Author: Коробейников С.Н.
Tags: механика деформируемых тел упругость деформация механика физика прикладная физика деформация тел
ISBN: 5-7692-0381-1
Year: 2000
Text
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ИНСТИТУТ ГИДРОДИНАМИКИ им. М. А. ЛАВРЕНТЬЕВА
С. Н. Коробейников
НЕЛИНЕЙНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ
ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Монография
НОВОСИБИРСК
ИЗДАТЕЛЬСТВО СИБИРСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ
РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК
2000
УДК 539.3, 518.61
ББК 22.251, 22.192
К 68
Коробейников С. Н.
Нелинейное деформирование твердых тел. - Новосибирск: Издатель-
Издательство СО РАН, 2000. — 262 с.
В книге приводится методологически последовательная постановка гео-
геометрически и физически нелинейных задач механики деформируемого твер-
твердого тела, в том числе задачи о потере устойчивости и контактных взаимодей-
взаимодействиях тел. Уравнения формулируются относительно скоростей или прира-
приращений неизвестных величин. Приводятся слабые формы уравнений и вариа-
вариационные формулировки задач. Рассматривается применение метода конечных
элементов к решению квазистатических и динамических задач. Используют-
Используются следующие модели материалов: изотропная линейно-упругая, несжимаемая
нелинейно-упругая Муни — Ривлина, упругопластическая, термоупругопла-
стическая с учетом деформаций ползучести. Приводятся процедуры числен-
численных решений нелинейных задач, основанные на пошаговом интегрировании
уравнений равновесия (движения). Рассматриваются особенности процедур
численного решения задач о потере устойчивости и контакте тел.
Книга предназначена для научных работников, аспирантов и студен-
студентов, знакомых с основами механики сплошной среды и численными методами
решения задач математической физики.
Ответственный редактор: член-корреспондент РАН Б. Д. Аннин
Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (издательский проект 99-01-14100).
ISBN 5-7692-0381-1
© Институт гидродинамики
им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 2000
© Коробейников С. Н., 2000
ИНВ № 33
НЕ БОЛЕЕ 1Й КНИГИ В
ОДНИ РУКИ И 2ХВДВЕ
КОЛОХЗА
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 5
I. ФОРМУЛИРОВКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ 13
Глава 1. Основные положения механики сплошной
среды 14
1.1. Необходимые сведения из тензорного анализа 14
1.2. Кинематика деформирования 19
1.3. Тензоры деформаций 34
1.4. Тензоры напряжений 44
1.5. Уравнения движения 59
Глава 2. Определяющие соотношения механики
деформируемого твердого тела 67
2.1. Упругий материал 68
2.2. Упругопластический материал 85
2.3. Термоупругопластический материал, для которого
учитываются деформации ползучести 103
Глава 3. Слабые формы уравнений движения
и вариационные принципы 109
3.1. Слабые формы уравнений движения 109
3.2. Вариационные принципы 112
Глава 4. Потеря устойчивости
и контактные взаимодействия тел 124
4.1. Критические состояния тел 125
4.2. Критерии единственности и устойчивости решений
краевых задач 131
4.3. Связь критических нагрузок 138
4.4. Потеря устойчивости тел в условиях ползучести.... 150
4.5. Формулировки контактных задач 150
Оглавление
И. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА
КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
К РЕШЕНИЮ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ 155
Глава 5. Дискретные уравнения движения 156
5.1. Векторно-матричная запись слабых форм уравнений
и функционалов вариационных принципов 156
5.2. Дискретизация уравнений по пространственным пе-
переменным 171
Глава 6. Процедуры численных решений нелинейных
задач 183
6.1. Интегрирование уравнений движения (равновесия). . 183
6.2. Матрицы определяющих соотношений и определение
напряжений , 193
Глава 7. Процедуры численных решений задач
по потере устойчивости и контактным
взаимодействиям тел 211
7.1. Процедуры численных решений задач по потере
устойчивости тел 211
7.2. Процедуры численных решений задач по контактным
взаимодействиям тел 228
Список литературы 246
Предметный указатель 256
ВВЕДЕНИЕ
Постановка и решение нелинейных задач механики деформи-
деформируемого твердого тела (МДТТ) быстро развиваются в последние
годы. К таким задачам относятся, например, задачи: математи-
математического моделирования процессов формования металлических из-
изделий, об ударном воздействии на корпус автомобиля, о потере
устойчивости тонкостенных конструкций и др. Актуальность ре-
решения нелинейных задач МДТТ вызвана, в первую очередь, за-
запросами практики. С другой стороны, быстрое развитие вычис-
вычислительной техники сделало возможным решение сложных нели-
нелинейных задач, важных для практического приложения. Среди та-
таковых особенно трудны в теоретическом плане задачи о поте-
потере устойчивости и контактных взаимодействиях деформируемых
тел. Основная цель книги состоит в представлении современных
основ нелинейной механики деформируемого твердого тела и про-
процедур численного решения нелинейных задач.
Можно выделить четыре главных класса нелинейных задач
МДТТ:
• задачи с учетом геометрической нелинейности;
• задачи с учетом физической нелинейности;
• задачи о контактных взаимодействиях тел;
• задачи о разрушении тел.
Возможны также сочетания нелинейностей вышеназванных клас-
классов задач. В книге приводятся постановки и процедуры числен-
численных решений первых трех классов задач.
К классу задач с учетом геометрической нелинейности отно-
относятся те задачи, в которых требуется учитывать изменение гео-
геометрии тела в процессе деформирования под действием заданных
6 Введение
нагрузок или перемещений. Здесь, в свою очередь, можно выде-
выделить задачи о деформировании тел с большими перемещениями и
поворотами и малыми деформациями (этот вид деформирования
характерен для тонкостенных конструкций) и задачи о деформи-
деформировании тел с большими перемещениями, поворотами и деформа-
деформациями (этот вид деформирования в большей степени проявляется
при растяжении упругопластических массивных тел). В настоя-
настоящей книге рассматриваются задачи с обоими типами геометриче-
геометрической нелинейности.
К классу задач с учетом физической нелинейности относятся
задачи, в которых рассматриваются модели материалов, отлич-
отличные от линейно-упругих. В книге изучаются следующие нелиней-
нелинейные модели материалов:
• несжимаемая нелинейно-упругая (резина) [36, 46];
• упругопластическая [4, 18, 21, 39, 80];
• учитывающая деформации ползучести [40, 41, 45].
Контактные задачи принадлежат к классу задач с ограниче-
ограничениями. По своей природе они являются нелинейными, так как при
их решении требуется определить заранее неизвестную границу
контакта двух (или более) тел и контактные силы взаимодействия
этих тел. Наиболее известны такие методы решения контактных
задач, как методы множителей Лагранжа и штрафных функций.
Применение метода множителей Лагранжа к решению этих задач
приведено в [1, 2, 7, 50, 59, 69, 82, 91, 92, 102], а применение метода
штрафных функций развито в [1, 2, 55, 57, 58, 69-71, 85-87, 91,
92, 102, 114]. У каждого из этих методов есть достоинства и недо-
недостатки. Для метода множителей Лагранжа точно выполняются
кинематические условия контакта, но вводятся дополнительные
уравнения для множителей Лагранжа и получается усложненная
формулировка уравнений. В то же время для метода штрафных
функций число уравнений при введении условий контакта не ме-
меняется, однако в численном алгоритме точно удовлетворить ки-
кинематические условия контакта не удается. Введение большого
коэффициента штрафа приводит к плохой обусловленности каса-
касательной матрицы жесткости, а для малого коэффициента штрафа
ухудшается выполнение кинематического условия контакта тел.
Поэтому выбор величины штрафа является непростой задачей.
Введение 7
В книге приводятся формулировки контактных задач и алгорит-
алгоритмов численного решения этих задач, основанные как на методе
множителей Лагранжа, так и на методе штрафных функций.
Уравнения классической теории упругости сформулированы
относительно перемещений, деформаций и напряжений. В послед-
последнее время более употребительной стала формулировка уравнений
МДТТ относительно приращений или скоростей этих величин.
Формулировка уравнений относительно скоростей (приращений)
неизвестных функций имеет следующие преимущества перед фор-
формулировкой уравнений относительно исходных величин:
• единая запись уравнений для упругих и неупругих матери-
материалов (для упругопластических материалов в определяющих
соотношениях связываются скорости напряжений со скоро-
скоростями деформаций);
• использование сравнительно простых процедур пошагового
решения квазистатических и динамических задач;
• автоматическое определение критических (собственных и
бифуркационных) состояний при квазистатическом дефор-
деформировании тела.
В книге рассматриваются уравнения нелинейной механики, сфор-
сформулированные относительно скоростей и приращений неизвест-
неизвестных функций.
Нелинейность деформирования в крайней степени проявляет-
проявляется при потере устойчивости тел. Причиной потери устойчивости
тела может быть как физическая, так и геометрическая нелиней-
нелинейность деформирования. В первом случае модель материала тела
на диаграмме одноосного деформирования имеет участок разу-
разупрочнения (неустойчивый по Друкеру материал), во втором слу-
случае устойчивость теряется вследствие накопленных деформаций и
напряжений тела в процессе деформирования. В книге рассматри-
рассматриваются устойчивые по Друкеру материалы и исследуется потеря
устойчивости тел, обусловленная геометрической нелинейностью
деформирования.
Задачи по потере устойчивости тел можно разделить на два
класса:
• задачи по выпучиванию тонкостенных конструкций при
сжимающих напряжениях;
8 Введение
• задачи по шейкообразованию массивных образцов при рас-
растягивающих напряжениях.
Уравнения и численные процедуры их решения, приведенные в
книге, можно применять для решения обоих классов задач.
Теория устойчивости упругих конструкций заложена в XVIII
веке в трудах Эйлера. Изложение основ теории устойчивости тел
при упругих деформациях содержится в [5, 11, 12, 56, 65, 78, 110].
Первые работы по потере устойчивости неупругих стержней
опубликованы только в конце XIX - начале XX вв. Энгессером и
Карманом. Это обстоятельство связано с существенным услож-
усложнением в идейном и математическом смысле постановки задач о
потере устойчивости упругопластических систем по сравнению с
постановкой задачи о потере устойчивости упругих тел. Совре-
Современное состояние теории устойчивости неупругих тел представ-
представлено в [20-22, 24, 47, 73, 75, 79, 81, 84, 117].
Трудность постановки задач устойчивости связана с тем, что
существуют разные критерии устойчивости тел. В случае произ-
произвольного вида нагружения можно получить разные критические
нагрузки в зависимости от используемого критерия. В случае же
действия консервативных внешних сил области устойчивости и
неустойчивости равновесных состояний и квазистатических дви-
движений отделяются друг от друга с помощью критериев, которые
формулируются на основе характеристик равновесных конфигу-
конфигураций, полученных при решении основной задачи о нелинейном
деформировании тела.
Для упругих тел задача о бифуркации решений совпадает
с задачей о нахождении собственных состояний (нетривиально-
(нетривиального решения однородной задачи, сформулированной относительно
скоростей) [78, 110]. Однако при упругопластическом деформи-
деформировании определяющие соотношения становятся нелинейными и
ситуация изменяется. В этом случае достаточный критерий един-
единственности решений краевой задачи, сформулированной относи-
относительно скоростей, и достаточный критерий отсутствия нетри-
нетривиальных решений однородной задачи различаются [47, 73, 79].
Вследствие этого для конструкций из упругопластических мате-
материалов бифуркация решений при возрастающей нагрузке (бифур-
(бифуркация процесса [20, 22, 24]) может предшествовать достижению
собственного состояния (бифуркации состояния [20, 22, 24]). Впер-
Впервые это было отмечено при решении задачи о выпучивании стой-
стойки Ф. Шенли и Ю. Н. Работновым [24].
Введение 9
В [20, 22, 24] предлагается различать два подхода к иссле-
исследованию устойчивости тел: устойчивость равновесной конфигу-
конфигурации (равновесного состояния) по отношению к динамическим
возмущениям и устойчивость квазистатических движений. Так
как выполнение достаточного критерия единственности гаранти-
гарантирует устойчивость тела по отношению к динамическим возму-
возмущениям, а бифуркация решений соответствует потери устойчи-
устойчивости квазистатических движений, то из изложенной выше взаи-
взаимосвязи бифуркационных нагрузок и нагрузок собственного со-
состояния следует, что для упругопластических тел в типичной
ситуации критические нагрузки потери устойчивости квазиста-
квазистатических движений не превышают критических нагрузок потери
устойчивости равновесных состояний.
Так как нахождение бифуркационных нагрузок для тел из
упругопластического материала связано с большими математиче-
математическими трудностями, то при решении задач игнорируют условие
разгрузки в определяющих соотношениях и приходят к линей-
линейному телу сравнения, для которого задача единственности и от-
отсутствие нетривиального решения однородной задачи совпадают
[47, 73, 79]. Хилл показал [47, 73, 79], что бифуркационные нагруз-
нагрузки для линейного тела сравнения дают оценку снизу бифуркаци-
бифуркационных нагрузок для исходного нелинейного тела. Такой подход
к определению критической нагрузки оправдан в [20, 22, 24] вве-
введением критерия равноактивной бифуркации. В соответствии с
этим критерием критическая нагрузка для линейного тела срав-
сравнения является точной нижней границей критических нагрузок,
при которых возможно выпучивание [20, 22, 24, 84, 112].
При решении задач упругопластического деформирования
обнаружен парадокс пластического выпучивания: критические
нагрузки, найденные по более строгой теории течения, хуже со-
согласуются с данными эксперимента, чем критические нагрузки,
полученные по деформационной теории [11, 24, 84]. Существует
несколько объяснений этого парадокса. В [105] расхождение кри-
критической нагрузки, полученной по теории течения, с эксперимен-
экспериментальной критической нагрузкой связывают с чувствительностью
первой к начальным несовершенствам и показано, что введение
малых несовершенств дает критическую нагрузку, которая хоро-
хорошо согласуется с экспериментальными данными. В [99] числен-
численные расчеты при решении задачи о потере устойчивости круго-
круговой цилиндрической оболочки с малыми начальными несовершен-
10 Введение
ствами при ее кручении моментом привели к уменьшению мак-
максимальной нагрузки в три раза по сравнению с бифуркационной
нагрузкой для идеальной оболочки. В то же время решение та-
такой задачи в рамках деформационной теории указывает на малое
влияние начальных несовершенств [94].
В [54] отмечается, что соотношения деформационной тео-
теории лучше всего подходят именно к решению задач устойчиво-
устойчивости, так как при этом задача формулируется относительно ско-
скоростей, а соотношения деформационной теории, записанные отно-
относительно скоростей, можно отождествить с соотношениями неко-
некоторой теории течения с угловой точкой на поверхности текучести
[24, 25, 84]. В [61] соотношения этой теории течения представлены
в явном виде. Исходя из этих соображений предполагается [24, 84],
что парадокс можно разрешить с помощью использования теории
течения с угловой точкой на поверхности текучести. К этому объ-
объяснению парадокса пластического выпучивания близко примыка-
примыкает идея работы [109]. Здесь на основе экспериментальных данных
установлено, что уже при наличии малых пластических дефор-
деформаций на поверхности текучести образуются участки с большой
кривизной, а сама поверхность текучести сильно трансформиру-
трансформируется. Сделано предположение, что теория течения, построенная
с использованием только второго инварианта девиаторов напря-
напряжений, недостаточна для описания процесса выпучивания и надо
использовать более сложную теорию, которая учитывала бы эти
экспериментальные факты.
При учете деформаций ползучести потеря устойчивости тел
может происходить как вследствие достижения бифуркационной
нагрузки [13, 103, 117], так и вследствие быстрого роста на-
начальных несовершенств при достижении некоторого критическо-
критического времени [15, 34].
Дифференциальные уравнения движения (равновесия) не все-
всегда удобны при использовании численных методов, поскольку
требуют повышенной гладкости функций по сравнению со слабой
формой уравнений (формулируемой в виде уравнения принципа
возможных перемещений). При квазистатическом деформирова-
деформировании тел при некоторых ограничениях на внешние силы и исполь-
используемые уравнения можно сформулировать вариационные принци-
принципы относительно скоростей (приращений) [24, 27, 47, 73, 75, 78,
79, 81, 84, 88, 97, 98, 119]. Функционал, используемый в вариаци-
вариационном принципе, позволяет в некоторых случаях выделить каче-
Введение И
ственные особенности решения задачи, не имея самого решения.
Например, с помощью сопоставления функционалов показано [32],
что критические нагрузки потери устойчивости упругопластиче-
ских тел, полученные по деформационной теории пластичности,
не превышают аналогичных нагрузок, полученных по теории пла-
пластического течения.
Основным методом решения задач МДТТ является метод ко-
конечных элементов (МКЭ). Идея этого метода заключается в ап-
аппроксимации неизвестных функций интерполяционными полино-
полиномами, определенными на локальных участках области (конечных
элементах). Система алгебраических уравнений относительно ко-
коэффициентов этих полиномов (приращений узловых перемещений
или их скоростей) получается с помощью слабых форм уравнений
равновесия (движения) или вариационных формулировок уравне-
уравнений. Если МКЭ базируется на вариационной формулировке зада-
задачи, то его можно рассматривать как вариант метода Ритца со
специальными базисными функциями. Если же МКЭ основыва-
основывается на принципе возможных перемещений, то его можно рас-
рассматривать как вариант метода Бубнова — Галёркина. Разви-
Развитие теоретических основ МКЭ и потребности практики привели
к тому, что в последнее время этот метод широко применяет-
применяется для решения геометрически и физически нелинейных задач
МДТТ. Последние достижения в этой области представлены в
[42, 49, 60, 62, 64, 88, 104, 107, 122]. Автор книги участвовал в раз-
разработке [28, 31, 90] и развитии [1, 2, 29, 30, 48, 91-93] многоцелево-
многоцелевого вычислительного комплекса PIONER по решению нелинейных
задач МДТТ. При разработке комплекса использованы теоретиче-
теоретические основы нелинейной механики деформируемого твердого тела
и численные алгоритмы, представленные в книге.
Книга состоит из двух частей. В первой части изучаются
уравнения нелинейного деформирования твердых тел как в на-
начальной, так и в актуальной конфигурации. Рассмотрены различ-
различные определения тензоров деформаций и напряжений. Приведены
альтернативные формы уравнений равновесия (движения) и фор-
формулировки этих уравнений относительно скоростей. Представле-
Представлены определяющие соотношения для различных моделей матери-
материалов (упругие, упругопластические, термоупругопластические с
учетом деформаций ползучести). Отмечается, что для каждой мо-
модели материала и/или для каждой степени нелинейности из всех
возможных формулировок уравнений выгоднее использовать од-
12 Введение
ну. Приведены слабые формы уравнений и вариационные принци-
принципы. Рассматриваются вопросы единственности решений краевых
задач, устойчивости равновесных состояний и квазистатических
движений деформируемых тел. Даны формулировки контактных
задач с использованием методов множителей Лагранжа и штраф-
штрафных функций.
Во второй части книги рассматриваются вопросы примене-
применения МКЭ к решению нелинейных задач МДТТ. Результирующие
линеаризованные уравнения равновесия (движения) относитель-
относительно приращений перемещений получаются из принципа возмож-
возможных перемещений. При квазистатическом деформировании урав-
уравнения равновесия относительно скоростей перемещений получа-
получаются из вариационных принципов. Показана тесная связь конечно-
элементных уравнений, сформулированных относительно прира-
приращений и скоростей. Приведен вывод дискретных уравнений дви-
движения (равновесия) относительно приращений (скоростей) узло-
узловых перемещений. Рассматриваются процедуры пошагового ре-
решения нелинейных задач и определения напряжений для различ-
различных моделей материалов. Предложены алгоритмы решения задач
устойчивости и контактных задач.
Остается много открытых вопросов в постановках и реше-
решениях нелинейных задач МДТТ. Автор надеется, что настоящая
книга окажется полезной для исследователей с точки зрения по-
постановки и практического решения этих задач.
Автор благодарит профессора Ю. В. Немировского за плодо-
плодотворное обсуждение рукописи книги.
Часть I
ФОРМУЛИРОВКИ
НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
Глава 1
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕХАНИКИ
СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
В основу настоящей главы положен материал, представлен-
представленный в [3, 6, 9, 16, 26, 33, 35-38, 43, 44, 46, 49, 62, 63, 67, 68, 72, 74,
79, 110, 119, 121].
1.1. Необходимые сведения из тензорного анализа
1.1.1. Определение тензора
Рассмотрим некоторую, в общем случае криволинейную си-
систему координат 0' (г = 1, 2, 3) с базисными векторами е; кова-
риантного базиса и базисными векторами е* контравариантного
базиса.
Инвариантный по отношению к преобразованиям системы
координат объект а называется вектором (тензором первого
ранга), если имеет представление
а = alei = а*е1.
Аналогично инвариантный по отношению к тем же преобразова-
преобразованиям объект h называется тензором второго ранга, если имеет
представление
Здесь a*, W — контравариантные компоненты вектора и тензора;
аь hij — ковариантные компоненты; hxj, h^ — смешанные компо-
компоненты; знаком <8> обозначена операция диадного (полиадного) про-
произведения базисных векторов. Здесь и далее индексы компонент
векторов и тензоров пробегают значения 1, 2, 3; по повторяющим-
повторяющимся индексам проводится суммирование.
1.1. Необходимые сведения из тензорного анализа 15
В декартовой системе координат с ортонормальными базис-
базисными векторами ki ковариантные и контравариантные компонен-
компоненты векторов и тензоров совпадают, и в этом случае векторы и
тензоры представляются в виде
а = ajkj, h = hijki <g> kj.
Аналогично определяются тензоры высшего ранга.
1.1.2. Операции с тензорами
Пусть a, b — произвольные векторы (тензоры первого ран-
ранга), р, h — произвольные тензоры второго ранга, 2) — произволь-
произвольный тензор четвертого ранга. Определим следующие операции с
тензорами.
• Сложение (операция определена только для тензоров одного ран-
ранга):
а + b = (а*еО + (Ь*«ц) = (в* + Ь*)«Ч,
р + h = (pijei в е,) + (hijei ® ey) = (р*> + №)ъ ® е,.
• Умножение на скаляр а:
ah = a(hijel <8> е7) = (аЛу)е1 <8> е'.
• Скалярное (внутреннее) произведение (свертка):
а b = (аЧ) • (Vej) = а^(ег • е^) = а*Удц = о^,
р • h = (p^ei ® е^) • (hklek в е') = руЛЫ(ел- • efc)ei ® ег =
= pijhkl5$ei ®el= р{кНк1ег ® е1.
Отметим, что в общем случае р • h ф h • р.
• Двойное скалярное произведение (двойная сверткаI:
р : h = (р«е< ®ej): (h"ek ® ег) = рЧЛы(е< • efc)(e, • е,) =
= Pijhklgikgjl = p^hij = tr(p • hT),
1 Некоторые авторы знаком «:» обозначают операцию вида
р : h = р'>к„ = tr(p h), S) : h = 2>ot%j,ei ® e,.
Для симметричного тензора h разница между этими определениями исчезает.
16 Глава 1. Основные положения механики сплошной среды
2) : h = (T>ijklei ® е,- ® efc в е,): (Лт„ет в е") =
ет)(е, • е")е* ® ej =
ej = Vijklhklei ® е,.
• Тензорное (внешнее) произведение:
а ® b = (alej) ® (^е7) = aVej ® ej,
р ® h = (pije1 ® e7) ® (/ifc'efc ® ej) = pijhklel ® е^' ® efc ® ег =
= pijhklei ® ej ® efc ® ег.
• Транспонирование (операция определена только для тензора
второго ранга):
hT = (hijei ® ej)T = /iijej ® e^ = Л'*е4 ® е,-.
1.1.3. Метрический тензор
Введем метрический (единичный) тензор
ковариантные, контравариантные и смешанные компоненты ко-
которого определяются следующим образом:
где <Jj — дельта-функция Кронекера. В декартовой системе коор-
координат
9ij = 9i3 = 9lj = flj* = *5 = *ij, g = Sijki ® kj.
С помощью метрического тензора можно поднимать и опускать
индексы тензоров и векторов. Например,
ЛЛ»у = Л*,-.
Метрический тензор обладает следующими свойствами:
g • h = h • g = h, gT = g.
1.1. Необходимые сведения из тензорного анализа 17
1.1.4. Инварианты и разложения тензора
Для произвольного тензора второго ранга h определяются
три независимых (главных) инварианта:
/3(h) = -[2/i(h3) - 3/i(h)/i(h2) + /3(h)] = deth = \hlj\ = \hiJ .
Любой тензор второго ранга h можно единственным образом
представить в виде суммы:
• симметричного тензора h"m и антисимметричного тензора ha:
h = h"m + ha, hs'm = i(h + hT), ha = J(h-hT). A.2)
• шарового тензора hs и тензора-девиатора hd (девиатора тензо-
тензора h):
h = hs + hd, hs = \h(h)g, hd = h-hs. A.3)
Независимым инвариантом шарового тензора bs является только
первый инвариант тензора h, так что
Для тензора-девиатора выполнено равенство
/i(hd) = 0, A.4)
а независимыми отличными от нуля инвариантами являются
только /2(hd) и /3(hd), которые можно выразить через инвари-
инварианты /i(h), /г(Ь), ^з(Ь). В декартовой системе координат имеем
h'j = hm Sij, Ну = hij - h'j, hm = - (hn + Л22 + Лзз).
1.1.5. Ковариантное дифференцирование тензора
Так как в криволинейной системе координат базисные векто-
векторы е, являются функциями координат 0х, вводится понятие кова-
риантного дифференцирования векторов и тензоров такого, что
для вектора а имеем
да
18 Глава 1. Основные положения механики сплошной среды
где
— ковариантные производные контравариантных аг и ковариант-
ных щ компонент вектора а соответственно,
lik-dQk *
— символы Кристоффеля второго рода. Аналогично определяют-
определяются ковариантные производные тензора второго ранга h:
где
= Hf + *ГЛ - л%г}Л, vfcv =
Для декартовой системы координат символы Кристоффеля рав-
равны нулю и ковариантные производные превращаются в обычные
частные производные.
1.1.6. Градиент тензора
Введем оператор Гамильтона (символический набла-вектор):
V = efcVfc. A.5)
Оператор Гамильтона определяет:
• для скалярной функции у(в*) — градиент скаляра (вектор)
ь д<р dip l.
• для вектора а(Ох) — градиент вектора (тензор второго ранга)
Va = V ® а = efcVfc ® a = Vfcalefc ® е^;
• для тензора второго ранга Ь(в*) — градиент тензора (тензор
третьего ранга)
Vh = V ® h = efc Vfc ® h = Vkhijek ® ег- ® e^.
Скалярное произведение
V • a = (efcVfc) • (o'eO = Vfcal(efc • e*) = V,al
1.2. Кинематика деформирования Ht
называется дивергенцией вектора а (скаляр), а скалярное произ-
произведение
V • h = (efcVfc) • (hijei ® е,) = Vfc/iij(efc • е^е, = ij
— дивергенцией тензора h (вектор).
1.2. Кинематика деформирования
1.2.1. Лагранжевы и эйлеровы координаты
Рассмотрим трехмерное евклидово пространство, в котором
введена прямоугольная декартова система координат с ортонор-
мальными базисными векторами ki, кг, кз. Наряду с декарто-
декартовой системой координат рассмотрим систему координат О\ яв-
являющуюся системой отсчета для описания движения некото-
некоторого тела В. Предполагаем, что процесс движения описывается
некоторым монотонно возрастающим параметром деформирова-
деформирования t € [О, Т], Т > 0. Отметим, что при решении динамических
задач параметром деформирования всегда выступает естествен-
естественное время (для краткости в дальнейшем этот и другие парамет-
параметры называем временем). Однако для описания квазистатического
движения (при пренебрежении инерционными членами) могут ис-
использоваться и другие параметры (например, при решении задач
об упругом или упругопластическом деформировании тел в каче-
качестве параметра t можно использовать внешнюю силу или харак-
характерное перемещение, но при решении задач с учетом деформаций
ползучести всегда используется естественное время).
Область, ограниченную замкнутой поверхностью, которую
занимает тело в начальный момент времени t = 0, назовем на-
начальной конфигурацией, а области °V, V, ограниченные замкну-
замкнутыми поверхностями S1, S в некоторый отсчетный и текущий мо-
моменты времени to, t — отсчетной и текущей конфигурациями
соответственно (рис. 1.1).
Рассмотрим некоторую материальную точку Р, вектор по-
положения (радиус-вектор) которой в отсчетный момент времени
2Система отсчета в общем случае может быть криволинейной системой
координат, а в частном случае (обычно используемом на практике) может
совпадать с декартовой.
Глава 1. Основные положения механики сплошной средь
Текущий момент
времени t
Начальный момент
времени
Отсчетный момент
времени to
Рис. 1.1. Движение тела В в системе отсчета вг
1.2. Кинематика деформирования 21
представляется в виде
X = Xik.i,
а в текущем состоянии, в момент времени t, вектор положения
этой же материальной точки Р записывается в виде (см. рис. 1.1)
х = jrjkj.
Следуя [9, 46], материальную точку Р с ее бесконечно малой
окрестностью назовем материальной частицей3.
Кроме (неподвижной) системы отсчета определим также по-
подвижную систему координат, которая в отсчетный момент вре-
времени to совпадает с системой отсчета в\ а в текущем состоянии,
в момент времени t, характеризуется тем, что координаты любой
материальной точки Р в этой подвижной системе не меняются
и имеют те же самые значения в*, что и в отсчетный момент
времени to- Система отсчета в* называется эйлеровой системой
координат, а подвижная (вмороженная в тело) система координат
в* — лагранжевой (сопутствующей). Соответственно, вг называ-
называются эйлеровыми координатами, а <Эг — лагранжевыми.
1.2.2. Лагранжев и эйлеров подходы
Существуют два теоретически эквивалентных подхода к ре-
решению задач механики сплошной среды: лагранжев (материаль-
(материальный) и эйлеров (пространственный). При лагранжевом подходе в
качестве основных переменных используются <Э\ t, а при эйлеро-
эйлеровом — в1, t. Эйлеров подход применяется в основном в исследова-
исследованиях по гидродинамике. В настоящей книге, за редким исключе-
исключением , используется лагранжев подход в двух вариантах:
• общий лагранжев или TL (total Lagrangian) подход соответству-
соответствует использованию начальной конфигурации в качестве отсчетной:
3Во избежание путаницы отметим, что во многих исследованиях термин
«частица» соответствует принятому в настоящей книге термину «материаль-
«материальная точка».
4 Определяющие соотношения для гиперупругого материала формулиру-
формулируются с использованием общего лагранжева подхода, для упругого — с ис-
использованием эйлерова подхода, а для гипоупругого — текущего лагранжева
подхода (см. гл. 2).
22 Глава 1. Основные положения механики сплошной среды
• текущий лагранжев или UL (updated Lagrangian) подход соот-
соответствует использованию текущей конфигурации в качестве от-
счетной: to = t5.
Введем ковариантные базисные векторы (см. рис. 1.1):
образующие соответственно пространственный, материальный
отсчетный и материальный текущий ковариантные координат-
координатные базисы. Если системой отсчета является декартова система
координат, то ~
6j = ej = kj, е, = . A-6)
Для каждого фиксированного момента времени t пространствен-
пространственный и материальный текущий базисы определены для разных
(пространственной и материальной), но мгновенно совпадающих
точек. При отождествлении материальных точек с соответствую-
соответствующими пространственными точками текущей конфигурации мате-
материальные и пространственные координаты соответствуют двум
равноправным системам координат. Компоненты тензоров при
переходе от пространственного базиса к материальному теку-
текущему базису пересчитываются по обычным законам тензорного
преобразования. В общем случае материальный отсчетный базис
определен в другой (отсчетной) конфигурации, поэтому преобра-
преобразования компонент тензоров, определенных в материальном от-
счетном базисе, к компонентам, определенным в двух других ба-
базисах, происходят по другим (не имеющим тензорного характера)
правилам. Исключениями являются случаи:
• UL-подхода, когда
5 Так как в каждый фиксированный момент времени для UL-подхода пред-
предполагается G1 = G1, разница между UL- и эйлеровым подходами проявляет-
проявляется в использовании разных определений скоростей величин: при UL-подходе
рассматриваются материальные производные, а при эйлеровом — локаль-
локальные производные. Непрерывное изменение отсчетной конфигурации для UL-
подхода используется только в теоретических исследованиях. При численных
решениях задач пошаговым интегрированием отсчетная конфигурация пере-
считывается только для дискретных значений параметра t, соответствующих
шагам во времени.
1.2. Кинематика деформирования 23
• совпадения системы отсчета с декартовой системой координат,
тогда в силу A.6) материальный отсчетный базис совпадает с
пространственным базисом.
1.2.3. Закон движения
Предполагаем, что деформирование тела В описывается за-
законом движения — непрерывной векторной функцией с требуе-
требуемыми условиями гладкости:
х = х(Х, t) (X ?°7,х€7) : х(Х, t0) = X. A.7)
Для закона движения A.7) предполагаются выполненными усло-
условия взаимной однозначности соответствия между материальными
и пространственными точками без «выворачивания» их окрест-
окрестностей6:
О < J = det
дх
дх,
<оо Vi>i0- A.8)
ax
Удобной характеристикой движения является вектор перемеще-
перемещения (см. рис. 1.1)
и = х-Х. A.9)
Любой вектор или тензор, связанный с материальной точкой
Р, можно разложить как по координатным базисным векторам
в отсчетной конфигурации (ё,, ё'), так и по координатным ба-
базисным векторам в текущей (актуальной) конфигурации (е*, е1 и
ё^, ёг). Например, вектор перемещений и можно записать в виде
следующих разложений:
и = й'ё, = ulei = йгёг.
Аналогичные представления справедливы для тензоров второго
и высшего рангов. Векторы и тензоры, определенные компонен-
компонентами в материальном отсчетном базисе (функции X), называем
векторами и тензорами, определенными в переменных Лагран-
жа. Аналогично векторы и тензоры, определенные компонентами
в пространственном базисе (функции х), называем векторами и
тензорами, определенными в переменных Эйлера. Любой вектор
или тензор, определенный в переменных Лагранжа, можно пере-
переопределить в переменных Эйлера и наоборот, в силу закона A.7).
Для тензоров второго ранга можно также использовать двойные
6 Условие J ф 0 означает запрет образования пустот и самопроникновения
точек в материале, а условие J > 0 не допускает «выворачивания» окрестно-
окрестностей точек при преобразованиях A.7).
24 Глава 1. Основные положения механики сплошной среды
представления: базисные векторы ej и ё^ являются функциями од-
одних и тех же лагранжевых координат 0г, поэтому объекты e,(8>ej,
ё, ® ej можно рассматривать как диады для представления тен-
тензоров.
1.2.4. Тензоры градиентов деформации и перемещения
Определим следующие тензоры второго ранга через их двой-
двойные представления:
^¦ = e'®ej, F = ei<g>e', Q = ё' <g> ёи G = ei®e\ A.10)
Тензор Т называется тензором градиента места, F — тензором
градиента деформации, Q — обратным тензором градиента ме-
места, G — обратным тензором градиента деформации. В общем
случае они несимметричны и связаны соотношениями
F = Г*, G = GT, G = F1 == Г~Т, g = F~l= F~T. A.11)
Следуя A.5), определим два независимых оператора Гамиль-
Гамильтона7:
V = efcVfc, V = ekVk = ekVk. A.12)
Введем тензоры градиентов перемещения:
И П Vjuje®^,
/ . . . . A.13)
К - Vu = Viuje1 <g> e> = ViUje1 ® e>,
К = Кт = Vjuie* ® &> = Vi7uiei ® еР.
Тензоры A.10), A.13) связаны соотношениями
F = g + H, F = g + H, G = g-K, g = g-K, A.14)
где
g = 9ije% ® &> = g{jel <g> ё-7 1 ® 7
— метрический тензор с компонентами
7 Для обозначения оператора Гамильтона, действующего в актуальной кон-
фигу радии тела, можно использовать как знак V [9], так и V [36] в соответ-
соответствии со второй формулой A.12). В [38] используются оба обозначения, но
это представляется нелогичным, так как V и V являются одним и тем же
символическим вектором. В настоящей книге используется обозначение V в
связи с тем, что оператор Гамильтона в актуальной конфигурации в основном
используется для тензоров, определенных в переменных Эйлера.
1.2. Кинематика деформирования 25
В системе отсчета, являющейся декартовой системой координат,
справедливы равенства
9ij = 9ij = <%•
В декартовой системе отсчета тензоры A.10), A.13) могут
быть записаны через компоненты следующим образом:
"Н = Uj\iki <g> kj, H = uqjki ® kj,
К = Uj,jkj ® kj, К = «tj-kj ® kj,
:F = (ft, + Ujli)ki ® kj = a^k* ® kj,
F = (tfy + ^k ® k k ® k
G = (S^ - uid)ki ® kj = Л^к* ® kj.
Здесь и далее
обозначают материальное и пространственное дифференцирова-
дифференцирования. В A.15) приведены обычные (не двойные) представления тен-
тензоров A.10); предполагается, что тензоры *Н, Н, J7, F определены
в переменных Лагранжа, а тензоры /С, К, Q, G — в переменных
Эйлера.
С помощью тензоров F, J-, G, Q элементарные отрезки, пло-
площадки и объемы в текущей конфигурации можно выражать через
соответствующие величины в отсчетной конфигурации, и наобо-
наоборот.
• Элементарные отрезки dX и dx соответственно в отсчетной
и текущей конфигурациях связаны соотношениями
dx = F • dX = dX • Т, dX = G • dx = dx • Q.
• Элементарные площадки dA и da соответственно в отсчет-
отсчетной и текущей конфигурациях с единичными векторами нормалей
N и п связаны соотношениями (Нансона)
F, A.17)
A.18)
da =
где
JG
¦dA
J =
= JdA
dV
d°V
G,
°P
p'
dA
dA =
J
= NdA,
da =
da =
— da
= nda
26 Глава 1. Основные положения механики сплошной среды
°р,р — массовые плотности материала в отсчетной и текущей
конфигурациях соответственно8.
• Элементарные объемы d°V и dV соответственно в отсчет-
отсчетной и текущей конфигурациях связаны соотношениями
J = det F = det :F, J = det G = det Q. A.19)
Таким образом, тензоры F, J-, G, Q полностью характе-
характеризуют деформирование материальной частицы. Любой из них
можно принять в качестве базового несимметричного тензора де-
деформаций, а все остальные выразить через этот тензор, пользу-
пользуясь A.11). Следуя общепринятой практике, в качестве (базового)
несимметричного тензора деформаций используем тензор гради-
градиента деформации F. Отметим, что приведенное в A.15) выраже-
выражение этого тензора часто используется в качестве его определения:
~ ах = Щ ki ® kj ~ x*jki ® kj- A-ZU}
Из A.20) и A.8) следует, что тензор F неособенный
(J = detF>0).
1.2.5. Объективные тензоры
Для тензоров деформаций и напряжений, используемых при
построении определяющих соотношений, желательным является
свойство объективности. Под объективностью понимается неиз-
неизменность компонент тензоров в некоторых системах координат
при преобразованиях, соответствующих жесткому движению те-
тела [36, 38, 72, 121]9,
x*(X,*) = Q(*)-x(X,t) + co(<) VXe°V, A.21)
где Q(t) — собственно ортогональный тензор (Q-1 = QT,
det Q = 1), а Со(?) — вектор.
Тензоры второго ранга Y и у называются соответственно
инвариантными и индифферентными относительно преобразова-
преобразования A.21), если
Y*(x*) = Y(x), y*(x*) = Q • у(х) • QT. A.22)
8Ниже показано, что величина 3 в A.18) является той же самой величиной,
которая введена в A.8).
9
Каждое из движений х, х* не является в общем случае жестким.
1.2. Кинематика деформирования 27
Эти тензоры составляют класс объективных тензоров, так как
при жестких движениях окрестности материальной точки ком-
компоненты инвариантных тензоров не изменяются в материальном
отсчетном базисе, а компоненты индифферентных тензоров — в
материальном текущем базисе.
При преобразованиях вида A.21) тензоры 2F, F, Q, G изме-
изменяются по законам
J=* = J= QT, F* = Q F, g* = Q G, G* = G QT,
т. е. они не инвариантны, не индифферентны, а следовательно, и
не объективны. Также не объективны и тензоры 'Н, Н, /С, К.
1.2.6. Дифференцирование тензоров по времени
Напомним определения производных по времени.
• Локальная производная характеризует изменение величины в
фиксированной точке пространства:
at at
0J=const
• Материальная производная следит за изменением исследуемых
величин в фиксированных материальных точках:
0i=const
() =
Введем векторы скорости v и ускорения а:
v = х = п, а = v = х = и. A.23)
С помощью вектора скорости v устанавливается связь между ма-
материальной и локальной производными:
(:) = ^+v-V(-)- A.24)
В частности, из A.23) и A.24) получаем известные соотношения
du „ dw _
v = —- + v ¦ Vu, a = -д- + v • Vv.
at at
Локальная производная используется при эйлеровом описании
процесса деформирования, а материальная производная — при ла-
гранжевом. В МДТТ, в основном, пользуются лагранжевым опи-
описанием деформирования сплошной среды, поэтому в дальнейшем
локальные производные величин не рассматриваются.
28 Глава 1. Основные положения механики сплошной среды
В [43] показано, что материальная производная тензора явля-
является тензором того же ранга. Наиболее просто получаются выра-
выражения для компонент материальных производных тензоров, опре-
определенных в материальном отсчетном базисе (в переменных Ла-
гранжа). Так как базисные векторы ej (ёг) неизменны во времени,
для произвольного тензора второго ранга h
h = hijei®ej = hijei®ei => h = hijei ® ё,- = Луё* 0 &>.
Сложнее обстоит дело с векторами и тензорами, определен-
определенными компонентами в пространственном или материальном теку-
текущем базисе. Для произвольного тензора второго ранга h, опреде-
определенного разложениями по пространственному базису (в перемен-
переменных Эйлера), получаем [43]
h = h1Jei <g> ej = hije1 <g> е* => h = h1Jei ® ej — hije1 ® e-7,
где
h*j = A« + ьк(ФГ1к + hilTjlk), hij = hij - vk(htjTlki + huTlk3).
В декартовой системе отсчета символы Кристоффеля равны нулю
и компоненты материальных производных тензоров совпадают с
материальными производными компонент тензоров, т. е.
h = hijki ® kj => h = hijki ® kj.
В такой системе координат из A.23) получаем
1.2.7. Конвективные производные тензоров
Материальная производная индифферентного тензора не яв-
является в общем случае индифферентным тензором. В связи с этим
кроме материальных производных вводим другие определения
производных (скоростей изменения) по времени тензоров. Мате-
Материальные производные определяют скорости изменения тензоров
в фиксированных материальных точках, гипотетический наблю-
наблюдатель определяет скорости изменения тензоров в этих матери-
1.2. Кинематика деформирования 29
альных точках, находясь в неподвижной системе отсчета10. Ско-
Скорости изменения тензоров в фиксированных материальных точ-
точках, измеряемые производными их компонент в системах коор-
координат, совершающих движения относительно системы отсчета,
называются конвективными производными (скоростями измене-
изменения) тензоров. Наблюдатель «вмораживается» в эти движущие-
движущиеся системы координат и определяет скорости изменения тензоров
относительно них.
Определим две конвективные производные относительно ла-
гранжевой системы координат тензора второго ранга h, представ-
представленного разложениями по материальным текущим базисным век-
векторам:
h = hljei <g> ej = hije1 <g> &> =>
=> Ьо| = Луё4®ё^, Ься = ^ё'®ё*. A.25)
Тензоры второго ранга h°l и hCR называются соответственно
производными Олдройда и Коттера — Ривлина тензора второ-
второго ранга h. Они связаны с материальными производными выра-
выражениями
h°' = h-lh-hi, hCR = h + Jh + hl. A.26)
Здесь введены несимметричные тензоры
1 = Г, I = Vv.
Тензор второго ранга 1 называется тензором градиента скоро-
скорости, I — транспонированный к нему тензор.
В соответствии с A.2) представим тензоры I, 1 в виде сумм
симметричной и антисимметричной составляющих:
l = d + w, l = d + w, A.27)
где
d = ^(l + J) = dT, w=I(i_i), U7 = wT = -w. A.28)
Симметричный тензор d называется тензором скорости дефор-
деформаций, а антисимметричный тензор w — тензором вихря. Тен-
Тензор d характеризует скорость деформирования материальной ча-
10Если тензоры определены компонентами в материальном текущем базисе,
то при вычислении материальных производных учитываются скорости изме-
изменения базисных векторов.
1 = Vijki <g> kj, I = vjjki <g> ky, d = -{vitj + Uj,;)kj <g> k,,
30 Глава 1. Основные положения механики сплошной среды
стицы, а тензор w — угловую скорость вращения материальных
волокон, мгновенно совпадающих с главными осями тензора d.
Если система отсчета является декартовой системой коорди-
координат, то в переменных Эйлера тензоры 1, I, d, w, w имеют следу-
следующий вид:
-
1 1 A 29)
w = 2 (Vi J ~ vi№* ® ki' *" = 2 ^ ~ ^ )k* ® kj'
Найдем выражения компонент материальных производных
тензоров Н, *Н, F, ^ в декартовой системе отсчета, дифферен-
дифференцируя соответствующие равенства в A.15):
F = Н = iiyki ® kj = щькг ® kj, зо
Т =ii — ijijki ® kj = Uj|iki ® kj.
Тензоры 1, I связаны с материальными производными тензо-
тензоров F, Т равенствами
1 = FG, l = G T, P = l-P, T = F I. A.31)
Пользуясь A.15), A.30), A.31), можно определить компоненты
тензоров 1 и 2 в переменных Лагранжа. При этом в выражени-
выражениях для G и Q градиенты Xij определяются через градиенты х^
из равенств
5{j — XitkXky, A.32)
затем полученные значения подставляются в выражения для G
и Q в A.15). Определение градиентов Х^ из уравнений A.32)
при матричном представлении компонент тензоров второго ранга
эквивалентно использованию матриц компонент тензоров G и Q,
являющихся обратными к матрицам компонент тензоров Fh7
соответственно.
Введем полярное разложение тензора градиента деформа-
деформации F (detF > 0):
F = R-U = V R
A.33)
(UT = U, VT = V, RT-R = g, detR = l),
где U, V — симметричные положительно определенные (все глав-
главные значения положительны) правый и левый тензоры кратно-
1.2. Кинематика деформирования 31
стей удлинений, R — собственно ортогональный тензор рота-
ротации. Пользуясь A.31), A.33), получаем
l = u; + R U IT1 RT, i = -cu + R-U-1-U-RT. A.34)
Здесь
uj = RRt {ш = -шТ) - A.35)
— антисимметричный тензор относительного спина, характе-
характеризующий угловую скорость вращения триады главных осей тен-
тензора V относительно триады главных осей тензора U. Из A.28),
A.34) находим
d = Rd RT, w = cj + Jr-(U-U-1-U-1-U)-Rt, A.36)
где
d = hv-\J-1+V-'1 -U) A.37)
— тензор скорости деформаций с исключенным поворотом.
Если подвижная система координат совершает чистый по-
поворот (с возможным переносом, но без деформирования), то кон-
конвективная производная относительно такой системы координат
называется коротационной производной. Введем две коротаци-
онные производные тензора второго ранга h:
hJ = h-w-h + hw, hGsh-wh + hoj. A.38)
Производная hJ называется производной Яуманна (Яуманна —
Зарембы — Нолла), а производная h — производной Грина —
Макинесса (Грина — Нахди). Эти производные характеризуют
скорости изменения компонент тензора h по отношению к систе-
системам координат, совершающим чистый поворот с угловыми ско-
скоростями w и ш соответственно.
Обозначим некоторую коротационную производную тензора
второго ранга h через hv. Коротационные производные являют-
являются подклассом конвективных производных. В отличие от других
производных этого класса (например, Олдройда и Коттера —
Ривлина), они характеризуются следующими свойствами.
• Коротационные производные скалярного произведения тензоров
вычисляются так же, как и материальные производные скалярно-
скалярного произведения тензоров. Например, для тензоров второго ран-
ранга h и р справедливо равенство
(hp)v = hvp + hpv. A.39)
32 Глава 1. Основные положения механики сплошной среды
• Если коротационная производная тензора второго ранга h равна
нулю, то материальные производные трех главных инвариантов
тензора h также равны нулю, т. е.
hv = 0 => Л(Ь)=/2(Ь)=/3(Ь) = 0. A.40)
Эти свойства коротационных производных послужили причиной
их широкого использования в нелинейной механике, в частно-
частности при формулировке определяющих соотношений для больших
упругопластических деформаций (см. гл. 2). В отличие от компо-
компонент тензора вихря w, компоненты тензора относительного спи-
спина ш определяются довольно сложно [66].
Из A.26), A.27), A.38) получаем следующие связи конвектив-
конвективных производных тензора второго ранга h:
h°l = hJ - (h • d + d • h), hCR = hJ + h d + d h,
1 A-41)
Простые выражения компонент конвективных производных
Олдройда, Коттера — Ривлина и Яуманна имеют тензоры, опре-
определенные в переменных Эйлера. Пусть система отсчета — декар-
декартова система координат. Тогда с учетом A.29) выпишем компо-
компоненты производных h°', hCR и hJ:
h?/ ~ hij ~ hkjVi,k ~ hikvjtk, h%R = hij + hkjvkti + hikvkj,
hfj = h^ + hkjwki + hikwkj = hij - hkjwik - hikwjk.
Из A.41) получаем связи компонент производных в декартовой
системе отсчета:
hi/ = Hi — hkjdik - hikdjk, hfjR = hfj + hkjdki -t- hikdkj,
uJ _ \(h°l 4- hCR)
1.2.8. Объективные производные тензоров
В общем случае материальные и конвективные производные
объективных тензоров не объективны. Выделим класс объектив-
объективных производных — таких производных объективных тензоров,
которые сами являются объективными тензорами. Ограничимся
рассмотрением только тензоров второго ранга. Пусть Y и у —
соответственно инвариантный и индифферентный тензоры. Рас-
Рассмотрим два подкласса объективных производных.
1.2. Кинематика деформирования 33
• Материальные производные инвариантных тензоров - инвари-
инвариантные тензоры. При преобразованиях A.21) справедливо равен-
равенство
Y*=Y.
• Индифферентные производные индифферентных тензоров —
индифферентные тензоры. Если некоторую индифферентную
производную обозначить через уЛ, то при преобразованиях ви-
вида A.21) выполняется равенство
Рассмотренные выше конвективные производные h°', hCR
hJ, hG являются индифферентными. Отметим, что не любая кон-
конвективная производная индифферентного тензора — индиффе-
индифферентный тензор. Например, коротационная производная
со спином П = cw (с ф 1) не индифферентна [121].
Класс объективных производных не ограничивается двумя
введенными выше подклассами. Можно, например, ввести корота-
ционную производную инвариантного тензора, являющуюся инва-
инвариантным тензором [38].
Для жестких движений тела при выполнении соотношения
A.21) приведем формулы преобразования:
• тензоров U, V, R —
U* = U, V* = Q V QT, R* = Q R,
т. е. тензоры U, V объективные (U — инвариантный, V — ин-
индифферентный), a R не объективный;
• тензоров I, I, d, го, w —
Г = Q I • QT +Q QT, Г = Q 1 QT +Q QT,
W* = Q -го • QT+Q QT, w" = Q ¦ w ¦ QT+Q ¦ QT,
d* = Qd-QT,
т. е. тензоры 1, I, w, го не объективны, а тензор d объективен
(индифферентен).
В UL-подходе отсчетная конфигурация совпадает с актуаль-
актуальной, поэтому
F = U = V = R = g. A.42)
КОЛОХЗА
34 Глава 1. Основные положения механики сплошной среды
В силу A.42) из A.34)-A.37) получаем
d = d = U, w = u> = R, 1 = U + R.
Из совпадения тензора вихря w с тензором относительного спи-
спина ш следует, что для UL-подхода производная Яуманна совпада-
совпадает с производной Грина — Макинесса.
1.3. Тензоры деформаций
1.3.1. Несимметричные тензоры деформаций
В § 1.2.4 определен тензор градиента деформации F. С помо-
помощью полярного разложения A.33) этого тензора процесс дефор-
деформирования можно наглядно представить или в виде искажения
окрестности материальной точки действием тензора U с после-
последующим поворотом ее действием тензора R, или в виде поворота
этой окрестности при действии тензора R с последующим иска-
искажением ее действием тензора V. Как отмечено в § 1.2.4, тензор
градиента деформации F, а следовательно, и тензор градиента
перемещения Н полностью характеризуют деформирование ма-
материальной частицы.
Однако прямое использование этих тензоров (как и Jr,'H, G,
Q, К, К) для формулировки определяющих соотношений неце-
нецелесообразно, так как они не являются симметричными и объек-
объективными (не инвариантны, не индифферентны) и не "фильтру-
"фильтруют" абсолютно жесткие движения тела. Последнее свойство озна-
означает, что при движениях тела вида (перенос с поворотом)
x(X,«)=R(i)-X + co(i) VXe°F, A.43)
в общем случае
F = R^g, Н = R - g / 0.
Поэтому наряду с несимметричными тензорами деформаций вво-
вводим объективные симметричные тензоры деформаций, «фильтру-
«фильтрующие» абсолютно жесткие движения тела.
1.3.2. Тензоры деформаций Коши — Грина и Пиола
Определим симметричные тензоры деформаций:
C = U2 =Г? = Н + и + иП + &
1.3. Тензоры деформаций 35
c = V2 = F^F = H + n + H П + g,
A-44)
в = ir2= g g = g - к - к + к к,
b = V~2= e-G = g-K-/C + 7C-K.
Тензоры Сие назьгоаются соответственно правым и левым тен-
тензорами деформаций Коши — Грина, а В и b — правым и левым
тензорами деформаций Пиола [63]п. Для них справедливы сле-
следующие формулы связи:
В = СГ\ b = c-\ b = R В RT, c = R С RT.
Приведем выражения компонент тензоров С, с, В и b в слу-
случае, когда система отсчета — декартова система координат:
kj = (ujIj- + Uj\i + ищщу + 6ij)ki <g> k,-,
> k, = {ui{j + uj{i + uilkujlk + 6ij)ki ® Ц-,
В = Xi^Xj.fckj ® k,- = (Sij - uitj - ujti + )k <8 Ц
b = XkjXkjki ® kj = (<5ij - «ij - ujti + uktiukd)ki ® kj.
Компоненты тензоров Сие имеют простые выражения в пере-
переменных Лагранжа, а компоненты тензоров В и b — в переменных
Эйлера.
С помощью третьих инвариантов тензоров С, с, В и b мож-
можно дать разные формы записи условия несжимаемости материала
J = 1. Из A.1), A.18), A.19) и A.44) следует, что для несжимае-
несжимаемого материала должны выполняться равенства
/з(С) = /3(с) = /3(В) = J3(b) - 1. A.46)
Приведем выражения компонент тензоров С, с, В и b через
компоненты метрического тензора:
С = §цё* ® ej, c = gljei®ej, В = gtjei ® ej, Ъ =
''Термины «правый» и «левый»условны, так как, например, если вместо F
базовым несимметричным тензором деформаций был бы принят тензор гра-
градиента места У-, то термины «правый» и «левый» пришлось бы поменять
местами. Для тензоров деформаций, являющихся функциями правого тензо-
тензора кратностей удлинений U, часто используются термины «материальный»
или «лагранжев», а для тензоров деформаций, являющихся функциями лево-
левого тензора кратностей удлинений V, — «пространственный» или «эйлеров».
Эти термины искажают механический смысл тензоров деформаций, так как
все они по своей сути материальные [63].
36 Глава 1. Основные положения механики сплошной среды
Тензоры деформаций С, b служат мерами растяжений эле-
элементарных отрезков, а тензоры J2B, c/J2 — элементарных пло-
площадок, что следует из равенств
dx2 == dx ¦ dx = dX ¦ С • dX, dX2 = dX ¦ dX = dx ¦ b ¦ dx,
da2 = dada = J2dA ¦ В dA, dA2 = dA ¦ dA = ~ da • с • da.
Тензоры С, с, В и b объективны: тензоры С и В (функции U)
инвариантные, а тензоры с и b (функции V) индифферентные.
Эти тензоры «фильтруют» абсолютно жесткие движения тела,
совпадая на таких движениях с метрическим тензором:
1.3.3. Тензоры деформаций Грина — Лагранжа, Фингера,
Карни и Альманси
Рассмотрим симметричные тензоры деформаций, принадле-
принадлежащие семейству тензоров деформаций Хилла [74]12:
ЕB) = I(U2 - g) = 1 (Т ¦ F - g) = i(H + U + U ¦ Н),
eB) = I(v2-g) =±(?Г-е,) = 1(П + П + НП),
A.47)
Е(-2) = 1 (g _ и-2)= 1 (g _ G . Q) = 1 (к + К - К • 1С),
«<-*> = I(g - V-2)= I(g - д ¦ G) = i(K + К - К ¦ К).
Тензор Е^2) называется тензором деформаций Грина — Лаграп-
жа, е^2) — тензором деформаций Фингера, Е^~2^ — тензором де-
деформаций Карни, е(~2) — тензором деформаций Альманси [63].
Эти тензоры объективные: (правые) тензоры Е^2^ и Е^~2) (функ-
(функции U) инвариантные, а (левые) тензоры е^2) и е^~2' (функции V)
индифферентные. Они «фильтруют» абсолютно жесткие движе-
движения тела вида A43), превращаясь в нулевые тензоры:
x(X,*)=R(t)-X + co(«) => Е<2> = Е(-2) = е<2> = е^2) = 0.
12Тензоры деформаций Коши — Грина С, с и Пиола В, Ь не принадлежат
этому семейству.
1.3. Тензоры деформаций 37
Тензоры Е^2), еB\ Ш~2) и е(~2) связаны друг с другом соот-
соотношениями
ЕB) = Rt . еB) . R Е(-2) = rt . е(-2) . R
eW = R • Е<2> • RT, e(-2) = R • Е<Г2) • RT,
Е<2> = Т ¦ е(-2) • F, е(-2) = Q ¦ Е<2> • G, A'48)
Е(-2) = G • е<2> . д, eW = F • Е<~2) • ^,
а с тензорами С, с, В и b — формулами
A-49)
Приведем запись компонент тензоров Е^2\ е^2\ Е^~2^ и
в декартовой системе отсчета:
( + uj\i + uk\iuk\j)ki
B) = 42)к; ® кл- = -
f A.50)
E(~2> =4)ki ® Ц- = -(Sij - XitkXjtk)ki в) Ц =
e7ki is ky = i
Отсюда следует, что тензоры Е^2) и е^2) имеют простые записи
компонент в переменных Лагранжа, а тензоры Е^~2^ и е^~2) — в
переменных Эйлера. Последние четыре формулы A.48) в декарто-
38 Глава 1. Основные положения механики сплошной среды
вой системе отсчета имеют следующую запись через компоненты:
Условие несжимаемости J = 1 сложнее сформулировать с
помощью тензоров Ш2\ е^2\ Е^~2\ е(~2\ чем с помощью тензоров
С, с, В и Ь, поскольку в первом случае тензоры второй группы
надо выразить через тензоры первой группы, пользуясь A.49), а
затем подставить эти выражения в A.46).
С помощью компонент метрического тензора g можно полу-
получить следующие выражения для тензоров Ш2\ е^2\ E^~2', е^~2':
ЕB) = \(дц - дц)& ® ё*, еB) = \{д* - д«)щ ® ё,-,
1 1 A-51)
Е(-2) = ^(gij - gij)ei ® ej, e(-2) = -fe - &)& ® ё^.
Представления тензоров деформаций Е^2) и е^~2^ в A.51) приняты
в [43, 44] за их определения.
Тензоры деформаций Е^2) и е^) являются мерами растяже-
растяжений элементарных отрезков, а тензоры Е^) и е^2^ — элементар-
элементарных площадок, что следует из равенств
-(dx2 - dX2) = dX ¦ Е^2) • dX = dx • e(-2) • rfx,
\(JdA2 - -T da2) = JdA ¦ E(-2> • dA = - da ¦ e^2) ¦ da.
1.3.4. Малые деформации и линейный тензор деформаций
Рассмотрим малую деформацию материальной частицы, ха-
характеризуемую выполнением равенств
U«V«g, A.52)
при этом перемещения и повороты этой частицы могут быть про-
произвольно большими. Из A.52), A.33), A.11) получаем
Fss^R, fsG«RT. A.53)
Для малой деформации справедливы равенства
1.3. Тензоры деформаций 39
а формулы, связывающие Е^2) и е^) в A.48), превращаются в
преобразования и исключения поворота13:
е(~2) = R • Е<2> • RT, Е<2> = RT • е^2) ¦ R.
Для малой деформации условие несжимаемости J = 1 можно
записать в виде
Ji(E<2>) = /i(E(-2>) = /2(еB)) = /i(e(-2)) = 0. A.54)
Для произвольной малой деформации материальной части-
частицы в выражениях тензоров деформаций Е^2) и е^2^ через тензоры
градиентов перемещений Ни"Нв (см. A.47)) и в определениях их
компонент A.50) нельзя опускать нелинейные члены. Это можно
делать только в том случае, когда рассматривается бесконечно
малая деформация материальной частицы, характеризуемая вы-
выполнением равенств
UwVwR«g, A.55)
т. е. на условие малости деформации материальной частицы на-
накладывается условие малости ее поворота, при этом трансляци-
трансляционные перемещения этой частицы могут иметь произвольную ве-
величину. Вместо мультипликативных разложений A.33) тензора
градиента деформации F, выделяющих деформацию и поворот,
рассмотрим аддитивное разложение A.2) тензора градиента пе-
перемещения Н на симметричный и антисимметричный тензоры:
1 A-56)
(H?o
Симметричный тензор е называется линейным тензором дефор-
деформаций (тензором деформаций Коши), а антисимметричный тен-
тензор W —¦ линейным тензором ротации. При бесконечно малой
деформации тензор е характеризует искажение материальной ча-
частицы, а тензор W — ее поворот. В декартовой системе отсчета
запись этих тензоров через компоненты имеет вид
( + )k ® k w ( № ® k A57)
13Все правые тензоры деформаций (функции U) семейства Хилла превра-
превращаются в один инвариантный тензор малых деформаций, а все левые (функ-
(функции V) — в один индифферентный тензор малых деформаций.
40 Глава 1. Основные положения механики сплошной среды
Для бесконечно малой деформации тензор деформаций е
«объективен» (не зависит от тензора W), при этом
Е<2> « еB) « Е(-2) « е^2) * е.
Условие несжимаемости при бесконечно малой деформации
материальной частицы записывается в виде
tre = O
или, в декартовой системе отсчета,
?ц = Щ\{ = 0.
Для произвольных движений материальной частицы (выпол-
(выполнение условий A.55) не гарантируется) линейный тензор дефор-
деформаций не объективен в смысле выполнения одного из преобразо-
преобразований A.22) при жестких движениях тела в соответствии с A.21).
Поэтому этот тензор деформаций не используется при формули-
формулировке геометрически нелинейных уравнений МДТТ.
1.3.5. Выбор тензора деформаций
Кроме введенных выше тензоров деформаций можно рас-
рассмотреть еще ряд объективных тензоров деформаций, содержа-
содержащих положительные, отрицательные, смешанные степени и на-
натуральный логарифм тензоров кратностей удлинений U и V
[3, 35, 36, 38, 46, 63, 74]. Формулировки уравнений механики с
любым из этих тензоров теоретически эквивалентны. Предпочти-
Предпочтительность использования того или иного тензора зависит в основ-
основном от определяющих соотношений материала тела, числа опера-
операций при определении компонент тензоров в численных расчетах
и от степени нелинейности, учитываемой в формулировках урав-
уравнений.
Обычно для TL-подхода используются инвариантные тензо-
тензоры, а для UL- и эйлерова подходов — индифферентные. Тогда
исходя из требования максимальной простоты определения ком-
компонент (без анализа определяющих соотношений) наиболее есте-
естественным выбором инвариантных тензоров деформаций является
выбор тензоров С и Е^2), а индифферентных — выбор тензоров b
и е^). Чтобы подчеркнуть такой выбор, в [67, 110] тензор Е^2'
назван тензором деформаций Лагранжа, а е("~2) — тензором де-
деформаций Эйлера. Дальнейший выбор между тензорами С и Е^2'
или b и е(~2) зависит от формулировки определяющих соотно-
соотношений. Если используются определяющие соотношения, сформу-
1.3. Тензоры деформаций 41
лированные в виде однородных функций тензора напряжений от
тензора деформаций (или наоборот), то лучше применять тензо-
тензоры Е^2) и е^~2\ тогда нулевым деформациям соответствуют ну-
нулевые напряжения. Для несжимаемых материалов целесообразнее
использовать тензоры С и b в силу сравнительно простой записи
условия несжимаемости A.46).
Тем не менее для некоторых нелинейных моделей материа-
материалов может оказаться, что выгоднее использовать тензоры дефор-
деформаций, которые выше не рассматривались. При этом структу-
структура определяющих соотношений может быть простой [63], т. е.,
проигрывая в числе операций при определении компонент тензо-
тензора деформаций, можно выиграть в том, что компоненты тензора
напряжений определяются по более простым определяющим со-
соотношениям. Кроме того, для некоторых законов пластичности
с анизотропным законом упрочнения материала в формулировке
определяющих соотношений наилучшим выбором являются тен-
тензоры логарифмических деформаций [3, 35, 38, 121].
При выполнении условий малости деформаций A-52) для TL-
подхода оптимален выбор тензора Е^2), а для UL- и эйлерова под-
подходов — тензора е^~2\ так как все правые тензоры деформаций
семейства Хилла приблизительно равны тензору Е^2', а левые —
тензору е(~2). В этом случае условие несжимаемости приобрета-
приобретает вид A.54), т. е. имеет простой вид при использовании тензо-
тензоров Е^2) и е(~2). Однако для того, чтобы установить, выполнены
ли условия малости деформаций A.52), надо во всех материаль-
материальных точках тела сделать ряд дополнительных операций (опреде-
(определить главные значения тензора U или V и сравнить их с едини-
единицей). Поэтому лучше использовать эти условия в случае, когда
они заведомо выполняются, например при деформировании тон-
тонкостенных конструкций (стержни, пластины, оболочки), подвер-
подвергающихся преимущественному изгибу.
Если выполняются условия бесконечно малой деформа-
деформации A.55), то естественным становится использование линейного
тензора деформаций. Такие деформации характерны для массив-
массивных тел при небольших уровнях внешних воздействий.
1.3.6. Объективные производные тензоров деформаций
Рассмотрим некоторые объективные производные объектив-
объективных тензоров деформаций. В силу отмеченных в § 1.2.8 свойств
42 Глава 1. Основные положения механики сплошной среды
материальных производных инвариантных тензоров, материаль-
материальные производные [63]
E<2)=U-d-U, B(-2) = U-1-d-U A.58)
являются инвариантными тензорами, в то время как все рассмо-
рассмотренные в § 1.2.7 индифферентные производные индифферент-
индифферентных тензоров деформаций являются индифферентными тензора-
тензорами, причем для коротационных производных Грина — Макиннеса
eB)G, e(~2)G справедливы выражения
A.59)
Приведем формулы, связывающие объективные производные тен-
тензоров деформаций:
ЁB) = RT . еB)С . R
e&G = R • Ё<2> • RT,
EB) _ p . e(-2)CR . p^ e g Q
(L60)
Т?(-2) Г»т
a(-2)G _ т»
С — XV "
e(-2)CR _ д .
•рB) /-1
в — С * к.
•e(-2)G-R,
•?л(—2) /-ч
;(-2)G .
Ё(-2) = G •
Ё(-2) = В • Ё^2) • В,
е(-2)« = b • e^G ¦ b,
Из A.47) получим выражения для материальной производной
тензора деформаций Грина — Лагранжа в виде однородных функ-
функций материальных производных тензоров градиента деформации
Р и градиента перемещения Н (= Р):
^(^-Р + ^-Р) = l(H + U + U H + H Н). A.61)
В декартовой системе отсчета эти выражения приобретают вид
ЁB) = ^(?*|t3fc|j + xk\iXklj)ki ® kj =
= 2(йФ' + йШ + uk\iUk\j + «fc|i«fc|j)ki ® Ц. A.62)
Представим формулы, связывающие индифферентные произ-
производные e(-2)CR и е^°1 с тензором градиента скорости 1 [3]:
е(-2)ск lA + j) = d) e<2>ol = V^r1). A-63)
1.3. Тензоры деформаций 43
Из A.60), A.63) получаются соотношения, связывающие мате-
материальную производную тензора деформаций Грина — Лагранжа
ЁB) с тензором скорости деформаций d:
ВB) = Г ¦ d • F, d = G Ё<2) ¦ G. A.64)
Пользуясь определением производной Коттера-— Ривлина, при-
приведенным в A.25), из первого равенства A.63) получаем14
ij-2) = dtj = -{ViVj + Vjvt). A.65)
Тензор скорости деформаций d является главной характери-
характеристикой мгновенного деформирования тела. С его помощью фор-
формулируется уравнение неразрывности в виде [72]
trl = trd = Vv = 4 = --- A.66)
J p
В декартовой системе отсчета оно записывается в виде
—.
Из A.66) получаем условие несжимаемости, записанное относи-
относительно скоростей (J = 0):
trd = V-v = 0, A.67)
или записанное в покомпонентном виде в декартовой системе от-
отсчета:
Vk,k = dkk = 0.
Для UL-подхода все рассмотренные выше объективные про-
производные тензоров деформаций превращаются в тензор скорости
деформаций [76]:
ЁB) = Ё(-2) = е^л = е(~2)л = d,
где индекс А обозначает любую из индифферентных производ-
производных: Олдройда, Коттера — Ривлина, Яуманна, Грина — Макин-
неса.
При малых деформациях окрестности материальной точки в
дополнение к A.52) предполагаем
l«w, A.68)
14Соотношения A.65) справедливы в общем случае только для компонент
тензоров в лагранжевой системе координат (но не в системе отсчета).
44 Глава 1. Основные положения механики сплошной среды
тогда из A.52) и A.36) следует
wwu;. A.69)
Из A.68), A.69), A.26), A.38) вытекает, что все индифферентные
производные совпадают. Поэтому из A.52), A.58), A.59) получаем
ЁB) ~ Ё<> « d, е®А * е(-2)Л и d. A.70)
Исходя из A.67), A.70) условие несжимаемости для малых дефор-
деформаций, записанное относительно скоростей, приобретает вид
trE<2> = tr Ё<-2> = treB)A = tre(-2)A - 0.
Для бесконечно малой деформации материальной частицы
Ё<2> « Ё() » е<2>Л » е(-2>л и к,
где
6 =
В декартовой системе отсчета
ё (u
Условие несжимаемости материала формулируется в виде
tr? = O. A.71)
В декартовой системе отсчета условие A.71) эквивалентно соот-
соотношениям
- 0.
1.4. Тензоры напряжений
1.4.1. Определение тензоров напряжений
В момент времени t ^ to рассмотрим материальную точку Р,
принадлежащую телу В. В отсчетной конфигурации (момент вре-
времени to) мысленно выделим элементарную площадку dA с единич-
единичным вектором нормали N такую, что в текущий момент време-
времени t эта площадка в результате деформирования будет переходить
в элементарную площадку da с единичным вектором нормали п
(рис. 1.2).
1.4. Тензоры напряжений
45
Момент времени to
Момент времени t
Рис. 1.2. Элементарные площадки для материальной точки Р
с действующими на них элементарными силами
Пусть на площадке da (ориентированной с помощью векто-
вектора п) действует элементарная сила dt(ny Введем векторы Коши
истинных и условных напряжений t(nj и Т(дп:
_
t(n) =
da ' {N) ~ dA '
A.72)
Рассмотрим два представления элементарной силы
Постулируем существование тензора истинных напряжений s и
тензоров условных напряжений РиР таких, что выполняются
равенства
у
15
= ST),
A.74)
Тензор s называется также тензором напряжений Коши, а тензо-
тензоры РиР — соответственно номинальным тензором напряжений
'Равенства A.74) можно также получить исходя из формулы Коши [9].
46 Глава 1. Основные положения механики сплошной среды
и первым тензором напряжений Пиола — Кирхгофа [46]16. Сим-
Симметрия тензора s следует из условия равенства нулю главного
момента сил (§ 1.5.1), а тензоры РиРв общем случае несиммет-
несимметричны. Тензоры истинных и условных напряжений характеризу-
характеризуют силу, действующую на элементарной площадке в актуальной
конфигурации и отнесенную к этой площадке в первом случае и к
площадке в отсчетной конфигурации — во втором случае. Поль-
Пользуясь A.73), A.74) и формулой Нансона A.17), получаем связи
тензоров истинных и условных напряжений:
s = jP-'P = jP-^, 7> = JGs, P = Js g. A.75)
Введем тензор напряжений Коши с исключенным поворотом:
s = RT s R => s = sT, s = R s RT. A.76)
Формулы его связи с тензорами ?иР выводятся из A.75), A.76).
При жестких движениях тела, соответствующих преобразо-
преобразованиям A.21), введенные выше тензоры напряжений преобразу-
преобразуются по законам
s* = Q s QT, s* = s, V* = V QT, P* = Q Р,
т. е. тензоры s, s объективны (s индифферентен, s инвариантен),
а тензоры V, Р не объективны.
Введем симметричные тензоры условных напряжений:
т = Js, г = Js, A.77)
Тензор т называется тензором напряжений Кирхгофа, т — тен-
тензором напряжений Кирхгофа с исключенным поворотом (тен-
(тензором напряжений Нолла), S^ — вторым тензором напряже-
напряжений Пиола — Кирхгофа, S^~2' — тензором напряжений Грина —
Ривлина. Тензор s^2) назовем повернутым вторым тензором на-
16Для тензоров "Р и Р терминология не установилась. В некоторых иссле-
исследованиях тензор "Р называется первым тензором напряжений Пиола — Кирх-
Кирхгофа, а в других работах, наоборот, тензор Р — номинальный тензор напря-
напряжений. В [67, 110] тензор "Р называется тензором напряжений Лагранжа, а
s — тензором напряжений Эйлера.
1.4. Тензоры напряжений 47
пряжений Пиола — Кирхгофа, a s^2^ — повернутым тензором
напряжений Грина — Ривлина17.
Введенные тензоры напряжений связаны формулами
1 1 _
s=-r, S=JT'
т = RT r R, r = R т RT,
=RT.SB).R, SB)=R.SB)-RT,
= RT • S(-2) • R, S(-2) = R • S(-2) - RT,
sB) = Q t G, s(-2) = F • r • Г,
= в • s<-2) ¦ в, s(-2^ = с • s<2) • c,
Из A.77), A.78) получаем формулы связи тензоров напряжений s
и SB):
s = If• sB)• т, sB) = jg-sQ. A.79)
о
Все симметричные тензоры напряжений A77) объективны:
тензоры т, SB\ S^~2) инвариантные, а тензоры т, s^2), s^~2) ин-
индифферентные, т. е.
т* = Q т QT, s^* = Q • sB) ¦ QT, s(-2)* = Q ¦ s^2) • QT.
17 Названия двух последних тензоров вытекают из вида их связи с тензорами
S<2) и Sl~2), приведенными в A.78).
48Глава 1. Основные положения механики сплошной среды
Симметричные тензоры напряжений т, S^2), S(~2^ связаны с
несимметричными тензорами напряжений РиР формулами
= В ¦ S(~2) • G, P = a-S(~2)B,
A.80)
т = F • V = P J7,
a = G P, S(~2) = C-'P-P = ^-P-C.
Из A.14) и A.80) следуют соотношения
7? = s<2> • (g + П) = SB) + S^2) • П,
(L81)
Приведем соотношения A.79), записанные через компоненты
в декартовой системе отсчета:
Si? = JXi,kSklXjj, A.82)
и формулы связи компонент Ру, 5у- соответственно первого и
второго тензоров напряжений Пиола — Кирхгофа:
Pij = *i\kS% = (Sik + uA
Рассмотрим малую деформацию материальной частицы. В
силу A.52)
J = detF = detUdetR w 1. A.83)
Из A.77) и A.83) получаем
S^ и S^-2) и т и s, sB) ю s(-2) « т « s. A.84)
Таким образом, все введенные симметричные тензоры напряже-
напряжений превращаются либо в инвариантный тензор s, либо в ин-
индифферентный тензор s. То есть симметричные тензоры напря-
напряжений являются тензорами истинных напряжений § или s, от-
отличающимися друг от друга преобразованиями поворота A.76).
В силу A.53) формулы связи A.75) тензора напряжений Коши s с
несимметричными тензорами напряжений РиР сводятся к сле-
следующим:
s = R "Р = Р RT, V = RT s, P = s R.
1.4. Тензоры напряжений
49
Для бесконечно малой деформации окрестности материаль-
материальной точки все введенные симметричные и несимметричные тен-
тензоры напряжений превращаются в симметричный тензор напря-
напряжений Коши s, который специально для такого типа деформации
обозначим через а:
„ — «. ~ jj ~ сB) ^ с(-2) ^ „B) ^ (-2) ^i^_^'p^p
т.е. (г — тензор напряжений Коши при бесконечно малой дефор-
деформации материальной частицы.
1.4.2. Механический смысл компонент тензоров напряжений
Для выяснения механического смысла компонент введенных
тензоров напряжений рассмотрим «векторы» напряжений tj и Tj,
действующие на элементарных площадках поверхностей Э* =
const и отнесенные к этим площадкам в актуальной и отсчетнои
конфигурациях соответственно (рис. 1.3). Слово «вектор» упо-
употребляется условно, так как объекты t$ и Tj не являются «настоя-
«настоящими» векторами вследствие их неинвариантности относительно
преобразования координат. Имеем следующие разложения [68]:
. /nii f ¦ — e'Jp • . /fin ПР. — -f'-'p ¦
V9 zi — * ej» V» л-г — ' ej j
(не суммируется по г),
где Ру — компоненты номинального тензора напряжений в ма-
материальном отсчетном базисе (V = Р^щ ® ej). Из этих разло-
разложений очевиден механический смысл компонент тензоров s, т,
e3d&
0 = const
Рис. 1.3. «Векторы» сил t3, T3
50 Глава 1. Основные положения механики сплошной среды
"Р = Рт. Контравариантные компоненты тензоров s и т в мате-
материальном текущем базисе суть компоненты разложений соответ-
соответственно «векторов» tj и Tj (с весовыми множителями) по кова-
риантным базисным векторам того же базиса. Аналогично кон-
контравариантные компоненты тензоров ?иРв материальном от-
счетном базисе суть компоненты разложений объекта \/д"Тг по
ковариантным базисным векторам этого же базиса.
Пользуясь определениями A.10), запишем формулы преобра-
преобразования базисных векторов:
ё* = р.ё,- =ъг, ё{ = д& =ёг-с,
(l.oo)
ёг = G ё,- = ёг; ¦ G, ёг = F ¦ ёг = ёг • F.
Из A.80) и A.85) получаем двойные представления тензоров "Р
и Р [46]:
V = fijei ® ej, Р = rijei ® ej,
т. е. контравариантные компоненты несимметричных тензоров
напряжений "Р и Р в двойных представлениях численно равны
контравариантным компонентам симметричного тензора напря-
напряжений Кирхгофа т в материальном текущем базисе.
Для выяснения механического смысла компонент других тен-
тензоров введем ковариантные и контравариантные базисные векто-
векторы ej и ё* материального текущего базиса с исключенным пово-
поворотом:
ei = RT ei = ёг R, & = RT • ё' = ёг R,
ег = R • ё{ = ёг • RT, ё{ = R ё{ = ёг • RT,
а также аналогичные базисные векторы ё» и ёг повернутого ма-
материального отсчетного базиса:
ei = R ёг =ej-RT, e{ = R ¦ ё* = ёг RT,
ёг = RT ёг = ёг R, ё{ = RT ёг = ёг R.
Пользуясь A.33) и A.85), получим следующие связи базисных век-
векторов:
ei = U-1-ei = ei-U-1> ё* = и-ёг' = ё* ¦ U,
ei = U-ei =ёг-и, ё* = 1Г1 • ё* = ё* • 1Г\
ei = V-ej =ei-V, e^V^-e^e^V-1,
ei = V-1-ei = e<-V~1, ё* = У-ёг =e*-V.
1.4. Тензоры напряжений 51_
Из определений тензоров §, т A-76), A.77) и соотношений
A.86) получаем
s = sljei <g> ej = §ijez ® е7, т = fyej ® ej
т. е. компоненты тензоров напряжений Коши и Кирхгофа с ис-
исключенным поворотом s, т в материальном текущем базисе с ис-
исключенным поворотом численно равны компонентам тензоров на-
напряжений Коши и Кирхгофа s, т в материальном текущем базисе.
Из определений тензоров S^2^, S^~2^ A.77) и соотношений для
базисных векторов A.87) имеем следующие представления:
S& = tijei ® е,-, S<> = тф1 ® &, A.88)
т. е. контравариантные компоненты второго тензора напряжений
Пиола — Кирхгофа S^2^ и ковариантные компоненты тензора на-
напряжений Грина — Ривлина S^~2^ в материальном отсчетном ба-
базисе численно равны соответственно контравариантным и кова-
риантным компонентам тензора напряжений Кирхгофа т в мате-
материальном текущем базисе.
Аналогично получаем
8B) _ -ije. g, ej) s(-2) = -.yei ^ y^
т. е. контравариантные компоненты повернутого второго тензора
напряжений Пиола — Кирхгофа s^2) и ковариантные компонен-
компоненты повернутого тензора напряжений Грина — Ривлина s^~2^ в
повернутом материальном отсчетном базисе численно равны со-
соответственно контравариантным и ковариантным компонентам
тензора напряжений Кирхгофа т в материальном текущем бази-
базисе.
Компоненты тензоров условных напряжений приобретают
более ясный механический смысл при малой деформации окрест-
окрестности материальной точки в силу выполнения равенств A.84). В
этом случае
ej « ej, ёг « ёг, щ и ej., ёг « ёг.
Таким образом, при условии малости деформаций компоненты
тензоров напряжений SB) « S^~2^ в материальном отсчетном ба-
базисе численно равны компонентам тензора s в материальном те-
текущем базисе, базисные векторы которого получаются из соответ-
соответствующих векторов первого базиса выполнением операции пово-
поворота, осуществляемой тензором ротации R. Тензоры sB) « s(~2^
совпадают с тензором s.
52 Глада 1. Основные положения механики сплошной среды
1.4.3. Скорости изменения тензоров напряжений
Так как тензоры напряжений s, т, S^\ S'~2) инвариант-
инвариантные, материальные производные этих тензоров входят в класс
объективных производных тензоров напряжений, являясь инвари-
инвариантными тензорами (§ 1.2.8). Индифферентные производные (Ол-
дройда, Коттера — Ривлина, Яуманна, Грина — Макиннеса) тен-
тензоров напряжений s, т, s^2\ s^~2) также входят в класс объектив-
объективных производных тензоров напряжений, будучи индифферентны-
индифферентными тензорами.
Введем две объективные производные (инвариантные тензо-
тензоры) тензора напряжений т, которые получаются из индифферент-
индифферентных производных т°1 и tcr применением операции исключения
поворота:
^ = RT ¦ т°1 ¦ R = fijei <g> ej,
7^ = RT • тся • R = ±цё1 <S> ё7'.
Между этими производными выполняются соотношения
TJ-1.^O7.TJ-1) g(-2) = -у . -^CR . JJ
SB)G = у-1 . ГО1 . у-1 > S(-2)G = у . rCR . у
Кроме того, между объективными производными тензоров напря-
напряжений также существуют следующие связи (часть из них приве-
приведена в'[3, 38, 72]):
•ICO
т
2)
= RT
= RT
= RT
•sG-
•rG-
• sB)G
R,
R,
'R,
sG
rG
SB)G
= R
= R
= R
•ICO
¦ T
RT,
RT,
2)-RT
SB)G =-g.Toi.Gf S(-2)G = F . tcr .
Из A.89) вытекает
Механический смысл объективных производных тензоров
S(~2), s^2\ s^^ аналогичен механическому смыслу этих тензо-
1.4. Тензоры напряжений 53
ров при замене контравариантных и ковариантных' компонент в
текущем материальном базисе тензора напряжений Кирхгофа ма-
материальными производными этих компонент.
Пользуясь уравнением неразрывности A.66) и определением
тензоров напряжений гит A.77), получаем соотношения меж-
между объективными производными тензоров напряжений Коши и
Кирхгофа: , = J(| + gtrd)> TA = J(sA + strd)>
где тд — любая из индифферентных производных
т°1 = J(s°l + strd), rCR = J(sCR + str d),
A 90)
rJ = J(sJ + strd), rG = J(sG + strd).
В общем случае материальные производные несимметрич-
несимметричных тензоров напряжений "Р и Р не объективны. Приведем связь
материальных производных этих тензоров с материальной (объ-
(объективной) производной тензора S^2), пользуясь A.80), A.81):
V = № ¦ :F + S<2) ¦ F= S& + S<2> ¦ П + S<2> • п,
(L91)
P = F ¦ S^ + F ¦ S^ = S^ + H • S<2> + H ,
так что справедливо равенство V = P.
Для UL-подхода в момент времени t выполняются равенства
A.42), кроме того, J = 1, поэтому все рассмотренные тензоры
напряжений превращаются в тензор напряжений Коши
г = § = V = Р = S<2) = S(~2) = s<2> = s(-2) = s.
Тем не менее скорости изменения тензоров различаются. Рассмо-
Рассмотренные объективные производные тензоров превращаются в сле-
следующие:
S(~2) = s(~2)G = r^ = тся. (li92)
Таким образом, для UL-подхода все рассмотренные объектив-
объективные производные тензоров условных напряжений свелись к трем:
rJ(=rG), т°1, rCR. В соответствии с A.90) эти объективные
производные тензора напряжений Кирхгофа т связаны с объек-
объективными производными тензора напряжений Коши s формулами
(J=l)
tj = sJ +strd, ro' = s°4 CR CR
54 Глада 1. Основные положения механики сплошной среды
Первая из этих производных введена Хиллом, а вторая —
Трусделлом. В дальнейшем трактуем эти производные как про-
производные тензора напряжений Коши s и вводим для них обозна-
обозначения
sH = sJ+strd = s — w-s + s-w + strd,
A 93)
sTr = s°* +strd = s-ls-s- J + strd.
Производные s^ и sTr называются соответственно производными
Хилла и Трусделла тензора напряжений Коши. Их механический
смысл следует из соотношений
rJ=rG=sH^ rOl=sTr^ A94)
справедливых только для UL-подхода. Из A.90), A.93) и A.89)
получаем связи между материальной производной второго тен-
тензора напряжений Пиола — Кирхгофа и производной Трусделла
тензора напряжений Коши:
S<2> = JG ¦ sTr g, sTr = - F • S<2) ¦ T. A.95)
J
Пользуясь связью индифферентных производных A.41), получа-
получаем связь производных Трусделла и Хилла тензора напряжений
Коши:
sTr = sH-(s-d + d-s). A.96)
Формулы A.91), связывающие материальные производные
несимметричных тензоров напряжений "Р и Р с материальной
производной симметричного тензора S^2), для UL-подхода при-
принимают вид
V = sTr + s ¦ i, Р = sTr + 1 • s. A.97)
Трактуем правые части A.97) как производные тензора напряже-
напряжений Коши:
sD = sTr + s • I = s - 1 • s + s trd,
s° = sTr + 1 • s = s - s • I + s tr d.
В общем случае эти скорости —- необъективные и несимметрич-
несимметричные тензоры (sa = s°T). Пользуясь A.91), A.79), A.31), A.95),
A.98), получим связи
V = JG ¦ sD, Р = Js° • Q. A.99)
1.4. Тензоры напряжений 55
Только для UL-подхода справедливы соотношения
A.100)
онент производных sH, sTr
в декартовой системе отсчета:
= (sij + skjWki +
= (hj ~ skjwik - sikwjk
sTr = (sij ~ skjvi}k - sikvj<k + ijkk)i ® j,
Приведем выражения компонент производных sH, sTr, sn,
ой
sH = (sij + skjWki + sikwkj
s° = (ifj - sikvjtk + S
При бесконечно малой деформации материальной частицы
все скорости тензоров напряжений превращаются в материаль-
материальную производную тензора напряжений Коти, которая в декарто-
декартовой системе отсчета, записанная через компоненты, имеет следу-
следующий вид:
& = &ijki <g>kj.
1.4.4. Сопряженные тензоры напряжений и деформаций
Введем мощность внутренних сил единицы массы деформи-
деформируемого тела В (инвариантную величину)
п> = -s: d= „-T : d A.102)
так, что мощность внутренних сил W тела В определяется сле-
следующим образом:
= fs:ddV = fr:dd°V.
V OV
Свертки w — s : d и °w — т : d (инвариантные величины) пред-
представляют собой мощности внутренних сил единиц объемов дефор-
деформируемого тела в актуальной и отсчетной конфигурациях соот-
соответственно. Мощность внутренних сил играет фундаментальную
роль в механике сплошной среды, в частности при построении
определяющих соотношений.
Выше были введены различные тензоры напряжений и де-
деформаций. Пусть А, В — произвольно выбранная пара инвари-
инвариантных тензоров напряжений и деформаций соответственно. Сле-
56 Глава 1. Основные положения механики сплошной среды
дуя [74, 76]^ назовем инвариантные тензоры напряжений А и де-
деформаций В сопряженными по мощности, если для них выпол-
выполняется равенство
°w = A:B (=r:d). A.103)
Можно показать, что
т : d = S<2> : Ё<2> =
= S<~2> : Ё(-2) = -SB) : С = --S^2) : В, A.104)
т. е. пары инвариантных тензоров напряжений и деформаций
(sB\ eB)), (s(-2), e(-2)),
\ ' A-105)
(is», О). (-\«-*,в)
сопряжены по мощности.
Справедливы равенства
°w = t:d, w = s:d. A.106)
Не существует инвариантного тензора деформаций (как явной
функции тензора U), материальная производная которого была
бы равна d [74]. Поэтому из A.106) следует, что в рамках опре-
определений, введенных выше, для инвариантных тензоров напряже-
напряжений т и § сопряженные инвариантные тензоры деформаций18 не
существуют.
Определение сопряженных инвариантных тензоров, исполь-
использующее равенство A.103), оставляем для введенных ранее несим-
несимметричных тензоров напряжений и деформаций. Можно показать,
что
°w = V ;T = V;il = V :F = P :H, A.107)
т. е. пары несимметричных тензоров напряжений и деформаций
(V, Г), (V, П), (Р, F), (Р, Н)
18С некоторым приближением в качестве такого тензора деформаций мож-
можно использовать правый тензор логарифмических деформаций lnU [3, 63, 74,
121]. Поэтому с тем же приближением можно считать пару инвариантных
тензоров (т, lnU) сопряженной по мощности. Если в определении сопряжен-
сопряженных инвариантных тензоров вместо °w использовать w, то в том же прибли-
приближении пара (s, In U) может рассматриваться сопряженной.
1.4. Тензоры напряжений 57
сопряжены по мощности19. Среди этих пар можно отдать пред-
предпочтение парам ("Р, F) и (Р, F), так как в каждой из них со-
сопряженные тензоры изменяются по одному и тому же закону при
жестких движениях окрестности материальной точки. Для тензо-
тензоров в парах ("Р, "Н) и (Р, Н) законы преобразования различны.
Пусть с — произвольный индифферентный тензор. Обозна-
Обозначим через с инвариантный тензор, полученный операцией исклю-
исключения поворота из тензора с20. Эти тензоры связаны соотноше-
соотношениями
c = RTc R, c = R с RT. A.108)
Такими же соотношениями связаны материальная производная
тензора с и коротационная производная Грина — Макиннеса тен-
тензора с [3, 121]:
e = RTcGR, cG = R-?-RT. A.109)
Соотношения A.108), A.109) являются ключевыми для опреде-
определения сопряженных индифферентных тензоров напряжений и де-
деформаций.
Рассмотрим произвольно выбранную пару индифферентных
тензоров напряжений а и деформаций Ь. Следуя [121], назовем
индифферентные тензоры напряжений а и деформаций b сопря-
сопряженными по мощности, если для них справедливо равенство
°u; = a:bG(=T:d). A.110)
Обозначим через а и b инвариантные тензоры, полученные из
соответствующих индифферентных тензоров а и b операцией ис-
исключения поворота. Тогда из A.108), A.109) следует равенство
а : b = а : bG.
Отсюда вытекает, что приведенное выше определение сопряжен-
сопряженных индифферентных тензоров напряжений и деформаций яв-
19Принятое здесь определение сопряженных несимметричных тензоров на-
напряжений и деформаций отличается от аналогичного определения в [46, 74,
76]. Для того, чтобы получить определение сопряженных тензоров, принятое
в этих работах, надо в A.103) заменить тензор деформаций В транспони-
транспонированным к нему тензором Вт. Отметим, что для симметричных тензоров
напряжений и деформаций эти определения совпадают.
20В свою очередь, тензор с можно рассматривать как тензор, полученный
из тензора с с помощью операции поворота.
58 Глава 1. Основные положения механики сплошной среды
ляется перефразировкой аналогичного определения сопряженных
инвариантных тензоров.
Для введенных ранее индифферентных тензоров напряжений
и деформаций справедливы соотношения
г : d = s<2> : e&G = s^ : e(~2>G = - s® : cG = -- s<-2> : bG,
откуда следует, что пары индифферентных тензоров напряжений
и деформаций
, (±в<*\ с), (-
сопряжены по мощности.
Отметим, что, в соответствии с приведенным выше определе-
определением сопряженных индифферентных тензоров напряжений и де-
деформаций, для тензора напряжений Кирхгофа г и тензора напря-
напряжений Коши s не существует сопряженных индифферентных тен-
тензоров деформаций . Тем не менее считаем пары индифферент-
индифферентных тензоров
(г, е(-2)), (в, е(~2))
сопряженными по мощности в силу равенств
°w = г : d = г : е(~2)ся, w = s : d = s : e^CR,
которые следуют из первого равенства A.63). При таком опреде-
21 Справедливо равенство т : lnU = т : (lnV)G. Поэтому когда т : lnU и
т : d, то в том же приближении т : (lnV) « т : d. При выполнении послед-
последнего приближенного равенства левый тензор логарифмических деформаций
lnV можно считать сопряженным тензору напряжений Кирхгофа т. Если
прн определении сопряженной пары индифферентных тензоров напряжений и
деформаций в A.110) °w заменить на w, то пару индифферентных тензоров
(s, In V) в том же приближении можно рассматривать как сопряженную. Ес-
Если в A.110) вместо коротационной производной Грина — Макиннеса (In V)G
использовать индифферентную коротационную производную (In V)D (назван-
(названную в [3] производной Рейнхардта — Люби) такую, что выполняется равен-
равенство d = (InV)D (см. также [121]), то пары (т, lnV) и (s, InV) становятся в
точности сопряженными (для последней пары надо также в A.110) заменить
°w на ш).
1.5. Уравнения движения 59
лении пар сопряженных индифферентных тензоров в A.110) заме-
заменили коротационную (индифферентную) производную Грина —
Макиннеса индифферентной производной Коттера — Ривлина,
которая не входит в класс коротационных производных. Однако
для этих пар сопряженных индифферентных тензоров нет анало-
аналогов среди пар сопряженных инвариантных тензоров напряжений
и деформаций.
1.5. Уравнения движения
1.5.1. Уравнения движения в актуальной конфигурации
Постулируем (векторное) уравнение баланса количества
движения (уравнение движения Коши) в текущей конфигурации
fp(f-R)dV+ ftda = O VwCK A.111)
ш дш
и (векторное) уравнение баланса момента количества движения
(уравнение движения Коши для моментов)
/pxx(f-a)dF + fxxtda = O Vw С V. A.112)
ш дш
Здесь f — вектор массовых сил; а — вектор ускорения, определен-
определенный в A.23); t — вектор истинных напряжений Коши, действу-
действующий на граничной площадке дш. Вектор t имеет тот же самый
смысл, что и вектор t(n) в A.72), но здесь индекс (п) опущен,
так как в A.111), A.112) под единичным вектором нормали под-
подразумевается вектор внешней нормали п к поверхности дш. Зна-
Знаком X обозначена операция векторного произведения. Область ш,
ограниченная замкнутой поверхностью дш, — произвольная по-
подобласть области V (аксиома локализации). Из уравнения A.112)
следует симметрия тензора напряжений Коши, а следовательно,
и тензоров напряжений s, т, т, SB), S^), s^2), s^).
Пользуясь теоремой Гаусса — Остроградского и представле-
представлением вектора истинных напряжений Коши t = n • s (см. A.74)),
60 Глава 1. Основные положения механики сплошной среды
из A.111) находим22
-a)]dV = O. A.113)
Отсюда в силу произвольности области и> получаем (векторное)
уравнение движения, которое вместе с граничными условиями за-
писывается в виде :
V ¦ s + pi — pa. bV,
u = u* naSu, A-114)
n ¦ s = t* на St,
где Su и St — части граничной поверхности S = Su U St, на
которых заданы компоненты векторов и и t соответственно. Здесь
и далее знак * обозначает заданную величину.
В декартовой системе отсчета система A.114), записанная
через компоненты, имеет следующий вид:
sij,j + Pfi = pui bV,
Щ = и* на Su,
SijUj = t* на St •
1.5.2. Уравнения движения в отсчетной конфигурации
Запишем уравнение сохранения массы (уравнение неразрыв-
неразрывности в переменных Лагранжа):
pdV = °pd°V. A.115)
Пользуясь A.115), A.73), перепишем уравнение баланса количе-
количества движения A.111) для произвольной подобласти О С ®V
в отсчетной конфигурации, ограниченной замкнутой поверхно-
22В уравнении A.113) предполагается, что интеграл вычисляется в пере-
переменных Эйлера в*, поэтому для дивергенции тензора напряжений Коши s
используется обозначение V ¦ s. Можно, эквивалентно, этот интеграл вычис-
вычислять в переменных Лагранжа 0*, тогда для дивергенпии тензора s надо ис-
использовать обозначение V ¦ s.
23Уравнение движения в A.114) приведено в переменных Эйлера. Для за-
записи этого уравнения в переменных Лагранжа надо заменить V • s на V • s.
1.5. Уравнения движения 61
стью
[op(f-a)d°V+ [тс1А = 0 VQcV. A.116)
п дп
Здесь Т — вектор условных напряжений Коши, характеризую-
характеризующий элементарную силу, действующую на граничной площад-
площадке дш, но отнесенную к элементарной площадке dA ? дп с еди-
единичным вектором внешней нормали N в отсчетной конфигурации
(см. A.72)).
Пользуясь представлением вектора Т = N ¦ "Р (см. A.74)) и
теоремой Гаусса — Остроградского, из A.11.6) находим
¦a)]d°V = O. A-117)
п
В силу произвольности области п из A.117) получаем (вектор-
(векторное) уравнение движения, записанное в отсчетной конфигурации,
которое вместе с граничными условиями имеет следующий вид25:
u = u* на0^, A.118)
N • V = Т* на °ST.
Здесь °SU и °St — части граничной поверхности °S = °SU U °St в
отсчетной конфигурации, переходящие соответственно в Su и Sj-
в актуальной конфигурации, на которых заданы компоненты век-
векторов и и Т.
Получим альтернативную форму системы A.118), воспользо-
воспользовавшись симметричным вторым тензором напряжений Пиола —
2 Предполагается, что область Г2 в отсчетной конфигурапии, ограничен-
ограниченная замкнутой поверхностью дп, переходит в актуальной конфигурации в
область ш, ограниченную замкнутой поверхностью дш.
25Система A.118) записана с помощью номинального тензора напряже-
напряжений "Р. Если для формулировки такой системы желательно использовать пер-
первый тензор напряжений Пиола — Кирхгофа Р, надо в A.118) провести замену
V на Рт.
62 Глава 1. Основные положения механики сплошной среды
Кирхгофа S^2) и принимая во внимание связь тензоров V и
(см. A.80)):
u = u* hsl°Su, A.119)
N • (S<2> • T) = T* на °St ¦
Еще одну форму представления системы A.118) получим, вы-
выражая тензор J7 в A.119) через тензор градиента перемещений 'Н.
с помощью A.14):
opf = V b°V,
u = u* на0^, A.120)
N • (SB^ + SB) • Vu) = T* на °ST ¦
Приведем запись этих систем через компоненты в декарто-
декартовой системе отсчета. Используя компоненты Ру первого тензора
напряжений Пиола — Кирхгофа Р = Pijki ® kj, систему A.118)
записываем следующим образом:
PijNj = I? на °St ¦
Система A.119) приобретает вид:
Щ = и* на °SU,
а система A.120) — вид:
= и* на
1.5. Уравнения движения 63
1.5.3. Уравнения движения,
записанные относительно скоростей,
в отсчетной конфигурации
Дифференцируя уравнения и граничные условия по времени
в системе A.118), получаем:
V-i> + °p{ = °pk b°V,
п = п* H&°Sn, A.121)
N • V = Т* на °ST.
Поступая аналогично с системой A.119) (или подставляя в A.121)
выражение для "Р из A.91)), имеем:
п = й* Ha°5u, A.122)
N • (SB) ¦ Т + S<2) -Г) = Т* на °ST ¦
Из A.120) следует:
V . (sW + SB) ¦ Vu + S<V . Vu) + °p( = °pa в V,
п = п* на °SU, A.123)
N • (SB> + S^2) • Vu + SB> • Vu) = T* на °ST.
Представим уравнения движения и граничные условия, запи-
записанные относительно скоростей, в компонентах в декартовой си-
системе отсчета. Системы A.121)—A.123) будут иметь следующий
вид:
• система A.121) —
щ = й* на °SU,
PijNj =T* на °ST,
• система A.122) —
{Хцк&*) + XnkSJ?))y + °Pfi - Vi В V,
щ = п* на °SU,
64 Глава 1. Основные положения механики сплошной среды
• система A.123) —
(sf + uilkS™ + ^sg^li + °Pfi = Vi в V,
lit = й* на°5„,
\f $ $Щ =f* на °ST.
1.5.4. Уравнения движения,
записанные относительно скоростей,
в актуальной конфигурации
Для того, чтобы представить в актуальной конфигурации
уравнения движения и граничные условия, продифференцирован-
продифференцированные по времени, используем UL-подход. Совмещая отсчетную кон-
конфигурацию с актуальной, из A.121), A.100) получаем26:
V-sD + pf = рк bV,
v = v* на5„, A.124)
п • sD = t* на ST ¦
Пользуясь первой формулой A.98), систему A.124) перепишем,
используя производную Трусделла:
V-(sTr+s- Vv)+pf = Pk bV,
v = v* на5„, A.125)
n • (sTr + s • Vv) = t* на ST .
Принимая во внимание формулу A.96), получаем другую запись
системы A.125) (с использованием производной Хилла):
V- (sH -s-d-d-s + s- Vv) + pf = pk в V,
v = v* на?„, A.120)
n • (sH -s-d-d-s + s- Vv) = t* на 5т .
В декартовой системе отсчета система A.124), записанная
через компоненты (для удобства используем компоненты тензо-
26
В системе A.124) используется производная тензора напряжений Ко-
ши s . Для того, чтобы получить аналогичную систему уравнений и гра-
граничных условий с помощью производной s , надо в системе A.124) сделать
замену s = s*T.
1.5. Уравнения движения 65
pa s^), имеет следующий вид:
Л *
Vi r=: Vj HcL Он,
s?jnj = ** на 5^; ¦
система A.125) принимает вид:
{sff + vitkSkj),j + pfi = pai в V,
Vi = v* на 5„,
(sijT + Vi,kskj)nj = Ц Ha <St,
а система A.126) будет вида:
(sij - Sikdkj - dikSkj + Vi,kSkj),j + pfi = рщ в V,
Vi = v* на Su,
+ t7j)fcSfej)nj = ij на St ¦
1.5.5. Уравнения движения и их запись
относительно скоростей при геометрически
линейном деформировании тела
При бесконечно малой деформации материальной частицы
все тензоры деформаций превращаются в тензор деформаций Ко-
ши е, который связан линейными соотношениями A.56) с тензо-
тензором градиента перемещений Н, а все тензоры напряжений пре-
превращаются в тензор напряжений Коши ст. Предположим, что
условие бесконечно малой деформации выполнено для всех ма-
материальных частиц тела В. Деформацию тела при выполнении
этого условия назовем геометрически линейной или бесконеч-
бесконечно малой27. Подход к формулировке уравнений с использовани-
использованием тензоров деформаций е и напряжений а назовем геометриче-
геометрически линейным или MNO (material nonlinear only) подходом. При
этом наряду с геометрически линейным деформированием тела
допускается физическая нелинейность деформирования, которая
может присутствовать в определяющих соотношениях, связыва-
связывающих тензоры напряжений и деформаций и/или их скорости.
27Отметим, что при геометрически линейном деформировании (трансляци-
(трансляционные) перемещения материальных частиц тела могут быть большими, но их
повороты должны быть малыми (R ~ g).
66 Глава 1. Основные положения механики сплошной среды
Уравнения движения для MNO-подхода рассматриваем толь-
только в отсчетной конфигурации28:
$-tr + °pf = °pa. b°V,
u = u* на°5„, A.127)
N • а = Т* на °ST ¦
В декартовой системе отсчета эти уравнения имеют следующую
запись в компонентах:
ац\1 + °Pfi = Vi в °V,
щ = и\ на °SU, A.128)
tTijNj = Tf на °ST ¦
Дифференцируя по времени соотношения A.127), получим:
V-O- + V = °ра bV,
п = п* на°5м, A.129)
N • а = Т* на °ST ¦
В декартовой системе отсчета система A.129) имеет следующую
запись в компонентах:
ц на
Ос
~.. ]\Т. _ Ф*
U j j I v j — х 4
28Актуальная конфигурация (после исключения возможного трансляцион-
трансляционного перемещения тела) почти не отличается от отсчетной.
Глава 2
ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ МЕХАНИКИ
ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
В гл. 1 введены характеристики деформируемой среды: тен-
тензоры напряжений, тензоры деформаций и их скорости. В реаль-
реальных процессах деформирования тел эти величины не могут вести
себя независимо. Фундаментальные свойства механики сплош-
сплошной среды отражаются в определяющих соотношениях — функ-
функциональных зависимостях, связывающих напряжения, деформа-
деформации и/или их скорости. Эти зависимости строятся на основе
экспериментальных исследований. Выполнение следующих основ-
основных принципов: тензорность соотношений, принцип детермениз-
ма, принцип локального действия, принцип материальной объ-
объективности, принцип затухающей памяти, законы термодинами-
термодинамики — накладывает ограничения на общий вид определяющих со-
соотношений [38]. Все моделируемые материалы группируются в
соответствии с определенными функциональными соотношения-
соотношениями. В механике сплошной среды различают большое количество
типов материалов со своими определяющими соотношениями: газ,
идеальная жидкость, вязкая жидкость, упругие материалы, упру-
гопластические материалы, упруговязкопластические материалы
и т. д.
В МДТТ все материалы можно условно разделить на два
класса: упругие и неупругие. Следуя [79], назовем материал тела
упругим, если напряжения восстанавливаются на всех кривых в
окрестности исходной точки пространства деформаций, а дефор-
деформации являются единственными независимыми переменными со-
состояния. Все остальные материалы называются неупругими. Бо-
Более детальные формулировки упругих и неупругих материалов
приводятся ниже.
68 Глава 2. Определяющие соотношения механики ...
В настоящей и последующих главах упрощаем некоторые
обозначения. Для второго тензора напряжений Пиола — Кирхго-
Кирхгофа вместо S'2) вводим обозначение S, а для тензоров деформаций
Грина — Лагранжа и Альманси вместо обозначений Е^2) и е^~2'
используем Е и е соответственно.
2.1. Упругий материал
Для упругих материалов вводится связь между тензорами на-
напряжений и деформаций. При этом в качестве отсчетной исполь-
используется естественная конфигурация тела — такая конфигурация,
в которой компоненты тензора напряжений равны нулю всюду в
теле.
2.1.1. Геометрически линейное деформирование тела
Пользуясь законами термодинамики, можно показать [68],
что при изотермическом и адиабатическом деформировании опре-
определяющие соотношения упругого материала записываются в виде
й. B„
de oeij
Скалярная достаточно гладкая функция компонент тензора де-
деформаций Коши W(e) называется удельной потенциальной энер-
энергией деформаций (упругим потенциалом). В силу симметрии тен-
тензора напряжений Коши а на W(e) накладываются ограничения
dW dW
Соотношения B.1) можно переписать в виде
а = Ф(е), B.2)
где Ф(е) — взаимно-однозначная тензорная функция тензора де-
деформаций Коши е.
Дифференцируя по времени левые и правые части соотноше-
соотношений в B.1), получаем следующую запись определяющих соотно-
соотношений упругого тела относительно скоростей:
<т = С:ё «» aij = Cjkl€kl, B.3)
2.1. Упругий материал 69
где С — тензор четвертого ранга, обладающий симметриями
_ и, гг ус) rf-ijkl и '' \crs) (ffijkl __ pklij __ pjikls
~ de2 deijdeki
B.4)
Первая симметрия тензора С в B.4) [С^ы = ?к1гЗ) называется
главной симметрией [62]. Определяющие соотношения B.3) име-
имеют вид однородных функций первой степени скоростей компонент
тензора напряжений Коши от скоростей компонент тензора де-
деформаций Коши. Вследствие этого и главной симметрии тензора
€ определяющие соотношения B.3) допускают запись
. dW(k) .u dW{ekl) dW dW
de дец дец oeji
с однородной потенциальной функцией второй степени W(e) (ква-
(квадратичной формой). Отметим, что функция W может параметри-
параметрически зависеть от компонент тензора деформаций Коши б. По те-
теореме Эйлера об однородных функциях получаем явный вид этой
функции:
= ^(ё):ё = 1ё:€:ё * W = \а*Чц = \ё
Пользуясь B.2), приведем определяющие соотношения ли-
линейного упругого изотропного материала (закон Гука1):
а = СЕ : 6. B.5)
Таким образом, рассматривается частный случай соотношений
B.2) с линейной однородной функцией первой степени Ф(е).
Вследствие изотропности материала тензор четвертого ранга <LE
определяется двумя постоянными параметрами (константами): А
и /х (параметры Ламэ) или ?и1/ (модуль Юнга и коэффициент
Пуассона), связанными друг с другом соотношениями
Ev Е
7i ' wi
'Точнее говоря, соотношения B.5), B.6) представляют частный случай за-
закона Гука для изотропного материала, в общем случае для анизотропного
материала тензор <?Е в B.5) может иметь 21 константу.
70 Глада 2. Определяющие соотношения механики ...
С помощью параметров Ламэ тензор <?Е записывается следую-
следующим образом:
СЕ = ACi + м(Сц + Сш), B.6)
где Ci, Си, Сш — базовые изомеры изотропного тензора четвер-
четвертого ранга [36],
Ci = ej ® ef ® ёк ® efc = gtjgklei ® ё,- ® efc ® ё; = g ® g,
Сп = ё{ ® ej ® ё* ® ё» = §**^''ei ® ei ® efc ® ё/, B.7)
Сш = ej ® ej ® ё7' ® ёг = дйд^кёг ® ej ® efc ® ёг = ё, ® g ® ё\
Из B.5), B.6) получаем следующую запись закона Гука:
а = A(tre)g + 2//e. B.8)
В декартовой системе отсчета закон Гука, записанный через ком-
компоненты, имеет вид
<Щ = С§Ы€*« = A^€fcfc + 2/*су> B-9)
где
Для того, чтобы перейти к записи закона Гука в виде B.1),
с помощью теоремы Эйлера об однородных функциях находим
потенциал
W = i<r(e) : е = \е : СЕ : е = ^A(treJ +/,е : е. B.10)
В декартовой системе отсчета он имеет следующее выражение
через компоненты тензора деформаций Коти:
W С% A(J +
Дифференцируя по времени соотношения в B.5), B.8), получаем
закон Гука, записанный относительно скоростей:
& = СЕ:ё = A(tre)g + 2/xe. B.11)
В потенциальной форме он имеет вид
При геометрически линейном деформировании тела все три
формы записи закона Гука (B.1) с учетом B.5), B.10) и B.11))
2.1. Упругий материал 71
эквивалентны2. Эта эквивалентность теряется при обобщении за-
закона Гука на случай произвольной деформации упругого тела.
Для такой деформации в следующем параграфе вводятся три
различных (неэквивалентных) определения упругого материала
[67, НО]3.
2.1.2. Определения упругого материала
при произвольной величине деформаций
Определение 1. Материал тела называется гиперупругим,
если существуют естественная конфигурация тела и такая анали-
аналитическая функция И^(Е), образуемая по отношению к естествен-
естественной конфигурации, что для всех точек тела справедливо равен-
равенство
W(E) = w. B.12)
Функция И^(Е) называется потенциальной энергией дефор-
деформаций. Механический смысл функции W(E) следует из ее опре-
определения: эта функция представляет потенциальную энергию де-
деформаций единицы массы тела. Введем удельную потенциальную
энергию деформаций (упругий потенциал) И^(Е) [67] (потенци-
(потенциальная энергия деформаций единицы объема тела в отсчетной
конфигурацииL:
= °pW(E). B.13)
2 Это утверждение справедливо для закона Гука и в более общем слу-
случае — для определяющих соотношений линейного упругого материала (необя-
(необязательно изотропного). Тогда под €.Е подразумевается постоянный тензор (не
зависящий от тензора деформаций е), обладающий симметриями (?В1->*' =
Eklij Ejikl
3 Такая же неэквивалентность может иметь место и для определяющих со-
соотношений физически нелинейного упругого материала при (возможной) гео-
геометрически линейной деформации тела. Для такого материала потенциальная
функция W — неквадратичная форма, Ф — нелинейная функция б, а тензор С
в B.3) зависит от е. Если определяющие соотношения B.2) или B.3) вводятся
независимо, а не выводятся из B.1), то нельзя гарантировать их эквивалент-
эквивалентность.
4Оставляем для функции 1У(Е) то же обозначение, что и для функции
W(e) из § 2.1.1, так как при условии бесконечно малой деформации матери-
материальной частицы функция W(E) превращается в функцию W(e).
72 Глада 2. Определяющие соотношения механики ...
Из B.12), B.13), A.102), A.104) следуют определяющие соотно-
соотношения гиперупругого материала:
о _ dW(B) ^ _ dW(Ekl) dWdW
Они связывают компоненты второго тензора напряжений Пио-
ла — Кирхгофа S с компонентами тензора деформаций Грина —
Лагранжа Е. Альтернативные формы определяющих соотноше-
соотношений гиперупругого материала можно получить, используя другие
пары сопряженных (необязательно инвариантных) тензоров на-
напряжений и деформаций. Получим, например, такие соотношения
с помощью несимметричных тензоров напряжений и деформаций.
Пользуясь A.47), запишем следующие выражения для удельной
потенциальной энергии деформаций:
Ё{Г) = W[(E(F)], E(F) = W"[(E(F)]. B.15)
Теперь из B.12), B.13), A.102), A.107), B.15) получаем альтер-
альтернативные формы определяющих соотношений гиперупругого ма-
материала [36, 46]:
__ dE(F)
Р~ dF ¦ {2ЛЬ)
Определение 2. Материал тела называется упругим, если
существует естественная конфигурация тела и в подходяще опре-
определенной конечной окрестности этой конфигурации существует
взаимно-однозначное соответствие вида
s = #(e) ^ sij = Фу(еы). B.17)
Соотношения B.17) называются определяющими соотноше-
соотношениями упругого материала.
Определение 3. Материал тела называется гипоупругим,
если компоненты производной Яуманна тензора напряжений Ко-
ши — линейные однородные функции компонент тензора скорости
деформаций
sJ = С : d. B.18)
Соотношения B.18) называются определяющими соотноше-
соотношениями гипоупругого материала. Предполагается, что в них ком-
компоненты тензора четвертого ранга <?. не зависят от компонент
2.1. Упругий материал - 73
тензора скорости деформаций d, но могут зависеть от текущих
значений компонент тензоров напряжений и деформаций.
Между этими тремя определениями упругого материала су-
существует связь, которая задана следующей теоремой [67, 110].
Теорема Нолла. Упругий материал является частным
случаем гипоупругого материала; изотропный гиперупругий ма-
материал является частным случаем упругого и, следовательно,
гипоупругого материала.
Отметим, что только для гиперупругого материала гаран-
гарантируется отсутствие диссипации (рассеивания) энергии на вну-
внутреннее трение.
В определении гиперупругого материала используется пара
сопряженных симметричных инвариантных тензоров напряжений
и деформаций (S, Е). Вместо этой пары можно было бы исполь-
использовать любую другую пару таких сопряженных тензоров, напри-
например (S'~2), Е(~2)). В двух других определениях (упругого и гипо-
гипоупругого материалов) используется пара симметричных индиф-
индифферентных тензоров (s, e), которая с учетом равенства eCR = d
также отнесена к сопряженной паре (см. § 1.4.4).
Рассмотрим частные случаи определяющих соотношений ги-
гиперупругого и упругого материалов:
S = CR : E, s = CL : e, B.19)
где С , <С — тензоры четвертого ранга. Пользуясь формулами
связи тензоров Е и е в A.48), а также S и s в A.79), получаем
формулы связи компонент тензоров €. и €,L [72]5:
QT Gat
cLijkl = 1 pip pj^ ^Rpqrs pkr plg
и
В декартовой системе отсчета соотношения B.20) записываются
5 Здесь и далее предполагаем, что G'j — компоненты тензора G в про-
пространственном базисе, a F'j — компоненты тензора F в материальном от-
счетном базисе (знак V над F*j опускаем во избежание загромождения фор-
формул).
74 Глава 2. Определяющие соотношения механики ...
в следующем виде [49, 88]:
^ijkl = JXi,p Xjtq Cpqrs Xk,r XijS, /ОО
^ijkl ~ ~j Xi\p Х3\Я ^-pqrs xk\r xl\s-
Таким образом, для того, чтобы определяющие соотношения ги-
гиперупругого и упругого материалов B.19) описывали один и тот
же материал, тензоры <?л и <?L должны преобразовываться по
формулам B.20) или B.21). Если эти тензоры определить так,
что6
<CR = CL = CE, B.22)
т. е. сделать прямое обобщение закона Гука на гиперупругий и
упругий материалы, то определяющие соотношения B.19) будут
соответствовать двум разным материалам, так как формулы пре-
преобразования B.20) или B.21) при произвольной величине дефор-
деформаций здесь не выполняются.
Определяющие соотношения гипоупругого материала B.18)
можно модифицировать, используя в левой части вместо произ-
производной Яуманна некоторую другую индифферентную производ-
производную тензора напряжений Коши вд или Кирхгофа тЛ, например
s6/, sCR, sG, sH, sTr, sCR + strd, tj, r°l, rCR, rG, рассмотрен-
рассмотренные в § 1.4.3. В исследованиях по нелинейной механике сплошной
среды была развернута дискуссия [3, 35, 38, 72, 73, 77, 79, 88, 96,
100, 118, 121] по вопросу о том, какую из индифферентных произ-
производных лучше использовать для формулирования определяющих
соотношений гипоупругого материала. Изложим кратко суть дис-
дискуссии.
Рассмотрим обобщенные определяющие соотношения гипо-
гипоупругого материала
sA = С : d. B.23)
6Базовые изомеры Ci, Си, Сш определены в B.7) в переменных Лагранжа.
Для того, чтобы получить выражения этих изомеров в переменных Эйлера,
надо заменить выражения вида д^ и ё{ на д1' и ej, откуда следуют два экви-
эквивалентных представления тензора СЕ:
СЕ = [\д"дк1 + »(д* V + 9Н?к)]ъ в в, О ёк ® ё, =
= [АрV' + Р(в*V + ffJV*)]ei О в,
2.1. Упругий материал 75
В качестве тестовой задачи для отбора подходящей индифферент-
индифферентной производной обычно используется задача о простом сдвиге
[38, 72, 118] с тензором <? = СЕ в правой части B.23), т.е. закон
Гука обобщается на гипоупругий материал и рассматриваются
определяющие соотношения вида
sA = (LE : d. B.24)
При решении тестовой задачи получены следующие результаты.
При использовании производной Яуманна тензора напряжений
Коши sJ в левой части B.24) решение показывает осциллиру-
осциллирующее поведение компонент тензора напряжений Коши при мо-
монотонном возрастании угла сдвига, не соответствующее картине
деформирования. Более реалистичное (без осцилляции) поведение
этих компонент отмечается при использовании производных Гри-
Грина — Макиннеса sG и Трусделла sTr.
В [38] предложено модифицировать определяющие соотноше-
соотношения B.24) путем замены тензора скорости деформаций d индиф-
индифферентной производной ёА некоторого индифферентного тензора
деформаций ё:
SA = СЕ : ёЛ. B.25)
Отсутствие осцилляции в решении задачи о простом сдвиге га-
гарантируется тем, что соотношения B.25) представляют собой за-
запись относительно скоростей соотношения
s = <?Е : ё, B.26)
имеющего вид определяющего соотношения для упругого матери-
материала, т. е. решением B.25) является выражение B.26), которое не
содержит осцилляции компонент тензора при монотонном возра-
возрастании деформаций сдвига.
Определяющие соотношения упругопластического материа-
материала при геометрически линейном деформировании задаются в виде
однородной функции первой степени скоростей компонент тензо-
тензора напряжений Коши от компонент тензора деформаций Коши.
Основная цель проводимого здесь анализа поведения компонент
тензора напряжений Коши в задаче о простом сдвиге для раз-
различных формулировок определяющих соотношений гипоупругого
материала состоит в ответе на вопрос: какую из сравниваемых
формулировок следует предпочесть при введении упругого зако-
закона деформирования в определяющие соотношения упругопласти-
упругопластического материала при произвольных деформациях тела? В свете
76 Глава 2. Определяющие соотношения механики ...
обобщения определяющих соотношений упругопластического ма-
материала, записанных в условиях геометрически линейного дефор-
деформирования, на произвольную деформацию тела очевидно, что же-
желательной структурой определяющих соотношений должна быть
структура соотношений B.23), так как только с помощью тен-
тензора скорости деформаций d можно сделать правильную запись
мощности внутренних сил w (см. § 1.4.4). Эта величина служит
основой для вывода определяющих соотношений упругопластиче-
упругопластического материала (например, из принципа максимума Мизеса [4]).
Такой анализ по выбору определяющих соотношений гипоупру-
гого материала проведен в [3]. Сделан вывод: для произвольного
вида определяющих соотношений упругопластического материа-
материала в диапазоне изменения деформаций, достаточном для большин-
большинства практических приложений, можно использовать определяю-
определяющие соотношения B.23) с производной Грина — Макиннеса sG
в левой части. Этот вывод основан на том, что, во-первых, эта
производная является коротационной, так что выполняются свой-
свойства A.39), A.40); во-вторых, при <? = СЕ с достаточно хорошим
приближением соотношения B.24) превращаются в B.25O, что
предотвращает осцилляции компонент тензора напряжений Ко-
Коши в задаче о простом сдвиге.
В то же время решения задачи о простом сдвиге для тел
из идеального упругопластического материала и упругопласти-
упругопластического материала с изотропным упрочнением показывают пра-
правильную картину деформирования (без осцилляции компонент
тензора напряжений Коши при монотонном возрастании сдви-
сдвига) при использовании определяющего соотношения B.18) [118].
Осцилляции появляются в том случае, если применяется кине-
кинематический (анизотропный) закон упрочнения материала упру-
упругопластического тела. Таким образом, для первых двух моделей
упругопластического материала в качестве скорости тензора на-
напряжений можно использовать производную Яуманна тензора на-
напряжений Коши sJ, что значительно упрощает задачу определе-
определения скорости изменения тензора напряжений Коши по сравнению
с использованием производной Грина — Макиннеса sG. В первом
случае компоненты производной sJ определяются непосредствен-
непосредственно с использованием компонент тензора вихря w, а во втором слу-
7 Роль индифферентного тензора деформаций ё играет левый тензор лога-
логарифмических деформаций In V, так как In VG « d.
2.1. Упругий материал 77
чае для определения тензора относительного спина ш требуется
полярное разложение A.33) тензора градиента деформаций F [66]
в каждой материальной точке тела.
2.1.3. Малая деформация тела
Пусть все материальные частицы тела В подвергаются ма-
малой деформации, так что выполнены приближенные равенства
A.52). Такую деформацию назовем малой деформацией тела. Тем
не менее повороты и перемещения материальных частиц могут
оставаться большими.
Как и при геометрически линейном деформировании, все три
определения упругого материала, рассмотренные в § 2.1.2, тео-
теоретически эквивалентны при малой деформации тела, материал
которого подчиняется закону Гука. Тензоры напряжений s, S и
деформаций е, Е связаны преобразованиями поворота (см. § 1.3.4
и § 1.4.1)
е = R Е • RT, Е = RT ¦ е ¦ R,
s = R • S • RT, S = RT s ¦ R.
Все индифферентные производные тензоров напряжений и дефор-
деформаций превращаются в производные Яуманна sJ и eJ, при этом
выполняется равенство
eJ « d.
Объективные производные тензоров напряжений и деформаций
связаны соотношениями
е
= R • Ё • RT, Ё = RT -eJ R,
B.27)
sJ = R • S • RT, S = RT ¦ s • R.
Из B.27) следует, что при малой деформации тела определяю-
определяющие соотношения гипоупругого материала B.18) представляют
собой определяющие соотношения гиперупругого B.14) или упру-
упругого B.17) материалов, записанные относительно скоростей.
В силу теоретической эквивалентности всех трех определе-
определений упругости выгодность использования какого-либо одного ви-
вида определяющих соотношений диктуется в основном соображе-
соображениями эффективности работы с выбранным соотношением при
решении конкретной задачи.
Например, если рассматриваются определяющие соотноше-
соотношения для гиперупругого и упругого материалов, то при выполне-
выполнении равенств B.22) оба определяющих соотношения при условии
78 Глада 2. Определяющие соотношения механики ...
малости деформаций тела описывают один и тот же материал.
Этот факт является следствием изотропности материала, подчи-
подчиняющегося закону Гука, и того, что F яз R, G яз RT, поэтому
нет очевидного преимущества использования одного определяю-
определяющего соотношения перед другим. Для анизотропных (ортотроп-
ных) материалов выгоднее использовать определяющие соотно-
соотношения гиперупругого материала в виде первого равенства B.19),
так как тензор <?л остается постоянным в процессе деформиро-
деформирования, а тензор <LL изменяется.
Использование определяющих соотношений гипоупругого
материала B.18) при численном решении задач проигрывает по
сравнению с использованием определяющих соотношений гипер-
гиперупругого и упругого материалов, так как для определения ком-
компонент тензора напряжений Коши надо интегрировать опреде-
определяющие соотношения B.18), что может внести дополнительные
погрешности в решение задачи.
Справедливо утверждение общего характера.
Утверждение. Определяющие соотношения для любых ма-
материалов (упругих и неупругих), справедливые при геометриче-
геометрически линейном деформировании тела, обобщаются на случай гео-
геометрически нелинейного деформирования при условии малости
деформаций прямой заменой тензора напряжений Коши а, тен-
тензора деформаций Коши е и их скоростей &, k соответственно
вторым тензором напряжений Пиола — Кирхгофа S, тензором
деформаций Грина — Лагранжа Е и их материальными произ-
производными S, Е. При такой деформации тензоры S и Е имеют
простую механическую интерпретацию: компоненты этих тен-
тензоров приближенно равны компонентам тензоров а и е, полу-
полученных из тензоров ег и е операцией поворота, осуществляемой
ортогональным тензором R. Такие же приближенные равен-
равенства справедливы для материальных производных компонент-
этих тензоров, т. е. S яз а, Е яз ё, S яз Ь, Е яз ё.
Проведенный анализ эффективности использования тех или
иных определяющих соотношений упругости в условиях малой
деформации тела важен для выбора наиболее эффективной фор-
формулировки уравнений при решении нелинейных задач о дефор-
деформировании тонкостенных конструкций (стержней, пластин и обо-
оболочек). Для них при изгибе, как правило, выполняются требо-
требования малости деформаций. Поэтому для формулировки урззне-
2.1. Упругий материал 79
ний, описывающих изгиб тонкостенных конструкций рекоменду-
рекомендуется использовать пару сопряженных тензоров напряжений и де-
деформаций S, Е, а при упругом деформировании — определяющие
соотношения гиперупругого материала B.14).
2.1.4. Несжимаемый гиперупругий материал
Определяющие соотношения гиперупругих материалов при
больших деформациях используются в основном для модели-
моделирования поведения резиновых тел. Рассмотрим некоторые мо-
модели изотропных материалов, описывающие деформации таких
тел. Вследствие изотропии материала потенциальная функция W
должна зависеть только от главных инвариантов тензора де-
деформаций Грина — Лагранжа /г(Е), /2(Е), /з(Е) (см. A.1)).
В определяющих соотношениях B.14) потенциальную функцию
W(I\, /г, /з) прямо использовать нельзя вследствие того, что ма-
материал резины предполагается несжимаемым (J = detF = 1),
так что справедливы равенства A.46). Условие несжимаемости
формулируем с помощью правого тензора деформаций Коши —
Грина С, связанного с тензором деформаций Грина —- Лагран-
Лагранжа Е первой формулой A.49):
/3(С) =detC = l. B.28)
Таким образом, потенциальную функцию для несжимаемо-
несжимаемого гиперупругого материала следует формулировать в терминах
независимых инвариантов I\(C), I-i(С) тензора деформаций Ко-
Коши — Грина при выполнении условия B.28). Обозначим эту по-
потенциальную функцию через W. Для несжимаемого гиперупруго-
гиперупругого материала Муни — Ривлина [36, 46] потенциальная функция W
постулируется в виде
W[h(C),I2(C)] = Ci[Ji(C) - 3] + С2[/2(С) - 3], B.29)
где Ci, Ci — константы Муни — Ривлина.
Можно выбрать два варианта вывода определяющих соотно-
соотношений для материала Муни — Ривлина8.
• Получить потенциальную функцию W"(E) с помощью связи тен-
тензоров деформаций Коши — Грина и Грина — Лагранжа A.49):
Явный вид этих соотношений приведен в § 6.2.3.
80 Глава 2. Определяющие соотношения механики ...
а затем воспользоваться определяющими соотношениями B.14) с
учетом условия несжимаемости
detBE + g) = l.
• Переформулировать определяющие соотношения B.14) для
третьей пары сопряженных тензоров напряжений и деформаций
в A.105): (S/2,С). Вместо B.14) использовать альтернативную
форму определяющих соотношений
q _ о dW(C) ф ndW(Ckl) dW _ dW
при выполнении условий B.28).
Если константа Сг = 0, то материал Муни — Ривлина пере-
переходит в несжимаемый гиперупругий материал Трелоара (неогу-
ков материал) [36, 46].
2.1.5. Определяющие соотношения упругости, записанные
относительно скоростей
Дифференцируя по времени левую и правую части B.14), по-
получаем определяющие соотношения гиперупругого материала, за-
записанные относительно скоростей:
B.30)
где
im _ d*W(Ers)
З --щщ; B31)
— тензор четвертого ранга, левый нижний индекс 0 которого ука-
указывает на (возможную) параметрическую зависимость компонент
этого тензора от компонент тензора деформаций Грина — Ла-
гранжа. Тензор $<?, обладает следующими симметриями:
Соотношения B.30) можно переписать в потенциальном виде в
силу главной симметрии тензора о С:
) doWdoV^
2.1. Упругий материал 81
Здесь oW(E) — квадратичная форма, имеющая по теореме Эйле-
Эйлера об однородных функциях следующую запись в явном виде:
2 2 B.33)
^ oW = - &Щ ц
Аналогично из второго соотношения B.16) получаем альтер-
альтернативные определяющие соотношения гиперупругого материала,
записанные относительно скоростей [62]9:
P = 0€:F «• Pij = 0€iklFku B.34)
где
Тензор четвертого ранга о С в общем случае обладает только
главной симметрией
oejkl = 0?klij-
Пользуясь A.61), A.91), B.30), B.34), получаем связь контрава-
риантных компонент тензоров о С и о С в материальном отсчетном
базисе [62]:
0?У*| = Fiq oCQJPi Fkp + yhgij B 35)
Запишем соотношения B.34) в потенциальном виде:
dF V ;
dF ij
где o-S(F) — квадратичная форма, которую представим в явном
виде:
2 2 B.37)
9 То же самое можно было бы сделать и для первого соотношения B.16).
Подобные определяющие соотношения, сформулированные относительно ско-
скоростей, приведены в [78], но вместо пары тензоров (V, F) там рассматрива-
рассматривается другая пара сопряженных тензоров — ("Р, "К).
82 Глава 2. Определяющие соотношения механики ...
Потенциальные функции связаны соотношениями
0Е = 0W + ^ S : (J7 • F) = 0W + - S : {ii • H) =
- ]¦ S : [Vu ¦ (Vu)T]. B.38)
В декартовой системе отсчета соотношения B.33), B.37),
определяющие потенциалы qW и qE, переписываются в виде
- Sij Eij = - Eij o^ijki Еы,
1. i . " B-39)
= - Pij Uj|j = - tli|j
а формула связи B.38) этих потенциалов имеет следующую за-
запись:
0Е = 0W + - Sijukliuklj. B.40)
Перепишем определяющие соотношения гиперупругого ма-
материала B.30) в виде обобщенных определяющих соотношений
гипоупругого материала B.23), воспользовавшись для этого фор-
формулами A.64), A.95):
l^7 • d • Fll ¦ T I? 41)
j — iv ¦¦-¦ • V*7 ^* /J ^ • V /
Введем тензор четвертого ранга t(?, связанный с тензором о<? фор-
формулами преобразования компонент вида B.20):
J
С помощью тензора ((? соотношения B.41) перепишем в оконча-
окончательном виде:
sTr = t€:d & sTrij = t?ijkldkl. B.42)
Запишем определяющие соотношения B.42) в потенциальном ви-
виде:
_Tr = dtW(d) ^ „Ггг, = OtW(dkl) dtW = dtW
dd ddij ddij ddji
2.1. Упругий материал 83
tW(d) = brr(d):d=id:tC:d о
2 2 B.43)
где
Пользуясь связью производных Трусделла и Хилла тензора
напряжений Коши (см. A.96)), соотношения B.42) перепишем в
виде
sH = tC:d + s-d + d-s. B.44)
С помощью тензора {С с компонентами [88]
^ijkl + Lsikgjl + sjkgil + silgjk + sjlgik^
запишем определяющие соотношения гиперупругого материа-
материала B.44) в следующем виде:
B.45)
а также в потенциальной форме:
_я = dtH(d) ^ cIIij^dtH{dkl)^ dtH = dtH^
dd dd dd dd
где
% B.47)
Потенциалы tH w tW связаны соотношением
tW = tH-s: (d-d). B.48)
В определяющих соотношениях гиперупругого материала
B.34) используются материальные производные тензоров Р и F.
Пользуясь A.99), A.31), преобразуем B.34) к следующему виду10:
<> [€(I-F)]-.F. B.49)
10В B.49) используется пара несимметричных тензоров скоростей напря-
напряжений и деформаций s* и 1. Аналогичное соотношение можно написать для
пары тензоров sn и I.
84 Глава 2. Определяющие соотношения механики ...
Введем тензор четвертого ранга (С, обладающий главной сим-
симметрией
tCijkl = \ Fjq 0Ciqkr Flr, tCijkl = tCklij.
С помощью этого тензора определяющие соотношения B.49) и,
следовательно, B.34) переписываются в виде
sO = (C:I <* s<>iJ = t&kllkl = tCjklVlvk. B.50)
Соотношения B.50) можно записать в потенциальной форме:
а 1
где
s(l):l=l:tC:l ^
2 2 B.52)
5 ^
2
Потенциальные функции tE и tW связаны соотношением
tE = tW + \ s : (М) = tW + \ s : [Vv • (Vv)T]. B.53)
Zi Zt
Из B.48) и B.53) получаем связь потенциалов tE и (i7:
В декартовой системе отсчета потенциалы tW, tH, tE, определен-
определенные в B.43), B.47), B.52), записываются в виде
tw = \sjr l
2 -г] ~ч 2 tJ
„_ 1 Я !
t-" — 7i ^ij ij == ~Х ij t ijkldkh (Z.QQ)
Z Z
1 1
* ~ 2 Vi'j ~ 2 Vi>;
В этой системе отсчета они связаны формулами
tW = tH — Sijdkidkj,
~ "" Х ^fcj, B.56)
tE tW +
tE = tH - Sijdkidkj + -
2.2. Упругопластический материал 85
Для упругих материалов можно получить ряд формулиро-
формулировок для определяющих соотношений B.17), переписанных в скоро-
скоростях, в зависимости от используемых производных индифферент-
индифферентных тензоров напряжений s и деформаций е. Рассмотрим только
одну модель упругого материала — линейного .упругого изотроп-
изотропного материала в предположении малой деформации тела. Закон
Гука для такого материала имеет' две эквивалентные записи —
в виде определяющих соотношений для гиперупругого и упругого
материалов:
S = СЕ : Е, s = СЕ : е.
В качестве определяющих соотношений для линейного упру-
упругого изотропного материала, сформулированных относительно
скоростей, используем соотношения B.42). В силу того, что
(<? = <?Е, получаем эквивалентные формы определяющих соотно-
соотношений упругого материала, записанные относительно скоростей:
S = CE:B, sTr = ?E:d, sH = €Е : d.
Последние соотношения (с производной sH) добавлены вследствие
того, что sTr и sa совпадают при малых деформациях тела.
2.2. Упругопластический материал
Рассмотрим деформирование тела из неупругого материала,
которое характеризуется остаточными деформациями после сня-
снятия нагрузок. В классе неупругих материалов выделим материа-
материалы, механические свойства которых не зависят от естественного
времени (для этих материалов исключается явление ползучести
или вязкопластичности). Следуя [79], такие материалы назовем
упругопластическими.
Существует два принципиально разных подхода к постро-
построению определяющих соотношений упругопластического материа-
материала. В первом подходе соотношения строятся в виде определяющих
соотношений для физически нелинейного упругого материала при
активном нагружении материальной частицы и для линейного
упругого материала при ее разгрузке. Соотношения такого ти-
типа называются определяющими соотношениями деформационной
теории пластичности. Имеется два главных возражения против
использования такого типа определяющих соотношений для опи-
описания пластического поведения материалов [25]:
86 Глава 2. Определяющие соотношения механики ...
1. При формулировании определяющих соотношений деформа-
деформационной теории пластичности в конечном (не дифференци-
дифференциальном) виде в решения статических задач не входит за-
зависимость от пути деформирования, что противоречит фи-
физическим основам пластичности и экспериментальным дан-
данным.
2. При представлении определяющих соотношений деформаци-
деформационной теории пластичности через скорости при нейтраль-
нейтральном деформировании материальной частицы (предельный
случай как активного нагружения, так и разгрузки) скоро-
скорости компонент тензора напряжений изменяются с разрывом,
что делает невозможным корректную математическую по-
постановку краевой задачи, сформулированной относительно
скоростей.
Во втором подходе определяющие соотношения строятся в
виде однородных функций первой степени компонент некоторых
объективных производных тензоров напряжений от компонент
объективных производных тензоров деформаций. Определяющие
соотношения этого типа называются определяющими соотноше-
соотношениями теории пластического течения. Они свободны от упомяну-
упомянутых выше недостатков определяющих соотношений деформаци-
деформационных теорий пластичности.
В этом разделе рассматриваются формулировки определяю-
определяющих соотношений упругопластического материала как в виде со-
соотношений теории пластического течения, так и в виде соотноше-
соотношений деформационной теории пластичности, сформулированных
относительно скоростей, при игнорировании условий разгрузки.
Последние при некоторых условиях нагружения материальной ча-
частицы совпадают с соотношениями одной из теорий пластическо-
пластического течения. Использование определяющих соотношений деформа-
деформационной теории пластичности в таком виде позволяет разрешить
парадокс пластического выпучивания, который кратко обсуждал-
обсуждался во введении.
2.2.1. Геометрически линейное деформирование тела
Вследствие предположения о независимости определяющих
соотношений упругопластического материала от естественного
времени следует, что материальные производные компонент тен-
тензора напряжений Коши & должны представлять собой однород-
2.2. Упругопластический материал 87
ные функции первой степени от материальных производных ком-
компонент тензора деформаций Коши ё [79]. В [47, 77, 79] постулиру-
постулируется существование однородной потенциальной функции второй
степени И^(ё) такой, что определяющие соотношения упругопла-
упругопластического материала записываются в виде
Предполагается, что потенциальная функция W(e) имеет непре-
непрерывные первые и, по крайней мере, кусочно-непрерывные вто-
вторые производные от своих аргументов. Эта функция параметри-
параметрически зависит от компонент тензора напряжений Коши и от пара-
параметров, содержащих всю историю деформирования. Обоснование
необходимости записи определяющих соотношений упругопласти-
упругопластического материала в потенциальном виде B.57) представлено в
[19, 23, 25] (следствие принципа макродетерминизма). Таким об-
образом, возможность представления определяющих соотношений
упругопластического материала в виде B.57) дает критерий от-
отбора феноменологических теорий пластичности. Например, опре-
определяющие соотношения деформационной теории пластичности,
сформулированные относительно скоростей, не допускают записи
в виде B.57). Но если игнорировать условие разгрузки по упруго-
упругому закону11, то рассматриваемые далее соотношения деформаци-
деформационной теории пластичности для материала с изотропным упроч-
упрочнением записываются в виде B.57). Если функциональные зави-
зависимости <т(ё) известны и допускают запись в виде B.57), то по
теореме Эйлера об однородных функциях можно получить явный
вид потенциальной функции:
&:e.
Рассмотрим определяющие соотношения упругопластиче-
ских материалов для некоторых теорий пластичности. Введем де-
виатор тензора напряжений сг', который в соответствии с A.3)
имеет вид
a' = a-lIl{a)s (/l(tT) = (T.g). B.58)
11 То есть использовать определяющие соотношения физически нелинейного
упругого материала вместо определяющих соотношений упругопластического
материала.
88
Глава 2. Определяющие соотношения механики
Рис. 2.1. Диаграммы одноосного растяжения для упругопла-
стических материалов:
о — идеальный упругопластический материал; б — упругопласти-
ческий материал с упрочнением
Определим второй инвариант J% тензора <х':
B.59)
где /2@"') — инвариант, определяемый по второй формуле A.1).
Здесь мы воспользовались тем, что в соответствии с A.4)
Ii(cr') — 0. В декартовой системе отсчета из B.58), B.59) полу-
получаем
/ * * / /
О Л
Среди упругопластических материалов выделим идеальные
материалы и материалы с изотропным упрочнением. Зависи-
Зависимость напряжения от деформации для таких материалов при
одноосном растяжении с возможной разгрузкой иллюстрирует
рис. 2.1. Здесь оу — предел текучести материала при одноосном
растяжении, о® — его начальное значение. Диаграмма одноосного
растяжения тела из упругопластического материала обобщается
введением функции текучести Мизеса:
• для идеального материала
- а
у,
для материала с изотропным упрочнением
B.60)
B.61)
2.2. Упругопластический материал 89
Здесь г] — параметр упрочнения, характеризующий величину на-
накопленных пластических деформаций; сгу(т)) — монотонно возра-
возрастающая функция параметра упрочнения. В качестве парамет-
параметра упрочнения часто используется эффективная пластическая де-
деформация
B'62)
где ёр — материальная производная тензора пластических дефор-
деформаций (этот тензор определяется далее). Предполагается, что на-
начальная конфигурация — естественная (свободная от напряже-
напряжений) и при t = 0 г} = 0, (ту@) = а®.
Уравнение
fy = 0 B.63)
определяет поверхность (гиперсферу) в пространстве компонент
девиатора тензора напряжений. В соответствии с принципом мак-
максимума Мизеса или постулатом Друкера [4, 21] эта поверхность
должна быть замкнутой и невогнутой, что выполняется для по-
поверхности B.63) с функцией fy, определенной в B.60) или B.61).
При таком выборе функции fy поверхность B.63) называется по-
поверхностью текучести Мизеса. Для идеального упругопласти-
ческого материала поверхность текучести не трансформируется
при пластическом деформировании, а для материала с изотроп-
изотропным упрочнением — одинаково расширяется по всем направлени-
направлениям от центра при увеличении параметра г\. Отметим, что явного
выражения параметра т\ в виде B.62) (или каком-либо другом) не
требуется, так как при активном пластическом деформировании
V = 4>{J2ax), B-64)
где ip — некоторая монотонно возрастающая функция J™01;
jmax — максимальное значение инварианта J2, полученное в
процессе деформирования окрестности материальной точки (при
упругой разгрузке этой окрестности значение Ji уменьшается, а
значение J™ остается неизменным, следовательно, и т\ не изме-
изменяется); в естественной конфигурации полагаем Jj" = (о"^J/3.
Зависимость B.64) однозначно определяется из кривой для одно-
одноосного деформирования (растяжения или сжатия). Пример такой
кривой приведен на рис. 2.1,5. Для представленных ниже опре-
90
Глава 2. Определяющие соотношения механики
Рис. 2.2. Различные ситуации, определяющие поведение иде-
идеального упругопластического материала:
а — /y(f') < 0i упругое деформирование; б— /у(с') = 0, «г : <т' < 0,
упругое деформирование (разгрузка); б — fy(cr') = 0, (Т : а' — 0,
пластическое деформирование (нагружение)
деляющих соотношений упругопластического материала функ-
функцию B.64) определять в явном виде не потребуется1 .
Важным этапом в построении определяющих соотношений
упругопластического материала является определение режимов:
упругого деформирования, разгрузки по упругому закону и пла-
пластического деформирования. В феноменологических теориях пла-
пластичности установление этих режимов зависит от расположения
конца радиуса-вектора текущего значения девиатора тензора на-
напряжений в пространстве компонент этого девиатора по отноше-
отношению к поверхности текучести и от направления вектора скоро-
скорости тензора напряжений в этом же пространстве. Пусть точка А
соответствует концу этого радиуса-вектора. Определим перечис-
перечисленные выше режимы для идеального упругопластического мате-
материала (с их иллюстрацией на рис. 2.2).
(а) Упругое деформирование (fy < 0): точка А находится во
внутренней части области от поверхности текучести; на-
направление вектора скорости напряжений произвольно.
(б) Разгрузка по упругому закону (fy = 0, m : & < 0): точ-
точка А находится на поверхности текучести; вектор скорости
напряжений направлен во внутреннюю часть области от по-
поверхности текучести.
12 Функция г) неявно задается зависимостью касательного и секущего моду-
модулей Ei и Es от J2mo1.
2.2. Упругопластический материал
91
А-о
Рис. 2.3. Различные ситуации, определяющие поведение упру-
гопластического материала с изотропным упрочнением:
а — /у(о"',ёр) < 0, упругое деформирование; б — fy(cr',ep) = О,
& : or' ^0, упругое деформирование (разгрузка); в — fy{cr',ёр) = 0,
<т : <т' > 0, пластическое деформирование (нагружение)
(в) Пластическое деформирование (fy = 0, m : & = 0): точка
А находится на поверхности текучести; вектор скорости на-
напряжений направлен по касательной к поверхности текуче-
текучести (точка А двигается по поверхности текучести или оста-
остается неподвижной).
Здесь и далее m —- вектор единичной внешней нормали к поверх-
поверхности текучести (тензор второго ранга).
Определим аналогичные режимы деформирования для упру-
гопластического материала с изотропным упрочнением (с их ил-
иллюстрацией на рис. 2.3).
(а) Упругое деформирование (fy < 0): точка А находится во
внутренней части области от поверхности текучести; на-
направление вектора скорости напряжений произвольно.
(б) Разгрузка по упругому закону (fy = 0, m : & ^ 0): точ-
точка А находится на поверхности текучести; вектор скоро-
скорости напряжений направлен во внутреннюю часть области
от поверхности текучести или по касательной к поверхно-
поверхности текучести (нейтральное деформирование материальной
частицы).
(в) Пластическое деформирование (fy = 0, m : & > 0): точ-
точка А находится на поверхности текучести; вектор скорости
напряжений направлен во внешнюю часть области от по-
поверхности текучести.
92
Глава 2. Определяющие соотношения механики ...
Деформационная теория пластичности
Приведем определяющие соотношения деформационной тео-
теории пластичности для идеального материала или материала с
изотропным упрочнением [18, 84, 88]. Принимается
Основная гипотеза. Тензор деформаций е можно предста-
представить в виде суммы упругой ее и пластической ер составляющих:
е = ее + ер. B.65)
Материал предполагается пластически несжимаемым:
trep = O. B.66)
Тензор упругих деформаций ее связан с тензором напряже-
напряжений а законом Гука вида B.8):
o- = A(tre)g + 2//ee. B.67)
Тензор пластических деформаций ер предполагается пропор-
пропорциональным девиатору тензора напряжений <т', при этом обеспе-
обеспечивается выполнение условия B.66) пластической несжимаемости
материала:
^ф-<г'. B.68)
Здесь введена функция g(J2,J2)'-
• для идеального упругопластического материала
О, если J2 < (сг»J/3
или J2 = КJ/3 и j2 < О,
• для упругопластического материала с упрочнением
О, если J2 < 3%™
или J2 = J?ax и j2 ^ 0,
g{J2, Л) = <
B.69)
B.70)
J2 =
и
0.
В B.69), B.70) Es — секущий модуль материала, который опреде-
определяется из диаграммы одноосного деформирования (см. рис. 2.1).
2.2. Упругопластический материал 93
После некоторых преобразований из B.65), B.67), B.68) по-
получаем определяющие соотношения деформационной теории пла-
пластичности для идеального материала или материала с изотроп-
изотропным упрочнением:
Е
or =
Дифференцируя левую и правую части B.71) not и отбрасывая
условия разгрузки, получаем определяющие соотношения дефор-
деформационной теории пластичности, сформулированные относитель-
относительно скоростей, без учета разгрузки:
& = <tEPd : e. B.72)
Здесь тензор четвертого ранга <?pPd имеет вид
Е
3A -2v) ' \ + v + g-
где (для идеального материала полагаем J™ax — (ст°J/3)
О, если J2 < J2raai,
(эта функция получается из выражений B.69) или B.70) при игно-
игнорировании условий разгрузки);
0, если J2 < J2raax,
Et — касательный модуль материала, определяемый из диаграм-
диаграммы одноосного растяжения (см. рис. 2.1). Тензор (?.EPd обладает
следующими симметриями:
O-EPd _ a-EPd л-EPd
Выражение B.73) можно использовать только для материа-
материала с упрочнением. Для идеального упругопластического матери-
материала Et — 0 и выражение B.73) использовать нельзя. Надо еде-
94 Глава 2. Определяющие соотношения механики ...
лать замену последнего слагаемого в его правой части (полагаем
W = 0):
д'аг' ®а' аг1 ® аг
1 + v + д + 2g'J2 2J2
Определяющие соотношения B.72), в силу независимости
компонент тензора (?.ЕРЛ от скоростей компонент тензоров дефор-
деформаций ё и напряжений &, входят в класс определяющих соотноше-
соотношений физически нелинейного упругого материала типа B.3). Они
допускают запись вида B.57) с потенциалом
Wd{e) = \e:
Е Г. . 3t/ + g 2 g'jar'-ef л
2(l + i/ + 0)L " +3A-2^)V > l + u + g + 2g'J2y
B.75)
являющимся квадратичной формой относительно скоростей ком-
компонент тензора деформаций. Потенциал Wd вида B.75) исполь-
используется для материала с упрочнением. Для идеального упругопла-
упругопластического материала в B.75) надо сделать замену
PV : ёJ . («г' : ёJ
2J2
В декартовой системе отсчета компоненты тензора <?.EPd для
материала с упрочнением имеют вид
а для идеального упругопластического материала необходимо сде-
сделать замену
1 + v + д + 2g'J2 2J2
В этой же системе отсчета потенциальная функция B.75) для ма-
2.2. Упругопластический материал 95
териала с упрочнением записывается так:
- [егзег:1 + 3(l2V j
для идеального упругопластического материала делаем замену
2J2
Теория пластического течения
При выводе определяющих соотношений теории пластическо-
пластического течения для идеального материала или материала с изотроп-
изотропным упрочнением принимается следующая
Основная гипотеза. Материальную производную тензора
деформаций ё можно представить в виде суммы упругой ёе и
пластической ер составляющих^:
б = ее + ёр. B.76)
Материал предполагается пластически несжимаемым, усло-
условие несжимаемости пластических деформаций записывается от-
относительно скоростей следующим образом:
tr6p = O. B.77)
Материальная производная тензора напряжений & связана с
материальной производной тензора упругих деформаций ёе зако-
законом Гука вида B.11):
& = A(tre)g + 2/i6e.
Материальная производная тензора пластических деформа-
деформаций ёр определяется по ассоциированному закону пластического
течения [18]:
ёр = А^ = А<г', B.78)
ост
13Иногда исходят из разложения B.65), а B.76) принимается как след-
следствие B.65). Однако в теории пластического течения определяющие соот-
соотношения формулируются непосредственно через скорости, а при обобщении
определяющих соотношений на случай больших деформаций проще исходить
из аналога B.76), чем из B.65).
96 Глава 2. Определяющие соотношения механики ...
где А > 0 — функция, требующая определения; dfy/dar = а' —
вектор в пространстве компонент девиатора тензора напряжений,
направленный по нормали к поверхности текучести. Отметим,
что для материальной производной тензора пластических дефор-
деформаций ёр, представленной в виде B.78), обеспечивается условие
выполнения пластической несжимаемости материала B.77).
После некоторых преобразований определяющие соотноше-
соотношения теории пластического течения можно записать в виде
& = €EPf : к. B.79)
Тензор четвертого ранга ?Epf имеет вид
Е г1,_ _ . v _ da'®ar' л
с =
B.80)
так что выполняются условия симметрии, подобные B.74). Здесь
введен параметр с:
• для идеального материала
D, если J2 < (ст°J/3 или J2 = (ст°J/3 и j2 < 0,
L, если J2 = (а°J/3 и j2 = 0;
• для материала с упрочнением
{0, если J2 < J™ или J2 = J™ax и J2 ^ 0,
1, если J2 = J2m<M; и J2 > 0.
Эти два выражения можно объединить в одно:
_ Г 0, если fy < 0 или /у = 0 и о-' : к < 0, ,
С ~ \ 1, если fy = 0 и «т' : к > 0. l }
В B.80) введена функция
Для идеального материала (Et = 0) в правой части B.80) надо
сделать замену
dor1 ®аг' аг1 ® аг1
* ° 2J2 "
Соотношения B.79) допускают запись вида B.57) с потен-
потенциальной функцией, имеющей непрерывные первые и кусочно-
непрерывные вторые производные. Для материала с упрочнением
2.2. Упругопластический материал 97
эта функция имеет вид
: ё =
Для идеального материала в B.82) надо сделать замену
й{а> : кJ (а' : ёJ
с
v + 2dJ2 ' 2 J2
Приведем компоненты тензора <tEP* в декартовой системе
отсчета для материала с упрочнением:
«+««ад+
B.83)
где
{О, если fy < 0 или /у = 0и сг^ё„ ^ О,
1, если fy = 0 и ojyejj > 0.
Для идеального упругопластического материала в B.83) надо сде-
сделать замену
l + v + 2dJ2 ' 2J2
В этой системе отсчета потенциальная функция B.82) для мате-
материала с упрочнением переписывается в виде
для идеального упругопластического материала надо сделать за-
замену
1 + и + 2dJ2 2 J2
Сравнительный анализ теорий пластичности
Сопоставляя выражения для компонент тензоров <? '
rp nj
и (? , отмечаем, что при с = 1 первые можно получить из
вторых, делая в последних замену _E7S —> _Е7. В некоторых случаях
это обстоятельство позволяет эффективно применять более слож-
сложные (при записи относительно скоростей), чем в теории течения,
98 Глава 2. Определяющие соотношения механики ...
соотношения деформационной теории пластичности к определе-
определению критических нагрузок потери устойчивости тел при упруго-
пластических деформациях. При решении некоторых задач этого
класса оказывается, что критические нагрузки, определенные по
деформационной теории пластичности, более близки к таким на-
нагрузкам, полученным в эксперименте, чем критические нагрузки,
рассчитанные по теории течения с изотропным упрочнением ма-
материала. Особенно сильно это различие проявляется в задаче о
крутильной потере устойчивости сжатого стержня крестообраз-
крестообразного сечения, когда пластические деформации, появляющиеся при
сжатии стержня, влияют на критическую величину сжимающей
нагрузки, полученной с помощью определяющих соотношений де-
деформационной теории пластичности, и не влияют на такую же
величину нагрузки, вычисленную с помощью соотношений тео-
теории пластического течения [84]. Таким образом, деформационная
теория пластичности, противоречивая в математическом плане и
в сопоставлении с экспериментальными данными по сложному на-
гружению, позволяет в некоторых случаях получить решения за-
задач по потере устойчивости тел, находящиеся в лучшем соответ-
соответствии с экспериментальными данными, чем решения, найденные
по более строгой теории течения. Этот результат назван пара-
парадоксом пластического выпучивания [84]. Во введении отмечено,
что этот парадокс можно разрешить с помощью теории течения
с угловой точкой на поверхности текучести.
Определяющие соотношения деформационной теории пла-
пластичности B.72) получены при игнорировании знака J2 в случае,
когда выполняется равенство 3<i = 3™ах. При этом компоненты
тензора <? р зависят только от компонент девиатора тензора на-
напряжений а'. Если бы компоненты этого тензора определялись из
B.71) с учетом разных выражений при нагрузке и разгрузке ма-
материальной частицы, то компоненты тензора <СЕР зависели бы
также от знака Ji и при нейтральном нагружении (при условии
Зч = 0) изменялись бы разрывным образом. При некоторых допол-
дополнительных к J2 > 0 условиях тензор <?EPd вида B.73) совпадает
с тензором определяющих соотношений теории пластического те-
течения с угловой точкой на поверхности текучести [21, 24, 25, 84].
На начальном этапе деформирования (J2 < (ст^J/3) поверхность
текучести считается гладкой, имеющей вид B.61) (рис. 2.4,а).
Предполагается, что при пластическом течении на поверхности
2.2. Упругопластический материал 99
Рис. 2.4. Возникновение угловой точки на поверхности теку-
текучести:
а — fv(a',ep) < 0, упругое деформирование; б — fy(cr',ep) = О,
пластическое деформирование (полное нагружение)
текучести возникает угловая точка (точка А на рис. 2.4,6"). Пол-
Полные соотношения теории пластического течения с угловой точкой
на поверхности текучести построены в [61]. В этой теории при
нахождении конца радиуса-вектора в пространстве компонент де-
виатора тензора напряжений на поверхности текучести различа-
различают три состояния: полная разгрузка (упругое деформирование),
неполное нагружение и полное нагружение. При полном нагру-
жении тензор определяющих соотношений этой теории течения
совпадает с тензором f?Epd, при полной разгрузке — с тензо-
тензором <?Е, а наличие области неполного нагружения обеспечивает
непрерывный переход от полного нагружения к полной разгрузке.
Использование теории пластического течения с угловой точкой
на поверхности текучести позволяет избавиться от недостатков
классической деформационной теории пластичности и разрешает
парадокс пластического выпучивания.
2.2.2. Произвольная величина деформаций
Введем унифицированную запись определяющих соотноше-
соотношений упругопластического материала:
& = €ЕР : е, B.84)
где под тензором (? для определяющих соотношений дефор-
деформационной теории пластичности без учета разгрузки B.72) по-
нимается тензор (? , а для определяющих соотношений те-
теории пластического течения с изотропным упрочнением мате-
материала B.79) — тензор <?ЕР'. Потенциальная форма соотноше-
100 Глава 2. Определяющие соотношения механики
ний B.84) принимает вид
где под потенциальной функцией W понимается либо функ-
функция Wd, определенная в B.75), либо функция W?, определенная
в B.82).
Формальное обобщение определяющих соотношений B.84)
для больших деформаций материальной частицы получается за-
заменой материальных производных & и е объективными производ-
производными некоторых тензоров напряжений и деформаций [38, 73, 77,
79, 83, 88, 96, 97, 100, 101, 106, ИЗ]14.
Используем для первого обобщения определяющих соотноше-
соотношений B.84) пару инвариантных сопряженных тензоров (S, Е). В
качестве скоростей тензоров напряжений и деформаций возьмем
(объективные) материальные производные S и Е. Обобщенные
определяющие соотношения записываются в виде
S = о?ЕР : Ё. B.85)
Тензор четвертого ранга о ?ЕР получается следующими заменами
в тензоре <?Ер:
<r->S, <r->S, €->Ё B.86)
Диаграмма одноосного деформирования для определения Е, Et
и Е8 строится в осях Ец—Su.
Для соотношений B.85) потенциальная форма записи имеет
вид B.32), где используется функция qW, определяемая по фор-
формуле B.33) с заменой тензора о<? тензором о<СЕР, при этом qW —
однородная функция второй степени (но необязательно квадра-
квадратичная форма). При отождествлении тензора о С с тензором q€.ep
справедливы альтернативные формы записи определяющих со-
соотношений B.34), B.36). Альтернативная форма определяющих
соотношений B.85) имеет вид
Р = о~гР : F.
14Альтернативное обобщение [35, 38] состоит в замене аддитивного раз-
разложения тензора деформаций Коши B.65) мультипликативным разложением
тензора градиента деформаций F на упругую Fc и пластическую Fp соста-
составляющие: F = Fe • Fp.
2.2. Упругопластический материал 101
Контравариантные компоненты тензора о С получаются из со-
ответствующих компонент тензора q<L по формулам преобра-
преобразования вида B.35). Для этих соотношений потенциальная фор-
форма записи имеет вид B.36) с заменой в B.37) тензора о<? тензо-
~ЕР
ром q(?
Рассмотрим область применимости определяющих соотно-
соотношений B.85). Образуем вторые инварианты девиаторов трех раз-
различных тензоров напряжений:
2 2 B.87)
Ыт') = - 9ikw'ij?lkl, «MS') = ^ ШцЗНз Slkl.
Для малых упругих, но, возможно, больших пластических де-
деформаций (что характерно для неупругого деформирования ме-
металлов) в силу несжимаемости пластических деформаций имеем
J к, 1, тогда
т и s, т' к, s', J2(t') и J2(s'). B.88)
Хотя в силу A.88) справедливо равенство контравариантных ком-
компонент fIJ = 5*J', но и тензор-девиатор т', и его второй инвариант
образуются с помощью компонент дц метрического тензора g в
материальном текущем базисе, a S' и J2(S') — с помощью компо-
компонент (jij тензора g в материальном отсчетном базисе (см. B.87)).
Поэтому в общем случае
J2(S') ф J2(r'). B.89)
Равенство J2(S') ~ Ji{t') справедливо только при малых дефор-
деформациях материальной частицы (но перемещения и повороты мо-
могут быть большими). Из физических соображений следует, что
критерием появления пластических деформаций должно быть вы-
выполнение некоторого условия в пространстве компонент девиато-
ра тензора истинных напряжений s, а не условных напряжений S.
Из B.89) следует, что определяющие соотношения B.85) имеют
механический смысл только при малой деформации тела15.
15Определяющие соотношения вида B.85) для произвольной величины де-
деформаций используются в работе [72], но в ней поверхность текучести стро-
строится не в пространстве компонент напряжений, а в пространстве компонент
деформаций.
102 Глава 2. Определяющие соотношения механики ...
Дискуссию [38, 43, 101] вызвал вопрос законности обобщения
аддитивного разложения B.76) для произвольной величины де-
деформаций. Итогом дискуссии [113] можно признать корректность
аддитивного разложения тензора скорости деформаций d на упру-
упругую de и пластическую dp составляющие:
d = de + dp
для малых упругих, но (возможно) больших пластических дефор-
деформаций.
Следующим важным шагом в построении определяющих со-
соотношений является корректный выбор индифферентной произ-
производной тензора напряжений Коши. Остановим свой выбор на про-
производной Яуманна s в силу преимуществ коротационных произ-
производных по сравнению с другими конвективными производными
(см. § 1.2.7) и из-за простоты определения производной Яуман-
Яуманна, которую можно использовать для построения модели упруго-
пластического материала с изотропным упрочнением (см. § 2.1.1).
Как отмечалось в § 1.2.7, если при абсолютно жестких движени-
движениях окрестности материальной точки (d = 0) из определяющих
соотношений следует sJ — 0, то в силу A.40) получаем
J2(s') = 0.
Выполнение этого равенства важно для исключения появления
пластических деформаций при таких движениях. Справедливо
равенство [83, 96, 100]
J2(s') = в' : SJ.
Эта формула важна, поскольку является аналогом формулы
j2 = а' : &,
используемой для определения явного вида тензоров (?EPd и €.ЕР*.
Для формулировки определяющих соотношений упругопла-
стического материала при произвольной величине деформаций
используем UL-подход. В [88] отмечается, что производная по вре-
времени тензора напряжений Коши не имеет механического смысла,
так как этот тензор характеризует силу, отнесенную к площадке
в актуальной конфигурации, а сама эта площадка изменяется во
времени. Кроме того, при использовании производной sJ в опре-
определяющих соотношениях нельзя получить вариационную форму-
формулировку квазистатической задачи относительно скоростей [79].
2.3. Термоупругопластический материал ... 103
Последнее обстоятельство приводит к тому, что при конечно-
элементной дискретизации уравнений в слабой форме касатель-
касательная матрица жесткости получается несимметричной [106]. Один
из путей преодоления этой трудности состоит в замене тензора
напряжений Коши тензором напряжений Кирхгофа (характери-
(характеризующим силу, отнесенную к площадке в отсчетной конфигура-
конфигурации), что можно сделать для малых упругих деформаций в си-
силу B.88). Для UL-подхода rJ совпадает с sM. В этом случае мож-
можно сформулировать вариационный принцип относительно скоро-
скоростей [73, 79] (см. гл. 3), а касательная матрица жесткости при
конечно-элементной дискретизации уравнений будет симметрич-
симметричной [97].
Делаем второе обобщение определяющих соотношений B.84)
для больших деформаций в виде [73, 79]
8я = ХЕР ¦ d. B.90)
- ЕР
Тензор четвертого ранга (<? получается следующими заменами
в тензоре ?ЕР:
а —> s, & —> sM, е —> d
Диаграмма одноосного деформирования для определения Е, Et и
Es строится в осях «логарифмическая деформация — истинное
напряжение» [83].
Потенциальная форма соотношений B.90) имеет вид B.46) с
- v ер
заменой тензора <(? тензором (<? при определении потенциаль-
потенциальной функции tH по формуле B.47), при этом iH — однородная
функция второй степени (но необязательно квадратичная фор-
. _ - -ЕР
ма). При отождествлении тензора <С с тензором t€. справед-
справедливы альтернативные формы определяющих соотношений B.50),
B.51) с учетом B.54).
2.3. Термоупругопластический материал,
для которого учитываются
деформации ползучести
В разделе 2.2 рассмотрены неупругие деформации, вызван-
вызванные приложением внешних нагрузок, так что фактор естествен-
естественного времени здесь не играет роли. Однако имеются эксперимен-
104 Глава 2. Определяющие соотношения механики ...
тальные данные, которые не описываются уравнениями упруго-
пластического деформирования. Например, в случае фиксирован-
фиксированных внешних нагрузок в конструкциях из некоторых материалов
(металлы, пластмассы, дерево и т. д.) развиваются во времени
неупругие деформации. Наоборот, при фиксированных деформа-
деформациях с течением времени наблюдается релаксация напряжений.
Эти явления получили название ползучести материалов. В экс-
экспериментах также отмечается увеличение деформаций ползуче-
ползучести с ростом температуры. Для описания поведения таких мате-
материалов вводим определяющие соотношения термоупругопласти-
ческого материала, для которого учитываются деформации пол-
ползучести [40, 41, 49, 52, 115].
2.3.1. Геометрически линейное деформирование тела
Принимается
Основная гипотеза. Скорость тензора деформаций Ко-
ши ё можно представить в виде аддитивного разложения на
упругую ёе, пластическую ёр, ползучую ёс и температурную elh
составляющие:
ё = ёе + ёр + kc + kth. B.91)
Скорость тензора упругих деформаций ёе связана со скоро-
скоростью тензора напряжений Коши & законом Гука
& = ?Е : ёе.
Скорость тензора пластических деформаций ёр определяется
из закона пластического течения вида B.78):
ёр = Act'.
Здесь
- 3F
2 а'
где эффективная пластическая деформация (Р определяется фор-
формулой B.62), а эффективное напряжение (интенсивность напря-
напряжений) a — формулой
о= \ -<т' : ег' = \/3Jo.
В случае пластического течения А > 0.
2.3. Термоупругопластический материал ... 105
Скорость тензора деформаций ползучести ёс определяется из
закона
6е =
Здесь
Зи:
е
где ё° = ^/B/3) ёс : ёс — эффективная скорость деформаций пол-
ползучести.
Величину Л находим на основе данных, полученных из диа-
диаграммы одноосного растяжения при сравнительно быстром на-
гружении образца (секунды и минуты), а величину j определяем
с помощью характеристик, полученных из аналогичной диаграм-
диаграммы при медленном нагружении образца (часы и сутки).
Скорость тензора температурных деформаций eih определя-
определяется из закона Дюгамеля — Неймана
kth = ameS.
Здесь am — коэффициент температурного расширения, в — те-
текущая температура.
Отметим, что при отбрасывании скоростей температурных и
ползучих деформаций приходим к определяющим соотношениям
теории пластического течения для упругопластического матери-
материала (см. § 2.2.1).
Приведем компонентную запись определяющих соотношений
термоупругопластического материала с учетом деформаций пол-
ползучести в декартовой системе отсчета. Компоненты тензора ско-
скоростей деформаций представим в виде
где
B.93)
§ % = >"г'ц, Ф = 7<-, с# = от^у- B-94)
Отметим, что скорости температурных деформаций вычисляют-
вычисляются с помощью заданного поля температур в явном виде. Скорости
деформаций ползучести зависят только от текущих напряжений,
но не от их скоростей.
106 Глава 2. Определяющие соотношения механики ...
Из B.91), пользуясь обозначениями § 2.2.1, получаем следую-
следующие соотношения16:
& = ?ЕР :(e-ec-eth), B.95)
тр Г»
где тензор четвертого ранга С зависит как от текущих компо-
компонент тензоров напряжений и деформаций, так и от их скоростей.
При отсутствии пластических деформаций тензор <? превра-
превращается в тензор €.Е.
Скорости деформаций ползучести определяются с помощью
закона степенной ползучести
B.96)
где ао, а\, а,2 — константы ползучести, определяемые из экспери-
эксперимента на одноосное растяжение. Закон B.96) при а^ = 1 называ-
называется законом установившейся ползучести [40].
Для степенного закона ползучести B.96) из B.92) получаем
Приведем потенциальную форму определяющих соотноше-
соотношений B.95):
где
W{k) = 1- 6 : С?Р : ? - ? : СЕР : (ёс + eth).
2.3.2. Произвольная величина деформаций
Обобщение определяющих соотношений термоупругопласти-
ческого материала с учетом деформаций ползучести, представ-
представленных в § 2.3.1, для произвольной величины деформаций про-
проводим аналогично тому, как это сделано для определяющих со-
соотношений упругопластического материала в § 2.2.2. При малых
деформациях тела (но больших поворотах и перемещениях) про-
проведем замену B.86) в соотношениях § 2.3.1. Обобщая B.95). полу-
получаем соотношения
S = 0CEP: (E-Ec-Efft). B.98)
16В разделе 2.3 пол тензором С р понимается тензор определяющих соот-
соотношений теории пластического течения
2.3. Термоупрутопластический материал ... 107
Записанные в потенциальной форме, они имеют вид
^ = d0W(B)
где
0W = I Ё : 0СЕР : Ё - Ё : 0СЕР ¦ (Ёс + Ё). B.99)
Альтернативная форма определяющих соотношений B.98)
имеет вид
Р = 0?ЕР : Р - F • [0СЕР : (Ёс + Ё'А)],
в потенциальной форме эти определяющие соотношения записы-
записываются как
¦ _
где
0Е = ^ Ё : 0€ЕР : Ё + ^ S : {j= ¦ F) - Ё : 0<?ЕР : (Ёс + ±th).
B.100)
В формуле B.100) предполагается, что материальная производная
тензора деформаций Грина — Лагранжа Е выражена через ма-
материальную производную тензора градиента деформаций F при
помощи A.61).
Обобщение определяющих соотношений B.95), B.97) для
произвольных деформаций тела сделаем с помощью UL-подхода.
Имеем [117]
ви = tCEP:{d-dc-dth). B.101)
Потенциальная форма соотношений B.101) —
где
tH = \ d : tCEP : d - d : t?EP : (dc + dth). B.103)
Альтернативная форма определяющих соотношений B.102)
имеет вид
s° = t?EP : 1 - t?EP : (dc + dth). B.104)
108 Глава 2. Определяющие соотношения механики ...
В потенциальной форме соотношения B.104) записываются сле-
следующим образом:
_О,. dtE{\)
S ~~dT'
где [117]
tE =id: ЛЕР :d-s: (d-d) + ~s: (I • 1) -
- d : tCEP : (dc + dth) =
= tH-S:(d-d) + ±s:(l-l).
В заключение отметим, что не все формы определяющих со-
соотношений равноправны. В формировании определяющих соотно-
соотношений должны участвовать объективные тензоры напряжений и
деформаций и объективные скорости этих тензоров. Только по-
после этого можно выписывать альтернативные формы определяю-
определяющих соотношений с несимметричными тензорами напряжений и
деформаций и их скоростями, пользуясь формулами связи, пред-
представленными в этой главе.
Глава 3
СЛАБЫЕ ФОРМЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
И ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
В предыдущих главах представлены кинематические связи,
уравнения движения и определяющие соотношения, используя ко-
которые можно получать замкнутые системы нелинейных уравне-
уравнений, описывающие деформирование твердых тел. В настоящей
главе в качестве альтернативы дифференциальным уравнениям
движения предлагаются их слабые формы, служащие основой
применения численных методов, представленных в части П.
Для решения некоторых классов задач можно также эф-
эффективно использовать вариационные формулировки уравнений.
В функционалах, с помощью которых получаются вариационные
формулировки, также ослаблены требования на гладкость варьи-
варьируемых функций по сравнению с исходной дифференциальной
формой. В настоящей книге приводятся вариационные принципы
только относительно скоростей неизвестных функций, требуемые
для применения МКЭ (часть II) и для качественного исследова-
исследования поведения решения нелинейных уравнений в особых точках
(гл. 4). Более полное представление слабых форм уравнений дви-
движения и вариационных принципов нелинейной механики можно
найти, например, в [36, 49, 62, 67, 88, 98, 119, 122].
3.1. Слабые формы уравнений движения
Принцип возможных перемещений (слабая форма уравнений
движения) формулируется следующим образом [37, 49, 122]: рабо-
работа внутренних сил на возможных (виртуальных) перемещениях
110 Глава 3. Слабые формы уравнений движения ...
равна работе внешних сил на возможных перемещениях. Под воз-
возможными перемещениями понимаются кинематически возмож-
возможные (удовлетворяющие заданным величинам на части границы
тела Su или °SU) перемещения.
3.1.1. Текущая конфигурация
В текущей конфигурации равенство, выражающее принцип
возможных перемещений, имеет вид
fs:SedV=fp(f-a.)SudV+ft*-6udS V <Ju, C.1)
V V ST
где вариация тензора деформаций Коши бе определяется следую-
следующим образом1:
6e[
Здесь знак 6 обозначает вариацию, т. е. такое поле достаточно
гладких функций Su, что
6и = 0 на Su. C.2)
В предположении непрерывной дифференцируемости ком-
компонент тензора напряжений Коши s эквивалентность уравне-
уравнения C.1) и уравнений движения и статических граничных усло-
условий (естественные граничные условия) A.114) следует из произ-
произвольности Su. Кинематические граничные условия в A.114) зало-
заложены в варьируемые перемещения (жесткие граничные условия),
так что выполнено равенство C.2).
3.1.2. Отсчетная конфигурация
В отсчетной конфигурации принцип возможных перемеще-
перемещений выражается равенством
fs-.6EdQV= [op(f-a.)-6ud°V+ f
C.3)
'Здесь и далее для сокращения записи используем следующие обозначе-
обозначения для тензора, транспонированного к тензору градиента вектора u: VuT =
(Vu)\
3.1. Слабые формы уравнений движения 111
Вариация тензора деформаций Грина — Лагранжа Е определяет-
определяется следующим образом:
l • VuT + Vu ¦ V(<5u)T],
где поля достаточно гладких функций Su удовлетворяют условию
Su = 0 на °SU. C.4)
В предположении непрерывной дифференцируемости компо-
компонент второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа S эквива-
эквивалентность уравнения C.3) и уравнений движения и статических
(естественных) граничных условий A.119) и A.120) следует из
произвольности Su. Кинематические граничные условия (на °SU)
в A.119) или A.120) являются жесткими.
Альтернативные выражения для равенства C.3) получаются
заменой пары тензоров (S, Е) в левой части любой другой парой
сопряженных инвариантных или несимметричных тензоров на-
напряжений и деформаций. Например, если в качестве пары сопря-
сопряженных тензоров использовать (Р, F), то уравнение C.3) можно
переписать в виде
[-P:6Fd°V= [°p(f-a)-6ud°V+ I T* • Sud°S У Su,
°v °v °sT
C.5)
где
S? = V{Su)T.
Здесь Su — поля достаточно гладких функций, удовлетворяющих
условию C.4).
В предположении непрерывной дифференцируемости компо-
компонент первого тензора напряжений Пиола — Кирхгофа Р эквива-
эквивалентность уравнения C.5) и уравнений движения и статических
(естественных) граничных условий A.118) (с учетом ф = Рт) сле-
следует из произвольности Su. Кинематические граничные условия
(на °SU) в A.118) являются жесткими.
3.1.3. Сопоставление дифференциальной
и слабой форм уравнений движения
Из вида слабых форм уравнений движения C.1), C.3) и C.5)
следует, что используемые в них поля напряжений не требуют
дифференцируемости, а требуют только интегрируемости подын-
112 Глава 3. Слабые формы уравнений движения ...
тегральных выражений левых частей. Таким образом, слабые
формы уравнений движения можно использовать для нахождения
обобщенных (разрывных) решений уравнений движения. Ослаб-
Ослабление требования гладкости на поля напряжений используется
в МКЭ (см. часть II), так что на границах элементов напряже-
напряжения, как правило, разрывны, а приближение напряжений при из-
измельчении сетки к непрерывно дифференцируемым полям слу-
служит оценкой точности полученного численного решения.
Отметим еще одно преимущество слабой формы уравнений
движения над дифференциальной. Иногда при решении конкрет-
конкретных задач трудно реализовывать граничные условия в A.118)—
A.120), сформулированные в отсчетной конфигурации. Примером
могут служить контактные задачи, где статические и кинема-
кинематические граничные условия ставятся на контактных поверхно-
поверхностях, которые определяются в деформированной (текущей) кон-
конфигурации. Вторым примером могут служить следящие (некон-
(неконсервативные) нагрузки (например, гидростатическое давление),
зависящие от деформированной геометрии тела. В этом случае
вместо последних членов в правых частях C.3) или C.5) можно
использовать последний член из правой части C.1), что всегда
можно сделать, так как они равны. В то же время при постановке
граничных условий для дифференциальных уравнений движения
(равновесия) такую замену сделать невозможно.
3.2. Вариационные принципы
Принцип возможных перемещений можно использовать для
решения как статических, так и динамических задач. Вариаци-
Вариационные принципы, которые приводятся в этом разделе, можно ис-
использовать для решения только квазистатических задач (вслед-
(вследствие того, что инерционные силы зависят от скоростей перемо-
перемощений, их нельзя ввести в функционал). В нелинейной теории
упругости вариационные принципы обычно формулируются от-
относительно полей перемещений, деформаций и напряжений (на-
(например, Ху — Васидзу, Хеллингера — Рейсснера, стационарно-
стационарности полной потенциальной энергии и др.). Рассмотрим некото-
некоторые вариационные принципы, сформулированные относительно
полей скоростей перемещений, деформаций и напряжений, кото-
которые справедливы для упругих и неупругих тел.
3.2. Вариационные принципы ИЗ
3.2.1. Обобщенный вариационный принцип
Выпишем полную систему уравнений (уравнения равновесия,
граничные условия, кинематические связи и определяющие соот-
соотношения), сформулированных относительно скоростей в отсчет-
ной конфигурации:
V • Рт + °р{ = 0 в V,
й = й* на °SU,
Т = Р N = Т* на °ST, C.6)
F = VuT в °V,
Р = ^ b«V.
dF
Уравнения C.6) описывают квазистатическое деформирование
упругих и упругой ластических тел. Для упругой л астических тел
функция qE — однородная потенциальная функция второй степе-
степени от своих аргументов, имеющая непрерывные первые производ-
производные и, по крайней мере, кусочно-непрерывные вторые производ-
производные, а для упругих тел эта функция представляет собой квадра-
квадратичную форму (гл. 2).
Система C.6) является системой уравнений Эйлера и есте-
естественных граничных условий вариационного уравнения
So JE = 0 C.7)
с функционалом [27]
0Je(F,u,P)= f[oE{F)-op{-u\doV- /p^F-Vu^d0]/-
- Г T*-ud°S- f T ¦ (и - и*) d°S. C.8)
°ST °SU
Наоборот, решение уравнений C.6) поставляет стационарное зна-
значение функционалу C.8). Для краткости говорим, что систе-
система C.6) соответствует вариационному уравнению C.7).
Альтернативная запись системы уравнений C.6), сформу-
сформулированных относительно скоростей в отсчетнои конфигурации,
114 Глава 3. Слабые формы уравнений движения ...
имеет следующий вид:
V • (S + S • Vu + S • Vu) + °pf = 0 в °V,
й = й* на °SU,
Т = N • (S + S • Vu + S • Vu) = Т* на °ST, C.9)
Е = -(Vu + VuT + Vu • VuT + Vu • VuT) в V,
Система C.9) соответствует вариационному уравнению
50Jw = 0, C.10)
где
0Jw(B, п, S) = I [oW(E) + ^S : (Vu • VuT) - °p( ¦ u]d°V -
°v
- f S: [E-i(Vu + VuT + Vu- VuT + Vu VuT)]dV-
°v
- [ T*-ud°S- f T-{u-u*)d°S. C.11)
°ST °SU
В текущей конфигурации система уравнений, записанная от-
относительно скоростей, приобретает вид:
v = v*
t = 8° • П = t*
1 = VvT
,0 dtE{\)
на Su,
на5Г:
в V,
C.12)
d\
Система C.12) соответствует вариационному уравнению
8JE = 0,
3.2. Вариационные принципы 115
где
JE(l, v,s<>) = f[tE(l) - pi • w)dV - fs<> : A -
V V
- fi*vdS- fi{v-v*)dS. C.13)
Кроме того, в этой же конфигурации система уравнений
C.12) может иметь следующую альтернативную форму:
V • (sTr + s • Vv) + pi = 0 в V,
v = v* на Su,
t = n ¦ (srr + s • Vv) = t* на ST, C.14)
da
Система C.14) соответствует вариационному уравнению
8JW = О,
где
Jw(d, v,srr) = I [tW(d) + i s : (Vv • VvT) - pi ¦ v] dV -
v
- fsTr : [d - i(Vv + VvT)] dV -
v
- fi*-vdS- fi-{v-v*)dS. C.15)
116 Глава 3. Слабые формы уравнений движения ...
Приведем еще одну альтернативную запись системы уравне-
уравнений C.12) в текущей конфигурации:
V • (sH + s ¦ Vv - d • s - s • d) + p{ = 0 в V,
v = v* на Su,
t = n- (sH+s- Vv-ds-sd) = t* на 5r, C.16)
i bV,
ш-УР .V.
ad
Система C.16) соответствует вариационному уравнению
SJh = О,
где
JH(d, v, sH) = j [tH(d) - s : (d • d) +
V
+ ^s: (Vv- VvT)-pf -vjdV- f sH : [d - i(Vv + VvT)] dV -
v
- fi*vdS- f i ¦ (v - v*) dS. C.17)
Все эти вариационные формулировки теоретически эквива-
эквивалентны друг другу, и каждую из них удобнее принимать в зави-
зависимости от вида используемых определяющих соотношений. Ана-
Аналогичные вариационные принципы предложены в [88], но сфор-
сформулированы они относительно приращений, а не скоростей. От-
Отметим, что представленные в настоящем разделе формулировки
обобщенного вариационного принципа, данные относительно ско-
скоростей, являются аналогом вариационного принципа Ху — Васид-
зу [67, 119] в нелинейной теории упругости. Настоящие же вари-
вариационные формулировки можно использовать как для упругих,
так и для упругопластических тел при произвольной величине
деформаций. Сопряженные вариационные формулировки приве-
приведены в [98], где определяющие соотношения даны в обращенном
виде, т. е. скорости деформаций выражены через скорости напря-
напряжений. Сопряженные вариационные формулировки являются ана-
аналогом вариационного принципа Хеллингера — Рейсснера [67, 119]
3.2. Вариационные принципы 117
в нелинейной теории упругости. Рассмотренный вариационный
принцип может служить эффективным инструментом для приме-
применения МКЭ, так как здесь независимо варьируются как скорости
перемещений, так и скорости деформаций и напряжений.
3.2.2. Вариационный принцип Хилла
Путем наложения некоторых связей в уравнениях обобщенно-
обобщенного вариационного принципа можно получить сформулированные
относительно скоростей уравнения вариационного принципа Хил-
Хилла для упругих и упругопластических тел при произвольной вели-
величине деформаций [47, 73, 78, 79, 81]. Рассмотрим уравнения C.6).
Предположим, что варьируемые поля скоростей перемещений й
принимают заданные значения на границе о^т т-е- выполнены
кинематические граничные условия в C.6). В этом случае исче-
исчезает последний член в правой части C.8). Далее предполагаем,
что материальная производная тензора градиента деформации
не является произвольной варьируемой величиной, а выражается
через материальную производную тензора градиента перемеще-
перемещения с помощью четвертого равенства C.6). Тогда исчезает второй
член в правой части C.8). Предположим также, что материаль-
материальная производная первого тензора напряжений Пиола — Кирхгофа
не является независимой варьируемой величиной, а выражается
через материальную производную тензора градиента деформации
с помощью последней формулы C.6), т.е. определяющие соотно-
соотношения предполагаются заданными. В этом случае вариационное
уравнение C.7) преобразуется в следующее:
SqIe = 0, C.18)
где
0IE{u)= l[oE(Vu)-op{-u\d°V- [±*ud°S. C.19)
°v °sT
Уравнения равновесия и статические граничные условия в C.6)
являются уравнениями Эйлера и естественными граничными
условиями вариационного уравнения C.18). При этом предпола-
предполагаются выполненными определяющие соотношения
Р = *°Е&"\ C.20)
Выражения функции qE для некоторых упругих и упругопласти-
упругопластических материалов приведены в гл. 2.
118 Глава 3. Слабые формы уравнений движения ...
Решение п системы C.6) поставляет стационарное значение
функционалу C.19), равное [47]
(u) = -[ /*T-u*d°5- Г Т* ¦ ud°S - Г°pf • ud°v\.
°su °sT °v
C.21)
Это истинное решение необязательно единственное. Но при вы-
выполнении достаточного критерия единственности решения систе-
системы C.6) (гл. 4) стационарное значение функционала qIe{u) ми-
минимальное [47].
При аналогичных наложениях ограничений на варьируемые
параметры в функционале C.11), вариационное уравнение C.10)
преобразуется к виду
SOIW = 0, C.22)
где
0Iw{u) = / оЩЕ) + - S : (Vu • VuT) - V •
ov
- f T*-ud°S. C.23)
°sT
Уравнения равновесия и статические граничные условия в C.9)
при выполнении кинематических связей и определяющих соотно-
соотношений (четвертая и пятая формулы C.9)) соответствуют вариа-
вариационному уравнению C.22). Стационарное значение функционала
дается формулой C.21). Это значение минимально при выполне-
выполнении достаточного критерия единственности решения задачи C.9).
Отметим, что функционалы C.19) и C.23) эквивалентны вслед-
вследствие связи потенциальных функций B.38).
Пользуясь B.39), B.40), приведем компонентную запись
функционала C.23) в декартовой системе отсчета:
/rl • • 1 I
inO^ijklEijEki + -zSijuk\iuk\3 ~ pfiu%\d V -
- f f*uid0S. C.24)
3.2. Вариационные принципы 119
Здесь предполагается, что материальные производные компонент
тензора деформаций Грина — Лагранжа выражены через матери-
материальные производные компонент тензора градиента перемещения
формулой A.62).
Аналогично получаем выражения функционалов вариацион-
вариационного принципа Хилла в текущей конфигурации. Вариационное
уравнение принимает вид
61 = 0, C.25)
где в качестве функционала / можно использовать одно из трех
альтернативных выражений:
Ie (v) = /"[*#( Vv) - pf ¦ v] dV - [ t* • v dS,
V ST
Iw(v) = f \tW{d) + | s : (Vv • VvT) - pf ¦ v\dV - f i* -vdS,
V ST
C.26)
Jtf(v) = [ [tH(d) - s : (d • d) + \ s : (Vv • VvT) - pf ¦ v\dV-
V
- fi*-vdS.
sT
Эти функционалы получаются соответственно из функционалов
C.13), C.15), C.17). Они все эквивалентны вследствие связей по-
потенциалов B.48), B.53), B.54).
Истинное решение v поставляет стационарное значение
функционалу I [47]:
J(v) = M fi-v*dS- fi*-vdS- fpf-vdv\. C.27)
Su ST V
При выполнении достаточного критерия единственности решения
задач C.12), C.14) или C.16) (гл. 4) значение функционала C.27)
минимальное.
120 Глава 3. Слабые формы уравнений движения ...
Пользуясь B.55) и B.56), приведем компонентную запись
функционалов 1\у и 1ц в декартовой системе отсчета:
%Ъ dS,
C.28)
Л1 " 1 • ]
Я t^ijkl dij dki - Sij dki dkj + Я sij vk,i Vk,j ~ Pfi vAdV -
2 2 J
Л1 1 . 1 f.
2 t^-ijkl dij dki + « sv vkj vk,j — PJiVijdV - / t,
V ST
V
- I i*VidS.
i
sT
Здесь предполагается, что компоненты тензора скоростей дефор-
деформаций выражаются через компоненты тензора градиента скоро-
скорости по формулам (см. A.29))
dij = 2Ki+t>i.<)-
3.2.3. Вариационный принцип Сторакерса
Обобщение вариационного принципа Хилла (для упругих и
упругопластических тел) на уравнения, описывающие деформи-
деформирование тел из термоупругопластических материалов с учетом
деформаций ползучести, проведено в [117]. Для этого потенци-
потенциальные функции оЕ, oW, tE, tW, tH, используемые при формули-
формулировке определяющих соотношений упругих и упругопластических
материалов (разделы 2.1, 2.2), надо заменить соответствующи-
соответствующими потенциальными функциями, применяемыми при построении
определяющих соотношений термоупругопластических материа-
материалов с учетом деформаций ползучести (раздел 2.3).
При формулировке уравнений в отс четной конфигурации из
C.22), C.23), B.99) получаем
501%рс = 0, C.29)
где
$РС f[\E: о?ЕР : Ё - Ё : 0С?Р : (Ёс + ±th) +
°v
i S : (Vu • VuT) - °p{ ¦ u~\d°V - f T* • ud°S.
3.2. Вариапионные принпипы 121
Этому вариационному уравнению соответствуют уравнения рав-
равновесия и статические граничные условия в C.9). При этом ис-
используются определяющие соотношения B.98) с учетом кинема-
кинематических связей, представленных четвертой формулой C.9). Ва-
Вариационное уравнение C.29) можно использовать при условии ма-
малой деформации тел (но, возможно, больших перемещений и по-
поворотов) .
При произвольной величине деформаций тел из термоупру-
гопластического материала с учетом деформаций ползучести рас-
рассмотрим уравнения, сформулированные в текущей конфигурации.
Вариационное уравнение [117]
61§РС = 0 C.30)
получается из C.25) и третьей формулы C.26) с учетом B.103).
Здесь
I§PC(v) =f[\d: tlEP : d - d : tCEP : (dc + dth)
I§PC(v) =f[\d: tlEP : d - d : tCEP : (dc + dth) -
V
-s: (d-d)+^s: (Vv • VvT) - pf • v]dF - fi*vdS.
sT
Вариационному уравнению C.30) соответствуют уравнения рав-
равновесия и статические граничные условия в C.16). При этом пред-
предполагаются выполненными кинематические соотношения, пред-
представленные четвертой формулой C.16).
3.2.4. Модификация вариационных формулировок
при действии потенциальных внешних сил
Выше рассматривались статические граничные условия,
сформулированные относительно скоростей, в которых векто-
векторы Т* или t* предполагались заданными (заданные внешние си-
силы). В этот класс не входят следящие внешние силы — силы,
зависящие от текущей геометрии тела. В общем случае при дей-
действии следящих внешних сил вариационные принципы не форму-
формулируются. Тем не менее существует подкласс следящих внешних
сил, допускающий вариационную формулировку уравнений: кон-
консервативные внешние силы. Этот подкласс вводится ниже.
Рассмотрим статические граничные условия, сформулиро-
сформулированные относительно скоростей в текущей конфигурации:
t = n ¦ sD = s0 • n = t* + h(v) на ST. C.31)
122 Глава 3. Слабые формы уравнений движения ...
Предполагается, что скорость вектора напряжений Коши t на
границе St представлена в виде суммы заданного вектора t* и
такого вектора h, что
h(v) = ^9^ «• Sif>(v)=h-Sv. C.32)
av
Здесь потенциальная функция x/){v) предполагается достаточно
гладкой.
Класс векторов скоростей внешних сил h, допускающих за-
запись C.32) с однородной потенциальной функцией второй степе-
степени tp(v), выделен в [81]. Пусть вектор h имеет следующие пред-
представления контравариантных компонент:
h? = kij Vi + щ Xijkl Vkvt C.33)
при условии
^ijkl _ _^kjil f,ij _ fcji
где щ — компоненты вектора единичной внешней нормали к по-
поверхности St- Тогда
1
2
К классу внешних сил вида C.31), C.32) принадлежит гидро-
гидростатическое давление р. В этом случае на границе St компоненты
скорости вектора напряжений Коши имеют вид [81]
ii = —рт — р(щУкук — nkViVk). C.34)
Вектор t с ковариантными компонентами C.34) можно предста-
представить в виде C.31), где
t* = -j3n,
а контравариантные компоненты вектора h имеют вид C.33), где
kij = 0, Xijkl = ~p(qijqkl - qilqjk).
Напомним, что д^ — контравариантные компоненты метрическо-
метрического тензора в пространственном базисе. Граничные условия для
гидростатического давления допускают запись с потенциалом
., . 1
Для того, чтобы модифицировать рассмотренные выше
функционалы для случая действия консервативных нагрузок ви-
вида C.31), C.32), надо во всех этих функционалах, записанных
3.2. Вариационные принципы 123
в текущей конфигурации, сделать замену
fi*-vdS -»• f[i* -v + ip{v)]dS.
sT sT
Таким образом, консервативные нагрузки (включающие гид-
гидростатическое давление) позволяют рассмотреть вариационную
формулировку уравнений и, как следствие, получить симметрич-
симметричную касательную матрицу жесткости при решении методом ко-
конечных элементов задач с произвольной величиной деформаций.
Глава 4
ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ
И КОНТАКТНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ТЕЛ
В гл. 1-3 представлены основные уравнения, описывающие
нелинейное деформирование твердых тел. В некоторых задачах
нелинейность деформирования проявляется в наибольшей степе-
степени, так что при малых изменениях внешних сил или заданных
перемещений происходит значительное изменение напряженно-
деформированного состояния тел. Таковыми являются задачи о
потере устойчивости и контактных взаимодействиях деформиру-
деформируемых тел.
В настоящей главе дается постановка и рассматриваются об-
общие уравнения этих задач. Подчеркнем, что уравнения, описы-
описывающие потерю устойчивости и контактные взаимодействия де-
деформируемых тел, не вводятся как новые уравнения, дополняю-
дополняющие представленные в гл. 1-3, а логически вытекают из общих
уравнений. Так, например, потеря устойчивости тел связывает-
связывается с особыми точками решения общих нелинейных уравнений, а
уравнения для решения контактных задач получаются добавлени-
добавлением некоторых ограничений на неизвестные в общих нелинейных
уравнениях.
Уравнения, описывающие нелинейное деформирование тел,
можно формулировать в отсчетной или текущей конфигурациях.
В настоящей главе в формулировках задач о потере устойчивости
тел для определенности используется отсчетная конфигурация.
Но все сделанные выводы и заключения остаются справедливыми
и для уравнений, сформулированных в текущей конфигурации.
4.1. Критические состояния тел 125
4.1. Критические состояния тел
Рассмотрим общие положения теории единственности и
устойчивости решений задач по деформированию твердых тел,
развитые в [5, 20-22, 24, 37, 47, 56, 65, 73, 75, 78; 79, 81, 84, 110].
4.1.1. Бифуркация решений краевой задачи и собственные
состояния
Рассмотрим квазистатическое деформирование упругих и
упругопластических тел. Критическим значением параметра де-
деформирования, соответствующим бифуркации (ветвлению) ре-
решений, называется такое значение, когда для соответствующей
этому параметру равновесной конфигурации существует два (или
более) решения задачи C.6). Пусть для некоторого момента вре-
времени существует два решения задачи C.6): п1, п2; Р1, Р2 и т. д.
Разность этих решений, представленных относительно скоростей,
обозначим через Д, например:
Дй = й1 - й2,
где индекс соответствует номеру продолжения решения. Для раз-
разности решений задачи C.6) можно записать следующие уравне-
уравнения и граничные условия:
V • ДРТ = 0 в V,
Дп = 0 на°5и, D.1)
ДР • N = 0 на °ST,
где (см. B.34))
Р = оС : VuT. D.2)
Тензор о <? обладает главной симметрией, и определяющие
соотношения D.2) допускают потенциальную запись вида C.20).
Следуя [47], вводим линейные тела такие, что тензор о <? предста-
представляется в виде
и нелинейные тела такие, что тензор о <? имеет вид
o€ = o€(F,P,F,P). D.3)
Для линейных тел с тензором определяющих соотношений
потенциальная функция qE, определяемая по формуле B.37),
126 Глава 4. Потеря устойчивости ...
квадратичная форма компонент материальной производной тен-
тензора градиента деформации (далее обозначается как о .El), а для
нелинейных тел о^ — однородная функция второй степени. К
линейным телам принадлежат тела из упругих материалов, а к
нелинейным телам — тела из упругопластических материалов
(вследствие учета условий нагрузки или разгрузки материальных
частиц).
Сформулируем следующую задачу.
Задача по определению бифуркации. Требуется опре-
определить такие критические значения параметра деформирова-
деформирования t, при которых задача D.1), D.2) имеет нетривиальные ре-
решения.
Рассмотрим также задачу по определению собственных со-
состояний (полей) — нетривиальных решений системы однородных
уравнений, образованных из уравнений C.6):
V Рт = 0 в V,
и = 0 на °SU, D.4)
Р • N = 0 на °ST.
Привлекая определяющие соотношения D.2), сформулируем ее
следующим образом.
Задача по определению собственных состояний. Тре-
Требуется определить такие критические значения параметра де-
деформирования t, при которых задача D.4), D.2) имеет нетри-
нетривиальные решения.
Примеры критических нагрузок собственных состояний при-
приведены на рисунке: бифуркационная нагрузка Ры/ при упругом
деформировании (см. раздел 4.2) — на рис. 4.1,а; максимальная
нагрузка Ртах — на рис. 4.1,5; минимальная нагрузка P\ow — на
рис. 4.1, о, б1.
4.1.2. Потеря устойчивости
Выделим критические состояния тел, исследуя решения си-
систем уравнений на устойчивость. Под устойчивостью реше-
решений уравнений понимается способность сохранять возмущенные
1 Максимальная и минимальная нагрузки при изображении равновесных
конфигураций кривыми в пространстве «характерное перемещение - нагруз-
нагрузка» соответствуют точкам поворота.
4.1. Критические состояния тел
127
Pbif
Р1ои>
t^ Первичная
'ветвь решения
Вторичная (бифуркационная)
аетвь решения
w
Рис. 4.1. Иллюстрация потери единственности и собственных
состояний некоторой системы:
Р — параметр внешней силы, w — характерное перемещение; о —
собственные состояния, соответствующие бифуркации решения и
точке поворота, б — точкам поворота
каким-либо образом решения задачи в окрестности исследуемых
решений. Будем различать два типа устойчивости решений урав-
уравнений, описывающих деформирование твердого тела: устойчи-
устойчивость равновесных конфигураций и устойчивость квазистатиче-
квазистатических движений.
Рассмотрим устойчивость равновесной конфигурации [73, 78,
79]. Пусть тело находится в состоянии равновесия при некотором
фиксированном значении параметра t. Уравнения равновесия и
граничные условия получаем из A.118), пренебрегая динамиче-
динамическим членом:
V • Рт + °pf = О в °V,
и = и* на °SU, D.5)
Р N = Т* на °ST.
При фиксированных значениях параметра t (фиксируются значе-
значения внешних сил f, T* и смещений и*) рассмотрим динамиче-
динамические движения тела в естественном времени т, которые вызваны
приложением начальной скорости vo в момент времени то- Дина-
Динамические движения с вектором перемещений й(т) описываются
уравнениями A.118) с начальными условиями
й = и, й = vo при т = то. D.6)
Начальная скорость vq, выводящая тело из равновесного состоя-
128 Глава 4. Потеря устойчивости ...
ния, предполагается достаточно малой. Здесь точка над величи-
величиной обозначает частную производную по т. Вектор и в D.6) со-
соответствует конфигурации, для которой выполняются уравнения
равновесия D.5).
Для исследования устойчивости равновесной конфигурации,
которой соответствует решение системы D.5), выбираем опреде-
определение устойчивости решений дифференциальных уравнений по
Ляпунову (на бесконечном интервале времени), которое приме-
применительно к рассматриваемым уравнениям сформулируем следу-
следующим образом [65]:
Определение. Решение и системы D.5) называется устой-
устойчивым по Ляпунову, если для любого е > О существует S > О,
такое, что ||vo|| < S =>• ||<Su|| < е Ут > tq. В противном случае
решение называется неустойчивым.
Здесь || • || обозначает некоторую норму произвольного век-
вектора, 6и н й — и. Исследования устойчивости по Ляпунову рав-
равновесной конфигурации иллюстрирует рис. 4.2.
Рассмотрим устойчивость квазистатического движения те-
тела [20-22, 24]. Пусть квазистатическое основное (исследуемое на
устойчивость) движение тела с полем вектора перемещений и(?)
описывается уравнениями C.6) с начальными условиями
u = uo при t = to- D.7)
В отличие от исследования устойчивости равновесной конфигура-
конфигурации, при исследовании устойчивости квазистатического движения
под термином «время» понимается тот же самый параметр дефор-
деформирования (необязательно естественное время), который исполь-
используется в уравнениях системы C.6).
Векторное поле перемещений и соответствует решению урав-
уравнений C.6) с массовыми силами f и поверхностными силами Т*,
направления действия которых не меняются в процессе деформи-
деформирования. При изучении устойчивости квазистатического движе-
движения предполагаем, что внешние силы меняются пропорционально
параметру А:
f = Af0, Т* = АТ$, D.8)
где fo, Tq — постоянные векторные поля, определенные в °V и
на °S соответственно и характеризующие распределение внешних
сил, а параметр А характеризует их интенсивность.
4.1. Критические состояния тел
129
Р*
Рааноаесная криаая
Возмущенное
динамическое
движение
О wn
Неустойчивые
р а равновесные
конфигурации
Устойчивые
равновесные
конфигурации
t к
о wo
ь-«ы
Рис. 4.2. Иллюстрация поведения устойчивых (о) и неустой-
неустойчивых (б) равновесных конфигураций по отношению к дина-
динамическим возмущениям при Р = Р*
Для исследования устойчивости квазистатического движения
подход Ляпунова, соответствующий исследованию устойчивости
на бесконечном интервале времени, малопродуктивен, так как с
этой точки зрения практически все нелинейные системы являют-
являются неустойчивыми. Больший практический интерес представляет
определение устойчивости решений дифференциальных уравне-
уравнений на конечном интервале времени [24].
130
Глава 4. Потеря устойчивости ...
Для исследования устойчивости основного движения, харак-
характеризуемого полем вектора перемещений и, рассмотрим соседнее
(возмущенное) движение (с полем вектора перемещений п), явля-
являющееся решением системы C.6) с начальными условиями
п = по при t = to
и внешними силами
f = Af0, t* - ХТ*0.
Введем величины, характеризующие отклоненное движение:
6и = п — u, <Suo = по — uo, SX = \ — X.
Конечный интервал времени —-to <t <T (to <T < оо). Следуя
[24, 65], приведем
Устойчивое
основное Р<РС
решение
Возмущенное
движение
Рис. 4.3. Иллюстрация устойчивости квазистатического дви-
движения тела на ограниченном интервале параметра деформи-
деформирования
4.2. Критерии единственности и устойчивости решений ... 131
Определение. Решение и задачи C.6), D.7) называется
устойчивым на конечном интервале времени (to, Г), если для лю-
любого е > О существует S > О такое, что \\Suq\\ < S или |<SA| < S
=> \\Su\\ < е Vt € (to,T). В противном случае решение называет-
называется неустойчивым.
При исследовании устойчивости квазистатического движе-
движения требуется найти такое критическое значение tcr (= Т) па-
параметра деформирования t (это может быть критическая нагруз-
нагрузка), что при t <tcr гарантируется устойчивость решений систе-
системы C.6) по отношению к возмущению начальных условий D.7)
или внешних сил D.8), а при t ^ tcr квазистатическое движение
становится неустойчивым. Потерю устойчивости квазистатиче-
квазистатического движения иллюстрирует рис. 4.3.
В настоящем разделе приводятся общие определения и фор-
формулировки единственности и устойчивости решений нелинейных
задач по деформированию тел из упругих и упругопластических
материалов. Используются первый тензор напряжений Пиола —
Кирхгофа и тензор градиента перемещения. Исследование пове-
поведения решения уравнений с использованием других тензоров на-
напряжений и деформаций проводится аналогично. Точно так же
исследуется поведение решений для уравнений, сформулирован-
сформулированных в текущей конфигурации.
4.2. Критерии единственности и устойчивости
решений краевых задач
4.2.1. Критерии единственности и отсутствия
собственных полей
Достаточным условием единственности решений относи-
относительно скоростей системы C.6) (отсутствие бифуркации, т. е.
нетривиальных решений системы D.1)J является выполнение
неравенства [24, 47, 79]
о/6(Дп) == i I Д(о€ : ViiT) : V(Au)T d°V > 0 D.9)
°v
2 Единственность решений для скоростей неизвестных функций иначе на-
называется единственностью в малом [110]. Единственность решений зада-
задачи C.6), D.7) для самих неизвестных называется единственностью в боль-
большом [110].
132 Глава 4. Потеря устойчивости ...
для всех непрерывно дифференцируемых полей скоростей пере-
перемещений, принимающих заданные значения п* на границе °SU
(Дп = п1 — п2 отлично от тождественного нуля3). Доказатель-
Доказательство вытекает из того, что при бифуркации решений задачи C.6),
D.7) из D.1), D.2) следует выполнение равенства оД(Ап) = 0 для
решений и1, п2 уравнений C.6). В общем случае условие D.9) не
является необходимым. Отметим, что при изменении знака нера-
неравенства в D.9) также получается достаточное условие единствен-
единственности, но оно не имеет практического значения.
Достаточным условием отсутствия собственных полей
(нетривиальных решений однородной задачи D.4)) является вы-
выполнение неравенства [24, 47, 79]
origin) = ~f VuT : оС : VuT d°V > 0 D.10)
для всех непрерывно дифференцируемых полей скоростей пере-
перемещений й, обращающихся в нуль на границе °SU и отличных
от тождественного нуля. Доказательство следует из того, что в
силу C.21) для собственного поля w (нетривиального решения
системы D.2), D.4)) должно выполняться равенство
oWw) = 0. D.11)
В силу C.18), C.19) собственное поле w дает стационарное значе-
значение функционалу oleig, равное нулю (см. D.11)). В общем случае
условие D.10) не является необходимым условием отсутствия соб-
собственных полей.
4.2.2. Критерии устойчивости и неустойчивости
Условие D.10) является достаточным условием устойчиво-
устойчивости равновесных конфигураций тел из упругих [78, 110] и упруго-
пластических [73, 79] материалов. Если существует хотя бы одно
кинематически возможное (отличное от тождественного нуля и
равное нулю на °SU) поле скоростей вектора перемещений й та-
такое, что o^eij(u) < 0, то равновесная конфигурация неустойчи-
неустойчива (достаточное условие неустойчивости равновесной конфигура-
конфигурации). Если для некоторых кинематически возможных полей ско-
скорости w справедливо равенство D.11), а для всех остальных по-
полей п выполнено неравенство D.10), то для выяснения вопроса
3То есть не рассматриваются пары полей перемещений таких, что и1 = й2
во всех точках области °V.
4.2. Критерии единственности и устойчивости решений ... 133
устойчивости равновесной конфигурации требуется дополнитель-
дополнительное исследование.
Рассмотрим устойчивость квазистатических движений тела,
соответствующих решениям системы C.6), D.7). Предполагаем,
что тело жестко заделано на границе GSU (й* = 0) и внешние си-
силы имеют вид D.8). Уравнения равновесия и граничные условия,
представленные относительно скоростей, при этих предположе-
предположениях переписываются в виде:
п = О на °5„, D.12)
Р • N = \Т*0 на °5Т.
Эти уравнения дополняются определяющими соотношения-
соотношениями D.2) и начальными условиями D.7).
Теорема 1. Достаточным условием потери устойчивости
квазистатического движения тела является бифуркация реше-
решений задачи D.12), D.2), D.7).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим сначала линейное тело с
определяющими соотношениями
Для линейного тела задача по определению бифуркации реше-
решений сводится к задаче определения собственного состояния [47]4.
Пусть при некотором значении параметра деформирования tcr до-
достигается собственное состояние, так что для собственного по-
поля w справедливы равенства5:
V • Рт = О в ° V,
w = О на °SU,
Р - N = О на °St, D.14)
4 Обратное неверно, так как в точке поворота достигается собственное со-
состояние, но ветвления решения в общем случае не происходит.
8 В общем случае может быть несколько линейно независимых собствен-
собственных полей, определяющих соответствующие боковые ветви решения; в этом
случае произвольно выбирается одно поле. г— ¦ * _;
[НЕ БОЛЕЕ »й КНИГИ В I
I ОДН.ИРУКИИ2ХВВВЕ \
134 Глава 4. Потеря устойчивости ...
При бифуркации решений задачи вектор w обозначает разность
решений, т. е. . i . 2
w = Дй = й — й .
Пользуясь теоремой Гаусса — Остроградского, можно пока-
показать, что для любого кинематически возможного поля вектора
скорости v (v = 0 на °SU) выполняется тождество
= - [vvT:Pd°V+ /*v-P-Nd°S. D.15)
Оу 0V 0St
Скалярно умножая левую и правую части первой формулы D.14)
на кинематически возможный вектор скорости v и интегрируя по
области ° V, получаем, что в силу D.15) в собственном состоянии
справедливо равенство
VwT : 0Cl : VvT d°V = 0. D.16)
Скалярно умножая левую и правую части первой формулы D.12)
на w, интегрируя по области °У и пользуясь D.15), D.16), полу-
получаем
А [ I °pw ft d°V + f w • T? d°s\ = 0. D.17)
°v °sT
Из D.17) следует, что собственное состояние достигается либо
при
А = 0, D.18)
либо при
[°pwfod°V+ f w-Tld°S = 0. D.19)
°v °sT
В общем случае условие D.18) соответствует в пространстве «пе-
«перемещения — параметр нагрузки» точке поворота кривой реше-
решения (максимума или минимумаN, а условие D.19) — точке би-
бифуркации решений7.
6Условие D.18) соответствует также точке перегиба, не представляющей
интереса с точки зрения качественной смены устойчивых и неустойчивых
равновесных конфигураций.
7Точка бифуркации может совпадать с точкой поворота, но такое совпаде-
совпадение не влияет на ход доказательства теоремы.
4.2. Критерии единственности и устойчивости решений ... 135
Пусть рассматриваемая равновесная конфигурация соот-
соответствует бифуркации решений, так что выполнено равенство
D.19). Рассмотрим начальное послекритическое поведение реше-
решения (продолжение решения от точки бифуркации). Дифференци-
Дифференцируя D.12) и D.2) по параметру деформирования t, запишем ра-
равенства:
V • Рт + °p\f0 = 0 в °V,
и = 0 на °SU,
D.20)
Р • N - ATS на °5Т,
P = o€l:Vut + oCl: VuT в °V.
Аналогично тому, как получено тождество D.15), для любого ки-
кинематически возможного поля скорости v имеем интегральное то-
тождество
[v{V-PT)d°V = -[vvT:Pd°V+ /v-PNd°S. D.21)
Скалярно умножая левую и правую части первой формулы D.20)
на w, интегрируя по области °V и пользуясь D.21) и третьей
формулой D.20), получаем
- /VwT : о^ь : VuT d°V - f VwT : 0€L : VuT d°V
\\ [°pwbd°V+ f
Oy
ov °s7
В силу D.16) и D.19)
VwT : 0Сь : Vur d°V = 0. D.22)
Для простоты рассмотрим симметричную бифуркацию [56], для
которой боковая ветвь решения характеризуется выполнением ра-
равенства А = 0. Из D.12) и D.14) следует, что для боковой ветви
решения при симметричной бифуркации
п = aw, D.23)
I
136 Глава 4. Потеря устойчивости ...
где а — произвольный множитель. Представим o<?l(F,P) в виде
otL = 0В : VuT, D.24)
где введен тензор 6-го ранга
Подставляя D.23), D.24) в D.22), получаем, что в точке бифурка-
бифуркации для боковой ветви решения должно выполняться равенство
VwT : (qD : VwT) : VwTd°V = 0. D.25)
ov
Исследуем устойчивость квазистатических движений. Для
отклоненных движений из D.12), D.13), D.24) получаем уравне-
уравнения (полагаем 8\ = 0):
V ¦ 6РТ = 0 в °V,
Aii — О ня ®Я
U \Л ~— \J ClCt '¦-'?/ i
6Р N-0 ° D'2б)
6Р = 0?L : V(SU)T + [0D : VEu)T] : VuT в °V
с начальными условиями
Su = щ — щ при t = to.
Для квазистатических движений, удовлетворяющих уравнениям
D.26), выполняется тождество
ov
+ I V{Sn)T : [0D : V(Su)T] : VuT d°V = 0. D.27)
ov
В общем случае вектор 5й связан с вектором 6и равенством D.27)
и не может иметь произвольного значения.
В точке бифуркации рассмотрим возмущенное движение
вдоль боковой ветви такое, что
Su = 0w,
4.2. Критерии единственности и устойчивости решений ... 137
где 0 — некоторая заданная малая величина. Тогда при любом
значении 7 и
8й = 7W
равенство D.27) выполняется в силу D.11), D.23), D.25).
Квазистатическое движение по основному (невозмущенному)
пути при t ^ tcr становится неустойчивым, так как какой бы ма-
малой ни была норма отклонения \\S\i\\ < 6 в начальный момент
движения в возмущенном решении вдоль боковой ветви, нельзя
гарантировать выполнение неравенства ||5u|| < e в последующем
движении, поскольку вектор ||<Ju|| может иметь произвольную ам-
амплитуду 7-
Выше показана неустойчивость квазистатического движения
линейного тела при достижении симметричной бифуркации реше-
решения. Аналогичный вывод можно сделать и при несимметричной
бифуркации (на боковой ветви решения А ф 0), но выкладки ста-
становятся более громоздкими, так как тогда поле скорости векто-
вектора перемещений й в начальном послекритическом движении по
боковой ветви не совпадает по направлению с собственным по-
полем w [56].
Рассмотрим нелинейное тело в некоторый момент времени ?,
для которого тензор q(? имеет вид D.3). Под нелинейным телом
здесь понимаем тело из упругопластического материала, подчи-
подчиняющегося теории пластического течения. В основном (невозму-
(невозмущенном) решении область °V тела можно разбить на подобла-
подобласти °Уе° и °Ур° (одна из них может быть пустой): °V = °V° U °V°.
Подобласть aVg представляет собой совокупность материальных
точек тела, для которых выполнено условие упругого деформи-
деформирования, а в материальных точках подобласти °V^° осуществля-
осуществляется пластическое деформирование8. Пусть в некоторый момент
времени tcr происходит бифуркация решений задачи D.12), D.2),
D.7). В начальный момент движения (момент времени tcr) по бо-
боковой ветви область тела aV аналогичным образом разбиваем на
подобласти °Fe' и °Ур': °V = °Fe' U °Fp'.
Пусть внешние силы действуют таким образом, что для
всех решений задачи D.12), D.2), D.7) выполняются равенства
°К' = °К°> °^р = °^р0' т0ГДа в точке бифуркации тензор о^ не
8Упругому деформированию соответствует в B.80) значение с = 0 , а пла-
пластическому — с = 1.
138 Глава 4. Потеря устойчивости ...
зависит от материальных производных тензоров F и Р, т. е. при
t = tcr нелинейное тело превращается в линейное. Из доказанного
выше следует, что при таком специфическом характере деформи-
деформирования нелинейного тела при бифуркации решений квазистати-
квазистатическое движение становится неустойчивым.
По-видимому, в большинстве решений задач по упругопла-
стическому деформированию тел при бифуркации область пла-
пластического деформирования для боковой ветви °Vp не совпадает
с областью 0Vp\ в побочном решении возможна разгрузка мате-
материала в некоторой подобласти °V^°, так что °Vp С °Vp. Тогда
в уравнениях для отклоненных движений наряду с отклоненны-
отклоненными величинами (вариациями перемещений и их скоростей) появ-
появляются конечные значения скоростей деформаций основного или
побочного решений. В [24] показано, что в этом случае бифур-
бифуркация решений задачи D.12), D.2), D.7) определяет момент, за
которым процесс квазистатического деформирования становится
неустойчивым.
4.3. Связь критических нагрузок
Пусть естественная (свободная от напряжений) конфигура-
конфигурация является отсчетной. Для всех рассмотренных в гл. 2 определя-
определяющих соотношений существует такая (достаточно малая) окрест-
окрестность естественной конфигурации, в которой выполняются нера-
неравенства D.9), D.10)9. Рассмотрим последовательное нагружение
тела от естественной конфигурации консервативными внешними
силами вида D.8). Деформирование тела описывается уравнени-
уравнениями D.12), D.2) с начальными условиями D.7). Для упрощения
анализа в качестве параметра деформирования t используем па-
параметр А, так что А = I10. Под критической нагрузкой понимаем
критическое значение параметра А, которое обозначим через Асг.
9 Последнее требование можно рассматривать как ограничение на тензор
о? в D.2). Для устойчивых по Друкеру материалов [21] это требование заве-
заведомо выполнено.
10Особо оговариваем те случаи, когда монотонно возрастающий параметр А
нельзя использовать для продолжения решения (например, через точку пово-
поворота); здесь предполагаем А ^ 0, в противном случае изменяем направления
векторов fo и TJ.
4.3. Связь критических нагрузок 139
Предполагаем, что на °5U осуществляется условие жесткой задел-
заделки й = О, так что под кинематически возможным полем скоро-
скорости вектора перемещений понимается достаточно гладкое вектор-
векторное поле, удовлетворяющее кинематическому граничному усло-
условию в D.12).
При введенных выше ограничениях по деформированию тел,
реализующихся для достаточно широкого класса задач, суще-
существуют связи между введенными ранее критическими нагрузка-
нагрузками, которые и рассматриваются в настоящем разделе.
4.3.1. Линейные тела
Для линейного тела определяющие соотношения D.2) пере-
перепишем в потенциальном виде:
^ = d0EL(Vii)
где квадратичная форма компонент материальной производной
тензора градиента перемещений qEl определяется с помощью те-
теоремы Эйлера об однородных функциях:
oEL(Vu) = ~ Р : VuT = \ VuT : 0^L ¦ VuT.
Функционал oleig, определенный в D.10), с помощью функции о-Е/,
можно переписать в виде
0leig(U) = JOEL(Vil)d°V.
ov
При последовательном нагружении тела, начиная от есте-
естественной конфигурации, предполагаем, что существует такое
критическое значение параметра А, обозначаемое через Aej5, что
{<0 Г>0
= 0 => oWuH 0 ¦ D.28)
>0 |>0
В D.28) предполагается, что oleig(\i) определяется для всех кине-
кинематически возможных полей скорости вектора перемещений, от-
отличных от тождественного нуля. В [79] показано, что при А = AejS
достигается собственное состояние. При этом те поля w, для ко-
которых выполняется равенство oleig(w) = 0, являются собствен-
собственными, т.е. они удовлетворяют системе D.14). Из D.28) следует,
140 Глава 4. Потеря устойчивости ...
что собственное поле w доставляет функционалу ohig не только
локальный минимум, являющийся решением вариационного урав-
уравнения
S0Ieig(u)=0
и равный нулю вследствие D.11), но и абсолютный минимум [79].
Таким образом, для линейного тела при выполнении ограничений
на характер деформирования неравенство
10EL(Vu)d°V>0 VU(ii^O) D.29)
является необходимым и достаточным условием отсутствия соб-
собственных полей [79].
Условия устойчивости и неустойчивости равновесных конфи-
конфигураций, рассмотренные в начале § 4.2.2, можно в соответствии
с D.28) записать в виде
< 0 ¦ Г устойчива,
. равновесная I
= 0 =Ф- , < не определена
конфигурация I
> 0 \ неустойчива.
D.30)
Из условий D.30) следует в практическом смысле11, что неравен-
неравенство D.29) является необходимым и достаточным условием устой-
устойчивости равновесных конфигураций.
Таким образом, для линейного тела справедлив статический
критерий устойчивости равновесных конфигураций: граница на-
нагрузок, разделяющая устойчивые и неустойчивые равновесные
конфигурации, соответствует наименьшей нагрузке собствен-
собственного состояния Xeig.
Для линейных тел, вследствие независимости о <? от п, усло-
1' При А = Ае»9 статус равновесной конфигурации по отношению к устойчи-
устойчивости не определен. Раскрытие этой неопределенности имеет скорее теорети-
теоретический, чем практический интерес. Например, при пошаговом интегрирова-
интегрировании уравнений D.12), D.2) (см. часть II) А принимает дискретные значения
с маловероятным совпадением с Aet9.
4.3. Связь критических нагрузок 141
вие D.9) можно переписать в виде
о/*(Дп) = ^ Г V(Au)T : 0€l : V(Au)T d°V > 0. D.31)
Сравнивая функционалы оД в D.31) и oleig в D.10), приходим
к выводу, что области их определений и значений совпадают и
функционалы идентичны. Отсюда следует: для линейного тела
достаточный критерий отсутствия бифуркации решений совпа-
совпадает с необходимым и достаточным критерием отсутствия соб-
собственных полей.
Различаем два типа нагрузок собственного состояния Aei912
(см. доказательство теоремы 1, § 4.2.2): максимальные13 и бифур-
бифуркационные. При достижении нагрузкой Л максимального значения
Xeig решения задачи D.12), D.2), D.7) с Л — 1 не существует (су-
(существует при Л = 0), поэтому для продолжения решения через
точку поворота нельзя использовать нагрузку А в качестве па-
параметра деформирования t14. Введем обозначения: Xmax — мак-
максимальная нагрузка; Хы/ — нагрузка бифуркации решений; teig
такое, что X(teig) = Xeig. Из проведенного выше анализа поведе-
поведения решения в зависимости от характера нагрузки собственного
состояния следует доказательство теоремы 2, характеризующей
связь критических нагрузок линейного тела.
Теорема 2. Рассмотрим два типа нагрузок собственного
состояния линейного тела:
A) Xeig = Хтах г Хы/!
B) Xeig — ^bif-
Для каждого из этих типов существует Т > teig такое, что
для любого t G (teig,T):
A) равновесные конфигурации неустойчивы; квазистатиче-
квазистатические движения могут быть устойчивыми;
12Здесь не рассматриваются следующие возможные типы собственного со-
состояния: точка перегиба, изолированная точка равновесия, точка возвра-
возврата [14].
1 При введенных выше ограничениях на деформапию тела при Л = Xetg
точка поворота является точкой максимума.
Метод продолжения решения через точку поворота представлен в § 7.1.2.
142 Глава 4. Потеря устойчивости ...
B) квазистатические движения теряют устойчивость одно-
одновременно с потерей устойчивости равновесных конфигу-
конфигураций.
4.3.2. Нелинейные тела
Рассмотрим функционалы единственности о-^ь(Дй) и устой-
устойчивости oleig(u). Области определений этих функционалов совпа-
совпадают, но области значений различаются, поэтому для нелиней-
нелинейного тела функционалы единственности и устойчивости различа-
различаются. Функционал oleig(u) однозначен, а функционал оД(Лй) в
общем случае многозначен [47]15. В [47, 73, 79] сформулирована и
доказана
Теорема 3. Область значений функционала оIeig(й) принад-
принадлежит области значений функционала о/ь(Дй).
Доказательство. Возьмем любое кинематически возмож-
возможное поле й^Ои определим разность Дй = й1 — й2, где й1 = й,
й2 = 0. Отсюда следует, что для каждого поля й существует
такое поле Дй, что о-Ть(Дй) = oleig(u). Обратное неверно, так
как в общем случае для того же самого поля Дй = й можно
подобрать такие кинематически возможные поля й3 и й4, что
0/ь(й3 - й4) ^ oW*)-
Для нелинейного тела появляется возможность качественно
нового типа бифуркации, принципиально неосуществимого для
линейного тела. Этот тип бифуркации, приведенный в форму-
формулировке теоремы 4, для общего случая деформирования впервые
рассмотрен в [47, 73, 79]16.
Теорема 4. Для нелинейных (упругопластических) тел воз-
возможна бифуркация решений, соответствующих устойчивым
равновесным конфигурациям. Такая бифуркация может проис-
происходить только при возрастающей нагрузке.
15 Для двух различных пар разностей кинематически возможных полей ско-
скоростей вектора перемещений — (й1, й2) и (й3, й4) — разности могут совпа-
совпадать: Дй = й1 — й =й — й , но значения функционала о1ь при этом могут
различаться: oh^u1 — и2) ф oh{u3 — и4).
1вРезультат, сформулированный в условии теоремы 4, в [47, 73, 79] пред-
представлен как общая формулировка и доказательство гипотезы Шенли о меха-
механизме потери устойчивости упругопластических систем.
4.3. Связь критических нагрузок 143
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Принципиальная возможность бифурка-
бифуркации решений для устойчивых равновесных конфигураций следует
из условия теоремы 3. Действительно, условие D.9) при некото-
некотором значении нагрузки А может нарушиться, а условие D.10) —
остаться справедливым, т. е. бифуркация решений может про-
произойти, а равновесные конфигурации останутся устойчивыми.
Предположим, что возможна бифуркация устойчивых реше-
решений при постоянной нагрузке А = 0 (симметричная бифуркация).
Тогда существовало бы нетривиальное решение w однородной си-
системы D.14) и условие D.10) было бы нарушено для поля векто-
вектора w. Пришли к противоречию с предположением о справедливо-
справедливости условия D.10).
Некоторые задачи с бифуркацией решений для устойчивых
равновесных конфигураций конструкций из упругопластического
материала рассмотрены в [24, 84]. Таким образом, для нелинейно-
нелинейного тела задача по определению бифуркации решений не сводится
к задаче по определению собственных состояний.
Связь критических нагрузок потери устойчивости квазиста-
квазистатических движений и равновесных конфигураций для нелинейно-
нелинейного тела перестает быть такой тесной, как для линейного тела (см.
теорему 2 из § 4.3.1). Если максимальная нагрузка является пер-
первой критической нагрузкой, полученной в процессе деформирова-
деформирования, то потеря устойчивости равновесных конфигураций может
произойти без потери устойчивости квазистатического движения.
При деформировании тел из упругопластического материала ча-
часто встречается обратная ситуация: критическая нагрузка потери
устойчивости квазистатического движения меньше критической
нагрузки потери устойчивости равновесных конфигураций17. В
качестве гипотезы принимаем выполнение статического крите-
критерия потери устойчивости равновесных конфигураций для упруго-
пластических тел18. При выполнении этой гипотезы справедлива
17Такое соотношение критических нагрузок впервые получил Шенли в экс-
экспериментальных исследованиях по потере устойчивости сжатых стержней из
упругопластического материала. В этих экспериментах стержни при потере
устойчивости изгибались без «хлопка».
18Для нелинейных тел нет доказательства того, что критерий D.10) явля-
является необходимым и достаточным критерием отсутствия собственных полей.
Тем не менее представляется невозможным то, что при монотонном нагру-
жении тела нарушение условия D.10) происходит без появления собственных
полей. Этот вопрос требует дальнейшего исследования.
144 Глава 4. Потеря устойчивости ...
Теорема 5. Если для нелинейного тела \ы/ < \eig, то по-
потеря устойчивости квазистатического движения происходит
с устойчивыми равновесными конфигурациями.
Доказательство. Из условия теоремы 1 (см. § 4.2.2) следу-
следует, что при нагрузке Хы/ происходит потеря устойчивости квази-
квазистатических движений тела. При выполнении статического кри-
критерия потеря устойчивости равновесных конфигураций не про-
происходит при А < Хе{д. Из соотношения критических нагрузок,
представленного неравенством в условии теоремы, следует дока-
доказательство теоремы.
То, что задача по определению бифуркации решений для
нелинейного тела не сводится к задаче по определению собствен-
собственных состояний, затрудняет определение критических нагрузок по-
потери единственности решения. В [47, 73, 79] вместо исследова-
исследования на предмет бифуркации исходного нелинейного тела с потен-
потенциальной функцией о-Е предлагается исследовать линейное тело
сравнения с потенциальной функцией о-Ёх- Конструировать по-
потенциал линейного тела сравнения можно опираясь на теорему
сравнения Хилла [47, 73, 79].
Теорема 6. Если <^(Vii) = о-^ ~ qEl — выпуклая функция
своих аргументов и удовлетворен критерий отсутствия соб-
собственных полей D.29) для линейного тела сравнения, то выпол-
выполнено достаточное условие единственности D.9) решений урав-
уравнений D.12), D.2) для нелинейного тела.
В [47, 73, 79] показано, что для тела из упругопластического
материала потенциальная функция линейного тела сравнения qEi
получается при игнорировании условий разгрузки в определяю-
определяющих соотношениях. Для этого в B.80) величина с, определенная
в B.81), переопределяется как
ГО, если/„<(>, D32)
[1, если fy = 0.
Обозначим тензор определяющих соотношений для линейного те-
тела, определяемый соотношениями B.80), D.32) с заменой B.86),
Рр f W P f
через q<Ll • С помощью тензора q<Ll по формулам B.33) об-
образуется потенциальная функция qW, а тензор o^z, получается
при использовании этой потенциальной функции и связи потен-
потенциалов B.38) или прямо из формул связи B.35). Замена B.81)
4.3. Связь критических нагрузок 145
на D.32) означает игнорирование условий разгрузки с законом
упругого деформирования для достигнутого пластического состо-
состояния материальной частицы. Таким образом, игнорирование раз-
разгрузки с законом упругого деформирования19 приводит к крити-
критической нагрузке Ас собственного состояния линейного тела срав-
сравнения, которая дает оценку снизу критических нагрузок потери
устойчивости квазистатических движений и равновесных конфи-
конфигураций исходного нелинейного тела. В [20, 22, 24] показано, что
критическая нагрузка Ас является точной нижней гранью кри-
критических нагрузок бифуркации решений задачи по деформиро-
деформированию упругопластического тела (критерий равноактивной би-
бифуркацииJ0. Нагрузка Ас называется касательно-модульной на-
нагрузкой или нагрузкой Шенли. Таким образом, для определе-
определения критической нагрузки потери устойчивости квазистатиче-
квазистатических движений упругопластического тела достаточно определить
касательно-модульную нагрузку Ас, которая является нагрузкой
собственного состояния для линейного тела сравнения.
Нагрузка собственного состояния Xeig, отвечающая за сме-
смену устойчивых и неустойчивых равновесных конфигураций для
нелинейных тел из упругопластических материалов, называет-
называется приведенно-модульной нагрузкой или нагрузкой Энгессера —
Кармана. Принимая критерий равноактивной бифуркации, нера-
неравенство в условии теоремы 5 можно заменить более простым:
Ас < Хе{д.
4.3.3. Сравнение критических нагрузок
для различных теорий упругопластичности
Из решения ряда задач по выпучиванию конструкций из
упругопластического материала с однородным докритическим со-
состоянием известно [б, 12, 24, 84], что касательно-модульные на-
нагрузки, полученные по деформационной теории пластичности,
оказываются меньше соответствующих нагрузок, полученных по
теории пластического течения. Покажем, что такое соотношение
имеет место для достаточно широкого класса задач.
19Такое игнорирование предполагается только для определения возможно-
возможности нарушения условий D.9) или D.10). При решении задачи D.12), D.2),
D.7) замена B.81) на D.32) не проводится.
20Такая связь критических нагрузок получается, в частности, в решении
задачи о потере устойчивости стойки [84].
146 Глада 4. Потеря устойчивости ...
Рассмотрим две теории пластического течения, описываю-
описывающие деформирование тела из упругопластического материала: с
гладкой поверхностью текучести и с поверхностью текучести,
имеющей угловую точку (см. § 2.2.1). Для каждого из нелинейных
тел с приведенными выше определяющими соотношениями обра-
образуем два линейных тела сравнения с тензорами q€.l и o&l- Эти
тензоры получаются с помощью тензоров определяющих соотно-
соотношений теории пластического течения (с гладкой поверхностью
текучести) и деформационной теории пластичности при игнори-
игнорировании условий разгрузки окрестностей материальных точек, в
которых выполнено равенство J2 = J™01. В силу такого соответ-
соответствия далее в этом параграфе, для краткости, теорию пластиче-
пластического течения с гладкой поверхностью текучести будем называть
теорией пластического течения, а теорию пластического течения
с угловой точкой на поверхности текучести — деформационной
теорией пластичности. Определим явные вьфажения потенциаль-
потенциальных функций о-Б{ и о-Е? для обеих теорий. Из B.40) в декартовой
системе отсчета получаем
+^Зцйкцйкц, D.33)
где
fi j D-34)
Приведем выражения для компонент тензоров q<Cl и q<?[, которые
зависят от состояния материальной частицы:
• при Ji < J™ax (упругое деформирование)
<<¦« = <<*, = ~ [\(Sik Sfl + Su Sjk) + у^ Stj 6kl\ D.35)
• при Ji = J™ax (пластическое деформирование)
У L
4.3. Связь критических нагрузок 147
Пусть известна некоторая последовательность равновесных
конфигураций, соответствующая монотонно возрастающему зна-
значению параметра А и характеризуемая полем вектора перемеще-
перемещений и(А) и полем второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа
S(A). Эта последовательность конфигураций может быть получе-
получена, например, решением задачи D.12), D.2), D.7) с использовани-
использованием теории пластического течения с изотропным упрочнением ма-
материала с гладкой поверхностью текучести. Кроме того, для неко-
некоторых задач с однородным докритическим состоянием (основное
решение) можно пренебречь изменением геометрии тела в основ-
основном решении (и(А) = 0), а компоненты тензора напряжений S(A)
получать непосредственно из условий равновесия тела через из-
известные внешние силы. Кроме того, в условиях пропорционально-
пропорционального нагружения окрестностей материальных точек тела получают-
получаются совпадающие решения задач по теории пластического течения
и по деформационной теории пластичности, приводящие к неко-
некоторой известной последовательности равновесных конфигураций.
Обозначим через Ас и Af касательно-модульные нагрузки, полу-
полученные по теории пластического течения и деформационной тео-
теории пластичности соответственно. Тогда справедлива следующая
теорема [32].
Теорема 7. Для заданной последовательности равновесных
конфигураций тела из упругопластического материала, соот-
соответствующей монотонно возрастающему параметру А, спра-
справедливо соотношение касательно-модульных нагрузок: Х^ < \(.
Доказательство. При достижении собственного состояния
для собственного поля w выполняется равенство D.11). Поэтому
для доказательства теоремы достаточно показать, что при на-
наличии пластических деформаций хотя бы в некоторых участках
тела
olL9-o4g>0 D-37)
для всех кинематически возможных полей скоростей вектора пе-
перемещений й, отличных от тождественного нуля. Здесь
ol[ig(u) = J0EfL(Vu)d°V, о49(п) = J0EdL(VU)d°V.
Для заданной последовательности равновесных конфигураций по-
последние слагаемые в правых частях потенциалов qEl и оЕ?
148 Глава 4. Потеря устойчивости ...
в D.33) совпадают, поэтому
W[{t) - ow?(t)]d°V. D.38)
Для упрощения доказательства в каждой точке области °V
вместо базисных векторов декартовой системы отсчета исполь-
используем тройку ортонормальных базисных векторов, направленных
вдоль главных осей второго тензора напряжений Пиола — Кирх-
Кирхгофа S. Далее предполагаем, что компоненты всех тензоров опре-
определяются в этом базисе, так что S\2 — S\% — S23 — 0- Подста-
Подставляя D.35), D.36) в D.34), получаем:
• при J2 <
• при J2 =
- Е гё ё I " <Ё* d{s'ij Eijf 1
ГТ^ lEij Eij + T^Y {Eii) 2J' 4
E /(^4
- 2A+ u + g) iEtj Ег] + W
Из D.39), D.40) получаем:
• при J2 < Jfax
0^-0^ = 0, D.41)
• при J2 = J2m<u:
щтЩГТ^7) D'42)
где
Пусть Zi = Ец (не суммировать по i). В этих обозначениях ква-
квадратичная форма oWi переписывается в виде
D.43)
4.4. Потеря устойчивости тел в условиях ползучести 149
где
3 2J2 3 2J2
(г ф j; не суммировать по г и j).
Можно показать, что
Ап > О, А22 ^ О, А33 ^ О,
1 = 0.
Таким образом, все главные миноры матрицы [А„] неотрицатель-
неотрицательны, откуда следует, что квадратичная форма D.43) неотрица-
неотрицательна.
Так как квадратичная форма 0W2 положительно определена,
квадратичная форма o^i неотрицательна и??>0, д ^ 0, у > —1,
из D.41), D.42) следует, что во всех точках области °V для всех
кинематически возможных полей скоростей вектора перемещений
выполнено неравенство
0W[ - 0WdL > 0. D.44)
В тех участках тела, где происходит пластическое деформиро-
деформирование (J2 = J™ax), неравенство D.44) превращается в строгое
для всех кинематически возможных полей скоростей перемеще-
перемещений, отличных от тождественного нуля. Тогда из D.38) следует
неравенство D.37).
Рассмотрим такие квазистатические движения, потеря
устойчивости которых происходит при достижении касательно-
модульной нагрузки21 Ас ^ \eig- В таких предположениях, соблю-
соблюдаемых, по-видимому, во всех известных решенных задачах по
выпучиванию тел из упругопластических материалов, и при вы-
выполнении условий теоремы 7 следует, что критическая нагрузка
потери устойчивости квазистатического движения, предска-
предсказанная теорией пластического течения с угловой точкой на по-
поверхности текучести, меньше соответствующей критической
нагрузки, полученной с помощью теории пластического течения
с гладкой поверхностью текучести.
21 То есть предполагается, что бифуркация решений является не только до-
достаточным (см. теорему 1 в § 4.2.2), но и необходимым критерием потери
устойчивости квазистатических движений.
150 Глава 4. Потеря устойчивости ...
4.4. Потеря устойчивости тел
в условиях ползучести
Подходы к исследованию единственности и устойчивости тел
из термоупругопластических материалов с учетом деформаций
ползучести аналогичны тем, которые использовались для ма-
материалов с определяющими соотношениями вида D.2); следует
лишь потенциальную функцию оЕ, образуемую с помощью B.33),
B.38), заменить потенциальной функцией B.100). При такой за-
замене все представленные в разделах 4.2, 4.3 критерии потери
устойчивости равновесных состояний и квазистатических движе-
движений остаются справедливыми и для рассматриваемой модели ма-
материала.
Требуется сделать замечание в связи с устойчивостью квази-
ч 99
статических движении тел при постоянных внешних силах : па-
параметр А остается неизменным (А = 0). При развитии начальных
несовершенств формально устойчивые квазистатические движе-
движения на практике могут приводить к быстрому (экспоненциаль-
(экспоненциальному) росту несовершенств при достижении некоторого критиче-
критического значения времени tcr, и этот рост зависит от амплитуды
несовершенства. Поэтому при исследовании движений идеальных
тел при постоянных внешних силах необходимо также проанали-
проанализировать развитие некоторых типов начальных неправильностей,
с тем чтобы установить исчерпание несущей способности тела
в практическом смысле. Такой подход к определению устойчи-
устойчивости деформируемых тел, находящихся в состоянии ползучести
при действии постоянных внешних сил, предложен в [15, 34, 41].
В этом случае можно выделить критические значения времени
дополнительно к тем, которые получаются при стандартных ис-
исследованиях единственности и устойчивости, аналогичных про-
проведенным в разделах 4.2 и 4.3. Определение tcr, соответствую-
соответствующего моменту времени исчерпания несущей способности в прак-
практическом смысле, использовалось в [48] для определения влияния
температуры на критическое время потери устойчивости сжатого
стержня.
22 Если при этом компоненты тензоров напряжений и скоростей деформаций
ползучести постоянны во всех точках тела, то такое деформирование назы-
называется установившейся ползучестью тела.
4.5. Формулировки контактных задач
151
4.5. Формулировки контактных задач
4.5.1. Постановка контактной задачи
Пусть имеется два тела — В1 и В2 (рис. 4.4, а). Пусть в ре-
результате приложения заданных нагрузок или перемещений эти
тела входят в контакт друг с другом. Это означает, что они име-
имеют общую границу дВс, на которой выполнены условия непрони-
непроникания одного тела в другое (рис. 4.4,5), т. е.
«j-^-x^-n^O, D.45)
где х1 и х2 — радиусы-векторы материальных точек тел В1 и В2
в текущей конфигурации; п — единичный вектор нормали к кон-
контактной поверхности. Величина g называется нормальным зазо-
зазором между телами. При контакте тел на границе контакта в D.45)
выполняется равенство, а при расхождении тел — неравенство.
В,
¦О
б
Граница
контакта
о
Рис. 4.4. Схема контакта двух тел:
а — тела до контакта; б — вхождение тел в контакт;
в — действие контактных сил
152 Глава 4. Потеря устойчивости ...
На границе контакта возникают сжимающие распределенные
контактные нормальные силы
tn = t • n < 0, D.46)
где t — вектор распределенных контактных сил, п — внешняя
нормаль к границе тела. Равенство в D.46) выполняется в слу-
случае выхода тел из контакта, а неравенство — при нахождении
в контакте. Таким образом, контактные нормальные силы могут
быть только сжимающими. В то же время распределенные кон-
контактные касательные силы tt = t ¦ т (т — вектор, касательный
к контактной границе) могут быть как положительными, так и
отрицательными. Эти силы должны подчиняться некоторому за-
закону трения. Используем закон трения Кулона. Пусть fis ^ 0 обо-
обозначает статический коэффициент трения, а /^ ^ 0 — динамиче-
динамический коэффициент трения (/л3 ^ цд). Пусть в решении некоторой
задачи получено значение касательной контактной силы tt- В со-
соответствии с законом трения Кулона предполагаем, что между
контактирующими частицами тел нет относительного движения
до тех пор, пока выполняется неравенство
1**1 < 4s\tn\- D.47)
Относительное движение контактирующих частиц начинается
только в том случае, если нарушается неравенство D.47), т. е.
касательные контактные силы должны достигнуть некоторой ве-
величины. В процессе же относительного движения касательные
контактные силы подчиняются равенству
|*t| = W|*n|- D-48)
Относительное движение контактирующих частиц продолжается
до тех пор, пока не будет выполнено неравенство
1**1 < Ы*п\.
Относительного движения контактирующих частиц не будет
до тех пор, пока вновь не перестанет выполняться неравен-
неравенство D.47).
Таким образом, контактная задача представляет собой фор-
формулировку уравнений для движения двух тел с наложенными ки-
кинематическими D.45) и статическими D.46) ограничениями на
их движения друг относительно друга. Существует два наиболее
известных метода решения задач с ограничениями: метод мно-
множителей Лагранжа и метод штрафных функций. Суть решения
4.5. Формулировки контактных задач 153
контактных задач заключается в том, что к стандартному урав-
уравнению принципа возможных перемещений добавляются ограни-
ограничения в виде потенциалов контактных сил Wc, которые форму-
формулируются либо на основе метода множителей Лагранжа, либо на
основе метода штрафных функций.
4.5.2. Формулировка контактной задачи с помощью метода
множителей Лагранжа
Основная идея решения контактных задач методом множите-
множителей Лагранжа состоит в том, чтобы к стандартному уравнению
принципа возможных перемещений, примененному к двум неза-
независимым телам, которые входят в контакт, добавить потенциал
контактных сил вида [69, 82, 92]
Wc = - 11 • (х1 - х2) dc, D.49)
где с — поверхность контакта между телами В1 и В2, t — век-
вектор поверхностных контактных сил, действующих на с. Для того,
чтобы достигнуть совместности на поверхности контакта с, надо
полагать t независимой величиной, т. е. вектор контактных сил
играет роль множителя Лагранжа. Метод множителей Лагранжа
приводит к введению в формулировку задачи новых неизвестных
величин — множителей Лагранжа.
4.5.3. Формулировка контактной задачи с помощью метода
штрафных функций
Основная идея решения контактных задач методом штраф-
штрафных функций состоит в том, чтобы к стандартному уравнению
принципа возможных перемещений, примененному к двум неза-
независимым телам, которые входят в контакт, добавить потенциал
контактных сил вида [69, 85, 86, 92, 102, 114]
Здесь
— нормальный перехлест (взаимное проникновение по нормали п
к границе с) контактирующих частиц,
9t = т ¦ (х1 - х2)
154 Глава 4. Потеря устойчивости ...
— касательный перехлест, т — единичный касательный вектор
к границе с, wn > 0 и Ы( ^ 0 — нормальный и касательный пара-
параметры штрафа, так что
шп -> оо =* дп —> 0; Ш{ -> оо =>• gt -> 0.
Отметим, что второй член в подынтегральном выражении в D.50)
учитывается только в случае прилипания контактирующих тел,
т. е. в случае выполнения неравенства D.47).
Применение метода штрафных функций к решению контакт-
контактных задач равносильно введению фиктивных пружин на границе
контакта, которые предохраняют контактирующие тела от вза-
взаимного проникновения.
Часть II
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА
КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
К РЕШЕНИЮ
НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
Глава 5
ДИСКРЕТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
5.1. Векторно-матричная запись
слабых форм уравнений
и функционалов вариационных принципов
5.1.1. Основные обозначения
Основой применения МКЭ являются слабые формы уравне-
уравнений и вариационные принципы, рассмотренные в гл. 3. Слабые
и вариационные формулировки, приведенные в этой главе, прямо
использовать для формирования системы алгебраических урав-
уравнений нельзя. Требуется сделать ряд преобразований исходных
уравнений.
Рассмотрим тело, которое деформируется под действием
некоторой системы заданных нагрузок. В начальный момент вре-
времени t = О тело занимает область °V, в некоторый фиксирован-
фиксированный момент времени t — область *У, а в некоторый следующий
момент времени t + At — область t+AtV (рис. 5.1). Обычно шаг
по времени At выбирается небольшим.
Примем правило расположения левых индексов, следуя [49]:
нижний индекс обозначает отсчетную конфигурацию для некото-
некоторой величины, а верхний индекс — тот момент времени, в ко-
который она рассматривается1. Например, t+At0Sij суть компонен-
компоненты второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа в момент
1ппя компонент вектора перемещений, который определяется формулой
A.9), левый нижний индекс используем только при неоднозначной трактовке
отсчетной конфигурации.
5.1. Векторно-матричная запись ...
t+At
Рис. 5.1. Начальная и деформированные конфигурации тепа
158 Глава 5. Дискретные уравнения движения
времени t + At, когда отсчетнои конфигурацией предполагает-
предполагается начальная конфигурация в момент времени t = 0 (TL-подход к
формулировке уравнений, см. § 1.2.2), а *+ \Sij обозначают компо-
компоненты второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа в момент
времени t + At, но в качестве отсчетнои предполагается конфигу-
конфигурация в момент времени t (UL-подход к формулировке уравнений,
см. § 1.2.2). В том случае, если верхний и нижний левые индексы
совпадают, нижний индекс опускается. Например, 's^ обознача-
обозначают компоненты тензора напряжений Коши в момент времени t,
для которого отсчетнои является конфигурация в тот же момент
времени t (т. е. *в^ = \s{j). Отсутствие левого верхнего индек-
индекса у некоторой величины обозначает ее приращение с момента
времени t до момента времени t + At, например, и = *+Д{и — fu
обозначает приращение вектора перемещений.
В § 1.2.2 введены понятия TL- и UL-подходов к описанию про-
процесса деформирования. Формулировки уравнений, соответствую-
соответствующие этим подходам, назовем общей лагранжевой формулиров-
формулировкой (TL-формулировкой) и текущей лагранжевой формулиров-
формулировкой (UL-формулировкой). Если для UL-формулировки использу-
используются определяющие соотношения вида B.45), B.90) или B.101)
с производной Хилла от тензора напряжений Коши (производной
Яуманна от тензора напряжений Кирхгофа, когда в качестве от-
отсчетнои используется текущая конфигурация), то формулировку
уравнений для этого специального случая назовем ULJ (updated
Lagrangian Jaumann) формулировкой2.
В качестве системы отсчета используем декартову систему
координат, в этом случае ковариантные и контравариантные ком-
компоненты тензоров совпадают. Поэтому для обозначения компо-
компонент тензоров оставляем только нижние индексы.
5.1.2. Общая лагранжева формулировка
Принцип возможных перемещений (слабая форма уравнений
движения) для TL-формулировки выражается равенством C.3).
Компонентная запись этого уравнения, рассматриваемого в мо-
2Используемая здесь ULJ-формулировка отличается от формулировки с '
тем же названием в [49]. В питируемой работе для ULJ-формулировки в опре-
определяющих соотношениях используется производная Яуманна от тензора на-
напряжений Коши.
5.1. Векторно-матричная запись ... 159
мент времени t + At, имеет следующий вид:
t+At0Sij St+At0E{j d °V = t+AtR. E.1)
Oy
Здесь и далее правые нижние индексы пробегают значения 1,2,3.
Выражение для виртуальной работы внешних сил t+AtR приво-
приводится ниже. В момент времени t + At искомые величины неиз-
неизвестны. Линеаризуем соотношение E.1) относительно известного
состояния в момент времени t [49]:
/o^ijkl o^kl <5o e» j d V + / о Si, доЩ d V =
J
Oy Oy
= t+AtR - f iSij doeij d°V. E.2)
Oy
Здесь o^ij — компоненты линейной части приращения тензора
деформаций Грина — Лагранжа:
"«felt'"*!?)) E-3)
Щ — компоненты нелинейной части приращения тензора дефор-
деформаций Грина — Лагранжа {qE{j = oe%j +
В формулах E.3), E.4) приняты обозначения3
_ дщ t _ д1щ
Здесь щ — компоненты приращения вектора перемещения
В E.2) 10?цк1 являются компонентами тензора четвертого ранга в
определяющих соотношениях, связывающих приращения компо-
компонент тензора напряжений с компонентами линейной части прира-
приращения тензора деформаций:
E.6)
3Эти обозначения частных производных совпадают с обозначениями, при-
принятыми в A.16), но здесь в целях унификации принимается °Xi = Xi.
160
Глава 5. Дискретные уравнения движения
Соотношения E.6) являются линеаризованным аналогом опре-
определяющих соотношений B.30), B.85), записанных относительно
скоростей.
Введем векторы и матрицы:
ое =
0
О
to
оа
о
0^22,
«1|з;
о
о
о =
20ei3, 2об2з]т,
rt
= [
t
to —
0 0 0
0 0 0
0 0 0
t с
0^23 о^ЗЗ .
E.7)
(n —
0^12 0^13 0^14 0^15 0^16
0C22 0^23 0^24 0^25 0^26
оСзЗ 0^34 0^35 0^36
0C44 IC45 0C46
СИММ.
оСбб .
В формулах E.7) элементы \Сц матрицы qC составлены из ком-
компонент тензора определяющих соотношений \tijki-
Равенство E.2) для линеаризованного уравнения принципа
возможных перемещений с помощью обозначений E.7) переписы-
переписывается в виде
f6oeTtoCoed°V+f
0у Оу
= t+AtR_ f 6oe^oSd°V.
0у
E.8)
Рассмотрим виртуальную работу внешних сил t+AtR с уче-,
том инерционных членов
t+AtR =
5.1. Векторно-матричная запись ... 161
где
*+Д* »„ = / t+At I x,,.jOjr t+At
RV ~ Jt+^JiSmdOv, t+At0RM =
\t Ь — I t+Ыгту* г iOe
E.10)
t+At A - I t+A*Ti* л... лОс <+Д< 6„ =
Здесь *+ q/j — компоненты вектора объемной силы4, отнесен-
отнесенные к объему в отсчетной конфигурации (например, силы ве-
веса); *+AqT* — компоненты вектора условных напряжений Коши;
°St — часть поверхности °5, ограничивающей область °V, на ко-
которой заданы компоненты вектора условных напряжений Коши;
t+Atftk — компоненты &-й сосредоточенной силы (к = 1,К, К —
общее число узлов, в которых действуют сосредоточенные нагруз-
нагрузки); l+Atuk — компоненты вектора перемещения узловой точки, в
которой действует k-я сосредоточенная сила.
Рассмотрим только один случай действия объемных сил —
силу веса. Пусть '/>„ обозначает весовую плотность материала
(т. е. вес единицы объема материала). Предположим, что в про-
процессе деформирования весовая плотность подчиняется закону
\dQV = гР„й1У, E.11)
где f(t) — заданная функция времени. Предположим, что вектор
весовых нагрузок можно представить в виде
Г( = (%, E.12)
где
Ч=[%%,%Г, f = [Л, /2) /з]х. E-13)
Здесь /i, /2, /3 — направляющие косинусы вектора силы веса с
осями декартовой системы координат.
Введем векторы перемещений *и и их приращений и:
'u = [V'u2,'«3]T, u = [«i,«2, «з]т- E-14)
4 Вектор массовой силы t+At{ связан с вектором объемной сипы t+ gf со-
соотношением e+A^f = V+A?f.
162 Глава 5. Дискретные уравнения движения
Пользуясь E.12)—E.14), запишем виртуальную работу сил веса в
виде
I 5uTit+AtPvdt+Av.
Пользуясь законом E.11), получаем выражение для виртуальной
работы сил веса t+AtQRv:
t+AtQRv = f(t + At) Г SuT f °pv d °V, E.15)
так что
t+btRy = *+**0Rv. E.16)
Отметим, что во многих случаях изменением весовой плотности
материала во времени можно пренебречь и /(?) = 1.
Пользуясь обозначениями E.14), виртуальную работу инер-
инерционных сил *+Ao-Rm записываем в виде
°р<*°У. E.17)
Оу
Отметим, что
t+At0&M = t+AtRM
в силу уравнения неразрывности
°pd°V = t+Atpdt+AtV. E.18)
Здесь
t+AtRM=
t+Aty
Рассмотрим вектор условных напряжений Коши:
E.19)
Компоненты этого вектора могут быть или непосредственно зада-
заданы, или вычислены в случае действия нормального давления (по-
(поверхностные нагрузки действуют по нормали к поверхности °St) ¦
5.1. Векторно-матричная запись ... 163
Пользуясь E.14), E-19), перепишем выражение виртуальной ра-
работы поверхностных нагрузок t+ 1qRt в виде
t+AtQRT= f 6uTt+AtQT*d°S. E.20)
Уравнение E.8) представляет собой запись линеаризованного
уравнения принципа возможных перемещений относительно при-
приращений перемещений. Обратимся к функционалу C.24), запи-
записанному относительно скоростей перемещений в момент време-
времени t. Введем следующие векторы:
Е = [Ец, Е22, Е3з
Здесь
pL E.22)
В соответствии с обозначениями E.5), E.22), формулы A.62) для
скоростей компонент тензора деформаций Грина — Лагранжа
принимают вид
Пользуясь обозначениями E.7), E.21), запишем функционал
C.24) в виде
u^Sufld°F-OjR, E.24)
Оу Оу
где
0Л = ORV + oRt + Re, E.25)
ORV = [ofiitidoV, оRt = f oT*Щd°S,
°v °sT
E-26)
K
k=l
В отличие от C.24) здесь используются компоненты объемной,
а не массовой силы. Уравнение принципа возможных перемеще-
перемещений E.8) можно использовать при решении квазистатических и
164 Глава 5. Дискретные уравнения движения
динамических задач, а вариационное уравнение
:) = 0 E.27)
— только при решении квазистатических задач. Использование
вариационного уравнения приводит к симметричным формули-
формулировкам матриц в МКЭ, а при использовании принципа возмож-
возможных перемещений это не всегда выполнимо.
5.1.3. Текущая лагранжева формулировка
В UL-формулировке все величины рассматриваются по
отношению к некоторому моменту времени t, для которого
напряженно-деформированное состояние предполагается извест-
известным. Поэтому
ISij = 's^, \щ = 0. E.28)
Уравнение принципа возможных перемещений в момент вре-
времени t + At записывается аналогично E.1), но в качестве отсчет-
ной используется текущая конфигурация:
tv
Принимая во внимание E.28), после линеаризации получаем [49]
/ 'Ctfw tew 6teij dlV + / *ву 8гщ d*V = t+AtR - / *яу
J J J
ty ty ty
E.29)
Из E.3), E.4) в силу E.28) имеем
teij = 2(UiJ + "•*>')' Мч = о Uk'{ Пк^' E.30)
Здесь
_ дщ
Отметим следующее равенство:
В E.29) величины 'Сум обозначают компоненты тензора чет-
четвертого ранга определяющих соотношений, связывающих прира-
приращения напряжений с приращениями деформаций:
t E-31)
5.1. Векторно-матричная запись ...
165
Линеаризованное уравнение E.29) переписьгааем в следующем ви-
виде:
f SteT *C te dlV + f Stu^s tng dlV = t+AtR - f
ty ty "ty
*s dlV.
E.32)
Здесь
te = [ten, ten, 4езз,
= [«i,i; «ij2; «ii3; «2д; «2,2; «2,3; «3,1; «3,2; Щ,
*s
0
0
*s =
0
*s
0
0
0
*s .
, *S =
1, *S22, *взз, *S
E.33)
СИММ.
ьСъъ
'^66 j
Матрица *С связывает вектор приращений напряжений с векто-
вектором линейной части приращений деформаций:
*8 = *С*е, E.34)
где
tS = [tSn, t^22, «^зз, tSn, tSn, <52з]т-
Из A.92) и A.94) следует равенство
tsTr = tS, E.35)
где t&Tr — вектор, составленный из компонент инкрементально-
инкрементального аналога производной Трусделла от тензора напряжений Коши.
Поэтому вместо определяющих соотношений E.34) можно напи-
написать следующие:
166 Глава 5. Дискретные уравнения движения
7> г ту Тг Тг Тг Тг Тглт
где
Пользуясь инкрементальным аналогом второй формулы в A.101),
получаем
tsff = tSij - lSkj ttj,fc - lSik «j,fe + lSij Uk>k.
Виртуальную работу внешних сил t+AtR с учетом инерцион-
инерционных членов записываем в виде
t+AtR = t+AtRv - t+AtRM + t+AtRr + t+AtRc, E.36)
где
t+AtRv= I t+Atfi6Uidt+AtV, '
t+Atv
t+AtRM= f
t+Atv
t+AtRT =
Выражение для виртуальной работы сосредоточенных сил t+AtRc
приведено в E.10). В силу E.16) и E.18) виртуальная работа
объемных и инерционных сил находится по формулам E.15) и
E.17). Для виртуальной работы поверхностных нагрузок анало-
аналогично E.20) получаем
= f 6uTt+AtT*dt+AtS. E.37)
t+AtR
В силу A.73) из E.20) и E.37) следует, что t+At0RT = t+AtRT-
Поэтому для виртуальной работы внешних сил в левых частях
E.9) и E.36) используется одно и то же обозначение t+AtR. Так
как поверхность тела t+AtST неизвестна, то нельзя определить
t+AtRr по формуле E.37). Предполагая шаг по времени Д? срав-
сравнительно малым, в формуле E.37) интегрирование по неизвест-
неизвестной поверхности t+AtST заменяем интегрированием по известной
5.1. Векторио-матричиая запись ... 167
поверхности 'Sy в момент времени t [49]:
t+AtR
T я / JuTf+A<T*d<S. E.38)
Рассмотрим вариационное уравнение C.25} с первым функ-
функционалом в C.28). Введем следующие векторы:
V9 = [«1,1; «1,25 «1,з; U2,i; «2,25 «2,35 «зд; «3,2! «з,з]Т-
Здесь
E.40)
Компоненты тензора скорости деформаций в соответствии с
A.2&), E.40) записываются в виде
С помощью обозначений E.33), E.39)-E.41) первый функци-
функционал в C.28) принимает вид
ivJ*8vsd«F-A E.42)
tv tv
где
(Л = tRv + tR-т + Re,
tRT = f %Vi d% RC = J2 Ri V^
В отличие от обозначений в C.28) здесь /i обозначают компонен-
компоненты объемной, а не массовой силы. Матрица *С связывает ком-
компоненты производной тензора напряжений Коши по Трусделлу с
тензором скоростей деформаций:
sTr = *Cd, E.44)
где
Тг _ гГг Тг Тг Тг Тг Ггпт
8 — 1*11 > *22 ) *33 ! S12 > *13 ! *23 J ¦
Формула E.44) является алгебраическим аналогом тензорной за-
записи определяющих соотношений в B.42).
168 Глава 5. Дискретные уравнения движения
5.1.4. Текущая лагранжева формулировка с производной
тензора напряжений Коши по Хиллу в определяющих
соотношениях
Отличие ULJ-формулировки от UL-формулировки состоит в
том, что в определяющих соотношениях вида E.44) вместо про-
производной Трусделла используется производная Хилла от тензора
напряжений Коши.
Равенство E.29) для линеаризованного уравнения принципа
возможных перемещений получается при использовании опреде-
определяющих соотношений E.31). В силу E.35) эквивалентная запись
определяющих соотношений E.31) имеет следующий вид:
tsff = %jkiteki-
Рассмотрим инкрементальный аналог определяющих соотноше-
соотношений B.45):
j E.45)
где tsfj — инкрементальный аналог компонент производной Хил-
Хилла от тензора напряжений Коши. Пользуясь инкрементальным
аналогом связи производных Трусделла и Хилла A.96) и опре-
определяющими соотношениями E.45), из E.29) получаем линеа-
линеаризованное уравнение принципа возможных перемещений для
ULJ-формулировки:
/ %jki t^ki Steij d*V + / *яу
tv tv
= t+AtR - f lsij Ste^ dlV. E.46)
tv
Это равенство отличается от E.29) наличием подчеркнутого чле-
члена.
Введем вектор
tsH = [te», t4> D, *а& *ан. tsg]T. E.47)
Определяющие соотношения E.45) запишем в виде
*вя = 'б4_е, E.48)
где элементы матрицы^ С составлены из компонент тензора опре-
деляющих соотношений
5.1. Векторно-матричная запись .,.. 169
Введем вектор
(ё = [(ец, ten, tei3, te2i, «е22, <e23, <езь 4е32, «е33]т. E.49)
Непосредственной проверкой можно убедиться, что подчеркну-
подчеркнутый член в E.46) преобразуется с помощью обозначений E.33)
и E.49) к виду
lSij 6{teik tekj) = 2SteT ls te. E.50)
Пользуясь обозначениями E.33), E.49) и равенствами E.48),
E.50), уравнение E.46) перепишем в виде
steTtCtedtV+ /four's (uq - 26teTtste}dtV =
tv tv
= t+AtR- f 6teTtsdtV. E.51)
tv
Рассмотрим вариационное уравнение C.25) со вторым функ-
функционалом в C.28). В векторно-матричном виде определяющие со-
соотношения B.45) записываются следующим образом:
ур
f
где матрица 'С та же самая, что и в соотношениях E.48), вектор d
определяется первой формулой E.39), а вектор sH имеет вид
„я = гян „я „я „я „я яр
s — l*ll! *22> *33' *12' S13i S23J •
Введем вектор
d = [dn, dn, d\3, d2i, c?22> ^23, d$\, d32, с?зз]т-
С помощью обозначений, введенных выше, второй функционал
в C.28) перепишем в виде
1н= f^dTtCddtV+ f [^лгтв1ёу3 - dTtsd]dlV ^ Л E.52)
Здесь tR имеет вид E.43).
5.1.5. Геометрически линейная формулировка
В некоторых задачах можно пренебречь изменением геомет-
геометрии тела в процессе деформирования, т. е. геометрическую нели-
нелинейность можно не учитывать (MNO-подход, см. § 1.5.5). Однако
при использовании нелинейных моделей, материала приходится,
170 Глава 5. Дискретные уравнения движения
тем не менее, решать нелинейные уравнения пошаговым инте-
интегрированием. Формулировку уравнений для задач, в которых учи-
учитывается только физическая нелинейность, назовем, следуя [49],
геометрически линейной или MNO (material nonlinear only) фор-
формулировкой. Выражения для компонент линейного тензора дефор-
деформаций приведены в A.57), а уравнения движения заданы форму-
формулами A.128). MNO-формулировка уравнений получается при от-
отбрасывании нелинейных членов в уравнениях TL-формулировки.
Для сокращения записи левый нижний индекс опускается.
Принцип возможных перемещений для MNO-формулировки
уравнений записывается в виде равенства
у
J
t+Atvij6t+Ateijd0V = 4
Оу
Линеаризуя его, имеем
^d°V = t+AtR - f ьо-ц 6eij d°V. E.53)
Oy
Компоненты тензора деформаций Коши 1ец и их приращения (.ц
выражаются через компоненты тензора градиента перемещения
и их приращения:
* - -(* * --(
Компоненты тензора напряжений Коши обозначаются через 1оц.
Приращения компонент тензора напряжений Сту связаны с прира-
приращениями компонент тензора деформаций ец определяющими со-
соотношениями
Введем следующие векторы:
€ = [ец, 622, е33, 2б12, 2б13, 2б2з]Т,
О" = L СТ11> О2 О"зз О2 <Т1 <]Т
С помощью этих обозначений линеаризованное уравнение прин-
принципа возможных перемещений E.53) записывается в виде
f
Оу Оу
5.2. Дискретизация уравнений по пространственным ... 171
Функционал qI для вариационного уравнения
до1 = О E.55)
получается из функционала qIw E.24) при отбрасывании нели-
нелинейных членов:
ov
5.2. Дискретизация уравнений
по пространственным переменным
5.2.1. Геометрия элемента и его перемещения
Рассмотрим восьмиугольный элемент, имеющий N узлов (на
рис. 5.2 представлен элемент с 20 узлами). Пусть г, s, t —
естественные (локальные) координаты элемента (см. рис. 5.2)
[49, 122], так что
-1 ^ г ^ 1, -l^s^l, -l^t^l.
Координаты некоторой материальной частицы элемента в (гло-
(глобальной) декартовой системе координат можно представить в раз-
различные моменты времени выражениями
N N
0Xi(r,s,t) = J2hk(r,s,t)°xl ьхг(г,з,Ь) = J>fe(r,MLfc,
fe=1 N k=1 E-56)
fe=l
Здесь индексом к обозначен номер узла (к = 1,N); N —число уз-
узлов в элементе; hk(r,s,t) — интерполяционные полиномы (функ-
(функции формы). Функции формы hk{r, s, t) можно строить различным
образом, но они должны удовлетворять следующим основным тре-
требованиям [49, 122]:
лг.
(k,m - 1,N),
fe=l
В соответствии с понятием изопараметрического конечного
элемента [49, 122] смещения материальных точек элемента можно
172
Глава 5. Дискретные уравнения движения
г-*П*Л —•'
Рис. 5.2. Деформирование 20-узлового элемента
(приведены обозначения для узловой точки к)
5.2. Дискретизация уравнений по пространственным ... 173
представить через смещения узловых точек с помощью тех же са-
самых интерполяционных полиномов, что и координаты этих точек
элемента. Из E.56) получаем
N
к=\ E.57)
щ = 1+мхг - 1хг = ]?hk(r,a, t) ul E.58)
fe=i
где tu'l — г-я компонента вектора перемещений узла A;, a v% — г'-я
компонента вектора приращений перемещений этого же узла.
5.2.2. Общая лагранжева формулировка
Введем векторы узловых смещений и приращений узловых
смещений элемента
tTTe _ ft 1 11 t I t.N t N t,N]T
U = [ «!, «2, U3, . . . , «! , «2 , U3 J ,
тте Г 1 1 1 N N ЛПТ (О.оУ)
Ue= [и|^ <]
Верхний правый индекс е здесь и далее обозначает принадлеж-
принадлежность вектора или матрицы рассматриваемому элементу.
Найдем компоненты матрицы дВ^ такой, что
E.60)
Подставляя E.57) в E.3) и пользуясь обозначениями E.7), E.59),
можно получить выражения для элементов матрицы qBl (приве-
(приведены в [49]). Варьируя выражения в левой и правой частях E.60),
получаем
дое = гоВьд\]е. E.61)
Введем матрицу oB#l такую, что
ou9 = oBJviUe. E.62)
Подставляя второе выражение E.57) в первое выражение E.5) и
пользуясь обозначениями E.7), E.59), можно получить выраже-
выражения для элементов матрицы qBjvl (приведены в [49]).
Введем матрицу Н такую, что
u = HUe. E.63)
174 Глава 5. Дискретные уравнения движения
Из E.14), E.59) и E.57) получаем
' hi 0 0 ... hN О О
Н= 0 hi О ... О /iff О
О О hi ... О О hN
Из E.63) следует
?и = Шие. E.64)
Выделим из области °V подобласть рассматриваемого эле-
элемента °Ve. В случае, когда некоторая грань (или грани) элемента
совпадает (совпадают) с частью поверхности °S рассматриваемо-
рассматриваемого тела, поверхность этой грани (граней) обозначаем через °5е. В
частном случае (ни одна грань элемента не совпадает с поверх-
поверхностью тела °S) поверхность °Se может быть пустой. Из E.15) и
E.64) получаем
gi?y = 5XJeT o^V' E.65)
где
t+At "D в ^— t D- I Л 4-\ / TI^ -p r\ A" ТЛ i E\ f\f\\
Oye
— вектор объемных сил элемента. Из E.17), E.63), E.64) имеем
t+At йе хтте т лд"б t+Atrje /r сп\
QJn-M = ОU М. U , E.DY)
где введена симметричная матрица масс элемента
Ме
Оуе
Из E.20) и E.64) получаем
цЛу ^ oU glvy, E.69)
где
я матрица масс элемента
= f HTH°pdV. E.68)
t+At
о
= f *Tt+AtQT*d°S E.70)
— вектор поверхностных сил элемента. Виртуальная работа
внешних сил элемента (включая инерционные) с помощью E.9),
E.65), E.67), E.69) записывается в виде
t+At ре =
5.2. Дискретизация уравнений по пространственным ... 175
где
— вектор внешних сил элемента.
Пользуясь E.61), E.62) и обозначениями E.7), представим
выражения для каждого слагаемого в E.8):
5QeTt0CQed0V = 6VeTt0KeLVe,
Оуе
доиТд lQS оид d°V = SVeTt0KeNL Vе,
Оуе
I
Оуе
Здесь введены симметричные линейная касательная матрица
жесткости элемента УК.^, нелинейная касательная матрица
жесткости элемента qK^^ и вектор внутренних сил элемен-
элемента l0Fe:
= J
l0KeNL =
Оуе Оуе
V V E.73)
Оуе
Интегрирование в E.66), E.68), E.70), E.73) проводится численно
по формулам Гаусса — Лежандра [49, 122].
Пусть область °V деформируемого тела разбита на М по-
подобластей (конечных элементов) °VrJ (j = 1,М), так что
0V = 0V1U0V2U---U°VAf. E.74)
Введем глобальные векторы неизвестных узловых перемещений и
их приращений:
'U = [1ии1и2,... ,lUNEQY, U == р7ь U2, ¦ ¦ ¦ , UNEq]t, E.75)
где lUi (г = 1, NEQ) — одна из компонент вектора перемещений в
некоторой узловой точке, NEQ — общее число неизвестных неза-
176 Глава 5. Дискретные уравнения движения
висимых компонент вектора перемещений узловых точек5. Ком-
Компоненты векторов в E.59) для каждого из элементов состоят из
компонент глобальных векторов в E.75). Приведем матрицы и
векторы всех элементов к размерностям NEQ x NEQ и NEQ
соответственно с помощью булевых матриц Ае (элементы кото-
которых состоят из нулей и единицN, которые вводятся для каждого
элемента с помощью соотношений
*Ue = A6 *U, Ue = Ae U.
Введем модифицированные матрицы и векторы элементов:
t+At ne _ дет t+At ре Ме = АетМеАе
t+Atfje — \eTt+Atj}e t-gj-e _ де-rtjv-e де
= A 0"-L л '
Отметим, что матрицы Ме, $К-1, o^nl симметричные. Пользу-
Пользуясь модифицированными матрицами и векторами элементов, пе-
перепишем введенные ранее выражения:
t+At ре \ТТТ t+At-ne t+At ре хттт лле t+AtxV
t+At pe _
tine leTtne tjs-e AeT*l^e Ae
0-Г = Л 0Г , 0"-NL = A " A
Rf., J
Оуе
E.76)
О' •
Оуе Оуе
С помощью E.76) виртуальную работу внешних сил элемен-
элемента E.71) преобразуем к виду
где
t+At-ве _ t+At т»е , t+At-бе
5Глобальную нумерацию узлов области °V (ансамбля) можно проводить
произвольно, однако от последовательности ее проведения зависит структура
матриц ансамбля.
6В вычислительных комплексах, реализующих МКЭ, вместо булевых ма-
матриц используются таблицы соответствия локальной и глобальной нумера-
нумераций [49].
5.2. Дискретизация уравнений по пространственным ... 177
Для каждого элемента вместо верхнего правого индекса е запи-
запишем его номер j (j = 1,МO. Пользуясь E.74), известными свой-
свойствами интегралов
/
/
J j
о у J=1oyj 05 J=
и выражениями E.76), E.77), из E.8) получаем дискретный ана-
аналог линеаризованного уравнения принципа возможных перемеще-
перемещений:
<ШТ(М t+AtU + ?KU) = <5UT('+AtR - &F).
Из произвольности вектора <5U следуют линеаризованные дис-
дискретные уравнения движения:
М t+AtJJ
E.78)
Здесь
м м
м м
M = "?Mj, E.79)
3=1
м
J + t+AtB.c.
Симметричная матрица М называется матрицей масс (ансамб-
(ансамбля), симметричная матрица дК — касательной матрицей жест-
жесткости (ансамбля), вектор qF — вектором внутренних сил (ан-
(ансамбля), а вектор t+AtR — вектором внешних сил (ансамбля).
Вектор t+AtRc получается из следующего представления вирту-
виртуальной работы сосредоточенных сил:
где ненулевые компоненты вектора t+AtRc составлены из компо-
компонент t+AtRf, введенных в E.10).
7Элементы нумеруются произвольным рбразом, последовательность нуме-
нумерации не влияет на структуру глобальных матриц и векторов ансамбля.
178 Глава 5. Дискретные уравнения движения
Рассмотрим постановку задачи, сформулированную относи-
относительно скоростей и основанную на вариационном уравнении E.27)
с функционалом E.24). Введем вектор скоростей перемещений уз-
узловых точек элемента:
ие = 1п\,п1п1...,п?,п»,п?]\ E.80)
Из E.21), E.23) аналогично E.60) получаем
E = ^BLUe. E.81)
Из E.21), E.22), E.80) следует аналог формулы E.62) относи-
относительно скоростей:
йр = ^Вл^ие. E-82)
Из E.25), E.26) имеем
OjRe = UeTRe. E.83)
Здесь
R = oRy •+¦ oR-Ti
где
0Rey = /(*) I Нтf °Pv d°V, 0Щ= f HT0T*d°S.
Oye 05e,
Подразделяя область °7на конечные элементы и вводя гло-
глобальный вектор неизвестных скоростей узловых перемещений
V = [U1,U2,...,Uneq]t,
после суммирования по элементам с использованием формул
E.81)—E.83) получаем из E.24) дискретный аналог функциона-
функционала
^UTR, E.84)
где
м
.7=1
Пользуясь вариационным уравнением E.27), с помощью
E.84) запишем следующую систему линейных алгебраических
уравнений:
E.85)
5.2. Дискретизация уравнений по пространственным ... 179
5.2.3. Текущая лагранжева формулировка
В TL-формулировке для определения матриц и векторов ис-
используется геометрия элементов в начальный момент времени
t = 0. В UL-формулировке в качестве отсчетной конфигурации
рассматривается геометрия элементов в текущий момент време-
времени t (см. рис. 5.2). Введем матрицы и векторы элемента анало-
аналогично тому, как это делалось в § 5.2.2:
tye tye
tFe = Г гщ tsdtv^ *+*щ, = /" нт t+AttT*d% E.86)
t+Atne — t+At-
±t = 0
Выражения для матриц *Bl, 'Вдг/, приведены в [49]. Соотноше-
Соотношения E.72) и E.86) формально определяют два разных вектора,
обозначенных одинаково через *+A'Re. В силу A.73) е+Аг0Щ, —
*+А*Щ, из E.38) следует г+Ы0Щ и t+A'Rr, поэтому оба вы-
выражения для *+A'Re определяют один и тот же вектор с точ-
точностью до выполнения приближенного равенства в E.38). Более
того, во многих случаях действия поверхностных нагрузок (на-
(например, нормального давления) вместо вектора *+AqRj, для TL-
формулировки проще использовать вектор t+ jR-f,.
Вводя глобальные векторы перемещений и их прираще-
приращений E.75) и проводя суммирование, из E.32) получаем
'KU = t+AtK -
E.87)
Матрицы и векторы в этом уравнении находятся из соответству-
соответствующих матриц и векторов в E.79) при отбрасывании левого ниж-
нижнего индекса 0.
Учитывая, что
v = u,
и проводя дискретизацию переменных в функционале E.42), из
вариационного уравнения
6Iw = 0
180
Глава 5. Дискретные уравнения движения
получаем следующую систему линейных алгебраических уравне-
уравнений относительно скоростей узловых перемещений:
KU =
E.88)
5.2.4. Текущая лагранжева формулировка с производной
тензора напряжений Коши по Хиллу в определяющих
соотношениях
Для ULJ-формулировки линеаризованное уравнение прин-
принципа возможных перемещений отличается от соответствующе-
соответствующего уравнения UL-формулировки наличием подчеркнутого члена в
E.51) и использованием вместо матрицы *С матрицы 1С. Введем
матрицу *И5'н1 такую, что
— ttyt тТв /г* Q(\\
«е = HNL U . (о.о9)
Пользуясь E.57), E.49), E.30), E.59), из E.89) получаем компо-
компо1
ненты матрицы В
ста'
NL:
hk,i
hk'j/2
hke/2
0 '
0
^,з/2
0 '
0
0
hk,i/2
0
hk,i/2
" hk,2
hk^/2
0
Л*,з/2
0
0
0
hk,
0
0
hk
hk,
hk,
hk,
i/2
2/2
i/2
2/2
для узловой точки к
_dhk
Здесь
Для рассматриваемого конечного элемента подчеркнутый
член в E.51) с помощью E.89) преобразуется к виду
/
tVe
- I 2SteTtstedtV = <Шет*К'^,ие.
5.2. Дискретизация уравнений по пространственным ... 181
Здесь введена дополнительная нелинейная касательная матрица
жесткости элемента *К'^:
= -2 f
Действуя по стандартной процедуре и проводя сумми-
суммирование, получаем систему линейных алгебраических уравне-
уравнений E.87) с касательной матрицей жесткости:
'Kez'Kl + 'Katl + 'K'^, E.90)
где
м
KNL = А ^NL A •
Касательная матрица жесткости для ULJ-формулировки отлича-
отличается от аналогичной матрицы UL-формулировки наличием ма-
матрицы *Кд^ в E.90). Остальные матрицы и векторы имеют тот
же вид, что и в уравнениях UL-формулировки с заменой матри-
матрицы *С матрицей 'С в подынтегральном выражении для матри-
матрицы ЬЩ в E.86).
Исходя из вариационного уравнения
с дискретным аналогом функционала E.52), получаем линейную
алгебраическую систему уравнений E.88) с матрицей E.90). Ана-
Аналогичная формулировка конечно-элементных уравнений исполь-
используется в [97] для решения квазистатических двумерных задач по
упругопластическому деформированию тел при больших дефор-
деформациях.
5.2.5. Геометрически линейная формулировка
Для MNO-формулировки матрицы и векторы системы урав-
уравнений можно получить из матриц и векторов TL-формулировки,
удаляя нелинейную касательную матрицу жесткости и заменяя
матрицу qBl матрицей В (выражения элементов последней ма-
матрицы получаются из элементов первой при отбрасывании членов
с компонентами тензора градиента перемещений *Щу)- Получаем
систему уравнений для приращений перемещений вида E.78) со
182 Глава 5. Дискретные уравнения движения
следующей модификацией матриц и векторов элементов:
tire / тэт 14-1 тэ jOtt- trj-e n
E.91)
= / BTferd°y.
Oye
Из вариационного уравнения E.55) с учетом E.91) можно по-
получить линейную систему уравнений относительно скоростей пе-
перемещений E.85).
Глава 6
ПРОЦЕДУРЫ ЧИСЛЕННЫХ РЕШЕНИЙ
НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
6.1. Интегрирование уравнений движения
(равновесия)
В разделе 5.2 получены системы уравнений относительно
приращений узловых перемещений или их скоростей. Глобальные
матрицы и векторы этих систем могут составляться из локаль-
локальных матриц и векторов трехмерных элементов, элементов обо-
оболочек, стержней и т. д. Кроме того, при формировании матриц и
векторов можно для каждого элемента использовать свою степень
нелинейности. То есть эти матрицы и векторы можно получать с
помощью MNO, TL, UL, ULJ-формулировок. В сочетании с гиб-
гибкостью моделирования тела произвольной геометрии, МКЭ занял
лидирующее положение при решении нелинейных задач МДТТ.
На основе линеаризованного уравнения принципа возможных
перемещений для вектора приращений узловых перемещений U
получены системы уравнений вида
М*+мй + *Ки = ь+мВ.-ьР. F.1)
Из вариационного принципа получены уравнения относительно
вектора скоростей перемещений U:
*KU = R. F.2)
Определим, какую из формулировок F.1), F.2) предпочесть при
решении задач.
184 Глава 6. Процедуры численных решений нелинейных задач
Рассмотрим динамические задачи. Пользуясь методом Буб-
Бубнова — Галёркина, из уравнений движения относительно скоро-
скоростей перемещений можно записать следующую систему уравне-
уравнений:
ми + *ки = в.. (б.з)
Недостаток формулировки уравнений F.3) по сравнению с F.1)
заключается в том, что высшие производные по времени в F.3)
имеют третий порядок, а в F.1) — второй порядок.
При квазистатическом деформировании система F.1) сво-
сводится к следующей:
*KU = t+A'R - *P. F.4)
Дискретные уравнения равновесия выражают равенство векторов
внутренних и внешних сил:
*Р = *R. F.5)
Из F.5) следует, что уравнения F.4) представляют собой дис-
дискретные по времени уравнения пошаговой процедуры явной схе-
схемы Эйлера (первого порядка точности) интегрирования систе-
системы F.2). Для интегрирования по времени уравнений F.2) мож-
можно использовать другие схемы, более высокого порядка точности,
чем схема Эйлера. Однако такие схемы требуют более высокой
гладкости решения, не всегда достижимой при решении приклад-
прикладных задач. В качестве примеров задач, в которых вектор переме-
перемещений не обладает непрерывной дифференцируемостью по време-
времени можно привести задачи упругопластического деформирования,
задачи с бифуркацией решений и т. д. Поэтому лучше использо-
использовать схему Эйлера с уравнениями F.4) с последующим уточнени-
уточнением решения при помощи некоторой итерационной процедуры.
Из проведенного анализа следует, что в общем случае вы-
выгоднее использовать уравнения в приращениях F.1), F.4) для
решения общего класса геометрически и физически нелинейных
задач МДТТ. В настоящем разделе рассматриваются процедуры
решения этих уравнений с их последующим итерационным уточ-
уточнением.
6.1.1. Схема Ньюмарка решения динамических задач
Метод Ньюмарка [49, 122] можно рассматривать как обоб-
обобщение метода линейного ускорения. Он принадлежит к семейству
6.1. Интегрирование уравнений движения (равновесия) 185
одношаговых методов интегрирования уравнений движения. Вве-
Введем следующие константы:
1
5 1 МE \ ¦
04 = 1, а5 = -^-| Л, Об = Оо, 07-= -02,
ав = -аз, ад = А*A — 5), аю = 5Д*.
Здесь параметры а и <5 выбираются из условия устойчивости и
точности интегрирования. Если 6 = 0,5, а = 0,25, то метод Нью-
Ньюмарка имеет второй порядок точности интегрирования во време-
времени, при этом отсутствует схемная диссипация. При других зна-
чених S и а метод Ньюмарка имеет первый порядок точности и
появляется схемная диссипация при интегрировании уравнений
движения. Диссипативные схемы интегрирования оказываются
полезными при решении задач о распространении ударных волн
и при решении динамических контактных задач [59, 91, 92]. Для
линейных задач схема Ньюмарка является безусловно устойчивой
при [49, 122]
<5>О,5 и а>0,25(<5.+ 0,5J.
Ускорения, скорости и перемещения в момент времени t +
At выражаются через соответствующие величины, в момент t по
формулам [49]
t+A'U = a6U + а7*и + a8'U, t+AtV = *U + U,
*+Д*и = *и + а9'й + a10t+AtU.
После дискретизации по времени уравнение F.1) записывается в
виде
*KU = t+AtR, F.7)
где
'К = *К + а0М, t+AtR = t+AtK + M(a2 *U + a3 *U) - lF.
Таким образом, после применения схемы Ньюмарка к урав-
уравнениям F.1) получается система алгебраических уравнений F.7),
которая имеет тот же вид, что и уравнения квазистатического де-
деформирования F.4).
Матрица *К называется эффективной касательной матри-
матрицей жесткости, а вектор t+A*R — эффективным вектором
внешних сил [49].
186 Глава 6. Процедуры численных решений нелинейных задач
6.1.2. Пошаговое интегрирование линеаризованных
уравнений
Линейные системы уравнений F.4) и F.7) решаются мето-
методом Гаусса с учетом профильного строения и симметрии матриц
в левых частях. Сначала проводится факторизация матрицы 'К
(или 'К) [49]:
'К = LDLT, F.8)
где L — нижняя треугольная матрица с единицами на главной
диагонали, D — диагональная матрица. После факторизации ма-
матрицы прямым и обратным ходом метода Гаусса решается си-
система уравнений F.7) (или F.4)). После решения системы F.7)
(или F.4)) вектор перемещений *+д*и в момент времени t+At на-
находится из второй формулы F.6), для динамических задач опреде-
определяются скорости и ускорения по первой и третьей формулам F.6),
вычисляется новая (эффективная) касательная матрица жестко-
жесткости, и процесс счета повторяется на следующем шаге во времени.
Численную процедуру пошагового решения уравнений стати-
статики F.4) или динамики F.7) для задачи с одной степенью свободы
иллюстрирует рис. 6.1. Недостатком такой процедуры интегри-
интегрирования уравнений является то, что при относительно большом
шаге Д< численное решение может уйти достаточно далеко от
истинного. Для исправления этой ситуации требуется применять
итерационные процедуры уточнения решения.
6.1.3. Итерационные процедуры уточнения решения
Стандартный метод Ньютона — Рафсона
Наиболее известным методом итерационного уточнения ре-
решения нелинейных задач является стандартный метод Ньюто-
Ньютона — Рафсона. На каждой итерации решается система линейных
алгебраических уравнений [49, 62, 122]
M-Atfc(i-i) ди« = t+Atfri-i) (• = Х> 2,...), F.9)
где правый индекс в скобках обозначает номер итерации,
ди@ = t+Atv(i) _ t+Atv(i-i) F 10)
— вектор разности перемещений на итерациях. В качестве нуле-
нулевой итерации (начальные условия для итерационного процесса)
используется известное решение, полученное для момента време-
времени t:
6.1. Интегрирование уравнений движения (равновесия)
187
01U 2U 3U 4U 5U
и
Рис. 6.1. Пошаговое интегрирование уравнений
движения (равновесия) без применения итераци-
итерационной процедуры уточнения решения
Итерационная процедура заканчивается, как только выполняются
некоторые критерии сходимости итерационного процесса и вектор
AUW становится малой величиной.
Скорости и ускорения на итерациях определяются по форму-
формулам
а5 *U.
Здесь
- 'и
вектор приращений перемещений на г-й итерации. Вектор
(I~1) на итерациях определяется следующим образом:
188
Глава 6. Процедуры численных решений нелинейных задач
R А
t+At
и
Рис. 6.2. Иллюстрация применения стандартного
метода Ньютона — Рафсона в одномерной задаче
Схема процесса уточнения решения методом Ньютона —
Рафсона представлена на рис. 6.2.
Модифицированный метод Ньютона — Рафсона
Недостатком итерационной процедуры стандартного метода
Ньютона — Рафсона является то, что на всех итерациях при
решении системы уравнений F.9) надо формировать матрицу
г+дг?(г-1) и проводить ее факторизацию. В модифицированном
методе Ньютона — Рафсона [49, 62, 122] касательная матрица
жесткости не пересчитывается на каждой итерации. Вместо это-
этого в уравнениях вида F.9) на каждой итерации используется одна
и та же матрица ТК (т обозначает некоторый момент времени на
предыдущих шагах, например т = t или г = 0). Недостатками
итерационной процедуры модифицированного метода Ньютона —
Рафсона являются ее более медленная сходимость и более частая
расходимость по сравнению с процедурой стандартного метода
Ньютона — Рафсона.
6.1. Интегрирование уравнений движения (равновесия)
189
Рис. 6.3. Иллюстрация применения модифицированного
метода Ньютона — Рафсона в одномерной задаче
Графическая иллюстрация применения итерационной проце-
процедуры модифицированного метода Ньютона — Рафсона для задачи
с одной степенью свободы приведена на рис. 6.3.
Квазиньютонов метод
Как отмечено выше, стандартный метод Ньютона — Рафсо-
Рафсона является мощным инструментом решения нелинейных задач,
однако он трудоемок в применении, поскольку требует вычисле-
вычисления и триангуляризации касательной матрицы жесткости на каж-
каждой итерации. Модифицированный метод Ньютона — Рафсона
существенно снижает число операций на одной итерации, одна-
однако при этом ухудшаются характеристики сходимости. Семейство
квазиньютоновых методов [62] по характеристикам сходимости
и числу операций на одной итерации занимает промежуточное
положение между стандартным и модифицированным методами
Ньютона — Рафсона. В квазиньютоновых методах на каждой ите-
итерации строится приближение к обращенной касательной матрице
жесткости без вычисления ее в явном виде.
190 Глава 6. Процедуры численных решений нелинейных задач
Определим приращение вектора неизвестных на итерациях:
— и приращение вектора несбалансированной нагрузки:
Квазиньютоновы уравнения записываются в виде
<+A*K(i) 6® = 7(i)- F.П)
На (г — 1)-й итерации находится приращение вектора перемеще-
перемещений:
Для BFGS квазиньютонова метода матрица (*+д*К~1)(*\ удовле-
удовлетворяющая уравнению F.11), находится по формуле [49, 95]
где матрица А(г) размерностью NEQ x NEQ (NEQ — общее
число уравнений) имеет следующий вид:
Здесь I — единичная матрица, а векторы vW и w^ вычисляются
через известные величины по формулам
w = _ Г- д(От<у(О 11/a^*(i-D ,w _ «w
6.1. Интегрирование уравнений движения (равновесия)
191
Рис. 6.4. Иллюстрация применения BFGS квази-
квазиньютонова метода в одномерной задаче
В практических расчетах матрица (*+д*К-1)A) в явном виде
не вычисляется, а вычисляется вектор AU^:
= [I + w^) v^-1)T] • • • [I + w^ vW T] «К
Графическая иллюстрация применения BFGS квазиньютоно-
квазиньютонова метода при решении уравнения с одной степенью свободы при-
приведена на рис. 6.4.
В заключение отметим, что для всех итерационных процедур
можно использовать линейный поиск [49] для ускорения сходимо-
сходимости.
6.1.4. Критерии сходимости
Рассмотрим несколько критериев окончания итерационного
процесса [49]. Контролировать сходимость можно одновременно
всеми критериями или выборочно некоторыми из них.
192 Глава 6. Процедуры численных решений нелинейных задач
• Критерий сходимости по перемещениям. Считается, что
сходимость достигнута, если выполнено неравенство
Рц
где ед > 0 — заранее заданное небольшое число, || • ||г — евкли-
евклидова норма вектора, принадлежащего пространству Шп:
max ||TR-T-A'F-MT-A*U||i
ttt+&t
Выполнение этого критерия означает, что перемещения на двух
последовательных итерациях мало меняются.
• Критерий сходимости по силам. Предполагается, что схо-
сходимость итерационного процесса наступила, если
eF- F.13)
Выполнение этого критерия соответствует тому, что вектор
несбалансированных сил становится малым, т. е. внутренние си-
силы почти уравновешивают внешние.
• Критерий сходимости по энергии. В этом случае критерием
сходимости является выполнение следующего неравенства:
(г)_М-Д*и(»-1))т(
- 'р - м*и) ^еЕ'
F.14)
Выполнение этого критерия означает, что приращение внутрен-
внутренней энергии на итерациях мало по сравнению с начальным прира-
приращением энергии (с момента времени t до момента времени t + At).
Эффективной проверкой сходимости служит удовлетворе-
удовлетворение решения одновременно всем критериям. Недостаток крите-
критериев F.12) и F.13) заключается в том, что в некоторых задачах
при вычислений норм векторов ||<+д<и^||2 и ||t+AtRW||2 могут
появиться несовместные размерности (например, при использова-
использовании конечного элемента оболочки часть степеней свободы выра-
выражается в линейных размерах, а часть — в радианах). Кроме то-
того, в некоторых задачах выполнение одного из критериев, F.12)
или F.13), не означает автоматического выполнения другого кри-
критерия. Это может случиться, например, при решении задачи о де-
деформировании тела из упругопластического материала с малым
6.2. Матрицы определяющих соотношений ... 193
параметром упрочнения, когда на итерациях силы почти не ме-
меняются, а изменение смещений остается значительным. То есть
неравенство F.13) может быть выполнено, а сходимость решения
еще не достигнута. Этих недостатков лишен критерий F.14), так
как в него одновременно входят и силы, и перемещения.
В практических расчетах через несколько итераций после на-
начала процесса надо проверить вычисления на расходимость реше-
решения. Проверкой служит выполнение критерия F.13) или F.14) с
6f = 1 или €е = 1 соответственно. Если этого не происходит
(итерационный процесс расходится), надо или уменьшить шаг по
времени (параметру деформирования) или воспользоваться дру-
другой итерационной процедурой.
6.2. Матрицы определяющих соотношений
и определение напряжений
При определении касательных матриц жесткости элементов
в разделе 5.2 не приводился явный вид матриц определяющих
соотношений дС и 'С. Кроме того, остался открытым вопрос
вычисления компонент тензора напряжений, с помощью которых
определяются элементы матриц и векторов, входящих в уравне-
уравнения. В настоящем разделе приводятся формулы для определения
компонент тензора напряжений и элементов матриц, связываю-
связывающих приращения вектора напряжений с приращениями вектора
деформаций, для различных моделей материала.
6.2.1. Векторы деформаций, напряжений и их приращения
Геометрически линейное деформирование (MNO-формулировка)
Для MNO-формулировки в качестве мер деформаций и на-
напряжений используются тензоры деформаций и напряжений Ко-
ши. Приращения компонент этих тензоров определяются следую-
следующим образом:
ег} — ег} — e,j, at] — at] — oiy
В дополнение к определенным в E.54) введем векторы
ье = [*е1Ь *€22 *езз 2*
ье =
€22, *езз, 2*е12, 2%3, 2(с23]т,
@.15)
= fall» °22, СГзз, 012, СПЗ> СГ2з]Т-
194
Глава 6. Процедуры численных решений нелинейных задач
Геометрически нелинейное деформирование (TL-формулировка)
Выражения компонент тензора деформаций Грина — Ла-
гранжа через компоненты тензора градиента перемещений при-
приведены в A.50). В обозначениях E.5) имеем
В TL-формулировке в качестве меры напряженного состоя-
состояния используются компоненты второго тензора напряжений Пио-
ла — Кирхгофа qS{j. Приращения компонент тензора деформа-
деформаций Грина — Лагранжа и второго тензора напряжений Пиола —
Кирхгофа записываются в виде
t+At
=
t+At с
ij = QOij —
Введем векторы приращений деформаций и напряжений:
оЕ = [о-Бц, 0-Б22, о-Бзз
oS = [о5ц, 0^22, 0<5зз, О
Компоненты тензора (истинных) напряжений Коти *sjj можно
выразить через компоненты второго тензора напряжений Пио-
Пиола —- Кирхгофа 0Sy с помощью компонент тензора градиента
деформации по формулам A.82) с учетом A.19). Имеем [49]
ts = (det0X)-10X0S0XT,
где матрицы *§ и 0S определены в E.33) и E.7),
1у —
. д°х2 д°х3
дгх2 дгх2 д1х2
д°х1 д°х2 д°х3
д1х3 дгх3 д1хг
x д°х2 г
Компоненты матрицы 0Х можно определить с помощью компо-
компонент тензора градиента перемещений
d°Xj
Щ\у
6.2. Матрицы определяющих соотношений ... 195
Геометрически нелинейное деформирование (UL-формулировка)
При формулировке уравнений в текущей конфигурации (в мо-
момент времени t) в качестве меры деформации удобно использовать
тензор деформаций Альманси. Выражения компонент этого тен-
тензора деформаций через компоненты тензора градиента перемеще-
перемещений приведены в A.50). Запишем эти выражения* в обозначениях
настоящей части:
где
('и + *ty,< - lukti
В качестве меры напряжений для UL-формулировки удобно
использовать тензор (истинных) напряжений Коши с компонен-
компонентами lSij. В дополнение к вектору напряжений *s, определенному
в E.33), введем вектор деформаций
*е = [*ец, *е22, *езз, 2*ei2, 2*ei3, 2*егз]т.
Более сложным является выбор меры приращений деформа-
деформаций и напряжений. Дело в том, что когда рассматриваются при-
приращения компонент тензоров, они, как в момент времени ?, так и
в момент времени t + At, должны относиться к одной и той же
конфигурации [88]. Поэтому корректная UL-формулировка урав-
уравнений заключается в использовании приращений компонент тен-
тензоров tSij и tEij. Нельзя применять в качестве приращений компо-
компонент тензора деформаций величины *+ ву — *еу, так как они от-
относятся к различным конфигурациям. То же самое касается при-
приращений компонент тензора напряжений Коши *+A*Sy - *ву-.
Отметим, что компоненты линеаризованной части прираще-
приращений tEij суть компоненты $еу, определяемые первой формулой
E.30). Так как компоненты t&ij являются инкрементальным ана-
аналогом компонент тензора скоростей деформаций dy, в силу пер-
первого равенства в A.63) имеем
з е%к At = da At.
196 Глава 6. Процедуры численных решений нелинейных задач
Из A.92) и A.94) получаем1
tSijtssgAt. F.16)
Таким образом, t&ij — линейная часть приращений компонент
тензора деформаций Грина — Лагранжа tEij, отнесенного к те-
текущей конфигурации, является инкрементальным аналогом про-
производной Коттера — Ривлина от тензора деформаций Альман-
си или инкрементальным аналогом тензора скоростей деформа-
деформаций. Кроме того, приращения компонент второго тензора напря-
напряжений Пиола — Кирхгофа, отнесенные к текущей конфигурации,
являются инкрементальными аналогами компонент производной
Трусделла от тензора напряжений Коши.
В дополнение к вектору приращений деформаций je, опреде-
определенному в E.33), введем вектор приращений напряжений
$ = [tSu, tS22
Геометрически нелинейное деформирование (ULJ-формулировка)
Для ULJ-формулировки используются те же самые меры на-
напряжений и деформаций, что и для UL-формулировки. Мерой при-
приращений деформаций в определяющих соотношениях E.48) слу-
служит инкрементальный аналог тензора скоростей деформаций с
вектором приращения деформаций te, а вектор приращений на-
напряжений t&H, определенный в E.47), образуется из инкремен-
инкрементальных аналогов tsjj компонент производной Хилла от тензора
напряжений Коши s^ (производной Яуманна от тензора напря-
напряжений Кирхгофа):
га% и а% At.
6.2.2. Линейный упругий изотропный материал
Геометрически линейное деформирование (MNO-формулировка)
Определяющие соотношения закона Гука имеют вид B.9). С
помощью обозначений E.54), F.15) эти соотношения записыва-
записываются следующим образом:
'С учетом определения ts[/ = sff At формулы F.16) представляют собой
компонентную запись равенства E.35).
6.2. Матрицы определяющих соотношений ... 197
Матрица
СЕ _
X
' 1-
СЕ имеет
Е
V V
l-i/
симм.
вид
1/
1/
1-
[49
л.
1/
,122]
0
0
0
A - 2i/)/2
A
0
0
0
0
-2
О
о
о
о
2 О
A-2^/2 J
F.17)
Точно так же залисывается связь вектора приращений напряже-
напряжений с вектором приращений деформаций:
о- = СЕ е.
Геометрически нелинейное деформирование (TL-формулировка)
Определяющие соотношения
' с _ г*Е t-с
с матрицей СЕ (см. F.17)) представляют простейшую модель ги-
гиперупругого материала.
В таком же виде записывается связь вектора приращений на-
напряжений с вектором линейной составляющей приращений дефор-
деформаций:
0° = \-> об,
т. е. матрица qC в E.7) является матрицей СЕ, определенной в
F.17):
*0С = СЕ.
Геометрически нелинейное деформирование (UL-формулировка)
Определяющие соотношения имеют следующий вид:
t _ ^_ /1й Ь-*
S ^ Kj С
Они входят в класс определяющих соотношений упругого мате-
материала.
Соотношения E.34) принимают вид
198 Глава 6. Процедуры численных решений нелинейных задач
так что
'С = СЕ.
Геометрически нелинейное деформирование (ULJ-формулировка)
В этой формулировке уравнений в общем случае компоненты
тензора напряжений не связаны с компонентами тензора дефор-
деформаций в конечном виде. Для того, чтобы получить напряжения в
момент времени t + At, требуется проинтегрировать определяю-
определяющие соотношения вида
tsH = CEte, F.18)
которые представляют собой инкрементальный аналог определя-
определяющих соотношений гипоупругого материала B.24).
Отметим, что эта гипоупругая модель материала с ULJ-
формулировкой получается как частный случай из ULJ-
формулировки для упругопластической модели материала, ко-
когда предел текучести материала берется достаточно большим
(§6.2.4).
Сопоставление различных формулировок нелинейных уравнений
Геометрически нелинейное деформирование тела из линейно-
линейного упругого материала можно представить одной из трех форму-
формулировок: TL, UL, ULJ. Первые две формулировки имеют преиму-
преимущество перед третьей, так как в них по известным деформациям
напряжения вычисляются точно. При интегрировании определя-
определяющих соотношений F.18) вносится неустранимая погрешность,
связанная с шагом интегрирования At, которая уменьшается с
уменьшением этого шага.
Использование всех формулировок для упругих материалов
эквивалентно в случае малых деформаций (но, возможно, боль-
больших перемещений и поворотов). Эти формулировки должны при-
приводить к приблизительно одинаковым результатам при решении
задач (см. § 2.1.3). Отметим, что определяющие соотношения за-
закона Гука для линейного упругого изотропного материала можно
использовать только для малых деформаций тела. Только при та-
таком ограничении закон Гука описывает поведение реальных ма-
материалов. Если формально использовать модель линейного изо-
изотропного упругого материала при больших деформациях тела, то
TL- и UL-формулировки описывают поведение разных материа-
материалов. В [49] на примере решения задачи по растяжению куба отме-
отмечается большое расхождение значений компонент тензора напря-
6.2. Матрицы определяющих соотношений ... 199
жений Коши при больших деформациях для этих формулировок
уравнений при использовании матриц qC и *С с одинаковыми
константами материала.
Для ортотропного линейного упругого материала (соотноше-
(соотношения для этой модели здесь не приводятся) выгоднее использовать
TL-формулировку по сравнению с UL-формулировкой, так как на-
направления осей материала в элементе по отношению к декартовой
системе отсчета в начальной конфигурации остаются неизменны-
неизменными. Поэтому компоненты матрицы дС не меняются при дефор-
деформировании элемента. В то же время для UL-формулировки надо
постоянно пересчитывать компоненты матрицы 'С (см. § 2.1.3).
6.2.3. Модель Муни — Ривлина несжимаемого материала
резины
Эта модель гиперупругого материала используется только с
TL-формулировкой уравнений. Рассмотрим три независимых ин-
инварианта правого тензора деформаций Коши — Грина qC (cm.
A.44), A.45)J:
h = О^П + 0^22 + 0С3З,
h = 0^11 0^22 + О^П 0^33 + 0^22 0^33 —
= О^П 0^22 0^33 + 20^12 0^13 0^23 ~
tr<2 t fi tr<2 t fi t/=<2
° "" °22 u ~ °зз ^
Потенциал Муни — Ривлина W(I\, h) имеет вид B.29), куда
не входит инвариант /3 в силу условия несжимаемости B.28). Для
материала Муни — Ривлина используется ограничение (условие
несжимаемости)
G0(h) = 0,
где
G0(h) = /3 - 1- F.20)
2Для того, чтобы избежать путаницы в обозначениях правого тензора де-
деформаций Коши — Грина и матрицы определяющих соотношений, в настоя-
настоящем параграфе этот тензор деформаций отмечаем чертой сверху.
200 Глава 6. Процедуры численных решений нелинейных задач
Рассмотрим модифицированный потенциал [108]
W(h,h,h) = W(h,I2) + Ye[G{h) - zk}2. F.21)
Здесь G — некоторая функция типа F.20); е > 0 — заданная
достаточно малая величина (параметр штрафа); к — некоторая
константа, которая определяется ниже. Предполагая, что второй
член в правой части F.21) имеет конечную величину, получаем,
что <?(/з) -* 0 при б -> 0. Потенциал F.21) соответствует реше-
решению задачи с условием несжимаемости методом штрафных функ-
функций. Чем меньше параметр е, тем лучше удовлетворяется условие
несжимаемости.
Рассмотрим потенциал F.21) как функцию инвариантов тен-
тензора деформаций Грина —- Лагранжа, т. е.
W&En) = W(oCiS). F.22)
Так как при использовании потенциала F.22) вместо несжимае-
несжимаемого рассматривается сжимаемый материал, то компоненты вто-
второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа определяются по
формулам B.14) с помощью потенциальной функции F.22).
Компоненты правого тензора деформаций Коши — Грина
l0Cij выражаются через компоненты тензора деформаций Грина —
Лагранжа 10Ец с помощью первой формулы A.49). В декартовой
системе координат получаем
ЪСц = 2г0Ец + 8ц. F.23)
Введем следующие инварианты тензора деформаций Грина — Ла-
Лагранжа:
J\ = 0-^И + 0-^22 + О-Е'ЗЗ»
Ji = 0-^11 0-^22 + 0-^П 0-^33 + 0-^22 О-Е'ЗЗ — 0-^12 0-^21 ~
— 0-^13 0-^31 — 0-^23 0-^32, F.24)
¦^3 = 0-^11 0^22 О-Е'ЗЗ + 0-^13 0-^21 0-^32 + 0^12 0-^23 0-^31 ~
"" 0^33 0-^12 0^21 — qE-22 О^З 0-^31 — 0-^П 0-^23 0-^32-
Отметим, что в F.24) не используется симметрия компонент тен-
тензора деформаций Грина — Лагранжа, так как в B.14) эти компо-
компоненты предполагаются независимыми.
6.2. Матрицы определяющих соотношений ... 201
Пользуясь соотношениями F.23), устанавливаем связь меж-
между инвариантами F.19) правого тензора деформаций Коши —
Грина и инвариантами F.24) тензора деформаций Грина — Ла-
гранжа:
/i = 3 + 2Jb /2 = 3 + 4Ji + 4J2, h = l + 2Ji+4J2 + 8J3.
F.25)
Пользуясь F.25), преобразуем потенциал F.21) в соответ-
соответствии с F.22):
lG(h) ~ ек]2, F.26)
где
С\ = 2Ci + 4С2, С2 = 4С2.
В F.26) предполагается, что /з определяется третьей форму-
формулой F.25).
Компоненты второго тензора напряжений Пиола — Кирхго-
Кирхгофа получим в соответствии с B.14). В обозначениях настоящей
части эти формулы записываются в виде
№ - (б-27)
tq -r dJl
Пользуясь потенциалом F.26), из F.27) получаем
dJl i i dJ2 i Q dJz
Выбираем функцию G в виде [108]
G(/3) = ^ln(/3) F.29)
и подставляем ее в F.28). Выбираем константу к из условия ра-
равенства компонент тензора напряжений нулю при нулевых ком-
компонентах тензора деформаций. Имеем
к = Съ F.30)
После выполнения дифференцирования в F.28) с учетом F.29),
F.30) получаем следующие функциональные зависимости:
ij). , F.31)
202 Глава 6. Процедуры численных решений нелинейных задач
Эти формулы можно записать в более компактной форме, если
вместо компонент тензора деформаций Грина — Лагранжа ис-
использовать компоненты правого тензора деформаций Коши —
Грина. Пользуясь F.23), из F.31) получаем3:
lSn = 2Ci + 2С2&С22 + 0С33) + adu ?Si2= -2C2 l0Cl2 + ad4,
l0S22 = 2Ci + 2C2(oCii + сАз) + <*d2, oS13= -2C2*0С13 + <*d5,
l0S33 = 2Ci + 2С2(ЪСп + 1оС22) + adz, 0^3 = -2C2 ^C23 + ad6.
Здесь
d\ = 0^22 0^33 — 0^23? ^2 = qC\\ 0C33 — 0^13»
^3 = oC\\ 0Сг2 — 0^12) ^4 = 0^13 0^23 — 0^33 qC\2,
db = 0^12 0^23 — 0^22 0^13) ^6 = 0^12 0^13 ~ 0^11 0^23,
Получим компоненты матрицы |С с помощью компонент
тензора о<?, определенного в B.31). Дифференцируя соотноше-
соотношения F.31), находим элементы матрицы qC
= 0d2di,
toC25=0d2d5-2atoC13,
0C34 = 0 d$ d4 — 2a 0C\2,
= -h/2 + /3dl 1С
<XqC\3, 0^55 = —/г/2
' ^0^12) 0^66 = "~/l/2 + /
Здесь
a _ 2 Г 1 G(h)
II he 6
3Эти же соотношения можно получить более коротким путем, воспользо-
воспользовавшись вторым вариантом вывода определяющих соотношений для модели
материала Муни — Ривлина (см. §2.1.4).
6.2. Матрицы определяющих соотношений ... 203
При выборе параметра штрафа е требуется проявлять осторож-
осторожность [122]: при малых значениях е улучшается удовлетворение
условию несжимаемости, но появляются большие числа в матри-
матрице жесткости и ухудшается ее обусловленность. Вместо того, что-
чтобы задавать параметр е, удобнее вычислять его по формуле [108]
Здесь v играет роль коэффициента Пуассона и е —> 0 при и —> 0,5.
Отметим, что условие v — 0,5 является условием несжимаемости
для линейного упругого материала.
6.2.4. Упругопластическая модель материала
Геометрически линейное деформирование (MNO-формулировка)
Рассмотрим определяющие соотношения теории пластиче-
пластического течения с изотропным упрочнением материала. Связь меж-
между векторами приращений напряжений и приращений деформа-
деформаций записывается в виде
Элементы симметричной матрицы СЕР размерностью 6x6 полу-
получаются из компонент тензора определяющих соотношений (?.Epf
(см. B.83)). Приведем явные выражения этих элементов:
ЕР Е ( \—v
- ф
ЕР Е
ЕР Е 5t t_/
16 = "Y+^^ 11?
+" 1 + " F.32)
204 Глава 6. Процедуры численных решений нелинейных задач
пЕР _ Е „gt_ tJ r<EP _ & ( \—V „at >2\
26 \ + v и АЛ Ш AA 1 + !/ V1 — 2v J
j-i ту /у — л л . с1 р -С/ ~z # # /
•^fiP _ ? /1 -1 2 ^ r?P _ ^
У55 "" l + i/\2 ~ °Г13А 56 "" 1 + v
Здесь
5— tu —
где '«Ту — текущее значение предела текучести материала при
одноосном растяжении,
% = *ац - lam 8ih lam = A<гп + ^22 + *а33)/3. F.34)
Пусть а® — начальное значение предела текучести. Если матери-
материал идеальный упругопластический (касательный модуль Et = 0),
то для любого момента времени имеем ьау = cr®. Для упругопла-
стического материала с упрочнением (Et > 0) 1сгу определяется
следующим образом4:
lay = max{cr°, у/Ы?0*}. F.35)
Здесь J^101 — максимальное значение второго инварианта девиа-
торов напряжений
'JasiVy'^, F.36)
полученное за время всей истории деформирования. Коэффициент
с в формулах F.32) вычисляется следующим образом:
-I0'
I 1-
если f J2 < fcr2/3 или tJ2 — tarl/3 и *сг',-е™ ^ 0,
если
J2 = *aJ/3 и 'а^.?О->0.
F.37)
4B каждой материальной точке тела определяется свое собственное теку-
текущее значение предела текучести ьсгу.
6.2. Матрицы определяющих соотношений ...
Значение с = 0 соответствует тому, что вектор напряжений либо
находится внутри области, ограниченной поверхностью текуче-
текучести (упругое деформирование), либо направлен внутрь этой обла-
области, что соответствует разгрузке.
Интегрирование определяющих соотношений с момента вре-
времени t до t + At для отыскания компонент напряжений t+AtOij
можно проводить по алгоритму, приведенному в [49]. Для более
точного интегрирования используется подынкрементальный ме-
метод, т. е. шаг по времени разбивается на подынтервалы и инте-
интегрирование проводится по явной схеме Эйлера в каждом подын-
подынтервале.
Геометрически нелинейное деформирование (TL-формулировка)
Следуя аргументам, приведенным в § 2.2.2, прямой перенос
формул, используемых в MNO-формулировке для определяющих
соотношений упругопластического деформирования, в TL-форму-
лировку можно проводить только для малых деформаций (но, воз-
возможно, больших перемещений и поворотов).
Вектор приращений напряжений связан с вектором прираще-
приращений деформаций формулой
о8 = &СяроВ.
Элементы матрицы qGep определяются формулами вида F.32) с
заменой компонент тензора напряжений Коши 1оц компонентами
второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа \S{j. Кроме то-
того, в формулах F.37) приращения компонент тензора деформаций
Коши eij заменяются приращениями компонент тензора деформа-
деформаций Грина — Лагранжа oEij.
Геометрически нелинейное деформирование (ULJ-формулировка)
Определяющие соотношения ULJ-формулировки можно ис-
использовать для описания больших упругопластических деформа-
деформаций тела. Эти соотношения в приращениях имеют следующий
вид:
езя = 4Скрее. F.38)
При образовании элементов матрицы гСЕР из элементов матри-
матрицы СЕР в формулах F.32)-F.37) надо заменить 1сц на 's;.? и щ
на teij. После интегрирования определяющих соотношений F.38)
с момента времени t до момента t + At получаются компоненты
тензора напряжений Кирхгофа в системе координат, совершаю-
совершающей чистый поворот с переносом. Обозначим полученные значе-
206 Глава 6. Процедуры численных решений нелинейных задач
ния компонент напряжений через *+д*ву. Используя инкремен-
инкрементальный аналог связи производной Хилла с материальной про-
производной тензора Коши, приведенной в первой формуле A.101),
получим
F.39)
где компоненты инкрементального аналога тензора вихря (см.
четвертую формулу A.29)) имеют следующий вид:
{ tUj,i). F.40)
Из F.40) получаем
tW22 = t">33 = 0> fW21 = -№12,
F.41)
Инкрементальный аналог свертки d^k записывается в виде
te = teu + <е22 + <е3з • F.42)
Пользуясь F.41), F.42), из F.39) получим новые значения
компонент тензора напряжений Коши:
t+Atsn = t+Atsn + 2 *si2 *t«i2 + 2
t+AtS22 = t+AtS22 ~ 2 'ей «W12 + 2 lS
t+Ats33 = *+AtS33 - 2 *e
2 = t+Ats\2 - (*en
- (*ЯЦ - *S
- *S12 {1023 -
Для ULJ-формулировки касательный модуль i?t берется с
кривой одноосного деформирования, построенной в осях «лога-
«логарифмическая деформация - истинное напряжение».
6.2.5. Териоупругопластическая модель материала,
учитывающая деформации ползучести
При определении напряжений с момента времени t до мо-
момента t + At для упругопластической модели материала мож-
можно использовать явную схему Эйлера с разбиением шага At на
подынкременты [49]. Применение схемы Эйлера для определения
напряжений с учетом деформаций ползучести встречает некото-
некоторые трудности. Рассматривая процесс определения напряжений
6.2. Матрицы определяющих соотношений ... 207
как интегрирование обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений B.95) с начальными условиями 1оц, приходим к решению
задачи Коши. При наличии скоростей деформаций ползучести в
правой части B.95) отмечаем появление напряжений с высокими
показателями степени (типично сц « 10), обычно используемы-
используемыми в законе ползучести B.96). С точки зрения теории обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений, системы уравнений вида
B.95) относятся к жестким. Явная схема Эйлера для интегри-
интегрирования системы жестких дифференциальных уравнений плохо
пригодна, так как устойчивое интегрирование по явной схеме тре-
требует малого шага At. В расчетах по деформированию реальных
конструкций невозможно оценить величину шага At, гарантиру-
гарантирующую устойчивость вычислений при определении напряжений по
схеме Эйлера. В [115] установлено, что использование а-метода
[49] для интегрирования уравнений B.95) со значением а = 1
приводит к устойчивым вычислениям компонент тензора напря-
напряжений даже для очень больших значений шага At. Отметим, что
при а = 0 а-метод сводится к обычной явной условно-устойчивой
схеме Эйлера первого порядка точности, при а = 1/2 получается
условно-устойчивая схема второго порядка точности Кранка —
Николсона, а при а = 1 — безусловно-устойчивая неявная схема
интегрирования первого порядка точности.
Формулы интегрирования уравнений B.95) с помощью а-
метода приведены в [49, 115]. В [115] для значения параметра
а^О (неявная схема) при интегрировании уравнений B.95) ис-
используется метод Ньютона — Рафсона для решения нелиней-
нелинейных уравнений, так как правая часть в B.95) зависит от иско-
искомых напряжений (и от их скоростей при учете пластических де-
деформаций). Более эффективная схема интегрирования соотноше-
соотношений B.95) предложена в [52, 89]. Алгоритм определения напря-
напряжений, предложенный в этих работах, назван алгоритмом вы-
вычисления функции эффективного напряжения, или ESF (effective
stress function) алгоритмом. Основные положения ESF-алгоритма
заключаются в следующем.
Пусть в момент времени t + At известны напряжения *сгг^,
деформации t+At€ij, деформации пластичности *е?- и деформации
ползучести 'е^-. Требуется определить напряжения д
208 Глава 6. Процедуры численных решений нелинейных задач
Выделяя девиаторную и шаровую части тензора напряжений,
из определяющих соотношений B.93), B.94) получаем
_ Е (t+At i _t+Atv t+Atcc \
»-п& '<>- <>~ ">1 F43)
где
t+Atl _ t+At, . t+At г t+At, _ 1 t+At
€ij — €ij ~ em0ij, em = - 6
Температурная деформация определяется из B.94):
где Or — отсчетная температура.
Представим первую формулу F.43) в виде
4 if^^ 4 АЫ (в-44)
где
t+At // _ t+At,/ _ t j» _ t с
д v _ t+At p _ to д c. _ t+At с _ t с
Отметим, что по условию величины t+Ate"j и t+Atcrm (среднее на-
напряжение) известны. Поэтому осталось определить приращения
пластических деформаций Ае^- и деформаций ползучести Аб^.
Пользуясь B.94) и применяя а-метод, получаем @ ^ а ^ 1)
Де?=ДГ7Ч';, F-45)
где
Для определения Аб^- всегда используется значение а = 1:
Аб?=АА'+А'^. F.46)
Подставляя F.45), F.46) в F.44), получаем
где
6.2. Матрицы определяющих соотношений ... 209
Отметим, что по формуле F.47) компоненты t+Atcr^ девиато-
ра тензора напряжений определить нельзя, так как величины Т/у
и ДА неизвестны. В [89] отмечается, что эти величины можно
рассматривать как функции эффективного напряжения
t+Ata =
Умножая правую и левую части в F.47) на самих себя и проводя
суммирование по всем индексам, получаем нелинейное уравнение
f(t+Ata) = 0. F.48)
Функция в его левой части называется функцией эффективного
напряжения. Уравнение F.48) можно решить методом бисекции
(деления отрезка пополам) и найти значение t+Ata. По известному
значению эффективного напряжения вычисляются функции Ту и
ДА, далее цо формулам F.45) и F.46) находятся Де^ и Де^. Ком-
Компоненты девиатора тензора напряжений определяются из F.44).
Окончательно компоненты тензора напряжений определяются по
формулам
4+Д4 4+Д4 / ¦ 4+Д4 г
<Jij — Ojj т om Oij.
Отметим, что при отсутствии деформаций ползучести
(Т7 = 0) для идеального упругопластического материала (Et — 0)
и для материала с линейным упрочнением (Et = const > 0) урав-
уравнение F.48) решается в явном виде без применения метода бисек-
бисекции.
При отсутствии деформаций ползучести приведенный выше
алгоритм входит в класс алгоритмов интегрирования напряжений
для упругопластического материала методом отображения на-
напряжений на поверхность текучести. Рассмотренный выше ESF-
алгоритм является обобщением этого метода (с учетом деформа-
деформаций ползучести). В [10, 89] проводится сопоставление метода ин-
интегрирования определяющих соотношений по явной схеме Эйлера
(см. § 6.2.4) с методом отображения напряжений на поверхность
текучести (см. настоящий параграф). Отмечается преимущество
последнего над первым. Например, в случае пропорционального
нагружения последний метод дает точное решение для напряже-
напряжений [89].
В [89] предложены приближенные выражения элементов
матрицы СЕРС, связывающей вектор приращений напряжений
210
Глава 6. Процедуры численных решений нелинейных задач
с вектором приращений деформаций для этой модели материала:
глЕРС ,
где
QEPC =
С\
симм.
С2
С2
с\
0
0
0
сз
0
0
0
0
сз
0
0
0
0
0
сз .
Здесь
где
С' =
Е
¦ At Т7 1 — 2i/
Отметим, что при отсутствии деформаций ползучести ма-
матрица СЕРС не совпадает с матрицей СЕР с элементами, опре-
определенными в F.32). Это происходит вследствие того, что при
вычислении компонент матрицы СЕРС путем дифференцирова-
дифференцирования соотношений F.47) по компонентам тензора деформаций па-
параметр ДА предполагается постоянным. Так как матрица СЕР
вычисляется точно, то при решении задач о деформировании тел
из упругопластического материала (без уточнения решения с по-
помощью некоторой итерационной процедуры) лучше пользоваться
моделью упругопластического материала, описанной в § 6.2.4.
Обобщение алгоритма определения напряжений, представ-
представленного в настоящем параграфе, на геометрически нелинейные
TL- и ULJ-формулировки уравнений проводится точно так же,
как и в § 6.2.4.
Глава 7
ПРОЦЕДУРЫ ЧИСЛЕННЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ
ПО ПОТЕРЕ УСТОЙЧИВОСТИ
И КОНТАКТНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМ ТЕЛ
В настоящей главе приводятся процедуры определения кри-
критических состояний квазистатического деформирования тел и
численного решения контактных задач. Постановки этих задач
представлены в гл. 4.
7.1. Процедуры численных решений задач
по потере устойчивости тел
7.1.1. Формулировка дискретизованной задачи
по определению критических состояний тел
После дискретизации неизвестных скоростей перемещений
вариационные формулировки нелинейных уравнений, рассмо-
рассмотренные в разделе 3.2, приводят к дискретному аналогу вариа-
вариационного уравнения вида
SId = 0, G.1)
где Id — дискретный аналог одного из функционалов olw, I\v, 1н
и т. д., описывающих нелинейное деформирование твердого тела.
Эту функцию в некоторый момент времени t можно записать в
виде
Id(\J) = JtT«KU-UTR, G.2)
где U — вектор узловых перемещений, 'К — касательная матри-
матрица жесткости, R — скорость вектора внешних нагрузок. Здесь
212 Глава 7. Процедуры численных решений задач ...
под касательной матрицей жесткости понимается матрица, полу-
полученная на основе одного из функционалов ol\v, I\v, 1н Для соот-
соответствующей формулировки (TL, UL или ULJ) уравнений. Под-
Подставляя G.2) в G.1) и проводя варьирование, получаем уравне-
уравнения F.2) относительно скоростей компонент вектора перемеще-
перемещений узловых точек. Эти уравнения являются нелинейными в слу-
случае упругопластического деформирования и линейными (квази-
(квазилинейными) в других случаях.
Собственному состоянию системы F.2) соответствует такое
значение параметра деформирования т, при котором существуют
нетривиальные решения однородной системы уравнений
TKW = O. G.3)
Нетривиальные решения W системы G.3) назовем собственными
векторами1. Задачу определения критических значений т и со-
соответствующих им собственных векторов системы G.3) назовем
нелинейной задачей о потере устойчивости. Для собственных
векторов функция G.2) обращается в нуль (см. раздел 4.2):
/d(W) = 0.
Предположим, что направление действия внешних сил не из-
изменяется в процессе деформирования. Собственные состояния те-
тела, соответствующие критическим значениям параметра дефор-
деформирования, характеризуются нетривиальным решением системы
G.3), что возможно только тогда, когда
detTK = 0. G.4)
При упругом деформировании тела нагрузки, соответству-
соответствующие собственным состояниям, обычно бывают максимальными
или бифуркационными. При достижении этих нагрузок тела мо-
могут стать неустойчивыми по отношению к динамическим возму-
возмущениям.
При упругопластическом деформировании бифуркационные
нагрузки, соответствующие неединственному решению уравне-
уравнений F.2) при выполнении равенства G.4), могут предшество-
предшествовать нагрузкам собственного состояния, которые характеризуют-
характеризуются нетривиальными решениями системы G.3). Нагрузки собствен-
собственного состояния тела отвечают границе устойчивых и неустойчи-
1 Собственные векторы W принадлежат нуль-пространству матрицы ГК,
а полный набор линейно независимых собственных векторов представляет
собой базис этого пространства.
7.1. Процедуры численных решений задач по потере ... 21?
вых равновесных конфигураций. Игнорируя условие разгрузки,
для получения точной нижней грани нагрузок, при которых про-
происходит бифуркация решений задачи, опять приходим к решению
задачи G.3) с условием G.4) (см. раздел 4.3). Отсюда определяет-
определяется критическая нагрузка потери устойчивости квазистатических
движений тела.
При решении задач ползучести с постоянными внешними си-
силами можно получить критические значения времени, при кото-
которых достигаются собственные состояния тела. Для таких задач
критическое время также можно получить при быстром нараста-
нарастании несовершенств вследствие экспоненциальных условий их раз-
развития во времени.
Таким образом, при решении задач по упругому и неупруго-
неупругому деформированию тел критические нагрузки, как бифуркаци-
бифуркационные, так и собственного состояния, можно определить по вы-
выполнению условия G.4). Соответствующие собственные векторы
находятся из решения задачи G.3). При решении задач ползуче-
ползучести тел надо, кроме того, исследовать развитие начальных несо-
несовершенств во времени.
В разделе 5.2 получены алгебраические уравнения в прира-
приращениях для решения нелинейных задач вида F.4) о квазистатиче-
квазистатическом деформировании тел. При использовании схемы Эйлера для
решения уравнений F.2) в разделе 6.1 установлена эквивалент-
эквивалентность уравнений F.2) и F.4). Выполнение равенства G.4) озна-
означает, что при решении уравнений F.4) достигнуто критическое
значение параметра деформирования.
Таким образом, при пошаговом интегрировании уравне-
уравнений F.2) или F.4) по достижении некоторых нагрузок (собствен-
(собственного состояния или бифуркационных) может наступить момент
времени, когда касательная матрица жесткости вырождается,
т. е. выполняется равенство G.4), при этом появляются нулевые
элементы на главной диагонали матрицы D в разложении F.8).
Число этих элементов соответствует числу линейно независимых
собственных векторов задачи G.3J. Выполнение достаточного
критерия единственности (устойчивости) означает положитель-
положительную определенность квадратичной формы
UT(KU>0 G.5)
2 Число нулевых элементов главной диагонали матрицы D равно размер-
размерности нуль-пространства матрицы ТК.
214 Глава 7. Процедуры численных решений задач ...
для всех кинематически возможных векторов скоростей переме-
перемещений, отличных от нулевых, что соответствует положительно-
положительности всех элементов главной диагонали матрицы D в разложе-
разложении F.8). Пусть при t = О тело находится в недеформированном
состоянии. При небольших значениях параметра деформирова-
деформирования t неравенство G.5) выполняется для принятых в настоящей
работе определяющих соотношений (см. раздел 4.3). В силу дис-
дискретности изменения параметра t при пошаговом интегрировании
уравнений F.2), признаком выполнения равенства G.4) в числен-
численных расчетах служит смена знака одного или нескольких элемен-
элементов диагональной матрицы D на двух соседних шагах во времени
при решении системы F.4).
В окрестностях критических нагрузок вследствие выполне-
выполнения равенства G.4) возникают две проблемы:
• решение системы уравнений F.4) с почти вырожденной ма-
матрицей *К в докритическом и закритическом режимах де-
деформирования;
• определение собственных нагрузок и собственных векторов
задачи G.3) при достижении критических состояний с вы-
выполнением равенства G.4).
Предполагаем, что внешние силы имеют вид D.8). В этом
случае можно использовать критерии устойчивости, приведенные
в разделе 4.2.
7.1.2. Решение уравнений в (U, А)-пространстве
В этом параграфе рассматривается процедура решения си-
системы уравнений F.4) в докритическом и закритическом режи-
режимах деформирования. Трудность заключается в том, что стан-
стандартная процедура с использованием внешней силы в качестве
параметра деформирования (см. раздел 6.1) в некоторых случаях
не позволяет получить решения задачи. Например, при Р > Ртах
или Р > Рцт, где Ртах — максимальная (рис. 7.1,а), а Рцт —
предельная (рис. 7.1,6) нагрузки, решение задачи не существует.
Поэтому при таких уровнях нагрузок представленные в разделе
6.1 итерационные процедуры не приводят к сходящемуся итераци-
итерационному процессу. Для того, чтобы обойти эту трудность, можно
в качестве параметра деформирования вместо нагрузки исполь-
использовать некоторое характерное перемещение [14, 17]. При таком
7.1. Процедуры численных решений задач по потере ...
215
W
Рис. 7.1. Отсутствие решения при уровнях нагрузки Р > Ртах
или Р > Рцт:
Р — характерная нагрузка, W — характерное перемещение;
а —- максимальная нагрузка, б — предельная нагрузка
подходе к решению задач приходится использовать интуицию для
определения этого параметра. В то же время есть широкий класс
задач, для которого путь деформирования строится автоматиче-
автоматически с большой степенью надежности. Для такого класса задач
предполагается, что вектор нагрузки имеет следующий вид3:
t+AtR = t+AtARo, G.6)
где Ro — постоянный вектор, характеризующий распределение
внешних сил, а параметр *+д*А, который предполагается неиз-
неизвестным, характеризует интенсивность действия этих сил.
Для такого вектора нагрузки при решении задачи в прира-
приращениях с момента времени t до момента t + At система F.4) пре-
преобразуется к виду
'Ки = '+Л'АКо-'Р, G-7)
а для итерационного уточнения решения в момент времени t + At
на некоторой итерации с номером г решается система уравнений
= t+AtARo -
G.8)
Равенство G.6) является дискретным аналогом равенств D.8).
216 Глава 7. Процедуры численных решений задач ...
Здесь К = 'К и К = *+д*К(г-1) при использовании итерацион-
итерационных процедур модифицированного и стандартного методов Нью-
Ньютона — Рафсона соответственно.
В традиционной схеме решения уравнений в приращениях
(см. раздел 6.1) задается значение параметра l^AtX и находит-
находится вектор приращений неизвестных перемещений U или AJJW.
Наша цель состоит в том, чтобы перейти к автоматическому
определению пути деформирования конструкции, следуя мето-
методике, предложенной в [14, 51, 116]. Предполагается, что пара-
параметр *+д'Л неизвестен и решение уравнений G.7), G.8) ищется
в (U, А)-пространстве. При этом число уравнений становится на
единицу меньше числа неизвестных и требуется добавить еще од-
одно уравнение.
Впервые метод решения расширенной системы уравнений
предложен Риксом и Вемпнером [111,120] (F -^ известный вектор,
К — расширенная матрица). В качестве (дополнительного) кон-
контрольного уравнения используется линеаризованное уравнение
заданной длины дуги в (U, Л)-пространстве4. Установлено [14];
это в точках достижения максимальной нагрузки det К ф 0, что
позволяет без трудностей решать задачи с такими критически-
критическими точками. В то же время в точках бифуркации, по-прежнему,
det К = 0.
Недостатком метода Рикса — Вемпнера в исходной форме
является потеря свойства ленточности расширенной матрицы К
по сравнению с исходной К. В [53] Предложена модификация про-
процедуры метода Рикса —-• Вемпнера с использованием ленточности
матрицы К (эта модификация применяется в настоящей работе).
Такая процедура, по существу, совпадает с процедурой, предло-
предложенной ранее в [8] для решения задач осесимметричного выпучи-
выпучивания оболочек вращения.
Следуя [51], используем разные контрольные уравнения на
первом и последующих шагах интегрирования. На первом ша-
шаге интегрирования уравнений равновесия задачу удобно решать
4Этот метод решения задачи получил название метода Рикса — Вемпне-
ра [14]. .._...,...
7.1. Процедуры численных решений задач по потере ... 217
так, чтобы некоторая компонента вектора перемещения принима-
принимала заданное значение U*, т. е. контрольное уравнение для первого
шага во времени должно иметь вид
где A*t/fc — некоторая компонента вектора перемещений на пер-
первом шаге во времени. На" следующих шагах во времени в каче-
качестве контрольного уравнения используется условие движения ре-
решения в итерационном процессе по сфере с постоянным радиу-
радиусом Д/ (приращение длины дуги интегральной кривой Д/ в (U, Л)-
пространстве предполагается заданной величинойM:
и(г)=д,2) G 9)
где > : .
Параметр ф в контрольном уравнении G.9) может изменяться в
пределах 0 ^ ф ^ 1. Строго "говоря, уравнение G.9) описыва-
описывает сферу в (U, Л)-пространствё только при ф = 1. Контрольное
уравнение (Крисфилда) G.9)при^> = 1 применяется в [51]. В [116]
отмечается, что более эффективно использование уравнения G.9)
при ф = 0"(при таком значении параметра ф уравнение G.9) со-
соответствует движению решения в итерационном процессе по ци-
цилиндру в (U, А)-пространстве).
В отличие от процедуры пошагового интегрирования урав-
уравнений равновесия, приведенной в разделе 6.1, при решении урав-
уравнений в (U, А)-пространстве исдользуются различные формулы
для получения начальных (i = 1) значений \J^\ X^ (решение
для приращений неизвестных при переходе с момента времени t
к моменту времени t + At) и при дальнейшем уточнении реше-
решения XjW, AW (г = 2,3,...) в итерационной процедуре в момент
времени t + Д?. .
Для получения начальных значений итерационного процесса
перепишем уравнение G.7) в виде
A}*Р. . G.10)
5 Метод решения задачи с параметром деформирования, соответствующим
длине дуги интегральной кривой в (U, А)-'пространстве С итерационной про-
процедурой, использующей контрольное уравнение Gi9) с параметром ip = 1,
называется методом Крисфилда [14].
218 Глава 7. Процедуры численных решений задач ...
Предполагая, что на предыдущем шаге во времени итерационный
процесс сошелся к решению задачи, имеем
'ARo - *Р = О. G.11)
Перепишем уравнение G.10) с учетом G.11):
*KUA) = A^Ro. G.12)
Введем обозначение
U = UA)/AA). G.13)
Уравнение G.12) с учетом G.13) записывается в виде [51]
*KU = Ro. G.14)
Приращение вектора перемещения U^) находится из равенства
где л^к) определяется из контрольного уравнения:
• в момент времени t = At (первый шаг)
А*1) = U*/Uk,
• в моменты времени t = 2At, 3At,... (последующие шаги во
времени)
*$ = ± , Al G.15)
Критерий выбора знака в правой части этого равенства приво-
приводится ниже.
Отметим, что здесь для получения начального значения ре-
решается одно уравнение G.14), а в [51] предлагается решать два
уравнения.
Для итерационного уточнения решения на каждой итерации
решаются две системы уравнений [51]:
К ДЙ« = *+A*A<i-1>R0 - t+A'F(i-1), К AU« = Ro. G.16)
При использовании модифицированного метода Ньютона — Раф-
сона надо решать только первую систему в G.16) и положить
Ди(г) = U. Отметим, что для решения уравнений в (U, А)-прост-
ранстве в предлагаемом алгоритме BFGS квазиньютонов метод
не применяется.
7.1. Процедуры численных решений задач по потере ... 219
Приращение вектора перемещений на итерациях находится
из формулы
Здесь A\W определяется из контрольного уравнения:
• в момент времени t = At (первый шаг)
• в моменты времени t = 2At, 3At,... (последующие шаги во
времени)
ДА^ = (-6 ± у/У2 ~ ас)/а, G.17)
где
с = t/>2 А^-1J + иС)т и^) - Д/2.
Здесь
и('} ^и^^ + дп^.
Знаки в G.15) и G.17) выбираются так, чтобы обеспечивалось
максимальное значение величины у [116], где
Условие максимальности величины 7 соответствует большей
гладкости пути решения в (U, А)-пространстве.
Значение А1 — приращение длины дуги интегральной кри-
кривой в (U, А)-пространстве для момента времени t = 2At — вычис-
вычисляется после решения задачи на первом шаге с помощью задан-
заданного перемещения. Одинаковое значение параметра Д/ невыгодно
использовать для всех шагов во времени. Новые значения этого
параметра (Alnew) пересчитываются через значения параметра
Д/ на предыдущем во времени шаге (Aloid) по формуле [116]
Alnew = Mold VNl/N2,
где N\ — оптимальное число итераций (обычно принимается
N\ = 6 [116]), N2 — число итераций, которое требовалось для
сходимости решения на предыдущем шаге во времени.
220 Глава 7. Процедуры численных решений задач ...
7.1.3. Определение собственных нагрузок
и собственных векторов
Рассмотрим вторую задачу, возникающую при определении
критических нагрузок, сформулированную в конце § 7.1.1. Требу-
Требуется найти момент времени т ? (t,t + At) (t и t + At — два момен-
момента времени, между которыми появляется новый отрицательный
элемент или элементы в диагональной матрице D) и собствен-
собственный вектор W, которые соответствуют собственным состояниям
тела. Ниже предлагается способ сведения задачи G.3) об опреде-
определении критического времени т и соответствующего собственного
вектора W к классической обобщенной задаче линейной алгебры
по определению собственных чисел и соответствующих им соб-
собственных векторов.
Рассмотрим сначала TL-формупировку уравнений. При этом
под матрицей ТК понимаем касательную матрицу жесткости дК
вида (см. § 5.2.2)
$К = оКь + q~K.nl, G.18)
где
<7Л9>
I 0BTNLT0S0BNLd°V
¦I—1- Oyj
Матрица qBl представима в виде
0B? + SBi. G.20)
Здесь матрица оВ^, не зависит от времени (текущего напряженно-
деформированного состояния), а элементы матрицы JB^ зависят
линейно от градиентов перемещений ТЩ\^. Подставляя G.20) в
первое равенство G.19), получаем выражение для линейной каса-
касательной матрицы жесткости:
м
5КЬ = ? А'ТEК{° + JKl1 + SK{2)A',
3=1
7.1. Процедуры численных решений задач по потере ... 221
где
G.21)
Oye
Сделаем следующие предположения: в интервале времени
(*, * + At)
• элементы матрицы определяющих соотношений мало изменя-
изменяются, т. е.
ТОС ? 1С, G.22)
• компоненты вектора перемещения и тензора напряжений изме-
изменяются по линейному закону:
T~tt+At t G-23)
oSij = QSij + д^ ( oSij — QSij).
Отметим, что первое предположение выполняется точно для ли-
линейного упругого изотропного материала, при этом матрица qC
постоянная:
Введем обозначение
fi = (T-t)/At, G.24)
и с его помощью перепишем формулы G.23) в виде
тщ = lUi + fi щ, ISij = ISij + ц oSij. G.25)
Так как элементы матрицы дВ? зависят линейно от гради-
градиентов перемещений, с помощью первой формулы G.25) получаем
Здесь элементы матрицы ЛдВ|/ находятся из элементов матрицы
оВ? заменой компонент тензора градиента перемещения тЩу при-
приращениями компонент ttj|j этого тензора. Точно так же получаем
выражение для матрицы напряжений:
18 = 18 + ^8. G.27)
222 Глава 7. Процедуры численных решений задач ...
Подставляя G.26), G.27) в G.21), G.19), пользуясь G.22) и
собирая подобные члены, из G.18) получаем
где
oVj
G.28)
7 = 1
Таким образом, исходная задача G.3) с TL-формулировкой
уравнений при сделанных выше предположениях сводится к обоб-
обобщенной квадратичной задаче по определению собственных значе-
значений и соответствующих им собственных векторов:
(^K + mK! + m2K2)W = O. G.29)
После определения нижнего собственного значения цсг и соответ-
соответствующего собственного вектора "W{nn% кратного собственного
значения может, быть несколько линейно независимых собствен-
собственных векторов) задача по определению собственного состояния
решена. Критическое значение времени (нагрузки) определяется
из G.24):
Тег = t + Цсг At.
Отметим, что задача G.29) дает достаточно точные значе-
значения Та- и W для тел из линейного упругого материала при усло-
условии линейности поведения перемещений и напряжений в интерва-
интервале времени (?, t + At), что является приемлемым допущением для
малого значения шага At.
Рассмотрим частный случай задачи G.29). Предположим,
что докритическое напряженно-деформированное состояние тела
из линейного упругого материала определяется при решении (гео-
(геометрически и физически) линейной задачи. Обозначим
7.1. Процедуры численных решений задач по потере ... 223
При решении линейной задачи вторая матрица в правой части
G.20) не учитывается, т. е. полагается
то4 = О.
В этих предположениях задача G.29) при At = 1 сводится к сле-
следующей обобщенной задаче на собственные значения [49, 122]:
(KL + j/KG)W = 0, G.30)
где
i=1 K
Здесь 1а — матрица вида qS (cm. E.7)), составленная из компо-
компонент тензора напряжений Коши, полученных при решении линей-
линейной задачи
KL *U = Ro.
Критическое значение вектора нагрузки Rcr получается после ре-
решения задачи G.30) по формуле
Задача G.30) называется линейной задачей о потере устойчи-
устойчивости. Связь критических нагрузок, полученных из решения за-
задач G.30) и G.3), схематично показана на рис. 7.2. Как правило,
критические нагрузки, определенные при решении нелинейной за-
задачи о потере устойчивости, меньше соответствующих нагрузок,
полученных при решении линейной задачи. Определение крити-
критических нагрузок из решения задачи G.30) гораздо проще, чем из
задачи G.29), так как в первом случае не требуется пошаговой
процедуры интегрирования нелинейных уравнений равновесия.
Для тел из упругопластического материала предположение
G.22) и второе предположение G.23) довольно грубые и решение
задачи G.29) уже не помогает уточнить критическое значение
времени в интервале (?, t + At). Тем не менее собственные век-
векторы вычисляются достаточно точно (такое заключение можно
сделать, решая тестовые задачи).
Отметим, что сведение задачи G.3) к задаче G.29) можно
сделать только при использовании TL-формулировки уравнений.
При этом главная трудность заключается в том, что требуется
формировать матрицы Ki и К^. Кроме того, решать квадратич-
224
Глава 7. Процедуры численных решений задач
W
Рис. 7.2. Сопоставление критических нагрузок, полученных из ре-
решений линейных и нелинейных задач о потере устойчивости упругих
конструкций:
Р — характерная нагрузка, W — характерное перемещение; а — макси-
максимальная нагрузка, 6 ¦— бифуркационная нагрузка; х — точка бифуркации
решений, полученная в линейном анализе, 0 — в нелинейном; ? — точка
максимума
ную проблему на собственные значения сложнее, чем соответству-
соответствующую стандартную обобщенную задачу.
Другой способ сведения задачи G.3) к классической задаче
на собственные значения предложен в [51]. Предполагая, что ка-
касательная матрица жесткости изменяется линейным образом в
интервале времени (t,t + At) и пользуясь обозначением G.24) для
некоторого момента времени т €•(*,* + At), можно записать
TK = tK + tM{t+AtK-tK). G.31)
Вводя обозначение
из G.31) и G.3) получаем обобщенную задачу для определения
собственных чисел и собственных векторов системы [51]:
(*K-/xAK)W = O. G.32)
Эта задача называется линеаризованной задачей о потере устой-
устойчивости.
7.1. Процедуры численных решений задач по потере ... 225
Для TL-формулировки уравнений прямыми вычислениями
можно показать, что выполняется равенство
t+AtQK - JK = Ki + К2.
В этом случае формула G.32) приводится к виду
O. * G.33)
Сравнивая задачу G.33) с задачей G.29), видим, что их от-
отличие заключается в том, что при матрице Кг в уравнении G.29)
стоит множитель fi2, а в G.33) — множитель /i. Из сопоставле-
сопоставления выражений G.28) для элементов матриц Ki и К2 видно, что
для достаточно малого шага во времени элементы матрицы К2
пренебрежимо малы по сравнению с элементами матрицы Ki в
силу того, что u^j ^C tui\j и 0 < д < 1. Отсюда следует, что
при интегрировании уравнений равновесия с достаточно малым
шагом во времени обе задачи с малой погрешностью сводятся к
обобщенной задаче на собственные значения:
Таким образом, решения задач G.32) и G.29) должны давать
близкие результаты. С точки зрения практических расчетов фор-
формулировка задачи G.32) проще, так как не требуется вычислять
новые матрицы Ki и Кг, а используются только касательные
матрицы жесткости *К и *+д*К, которые определяются при по-
пошаговой процедуре решения задачи до решения задачи G.32) на
собственные значения. Кроме того, формулировать задачу G.32)
можно как с TL-, так и с UL-, ULJ-формулировками уравнений.
В некоторых случаях при решении задачи G.32) матрица ДК
может оказаться не положительно определенной. Большинство
алгоритмов решения задач на собственные значения работает с
положительно определенными матрицами. К этому классу отно-
относятся алгоритмы вычисления определителя и итераций в подпро-
подпространстве [49], которые можно использовать для решения задачи
G.32). В [51] предложена альтернативная G.32) формулировка за-
задачи на собственные значения, которая помогает избежать этой
ситуации. Перепишем задачу G.32) в виде
O, G.34)
где х = l/м- Здесь произошел переход от поиска наименьшего к
поиску наибольшего собственного значения. Применяя операцию
226 Глава 7. Процедуры численных решений задач ...
сдвига (сдвиг к = 1) к задаче G.34), получаем следующую задачу
на собственные значения:
(t+AtK-A'K)W = O, G.35)
где р, = 1 — х- Так как матрица 4+Д4К не является положитель-
положительно определенной, вместо матриц 'К и 4+Д4К можно использовать
положительно определенные матрицы <-Д4К и 'К. Проведя эту
замену в G.35), приходим к альтернативной формулировке зада-
задачи на собственные значения:
(*К - A*~AtK)W = 0. G.36)
Здесь ищется наименьшее положительное собственное значе-
значение /2СГ, так что
ц„ = 1/A - Ад.). G.37)
При выводе формулы G.36) предполагается, что матрица ТК
определяется с помощью экстраполяционной формулы
так что ц > 1. Так как в G.31) матрица ГК определяется ин-
интерполяцией, точность определения собственных векторов и соб-
собственных чисел из решения задачи G.32) выше, чем из решения
задачи G.36). Кроме того, при достаточно больших значениях /icr
из G.37) следует, что собственные значения Дг- (г = 1,2,...) пред-
представляют собой плотный спектр, близкий к 1. Это вносит некото-
некоторую трудность в решение задачи G.36) на собственные значения.
Поэтому переходить к ее решению надо в том случае, если ма-
матрица АК не является положительно определенной.
7.1.4. Алгоритм решения задач по потере устойчивости тел
В общем случае произвольных следящих нагрузок определе-
определение их критических значений при потере устойчивости тел пред-
представляет собой трудную задачу. Здесь исследование по опреде-
определению бифуркационных нагрузок не дает информации о поте-
потере устойчивости тел. В то же время при действии консерватив-
консервативных нагрузок вида G.6) можно использовать следующий алго-
алгоритм решения нелинейных квазистатических задач по определе-
определению напряженно-деформированного состояния и потере устойчи-
устойчивости конструкций.
7.1. Процедуры численных решений задач по потере ... 227
1. Решаем задачу в (U, Л)-пространстве.
2. На каждом шаге во времени проверяем, имеются ли отри-
отрицательные элементы на главной диагонали матрицы D, запоми-
запоминая матрицы *~Д4К и 'К.
3. При появлении отрицательных элементов включается ал-
алгоритм решения задач на собственные значения G.32) или G.36).
Последняя задача решается в том случае, если матрица АК не яв-
является положительно определенной. Находится столько пар соб-
собственных чисел и собственных векторов, сколько появляется но-
новых отрицательных диагональных элементов.
4. По окончании решения задачи для заданного числа шагов
во времени анализируем полученное решение и определяем, на-
насколько полно выявлена картина деформирования. Если решение
недостаточно полно, продолжаем численное решение задачи с по-
последнего определенного равновесного состояния, используя опцию
«рестарт».
5. По окончании описанного выше численного решения ана-
анализируем критические точки. Точки максимума соответствуют
ниспадающей нагрузке в послекритическом режиме деформиро-
деформирования. Точки бифуркации соответствуют возрастающей нагрузке
на основном решении в послекритическои стадии деформирования
конструкции. На практике может встретиться случай совпадения
максимальной и бифуркационной нагрузок.
6. В случае бифуркации решений задачи вводим началь-
начальные неправильности, соответствующие по форме найденному соб-
собственному вектору. Повторяем решение задачи с малой начальной
неправильностью для определения боковой ветви решения.
7. Чувствительность решения к начальным неправильностям
проверяем решением задачи с начальными несовершенствами,
имеющими форму собственного вектора, но с большей амплиту-
амплитудой, чем в п. 6.
Предложенный выше алгоритм можно использовать для ана-
анализа устойчивости упругих и упругопластических конструкций.
Для исследования потери устойчивости конструкций при их пол-
ползучести под действием постоянной внешней силы надо также
определять развитие характерного перемещения во времени как
для идеальной конструкции, так и для конструкции с начальными
несовершенствами. Критическое время соответствует быстрому
нарастанию этого перемещения. Природа потери устойчивости
при ползучести может быть различна (типа собственного состо-
228 Глава 7. Процедуры численных решений задач ...
яния с обращением детерминанта матрицы ТК в нуль или типа
экспоненциального роста несовершенств), но неустойчивость ква-
квазистатического движения проявляется в численном анализе оди-
одинаково: быстрый рост характерного перемещения во времени.
С помощью решения линеаризованной задачи о потере устой-
устойчивости конструкций [51] можно достаточно точно определить
форму выпучивания. Критическое значение параметра деформи-
деформирования в интервале времени (t, t+At) можно уточнить при доста-
достаточно малом шаге интегрирования для конструкций из упругого
материала. При решении задачи о выпучивании конструкции из
упругопластического материала с помощью линеаризованной за-
задачи о потере устойчивости можно определять только (собствен-
(собственные) формы потери устойчивости. Для уточнения критической
нагрузки надо уменьшать шаг интегрирования нелинейных урав-
уравнений.
7.2. Процедуры численных решений задач
по контактным взаимодействиям тел
Решение контактной задачи можно разделить на два этапа:
• определить (геометрически) взаимные проникновения кон-
контактирующих тел;
• из решения уравнений равновесия (движения) определить
контактные силы, препятствующие этим взаимным проник-
проникновениям. •
Рассмотрим конечно-элементную формулировку этих задач.
7.2.1. Условия вхождения тел в контакт
Пусть имеется пара контактирующих тел В1 и В2 (см.
рис. 4.4N. Назовем одно из них активным, а другое пассивным.
Численное решение контактной задачи осуществляется таким об-
образом, чтобы узловые точки активного тела не проникали через
6При контакте трех и более тел надо назначать пары контактирующих
тел.
7.2. Процедуры численных решений задач по контактным ...
229
Рис. 7.3. Вхождение активного узла к в контакт с пассивным сег-
сегментом:
о — четырехугольный сегмент (активный узел проникает в пассивное те-
тело через треугольник АВО), б — треугольный сегмент
границу внутрь пассивного тела, в то время как узлы пассивного
тела могут-проникать внутрь активного тела [50]7.
До начала решения контактной задачи выделяется поверх-
поверхность возможного контакта активного тела, которая покрывается
четырехугольными или треугольными сегментами8, показанны-
показанными на рис. 7.3. Точно так же выделяется поверхность возможного
контакта пассивного тела. Для сокращения записи сегменты по-
поверхности возможного контакта активного тела называем далее
7 Активное и пассивное тела назначаются произвольно, но из их определе-
определения следует, что пассивным телом лучше назначать тело, обладающее боль-
большей «жесткостью», например абсолютно жесткое. Процедуру решения кон-
контактной задачи с разделением тел на активное и пассивное назовем несиммет-
несимметричной [85, 86]. Для того, чтобы сделать эту процедуру симметричной, надо
к рассматриваемой паре контактирующих тел добавить еще одну, состоящую
из тех же самых тел, с заменой активного тела пассивным и наоборот.
8Термин «сегмент» используется по аналогии с моделированием контакт-
контактных поверхностей при решении плоских и осесимметричных задач [50].
230 Глава 7. Процедуры численных решений задач ...
активными сегментами, сегменты поверхности возможного кон-
контакта пассивного тела— пассивными сегментами, узловые точки
поверхности возможного контакта активного тела — активными
узлами, узловые точки поверхности возможного контакта пассив-
пассивного тела — пассивными узлами.
При решении контактной задачи на каждом шаге во времени
и на каждой итерации проверяется возможность проникновения
активных узлов через поверхность возможного контакта пассив-
пассивного тела. Если проникновение произошло, предполагается, что
активный узел находится в контакте с пассивным телом. Вектор
перехлеста и точка контакта на пассивном сегменте находятся
согласно [59].
Рассмотрим некоторый активный узел к. Для проверки воз-
возможности проникновения узла к через пассивный сегмент ис-
используем алгоритм поиска контакта по смежным сегментам [55].
Пусть произошло проникновение активного узла А; через пассив-
пассивный четырехугольный сегмент, образованный узлами А, В, С, D
(см. рис. 7.3,а ). Тогда радиус-вектор точки О («центра» сегмен-
сегмента) находится следующим образом:
х0 =0,25(хл+хв+хс+Х?>), G.38)
где хл, хв, хс, Х?) — радиусы-векторы узловых точек А, В, С,
D сегмента в момент времени t + At. Пассивный сегмент аппрок-
аппроксимируется четырьмя треугольниками с общей вершиной в точ-
точке О. Вектор нормали к поверхности сегмента определяется как
вектор нормали к поверхности сегмента в точке О. Обозначим
через ^Д'пС1-1) вектор нормали единичной длины, направленный
внутрь пассивного тела.
Пусть Р является точкой проекции (в соответствии с век-
вектором нормали *+Д*п(г-1)) активного узла к на треугольник
АОВ этого пассивного сегмента (см. рис. 7.3,а). Тогда радиус-
вектор точки Р на треугольнике АОВ находится следующим об-
образом [59]:
хр = 0,25[Dа + 7)хл +D0+ 7)*в+ 7*0+1*0], G-39)
где а, /3, 7 — треугольные координаты [49] точки Р в момент
времени t + At.
Рассмотрим возможность проникновения активного узла к
через пассивный треугольный сегмент ABC (см. рис. 7.3,6).
Пусть <+д'п(г~1) является вектором нормали единичной длины
7.2. Процедуры численных решений задач по контактным ... 231
к плоскости треугольника, направленным внутрь пассивного те-
тела. Пусть произошло проникновение активного узла А; через тре-
треугольный пассивный сегмент ABC. Пусть Р является точкой про-
проекции узла к на пассивный треугольный сегмент, образованный
узловыми точками А, В, С. Радиус-вектор точки Р находится по
формуле
хР =
где а, /3, 7 — треугольные координаты точки Р в момент времени
t+At. В G.38)-G.40) и далее для сокращения записи опущены ле-
левый верхний индекс t + At и правый верхний индекс (г) у величин
ха, хв, хс, xD, xo, хР, а, 0, 7-
Если существует возможность проникновения точки А; через
несколько различных пассивных.сегментов (четырехугольных и
треугольных) и имеется несколько точек проекций активного уз-
узла А; на несколько различных пассивных сегментов, то Р опреде-
определяется как ближайшая к узлу к точка (среди этих точек).
Вектор перехлеста Д& (см. рис. 7.3) задается следующим
образом:
Afc = xfc-xP, G.41)
где Xfc — радиус-вектор активного узла к. Здесь и далее опущены
верхние индексы у величин х^, Д^.
Проверка возможности проникновения активного узла к че-
через пассивный сегмент и определение векторов нормали t+Atn^l~^
и перехлеста t+At Ajj.l~ проводятся для каждого шага во времени
и для каждой итерации процедуры Ньютона — Рафсона.
После того, как поверхность контакта на некоторой итера-
итерации определена, необходимо найти контактные силы, предотвра-
предотвращающие взаимные проникновения контактирующих тел. Для их
определения следует добавить член, полученный варьированием
потенциала контактных сил, в стандартное уравнение принци-
принципа возможных перемещений. В зависимости от вида потенциа-
потенциала получаем формулировку контактной задачи с помощью либо
метода множителей Лагранжа (§ 4.5.2), либо метода штрафных
функций (§ 4.5.3).
7.2.2. Решение контактной задачи
методом множителей Лагранжа
При конечно-элементной дискретизации предполагаем, что
вектор контактных сил представляет собой дельта-функции Ди-
232
Глава 7. Процедуры численных решений задач
В t*6.fy(i)
Активные
сегменты
Рис. 7.4. Контактные силы, действующие на ак-
активное и пассивное тела
рака, расположенные в узловых точках [82]. Тогда, рассматри-
рассматривая тело В1 активным, тело В2 пассивным, после интегрирования
в D.49) получаем
G.42)
k=i
где
Wks- ~к
Здесь Кс — число активных узлов, вступивших в контакт,
t+At^W — (неизвестная) сосредоточенная контактная сила (мно-
(множитель Лагранжа), приложенная к узлу А; (рис. 7.4).
Пользуясь определением разности величин на итерациях ви-
вида F.10), запишем
t+A*x(i) _ *+Д*х(»"-1
G.44)
t+At (i) _ t+At(i~l)
'
(О
7.2. Процедуры численных решений задач по контактным ... 233
Используя формулы G.41) и G.44), из G.43) получаем
Wk = -t+AtA«T(Auf + Alf1* - Au?>). G.45)
Пренебрегая изменением параметров положения точки контак-
контакта Р на итерациях, имеем
*+Д*а(г) _ t+Ata(i-l) t+Atg(i) = t+Ato(i-l)
G.46)
*+A*7(i) _ t+At^i-l) V ;
Отметим, что если на (г — 1)-й итерации был контакт, то в случае
контакта без проскальзывания соотношения G.46) выполняются
точно, а в случае контакта с проскальзыванием они являются
упрощающими приближениями.
Из G.39) и G.45) в случае контакта узла к с четырехуголь-
четырехугольным сегментом получаем
Wk = -*-*AWT [(Au« + At1]) ~ ^Da + 7)Ли« -
-\D0 + 7)Aug - \ 7Aug} - \7Аи«]. G.47)
Здесь и далее для сокращения записи опущены верхние индексы
t + At и (г — 1) у величин а, /?, 7-
По определению имеем
= A + дд
Для контакта без проскальзывания касательная и нормаль-
нормальная компоненты вектора контактных сил являются независимы-
независимыми. Подставляя G.48) в G.47), для контакта без проскальзывания
получаем следующий потенциал контактных сил:
Wk = -(+д'А^1)т[(Аи^ + AjfJ)) - ^ Dа+ 7) А
j^
7Aug \ 7Aug]. G.49)
Таким образом, при выполнении условия D.47) потенциал кон-
контактных сил выражается формулой G.49).
НЕ БОЛЕЕ 1Й КНИГИ В I
ОДНИ РУКИ И 2ХВДВЕ )
234 Глава 7. Процедуры численных решений задач ...
При нарушении условия D.47) имеем контакт с проскальзы-
проскальзыванием, при этом касательная и нормальная компоненты вектора
контактных сил связаны равенством D.48). Предположим, что тси-
ла трения остается постоянной на итерации [50]. В таком случае
меняется только нормальная компонента контактной силы, тогда
Да?} = -ДА« п, G.50)
где AAj — изменение нормальной компоненты контактной силы.
Отрицательный знак в правой части G.50) используется вслед-
вследствие того, что увеличение контактной силы происходит в на-
направлении, противоположном п (см. рис. 7.4). Здесь пренебрега-
пренебрегаем изменением вектора t+Atn^ на итерации и опускаем верхние
индексы у вектора нормали *+д*п(г~1). Используя G.48) и G.50),
из G.47) получаем потенциал контактных сил для контакта с про-
проскальзыванием:
Wk = -<+AtAJf 1)T[(Au« + ^
- 1D0 + 7)Au« -
- 1D0 + 7)Aug - 17Aug} - 1 тДи^] }. G.51)
Аналогично получаем потенциал в случае контакта актив-
активного узла к с треугольным сегментом, образованным узловыми
точками А, В и С:
• для контакта без проскальзывания
Wk = -<^[^лв
- AA«T[(Au« + At1]) ~ «Ди? - /?Ди« - 7Аи«], G.52)
• для контакта с проскальзыванием
Wk = -4+А<А^1)т[(Аи^+А^1))-аАи?-/0Аи«-7Аи^] +
+ АА»{пт[(Аи^ + Д^1}) - aAu« - ^Aug - -yAv$]}. G.53)
Определим вектор-функцию G [92], которая потребуется в
дальнейшем. Когда активный узел к входит в контакт с четырех-
четырехугольным сегментом, вектор-функция определяется следующим
7.2. Процедуры численных решений задач по контактным ...
235
образом:
-d
0,25Dа
G(a,d)= 0,25D/3+ 7)d
0,257d
0,257d
где aT = [a, /3,7], d — некоторая матрица размерностью 3x3 или
вектор размером 3x1. Если активный узел к входит в контакт с
треугольным сегментом, вектор-функция G определяется в виде
-d
7d
Если активный узел к входит в контакт с пассивным сегментом,
предполагаем, что появляется контактный конечный элемент с
локальными степенями свободы:
Ue =
№
Если узел к входит в контакт с четырехугольным сегментом, то
вектор приращений перемещений имеет вид
AUe«T = [Ди?)т, Ди$)т, Aug)T, Aug)T, AugT], G.54)
а если этот узел входит в контакт с треугольным сегментом, то
AUe«T = [Ди?)т, Ди?т, Ди?)т, Ди?)т]. G.55)
В случае контакта без проскальзывания
а при контакте с проскальзыванием
Варьируя выражение для потенциала контактных сил в
G.49), G.51)-G.53) и используя введенные выше обозначения, по-
получаем следующее выражение:
5Wk = SVeT't+MK^i-^Ve - SVeTt+'MB.f-1). G.56)
236 Глава 7. Процедуры численных решений задач ...
Локальные касательная матрица жесткости и вектор внутренних
сил контактного элемента записываются соответственно в виде
[n t+Atj>e(i-l)
о а
t+AtBe(t-l)T 0 J '
1
В случае контакта без проскальзывания матрица *+А4ве(г~1' и
вектор *+А*д^1~ > имеют следующий вид:
i+A4Be(i-l) = {\),
4+Д4Ае(г-1)т _ г4+Д*д(«-1) Н-Д4д(г-1)
где I — единичная матрица размерностью 3x3, *+л*Дд.1~1' (j =
1, 2, 3) — декартовы координаты вектора перехлеста *+А*Д^г~ '.
При контакте с проскальзыванием эти величины записываются
следующим образом:
t+AtBe(i-l) =Q,t+Ata(i-l) _t+Atn(i~l))
' G c\7\
t+AtALe{i-l) — _t+Atn(i-l)-it+AtA.(i-l)
В обоих случаях локальный вектор контактной силы имеет вид
t+AtRe(i-l) = G(t+Ata(i-1)) -*+Д*а?'~1)). G.58)
Суммируя матрицы и векторы элементов (включая контакт-
контактные элементы), получаем следующую систему уравнений с ис-
использованием обычной техники МКЭ (см. раздел 5.2) [50]:
-[
t+AtR
+
. G.59)
Здесь
ди(«) — вектор приращений смещений на итерации (г)
. (размерность NEQ);
7.2. Процедуры численных решений задач по контактным ... 237
ДЛ^ — вектор приращений контактных сил (множите-
(множителей Лагранжа) на итерации (г) (размерность
NEQC);
t+Atj?(t-i) _ касательная матрица жесткости двух тел, В1
и В2 (без учета контактных сил), включающая
геометрическую и физическую нелинейности, по-
полученная на (г — 1)-й итерации (размерность
NEQ х NEQ);
t+ Kc — касательная контактная матрица жесткости,
полученная вследствие учета контактных сил
на (i — 1)-й итерации (размерность NEQT х
NEQT);
t+Atp(t-i) — вектор внутренних узловых сил, полученный
вследствие учета внутренних напряжений в те-
телах В1 и В2 на, (г — 1)-й итерации (размерность
NEQ);
t+AtR — вектор приложенных внешних сил (размерность
NEQ);
il — вектор контактных сил, вычисленный на (г — 1)-й
итерации (размерность NEQ);
(_г- ) — вектор перехлестов, полученный на (г — 1)-й ите-
итерации (размерность NEQC);
NEQ — общее число степеней свободы перемещений уз-
узловых точек тел В1 и В2;
NEQC — общее число контактных уравнений, равное
3 X (общее число активных узлов в контакте без
проскальзывания) + (общее число активных уз-
узлов в контакте с проскальзыванием);
NEQT = NEQ + NEQC.
238 Глава 7. Процедуры численных решений задач ...
Перепишем систему G.59) в виде [50, 92]
NEQ NEQC
neq{ Г *+д*к«-1) *+д«к«-1) 1 Г ди«
NEQC{[ «+AtB(i-l)T 0 j [ дд(г) ^
G.60)
где
Элементы матрицы *+Д*в(«-1) (размерность NEQ x NEQC)
составляются из элементов матриц контактных элементов
Д()
Система уравнений G.60) решается в [50] прямо с использо-
использованием ЬОЬт-факторизации матрицы в левой части. При ее реше-
решении возникают некоторые трудности. Во-первых, матрица в левой
части может оказаться не положительно определенной вследствие
присутствия нулевых элементов на главной диагонали [102]. Во-
вторых, меняются как размер, так и профиль матрицы [49] в левой
части G.60) вследствие того, что величина NEQC может менять-
меняться на итерациях. Во избежание этих трудностей следуем подходу
к решению подобных систем, предложенному в [102].
Перепишем систему G.60) в виде
*+Дек(г-1) ди(г) + t+AtB(i-l) AA(i) = i+AiR(i-l);
*+Д*в(г-1)т ди(») = е+Д*д(г-1) G-62)
Проводя дальнейшие преобразования, из G.62) получим [92]
Вт К В ДЛ = Вт К R.! - Ас,
G.63)
Здесь для краткости записи у матриц и векторов опущены верх-
верхние индексы, которые имеют те же значения, что и в систе-
системе G.62).
Так как в явном виде матрица ВТК~1В в левой части первой
системы уравнений G.63) не вычисляется, эта система уравнений
решается итерационным методом сопряженных градиентов [102].
После ее решения найденное значение ДЛ подставляется в пра-
правую часть второй системы уравнений G.63) и находится решение
для AU. Итерационный цикл по решению системы G.63) про-
продолжается до тех пор, пока решение не сойдется и перехлест Ас
7.2. Процедуры численных решений задач по контактным ... 239
не станет меньше заданного малого значения. Следуя [102], эту
процедуру назовем одноуровневой итерационной процедурой ре-
решения контактных задач.
Можно также использовать двухуровневую итерационную
процедуру решения этого класса задач [102], которая заключает-
заключается в том, что в итерационном процессе при удовлетворении усло-
условия равновесия физическая и геометрическая нелинейности рас-
рассматриваются во внешнем цикле, а нелинейность, введенная ре-
решением контактных задач, — во внутреннем цикле. Рассмотрим
сначала уравнения внутреннего итерационного цикла. Здесь все
геометрические и физические нелинейности «замораживаются» и
решаются системы уравнений, которые получаются из G.63) при
Ri = 0, т. е.
втк-1вдл = -дс, ди = -к-1вдл.
Итерационный процесс во внутреннем итерационном цикле про-
продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие сходимо-
сходимости по перехлестам. При выполнении внутреннего итерационного
цикла заново вычисляются только элементы матрицы В. После
окончания внутреннего итерационного цикла переходим во внеш-
(i—l)
ний итерационный цикл, определив вектор Щ '. Так как при ре-
решении контактной задачи во внутреннем цикле вектор ДЛ стано-
становится малым, во внешнем итерационном цикле решается система
уравнений, полученная из первой системы уравнений в G.62):
t+AtK(i-l) ди(«) _
В [59] отмечается, что вектор контактных сил 4+д*Щг~ '
определяется недостаточно точно по значениям множителей Ла-
гранжа, найденным из выражений вида G.58), и предложена аль-
альтернативная процедура вычисления этого вектора.
Определить состояние активного сегмента (выход из контак-
контакта, контакт с проскальзыванием, контакт без проскальзывания)
и состояние активного узла в соответствии с состоянием смеж-
смежных активных сегментов можно следуя процедуре, приведенной в
[50, 59].
7.2.3. Решение контактной задачи
методом штрафных функций
При конечно-элементной дискретизации уравнений предпо-
предполагаем, что контакт осуществляется только в дискретных точках
240
Глава 7. Процедуры численных решений задач
Рис. 7.5. Определение «касательного» вектора t
границы. Поэтому интеграл в правой части D.50) приближается
суммой G.42) с
W = i^!l(*+AtoW \2 , <^t_/t+At Ji)\2 ir, g^s
Здесь нормальный перехлест определяется следующим образом:
t+At (i) _ t+At_(t)T /t+At (i) _ t+At_(O\
Уп,к — " ^ xfe XP )'
а касательный перехлест — по формуле
t+At(i) — t+At+(t)T it+At^{i) t+At°{i)\
9t,k — z ( xfe ~ xp )¦
о
В случае контакта без проскальзывания точка Р (рис. 7.5) с
радиусом-вектором е+ЛеХр определяется как точка первого пере-
пересечения некоторого пассивного сегмента активным узлом к. Отме-
Отметим, что пассивный сегмент, содержащий точку Р, и пассивный
о
сегмент, содержащий точку Р, могут быть разными. В случае
о
контакта с проскальзыванием точка Р определяется как точка Р
на предыдущем (известном) шаге во времени [85], т.е. точка с
7.2. Процедуры численных решений задач по контактным ... 241
радиусом-вектором ехр. «Касательный» вектор *+AttW определя-
определяется как вектор единичной длины, направленный вдоль отрезка,
о
соединяющего точки Р и Р:
^) _ t+At ° (i)
Р ХР
Отметим, что векторы *+A*nW и *+A*tW могут быть неортого-
неортогональными (в общем случае условие ортогональности этих векто-
векторов удовлетворяется только приблизительно).
Условие непроникания активного узла к через пассивный сег-
сегмент формулируется в виде неравенства
t+At& < о.
Если это условие нарушено, т. е.
то потенциал контактной силы G.64) включается в правую
часть G.42).
Пренебрегая изменением векторов *+Л*п(г) и t+Att^ на ите-
итерации и опуская верхние индексы у величин *+A*n(t-i) и tf
с помощью G.44) получаем
Аналогично для касательного зазора находим
$ ^1] + tT (Au« - Д&«). G.66)
Пренебрегая изменением параметров положения точки Р на
итерациях (так что предполагается выполнение равенств G.46))
и используя G.39), из G.65) и G.66) при вхождении активного
узла в контакт с четырехугольным сегментом (для упрощения
о
выражений здесь предполагается, что точка Р находится на этом
242 Глава 7. Процедуры численных решений задач ...
же четырехугольном сегменте) получаем
« - ±Dа
G.67)
Здесь и далее a, /3, 7 — треугольные координаты
(i-i)^ t+At^(i-\) точки p; a, /3, 7 ¦— треугольные координаты
(t-l)j t+AtJg(i-l)> t+At^(i-l) точки р
Аналогично при вхождении активного узла к в контакт с пас-
пассивным треугольным сегментом, образованным узлами А, В, С
о
(так же, как и в предыдущем случае, предполагаем, что точка Р
находится на этом же треугольном сегменте), получаем
G.68)
и« - «Ди? -
Отметим, что в некоторых случаях могут реализовываться
различные комбинации выражений G.67), G.68). Например, нор-
нормальный перехлест t+Atgn к может определяться первым выраже-
выражением G.67) (точка Р расположена на четырехугольном сегменте),
а касательный перехлест i+Atgl%к — вторым выражением G.68)
о
(точка Р расположена на треугольном сегменте).
о
Предположим для простоты, что обе точки, Р и Р, располо-
расположены на одном и том же треугольном сегменте или треугольном
подсегменте четырехугольного сегмента. Если активный узел к
находится в контакте с некоторым пассивным сегментом, образу-
образуется контактный элемент с вектором локальных степеней свобо-
свободы AUeW, который определяется формулой G.54) при контакте
с четырехугольным сегментом и формулой G.55) при контакте с
треугольным сегментом.
7.2. Процедуры численных решений задач по контактным ... 243
Перепишем формулы G.67), G.68) с помощью введенных вы-
выше обозначений:
t+At («) _ t+At (г-1) , (+Д(пе(!-1)тдие(;)
t+AtJi) _ t+At (г-l) t+At(ie(i-l)T дтте(г)
9t,k — yt,k ~r ^ ^*u '
где *+д*ве^~^ определяется первой формулой G.57), а матрица
t+AtQe(i-i) __ следующим образом:
i+AtCe(t-l) ^ Q^t+At^i-l)^ _t+At±(i-l)y
Варьируя выражение для потенциала контактной силы
G.64), получаем выражение G.56) с заменой Ue на AUeW. В слу-
случае контакта без проскальзывания полагаем, что нормальная и
касательная компоненты контактной силы изменяются независи-
независимо. Варьируя G.64) с учетом G.69), получаем касательную ма-
матрицу жесткости контактного элемента:
t+AtKe (г-1) = ^1)
Здесь
t+Atj?e(i-l) ^ g g
с,п - п ,
t+Atj^e(i-l) _ ш t+AtQe(i-l)t+AtQe(i-l)r
Локальный вектор контактной силы имеет вид
г+Д4т>е(г-1) _ t+At-oe(i-l) ,()
где
= Wn^B)
e(il)
t_(»
9t,k
Из G.73) следует, что значение нормальной (касательной) кон-
контактной силы пропорционально значениям нормального (каса-
(касательного) штрафа и нормального (касательного) перехлеста. Та-
Таким образом, использование метода штрафных функций в слу-
случае контакта без проскальзывания эквивалентно введению фик-
фиктивных пружин, действующих вдоль нормального и касательного
направлений к пассивному сегменту с модулями Юнга, равными
значениям штрафных параметров шп и u)f
При контакте с проскальзыванием полагаем (как в §7.2.2),
что касательная компонента контактной силы не меняется на
244 Глава 7. Процедуры численных решений задач ...
итерации. Тогда получаем касательную матрицу жесткости кон-
контактного элемента в виде G.70), где *+д*Кс,п выражается пер-
первой формулой G.71) и
U
Корректируем локальный вектор касательной контактной силы,
определенный второй формулой G.73), в соответствии с законом
трения Кулона D.48):
Используя обычную процедуру суммирования матриц и векторов
элементов (раздел 5.2), получаем следующую систему уравнений:
где 4+д*Кс — глобальная контактная матрица жесткости раз-
размерностью NEQ х NEQ, а вектор *+AtRJl~ ' выражается форму-
формулой G.61). Глобальный вектор контактных сил *+Л(Щг ' явля-
является суммой локальных векторов контактных сил G.72) по всем
контактным элементам.
Из первого выражения G.73) следует, что нормальный пе-
перехлест '+Л'#п к уменьшается с возрастанием параметра штра-
штрафа шп. В теоретических исследованиях [87] сходимости решения
при использовании алгоритма штрафных функций к решению ис-
исходной контактной задачи параметр штрафа стремится к беско-
бесконечности. Тем не менее в численном решении большое значение
шп может привести к плохой обусловленности касательной ма-
матрицы жесткости. При уменьшении параметра шп увеличивается
(паразитный) нормальный перехлест в численном решении. То же
самое относится к касательному перехлесту '+Л'<?(^Г Поэтому
параметры штрафа шп и ut следует выбирать с осторожностью.
7.2.4. Решение динамических контактных задач
Рассмотренные выше подходы к решению контактных задач
справедливы в случае квазистатического деформирования. Моди-
Модификация описанного выше алгоритма решения квазистатических
контактных задач на решение динамических контактных задач
по неявной схеме интегрирования происходит точно так же, как
и при решении нелинейных задач без условий контакта. Учет
динамических членов приводит к тому, что вместо касательной
7.2. Процедуры численных решений задач по контактным ... 245
матрицы жесткости *К используется эффективная касательная
матрица жесткости 4К, а вместо вектора внешних сил t+At~R - -
эффективный вектор t+AtR (раздел 6.1).
Такой подход к решению динамических контактных задач
применен в [59]. Однако здесь возникают те же самые трудно-
трудности решения задач, что и при численном решении задач о рас-
распространении волн при действии ударных нагрузок. При исполь-
использовании недиссипативных схем интегрирования уравнений дви-
движения в численном решении возникают паразитные осцилляции,
обусловленные тем, что нельзя достаточно точно воспроизвести
вклад высших форм в решение динамической задачи. В частно-
частности, неявная схема Ньюмарка со стандартными значениями па-
параметров 6 — О,5, а = 0,25 является недиссипативной числен-
численной схемой. Обычно такой класс задач решается с использова-
использованием диссипативных численных схем, которые подавляют выс-
высшие формы. В [59] для решения динамических контактных за-
задач рекомендуется диссипативная схема Ньюмарка с параметра-
параметрами ё = а = 0,5. В [2, 91, 92] на основе численных экспериментов
рекомендуется решать динамические контактные задачи с пара-
параметрами (диссипативной) схемы Ньюмарка ё = 0,7, а = 0,36.
Другой подход к решению динамических контактных задач
состоит в использовании условий разрыва ускорений на контакт-
контактной границе [82]. Как продемонстрировано в работе [82], при ре-
решении ряда задач удается достаточно точно воспроизводить раз-
разрывные решения ступенчатого вида. Недостатком такого подхода
является то, что условия разрыва записываются по-разному для
разных классов задач и в вычислительной программе приходится
проводить специальные манипуляции с матрицами.
Литература
1. Алехин В. В., Аннин Б. Д., Коробейников С. Н. Численное
решение нелинейных осесимметричных задач с учетом контакт-
контактных взаимодействий // Прикладные задачи механики сплошных
сред: Сб. статей / Воронеж: Воронеж, гос. ун-т, 1999. С. 21-28.
2. Алехин В. В., Коробейников С. Н. Алгоритм решения трех-
трехмерных контактных задач методом конечных элементов // Числен-
. ные методы решения задач теории упругости и пластичности: Ма-
Материалы 13 Межреспубл. конф. Новосибирск: Ин-т теор. и прикл.
механики СО РАН, 1995. С. 4-12.
3. Аннин Б. Д., Коробейников С. Н. Допустимые формы упругих
законов деформирования в определяющих соотношениях упруго-
пластичности // Сиб. журн. индустр. математики. 1998. Т.1, №1.
С. 21-34.
4. Аннин Б. Д., Черепанов Г. П. Упруго-пластическая задача.
Новосибирск: Наука, 1983.
5. Болотин В. В. О вариационных принципах теории упругой
устойчивости // Проблемы механики твердого деформированного
тела (к 60-летию В. В. Новожилова): Сб. науч. тр. Л.: Судострое-
Судостроение, 1970. С. 83-88.
6. Бондарь В. Д. Введение в механику сплошных сред: Уч. пособие.
Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1967.
7. Бураго Н. Г., Кукуджанов В. Н. Решение упругопластических
задач методом конечных элементов. Пакет прикладных программ
АСТРА-М. М., 1988. (Препринт/ АН СССР. Ин-т проблем меха-
механики; №326).
8. Бураго Н.Г., Кукуджанов В. Н. Численный метод решения
геометрически нелинейных осесимметричных задач для упруго-
пластических оболочек вращения // Строительная механика и рас-
расчет сооружений. 1976. №5. С. 44-49.
9. Введение в механику сплошных сред: Уч. пособие / К. Ф. Черных
и др. Л.: Из-во ЛГУ, 1984.
10. Волчков Ю. М., Иванов Г. В., Кургузов В. Д. Об аппрок-
аппроксимации уравнений упругопластического деформирования // Ди-
Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние.
Ин-т гидродинамики. Новосибирск, 1989. Вып. 92. С. 45-53.
Литература __ 247
11. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука,
1967.
12. Григолюк Э. И., Кабанов В. В. Устойчивость оболочек. М.:
Наука, 1978.
13. Григолюк Э. И., Липовцев Ю. В. О критериях выпучивания
оболочек в условиях ползучести // Инж. журн. МТТ. 1966. № 3.
С. 99-106.
14. Григолюк Э. И., Шалашилин В. И. Проблемы нелинейного
деформирования. М.: Наука, 1988.
15. Иванов Г. В. Об устойчивости равновесия при неупругих дефор-
деформациях // ПМТФ. 1981. № 1. С. 47-55.
16. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. М.: МГУ, 1971.
17. Кабанов В. В., Астрахарчик С. В., Железнов Л. П. Алго-
Алгоритм исследования закритического поведения круговых цилиндри-
цилиндрических оболочек при неосесимметричном нагружении // Динами-
Динамика и прочность элементов авиационных конструкций: Сб. науч. тр.
Новосибирск: Новосиб. электротехн. ин-т, 1987. С. 10-15.
18. Качанов Л. М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969.
19. Клюшников В. Д. Возможности макроопыта и форма опреде-
определяющих соотношений // Докл. АН СССР. 1982. Т. 264, № 3. С.
578-580.
20. Клюшников В. Д. Лекции по устойчивости деформируемых си-
систем. М.: МГУ, 1986.
21. Клюшников В. Д. Математическая теория пластичности. М.:
МГУ, 1979.
22. Клюшников В. Д. Неустойчивость пластических конструкций
(обзор) // Механика. Новое в зарубежной науке: Сб. науч. тр. М.:
Мир, 1976. № 7. С. 148-177.
23. Клюшников В. Д. О допустимых формах соотношений пластич-
пластичности // Докл. АН СССР. 1980. Т. 255, № 1. С. 57-59.
24. Клюшников В. Д. Устойчивость упруго-пластических систем.
М.: Наука, 1980.
25. Клюшников В. Д. Физико-математические основы прочности и
пластичности. М.: МГУ, 1994.
26. Колтунов М. А., Кравчук А. С, Майборода В. П. При-
Прикладная механика деформируемого твердого тела. М.: Высш. шк.,
1983.
27. Коробейников С. Н. Модификация вариационного принципа Ни-
Нила в теории конечных упруго-пластических деформаций // Дина-
Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / Ин-т гидродинамики. АН
СССР. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 1975. Вып. 22. С. 206-215.
248 Литература
28. Коробейников С. Н. Геометрически нелинейный анализ двумер-
двумерных упругих тел // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. /
Ин-т гидродинамики. АН СССР. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 1987.
Вып. 80. С. 82-89.
29. Коробейников С. Н. Геометрически нелинейный анализ оболо-
оболочек с учетом больших приращений поворотов // Моделирование в
механике: Сб. науч. тр. / Вычислит, центр, Ин-т теор. и прикл.
механики. АН СССР. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 1990. Т. 4B1),
№ 4. С. 119-126.
30. Коробейников С. Н. Применение метода конечных элементов к
решению нелинейных задач по деформированию и потере устой-
устойчивости атомных решеток. Новосибирск, 1997. (Препринт/ РАН.
Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики; № 1-97).
31. Коробейников С. Н. Решение двумерных геометрически и фи-
физически нелинейных задач методом конечных элементов // Чис-
Численные методы решения задач теории упругости и пластичности:
Материалы 10-й Всесоюз. конф. Новосибирск: Ин-т теор. и прикл.
механики СО АН СССР, 1988. С. 134-140.
32. Коробейников С. Н. Сравнение бифуркационных нагрузок
по теории течения и по деформационной теории для упруго-
пластических материалов // Динамика сплошной среды: Сб. науч.
тр. / Ин-т гидродинамики. АН СССР. Сиб. отд-ние. Новосибирск,
1977. Вып. 28. С. 64-71.
33. Кошур В. Д., Немировский Ю. В. Континуальные и дискрет-
дискретные модели динамического деформирования элементов конструк-
конструкций. Новосибирск: Наука, 1990.
34. Куртин Л. М. О постановках задачи устойчивости в условиях
ползучести (обзор) // Проблемы теории пластичности и ползуче-
ползучести: Сб. науч. тр. М.: Мир, 1979. С. 246-302.
35. Левитас В. И. Большие упруго-пластические деформации мате-
материалов при высоком давлении. Киев: Наук, думка, 1987.
36. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.
37. Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости. Л.; М.:
ОГИЗ, 1948.
38. Поздеев А. А., Трусов П. В., Няшин Ю. И. Большие упру-
гопластические деформации. М.: Наука, 1986.
39. Проценко А. М. Теория упруго-идеальнопластических систем.
М.: Наука, 1982.
40. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.:
Наука, 1988.
Литература 249
41. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука,
1966.
42. Рикардс Р. Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и
пластин. Рига: Зинатне, 1988.
43. Седов Л. И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физмат-
гиз, 1962.
44. Седов Л. И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1973.
45. Соснин О. В., Горев Б. В., Никитенко А. Ф. Энергетический
вариант теории ползучести. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО
РАН, 1986.
46. Черных К. Ф., Литвиненкова 3. Н. Теория больших упругих
деформаций. Л.: Из-во ЛГУ, 1988.
47. Хилл Р. Бифуркация и единственность в нелинейной механике
сплошной среды // Проблемы механики сплошной среды: Сб. науч.
тр. М.: АН СССР, 1961. С. 448-457.
48. Annin В. D., Korobeinikov S. N., Alyokhin V. V. The temper-
temperature influence on the critical time of creep buckling of the column //
Progress in Advanced Materials and Mechanics / W. Tzuchiang, T.-W.
Chou (Eds). Beijing: Peking Univ. Press, 1996. P. 802-807.
49. Bathe K.-J. Finite Element Procedures in Engineering Analysis. En-
glewood Cliffs, New York: Prentice-Hall, 1982.
50. Bathe K.-J., Chaudhary A. B. A solution method for planar and
axisymmetrical contact problems // Intern. J. Numer. Meth. Eng.
1985. V. 21. P. 65-88.
51. Bathe K.-J., Dvorkin E. N. On the automatic solution of nonlin-
nonlinear finite element equations // Computers к Structures. 1983. V. 17,
N 5/6. P. 871-879.
52. Bathe K.-J., Slavkovic R., Kojic M. On large strain elasto-
plastic and creep analysis // Finite Element Methods for Nonlinear
Problems / P. G. Bergan, K.-J. Bathe, W. Wunderlich (Eds). Berlin:
Springer-Verlag, 1986. P. 175-190.
53. Batoz J. L., Dhatt G. Incremental displacement algorithms for non-
nonlinear problems // Intern. J. Numer. Meth. Eng. 1981. V. 13. P. 55 62.
54. Batter man S. C. Plastic buckling of axially compressed cylindrical
shells // AIAA Journal. 1965. V. 3, N 2. P. 316-325; Русский перевод:
Баттермен С. К. Пластическое выпучивание оболочек при осевом
сжатии // Ракетная техника и космонавтика. 1965. № 2. С. 219-231.
55. Benson D. J., Hallquist J. O. A single surface contact algorithm
for the post-buckling analysis of shell structures // Сотр. Meth. Appl.
Mech. Eng. 1990. V. 78. P. 141-163.
250 Литература
56. Budianski В. Theory of buckling and post-buckling behavior of elas-
elastic structures // Advances in Applied Mechanics / C.-S. Yih (Ed.).
New York: Academic Press, 1974. V. 14. P. 1-65.
57. Chandrasekaran N., Haisler W. E., Goforth R. E. A finite ele-
element solution method for contact problems with friction // Intern. J.
Numer. Meth. Eng. 1987. V. 24. P. 477-495.
58. Chandrasekaran N., Haisler W. E., Goforth R. E. Finite ele-
element analysis of Hertz contact problem with friction // Finite Ele-
Elements in Analysis and Design. 1987. V. 3. P. 39-56.
59. Chaudhary А. В., Bathe K.-J. A solution method for static and
dynamic analysis of three dimensional contact problems with fric-
friction // Computers & Structures. 1986. V. 24. P. 855-873.
60. Crisfield M. A. Non-linear Finite Element Analysis of Solids and
Structures. V. 1: Essentials. Chichester: Wiley, 1991.
61. Cristoffersen J., Hutchinson J. W. A class of phenomenological
corner theories of plasticity // J. Mech. Phys. Solids. 1979. V. 27.
P. 465-487.
62. Curnier A. Computational Methods in Solid Mechanics. Dordrecht:
Kluwer Academic Publ., 1994.
63. Curnier A., Rakotomanana L. Generalized strain and stress mea-
measures: critical survey and new results // Eng. Trans. 1991. V. 39, N 3-4.
P. 461-538.
64. Desai C. S., Abel J. F. Introduction to the Finite Element Method.
New York: VNR, 1972.
65. Dym C. L. Stability Theory and Its Applications to Structural Me-
Mechanics. Leiden: Noordhoff Intern. Publ., 1974.
66. Flanagan D. P., Taylor L. M. An accurate numerical algorithm for
stress integration with finite rotations // Сотр. Meth. Appl. Mech.
Eng. 1987. V. 62. P. 305-320.
67. Fung Y. С Foundations of Solid Mechanics. Englewood Cliffs, New
York: Prentice-Hall, 1965.
68. Green A. E., Zerna W. Theoretical Elasticity. Oxford, 1968.
69. Guerra F. M., Browning R. V. Comparison of two slideline meth-
methods using ADINA // Computers & Structures. 1983. V. 17, N 5/6.
P. 819-834.
70. Hallquist J.O. A numerical treatment of sliding interfaces and
impact // Computational Techniques for Interface Problems /
К. С Park, D. K. Gartling (Eds). AMD, ASME, 1978. V. 30.
P. 117-133.
Литература 251
71. Hallquist J. О., Goudreau G. L., Benson D. J. Sliding interfaces
with contact-impact in large-scale Lagrangian computations // Сотр.
Meth. Appl. Mech. Eng. 1985. V. 51. P. 107-137.
72. Herrmann W. Inelastic constitutive relations // High-Pressure
Shock Compression of Solids / J. R. Asay, M. Shahinpoor (Eds).
Berlin: Springer-Verlag, 1992. P. 115-185.
73. Hill R. A general theory of uniqueness and stability in elastic-plastic
solids // J. Mech. Phys. Solids. 1958. V. 6, N 3. P. 236-249; Русский
перевод: Хилл Р. Общая теория единственности и устойчивости
для упруго-пластических тел // Механика: Сб. переводов. 1958.
№ 6E2). С. 81-95.
74. Hill R. Aspects of invariance in solid mechanics // Advances in Ap-
Applied Mechanics; V. 18 / C.-S. Yih (Ed.). New York: Academic Press,
1978. P: 1-75.
75. Hill R. Eigenmodal deformations in elastic/plastic continua //
J. Mech. Phys. Solids. 1967. V. 15. P. 371-386.
76. Hill R. On constitutive inequalities for simple materials — I //
J. Mech. Phys. Solids. 1968. V. 16, N 4. P. 229-242; Русский перевод:
Хилл Р. Об определяющих неравенствах для простых материа-
материалов. I // Механика: Сб. переводов. М., 1969. № 4A16). С. 947109.
77. Hill R. On the classical constitutive relations for elastic-plastic
solids // Recent Progress in Applied Mechanics (The Folk Odquist
Volume). Stockholm, 1967. P. 241-249.
78. Hill R. On uniqueness and stability in the theory of finite elastic
strain // J. Mech. Phys. Solids. 1957. V. 5, N 4. P. 229-241; Рус-
Русский перевод: Хилл Р. О единственности и устойчивости в теории
конечных упругих деформаций // Механика: Сб. переводов. 1958.
№ 3D9). С. 53-65.
79. Hill R. Some basic principles in the mechanics of solids without a
natural time // J. Mech. Phys. Solids. 1959. V. 7, N 3. P. 209-225;
Русский перевод: Хилл Р. Некоторые основные принципы механи-
механики твердых тел при отсутствии влияния естественного времени //
Механика: Сб. переводов. 1960. № 3F1). С. 75-93.
80. Hill R. The Mathematical Theory of Plasticity. Oxford: Clarendon
Press, 1950; Русский перевод: Хилл Р. Математическая теория пла-
пластичности. М.: Гостехтеоретиздат, 1956.
81. Hill R. Uniqueness criteria and extremum principles in self-adjoint
problems of continuum mechanics // J. Mech. Phys. Solids. 1962.
V. 10, N 3. P. 185-194.
252 Литература
82. Hughes Т. J. R. et al. A finite element method for a class of contact-
impact problems // Сотр. Meth. Appl. Mech. Eng. 1976. V. 26.
P. 1631-1643.
83. Hutchinson J. W. Finite strain analysis of elastic-plastic solids and
structures // Numerical Solution of Nonlinear Structural Problems.
AMD, ASME, 1973. V. 6.
84. Hutchinson J. W. Plastic buckling // Advances in Applied Me-
Mechanics; V. 14 / C.-S. Yih (Ed.). New York: Academic Press, 1974.
P. 67-144.
85. Ju J.-W., Taylor R. L. A perturbed Lagrangian formulation for the
finite element solution of nonlinear frictional contact problems // J. de
Mecanique Theorique et Appliquee. 1988. V. 7, special issue (suppl.
N 1 to v. 7). P. 1-14.
86. Ju J.-W., Taylor R. L., Cheng L. Y. A consistent finite el-
element formulation of nonlinear frictional contact problems // Nu-
Numerical Techniques for Engineering Analysis and Design: Proc. of
the NUMETA'87 conf. / G. N. Pande, J. Middleton (Eds). Martinus
Nijhoff Publ., 1987. P. D5/1-D5/13.
87. Kikuchi N., Oden J. T. Contact problems in elastostatics // Finite
Elements: Special Problems in Solid Mechanics; V. 5 / J. T. Oden,
G. F. Carey (Eds). Englewood Cliffs, New York: Prentice-Hall, 1984.
P. 158-212.
88. Kleiber M. Incremental Finite Element Modelling in Non-linear Solid
Mechanics. Chichester: Ellis Horwood, 1989.
89. Kojic M., Bathe K.-J. The 'effective-stress-function' algorithm for
thermo-elasto-plasticity and creep // Intern. J. Numer. Meth. Eng.
1987. V. 24. P. 1509-1532.
90. Korobeinikov S. N., Agapov V. P., Bondarenko M. I., Sol-
datkin A. N. The general purpose nonlinear finite element structural
analysis program PIONER // Proc. of the Intern. Conf. on Numerical
Methods and Applications / B. Sendov et al. (Eds). Sofia: Publ. House
of the Bulgarian Acad. of Sci., 1989. P. 228-233.
91. Korobeinikov S. N., Alyokhin V. V. Application of a finite el-
element method to two-dimensional contact problems // Intern. Ser.
in Numer. Math.: Proc. of the Intern. Conf. on Free Boundary Prob-
Problems in Continuum Mechanics / S. N. Antontsev et al. (Eds). Basel:
Birkhauser Verlag, 1992. V. 106. P. 167-177.
92. Korobeinikov S. N., Alyokhin V. V., Bondarenko M. I. Appli-
Application of a finite element method for the solution of three dimensional
Литература 253
contact problems // Advances in Simulation and Interaction Tech-
Techniques: Proc. of the 2nd Intern. Conf. on Computational Structures
Technology / M. Papadrakakis, В. Н. V. Topping (Eds). Edinburgh:
Civil-Comp Press, 1994. P. 165-175.
93. Korobeinikov S. N., Bondarenko M. I. A material and geomet-
geometric nonlinear analysis of shells including large rotation increments //
Numerical Methods in Engineering'96: Proc. of the 2nd ECCOMAS
Conf. / J.-A. Desideri et al. (Eds). Chichester: Wiley, 1996. P. 754-762.
94. Lee L. H. N., Ades C. S. Plastic torsional buckling strength of
cylinders including the effects of imperfections // J. Aeronaut. Sci.
1957. V. 24, N 4. P. 241-248.
95. Matthies H., Strang G. The solution of nonlinear finite element
equations // Intern. J. Numer. Meth. Eng. 1979. V- 14. P. 1613-1626.
96. Mattiasson K. On the co-rotational finite element formulation for
large deformation problems. Goteborg, 1983. Publication of Chalmers
University of Technology. Department of Structural Mechanics; N 1.
97. McMeeking R. M., Rice J. R. Finite element formulations for
problems of large elastic-plastic deformation // Intern. J. Solids Struc-
Structures. 1977. V. 11. P. 601-616.
98. Neal K. W. A general variational theorem for the rate problem
in elasto-plasticity // Intern. J. Solids Structures. 1972. V. 8, N 7.
P. 865-876.
99. Neal K. W. A method for the estimation of plastic buckling loads //
Intern. J. Solids Structures. 1974. V. 10, N 2. P. 217-230.
100. Neal K. W. Phenomenological constitutive laws in finite plasticity //
Solid Mech. Arch. 1981. V. 6, N 1. P. 79-128.
101. Nemat-Nasser S. On finite deformation elasto-plasticity // Intern.
J. Solids Structures. 1982. V. 18, N 10. P. 857-872.
102. Nour-Omid В., Wriggers P. A two-level iteration method for so-
solution of contact problems // Сотр. Meth. Appl. Mech. Eng. 1986.
V. 54. P. 131-144.
103. Obrecht H. Creep buckling and postbuckling of circular cylindrical
shells under axial compression // Intern. J. Solids Structures. 1977.
V. 13. P. 337-355.
104. Oden J. T. Finite Elements in Nonlinear Continua. New York:
McGraw-Hill, 1972; Русский перевод: Оден Дж. Конечные элементы
в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976.
105. Onat E. Т., Drucker D. С. Inelastic instability and incremental
theories of plasticity // J. Aeronaut. Sci. 1953. V. 20, N 3. P. 181-186;
254 Литература
Русский перевод: Онат Е., Друккер Д. Неупругая потеря устойчи-
устойчивости и теории течения // Механика: Сб. переводов. 1955. № 3C1).
С. 81-89.
106. Osias J. R., Swedlow J. L. Finite elastic-plastic deformation —
1. Theory and numerical examples // Intern. J. Solids Structures. 1974.
V. 10, N 3. P. 321-339.
107. Owen D. R. J., Hinton E. Finite Elements in Plasticity. Swansea:
Pineridge Press, 1980.
108. Peeken H., Dopper R., Orschall В. А 3-D rubber material mod-
model verified in a user-supplied subroutine // Computers & Structures.
1987. V. 26. P. 181-189.
109. Phillips A. Solution of a plastic buckling paradox // AIAA Journal.
1972. V. 10, N 7. P. 951-953; Русский перевод: Филлипс А. Объяс-
Объяснение парадокса пластического выпучивания // Ракетная техника
и космонавтика. 1972. Т. 10, № 7. С. 119-121.
НО. Prager W. Einfuhrung in die Kontinuumsmechanik. Basel:
Birkhauser Verlag, 1961; Русский перевод: Прагер В. Введение в
механику сплошных сред. М.: Изд-во иностр. лит., 1963.
111. Riks E. The application of Newton's method to the problem of elastic
stability // Trans. ASME. Ser. E: J. Appl. Mech. 1972. V. 39, N 4.
P. 1060-1065; Русский перевод: Рикс Е. Применение метода Нью-
Ньютона к задаче упругой устойчивости // Тр. Амер. о-ва инж.-мех.
Сер. Е: Прикл. механика. 1972. № 4. С 204-210.
112. Sewell M. J. The static perturbation technique in buckling prob-
problems // J. Mech. Phys. Solids. 1965. V. 13, N 4. P. 247-265.
113. SidoroffF. Incremental constitutive equation for large strain elasto-
plasticity // Intern. J. Engng. Sci. 1982. V. 20, N 1. P. 19-26.
114. Simo J. C. et al. Finite deformation postbuckling analysis involving
inelasticity and contact constraints // Intern. J. Numer. Meth. Eng.
1986. V. 23. P. 779-800.
115. Snyder M. D., Bathe ,K.-J. A solution procedure for thermo-elastic-
plastic and creep problems // J. Nuclear Eng. Design. 1981. V. 64.
P. 49-80.
116. Sokol Т., Witkowski M. The equilibrium path determination in
nonlinear analysis of structures // Advances in Non-Linear Finite El-
Element Methods: Proc. of the 2nd Intern. Conf. on Computational
Structures Technology / M. Papadrakakis, В. Н. V. Topping (Eds).
Edinburgh: Civil-Comp Press, 1994. P. 35-45.
117. Storakers B. On uniqueness and stability under configuration-
dependent loading of solids with or without a natural time // J. Mech.
Phys. Solids. 1977. V. 25, N 4. P. 269-287.
Литература 255
118. Szabo L., Balla M. Comparison of some stress rates // Intern. J.
Solids Structures. 1989. V. 25, N 3. P. 279-297.
119. Washizu K. Variational Methods in Elasticity and Plasticity. Oxford:
Pergamon Press, 1982; Русский перевод: Васидзу К. Вариационные
методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987.
120. Wempner G. A. Discrete approximations related, to nonlinear the-
theories of solids // Intern. J. Solids Structures. 1971. V. 7, N 11.
P. 1581-1599.
121. Xiao H., Bruhns О. Т., Meyers A. Objective corotational
rates and unified work-conjugacy relation between Eulerian and La-
grangean strain and stress measures // Arch. Mech. 1998. V. 50, N 6.
P. 1015-1045.
122. Zienkiewicz O. C, Taylor R. L. The Finite Element Method. 4th
Ed. London: McGraw-Hill, 1991.
Предметный указатель
МДТТ, 5
МКЭ, 11
алгоритм вычисления функции
эффективного напря-
напряжения (ESF алгоритм),
207
базовые изомеры изотропного
тензора четвертого
ранга, 70
бифуркация решений, 125
несимметричная, 137
симметричная, 135
вектор,14
внешних сил
ансамбля, 177
эффективный, 185
элемента, 175
внутренних сил
ансамбля, 177
элемента, 175
напряжений Коши, 44
нормали к поверхности кон-
контактного сегмента, 230
объемных сил элемента,
174
определенный в перемен-
переменных
Лагранжа, 23
Эйлера, 23
перехлеста, 231
перемещения, 23
поверхностных сил элемен-
элемента, 174
символический набла, 18
скорости, 27
ускорения, 27
ветвление решений, 125
внешние силы
заданные, 121
консервативные, 121
следящие, 121
главная симметрия тензора чет-
четвертого ранга, 69
главные инварианты тензора,
17
градиент
вектора, 18
скаляра, 18
тензора, 18
граничные условия
естественные, 110
жесткие, 110
деформация
материальной частицы
бесконечно малая, 39
малая, 38
тела
бесконечно малая, 65
геометрически линейная,
65
малая, 77
деформирование
пластическое, 90, 91
упругое, 90, 91
девиатор
тензора, 17
тензора напряжений, 87
дивергенция
вектора, 19
тензора, 19
достаточное условие
единственности реше-
Предметный указатель
257
ний относительно
скоростей, 131
отсутствия
бифуркации, 131
собственных полей, 132
потери устойчивости ква-
квазистатического движе-
движения тела, 133
устойчивости равновесной
конфигурации, 132
движение тела
абсолютно жесткое, 34
жесткое, 26
единственность
в большом, 131
в малом,131
задача
о потере устойчивости
линеаризованная, 224
линейная, 223
нелинейная, 212
по определению
бифуркации, 126
собственного состояния,
126
закон
Гука, 69
Дюгамеля — Неймана, 105
движения, 23
степенной ползучести, 106
трения Кулона, 152
установившейся ползуче-
ползучести, 106
интенсивность напряжений, 104
исчерпание несущей способно-
способности, 150
итерационная процедура реше-
решения контактных задач
двухуровневая, 239
одноуровневая, 239
коэффициент
Пуассона, 69
температурного расшире-
расширения, 105
трения
динамический, 152
статический, 152
конечный элемент, 175
изопараметрический, 171
константы
Ламэ, 69
Муни — Ривлина, 79
контактирующее тело
активное, 228
пассивное, 228
контактные задачи, 6
контрольное уравнение, 216
конфигурация
естественная, 68
начальная, 19
отсчетная, 19
текущая, 19
координаты
естественные (локальные),
171
лагранжевы, 21
эйлеровы, 21
координатный базис
материальный отсчетный,
22
повернутый, 50
материальный текущий, 22
с исключенным поворо-
поворотом, 50
пространственный, 22
ковариантное дифференцирова-
дифференцирование тензора, 17
критерий
равноактивной бифурка-
бифуркации, 145
258
Предметный указатель
сходимости
по перемещениям, 192
по силам, 192
по энергии, 192
статический устойчивости
равновесных конфигу-
конфигураций, 140
линейное тело сравнения, 144
материал
Муни — Ривлина, 79
Трелоара, 80
гиперупругий, 71
гипоупругий, 72
линейный упругий изо-
изотропный, 69
неогуков, 80
несжимаемый, 35
несжимаемый гиперупру-
гиперупругий, 79
неупругий, 67
упругий, 67, 72
упругопластический, 85
идеальный, 88, 90
с изотропным упрочнени-
упрочнением, 88 .
физически нелинейный
упругий, 71
материальная частица, 21
матрица
булева, 176
касательная жесткости
ансамбля, 177
эффективная, 185
элемента линейная, 175
элемента нелинейная, 175
масс
ансамбля, 177
элемента, 174
метод
Крисфилда, 217
Ньютона — Рафсона
модифицированный, 188
стандартный, 186
Рикса — Вемпнера, 216
квазиньютонов, 189
BFGS, 190
конечных элементов, 11
множителей Лагранжа, 153
штрафных функций, 153
модуль
Юнга, 69
касательный, 93
секущий, 92
мощность внутренних сил, 55
нагрузка
касательно-модульная (на-
(нагрузка
Шенли), 145
приведенно-модульная (на-
(нагрузка
Энгессера — Кармана),
145
нелинейность
геометрическая, 5
физическая, 6
нормальный зазор, 151
оператор Гамильтона, 18
определяющие соотношения, 67
гиперупругого материала,
72
гипоупругого материала,
72
деформационной теории
пластичности, 85, 92
теории пластического тече-
течения, 86, 95, 96
упругого материала, 68, 72
упругопластического мате-
материала, 85, 86
парадокс пластического выпу-
Предметный указатель
259
чивания, 9, 98
параметр
деформирования, 19
упрочнения, 88
штрафа, 200
касательный, 154
нормальный, 154
параметры Ламэ, 69
перехлест
касательный, 154
нормальный, 153
поверхность текучести Мизеса,
89
подход
геометрически линейный
(MNO), 65
лагранжев, 21
общий (TL), 21
текущий (UL), 21
эйлеров, 21
ползучесть материала, 104
полярное разложение тензора
градиента деформа-
деформации, 30
потенциальная энергия дефор-
деформаций, 71
удельная, 68, 71
потеря устойчивости тела, 7
предел текучести материа-
материала при одноосном
растяжении, 88
принцип
возможных перемещений,
109
макродетерминизма, 87
процедура решения контактной
задачи
несимметричная, 229
симметричная, 229
произведение тензоров
внешнее, 16
внутреннее, 15
двойное скалярное, 15
скалярное, 15
тензорное^16
производная
Грина — Макинесса (Гри-
(Грина — Нахди), 31
Коттера — Ривлина, 29
Олдройда, 29
Трусделла, 54
Хилла, 54
Яуманна (Яуманна — За-
рёмбы — Нолла), 31
индифферентная
индифферентного тензо-
тензора, 33
конвективная, 29
коротационная, 31
локальная, 27
материальная, 27
инвариантного тензора,
32
объективная, 32
распределенные контактные си-
силы
касательные, 152
нормальные, 152
разгрузка по упругому закону,
90, 91
свертка тензоров, 15
двойная, 15
сегмент
активный, 230
пассивный, 230
система
координат
лагранжева (сопутствую-
(сопутствующая), 21
подвижная, 21
260
Предметный указатель
эйлерова, 21
отсчета, 19
собственное состояние (поле),
126
собственный вектор, 212
сопряженные тензоры напряже-
напряжений и деформаций
индифферентные, 57
инвариантные,55
тело
линейное, 125
нелинейное, 125
тензор
антисимметричный, 17
в двойном представлении,
23
вихря, 29
второго ранга, 14
высшего ранга, 15
градиента
деформации, 24
места, 24
перемещения, 24
скорости, 29
деформаций
Альманси, 36
Грина — Лагранжа, 36
Карни, 36
Коши, 39
Коши — Грина, 34
Лагранжа, 40
Пиола, 35
Фингера, 36
Эйлера, 40
лагранжев, 35
линейный, 39
материальный, 35
пластических, 89, 92, 95,
104
ползучести, 104
пространственный, 35
температурных, 105
упругих, 92, 95, 104
эйлеров, 35
инвариантный, 26
индифферентный, 26
кратностеи удлинений, 30
малых деформаций
инвариантный, 38
индифферентный, 38
метрический (единичный),
16
напряжений
Грина — Ривлина, 46
Кирхгофа, 46
Кирхгофа с исключен-
исключенным поворотом, 46
Коши, 45
Коши при бесконечно ма-
малой деформации, 49
Коши с исключенным по-
поворотом, 46
Лагранжа, 45
Нолла, 46
Эйлера, 45
второй Пиола — Кирхго-
Кирхгофа, 46
истинных, 45
номинальный, 45
первый Пиола — Кирхго-
Кирхгофа, 45
повернутый Грина —
Ривлина, 47
повернутый второй Пио-
Пиола — Кирхгофа, 47
условных, 45
объективный, 26, 27
определенный в перемен-
переменных
Лагранжа, 23
Предметный указатель
261
Эйлера, 23
относительного спина, 31
первого ранга, 14
ротации, 30
линейный, 39
симметричный, 17
скорости деформаций, 29
с исключенным поворо-
поворотом, 31
шаровой, 17
теорема
Нолла, 73
сравнения Хилла, 144
точка
возврата, 141
изолированная равновесия,
141
перегиба, 141
поворота, 126
транспонирование тензора, 16
узел
активный, 230
пассивный, 230
упругий потенциал, 68, 71
уравнения движения
в отсчетной конфигурации,
60
в текущей конфигурации,
59
линеаризованные дискрет-
дискретные, 177
при геометрически линей-
линейном деформировании,
66
условие несжимаемости матери-
материала, 35
установившаяся ползучесть те-
тела, 150
устойчивость
квазистатического движе-
движения, 9, 128
равновесной конфигурации,
9, 127
решений дифференциаль-
. ных уравнений
на конечном интервале
времени, 129
по Ляпунову, 128
формула
Коши, 45
Нансона, 25
формулировка
геометрически линейная
(MNO), 170
общая лагранжева (TL-
формулировка), 158
текущая лагранжева
(UL-формулировка), 158
функция
текучести Мизеса, 88
эффективного напряжения,
209
эффективная
пластическая деформация,
89
скорость деформаций пол-
ползучести, 105
эффективное напряжение, 104
Тематический план
выпуска изданий СО РАН
на 2000 г., № 9
Научное издание
щнмг, ннлги, эстампы фотиграфш и т д.
1) Никак^яъ подрисовать, раскраши-
раскрашивали и от^-ЬтСкъ не д*гать;
2) при перелистывали страница пайь
ц,ы отнюдь не мочить;
55 перелистывать медленно и аккуратно,
б
угл
ицъ ц пак
енныхъ рисунковь не Загнуть и не t
а тйкже прсжлавку и?"ь нагсирошоН fcyj-ta-
ги метну рисункапи не испортить,
4) при рассматривали эстгглпОБЪ-j фо
Torpaipifi и рисунчоиьвъннигах-ьненури^к
h табачнымъ дымоитъ цхъ- пе оСдавать,-
5) лерели начипомъ pasCMarpwEanin и
чтеннг руин Тщательно мьлъ: ротными
рунами такие огчюдь не ерать;
б] къ СймОму рисунку на эстэ^ла*^ фо
гаграф^я^ъ и т. Л- Пйлъцали не прикекзться; ;
7J ОСпожку иги переглгтг книги пе- !
ред-ь 4Tehien-b обертызать въ Сулагу: ;
В) листы ННКГИ Ллй лалнтм незагибвть,
Э) въ кармапахъ книгЪ не носигь или
же употребляв при атомъ осовею гредосто-
ршнисть, чтобы пннги не испаччалиль и ¦
Сергей Николаевич Коробейников
НЕЛИНЕЙНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ
ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Монография
Редактор Н. А. Кубанова
Технический редактор Д. В. Нечаев
Компьютерная подготовка рисунков В. В. Зыков
Изд. лиц. ЛР № 020909 от 01.09.99. Сдано в набор 15.11.00. Подписано в
печать 20.12.00. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная № 1. Печать офсетная.
Уч.-изд. л. 16,1. Усл. печ. л. 15,3. Тираж 495 экз. Заказ № 1118.
Издательство Сибирского отделения РАН
630090, Новосибирск, Морской просп., 2
Оригинал-макет подготовлен
в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН.
630090, Новосибирск, просп. Лаврентьева, 15.
Отпечатано РПО СО РАСХН. г. Краснообск Новосибирской обл.