, что всего в записи D.46) содержится З4 =
— 81 соотношение. Однако поскольку имеют место зависимости
между компонентами тензора /?^и вида Ях^а = — Rkmv,
можно показать, что число независимых условий совместности
для трехмерного пространства сводится к шести. Более того, ком-
компоненты тензора кривизны Римана—Кристоффеля связаны тожде-
тождествами Бианки
R. Jinv; со "Ь R. Xvu; ц + R. Ясоц; v = 0. D.48)
Если все указанные выше уравнения линеаризовать и рассма-
рассматривать линейную теорию упругости в декартовых координатах, то
Rx - А2323» Ry — А3131. Rz — Aiai2. -
UX ^1231. Uу — А2312' UZ ~: R3123»
а условия совместности D.46) и тождества Бианки D.48) сведутся
к A.15) и A.17) соответственно.

110 Часть А. Формулировка вариационных принципов
§ 4.3, Анализ напряжений и уравнения равновесия
Рассмотрим уравнения равновесия бесконечно малого парал-
параллелепипеда (рис. 4.2), который до деформации был ограничен
шестью поверхностями ak = const, a*- + daK = const. Пусть
внутренние силы, действующие на одну из поверхностей, стороны
-xz\fffdac3da'
Рис. 4.2. Равновесие элементарного параллелепипеда.
которой после деформации суть G2 do?, G3 da3, обозначены через
—т1 Yg ^а* da*> причем g определяется из D.28). Величины х%
и т3 определяются аналогично. Определяя так векторы
т* = t^G^, D.50)
получаем следующие уравнения равновесия бесконечно малого
параллелепипеда:
(/it").K + Pi/i = 0, D.51)
тхд _ Ti»xt D.52)
где Р — вектор массовых сил, отнесенный к единичному объему
недеформированного тела. В § 3.2 аналогичные рассуждения про-
проводились в прямоугольных декартовых координатах.
Уравнение D.51) векторное; один из способов выражения его
в скалярной форме состоит в проектировании на направления gx.
Используя D.11) и D.39), получаем (Я = 1, 2, 3)
К Л К )
D.53)

Гл. 4. Теория упругости в криволинейных координатах 111
где _ _
Р = P\gx. D.54)
Символ ( )g означает, что компоненты вектора записаны в локаль-
локальной системе координат с базисными векторами gx.
§ 4.4. Преобразование тензоров деформаций
и напряжений
Рассмотрим локальную ортогональную декартову систему коор-
координат (у1, у2, у3) с началом в точке Р@> недеформированной кон-
конфигурации (рис. 4.3) и обозначим 4^
единичный вектор в направлении
оси у% через ]х. Поскольку
д(
д(
имеем
D.55)
¦ jr = дт(°Удух = (да»/ду%) g^.
D-56)
Л/ ,. ееч . Рис. 4.3. Локальная система ко-
Умножая скалярно D.55) на jb ординат (у1, у8, у3).
получим
ду^/да» = j^-gw. D.57)
Аналогично, умножая D.56) на gx и переставляя индексы к и ц,
получим
= гмсОц-Йи). D.58)
Теперь сформулируем закон преобразования компонент де-
деформаций. Пусть компоненты тензора деформаций, определен-
определенные в локальной прямоугольной декартовой системе координат,
обозначены через е^, а именно
А» a/ df ду
Далее из D.36) имеем
nf дт дт
дт дт дг<°> дг(°> .. ст
-гг- • D-59>
дах да*1
дт дг(°) дг@) I дух Эур о дух дур
¦ = лбх —
ду* ' дур ду* ' дур J даК да}1 *" да1- да» '

112
Часть А. Формулировка вариационных принципов
Следовательно, законы преобразования Ди и ехр можно записать
в виде
, _ ду* ду" я
или
да* да"
D.60)
D.61)
Эти соотношения показывают, что /я,и и
тензоры второго порядка.
— ковариантные
x1fg(du.zda3/Z)
FdE
Рис. 4.4. Равновесие элементарного тетраэдра до деформации (слева) и после
деформации (справа).
Далее сформулируем закон преобразования напряжений. Вы-
делнм бесконечно малый тетраэдр />«».#«»S@O1@), ребра которого
образованы векторами gx da}, g2 da?, g9 da?, выходящими из точки
/>@) до деформации, и рассмотрим состояние равновесия после
деформации, как показано на рнс. 4.4. Пусть внутренние силы,
действующие на скошенную грань тетраэдра, обозначены через
F dS, где d2 — площадь скошенной грани до деформации.
Условие равновесия внутренних сил, действующих на тетраэдр,
есть
= т1 /i (da2 da'/2) + т2 V~k (da? da}/2) -\-x*yrg(da1 da*/2).
D.62)

Гл. 4. Теория упругости в криволинейных кооорбинатах 113
Из геометрических соотношений для недеформированного беско-
бесконечно малого тетраэдра получим *)
* da3 = 2 (gj • v) d2,
dS, D.63)
Vgdalda* = 2(g3.v)d2.
Здесь v — единичный нормальный вектор к скошенной грани до
деформации. Подставляя D.63) в D.62), получим
F = (g«-v)T*. D.64)
Если считать произвольную систему прямоугольных декартовых
координат {у1, у%, у3) с началом в точке />@) до деформации частным
случаем криволинейных координат и обозначить вектор напряже-
напряжений, отнесенный к локальным декартовым координатам, через о\
то вместо D.64) получим
F = (jrv)a*. D.65)
Поскольку F — физическая величина, ее модуль и направление
не зависят от выбора системы координат. Следовательно, комби-
комбинируя D.64) и D.65), получим
(h-v)o* = (gB.v)T'». D.66)
Выбирая направление v совпадающим g направлениями коорди-
координатных осей уя, имеем соотношение
ду* да» да*-
которое после перестановки индексов приводит к представлению
ИЛИ
i^Li5lL D.б8)
ду* ду*
Эти соотношения показывают, что так определенные crXu и т**
являются компонентами контравариантного тензора второго ранга.
1) Действительно, имеем (рис. 4.4):
2v <fZ = ?«»S«» х Я<"»Г<«» = (g, da* — fr da1) x (g3 da» — fr «fa») -
= gi X gtda1 da* + gt x g3da1 da9 + g3 x gidaPda1.
Иэ этого уравнении и D.27) совместно с равенствами
Й((8( X ij) = 0 (не суммировать по I)
получим D.63).

114 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Для дальнейшего удобства отметим, что проектируя F на на-
направления базисных векторов, получим
F = T*4Ffc +^Jg*, D.69)
где v4 определяются в виде
v == vxg*. D.70)
§ 4.5. Связь напряжений и деформаций
в криволинейных координатах
Следуя § 3.4, предположим, что в декартовых координатах
соотношения напряжения—деформации даются формулами
a^ = a*-»(eafi), D.71)
или, когда компоненты деформации достаточно малы,
axv. = аАи«Рга(). D.72)
Если задача теории упругости решается в криволинейных
координатах, то соотношения напряжения—деформации должны
быть выражены в виде
тм = т^(/аЭ), D.73)
или в линеаризованной форме
тхц = смше/а(). D.74)
Поскольку закон преобразования напряжений и деформаций
уже выведен (уравнения D.60), D.61), D.67), D.68)), получить
требуемые соотношения просто. Например, D.72) можно записать
в виде
дуК ду» >|1др да? да- .
да- дсР% * ду« ду* U'
или (после умножения, суммирования и перестановки индексов)
в виде
ду* дур dyv ду'
последнее соотношение показывает, что
да? даа да&
ду*
' 1 '
Если материал изотропный, то уравнение C.37) применяется
для соотношений напряжения—деформации в прямоугольной де-
декартовой системе координат; тогда D.76) приводится к виду
D-77>

Гл. 4. Теория упругости в криволинейных координатах
115
§ 4.6, Принцип виртуальной работы
Задача, обсуждаемая в этом параграфе, аналогична поставлен-
поставленной в § 3.5, а именно требуется найти равновесную_конфигурацию
тела, подверженного действию массовых сил Р = Р и поверхност-
поверхностных нагрузок F = F на 5Х и испытывающего заданные смещения
u = u на S2. В этом параграфе для указанной задачи будут полу-
получены соотношения принципа виртуальной работы в общих криво-
криволинейных координатах.
Из D.51) и краевых условий в напряжениях получим
— J I J К/^тХ). * + Р/?]-6rda«dofida? + J J (F - F) бгdS = 0,
D.78)
Используя геометрические соотношения 1)
•^gda* da3 = ± vx dS,
/i da3 da1 = ±vt dSt D.79)
•/gdatda* = ±v3dS,
которые справедливы на границе (рис. 4.5), и проводя выкладки,
аналогичные проделанным в 3 {0)
§ 3.6, из D.78) получаем / <ftda * *J^ vdS
nii-P.6r)dV-
— JJF.6rdS = 0, D.80)
где dV дается уравнением
D.26). Это принцип вирту-
виртуальной работы, выраженный
в общих криволинейных
координатах. Используя D.18), D.54) и равенство
Рнс. 4.5. Элемент поверхности
P<o>0<o>?«»s«>>
1) Из рнс. 4.S имеем
vdS-- *
D.81)
= Й1 X g2 da1 da1 — g2 X g3 da2 da% — g3 x
н, следовательно,
(vg,) dS = g,-(gi x gi) da* <fa* ¦= I^J (fa* do*,
где v — единичная внешняя нормаль к наклонной поверхности. Другие соот-
соотношения D.79) выводятся аналогично.
%* da1,

116 Часть А. Формулировка вариационных принципов
перепишем этот принцип в виде
1J J (т"ц 6ДЦ - Р\ toO dV - J J F\ 6Vl dS = 0. D.82)
V 5,
Из D.60) и D.68) имеем
T^e/M. = aM«&V D.83)
Подставляя D.83) в D.80), получаем другое выражение для
принципа виртуальной работы:
J J J (a** 8ekii -"Р-вг) dV f j F-6r dS = 0. D.84)
v "s,
Как может показаться, принцип D.84) совпадает с C.48). Однако
физический смысл их различен, поскольку величины в%^ и е%^,
фигурирующие в D.84), определяются в локальной прямоуголь-
прямоугольной системе координат, тогда как ох& и е^ из C.48) относятся
к фиксированной х) декартовой системе координат.
Итак, выше записан принцип виртуальной работы в криволи-
криволинейной системе координат. Приближенный метод решения, от-
отмеченный в § 1.5, и способ определения функций напряжений
с учетом уравнений совместности, приведенный в § 1.8, приме-
применяются и к решению изучаемой здесь задачи, поскольку принцип
виртуальной работы уже установлен. Как будет показано в сле-
следующих главах, этот принцип играет исключительно важную
роль при формулировке задач теории упругости, особенно в тех
случаях, когда применяются криволинейные системы координат.
§ 4.7. Принцип стационарности потенциальной
энергии и его обобщения
Как и в § 3.8, будем постулировать существование функций А,
Ф и Ч'. Эти функции состояния не зависят от выбора системы коор-
координат, так что функционал C.69) инвариантен. Следовательно,
если принцип стационарности потенциальной энергии выведен
в прямоугольных декартовых координатах, то его можно записать
и в произвольной криволинейной системе координат через 1Л
с использованием закона преобразования деформаций D.61),
соотношений деформации—перемещения D.40) и правила преоб-
преобразования компонент перемещений
и* = (K-g*)V», D-85)
где
и = иЧх - »%. D.86)
Здесь использованы также уравнения D.19).
Глобальной. — Прим. ред.

Гл. 4. Теория упругости в криволинейных координатах 117
Обобщение принципа стационарности потенциальной энергии
также производится непосредственно. Ограничимся записью од-
одного из его обобщений:
П, j
+ j J Y(vk)dS-\\p (vk - f»x)rfS, D.87)
Si Sj
где v%, — заданные компоненты перемещений, определяемые как
п = »я?* на 52. D.88)
В функционале D.87) независимыми варьируемыми величинами
являются fa», vi, Tklt и рк, в то время как гЛ связаны с ум соот-
соотношениями
D.89)
Условия стационарности, очевидно, приводят к определяющим
уравнениям задачи и уравнению
/>* = тх1Ч(б?+1^) D.90)
для определения множителя Лагранжа р1 на 52.
§ 4.8. Конкретизация основных уравнений
в случае малых перемещений при формулировке
в ортогональных криволинейных координатах
В заключение рассмотрим полученные формулы применительно
к ортогональной криволинейной системе координат, в которой
D.25) сводятся к соотношению
(ds«»J = gu (day + gn (d«2J + ?зз (da3J. D.91)
В этом параграфе отменяется соглашение о суммировании, но
латинские индексы принимают по-прежнему значения 1, 2, 3.
Заметим сначала, что D.28) сводится к соотношению
g = ?п?22?зз. D-92)
а символы Кристоффеля D.13) запишутся так [12]:
(
да1 ' \j j) gti da1

118 Часть А. Формулировка вариационных принципов
< 1 ( <
i 1ГU I/" Л. *> ¦ D93)
. , } = 0 для всех неравных i, j, k,
Ограничимся малыми перемещениями и выведем уравнения рав-
равновесия из принципа виртуальной работы. Поскольку величины
перемещений малы, получим из D.40) следующие линейные зави-
зависимости деформаций от перемещений;
Рассмотрим далее систему локальных прямоугольных декарто-
декартовых координат у1 (i = 1, 2, 3), совпадающих локально с направ-
направлениями g4 (i == 1, 2, 3) в точке Р@>, и обозначим единичный век-
вектор в направлении gt через jj. Тогда
D-95)
Из D.57), D.58) и D.95) получаем
t"' D-96)
где 8и — символ Кронекера. Компоненты перемещений и массо-
массовых сил переопределяются в локальных декартовых коорди-
координатах i
u = i;«<b D.97)
_ э _
Р = ? Y'U. D.98)
Обозначая напряжения и деформации в локальных декартовых
координатах через а11, ..., а33, ец, ..., е33 соответственно и исполь-
используя D.38), D.61), D.67) и D.94), получаем
D.99)
D.Ю0)
D.101)

Гл. 4. Теория упругости в криволинейных координатах 119
Г • з. . . п
1 о д I и1 \ , V» dgH и'
#и | да1 \yglt ! ^Н М У Я» I
D.102)
8и ~
(' Ф !)¦
Если D.97), D.98) и D.102) подставить в принцип виртуальной
работы D.84), получим следующие уравнения равновесия [13]:
д (
D.103)
а остальные два уравнения получаются циклической перестанов-
перестановкой индексов. Очевидно, что D.103) можно получить сразу из
D.53), если считать деформации малыми, а криволинейную си-
систему координат — ортогональной.
Отметим в заключение, что некоторые задачи, относящиеся
к двумерным косоугольным системам координат, представлены
в упражнениях в конце этой главы (см. задачу 14).
Упражнения
Задачи к § 4.1
ь равенства D.1
2. A) Докажите с использованием D.15) и D.18), что
1. Докажите справедливость равенства D.14) с помощью соотношений D.8),
D.11) и D.7).
B) Коварнантным дифференцированием обеих частей равенства (i) докажите,
что
8\ц; v = 0. (И)
C) Аналогично докажите равенство
3. Обсудите геометрические соотношения между базисными векторами gx
и g11, определенными соответственно в D.5) н D.8), и докажите, что
4. Рассмотрим частный случай криволинейной системы координат
" = ffii (da1J + 2g12daida= + g22 (da2J + (da»J,

120 Часть А. Формулировка вариационных принципов
где gu, gl2 и g22 являются функциями только от а1 и а2. Для символов Кристоф-
феля получите следующие соотношения:
= т(gllgn-•+ 2gl3g31' » - gl'gn-»)•
т
т
2 2 } = т
2
2 2 j = T
•¦>¦
2} {г i ) = тte*»-»+*ftt. i).
} =
I I 2 j = I 2 1 J = T (gMg22'» + 8n8n. 1
!X) \
{ } равны нулю].
1м- vj ;
I I л J ( ? I J &
I все остальные
Докажите также, что если переменные (а1, а2) образуют ортогональную
криволинейную систему координат, т. е. если g]2 = 0, то
2
Г ' 1 _1__лд_ (
{ I I / ~ А да • 1
Г 2 -| ^^_ / ' \_ ±_
1 1 1 J В* dp ' 12 2/ ^2
2 2.
дВ
2 U( 2
1 2j~l2 1 J Л ар ' ( 1 2/ |2 1/ В да '
где а1 = а, а2 = Р, gu = Л2 и g22 = S2.
5. Рассмотрим ортогональную криволинейную систему координат, опреде-
определенную выражением
? \2,
(ds<»')a = /1» ( 1 - -|-J (daJ + В» ( 1 - JL-J (dpJ ¦+- (dSJ,
где Л, В, #а и i?p являются функциями только ота и Р- Полагая а1 = а, а2 = Р,
а3 = ?, докажите, что при С = 0 символы Кристоффеля равны
1 ljo~ А да ' [\ 1 /о В2 ар '
2 1 i
1/ ' 1 ^.±1± [ 2 }
/о ~~ 1 2 1 /о ~ Л 6Р ' 1 1 2 /о
/о = ( 3 I /о = ~ Т?7 '
Г 1 } В_^В_ Г 2 1 j_
{2 2 /о ~ Л2 ^се ' ( 2 2 /о 5
1 2 /о ~~ 1 2 1 /о ~ Л 6Р ' 1 1 2 /о I 2 1 Jo В аа '
1 3 /о = 1 3 I /о = ~ Т?7 ' I 1 3 /о = 1 3 1 /о = °'
1 дВ

Гл. 4. Теория упругости в криволинейных координатах 121
2 | f 2
1 ] _Г 1 1 _ Г 2 | f
3Jo [з 2/о~ ' Ь 3 / о ~ 1
| ] _
3 / о ~ 13 2Ja~~~Ri'
/ 3 1 л* Г з ]
U l/o = Лв ' 12 2jo~ Яр '
з 1 f з 1 г з 1 г з ] г з 1
2 Jo 12 1 /о U З/о 13 1 /о 12 3jo
¦{.'.И
3 3 /о
f Я ) Г X 1 ,. „ „
где < > означает значение { } при t = 0. Примечание: см. уравнения
1ц vjo U vj
(9.6а) и (9.6Ь), а также (9.12) и (9.13).
Задачи к § 4.2
в. Рассмотрим односвязное тело, предполагая, что компоненты деформа-
деформаций /хц заданы как функции (а1, а2, а3), a j j || выражаются через /ар при
помощи формул D.34) и D.36). Докажите, что уравнения D.42) являются необ-
необходимыми и достаточными условиями интегрируемости равенств
ил • (i)
т. е. необходимыми и достаточными условиями существования вектор-функцнй г
и С&. Найдите связь между этими выражениями и выражениями (i) н (ii) за-
задачи 4 к гл. 1.
7. Докажите, что условия совместности до деформации имеют вид
где Rty^L определено в D.43), заменив j j И, ... на I I, и обсудите
физический смысл этих условий.
8. Ограничиваясь теорией малых перемещений, докажите, что соотношения
D.40) н D.53) соответственно сводятся к следующим:
; „
v 0
х + /
(ii)
Покажите также, что соотношения (i) можно вывести из соотношений (ii) при
помощи принципа дополнительной виртуальной работы. Примечание:
I *- 1 1
U v/ \Г7
* vj Y! да? '

122 Часть А. Формулировка вариационных принципов
9. Ограннчнваясь теорней малых перемещеннй, докажите, что тензор кри-
кривизны Римана—Крнстоффеля сводится к виду
fi v
со
или
"?.nva> = IXa; nv ~r /цу; Я,<о 'A,v; ц<о 'ц<о; Xv> ("'
где по определению
Y^V = A/2)(UU+/V^-VV). (iii)
Докажите также, что если
то условия совместности приводятся к виду
S^=0 (Л, ц= 1, 2, 3), (V)
где e*'uv определяется соотношением (i) задачи 3 приложения F. Примечания:-
1) величина У\иу определенная соотношением (iii), не является тензором (см.
[1, с. 61-621): 2) fkVL, va = [f^. v].m.
10. Ограничиваясь теорией малых перемещеннй, докажите, что принцип
виртуальной работы можно запнсать следующнм образом:
Г J" Г т^^** б/ьц Vg da1 dofi dot? —
~ J J J b.v?™**** «^аЭ; xp VIda1 da2 da3 + •. • = 0, (i)
где 1))>,ц— множители Лагранжа. Докажите также, что нз этого принципа следует
^=e»«~e^ejJ.xp, (ii)
а это показывает, что симметричный ковариантный тензор ipag нграет роль функ-
функции напряжений в теории малых перемещений, выраженных в криволинейных
координатах. Примечания: 1) e??v = 0; 2) см. аналогичные выводы в § 1.8.
Задачи к § 4.8
11. Выведите следующие соотношения:
дк 1 dVto. 1 З/дп .
лгз )з к._ ^ л.

Гл. 4. Теория упругости в криволинейных координатах
123
и,
да*
da»
1 3 Vgn dh 1_
rg~» da» "' За* = iA^I
1 lllku !
rZZ da»
da»
ia.
где \i, I = 1,2, 3, определены в D.95). Запишите эти соотиошеиия в цилиндриче-
цилиндрических и сферических координатах.
Рис. 4.6.
Рис. 4.7.
12. Докажите, что в рамках теории малых перемещений, выраженных в ци-
цилиндрических координатах г, 0 и г (х = г cos 0, у = г sin 0, г = г; см. рис. 4.6),
имеем
а* ш г, а* = в, а» =» г,
Угв
dUr
~дТ>
дг
1 ди,
Т дв
duQ
ив
~7~'
1Г
Vze
~дГ'
~ЬТ + T IT+~W + T(a' ~ ae) + Yr ¦ 0>
foe*
дг
dr ^ г дв "^ Зг "^ л
+ ^ + Т*е + р' = 0'
• 0.

124 Часть А. Формулировка вариационных принципов
13. Докажите, что в рамках теории малых перемещений, выраженных
6 сферических координатах г, 9 и q> (х = г sin q> cos 9, у = г sin ф sin 9, г =
= rcoscp; см. рнс. 4.7), имеем
а1 = г, а2 = 9, а3 = ф,
gu = 1. gaa = (r sin ф)а, ?3з = 'а.
диг
Вг = ~дГ'
1 див , "ф
1 а«в «я »
Т-дТ- -Г ctg(p'
г + дг
' ^/ф ,
7" д<? ""
г ^ дг '
2af-qe —gy
1 а<7в , 1 ^тФб , 3Tf9 + 2Ty9ctgy
5Г + Т~дф~Н ? hi'e-
дг + гвшф дО
Задача в косоугольной системе координат1)
14. Рассмотрим двумерную косоугольную систему координат (|, т)):
х = | -(- Л cos a, у = т) sin a,
изображенную на рис. 4.8, где a — константа. Ограничимся случаем малых пе-
перемещений и положим а1 = |, а? = т).
A) Выведите следующие соотношения:
*,. = !, дс,r, = cosa, у, t = 0, yif) = sina,
5,ж=1. §.{, = —ctga, т),х = 0, т), „ = cosec a,
fti = 1. ^22 = '. ffi« = Й1 = cos a, ^g = sin a,
gu = cosecaa, gai! = cosecaa, g^=g^ = —cos a cosec8 a,
/li = в*, /га = гх cosa a + ey sin2 a + Yxi/ s'n a cos a>
2/12 = 2/ai = 2ex cos a + Yxj, sin a,
t11 = ffx + <Jy ctga a — 2ixy ctg a, тга = ay cosec2 a,
_|_ %xy cosec a
l) См. работу [14].

Гл. 4. Теория упругости в криволинейных координатах
125
B) Обозначая вектор перемещений через
и — «gi + fga.
где gx н g2 являются единичными векторами осей § н t) соответственно, докажите,
что
hi — (« + и cos а), |,
/га = («cos а + у). п,
2/i2 = (« + » cos а), „ + (« cos а + v), j.
C) Покажите, что условие совмест-
совместности имеет вид
/п. пп ~Ь /гг, I? — 2/12, |п = 0.
D) Прн помощи принципа виртуаль-
виртуальной работы докажите, что уравнения
равновесия имеют вид
E) Прн помощи принципа виртуаль-
виртуальной работы в сочетании с условием
совместности
Рнс. 4.8.
~ F
г, л
= 0
докажите, что компоненты напряжений выражаются через функцию напряже-
напряжений F следующим образом:
т" = г*» =-f. б,,.
F) Докажите, что если соотношения напряжения—деформации имеют в си-
системе координат (х, у) вид
илн, обратно,
Ужу
[:;Ц[— : ][П
LVxvJ L 0 0 2A+v) J[ _хх„ |

126 Часть А. Формулировка вариационных принципов
то из D.76) получаются следующие соотношения напряжения—деформации
в системе координат (?, т)):
[ Г I cos^o + vsin^o — coso
т I ? cosec* a I cos* о + v sin* о I — cos о
Г/и 1
L 2ft, J
или, обратно,
fu
[I cos2o — vsin2a 2coso 1
cos2 a — v sin2 a I 2 cos a I x
2 coso 2 cos о 2A + cos* a + v sin* a) J

Глава 5
ОБОБЩЕНИЕ ПРИНЦИПА ВИРТУАЛЬНОЙ РАБОТЫ
И СВЯЗАННЫХ С НИМ ВАРИАЦИОННЫХ
ПРИНЦИПОВ
§ 5.1. Задачи с начальными напряжениями
Мы вывели принцип виртуальной работы и связанные с ним
вариационные принципы, приводящие к краевым задачам, в гл. 3.
В настоящей главе мы распространим эти принципы на другие
задачи теории упругости 1). Мы сформулируем каждую из задач
в рамках теории конечных деформаций, переходя к малым дефор-
деформациям, когда это необходимо. Для описания поведения упругого
тела будет использоваться прямоугольная декартова система
координат. Однако благодаря инвариантности, отмеченной в гл. 4,
выражения для принципов могут быть получены в произвольной
криволинейной системе координат с помощью преобразования
координат.
На протяжении всего параграфа будет применен подход, осно-
основанный на методе множителей Лагранжа. Набор величин (л:1,
х2, х3), определяющих произвольную точку тела в исходном
состоянии, будет использоваться для описания последующего
поведения. Определение исходного состояния зависит от конкрет-
конкретной рассматриваемой задачи. Если не оговорено обратное, пере-
перемещения отсчитываются от исходного состояния.
Сначала рассмотрим задачу с начальными напряжениями
[1, 2]. Под начальными напряжениями мы понимаем те напря-
напряжения, которые возникли в теле в исходном состоянии, т. е. перед
началом развития интересующей нас деформации. В задаче с на-
начальными напряжениями мы выберем исходное состояние в ка-
качестве отсчетного.
Пусть прямоугольная декартова система координат (jc1, x2, х3)
фиксирована в пространстве. Образуем бесконечно малый прямо-
прямоугольный параллелепипед, ограниченный шестью поверхностями:
хх = const н хх + dxx = const (к = 1,2, 3). Обозначая начальные
внутренние силы на единицу площади, действующие на поверх-
поверхности х% — const, через —о@> \ определим компоненты начальных
напряжений
а@)* = а@)М%, E.1)
х) Следует отметить, что некоторые из принципов, которые будут выведены
в этой главе, применимы не только для задач теории упругости.

128 Часть А. Формулировка вариационных принципов
где I,, есть единичный вектор в направлении оси *". Начальные
массовые и поверхностные силы обозначаются Р<0) и F<0) соответ-
соответственно, а через компоненты
pm=-pm\t f<0) =F@>xix. E.2)
Для простоты предположим, что эти начальные напряжения и
силы составляют самоуравновешенную систему, т. е.
CT(ojMi + ;p(o>* = o E3)
внутри тела и
a@)^nil = Fl0)X E.4)
на поверхности тела, где ( ),ц = д ( Iдх*.
Краевая задача для тела с начальными напряжениями опре-
определяется заданием дополнительных массовых сил Р*-, дополни-
дополнительных поверхностных сил Я на St и перемещений &¦ на поверх-
поверхности S2, где перемещения отсчитываются от исходного состояния.
Рассмотрим равновесие бесконечно малого параллелепипеда
после деформации подобно тому, как это делалось в § 3.2, и обо-
обозначим внутренние силы, действующие на поверхность со сторо-
сторонами Е2 dx' и Еа dx3, через — @<°> »•* + а1*) Ец dx2 dx3. Силы,
действующие на другие поверхности, определяются аналогично.
Величины а*-*, определенные таким образом, будут называться
добавочными напряжениями. Тогда найдем, что уравнения рав-
равновесия и граничные условия для задачи с начальными напряже-
напряжениям»^ можно получить и? уравнений C.27) и C.42), заменяя а*-11,
?>• и Я- на 0<°> *••* + ам\ Я~<°> »¦ + Рх и ?<°> >• + ?*¦ соответственно.
Последовательно применяя рассуждения § 3.6, придем к прин-
принципу виртуальной работы для задачи с начальными напряжениями
\dV-
i Ьих dS = 0, E.5)
"s,"
где
«щ = A/2) (u\ + u\ + u\u%) E.6)
и бы* равно нулю на St. Если начальные напряжения само-
самоуравновешены, то можно использовать E.3) и E.4) для преобра-
преобразования E.5) к виду
f f j
V
E.7)

Гл. 5. Обобщение принципа виртуальной работы 129
Перейдем к рассмотрению принципа стационарности потенциаль-
потенциальной энергии и связанных с ним вариационных принципов. Во-
первых, предположим, что существует связь между напряжениями
и деформациями х)
E.8)
или, обратно,
*х,»*ь(еЛа'0"*). E.9)
где начальные напряжения могут входить как параметры. Во-вто-
Во-вторых, предполагается, что уравнения E.8) удовлетворяют соот-
соотношениям C.53). В этом случае гарантируется существование
функции энергии деформации А (е^; о^*-»), определяемой выра-
выражением
dA = a^de^. E.10)
Тогда E.7) может быть преобразовано к виду
б JJJ [А (и*; а<°>») + 4- а@) ^«Г х«С„] dV -
k8ukdS = 0, E.11)
v s,
где А (Ф; а<°> *••*) получается из А (е^; ст@) х») путем выраже-
выражения е^ц через Ф с использованием уравнений E.6), а вариация
берется по отношению к Ф.
Если существование двух потенциальных функций, опреде-
определяемых C.66), также гарантируется, мы получим функционал
для принципа стационарности потенциальной энергии, который
обобщается с применением множителей Лагранжа. Здесь мы за-
запишем только выражение для Е^:
\A OW, а'0' ^) + J_ а(о» ^и«ф% +
П, - J J J \
+ Ф («Л) - о^ К - -i- ("^ + "\ + «Г х"Г J] j dV
E.12)
s, s,
в котором независимыми величинами, подлежащими варьирова-
варьированию, являются е^ц. °tot ф и р% без каких-либо дополнительных
условий. Можно показать, что условия стационарности являются
1) Везде в этом параграфе (если не будет специально оговорено противо-
противоположное) предполагается, что соотношение, обратное соотношению напряже-
напряжения—деформации, единственно.
В К Вавидэу

130 Часть А. Формулировка вариационных принципов
определяющими уравнениями задачи с начальными напряжениями
вместе с уравнением
? = а10) *»щ? „ + о**пк (б* + uJv), E.13)
которое определяет множитель Лагранжа рх на 52. Из выраже-
выражения E.12) следует, что функция дополнительной энергии
В (а**, а'0'111), соответствующая А (е^; а'0)**1), определяется
выражением
В (о*; о"» х») - <ЛЧ„ - А КД5 ot0>х"), E.14)
где использовано уравнение E.9) для выражения деформаций
через напряжения.
Дадим линеаризованную формулировку задачи с начальными
напряжениями, предполагая, что перемещения являются беско-
бесконечно малыми величинами, т. е. «*¦ = О (в) *), а начальные на-
напряжения — конечными величинами, т. е. cr<°>X(l = О A). Это
предположение приводит к упрощению принципа виртуальной
работы E.7) н к линеаризации соотношений деформации — пере-
перемещения E.6) и соотношений напряжения — деформации E.8):
*й - 7*6«fc] dV -
= 0, E.15)
"*>.), E.16)
E.17)
Принцип E.15) приводит к уравнению равновесия
<tt + (a@>*4.i).* + ^=0 E.18)
и механическим граничным условиям
<ЛХН-о<0)>'Ч,и^ = Р' на 5,. E.19)
Комбинируя уравнения E.16)—E.19) и геометрические гранич-
граничные условия
«*- = йх на S2, E.20)
можно получить определяющие уравнения линеаризованной за-
задачи. Соответствующие вариационные принципы линеаризован-
линеаризованной задачи могут быть получены обычным путем.
*) Обозначение О (е) означает «порядка е», где е — бесконечно малая ве-
величина.
J J J

Гл. 5. Обобщение принципа виртуальной работы 131
§ 5,2, Задачи устойчивости для тела
с начальными напряжениями
Рассмотрим тело G начальными напряжениями йсх*0»*^, на
которое действуют массовые силы kPlQ) *¦ в объеме V и поверхност-
поверхностные силы kFw * иа S, где k — монотонно возрастающий коэф-
коэффициент пропорциональности. Величины aW*-*, P<°> *• и Fi0)X
заданы. Когда k достаточно мал, равновесная конфигурация будет
устойчивой. Однако с увеличением коэффициента k может насту-
наступить критическое состояние, и при дальнейшем увеличении k
тело теряет устойчивость. В этом параграфе будет найдено крити-
критическое распределение начальных напряжений в предположении,
что, несмотря на возрастание k, изменения геометрической конфи-
конфигурации тела остаются пренебрежимо малыми вплоть до потери
устойчивости [2—4]. При рассмотрении нашей задачи мы огра-
ограничимся предположением, что массовые силы и поверхностные
силы на Si не изменяют ни своей величины, ни направления в про-
процессе потери устойчивости х) и что на 52 тело закреплено. Пока-
Показано, что эта задача устойчивости может рассматриваться как
частная формулировка задачи, приведенной в §3.11.
В качестве критерия потери устойчивости будем использовать
существование смежных форм равновесия; этот критерий был
введен в §3.11. В таком случае очевидно, что линеаризованная
формулировка, данная в предыдущем параграфе, приводит к оп-
определяющим уравнениям задачи устойчивости. Заменяя а<°^и
на koW*-* и требуя, чтобы добавочные массовые силы Рх, поверх-
поверхностные силы /¦* и перемещения п* в уравнениях E.15) и E.18)—
— E.20), равнялись нулю, получим
ЛйУ = 0, E.21)
: 0, E.22)
= 0 на Slf E.23)
«fc = 0 иа S,. E.24)
Уравнения E.16), E.17) и E.22)—E.24) полностью описывают
рассматриваемую задачу устойчивости. Решение этих уравнений
сводится к решению задачи на собственные значения, в которой
критическое значение параметра k является собственным значе-
значением, а форма смежного равновесия — соответствующей собствен-
собственной функцией.
*) См. вадачу 4 об устойчивости теле при наличии следящих сил.
5*

132 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Если упругие константы в E.17) удовлетворяют соотношениям
симметрии aXtxat == оорм», принцип E.21) преобразуется в прин-
принцип стационарности потенциальной энергии, функционал кото-
которого дается выражением
u\»\UV, E.25)
где А («х; о(°)^) определяется из соотношения
@) *) - 4 ^ е>^ E.26)
о помощью выражения е^ через и* о использованием уравне-
уравнений E.16). В функционале E.25) вариация берется по отношению
к «*• при условиях E.24), а параметр k не варьируется.
Как только принцип стационарности потенциальной энергии
получен, он может быть обобщен с применением правила множи-
множителей Лагранжа. Ниже приведено лишь выражение для ПХ1
П, = J J J f
а"»
E.27)
где величины о1»1, еХ|1, «*¦ и /?х подлежат варьированию без каких-
либо дополнительных условий. Условия стационарности являются
определяющими уравнениями потери устойчивости вместе с соот-
соотношением
^^^ + Л*, E.28)
которое определяет множители Лагранжа р% на S2.
Следуя рассуждениям § 2.7, легко видеть, что принцип E.25)
эквивалентен нахождению среди возможных перемещений их
тех, которые придают отношению
стационарное значение. Если наименьшее положительное и наи-
наибольшее отрицательное значения k обозначить К* и КГ соответ-
соответственно, то тело будет устойчивым, когда значения k лежат в ин-

Гл. 8. Обобщение принципа виртуальной работы 133
тервале, ограниченном двумя экстремальными величинами, т. е.
КГ < k < К*. Выражение E.29) аналогично отношению Релея
в задачах на собственные значения [5, 6].
§ 5,3. Задачи с начальными деформациями
Предположим, что существует тело, в исходном состоянии
которого нет ни напряжений, ни деформаций. Разобьем это тело
на ряд бесконечно малых прямоугольных параллелепипедов и
придадим каждому из них произвольную деформацию. Эти де-
деформации называются начальными деформациями и будут далее
обозначаться е[^>. Затем снова составим из этих параллелепипе-
параллелепипедов сплошное тело.
Чтобы получить сплошное тело, к начальным деформациям
нужно добавить новые из-за несовместности произвольных на-
начальных деформаций. Эти добавочные деформации вызывают
внутренние напряжения, даже если внешние силы или переме-
перемещения не накладываются. Мы обобщим данную задачу, предпо-
предполагая далее наряду с начальными_деформациями наличие массо-
массовых сил Рк, поверхностных сил Р на St и перемещений п*- на
поверхности S2, где перемещения «*• измеряются от исходного
состояния.
Добавочные деформации, необходимые для получения конеч-
конечной конфигурации, обозначим е^. В принципе ни начальные
деформации, ни добавочные деформации не удовлетворяют усло-
условиям совместности. Но их суммы
должны удовлетворять условиям совместности, а именно, они
должны получаться из перемещений Ф, отсчитываемых от исход-
исходного состояния, так что
«л» - A/2) («?» + «% + «Г х«ГI»). E.31)
Тогда, следуя результатам § 3.6, найдем, что принцип виртуаль-
виртуальной работы для задачи с начальными деформациями принимает
форму, аналогичную C.49), а именно
1 dV - J J ^б"Х dS = °» E-32)
где а** — тензор напряжений Кирхгофа. В E.32) было подстав-
подставлено соотношение E.31) для выражения е^ через их, а условие
би* = 0 на S2 E.33)
используется как дополнительное условие.

134 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Перейдем к выводу принципа стационарности потенциальной
энергии и связанных с ним вариационных принципов. Во-первых,
предположим, что соотношения напряжения — деформации имеют
вид
J*-o**(Ba»leW), E.34)
или, обратно,
ем»-е*,»(о*; ей?), E.35)
причем начальные деформации входят как параметры. Во-вторых,
предположим, что уравнения E.34) удовлетворяют равенствам
обеспечивающим существование функции энергии деформации
А* (8хц> e(ii)' определенной выражением
«М'во^&м». E.37)
В таком случае, вспомнив, что беХ|1 = бе^, найдем
6Л' = а^бе^ = о^&м». E.38)
В-третьих, предположим, что существуют две потенциальные
.функции Ф (и*) и V («*•), определенные соотношениями C.36).
Тогда функционал принципа стационарности потенциальной энер-
энергии для задачи с начальными деформациями примет вид
П = ||| [А Ы; в|«) + ф (u*)]dV + |J Т («Л) dS, E.39)
где выражение А (еХц; ej^) получается из Л* (eXlt; ej^) заменой в.
на e%VL — е[1!» а именно
Л* (вх»; effi) - А* (в* - eft?; «ffi) = Л (вХв; «iS!)- E-40)
Как и прежде, соотношения E.31) использовались в E.40) для
выражения е%^ через и\ а условия
ихе=йх на Sj E.41)
рассматривались в качестве дополнительных условий.
Принцип стационарности потенциальной энергии можно обоб-
обобщить с помощью обычных процедур. Например, можно показать,
что функционал для обобщенного принципа имеет вид
«Г

Гл. б. Обобщение принципа виртуальной работы 135
+ 11 V ("*) ds - J { рх (ик - йк) dS, E.42)
s, s»
где независимыми варьируемыми величинами являются
е\ц, ик и рх без дополнительных условий. Выражение E.42)
означает, что функция дополнительной энергии В (* j^)
еоответствующая А (ек11; ej°>), описывается выражением
в(^ 48)-Л*-
E.43)
где для выражения е^, через о"? использовались соотноше-
соотношения E.35).
Заметим, что если E.34) заданы в виде линейной формы
0м* = «*""*«*, E.44)
где aKiu*t — aPW-11, или, обратно,
вя.р, = Ьх^офа**, E.45)
где Ьхцар = бовхд. то имеем
Л* (•)*: O-tl/^o^^^eej E.46)
а, следовательно,
Л(*ы C) = (l/2)a^PKi-O('aP-«S!), E.47)
В @х11; eD-a/^biP-a^o^ + ^^S?. E.48)
Итак, можно сделать вывод, что принцип виртуальной работы
а связанные с ним вариационные принципы выводятся так же,
как в в гл. 3, за исключением различия в выражениях для А н В.
Аналогичные утверждения справедливы для задач с начальными
деформациями в случае малых перемещений.
§ 6.4, Задачи о температурных напряжениях
Рассмотрим упругое тело, в котором в исходном состоянии
отсутствуют напряжения и деформации и которое равномерно
нагрето до абсолютной температуры То. Пусть телу придается
распределение температуры Т (дсх, х%, х3) при наличии массовых
сил и граничных условий на поверхности, как и в § 3.5. Задача
состоит в нахождении распределения напряжений, создаваемых
таким образом в теле [7—14].

136 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Поскольку известно, что связь между упругой деформацией и
теплопереносом очень слабая и ею обычно можно пренебречь,
то предположим, что распределение температуры задано и соот-
соотношения напряжения — деформации задаются выражением
), E.49)
где
а^ @; 0) = 0 и 9 = Т — Т6.
Как только сделано это предположение, можно показать, что
определяющие уравнения задачи с температурными напряжениями
совпадают с уравнениями задачи, описанной в гл. 3, за исклю-
исключением того, что уравнения C.33) заменяются на E.49), в кото-
которые температура 9 входит как параметр. Итак, принцип вирту-
виртуальной работы для задачи с температурными напряжениями также
определяется уравнениями C.48).
Следуя рассуждениям § 3.7 и помня, что распределение тем-
температур задано, находим, что функция энергии деформации в тер-
термоупругой задаче существует для каждого элемента упругого тела
и равна свободной энергии Гельмгольца, определяемой уравне-
уравнением C.63). Требуется предположить только существование двух
функций состояния Фи? для установления принципа стационар-
стационарности потенциальной энергии, функционал которого имеет вид
П = J J J [А (и\ 9) + Ф (u*)] dV + J J V (ик) dS, E.50)
V Si
где величины и*-, отсчитываемые от исходного состояния, подле-
подлежат варьированию с учетом граничных условий, заданных на 52,
в то время как температура 9 считается заданной и не подлежит
варьированию. Так как функция энергии деформации, входящая
в функционал E.50), равна функции свободной энергии, то прин-
принцип стационарности потенциальной энергии для термоупругой
задачи часто называется принципом стационарности свободной
энергии [9]. Как только вариационный принцип установлен,
он может быть обобщен с применением правила множителей Лаг-
ранжа подобно тому, как это делается в § 3.9.
Таким образом, можно сделать вывод, что принцип виртуаль-
виртуальной работы и связанные с ним вариационные принципы для тер-
термоупругой задачи описываются теми же соотношениями, что
в гл. 3, за исключением различий в выражениях для Л и В. Те же
утверждения справедливы для термоупругих задач и в случае
теории малых перемещений.
Выше были упомянуты соотношения напряжения—деформации
и выражения для Л и В. Из функции свободной энергии, опре-
определенной в C.63), получим
SdT. E.51)

Гл. S. Обобщение принципа виртуальной работы 137
Сопоставляя это выражение с C.59), получаем равенство
dF0 = a*-11 <kXv. - S dT, E.52)
которое приводит к соотношениям
?? s <553)
Это означает, что если функция свободной энергии выражается
явно через е^ и Т, то соотношения напряжения—деформации
E.49) содержат производные от этой функции.
Будем искать линейные соотношения между напряжениями и
деформациями для термоупругой задачи, предполагая, что
F0 = a0 + о^х» + A/2) а^Чцвае, E.55)
где aQ, afr и а*-^ являются функциями от Г и aXva& = а°рх-д.
Тогда из E.53) и E.55) получим
jv^ttvte^ + tp. E.56)
Если обозначить температурные деформации через е^, то получим
а)» = - aX|WXp4e E.57)
и соответственно
о^ = а^(е^-е^), E.58)
так как требуется, чтобы ок* — 0 при еХA == е^. Можно получить
соотношения, обратные E.58)з
е^=Ьх^э^Э + ^- E-59)
Уравнения E.59) показывают, что для линейной зависимости
температурные деформации можно трактовать как начальные де-
деформации. Выражения для двух функций А (еХ[1; е^) и
В (аХ|1; ejjjj, соответствующих E.47) и E.48), выводятся из соот-
соотношений E.58) и E.59);
E.60)
В (о*; еЫ = (\12)Ъ^ок»оа* + е1а%». E.61)
Когда материал является упруго- и теплоизотропным, то можно
выбрать
4» = *Хд E.62)

138 Часть А. Формулировка вариационных принципов
и вывести следующие соотношения!
0х* = rez; е6>* + 2Ge'>* ~ тёк «X. E-63)
о"+^
E.66)
где бЛд и 6** являются символами Кронекера, Если между тем-
температурными деформациями ев и разницей температур 6 постули-
постулируется линейная зависимость, то можно написать
е' - об, E.67)
где а — коэффициент теплового расширения.
Температурные напряжения возникают при полетах на боль-
больших скоростях и приводят к одной из главных проблем при проек-
проектировании современных летательных аппаратов. Этим вопросам
посвящено большое число статей; некоторые из них приведены
в списке литературы для удобства читателей.
§ 5.5. Динамические задачи
Рассмотрим тело в исходном состоянии, когда в нем нет ни
напряжении, нн деформации. Пусть на тело действуют массовые
силы Р* (х1, х*, х3, f) и поверхностные силы F* {х1, х*, я3, /) на St,
и задаются перемещения й* (**, хг, х3, /) на поверхности St, где
время t и перемещения йх отсчитываются от исходного состояния.
Задача состоит в отыскании распределений напряжений и дефор-
деформаций в теле, обусловленных движением. Уравнения движения,
согласно C.22), имеют вид
E.68)
где р — плотность тела на единицу объема в начальном состоя-
состоянии, а граничные условия задаются так!
F = F на S, E.69)
и
п—ц на 52, E.70)
где F и а являются функциями времени и пространственных
координат.

Гл. 5. Обобщение принципа виртуальной работы 139
Выведем вариационные принципы для динамической задачи
аналогично тому, как это делалось для системы точек *). Сначала
введем кинетическую энергию
'-Ш4-¦>(*)'"¦ <5-71>
v
где dV = dx1 dx9 dx3 — элементарный объем в начальном состоя-
состоянии. С другой стороны, уравнение E.68) запишем в виде
о?Ч + Р~-р;р=0. E.72)
Хорошо известно, что уравнение E.72) можно получить
из C.22) заменой Р на Р — р (dzr/dt2) с использованием принципа
Даламбера.
Обозначим действительную траекторию произвольной точки
упругого тела (х1, х2, хг) через г (х1, хг, х*, i), а произвольную
виртуальную траекторию вблизи г через 1г (х%, х*, х*, t) и по-
положим
г = г + бг. E.73)
Заметим, что бг (хг, х%, х*, t) представляет собой вариацию г
а момент времени t. Тогда получим
АГ = Т (г) - Т (г) = 6Г + 68Г, E.74)
где 8Т и 8гТ — первая и вторая вариации Т соответственно,
а 67" имеет вид
Используя вариацию бг, определенную таким образом, и следуя
результатам § 3, имеем
+ JJ(F-F).6rdS = O. E.76)
s,
Следовательно, можно определить о%», и и их с помощью соот-
соотношений
ob=a*jL.t E.77)
г = г@) + о, E.78)
а = и\, E.79)
') См. приложение В.

140 Часть А. Формулировка вариационных принципов
где г'0' — радиус-вектор точки тела в исходном состоянии. Тогда
заметим, что соотношения
о* - о"к E.80)
справедливы для динамической задачи, и, следуя рассуждениям
гл. 3, преобразуем E.76) к виду
E.81)
где условия
бп =- 0 на S8 E.82)
выставляются в качестве дополнительных условий. Уравне-
Уравнение E.81) будем называть первым выражением принципа вир-
виртуальной работы для данной динамической задачи.
Далее проинтегрируем уравнение E.81) по времени от I =» ?,
до t = tt и получим
(
It I V
— Jf F.6rdS) Л = 0. E.83)
С помощью интегрирования по частям получим
|
v I/,
II,
Ш&г л \U ( dt dfo

Гл. 5. Обобщение принципа виртуальной работы 141
Используя соглашение о том, что значения г при t = tx и / = tt
заданы, так что
г(х\ х\ я*, у = F(x\ х\ х», у.
(о.85)
г (Л х\ х». « = r(S Л х3 /)
и, следовательно,
6r(xS Л х\ ^) = 0, 6г(х\ х», х3, ^ = 0, E.86)
найдем, что члены р (dr/d/).6r|'j в E.84) равны нулю. С другой
стороны, вводя кинетическую энергию, определенную в E.71),
найдем, что подынтегральное выражение в последнем члене вы-
выражения E.84) равно, согласно E.75), первой вариации кинети-
кинетической энергии. Следовательно, имеем
\ E.87)
Используя эти соотношения, получаем
, E.88)
s, I
где
е* - A/2) («? й + «% + «Г ь«Г р)- E.89)
Уравнение E.88) будем называть вторым выражением принципа
виртуальной работы для данной динамической задачи.
Если существует функция энергии деформации, определяе-
определяемая C.51), то вариационный принцип E.88) приводится к виду
и
абГ - bU + JJJ Р-6гdV + JJ F-бг dS~\ dt = 0, E.90)
v s, J
где U есть энергия деформации упругого тела:
x)dV. E.91)
JJJ
Вариационный принцип E.90) удобен для приложения к ди-
динамическим задачам теории упругости, когда внешние силы не
потенциальны.

142 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Если, кроме того, существуют два потенциала Ф и ?, опре-
определяемые уравнениями C.66) х), то упомянутый вариационный
принцип сводится к уравнению
б| |>_ и — J f J <DrfV — JJ 4dS]dt = О, E.92)
где вариация берется по отношению к ы\ Уравнение E.92) пред-
представляет собой принцип Гамильтона, применяемый к динамической
задаче для упругого тела. Он гласит: среди всех допустимых
перемещений удовлетворяющих заданным геометрическим гранич-
граничным условиям на S2 и заданным условиям на концах t — tx и
t = t2, действительное решение придает функционалу
J \T-U -\\\
<bdV- Jj^dSl dt E.93)
стационарное значение.
Этот принцип является обобщением принципа стационарности
потенциальной энергии C.68) на динамические задачи. Его можно
обобщить и далее аналогично тому, как это делалось в § 3.9.
Мы будем использовать E.90) в последующих формулировках,
чтобы учесть непотенциальные силы, и будем рассматривать
приближенное решение задачи в предположении, что перемещения
тела могут быть выражены Q помощью дискретного числа обоб-
обобщенных координат qh (k = 1, 2, ..., r)i
их - и* (Д Д х*; <7„ fc, • • •, <7,5 0. E-94)
где обобщенные координаты являются функциями времени. Выра-
Выражения E.94) выбираются таким образом, чтобы выполнялись
геометрические граничные условия иа Sa независимо от числа
обобщенных координат. Из уравнения E.94) имеем
г, E.95)
где (') = d ( )ldt, a
E.96)
*) Следует заметить, что Ф и V содержат I как параметр, поскольку вариа-
вариация о берется в момент времени (.

Гл. 5. Обобщение принципа виртуальной работы 143
(напомним, что вариация бг берется в момент времени Q. Под-
Подставляя E.94) и E.95) в уравнения E.91) и E.71), выразим функ-
функцию Лагранжа
L~T—V E.97)
через переменные ?» и qh. С учетом этих предварительных заме-
замечаний два первых члена в левой части E.90) преобразуются к виду
I, г
VI
±
где использовались условия
&7* (У = 0, 6qh (У = 0, А - 1, 2 г, E.99)
соответствующие ранее сделанным предположениям E.86).
Используя E.96), найдем, что оставшиеся члены в уравне-
уравнении E.90) приводятся к виду
t
Р-бг dV + jl F«6r dS = 2 Qubqu, E.100)
где
\\\
k\\f'zkdS' *-1( 2 л EЛ01)
V S,
называется обобщенной силой. Подставляя E.98) и E.100) в E.90),
получим
<5Л02)
Так как вариации 6^ независимы, то из этого уравнения следует
система г уравнений
?-<Ь *=1«2 л EЛ03)
Эти уравнения являются уравнениями движения Лагранжа
для упругого тела. Вопросы приложения этих уравнений к дви-
движению упругих тел излагаются в работах 116—181.

144 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Формулировки вариационных принципов, приведенные выше,
были даны в рамках теории конечных перемещений. Однако они
могут быть получены и для малых перемещений с помощью из-
известной процедуры — линеаризации соотношений деформации—
перемещения E.89).
§ 5,6, Динамические задачи для упругого тела
с начальными напряжениями
Рассмотрим упругое тело, находящееся в положении стати-
статического равновесия. Предположим, что начальное состояние тела
характеризуется начальными напряжениями ст<0) х>\ определен-
определенными так же, как и в §5.1, и удовлетворяющими уравнениям
равновесия
ol?l*» + Pmi' = 0 в V E.104)
и механическим граничным условиям
ат ^ = F(o) \ E.105)
заданным на поверхности тела.
Рассмотрим динамическую задачу для упругого тела с на-
начальными напряжениями, предполагая заданными дополнитель-
дополнительные массовые силы Рх, дополнительные поверхностные силы Fx
на Sx и перемещения й% на поверхности S2, где перемещения от-
считываются от исходного состояния. Заметим, что Рх, Fx и «*¦
являются заданными функциями времени и пространственных
координат. Тогда второе выражение принципа виртуальной ра-
работы для данной задачи примет вид
_JJJ(p<°)+p).6rdV- JJ(F@) + F).8rdsld* = 0, E.106)
V S, J
где
г = г<0) + и = г@) + ых1н, E.107)
eXfL = A/2) К „ + <x + «Г х«: Д E.108)
p(O)=p(O)x, p = *
_.„. _.o.
F(Q) = F@)
u
_.„. _.o. _ _, E.109a, b, c, d)
F(Q) = F@) |jt p = FKh
8и = 0 на Sa. E.110)

Гл. S. Обобщение принципа виртдальной работы 145
Ниже ограничимся лишь выводом определяющих уравнений,
считая перемещения малыми: ик = О (е) и a<°'Xtl = О A). Тогда,
проделав некоторые выкладки, сведем принцип виртуальной ра-
работы E.106) к виду
J JJJJ [
)d* = 0, E.111)
где
e^ = (l/2)K,i + «%) E.112)
и
ич = ы" на S2. E.113)
Здесь при выводе E.111) использовались уравнения E.104)и E.105).
Если соотношения напряжения—деформации
о** = 0ми*** E.114)
таковы, что существует функция энергии деформации, определен-
определенная выражением
Л = A/2) a^Vnea,,, E.115)
то принцип виртуальной работы E.111) сведется к виду
i* = 0, E.116)
i,l v s, J
где
Г = JJJ A/2) puVdV, E.117)
v
(/= ff f A(uK)dV E.118)

146 Часть А. Формулировка вариационных принципов
с дополнительными условиями E.113). Если, кроме того, суще-
существуют потенциальные функции Ф и У, определенные выраже-
выражениями
6Ф = -"Р* 6и\ № = - F*6u\ E.119)
то принцип E.116) сводится к уравнению
\\dS\dt = 0 E.120)
с дополнительными условиями E.113), а варьируемой величиной
является ыи. Принцип E.120) является принципом Гамильтона,
примененным к динамической задаче с начальными напряже-
напряжениями.
В заключение этого параграфа рассмотрим свободные коле-
колебания упругого тела с начальными напряжениями. С этой целью
воспользуемся первым выражением принципа виртуальной
работы, которое для задачи о свободных колебаниях записывается
в виде
\\\ [(о@)» + о*) &* - Р<щ.бг) dV +
v
+ \\\ р %-bvdV - JJ F@).6rdS = 0, E.121)
V S.
где предполагается, что перемещения тела равны нулю на 5а
п = 0 на Sa. E.122)
Ограничимся рассмотрением случая малых перемещений, пред-
предполагая Ф = О (в) и а'0»^ = О A) и пренебрегая членами более
высокого порядка малости в E.121). Тогда после ряда преобра-
преобразований получим
fix6«"dV = 0. E.123)
Известно, что перемещения и" изменяются синусоидально по t,
а именно
в" [х\ Д Д 0 = й" (х1, х*ш х3) sin at. E.124)

Гл. 5. Обобщение принципа виртуальной работы 147
где 2м и <о — амплитуда и угловая частота свободных колебаний
соответственно. С помощью E.112) и E.114) величины о*-* и вх„
из E.123) представляются линейными функциями ин. Помня
об этом, подставим E.124) в E.123) и для получения принципа
виртуальной работы разделим полученное выражение на общий
множитель sin* <o/. Для простоты здесь и ниже обозначение 2м
заменим иа более привычное и". Принцип виртуальной работы
примет вид
Ш I0"**+4- °10) * б("? а )}dV -
JJJU*6VedK=0, E.125)
где
е^==A/2)(«^ + <0. E.126)
0М» _ дЛйвЭ^ E.127)
и
и" - 0 на S2. E.128)
Очевидно, что принцип E.125) сводится к следующему!
6 {ф [A/8) а*
©* HI pu*u"dV = 0, E.129)
где варьируемыми величинами являются их о дополнительными
условиями E.128).
Определяющие уравнения и граничные условия для задачи
о свободных колебаниях можно получить из функционалов E.125)
или из E.129) обычным путем.
§ 5,7§ Динамические задачи для незакрепленного тела
В последнем параграфе этой главы рассмотрим динамические
задачи для незакрепленного тела [18—20]. Пусть прямоуголь-
прямоугольная декартова система координат (X1, Хш, X3) фиксирована в про-
пространстве. Обозначим единичный вектор в направлении оси Хк

148
Часть А. Формулировка вариационных принципов
через ix, как показано на рис. 5.1. Пусть другая прямоугольная
декартова система координат (х1, хЛ, ха), называемая осями тела 1),
фиксирована в теле в исходном его состоянии, в котором напря-
напряжения и деформации отсутствуют. Будет использован подход
Лагранжа, т. е. набор величин (х1, х%, х3), характеризующих
местонахождение произвольной точки тела относительно его осей
Рис. 5.1. Неподвижная в
связанная с телом систе-
системы координат.
в исходном состоянии, будет использован для задания положения
точки во время движения. Радиус-вектор точки тела в момент
времени t дается выражением
г=го + г@) + и. E.130)
Здесь Го — радиус-вектор начала связанной с телом системы
координат, г@) — радиус-вектор точки тела в исходном состоянии
в связанной системе координат, п — вектор перемещений. Ком-
Компоненты двух последних векторов в связанной системе координат
определяются следующим образом!
г<0) = /k*,, a = a*kjt, E.131)
где к), — единичный вектор в направлении оси ж*. Так как
dt
X
E.132)
где
<в =
qkt + rk,
E.133)
•) Указанная система обычно называется связанной систеиой координат. —
Прим. ред.

Гл. 5. Обобщение принципа виртуальной работы
149
есть вектор угловой скорости движущейся системы координат,
то получим
^r(o) jOj dn_ rf*u ,
,. = фф X I* в /44 *™~ /f# I " i @.104), IO.IijOi
at и* •*•
где d* ( )Jdt обозначает частную производную, а единичные век-
векторы kx (Л. = 1, 2, 3) остаются постоянными. Например, d*n/dt—
С использованием этих соотношений получим
dt
dt
И1 о . я'И , /_№) | «Л /с 1 ое\
ass —тт А ут + © X 1Г -Г- ОI. @.1ООI
dt at
Определим ориентацию связанных в телом осей по отношению
к неподвижной системе координат с помощью углов Эйлера1), как
Рис. 5.2. Угла Эйлера. Переход от не-
неподвижной системы координат (X», X»,
X3) к связанной с телом подвижной си-
системе (х1, хг, х3) определяется тремя по-
последовательными вращениями. Сначала
оси (X*, Ха, X3) поворачиваются во-
вокруг оси X3 на угол ф, и получаются оси
(Ч1, 4*1 X3)- Затем оси (ч1. Ча» X3) пово-
поворачиваются вокруг оси ча иа угол 6, н
получаются оси (х*, ча, Ч3)- Наконец, оси
(ж1, 4ai Is) поворачиваются вокруг оси ж1
на угол 0 для совмещения с осями (х1,
ха, Xs). Три угла 0, 6 и tj>, называемые
углами Эйлера, определяют ориентацию
система координат (*1, хг, Xs) единствен-
единственным образом.
показано на рис. 5.2, и выпишем следующие геометрические и
кинематические соотношения [21—23 li
"cos 9 cos ф,
— cos 0 sin
sin 0 sin 6 cos ф,
sin0sini|> +
cos 0 sin 0 cos ф,
cos 0 sin t)>,
COS 0 COS 1|> -f-
sin 0 sin 6 sin ф,
sin 9
sin 0 cos 6
— sin 0 cos i|> +
cos 0 sin 0 sin ф, cos 0 cos 9
E.137)
= 0"—ij>sine,
» 6 COS 0 -{- ij) Sin 0 COS 6,
¦ — в sin 0 + ij> cos 0 cos 6.
E.138)
*) Введенные автором углы на самом деле аналогична углам Эйлера—Кры-
Эйлера—Крылова (см. Шилиискнй А. Ю., Ориентация, гироскопы н ииерцнальиая нави-
навигация. — Н.: 1976). —Прим. мрев.

150 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Используя E.136), можно представить кинетическую энергию
тела в следующем виде:
Вектор г0 зависит только от времени. Соответственно имеем
дг/дхк = д (г<0) + и)/дхк, а соотношения деформации—переме-
деформации—перемещения принимают вид
«щ = A/2) (и^ + и!\ +«Г *«?»)• E.140)
С использованием соотношения E.130) и согласно E.136) и E.138)
получим выражение для виртуального перемещения;
бг = бг0 + биЧ + б'ех (г@) + и), E.141)
где
б'е = фф - 6i|> sin 6) kx -f F9 cos ф + 6i|> sin ф cos 9) k2 +
+ (—69sln0 + 6i|5Cos0cos9)k3. E.142)
Рассмотрим динамическую задачу для незакрепленного тела,
считая, что, кроме массовых сил Р (х1, х%, x*f Q, на поверхность
тела S действуют заданные внешние силы F (**, х%, х*, f). В этом
случае второе выражение принципа виртуальной работы для
динамической задачи в случае незакрепленного тела запишется
в виде
f Г f f f ^be^dV -ЬТ - f f f p.erdV - f J F-6r dS] dt = 0,
u[ v v s J
E.143)
который, если существует функция энергии деформации, сводится
к следующему»
j Г
ГбТ - 6?/ + J f J P-6rdV + J J F. 6rdS] dt == 0. E.144)
Поскольку динамические задачи выходят за рамки круга вопро-
вопросов этой книги, рассмотрим лишь два частных случая. В качестве
первого примера рассмотрим движение абсолютно твердого тела,
для которого вектор деформации а равен нулю для всех точек

Гл. 5. Обобщение принципа виртуальной работы
151
тела. Поместим начало системы координат, связанной в телом»
в центр масс тела. Тогда уравнения E.139), E.141) и E.144)
сведутся к следующим!
Т - тйй
/ ГбГ + \\\ Р-бг dV + Jf F-бг dSl dt
E.145)
E.146)
0. E.147)
Для последующих рассуждений запишем уравнение E.145) в дру-
другой форме>
+ -у У*? + W + V + 2/„/*7 + 2/^г + 2/K,pr), E.148)
где М, /ж, /у, /z и /KV, Jyz, Jxl — масса и моменты инерции тела,
определенные соответственно выражениями
E.149)
E.150)
где вместо х1, Xs, Xs используются обозначения х, у, г.
Введем кинетический момент относительно центра масс абсо-
абсолютно твердого тела о помощью выражений
ял
яв =
Л. h
I. .
E.151)

152 Часть А. Формулировка вариационных принципов
и определим полную производную N вектора Н следующим об-
образом:
м <Ш d*H , „
N + <BxH
qHz-rHy)kx
+ (Hz + pHy-qHx)k3. E.152)
Заметим, что из уравнений E.138) следует
6р = 6ф + б'ф sin 9 — ojj cos 969,
6G = 60 cos ф + 6ij> sin ф cos 9 +
+ (— 0 sin if + ф cos ф cos 9) 6^ - ф sin ^ sin 969,
6r = — 60 sin ф + 6ij) cos ф cos 9 —
— @ cos ф + i|> sin ф cos ^) 6^ —
— tj) cos ^ sin 969. E.153)
Возвращаясь к E.148), получим
67 = M-^--^- + Hxbp + Hybq + Hzbr. E.154)
С учетом E.153) имеем
HJ>p + Я„6<7 + ^Z6r =
= НхЬф + [Я„ cos ф - Нг sin ф] 69 +
+ [Яя sin 9 + Ну sin ф cos 9 + Яг cos ф cos 9] 6tj> +
+ [Hv (— 0 sin ф + Ф cos ф cos 9) — Яг @ cos ф +
+ -ф sin ф cos 9)] 6^ + [— Hx$ cos 9 —
— Hvi> sin ф sin 9 — Я^з cos ф sin 9] 69. E.155)
Подставляя E.155) в E.154) и выполняя интегрирование по час-
частям, после некоторых преобразований получим
J 6Tdt=- J |Af-^-.6ro + N.6'e}d*. E.156)
Здесь было использовано соглашение о том, что вариации 6rQ,
6<?, 69 и 6ifi равны нулю при / = tx и t = tt.

Гл. 5. Обобщение принципа виртуальной работы 153
Подстановка E.156) в уравнение E.147) приводит к соотно-
соотношению
— JJ J Р-(8'в х г««) dV — J J F-6rodS —
> ldt = O. E.157)
s I
Так как вариации 6rG, Ьф, 68 и 6tfi произвольны, то из E.157)
получим шесть уравнений движения твердого тела, которые
в векторной форме принимают вид*)
E.158)
-gL = JJ J (r@) x P) dV + JJ (r<0) x F) dS. E.159)
V S
В качестве второго примера рассмотрим слабовозмущенное
движение упругого тела. Предположим, что перед тем, как на тело
подействовало слабое внешнее возмущение, оно с постоянной
скоростью двигалось прямолинейно. Состояние движения тела
с постоянной скоростью выберем в качестве исходного состояния
и будем считать, что начало связанной с телом системы координат
совпадает с центром масс тела, причем ось х1 совпадает с направ-
направлением постоянной скорости. Углы Эйлера отсчитываются от
исходных осей, направления которых совпадают с осями тела при
прямолинейном движении.
Пусть теперь на тело подействовало слабое внешнее возмуще-
возмущение. Следуя [18], можно выразить упругие перемещения через
нормальные формы колебаний незакрепленного упругого тела
в виде
u = f Ф, (х\ А х3) h (t), E.160)
где Фг есть t-я форма собственных колебаний. Теперь мы полу-
получим уравнения движения незакрепленного тела из принципа вир-
виртуальной работы E.144), в котором независимыми величинами
являются 6г0, 6^, 68, 6ifi и 6|4 (t = 1, 2, ...). Пренебрегая
1) Здесь при выводе используется формула а(Ь X с)=Ь(с X а) = с- (аХЬ),
где a, b и с — произвольные векторы.

154 Часть А. Формулировка вариационных принципов
величинами более высокого порядка, можно свести эти ур авне
ния к линеаризованным. О подробными выкладками читатель
может ознакомиться в [18].
До еих пор мы выводили принцип виртуальной работы и свя-
связанные с ним вариационные принципы для различных упругих
задач. В последующих пяти главах эти принципы будут приме-
применяться к различным задачам стержней, балок, пластин, оболо-
оболочек и дискретным конструкциям. В этих приложениях материал
тела будем считать изотропным и однородным и будем пользо-
пользоваться теорией малых перемещений, если обратное не оговорено.
Далее в этих задачах мы будем использовать обычные обозначе-
обозначения. В гл. 7—9 вместо их будут применяться обозначения и,
v и w, а символы и, о и ш будут использоваться для обозначения
компонент вектора перемещений срединной линии балки или
срединной поверхности пластин и оболочек. Мы также будем ис-
использовать обозначения ах, av, ... и тх„ даже в случае конечных
перемещений с пониманием того, что эти символы соответствуют
величинам а**, определенным в гл. 3 и 5.
Упражнения
Задачи к § 5.1 ¦ 5.2
1. Покажите, что принцип E.5) можно записать в криволинейной систем
координат следующий образом:
2 . =0.
где т@) ** в *** являются начальными н добавочными напряжениями в криво-
криволинейной системе координат н где использованы соотношения D.40) илн D.41).
2. Покажите, что для задачи с начальными напряжениями из E.5) можно
вывести другое выражение дли функционала принципа стационарности потен-
потенциальной ввергни
П = J [ J
; о<°> *») + Ф («Л)] dV +
S,
где A (exit*, o@)Xu) определяется с помощью E.10) и где использовано соотно-
соотношение E.6).
3. В §3.10, 3.11 и 5.2 формулировались задачи устойчивости. Обсудите
связь между этими формулировками.
4. В § 5.2 предполагалось, что при потере устойчивости как заданные мас-
массовые силы, так н поверхностные силы иа Sx не изменяются ни по величине, ин
по направлению и что тело жестко закреплено иа Sa. Покажите, что если заданные
массовые силы н поверхностные силы на St являются следящими силами, а именно

Гл. 5. Обобщение принципа виртуальной работы 155
изменяющимися в процессе потери устойчивости по величиие в (или) по направ-
направлению, то принцип виртуальной работы запишется в виде
J J J [о^бем, + йа<°> хух6ы* „ _ рЧих) dV - J J FW dS = 0, (i)
V S,
где
«Л = 0 на Sj, (iii)
а Р*" в ?* являются компонентами добавочных массовых в поверхностных свл
иа S{ смежной равновесной конфигурации.
Задача к § 5.3 в 5.4
5. Покажите, что если в вадаче с начальными деформациями ограничиться
малыми перемещениями, то можно доказать, что решение задачи можно получить
из условия минимума полной потенциальной энергии в из условия минимума
полной дополнительной энергии.
в. Рассмотрим в рамках теории малых перемещений задачу о температурных
напряжениях в изотропном упругом теле при распределении температуры
6 (х, у, г). Докажите, что функционал принципа минимума потенциальной энер-
энергии для тела со свободной границей дается выражением
где и, v и at — компоненты перемещения, отсчитываемого от исходного состоя-
состояния, функция А (и, v, w) определяется из B.4), а в = Е ав/A — 2v). Докажите
также, что при помощи формулы Грииа это уравнение преобразуется к виду
— Г Г
(в1и + вто + впа>) dS,
отвуда следует, что даниая задача эквивалентиа упругой задаче прв наличии
массовых сил (—дв/дх, —дв/ду, —дЭ/дг) в гидростатического давлеивя —в,
распределенного по всей поверхности тела.
7. Покажите, что уравиенвя E.63)—E.66) можно записать в обычных обо-
обозначениях следующим образом:
xvz = 208^, т« = 20eM, xxy =« 20еж„;

156 Часть А. Формулировка вариационных принципов
e lo v <
= -j- 1°г — v (о» + oe)l + е9,
2(l+vHl-2v) (e
с О
+ 2 A+ v) D, + 4, + ^ - oyoz _ azam - ояоу)} +
+ e*(ox + ov + oz). (iv)
Получите выражения для A (e^j ej^) в В (oXlll е®д) непосредственно нэ урав-
неннй (i) в (ii) соответственно.
8. Покажете, что в вадаче о температурных напряжениях в тонкой пластине
соотношения напряжеивя—деформации в выражения для А (еХA; е^) в В (о*-*1;
ejjJu) даются выражениями E)—(8) првложеиия I.
Задача к § 5.5
9. В § 5.5 принцип Гамильтона был выписан в лагранжеввх переменных.
Прочитайте работу [25], в которой принцип Гамильтона формулируется в эйле-
эйлеровых переменных о приложениями в теории больших деформаций в задачам
течений.
Задача в § 5.6
10. В задаче 4 этой глава рассматривалась задача статической устойчивости
упругого тела с начальными иапряжениямв при наличии следящих сил. Пока-
Покажите, что соотношение E.111) можно использовать для задачи динамической
устойчивости упругого тела с начальными иапряжеивямн при налвчвв следящих
сил.
Задача к § 5.7
П. Запишем направляющие косинусы между двумя прямоугольными де-
декартовыми системами координат (дс1, ж*, дс8) и (X*, Х%, X3) с помощью таблица
ж»
ж»
Л*
X»
'i
h
X*
т,
X»
«I
л*
я»

Гл. 5. Обобщение принципа виртуальной работы 157
в определим матрицу направляющих косинусов \L\:
т
/а ma я« I.
'a «a »aJ
Покажите, что если система координат (х1, х*, х3) поворачивается вокруг осей х1,
х3, х3 на углв Ф, 6 иi|) соответственно, то матрица направляющих косинусов новой
системы (хг, х*, х3) дается выражениями
1Р1(Ф)]Ц]. lpt(Q)UL]. IPiiWlL],
где
[1 ООП Гсовв 0 —sin 81
О cos* sin* I [p,F)l= 0 1 0 I
0 —sin* cos*J Lsl"e 0 cosBJ
[cos \(> sin ф 01
-sinip cost|> 0 I
0 0 lj
Докажите также, что соотношение E.137) получается при помощи следующего
умножения матриц:
12. При ввводе E.158) в E.159) из E.157) в качестве независимых величии
былв выбранв вектор 6rfl в три скаляра 8ф, 66 и 6\J>. Докажите, что те же урав-
уравнения можно получить, представляя вектор г в виде
влв в виде
в рассматривая (xQ, yQ, zQ, Ф, 6, tp) или (I, r\, g, Ф, в, ip) соответственно в ка-
качестве системы обобщенных координат.

Глава 6
КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
§ 6,1. Теория кручения Сен-Венана
В этой главе рассматривается теория кручения Сен-Венана
цилиндрического стержня. Поперечное сеченне стержня с пло-
площадью S предполагается односвязным, если не оговорено обрат-
обратное. Пусть ось г выбрана по направлению образующей цилиндра,
а оси х и у лежат в плоскости его поперечного сечения, как пока-
показано на рис. 6.1. Кручение стержня осуществляется приложе-
приложением крутящих моментов на обоих его концах, в то время как
боковая поверхность свободна от нагрузки. Механические гра-
граничные условия на концах г = 0 и г = / задаются соответственно
условиями _ _
Xy = -Xz, Yy = -Yz, Zv = 0 F.1)
и
Ху = Хг, YV=YZ, Zv = 0, F.2)
которые определяют крутящие моменты
М
= \j(Ytx-Xj))dxdy. F.3)
Компонента перемещений и, v и w для цилиндрического стерж-
стержня при кручении имеют вид [1, 2]
и = —<ty, v — Фх, w = w (х, д, г), F.4)
где О = О (г) — угол закручивания поперечного сечения вокруг
оси г, являющийся функцией г. Соотношение F.4) означает, что
ненулевыми компонентами тензора деформации являются лишь е„
Тм и Ъг> которые задаются выражениями х)
dw dw db dw . db /R -4
У Ъг = -%-+-аТх- F.5)
В теории кручения Сен-Венана предполагается, что деформации
стержня не зависят от г1). Это означает, что w (x, у, г) и dft/dz
*) В гл. 6—8 вместо угх в xzx (см. F.8)) будут в основном использоваться
обозначения уХг в ххг.
а) Приближенные постановки вадач неоднородного кручении рассматри-
рассматриваются в задачах 13 и 14.

Гл. 6. Кручение стержней
159
не зависят от г. Следовательно, можно написать
и = — Qyz, v = 9хг, w = w (х, у)
F.6)
F.7)
Рис. 6.1. Кручение стержня. Рис. 6.2. Направления е в v.
где 6 = d&ldz. Соответственно единственными отличными от нуля
компонентами тензора напряжений являются т„ и %уг, которые
связаны с ^ и fyj соотношениями
%* - GV«« Ьш - О?»- F-8)
С учетом этих предварительных соображений принцип вир-
виртуальной работы для теории кручения Сен-Венана может быть
выражен в виде (см. уравнение A.32))
O, F.9)
S
где длина цилиндра считается равной единице (это допустимо
благодаря независимости деформаций от координаты г). После
некоторых преобразований принцип F.9) приводится к виду
И № + Hit
F.10)
I bwdxdy -f
s с _
(хугх - %хгу) dxdg - Al\ 69 = О,
где I к т — направляющие косинусы внешней нормали v, взятой
на граничном контуре С. Если контур С задается соотношениями
х = х (s) и у = у (s), где s измеряется вдоль контура, как пока-
показано на рис. 6.2, то
/ = dy/ds, m = —dxlds. F.11)

160 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Так как вариации 6w и 69 произвольны, из уравнения F.10)
получаются уравнение равновесия и граничные условия:
*S-+ijjL = O в S, F.12)
««1 + Чгт = 0 на G F.13)
и
M = l\(Tyzx-<sxzy)dxdg. F.14)
Один из путей получения решения состоит в исключении напря-
напряжений и деформаций ххг, xvz, ухг и ууг из соотношений F.7), F.8),
F.12) и F.13). Учитывая F.11), в итоге получаем
где
w = вф (дс, у) F.17)
Таким образом, функция ф, называемая функцией депланации,
является гармонической функцией, которая удовлетворяет гра-
граничному условию F.16). Получив решение задачи, из F.14)
найдем
\\[^^ ] F.19)
Это означает, что крутильная жесткость поперечного сечения
равна GJ, где
№[%% ] F-20)
s
Задача кручения Сен-Венана хорошо изучена. Эта задача ре-
решена для различных форм поперечного сечения стержня: круга,
эллипса, квадрата, прямоугольника и т. д. Читатель, интересу-
интересующийся этими решениями, может ознакомиться с ними, например,
по работам [1—31.

Гл. 6. Кручение стержней 161
§ 6.2. Принцип минимума потенциальной энергии
и его преобразование
Нетрудно видеть, что функционал B.12) с учетом соотноше-
соотношений F.1), F.2), F.6) и F.7) описывает полную потенциальную
энергию в задаче кручения Сен-Венанах)
s
где длина цилиндра берется равной единице. Можно доказать
свойство абсолютного минимума полной потенциальной энергии
на действительном решении задачи. Проведя выкладки, анало-
аналогичные проделанным в гл. 2, обобщим выражение F.21) следую-
следующим образом:
{4?
- (ivz --%—ех) Ц их dy-QM, F.22)
где независимыми функциями и скалярной величиной, подлежа-
подлежащими варьированию, являются yxz, yyz, xxz, xyz, w и Э. Так как
первая вариация от Пг дается выражением
вПж = JJ [(О?« - ««) 6y« + (Gyyz -
s
- (?.. - -|- + 9») в,„ - (Т„ —? - te) *.„ -
+ J (Т?хг^ + '5»гт) 8wdS —
С
- Ш - J J (xvzx - *xzy) dx dy\
69, F.23)
то легко показать, что все условия, которые определяют рассмат-
рассматриваемую задачу кручения, могут быть получены из условия ста-
стационарности IIi.
Теперь используем в качестве дополнительных условий усло-
условия стационарности
Gyxz = tXZ) Gyyz = %yz, F.24)
"Xxz i OXyz n _ о /с ОС\
—т \- —~— = U В о. (O.^D)
дх ' ду v '
xxzl + xyzm = 0 на С, F.26)
l) Приведенный ниже функционал можно получить из принципа виртуаль-
виртуальной работы F.9) о учетом F.7) в F.8).
6 к. B«cna»v

162 Часть А. Формулировка вариационных принципов
которые означают исключение yxz, yyz ишнз Пг. Так как F.25)
автоматически выполняется с помощью введения функции напря-
напряжений ф (х, у), определяемой соотношениями
««2 = -щ-» «»* = — -&Г' ^-2Т>
то в последующих рассмотрениях используем функцию ф вместо
F.25). Тогда, учитывая F.11), уравнение F.26) можно записать
в виде
_d0_jf?_ дФ_4х_ _ бф_ _ „
dg ds + dx ds ~ ds ~ '
или, что эквивалентно, в виде
ф=с0 F.28)
на границе С, где с0 — постоянная интегрирования. Поскольку
поперечное сечение стержня предполагается односвязным, без
ограничения общности можно положить
ф = 0 на С. F.29)
Таким образом, исключение yxz и yyz из уравнений F.24) и вве-
введение функции напряжений ф, определенной с помощью F.27),
преобразуют Пг в Пц:
F.30)
с с
Наложение условия F.29) упрощает выражение F.30):
"=" f J {-i-[C*)'+ (ТГ)'] - **}**-•». F.3!,
Это выражение является окончательным результатом, получен-
полученным из Пг путем исключения yxz, yyz н w с учетом соотноше-
соотношений F.24)—F.26).
В выражении Пш, полученном выше, независимыми функцией
и скаляром, подлежащими варьированию, служат ф и 9 соот-
соответственно, причем ф удовлетворяет условию F.29). Дальнейшее
упрощение уравнения F.31) приводит к следующим условиям
стационарности:
|*+|* +209=0 в S, F.32)
F.33)
где F.29) рассматривается как дополнительное условие. Урав-
Уравнение F.32), полученное таким образом, является условием сов-

Гл. 6. Кручение стержней 163
местности в задаче кручения. Непосредственное доказательство
будет состоять в следующем; используя F.7), F.8) и F.27), по-
получаем
дш , , дш ,
dm dx + du
y. F.34)
Интегрируя это выражение вдоль произвольного замкнутого
контура в области 5, находим
<6-35>
где знак скобок | tZ ! означает возрастание заключенной в него
функции при одном обходе замкнутого контура. Символ -ф озна-
означает интеграл по этому контуру, а интеграл по площади определен
как интеграл по области, ограниченной замкнутым контуром.
Таким образом, уравнение F.32) означает отсутствие разрывов
перемещения w.
Более того, если условие F.33) берется в качестве еще одного
дополнительного условия, то Пш можно преобразовать в вы-
выражение Йс:
п. —#^
.
в котором независимой функцией, подлежащей варьированию,
является функция ф, удовлетворяющая дополнительным усло-
условиям F.29) и F.33). Легко проверить, что среди допустимых
функций ф действительное решение придает функционалу Йс
максимум и что вариационный принцип, полученный таким обра-
образом, эквивалентен принципу минимума дополнительной энергии.
Если вернуться от Пс к Пга, то легко видеть, что скалярная
величина 6, входящая в F.31), играет роль множителя Лагранжа,
с которым дополнительное условие F.33) вводится в вариацион-
вариационную формулировку.
В заключение отметим, что в теории кручения Сен-Венана
энергия деформации и дополнительная энергия на единицу длины
стержня даются соответственно выражениями
•S
где М — крутящий момент, приложенный в поперечном сечении
6»

164
Часть А. Формулировка вариационных принципов
§ 6.3. Кручение стержня с отверстием
В этом параграфе мы выведем вариационную формулировку
для задачи кручения цилиндрического стержня с отверстием,
изображенного на рис. 6.3. Обозначим внешнюю и внутреннюю
границы поперечного сечения через Со и Ct соответственно. Пред-
Предположения теории кручения Сен-Венана означают, что опреде-
определяющие уравнения задачи идентичны уравнениям, приведенным
в §6.1, за исключением
дополнительного условия
на контуре Clt где
т«/ + хугт = 0; F.39)
здесь I и т являются на-
направляющими косинусами
нормали внутреннего кон-
контура, направленной в сто-
сторону отверстия. Если нс-
пользовать функцию на-
напряжений ф, определен-
определенную с помощью F.27), то
условие F.39) запишется
в виде
ф = ct на контуре С,,
F.40)
где ct — произвольная константа интегрирования. Ранее мы по-
положили константу интегрирования с0 в F.28) равной нулю. Од-
Однако так нельзя поступить с константами интегрирования ct
(формула для определения величины ct будет дана ниже).
С учетом этих предварительных рассуждении легко показать,
что полная потенциальная энергия П остается той же, что и
в F.21), с той лишь разницей, что интегрирование осуществляется
по области, ограниченной контурами С„ и С;. Однако при обоб-
обобщении вариационного принципа следует соблюдать осторожность.
Обобщение Пх получается так же, как и в F.22); отличие состоит
лишь в области интегрирования и в том, что при переходе от Пг
к Пп следует помнить, что мы имеем дело с двумя границами.
Таким образом, имеем
тт f Г Г 1 Г { дФ\* . / дФ\*-\
Рис. 6.3. Сечение стержня с отверстием.
"i^A-e
F.41)

Гл. 6. Крдчение стержней 165
где направления s и v на контуре Cf показаны на рис. 6.3. Учиты-
Учитывая соотношения F.29) и F.40), выражение Пц можно привести
к следующему виду:
c,Q ^(xl + gm)ds. F.42)
ct
Величинами, подлежащими независимому варьированию, яв-
являются ф, сг и 9, и, следовательно, условия стационарности те же,
что и в § 6.2, за исключением дополнительного условия
\(xl + ym)ds = 0, F.43)
которое получается из требования равенства нулю коэффициента
при бС| в вариации 6ПШ. Заметив, что на границе С, отсчет s
производится по часовой стрелке, получим
ct
= j (xdg- gdx) = - 2At, F.44)
где At — площадь фигуры, ограниченной замкнутым контуром Сг.
Соответственно уравнение F.43) принимает вид [2, 3]
F.45)
Было показано, что для стержня с односвязным поперечным се-
сечением F.32) дает условие совместности. Для стержня с отвер-
отверстием соотношение F.45) дает дополнительное условие совмест-
совместности, которое используется для определения величины ct. Для
доказательства снова используем соотношение F.34), которое,
будучи проинтегрированным по произвольной траектории между
двумя произвольными точками Р и Q, приведет к равенству
Q Q
w(Q)-w(P) = --L l~ds+e \(gdx-xdy), F.46)
р р
где направления s и v на траектории PQ показаны на рис. 6.3.
Так как разрыв до не допускается, то
O F.47)
для произвольного замкнутого контура интегрирования внутри
области, ограниченной Со и С,. Если этот контур интегрирования

166 Часть А. Формулировка вариационных принципов
совпадает с виутреииим контуром Ct, то уравнение F.47) сведется
к уравнению F.45). Таким образом, уравнение F.45) является
дополнительным условием совместности, определенным на внут-
внутренней границе. Используя приведенные выше соотношения, можно
доказать, что уравнение F.47) справедливо для любого замкнутого
контура, лежащего в поперечном сечении, если выполнены со-
соотношения F.32) и F.45). Уравнение F.45) называется усло-
условием совместности в большом для задачи кручения стержня с от-
отверстием.
До сих пор рассматривались только задачи кручения Сен-
Венана, т. е. деформация стержня предполагалась не зависящей
от z. Очевидно, что для полной реализации кручения Сен-Венана
механические граничные условия на обоих концах, а именно
уравнения F.1) и F.2), должны находиться в точном соответствии
с распределением напряжений, получаемых из решения задачи
Сен-Венана. Если стержень конечной длины нагружается кру-
крутящими моментами, приложенными произвольным образом на
концах стержня, то распределение напряжений в стержне может
отличаться от предсказываемых теорией Сен-Венана. Однако,
согласно принципу Сен-Венана, упомянутому во введении к этой
части, распределение напряжений в таком стержне будет откло-
отклоняться от даваемых теорией Сен-Венана лишь локально в окрест-
окрестности концов стержня. Протяженность области этого отклонения
вдоль оси z имеет порядок поперечных размеров стержня, так что
теория кручения Сен-Венана может успешно применяться для
областей, далеких от концов стержня. Приближенные решения
для задачи кручения стержня конечной длины были получены
различными авторами с помощью вариационных методов [2, 4].
§ 6.4. Кручение стержня
с начальными напряжениями
Рассмотрим задачу кручения стержня с начальными напря-
напряжениями. Для простоты предположим, что начальные напряже-
напряжения состоят только из одной ненулевой компоненты а?0), которая
является функцией (х, у) и не зависит от г. Определяющие урав-
уравнения для такой задачи кручения будут получены из принципа
виртуальной работы для задачи с начальными напряжениями
(уравнение E.5)).
Следуя работе [5], предположим, что компоненты перемещений
имеют вид 1)
и = —х A — cos Ф) — у sin Ф,
v = х sin ¦& — у A — cos fl), F.48)
w = 9 Ф (х, у) + eoz,
•) Ср. о соотношениями F.4) и F.17).

Гл. 6. Крдчение стержней 167
где d (z) — угол закручивания, а 9 = dftldz. Предполагается,
что деформации не зависят от г. Это предположение означает,
что 6 и е„ — константы, и позволяет положить длину цилиндра
равной единице. Неизвестными величинами являются Ф (х, у)
и две константы 9 и е0. Из уравнения F.48) получаем
= sin О, |J- = - 1 + cos 0, F.49)
ft» ^Q *" ^ ft **
17 = 1Г0> ~~ду~~Щ~Х)' 1Г
Соответственно из уравнений C.19) имеем
Предполагается, что компоненты деформаций связаны уравне-
уравнениями C.38) с добавочными напряжениями, обозначаемыми че-
через ах, а у, ..., хху.
Нас будет интересовать линеаризованная теория задачи чис-
чистого кручения, и мы будем следовать рассуждениям последней
части §5.1. Так как константа е0 не оказывает влияния на
конечный результат в линеаризованной задаче, то в последующих
выкладках будем считать ее равной нулю. Сначала выпишем прин-
принцип виртуальной работы E.5) для данной задачи. Пренебрегая
членами высшего порядка, найдем, что в вариационном принципе
вклад интеграла по объему описывается выражением
JJ'
: + *угЬчиг + а^Ье„) dx dg, F.51)
где
K2 + yi) да F 53)
Определим компоненты внешней силы F:
F = F.ii + /У, + ?г\% F.54)

168 Часть А. Формулировка вариационных принципов
и зададим их следующим образом: на конце г — О
Fx = -Xz, Fe = -Yz, Fz = _a<0), F.55)
а на другом конце г = 1
~FX = Xr cos 9 — Yz sin 9,
Fy = Xz sin 9 + Yz cos 9, F.56)
? — rr@)
"z — t»i •
Боковая поверхность считается свободной от напряжений.
Здесь Хг и Yг являются внешними силами, которые приложены
к обоим концам стержня и образуют крутящий момент М, опре-
определяемый равенством F.3). Так как виртуальные перемещения
определяются из уравнений F.48), причем
би = 0, 6v = 0, боу = Ф 69 + 9 6Ф F.57)
при г = 0 и
би = —х 66 sin 9 — у 69 cos 9,
8v = x 66 cos 9 — у 69 sin 9, F.58)
bw = Ф 69 + 9 6Ф
при г — 1, то вклад от поверхностного интеграла в вариационном
принципе сводится к величине
- ЛШ. F.59)
Учитывая F.51) и F.59), получаем принцип виртуальной работы
для рассматриваемой задачи. С помощью интегрирования по
частям этот вариационный принцип можно записать в виде
+ 9 J J (л:2 + у') а<°' dxdy - м\ 69 = 0. F 60)
Отсюда следуют уравнения
^-+^- = 0 в S, F.61)
jxzl + %yzm = 0 на С, F.62)
Л? = J f (%угх - %tzy) dx# + eJJ(*» + у2) ai0) dx dp. F.63)

Гл. 6. Кручение стержней. 169
Завершает формулировку линеаризация соотношений напряже-
напряжения—деформации C.38), которая приводит к равенствам
*xz = Gyxz, %yz = Gyyz. F.64)
Подставляя выражения F.52) и F.64) в уравнения F.61)
и F.62), находим, что функция Ф, определенная таким образом,
эквивалентна функции депланации ср, определенной в §6.1.
Соответственно выражение F.63) можно записать в виде выражения
М = Го/ + J J (х* + у') а<<» dx dy] 9, F.65)
которое описывает эффективную крутильную жесткость
G/eH = О/ + f J (хг + у%) ai0) dx dg, F.66)
где / определяется равенством F.20).
Последний член в уравнении F.66) показывает влияние на-
начального нормального напряжения а,0' на крутильную жесткость.
Это влияние можно объяснить следующим образом: поскольку
радиус-вектор произвольной точки стержня после деформации
имеет вид
г = (х + и) 1Х + (д + v) 12 + (г + ») i3, F.67)
то с учетом F.49) получаем
дт/дг = — (х sin d + g cos О) 9^ +
+ (х cos ¦& - g sin О) ei3 + A + е,) i3. F.68)
Таким образом, напряжение a*0' (drldz) приводит к крутящему
моменту вокруг оси г
[(xcosd — у sin О) (а: + и) + (xsind + g cos d) (р + v)] аг0) 9 =
= (хг + уг)ог"в, F.69)
как показано на рис. 6.4.
Видно, что результирующая напряжения af (дт/дг) в плос-
плоскости сечения может не равняться нулю, а приводить к изгибу
стержня, если ось кручения не выбрана надлежащим образом.
Эффективная крутильная жесткость зависит от положения оси
кручения из-за члена (х2 -J- У%)< входящего в интеграл по поверх-
поверхности в уравнении F.66). Однако если начальное напряжение а*0'
таково, что
\\a^dxdy= \\a^xdxdy= \\ alz0)ydxdy = 0, F.70)
s s s
то кручение не приводит к изгибу и для вычисления эффективной
крутильной жесткости можно использовать любое положение оси
кручения [61.

170
Часть А. Форядлировка вариационных принципов
Заметим, что определяющие уравнения для задачи кручения
цнлнндра с начальными напряжениями а?0), а?0), а'0*, %$, т«*
н т^ могут быть выведены аналогичным способом. Если эти на-
начальные напряжения являются только функциями от х и у и
самоуравновешены в цилиндре с боковой поверхностью, свобод-
свободной от внешних снл, то вме-
вместо уравнения F.61) полу-
получится уравнение
9(х cos # - у sin i?)
[_
Рис. 6.4. Компоненты вектора dtldz.
в то время как уравнения
F.52) и F.62)—F.64) оста-
останутся неизменными.
Известно, что наличие
продольного растяжения или
сжимающего напряжения мо-
может вызвать увеличение или
уменьшение крутильной же-
жесткости стержня [7, 8]. В последние годы внимание инже-
инженеров привлекли температурные напряжения, вызванные аэро-
аэродинамическим нагревом элементов высокоскоростных летатель-
летательных аппаратов. Среди трудностей, вызванных темпера-
температурными напряжениями, отмечается уменьшение крутильной
жесткости несущих поверхностей летательных аппаратов [6, 9].
Это уменьшение приводит к снижению области безопасности по
отношению к статическим н динамическим аэроупругим явлениям
при больших скоростях полета.
§ 6.5, Верхняя и нижняя граница
крутильной жесткости
В заключительной параграфе этой главы покажем, что фор-
формулы для верхней и нижней граннц крутильной жесткости можно
получить путем одновременного использования принципов мини-
минимума потенциальной н дополнительной энергии [10—15]. Для
простоты предположим, что сечение стержня односвязно и задача
кручения определяется теми же соотношениями, что н в §6.1.
Сначала нспользуем прннцип минимума дополннтельной энер-
энергии для вывода формулы для нижней границы. Пусть ф и Пе
обозначают функцию напряжений и полную дополнительную

Гл. 6. Кручение стержней 171
энергию, соответствующие точному решению, а ф* и П* — соот-
соответствующие величины для допустимой функции, которая удов-
удовлетворяет дополнительным условиям
F.72)
ф* = О на С. F.73)
Тогда из принципа минимума дополнительной энергии следует
неравенство
Пс < П.», F.74)
где
п.-А-И [(¦?)'+(-?)>*-? F-75>
s
«--А-Ш(^-)'+(¦?-)>*•
S
Теперь предположим, что ф* является линейной комбинацией
функций ф1 (х, у) (i = 1, 2, .... т), так что
Ф* = L fli^i (*. 9). F-77)
и рассмотрим минимальное значение П*. Функции ф\ (х, у) удов-
удовлетворяют требуемым свойствам непрерывности и днфференцируе-
мости в области S и граничным условиям ф% (х, у) = 0 на С,
а коэффициенты at являются пронзвольными константами. Функ-
Функция ф*, выраженная таким образом, должна удовлетворять до-
дополнительному условию F.72). Так как это дополнительное усло-
условие можно ввести в вариационное выражение с множителем
Лагранжа к, то минимальное значение является экстремумом
выражения
где величины Я, и а, (/ = 1, 2, ,.., т) подлежат варьированию.
Проделав некоторые выкладки, получим условия стационарности

172 Часть А. Формулировка вариационных принципов
выражения F.78) по отношению к этим величинам в следующем
виде:
= 1, 2, .... т) F.79)
т
Af = 22fl,JJ^|dxdp. F.80)
Решая эти уравнения, выразим а{ и "К через М. Подставляя
полученные таким образом at и X в уравнение F.76), имеем
Щ = MVBGJ*), F.81).
где
G/* = ЛГ/Л. F.82)
Сопоставляя соотношения F.74), F.75) и F.81), получаем не-
неравенство
GJ* <i GJ, F.83)
которое показывает, что найденная таким образом величина GJ*
дает нижнюю границу крутильной жесткости.
Теперь из принципа минимума потенциальной энергии полу-
получим формулу для верхней границы. Пусть w, 0 и П представляют
собой перемещение, угол закручивания на единицу длины и пол-
полную потенциальную энергию, соответствующие точному решению,
и пусть w**, 0** и П** — соответствующие величины для не-
некоторой допустимой функции. Тогда из принципа минимума по-
потенциальной энергии следует
П о П**, F.84)
где
ш <685>
=+° Щ (^ - е"
F.86)

Гл. б. Крдчение стержней 173
Теперь предположим, что w** является линейной комбина-
комбинацией функций Wi (х, у) (i = 1, 2, ..., п), так что
оу"= t btwt (х, у), F.87)
и рассмотрим минимальное значение П**. Функции wt (x, у)
можно выбрать произвольным образом, за исключением того, что
они должны удовлетворять требуемым свойствам непрерывности
и дифференцируем ости в области S, а коэффициенты bt — произ-
произвольные постоянные.
Подставляя выражение F.87) в F.86) и варьируя по Ьг и
0**, получаем
п) F.88)
М =
F.89)
Решая эти уравнения, можно выразить величины 6; и 0** через М.
Подставляя полученные таким образом bt и 0** в F.86), имеем
П** = —M*jBGJ* *), F.90)
где
GJ** = Л1/0**. F.91)
Сопоставляя уравнения F.84), F.85) и F.90), приходим к фор-
формуле для верхней границы крутильной жесткости стержня:
GJ < GJ**. F.92)
До сих пор на допустимые функции wt не накладывалось
никаких условий. Однако так как точное решение w должно
удовлетворять уравнению Лапласа, то удобнее выбирать wt
так, чтобы они удовлетворяли уравнению Лапласа
-0 (*= 1.2, ....»). F.93)

174
Часть А. Формулировка вариационных принципов
Тогда интегралы по поверхности в левой части уравнения F.88)
можно заменить интегралами по контуру:
где контурные интегралы берутся по границе сечения, a v яв-
является направлением внешней нормали к этой границе.
Итак, сопоставляя соотноше-
соотношения F.83) и F.92), получаем
формулы для верхней и нижней
границ жесткости стержня:
GJ* <s GJ < GJ**, F.95)
Точность полученных таким пу-
путем границ можно улучшить,
увеличивая число допустимых
функций,
В качестве примера процеду-
процедуры, описанной выше, вычислим,
следуя работе [101, границы кру-
крутильной жесткости стержня ква-
квадратного сечения, показанного на
рис. 6.5. Сначала получим ниж-
нижнюю оценку, выбирая функции
Рис. 6.5. Квадратное сечение.
Фх (х, У) = а8 (*8 - а2) (у2 - а%
Фъ (х, у) = (*• + у') (*а - fla) (У2 - а2)
F.96)
и полагая ф* = а^ ¦+¦ а2ф2. Тогда после ряда интегрирований
и преобразований уравнения F.79) и F.80) можно записать в виде
Г26880 9216] roj] _ (_Gk_\ Г16800] ,g д~
[ 9216 11264 J [a,J ~ \ a* ) L 672oJ ^ " '
F.98)
откуда получаем
at = C885/6648)
a2 = A575/13296) (GX/a*),
M = E600/2493) Ga*X
и находим нижнюю границу:
E600/2493) Ga*
GJ.
F.99)
F.100)

Гл. 6. Крдчение стержней 175
Теперь перейдем к получению верхней оценки, выбрав
xtf F.101)
и выразив w** только через wlt а именно положив w** =
Легко видеть, что шх представляет собой мнимую часть выраже-
выражения (х + iy)*, где i = У—I, а это означает, что шх является
плоской гармонической функцией. Произведя вычисления, урав-
уравнения F.88) и F.89) можно записать в виде
(96/35) о8^ = A6/15) a'Q**, F.102)
М = G [—A6/15) а«6, + (8/3) a*Q**l, F.103)
что дает
61-G/18)(8**/а8). F.104)
М = C04/135) Ga*Q**.
Таким образом, имеем верхнюю оценку
GJ <s C04/135) Ga*. F.105)
Сопоставляя соотношения F.100) и F.105), получаем верхнюю
и нижнюю границы крутильной жесткости
E600/2493) Ga* <g GJ << C04/135) Ga*, F.106)
или
2,24628Ga* < GJ « 2,25186Ga«. F.107)
Как показано в книгах по теории упругости, точное значение
крутильной жесткости равно
GJ = 2,2496Ga*; F.108)
таким образом видно, что точность оценок достаточно высокая.
Следует отметить, однако, что эти оценки не гарантируют той
же точности для перемещений или напряжений, получаемых из
приближенных решений. Чтобы получить формулы поточечных
оценок для перемещений или напряжений в произвольной точке
стержня, необходимо пользоваться более сложными методами
[16—18].
Упражнения
Задачи к § в.1
1. Докажите, что если функции
и = —дуг, v = вхг, да = 6q> (*, у) (\)
являются решением задачи кручения Сеи-Венана, то семейство перемещений
и = —вг (у — ff0), о = 9г (х — х0),
да = вФ (х, y)-Q (уох - дадО - вФо (И)
(где х0, у0 и ф0 — произвольные константы) также является решением задачи

176
Часть А. Формулировка вариационных принципов
о кручении и что в задаче кручения Сен-Венана центр кручения остается неопре-
неопределенным.
2. Докажите, что / = /р — D и соответственно
где / определено формулой F.20), 1Р — полярный момент инерции сечения,
т. е. 1„ = J J (х* + У3) dx dy, a D = | J [(«р. х)* + (ф. „)*] dx dy.
Рис. 6.6.
3. Рассмотрим поперечное сечение с двойной симметрией. Оси х и д совпадают
с главными осями, проведенными через центр тяжести сечения, а ось г является
осью вращения. Аддитивная постоянная функции депланацнн Сен-Венана выбира-
выбирается из условий I ф dx dg = 0 (см. уравнения (Н) в задаче 1). Докажите, что
в этом случае функция депланации ф обладает следующими свойствами:
Ф (*> 9) = —Ф (—*. 9) = —ф (*> —9) = Ф (—¦*, —У).
4. Рассмотрим приближенный способ определения функции депланации Сеи-
Венана тонкостенного незамкнутого сечения, изображенного на рис. 6.6. Обо-
Обозначим среднюю линию стенки через С. Координата s отсчитывается от одного
конца средней линии вдоль нее. Два единичных вектора t и п являются каса-
касательным и нормальным векторами в средней линии соответственно, так что три

Гл. 6. Кручение стержней 177
единичных вектора n, t и i3 образуют правую систему. Обозначая радиус-вектор
произвольной точки Я на С через г,',1", а радиус-вектор произвольной точки Q
на нормали, проведенной из Р через г(и), можно записать
r'0) = ri0' + ?;n, (i)
где ? отсчитывается от средней линии. Уравнение (i) означает, что параметры s
и Z, можно выбрать в качестве криволинейной системы координат, определяющей
сеченне. Обозначая касательное напряжение в направлении касательной к сред-
средней линии через Tj н касательное напряжение в направлении нормали через in,
а также используя соотношения
имеем
S 5 S
J it ds = G9 f (-|^- dx + -|9L д{Л + G9 j-rj ds (iii)
oo о
вдоль средней линии от s = 0 к Р и
set
Jxn d? = G9 I ( ¦ _ ¦• ¦ dx -j—^— du ) -j- G9 I r-n dt. (iv)
J \ ox ay / J
oo о
вдоль нормали от Р к Q, где
r, = ri<».ii, rn = -T«»-t. (v), (vi)
Геометрический смысл величин rs и rn, которые относятся к точке Р, показан
на рис. 6.6. С учетом этих предварительных соображений докажите, что так как
в тонкостенном незамкнутом сечении it и тп можно приближенно считать рав-
равными нулю, то'из уравнений (Hi) и (iv) следует, что величина ф в точке Q равна
s t
<Р = — f rsds— I rndt,-\-<p0, (vii)
J J
о о
где ф0 — произвольная константа. Уравнение (vii) определяет функцию депла-
нацни Сен-Венана поперечного сечеиня. Рассмотрите также распределение каса-
касательных напряжений в тонкостенном незамкнутом сечении согласно теории
Сен-Венана. Примечание: см. [2] и {7, 8, 19).
Задача к § 6.2
5. Докажите, что уравнение F.32) можно вывести из F.7), исключая да
и затем выражая yxz н yyz через Ф с помощью F.8) и F.27).
Задачи к § 6.3
6. С помощью соотношения
= \\(iyzx--ixzy)dxdy = -

178
Часть А. Формулировка вариационных принципов
докажите, что для одиосвязиого сечения
!У
chAh
k=i
для многосвязного сечения, ограниченного внешним контуром Со и внутренними
контурами С1( Ct, .... Сп, где с& — вначенве Ф иа контуре С&, а Аь — площадь
Рис. 6.7.
Рис. 6.8.
Рис. 6.9.
области, ограничеииой коитуром С& (рис. 6.7). Зиачение Ф на виешием хоитуре Со
полагается равным нулю.
7. Докажите, что для тонкостенного замкнутого сечения, изображенного
на рис. 6.8, касательное напряжение т и крутильная жесткость GJ равны соот-
соответственно _
т = M/BA0t) (i)
и
GJ = 4AIG\($^-] l, (ii)

Гл. 6. Кручение стержней
179
где Ао — площадь области, ограниченной кривой С (которая является средней
линией между внешним и внутренним контурами), s отсчитывается вдоль С,
i(s) — толщина стенки, а ф — интеграл по замкнутому контуру С. Приме-
Примечание; см. [2J. с
8. Рассмотрим приближенный способ определения функции депланацни
Сен-Венаиа тонкостенного замкнутого сечения, изображенного иа рис. 6.8.
Используя уравнения (iii) и (iv) задачи 4 и уравнения (i) и (ii) задачи 7, докажите,
что справедливо равенство
а а |
0)
про-
которое определяет функцию депланацин поперечного сечения, где фо ¦
нзвольная константа.
9. Рассмотрим два тонкостенных кольцевых поперечных сечения, одно
из которых замкнуто, а другое разомкнуто, как показано на рис. 6.9. Докажите,
что крутильные жесткости этих сечении равны
GJ = 2псРЮ для замкнутого сечения
и
GJ = B/3) naPG для разомкнутого сечения.
Вычислите отношение (GJKaM/(GJ)pat3 для alt = 10 и объясните, почему
крутильная жесткость разомкнутого сечения так сильно отличается от жестко-
жесткости замкнутого сечения. Приме- . ^
чание: см. |2). "—'
10. Докажите, что задачу
кручения Сен-Венана для тон-
тонкостенного сечения с внутрен-
внутренней стенкой, изображенного на
рис. 6.10, можно решить, опре-
определив касательные напряжения
?1> 1з> ?з и угол закручивания
6 из следующих уравнений:
Рис. 6.10.
— ^«а = 2GQAt,
где tf, i3, i3 — постоянные толщины стенок АСВ, ADB, ЛЕВ соответственно,
A-l н <4] — площади областей, ограниченных контурами ACBD и ADBE соот-
соответственно, a Sj, s3, s3 — длины кривых АСВ, ADB, AEB соответственно. При-
Примечание; см. [2].
Задачи к § 6.6
11. Докажите, что для многосвязного поперечного сечения, ограниченного
внешним контуром Со и внутренними контурами Clt C3, .... С„, оценочные фор-
формулы для крутильной жесткости можно получить аналогично тому, как это
делалось в § 6.5, заменив F.72) и F.73) соотношениями

180
Часть А. Формулировка вариационных принципов
Ф* = 0 на Со,
Ф* = ch на Ch; k = 1, 2 я
соответственно, где с^ — константы.
12. Рассмотрим сечение в виде квадрата с квадратным вырезом, как пока-
показано на рнс. 6.11. Учитывая свойство симметрии ф и да, рассмотрим только об-
область ABCD и положим
D
Ф* = а1ф1 (х, д)
01 (*. У) = Ь (х — Ь),
Фг (х, 9) = (х - бK
х,
Докажите справедливость следую-
следующих оценок:
56 F« —о»K
Рнс. 6.11.
Примечание: см. 114].
Задачи, относящиеся
к неоднородному кручению
13. Рассмотрим задачу о кру-
кручении стержня, жестко заделан-
заделанного на одном конце (г = 0) и на-
нагруженного крутящим моментом
М на другом конце (г = I), как
показано на рнс. 6.12. Предполагается, что сеченне стержня имеет две оси
симметрии. Следуя статье Рейсснера [4] и используя принцип виртуальной ра-
работы нлн принцип минимума потенциальной энергии, получите следующие
результаты.
A) Полагая
и = — Ф (г) у, v = d (г) х, да = #' (г) ф (х, у), (i)
докажите, что уравнение н граничные условия для функции д (г) имеют вид
= м по
д @) = д' @) = «' (/) = 0
соответственно, а энергия деформации стержня равна
1
(Hi)
(IV)
где ф (*, у) — функция депланацни Сен-Венана в поперечном сечении, ( )' =
= d ( )ldz и

Гл. 6. Крдчение стержней
181
Функция ф (х, д) и оси х и д выбираются так же, как и в задаче 3. До-
Докажите также, что эта формулировка приводит к отличию от точного решения
задачи в окрестности г = 0, так как уравнения (i) и (iii) в сочетании с соотно-
соотношениями напряжения—деформации обеспечивают условия xxz — %v2 = 0 при
г — 0.
B) Полагая
и = — * (г) д, о = * (г) *,
да = а (г) ф (х, д), (vi)
докажите, что уравнение и гра-
граничные условия для функций
дна имеют вид
' — GD (а — Ь') = М,
?Га* — GD (а — *') = 0 (vii)
и
д @) = а @) = а' @ = 0 (viii)
соответственно, а энергия де-
деформации стержни равна
I
м
у J V» (¦')" + GD (а -
Рис. 6.12.
'I + ?Г (а')*1 Л.
(ix)
где
Per
Докажите также, что данная формулировка задачи приводит лшпь в прибли-
приближенному решению,
14. Рассмотрим задачу о крутильной потере устойчивости стержня, жестко
закрепленного на одном конце (г = 0) и нагруженного продольной силой Рст
на другом конце (z = /). как пока-
'У/, зано на рис. 6.13. Предполагается,
f что сечение стержня имеет две оси
симметрии, а сила Рст не нзменя-
у/ ется прн потере устойчивости ни
по величине, ни по направлению.
A) Предположим, что компо-
компоненты перемещений задаются вы-
выражениями
и = —* A — cos d) — д sin Ь,
v — х sin * — д A — cos *), (i)
да = ф'ф (*, д),
2_j где и, v, да измеряются непосред-
непосредственно перед потерей устойчнво-
стн, ф (х, у) — функция деплана-
Рис. 6.13. цНН Сен-Венана сечения, Ь зави-
зависит только от г я ( )' = d ( )/dz.
Функция ф (х, у) и оси хну выбираются так же, как и в задаче 3. Используя
уравнение E.5) н пренебрегая членами высшего порядка, докажите, что в конеч-
конечном счете уравнение задачи принимает вид
I
z=O
-Р„1\Ъ"
= 0,
(Н)

182 Часть А. Формулировка вариационных принципов
а граничные условия — вид
д = ¦&' = 0 при г = О
ЕТЪ — Р„?рЬ' = О при г =/, (Ш)
где Г= ||2 »
Примечание: нужно использовать соотношения деформации—перемещения
егг = д'ф + A/2) (д:> + у>) (д'I. е2 = д'ср,
Vxz = *' (ф. х — У)ъ VVz = $' (<P,
где в выражении для егг член A/2) (д"ф)' отброшен из-за его ничтожного вклада
в окончательный результат. Примечание: см. работы [7, 8, 19].
B) Предположим теперь, что компоненты перемещений задаются выра-
выражениями
и — —х A — cos d) — д sin Ь,
v = х sin d — р A — cos d), (iv)
ш = аф (х, д),
где д и а — функции только от г. Докажите, что уравнение и граничные усло-
условия задачи в этом случае таковы:
GJV" - GD (а - О") - Рег?** = О,
ETa" — GD (а = ¦&') = О
и
а = д = 0 при г = О,
а' = О, GJ&' — 0° (а — ¦&') — РСГ<Х =0 при г = f. (vi)

Глава 7
БАЛКИ
§ 7,1, Элементарная теория балок
В этой главе рассматриваются тонкие балки. Предполагается,
что ось балки является прямой линией и что плоскости, проходя-
проходящие через главные оси сечения балки и ось балки, взаимно пер-
перпендикулярны. Направим ось х по направлению оси балки,
а оси у к г совместим с главными осями сечения. Таким образом,
оси х, у и г образуют правую прямоугольную декартову систему
координат (рис. 7.1).
Сеи-Венаи дал метод решения задачи об изгибе цилиндриче-
цилиндрической консольной балки, нагруженной силой на конце [1, 2].
Решения этой задачи были получеиы для балок с круглым, эллип-
эллиптическим, прямоугольным и другими поперечными сечениями.
Эти результаты свидетельствуют о том, что в балке вследствие
нагрузки возникает как изгиб, так и кручение. Соответственно
удобно определить цеитр сдвига поперечиого сечения как точку,
приложение силы к которой ие вызывает кручения, что реализует
z
0
UpT5T
n / N.
/ /
/
Ряс. 7.1. Геометрические соотношения. Показаны только проекции на пло-
плоскость (х, г).

184 Часть А. Формулировка вариационных принципов
чистый изгиб. Из данного определения следует, что как только
получено распределение сдвиговых напряжений по сечению,
обусловленное чистым изгибом, центр сдвига определяется как
точка приложения сдвиговой силы. *) Если сечение балки имеет
ось симметрии, то центр сдвига лежит на этой оси, а если сечение
обладает двойной симметрией, то центр сдвига совпадает с цен-
центром тяжести сечения. Точные общие решения задачи об изгибе
балки с произвольным сечением под действием произвольной
внешней нагрузки не получены до сих пор.
В этой главе будет рассматриваться (там, где не оговаривается
обратное) элементарная теория балки в предположениях, что
изменение геометрии поперечного сечеиия вдоль оси х плавное
и что под действием приложенной нагрузки в плоскости х, г
реализуется состояние чистого изгиба. Так как продольный
размер тонкой балки значительно превышает ее поперечные
размеры, то обычно используются следующие два предположе-
предположения. Во-первых, предположим, что компонентами напряжений ау,
аг и xyz можно пренебречь по сравнению с другими компонентами:
оу = аг = тУ2 = 0. G.1)
Тогда уравнения A.10) и C.38) сводятся к
ах = Евх, тхг = вухг, тху = Gyxy G.2а, Ь, с)
и
ая = Еехя, ххг = 2GeX2, хху = 2Gexy G.3а, Ь, с)
соответственно. Во-вторых, используем гипотезу Бернулли—
Эйлера о том, что поперечные сечеиия, перпендикулярные оси
балки до изгиба, остаются плоскими и перпендикулярными изог-
изогнутой оси и не деформируются в своей плоскости.
Покажем, что выражения для перемещений сильно упро-
упрощаются с введением этой гипотезы. Рассмотрим произвольную
точку балки с координатами (х, у, г) перед деформацией и обо-
обозначим радиусы-векторы этой точки до и после деформации г@)
и г соответственно; они связаны с вектором перемещений и со-
соотношением
г = г<°> + и, G.4)
где г@) = х\х + у\г + zi3, a ilt i2, i3 являются единичными век-
векторами в направлении осей х, у и г соответственно. Аналогично
1) Аналитическое нахождение центра сдвига зависит от определения «чи-
«чистого изгиба», причем существует несколько таких определений [2—6]. По-
Подробное рассмотрение таких понятий, как центр сдвига, центр кручения, упру-
упругая ось и т. п., дано в [7]. См. также приложение G, где описана связь между
изгибом и кручением балкн.

Гл. 7. Балки 185
обозначим радиус-вектор точки (х, 0, 0) перед и после деформа-
деформации через г<°> и г0 соответственно*):
го = гГ + uo, G.5)
где 40) = х\х. Определим компоненты векторов и и и0 формулами
u = u-h + via + wi3, G.6)
^«uU + ю!,. G.7)
где и и w являются фуикциями только от х. Сделанная гипотеза
позволяет выразить г в виде
г = г0 + гп + у\2, G.8)
где п есть единичная нормаль к деформированной оси:
п = ГоХ 1а/|г6|. G.9)
В уравнении G.9) и далее в этой главе штрих означает дифферен-
дифференцирование по х, т. е. ( )' = d ( )/dx. Так как
Го = {х + и) «1 + оЛш, G.10)
то можно выразить п через и и w:
|ЛA+«')•+(¦')• ;
Из G.4), G.5) и G.8) получим
u = uo + ?(n-i3). G.12)
Это выражение для перемещений балки с использованием
гипотезы Бернулли-^Эйлера. Отсюда видно, что число степеней
свободы деформаций балки, определяемое уравнением G.12),
равно двум, а именно и (х) и w (x).
Если в задаче об изгибе балки ограничиться теорией малых
перемещений, то уравнение G.12) можно линеаризовать по отно-
отношению к компонентам перемещений, что дает
v — u — zw', v = 0, w = w. G.13)
Отсюда следует, что в элементарной теории изгиба балки един-
единственной ненулевой компонентой тензора деформаций является
компонента
e, = -g- = U' - zw", G.14)
которая связана с ах уравнением G.2а).
*) Верхний индекс <0> и нижний индекс 0. используемые в гл. 7—9, озна-
означают, что данная величина отиосится к состояиию до деформации и к осн стержня
¦лн к среднииой поверхности соответственио.

186
Часть А. Формулировка вариационных принципов
§ 7.2. Изгиб балки
В качестве простого примера изгиба балки рассмотрим задачу,
показанную на рис. 7.2: балка длиной / жестко заделана при
х = 0 и нагружена рас-
iZ ^* пределеиной поперечной
нагрузкой р (х) иа еди-
единицу длины, действующей
в направлении оси г. На
конце х = I на нее дей-
действуют силы Ря и ~Рг в на-
направлениях осей х и г
соответственно и момент
М. Принцип виртуаль-
Рнс. 7.2. Консольная балка.
ной работы для данной задачи запишется (см. A.32)) в виде
oMfe.adxdydz— I pbwdx —.
о
) = 0; G.15)
здесь использовано G.14). Вариации бы и 6w должны удовлетво-
удовлетворять геометрическим граничным условиям
и @) = 0 G.16)
w @) = w' @) =0
G.17)
соответственно. Интегрирование первого члена в уравнении G.15)
по у и г приводит к соотношению
J (ЛГби' - Мдш") dx-\pbwdx-
— Рхби (I) - Рг8ш (/) + M6w' (I) = 0,
где
N = )\amdydz,
М = )}oazdydz
G.18)
G.19)
G.20)
и интегрирование проводится по поперечному сечению S балки.
Величины N и М являются продольной силой и изгибающим
моментом в поперечном сечении, как показано иа рис. 7.3.

Гл. 7. Балки
187
Теперь перейдем к выводу приближенных уравнений равновесия
из уравнения G.18). Используя условия G.16), G.17) и интегри-
интегрируя по частям, получим уравнение
— | [N'bu + (М" + Р) бо>] dx + (N — Рх) бы (/)
о
+ (М' - Рг) 8w (/) -(М-М) во»' (/) = 0,
из которого находимх)
N' = 0, 0 < х < I,
ЛГ = Рт при x=/
М" + р = 0, 0 < х < /,
G.21)
G.22)
G.23)
G.24)
М' = Рг, М = М при х = I. G.25)
Для того чтобы решить задачу, нужно использовать соотно-
соотношение напряжения—деформации G.2а), которое вместе с уравне-
уравнениями G.14), G.19) и G.20)
выражает N и М через и и w
следующим образом:
N = ЕАои', G.26)
М = — EIw", G.27)
где
А> = I I dy dz, I = [ I г2 dy dz
4 V
G.28)
суть площадь и момент инерции
поперечного сечения соответст-
соответственно. Используя выведенные
выше соотношения, получим оп-
определяющие уравнения равнове-
равновесия балки и граничные условия.
Сопоставляя уравнения G.16), G.22), G.23) и G.26), получим
дифференциальные уравнения и граничные условия, описыва-
описывающие растяжение балки. С другой стороны, комбинация уравне-
уравнений G.17), G.24), G.25) и G.27) приводит к дифференциальному
уравнению и граничным условиям, определяющим изгиб балки.
Таким образом, в рамках теории малых перемещений балки,
Q
pax
dx
M+dM
Q+dQ
Рис. 7.3. Положительные направле-
направления N, Q и М.
х) Хорошо известно, что эти уравнения можно получить другим путем,
записывая уравнения равновесия сил и моментов элемента балки, показанного
иа рис. 7.3:
N'=0, Q'+p = Q, Af'-Q = O.
а затем исключая 0, где Q — перерезывающая сила, действующая в поперечном
сечеиии.

188 Часть А. Формулировка вариационных принципов
в которой предполагается, что компоненты перемещений имеют
вид G.13), растяжение и изгиб не связаны друг с другом и могут
рассматриваться по отдельности. Из полученных выше соотно-
соотношений видно, что в элементарной теории изгиба балки напряже-
напряжение ах и энергия деформации U имеют вид
и = т Ш ?е* ***уdz = т J [ЕА° <"')
соответственно.
Прежде чем закончить этот параграф, заметим, что если рас-
распределенная нагрузка р (х) разрывна в некоторой точке, то при
выводе уравнения G.21) следует быть осторожным. К примеру,
если к балке приложена сосредоточенная сила Р, действующая
при х = ? в направлении оси г, то в уравнение G.15) добавится
член —Pbw (?), и мы получим
/ i-o I
\M8w"dx= [ Mbw"dx-\- f M8w"dx =
Q D I+D
Q D I+D
1-0
J - M'bw
i /
= f Mwdx + f Mwdx + M6w'
D 1+0
+ [M (I - 0) - M (t + 0)] 6w' (t) -
. G.31)
Следовательно, принцип виртуальной работы дает условия сопря-
сопряжения при х = | в следующем виде:
-IJ3-0, JQ'№ = °> G.32)
§ 7.3. Принцип минимума потенциальной энергии
и его преобразование
В этом параграфе рассмотрим вариационный принцип для
задачи о иагружении балки, показанной на рис. 7.4: балка за-
защемлена иа одном конце и подвергается действию распределенной

Гл. 7. Балки
189
поперечной нагрузки р (х), а на другом конце она свободно оперта
и на нее действует изгибающий момент М. Так как в направле-
направлении х внешних сил не
приложено, то
и = —zw', v= 0, w = w,
G.33)
е, = -а»'( G.34)
ая = {M/I) г. G.35)
Функционал принципа МИ- Рис. 7.4. Балка с защемленным и свободно
нимума потенциальной опертым концами,
энергии, как следует из
выражений, полученных в предыдущем параграфе, имеет вид
I
G.36)
где w должно удовлетворять геометрическим граничным условиям
w @) = о/ @) = w (I) = 0. G.37)
Теперь рассмотрим преобразования принципа минимума потен-
потенциальной энергии. Вводя вспомогательную функцию
и = w" G.38)
и используя множители Лагранжа М (х), Р*, Q* и R*, функ-
функционал G.36) можно обобщить следующим образом:
/ i
П* = Т jEIv?dx— jpwdx + Mw' (I) +
о о
i
+ J (x - w") Mdx + P*w @) + Q*w' @) + R*w (I), G.39)
о
где варьируются x, w, M, P*, Q* и R* без каких-либо дополни-
дополнительных условий. Произведя преобразования, включающие инте-
интегрирование по частям, приведем первую вариацню функционала
к виду
6П, = \[{М + Е!х) 6х - (М" + р) bw + (х - w") 8M] dx +
о
+ [Р* _ м' @)] бш @) + [Q* + ^ @)] 6ш' @) +
+ [R* + М' (/)] 6ш @ - [М (/) - Ж] бш' (/) +
+ w @) 6Р* + йу' @) 6Q* f да (/) 6/?*. G40)

190 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Следовательно, условиями стационарности этого функционала
служат определяющие уравнения этой задачи вместе с условиями
Р* = М! @), Q* = — М @), R* = —М' (/), G.41)
которые определяют множители Лагранжа Р*, Q* и R*.
Сходные приемы применимы для анализа частных случаев
обобщенного выражения G.39). Например, потребовав, чтобы
коэффициенты при fix, 8w и 6и/ в G.40) равнялись нулю, и исклю-
исключив таким образом х и w, получим функционал принципа минимума
дополнительной энергии в виде
п-tJ
М* dx, G.42)
El
о
где варьируется функция М (х) при дополнительных условиях
М" + р = 0 G.43)
и
М (I) = М. G.44)
Заметим, что принцип минимума дополнительной энергии для
задачи о нагружении балки можно непосредственно получить из
принципа B.23), предполагая, что компонента ах определяется
уравнением G.35), а все остальные компоненты тензора напря-
напряжений дают пренебрежимо малый вклад в функцию дополнитель-
дополнительной энергии (см. приложение Н).
§ 7.4. Свободные поперечные колебания балки ')
Рассмотрим свободные поперечные колебания балки, защем-
защемленной при х = 0 и свободно опертой при х = I, как показано
на рис. 7.5. Следуя рассуждениям § 2.7, выразим полную потен-
потенциальную энергию при свободных поперечных колебаниях в виде2)
П = i J El {w"f dx - i X J mw2 dx, G.45)
J) Cm. [8—11].
a) При выводе последнего члена уравнения G.45) с использованием функ-
функционала B.69) н выражений G.33) мы пренебрегли членом Г | рг' (ш')' dy dz
S
по сравнению с членом | I рш* dy dz ввиду тонкости балки, что обычно делается
S
в элементарной теория поперечных колебаний балки.

Гл. 7. Балки 191
где Я = ©2 и
m(x) = \jpdydz G46)
есть погоиная масса. В функционале G.45) варьируемой функцией
является w при дополнительных условиях
w @) = о/ ( 0) = w (I) = 0, G.47)
а параметр Я не варьируется. Можно показать, что условиями
стационарности функционала G.45)
служат уравнения движения
{EIwT — hnw = 0 G.48)
и граничное условие
EIw" = 0 при х = I. G.49) у. t
Следовательно, задача сводится
к задаче на собственные значе- Рнс. 7.5. Балка с защемленным и
ния, в которой неизвестные фор- свободно опертым концами,
мы колебаний и частоты опреде-
определяются как собственные функции и собственные значения диффе-
дифференциального уравнения G.48) с граничными условиями G.47)
и G.49). Видно, что данная задача на собственные значения
эквивалентна нахождению среди допустимых функций w такой,
которая придает отношению
G.50)
f
-5- [mw*dx
стационарное значение [12].
Теперь рассмотрим обобщение принципа стационарности по-
потенциальной энергии [13]. С помощью обычной процедуры вы-
выпишем расширенный функционал G.45):
; 1
Щ =-i-J EIk2dx- -i-Я Jmw2dx +
о о
1
+ J (x - w") M dx + P*w @) + Q*w' @) + R*w (I), G.51)
о
где варьируемыми величинами являются к, w, M, P*, Q* и R*
без каких-либо дополнительных условий. Условия стационарно-
стационарности х и w приводят к соотношениям
Е1к + М = 0, G.52)
М" -f ¦kmw = 0 G.53)

192
Часть А. Формулировка вариационных принципов
М' @) = 0, Q* + М @) = 0,
R* + М' (I) = О,
М (/) - 0.
G.54)
G.55)
С использованием G.52), G.54), G.55) исключим переменные х,
Р*, Q* и /?* и с учетом G.53) преобразуем функционал G.51)
к виду
G.56)
где предполагается % Ф 0. В функционале G.56) варьируемыми
величинами являются М и w при дополнительных условиях
G.53) и G.55). Выражение G.56) является функционалом прин-
принципа стационарности дополнительной энергии для задачи о сво-
свободных колебаниях.
Как отмечалось в § 2.8, для получения приближенных соб-
собственных значений можно использовать метод Релея—-Ритца,
как только получены выражения для варьируемых функционалов.
Если этот метод применить к принципу стационарности потен-
потенциальной энергии G.45), то можно предположить
w = CjWt + c%wit G.57)
где
Wl = х% (х — /), wt = х* {х — I) G.58)
являются базисными функциями, удовлетворяющими условиям
G.47). Подставляя G.57) в функционал и требуя
-|2- = 0, i = 1, 2, G.59)
получим приближенные собственные значения.
В табл. 7.1 приведены результаты численных расчетов для
балки с постоянными El и т.
Таблица 7.1
Точные и приближенные собственные значения ы*
К
Точные собствен-
собственные значении
15,42
49,96
= kt VEI/(ml<)
Приближенные собственные значения
Метод Релея — Рнтца,
примененный
к функционалу G.45)
15,45
75,33
Модифицированный
метод Релея —Ритца,
примененный
к функционалу G.56)
15,42
51,93

Гл. 7. Балки 193
чим
'Г ' 1
М J rnffi)», {l)dl dt|. G-60)
Теперь применим модифицированный метод Релея—Ритца
к принципу стационарности дополнительной энергии G:56).
Выберем w в виде G.57). Как показывает вывод функционала
G.56), функции Wi (x) и w2 (х) не обязательно должны удовлетво-
удовлетворять условиям G.47), чтобы был справедливым вариационный
принцип. Однако выполнение этих условий желательно для повы-
повышения точности приближенных собственных значений и суще-
существенно для получения неравенств B.93). Подставим выражение
G.57) в G.53) и выполним интегрирование с учетом граничных
условий G.55). В результате получим
2
AД) М = с(х - I) - 2 с,
где с — константа интегрирования. Подставляя G.57) и G.60)
в вариационный принцип G.56) и требуя, чтобы
дПс/дс = 0 G.61)
дпс/да = 0, /=1,2, G.62)
получим приближенные собственные значения. Численные ре-
результаты, полученные для постоянных El и т, представлены
в табл. 7.1. Видно, что неравенства B.93) выполняются для этих
значений. В работах [11, 12, 14, 15] приведены другие примеры
применения метода Релея—Ритца и модифицированного метода
Релея—Ритца к задаче о свободных колебаниях.
§ 7.5. Большие прогибы балки
В этом параграфе исследуем большие прогибы упругой балки
и в качестве примера рассмотрим задачу о нагружении балки из
§ 7.2. Очевидно, что поскольку перемещения балки описываются
соотношениями G.12), а деформации еХA можно выразить через и
и w с использованием C.19), то теория конечных перемещений
балки с использованием гипотезы Бернулли—Эйлера может быть
построена с помощью принципа виртуальной работы C.49).
Однако в нашей задаче ограничимся предположением, что хотя
теперь прогиб балки не является малым по сравнению с ее высо-
высотой, но он мал по сравнению с продольным размером балки,
поэтому используем следующие выражения для перемещений и
соотношений деформации—перемещения х):
u = u — zw', v = 0, w = w, G.63)
ехх = и' + A/2) (w'f — zw". G.64)
J) Эти уравнения можно вывести из G.12) н C.19), предполагая и' ~ (w1J <
<С 1; членами, содержащими г2, можно пренебречь в силу сделанного предполо-
предположения и тонкости балки, где символ ~ означает «порядка величины». Первое
предположение означает, что квадрат производной прогиба и деформация оси
балки малы по сравнению с единицей.
7 К. Васидзу

194 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Тогда принцип виртуальной работы для данной задачи запи-
запишется в виде (см. C.49))
j j j ах Ьехх dxdydz — J p bw dx —
V О
- Рх би (/) - Рг бш (/) -f M bw' (I) = 0, G.65)
куда подставлено выражение G.64). Вводя результирующие на-
напряжений, определенные уравнениями G.19) и G.20), преобразуем
принцип G.65) к виду
J [N (бы' + w' bw') - М bw" ~ p bw] dx—
о _ _
- Рх бы (/) - Р2 bw (I) +.М bw' (I) = 0, G.66)
где независимыми переменными являются бы и бш при дополни-
дополнительных условиях G.16) и G.17). После некоторых преобразова-
преобразований из G.66) получим определяющие уравнения
N' = 0, G.67)
М" + (Nw'Y + р = 0 G.68)
и механические граничные условия при х = I:
N = Рх, G.69)
М = М, G.70)
Nw' + М' = Рг. G.71)
Сравнивая G.68), G.70) и G.71) с G.24) и G.25), найдем, что когда
прогиб балки становится большим, то продольная сила N дает
вклад в уравнения равновесия в направлении оси г, обусловлен-
обусловленный искривлением оси балки (см. задачи 9 и 10). Из уравнений
G.67) и G.69) имеем
М (х) =~РХ = const. G.72)
Сопоставляя уравнения G.3а), G.19), G.20) и G.64), получим
соотношения между результирующими напряжений и перемеще-
перемещениями в виде
N = ЕА0 W + A/2) (а/J], G.73)
М = — EIw".. G.74)
Уравнения G.68) и G.72)—G.74) вместе с граничными условиями
G.16), G.17), G.70) и G.71) являются определяющими уравне-
уравнениями для задачи с большими прогибами. Отсюда следует, что
при больших прогибах балки растяжение и изгиб связаны друг
с другом и должны рассматриваться вместе.

Гл. 7. Балки 195
Заметим также, что в теории больших прогибов балки напря-
напряжение ах определяется выражением G.29), а энергия деформа-
деформации U имеет вид
G.75)
§ 7,6, Потеря устойчивости балки1)
Рассмотрим теперь задачу устойчивости балки, показанной
на рис. 7.6. Балка жестко защемлена на одном конце, свободно
оперта на другом н под-
подвергается действию сжи-
сжимающей силы Р, прило-
приложенной в направлении,
обратном оси х. Когда сила
достигает критического
значения, обозначаемого
Рст, балка может поте-
потеРа
рять устойчивость. Мы бу- Рнс. 7.6. Балка под действием критической
дем рассматривать балку продольной нагрузки.
как упругое тело с на-
начальным напряжением а<.0), величина которого определяется из
уравнений равновесия
= 0, NM(l) = -Pw G.76)
где Nm = Лост^°\ Предполагается, что сила Рст не изменяется
ни по величине, ни по направлению в процессе потери устой-
устойчивости. Следуя выводам § 5.1, можно записать принцип вир-
виртуальной работы для данной задачи в виде (см. E.5))
J Я (
е"dx dy dz+Рет 6и {/)=Oi {7J7)
где ах есть добавочное напряжение, а ехх определяется из G.64).
Дополнительные граничные условия на перемещения сводятся к
и @) = 0 G.78)
и
w @) = w' @) = w (I) = 0. G.79)
«) См. Ц6—171.
7*

196 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Так как нас интересует определение критической нагрузки,
предположим, что ах0) — О A), а ах, и, w --- О (г), и в принципе
виртуальной работы пренебрежем членами более высокого по-
порядка, чем О (е2) (аналогичное см. в § 5.1 и 5.2). Итак, с помощью
результирующих напряжений, определенных в G.19) и G.20),
имеем
j (jV@) бы' + N бы' + Nm w' bw' - М bw") dx +
о
+ Ясг бы (/) = 0. G.80)
С использованием G.76) и G.78) найдем, что члены, связанные
с вариацией бы в G.80), сводятся к выражению
- | N' бы dx + N (I) бы (/). G.81)
о
Соответственно имеем N' {х) — 0 и N (/) = 0; отсюда заключаем,
что N (х) — 0 на всем протяжении балки. Таким образом, прин-
принцип G.80) сводится к уравнению
j (M bw" -f Per W bw') dx = 0, G.82)
о
или (после некоторых преобразований) к уравнению
i
J [М" - (PcrW)'] bw dx -t- МЫ !q —
о
- (М1 - Pcrw') bw \'o = 0. G.83)
Соответственно, принимая во внимание G.79), из уравнения G.83)
получим уравнение равновесия
М" — Pctw" = 0 G.84)
и граничное условие
М (I) = 0. G.85)
Сопоставляя уравнения G.3а), G.20) и G.64), получим соотно-
соотношение результирующая напряжений—перемещение:
М = —EIw". G.86)
Уравнения G.84) и G.86) вместе с граничными условиями G.79)
и G.85) составляют определяющие уравнения для задачи о потере
устойчивости.

Гл. 7. Балки 197
Используя уравнение G.86), принцип виртуальной работы
G.82) можно преобразовать в принцип стационарности потенциаль-
потенциальной энергии, функционал которого имеет вид
П - -§" J ?/ Ю2 dx - ~Т Я" \ (Wf dx, G.87)
о о
где варьируемой функцией является w при дополнительных усло-
условиях G.79). Отсюда видно, что принцип G.87) эквивалентен нахож-
нахождению среди множества допустимых функций таких функций,
которые сообщают отношению
-i- j El (ay"J dx
Per =¦¦ —4 G-88)
стационарное значение [12].
Теперь рассмотрим обобщение принципа стационарности по-
потенциальной энергии [18]. С помощью обычной процедуры функ-
функционал G.87) обобщается следующим образом:
П, = 4" J ?/*2 dx - 4" ^сг \ {w'f dx +
о о
I
+ J (x - w") M dx 4- P*w @) 4- Q*W @) 4- R*w (/), G.89)
о
где варьируемыми величинами являются к, w, М, Р*, R* и Q*
без каких-либо дополнительных условий. Условия стационар-
стационарности по к и w приводят к соотношениям
Е1к 4- М = 0, G.90)
М — Pcrw" = 0, G.91)
Р* 4- РСУ @) — М' @) = 0, Q* + М @) = 0,
R* - Pcrw' (t) + М' (/) = 0, G.92)
М (/) = 0. G.93)
Исключим величины к, Р*, Q* и R* с использованием уравнений
G.90), G.92) и G.93) и с учетом G.91) преобразуем функционал
G.89) к виду
i i
п< = -т \ ж dx ~ -т р" f <ш'J dx> {7-94)
о о

198
Часть А. Формулировка вариационных принципов
Таблица 7.2
Точные н приближенные собственные значения Р
Точные собствен-
собственные вначення
20,19
59,69
<с'г> = *<" (EI/12)
Приближенные собственные значения
Метод Релея—Рнтца,
примененный
к функционалу G.87)
20,92
107,1
Модифицированный
метод Релея — Рнтца.
примененный
к функционалу G.94)
20,30
67,70
где предполагается, что Pct Ф 0. В функционале G.94) варьируе-
варьируемыми величинами являются Мй!вс дополнительными условиями
G.91) и G.93). Выражение G.94) является функционалом прин-
принципа стационарности дополнительной энергии для задачи о потере
устойчивости.
Коль скоро вариационные принципы установлены, можно
воспользоваться методом Релея—.Ритца и модифицированным
методом Релея—Ритца для получения приближенных решений.
Численный пример рассмотрен для балки постоянного сечения El
с использованием выражения G.57) для w. Численные результаты
приводятся и сравниваются с точными собственными значениями
в табл. 7.2. В работах [16, 17] метод Релея—Ритца и модифици-
модифицированный метод Релея—Ритца применяются для решения других
задач устойчивости. Отметим,
что неконсервативные задачи
устойчивости упругих стерж-
стержней всесторонне исследова-
исследованы в [19].
§ 7.7. Свободные поперечные
колебания вращающейся
балки
Рассмотрим свободные по-
х-1 перечные колебания кон-
консольная сольной балки, вращающей-
вращающейся вокруг оси z с посто-
постоянной угловой скоростью
Q (рис. 7.7). Балку будем рассматривать как тело с начальным
напряжением oi°\ обусловленным центробежной силой. Известно,
что величину этого начального напряжения можно получить из
уравнения равновесия
G.95)
Вращающаяся
балка.

Гл. 7. Балки 199
где Nm (х) — Аоо1°\ am — масса балки на единицу длины.
С использованием граничного условия
ЛЛ°> (I) = 0 G.96)
проинтегрируем G.95) и получим
\ G.97)
Если масса распределена равномерно по длине балки, то
• Nm (х) = A/2) mfi2 if - х2). G.98)
Учитывая эти предварительные рассуждения и следуя выводу
§ 5.6, запишем первое выражение для принципа виртуальной
работы для рассматриваемой задачи:
V О
I
+ jmwbwdx = 0 G.99)
о
(здесь было использовано выражение G.64)). В уравнении G.99)
Ох. ехх, и я w суть добавочные напряжение, деформация и пере-
перемещения, а дополнительные условия имеют вид
и @) = 0, G.100)
w @) = w @) = 0. G.101)
Используя результирующие напряжений, введенные в G.19)
и G.20), преобразуем уравнение G.99) к виду
i
J [ЛГ<0) (Ьи' + w' 6ш') + N {Ьи' + w' бш') — М bw") dx -
0. G.102)
о о
Интегрируя по частям, имеем
i
J [Nl0) Ьи' + Nbu' - mQ2 х Ьи] dx =
= (Nm + #) Ьи У — J (W@)' + N' + mQ2x) Ьи dx. G.103)
10
о

200 Часть А. Формулировка вариационных принципов
С использованием уравнений G.95), G.96) и G.100) из G.103)
получим
N' (х) = 0, N (I) = 0. G.104)
Отсюда следует, что N (х) = 0 на протяжении всей длины балки.
Следовательно, G.102) сведется к виду
' bw' - Мbw"]dx + jmwb(odx = 0, G.105)
где М связано с w зависимостью G.27).
Ограничиваясь рассмотрением малых колебаний, положим
w (х, t) = w (х) ехр (Ш), М (х, t) = M (x) ехр (Ш), G.106)
где w (х) и М (х) — амплитуды w и М, а со — угловая частота сво-
свободных колебаний. Подставим G.106) в G.105) и разделим полу-
полученное выражение на общий множитель ехр Bi(at). В результате
придем к принципу виртуальной работы в виде
J [-M bw" -f N@)w' bw'] dx - со2 J mw 6co dx = 0, G.107)
о о
где амплитуды w и М для простоты обозначены через w и М.
Следуя обычной процедуре, из G.107) получим дифферен-
дифференциальное уравнение
М" -f (Nmw')' + /псо2ш = 0 G.108)
и граничные условия
М (/) = 0, ЛГ (/) = 0. G.109)
Подставляя G.27) в G.108) и G.109), окончательно получим
(?/оГ)" - (N(O}w'Y - /псо2йУ = 0, G.110)
EIw" = 0, (EIw")' = 0 при л: = /. G.111)
Дифференциальное уравнение G.110) с граничными условиями
G.101) и G.111) составляют замкнутую краевую задачу о свобод-
свободных поперечных колебаниях балки.

Гл. 7. Балки 201
Уравнение G.107) означает, что функционал принципа ста-
стационарности потенциальной энергии для данной задачи имеет вид
— со2 J -y mw1 dx G.112)
о
с дополнительными условиями G.101) (см. также задачу 15).
§ 7.8. Теория балки, учитывающая деформации
поперечного сдвига
Элементарная теория балки, рассмотренная в предыдущих
параграфах, основана на гипотезе Бернулли—Эйлера, согласно
которой деформации поперечного сдвига отсутствуют. В этом
параграфе рассмотрим приближенную формулировку динамиче-
динамической задачи с учетом поперечного сдвига. Динамическая задача,
аналогичная рассмотренной в § 7.2, будет взята в качестве при-
примера, но теперь внешние силы будут зависеть от времени. При-
Приближенная формулировка задачи будет дана на основе принципа
виртуальной работы.
Так как вектор перемещений и является функцией (х, у, г),
то можно разложить его в ряд в окрестности г = 0:
G.113)
Следовательно, простейшим выражением для перемещений, учи-
учитывающим эффект поперечного сдвига, служит выражение
u = uo + 2Ui, G.114)
где компоненты щ определены выражением
«1 = "iU + ^j'3. G.115)
а % и ш, зависят только от х. Число степеней свободы, заклю-
заключенных в G.114), равно четырем, а именно и, w, их и wx. Однако
если опять использовать предположение G.1) и уравнения G.3)
в качестве соотношений напряжения—деформации, то можно
считать равенство
2*гг = и? +A+^J^1=0 G.116)
дополнительным геометрическим ограничением, сводящим число
степеней свободы к трем. Уравнеиия G.114) и G.116) означают,
что поперечные сечения, перпендикулярные недеформированной

202 Часть А. Формулировка вариационных принципов
оси, остаются плоскими и не деформируются в своей плоскости,
хотя они уже не перпендикулярны деформированной оси.
В поставленной задаче ограничимся рассмотрением малых
перемещений. Тогда, линеаризуя уравнение G.116), получим
а»! = 0. G.117)
Поэтому простейшие выражения для перемещений, учитывающие
поперечный сдвиг, это
1/ = ы + г«1, v ~ 0, w = w, G.118)
которые приводят к следующим ненулевым компонентам дефор-
деформаций '):
ъх = и' + ги'и ухг --w'+ щ. G.119)
Тогда принцип виртуальной работы для рассматриваемой динами-
динамической задачи можно записать в виде (см. E.88))
(ах Ьех + txz byxz) dx dy dz —
i j j j
jpdwdx- Pxbu(l)~Plbw(l)~Mbu1 \dt = O, G.
о '
120)
куда подставлены выражения G.118) и G.119). Введем новые
величины
Q=\\xxzdydz, G.121)
G.122)
в дополнение к результирующим напряжений, определенным
соотношениями G.19) и G.20). Величина, определенная уравне-
уравнением G.121), есть перерезывающая сила в поперечном сечении,
показанная на рис. 7.3, а величина, определенная с помощью
G.122), представляет собой момент инерции поперечного сечения.
J) Гипотеза Бериулли—Эйлера налагает следующее ограничение: и± = —ш'.

Гл. 7. Балки 203
С использованием этих величин первые два члена в уравнении
G.120) можно записать в виде
J J [N 6a' + М 6ai + Q Fа>' + 6«i)] dx -
tl о
- 6 J [-1 m(a2 + w*) + -\-Imu\\ dx\dt. G.123)
о I
В результате после некоторых преобразований, включающих
интегрирование по частям, принцип G.120) сводится к уравнению
j j \(тй - N') 6и + (mw - Qe - р)
f [(N - Рх) Ьи + (Q - Рг) 6w + (Л* -If)
- [iV 6а + Q 6ш + М 6Ы.М,|л = 0, G.124)
из которого получаются уравнения движения (ср. с G.22) и G.24))
тй = АГ, G.125)
mw = Q' + р, G.126)
/„А = М' — Q G.127)
и механические граничные условия
Л/ = Рх, Q = PZ, M = M при х = 1\ G.128)
по предположению геометрические граничные условия можно
определить приближенно в виде
и = 0, w = 0, ах = 0 при х = 0. G.129)
Сопоставляя уравнения G.2а, Ь), G.19), G.20), G.119) и G.12Ц,
получим следующие соотношения между результирующими напря-
напряжений и перемещениями (k = 1):
N = ЕАои\ G.130)
М = Е1и\, G.131)
Q = GM0 (»' 4- ut). G.132)

204 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Коэффициент k вводится в уравнение G.132), чтобы учесть не-
непостоянство yxz в поперечном сечении и влияние деформации yyz.
Приближенный метод определения значения k для балки, на-
находящейся в статическом равновесии, дан в приложении Н,
где используется принцип минимума дополнительной энергии.
Для определения k можно использовать другой метод, так что
некоторые результаты, полученные из данных выше приближен-
приближенных уравнений, могут совпасть с результатами, получаемыми
из точной теории колебаний или распространения волн [20, 21 ].
Подставляя выражения G.130)—G.132) в G.125)—G.127), по-
получим
тй = (ЕАои')', G.133)
mw = \GkA0 (w' + ux)Y + p, G.134)
w' + Ui). G.135)
Эти уравнения служат определяющими в динамической задаче
о балке с учетом деформации поперечного сдвига, т. е. в так назы-
называемой теории балки Тимошенко [10]. Из полученных выше
соотношений видно, что энергия деформации балки Тимошенко
имеет вид
U = \- J [EA0(u'f + Е1(щJ -f GkA0(w' f- uif]dx. G.136)
о
Эффекты сдвига и инерции вращения играют очень важную роль
в теориях колебаний и динамического поведения балки под дей-
действием ударной нагрузки [21—25].
§ 7.9. Балка с малой начальной кривизной
Рассмотрим нелинейную теорию балки с малой начальной
кривизной. Пусть прямоугольная декартова система координат
(х, г) фиксирована в пространстве, а искривленная ось балки
описывается функцией (рис. 7.8)
г = г(х). G.137)
Радиус-вектор произвольной точки Р^ недеформированной оси
равен
riO)=xi, + 2(jc)l3, G.138)
где ij и i3 — единичные векторы в направлениях осей х и z соот-
соответственно. Тогда радиус-вектор произвольной точки Pi0) вне
оси балки перед деформацией запишем в виде
г(О) = гГ + 0Ь + ?п(О), G.139)

Гл. 7. Балки
205
где п° — единичный вектор, перпендикулярный к недеформи-
рованной оси,
п@)-=г<0)'х!2/|гГ'| G.140)
и ( )' = d ( )/dx, at, — расстояние от оси до точки в направле-
направлении п<°>. Уравнение G.139) означает, что произвольную точку
балки можно охарактеризовать координатами (х, у, ?), которые
образуют криволинейную систему координат. Следовательно,
полагая а1 = х, а2 = у и а3 = ?, можно использовать резуль-
результаты гл. 4.
х=0
Рис. 7.8. Балка с малой начальной кривизной.
Предположим теперь, что балка деформировалась и радиусы-
векторы двух точек, именно Pf,01 и />@>, после деформации пред-
представляются выражениями
го = гГ + ио, G.141)
г=г@) + и G.142)
соответственно, где и0 и и — векторы перемещений, компоненты
которых описываются выражениями
и0 = ы«1 -г- Ш13, G.143)
u = t/it + wi3 G.144)
соответственно, причем и и w — функции только аргумента х.
В дальнейшем используем гипотезу Бернулли—Эйлера, со-
согласно которой радиус-вектор г связан с г0 зависимостью
г = го + ?п, G.145)
где п — вектор единичной нормали к деформированной оси:
п = ГоХ12/|го|. G.146)
Из уравнений G.139), G.141), G.142) и G.145) получим
u-Uo + C(n-n<0>). G.147)
Тогда тензор деформаций fkVi можно выразить через компоненты
перемещений и и v с использованием D.36), G.139) и G.142).

206 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Здесь и ниже будем предполагать, что балка тонкая и началь-
начальный прогиб мал, так что
(г'K«1> |?г"|«1 G.148)
и членами, содержащими ?а, можно пренебречь. Тогда
я») = — z'it + h, G.149)
и, следовательно, систему координат (х, у, Q можно приближенно
считать локально прямоугольной декартовой. Кроме этого пред-
предположения введем ограничения на величину перемещений оси
балки. Предположим, что начальный прогиб z (х) и перемеще-
перемещение w (х) — величины одного порядка. Тогда получим следующие
приближенные выражения x)i
п = -(/ + ш?I1 + !3, G.150)
fu = -i-(r'*r' ~ г»)'.г»)') = a'
) + + (f l
G,154)
Теизор деформации %%tk по отношению к системе координат
(х, у, ?) можно определить аналогично тому, как это делалось
в гл. 4, и использовать D.74) и D.77) в качестве соотношений на-
напряжения — деформации. Однако поскольку балка предпола-
предполагается тонкой, а начальная кривизна малой, то поперечным нор-
нормальным напряжением можно пренебречь и систему координат
(х, у, ?) можно приближенно считать локально прямоугольной
декартовой. Следовательно, имеем 2)
х* = Efu. G.152)
Постановка задачи, показанной на рис. 7.8, состоит в следую-
следующем. Внешние распределенные силы на единицу длины оси х
считаются заданными, а их компоненты в направлениях осей х
и г обозначаются ря и рг соответственно. На одном конце (х = 0)
балка считается защемленной, а недругом конце (х =_1) действуют
заданные сосредоточенные силы Рх и Рг и момент М.
С учетом этих предварительных замечаний получим выра-
выражение для принципа виртуальной работы 3)
J J J
-j (рх Ьи + рг Щ dx-
V 0
- Р~х Ьи (/) - Рг 6ш (/) + М 8w' (/) = 0, G.153)
') Эти уравнения можно вывести, предполагая и' ~ {w')° < 1 и пренебре-
пренебрегая членами, содержащими С1.
') Заметим, что X11 является компонентой напряжения в направлении дт/дх.
3) Заметим, что при выводе G.153) из D.80) выражение Yg da1 da* da3 было
заменено на dx dy <f? (при этом величины более высокого порядка отбрасыва-
отбрасывались).

Гл. 7. Балки 207
куда было подставлено выражение G.151). Введем результирую-
результирующие напряжений формулами
N -- J J т11 dy d?, M --= J J ти? dy d? G.154)
и преобразуем G.153) к виду
j [N (бы' -г г' баи' -f да' баи') - М баи"] dx —
- |(рхбы - p2bw)dx-
0
- Px бы (/) - Рг бш (/) + Л* 6а»' (/) = 0. G.155)
Вспоминая, что дополнительные условия имеют вид
ы = 0, w = 0, аи' = 0 при х = 0, G.156)
из G.155) получим обычным способом уравнения равновесия
N" -t- ря = 0, Af" f [B' -i- a,') N]' -г Рг --= 0 G.157)
и механические граничные условия
N = Рх, (г' + а»') /V + М' = Р2,
_ ' G.158)
Л1 = Л1 при д: = /.
Из уравнений G.151), G.152) и G.154) получим следующие соот-
соотношения между результирующими напряжений и перемещениями
N= ЕА0 [и' + z'w' + A/2) (да'J],
М = — ?/вЛ G.159)
Уравнения G.157) и G.159) вместе с граничными условиями
G.156) и G.158) являются определяющими уравнениями рассма-
рассматриваемой задачи.
Окончательно, подставляя G.159) в G.155), получим уравне-
уравнение
J \еА0 [и' -f z'w' + -i- (w'f) б (и' + z'w' + i- (w')*) +
о
-f Elw" bw"\ dx - J (px бы + рг баи) dx -
о
- P, бы (/) - Рг бш (/) + Л? баи' @ = 0, G.160)

208 Часть А. Формулировка вариационных принципов
которое приводит к установлению принципа стационарности
потенциальной энергии: среди всех допустимых функций и (х)
и w (х) действительное решение доставляет функционалу
i
П = J {4- ЕА0 («' + z'w' + ~ (w'fJ + \ EI(w"f} dx -~
о
- J (Р*« + PzW) dx -
о
- Рх и (/) - Рг w (/) + Mw' (/) . G.161)
стационарное значение, причем уравнения G.156) служат допол-
дополнительными условиями.
§ 7.10. Некоторые замечания
Элементарная теория балки, описанная в § 7.1, основана на
предположении G.1) и гипотезе Бернулли—Эйлера. Однако из
уравнения G.13) имеем еу = е2 = 0. Отсюда следует, что одновре-
одновременное использование предположения G.1) и гипотезы Бернулли—
Эйлера приводит к невыполнению соотношений напряжения—
деформации A.10) и, следовательно, к неверным результатам.
Такого рода противоречие содержится и в формулировках задач
в § 7.,5 и 7.8. Мы пытались устранить эту трудность, приближенно
полагая ау = аг — туг = 0 в трехмерных соотношениях напря-
напряжения—деформации и исключая гу и ег.Для полного устранения
противоречий и для уточнения теории балки можно считать, что
"= ? umn(x)y"zn, v= ? vmn(x)y"zn,
т=0, л=0 ' т=0, л=0
*= И а>тп(х)!Гг", GЛ62)
т=0, л=0
где число членов выбирается заранее. Уравнения относительно итп,
vmn и wmn получаются из принципа виртуальной работы. Заме-
Заметим, что в работе [26] была развита теория для перемещений и
соотношений деформации—перемещения применительно к задаче
о брусе.
Естественно изогнутая и закрученная тонкая балка рассма-
рассматривается в классической задаче теории упругости [1]. В качестве
основы для приближенного- решения этой задачи можно приме-
применить принцип виртуальной работы, причем для описания иск-
искривленной оси балки и двух искривленных поверхностей, обра-
образованных огибающими главных осей поперечных сечений, удобно
использовать криволинейную систему координат [27—28]. Для
этой задачи были предложены вариационные формулировки, и
работа [29] является одной из последних работ в этой области.

Гл. 7. Балки 209
Упражнения
Задачи к § 7.2
1. Докажите, что подстановка G.26) и G.27) в уравнение G.18) преобразует
его к виду
f (ЕАои' ди' + Elw" 6w") dx— [pbwdx —
о о .
а это приводит к следующей формулировке принципа минимума потенциальной
энергии: среди допустимых функций и (х) и w (x), удовлетворяющих условиям
G.16) и G.17) соответственно, действительное решение доставляет функцио-
функционалу
П = -L [ЕА0 (и1)* + El (wT] dx -
2 0J
— jpwdx — Pxu(l) — Pzw(l)-\-Mw' (I) (ii)
о
абсолютный минимум. Докажите также, что функционал (ii) можно непосред-
непосредственно вывести из функционала B.9). Примечание: см. формулу G.30).
2. Докажите, что условия стационарности функционала принципа мини-
минимума потенциальной энергии, выведенного в задаче 1, имеют вид
(ЕАои')'=О, O^x^l, (i)
ЕАои
(Elwy = р,
— (Elw")' = Pz,
' = Рх при х =
0 ^ *^J /,
, — Elw" = Л?
1
при х —
1.
(ii)
(Hi)
(iv)
Докажите, что эти условия совпадают с условиями, которые получаются из со-
соотношений G.22)—G.27).
Задачи к § 7.4
3. Рассмотрим свободные поперечные колебания балки, один конец кото-
которой (х = 0) защемлен, а другой (х = /) подвешен иа пружине жесткостью k.
Докажите, что в этой задаче функционал принципа стационарности потенциаль-
потенциальной энергии имеет вид
/ I
П = -|- J El (w'ydx + -1 k [w (I)]* — -i- ©г J
о о
с дополнительными условиями w @) = w' @) = 0, и выведите определяющее урав -
иеиие и граничные условия. (Заметим, что ша является иеварьируемым параме-

210 Часть А. Формулировка вариационных принципов
тром.) Докажите также, что отношение Релея в этой задаче описывается выраже-
выражением
A/2) j ?/(»")* Же+A/2) *[»(/)]«
о
A/2)
о
4. Рассмотрим свободные поперечные колебания балки с п ограничениями
: = 0 (j = 1, 2, 3, ..., л), (i)
где 0,- (*), (' - 1, 2, ..., п, — заданные функции. Докажите, что для этой задачи
функционал принципа стационарности потенциальной энергии имеет вид
/ I п 1
П = -^- J El (w"J dx — -i- Ш2 j mw2dx + V ц,- J meu*; dx, (ii)
о о ¦ i=i о
где jij, (=1,2, ..., n, — множители Лагранжа, и выведите условия стационар-
стационарности функционала (ii). (Заметим, что <о2 является иеварьируемым параметром.)
Докажите также, что если ограничение имеет вид
w (а) = 0, 0<а<1, (iii)
то
П = -^- j El (щГJ dx jj- ш2 1 mw2 d* + цш (a), (iv)
о о
где ц — множитель Лагранжа, и выведите условия стационарности функцио-
функционала (iv).
Задачи к § 7.5
5. Используя соотношения C.19), G.11) и G.12), докажите, что в теории ко-
конечных деформаций балки, основанной на гипотезе Бернулли—Эйлера, дефор-
деформация ехх имеет вид
ехх = "' + A/2) К"'J + (w'J\ - г A + «„) 6' + (i) A/2) г2 (б'J,
где.1 + е0 = 1^A + u'J + (tti'J и n -- —sin Bij + cos 9i3. Примечание: п оп-
определяется выражением G.11).
6. Используя принцип виртуальной работы и соотношение (i) задачи 5,
покажите, что в теории конечных деформаций балки уравнения равновесия можно
записать в виде
[nx(\ +«') -Af«8'cose--j5|2l. 1Мх0+Ъ) -М„в']'1'+Х = 0, (i)
I i + fco )
{nxw' - MXV sin 6 + -ijl [Mx(l+ e,) - МЖЖ6'j'J' + I = 0, (ii)
где W, = аж di/ ^г, УИД = j охг dy dz, MXx = охг2 dy dz, a X и Z яв-
являются внешними силами на единицу длины иедеформированной оси балки в на-

Гл. 7. Балки
211
правлениях х иг соответственно. Примечание: в данной задаче принцип виртуаль-
виртуальной работы имеет вид
axbexxdxdydz — [ (X 6и+lz&w) dx + граничные члены = 0. (iii)
7. Покажите, что уравнения (П и (И) задачи 6 можно вывести непосредст-
непосредственно из условий равновесия бесконечно малого элемента балки. Примечание:
1) внутренняя сила, нормальная к поперечному сечению балки, равна ах (дг/дх)
иа единицу иедеформированной площади; 2) непосредственный вывод уравнений
равновесия бесконечно малого элемента балки в рамках теории малых переме-
перемещений дан в примечании на с. 187.
'Q*Q'dx N+N'dx
Nw'+(Nw')'dx
*M'dx
Nw'
x+dx
x-l
x-l-dx
Рис. 7.Э. Элемент балки.
Рис. 7.10. Концевой элемент балки.
8. Докажите, что если ось балки нерастяжима (т. е. е0 = 0) и членом, содер-
содержащим Д можно пренебречь, то уравнение (i) задачи 5 сводится к следующему:
(I)
Докажите также, что, используя это уравнение и принцип виртуальной работы,
можно вывести уравнение кривой, известной под названием эйлеровой эластики.
Примечание: см. работы [1 ] и [21 ] в литературе к гл. 3.
9. На рис. 7.9 изображен бесконечно малый элемент балки в произвольном
положении. Докажите, что соотношения G.67) и G.68) можно получить непосред-
непосредственно, записав условия равенства нулю снл в направлениях осей х н z и момен-
моментов в виде
N' = 0, <?' + (Nw')' -f Р = 0, М' — 0 = 0, (i), (ii), (iii)
а затем исключив из них перерезывающую силу Q.
10. На рис. 7.10 изображен бесконечно малый концевой элемент балки у
конца х = I. Докажите, что уравнения G.69)—G.71) можно непосредственно по-
получить из условий равенства нулю сил в направлениях осей х и z, а также момен-
моментов
N = ~РХ, Q + Nw' = Pz, M = M (i), (ii), (iii)
с последующим исключением из них Q с помощью соотношения (iii) задачи 9.
П. Докажите, что при подстановке выражений G.73) и G.74) в уравнение
G.66) последнее принимает вид
J [ЕА0 \и' + A/2)
w' 6V) + Elw" 6w" —
— Pt to (I)
(I)

212 Часть А. Формулировка вариационных принципов
а это приводит к следующей формулировке принципа стационарности потенциаль-
потенциальной энергии: среди допустимых функций и (х) и w (x), удовлетворяющих условиям
G.16) и G.17) соответственно, действительное решение доставляет функционалу
1
П = -L J (\ЕА0 [и' + ~ ("О2]2 + Е1 (ш"J| dx-
о
— [ pw dx — Рх и (I) — />2ш (/) + Mw' (/) (ii)
о
стационарное значение. Докажите также, что функционал (ii) можно непосредст-
непосредственно вывести изфункционала(З.бЭ). Примечание: используйте соотношение G.75).
Задачи к § 7.6
12. Докажите, что подстановка выражения G.86) в G.84) н G.85) приводит
к уравнениям
(ElwT)" + Pcrw" = 0, (i)
EIw" = 0 при х = I (ii)
н что (i) с граничными условиями (ii) н G.79) являются определяющими уравне-
уравнениями задачи устойчивости.
13. Докажите, что при подстановке выражения G.86) в уравнение G.82)
последнее принимает вид
\ (EIw" 6w" — Pctw'?>w')dx = 0, (i)
о
а это приводит к следующей формулировке принципа стационарности потенциаль-
потенциальной энергии: среди допустимых функций w (x), удовлетворяющих условию G.79),
действительное решение доставляет функционалу
стационарное значение, причем РСТ рассматривается как неварьируемый пара-
параметр. Докажите также, что функционал (ii) можно вывести непосредственно нз
функционала E.25).
14. Рассмотрим балку, изображенную на рис. 7.6, н запишем выражение для
полной потенциальной энергии системы
п = J \т
о
ЕА° ["' + т (Ш'JГ+т EI (ш"J}dx+PctU
где и (х) и w (х) опгсчитываются от недеформированного состояния, т. е. от состоя-
состояния до приложения силы Ясг.

Гл. 7. Балки 213
A) Докажите, что первая вариация П равна
f / Г ' ' 1 Л
MI=jp.[B +T(«)»j< +w ) + E/»tojd* + Pcr (/) =
= f [—N' 6u + Nw' 6V + Elw" 6a>"] dx: + [N (I) + Ясг] 6u (I), (ii)
где
N (х) = EA0 W + A/2) (a/J]. (iii)
B) Докажите, что условие стационарности П по отношению к и (х) приводит
к равенству
N (х) = -Ясг. (iv)
C) Докажите, что с учетом (iv) уравнение (ii) дает
[ (Elw" to" — Pcvw' to') dx = 0. (v)
о
Докажите, также, что уравнение (v) соответствует функционалу (ii) задачи 13-
Примечание: см. работу [1, с. 358—360] в литературе к гл. 3, а также задачу 11
настоящей главы. _
15. Консольная балка колеблется под действием следящей силы Я, как по-
показано на рис. 7.11, где в — w' (l), а a — заданная константа. С помощью прин-
принципа виртуальной работы докажите, что уравнение движения и граничные усло-
условия имеют вид
(Elw")" + Pw" + mw = 0
и
w = 0, w' = 0 при х = 0,
Elw" = 0, (Elw")' + Я A — а) ш' = 0 при х = /
соответственно, где точка означает дифференцирование по времени. Обсудите,
можно ли сформулировать вариационные принципы для этой задачи. Примеча-
Примечание: второе выражение принципа виртуальной работы для этой задачи имеет вид
J |б J i mw2dx — f [ f (ax0) + ax) bexxdxdydz — ~Pbu (I) — Яав to (/)\dt = 0,
(i)
где в качестве исходного состояния берется конфигурация статического равнове-
равновесия при простом сжатии силой Р и, следовательно, >40а^0' = —Р. В функционале
(i) компоненты и (х) и w (x) отсчитываются от исходного состояния и использо-
использовано уравнение G.64). См. работу [23] в литературе к гл. 3, а также задачу 10
гл. 5.

214
Часть А. Формулировка вариационных принципов
Задачи к § 7.7
16. Докажите, что подстановка выражения G.27) в выражение G.107) пре-
преобразует последнее к виду
I I
[ [EIw" bw" + Ni0)w' 6ш'] dx — ш2 [ mw 6a> dx = 0, (i)
о о
а это приводит к следующей формулировке принципа стационарности потенциаль-
потенциальной энергии: среди допустимых функций w (x), удовлетворяющих условиям G.101),
действительное решение доставляет функционалу
1 I
П = -i. J [EI КJ + Л/@) (WJ] dx L ш2 J rn^dx (ii)
0 0
стационарное значение, причем ю рассматривается как неварьирдемый параметр.
Докажите также, что функционал (ii) можно вывести непосредственно из функцио-
чала E.129).
Рис. 7.11.
Рис. 7.12. Вращающаяся балка с
грузом на конце.
17. Докажите, что отношение Релея для задачи 7.7 записывается в виде
A/2) J EI (w"fdx + A/2) | Nm (w'fdx
A/2) [mw*dx
18. Докажите, что если на конце вращающейся балки закреплен груз
(рис. 7.12), то функционал принципа стационарности потенциальной энергии
свободных поперечных колебаний балки принимает вид
П = -L J EI (w"f dx + i- J W<°> (w'f dx -
-•* y(

Гл. 7. Балки 215
где Мт н 1т — масса н момент инерции груза соответственно, а ЛЛ0) (х) находится
из уравнения
#<»>' + /шей2 = 0 (ii)
с граничным условием
^ю) tj\ — AfwQ2. (iii)
19. Рассмотрим задачу, представленную на рис. 7.7. Докажите следующие
утверждения.
A) Для данной задачи принцип Гамильтона имеет вид
t,
6 J (T -U)di=0, (i)
где
т = т jm f(IiJ+((дс+и) йJ
j
о
[EAt (и' + 4" КJJ + Я/ (ю*I] Л. (iii)
Здесь и (*, ^) и ш (ж, ?) отсчитываются от состояния, имевшего место до начала
вращения. Разумеется, система координат (х, у, г) вращается с балкой, причем
ось 2 является осью вращения.
B) Проведя некоторые преобразования, уравнение (i) можно привести к виду
t, ( I
[ | [
[ (+ ( + ) ) + \ x —
/. lo
— J lm—N' 6u + Nw' &»' + EIw" 6w"] dx — N 6м ' \dt = 0, (iv)
о J
где N (x) = EA0 [u' + A/2) (ш'J].
C) Условие стационарности функционала (iv) по отношению к и (х) приводит
к уравнению
N' — тп -f т (х + и) Q2 = 0 (v)
и граничному условию
N (I) = 0. (vi)
D) Исключение и (х) при помощи (v) н (vi) преобразует уравнение (iv) к виду
[ I f (Nw' 6w' + EIw" 6w") dx— \mw 8w dx\ dt = 0. (vii)
J I J J ]
/, lo о j
E) Аппроксимируя уравнение (v) уравнением
N' + mxQ? = 0 (viii
и записывая W) (x) вместо N (x), уравнение (vii) можно привести к виду
(Л/@)ш' &w' -f EIw" 8w") dx—\mw bw dx\ dt = 0. (ix)
t, ( i

216
Часть А. Формулировка вариационных принципов
F) Уравнение (ix) соответствует следующему вариационному принципу:
t,ti
Примечание: ЛЛ0) (х) здесь не варьируется.
G) Предположим
до (х, t) — w (x) sin ш/ , (xi)
и положим в уравнении (х)
t2 = tx-\- 2я/ш. (xii)
Тогда после некоторых выкладок, включающих интегрирование по времени t
и замену w (x) на до (х), найдем, что уравнение (х) приводит к вариационному
принципу, которому соответствует функционал G.112).
Задача к § 7.8
20. Докажите, что если учесть деформацию поперечного сдвига, то функцио-
функционал G.87) нужно заменить функционалом
П = -1 | [El (u\f + GkA0 (w + и,J] dx - I- Per J (ДО'J dx, (i)
о о
где Ui и до определены в § 7.8. Докажите также, что при помощи функционала (i)
можно получить определяющие уравнения и граничные условия для задачи, об-
обсуждавшейся в § 7.6, в следу-
z ющем виде:
[?/«;]'-СМ0 (»' + «,) = 0,
х ui = 0, до = 0 при х = 0, (iii)
Е1и[ = 0, до = 0 при ж=/.
Задача к § 7.9
Рнс. 7.13.
21. Рассмотрим задачу о
прощелкивании балки, пред-
представленную на рис. 7.13. Полная потенциальная энергия системы равна
I
E
П =
dx +
где г= г(х) —¦ малый начальный прогиб балки, / — расстояние между опорами,
j2 = 1/А0, гР — внешняя сила, приложенная в точке х = 1/2 в направлении, об-
обратном оси z.
A) Выведите условия стационарности функционала П, в котором независи-
независимыми варьируемыми функциями являются и и w с граничными условиями
и = w = 0 при х = 0 и ж = I.

Гл. 7. Балки 217
B) Получите приближенное решенне задачн, полагая
z = f0 sin (nx/l), w = —fx sin (nxll) — f2 sin Bях//)
и замечая, что
„ лН*ЕА0
4- (* а> - -уя? ~2Ц У - pK°Xi ]'
" - 41»
где Яо = /0/(, *! = fji, К2 = /2/t, р = [4//(я2/0)] (Я7Ре), Ре = я2Е1/Р. Докажите,
что критическая сила прощелкивання равна
=Яе^- [2 + -^-ГфП
Примечание: см. работу {34] к настоящей главе, а также работы [191 и [20]
в литературе к гл. 3.

Глава 8
ПЛАСТИНЫ
§ 8.1. Растяжение и изгиб пластины
В этой главе мы рассмотрим растяжение и изгиб тонкой пла-
пластины, срединная поверхность которой предполагается плоской.
Выберем систему координат таким образом, чтобы оси хну ле-
лежали в срединной плоскости, а ось г совпадала с направлением
нормали к ней, так что оси х, у и z образуют правую прямоуголь-
прямоугольную систему координат. Пластина предполагается односвязной,
а ее боковая поверхность — цилиндрической, т. е. параллель-
параллельной оси z, как показано на рис. 8.1. Обозначим область и границу,
составляющие срединную поверхность пластины, через Sm и С
соответственно. Направляющие косинусы внешней нормали v
к контуру обозначим через (/, т, 0), где / = cos (x, v), m =
= cos (у, v). Координата s отсчитывается вдоль контура С так,
что v, s и z составляют правую систему координат.
При изложении приближенной теории растяжения и изгиба
тонкой пластины используем предположения, основанные на тон-
тонкости пластины. Во-первых, предположим, что трансверсальным
нормальным напряжением можно пренебречь по сравнению с дру-
другими компонентами напряжений:
аг = 0. (8.1)
Тогда, как показано в приложении I, для линейной теории тон-
тонких пластин будем иметь следующие соотношения напряжения —
деформации:
°х = i_v> (е* + vey), оу = Y—i (ve* + гу),
G G G
Для нелинейных теорий будем иметь
Е
а е + e) о
(vexx + еуу),
Во-вторых, используем гипотезу Кирхгофа, состоящую в том, что .
линейные элементы пластины, первоначально перпендикулярные

Гл. 8. Пластины
219
к срединной поверхности, остаются прямыми и перпендикуляр-
перпендикулярными к деформированной срединной поверхности и не испытывают
растяжения [1, 2]1).
С учетом этой гипотезы выведем выражения для перемещений.
Рассмотрим произвольную точку пластины с координатами (х,
у, г) до деформации и обозначим через г@> и г соответственно
радиусы-векторы этой точки
до деформации и после нее,
связанные g вектором пере-
перемещений а соотношением
г = г«» + и, (8.4)
где г<°> = х\х + yi2 + zi3, a
•i. h> 'з — единичные векто-
векторы в направлениях осей х,
у, г соответственно. Анало-
Аналогично обозначим через
r@)
¦о
и г0 соответственно радиу- л
сы-векторы точки (х, у, 0) Рис 8л
срединной поверхности до
деформации и после нее,
связанные с вектором перемещений
Система координат для пла-
пластины.
u0 соотношением
го = гГ + и„,
(8.5)
где г@0) =
образом:
yi2. Определим компоненты и и и0 следующим
u = uit 4- via + wi3, (8.6)
u0 = uit 4- vi2 + wi3, (8.7)
где и, v и w являются функциями только от х и у. Гипотеза Кирх-
Кирхгофа позволяет выразить г в виде
г = г0 4- zn, (8.8)
где п — единичная нормаль к деформированной срединной по-
поверхности,
*.. /I *. ^ *. I (8.9)
п =
дх Х ду
дх Л ду
Так как
Го = (х 4- и) ii + (У 4- и) «2
(8.10)
1) Обычно под гипотезой Кирхгофа понимается как первое предположение
°г = 0, так и второе предположение. Однако в этой книге гипотезой Кирхгофа
будет называться лишь второе предположение.

220 Часть А. Формулировка вариационных принципов
то п можно выразить через и, v и w следующим образом:
где
. dw . dv dw dv dw
~оЧ^"оЧ1у~~"ду"оЧу
м _ dw , du dw du_dw (R J2.
m ~ Hy~ ^ dy dx ~ dx dy ' @-lZ}
.r . . du , dv . du dv du dv
= ^~ "dx"T~ ~dj ~^~ ~dx"dy ~ ly ~dx"
Из уравнений (8.4), (8.5) и (8.8) получаем
u = Uo + z(n-i3). (8.13)
Эта формула описывает перемещения пластины с учетом гипо-
гипотезы Кирхгофа. Отсюда видно, что число степеней свободы дефор-
деформирования пластины равно трем, а именно и (х, у), v (xx у) и w (x,
у). Если в задаче о пластине ограничиться случаем малых переме-
перемещений, то уравнение (8.13) можно линеаризовать по отношению
к перемещениям, что дает
u = u-z?-, v = v-z^, w = w. (8.14)
d* dy K '
Соответственно компоненты деформаций описываются соотноше-
соотношениями
du d2w dv dhs>
ex = ~dx~~Z~W' *v = ~dy~~ZW
v _du_ dv 2 J*w_ (8.15)
Уху- ду +-^-zz dxdy '
<5z = Vxz = 4yz = 0 /
и связаны с компонентами напряжений уравнениями (8.2).
§ 8.2. Задача о растяжении и изгибе пластины
Рассмотрим задачу о пластине, состоящую в следующем:
пусть пластина подвергается действию распределенной попереч-
поперечной нагрузки р (х, у) на единицу срединной поверхности в направ-
направлении оси z. Поперечная нагрузка может состоять из массовых
сил, а также внешних сил, приложенных к верхней и нижней по-
поверхностям пластины. На части боковой поверхности, обозначае-
обозначаемой через Si, внешние силы считаются заданными. Они отнесены
к единице поверхности, и их компоненты в направлениях х, у
и z обозначаются через Fx, Fy и Fz соответственно. На другой
части боковой поверхности, обозначаемой через S2, заданы гео-
геометрические граничные условия.

Гл. 8. Пластины 221
Принцип виртуальной работы для рассматриваемой задачи
записывается в виде (см. уравнение A.32))
j j J (ах6ех + ауЬъу -f txyf>yxy) dx dy dz — \\ pbw dx dy —
- J J (Fx6u -f FV6 v + Fz6w) dsdz = 0 (8.16)
(здесь подставлены выражения (8.14) и (8.15)). Введем результи-
результирующие напряжений
ft/2 ft/2
\aydz, Nxy= \
— ft/2 —ft/2 —ft/2
l*/^ I*/^ K/^
Nx= ) axdz, Ny= \eydz, Nxy= J xxydz,
ft/2 ft/2 л/2 (8-17)
= J axzdz, My = j OyZdz, Mxy = j xxvzdz
-ft/2 -ft/2 —A/2
ft/2 ft/2 ft/2
h/2 —ft/2 —A/2
Nxv = J ^ж «Z, Л/yv = J Fу t
-ft/2 -ft/2 -,.,.
ft/2 ft/2 (8Л8)
^Wxv= j ^xZdz, Myv= J FyZdz,
где Л (л:, у) — толщина пластины, и проинтегрируем в (8.16) по г.
Тогда, используя интегрирование по частям
J J [Л1ж6ш, хж + Mybw, уУ + 2Mxy6wt xy] dx dy =
sm
- J [Mxv6w, x + Myv6^, „] ds - J J [Qx6o>, x + Оубш,»1 ^ dy (8.19)
и геометрические условия

222
Часть А. Формулировка вариационных принципов
Рис. 8.2. Результирующие иапряжеиий и моменты.
которые должны выполняться на контуре С, преобразуем уравне-
уравнение (8.16) к виду
- J J i(Nx, х + Nxy, у) бы + (Nxy, х + Ny, у) 8v +
+ (Qx, x+~Qy,y + P) ЗД dX dy +
+ J [(Nxv - Nxv) бы + (Nyv - Nyv) 8v + (Vt - Vt) 8w -
c
J
c,
- (Mv - Mv) 8w, v - (Mvs - Mvs) 8w, s] ds +
+ J [Nxv8u + Nyv8v + Vz8w — Mv8w. v — Mvs8w, A ds =0,
Ct
(8.21)
где Сг и С2 — части контура С, соответствующие 5Х и 52, и исполь-
испольб
зованы обозначения
дМх , дМху
-t-
(8.22)
(8.23)
jVxv = Nxl -f- Nxym, Nyv = Nxyl -j-.
Mxv = MJ + Mxym, MyV = Mxyl -j- M
M% = MXJ + Myvm = Mxl2 -j- 2Mxgli
= — Mxvm + Myvl = — (Mx — My) Im + Л1жу (Р — ma),
Vt = (У + Qym, (8.25)
Afv = M xvl + Myvm, Mvs = — iWev«» + M9J. (8.26)

Гл. 8. Пластины
223
Величины, введенные формулами (8.17), являются результи-
результирующими напряжений и моментов на единицу длины в направле-
направлениях х и у срединной поверхности, как показано на рис. 8.2.
Величины Nx, Ny и Nxy представляют собой результирующие
напряжений в плоскости, а Л1Ж, Му и Мху — изгибающие и кру-
крутящий моменты. Величины Qx и Qy, определенные выражениями
(8.22), оказываются равными перерезывающим силам Qx и Qy на
единицу длины в направлениях хну срединной поверхности, если
рассматривать равновесие бесконечно малого прямоугольно-
прямоугольного параллелепипеда на
рис. 8.2 по отношению
к моментам вокруг осей,
параллельных осям у и
х соответственно (ана-
(аналогичные рассуждения
см. в примечании к§7.2).
Величины, определен-
определенные формулами (8.18) и
(8.26), являются задан-
заданными внешними силами
и моментами на едини-
единицу длины вдоль гра-
границы. Величина Vz пред-
представляет собой перере-
перерезывающую силу, действующую в направлении оси z, a Mv и
Mvs— изгибающий и крутящий моменты, как показано на рис. 8.3.
Возвращаясь к уравнению (8.21), находим, что некоторые
члены в интегралах по контуру можно преобразовать интегриро-
интегрированием по частям. Например, имеем
Рис. 8.3. Результирующие сил и моменты на
границе.
I
[(У г
- (Mvs - Mvs) 6W, ,] dS =
= - (Мч1 - MvsNw\Cl + \ [(V2
с.
Mvs, s)- (Vz + Mvs, s)]6wds,
(8.27)
где обозначение ( ) | с, указывает на то, что берется разность
значений соответствующей величины на концах контура Сх.
Это уравнение показывает, что при наличии гипотезы Кирхгофа
действие крутящих моментов Mvs и Mvs, распределенных вдоль
границы, заменяется действием перерезывающих сил Vz и Vz
соответственно, а величины Mvs и Mvs на концах контура Сг
действуют как сосредоточенные силы в направлениях ±г соответ-
соответственно [1, 21. Аналогичное преобразование можно применить

224 Часть А. Формулировка вариационных принципов
к интегралу по контуру С2 и тогда геометрические граничные ус-
условия на S2 можно приближенно определить следующим образом:
и = п, v = v, w = w, --^- — -^ на С2. (8.28а, Ь, с, d)
Следовательно, можно положить б« = bv = bw = dbwldv — О
на С2.
В результате проделанных выкладок принцип виртуальной
работы (8.21) сведется к виду
+ Nxy, у) Ьи + (Nxy, х + Ny, у) bv +
+ (Q,, x + Qy.y + t) M ^ф + J \(NXV - Nxv) Ьи +
с,
+ (^v - ^»v) & + [(Кг + Mvs,.) - (Vz + Mvs,,)] 6^ -
-(Mv-Mv)Sw, v\ds = 0. (8.29)
Так как 6u, 6у, Sw и бш, v произвольны в 5m и на Cl; отсюда полу-
получаем уравнения равновесия
dNx dNxy dNxy dNy
дх " ду ~~ ' дх ^ ду ~~ '
(8.30а, Ь, с)
ftc2 r
и механические граничные условия
'va:v — 'va:v> ' Vv — 'v»v' ' z г ^s — "zr
на Сх. (8.31a, b, c, d)
Выразим результирующие напряжения через перемещения. Ком-
Комбинируя соотношения (8.2), (8.15) и (8.17), находим
Eh ( ди dv \ Дг Eh / ди . dv \
( + v) n{vtu + w)- (832)
MxV=~D(l ~
где D = ?7i3/[12 (I — v2) ] — изгибная жесткость пластины.
Из соотношений (8.28а, b), (8.30a, b), (8.31a, b) и (8.32) полу-
получим два дифференциальных уравнения и граничные условия для

Гл. 8. Пластины
225
функций и и v. Решив полученную краевую задачу, определим
растяжение пластины. Соответственно сочетание соотношений
(8.28с, d), (8.30c), (8.31c, d) и (8.33) приводит к дифференциальному
уравнению и граничным условиям для w, которые определяют
изгиб пластины. Если пластина обладает постоянной изгибной
жесткостью, то краевая задача принимает вид
DAAw = р, (8.34)
ds
= м* на
dw
dw
(8.36)
(8.36)
где Д = d2 ( )/dx2 + da ( )/ду% — двумерный оператор Лапласа,
Величина р в (8.35) представляет собой радиус кривизны кон-
контура Сх, определяемый выраже-
выражением 1/р = dblds, где Ь— угол
между касательной к контуру и
осью х, как показано на рис. 8.4.
Таким образом, в рамках теории
малых перемещений пластины,
когда компоненты перемещений
определяются соотношениями
(8.14), растяжение и изгиб не
связаны друг с другом и могут
рассматриваться отдельно.
Соотношения напряжения —
деформации (8.2), как показано
в приложении I, гарантируют
существование функции энергии
Рис. 8.4. Величины # и р.
деформации. Следовательно, с учетом уравнений (8.15) получим
выражение для энергии деформации пластины в следующем виде:
дхду )
(8.37)
К. Ваендэу

226 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Нетрудно видеть, что два члена в правой части этого уравнения
отвечают энергиям деформаций растяжения и изгиба.
В заключение заметим, что если угол ¦& или величина M
разрывны в некоторых точках контура Clt то при выводе уравне-
уравнения (8.27) следует соблюдать осторожность. Например, если M
разрывна в точке s = s*, то
vs
J (— Vzbw -(- Mvsbw, s) ds = MVs
J
- [Mvs (s* + 0) - Mvs (s* - 0)] 8w (s*) -
. (8.38)
Следует соблюдать осторожность и при преобразовании интеграла
по контуру С2. Однако в последующих параграфах будем пред-
предполагать, что на контуре не существует таких особых точек 1).
§ 8.3. Принцип минимума потенциальной энергии
и его преобразование для задачи
о растяжении пластины
В предыдущем параграфе было показано, что выражение для
полной потенциальной энергии деформации пластины при растя-
растяжении дается выражением
ди dv
j (8.39)
где независимыми величинами, подлежащими варьированию, яв-
являются и и v при дополнительных условиях (8.28а, Ь). С помощью
введения трех вспомогательных функций, определенных соотно-
соотношениями
ди dv ди dv /o .Л.
6 e У+ (8.40)
дх ' "уо - ду ' Гж»° - ду т дх
J) В гл. 17 рассматривается угловая точка на контуре, в которой угол на-
наклона касательной Ь претерпевает разрыв.

Гл. 8. Пластины 227
функционал (8.39) обобщается следующим образом:
„ 1 f f Г Eh , , ,2 , Gh / 2
c,
/ ^U \ AT I dv \ \j
~~ Vх0 ~ ~dx) Nx ~~ Vw "^)n«^
-(y*w - ^-"i
- J [(и - «) yV,v + (v - v) Nyv] ds. (8.41)
c.
Если исключить ex0, eyo, yxy0, и н v при помощи условий ста-
стационарности
Nx = i—гг (ех0 + vew), Л^г, = -,—-r (vex0 + ew),
v '"v (8.42)
Nxy = Ghyxy0,
Nx,x + Л^зд,e = 0, Nxy,x + Ny>y = 0 в Sm, (8.43)
Nxv = Nxv, Nyv = Nyv на Сх, (8.44)
то функционал (8.41) сведется к следующему:
(UMXV + y^yv) ds, (8.45)
c,
где варьируемыми функциями являются jVx, Nа и Nxy при до-
дополнительных условиях (8.43) и (8.44). Если использовать функ-
функцию Эри F (х, у), определяемую соотношениями
то функционал (8.45) можно записать в виде
lc ~T il[ Eh \ дх* + ~дф) + Gh \\дхду) дх* ду* \\ахаУ
где Z7 является независимой варьируемой функцией при дополни-
дополнительных граничных условиях (8.44), а именно при условиях

228 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Условия стационарности функционала (8.47) приводят к урав-
уравнению в области Sm и граничным условиям на С2. Уравнение в об-
области Sm содержит условие совместности деформаций ех0, е^
и уху,,. Если пластина имеет постоянную толщину, то это уравне-
уравнение принимает вид
ДА/? = 0 в Sm, (8.49)
где А — двумерный оператор Лапласа. Очевидно, что граничные
условия на С2 эквивалентны уравнениям (8.28а, Ь). Заметим, что
функционал (8.45) можно получить непосредственно из функцио-
функционала B.23), предполагая, что
ах = Njh, ау = Ny/h, хху = Nxy/h (8.50)
и что остальные компоненты напряжений равны нулю.
Задача о растяжении пластины интенсивно изучалась, ей по-
посвящено большое число статей (см., например, [3—6]). Для полу-
получения приближенных решений задачи о растяжении пластины ис-
использовались вариационные принципы в сочетании с методом
Релея—Ритца (см., например, [3, 7, 8]).
§ 8.4, Принцип минимума потенциальной энергии
и его преобразование для задачи
об изгибе пластины
Как показано в § 8.2, полная потенциальная энергия пластины
при изгибе дается выражением
(8.51)
где w — независимая варьируемая функция при дополиительных
условиях (8.28с, d). С помощью введения трех вспомогательных
функций, определенных соотношениями
d*w dba d*w
* * * (8-62)

Гл. 8. Пластины 229
функционал (8.51) можно обобщить следующим образом:
П' = \\{т [(** + *<,J + 2A - v)(xi, - кжху)] +
Н
с,
[()]s' (8-53)
где Мх, Му, Мху, Р* и Q* являются множителями Лагранжа.
После исключения хх, х„, ххи и w при помощи условий стационар-
стационарности
Мх = - D (хх + vx;,), AfB = - D (vxx + х„),
(8'54)
1ХУ + Му,уу + р = 0, (8.55)
Mv = Aiv, Vt + Mvf,, = V. -f ^vs,, на С» (8.56)
/>* = MV> Q* = K, + A1«., на Cs (8.57)
обобщенный функционал приводит к следующему функционалу
принципа минимума дополнительной энергии:
П< = Т J J Ш НМ* + МуУ + 2 (! + v> (^'* - М'ММ dxйУ +
[^( ^)] (8.58)
где варьируемыми величинами являются Мх, Ми и Мхи при до-
дополнительных условиях (8.55) и (8.56). Можно показать, что ус-
условия стационарности функционала (8.58) являются условиями
совместности, которые эквивалентны уравнению (8.52) и геометри-
геометрическим граничным условиям (8.28с, d). Заметим, что первый член
функционала (8.58) можно получить из первого члена функцио-
функционала B.23), предполагая, что
_ Мх г _ Му г _ Мху г
a~W a~ " ~ ~W6~ Л/2 l°-ow'
и что остальные компоненты напряжений равны нулю (см. также
приложение J).

230 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Выведенные выше вариационные принципы можно применить
к решению задач об изгибе пластин. Принцип минимума потен-
потенциальной энергии (8.51) в сочетании с методом Релея—Ритца
успешно применялся для получения приближенных решений за-
задач о прогибе пластин при изгибе (см., например, [2, 9, 10J).
§ 8.5. Большие прогибы пластины
при растяжении и изгибе
Рассмотрим теорию больших прогибов пластины, предложен-
предложенную Карманом (см. [2, 11, 12]), в задаче, аналогичной исследован-
исследованной в § 8.2. Предполагается, что хотя прогиб пластины не яв-
является малым по сравнению с толщиной пластины, но он все еще
мал по сравнению с другими линейными размерами пластины.
В таком случае можно, пренебрегая членами высшего порядка,
записать выражения для перемещений и, v и w и соотношения
деформации—перемещения в следующем виде1):
HrL v = v — z —- w — w (8 60)
dx ' dy ' ' '
du , 1 '/ dw \2 d2o>
J_ / dw_\2
2 \dx I
dx 2 \dx I dx2
dv , 1 / <to ¦
-yv
du dv . dw dw „ dha
" ~dy ~i~ ~dT f~dT ~df "
В рассматриваемом случае больших прогибов для формули-
формулировки принципа виртуальной работы следует использовать C.49),
и мы имеем
J J | (охЬехх + ОуЬвуу - f- 2ххуЬеху) dx dy dz - II pbw dx dy -
Fxbu-[-Fybv rFzbw\dzds^0, (8.62)
где использованы выражения (8.60) и (8.61).
J) Эти уравнения можно вывести из (8.13) и C.19), предполагая, что и,х ~
~ "• у ~v, х ~ v, у ~ (ш,хJ ~ (о;, j,J <g; 1, н пренебрегая членами, содержа-
содержащими г2. Первое предположение означает, что величины (w, xJ, (w, yJ, деформа-
деформации срединной поверхности н вращение пластины вокруг оси г очень малы по
сравнению с единицей [12].

Гл. 8. Пластины 231
Произведя некоторые выкладки и вводя величины, определен-
определенные в § 8.2, найдем, что уравнение (8.62) сводится к уравнению,
которое также можно получить из уравнения (8.29) с помощью
замен
Qx на Qx{-Nxw,x + Nxyw,y,
~ ~ (о.bo)
Qy на Qy + Nxyw, x + MyW, v.
Эти замены означают, что когда прогибы пластины становятся
большими, то результирующие напряжений Nx, Ny и Nxy в плос-
плоскости дают вклад в уравнение равновесия в направлении оси г,
обусловленный искривлением срединной поверхности. Таким
образом, получаем уравнения равновесия
N дЫу __ дЫху dNy
~ ' ~дх~ ^ ~ду~~ '
ду~ ' дх
^2+^+f (Nx^ + Nxy^
дхду г ду2 ' дх \ х дх ' ху ду
и механические граничные условия на Сх
Nyv,
^ = Vz + %-°, (8.65)
Из уравнений (8.3), (8.17) и (8.61) получим соотношения резуль-
результирующие напряжений в плоскости — перемещения в следующем
виде:
1-v 1-v (8.66)
Л^ж!, = 2Ghexyo,
где
_ д« 1 / dw \2 __ ду 1 / dw \2
е + е +)
(о.Ь7)
п ди . dv , dw dw
хт ~ ~ду~ ¦ Их "•" ~дзГ ~ду '
в то время как соотношения изгибающие моменты — кривизны
остаются прежними (формулы (8.33)). Уравнения, полученные
таким образом, вместе с геометрическими граничными условиями
(8.28а, Ь, с, d) описывают поведение плоской пластины при боль-
больших прогибах. Нетрудно видеть, что при больших прогибах
растяжение и изгиб связаны друг с другом и не могут рассматри-
рассматриваться отдельно.

232 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Далее рассмотрим вариационные формулировки задачи. Сле-
Следуя рассуждениям, аналогичным тем, которые проводились в тео-
теории малых перемещений, запишем принцип стационарности по-
потенциальной энергии (см. задачу 9, а также § 17.4), из которого
получим обобщенное выражение Пг:
Пг = JJ{2Af*v8) [(е„о + eyyQf + 2 A - v) (rf* - exxOeyy0)) +
+ y l(x, + x,J + 2 A - v) (xl, - x,x,)] - pw -
+ интегралы по Сх и Са. (8.68)
Исключим компоненты деформаций е^0, гуу0 и ехуо при помощи
условий стационарности по отношению к этим величинам, а для
исключения хХ1 ху, хху, Мх, Му и Мху используем уравнения
(8.52). После исключения указанных величин введение функции
напряжений Эри, определяемой соотношениями (8.46), позволяет
преобразовать выражение (8.68) к виду
d*F
dx* ^ dy*
~*~ 2 [ду* \дх ) ~Т~ дх* \ду ) дхду дх ду \~
— pwl dx dy + интегралы по Сх и С2), (8.69)

Гл. 8. Пластины 233
где варьируемыми функциями являются F и w. Предполагая
для простоты, что толщина h постоянна, получаем в качестве ус-
условий стационарности функционала П* следующие два уравне-
уравнения в Sm:
п Л . _ . 3V Л» . d2F d*w n d"F d*w ,a _„.
ОДДа/^ + тг-тг + тт-г! 2 , , , -.-¦ , (8.70)
г • ду% дхг ' дхг дуг дхду дхду ' v '
ллс Ph\l
AAF = Eh[{
где Л — двумерный оператор Лапласа. Уравнение (8.70) является
уравнением равновесия в направлении оси z, а уравнение (8.71)
представляет собой условие совместности деформаций ехх0, еуу0
и ехуо. Некоторые работы, связанные с теорией больших прогибов
плоских пластин, приводятся в списке литературы [13—18].
§ 8.6. Потеря устойчивости пластины
Сформулируем теперь задачу об устойчивости плоской пла-
пластины [19]. Предполагается, что перед потерей устойчивости
пластина подвергается действию двумерных напряжений ka^,
ka^ и kx^y, где k —монотонно возрастающий коэффициент про-
пропорциональности, а распределение напряжений 0^О), ау0) и х%
фиксировано. Эти напряжения будем считать начальными напря-
напряжениями, удовлетворяющими следующим уравнениям равнове-
равновесия и механическим граничным условиям:
= 0 в5т, (8.72а)
дх ¦ ду ' дх ' ду
где
= Ni°y4
iy4
Компоненты перемещений и, v и w измеряются от состояния,
предшествующего потере устойчивости, и предполагается, что
они даются выражениями (8.60). Считается также, что в процессе
потери устойчивости внешние силы kN^\ и kNyV на Ct не изме-
изменяются ни по величине, ни по направлению и что пластина за-
защемлена по контуру С2, т. е.
и = 0, v = 0, w = 0, dw/dv = 0 на Сг. (8.73а, Ь, с, d)
Так как мы имеем дело с задачей с начальными напряжениями,
то для компонент деформаций в принципе виртуальной работы

234 Часть А. Формулировка вариационных принципов
следует использовать нелинейные выражения (8.61). Тогда прин-
принцип виртуальной работы примет вид (см. уравнение E.5))
-f {kay0) 4 ay) 8eyy -f- 2 (kxpj -f- xxy) 6exy] dx dy dz -
— \ (kNW 6u + kNuV 8v) ds - 0, (8.74)
где ах, оу и хху являются добавочными напряжениями. Поскольку
нас интересует только форма потери устойчивости и критическая
нагрузка, то в вариационном принципе (8.74) членами более вы-
высокого порядка можно пренебречь. По той же причине деформации
также линеаризуются по отношению к компонентам перемещений.
В данной задаче предполагается, что соотношения добавочные
напряжения—деформации даются уравнениями (8.2). Тогда, ис-
используя результирующие напряжений, определенные формулами
(8.17), найдем, что соотношения результирующие добавочных на-
напряжений — перемещения описываются уравнениями (8.32) и
(8.33).
Возвращаясь к вариационному принципу (8.74) и используя
уравнения (8.72а, Ь) и (8.73а, Ь), находим, что вклад от членов с 6м
и bv приводит к уравнениям
Nx,x + Nxy,y = 0, Nxy,x + Ny,y = O в Sm (8.75a)
Nxv = О, Nuv =0 наС,. (8.75Ь)
Рассматривая эти уравнения совместно с уравнениями (8.32)
и (8.73а, Ь), получаем, что Nx = Ny = Nxy = 0 всюду внутри
пластины. Следовательно, вариационный принцип принимает вид
И
(8.76)

Гл. 8. Пластины 235
и с помощью известной процедуры приводит к уравнению равно-
равновесия в Sm
дх2 \~ 2 дхду \~ ду2 '
д /»,@) dw . .,@) dw \ . d / .,to) dw
+* f s ("?) -н- ¦+
(8.77)
и механическим граничным условиям на Сг
^ = 0, М* = 0. (8.78)
r> i ^ / л \ i /1 , d \ d / dw
—D I -r— (Aw) 4- A v) -r— -5— ( -=-
Уравнения (8.77) и (8.78) вместе с уравнениями (8.33) и
(8.73с, d) описывают рассматриваемую задачу устойчивости. В слу-
случае постоянной изгибнои жесткости эти уравнения можно записать
в следующем виде:
(8-79)
01 (8.80)
№ + y 1нг)_1=0 на Cl-
где р определено на рис. 8.4, и
оу = 0, dw/dv = 0 на С2. (8.81)
Следовательно, формы потери устойчивости и критические на-
нагрузки можно определить из дифференциального уравнения (8.79)
с граничными условиями (8.80) и (8.81).
Рассматривая вариационный принцип (8.76) вместе с уравне-
уравнениями (8.33), приходим к принципу стационарности потенциаль-
потенциальной энергии для задачи устойчивости:
6П = 0, (8.82)
где
1 , f г Г w(o> / dw \2
S
(8.83)

236 Часть Л. Формулировка вариационных принципов
причем варьируемой функцией является w при дополнительных
условиях (8.73с, d). Используя вспомогательные функции, оп-
определенные в (8.52), обобщим вариационный принцип (8.82)
обычным способом и придем к принципу стационарности допол-
дополнительной энергии. Однако здесь мы не будем на этом останавли-
останавливаться .
Заметим, что вариационный принцип (8.82) эквивалентен
отысканию среди допустимых функций такой, которая придает
функционалу
Г *
t
L
— f f [n@)( ^ ^
2 J J L * \ dx J
sm J
(8.84)
стационарное значение.
§ 8.7S Температурные напряжения в пластине
Рассмотрим теперь задачу о температурных напряжениях
в плоской пластине с распределением температуры 6 (х, у, г)
(см. [20]). Температура 9 меряется от исходного состояния с рав-
равномерным распределением температуры, при котором в пластине
нет ни напряжений, ни деформаций. Ограничиваясь случаем
малых упругих перемещений и используя результаты из прило-
приложения I, выпишем следующие соотношения напряжения—де-
напряжения—деформации:
Е . . Еев
*»j = Gyxy, *#z = &txz, Ъг = &tyz,
где ев — температурная деформация. Предположим, что компо-
компоненты перемещений, которые измеряются от исходного состояния,
можно выразить с помощью (8.14). Для простоты предположим,
что граница S фиксирована, а именно
и = 0, v = 0, w = 0, dw/dv = 0 на С, (8.86а, Ь, с, d)
в то время как поверхности г = ±Л/2 свободны от напряжений.

Гл. 8. Пластины 237
Вывод определяющих уравнений для задачи с температурными
напряжениями можно осуществить аналогично тому, как это де-
делалось в § 8.2, причем эффект температурного расширения учи-
учитывается путем введения ее в соотношения напряжения—деформа-
напряжения—деформации. Из уравнений (8.85) и (8.17) получаем
N - ЕН ( ди
"*~ 1_V2 \дх
ду
"¦ »-
где
к/2 к/2
NT= \ Eeedz, MT= \ Е<*гдг. (8.89)
—Л/2 —h/2
Эти соотношения показывают, что температурные растяжения и
изгиб в случае малых перемещений (8.14) не связаны друг с дру-
другом.
Рассмотрим теперь вариационные формулировки задачи.
С использованием (8.15) и результатов приложения I выразим
энергию деформации пластины следующим образом:
Sm
ди . dv \ "I . , . 1
+))dxdy +
S
(8.90)
Соответственно полная потенциальная энергия температурного
растяжения пластины имеет вид
<""

238 Часть А. Формулировка вариационных принципов
где варьируемыми функциями являются и и v при дополнитель-
дополнительных условиях (8.86а, Ь).
Функционал (8.91) можно обобщить аналогично тому, как это
делалось в § 8.3, и получить функционал для принципа стационар-
стационарности дополнительной энергии
П, - J J -±ь \(NX + Ny)* + 2A 4- v
+ 2NT(Nx-\-Ny)}dxdy, (8.92)
где варьируемыми функциями являются Nx, Ny и Nxy при до-
дополнительных условиях (8.43). Если ввести функцию Эри, оп-
определенную с помощью (8.46), то этот функционал сведется к виду
Ч i дЧ ^2 .о/и а г/ d*F у w diF
+) f2A + v)IU)
(8.93)
где единственной варьируемой функцией является F (х, у) без
каких бы то ни было дополнительных условий.
Таким образом, получена вариационная формулировка за-
задачи о температурном растяжении пластины. Аналогично тому,
как это делалось в § 8.4, можно получить вариационную формули-
формулировку и для задачи о температурном изгибе; для этого следует
использовать второй член правой части уравнения (8.90). Далее
формулировки задач о температурном напряжении в пластине
можно обобщить и на случай больших прогибов аналогично тому,
как это делалось в § 8.5. Эти вариационные принципы использо-
использовались в сочетании с методом Релея—Ритца для получения приб-
приближенных решений [21, 22]. Температурные напряжения яв-
являются причиной таких явлений, как температурная потеря устой-
устойчивости или изменение жесткостей и частот колебаний пластин
[23, 24].
§ 8.8. Теория гонких пластин, учитывающая
деформации поперечного сдвига
До сих пор рассматривалась теория тонких пластин, основан-
основанная на гипотезе Кирхгофа. В этом параграфе мы рассмотрим тео-
теорию малых перемещений тонких пластин с учетом деформаций
поперечного сдвига. При этом мы будем вынуждены отказаться
от гипотезы Кирхгофа, а использовать другую разумную гипотезу.
Поскольку вектор перемещений и является функцией (х, у, г),
разложим эту функцию в ряд по степеням г:
и(х, у, ,) = „(,; у, 0) + (!)гМ)г + ^(-^)г=(/ + .... (8.94)

Гл. 8. Пластины 239
Следовательно, одно из простейших выражений для перемещений,
учитывающее эффект поперечного сдвига, можно получить, остав-
оставляя в разложении только два первых члена:
и = ио + ги1, (8.95)
где компоненты и, определяются выражением
"l = «Л + ^h f ЩН, (8.96)
a Uj, и,, Wx являются функциями только (х, у). В силу соотноше-
соотношения (8.95) число степеней свободы равно шести, а именно и, v,
w, Uj, vt и wx. Однако если вновь принять предположение (8.1)
и использовать (8.3) в качестве соотношений напряжения—де-
напряжения—деформации, то условие
2егг = и] + v\ + A + wtf -1=0 (8.97)
можно рассматривать как дополнительное геометрическое огра-
ограничение, которое сводит число степеней свободы к пяти. Уравне-
Уравнения (8.95) и (8.97) означают, что линейные элементы, перпендику-
перпендикулярные недеформированной срединной поверхности, остаются
прямыми и не деформируются, хотя и не остаются больше перпен-
перпендикулярными деформированной срединной поверхности.
Так как нас интересуют малые перемещения 1), то уравнение
(8.97) линеаризуется по отношению к перемещениям, что дает
щ = 0. (8.98)
Соответственно наиболее естественными и простыми выражениями,
учитывающими деформацию поперечного сдвига, являются сле-
следующие:
и = и + z«i, v = v 4- zvly w = w. (8.99)
Рассуждениями, аналогичными проведенным в § 8.2, можно
показать, что функции и и v описывают растяжение пластины,
а функции «J, vx и w описывают ее изгиб, причем эти две задачи
можно рассматривать по отдельности. В дальнейшем нас будет
интересовать только изгиб, поэтому положим
и = гии v = zolt w = w (8.100)
и получим
f -z-^1- e -z-^- f - О
ь* - г дх ' еУ ~ z ду ' Ьг ~ и>
Ухв=г(-%.+ ¦%¦), (8.101)
dw _ dw
Ухг — -дТ" + "l> V»z — -д— +
1) Относительно случая конечных перемещений см. [12], где для переме-
перемещений используется выражение (8.95).

240 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Из уравнений (8.15) и (8.101) видно, что гипотеза Кирхгофа на-
налагает ограничения
Рассмотрим динамическую задачу в постановке, аналогичной
постановке, принятой в § 8.2, за исключением того, что внешние
силы и геометрические граничные условия теперь зависят от вре-
времени. Принцип виртуальной работы E.88) для этой динамической
задачи имеет вид
I f j J j
— 6 I J J -~ @* 4. ?¦ 4- &*)pdxdydz - j" J p bwdxdy -
— j j [^«Su 4- Fy 6v -\-Fz8w]dsdz\dt = 0, (8.103)
s I
где использованы уравнения (8.100) и (8.101). Введем новые ре-
результирующие, определяемые выражениями
ft/2 Л/2 -
Qx= j txzdz, Qy= j Tj,2dz, (8.104)
-ft/2 -h/2
h/2 h/2
m= j pdz, /m= j pzMz. (8.105)
—h/2 —ft/2
Величины, определяемые выражениями (8.104), являются силами
сдвига на единицу длины, действующими в направлении оси z *).
Величины, определяемые выражениями (8.105), представляют со-
собой массу и момент инерции на единицу площади срединной по-
поверхности. С учетом этих предварительных замечаний и выкла-
выкладок, включающих интегрирование по частям, уравнение (8.103)
сведется к следующему
Л [(/„А -Мк,х- Мху, у + Qx)
+ (/„А - Мху,Я-Му,у + Qv)
+ (mw -QXlX- Q9,ч - р) 6w) dxdy
х) Таким образом, в теории тонких пластин с учетом деформации попереч-
поперечного сдвига силы сдвига 0х и Qy являются независимыми величинами; ср. соот-
соотношения (8.104), (8.107) и (8.108) с соотношениями (8.22).

Га, 8. Пластаны 241
J
J - Msv) 6Ml + (Мяч - Mu
с,
+ j [Mxv 6их + Msv 6vt + (QJ + Qvm) bw\ ds \ dt = 0. (8.106)
Отсюда получаем уравнения движения
(8.109)
и механические граничные условия на Ct
MXV = MXV1 А1Г, = Л*ГР, Q,/ + Q9m = Vz; (8.110)
что же касается геометрических граничных условий иа Съ, то
можно приближенно положить
«! = «!, 1>! = Vlt W=W. (8.111)
Соотношения результирующие напряжений — перемещения
можно получить из соотношений (8.2), (8.17), (8.101) и (8.104)
в виде
(8.112)
(8.113)
где k = 1. Коэффициент ? в (8.113) был введен для учета неравно-
неравномерности деформаций сдвига в поперечном сечении. В приложе-
приложении J, следуя работам Рейсснера [25—281, мы изложим теорию
тонких пластин, основанную на принципе минимума дополнитель-
дополнительной энергии, и окажется, что величина k равняется 5/6 для изо-
изотропных пластин. С другой стороны, из результатов Миндлина
[29], полученных в задаче о колебаниях тонкой пластины, сле-
следует, что k = я*/12; это значение очень хорошо согласуется
с k = 5/6, полученном с применением принципа дополнительной
энергии. Подставляя выражения (8.112) и (8.113) в (8.107)—
(8.109), получаем систему трех дифференциальных уравнений

242
Часть А. Формулировка вариационных принципов
для и1ч v1 и т. Следовательно, рассматриваемая динамическая за-
задача сводится к решению этих дифференциальных уравнений
с граничными условиями (8.110) и (8.111).
Из этих рассуждений и выкладок следует, что в теории тон-
тонких пластин, учитывающей деформацию поперечного сдвига, мы
имеем три механических граничных условия (8.110) на С, и три
геометрических граничных условия (8.111) на С2. В теории тонких
пластин Кирхгофа мы заменили с помощью интегрирования по
частям действие Mvs и Mvs действием Vz и Vz соответственно.
Однако в теории тонких пластин, учитывающей деформации по-
поперечного сдвига, в этом нет необходимости.
§ 8.9. Тонкая пологая оболочка
В этом параграфе мы рассмотрим нелинейную теорию тонких
пологих оболочек, предложенную Маргуэром [30]. Фиксируем
После
деформации
До деформации
Рис. 8.5. Тонкая пологая оболочка.
прямоугольную систему координат (х, у, г) и предположим, что
срединная поверхность тонкой пологой оболочки описывается за-
зависимостью
г = г(х,у), (8.114)
как показано на рис. 8.5. Радиус-вектор произвольной точки Р?о)
недеформированной срединной поверхности описывается выраже-
выражением
r@0) =xh + yi2 + z(x, y)h, (8.115)

Гл. 8. Пластины 243
где i,, i2 и i3 — единичные векторы в направлениях осей х, у и г
соответственно. Тогда- радиус-вектор произвольной точки Р@>
вне срединной поверхности перед деформацией примет вид
г<0> = гГ + ?л<0\ (8.116)
где п<°> — единичный вектор, перпендикулярный недеформирован-
ной срединной поверхности,
*S!i/№ *Г (8.117)
дх ду I I дх ду
а ? — расстояние от срединной поверхности до точки. Уравне-
Уравнение (8.116) означает, что произвольная точка оболочки может
быть описана тремя координатами (х, у, ?), которые образуют кри-
криволинейную систему координат. Если взять а1 = х, а2 = у, а3 =
— ?, то можно воспользоваться результатами гл. 4.
Теперь предположим, что оболочка подвергается деформации
и что радиусы-векторы двух точек Р„ и Р после деформации пред-
представляются выражениями
ro = rjo) + uo (8.118)
и
г = г<°) + и (8.119)
соответственно, где и0 и и — векторы перемещений
и0 = и\г + Ыа + w\a (8.120)
и
и = Vh + vi2 + w\3, (8.121)
причем и, v и w являются функциями только х и у.
В последующих рассуждениях используем гипотезу Кирх-
Кирхгофа, при которой векторы гиг, связаны зависимостью
г = го + ?п, (8.122)
где п — единичная нормаль к деформированной срединной поверх-
поверхности ,
П~~дГ Х~ду~1\~дГХ~ду~\- {
Из уравнений (8.116), (8.118), (8.119) и (8.122) получаем
и = и, + ? (п - п<°>). (8.124)
Тогда компоненты тензора деформаций /я,ц можно выразить
через перемещения и, v и w с помощью соотношений D.36), (8.116)
и (8.122).

244
Часть А. Формулировка вариационных принципов
Предположим, что оболочка является столь тонкой и пологой, что
дг
u-
яг
дг
дг дг
дх ду
дх*
д*г
ду*
дхду
« 1,
« 1,
(8.125)
(8.126)
и что членами, содержащими ?а, можно пренебречь. Тогда имеем
дг_. дг .
дх х ду г ' 3>
(8.127)
и, следовательно, систему координат (х, у, ?) приближенно можно
считать локально прямоугольной декартовой системой. В до-
дополнение к сделанному предположению введем ограничения на
порядок величины перемещений срединной поверхности. Пред-
Предполагается, что начальный прогиб г (х, у) и перемещение w (x, у)
являются величинами одного порядка. В таком случае получим
следующие приближенные выражения *):
дг
dw
дг
ди>
III = *xxo —
где
[м = ёууО — ?иу. fit = &xyo —
ди дг dw 1 / dw\2
* dv дг dw 1 / dw\2
evvo — -^7 + -Qy- -Qy~ + -g" ^^ j >
?д; 5де ду ду дх
(8.128)
(8.129)
(8.130)
(8.131)
xy0 ~~ду~
dw
дх
d2w
дх* '
dxdy
(8.132)
а членами высшего порядка пренебрегаем.
Определим тензор напряжений Iх» по отношению к коорди-
координатам (х, у, ?) аналогично тому, как это делалось в гл. 4, и исполь-
используем D.74) и D.77) в качестве соотношений напряжения—дефор-
напряжения—деформации. Однако поскольку оболочка является тонкой и пологой,
то трансверсальным нормальным напряжением ас можно пренеб-
пренебречь, а систему координат (л;, у, С) можно приближенно считать
1) Эти уравнения можно вывести, предполагая, что и, я~ м, »—о, х —
~' °. v ~ (ш. хУ ¦— (w, уJ < 1. а членами, содержащими CJ, можно пренебречь [31].

Гл. 8. Пластаны 245
локально прямоугольной декартовой. Соответственно получаем
*u0 + v/) T" bW
(8.133)
Сформулируем задачу о нагружении тонкой пологой оболочки.
Будем считать, что внешние силы на единицу площади (х, у)
заданы, а их проекции на оси х, у и г обозначим соответственно X,
Y и Z. Также считается, что граница оболочки делится на две
части: Sx и St. На части Sx границы заданы внешние силы с ком-
компонентами Fx, Fy и Ft, а на части 52 — геометрические граничные
условия.
С учетом этих предварительных рассуждений запишем прин-
принцип виртуальной работы (см. уравнение D.80))
J J \
v
- j J [Хба + Ybo + Zotw]
Si
+ Fx6tw]dsdC = 0, (8.134)
где Sm представляет собой проекцию срединной поверхности Sm
на плоскость (х, у). Введем результирующие напряжений
J (8.135)
Nsym, N9V = A^XVZ + Nym, (8.136)
2Mxylm
Alv, = - (Ms - My) Im + Mxy (P - тг),
zdi,
(8-138)
Mvt = - Mxvm + AfWv/. (8.139)

246 Часть А. Формулировка вариационных принципов
где интегрирование проводится по толщине оболочки. Следуя
обычной процедуре, из вариационного принципа (8.134) получаем
уравнения равновесия
-\ A/ O/V О Л/ (JЛ/
дх ду ' ' дх ' ду * '
М(-оТ+ ЭГ/^ + [Ну- +
д f / дг , dw\ К1 . / дг
и механические граничные условия на Сх
Л/ — л/ Л/ — Л/
" xv — '* xv 'vs/v — 'vi
(8.141)
ду ' ду
а геометрические граничные условия на С2 имеют вид
- dw dw ,о ,,m
u = u, v=v, w=w, -^=-^. (8.142)
Из уравнений (8.130), (8.133) и (8.135) получаем следующие со-
соотношения между результирующими напряжений и деформациями:
N* = f—^ (ёххо + vevvQ), Nv = y^-^ (хёхх0 + ёт),
Nxy = 2Ghexy0 (8.143)
и
Мх = — D (хх + vxu), My= —D (\хх + %у),
Mxy=-D(l-v)xxy. (8.144)
Эти уравнения составляют нелинейную теорию тонких пологих
оболочек. Заметим, что полная потенциальная энергия в данной
задаче описывается выражением
П = 4" JJ {г=Г? К*»о + eyv<,f + 2 A - v) (Slyo - ёххйёУИь)\ +
s'm
+ D [Ых + х^J + 2 A - v) (»#„ - ххху))) dxdy-
- J J (Хы + Yv
- J [^xvU + Nv
(8.145)

Гл. 8. Пластины 247
где использованы соотношения (8.131) и (8.132). Обобщения и
преобразования функционала (8.145) могут быть осуществлены
с помощью обычных процедур.
Выше рассматривалась нелинейная теория тонких пологих
оболочек. В связи с этим заметим, что уравнения линейной теории
можно получить с помощью линеаризации соотношений деформа-
деформации—перемещения (8.130), что дает
- ди dz dw у d2w
'u ~ ~дх """ ~дх ~~дх ^ "dF"'
f dv , dz dw j. dPw (f.
/22 =  3 H~ Ц . , , (О.
'" dy dy dy ъ ду2 v
n, du . dv , dz dw . dz dw n* d2w
i12 ~ 'а|7+аГ+аГ1<Г+1г7~аГ^
и вывода уравнений аналогично тому, как это делалось в нели-
нелинейной теории. Некоторые работы, относящиеся к этой области,
приводятся в списке литературы (см. [32—36]).
§ 8.10. Некоторые замечания
Теории тонких пластин, рассмотренные в этой главе, основаны
на предположении, что в отношениях напряжения—деформации
можно пренебречь поперечным нормальным напряжением. Строго
говоря, поперечное напряжение az возникает в пластине. Однако
в приложении J будет показано, что если поверхностные силы не
очень сконцентрированы, то величина а2 мала по сравнению с ах
и ау. Следовательно, в соотношениях напряжения—деформации
членами, содержащими az, можно пренебречь. С другой стороны,
из соотношений (8.15) и гипотезы Кирхгофа следует, что е2 = 0.
Трехмерные соотношения напряжения—деформации (уравнения
A.10)) показывают, что теория, в которой az = 0 и е2 = 0, не
может приводить к правильным результатам. Такого же рода
противоречия возникали и в § 8.5 и 8.8. Мы попытались обойти
эту трудность, полагая az = 0 в трехмерных соотношениях на-
напряжения— деформации и затем исключая е2. Чтобы полностью
устранить противоречие, необходимо вместо последнего равен-
равенства в (8.14) или (8.99) использовать следующее:
v (х, y,z) = w (х, у) + щ (х, у) г + w2 (x, у) z2. (8.147)
Однако в теории малых перемещений тонких пластин эти допол-
дополнительные линейный и квадратичный члены обычно малы по сравне-
сравнению с первым членом, и в первом приближении ими можно пре-
пренебречь. Теории тонких пластин, рассмотренные в этой главе,
основывались на сделанных выше предположениях согласно

248 Часть А. Формулировка вариационных принципов
[37]. Точность этих теорий можно повысить, раскладывая компо-
компоненты перемещений в ряд
п п п
и= S um{x,y)zm, v = 2 vm{x, y)zm, w= H>wm(x,y)z'»
m=Q m=0 m=0
(8.148)
и добавляя, таким образом, члены более высокого порядка по г.
Заметим, что теория тонких пластин, учитывающая эффект попе-
поперечного сдвига, была выведена Ю [38 ] с помощью обобщенного
принципа Гамильтона, в котором вариации берутся по отноше-
отношению к перемещениям, напряжениям и деформациям.
Конечно, также можно дать вариационные формулировки и
для задач о колебаниях упругих пластин [39—41 ], хотя в данной
главе мы не касались этой темы. Вариационные принципы приме-
применялись для решения задачи о свободных колебаниях неизотроп-
неизотропных прямоугольных кварцевых пластин с вырезом [42]. Заметим
также, что автоколебания или вынужденные колебания пластин,
обусловленные аэродинамическими силами, являются одной из
центральных проблем аэроупругости [43, 44]. Некоторые задачи
на эту тему представлены в упражнениях в конце этой главы (см.
задачи 14—17).
Упражнения к этой главе затрагивают также две дополнитель-
дополнительные темы. Первая из них связана с условиями совместности и функ-
функциями напряжений. В задачах 18 и 19 дан систематический метод
получения функций напряжений в случае растяжения пластины,
а также ее изгиба с использованием условий совместности. Вто-
Вторая тема относится к теории изгиба пластины, представленной
в криволинейных координатах. Задачи 20—23 посвящены теории
изгиба в неортогональной системе координат, в косоугольной си-
системе координат, в ортогональной криволинейной системе коорди-
координат и в цилиндрической системе координат соответственно. В за-
задаче 24 рассматривается теория изгиба пластины с учетом дефор-
деформации поперечного сдвига в неортогональной криволинейной си-
системе координат.
Упражнения
Задачи к § 8.1—8.3
1. Докажите, что с использованием обозначений, введенных в (8.17), (8.18) и
(8.26), и соотношений (8.20) принцип виртуальной работы (8.16) преобразуется
к виду
J J [JV«««. х + Ny6v, „ + Nxy Fи, у + fc, x) -
sm
— Мж6ш, хх — My6wt уу — 2MXy6wi ху — p6w] dxdy —
— J [Nxv6u + FVV6D + Vz6w — M^w, v — ~Mvs6w, ,] ds = 0 (i)
c,
и что это уравнение сводится к уравнению (8.21).

Гл. 8. Пластины 249
2. Докажите, что
х + Мубо, у + Nxy Fи, у - 6v. x) -
J |
— Мхбш, хя — Mybw, уУ — 2МХy6wt xy] dx dy, (i)
где в левую часть были подставлены выражения (8.32) и (8.33), a U выражается
с помощью (8.37).
3. Докажите, что уравнение (i) задачи 1 приводит к двум приведенным ниже
вариационным принципам, которые указывают на то, что в рамках теории малых
перемещений растяжение и изгиб пластины не связаны друг с другом.
A) Для растяжения пластины: среди всех допустимых функций и и v, удов-
удовлетворяющих условиям (8.28а, Ь), действительное решение сообщает функционалу
П = 4" JJГ=?7»{("-* + "• «)г + -Чт11(u-» + *• «J~4и-*°-»'}dxdy-
(i)
абсолютный минимум.
B) Для изгиба пластины: среди всех допустимых функций, удовлетворяющих
условиям (8.28с, d), действительное решение сообщает функционалу
П=~Т
— jjpwdxdg— J [Vzw— 'M^t>i v — ~M4,w,,]ds (ii)
абсолютный минимум.
Затем докажите, что поскольку (8.28с) является одним нз дополнительных
условий, последний интеграл в правой части (ii) можно заменить выражением
i
- [ l(Vz + Mvt, ,)w- Л?>, v] ds. (iii)
Задачи к § 8.4
4. Рассмотрим изгиб квадратной пластины, защемленной по всем сторонам
и подвергающейся действию постоянного давления р. Интересуясь приближен-
приближенным решением задачи, положим
ш = сA-?а)*A-т)»)«,
где с—произвольная константа, \ = xl(al2), ц = у/(а/2), а — длина стороны
квадрата. Используя принцип минимума потенциальной энергии и применяя
метод Релея — Ритца, докажите, что
с = 0,001329ро*/?>
и
Точное решение
(ш)х=0> ^^0 = 0,00133pa*/D 0,00l26pa*/D

250
Часть А. Формулировка вариационных принципов
прн v = 0,3. Для оценки точности приближенного решения вводится величина
d4w , „ д4ш , dlw
D
Т
дх*ду* + ду*
} '
которая
1А
0,8
0Л
0
-0Л
-0,8
-1.Z
-1,6
приведена на рис. 8.6. Примечание: точное решение задачи приведено
в работах [2] и [45].
5. Рассмотрим изгиб консольного
крыла переменной толщины, изобра-
изображенного на рис. 8.7, под действием
распределенной нагрузки р (х, у).
Предполагая, что
w (х, у) = w (у) — 0 (у) х,
выведите дифференциальные уравне-
уравнения н граничные условия для функций
Рис. 8.6.
Рис. 8.7.
w (у) н 0 (у), используя функционал (8.51), и объясните физический смысл
этих уравнений. Примечание: см. работу [10].
Задачи к § 8.5
6. Докажите, что уравнение (8.71) можно получить непосредственно из (8.67),
исключая и и v с помощью тождества
дг I ди_\ JP_ I dv_\ _
ду2 \ дх ) + ~д& \ду )~
/ ди_ dv \
\~ду~ + ~дх~)
и выражая ехх0, еуу0 и еху0 через F с использованием (8.46) н (8.66).
7. Докажите, что уравнения (8.64) и (8.65) можно получить непосредственно
из условий равновесия бесконечно малого элемента пластины после деформации.
Примечание: аналогичные результаты см. в задачах 9 н 10 гл. 7.
8. Как показано в приложении I, соотношения напряжения—деформации
(8.3) обеспечивают существование функции энергии деформации. С учетом (8.61)
докажите, что энергия деформации пластины при больших прогибах имеет внд
u=\\ Un-
- v)
4
+ 4 К** + *уУ + 2 A - v) (х|, - ххху)]} dxdy. (i)
Чтобы выразить U через и, v н ш, следует использовать выражения (8.67) и (8.52).

Гл. 8. Пластины
251
9. Докажите, что принцип виртуальной работы (8.62) приводит к принципу
стационарности потенциальной энергии: среди всех допустимых функций u,vuw,
удовлетворяющих условиям (8.28а, Ь, с, d), действительное решение сообщает
функционалу
= Я Uf-
D
2 <• -
Vzw —
— Mvsw, s\ ds
стационарное значение. Чтобы выразить П через и, v и ш, следует использовать
выражения (8.67) и (8.52).
10. Было показано, что теория Кармана больших прогибов пластин может
быть получена при предположениях, упомянутых в примечании к § 8.5. Сравни-
Сравнительно недавно обоснование уравнений Кармана было дано Сьярле [48 J.
Задачи к § 8.6
11. Рассмотрим задачу о потере устойчивости равномерно сжатой круглой
пластины, изображенной на рнс. 8.8. Пластина свободно оперта при г — а. Огра-
Рис. 8.8.
Рнс. 8.9.
ничнваясь осесимметрнчными формами потерн устойчивости, докажите, что
принцип виртуальной работы в конце концов сводится к виду
а
[rMr6w°
' + rNcrw'bw'\ dr = 0,
так что для определения критической нагрузки получаются уравнение
г2Ф" -\. гФ' + (г2а2 — 1) Ф = О
и граничные условия
lim (гФ' -f ^Ф) = 0, оФ' (о) -f ¦уФ (о) = О,
где ( )' = d ( )ldr, a2 = NCTlD и Ф = w'. Примечание: соотношения деформа-
деформации—перемещения в цилиндрических координатах см. в задаче 24 этой главы.

252 Часть Л. Формулировка вариационных принципов
12. Рассмотрим задачу о потере устойчивости кольцевой пластинки, нагру-
нагруженной внешним и виутреииим давлениями и касательными усилиями, как пока-
показано на рис. 8.9. Докажите, что уравнение потери устойчивости имеет вид
где
В уравнении (i) о'0', О^0' и т^0) являются начальными напряжениями, вызванными
:м давл!
г — Pi)
виутреииим давлением Pi, внешним давлением ре и касательными усилиями Т{
и т,. Они равны
10) _
где индексы i и е означают принадлежность к внутренней н внешней границам
соответственно.
Задачи к § 8.7
19. В круглой пластине температура распределена по закону 6 (г). Поверх-
Поверхность диска предполагается свободной от усилий. Выведите с помощью принципа
минимума дополнительной энергии уравнении для аг и ад
[г (го>)']' — а, + аЕгв' = О, («v)' = ов
и граничные условия
lim [r3a', + {l—v)f3ar]'=0, or(a)=0,
t-й
где а—коэффициент теплового расширения, а—радиус пластины и ( )' =
= d ( )ldr. Покажите, что если функции 6 (г) задана в виде полинома от г, т. е.
если
то
-а»].

Гл. 8. Пластины 253
14. Докажите, что формулировка задачи о температурных напряжениях
пластины при больших прогибах может быть получена из аналогичной формули-
формулировки задачи с малыми перемещениями (см. § 8.7) путем замены ех, е.у и уху на
Схх< еуу и 2еху соответственно и что при учете температурных эффектов уравне-
уравнения (8.70) и (8.71) обобщаются следующим образом:
= Р + F. v»1". — + F• «Л ев - 2F-
AAf + Д* г = Eh (a,2 xg - * „» J.
Задачи, связанные с поперечными колебаниями пластин
15. Метод Вайиштейиа, описанный в § 2.8, можно применить к задаче о сво-
свободных колебаниях пластины, защемленной по контуру. Вспомогательную задачу
можно сформулировать следующим образом: выбрать последовательность линейно
независимых функций рг (х, у), pt(x, у), ..., р„ (х, у), которые являются пло-
плоскими гармоническими функциями, и смягчить геометрические граничные усло-
условия исходной задачи
w = 0, dw/dv = 0 на С, (i)
заменив их иа условия
u) = 0, J Pt (dw/dv) ds = 0, I = 1, 2, . . . , п, иа С. (ii)
с
Докажите, что эту вспомогательную задачу можно сформулировать с помощью
функционала
— V о, f p< (дш/dv) ds+ [ qw ds, (Hi)
<=i с с
где аг, {=1,2, .... n, и q (s)— множители Лагранжа. Докажите также, что
в качестве естественного граничного условия для функционала (iii) получается
следующее соотношение:
п
1=\
Примечание: см. работу [27] в литературе к гл. 2.
16. Докажите, что функционал принципа стационарности потенциальной
энергии в задаче о свободных поперечных колебаниях плоской пластины с началь.
ными мембранными напряжениями Nx°\ Л^0) и Wj^,' имеет внд
1
п = -т Я i25 Кю.«+w. яуУ+2 (»- v>
. xw, у
где пластина считается свободной от напряжений на верхней и нижней поверх-
поверхностях (г = ±А/2) н на части границы Cj, а остальная часть границы С, геометри-

254 Часть А. Формулировка вариационных принципов
чески фиксирована. Начальные мембранные напряжения выбираются так, что
удовлетворяются уравнения
х. х ' "ху. у — и> "ху, х i^ "у. у ~ и и °ш
NxaH+ Ni°Jm = 0, tf?°>/ + ЛГ<° >т = О на С,.
17. Рассмотрим свободные поперечные колебания круглой пластины, нагру-
нагруженной системой начальных напряжений
22 $> = О,
где Р — константа, а — радиус пластины. Пластина предполагается свободной
от напряжений. Ограничиваясь рассмотрением форм колебаний, обладающих
вращательной симметрией (причем форма колебаний, отвечающая колебаниям
пластины как твердого тела, исключается из рассмотрения), докажите, что функ-
функционал прницнпа стационарности потенциальной энергии в этом случае имеет вид
в котором варьируемой функцией является w (r) при дополнительном условии
wr dr = 0
о
Докажите также, что определяющее уравнение и граничные условия имеют вид
1 d \ I d^w I dw \ lr t<\\ "ir 2
i i —— -| — j =^ — I rN 'w I -\- ohmw
t df I \ dr т dr I r *¦ r *
н
D (rw" -\- vw') = 0,
D (rw" + vw')' — D (vw" -f w'/r) — rNy»w' = 0
при r = 0 и г = а соответственно.
18. Рассмотрим приближенное решение задачи 17, полагая
w = с (гг — а2/2),
где с — произвольная константа, и применяя метод Релея — Рнтца. Докажите,
что при этом для наинизшей собственной частоты получается следующее прибли-
приближение:
1) с помощью метода Релея—Ритца
р/мо2 = 96 A + v) (D/a*) + 8Р;
2) с помощью модифицированного метода Релея—Ритца
Примечание: 1) если положить (о = и (AD/(pAa4), то для наиннзшей частоты при
отсутствии начальных напряжений величина х равна 8,8896 при v = 1/4 и 9,0760
при v = 1/3; 2) критическое значение р\ вызывающее потерю устойчивости при
наинизшей частоте, равно — C,135J (D/a*) при v = 0,3 [46].

Гл. 8. Пластины 255
Задачи, относящиеся к условиям совместности
н функциям напряжений
19. Предположим, что компоненты перемещений выражаются соотноше-
соотношениями (8.99)
где и, v, w, Uj и г>1 являются функциями только от х и у. Докажите, что в этом
случае имеем
6у ^^ V у ~Н Z^l u> Vxz —- № х ~Н ^l> (ii)
82 ;== 0, Vxtf —~ ^ и "Н ^ х ~|~ Z (tii ц -I- Ui x)¦
Докажите также, что при использовании принципа виртуальной работы
I dx dy dz —
v
— И p6wdxdy+ ... =0 (iii)
и соотношений (ii) уравнення равновесия для задачи, рассматриваемой в § 8.2,
имеют вид
Qx,x + Qy, у + Р = 0.
где Nx, Ny, ..., Мху определяются с помощью (8.17), a Qx, Qy определяются
выражениями
ft/2 ft/2
Qx = j txz dz, Qy=\ xyz dz. (v)
-ft/2 -ft/2
Сравните уравнення (iv) с уравнениями (8.22) и (8.30).
20. Рассмотрим снова задачу 19, но вместо соотношений (ii) задачи 19 выпи-
выпишем следующие соотношения:
ухг = Тхго. (i)
ег = 0, уху = Vxyo — 2гяжу
где ех0, гуо, ..., кху являются функциями только от х и у. В таком случае урав-
уравнення A.16) запишутся для данной задачи в следующем виде:
Rx = Ry = Uz = 0,
Rz = Еу0, хх + гхо,уу — Ухуо, ху — г(Иу,жж + Y.x, уу — ^Кху, ху)< ....
Uх = Хх,у + A/2) (— Ууга, хх + Ухго, ух — 1*ху, х),
Чу = ^у,х + A/2) (Ууго, ху — Тхго, уу — 2>«xy, у).

256 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Докажите, что при применении множителей Лагранжа Ха. ^i и \|>2 принцип
виртуальной работы принимает вид
JJ
ytuil + Qx6yXZU
.v — 2MXy6xxy) dxdy —
dxdydz+ ... = 0 (iii)
и из требования равенства нулю коэффициентов при вариациях 6вжA, 6ву0, ...
получаются соотношения
Nx = F,yy, Ny = F,xx> Nxy = — F, Жу,
Мя = *!,,, My = V3,x, Mxy=-(\/2)(W1,x + Wt.y), (iv)
Qx = A/2) (TIf ч - ?,, „), Qs = A/2) (- *,. «, + T,. 4),
где
. У) = J *« А. ^,(«,|г)-|*,Л. (v)
Далее, подставляя выражения (iv) в соотношения (iv) задачи 19, докажите, что
функции F, Wi и W%, введенные таким образом, играют роль функций напряжений.
Обсудите также роль функции F* (х, у) = I Ха^г в уравнении (iii).
Задачи в криволинейных координатах
21. Представим срединную поверхность пластины с помощью иеортогональ-
иой криволинейной системы координат (а1, а*), так что1)
(i)
где gij, /,/=1,2, являются функциями только (а1, а*). Используя формули-
формулировки, данные в § 4.1, 4.2 и 8.1, выведите приведенные ниже уравнения теории
пластни Кирхгофа.
A) Вектор перемещений дается выражением
и = и0 + (п — \t)z. (ii)
С использованием соотношений
г0 = г00) + и0, (iv)
(V)
где gj = dr^'/da1, g2=dr?°'/5a2, а о1, о2, w являются функциями только от а1
и а2, получается
да1 да* /da* 5a*
(vi)
/'= —g'V у, / = 1,2, (vii)
*1 = в™ = -*
!) В задачах 21 и 25 вместо индексов 1 и 2 иногда используются латинские
буквы и принимается обычное соглашение о суммировании, т. е. дважды встре-
встречающаяся латинская буква означает суммирование по 1, 2.

Гл. 8. Пластины 257
B) Соотношения деформации—перемещения для теории пластин Кармана
имеют вид
/22 = Bit?"; 2 + С/2) К 2J + &2к1"; 2Z' (ViH)
2^12 == Suy*; 2 + g2AU*; 1 + W, \w,2+ {g\klk; 2 + 8^- l) 2>
где xfi j — vk j -f- |. It;'. Соотношения деформации—перемещения теории ма-
малых перемещений получаются при пренебрежении подчеркнутыми членами
в уравнениях (viii).
C) Теория пластин, основанная на гипотезе Кирхгофа, получается с исполь-
использованием этих соотношений и принципа виртуальиой работы (уравнение D.80)).
22. Представим срединную поверхность пластины с помощью косоугольной
системы координат (?, т]), так что
(ds@1J = (dlf + 2 cos ЫЫц + (Л)J + (dzJ, (i)
где а — константа. Вектор перемещений срединной поверхности обозначим
"о = «Si + "бг + wi3, (ii)
где gi и g2 — единичные векторы в направлениях осей ? и т) соответственно, а и,
у и о; являются функциями только от | и т). Используя результаты задачи 14
к гл. 4 и задачи 21 к настоящей главе и ограничиваясь случаем малых переме-
перемещений, докажите, что на основании гипотезы Кирхгофа выполняются приведенные
ниже соотношения.
A) Выражения для перемещений и соотношения деформации—перемещения
имеют вид
и = [и — (cosec2 aw , — ctg a cosec aw \ z ]gx -f-
+ [y —(—ctgacosecat» ^ -+- cosec2 aw „) z] g2 + t»i3, (Hi)
/n = (u + v cos a)> | — », ^z,
^22 = (ucosa + y),,, — ai, „„z, (iv)
2/:i2 = (" + v cos a), n + (" cos a + u), I ~ 2w, lr\z-
B) С использованием D.80) получаются следующие уравнения равновесия
#п_ 5 + д^21_ л = о, yv12, i + /V22, „ = 0,
Мп, в + 2М12, |„ + М22, „,, + р = 0,
где
[/V11, /V22, W12, ЛГ"] = [ [т11, т22, т12, т21]
[М11, М22, М12, М21] = [ [т11, т22, т12, T21]zdz.
C) Уравнения, соответствующие (8.49) и (8.34), в системе координат (?, Т|)
имеют вид
и
9 К. В
асидзу

258 Часть А. Формулировка вариационных принципов
соответственно, где
щг -4 cos а 5|з^Г +2 A + cos' а) a^av ~
— 4 cos a ¦,..;¦¦ + -5ГГ •
ag ат|з ат|4
Примечание: см. [47].
23. Представим срединную поверхиость пластины с помощью ортогональной
криволинейной системы координат (а, р), так что
(&«")» = Ла (da)* + В' (<*Р)а 4- (*)•, (i)
где Л и В являются функциями только от а и р. Используя результаты задачи 21
и обозначая единичные векторы осей координат аир через асо) и Ь(о) соответ-
соответственно, докажите, что на основаини гипотезы Кирхгофа получаются приведенные
ниже соотношения.
A) Обозначив вектор перемещений срединной поверхности через
и0 = иа(°> 4-уЬ@) +ит'-0\ (И)
где и, о, w являются функциями только от а н р, получим
\ A da
B) Соотношения деформации—перемещения для теории Кармана имеют вид
1 du , о dA , 1 / аа> \2
еаа= А да+ АВ ар +Г^ да )
_ Г_1 8/1 ft»\ 1 дА dw 1
~*lA да \ А да ) + ~АВТ~д$ ap"J '
dw \2
)
1 аи» \ 1 ав
„ _ 1 ду и дА 1 ди о дВ 1 аи)
°е ~ ~А ~да ~ ~АВ "ар~ + ~~В ~а| "Ж "аа* + ~Ш ~да
_ ("J a / 1 dw \
1 [ А да \~В ар ) ~ ~
_1 а / 1 Эш \ 1 as
+ "в~ ар \~А"~да~)~ ав* "aS"
дА dw
ар ~да~
dm
Соотношения деформации—перемещения прн малых перемещениях получаются
отсюда при пренебрежении подчеркнутыми членами. Примечание: очевидно, что
эти соотношения совпадут с соотношениями, которые получаются из уравнений
задачи 9 к гл. 9, если положить 1//?о = 1//?р = 0.

Гл. 8. Пластины 259
24. Докажите, что выражение для перемещений и соотношения деформации—
перемещения теории Кармана в цилиндрических координатах
x = rcose, у — г sin 8, г = г (i)
имеют вид
ди 1 / да) \2 дги>
+ ) *
ди 1 / да) \2
1 / dw \2
I 1
dw \2 Г 1 д% . 1 dw 1
, 1 , 9 I I ,
ae ; г[ г* ae» + r §r J}
1 ди о 1 да> dw
Г5/1 дню \ , 1 д / дш \ 1 да» 1
" z L дг \ г дв ) + г ае 1, дг У * г» ae J'
где а<0) н Ь<0) — единичные векторы в направлениях осей координат гиб соот-
соответственно. Очевидно, что соотношения деформации—перемещения в случае малых
перемещений получаются с помощью отбрасывания подчеркнутых членов.
25. Представим срединную поверхность пластины с помощью неортогональ-
неортогональной криволинейной системы координат (а1, а8), так что
(d2f, (I)
и сформулируем теорию пластин, учитывающую деформацию поперечного сдвига,
предполагая, что
u = (°о + "I*) gj + ("о + °]г) 82 + wh> (il)
гдее^, vl, и», о}, of являются функциями только ота1 иа2, a gj и g2 определяются
так же, как и в задаче 21. Ограничиваясь теорией малых перемещений, докажите,
что соотношения деформации—перемещения имеют вид
/„ = 0, (iii)
0!; 2 + 82A: l) z.
2/23 = «2<°l + ». 2-
Докажите также, что уравнения теории пластин, учитывающей деформации попе-
поперечного сдвига, получаются в неортогональной криволинейной системе коор-
координат с использованием этих соотношений и принципа виртуальной работы (урав-
(уравнение D.80)).
9*

Глава 9
ОБОЛОЧКИ
§ 9.1. Геометрия до деформирования
В этой главе мы рассмотрим теории тонких оболочек. Выберем
срединную поверхность Sm оболочки в качестве отсчетной поверх-
поверхности, которая определяется двумя криволинейными координа-
координатами аир, так что радиус-вектор произвольной точки РоО) на Sm
описывается зависимостью
гГ = гГ(ех, р), (9.1)
как показано на рис. 9.1. Координаты аир выбираются так, что
они совпадают с линиями кривизны срединной поверхности, а еди-
единичные векторы в направлениях осей аир обозначаются через а@)
и Ы0) соответственно:
где
да " да ' D ~
Длина элемента кривой между двумя точками на Sm, коорди-
координаты которых (а, р) и (а + da, p + dp), описывается выраже-
выражением 1)
(ds@0)J = dr@Q) ¦ d40) = A2 (daJ + В2 (dpJ. (9.4)
Единичный вектор, перпендикулярный Sm, обозначается через п<°>
и выбирается так, что векторы а@>, Ь<°> и п<°> образуют правую
ортогональную систему:
п<°> = а<°» х Ь<°». (9.5)
Радиусы кривизны в направлениях аир обозначаются Ra и /?р
и считаются положительными, когда центры кривизны лежат на
положительном направлении нормали п<°>. Геометрия срединной
х) Классификация различных видов оболочек дается в приложении К.

Гл. 9. Оболочки
261
поверхности описывается следующими матричными соотноше-
соотношениями (см. 11, 2], а также задачу 5 к гл. 4):
(9.6а)
a
да
a
ар
a<°>
b<o»
.n<0>.
a<°)
t)@)
„(О
1
В
—
0
l
A
0
0
дА
" 6P
A
~Ra~
дВ
да
1
A
1 дА
в ар
0
0
дВ
о
в
Re
А -
Ra
0
0
0 "
В
Яр
0
>)"
Ь<о»
п<°>
~а<°>"
•
„@)
(9.6Ь)
Рнс. 9.1. Геометрия оболочки до деформации (слева) и после нее (справа).
Используя эти соотношения и тождества
а2ь<°> a2b<°»
ааар
ааар
получаем
араа '
a
да \ R^ I Ra да '
д 1 1 aa \ a / i ал \
да, \ А да ) + ар \ В ар / "^
о ) — ~о^ лй~ (9-')
лв
= 0.

262 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Эти соотношения известны как условия Кодацци и Гаусса соот-
соответственно.
Теперь рассмотрим произвольную точку Р@) вне срединной
поверхности оболочки. Радиус-вектор этой точки представим выра-
выражением
г@)=гГ(а,Р) + Сп<0)(а> Р), (9.9)
где ? — расстояние между точкой и срединной поверхностью.
Соотношение (9.9) показывает, что произвольная точка оболочки
описывается тройкой чисел (а, р, ?), которые могут использо-
использоваться как система криволинейных координат. Соответственно
можно применить результаты гл. 4 и использовать (тогда, когда
это будет удобно) обозначения а1 = а, а8 = р, а3 = ?. Из соот-
соотношения (9.9) получаем векторы локального базиса
(9.10)
Радиус-вектор, соединяющий две соседние точки Я<°>(а, р, ?)
и Q<°> (а + da, р + dp, ? + d?), равен
- г?± da + r\% dp + r[% d? =
da + ? A ^-)b<°> dp + n<°)dC, (9.11)
а его длина ds<°> описывается выражением
з
(dsWJ = dr<°> • dr«» == 2 ?XA da^ da", (9.12)
где
?Гзз = 1, из = gsi = ^2 = 0.
Объем бесконечно малого параллелепипеда, ограниченного шестью
поверхностями a = const, p = const, ? = const, a + da —
= const, p + dp = const, ? + d? = const, равен
(9.14)
Для дальнейшего удобства поместим в точке Я<°> начало локаль-
локальной прямоугольной декартовой системы координат {у1, у*, у3),
направления осей которой выбираются совпадающими с единич-
единичными векторами а<0), Ь<0) и п<0) в точке я?0) соответственно, как

Гл. 9. Оболочки
263
показано на рис. 9.2. Тогда из уравнений D.57) и (9.10) получим
следующие геометрические соотношения:
(9.15)
Рассмотрим теперь бо-
боковую поверхность обо-
оболочки. Предполагается,
что срединная поверх-
поверхность односвязна и что бо-
боковая поверхность S обра-
образуется с помощью норма-
нормалей, проведенных перпен-
перпендикулярно срединной по-
поверхности Sm. Обозначим
кривую пересечения по-
поверхностей Sm и S через С,
а единичный вектор внеш-
внешней нормали к С, перпен-
перпендикулярный S — через v,
как показано на рис. 9.3.
Тогда площадь бесконечно
малого прямоугольника
на 5 будет равна
Рис. 9.2. Элемент оболочки.
(9.16)
где / = a@).v и т = b@).v, a s измеряется вдоль кривой С.
На контуре С справедливы следующие зависимости:
=±lds, (9.17)
Рис. 9.3. Направления векторов v, в и п<0>.

264
Часть А. Формулировка вариационных принципов
как показано на рис. 9.4. Если направление возрастания s выбрано
так, что векторы v, s и п<0) образуют правую систему координат,
как показано на рис. 9.4, то
1 д . д д 1 д д , , д
= /
<5v
¦ — т
ds
В
= ОТ^г- +
<5v
ds
где s — единичный вектор касатель-
касательной в направлении возрастания s.
§ 9.2. Анализ деформаций
Предположим теперь, что оболочка
подвергается деформации. Точка /><°>
перемещается в новое положение Р,
радиус-вектор которой равен
r = r(°) + u, (9.19)
где вектор перемещения и является
функцией (а, р, ?), а его компоненты
t/, v и u определены в направлениях
а<0>, Ь<0' и <'
Рис. 9.4. Геометрические
соотношения на границе С.
(9.20)
Используя соотношения D.36),
(9.9), (9.19) и (9.20), можно выра-
выразить деформации Дц в системе координат (а, р, ?) через и,
v и w. Тогда деформации еХц, в системе координат (у1, у2, у3)
можно получить, используя закон преобразования D.61) и геоме-
геометрические соотношения (9.15), что дает-
2 A — ?//?рJ
/ар
(9.21)
fat
A(\-Z,IRa)
Очевидно, что линеаризованные деформации (еа, ер, ...) в си-
системе координат (у1, у2, у3) можно получить из соотношений (9.21)
линеаризацией деформаций /Хц по отношению к перемещениям.
Теперь сделаем два предположения теории тонких оболочек,
которые будут рассматриваться в этой главе. Во-первых, предпо-
предположим, что поперечное нормальное напряжение сг^ мало по сравне-
сравнению с другими компонентами напряжений и в соотношениях
напряжения — деформации можно положить
as = 0. (9.22)

Гл. 9 Оболочки 265
Отсюда получим
ст« = !_V2 (е« u vep)> ^Р ^ ,_V2 (vea + ер),
= GyK
для линейных теорий и
Е
1V
(9 24)
= 2Geal, xK = 2Gepe
для нелинейных теорий, где напряжения и деформации опреде-
определяются по отношению к локальной декартовой системе координат.
Во-вторых, предположим, что вектор перемещений и можно при-
приближенно представить в виде
u = u0 + ?u1; (9.25)
где u0 и Ux являются функциями только от а и р, причем
и0 = ыа<°> + уЫ°> + шп<°), (9.26)
(9.27)
и имеет место геометрическое ограничение
eEE = ui + o? + (l+te»if - 1 =0. (9.28)
Нетрудно видеть, что (9.25) с ограничением (9.28) является одним
из простейших выражений для перемещений, учитывающих дефор-
деформации поперечного сдвига (см. для сравнения § 8.8).
В случае конечных перемещений соотношения деформации —
перемещения можно получить, подставляя (9.25) в (9.19) и выпол-
выполняя обычные преобразования, однако в этом параграфе мы огра-
ограничимся рассмотрением малых перемещений. Прежде всего из
предположения о малости перемещений следует, что соотношение
(9.28) можно линеаризовать; это приводит к равенству
хюг = 0, (9.29)
а соотношения (9.25) сводятся к следующим равенствам:
и = и + 1иг, v = v + %olt w = w. (9.30)
Из уравнений (9.19), (9.20) и (9.30) следует, что
г = г<°> + (u -f ?"i) а<°> + (у -f ??>i)b<0> -f шп<°>. (9.31)
Нетрудно видеть, что уравнения (9.30) являются естественным
обобщением на случай тонких оболочек уравнений (8.99) для
тонких пластин.

266 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Теперь получим соотношения деформации — перемещения.
Из (9.31) имеем
(In + miit) b<°> + (/« + mnt) n@>,
I (9.32)
где использованы следующие обозначения:
. 1 ди , р ЗЛ а> . 1 ди v дВ
j 1 dv и ЗА . 1 dv , и дВ w
A doc AS dp d dp A.B doc /\a
- 1 dw . и . 1 dw , v
A doc i?a В dp ^?ft
И
- 1 дц1 i vt dA 1 duj v± дВ
А да А В dp 5 dp ,Л5 doc
1 dot ii\ dA 1 dvi и* дВ
Используя (9.9) и (9.31) и учитывая приведенные выше соотно-
соотношения, можно вычислить деформации Д„. Деформации, получен-
полученные таким образом, затем линеаризуются по отношению к пере-
перемещениям и подставляются в (9.21). В результате получаем соот-
соотношения деформации — перемещения для случая малых переме-
перемещений с учетом деформации поперечного сдвига:
_ ТВро^ар
7ае ~ (i-c//?.)(i
. . = Z-E2 -l, =
где
Ва = — /Пц, ftp = —

Гл. 9. Оболочки 267
(9.37)
Taco = «i + *3i. Твсо = »i + /32. (9.38)
§ 9.3. Анализ деформаций, основанный
на гипотезе Кирхгофа—Лява
В предыдущем параграфе анализировались деформации с уче-
учетом влияния поперечного сдвига. Теперь перейдем к анализу де-
деформаций с применением гипотезы Кирхгофа—Лява, состоящей
в том, что прямые волокна оболочки, перпендикулярные средин-
срединной поверхности, остаются прямыми и перпендикулярными дефор-
деформированной срединной поверхности и не подвергаются растяже-
растяжению 1). Эта гипотеза является обобщением гипотезы Кирхгофа для
тонких пластин на тонкие оболочки. Заметим, что теория оболо-
оболочек, основанная на этой гипотезе, является частным случаем
теории, основанной на уравнениях (9.25) и (9.28).
Рассмотрим произвольную точку срединной поверхности с ко-
координатами (а, р, 0) до деформации и обозначим ее радиусы-век-
радиусы-векторы до деформации и после нее через г&0) и го соответственно;
они связаны с вектором перемещений и0, введенным в (9.25), соот-
соотношением
г„ = г?0) + п0. (9.39)
Тогда принятая гипотеза позволяет представить г в виде
г = го + ?п, (9.40)
где п — единичный вектор нормали к деформированной срединной
поверхности
Так как
г0 = г&0) + ыа@) + vb@) + wn<0), (9.42)
то можно выразить п через и, v и w:
La<o> + A*b<°>+*n<o>
У L* + /И2 + N*
1) Обычно гипотеза Кирхгофа—Лява включает также предположение Oj = 0.
Однако в этой книге гипотезой Кирхгофа—Лява будет называться только сфор-
сформулированное здесь предположение.

268 Часть А. Формулировка вариационных принципов
где
L = —131 + '21^2 hihi*
М = -l3, + l12l3l - /„/„, (9.44)
N =r \ + ln + 122 + lul22 - l12l21.
Из соотношений (9:9), (9.19), (9.39) и (9.40) получаем
u-uo + ?(n-no). (9.45)
Соотношения (9.25) и (9.45) показывают, что гипотеза Кирхгофа—
Лява накладывает на ut условие
щ = п - п(°) (9.46)
и сводит число степеней, свободы деформаций оболочки только
к и, v и w.
Если в задаче об оболочке ограничиться теорией малых пере-
перемещений, то уравнение (9.46) сведется к
 = —/и. »1 = -/82- (9-47)
Таким образом, сделанная гипотеза позволяет выразить компо-
компоненты перемещений в виде
" = и - /sl?, v_ = v - h2l, v = w, (9.48)
а соотношения деформации — перемещения в виде
— URa 1 — ?//?р (9.49)
где
¦=-Л11-Л11 + -^- + ^-, (9.50)
/21
— /ft — ' "'31 I '
(9.51)
1 д/31 /32 дЛ _. _JL^?jl /32 дВ
411 /1 аа "t" лв ар ' 12" в ар лВ ^ '
_1__^32_ <31 дА . _ 1 _а^2_ «31
л а« лв ар ' тчч--в- ~5р~ + 'je"

Гл. 9. Оболочки 269
Приведем несколько формул, которые будут полезны в даль-
дальнейшем:
иаР ->К l"-fe-=-'fti2 ¦ -Щ-- (9-52)
„ hi + ?^21 . *12 + ?^12 ,Q _„.
-p та? Yap°- (9-54)
Для вывода (9.52) используются условия Кодацци.
§ 9.4. Линейная теория тонких оболочек,
основанная на гипотезе Кирхгофа—Лява
В этом параграфе рассмотрим следующую задачу о нагруже-
нии тонкой оболочки. Предполагается, что оболочка наряду
с силами, приложенными к верхней и нижней поверхностям,
нагружена заданными на единицу срединной поверхности Sm
массовыми силами, компоненты которых определяются выраже-
выражением
Y= Faa<°> + Fpb'0' - Упп<°>. (9.55)
Внешняя сила F, приложенная к части St боковой поверхности S,
и ее компоненты определяются так:
F = Faa<°> + Fpb'0) + Fnn<°). (9.56)
На остальной части S2 боковой поверхности S заданы компоненты
перемещений.
Выведем для этой задачи уравнения линеаризованной теории
тонких оболочек, основанной на гипотезе Кирхгофа—Лява. Прин-
Принцип виртуальной работы для этой задачи записывается следую-
следующим образом (см. уравнение D.84)):
\\\ (стабеа -Ь- арбер -(- Ta[36vap) dV -
v
АВ da dp -
— \ j (Fabu a- F&8v 4- Fn6v) dS = 0, (9.57)
где использованы равенства (9.48) и (9.49) и геометрические соот-
соотношения (9.14) и (9.16). Прежде чем варьировать функционал

270 Часть А. Формулировка вариационных принципов
(9.57), введем следующие обозначения для результирующих
напряжений:
(958)
e) + -| (ЛМ) + ^ M g
^ Ma8 g MB!
лн лл (9-6°)
-f -g- M8a - -^- Ma,
Mav = Mal + M0am, Af0v =
= Nael + iVem, (9.61)
.g g2.
/
Mv = Mav/ + MBvm, Mve = ~ Mavm -f- MBv
Fn = Q J + ^e"» (9-63)
аЯ dS, F9v = J ГрЯ d^ Fn - J Г„Я d?,
Mav = J F^S dC, M9v - J ^ВЯС d?, (9,64)
Mv = Mav/ + Mevm, Mv$ = — Mavm + M^J,
Здесь Я E) определяется из уравнения (9.16):
Я (О = /[тA-?/Яа)]2-Н/A-?//?р)р, (9.65)
В соотношениях (9.58), (9.59) и (9.64), а также далее в этом
параграфе интегралы по ? берутся от ? — —Л/2 до ? = Л/2, где
Л — толщина оболочки. Величины, определенные в (9.58) н (9.59),
являются результирующими напряжений и моментами на еди-
единицу длины координатных кривых аир срединной поверхности,
как показано на рис. 9.5. Величины Na, N&, Nae и Nfia являются
результирующими напряжений в плоскости, а величины Ма, М$,
МвВ и Mga — изгибающими и крутящими моментами. Величины
Qa и Qp в (9.60) оказываются равными перерезывающим силам Qa
и Qe, определенным на единицу длины кривых аир срединной
поверхности. Это можно установить, рассматривая условия рав-
равновесия моментов для элемента оболочки на рис, 9.5 х),
•) Аналогичные рассуждения см, в примечаниях ш | 7.2 и § 8,2.

Гл. 9. Оболочки
271
Величины, определенные в (9.64), являются заданными внеш-
внешними силами и моментами на единицу длины границы. Нетрудно
видеть, что Vn — перерезывающая сила, действующая в напра-
Рис. 9.5. Результирующие напряжений.
влении нормали п<°>, а Му и Mvs — изгибающие и крутящие
моменты на границе. С учетом этих соотношений имеем
J J J К«вв + ар6ев + тарб7«в) АВ A - -X) A - -i-) da dp d? =
= J J [Nablu + #aB6Z2l + QaS/si + N^k, +
- J
+ $B6/8a] AB da dp -
+ MPv6/32] ds.
(9.66)
c.+c,
Подставляя (9.66) в (9.57) и используя (9.18), окончательно полу-
получим
YaAB] Ьи + [...] bv
КV» + Mvi,,) - (F
интегралы по Са = 0.
Mv
(Mv - Mv) 6a>v,.} ds
(9.67)

272 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Уравнения равновесия имеют вид
4 1 (AN*) + ^Na^^N,-^-Qa + YaAB = О,
У&АВ = О,
Граничные условия на контуре Сг описываются соотношениями
м Mav __ Т7 May дг
(9.69a,b,c,d)
ds ~ n '¦ ds
Уравнение (9.69с) показывает, что при наличии гипотезы
Кирхгофа—Лява действие крутящих моментов MVs и MVs, рас-
распределенных вдоль границы, заменяется действием перерезываю-
перерезывающих сил Vn и Vn соответственно. Этот результат аналогичен
результату, полученному в § 8.2. Уравнение (9.67) также пока-
показывает, что в этой приближенной теории граничные условия на С2
принимают вид
и = п, v = v, w = w, .-|L = -^_. (9.70)
Теперь получим соотношения между результирующими напря-
напряжений и деформациями. Из соотношений (9.23), (9.49), (9.58) и
(9.59) получаем
? f Г еао - gxa ер,, -
=^-JL 1-с/л. +v i
(9.71)
= G ^RR*' !Л ^ л
Так как точное решение приводит к очень сложным соотноше-
соотношениям результирующие напряжения—деформации, то Лурье пред-
предложил разложить подынтегральные выражения по степеням ?

Гл. 9. Оболочки 273
и пренебречь членами порядка выше ?а, что приводит к следующим
соотношениям [1 ]:
Л/ _ Eh Г ' h2 I ' ' \/ еао \ Л
м Eh Г , . №¦ I 1 1 \ / ев0
(9 72)
(У.
где D = ?Л3/[12 A — v2)] — изгибная жесткость оболочки. Энер-
Энергия деформации оболочки с учетом (9.49) и соотношения C) при-
приложения I выражается с точностью аппроксимации Лурье сле-
следующим образом:
U = -у j j [Waeao -i- iVReR0 + SapYapo — Maxa —
Sm
- Мркр - 2M * pxap] А В da ф, . (9.74)
где для выражения результирующих напряжений через переме-
перемещения были использованы равенства (9.72), (9.73) и следующие
соотношения:
С11 Cu] Г Yap
С21 C22JL-2xae
-v).
Заметим, что точность уравнений (9.72) и (9.73) становится совер-
совершенно ясной, если вспомнить предположения и гипотезы, иа кото-
которых основывается излагаемая здесь теория тонких оболочек [1, 21:
члены, содержащие Л2/12, в (9.72), и члены, содержащие са0, г^

274 Часть А. Формулировка вариационных принципов
или Yapo B (9-73), обычно очень малы, и ими можно пренебречь по
сравнению с другими членами. Вследствие этого указанные соот-
соотношения в их первоначальной форме очень редко использовались
для практических целей.
§ 9.5. Упрощенные формулировки
Так как теория тонких оболочек, рассмотренная в § 9.4, при-
приводит к довольно громоздким формулировкам, то в настоящем пара-
параграфе мы будем интересоваться упрощенными формулировками.
Примем упрощающее предположение, что оболочка столь тонка,
что в геометрических соотношениях и в соотношениях деформа-
деформации — перемещения малыми членами можно пренебречь. При
этом упрощающем предположении величинами hlRa и hlR$ можно
пренебречь по сравнению с единицей. Прежде всего примем, что
уравнения (9.14) и (9.16) соответственно сводятся к следующим:
dV = AB dadfidt, (9.77)
dS = dsdl. (9.78)
По тем же соображениям величину Н (?) в уравнениях (9.64)
можно положить равной единице.
Далее перейдем к упрощению соотношений деформации —
перемещения и подведем итог предыдущих рассуждений.
а. Линеаризованная теория тонких оболочек, учитывающая
деформации поперечного сдвига. Предполагается, что уравнения
(9.35) сводятся к следующим:
Тар = Таро - 2^ор, (9.79)
Та: = ?а:о. ?р: = Трго.
а компоненты перемещений по-прежнему определяются из урав-
уравнений (9.30).
Ь. Линеаризованная теория тонких оболочек, основанная на
гипотезе Кирхгофа—Лява. Предполагается, что уравнения (9.49)
сводятся к следующим:
еа = еа0 — ?ха, ер =еро — ?xs,
а компоненты перемещений по-прежнему определяются из урав-
уравнений (9.48).
В связи с этим выведем нелинейные соотношения деформации—
перемещения, основанные на гипотезе Кирхгофа—Лява плюс упро-
упрощающее предположение. Точные соотношения можно получить
использованием выражения (9.45) для перемещений и вычисле-
вычислением тензоров деформаций аналогично тому, как это делалось

Гл. 9. Оволочт 278
в § 9.2. Однако здесь мы ограничимся получением приближен-
приближенных соотношений деформации—перемещения: в выражениях для
деформаций срединной поверхности сохраним нелинейные члены,
а в выражениях для кривизн оставим только линейные члены.
Таким образом, нелинейные соотношения деформации—переме-
деформации—перемещения сводятся к следующим:
где
= 1\, + A + |яJ + lit -\, (9.82)
2ea(J0 = A + /u) /it + кг A + /u) + Urn,
a перемещения по-прежнему определяются из уравнений (9.48).
Очевидно, что линеаризация членов с кривизной в уравнениях
(9.81) и использование уравнений (9,48) сужает область приме-
применения нелинейной теории, основанной на этих соотношениях.
Однако такой выбор оказывается полезным применительно к зада-
задачам колебаний и устойчивости оболочек, в которых рассматри-
рассматриваются движения с малыми перемещениями относительно поло-
положения равновесия с начальными мембранными напряжениями.
Более подробное изложение теорий конечных перемещений тон-
тонких оболочек дано в работе [3].
§ 9.6, Упрощенная линейная теория, основанная
на гипотезе Кирхгофа—-Л ява
Вновь рассмотрим задачу о тонкой оболочке § 9.4 и выведем
для нее уравнения линейной теории с использованием (9.48),
(9.77), (9.78) и (9.80). Для вывода определяющих уравнений ис-
используем принцип виртуальной работы. Этот принцип включает
в себя следующее определение результирующих напряжений (ср.
приведенные ниже соотношения с (9.58) и (9.59)):
f , (9.83)
\ i (9-84)
= J «aeC d%, Мы = J *
М ар
\т о Май щ с Л1во /q ое\
«аВ — 5аВ Б!2" > « Ва = Sga 5е—. (9.85)

276 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Проделав некоторые выкладки, найдем, что уравнения равнове-
равновесия, а также механические и геометрические граничные условия
в этой упрощенной линейной теории тонких оболочек имеют такую
же форму, что и соответствующие уравнения в § 9.4. Однако соотно-
соотношения результирующие напряжения—деформации и выражение
для энергии деформации оболочки принимают более простой вид
(ср. приведенные ниже соотношения с (9.72) и (9.73)):
v2 p
3], Me = - D [vxa + x3],
= - D A - v) xae; . (9-87)
N&a =-- Spa - M&a/Ra = GA [Y«3o + (h*/6Ra) xeP]; (У-88)
= "Г J J { i_Av2 [(e«o + ePoJ + 2A — v) (-|- Y«po — eaOePo)] +
sm
-xpJ + 2A - v)(xjp - xaxp)]}.4fidadp. (9.89)
Заметим, что вторыми членами в правых частях уравнений (9.88)
часто пренебрегают по сравнению с первыми членами, что приво-
приводит к следующим более простым соотношениям (ср. с (9.72) и (9.73)):
Was = AW = Ghya&0. (9.90)
Использование соотношений (9.90) для практических целей можно
считать оправданным, если вспомнить предположения, на кото-
которых основана рассматриваемая теория тонких оболочек. Однако
соотношения (9.88) используются для теоретических построений,
поскольку этот выбор согласуется с результатами, полученными
из принципа виртуальной работы или принципа минимума потен-
потенциальной энергии.
§ 9.7. Нелинейная теория тонких оболочек,
основанная на гипотезе Кирхгофа—Лява
Рассмотрим задачу о нагружении тонкой оболочки, поставлен-
поставленную в § 9.4, и выведем для нее уравнения нелинейной теории,
основанные на гипотезе Кирхгофа—Лява с использованием урав-

Гл. 9. Оболочки 277
нений (9.81). Принцип виртуальной работы для этой задачи можно
записать в следующем виде (см. уравнение D.84)):
j [ [ K&W -' ар6<?„р - 2таРбевВNУ --
- J J (Ya8u i- Fp6u f Рп6ш) Л В da dp -
- J J (Fa6u + Fp6v - Fn6^) dS = 0, (9.91)
J J
•Si
где использованы соотношения (9.48), (9.77), (9.78) и (9.81). Доба-
Добавив результирующие напряжения, определенные в (9.83)—(9.85),
получим
\\\ (оаЬеаа + арбевз — 2raB6eap) AB da dp dt, =
v
= J J [(#a + ^Ve/U + SaB/12) 6/u
f Л^в/12) б/12 + (Л^вр + NJk -f- SaP/22) 6/21
+ (Л^р + S3a/21 + N^) Ы22 -f (Qa + NJ31
+ SaP/32) 6*31 + (Qp + Spa/ai -!-
- J [Mav6/31 + Mpv6/32]ds. (9.92)
c,+c2
Сравнивая уравнения (9.92) и (9.66), находим, что к желаемым
уравнениям равновесия и механическим граничным условиям
нелинейной теории приводят следующие замены:
ЛГа на Na + NJn -j- SaP/12, N$a на N^a -f Siialn + iVp/12,
Л^ар на NaB -f NJ21 + SaP/22, NB на Л^в -l- SBa/21 + Лу22,
Qa на Qa + NJn + b'ap/32, Qp на QB + Spa/31 + Лу33.
(9.93)
Итак, уравнения равновесия в Sm имеют вид
| | И
= 0,

278 Часть А. Формулировка вариационных принципов
-^ \А [N, ¦+- StJn ¦+- Npln]\ +-~\B [Na6 + NJn + Sa»lm)\
~\ + Sealn + NlJtd + YtAB = O, (9.94)
r> l^Cp I *-^PCC*31 I P*3sJ I P
Я ~ А ~
" i r> ,r\ I »r l I С / 11 I u I J ГП I С / I ЛГ / '
<:a ~T~ "a'Sl + 'JeS'SiJt H ga~ \л IVp T" 'JSa'Si T" " P*M.
а механические граничные условия на Сх описываются соотно-
соотношениями
m - ^
(9.95)
[Qa + Wa/31 + 5aS/S2] / + [Q, + Ste/n -h Wp/a,] m
Alv = Mv.
Геометрические граничные условия по-прежнему описываются
соотношениями (9.70). Соотношения результирующие напряже-
напряжений—деформации и выражения для энергии деформации в нели-
нелинейной теории получаются из уравнений (9.86)—(9.89) заменой
еао. е»о и Тара на еаа0, ет и 2еаро соответственно г).
§ 9.8. Линеаризованная теория тонких оболочек,
учитывающая деформации поперечного сдвига
Вновь рассмотрим задачу, описанную в § 9.4, и выведем для нее
линеаризованные уравнения теории тонких оболочек, учитываю-
учитывающей деформации поперечного сдвига, считая, что внешние силы
х) Как указано в конце предыдущего параграфа, в уравнениях (9.94) и
(9.95) можно заменить 5ар и 5ра на Na$ и N$a соответственно и использовать
для практических целей более простые соотношения jVap = N$a — Sap =
5 2GAf

Гл. 9.. Оволочт 2?9
и граничные условия зависят от времени. Принцип виртуальной
работы для этой динамической задачи можно записать следую-
следующим образом (см. уравнение E.81)):
(Ува« + У$*> 4 У»в») АВ da.
ds\ dt = O, (9.96)
s, I
Примем упрощающие предположения, введенные в § 9.5, и иеполь-
зуем соотношения (9.30) и (9.77)—(9.79), В дополнение к (9.83)—
(9.85) введем следующие новые обозначения:
т = pMS, /m = A/12) ф%АВ. (9.98)
Величины, введенные в (9,97), являются перерезывающими си-
силами на единицу длины координатных кривых срединной поверх-
поверхности, как показано на рис. 9.5. Величины, введенные в (9.98),
представляют собой массу и момент инерции элемента оболочки,
показанной на том же рисунке. Используя введенные результи-
рующие напряжений, получаем
\\\
Sm
dV =
4" Qffivl 4' Ma6mu 4"
Мфтт]АВйай?>. (9.99)
Подставив (9.99) в (9.96) и используя выражения (9.30) для компо
иент перемещений, получим уравнения движения
тб»
^ а« "вв ар
Y9AB = mvs

280 Часть А. Формулировка вариационных принципов
, ?пАВ = mw,
(9.100)
ж(АМ*>-
и граничные условия на Сх
Nav-Nav,
Mav = Mav, M3v =
а граничные условия на контуре С2 приближенно таковы:
и — п, v—v, w = w, «! = «!, v1 = v1. (9.102)
Соотношения результирующие напряжений — деформации и вы-
выражение для энергии деформации получаются из уравнений (9.23),
(9.79), (9.83)—(9.85) и (9.97) с учетом соотношения C) приложе-
приложения I в следующем виде:
pp. Pit
N* = ]_V2 (e«o 4- ve30), Ne = t_v2 (vea0 + eeo),
«5 «5 Chv ¦ (9Л03)
a = ~ D (k
Map
= Gh [YaBo + i^- ^аз] - Л^3а = Gh
(9-106)
17 = "Г JJ {"T^W [(e«o+«poJ + 2A - v) (-3-.1Й30 - eaoepo)] +
D [{ka + ^pJ + 2 A - V) (*|p -
GAA (Y2a?o + Ypso)} ЛВ da dp. (9.107)
Коэффициент Л в выражениях (9.106) и (9.107) введен для учета
непостоянства деформаций сдвига yai и Yse b поперечном сечении.
Для изотропных оболочек коэффициент k можно выбрать равным
значению, указанному в § 8.8 [4],
Из предыдущих рассуждений видно, что имеются пять меха-
механических граничных условий на Сх и столько же геометрических
условий на С2; это согласуется с числом степеней свободы компо-
компонент перемещений, т. е. и, v, w, иг и vx. В теориях тонких оболочек,

Гл. 9. Оболочки 281
основанных на гипотезе Кирхгофа—Лява, действие Mxs и Mvs заме-
заменяется действием сил Vn и Vn. Однако эти замены не являются
необходимыми в теории тонких оболочек, учитывающей деформа-
деформации поперечного сдвига. Аналогичный результат был получен
в § 8.8.
§ 9.9. Некоторые замечания
С момента возникновения приближенной теории Лява теориям
тонких оболочек было посвящено много книг (см., например,
[1 —11]). Проблемам теории тонких оболочек посвящено много
статей (обширная библиография приводится в работе [12], а в [13]
дается обзор современных достижений в этой области). Различные
варианты теории тонких оболочек предлагались многими авто-
авторами, среди них встречаются противоречивые. Сравнение различ-
различных теорий проводится в работах [4, 9, 14—16].
Теории тонких оболочек, рассмотренные в этой главе, основаны
на предположениях, сделанных в § 9.2. Как было указано в § 8.10,
одновременное использование первого и второго предположе-
предположений § 9.2 может привести к противоречию в соотношениях напря-
напряжения—деформации. Для полного устранения этого противоречия
и для повышения точности теорий тонких оболочек необходимо
отказаться от сделанных предположений и предположить, что
компоненты перемещений имеют вид
и= И ит(а, Р)Ст, v = ? vm(a, Р)
m=0 m=0 m=0
(9.108)
где число членов ряда должно быть выбрано надлежащим образом.
Хильдебранд, Рейсснер и Томас предложили теорию оболо-
оболочек [17], в которой и, v и w аппроксимируются квадратичными
функциями С. т. е. в уравнениях (9.Ю8) берется т = 2. Нагди
использовал следующую аппроксимацию:
I/ - и0 -г- ?«!, v =¦ v0 + &1г w = w0 -±- ^ + t?w2, (9.109)
и построил теорию оболочек с помощью вариационного принципа
Рейсснера [18, 19]. Он использовал свою теорию в задачах о рас-
распространении волн в цилиндрических оболочках [20] и пришел
к выводу, что выражения (9.30) для перемещений не нуждаются
в улучшениях, если при создании теории учитывать только дефор-
деформацию поперечного сдвига и инерцию вращения [13]. Отметим
здесь две работы, связанные с вариационными формулировками
теорий тонких оболочек [21, 22].
Вариационные принципы теории тонких оболочек в сочетании
с методом Релея—Ритца являются эффективными средствами

282 Часть А. Формулировка вариационных принципов
приближенного решения задач (см., например, [23—26]). Дон-
нел 127 J предложил теорию тонких цилиндрических оболочек,
которая широко применялась для решения различных задач.
Двумя центральными проблемами теории оболочек являлись
проблемы устойчивости и закритического поведения оболочек
[28, 29], Теория прощелкиваиия при потере устойчивости цилин-
цилиндрических и сферических оболочек была предложена Карманом
и Цянем 130—32]. Из других важных инженерных задач отме-
отметим температурные задачи теории оболочек, задачи устойчивости
оболочек при температурных напряжениях [33, 34] и задачи
о колебаниях оболочек 116, 35—37].
Упражнения к этой главе затрагивают три дополнительные
темы. Первая тема связана с условиями совместности и функциями
напряжений, В задачах 5 и б дан систематический метод получе-
получения функций напряжений теории оболочек с использованием
условий совместности и принципа виртуальной работы. Вторая
тема связана с другими теориями тонких оболочек; она отражена
в задачах 7—10. Третья тема связана с теорией тонких оболочек
в неортогональной криволинейной системе координат (задача 11).
Из-за недостатка места теория тонких оболочек в неортогональ-
неортогональной криволинейной системе координат здесь не рассматривается.
Интересующийся этой теорией читатель можетознакомиться с ней,
например, по работе [41.
Упражнения
Задача к § 9.1
1. Докажите, что уравнения (9.7) и (9.8) можно вывести из условий
которые были введены в задаче 7 к гл. 4.
Задачи к § 9.2—9.4
2- Предположим, что, как и в (9.30), компоненты перемещений имеют вид
у = и + ?и1( v = v + ?»!, v = се. (i)
Ограничиваясь малыми перемещениями, получите приведенные ниже соотно-
соотношения.
A) Соотношения деформации—перемещения выражаются следующим обра-
образом:
?Ц=Л*A-С/Яа)(/и+ея<1).
7м = в" A-с/Лр) (/„+&>»•,).
h» = 0, (И)
2/,, = ав [A - VRa) Ии+ ?«i») + A
2/tt = A (u, + ltt), 2?,, = В (vt + ltt)

Гл. 9. Оболочки 28J
B) Используя соотношения (ii), находим
Щ т^б/лд /g da1 da2 da3 =Ц [Na&ln + Nfi&l
Qa6 («1 + ill) + <2э6
где Л^в> Л^р, Л^аз. #3а. Л1а, Alp, Alop, Afpa определяются в (9.58) и (9.59),
а величины Оа и Qp определяются следующим образом:
(iv)
C) Используя уравнение (iii) и принцип виртуальной работы, можно вывести
уравненяя равновесия для задачи, изложенной в § 9.4, в следующем виде:
АВ (^ + тг)+ ?пАВ ""°'
- ABQa = О,
О,
Сравните эти уравнения с (9.60) и (9.68).
3. Докажите, что уравнения (v) задачи 2 можно получить другим путем на
векторных уравнений
Qan@)) В d$\ da
A
+ [Kea@) + Kpb@) + Упп(( AB da dp = 0 (i)
da X
dr(o>
+ - ,°„ dp x [#eaa@> + Л'йЬ101 + Qen10'] A da +
+ -^-[(—Mepe<01 +Meb@>)fldpida +
+ -щ- [(- %e<o> + %ab@1) Л da] dp = 0, (ii)
которые выводятся с помощью условий равновесия сял и моментов, действующих
на элемент оболочки, изображенный на рис. 9.5.

284
Часть А. Формулировка вариационных принципов
4. Введем единичные векторы в направлениях осей координат а и Р и еди-
единичный вектор, нормальный к срединной поверхности после деформации, а именно
a, b, n, (i)
причем
а =
го.
ь =
г0, р
а х Ь
|го,а|' I г». Э I * 1«ХЬ|-
Докажите, что линеаризация уравнений (ii) приводит к равенству
1 /«, /3
Шг 1 hi /sin г a"" -,
= <i> 1 /32 Ь'О' ,
(И)
(iii)
где члены порядка выше второго по отношению к компонентам перемещений
(и, у, w) опущены, поскольку перемещения оболочки предполагаются малыми.
Докажите также, что дифференцирование уравнений (iii) поа н Р приводит к соот-
соотношениям
да
~ U
дА
A U
дА
В
1
Ra '
_
в
'-df^-da-
А dl3
А132
Ra '
дА
в
да ' Ra
да
да
А112
Ra
U
,~ ~R^, da B~ ap~' ~ ~da + ~B~ ~dj ' ~ ~Ra~
X
X
a
b
n
=
—
-~W
A
Ha
+
дВ'
да '
+ Ши
~А~~да~
/21
ар
Bl3
'W
ар
131 дВ
А да '
Д/21 ~
dt32
dp
X
Задачи, связанные с условиями совместности
и функциями напряжений
5. Используя результаты задачи 9 к гл. 4 и соотношения (ii) задачи 2, выра-
выразите тензор кривизны Рнмана — Кристоффеля
^2323 ^3131 ^1212
^1231 ^2312 ^3123
через величины /и, /22, U2, /2i, Щъ Щ2, т12, т21, их -)- /Я1 и vt + /32- Заметив, что
тензор кривизны Рнмана—Кристоффеля, полученный таким образом, можно раз-
разложить в ряд по ?, найдите выражения для компонент этого тензора при ? = 0.

Гл. 9. Оболочки 285
6. С применением правила множителей Лагранжа Хз> 'Фь Ч>2 и \|>3 принцип
виртуальной работы можно записать в виде
j J [Nablu + JVp6/22 H h Qpfi (Vl + l32)] AB da dp -
- J { J
+ ^^3i23l/gdadpdSH =0, (i)
куда поставлены выражения для компонент тензора кривизны Римана—Кристоф-
феля, полученные в задаче 5. Разложим символы Кристоффеля и \fg по степеням
? и введем следующие обозначения:
Докажите, что из условий равенства нулю коэффициентов при б/ц, Ы22, ... в урав-
уравнении (i) получаются выражения величин Na, Л'р, ... и (?р через F, ?ь Ч2 н ?3.
Тем самым эти функции играют роль функций напряжений в теории малых пере-
перемещений оболочек, основанной на уравнении (i) задачи 2. Докажите также, что
функции напряжений, полученные таким образом, эквивалентны функциям
напряжений, выведенным в [2].
Задачи, относящиеся к другим теориям оболочек
7. Приближенная нелинейная теория тонких оболочек была развита в ра-
работе [16, разд. 5.2]. В ней использовались соотношения
где ваа0. е00о. е<х0о. ка, Хр и xag определяются с помощью (9.82), (9.50) и равен-
равенства
2xag = — т21 — fh12, (iii)
а также принимаются предположения (9.77) и (9.78). Выведите уравнения равно-
равновесия, механические граничные условия и соотношения результирующие напря-
напряжений — перемещения для данной приближенной теории и сравните их с соот-
соответствующими соотношениями, полученными в § 9.7.
8. Приближенная теория малых перемещений тонких оболочек может быть
получена с помощью допущений
1 dw I dw
где.еао, 8р0, Yapo> xa> Х0> Х«Р определяются с помощью (9.36) и равенств
Хсе
— 1 d / I
Т да \ А
да /^ АВ* Эр ЭР '
(iii)
„ 1 Э / 1 dw \ I dB dw
2K** = -B-^f(—-da-)-^B
до Эр
1 Э / 1 Эш \ 1 дА dw
/ 1 Эш \
\ В эр /
А да \ В эр / А2В ЭР Эо

286 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Принимаются также предположения (9.77) я (9.78). Используя эти уравнения
и принцип виртуальной работы, докажите, что для данной приближенной теории,
которая эквивалентна теории Муштари— Власова [11], уравнения равновесия
имеют вид
^ N+ VaAB =
# - -М- Na + Y^AB = 0, (iv)
ав (-Ja- +-щ-) + YnAB = о,
механические граничные условия выражаются соотношениями
Nav = Nat, #f»v = #flvi
а соотношения результирующие напряжений — перемещения определяются
выражениями
Еh Eh
Ie + eJ yV
(vi)
Me^—D(xe + VXp), Mp = — ?» [vxa + Kp],
Л1ар-=Л1рв = —?»A—v)xep.
8. Приближенную нелинейную теорию тонких оболочек можно получить
е помощью предположений
п 1 дв> ... 1 dw „ _, ...
&-и—х-*гЕ- v-=B--rire> *—• A)
«оа — «оао — ?>«о. «pp = eppe — Jxp, Cap = tape — S>«op. (H)
где еаао. ерро> еаро. '"а. *»р, «ар определяются выражениями
e
1 Utf ti uB tff 1 / vfSf \ *
p и д A 1 ou p dS
kx AB dp В dp AB dec
1 OtSf (TOtf
аа ар
и соотношениями (Hi) задачи 8 соответственно. Используются также предполо-
предположения (9.77) и (9.78). С помощью принципа виртуальной работы докажите, что
уравнения равновесия и механические граничные условия для данной прибли-
приближенной теории совпадут с уравнениями (iv) и (v) задачи 8, если Qa и Q& заменить
выражениями
Ь + *.Т-5- + *-»ТТ (Jv)
и
к 1 dw , 1 dw
0 Т-ж. + Ы9-Т-щ. (v)

Гл. 9. Оболочки 287
соответственно, и что соотношения результирующие напряжений — перемещения
получаются из уравнений (vi) и (vii) задачи 8 с помощью замены eae, epe, Yapo на
«оао. еРРо> 2еаро соответственно. Примечание: см. [29].
10. Рассмотрим условия равновесия элемента оболочки, изображенного на
рис. 9.5, и получим следующие векторные уравнения:
-~ l(Naa + tfafjb + Qen) В ОД da +
K# + Ntf> + Q) A da] dp +
+ [Faa<°> + ?эЬ@) + Yn"m\ AB da dp = 0 (i)
da x [Nam + #efsb + Q*n] fl dp + -|?- dp1 x [# рва + Ntf> + Qpn] A da +
+ -~ К— Ма&ш + Л1вЬ) В dP] da + -^- U— Alpa + Alpeb) A da] dp = 0,
(ii)
где a, b и п определены в задаче 4 (сравните эти уравнения с уравнениями (i)
и (ii) задачи 3). Используя уравнения (i) и (ii), полученные таким образом, и урав-
уравнения (ш) и (iv) задачи 4, выведите уравнения равновесия в скалярной форме
приближенной нелинейной теории тонких оболочек, основанной на гипотезе
Кирхгофа, и сравните их с уравнениями (9.94).
Задача в иеортогоиальиых криволинейных координатах
П.1J) Представим срединную поверхность оболочки до деформации с по-
помощью параметров (а1, а'), так что
г<<» = г"» (о», а2), (!)
введем два базисных вектора срединной поверхности и единичный вектор нормали
к ней:
ft—
и с помощью этих векторов определим величины g^ii и ^"^ 3)
Далее представим радиус-вектор произвольной точки оболочки до деформации
в виде
г<°> = г<°> + Sg3 (iv)
и используем три параметра (а1, а*, ?) в качестве системы криволинейных коор-
координат, полагая там, где это удобно, С = а3- С учетом этих предварительных рас-
рассуждений получите следующие геометрические соотношении.
х) См. работы [2, 4, 8, 14] в литературе к гл. 10.
*) В этой задаче греческие буквы в индексах будут принимать значения
1, 2, 3, а латинские — значения 1, 2. Будет использоваться соглашение о сум-
суммировании: дважды встречающаяся греческая или латинская буква означает
суммирование по A, 2, 3) или A, 2) соответственно.
3) Заметим, что величины g*,, gx^ и g^11, определенные здесь, отличаются от
величин, введенных в гл. 4. Более последовательно было бы использовать обо-
обозначения gox, g0X(l и gg*1 вместо gx, gX(l и g*-* соответственно. Однако в этой
задаче мы предпочитаем более простые обозначения.

288 Часть А. Формулировка вариационных принципов
A) Для выражения производных векторов g^ нспользуем известные формулы
Гаусса н Вейнгартена из дифференциальной геометрии
j-^-g^'Hjkui, (vi)
да
где
\jkfo "~ ~2~ gl" (ga;' h + 8ah'' ~~ 8]k< a)' (vH)
Нц^-^-j-i^-H,,. (viii)
da' da'
Очевидно, что в ортогональной криволинейной системе координат, введенной
в § 9.1, имеем
Яи = -^-, Я22^-^-, Н12^Н.21=-0. (ix)
B) Расстояние между двумя соседними точками (а1, а2, а3) и (a1 -f- da1',
a2 -f- ^а2. а3 + ^а3) равно
(ds<°!J = (glV - 2Ht& + gP9HpiHqjt,2) da1 da> + (d?J. (к)
C) Вычислим символ Кристоффеля ; ; в пространстве, определенном соот-
соотношением (х), и обозначим его значение при ? = 0 через ¦; ; . Тогда
\/'feJ0 = Tgl"(gai' h+Sak, j—gjk, a).
\/3)o i3/)o~ 8 a"
I' //o i/ «jo ~ t}'
Ml B1 C} C1 J3\ C1 |3)
\3 3)o~\3 3jo^\3 3jo~ U 3jo~~\3 ljo "\2 3)o~~\3 2jo~'
D) Полагая HK3 = H3K = 0, x = 1, 2, 3, можно записать
E) Определим компоненты вектора u (a1, a2, a3) следующим образом:
u = Dxgx,. (xv)
Тогда получим
u, * = ^*Йя,. (xvi)
где использовано определение

Глава 10
КОНСТРУКЦИИ
§ 10.1. Системы с конечной степенью
статической неопределимости
До сих пор вариационные формулировки рассматривались для
односвязных сплошных тел, за исключением задачи о кручении
стержня с отверстием. В данной главе будет показано, что эти
формулировки применимы с небольшими модификациями к кон-
конструкциям, т. е. к многосвязным сплошным телам, составленным
из отдельных элементов. Для простоты ограничимся рассмотре-
рассмотрением теории малых перемещений конструкций.
Предположим, что рассматриваемая конструкция может быть
фиктивно разбита на ряд односвязных элементов, характеристики
деформации которых могут быть получены с помощью методов
анализа односвязных тел. Тогда вопросы, связанные с деформа-
деформацией конструкции в целом, сведутся к определению внутренних
сил, возникающих в узлах элементов и в точках, в которых кон-
конструкция закреплена.
Конструкция называется статически неопределимой, если
уравнений равновесия недостаточно для определения всех внут-
внутренних сил: степень статической неопределимости равна раз-
разности между числом неизвестных внутренних сил н числом неза-
независимых уравнений равновесия конструкции. Согласно этой
терминологии, конструкции можно в принципе рассматривать
как многосвязные сплошные тела с бесконечной степенью ста-
статической неопределимости. Анализ подобных систем потребо-
потребовал бы невероятно трудных вычислений. Однако эксперименталь-
экспериментальные данные и опыт проектирования показали справедливость
упрощенного подхода к анализу конструкций, основанного на
аппроксимации деформаций элементов конструкции системами
с конечным числом степеней свободы. Иначе говоря, конструкции
можно рассматривать как тела с конечной степенью статической
неопределимости.
Фермы и рамы являются примерами конструкций, в которых
возможны такие упрощения. Предполагается, что все элементы
фермы, соединенные шарнирами, могут передавать только растя-
растягивающую или сжимающую продольную нагрузку, а элементы
рамы могут передавать продольные, изгибающие и крутящие силы
10 К Васвдау

290 Часть А. Формулировка вариационных принципов
и моменты. Для того чтобы этн упрощения были оправданы,
каждый элемент должен быть тонким и разумным образом соеди-
соединенным в узлах, а внешние силы должны быть приложены спе-
специальным образом. Конструкции типа ферм и рам иногда назы-
называются цепями с сосредоточенными параметрами по аналогии
с электрическими цепями.
Оказалось, что принцип виртуальной работы и связанные с ним
вариационные принципы являются очень эффективными для ана-
анализа таких упрощенных конструкций. Подход, основанный на
принципе минимума потенциальной энергии, обычно называется
методом перемещений, а подход, использующий принцип мини-
минимума дополнительной энергии, называется методом сил *). Эти
два метода являются главными методами анализа конструкций.
Из-за недостатка места мы в основном остановимся на анализе
ферм и рам, выдвигая на первый план вариационные формули-
формулировки. Для более подробного ознакомления с численными приме-
примерами и другими видами конструкций читатель отсылается к ра-
работам [1—14].
§ 10.2. Характеристики деформации элемента фермы
и задача о нагружении фермы
Рассмотрим элемент фермы, нагруженный на концах силами Р,
как показано на рис. 10.1, и предположим, что сила на конце
и удлинение элемента связаны зависимостью
Р - Р (б), (ЮЛ)
или, обратно,
б - б (Р). A0.2)
Удлинение б можно рассматривать как перемещение одного
конца элемента в направлении силы Р, считая другой конец фик-
фиксированным. Энергия деформации и дополнительная энергия
элемента выражаются в виде
A0.3)
A0.4)
*) Эти два метода называются также методом жесткостей в методом лодат-
лнвостей соответственно.

Гл. 10. Конструкции
291
соответственно. Для упругого элемента с постоянным поперечным
сечением Ао и первоначальной длиной / получаем
Р = {EAJI) б,
б = Ц/(ЕА0)]Р,
U = 1ЕА0/B1)]6г,
Ue = [11{2ЕА0)\ Р*.
Очевидно, что из A0.3) н A0.4) имеем
dUldb = P, dUJdP = б.
Если стержень ориентирован произвольным образом относи-
относительно декартовой системы координат, то потребуется вывести
A0.5)
A0.6)
A0.7)
A0.8)
A0.9), A0.10)
i-й узел
p ~ — p
Рис. 10.1. Элемент фермы, нагруженный
приложенными к концам силами.
Рис. 10.2. i-й узел и «/-элемент.
соотношение между его удлине-
удлинением и перемещениями. Обозначим
радиусы-векторы концов стержня
до деформации н после нее через
г[0), Гг0) и Г[, г2 соответственно;
эти радиусы-векторы связаны
с векторами перемещений концов стержня их и и2 зависимостями
г, = г10) + и,, r2 = if> + u2. A0.11)
Тогда удлинение стержня би выражается через перемещения сле-
следующим образом:
A0.12)
где в силу малости перемещений члены высшего порядка опущены.
Рассмотрим ферму, состоящую изт элементов и п узлов в трех-
трехмерном пространстве, в котором фиксирована прямоугольная де-
декартова система координат. Обозначим узлы конструкции через i,
i = 1, 2, ..., п, а элемент, соединяющий два узла i и /, обозна-
обозначим двойным индексом ij, ij — 1, 2 m. Направляющие ко-
косинусы t/-ro элемента до деформации обозначим через К^, |х^,
v^, причем положительным считается направление от /-го узла
к t-му узлу. Поэтому
*« = — *я. »м = —Pii. vw=—v,,. A0.13)
10*

292 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Обозначая удлинение ij-ro элемента через бг7 *) и компоненты
перемещений f-ro и /-го узлов через uit vt, wt и ujt vjt wj соот-
соответственно и используя A0.12), получаем следующие соотношения
удлинения—перемещения:
в« = ("i — «/) hi + (vi - vj) рн + (w, — wj) vu. A0.14)
Граничные условия для фермы определим следующим образом.
Предполагается, что внешние силы, действующие на ферму, при-
приложены в k из я узлов 2):
Xt = Х„ Г, = Р„ Zt=Zt (i=l,2 k), A0.15)
как показано на рис. 10.2, где
J} A0.16)
В уравнениях A0.16) Pit является внутренней силой на конце
//-го элемента и суммирование по / производится по всем элемен-
элементам, которые непосредственно соединяются в 1-й узле. Для про-
простоты предположим, что ферма жестко закреплена в оставшихся
л — k узлах 3)
и, = 0, v, = 0, wt = 0 (i =*k+l, ..., n) A0.17)
и что геометрических граничных условий достаточно для того,
чтобы считать внешние силы независимыми друг от друга.
Предположим также, что для каждого элемента получены со-
соотношения внутренние силы — удлинения:
или, обратно,
A0.19)
Рассматривая уравнения A0.14) и A0.18) совместно с гранич-
граничными условиями A0.15) и A0.17), приходим к выводу, что име-
имеется необходимое и достаточное количество уравнений для опре-
определения 2т. + 3k неизвестных величин Ри, Ьи, ult vt и wt,
где »"/= 1, 2 ти»=1,2 k.
*) Символ б//, используемый в даииой главе, ие следует путать с символом
Кронекера, определенным в предыдущих главах.
2) Совсем необязательно, чтобы все три компоненты внешней силы или
перемещения были заданы_ в узле, —_иеобходимы лишь дополнительные соот-
соотношения между Х% и щ, У{ и щ, z] и wi. Однако для простоты изложения огра-
ограничимся рассмотрением данной формулировки задачи.
3) Допускается непосредственное обобщение на случай задачи о ферме,
в котором геометрические граничные условия непосредственно задаются равен-
равенствами «| = п|, Vi =61, Wt = Wl (i = k + 1 П).

Гл. 10. Конструкции 293
§ 10.3, Вариационные формулировки задачи
о нагруженни фермы
Рассмотрим принцип виртуальной работы для задачи о нагру-
жении фермы. Обозначая виртуальные перемещения i-ro узла
через Ьиь bvt и bwt и используя A0.15), получаем
? l(Xt - Xt) бы, + (К, - Yt) 6t>, + (Z, - Zi) 6wt) = 0. A0.20)
С учетом A0.17) и A0.14) преобразуем A0.20) к виду
т к
И Рц&&и- ? (Xtбы, + К,бо, +Zj6wt) = 0. A0.21)
</i ti
Это и есть принцип виртуальной работы для задачи о нагружении
фермы.
Принцип A0.21) означает, что для этой задачи функционал
принципа минимума потенциальной энергии имеет вид
П - Д Uи (в„) - ? (XiUl + YtVi + Zia»!). A0.22)
где
(Ю-23)
= J
и где использованы соотношения A0.14). В этих выражениях варь-
варьируемыми величинами являются щ, vt и aij при дополнительных
условиях A0.17). Функционал A0.22) с помощью обычной про-
процедуры можно преобразовать к обобщенной форме
Пх = Д Uи Fи) - Д (Xtu, + Y,v, + Z>,) -
m
? (Wt - W}) V,j]\ —
A0.24)
где варьируемыми величинами являются 6iJt Pu, ut, vt и ш{,
ij = 1, 2, ..., т, i — 1, 2, ..., л, без каких-либо дополнитель-
дополнительных условий.

294 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Функционал принципа минимума дополнительной энергии
можно вывести из A0.24) обычным способом
П. = |(У.и(Ы A0.25)
где
У
= j 6,j(Pij)dPt}. A0.26)
Варьируемыми величинами в A0.25) являются PlJt ij — 1, 2, ....
т, при дополнительных условиях A0.15).
Таким образом, мы вывели принцип минимума дополнительной
энергии из принципа минимума потенциальной энергии. Однако
очевидно, что принцип минимума дополнительной энергии можно
вывести другим способом с использованием принципа дополни-
дополнительной виртуальной работы
?„а/>у=О, A0.27)
где бгу и bPij выбираются так, чтобы удовлетворялись уравнения
A0.14) и A0.17) и
8Xt = 0, 8Y, = 0, 8Zt = 0 (t = 1, 2, ..., k) A0.28)
соответственно. Заметим, что если A0.27) выполняется для неко-
некоторой комбинации ЬР{), которые удовлетворяют уравнениям
A0.28), то удлинения 6tJ должны выводиться из щ, vt и wt;
см. A0.14) и A0.17).
Выведем теперь уравнения для компонент перемещений узлов,
в которых приложены внешние силы. Предположим, что задача
о нагружении фермы решена и что приложенные внешние силы
в t-м узле получили приращения dXt, dXx и dZit i = 1, 2, ..., k,
а геометрические граничные условия остались неизменными.
Тогда аналогично тому, как это делалось в § 2.6, получим
S 8,}AРа = 2 ("< dX, + v, dY, + wt dZt). A0.29)
Это уравнение называется также теоремой Кастильяно, приме-
примененной к задаче о нагружении фермы.
§ 10.4. Метод сил, примененный к задаче о нагружении фермы
Отметим, что система уравнений A0.15) состоит из 3k урав-
уравнений, которых в принципе недостаточно для определения т
неизвестных Pi}. Иначе говоря, задача о нагружении фермы яв-
является статически неопределимой и степень статической неопре-

Гл. 10. Конструкции
295
делимости по определению равна R = т — 3k. Оставшиеся R
уравнений получим из принципа минимума дополнительной энер-
энергии A0.25). Прежде всего получим общее решение уравнений
A0.15)
Ptl = Е. aliPtv +
i
+
A0.30)
W = 1, 2 m).
Первые члены в правой части A0.30) составляют общее решение
системы однородных уравнений
/ /
тем самым определяя самоуравновешенную систему внутренних
сил. Уравнения A0.30) можно записать в матричной форме сле-
следующим образом: _
{Р\ =[а]{х\ + [а]\Х\, A0.32)
где символы { } и [ 1 означают матрицу-столбец и прямоуголь-
прямоугольную матрицу соответственно, и
~Xi
{/>} =
' р . 
. ¦¦п-1, п J
* ж
«12. 1
. °п-1, п. t
PiJ.»
• • • "xs, л
* " * и—It л, Л _
Pu, к Via. i
LXrJ
Y12. к
. «n-l. n. 1 • • • «n-1, п. к Pn-1. n. 1 • • • Pn-1. п. к Vn-1, n. 1 • • • Vn-I. п. к .
A0.33)
iviT K? Y V V 7 7 1
где индекс Т означает операцию транспонирования.
Подставляя выражения A0.30) в принцип минимума дополни-
дополнительной энергии A0.25) и варьируя по %р> получаем
Е atlP6U = 0 (Р =¦ 1, 2. ...,/?), A0.34)
4=1
или, в матричной форме,
[а\т \Ь\ = 0, A0.35)
причем {6}г = {61а, ..., б„_Ь1>}. Очевидно, что соотношения,
эквивалентные A0.34), можно получить из принципа дополни-
дополнительной виртуальной работы A0.27). Уравнения A0.34) явля-
являются условиями, налагаемыми на удлинения элементов, и должны
гарантировать, что после деформации ни одна из связей между
элементами фермы не будет нарушена. Эти уравнения определя-

296 Часть А. Формулировка вариационных принципов
ются геометрическими связями и должны выполняться незави-
независимо от используемых соотношений внутренние силы — удлине-
удлинения. Таким образом, они являются условиями совместности в боль-
большом для фермы и имеют тот же геометрический смысл, что и урав-
уравнение F.45), которое было выведено для задачи о кручении стер-
стержня с отверстием. При использовании A0.30) уравнения A0.34)
сводятся к системе алгебраических уравнений относительно %р,
р = 1, 2, ..., R. Решая эти уравнения, получаем величины %р,
которые в свою очередь определяют величины Рц и бг/ из урав-
уравнений A0.30) и A0.19).
Если все элементы фермы деформируются упругим образом,
то соотношения между внутренними силами и удлинениями в мат-
матричной форме имеют вид
{6} = [С] \Р]. A0.36)
В задаче о нагружении фермы [С] является диагональной ма-
матрицей, что следует из соотношения A0.6). С учетом A0.32) и
A0.36) находим, что A0.35) приводит к уравнению относительно Хр
A0.37)
где
[G] - [а)Т [С] la], [#] = [aV [С] [а]. A0.38)
Подставляя A0.37) в A0.32), получаем
{Р\ = 11а]-[а][0]-ЧЩ]{Х}. A0.39)
При помощи уравнений A0.36) и A0.39) можно определить уд-
удлинения всех элементов фермы.
Далее выведем уравнения для компонент перемещений узлов,
в которых приложены внешние силы. Подставляя A0.32) в A0.29)
и вспоминая, что внешние силы предполагаются независимыми
друг от друга, получаем
tn ш m
Щ = 23 ««!««. oi = 23 PijAj, Щ = Ц уф8и A0.40)
</=1 Ц=1 Ц=1
(/=1,2 k).
или, в матричной форме,
\и\ = {аГ\Ъ\, A0.41)
где
1«}г = {"i «ь. vlt ..., vh, щ, .... wh\.
При помощи уравнений A0.36), A0.39) и A0.41) получим компо-
компоненты перемещений узлов, в которых приложены внешние силы, и
матрицы коэффициентов влияния конструкции. Этот метод состав-
составляет основную часть метода сил.

Гл. 10. Конструкции
297
Сделаем замечание относительно метода перемещений при-
применительно к задаче о нагружении фермы. Обычная процедура
состоит в подстановке выражений A0.14), A0.17) и A0.18) в A0.15)
и решении этих 3k уравнений для определения неизвестных ком-
компонент перемещений щ, vt и wt, i = 1, 2, ..., k. Определив
компоненты перемещений, из A0.14) и A0.18) найдем деформации
и внутренние силы, возникающие в элементах фермы.
§ 10.5. Простой пример ферменной конструкции
В качестве примера рассмотрим плоскую ферму, изображенную
на рис. 10.3. Ферма состоит из 6 элементов и 4 узлов, т. е. т = 6
и я = 4. Внешние силы приложены в узлах 1 и 2 в направлениях
Рис. 10.3. Ферма.
осей х и у, а в узле 3 сила приложена в направлении оси у. Урав-
Уравнения равновесия этих узлов имеют вид
Ри + 0//2") Pi» = *i, Ра + 0//2") Pi» = Yu
Р*з + A/VT) Ры = Х„ Plt + A/уТ) Ры = -Yt, A0.42)
Я*+A//2 )/>„=-?,.
Геометрические граничные условия заданы в узлах 3 и 4:
u3 = 0 u4 = 0, и4 = 0. A0.43)
Так как имеется 5 уравнений равновесия A0.42) относительно
6 неизвестных сил, то степень статической неопределимости равна

298
Часть А. Формулировка вариационных принципов
6 — 5 = 1 и уравнения A0.42) могут быть записаны в следующей
матричной форме:
p
p
p
13
14
U
——
¦-1//2-
1
-1//2
-1//2
1
_—1//2 0
0
0
0
1
0
О
1
О
О
1
о
о
о
1
— /2 —/2
О О
0
0
0
0
0
—1
Ри
Xx
xt
Yt
Yt
"л/
I 9
A0.44)
Заметим, что в A0.44) неизвестная сила Р13 играет роль Xi в A0.30).
В обозначениях A0.33) правая часть A0.44) приводит к равенствам
~ —1//2~" "О О
1 О О
~~ О
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
—1//2" 10 0 0 0
—1//2" ' Ial= Oil 1 0
1 0 0 — -/2 —/2~ 0
_—1//2~_ _0 0 0 0—1
Следовательно, обозначая |6}r = |б„, Ь13, 6М, б23,
получаем из A0.35) условия совместности в большом:
—j/2 F13 + S24) + Sis + би + б23 + fiS# = 0.
A0.45)
A0.46)
Компоненты перемещений узлов I, 2 и 3 получим из A0.41):
щ = егз - /2в.
24.
—б„
A0.47)
§ 10.6. Деформационные характеристики
элемента рамы
В этом параграфе мы рассмотрим раму. Сначала изучим де-
деформационные характеристики элемента рамы. Для простоты
рассмотрим балку, изображенную на рис. 10.4, жестко закреплен-
закрепленную на конце 1 и подвергающуюся действию сил и момента Nlit
Qu, М12на другом конце2, а также сосредоточенной силы Р, при-
приложенной в центре пролета. Обозначим компоненты деформации,
обусловленной приложением этих сил и момента, следующим
образом:
б/г — перемещение конца 2 в направлении #12,
612 — перемещение конца 2 в направлении

Гл. 10. Конструкции
299
612 — угол закручивания конца 2 в направлении
Ь\2 — перемещение точки приложения силы Р в направлении
действия этой силы.
Эти величины можно найти из теоремы Кастильяно:
6N dUeft f.Q
12 =~дЩГ' °12 =
dU
SFi > У/
0Qlt -V/
dU,
ell
ги
-^-. yl
P |
A0.48) У/у
м„
Здесь величина Uel2 пред-
ставляет собой дополни-
дополнительную энергию балки
1-2. Если для анализа
элемента фермы использовать элементарную теорию балки, то
Рис. 10.4. Коисольиая балка.
--И (¦?-+¦&)<"¦
где
и
N = N,
М
\Mlt-(t-x)Qlt,
A0.49)
A0.50а)
A0.50Ь)
Если балка имеет постоянное поперечное сечение вдоль пролета,
то матрица податливости балки 1-2 принимает вид
12
О12
6l2_
EA0
0
0
0
1 I*
3 EI
1 I*
 EI
5 I*
48 El
— ¦
-|00
1 I*
2 ?/
El
I*
' El
5 fs
48 EI
1 i*
8 EI
1 /^
T"?T
N
12
A0.51)

300
Часть А. Формулировка вариационных принципов
Заметим, что из A0.51) можно получить матрицу жесткости с по-
помощью операции обращения
Qh
¦«1
«a
_ 1 _
A0.52)
где иг, vlt Эг и и2. ^2» 02 являются компонентами перемещений
в направлениях осей х и у и углом вращения по часовой стрелке
узлов 1 и 2 соответственно, как показано на рис. 10.5. Так как
~ EA0
I
0
0
EA0
I
Л
0
0
12EI
I*
6EI
I3
0
12?7
6EI
0
AEI
I
0
6?/
2E1
EA0
I
0
0
l
л
0
0
12?/
6?/
0
12E/
I3
6EI
0
6Я/
I*
2EI
I
0
6E/
-yr-
4?/
деформации 2
Рис. 10.S. Элемент балки.

Гл. 10. Конструкции
301
балка находится в статическом равновесии, то справедливы следу-
следующие соотношения между внешними силами и моментами:
(lU.Oo)
Если криволинейная балка ориентирована произвольным об-
образом относительно декартовой системы координат и подверга-
подвергается совместному действию продольных, поперечных, изгибающих
и крутящих сил и моментов на концах, а также внешней нагрузки,
распределенной по пролету, то связи между внешними силами и
деформациями становятся более сложными. Для прямой балки
эти связи представляются в виде матриц жесткости и податливости,
которые широко используются в строительной механикех).
§ 10.7. Метод сил, примененный к задаче
о нагружении рамы
С учетом предыдущих результатов перейдем к анализу рамной
конструкции. Вместо попытки вывести общие соотношения для
трехмерной рамной конструкции рассмотрим простой пример
плоской рамы, изобра-
изображенной на рис. 10.6, и 1
применим вариационные
р
Рис. 10.6. Рама. Рис. 10.7. Схема силовых факторов в рамной конструкции.
принципы аналогично тому, как это делалось в задаче о ферме.
Нас будет интересовать применение метода сил к задаче о
раме. Сначала, мысленно разбив раму на несколько элементов,
определим внутренние силы и моменты для отдельных элементов.
Например, конструкцию можно разбить на три элемента 1-2,
2-3 и 1-4, как показано на рис. 10.7, и определить на одном конце
каждого из этих трех элементов внутренние силы и моменты N12,
Q12» М12; N23, Q23, Мгз; Nlt, QM, Mu соответственно, а на другом
конце элемента 1-2 определить величины со звездочками Wfe,
Qfo и Mh- Из условий равновесия элемента 1-2 имеем следующие
*) Относительно матрицы жесткости см. [15].

302
Часть А. Формулировка вариационных принципов
соотношения между этими величинами:
Nta = Nit, Qi*2 = Qi2 — P, М{2 = М1г — Q\2l-\-A/2) PL A0.54)
Определим величины деформации этих элементов следующим об-
образом. Что касается элемента 1-2, то левый его конец считается
фиксированным, а компоненты деформации, обозначаемые 612,
fiu, Si2 и б(г, определяются способом, указанным в предыдущем
параграфе. Аналогичным образом определяются величины 6^,
6Я и би элемента 2-3 в направлениях N23, Qa и Afa соответствен-
соответственно и величины б$, 6j4, бн элемента 1-4 в направлениях Nu, Qut
и Мц соответственно. Тогда, обозначая дополнительные энергии
элементов 1-2, 2-3 и 1-4 через ?/clt (Nn, Qn, М1г, Р), UeM (NM)
Qn, Мм) и Ueli (Nu, Qu» Mu), имеем
бй = dUcl2JdNl2, ..., «Я = ди.и7дМи. A0.55)
Рассмотрим теперь совместную работу этих трех элементов
в рамной конструкции. Выпишем сначала условия равновесия
узлов 1 и 2 (см. рис. 10.7)
—#14 + Ql*2 = 0, Ql4 + Wf2 = 0, — /И М +/W f2 = 0, A0.56)
-tfii + Q» = 0, — Qlt-Nu = 0, — Afu - AfM = 0. A0.57)
Исключая из уравнений A0.56) величины со звездочками при
помощи A0.54), получаем
#u + Qi* = 0, Q12 — Nlt - ~Р = 0,
Ми - Ми. - Qi2/ + A/2) PI = 0.
Система уравнений A0.57) и A0.58) состоит из шести уравнений
равновесия относительно девяти внутренних сил и моментов, так
что степень статической неопределимости равна 9 — 6 = 3 х).
Эти уравнения равновесия можно записать в матричной форме
следующим образом:
A0.58)
М
12
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
—1
0
0
1
0
_/
0
0
1
0
0
—1
0
0
1
0"
0
0
0
0
0
—1
0
1/2 _
Qu
A0.59)
l) Благодаря симметрии задачи степень статической неопределимости можио
понизить. Однако здесь мы не будем использовать свойство симметрии, поскольку
наша цель состоит в том, чтобы показать, как выводятся уравнения метода сил.

Гл. 10. Конструкции
303
где величины Nlt, Qlt и Mlt выбраны в качестве независимых
сил и моментов. Используя обозначения § 10.4, можно записать
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
—1
0
0
1
0
—/
0~
0
1
0
0
—1
0
0
1_
, [а] =
- о~
0
0
0
0
0
—1
0
_ 1/2 _
A0.60)
Для того чтобы решить эти уравнения, необходимо ввести три
условия совместности в большом. Они получаются из условий
стационарности Пс, определенной следующим образом:
п. = ?/«+ ?/*. +?/«!«. (Ю.61)
где независимыми варьируемыми величинами являются Nn, ...
и Mlt при дополнительных условиях A0.57) и A0.58). Вниматель-
Внимательное рассмотрение показывает, что условия совместности в большом
можно записать в виде
[а]Т {6} = 0, A0.62)
причем
]O\ = lOl2, Oj2, Oi2, O23, «23. «23. Оц, Оц, Ou(.
Это уравнение можно также записать в более простой форме
«й + 6g - б?4 = 0, б?2 ~ 62 + «Я - вй/ = 0,
сМ сМ , сМ п (Ю.М)
Oj2 — О23 + Ом = 0.
Эти уравнения являются условиями совместности в большом рам-
рамной конструкции. Уравнения A0.55), A0.59) и A0.63) необхо-
необходимы и достаточны для определения девяти неизвестных внутрен-
внутренних сил и моментов.
Теперь определим перемещение 6^- точки приложения внешней
силы Р в ее направлении. Предположим, что задача о нагружении
рамы решена и что внешняя сила Р получила приращение dP.
Тогда получаем _
S&dNn + б?2 cfQi2 Н Ь fii2 dP = 6? dP A0.64)
аналогично тому, как это делалось в § 2.6. Из A0.64) получим
б? = [а]г {6} + 6?2 = -вй + A/2) О + в?. A0.65)

304 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Заметим, что если дополнительные условия A0.57) и A0.58)
ввести в Пс с помощью множителей Лагранжа, то выражение
A0.61) преобразуется к Щ, определенному следующим образом:
п; = и ta + ис23 + и сн + (Na + Qu) и, +
+ (Qu ~ Nu -P)Vl + (Mtf - Mlt - Q12/ + A/2)PI)Q,-
- (Nu - us) «t - (Qu -b Nn) v, - (Mlt + Q23/) 6t, A0.66)
где варьируемыми величинами являются Af12, Qu, Mi2, Nlt, Qlit
Mlt, N2t, Qis, MM, uj, vly Qu ut, vt и 9t без дополнительных
условий. Физический смысл величин и1г vlt дг и utl v2, % состоит
в том, что они являются компонентами перемещений в направле-
направлениях осей х и у и узлами поворота по часовой стрелке узлов 1 и 2
соответственно. Выражение A0.66) можно рассматривать как
обобщение принципа Хеллингера—Рейсснера на рамные кон-
конструкции. Если механические величины Nls, Qu, ... и Мм
исключить из A0.66) с помощью условий стационарности
аа = 0, .... A0.67)
то получии функцию принципа минимума потенциальной энергии
A0.68)
где величины Ult (и„ vlt 8„ щ, vt, 9t), Uu (ult vlt Qt) и
U%* (. vt> 9i) являются потенциальными энергиями каждого
элемента1), а варьируемыми величинами являются uv vx, Qlt
щ, vs и 0t без каких-либо дополнительных условий.
Отметим, что обращение уравнений A0.67) приводит к матрице
жесткости того же вида, что и в уравнении A0.52). Отметим
также, что с помощью обозначений, введенных ранее, уравнения
A0.67) можно записать в виде
6я = 02, б^ = — и2, бя=в2, A0.69)
вй = хц, 6Й = -и,, «Я = в,
и условия совместности в большом A0.63) также остаются в силе.
Сделаем замечания относительно метода матрицы жесткости,
примененного к анализу рамной конструкции [14]. Формальная
процедура начинается с вывода деформационных характеристик
всех элементов рамы. Затем производится преобразование коор-
координат, связывающее координаты элементов и абсолютные коорди-
') О явных выражениях величии Uu, Uu и U& см. задачи 3 и 4.

Гл. 10. Конструкции 306
наты для того, чтобы выразить все элементы матрицы жесткости
в абсолютных координатах. Далее выводятся уравнения равнове-
равновесия узлов относительно сил и моментов и при помощи преобразован-
преобразованной матрицы жесткости эти уравнения выражаются через пере-
перемещения и углы поворота элементов, прилежащих к узлам. Легко
видеть, что уравнения равновесия, выведенные таким образом,
эквивалентны уравнениям, полученным с применением принципа
минимума потенциальной энергии. Решив эти уравнения, опреде-
определим характеристики деформации в узлах. Затем с использова-
использованием матрицы жесткости можно определить внутренние силы и
моменты в узлах и, следовательно, напряжения и деформации рам-
рамной конструкции.
Как нетрудно заметить, при применении метода матрицы
жесткости необходимо решать систему из большого числа линей-
линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных вели-
величин деформаций в узлах. Удивительный прогресс в развитии быстро-
быстродействующих вычислительных машин позволил сделать эти рас-
расчеты обычной процедурой [151.
§ 10.8. О применении метода сил к расчету
полумонококовых конструкций
Полумонококовые структуры широко применяются в легких
конструкциях, таких, как конструкции самолетов, судов и т. д.
Полумонококовые конструкции обычно состоят из панелей и
стрингеров, в которых панели используются как передатчики
сил в плоскости, в особенности напряжений сдвига, а стрингеры
воспринимают продольные силы. Для анализа этих конструкций
широко применяются вариационные принципы, сводя эти конструк-
конструкции к системам с конечным числом степеней свободы.
Изложим некоторые соображения относительно применения ме-
метода сил к анализу полумонококовых конструкций 1) и дадим
краткое описание вариационных формулировок. В методе сил
полумонококовая конструкция обычно мысленно разбивается иа
ряд элементов, состоящих из стрингеров и прямоугольных па-
панелей. Для простоты предположим, что каждый стрингер имеет
постоянное поперечное сечение, а каждая панель — постоянную
толщину. Одно из простейших предположений относительно рас-
распределения напряжений в этих элементах состоит в следующем:
предполагается, что на стрингер действуют силы Р и Р*, при-
приложенные к концам, и распределенная нагрузка q, как показано
на рис. 1.8. Из условия статического равновесия получим
Р* = Р + ql. A0.70)
1) О применении метода сил к нолумоиококовым конструкциям см. книги
[1—131 и статьи 116—24].

306
Часть А. Формулировка вариационных принципов
Дополнительная энергия стрингера Ues равна
i
Для стрингера с постоянным ЕА0 имеем
.. 1_
ы ~ 2ЕАа
A0.71)
A0.72)
Предполагается, что прямоугольная панель находится в со-
состоянии однородного чистого сдвига под действием потока каса-
касательных напряжений q, равно-
равномерно распределенного по четырем
сторонам панели, как показано
на рис. 10.9, где q = it, i — ка-
касательное напряжение, a t —
р*
Я
* ч
а
\
Ь
X
Рнс. 10.8. Стрингер под действием про-
продольных снл и распределенных каса-
касательных усилий.
Рис. 10.9. Паиель, работающая
иа сдвиг.
толщина панели. Дополнительная энергия панели Uep равна
а Ь
A0.73)
о о
Суммируя дополнительные энергии всех элементов, получаем
полную дополнительную энергию полумонококовой конструкции.
Тогда применение метода сил приводит к требованию, что полная
дополнительная энергия принимает минимальное значение по
отношению к вариациям внутренних касательных сил при до-
дополнительных условиях, состоящих в том, что внутренние каса-
касательные силы являются непрерывными между смежными элемен-
элементами и в соединениях или узлах выполняются уравнения равно-
равновесия. Эта процедура составляет основную часть метода сил.
Мы видели, что в фермах и рамах характеристики деформаций,
такие, как удлинения и углы поворота, связываются с внутренними
силами и моментами с помощью дополнительной энергии элементов
(см. уравнения A0.40) и A0.48)) и что принцип минимума допол-
дополнительной энергии обеспечивает условия совместности в большом

Га. 10. Конструкции
307
этих элементов. Однако при более сложном нагружеиии конструк-
конструкционных элементов геометрический смысл величин деформаций,
связанных с обобщенными внутренними силами посредством до-
дополнительной энергии элементов, становится менее ясным, хотя
общая формулировка остается прежней. Например, рассмотрим
стрингер, изображенный иа рис. 10.8, дополнительная энергия
I
1
Рис. 10.10. Полумоиококовая плоская
конструкция, состоящая из прямо-
прямоугольных панелей и стрингеров.
Рис. 10.11. Деформация сдвига у
которого описывается выражением A0.71). Обозначая перемеще-
перемещение в направлении оси х через и (х) и используя соотношение
Р + (I — х) q = ЕА0 (duldx), A0.74)
получаем
dUa
дР
A0.75)
i i
\%x)dx = l[u(x)-u(P)]dx. A0.76)
а а
Полученные выражения указывают на физический смысл этих
производных. Следует отметить, что хотя геометрический смысл
величин деформаций, полученных из принципа дополнительной
энергии, может быть неясным, последовательность приближенных
решений, получаемых из метода сил, должна сходиться к точному
решению, если число разбиений стремится к бесконечности.
Следует заметить, что хотя решение задачи можно получить
с помощью применения одного из вариационных принципов,
это, вообще говоря, приближенное решение. Например, применяя
метод сил, можно получить условия совместиости в большом, ко-
которые согласуются со степенью упрощений, допускаемых при вы-
выводе полной дополнительной энергии. Однако они являются при-
приближениями точных условий совместности, и поэтому в прибли-
приближенном решении локальная непрерывность перемещений между

308 Часть А. Формулировка вариационных принципов
элементами, вообще говоря, нарушается. Рассмотрим, например,
применение метода сил к расчету плоской полумонококовой кон-
конструкции, состоящей из панелей и стрингеров, как показано на
рис. 10.10. Предположим, что распределение внутренних сил этих
элементов таково, как показано на рис. 10.8 и 10.9, и определим
величины напряжений методом сил. Поскольку прямоугольная
панель, подвергающаяся действию потока касательных напряже-
напряжений, деформируется так, как показано на рис. 10.11, где у — де-
деформация сдвига,
7 = qliGt), A0.77)
то для соединения, образованного четырьмя панелями 1, 2, 3
и 4 на рис. 10.10, должно выполняться геометрическое соотно-
соотношение
7i - 7« + 7з - 74 = 0. A0.78)
Это соотношение означает, что связи между этими панелями оста-
остаются неразрывными после деформации. Однако в общем случае
условия такого типа не выполняются. Таким образом, если ну-
нужно вычислить компоненты перемещений элементов независимо
друг от друга, используя величины внутренних сил, полученных
с помощью метода сил, то следует найти величины разрывов пере-
перемещений на границах между элементами. Для увеличения точ-
точности приближенного решения надо вместо состояния равномер-
равномерного чистого сдвига ввести более сложный закон распределения
внутренних сил. Очевидно, что эффективным средством такого
увеличения точности является принцип минимума дополнительной
энергии.
§ 10.9. О применении метода жесткостей
к расчету полумонококовых конструкций
В этом параграфе мы сделаем некоторые замечания о приме-
применении метода жесткостей (метода матрицы жесткости) к расчету
^ . полумонококовых конст-
?!¦ рукций, следуя пионер-
пионерской работе Тернера, Кла-
фа, Мартина и Топпа [25],
и дадим краткое описание
вариационных формули-
Рис. 10.12. Элемент стрингера. Р0В0К *>• В МеТ0Де Мат"
рицы жесткости полумо-
нококовая конструкция обычно мысленно разбивается на ряд
элементов, состоящих из стрингеров и треугольных панелей.
Для простоты предположим, что каждый стрингер имеет постоян-
постоянное сечение и каждая панель — постоянную толщину.
*) Относительно применения метода жесткостей к расчету полумоиококо-
вых конструкций см. также книги A0—13].

Гл. 10. Конструкции 309
Одно из простейших предположений относительно деформации
этих элементов состоит в следующем: стрингер находится в состоя-
состоянии равномерного растяжения и его энергия деформации U,
равна
U.^-L-Zfs-bb-ttf, A0.79)
где «! и иг — перемещения концов в продольном направлении,
как показано на рис. 10.12. Обозначив силы на концах через
Fsl == dUjdu» Fx% = dUjduz, A0.80)
получим матрицу жесткости стрингера
Относительно треугольной панели предполагается, что она на-
находится в состоянии равномерной деформации
<.-¦?¦ = «. «r-g-b. Тв.-?+-|-«, A0.82)
откуда имеем
и = ах + Ау + В, v = by + (с —А)х + С, A0.83)
где А, В, С являются константами интегрирования, которые опре-
определяют перемещения треугольника как твердого тела и его угол
поворота. Обозначая компоненты перемещений трех вершин тре-
треугольника через (Иц «х), (ы2. v*) и (и3, о,) соответственно, будем
иметь шесть констант а, Ъ, с, А, В и С и соответственно компоненты
напряжений панели в виде
& + -SO = Т^г f + Ь), A0.84)
= Gc,
а энергия деформации панели выразится как функция величин
«1, »i, u2, ot, ы, и о,:
Т [т^г ^а + Ь) + G (с2 - 4а6)] terff,, A0.85)
где /—толщина панели. Нетрудно видеть, что компоненты на-
напряжений ая, ог„ и хху из A0.84) удовлетворяют уравнениям
равновесия

310
Часть А. Формулировка вариационных принципов
Обозначая силы, приложенные в вершинах, через
dUT
Fn =
dUT
-, . . . , Fm —
dU,
A0.
(см. рис. 10.13), получаем
Fxl
Fx,
где [/(] — симметричная матрица

A0.88)
[*] =
Et
X
2A
xt
У,
Xi
-V»)
Xi
X
1
h
ta
Xi
Xi
XX
X
x»
Xi
!3 !
Уг '
:»a |
1
a
X*i
i№
*a
*a
-3b
Симметрично
yt__,
У» У» У»
_v _J^1. v _J?L о ^~
У» У* У* _
A0.89)
гдед;г7 = atj — a:^ X,x = A — v)/2 и X,2 = A + v)/2.
С учетом этих предварительных замечаний анализ полумоно-
коковой конструкции с использованием метода матрицы жесткости
проводится следующим образом: прежде всего от координат,
связанных с элементами, переходят к абсолютным координатам
для того, чтобы выразить матрицы жесткости в абсолютных коорди-
координатах. Затем с использованием этих матриц условия равновесия
всех узлов выражаются через компоненты перемещений узлов.
Поскольку в силу линейной зависимости перемещений узлов ус-
условия непрерывности перемещений смежных элементов выпол-
выполняются, полученные таким образом уравнения равновесия экви-
эквивалентны уравнениям, полученным из принципа минимума по-
потенциальной энергии. Решая эти уравнения, определяют пере-
перемещения всех узлов. Тогда можно вычислить напряжения

Гл. 10. Конструкции
311
в стрингерах и треугольных панелях. Описанная процедура со-
составляет основную часть метода матрицы жесткости. Нетрудно
видеть, что компоненты напряжений (ах, ау, хху) являются по-
постоянными в каждом треугольнике и изменяются скачком от од-
одного треугольника к другому. Такого рода разрывы непрерывности
существуют между смежными треугольниками и стрингерами.
Способ сглаживания этих разрывов опнсан в статье Тернера и
Мартина (см. работу [12]).
Следует помнить, что,
хотя решение задачи по-
получается с помощью ме-
метода перемещений, в общем
случае оно является при-
приближенным решением.
Применяя метод матрицы
жесткости, можно полу-
получить уравнения равнове-
равновесия, которые согласу-
согласуются со степенью у про-
щеиий, использованных _ ,„,» _
при выводе полной потен- РиС- 10ЛЗ- ТРеУгольИЫИ элемент панели,
циальной энергии. Однако, вообще говоря, они являются при-
приближением точных уравнений равновесия. Как отмечалось выше,
при этом нарушается локальная непрерывность внутренних сил
вдоль разбиений между элементами. Для увеличения точности
приближенных решений можно воспользоваться двумя подходами
[25]. Первый состоит в использовании матриц жесткости треуголь-
треугольных элементов, и желаемая точность при этом может быть дости-
достигнута с помощью увеличения числа элементов. Второй подход
состоит в использовании матрицы жесткости панели более общего
вида с небольшим числом элементов. Очевидно, что принцип
минимума потенциальной энергии является эффективным средством
при использовании второго подхода.
Упражнения
Задачи к § 10.2—10.4
1. Докажите, что соотношения A0.36), A0.39) и A0.41) приводят к равен»
ству
(где \К] = \а]Т [С] [а]), которое позволяет иайти коэффициента влияния
прогибов.
2. Докажите, что функционалы A0.22), A0.25) и уравнение A0.29) можно
вывести непосредственно из принципа минимума потенциальной энергии B.12),
принципа минимума дополнительной энергии B.23) и теоремы Кастильяио трех-
трехмерной теории упругости соответственно.

312
Часть А. Формулировка вариационных принципов
Задачи к § 10.7
3. Рассмотрим элемент балки, изображенный на рис. 10.5, и предположим,
что сила Р отсутствует. Докажите, что энергия деформации балки равна
п - ЕА<>
2/
- (и, -
M
I(v2 + 9t/ - vi) (в, - вх) + -i- /' (в, - вх)«] .
4. Рассмотрим рамную конструкцию, показанную на рис. 10.6, и мысленно
разобьем ее на четыре элемента, а нмеиио на элементы 1-4, 1-5, 5-2 я 2-3, где
Рис. 10.14.
Рнс. 10.15.
сечеиие 5 проводится перпендикулярно к осн рамы в точке приложения внешней
силы Р. Докажите, что для данной задачи выражение для П в принципе мини-
минимума потенциальной энергии имеет вид
П = Ult + Uti + Uu + U2i + Pbt, (i)
где t/ie ("i, °i, 9t, uB, v6, 9B), Utt (ut> ot, 9B, ua, oa, 9a), Uu(.Ut, v± 9t) и
0ю (u2, v2, ба) являются энергиями деформации элементов балки и выражения
для них получаются с помощью формулы (i) задачи 3. Величины %, t»i, 9t,
. °2> ^2> "в. °5> ^5 представляют собой компоненты перемещений в направле-
направлениях осей х и у и углы поворота по часовой стрелке узлов 1, 2 и сечения 5
соответственно.
Докажите также, что с учетом условий стационарности П по отношению
к цв, ов и 9В
dvb
можно исключить ив, о, и в, из П и получить выражение
+T(9,-91)J, (iii)
которое совпадает о выражением A0.68).

Гл. 10. Конструкции
313
5. Рассмотрим коиструкцню рамы, подвергающейся действию сосредото-
сосредоточенных сил и моментов, как показано на рис. 10.14. Докажите, что в данном
случае вместо A0.66) получается
.и
_
+ (Mi2 - Ми - Qut + A/2) PI
+ (—Nu + Qm +Xt)u,+
6. Рассмотрим плоскую рамную коиструкцню, изображенную на рис. 10.15.
Используя формулу элементарной теории балки для дополнительной энергии
криволинейной балки
где s отсчнтывается вдоль срединной
линии криволинейной балки, дока-
докажите, что в данном случае можно вос-
воспользоваться методом сил аналогично
тому, как это делалось в § 10.6.
Задача к § 10.8
7. Рассмотрим полумонококовую
плоскую конструкцию, состоящую из
панелей и стрингеров, как показано
на рис. 10.16, и предположим, что вну-
внутренние силы этих элементов распре-
распределены так, как показано иа рис.
10.8 и 10.9. Используя принцип мн-
иимума дополнительной энергии, в ко-
который вводятся уравнения равновесия
с множителями Лагранжа, докажите,
что условие совместности имеет вид
4
3
h
1
h
г
Рис. 10.16.
где ур — деформация сдвига панели 1, а ии (ж), ual (*) и v12 (у), vM (у) — пе-
перемещения четырех стрингеров в направлениях осей х и у соответственно.
Задачи, связанные с методом единичной нагрузки
8. Рассмотрим задачу о ферме и обозначим внутреннюю снлу в ij-м элементе
н удлинение этого элемента через Pj/ и 6^ соответственно. Докажите, что если
обозначить через рц внутреннюю снлу в ij-м элементе, обусловленную единичной
виртуальной нагрузкой, действующей в узле, перемещение которого неизвестно

314 Часть А. Формулировка вариационных принципов
(сила прикладывается в направлении перемещения), то теорема о единичной на-
нагрузке дает
% 0)
ЦП
Далее докажите, что если подставить формулу
о|у = lPl/(AtB)hj (И)
в уравнение (i) и записать
? (iii)
ип
то уравнение (Hi) будет справедливым иезавнснмо от внда соотношения нагру-
нагрузка—удлинение, т. е. уравнение (iii) применимо как к пластическим, так и
к упругим фермам. Докажите также, что при помощи метода единичной нагрузки
можно получить соотношения A0.47).
0. Рассмотрим плоскую рамиую конструкцию, состоящую нз прямых эле-
элементов, и используем для ее аналнза элементарную теорню балкн н предположе-
предположение о том, что деформацией, обусловленной продольной силой, можно пренебречь
по сравнению с деформацией, обусловленной изгибающим моментом. Кривизну
{/•го элемента и изгибающий момент в этом элементе обозначим через у.ц (х)
и Мц (х) соответственно, где х отсчитывается вдоль осн. Докажите, что если
тп (х) обозначает изгибающий момент в ij-u элементе, обусловленный единич-
единичной виртуальной нагрузкой, действующей в точке, перемещение 6 которой неиз-
неизвестно (нагрузка прикладывается в направлении перемещения), то теорема
о единичной нагрузке приводит и соотношению
J \\mMl(El)\dx. (i).
HI) U
Докажите также, что если тц (х) обозначает изгибающий момент в lj-и элементе,
обусловленный единичным виртуальным внешним моментом, действующим в то-
точке, угол поворота которой 6 неизвестен (момент прикладывается в направлеиии
поворота), то теорема о единичной нагрузке дает
e=V \\mMHEI)\dx. (ii)
ип li
Далее докажите, что если выражение
М„ = -(?/*)„ AИ)
подставить в соотношения (!) и (ii) к записать
6 = — У \imtdx (iv)
UI) И
в J] jmxdx (v)
ип а
соответственно, то уравнения (iv) и (v) останутся справедливыми независимо
от вида соотношения моменты—кривизны, т. е. эти уравнения можно применять
как к упругим, так к к пластическим фермам. Докажите также, что A0.65) мо-
можно получить при помощи метода единичной нагрузки.

Гл. 10. Конструкции 315
10. Докажите, что метод единичной нагрузки можно также применять
к трехмерным рамным конструкциям с естественно искривленными элементами.
Для вывода формул метода единичной нагрузки может быть использовано вы-
выражение для дополнительной энергии
N* М\ My T* <&
2ЕА0 + 2Е1Х + 2Е1у + 2GJ + 2GkxAt
где N — продольная сила, Мх и My— изгибающие моменты вокруг двух глав-
главных осей, Т— крутящий момент, Qx и Qy— касательные усилия, s отсчнты-
вается вдоль оси. Докажите также, что с помощью подстановок, указанных в за-
задачах 8 и 9, можно получить формулы метода единичной нагрузки, которые
применимы также к пластическим рамам. Примечание: численные примеры и даль-
дальнейшие сведения о приложениях метода единичной нагрузки можно найти
в работах [1—3, 9].
Задачи с начальными деформациями
11. Рассмотрим задачу о иагружеиии фермы и предположим, что ij-й эле-
элемент имеет начальное удлинение 6J9J. Докажите, что при применении метода сил
выражение для дополнительной энергии
1РЧ/BА„Е)]„
следует заменить выражением
12. Рассмотрим задачу о нагружении плоской рамы н предположим, что
ij-ti элемент обладает начальной деформацией е^0) (г), где (х, г) — система
координат, выбранная аналогично тому, как это делалось в гл. 7. Покажите,
что при применении метода еил к этой задаче выражение для дополнительной
энергии
Л" М*
2EAa + 2EI
следует заменить выражением

Глава 11
ДЕФОРМАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
§ 11,1. Деформационная теория пластичности
В этой главе обсуждаются вариационные принципы дефор-
деформационной теории пластичности 1). Среди других теорий пластич-
пластичности деформационная теория отличается тем, что это единствен-
единственная из моделей, в которой связь между текущими напряжениями
и деформациями такова, что если заданы напряжения, то опре-
определяются деформации, и наоборот. Однако эта связь может быть
в обоих направлениях неоднозначной. Например, если напряже-
напряжения выражены через деформации по формулам
A1.1)
то обратные зависимости могут быть и неоднозначными.
Выводя вариационные принципы в этой главе, допустим,
что зависимости напряжения — деформации не изменяются в про-
процессе нагружения. Это допущение ограничивает применимость
деформационной теории процессами, в которых нагрузка возра-
возрастает монотонно. Следовательно, оно приводит к тому, что дефор-
деформационная теория пластичности становится неотличимой от не-
нелинейной теории упругости, обсуждаемой в гл. 3, за исключением
материалов, которые подчиняются условию текучести. Более
того, будем предполагать, что деформации малы, и приведем по-
постановку задачи теории пластичности в следующем виде2):
A) уравнения равновесия
°«./ = 0, A1.2)
причем для простоты не учитываются массовые силы;
*) Хорошо известно, что деформационная теория непригодна для полного
описания пластического поведения металлов и должна быть заменена теорией
пластического течения, которая обсуждается в гл. 12. Однако эта короткая
глава, посвященная деформационной теории пластичности, включена в книгу
благодаря тому, что она представляет исторический интерес, а также часто ис-
используется из-за ее математической простоты.
*) В гл. 11 и 12 применяется соглашение о суммировании. По повторяющи-
повторяющийся яатнискин индексам производится суммирование в пределах от I до 3.

Гл. 11. Деформационная теория пластичности 317
B) соотношения деформации -
2nu = Ui,i
C) соотношения напряжения -
аи = аи
или, обратно,
D) граничные условия
аф} = Ft
щ = п{ на
— перемещения
- деформации
»(<*«);
на Slt
Sf
A1.3)
A1.4)
A1.5)
A1.6)
A1.7)
Далее, поступая так же, как и в гл. 1, получаем следующие
выражения для принципов виртуальной работы и дополнительной
виртуальной работы:
J j l<Jt}tetjdV-JlTt&UtdS^O, A1.8)
f f ( ги 6сг„ dV - f f до„п,Щ dS = 0. A1.9)
v s,
Еще раз отметим, что оба этих принципа записываются безот-
безотносительно к соотношениям напряжения — деформации.
Если в формулах A1.4) а{) — аналитические функции, причем,
кроме того, гарантируется существование функции состояния А,
определенной как х)
ЬА = оиЬгф A1.10)
то принцип A1.8) сводится к принципу стацнонарности потенци-
потенциальной энергии 2)
6П - 0, A1.11)
где
П = J J lA(ut)dV-] JFtutdS. A1.12)
l) Если поле напряжении одноосное, например, как в растягиваемом стер-
стержне, то существование функции состояния А в Деформационной теории пласти-
пластичности обеспечено. Это наводит на мысль, что вариационные процедуры будут
чрезвычайно полезны при анализе конструкций, если напряжения в конструк-
конструкциях одноосные и применима деформационная теория пластичности [1—3].
*) Термины «потенциальная энергия» и «дополнительная энергия» (см.
ниже), вероятно, вводят в заблуждение при употреблении в теории пластичности.
Однако мы будем ими пользоваться, поскольку их математические определения те
Же, что к в теории упругости.

318 Часть А. Формулировка вариационных принципов
С другой стороны, если в равенствах A1.5) фигурируют анали-
аналитические функции, которые гарантируют существование функции
состояния В, определяемой в видех)
6? = ef/6al/, A1.13)
то принцип A1.9) приводит к следующей записи принципа стацио-
стационарности дополнительной энергии:
6Пв = 0, A1.14)
где
П, = J | } В {au)dV - IJoMbdS. A1.15)
Если, кроме того, предполагается, что уравнения A1.5) имеют
единственное решение A1.4) и наоборот, то можно взаимно пре-
преобразовывать принципы стационарности потенциальной энергии
и дополнительной энергии аналогично тому, как это сделано
в гл. 2.
Итак, свойство стационарности двух функционалов A1.12)
и A1.15) обеспечивается при сделанных выше допущениях. Од-
Однако достижение этими функционалами минимального или мак-
максимального значения ие может быть гарантировано, пока более
точно не конкретизированы соотношения между напряжениями и
деформациями. Следуя [4], дадим обзор некоторых вариационных
принципов деформационной теории пластичности.
§ 11.2. Упрочняющийся материал
В этом параграфе будет рассматриваться вариаит деформаци-
деформационной теории, называемый теорией касательного модуля, в кото-
которой связь напряжения—деформации дается соотношениями
о« = |1вг/. (иле)
Здесь а'ц и в'ц — девиаторы напряжений и деформаций: а'ц =
= ац — о6ц, ш'ц = в</ — еЬц, где a = a«/3, e = в«/3, а 6ц —
символ Кронекера. Величина ц, фигурирующая в A1.16), пред-
предполагается положительной и зависящей, вообще говоря, от дефор-
деформированного состояния. Из A1.16) следует, что
S = nl\ A1.17)
где
S^/aZ/af/, r = /eZ/eZ/ A1.18)
и, следовательно,
SdS-ai,daih TdT = ъ'цдя'ц. A1.19)
*) Когда рассматриваемые системы напряжений одноосные, к примеру,
как в растягиваемом стержне, то существование функции состояния В в де-
деформационной теории пластичности обеспечивается. Это наводит на мысль, что
вариационные процедуры будут чрезвычайно полезны при анализе конструкций,
если напряжения в конструкциях одноосные и применима деформационная
теория пластичности И—3|.

Гл. 11. Деформационная теория пластичности
319
A1.23) только пять неза-
незаСчитается, что S — однозначная функция Г (рис. 11.1), т. е.
S = S(r), A1.20)
и что неравенства
S/Г = р > 0, dSldT > 0 A1.21)
выполняются во всем диапазоне изменения Г и S. Из A1.16)
A1.17) имеем
' (8(Г)Г)И, A1.22)
i,. A1.23)
Из шести соотношений A1.22) или
висимые. Следовательно, надо до-
добавить шестое уравнение, характе-
характеризующее сжимаемость:
а =3/0?, A1.24)
где К — модуль объемного сжатия
материала. Предполагая, что пласти-
пластические деформации не приводят
к изменению объема, К можно вы-
разить через коэффициент Пуассона
V И МОДУЛЬ Юнга Е:
ЗК = ?/A — 2v). A1.25)
рис. цЛ. Диаграмма S—T для
упрочняющегося материала.
С учетом этих предварительных замечаний нетрудно получить
следующие выражения для Л и В в теории касательного модуля:
г
А = ЗЕе* [2A - 2v)]~1+ \ S(T)dT, A1.26)
s
В = 3 A - 2v) о* [2ЕГ1 + (Г (S) dS. A1.27)
Подставляя A1.26) и A1.27) в A1.12) и A1.15) соответственно,
получаем выражение для функционалов П и Пе для материалов,
описываемых теорией касательного модуля. Тогда получим два
вариационных принципа [4—6].
Первый принцип. Точное решение рассматриваемой
задачи доставляет функционалу П минимум на множестве до-
допустимых полей перемещений.
Поскольку
2 6М = [3?/A - 2v)J (&)а + (S/Г3) [Р бе!, 6eJ, - (ej, 6ei,)s] +
Г* бе'ц бе'ц 3s (ej/ 6eJ/)a,
согласно неравенству Шварца и неравенству dS/dT > 0 из
A1.21), имеем б'ПО

320 Часть А. Формдлировка вариационных принципов
Второй принцип. Точное решение рассматриваемой
задачи доставляет функционалу Пе минимум на множестве до-
допустимых полей напряжений.
Поскольку
2 ЬгВ =[3A- 2v)/?] (ба)* + (Г/S3) [Ss 6ai, 6ai, - {а'(, 6a'tlf] +
+ (llS*)(dT/dS)(oil6oi,)\
согласно неравенству Шварца и неравенству dT/dS > 0 из
A1.21), имеем 6*ПС > 0.
§ 11.3. Идеально пластический материал
Применим теперь теорию касательиого модуля для случая иде-
идеально пластического материала, подчиняющегося условию теку-
текучести Мизеса. Диаграмма S — Г
для этого материала изображена
на рис. 11.2: материал ведет себя
упруго при S < y^2k и течет при
S = V2k, где k — предел текучести
при чистом сдвиге. Выражения для
i
V.
О А и В и зависимости напряже-
Рис. 11.2. Диаграмма S—T для .ния—деформации для идеально пла-
идеальио пластического мате- стического материала формально
риала- выводятся следующим образом.
Заменим кривую S — Г (рис. 11.1) ломаной линией так, что
S = 2GT при Г<Г0,
S = So + 20 (Г - Го) при Г ^ Г„ A L28)
где So = y^2k = 2Gro и 0 — положительная постоянная. Полу-
Получим выражения для А и В для реологических уравнений A1.28)
и получим соотношения напряжения — деформации из
аа = дА/дви, ви = дВ/даа. A1.29)
Устремим р к нулю. Тогда получим выражения для функций А
и В в случае идеально пластического материала:
А = 2П-1М*' + GP ПРИ Г< Г"
-Го) приГ>Г0,
В= 3A~2v) o' + Tg-g. (И.31)

Гл. 11. Деформационная теория пластичности 321
Отсюда получаются выражения для связи напряжений с деформа-
деформациями
°'/ = i_2v еЬЧ + 2Gz4 при Г < Го,
Е V2k A1'32)
°'/ = i_2v еб" "• Г~ е'' ПрИ Г ^ Г°'
Е</ = -4г^аб</+1!го<> при 5
1-2» 1 л- <П-33)
Ы, = -—^ а6„ + -±- а;, + boj, при S = /? ft,
где Я, — положительная конечная неопределенная величина, опре-
определяемая при предельном переходе
lim (S - S0)/BpS) = A,. A1.34)
Материал, у которого соотношения между напряжениями и дефор-
деформациями даются формулами A1.32) или A1.33), называется мате-
материалом Генки. Для этого материала выполняется принцип Хаа-
ра—Кармана L7], который формулируется следующим образом:
среди произвольных полей допустимых напряжений, удовлетворя-
удовлетворяющих уравнениям равновесия, граничным условиям в напряже-
напряжениях на Si и условию &ц&ц < 2k2, точное решение доставляет
функционалу
П" = Ш [3A2?2V)g2 + irg^] dV~ J J
абсолютный минимум.
Ниже приводится доказательство принципа Хаара—Кармана,
полученное Гринбергом [4]. Пусть аи, ej; и щ — напряжения,
деформации и перемещения, полученные в точном решении, а
а*/ — допустимые напряжения. Кроме того, отделим вклад упру-
упругой и пластической частей в общую деформацию:
e« = ej/ + ef/. A1.36)
Считая далее, что в теле появляются пластические Vp и упругие Ve
области, запишем первую вариацию Пе в виде
6ПС = JJJ Bet,botldV - Wbot/nfitdS =
= J J J (&u ~ B'i) ^°11 ^ ~ J J ^ff'/n/"' dS =
= -\^(boll).,uldV + \J
11 К Васндэу

322 ' Часть А. Формулировка вариационных принципов
+ lj bat in, (щ ~ й{) dS- \\ tifiati dV =
* p
= -\\\e,p{iboridV. A1.37)
Поскольку
грц = %аф \>0, A1.38)
из A1.33) получим
6ПС = - f f f ba'tfiatj dV. A1.39)
vp
Точное решение удовлетворяет условию а'^а},- = 2k2 в зоне те-
текучести, Поскольку допустимое решение удовлетворяет неравен-
неравенству Oijoij < 2k2. Так как из неравенства Шварца следует
о'наа < У~а'иа'а yatiaii < 2fe2, A1.40)
имеем
o'ijbaij = а'ц (а'и — ац) = аца'ц — а'ца'ц <: 0, A1.41)
причем равенство достигается только при а*,- — Оц. Следовательно,
6ПС^О. A1.42)
Функционал Пс есть квадратичная форма от компонент напряже-
напряжений, причем можно показать, что вторая вариация положительна.
Следовательно, эта квадратичная форма положительно определена
и функционал Пс на точном решении достигает, абсолютного ми-
минимума.
Приведенное доказательство показывает, что если дополни-
дополнительные условия записаны в виде неравенств, то, для того чтобы
функционал достигал абсолютного минимума или максимума,
нет необходимости требовать обращения в нуль первой вариации.
Примером (см. [4]) тому является квадратичная функция у = х2
(парабола), которая при дополнительных условиях 0 «: х <: 1
достигает максимума в точке х = 1, хотя у' A) Ф 0. Краткое за-
замечание, относящееся к вариационной постановке задачи с допол-
дополнительными условиями в виде неравенства, приведено в прило-
приложении L.
§ 11.4. Частный случай материала Генки
Рассмотрим здесь вариационные принципы в применении к част-
частному случаю материала Генки. Предполагается, что среда не-
несжимаемая и чисто пластическая. Диаграмма S — Г изображена

Гл. П. Деформационная теория пластичности
323
на рис. 11.3. В этом частном случае выражения A1.30) и A1.31)
сводятся к соотношениям
A = Vr2kT, A1.43)
В = 0, A1.44)
а соответствующие соотношения между напряжениями и деформа-
деформациями даются формулами
V~2k
V emnemn
-efi. A1.45)
В этом случае принцип минимума
потенциальной энергии формулиру-
формулируется следующим образом: среди до-
допустимых полей перемещений, удовле-
удовлетворяющих условиям совместности,
условиям в перемещениях naS2 и усло-
условию несжимаемости, действительное
решение г) обеспечивает функционалу
\Bк
Рис. 11.3. Диаграмма S—Г для
частного случая материала
Генки.
(H.46)
jj
абсолютный минимум. Этот принцип аналогичен принципу Мар-
Маркова для материала Сен-Венана—Леви—Мизеса в теории пласти-
пластического течения. С другой стороны, принцип минимума дополни-
дополнительной энергии формулируется следующим образом: среди всех
возможных полей напряжений, удовлетворяющих уравнениям рав-
равновесия, условиям в напряжениях на St и критерию пластичности
o'ljO'ij = 2k2, действительное решение 1) доставляет функционалу
ne='-JJ<»fiMi<*S (Н-47)
ss
абсолютный минимум.
Этот принцип эквивалентен принципу Садовского максималь-
максимальной пластической работы, утверждающему, что среди всех допу-
допустимых полей напряжений действительное поле доставляет функ-
функционалу
\jatjnjutdS
s
абсолютный максимум 18). Принцип Садовского аналогичен прин-
принципу Хилла для материала Сен-Венана—Леви—Мизеса в теории
пластичности. Доказательство этих принципов приведено в [4J
(см. также § 12.5 этой книги).
*) С точностью до возможно неопределимого постоянного гидростатического
давления.
11*

Глава 12
ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ
§ 12.1. Теория пластического течения
Хорошо известно, что, вообще говоря, в пластической области
не существует однозначных зависимостей напряжений от дефор-
деформаций. Деформации зависят не только от напряжений в конечном
состоянии, но и от предыстории нагружения. Следовательно,
связи напряжений с деформациями, которые использовались в те-
теории упругости, в теории пластичности заменяются соотношени-
соотношениями между приращениями деформаций и напряжений. Это напра-
направление теории пластичности называется теорией приращений де-
деформации или теорией пластического течения [1—6]. Было уста-
установлено, что деформационная теория пластичности, изложенная
в предыдущей главе и представляющая собой частный случай
теории пластического течения, непригодна для полного описания
пластического поведения металлов.
Отметим, что теория пластического течения предполагает ис-
использование эйлерова описания. Другими словами, декартовы
прямоугольные координаты точки рассматриваемого тела в теку-
текущий момент применяются для идентификации точки при последу-
последующих приращениях деформации. Компоненты напряжений аи
в текущий момент определены по отношению к этим координатам
аналогично тому, как это делалось для предварительных напря-
напряжений в § 5.1.
Следуя Прагеру, сформулируем задачу теории пластичности.
Предполагается, что в заданный момент времени / рассматривае-
рассматриваемое тело находится в состоянии статического равновесия, причем
напряженное состояние ati и его предыстория предполагаются
известными в каждой точке тела. Далее, приращения внешних
сил dFi, i — 1, 2, 3, задаются на Slt а приращения dut, i — 1,
2, 3,— на S2. Наша задача состоит в определении приращений на-
напряжений datj и перемещений duti, возникающих в теле в предпо-
предположении, что все приращения бесконечно малые и все опре-
определяющие, уравнения могут быть линеаризованы. Итак, мы
имеем [11

Гл. 12. Теория пластического течения 325
A) уравнения равновесия х)
dot),i = 0; A2.1)
B) соотношения напряжения — перемещения
2(kiJ = dui,j + duj,i; A2.2)
C) линейные соотношения между приращениями напряжений
dau и деформаций йгы\ A2.3)
D) граничные условия
daunj = dFi на St, A2.4)
dut = dUt на S2. A2.5)
Как видно, постановка задачи почти аналогична постановке
задач линейной теории упругости, за исключением связи напря-
напряжений с деформациями. Если так сформулировать задачу теории
пластического течения, то конечная пластическая деформация
может быть определена путем интегрирования полученных соот-
соотношений вдоль заданного пути интегрирования.
Как видно из приведенных выше формул, принципы виртуаль-
виртуальной и дополнительной виртуальной работы для этой задачи могут
быть записаны соответственно в виде
JJJdawedewdV - \\dTi6duidS=0, A2.6)
V S,
\l\dBij6daijdV - f Jduibdai^dS = 0. A2.7)
v s.
Указанная задача рассматривается как квазистатическая и
записывается в скоростях следующим образом. Считается, что
в заданный момент времени тело находится в состоянии квазиста-
квазистатического равновесия. Далее, пусть на Sx заданы скорости при-
приложения внешних нагрузок Fit i = 1, 2, 3, а на S2 — поверхно-
поверхностные скорости vt, i = 1, 2, 3. Наша задача состоит в определении
скоростей напряжений аи и скоростей перемещений vt в теле.
Здесь точка над буквой обозначает производную по времени, а
vt — компоненту скорости в прямоугольных декартовых коорди-
координатах.
*) Здесь dOfj — изменение otl- в данном элементе тела (лагранжево) и от-
отличается от изменения ai;- в фиксированной точке (эйлерова), обозначаемого через
d*Ojj, на величину datj — d*atl- = Oij,k du^. Как первоначальные напряже-
напряжения, так и их приращения удовлетворяют уравнениям равновесия otji 7- — 0
и d*Oiji = 0. Следовательно, мы имеем da^ j — a^t ^ йщ, j = 0, что при-
приводит к A2.1) в предположении, что приращения пластических деформаций огра-
ограничены величинами порядка A/?) X (приращения напряжений), где Е — мо-
модуль Юнга материала II].

326 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Определяющие уравнения задачи относительно скоростей по-
получаются заменой daijy dzih dut, dFit йщ на ati, su, vt, Ft, vt
соответственно в уравнениях A2.1)—A2.5). Два принципа, соот-
соответствующие A2.6) и A2.7), могут быть записаны в виде
lJtt6otdS=0, A2.8)
S,
J f J eu8audV - f J vt6atJn,dS = 0. A2.9)
v s,.
Поскольку напряжения аи в заданный момент времени само-
уравновешены, можно дополнительно сформулировать два вариа-
вариационных принципа
j J j atj6itJdV - Jj Ft&Vi dS = 0, A2.10)
V. S,
S = 0, A2.11)
_ V S,
где Ft == Oijtij на Sx-
После этих предварительных замечаний опишем некоторые
вариационные принципы теории пластического течения [1—61.
§ 12.2. Упрочняющийся материал
Следуя [11, примем формулу
«tew = ^rfoe« + ^-+a-A^4f A2-12)
для связи приращений напряжений и деформаций упрочняющегося
материала и обозначим через
^-, A2.13)
A2.14)
упругие и пластические части деформаций соответственно. Здесь
do и da'n — приращения гидростатической и девиаторной ча-
частей напряжений: da = A/3) dal(, da'n = daif — dabtj. Функция
k — положительно определенная форма компонент at/. Функция
/ (ati) называется условием текучести, а поверхность
f = c A2.15)
— поверхностью текучести. Параметр с здесь определяет конеч-
конечное состояние упрочнения, и его величина может изменяться в теле

Гл. 12. Теория пластического течения 327
от точки к точке. Поскольку df = (df'/dotl) dau, определим сле-
следующую терминологию для состояний нагружения:
активное нагружение, если df > О,
нейтральное нагружение, если df — О, A2.16)
разгрузка, если df < 0.
Величина а** в A2.12) определяется с учетом указанных выше
соотношений следующим образом:
а** =1, если f (ai}) = с и df 3* 0,
а** = 0, если / (аи) <с или если A2.17)
/ (аи) = с и df < 0.
Параметр с может быть задан как функция полной пластической
работы:
tf) A2.18)
где F — монотонно возрастающая положительная функция, а ин-
интеграл вычисляется вдоль пути нагружения. Из A2.14), A2.15),
A2.18) находим, что три функции /, A, F связаны соотношением
hF' (dffdotJ) ati = 1.
Умножая обе части A2.12) на df/доц и суммируя по i и /,
получим
при а** = 1. Отсюда следует, что df > 0 отвечает (df/dati) dta > 0.
С учетом изложенного мы можем получить из A2.12) следующие
обратные зависимости dau через detJ:
2G
_L_ + JLJL
2Gh + dopg dapq
ruede = A/3) dzu ]\d%'ti = de,/ — deb{j. Величина а* определяется
так:
a* = l, если f{oa) = c и (df/dokl)dBki^s0,
a* = 0, если /(во-)<с или если A2.21)
f(au) = c и (df/dohi)dehl<0.
Выражения A2.12) и A2.20) — линейные однородные формы от
приращений деформаций d%u и напряжений dou. В этом смысле
они аналогичны уравнениям состояния линейной теории упруго-
упругости, за тем исключением, что они попарно относятся к случаям
активного нагружения и разгрузки и что коэффициенты, соответ-

328 Часть А. Формулировка вариационных принципов
ствующие упругим константам, зависят от напряженного состоя-
состояния и истории нагружения данного элемента перед текущим
нагружением.
До того как приступить к изучению вариационной формули-
формулировки задачи, надо удостовериться в существовании функций
состояния s? или .$, отвечающих связи приращений напряже-
напряжений и деформаций A2.12) и A2.20) и определяемых равенствами
A2.22)
A2.23)
Действительно, эти функции можно получить из соотношений
44,
20 ft + dapq dapq
Я = 3-^ (dor + ^ф- + 4- «~A (dff. A2.25)
Следовательно, для упрочняющегося материала можно вывести
два вариационных принципа. Первый из них гласит: среди до-
допустимых решений, удовлетворяющих условиям совместности и
граничным условиям в перемещениях, точное решение доставляет
функционалу
П = \\\stdV- \jdTtdUtdS A2.26)
V S,
абсолютный минимум.
С другой стороны, второй принцип гласит: среди допустимых
решений, удовлетворяющих уравнениям равновесия и граничным
условиям в напряжениях, точное решение доставляет функционалу
Пе = jjj&dV- JldoijnjdutdS A2.27)
v s
абсолютный минимум.
Доказательство этих принципов приведено в [1], где также
содержатся указания на работы, в которых впервые были введены
эти принципы.
§ 12.3. Идеально пластический материал
Подставляя А = 1/р в A2.12) (Р считается положительной
постоянной) и устремляя Р к нулю так, что
lim 4- = <&>°> A2-28)
В-0, dt->Q V

Гл. 12. Теория пластического течения 329
где dX — положительная ограниченная неопределенная величина,
получим соотношения между приращениями напряжений и дефор-
деформаций для идеально пластического материала
"
¦gg-daiz + o j^-dl. A2.29)
Здесь
a**=l, если f{otj) = c и df = 0,
a** = 0, если /(ffi7)<c или если A2.30)
f(aa) = c и d/<0,
и с — константа, определяющая условие текучести рассматри-
рассматриваемого материала.
Совместное решение уравнений A2.29) дает следующие обрат-
обратные соотношения:
/ а1 /1О01\
Здесь
а* = 1, если / (atj) = с и (df/dahl) dzhl ^ 0,
а* = 0, если f(ai})<.c или если A2.32)
f(at]) = c и (df/dahi)dekl<i0.
Выражения для si- и & тогда превращаются в следующие:
"*- 2A -2v)
h
О dztt ds't, - а* K^l^ ' , A2-33)
A2.34)
Эти соотношения справедливы для идеально пластического ма-
материала.
Используя так выведенные соотношения для s4- и 38, можно
получить два вариационных принципа для идеально пластиче-
пластического материала точно так же, как это было сделано в предыду-
предыдущем параграфе, с той только разницей, что допустимое решение
во втором принципе теперь должно удовлетворять дополнитель-
дополнительному условию в виде неравенства *), а именно df < 0. Доказатель-
Доказательства этих принципов приведены в [11; там же указаны ссылки
на работы, в которых установлены эти принципы.
J) Здесь ситуация аналогична той, которая возникла при выводе принципа
Хаара—Кармана в деформационной теории пластичности.

330 Часть А. Формулировка вариационных принципов
§ 12.4. Уравнения Прандтля—Рейсса
Уравнения Прандтля — Рейсса представляют собой особый
случай уравнений A2.12) и A2.29) и основаны на предположении
/ = о, П2.35)
где х)
У~''\т. A2.36)
Вводя обозначение dip— У'2/3 [def,defj}1/2 в уравнение A2.18),
получаем
= H(\de"), A2.37)
где Н — монотонно возрастающая положительная функция. По-
Поскольку связь hH' = 1 получается из A2.12), A2.35), A2.37),
вместо A2.12) можно использовать следующее уравнение:
dsa = ^dobtj + ^ + «~^?. A2.38)
Здесь
а**=1, если а = с и dd^zO,
а** = 0, если д<Сс или если A2.39)
а — с и dd<.O.
Обращение A2.38), как нетрудно показать, имеет вид
daU = Т^ъ, ^б«7 + 2G dz'ij - а* ,??*к11 о'ц. A2.40)
в'(в-+1)
Здесь
а*=1, если д = с и а</ de,-,- ^ 0,
а* = 0, если д<с или если A2.41)
а = с и о</ de8/- < 0.
Уравнения A2.38) и A2.40) называются уравнениями Прандтля —
Рейсса для упрочняющегося материала. Если обе части A2.38)
J) Заметим, что здесь черта сверху над а и dip имеет смысл, отличный от
принятого ранее в этой книге, и ие означает, что эти величины заданы.

Гл. 12. Теория пластического течения 331
и A2.40) разделить на dt, то получаем уравнения, записанные
через скорости:
1 Ov <j;; 3<J,-. 0
—г-Ъ&и + ^ + <*** -~-.
3G (<т'ь,ёьЛ
A2.42)
где определения для а** и a* получаются из A2.39) и A2.41)
заменой da и dBtj на а и ёи соответственно.
Приведенные выше соотношения обобщаются на идеально
пластический материал, для которого условие текучести дается
соотношением
а'иа\, - 2k\ A2.44)
где k — постоянная, зависящая от вида материала; полагая
в A2.38)
lim -i*L=<fli>0, A2.45)
da-*0, Н'ч-0 2aH'
где d!K — положительная конечная неопределенная постоянная,
получим
Ц ^f o.**°a dk, A2.46)
где
a**=l, если а^а'ц =. 2k2 и о<,-datj.= 0,
a**.= 0, если a'ijo'ij < 2k2 или если A2.47)
'no'ii = 2k2 и o'ijdatj<i0.
Обращение A2.46), как можно показать, имеет вид
Здесь
а = Т^Ъ ^6''' + 2Gde;;- — a* -^- (al, deki) о'ц- A2.48)
a* = 1, если o'ijo'ij = 2№ и a'tj detj ^ 0,
a* = 0, если a,';a|;< 2Л2 или если A2.49)
o'tfa'tj = 2k2 и <т<;-йе<,-<;0.
Уравнения A2.46) и A2.48) называются уравнениями Прандтля —
Рейсса для идеально пластического материала. Через скорости

332 Часть А. Формулировка вариационных принципов
деформаций и напряжений эти уравнения переписываются следую-
следующим образом:
ё</ = Ц^ 66ц + -^ + а**ро'ф A2.50)
ьч = fZT^ ebi> + 2Giii ~ a* ~W (ak'ek') °'i A2.51)
соответственно, где ц. = dX/dt > 0. Определения для а** и а*
в этих уравнениях получаются из A2.47) и A2.49) заменой do'a
и dzij на д'ц- и ё,-, соответственно.
Вариационные принципы, аналогичные приведенным в § 12.2
и 12.3, были выведены в [1 ] для материалов, подчиняющихся
уравнениям Прандтля—Рейсса.
§ 12.5. Уравнения Сен-Венана—Леви—Мизеса
Если скорости упругих деформаций в A2.50) считаются ма-
малыми по сравнению со скоростями пластических деформаций, то
ё,-/ = (ш,/, если 07/0,7 = 2&2 и оцдц = 0, A2.52а)
ё,7 = 0, если OijOij<c2t? или если
o'uo'ij = 2k2 и e'ijd'ij<0. A2.52b)
Эти соотношения допускают обращение
a't, = y^L- b,i A2.53)
только для уравнения A2.52а). Материалы, подчиняющиеся этим
соотношениям, называются жесткопластическими. Уравнения
A2.52а), A2.52Ь) называются уравнениями Сен-Венана—Леви —
Мизеса для жесткопластических материалов.
Ниже рассматриваются вариационные принципы для тела из
жесткопластического материала в предположении, что все тело
находится в пластическом состоянии. Задача-этого параграфа
ставится несколько отличным образом от предыдущих:
A) уравнения равновесия
а„,, = 0;, A2.54)
B) условие текучести
o'ijo'a = 2k2; A2.55)
C) соотношения напряжения—скорости деформации: урав-
уравнение A2.53);

Гл. 12. Теория пластического течения 333
D) связь скоростей деформаций со скоростями точек тела
\ A2.56)
E) условие несжимаемости
ё„ = 0; A2.57)
F) граничные условия
OijHj =?j на Slt A2.58)
vt = v, на S2. A2.59)
Отсюда получаются два вариационных принципа, первый из
которых можно сформулировать следующим образом:
Среди допустимых решений, удовлетворяющих условиям сов-
совместности и несжимаемости, а также граничным условиям в пере-
перемещениях на S2, действительное решение г) доставляет функцио-
функционалу
JjJj A2.60)
v s,
абсолютный минимум.
Это так называемый принцип Маркова [7]. Доказательство
его следующее. Пусть напряжения, скорости деформации и ско-
скорости точек тела в точном решении обозначены через atj, etj и
vt, а скорости деформаций и скорости точек в допустимом реше-
решении — через ъц и v*. Тогда, поскольку в силу неравенства Шварца
A2.61)
Oijeij, A2.62)
согласно условию несжимаемости, из уравнений A2.55), A2.61)
и A2.62) получаем
г'ч. A2.63)
С другой стороны, A2.53) и A2.57) дают
М^ A2.64)
Используя A2.63) и A2.64), получим
/26 (]/ iiji'tj - У eijeu) =э оц (ё,-,- - ъч). A2.65)
г) С точностью до возможно неопределимого постоянного гидростатиче-
гидростатического давления.

334 Часть А. Формулировка вариационных принципов
Возьмем интеграл от A2.65) по всему объему тела и выполним
интегрирование по частям; тогда получим
J J [ Vk^dV - JJ Ftvt dS. A2.66)
Поскольку у* — произвольная допустимая скорость, из A2.66)
следует доказательство принципа Маркова. Второй принцип мо-
может быть сформулирован следующим образом:
Среди допустимых решений, удовлетворяющих уравнениям
равновесия, условию текучести и граничным условиям в напряясе-
ниях на St, действительное решение *) доставляет функционалу
Пе= — JlotjnjVidS A2.67)
s,
абсолютный минимим.
Это аналог принципа Хилла о максимуме пластической работы,
устанавливающего, что среди допустимых решений действитель-
действительное решение доставляет функционалу
s,
абсолютный максимум [1,8]. Доказательство его следующее.
Пусть напряжения, скорости деформаций и точек тела в точном
решении обозначены через atj, ё,/, vit а напряжения в допустимом
решении — через ац. Тогда из соотношений
= 2ft2, o't',o'tj = 2k\ A2.68)
У Y A2.69)
имеем
{ои-ац)а'ц<0. A2.70)
Подстановка A2.53) и A2.57) в A2.70) дает
(о'„,- о,,) г» < 0. A2.71)
Возьмем интеграл от A2.71) по всему объему тела и выполним
интегрирование по частям; тогда получим
J j ацпр i dS sss J J a'unfit dS. A2.72)
s, s,
J) С точностью до возможно неопределимого постоянного гидростатиче-
гидростатического давления.

Гл. 12. Теория пластического течения 335
Поскольку atj — произвольное допустимое напряжение, из урав-
уравнения A2.72) следует принцип Хилла.
Более слабое утверждение в указанных принципах состоит
в том, что функционалы A2.60) и A2.67) принимают стационарное
значение по отношению к допуетимым скоростям точек и вариа-
вариациям напряжений соответственно. Например, можно показать,
что для точного решения
6П = 0 A2.73)
среди допустимых вариаций перемещений. Тогда функционал
A2.60) принимает вид
П, =. /2Л J jJ VT^jdV - \\FiVidS -
v s,
-Vi)dS, A2.74)
где otj ист — множители Лагранжа, которые вводятся с целью
учета условий A2.56), A2.57), A2.59) в выражении для расши-
расширенного функционала. Условие стационарности для функционала
A2.74) по ей записывается в виде
а„-о6и = -??=*„, A2.75)
У eft;efti
а выражение для функционала A2.67) выводится исключением ut
и etj обычным образом.
§ 12.6. Предельная несущая способность
Несомненно, одним из наиболее успешных приложений вариа-
вариационных принципов в теории пластического течения является
теория предельной несущей способности [2]. Рассмотрим среду
или конструкцию (называемую далее телом), которая состоит из
материала, подчиняющегося уравнениям идеальной пластичности
Прандтля — Рейсса A2.50). Поверхностные нагрузки Ft, i = 1,
2, 3, заданы на 51; а перемещения заданы на S2; п( = 0, i —
= 1, 2, 3. Пусть поверхностные нагрузки увеличиваются про-
пропорционально одному параметру, т. е. внешние усилия равны
7tFit i=l, 2, 3, где х — монотонно возрастающий параметр.
Когда величина х достаточно мала, тело ведет себя упруго. По
мере увеличения х некоторая точка тела достигает пластического
состояния; после этого уравнения теории упругости перестают

336 Часть А. Формулировка вариационных принципов
описывать состояние тела. При дальнейшем увеличении х пласти-
пластическая область тела увеличивается, хотя значительные части его
могут еще оставаться в упругом состоянии. Если величина х
продолжает увеличиваться, может возникнуть состояние пласти-
пластического течения, т. е. в первый раз за время процесса нагружения
станет возможным возрастание пластической деформации при
постоянных поверхностных нагрузках. Система поверхностных
нагрузок, отвечающая этому пластическому течению, называется
нагрузкой пластического разрушения для тела, а отношение этой
нагрузки к проектной — запасом прочности, который обозна-
обозначается через S. Таким образом, запас прочности равен величине х
в момент достижения нагрузки пластического разрушения. За-
Задачей теории предельной несущей способности является опреде-
определение запаса прочности при заданных поверхностных нагрузках.
Будем считать, что в момент достижения нагрузки пластиче-
пластического разрушения упругие скорости изменения напряжений и
скорости деформаций тождественно равны нулю, а тело ведет
себя как жесткопластическое [2 J. Следовательно, определяющие
уравнения в момент возникновения пластического течения имеют
следующий вид:
A) уравнения равновесия
otj.j = 0; A2.76)
B) условия пластичности
2112; A2.77)
C) зависимость напряжений от скоростей деформаций
ёц = цац, если o'l/Oij = 2k2, A2.78a)
ёи = 0, если a'c,a'il<:2k2; A2.78b)
D) зависимость скоростей деформаций от скоростей точек
2ew = 0ffi + 0,,i; A2.79)
E) условие несжимаемости
в„ = 0; A2.80)
F) граничные условия
aunj = SFi на Slt A2.81)
v, = 0 на S2. A2.82)
Эти уравнения приводят к задаче на собственные значения, в ко-
которой 5 имеет смысл собственного значения *).
*) Определение задачи на собственные значения для нелинейных уравнений
автором ие обсуждается. — Прим. ред.

Гл. 12. Теория пластического течения 337
В теории предельной несущей способности главным образом
вычисляются верхние и нижние оценки запаса прочности S.
Ограничимся для простоты рассмотрением непрерывных полей
напряжений и скоростей х) и введем следующие обозначения.
Компоненты напряжений oft будут называться статически до-
допустимыми, если они удовлетворяют A2.76), A2.77) и
a*ijnj = m^Fi на Su A2.83)
где ms — число, называемое статически допустимым множителем.
Скорости перемещений vf называются кинематически допусти-
допустимыми, если они удовлетворяют A2.80), A2.82) и условию
\\ A2.84)
Величина
mk =/2* \\\ ]/"ibhhdV I jj Ftv't dS, A2.85)
v / s,
где 2ё*/ = vf,i + vf, i, будет называться кинематически допусти-
допустимым множителем. Получим следующие верхние и нижние границы
для запаса прочности!
ms < S < mh. A2.86)
Доказательство следующее: во-первых, A2.63) остается верным и
для рассматриваемой задачи. Возьмем интеграл от A2.63) по всему
объему тела и выполним интегрирование по частям; тогда получим
S j\ Ftf dS < /2Л j\f yiffiudV, A2.87)
откуда ввиду предположения A2.84) следует S « mh. Во-вторых,
заметим, что A2.71) справедливо для этой задачи. Интегрируя
по частям и по всему объему тела, получаем
{т, -S)\\ FiVt dS < 0. A2.88)
s,
Поскольку для точного решения
из A2.88) следует ms <; S.
Итак, верхняя и нижняя границы для запаса прочности полу-
получаются сразу из двух вариационных принципов. В этом смысле
1) Распространение методики на случай разрывных полей скоростей можно
найти в [9].

338 Часть А. Формулировка вариационных принципов
A2.86) аналогичны формулам для верхней и нижней границ
жесткости при кручении, которые были выведены в § 6.5 из
принципов минимума потенциальной и дополнительной энергии,
хотя определение жесткости при кручении является краевой
задачей, а не задачей на собственные значения. Вариационные
постановки изучены в [10] на основе оценок A2.86).
Теория предельной несущей способности была изложена для
задач о плоской деформации, причем детальные исследования
касались разрывных полей скоростей и напряжений [2]. Прекрас-
Прекрасный пример задачи о плоской деформации дан в [11 ]: призматиче-
призматический цилиндр квадратного сечения с круглым отверстием в центре
нагружен постоянным внутренним давлением; принимая разрыв-
разрывные поля напряжений и скоростей, можно получить верхнюю и
нижнюю границы для запаса прочности. Теория предельной не-
несущей способности также чрезвычайно плодотворна при анализе
пластин, оболочек и многокомпонентных конструкций [12—16].
§ 12.7. Некоторые замечания
В гл. 11—12 предполагалось, что компоненты перемещений
выражаются через три непрерывные функции. Однако деформация
в пластической области, как известно, состоит из бесконечно малых
проскальзываний [1]. Это означает, что представление переме-
перемещений через три непрерывные функции не более чем приближе-
приближение и что теория пластичности может быть сформулирована
только с учетом разрывного характера перемещений. Одним из
успешных шагов в этом направлении является теория дислокаций,
великолепное изложение которой дано в [17]. Краткое замечание
о вариационных принципах для квазистатических задач и теории
ползучести приведено в приложении М.

Часть В
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КАК ОСНОВА
МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
ВВЕДЕНИЕ
Задачи механики сплошных сред обычно формулируются
в виде системы дифференциальных уравнений, например, таких,
какие получены в гл. 3 для нелинейной теории упругости. Меха-
Механические или физические характеристики непрерывного тела,
такие, как перемещения, напряжения, деформации и т. д., счи-
считаются непрерывными функциями пространственных координат
х(, i = 1, 2, 3, а сплошное тело мысленно представляется сово-
совокупностью элементов бесконечно малого размера, как показано
на рис. 3.1.
С другой стороны, непрерывное тело можно разбить на мно-
множество элементов конечных размеров (конечных элементов) и рас-
рассматривать как совокупность этих элементов. Такой подход на-
называется методом конечных элементов (сокращенно МКЭ).. В нем
непрерывные функции, описывающие физические и механические
величины, заменяются приближенными выражениями, которые,
являясь гладкими в пределах каждого конечного элемента, будут
непрерывными и кусочно-дифференцируемыми во всем теле. Эти
приближенные функции конструируются с использованием неиз-
неизвестных параметров, таких, как их значения в узловых точках,
и интерполяционных функций, так что распределение физических
величин в каждом конечном элементе может быть определено
однозначно по их значениям в узловых точках. Следовательно,
исходные дифференциальные уравнения заменяются системой
алгебраических уравнений, которые определяют неизвестные па-
параметры, и наша первая задача состоит в том, чтобы получить
определяющие уравнения для неизвестных параметров.
Известно, что вариационные методы являются надежным и
систематическим инструментом для вывода определяющих урав-
уравнений для неизвестных параметров. Вспомним, что некоторые со-
соображения относительно связей между вариационными принци-
принципами и МКЭ уже высказывались в гл. 10. Там было показано
что обобщенный метод Галеркина, основанный на принципе

340 Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
виртуальной работы, и метод Релея — Ритца, основанный на
принципе минимума потенциальной энергии, минимума допол-
дополнительной энергии и т. д., можно использовать для анализа
конструкций из произвольных совокупностей конечных элемен-
элементов, таких, как фермы, рамы и полумонококовые конструкции, и
было отмечено, что термин «метод конечных элементов» может
включать как методы, основанные на обобщенном методе Галер-
кина, так и метод Релея — Ритца.
Широко известно, что одним из первых математиков, прини-
принимавших участие в становлении МКЭ, был Курант. Он представил
приближенный метод решения задачи кручения Сен-Венана с по-
помощью принципа минимума дополнительной энергии, используя
линейную аппроксимацию функции напряжений внутри каждого
из совокупности треугольных элементов [1]. С другой стороны,
наиболее важными и исторически первыми среди пионерских ра-
работ по МКЭ в задачах расчета конструкций считаются статьи
Тернера, Клафа, Мартина и Топпа [2] и Аргириса и Келси [3].
После появления этих статей вариационный метод стал интенсивно
использоваться в математических формулировках МКЭ. И об-
обратно, быстрое развитие МКЭ сообщило мощный стимул к раз-
разработке вариационных методов: за последнее десятилетие появи-
появились новые вариационные принципы, такие, как вариационные
принципы со смягченными условиями непрерывности [4—8],
принцип Геррмана для несжимаемых или почти несжимаемых
материалов [9, 10] и для задач изгиба пластин [11, 12] и т. д.
Цель части В состоит в том, чтобы дать краткий обзор достижений
в области вариационных принципов, которые служат основой
МКЭ в теории упругости и теории пластичности. С практическим
использованием этих принципов при формулировке МКЭ читатель
может ознакомиться по работам [5—7].
Как указано в работах [2] и [3], первоначальной задачей их
авторов было развитие численных методов расчета жесткости и
прочности упругих авиационных конструкций. Со времени появ-
появления этих пионерских статей опубликованы многочисленные
труды, связанные с приложениями МКЭ в смежных областях тех-
техники [13—17].
МКЭ ныне широко используется не только для
численного анализа напряжений и перемещений в упругопласти-
ческих конструкциях, но и в задачах гидродинамики, теплопро-
теплопроводности, фильтрации и т. д. Итак, техника МКЭ, созданная для
реализации уникальных возможностей ЭВМ, уже внесла
весомый вклад в решение практических задач; в дальнейшем
она будет совершенствоваться и найдет еще большее приме-
применение.
Библиография к части В не может претендовать на полноту.
Автор ограничивается списком очень ограниченного числа работ,

Введение 341
которые прямо и непосредственно связаны с математическими
методами, изучаемыми в этом приложении. Более полная библио-
библиография приведена в работах [18—20 J1).
J) В отечественной литературе также имеются монографин, посвященные
применению вариационных методов для численного решения задач механики;
см., например, следующие книги: Абонский Н. П., Андреев Н. П., Деруга А. П.
Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек.—М.: Наука,
1978; Морозов Е. М., Никншков Г. П. Метод конечных элементов в механике
разрушения. —М.: Наука, 1980; Постнов В. А., Хархурим И. Я. Метод конеч-
конечных элементов в расчетах судовых конструкций.—Л.: Судостроение, 1974;
Постнов В. А. Численные методы расчета судовых конструкций.—Л.: Судо-
Судостроение, 1977; Розин Л. А. Основы метода конечных элементов в теории упру-
упругости. — Л.: Изд-во ЛПИ, 1972; Розин Л. А. Метод конечных элементов в при-
применении к упругим системам.—М.: Стройиздат, 1977; Черноусько Ф. Л., Ба-
ничук Н. В. Варнацнонные задачи механики и управления. — М.: Наука, 1973. —
Прим. ред.

Глава 13
КЛАССИЧЕСКИЕ И МОДИФИЦИРОВАННЫЕ
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЛИНЕЙНОЙ
СТАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 13.1. Постановка задачи
В этой главе будет обсуждаться точно такая же задача, как
и сформулированная в § 1.1. Выпишем уравнения этой задачи *):
A) уравнения равновесия 2)
<*u,j + ft = O; A3.1)
B) соотношения деформации — перемещения
C) соотношения напряжения — деформации
или обратные им соотношения
D) граничные условия в напряжениях 3)
7\=7\- на So, A3.5)
где 4)
Ti = о^л,-; A3.6)
E) граничные условия в перемещениях 5)
щ = ы,- на Sn. A3.7)
х) В части В, если не оговорено обратное, принимается соглашение о сум-
миронаннн (относительно этого соглашения см. примечание в начале гл. 11).
а) Вместо X, У, 2 здесь_ используются обозначения /], i = 1, 2, 3.
_ 3) Вместо Xv, Kv, Zv и Xv, Yv, Zv здесь используются обозначения Тг и
Tj, i = 1, 2, 3, а обозначение S2 заменено на So.
*) Вместо /, /я, я будем писать л^, i = 1, 2, 3.
s) Вместо Si будет использоваться обозначение Su.

Гл. 13. Линейная статическая теория упругости 343
Уравнения A3.3) и A3.4) эквивалентны уравнениям A.6) и
A.8). Для удобства уравнения A.6) и A.8) представляются в мат-
матричной форме:
\о) = [А]\*\, A3.8)
[г\=[В)\о), A3.9)
где
(о} = [ах, ву, az, Tj,., т^, хху),
\е\т = [гх, ъу, гг, yyz, yzx, уху),
а [А ] и [В] — положительно определенные симметричные мат-
матрицы, удовлетворяющие соотношению
1В) = [А]-1. A3.10)
Функция энергии деформации А и функция дополнительной
энергии В могут быть записаны так:
А (гтп) = (l/2)awe,,e,u, A3.11)
B{omn) = (\l2)biihlaiiohl A3.12)
или так х)
, A3.13>
. A3.14)
Для дальнейшего удобства вводится обозначение A (ut). Эту
функцию можно получить, подставляя A3.2) в A3.11) и выражая
функцию энергии деформации через компоненты перемещений:
А (и,) = (l/8)aklmn(uh, г + ul>h)(um,n + ип<т). A3.15)
Теперь можно сформулировать обычные вариационные принципы,
приведенные в гл. 2, что мы и сделаем в следующем параграфе.
§ 13.2. Классические вариационные принципы
/. Принцип виртуальной работы
Принцип виртуальной работы записывается следующим обра-
образом (ср. с уравнением A.32)):
= 0. A3.16)
v v' "s"o
Дополнительными условиями являюгся равенства
bttj — A/2) (бы,-, j -\- bujt i), A3.17)
бы,- = 0 на Su. A3.18)
J) Ср. с соотношениями B.2) и B.20) соответственно.

344 Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
2. Принцип минимума потенциальной энергии
Функционал принципа минимума потенциальной энергии мо-
может быть записан в виде х)
ПР = \\\ [А (и,) - ftut]dV - \\Ttut dS, A3.19)
V Sa
причем дополнительными условиями являются равенства
Ui = ui на Su. A3.20)
Если ввести в ПР дополнительные условия A3.20) с помощью
множителей Лагранжа pt, то получится
Пр= \\\{A(ut)-hUi\dV - \\TtutdS-
S
A3.21)
где независимыми варьируемыми величинами являются ut и pt
без каких-либо дополнительных условий. Функционал Пр можно
записать в несколько отличной форме:
PiutdS + \\ pfiidS, A3.22)
S
где дополнительными условиями Ч5удут равенства
Pi = Tt на Sa. A3.23)
Принцип, основанный на использовании функционала A3.21)
или A3.22), будет называться первой расширенной формой прин-
принципа потенциальной энергии.
Находим, что условия стационарности Пр дают
р, = Tt (U]) на Su, A3.24)
где Tt (uj) получаются подстановкой A3.2) и A3.3) в A3.6) (это
позволяет выразить ati через uh). Следовательно, мы исключим
pi из Пр с помощью A3.24) для того, чтобы получить
Пр' = JJJ [А (и,) - ftUi]dV - JJ T,u, dS -
v Sa
tiujjiUi-uJdS, A3.25)
где независимыми варьируемыми функциями являются ut без
каких-либо дополнительных условий. Принцип, основанный на
х) Ср. с B.12). Обозначение Пр часто используется для функционала в прин-
принципе потенциальной анергии.

Гл. 13. Линейная статическая теория упругости 345
использовании функционала A3.25), будет называться второй рас-
расширенной формой принципа потенциальной энергии. Первая и
вторая расширенные формы принципа потенциальной энергии
часто используются в формулировках метода конечных элементов.
3. Обобщенный принцип
Функционал, используемый в обобщенном принципе, можно
записать в виде 1)
Па = \\\ \A(btl)~ftut - etJ[EU-(l/2)(ultj + uJtt)]}dV-
V
-jJTtutdS-\jpt(ut-ut)dS, A3.26)
где независимыми варьируемыми функциями являются ati, e^,
щ и pi без каких-либо дополнительных условий. Условия стацио-
стационарности Пв1 по отношению к ги и щ дают а)
ati = <hjki*i4 в У A3-27)
и
pi = Tt на Su. A3.28)
Эти формулы раскрывают физический смысл введенных мно-
множителей Лагранжа.
Исключая pt из Пв1 с помощью A3.28), получаем другую
форму обобщенного принципа (ср. с выражением B.34))
-A/2) (Ui,j + uj,i))\ dV -
-\\TtutdS- \\Ti(Ui-ui)dS. A3.29)
S s
Интегрирование по частям преобразует функционал A3.29) к виду
Пот = J JJ И (е„) - OtjEi, - {аи., + ft) и,} dV +
v
A3.30)
Su
В функционалах A3.29) и A3.30) независимыми варьируемыми
функциями являются atJ, etJ и ut без каких-либо дополнительных
х) Ср. с выражением B.26). Индекс G будет использоватьси в части В для
обозначения функционала в обобщенном принципе.
2) Запишите функционал A3.26) в той же форме, что и функционал B.26),
учтите свойство симметрии е^ = Eji и аи = аи и проварьируйте по переменным
ея, е„. е», v»z. Vz*. V*V (ш- соотношение B.27) гл. 2).

Таблица 13.1
Диаграмма вариационных принципов линейной статической теории упругости
Уравнения равновесия и граничные
условия в напряжениях на Sa
Классические вариационные
принципы
Принцип виртуальной ра-
работы
Согласованней модель
Модифицированные вариационные
принципы со смягченными условиями
непрерывности
Модифицированный принцип вирту-
виртуальной работы
Массовые силы н поверхностные
нагрузки на Sa считаются мерт-
мертвыми
Соотношения
напряжения—
Функция
энергии
деформации
А
Принцип минимума потенци-
потенциальной энергии [и]
Согласованная модель
Расширенный принцип по-
потенциальной энергии [и, р]
Согласованная модель
П
тР
Модифицированный принцип потен-
потенциальной энергии [и, К, ц]
Гибридная модель в перемещениях
Модифицированный расширенный
принцип потенциальной энергии
[«¦ Р, К ц]
Гнбридная модель в перемещения'х

деформации
Функция
дополнитель-
дополнительной
энергии
В
I 1
Обобщенный принцип
[о, %, и, р]
1
Модифицированный обобщенный
принцип [а, е, и, р, К, ц]
Принцип Хеллингера—
Рейсснера [а, и, р]
Смешанная модель
Принцип минимума допол-
дополнительной энергии fa]
Равновесная модель
Модифицированный принцип Хел-
лингера—Рейсснера [а, и, р, Я, ц]
Смешанная модель
Модифицированный принцип допол-
дополнительной энергии [а, ц]
Гибридная модель в напряжениях
н равновесная модель
Соотношения перемещения—дефор-
перемещения—деформации и граничные условия в пе-
перемещениях на Su
t
Принцип дополнительной
виртуальной работы
Равновесная модель
Модифицированный принцип допол-
дополнительной виртуальной работы

348 Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
условий. Обобщенные принципы, в которых используются функ-
функционалы A3.26), A3.29), A3.30), иногда называют принципами
Ху—Васидзу (Вашицу).
4. Принцип Хеллингера—Рейсснера
В принципе Хеллингера—Рейсснера функционал можно запи-
записать в виде (ср. с выражением B.27))
Пй = J J J [A/2) ou{uuj + u,,t) - В (а„) - f,Ui)dV -
v
- JJ Т|Ы, dS - JJ^ (и,-fl,)dS, A3.31)
So Su
где независимыми варьируемыми функциями являются ai}, щ и рг
без каких-либо дополнительных условий. Если pt исключаются
при помощи соотношений A3.28), то функционал A3.31) преобра-
преобразуется интегрированием по частям к виду (ср. с выражением B.41))
П« = Ш [- В <°») ~ (аи-1 +¦'') "-1 dV +
v
+ Jj (Tt - Tt) щ dS + f J T^ dS, A3.32)
где независимыми варьируемыми функциями являются ai7- и щ
без каких-либо дополнительных условий.
5. Принцип минимума дополнительной энергии
В принципе минимума дополнительной энергии функционал
можно записать в виде (ср. с выражением B.23))
J A3.33)
где дополнительными условиями будут
°u.i + ft = O в V A3.34)
и
7\ = Т, на Sa. A3.35)
6. Принцип дополнительной виртуальной работы
Этот принцип записывается в виде (ср. с уравнением A.50))
}{{ гц6ои dV-\\ bTiut dS = 0 A3.36)

Гл. 13. Линейная статическая теория упругости
349
с дополнительными условиями
-О в V
nt = О на So
A3.37)
A3.38)
Вариационные принципы, перечисленные в этом параграфе,
представлены в средней колонке на табл. 13.1 (ср. с табл. 2.1).
§ 13.3. Конечные элементы
Как было указано во введении к части В, сплошное тело мыс-
мысленно разбивается на ряд элементов конечного размера, называе-
называемых конечными элементами, и при
формулировке метода конечных эле-
элементов рассматривается как совокуп-
совокупность этих элементов. До конца этой
главы мы будем продолжать рассма-
рассматривать задачу, которая сформулиро-
сформулирована в § 13.1, с той только разницей,
что область V отныне будет мысленно
разбита на совокупность конечных
элементов. Прежде всего следует вы-
выбрать форму и размеры этих элементов
или, иначе говоря, построить конечно-
элементную сетку. Поскольку детали
конечно-элементных формулировок ле-
лежат за пределами круга вопросов, обсу-
обсуждаемых в этой книге, мы не станем развивать эту тему и рекомен-
рекомендуем интересующемуся ею читателю обратиться, например, к рабо-
работам [1, 2]. Для иллюстрации выберем тетраэдральные элементы и
представим тело V как совокупность элементов Vlt V2, ¦¦¦ , VN. Обо-
Обозначим два произвольных смежных элемента через Va и Vb, а их
общую границу через Sab, как показано на рис. 13.1. Там, где
это необходимо, для обозначения сторон поверхности Sab, при-
принадлежащих dVa и dVb соответственно *), используются символы
SabuSba- Кроме того, обозначим напряжения, деформации и пере-
РНС. 13.1. Va, Vb H Sab-
мещения в Va и V-b через о;-/, г\у, щ и о;"', е},-, щ ' соответ-
соответственно. Одна из наиболее важных проблем при формулировке ва-
вариационных принципов — это свойство непрерывности допустимых
функций. Ответ на этот вопрос дается в разд. 3.2 работы [1 ]:
«неявно предполагается, что при вычислении функционала можно
найти значения всех интегралов. Это обстоятельство накладывает
определенные ограничения на возможные классы, которым могут
принадлежать допустимые функции. Вообще говоря, мы пытаемся
dVa обозначает всю границу элемента Va.

350
Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
-Т}'\
избегать функций, которые приводят к тому, что интеграл в ка-
каком-либо члене расходится» и далее «.понятно, что если в функцио-
функционале старшая производная имеет порядок п, то допустимая
функция должна иметь п — 1 непрерывных производных (С„_х-
гладкость) *)».
В свете этих утверждений рассмотрим вопрос о том, какая
степень гладкости требуется для допустимых функций, используе-
используемых в принципе мини-
минимума потенциальной энер-
энергии. Нетрудно обнару-
обнаружить, что, поскольку стар-
старшая производная, входя-
входящая в функционал A3.19),
имеет первый порядок,
допустимые функции для
перемещений uit i = 1,
2, 3, должны быть клас-
класса С0. Следовательно, при
использовании принципа
минимума потенциальной
энергии в формулировках
метода конечных элемен-
элементов требуется, чтобы до-
допустимые функции были
по меньшей мере С°-глад-
кими в каждом элементе и на границах между элементами удо-
удовлетворяли условиям
Рнс.
¦Sab
13.2. Элементарный цнлнндр,
жащнн часть границы Sa6-
содер-
U
(а)
на S,
аЬ-
A3.39)
С другой стороны, допустимые функции в принципе минимума
дополнительной энергии A3.33) должны удовлетворять не только
уравнениям A3.1) и условиям A3.5), но и граничным условиям
в напряжениях на границах между элементами
Tla) + 7?' - 0 на Sab, A3.40)
где
Т\а) = alfn\a\ 7?» = alfnfK A3.41 a, b)
причем п\а> и П{Ь> — направляющие косинусы внешней нормали
к поверхностям Sab и Sba соответственно. Очевидно, что
= — П
F)
A3.42)
Уравнения A3.40) представляют собой условия равновесия двух
смежных элементов. Их можно получить, рассматривая равнове-
1) Мы будем писать С"-гладкость, а не Сп-гладкость.

Гл. 13. Линейная статическая теория упругости 351
сие элементарного цилиндра, который содержит часть границы Sab
между элементами, как показано на рис. 13.2 х).
После этих предварительных замечаний перейдем к форму-
формулировке вариационных принципов, лежащих в основе метода ко-
конечных элементов.
§ 13.4. Модифицированные вариационные принципы
В этом параграфе, руководствуясь табл. 13.1, мы проследим
вывод вариационных принципов, начиная с принципа минимума
потенциальной энергии, последовательно выводя модифициро-
модифицированный принцип потенциальной энергии, модифицированный обоб-
обобщенный принцип и заканчивая модифицированным принципом
Хеллингера — Рейсснера.
/. Принцип минимума потенциальной энергии
Обозначим перемещения щ в каждом элементе- через
m<'\ «Р\ ..., и\а\ и\ь\ .... «<•">, 1 = 1, 2, 3,
и назовем" каждое из них функцией перемещений. Тогда совокуп-
совокупность этих функций перемещений может быть выбрана в качестве
класса допустимых функций для функционала в принципе мини-
минимума потенциальной энергии, если они удовлетворяют следующим
требованиям:
(i) они непрерывны (по меньшей мере принадлежат классу С0)
в каждом элементе;
(ii) они совпадают на смежных границах элементов 2):
«!-а) = «^ на Sab) A3.39)
(Hi) те функции, которые соответствуют элементам, примы-
примыкающим к Su, удовлетворяют A3.7).
Следовательно, если функции перемещений выбраны так, что
удовлетворяются условия (i), (ii) и (iii), то функционал в прин-
принципе минимума потенциальной энергии дается выражением (ср.
с выражением A3.19))
jJfU, dS, A3.43)
где 2] означает суммирование по всем элементам. Независимыми
величинами, варьируемыми в функционале ПР, являются «,tn,
1) На рис. 13.2 плоскость, содержащая поверхность 5аь. перпендикулярна
плоскости чертежа. Как верхняя, так и нижняя поверхности цилиндра парал-
параллельны Sab, а его направляющие перпендикулярны Sab- Площадь верхней и
нижней поверхности и толщина цилиндра считаются бесконечно малыми.
*) В этом случае иногда говорят, что функции конформны или согласованы
иа границах смежных элементов [1, 3].

352 Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
и\2\ ... , и\а), ы}6>, ... , u\Ni; в дальнейшем их будем обозначать
через и\а). Функционал A3.43) является основой конечно-эле-
конечно-элементной модели, называемой согласованной моделью.
2. Модифицированные принципы потенциальной энергии
Далее будут сформулированы вариационные принципы, в ко-
которых дополнительные условия A3.39) вводятся в расширенный
функционал. Используя множители Лагранжа Xt, определенные
на Sab, получим функционал для модифицированного принципаз
ПтР1 = ПР-ЦЯвИ, A3.44)
где ПР дается A3.43), а
На» = f J *., («(<а) - «Н dS. A3.45)
В уравнении A3.44) запись ? перед НаЪ1 означает, что суммиро-
суммирование производится по всем границам между элементами. Неза-
Независимыми варьируемыми величинами в Лтр\ являются ы/а) и %i
при дополнительных условиях A3.7). Принцип для функционала
ПтР1 назовем первым модифицированным принципом потенциаль-
потенциальной энергии со смягченными условиями непрерывности, потому что
в ПтР1 требование (ii) смягчается и функции перемещений в каж-
каждом элементе могут быть выбраны без какого-либо условия непре-
непрерывности на границах элементов. После некоторых преобразова-
преобразований, включающих варьирование по частям, первая вариация
ПтР1 на Sab приводится к виду
') - Я-*] б«5а) + [Т\Ь) («Г) + XJ 6«j6>-
-(и|"> _«}»>) 6А,,} dSH , A3.46)
и мы получаем условия стационарности на 5вь1
Т\а) «>) = - Т[Ь) (и}*») = %{, A3.47)
wia)=«l6), A3.48)
где 71а)(«/а))и Т({Ь) (и)Ь)) получаются из A3.41 а, Ь) подстановкой
A3.2) и A3.3) с целью представления a\f и off через и)а) и и{/Ь)
соответственно. Условия стационарности A3.47) показывают фи-
физический смысл множителей Лагранжа: Х{ равно Т\а) (ы)а)) на
Sob. Отметим, что этот модифицированный принцип уже не яв-
является принципом минимума, а только сохраняет свойство ста-
стационарности. Функционал ПтР1 первоначально был введен Джон-
аом [4] и далее использовался Ямамото [5].

Гл. 13. Линейная статическая теория дпрдгости 353
функционал ПтР1 можно несколько модифицировать. Введем
две функции, А.}а) и к\ь\ определенные соответственно на Sib и
Sia и удовлетворяющие условию
А.|а) + Xlb) = 0. A3.49)
Полагая
А., = Л — Я., = Я.}6). A3.50)
преобразуеи подынтегральное выражение в A3.45) к виду
при дополнительных условиях A3.49). Следовательно, вводя
новый множитель Лагранжа ц4, определенный на Sab, мы можем
записать A3.45) в эквивалентной форме, обозначаемой Habt:
-й1
и\а> + Ц°}иГ - »t (М ' + W)l dS, A3.51)
или
Ham = JJ *'a) И"' - 1*0 d5 + Я Я'^> (ы'6) - 1*0 dS-
Определив так Habt, запишем функционал A3.44) в другой форме:
ПтИ = Пя-ЦЯвМ A3.53)
и назовем соответствующий принцип вторым модифицированным
принципом потенциальной энергии со смягченными граничными
условиями, причем на независимые варьируемые величины и\а),
Х\а) и Hi наложены дополнительные условия A3.7). Из этих вели-
величин могут быть выбраны независимо друг от друга ы|а) в Va,
Х\а) на Sib и соответственно и\Ь) в Уь и \\Ь) на Sba, а Ц/, опреде-
определенное на Sab, должно совпадать на 5S» и Sba. После некоторых
преобразований, включающих интегрирование по частям, первая
вариация ПтР2 на 5аЬ принимает вид
JJ (И"' КО -
S + ... A3.54)
12 к.

354 Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
и мы получаем следующие условия стационарности на Sah:
Ji|a) ----- 7f>(«H> bift) ---- 7?» («И. A3.55)
u\a> hi, u[b) .- ц„ A3.56)
Я,[о) : Я,|-м 0. A3.57)
Условия стационарности A3.55) и A3.56) показывают физи-
физический смысл множителей Лагранжа: Х[а\ Х\Ь) и |л, равны Т\а) (м'а))
на Sou, Г[Й)(«5Й)) на S*a и ы,- на Sflft соответственно.
Используя условия стационарности A3.56) для исключения
Я,[а) и Х*6), перепишем Наьг в несколько измененной форме
J
sab
' ' 7f> (u}6)) («<¦*'- (Aj)dS A3.58)
и получим
Птр3 = ПР - ? ЯаЬ3. A3.59)
Соответствующий принцип мы назовем третьим модифициро-
модифицированным принципом потенциальной энергии со смягченными гранич-
граничными условиями, причем независимыми варьируемыми величинами
являются и(са) и Hi при дополнительных условиях A3.7). Из этих
величин могут быть выбраны независимо и[а) на Vа и и\Ь) на Уь,
тогда как цг должно быть одним и тем же на Sib и Sta- Функцио-
Функционалы ПтР2 и ПтРЗ эквивалентны введенным Тонгом Г6]. Для
краткости модифицированные принципы со смягченными усло-
условиями будем называть далее просто модифицированными прин-
принципами. Функционалы A3.44), A3.53), A3.59) являются основой
конечно-элементной модели, называемой гибридной моделью в пе-
перемещениях.
3. Модифицированный обобщенный принцип
Выведенные модифицированные принципы потенциальной энер-
энергии могут быть обобщены обычным образом. Отправляясь от функ-
функционала ПтР2> получим функционал для обобщенного принципа
(ср. с A3.26) и A3.29))
Пт01 = S J J J И («») ~ hut -аа [еи - A/2) (и,,, 'г uh,)] dV
W A3.60)
So Su
где независимыми варьируемыми величинами являются е^\
Ы<О)> ^i)> Pt и Уч ^ез каких-либо дополнительных условий.

Гл. 13. Линейная статическая теория упругости 355
Можно показать, что условия стационарности Пт01 на Sab обеспе-
обеспечивают выполнение равенств
К\а) = Г[°\ Х\Ь) = 7?\ A3.61)
а также A3.56) и A3.57). Следовательно, функционал обобщен-
обобщенного принципа можно переписать в другой эквивалентной форме
(ср. с A3.26) и A3.29))
= 2 JJJ
- 0/2)(ui.i +e,.i)ll dV-
- S Н*ы ~ \\TtUi dS - J J Tt (ut - п4) dS, A3.62)
где
Нан = J J {T\a)u\a) + 7f 46) - p, {T\a) + 7?')] dS, A3.63)
или
"ом = J J ^ i \Щ — \ii) dS + J J /} w — Hi) do, A3.64)
sa6 sba
причем для исключения pt использованы уравнения A3.28).
В A3.62) независимыми варьируемыми величинами являются
е'/\ °и\ и\а) и Pi без каких-либо дополнительных условий.
4. Модифицированный принцип Хеллингера — Рейсснера
Исключение zi} из функционала Пт01 при помощи условий
стационарности A3.4) дает модифицированный функционал Хел-
Хеллингера — Рейсснера (ср. с A3.31))
- S ЯоИ- fj ff«,iS- JJp, (и, -«,)dS, A3.65)
в котором независимыми варьируемыми величинами являются a\f,
U{"\ K\a), pi и (t( без каких-либо дополнительных условий. Заме-
Заменив НаЬ% на Habt, исключив pt при помощи A3.28) и проинтегри-
проинтегрировав по частям, получим другое выражение для модифициро-
12е

356 Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
ванного функционала Хеллингера — Рейсснера (ср. с A3.32)):
U*mR = - 2 \\\ [В (аи) j- (a,j,j + ft)и,] dV -f
+ 2 G<"> + \j(Ti г- Т,) щ dS f \\ Т~щ dS, A3.66)
sa su
где
Gab= HliiiTp + TWdS, A3.67)
sab
а независимыми варьируемыми величинами являются off, и\а) и
Уч без каких-либо дополнительных условий. Функционал A3.65)
является основой конечно-элементной модели, называемой сме-
смешанной моделью.
§ 13.5. Модифицированные вариационные принципы
(продолжение)
В этом параграфе, руководствуясь табл. 13.1, мы проследим
вывод вариационных принципов, начиная с принципа минимума
дополнительной энергии, выводя попутно модифицированный прин-
принцип дополнительной энергии и заканчивая модифицированным
принципом Хеллингера — Рейсснера. Рассматривается та же
задача, что и в § 13.1.
/. Принцип минимума дополнительной энергии
Обозначим напряжения в каждом элементе через
„(О „B) (а) (Ь) IN) ¦ • _ , о о
и назовем каждое из них функцией напряжений. Совокупность
этих функций напряжений может быть выбрана в качестве класса
допустимых функций в принципе минимума дополнительной энер-
энергии, если они удовлетворяют следующим требованиям:
(i) они непрерывны, однозначны и в каждом элементе удовлет-
удовлетворяют уравнениям A3.1);
(ii) они удовлетворяют условиям равновесия на границах
элементов
Т(а) + тр = 0 на Sabj
где Т((а) и Т({Ь) определяются равенствами A3.41 а, Ь);
(iii) те функции, которые соответствуют элементам, примы-
примыкающим к Sa, удовлетворяют A3.5).

Гл. 13. Линейная статическая теория упругости 357
Следовательно, если функции напряжений выбраны так, что
выполняются требования (i)—(iii), то в принципе минимума до-
дополнительной энергии функционал дается формулой (ср. с A3.33))
^dS. о3-68)
в которой варьируемыми величинами являются off. Функцио-
Функционал A3.68) играет важную роль, обеспечивая основу конечно-
элементной модели, называемой разновесной моделью.
2. Модифицированный принцип дополнительной энергии
Далее сформулируем вариационный принцип, в котором допол-
дополнительные условия A3.40) вводятся в расширенный функционал.
Используя множители Лагранжа pt, определенные на 5оь, по-
получаем функционал модифицированного принципа;
, A3.69)
где Пе дается формулой A3.68) и
Gab - J J \>t (Tlta) + 7?>) dS, A3.70)
Sab
а независимыми варьируемыми величинами являются off и \xt
при дополнительных условиях A3.1) и A3.5). Вариационный
принцип для функционала Пт( назовем модифицированным прин-
принципом дополнительной энергии со смягченными граничными усло-
условиями, потому что в Пте условие (i) смягчено, а функции напря-
напряжений в каждом элементе могут быть выбраны независимо (без
соблюдения каких-либо требований равновесия на границах
элементов). Отметим, что этот модифицированный принцип уже
не является принципом минимума, а только сохраняет свойство
стационарности. Функционал П^, впервые введенный Пианом
17, 81, является основой конечно-элементных моделей, называе-
называемых гибридной моделью в напряжениях и равновесной моделью.
3. Модифицированный принцип Хеллингера — Рейсснера
Теперь введем в функционал дополнительные условия A3.1)
и A3.5) с помощью множителей Лагранжа ut. Далее можно по-
получить точно такой же функционал, что и определяемый формулой
A3.66) функционал UmR в модифицированном принципе Хеллин-
Хеллингера — Рейсснера. Нет необходимости говорить, что так полу-

358 Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
ценный функционал Щ,/? нетрудно преобразовать интегрирова-
интегрированием по частям в функционал ПтВ, определенный с помощью
A3.65).
Итак, мы проследили два пути последовательного вывода
вариационных принципов, представленные в табл. 13.1. Стрелки
на диаграмме показывают общепринятые переходы от одного
принципа к другому. Читателю рекомендуется, руководствуясь
этими стрелками, выполнить соответствующие преобразования.
В табл. 13.1 перечислены также некоторые типичные конечно-
элементные модели вместе с вариационными принципами, иа ко-
которых основаны эти модели. Ограниченный объем настоящей
главы не позволяет обсудить во всех подробностях связь между ва-
вариационными принципами и соответствующими конечно-элемент-
конечно-элементными моделями. Детально эта связь описана, например, в рабо-
работах 18—12].
Заканчивая эту главу, сделаем два замечания. Первое замеча-
замечание касается метода Галеркина. Как указано во введении к части
А, приближенный метод решения, основанный на принципе вир-
виртуальной работы и называемый методом Галеркина, может рас-
рассматриваться как вариант метода взвешенных невязок. В зада-
задачах линейной статической теории упругости этот метод приводит
к конечно-элементной формулировке, эквивалентной формули-
формулировке, получаемой при помощи принципа минимума потенциаль-
потенциальной энергии. Однако в задачах, более сложных, чем задачи линей-
линейной теории упругости, предпочтительнее использовать принцип
виртуальной работы или его эквивалент. Можно провести ана-
аналогичные рассуждения, связанные с методами конечных элемен-
элементов, основанными на принципе дополнительной виртуальной ра-
работы, модифицированном принципе виртуальной работы и моди-
модифицированном принципе дополнительной виртуальной работы.
Второе замечание касается принципа минимума потенциаль-
потенциальной энергии с функционалом A3.43). Очевидно, что уравнения
равновесия на Sab, а именно условия
7f («n = -rW) 03.71)
можно получить как условия стационарности или, иначе говоря,
как естественные граничные условия функционала A3.43), если
функции и\а) выбираются так, чтобы удовлетворять условиям
(i) и (и). Отметим, что уравнения A3.71) справедливы даже в том
случае, когда упругие константы материала элемента Va отличны
от констант материала элемента Vb. Аналогичные утверждения
можно сделать и относительно принципа минимума дополнитель-
дополнительной энергии и других вариационных принципов.

Гл. 13. Линейная статическая теория упругости 359
Упражнения
1. Докажите, что модифицированный принцип виртуальной работы дается
следующей формулой:
- 2 в Jf a., Ыа) - «Has - Jf r,e«,ds = о,
Sab Sa
причем дополнительные условия задаются уравнениями A3.17) и A3.18).
2. Докажите, что модифицированный принцип дополнительной виртуальной
работы дается следующей формулой:
2 JJ J Bt
причем дополнительные условия задаются уравнениями A3.37) и A3.38).
3. Изучите работы (8—12J и докажите справедливость следующих утвержде-
утверждений.
а) Перемещения ц,- (= иг) задаются вдоль общей границы элементов, и
матрица жесткости каждого элемента получается при помощи принципа минимума
потенциальной энергии в гибридной модели в перемещениях, основанной на ПтРа
или птРя.
(Ь) Перемещения ц,- (= Uj) задаются вдоль общей границы элементов, и
матрица жесткости каждого элемента получается при помощи принципа мини-
минимума дополнительной энергии в гибридной модели в напряжениях, основанной
на Птс.
4. Докажите, что если ввести величину е по формуле
Зе = ех + ъу + eZ) (i)
то функцию энергии деформаций А из B.3) можно обобщить следующим образом:
Л(ех, е„ ухи; е, Н) =
Gv
= (l_2v) № + G (!l + el + ZD + ('/2) G (y'tz + YL + Vi,) -
— 2vGH[3e — (ex + ev+ez)], (ii)
где H — множитель Лагранжа, который для удобства умножен на 2vG.
Далее докажите, что А (гх, гу уху; е, Н) преобразуется к виду
Л(гх, гу уху; Н) =
= С Н + ej + el + A/2) (y?z + у\х + у1у) +
+ 2vW(eI + ei/ + ez) —v(l—2v)W2] (Hi)
после исключения е при помощи условия стационарности А (гх, гу, ... , уху;
е, Н) по параметру е, а именно условия
Зе = A — 2v) H. (iv)
Наконец, докажите, что функция А (ех, гу, ... , уху; Н) эквивалентна обоб-
обобщенной функции энергии деформации, введенной Геррмаиом [13, 141 для почти
несжимаемых материалов.

Глава 14
КЛАССИЧЕСКИЕ И МОДИФИЦИРОВАННЫЕ
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В СТАТИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ПРИ КОНЕЧНЫХ
ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ
§ 14.1. Постановка задачи
В этой главе рассматривается та же задача, что и в § 3.5 *).
Определяющие уравнения можно свести вместе, используя тензор
напряжений Кирхгофа а1} и тензор деформаций Грина ei} 2):
A) уравнения равновесия (ср. с C.27))
B) соотношения перемещения — деформации (ср. с C.18))
eu = {\l2){ul>j + uj>l + uh>iuhtj); A4.2)
C) соотношения деформации — напряжения (ср. с C.35))
или обратные соотношения (ср. с C.36))
еи = Ъцмом\ A4.4)
D) граничные условия в напряжениях (ср. с A3.42))
Ft = Ft на So, A4.5)
где
' Fi = Offjnfi (б;у -j- U;> j)', A4.6)
E) граничные условия в перемещениях (ср. с A3.43))
щ = Mj на Su. A4.7)
Для удобства уравнения A4.3) и A4.4) записываются в даль-
дальнейшем в матричной форме:
{<г\ = [А] \е\, A4.8)
И = [В] \а\, A4.9)
*) Эта задача называется также геометрически нелинейной задачей теории
упругости, или, короче, нелинейной задачей теории упругости.
¦) В этой главе мы будем использовать латинские буквы в нижних индек-
индексах вместо греческих букв в нижних и верхних индексах, введенных в гл. 3.
Итак, мы будем писать ut, a,-|, eit, Ft, Fj, ~Pf... вместо и^, аХн, е^ц» ?*"• ~FX< ^< •••
соответственно.

Гл. 14. Статическая теория упругости при конечных перемещениях 361
где
\а\Т = [аи, а22, а33, а23, а31, а12],
Иг = [eU) е22> е33, 2е23> 2е31> 2е12].
Функция энергии деформации Л и функция дополнительной
энергии В записываются следующим образом:
A(ema) = (l/2)atJhIfitjeM, A4.10)
B(amn) = A/2) blJhlai}ahl, A4.11)
или
A(enm) = (l/2){e\r[A][e\, A4.12)
В(атп) = A/2) \а\т [В] \а\. A4.13)
Также для удобства вводится обозначение А (ыг). Эта функция
получается подстановкой A4.2) в A4.10) или A4.12) и выраже-
выражением функции энергии деформаций через компоненты переме-
перемещений ut.
После этих предварительных замечаний перечислим класси-
классические вариационные принципы, выведенные в гл. 3. Это будет
сделано в следующем параграфе.
§ 14.2. Классические вариационные принципы
1. Принцип виртуальной работы
Принцип виртуальной работы можно записать в виде (ср.
с C.49))
JJJ [а,/вв„ — Я, ви,] dV — j"J F, ви, dS = 0, A4.14)
причем дополнительными условиями являются
е„ = A/2) (и,,, + ил, + ик,,«**,,) A4.2)
и
и, = ut на Su, A4.7)
а варьирование осуществляется по переменным щ.
2. Принцип стационарности потенциальной энергии
В принципе стационарности потенциальной энергии функцио-
функционал имеет вид (ср. с C.69))
[f A4.15)
So
где варьируются ut при дополнительных условиях
щ = йг на Su. A4.7)

362 Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
3. Обобщенный принцип
В обобщенном принципе функционал имеет вид (ср. с C.70))
(«i -u,)dS, A4.16)
причем варьируемыми без каких-либо дополнительных условий
функциями являются atj, eti, ut и pt. Условиями стационарности
функционала A4.16) являются уравнения A4.1)—A4.3), A4.5) и
A4.7), а также равенство
pt = Ft на Su, A4.17)
которое показывает физический смысл множителя Лагранжа pt.
4. Принцип Хеллингера — Рейсснера
Условия стационарности функционала A4.16) по еи даются
уравнениями A4.3). Используя соотношения A4.3) или обратные
им соотношения A4.4), исключим ei} из П01 и получим функцио-
функционал принципа Хеллингера — Рейсснера:
Пя = JJ
v
+ \\4(ui)dS-\\pl(ui-ui)dS, A4.18)
So
причем независимыми варьируемыми величинами являются otj,
ut и pi без каких-либо дополнительных условий.
Скажем несколько слов о принципе стационарности дополни-
дополнительной энергии в нелинейной задаче теории упругости, а именно
таком принципе, в котором как функционал, так и дополнитель-
дополнительные условия выражаются только через напряжения. Вспомним,
что в линейной теории упругости принцип минимума дополни-
дополнительной энергии выводится из принципа Хеллингера — Рейсснера.
Аналогично тому, как это делалось в линейной теории упругости,
можно показать, что можно использовать условия стационарно-
стационарности по отношению к ыг, а именно A4.1), A4.5) и A4.17) для пре-
преобразования A4.18) к виду
Пс = JJJ [В (а„) + A/2)atjUttijldV - JJ F,6fdS. A4.19)
v su
Однако нелинейная связь перемещений и напряжений усложняет
вид функционала Пс и дополнительных условий A4.1) и A4.5) и,

Гл. 14. Статическая теория упругости при конечных перемещениях 363
Таблица 14.1
Диаграмма вариационных принципов
нелинейной статической теории упругости и динамической теории упругости
Классические вариационные
принципы
Вариационные принципы со смягчен-
смягченными условиями непрерывности
Принцип виртуальной
работы
Модифицированный принцип вир-
виртуальной работы
1
Принцип потенциальной
энергии
t
Модифицированный принцип по-
потенциальной энергии
1
Обобщенный принцип
Модифицированный обобщенный
принцип
1
Принцип Хеллингера—Рейс-
снера
I
Модифицированный принцип Хел-
лиигера—Рейсснера
похоже, нет особого смысла выводить Пс в форме, указанной
в A4.19). Поэтому принцип дополнительной энергии и не указы-
указывается в табл. 14.1 *).
Ниже (в § 14.5) мы рассмотрим некоторые другие подходы
к формулировке принципа стационарности дополнительной энер-
энергии в нелинейкой задаче теории упругости.
§ 14.3. Вывод модифицированных вариационных
принципов из принципа стационарности
потенциальной энергии
Итак, пусть сплошное тело мысленно разбито на конечные
элементы, как указано в § 13.3, и при формулировке метода ко-
конечных элементов рассматривается как совокупность этих эле-
элементов. В этом параграфе рассмотрим вариационные принципы,
которые обычно используются в МКЭ. Для этого проследим
в табл. 14.1 вывод вариационных принципов, начиная с принципа
стационарности потенциальной энергии, последовательно выводя
модифицированный принцип потенциальной энергии, модифици-
модифицированный обобщенный принцип и кончая модифицированным
принципом Хеллингера — Рейсснера.
х) Впрочем, это замечание не снижает роля принципа стационарности до-
дополнительной энергии, который может быть сформулирован для инкремен-
инкрементальных теорий в нелинейной задаче теории упругости.

364 Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
1. Принцип стационарности потенциальной энергии
Обозначим перемещения ut в каждом элементе через
Ui , U\ ,. . ., U[ , U\ ,. . ., Ui , I = I, l, О,
и назовем каждое из них функцией перемещений. Выражение для
функционала A4.15) указывает, что поскольку старшие производ-
производные в этом функционале являются производными первого порядка,
допустимые функции перемещений ult » = 1, 2, 3, должны при-
принадлежать классу С0. Следовательно, совокупность этих функций
перемещений может быть выбрана в качестве множества допусти-
допустимых функций в функционале принципа стационарности потен-
потенциальной энергии, если они удовлетворяют следующим требова-
требованиям:
(i) они непрерывны (по меньшей мере принадлежат классу С0)
и однозначны в каждом элементе;
(ii) они совпадают на границах между элементами
«ia) = ulb) на Sab, A4.20)
где и\а) и и\Ь) — компоненты перемещений для двух произволь-
произвольных смежных элементов Va и Vb соответственно;
(ш) те из них, которые соответствуют элементам, примыкаю-
примыкающим к Su, удовлетворяют уравнениям A4.7).
Если функции перемещений выбраны так, чтобы удовлетворя-
удовлетворялись условия @—(Ш), то функционал принципа стационарности
потенциальной энергии дается формулой
Пр = ? JJJ
A4.21)
причем дополнительными условиями являются
и, = п, иа Su, A4.7)
а 2 означает суммирование по всем элементам.
2. Модифицированный принцип потенциальной энергии
Теперь из принципа стационарности потенциальной энергии,
функционал которого имеет вид A4.21), выведем модифицирован-
модифицированные принципы со смягченными условиями непрерывности. С этой
целью введем определенные на Sab множители Лагранжа Xt, для
того чтобы учесть дополнительные условия A4.7) в расширенном
функционале
1Ь-?ЯаЬ1, A4.22)

Гл. 14. Статическая теория упругости при конечных перемещениях 365
где ПР дается формулой A4.21), а
НаЬх = [ h(ulta) u\h))dS. A4.23)
Sab
В функционале A4.22) независимыми варьируемыми функциями
являются и\а) и %i при дополнительных условиях A4.7).
Аналогично тому, как это было сделано в § 13.4, функционал
ПтР1 преобразуется в другой функционал
ПтР2 = П„ ?Я»м. A4.24)
где
A4.25)
или, что эквивалентно,
J Ь) ¦ Ht)dS. A4.26)
sa* sba
В функционале ПтР2 независимыми варьируемыми функциями
являются и\"\ Х\а) и ц,-, причем дополнительными условиями
служат A4.7). Нетрудно показать, что условия стационарности
на Sab функционала ПтР2 дают
F|-6) («<-6>), A4-27)
где F\a) (и]а)) и F)b) (u)b)) можно получить из равенств
Fla) = a№nia46im + u\Vm), A4.28а)
F\b) ^o&nPibim + u?^), (H.28b)
подставляя A4.2) и A4.3) для того, чтобы выразить F\a) и F\b)
только через перемещения и\а) и и\Ь) соответственно.
3. Модифицированный обобщенный принцип
Чтобы получить функционал обобщенного принципа, можно
обобщить обычным способом модифицированный принцип потен-
потенциальной энергии:
(\/2)(uitj )-ujlt ±Ub,iUhtj))\dV -
\l'?(ul)dS-\\pi(ui-ui)dS, A4.29)

366 Чисть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
где независимыми варьируемыми величинами являются a\f, в//',
и\а\ k\a) и \i{ без каких-либо дополнительных условий. Нетрудно
показать, что условия стационарности на Saj функционала
Пот01 дают
Л}0) = F\a), \\b) - F\b\ A4.30а. b)
где F@> и F[b) даются равенствами A4.28 а, Ь) соответственно.
4. Модифицированный принцип Хеллинеера — Рейсснера
Исключая etf из Пт01 с помощью условий стационарности
A4.4), получаем функционал модифицированного принципа Хел-
лингера — Рейсснера:
ПтЯ 2 Ш
% llHt A4.31)
sa
где независимыми варьируемыми величинами являются a\f, u\a\
Х\а) и {х{ без каких-либо дополнительных условий.
Итак, мы несколько раз обращались к табл. 14.1. Естественно
сделать вывод, что можно построить конечно-элементные модели,
соответствующие приведенным в этой таблице вариационным
принципам, способами, аналогичными принятым в линейной ста-
статической теории упругости. Среди этих моделей конечных эле-
элементов наиболее часто используется согласованная модель, ос-
основанная на принципе стационарности потенциальной энергии.
Эта модель будет кратко обсуждаться с следующем параграфе.
§ 14.4. Формулировка согласованной модели
и модифицированного метода последовательных
приближений
Формулировка согласованной модели начинается с аппрокси-
аппроксимации Mj в каждом элементе [1J
{«I = IS] [q\ A4.32)
с помощью согласованных функций формы, где { и\Т = [ии и2,
из1. а \я) —вектор-столбец перемещений в узлах. Выражая
полную потенциальную энергию деформаций через qt:
A4.33)

Гл. 14. Статическая теория упругости при конечных перемещениях 367
и используя принцип стационарности потенциальной энергии,
можно получить следующие уравнения:
\dU,dq\ - \Q\, A4.34)
где \Q\ — вектор-столбец обобщенных сил. Поскольку уравне-
уравнения A4.34) нелинейны, для их решения было предложено несколь-
несколько итерационных процедур.
Здесь описывается итерационный метод, называемый методом
последовательных приближений х), причем для простоты считается,
что часть Su границы упругого тела фиксирована. Разделим потен-
потенциальную энергию деформаций тела нэ две части:
U Ul f UyL, A4.35)
где Ui — линейная часть, содержащая все члены, квадратичные
по перемещениям, USL — нелинейная часть, включающая все
остальные произведения высших порядков. Тогда матрица жестко-
жесткости [/(] получается из соотношения
= [K]\q\. A4.36)
Пусть при нагружении тело последовательно проходит ряд состоя-
состояний Q<°), Q<d, Q<2); ... , Q*, Q<Jv+D, ... y QU)y где Q<°> и Q<?) — на-
начальное и конечное состояния деформации соответственно, a QW —
произвольное промежуточное состояние. Получим формулы для
определения состояния Q(lV+l>, предполагая, что оно доста-
достаточно близко к состоянию Q<w> и что состояние QW известно.
Обозначая обобщенные силы и перемещения в состояниях QW и
Q<"+0 через \QW\, {<?<">} и \Qi") + AQ\, \q<N) + Aq\ соот-
соответственно и используя A4.35) и A4.36), запишем уравнения
A4.34) для состояния Qw1)
IK] (WN4 + \bq\) +{ at/"^)+A?>} = )Q(^)( + \AQ\. A4.37)
Разлагая в ряд Тейлора
dqt dqi + Zj dqt dqj a4)
i
и опуская члены высшего порядка малости, получаем
- [К]
Решая A4.38), можно вычислить \&q\ и соответствующие пере-
перемещения {g*^ -f Aq\ в состоянии Q<A'+1).
') В оригинале этот метод иаэывается modified incremental stiffness method.—
Прим. перев.

368 Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
Единственной особенностью метода последовательных прибли-
приближений является то, что в правой части A4.38) остается попра-
поправочный член к уравнениям равновесия
В работе [1 ] показано, что этот поправочный член играет суще-
существенную роль в предотвращении расходимости приближенного
решения метода последовательных приближений относительно
точного решения.
В работе [2] дается обзор разнообразных методик численного
решения задач геометрически нелинейной теории упругости.
Они включают методы последовательных приближений, метод
Ньютона — Рафсона, метод возмущений и метод начальных зна-
значений. Там же обсуждаются основные особенности методов и
даются рекомендации по их оптимальному использованию. В этой
же работе указывается, что трактовка задачи нелинейной теории
упругости как задачи с начальными данными открывает путь
к огромному числу новых процедур численного решения. С дета-
деталями этих методов и их приложениями к МКЭ читатель может
ознакомиться по работам [1—4].
§ 14.5. О принципе стационарности дополнительной
энергии в нелинейной теории упругости
В конце § 14.2 было указано, что при помощи тензора напря-
напряжений Кирхгофа аи не удается выписать принцип стационар-
стационарности дополнительной энергии. Однако время от времени возоб-
возобновляются попытки сформулировать принцип стационарности
дополнительной энергии в нелинейной теории упругости, а именно
такой принцип, в котором как функционал, так и дополнительные
условия выражаются только через напряжения [5.—16]. Из раз-
разных подходов, которые предлагались для решения этой интерес-
интересной задачи, отметим два подхода, берущие начало от принципа
стационарности потенциальной энергии с функционалом A4.15).
Первый подход предложил Л. М. Зубов [7]. В этом подходе
принцип стационарности потенциальной энергии был обобщен
с использованием тензоров напряжений Пиолы *) и тензоров гра-
градиентов перемещений. Второй подход предложил Фрайш де
Вебеке [8]. Его формулировка основана на теореме о полярном
разложении матрицы Якоби. В подходе использованы технические
тензоры деформаций и сопряженные с ними тензоры напряжений,
которые рассматриваются как функции тензоров напряжений
Пиолы и материальных вращений. Таким образом, функционал
*) См. приложение Е, где обсуждаются тензора Пиолы.

Гл. 14. Статическая теория дпрдеоста при конечных перемещениях 369
в этом подходе выражается через вращения элементов среды как
твердого тела и тензоры напряжений Пиолы.
Остальная часть этого параграфа будет посвящена первому
подходу. Прежде всего укажем, что деформации etj как функ-
функции ыт,„ можно записать в виде
е„ = A/2) (аи + а){ + awaw), A4.40)
где по определению
щ, = щ,,. A4.41)
Используя A4.40), выразим энергию деформаций А (ец) через aht
причем для краткости будем писать
A4.42)
Далее, вводя множители Лагранжа ди и ft, из A4.15) выведем,
обобщенный функционал
+ f J Y(a,)dS - JJ ft (a, - u,)dS, A4.43)
So S«
в котором независимыми варьируемыми величинами являются
аи< Щ> &и> Pi без каких-либо дополнительных условий. Варьируя
эти величины, получаем следующие условия стационарности:
дА(ак1)/даи = ди, A4.44)
Ui,, + 7i = 0, A4.45)
aM-afi/ = 0, A4.46)
апп, = Ft иа Sa, A4.47)
dj,nj = pt иа Su, A4.48)
и, = ui на Su. A4.49)
Эти уравнения выражают физический смысл множителей Лаг-
Лагранжа. Соотношения A4.44) и A4.45) показывают, что дц обра-
образуют тензор напряжений Пиолы (см. приложение Е).
Если массовые силы Pi и внешние нагрузки Ft на Sa считаются
мертвыми, то соотношения A4.45), A4.47) и A4.48) используются
для исключения щ и преобразования A4.43) к виду
dS, A4.50)
su
в котором независимыми варьируемыми величинами являются ai}
и atj при дополнительных условиях A4.45) и A4.47). Итак, пре-

370 Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
имущество использования тензора Пиолы состоит в том, что до-
дополнительные условия выражаются только через d,j и притом
линейно.
Если бы удалось обратить уравнения A4.44) и получить
A4.51)
в явном виде, то можно было бы исключить Чц из П02 и получить
функционал, выражающийся только через ai7-:
Пс = f JJ В (Ъи)йУ - \\ апП1щ dS, A4.52)
V S
где В (atj) получается подстановкой выражений A4.51) в правую
часть соотношения
В (otJ) = виаи - А (аи). A4.53)
Видно, что A4.52) — это функционал принципа стационарности
дополнительной энергии в задаче нелинейной теории упругости,
причем варьируемыми функциями являются бц, удовлетворя-
удовлетворяющие дополнительным условиям A4.45) и A4.47), линейным
относительно би. К сожалению, в общем случае такое обращение
весьма затруднительно х). Следовательно, для практического при-
применения МКЭ скорее всего не стоит пытаться выполнять обращение
для получения принципа стационарности дополнительной энергии,
а целесообразно ограничиться функционалом П02, выбирая в ка-
качестве независимых варьируемых величин бц и <хц, на которые
наложены дополнительные условия A4.45) и A4.47).
') Однако в некоторых частных случаях это обращение возможно; см.,
например, работы С13, 14, 17, 18].

Глава IS
КЛАССИЧЕСКИЕ И МОДИФИЦИРОВАННЫЕ
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ
ЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ
§ 15.1, Постановка задачи линейной динамической
теории упругости
Темой первой части этой главы будет обзор вариационных
принципов линейной динамической теории упругости, определя-
определяющие уравнения которой следующие*
(i) уравнения движения
ffii.i + fi = pa,; A5.1)
(ii) соотношения перемещения — деформации
e,i = A/2) («,,,+ щ.,); A5.2)
(Hi) соотношения деформации — напряжения
°и = ацм&м A5-3)
или обратные соотношения
вц = Ьцмом; A5.4)
(iv) граничные условия в напряжениях
Г, = Т, на So; A5.5)
(v) граничные условия в перемещениях
и, = п, на Su, A5.6)
причем величины, входящие в эти уравнения, а именно оц, Ъц,
щ, ft, Tt и щ являются функциями как пространственных коор-
координат xit i — 1, 2, 3, так и времени t. Для полной постановки
задачи динамической теории упругости приведенные выше урав-
уравнения следует дополнить начальными условиями:
«<(*!. хг, ха, 0) = пЩ, ut{xlt xt, x9, 0) = МО), A5.7)
где щ @) и й| @) — заданные функции пространственных коор-
координат.
Принцип Гамильтона, который обсуждался в § 5.6, предста-
представляет собой наиболее подробно разработанный и часто применя-
применяемый из всех вариационных принципов динамической теории
упругости. Выполняя преобразования н обобщения, аналогичные

372
Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
Таблица 15.1
Диаграмма вариационных принципов линейной динамической теории упругости
Классические вариационные
принципы
Принцип виртуальной рабо-
работы
Вариационные принципы со смягчен-
смягченными условиями непрерывности
Модифицированный принцип вир-
виртуальной работы
1
Принцип Гамильтона
¦
Модифицированный принцип Га-
Гамильтона
1
Обобщенный
t
принцип
1
Модифицированный
принцип
t
обобщенный
Принцип Хеллиигера—
Рейсснера
Модифицированный принцип Хел-
ли нгера—Рейсснера
1 t
Принцип стационарности до-
дополнительной энергии
1 1
Модифицированный принцип ста-
стационарности дополнительной энер-
энергии
проделанным в задачах статической теории упругости, можно
построить диаграмму семейства вариационных принципов, полу-
получаемых из принципа Гамильтона (табл. 15.1). Некоторые работы,
посвященные семейству приведенных на этой диаграмме прин-
принципов, указаны в библиографии к настоящей главе [1—7].
§ 15.2. Классические вариационные принципы
линейной динамической теории упругости
Здесь мы проследим по табл. 15.1 только путь вывода вари-
вариационных принципов из принципа виртуальной работы, выводя
принцип Гамильтона, обобщенный принцип, принцип Хеллин-
гера — Рейсснера н заканчивая принципом стационарности до-
дополнительной энергии. Другие способы преобразований, при
которых получаются модифицированные принципы со смягчен-
смягченными условиями непрерывности, читатели могут найтн в рабо-
работах [4—6].

Гл. 15. Линейная динамическая теория упругости 373
/. Принцип виртуальной работы
Обозначая виртуальную вариацию величины щ (xlt xt, xat t)
в момент времени t через 6ut (xlf хг, xt, t) или просто через Ьщ,
имеем х)
illl A5.8)
v sa
где интегрирование производится по всей области V и Sa в мо-
момент t. Интегрируя A5.8) по времени от t — tx до t = tt н полагая,
что величины щ прн I = I, и I = 1| заданы, так что *)
6ut (tt) - 0, 6u( (tt) = 0, A5.9)
после некоторых преобразований, включающих интегрирование
по частям по пространственным координатам и времени, получаем
принцип виртуальной работы в задачах динамической теории
упругости в следующем виде!
I,
lteT-\\\outeudV+ \\\]ibuidV+ \\TibUi dS\ dt = О,
'. l у v sa J
A5.10)
где
JJJ A5.11)
— кинетическая энергия упругого тела, а дополнительными
условиями являются равенства
6ви = (Щ{6щ,, + 6ии) A5.12)
и
Ьи, = 0 на Su, A5.13)
а также A5.9).
2. Принцип Гамильтона
Если считать, что массовые /,- и поверхностные силы Tt на Sa
заданы таким образом, что не изменяются при вариациях основ-
основных переменных, то из A5.10) можно вывести принцип стаци-
J) Отметим еще раз, что (,щ (хи *2. *з. 0 — виртуальнаи вариация щ (хи
*2. Хз, t) в момент i. Читатель может убедиться, что функция ut = щ + Ьщ играет
роль допустимой функции в A5.14). Аналогичные формулировки в задаче дина-
динамики системы материальных точек приведены в приложении В.
*) Условия A5.9) отражают тот факт, что начальные условия A5.7) не играют
главной роли в семействе вариационных принципов Гамильтона. Можно ска-
сказать, что основное значение имеет вывод уравнений движения и граничных усло-
условий в момент /; начальные условии имеют второстепенное значение.

374 Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
онарностн потенциальной энергии, или принцип Гамильтона,
следующим образом (см. E.93)):
I,
6J\T-UP\di = 0, A5.14)
i,
где Т дается формулой A5.11), а
lA(u,)-hut]dV-\\TtutdS. A5.15)
В A5.14) независимыми варьируемыми функциями являются
щ при дополнительных условиях A5.6) и A5.9).
3. Обобщенный принцип
Введем теперь новые функции vt, определенные равенствами
v, -и, =0, A5.16)
и запишем кинетическую энергию Т в обобщенном виде!
Та = J J J [A/2) ро(о« — /», (о, — й,I dV. A5.17)
где pi — множители Лагранжа, при помощи которых в функци-
функционал кинетической энергии включены дополнительные условия
A5.16). Тогда получаем обобщенный принцип в следующем виде:
I,
\Ta-Uai\dt = 0, A5.18)
где, как подсказывает формула A3.26), ПС1 дается выражением
И («и) - /i«i - °и[вц - A/2) («м + в,.,)]} dV -
JJJ
В A5.18) независимыми варьируемыми величинами являются pt,
Vt, at), etJ, щ и rt при дополнительных условиях A5.9). Отметим,
что обозначение pt, входящее в A3.26), при записи соотношения
A5.19) заменено на rlt потому что эта же буква pt используется
в A5.17). Такие обозначения pi и rt используются только в насто-
настоящей главе.
4. Принцип Хеллингера — Рейсснера
Исключение vt и etj нз A5.18) при помощи условий стационар-
стационарности по Vi и etj, а именно равенств
pwi - pt A5.20)

Гл. 15. Линейная динамическая теория упругости 375
и A5.3), приводит к принципу Хеллингера — Рейсснера
=--0, A5.21)
где, как подсказывает формула A3.31), П^ дается выражением
B{ou)~ fiUi)dV~
ut)dS. A5.22)
В A5.22) независимыми варьируемыми функциями являются рг,
atj, Ui и тг при дополнительных условиях A5.9).
Исключая rt из A5.24) при помощи условий стационарности
по Ui, а именно равенств
/¦« --= Tt на Su, A5.23)
и интегрируя по частям по пространственным координатам и
времени, можно получить другое представление принципа Хел-
Хеллингера — Рейсснера:
t.
6 J! - Ш (ьи*L -wpiPi)dV - щ)dt = °- A5-24)
где, как указывает формула A3.32), П? дается выражением
П« = - Ш tB (°«) + (°«. J + ^) "'1dV +
S. A525)
В уравнении A5.24) независимыми варьируемыми величинами
являются pi, otj и Ы; при дополнительных условиях
bPi (tj = 0, bPi (t%) = 0. A5.26)
5. Принцип стационарности дополнительной энергии
Принцип стационарности дополнительной энергии получается
при выборе в качестве дополнительных ограничений условий
стационарности по отношению к вариациям перемещений, а именно
условий
<*u.i + fi=Pt A5.27)
и
Tt = ft на Sa. A5.28)

376 Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
Тогда можно получить уравнение
<•
-\\\^-PiPidV + \\\B{aij)dV-\\Ttuids\dt = O,
V S
'. У V V u
A5.29)
где независимыми варьируемыми функциями являются pt и аи
при дополнительных условиях A5.26)—A5.28).
6. Другое выражение для принципа стационарности
дополнительной энергии
Далее получим другое выражение для принципа стационар-
стационарности дополнительной энергии. Прежде всего введем несколько
новых обозначений:
xtJ = } о„Л, U = xtJnj, F, = J /i dt, lt = J Tt dt, A5.30)
0 0 0
vt = ut, vt = ut.
Полагая pt — 0 при t = 0, можно заменить уравнения A5.27)
и A5.28) следующими:
*u,j+7i = Pi A5.31)
U = h- A5.32)
Можно исключить pt из A5.29) с помощью A5.31) и, осуществляя
интегрирование по частям по времени, получить уравнение
6 J (-Ш4-(т<'-'+^нт'*-*
+ J J J В (т„) dV + J J ttv, dS\dt = 0, A5.33)
v su J
где независимыми варьируемыми величинами являются хи, при-
причем дополнительными условиями служат равенства A5.32) и
**« (ti) = 0, 6хи (д = 0. A5.34)
Уравнение A5.33) — другое выражение для принципа стационар-
стационарности дополнительной энергии, который теперь выражается через
импульсы и скорости, а не через силы и перемещения [4].

Гл. 15. Линейная динамическая теория упругости 377
Отметим здесь, что принцип Гамильтона и принцип виртуаль-
виртуальной работы часто использовались в математических формулиров-
формулировках методов конечных элементов, которые применялись для
исследования задач об отклике при динамическом воздействии.
Рассматриваемое упругое тело разбивается на конечные элементы,
и применение принципа Гамильтона приводит к системе линейных
алгебраических уравнений в матричной форме
[M] \q\ + [С] (q\ + [К] \q\ = \Q\, A5.35)
где IM], 1С], IK] — матрицы масс, демпфирования и жесткости
соответственно, \q\ — вектор-столбец перемещений в узлах,
jQ| — вектор внешней нагрузки. Уравнение A5.35) может быть
решено методом суперпозиции мод, либо пошаговой итерационной
процедурой; за дальнейшими деталями читатель адресуется к [8,
9]. Отметим также, что принцип стационарности дополнительной
энергии использовался в методе конечных элементов; см.
работы [3—5].
Мы не будем углубляться в такие темы, как модифицирован-
модифицированные вариационные принципы линейной динамической теории упру-
упругости, классические и модифицированные принципы динами-
динамической теории упругости с учетом больших перемещений и т. д.,
поскольку эти принципы формулируются аналогично тому, как
это сделано выше. В последнем параграфе этой главы будет сде-
сделано замечание о принципе Гуртина.
§ 15.3. Принцип Гуртина *)
Как мы уже видели, начальные условия A5.7) в вариационных
принципах, связанных с принципом Гамильтона, не играют суще-
существенной роли. Таким образом, ни один принцип из этого семейства
не позволяет получить все уравнения задачи динамической тео-
теории упругости только из вариационного выражения. Гуртин
ввел вариационные принципы, которые в отличие от принципов
семейства Гамильтона полностью характеризуют решение задачи
динамической теории упругости. Его формулировка начинается
с определения свертки двух функций О (х, t) и со (х, f) в виде
t
[О'*со](л\ t) = j#(x, t — t')a>(x, t')dt', A5.36)
о
¦) См. работы ПО] и [Щ.

378 Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
а затем утверждается, что оц и щ удовлетворяют уравнениям
движения тогда и только тогда, когда
g* at,,, + ft =put. A5.37)
Выше х означает пространственные координаты (хх, х2, х3) и
g @ = U A5.38)
ft(x, t) = [g*fi)(x, t) + p(x, t)[Tu(x, 0)) + ut(x, 0)]. A5.39)
Используя эти соотношения, Гуртин вывел семейство вариацион-
вариационных принципов, имеющее структуру, аналогичную показанной
в табл. 13.1, с той только разницей, что в этих принципах по-
появляется функция g, используются свертки, учитывается вли-
влияние начальных условий и член с р. За подробностями читатель
отсылается к оригинальным работам Гуртина. В заключение
отметим, что вариационные формулировки, использующие ин-
интегралы типа свертки, использовались и в теоретических работах
по применению методов конечных элементов в нестационарных
задачах [12—15].

Глава 16
ДВЕ ИНКРЕМЕНТАЛЬНЫЕ ТЕОРИИ
ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
С ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ
И ФИЗИЧЕСКИМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ
§ 16,1* Введение
Рассмотрим задачу о деформировании твердого тела с гео-
геометрическими и физическими нелинейностями. Геометрическая
нелинейность означает, что перемещения столь велики, что тео-
теория упругости при малых перемещениях уже неприменима,
а физическая нелинейность означает, что поведение материала
более не ограничивается упругими деформациями. Для матема-
математического описания этой задачи мы должны ввести инкремен-
инкрементальные теории. Необходимость этого становится очевидной,
если вспомнить, что определяющие уравнения теории пластич-
пластичности даются в форме инкрементальных соотношений между
напряжениями и деформациями.
Формулировка инкрементальной теории начинается с пред-
представления пути деформирования в виде последовательности равно-
равновесных состояний
где й<°> и й(/) — начальное и конечное состояния деформирования
соответственно, a fi<W) — произвольное промежуточное состояние.
Считается, что все переменные состояния, такие, как напряжения,
деформации и перемещения, известны на протяжении всей истории
деформирования вплоть до состояния ?2(W>. Наша задача будет
состоять в том, чтобы получить уравнения инкрементальной
теории для определения переменных состояния в состоянии
fi(V+i) B предположении, что состояние Q<N+v бесконечно
близко к состоянию ?i(N> и все определяющие уравнения можно
линеаризовать по отношению к приращению переменных состо-
состояния. Шаг процесса деформирования от состояния QlNi к ?2^+')
назовем (N + 1)-м шагом.
Пусть положения произвольной материальной точки тела
в состояниях й@), ?2(W> и ?2<л'+1> обозначены через Pl0), PlN)
и /><w+l> соответственно, пусть радиусы-векторы этих точек
равны r<°>, r<w> и г(Л'+1) (рис. 16.1), и пусть декартовы коорди-
координаты точек Я"), /><"> и P<N+» равны xif Xif Y, (t = 1, 2, 3).

380
Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
Рис. 16.1. Состояния Q<0>, 0<Af) и Q(N+]
Итак, имеем
A6.1)
A6.2)
= Xil, = г<°> + u = (х, + и,) i,,
r(\+D = K.j. = r(o) + u + Au ==
= (X, + Аи,-) if = (x, + щ -f- Ди,) i,, A6.3)
где ij (t = 1, 2, 3) — базисные векторы прямоугольной декартовой
системы координат, а и и u+Au, щ и мг- + Амг- (г = 1, 2, 3) —
векторы перемещений и их компоненты в состояниях t(N
и Q(JV+i> соответственно.
§ 16.2. Определения деформаций
Обозначим тензоры деформаций Грина в состояниях
и й<л'+1) через еи и ео- + Aetj соответственно. Они опреде-
определяются как
2е„ =-- rf^-rl? - г!°)т!0} = щ. t
!°)т!0}
A6.4)
r<0)r<0)
= (mi + Am,), i + (uj + ДмД,- + («ft + A«ft),, (uk -f Амк),; A6.5)
соответственно, где ( ), t = д ( )ldxt. Из A6.4) и A6.5) сразу полу-
получается, что
~ r,, • r,
= Ffty + «ft,
(N) (N)
— r, ,• • r, j
Fft,- + «ft, t)
A«fc, ,АыЛ);. A6.6)

Гл. 16. Две инкрементальные теории 381
Приращения Аец образуют тензоры приращений деформаций
Грина.
С другой стороны, можно дать другое определение прираще-
приращениям деформаций на (N -J- 1)-м шаге, принимая за начальное
состояние Q(Af) и используя прямоугольные декартовы коорди-
координаты (Xt, X2, Х3). Обозначая приращения деформаций через
А*
имеем
о/
\*е ¦
дХ, '
+D дт<н
дАи-
дХ;
1 дХ,
адий
ЭХ; "
Приращения A* etj образуют модифицированные тензоры при-
приращений деформаций Грина. Преобразование Аег;- в А* еи и
обратно дается формулами
ae'J — dxt дх} а mn' <¦ >
Линеаризуя Ае,-7- и А* ец по A«ft, получаем
2 Aei; = Fft7- -f «ft, j) A«ft,, + Fft< + «ft,,) A«ft,;, A6.10)
Выведем геометрические соотношения, которые нам потре-
потребуются в дальнейшем. Во-первых, определим якобианы:
» х,, х3)
и получим
к„ к,) д{ух, к„
/
„ Х3) - d(xt, х» х3) I dixt, х%, х3)

382
Честь В. Вариационные принципы как основа МКЭ
Во-вторых, отметим следующие соотношения:
ax,-
a*.
ax.
ax, ax,
dxt dxt
дХ» ЭХ,
дч дхг _
i.i =
дхг
), у
A6.14)
дхш
_~5х7
ax,
дх,
ax,
ax,
dX,
dx%
ax,
a*,
зх, _
= 1/1. A6.15)
где [/] — единичная матрица. Если Ди< малы, то можно написать:
У».
3(Аи
х\,
A6.16)
§ 16.3, Определения напряжений
Поскольку в теории деформированного твердого тела с гео-
геометрическими и физическими нелинейностями фигурируют тен-
тензоры различных типов, в дальнейшем будет сделан краткий обзор
этих определений (см. также приложение Е).
/. Тензоры напряжений Кирхгофа
Во-пгрвых, введем вторые тензоры напряжений Пиолы —
Кирхгофа (далее для краткости называемые тензорами напряже-
напряжений Кирхгофа), образованные величинами
<>и и ои + Аоц A6.17)
в точках P{N) и pw+H соответственно. Для определения этих
тензоров напряжений зафиксируем в теле, находящемся в со-
состоянии ?2@>, бесконечно малый прямоугольный параллелепипед,
ограниченный следующими шестью поверхностями:
xt = const, xt + dxt = const, i = 1, 2, 3. A6.18)
При деформировании в состоянии Q(W> и Q"v+I> этот параллеле-
параллелепипед превращается в деформированные бесконечно малые парал-
параллелепипеды. Тензор напряжений Кирхгофа определяется с по-
помощью этих параллелепипедов следующим образом. В состоянии
Q(JV) внутренние силы, действующие на одну из боковых граней
параллелепипеда со сторонами {dtW/дхД dxt и (drWIdxj dx%,
равны *)
— a ti (ЗН N>/dxj) dxtdxa. A6.19а)
В состоянии Q'w+» внутренние силы, действующие на гранях
параллелепипеда со сторонами (driN+lVdxt) dx% и (дг^+Ч/дхш) dx9,
равны
( Д) Wv dx2 dx3. A6.19b)
*) См. также § 3.2, где дано аналогичное определение.

Гл. 16. Две инкрементальные теории
383
Определения а1;- и а17- -J- Аа1; иллюстрируются на рис. 16.2.
Величины o2j и a3i в состоянии Q<N) и a2j -f- Аа2; и азу + Aff37
в состоянии Q<A'+1) определяются аналогично. Приращения
&о1} будут называться тензорами приращений напряжений Кирх-
Кирхгофа.
х3,Х3,У3
Рис. 16.2. Определение тензора напряжений Кирхгофа в координатах
)
2. Тензоры напряжений-Эйлера *)
Во-вторых, введем тензоры напряжений Эйлера, действующие
в точках P(N) и P<'v+I» , через величины
A6.20)
о?) и
ofi +
соответственно, где ас,- — напряжения, действующие на шесть
граней
Xt = const, Xt + dXt = const, i = 1, 2, 3, A6.21)
бесконечно малого прямоугольного параллелепипеда, содержа-
содержащего точку P{N) в состоянии Q(A0, и отнесенные к единичной
площади в состоянии Q(N). Аналогично, of, + A^i/ — напряже-
напряжения, действующие на шесть граней
Yt = const, Yt + dYi = const, i = 1, 2, 3, A6.22)
бесконечно малого параллелепипеда, содержащего точку ptN+4
в состоянии Q<Af+l), и отнесенные к единичной площади в состо-
состоянии Q(N+[). Определения of; и of; + Aof; иллюстрируются
1) Тензоры напряжений Эйлера часто называют тензорами напряжений
Кошн.

384
Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
x3,X3,Y3
+ До
1Z
6%+A6J,
Рис. 16.3. Определение тензора напряжений Эйлера.
рис. 16.3. Приращения Aof/ образуют тензоры приращений напря-
напряжений Эйлера.
Законы преобразования тензоров напряжений Кирхгофа и
Эйлера в состояниях WN) и Q<*+» записываются в виде (см. ра-
работу [1] и приложение Е)
Ч„ A6.23)
A6.24)
3. Модифицированные тензоры напряжений Кирхгофа
В-третьих, введем модифицированный тензор напряжений
Кирхгофа в точке p<w+» через величины
Е i л *
Оц + Д Оц.
A6.25)
Модифицированный тензор напряжений Кирхгофа опре-
определяется следующим образом. Бесконечно малый прямоугольный
параллелепипед, ограниченный шестью поверхностями, задава-
задаваемыми уравнениями A6.21), зафиксирован в состоянии &(ЛГ> тела,
и в том же состоянии тензор напряжений Эйлера, действующий
на этот прямоугольный параллелепипед, обозначен через Оф
как показано на рис. 16.4. В состоянии ?2'^+" этот прямоуголь-
прямоугольный параллелепипед деформируется в бесконечно малый парал-
параллелепипед, более уже не прямоугольный (рис. 16.4). Коорди-
Координаты Xt на (N + 1)-м шаге считаются сопутствующими коорди-
координатами; при этом внутренние силы, действующие иа грань,

Гл. 16. Две инкрементальные теории
385
площадь которой в состоянии Й*^' была dX%dXn, а стороны в со-
состоянии Q<*+i> равны (drW+v/dXj dX% и {drW+u/dXJ dXt,
представляются в виде
— (aft + A*ati)(dtiN+l)/dXi)dX2dX3, A6.26)
как показано на рис, 16.4. Величины af/ + Д*а2/ и af/ -f- Д'^з/
определяются аналогичным образом. Приращения Л*а(/ обра-
образуют модифицированный тензор приращений напряжений Кирх-
Кирхгофа *)
Рис. 16.4. Определение модифицированного тензора напряжений Кирхгофа
в координатах (Xt, Xit X3).
Закон преобразования of) + A'a(j и af/ + Aaf/ записывается
следующим образом:
Aaf> =
Из A6.24) и A6.27) с учетом A6.13) получаем
_? i а •_ 1 dXi dXi ,_
Следовательно, из A6.23) и A6.28) мы имеем
11
dXi
dxk dxt
. A6.27)
A6.28)
A6.29)
*) Видно, что определенные здесь of, и Д*о;/ совпадают соответственно
с а^0)*-* и оХи, определенными в § 5.1. Можно заметить, что определяемые вели-
величины S*etj, связанные формулой A6.7), в точности совпадают с величинами е^ц,
определяемыми формулами E.6). Тензор, образованный величинами &*Оц,
иногда называют тензором приращений напряжений Трусделла [2].
К.

386
Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
Отметим, что, пренебрегая в A6.27) произведениями членов выс-
высшего порядка малости по приращениям перемещений Аи,- и при-
приращениям напряжений A afj, можно получить следующие соотно-
соотношения:
Jjp ¦•-
Тц — Oip ДМр
ojp Aw,,,-
— Ojk A *e,-ft j- a,-/ A *е
где по определению
Дм,
При выводе используются A6.16) и равенство
A6.30)
A6.31)
A6.32)
4. Тензор приращений напряжений Яуманна
Введем, наконец, тензор конечных напряжений Яуманна. Обо-
Обозначим эйлеровы напряжения, действующие на шести гранях бес-
j- 3< Y3
Рис. 16.5. Определение тензора приращений напряжений Яуманиа.
конечно малогопрямоугольногопараллелепипеда piN)QiN)J$iN)SiN\
ограниченного шестью поверхностями A6.21) в состоянии Q<N>,
через of,, как показано иа рис. 16.5. Далее, представим себе,
что на (Л' -f- 1)-м шаге прямоугольный параллелепипед
повернулся как твердое тело (так, что тензор этого конечного
поворота определяется величинами Aw,7) и занял положение
piN+i)QiN+njyN+i)siN+n. Направляющие косинусы ребер па-
параллелепипеда по отношению к осям декартовой системы коорди-
координат (Хг, Х2, Х3) сведены в таблицу (которая показывает, что на-
направляющие косинусы вектора
по отношению к ко-

Гл. 16. Две инкрементальные теории
387
ординатным осям (Хъ Хг, Хъ) равны A, Дсо12, —Дю^) и т. д.):
р(*+1,л(«+„
p(N+Us(N+l)
X,
1
-Affl,,
Affl,.
Xz
Да,!
1
— Afflj.
X3
— Дша,
AfflM
1
После этих предварительных замечаний обозначим компоненты
тензора напряжений Эйлера, действующие на шесть граней пря-
прямоугольного параллелепипеда pev+UQev+o/^/v+DSfw+i^ через
of/
Да//,
A6.33)
Нет необходимости повторять, что эти тензоры напряжений
отнесены к единичной площади в состоянии Qcv+H и их компоненты
вычислены в базисе векторов pw+UQiN+D, р<лч=1>?(*+о и
pev+o,S(A4-l>. -гак определенные приращения напряжений Да//
образуют тензоры приращений напряжений Яуманна,
Далее выведем зависимости между Да//, Acrf/ и Д'а*/. Обозна-
Обозначим матрицы ofj + Да// и а^ + Да// в точке /><Л'+1) через [аЕ +
+ Дау1 и [оЕ + Да? 1 соответственно, положив
_°81 #34 СТ?
Закон преобразования может быть записан следующим обра-
образом:
= [Ща? + Да*][1Г,
1
28
A6.34)
A6.35)
Матрица преобразования [L] может быть разложена на две:
[L] = [I] + fAiol, A6.36)
где г)
[До)] =
и31
О
Д«>23
О
A6.37)
1) Отметим, что [Ди I
13*
, где Аш,/ определены гоотвошевннмм A6.31),,

388 Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
Пренебрегая членами высшего порядка малости, из A6.34)
получаем
[Да'] = [Да?] + [оЕ] [Дсо]7" + [Дсо] [аЕ], A6.38)
или
Да// = Aofj — afp Дсор/ — afp txapi. A6.39)
Сопоставление A6.30) и A6.39) дает
А*аЦ = Дет/,- — afk Д*е//г — afk A'eik + of/ A'ekk. A6.40)
Уравнения A6.30), A6.39) и A6.40) устанавливают связь между
Да//, Да^, A'otj. Как видно, если деформации Д'е^ считаются
малыми, то А'оц сводится к Aa/t.
§ 16.4. Соотношения между конечными приращениями
напряжений и приращениями деформаций
Следующим шагом в теории конечных приращений деформа-
деформаций является установление связи между приращениями напряже-
напряжений и приращениями деформаций. Одним из наиболее естествен-
естественных предположений является постулирование связи между Д* ati
и Д *ем в виде
A4/ = C;/wA4j A6.41)
или (после линеаризации) в виде
Д*а</ = С\т Д*еА/. A6.42)
(Заметим, что линейные зависимости между datj и dek[, выведен-
выведенные в теории пластического течения в гл. 12, можно интерпретиро-
интерпретировать или как связь A6.42) между А*в^ и A*ehh или как связь
A6.46) между Да// и Д'е^.) В этих уравнениях С'цы может учи-
учитывать влияние предыстории нагружения, что отмечалось в зада-
задачах теории пластического течения в гл. 12. Отметим, что, посколь-
поскольку в теории пластического течения C\jki может быть многознач-
многозначной функцией, необходимо соблюдать определенные предосторож-
предосторожности, для того чтобы выбрать надлежащее значение Ctiki в рас-
рассматриваемом элементе при моделировании задач инкременталь-
инкрементальной теории методом конечных элементов [48]. Можно вывести за-
зависимости между Да^ и Aekl, если воспользоваться A6.9), A6.29),
A6.41). Результат будет следующий:
Ьац = С1Л1Ьеы, A6.43)
или, в линеаризованном виде,
Afftf = CiM Аеы, A6.44)
где
Г — П<Ы>Г' dXi dXi дх*- д*1 nft ль\
Ct,u=D Спг.-щ-щ-щ-^. A6.45)

Гл. 16. Две инкрементальные теории
389
Другое естественное предположение заключается в постулиро-
постулировании связи между А а// и Л'е^ в виде
/W/ = CJ4ki A\ki- A6.46)
Уравнения A6.46) часто используются в теоретических работах
и анализе упругопластических задач.
Если постулировать A6.46), то при помощи A6.40) и A6.46)
можко вывести соотношения между Д* atj и Д*ейг и получить
С tiki в виде
С tfki = Cijki — a(k8ji — O/k&n + Offiki A6.47)
(это соотношение используется в A6.42)). Теперь при помощи
A6,45) и A6.47) можно получить
Г _
X LCpGrs — OprOqs — OqrOps -f- OpqOrsl, (lD.4o)
которые фигурируют в A6.44). Завершив предварительные рас-
рассуждения, сформулируем теперь инкрементальные теории.
§ 16.5. Инкрементальная теория, использующая
подход Лагранжа
Сначала сформулируем инкрементальную теорию, которая ос-
основана на подходе Лагранжа и в которой используются тензоры
напряжений Кирхгофа и тензоры деформаций Грина. Начнем с
определения напряжений, деформаций, перемещений, массовых
и поверхностных сил, действующих на Sa, и заданных на Su
перемещений в состояниях Q'^* и Q'^+D, Как показано в табл.
16.1. Напряжения и внешние силы на Sa отнесены к единичной
площади в состоянии Q<°>, а массовые силы — к единичному объ-
Таблица 16.1
Переменные в подходе Лагранжа
Состояние
Тензор напряжений Кирхгофа
Тензор деформаций Грина
Перемещения
Массовые силы
Внешние силы на Sa
Заданные перемещения на Su
Ul +
Pt +
Tt +

390 Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
ему в том же состоянии. Далее аналогично тому, как это было про-
проделано в § 3.11, запишем принцип виртуальной работы в состоя-
состоянии Q<"+»
JJJ
) AeM) - (Pt + APf) б Ащ] <2У«» -
_ J J (f f + ДГ,) 6 Ди, dS<°> == 0, A6.49)
s
где
Ащ = Auf на Su A6.50)
и где eiS -f- Aeti даются уравнениями A6.5), а варьируются ве-
величинами Aut. Повторим еще раз, что массовые и поверхностные
силы на Sa относятся к единичному объему и единичной площади
недеформированного тела в состоянии Й<0), так что dV@) =
= dxx dx% dxa и fifS«" представляют собой соответственно элемен-
элементарный объем и элементарную площадь поверхности в состоянии
Q(o). Пренебрегая членами высшего порядка малости, после не-
некоторых преобразований получаем
{Aaifi Aeti -f оиЬ (A/2) Auhi, Аик, j) —
— PfiAuiWdVM —
= 0. A6.51)
Если Q<*> — равновесное состояниег то в уравнении A6.51)
членя
Ф[аф Аеа - Лб Aut) dV<°> - J J T,6 Ащ dS<°> A6.52)
8а
равны нулю. Однако в состоянии О'*' тело может не находиться
в полном равновесии из-за того, что в инкрементальных теориях
этого рода пренебрегается членами высшего порядка малости,
а также из-за неточности вычислений. Следовательно, в A6.51)
эти члены необходимо оставить для коррекции равновесного со-
состояния. Так введенный принцип виртуальной работы справедлив
безотносительно к выбору связи между напряжениями и деформа-
деформациями.
Здесь будет кратко обсуждаться приложение равенства A6.51)
к конечно-элементной формулировке. Прежде всего аппроксими-
аппроксимируем Ащ в каждом элементе следующим образом:
A6.53)

Гл. 16. Две инкрементальные теории 391
где ф1Й (xlt х2, х3) — базисные функции, a Aqk — приращения
перемещений в узлах. Предположим, что эти функции выбраны
так, что Аи*, заданные уравнением A6.53), согласованы с перемеще-
перемещениями в соседних элементах. Подставляя A6.10), A6.44), A6.53)
в A6.51), получаем, что члены, представляющие вклады произволь-
произвольного конечного элемента в левую часть A6.51), можно выразить
в виде:
Аде, A6.54)
или, в матричном виде,
Ь A6.55)
где
ft6Sp + «s. Л* +
i = J|J
v
\ A6.56)
причем К„ и 5On — части объема и поверхности Sa соответственно,
принадлежащие рассматриваемому конечному элементу. Матрица
[&<°>] — инкрементальная матрица жесткости. Матрицы [&A>]
и [&<2> ] — матрицы влияния начальных перемещений и напряже-
напряжений [41. Матрицу {Де[ можно назвать остаточной матрицей
(residual matrix). Обычно члены, представляющие вклады каждого
элемента, группируют, что дает систему линейных инкременталь-
инкрементальных уравнений равновесия всей конструкции. Затем эти уравне-
уравнения решаются для определения переменных состояния на (N +
+ 1)-м шаге, таких., как напряжения ati -f Да,-;, приращения
перемещений в узлах Aut и т. д.

392
Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
§ 16.6, Модифицированный подход Лагранжа
Сформулируем другой вариант инкрементальной теории с по-
помощью модифицированного подхода Лагранжа, в котором исполь-
используются модифицированные тензоры напряжений Кирхгофа и мо-
модифицированные тензоры деформаций Грина. Обозначим напря-
напряжения, деформации, перемещения, массовые силы, внешние силы,
действующие на Sa, и заданные на 5„ перемещения в состояниях
Q(N) и q<ah-i) таК; как показано в табл. 16.2. Отметим, что напря-
напряжения и внешние силы на Su отнесены к единичной площади, а
массовые силы — к единичному объему состояния Q*^*. Тогда
принцип виртуальной работы в состоянии ?2(Л'+1> запишется в виде
(ср. с уравнением E.5) гл. 5)
J J j [aft + А'оц) 6Д**„ - (Pt + АР{) б Aut]dVlN) -
где
_ JJ (f t + AT,) б Аи,
Аи, = Аи, на Su
= 0,
A6.57)
A6.58)
и где A*et) дается уравнением A6.7), а вариации берутся по от-
отношению к Aut. Повторим, что массовые и поверхностные силы
на Sa определяются по отношению к единичному объему и еди-
единичной площади в состоянии U<N\ т. е. dVlN) — dXx dXt dX3
Таблица 16.2
Переменные в модифицированном подходе Лагранжа
В состоянии fl("'
Тензор напряжений Эйлера
Массовые силы
Внешние силы на Sa
В состоянии Q(^+D
Модифицированный тензор напряжений Кирхгофа
Приращения перемещений
Массовые силы
Внешние силы на Sa
Заданные приращения перемещений на Su
Pi
Ti
Pi
Tt
\и'а"
Лп;

Гл. 16. Две инкрементальные теории 393
и d5(/v> — элементарные объем и площадь поверхности в состоя-
состоянии Q'w>. Пренебрегая членами высшего порядка малости по
приращениям перемещений, после некоторых преобразований по-
получаем
АР,8 Ащ -f [af,6 Д*е„ - Р{6 Ли,]} dVlN) —
uidS<w>=O. A6.59)
Используя A6.59), получаем конечно-элементную формулировку
такого же вида, как и в § 16.5. Аппроксимируя Aut в каждом
элементе через
А«| = ? Ф<* A<7*. A6-60)
где q>ift (X,, Х2, Хэ) — согласованные базисные функции, и ис-
используя A6.11) и A6.42), получаем, что члены, представляющие
вклад произвольного конечного элемента в левую часть A6.59),
могут быть выражены в виде
? {S (i/ + \T) А?, - Д& - Де,} б Д^, A6.61)
или, в матричной форме,
F bq)T [([к] + [А<0)]) (Д?) - (Д<?} - {АеЦ, A6.62)
где
д(рр} d\/(N)
ax, ax,
АО, = J J J
Ae, = j j j [- ог&ры,, + ?*ф„] dl/(A" + J j 7VpM dS(A", A6.63)
a [ft(G> ] называется инкрементальной геометрической матрицей
жесткости.
Собирая члены, представляющие вклад каждого элемента, для
получения системы линейных уравнений всей конструкции и ре-

394 Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
шая эти уравнения, можно получить переменные состояния на
(N + 1)-м шаге. Найденные так напряжения afj + Л* «г,/ при
помощи A6.27) преобразуются в of,- + Aof,-, которые определяют
начальные напряжения на (N -f- 2)-м шаге. Отметим, что после
каждого последующего шага полные перемещения вычисляются
добавлением всех инкрементальных перемещений к текущим коор-
координатам узловых точек, а матрицы Ik] и lk(G> ] вычисляются за-
заново.
Выше в общих чертах изложена инкрементальная теория,
развитая в работе [5]. В указанной работе установлено, что если
поведение конструкции сильно нелинейно, то даже указанная
процедура не может гарантировать, что переменные будут вычис-
вычислены с допустимой точностью. Для этого класса задач предлагается
также использовать итерационные процедуры метода Ньютона —
Рафсона для снижения невязок в уравнениях равновесия узловых
точек до допустимых величин. Читатель адресуется к работам
[3—7), где изложены детали формулировок инкрементальных
теорий и другие методики, а также их практические приложения
к геометрически и физически нелинейным задачам.
Упражнения
Задачи к § 16.5
1. Докажите, что если рассматриваемый здесь метод применить к геометриче-
геометрически нелинейной задаче, для которой справедлив принцип стационарности потен-
потенциальной энергии, то этот метод окажется эквивалентным формулировке модифи-
модифицированного метода последовательных приближений, описанного в § 14.5.
2. Сравните настоящий метод с методом Эйлера в задаче устойчивости, рас-
рассмотренной в § 3.11.
Задачи к § 16.6
3. Две инкрементальные теории, изложенные в § 16.5 и 16.6, выведены в
прямоугольных декартовых координатах. Обобщите эти теории на случай общих
криволинейных координат, как указано в гл. 4.
4. Докажите, что если реакция конструкции на приложенную нагрузку
сильно нелинейна, то надо использовать соотношения между приращениями на-
напряжений и приращениями деформаций, которые даются соотношениями A6.41)
или более общими соотношениями
а в принципе виртуальной работы A6.49) и A6.57) нельзя пренебрегать членами
высшего порядка малости.
5. Докажите, что уравнение A6.57) эквивалентно уравнению A6.49). При-
Примечание: для доказательства используются соотношения вида A6.9), A6.28) и
равенство dV(N) = D{N) dVi0).
6. Сравните инкрементальную теорию, сформулированную в § 16.6, с задачей
о начальных напряжениях, обсуждаемой в § 5.1, а также с теорией пластиче-
пластического течения в гл. 12.

Глава 17
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ЗАДАЧАХ
ИЗГИБА УПРУГИХ ПЛАСТИН
§ 17.1. Классические вариационные принципы
в линейной теории изгиба пластин,
основанной на гипотезах Кирхгофа
Эту главу мы посвятим выводу классических и модифицирован-
модифицированных вариационных принципов для изгиба тонких упругих пла-
пластин, потому что задачи изгиба пластин часто используются в ка-
качестве примеров при численных расчетах различными методами
конечных элементов. Если не будет оговорено противное, то исполь-
используются обозначения гл. 8. Сначала будет дан обзор основных со-
соотношений теории изгиба пластин.
Напомним, что в задаче изгиба тонких пластин соотношения
напряжения — деформации даются уравнением (8.2), а функции
энергии деформации А и дополнительной энергии В соответствен-
соответственно равны
А = Щ~Щ(В* + z«f + ¦%¦(¦& + •& + &
В = Ж к°* + а«? + 2 0 + v) W» + & + <4 - *«*,)] A7.2)
(см, формулы C) и D) приложения I). Напомним также, что гипо-
гипотезы Кирхгофа сводятся к следующим геометрическим ограниче-
ограничениям (см. (8.14)):
u = —zwlX, v^—zw,w, *=o», A7.3)
и, следовательно, (см, (8,15))
ех = — zw, хх, е„ = — яю, „„, ?xV =. — 2да, хуг
в* = Т« = Ут - 0» A7.4)
где w (х, у) — перемещение срединной поверхности в направле-
направлении оси г. Напомним также два часто используемых соотношения
(см. (8.20))
( )„ = /()..-«( )...

396 Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
которые справедливы на границе С, а также *)
J J [Mxw, хх + 2Mxtw, xV + Muw, „] dx dy =
5
J [~Vzw
C0+Ca
A7.6)
где по определению
V, = (Mx, x + Mxy,,) I + (Mxe, x + Mv, s)m,
Mv = M^/2 + 2Mx1llm + M X.
Mvs = -(Mx- Mt) lm + Mxy (P - m*). A7.7)
После этих предварительных замечаний перейдем к выводу
классических вариационных принципов в линейной теории изгиба
пластин, основанной на гипотезах Кирхгофа.
/. Принцип минимума потенциальной энергии
Функционал принцнпа миннмума потенциальной энергии в за-
задаче изгиба пластин дается выражением
) — pw] dxdy +
+ J [— V> + Mvw, v + Mvswt s] ds, A7.8)
где
A(w) = ~ [(w, XM + да, „f + 2A- v)(wf„ - ay, xxwt uu)], A7.9)
а дополнительные условия имеют вид
w = w, w,v = aTv на Са. A7.10)
Функционал A7.8) можно получить из A3.19) способом, аналогич-
аналогичным тому, который указан в § 8.2, подставляя сначала A7.1),
A7.3) и A7.4) в A3.19), а затем интегрируя по г, не забывая, что
dS = dz ds. A7.11)
Интегрируя дальше по частям, как в § 8.2, получаем аналогично
(8.31) механические граничные условия. Однако для дальнейших
преобразований удобно сохранить член с интегрированием по Со,
1) См. (8.19)—(8=21). Обоаначевяя С„ и Си используются вместо Cj в С,
соответственно

Гл. 17. Изгиб упругих пластин 397
как это сделано в A7.8). Отметим здесь, что поскольку высшая
производная, входящая в функционал ПР, имеет второй порядок,
допустимые функции w (x, у) должны принадлежать классу С1
(см. § 13.3).
2. Первый обобщенный принцип
Функционал A7.8) может быть преобразован аналогичным
способом в функционал обобщенного принципа
= } j [А (кх, х„, кх9) + (х* — wiXX) Mx +
+ (и, - w, уу) My + 2 (хху — wt ху) Мху — pw] dx dy +
— V2w + Mvw, „ + Mvsw, s] ds +
+ J [- (w -w)P3 + (w, v - w, v) Pt 4- (w, .-да.,) P2] ds,
A7,12)
где
4 2 A - v) (x2xv - x,xj], A7.13)
a ^i> ^*a и Яэ — множители Лагранжа на С„, которые будут
определены ниже (см. выражения A7.18)). Последний член в пра-
правой части A7.12) получается из последнего члена правой части
A3.26), который для рассматриваемой задачи имеет вид
A7.14)
где рх, ру, рг — множители Лагранжа, с помощью которых гра-
граничные условия в перемещениях вводятся в функционал. Исполь-
Используя соотношения A7.3), A7.5) и A7.10), можно вывести следующие
геометрические соотношения на границе Си:
и = —zwiX= —z (to, v — mw, s),
v = —zwiV = —z(mw,v + lw,s),
w = w A7.15)
u = —
v = —(,v + ,s),
w = w. A7.16)

398 Часть В. Вариационные принципы как основа МК.Э
Подстановка A7.15) и A7.16) в интеграл A7.14) и интегрирование
по г преобразует выражение A7.14) к виду
где
J [— (о> - w)Ръ + (w,v - да, v) Рх + (ш, , - *.,)Рш] ds, A7.17)
Pt = / J pgdz + m J pytdz,
P2 = — m J pxz dz + IJ pvz dz,
A7.18)
так что получается последний член в A7,12). Отметим, что множи-
множители Лагранжа Р% и Я„ в A7.12) не могут быть выбраны независи-
независимо, поскольку а» и ш|( не независимы на Си, Аналогично тому,
как это было сделано в § 8.2, преобразуем выражение A7.17)
к виду
J [_(в,_ t»)(Ps + P2,s) + (w,v~ *,v) PJds + (w — w)Pt
A7.19)
где предполагается, что Ps + P%1, и Рх на Си, а также Я2 на кон-
концах границы С„ должны быть выбраны в качестве независимых
множителей Лагранжа.
5, Второй обобщенный принцип
Теперь получим из nGt другой обобщенный функционал Поа,
в котором исключены множители Лагранжа Plt Я2, Рь. Для этого
вычислим первую вариацию П01 следующим образом:
7'
, - Vt) 8w - (Mv - MJ to,, - (Mvs - MV5) bw, ,J ds
+ J {[(К, + Мт„,) - (Vt + М„.J]*» - (Af, - Af,
+ J {l(V, + Af...,) - (Pa + Л. ,)I to - (M, - P.) to, ,} ds -
— (Mm — M,«) to к =-- {Mm — Я») ftm» Ig . A7,20)

Гл. 17. Изгиб упругих пластин
399
Здесь считается, 4TodSm (т. е. граница области Sm) имеет угловые
точки в местах изменения типа граничных условий, т. е. в точках
перехода от С„ к Си, и наоборот, в то время как остальная часть
границы является гладкой (рис. 17.1). Обходя границу Sm в сто-
сторону возрастания s, как показано на рисунке стрелкой, и обозна-
обозначая точки, расположенные непосредственно перед /-й точкой из-
изменения типа граничных условий (и после нее) через /- и /+ соот-
MJ?')
Рис. 17.1. Геометрия области Sn
Рис. 17.2. Равновесие сосредоточен-
сосредоточенных сил во второй точке изменения
типа граничных условий.
ветственно, из условия равенства 6ПО1 на Sm получаем следую-
следующие условия стационарности:
'Vs-Mvs,s^Vs±1Uvt,s, Mv-Mv на Со, A7.21)
Vs Ь MVS)S ,= Р3 f Рг.„ Mv = Рх на Си,
{П.22)
Mvs B+) - Р2 B+) - Mvs B") +
во второй точке изменения типа условий,
Л!vs C+) —~М„ C+) - Mvs C-)
в третьей точке смены типа условий,
B") -= О
-О A7.23)
Физический смысл уравнений A7.23) во второй точке измене-
изменения типа граничных условий продемонстрирован на рис. 17.2 и
означает требование равновесия четырех сосредоточенных на кон-
концах сил, действующих на бесконечно тонкую полоску, примыка-
примыкающую к точке изменения типа граничных условий. Видно, что
множитель Лагранжа Р2 B+) можно интерпретировать как транс-
версальную силу сдвига, действующую на конец 2 + той части Си,

400 Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
которая расположена между второй и третьей точкой изменения
типа условий. Отметим, что поскольку точки изменения типа усло-
условий являются угловыми точками, в которых величины / и т раз-
разрывны, MvS (/-) и Mva (/+) не равны друг другу, как видно из
A7.7); эти точки надо исследовать особо.
Используя A7.22) и интегрируя по частям, можно преобразо-
преобразовать последний член A7.12) следующим образом:
J [— (w — да) Я8 + (w, v — *, v) Рх + (w, t - а,,) Р2] ds =
= J [_ (W — w) (Р, + Р%,) + (w. v~w, v) Л1 ds+(w - w) Рг \са =
= J l-(w-w) (Vt + MVSf,) + (w, v- *, v) Mv] ds + (w - w) P2 \Ca =
cu
= J [— (w ~ w) V, + (w, v~w,v)Mv + (w,, — *,,) Mvl] ds -f
+ (w-w)(P2-Mvs)\cu. A7.24)
Подставляя выражение A7,24) в последний член правой части
A7.12) и исключая Р% с помощью A7 23), окончательно преобра-
преобразуем П01 в обобщенный функционал
П02 = j J [A (Xx, ТЛу, Кхи) + (Их — Wt хх) Мх + (Хи — W, уу) My +
Sm
+ 2 {y.xv — w, xy) Mxy — pw] dx dy +
+ J [— Vzw + Mvw, v + Mvsw, J ds +
+ J [— (w~w)Vt + (wiV — w,v)Mv +
+ (w,. - w,.) Mvs]ds - 2(a» - w) Mvi - Mjla, A7.25)
где запись 2 ( ) ( )||с„ означает суммирование по всем участкам
Си 1). Независимыми варьируемыми величинами в функционале
1) Величины Мт и Mvs в члене 2 (го—да) (Mvs — Mvs) || gu можно вычис-
вычислять в концах частей Со, которые примыкают к Си. Например, для части Си,
которая расположена между второй и третьей точками изменения типа гранич-
граничных условий, имеем
(го - Л) (Mvs - Mvs) I = [w C) - го C)] [Mv, C+) - Mva C+)] -
- \w B) _ m BI [Л(„ B") ~MVS B')l

Гл. 17, Нштб упругих пластин 401
A7.25) являются Мх, Му, Мх„; %х, ку, %ху без каких-либо До-
Дополнительных условий. Отметим, что если в качестве дополнитель-
дополнительных условий используются равенства
w = w на концах частей Си, A7.26)
то последняя сумма в правой части A7.25) обращается в нуль.
4. Принцип Хеллингера — Рейсснера
Принцип Хеллингера — Рейсснера можно получить из функ-
функционала A7.25), исключая кх, ку и кху с помощью условий ста-
стационарности функционала JIGS по этим величинам (ср. о соотно-
соотношениями (8.54)), что дае?
= { { [- В (Мх, Мя, Мхя) — Mxw,,, - Msw, п - 2МХУ w, ху—
г - _ _
— pw] dx dy + J [— Vtw + M4wt v + Mvsw, g] ds +
- *..)] ds - 2j (» - *) (Mvi ~ Mvs) ^, A7.27)
где
В (Mx, Mw, Mxv) = 4" Ш №* + Muf + .
+ 2 A + v) (Мхв - МхМу)Ь A7.28)
После интегрирования по частям из функционала A7.27) можно
получить другое выражение функционала Хеллингера — Рейс-
Рейсснера:
П« = — { J [В (Мх, М„ Мхя) + (МХг хх + 2МХЧ, хэ +
си
+ (М„ — Мч) w, v + (Мv8 — Af v8) w, J ds —
A7.29)
В функционалах A7.27) и A7.29) независимыми варьируемыми
функциями являются Мж, Му, Мху и w без каких-либо дополни-
дополнительных условий.

402
Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
5. Принцип минимума дополнительной энергии
Функционал принципа минимума дополнительной энергии
можно вывести из A7.29):
Пс - \\Ъ{МХ, М„ Mxv)dxdy A j [- (Vz \- Mvs,s)w )-
sm cu
+ Mvw, v)ds - ? [Mvs (Г) - Mvs (/-)) w (•/). A7.30)
здесь независимыми варьируемыми функциями являются Мх, Муя
и Мху, удовлетворяющие следующим дополнительным условиям:
MXtXX -f 2Мху,Ху f Mv>yy -\- р ---= 0 на Sin A7.31)
и
Vz + MvSi, --- Vz + MvSt „ Mv - Mv на Со. A7.32)
Символ ? в последнем члене функционала A7.30) означает, что
i
производится суммирование по всем точкам изменения типа гра-
граничных условий. Видно, что если вся граница Sm является глад-
гладкой и не имеет угловых точек изменения типа граничных условий,
то Mvs (j+) — Mvs (j-) и, следовательно, все члены вида J) в функ-
функционале A7.30) обращаются в нуль.
§ 17.2. Модифицированные вариационные принципы
в линейной теории изгиба, основанной на гипотезах Кирхгофа
Пусть теперь область Sm разбита на конечные элементы 5^
s2
у
р р
5V (для иллюстрации
используются треугольные эле-
элементы). Обозначим два про-
произвольных смежных элемента
через Sa и Sb, а границы между
этими элементами через СаЬ,
как показано на рис. 17.3.
Чтобы различить поверхности
СаЬ, принадлежащие соответст-
соответственно dSa1) и dSb, использу-
используются символы Саь и Cla- Стрел-
ки, отмеченные символами sa и
sb, указывают направления от-
счета дуги s вдоль границ С*аЬ и
С'ьа, а две другие стрелки с от-
отметками v0 и vft означают внеш-
внешние нормали к Саь и Cia соот-
соответственно. Наконец, обозначим прогибы и изгибающие моменты
в элементе Sa через w{a) и М(ха), М{уа), М{х"у соответственно. После
г) dSa означает всю границу области Sa.
Рис. 17.3. Два смежных элемента.

Гл. 17. Нагиб дпругих пластин 403
приведенных выше предварительных соображений выведем моди-
модифицированные вариационные принципы со смягченными условия-
условиями непрерывности в линейной теории изгиба тонких упругих
пластин, основанной на гипотезах Кирхгофа.
/. Принцип минимума потенциальной энергии
Как было указано в § 17.1, допустимые функции w {x, у) в
функционале ПР должны принадлежать классу С1. Следовательно,
в качестве допустимых функций перемещений в функционале прин-
принципа минимума потенциальной энергии могут быть выбраны
функции прогиба
если они удовлетворяют следующим условиям:
(i) они непрерывно дифференцируемы (по меньшей мере при-
принадлежат классу С1) и однозначны в каждом элементе;
(ii) они совпадают на границах между элементами, так что
ш(а) = да(*>, w\aJa = -w\blb на СаЬ; A7.33)
(in) для тех элементов, которые содержат какую-либо часть Си,
выполняются соотношения A7.10).
Тогда функционал принципа минимума потенциальной энер-
энергии дается формулой
ПР = ? J J Й И - ~pw] dxdy+ f [—Vzw + Mvw, v -f Mvsw,,] ds,
A7.34)
где суммирование проводится по всем элементам. Независимыми
варьируемыми переменными в ИР являются о>(а).
2. Модифицированные принципы потенциальной энергии
Сформулируем вариационный принцип, в котором дополни-
дополнительные условия A7.33) включены в функционал с помощью мно-
множителей Лагранжа. Используя НаЬ1, определенный формулой
A3.45), и вспоминая, что
A7.35)
)!°x = /( ),Vfl - m( ), Sa;
).»- m\ ).ve+ )..a, A7.36)
.x = —/( ).vb + m( ). Sft,

404 Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
где I » т обозначают направляющие косинусы нормали vo, пре-
преобразуем НаЬ1 к виду
Наы = J [Л3ш(в) - AlW[\ - А^Х] dsa +
+ J [-Азт1Ь) - Atw(X- A,w(X]dsb, A7.37)
C'ba
где
Лх = / j A^z dz -)- /и j A.2z dz,
A, = —да J^dz + Zjvdz, A7.38)
A3 =
— множители Лагранжа, выраженные через (Хх, А.а, А,3). Следова-
Следовательно, имеем следующий функционал модифицированного прин-
принципа потенциальной энергии:
ПтР1 = ПР - 2 ЯвИ, A7.39)
где ПР и ЯоЬ1 даются выражениями A7.34) и A7.37) соответст-
соответственно.
Отметим, что множители Лагранжа Ла и Л3 в A7.37) не могут
быть выбраны независимо, потому что w и w, Sfl (или w, Sb) не
независимы на СаЬ. Таким же способом, которым в § 17.1 было
выведено выражение A7.19), выражение A7.37) приводится к виду
= | [(Лз + Л,. ,я) (и»<«> - и><*>) - Л,
wW)\Cab; A7.40)
это означает, что Л3 + Л2, s и Лх на СаЬ, а также Ла на кон-
концах СаЬ могут быть выбраны независимо.
3. Первый модифицированный обобщенный принцип
Обращаясь к выражению A7.12), обобщим ПтР1 из A7.39)
для получения функционала модифицированного обобщенного
принципа
IW = 2 Я Й (х*. *,, хху) + (х. - ю. «х) Л«в + (х, - wt ху) Му +
+ 2 (ххв - и»,вд) Мжу

Гл. 17. Изгиб упругих пластин 405
+ J [—Vzw - Mvw, v + Mvsw, „J ds +
+ J [__ (и, _ ~W) Pt + (и, v -!?"„) />, + (wt , - w,,) />,] ds
A7.41)
без каких-либо дополнительных условий. Этот функционал будет
называться функционалом первого модифицированного обобщен-
обобщенного принципа.
Простоты ради до конца этого параграфа примем в качестве
дополнительных условий следующие равенства:
го«о = a»(ft) на концах СдЬ A7.42)
и
w = w на концах Си н во всех угловых точках С„ 1).
A7.43)
Тогда независимыми варьируемыми функциями в функционале
A7,41) являются 4"\ <', х#; Afia>. Mja>, Л!^; да(а); Л3 +
+ Л2, $ , Лх; Ps + Pj, s и /*! при дополнительных условиях A7.42)
и A7.43).
4. Второй модифицированный обобщенный принцип
Теперь введем новые функции
Л{°>, Л<д>, Л'а>, определенные на С а»,
Л<*', Л(*>, Л|*>, определенные на С%ш
и
w, ф, определенные на СаЬ.
Далее, Яо61, определенный в A7,37), и дополнительные усло-
условия A7.42) переписываются эквивалентным образом:
на1а = J ГлГ (ш(а) - ?) - л|а>
_ 5) _ Ai
ь A7.44)
на концах Со6, A7.45)
х) К угловым точкам относятся как те, которые изначально были на dSm!!
так и те, которые появились при конечно-элементной дискретизации области
5т.

406 Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
Можно доказать эквивалентность НаЬ1 из A7.37) и НаЬ2
из A7.44), заметив, что использование условий стационарности
НаЬг по w и ф с целью исключения w и </> из A7.44) сводит Habi
к На1>1. Итак, заменяя #оМ на НаЬг, получаем другой модифи-
модифицированный обобщенный принцип, выражая Пт02 в следующем
виде;
Пт02 =-- ^ J} [А (Кх, Ну, Хху) + (Хх — О), хх) Мх + (Xj, - да, j,j,) My +
t 2 (х,„ - да, ху) УИЯ|, - pw] dxdy — % Habi +
zw + Жvt». v + Fvsw
J
o
Ь J l—(w-w)Pa + (wlV-w,jP1 + (wll-w,.)Pi]ds.
cu
A7.46)
Так выведенный функционал будет назван функционалом второго
модифицированного обобщенного принципа. Функции х^а>, х<а>;
х^«>; М^>, М^а>, AfW; ш<а>; Л{а), Л|а> и Л^а> на 5а можно вы-
выбрать независимо от этих же функций на Sb, но множители Ла-
гранжа w и <? должны быть одинаковыми на 5а и Sb. Независи-
Независимыми варьируемыми функциями в функционале A7.46) являются
[ Л A<a»s , Л<а>, а»,
^, /^s + Яг,, и />! при дополнительных условиях A7.43) и A7.45).
Отметим, что условия стационарности функционала Пт02 тре-
требуют, чтобы
w{a) = ю = ш(й>, a).(av'a = ? = — w(X на Cab. A7.47)
Эти равенства указывают физический смысл множителей Ла-
гранжа.
5. Третий модифицированный обобщенный принцип
Наконец, получим другое выражение для модифицированного
обобщенного функционала, в котором Л|а>, Л|а>, Л|°>; Л[*>,
А[Ь), А^Ь) и Р1У Р2, Р3 исключаются из Пт02 с помощью условий
стационарности Пт02 по a>(a) и да(й). После некоторых преобра-
преобразований получим новый функционал
I/») ^» + 2 (х,„ — ш, ху) Мху - pw) dx dy -
аМ + J [—Vtw + Жva», v + Mvs^,.] ds +
f J [_ (w - ш) Kz f (и», v - ш, v) Mv + (a»,.-»,.) My,] ds, A7.48)

Гл. 17. Изгиб упругих пластин 407
где
cab
-w)..]dsa + l №h)Wb) -w) \
C*ba
— w),Sb)dsb, A7.49)
a Via), Mia), MiV получаются заменой Мх, Му и Мху в A7.7)
на М[а), Муа), M[aJ соответственно. В функционале A7.48)
независимыми варьируемыми функциями являются х?а>, х'"',
Ххау}; М(ха\ М(уа), М{ху, ш(а), w и <f при дополнительных усло-
условиях A7.43) и A7.45). Поскольку вывод модифицированного прин-
принципа Хеллингера—Рейсснера и модифицированного принципа
дополнительной энергии из третьего обобщенного принципа осу-
осуществляется непосредственно, мы не будем далее обсуждать
эту тему.
§ 17.3. Принцип Геррмана
В этом параграфе покажем, что принцип Геррмана [2, 3]
можно получить как частный случай формул § 17.2. В принципе
Геррмана считается, что
ш(а> = ш<"> и М[а) = М[Ь) на СаЬ. A7.50), A7.51)
Следовательно, Наы из A7.37), Яаб2 из A7.44) и НаЬз из
A7.49) сводятся к
Наы - - J Aiw(Xdsa- J Aiu>Xdsb, A7.52)
Cab сЪа
Наш ~- - f Л!а> WX ~ Ф) dsn - J Л(,й> WX + ф) dsb, A7.53)
cab cba
Наы = - J M[a) (w(X - ф) dsa - j M[b) (wl\ + Ф) dsb A7.54)
cab cba
соответственно. Функционалы первого, второго и третьего моди-
модифицированных обобщенных принципов в этом частном случае
даются формулами A7.41), A7.46) и A7.48), где НаЬ1, Habi, НиЬз
заменены выражениями A7,52)—A7.54) соответственно.
Используя условия стационарности по отношению к хх, х9
и у.ху для исключения этих величин из Птез и производя не-
некоторые алгебраические преобразования, в которых учитываются

408 Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
условия A7.51), получаем, что функционал Пт03 в этом частном
случае окончательно сводится к функционалу ПтЯ:
Птя = Ц JJ l—B(M*> Mv м*у) - MxwtXX -
— Mywt vy — 2MxUwi xy — pw] dx dy +
+ 2A M[a)w(Xdsa + JM™wlXd
{ cab cba
+ J l-Vzw + Mvw, v + Mvswt,] ds +
J
[— (w — w) Vz + (ш, v — да, v) Mv + (да,, — w,,) Af v,] ds,
u
A7.55)
в котором независимыми варьируемыми величинами являются М[а\
М\°\ М[а,} и oi<a) при дополнительных условиях A7.50), A7.51)
и A7.43). Вариационный принцип, который получается из A7.55),
эквивалентен принципу Геррмана.
§ 17.4. Вариационные принципы для задачи
растяжения и изгиба пластины с учетом больших
перемещений при использовании гипотез Кирхгофа
В этом параграфе выводятся вариационные принципы в за-
задаче изгиба и растяжения пластины с учетом больших переме-
перемещений, которая была поставлена в § 8.5. Как обычно, начнем
с принципа стационарности потенциальной энергии и затем обыч-
обычным образом выведем семейство вариационных принципов. Перед
тем как приступить к выводу, введем обозначения Л, (ехх0, е„„0,
ехио), А, (и, v, w). В, (Nx, Nu, Nxy), Аь (хх, х„, хху), Аь (w)
и Вь (Мж, Му, Mxv):
"¦i (Sxxo, eyyo> &xyo) ~ 2A v3) t^**0 ~T eBff0i т
+ 2 A - v) {e\u0 - exxOem)], A7.56)
B, (Nx, Ny, Nxy) = -glj- l(Nx + Ngf + 2 A + v) {N%8 - NxNy)\,
A7.57)
Ab (хж> Xy, xxy) = ± [(xx + xyy + 2 A - v) (xS, - X.X,)], A7.58)
Bb(Mx, My, Мху) = ±-^[(Мх + МУУ +
+ 2(l+v)(Mlu-MxMy)l A7.59)

Гл. 17. Иагиб дпрдгих пластин 409
Функция As (и, v, до) определяется подстановкой в A7.56) вы-
выражений
A7.60)
= и, у + v, х + да xw,
и исключением ехх0, еууд, еху0. Функция Аь (ш) определяется
аналогично подстановкой в A7.58) выражений
** = Щхх, *у = wtyy, хху = wiXy A7.61)
/. Принцип стационарности потенциальной энергии
Следуя рассуждениям § 8.5, получим функционал принципа
стационарности потенциальной энергии:
I, v, до) -\- Ab(w) — pw\ dxdg —
— J [Nxvu + Nyvv + Vzw — Mvwt у — Mv>wt s]ds,
Co
A7.62)
где независимыми варьируемыми функциями являются и, v, до
при дополнительных условиях
и = п, v = v, w — w, до, v = да, v на Си. A7.63)
2, Первый обобщенный принцип
Функционал ПР можно обобщить, если ввести множители
Лагранжа Nx, Ny, NxV; Мх, Му, Мху; Rx, Ry; Pu P% и Pt сле-
следующим образом:
По1 = JJ ЙЛех*о> eyi/o, ехт) + Аъ (хх. ху> хху) — pw —
- [е,хо -(«.« + A/2) до?,)] ^х - [evyQ - (о. , + A/2) а»? *)] ^ -
- [2^хУо - (и. у + о, х + до, хдо, „)] #ж„ +
+ (х* — да,*х) Мх + (ха — w, уу) Му 4- 2 (хху — до,ж4,) Мжи} dx dy —
- J [^Iv« + Nyvv -j- Угдо — Af уда, v — yMvs®,,] ds —
- J [(« - Й) /?x + (V - 0) /?y + (ДО - W) Pt -
- (a», v — ЙГ7) Л -(aw,,- ш,,)/1,]^. A7,64)

410 Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
В дальнейшем потребуются формулы, полученные из условий
стационарности nG1 (см. формулы (8.65)):
Nxv = Nxv, N9V = Nyv,
Nxvw,s + Nyvw, y + Vt f Mva,, = Vz + Mst,., A7.65)
Mv = Alv на Со;
Nxv = Rx, NVv = Ry,
Nsvw, x + Nvvw, „ + VZ + Mvs, , = Р3 + Р*,а, A7.66)
Mv = Px на Си,
где Л^ЖУ. ^v, ;HV, Mva и Fz определяются в свою очередь вы-
выражениями (8.23)—(8.25).
3. Второй обобщенный принцип
Будем считать, что dSm имеет такую форму, как показано
на рис. 17.1. Далее, используя условия стационарности, часть
из которых дается формулами A7.66), исключим из П01 мно-
множители Лагранжа Rx, Ru, Plt Ръ и Р3 для вывода функционала
второго обобщенного принципа *):
П02 = \\ \Аа(ехх0, еУУо, еху0) + Аъ(*х, н„ кху) - pw -
sm
- [е«о -(«.* + A/2) а»?.)} Nx - [еуу0 ~{v,y + A/2) w] y)] Ny -
- [2eIS,o -{u.y + v,x + w,xwtу)} Nxy +
+ (*x - w, xx) Mx + (xy - w, yy) Mv -f 2 (xxy - да, xW) Mxy\ dx dy —
- J t#xv« + NvvV + VzW - Mvw, v - MvSw,-s) ds -
- (w - a») [^Xvai, ж + NUvw, y + Vz] -
- (w.v -®Z)Mv- K.- «", s) Mvs) ds -
- S (ш - Ш) (Mv, - Mvs) || сн. A7.67)
l) Относнтельно определения записи вида S ( ) || сы с** • примечание к
стр. 400,

Гл. 17. Нагиб дпрдгих пластин 41 i
4. Принцип Хеллингера—Рейсснера
Принцип Хеллингера—Рейсснера можно получить из П02
исключением величин ехх0, еууо, еху0, кх, ку, кху с помощью усло-
условий стационарности относительно этих функций, а именно урав-
уравнений (8.66) и (8.54). Окончательно получим
Пд = }} \-B.(Nx, Nt, Nxy) - Bb(Mx, My, Mxy) -pw
+ [«.« + A/2) w*x]Nx + [v.e + (l/2)a? y]Ny +
+ [u,y + v,x-\-wt xwi y\ Nxy —
— w,xxMx — wtVyMy — 2w,xVMxy\ dxdy +
+ (интегралы по Са и Cu и член 2 ( ) II cu), A7.68)
где последние члены в скобках точно такие же, как и в функ-
функционале A7.67).
5. Родственные вариационные принципы
Мы вывели обобщенный функционал A7,67) из формулы
A7.62), используя соотношения A7.60), A7.61) и множители
Лагранжа Nx, Ny, Nxy, Мх, Му, МхУ. Теперь обобщим функ-
функционал A7.62), используя соотношения A7.60), а из множителей
Лагранжа — только Nx, Ny, Nxy:
°t = Я Й.(е**о. еууо, еху0) + Ab(w) — pw—
S
— [ехха -(".* + A/2) w\ х)\ Nx — [еуу0 — (о. , + A/2) w\ „)] Ny
— [2еху0 — (ы, „ + v, х + w, xw, y)] Nxy\ dx dy —
— } (Nxvu + iVtfvu + Vzw — Mvwtv — ~Mv,wt,]ds —
- } [(u - u) Rx + (v- v) Ry + (w- w) Ря —
— (wtv — w,v)Px — (да,, — да,,)Р2]ds. A7.69)
Исключив exx0, eyy0, exy0 из По* при помощи условий ста-
стационарности по этим переменным, получим
Щ = }} {-B.(NX, Nv, Nxy) + Ab(w) -pw +
+ [u.x + A/2) w%] Nx + [v. u + A/2) и? у] Ny +
+ [и,у + viX + wtXwtU]Nxy\dxdy +
+ (интегралы по Са и Си), A7.70)

412
Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
где члены в последних скобках такие же, как и в функционале
A7.69). Отметим, что в A7.70) перед В, (Nx, Ny> Nxy) стоит знак
минус, а перед Аа (до) — плюс.
§ 17.5. Вариационные принципы в теории
тонких пологих оболочек Маргуэра
В этом параграфе сформулируем некоторые вариационные
принципы в теории тонких пологих оболочек Маргуэра, которая
рассматривалась в § 8.9. Перед выводом основных соотношений
введем обозначения А, (и, v, до), В„ (Nx, Ny, Nxy), Ab (xx, y.y,
*xv), Аъ N и Вь (Mst My, MxV):
A, (eXxos 6yse, ехуо)— 2 A v2) "e*xU ~^~ evyo) -\-
+ 2 A - v) (ely0 - exxQeyyQ)], A7.71)
B,(N*. Nvt Nxy) = -glj- [(Nx + Nyf + 2A + v) (Nly - NxNy)],
A7.72)
Аь(мт, щ, x,r) = (D/2) [(x, + nyf + 2A — v) (х|„
1 12
A7.73)
У
+ 2 A + v) (Ml, - МХЛ*В)]. A7.74)
Функция Л, (ы, о, до) получается подстановкой в A7.71) выра-
выражений (8.131) для исключения ехх0, еууо, еху0. Функция Аъ (w)
определяется аналогичным обра-
образом подстановкой (8.132) в A7.73).
» Для удобства в дальнейшем
v обозначим проекцию срединной
поверхности Sm и ее границы
С (= Са + Си) на плоскость (х, у)
через Sb и С* (= С*а + С*и) соот-
соответственно (см. рис. 17.4). Еди-
Единичная внешняя нормаль к гра-
границе С* в плоскости (х, у) будет
;( обозначена через v*; ее направля-
направляющие косинусы обозначены через
(/, т, 0), а именно /= cos (x, v*),
т = cos (у, v*). Неявно подразумевается, что граница С не-
несколько наклонена по отношению к плоскости (х, у), так что
(dzb/ds*Y <C 1»
где z ~ zb (s*) — координата г точек границы С, a s* — параметр
дуги вдоль С*.
О
Рис 17.4. Определение Sm
Cl и V.

Гл. 17. Изгиб дпрдгих пластин 413
/. Принцип стационарности потенциальной энергии
Как видно из уравнения (8.145), функционал принципа ста-
стационарности потенциальной энергии в этой задаче таков:
ПР = }} {А,(и, v, w) + Аь(w) — (Хи + Yv + Zw)\dxdy —
Wxv" + NVvv + Vzw — Mvwt v — Mv,wt,] ds. A7.75)
Независимыми варьируемыми величинами являются и, v и w
при следующих дополнительных условиях:
и = и, v = v, w = w, ш, v =wfV на CJ. A7.76)
2. Первый обобщенный принцип
Функционал ПР обобщается введением множителей Лагранжа
Nx, Ny, Nxy; Мх, My, Мху; Rx, Rv; Plt Рг и Р3:
хх0, evy0, exvo) + Ab (xe, xv, xxy) — (Xu + Yv + Zw) —
— («.* + г.хт,х + A/2) wU)]Nx —
— (".* + г. uw, у + A/2) w\ у)] Ny —
— («, У + v, x + Z,XW, у + Z, yW, x + W, XW, y)] Nxy +
— wtyy) My +2(xxu—wtXy)MxV\dxdy—
Vzw — Mvw, v — M~v,w,.] ds —
— }[(« — u) Rs + (v — v) Rv + (w — w) P3 +
Cu
+ (wiV-^Tv)P1 +(w,t— ^,.)/>*]<fe. A7.77)
Поскольку дальнейшие преобразования выполняются спосо-
способами, аналогичными развитым в § 17.4, мы не будем в них углуб-
углубляться.
§ 17.6. Классические вариационные принципы
в задаче изгиба тонких пластин с учетом
влияния поперечного сдвига
В этом параграфе рассмотрим классические вариационные
принципы в задачах изгиба тонкой пластины с учетом эффекта
поперечного сдвига. Задача ставится так же, как и в § 8.8, за тем

414 Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
исключением, что, следуя [8], мы заменим их и vx на грх и %,
а именно (ср. с (8.100))
и-2%, v-zif,,, w-w A7.78)
и (ср. с (8.101))
е» = zif*,*, е„ = zifB) „, е2 = 0,
Т« = «(*»,- + *«,»). A7-79)
Для начала выведем принцип Гамильтона в предположении, что
внешние силы Fx, Fy, Fz на Sa являются мертвыми и не варьи-
варьируются. Подставляя A7.79) в A7.1) и интегрируя по толщине г,
получаем
ft/
= J
ft/2
4
Итак, уравнение (8.103) преобразовано к виду вариационного
принципа Гамильтона:
<•
b\\T — UP\dt = 0, A7.81)
t,
где
11т№ + Ф») + mw*]dxdy A7.82)
= [ J
y, ш) —
+ Myv% + Vtw) ds. A7.83)
В A7.81) независимыми варьируемыми перемеиными являются tfix,
и w при дополнительных условиях, выражаемых формулами
.111) и теми условиями, которые накладываются при t — tx
и t = U.
В новых обозначениях, введенных в [8], а именно в обозна-
обозначениях
Г. = *»,„, Г„ = iftf, „, Гху = %,х + $х,у,

Гл. 17. Изгиб упругих пластин 415
и с помощью множителей Лагранжа Мх, Ми, Мху, Qx, Qy, Px,
Pv, R принцип A7.81) переписывается так:
t,
б|{Г — Uci\dt = 0, A7.85)
t,
где Т дается формулой A7.82), а
По.- \\{^-
- Мх (Гх - ifх> х) - Mv {Tv - %, у) -
— Мху (Гху -%,х— 1|?ж, „) —
- QХ(Г„- w,х- Мрх) - Qy(Tyz- w, у - if„)} dxdy -
- J (ЖсЖ + М„% + Vzw)ds —
с
Px (.% - *х) + Ру (*» -¦„) + /?(»- a»)] ds.
A7.86)
Варьируемыми величинами в принципе A7.85) являются ipx,
%, w, Гх, Гу, Гху, Гхг, Гуг, Мх, Му, Мху, Q^, Qy, Рх, Ру
и R при дополнительных условиях, накладываемых в моменты
времени t = /х и t — t2.
Исключая Гх, Ту, ГхУ, Гхг, Гуг из A7.85) с помощью условий
стационарности по этим величинам, а именно условий
MX = D (Гх + vrB), My = D (хГх + Ту),
Мху =
, A7.87)
получим
б \ [Т — Пд| dT = 0, A7.88)
где Г дается формулой A7.82), а
2 + 2 A + v) №и ~ МхМу)] -
Af^ „ + Мху ($Vt x + ух, у)

416 Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
— J
% + Vzw) ds -
I
- I [P* tt>» - *») + P, (% - %) + Я (w - w)] ds. A7.89)
В выражении A7.89) независимыми варьируемыми функциями
являются урх, %, w, Мх, Му, Mxv, Qx, Qys Px, Py и R при
дополнительных условиях8 накладываемых в момент времени
i = h и t = /,.
| 17а7з Некоторые новые вариационные постановки
задач изгиба пластин')
Заманчивые возможности упрощенных формулировок и реше-
решений с давних пор побуждали исследователей, работающих в об-
области механики конструкций, попытаться описать особенности
трехмерного поведения пластин в рамках двумерной классиче-
классической теории, Все более широкое использование слоистых компози-
композитов в авиационных конструкциях за последнее десятилетие сти-
стимулировало практический интерес к теориям пластин, в которых
учитываются деформации поперечного сдвига, межслойные на-
напряжения и влияние толщины. Ниже будет сделано несколько
коротких замечаний о современных вариационных формули-
формулировках в этих задачах, чтобы проиллюстрировать мощь вариа-
вариационных методов, открывающих новые пути построения теорий,
которые учитывали бы указанные факторы.
Первой темой будет теория пластин типа Тимошенко—Минд-
лина, в которой распределение перемещений по толщине при-
принимается в виде A7.78). Теория пластин Тимошенко—Миндлина
представляет интерес потому, что в этой теории в отличие от
теории Кирхгофа для формулировки конечно-элементных моде-
моделей, основанных на принципах минимума потенциальной энергии,
достаточно только непрерывности (С-гладкости) базисных функ-
функций (см. уравнение A7.83)).
Зенкевич [9] следовал этому пути, распространяя свою изо-
параметрическую модель в перемещениях на конечный элемент
для пластины Тимошенко—Миндлина, а затем интегрируя с целью
понижения порядка, что сохраняет достаточное число степеней
») Этот параграф напнсан д-ром Оскаром Оррииером, которому автор прн-
искреннюю благодарность.

Гл. 17. Изгиб упругих пластин 417
свободы в матрице жесткости элемента [10] *). Однородное или
выборочное понижение порядка интегрирования использовалось
для того, чтобы избежать «заедания», т. е. явления, при котором
элемент Тимошенко—Миндлииа с интегрированием по толщине
не воспроизводит решение Кирхгофа, ожидаемое в пределе тон-
тонкой пластины [9—12]. Однако опыт использования элементов
с понижением порядка интегрирования вскрыл плохую обуслов-
обусловленность решений формой элементов и моделью сетки — свой-
свойство, нежелательное для элементов, которые используются в стан-
стандартном математическом обеспечении.
Пути, основанные на других вариационных принципах, не-
недавно привели к пониманию этих особенностей поведения н к эле-
элементам пластин Тимошенко—Миндлина, которые свободны от
указанных недостатков. Спилкер и Мунир [13—15] использо-
использовали гибридную модель в напряжениях, основанную на модифи-
модифицированном принципе минимума дополнительной энергии для
того, чтобы построить элемент пластины Тимошенко — Минд-
Миндлина, в котором континуальные уравнения равновесия исполь-
используются для определения поперечных сдвиговых н межслойных
напряжений axZ, avz, az по полям напряжений ах, ад, ахд.
Исследование этих построений привело к следующим результатам.
1) Избыток степеней свободы в допустимых полях напря-
напряжений приводит к переопределенности системы при использова-
использовании континуальных уравнений равновесия и условий совмест-
совместности для перемещений на границе. Переопределенность приводит
к заеданию, но может быть устранена при смягчении условий
в напряжениях, т. е. при снижении числа степеней свободы для
напряжений.
2) Если чересчур смягчить условие в напряжениях, то ранг
матрицы жесткости элемента понижается и элемент допускает
побочные кинематически допустимые формы деформирования 2).
Плохая обусловленность проявляется в тех случаях, когда форма
элементов или модель сетки допускают одну или несколько ки-
кинематических мод, не закрепленных в конечно-элементной модели
всей конструкции.
При формулировке гибридной модели обычно необходимо
определить число тех степеней свободы для напряжений, которые
*) Матрица жесткости подсчитывается с помощью процедуры интегрирова-
интегрирования Гаусса в объеме элемента, причем порядок интегрирующей формулы обычно
выбирается так, чтобы найти точные результаты для полинома максимальной
степени, который получается при аппроксимации допустимых полей перемещений.
Понижение порядка интегрирующей формулы предотвращает появление гармо-
гармоник высшего порядка, что приводит к более гибкому элементу.
2) Ранг матрицы жесткости элемента должен равняться числу степеней сво-
свободы для перемещений минус число возможных движений элемента как твердого
целого; в противном случае возникает кинематическая неустойчивость.
14 к. Ваемдэу

418 Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
можно учитывать при данном числе степеней свободы для пере-
перемещений. Однако аномалии поведения всегда можно устранить,
проверяя аналитически, что элемент не является плохо обуслов-
обусловленным, или численно находя собственные числа и векторы ма-
матрицы жесткости элемента для того, чтобы убедиться в отсут-
отсутствии каких-либо побочных кинематически допустимых форм
деформирования.
Малкус и Хьюз [16] подобным образом изучили смешанный
элемент, основанный на принципе Рейсснера, и сумели дока-
доказать, что в смешанной модели понижение порядка интегрирова-
интегрирования в изопараметрическом элементе эквивалентно предположению
об уменьшении числа степеней свободы в напряжениях. Хотя
такое доказательство еще не распространено на гибридную мо-
модель, похоже, что аномальное поведение этих моделей вызывается
одной и той же причиной. Чувствительность смешанной и гиб-
гибридной моделей дает хотя бы логическое объяснение ошибочному
поведению изопараметрического элемента, даже если пока не
удается найти непосредственный способ устранения кинемати-
кинематически допустимых форм деформирования в изопараметрических
элементах.
Вторая тема относится к пластинам из композитов, которые
широко используются в современных авиационных конструкциях.
Пластины из композитов изготавливаются со сборкой тонких
слоев, состоящих из волокон, помещенных в матрицу; эта сборка
производится при повышенных температурах и давлениях *).
Большое число непрерывных волокон малого диаметра, высокой
прочности и жесткости укладываются параллельно и заключаются
в частично полимеризованную матрицу. Механические свойства
пластины из композитов подбираются с целью оптимального вос-
восприятия действующих нагрузок за счет различной ориентации
волокон в разных слоях. Процесс изготовления заканчивается
полной полимеризацией матрицы, так что в конце концов полу-
получается сплошной и практически однородный материал, в котором
нагрузка распределяется на большое число различных волок-
волокнистых слоев.
Для анализа напряжений в композитных плитах обычно при-
применяется макроскопический подход, в котором считается, что
каждый слой, состоящий из волокон и матрицы, представляет
собой однородную среду, идеально связанную с примыкающими
слоями. Делается также важное предположение о том, что упру-
упругая среда анизотропна; это предположение основано на том факте,
*) Композиты также изготавливаются сплетением в ткань или непрерывной
намоткой при одновременном введении невулканизированной резины (илн другой
матрицы) в процессе намоткн. О деталях процесса и механических свойствах
компанию! ем„ работу 117J-

Гл. 17. Изгиб дпрдгих пластин 419
что эффективные модули среды вдоль волокон в 10-4-50 раз выше
модулей поперек волокон. Каждый монослой считается орто-
тропным, если его упругие свойства изучать в системе координат,
связанной с направлением волокон, в системе же координат
всей пластины упругие константы монослоя выводятся непо-
непосредственно с помощью закона преобразования упругих постоян-
постоянных при повороте на угол ориентации волокон [18].
Первые расчеты напряжений композитных пластин проводи-
проводились с использованием классической теории слоистых пластин
(КТСП), в которой соотношения напряжения—деформации между
эффективными величинами давались суммой о весами, пропор-
пропорциональными концентрациям слоев 1)>
N1 ГА В
Ы [
где
N = \NX, Nu, Nxy\ = Е \ах, а,. аху\пАгп, A7.91)
М = \МХ, Му, МхУ\ = S \ах, а» аху\п1пАгп, A7.92)
п
е° = \ъ°х, ъ°у, ъ%у\ (деформация нейтральной поверхности),
A7.93)
х = \хх, Ну, кху\ (кривизны), A7.94)
А = X С„ Агп, В = ? CnU Azn, D = % Сп« Агп, A7.95)
п п п
причем С„, Аг„ и ?„ — соответственно упругие постоянные в си-
системе координат всей пластины, толщины и расстояние от ней-
нейтральной поверхности до л-ro слоя. Итак, КТСП — это просто
обобщение теории пластин Кирхгофа на случай анизотропной
слоистой среды.
Сравнение величин, предсказываемых этой теорией, с экспе-
экспериментальными данными привело к выводу, что необходим более
точный анализ податливости при поперечном сдвиге, чем в КТСП,
и поэтому многие исследователи делали попытки совместить
в конечном элементе пластины влияние поперечных сдвигов,
учитываемое в теории Тимошенко—Миндлина, с моделью одно-
однородной слоистой пластины.
May и Пиаи [19] построили ряд гибридных элементов для
слоистой пластины, в которых перемещения считаются кусочно-
линейными функциями по толщине, непрерывными на границах
слоев, причем шесть компонент напряжений выбираются в каж-
каждом слое независимо *). Эта модель правильно описывает искаже-
х) Так называемое правило смесей. — Прим. перев.
*) Свобода выбора напряжений ограничена, однако, требованиями и ер аз
рЕШиости напряжений иа границах слоев
14*

420 Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
ние поперечного сечения толстой слоистой пластины, но ста-
становится плохо обусловленной для тонких пластин и пластин
средней толщины, поскольку обладает большим числом степеней
свободы для напряжений.
Впоследствии Спилкер и др. [20, 21 ] предложили упрощен-
упрощенную гибридную модель, считая, что деформации по толщине всей
пластины распределяются линейно, как в модели Тимошенко—
Миндлина. Таким образом, учитывается влияние поперечного
сдвига, но пренебрегается искажением поперечного сечения.
В этом подходе продольные напряжения в плоскости пластины
выражаются через С„ и принимается распределение деформаций
типа Тимошенко—Миндлина, а напряжения в плоскости попереч-
поперечного сечения пластины определяются интегрированием конти-
континуальных уравнений равновесия. При этом для вычисления по-
постоянных интегрирований используются условия непрерывности
компонент напряжений на границах слоев. Такая гибридная
модель, не учитывающая искажение поперечного сечения, пра-
правильно описывает поведение тонких пластин и дает удовлетво-
удовлетворительные результаты для пластин средней толщины х).
Панда и Натараджан [22] и Редди [23] также предложили
слоистый элемент типа Тимошенко—Миндлина, не учитывающий
искажений поперечного сечения и основанный на кинематических
гипотезах.
Предыдущие рассуждения касались обычного поведения слои-
слоистых пластин. Наряду с этими вопросами много внимания уде-
уделяется исследованию поведения на свободной боковой поверх-
поверхности, поскольку слоистые материалы подвержены межслойному
разрушению. В первых работах производился расчет плоской
задачи в сечении пластины с прямолинейными слоями при одно-
однородной деформации. Оказалось, что по мере приближения к сво-
свободной боковой поверхности понижается напряжение, действу-
действующее в плоскости пластины вдали от края, и возникают большие
межслойные напряжения [24, 25]. Эксперименты с композитными
слоистыми образцами показывают, что эти межслойные напряже-
напряжения приводят к снижению сопротивления усталостному разру-
разрушению [26] и что приложенное в плоскости напряжение для
определенных последовательностей ориентации волокон может
привести к статическому расслоению из-за межслойных растя-
растяжений и сдвигов вблизи свободных боковых поверхностей [27].
Влияние свободной боковой поверхности проявляется в резком
росте межслойных напряжений в зоне краевого эффекта, которая
примыкает к свободной поверхности и имеет толщину порядка
*) Для этого типа элементов требуется принимать определенные предосто-
предосторожности для устранения ошибочного поведения решения, аналогичные тем,
которые рассматривались в связи с гибридной моделью.

Гл. 17. Изгиб упругих пластин 421
удвоенной толщины слоев '). Харрис и др. в [28] предложили
гибридный элемент для анализа зоны краевого эффекта для того,
чтобы расширить возможности расчета напряжений по сравнению
с теми, которые открываются при решении плоской задачи. Их
целью были практические расчеты зон краевого эффекта для про-
произвольных очертаний свободных боковых поверхностей (для мо-
моделирования вырезов в слоистых пластинах). Этот подход сочетал
первоначальный подход May и Пиана 119 ], который учитывал иска-
искажения сечения, с разложением по полиномам Чебышева для опи-
описания градиентов напряженно-деформированного состояния в зоне
краевого эффекта. При формулировке вводятся множители Ла-
гранжа для того, чтобы условия на свободной боковой поверхности
элемента были согласованы с первоначальным элементом (типа
Спилкера), в котором не учитываются искажения поперечного
сечения [20] и который позволяет произвести расчет во внутрен-
внутренних областях пластины 2). Спилкер и Чоу [29, 30] распространили
подход Харриса на теорию пластин более высокого порядка с той
только разницей, что требования непрерывности накладывались
на часть компонент межслойных напряжений. Для того чтобы
избежать решения трудной задачи об одновременном удовлетворе-
удовлетворении требований непрерывности межслойных напряжений и усло-
условий на свободной границе, Раджу и др. [31] произвели анализ
краевого эффекта, основанный на непрерывной модели, в которой
свойство симметрии тензора напряжений имеет место лишь
в среднем.
Расчеты, основанные на методах конечных элементов для
зоны краевого эффекта, описывают конечный рост межслойных
напряжений, который обнаружен в первоначальной формулировке
с использованием плоской задачи теории упругости [24, 251,
а также моделируют распределение пространственных компонент
тензора напряжений в окрестности отверстия небольшого диа-
диаметра в толстой пластине при растяжении 3). Однако эти элементы
не являются полностью согласованными с моделью однородных
слоев, лежащей в их основе, поскольку разрыв в величинах упру-
упругих постоянных в такой модели привел бы к неограниченному
росту а2 в точках пересечения свободной боковой границы с меж-
слойной поверхностью. Такая сингулярность в принципе должна
быть учтена в гипотезах о поведении напряжений, но это пока не
сделано.
*) Иногда в механике композитов эта зона называется пограничным слоем;
см., например, работу [17]. — Прим. перев.
2) Таким образом, этот прием аналогичен методам внутренних и внешних
разложений. — Прим. перев.
3) В качестве эталонных служат решения Грина [32] и Албласа [33], полу-
полученные для случая, когда диаметр отверстия значительно меньше толщины пла-
пластины.

422 Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
Существование подобной сингулярности первым обнаружил
Боджи [34 ] в случае изотропной неоднородной (но кусочно-
однородной) пластины. Вопрос о возникновении таких сингуляр-
ностей в ортотропных слоях долго обсуждался при построении
моделей конечных элементов для зоны краевого эффекта, но одно-
однозначного ответа не было получено; было только установлено, что
численное решение задач об обобщенном плоском состоянии схо-
сходится медленно. Впоследствии Ван и Чой [35], а также Тин и Чоу
[36] завершили доказательство существования сингулярности
в анизотропном случае. Однако сингулярность для типичных ком-
композитов имеет порядок
о% ~ Ну0-0* » A7.96)
где у — расстояние от свободной поверхности вдоль границы
между слоями. Такая сингулярность настолько слаба, что зона,
где аг имеет значительную величину, простирается лишь на рас-
расстояние порядка нескольких диаметров волокон. Поскольку
в действительности композит является двухфазным материалом,
стоит задаться следующим вопросом: имеет ли какой-либо смысл
решение, основанное на предложении об однородности слоев, на
длинах, где существенно сингулярное поведение?
Третьей темой будет обсуждение применимости теории высшего
порядка к расчетам толстых пластин, для которых существенно
искажение поперечного сечения. Ло и др. [37] построили теорию
пластины высшего порядка, основанную на кубических аппрокси-
аппроксимациях для перемещений в плоскости и квадратичных аппрокси-
аппроксимациях для поперечного перемещения:
v = v + z% + z% + z^y, A7.97)
w = w + г^г + г&г,
где и, v, w, г|)х, г|>„, я|>г, ?*, ?». ?*. Фх и фу — функции от (х, у).
Уравнения A7.97) содержат минимальное число членов, необхо-
необходимое для описания влияния поперечной деформации сдвига,
поперечной нормальной деформации и искажения поперечного
сечения. Для вывода уравнений равновесия используется прин-
принцип минимума потенциальной энергии. Для примера с помощью
этих уравнений была решена задача и решение было сопостав-
сопоставлено с точным решением по трехмерной теории. Ло и др. [38]
обобщили эту теорию и на случай толстых слоистых пластин.
Спилкер и Мунир [39, 40] разработали два гибридных элемента
в напряжениях для толстой пластины. В обеих моделях элементов
считается, что перемещения согласованы с теорией толстых

Гл. 17. И вгиб дпрдеих пластин 423
пластин Ло с соавторами. Спилкер затем распространил свою
теорию на толстые слоистые пластины [41 ] и на упомянутые выше
элементы зоны краевого эффекта [29, 30].
Однако теории высших порядков в вычислениях широко не
применяются из-за отсутствия практически интересных задач.
Расчет зоны краевого эффекта является исключением, однако, по
мере того как технология позволит изготавливать пластины все
большей толщины, могут появляться и другие области прило-
приложений.
Упомянутые выше теории пластин и модели конечных элементов
демонстрируют эффективность вариационных методов в механике
конструкций и смежных областях при приложении методов конеч-
конечных элементов и при построении алгоритмов для эффективных
численных расчетов сложных практических задач. Теория пластин
Тимошенко—Миндлина создана специально для того, чтобы алго-
ритмизовать расчет тонких пластин и пластин средней толщины.
Исследования зоны краевого эффекта достигли состояния, когда
решение уже может войти в противоречие со способностью модели
описать реальную физическую ситуацию. Работы по теории тол-
толстых пластин являются логическим обобщением теории Тимо-
Тимошенко—Миндлина, ио требуется подождать до тех пор, пока раз-
развитие как технологии изготовления, так и проектирования этих
пластин подтвердит ее практическую ценность, В целом приведен-
приведенные выше высказывания дают общую картину положения дел
в этой быстро развивающейся области.
Упражнения
Задачи к § 17.4
1. Докажите, что функционал A7.69) эквивалентен функционалу (8.88)
2. Выведите функционал (8.89) из функционала A7.70).
Задачи к § 17.5
8. Докажите, что условия стационарности функционала A7.77) сводятся
к равенствам
"XV = Nxv, "yv ~ " J/V>
Nxv (г + w). x -f Nyv (z + w), „ + Vz + Mv,, s - V, + MV6, s, (i)
MV = MV на С;;
Nxv = Rx, Nxv~ Ry,
#Xv (г + ¦). ж + #„у (г + и). „ + V2 -f Мш„, == P% + Pti „ (ii)
MV«P, на C'u,
где Nxv, Nyy, Mv и Mvt получены из соотношений (8.136) и (8.137) соответ-
соответственно, а
Уг = (Ms. « 4- M,v, v) I + (Мхч, , + My.y) т

424 Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
4. Докажите, что с помощью условий стационарности (i) и (И) задачи 3 по-
последний интеграл по границе в выражении A7.77) приводится к следующему
виду:
- | {{и- й) Nxv + (v-S) Ngv +(w-w) [Nxv (г +»),,+
Nyw (г + w), v + Vt] + (w, ? - &, v) M4 +
Л — 2 (ю — *)(Mvx-MVi)|lc,. (iij)
6. Выведите модифицированные вариационные принципы со смягченными
условиями непрерывности для задач о растяжении и изгибе пластины, поставлен-
поставленных в §17.4 н 17.5.
в. Прочтите работы [4—7] и докажите, что в задачах нелинейной теории
упругости, поставленных в § 17.4 и 17.5, принцип стационарности дополнитель-
дополнительной энергии можно сформулировать с помощью тензоров напряжений Пнолы.
Задачи к § 17.6
7. Выведите условия стационарности функционала A7.88) и сравните их
о полученными в работе [8].
8. Выведите модифицированные вариационные принципы со смигчеинымн
условиями непрерывности для задачи, рассмотренной в § 17.6.

Глава 18
О МЕТОДАХ ДИСКРЕТИЗАЦИИ
§ 18.1. Введение
Как было указано во введении к части В, сплошное тело условно
разбивается на конечные элементы и при построении метода ко-
конечных элементов (МКЭ) рассматривается как совокупность этих
элементов. Непрерывные функции, представляющие физические
величины, заменяются аппроксимирующими функциями, которые
выбираются гладкими в каждом элементе, но во всем теле являются
кусочно-гладкими. Приближенное решение представляется в каж-
каждом элементе с помощью интерполяционных функций с неизвест-
неизвестными параметрами аппроксимаций, которыми могут быть, напри-
например, значения величин в узловых точках. Интерполяционные
функции, называемые также функциями формы (или базисными
функциями), выбираются так, чтобы, как только определены не-
неизвестные параметры, распределения физических величин во всем
теле определялись однозначно. Итак, нашей следующей задачей
будет вычисление неизвестных параметров.
Известно, что вариационные методы являются систематическим
и мощным средством отыскания этих неизвестных параметров.
Это используется в приложениях метода Релея—Ритца и является
стандартным способом при построении методов конечных элемен-
элементов в тех случаях, когда удается сформулировать вариационные
принципы [1 ]. Действительно, на протяжении всей этой книги
выводились вариационные принципы для задач теории деформи-
деформируемого твердого тела в расчете иа то, чтобы использовать их
в качестве основы методов конечных элементов. Однако возни-
возникают два вопроса. Во-первых, всегда ли возможно отыскать ва-
вариационный принцип в задачах механики сплошных сред, таких,
как проблемы гидродинамики, теплопередачи и т. д? Во-вторых,
если ответ на первый вопрос отрицателен, то как определить упо-
упомянутые выше неизвестные параметры? Поскольку ответ на пер-
первый вопрос действительно отрицателен, как объяснено в [2],
в данной главе кратко освещается второй вопрос.
Термин методы дискретизации (discrete analysis), похоже,
охватывает широкий спектр численных методов, в которых си-
система с бесконечным числом степеней свободы аппроксимируется

426 Часть В, Вариационные принципы как основа МКЭ
системой, обладающей конечным числом степеней свободы. По-
Поэтому в таких методах дифференциальные и интегральные уравне-
уравнения непрерывной задачи сводятся к конечному числу алгебраиче-
алгебраических уравнений. Хорошо известно, что метод взвешенных невязок
(МВН), метод Релея—Ритца (МРР), метод конечных разностей
(МКР) являются тремя основными методами дискретизации.
Первой темой этой главы будет изучение МВН, который образует
более универсальную и гибкую основу метода конечных элемен-
элементов, чем МРР ')
Пока не оговорено обратное, в § 18,2 и 18.3 будет изучаться
двумерная задача теплопроводности, формулируемая следующим
образом!
при граничных условиях
Кдв/дп = q на Си A8.2)
9 = 6 на С,. A8,3)
где 9, К и Q — соответственно температура, коэффициент тепло-
теплопроводности и интенсивность источников тепла, п —¦ внешняя
нормаль к границе, a q и 0 — заданные функции пространствен-
пространственных координат,
§ 18,2, Метод взвешенныж невязок
Обозначим приближенное решение задачи через б (х, у) и
представим его в виде
N
8 (х, у) == g at<pt (х, у) + Фо (х, у), A8,4)
где q>i (х, у), i = 1,2, .... N, •— базисные функции, определенные
в области S, a ait i — !, 2, .,,, N, — неизвестные параметры,
которые требуется вычислить в ходе решения. Функция ф0 (х, у)
включена в A8,4) для учета некоторых неоднородных членов,
входящих в A8.3)—A8.3). Отметим, что приближенное решение
в методе конечных элементов, так же как и в стандартном методе
Релея—Ритца, можно выразить в виде A8,4) с той только разни-
разницей, что в первом используются так называемые локальные, а во
втором — глобальные базисные функции а).
1) Автор выражает искреннюю благодарность О. С. Зенкевичу за разреше-
разрешение использовать материал работы [3].
2) См. работу [11, а также задачи 1—3 в конце настоящей главы. [Некото-
[Некоторые варианты описанных ниже методик читатель может найти в следующей
книге: Коренев Б. Г, Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности,
решаемые в бесселевых функциях. — М.: Фиэматгнз, 1960. — ПеревЛ

Гл. 18. О методах дискретизации 427
Подставляя выражение A8.4) в A8.1)—A8.3), получаем так
называемые невязки, определяемые следующим образом:
ъ bS' <185)
RCi = K~-q на С,, A8.6)
/?с,=8=-ё на Ся. A8.7)
Если 8 не окажется (случайно) точным решением, то эти
невязки не равны нулю тождественно. В методе взвешенных невя-
невязок предполагается, что невязки можно устремить к нулю в смысле
взвешенного среднего значения!
URsWtdxdy+ lRCtWids+lRc,Wtds = Q, A8.8)
S С, С,
I == 11 А9 ® *. 9 /V ,
где Wt (х, у), i — 1, 2, ,.., N, — весовые функции. Весовые
функции можно выбирать произвольно без каких-либо требова-
требований непрерывности. Они могут быть разрывными функциями,
включая и дельта-функцию. Их необходимо, однако, выбирать
надлежащим образом. Существует несколько способов такого
выбора, причем различные выборы приводят к разным формули-
формулировкам. Некоторые возможные варианты будут обсуждаться ниже.
/. Поточечная коллокация и коллокация
по подобластям
Если весовая функция имеет вид дельта-функции, так что
Wt=6(x-xt, y~yt), i=l, 2, ,,., N, A8.9)
где б — дельта-функция, a (xt, уг) — координата точки, лежащей
в S, на d или на С2, то получается формулировка метода поточеч-
поточечной коллокации. Иначе говоря, в методе коллокации невязки
равны нулю в точках (xt, yt), i = 1, 2, ..., N, часто называемых
контрольными точками.
Для изучения метода коллокации по подобластям разделим
область S, и границы Сг и С2 на ряд подобластей Ql( Q%, ... и выбе-
выберем весовые функции так, чтобы
!1 в подобласти Qt,
О в остальной части S

428 Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
2. Другие формы МВН
Теперь понизим степень произвола выбора приближенного ре-
решения 9 (х, у) в рассматриваемой задаче и положим
N
в (дг, у) -г- ? 0;Фг. (х, у) 4 Фо (х, у) A8.11)
так, что
4>о(х, у) = 6 на С2, A8.12)
Фг (л;, у) - 0, i =-- 3, -2, ..., .V на С2. A8.13)
Так выбранное 9 (х, у) удовлетворяет A8.3) независимо от зна-
значений, принимаемых параметрами a,-, i = 1, 2, ..., N. Тогда урав-
уравнение A8.8) переписывается следующим образом:
4)+4
- J J [4- («4)
S
S
J(J[) , ds= 0, i- 1, 2, ..., N.
A8.14)
Если считается, что весовые функции непрерывны, то интегриро-
интегрирование по частям преобразует A8.14) к виду
s^O, i= 1, 2, .... ЛГ. A8.15)
Как было указано выше, весовые функции в A8.14) не обязаны
быть непрерывными. Однако требование непрерывности учиты-
учитывается при переходе от A8.14) к A8.15). В работе [3] отмечалось,
что при интегрировании по частям выражения C8.14) и преобра-
преобразовании его к A8.15) требования непрерывности к базисным
функциям смягчаются, а к весовым функциям ужесточаются.
3. Метод Галеркина
В методе Галеркина используются уравнения A8.14) или
A8.15), а для выбора неизвестных параметров at принимается,
что
W, = Ф,- (х, у), i = 1, 2, ..., N. A8.16)
Иначе говоря, в методе Галеркина весовые функции выбирают
совпадающими с базисными функциями.

Гл. 18. О методах дискретизации 429
Итак, в методе Галеркина мы имеем
ids ^0, i^ 1, 2, ..., N, A8.17)
или
36 дцI ! 36 3(f
JJ f *(§*
S
- J$<p,ds---=O, i-_=l, 2, .... N. A8.18)
с,
§ 18.3. Метод Релея—Ритца
Известно, что для задачи A8.1)—A8.3) можно сформулировать
вариационный принцип. Так же как и в задачах линейной теории
упругости, запишем уравнение ')
O, A8.19)
где 60 — вариация 0, а в качестве дополнительного условия вы-
выбирается A8.3). Если считается, что 89 — непрерывная функция
в S, то интегрированием по частям преобразуем A8.19) к виду
(ср. с A8.15))
==0. A8.20)
с
Если, кроме того, считать, что К, Q и q не варьируются, то
получаем вариационный принцип
6П = 0, A8.21)
где
С,
х) Ср. с выводом принципа виртуальной работы в линейной теории упру-
упругости. См. также уравнения A8.14).

430 Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
и где варьируемой функцией, удовлетворяющей дополнительному
условию A8.3), является 0 (х, у). Видно, что допустимая функция
9 (х, у) в функционале A8.22) должна быть класса С°. Отметим,
что функция 9 (х, у), определенная в A8.11)—A8.13), является
допустимой для функционала A8.22) при произвольных значениях
параметров щ, i — 1, 2, ..., N. Поэтому, подставляя A8.11)
в A8.22) и интегрируя по х и у, получаем
1
= A/2) [а)Т[К] \а\ - \Q}T \а\ + С, ' A8.23)
где
\а\Т ^{аг, щ, . ..
iQ}r = [$i. Qt, ..
и где
-f J J Qfidxdy + J ftp, ds, A8.24b)
\q<pod$. A8.24c)
s c,
В методе Релея—Ритца считается, что
дП/dai = 0, / = 1, 2, .... N, A8.25)
и из A8.23) получаются алгебраические уравнения
Ш \а] ^ \Q\9 A8.26)
которые используются для определения неизвестных параметров
щ, i = I, 2, ..., N. Легко видеть, что уравнения A8.26) экви-
эквивалентны уравнениям A8.18), как и следовало ожидать.
Итак, МВН и МРР продемонстрированы на примере задачи
A8.1)—A8.3). С методом конечных разностей читатель может
ознакомиться по соответствующим учебникам 1).
1) См., например, Марчук Г. И. Методы вычислительной математики.— М.:
Наука, 1980; Рихтмайер Р. Д. Разностные методы решения краевых задач. —
М.: ИЛ, 1960; Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. — М.:
Наука, 1971 и др, -= Прим, трев.

Гл. 18, О методам дискретизации 431
§ 18.4. Некоторые замечания о методах
дискретизации
Сделаем некоторые общие замечания о методах дискретизации.
Во-первых, можно следующим образом ответить на второй
вопрос, поставленный в § 18.1. Если для рассматриваемой задачи
можно сформулировать вариационный принцип, то решение можно
получить с помощью обычного метода конечных элементов, по-
построенного на основе метода Релея—Ритца, в котором неизвест-
ные параметры определяются из решения системы алгебраических
уравнений. Если же вариационный принцип сформулировать
нельзя, то для определения неизвестных параметров следует
использовать метод взвешенных невязок,
Было показано, что МВН, который содержит в качестве част-
частных случаев некоторые методы дискретизации» такие, как метод
коллокации и метод Галеркина, является основой методов дискре-
дискретизации и позволяет разъяснить свойства отдельных методик.
МВН можно предложить для решения почти любой инженерной
задачи, и, следовательно, он обладает универсальностью при
решении практических проблем. Дальнейшие детали обсуждаются.
например, в работах [1—5]. Можно добавить, что в механике
деформируемого твердого тела МКЭ, основанный на принципе
виртуальной работы, можно рассматривать как вариант метода
Галеркина и также условно отнести к МВН.
Во-вторых, заметим, что МКР при дискретизации широко ис-
использовался и используется и поныне, особенно в динамике жид-
жидкости и газа (а не в механике деформируемых тел и строительной
механике). Заметим также, что МКЭ используется чаще для рас-
расчета пространственных полей, а МКР — для определения вели-
величин, зависящих от времени, например в динамической теории
упругости. Выбор между МКЭ и МКР в значительной мере зави-
зависит от характера рассматриваемой задачи, поскольку оба метода
обладают специфическими достоинствами и недостатками
В-третьих, повторим, что в МРР используются обычно гло-
глобальные базисные функции, тогда как в МКЭ применяют локаль-
локальные базисные функции (см. задачи 1—3 в конце этой главы)
Известно, что разумный выбор глобальных базисных функций
является зачастую залогом успешного применения МРР (см.
§ 1.5). Однако, вообще говоря, это непростой вопрос, особенно
в двух- и трехмерных задачах со сложными граничными усло-
условиями. С другой стороны, МКЭ использует локальные базисные
функции, которые выбирать зачастую проще, чем глобальные.
Не будет преувеличением сказать, что до появления МКЭ метод
Релея—Ритца не считался эффективным методом решения прак-
практических задач.

432
Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
§ 18.5. Метод граничных элементов
Если уравнения поля линейны, то континуальная задача
часто формулируется с помощью интегральных уравнений (или
системы интегральных уравнений); см., например, работу [6].
Этот метод часто называется методом особенностей, поскольку
ядро интегрального уравнения обычно имеет особенность. Его на-
называют также методом граничных интегральных уравнений,
потому что в такой постановке неизвестные функции в интеграль-
интегральном уравнении определены только на границе.
Рис. 18.1. Плоская задача.
Рис. 18.2. Произвольная точка на
границе.
Рассмотрим, например, задачу для уравнения Лапласа на
плоскости:
Аф = ¦ 3 .- + • .... = 0 в S
при граничных условиях
дц/дп = q — q на
Ф = ф на Са,
A8.27)
A8.28)
A8.29)
где п — внешняя нормаль к границе (рис. 18.1).
В этой задаче с помощью функций Грина удается выписать
интегральное уравнение. Из уравнений A5) и A6) приложения N
получаем значения функции ф в произвольной точке Р области 5:
Фя + V.P. j(pq*ds = V.P. [<7Ф*ds A8.30)
с с
(где V. Р. означает главное значение интеграла в смысле Коши)
и в произвольной точке Р границы С (= Сх + Са):
y*ds. A8.31)

Гд, 18. О методах дискретизации
433
В A8.30) и A8.31) принимается, что
дп
где
A8.32)
A8.33)
A8.34)
a (g, tj) и (х, у) — координаты точки Р и точки контура, по ко-
которому производится интегрирование. Коэффициент СР в левой
части A8.31) равен СР = аР /Bл), где аР — угрл между двумя
касательными к точке Р, как показано на рис. 18.2. Если граница
в точке Р гладкая, то аР = п.
Подставляя A8.28) и A8.29) в A8.31), получаем
+ V.P. f ф<7*ds -f V.P. J ф<7* ds =
= V.P,
. \qifds.
A8.35)
Видно, что неизвестными функциями, входящими в A8.35), яв-
являются ф на Сг и q на С2, т. е. обе они определены на границе С.
Теперь укажем способ численного решения уравнения A8.35)
методом граничных элементов (МГЭ), в котором используется
простая конечно-элементная модель. Для этого разобьем границу
иа N прямолинейных отрезков конечной длины (на конечные эле-
элементы) и обозначим номера элементов, принадлежащих частям
границы Сг и Ct через 1, 2, 3, .... М и М + 1, М + 2, ..., N
соответственно (рис. 18.3).
При формулировке метода конечных
элементов принимается, что ф и q в каж-
каждом элементе постоянны. Тогда к A8.35)
применяется метод коллокации следую-
следующим образом: точка, находящаяся в се-
середине каждого элемента, выбирается
в качестве контрольной для того, чтобы
получить N алгебраических уравнений.
Напомним, что поскольку участок гра-
границы в пределах каждого элемента
является гладким, имеем аР = п и
соответственно СР = 1/2. Выпишем си-
систему N алгебраических уравнений,
которая получается при указанной
дискретизации:
Рис.
18.3. Дискретизация
границы.

434 Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
*ds, i= 1, 2, .... N. A8.36)
В обозначениях, введенных в работе [19 J, это переписывается так:
A/2) Ф, + X! Hu4>i = X! Gug,, A8,37)
или
[Я] (ф( = 10] \q\, A8.38)
где
при 1Ф\.
A8.39)
1/2 при { = /,
(ф( = [фх, ..., фм, фм+1, ,.., ф^], A8.40)
l<7l=[<7i. • • • ¦ Ям, Ям+i, • -•,<7лг]- A8.41)
Переиндексировав величины A8.40) и A8.41) так, чтобы в урав-
уравнениях A8.38) все неизвестные величины оказались в левой
части, получаем
[А] \Х\ = \Q\, A8.42)
где
{Х}г = [ф1, .... фм, qM+1 qN]. A8.43)
Решая систему A8.42), можно определить неизвестные вели-
величины \Х\.
Как только величины q>t и qt на всей границе найдены,
можно подсчитать значение ф в любой точке области S по следу-
следующей формуле:
N N ~
Ф^ == 2j Gtjqj— 2j Я^/ф^, A8.44)
которая является дискретным аналогом формулы A8.30).
Выше в общих чертах обрисована схема применения МГЭ
к задаче A8.27)—A8.29). Видно, что неизвестные величины в A8.42)
вводятся только в точках границы. Итак, при использовании МГЭ
существенно снижается число неизвестных параметров по сравне-
сравнению с обычными МКЭ, в которых на элементы разбивается вся
область 5.
Поскольку МГЭ лежит, вообще говоря, за пределами круга
вопросов, рассматриваемых в данной книге, мы не будем в него
углубляться. Сделаем исключение лишь для схемы применения
МГЭ к нелинейной задаче со свободной границей, возникающей
в гидродинамике, и некоторых дополнительных замечаний о МГЭ
в § 18.7. Читателей, интересующихся приложениями МГЭ к за-
задачам теории упругости, мы отсылаем к работам [7—21 ] и при-
приложению N, а интересующихся приложениями МГЭ к аэродина-
аэродинамике и гидродинамике —к работам [19—28].

Гл. 18. О методах диекретимции
435
§ 18.6. Метод граничных элементов
в задаче о движении жидкости со свободной поверхностью
Одной из интересных особенностей МГЭ является то, что его
можно использовать и в некоторых нелинейных задачах. Напри-
Например, рассмотрим, как используется МГЭ в нелинейной задаче
со свободной поверхностью жидкости, в которой уравнения тече-
течения линейны, а граничные условия нелинейны [29, 301.
Рассмотрим движение жид-
жидкости в двумерном прямоуголь-
прямоугольном баке, который испытывает
колебания в вертикальном и
горизонтальном направлениях,
как показано на рис. 18.4,
Известно, что вынужденные
колебания жидкости этого рода
называются взбалтыванием (slo- z
shing): важным примером таких
колебаний является взбалтыва-
взбалтывание топлива в большом баке
при сильном землетрясении.
Будем считать, что происхо-
происходит безвихревое течение идеаль- Рис-
ной несжимаемой жидкости и
18.4. Взбалтывание жидкости
в прямоугольном баке,
что бак не деформируется. При постановке задачи декартова
прямоугольная система координат (х, у) связывается с баком
так, что ось х совпадает со свободной поверхностью неподвиж-
неподвижной жидкости, а ось у — с осью симметрии бака (рис. 18.4).
Компоненты скорости жидкости относительно контейнера обо-
обозначим через и и v. Эти компоненты выражаются через потен-
потенциал скоростей ф (х, у, t):
и = ду/дх, v =* ду/ду. A8.45)
Теперь выведем определяющее уравнение и граничные условия
задачи о взбалтывании жидкости, в которой бак подвергается
вертикальному и горизонтальному ускорению о, и а, соответ-
соответственно [291:
д*?
ду
у- - U В Ь,
дп
_дц_
dt
на Сх,
A8.46)
A8.47)
A8.48)
C8.49)

436 Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
В этих уравнениях S — область, занимаемая жидкостью, Cj —
свободная поверхность жидкости, а С2 — часть стенки бака,
контактирующая с жидкостью. Свободная поверхность Сг описы-
описывается уравнением
У^П(х, 0. A8-50)
его координата у отсчитывается от свободной поверхности непод-
неподвижной жидкости. Отметим, что S, Сх, С2 и tj зависят от времени.
Величина g — ускорение свободного падения, действующее в на-
направлении, противоположном оси у, п — внешняя нормаль к гра-
границе Ci И Л, COS (п, у).
Поскольку из A8.46) следует, что ф (х, у, t) удовлетворяет
уравнению Лапласа на плоскости, имеем (см. соотношение A4)
приложения N)
а,лрр = \.Р. |ф —(ln/?)ds-V.P. J-^-ln/?ds A8.51)
с с
для произвольной точки на С {=СХ -f С2), где фя = ф (Р). Под-
Подставляя A8.48), A8.49) в A8.51), имеем
otpqv-V.P. J y~{\nR)ds + V.P. \ nv -^- In R ds = 0.
с,+с, с,
A8.52)
С другой стороны, заметим, что условие A8.47) можно заменить
двумя следующими уравнениями:
3 +
зг 3 г{(&) (т&У} <18-53>
и
D = 0, A8.54)
где D—так называемый член компенсации ошибки, который
часто эффективно используется в численных методах, таких, как
метод маркеров и ячеек [31, 32]. Для удобства введем весовую
функцию W (s, t) и перепишем уравнение A8.53) в форме МВН:
s = 0, A8.55)
причем использованы следующие соотношения:
"Ф \ I / "ф \ / ^ф \ / ^ф \ 2 / ^П \ I / "Ф \
^х / 1 \ ду / \ дп / ^ \ ds / v \ dt ) ~^~ \ д$ / '
A8.56)

Гл. 18. О методах дискретизации 437
Для того чтобы численно решить уравнения A8.52) и A8.55),
в расчетах пространственных полей используется МКЭ, а для
определения временных зависимостей — МКР. Для начала вся
граница С условно разбивается на отрезки конечной длины —
конечные элементы (рис. 18.5). В каждом элементе функции ф,
т), W и D приближаются комбинацией значений этих величин
в узловых точках и интерполяцией. Базисная функция линейна
по s, причем s измеряется вдоль элемента. Далее, для выбора зна-
значений в контрольных точках, которыми считаются узловые точки,
к уравнению A8.52) применяется
метод коллокации. Таким образом,
при дискретизации уравнение A8.52)
заменяется системой алгебраических
уравнений относительно ф,, ць и г\ь
причем индекс i означает, что вели-
величина относится к узловой точке i,
а точка означает дифференцирование
по времени. С другой стороны, при
дискретизации уравнения A8.55),
принимая во внимание произволь- нии?ы КруЖкГм7о™начень'?з-
ность величин W,, получаем дру- ловые точки.
гую систему уравнений относитель-
относительно фь ф;, т)ь т); и Di1). Поскольку эти системы уравнений
нелинейны относительно неизвестных величин, для численного
решения используется метод возмущений. Пусть
Ф = ф0 + Дф, т) ¦= 1]0 + Дт). A8.57)
где ф0, тH и ф, т) суть значения в моменты времени / и / -f Д/ соот-
соответственно. Используя приближенные формулы метода конечных
разностей
dt At ^ \ dt /о dt
и вспоминая A8.54), сведем A8.53) к уравнению
~дГ ~A~t ~"дГ' (ю.оу;
где Do и D — значения в моменты времени t и t + At соответствен-
соответственно. Пренебрегая членами высшего порядка малости по Дф и Дт),
окончательно получаем из A8.52) и A8.55) следующую систему
алгебраических уравнений:
Л( АП^КЦ A8.6О)
') Описанная выше процедура иногда называется методом Канторовича—
Крылова; см. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего
анализа. — 5-е изд.—М.: Физматгиз, 1962.—Прим. перев-

438
Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
Решая A8.60), находим Дт) и Д<р, которые далее подставляются
в A8.57) для вычисления r\t и q>t. Величина D в момент t ¦+¦ At
находится из соотношения
A8.61)
которое дает значение Do на следующем шаге рекуррентной про-
процедуры.
rj(x/(Zb)=±0,5)
-0,1 ^
Рис. 18.6. Зависимость ц от времени.
В качестве примера численного решения рассмотрим взбалты-
взбалтывание жидкости в двумерном прямоугольном баке при вертикаль-
вертикальном потряхивании [29, 30]. Имеем
h/Bb) = 0,5,
где 2Ь и h — ширина и глубина неподвижной жидкости. Пере-
Перемещение бака в направлении оси у дается уравнением
Y (/) = — Yo sin ©/,
где выбирается
Y0/Bb) = 0,01, © VWg = 5,0.
Начальный профиль свободной поверхности в момент / = 0 за-
задается распределением
0) ^.Olco» [2n (-j-)]. A8.62)
Некоторые результаты численного решения представлены
в виде графиков на рис. 18.6 и 18.7. Зависимости величины т)
от времени на стенке и в центре, а именно т) (х/BЬ) = ±0,5) и
т) (х/BЬ) = 0) показаны на рис. 18.6. Профили свободной поверх-
поверхности в моменты времени
/ -/(gl{2b)) = 13,86 и 15,14
изображены на рис. 18.7. Эти результаты сравниваются с полу-
полученными по нелинейной теории Пенни и Прайса (см. работу [32])

Гл. 18. О методах дискретизации
На рис. 38.7 результаты расчетов по методу МГЭ обозначены круж-
кружками, а по нелинейной теории Пенни и Прайса [33] — сплош-
сплошными линиями. Видно, что результаты расчетов по МГЭ хорошо
согласуются с теоретическими кривыми. Отметим, что рассмат-
Рис. 18.7, Профили свободней поверхности жидкости в два момента времени
риваемый пример относится к случаю субгармонического резо-
резонанса, когда частота отклика равна половине частоты возбужде-
возбуждения. Видно, что из-за резонанса высота свободной поверхности ц
быстро возрастает во времени.
Выше был в общих чертах описан МГЭ, развитый в [29].
Отметим, что в [29] содержатся и некоторые другие примеры
использования МГЭ в задачах динамики жидкости со свободной
поверхностью, таких, как распространение поверхностных волн,
вызываемых периодическим изменением атмосферного давления,
образование цунами при поднятии морского дна, возникновение,
распространение и отраже-
отражение солитона от вертикаль-
вертикальной стенки и т. д.
§ 18.7. Некоторые
замечания о МГЭ
Сделаем два дополни-
дополнительных замечания о МГЭ.
Прежде всего заметим, что
при использовании МГЭ, по-
похоже, наиболее удобен метод
коллокации. Даже при ис-
использовании простых базисных функций точность численных
результатов, полученных с помощью МГЭ, обычно хороша и ие
зависит сильно от положения контрольных точек. Следуя работам
[34, 35], рассмотрим, например, задачу отыскания аэродинами-
аэродинамических нагрузок, действующих на двумерное тонкое крыло
п однородном несжимаемом потоке невязкого газа (рис. 18.8),
и
' 1^
Z
^г—~~
0
г
1
1
1
¦——-
1 ^3»
2а(х)
с
Z
Рис. 18.8. Двумерное крыло.

440
Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
Определяющее интегральное уравнение имеет вид [22]:
A8.63)
где Z = Za (х) — координата так называемого «скелета» профиля
крыла, V. Р. означает главное значение интеграла в смысле
Коши, с — длина хорды крыла, / (х) — безразмерная распре-
а
а
(г)
а
(n)
Рнс. 18.9. Дискретизация.
хЫ-1
деленная подъемная сила, которая связана с подъемной силой
крыла L зависимостью:
с/2
L J A8.64)
= -LpU* J l(x)dx,
-с/2
где р и U — плотность и скорость однородного потока соответ-
соответственно. Отметим, что / (х) равно нулю на заостренной задней
кромке (условие Жуковского—Кутты).
В конечно-элементном анализе хорда (—с/2 <g x *g с/2) раз-
разбивается на N сегментов равной длины a (~c/N), как изображено
на рис. 18.9, где х0 и xN соответствуют передней и задней кромке.
Обозначая значение / (х) при х = х0 через 10, а значение / (xt)
через 1и примем базисные функции в каждом элементе в следую-
следующем виде:
для элемента, примыкающего к передней кромке
причем учитывается сингулярность на передней кромке;
для остальных элементов
Цх) = lL^Llt_l+ *-«'-' /, A8.66)
при д:^ <: х «¦ х,, 1 — 1, 2, .... N,
где If, = 0 для удовлетворения условия Жуковского—Кутты.
Отметим, что базисные функции, определенные уравнениями
A8.65) и A8.66), являются непрерывными функциями (класса С)
переменной х.

Гл. 18. О методах дискретизации
441
Вычисления производились для тонкой плоской пластинки
с углом атаки а, так что
Za (х) « — ах. A8.67)
Численные результаты сопоставляются с аналитическим ре-
решением:
/(х) = 4а/A - **)/(! + х*), A8.68)
где х* — х/(с/2).
Метод Галеркина
На рис. 18.10 приведены результаты расчетов по методу Га-
Галеркина. Рассматривая графики, можно сказать, что численное
Рис. J8.10. Результаты расчетов по ме-
методу Галеркина. Аналитическое решение
представлено сплошной линией; резуль-
результаты, полученные методом Галеркина, —
крестиками (при N = 6) и кружками
(при N = 10).
о1—
-1,0
-0,5
х
с/г
0,5
1,0
решение вычерчивает зигзаг около аналитической кривой, и
амплитуда колебаний этого зигзага, как видно, не уменьшается
при увеличении N от 6 до 10. Поскольку весовые функции в этом
варианте метода Галеркина выбраны так, как изображено на
рис. 18.11, авторы статьи [34] нашли, что такая устойчивая
Xq Xj Xg Xtf-2 3-N-1 X N
Рис. 18.11. Весовые функции в методе Галеркииа.
ошибка может возникать из-за сильного влияния весовой функции,
связанной с минимизацией невязки в элементе, который примы-
примыкает к передней кромке, и предложили использовать МВН.
Метод взвешенных невязок
Хотя базисные функции во всех элементах по-прежнему вы-
выражаются формулами A8.65) и A8.66), весовые функции теперь
выбираются так, как показано на рис. 18.12, а именно, в методе

442
Часть В. Вариационные принципы как оснош МКЭ
взвешенных невязок все весовые функции одинаковы для всех N
элементов. Численные результаты, полученные таким способом
авторами статьи [33], показаны на рис. 18.13. Сравнение рис. 18.10
и 18.13 указывает иа существенное улучшение поведения приб-
приближенного решения, которое достигнуто из-за рационального
выбора весовых функций.
Рис. 18.12, Весовые функции в методе взвешенных невязок.
Метод коллокации
Как видно, МВН позволяет получить численные результаты
с хорошей точностью. Однако, поскольку выполнение двух интег-
интегрирований по х и I довольно трудоемкий процесс, авторы работы
2
-ю
-0,5
0,5
1,0
-1,0
-0,5
0,5
с/г
с/г
I'iK 18.13. Результаты расчетов по
методу взвешенных иевязок. Анали-
Аналитическое решение представлено сплош-
сплошной линией; результаты, полученные
методом взвешенных иевязок, — кре-
крестиками (при N = 6) и кружками
(при N = 10).
Рис. 18.14а. Результаты расчетов по
методу коллокацни для 25 % -ных кон-
контрольных точек. Аналитическое реше-
решение представлено сплошной линией;
результаты, полученные методом кол-
локации, — крестиками (при N = 6)
и кружками (прн N — 10).
[34 ] предложили применять метод коллокации. В этом методе
положение контрольной точки xc,t в i-u элементе выбирается
тремя разными способами:
12 3
*с, i — *i-i + -f о, хс, i = xt_t -f- -у- а, хс, i = Xi_t -j- -j- a;
эти точки можно условно назвать 25 %-, 50 %- и 75 %-ной точ-
точками /-го элемента. Численные результаты показаны на
рис. 18.14а, 18.14b и 18.14с соответственно. Как видно, точность

Гл. 18. О методах дискретизации
443
в каждом из этих вариантов почти такая же, как и в методе взве-
взвешенных невязок. Точность вычислений почти не зависит от поло-
положения контрольных точек при выборе базисных функций по фор-
формулам A8.65) или A8.66).
Второе замечание касается соотношений между порядками
особенностей ядра и базисных функций. Поскольку ядро интег-
интегрального уравнения содержит особенность, необходимо тщательно
соблюдать требование непрерывности базисных функций. Сле-
Следуя [35], рассмотрим задачу расчета аэродинамических нагрузок
-1.0
-45
0,5
Г, О
с/г
Рнс. 18.14Ь. То же, что на рис. 18.14а,
для 50 %-ных контрольных точек.
Рис. 18.14с. То же, что на рис, 18.14а,
для 75 %-иых контрольных точек.
на трехмерное крыло в несжимаемой идеальной жидкости
(рис. 18.15). Уравнение задачи записывается в следующем
виде [22]:
dZa
дх
8я
j\K(x, у; Б. л)'(Б. 4)<«*b A8.69)
где ядро К (х, у; Б, т\) равно
Z = Za(«, i/) — координата срединной поверхности крыла, а при
интегрировании по Ra (т. е. по всей плоскости крыла) берется
главное значение интеграла в смысле Манглера. В A8.69) через
/ (х, у) обозначено безразмерное распределение подъемной силы,
которая связана с полной подъемной силой зависимостью
. y)dxdy,
A8.71)
где р и U — плотность и скорость жидкости в невозмущенном
потоке. Отметим, что / (х, у) равно нулю на задней кромке и в кон-
концевом сечении крыла (условие Жуковского—Кутты).

444
Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
При расчете методом конечных элементов сетка образуется
двумя рядами прямых, причем один ряд соответствует направле-
направлению оси крыла, а другой параллелен хорде крыла (оси х), так что
крыло разбивается на четырехугольные элементы, как показано
на рис. 18.16.
Рис. 18.15. Трапецеидальное стрело- Рис. 18.16. Разбиение на конечные
видное крыло. элементы.
Рис. 18.17. Распределение аэродина-
аэродинамических нагрузок по размаху пря-
прямоугольного крыла.
с/г
Рис. 18.18. Распределение аэродина-
аэродинамических нагрузок вдоль хорды пря-
прямоугольного крыла. Верхняя кривая
соответствует середине размаха крыла,
средняя 40 % размаха, нижняя 80 %
размаха.
Сначала в методе конечных
элементов использовались не-
непрерывные (С-гладкие) базисные функции и применялся метод кол-
локации, в котором контрольные точки расположены в центрах
тяжести элементов. Численные расчеты проводились для плос-
плоского прямоугольного крыла, помещенного в однородный поток
под углом атаки а, а именно
Za (х, у) = —ах. A8.72)
Один из результатов расчета представлен на рис. 18.17, на
котором видно, что распределение подъемной силы по размаху
крыла ведет себя странно, образуя зигзаг.
Первый из авторов работы [36] обнаружил, что этот странный
зигзаг возникает из-за сомножителя \1(у — цJ в ядре A8.70).

Гл. 18. О методах дискретизации
445
Он показал, что, поскольку в ядре имеется столь сильная особен-
особенность, базисные функции в направлении размаха крыла должны
быть непрерывно дифференцируемыми (класса С1), а по оси х
достаточно ограничиться только непрерывностью этих функций
(классом С0).
Амплитуда
1,0
х
Рис. 18.19. Консольное крыло,
осциллирующее в потоке газа.
i
1,0
Рис. 18.20. Разбиение на конеч- Рис. 18.21. Сравнение результатов чи-
ные элементы. елейного расчета н экспериментальных
данных.
Таким образом, при конечно-элемеитной формулировке потре-
потребовалось применить базисные функции классов С0 и С1 по пере-
переменным, отсчитываемым вдоль оси х и по размаху крыла соот-
соответственно. Вычисления проводились для плоской квадратной
пластины, помещенной в однородный поток под углом атаки а.
Расчет делался для пластины, разбитой на 6x6 элементов, и
результаты приведены на рис. 18.18. Хотя на этом рисунке по-
показано распределение вдоль хорд крыла, нетрудно видеть, что
результаты уже не образуют резких зигзагов и по размаху крыла.
Эта процедура применялась М. Хасимото для расчета аэроди-
аэродинамических нагрузок, действующих на консольное прямоугольиое

446 Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
крыло, вибрирующее в потоке газа так, что реализуется низшая
изгибиая форма колебаний (рис. 18.19). Разбиение на конечные
элементы приведено на рис. 18.20. На рис. 18.21 показаны ампли-
амплитуда и фаза аэродинамической нагрузки, причем по оси абсцисс
отложена безразмерная координата по размаху крыла, а безраз-
безразмерным параметром семейства кривых является величина ж/(с/2),
указывающая положение точки на хорде крыла. На этом рисунке
сплошными линиями показаны результаты, полученные рассмат-
рассматриваемым методом, а кружки, треугольники и квадратики соот-
соответствуют экспериментальным данным из отчета NASA TN D-344.
^ у2 Как видно, результаты экспе-
эксперимента и расчета методом ко-
р(х) Щ нечных элементов согласуются
: очень хорошо.
Упражнения
X=L Задачи к § 18.2—18,4
Рис. 18.22. Прямолинейный стер '• Прямолинейный стержень, эа-
жень> деланный на концах х == 0 и х = L,
подвергается действию распределенной
внешней нагрузки р (х) в направлении
оси х хах показано на рис. 18,22, Интенсивность распределенной нагрузки
р (х) отнесена к единичной длине по оси х.
A) Дохажите, что уравнение и краевые условия в задаче о стержне имеют
вид
1А0Еи']' + р = 0 (i)
и @) = 0, и (L) = 0, (И)
где Aq (х) и Е (х) — соответственно площадь поперечного сечения и модуль
Юига материала стержня, и (х) — перемещение в направлении оси х, а () ==
= d( )ldx.
B) Докажите, что функционал принципа минимума потенциальной энергии
в *той задаче дается выражением
L
Пр = jui/2)A0E(u')*-pu)dx, (iii)
о
где и (х) — независимая варьируемая функция класса С0, удовлетворяющая
дополнительным условиям (ii)x).
C) Для использования обычного метода Релея—Ритца вводятся следующие
глобальные базисные функции:
(а) <р, (х) = sin (nx/L),
<р2 (х) = sin BnxlL), (iv)
Фз(*) = sin Cnx/L),
l) В качестве допустимых функций можно выбирать кусочио-дифференци-
руемые функции иа отрезке @, Ц. — Прим. пере».

Гл. 18. О методах дискретизации
447
<р, (х) == х (L - х),
Фа (х) =¦= ж (A/2) Z, - J-) (Z, - *),
Фз (х) .= х (A/3) L - х) (B/3) L-x)(L- x).
(v)
Докажите, что глобальные базнсные функция (iv) имеют вид, изображенный
на рнс. 18.23.
D) При формулировке МКЭ
разобьем стержень на четыре эле-
элемента равной длины I, как пока-
показано на рис. 18,24, н выберем
в каждом элементе линейные ба-
базисные функции
и* (х) = Со + Сгх. (vi)
Обозначая значения и (х) в узлах 1
и 2 через их и и2 соответственно,
в элементе A—2) имеем
и* (х) = A — х/1) и, + (xli) ир
fvii)
где х—локальная координата,
отсчитываемая от узла 1. Пока-
Покажите, что совокупиость этих функ-
функций и* (х), обозначаемая через й (х).
принадлежит классу С0 на отрезке
О <J х <J L и что если принимаются
во внимание дополнительные ус-
условия (ii), а именно
ut = 0, щ = 0, (viii)
х = 0
x=L
Рис. 18.23. Глобальные базисные фун-
функции.
то й (х) является допустимой функцией для функционала принципа минимума
потенциальной энергии.
E) Докажите, что й (х) можно представить в виде
з
й (х) = J] "№ (*). (ix)
где базисные функцин ф^ (х), i: = 1, 2, 3, изображены на рис. 18.25. В отличие
от глобальных базисных функций
I 2 3 4 S (рис. 18.23) функции, изображенные
J~^~ ' ' ' -* , на рнс. 18.25, называются локальными
базисными функциями.
F) Докажите, что в методе ко-
конечных элементов получается следу-
Рис. 18.24. Дискретизация.
ющая система алгебраических уравнений относительно неизвестных пара-
параметров иь ui и ua:
IK] {Я) = {Q}, (x)
где IK] — матрица жесткости, {q)T = [ult ut, u3], a {Q)T = 0lt P,, Ps]—
вектор приведенных узловых нагрузок, отвечающих внешней нагрузке р (х).
2. Прямолинейная балка, защемленная иа концах при х — 0 и х = L,
подвергается действию внешней распределенной изгибающей нагрузки р (х),
направленной вдоль оси г, как показано иа рис. 18.26. Распределенная нагрузка
р (х) отнесена к единичной длине вдоль осн х.

448
Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
A) Докажите, что уравнение и граничные условия в этой задаче имеют вид
[Elw'Y « p (i)
w @) = w' @) = «)(?) = «»' (i) = 0, (ii)
где El — иэгибная жесткость балки, w — перемещение в направлении оси г,
а ( )' = d ( )ldx.
B) Докажите, что функционал принципа минимума потенциальной энергии
в этой задаче имеет вид
ь
Пр = J [A/2) El {w")z — pw) dx, (iii)
о
где независимая варьируемая функция w принадлежит классу С1 и удовлетворяет
дополнительным условиям (ii).
Рис. 18.25. Локальные базисные
v,(x) фуикции.
Рис. 18.26. Прямолинейная балка.
C) При формулировке МКЭ разобъем балку на четыре конечных элемента
равной длины /, как показано иа рис. 18.22, и выберем в каждом элементе базис-
базисные фуикции в виде кубических* миогочлеиов относительно переменной х:
w' (х)
dx + С,*2 +
(iv)
Обозначая значения ш и to' в узлах 1 и 2 через wlt —0j и w2, —ва соответственно,
получаем
«»' М - Н$ (х) Щ ~ Н$> (х) 1ву + Н$ (х) w2 - //<•> (х) 1в2. (v)
где х — локальиаи координата, отсчитываемая от узла 1, а
(vi)
Графики этих функций приведены иа рис. 18.27. Докажите, что совокупность
таких функций w' (х), обозначаемая через & (х), принадлежит классу С1 иа от-
отрезке 0 ^ х ^ L и что если принять во внимание дополнительные условия (ii),
а имеиио условия
В»о = в0 = В»4 = в4 = °. (Vil)
то Ф (х) будет допустимой функцией в прииципе минимума потенциальной энергии.

Гл. 18. О методах, дискретизации
449
D) Докажите, что w (x) может быть представлена в виде
б
(viii)
где
[9i. 9г. 9э> 94. 95. 9el = f^i. Oi> ш2, 6а, шэ, 6S1,
а базисные функции изображены на рис. 18.28. Напомним, что базисные функ-
функции, показанные иа этом рисунке, являются локальными базисными функциями.
Рис. 18.27. Функции
$ и Н\1>.
E) Докажите, что метод конечных элементов в итоге приводит к следующей
системе алгебраических уравнений относительно неизвестных параметров {<?}:
{я) =
(ix)
где |/С! — матрица жесткостей, a {Q} — матрица приведенных узловых нагру-
нагрузок, эквивалентных действию внешней нагрузки р (х).
3. Рассмотрим двумерную задачу теплопроводности, определяемую урав-
уравнениями A8.1)—A8.3). При формулировке метода коиечиых элемеитов область S
разбивается иа треугольные элементы, как показано на рис. 18.29, а границы Су
и С2 заменяются совокупностью ломаных линий. В качестве базисных функций
для 6 (х, у) выберем в каждом элементе линейные функции х и у:
ве (х, у) = а+Ьх+су= [S (х, у)] {а},
где
[S(x, у)]= П,х,у], {а)т = [в, Ь, с].
Обозначая значения в вершинах произвольного треугольника элемеита A—2—3
через 0j, 02 и 6Э, а координаты этих вершин через (xt, yt), (хг, у2) и (х3, Уз) соот-
соответственно, получим
в, = а + Ьхг + cylt (ii)
93 = а +¦ Ьх3 + су3
или
(iii)
15 К. Вас ндзу

450
Часть В. Вариационные принципы как основа МКЭ
где
г 1 xi !/i ~| г" 9i ~i
Li x3 yj LeJ
Из уравнения (iii) находим
(iv)
Ч—» !-+¦
Рис. 18.28. Локальные ба-
базисные функции.
Рис. 18.29. Разбиение на
конечные элементы.
Подставляя выражение (iv)
в уравнение (i), получаем
в* (ж, У) =[#(*, уI(9е),
(v)
где
W(x,y)l= IS (х, у)ЦС]-К
, (vi)
- l <Pe(x) Определив компоненты
W(x, у)]:
IN (x, y)\ = \Ni (х, у), Nt (х, у), N3 (х, у)), (vii)
уравнение (v) можно записать а следующем виде:
в* (х,-у) = Q1N1 (х, у) 4- 64#а (х, у) 4- вз^з (¦*> У)- (viii)
Обозначим значении в (дг, у) в узловых точках через .
вх> 6f, ..., &ff, dff+i, вдг+j 9д|,
где 9i, ва 6jv — зиачеиия 6 в узловых точках, лежащих в S и на Clt a впг+i, ¦-.
.... вдг — в узловых точках, лежащих на С2. Таким образом, 0i, ..., Ojv — неиз-
неизвестные величины, а 6№+1, ...,BM заданы.

Гл. 18. О методах дискретизации
451
A) Докажите, что иитерполяциоииые функции Nf (x, у), Ыг (х, у), N3 (x, у),
определяемые уравнением (viii), имеют вид, показанный иа рис. 18.30.
B) Определим 6' (х, д) в каждом элементе.
Докажите, что совокупность этих функций 6е (х, у), обозначаемая через
6 (х, д), принадлежит классу С° и ивлиется допустимой функцией для функцио-
функционала A8.23) принципа потенциальной энергии.
Рис. 18.30. Функции Nx(x, у), N2(x, у)
и N, (х, у).
Рис. 18.31. Локальная базисная фуик- 6
ция.
C) Докажите, что в (х, у) можно записать в виде
М
*, У) -
(X, У) +
в;<р,- (X, у),
(ix)
где ffi (ж, у) — локальные базисные функции. Докажите, что q>j (x, у), определен-
определенные формулой (ix), имеют вид, изображенный на рис. 18.31. Сравните формулу
(ix) с формулами A8.11)—A8.13).
D) Докажите, что в методе конечных элементов получается следующая си-
система алгебраических уравнений относительно неизвестных параметров {д):
{</}={Qb
где
(Я)Т =
a {Q} определяются согласно значениям функции Q (х, у) в S и д (s) на Ct. Сравиите
уравнение (х) с уравнением A8.17).
15»

ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение А
ОБ УСЛОВИЯХ СТАЦИОНАРНОСТИ ФУНКЦИИ
1. Экстремум функции
Рассмотрим задачу нахождения экстремума функции
г = / (х, у). A)
С этой целью определим разность да выражением
te = f(x + dx,y + dy)-f(x,y), B)
которое разлагается в ряд Тейлора
А*-# + <*¦/+..., C)
где (ниже принято /„ = dfldx fxx — d2f/dx*t ...)
df - №x + fydy, Da)
d*f = jy lfxx (dx)> + 2fxy dxdy + fyy (dy)'], Db)
Тогда необходимое условие экстремума функции A)
в точке (х, у) дается так называемым условием стационарности
df = 0. E)
Так как dx и dy независимы, то из E) следует
U - о, и - о. (б)
Решение (х, у) уравнений F) называется стационарной точкой,
а значение функции г в этой точке называется стационарным зна-
значением. Для ответа иа вопрос, является стационарная точка точ-
точкой минимума, максимума или селловой точкой, необходимо ис-
исследовать свойства d*f. Отметим, что если неравенство
Аг> 0
или
Аг< 0
справедливо для любых dx и dy произвольной величины, то стацио-
стационарное значение называется абсолютным минимумом или абсо-
абсолютным максимумом соответственно.

Приложение А 453
Задача: выпишите условие стационарности и найдите макси-
максимальное значение функции, определенной выражением
f (хи хг *п) - A/2) \х\* [А] \х) - \ЬУ \х). (i)
где [А ] — положительно определенная симметричная матрица
i- ГТ1
Lani • • • annJ
a {*} и \b\ являются матрицами-столбцами
\x) — IXjj Xit ..., Xn\,
{6}T = [bub bn]
соответственно, где { }т означает операцию транспонирования.
Ответ:
1. Условие стационарности имеет вид
[А] \х\ = {Ь). (И)
2. Минимальное значение равно
/пш, - -A/2) {*.t}T [А] \хл\ = -A/2) \Ь\* \xt%\,
где \хл) — решение уравнения (и).
Примечание: симметричная матрица [Л ] называется положи-
положительно определенной, если квадратичная функция {*}т [Л ] {х\
положительна для любых {*}, за исключением {*} = 0. Дока-
Доказано [1], что симметричная матрица [Л] является положительно
определенной тогда и только тогда, когда
Яг > 0, Dt > 0, .... Dn > 0, (iv)
где Dlt D ?>„ — главные миноры матрицы [Л ], определен-
определенные выражениями
аи ... а1п
: : . (v)
ani ... апп
Доказано также [1], что симметричная матрица [Л] является
положительно определенной, если все ее собственные значения
положительны.
2. Экстремум функции при дополнительном условии
Ниже рассмотрим задачу нахождения экстремума функции
при некотором дополнительиом условии. Задачи такого типа удобно
решать с применением метода множителей Лагранжа [2, 3].
Для простоты изложения рассмотрим простой пример, иллюстри-
иллюстрирующий процедуру решения.

454
Приложения
G)
Задача: найти экстремум функции
2 = f (х, у) = Xs — 2ху + Зу2 + 5х~4у + 4
при дополнительном условии
g (х, у) = х + 2у - 5 = 0. (8)
Выражаясь геометрическим языком, задача заключается в на-
нахождении экстремального значения г на кривой С, которая полу-
z=f(x,</)
Рис. A.I.
чается пересечением поверхности г = f (x, у) с плоскостью
6 (х> У) — 0. как показано на рис. А. 1.
Один из путей решения этой задачи состоит в исключении
одной из переменных, например у, из G) с помощью (8), что дает
у = A/2) E - х).
Тогда получим
z = f(x,y (х)) = f* (х) = A/4) A1х2 — 22а; + 51) (9)
и отсюда найдем экстремум г с помощью условия стационарности
' —__LJ__ /у- \\ П (\(Y\
Решая уравнение A0), имеем
и, следовательно,
г* = Ю, yet = 2.
A1)
A2)

Приложение А 455
Легко видеть, что это стационарное значение оказывается абсо-
абсолютным мииимумом функции f* (х), определенной уравнением (9).
Итак,
zmln = 10 на С. A3)
Метод множителей Лагранжа утверждает, что поставленная
выше задача эквивалентна нахождению стационарного значения
функции Z\, определенной соотношением
гх = х? — 2ху + Зуг + Ъх — 4у + 4 — к (х + 2у — 5), A4)
где к — множитель Лагранжа, а независимыми переменными яв-
являются х, у и к без дополнительных условий. Условия стационар-
стационарности функции A4) имеют вид
дгг/дх = 2х — 2у + 5 — а = 0, A5)
дгг/ду = —2х + 6у — 4 — 2Я, = 0, A6)
dzj/dk = — (х + 2у — 5) = 0. A7)
Решив эти уравнения, получим
*st = l, yat = 2, ^st = 3 A8)
и найдем стационарное значение гг:
zIlSt = Ю. A9)
Если одну из независимых переменных, например х, исключить
с помощью A5), то функция Zi преобразуется к выражению
zii = A/4) (8«/а — 12(Д — ка + Ау + ЗОЯ- — 9), B0)
в котором остаются только две независимых переменных Any.
Условия стационарности приводят к уравнениям
дгп/ду = A/4) A% - 12Я, + 4) = 0, B1)
дги/дк = A/4) (— 12у — 2к + 30) = 0, B2)
из которых следует
Ул = 2, A,8t = 3 B3)
и соответственно
*t = 1. г11(в4 = Ю. B4)
Теперь решим уравнения A5) и A6) относительно х и у, что
дает
х = A/4) EЯ,— 11), B5а)
у = A/4) (ЗА, - 1), B5Ь)
и подставим выражения B5) в A4), чтобы исключить х и у из гх.
Тогда функция Z\ принимает вид
= A/16) (—22Я,2 + 132Я, — 38); B6)

456 Приложения
при этом Я — единственная независимая переменная. Условие
стационарности приводит к уравнению
dzluld%. = A/16) (—44А, + 132) - 0, B7)
из которого получим
%л = 3 B8)
и, следовательно,
*et = 1, Уы = 2, гш. 8t = 10. B9)
Таким образом показано, что стационарные значения являются
одинаковыми для всех видоизмененных формулировок задачи.
Сделаем некоторые замечания о применении метода множи-
множителей Лагранжа. Во-первых, еще раз отметим, что метод множи-
множителей Лагранжа является полезным при сведении задачи на экс-
стрему м с дополнительным условием к задаче на экстремум без
дополнительного условия. Во-вторых, следует помнить, что, после
того как множитель Лагранжа Я был использован в выражении
для 2i для учета дополнительного условия (8), это условие далее
не должно приниматься во внимание. Выражение A4) показывает,
что мы хотим получить стационарные значения семейства поверх-
поверхностей, определяемого параметром Я. (На рис. АЛ штриховыми
линиями показана поверхность Я = 6.) В-третьих, отметим, что
экстремальное значение, полученное как абсолютный минимум
функции (9), можно получить как абсолютный максимум функ-
функции B6). Значения 2IlBt и 2n>8t не являются ни минимумом, ни
максимумом функций гг и zn соответственно; они доставляют лишь
стационарные значения.
Свойство экстремального значения, являющегося абсолют-
абсолютным минимумом функции (9), быть абсолютным максимумом функ-
функции B6) доказывается следующим образом. Первоначальная за-
задача состояла в нахождении минимального значения гш1п на кри-
кривой С. Теперь, задаваясь произвольным значением Я, из A4)
получим поверхность, которая будет соответствовать этому зна-
значению Я. Координаты стационарной точки и минимальное значе-
значение на этой поверхности найдем из уравнений B5) и B6) соответ-
соответственно. Так как эта поверхность содержит кривую С, то для
любого значения Я имеем
zmin ^ *ш (*)• C0)
Следовательно, минимальное значение на кривой С является мак-
максимальным значением функции гш (Я). Кривая, определяемая
уравнениями B5) и B6), изображена на рис. АЛ сплошной ли-
линией; 1 — параметр этой кривой.

Приложение В 457
Приложение В
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ДИНАМИКЕ
СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
/. Постановка динамической задачи
Рассмотрим вариационные принципы в динамике системы, со-
состоящей из л материальных точек *). Согласно закону Ньютона,
уравнения движения этих точек записываются в виде
т <Рг< = F i = 1 2 п (I)
где mt, п и Fj — соответственно масса, радиус-вектор и сила,
действующая на i-ю точку. (Заметим, что F4 включает все внеш-
внешние и внутренние силы, действующие на t-ю точку.) Для опреде-
определения компонент векторов rt и Ft используем прямоугольную де-
картову систему координат
FV 3 I V 1 I 7 Ir /Q\
где i, J и k — базисные векторы этой системы. Эти векторы яв-
являются единичными взаимно ортогональными векторами.
2. Система точек в статическом равновесии
Когда система точек находится в статическом равновесии, то
уравнения A) сводятся к следующим:
F, = О, I = 1, 2 п. D)
Если точки совершают бесконечно малые виртуальные пере-
перемещения бг|, i = 1, 2, .... п, из положения равновесия, то
?Fj-6rj = O. E)
В этом состоит принцип виртуальной работы, который гласит)
сумма виртуальных работ внешних и внутренних сил на произ-
произвольных бесконечно малых виртуальных перемещениях равна нулю.
Для удобства дальнейших рассуждений обозначим сумму вир-
виртуальных работ через b'W, т. е. положим
6'W= E F,-6r,. F)
Во введении к части А отмечалось, что б' W не является вариацией
какой-либо функции состояния, а представляет собой лишь пол-
полную виртуальную работу.
») См. работы 12, 9—11] в литературе к введению к частя А.

458 Приложения
Далее изучим соотношения, которые следуют из принципа
виртуальной работы на произвольных виртуальных перемеще-
перемещениях. Проводя обратные рассуждения, получим уравнения D)
из уравнения E), поскольку вариации бгь i = 1, 2, ..., п, про-
произвольны. Отсюда можно сделать вывод, что принцип виртуаль-
виртуальной работы эквивалентен уравнениям равновесия. Следует отме-
отметить, что уравнения D) являются уравнениями равновесия, ко-
которые совершенно не зависят от виртуальных перемещений.
Введем в рассмотрение функцию
Ufa, Ух, гх, х2, у2, г2, ..., х„, уп, г„), G)
которая является функцией координат п точек ri7 i = 1, 2, ..., п.
Если вектору гг придать вариацию бгг, то
HU = U (гг + бг.) - U (Ti) = W + 6*U-\ , (8)
где 6 U—первая вариация U
и
бгг = 6*ji f 6(/jj + 6ztk. A0)
Разобьем силы F* на две группы:
F, = F; + f;, A1)
выразим это равенство через компоненты векторов
Xt^Xi + X't, Yt = Yi + Y",. Zi^Z-^ZI A2)
и предположим, что
dU v» dU ж*,, dU
А: Y
Иначе говоря, предполагается, что силы F? являются потенциаль-
потенциальными с потенциалом U. Тогда получим
b'W = — bU + |] F--6rf A4)
и принцип виртуальной работы примет вид
— 6U+ 2]F;6r, = 0. A5)
Если все силы F, являются потенциальными с потенциалом U,
то принцип виртуальной работы сводится к равенству
bU = 0. A6)
Следовательно, равновесную конфигурацию можно получить из
условия стационарности потенциала 0.

Приложение В
459
3. Система движущихся точек
Вернемся к динамической задаче, запишем уравнения A)
в виде
F; - -т, А- = 0, i= 1, 2, .... п, A7)
и введем кинетическую энергию
A8)
Обозначая действительную траекторию i-й частицы через г*
а ее произвольною вирту-
виртуальную траекторию в окре-
окрестности г* (t) через Tt (t) и
полагая
ri @ = Г( @ + вг? @. A9)
бг; @ = бдГ, @ i + 6У( (t) j +
+ bZi {t) k, B0)
получаем
= ЬТ + 627\ B1)
где б Г — первая вариация о
Т -- определяется так:
dt
dt
Рис. B.I. / — действительная траекто-
рия; 2 — произвольная виртуальная тра-
B2) ектория.
Нетрудно видеть, что величина бг?, определенная таким образом,
является вариацией гг в момент времени t (на рис. В. 1 для простоты
показана лишь одна компонента 6х().
Используя определенные таким образом величины бгь из урав-
уравнений A7) получаем
B3)
Это первое выражение принципа виртуальной работы. Очевидно,
что уравнение B3) эквивалентно уравнениям A7).

460 Приложения
Проинтегрируем B3) по времени от t — ty до / = t2
Интегрируя по частям и используя соглашения
6г, ft) = 0, 6г, ft) = 0, i = 1, 2, ..., п, B5)
получаем
. B6)
Следовательно, уравнение B4) сведется к виду
6'Wdt = 0. B7)
Это второе выражение принципа виртуальной работы. Оно экви-
эквивалентно уравнению B3) с условиями B5). Напомним, что г,-
является допустимой траекторией i-й частицы, проходящей че-
через точки Z3! и Р2 в моменты времени tt и t2, а бг, — вариация г,-
в момент времени t (рис. В.1).
Рассмотрим функцию
U(xv yi, гь ха, у2, г,, ..., хп, уп, г„, t), B8)
которая является функцией / и радиусов-векторов п частиц гь
i — 1, 2, ..., п. Придадим вектору гг вариацию Ьтг в момент вре-
времени t и получим
Д{/ = «/(г,+вг(, 0-^(г*. 0 = ^f/ + 62?/Н , B9)
где 6 U— первая вариация U в момент времени /, равная
Теперь предположим, что силы Ft можно разбить на две
группы
f, = f; + f;, C1)
или — через компоненты —
Xt = Xi + Xi, Y, = Yi + Y"t, Zt = Zt+ri C2)

Приложение В 461
и что ?"i — потенциальная сила с потенциалом U (xlt ylt zx, ...,
хп, Уп, г„, /), так что *)
ди у. dU v, dU r .„
Заметим, что существенная разница между функцией U,
определенной выражением G) и уравнениями A3), и функцией,
определенной выражением B8) и уравнениями C3), состоит в том,
что последние соотношения содержат время / как параметр. Так
как вариация бг, в B4) берется при / = ccmst, то
F,- • бг; ~ б' W = —bU + 2 F • • бг,- C4)
i=i
и принцип виртуальной работы B7) сводится к уравнению
t, t, п
[ &(Т- U)dt+ f 2FJ-er,d/ = 0, C5)
Л Л i=l
где L = Т — (У называется функцией Лагранжа или лагранжиа-
лагранжианом.
Если все силы F; потенциальны с потенциалом U, то принцип
виртуальной работы сведется к уравнению
t,
б J (T U)dt = O. C6)
t,
Это принцип Гамильтона, который гласит: среди всех допустимых
траекторий, удовлетворяющих заданным условиям при t = tt
и t-= t2, а именно условиям.
r*(/i) = rf (/,)• •¦« С.) - г.-Ci). t = l,2, .... л, C7)
действительная траектория доставляет функционалу
1г
\{Т- U)dt C8)
стационарное значение.
4. Уравнения движения Лагранжа
Предположим, что на величины г,-, i — 1, 2, ..., п, наклады-
накладываются геометрические связи
ri = r,(q1,qt,...,qr,t), i = 1, 2, . . ., л, C9)
х) Как было указано в сноске к введению к части А книги, для обозначе-
обозначения сил со скалярным потенциалом, который в самом общем случае является
функцией координат, скоростей частиц и времени, используется термин «моно-
геиные».

462 Приложения
где <7i, <7г, • • •> Яг называются обобщенными координатами. Тогда,
поскольку
_ж-& + -^-> ' = 1'2> •л> D0)
А=1
где ( ) = d( )/dA то можно подставить D0) в A8) и выразить
кинетическую энергию через обобщенные координаты
Т = Т (<?1, ..., Q,\ c)i, ..., qr; t). D1)
С другой стороны, мы имеем
(напомним, что вариация бг,- берется при / = const).
С учетом этих соотношений получаем
J»»1*-J2 (-?¦«¦+¦?••*)*-
/, A=l
*, г
*=1 /, А=1
И
я
SS 22S 2!'D4)
A=l A=l i==l
где
называется обобщенной силой. С учетом B5) полагаем
bqh ih) = 0, bqh (h) = 0, * = 1, 2, . ;: г. D6)
Подставляя D3), D4) и D6) в B7), окончательно получим

Приложение В 463
Поскольку вариации &qh, k =¦- 1, 2, ..., г, независимы, то
J- (JHL\ JL
Это уравнения движения Лагранжа.
Если существует потенциал U, определенный соотношениями
C3), то уравнения движения Лагранжа преобразуются к виду
где
п п
1=1 1=1
Если все силы F; потенциальны с потенциалом U, то уравне-
уравнения движения с учетом C6) примут вид
5. Канонические уравнения Гамильтона
Запишем принцип Гамильтона
б J L dt = 0 E2)
и вспомним, что функция Лагранжа L, вообще говоря, явно за-
зависит от величин qt, ft и t:
L = L (ft, ft, ..., qt\ ft, ..., qt\ t). E3)
Введем новые переменные с помощью соотношений1)
qh = Qk, k = 1, 2, ..., г, E4)
и обобщим принцип Гамильтона следующим образом:
б \\L(q1,...,qr;Q1,...,Qr;t)-^\ph(Qh-qk)\dt = O, E5)
где pft (t), k = 1, 2, ...,/¦,— множители Лагранжа. В уравне-
уравнении E5) варьируемыми величинами являются функции
ft,..., qt\ Qlt..., Qr; px,..., pf.
l) Величину Qft, определенную с помощью E4), не следует путать с величи-
величиной Qh, определенной с помощью D5).

464 Приложения
Условия стационарности по отношению к Qh, k = 1, 2, ..., г,
приводят к соотношениям
~-Рн, ft=l,2,...,r. E6)
Следовательно, если можно решить уравнения E6) и явно выра-
выразить Qh через величины qlt ..., qr; plt ..., р, единственным
образом
Qh = Qh (<7ъ • • • - ЧА Pi,---, Pi, t), E7)
то, подставляя эти соотношения в E5) и исключая Qk, получим
E8)
'1Г ' 1
[ 2 А& - Я U = 0,
<. L*=i J
где величина
И = ? PhOft -L = H(th,-..,qr; Pi, ¦ ¦ -, PA t) E9)
называется функцией Гамильтона или гамильтонианом. Так как
варьирование в уравнении E8) дает
'* -' -
7 вркЯк + Pk&jk я— 0oh д— 6л, I Л = 0, F0)
то, используя интегрирование по частям
J ph6qh dt = pft8(/B 1^' — j phbqh dt F1)
и выполняя некоторые алгебраические преобразования, приведем
уравнение F0) к виду
^~Ж Nph \dt = 0-
\ 2 [- (
Итак, условия стационарности приводят к уравнениям
которые называются каноническими уравнениями Гамильтона.
6. Закон сохранения энергии
Ограничимся рассмотрением случая, когда функция L не
содержит явно времени t. При этом ограничении вычислим про-
производную по времени от
L = L (qh, qh) F4)

Приложение В 465
вдоль действительной траектории движения:
Проинтегрировав уравнение F5) от момента времени 70 до t, по-
получим
J-^d< = L(f)-I(fe) F6)
/о
и
dL .
Шд?. .. , dL
Подынтегральное выражение в последнем члене равно нулю,
поскольку интегрирование производится вдоль действительной
траектории движения. Следовательно, имеем
fc|; F8)
и окончательно приходим к соотношению
г
^ , F9)
где Е — константа вдоль действительной траектории.
Вспоминая, что Т представляется в виде
г = тЛ/, a,kq,qk, G0)
2
i. *=1
где aik (= aki) являются функциями qt, получаем
dL д .гг, , >ч дТ

466 Приложения
Следовательно, получим
Т + U = Е (=const). G1)
Это соотношение называется законом сохранения энергии.
Задача 1. Сравните вариационные формулировки этого прило-
приложения с вариационными формулировками гл. 2.
Задача 2. Покажите, что два принципа, сформулированные
в гл. 2, а именно уравнения B.49) и B.55) аналогичны принципам
п. 6 этого приложения в том смысле, что приращения dU и dUe
берутся вдоль действительной траектории.
Приложение С
О ПРИНЦИПЕ ВИРТУАЛЬНОЙ РАБОТЫ
Сделаем два небольших замечания относительно принципа
виртуальной работы, выраженного соотношением A.32). Затем
продолжим обсуждение этих замечаний в случае теории конечных
перемещений, когда принцип виртуальной работы выражается
соотношением C.48).
Прежде всего отметим, что входящие в A.28) члены
берутся из соотношений A.26) и A.27), т. е. из уравнений равно-
равновесия в У и граничных условий в напряжениях на части Sj гра-
границы твердого тела перед тем, как производится варьирование
перемещений бы, bvubw. Иначе говоря, величины (ох, ау, ..., тху)
и (бы, 6t>, 8w) не зависят друг от друга.
Второе замечание состоит в том, что уравнение A.32) не выра-
выражает первый закон термодинамики, а является всего лишь одной
из форм теоремы Гаусса—Остроградского, которая представляет
собой частный случай соотношения A.76). Физическая интерпре-
интерпретация соотношения A.32) состоит в следующем. До операции варьи-
варьирования перемещений
би = бш f 6t>j + bwk A)
рассмотрим бесконечно малый прямоугольный параллелепипед,
ограниченный следующими шестью поверхностями в теле V:
х = const, х + dx — const,
у — const, у + dy = const,
г — const, z + dz = const,

Приложение С • 467
и обозначим напряжения, действующие на эти шесть поверхно-
поверхностей, через
— (axi + TXJ,j Ьт^к),
ох\ + xXI/j + тхгк + -^ (axi + тху] + тх2к) dx; .. . .
Тогда виртуальная работа, произведенная этими напряжениями
и массовыми силами, действующими на бесконечно малый параллеле-
параллелепипед, на виртуальных перемещениях равна
— (ох\ + тзд j + тжгк) • 6u dy dz + [ox\ + тху] + тхгк +
+ -^(ох\ + xx!/j + xxjk)dx
+ (Хбы + Y6v + Zfiro) dxdydz =
дди
Здесь использованы соотношения A.2) и отброшены члены выс-
высшего порядка малости.
Теперь мысленно разобьем твердое тело на бесконечно малые
прямоугольные параллелепипеды и запишем соотношения типа C)
для всех параллелепипедов. Если просуммировать эти соотноше-
соотношения по всем параллелепипедам, то найдем, что члены, представляю-
представляющие вклад от виртуальной работы, произведенной напряжениями
на границах между смежными параллелепипедами, взаимно
уничтожаются. Следовательно, используя четыре соотношения,
справедливые на границе, а именно соотношение
(Xv6u -f Yv6v + Zv6w) dS =
= (ox6u + Тздбо + тжгбш) / dS +
+ (тухЬи + Oybv + тугЬш) mdS -f
+ (t«6u + xZI,6t> + az8w) n dS D)
и соотношения A.29), A.30) и A.12), окончательно придем к вы-
выводу, что сумма членов в левой части уравнения C) равна вирту-
виртуальной работе, совершаемой на виртуальных перемещениях мас-
массовыми силами всего тела и заданными поверхностными силами
на Si. Таким образом, получаем
Ш'
) dxdydz =
(X 6u -f Ybv ¦+¦ Zbw) dx dydz +
+ | J (Xv6u + Fv6o + Zv6ay) dS, E)

468 Приложения
где величины 8ех, 6еу, ... и 8jxv выражены через вариации бы,
6о и бдо согласно A.33). Уравнение E) означает, что виртуальная
работа, совершаемая внутренними силами, равна виртуальной
работе, совершаемой внешними силами на бесконечно малых вир-
виртуальных перемещениях, удовлетворяющих заданным граничным
условиям в перемещениях. В этом состоит интерпретация принципа
виртуальной работы, выраженного соотношением A.32).
Задача 1. Покажите, что данная интерпретация аналогична
интерпретации теоремы Гаусса о дивергенции, приведенной в при-
примечании к с. 30, и является применением теоремы Гаусса—Остро-
Гаусса—Остроградского, выраженной формулой
v s
Приведенные выше рассуждения можно обобщить на случай
конечных перемещений следующим образом. Прежде всего отме-
отметим, что члены
«т,\ + р = 0, F-F = 0,
входящие в C.45), берутся из соотношений C.22) и C.40), т. е.
из уравнений равновесия в У и граничных условий в напряже-
напряжениях на части Sx границы твердого тела до того, как выполняется
операция варьирования, дающая бг. Иначе говоря, стх и бг не зави-
зависят друг от друга.
Второе замечание касается физической интерпретации урав-
уравнения C.48). Рассмотрим бесконечно малые параллелепипеды
до деформации и после нее, как показано на рис. 3.2. Тогда вир-
виртуальная работа, совершаемая на отсчитываемых от состояния
равновесия после деформации бесконечно малых перемещениях 6г
напряжениями и массовыми силами, действующими на беско-
бесконечно малый параллелепипед, равна
— а1 • бг dx2 dx3 + («г1 + «т\ , dxl). (бг + вг. i dxl) dx2 dx2 —
- а2- 6г dx3 dxl + (а2 + о2, idx2) • (бг + бг. 2 dx2) dx3 dxl —
= °K - (8r). * dxldx2dx3 = o^8eKv. dxldx2dx3. F)
Здесь использовалось соотношение C.22) и пренебрегалось чле-
членами высшего порядка малости, а величины be%v, выражались
через бы* следующим образом:
{Ы + и* к) Ьи\ + F2 + «Г й) б«Г v

Приложение D 469
Используя это соотношение и действуя аналогично тому, как
это делалось в случае малых перемещений, получаем
G)
j J j о^вели dV - J J J Р*6ы* dV + H ТЧи* dS.
Уравнение G) означает, что виртуальная работа, совершаемая
внутренними силами, равна виртуальной работе, совершаемой
внешними силами на бесконечно малых виртуальных перемеще-
перемещениях, удовлетворяющих заданным граничным условиям в переме-
перемещениях. В этом состоит интерпретация принципа виртуальной
работы, выраженного уравнением C.49).
Приложение D
О ФУНКЦИЯХ ЭНЕРГИИ ДЕФОРМАЦИИ
И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ
Рассмотрим сначала случай малых упругих перемещений.
Используя соотношение C) приложения С и записывая du, dv
и dw вместо бы, 6t> и бдо, приходим к выводу, что выражение
(axdex + ay d&v + • • • + axv dyxv) dx dy dz, A)
где
ddu . ddv . ddu , ddv
dzdV +
__+__
B)
является работой, совершаемой действующими на бесконечно
малый прямоугольный параллелепипед напряжениями и массо-
массовыми силами на приращениях деформаций dex, dett dyxv. Эта
работа приводит к увеличению внутренней энергии упругого
тела, обусловленной деформацией. Следовательно, функция энер-
энергии деформации А, а именно энергия деформации на единицу
объема упругого тела равна
(е«- V"- v*»)
А (гх, е„,..., yxv) = J (ax dzx + av dzv + ... + %xy dyxv), C)
@.0 0)
где интеграл берется вдоль пути нагружения. Если соотношения
напряжения—деформации задаются в виде соотношений
ах — Ох (Вх, By,. . ., <Ряу),
(гх, в„,..,%и),
D)

470 Приложения
то можно получить явные выражения для функции энергии дефор-
деформации. В § 3.7 было доказано, что функция энергии деформации
упругого тела действительно существует и интеграл C) не зависит
от пути нагружения.
Для линейных соотношений напряжения—деформации A.6),
или, в матричной форме,
И = [А] \г] E)
получим
А=A/2)\г\-[А]\г\, F)
где
\°\т = К. Оу,...,хху), G)
{е}т = [ех, гу,...,ухУ], (8)
а матрица [А] является матрицей жесткости. Доказательство
состоит в следующем. Так как функция энергии деформации для
упругого тела не зависит от пути, то для получения явного выра-
выражения функции энергии деформации можно выбрать так называе-
называемое пропорциональное нагружение. Пусть напряжения и дефор-
деформации конечного состояния равны (ах, ау, ..., тхУ) и (ех> еу, ...,
уху) соответственно. Из-за свойства линейности множество напря-
напряжений (кох, коу, ..., %тху) соответствует множеству деформаций
(Кгх, к&у, ..., Куху), где К — положительная величина. Тогда про-
пропорциональное нагружение сводится к монотонному увеличению
параметра Я от 0 до 1. В итоге получаем
1
А (гх, гу,..., уху) = (охгх + аугу + ... + WV*») }
о
= A/2) (ахех + оугу + ... +
= A/2) И* И = 0/2) {е}1 И] И, (9)
что и требовалось доказать.
Отметим, что определение C) приводит к следующим фунда-
фундаментальным соотношениям:
дА дА дА
ст а т
Г
Уху
С другой стороны, функция дополнительной энергии опре-
определяется следующим образом:
В(ах, с
'».-••, 1Ху) =
(ох, оу...
J
@. 0,..
•ХХУ
..0)
)
(е,
dox-^
Zydciy -\- ..
¦ +yxydxxy),
(И)

Приложение D 471
где интеграл берется вдоль пути нагружения. Если соотношения
напряжения—деформации задаются в виде соотношений
Л 9)
Уху = Уху (<**> Оу Тад),
то можно получить явное выражение для функции дополнитель-
дополнительной энергии.
Складывая соотношения C) и A1), приходим к выражению 1)
A f В = охгх -{- Оу?и + ... + тхууху. A3)
Следовательно, если гарантируется существование функции энер-
энергии деформации, то существование функции дополнительной
энергии следует автоматически.
Для линейных соотношений напряжения—деформации A.8),
или, в матричном виде,
{г} = [В] {о} A4)
имеем
В = A/2) |0}ЧЯ] W. A5)
где [В] — матрица упругой податливости. Доказательство про-
проводится с помощью выбора в качестве пути нагружения пропор-
пропорционального нагружения с учетом соотношения A3):
В = {е}' {о\-А = {е}' М - A/2) {е}т [А] \г\ =
= \о\* [В] \о\ - A/2) {а}т [В] [А] [В] \а\ =
= A/2) {а}- [В] |а|.
(Напомним, что [Л] и [В] являются симметричными матрицами
и что [В) = [А Г1.)
Отметим, что определение A1) приводит к следующим фунда-
фундаментальным соотношениям:
дВ дВ дВ (ifi\
~зБх~==г*' 1ъ=?' "^Г = Тх*' { '
Как было указано в § 2.2, величина А в случае линейных
соотношений напряжения—деформации равна В. Доказательство
этого утверждения состоит в следующем:
А = A/2) {еГ [А] {в) = A/2) {о|т [В] [А] [В] \о\ =
= A/2) \о\- [В] \о] = В. A7)
Следует помнить, однако, что в общем случае величина А, опре-
определенная выражением C), не равна величине В, определенной
Частный случай соотношения A3) иллюстрируется рис. 2.1.

472 Приложения
выражением A1). Это можно видеть на примере идеально пласти-
пластического или жесткопластического материала (гл. 11 и 12).
Рассмотрим теперь случай конечных упругих перемещений.
Используя соотношение F) приложения С и записывая du% вместо
бы*, приходим к выводу, что выражение
<jb»de^№dx*dx3, A8)
где
2Лц„ = F5J + u\)du\ -f К + u\)du\, A9)
является работой, совершаемой действующими на бесконечно
малый параллелепипед напряжениями и массовыми силами на
приращениях деформаций de^. Тогда аналогично тому, как это
делалось в случае малых перемещений, можно получить выраже-
выражения для функции энергии деформации А и функции дополнитель-
дополнительной энергии В (см. § 3.7 и 3.9 соответственно). Заметим, что в тео-
теории конечных перемещений при определении функции энергии
деформации на единицу объема до деформации тензоры Кирхгофа
и Грина связаны друг с другом.
Приложение Е
О РАЗЛИЧНЫХ ВИДАХ ТЕНЗОРОВ НАПРЯЖЕНИЙ
В ТЕОРИИ КОНЕЧНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
/. Геометрические соотношения
В § 3.2 был определен второй тензор напряжений Пиолы—
Кирхгофа, образованный величинами о*-», X, ц = 1, 2, 3, в точке Р
деформированного тела. Здесь мы сделаем несколько замечаний
о других видах тензоров напряжений, которые возникают в тео-
теории конечных перемещений, основанной на лагранжевом или
эйлеровом подходах.
Следуя §3.1, представим радиус-вектор произвольной точки Я"»
тела перед деформацией в виде
г<°> = г<°> (х\ х2, х3) = х4>., A)
а радиус-вектор точки Р после деформации в виде
г = г(х«, х», *3) = ХЧХ, B)
откуда, введя вектор перемещений и, получим
г = г<°> + и = (х* -f «x) h- C)
Следуя лагранжеву подходу, выделим в теле до деформации
бесконечно малый прямоугольный параллелепипед, ограничен-
ограниченный шестью поверхностями
xk = const, х*- + dxk = const, A, = 1, 2, 3, D)

Приложение Е
473
как показано на рис. 3.1 слева. Объем этого параллелепипеда
равен
dV = dxxdx2dx3. E)
После деформации прямоугольный параллелепипед трансфор-
трансформируется в параллелепипед со сторонами E1dx1, E2dx2 и E3dx3,
как показано на рис. 3.1 справа. Объем деформированного парал-
параллелепипеда равен
dV* = {E1dx1)-[(Eidx2) x (E3dx3)] =
= Ех • (Е2 X Е3) dx1 dx* dx3 = Ddx1dx*dx3, F)
где
D =
dX1
dX1
«P
dX*
dx1
dx2
X Ез) = Е2-(Е3хЕ1) =
дХ3
! X Ea) =
dx1
dX3
dx*
dX3
dx3 dx3
d(Xi, X*, X3)
dix1, x*, x3)
v-2 уз
В соотношении G) выражение д (X1, X2, Х3Iд (х1, х2, х3) является
якобианом, а величины ex**v определяются аналогично величинам
в задаче 3 гл. 1.
Отметим, что так как
?>а =
дх*
ЕГЕ2
Ei Е3
дХ'
дх1
дХ1
дх*
дХ*
дХ*
дх1
дХ*
дх*
дХ*
дХ*
дх1
дХ3
дх*
дХ3
дх*
ЕХЕ2
Е,Е,
дх3
Е^Ез
tt> * Со
дХ1 дХ1 дХ1
дХ*
дх*
дХ*
дх*
дХ3
~дх>~ дх*
дх3
дХ*
дх1
дХ3
дх*
дХ3
дх3
Е13
Е33
(9)
то
D = Vg- (Ю)
Отметим также, что если обозначить плотность тела до дефор-
деформации и после нее через р и р* соответственно, то из закона сохра-
сохранения массы следует
pdV = p*dV*, A1)
что с учетом E), F) и A0) дает
Р = P*D. A2)

474 Приложения
Теперь рассмотрим геометрические соотношения, проиллю-
проиллюстрированные рис. 3.4. Легко видеть, что площадь треугольника
#o>)S«»ro» равна
2vdS = R@)S(ol> x RWT(" =
= (dx42 - d^u) x (dx3^ - dx4x) =
= h dx2 dx3 + ia dx3 dx1 + i3 dx1 dx\ A3)
Следовательно, разлагая вектор v по базисным векторам
v = n*lK, A4)
получаем
2n1dS=dx2dx3, 2n2dS = dx?dx\ 2n3dS = dxldx2. A5)
С другой стороны, площадь треугольника RST определяется
из соотношения
RT =
^dx1) x (E3dA? - Ex dx1) =
= E2xE3 d*2 d^ + E3 x Ex dx3 dx1 + Ex x E2 dx1 dx2, A6)
где dS* — площадь треугольника RST, a v* — единичная внеш-
внешняя нормаль к поверхности треугольника RST. Подставляя A5)
в A6), получаем
. v* dS* = [п1 (Е, X Е,) + п2 (Е, х Ех) + п3 (Е1 х Е,)] dS. A7)
Умножая это соотношение скалярно на Ех и учитывая G) и A5),
получаем три следующие соотношения:
2(v*-E2)dS* = Ddx3dx1, A8)
2. Первый тензор напряжений Пиолы—Кирхгофа
В § 3.2 были определены векторы напряжений а\ Я, = 1,2, 3.
Первый тензор напряжений Пиолы—Кирхгофа х), обозначаемый
через 6*^, определяется с помощью разложения ах по базисным
векторам i^, р = 1, 2, 3, так что
о*. = дМЧц. A9)
С другой стороны, второй тензор напряжений Пиолы — Кирхгофа2),
обозначаемый через а*", определяется с помощью разложения ах
по векторам решетки Ец, fi = 1, 2, 3, так что
*) Для краткости этот тензор в нашей книге будет часто называться тензо-
тензором напряжений Пиолы.
2) Для краткости этот тензор в нашей книге будет часто называться тензо-
тензором напряжений Кирхгофа.

Приложение Е 475
о* = о^Ец. B0) C.23)
Следовательно, величины д*-» и а^ связаны между собой зави-
зависимостью
^ = а^Х\ = ^(б& + и\). B1)
Подставляя A9) в C.24), обнаруживаем, что в отличие от тензора
напряжений Кирхгофа тензор напряжений Пиолы, вообще говоря,
несимметричен.
С использованием тензора Пиолы уравнения C.22) запишутся
в виде
а)\ + Р» = 0. B2)
Так как вектор F, определенный в C.30), преобразуется сле-
следующим образом:
F = (ix-v)ax = nx6*%, B3)
то условия в напряжениях на Slt а именно C.40), примут вид
= Т». B4)
Итак, при использовании тензора Пиолы уравнения равновесия
и граничные условия в напряжениях на Sx выражаются только
через о*-**, причем линейно.
Задача 1. Докажите, что
dA =--o*-»du» х (i)
и сравните это выражение с
_ dA = a** deXli, (ii)
где А — функция энергии деформации.
Задача 2. Деформации е^ являются функциями ы*^ и могут
быть записаны в виде
, (i)
где используется обозначение
\ (ii)
Используя (i), можно выразить функцию энергии деформации
А (е^ц) через axv и записать для краткости
A[ekVi(aKv)] --?2 A (axv). (iii)
Докажите, что
= дА (oxvVAx^. (iv)

476
Приложения
Примечаниях для доказательства удобно использовать соотноше-
соотношения (i) и (ii) задачи 1 или соотношения
_ дА (gXv) deafi ^ . .
5. Тензор напряжений Эйлера (или Коши)
Следуя эйлерову подходу, деформированное твердое тело мы-
мысленно рассекается шестью поверхностями
Xх = const, Xх + dXx = const, Л = 1, 2, 3, B5)
образующими бесконечно малый прямоугольный параллелепипед
(рио. ЕЛ). При эйлеровом подходе внутренние силы, действую-
Р(ОУ
U
/
р
а
Е
v^
Рис. ЕЛ. Тензор напряжений Эйлера.
щие на грани этого параллелепипеда, используются для опреде-
определения тензора напряжений Эйлера (или Коши) с компонентами
aY- Эти силы определяются на единицу поверхности прямоуголь-
прямоугольного параллелепипеда. Например, внутренняя сила, действующая
на единицу поверхности грани Xх = const, равна
B6а)
const,
а внутренняя сила, действующая на грань X1 -f dXl
равна
B6b)
Внутренние силы, действующие иа остальные грани паралле-
параллелепипеда, определяются аналогичным образом. Итак, мы опре-
определяем тензор напряжений Эйлера и используем девять компо-
компонент ад4 с условиями симметрии oty = о^ как величины, харак-
характеризующие иапряженное состояние в точке Р.

Приложение Е ATI
4. Связь между величинами аХй и а^
Рассмотрим равновесие тетраэдра PRST после деформации
(рис. 3.4 справа). Известно, что если для определения напря-
напряженного состояния в точке Р деформируемого тела используется
тензор Эйлера, то вектор внутренних сил, действующий на на-
наклонную грань RST, равен
B7)
причем
v* = п%. B8)
Здесь v* — единичный вектор внешней нормали к треуголь-
треугольнику RST.
С другой стороны, в § 3.3 было показано, что тот же вектор
внутренних сил равен
a1 (dx2 dx?/2) + о* (dx3 йхЩ -{-^(dx1 dx*/2). B9)
Подставляя A8) в соотношение B9), получаем
о1 (dx9 dx*/2) + о» (dx3 dx42) + a3 (dx1 dx*/2) =
= a* (v* • Ex) dS*/D = о>ч>Е» (v* • Ex) dS*/D. C0)
Сравнивая соотношения B7) и C0), имеем
(v*.E0Eu. C1)
Заменяя немые индексы, получим
<уе»п% = A/D) а°* (v*. Еа) Еэ. C2)
Умножив это соотношение скалярно на 1„, в результате имеем
офп» = A/D) ааЭ (v*.Еа) Aн- Ер). C3)
Поскольку
C5)
то равенство C3) сведется к следующему:
ГV4. C6)
Так как равенство C6) справедливо независимо от п», то оконча-
окончательно получим следующее соотношение, связывающее компоненты
тензора напряжений Эйлера с компонентами тензора напряжений
Кирхгофа:
. C7)

478 Приложения
Приложение F
ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ
Мы знакомы с понятием вектора — хорошим примером явля-
является вектор перемещений и точки трехмерного деформируемого
твердого тела. Вектор — это физическая величина, определяемая
тремя компонентами в направлениях трех базисных векторов
системы координат (см. соотношения D.15) и D.18)). Легко
видеть, что величины компонент вектора зависят от выбора си-
системы координат. Однако поскольку вектор является физической
величиной, то при преобразовании системы координат его компо-
компоненты подчиняются определенному закону преобразования.
Хотя тензоры труднее себе представить, чем векторы, их
также можно считать физическими величинами, которые (как и
векторы) обладают свойствами, не зависящими от системы отсчета.
Например, напряженное и деформированное состояния в точке
трехмерного деформируемого твердого тела определяются со-
соответственно девятью компонентами хх*, А,, ц = 1, 2Х 3, и де-
девятью компонентами fXtl, А,, |* = 1, 2, 3, тензоров второго ранга
(см. соотношения D.50) и D.36)). Опять-таки величины компо-
компонент зависят от выбора системы координат. Однако при преобра-
преобразовании системы координат
/=/(«', а2, а3)
компоненты тензоров преобразуются согласно D.67) и D.61)
соответственно.
Математически векторы и тензоры определяются с помощью
закона преобразования следующим образом *). Векторы и тензоры
являются системами чисел или функций, компоненты которых при
переходе от системы координат av к а1
а*- = ах(а', а2, а3), X = 1, 2, 3, A)
подчиняются определенному закону преобразования.
Вектор v называется контравариантным, если его компо-
компоненты 0х в новых переменных удовлетворяют соотношениям
Аналогично определяются ковариантный вектор v^.
Оь-=*?«». C)
да*-
') Подробно об этом см., например, работы [7—11] к гл.4.

Приложение F 479
контравариантный тензор aat второго ранга:
смешанный вектор а.р второго ранга:
-а. __ даа да» а\. ,g
и ковариантный тензор ааР второго ранга:
- _да^даУ^а
В общем случае система ах^... называется тензором, когда ее ком-
компоненты aapv... B новых переменных удовлетворяют соотношениям
-о.... daada»dav х. ... ,_.
a-Pv-- = —ji "^в""^ ¦' ¦ fl-nv--- (')
Задача 1. Докажите, что величины ух, определенные в D.15),
и vx, определенные в D.18), являются контравариантным и ко-
вариантным векторами соответственно.
Задача 2. Докажите, что величины g^, определенные в D.6),
и g^\ определенные в D.7), являются ковариантным и контра-
контравариантным тензорами второго ранга соответственно.
Задача 3. Докажите, что величины, определенные выражением
являются компонентами контравариантного тензора третьего
ранга, где величина e%»v определяется соотношением (iv) за-
задачи 3 к гл. 1, а величина g выражается с помощью D.28). При-
Примечание: см. работу F1, с. 10—12] в литературе к гл. 4.
Задача 4. Тензор второго ранга может быть представлен в одной
из трех форм: ах", а^ и а^. Докажите, что каждая из этих форм
может быть приведена к другой форме с помощью принципа под-
поднимания и опускания индекса компоненты тензора, так что
где величины g** и gx,x являются компонентами метрического тен-
тензора в выбранной системе координат.
Задача 5. Докажите, что величины тХц, определенные в D.50),
и /\ц. определенные в D.36), являются тензорами второго ранга.
Покажите также, что законы преобразования (i) задачи 3 к гл. 1
являются частными случаями соотношений D.61) и D.67) соот-
соответственно.

480 Приложения
Задача в, С помощью соотношений
дг<°> _ Эг«» да*
Э
докажите, что
За"
,"
дЕГдйУ^дд^дЕУ
где 11 — трехиндексный символ Кристоффеля второго рода
в системе координат ах. При помощи соотношения (i) докажите,
что величина »xv, определенная с помощью D.17), и величина
»я,: Vl определенная с помощью D.21), являются тензорами второго
ранга. Докажите также, что величина ГХ1 " Х? , определен-
определенная в D.22), является тензором.
Приложение G
СОВМЕСТНЫЕ ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ БАЛКИ
В этом приложении рассмотрим задачу, в которой изгиб и кру-
кручение балки взаимно связаны. Система координат выбирается так
же, как и в § 7.1, т. е. ось х совпадает с осью балки, а оси у vl г
параллельны главным центральным осям ее поперечного сечения.
Предполагается, что вдоль оси х поперечное сечение балки по-
постоянно. Для удобства последующих рассуждений приведем не-
некоторые соотношения для центра сдвига.
В работе [3] к гл. 7 Треффтц показал, что точка (ys, zs),
определенная с помощью выражений
fir, = — (l//v) j j z<p dy dz, zs = A//,) J J j«p dy dz, . A)
совпадает с центром сдвига и центром кручения балки постоянного
поперечного сечения, где
1Ч = ^z*dydz, 1г = J j у2 dy dz, B)
а функция ф (у, г) является функцией депланации Сен-Венана
поперечного сечения с осью х, являющейся осью вращения, и
всюду в этом приложении выбирается так, что
= 0. C)

Приложение G 481
Тогда, следуя задаче 1 к гл. 6, найдем, что если cps (у, г) является
функцией депланации Сен-Венана с осью вращения, проходящей
через точку (ys, zs), и удовлетворяет равенству J J ср (у, z) dy dz —
= 0, то
Ф* (У, г) = ф (у, г) - zsy + yj>, D)
Г, = Г - ylly - zlh, E)
где
Г5 = J j ф5 {у, z) dydz, Г = j J ф2 (у, z) dydz. F)
С учетом этих предварительных рассуждений рассмотрим задачу
об изгибе—кручении консольной балки, защемленной при х = О
и нагруженной силами
Xv = 0, Yv = Yx, Zv = Zx G)
на другом конце х — I.
Предположим, что компоненты перемещений задаются форму-
формулами
и = и — yv' — zw' + Ф'ф,
v = v — г&, (8)
v = w + уЬ,
где и, v, w и Ф являются функциями только от х. С помощью
(8) получим соотношения для компонент деформаций, выраженные
через перемещения
ех = и' — yv" — zw" + #'ф,
Yx» = Ф' (Ф,!/ — г),
7« = *'(Ф,« + У), (9)
е» = ег = 7i/z = 0:
Тогда при помощи A.32) и соотношений G)—(9) запишем для дан-
данной задачи принцип виртуальной работы
J Я Iа*6 ("' - У°" ~ ш" + *"Ч>) +
+ тж„ (ф, j, - г) в«' + тж2 (ф, 2 f у) №'] dx dy dz -
-\\[YJb(v- zb) + Zxb(w + yff)s=l dydz = O. A0)
Произведя некоторые выкладки, преобразуем соотношение A0)
к виду
[N8u' + Mz8v" - Mabw"
0, A1)
16 К. Васндзу

482 Приложения
где х)
N = \jaxdydz, Mz - - j j ayy dy dz,
My = JJ axzdy dz, H = j J ox<p dy dz, A2a, b, c, d, e)
Мт=\\ [тзд (ф, у — г) + rxz (ф, г + У)] dy dz
и
Р„ = J f F, dy dz, -P, = jjzx dy dz,
M = \\{Zxy-Yxz)dydz.
Определяющие уравнения равновесия получаются из уравнения
A1):
N'=0, М'г = 0, М'у = 0, МГ~-Я" = О A4)
вместе с условиями
и = v = v' = w — w' =•& — ¦&' = 0 при х = 0;
N = 0, Мг = 0 M'z=-Py, My = 0, A5)
М'у=~Рг, Н = 0, МТ-Н' = М при х = /.
При помощи G.2) и соотношений (9) и A2) придем к следующим
соотношениям результирующие напряжений—перемещения:
N = ЕАои',
Mz = EIz(v"-zs$"),
My = -EIv(w' + yfi»), A6)
Н = E(YV - zjtf + yjuw"),
Мт = GJ\Y,
где величины ys, zs и Г определяются так же, как и в формулах
A) и F).
Следовательно, задача сводится к решению системы дифферен-
дифференциальных уравнений
EIz(v-zsW"+~Py = 0,
EIv(w + ys$)"' + Pz = 0, A7)
Е (Гд - zjzv f ys/j,oy)"' - G/d' + M = 0
х) Так как член [тХ(/Ф> у + xxz<?,z\ dy dz в A2е) в итоге равен нулю,
Л1г = J J 1?х?У
то имеем
ГГ.
¦гУ —

Приложение G 483
с граничными условиями
v = v' = w = w' = ¦& = •&' — 0 при л: = 0;
?/„ (у - zsfl)" = 0, Ely (w + УМ = 0, A8)
? (Гд - г3/гу + </Лш)" = 0 при х = /.
Заметим, что уравнения A7) можно привести к виду
— Eltf=~Py,
— Е1У,=~Р„ A9)
— ЕГЭ&" + G/г^' = М + гзЯ, - г/8Яг,
где
у3 = у-г8д, ш3 = ш + г/8#, B0)
а величина Гв определяется в F). Уравнения A9) указывают на
физический смысл точки (ys< zs): если ось балки проходит через
точку (ys, г3), то определяющие уравнения разделяются на две
группы, что позволяет рассматривать изгиб и кручение балки по
отдельности. Примечание: см. работу 133, § 35—38] в литературе
к гл. 7 и работу [28] там же.
Задача 1. Точка (ys, zs) тонкостенного незамкнутого сечения,
изображенного на рис. 6.6, вычисляется с помощью соотношений
(vii) задачи 4 к гл. 6 и соотношений A) этого приложения сле-
следующим образом:
о Vo
f \\rsds \ztds,
о Vo /
z« —
X,
где членом — I тп dt, пренебрегают в силу малости его вклада.
о
Докажите, что точка (ys, zs), полученная таким образом, сов-
совпадает с центром сдвига, полученного из распределения касатель-
касательных напряжений, обусловленных чистым изгибом. Примечание}
о распределении касательных напряжений, обусловленных чис-
чистым изгибом, и о центре сдвига тонкостенного незамкнутого се-
сечения см. работу F32, с. 2101 в литературе к гл. 7.
Задача 2. Точку (ys, z,,) тонкостенного замкнутого сечения,
изображенного на рис. 6.8, можно вычислить с помощью соот-
16*

484
Приложения
ношения (i) задачи 8 к гл. 6 и соотношений A) этого приложения
следующим образом:
Уш--
2Л„
& I f (l/t)ds)ztds
с \o /
j)(\lt)ds
ire
— <p J rsds \ztds,
y с \o
>ds
\(l/t)ds)yt,
7~ T J rsds \У1 ds'
A/0* lz с \o J
где членом —j rn d? пренебрегают в силу малости его вклада,
о
Докажите, что точка (ys< zs), полученная таким образом, совпадает
с центром сдвига, получен-
полученным из распределения каса-
касательных напряжений, обус-
обусловленных чистым изгибом.
Примечание: о распределе-
распределении касательных напряже-
напряжений, обусловленных чистым
изгибом, в тонкостенном зам-
замкнутом сечении см. работу
[7] в литературе к гл. 7.
Задача 3. Рассмотрим при-
приближенные уравнения за-
задачи об изгибе и кручении
балки, утрачивающей устой-
устойчивость под действием про-
продольной силы Рсг, прило-
Рис. G.i. женной на конце х = /,
если конец х — 0 жестко за-
заделан (рис. 6.13). Поперечное сечение в данном случае не счи-
считается симметричным. Предполагается, что компоненты переме-
перемещений, отсчитываемых от состояния непосредственно перед
потерей устойчивости, имеют вид
и = и — yv' — zw' + #'ф,
v = v — у A — cos ¦&) — г sin #, (i)
w = w + у sin Ф — г A — cos Щ,
где и, v, w и Ф являются функциями только от х. Оси у а г
совпадают с главными осями, проходящими через центр тяжести

Приложение G 485
поперечного сечения. Функция ср (у, г) представляет собой функ-
функцию депланации Сен-Венана и выбирается так же, как и в урав-
уравнении C). Используя E.5) и пренебрегая членами высшего по-
порядка малости, докажите, что определяющие уравнения потери
устойчивости имеют вид
? (Г# - zJu + yslyw)"" - G/ft" + РЫ?РЪ" = 0
(ii)
Ы?РЪ" = 0
с граничными условиями
v = v' = w — w' = ft = #' =0 при x = 0;
Е1г (v'" - z,O") + Pey = 0, EIZ (v" - zsft") = 0,
EIV (w'" + yfiT) + PCTw' = 0, Ely (w" + yfi") = 0, (iii)
E A4* - zshv + yJywY - GJft' + Pcril®' = 0,
Е(ГЪ — zsl,v + yslyw)" = 0 при * = /,
где Г = jj qtdydz, Ao = Jjd«/dz, /p = J J (у* + г2) dt/ dz,
4 = Ip/Aq, a ys, zs, /ji, /г определяются так же, как и в A) и B).
Примечание: см. работы 130—33] к гл. 7.
Далее выведите другие приближенные уравнения задачи,
полагая
ч = ы — г/г/ — га/ + аф,
v = v — у A — cos ft) — г sin ft, (iv)
u? — а» + у sin ft — г A — cos ft),
где и, v, w, а и ft являются функциями только от х.
Задача 4. Рассмотрим боковую потерю устойчивости консоль-
консольной балки прямоугольного поперечного сечения, жестко заделан-
заделанной на одном конце (х = 0) и нагруженной сосредоточенной силой
Рст на другом (х = I), как показано на рис. G.I. Оси у и z сов-
совпадают с главными осями, проходящими через центр тяжести се-
сечения. Напряжения, вызванные нагрузкой Рст, равны
, (i)
где Iu = J J z2dydz = A/12) bh3. Предполагается, что при потере
устойчивости сила Рсг, действующая в средней точке верхней

486 Приложения
стороны торцевого сечения, не меняет ни своей величины, ни на-
направления. Предполагается также, что
v = и — yv' —¦ zw' + Ф'ср,
v — v — у A — cos ft) — г sin ft, (ii)
w = w + у sin ft — z A — cos ft),
где и, v, w, ft являются функциями только от х. Функция ф (у, г)
представляет собой функцию депланации Сен-Венана и выбира-
выбирается так же, как и в C). Используя соотношения (i), (ii) и E.5),
покажите, что определяющие уравнения для функций у и ft
имеют вид
[EIzv" + Pcr(t~ *)*]" = О,
?1ЧГ" — Gjr + Ясг (/ — х) v" = О,
а граничные условия описываются соотношениями
v = v' = ft = ft' = 0 при х = 0;
EIzv" — Pet# = 0, EIzv" = 0,
ЕГЪ'" — G/ft' + A/2) /гЯсг* = 0. Е™' = ° ПРИ х =
Примечание: см. работу [16] к гл. 7. Затем получите прибли-
приближенные уравнения этой задачи, полагая
v = и — yv' — zw' + аф,
v = v — у A — cos ft) — г sin ft, (v)
w = w + у sin ft — z A — cos ft),
где и, v, до, а и ft являются функциями только от х.
Приложение Н
ТЕОРИЯ БАЛКИ, УЧИТЫВАЮЩАЯ ЭФФЕКТ
ДЕФОРМАЦИИ ПОПЕРЕЧНОГО СДВИГА
Выведем приближенную теорию балки, учитывающую эффект
деформации поперечного сдвига с помощью функционала
B.41) обобщенного принципа Хеллингера—Рейсснера. Рассмот-
Рассмотрим балку постоянного поперечного сечения, защемленную при
х = 0 и находящуюся в состоянии статического равновесия под
действием нагрузок, приложенных на другом конце х = I. Пред-
Предполагается, что массовые и поверхностные силы на боковых по-
поверхностях отсутствуют, так что в плоскости (х, z) реализу-

Приложение Н 487
ется чистый изгиб. Функционал B.41) для данной задачи записы-
записывается следующим образом:
-f (члены на граничных поверхностях), A)
где ?/, v и и? являются компонентами перемещений и функциями
(х, у, г). Предположим, что
ax = _+MZt B)
*» = Q (*) в.» (У. г), т„ = Q (х) вхг (у, г), C)
оу = ст2 = туг = 0. D)
Нетрудно видеть, что соотношение B) совпадает с G.29). Две
функции вжу и @xZ в уравнении C) выбираются так, чтобы в по-
поперечном сечении выполнялось условие
ду + дГ -~Г' W
а на боковых поверхностях — условие
®хут + ®xzn = 0, F)
где тип являются направляющими косинусами внешней нор-
нормали v, т = cos {у, v) и п = cos (z, v). Необходимо, чтобы функ-
функции Вху и вж2, выбранные таким образом, являлись хорошими
аппроксимациями компонент напряжений ххУ и ххг. Подставляя
выражения B)—D) в A) и используя B.21) для выражения В,
имеем
_п* = f Г т \ м*
R J L 2?Л„ "^ 2EI
+ ЛГ y0 + (M' — Q) иг + Q' (vQ + w0)] dAr +
+ (члены на обоих концах), G)
где
1\№ 1)и (8)
уоА) = \\udydz, v¦ I = \\uzdydz,
(9)
vo = J J v®xv dydz, wo = J j w®xz dy dz,

488
Приложения
причем интегрирование в этих выражениях производится по по-
поперечному сечению балки. В функционале G) варьируемыми ве-
величинами являются N, М, Q, f0. uv v0 и w0. Условия стацио-
стационарности приводят к зависимостям
N = ЕАоио, М = EIu\, Q = GkA0 [(v0 + щ) + и,], A0)
N' = 0,. М' — Q = 0, Q' = 0. A1)
Сравнивая соотношения A0) с соотношениями G.130)—G.132),
отметим, что если величины и, иг и w интерпретировать как
и = и0, иг = ult w = vo + w0! A2)
то в данной статической задаче оба подхода приведут к эквивалент-
эквивалентным формулировкам, за исключением величины k. Ниже приводя-
приводятся величины поперечной жесткости на сдвиг для трех видов по-
поперечных сечений.
, ь ,
Рис. Н.1. Прямоуголь-
ное сечение.
Рис. Н.2. Круглое се-
чение.
Рис. Н.З. Тонкостенная
круглая труба.
A) Прямоугольное поперечное сечение. Пусть ширина и высота
сечения равны b и h соответственно, как показано на рис. Н.1.
В таком случае имеем [1]
A3)
ад = 0, в« = [1/B/)] [(/i/2J— г3],
Ао = bh, I = A/12) bh3, k = 5/6.
B) Круглое поперечное сечение. Пусть радиус поперечного се-
сечения равен а, как показано на рис. Н.2. Тогда [1 ]
4A
I yZ'
2v
= (я/4)а4, k = 0,851 при v = 0,3.
A4)
C) Тонкостенная замкнутая круглая труба. В тонкостенной
трубе касательное напряжение т считается направленным к внеш-

Приложение I 489
ней стороне стенки [2, 3]. Для трубы радиуса а и постоянной
толщины t, изображенной на рис. Н.З, имеем
т = [Q/(nat) I cos 9,
®ху = — W(nat)) cos 9 sin 9, Sxz = [1/(яаО1 cos2 6, A5)
Ao = 2nat, k = 1/2.
Приложение I
СООТНОШЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЯ—ДЕФОРМАЦИИ
ДЛЯ ТОНКОЙ ПЛАСТИНЫ
При формулировке задачи о пластине обычно предполагают,
что нормальным напряжением az в соотношениях напряжения—
деформации можно пренебречь. Это предположение приводит
к следующему упрощенному виду соотношений A.10) и A.11):
а* = 1_V2 (еж + ve!/)' xvz = Щуг,
Oz = 0, xxy = Gyxy
и соответственно
Еех = ах — vdy, Gyyz = туг,
Егу = — vax + Oy, Gyzx = тгх, B)
Eez = — v (ах + а„), Gyxy = хху.
Выражения для функций энергии деформации и дополнительной
энергии при этих соотношениях напряжения—деформации имеют
вид
А = 2(i-v«)(е* + &уJ + 4 ^ + Y" + ^- 4е*е*)' C)
В = -^-'[(а, + oyf + 2 A + v) (т2^ + xL + т% — ахау)]. D)
Если для получения нелинейных соотношений напряжения—
перемещения использовать в качестве соотношений напряже-
напряжения—деформации уравнения C.38), то получатся соотношения
A)—C), в которых е,, гу, е2, yyz, угХ и уху заменяются на еХ1С,
еуу, егг, 2еуг, 2е2х и 2ехУ соответственно.
Предположение о том, что в соотношениях напряжения—
деформации можно пренебречь нормальным напряжением ах,
часто используется в задачах о тонких пластинах при темпера-

490 Приложения
турных напряжениях и сводит уравнения E.63) и E.64) к сле-
следующим:
Е Ее&
°х = у—^г (е*х + vem) — j—^, %yz = 2Geyz,
Е Ее6
°у =¦= J-—72 (ve*x + е«у) — jz-^' xzx = 2Gezx, E)
о? ¦= 0, txv =
и соответственно
l s
( ) + e
E J> 2G F)
&zz ~ ^~ (®x ~т~ ®y) r ? » ?xy — 2C ^^У-
Выражения для функций энергии деформации и дополнитель-
дополнительной энергии для приведенных выше соотношений напряжения—
деформации будут иметь вид
Л = тгтЛ-* <*„ + б,J + 2G (^ + 4, + 4 - ««А. ) -
W * + tL + т^ — ахау)] +
+ ев(а, + а„). (8)
Если использовать линейные соотношения деформации—переме-
деформации—перемещения, то получим соотношения, соответствующие соотношениям
E)—G) с заменой ехх, еуу, ezz, 2eyz, 2ezx и 2еху на ех, еу, ег,
Ууг, Угх и уху соответственно.
Приложение J
ТЕОРИЯ ИЗГИБА ПЛАСТИН, УЧИТЫВАЮЩАЯ
ЭФФЕКТ ДЕФОРМАЦИИ ПОПЕРЕЧНОГО СДВИГА
Выведем приближенную теорию изгиба пластин, учитывающую
эффект деформации поперечного сдвига, при помощи функционала
B.41) обобщенного принципа Хеллингера—Рейсснера. Предполо-
Предположим, что тонкая пластина находится в состоянии статического рав-
равновесия, причем на части 5i границы заданы силы
Fx, Fy, Fz, A)

Приложение J 491
на части S2 границы — геометрические условия
TJ, V, w, C)
а внешние силы, приложенные к верхней и нижней поверхностям,
имеют вид
т*2 = 0, Туг = 0, oz --= р при г = Л/2;
•***--О, т^^О, ох = О при г = — Л/2. ^
Предполагается, что массовые силы отсутствуют. Функционал
B.41) для данной задачи записывается в виде
J J Ко*/ -г т*„/п) с/ + (тху/ + аут) ~v +
+ (rxzl + ту2от) г] dz ds -h
-\- (интегралы по Sx и при z — ± Л/2), D)
где / = cos (x, v) и m = cos (у, v). Следуя [1—4], можно выбрать
/г/2 ' СТ» ~ hV6 Л/2 ' Тж» ~ Л2/6 Л/2 '
3_Гг
Подстановка этих выражений в D) и использование B.21) для
функции В приводят к следующему выражению:
Н- Myf + 2 A + v) {Mly — МХМУ) —

492 Приложения
дМХу дМу
\~ЫГ+ Ту (
- J [(Mxl -t- Мхут) п1 + (Мху1 г Мут) \ f
+ (Qxl - \- Qyrn)w0] ds f (интеграл по С)), F)
где k — 5/6 и введены обозначения
.2 г
Варьируемыми величинами в функционале F) являются Мх,
Mv, Mxy, Qx, Qy, Ui, v1 и w0. Можно показать, что условиями
стационарности являются уравнения равновесия
дМх дМхУ дМху дМу
-аг+—у Q*-0' sr + ijT-Qv-0' (8a>b>c)
dQx dQy
и соотношения результирующие напряжений — перемещения
(9а)
(9Ь>
О, = ОМ (-^- + «,), Q, = ОМ (-^ + v.) <9d, e)
g геометрическими граничными условиями
t/j^t/j, v1 = F1, w0 = ^о на С2. A0)

Приложение К
493
Полученные выше результаты означают, что механические гра-
граничные условия можно приближенно представить следующим об-
образом:
MJ г Мхут = Fxzdz, Mxyl -(- Мут — Fyzdz,
с- (П)
QJ + Qytn = j F2 dz на Сх.
Если нагрузка р не является сильно сосредоточенной, то послед-
последними членами в (9а) и (9Ь) можно пренебречь по сравнению с пре-
предыдущими членами. Тогда сравнивая соотношения, полученные
выше, с соотношениями, выведенными в § 8.8, находим, что если
величины «,, t>i и w интерпретировать как
«i = l/i. v1 = v1, oy=wo, A2)
то в данной статической задаче два подхода приведут к одина-
одинаковым формулировкам, за исключением величины k.
Приложение К
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ОБОЛОЧЕК
Приведем явные выражения для геометрических величин,
определенных в гл. 9, для различных видов оболочек.
Рис. К.1. Плоская пластина.
/. Плоская пластина (см. рис. К.1):
(dsoO)J = (dxf -\- {dyf\
а = х, р = у, А = 1, В = 1, Ra
. _ ди . ди
111~~дх~' ll2~~di'
j dv j dv
*9!1 -ч_. t *22 -4. t
= оо, Яр =

494
Приложения
Рис. К.2. Цилиндрическая оболочка.
2. Цилиндрическая оболочка (см, рис. К.2):
х = х, у = a cos ф, г = a sin
a = x, P = ф, /4 = 1, В = a, Ra — <x>,
. ди . 1 ди
, dv , 1 / dv
= а;
\ I dw
I du . dv
d2w dv \ _ 1 /
1фг + 1ф"/' Ххф "TV
_ 1 ди . dv
Ухч> ~ ~а ~dj + IT;
do
3. Сферическая оболочка (см. рис. К.З):
х = a sin ф cos G, у = a sin ф sin 6, z — a cos ф;
(dsoO)J = (о sin ф d9J + (a dipJ;
о = 0, р = ф, А = а sin ф, В = a, Ra = a, R$ = о;
1 ди , _ х \ # 1 5и
Л, = —
а V sin ф дв
.t>ctg<p-«,), ^ = -5-—,

Приложение К
495
Рнс. КЗ. Сферическая оболочка,
z
Рис. К.4. Осесимметричная оболочка.

496 Приложения
^ a \ sin ф d9 s ч у > и а \ ду /
1 / 1 dw \ . 1 / dw
r U) '
. Осесимметричная оболочка (см. рис. К.4):
(dsH2 = (/?e sin cp dQJ -\- (/?„
а = 6, р = ф, Л = Я9 sin ф, В = Ry,
1 ди , . \ , \ ди
Приложение L
О ПРИНЦИПЕ ХААРА—КАРМАНА
Уравнение A1.42) показывает, что принцип Хаара — Кармана
не обладает свойством стационарности в обычном смысле. Однако
если дополнительные условия, представленные неравенством
o'i/Oij — 2k'2 <0, A)
записать в виде равенства
2k" - e-цв'ц - г2 = 0, B)
где г — действительная переменная, то функционал A1.35) можно
обобщить следующим образом [1, 2]:
П* = ~ Ш [3°2?2V)g2 + Ж °W°'/] dV + J J °"-Я>Й< dS +
+ j J J I—a,,. ,Ui + (Я/2) Bk2 - o'uoi, - z*)]dz +
v
+ jj(otjnJ—Fl)u,dS, C)
где «j и Я — множители Лагранжа, с которыми к вариационному
выражению добавляются уравнения равновесия, механические
граничные условия и условие пластичности.

Приложение М 497
Интересно отметить, что условия стационарности функцио-
функционала C) по отношению к аи и z приводят к уравнениям
~2 («'¦ / + "/• ') = ~Е V стб'7 f -Щ- аЬ + to'tb D)
г%. = 0. E)
Решениями уравнения E) являются значения
г = 0, А, = 0. Fа, 6Ь)
Первое решение соответствует пластическому состоянию, а вто-
второе — упругому состоянию.
Приложение М
О ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПАХ
В КВАЗИСТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ
И В ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ
/. Квазистатическая задача
В этом приложении рассмотрим квазистатическую формули-
формулировку динамической задачи, рассмотренной в § 5.5. Под квази-
квазистатическим понимается такой процесс, в котором заданные мас-
массовые силы, поверхностные силы и перемещения меняются со вре-
временем столь медленно, что инерционными членами в уравнениях
движения можно пренебречь. Очевидно, что принцип виртуаль-
виртуальной работы и связанные с ним вариационные принципы можно сфор-
сформулировать так же, как и в гл. 3, за исключением того, что время /
теперь играет роль параметра. Соответственно в квазистатической
задаче нас прежде всего будут интересовать скорости напряжений
и перемещений: считая заданными распределения напряжений о**1
и перемещений их в теле в начальный момент времени, найти
производные по времени от напряжений 6^ и перемещений й\
индуцированных в теле (точка означает дифференцирование по
времени).
Так как уравнения равновесия и граничные условия запи-
записываются через скорости в виде
^W + ^K'i.x + P^O в V; A)
Fk = Р на Slt B)
«я = ия на S2( C)
где
x (Ъ \) \, D)

498 ' Приложения
то имеем
+ JJ (^ Pl)buldS -- 0. E)
s,
После ряда преобразований уравнение E) можно свести к виду
J J J [сг^бе^ -L- а^й\6и\ - P*6«4dK - [ [ Fx8uldS = О, F)
где бё^ — вариация величины <г?.д по отношению только к йу-.
2ё^ = (б? + и\) й\ -L- FЛ + «ГЛ иГл, G)
2 бёЛц = F3f + «Г J бйГ ц 4- Fд -f «* J бйГя- (8)
Уравнение F) представляет собой принцип виртуальной работы
для квазистатической задачи.
Рассмотрим другие вариационные принципы для квазистати-
квазистатической задачи. Во-первых, предположим, чго связь между ско-
скоростями напряжений и скоростями деформаций задается соот-
соотношением
n (<jap; Ооэ> еар) (9)
или обратным соотношением
о**, евВ), (Ю)
в которых ааР и е„е можно рассматривать как параметры. Во-
вторых, предположим, что выражения (9) удовлетворяют условиям
которые означают существование функции состояния А* (ё^,
°х>1> eKv), определенной равенством
. A2)
В-третьих, предположим существование функций состояния Ф* (ыЛ)
и W* (йх), определенных равенствами
6Ф* = —Рх Ьйк, 6Y* = —Р Ьи*. A3)
При этих предположениях из уравнения F) можно получить
принцип стационарности потенциальной энергии для квазиста-
квазистатической задачи. Этот принцип, установленный таким образом,

Приложение М 499
можно обобщить, используя множители Лагранжа. Можно пока-
показать, что обобщенное выражение Пх имеет вид
П, - [ J \
v
+ f f W(fr)dS --f \рк(йх ux)dS, A4)
где независимыми величинами, подлежащими варьированию, яв-
являются ах^, ёЯд, пк и рх без каких-либо дополнительных условий,
а величины ах^, е-КI и их рассматриваются как параметры, не под-
подлежащие варьированию. Условия стационарности представляют
собой уравнения состояния квазистатической задачи вместе с ра-
равенством
рх ^ F\ A5)
которое определяет множители Лагранжа рк на S2-
Выражение A4) означает, что функция В* (о^; ох*>, е^),
соответствующая функции А*, имеет вид
В' --- а^ё^ - А', A6)
где величины eXv. выражаются через оаР при помощи A0).
Если в квазистатической задаче Ограничиться малыми пере-
перемещениями, то уравнения состояния, соответствующие уравне-
уравнениям A)—C) и G), примут соответственно вид
ои, 1-^-^ = 0 bV, A7)
пип^ = F; на Sl A8)
щ = dt на S2, A9)
2ku = uitj + uj,i в V. 420)
Здесь компоненты напряжений, деформаций и перемещений обо-
обозначаются соответственно через а^, ги и uit а величины Xt, F,
и мг являются компонентами заданных массовых сил, поверхност-
поверхностных сил и перемещений. Из приведенных выше соотношений по-
получим принцип виртуальной работы для квазистатической задачи
в рамках теории малых перемещений в виде
(ои 8ги - Ri Ьи{) dV - j J ft 8ut dS = 0, B1)

500 Приложения
где использовано соотношение B0). Поскольку уравнения A7)—
B0) справедливы и без точек сверху, то принцип виртуальной
работы можно получить и в смешанной форме
f f [ Fи деи X, бы,) dV - j f F, 6и,- dS - 0, B2)
J [ J (au 6ги X, Ьщ) dV - j J Ft бы,- dS = 0. B3)
v s,
Очевидно, что можно также получить принцип дополнительной
виртуальной работы, отвечающий соотношениям B1)—B3):
J J j ги 6atJ dV-\\ Sdijnju; dS - 0, B4)
V 'S,
ёи 8ои dV — | f bOijtijui dS --= 0, B5)
j | J Bij &6и dV — f j bdijtijui dS - 0. B6)
Если соотношения между напряжениями или скоростями на-
напряжений и деформациями или скоростями деформаций таковы,
что величины вида Ьцйгц являются полными дифференциалами,
то упомянутые выше принципы можно привести к вариационным
формулировкам.
2. Теория ползучести
Деформации материалов бывают не только упругими или пла-
пластическими; они также имеют и зависящую от времени составляю-
составляющую, особенно при повышенной температуре. Эта составляющая
деформации развивается во времени даже при постоянных внеш-
внешних нагрузках. Такое явление называется ползучестью (см. ра-
работы [1—5]). Деформации конструкции при ползучести приводят
к изменению формы, к перераспределению напряжений и к потере
устойчивости. Таким образом, ползучесть является одним из
важных факторов при анализе конструкций при высоких темпе-
температурах.
Для установления вариационных принципов теории ползуче-
ползучести предлагались различные формулировки. Ван и Прагер [6]
дали формулировку вариационных принципов для краевой задачи,
состоящую в следующем (используются обозначения гл. 12).
Предполагается, что тело, состоящее из упрочняющегося пласти-

Приложение N 501
ческого материала, деформировалось с учетом деформаций пол-
ползучести и в момент времени / занимает объем V с границей S.
Предполагается также, что температура 0, напряжения ао- и
состояние упрочнения / известны в объеме V. Придадим темпера-
температуре в объеме V приращение d0, силам на Sx приращения dF(
и перемещениям на 52 приращения du;. Имея соотношения между
компонентами добавочных упругих и пластических деформаций,
а также температурных деформаций и деформаций ползучести,
обозначаемых d^\h йг"ц, de^ и йг^ соответственно, и компонентами
добавочных напряжений, температурой и временем, поставим
задачу нахождения приращений напряжений dau и приращений
перемещений duu возникающих в теле. Нетрудно понять, что
сумму температурных деформаций при ползучести йъ% + de^-
можно считать начальными добавочными деформациями, и тогда
задача сведется к краевой задаче теории пластического течения
с начальными приращениями деформаций [7].
Сандерс, Мак-Комб и Шлехте [8] сформулировали другой
вариационный принцип для краевой задачи, который состоит
в следующем. Предположим, что напряжения а^ и перемещения
их известны в момент времени t. Зная скорости изменения поверх-
поверхностных сил Fx, скорости изменения перемещений на поверхности
ик, скорости изменения массовых сил Р1 и соотношения между
скоростями напряжений и деформаций, найдем скорости напря-
напряжений дк1Х и перемещений йх, возникающих в теле. Понятно, что
скорости деформаций при ползучести ecXtl можно рассматривать
как скорости начальных деформаций • [9] и для установления
вариационных принципов можно использовать результаты первой
части этого приложения. Функционал A4) эквивалентен функ-
функционалу Сандерса, Мак-Комба и Шлехте [8].
Приложение N
О МЕТОДЕ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
/. О методе граничных элементов для задачи, описываемой двумер-
двумерным уравнением Лапласа
Запишем формулу Грина для двумерной задачи в виде II]
J J (и Av - v Аи) dxdy =-- $ (и -g- - v-^)ds, A)
S С
где и (х, у) и v (х, у) — функции, определенные в S, А ( ) =
= d2 ( )ldxi + d2 ( )/дуг, ал — внешняя нормаль к границе С

502
Приложения
(рис. 18.1). Уравнение A) можно вывести непосредственно с по-
помощью соотношений
ди dv . ди dv dv ди . dv ди .„.
~дх~дх ¦ ~ду"~ду = ~дх ~дх + ~df~df ^'
И
5 С S
Введем функцию ф (х, у), удовлетворяющую уравнению
Аф = 0 в S,
и положим
и = ф(х, у).
С другой стороны, положим
v = In R,
где
E)
F)
G)
R = V(x- If + (у - г]J. (8)
Заметим, что функция In R имеет особенность в точке Р (|, г\)
и удовлетворяет уравнению
A (In R) = 0 (9)
всюду, за исключением точки Р (|, г\).
с
Рис. N.1.
Рис. N.2.
Выберем в области S произвольную точку Р (?, ц) и проведем
вокруг нее окружность бесконечно малого радиуса е. Обозначим
эту окружность через Се, а область, которую она ограничивает,
череа Se (рис. N.1). Тогда, замечая, что уравнения
Аф = 0, Д (In #) = О

Приложение N 503
справедливы в области S — Se> ограниченной кривыми С и Се,
из формулы A) получаем
s = O. A0)
Функцию \|) (х, (/) на границе С можно разложить в ряд Тейлора:
ф (*,*) = ф (Б, л) + (?)8>11 е cos 0 -Ь (^)8>ч е sin 0 +
+ члены высшего порядка. A1)
Также заметим, что
ж--ж наС- A2)
Используя эти соотношения и устремляя в уравнении A0) е к нулю,
получаем г)
§^§^ A3)
с с
где ф (Р) представляет собой значение ф в точке Р (|, tj).
Теперь выберем точку Р в угловой точке границы С
(см. рис. N.2). Определяя Се и Se так, как показано на этом ри-
рисунке, выпишем в области S — Se уравнение, аналогичное урав-
уравнению A0). Устремляя затем е к нулю, для точки Р границы С
получим
аРф(Р)=У. p.J^JL(ln/?)ds-V. P. j^-lnRds, A4)
с с
где аР — угол, образованный двумя касательными в точке Р,
a V.P. означает, что интеграл берется в смысле главного значе-
1) Заметим, что
& = - §Ф .JL
2я
2я

504 Приложения
ния Коши. Легко видеть, что если граница С гладкая в точке Р,
то аР = п. Уравнение A4) является основой метода граничных
элементов.
Отметим, что уравнения A3) и A4) можно записать в виде
ds A5)
СРфР + V. P. J фд* ds = V. P. J q ф* ds, A6)
с с
где
= дф|дп, СР = аР/Bп) A7)
-tst "¦(-*-)¦
2. О методе граничных элементов для задачи, описываемой трех-
трехмерным уравнением Лапласа
Формула Грина в трехмерном случае имеет вид
dS, B0)
где и (х, у, г) и v (х, у, z) — функции, заданные в V, А ( ) =
= д2 ( )/дх2 + д* ( Iду2 + д2 ( )ldz2, dV = dx dy dz, a n — внеш-
внешняя нормаль к границе S. Формулу B0) можно вывести непосред-
непосредственно с помощью соотношений
grad «.grad v = grad y-grad и B1)
и
J Jf grad u-grad udV - J ju~-dS — j J juAvdV, B2)
V S V
J J Jgrady-gradudV = J j v ~dS — J J Jy AudV. B3)
V S V
Введем функцию ф (х, у, z), удовлетворяющую уравнению
Д^ = 0 в V, B4)
и положим
и = ф(х, у, г). B5)

Приложение N 505
С другой стороны, в качестве v выберем функцию
v = 1/R, B6)
где
R = V (х - |J + (у - г,J + (г - О2- B7)
Заметим, что функция \IR в точке Р (|, т), ?) имеет особенность.
Эта функция удовлетворяет уравнению
А A/Я) = 0 B8)
всюду, за исключением точки /> (|, т], ?).
Выберем в области V произвольную точку Р (g, т], ^) и опишем
вокруг нее сферу бесконечно малого радиуса е. Обозначим поверх-
поверхность этой сферы через Se, а область, ею ограничиваемую, через
Ve- Тогда, замечая, что уравнения
Аф = 0, А A/#) = 0
справедливы в области V — Ve, ограниченной поверхностями S
и Se, из соотношения B0) получаем
Значение функции \|) (х, г/, г) на границе 5е можно представить
в виде разложения в ряд Тейлора
ч>(*, у, г) = ^(ё, л. b) + №;s.n,c^-« +
где (см. рис. К.З в приложении К)
х — | = е sin ф cos 0, у — т) = е sin ф sin 0, C1)
г — 5 = е cos ф,
а элемент dS границы Se равен (см. тот же рисунок)
dS = e2 sin ф d6 dq>. C2)
Заметим также, что
~дГ~ = То на 5е. C3)

506 Приложения
Используя эти соотношения и устремляя в B9) е к нулю, полу-
получаем г)
<"*<*> = JJM (ж)+ 1тН<^ ОТ
Возьмем теперь точку Р на гладкой части границы S и опишем
вокруг нее полусферу бесконечно малого радиуса е. Обозначим
поверхность полусферы через Se, а область, ею ограничиваемую,
через Ve. Тогда в области V — Ve получим уравнение, анало-
аналогичное по форме B9). Устремляя в нем е к нулю, получаем
2пФ(Р) = V. P. J J [-фЛ- (_¦.) + *. _¦_] dS. C5)
s
Уравнения C4) и C5) — основа метода граничных элементов.
3. О методе граничных элементов в трехмерной задаче линейной
теории упругости
Рассмотрим трехмерную линейную задачу теории упругости,
поставленную в § 13.1, и обозначим напряжения, деформации и
перемещения в точном решении этой задачи через aiS, etj и щ
соответственно. С другой стороны, рассмотрим частное решение
задачи теории упругости, определяемое соотношениями
а!,-, ,- = 0 в V, C6)
/ + «/,,) в V C7)
\о*\ = [А] \е*\, C8)
где oq, Eq и «,* являются напряжениями, деформациями и пере-
перемещениями в этом частном решении, причем
tn*\,T ffT* П* Т,* 1 tp* I Г Гр* р*
¦ \а } — 10*, Оу, . . . , Tixyl-, Iе } т- \Рху Ьу, . . .
Заметим, что
-JJ

Приложение N 507
а [А] — постоянная матрица, определенная в A3.8). Тогда
[о'\т\е'\ = {о'\Це\. C9)
Для доказательства используем свойство симметрии матрицы [А ]:
{а\т \е'\ = \е\Т[А]т И = \г\т [А] {е'} = {е}' \о'\ = {а*}' \г).
Следовательно,
H\\°\T\**\dV = lll\a-\T\e\dV. D0)
v v
Воспользовавшись соотнршениями A3.1) и C7), получим
J | J \а\т\е*\ dV = } | f A/2) а(/- (и?, ,- + «/*. t)^ =
= J j Г,и? dS - \ \ \ а(/,,«? dV =
u}dV, D1)
где Г; определено в A3.6), a 5 (= Sx + S2) — вся граница об-
области V.
С другой стороны, используя A3.2) и C6), имеем
j j j {от*}г \г\ dV = f f j A/2) a?, (u(l , + «/.
= j j Г?и, dS - J j j oft. ,ut dV = J J Г?и, dS, D2)
S V S
где
Г? = a?,n,, D3)
Следовательно, из соотношений D0)—D2) получим
J J Пик dS-\\ Tku*k dS-\\\ hut dV = 0, D4)
S S V
J J \
S S V
где немой индекс i заменен на k.
Выберем теперь величину и*к в виде
"'** (Р- G) = I6(i-v)rt№ [C ~ 4v)б'* + R-lR' к]' D5)
где
*=/(**-W(*f-6i). D6)
6(h — символ Кронекера, а ( ),i = 5 ( )fdxt.
В ряде работ (например, [2—5]) показано, что величины
"** {Р, Q), k — 1. 2, 3, представляют собой перемещения точки

508 Приложения
Q (Xi, x2, x3) в направлении осей xk, k = 1, 2, 3, обусловленные
единичной сосредоточенной силой, приложенной в точке Р (|1,
?2, ?3) в направлении оси Xi. Показано, что усилия на границе,
соответствующие перемещениям D5), равны
П* (Р, Q) = - te(iiv)/;» [Я. » 1A ~ 2v) 6,* + 3/?.,/?. *} -
-A-2у){/?,,лл-Л,лл/Ц, D7)
где nk, k = 1,2, 3, являются направляющими косинусами внеш-
внешней нормали п к границе в точке Q. Нетрудно видеть, что напря-
напряжения of/, полученные из перемещений D5) с использованием со-
соотношений C7) и C8), удовлетворяют уравнениям C6) всюду,
за исключением точки Р (|х, |2, |3)-
Выберем в области V произвольную точку Р (|х, |2, |3) и опи-
опишем вокруг нее сферу бесконечно малого радиуса е. Обозначим
поверхность сферы через 5е, а область, ограниченную ею, через
Ve. Применяя соотношение D4) к области V — Ve, ограниченной
поверхностями S и SE, и заменяя и.% и Т\ на iiU и T*k соответ-
соответственно, получаем
f f ТПи„ dS-\\ TkuJk dS - J j } fkut dV +
-f
Так как
f f 77*и» dS-\\ ТкиП dS = 0. D8)
S S
lim [ f TfkUk dS = н, (Р), lim f f Г^** dS = 0,
?->0 -o J e-»0 с
то из соотношения D8) получим
и, (Р) + J J 77*и* dS + J J 77*й* dS - J J f*«,% dS -
Sa su sa
- \ \ Tkuh dS - J j J hu% dV = 0. D9)
Если точку Р взять на гладкой части границы S, то
A/2) ut(P) 4- V. P.J J77*w*dS + V. P. J J Г,%й* dS —
s S
- V. P. J j Tkufk dS - V. P. { J Tkufk dS -
-HJfkUldV^O. E0)
v
Уравнения D9) и E0) являются основой метода граничных эле-
элементов для трехмерной задачи теории упругости. Аналогичные со-
соотношения для двумерного случая см., например, в работах [2—4].

ЛИТЕРАТУРА
Щ ввевенки ы. части А
1. Kypant Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1: Пер. с нем. —
М,—Л.: ГИТТЛ, 1951.
2. Ланцош К. Вариационные принципы механики: Пер. с аигл. — М.: Мир,
I96S.
3. Bolza О. Lectures on the calculus of variations. — University of Chicago
Press, 1946.
4. Блисс Дж. Лекции по вариационному исчислению: Пер. с аигл. — М.: ИЛ,
1950.
5. Fox С. An introduction to the calculus of variations. — London: Oxford Uni-
University Press, 1950.
8. Weinstock R. Calculus of variations with application to physics and engineer-
engineering. — McGraw-Hill, 1952.
7. Морс Ф., Фашбах Г. Методы теоретической физики. Т. 1—2: Пер. с аигл. —
М.: ИЛ, 1958, 1960.
8. Михлин С, Г. Вариационные методы в математической физике. — М.: Наука,
1970.
9. Голдстейн Г. Классическая механика: Пер. с англ. — 2-е изд. — М.: Наука,
1975.
10. Synge J. L., Griffith В. A. Principles of mechanics. — McGraw-Hill, 1959.
11. Langhaar H. L. Energy methods in applied mechanis. — Wiley, 1962.
12. Бицено К. Б., Граммель Р. Техническая динамика. Т. 1—2: Пер. с ием.—
Л.—М.: ГИТТЛ, 1950.
13. Саусвелл Р, В. Введение в теорию упругости: Пер. с аигл. — М.: ИЛ, 1948.
14. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости: Пер. с аигл. — М.: Наука,
1979.
15. Hoff N. J. The analysis of structures. — Wiley, 19S8.
16. Pearson C. E. Theoretical elasticity. — Harvard University Press, 1959.
17. Argyris J. H., Kelsey S. Energy theorems and structural analysis. — Butter-
worth, 1960.
18. Новожилов В. В. Теория упругости. — Л.: Судпромгиз, 1958.
19. Greenberg J. H. On the variational principles of plasticity. — Brown Uni-
University, ONR, NR-041-032, March 1949.
20. Хилл Р. Математическая теория пластичности: Пер. с аигл. — М.: ГИТТЛ,
1956.
21. Becker M. The principles and applications of variational methods. —
Massachusetts Institute of Technology Press, 1984.
22. Applied Mechanics Reviews, ежемесячник, издаваемый Американским об-
обществом инженеров-механиков (American Society of Mechanical Engineers).
23. Строительная механика в СССР. 1917—1957/Под ред. И. М. Рабиновича. —
М.: Госстройиздат, 1957.
24. Серрии Дж. Математические основы классической механики жидкости:
Пер. с аигл. --¦ М,- ИЛ. 1963.

510 Литература
5. Biot M. A. Lagrangian thermodynamics of heat transfer in systems including
fluid motion. — Journal of the Aeronautical Sciences, 1962, v. 25, No. 5,
p. 568—577.
26. Washizu K- Variational principles in continuum mechanics. — University
of Washington College of Engineering, Department of Aeronautical Engineer-
Engineering, June 1962, Report 62-2.
27. Методы оптимизации с приложениями к механике космического полета/
Под ред. Дж. Лейтмана: Пер. с англ. — М.: Наука, 1965.
К главе 1
1. Ляв А. Математическая теория упругости: Пер. с англ. — М.—Л.: ОНТИ,
1935.
2. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости: Пер. с англ. — М.: Наука,
1975.
3. Monguti_S. Fundamental theory of dislocation of elastic bodies (на япон. язы-
языке). — бу о Sugaku Rikigaku, 1947, v. 1, No. 2, p. 87—90.
4. Pearson С Theoretical elasticity. — Harward University Press, 1959.
5. Новожилов В. В. Теория упругости. —Л.: Судпромгиз, 1958.
6. Washizu К. A note on the conditions of compatibility. — Jounal of Mathe-
Mathematics and Physics, 1958, v. 36, No. 4.
7. Duncan W. J. Qalerkin's method in mechanics and differential equations.—
Aeronautical Research Committee, Report and Memoranda No. 1798, 1937.
8. Бицено К.. Граммель Р. Техническая динамика: Пер. с нем. — М.—Л.:
ГИТТЛ. 1950.
9. Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений:
Пер. с нем. — М.: ИЛ, 1953.
10. Hoff N. J. The analysis of structures. — Wiley, 1956.
11. Argyris J. H., Kelsey S. Energy theorems and structural analysis. — Butter-
worth, 1960.
12. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1: Пер. с нем. —
М.—Л.: ГТТИ, 1933.
13. Ланцош К- Вариационные принципы механики: Пер. с англ. — М.: Мир,
1965.
14. Southwell R. V. Castigliano's principle of minimum strain energy. — Pro-
Proceedings of the Royal Society, 1936, v. 154, No. 881, p. 4—21.
15. Southwell R. V. Castigliano's principle of minimum strain energy and con-
conditions of compatibility for strains. — In: S. Timoshenko 60th Anniversary
Volume, 1938, p. 211—217.
16. Dorn W. S., Schild A. A converse to the virtual work theorem for deformable
solids. — Quarterly of Applied Mathematics, 1956, v. 14, No. 2, p. 209—213.
17. Truesdell С General solution for the stresses in a curved membrane. — Pro-
Proceedings of the National Academy of Science, Washington, 1957, v. 43, No. 12,
p. 1070—1072.
18. Truesdell C. Invariant and complete stress functions for general continua. —
Archives for Rational Mechanics and Analysis, 1959, v. 4, No. 1, p. I—29.
19. Stickforth J. On the derivation of the conditions of compatibility from Casti-
Castigliano's principle by means of three-dimensional stress function. — Journal
of Mathematics and Physics, 1965, v. 44, No. 3, p. 214—226.
20. Moriguti S. On Castigliano's theorem in three-dimensional elastostatics (на
япон. языке). — Journal of the Society of Applied Mechanics of Japan, 1948,
v. 1, No. 6, p. 175—180.
21. Fung Y. С Foundations of solid mechanics. — Prentice-Hall, 1965.
22. Морс Ф., Фешбах Г- Методы теоретической физики. Т. 1: Пер. с англ. —
М.: ИЛ, 1958.
23. Прагер В., Ходж Ф. Теория идеально пластических тел: Пер. с аигл. —
М.: ИЛ, 19S8.

Литература 511
К главе 2
1 Ляв А. Математическая теория упругости: Пер. с англ. — М.—Л.: ОНТИ,
1935.
2. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости: Пер. с англ. — М.: Наука,
1975.
3 Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1: Пер. с нем. —
М.—Л.: ГИТТЛ, 1951.
4. Washizu К- On the variational principles of elasticity and plasticity. — Aero-
elastic and Structures Research Laboratory, Massachusetts Institute of Tech-
Technology, Technical Report 25-18, March 1955.
5. Hu H. C. On some variational principles in the theory of elasticity and pla-
plasticity. — Scientia Sinica, 1955, v. 4, No. 1, p. 33—54.
6. Hellinger E. Der allgemeine Ansatz der Mechanik der Kontinua. — In: En-
cyclopadie der Mathematischen Wissenschaften. Bd 4, Teil 4, 1914, S. 602—694.
7. Reissner E. On a variational theorem in elasticity. — Journal of Mathematics
and Physics, 1950, v. 29, No. 2, p. 90—95.
8. Friedrichs K- Ein Verfahren der Variationsrechnung das Minimum eines Inte-
Integrals als das Maximum eines anderen Ausdruckes darzustellen. — Nachrichten
der Academie der Wissenschaften in Gottingen, 1929, S. 13—20.
9. Iai T. A method of solution of elastic problems by the theorem of maximum
energy (на япон. языке). — Journal of the Society of Aeronautical Science
of Nippon, 1943, v. 10, No. 96, p. 276—298.
10. Reissner E. On variational principles in elasticity. — In: Proceedings of Sym-
Symposia in Applied Mathematics, Vol. 8. — McGraw-Hill, 1958. p. 1—6.
11. Нагди П. Об одной вариационной теореме в теории упругости и ее приме-
применении к теории оболочек.—Прикладная механика (Мир), 1964 т. 31,
№ 4, с. 80.
12. Бицено К-, Граммель Р. Техническая динамика: Пер. с нем. — М.—Л.-
ГИТТЛ, 1950.
13. Бисплингхофф Р., Эшли X., Халфмэн Р. Аэроупругость: Пер. с англ —
М.: ИЛ, 1958.
14. Hoff N. J. The analysis of structures. — Wiley, 1956.
15. Argyris J. H, Kelsey S. Energy theorems and structural analysis. — Butter-
worth, 1960.
16. Temple G., Bickley W. G. Rayleigh's principle and its applications to engi-
engineering. — Oxford University Press, 1933.
17. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. — 2-е изд. —
М.: Наука, 1970.
18. Trefftz E. Ein Gegenstiick zum Ritzschen Verfahren. — In: Proceedings of
the 2nd International Congress for Applied Mechanics, Zurich, 1926, p. 131—137.
19. Prager W., Synge J. L. Approximations in elasticity based on the concept
of function space. — Quarterly of Applied Mathematics, 1947, v. 5, No. 3,
p. 241—269.
20. Washizu K- Bounds for solutions of boundary value problems in elasticity. —
Journal of Mathematics and Physics, 1953, v. 32, No. 2—3, p. 119—128.
21. Synge J. L. The hypercircle in mathematical physics. — Cambridge Univer-
University Press, 1957.
22. Washizu K,- Note on the principle of stationary complementary energy applied
to free vibration of an elastic body. — International Journal of Solids and
Structures, 1966, v. 2, No. I,.p. 27—35.
23. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем: Пер. с англ. — М.: ГИТТЛ,
1956.
24. Westergaard H. M. On the method of complementary energy and its appli-
application to structures stressed beyond the proportional limit, to buckling and
vibrations, and to suspension bridges. — Proceedings of American Society
of Civil Engineers, 1941, v. 67, No. 2, p. 199—227.

512 Литература
25. Reissner E. Note on the method of complementary energy. — Journal of Ma-
Mathematics and Physics, 1948, v. 27, p. 159—160.
26. Коллатц Л. Задачи на собственные значения с техническими приложениями:
Пер. с ием. — М.; Наука, 1968.
27. Гуяд С. Вариационные методы в задачах о собственных значениях: Пер.
с англ. — М.: Мир, 1970.
28. Grammel R. Ein neues Verfahren zur Losung technischer Eigenwertprobleme. —
Ingenieur Archiv, 1939, v. 10, p. 35—46.
29. Vooren van de A. I., Greidanus J. H. Complementary energy method in vib-
vibration analysis, Reader's Forum. — Journal of Aeronautical Sciences, 1950,
v. 17, No. 7, p. 454—455.
30. Temple G. The calculation of characteristic numbers and characteristic fun-
functions. — Proceedings of London Mathematical Society, 1929, v. 29, Ser. 2,
No. 1690, p. 257—280.
31. Kohn W. A note on Weinstein's variational method. — Physical Review,
1947, v. 71, No. 12, p. 902—904.
32. Kato T. On the upper and lower bounds of eigenvalues. — Journal of Phy-
Physical Society of Japan, 1949, v. 4, No. 4—6, p. 334—339.
33. Temple G. The accuracy of Rayleigh's method of calculating the natural fre-
frequencies of vibrating systems. — Proceedings of Royal Society, 1950, v. A211,
No. 1105, p. 204—224.
34. Southwell R. V. Some extensions of Rayleigh's principle.—Quarterly Journal
of Mechanics and Applied Mathematics, 1953, v. 6, Part 2, p. 257—272.
35. Washizu K. On the bounds of eigenvalues. — Quarterly Journal of Mechanics
and Applied Mathematics, 1955, v. 8, Part 3, p. 311—325.
36. Weinstein A. Etude des spectres des equations aux derivees partielles de la
theorie des plaques elastiques. — Memorial des Sciences Mathematiques,
Tome 88, Paris, 1937.
37. Aronszajn N., Weinstein A. On the unified theory of eigenvalues of plates
and membranes. — American Journal of Mathematics, 1942, v. 64, No. 4,
p. 623—645.
38. Diaz J. B. Upper and lower bounds for eigenvalues. — In: Proceedings of
Symposia in Applied Mathematics. Vol. 8. — McGraw Hill, 1958, p. 53—78.
39. Bisplinghoff R. L., Ashley H. Principles of aeroelasticity. — Wiley, 1962.
40. Болотин В. В. Некоисервативные задачи теории упругой устойчивости. —
М.: Физматгиз, 1961.
41. Fraeijs de Veubeke В. М. Upper and lower bounds in matrix structural ana-
analysis. — In: Matrix methods of structural analysis. Ed. by В. М. F. de Veu-
Veubeke. — Pergamon Press, 1964.
К главе З
1. Kappus R. Zur Elastizitatstheorie endlicher Verschiebungen. — Zeitschrift
fur Angewandte Mathematik and Mechanik, 1939, Bd 19, S. 271—285, 344—361.
2. Новожилов В. В. Теория упругости.—Л.: Судпромгиз, 1958.
3. Green A. E., Zerna W. Theoretical elasticity. — Oxford University Press,
1954.
4. Sokolnikoff I. S. Mathematical theory of elasticity. — McGraw-Hill, 1956.
5. Pearson С. Е. Theoretical elasticity. — Harvard University Press, 1959.
6. Truesdell C. (ed.) Problems of non-linear elasticity. — Gordon and Breach,
Science Publishers, 1965.
7. Бицеио К> Граммель Р. Техническая динамика: Пер. с нем. — М.—Л.:
ГИТТЛ, 1950.
8. Brazier L. G. The flexure of thin cylindrical shells and other thin sections. —
Rep. and Mem. No. 1081, British Aeronautical Research Council, 1926.
9. Brazier L. G. On the flexure of thin cylindrical shells and other thin sections. —
Proceedings of the Royal Society of London, Ser. A, 1927, v. 116, p. 104—114.
10. Biezeno С. В. Das Durchschlagen eines schwach gekrummten Stabes. — Zeit-

Литература 513
schriftfur Angewandte Mathematik und Mechanik, )S38, Bd 18, No. I.S. 21—30,
11. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем: Пер. с англ. — М.: ГИТТЛ,
1956.
12. Langhaar H. L. General theory of buckling. — Applied Mechanics Reviews,
1958, v. 11, No. 11, p. 585—588.
13. Yoshiki M. et al. Handbook of elastic stability (на япон. яэыхе). — Column
Research Committee of Japan, Corona Publishing Co. Tokyo, revised edition,
I960.
14. Ляв А. Математическая теория упругости: Пер. с аигл. — М,—Л.: ОНТИ,
1935.
15. Fung Y. С. Foundations of solid mechanics. — Prentice-Ha!I, 1965.
16. Bisplinghoff R. L. Some structural and aeroelastic considerations of high speed
flight — Journal of the Aeronautical Sciences, 1956, v. 23, No. 4, p. 289—327.
17. Reissner E. On a variational theorem for finite elastic deformations.—Journal
of Mathematics and Physics, 1953, v. 32, No. 2—3, p. 129—135.
18. Trefftz E. L/ber die Ableitung der Stabilitats-Kriterien des elastischen Gleich-
gewichtes aus der Elastizitatstheorle endlicher Deformationen— In: Proceedings
of the 3rd International Congress for Applied Mechanics, Stockholm, 1930,
p. 44-50.
19. Marguerre K- Die Behandlung von Stabilitatsprobiemen mit Hilfe der ener-
getischen Methoden. — Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mecha-
nik, 1938, Bd 18, No. 1, S. 57—73.
20. Marguerre K. Cber die Anwendung der energetischen Methode auf Stabilitat-
sprobleme. — Jahrbuch der Deutschen Luftfahrtforschung, Flugwerk, 1938,
S. 433—443.
21. В. В. Новожилов. Основы нелинейной теории упругости. — М.—Л.: ГИТТЛ,
1948.
22. Langhaar H. L. Energy methods in applied mechanics. — Wiley, 1962.
23. Болотин В. В. Неконсервативиые задачи теории упругой устойчивости. —
М.: Физматгиз, 1961.
К главе 4
1. Green A. E., Zerna W. Theoretical elasticity. — Oxford University Press,
1959.
2. Новожилов В. В. Теория упругости. — Л.: Судпромгиз, 1958.
3. Fung Y. С. Foundations of solid mechanics. — Prentice-Hall, 1965.
4. Koppe E. Methoden der nichtlinearen ElastizitStstheorie mit Anwendungen
auf die dflnne Platte endlicher Durchbiegung. — Zeitschrift fur Angewandte
Mathematik und Mechanik, 1956, Bd 36, No. 11/12, S. 455—462.
5. Kondo K- Geometry of elastic deformation and incompatibility; A theory of
stresses and stress densities. — Memoirs of the Unifying Study of the Basic
Problems in Engineering Sciences by Means of Geometry. Vol. 1. —Tokyo:
Gakujutsu Bunken Fukyu-kai, 1955, p. 361—373; 374—391.
6. Yoshimura Y. Meta-theory of mechanics of continua subject to deformation
of arbitrary magnitudes. — Aeronautical Research Institute, University of
Tokyo, Report No. 343, May 1959.
7. Brand L. Vector and tensor analysis. — Wiley, 1947.
8. Synge S. L., Schild A. Tensor calculus. — University of Toronto Press, 1949.
9. Struik D. J. Lectures on classical differential geometry. — Addison-Wesley,
1950.
10. Сокольников И. С. Тензорный анализ: Пер. с аигл. — М.: Наука, 1971.
П. Block H. D. Introduction to tensor analysis. — Charles E. Merrill, 1962.
12. Морс Ф. M., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. 1—2: Пер. с аигл.—
М.: ИЛ, 1958, 1960.
13. Бицено К., Грашель Р. Техническая динамика: Пер. с нем. — М.—Л.:
ГИТТЛ, 1950.
14. Morley L. S. D. Skew plates and structures. — Pergamon Press, 1963.
17 К. Ваеидэу

514 Литература
К главе 5
1. Trefftz E. Zur Theorie der StabilitSt des elastischen Gleichgewichtz. — ZAMM,
1933, Bd. 13, No. 2, S. 160—165.
2. Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости. — Л.—М.: Гос-
техиздат, 1948.
3. Prager W. The general variational principle of the theory of structural sta-
stability. — Quarterly of Applied Mathematics, 1947, v. 4, No. 4, p. 378—384.
4. poodier J. N.. Plass H. J. Energy theorems and critical load approximations
in the general theory of elastic stability. — Quarterly of Applied Mathematics,
1952, v. 9, No. 4, p. 371—380.
5. Коллатц Л. Задачи иа собственные значения с техническими приложениями:
Пер. с нем. — М.: Наука, 1968.
6. Temple G., Bickley W. G. Rayleigh's principle and its application to engi-
engineering. — London: Oxford University Press, 1933.
7. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости: Пер. с англ. — М.: Наука,
1979.
8. Hemp W. S. Fundamental principles and methods of thermal elasticity. — Air-
Aircraft Engineering, 1954, v. 26, No. 302, p. 126—127.
9. Hemp W. S. Fundamental principles and theorems of thermoelasticity. — Aero-
Aeronautical Quarterly, 1956, v. 7, Part 3, p. 184—192.
10. Hemp W. S. Methods for the theoretical analysis of aircraft structures. —
AGARD Lecture Course, April 1957.
11. Gatewood В. Е. Thermal stresses. — McGraw-Hill, 1957.
12. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных наприжений: Пер. с англ. —
М.: Мир, 1964.
13. Bisplinghoff R. L. Some structural and aeroelastic considerations of high speed
flight. — Journal of the Aeronautical Sciences, 1956, v. 23, No. 4, p. 289—327.
14. High temperature effects in aircraft structures. Ed. by N. J. Hoff. AGARDog-
graph 28. — Pergamon Press, 1958.
15. Sanders J. L., Jr., McComb H. G., Jr., Schlechte F. R. A variational theorem
for creep with applications to plates and columns. — NACA TN 4003.
16. Фын Я- Ц. Введение в теорию аэроупругости: Пер. с англ. — М.: Физмат-
гнз, 1959.
17. Бисплингхофф Р. Л., Эшли X., Халфмэн Р. Л. Аэроупругость: Пер. с англ. —
М.: ИЛ, 1958.
18. Bisplinghoff R. L., Ashley H. Principles of aeroelasticity. — Wiley, 1962.
19. Голдстейн Г. Классическая механика: Пер. с англ. — 2-е нзд. — М.: Наука,
1975.
20. Synge J. L., Griffith B. A. Principles of mechanics. — Me Graw-Hill, 1959.
21. Frazer R. A., Duncan W. J., Collar A. R. Elementary matrices. Cambridge
University Press, 1938.
22. Abzug M. J. Applications of matrix operators to the kinematics of airplane
motion. —Journal of Aeronautical Sciences, 1956, v. 23, No. 7, p. 679—684.
23. Etkin B. Dynamics of flight. — Wiley, 1959.
24. Byrum B. L., Grady E. R. General air-frame dynamics of a guided missile. —
Journal of Aeronautical Sciences, 1955, v. 22, No. 8, p. 534—540.
25. Dost S., Tabarrok B. Application of Hamilton's principle to large deforma-
deformation and flow problems. — Journal of Applied Mechanics, 1979, v. 46, No. 2,
p. 285—290.
К главе 6
1. Ляв А. Математическая теория упругости: Пер. с англ. — М.—Л.: ОНТИ,
1935.
2. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости: Пер. с аигл. — М-: Наука,
1979.
3. Sokolnikoff I. S. Mathematical theory of elasticity. — McGraw-Hill, 1956.

Литература 515
4. Reissner E. On non-uniform torsion of cylindrical rods. — Journal of Mathe-
matics and Physics, 1952, v. 31, No. 2, p. 214—221. Note on torsion with
variable twist. — Journal of Applied Mechanics, 1956, v. 23, No. 2, p. 315.
On torsion with variable twist. — Osterreichisches Ingenieur-Archiv, 1955,
v. 9, No. 2-3, p. 218—224.
5. Kappus R. Zur Elastizitatstheorie endlicher Verschiebungen. — Zeitschrift
fur Angewandte Mathematik und Mechanik, 1939, Bd 19, No. 5, S. 344—361.
6. Bisplinghoff R L. et al. Aerodynamic heating of aircraft structures in high
speed flight, Notes for a special Summer Program. — Massachusetts Institute
of Technology, Department of Aeronautical Engineering, June 25—July 26,
1956.
7. Wagner H. Verdrehung und Knickung von offenen Profilen. — In: 25th An-
Anniversary Publication. Technische Hochschule Danzig, 1904—1929. — Danzig:
A. W. Kafemann GmbH, 1929, p. 329—344.
8. Bleich F., Bleich H. Buckling strength of metal structures. — McGraw-Hill,
1952.
9. Budiansky В., Mayers J. Influence of aerodynamic heating on the effective
torsional stiffness of thin wings. — Journal of Aeronautical Sciences, 1956,
v. 23, No. 12, p. 1081—1093.
10. Trefftz E. Ein Gegenstiick zum Ritzschen Verfahren. — In: Proceedings of
the 2nd International Congress for Applied Mechanics, Zurich, 1926, p. 131—137.
11. Basu N. M. On an application of the new methods of calculus of variations
to some problems in the theory of elasticity. — Philosophical Magazine, 1930,
v. 10, No. 66, p. 886—904.
12. Diaz J. В., Weinstein A. The torsional rigidity and variational methods. —
American Journal of Mathematics, 1948, v. 70, No. 1, p. 107—116.
13. Weinstein A. New methods for the estimation of torsional rigidity. — In:
Proceedings of Symposia in Applied Mathematics. Vol. 3. — McGraw-Hill,
1950, p. 141—161.
14. Lin Hung-Sun. On variational methods in the problem of torsion for multiply-
connected cross sections. — Acta Sci. Sinica, 1954, v. 3, p. 171—186.
15. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. — М.: Наука,
1970.
16. Greenberg H. J. The determination of upper and lower bounds for solution
of the Dirichlet problem. — Journal of Mathematics and Physics, 1948, v. 27,
No. 3, p. 161 — 182.
17. Synge J. L. The Dirichlet problem: bound at a point for the solution and its
derivatives. — Quarterly of Applied Mathematics, 1950, v. 8, No. 3, p. 213—228.
18. Washizu K- Bounds for solution of boundary value problems in elasticity. —
Journal of Mathematics and Physics, 1953, v. 32, No. 2—3, p. 117—128.
19. Timoshenko S. Theory of bending, torsion and buckling of thin-walled mem-
members of open cross section. — Journal of the Franklin Institute, 1945, v. 239,
No. 3, p. 201—219.
К главе 7
1. Ляв А. Математическая теория упругости: Пер. с аигл. — М.—Л.: ОНТИ,
1935.
2. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости: Пер. с англ. — М.: Наука,
1979.
3. Trefftz E. Uber den Schubmittelpunkt in einem durch eine Einzellast gebo-
genen Balken. — ZAMM, 1935, Bd 15, No. 4, S. 220—225.
4. Weinstein A. The center of shear and the center of twist. — Quarterly of App-
Applied Mathematics, 1947, v. 5, No. 1, p. 97—99.
5. Stevenson A. G. Flexure with shear and associated torsion in prisms of uni-
axial and asymmetric cross section. — Philosophical Transactions of Royal
Society, 1938, v. A237, No. 2, p. 161—229.
17*

516 Литература
6. Goodier J. N. A theorem on the shearing stress in beams with applications
to multicellular sections. — Journal of Aeronautical Sciences, 1944, v. 11, No. 3,
p. 272—280.
7. Фыи Я. Ц. Введение в теорию аэроупругости: Пер. с англ. — М.: Физмат-
гиз, 1959.
8. Стретт Дж. В. (лорд Рэлей). Теория звука. Т. 1, 2: Пер. с англ. — М.:
ГИТТЛ, 1955.
9. Ден-Гартог Дж. П. Механические колебания: Пер. с англ. — М.: Физмат-
гиз, 1960.
10. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле: Пер. с англ. — М.: Наука,
1967.
11. Бисплингхофф Р. Л., Эшли X., Халфмэн Р. Л. Аэроупругость: Пер. с англ. —
М.: ИЛ, 1958.
12. Коллатц Л. Задачи на собственные значения с техническими приложениями:
Пер. с нем. — М.: Наука, 1968.
13. Washizu К- Note on the principle of stationary complementary energy applied
to free lateral vibration of an elastic body. — International Journal of Solids
and Structures, 1966, v. 2, No. 1, p. 27—35.
14. Libby P. A., Sauer R. С Comparison of the Rayleigh—Ritz and complemen-
complementary energy methods in vibration analysis, Reader's Forum — Journal of Aero-
Aeronautical Sciences, 1949, v. 16, No. 11, p. 700—702.
15. Crandall S. H. Engineering analysis. — McGraw-Hill, 1956.
16. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем: Пер. с англ. — М.: ГИТТЛ,
1955.
17. Hoff N. J. The Analysis of structures. — Wiley, 1956.
18. Washizu K- Note on the principle of stationary complementary energy applied
to buckling of a column. — Transactions of Japan Society for Aeronautical
and Space Sciences, 1965, v. 7, No. 12, p. 18—22.
19. Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. —
М.: Физматгиз, 1961.
20. Mindlin R. D., Herrmann G. A. A one-dimensional theory of compressional
waves in an elastic rod. — In: Proceedings of the 1st National Congress for
Applied Mechanics, Chicago, 1951, p. 187—191.
21. Fung Y. С Foundations of solid mechanics. — Prentice-Hall, 1965.
22. Trail-Nash R. W., Collar A. R. Effects of shear flexibility and rotary intertia
on the bending vibrations of beams. — Quarterly Journal of Mechanics and
Applied Mathematics, 1953, v. 6, No. 2, p. 186—222.
23. Эйбрамсон X. H., Пласс X. Дж., Риппергер Э. А. Распространение волн
напряжения в стержнях и балках. — В кн.: Проблемы механики. Вып.
Ill/Под общей редакцией X. Драйдена и Т. Кармана: Пер. с англ. — М.:
ИЛ, 1961, с. 24—90.
24. Leonard R. W., Budiansky В, On travelling waves in beams. — NACA Report
1173, 1954.
25. Leonard R. W. On solutions for the transient response of beams. — NASA
Technical Report R-21, 1959.
26. Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости. — Л—М.: ГИТТЛ,
1948.
27. Washizu К- Some considerations on a naturally curved and twisted slender
beam. — Journal of Mathematics and Physics, 1964, v. 43, No. 2, p. 111—116.
28. Washizu K- Some considerations on the center of shear. — Transactions of
Japan Society for Aeronautical and Space Sciences, 1966, v. 9, No. 15, p. 77—83.
29. Reissner E. Variational considerations for elastic beams and shells. — Journal
of the Engineering Mechanics Division, Proceedings of the American Society
of Civil Engineers, 1962, v. 88, No. EMI, p. 23—57.
30. Kappus R. Drillknicken zentrisch gedruckter Stabe mit offenem Profil im ela-
stischen Bereich. — Luftfahrtforschung, 1937, Bd 14, S. 444—457.

Литература 517
31. Goodier J. N. Torsion and flexural buckling of a bar of thin-walled open sec-
section under compression and bending loads. — Journal of Applied Mechanics,
1942, v. 9, No. 3, p. A-103—A-107.
32. TimoshenkoS. Theory of bending, torsion and buckling of thin-walled members
of open cross section. — Journal of Franklin Institute, 1945, v. 239, No. 3,
p. 201—219; 1945, v. 239, No. 4, p. 249—268; 1945, v. 239, No. 5, p. 343—361.
33. Bleich F., Bleich H. Buckling strength of metal structures. — McGraw-Hill,
1952.
34. Marguerre K.- Die Durchschlagskraft eines schwach gekriimmten Balkens. — Sit-
zungsberichte der Berliner Mathematischen Gessellschaft, 1938, S. 22—40.
К главе 8
1. Ляв А. Математическая теория упругости: Пер. с англ. — М.—Л.: ОНТИ,
1935.
2. Тимошенко С. П., Войиовский-Кригер С. Пластинки и оболочки: Пер.
с англ. — М.: Наука, 1966.
3. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости: Пер. с англ. — М.: Наука,
1979.
4. Sokolnikoff I. S. Mathematical theory of elasticity. — McGraw-Hill, 1956.
5. Muskhelishvili N. I. Practische Losung der fundamentalen Randwertaufgaben
der Elastizitatstheorie in der Ebene fur einige Berandungsformen. —• ZAMM,
1933, Bd 13, No. 4, S. 264—282.
6. Moriguti S. Theory of two-dimensional elasticity (на япон. языке). — Series
on Modern Applied Mathematics. — Iwanami Book Publishing Co., 1957.
7. Reissner E. Least work solutions of shear lag problems. — Journal of the Aero-
Aeronautical Sciences, 1941, v. 8, No. 7, p. 284—291.
8. Reissner E. Analysis of shear lag in box beams by the principle of minimum
potential energy. — Quarterly of Applied Mathematics, 1946, v. 4, No. 3,
p. 268—278.
9. Reissner E., Stein M. Torsion and transverse bending of cantilever plates. —
NACA TN 2369, June 1951.
10. Бисплингхофф Р. Л., Эшли X., Халфмэн Р. Л. Аэроупругость: Пер. с англ. —
М.: ИЛ, 1958.
11. Von Karman T. Festigkeitsprobleme im Maschinenbau. — Encyklopadie der
Mathematischen Wissenschaften, Bd IV, 1910, S. 314—385.
12. Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости. — Л.-М.: ГИТТЛ,
1948.
13. Marguerre К- Uber die Ausbeulgrenze belastete Platte. — ZAMM, 1936, Bd 16,
No. 6, S. 353—355.
14. Marguerre K., Trefftz E. Uber die Tragfahigkeit eines langsbelasteten Plat-
tenstreifens nach Uberschreiten der Beullast. — ZAMM, 1937, Bd 17, No. 2,
S. 85—100.
15. Fromm A., Marguerre K. Verhalten eines von Schub- und Druckkraften bean-
spruchten Plattenstreifens oberhalb der Beulgrenze. — Luftfahrtforschung,
1937, Bd 14, No. 12, S. 627-639.
16. Wang С. Т. Principle and application of complementary energy method for
thin homogeneous and sandwich plates and shells with finite deflections. —
NACA TN 2620, 1952.
17. Reissner E. Finite twisting and bending of thin rectangular elastic plates. —
Journal of Applied Mechanics, 1957, v. 24, No. 3, p. 391—396.
18. Bisplinghoff R. L. The finite twisting and bending of heated elastic lifting
surfaces. — Mitteilung Nr. 4 aus dem Institut fur Flugzeugstatik und Leicht-
bau, E. Т. Н., Zurich, 1957.
19. Тнмошеико С. П. Устойчивость упругих систем: Пер. с англ. — М.: ГИТТЛ,
1955.

518 Литература
20. Боли Б., Уэйиер Дж. Теория температурных напряжений: Пер. с англ. —
М.: Мир, 1964.
21. Heldenfels R. R., Roberts W. M. Experimental and theoretical determination
of thermal stresses in a flat plate. — NACA TN 2769, 1952.
22. Gossard M. L., Seide P., Roberts W. M. Thermal buckling of plates. — NACA
TN 2771, 1952.
23- Bisplinghoff R. L. et al. Aerodynamic heating of aircraft structures in high-
highspeed flight. — Notes for a Special Summer Program, Massachusetts Institute
of Technology, Department of Aeronautical Engineering, June 25 — July 6,
1956.
24. Hoff N. J. (ed.) High temperature effects in aircraft structures. AGARDog-
raph 28. — Pergamon Press, 1958.
25. Reissner E. On the theory of bending of elastic plates. — Journal of Mathe-
Mathematics and Physics, 1944, v. 23, No. 4, p. 184—191.
26. Reissner E. The effect of transverse-shear deformation on the bending of ela-
elastic plates. — Journal of Applied Mechanics, 1945, v. 12, No. 2, p. 69—77.
27. Reissner E. On bending of elastic plates. — Quarterly of Applied Mathema-
Mathematics, 1947, v. 5, No. 1, p. 55—68.
28. Reissner E. On a variational theorem in elasticity. — Journal of Mathematics
and Physics, 1950, v. 29, No. 2, p. 90—95.
29. Mindlin R. D. Thickness-shear and flexural vibrations of crystal plates. —
Journal of Applied Physics, 1951, v. 23, No. 3, p. 316—323.
30. Marguerre K- Zur Theorie der gekriimmten Platte grofier Formanderung. —
In: Proceedings of the 5th International Congress for Applied Mechanics, 1938,
p. 93—101.
31. Reissner E. On some aspects of the theory of thin elastic shells. — Journal
of the Boston Society for Civil Engineers, 1955, v. 13, No. 2, p. 100—133.
32. Reissner E. On transverse vibrations of thin shallow elastic shells. — Quar-
Quarterly of Applied Mathematics, 1955, v. 13, No. 2, p. 169—176.
-33. Heldenfelds R. R., Vosteen L. F. Approximate analysis of effects of large de-
deflections and initial twist on torsional stiffness of a cantilever plate subjected
to thermal stresses. — NACA TN 4067, 1959.
34. Reiss E. L., Greenberg H. J., Keller H. B. Nonlinear deflections of shallow
spherical shells. — Journal of Aeronautical Sciences, 1957, v. 24, No. 7,
p. 533—543.
35. Reiss E. L. Axially symmetric buckling of shallow spherical shells under ex-
external pressure. — Journal of Applied Mechanics, 1958, v. 25, No. 4, p. 556—560.
36. Keller H. В., Reiss E. L. Spherical cap snapping. — Journal of the Aero/Space
Sciences, 1959, v. 26, No. 10, p. 643—652.
37. Hildebrand F. В., Reissner E., Thomas G. B. Notes on the foundations of
the theory of small displacements of orthotropic shells. — NACA TN 1833,
1949.
38. Yu Y. Y. Generalized Hamilton's principle and variational equation of motion
in nonlinear elasticity theory, with application to plate theory. — Journal
of the Acoustical Society of America, 1964, v. 36, No. 1, p. 111—119.
39. Weinstock R. Calculus of variations with applications to physics and engineer-
engineering. — McGraw-Hill, 1952.
40. Barton M. V. Vibration of rectangular and skew cantilever plates. — Journal
of Applied Mechanics, 1951, v. 18, No. 2, p. 129—134.
41. Plass H. J., Jr., Gaines J. H., Newsom С D. Application of Reissner's varia-
variational principle to cantilever plate deflection and vibration problems. — Jour-
Journal of Applied Mechanics, 1962, v. 29, No. 1, p. 127—135.
42. Koga I. Radio-frequency vibrations of rectangular AT-cut quartz plates. —
Journal of Applied Physics, 1963, v. 34, No. 8, p. 2357—2365.
43. Bisplinghoff R. L., Ashley H. Principles of aeroelasticity. — Wiley, 1962.
44. Болотни В. В. Некоисерватнвиые задачи теории упругой устойчивости. —
М.: Физматгиз, 1961.

Литература 519
45. Мнхлии С. Г. Вариационные методы в математической физике. — 2-е над. —
М.: Наука, 1970.
46. Washizu К. Variational methods applied to free lateral vibrations of a plate
with initial stresses.— Transactions of Japan Society for Aeronautical and
Space Sciences, 1963, v. 6, No. 9, p. 36—42.
47. Morley L. S. D. Skew plates and structures. — Pergamon Press, 1963.
48. Ciarlet P. G. A justification of the von K^rman equations. — Archive for
Rational Mechanics and Analysis, 1980, v. 73, p. 349—389.
К главе 9
1. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. — Л.: Судпромгиз, 1962.
2. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. — М.: ГИТТЛ,
1953.
3. Новожилов В. В. Основы иелинейиой теории упругости. — Л.—М.: ГИТТЛ,
1948.
4. Naghdi P. M. Foundations of elastic shell theory. — In: Progress in Solid
Mechanics. Ed. by I. N. Sneddon, R. Hill. Vol. IV, Ch. 1. — North-Hol-
North-Holland, 1963.
5. Ляв А. Математическая теория упругости. Пер. с англ.: — М.—Л.: ОНТИ,
1935.
6. Тимошенко С. П., Войновский-Крнгер С. Пластинки и оболочки: Пер.
с англ. — М.: Наука, 1966.
7. Флюгге В. Статика и динамика оболочек. Пер. с нем.: — М.: Госстрой-
издат, 1961.
8. Green А. Е„ Zerna W. Theoretical elasticity. — Oxford University Press,
1954.
9. Власов В. 3. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. — М.—
Л.: ГИТТЛ, 1949.
10. Flflgge W. Stresses in shells. — Springer, I960.
11. Муштари X. M., Галимов К. 3. Нелинейная теория упругих оболочек.—
Казань: Таткнигоиздат, Ред. иаучн.-техи. лит-ры, 1957.
12. Nash W. A. Bibliography on shells and shell-like structures. — David Taylor
Model Basin Report 863, 1954. Bibliography on shells and shell-like structures
A954—1956). — Engineering and Industrial Experimental Station, Univer-
University of Florida. 1957.
13. Naghdi P. M. A survey of recent progress in the theory of elastic shells. —
Applied Mechanics Reviews, 1956, v. 9, No. 9, p. 365—368.
14. Koiter W. T. A consistent first approximation in the general theory of thin
elastic shells. — In: Proceedings of the Symposium on the Theory of Thin
Elastic Shells, IUTAM, Delft. — Amsterdam: North-Holland, I960, p. 12—33.
15. Honghton D. S., Johns D. J. A comparison of the characteristic equations
in the theory of circular cylindrical shells. — The Aeronautical Quarterly,
1961, v. 12, part 3, p. 228—236.
16. Bisplinghoff R. L., Ashley H. Principles of aeroelasticity. — Wiley, 1962.
17. Hildebrand P. В., Reissner E., Thomas G. B. Notes on the foundations of
the theory of small displacements of orthotropic shells. — NACA TN 1833,1949.
18. Naghdi P. M. On the theory of thin elastic shells. — Quarterly of Applied
Mathematics. 1957, v. 14, No. 4, p. 369—380.
19. Naghdi P. M. The effect of transverse shear deformation on the bending of
elastic shells of revolution. — Quarterly of Applied Mathematics, 1957, v. 15,
No. 1, p. 41—52.
20. Naghdi P. M., Cooper P. M. Propagation of elastic waves in cylindrical shells,
including the effects of transverse shear and rotary inertia. — Journal of Acou-
Acoustical Society of America, 1956, v. 28, No. I, p. 56—63.
21. Trefftz E. Ableitung der Shalenbiegungsgleichungen mit dem Castigliano-
schen Prinzlp. — ZAMM, 1935, Bd 15, No. 1/2, S. 101—108.

520 Литература
22. Reissner E. Variations! considerations for elastic beams and shells. — Journal
of the Engineering Mechanics Division, Proceedings of the American Society
of Civil Engineers, 1962, v. 88, No. EMI. p. 23—57.
23. Schmidt R., Wempner G. A. The nonlinear conical spring. — Transactions
of the American Society for Mechanical Engineers, Ser. E, 1959, v. 26, No. 4,
p. 681—682.
24. Dahl N. С Toroidal-shell expansion joints. — Journal of Applied Mechanics,
1953. v. 20, No. 4, p. 497—503.
25. Turner С E., Ford H. Stress and deflection studies of pipeline expansion bel-
bellows. — Proceedings of the Institute of Mechanical Engineers, 1957, v. 171,
No. 15, p. 526—552.
26. Kafka P. G., Dunn M. B. Stiffness of curved circular tubes with internal pres-
pressure. — Journal of Applied Mechanics, 1956, v. 23, No. 2, p. 247—254.
27. Donne! L. H. A new theory for the buckling of thin cylinders under axial com-
compression and bending. — Transactions of American Society for Mechanical
Engineers, 1934, v. 56, No. 11, p. 795—806.
28. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем: Пер. с англ. — М.: ГИТТЛ,
1955.
29. Langhaar H. L. General theory of buckling. — Applied Mechanics Reviews,
1958, v. 11, No. 11, p. 585—588.
30. Von К?гт?п Т., Tsien H. S. The buckling of spherical shells by external pres-
pressure. — Journal of the Aeronautical Sciences, 1939, v. 7, No. 2, 43—50.
31. Von KfrmJn Т., Tsien H. S. The buckling of thin cylindrical shells under axial
compression. — Journal of the Aeronautical Sciences, 1941, v. 8, No. 8,
p. 303—312.
32. Tsien H. S. A theory for the buckling of thin shells. — Journal of the Aero-
Aeronautical Sciences, 1942, v. 9, No. 10, p. 373—383.
33. Hoff N. J. Buckling of thin cylindrical shell under hoop stresses varying in
axial direction. — Journal of Applied Mechanics, 1957, v. 24, No. 3, p. 405—412.
34. Johns D. J., Houghton D. S., Webber J. P. H. Buckling due to thermal stress
of cylindrical shell subjected to axial temperature distributions. — College
of Aeronautics, Cranfield, CoA Report No. 147, 1961.
35. Arnold R. N.. Warburton G. B. The flexural vibrations of thin cylinders. —
Proceedings of the Institute of Mechanical Engineers, 1953, v. 167, No. 1,
p. 62—74.
36. Berry J. В., Reissner E. The effect of an internal compressible fluid column
on the breathing vibrations of a thin pressurized cylindrical shell. — Journal
of the Aeronautical Sciences, 1958, v. 25, No. 5, p. 288—294.
37. Mixson J. S., Herr R. W. An investigation of the vibration characteristics
of pressurized thin-walled circular cylinders partly filled with liquid. — NACA
TR R-145, 1962.
К главе 10
1. Niles A. S., Newell J. S. Airplane structures. — Wiley, 1943.
2. Peery D. J. Aircraft structures. — McGraw-Hill, 1949.
3. Hoff N. J. The analysis of structures. — Wiley, 1956.
4. Kuhn P. Stresses in aircraft and shell structures. — McGraw-Hill, 1956.
5. Бисплингхофф Р. Л., Эшли X., Халфмэи Р. Л. Аэроупругость: Пер. с англ. —
М.: ИЛ, 1958.
6. Hemp W. S. Methods for the theoretical analysis of aircraft structures. —
AGARD Lecture Course, April 1957.
7. Argyris J. H. On the analysis of complex elastic structures, — Applied Mecha-
Mechanics Reviews, 1958, v. 11, No. 7, p. 331—338.
8. Argyris J. H., Ketsey S. Energy theorems and structural analysis. — Butter-
worth, 1960.
9. Pestel E. C, Leckie F. A. Matrix methods in elastomechanics. — McGraw-
Hill, 1963.

Литература 521
10. Argyris J. H. Recent advances in matrix methods of structural analysis. —
Pergamon Press, 1964.
11. Gallagher R. H. A correlation study of methods of matrix structural analy-
analysis. — Pergamon Press, 1964.
IS. De Veubeke F. (ed.). Matrix methods of structural analysis. — Pergamon
Press, 1964.
13. Zienkiewicz O. C, Holister G. S. (eds.). Stress analysis. — Wiley, 1965.
14. Martin H. C. Introduction to matrix methods of structural analysis. — Mc-
McGraw-Hill, 1966.
15. IBM 7090/7094 FRAN Framed Structure Analysis Program. — International
Business Machine Corporation, August 21, 1964.
16. Ebner E., Roller H. Cber die Einleitung von Langskraften in versteiften Zy
linderschalen. — Jahrbuch der Deutschen Luftfahrtforschung, 1937, S. 464—473.
17. Ebner E., Koller H. Zur Berechnung des Kraftverlaufs in versteiften Zylin-
derschalen. — Luftfahrtforschung, 1937, Bd 14, No. 12, S. 607—626.
18. Ebner E.t Roller H. Uber den Kraftverlauf in langs-und-querversteiften Schei-
ben. — Luftfahrtforschung, 1938, Bd 15, No. 11, S. 527—542.
19. Levy S. Computations of influence coefficients for aircraft structures with
discontinuities and sweepback. — Journal of the Aeronautical Sciences, 1947,
v. 14, No. 10, p. 547—560.
20. Lang A. L., Bisplinghoff R. L. Some results of sweptback wing structural stu-
studies. — Journal of the Aeronautical Sciences, 1951, v. 18, No. 11, p. 705—717.
21. Langefors B. Structural analysis of swept-back wings by matrix-transforma-
matrix-transformations. — SAAB Aircraft Company, Linkoping (Sweden), SAAB TN3, 1951.
22. Langefors B. Analysis of elastic structures by matrix transformation with
special regard to semi-monocoque structures. — Journal of the Aeronautical
Sciences, 1952, v. 19, No. 8, p. 451—458.
23. Rand T. An approximate method for the calculation of stresses in sweptback
wings. —Journal of the Aeronautical Sciences, 1951, v. 18, No. 1, p. 61—63.
24. Wehle L. В., Lansing W. A. A method for reducing the analysis of complex
redundant structures to a routine procedure. — Journal of the Aeronautical
Sciences, 1952, v. 19, No. 10, p. 677—684.
25. Turner M. J., Clough R. W., Martin H. C, Topp L. J. Stiffness and deflec-
deflection analysis of complex structures. — Journal of the Aeronautical Sciences,
1956, v. 23, No. 9, pp. 805—823.
К главе И
1. Hoff W. J. The analysis of structures. — Wiley, 1956.
2. Argyris J. H., Kelsey S. Energy theorems and structural analysis. — Butter-
worth, 1960.
3. Langhaar H. Energy methods in applied mechanics. — Wiley, 1962.
4. Greenberg H. J. On the variational principles of plasticity. — Brown Univer-
University, ONR, NR-041-032, March 1949.
5. Качанов Л. М. Вариационные принципы для упругопластических сред. —
ПММ, 1942, т. 6, вып. 2—3.
6. Ильюшин А. А. Некоторые проблемы теории пластической деформации. —
ПММ, 1943, т. 7.
7. Haar A., von Karman Th. Zur Theorie der Spannungszustande in plastischen
und sandartigen Medien. — Nach. der Wiss. zu Gottingen, 1909, S. 204—218.
8. Sadowsky M. A. A principle of maximum plastic resistance. — Journal of App-
Applied Mechanics, 1943, v. 10, No. 2, p. 65—68.
К главе 12
1. Хилл Р. Математическая теория пластичности: Пер. с аигл. — М.: ГИТТЛ,
1956.
2. Прагер В., Ходж Ф. Теория идеально пластических тел: Пер. с аигл. — М.:
ИЛ, 1956.

522 Литература
3. Prager W. An introduction to plasticity. — Addison-Wesley, 1959.
4. Hodge P. G., Jr. The mathematical theory of plasticity. — In: Elasticity
and plasticity. Ed. by J. N. Goodier, P. G. Hodge, Jr. — Wiley, 1958,
p. 51—152.
5. Drucker D. С Variational principles in the mathematical theory of plasti-
plasticity. — In: Proceedings of Symposia in Applied Mathematics, Vol. 8. — Mc-
McGraw-Hill, 1958, p. 7—22.
6. Койтер В. Т. Общие теоремы теории упругопластических сред. Пер. с англ. —
М.: ИЛ, 1961.
7. Марков А. А. О вариационных принципах в теории пластичности. — ПММ,
1947, т. 11, вып. 3.
8. Hill R. A variational principle of maximum plastic work in classical plasti-
plasticity. — Quarterly Journal of Mechanics ana Applied Mathematics, 1948,
v. 1, p. 18-28.
9. Drucker D. C, Prager W., Greenberg H. J. Extended limit design theorems
for continuous media. — Quarterly of Applied Mathematics, 1952, v. 9, No. 4,
p. 381—389.
10. Mura Т., Lee S. L. Application of variational principles to limit analysis. —
Quarterly of Applied Mathematics, 1963, v. 21, No. 3, p. 244—248.
11. Drucker D. C, Greenberg H. J., Prager W, The safety factor of an elastic-
plastic body in plane strain. — Journal of Applied Mechanics, 1951, v. 18,
No. 4, 371—378.
12. Van den Broeck. Theory of limit design. — Wiiey, 1948.
13. Neal B. G. The plastic methods of structural analysis. — Wiley, 1956.
14. Beedle L. S. Plastic design of steel frames. — Wiley, 1958.
15. Hodge P. G., Jr. Plastic analysis of structures. — McGraw-Hill, 1959.
16. Hodge P. G., Jr. Limit analysis of rotationally symmetric plates and shells. —
Prentice-Hall, 1963.
17. Bilby B. A. Continuous distributions of dislocations.— In: Progress in Solid
Mechanics, V.I. Ch. VII. — Amsterdam: North-Holland; New York: Inter-
science, 1960, p. 329—398.
К введению к части В
1. Courant R. Variational methods for the solution of problems of equilibrium
and vibrations. — Bulletin of the American Mathematical Society, 1943,
v. 49, p. 1—23.
2. Turner M. J., Clough R. W., Martin H. C, Topp J. L. Stiffness and deflec-
deflection analysis of complex structures.—Journal of Aeronautical Sciences, 1956,
v. 23, No. 9, p. 805—824.
3. Argyris J. H. Energy theorems and structural analysis. Part I. Generai the-
theory. — Aircraft Engineering, 1954, v. 26, October, p. 347—356; November,
p. 383—387, 394; 1955, v. 27, February, p. 42—58; March, p. 80—94; April,
p. 125—134; May, p. 145—158; Argyris J. H., Kelsey S. Energy theorems
and structural analysis. Part II. Applications to thermal stress analysis and
to upper and lower limits of Saint-Venant torsion constant. — Aircraft Engi-
Engineering, 1954, v. 26, December, p. 410—422.
4. Пиан Т. Вывод соотношений для матриц жесткости элемента, осяованный
на выборе распределения напряжений. — Ракетная техника и космонав-
космонавтика, 1964, т. 2, № 7, с. 219.
5. Pian Т. Н. Н., Tong P. Basis of finite element methods for solid continua. —
International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1969, v. 1,
No. 1, p. 3—28.
6. Pian T. H. H. Formulation of finite element methods for solid continua. —
In: Recent advances in matrix methods of structural analysis and design. Ed.
by R. H. Gallagher, Y. Yamada, J. T. Oden. — The University of Alabama
in Huntsville Press, 1971, p. 49—83.

Литература 523
7. Pian Т. Н. Н. Finite element methods by variational principles with relaxed
continuity requirements. — In: Variational methods in engineering. Ed. by
C. A. Brebbia, H. Tottenham. — Southampton University Press, 1973, p. 3/1—
3/24.
8. Pian T. H. H., Tong P. Finite element methods in continuum mechanics. —
In: Advances in Applied Mechanics. Ed. by С S. Yih. — Academic Press,
1972, Vol. 12, p. 1—58.
9. Геррмаи Л., Томе Р. Преобразование уравнений поля перемещений упругой
среды к новой форме, пригодной для всех допустимых значений коэффи-
коэффициента Пуассона. — Прикладная механика (Мир), 1964, т. 86, № 1, с. 166.
10. Геррман Л. Вариационный принцип для уравнений упругости несжимаемых
и почти несжимаемых материалов. — Ракетная техника и космонавтика,
1965, т. 3, № 10, с. 139.
11. Herrmann L. R. A bending analysis for plates. — In: Proceedings of the Con-
Conference on Matrix Methods in Structural Mechanics. — AFFDL-TR-66-80,
1965, p. 577—601.
12. Herrmann L. R. Finite element bending analysis for plates. — Journal of
Engineering Mechanics Division, Proceedings of the American Society of Civil
Engineers, 1967, v. EM5, October, p. 13—26.
13. Zienkiewicz О. С. The finite element method: from intuition to generality. —
Applied Mechanics Reviews, 1970, v. 23, No. 3, p. 249—256.
14. Зенкевич О., Чаиг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и
в механике сплошных сред: Пер. с англ. — М.: Недра, 1974.
15. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. Пер. с аигл. — М.: Мир,
1975.
16. Zienkiewicz О. С. The finite element method. — 3rd ed. — McGraw-Hill,
1977.
17. Argyris J. H. The impact of the digital computer on engineering sciences. —
Aeronautical Journal of the Royal Society, 1970, v. 74, p. 13—41; p. HI—127.
18. Whiteman J. R. A bibliography for finite element methods. — Department
of Matematics, Brunei University, TR/9, March 1972.
19. Akin J. E., Fenton D. L., Stoddart W. С. Т. The finite element method, a bi-
bibliography of its theory and applications. — Department of Engineering Me-
Mechanics, the University of Tennesse, Knoxville, Report EM 72-1, February
1972.
20. Норри Д., де Фриз Ж- Введение в метод конечных элементов. Пер. с аигл. —
М.: Мир, 1981.
К главе 13
1. Zienkiewicz О. С. The finite element method. — 3rd ed. — McGraw-Hill,
1977.
2. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. Пер. с аигл. — М.: Мир,
1984.
3. Стреиг Г., Фикс Г. Теория метода конечных элементов. Пер. с англ. — М.:
Мир, 1977.
4. Джонс Р. Обобщение прямого метода жесткости анализа конструкций. —
Ракетная техника и космонавтика, 1964, т. 2, № 5, с. 4.
5. Yamamoto Y. A formulation of matrix displacement method. — Department
of Aeronautics and Astronautics, Massachusetts Institute of Technology, 1966.
6. Tong P. New displacement hybrid finite element models for solid continua. —
International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1970, v. 2,
No. 1, p. 73—83.
7. Пиаи Т. Вывод соотношений для матриц жесткости элемента, основанный
иа выборе распределения напряжений. — Ракетная техника и космонав-
космонавтика, 1964, т. 2, № 7, с. 219.
8. Pian Т. Н. Н., Tong P. Basis of finite element method for solid continua. —
International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1969, v. 1, No. 1,
p. 3—28.

524 Литература
9. Pian Т. Н. Н. Formulation of finite element methods for solid continue. —
In: Recent advances in matrix methods of structural analysis and design. Ed.
by R. H. Gallagher, Y. Yamada, J. T. Oden. — The University of Alabama
in Huntsville Press, 1971, p. 49—83.
10. Pian Т. Н. H. Finite element methods by variational principles with relaxed
continuity requirements. — In: Variational methods in engineering. Ed. by
С A. Brebbia, H. Tottenham. — Southampton University Press, 1973,
p. 3/1—3/24.
11. Pian T. H. H., Tong P. Finite element methods in continuum mechanics. —
In: Advances in applied mechanics. Vol. 12. Ed. by C. S. Yih. — Academic
Press, 1972, p. 1—58.
12. Tong P., Rossettos J. N. Finite element method. Basic technique and imple-
implementation. — Cambridge (Mass.): The -MIT Press, 1977.
13. Геррман Л., Томе Р. Преобразование уравнений поля перемещений упругой
среды к новой форме, пригодной для всех допустимых значений коэффи-
коэффициента Пуассона. — Прикладная механика (Мир), 1964, т. 86, № 1, с. !66.
14. Геррман Л. Вариационный принцип для уравнений теории упругости не-
несжимаемых и почти несжимаемых материалов. — Ракетная техника и кос-
космонавтика, 1965, т. 3, № 10, с. 139.
К главе 14
1. Stricklin J. A., Haisler W. E., von Riesmann W. A. Geometrically nonlinear
structural analysis by direct stiffness method. — Journal of the Structural
Division, ASCE, 1971, v. 97, No. ST9, p. 2299—2314.
2. Haisler W., Stricklin J. A., Stebbins F. J. Development and evaluation of
solution procedures for geometrically nonlinear structural analysis. — AIAA
Journal, 1972, v. 10, No. 3, p. 264—272.
3. Оден Ж- Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. Пер.
с англ. — М.: Мир, 1976.
4. Gallagher R. H. Finite element analysis of geometrically nonlinear prob-
problems. — In: Theory arid practice in finite element structural analysis. — Ed.
by Y. Yamada, R. H. Gallagher. — The University of Tokyo Press, 1973,
p. 109—124.
5. Fung Y. С Foundations of solid mechanics. — Prentice-Hall, 1965.
6. Truesdell C, Noll W. The non-linear field theories of mechanics. — In: Hand-
buch der Physik. Band 111/3. Ed. by S. Flugge. — Springer, 1965.
7. Зубов Л. М. Принцип стационарности дополнительной работы в нелинейной
теории упругости. — ПММ, 1970.
8. De Veubeke В. F. A new variational principle for finite elastic displacements. —
International Journal of Engineering Science, 1972, v. 10, p. 745—763.
9. Koiter W. On the principle of stationary complementary work in nonlinear
theory of elasticity. — SIAM Journal of Applied Mathematics, 1973, v. 25,
p. 424—434.
10. Nemat-Nasser S. General variational principles in nonlinear and linear ela-
elasticity with applications. — In: Mechanics Today. Vol.1. — New York:
Pergamon Press, 1972, p. 214—261.
11. Dill E. H. The complementary energy principle in nonlinear elasticity.—
University of Washington, Department of Aeronautics and Astronautics, Re-
Report 74-1, 1974.
12. Raasch I. A variational principle for non-linear elastodynamics and its app-
application to hybrid stress model. — International Journal of Non-linear Mecha-
Mechanics, 1975, v. 10, p. 215—222.
13. Stumpf H. Die Extremalprinzipe der nichtlinearen Platten Theorie. — ZAMM,
1975, Bd. 55, S. 110—112.
14. Stumpf H. Die dual Variationsprinzipen mit Extremaleigenschaft in der nicht-
nichtlinearen Theory flachen Schalen. — ZAMM, 1976, Bd 56, S. 153—155.

Литература 525
15. Sander G., Carnoy E. Equilibrium and mixed formulations in stability ana-
analysis. — Preprint of International Conference on Finite Elements in Nonli-
Nonlinear Solid and Structural Mechanics, Geilo, Norway, August 29—Septem-
29—September 1, 1977.
16. Atluri S. N.. Murakawa H. On hybrid finite element models in nonlinear solid
mechanics. — Preprint of International Conference on Finite Elements in
Nonlinear Solid and Structural Mechanics, Geilo, Norway, August 29 — Sep-
September 1, 1977.
17. Washizu K- Complementary variational principles in elasticity and plasti-
plasticity. — A Lecture Note at the Conference of Duality and Complementarity
in Mechanics of Deformable Solids by Polish Academy of Sciences, Jablonna,
Poland, September 19—24, 1977.
18. Washizu K. A note on the principle of stationary complementary energy in
nonlinear elasticity. — In: Reissner Anniversary Volume, Mechanics Today.
Vol. 5.
К главе 15
1. Toupin К- A. A variational principle for the mesh-type analysis of mechanical
systems. — Transactions of ASME, Journal of Applied Mechanics, 1952,
v. 74, p. 151—152.
2. Washizu K. On the variational principles applied to dynamic problems of
elastic bodies. — Aeroelastic and Structures Research Laboratory, Massa-
Massachusetts Institute of Technology, March 1957.
3. Sakaguchi R. L., Tabarrok B. Calculation of plate frequencies from comple-
complementary energy formulation. — International Journal for Numerical Methods
in Engineering, 1970, v. 2, No. 2, p. 283—293.
4. Tabarrok B. Complementary energy method in elastodynamics. — In: High
speed computing of elastic structures. Ed. by B. Fraeijs de Veubeke. — Uni-
University of Liege (Belgium), 1971, p. 625—662.
5. Geradin M. Computation efficiency of equilibrium models in eigenvalue ana-
analysis. — In: High speed computing of elastic structures. Ed. by F. Fraeijs
de Veubeke. — University of Liege (Belgium), 1971, p. 589—623.
6. Washizu K- Some considerations on basic theory for the finite element me-
method. — In: Advances in computational methods in structural mechanics
and design. Ed. by R. W. Clough, Y. Yamamoto, J. T. Oden. — The Uni-
University of Alabama in Huntsville Press, 1972, p. 39—53.
7. Fraeijs de Veubeke B. The duality principles of elastodynamics finite element
applications. — In: Lectures on finite element methods in continuum me-
mechanics. — Ed. by J. T. Oden, E. R. de Arantes e Oliveira. — The Univer-
University of Alabama in Huntsville Press, 1973, p. 357—377.
8. Clough R. W., Bathe K. J. Finite element analysis of dynamic response. —
In: Advances in computational methods in structural mechanics and design. —
Ed. by R. W. Clough, Y. Yamamoto, J. T. Oden. — The University of Ala-
Alabama in Huntsville Press, 1972, p. 153—159. .
9. Clough R. W. Basic principles of structural dynamics; Vibration analysis
of finite element systems; Numerical integration of the equations of motion. —
In: Lectures on finite element methods in continuum mechanics. — Ed. by
J. T. Oden, E. R. de Arantes e Oliveira. — The University of Alabama in
Huntsville Press, 1973, p. 495—511; 513—523; 525—533.
10. Gurtin M. E. Variational principles for linear elastodynamics. — Archiv for
Rational Mechanics and Analysis, 1964, v. 16, p. 34—50.
11. Gurtin M. E. Variational principles for the linear theory of viscoelasticity. —
Archiv for Rational Mechanics and Analysis, 1963, v. 13, p. 179—191.
12. Wilson E. L., Nickel R. E. Application of the finite element method to heat
conduction analysis. — In: Nuclear engineering and design. Vol. 4. — Am-
Amsterdam: North-Holland, 1966, p. 276—286.
13. Dunham R. S., Nickel R. E., Strickler D. С Integration operators for tran-
transient structural response.—Computers and Structures, 1972, v. 2, p. 1—15.

526 Литература
14. Ghaboussi J., Wilson E. L. Variational formulation of dynamics of fluid-
saturated porous elastic solids. — Proceedings of the American Society of
Civil Engineers, Journal of the Engineering Mechanics Division, 1972, EM4,
947—963.
15. Атлури С. Применение гибридной модели конечного элемента с заданным
распределением напряжений к линейным динамическим задачам теории
упругости. — Ракетная техника и космонавтика, 1973, т. 11, № 7, с. 166.
К главе 16
1. Fung Y. С. Foundation of solids mechanics. — Prentice-Hall, 1965.
2. Прагер В. Введение в механику сплошных сред: Пер. с англ. — М.: ИЛ,
1963.
3. Yamada Y., Kawai Т., Yoshimura N., Sakurai T. Analysis of the elastic-pla-
elastic-plastic problem by the matrix displacement method. — In: Proceedings of the
Second Conference on Matrix Methods in Structural Mechanics, Wright-Patter-
Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, Oct. 15—17, 1968, AFFDLTR 68-150, Dec. 1969,
p. 1271—1299.
4. Marcal P. V. Large strain, large displacement analysis; Instability analysis
using the incremental stiffness matrices. — In: Lectures on finite element
methods in continuum mechanics. Ed. by J. T. Oden, E. R. de Arantes e Oli-
veira. — The University of Alabama in Huntsville Press, 1973, p. 535—543,
545-561.
5. Хофмейстер Л., Гринбаум Г., Ивенсен Д. Упругопластический расчет боль-
больших деформаций методом конечных элементов. — Ракетная техника и кос-
космонавтика, 1971, т. 9, № 7, с. 42.
6. Stricklin J. A., von Riesmann W. S., Tillerson J. R., Haisler W. E. Static
geometric and material nonlinear analysis. — In: Advances in computational
methods in structural mechanics and design. Ed. by R. W. Clough, Y. Yarria-
moto, J. T. Oden. — The University of Alabama in Huntsville Press, 1972,
p. 301—324.
7. Pian T. H. H. Variational principles for incremental finite element method. —
Journal of the Franklin Institute, 1976, v. 302, No. 5/6, p. 473—488.
К главе 17
1. Washizu К- A note on the variational principles for the bending of a thin plate
under the Kirchhoff hypothesis — Trans, of the Japan Soc. for Aeronautical
and Space Sci., 1976, v. 19, No. 43, p. 23—34.
2. Herrmann L. R. A bending analysis for plates. — In: Proc. Conf. Matrix Me-
Methods Struct. Mech., AFFDL-TR-66-80, 1965, p. 557—601.
3. Herrmann L. R. Finite element bending analysis for plates. — J. Eng. Mech.
Div., Proc. Amer. Soc. Civil. Eng., 1967, v. EM5, p. 13—26.
4. Stumpf H. Die Extremalprinzipe der nichtlinearen Platten Theorie. — ZAMM,
1975, Bd 55, S. 110—112.
5. Stumpf H. Die dual Variationsprinzipen mit Extremaleigenschaft in der nicht-
nichtlinearen Theorie flacher Schalen. — ZAMM, 1976, Bd 56, S. 153—155.
6. Washizu K. Complementary variational principles in elasticity and plasti-
plasticity. Lecture note at the Conference on Duality and Complementarity in the
Mechanics of Deformable Solids Polish Academy of Sci. — Jablonna, Sept.
1977.
7. Washizu K- A note on the principle of stationary complementary energy in
nonlinear elasticity — Mechanics Today. Vol. 5.
8. Mindlin R. D. Influence of rotary inertia and shear on flexural motions of
isotoropic, elastic plates. — JAM, 1951, p. 31—38.
9. Zienkiewicz О. С The finite element method. — 3rd ed. — London: McGraw-
Hill, 1978.

Литература 527
10. Zienkiewicz О. С, Hinton E. Reduced integration, function smoothing and
поп-conformity in finite element analysis (with special reference of thick
plates) — J. Franklin Inst., 1976, v. 302, p. 443—461.
11. Pugh E. D. L., Hinton E., Zienkiewicz О. С A study of quadrilateral plate
bending elements with «reduced» integration. — Int. J. Numer. Meth. Engng.,
1978, v. 12, p. 1059—1079.
12. Hughes T. J. R., Cohen M. The «heterosis» finite element for plate bending. —
Сотр. and Struct., 1978, v. 9, p. 445—450.
13. Spilker R. L., Munir N. I. The hybrid-stress model for thin plates. — Int.
J. Numer Meth. Engng., 1980, v. 15, p. 1239—1260.
14. Spilker R. L., Munir N. I. A hybrid-stress quadratic serendipity displacement
Mindlin plate bending element. — Сотр. and Struct., 1980, v. 12, No. 1,
p. 11-21Г
15. Spilker R. L., Munir N. I. A serendipity cubic-displacement hybrid-stress
element for thin and moderately thick plates. — Int. J. Numer. Meth. Engng.,
1980, v. 15, p. 1261—1278.
16. Malkus D. S., Hughes T. J. R. Mixed finite element methods — reduced
and selective integration techniques: a unification of concepts. — Сотр. Meth.
in Appl. Mech. and Engng., 1978, v. 15, p. 63—81.
17. Современные композиционные материалы/Под ред. Л. Браутмана и Р. Крока:
Пер. с аигл. — М.: Мир, 1970.
18. Кристенсеи Р. Введение в механику композитов: Пер. с англ. — М.: Мир,
1982.
19. Май S. Т., Pian Т. Н. Н. Linear dynamic analysis of laminated plates and
shells by the hybrid-stress finite-element method. — AMMRC, CTR 72-24,
MITASRLTR 172-2, Aeroelastic and Structures Research Laboratory, Depart-
Department of Aeronautics and Astronautics, Massachusetts Institute of Technology,
October 1973.
20. Spilker R. L., Chou S. C, Orringer O. Alternate hybrid-stress elements for
analysis of multilayer composite plates. — J. Сотр. Mat., 1977, v. 11, p. 51—70.
21. Spilker R. L. Hybrid-stress eight-node elements for thin and thick multilayer
laminated plates. — Int. J. Numer. Meth. Engng. (to appear).
22. Panda S. C., Natarajan R. Finite element analysis of laminated composite
plates. — Int. J. Numer. Meth. Engng., 1979, v. 14, p. 69—79.
23. Reddy J. N. A penalty plate-bending element for the analysis of laminated
anisotropic composite plates. — Int. J. Num. Meth. Engng., 1980, v. 15,
p. 1187—1206.
24. Puppo A. H., Evensen H. A. Interlaminar shear in laminated composites under
generalized plane stress. — J. Сотр. Mater., 1970, v. 4, p. 204.
25. Pipes R. В., Pagano N. J. Interlaminar stresses in composite larninatesunder
uniform axial loading.—J. Сотр. Mater., 1970, v. 4, p. 538.
26. Grossman D. T. Fatigue behavior of angle-ply fibrous composite laminates. —
SM Thesis, Dept. Aeronautics and Astronautics, Mass. Inst. of Technology,
May 1971.
27. Harris A., Orringer O. Investigation of angle-ply delamination specimen for
interlaminar strength test. — J. Сотр. Mater., 1978, v. 12, p. 285.
28. Harris A., Orringer O., Witmer E. A. A multilayer, traction-free edge quadri-
quadrilateral, warping element for the stress analysis of composite plates and shells. —
AMMRC CTR 79-26, Mass. Inst. of Technology, April 1979.
29. Spilker R. L. A traction-free-edge hybrid element for the analysis of edge effects
in cross-ply laminates. — Сотр. and Struct., 1980, v. 12, p. 167—179.
30. Spilker R. L., Chou S. C, Edge effects in symmetric composite laminates:
Importance of satisfying the traction-free edge conditions. — J. Сотр. Mater.,
1980, v. 14, p. 2—20.
31. Raju I. S., Whitcomb T. D., Goree J. G. A new look at numerical analysis
of free-edge stresses in composite laminates. — NASA Tech. Paper 1751, De-
December 1980.

528 Литература
32. Green A. Е. Three-dimensional stress systems in isotropic plates. — Phyl.
Trans. Roy. Soc. London, Ser. A., 1949, v. 240, p. 561—597.
33. A1 bias J. B. Theorie van de driedimensionale spanningstoestand In een plaat.
Thesis. — Amsterdam: H. J. Paris, 1957.
34. Боджи Д. Действия касательных и нормальных нагрузок иа прямоугольные
упругие клинья, выполненные из разных материалов и соединенные по
граням. — Прикладная механика (Мир), 1968, т. 35, № 3, с. 29.
35. Wang S. S., Choi I. Boundary layer thermal stresses in angle-ply composite
materials. — In: Modern developements in composite materials and struc-
structures. Ed. by J. R. Vinson. — ASME, p. 315—341.
36. Ting Т. С. Т., Chou S. С Edge singularities in anisotropic composites. —
Int. J. Sol. and Struct, 1981, v. 17, No. 11, p. 1057—1068.
37. Lo K. H., Christensen R. M., Wu E. M. A higher-order theory of plate defor-
deformation. Part 1: Homogeneous plates. — Trans. ASME, JAM, 1977, v. 44,
p. 663—668.
38. Lo K. H., Christensen R. M., Wu E. M. A higher-order theory of plate defor-
deformation. Part 2: Laminated plates. — Trans. ASME, JAM, 1977, v. 44,
p. 669—676.
39. Spilker R. L. High-order three-dimensional hybrid-stress elements for thick
plate analysis. — Int. J. Num. Meth. Engng., 1981, v. 17, p. 53—69.
40. Spilker R. L., Munir N. I. Comparision of hybrid-stress element through thick-
thickness distributions corresponding to a high-order plate theory. — Сотр. and
Struct., 1980, v. 11, No. 6, p. 579—586.
41. Spilker R. L. A hybrid-stress finite-element formulation for thick multilayer
iaminates. — Сотр. and Struct., 1980, v. 11, No. 6, p. 507—514.
К главе 18
1. Zienkiewicz О. С The finite element method. — 3rd edition. — London:
McGraw-Hill, 1978.
2. Finlayson B. A. The method of weighted residuals and variational principles. —
Academic Press, 1972.
3. Zienkiewicz О. С Note on the finite element method and its applications. —
Ind. Center of Tech. Japan, 1972.
4. Zienkiewicz О. С Weighted residual processes in finite element with parti-
particular reference to some transient and coupled problems. — In: Lectures on fini-
finite element methods in continuum mechanics. Ed. by J. T. Oden, E. R. de Aran-
tese Oliveira. — Univ. of Alabama in Huntsvllle Press, 1973, p. 415—458.
5. Crandall S. H. Engineering analysis. — McGraw-Hill, 1956.
6. Морс Ф., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. I, 2. Пер. с англ. —
М.: ИЛ, 1958, 1960.
7. Rizzo F. J. An integral equation approach to boundary-value problems of
classical elastostatics. — Quart. Appl. Math. Mech., 1965, v. 25, p. 83—95.
8. Купрадзе В. Д. Методы потенциала в теории упругости. — М.: Наука,
1964.
9. Massonet С. Е. Numerical use of integral procedure. — In: Stress analysis.
Ed. by O. Zienkiewicz, G. S. Holister. — Wiley, 1965, ch. 10, p. 198—235.
10. Zienkiewicz O. C, Kelly D. W., Bettess P. The coupling of the finite element
method and boundary solution procedures. — Int. J. Num. Meth. Engng,
1969, v. II, p. 355—375.
11. Deak A. L. Numerical solution of 3-D elasticity problems for solid rocket
grains. — AFSC Rep. No. AFRPL-TR-71-4I, v. 1, 1971.
12. Метод граничных интегральных уравнений. Вычислительные аспекты и
приложения в механике/Под ред. Т. Круэа и Ф. Риццо: Пер. с аигл. —
М.: Мир, 1978.
13. Cruse Т. A. Boundary integral equation method for three-dimentional elastic
fracture mechanics analysis. — AFOSR Rep. No. AFOSR-TR-75-0813, 1975.

Литература 529
14. Benthem J. P. State of stresses at the vertex of a quarter-infinite crack in a half
space. — Int. J. Solids and Struct., 1977, v. 13, p. 479—492.
15. Jawson M. A., Symm G. T. Integral equation methods in potential theory. —
London: Academic Press, 1977.
16. Quinlan P. Л5., Fitzgerald J. E., Atluri S. N. The edge-function method. —
In: Proc. of Int. Symp. on Innovative Num. Meth. in Appl. Engng. Sci., Ver-
Versailles, May 1977, p. 23—27.
17. Christiansen S., Hansen E. B. Numerical solution of boundary value prob-
problems through integral equations. — ZAMM, 1978, Bd58, H. 7, S. TI4 — T25.
18. Cruse T. A., Wilson R. B. Efficient implementation of anisotropic three-
dimentional boundary integral equation stress analysis. — Int. J. Num. Meth.
Engng., 1979, v. 12, p. 1383—1397.
19. Brebbia C. A. The boundary element method for engineers. — London: Pen-
tech Press, 1978.
20. Бреббия К-. Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике.
Пер. с аигл. — М.: Мир, 1983.
21. Recent advances in boundary element methods. Ed. by C. A. Brebbia. —
Proc. of Conf., Univ. Southampton: Pentech Press, 1978.
22. Bisplinghoff R. L., Ashley H. Principles of aeroelasticity. — New York:
Wiley, 1962.
23. Эшлн X., Уиднолл С, Ландаль М. Новые направления в теории несущей
поверхности крыла. — Ракетная техника н космонавтика, 1965, т. 3, № 1,
с. 3.
24. Ashley H. Some considerations relative to the predictions of unsteady air-
airloads in lifting configuration. — J. of Aircraft, 1971, v. 8, No. 10, p. 747—756.
25. Hess J. L., Smith A. M. O. Calculation of potential flow about arbitrary bo-
bodies. — In: Progress in aeronautical sciences. Vol. 8. Ed. by K. KQchemann. —
Pergamon Press, 1967, p. 1—138.
26. Чэпмен Д. Р. Вычислительная аэродинамика; перспективы ее развития. —
Ракетная техника и космонавтика, 1980, № 2, с. 3—32.
27. Applied computational aerodynamics. Ed. by A. Jameson, P. E. Rubbert,
A. M. O. Smith, H. Yoshihara. — AIAA Professional Study Series.
28. Suzuki S., Washizu K. Calculation of wing-body pressures in incompressible
flow using Green's function method. — J. of Aircraft.
29. Nakayaraa T. Applications of the finite element techniques to nonlinear free
surface problems of steady und unsteady potential flow (на япои. языке). Dr.
of Engng. Thesis, Univ. of Tokyo, 1980.
30. Nakayama Т., Washizu K. Boundary element method applied to analysis
of two-dimensional noniinear sloshing problems. — Int. J. Num. Meth. Engng.
31. Welch J. E., Harlow F. H., Shannon J. P., Daly B. J. The MAC method: a com-
computing technique for solving viscous, incompressible, transient fiuld-flow prob-
problems involving free surface. — Los-Alamos Sci. Lab. Rep. No. LA-3425, Univ.
of Calif., Los Alamos, 1966.
32. Hirt С W., Harlow F. H. A general corrective procedure for the numerical
solution of initial-value problems. — J. of Сотр. Phys., 1967, v. 2, No. 2,
p. 114-119.
33. Penney W. G., Price A. T. Finite periodic stationary gravity waves in a per-
perfect liquid. — Phyl. Trans. Roy. Soc. London, Ser. A, 1952, v. 244, p. 254—284.
34. Washizu K-, Ikegawa M. Lifting surface problem analysis. — In: Theory and
practice in finite element structural analysis. Ed. by Y. Yamada, R. H. Gab
lagher. — Univ. of Tokyo Press, 1973, p. 573—592.
35. Washizu K., Ikegawa M. Finite element technique in lifting surface problems. —'
In: Finite element methods in fiow problems. Ed. by J. T. Oden, O. Zien-
kiewicz, R. Gallagher, С Taylor. — Huntsville: UAH Press, 1974, p. 195—207.

530 Литература
36. Hashimoto M., Washizu К., Ikegawa M. Application of the finite element
technique combined wjth the collocation method to subsonic lifting surface
problems. — In: Preprints of 2nd Int. Symp. of FEM in Flow Probiems. —
S. Margherita Ligure (Italy), 1976, p. 149—158.
К приложению А
1. Гаитмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2-е изд. — М.: Наука, 1967.
2. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1. Пер. с нем.:
М.—Л.: ГИТТЛ, 1951.
3. Ланцош К- Вариационные принципы механики: Пер. с англ. — М.: Мир,
1965.
К приложению Е
1. Fung Y. С. Foundations of solid mechanics. — Prentice-Hall, 1965.
К приложению Н
1. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости: Пер. с англ. — М.: Наука,
1979.
2. Фын Я. Ц. Введение в теорию аэроупругости: Пер. с англ. —М.: Физмат-
гиз, 1959.
3. Peery D. J. Aircraft structures. — McGraw-Hill, 1949.
К приложению 3!
1. Reissner E. On the theory of bending of elastic plates. — Journal of Mathe-
Mathematics and Physics, 1944, v. 23, No. 4, p. 184—191.
2. Reissner E. The effect of transverse-shear deformation on the bending of ela-
elastic plates. — Journal of Applied Mechanics, 1945, v. 12, No. 2, p. 69—77.
3. Reissner E. On bending of elastic plates. — Quarterly of Applied Mathematics,
1947, v. 5, No. 1, p. 55—68.
4. Reissner E. On a variational theorem in elasticity. — Journal of Mathematics
and Physics, 1950, v. 29, No. 2, p. 90—95.
К приложению L
1. Valentine F. A. The problem of Lagrange with differential inequalities as added
side conditions. — In: Contributions to the calculus of variations, 1933—1937. —
University of Chicago Press, 1937.
2. Миеле А. Методы вариационного исчисления в прикладной аэродинамике и
механике полета. — В кн.: Методы оптимизации с приложениями к механике
космического полета/Под ред. Дж. Лейтмана: Пер. с англ. — М.: Наука,
1965.
К приложению М
1. Odgvist F. К- G. Recent advances in theories of creep of engineering materi-
materials.— Applied Mechanics Reviews, 1954, p. 517—519.
2. Hoff N. J. Approximate analysis of structures in the presence of moderately
large creep deformations. — Quarterly of Applied Mathematics, 1954, v. 12,
No. 1, p. 49—55.
3. Pian T. H. H. Stress distribution and deformation due to creep. — In: Aero-
Aerodynamic heating of aircraft structures in high speed flight, Notes for a Special
Summer Programm, Department of Aeronautical Engineering, Massachusetts
Institute of Technology, June 25—July 6 1956, p. 15-21—15-34.
4. Prager W. Total creep and varying loads. — Journal of the Aeronautical Scien-
Sciences, 1957, v. 24, No. 2, p. 153—155.

Литература 531
5. Hoff N. J. (ed.). High temperature effects in aircraft structures, AGARDograph
28. — Pergamon Press, 1958.
6. Wang A. J., Prager W. Thermal and creep effects in work-hardening elastic-
plastic solids.—Journal of the Aeronautical Sciences, 1954, v. 21, No. 5,
p. 343—344.
7. Washizu K- Variational principles in elasticity and plasticity. — Massachu-
Massachusetts Institute of Technology, Aeroelastic and Structures Research Laboratory,
Technical Report 25-18, March 1955.
8. Sanders J. L., Jr., McComb H. G., Jr., Schlechte F. R. A variational theorem
for creep with application to plates and columns. — NACA TN 4003, 1957.
9. Pian T. H. H. On the variational theorem for creep. — Journal of the Aero-
Aeronautical Sciences, 1957, v. 24, No. 11, p. 846—847.
К приложению N
1. Морс Ф., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. 1: Пер. с англ. — М.:
ИЛ, 1958.
2. Brebbia С. A. The boundary element method for engineers. — London: Pen-
tech Press, 1978.
3. Бреббия К-, Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике:
Пер. с англ. — М.: Мир, 1983.
4. Atluri S. N., Qrannell J. J. Boundary element methods (BEM) and combina-
combination of BEM-FEM. — Center for the Advancement of Computational Mecha-
Mechanics, School of Civil Engineering, Georgia Institute of Technology, Atlanta,
Report No. GIT-ESM-78-16, Nov. 1978.
5. Washizu K- Bounds for solutions of boundary value problems in elasticity. —
Journal of Mathematics and Physics, 1953, v. 32, No. 2—3, p. 117—128.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адиабатическая деформация 92, 93
Базисные функции 32, 425, 426
Балка с начальной кривизной 204
Балки 183
Балки большие прогибы 193, 204
— изгиб 186, 480
— кручение 480
— потеря устойчивости 195, 216
— теория с учетом поперечного сдвига
201, 216, 486
Тимошенко 204
элементарная 185
Бернулли—Эйлера гипотеза 184, 185
Бианки тождества 109
Бифуркация 90
Вайнштейна метод 71, 253
Вариационные принципы для задачи
об изгибе пластины 395—398, 401 —
406, 409—411, 413
Вектор коварна нтный 478
— контравариантный 478
— смешанный 479
Весовых функций метод 21
Взвешенных невязок метод 21, 426,
441
Виртуальный работы принцип 16, 17,
30, 31, 39, 49, 50, 60, 67, 90, 91,
99, 100, 115, 116, 125, 128, 130,
133, 135, 140, 141, 144—147, 150,
154, 155, 159, 166, 168, 186, 193—
195, 197, 199, 200, 202, 206, 213,
221, 224, 230, 233, 234, 245, 248,
251, 255, 256, 269, 275—277, 282,
283, 285, 286, 293, 317, 325, 343,
346, 361, 363, 372, 373, 390, 457—
461, 466, 481, 498—500
модифицированный 346, 363,
372
— силы принцип 18
Виртуальных изменений напряжен-
напряженного состояния принцип 18
— напряжений принцип 18
— перемещений принцип 16
Влияния функции 71
Возможных перемещений принцип 16
Галеркина метод 31, 101, 428, 441
обобщенный 21, 31, 36, 72, 101
Гамильтона канонические уравне-
уравнения 463
— принцип 17, 19, 142, 146, 156,
215, 371—373, 377, 414, 461
для задачи с начальными напря-
напряжениями 146
модифицированный 372
— функция 464
Гаусса—Вейнгартена формулы 288
Гаусса—Остроградского теорема 30
— условие для формы оболочки 261,
262
Генки материал 321, 322
Геррмана принцип 407
Граммеля метод 71
Граничные условия в напряжениях
(механические) 26
перемещениях (геометриче-
(геометрические) 26
Граничных элементов метод 432, 435,
439, 501
Грина тензор деформаций 82, 380
приращений деформаций 381
Гуртина принцип 377
Даламбера принцип 16, 139
Движение абсолютно твердого тела
150, 153
Девиаторы напряжений
ций 87
Депланации функция 160,
485, 486
Деформации 24
— конечные 210, 230, 250,
и деформа-
169, 481,
.._ , ___, ___, 275
Динамический метод в задачах устой-
устойчивости 99

Предметный указатель
533
Дискретизации методы 425, 431
Дополнительной виртуальной работы
принцип 18, 19, 34, 35, 40, 47, 52,
60, 101, 121, 294, 295, 317, 325,
347, 348, 500
модифицированный 347
— энергии функция 52, 60, 96, 130,
135, 347, 470
Допустимые функции 15
Единичного перемещения метод 42, 76,
77
Единичной нагрузки метод 42, 76,
77, 313—315
Жесткостей метод 220, 304, 305
Жесткости матрица 300, 301, 304, 305
Жесткость крутильная 160
оценки границ 170, 172, 173,
179
эффективная при начальных на-
напряжениях 169
Закон сохранения энергии 466
Задача о движении жидкости со сво-
свободной поверхностью 435
— с начальными деформациями 127,
133, 155, 315
напряжениями 127, 144, 154,
195, 198, 213, 233, 253, 254
температурными напряжениями
135, 155, 156
— теплопроводности 77, 426
Задачи динамические 138
для незакрепленного тела 147
Изотермическая деформация 92, 93
Изотропный материал 25
Касательного модуля теория 318, 319
Кастильяно теорема 63, 65, 66, 77
294, 299, 312
Кирхгофа гипотеза 218, 219, 222, 267,
395
Кирхгофа—Лява гипотеза 267, 269,
274—276
— теизор напряжений 84, 133, 382,
474
модифицированный 384
Кодацци условие для формы оболочки
269
Коллокации метод 427, 442
Коллокация по подобластям 427
— поточечная 427
Компенсирующих нагрузок метод 42
Конечные элементы 349
в задаче об изгибе пластины 395,
402—406
слоистых пластинах 419
толстых пластинах 422
модель гибридная в напряже-
напряжениях 357, 417, 422
перемещениях 354
равновесная 357
смешанная 356, 418
согласованная 366
Конечных перемещений теория 360,
440, 472
— разностей метод 426
— элементов метод 339
Конструкции 289
— полумонококовые 305, 308
— статически неопределимые 289
Конфигурация возмущенная 97
— исходная 97
Коши тензор напряжений 84, 383,
476
Криволинейные координаты 103, 256,
258, 287
ортогональные 117
Кристоффеля индекс трехсимвольиый
105, 117, 120, 121, 285, 480
Кручение стержней 158
потеря устойчивости 181
с начальными напряжениями 166
отверстием 164
сечения тонкостенного замкну-
замкнутого 178, 179
незамкнутого 176, 179
Лагранжа множителей метод 35, 453,
455
— множители 18, 19, 54, 55, 455
— уравнения движения 17, 143, 461
— функция 17, 153, 461
Лежандра преобразование 59
Лурье аппроксимация 273
Максвелла—Бетти теорема 77
Малых перемещений теория 49, 117
Маркеров и ячеек метод 436
Маркова принцип 323, 333
Материал жесткопластический 332
— идеально пластический 320, 328
— Сен-Венана—Леей—Мизеса 323
— упрочняющийся 318, 326
Мизеса условие текучести 320
Минимальной работы принцип 53
Минимума дополнительной энергии
принцип 18, 19, 52, 53, 57, 59, 60,
96, 101, 155, 163, 190, 229, 290,
294, 323, 328, 347, 348, 356, 402
модифицированный 357
— потенциальной энергии принцип 18,

534
Предметный указатель
49, 51, 59, 60, 97, 155, 161, 188,
209, 226, 228, 230, 249, 276, 290,
293, 323, 328, 344, 346, 349, 396,
403
модифицированный 351,
364, 403
Myштари—Власова теория 286
Напряжений функции Максвелла 28,
39, 40
Морера 29, 39, 40
— функция 39, 125, 162, 255, 282,
284, 285
Эри 29, 36, 37, 227
Напряжения 23
— температурные 282
Обобщение принципа стационарности
потенциальной энергии 95, 117, 129,
132, 134, 164, 197, 227, 229
Обобщенный вариационный принцип
55—57, 60, 345, 347, 362, 363, 372,
374, 409, 410, 413
модифицированный 347, 354,
363, 365, 372, 404—406
Оболочек теория линеаризованная 269
Маргуэра 242, 412
. нелинейная 276
с учетом поперечного сдвига
274, 278
тонких 275
Оболочки 260, 493
— с начальными напряжениями 275
Перемещений метод 46, 290, 297
Л иолы—Кирхгофа тензор напряжений
второй 84, 382, 474
первый 474
— теизор напряжений 474
Пластины большие прогибы 230, 250,
408
— изгиб 228, 237, 249, 408, 490 ¦
с учетом поперечного сдвига
413, 490
толстой 416
— потеря устойчивости 233, 251, 252
— растяжение 220, 226, 237, 249
— температурные напряжения 236, 253
— Тимошенко—Миндлина теория 416,
417, 420, 423
— тонкой теория 218
с учетом поперечного сдвига
238, 259, 490
Пластины 220
— из композитных материалов 416,
418
— слоистые 416, 418
краевые эффекты 420, 421
Пластического течения теория 324
Пластичности вариационные прин-
принципы 317—320, 323, 325, 328, 333,
334
— теория 21
деформационная 316, 317
Плотность дополнительной энергии 52
— энергии деформации 92
Податливости метод 290
Податливости матрица 299, 301
Ползучесть 497
Потенциальная энергия деформации 91
полная 50, 51
Прандтля—Рейсса уравнения 21, 330
Предельной несущей способности тео-
теория 21, 335
Прочности запас 336
Прощелкивание 89, 90, 216, 282
Разрушающая нагрузка 21
Рамы 289, 290, 298, 301
Рейсснера принцип 95
Релея отношение 68, 133, 210, 214
Релея—Ритца метод 20, 61, 62, 69—
72, 102, 192, 198, 228, 230, 249,
254, 426, 429
модифицированный 70, 143,
198
Римана—Кристоффеля тензор кри-
кривизны 109, 122, 284, 285
Садовского принцип 323
Свободной энергии Гельмгольца функ-
функция 93, 136
Свободные колебания упругого тела
66, 146, 190, 198, 209, 210, 214, 253
Сен-Венана—Леви—Мизеса материал
323
уравнения 332
— принцип 21
— теория кручения 158
Сил метод 47, 290, 296, 301, 305
Силы консервативные 16, 17
— массовые (объемные) 23, 24
— обобщенные 143, 462
— следящие 154, 155, 213
Совместности условия 27, 39, 101,
107, 108, 121, 122, 125, 162, 163,
165, 166, 228, 229, 233, 255, 282,
284
в большом 40, 166, 296
криволинейных координа-
координатах 108, 109
Соотношения деформации — переме-
перемещения 24
— напряжения—деформации 25, 489

Предметный указатель
535
в криволинейных коорди-
координатах 114
Стационарности дополнительной энер-
энергии принцип 198, 236, 238, 318,
362, 372, 375, 376
— потенциальной энергии принцип 16,
67, 94, 95, 116, 117, 129, 132, 134,
136, 154, 197, 201, 208, 209, 212,
214. 232, 235, 251, 253, 317, 318,
361, 363, 364, 409, 413, 498
полной принцип 51
— свободной энергии принцип 136
— условия 15
Темпла—Като теорема 71
Теизор 478
— ковариантный 479
— контравариантный 479
— метрический 104
— смешанный 479
Трусделла тензор приращений напря-
напряжений 385
Упругости теория 21
Устойчивости критерий энергетиче-
энергетический 96, 97
— упругой теория 90
Устойчивость тел с начальными де-
деформациями 101
напряжениями 101, 131
Фермы 289, 290, 294
Фридрихса преобразование 59
Функции напряжений см. Напряже-
Напряжений функции
Функция энергии деформации 18, 19,
49, 60, 93, 94, 129, 134, 145, 346,
469
Хаара—Кармана принцип 321, 496
Хеллингера—Рейсснера принцип 18, 19,
57—60, 304, 347, 348, 357, 362,
363, 372, 374, 401, 411, 490
модифицированный 347, 355—
357, 363, 374
Хилла принцип 323, 335
Ху—Васидзу (Вашицу) принцип 348
Центр кручения 176, 184, 480
— сдвига 183, 184, 480, 483, 484
Чистый изгиб 184, 483, 484, 487
Эйлера метод в задаче устойчиво-
устойчивости 99
— тензор напряжений 84, 383, 476
— углы 149
Энергия кинетическая 17, 19
— напряжений 52
Энтропия 93
Яумманна теизор приращений напря-
напряжений 386

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абовский Н. П. 341
Алблас (Alblas J. В.) 421, 528
Андреев Н. П. 341
Аргирис (Argyris J. H.) 340, 509—511,
520—523
Атлури С. (Atluri S. Н.) 525, 526, 531
Баиичук Н. В. 341
Биргер И. О. 76
Бисплиигхофф P. (Bisplinghoff R. L)
511—520, 529
Бицено К. Б. (Biezeno С. В) 509—513
Блисс Дж. (Bliss Q. А.) 509
Боджи Д. (Bogy D. В.) 422, 528
Боли Б. (Boley В. А.) 514, 518
Болотии В. В. 512, 513, 516, 518
Бреббия (Brebbia С.) 529, 531
Ваи (Wang S. S.) 422, 500, 528
Векуа И. Н. 103
Власов В. 3. 519
Вониовский-Кригер С. (Woinowsky-
Krieger S.) 517, 519
Галимов К- 3. 519
Галлагер P. (Gallagher R. Н.) 521,
523, 524
Гаитмахер Ф. Р. 530
Геррман Л. (Herrmann L. R.) 359,
523, 524, 526
Гильберт Д. (Hilbert D.) 509—511, 530
Голдстейи Г. (Goldstein H.) 509, 511
Гольденвейзер А. Л. 519
Граммель P. (Grammel R.) 509—513
Гринбаум Г. (Greenbaum G. А.) 526
Гринберг (Greenberg H. J.) 321, 509,
515, 518, 521
Гудьер Дж. (Goodier J. N.) 509—511,
514—517. 530
Гулд С. (Gould S. H.) 512
Гуртии (Gurtin М. Е.) 377, 525
Деи-Гартог Дж. П. (Den Hartog J. P.M16
Деруга А. П. 341
Джонс P. (Jones R. Е.) 352, 523
Доннея (Donnel L. Н.) 282, 520
Зенкевич О. (Zienkiewicz О. С.) 426,
521, 523, 526—528
Зубов Л. М. 368, 524
Ивеисеи Д. (Evensen D. А.) 526
Ильюшии А. А. 521
Ишлинский А. Ю. 149
Канторович Л. В. 437
Карман (Karman von Th.) 230, 282,
517, 520, 521
Качанов Л. М. 521
Келси (Kelsey S.) 340, 509—511, 520,
521
Клаф (Clough R. W.) 308, 340, 521,
522, 525
Койтер (Koiter W.) 519, 522, 524
Коллатц Л. (Collatz L.) 510, 512, 514,
516
Коренев Б. Г. 426
Кристенсеи P. (Christensen R. М.)
527, 528
Крылов В. И. 437
Купрадзе В. Д. 528
Курант P. (Courant R.) 340, 509—511,
522, 530
Ландаль М. (Lahndahl M. Т) 529
Ланцош К. (Lanszos С.) 509, 510, 530
Лейбензои Л. С. 18
Ло (Lo К. Н.) 422, 423, 528
Ляв A. (Love А. Е. Н.) 510, 511, 513—
515, 517, 519
Мак-Комб (McComb H. J., Jr.) 501,
514, 531
Мак-Коииел А. 103
Малкус (Malkus D. S.) 418, 527
Маргуэр (Marguerre К.) 242, 513, 517,
518
Марков А. А. 522
Мартин (Martin H. С.) 308, 311, 340,
521,522
Марчук Г. И. 430
May (Май S. Т.) 419, 421, 627

Именной указатель
537
Миеле A. (Miele A.) 530
Миидлии (Mindlin R. D.) 241, 516,
518
Михлии С. Г. 509, 511, 515, 519
Морозов Е. М. 341
Морс Ф. (Morse Р. М.) 509, 510, 513.
528, 531
Мунир (Munir N. I.) 417. 422, 527,
528
Муштари X. М. 519
Нагди П. (Naghdi P. M.) 281, 511, 519
Натараджаи (Natarajan R.) 420, 527
Никишков Г. П. 341
Новожилов В. В. 509, 510, 512—514,
516, 517, 519
Норри Д. (Norrie D.) 523
Одеи Ж. (Oden J. Т.) 524
Орриигер О. (Orringer О.) 416, 527
Остроградский М. В. 17
Паида (Panda S. С.) 420, 527
Паиовко Я- Г. 76
Пеиии (Penney W. G.) 438, 529
Пиаи Т. (Pian Т. Н. Н.) 357, 419,
421, 522—524, 527, 530, 531
Пласс X. Дж. (Plass H. J.) 514, 516
Постиов В. А. 341
Прагер В. (Prager W.) 62, 324, 500,
510, 511, 514, 521, 522, 526, 530,
531
Прайс (Price A.) 438, 629
Раджу (Raju I. S.) 421, 527
Рашевский П. К. 103
Редди (Reddy J. N.) 420, 527
Рейссиер (Reissner E.) 68, 180, 241,
281, 511—513, 515—520, 530
Риппергер Э. A. (Ripperger E. А.) 516
Рихтмайер Р. Д. 430
Розии Л. А. 341
Самарский А. А. 430
Саидерс (Sanders J. L.) 501, 514, 531
Саусвелл Р. В. (Southwell R. V.)
509, 510, 512
Сеи-Веиаи (Saint-Venant В.) 183
Серрии Дж. (Serrin J.) 509
Сиидж (Synge J. L.) 62, 509, 511, 514,
515
Сокольников И. С. (Sokolnikoff I. S.)
513, 514, 517
Спилкер (Spilker R. L.) 417, 420—
423, 527, 528
Стреиг Г. (Strang G.) 523
Стретт Дж. В. (лорд Рэлей) (Strutt J. В.
(Rauleigh)) 516
Схоутен Я. 103
Сьярле (Ciarlet P. G.) 251, 519
Тёриер (Turner M. J.) 308, 311, 340,
521, 522
Тимошенко С. П. 509—511, 513—517,
519, 520, 530
Тин (Ting Т. С. Т.) 422, 528
Томас (Thomas G. В.) 281, 519
Томе (Toms R. М.) 523, 524
Тонг (Tong P.) 354, 522—524
Толп (Торр J. L.) 308, 340, 521, 522
Треффтц (Trefftz E.) 62, 98, 480, 511,
513—515, 517, 519
Уидиолл С. (Widnall S.) 529
Уокер С. (Walker S.) 529, 531
Уэйиер Дж. (Weiner J. H.) 514, 518
Фешбах Г. (Fechbach H.) 509, 510,
513, 528, 531
Фикс Г. (Fix G.) 523
Флюгге В. (Flflgge W.) 519
Фрайш де Вебеке (Fraeiis de Veu-
beke В. М.) 368, 512, 521, 524, 525
Фриз де Ж. (Vries de G.) 523
Фын Я. Ц. (Fung Y. С.) 510, 513, 514,
516, 524, 526, 530
Халфмэи P. (Halfman R. L.) 511, 514,
516, 517, 520
Харахурим И. Я. 341
Харрис (Harris A.) 421, 527
Хасимото (Hashimoto M.) 445, 530
Хилл P. (Hill R.) 509, 521, 522
Хильдебранд (Hildebrand F. В.) 281,
519
Ходж Ф. (Hodge P. G., Jr.) 510, 521,
522
Хофмейстер Л. (Hofmeister R. D.) 526
Хьюз (Hughes Т. J. R.) 418
Цяиь (Tsien H. S.) 282, 520
Чаиг (Cheung Y. К.) 523
Чериоусько Ф. Л. 341
Чой (Choi I.) 422, 528
Чоу (Chou S. С.) 421, 422, 527, 528
Чэпмеи Д. P. (Chapman D. R.) 529
Шлехте (Schlechte F. R.) 501, 514,
531
Эйбрамсои X. Н. (Abramson H. N.)
516
Эшли X. (Ashley H.) 511, 512, 514,
516, 517, 519, 520, 529
Ю (Yu Y. Y.) 248, 518
Ямамото (Yamamoto Y.) 352, 523

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие к третьему изданию 8
Предисловие ко второму изданию 10
Благодарности ко второму изданию 12
Предисловие к первому изданию 13
Часть А. Формулировка вариационных принципов в теории упругости
н пластичности 15
Видение 15
Глава 1. Геометрически линейная теория упругости а прямоугольных декар-
товых координатах 23
§ 1.1. Постановка задач в линейной теории 23
§ 1.2. Условия совместности 27
§ 1.3. Функции напряжений 28
§ 1.4. Принцип виртуальной работы 28
§ 1.5. Приближенный метод решения, основанный на принципе
виртуальной работы 31
§ 1.6. Принцип дополнительной виртуальной работы 34
§ 1.7. Приближенный метод решения, основанный на принципе
дополнительной виртуальной работы 36
§ 1.8. Связь между условиями совместности и функциями на-
напряжений 39
§ 1.9. Некоторые замечания 41
Упражнения 42
Глава 1. Вариационные принципы в теории упругости при малых перемеще-
перемещениях 49
§ 2.1. Принцип минимума потенциальной энергии 49
§ 2.2. Принцип минимума дополнительной энергии 52
§ 2.3. Обобщеиие прииципа минимума потенциальной энергии . . 54
§ 2.4. Вариационные принципы, которые выводятся из основных 57
§ 2.5. Метод Релея—Ритца A) 61
§ 2.6. Варьирование граничных условий и теорема Кастильяио 63
§ 2.7. Свободные колебания упругого тела 66
§ 2.8. Метод Релея—Ритца B) 69
§ 2.9. Некоторые замечания 72
Упражнения 73

Оглавление 539
Гливи !i Геометрически нелинейная теория упругости в прямоугольных де-
декартовых координатах 79
§ 3.1. Напряженное состояние 79
§ 3.2. Напряжения и уравнения равновесия 83
§ 3.3. Преобразование тензора напряжений 85
§ 3.4. Соотношения напряжения — деформации 86
§ 3.5. Постановка задачи 87
§ 3.6. Принцип виртуальной работы 90
§ 3.7. Потенциальная энергия деформации 91
§ 3.8. Принцип стационарности потенциальной энергии .... 94
§ 3.9. Обобщение принципа стационарности потенциальной энер-
энергии 95
§ 3.10. Энергетический критерий устойчивости 96
§ 3.11. Метод Эйлера в задаче устойчивости 99
§ 3.12. Некоторые замечания 101
Упражнения .- 101
Глава 4. Теория упругости в криволинейных координатах ЮЗ
§ 4.1. Геометрия недеформированного тела 103
§ 4.2. Анализ деформаций и условия совместности 107
§ 4.3. Анализ напряжений и уравнения равновесия ПО
§ 4.4. Преобразование тензоров деформаций и напряжений ... 111
§ 4.5. Связь напряжений и деформаций в криволинейных коорди-
координатах 114
§ 4.6. Принцип виртуальной работы 115
§ 4.7. Принцип стационарности потенциальной энергии и его
обобщения 116
§ 4.8. Конкретизация основных уравнений в случае малых пе-
перемещений при формулировке в ортогональных криволи-
криволинейных координатах 117
Упражнения 119
Глава 5 Обобщение принципа виртуальной работы и связанных с ним ва-
вариационных принципов ]27
§ 5.1. Задачи с начальными напряжениями 127
§ 5.2. Задачи устойчивости для тела с начальными напряжениями 131
§ 5.3. Задачи с начальными деформациями 133
§ 5.4. Задачи о температурных напряжениях 135
§ 5.5. Динамические задачи 138
§ 5.6. Динамические задачи для упругого тела с начальными
напряжениями 144
§ 5.7. Динамические задачи для незакрепленного тела .... 147
Упражнения 154
Глава 6. Кручение стержней J58
§ 6.1. Теория кручения Сен-Венаиа 158
§ 6.2. Принцип минимума потенциальной энергии и его преоб-
преобразование 161
§ 6.3. Кручение стержня с отверстием 164
§ 6.4. Кручение стержня с начальными напряжениями 166
§ 6.5. Верхняя и нижняя границы крутильной жесткости .... 170
Упражнения 175
Глава 7. Балки ]33
§ 7.1. Элементарная теория балок 183
§ 7.2. Изгиб балки 186
§ 7.3. Принцип минимума потенциальной энергии и его преоб-
преобразование 188

540 Оглавление
§ 7.4. Свободные поперечные колебания балки 190
§ 7.5. Большие прогибы балки 193
§ 7.6. Потеря устойчивости балки 195
§ 7.7. Свободные поперечные колебания вращающейся балки . . 198
§ 7.8. Теория балки, учитывающая деформации поперечного
сдвига 201
§ 7.9. Балка с малой начальной кривизной 204
§ 7.10. Некоторые замечания 208
Упражнения 209
Глава 8. Пластины 218
§ 8.1. Растяжение и изгиб пластины 218
§ 8.2. Задача о растяжении и изгибе пластины 220
§ 8.3. Принцип минимума потенциальной энергии и его преоб-
преобразование для задачи о растяжении пластины 226
§ 8.4. Принцип минимума потенциальной энергии и его пре-
преобразование для задачи об изгибе пластины 228
§ 8.5. Большие прогибы пластины при растяжении и изгибе . . 230
§ 8.6. Потеря устойчивости пластины 233
§ 8.7. Температурные напряжения в пластине 236
§ 8.8. Теория тонких пластин, учитывающая деформации по-
поперечного сдвига 238
§ 8.9. Тонкая пологая оболочка 242
§ 8.10. Некоторые замечания 247
Упражнения 248
Глава 9. Оболочки 260
§ 9.1. Геометрия до деформирования 260
§ 9.2. Анализ деформаций 264
§ 9.3. Анализ деформаций, основанный на гипотезе Кирхгофа—
Лява 267
§ 9.4. Линеаризованная теория тонких оболочек, основанная на
гипотезе Кирхгофа—Лява 269
§ 9.5. Упрощенные формулировки 274
§ 9.6. Упрощенная линейная теория, основанная иа гипотезе
Кирхгофа—Лява 275
§ 9.7. Нелинейная теория тонких оболочек, основанная иа гипо-
гипотезе Кирхгофа—Лява 276
§ 9.8. Линеаризованная теория тонких оболочек, учитывающая
деформации поперечного сдвига 278
§ 9.9. Некоторые замечания 281
Упражнения 282
Глава 10. Конструкции 289
§ 10.1. Системы с конечной степенью статической неопределимости 289
§ 10.2. Характеристики деформации элемента фермы и задача
о иагружении фермы 290
§ 10.3. Вариационные формулировки задачи о нагружеиии фермы 293
§ 10.4. Метод сил, примененный к задаче о иагружеиии фермы 294
§ 10.5. Простой пример ферменной конструкции 297
§ 10.6. Деформационные характеристики элемента рамы .... 298
§ 10.7. Метод сил, примененный к задаче о иагружении рамы . . 301
§ 10.8. О применении метода сил к расчету полумоиококовых
конструкций 305
§ 10.9. О применении метода жесткостей к расчету полумоиококо-
полумоиококовых конструкций 308
Упражнения 311

Оглавление 541
Глава И. Деформационная теория пластичности 316
§ 11.1. Деформационная теория пластичности 316
§ 11.2. Упрочняющийся материал 318
§ 11.3. Идеально пластический материал 320
§ 11.4. Частный случай материала Генки 322
Глава 12. Теория пластического течения 324
§ 12.1. Теория пластического течения 324
§ 12.2. Упрочняющийся материал 326
§ 12.3. Идеально пластический материал 328
§ 12.4. Уравнения Прандтля—Рейсса 330
§ 12.5. Уравнения Сеи-Венана—Левн—Мизеса 332
§ 12.6. Предельная несущая способность 335
§ 12.7. Некоторые замечания 338
Часть В. Вариационные принципы как основа методов конечных эле-
элементов 339
Введение 339
Глава 13. Классические и модифицированные вариационные принципы
в линейной статической теории упругости 342
§ 13.1. Постановка задачи 342
§ 13.2. Классические вариационные принципы 343
§ 13.3. Конечные элементы 349
§ 13.4. Модифицированные вариационные принципы 351
§ 13.5. Модифицированные вариационные принципы (продолже-
(продолжение) 356
Упражнения 359
Глава 14. Классические и модифицированные вариационные принципы в ста-
статической теории упругости при конечных перемещениях .... 360
§ 14.1. Постановка задачи 360
§ 14.2. Классические вариационные принципы 361
§ 14.3. Вывод модифицированных вариационных принципов из
принципа стационарности потенциальной энергии .... 363
§ 14.4. Формулировка согласованной модели и модифицирован-
модифицированного метода последовательных приближений 366
§ 14.5. О принципе стациоиарности дополнительной энергии в не-
нелинейной теории упругости 368
Глава 15. Классические и модифицированные вариационные принципы в за-
задачах линейной динамической теории упругости 371
§ 15.1. Постановка задачи линейной динамической теории упру-
упругости 371
§ 15.2. Классические вариационные принципы линейной дина-
динамической теории упругости 372
§ 15.3. Принцип Гуртина 377
Глава 16. Две инкрементальные теории деформируемого твердого тела с гео-
геометрическими и физическими иелииейностями 379
§ 16.1. Введение : 379
§ 16.2. Определения деформаций 380
§ 16.3. Определения напряжений 382
§ 16.4. Соотношения между конечными приращениями напря-
напряжений и приращениями деформаций 388
§ 16.5. Инкрементальная теория, использующая подход Лагранжа 389
§ 16.6. Модифицированный подход Лагранжа 392
Упражнения 394

542 Оглавление
Глава П. Вариационные принципы в задачах изгиба упругих пластин . . 395
§ 17.1. Классические вариационные принципы в линейной тео-
теории изгиба пластин, основанной на гипотезах Кирхгофа 395
§ 17.2. Модифицированный принцип в линейной теории изгиба,
основанной на гипотезе Кирхгофа 402
§ 17.3. Принцип Геррмана 407
§ 17.4. Вариационные принципы для задачи растяжения и изгиба
пластины с учетом больших перемещений прн использо-
использовании гипотез Кирхгофа 408
§ 17.5. Вариационные принципы в теории тонких пологих обо-
оболочек Маргуэра 412
§ 17.6. Классические вариационные принципы в задаче изгиба
тонких пластин с учетом влияния поперечного сдвига . . . 413
§ 17.7. Некоторые новые вариационные постановки задач изгиба
пластин 416
Упражнения 423
Глава 18. О методах дискретизации 425
§ 18.1. Введение 425
§ 18.2. Методы взвешенных невязок 426
§ 18.3. Метод Релея—Рнтца 429
§ 18.4. Некоторые замечания о методах дискретизации 431
§ 18.5. Метод граничных элементов 432
§ 18.6. Метод граничных элементов в задаче гидродинамики со
свободной границей 435
§ 18.7. Некоторые замечания о МГЭ 439
Упражнения 446
Приложения 452
Приложение А. Об условиях стационарности функции 452
Приложение В. Вариационные принципы в динамике системы материальных
точек 457
Приложение С. О принципе виртуальной работы 466
Приложение D. О функциях энергии деформации и дополнительной энергии 469
Приложение Е. О различных видах тензоров напряжений в теории конечных
перемещений 472
Приложение F. Векторы и тензоры 478
Приложение G. Совместные изгиб и кручение балки 480
Приложение Н. Теория балки, учитывающая эффект деформации попереч-
поперечного сдвига 486
Приложение I. Соотношения напряжения—деформации для тонкой пластины 489
Приложение J'. Теория изгиба пластин, учитывающая эффект деформации
поперечного сдвига 490
Приложение К. Различные виды оболочек 493
Приложение L. О принципе Хаара—Кармана 496
Приложение М. О вариационных принципах в квазистатическнх задачах и
в теории ползучести ¦ 497
Приложение N. О методе граничных элементов 501
Литература 509
Именной указатель 536
Предметный указатель 532

Уважаемый читатель!
Ваши замечания о содержаини книги,
ее оформлении, качестве перевода и
другие просим присылать по адресу:
129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Риж-
Рижский пер., 2, издательство «МИР».

Монография
Кюятиро Васидзу
Вариационные методы
в теории упругости и пластичности
Ст. научные редактор»: Г. М. Ильичева, П. Я. Корсоюцкая, С. В. Чудоа
Мл. научный редактор Н. С. Полякова
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Художник И ' И, Шиф
Технический редактор И, И. Володина
Корректор С. А. Денисова
ИБ № S99I
Сдано в набор 09.09.88. Подписано н печати 37.03.87.
Формат 60X90 Vie- Бумага нн.-журн. сыкт. Печать высокая.
Гарнитура литературная. Объем 17,0 бум. л. Усл. печ. л.
34.0. Усл. ир.-отт. 34.0. Уч.-изд. л. 30.93. ИзД.АЬ 1/4737.
Тираж 7100 вкэ. Зак. 214. Цена 3 р. 10 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО сМИР» 129820, ГСП, Москва. И-110. 1-Я
Рнжсннй пер., 2
Ленияградсная типография /ft 6 ордена Трудового Красного
Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга»
нм. Евгении Соколовой Союэполнграфпрома при Государ-
Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфия
н книжной торговли.
193144, г. Ленинград, ул. Монеееиио, 10.