Научно-методический журнал Государственного комитета СССР по народному образованию
Москва «Педагогика» Издается с мая 1934 года Выходит один раз в два месяца
МАТЕМАТИКА в школе
НОЯБРЬ — ДЕКАБРЬ
Математика в современной школе: проблемы, суждения, поиск
2 Дорофеев Г. В. О принципах отбора содержания школьного математического образо¬
вания
5 Столяр А. А. Роль математики в гуманизации образования
7 Мышкис А. Д. О прикладной направленности школьного курса элементов математи¬
ческого анализа
12 Дорофеева А. В. Гуманитарные аспекты преподавания математики
13 Лавринович К. В. Богатство интересов — залог обучаемости
14 Келбакиани В. Н. Контуры дифференциации в преподавании математики
15 Эрдниев Б. П. О технологии творческого обучения математике
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
Проблемы преподавания геометрии в школе
19 Долбилин Н. П., Шарыгин И. Ф. О курсе наглядной геометрии в младших классах
21 Левитас Г. Г. «Введение в геометрию»
22 Гладкий А. В. О некоторых определениях в учебном пособии А. В. Погорелова
26 Дуничев К. И. Теорема о сумме углов треугольника
27 Смирнов В. А. О доказательствах признаков подобия треугольников
29 Орлова Л. Э. Маленькие исследования на геометрическом материале
31 Абремский Б. А. Учим решать геометрические задачи на вычисление
Из опыта работы
33 Груденов Я. И., Середа А. М., Середа В. И. Психология подсказывает методике
34 Ворошилова Л. Я. Оригинальная форма устного зачета
37 Иванова Т. А. Как подготовить уроки-практикумы
Консультация
41 Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Материалы для работы в IX классе с
углубленным изучением математики
Внеклассная работа
49 Кузнецова Г. М., Сергеев И. Н. XXIV Всесоюзная математическая олимпиада школь¬
ников
55 Чванов В. Г. Выигрышные стратегии
60 Тахонг Куанг. Простое доказательство одного утверждения Эйлера
Занимательная страница 60 Соломин А. В., Соломин В. М. О представлении треугольных чисел квадратами
62 Задачи
Математический календарь на 1990/91 учебный год
67 Бородин А. И., Лавренко Н. И. Январь — февраль
68 Баигмакова И. Г. и др. Призванная богиней Клио
69 Коваленко В. Г., Черкасов Р. С. А. Ф. Семеновичу — 70 лет
70 Кузичева 3. А. Иван Иванович Жегалкин
ЗА РУБЕЖОМ
71 Тоцкий Ежи. Некоторые проблемы модернизации образования учителей математики в Польше
72 Халамайзер А. #. Конференция методистов Европы КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
72 Рыжков В. В. Кйига добротная. Но верен ли ее главный замысел?
74 Кузнецова В. А., Медведева Л. Б. Три задачника двух авторов
75 Балк М. БКристалинский P. X. Школьникам о приложениях непрерывности
76 Шустеф Ф. М. Новые книги
Редакционная коллегия
Главный редактор Р. С. Черкасов Зам. главного редактора
А. 	И. Верченко
Члены редакционной коллегии
Н. М.
Г. Д.
Г. В.
К. И.
Л. И.
Э. И.
Г. л.
3. И.
Б. Л.
B. А.
C. Б.
С. А.
Г. А.
Бескин, В. Г. Болтянский,
Глейзер, Б. В. Гнеденко, Дорофеев, Ю. П. Дудницын, Дуничев, И. А. Ермолаева, Звавич, Ю. М. Колягин, Кузнецов, М. Р. Леонтьева, Луканкин, О. В. Манту ров, Моисеева, А. Г. Мордкович, Пигарев, Н. X. Розов, Скворцов, Е. С. Смирнова, Суворова, 3. С. Сухотина, Теляковский, И. Ф. Шарыгин, Ястребинецкий
Зав. редакцией 3. В. Шепелева
Редактор отдела
Н. А. Курдюмова
Научный редактор
Э. А. Кремень
Художественный редактор
Б. Ф. Рябов
Технический редактор
Г. Б. Андреева
Корректор О. И. Пурлова
Сдано в набор 08.10.90.
Подписано в печать 12.11.90.
Формат 84Xl08'/i6- Печать высокая. Бумага тип. № 2. Уел. печ. л. 8,4. Уел. кр.-отт. 9,24. Уч.-изд. 11,92. Тираж 426 745 экз. Заказ 6748 Цена 45 коп
Издательство «Педагогика»
Академии педагогических наук СССР и Государственного комитета СССР по печати.
Адрес издательства:
119034, Москва,
Смоленский б-р, д. 4.
Адрес редакции: 129278,
Москва, ул. Павла Корчагина, д. 7. Телефон 283-85-83.
Набрано в ордена Трудового Красного Знамени Чеховском полиграфическом комбинате Государственного комитета СССР по печати. 142300, г. Чехов Московской обл.
Отпечатано в Московской типографии № 13 ПО «Периодика» Государственного комитета СССР по печати.
107056, Москва, *
Денисовский пер., д. 30.
© «Педагогика», Математика в школе № 6, 1990


МАТЕМАТИКА В СОВРЕМЕННОЙ ШКОЛЕ: ПРОБЛЕМЫ, СУЖДЕНИЯ, ПОИСК
О принципах отбора содержания школьного математического образования
Г. В. Дорофеев
(Москва)
1. 	Выбор приоритета. Интеллектуальный уровень личности характеризуется в целом, хотя и грубо, двумя основными параметрами: объемом приобретенной информации и способностью использовать эту информацию для достижения определенных целей — для решения возникающих в процессе деятельности задач, разрешения различного рода проблемных ситуаций.
Первый из этих параметров характеризует эрудицию человека, второй — его интеллектуальное развитие. Эрудиция как совокупность конкретных знаний, приобретаемых человеком в процессе обучения, представляет собой в определенном смысле его интеллектуальную «потенциальную энергию», тогда как развитие мышления создает возможность ее трансформации в необходимую для непосредственной умственной деятельности «кинетическую энергию».
Объем знаний, которые человек может усвоить в период школьного обучения, естественно, ограничен как абсолютно, так и в еще большей степени относительно: современное состояние науки и общества, динамичный научно- технический и социальный прогресс, увеличение объема новой информации по экспоненциальному закону резко сокращают долю знаний, получаемых человеком в период школьного образования по отношению к информации, необходимой ему для полноценной деятельности в изменяющемся обществе.
В этих условиях задача сообщения человеку на уровне среднего и даже высшего образования объема информации, достаточного для его будущей деятельности, оказывается нереальной. На первый план выходит задача интеллектуального развития, включающего, в частности, способность человека к усвоению новых знаний, к самостоятельному поиску и усвоению новой информации.
Высокий уровень интеллектуального развития, и прежде всего таких его компонентов, как интеллектуальная восприимчивость, т. е. способность к усвоению новой информации и интеллектуальная подвижность, гибкость мышления, является в современном обществе существенным условием относительно безболезненной адаптации человека к изменяющимся жизненным обстоятельствам.
Это касается равным образом ученого, сталкивающегося с лавинообразным нарастанием объема научной информации; инженера, конструирующего новые приборы, создающего технологии, которые опираются на качественно новые знания фундаментального характера; рабочего, осваивающего принципиально новые средства производства или приобретающего новую профессию; крестьянина, эффективность труда которого зависит от экономической образованности, от умения использовать современные достижения сельскохозяйственной науки и техники.
Таким образом, основной задачей перестройки школьного образования на современном этапе развития общества представляется переориентация методической системы обучения на приоритет развивающей функции обучения по отношению к его образовательной, информационной функции, перенос акцентов с увеличения объема информации, предназначенной для усвоения учащимися, на формирование умений использовать информацию, т. е., в самых общих терминах, переход от экстенсивного школьного образования к интенсивному.
Традиционная ориентация школьного образования на изучение основ наук, неизбежно предопределяющая, в связи со стремительным развитием науки в современном обществе, экстенсивный характер школьного образования, в значительной степени перестала соответствовать потребностям общества в целом в условиях быстро развивающегося во всем мире движения за переход к обязательному среднему образованию.
С одной стороны, цель такой ориентации оказывается, по существу, нереальной вследствие невозможности сообщить слишком большой объем информации, а для математики, кроме того, из-за ее объективной сложности. С другой стороны, знание основ наук в настоящее время для значительного, если не подавляющего большинства выпускников школы стало бы мертвым грузом, лишь небольшая часть которого, в силу различных случайных обстоятельств, могла бы оказаться непосредственно полезной в жизни конкретного человека.
И хотя совершенно очевидно, что в современной развитой системе наук любые элементарные конкретные знания тем или иным образом систематизируются в соответствующих науках, т. е. представляют собой именно основы, на которых строятся эти науки, рассмотрение начальных знаний именно в этом качестве должно уступить место их трактовке как материала для интеллектуального развития учащихся.
В соответствии с данными психологической науки, интеллектуальное развитие учащихся происходит только в процессе активной целенаправленной деятельности, состоящей в приобретении информации и ее переработке для достижения определенных результатов (в частности, для получения новой информации). Конкретные знания, таким образом, представляют собой, с информационной точки зрения, определенную базу данных, максимизируемую потребностями общества в целом и минимизируемую возможностями учащихся, их интересами и склонностями, неадекватными предмету, и предназначенную прежде всего для переработки заложенной в ней информации.
Создание такой базы данных (содержания) вместе с методическим механизмом организации переработки этих данных в процессе учебной деятельности (методов обучения) и является центральной проблемой методической системы обучения в каждом учебном предмете, и прежде всего в математике.
2. 	Цели математического образования. Идея приоритета развивающей функции обучения математику является, по существу, формой гуманитаризации математического образования, его ориентации на формирование подрастающего человека как интеллектуальной личности. Гуманитарная направленность обучения математике, использование гуманитарного потенциала математической науки и соответствующих возможностей процесса обучения математике приводят к необходимости пересмотра целей и задач обучения математике в школе, и прежде всего их относительной ценности в математическом образовании каждого конкретного человека как в общеобразовательном звене, так и после выбора определенного профиля на старшей ступени обучения. Реализация гуманитарного потенциала, возможная, естественно, лишь на базе изучения определенного учебного материала, требует в настоящее время глубокой и научно обоснованной переоценки роли конкретных компонентов математической науки в современной системе школьного математического образования.
Вся система преподавания математики, как, впрочем, и других школьных предметов, должна строиться как система разрешения диалектического противоречия между конкретным человеком и обществом в целом. Отношения между этими двумя субъектами процесса развития цивилизации, в котором каждый преследует свои интересы, строятся на признании взаимности их обязательств друг перед другом — необходимого условия демократизации системы образования в современном и будущем обществе. Динамическое разрешение этого противоречия
2


требует установления гармоничного сочетания целей, которые преследуют конкретный человек и общество в целом.
С точки Зрения общества, система школьного математического образования должна обеспечить расширенное воспроизводство кадрового потенциала, способного осуществлять на современном и перспективном уровне науч- но-технический прогресс во всех областях принципиальной применимости всего спектра математических знаний. Тем самым задача полноценной математической подготовки ставится не по отношению к конкретному человеку, но лишь по отношению к каждому новому поколению в целом.
Цель конкретного человека состоит, по существу, в том, чтобы занять в обществе положение, дающее возможность максимально раскрыть свои созидательные возможности и обеспечивающее одновременно адекватную оценку его вклада в развитие общества, должное уважение со стороны общества к его личности как к самостоятельной ценности.
Используя весь представляемый ему системой образования комплекс возможностей, молодой человек с правильно сформированной иерархией ценностей автоматически принимает на себя обязательство о возвращении обществу «долга», накопленного за период обучения, когда человек заведомо больше берет от общества, чем отдает ему. Это обязательство состоит в том, чтобы стать в процессе обучения максимально полноценным членом общества как в профессиональной, трудовой, так и в социальной сфере деятельности.
Залогом успешности функционирования системы образования, основанной на принципе «взаимной эксплуатации», является фактическое совпадение, во всяком случае в идеале, целей конкретного человека и его обязанностей по отношению к обществу: максимальное раскрытие творческих способностей и их реализация являются благом одновременно и для общества, и для самого человека. Разумеется, это совпадение может иметь место лишь при обеспечении правильной социальной ориентации подрастающего человека в процессе его формирования как личности, что заставляет предъявлять весьма высокие требования к системе воспитания учащихся — и самостоятельной системе, и, что в нашем случае особенно важно, к подсистеме обучения математике в рамках общей системы образования.
Гуманитаризация школьного математического образования предполагает, что для достижения своих целей общество берет на себя обязательство предоставить каждому человеку все возможности для получения математической подготовки, максимально соответствующей его индивидуальным интересам и склонностям, способностям и возможностям.
Реализация этих целей делает неизбежным отказ от единообразного, уравнительного преподавания математики, унифицирующего как содержание обучения, так и уровень требований к математической подготовке учащихся. В то же время именно гуманитарная ориентация обучения математике в условиях развитой уровневой и профильной дифференциации, при создании эффективно действующих систем углубленного изучения математики, внеклассной работы и внешкольного образования позволит решать в динамике и глобальную задачу общества — воспроизводство необходимого кадрового потенциала.
Гуманитарная направленность обучения математике, приоритет развивающей функции обучения требуют некоторой детализации в этом аспекте целей обучения математике, выдвинутых в статье «К концепции математического образования» (Математика в школе. 1989. № 2). С учетом естественной необходимости приобретения учащимися определенного объема конкретных математических знаний мы можем сформулировать цели школьного математического образования следующим образом:
— овладение комплексом математических знаний, умений и навыков, необходимых: а) для повседневной жизни и профессиональной деятельности, содержание которой
не требует использования математических знаний, выходящих за пределы потребностей повседневной жизни;
б) 	для изучения на современном уровне предметов естественнонаучного и гуманитарного циклов; в) для продолжения изучения математики в любой из форм системы непрерывного образования (в том числе при переходе к обучению по любому профилю на старшей ступени обучения);
— формирование и развитие качеств мышления, необходимых образованному человеку для полноценного функционирования в современном обществе, в частности формирование эвристического и алгоритмического мышления;
— формирование и развитие абстрактного мышления, и прежде всего его дедуктивной составляющей как специфической для математики;
— реализация возможностей математики в формировании научного мировоззрения учащихся, в освоении ими научной картины мира;
— формирование и развитие у учащихся потребности и способности непрерывно и целенаправленно расширять и углублять свои знания;
— формирование математического языка и математического аппарата как средства описания и исследования окружающего мира и его закономерностей, в частности как базы компьютерной грамотности;
— ознакомление с ролью математики в развитии человеческой цивилизации, в научно-техническом прогрессе, в современной науке и производстве;
— ознакомление с природой научного знания, с принципами построения научных теорий в единстве и противоположности математики и естественных наук;
— формирование и развитие морально-этических качеств личности, адекватных процессу полноценной математической деятельности.
Диалектическое сочетание потребностей конкретного человека и общества в целом, обеспечиваемое системой математического образования в условиях гуманитарной ориентации обучения, приводит к необходимости разделения целей обучения, ставящихся перед школой в целом, перед каждой ступенью образования в отдельности и перед каждым конкретным учащимся. Прежде всего необходимо сформулировать цели общего математического образования, понимаемого как образование «для всех».
Общим математическим образованием ограничиваются учащиеся, избирающие после единой, непрофилированной ступени обучения либо профессиональную школу, либо профиль обучения, не связанный с использованием математики вообще или требующий минимального расширения или углубления отдельных компонентов математического знания, уже заложенных в непрофилированной ступени, но не реализованных в ней по тем или иным причинам.
Возникающая при этом возможность существенного ослабления роли математики в образовании значительного числа учащихся приводит к необходимости поставить перед обучением математике уже в непрофилированной школе достаточно серьезные цели: учащиеся должны не только овладеть базисными компонентами математического знания, но и сформировать в себе ряд личностных качеств, адекватных гуманитарному потенциалу обучения математике.
Поэтому сформулированные выше цели школьного математического образования фактически относятся именно к общему математическому образованию, однако мера их достижения на непрофилированной ступени обучения, естественно, должна быть согласована с возрастными возможностями учащихся. Разумеется, кроме того, что цели обучения математике в различных конкретных профилях нуждаются в модификации и дополнительной детализации, однако эта проблема требует специального исследования, и здесь мы ее не касаемся.
3. 	Принципы отбора содержания обучения математике. Содержание школьного математического образования представляет собой систему знаний — социально необхо¬
Г
3


димое и дидактически обоснованное отражение определенной совокупности компонентов математической науки в учебном предмете «Математика». Правильное определение содержания обучения математике, обеспечивающее оптимальные возможности для достижения целей математического образования, является, безусловно, одной из главных проблем перестройки методической системы обучения математике на современном этапе развития советской школы.
Решение этой проблемы требует научно обоснованного вычленения из всего комплекса математических знаний — понятий, утверждений, приемов и методов рассуждений — своего рода квинтэссенции, достаточно представительной совокупности элементов, систематизация которых на основе психолого-педагогических, дидактических и логических требований позволила бы реализовать современные цели школьного математического образования, значительная часть которых имеет четко выраженный гуманитарный характер, направлена на интеллектуальное развитие личности.
Важнейшей особенностью современного этапа развития советской школы, оказывающей решающее влияние на сами принципы отбора содержания обучения математике, является развитие и широкое внедрение уровневой и профильной дифференциации, предполагающей максимальную гибкость как в определении самого объема информации, так и в требованиях к уровню овладения этой информацией различными учащимися.
Отсюда вытекают два ведущих социально обусловленных принципа отбора содержания — информационная емкость и социальная эффективность: обучение математике должно обеспечивать приобретение всеми учащимися объема знаний, достаточного для реализации целей математического образования, и формирование кадрового потенциала общества во всех сферах деятельности, требующих математических знаний и интеллектуальной культуры.
Если принять за точку отсчета действующие программы школьных математических курсов, то реализация принципа информационной емкости представляется возможной при существенном сокращении объема изучаемого материала, так что этот принцип отбора содержания, в особенности с учетом всеобщности поставленной в нем задачи, имеет в значительной степени минимизирующий характер — реализация гуманитарного потенциала обучения математике вполне возможна на достаточно ограниченном материале, не выходящем далеко за пределы потребностей повседневной жизни.
Что же касается принципа социальной эффективности, то при нынешнем унифицированном содержании математического образования его можно считать в достаточной степени реализованным: объем математических знаний, усвоение которых предусмотрено школьной программой, вполне достаточен для продолжения обучения в высшей школе, в том числе и по физико-математическим специальностям, а следовательно, и для воспроизводства кадрового потенциала общества (во всяком случае, при существующих взаимосвязях в системе «школа — вуз»). В то же время совершенствование системы высшего образования неизбежно повлечет за собой повышение требований к знаниям выпускников школы, и поэтому принцип социальной эффективности в динамике развития системы «школа — вуз» всегда будет иметь максимизирующий характер.
Таким образом, сочетание принципов информационной емкости и социальной эффективности в методической системе обучения математике имеет четко выраженный оптимизационный характер.
Наряду с этими двумя социально обусловленными принципами отбора содержания, отражающими взаимосвязи «школа — общество» и имеющими в силу этого внешний по отношению к системе обучения характер, следует сформулировать принципы внутренние, касаю- ющиеся самой системы школьного обучения и обусловленные психолого-педагогическими, дидактическими и мето¬
дическими требованиями.
Содержание обучения математике должно обеспечивать:
— максимальные возможности для организации полноценной математической деятельности учащихся (интеллектуальная емкость);
~ реализуемость усвоения программных знаний всеми учащимися в условиях развитой уровневой и профильной дифференциации и ограниченности объема учебного времени совокупностью внешних факторов (дифференцированная реализуемость);
— максимальные возможности для формирования, поддержания и развития интереса к изучению математики на каждом этапе обучения (познавательная емкость);
— выявление математических и общеинтеллектуальных способностей учащихся с целью их обоснованной ориентации на профиль обучения и выбор специальности (диагностико-прогностическая емкость);
— возможность изучения других школьных предметов на современном уровне развития соответствующих наук и методик обучения.
Наконец, наряду со сформулированными внешними и внутренними принципами отбора содержания представляется совершенно необходимым руководствоваться принципом преемственности, т. е. традиционности и разумного консерватизма. Этот принцип обусловлен в первую очередь тем объективным фактом, что традиционное содержание обучения математике, сложившееся в течение многих десятилетий и даже столетий, отражает тот объем математических знаний, который, с одной стороны, является фундаментом математической науки, а с другой — в принципе доступен большинству учащихся. В то же время изменение содержания математического образования не может не учитывать естественную инерционность громадного механизма системы математического образования — прежде всего системы обучения математике в школе и системы подготовки и повышения квалификации учителей.
Из принципа преемственности следует, в частности, что отбору содержания, «идеально» соответствующего современным целям математического образования, необходимо должен предшествовать достаточно длительный переходный период, учитывающий социальные реалии.
4. 	Механизм отбора содержания. Как уже говорилось, содержание обучения математике в школе является отражением определенных компонентов математической науки в соответствующем учебном предмете, точнее — в совокупности конкретных математических курсов. Для их реализации необходимо иметь своего рода механизм, совокупность критериев, более конструктивных по сравнению с общими соображениями о соответствии содержания сформулированным целям школьного математического образования.
Предлагаемый механизм основан на разделении заданной совокупности математических знаний — понятий, теорем, методов рассуждений — в соответствии с их ролью в математической подготовке учащихся. Исходная совокупность знаний определяется на основе принципа преемственности с учетом современных тёнденций развития советского и зарубежного математического образования. Из этой совокупности, естественно, несколько огрубленно вычленяются несколько групп основных знаний, освоение которых на определенном уровне — общепрагматическом (прикладном в «повседневной жизни»), дидактико-прагматическом (операционном в процессе обучения) или общекультурном (фактологическом) — соответствует реализации целей математического образования.
Из всего многообразия конкретных знаний прежде всего выделяются знания целевые, т. е. непосредственно отражающие цели обучения математике на современном этапе развития школы и общества в целом. В то же время вследствие специфики математической науки и вытекающих из нее особенностей соответствующего учебного предмета, выражающихся прежде всего в достаточно
4


жесткой взаимозависимости и иерархии многообразных конкретных знаний, целевые знания не могут быть освоены учащимися без предварительного изучения существенно большего объема вспомогательных знаний, которые сами по себе не представляются необходимыми в плане достижения, целей математического .образования.
В качестве наиболее яркого примера здесь можно привести курс начал математического анализа, при полноценном изучении которого вспомогательные знания — теория действительных чисел, теория пределов, теория определенного интеграла — потребовали бы значительно большего времени по сравнению со знаниями целевыми: исследование функций с помощью производной, решение соответствующих оптимизационных задач, нахождение площадей и объемов геометрических фигур и тел. В достаточной степени велик относительный объем вспомогательных знаний по отношению к целевым и в традиционных курсах алгебры и геометрии.
В то же время разделение знаний на целевые и вспомогательные самым существенным образом зависит от конкретных форм профильной дифференциации, и поэтому вполне естественно, что определенные знания, безусловно вспомогательные на уровне общего математического образования, следует рассматривать как столь же безусловно целевые в математическом и естествен- но-научных профилях на старшей ступени или в системе углубленного изучения математики на средней ступени обучения.
Представление номенклатуры целевых знаний как основная задача отбора содержания тесно связана с их структурированием, однако проблема структурирования представляется весьма сложной и заслуживающей специального обсуждения. Поэтому мы ограничиваемся здесь лишь их перечислением с очевидной группировкой элементов знаний в содержательном плане.
На уровне общего математического образования целевыми представляются следующие группы знаний.
1. Арифметика: натуральные числа, округление натуральных чисел, обыкновенные и десятичные дроби, округление десятичных дробей, проценты и пропорции, целые числа, положительные и отрицательные рациональные числа.
2. Геометрия: плоские и пространственные фигуры и конфигурации, изображения на плоскости (на рисунках и чертежах), измерение длин, площадей и объемов, измерение углов.
3. Стохастика: вероятность и частота, вероятностно-статистическое прогнозирование, независимость событий и испытаний, условная вероятность, равномерное и нормальное распределения, статистические параметры, проверка гипотез.
4. Логика: равносильность и следствие, законы дедуктивных рассуждений, доказательство, определение, теорема, аксиоматика.
5. Алгоритмика: алгоритмы в математике и вне математики, алгоритмизация, элементы информатики.
6. Математический язык: терминология и символика.
7. Математический инструментарий: математический язык, операции, выражения, тождественные преобразования, функции, графики, уравнения и неравенства, целые, рациональные, действительные и комплексные числа.
8. Начала математического анализа: измерение величин, действительные числа, приближения и приближенные вычисления, числовые функции, производная, интеграл, дифференциальные уравнения.
9. История математики: исторические факты, история возникновения и развития математических теорий, вклад выдающихся математиков.
10. Математика и внешний мир: математическое моделирование, математика в системе наук, специфика математики как науки.
Перечисленные группы знаний, соответствующие различным разделам математики и ее связей с наукой, практикой и культурой (арифметика, алгебра, геометрия, математический анализ, теория вероятностей и математиче¬
ская статистика, логика, информатика, язык, история и философия математики), составляют, на наш взгляд, в достаточной мере полноценную содержательную основу школьного математического образования.
В то же время исключение из предлагаемой системы отдельных элементов или целых групп знаний, очевидно, обеднит как собственно математическую, так и общеинтеллектуальную и общекультурную подготовку выпускников школы. Нельзя не учитывать также, что указанные элементы знаний в том или ином виде представлены в школьных программах с высоким уровнем математического образования, так что. существенные расхождения в содержании обучения математике в советской и зарубежной школе стали бы труднопреодолимым препятствием в решении проблемы взаимного признания дипломов о среднем образовании.
Объем настоящей статьи не позволяет провести совершенно необходимый анализ и достаточно подробную детализацию указанных групп знаний для последующего решения многих конкретных вопросов отбора содержания— это должно явиться предметом специальной публикации.
Роль математики в гуманизации образования
А. А. Столяр
(Могилев)
Гуманизация образования — одно из направлений обновления школы, определенных съездом работников народного образования.
Что же такое гуманизация образования?
Гуманизация образования — его ориентация на развитие человеческой личности. Однако часто сводят гуманизацию к гуманитаризации образования, т. е. к увеличению в нем удельного веса гуманитарных дисциплин. Высказывается и точка зрения, отрицающая вообще какое- нибудь позитивное влияние обучения математике на развитие личности, предполагающая, что в формировании современного человека важную роль должны сыграть лишь литература, музыка, изобразительное искусство и другие гуманитарные предметы. Попытка исключить математику из содержания современного образования и культуры уж очень похожа на попытку поставить оперу «Евгений Онегин» если не без Онегина, то хотя бы без Татьяны.
Встречается и высказывание о том, что математика нужна лишь ограниченному кругу выпускников школы, будущим математикам, физикам, инженерам, т. е. тем, кто выберет профессию, связанную с ней. И это говорится в наше время, когда развитие математики связано с огромным расширением поля ее приложений, когда трудно назвать научную область, в которой не применялись или не исследовались бы возможности использования математических методов. Именно на языке современной математики моделируются явления и процессы природы и общества. Математическое моделирование с помощью современной вычислительной техники — мощный метод решения проблем прогнозирования в области биологии, геологии, экономики, экологии, социологии, машиностроения и т. д.
Гуманизация образования предполагает новое отношение между обучением и воспитанием, отличное от отношения пересечения, в котором мыслились эти понятия раньше. Обучение теперь, и совершенно справедливо, включается в воспитание. Особое значение математики в умственном воспитании и развитии отметил еще в XVIII в. М. В. Ломоносов: «Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит».
Говоря о роли математики в гуманизации образования, нельзя обойти деятельность выдающегося математика
5


XX в. Андрея Николаевича Колмогорова. В его многочисленных выступлениях и статьях по проблемам школьного математического образования раскрывается огромные возможности духовного воспитания человека, заложенные в математике.
• Нельзя не отметить и то, что реформа школьного математического образования, предпринятая в 60-х гг. под руководством А. Н. Колмогорова, по существу, представляла собой попытку прорыва математического образования из состояния застоя.
Подробно о сути, роли и судьбе колмогоровской реформы говорил в своем докладе на Международном конгрессе по математическому образованию (Будапешт, август 1988 г.) академик А. П. Ершов.*
Следует отметить, что авторы «Концепции развития школьного математического образования» (Математика в Школе.. 1990. № 1), именуемой далее кратко Концепцией, среди использованных ими источников особо выделяют теоретические работы и созидательную деятельность А. Н. Колмогорова в области школьного математического образования. Именно использование этого богатого наследия ориентирует Концепцию на общекультурные цели, повышение роли математики в процессе гуманизации образования, развитие личности.
Не вызывает сомнений утверждение авторов Концепции, что «содержание обучения — один из важнейших факторов, влияющих на эффективность школьного математического образования».
Однако другой не менее важный фактор составляют методы обучения. И Концепция должна быть дополнена концепцией методов обучения математике.
Математика сама по себе ум школьника в порядок не приводит. Все зависит от ориентации обучения, способа преподавания. Действительно, можно так преподавать математику, даже при оптимальном отборе содержания, что головы детей заполнятся большим количеством скучнейших формул и длинных вычислений и преобразований без подлинного понимания их смысла и назначения. Эта информация вбивается в головы детей извне, большими или небольшими порциями, фиксируется в их памяти, иногда даже с помощью специальных мнемонических средств. В результате получаются носители изолированных данных, в лучшем случае знаний, без адекватного умственного развития.
Неизбежный вывод: главная задача обучения математике — учить рассуждать, учить мыслить. И ни один школьный предмет не может конкурировать с возможностями математики в воспитании мыслящей личности. К сожалению, в установившейся практике обучения математике используется очень небольшая доля этих возможностей. И происходит это потому, что в массовой практике осуществляется, как правило, обучение готовым знаниям и очень редко, лишь отдельными учителями — обучение познавательной деятельности.
Достижение необходимого развивающего эффекта обучения математике возможно на базе реализации деятельностного подхода, способствующего интенсификации учебного процесса. Этот подход предполагает обучение не только готовым знаниям, но и деятельности по приобретению математических знаний, способам рассуждений, применяемых в математике; создание педагогических ситуаций, стимулирующих самостоятельные открытия учащимися математических фактов, их доказательств, решений задач.
Отметим некоторые важные особенности практической реализации деятельностного подхода в обучении математике.
1. 	Сейчас модно применять термин «технология обучения» вместо якобы устаревшего «методика обучения». При этом наблюдается тенденция истолкования технологии обучения как жесткого алгоритмического предписания
* См.: Математика в школе. 1989. № 1.
6
учителю, что и как делать на каждом шагу, что явно противоречит свободе выбора и закрывает всякие возможности для его творчества.
Деятельностный подход неалгоритмичен, неавторитарен. Это лишь подход, реализация которого многовариативна. Технология деятельностного подхода не есть предписание алгоритмического типа, строго детерминирующее, что и в каком порядке делать. Наоборот, она открывает широкие возможности для творческого поиска учителя и развития творческих способностей учащихся. Это и работает на гуманизацию математического образования, так как способствует развитию личности ученика.
Могут возразить, что ведь это сложно. Для кого сложно? Для учителя. Конечно, легче придерживаться какого-то кем-то детально разработанного предписания, рецепта, что и как делать, чем самому строить процесс совместного с учащимися поиска. Но и результат совершенно иной. Что же касается учащихся, то их приобщение к деятельности по приобретению новых знаний — наиболее верный путь повышения их интереса к ним как к результату собственной деятельности.
2. Деятельностный подход немыслим без совместной деятельности учителя и учащихся, без сотрудничества между ними. Но это подлинное сотрудничество в главном — в приобретении знаний и усвоении способов деятельности.
3. Освоение способов деятельности предполагает выявление и разъяснение в процессе обучения математике различных схем используемых в ней рассуждений.
В этом отношении уместно процитировать А. Н. Колмогорова: «Ответственность преподавателей математики
здесь особенно велика, так как отдельного предмета «Логика» в школе нет и знакомство с началами логики практически в значительной мере происходит на уроках математики. При этом нет никаких оснований бояться широкого введения в школу символических обозначений и формул математической логики, записывая,, например, правило силлогизма в виде
или схему доказательства от противного в виде (~|Ь =>~]а)<=>(а =>Ь).
Здесь речь идет о символической записи законов обычной общечеловеческой логики» (Математика в школе.
1969. 	№ 3. С. 17).
Итак, обучение математике, при правильной его ориентации, раскрывает суть законов общечеловеческой логики, основ рассуждений. Это один из важнейших аспектов гуманизации математического образования.
4. Деятельностный подход непосредственно связан с созданием в процессе обучения педагогических ситуаций, стимулирующих открытия учащихся. Когда ученик что-то открывает для себя, хотя это давно открыто в математике, он рассуждает как первооткрыватель. То, что в народе в негативном смысле именуется изобретение** велосипеда, становится одним из важнейших принципов современной дидактики математики. Один известный ученый признался, что вначале он открывал то, что всем было известно; затем он стал открывать то, что немногим было известно, и только после этого он открыл и что-то такое, что никому не было известно. Таким образом, обучая учащихся на первых порах открывать то, что всем известно, мы учим их открытиям. И это лучше всего осуществляется на задачах.
5. В области обучения решению задач деятельностный подход предполагает раскрытие деятельности поиска решения, разъяснение различных приемов и методов поиска.
В методике существует старое правило, которое не потеряло своего значения и сегодня: лучше одну задачу решить тремя способами, чем три задачи одним способом. Почему же это лучше? Потому, что, решая одну задачу различными способами, мы раскрываем возможность различных способов рассуждений, приводящих к одному и


тому же результату, возможность сравнения этих способов, выявления наиболее рационального. И развивающий эффект задач зависит не только от числа решенных задач, но и в не меньшей мере от того, какие задачи решаем и как мы их решаем.
6. Математика, в том числе и школьная, полна всякого рода алгоритмов для решения разнообразных классов задач. Однако сложившееся традиционное изучение алгоритмов в школьном курсе математики не отвечает потребностям ни самого математического образования, ни подготовки учащихся к изучению информатики, ни упорядочения ума, что особенно важно. Деятельностный подход предполагает обновление сложившейся методики, целенаправленный поиск алгоритма способом обобщения решения частных однотипных задач и постепенного уточнения общего метода решения. Задача же поиска алгоритма сама уже не является алгоритмичной, представляет собой творческую задачу с большим развивающим эффектом. И нет никакой логики в том, что для алгоритмов, встречающихся в курсе математики, эта задача не решается там же, а оставляется курсу информатики в старших классах.
7. В реализации деятельностного подхода одно из центральных мест занимают различные уровни исследовательского метода, возникает понятие «школьное учебное исследование». Это «маленькое исследование» выступает и как метод обучения, и как познавательная деятельность учащихся. Процесс обучения в какой-то мере имитирует процесс исследования.
Третий раздел Концепции, «Дифференциация в обучении математике», довольно детально рассматривает различные формы и приемы дифференциации и в качестве ведущего приема выделяет так называемую уровневую дифференциацию. Этот прием должен включать, однако, дифференциацию не только заданий, но и уровней изучения одной и той же темы, а также уровней самостоятельности поиска решений и, соответственно, помощи учителя в этом поиске.
Хорошей формой дифференцированного обучения представляется и предлагаемая Концепцией система дополнительных модулей, разнообразие которых должно быть достаточно широким и мобильным.
8. Необходимо отметить, что реализация деятельностного подхода в обучении математике не предполагает применение этого подхода на каждом уроке, при изучении каждой темы школьного курса математики. Это просто неосуществимо в реальном времени, отведенном для математики в школе. Предполагается дидактически целесообразное сочетание обучения готовым знаниям и способам деятельности по их приобретению.
Иногда спрашивают, применяется ли в практике обучения математике деятельностный подход. Вопрос правомерен, и ответ может оказаться неожиданным: каждый хороший, творчески работающий учитель применяет ка- кие-то аспекты деятельностного подхода, к которым он самостоятельно приходит в процессе поиска путей повышения эффективности обучения.
Концепция деятельностного подхода развивается с двух сторон: со стороны педагогической практики и со стороны педагогической теории.
Этот путь развития повторяет известную схему: от практики к теории и от нее к практике, но не возврат к исходной интуитивной практике, а переход к практике более высокого уровня, основанной на идеях общей теории.
Конечно, учителю нужна доступная литература. И не только по теории деятельностного подхода, но и главным образом по технологии его реализации в обучении математике. Нельзя утверждать, что такой литературы нет. Прежде всего следует назвать переведенные на русский язык, хорошо известные три книги Дж. Пойа ([1], [2], [3]), раскрывающие огромные возможности обучения математике в развитии творческой личности, а стало быть, в гуманизации образования. Однако эти книги уже давно стали библиографической редкостью. Вместо издания ка¬
ких-то суррогатов было бы целесообразно переиздание этих бесспорно лучших в мировой литературе книг по методике преподавания математики. Они должны быть настольными книгами каждого учителя математики.
Некоторые вопросы теории деятельностного подхода и примеры его реализации в обучении математике изложены в книге [4]. Этой литературы, однако, совершенно недостаточно. Нужны дальнейшие теоретические и экспериментальные исследования.
Авторы Концепции бесспорно правы, выделяя в качестве ключевой проблемы всей программы развития математического образования подготовку учителей. Однако сформулированный ими комплекс мер и требований в области перестройки подготовки учителя математики весьма общий и явно недостаточен. Например, включая требование «каждый будущий учитель должен уметь решать задачи, по сложности заметно превосходящие типичные задачи из школьных учебников», не вызывающее никаких сомнений, авторы упустили требование глубоких знаний самого предмета и ряд других.
Может возникнуть возражение: знание предмета, мол, подразумевается, какой же это учитель математики без глубоких знаний математики. Нельзя, однако, такое важнейшее требование подразумевать. Тем более учитывая реальную ситуацию, когда даже по ЦТ демонстрируются на всю страну безграмотные уроки математики (май — июнь 1988 г.).
Представляется, что на вопрос «Какой учитель нам нужен?» дал исчерпывающий ответ Г. А. Ягодин в своем докладе на съезде работников народного образования: «Нам нужны педагоги, глубоко знающие свой предмет, владеющие разнообразными методическими приемами, имеющие основательную психолого-педагогическую подготовку. Но и этого мало. Нужна эрудиция, нужны культура, жажда знаний, стремление к творчеству».
Вопрос в том, как подготовить такого учителя. На эту тему уже высказывались различные точки зрения, в том числе и в «Математике в школе». Однако вопрос о перестройке системы подготовки учителя математики остается проблемой номер один, без решения которой вряд ли можно достичь каких-то существенных успехов в дальнейшем развитии и, в частности, в гуманизации школьного математического образования.
Литература
1. Пойа Дж. Как решать задачу / Пер. с англ. М., 1959.
2. Пойа Дж. Математика и правдоподобные рассуждения / Пер. с англ. М., 1957.
3. Пойа Дж. Математическое открытие / Пер. с англ. М., 1976.
4. Столяр А. А. Педагогика математики: Учеб. пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов. Минск, 1986.
О прикладной направленности школьного курса элементов математического анализа
А. 	Д. Мышкис
(Москва)
Предварительное замечание. Я нахожусь в некотором затруднении, так как являюсь решительным сторонником фуркации преподавания математики в старших классах средней школы и надеюсь дожить до момента, когда эта фуркация у нас произойдет. Но тогда преподавание математического анализа (МА) будет существенно зависеть от профиля обучения: если для гуманитариев может оказаться достаточной задача овладения некоторыми простейшими функциями, то для техников программа и уровень требований должны быть, вероятно, серьезнее нынешних. Пока фуркации нет, приходится ориентироваться на некий средний уровень — впрочем, более на техни¬
7


ков, чем на гуманитариев. Однако думается, что высказываемые соображения могут оказаться полезными и сейчас, а с соответствующими изменениями — н после внедрения фуркации.
Зачем изучать в средней школе элементы математического анализа! Задуматься над этим вопросом необходимо, так как от ответа на него существенно зависят как содержание данного раздела, так и характер его изучения.
Главные цели изучения математики в школе — это развитие логического мышления (чему до сих пор уделялось, начиная с VII класса, главное внимание) и приобретение элементарных навыков применения математики. Имеются в виду применения в самом широком плане: на производстве, в других дисциплинах, при чтении специальной и популярной литературы, в быту и т. д. (подробнее см. в [1]).
Какова же роль математического анализа в школьном курсе математики? Она отнюдь не в том, что МА лежит в основе многих математических дисциплин: это понадобится меньшинству и будет более основательно и независимо от школы изучаться в вузах. И не очень-то школьный курс МА способствует развитию логического мышления. Для этой цели лучше подошли бы другие разделы математики, так как попытки «строгого» изложения элементов МА приводят либо к непреодолимым трудностям, либо к выхолащиванию курса, а чаще всего к тому и другому.
Думаю, что единственным оправданием для включения элементов МА в школьный курс является возможность существенно расширить область приложения школьной математики, что одинаково полезно как для дисциплин, применяющих математику, так и для самого курса математики. Но чтобы эта возможность превратилась в действительность, надо придать курсу МА в школе отчетливую прикладную направленность как по отбору материала, так и по характеру его изложения1.
О математических моделях. Связь математики с ее приложениями осуществляется с помощью математиче- скихУллоделей, т. е. математических объектов — геометрических фигур, функций, уравнений и т. п., исследование кодгорых должно дать ответ на поставленный неформальный, содержательный вопрос. Схематически всякий акт приложения математики сводится к построению математической модели, ее исследованию (решению математической задачи) и содержательному использованию результата этого исследования. Эта процедура требует сочетания неформального мышления с формальным и потому обычно вызывает затруднения у учащихся, что хорошо видно при решении ими даже самых простых текстовых задач. Тем более это относится к задачам, требующим применения МА.
Думается, что понятие математической модели и некоторые общие положения, связанные с ним, должны в той или иной форме иллюстрироваться на протяжении всего курса, математики, в том числе непременно при изложении МА. Среди этих положений отметим четкое различие реального объекта и его математической модели; идеализацию, схематизацию этого объекта при переходе к модели, игнорирование тех свойств объекта, которые представляются несущественными для предпринятого исследования; фундаментальную роль гипотез при построении моделей; возможность одинаковых моделей для разных объектов и различных моделей Одного и того же объекта; требование адекватности свойств модели исследуемым свойствам объекта и требование простоты модели, противоречивость этих требований; принципиально приближенный характер модели. (Подробное обсуждение понятия математической модели можно найти, например, в книгах [3, 4].)
Важно, чтобы содержательная сторона решаемой задачи была вполне понятна учащимся. Поэтому построение
1 Ярким примером такого изложения элементов МА для школьников является книга [2] выдающегося советского физика-теоретика академика #. Б. Зельдовича.
моделей должно проводиться на достаточно простом материале. Приемы построения и исследования математических моделей в различных областях приложения математики сходны между собой, так что навыки, приобретенные на задачах из одной области, и самый главный — «прикладная смелость», окажутся полезными и в других областях.
Отметим некоторые особенности действий с математическими моделями, которые надо учитывать в преподавании.
Прежде всего, величины, участвующие в такой модели, Обычно являются размерными. Для удобства аналитических выкладок величину часто выражают в тех или иных единицах; тогда получается ее численное значение, которое безразмерно. К сожалению, в курсе математики на эти простые обстоятельства обычно не обращают внимания, понятия величины и ее численного значения — безразмерного изображения — смешиваются, что приводит к нечетким формулировкам, а иногда и к ошибкам.
Далее, при формулировке математической модели исходные зависимости между величинами обычно выбираются не очень сложными, например линейными, квадратичными, синусоидальными и т. п.; но они заранее не задаются, а выводятся попутно с этой формулировкой. Поэтому в курсе математики должны быть представлены задачи, связанные с предварительным выводом аналитических зависимостей между величинами. Например, при геометрических приложениях интегралов контуры могут задаваться не своими уравнениями, а основными размерами. При этом надо не забывать функций, выражающихся не единой формулой, а несколькими, на различных участках изменения аргумента, так как такие функции довольно часто встречаются в приложениях.
При построении математической модели ситуация редко бывает такой, как в стандартных, «ортодоксальных» математических задачах, в которых условий имеется ровно столько, сколько нужно для решения, а вопрос поставлен совершенно четко. Некоторые условия прикладной задачи — и надо еще установить, какие именно,— могут оказаться избыточными и потому резервируемыми для контроля. Некоторых данных может недоставать, и приходится думать, откуда их взять. Вопрос может возникнуть в не вполне четкой форме: «исследовать», «сравнить», «оценить влияние таких-то параметров» и т. п., так что требуется уточнить его содержание. Приходится как-то решать взаимосвязанные вопросы о степени точности исходных данных и ответа, если он получается в числовой форме. При формулировке гипотез, лежащих в основании модели, порой оказывается необходимым с помощью хотя бы грубой прикидки подтвердить возможность игнорирования тех или иных факторов — каких-либо воздействий, влияния непостоянства величин, принимаемых за постоянные, и т. д. (Вообще, прикидка, в том числе устная, значений или порядков величин, их точности должна занимать существенное место в курсе математики средней школы.) Важную роль играют и другие методы самоконтроля. Наконец, для математической модели, описывающей реальную ситуацию, существенно и то, что метод ее исследования заранее не задан, причем это исследование может потребовать привлечения разнообразных математических и нематематических сведений.
Понятно, что сколько-нибудь подробная отработка всех этих действий в школьном курсе математики и, в частности, в курсе элементов МА невозможна. Тем не менее желательно систематически, когда это представляется уместным, говорить о них, ставить и решать соответствующие содержательные задачи, обращая специальное внимание на их неформальное обсуждение.
О стиле изложения элементов математического анализа. Выбор этого стиля является весьма существенным. Здесь надо идти по пути разумного компромисса между строгостью, доступностью и прикладной направленностью, не забывая ни об одной из этих сторон.
Какого уровня строгости придерживаться, что и как доказывать? Дело в том, что нет и не может быть
8


абсолютных понятий строгости и доказательства. Даже внутри математики эти понятия существенно менялись с течением времени, а сейчас значительно различаются, например, в математической логике, в основной части «чистой» математики и в практике приложений математики. (Этот вопрос подробно рассматривается в книге [4].) Доказательство — это не что иное, как убедительная мотивировка справедливости утверждения. Но нет, не может быть и не должно быть какого-то абсолютного понятия убедительности, пригодного для всех времен, для всех людей и для всех областей человеческой деятельности. Подобным образом нет и не может быть ни абсолютной строгости, ни абсолютной точности. Строгость того или иного рассуждения есть средство избежать ошибочных выводов, так что она подчинена неформальным целям этого рассуждения. Поэтому уровень строгости различен в различных областях знания и его применений; с развитием этих областей он все время меняется, стихийно складываясь в соответствии с их задачами и методами.
Сказанное полностью относится к школьной математике. Выдающийся математик и педагог Дж. Пойа ([5], с. 321) по поводу места доказательств в школьном курсе математики говорил: «Прежде всего, учащийся должен быть убежден, что доказательство заслуживают того, чтобы их изучали, что они необходимы и интересны. В судебном разбирательстве, например, доказательства необходимы. Подозревают, что обвиняемый виновен, но это только подозрение, твердой уверенности в нем нет. Виновен обвиняемый на самом деле или нет — это еще надо доказать. Цель юридического доказательства состоит в том, чтобы устранить сомнения, но именно такова и самая очевидная, и самая естественная цель математического доказательства. У нас имеются сомнения в справедливости ясно сформулированного математического утверждения, мы не знаем, верно оно или ложно. В этом случае перед нами стоит альтернатива: для того чтобы ликвидировать сомнение, нужно-либо доказать это утверждение, либо опровергнуть его.
Теперь я могу пояснить, почему я так твердо убежден, что доказательству упомянутого ранее предложения (имеется в виду теорема: «Из трех данных точек,
расположенных на одной прямой, единственная лежит между двумя другими».— А. М.) не может быть места в средней школе. Юнец школьных лет, познакомившись с утверждением о трех точках, не усомнится в нем. Здесь перед нами не встает задача ликвидировать сомнение — и поэтому доказательство кажется бесполезным, бесцельным, бессмысленным... Оно может создать у учащихся впечатление, что математика занимается тем, что весьма неочевидным путем доказывает совершенно очевидные вещи».
О строгости в школьном курсе писал великий А. Пуанкаре ([6], с. 359): «Наши предки думали, что знают, что такое дробь, непрерывность, площадь кривой поверхности; лишь мы заметили, что они этого не знали. (Точнее — не знали современных формальных определений; но ведь знания к этому не сводятся! — А. М.) Точно так же наши ученики думают, что они это знают, когда уже принимаются серьезно за изучение математики. Если я, без предварительной подготовки, скажу им: «нет, вы этого не знаете, вы не понимаете того, что вам казалось понятным; я должен вам доказать то, что вы считали очевидным» — и если я в своих доказательствах буду опираться на посылдо, которые им кажутся менее очевидными, чем заключения, то что подумают эти несчастные? Они подумают, что математическая наука есть не что иное, как произвольно собранная груда бесполезных умствований; и они либо почувствуют к ней отвращение, либо будут забавляться ею, как игрою, и в умственном отношении уподобятся греческим софистам».
Эти яркие глубокие высказывания имеют, в частности, непосредственное отношение к курсу элементов МА. Изложение его в школе на уровне строгости «чистой» матема¬
тики, прежде всего, недоступно для подавляющего большинства учащихся. Но это, к счастью, и не нужно, если иметь в виду главную цель этого раздела — послужить одним из основных мостов между математикой и ее приложениями. Более того, чрезмерное внимание логическим аспектам (таким, как теория пределов и т. п.) может иметь отрицательнее последствия, порождая «прикладную робость» в ситуациях, когда строгие формальные схемы неприменимы. Как известно, лучше всего применяют математику за ее пределами отнюдь не «чистые» математики.
Поэтому думается, что изложение элементов МА в средней школе должно иметь максимально наглядный характер. Оно должно постоянно уделять внимание содержательной стороне рассматриваемых понятий и фактов. Формально-логическое совершенство определений и доказательств отнюдь не должно быть самоцелью. Так, при применении определений можно игнорировать искусственные противоречащие примеры, а доказательствами, причем убедительными для учащихся (а не для математиков!), надо снабжать только утверждения, которые могут вызвать сомнения у учащихся же. Например, формулу для производной синуса нужно выводить, она не очевидна, тогда как непрерывность этой функции в развернутом доказательстве не нуждается, достаточно сослаться на наглядно очевидный факт: при равномерном движении точки по окружности проекция этой точки на прямую движется непрерывно. (Конечно, этот факт очевиден, если и непрерывность понимать на наглядном уровне, а не обращаться к е — б-определению.)
Вообще, я думаю, что курс элементов МА, нацеленный на приложения, на исследование математических моделей, должен по характеру изложения отступать от принятой в чистой математике ригористичности и носить черты, свойственные естественнонаучным дисциплинам. Кстати сказать, и вся современная прикладная математика в значительной мере такова. Не следует ‘увлекаться мнимой «научностью» и ориентироваться на рецензентов, привыкших к чисто математическому образу мышления. Подавляющему большинству учащихся такой образ мышления не понадобится, а те, кому он понадобится, еще успеют его приобрести. (В применении к втузовскому преподаванию математики попытка такого изложения курса содержится в книге [7].)
Отношение к учащемуся при таком подходе к преподаванию МА охарактеризовал Я. Б. Зельдович в предисловии к книге [2] (изд. 5-е, с. 8): «Во многих учебниках изложение ведется в форме, напоминающей диспут двух ученых. Учащийся представляется как противник, выискивающий всевозможные возражения. Педагог последовательно, строго логически разбирает эти возражения одно за другим и неопровержимо доказывает правильность своих положений.
В предлагаемой книге учащийся рассматривается как друг и союзник, который готов поверить педагогу или учебнику и хочет применить к природе, к технике те математические приемы, которые ему предлагают. Понимание приходит в результате анализа примеров и применений». (А не формальных доказательств!)
Выскажем некоторые соображения по преподаванию отдельных разделов МА.
Величины, функции, графики. Как известно, современные курсы «чистого» МА обходятся без понятия величины, тем более переменной величины. И действительно, полная формализация этих и родственных понятий приводит либо к излишним для дальнейшего изложения трудностям, либо к тривиальностям. Но в приложениях МА эти понятия систематически встречаются и будут применяться в обозримом будущем. Поэтому представляется совершенно необходимым давать представление о них и в школе. При этом нет надобности здесь пытаться приводить формальные определения, только затрудняющие понимание, достаточны разъяснения и примеры. Примерный перечень понятий, которые требуют освещения: величина, численное значение, единица измерения, раз¬
9


мерные и безразмерные величины (включая простейшие правила действий и контроля), постоянные и переменные величины, параметр, изображение величин на числовой оси, непрерывные и дискретные величины, область изменения величины, точные и приближенные значения величин, виды погрешностей, включая простейшие правила их определения, запись приближенных значений.
Функции надо трактовать как зависимости одной переменной величины от другой (или других). Свойства функций наиболее наглядно выявляются на их графиках, поэтому рассмотрение функции следует, как правило, сопровождать хотя бы ориентировочным построением ее графика. (Подробнее о роли графиков в курсе элементов МА см. в [8].)
Наиболее важные функции, свойства и графики которых учащиеся должны твердо знать, это все те же
х—*ax+b, ax2-fbx+c, , ае±кх;
М sin (fcx+a) (М, k>0).
Надо вновь и вновь возвращаться к этим функциям и их графикам, показывать их происхождение и универсальный характер. Думается, что свойства непрерывности, гладкости и даже выпуклости, а также асимптотического поведения этих графиков не нуждаются в доказательстве — эти свойства воспринимаются учащимися. без внутреннего сопротивления. Достаточно отметить, что их можно доказать строго, без ссылки на наглядность. Постулирование гладкости и выпуклости графика функции у — р* дает возможность ввести число е как значение р, при котором этот график пересекает ось у под углом в 45°; отсюда легко следуют все необходимые свойства.
Весьма желательны показ применения линейной и показательной функций к задачам интерполяции и экстраполяции, обсуждение условий возможности и невозможности такого применения.
С помощью графиков простейших функций и правил преобразований графиков (переход от у — f(x) к у = f(x -f- а) и т. п.), а также простейших действий с ними (при умножении функций и т. п.) можно строить ориентировочные графики и немного более сложных функций. Для уточнения вида графика полезно подсчитать несколько значений функции, найти ее точки экстремума. При этом подсчете надо максимально применять микрокалькулятор, как и по возможности всюду в курсе МА. Вообще, в прикладном плане один из наиболее важных навыков в курсе МА — это умение действовать с графиками: сделать набросок графика функции средней сложности, заданной формулой или формулами, уточнить его, описать по заданному графику свойства функций и по свойствам указать примерный график, прикинуть по заданному графику функции график ее производной и т. п. Эти действия не только нужны для более глубокого понимания свойств реальных зависимостей, но и являются отправными при решении разнообразных уравнений и неравенств, задач на оптимизацию и т. д. Поэтому они должны быть достаточно представлены и в школьном курсе элементов МА.
В заключение этого пункта еще немного о понятии непрерывности функции. Оно легко усваивается на интуитивном уровне, но очень трудно — на формальном. И это не случайно: мы обычно не задумываеся над смыслом слова «существует» в выражении «для всякого е > О существует б > 0» и т. д., а он совсем не прост, что сразу же ощущают учащиеся. Но, к счастью, владение формальным определением отнюдь не обязательно для успешных применений этого понятия. Достаточно трактовать непрерывность как отсутствие разрывов, а разрывы—либо как обращение в бесконечность, либо как конечные скачки. То и другое легко воспринимается интуитивно с помощью графиков. При этом для функций, заданных формулами, такие разрывы появляются (с оговоркой об «устранимых» разрывах) либо при обращении знаменателя в нуль, либо при появлении логарифма нуля, либо, наконец, в общей точке интервалов, на которых функция
задана различными формулами, если не выполнено условие согласования. Аналогично возникают разрывы у производной. Грубо говоря, в приложениях МА надо мотивировать не непрерывность функции, а появление у нее разрывов.
Конечно, полезно перечислить общие свойства непрерывных функций с их наглядной иллюстрацией и применением к решению уравнений методом «вилки» и неравенств методом интервалов.
Пределы. В соответствии со сказанным выше представляется довольно определенно, что никакой развернутой теории пределов в средней школе не должно быть. Понятие предела в приложениях МА играет чисто служебную роль. Конечно, нужно понимать, что мгновенная скорость, плотность в точке, производные, интегралы — это пределы, что бывают бесконечно малые, бесконечно большие и «конечные» величины. Но не стоит слишком углубляться в эти вопросы. Формальные е — N- и в — б-определения вообще не используются, а свойства пределов нужны только для вывода свойств восходящих к пределам понятий. Например, в дифференциальном исчислении свойство «предел суммы равен сумме пределов» нужно для вывода свойств производной, но после ^того вывода о свойстве пределов можно уже забыть.
Поэтому я думаю, что рассмотрение данной темы в средней школе должно концентрироваться вокруг обсуждения возможного характера изменения переменных величин. Проще всего исходить из размытого, но наглядного понятия «процесса» изменения величины (строго говоря, речь идет о направленном множестве, но об этом, конечно, говорить не нужно). Это понятие нужно иллюстрировать примерами — процесс, развивающийся во времени, последовательность чисел и т. п. Вначале естественно рассмотреть бесконечно малые и бесконечно большие величины, свойства которых можно перечислить без доказательства, снабдив их лишь примерами, так как эти свойства справедливо воспринимаются как интуитивно ясные. От бесконечно малых легко перейти к величинам, имеющим конечные пределы. Из свойств пределов, по- видимому, заслуживает специального обсуждения только свойство существования предела у монотонной ограниченной величины.
Надо приучить учащихся не бояться знака оо и правильно с ним манипулировать, в частности правильно понимать записи типа = =fcoo, tg-у = ±оо и т. п. и пользоваться ими. Имея в виду дальнейшее, желательно рассмотреть понятие «величина, бесконечно малая по сравнению с заданной».
Повторю, что, пв-моему, никаких специальных упражнений на вычисление пределов не должно быть, кроме самых простых, основанных на здравом смысле. Типичный пример такого упражнения: «Пусть у равнобедренного треугольника основание неизменно, а боковая сторона безгранично возрастает. Как ведут себя при этом углы, высоты, медианы, биссектрисы этого треугольника?»
Хочется сказать еще несколько слов по поводу встречающегося у преподавателей математики мнения о том, что «строгое» изучение пределов нужно для логического развития учащихся. В действительности цель этого развития не в том, чтобы научиться доказывать математические теоремы. Цель логического развития — выработать у учащихся умения понимать в простых ситуациях, за пределами курса математики, что одни утверждения можно выводить из других, умения не путать прямые утверждения с обратными, не пропускать логически возможных случаев и т. п. А для этой цели освоение действий со «строгими» определениями теории пределов весьма мало подходит из-за крайней специфичности этих определений. Здесь полезно вспомнить известное высказывание академика J1. Д. Ландау ([9], с. 98): «Мне не хочется дискутировать с достойной
средневековой схоластики мыслью, что путем изучения ненужных им вещей люди будто бы научаются логически мыслить». В обучении логическому мышлению гораздо
10


более существенную роль могут сыграть обсуждения типичных логических ошибок и специально подобранные упражнения, основанные на вполне доступном материале, как прикладном, так и чисто математическом, в том числе и из МА.
Дифференцирование. Производная есть скорость — именно это составляет основное прикладное содержание понятия производной. Естественно начать с обсуждения понятий средней и мгновенной скоростей неравномерного движения, так как они наиболее просто воспринимаются на интуитивном уровне. Затем по сложности идет скорость изменения во времени какой-либо иной величины, например скорости наполнения сосуда. Следующей ступенью абстракции является скорость изменения одной физической величины относительно другой величины. Это можно продемонстрировать, например, на понятии теплоемкости тела при данной температуре. Отвлекаясь от физического смысла величин, мы приходим к математическому определению производной как коэффициента пропорциональности между бесконечно малыми изменениями взаимосвязанных величин. Отсюда вытекают и обычное «предельное» определение, и геометрический смысл производной — угловой коэффициент в уравнении касательной к графику.
Производные каких именно функций следует рассматривать в средней школе? На этот вопрос возможны различные ответы. Один из них, по-моему, таков. Вывести формулы для производных (х)', (х2)', (х3)', после чего без доказательства сообщить формулу для (ха)': Далее получить формулы для (ех)' и (In х)' на основе определения числа е и формулы для (sin х)' и (cos х)' — на основе «первого замечательного предела». Из общих формул можно вывести формулы для (u zb v)', (Си), (uv)' И [f(ax + b)]'.
Еще более важным, чем понятие производной, для приложений МА является понятие дифференциала. Думается, что в школьном курсе элементов МА одно не может обойтись без другого. На применении дифференциалов и линеаризации основано построение большинства математических моделей, требующих приложения МА. Это построение можно продемонстрировать на ряде доступных примеров после введения понятия интеграла. Соотношения, получающиеся после интегрирования, наилучшим образом показывают эффективность МА.
В существующей, школьной практике в курсе математики обычно дифференциалов избегают, по-видимому, из-за трудности логически совершенного изложения этой темы. Но практические применения и не требуют этого совершенства, а для строгого определения можно ограничиться понятием дифференциала функции.
Некоторая методическая трудность возникает из-за того, что термином «дифференцирование» обозначается вычисление как производной, так и дифференциала, в результате чего учащиеся часто смешивают эти- два понятия. Для предотвращения этой грубой ошибки желательно более последовательно применять терминологию — например, дифференцированием называть только вычисление дифференциала.
Интегрирование. Аналогичная трудность возникает при интегрировании, так как под словом «интеграл» понимаются два существенно различных объекта. Я думаю, что это слово надо применять только по отношению к определенному интегралу, что соответствует и смыслу термина, и месту интеграла в приложениях. Термин же «неопределенный интеграл» следовало бы совсем изъять, заменив его терминами «общая первообразная» и «частная первообразная», по аналогии с решениями дифференциальных уравнений. Конечно, лучше всего было бы изменить и обозначение первообразной. Например, первообразную функции f можно было бы обозначать как f~' (в смысле обратного действия), что привело бы к формулам вида
ь
(cos х)“' = sin х -f* С, ^ f(x) с/х-- f~ (b) — f” (а) и т. д.
Можно было бы обозначать первообразную, ставя штрих слева от знака функции. Но тут приходится считаться с существующей традицией.
Сам интеграл, думаю, надо вводить на основе интегральной суммы. Если продемонстрировать это определение на простых физических примерах, показать его геометрический смысл и провести вычислительный эксперимент, то определение можно сделать вполне доступным. Такой подход показывает глубокий смысл понятия интеграла, раскрывает содержание самого термина и обозначения. Желательно по возможности быстрее перейти к геометрическим и физическим приложениям интегралов на основе составления либо интегральной суммы, либо уравнения, связывающего дифференциалы переменных величин. Кроме получающихся при этом дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными желательно рассмотреть дифференциальное уравнение для гармонических колебаний.
Немного о геометрических приложениях. Я думаю, что нет надобности слишком концентрировать внимание на определении понятий длины, площади, объема и тем более на мотивировке их существования. Эти понятия и их свойства . настолько соответствуют интуитивному представлению о них, основанному на общеизвестных физических аналогах, что достаточно краткого обсуждения соотношения между физическим и математическим понятиями измерения. Так что применение МА к геометрии, по-моему, не должно существенно отличаться от его применения к физике.
Приведу в заключение яркое высказывание известного голландского математика и методиста Г. Фройденталя по поводу школьного преподавания математики [10, с. 39]: «...важно, чтобы изучаемая математика была тесно связана с реальной действительностью. Только так можно обеспечить длительное влияние математики на обучающегося. Мы, математики, не забываем нашу математику, так как это наше основное занятие. Обычно же всё, что не связано с повседневной жизнью, улетучивается из памяти. Для большинства людей математика не может быть целью; то из математики, что изучалось без связи с повседневной жизнью, будет забыто, а потому неэффективно».
Литература
1. Виленкин Н. Я., Мышкис А. Д. Научно-техническая революция и школьный курс математики // Математика в школе. 1987. № 3.
2. Зельдович Я. Б. Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике. 1—5-е изд. М.: Наука. 1960—
1970. 	[Позже эта книга была существенно переработана в соавторстве с И. М. Ягломом и вышла в 1982 г. под названием «Высшая математика для начинающих физиков и техников».]
3. Тихонов А. Н.г Костомаров Д. П. Рассказы о прикладной математике. М.: Наука, 1974.
4. Блехман И. И., Мышкис А. Д., Пановко Я. Г. Механика и прикладная математика. Логика и особенности приложений математики. М.: Наука, 1983.
5. Пойа Дж. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание. 2-е изд. М.: Наука, 1976.
6. Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1983.
7. Мышкис А. Д. Лекции по высшей математике. 4-е изд. М.: Наука, 1973.
8. Мышкис А. Д., Сатьянов П. Г. О формировании культуры построения и применения графиков функций // Математика в школе. 1985. № 4.
9. Ландау Л. Д., Румер Ю. Б. Что такое теория относительности. М.: Советская Россия, 1975.
10. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. Ч. II. М.: Просвещение, 1983.
И


Гуманитарные аспекты преподавания математики
▲. В. Дорофеева
(Москва)
В основе характерного для нашего времени нового мировоззрения лежит представление о том, что природу нельзя «покорять», не думая о последствиях своей деятельности, что человеком нельзя управлять, как машиной, и силой принуждать его к чему-либо для его же блага. Мир, в котором мы живем, является сложной самораз- вивающейся динамической системой, включающей в себя природу и человека. В соответствии с этим в основу школьного преподавания должны быть положены новые ценностные ориентиры.
Теперь уже нельзя считать, что основная цель преподавания состоит в том, чтобы сообщить школьнику как можно больше конкретных знаний, новых понятий, теорем, теорий. На этом пути мы приходим к разбуханию учебных программ и к тому, что значительная часть учащихся по существу школьным материалом не овладевает. Одна из важнейших целей преподавания состоит в том, чтобы воспитать молодого человека, сформировать его мировоззрение, научить его рациональному мышлению. На словах эта цель провозглашалась очень часто. Но теперь настала пора взяться за нее всерьез, подчинив ей преподавание любого предмета, в том числе и математики.
На уроках необходимо формировать систему ценностей, с которой молодой человек вступает в мир. Нужно показать учащимся, что ценность науки определяется не только тем, что она помогает создать материальные блага, среди которых мы живем. Наука формирует и интеллектуальную атмосферу. Для человека, наряду с материальными ценностями, важны ценности интеллектуальные — знания, умение последовательно рассуждать, анализировать факты, обобщать их. Всему этому школьник учится на уроках математики. Решая задачи, он тренируется в точности и строгости рассуждений, учится искать различные пути выхода из создавшегося положения, привыкает преодолевать трудности. Но чтобы добиться таких результатов, нужно разъяснить ученику цели и задачи изучаемого предмета. Поэтому при изложении новой темы необходимо рассказывать о ее возникновении и развитии, об области ее приложений. Многие математические теории при формализованном изложении кажутся искусственными, оторванными от жизни, просто непонятными. Если же подойти к этим проблемам с позиции исторического развития, то станет виден их глубокий жизненный смысл, их естественность, необходимость.
Приведем пример. Выпускник средней школы обычно умеет решать задачи на отыскание производных, но при этом часто не знает, что называется производной, для чего нужно это понятие. Рассказав школьникам об открытии Кеплером математических законах движения планет, об опытах Галилея со свободно падающими телами, о теории Ньютона, описывающей законы движения, учитель имеет возможность неоднократно подчеркнуть мысль о том, что, вырабатывая теорию движения земных и небесных тел, великие ученые одновременно оттачивали и важнейшее для этой теории понятие производной как скорости движения. С помощью производной мы изучаем не только скорость механического движения, но и скорость радиоактивного распада, изучаем движение жидкости и газа, теорию теплоты, электромагнитные явления.
Новое мировоззрение, которое в наши дни необходимо формировать у школьников, предполагает воспитание у каждого человека умения учитывать не только личные и групповые интересы, но, в первую очередь, интересы общества. Выяснить и понять эти интересы можно только выслушивая различные точки зрения, ведя аргументированный диалог, доказывая справедливость одних утверждений и опровергая другие. Именно математика учит
проведению доказательств. Как известно, она сложилась как дедуктивная наука в VI—V вв. до н. э., когда в Древней Греции было создано демократическое государство. Греки считали, что «властвовать друг над другом путем насилия свойственно диким зверям, а люди должны законом определить справедливое, словом убедить».
Демократическая система правления в греческих горо- дах-республиках резко отличалась от деспотических систем, сложившихся ранее в других государствах. Греки считали необходимым государственные и юридические решения обосновывать логически доказательными рассуждениями, и это, несомненно, оказало влияние на общее направление математических работ. Мы часто говорим о том, что развитие математики тесно связано с естественными науками и техникой. Однако и жизнь общества, его социальное устройство решительным образом влияют на научный прогресс.
До создания античной науки были накоплены отдельные факты арифметики и геометрии, но они излагались догматически, и на протяжении столетий и даже тысячелетий в математике не было заметного прогресса. Греки же,создав дедуктивную математику, основным методом которой является логическое доказательство, совершили в науке величайшие открытия. Достаточно вспомнить труды Евклида, Архимеда и Птолемея. До сих пор основы геометрии в школе изучаются примерно по тому образцу, который дал Евклид в своей книге «Начала». Труды Архимеда можно считать одной из самых впечатляющих иллюстраций той силы, которую преобретают методы математики в их применении к задачам естествознания и техники. Знаменитый «Альмагест» Птолемея явил миру первую попытку решения грандиозной задачи — дать математическое описание устройства Вселенной. Эллинская математика показала примеры постановки и решения задач, которые стали светоносными для всей мировой цивилизации.
Для формирования мировоззрения учащихся важно ознакомить их не только с развитием идей, но и с биографиями творцов этих идей. В воображении школьников должны предстать живые люди с их прозрениями и ошибками, глубокие мыслители, преданные своему делу, отдающие ему всю жизнь, вступающие друг с другом в споры, смело борющиеся за распространение новых идей, а порой и отступающие, скрывающие под давлением обстоятельств результаты своих исследований. Рассказав ученикам о трудах Галилея, о том, что он претерпел от инквизиции, можно показать, какие гибельные последствия имел разгром школы Галилея для развития науки и техники в Италии.
В XV—XVI вв. Италия занимала ведущее место в культурной жизни Европы. Но после казни Джордано Бруно в 1600 г. и преследований Галилея наступил резкий спад научных исследований. Круг последователей Галилея, его учеников и друзей, «охваченный ужасом и покорностью быстро распался, оставив учителя в одиночестве с его мыслями и с его судьбой». Замолк отзвук астрономических открытий Галилея и его теорий в широких общественных слоях, стремившихся к образованию. Удар, нанесенный Галилею, имел отзвук по всей Европе. Французский ученый Декарт, создавший большой трактат, в котором разработал целый мир новых идей — космологических, физических, биологических — отказался от его публикации, узнав об участи, постигшей Галилея; спрятал рукопись, считая, что через столетие цензурные условия смягчатся и мир увидит его сочинение. Рукопись была утеряна. В 1663 г., уже после смерти Декарта, католическая церковь внесла в список запрещенных книг все его опубликованные произведения.
Мысль о том, что гонения на науку приводя-* к гибельным последствиям, можно продемонстрировать на примере запретов на развитие кибернетики в нашей стране, что во многом привело нас к отставанию в вычислительной технике.
Однако гонения, хотя и замедляют, но не в силах остановить развитие науки. Так, Декарт, спрятавший из осторожности свою рукопись об устройстве Вселенной, про¬
12


должал активно заниматься наукой, создал аналитическую геометрию. Гонениям подвергался и Лобачевский, построивший неевклидову геометрию. Рассматривая с учащимися вопрос о системе аксиом планиметрии, можно рассказать о жизни и творчестве великого русского ученого, о его борьбе за утверждение новой геометрии, О стойкости, с которой Лобачевский противостоял мнению его современников, не признававших новую геометрию, смеявшихся над ее создателем.
Так история математики помогает формированию мировоззрения учащихся. Элементы истории математики привлекают внимание школьников, склонных к гуманитарным наукам, придают силы и тем, кто по разным причинам отстал от своих одноклассников в занятиях и, не зная, как справиться со сложными заданиями, начал терять надежду на дальнейшее успешное обучение по математике. Сомнения, колебания и борьба представителей науки прошлого помогут молодежи найти свой путь в науке или в общественной деятельности, в технике или в искусстве, в сельском хозяйстве или в медицине, в любой деятельности на благо людей.
Богатство интересов — залог обучаемости
К. В. Лавринович
(г. Вилейка Минской обл.)
Разнообразные интересы человека чаще всего сочетаются с его особой одаренностью в какой-то определенной области, причем они нисколько не мешают развитию таланта и даже как-то стимулируют его.
Многие знаменитые математики проявляли себя на поприще, казалось бы, далеком от их основных интересов. Например, легенда утверждает, что великий Пифагор участвовал в Олимпийских играх и даже побеждал в них. Пьер Ферма был крупным юристом и видным общественным деятелем. Рене Декарт занимался физиологией. Ему принадлежит первое описание схемы рефлекторных реакций. Всеми признан литературный талант С. В. Ковалевской. Менее известно о литературных увлечениях другого русского математика академика В. Я. Буняков- ского. В 40-х гг. прошлого века он публиковал свои переводы стихотворений Дж. Байрона и поэмы «Паломничество Чайльд Гарольда».
Подобных примеров можно привести великое множество. Но вывод из них следует один — богатство интересов, как правило, облегчает людям занятия их главным делом. Например, с одной стороны, А. П. Чехов не скрывал, что его научные медицинские познания помогали ему в литературном труде, а с другой —- влияние художественных образов на научное творчество подчеркивал
А. 	Эйнштейн, говоря, что романы Достоевского дали ему как ученому больше, чем открытия многих известных математиков.
Трудно сделать в жизни что-то крупное, имея познания только в одной узкой области. Психологи считают, что человек может успешно работать творчески в том случае, когда его психика обеспечивает баланс между способностями к восприятию как знаково-цифровой, так и образной информации. Этот баланс, к сожалению, нарушается в условиях динамичного развития НТР. Если к 50-м гг. нашего века объем информации, которой располагало человечество, возрос всего лишь в 2 раза по сравнению с прошлым веком, то к 60-м гг. (всего за десятилетие!) он вырос уже в 3 раза. К 90-м гг. прогнозировалось пятикратное увеличение информационного богатства человечества. Эта информация в основном знаковая (общественно-политическая, техническая, учебная литература, разного рода таблицы, справочники и т. д.). Непомерный рост знаковой информации, которую
человеку необходимо усваивать для успешной учебы или работы, создает угрозу для баланса обеих способностей человеческого восприятия.
Неудивительно поэтому, что все сильнее слышатся голоса о необходимости сочетать серьезное естественнонаучное и техническое образование с гуманитарным. Все большую популярность завоевывает такая парадоксальная мысль: для лучшего усвоения знаковой информации, которую несут в основном такие предметы, как математика, физика, химия, нужно учить детей лучше усваивать образную информацию, в частности музыку, живопись, пластику. Интересно, что некоторые американские технические вузы обязывают своих студентов включить в индивидуальные учебные планы хотя бы один из 5—6 курсов гуманитарного цикла, среди которых есть и такие: «Архитектура поздней готики и раннего Возрождения», «Музыка Вивальди, Баха и Генделя», «Легенда о Дон-Жуане в мировой литературе», «Пушкин и его последователи».
Нам всем следует прислушаться к словам Ч. Дарвина: «Если бы мне пришлось вновь прожить жизнь, я установил бы для себя правило читать какое-то количество стихов и слушать музыку по крайней мере раз в неделю: быть может, путем такого упражнения мне удалось бы сохранить активность тех частей мозга, которые теперь атрофировались». Наблюдаемое у самого себя «сужение интересов» Дарвин воспринимал как болезнь и считал, что утрата вкуса к искусству равносильна утрате счастья. Более того, он подозревал, что равнодушие к искусству вредно отражается не только на умственных способностях, но и на нравственных качествах, так как «ослабляет эмоциональную сторону нашей природы».
Как же учителю математики противостоять распространяющейся ныне безвкусице и равнодушию к прекрасному? Только путем включения «других искусств» в свои уроки. Покажу это на двух примерах из собственного преподавания в школе № 3 г. Вилейки.
V класс. Тема «Чтение и запись натуральных чисел».
В этой теме предусматривается, в частности, ознакомление учащихся с римскими цифрами. В начале урока демонстрируется слайд с изображением памятника Петру I в Ленинграде, знаменитого Медного всадника. В этот момент очень важно установить в классе приподнятую атмосферу. Она создается звуками величественных аккордов Первого концерта для фортепьяно с Оркестром П. И. Чайковского. Всего 2—3 мин звучит музыка, но класс уже притих и с интересом ждет, что будет дальше.
Замолкает музыка, и учитель начинает свой короткий рассказ. Приведем его.
Вы- видите памятник первому российскому императору Петру I. К началу его правления Россия безнадежно отставала от передовых стран Европы, но он преобразовал почти всю жизнь страны. При нем создавались металлургические и горные заводы, верфи, пристани, каналы. Он руководил постройкой флота, созданием регулярной армии. Организовал Академию наук. Основал на берегу Балтийского моря новую столицу — Петербург.
Скульптор Фальконе воплотил в этом монументе самую суть деятельности Петра, что прекрасно выразил А. С. Пушкин, как бы обращаясь к Петру у подножья Медного всадника:
О мощный властелин судьбы!
Не так ли ты над самой бездной,
На высоте уздой железной
Россию поднял на дыбы?
Посмотрите внимательно на памятник, ребята, и попытайтесь расшифровать надпись на его гранитном постаменте:
PETRO PRIMO CATHARINA SECUNDA
MDCCL XXXII
13


Смысл первых двух строк учитель может сообщить ребятам сразу. Они означают: «Петру Первому — Екатерина Вторая».
А что означает последняя строчка? С этого вопроса и начинается собственно урок математики. Четвероклассники узнают на уроке о римских цифрах и рассматривают таблицу их значений:
I V X L С D М
1 5 10 50 100 500 1000
Возникает новый вопрос: «Как же прочитать число на памятнике?» Учитель разъясняет, что для этого нужно сложить все значения цифр, которые входят в запись числа, т. е. найти сумму:
1000+500+100+100+50+10+10+10+1+1.
«Но как это сделать?» Отсюда класс естественным образом переходит к беседе о разрядных единицах и о позиционной системе записи чисел. Беседа заканчивается тем, что учащиеся устанавливают: на памятнике записано число 1782 (год открытия монумента).
XI класс. Тема «Конус».
Урок начинается с демонстрации картины Шишкина «Корабельная роща». Учитель задает классу шутливый вопрос: «Какая связь между картиной и вот этим телом?» (Демонстрируется модель конуса.) Оказывается, самая непосредственная. На картине изображены сосны, а модель, которую учитель держит в руках, называется к о.н у с, что в переводе с греческого означает «сосновая шишка».
С этой шутки начинается изучение конуса, которое проходит вполне серьезно. Изучаются формулы для вычисления поверхности и объема конуса. В конце урока учитель предлагает школьникам послушать строки из трагедии А. С. Пушкина «Скупой рыцарь»:
Читал я где-то,
Что царь однажды воинам своим
Велел снести земли по горсти в кучу,—
И гордый холм возвысился,
И царь мог с высоты с весельем озирать
И дол, покрытый белыми шатрами,
И море, где бежали корабли.
Вопрос: «Какой высоты мог быть такой холм? На сколько километров может увеличиться панорама для наблюдателя, поднявшегося с подножья холма к его вершине?»
В заключение хочется добавить, что уроки, подобные описанным, требуют не только тщательной подготовки учителя, но и хорошего материального обеспечения.
Контуры дифференциации в преподавании математики
В. 	Н. Келбакиани
(г. Кутаиси)
Дифференциация обучения как общепедагогическая проблема не является новой ни для советской, ни для зарубежной школы. Однако ее теоретическая разработка в отечественной методике преподавания математики и в еще большей степени реализация отдельных теоретических достижений в практике серьезным образом сдерживались унитарной системой среднего образования в нашей стране, фактически отторгавшей — на уровне массовой школы — новые идеи, связанные с дифференцированным обучением.
Тем не менее в последние двадцать лет два основных направления дифференциации обучения математике — по содержанию обучения и по уровню требований, предъявляемых к математической подготовке учащихся,— приобрели определенные «права гражданства». Это выразилось в организации сети школ и классов с углубленным изучением математики и'^ создании концепции обязательных результатов обучения.
Основные направления реформы общеобразовательной
школы предусматривали увеличение числа часов, выделяемых на факультативные занятия, благодаря более раннему их введению (с VII класса одиннадцатилетней школы). Предусматривалось создание школ и классов с углубленным изучением предметов с двухлетним (X—XI), трехлетним (IX—XI) или с четырехлетним (VIII— XI) сроком обучения.
С учетом как отечественного, так и зарубежного опыта в нашей стране создаются классы с углубленным изучением математики, начиная с IX (продолжительность обучения — 3 года) или даже с VIII класса (продолжительность обучения — 4 года).
По нашему мнению, обучение математике в VIII— IX классах должно способствовать зарождению у учащихся интереса к математике на первичном уровне, поддерживать его развитие до познавательного уровня и тем самым создавать основы для выбора математики как предмета для последующего углубленного изучения. В этих классах можно эффективно использовать факультативные занятия, самостоятельные работы учащихся и индивидуальные занятия со школьниками. А на второй ступени (X—XI) можно осуществить полноценное дифференцированное обучение математике.
Факультативные занятия являются наиболее массовой формой дифференцированного обучения. Разработана система факультативных курсов, среди которых условно можно выделить следующие:
а) предметные факультативы, углубляющие и расширяющие знания учащихся по предметам, входящим в учебный план школы;
б) межпредметные факультативы, интегрирующие знания учащихся о природе и обществе;
в) факультативы по предметам, не входящим в учебный план, например по дисциплинам психолого-педа- гогического цикла.
Комплектование классов с углубленным изучением математики, как правило, основывается на отборе учащихся. Основной контингент такого класса целесообразно набирать из числа учащихся, посещавших занятия соответствующих кружков и факультативов, участвовавших в олимпиадах, турнирах, конкурсах, что говорит о серьезности проявляемого к предмету интереса. Отбор обычно проводится на основе конкурса, включающего собеседование и зачетные работы по профилирующим предметам. Конкурс должен быть открытым, чтобы все учащиеся могли убедиться в справедливости отбора.
Методы обучения в профильных классах имеют свою специфику, которая проявляется в большей доле самостоятельной работы учащихся с литературой при изучении нового материала, решении задач и выполнении творческих заданий, в интенсификации обучения с помощью лекционно-семинарской системы, в усилении индивидуальной работы преподавателя с учащимися как на уроках, так и во внеурочной работе.
При массовой организации классов с углубленным изучением предмета наиболее сложной является проблема подготовки учителя. Важный резерв кадрового обеспечения спецклассов кроется в привлечении в школу преподавателей вуза, в создании базовых опорных школ при всех вузах.
Основные контуры перестройки школы четко отразились в тех концептуальных документах, которые разработаны в последнее время в союзных республиках. Интенсивная работа по внедрению дифференцированного обучения проходит и в Грузии.
В октябре прошлого года в Кутаиси проходила Всесоюзная научно-практическая конференция по вопросам дифференцированного обучения. На ней было признано, что ведущим направлением дифференциации обучения в начальной и средней школе становится уровневая дифференциация, которая определяется Обязательными результатами обучения.
Проблеме совершенствования профилированного обучения была посвящена научно-практическая конференция «Дифференцированное обучение — одна из основ раз¬
14


вития национальной школы», которая проходила в Тбилиси в мае текущего года.
В текущем учебном году откроются профильные классы в 128 школах как городских, так и сельских районов республики. Для них разработаны соответствующие учебные материалы по отдельным предметам, создаются учебники и методические пособия.
О технологии творческого обучения математике
Б. П. Эрднкев
(г. Элиста)
Система работы педагогов-новаторов позволяет получить недостижимую при общепринятой ныне методике высокую результативносУь обучения. Это неопровержимый факт. Однако для широкого освоения учителями новых приемов повышения производительности педагогического труда необходимо научно ОБЪЯСНИТЬ сущность явлений, описанных в трудах педагогов-новаторов, названных ими как «идея опережения», «идея крупных блоков», «идея опорных сигналов» и др.
В публикациях психологов и методистов, посвященных педагогическим новациям, чаще встречаешь, к сожалению, недооценку их, нежели серьезный анализ, объясняющий глубинную сущность их находок.
В «Философской энциклопедии» (т. Ill, с. 330) мы находим следующее суждение о специфике науки математики: «Математика занимает особое положение среди других наук, так как, исследуя формы и отношения, встречающиеся в природе, обществе, а также в мышлении, она отвлекается от содержания и исключает из допускаемых внутри нее аргументов наблюдение и экспери- мент» (подчеркнуто мной.— Б. 3.J.
В математических сочинениях и диссертациях принято строго следовать канонам черно-белой логики (истинно — ложно), и это имеет свои причины. Но неправомерное превращение приведенного суждения, касающегося структуры науки математики, в некое «правило» обучения учебному предмету «Математика» отрицательно сказалось на качестве математических знаний.
Здесь же берут начало недостатки в самих истоках математического образования, здесь мы видим первопричину того, что в учебных планах педагогических институтов все еще не обеспечена приоритетность школьной математики. Так, из 800 опрошенных выпускников математических факультетов педвузов лишь 34 % считают, что смогут решить любую задачу школьного курса (данные Г. Л. Луканкина, 1990).
В последние годы из школьных учебников постепенно исчезли лабораторные работы, задачи на построение, измерения на местности, из программ удалены счеты и счетная линейка; учебники же ориентированы в основном на аксиоматическое и силлогистическое изложение; при обучении школьников математике почти не используются предположения, умозаключения по аналогии и индукции. Между тем именно эти формы мышления, удовлетворяющие требованиям историзма, столь обычные для практики обучения, скажем, биологии или литературе, как раз и обеспечивают живость и полноту изложения, прочность запоминания материала и на занятиях по математике. И потому заслуживает самого пристального внимания вывод известного ученого и педагога Д. Пойа о том, что написание учебников математики с включением правдоподобных рассуждений окажется «благодарным делом» (Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М.: Изд-во иностр. лит., 1957).
Компьютерная метафора
Значительные резервы повышения качества знаний можно найти, реализуя современные психологические
идеи.
В данной связи особую актуальность приобретает так называемая компьютерная метафора, возникшая в опыте конструирования и эксплуатации вычислительных машин.
В теории искусственного интеллекта различают понятия «база данных» (на информационном уровне) и «база знаний», причем под знанием понимается не всякая информация, а лишь полезная, обретшая системное качество, вводящее ее в содержательные связи с другими знаниями.
Для современной практики обучения математике характерен чрезвычайно медленный рост в памяти школьника базы данных, т. е. предварительного набора операций, терминов, знаков, живых наблюдений и т. п., пока пусть и не вошедших в жесткую систему суждений, обработанных согласно правилам формальной логики.
По действующим программам ученик, оканчивая начальную школу, не знает, что такое кубический сантиметр, не умеет циркулем и линейкой делить отрезок пополам, не умеет измерять угол транспортиром, не знает простейших символов для обозначения прямых, плоскостей и их взаимных положений. Между тем дидактически выгодно вооружить ученика уже в начальных классах указанной информацией как бы впрок. Всему этому, как показывает наш опыт, он может научиться играючи, подражая учителю, по принципу «ноу хау» («делай так»), т. е. без «теоретизирования», без заучивания правил и определений, которые придут позже, при систематическом изучении учебного предмета «Математика».
Если мы научим второклассника последовательности операций при построении циркулем и линейкой правильного шестиугольника, а третьеклассника—правильного пятиугольника (носителя золотого сечения), то это и означает своевременную заботу о базе данных.
Не углубляясь в эстетическую сторону указанных упражнений для детей, отметим, что точные построения приборами, приводящие к симметричным фигурам, запоминаются не по правилам логики, а по законам восприятия красоты совершенных фигур, к тому же построенных ими самими.
Когда, далее, наступает возможность доказать алгебраически правильность построения правильного пятиугольника, соответствующая информация переходит уже из базы данных в базу знаний, т. е. логически обработанных, «доказанных» истин.
Поучительность «компьютерной метафоры» подтверждает опыт педагогов-новаторов, в практике которых возникло новое понятие опережающего обучения.
Есть основания видеть в опыте учителей-новаторов зарождение нового явления в технологии обучения математике: целесообразности сочетания программных знаний по математике, которые принято оформлять посредством определений, доказательств, символов, с ранней пропедевтикой материала старших классов посредством неформализованных пояснений, выполнения детьми измерений, построений, на основе чего затем становится возможным применение аналогии, индукции, предположений*.
Уроки «опережения» программы оказываются благотворными для воспитания положительных эмоций, а также в смысле достижений полноты ассоциаций, целостности знаний, преемственности.
Многие из основных теорем математики могут быть пояснены в плане пропедевтики учащимся на простейших иллюстрациях уже в средних классах (при этом надо, конечно, указывать, что строгие доказательства этих суждений последуют позже, а нетерпеливым ученикам следует назвать соответствующую литературу).
Пусть уже в IV—V классах учащиеся склеивают объем¬
* Лет 30 назад государственные программы предусматривали пропедевтическое изучение в VII—VIII классах сведении о вычислении объема и площади поверхности тел. См., например: Никитин Н. Н. Геометрия: Учебник для
6—8 классов. М.: Просвещение, 1964.
15


ные фигуры, вычисляют площади разверток и объемы тел, контролируя вычисленные по формуле значения объема, скажем, опытом с мензуркой. Третьеклассник с интересом убеждается в «гладкости» грани (плоскости), пальцем проводит по ребру (пересечение двух плоскостей), постигает ощущением, как три плоскости (три грани) дают вершину (точку), и т. п.
Дети уже от рождения обладают генетическими способностями к ориентировке именно в трехмерном пространстве, и лишь закостеневшее в. веках слепое следование педагогов Евклиду мешает европейской школе раннему овладению единой геометрией. (Не лишне здесь вспомнить, что Н. И. Лобачевский в своем учебнике не отделял планиметрию от стереометрии.)
Дидактически целесообразно уже в начальной школе предлагать учащимся одновременно наблюдать пары объектов: шар и круг (сфера и окружность); квадрат — грань куба, памятуя, что в онтогенезе мышления именно «объемное» предшествовало «плоскому», что наиболее поучительное в геометрии — это выведение планиметрического из стереометрического.
Вот еще пример. Понятия перпендикулярности и параллельности прямых и плоскостей рассматриваются ныне в старших классах, хотя эти отношения оказались в нашем опыте вполне доступными для первичного ознакомления уже в начальной школе. Поясняем учащимся: шнур перпендикулярен к потолку; столб перпендикулярен к дороге (прямая перпендикулярна к плоскости); противоположные стены класса параллельны друг другу; плоскость стены перпендикулярна к плоскости пола и т. п.
Поучительно следующее упражнение в III—VI классах.
Покрасим противоположные грани модели куба по аналогии с кубиком Рубика; обозначим эти грани (плоскости) начальными буквами названия цвета: красный — оранжевый (к — о); белый — желтый (б—ж); синий—зеленый (с — з).
Нетрудно затем младших школьников научить переводу информации (даже с закрытыми глазами) с символического языка на словесный (и наоборот):
к||о — параллельные плоскости;
кз=кПз — ребро, по которому пересекаются красная и зеленая грани (знак пересечения можно опустить);
кзж — вершина, в которой пересекаются три грани (красная, зеленая, желтая);
кз JL ж — прямая кз перпендикулярна желтой грани ж;
к 1ж — грань к перпендикулярна грани ж. И т. п.
Цветной куб как носитель указанных отношений становится вратами в трехмерную геометрию; на нем удается выполнить множество содержательных упражнений, развивать пространственные представления и одновременно учить перекодированию суждений с символического языка на словесный и наоборот. (Несложно изготовить также каркас прямоугольного параллелепипеда.)
Смутные, подсознательные, зачастую словесно не оформленные представления о перпендикулярности, параллельности, противоположности, пересечении, воспринимаемые всеми органами чувств с самого раннего возраста на этапах опознания (различения, называния), облегчают впоследствии упрочение системы знаний, коль скоро знания будут скреплены ощущениями, восприятиями («живым созерцанием»), пролагающими дорогу к логическим механизмам переработки информации.
Богатство базы данных, созданное в младших классах, обеспечивает ускоренное возникновение базы знаний при систематическом изучении математики.
Не должно быть никакого ограничения ни в каком классе в «опережении» той или иной программы, в свободном пользовании математическими терминами, названиями, формулами, если это увязывается информационно с изучаемым и оставляет какие-то полезные следы в сознании.
Разумеется, участие школьника в таких «раскованных диалогах», наполненных аналогией, и если хотите, и фантазией, учителем не оценивается баллами, но всячески поощряется. В подобной ситуации нельзя, конечно, требовать от школьника, скажем, точного заучивания
соответствующих определений или правил.
Пропедевтическая беседа, например, в начальной школе должна носить характер пояснения, констатации на основе показа и описания увиденного: это куб; это шар; у куба шесть граней (пересчитаем); левая и правая грани параллельны, а синяя и желтая — перпендикулярны друг к другу. И т. п.
Нет необходимости доказывать, насколько ускоряется тем самым усвоение впоследствии уже строгой логики стереометрических формализаций о взаимном положении прямых и плоскостей, где так важна роль пространственного воображения, реального видения соотношений.
В современной практике обучения идут по пути накопления только формально доказанных суждений (скажем, относящихся лишь к функциям одной переменной, с тем чтобы разве лишь через полгода обобщить те же теоремы, но опять же обязательно на доказательной основе, на функции двух и больше переменных). Такое разведение во времени родственны^ знаний лишает интеллект ценнейшего элемента эффективного мышления, а именно информации связи; лишив процесс познания аналогии, мы избегаем (вопреки диалектике) прохождения знания через стадии недоказанного, предполагаемого, искомого; истина должна проходить через стадию проблемности — таков наш основной вывод.
По сути дела, невозможно развить активную личность, перепрыгивая по ступенькам готовых, доказанных истин, не допускающих и тени сомнения, поиска, даже ошибок с исправлением последних.
Ныне в математической литературе безраздельно господствует метафизика, т. е. аналитизм и элементаризм знаний. Так, стало правилом, когда в одной книге описана геометрия треугольника, а в другой — геометрия тетраэдра (причем без ссылок на исходные задачи по треугольнику), да еще другого автора; если в одном пособии, скажем, помещена задача о постоянстве произведения отрезков хорд (пересекающихся внутри окружности), то аналогичное свойство хорд сферы во второй книге даже не упоминается; или теорема об окружности, описанной около треугольника, доказывается в VI классе, а о единственности сферы, проходящей через вершины тетраэдра, не говорится даже в вузовских учебниках и т. п. Крайне важно уяснить следующее: во всех подобных случаях, нарушающих целостность знания, ум лишается третьего (важнейшего!) компонента знаний, а именно информации связи, характеризующей переход и превращение предметов и явлений.
«Обычное представление схватывает различие и противоречие, но не переход от одного к другому, а это — самое важное» (Ленин В. И. Полн. собр. соч. Т. 29. С. 128).
Отнюдь не случайно то, что ни в одних программах по математике мы не находим упоминания о целесообразности развития зачатков диалектического мышления посредством упражнений, удовлетворяющих этому критерию.
Общепринятая вневременная «подача» знаний гомеопатическими дозами приходит в противоречие с современными научными представлениями о механизмах эффективного усвоения знаний, согласно которым над изучаемым объектом должны трудиться как можно больше процессоров мозга. По словам академика Н. П. Бехтеревой, искусство обучения в том, чтобы вначале работал над новым материалом по возможности «весь мозг»; в центре внимания авторов учебников должна быть забота об обеспечении взаимосодействия правополушарного мышления (т. е. древнейших механизмов образного мышления) с левополушарным, прогнозирующим будущее расширение знаний.
На уроках, лекциях по математике вообще не встретить сейчас умозаключений вероятности с суждениями типа «предположим», «наверное», «допустим», что обычно для содержания других учебных дисциплин и, кстати, для творческой работы самих математиков.
В данной связи нельзя пройти мимо следующего
16


характерного явления. В сборнике статей «Повышение эффективности обучения математике в школе» (составитель Г. Д. Глейзер), изданном в 1989 г., помещена статья А. Я. Хинчина 30-летней давности «О воспитательном эффекте уроков математики».
Читатель встречается в ней со следующими тезисами автора: «Борьба против незаконных обобщений»; «Борьба против необоснованных аналогий» или еще: «... в математике заключения по аналогии категорически запрещены...» (подчеркнуто мной.— Б. Э.).
Хотя автор статьи не забывает тут же отметить эвристическую роль применения аналогий, у редактора сборника имелись основания подчеркнуть в данном случае приоритет позитивного над негативным в проблеме «аналогия в школьной математике».
Желание развивать творческое математическое мышление и «категорические запреты аналогии» — несовместимые в принципе позиции.
Тезис об обучении умозаключениям по аналогии (в духе работ Пойа, Сойера, Уемова и др.), разумеется с последующей проверкой и исследованием выводов, полученных по аналогии, должен занять свое законное место в программах и учебниках математики всех ступеней.
О представлении знаний
«Представление знаний» —- совершенно новое понятие не только для дидактики, но и для классической психологии обучения.
Если понятие «знание» проникло в теорию искусственного интеллекта из педагогики, то понятие «представление знаний» есть как бы возвратное влияние практики эксплуатации компьютеров на организацию уже естественного интеллекта.
В данной связи заслуживает специального внимания суждения академика Г. С. Поспелова, который указывает: «Сейчас известны по меньшей мере четыре вида моделей и соответственно языков представления знаний: языки (модели) семантических сетей, системы фреймов, логические языки (модели) и продукционные системы» (Искусственный интеллект — основа новой информационной технологии. М.: Наука, 1988. С. 35).
В указанном смысле язык формальной логики, упомянутый третьим в списке, случайно «захвативший» ныне безраздельное господство в школьных учебниках математики — и по логике вещей в приемах обучения науке математике, является всего лишь одним из четырех возможных средств представления знаний в мышлении. Значит, обучение будет полнее и результативнее в том случае, когда в нем найдет свое место и три других пути представления знаний в мышлении человека!
Отметим одну деталь. В учебнике геометрии А. В. По- горелова почти не используется символика, утвердившаяся в работе учителей математики. В нашем опыте запись процесса доказательства иных теорем в виде граф-схемы оказалась поистине новым подъязыком представления знаний, зрительной объективизацией семантической сети (см.: Эрдниев П., Эрдниев Б. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике. М.: Просвещение, 1986).
Далее. Усиление опытной и эмпирической части в приобретении математических знаний означает возрастание логики здравого смысла, т. е. как первого, так и второго (фреймового) пути представления знаний.
Существенно новым в контексте обсуждаемого для практики математического образования является третий способ представлений знаний — посредством фреймов. Фрейм (в переводе с английского — рама) означает консолидацию разнородной информации, имеющей центром то или иное реальное явление, действие, событие, ситуацию, воспринятую психикой в ограниченных рамках пространства и времени. Говорят еще и так: фрейм — это структурированная информация. Фрейм включает в себя и фоновую информацию.
По-другому: фрейм охватывает все информационное
окружение данного понятия, правила, теоремы. Состав фрейма зависит от исполнителя, от учителя. Примером удачного фрейма может служить шуточное «квадрат — тунеядец», позволившее ученику В. Ф. Шаталова помнить все свойства этой фигуры через много лет. «Решение всех интеллектуальных задач зависит от одних и тех же ограничивающих факторов: времени, пространства и используемых материалов»,— отмечает психолог М. Минский, создатель теории фреймов (Общение с внеземным разумом // Реальность и прогнозы искусственного интеллекта. М.: Мир, 1987. С. 231).
Недостатком постановки математического образования ныне в первую очередь является дефицит информации первосигнальной природы (ощущения, наблюдения, опыты), поскольку, по Минскому, для эффективности фрейма «самая яркая мысль слабее самого притупленного ощущения».
Рассмотрим примеры целенаправленного образования фрейма, т. е. укрупненного информационного блока, связанного, например, с парой понятий: «окружность — сфера».
Пусть учитель принес, скажем, на урок математики в V классе кроме мяча еще и яблоко (картофелину), по возможности круглое, и отрезает от него ножом у всех на виду часть (сегмент). Далее следует следующая свободная беседа с учащимися.
^—Представим, яблоко было совершенно круглое, как мячик. Тогда его поверхность (показывает) называют сферой, а все тело шаром. Говорят, мы пересекли шар плоскостью, в пересечении образовался круг (показывает). Граница круга (показывает) — окружность. Вот как изображают на бумаге от руки окружность и сферу (дети зарисовывают). Вот как циркулем строят окружность. Сообразите, какие фигуры образуются при пересечении окружности, круга, шара, сферы прямой линией? В скольких местах-точках шило проткнет мяч? По-научному: прямая пересекает сферу только в двух точках. И т. д. Напомним: никаких определений здесь не заучивают.
Учитель проводит вместе с учащимися «опыт академика
В. 	С. Владимирова», который мальчиком сделал свое первое «открытие» в математике: сравнивая с помощью бечевки по комлям разных бревен длину обхвата с его толщиной, он удивился тому, что первое всегда примерно в 3 раза превосходит второе. Возникший благодаря опыту вопрос: «Почему именно в 3 раза?» — быть может, вел мальчика к академическому званию.
И тут же учитель предлагает запомнить на память приближенные значения выражений: l — 2nR&6,3R (длина ок-
4
ружности), S=ttR2«3,1R2 (площадь круга), V=—jiR3« «4,2R3 (объем шара).
Дается задание: при возможности проверить на опыте справедливость этих формул. (Не лишне сообщить контрастную информацию: японские математики с помощью вычислительных машин вычислили миллион цифр числа л=3,14159... .)
Уже в начальной школе в лексиконе учащихся таким путем должны закрепиться слова-термины: круг, окружность, шар, прямая, плоскость, касательная, сопровождаемые многократным показом предметов (на уроках математики, труда), а иногда и физическим опытом.
Смысл этих терминов (названий) постепенно закрепляется и уточняется в результате живых наблюдений, посильных построений и употребления в речи, но не заучиванием наизусть определений. (Так накапливается база данных, дабы в свое время она могла превратиться в базу знаний.)
Новые названия (термины), знакомящие детей с вещами и их отношениями, обогащают фонд представлений ученика для последующего наполнения этих терминов уже логическим содержанием, т. е. превращения их уже в математические понятия со строгими определениями, например: «Окружностью (сферой) называется множество
точек, удаленных на одно и то же расстояние (радиус) от одной точки (от центра)».
2 "Математика в школе” № 6
17


И всюду дальше, где бы ни шла речь об окружности или производных от нее фигурах, выгодно вести беседу так, чтобы проигрывался (хотя бы в воображении) по возможности весь описанный сценарий фрейма, образовавшегося при первой встрече с шаром; не следует при этом опасаться и «рискованных» предположений, обобщений, остающихся до поры до времени в подсознании, или в форме высказанных гипотез, например: «При растяжении окружности (сферы) вдоль диаметра образуется эллипс (эллипсоид)».
А вот еще две задачи, входящие в тот же фрейм «окружность — сфера».
Задача 1
а) Даны три окружности на плоскости. Каково наибольшее число окружностей, касающихся трех данных? Ответ: 23=8. Почему?
Задача 2
б) 	Даны четыре сферы в пространстве. Каково наибольшее число сфер, касающихся четырех данных? Ответ: 24=16. Почему?
Пусть поиском логического доказательства «оброненных» таким образом загадок займутся в классе любители. .
Рассмотрим процесс возникновения составного фрейма, сопровождающего укрупнение дидактических едйниц (УДЕ).
Фрейм «треугольник», объединяет, например, все разнообразие сведений, что так или иначе связано с данной геометрической фигурой и было воспринято, скажем, на протяжении одного урока, в частности: число 3; углы; стороны; вырезать эту фигуру (из бумаги); площадь; вписанная окружность; сравнить с четырехугольником и т. д. и т. п.
Основное свойство фрейма заключается в том, что оно, будучи в своих истоках по возможности богаче в конкретном, должно постоянно актуализироваться в мышлении (пусть и в подсознании), обновляться и обогащаться. Негоже, как это стало правилом для общепринятых ныне учебников математики — когда в мышлении ученика лишь через месяцы или даже годы, независимо от возникшего ранее фрейма «треугольник» совершенно неожиданно появляется новый фрейм «тетраэдр» (или треугольная пирамида) с информационными компонентами: четыре (4); грань, развертка; двугранный угол, трехгранный угол, вписанная сфера и т. п. Между тем будет сообразно с природой мышления, если с самого начала заботой учителя будет создание двуединого фрейма «тетраэдр — треугольник», позволяющего совершать в мышлении аналогии, сравнения, гипотезы, переходы и предположения, например: три стороны — четыре грани; площадь треугольника — объем тетраэдра; вписанная (описанная) окружность — вписанная (описанная) сфера; плоский угол — двугранный угол — трехгранный угол и даже теорема синусов для плоского треугольника и аналогичная теорема синусов в сферической геометрии и т. д. (пусть последняя и не входит в школьную программу и вовсе не доказывается учителем).
Всюду выше в парах понятий знак «тире» информирует о приращении диалектического компонента в структуре знаний!
Существует крылатое правило дидактики, пришедшее в психофизиологию из кибернетики: понимание — это разговор двух кодов в пределах одной головы. В духе
обсуждаемого можно уточнить данный тезис следующим образом: понимание — это разговор двух фреймов перед их слиянием в общий, двуединый комплекс.
Итак, фреймовое представление знаний имеет ту особенность, что в нем поневоле участвуют как все процессоры мозга (не только формально-логический механизм, являющийся всего лишь одним из средств представления знаний), так и наблюдения, опыты, эмоции, аналогии и гипотезы, доказанное и предполагаемое, готовое и составляемое и т. п.
Академик Г. С. Поспелов указывает, что «обнаружение противоречий в знаниях становится побудительной причиной их преодоления и появления новых знаний. Таким же стимулом активности является неполнота знаний, выражающаяся в необходимости их пополнения» (Искусственный интеллект — основа новой информационной технологии. М.: Наука, 1977. С. 86).
Итак, неполное, незавершенное знание, сигнализируя о перспективе его развития, во многих случаях не недостаток обучения, а его благо.
В этом смысле попытка ставить ограничения основным государственным программам «сверху» или «снизу» (в форме «обязательных результатов») нам представляется мало обоснованной.
Достоин особого внимания четвертый путь представления знаний (по Поспелову), а именно продуцирование новых знаний самим обучающимся. Наш опыт разработки путей развития творческого математического мышления выявил большие (увы, не используемые еще педагогами) резервы в обучении.
Дело в том, что составленная нами система учебников такова, что сам школьник выступает в них как бы творцом конкретных знаний (задач), нигде не напечатанных, сочиненных им самим; иначе говоря, в мышлении ученика создается продукционная система представления знаний, а именно изобретение самим школьником для себя нового знания. Это и означало бы саморазвитие интеллекта школьника.
Заключение
Математика и дидактика математики хотя и взаимосвязанные, но существенно различные дисциплины с различными средствами и целями. Понятно поэтому, что в содержание науки математики не могут войти предполагаемые, но еще не доказанные суждения; в процессе же обучения учебному предмету математики, наоборот, необходимо научить воспитанника совершать умозаключения по аналогии, проверять затем по возможности предположенное, которое он, может быть, в силах строго доказать лишь через несколько лет (а нередко надобно сообщать о задачах, вовсе не доказанных никем).
Русский философ П. А. Флоренский прозорливо находил «в самодовлеемости математики причину ее культурного бесплодия: направляющие импульсы математике необходимо получать, с одной стороны, от общего миропонимания, а с другой — от опытного изучения мира и от техники» (Автореферат // Вопросы философии. 1988. № 12. С. 116).
Это мудрое суждение имеет отношение не только к развитию самой науки математики; оно должно учитываться и при решении вполне конкретных вопросов современной технологии массового обучения, иначе — математического образования вообще.
18


В МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
ПРОБЛЕМЫ ПРЕПОДАВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ В ШКОЛЕ
О курсе наглядной геометрии в младших классах
Н. 	П. Долбилин, И. Ф. Шарыгин
(Москва)
Геометрия давно и прочно вошла в систему общего образования, так что исторические ссылки, подкрепляющие этот тезис, излишни. Цели и результаты обучения геометрии не ограничиваются рамками предмета, они столь ценны и широки, что нашей средней школе давно следовало бы взять на вооружение принцип, который мы формулируем, перефразировав знаменитое платоновское изречение: «Не знающий геометрии не выпускается (из школы)». Выдвигая этот принцип, мы имеем в виду не столько специальные геометрические знания, предусмотренные программой, сколько тот ничем пока незаменимый эффект, который имеет для общего развития личности сам процесс серьезного изучения геометрии.
К сожалению, школа очень далека от этого принципа: не знающий геометрии выпускается из школы с аттестатом зрелости. А между тем, геометрия в определенном смысле является из «негуманитарных» предметов самым «гуманитарным», и провал в геометрической подготовке — это, как правило, своеобразный индикатор неблагополучия и в гуманитарном образовании школьника.
Развитие логики и развитие интуиции (геометрической в частности) — две важнейшие равноправные функции геометрического образования. Пуанкаре писал: «Доказывают при помощи логики, изобретают при помощи интуиции». Геометрия, как, пожалуй, никакой другой предмет, способствует развитию обоих качеств, поскольку логический и интуитивный аспекты в этом предмете переплетаются наиболее тесно. Диалектическое единство двух противоречивых тенденций, которое мы наблюдаем в геометрии и которого нет сегодня ни в одном другом школьном предмете, как раз и делает эту дисциплину, по нашему мнению, уникальным и необходимым предметом изучения.
С другой стороны, противоречие между «сухой логикой» и «живым воображением» является едва ли не главной причиной всех методических трудностей во всех вопросах геометрического образования начиная с составления
школьных программ, написания учебных пособий и кончая оцениванием знаний учащихся. И куда более жаркие, чем по алгебре, дискуссии вокруг программ и учебников по геометрии представляются нам не только борьбой между сторонниками различных подходов к изучению геометрии, но и отражением объективных методологических противоречий, присущих этой науке. Польза от дискуссий несомненна: за последние десять лет программы по геометрии стали «геометричнее», учебники, грешившие сухим логическим акцентом, заметно эволюционировали к большей наглядности, а чересчур «наглядные» — приобрели больше логической стройности.
Однако наблюдающийся прогресс в постановке геометрического образования не приводит к радикальным изменениям качества геометрического образования школьника, которое сейчас находится в плачевном положении.
Принципиальным тормозом в деле геометрического образования является установившееся за многие годы положение курса геометрии в школе. Оно состоит в том, что в школе геометрия изучается начиная только с VII класса и только в рамках систематического курса. При этом полностью отсутствует изучение наглядной геометрии. При всем своем уважении к традициям, мы тем не менее не видим убедительных аргументов, объясняющих, почему геометрия получила в школе именно такой статус. Более того, многие трудности в изучении геометрии связаны, как нам кажется, именно с этим сложившимся статусом геометрии в школе.
Хорошо известно, какой огромный путь в своем интеллектуальном развитии проходит ребенок в первые пять-шесть лет своей жизни. В богатом багаже его представлений об окружающем мире геометрические представления занимают одно из центральных мест. Геометрический опыт шестилетнего ребенка настолько многогранен, что если говорить о развитии непосредственных наглядно-геометрических представлений, то изучение геометрии в школе немногое может к нему добавить. Ребенок предшкольного возраста многое знает, многое умеет делать руками. Ему доставляют огромное удовольствие занятия геометрическими играми, упражнениями, буквально всё, что связано с геометрией (рисование, конструирование, лепка и т. п.). Именно на этот возраст приходится пик, если можно так сказать, геометрической активности ребенка.
Но вот ребенок поступает в школу, и живой поток его геометрической активности, вместо того, чтобы быть воспринятым и направленным в учебное русло, фактически перекрывается. В течение первых пяти-шести лет обучения геометрия сочится жалким, иссыхающим ручейком по школьным учебникам.
2*
19


В программах и учебниках для младших классов по математике, если говорить о геометрии, совершенно не учитывается ни умственное развитие ребенка, ни его возрастные особенности. На кого, например, рассчитана программа, требующая, чтобы ученик на выходе из четвертых-пятых классов умел распознавать простейшие фигуры: квадрат и прямоугольник, круг и окружность, куб и шар? Ведь в школу приходит не Маугли, выросший среди дикой природы и в жизни не видевший прямоугольника, а ребенок, который для игры в футбол никогда не брал куб, а детские домики возводил не из шаров. Возможно, кое-кто из ребят не знает названий некоторых геометрических фигур, хотя и прекрасно знаком с ними.
Логика геометрической части программы по математике для I—VI классов прочитывается легко: подготовить ребят к сложному систематическому курсу геометрии. Но остановившись на уровне знакомства с терминологией и с примитивными построениями, программа не использовала ни непосредственный интерес к геометрической деятельности в этом возрасте, ни богатый геометрический опыт детей, не поставила в качестве цели развитие их геометрической интуиции. Как и следовало ожидать, включение элементов геометрии в программу младших классов никакого реального эффекта не произвело. Более того, проведенное одновременно с появлением элементов геометрии изменение содержания математических программ для младших школьников привело к утрате ряда факторов, содействовавших развитию у школьников логического мышления, что отрицательно сказалось на процессе изучения систематического курса геометрии.
Следует сказать, что к 12—13 годам, когда ученик приступает к изучению геометрии, его непосредственный интерес к геометрии уже на излете. К сожалению, школьный учебник возбудить интерес к предмету не в состоянии: требования к систематическому изложению накладывают свой отпечаток независимо от выбранного в учебнике подхода — более аксиоматического или более наглядного. Ученик, как только он откроет учебную книгу по геометрии, неизбежно должен ощутить разрыв между его личным жизненным геометрическим опытом и тем, с чего начинается любое систематическое изложение геометрии. И это испытание разочарованием от первой встречи со школьной геометрией для многих определяет всё дальнейшее их отношение к предмету.
Парадоксальность положения геометрии в школе становится более очевидной в сравнении с положением арифметики и алгебры. Не владея основами счета при поступлении, к V—VI классу учащиеся шаг за шагом достигают определенных высот: они овладевают (хорошо или
плохо — другой вопрос) операциями над дробями, используют в задачах пропорции, уравнения и др. Если программа по арифметике и алгебре развивает, тянет ребят наверх, то вкрапление геометрии в программу младших классов не обеспечивает развития.
Положение геометрии по сравнению с другими школьными предметами в своем роде уникально: ни один предмет, пожалуй, первоклассники так ни готовы воспринимать, как наглядную геометрию. В то же время, ни один предмет не начинают изучать в школе с таким запозданием (по отношению к благоприятному моменту), как геометрию.
Было бы неправильно думать, что отсутствие геометрии в младших классах — это беда только лишь геометрии. Есть основания считать, что пятилетний провал в геометрическом образовании детей, лишение их., если можно так сказать, геометрического детства — это трудно восполнимая потеря с точки зрения и общего эмоционального, и умственного развития ребенка.
Основной тезис этой статьи очевиден: наряду с систематическим курсом геометрии, в младших классах педагогически целесообразно широкое содержательное изучение наглядной геометрии. В его основе должна лежать максимально конкретная, практическая деятельность ребенка, связанная с различными геометрическими объектами. На наш взгляд, в курсе наглядной геометрии не должно быть теорем, строгих рассуждений. Но в курсе должны присутствовать такие темы и задания, которые бы стимулировали учащегося к проведению несложных обоснований, к поиску тех или иных закономерностей. Теоретизация материала должна быть минимальной и несколько нарастать лишь на завершающем этапе. Не собираясь здесь приводить конкретные рекомендации относительно тематики такого курса, отметим лишь такие важные направления, как геометрическое конструирование, моделирование, дизайн.
При всей привлекательности курса наглядной геометрии одно из главных возражений против него — это перегрузка учебной программы. Однако, на наш взгляд, при правильной постановке дела увеличения учебной нагрузки можно не только избежать, но, напротив, даже уменьшить. Во-первых, программа курса должна максимально соответствовать интересам ребенка этого возраста, темы и задания должны быть лишены всякого занудства. Урокам можно придать характер игры, увлечь ребят полезным и интересным делом. Во-вторых, предотвратить увеличение нагрузки можно путем более тесного взаимодействия с арифметикой и алгеброй. Практически все типы арифметических задач, формулируемых сейчас, как
20


правило, на языке пресловутых «бригад», «бассейнов» и т. п., можно сформулировать на геометрическом языке. В-третьих, сохраняя единство курса, его отдельные темы (моделирование, дизайн) можно перенести, по крайней мере в младших классах, на уроки труда, рисования (эстетики) и т. д. Немаловажный фактор разгрузки видится и в том, что курс наглядной геометрии неизбежно будет способствовать успешному изучению и систематического курса геометрии.
Проблемам преподавания геометрии в младших классах посвящено немало публикаций, и эту статью следовало бы рассматривать отнюдь не как пионерскую работу, а как своеобразный призыв к обсуждению и принятию конкретных мер в этом, как нам кажется, очень плодотворном направлении.
«Введение в геометрию»
Г. Г. Левитас
(Москва)
Мною разработан и проведен в 263-й школе г. Москвы курс «Введение в геометрию», рассчитанный на преподавание примерно в течение 60 ч в V—VI классах. Его цель — подготовить учащихся к овладению систематическим курсом геометрии.
При определении содержания «Введения» нужно было понять, что именно наиболее трудно дается детям в начале систематического курса. Этот курс догматичен. В нем почти отсутствует мотивация, его логика скрыта от детей. В самом деле, он начинается с точек и прямых, потом идут углы, потом треугольники. Но ученики не знают, что будет впереди, не ведают ни о цилиндрах, ни о пирамидах.
Разъединенность планиметрии и стереометрии — весьма вредная для дела особенность курса. У учащихся подавляется пространственное воображение. «В процессе длительного изучения планиметрии в условиях, когда отсутствуют даже эпизодические обращения к трехмерным образам, у учащихся вырабатываются устойчивые двумерные стереотипы пространственного мышления, которые мешают им мыслить трехмерными образами» (см.: Повышение эффективности обучения математике в школе: Кн. для учителя / Сост. Г. Д. Глейзер. М.: Просвещение, 1989. С. 202).
В поисках путей преодоления этого недостатка естественно обратиться к истории геометрии. В нынешнем курсе представлен лишь евклидов этап истории геометрии, а доевклидов не рассматривается вовсе. Не отражено в нем то время, когда ученые еще не владели методами строгих доказательств, но знали уже прак¬
тически все, что входит в нынешнюю школьную геометрию. Так почему бы не познакомить учащихся перед систематическим курсом со всеми объектами изучения, создав специальный курс «Введение в геометрию». Тогда в VII классе можно четко поставить задачу — выстроить уже знакомый материал так, чтобы удалось доказать справедливость уже известных фактов и других, еще не известных. При такой постановке вопроса изживается догматизм, а те умения, которые удастся сформировать в V—VI классах, делают дальнейшее изучение геометрии не таким трудным.
Конечно, и само «Введение в геометрию» должно быть логичным, чтобы не появлялось в нем немотивированных понятий.
Итак, создавая курс, пришлось ввести в него не четыре типа задач (на доказательство, на построение, на измерение, на вычисление), а только последние три, причем естественно было начать с задач на измерение. Измерение длин известно из начальной школы, а при изучении измерения площадей, объемов и углов легче всего разъяснить практическую необходимость измерения объемов. Поэтому введение в геометрию удобно начать с изготовления литровой емкости — куба с ребром в 1 дм. При этом внимание учащихся обращается на то, что для изготовления этого куба нужно иметь шесть квадратов со стороной в 1 дм и при склеивании их нужно прикладывать друг к другу определенным образом. Учащиеся получают очень важный опыт, который недостижим в нынешних условиях, когда измерение объемов изучается в X—XI классах. (Не заставлять же старшеклассников клеить кубы!) Уже на этом примере просматриваются основные черты «Введения в геометрию»: дети измеряют, чертят, вырезают, клеят. В дальнейшем добавляются вычисления по формулам.
Следующий вопрос — измерение объема полулитровой емкости, весьма распространенной в торговле, в быту. Можно разрезать литровый куб пополам так, как на рис. 1, или так, как на рис. 2. Получаются многогранники, называемыми призмами. Чему же равен объем призмы? В первом случае мы делили пополам высоту
Рис. 1 Рис. 2
21


куба, а основание не трогали. Вообще, если не изменять основание, а изменять только высоту, то объем изменится во столько же раз. Во втором случае мы не трогали высоту куба, но в два раза уменьшили площадь его основания. Так мы приходим к объяснению формулы объема призмы. Учащиеся применяют эту формулу во время лабораторной работы.
Далее рассматривается вопрос об изготовлении емкости в 1/3 л. Учитель рассказывает детям о пирамидах, подтверждая рассуждения об объеме пирамиды демонстрацией пустотелых моделей многогранников. Переливая воду, заполнившую сосуд-пирамиду, в сосуд-призму (с тем же основанием и высотой), школьники убеждаются в существовании зависимости между объемами рассматриваемых тел. Так устанавливается формула для вычисления объема пирамиды.
Снова проводится лабораторная работа. Дети вычисляют по формулам объемы выданных им на руки моделей призм и пирамид. Высоты они измеряют с помощью самодельного прибора — аналога ростомера. Можно исполь^ зовать только прямые призмы и пирамиды, имеющие ребро, перпендикулярное основанию.
Пока основания — прямоугольники, площадь основания вычисляется просто. Но вот встречаются многогранники с основаниями другой формы. Естественно возникает вопрос: «Как найти площадь основания, е£ли оно не прямоугольник?»
Ответ на этот вопрос перерастает в большую тему — «Площадь многоугольника». Вначале рассказывается, что любой многоугольник можно разделить на треугольники, проведя в них диагонали.
Затем демонстрируется разбиение произвольного треугольника на прямоугольные треугольники. Из формулы площади прямоугольника выводится формула площади прямоугольного треугольника. Вместе с тренировочными упражнениями по непосредственному использованию изученных формул учащиеся решают задачи на нахождение площадей боковой и полной поверхностей призм и пирамид.
Параллелограмм появляется как простейший, с нашей точки зрения, четырехугольник. Он состоит из двух равных треугольников.
Итак, уже мелькнула идея о необходимости строить равные треугольники. Но для этого нужно уметь строить равные отрезки и углы. Отсюда легко перейти к тому, чтобы поставить и решить такую последовательность задач: построить отрезок данной длины; отрезок, равный данному; отрезок, вдвое больший данного, вдвое меньший данного; найти середину данного отрезка. Аналогично: построить угол данной величины; угол, равный данному; угол, вдвое больший данного, вдвое меньший данно¬
го; построить луч, делящий угол пополам (так, без всякого насилия над логикой изложения, вводится понятие биссектрисы угла).
После этого переходим к построению треугольников. Вначале требуется построить треугольник, у которого известны три стороны и три угла. Учащиеся начинают работу по.-разно- му, но всякий раз оказывается, что им достаточно использовать только три из шести условий. Остальные три служат для контроля за точностью построений. Постепенно приходим к мысли о возможности задать треугольник тремя элементами. В этом месте курса рассматриваются задачи на построение треугольника по трем заданным параметрам; треугольника, равного данному, вдвое больше (или меньше) по площади, чем данный (так появляется медиана!).
В дальнейшем рассматривается тема подобия фигур, с использованием того материала о пропорциях, который изучается в VI классе.
Завершается «Введение в геометрию» материалом о круглых телах.
Описанный курс можно реализовать на занятиях математического кружка, но еще лучше — перестроить курс математики в V классе, отказавшись от повторения на протяжении целого полугодия уже известного детям материала о действиях над многозначными числами.
О некоторых определениях в учебном пособии А. В. Погорелова
▲. В. Гладкий (г. Шуя)
В книге А. В. Погорелова [1] дается следующее определение треугольника (с. 11): «Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки». Аналогичным образом определяются четырехугольник (с. 66) и произвольный многоугольник (с. 157). Эти определения существенно отличаются от тех, которые давались в учебниках, использовавшихся в нашей школе раньше [2, 3]. Поэтому полезно сравнить их с прежними и проанализировать, как «работают» эти новые определения.
В учебнике [2] многоугольник определяется как «фигура, образованная замкнутой ломаной линией вместе с частью плоскости, ограниченной этой линией», в [3] — как «объединение простой замкнутой ломаной и ее внутренней области». (Определения треугольника и четырехугольника в этих учебниках отдельно не формулируются). Первое из этих определений восходит к Евклиду (см. [4], с. 12, опреде¬
22


ление 19), второе сформулировано на современном теоретико-множественном языке. Но оба они относятся к одному и тому же объекту, представляющему собой «кусок плоскости» (замкнутую область), в то время как определение из in относится к другому объекту — контуру. Иначе говоря, в [2] и в [3] многоугольником называется двумерная фигура, а в [1] — одномерная. Хотя между многоугольни- ками-«кусками плоскости» и многоугольниками- контурами имеется естественное взаимно однозначное соответствие, все же небезразлично, какой из этих объектов называть при первоначальном изучении геометрии многоугольником.
Наш язык устроен таким образом, что наталкивает нас на понимание многоугольника как «куска плоскости», а не как контура. Мы говорим: диагонали многоугольника, медиана треугольника, центр тяжести треугольника, и этим создается ощущение, что диагонали, медиана, центр тяжести принадлежат многоугольнику (треугольнику). Поэтому при определении многоугольника как контура возникает конфликт между интуитивным и формальным пониманием, крайне нежелательный в самом начале изучения геометрии. Но не менее существенно и другое. В школьном курсе геометрии, как правило, приходится иметь дело не с контуром в целом, а с его составными частями — сторонами, которые не менее непосредственно и естественно соотносятся и с понятием много- угольника-замкнутой области1. Единственное исключение в традиционном курсе — вычисление длины контура, но для нее имеется особый термин — периметр. (Курс А. В. Погорелова не вполне традиционный: об этом см. ниже.) Поэтому понятие многоугольника-контура при традиционном изложении не нужно, если есть понятие многоугольника-«куска плоскости». Между тем без этого последнего ни при каком способе изложения обойтись нельзя, если мы собираемся изучать площади. Поэтому А. В. По- горелову пришлось все же ввести в рассмотрение «фигуру, состоящую из многоугольника и ограниченной им конечной части плоскости», которую, он называет плоским многоугольником (с. 157).
Это очень неудачный термин: слово «плоский» в системе геометрической терминологии означает «расположение в одной плоскости» (и таково же основное значение этого слова в обиходном русском языке),>а этим свойством обладает и тот объект, который назван в [1] просто многоугольником. Впрочем, в.дальнейшем изложении А. В. Погорелов практически не поль-
1 Например, если хотят сказать, что Некоторая точка принадлежит контуру, говорят: «Точка лежит на одной из сторон треугольника».
зуется этим термином: на с. 167 вводится второе значение слова «треугольник» («...под треугольником мы будем понимать треугольную область, т. е. конечную часть плоскости, ограниченную треугольником»). При этом не оговорено, что в смысле определения на с. 157 этот объект следовало бы называть «плоским треугольником», а слова «квадрат», «прямоугольник» и т. п. употребляются далее для обозначения ограниченных этими фигурами областей без всяких оговорок. (В изданиях до 1986 г. на с. 163 была оговорка: «Говоря о площади треугольника, параллелограмма, трапеции и вообще многоугольника, мы будем иметь в виду площади областей, ограниченных ими, т. е. площади соответствующих плоских многоугольников». В следующих изданиях она опущена.) Правда, на с. 230 термин «плоский многоугольник» снова появляется в определении выпуклого многогранника, но уже четырьмя строками ниже слово «плоский» без всяких оговорок опускается, и далее опять всюду говорится «квадрат» вместо «плоский квадрат» и т. д. Итак, слово «многоугольник» (как и «треугольник», «параллелограмм» и т. п.) употребляется в учебнике в двух разных значениях, причем о втором значении нигде внятно не сказано. При тех претензиях на строгость, которые характерны для данного учебника, это выглядит странно2.
Такие же трудности, как с понятием площади, возникают и с понятием периметра: ведь периметром множества в математике принято называть меру границы этого множества, а не меру его самого. Поэтому, когда А. В. Погорелов употребляет выражения периметр треугольника и периметр многоугольника до введения двумерных треугольников и многоугольников, это противоречит общепринятому употреблению термина «периметр». К тому же, поскольку многоугольник он рассматривает как частный случай ломаной, а для общего случая вводит понятие длины ломаной, он должен был бы определить периметр многоугольника примерно так: «Длина многоугольника называется его периметром». Избегает он этого оригинальным способом: употребляет выражение периметр много¬
2 Вообще говоря, употребление одного и того же математического термина в различных значениях — дело вполне обычное. В частности, термины «многоугольник», «треугольник», и т. п. употребляются в математической литературе как в смысле «часть плоскости», так и в смысле «контур».
Но каждый автор обязан четко сказать, какой смысл он имеет в виду (если только это не ясно из более широкого контекста). Смешение двух значений слова «многоугольник» без всяких оговорок — это возврат к докиселевскому уровню строгости, когда не различали окружность и круг, с той разницей, что авторы старых учебников не пытались представить свое изложение более строгим, чем оно было на самом деле.
23


угольника без всякого определения, считая, видимо, достаточным объяснение слова «периметр» в упражнении 10 к § 3 (с. 37), начинающемся фразой: «Периметр (сумма длин сторон) равнобедренного треугольника равен 1 м». Таким образом, понятие периметра как бы оттесняется на периферию курса — выход, безусловно, неудачный, хотя бы уже потому, что это понятие используется в таком важном пункте, как определение длины окружности.
Итак, мы видим, что замена двумерного многоугольника одномерным повлекла за собой известные потери. С какой же целью она была произведена? Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо прежде всего выяснить точный смысл используемого в [1] определения треугольника. (Далее мы будем говорить только о треугольниках, так как нбвое определение введено, как кажется, именно ради этого случая.) Здесь мы сразу сталкиваемся с небрежностью, особенно досадной в столь важном определении: смысл выражения отрезок соединяет точки нигде не объяснен. Об этом, конечно, легко догадаться; но смысл слова «попарно» вовсе не очевиден для двенадцатилетнего подростка. В целом формулировка воспринимается как тяжеловесная и трудная для понимания. Если отвлечься от этого обстоятельства, естественно рассуждать следующим образом. Поскольку в самом начале книги (с. 3) сказано: «Всякую геометрическую фигуру мы представляем себе составленной из точек», а под отрезком понимается открыт'ый отрезок (см. определение на с. 5), можно предположить, что фактически под треугольником предлагаетсяпо- нимать множество точек его контура. Но представлять себе геометрические фигуры составленными из точек вовсе не обязательно (см. [5]Х и уж во всяком случае школьнику, только начинающему знакомиться с геометрией, такое представление не может показаться само собой разумеющимся. Между тем теоретико-множественная точка зрения, объявленная в только что приведенной фразе, в дальнейшем изложении никак не развивается и не подкрепляется, и ученик навернякд пропустит эту фразу мимо ушей, если только учитель не обратит на нее особое внимание; а", это вероятно, случается редко. (Даже в методическом пособии для учителей [7] о теоретико-множественной трактовке понятия «фигура» це сказано ни слова.)
Поэтому ученик скорее всего решит, что треугольник предлагается представлять себе как* совокупность его вершин и сторон, т. е., в сущности, как некоторое шестиэлементное множество3. Такое понимание тоже можно
3 Чтобы составить себе такое представление, не требуется, конечно, владеть общим понятием множества.
было бы считать допустимым. Но оба эти варианта сразу же наталкиваются на серьезную трудность. Вслед за определением треугольника сформулировано еще одно определение: «Треугольники ABC и Л1В1С1 называются равными, если у них Z.i4=Z.i4i, Z.B=Z.B 1, Z.C= = Z.Cj, АВ—А\В\У BC=B[C[, АС=А\С 1». Таким образом, понятие равенства треугольников оказывается существенно зависящим от обо- значений. С логической точки зрения это означает, что соответствующий предикат — четырехместный: два места в нем заняты треугольниками и два — их обозначениями. Но ведь при всем разнообразии отношений, обозначаемых в математике и в обиходном языке словом «равенство», все эти отношения без исключения — двухместные. Поэтому реальный психологический эффект такого определения равенства состоит в том, что обозначение начинает восприниматься как существенная составная часть понятия треугольника. Разумеется, специалист-математик без труда найдет выход из затруднения: он откажется от обсуждавшихся выше уточнений определения треугольника и будет понимать его как набор, состоящий из упорядоченной тройки точек и трех отрезков. Тогда все станет на свои места: треугольник ABC и треугольник АС В будут разными треугольниками, и определение равенства треугольников станет логически безупречным4.
Но не так легко ученику. Само по себе понятие упорядоченной системы для него, конечно, не трудно, и разница, скажем, между туристскими маршрутами Ростов — Владимир — Суздаль и Ростов — Суздаль — Владимир ему, как правило, очевидна. Но самостоятельно додуматься до включения порядка перечисления вершин в понятие треугольника он не может. Больше того, даже если бы такое определение было сформулировано явно, ему было бы очень трудно его усвоить, потому что оно для него абсолютно ничем не мотивировано. Между тем автор, уклонившись от явной формулировки определения треугольника как ориентированного пути, довольно скоро ставит ученика лицом к лицу с рассуждениями, которые может понять только тот, кто совершенно четко и недвусмысленно представляет себе треугольник именно как ориентированный путь. Это доказательства теоремы об углах при основании равнобедренного треугольника и обратного ей утверждения. В них обыгрывается равенство треугольника с одним порядком вершин тому же треугольнику с другим порядком вершин. Но для ученика треугольник САВ и треугольник СВА все-таки не разные треугольники,
4 Это было отмечено в свое время А. Н. Колмогоровым [9].
24


а один и тот же, по-разному обозначенный. Поэтому упомянутые доказательства должны восприниматься им как своего рода цирковой фокус. По свидетельству учителей, так оно и происходит.
Ориентация существенна также для доказательства признаков равенства треугольников, хотя это не так сильно бросается в глаза. Они доказываются с использованием аксиомы существования треугольника, равного данному, имеющей смысл только при фиксировании порядка перечисления вершин. Эта аксиома введена, несомненно, с целью сделать доказательства более строгими, чем традиционные, производимые с помощью наложения и приложения, как в [2]. По всей вероятности, достижение строгости в этом разделе и есть, по мысли автора, то главное преимущество, которое должно оправдать нетрадиционное определение треугольника (и многоугольника). Но не слишком ли дорогую цену приходится за это платить? Настоящая строгость в современном понимании в пособии in все равно не достигается; к этому вопросу после статьи А. Д. Александрова [6] можно не возвращаться.
Но главным критерием при «подведении баланса» должно быть, конечно, не то, насколько выдержан в книге формальный уровень строгости, а то, что реально извлекает из нее ученик. Между тем принятое в [1] определение равенства треугольников создает ученику серьезные препятствия как раз для выработки правильного представления о строгости математических рассуждений: поскольку понятие треугольника как ориентированного пути, для которого такое определение равенства действительно имеет смысл, остается от него скрытым, связанные с этим определением рассуждения приобретают в его глазах мистический оттенок. Кроме того, затрудняется формирование необходимого для изучения математики «инвариантного мышления», включающего отчетливое понимание несущественности выбора обозначений. Если вспомнить, что и те потери, о которых говорилось выше, в значительной части также являются потерями в строгости, то можно сделать вывод, что большая строгость изложения в книге А. В. Погорелова по сравнению с традиционным изложением, классический образец которого дает учебник А. П. Киселева, является чистейшей иллюзией не только с формальной точки зрения (как показано в [6]), но и в учебном аспекте, наиболее существенном для оценки школьного пособия. И ради этой кажущейся строгости изложение усложнено и сделало менее доступным для понимания школьника.
В этой связи стоит остановиться еще на определении отрезка. А. В. Погорелов (и здесь отступая от традиции) определяет отрезок таким образом, что из него исключаются концы.
Такое определение резко расходится с интуицией школьника, которому очень трудно было бы представить себе отрезок с выброшенными концами. Но автор и не настаивает на выработке такого представления. Более того, в методическом пособии [7] дается удивительная рекомендация, которая вряд ли могла бы появиться без его одобрения: «При введении определения отрезка не следует обсуждать вопрос о принадлежности концов отрезку». Что же делать, если ученик спросит, входят ли точки А и В в отрезок АВ7 Уж не сказать ли: «Рано еще тебе это знать»? Предвижу возражение: «Да никто не спросит». Не уверен, что совсем никто: бывают ведь необыкновенно одаренные и необыкновенно любознательные дети. Но обычно действительно не спрашивают. А почему? Очень многие просто потому, что математика им вообще, как теперь говорят, «до лампочки», или потому, что к VII классу у ребят уже отбили всякую охоту задавать учителю вопросы. Но и тот, у кого охота не отбита и кому интересно, скорее всего, тоже не спросит — потому что больше верит своей интуиции, чем формальным определениям, с которыми только-только начинает знакомиться. С точки зрения его интуиции концы отрезка, не входящие в этот отрезок, .так же неправдоподобны, как улыбка чеширского кота из «Алисы в стране чудес», которая видна, когда сам кот уже исчез. (Изучение геометрии как раз и должно развить тот вкус к отвлеченному мышлению, который нужен, чтобы понятие открытого отрезка не казалось противоестественным5.) Фактически автор учебника и вслед за ним учитель сознательно вводят ученика в заблуждение, заставляя его заучивать определение, которое он понимает заведомо неверно. Сходное положение возникает, в сущности, и с определением треугольника, истинный смысл которого, состоящий в том, что треугольник понимается как ориентированный путь, скрыт от ученика. Таким образом, при функционировании книги в качестве учебника существуют как бы два уровня: верхний, открытый лишь посвященным, и нижний — для учеников, которым незачем правильно понимать все, что написано в книге. Ситуация странная и для развития логического мышления безусловно вредная.
Еще одно, на что нужно обратить внимание, говоря об определении .треугольника в [1],—
5 Это понятие вводится значительно позже в курсе «Алгебра и начала анализа» под именем интервала. Одновременно дается понятие числового отрезка, содержащего концы (см. [8], с. 240). Таким образом, определение отрезка у А. В. Погорелова не только противоречит общепринятому, но и «не стыкуется» с курсом алгебры и начал анализа. (Стоит ли говорить, что в этом курсе отказаться от .общепринятого определения отрезка невозможно!) ‘
25


это его эстетическая сторона. Совокупность трех точек и трех отрезков — объект громоздкий и не слишком элегантный. А ведь эстетическая сторона формулировок (и доказательств) в учебнике вовсе не безразлична для успеха преподавания. Во-первых, только тот может полюбить математику, кто почувствовал ее красоту. Во-вторых, чем эстетически совершеннее формулировка, тем легче она усваивается (при прочих равных условиях). К слову сказать, этого рода замечания можно сделать и по поводу ряда других мест книги (например, той же аксиомы существования треугольника, равного данному).
И последнее, все трудности, о которых говорилось выше, достаются на долю семиклассника. В дальнейшем изложении ориентация существенной роли не играет (и нет непосредственных ссылок на аксиомы). Таким образом, в VII классе изучается значительно более трудный материал, чем во всех последующих, а это недопустимо. В VII классе ученик и без того испытывает очень серьезные затруднения, впервые сталкиваясь со строгими математическими рассуждениями. Сосредоточение логических трудностей в начале курса имеет следствием, между прочим, ослабение внимания к развитию геометрического воображения, что очень неблагоприятно сказывается на дальнейшем изучении геометрии (и в еще большей степени — на овладении навыками черчения).
Таким образом, неудачный выбор определений нескольких важнейших понятий привел к существенному ухудшению качества пособия как целого и, в частности, к затушевыванию истинного смысла ряда понятий и созданию искусственных трудностей при овладении умением логически рассуждать. В конечном счете это ведет к снижению математической культуры школьников и поддерживает хорошо знакомое всем работающим с первокурсниками вузовским преподавателям математики представление о математической строгости как требовании строго дословно воспроизводить текст учебника.
Все сказанное может, как мне кажется, служить еще одним подтверждением мнения, что книга А. В. Погорелова не дала удовлетворительного решения проблемы школьного учебника геометрии6.
Примечание. В 1990 г. должен выйти в свет переработанный вариант пособия; краткая информация о нем дана в статье А. В. Пого- релов'а [10]. Судя по тому, что среди перечисленных в статье изменений не упоминаются определения треугольника и многоугольника
6 Автор благодарит за ценные советы и замечания
С. 	М. Горбачева, Г. Е. Крейдлина, А. М. Шелехова,
А. 	И. Фета, прочитавших первоначальный вариант статьи.
(а также отрезка), можно предположить, что они остались прежними.
Литература
1. Погорелое А. В. Геометрия: Учебное пособие для
7—11 классов средней школы. 8-е изд. М.: Просвещение. 1989. [Издания 1—7-е выходили в 1983—1988 гг. под названием «Геометрия: Учебное пособие для 6—10 классов средней школы».]
2. Киселев А. П. Геометрия. Ч. I. Планиметрия: Учебник для 6—9 классов семилетней и средней школы. М.: Учпедгиз^ 1950.
3. Колмогоров А. Н., Семенович А. Ф., Черкасов Р. С. Геометрия: Учебное пособие для 6—8 классов средней школы. М.: Просвещение. 1982.
4. Начала Евклида. Книги I—VI / Пер. Д. Д. Мордухай- Болтовского. М.; JL: ОГИЗ, ГТТИ, 1948.
5. Александров А. Д. О понятии множества в курсе геометрии // Математика в школе. 1984. № 1.
6. Александров А. Д. О строгости изложения в учебном пособии А. В. Погорелова // Математика в школе. 1985. № 5.
7. Мельникова Н. Б., Мищенко Т. М., Чернышева Л. Ю. Геометрия в 6 классе. М.: Просвещение, 1986.
8. Колмогоров А. Н. и др. Алгебра и начала анализа: Учебное пособие для 9—10 классов средней школы. М.: Просвещение. 1988.
9. Колмогоров А. Н. Об учебном пособии «Геометрия 6—10» А. В. Погорелова // Математика в школе. 1983. № 2.
10. Погорелое А. В. Об учебнике «Геометрия 7—11» // Математика в школе. 1989. № 5.
Теорема о сумме углов треугольника
К. И. Дуничев
(Москва)
Чтобы найти сумму углов треугольника, их надо сложить. Таково естественное побуждение ученика, встретившегося впервые с теоремой о сумме углов треугольника. Однако в действующих учебных пособиях учащимся навязывается обратная операция: предлагается разложить некоторый угол на три или два угла.
Так, в учебнике JI. С. Атанасяна и других «Геометрия 6—8» (1986) через одну из вершин треугольника проводят прямую, параллельную противолежащей стороне, и разлагают полученный развернутый угол на углы, равные углам треугольника (рис. 1). В учебнике А. В. Погорелова «Геомерия 7—11» (1989) строят равные треугольники ОАВ и OCD (рис. 2) и разлагают угол DCB на углы, равные углам Л и С треугольника ABC.
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
26


В этих доказательствах от учащихся скрыта цель тех построений, с которых начинается доказательство. Она проясняется лишь при завершении доказательства, и поэтому для его воспроизведения учащимся приходится запоминать эти построения. Кроме того, организуя поиск доказательства учащимися, в обоих случаях приходится проводить дополнительную работу, например по выяснению того, в каких из известных учащимся случаев угол или сумма углов равны 180°. Подготовка к доказательству теоремы по учебнику А. В. Погорелова еще сложнее, так как приходится решать вспомогательные задачи.
Эти затруднения устраняются, если при доказательстве теоремы идти естественным путем — складывать углы.
I. Отложим углы А и В от сторон угла С «по разные стороны от него»1. Получим угол MCN (рис. 1). Нужно доказать, что он равен 180°, т. е. является развернутым.
Из равенства внутренних накрест лежащих углов А и MCA следует параллельность прямых СМ и АВ. Аналогично убеждаемся, что CN\\AB. Ссылаясь на аксиому параллельных, приходим к выводу, что прямые СМ и CN совпадают. Следовательно, /LMCN= 180°.
II. В процессе доказательства замечаем, что угол В можно было не откладывать, он «сам отложился»: СМ\\АВУ поэтому углы NCB и В равны как внутренние накрест лежащие. Отсюда и следует окончательный вывод.
III. Наконец, угол NCB можно даже не рассматривать. Отложив угол А и доказав, что СМ\\АВ (рис. 3), замечаем, что Z.^ + Z.B+ + ZC=Z.MCB+^Z3= 180° как сумма внутренних односторонних углов для параллельных прямых СМ и АВ и секущей СВ.
Таким образом, удовлетворив естественное побуждение учащихся сложить углы треугольника, можно легко привести их к трем различным способам доказательства теоремы, что придаст уроку и знаниям учащихся существенно новое качество.
Указанные способы доказательства имеют и другие методические преимущества. Так, доказательство I выявляет ведущую роль аксиомы параллельных в доказательстве теоремы о сумме углов треугольника.
В доказательстве II, используя признак параллельных прямых и свойство параллельных прямых, мы приучаем учащихся различать прямую и обратную теоремы.
Конечно, при обучении по учебнику А. В. Погорелова (1986—1989 гг. издания) можно сра¬
1 Эту вольность речи можно формализовать: угол А откладывается от луча СА в ту полуплоскость относительно прямой СА, которая не содержит точку В. И т. д.
зу свернуть на доказательство III, но это, мне кажется, нарушит естественную логику движения мысли. Во всяком случае, способ доказательства теоремы, основанный на рассмотрении суммы внутренних односторонних углов, не требует столь громоздких рассуждений, которые приведены в этом учебнике. Достаточно провести прямую СМ, параллельную прямой АВ, чтобы доказать, что АМСА= Z.A, Z.A + + Z-B+Z.C=AMCB+/LB= 180° (рис. 3).
Упомянутое доказательство целесообразно использовать только в том случае, если мы хотим побудить учащихся к более полному обоснованию доказательства так, как это было сделано в учебнике А. В. Погорелова, издававшемся в 1983—1985 гг. На это нацеливает подготовительная задача (5), решенная в конце предыдущего пункта учебника: доказывают, что углы ВАС и DCA — внутренние накрест лежащие, а углы DCB и ABC — внутренние односторонние для соответствующих прямых (рис. 2). Заметим, что доказательство второго из этих предложений требует дополнительного обоснования в виде решения задачи 52 из § 1. Практическая нереализуемое™ такого доказательства в начале изучения геометрии представляется бесспорной.
О доказательствах признаков подобия треугольников
В. 	А. Смирнов
(Москва)
Доказательство признаков подобия треугольников в учебнике геометрии А. В. Погорелова основывается на свойствах гомотетии, вывод которых использует формулу расстояния между точками на координатной плоскости и тем самым — теорему Пифагора. Теорема Пифагора, в свою очередь, доказывается на основе тригонометрических функций \ угла, корректность определения которых проверяется с помощью обобщенной теоремы Фалеса, утверждающей, что параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекает от них пропорциональные отрезки. Ясно, что теорема Фалеса является частью признака подобия и хотя тут нет порочного круга, но все же видится нежелательный в методическом отношении отход от поступательного развития курса.
Кроме того, при доказательстве теоремы Фалеса используется процесс измерения отрезков, и в случае, когда отрезки несоизмеримы, осознавание процесса их измерения проходит у учащихся со значительными трудностями.
Следует также сказать, что перечисленный теоретический материал занимает время всего
27


курса геометрии VIII класса. Теорема Фалеса рассматривается в самом начале VIII класса, а признаки подобия — в самом конце VIII класса. В этом плане предпочтительнее расположение материала в учебниках геометрии А. П. Киселева, Н. А. Глаголева и А. А. Глаголева, в которых также используется процесс измерения отрезков, но делается это непосредственно перед признаками подобия.
Существенно другим является метод доказательства признаков подобия треугольников в учебнике геометрии Л. С. Атанасяна, В. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева, Э. Г. Позняка, И. Й. Юдиной. Так, доказательство первого признака подобия треугольников в этом учебнике основывается на теореме об отношении площадей треугольников, утверждающей, что если в треугольниках ABC и Л1В1С1 углы А и А\ равны, то
Зл|Д,с.__Л«дг»-А\С\
ЭАВС
АВ-АС
Нам представляется, что эта теорема носит чисто вспомогательный характер. Она не является традиционной для школьного курса геометрии и включена в текст учебника, по-видимому, только для того, чтобы воспользоваться ею при доказательстве признаков подобия треугольников. В то же время ее удаленность от места применения накладывает определенные трудности на усвоение учащимися доказательства признаков подобия треугольников.
Мы предлагаем модифицировать эту методику, с тем чтобы ее можно было применить непосредственно в теме «Признаки подобия треугольников».
Рассмотрим первый признак подобия треугольников.
Теорема. Если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Дано: треугольники ЛВС и А\В\С\, £-А= = ZLЛ1, ЛВ=*£ВЬ ЛС=*/.С\.
Доказать: л'в'-л'с« 5'с'
АВ АС ВС *
Рис. 1
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда треугольники ABC и А\В\С\ прямоугольные. Пусть, например, углы С и С\ прямые. Совместим угол В с углом В\ и на прямых АВ и ВС отложим отрезки, соответственно равные отрезкам А\В\ и В\С\. Полученный треугольник А'В С' равен треугольнику А\В\С\ по первому признаку равенства треугольников. Соединим точки Л' и С и проведем высоту CD треугольника ABC (рис. 1). Для площадей треугольников ABC и А'ВС имеем:
Sabc=\aC-BC-, Sa.bc=\bC-A'C\
и следовательно,
5^дс_Л/С/
3ABC
АС’
(1)
С другой стороны, для этих треугольников имеют место соотношения: Sabc=^AB-CD; Sa,bc=±-A'B-CD.
Таким образом, А'вс^А'В sabc АВ
Сравнивая равенства (1) и (2),
А'В
(2)
получаем:
АхСх
АС
А'С 'АС что
АхВх
АВ АВ
Мы показали, что катеты прямоугольных треугольников в этом случае относятся, как их гипотенузы.
Рассмотрим теперь общий случай: треугольники ABC и А\В\С\ произвольные. Опустим из вершин Л и Л] высоты AD и A\D\ соответственно. По доказанному, для прямоугольных треугольников ABD и AiB\D\ выполняется равенство
А\Р\ А\В\
AD АВ
(3)
Для прямоугольных треугольников ACD и A\C\D\ выполняется равенство
А\Р\ А\С\ удч
AD ~~ AC' w
Сравнивая равенства (3) и (4), получаем:
А1В1 AiC\
АВ АС *
28


Аналогичным образом, опуская из вершин С и Ci высоты, показываем, что имеет место ра-
А\С\ В\С\ венство ^=ж-
Что и требовалось доказать.
Маленькие исследования на геометрическом материале
Л. Э. Орлова
(Москва)
Учебное исследование — это не только познавательная деятельность учащихся под руководством учителя, но и метод обучения самой исследовательской деятельности. Приобщение к ней делает учебу производительным трудом, повышает развивающий эффект обучения, который состоит и в приобретении новых знаний, и в овладении новыми способами деятельности.
В школьных учебниках, как правило, излагаются соответствующие программе фрагменты математических теорий (алгебры, геометрии, математического анализа), т. е. готовые системы знаний. Проблема состоит в том, чтобы в процессе обучения смоделировать потенциальную исследовательскую деятельность, результатом которой являются эти знания. Разумеется, к одним и тем же знаниям можно прийти в ходе различных исследований, причем неэквивалентных как с логической, так и с дидактической точки зрения. Поэтому приведенные дальше примеры маленьких исследований не единственно возможные для выбранного материала. Кроме того, эти примеры представляют собой лишь наброски, этюды учебных исследований, которые могут быть по-разному детализированы и модифицированы.
I. 	Окружность и точки
1.1. 	Окружность и одна точка. Выявляются три возможные взаимные расположения окружности и точки. Пусть дана окружность с центром О и радиусом г. Обозначим ее через Окр (О, г) и возьмем произвольную точку А. Расстояние ОА обозначим через d. Тогда
если d<r, то точка А лежит внутри Окр (О, г);
если d—r, то точка А принадлежит Окр (О, г);
если d>r, то точка А лежит вне Окр (О, г).
Здесь целесообразно рассмотреть и следующие вопросы:
Сколько окружностей можно провести через одну данную точку? Где лежат их центры?
Сколько окружностей данного радиуса можно провести через одну данную точку? Где лежат их центры?
1.2. Окружность и две точки. Пусть даны две точки — Л и Б. Из предыдущего п. 1.1 мы знаем, что через каждую из этих точек можно провести сколько угодно окружностей и что их центры лежат где угодно. Естественно возникает вопрос: есть ли среди этих окружностей такие, которые проходят через обе точки А и В, если есть, то сколько и где лежат их центры?
Устанавливается, что центр О такой окружности должен быть одинаково удален от точек А и В, т. е. должно выполняться равенство ОА=ОВ. Как построить такую точку О? Выясняется способ построения: достаточно радиусом, большим половины отрезка АВ, провести окружности с центрами А и В. Их точки пересечения О и 0\ обладают требуемым свойством. Таким образом, мы уже получили две окружности, проходящие через точки Л и В (рис. 1).
Далее учащиеся проводят исследования, выясняя ответы на приведенные ниже вопросы учителя.
Как расположены точки О и Oi относительно отрезка АВ?
Всякая ли точка X серединного перпендикуляра 00\ к отрезку АВ является центром окружности, проходящей через точки Л и Б?
Центр всякой ли окружности, проходящей через точки Л и В, лежит на серединном перпендикуляре 001?
Докажите, что если ye OOi (рис. 1), то УАфУВ.
Целесообразно рассмотреть и задачу построения окружности данного радиуса, проходящей через две данные точки А и В, выяснив, при каких условиях задача имеет решения и сколько.
1.3. Окружность и три точки. Для ответа на вопрос, существует ли окружность, проходящая через три данные точки, и если существует, то сколько таких окружностей, воспользуемся результатом п. 1.2. Через каждые две из трех точек А, В, С проходит бесконечное множество окружностей. Их центры расположены на соответствующем серединном перпендикуляре. Возьмем два серединных перпендикуляра, например, к отрезкам АВ и ВС. Эти перпендикуляры либо пересекаются в одной точке, либо параллельны. В первом случае точка пересечения серединных перпендикуляров окажется равноотстоящей от точек А, В, С, т. е. она лежит и на третьем серединном перпендикуляре — к отрезку АС. Значит, существует единственная окружность, проходящая через все три точки А, В, С. Во втором случае, если серединные перпендикуляры к отрезкам АВ и ВС параллельны, то сами эти отрезки лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Рассматриваемые отрезки имеют общую точку В, значит, они лежат на одной прямой. Итак, если
29


три точки А, В, С лежат на одной прямой, то через них не проходит ни одна окружность.
I.4. Окружность и четыре точки. Если из четырех точек А, В, С, D какие-нибудь три лежат на одной прямой, то, по п. 1.3, через эти три точки не проходит ни одна окружность. Пусть никакие три из данных четырех точек не лежат на одной прямой. Тогда, скажем, через точки А, В, С проходит единственная окружность (см. п. 1.3) и четвертая точка D может оказаться внутри этой окружности, вне ее или на этой же окружности. Естественно, нас интересует последний случай. Так возникает задача выявления условия, при котором около четырехугольника ABCD можно описать окружность. Но если точка D принадлежит окружности, то угол ADC оказывается вписанным. Это обстоятельство облегчает поиск, поскольку наводит на мысль о том, что надо искать какое-то соотношение между углами. Нужное направление поиска быстро приводит к «открытию» важного факта: противоположные углы вписанного четырехугольника в сумме составляют 180°.
II. Окружность и прямая
II. 	1. Этот вопрос целесообразно изучать с помощью наглядного пособия, которое позволяет демонстрировать изменение расстояния d от центра О окружности до прямой, которая первоначально не имеет с окружностью ни одной общей точки. Затем, передвигая модель прямой в направлении к центру окружности параллельно той прямой, вдоль которой модель располагалась первоначально, приходим к тому положению, когда прямая, по-видимому, касается окружности. Конечно, учащиеся не могут точно указать точку, принадлежащую и прямой, и окружности, но предположить, что в рассматриваемом случае такая точка только одна, ребята вполне в состоянии. Наконец, демонстрируется третий случай — прямая пересекает окружность в двух точках. Таким образом, интуитивно устанавливается возможность .существования трех взаимных расположений окружности и прямой.
II.2. 	Затем исследуется зависимость этих
расположений от соотношения между расстоянием d (от центра окружности до прямой) и радиусом г окружности:
если d>r, то прямая не имеет общих точек с окружностью Окр (О; г);
если d=r, то прямая «касается» окружности, т. е. имеет с ней только одну общую точку (это гипотеза, подлежащая доказательству);
если d<r, то прямая пересекает окружность в двух точках. (В этом случае учащиеся должны «открыть» свойство перпендикуляра, опущенного из центра на хорду, которое также подлежит доказательству.)
Аналогичное исследование может быть проведено по теме «Две окружности».
III. 	Четырехугольники
Геометрические фигуры занимают центральное место в школьном курсе. Однако традиционная схема их изучения — определение фигуры, формулировка и доказательство ее свойств, проводимое, как правило, учителем,— оставляет на долю учащихся лишь репродуктивную деятельность.
В литературе ([2], [3]) описана более эффективная методика, предусматривающая привлечение школьников к построению «маленьких теорий» геометрических фигур. Подобные маленькие исследования включают совокупность задач типа «Что из чего следует?», связанных с одной и той же геометрической фигурой. Они ориентируют на глубокое изучение фигуры, раскрывают возможность различных способов ее определения (задания, описания).
Тема «Четырехугольники» позволяет эффективно применить указанный метод. Покажем это на примере изучения ромба.
Исследование начинается с задания: «Записать с помощью символов все данные о четырехугольнике ABCD, которые видны на рис. 2». Рис. 2, разумеется, содержит ряд подсказок в виде общепринятых меток, обозначающих равенство отрезков или углов, перпендикулярность прямых.
В результате коллективного труда учащихся (с минимальной помощью учителя) получается примерно такое множество предложений: (1) ABCD — параллелограмм; (2) АВ=ВС;
(3)AC±BD; (4) Z1 = Z.2;
(5) ВС = CD; (6) CD = DA ;
(7) DA—AB; (8) Z3=Z4.
Первые четыре предложения непосредственно подсказаны рисунком, остальные — результат догадки, возникающей на базе уже имеющихся у учащихся знаний о параллелограмме.
30


Второй этап исследования выявляет, «что из чего следует». Ставится задача выделить из совокупности (1) — (8) минимальное число предложений в качестве исходных, из которых следовали бы все остальные предложения. При этом учащиеся привлекаются к активному поиску возможных сочетаний исходных предложений, т. е. к деятельности, в какой-то мере сходной с деятельностью составления аксиоматики.
Выявляются, в частности, такие подмножества исходных предложений:
(а) {(1), (2)}; (б) {(1), (3)}; (в) {(1), (4)}.
По ходу доказательств строятся их структурные схемы — своеобразные наглядные переложения. На рис. 3 изображена структурная схема доказательства того, что из (1) и (2) следуют предложения (3) — (8).
Весьма полезными задачами являются задачи, требующие составить аналогичные структурные схемы для вариантов (б) и (в). Более сильным учащимся может быть предложена задача, в которой нужно выявить другие способы логической организации множества предложений (1) — (8), превращения его в «маленькую теорию» ромба. При этом выявляются и различные способы определения ромба.
Аналогично можно строить изучение и других видов четырехугольников.
Литература
1. Пойа Д. Математическое открытие. М.: Наука, 1976.
2. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика / Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. М.: Просвещение, 1985.
3. Столяр А. А. Педагогика математики. Минск: Вы- шэйшая школа, 1986.
Учим решать геометрические задачи на вычисление
Б. А. Абремский
(г. Семипалатинск)
Важное средство обучения школьников решению задач — систематическое и целенаправленное формирование тех операций, из которых складывается процесс решения. Как показывает анализ, геометрическим задачам на вычисление присущи следующие, в известном смысле специфические, операции:
выявление зависимости (соотношения) между элементами некоторой фигуры;
непосредственное отыскание искомого из соотношения, содержащего одно неизвестное;
выделение вспомогательной задачи (подзадачи) , состоящей в отыскании некоторого неизвестного;
операция, посредством которой некоторые неизвестные выражаются через переменную или переменные;
составление уравнения или системы уравнений;
вычленение в геометрической ситуации нескольких взаимно исключающих друг друга случаев.
Наблюдая затруднения ученика при реш-ении задачи, важно понять и затем устранить причины этих затруднений, а они нередко обусловлены как раз недостаточным овладением перечисленными выше операциями. В данной статье вниманию читателя предлагаются упражнения, которые помогают учащимся лучше усвоить указанные операции, позволяют сделать последние предметом целенаправленного формирования. Такие задания могут конструироваться почти на любом геометрическом материале, иметь разные формы (индивидуальная, групповая фронтальная) и применяться на уроке с различными локальными целями: подготовки к решению цикла задач, повторения некоторой темы и т. п. Эти упражнения обычно не требуют дополнительного времени, так как обоснование ответов заменяет традиционные задания, выполняемые в порядке актуализации знаний.
В качестве примера рассмотрим систему подобных упражнений к теме «Теорема Пифагора». В зависимости от сформированности у учащихся соответствующих умений учитель может использовать лишь некоторые из приведенных заданий.
А. 	Упражнения на выявление зависимостей.
1. 	В четырехугольнике ABCD проведена диагональ BD. Запишите соотношения между ли¬
31


нейными элементами четырехугольника, если углы А и С — прямые.
2. В прямоугольном треугольнике ABC к гипотенузе АВ проведена высота CD. Дайте несколько названий отрезку АС и запишите соотношения, содержащие этот отрезок.
3. Секущая пересекает параллельные прямые в точках А и Bf а биссектрисы внутренних односторонних углов пересекаются в точке О. Установите зависимость между отрезками АО, ВО и АВ.
4. В прямоугольном треугольнике ABC от вершины прямого угла С на сторонах СА и СВ отложены отрезки СМ и СР такие, что СМ= =0,4 *СЛ, СР=0,4*СВ. Выразите отрезок МР через отрезок АВ.
В первом упражнении искомые соотношения непосредственно «считываются» с чертежа; во втором — отрезок Л С включается в различные системы элементов, после чего происходит актуализация зависимости; в третьем — осуществляется предварительное распознавание вида треугольника АВО\ в четвертом — искомая зависимость появляется как следствие других соотношений.
Б. Упражнения на непосредственное отыскание искомого.
Подобные задания предлагаются на уроках алгебры.
Выразите а через b и с, если a2+b2=c2 и а>0. Найдите двумя способами значение переменной а, если 6=0,3, с=0,5.
В. 	Упражнения на выявление зависимости
и непосредственное отыскание искомого.
Учащимся предлагается чертеж, на котором изображен треугольник ABC; рядом запись: «Дано: Z.ABC=90°, BD — высота, ... . Найти BD». Требуется: а) записать зависимость, содержащую искомый отрезок; б) задать в найденном соотношении значения остальных элементов; в) дополнить числовыми данными краткую запись и решить задачу.
Возможен иной вариант: предлагается записать какую-либо зависимость между линейными или угловыми элементами фигуры, «объявить» некоторый элемент этой зависимости искомым, кратко записать получившуюся задачу и решить ее.
Г. Упражнения на выделение подзадач.
До начала работы на доске записывается форма: «Чтобы найти..., надо предварительно отыскать...».
Учащимся предлагается чертеж, на котором изображен многоугольник ABCDE; в нем проведены диагонали BD и AD. Рядом запись: «Дано: /LBAD= ABCD= /LAED—Q00,.... Найти АВ». Требуется: а) записать зависимость,
содержащую искомое; б) назвать вспомогательные неизвестные, т. е. неизвестные, не являющиеся искомыми; в) перечислить по приведенному образцу те подзадачи, к которым сводится нахождение искомого.
По окончании работы учитель может сообщить исходные данные, позволяющие решить выделенные подзадачи, например, Л£=3 см, DE=4 см, ВС= 9 см, CD= 12 см, или предлагает учащимся самим придумать такие данные.
Когда учащиеся приобретут навык, им рекомендуется найденные соотношения не записывать, а «держать в уме» и сразу давать ответ по имеющемуся образцу.
Д. Упражнения, связанные с составлением
уравнений.
1. В прямоугольном треугольнике ABC Z.C= =90°, ВС=х. Выразите через х неизвестные стороны треугольника, если: а) АВ= 10 см; б) АС=9 см; в) АС больше ВС на 7 дм; г) АВ: :ВС= 13:12; д) ВС меньше АС в 3 раза. Для каждого случая составьте уравнение, если дополнительно известно,, что: а) ВС больше АС на 2 м; б) АВ:ВС=5:4; в) АВ= 13 дм; г) ЛС= =5 см; д) AB=2^JlO см.
2. В треугольнике ABC проведена высота CD (точка D лежит между точками Л и В), причем АС== 13, ВС=15, АВ= 14, AD—x. Выразите через х: а) вначале отрезок BD, а затем, двумя способами, квадрат высоты CD; б) вначале высоту CD, а затем, двумя способами, отрезок BD. В каждом случае составьте уравнение. Составьте систему уравнений, обозначая AD через х, a BD через у.
Е. Упражнения на вычленение взаимно
исключающих случаев.
1. Запишите соотношение между сторонами треугольника ABC, если известно, что: а) треугольник ABC — прямоугольный; б) треугольник ABC — прямоугольный и сторона АВ больше стороны ВС.
2. Выразите через переменную х все стороны прямоугольного треугольника ABC, если АВ:АС= 3:4.
В заключение отметим, что упражнения, подобные приведенным, целесообразно использовать, начиная с первых уроков геометрии в VII классе, вначале фронтально, а затем в качестве индивидуальных заданий для корректировки соответствующих умений у отдельных учащихся.
32


ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ
Психология подсказывает методике
Я. И. Груденов, А. М. Середа, В. И. Середа
(г. Таганрог)
Для формирования прочных умений и навыков учащиеся должны решить достаточное число задач одного и того же типа по изучаемой теме. Однако в психологии установлено, что выполнение однотипных заданий приводит к ряду негативных явлений: учащиеся начинают решать задачи по аналогии с предыдущими, не вдумываясь в условие, опуская отдельные существенные рассуждения. Из-за этого в решениях появляются ошибки.
Для того чтобы избежать описанных негативных явлений, учитель может опираться на следующие психолого-дидактические закономерности.
1. Последовательность рассуждений (Л; В; С;...; М)у повторяющаяся при решении однотипных задач, может свертываться до составной ассоциации (Л; М), которая в дальнейшем, в случае необходимости, легко развертывается в первоначальную цепь рассуждений.
Свертывание рассуждений — это естественный процесс. Однако не у всех учащихся обратный процесс — развертывание — происходит без потерь каких-либо существенных элементов рассуждения. Например, ассоциацию (А; М) ученик может развернуть в виде последовательности (А; С;...; М), из которой выпал элемент В, присутствовавший в исходной последовательности рассуждений. Поэтому в интересах лучшего усвоения материала желательно в некоторых случаях замедлить процесс свертывания, добиваясь того, чтобы при выполнении упражнений школьники как можно чаще обращались к непосредственному использованию изученных определений или теорем. Учитель легче осуществит необходимое замедление, если будет руководствоваться данными психологии о динамике процесса свертывания и об условиях его замедления. Они выражены в закономерности 2.
2. Если при изучении новой темы выполняются условия:
учащемуся предлагают упражнения только одного типа;
выполнение каждого из них сводится к одной и той же операции;
эту операцию (ее результат) учащемуся не приходится выбирать среди других, которые возможны в сходных ситуациях;
условия, данные в упражнениях, не являются для учащегося непривычными;
он уверен в безошибочности своих действий, то учащийся при решении второй или третьей задачи перестает вспоминать изучаемые определения, теоремы, законы, правила, прекращает обосновывать свои действия.
Если хотя бы одно из перечисленных условий нарушается в каком-то упражнении, то учащийся начинает обосновывать решение этой и одной-двух последующих задач.
Чрезмерно быстрый процесс свертывания рас- суждений, протекающий в соответствии с закономерностью 2, как правило, сопровождается ошибками учащихся. Анализировать и предупреждать их учителю поможет закономерность 3, выявленная П. А. Шеваревым.
3. 	Если в процессе деятельности соблюдаются три условия:
учащийся выполняет задания одного типа; в них неизменно повторяется некоторая особенность;
ее осознание необязательно для получения верного результата;
то степень осознания данной особенности снижается.
Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих применение этих закономерностей.
При изучении свойств равнобедренного треугольника учащимся, как правило, предлагают несколько задач одного типа, например:
«В треугольнике ABC АВ=ВС, ВК — биссектриса, АС= 6 см. Найдите Л/С.»
«В треугольнике ABC АВ=АС, AM — биссектриса, ВМ—4 см. Найдите ВС.»
В соответствии с закономерностями 1 и 2 уже при решении второй из этих задач учащиеся начинают свертывать рассуждения. Они, хотя и опираются на теорему о свойстве равнобедренного треугольника, но уже не учитывают все ее условия. Чаще всего ребята не считают нужным упомянуть то условие, где речь идет о биссектрисе угла, проведенной из вершины, противолежащей основанию равнобедренного треугольника. По закономерности П. А. Шеварева, осознание этого условия может снижаться. Удостовериться в этом и предупредить ошибки в дальнейшем можно путем включения в систему заданий таких упражнений, в которых пропущенное условие окажется существенным для решения. Например:
«В треугольнике ABC АВ=ВС, АР — биссектриса, ВС—7 см. Вычислите длину отрезка СР, если сможете.»
Учащиеся обычно отвечают: «СР—3,5 см» и при этом ссылаются на теорему, не учитывая указанного условия. Ошибка анализируется. Уверенность учащихся в безошибочности своих действий ослабляется, т. е. нарушается одно из условий закономерности 2. Поэтому следую-
3 "Математика в школе" № 6
33


щие задачи учащиеся решают более вдумчиво. Следовательно, ошибка и ее анализ в момент выполнения однотипных упражнений способствуют более глубокому усвоению учебного материала и формируют одновременно элементы самоконтроля.
Ниже по разным темам школьного курса математики приводим наборы упражнений, в которые включены задачи, «провоцирующие» учащихся на ошибку.
При изучении понятия арифметического корня полезно предлагать школьникам приведенные ниже наборы упражнений.
Найдите значение выражения: 1) д/52;
2) V34; 3) лК=Т?\ 4) л/^З)2; 5) У(-6)4;
6) 7) V§3; 8)
Упростите выражение: 9) У (а — I)2;
10) л]Ь2-2Ь + \\ 11) V«2-6rt + 9;
12) Ут2-8т+16; 13) У(3-я)*;
14) V(2—\/5f , 15) У(1-У5)й;
16) V(l—V2)3; 17) У—27^ 18) У(3 —я)3.
Учащиеся могут допустить ошибку в задании 3), но после ее анализа верно выполнят задания 4) и 5). Далее они могут ошибиться в случае 6). Ошибки «подстерегают» учащихся и в случаях 9), 13), 16).
При изучении тождественных преобразований учащиеся часто допускают ошибки вида а3-а2—а6, а6:а2—а3. Для их устранения целесообразно предложить специальные упражнения.
Упростите, если можно:
1)
а2х — 1
а* +
Г ’ 2) *
а3х Н~ 1 -а* +
иг
; 3)
ах — 1
ns\ 4) 2.
Г
bcos х _х
Учащиеся могут допустить ошибку в упражнениях 3) и 4). После анализа ошибок они более вдумчиво отнесутся к упражнению 5).
Тренировка в применении формулы S= = 0,5 ab sin С часто сопровождается ошибками, связанными с неверным определением положения угла С по отношению к сторонам а и b треугольника. Выявить эту ошибку помогают приведенные ниже три упражнения, из которых первые два требуют непосредственного применения формулы S = 0,5 ab sin С, а третье по данной формуле «сразу» не решается.
1) Вычислите площадь треугольника, у которого Л£=6 см, £С=4 см, ААВС=30°.
2) В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 12 см, а угол при вершине 60°. Найдите площадь треугольника.
3) В треугольнике ABC АВ=ВС=8 см,
Z-BAC=30°. Вычислите площадь треугольника. [Здесь возможна ошибка: S=0,5*8*8*sin 30°.]
Отрабатывая у учащихся верное понимание свойств четности и нечетности функций, учитель требует пользоваться определением. Но постепенно учащиеся, приобретая некоторые сведения о четных и нечетных функциях, начинают «упрощать» рассуждения, употребляя выражения: «синус — нечетная функция», «косинус — четная функция». Для устранения таких ошибок предлагаем задания, содержащие упражнения, «провоцирующие» на ошибку.
Какие из следующих функций обладают свойством четности или нечетности: 1) у—sin я; 2) у = cos 2х; 3) г/ = sin 2х; 4) г/ = cos (*2);
5) y = 3sin*; 6) y = sin (х+1);. 7) у —
=*2; 8) у=хА; 9) у=х>+1; 10) у=(х-1)2; 11) у=х3; 12) у=х3+1; 13) у=(х-1)*?
Понятие о монотонности тригонометрических функций учащиеся не всегда связывают с интервалом. Выявить это заблуждение помогают следующие упражнения.
Расположить в порядке возрастания числа:
1) sin 24°; sin 12°; sin 36°;
2) cos 10°; cos 40°; cos 20°;
3) sin 1; sin 3; sin 5;
4) cos 1; cos 2; cos 1,6.
Подобные наборы упражнений учитель может составить по многим темам.
Систематическое использование «провоцирующих» упражнений повышает внимание, точность рассуждений, развивает самоконтроль.
Заметим, что авторы учебников и опытные учителя обычно учитывают возможность многих из описанных здесь ошибок учащихся и стараются предупредить их. Но учителя не очень ясно себе представляют, какие глубокие психологические причины вызывают эти ошибки. Учет данных психологии позволяет сделать более точный педагогический прогноз относительно будущих ошибок учащихся и предпринять более четко направленные усилия на их исправление.
Оригинальная форма устного зачета
Л. П. Ворошилова
(пос. Батагай Якутской АССР)
Вот уже несколько лет я провожу в VII—IX классах своей школы особым образом организованные уроки-зачеты, которые называются математическими рингами. За неделю до зачета я предлагаю учащимся теоретические вопросы по определенной теме, которые они должны подготовить. К зачету учащиеся переписывают вопросы на свои карточки. Справа на карточке пишут
34


вопросы, а слева оставляют место для оценок за ответы на них.
До зачета мы договариваемся, что на своих карточках с тыльной стороны ребята проведут красную, или желтую, или зеленую полосу. Красная полоса означает, что обладатель такой карточки уверен в своих знаниях и хочет выйти на ринг одним из первых. Желтая полоса свидетельствует, что ученик не слишком уверен в своих знаниях, а зеленая говорит о еще меньшей уверенности.
В классе, где устраивается математический ринг, столы располагаются напротив друг друга в два полукруга. Один полукруг — у стены, а другой — в центре класса. Проход к доске остается свободным. У стены рассаживаются ребята, нарисовавшие на своих карточках желтые и зеленые полосы. Лицом к ним в центре зала занимают места те, на чьих карточках полосы красного цвета. Центр класса — это и есть «ринг». Занявшие его должны отвечать на вопросы тех, кто сидит напротив.
Вопросы задают ребята, занявшие места у стены. Первый вопрос по теории ученики берут из предложенного им заранее списка, а дополнительные вопросы могут быть какими угодно, но по данной теме. Ребята могут заимствовать их из учебника или придумать сами. Можно предложить и занимательную задачу, придуманную учеником или где-то найденную. Чем задача оригинальнее, тем больше баллов получает тот, кто ее предложил.
Ученик, к которому обращен вопрос, встает и отвечает на него. Ребята в центре должны быть настолько хорошо подготовлены, чтобы отвечать «с ходу». При ответах разрешается делать на доске схематичные чертежи, краткие записи. Если ответ необходимо подтвердить доказательством, то отвечающий получает несколько минут для подготовки. Пока один ученик готовится, вопросы задают другому. За правильностью ответов следит учитель вместе с классом. Каждому ученику разрешается дополнить или поправить отвечающего. Его активность во время ответа также оценивается баллами.
Заработанные учащимися баллы выставляются в специальную ведомость. Ее ведет ученик-контролер, который заранее подбирается из параллельного класса. В ведомости несколько граф, в которых проставляются баллы за работу заранее условленного вида.
Опрос сильных учащихся (у них карточки с красной полосой) продолжается целый урок. Некоторые из них начинают свою «борьбу на ринге» с кратких докладов о значении изучаемой темы, о математиках, развивавших ее.
В конце урока учитель договаривается с классом о том, кому из побывавших на «ринге» следует доверить прием зачета и по какому вопро¬
су. Если отвечавших не менее 10, то каждому из них поручается принимать зачет по одному определенному теоретическому вопросу. (Для зачета я обычно подбираю 10 вопросов по теории.)
После распределения обязанностей между будущими экзаменаторами класс уходит на перемену. Но по-настоящему отдохнуть вряд ли кому-либо удается. Каждый ученик получает карточку или с задачей, или с ответом к какой- то задаче. Получивший задачу должен найти себе пару, т. е. того, у кого записан ответ к его задаче. Занимается поисками и тот, у кого на карточке только ответ. Поскольку такой ученик обычно сильнее, то он выполняет фактически более сложное задание: по данному ответу восстанавливает возможное условие задачи.
За 10 мин перемены обладатели ответов и условий должны найти друг друга. Это не так легко, поскольку задачи подобраны с тем расчетом, чтобы их ответы были по виду схожи. Если какие-то двое учащихся соглашаются в том, что их карточки составляют пару, то они подходят к контролеру и проверяют себя. У контролера специально отмечены номера парных карточек. Установив, что учащиеся правы, он присуждает каждому из них определенный балл. Но если они ошиблись, то контролер в своей ведомости проставляет каждому из них определенное число штрафных очков.
На втором этапе математического ринга уча- щиеся-экзаменаторы рассаживаются по одному за пронумерованные столы. Номер стола (от 1 до 10) — это номер вопроса в списке вопросов, предложенных перед зачетом. Учащиеся, переходя от стола к столу, должны побеседовать с каждым экзаменатором, но последовательность бесед они устанавливают сами. Тот из учащихся, кто почувствовал затруднения, может обратиться к учебнику. Ребята с желтой полосой на своих карточках могут воспользоваться учебником дважды, а с зеленой — трижды. Штрафные очки им при этом не присуждаются.
На третьем этапе математического ринга происходит подведение итогоз, подсчет полученных баллов и выставление каждому участнику определенной оценки. Условия выставления баллов следующие: за ответ на каждый из обязательных вопросов — по 10 баллов (таким образом тот, кто ответил верно на все вопросы по теории, может получить до 100 баллов), за решение коллективной задачи — по 10 баллов, за сообщение по теме — 20, за активное участие в опросе — 3 балла, за оперативность — 5 баллов, за дополнительную задачу — 20. После подведения итогов учащимся выставляются оценки. Если ученик получил от 110 до 140 баллов, то он получает оценку «5», если он заработал от 90 до 100 баллов, то его оценка «4», от
3
35


70 до 90 баллов — оценка «3», от 60 и меньше — «2».
Рассмотрим теперь материал, подготовленный к зачету по теме VIII. класса «Декартовы координаты на плоскости».
Вопросы по теории
1. Что такое координатная плоскость?
2. Что такое уравнение фигуры в декартовых координатах?
3. Как найти середину отрезка АВ, если А(аи а2), В(Ь\\ Ь2)?
4. Выведите уравнение окружности.
5. Какими уравнениями может быть задана прямая на плоскости ху?
6. Опишите случаи взаимного расположения прямой и окружности на координатной плоскости.
7. Найдите геометрическое место точек плоскости, для которых: а) |х|=5, |jc— 11 =3, в) (х—у)-(х+у)= 0.
8. Дайте определение синуса, косинуса, тангенса для любого угла от 0° до 180°.
9. Докажите, что для . любого угла а,
0°<а< 180°, cos (180° —а) = — cos а,
sin (180° — a) = sin а. Для угла а=^90°
tg (180° — а)= — tg а.
10. Существует ли такое значение а, 0<а< <180°, при котором: a) sin a=5, б) cos a=
=0,3333, в) tg a= 12/5.
Отметим, что вопросы 1 и 2 сформулированы так, чтобы охватить идейную сторону темы и дать возможность учащимся задать дополнительные вопросы. Они могут быть заимствованы из вопросов для повторения, данных в учебнике А. В. Погорелова «Геометрия 7—11» после изложения темы «Декартовы координаты на плоскости». Учащиеся могут спросить: «Как определяются координаты точки? Какие знаки имеют координаты точки, принадлежащей первой (второй, третьей, четвертой) четверти?» и т. д. Вопросы из учебника помогут наладить диалог между учащимися, преодолеть робость в начале зачета.
Разбирая-вопрос 4, необходимо подчеркнуть, что вывод уравнения окружности основывается на формуле расстояния между двумя точками и записать эту формулу на доске.
Отвечая на вопрос 5, учащийся должен упомянуть, что уравнение прямой y=kx-\-q есть частный случай более общего уравнения ах-\- -\-Ьу-\-с=0. Дополнительные вопросы могут быть направлены на выяснение геометрического смысла коэффициентов а и by k и q.
Задачи.
1. Отметьте точки А(—5, 0), В(5, 0) и С (0, 6). Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
2. Даны точки Л (—8, 0) и В(0, 6). Определите расстояние между ними.
3. Точка С(1, —2) является серединой от¬
резка АВ. Определите координаты точки А, если В(0, —5).
4. Отрезок АВ — диаметр окружности, С — ее центр. Определите координаты точки А, если С (0, 3), В (3, 0).
5. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, если /1(3, —1), 6(9, 5), С(—3, 5).
6. Составьте уравнение окружности с центром в точке С(— 1, 0), если известно, что ей принадлежит точка А (—5, 0).
7. Составьте уравнение окружности с центром в точке С(5, 0), если известно, что ей принадлежит точка А (5, 3).
8. Найдите точки пересечения с осями координат прямой, заданной уравнением х-\-у — -7 = 0.
9. Найдите точки пересечения с осями координат прямой, заданной уравнением х—у-\- +4=0.
10. Запишите уравнение прямой, пересекающей оси координат в точках (0, 4) и (8, 0).
11. Найдите координаты точек М и N, если известно, что окружность (х—5)2+ (г/+3)2=25 касается оси у в точке М, а прямой х=10 — в точке N.
12. Найдите координаты точек М и N, в которых окружность (х—5) 2-f- (^/+3) 2=25 пересекается к осью х.
13. Постройте треугольник с таким углом а, что sin а=3/5. [На одной карточке ответ можно дать в виде прямоугольного треугольника с катетом 3 и гипотенузой 5, на других — в виде остроугольного или тупоугольного треугольника ABC, у которого АВ=5 и hb = 3. Таким образом, двое или трое учащихся будут иметь рисунки-ответы, подходящие для одной задачи.]
14. Постройте треугольник с таким углом а, что cos а=4/5. [Карточки с ответами к этой задаче-являются одновременно и ответами к предыдущей задаче.]
15. Постройте треугольник с таким углом а, что tga=5/12. [Здесь также возможны различные рисунки-ответы.]
Тема зачета дает возможность рассказать о создателе аналитической геометрии Рене Декарте. Лучше всего поручить одному из сильных учащихся подготовить рассказ о жизни и творчестве этого замечательного ученого. Учащемуся можно рекомендовать следующие книги: Асмус В. Ф. «Декарт» (М., 1956); Матвиев- ская Г. П. «Рене Декарт» (М., 1987).
36


Как подготовить уроки-практикумы
Т. А. Иванова
(Нижний Новгород)
При подготовке к уроку многие молодые учителя уделяют внимание, в первую очередь, форме урока, внешним проявлениям активности учителя и учащихся. Но вопросы, связанные с содержанием урока остаются на периферии забот учителя.
Обилие различных форм обучения на уроке само по себе не гарантирует того, что будет активизирована учебно-познавательная деятельность каждого ученика. Психологи утверждают^ что различные способы объяснения, средства наглядности, различные формы организации работы на уроке (коллективная, групповая, взаимное рецензирование самостоятельных работ) играют положительную роль в активизации познавательной деятельности учащихся, «однако их эффективность сравнительно невелика и часто не соответствует усилиям, которые затрачивает учитель на их разработку» [7]. На таких уроках отсутствует живой интерес учащихся к поиску решения поставленных проблем, ребята не успевают прочувствовать необычность связей нового материала с ранее изученным, удивиться красоте найденных доказательств, решений.
• Проведение уроков, которые содействуют развитию интеллектуальных способностей учащихся, требует от учителя высокой квалификации и большой подготовительной работы. В этой статье сделана попытка на основе личного опыта выделить основные этапы подготовки учителя к урокам-практикумам. Основная цель уроков-практикумов по математике состоит в том, чтобы выработать у учащихся умения и навыки в решении задач определенного типа или вида, в овладении новыми математическими методами.
Первый этап подготовки учителя к урокам любого типа состоит в математическом и дидактическом анализе теоретического и задач- ного материала темы. Приемы анализа теоретического материала можно найти в литературе [3, 4, 5]. При анализе задачного материала учитель должен предпринять следующие действия:
решить все задачи по теме из учебника, выделив основные виды задач;
установить соответствие задачного материала изученной теории;
выявить функции каждой задачи (дидактическая, познавательная, развивающая, практическая) ;
выделить новые для учащихся типы задач, примеры и методы их решения;
отобрать ключевые задачи на применение изученной теории;
выделить задачи, допускающие несколько способов решения;
спланировать циклы взаимосвязанных задач; составить контрольную работу, учитывающую уровень развития каждого ученика.
Прокомментируем некоторые из перечисленных действий применительно к анализу геометрических задач.
Требование о предварительном решении всех задан по теме может вызвать недоумение читателя ввиду его очевидности. Между тем практика показывает, что значительная часть учителей при подготовке к урокам пользуется методическими рекомендациями, в которых приводятся решения задач без какого-либо их дидактического анализа и указывается, какие из них решать в классе, а какие — дома. В этом случае набор задач, решаемых на уроке, может оказаться случайным, а система задач — не отвечать уровню развития учащихся данного класса. Мы уже не говорим о том, что значительная часть учителей математики при такой «подготовке» к урокам теряет навыки решения задач.
Молодому учителю целесообразно составлять таблицы к каждому параграфу темы, по строкам которой располагать номера задач учебника, а в столбцах выделять новые понятия и теоремы. Таблица помогает выяснить, достаточно ли в учебнике задач для закрепления того или иного понятия, теоремы. Здесь же фиксируется, какого характера задачи необходимо подобрать дополнительно.
Выявление функции каждой задачи позволяет наметить предварительную методику ее включения в учебный процесс: решать ли задачу устно, письменно, в классе или дома, коллективно, индивидуально или по группам.
Анализируя задачный материал, необходимо выявлять новые типы задач, приемы и методы решения. При этом учитель обычно прогнозирует, как учащийся должен рассуждать, чтобы прийти к этим решениям, и как направить мысль ученика в нужную сторону.
Например, общеизвестно, что изучение признаков равенства треугольников вызывает у учащихся большие трудности. Школьникам, только приступившим к систематическому курсу геометрии, еще не до конца ясна сама необходимость в проведении доказательств. Они затрудняются в применении признаков равенства к конкретным треугольникам, в выводе следствий, не умеют выделить нужные треугольники, увидеть в них соответственные стороны и углы. Но в школьных учебниках эти затруднения семиклассников не всегда учитываются должным образом. В самом деле, после доказательства первого признака равенства треуголь¬
37


ников предлагается такая, например, задача: «Отрезки АЕ и DC пересекаются в точке В, которая является серединой каждого из них. Найдите углы А и С, если ZLD=47°, Z.E==42°». Эта нехитрая задача является сверхсложной для семиклассников на данной ступени обучения. Для ее решения учащиеся должны уметь сделать верный чертеж, увидеть сами новый для них прием доказательства равенства углов на основании равенства треугольников. Осознавая все это, учитель должен облегчить усилия школьников посредством специально подобранных упражнений, с которых начинается первый по данной теме урок-практикум. Предлагаем четыре таких задания:
1. Как доказать, что треугольники ABC и МКЕ на рис. 1 равны?
2. Сравните треугольники ABC и ADC на рис. 2.
3. Докажите, что на рис. 3 АОВС= AOAD.
4. Докажите, что на рис. 4 отрезки КА и РМ равны, углы АКО и МРО равны.
Чертежи к этим задачам желательно оформить в виде отдельной таблицы. Задачи 1 и 2 в этой системе учат конкретизации в применении первого признака равенства треугольников. Задача 3 является подготовительной для задачи 4, а она, в свою очередь, предлагает ту же конфигурацию, с которой учащиеся встретятся в вышеупомянутой задаче из учебника, которая является одной из ключевых для данной темы.
При обучении решению геометрических задач следует обращать особое внимание на приемы дополнительных построений. Учитель должен предвидеть, при решении какой задачи учащиеся встретятся с новым приемом дополнительных построений. Так, обобщая решение частных задач, связанных с трапецией, можно выделить следующие наиболее часто встречающиеся дополнительные построения: проведение высот трапеции; проведение через одну из вершин трапеции отрезка, параллельного или од¬
ной из боковых сторон, или одной из диагоналей; построение точки пересечения прямых, содержащих боковые стороны трапеции; проведение (через середину одного из оснований трапеции) отрезков, параллельных боковым сторонам. Если учебник не содержит задач, требующих того или иного дополнительного построения, учителю приходится самому составлять такие задачи или находить их в дополнительных источниках.
О необходимости выделять ключевые задачи убедительно свидетельствует опыт работы Р. Г. Хазанкина [1, 5]. Напомним, что под ключевыми задачами темы понимаются такие, к которым можно свести решения других, -более сложных задач.
Уже при рассмотрении ключевых задач важно анализировать все возможные подходы к их решению. Для примера рассмотрим задачу по теме «Описанная и вписанная окружности треугольника»: «В равнобедренном треугольнике основание равно 16 см, боковая сторона — 10 см. Вычислите радиусы вписанной и описанной окружности треугольника».
На уроке учащимся нужно выделить время для отыскания основной идеи для каждого из способов вычисления радиуса вписанной окружности. Учащиеся вполне могут найти три способа.
Первый способ. Используя свойство радиуса окружности, проведенного в точку касания, рассмотреть подобие треугольников ВО\К и ВАМ (рис. 5).
Второй способ. Применить формулу г—
=s/P.
Третий способ. Учесть, что отрезок АО\ — биссектриса треугольника AMBt и поэтому (ВМ—г):г=АВ:АМ.
Радиус описанной окружности также можно найти различными способами.
Первый способ. Из подобия треугольников АВМ и 02BN (рис. 6) следует, что R:AB= = NB.BM, где ВМ=^АВ2—.AM2.
Второй способ. По свойству отрезков хорд окружности, проходящих через одну точку, выполняется равенство DM •ВМ=АМ •МС (рис. 7).
Третий способ. Центр О2 описанной окружности треугольника равноудален от всех его вершин, т. е. Л02==В02==6+^, где О2М—Х (рис. 8).
38


Четвертый способ. Воспользоваться формулой R=abc/4.
В методической литературе убедительно доказано, что уроки, посвященные рассмотрению различных способов решения одной и той же задачи, очень полезны. И все-таки учителя редко проводят уроки «одной задачи», объясняя это отсутствием времени. А между тем, решая на уроке одну задачу, можно повторить достаточно обширный теоретический материал. Поэтому, как правило, не приходится жалеть о том, что за урок была решена «только одна задача». Такие уроки создают в классе атмосферу соревнования, учащиеся с интересом выслушивают своих товарищей, предлагающих различные способы решения задачи.
Большой интерес у школьников вызывают и уроки по решению цикла взаимосвязанных задач. Приведем в качестве примера цикл задач, который можно рассмотреть с восьмиклассниками.
1) Докажите, что медиана AM треугольника ABC делит пополам любой отрезок, параллельный стороне ВС, концы которого лежат на сторонах АВ и АС.
2) Докажите, что точка пересечения диагоналей трапеции является серединой отрезка с концами на боковых сторонах и параллельного основаниям.
3) Докажите, что прямая, проведенная через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения продолжений боковых сторон и через точку пересечения диагоналей трапеции.
4) Дан отрезок АВ и параллельная ему прямая. Постройте середину этого отрезка, пользуясь только одной линейкой. Сформулируйте более общую задачу.
5) Дан отрезок АВ и его середина — точка М. Постройте прямую, проходящую через точку М параллельно АВ, пользуясь одной линейкой.
6) Через центр данного параллелограмма проведите прямую, параллельную его стороне, пользуясь одной линейкой.
Анализ учебного материала заканчивается обычно постановкой учебной задачи. Полезно сразу же составить и контрольную работу, учитывающую индивидуальные возможности каждого ученика. Практика показывает, что обыч¬
но достаточно составить четыре или пять вариантов, различных по своей сложности.
Второй этап подготовки учителя к урокам- практикумам заключается в тематическом планировании. Все уроки темы должны быть взаимосвязаны. Поэтому готовиться к каждому из них нужно не изолированно, а одновременно. При планировании темы вырабатывается «общая стратегия» ее изучения. Естественно, что каждый отдельный урок в последующем будет разрабатываться более детально с учетом результатов предшествующего урока.
Как же располагать уроки-практикумы в системе всех уроков?
В последнее время все больше распространяется опыт изучения теоретического материала укрупненными блоками с тем, чтобы высвободить не менее двух-трех последовательных уроков для решения задач. Такая практика представляется оправданной. Первый из серии уроков обычно посвящается нахождению общих приемов, алгоритмов, выделению основных типов и видов задач, решаемых с помощью изученной теории. Этот урок вместе с изученным ранее теоретическим материалом становится основой для последующих уроков-практикумов, на которых учащиеся проявляют больше самостоятельности, а учитель имеет возможность лучше учесть их индивидуальные особенности.
Для примера приведем тематическое планирование изучения одной из тем курса геометрии.
Тема: «Площади многоугольников»1 Площадь многоугольника. Площадь прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции (изучение теории) 2 ч
Уроки-практикумы 4 ч
Отношение площадей треугольников, имеющих равные углы (изучение теории) 1 ч
Решение задач 2 ч
Теорема Пифагора и ей обратная (изучение теории) 1 ч
Уроки-практикумы 4 ч
Обобщающий урок 1 ч
Контрольная работа 1 ч
Анализ контрольной работы. Зачет 2 ч
Из планирования видно, что учебный материал темы разбит на три блока. Площади многоугольников и теорема Пифагора — это два важнейших самостоятельных раздела геометрии, поэтому каждый из них требует сначала изолированного изучения. Теорема об отношении площадей треугольников, имеющих равные углы, носит вспомогательный характер, так как она лежит в основе идеи доказательства признаков подобия треугольников.
1 Планирование составлено в соответствии с учебником «Геометрия 7—9» JJ. С. Атанасяна, В. Ф. Бутузова, Б. Ф. Кадомцева, Э. Г. Позняка, И. И. Юдиной.
39


Планирование дает возможность провести серию уроков по решению задач. На первом из них рассматриваются новые для учащихся приемы решения задач, выделяются ключевые задачи. Форма работы на нем — коллективная. На втором и третьем уроках идет коллективное и групповое решение более сложных задач. На последнем уроке этой серии каждый ученик решает задачи самостоятельно в соответствии со своими возможностями. За две недели до окончания изучения темы выдается список задач для подготовки к зачету.
Третий этап подготовки учителя к урокам- практикумам состоит в отборе системы задач с ориентацией на данный класс.
Прежде чем разрабатывать методику конкретного урока-практикума, необходимо подобрать систему задач для всех уроков, а затем конструировать отдельный урок во взаимосвязи с предшествующим и последующим.
Конечно, систему задач предлагает и уч*еб- ник. Но в нем нельзя учесть требований каждого конкретного учителя. Мы полностью разделяем точку зрения Р. Г. Хазанкина, который пишет: «Какой бы замечательный учебник по математике ни появился, он не будет удовлетворять запросам всех учащихся» [6]. Поэтому каждому учителю приходится заниматься дополнительным подбором задач.
Поскольку речь идет о системе задач, то они должны удовлетворять определенным требованиям. Выделим наиболее важные из них.
Основным ориентиром в подборе задач для конкретного класса должен стать, по нашему мнению, учет «зоны ближайшего развития» каждого школьника. К сильным учащимся следует предъявлять высокие требования, а не ограничиваться теми, которые предложены в Обязательных результатах обучения. Отсутствие таких требований может притупить живой интерес к учению, вызвать отрицательное отношение учащихся к школе, «затормозить характерный для них высокий темп психического развития и даже привести к отставанию в учении» [2].
В то же время встречаются ребята с такой низкой обучаемостью, для которых на первых порах бывают сложны задания и из Обязательных результатов обучения. Для индивидуальной работы с ними учителю нужно составить свою систему задач.
Система должна быть полной, т. е. охватывающей достаточное количество задач, в кото¬
рых изученная теория проявляется наиболее разносторонне.
В системе следует выделить ключевые задачи.
Система должна содержать задачи с дидактическими, познавательными, развивающими, практическими функциями.
В системе должны быть задачи, предназначенные для организации коллективной, групповой и индивидуальной работы.
Необходимы задачи, допускающие несколько способов решения, в том числе на комплексное применение теоретического материала.
Важны задачи, позволяющие организовать творческий поиск решения, обучать эвристическим приемам.
Подбор системы задач по теме является самой трудоемкой работой учителя математики. Иногда в поисках той или' иной задачи, удовлетворяющей поставленной цели урока, интересам конкретного ученика или класса в целом, учителю приходится пересмотреть большую дополнительную литературу и прорешать значительное число задач. Вознаграждением за этот нелегкий труд явятся уроки, на которых получат удовлетворение и учащиеся, и учитель.
Четвертый этап — подготовка учителя к отдельному уроку. Это творческий процесс, где наиболее полно раскрывается индивидуальность учителя и его педагогическое мастерство. Проведённый предварительно анализ за- дачного материала, продуманное тематическое планирование, система задач по теме, анализ результатов предшествующего урока, учет уровней развития учащихся данного класса послужат хорошей основой для планирования предстоящего урока по решению задач.
Литература
1. Из опыта работы учителя Р. Г. Хазанкина // Математика в школе, 1987. № 4.
2. Калмыкова 3. И. Психологические принципы развивающего обучения. М.: Знание, 1979.
3. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики / Под ред. Е. И. Лященко. М.: Просвещение, 1988.
4. Марголите П. С. Подготовка учителя к доказательству теорем на уроке // Математика в школе. 1985. № 2.
5. Пичурин Л. Ф. О подготовке учителя к уроку // Математика в школе. 1979. № 4.
6. Хазанкин Р. Г. Развивать творческие способности школьников // Математика в школе. 1989. № 2.
7. Якиманская И. С. Развивающее обучение. М.: Педагогика, 1979.
40


КОНСУЛЬТАЦИЯ
Материалы для работы в IX классе с углубленным изучением математики
М. Л. Галицкий, ▲. М. Гольдман, Л. И. Звавич
(Москва)
(продолжение: II полугодие*)
Алгебра
Курс алгебры II полугодия IX класса открывается темой «Числовые последовательности» (31 ч). Данная тема существенно расширяет соответствующую часть курса алгебры IX класса массовой школы, она найдет свое непосредственное продолжение в курсе X класса.
Числовые последовательности (31 ч)
Числовые последовательности. Способы их задания. Возрастание и убывание. Ограниченность (2 ч).
Метод математической индукции и его применение (4 ч).
Арифметическая прогрессия. Формула /2-го члена (2 ч).
Геометрическая прогрессия. Формула п-го члена (2 ч).
Контрольная работа № 8 (1 ч).
Вычисление конечных сумм. Применение метода математической индукции для доказательства задач на суммирование (2 ч).
Формулы суммы п первых членов арифметической и геометрической прогрессий. Решение задач (6 ч).
Контрольная работа № 9 (2ч).
Понятие о пределе числовой последовательности. Теоремы о пределах (2 ч).
Предел монотонной ограниченной последовательности (без доказательства) (1ч).
Числовой ряд. Примеры сходящихся и расходящихся числовых рядов (1ч).
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Обращение десятичных периодических дробей в обыкновенные (4 ч).
Контрольная работа № 10 (1 ч).
Следует отметить, что в курсе IX класса планируется лишь знакомство с темой «Метод математической индукции». Основное внимание нужно уделить уяснению школьниками принципа доказательства утверждений методом математической индукции. Это можно сделать на простейших примерах доказательства тождеств (связанных с суммами), формул общего
* Начало см.: Математика в школе. 1990. № 3.
члена и сумм последовательностей (в частности, арифметической и геометрической прогрессий), упражнений на делимость. Понятно, что время изучения метода математической индукции не ограничивается 4 ч, указанными в почасовом планировании, а увеличивается за счет его использования в дальнейшем.
Задачи к контрольной работе № 8
Группа А
1. Последовательность (ап) задана формулой п-го члена: ап — , пеЛЛ Докажите,
on — 1
что: а) последовательность (ап) убывает;
б) 	ап> 1,6 при всех n^-N.
2. Найдите номер наименьшего члена последовательности, заданной формулой /г-го члена: ап = 2п2 — 44/г + 7.
3. Задайте рекуррентно последовательность . (ап), если известно, что: a) = 7/2 + 3,
леЛ/; б) ая = 5-2~\ n<=-N.
4. Последовательность (ап) задана рекуррентно: ai = 5, ап + \ =ал + 3, иеЛЛ Докажите, что ап = 2 + Зп при всех /2&ЛЛ
5. Последовательность (ап) задана рекуррентно: ai=8, ап + \ = аПу /2&ЛЛ Докажите,
что ап= 16• 2~/г при всех яеЛЛ
6. Докажите, что при любом натуральном п число 62/г—1 кратно 7.
7. Докажите, что при любом натуральном п число 13/г + 5 кратно 6.
8. В арифметической прогрессии сумма седьмого и тридцатого членов равна 5, а разность одиннадцатого и восемнадцатого членов равна 7. Найдите число членов прогрессии, не превышающих по модулю 50.
9. В геометрической прогрессии (Ьп) сумма второго, третьего и четвертого членов равна 7, а сумма четвертого, пятого и шестого равна 28.
Найдите: a) bb + b7 + bs; б) .
060504
10. В арифметической прогрессии 11 членов. Первый, пятый и одиннадцатый члены составляют геометрическую прогрессию. Выпишите все члены арифметической прогрессии, если первый равен 24.
Группа Б
1. Докажите, что все последовательности, заданные следующими формулами, не являются возрастающими и не являются убывающими:
а) 	ап = \ б) Ьп= — 5/22 + 29я — 1.
2. Найдите номер наибольшего члена последовательности, заданной формулой n-го члена: (хп ==:: — 3/22 + 17/i +1.
3. Найдите номер наименьшего члена после-
41


довательности, заданной формулой n-го члена: ап = Ъп2 + 78 п — 34.
4. Найдите формулу общего члена последовательности, заданной рекуррентно: ai=2, CLn -f. i = Clti•
5. Докажите, что при любом натуральном п число 4'1+15я—1 кратно 9.
6. Докажите, что при любом натуральном п число 7*52/i + 12-6" кратно 19.
7. В арифметической прогрессии пятый член равен 2. При каком значении разности прогрессии сумма всевозможных попарных произведений четвертого, седьмого и восьмого членов прогрессии будет наименьшей?
8. Докажите, что для арифметической прогрессии (ап) имеет место равенство:
+
V57+V^3
Van— rWa/t
Vai-fVa«
9. а) Докажите, что —-— = — ),
7 an-an+\ a Vz„ an+
где (an) — арифметическая прогрессия.
б) Докажите, что если аг, ..., ап образуют арифметическую прогрессию, причем а*Ф О
(/=1, ..., п), то
1
ага2
+
1
Cli'CLz
1
Cln—l *0>п
П — 1
а\-ап
1. 1+2 + 3 + ... + я= nsiV.
2. 12ц-22 + 32 + ... + «2 = ”('1 + 1)(2« + 1)
«е». 6
3. 13 + 23 + Зэ + ... + л3 = ^±l£, ne.V.
4. 1 -2 + 2-3+ ... +п(п + 1) - я(я + 1)(я + 2) ^ ne.V.
5. -Аг + 4т+- +
10. Сумма трех чисел, составляющих геометрическую прогрессию, равна 3, а сумма их квадратов равна 21. Найдите эти числа.
И. В геометрической прогрессии первый член положителен. При каком значении знаменателя прогрессии сумма первых трех членов ее принимает наименьшее значение?
12. Известно, что х\ и Х2 — корни уравнения *2—-3jt + a = 0, хз и Х4 — корни уравнения л:2 — 1 2jc + ^ = 0, причем числа х\, *2, *з, ха составляют в указанном порядке геометрическую прогрессию. Найдите а и Ь.
13. Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника образовывать геометрическую прогрессию?
Учебный материал, составляющий содержа- • ние следующей контрольной работы, в целом традиционен, исключая, разумеется, вопросы применения метода математической индукции для доказательства тождеств. Здесь необходимо в первую очередь обратить внимание на качественное отличие уровня сложности предлагаемых задач по сравнению с задачами на прогрессии из учебников алгебры для массовой школы.
Задачи к контрольной работе № 9
Группа А
Докажите, что (1—5):
1-3 1 3-5 1 ••• 1 (2л —1)(2л + 1) ~ 2л +1 ’
n^.N.
6. Первый член арифметической прогрессии равен 3, а сумма первых десяти членов этой прогрессии равна 580. Найдите десятый член и разность прогрессии.
7. В арифметической прогрессии сумма третьего, седьмого, четырнадцатого и восемнадцатого членов равна 52. Найдите сумму двадцати первых членов прогрессии.
8. Найдите сумму всех четных трехзначных натуральных чисел, делящихся на 7.
9. Отношение суммы третьего, пятого и шестого членов геометрической прогрессии к сумме второго, четвертого и пятого ее членов равно 3. Найдите сумму первых п членов прогрессии, если сумма квадратов второго и третьего ее членов равна 90.
10. Три числа составляют геометрическую прогрессию. Если от третьего числа отнять 4, то числа составляют арифметическую прогрессию. Если же второй и третий члены полученной арифметической прогрессии уменьшить на 1, то снова получится геометрическая прогрессия. Найдите три исходных числа.
Группа Б
Докажите, что (1—3):
1. 2+16 + 56 + ... + (3/г-2).2/г = ю + (3л — -5).2 ,l+\.n(=.N.
1 , 7
2.
ьз
+
17
3-5
+ тт +-+
2л — 1 (2л —1)(2я + 1)
л
3* — + 2? “Ь +••• +
л
ИГ
:2-
л -|- 2 2п
2л +1 ’
1 1 2
2
n^.N.
4. Найдите четыре числа, из которых первые три составляют геометрическую прогрессию, последние три составляют арифметическую прогрессию, причем сумма крайних чисел равна 29, а сумма средних чисел равна 20.
5. Первый и третий члены арифметической прогрессии соответственно равны первому и третьему членам геометрической прогрессии, а второй член арифметической прогрессии превышает второй член геометрической прогрессии на 0,25. Вычислите сумму первых пяти членов
.42


арифметической прогрессии, если ее первый член равен 2.
6. Найдите сумму всех несократимых дробей со знаменателем 5,- заключенных между натуральными числами k и я, если k<n.
7. Найдите сумму: -4 + 44 + 444 + ... + 44...4.
п
Завершается тема «Числовые последовательности» блоком вопросов, в основе которых лежит понятие предела числовой последовательности. Необходимо отметить, что речь идет в первую очередь об усвоении понятия предела, а никак не о строгих рассуждениях и доказательствах, связанных с ним. Здесь, например, имеются богатые возможности для использования геометрической интерпретации определения предела последовательности (геометрические соображения целесообразно также использовать в «рассказе» о единственности предела). Доказательства теорем о пределе суммы, произведения и частного разумно полностью приводить лишь в тех ситуациях, когда имеется соответственно подготовленный контингент учащихся. Числовые ряды стоит рассмотреть на примере бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Обращение десятичных периодических дробей в обыкновенные полезно всякий раз связывать с формулой суммы бесконечной геометрической прогрессии (возможен, разумеется, и вывод общего правила перевода дробей в обыкновенные с последующим его использованием). Здесь целесообразно повторить материал VIII класса, уточнив, почему всякая обыкновенная дробь может быть записана в виде конечной или периодической.
Задачи к контрольной работе № 10
Группа А
1. Представьте в виде десятичной дроби: J_ . _5_
3 ’ 22 •
2. Найдите сто семьдесят первую цифру после запятой в десятичной записи дробей
JL . _5 3 ’ 22 •
3. Представьте в виде обыкновенной дроби: 0,(4); 0,2(45).
4. 	Вычислите пределы: а) 1
1
1IT1 0
П —>■ оо 2 tl -f- 1
б) Ji™ 0+3-(у)П); в> Д.™1г+7-
5. 	Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:
УЗ , 2V3-3
а) 	уз +
2 —J— ~УЗ 2+уЗ
б>у '
_ + ±.± + ±
3 “ 4: 9 “ 8
27
+ ....
прогрессии (ап) равен а, ее знаменатель равен q. Найдите сумму:
а) (а,\ + у) + (аг— -j-) + (аз+ "§")+ (а4 —
б) а\ + а! + #з + —
7. 	Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 9, а сумма квадратов ее членов равна 40,5. Найдите сумму кубов членов прогрессии.
Группа Б
Найдите пределы (1—3): п (3/1 — 5) (4/1+1)
(/2 + 2) (3/2— 1) ‘
3/г2+_1_)
о г I 6/г3
2. lim 1--^—г - . ,
п-+ оо Ч/г — 1 2/г+ 1
3. lim (—j + —j + ...+ —у).
п-+оо 'П • П П '
4. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, второй член которой представляет собой удвоенное произведение первого члена на четвертый и образует с третьим членом в указанном порядке арифметическую прогрессию с разностью,
о 1
равной — .
5. Сторона квадрата равна а. Середины сторон этого квадрата соединили отрезками. Получился новый квадрат. С этим квадратом поступили так же, как и с данным, и т. д. Найдите предел суммы периметров и предел суммы площадей этих квадратов.
6. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 4, а сумма кубов ее членов равна 9,(3). Найдите сумму квадратов членов прогрессии.
Найдите сумму ряда (7—8).
+ 3^ +....
7. _i—I—L 1-2 2-3
О 1 I 1 I
4-11 "И 11-18 "Г
1
18*25
+ ....
9. Докажите, что
+ 1Г +
+
1
2й+1
1.
6. 	Первый член бесконечной геометрической
Завершает систематический курс алгебры IX класса тема «Тригонометрические выражения и их преобразования» (30 ч). В рамках данной темы учащиеся знакомятся с радиан- ным измерением углов, тригонометрическими функциями и их основными свойствами, изучают стандартный набор тригонометрических формул (включая формулы половинного аргумента, преобразования суммы и разности одноименных тригонометрических функций в произведение и преобразования произведения
43


функций в сумму) и отрабатывают навыки их использования для преобразования выражений. Следует заметить, что здесь требуется обеспечить достаточно высокий уровень овладения школьниками техникой тригонометрических преобразований, поскольку в X классе в курсе алгебры и математического анализа при изучении раздела «Тригонометрические функции» это должно послужить прочной основой для отработки навыков решения тригонометрических уравнений и неравенств. При изучении темы проводятся две контрольные работы: первая — непосредственно после изучения свойств тригонометрических функций и соотношений между функциями одного аргумента, вторая — по окончании изучения всего материала.
Задачи к контрольной работе № 11
Группа А
1. Найдите sin а и ctg а* если cosa=— 0,6 и —СаСп.
2. Найдите sin а и cos а, если tg а — — 2д/6, Ж а < 2я.
Упростите выражения (3—5):
3. tg(|^ — a)-tg(n-fa) —
— cos (у +a)sin (л + a).
4. 1+ sin -jj. + sin2£ + sin3 i +....
5. ctgP-T^JL.
& 1 1 + sin p
6. ctg6p— cosy-ctg22p ■
s K sin (3 — tg p
- 1+cos p . Л , /1+cos p\2\
' sin2p • V “t"V sin p / /•
8. Дано: tga=—2. Найдите cos.a+*sin g .
5 cos a— sin a
9. Известно, что sin a + cos a = a. Найдите sin a*cos a.
Докажите тождества (10—И):
10. 1+cos p —sin p—-ctg p =
= (1—ctg P)-(l—sin P).
11. £ — 2 sin a 1+2 cos a
2 cos a—1 2sina+-\#~
Группа Б
1. Известно, что sin a+cos a=a. Найдите sin3a+cos3a.
2. Известно, что tga + ctga = a. Найдите tg3a + ctg3oc.
3. Дано: ctg a = 2. Найдите cos “ + 3sin_
cos^a — sirra
Докажите тождества (4—5):
д cos q. ctg a — sin a tg a 1 1
(sin a + cos a)2 sin a cos a *
5 cos p + sin ft— cos2p sin p — sin2p cos p
sin p tg p + cos p ctg p
= sin P cos p.
Вычислите (6—8):
6. ctg l°-ctg 3°-ctg 5°-...-ctg 89°.
j Vsin^230 — co~sa67?. cos^20CF cos 113°-sin 340°
8. (VI— sin2153° + Vtg;i207o-sin2207o) x
X sin 63°.
Упростите выражения (9—11):
9. (ctga-cosa) (tg2a+
, Л sin6a , cos6a
1— tg2« 1— ctg2a '
11. -Vcos2p(l +tgp) + sin2p(l + ctg p), если
. n - 3jc
ж p< — .
Докажите неравенства (12—13):
12. а) -X- + -V>4; б) -Л- + -V>8.
sin a cos a 7 sin a cos a
13. 9 cos2a — ctg2a<4.
Задачи к контрольной работе № 12 Группа А
1. Найдите cos 2a, tg (a —
если sin a = <а<я.
V3 £
2. Найдите cos p, если cos a = 0,6, cos(a + p) = 0, 0<a<y, я<р<^.
3. Найдите a + p, если tga = 0,5, tgp=— ,
О
0<a<-£, 0<p<-J.
Докажите тождества (4—6):
4 tga + tgp _ sin (a + p)
tg ct — tg p sin (a — P) '
5. 	sin4a + cos4a= L+Cf 4g.
4
c sin 5a —2 sin 3a* cos 3a , - r
o. —: = K~ ~io— = ctg 5,5a.
1—cos 5a —2 sin 3a b
Вычислите (7—8):
7. 8sin2-^:.cos2-^ -1.
16 16
8. sin4^ -cos4^.
Упростите выражения (9—11):
9. cos (a — P) (tg a-tg p— l)-f-
+ (l+tgP-tga)-cos(a + P).
44


10. 	cos2(^ —a) + 0,5*sin 2a.
11. cos2a + cos2p — cos (a + p) • cos (a — p).
Найдите наибольшее и наименьшее значения выражений (12—13):
12. sin a — cos a.
13. 3sin2a + cosa—2.
Группа Б
1. Докажите, что tg a*tg p + tg p*tg 7 + + tgv-tga = l, если a + p + v = у.
2. Вычислите sin4 (у — 2a), если cos (л —4a) = —.
3. Найдите величины аир острых углов прямоугольного треугольника, если cosa + + sin (a — р)= 1.
Вычислите (4—5):
4 cos 20° -f sin 50° —cos 80°
У1 -j- cos 280°
5. cos 20°-cos 40°-cos 80°.
Упростите выражения (6—7):
6. sin2(y-a)+sin2(y + a) + sin2a.
7. V2 + V2 + 2 cos 4a, если 0<ct< у .
Последние 25 ч (примерно с середины апреля до конца учебного года) отводятся на систематическое повторение курса алгебры и подготовку к письменной экзаменационной работе. Организовывая повторение, учителю полезно иметь в виду ориентир — «Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике в девятых классах» (М.: Просвещение, 1989), из второй части которого предлагается набор заданий для экзамена по алгебре в математических классах школ РСФСР. Очевидно, что уровень сложности решаемых упражнений при повторении курса не должен быть ниже уровня сложности заданий из указанного сборника.
Завершается повторение проведением итоговой контрольной работы по курсу алгебры (возможно и поэтапное проведение двух контрольных работ, учитывая достаточно длительный период времени, 5 недель, отведенный на повторение).
Приведем тексты двух итоговых контрольных работ (каждая работа в двух вариантах) разного уровня А и Б, рассчитанных на три академических часа. Работу Б, целесообразно предлагать, по нашему мнению, в математических классах с достаточно ровным подбором сильных учащихся, отобранных в результате конкурса (очевидно, что для отдельных классов ее можно и усилить), работу А — в остальных случаях. В работе А оценку «5» предлагается выставлять за любые шесть верно выполнен¬
ных заданий, а в работе Б — за любые семь, о чем, разумеется, предварительно сообщается учащимся. Любую из работ можно использовать для проведения письменного вступительного экзамена в X математический класс.
Работа А
Вариант 1
1. 	Вычислите:
(0,5:1.25+1
('■5+т):|4
(12
Q_e
-\ja — 3
X
2 а -f- 5 У a — 3
3. 	Упростите выражение:
1 + cos (2a+ 630°)-sin (2a+ 450°) 1 - cos (990° - 2a) + sin (2a + 810°)
вычислите
12
его значение, если sina=—и a — угол третьей четверти.
4. 	Найдите область определения функции:
У =
1
-f- 15 — 2,х — х2.
\fx2 — 24
5. Три числа, третье из которых равно 18, образуют геометрическую прогрессию. Если вместо третьего взять 10, то три чисда будут образовывать арифметическую прогрессию. Найдите исходные числа.
6. Два электропоезда выходят одновременно навстречу друг другу из городов А и В (АВ — = 112 км) и встречаются через 56 мин. Продолжая движение, первый приходит в В на 15 мин раньше, чем второй в А: Найдите скорость каждого поезда.
7. Найдите наибольшее значение выражения V3 cos2a + 0,5 sin 2a.
Вариант 2
1 о (7 —6,35):6,5 + 9,9
1. Вычислите: —: г-г—^ .
(1-2:36+1,2:0,25-1 А); ig.
2. Упростите выражение: (^=~
а —4-\/а-f-2\ ^ 1 —а
3-\/а— а — 2 2 —У16 а
3. Упростите выражение
1 -cos (2a + 810°) + sin (2a + 450°)
1 - cos (2a-630°) +sin (2a + 990°)
24
его значение, если cosa=— ^ и a — угол третьей четверти.
и вычислите
45


4. 	Найдите область определения функции:
У-
--л[ьо-
г?+
V*S + 3jc — 28
5. Три числа, первое из которых равно 2, образуют арифметическую прогрессию. Если второе из этих чисел уменьшить на 4, то три числа будут образовывать геометрическую прогрессию. Найдите эти числа.
6. Два велосипедиста выехали одновременно из пункта Л, первый со скоростью 24 км/ч, второй — 18 км/ч. Спустя час вслед за ними выехал автомобиль, который обогнал второго •велосипедиста на 10 мин раньше, чем первого. Найдите скорость автомобиля.
7. Найдите наименьшее значение выражения: 2 sin2a-f--\/3 sin 2а.
Работа Б
Вариант 1
/4 / 3
I. 	Упростите выражение: {^~
аг -у2
2. 	Решите неравенство: f--1 -f-
Sx 1
5лг— 1
Х+1
24
Ъх1 -j- 2х — 1
3. Постройте график функции: у=,
— 4л: + 5|. Найдите: а) промежутки монотонности; б) наибольшее и наименьшее значения функции на [—4,5; 0].
4. Докажите, что значение выражения
-\/sin4a + cos 2a + -\/cos4a — cos 2a не зависит от a.
5. В арифметической прогрессии среднее арифметическое ее первых п членов равно 2п — 7 при любом п. Найдите формулу ее n-го члена.
6. Решите систему уравнений: (х3 + у6 = 91,
\х + у* = 7.
/. С^плав магния и алюминия содержит магния на 16 кг меньше, чем алюминия. Он сплавлен с 5 кг алюминия, в результате чего содержание алюминия увеличилось на 2 %. Сколько алюминия было в сплаве первоначально?
8. 	Изобразите на координатной плоскости множество точек с координатами (х\ у), удовлетворяющих неравенству: ((х + Г)2 + (у +
+ 1 )2 — 2) (| х | -\-\у | — 2) ^ 0. Найдите площадь полученной фигуры.
Вариант 2
1. 	Упростите выражение:
_1_ А 8аЬ 3 — Ь с
— JL
4а 3 +2 УаЬ-\-Ьг
X
x(2-Vi—о-1.
2. 	Решите неравенство: * 2* — 5^+JL
дХ 1 X '■ 1
24
2х — Зх2 + 1
3. Постройте график функции: у=\—х2 + + 6х — 5|. Найдите: а) промежутки монотонности; б) наибольшее и наименьшее значения функции на [2; 4,5].
4. Докажите, что значение выражения V4cos4a — 6cos2a + 3+V4 sin4a + 6 cos 2a + 3 не зависит от a.
5. В геометрической прогрессии среднее гео-
П+1
метрическое первых п ее членов равно 2 2 при любом п. Найдите формулу п-го члена этой прогрессии.
6. Решите систему уравнений:
((х — 2)2 + £/4 = 5,
2) 	• г/2 = 2.
7. Сплав меди и цинка содержит 5 кг цинка. Его сплавили с 15 кг цинка, в результате чего содержание меди в сплаве понизилось на 30 %. Сколько весил весь сплав первоначально?
8. Изобразите на координатной плоскости множество точек с координатами (х\ у), удовлетворяющих неравенству: (х'2 + (у+ I)2 — 1)Х X(UI + \у\ — 1)^0. Найдите площадь полученной фигуры.
Геометрия
Во II полугодии продолжается изучение темы «Площади фигур», на которую, напомним, отводится 20 ч. В рамках данной темы учащиеся овладевают понятием площади, свойствами площадей, изучают площади простых фигур, рассматривают теорему об отношении площадей подобных фигур. Большая часть теоретического материала темы приходится на I полугодие (заметим, что изложение этих вопросов предпочтительнее проводить в форме лекций). Основной упор во II полугодии необходимо сделать на решение задач по теме «Площади простых фигур» (в том числе и !задач с применением тригонометрии). Этот материал составляет содержание контрольной работы № 6. Заканчивается тема изучением площади круга и его частей, после этого проводится контрольная работа № 7.
Задачи к контрольной работе № 6
Группа А
1. 	Высоты параллелограмма 6^/3 и 8 см, а угол между ними 60°. Найдите площадь параллелограмма.
46


2. В параллелограмме ABCD угол А равен 60°, а его биссектриса делит сторону ВС на отрезки 4 и 6 см. Найдите площадь параллелограмма.
3. Расстояние от точки пересечения медиан треугольника ABC до стороны АВ равно 1 см. Наидите площадь треугольника ABC, если АВ = 6 см.
4. Найдите площадь треугольника, если его основание равно а, а углы при основании 30° и 45°.
5. В равнобедренной трапеции большее основание равно 75 см, боковая сторона — 20 см и диагональ — 65 см. Найдите площадь трапеции.
6. Найдите площадь трапеции, у которой основания равны 28 и 16 см, а диагонали 17 и 39 см.
7. В треугольнике ABC на сторонах АВ и ВС лежат точки М и -N соответственно так, что АМ:МВ= 1:2, CN:NB = 1:3. Найдите отношение площади четырехугольника AMNC к площади треугольника.-
8. В четырехугольник, три последовательные стороны которого равны соответственно 2, 3 и 8 см, вписана окружность радиуса Ь,4 см. Найдите площадь этого четырехугольника.
Группа Б
1. Через середину М стороны ВС параллелограмма ABCD, площадь которого 1, и вершину А проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке О. Найдите площадь четырехугольника OMCD.
2. В равнобедренном треугольнике ABC (АВ = ВС) АС —а, АВ = 2а. Через вершину С и середину высоты BD проведена прямая, пересекающая сторону АВ в точке Q. Найдите площадь треугольника AQC.
3. Найдите площадь треугольника, если его медианы равны 9, 12 и 15 см.
4. Докажите, что если а и b — две стороны треугольника, а — угол между ними и I — биссектриса этого угла, то
2ab*cos~
/= - .
а+6
5. Найдите площадь равнобокой трапеции, если ее высота равна А, а боковая сторона видна из центра описанной окружности под углом а.
6. Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются под прямым углом, сумма их длин равна 6 дм. Каково наибольшее возможное значение площади этого четырехугольника?
Задачи к контрольной работе № 7
Группа А
1. 	Радиус круга увеличили на одну треть его длины. Во сколько раз увеличились: а) диаметр; б) длина окружности; в) площадь круга?
2. Полуокружность радиуса R разделена на три равные части, и точки деления соединены с концом диаметра. Найдите площадь средней части полукруга.
3. В круге радиуса R проведены по одну сторону от центра две параллельные хорды, из которых одна стягивает дугу в 60°, а другая — в 120°. Найдите площадь части круга, заключенную между хордами.
4. Хорда АВ окружности параллельна диаметру MN. Найдите площадь фигуры, ограниченной хордами МА, MB и дугой АВУ если дуга А В содержит 120°, а радиус круга R.
5. Из концов дуги АМВ окружности радиуса R проведены касательные до пересечения в точке С. Найдите площадь фигуры САМВ, заключенной между двумя касательными и дугой, если дуга содержит: а) 60°;
б) 	90°; в) 120°.
6. Общая хорда двух пересекающихся окружностей равна а и стягивает в одном круге дугу в 90°, а в другом дугу в 120°. Найдите площадь общей части кругов. (Рассмотрите два случая.)
Группа Б
1. Две параллельные хорды равны 14 и 40 дм, а расстояние между ними 39 дм. Найдите площадь круга.
2. Найдите площадь круга, вписанного в данный сектор, если радиус сектора равен R, а дуга содержит 120°.
3. Каждая вершина треугольника ABC является центром окружности радиусов Уз, У3, 2 — уз, попарно касающихся друг друга. Найдите площадь части треугольника, заключенной между окружностями.
4. Найдите площадь фигуры, ограниченной
графиками уравнений у=\ 1—У—*=У2 и осью ординат.
5. Вне прямого угла с вершиной С, на продолжении его биссектрисы взята точка О так, что ОС=У2. С центром в точке О построена окружность радиуса 2. Найдите площадь фигуры, ограниченной сторонами угла и дугой окружности, заключенной между ними.
Завершает систематический курс геометрии обзор «Избранных задач и теорем геометрии» (13 ч) и «Исторических сведений» (4 ч). Здесь учащиеся повторяют уже изученные факты: пропорциональные отрезки в круге, метрические соотношения в прямоугольном треугольнике, свойство биссектрисы в треугольнике; изучают некоторые классические факты элементарной геометрии: теоремы Менелая, Чевы, Птолемея, задачи о прямой Эйлера и окружности Эйлера (этот список в зависимости от конкретной ситуации, в которой находится учитель, может быть как сокращен, так и дополнен, например, теоремами Дезарга, Паппа, Брианшо-
47


на, Паскаля). Для подготовки к урокам по этой теме учителям и учащимся можно рекомендовать книгу В. В. Прасолова «Задачи по планиметрии. Часть I» («Наука», 1986), изданную в серии «Библиотека математического кружка» (вып. 15). В ней два параграфа (4-й и 5-й) главы 11 посвящены теоремам Чевы и Менелая, причем приводятся там не только сами теоремы, но и система задач, позволяющая отработать навыки использования теорем при решении других задач. Задачи о прямой и окружности Эйлера помещены в главе 10 (№ 10.1 и 10.2), теорема Птолемея— в главе 12 (№ 12.5). Отметим, что в последнем, 1990 г., издании учебника «Геометрия 7—9» Л. С. Атанасяна и др. также можно найти доказательство теорем Чевы и Менелая (на с. 299—304). По окончании изучения всех теорем целесообразно провести зачет, включив, например, в каждую зачетную карточку один теоретический вопрос и одну задачу.
При рассмотрении с учащимися сведений из истории геометрии удобно использовать форму докладов и конференций, причем выбирать разумно какую-то одну значительную тему, посвятив ей все имеющееся в распоряжении учебное время. К таким темам относятся, например, следующие: «Геометрия в Древней Греции» и «Начала» Евклида, «Неразрешимые задачи на построение (с помощью циркуля и линейки)», .«Аксиоматический метод и логическое строение геометрии», «Геометрия Лобачевского (исторический обзор, некоторые факты, примеры доказательства, модели)».
Последние 15 ч (примерно с середины апреля) отводятся на повторение, решение задач по всему курсу, подготовку к экзамену. Завершается повторение итоговой двухчасовой конт% рольной, работой, примерный текст которой приводится далее в двух вариантах.
Итоговая контрольная работа
Вариант 1
1. В прямоугольном треугольнике ABC (Z.C=90°) биссектриса угла С делит гипотенузу АВ на отрезки 15 и 20 см. Найдите: а, b, тс, hc, г, R.
2. Найдите площадь равнобокой трапеции, большее основание которой равно 3 см, острый
угол 60°, если известно, что в трапецию можно вписать окружность.
3. Даны точки А (1; 7), В (—3; 8), С (5; 23). В треугольнике ABC найдите: а) угол А\ б) координаты центра тяжести; в) координаты ортоцентра.
4. К двум внешне касающимся окружностям проведены общие внешние касательные, образующие угол а. Радиус большей окружности R. Найдите радиус меньшей окружности.
Вариант 2
1. В прямоугольном треугольнике ABC биссектриса острого угла А делит катет ВС на отрезки 2 и 4 см. Найдите: с, b, тс, hc, г, R.
2. Найдите площадь равнобокой трапеции, меньшее основание которой равно 2 см, тупой угол при нем равен 120°, если известно, что в трапецию можно вписать окружность.
3. Даны точки А (—8; 3), В (—7; —1), С (—23; —5). В треугольнике ABC найдите:
а) 	угол В; б) координаты центра тяжести;
в) 	координаты центра описанной окружности.
4. В ромб со стороной а и острым углом а вписана окружность. Найдите радиус второй окружности, вписанной в острый угол ромба и касающейся первой окружности.
Несколько слов необходимо сказать о проведении устного экзамена по геометрии. Во-первых, для IX класса с углубленным изучением математики отсутствуют специальные билеты по геометрии и выпускники этих классов сдают экзамен по тем же билетам, что и выпускники массовой школы. В связи с этим следует особо подчеркнуть, что уровень сложности задач, предлагаемых на экзамене для выпускников математических классов, должен быть заметно выше. Кроме этого, в результате уплотнения вопросов в билетах учителя могут добавить отдельные теоремы, которые отсутствуют в обычных классах и изучались в классах математических (это право учителю официально предоставлено). Во-вторых, практика навязывания устного экзамена по геометрии каждому выпускнику математического класса (напомним, что экзамен по геометрии из числа тех, которые школьники выбирают) представляется неправомерной. Думается, что право выбора следует и в математических классах предоставить школьникам в полной мере и экзамен по геометрии не должен быть исключением.
48


ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
XXIV Всесоюзная математическая олимпиада школьников
Г. М. Кузнецова, И. Н. Сергеев
(Москва)
Заключительный этап XXIV Всесоюзной математической олимпиады школьников проводился с 18 по 25 апреля в Ашхабаде. В .нем приняли участие 165 школьников: 49 девятиклассников, 58 десятиклассников и 58 одиннадцатиклассников. В Ашхабад прибыли 29 команд: по одной от всех союзных республик (кроме Литовской ССР) и четырех зон РСФСР, от Москвы, Ленинграда, от 8 специализированных физико-математических школ, от школ Министерства путей сообщения и команда организатора олимпиады — Ашхабада. Команда Азербайджанской ССР сформировала свою команду из двух школьников по итогам участия в конкурсе решения задач журнала «Квант», а не по итогам республиканской олимпиады.
Соревнования, как обычно, проходили в два дня. Каждый день участникам предлагались 4 задачи, на решение которых отводилось 5 ч.
В приведенных ниже заданиях XXIV Всесоюзной олимпиады принята двойная нумерация задач: первая часть номера обозначает класс, а вторая — порядковый номер задачи в данном классе. После формулировки задач в скобках указана фамилия ее автора.
Первый день
9.1. Доказать, что для любого числа t выполняется неравенство
*4-*+у>0.
(И. Воронович.)
9.2. В выпуклом четырехугольнике прямая,, проходящая через середины двух противоположных сторон, образует равные углы с диагоналями четырехугольника. Доказать, что диагонали равны. (А. Анджанс.)
9.3. В сенате 30 сенаторов. Каждые два из них либо дружат, либо враждуют. Каждый сенатор враждует ровно с шестью другими. Каждые три сенатора образуют комиссию. Найти общее число таких комиссий, в которых либо все три члена попарно дружат, либо все трое попарно враждуют. (Д. Фомин.)
9.4. Существует ли: а) прямоугольник, который можно разрезать на 15 равных многоугольников, не являющихся прямоугольниками; б) квадрат с указанным свойством? (С. Ел и сеев.)
ЮЛ. Можно ли раскрасить клетки таблицы 1990X1990 в черный и белый цвета так, чтобы симметричные относительно центра таблицы клетки были окрашены в разные цвета, а в любой строке и в любом столбце таблицы было поровну черных и белых клеток? (Н. Ага- ханов.)
10.2. Доказать, что для положительных чисел а\, a„, сумма которых равна 1, справедливо неравенство
а\ а\ а2п-\ а\ ^ j
ai+a2 а2 + аз ап~\ + ап ая + аi ^ 2*
(Д. Те р ё ш и н.)
10.3. На стороне АВ выпуклого четырехугольника ABCD взята точка Е, отличная от А и В. Отрезки АС и DE пересекаются в точке F. Доказать, что окружности, описанные около треугольников ЛВС, CDF и BDE, имеют общую точку. (Л. Купцов.)
10.4. В концах отрезка [0; 1] сидят два кузнечика. Внутри отрезка отмечено несколько точек. Кузнечики умеют прыгать по отрезку через отмеченные точки: положения кузнечика до прыжка и после прыжка симметричны относительно отмеченной точки, через которую прыгает кузнечик, причем разрешаются только прыжки, не выводящие из отрезка [0; 1]. Ход состоит в том, что каждый из кузнечиков независимо от другого или прыгает, или остается на месте. За какое наименьшее число ходов кузнечики всегда могут оказаться вместе на одном из отрезков, на которые разбивают отрезок [0; 1] отмеченные точки? (С. К о н я г и н.)
11.1. Даны две пересекающиеся окружности, вписанные в угол с вершиной Л, причем В — одна из точек пересечения этих окружностей, а С и D — точки их касания с одной стороной угла. Доказать, что прямая АВ касается окружности, проходящей через точки В, С, D\ (И. Шарыгин.)
11.2. Имеется 1990 куч, состоящих из 1, ..., 1990 камней. За один шаг разрешается выбросить из любого набора куч по одинаковому числу камней. За какое наименьшее число шагов можно выбросить все камни? (Н. А г а х а н о в.)
11.3. У квадратного трехчлена f(x)-ax2’\-bx-\-c все коэффициенты положительны и a-f &-fc = 1. Доказать, что
для любых положительных чисел ..., хп, удовлетворяющих равенству х\*...»хп= 1, выполнено неравенство /(*i)-.., •/(*„) ^> 1. (Д. Фомин.)
11.4. Куб с ребром 100 сложен из миллиона единичных кубиков, ребра которых образуют каркас. Любая тройка взаимно перпендикулярных единичных ребер с одной общей вершиной называется репером. Можно ли весь каркас разбить на реперы:, не имеющие общих ребер? (А. Берзиньш.)
Второй день
9.5. Через произвольную точку внутри треугольника проведены три прямые параллельно его сторонам. Они делят стороны на отрезки а\, а2, аз, Ьь Ь2у Ьз, Сь с2у Сз, как указано на рис. 1. Доказать, что
а\Ь\С\ =а2Ь2с2—азЬзСз.
(Б. Чини к.)
9.6. Двое играют в следующую игру. Первый называет три любые, отличные от нуля числа, а второй расставляет их по своему выбору на свободные места в выражении ...х2-\-...х-f... . Первый игрок считается выигравшим, если полученный квадратный трехчлен имеет два различных рациональных корня. Доказать, что он может добиться победы. (А. Б е р з и н ь ш.)
9.7. Найти максимум выражения
I... 11*1“*2 I —*з1 —...—*19901,
где *1990 — различные натуральные числа от 1
до 1990. (О. Богопольский.)
9.8. Правильный треугольник со стороной п разбит прямыми, параллельными сторонам треугольника, на п2 правильных треугольников со стороной 1. По сторонам полученных треугольников проведена незамкнутая ломаная, проходящая через все вершины треугольников раз¬
49


биения ровно по одному разу. Доказать, что имеется не менее п пар соседних звеньев ломаной, образующих между собой острый угол. (А. Б е р з и н ь ш.)
10.5. Решить в целых числах уравнение
]+ [ш ] + •••+ [ш] = 1001
(С. Р ез н и ч е н к о.)
10.<5, На сторонах А1А2 и Л2Л3 правильного 2л-уголь- ника А\А2...А2п взяты точки К а N соответственно
так, что Z.KAn+2^ = i . Доказать, что-ЛМл+2— биссектриса угла /СЛМз. (Н. Агаханов, Д. Терёшин, Д. Ф о м и н.)
10.7. В выпуклом многоугольнике проведены все диагонали. Каждая сторона и каждая диагональ многоугольника покрашены в один из k цветов так, что не существует замкнутой ломаной с вершинами в вершинах многоугольника, у которой все звенья одного цвета. При каком наибольшем числе вершин это возможно? (А. А н д ж а н с, Д. Ф л а а с.)
10.8. На плоскости заданы точка А0 и п векторов аи ап, сумма которых равна 0. Каждая перестановка atx, ..., ain этих векторов определяет множество точек
Ах Ап=Ао так, что a^^AoAi , ah=A\A2> ..., ain =
=Ап-\Ап. Доказать, что существует перестановка, при которой все точки ..., Ап-\ лежат внутри или на сторонах некоторого угла в 60° с вершиной в точке Ао. (С. Августович, С. Севастьянов.)
11.5. При каких натуральных п число
32/1+1 __22,,+ 1 —6/l является составным? (Д. Фомин.)
11.6. Пусть d — наименьшее из расстояний между скрещивающимися ребрами произвольного тетраэдра, a h — наименьшая из его высот. Доказать, что 2d>h. (А. С к о п е н к о в.)
11.7. На доске написано уравнение
х3 4* —х2 + ...*+... =0.
Двое играют в следующую игру: первый называет
любое число, а второй ставит его на любое из свободных мест; затем первый снова называет любое число, а второй ставит его на любое из двух оставшихся свободных мест; наконец, первый ставит любое число на оставшееся место. Всегда ли первый может добиться, чтобы получившееся уравнение имело три различных целых корня? (А. Б е р з и н ь ш.)
11.8. Даны 4т монет, из которых ровно половина ярляются фальшивыми. Настоящие монеты весят одинаково, фальшивые тоже, но они легче настоящих. Как не более чем за 3т взвещирзни# на чашечных весах без гирь определить все фальшивые монеты? (А. Курлянд- чик, Д. Фомин.)
В работе жюри, возглавляемого членом- корреспондентом АН ТССР, доктором физико- математических наук ректором ТИНХа М. Б. Оразовым, приняли участие ученые Туркмении, Латвии,. Молдавии, Украины, Москвы, Ленинграда, Новосибирска, Белоруссии. Заместителями председателя жюри и его первыми помощниками были зам. проректора МГУ доцент В. В. Вавилов и декан математического факультета ТГУ профессор С. А. Аширов.
Анализ результатов участников олимпиады покззвдает, что задание по врем трем классам были составлены удачно. Задачи первого
и второго дня были в целом расположены в порядке возрастающей сложности, что подтвердили итоги олимпиады. Исключение составляют задачи второго дня для XI класса (см. далее табл. 3).
Участники олимпиады хорошо справились с задачами № 2, 5 в XI классе, задачами № 1,2, 5 в X классе и задачами № 1, 5 в XI классе; плохо справились с задачами № 3, 8 в IX классе, с задачами № 4, 8 в X классе и с задачей № 7 в XI классе. По результатам анкетирования школьников лучшими задачами признаны в IX классе № 8, 3; в X классе — № 6, 4, в XI классе — № 2, 8.
Наиболее типичные ошибки при решении задач: логические (неполный перебор, использование недоказанных утверждений и т. д.); технические (использование неверных неравенств, ошибочных фактов) и арифметические. В работах учащихся XI класса проявилось отсутствие навыков решения стереометрических задач — подавляющее большинство участников не брались за эти задачи.
Далее наряду с ответами, комментариями и указаниями к решениям задач мы приводим данные «грубой» проверки работ, оформленные в виде трех таблиц отдельно по каждому классу. В таблицах под номером задачи указано, сколько участников решили задачу полностью ( + ), решили задачу с незначительными погрешностями (±), допустили грубые ошибки при верной идее решения ( + ), совсем не решили или не решали задачу (—). Жюри олимпиады оценило относительную сложность каждой задачи в баллах (эта оценка записана в последней строке таблиц), оно исходило при этом из расчета, что максимальная сумма баллов за 4 задачи каждого тура была равна 30.
IX класс
Таблица 1
Ном$р
зада¬
чи
1
%
3
4
5
6
7
8
+
23
30
7
8/5
44
27
10
2
±
10
4
3
0/0
4
8
11
1
10
2
5
1/0
1
2
21
15
—
6
13
34
40/44
0
12
7
31
Балл
6
6
9
9
6
6
8
10
9.1. Неравенство следует из тождества
t*-t+ j =(t2- j)2+(<- j)2,
в котором оба квадрата не обращаются в нуль одновременно.
9.2. Пусть М, -А/ и К — середины сторон АВ, CD и ВС четырехугольника ABCD, при-
50


чем прямая MN образует равные углы с диагоналями (рис. 2). Так как МК и KN — средние линии в треугольниках ABC и BCD, то Z.KMN = /LKNM, KM — KN и, стало быть,
ac=bd:
9.3. Ответ: 1990. Известно, что 30 сената-
30 • 29 • 28
ров образуют — ~— =4060 комиссий по 3
члена. Если каждый сенатор составит список включающих его комиссий, в которых у него оба других члена одновременно или друзья, или врагиТ то получится 30 списков по
Ё1Ё -|- ^1:11 =268 комиссий, а всего 30*268 =
==8040 комиссий (с повторениями). Обозначив число интересующих нас комиссий через ху заметим, что каждая из них окажется в трех списках, а каждая из остальных — в одном, поэтому
3* + (4060 — *)== 8040, откуда лг=1990.
9.4. Ответ: существует, а) Прямоуголь¬
ник размером 5X9 разрезается на 15 уголков (рис. 3). б) Искомый квадрат получа¬
ется из прямоугольника, изображенного на рис. 3, растяжением по вертикали в 9/5 раза, так как все уголки при растяжении преобразуются в равные фигуры.
9.5. Из соотношений для сторон трех подобных треугольников, заштрихованных на рис. 4, вытекают равенства
С\ Ь%
в, - - =аз = а?- ,
Ь\ Съ
аг- =аг = аз- — ,
дающие требуемое.
Рис. 3 Рис. 4
9.6. Первому игроку достаточно назвать три различных ненулевых рациональных числа, дающих в сумме 0: скажем, 1, 2 и —3. Тогда полученный трехчлен ax2-j-bx-{-c будет иметь КОрНИ *1 = 1 И Х2= ф 1.
9.7. Ответ: 1989. Обозначим
|...||*1— Х2\ Хз | — ... — ЛГЛ| и заметим, что
51990 < max {51989, *199о}< ГГШХ {Si988, *1989, *199о}<
тах{*1 х2, ...* ЛГ1990}= 1990, но поскольку Si990— нечетное число (имеющее четность суммы х\+ *2 + ... + *1990= 1990Х
X1991/2), то $1990 <1989. Выберем следующую последовательность хг.
2, 4, 5, 3; 6, 8, 9, 7; 1986, 1988, 1989, 1987;
1990, 1.
Тогда S4* = 0 при любом fe=l, ..., 497 и Sl 990= IISi 988— 1990 I—1 j = 1989.
9.8. Покрасим часть треугольников в черный цвет так, как показано на рис. 5. Тогда число черных треугольников на п-f-l меньше числа всех вершин разбиения (ведь если каждому черному треугольнику поставить в соответствие его верхнюю вершину, то п+1 вершина останется незанятой) и, значит, на п меньше числа звеньев ломаной. А так как любое звено ломаной является также и стороной некоторого черного треугольника, то не менее (впрочем, и не более) п черных треугольников содержат по паре соседних звеньев ломаной, образующих острый угол в 60°,
X класс
Таблица 2
Номер
зада¬
чи
1
2
3
4
5
6
7
8
+
37
21
3
4
37
15
5
0
±
3
1
20
2
12
0
11
4
=F
3
1
1
5
2
8
11
1
—
15
35
33
47
7
35
27
53
Балл
6
7
8
9
5
7
8
10
10.1. Ответ: нельзя. Разобьем таблицу на четыре квадрата со стороной 995 и для
Рис. 5 Рис. 6
51


каждого из них подсчитаем разность числа черных и белых клеток (не равную 0 в силу нечетности числа всех клеток квадрата). Тогда если бы раскраска удовлетворяла вйем условиям задачи, то указанная разность для любых двух квадратов имела противоположные знаки, что невозможно.
10.2. Из соотношений
( а‘ ■ , а" ) ( а| . ,
'в|+о2 'т-'””'- an + ai ' Voi+a2 "г"‘”г
а? \ _ а?—а! al — а? _
an+ai ' аГ+аГ ап+аi
= (aj—а2) + ... + (ап —Oi) = 0,
в?+а/2 ^ 1 / , S
получаем оценку
а? о? _ / о?+о|
01+02 dn~\~CLi 2 V
+ а _|_Д| ) ^ ((01+02)+...+ (fln + fl|)) =
= (oi + ... + ая) = ~2 *
в которой равенство достигается при щ — = ... = ап = \/п.
10.3. Докажем, что вторая общая точка G (первая из них — точка С) окружностей, описанных около треугольников ABC и CDF, лежит на одной окружности с точками В, D, Е. Действительно, для конфигурации, изображенной на рис. 6, утверждение вытекает из равенств
Z.EBG— Z.ABG— Z.ACG — Z.FCG —
= Z FDG = Z- EDG и теоремы о вписанном угле. Аналогично разбираются и остальные случаи расположения точки G (за исключением вырожденных, когда G — B, С, D). Вообще-то, перебора можно и избежать, если в приведенном рассуждении усовершенствовать само понятие угла:, назовем ориентированным углом KMN наименьший угол, на который нужно повернуть против часовой стрелки прямую КМ до совпадения с прямой MN; тогда, например, четыре различные точки Е, В, D, G лежат на одрой окружности (или прямой) в том и только в том случае, если ориентированные углы EBG и EDG равны.
10.4. Ответ: 2. Проверка показывает, что если отмечены точки 0,15; 0,25; 0,6, то за один ход кузнечики не могут попасть в общий участок разбиения отрезка [0; 1 ]. Но за 2 хода при любом разбиении оба кузнечика смогут попасть в общий участок [а; Ь], имеющий наибольшую длину I. Так, для кузнечика, находящегося в точке 0 (для другого кузнечика рассуждения симметричны), могут пред¬
ставиться следующие возможности:
1) а = 0 — прыжков не требуется;
2) 0<в</ — нужен один прыжок через точку о;
3) — нужен сначала прыжок через от-
[а—/ о+/1 /
~2~; -g— J (каковая существует, иначе нашелся бы участок длины, большей /), переносящий кузнечика в точку 2се[а-/, Ь], после чего останется разве что перепрыгнуть через точку а.
10.5. Ответ: 584. Других решений нет вследствие возрастания левой части как функции от jeeZ.
10.6. В результате поворота вокруг точки 0=А„+2 на угол п/п (рис. 7) треугольник А\КО переходит в треугольник А3МО, так как А\0 — А30. Пользуясь теоремой о вписанном угле, получаем
sLNOM= AAtOAz- AKON= £ - £ =
= Z.KON п 2п
и Л3е[Л/; М\ ибо /-АчАгО— £.МАъО=п/2. Поэтому из равенства треугольников KNO и MNOf где КО = МО, имеем ZKWO = Z-ЛзЛ/О, что и требовалось доказать.
10.7. Ответ: 2k: Если n-угольник раскрашен требуемым образом, то число отрезков каждого из k цветов не превосходит п — 1 (индукцией по п доказывается, что среди п отрезков одного цвета непременно найдется замкнутая ломаная), а общее число отрезков п(п — 1)/-2 не превосходит k(n— 1), откуда вытекает оценка n/2^k. Равенство в ней достигается для правильного 2/г-угольника, у которого первым цветом покрашена ломаная A\A2kA2A2k^\ ... AkAk+u вторым — ломаная, получающаяся из первой поворотом на угол jt/fe, третьим — ломаная, получающаяся из первой поворотом на угол 2я/й, и т. д. (проверка показывает, что разные ломаные не имеют общих звеньев).
10.8. Расположим данные векторы в таком порядке, чтобы ломаная АоА\ ... Ап-\Ап ограничивала выпуклый многоугольник, и выберем такие вершины Л*, Л/, Лт, чтобы треугольник AkAiAm имел небольшую площадь.
Рис. 7 Рис. 8
м
Ап+2-0
52


Тогда, проведя через каждую вершину этого треугольника прямую, параллельную противолежащей стороне, получим треугольник KLM (рис. 8). Вся ломаная разобьется вершинами Л*, Л/, А,п на три части, каждая из которых будет целиком расположена в соответствующем треугольнике Л/Л’Лт, AkLAm, AkMAi (если бы какая-то вершина Л/ вышла за пределы треугольника KLM, то одну из вершин треугольника Л*Л/Лт можно было бы заменить точкой Л/, увеличив тем самым его площадь).
В каждой из трех частей ломаной в отдельности переставим составляющие ее векторы в противоположном порядке, отчего она симметрично отразится относительно середины соответствующей стороны треугольника Л*Л/Л,„ и в итоге окажется в этом треугольнике. Таким образом, новая ломаная будет полностью лежать в треугольнике Л*Л/ЛШ, а значит, в любом из его внутренних углов, хотя бы один из которых не превосходит 60°.
XI класс
Таблица 3
Номер
зада¬
чи
1
2
3
4
5
6
7
8
+
32
20
18
15
34
14
4
22
±
3
4
2
0
9
7
0
2
0
18
9
0
0
2
6
4
—
24
16
29
43
15
35
48
30
Балл
6:
7
•8
9
5
8
10
7
11.1. Для определенности считаем, что Се е[Л; D]. Из гомотетичности двух данных окружностей относительно центра А следуют гомотетичность их дуг СЁ, DB (рис. 9) и равенство углов СВЕ, CDB, измеряемых половинами этих дуг. Но так как угол CDB измеряется половиной дуги ВС третьей окружности, то угол СВЕ — тоже, а значит, прямая BE совпадает с касательной к этой окружности.
11.2. Ответ: 11. На первом шаге выбросим из всех куч, из каких только можно, по 967 камней, на следующем — по 512, затем по 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2 и 1. В результате за 11 шагов все камни будут выброшены. Меньшим, чем 11, числом шагов обойтись нельзя. В- противном случае нашлась бы такая последовательность чисел а, (/=1 /г;
At < 11) камней, выбрасываемых на t-м шаге, что любое из исходных чисел 1, .... 1990 представлялось бы в виде суммы каких-то из чисел а„ в то время как всего таких сумм можно составить не более 2*< 2[0—1024.
11.3. Докажем, что f(x)• /(у)^ Qbfxy ))2 для любых х, у > 0. В самом деле, если обозначить
л[ху =2, ТО
/(*) • f(y) -if(z)f = ci*{x2y2 - z4) + Ь\ху -- 22)+
+ с2(1 — 1)-(- ab{xly + ху2 — 2z3) + ас(х2 + У —
— 2z2) + bc(x + y — 2z) = abz\-yfx — ^fy)2 +
-f ас(х — у)2 + Ьс{л[х—л/yf > 0.
Теперь, пополнив, если нужно, набор чисел х, некоторым количеством единиц, добьемся, чтобы количество п чисел в наборе стало степенью двойки, что никак не повлияет на условия
Xf...'Xn=l И f(x)-...-f(xn)^ 1 (ибо /(1) = 1). Объединяя числа в пары, затем еще раз в пары и т. д. и используя каждый раз доказанное выше неравенство, получаем
/(*,) • ЦХ 2.) f(X„) > {f{~\[x~\X2 ))2 • ШЛ&4 ))2 • X
X (f(~\jXn— iXn )? > (/(V*l*2*3*4 ))4
^ )v=т i))"=i
11.4. Ответ: да. Введем в пространстве декартовы координаты так, чтобы каждая координата любой вершины большого куба равнялась либо 0, либо 100. Отметим некоторые вершины единичных кубиков с таким расчетом, чтобы на любом большом (длины 100) ребре каркаса находилась ровно одна отмеченная вершина: например, можно отметить каждую вершину с суммой координат, кратной 101. Теперь для каждой неотмеченной вершины Л построим репер Р(А) с вершиной Л следующим образом: ребро репера Р(Л), которое должно лежать на заданном большом ребре каркаса, направим в ту сторону от Л, где находится отмеченная вершина этого большого ребра. Тогда, во-первых, никакие два репера Р(Л) и Р(В) не будут иметь общее ребро, ибо им могло бы быть только ребро АВ, но это означало бы, что между соседними неот* меченными вершинами Л и В находится отмеченная вершина. Во-вторых, каждое ребро АВ единичного кубика обязательно войдет либо в репер Р(А\ либо в репер Р(В), поскольку либо на луче ЛВ, либо на луче ВА находится
Рис. 9
Рис. 10
53


отмеченная вершина. Таким образом, весь каркас разобьется на реперы.
11.5. Ответ: я> 1. Число
32« + I 22« + I _ 6П _ _ 2«) (3« + 1 2" +1)
при п> 1 —составное (ибо З'1 —2"> 1), а при п= 1 равно простому числу 13.
11.6. Считаем для определенности, что h — высота тетраэдра ABCD, опущенная из вершины A, a d — расстояние между ребрами АВ и CD. Через вершину В проведем прямую /, параллельную ребру CD, а через точку А — плоскость, перпендикулярную ребру CD и пересекающую прямые / и CD в точках Е и F (рис. 10). Тогда высоты АН и FQ треугольника AEF реализуют величины hud соответственно. Поскольку третья высота треугольника AEF равна одной из высот тетраэдра
ABCD, она не может быть меньше Л, откуда AF^FE и
h АН АЕ ^ AF+FE
d FQ FE FE
что и требовалось доказать.
11.7. Ответ: да. Возможная стратегия
первого такова. Сначала он называет число 0. Если второй ставит с = 0 в многочлене
x3 + ax2 + bx + c с не определенными пока остальными коэффициентами, то у многочлена сразу появляется корень *1=0, а первый, называя числа р = 2 и q = —3, в зависимости от действий второго получает корни х2=1, *з= — 3 или
*2=1, *з = 2.
Если вначале второй ставит a = 0, то первый называет число р=—(3*4*5)2, а затем либо <7=0 (если Ь — р), либо <7 = 32*42— 32*52 — — 42*5 (если с = р), получая соответственно корни либо *1 = 0, *2 = 3*4>5, Хз=—3*4*5, либод;1=—З2, Хг=— 42, *з=52.
Если же вначале второй ставит 6 = 0, то первый называет число р=62*73, а затем либо <7= — 72 (если с=р), либо q=— 68*73 (если а = р), получая корни х\ = —2d, дс2 = 3d, *з = 6d соответственно, либо при d = 7, либо при d= —б2*72.
11.8. Разобьем все монеты на т четверок и в каждой произведем по. два взвешивания, сравнив какие-нибудь две монеты сначала друг с другом, а затем с двумя оставшимися монетами четверки. Если оба раза весы находятся в равновесии, то все четыре монеты весят одинаково. Пусть таких однородных четверок оказалось k. В остальных m — k случаях для определения всех монет четверки затратим еще по одному взвешиванию (сравнение друг с другом монет второй пары), после чего в запасе останется Зт — 2т — (т — k) = k взвешиваний. Если k<.tn, то k взвешиваниями сравним все k однородные четверки с какой- нибудь из остальных четверок. Если же k = tn,
то сравним одну из однородных четверок с k — 1 остальными, на что уйдет даже менее k взвешиваний (кстати, только здесь нам и нужно знать, что среди монет присутствуют как фальшивые, так и настоящие, а информация об их количестве не нужна вовсе).
По итогам олимпиады жюри присудило в
IX классе 4 первых, 9 вторых и 14 третьих премий, в X классе — -2 первых, 7 вторых и 8 третьих премий, в XI классе — 6 первых, 8 вторых и 8 третьих премий. Ряд участников были награждены грамотами и специальными призами. Приводим список победителей.
Первая премия
IX класс: А. Амбайнис (шк. № 12 Даугав- пилса, ЛатвССР), А. Галване (шк. № 1 г. Окай- не, ЛатвССР), В. Каукис (ФМШ № 1 Риги),
В. 	Некрашевич (с. Крутые Горбы, УССР);
X класс: Е. Малинникова (шк. № 239 Ленинграда), А. Перлин (шк. № 239 Ленинграда);
XI класс: Г. Абрамов (шк. № 239 Ленинграда), Б. Дубров (шк. № 107 Минска),
О. 	Пихурко (шк. № 1 г. Нестерово, УССР), Р. Симановскис (ФМШ № 1 Риги), Ю. Смот- ровс (ФМШ № 1 Риги), А. Стояновский (шк. № 57 Москвы).
Вторая премия
IX класс: У. Аншлитс (ФШМ № 1 Риги), Д. Аринкин (шк. № 132 Харькова), А. Бородин (шк. № 17 Донецка), А. Бурков (шк. № 35 г. Кирова), М. Гельбанд (шк. № 100 Одессы), И. Изместьев (шк. № 35 г. Кирова), П. Кожевников (шк. № 24 Калуги), Ю. Певцова (шк. № 239 Ленинграда), К. Фельдман
(шк. № 82 пос. Черноголовка Московской обл.);
X класс: Г. Андерсонс (ФМШ № 1 Риги), К. Волченко (шк. № 17 Донецка), В. Жухо- вицкий (шк. № 239 Ленинграда), А. Козачко (шк. № 6 Винницы), К. Мишачев (шк. № 14 Липецка), Р. Мучник (шк. № 17 Винницы), М. Янсонс (шк. № 1 Сигулды ЛатвССР);
XI класс: В. Барановский (шк. № 105 Омска), А. Городецкий (ФМШ при МГУ),
Н. 	Зарубин (шк. № 27 Харькова), Р. Мавлю- тов (шк. № 12 г. Набережных Челнов), Д. Пионтковский (шк. № 13 Тулы), М. Разин (шк. № 28 Запорожья), И. Соловьев (шк. № 82 пос. Черноголовка Московской обл.), Д. Ша- бес (шк. № 13 Минска).
Третья премия
IX класс: М. Аманов (ФМШ г. Ташауз, TCCP), Ю. Белоус (шк. № 9 Нижнего Та¬
54


гила), Я. Виллимсон (шк. № 12 Тарту, ЭССР),
B. Григорян (ФМШ Еревана), А. Дмитриев (шк. № 41 г. Грозного), С. Климов (шк. № 30 Ижевска), П. Лапин (шк. № 2 г. Гусева, РСФСР), А. Лебедев (шк. № 4 Краснодара),
C. Лимонин (ФМШ № 45 Ленинграда),
Д. Номировский (ФМШ при КГУ), А. Наумович (шк. № 19 Минска), А. Рымов (РФМШ Казахской ССР), С. Стучинина (шк. № 2 Москвы), М. Шеенков (шк. № 36 г. Иваново); X класс: Ю. Андрееве (шк. № 25 Риги),
О. 	Балашов (ФМШ при ЛГУ), Н. Бродский (шк. № 31 Челябинска), А. Днестранский (шк. № 2 Рязани), Д. Комаров (шк. № 4 Саранска), О. Рябичева (шк. № 8 г. Кирова), У. Страусс (ФМШ № 1 Риги), М. Темкин (шк. № 57 Москвы); XI класс: А. Бачурин (ФМШ при МГУ), Р. Безрукавников (шк. № 57 Москвы), А. Милтузис (шк. № 1 г. Екабпилс, ЛатвССР), Н. Можей (шк. № 10 Минска),
С. 	Потапов (шк. № 14 Тамбова), И. Селищев (Манчевская шк., УССР), Р. Скадиньш (г. Скайсткалта, ЛатвССР), С. Тихонов (шк. № 58 Воронежа).
Учащиеся IX и X классов, награжденные дипломами I и II степени, получили право участвовать в заключительном этапе следующей Всесоюзной олимпиады, а учащиеся XI класса — поступать в вузы страны без вступительных экзаменов (по согласованию с ректором вуза). Кроме того, вместо окончивших школу победителей олимпиады по XI классу (награжденных дипломами I и II степени) команды имеют право включить в дополнительный состав по IX классу участников, показавших наивысшие результаты в республиканской олимпиаде.
Жюри рекомендовало в качестве кандидатов в^ сборную команду СССР для участия в Международной математической олимпиаде 1991 г. девятиклассников, получивших I премию, и десятиклассников, получивших I и II премии.
Впервые на Всесоюзной математической олимпиаде школьников присутствовали иностранные обозреватели из США, Греции, Испании, Болгарии. Большинством голосов на заседании жюри было принято решение направить команду Туркменской ССР в Испанию, команду школы № 239 Ленинграда — в США, команду ФМШ № 1 Риги — в Грецию и команду Украины — в Болгарию на национальные олимпиады по математике в составе 6 учащихся и 2 руководителей.
Программа, составленная республиканским оргкомитетом олимпиады под председательством первого заместителя министра народного образования ТССР А. Ф. Иванченко, была интересна и содержательна. Большой ин¬
терес у участников проявился к посещению Института Солнца и пустынь АН ТССР, конезавода, колхоза «Совет Туркменистана». Увлеченно прошли вечера дружбы в школах Ашхабада. Для ребят была организована встреча с редколлегией журнала «Квант», состоялся «математический бой» между командами школьников и жюри, проведен компьютерный турнир, в котором приняли участие 105 человек (по желанию). В целом олимпиада прошла организованно и интересно, чему немало способствовала высокая квалификация ее устроителей из Туркмении.
Торжественное закрытие олимпиады состоялось 24 апреля. Эстафета Всесоюзной математической олимпиады была передана в Центральный оргкомитет для вручения представителям РСФСР. XXV Всесоюзная математическая олимпиада школьников состоится в апреле 1991 г. в г. Смоленске.
Выигрышные стратегии
В. Г. Чванов
(Москва)
В игру вступают не для того, чтобы проиграть. Первый ход впереди, вера в успех незыблема, а возможности не исчерпаны. Но и партнер — достойный противник. Еще предстоит разгадать и постараться расстроить его замыслы. С чего же начать игру? Как с максимальной для себя выгодой использовать ее правила? И существует ли в ней гарантированный выигрыш? Вот круг вопросов, волнующих игрока перед началом партии.
Даже малоискушенный игрок стремится как-то организовать свои действия, свести их к системе. Способ игры, основанный на каком-ли- бо соображении, принято называть стратегией. Она будет выигрышной, если гарантирует победу за конечное число ходов (при любых ответах противника). Число затраченных ходов не безразлично игроку. В таких случаях говорят об оптимальности выигрышной стратегии по тому или иному критерию. Познакомить читателей с некоторыми выигрышными стратегиями и лежащими в их основе математическими идеями и ставит целью эта статья. Но сначала потребуется освоить некоторые понятия.
Проверка на четность. Какими же соображениями руководствуется игрок, выбирая стратегию? Какие он находит ориентиры для построения своих планов? Одним из них может стать понятие четности. Суть его состоит в том, что главное стратегическое решение принимается с учетом того, четно ли число некоторых
55


элементов (например, ходов, клеток игрового поля и т. п.), фигурирующих в игре. Более подробно эти ситуации мы разберем на примерах.
Задача 1. Может ли конь, начав маршрут с клетки а\и закончив его на клетке h8, обойти все поля шахматной доски, посетив каждое из них ровно один раз?
Решение. Доказательство невозможности такого маршрута опирается на свойство коня менять с каждым ходом цвет занимаемого поля. Таким образом, любую клетку одного цвета с исходной (а именно таково поле А8) конь займет на четном ходу. С другой стороны, для выполнения поставленной задачи ему требуется 63 (нечетное число) хода. Противоречие.
Рассмотренный прием носит название проверки на четность. Обычно ее используют как простое и эффективное средство доказать невозможность того или иного факта. Список подобных примеров можно было бы продолжить. Но нас больше интересуют игровые ситуации. Среди них особого внимания заслуживают те, в которых игрок достигает свою цель манипулированием четностью.
Манипулирование четностью. Опытные игроки хорошо знают, что в процессе игры могут возникать позиции, выигрыш в которых целиком зависит от очередности хода. Достаточно сохранить ее за собой или же (что более парадоксально) передать противнику, и победа обеспечена. Такой сбой в естественной очередности хода называют выигрышем (потерей) темпа. Иногда его предусматривают сами правила игры. В других случаях это право завоевывают в упорной борьбе, а порой к нему вынуждают противника. За подтверждающим примером мы вновь обратимся к шахматам, рассмотрев следующую задачу- миниатюру.
Задача 2. На доске 3X4 из позиции, изображенной на рис. 1, двумя конями и королем дать мат одинокому королю черных не позднее 6-го хода.
Решение. Нетрудно заметить, что при чужом ходе белые пришли бы к победе на третьем ходу. При своем же ходе они будут терпеть неудачу до тех пор, пока не найдут способ передать его очередность противнику. Делается это так. Ходом 1. Ка1 ... белые ограничивают зону движения черного короля полями а4, 64, с4 так, что на каждом ходу он меняет цвет занимаемого поля. Белый же король, избавясь от необходимости защищать свои фигуры, совершает путешествие по треугольнику 2.Крс2 ..., З.Крс1 ..., 4.КрЬ2 ... . При этом на одном из ходов он. сохраняет цвет
‘ю
9
д
7
X
X
X
X
X
•
6
•
•
•
•
•
•
5
X
4
X
.•
3
X
•
2
X
•
/
•
•
а
ь
с
d
е
f
9
h
i
k
Ф
&
ф
&
Рис. 1 Рис. 2
занимаемого поля. В результате маршрута короля белые возвращаются к исходной позиции с передачей очередности хода черным. Таким образом, изменив четность в последовательности ходов, король теряет темп, но приобретает возможность объявить мат в два хода: 5.Кс2+ ..., б.КаЗХ или б.КсЗХ-
Существуют и более тонкие приемы достижения выигрыша потерей (а точнее, жертвой) темпа. Но у нас на очереди задача, в которой к победе ведет его многократный выигрыш. Она касается популярной среди школьников игры «Морской бой». По ее правилам за каждый удачный выстрел (попадание в корабль или его потопление) игрок поощряется внеочередным ходом. Это условие и использует наша задача.
Задача 3. У одного из двух игроков, играющих в «морской бой» по традиционным правилам, на непростреленном участке игрового поля (рис. 2), имеющем размеры 5X5, осталась неповрежденной флотилия кораблей в составе одного крейсера (1X3), двух эсминцев (1X2) и четырех катеров (1X1). Докажите, что его партнер, начав игру, может закончить ее без единого промаха.
Решение. Посмотрим, как указанную в задаче флотилию можно разместить на оставшемся участке игрового поля. Самое малое расстояние между любыми кораблями флотилии, согласно правилам, равно одной клетке. Это дает право условно увеличить площадь каждого корабля па величину окружающей его каймы шириной 0,5 клетки. Суммарная площадь фигур, полученных таким образом, будет равна (4Х4+2Х6+1Х8)=36 клеткам. Той же величины будет и площадь «расширенного» участка игрового поля. Следовательно, «расширенные» корабли впритык покрывают «расширенный» участок. Это позволяет утверждать, что все его угловые клетки будут заняты кораблями.
56


Произведя небольшой перебор (читатели могут сделать его сами), получим 5 геометрически различных (не совпадающих при наложении) размещений флотилии на заданном поле, изображенных на рис. 3—7.
Оптимальная стратегия игры заключается в следующем. Первые 4 удачных выстрела (после каждого из них право хода сохраняется за игроком) производятся в угловые клетки, поскольку известно, что они заняты кораблями. Если 3 из них будут иметь своим результатом потопление кораблей, то размещение флотилии является таким, которое изображено на рис. 7. Следовательно, и все остальные выстрелы в этом случае игрок может сделать без промаха. Если же только один из первых четырех выстрелов имеет результатом потопление корабля, то, очевидно, на игровом поле имеет место одно из размещений флотилии, изображенных на рис. 3—4.
На основании того, что «расширенные» корабли впритык покрывают «расширенный» участок, 5-й и 6-й выстрелы игрок может произвести без промаха по клеткам, являющимся третьими по счету от угловой, занятой потопленным катером. В зависимости от результата этих двух выстрелов игрок определяет, какому из случаев (рис. 3 или рис. 4) соответствует размещение флотилии, сделанное его партнером.
Рассуждая подобным образом, игрок может установить, что если в результате двух выстрелов из первых четырех два корабля партнера потоплены, то размещение флотилии соответствует рис. 5—6. Таким образом, 6 выстрелов дают возможность определить, какому из пяти возможных размещений флотилии, изображенных на рис. 3—7, соответствует размещение кораблей партнера.
Итак, мы познакомились с рядом соображений, опирающихся на понятие четности. Оцени-
Рис. з Рис. ■*
Рис. 5 Рис. 6 Рис. 7
ли значение, которое может иметь выигрыш темпа в достижении победы. Пора перейти к главной теме нашего разговора — выигрышным стратегиям. Их обсуждение мы начнем с симметричной стратегии, в которой указанные свойства проявляются особенно ярко.
Симметричная стратегия. Существует класс игр (их называют ним-игры), в которых победителем объявляется игрок, делающий заключительный ход. Таким образом, сами правила диктуют соперникам доктрину — бороться за то, чтобы общее число ходов оказалось нужной им четности. Если оно четно — выиграет 2-й игрок, если же нечетно — победит начинающий. Но как же регулировать четность ходов? Здесь и приходит на помощь симметричная стратегия. В ее основе лежит нехитрая идея копировать ходы противника. При этом рассуждения 2-го игрока (после 1-го хода начинающего) сводятся примерно к следующему.
Привлекая геометрические соображения, он старается найти ось симметрии, которая делила бы исходную конфигурацию элементов на две равные области так, чтобы ход начинающего целиком оказался в одной из них. Ось найдена. Тогда 2-й игрок делает свой 1-й ход симметрично 1-му ходу начинающего. Он целиком окажется во второй области. Если начинающий и дальше ходит в свою область, то в силу симметрии у 2-го игрока всегда найдется ответный ход в своей области. Если же начинающий на каком-либо ходе сменит область, то же сделает и 2-й игрок. Ясно, что по исчерпании возможных ходов завершающим (победителем) окажется 2-й игрок.
С первого взгляда может показаться, что роль начинающего в подобных играх пассивна и во всех случаях он обречен на поражение. Однако из задачи 2 нам хорошо известно, что стоит начинающему передать очередность хода партнеру, как оба игрока поменяются ролями. Техника такой передачи в разных играх может быть различна, но чаще всего она совершается вдоль оси симметрии. Наглядное представление о многообразии возможностей, таящихся в симметричной'стратегии, дает следующая задача.
Задача 4. На окружности, разбитой на п равных дуг точками, последовательно занумерованными числами 1,2,...,л, двое играют в такую игру И (п). На своем ходе (их делают поочередно) каждый из игроков соединяет хордой любые две несоединенные точки одной четности, не пересекая при этом ранее проведенные хорды. Победителем считается игрок, делающий заключительный ход. Укажите значения п, для которых у начинающего игрока существует выигрышная стратегия.
57


Решение. Лемма 1. В игре И (п), где n=4£-j-2, побеждает 2-й игрок.
Доказательство. Поскольку а) распределения четных и нечетных точек симметричны относительно друг друга, б) никакие две точки одной четности не лежат на диаметре (оси симметрии), то на любой ход 1-го игрока найдется ответный, ход 2-го игрока, соединяющий две точки одной (но противоположной) четности, расположенные симметрично относительно мысленно проведенного диаметра (рис. 8), т. е. 2-й игрок побеждает симметричной стратегией.
Л е м м а 2. В игре И (я), где /г=46+1, побеждает начинающий.
Доказательство. Первым ходом 1 -й игрок, соединив точки (п—2), п, переведет игру И (п) в игру И (п—3) (т. е. случай п=4fc+l в случай п=4&+2) с изменением нумерации самих игроков, и выиграет ее по лемме 1.
Л е м м а. 3. В игре И (п), где п=4&, побеждает начинающий.
Доказательство. В случае п=4fc+2 2-й игрок пользовался исходной симметрией распределения четных и нечетных точек. В этом же случае задача 1-го игрока состоит в том, чтобы своим ходом сохранить исходную симметрию этого распределения. Это легцо достигается выжидающим ходом по любой из осей симметрии. Поэтому, .соединив первым ходом любые две, лежащие на диаметре точки одной четности (например, 1, (я+1)), начинающий переведет игру И (п) в игру И (п—2), равную сумме (рис. 9) двух эквивалентных игр И ((/г—2)/2). Далее, применив в игре И (и—2) симметричную стратегию, он побеждает.
Лемма 4. В игре И (я), где /г=4&+3, побеждает начинающий.
Доказательство. Стратегия 1 -го игрока* так же как и во втором случае, состоит в том, чтобы создать симметрию распределения четных и нечетных точек, исключив из него элемент, порождающий асимметрию. Этим элементом является точка (п+1)/2. Поэтому, соединив первым ходом точки (ti—1)/2, (я+З)/2, i-й игрок переведет игру И (п) в игру И (п—1/2), имеющую (рис. 10) зеркально симметричное распределение
Рис. 8 Рис. 9 Рис. 10
четных и нечетных точек относительно диаметра. Далее, применив симметричную стратегию, он выиграет. Задача решена.
Класс игр, к которому относится и наша, кроме рассмотренной нормальной формы имеет еще и мизерную, в которой игрок, делающий заключительный ход, считается проигравшим. Анализ мизерных форм, как правило, сложнее, но в нашем случае он вполне доступен читателю.
Задание. 1. Проанализируйте мизерный вариант игры.
Парная стратегия. Симметричную стратегию можно считать частным случаем более общей парной стратегии. Ее название подчеркивает, что вся игра как бы разбивается на парные ходы. А оптимальность стратегии предполагает, что если один из участников сделал какой-либо ход, то ход противника (не обязательно симметричный) должен принадлежать той же паре. Рассмотрим пример.
Задача 5. Фишка стоит в углу шахматной доски размером пХп клеток. Каждый из двух играющих по очереди передвигает ее на соседнее поле (имеющее общую сторону с тем, на котором стоит фишка). Второй раз ходить на поле, где фишка уже побывала, нельзя. Проигрывает тот, кому некуда ходить.
а) Докажите, что если п четно, то начинающий игру может добиться выигрыша, а если п нечетно, то выигрывает второй.
б) Кто выигрывает, если первоначально фишка стоит не на угловом поле, а на соседнем с ним?
Решение, а) Если п четно, то всю доску можно разбить на прямоугольники размером 1X2 (домино). Начинающий всегда будет иметь возможность сделать ход (и тем самым выиграет), если будет следовать такой стратегии: когда фишка стоит на одной из клеток какого-то домино, то он ставит ее на вторую клетку того же домино («закрывает» домино).
Если п нечетно, то можно разбить на домино все клетки доски, кроме начальной — угловой. Теперь аналогичная стратегия будет выигрышной для второго игрока.
б) 	Выигрывает всегда начинающий. При четном п стратегия та же, что в а). При нечетном п нужно снова разбить на домино все клетки, кроме углощой. Раскрасив доску в шахматном порядке, легко убедиться, что на угловую клетку 2-й никогда пойти не сможет, поэтому 1-й выигрывает, следуя той же стратегии «закрывания» домино.
Рассмотрим еще пример.
Задача 6. Два игрока поочередно выписывают на доске натуральные числа, не превосходящие р. Запрещается писать делители уже вписанных чисел. Проигрывает игрок, который не может сделать очередной ход. Выясни¬
58


те, кто из игроков имеет выигрышную стратегию для а) р= 10; б) р= 1000, и укажите ее.
Решение. В обоих случаях выигрывает начинающий, а) Первым ходом он пишет, например, число 6, после чего 2-й может написать одно из чисел (4,5), (7,8), (9,10), которые мы объединили в пары. 1-му в ответ на любой ход 2-го следует записывать другое число из той же пары.
б) 	Рассмотрим новую игру: правила те же, но среди чисел нет единицы. Если у 1.-го есть выигрышная стратегия в этой игре, то он сразу же ее применяет. Если нет, то он сначала пишет 1, а потом применяет выигрышную стратегию 2-го в новой игре.
Мы уже достаточно глубоко прочувствовали то значение, которое оказывает темп на ход игры в целом. Не случайно этот важнейший элемент в том или ином виде использует большинство стратегий. Существует целый ряд игр, правила которых с самого начала отдают инициативу начинающему. Такая ситуация носит название преимущества первого хода. Умение же удержать это преимущество, сделать его реализуемым и добиться победы целиком зависит от искусства игрока.
Стратегия непрерывной угрозы. Какие же для этого средства имеются в его арсенале? Одним из них является создание угроз, требующих немедленного отражения. Стратегия, использующая это средство, так и называется стратегией непрерывной угрозы. Ее цель навязать противнику развитие игры в нужном (иногда буквально в геометрическом) направлении. Примером ее реализации в шахматах может служить серия последовательных шахов с целью завлечь неприятельского короля на поле, удобное для' объявления ему мата, или же проведения необходимой перегруппировки фигур.
Эта же стратегия на заключительном этапе применяется и во всех играх типа «крестики-нолики». Пример такой, несколько идеализированной игры мы и рассмотрим.
Задача 7. На бесконечном клетчатом поле двое играют в такой вариант игры И (пг,п) «крестики-нолики» до квадрата пХп. На каждом ходу (их делают поочередно) игрок отмечает своим знаком (крестиком или ноликом) любые m(l<[ms^ra2) неотмеченные клетки. Побеждает игрок, первым отметивший своим знаком какой-либо квадрат пУ.п. Укажите значения т, п, для которых у начинающего (крестиков) имеется выигрышная стратегия.
Решение. Мы решим задачу для игры И (2,2). Ситуацию, в которой у игрока возникает возможность выиграть следующим ходом (быть может, при ошибочных действиях партнера), назовем угрозой (шахом). В игре И(2,2)
О
X
о
X
X
0
X
о
0
X
X
0
X
0
о
X
о)
о
X
О
О
*
X
X
о
X
X
X
X
а)
6.)
Рис. И Рис. 12
крестики выигрывают не позднее 6-го хода. Первым ходом они объявляют двузначный шах, отражение которого требует от ноликов также не менее двух знаков. Второй ход крестиков, учитывающий возможные варианты защиты ноликов, изображен на рис. 11, а, б. Из позиции рис. 11, а крестики выигрывают на 4-м ходу, и разбор этого варианта мы оставляем читателю. Сами же разберем два наиболее сильных ответа ноликов на 2-й ход (рис. 12, а,
б). Из этих позиций 3-м ходом крестики переходят к позициям рис. 13, а (в ней выигрыш также достигается на 4-м ходу) и рис. 13, б, на которой мы остановимся. Отразить созданные угрозы нолики могут, лишь пометив клетку d5 и одну из клеток йЗ или е4. Если помечены клетки d5, е4, то 4-м ходом крестики создадут неотразимые угрозы, пометив, например, клетки 65 и el. Если же на 3-м ходу нолики пометили клетки d5, d3, то крестики отражают угрозу ходом 62, с2, а на 5-м ходу создают те же неотразимые угрозы, помечая клетки 65, el.
Видимо, крестики побеждают и в игре И (7,3) и вообще в игре И(п2—2,л), но доказать это не просто.
Конечно же, рассмотренные примеры не могут охватить всего многообразия игр, созданных человечеством за долгие годы. И, завершая статью, мы далеки -от той мысли, что она
Рис. 13
1
1
о
V
7
О
X
V
О
6
X
О
у/
5
X
X
4
X
О
X
3
X
О
х
О
2
о
X
7
а
b
с
d
е
f
а)
6)
59


даст исчерпывающий ответ на все поставленные вопросы. Отыскание выигрышной стратегии в каждой конкретной игре оставляет еще много места для самостоятельного творчества. Но хотелось бы надеяться, что знакомство со статьей поднимет игровую культуру читателя и укрепит его веру в пользу математического подхода к разбору игровых ситуаций.
Простое доказательство одного утверждения Эйлера
Тахонг Куанг
(Ханой)
В № 1 журнала «Математика в школе» за 1988 г. была опубликована статья Л. М. Кога- нова «Об одном утверждении Леонарда Эйлера». В ней было приведено доказательство утверждения Эйлера, принадлежащее А. И. Лапину, которое опирается на свойства нормы на кольце чисел вида а-\-Ьл]—7, где а, b — целые.
В моей заметке приводится другое, более простое доказательство утверждения Эйлера.
Утверждение Эйлера: любая степень двойка с натуральным показателем, не меньшим 3, представима в виде 1 х2-\-у, где х и у — нечетные.
1. Анализ задачи. Предположим, что существуют два нечетных числа х, у, удовлетворяющие условию
7х2+у2=2п(п^3). (1)
Перепишем (П в виде
8х*+(у—х) (у+х) = 2\
Положив у—x=2qt где q — целое, имеем
8x2-{-2q (2x-\-2q) —2n.
Следовательно,
2x2+qx+q2=2n~2. (2)
И обратно, если существуют целые числа х, q (х— нечетное), удовлетворяющие соотношению (2), то числа х и y=2q-\-x будут удовлетворять соотношению (.1).
2. Доказательство утверждения Эйлера. Докажем (2) методом математической индукции.
При п—3 это очевидно (х= 1, q= — 1).
Допустим, что при п^3 существуют два нечетных числа *, q, удовлетворяющих (2). Тогда
4x2+2xq+2q2=2n~lt
или
2x(2x+q) -\-2q2=2n~l. (3)
Положим 2*+<7=—t. Отсюда следует, что t нечетное число и (3) можно переписать в виде (-t-q)(-t)+2q2=2«-\,
или
2q2-\-qt-\-t2=2n~l.
Итак, мы доказали, что для любого нату¬
рального я>3 существуют два нечетных числа х, q, удовлетворяющих (2), и тем самым доказано утверждение Эйлера.
В заключение предлагаю читателям несколько придуманных мной задач.
1. Доказать, что для любого натурального п существуют не делящиеся на 5 целые числа р, q, которые удовлетворяют соотношению
p2+pq+5q2= 11 -5Л.
2. Существуют ли два не делящихся на 5 натуральных числа х, у, которые удовлетворяют соотношению
*2+19*/2=198« 1 о1989?
(Эта задача была предложена на -Вьетнамской олимпиаде 1989 г.)
3. Доказать, что число 25'960 — 1 имеет простой делитель, больший 16 - 51960.
4. Найти два натуральных числа х, у, таких, что
х2— 1960г/2=1.
ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ СТРАНИЦА
О представлении треугольных чисел квадратами
Как известно, треугольными называются числа, образованные путем последовательного суммирования чисел натурального ряда, т. е. числа 1,3,6,... Треугольное число равно половине произведения двух соседних чисел
т «(/i-1-l)
натурального ряда, т.е. Тп— ^—
Треугольные числа обладают множеством интересных свойств. Так, сумма двух последовательных треугольных чисел равна квадратному числу
Тп_{ + Тп=п2, (1)
а их разность
Тп—Тп_у=п. (2)
Треугольные и квадратные числа связаны между собой многими соотношениями. Укажем только следующие, найденные нами зависимости:
3Тп — Тп— | -f-1 —{п-}-1)2, (3)
%±^-1=(2п+1)2 (5)
I П
Т
Из формулы (5), например, при ti — Ъ имеем: —-60 — 1 = 112.
Т 5
Широко известна так называемая формула Диофанта 8Гп+1=(2я+1)2. (6)
Казалось бы, треугольные числа и квадраты взаимосвязаны весьма просто. Но знаменитый Л. Эйлер (1707—
1783) поставил такую задачу: найти формулу для треугольных чисел, одновременно являющихся квадратами. Что такие числа имеются, легко убедиться. Так, уже Т\—\ — \2
8*9
Следующее такое число Ть— -j-=36=62. А дальше? Эй-
60


лер дал формулу для получения квадратных чисел (возведенную нами в квадрат):
*„=(('(12)
/ (3+2т/2)я— (3—2-^2)" V V 4V2 '
(7)
При л = 1 и я=2 из нее получаем уже известные нам числа 1 и 36, при я = 3 имеем* /Сз = 352, при я = 4 К4= = 2042 и т. д.
Формула (7) показалась Эйлеру сложной, и он предложил другим ученым упростить ее или найти другую, более простую, но высказал при этом предположение, что это, очевидно, самая простая из всех возможных формул. По-видимому, это так и есть, потому что до сих пор никто не предложил более простой зависимости.
А что можно сказать о сумме трех и четырех последовательных треугольных чисел? Может ли такая сумма являться квадратом? Эта задача, несмотря на ее простоту, до сих пор не ставилась. Между тем такие тройки и четверки треугольных чисел существуют. Так, имеем: 7,б+7’б+Г7=82.
Г14+Г1б+7'1б=/С19= 192, или 105+120+136=361 = 192, Тю+Т в4+ Т65= /С79= 792,
Т isfe+T'tea+r 1Б4=/С|88= 1882.
Можно отметить, что квадратные числа, являющиеся одновременно суммой трех последовательных треугольных чисел, должны быть также вида 32Гп+1. Поэтому Тп_х+Тп+Тп+{=ЪТп+\.
Существуют и четверки последовательных треугольных чисел, в сумме дающие квадратное число. Например: Т5+Те+Т7+Тг=Кю=Ю2,
^39 + Т 40+ Т 41 + Т 42= /Сб8= 582,
Т237 + Т238+ ^ЗЭ-Ь т240= /Сз38=3382,
Т1391 + ^1392+ 7* 1393-+- У1394= 19702.
Эти формулы, впрочем, как и предыдущие, могут быть обобщены, например, следующим образом:
7з/г_1 + 7,3£+7,4/г_1+7,4£= (5k) = (36)2+ (4k)2. (8)
При £=1 отсюда имеем Т2+2Тз+Т4=52 или 3+6+6+10= =52, при &=2 получим приведенную ранее формулу, при k—7 имеем 720+7*21 + T2j-\-7128=35 и т. д.
Обратим внимание на правую часть формулы (8). Она отражает уже отмечавшийся факт (см. формулу (1)): сумма двух последовательных треугольных чисел равна квадратному числу. Но таким образом нахождение общей формулы для четверок треугольных чисел оказывается непосредственно взаимосвязано с пифагоровыми числами! А именно: если пифагорейцы нашли тождество, охватывающее тройки чисел, в которых числовые значения катета и гипотенузы являются соседними числами в натуральном ряду:
(2я+1 ).2+ (2я2+2я) 2= (2я2+2я +1)2, (9)
где п—1,2,3,4,..., то нам надо найти пифагоровы тройки, у которых последовательными числами являются величины катетов, т. е необходимо найти числа, удовлетворяющие уравнению а2+ (а+1)2=с2. Такие тройки пифагоровых чисел имеются. Вот они:
32+42=52, 202+212=292, 1192+1202= 1692 и т. д.
Формула для нахождения квадратных чисел, представляющих собой сумму двух последовательных квадратных чисел, имеет следующий вид:
Сп=
(1+Л/2)2я-1—(1 —уг)2'—1 277 —'
(10)
Числовая последовательность, получающаяся отсюда при п—1,2,3,..., такова:
1,5,29,169,985,5741,.... (И)
А формула для нахождения всех четверок последовательных треугольных чисел, в сумме дающих квадратное число, такова:
Числовая последовательность сумм таких четверок имеет вид:
22,102,582,3382,19702,114822,... . (13)
Отметим еще, что для всех трех рассматриваемых здесь последовательностей, описываемых формулами (7), (10)' и (12), справедливо одно и то же рекуррентное соотношение ал+1=6ап—o„_i, причем для последовательности 1,6,35,204,1189,..., общий член которой описывается формулой Эйлера (7) оо=0, ai= 1, для последовательности (11) oo=oi=l и для последовательности (13) (но без возведения каждого члена в квадрат) ao=ai=2.
Тройки треугольных чисел, указанные выше, являются членами числовой возвратной последовательности
1,2,8,19,79,188,782,...
Любой стоящий на нечетных местах член этой последовательности можно найти по формуле
„ _ (39+16V6) (5+2т/б)я— (39—1&У&) (5-276)“, „ 4VF 11 *
где п=0,1,2,3,...
Любой член последовательности, стоящий в ней на четных местах, находится по формуле
Кч
(9+4V6) (5+2д/б)п— (9—4т/б) (5—2V6)" 4ТЕГ
(15)
при я=0,1,2,3,... .
Формуле (14) соответствует рекуррентное соотношение а2п4-3~ Юа2п4-1—а2п— 1» Oi = 1» Оз=8, as=79, 07=782; Og= = 7741,... .
Для чисел, стоящих на четных местах последовательности, рекуррентное соотношение имеет вид:
(*2п+а= Ма2п+2—а2п> 02=2, 04=19, о6=188
Итак, найдены формулы для вычисления пифагоровых чисел, являющихся последовательными квадратами, которым равны катеты прямоугольного треугольника, а также тройки и четверки последовательных треугольных чисел, в сумме дакЗЪцих квадратное число. По всей видимости, 5 и 6 последовательных треугольных чисел квадратами быть не могут. Но этот вопрос пока остается открытым.
Возвращаясь к формуле Диофанта (6) , отметим, что нам удалось ее обобщить следующим образом:
(kn+l)2—8(k—l)Tn+((k—2)я—I)2. (16)
Данная формула позволяет представить любое квадратное число в виде суммы меньшего квадрата и кратного треугольному числу числа.
Из (16) при fc=l имеем тривиальное тождество (я+1)2= = (—я—1) , при £=2 получаем зависимость Диофанта (6), при &=3 имеем (Зя+1)2= 167\.+ (я— I)2, при /г=4 (4я+ + 1)2=24Гл+ (2я—I)2 и т. д.
В соответствии с формулой (16) квадратные числа могут иметь различное число представлений в виде вышеуказанной суммы. Причем если kn — простое, то число представлений равно лишь двум. Если же kn составное число, то число представлений зависит от числа делителей kn. Например, если kn=35, то имеем следующие разложения:
(1 •35+1)2=8*0*7,35+362, (5.7+1)2=8.4Г7+202,
(7 •5+1)2=8*6Г5+242,
(35 • 1 + 1)2=8»347',+322.
Как видим, при разложениях учитывается и единица. Для npocfbix kn это видно особенно наглядно. Так, для kn=5 имеем:
(5+l)2=62=(1.5+l)2=8-0-7Vf62= (5*1 + 1) 2=8 • 47*, +
+22.
В заключение укажем на следующее. Если рассматривать не только квадратные, а любые натуральные числа в виде представления их суммой треугольных чисел


и при этом не требовать, чтобы треугольные числа были последовательными, то приходим к знаменитой проблеме теории чисел, которой занимались Ферма, Эйлер, Лагранж и другие. Эти математики обнаружили и показали, что любое число можно представить в виде суммы 6-угольных чисел, состоящей не более чем из k слагаемых. Понятно, что для представления квадратного числа достаточно суммы трех треугольных чисел.
Использованная литература
Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. М.: Мир, 1971.
Елен ьский Щ. По следам Пифагора. М.: Детгиз, 1961.
КорДемский Б. А. Математическая смекалка. М.: Физматгиз, 1958.
Марку ш е в и ч А. И. Возвратные последовательности. М. Л.; Гостехтеориздат, 1955.
Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры.М.: Физматгиз, 1962.
Эйлер Л. Введение в аналйз бесконечных. Т. 1. М.: ГИФЛ, 1961.
А. 	В. Соломин, В. М. Соломин (Киев)
ЗАДАЧИ
Напоминаем читателям, что решение алгебраических задач (их 12) и геометрических (их 8) следует присылать в отдельных конвертах с соответствующей пометкой «Алгебра» или «Геометрия». В каждый из них просим вложить две сводки — общую и по соответствующему разделу.
Решения задач этого номера должны быть отправлены в редакцию не позднее 1 марта 1991 г. О правилах оформления решений см. в № 2 журнала за 1990 г. на с. 77.
Задачи для V—IX классов
3501. Найти цифры х, у, г таким образом, чтобы выполнялось равенство (2xy)2=xyzxy.
М. Норов (Бухарская обл., с. Сайин)
3502. Имеются два сосуда, в первом из них 1 л воды, второй сосуд пустой. Последовательно проводятся переливания из первого сосуда во второй, из второго в первый и т. д., причем доля отливаемой воды составляет последовательно 1 /2, 1 /3, 1/4 и т. д. от количества воды в сосуде, из которого вода отливается. Сколько воды будет в сосудах после 1991 переливания?
Г. А. Г а л ь п е р и н (Москва)
3503. Частное от деления трехзначного числа на сумму его цифр равно 13, а остаток равен 23. Найти все числа, обладающие этим свойством.
В. И. Кот (Гродненская обл., пос. Ивье)
3504. Найти все тройки натуральных чисел а, b, с, таких, что
асЬсссБО, c2=ab+bc+ca, причем а, Ь> с не имеют общего делителя, отличного ох единицы.
Л. Д. Курляндчик (Ленинград)
3505. Число п>50 является суммой квадратов тр&х последовательных натуральных чисел. Доказать, что оно по крайней мере еще одним способом может быть представлено в виде суммы трех квадратов натуральных чисел.
Л. Д. Курляндчик
3506. Является ли выражение
а2(Ь2 + с-а2)2
(a + b + c)(b + c—а)(с+а — Ь)(а + Ь — с)
а2Ь+а2 с.— Ь3— с3—abc а+6 + с
симметричным относительно переменных а, Ь, с?
Э. А. Яси новый (г. Куйбышев)
3507. В прямоугольном треугольнике ABC прямая, перпендикулярная биссектрисе угла А, пересекает эту биссектрису в точке М, а гипотенузу АВ в точке К. Доказать, что угол между прямыми СК и СМ равен половине угла А этого треугольника.
3508. Дан угол и окружность внутри него. Построить касательную к окружности такую, что отсекаемый от угла треугольник содержит окружность и имеет наименьший периметр.
Задачи для X—XI классов
3509. Решить уравнение
V 2 x—y2—z2—-j 2z—y—3=-yJ х2+у.
Ш. И. Сафаров (АзССР, с. Юсифджанлы)
3510. Решить уравнение*
3511. Может ли быть рациональным число
~\j 1 “h^V 1+...+V 1991, ai<22...fli99i где число радикалов больше 6?
Д. Осин, ученик X класса (Москва)
3512. Найти наибольшее значение расстояния между графиками функций у — ах и y—\ogax в зависимости от а.
Ш. И. Сафаров
3513. Какое наибольшее число точек можно поместить в кольцо с внутренним радиусом 1 и внешним радиусом -у/2 так, чтобы расстояние между любыми двумя точками было не менее 1?
Л. Д. Курляндчик
3514. На плоскости имеется несколько правильных треугольников, покрывающих общую площадь 1. Доказать, что из них можно выбрать несколько непересекающихся треугольников, занимающих общую площадь не менее Vie.
Л. Д. Курляндчик
3515. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон АВ, ВС и С А соответственно в точках С', А' и ВПрямая А'В' пересекается с АВ в точке Р. Доказать, что касательные, проведенные из середины отрезка PC' к вписанной и описанной окружностям треугольника ABC, равны между собой.
В. Ю. Протасов (Москва)
3516. На сторонах АВ, ВС и С А треугольника ABC взяты соответственно точки С', А' и М так, что МА'—МС, МС'=МА. Доказать, что
а) расстояние от М до центра описанной около А'В С' окружности равно радиусу описанной около ABC окружности;
б) окружность, описанная около А'ВС', проходит через точку пересечения высот треугольника ABC.
В. Ю. Протасов
* Автор этой задачи не указал ни своей фамилии, ни адреса.
62


Конкурсные задачи
3517. Доказать, что для любого натурального числа N найдутся различные числа а\> а2,..., ап, большие N, такие, что сумма их обратных величин равна 1.
Л. Д. Курляндчик
3518. Доказать, что если а\,а2> а„е[0,1], то
l-s<(l-ai(l-a2)...(l-a„)<(l+s)-\ где s = ai + а2 +ап.
Л. Д. Курляндчик
3519. Прямая пересекает стороны АВ, ВС и СА треугольника ABC соответственно в точках С', А' и В'. Доказать, что три точки, симметричные соответственно точкам А, В и С относительно середин отрезков В'С', С'А' и А'В', лежат на одной прямой.
3520. Рассмотрим вписанную и описанную окружности некоторого треугольника. Известно, что существует бесконечно много треугольников, для которых эти окружности также являются вписанными и описанными. Найти геометрическое место точек пересечения медиан таких треугольников.
Решения задач, помещенных в № 2 за 1990 г.
3421. Является ли число
102030405060708090807060504030201 точным квадратом?
Решение. С помощью умножения «столбиком» нетрудно убедиться, что заданное число является квадратом числа
10101010101010101.
3422. Найти 999-значное число п, запись которого не содержит цифры 0, равное сумме двух слагаемых, каждое из которых получается перестановкой цифр числа п.
Решение. Достаточно, очевидно, привести трехзначное число, обладающее этим свойством, и написать его подряд 333 раза. Примером такого числа является 954=459+495.
3423. Может ли число вида 1990* содержать поровну цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?
Решение. Если запись числа содержит поровну всех цифр от 1 до 9, то оно делится на сумму этих цифр, т. е. на 45. Однако число 1990, а следовательно, и 1990" не делится на 3, и поэтому ответ на вопрос задачи — отрицательный.
3424. Мяч плотно обтянут веревочной сеткой, в которой из каждого узелка выходит три веревки. Может ли сетка содержать ровно 1991 узелок?
Решение. Если сетка содержит п узелков, то общее число звеньев сетки, поскольку каждое звено соединяет два узелка, равно (п-3) /2, так что число п четно. Поэтому сетка не может содержать 1991 узелок.
3425. В матч-турнире трех шахматистов из нескольких кругов первое место занял шахматист А, второе — В, третье место — С. Возможно ли, чтобы по числу побед, одержанных шахматистами, они расположились в обратном порядке?
Решение. К обратному расположению шахматистов по числу побед приводит, например, следующий матч-турнир из 6 кругов: в первом и во втором круге С проиграл и А, и В, в третьем круге С проиграл В и выиграл у Л, и далее С проиграл В три партии, а все остальные партии в матч-турнире закончились вничью. Нетрудно подсчитать, что при этом шахматисты А, В и С набрали соответственно 6,5, 6 и 5,5 очков, одержав 2, 3 и 4 победы.
3426. На олимпиаде было предложено 5 задач, и несколько участников получили первые премии. Известно, что
никакие четверо из них не решили в совокупности всех пяти задач, но любые пятеро решили — также в совокупности — все задачи. Сколько человек получили первую премию?
Решение. Если один из участников решил хотя бы две задачи, то, поскольку каждая задача решена одним из участников, найдется еще не более трех участников, которые, вместе с первым, решили все предложенные задачи, что противоречит условию. Следовательно, каждый из участников олимпиады решил не более одной задачи.
Если два участника решили одну и ту же задачу, то вместе с любыми тремя другими они решили в совокупности не более четырех задач, что также противоречит условию, так что все участники, решившие хотя бы одну задачу, решили разные задачи.
Поэтому получивших первую премию столько же, сколько было предложено задач, т. е. 5 человек.
3427. Пусть О — центр некоторой окружности, АВ — ее хорда. Произвольная окружность, проходящая через точки О и А, пересекает данную окружность вторично в точке М и прямую АВ в точке К. Доказать, что ВК=КМ.
Решение. Пусть точки расположены так, как показаны на рис. 1. Поскольку 2Z-KBM=t2Z.ABM= Z.AOM— = Z.AKM= Z.KBM+ АКМВ,то £КВМ= Z-KMB и КВ= = КМ. Аналогично рассматриваются другие случаи взаимного расположения окружностей и точек пересечения.
3428. Построить треугольник по стороне, противолежащему углу и радиусу вписанной окружности.
Решение. Рассмотрим треугольник ABC, в котором известны сторона ВСУ противолежащий угол А и радиус вписанной окружности г (рис. 2). Если Р —центр вписанной
окружности, то Z.BPC=90°+— Z.A, т. е. точка Р расположена на известном сегменте, построенном на ВС. При построении можно воспользоваться тем, что центр окружности, описанной около BPCt находится в точке М — середине дуги ВС. Теперь нетрудно построить треугольник ВРС, поскольку точка Р определяется как пересечение двух линий — известной окружности и прямой, параллельной ВС, проходящей на расстоянии г от ВС. Затем находим точку А.
3429. Существует ли 1000-значное число п, запись которого не содержит цифры 0, равное сумме двух слагаемых, каждое из которых получается перестановкой цифр числа п?
Решение. Поскольку, например,
87 654 321=61 235 784+26 418 537, то искомое число будет получено, если число 87 654 321 записать подряд 125 раз.
3430. Изобразить на координатной плоскости множество точек первой четверти, координаты которых удовлетворяют уравнению
х*+уУ=хУ+у*.
Решение. Ясно, что заданное уравнение выполняется при х=у, и поскольку х и у входят в уравнение симметрично, то можно считать, что *>#, т. е. x=y+t, где />0.
Рис. 1 Рис. 2
63


Записав уравнение в виде
Xх—хУ—ух—уУ
или
Xй (х* — 1) ~уУ (у*— 1), рассмотрим дна случая
Пусть л*>1; в силу ys>0 и />О,
хУ>уУ, х1—1 >у1—1, и поскольку х1—1^0, то при почленном перемножении полученных неравенств получим верное неравенство хУ(х*— 1)>уУ(у(—1), так что в рассматриваемом случае заданное в условии равенство не выполняется.
Пусть 1 >х>у\ зафиксируем числа у и t и положим /(2)=z</-H—гУ. Тогда
Г(г)>0^(у+1)гУ+‘-\-угУ-'=Ъ^)г> (JL?) l/‘,
так что функция f возрастает при z>zo= (у/ (y+t))1/*.
При этом, так как 1//>1, то по обобщенному неравенству Бернулли
!_(»+£)
Zo v у 7 х у' у у
т. е. x>y>zo. Следовательно, /(*)>/(*/), т. е.
ХУ+1—ХУ>уУ+1—уУ,
или
хх—хУ>ух—уУ> и данное уравнение не выполняется.
Таким образом, исходное уравнение справедливо только при х—у.
3431. Доказать, что если х, у, 2>0 и
arctg x+arctg f/+arctg2<ft, то xyz<x-\-y-\-z.
Решение. Обозначив слагаемые в левой части заданного в условии неравенства через а, р, у соответственно, будем иметь:
x+y+z—xyz=tg а+tg p+tg v—tga tgp tg y= sin(a+p) cos (a+P)
cosa cos p cosa cos (3
_ sin (a + p) cos 7 + sin у cos (a + p) __ sin (a-}- P + v) ^ q cos a cos p cos у cos a cos pcos 7
так как 0<а+р+7<я и все множители в знаменателе положительны, cos (arctg t) >0, поскольку —я/2<
<arctg tcл/2 при любом t.
3432. Существуют ли иррациональные числа аир такие, что число аР рационально? _
Решение. Положим а=->/2, P=logy2 3- Число р иррационально: если ]_ogy2 Ъ—p/q, где р и q — натуральные числа, то 3?=(У2)/\ 9?=2Р, но это невозможно, так как число 9я нечетно. С другой стороны, aP=y2logV2y=3.
3433. Внутри одного квадрата расположен меньший квадрат. Вершины двух квадратов попарно соединены так, что получившиеся четыре отрезка не пересекают меньший квадрат. Часть плоскости между границами двух квадратов оказалась разделенной на четыре четырехугольника. Доказать, что сумма площадей двух противоположных четырехугольников равна сумме площадей двух оставшихся.
Решение. Обозначения понятны из рис. 3. Нам надо доказать, что сумма площадей четырехугольников АА\В\В и CC\D\D равна сумме площадей четырехугольников ВВ\С\С и DDiAiA. Отрезая от этих четырехугольников попарно равные прямоугольные треугольники (на рис. 3 они обозначены числами 1, 2, 3 и 4), мы сводим наше утверждение к равенству суммы площадей трапеций 5 и 7 и суммы площадей трапеций 6 и 8. Пусть а — сторона большего квадрата, am — проекция соответствующей стороны меньшего на сторону большего. (Понятно, что все эти проекции равны.) Значит, x-\-y=u-\-v=a—m. Откуда сумма площадей трапеций 5 и 7 равна
х-\-и , у-4-р
пгm=m (а—т).
Такой же будет и сумма площадей трапеций 6 и 8.
3434. Дан угол с вершиной О. Построить точки А и В на сторонах угла и точку М внутри угла так, чтобы АМ-\- -^-ВМ—а, где а — данный отрезок, и площадь четырехугольника ОАМВ была наибольшей.
Решение. Будем основываться на двух достаточно очевидных и легко доказываемых утверждениях: 1. Из всех треугольников, у которых задана одна сторона и противолежащий угол, наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник. 2. Из всех треугольников, у которых задана одна сторона и сумма двух других, наибольшую площадь имеет равнобедренный.
Из этих утверждений сразу следует, что у искомого четырехугольника ОА = ОМ—ОВ и AM—MB—а/2 (рис. 4). Теперь его нетрудно построить.
3435. На плоскости дан правильный треугольник МАВ. Треугольники МА\В\ и МА2В2 получаются из треугольника МАВ посредством поворота вокруг М в одном и том же направлении (А—^А 1 —>-у42» В-+В\-+В2). Доказать, что основания перпендикуляров, проведенных из М к прямым ВА\У В\А2 и В2А, служат вершинами правильного треугольника.
Решение. На рис. 5 точки К, К\ и К2 соответственно — середины ВА\, В\А2 и ВчА (т. е.— основания перпендикуляров, проведенных из М к этим прямым), Р, Т, Р\ и Ti — середины соответствующих сторон треугольников МА\В\ и МА2В2. Нам надо доказать, что КК\—К\К2. Заметим, что вектор РК при повороте в соответствующем направлении на 60° (в нашем случае — против часовой стрелки) переходит в вектор Т\К2. (Поскольку они сонаправлены векторам MB и МА и равны их половинам.) Аналогичная связь имеет место между векторами ТР и К\Ри а также между К\Т и Р\Т\. Рассмотрим равенство
W=K^+W+PK.
Применим к обеим частям поворот на 60° против часовой стрелки. Поскольку при повороте длина вектора не меняется, используя доказанное выше, будем иметь
| КхК | =|TJd | - = |/CiP,+Pi7’i + 7’,/C2 | = \KiK2\, что и требовалось.
3436. Доказать, что в плоскости треугольника ABC существует точка М такая, что AM2—ВС2—ВМ2—АС2— — СМ2~АВ2. Доказать, что отрезки АМ\, ВМ2 и СМ3, где Mi, Мь и Мз — соответственно точки пересечения медиан треугольников ВМС, СМА и АМВ, равны и проходят через общую точку.
Решение. На рис. .6 проведена высота AAly Aq — середина ВС, Н — точка пересечения высот, О — центр описанной окружности. Пусть А2 — симметрична А[ относительно Aq. Имеем ВА\—А2С2—СА\—ВА2=СА2—ВА2. Но по условию должно выполняться равенство ВМ2—СА/2=ЛС2—АВ2=ВА\—А2С2.
64


A
/
0 \
в^—_ Jl
\
A1 Aa
к
Рис. 6
Таким образом, точка М должна лежать на перпендикуляре, проведенном к ВС через точку А г. Но все три таких перпендикуляра для трех сторон треугольника проходят через точку, симметричную Н относительно О. Значит, это и есть искомая точка М.
Проведем теперь прямую АО и обозначим через М' и К ее точки пересечения с AM и МАг. Поскольку О — середина НМ, то МК=АН=2ОА0. Таким образом,
А0М' ОАо 1 М'М~~МК~~ 2 ’ т. е. М' — точка пересечения медиан треугольника ВМС и совпадает с М\. Кроме того,
ОЛ1'=-1(Ж=-1лО=-1я.
Итак, мы доказали, что рассматриваемые отрезки имеют 4
длину R и проходят через центр описанной около ABC
О
окружности.
3437. При каких значениях k существует k-значное число п, запись которого не содержит цифры 0, равное сумме двух слагаемых, каждое из которых получается перестановкой цифр числа п>
Решение. Существование такого числа при &^3 следует из равенства
9599...94=4599...994-4999...95, и легко проверить, что при &=1 и при k=2 такого числа не существует.
3438. Доказать, что если х5-\-у5=х—у и х^у>0, то х*+у'<\.
Решение. Имеем
v5 „5
-^£+Г==1
х—у х—у хА+1/+х*у+х2у2+ху3<\, откуда дг4+^4<1.
3439. Доказать, что биссектрисы внешних углов разностороннего треугольника пересекают противоположные * стороны в трех точках, лежащих на одной прямой, причем эта прямая перпендикулярна прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей данного треугольника.
Решение. На рис. 7 В' и С' — основания внешних биссектрис треугольника ABC, 5о и Со — середины сторон АС и АВ, К и Т — точки касания вписанной окружности, О и Р — центры описанной и вписанной окружностей, OL и ОМ параллельны АВ и АС. Заметим, что точки L и М лежат на окружности с диаметром ОР.
Рассмотрим треугольник OM\L\, симметричный треугольнику OML относительно биссектрисы угла MOL. Поскольку a-f-p=90° (их сумма измеряется полусуммой дуг ОМ и МР, а ОР — диаметр), то M\L\ перпендикулярна ОР. Нам осталось доказать, что M\L\ параллельна прямой В'С'. А это будет следовать из подобия треугольников
Рис. 7
OL\M\ и АВ'С' (сходственные стороны OL\ и АВ', ОМ\ и АС'). Значит, нам надо доказать равенство
АВ' OL\ OL
Имеем
АВ'=
Ьс
с—а *
АС' ОМх Ьс
ОМ
ЛС'=
b—а ’
OL—CqK=AK—АСо=
b+c—а с b—а с—а
~ 2 2=— ™=_,
АВ'
OL
АС' с—а ОМ
что и требовалось.
3440. Через вершины треугольника ABC проведены перпендикуляры к его плоскости, на которых взяты точки А\, В\ и С\ соответственно так, что эти точки расположены по одну сторону от плоскости ABC и отрезки А А\, В В1 и СС\ равны соответствующим высотам данного треугольника (АА\ равен высоте, проведенной из вершины А). Доказать, что тангенс угла между плоскостями ABC и А\В\С\ равен d/R, где d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника ABC, a R — радиус описанной окружности.
Решение. Обозначим через В' точку пересечения плоскости А\В\С\ с прямой АС. Поскольку
АВ'
СВ'
К
'к
АВ : СВ
то В' совпадает с основанием внешней биссектрисы угла В. Значит, линия пересечения этих плоскостей совпадает с прямой С'В' (см. рис. 7, а и предыдущую задачу).
Пусть расстояние от А до В'С' равно /. Ввиду подобия треугольников О ML и АС'В' (сходственные стороны OL и АВ\ ОМ и ЛС', см. решение предыдущей задачи) АВ'
где q — высота на ML в треуголь-
будем иметь /=<7
OL 5
равен
OML.
ha
7*
Далее получаем, что искомый тангенс
Поскольку ha— ника MOL дает
Ьс
2/Г
а это же равенство для треуголь-
то
Ьс =2R
(Ь—а) (с—а) что и требовалось.
OL-OM_ (b—а) (с—а)
ОР 4d
ha_bc OL _
~T~2R * qAB'~
Ad (b—a) (c—a) _d
Wc ”“/p
65


Замечания к решениям задач
Большинство решений задачи 3421 основано на неполной индукции, на догадке: так как 1012 = 10 201, 10 1012 — = 102 030 201, то естественно испытать «более длинное» число той же цифровой структуры, которое и оказывается искомым. Впрочем, некоторые читатели поступили более стандартным образом и извлекли из заданного числа квадратный корень с помощью известного алгоритма. В связи с этим мы еще раз напомним, что способы решений задач должны быть максимально приближены к изучаемым в школе, а этот алгоритм в школе вообще не рассматривается, и вряд ли целесообразно изучать его с учащимися V-ЧХ классов.
Мы не можем удержаться от того, чтобы привести «психологическое», хотя, к сожалению, и ошибочное, решение этой задачи, присланное одним из читателей: «Это число не является точным квадратом, так как оно построено по строгому закону, и чтобы квадрат 16-значного числа случайно совпал с этим числом... просто фантастично, следовательно, это число просто-напросто придумано автором».
В решениях задачи 3422 авторы чаще всего стремились найти 9-значное число, обладающее требуемым свойством, и, надо сказать, несколько неожиданно для нас примеров таких чисел оказалось достаточно много; более того, подошли «первые попавшиеся» примеры:
123456789 + 123456789 = 246913578,
987654321 = 123456789 + 864197532.
Аналогичная ситуация возникла и в задаче 3429, где строились примеры 8-значных чисел, однако этот подход спровоцировал авторов решений на ошибку в задаче 3437, и очень часто в ней давался неправильный ответ N = 9p-\-8q, как бы вытекающий из решения двух предыдущих задач.
^ Число неверных решений задачи 3425 было невелико, хотя в ряде писем приводились лишь результаты матч-турнира, удовлетворяющего условию задачи, но не показывалось, что такие результаты действительно могут быть получены. Как правило, это было достаточно очевидно, но все же такое конкретное распределение результатов партий по отдельным кругам матч-турнира следовало бы привести. Отметим также, что участники математического кружка 51-й школы Киева (рук. Б. Н. Школьник) утверждают — правда, без доказательства,— что задача имеет решение только в случае, когда число кругов в матч-турнире не меньше 6. Это утверждение нам представляется правдоподобным, и мы намереваемся предложить эту задачу в одном из следующих номеров журнала.
Некоторые читатели, правильно решившие задачу 3426, возмущались жюри олимпиады, о которой шла речь в задаче, присудившем первые премии за решение всего лишь одной из пяти задач, но может быть, задачи были уж очень трудными?
Подавляющее большинство решений задачи 3430 оказались неверными: их авторы почленно перемножали неравенства, не задумавшись над тем, что фигурирующие в них числа могут быть отрицательными. Из заданного равенства с помощью простых операций с неравенствами легко получается, что у=х при х>у> 1 и при х> 1 > г/, но случай 1 >х>у требует значительно больших усилий и вовсе не получается «аналогично» другим, как считали некоторые читатели. Приведенное нами решение принадлежит участникам математического кружка 51-й школы Киева. Отметим еще, что обобщенное неравенство Бернулли (1+*)а>1+а* (*3*-1,а>1)
легко доказать с помощью производной.
В решениях задачи 3431 многие читатели, получив равенство
tg(«+P+y)= х+У+г~хУг ,
1 —xy—yz—zx
без всяких разъяснений утверждали, что при а + р + 7<я/2 не только сама дробь положительна, но и
ее знаменатель положителен, однако мы не нашли никакого обоснования этому утверждению, при котором оно стало бы абсолютно очевидным. Ряд читателей из неравенства а + р<я—у делали ошибочный вывод, что tg(a + P)< <tg(n—V).
Задача 3432, как мы и предполагали, достаточно хорошо известна, и мы предложили ее для демонстрации, на наш взгляд, исключительно красивого решения, приведенного, надо отметить, несколькими читателями. Именно, если V3v2<=Q, то можно взять а = уЗ, Р = У2, если же -\/3v2^Q, то (V3v2) v2 = 3<=Q и можно положить a=y3v5, p=V2.
В этом решении требуется буквально минимум конкретных знаний и все строится на чистой логике. Конечно, эта задача была бы еще более ценной, если бы не имела «постороннего» решения с помощью логарифмов. Те, кто знаком с составлением шахматных задач, знают, что постороннее решение полностью «компрометирует» задачу, но в математике дело обстоит иначе и наличие двух совершенно разнородных решений скорее задачу обогащает.
Отметим также, что в некоторых решениях приводился пример типа е,п2=2, однако иррациональность числа 1п2 не вытекает даже из иррациональности числа е, принимаемой в школе к тому же без доказательства. В самом деле, если \п2=* p/q, то е~2р/ду и как опровергнуть это равенство, непонятно. В действительности оно следует, например, из трансцендентности числа е. Тем более «практически невозможно» доказать, что иррационально число типа 2v2, что некоторые читатели считали очевидным.
В условии задачи 3438 мы опустили условие у>0, без которого утверждение задачи перестает быть верным, но несмотря на это, получили несколько «доказательств». Большинство читателей, однако, самостоятельно ввели ограничение, при котором задача становится совсем простой.
Поэтому наиболее интересными мы считали решения, в которых доказывалось, что без ограничения у>.0 задача действительно становится неверной. При этом были два варианта: большинство читателей замечали, что при
у = 0 и х= 1 имеет место равенство л:4 + г/4 = 1, а некоторые читатели проводили и более глубокие рассуждения. Например, при г/= — 1 неравенство в задаче заведомо не может быть выполнено, а уравнение пятой степени х5— 1=*+1 обязательно имеет корень. Нам кажется, что это исследование неправильной задачи даже интереснее, чем решение ее в корректной формулировке. Более того, при любом «/<0 уравнение *5 —* + */5 + */ = 0 имеет корень *>1, поскольку при х=\ его левая часть отрицательна.
Геометрические задачи на сей раз оказались относительно простыми и, возможно, не очень интересными. Среди присланных решений практически не было неправильных. Почти все участники справились с задачами 3427 и 3428. Самое большое неудобство в задаче 3427 — это необходимость перебора различных возможностей взаимного расположения точек пересечения рассматриваемых прямых и окружностей. Задача 3428 — вполне стандартная школьная задача. Ее уровень сложности таков, что ученику класса с углубленным изучением математики, не решившему ее, нельзя ставить пятерку (то же относится и к задаче 3427).
Одной из наиболее приятных по формулировке, на наш взгляд, была задача 3433. Все полученные нами решения по сути дела, совпали с приведенным в этом номере. Впрочем, трудно себе представить какой-либо иной способ. Единственное, в чем мы могли бы упрекнуть некоторых читателей, так это в некоторой громоздкости оформления решения.
Возможно, что не всех читателей, особенно ревнителей формальной строгости, удовлетворило данное нами решение задачи 3434. Ведь, по сути, мы доказали лишь то, что если искомый максимальный четырехугольник существует, то он должен совпадать с указанным, так что решение должно быть пополнено «теоремой существования». И все же наше решение нам представляется вполне корректным, существование экстремальной фигуры в подобных ситуациях можно
66


считать очевидным, а математические строгости здесь от лукавого. (Впрочем, желающие, пользуясь сформулированными в начале решения утверждениями, без труда могут выстроить цепочку возрастающих по площади четырехугольников, исходя из произвольного, которая ведет к указанному в ответе четырехугольнику. Тем самым вопросы строгости будут сняты.)
Задачу 3435 нельзя отнести к слишком оригинальным. В более общей форме с точностью до некоторых изменений в формулировке ее можно найти, например, в книге «Венгерские математические олимпиады» (М: Мир, 1976, № 135). Именно этой возможностью обобщения и обусловлен выбор нашего решения. В принципе эту задачу можно решать самыми различными путями, что и показала полученная нами почта. Правда, авторской идеей — свести данную задачу к известной задаче Наполеона — не воспользовался никто.
Геометрические задачи 3436, 3439 и 3440 относятся к популярной в начале нашего века так называемой геометрии треугольника и определенным образом вносят теоретический вклад в эту геометрию. Их трудно комментировать, поскольку решаются они в общем-то за счет достаточно стандартной техники, которая нашим читателям, к сожалению, мало известна. Наиболее интересной с точки зрения теоретической значимости является, вероятно, задача 3439. В таком прямом виде подобной теоремы в старых монографиях не было, хотя факты, из которых она непосредственно следует, можно найти в книге Д. Ефремова «Новая геометрия треугольника».
Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин
Сводка решений задач по № 2 за 1990 г.
Бабаян К. А. (ИКАО) — 21, 22, 28, 32, 34. Бочев Р. Г. (Болгария, г. Враца) — 21—29, 31—33, 37, 38—40. Владимиров Ю. (Москва) — 23, 25, 28, 31, 32. Габадзе А. И. (ГССР) — 21, 24, 26—28, 32, 33. Джиоев С. М. (ГССР, с. Сихиат) — 21—23, 31. Егоров П. В. (Рязань) — 21—25,
27, 28, 33. Ертушов А. Н. (Нижегородская обл.) — 21, 27,
28, 31, 33. Зискинд Л. Е. (Винница) — 21—29, 31, 32—35,
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕНДАРЬ НА 1990/91 УЧЕБНЫЙ ГОД
37, 38. Зубилин Н. И. (Орловская обл.) — 21—23, 28. Ильясов М. Н. (Павлодар) — 21—25, 27, 28, 31, 32, 35, 38.
Китаев С. В. (Улан-Удэ) — 22, 24, 25, 27. Колтунов-
ская Т. Н., Колтуновский О. А. (Южно-Сахалинск) —
23, 25, 27, 28, 31—33, 38. Корнилов А. В. (Ростов-на- Дону) — 21—24, 29, 31, 32, 38. Курило Н. А. (Харьковская обл.) — 21—28, 31—36, 38—40. Макаров М. Ф. (Орловская обл.) — 22—24, 26, 31. Назаров X. М. (Ленинабад ская обл.) — 22, 26—28, 30, 38. Осипова Г. Г. (Краснодарский край) — 21, 22, 24, 27, 28.. Повелий В. И. (Ро- венская обл.) — 21—24, 27—29, 31, 33, 35, 38. Рабинович Е. М. (Киев) — 21—29, 31, 32, 34, 36, 37. Руч-
кин Д. Д. (Марийская АССР) — 21, 22, 27—29, 31, 33.
Сафаралиев М. Ю. (Нахичеванская АССР) — 21—23, 31, 32, 38. Симеонов А. А. (Болгария, г. Своге) — 27, 28, 33—36, 39—40. Ткачев В. Ф. (Воронежская обл.) —
24, 27, 28, 33, 39. Трошин В. В. (Волгоградская обл.) — 21—24, 26. Тухтабоев М. (Наманганскя& обл.) — 21—24,
38. Федак И. В. (Ивано-Франковская обл.) — 21—38, 40. Цакоев Б. М. (Рязанская обл.) — 21—24, 28, 29, 31, 33. Чепкасов Г. С. (Краснодар) — 21—25, 28—33. Ясинский В. А. (Винница) — 21—40.
Математические кружки: «Квант» республиканского Дворца пионеров и школьников Алма-Аты (рук. Г. В. Белянская) — 22—25, 28, 29, 32, 33, 38; шк.-интерната г. Мар- неули ГССР (рук. М. М. Гаджиев) — 23, 28, 31, 32, 38; Байрамлинской сельской шк. Таузского р-на АзССР (рук. Р. Л. Гулиев) — 21, 27, 32; говларской 1-й шк. Таузского р-на АзССР (рук. Р. Л. Гулиев) — 21, 27, 32; «Насирэддин ат-Туси» с. Мичурино Чимкентской обл. (рук. И. Е. Касимов) — 21—29, 33, 34, 37; 257-й шк. Киева (рук. М. Л. Кобозев) — 21, 23, 25, 27, 28, 31—33; «Коллективный ученик» Ивьевской шк. Гродненской обл. (рук.
В. 	И. Кот) — 21, 22, 25, 26, 29, 32, 33, 38; «Эврика» 79-й шк. Киева (рук. В. Е. Куценок) — 21—24, 26—29, 31—33, 35—37, 39, 40; 206-й шк. Киева (рук. И. А. Куш- нир) — 27, 28, 31—33; «Юный математик» Аделькин- ской шк. Белебеевского р-на Башкирской АССР (рук.
Н. 	И. Мартынова) — 22, 23, 27, 28; Быстричской шк. Березновского р-на Ровенской обл. (рук. Ф. Г. Стах- нюк) — 21,23,24; 35-й шк. Кургантепинского р-на Андижан- ской обл. (рук. М. М. Туйчиев) — 21—23, 29, 30, 38; «Коллективный ученик» 20-й шк. Винницы (рук. А. Г. Цив- люк) — 21—26, 28, 29, 31, 32, 37; «Горизонт» 51-й шк. Киева (рук. Б. Н. Школьник) — 21—34, 37, 38.
Январь
3 января — 70 лет со дня рождения советского математика и историка науки Изабеллы Григорьевны Башмак о в о й. Родилась в Ростове-на-Дону. Окончила МГУ (1944). Доктор фи- зико-математических наук (1961), профессор (1962). С 1944 г. работает в МГУ. Основные труды по истории математики, алгебраической геометрии и теории чисел. Исследовала творчество Пифагора, Архимеда, Евклида, Диофанта и других античных ученых. Член Международной академии истории наук (1972; член-корреспондент — 1968).
6 января—150 лет со дня рождения немецкого математика Фридриха Отто Рудольфа Штурма (1841—1919). Работал в Дармштадском политехникуме, в академии в Мюнстере, а затем в Бреславском университете (с 1872 г.- профессор). Основные труды по
дескриптивной геометрии и графической статике. Премия им. Я. Штейнера (1864) (см.: Математика в школе. 1966. № 1).
7 января — 120 лет со дня рождения французского . математика Феликса Эдуарда Жюстена Эмиля Б о р е л я (1871—1956). Один из создателей теории функций действительного переменного, видный деятель движения за реформу школьного математического образования (см.: БСЭ, 2-е и 3-е изд.; Математический энциклопедический словарь. М., 1988; Полищук Е. М. Эмиль Борель. Л., 1980; Ма-» тематика в школе. 1970. N9 6).
16 января—* 190 лет со дня рождения известного математика и астронома Томаса (Фомы Клаусовича) Клаузена (1801—1885). Родился близ Шлезвига (Дания) в семье крестьянина- рыболова. До 11 лет не знал грамоты, затем благодаря местному пастору в ко¬
роткое время изучйл языки и математику. В 1841 г. был приглашен в Юрьев (Дерпт) для чтения лекций в университете. В 1865—1871 гг.—директор Дерптской обсерватории. Основные математические труды по геометрии и алгебре. Вычислил число я .с точностью до 250 десятичных знаков (см.: Математический энциклопедический словарь. М., 1988; Боро¬
дин А. И., Бугай А. С. Выдающиеся математики: Биографический словарь- справочник. Киев, 1987; История отечественной математики. Т. 2).
18 января — 90 лет со дня рождения советского математика Ивана Георгиевича Петровского (1901—1973). Внес большой вклад в развитие дифференциальных и интегральных уравнений, теории вероятностей, теории функций и топологии; оставил богатое наследие в области развития математического образования (см.: Матема¬
67


тический энциклопедический словарь. М., 1988; Математика в школе. 1980. № 6).
20 января— 160 лет со дня рождения английского механика и математика Эдварда Джона Рауса (1831—1907). Основные математические труды по теории дифференциальных уравнений (метод Рауса — Гурвица для исследования устойчивости линейных дифференциальных уравнений, обобщенный критерий Рауса об устойчивости линейных многомерных систем) и алгебре (см.: Математический энциклопедический словарь. М., 1988; Математическая энциклопедия. Т. 4; Бородин А. И., Бугай А. С. Выдающиеся математики: Биографический словарь- справочник. Киев, 1987).
24 января — 60 лет со дня рождения шведского математика Ларса X ё р- мандера. Учился в Лундском университете. Профессор Стокгольмского, Стенфордского (США), затем Лундского университетов. Основные труды по общей теории дифференциальных операторов и уравнений с частными производными. Представление о важности работ Хёрмандера может дать его четырехтомный трактат «Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными», переведенный на русский язык. Золотая медаль и премия Дж. Филдса (1962). Международная премия Вольфа (см.: Математический энциклопедический словарь. М., 1988; Бородин А. И., Бугай А. С. Выдающиеся математики: Биографический словарь- справочник. Киев, 1987).
25 января— 100 лет со дня рождения советского математика Хермана Яано- вича Яаксона (1891—1964). Родился в Вильяндиском районе, ныне ЭССР. Окончил Тартуский университет (1913), доктор философии (1925), профессор (1926), доктор физико-математических наук (1946). В 1919—1961 гг. работал в Тартуском университете. Основные труды по топологии и математическому анализу (см.: История отечественной математики. Т. 3—4).
Февраль
10 февраля — 90 лет со дня рождения немецкого математика Рихарда Даго- берта Брауэра (1901—1977). Образование получил в Берлине и Фрей- бурге. Работал в различных городах Японии, Германии, США и Канады. Основные труды по алгебре, теории чисел. Установил связь между арифметикой и теорией векторов (см.: Боголюбов А. Н. Математики, механики: Биографический справочник. Киев, 1983).
10 февраля — 80 лет со дня рождения советского механика и математика Мстислава Всеволодовича Келдыша (1911—1978) (см.: Математический
энциклопедический словарь. М., 1988; Математика в школе. 1980. № 6; Успехи математических наук. 1986. 41. № 3; Вестник АН СССР. 1978. № 8).
11 февраля — 100 лет со дня рождения советского математика Ивана Иванови¬
ча Привалова (1891—1941) (см.: Математический энциклопедический словарь. М., 1988; Математика в школе. 1980. № 6).
17 февраля — 100 лет со дня рождения израильского математика Адольфа Абрагама Френкеля (1891—1965). Профессор Иерусалимского университета. Один из авторов распространенной и важной системы аксиом (система аксиом Цермело — Френкеля) теории множеств. Ввел аксиомы подстановки, предложил метод автоморфизмов универсальной области (для доказательства независимости аксиомы выбора). На русский язык переведена его книга «Основания теории множеств» (М., 1960) (см.: Бородин А. И., Бугай А. С. Выдающиеся математики: Биографический словарь- справочник. Киев, 1987).
26 февраля — 70 лет со дня рождения советского механика и математика Дмитрия Евгеньевича Охоцимско- го. Родился в Москве. Окончил МГУ (1946). Доктор физико-математических наук (1958), профессор (1961). В 1945— 1966 гг. работал в Математическом институте АН СССР, с 1966 г. работает в Институте прикладной математики АН СССР, с 1961 г.— также в МГУ. Математические труды по оптимальному управлению и развитию математических методов в механике. Ленинская премия (1957). Государственная премия (1970). Премия им. С. А. Чаплыгина АН СССР (1950) (см.: БСЭ. 2-е и 3-е изд.; Математический энциклопедический словарь. М., 1988; Вестник АН СССР. 1981. № 7).
А. 	И. Бородин, Н. И. Лавренко
(г. Донецк)
Призванная богиней Клио (К юбилею Г. П. Матвиевской)
Галина Павловна Матвиевская — лауреат Государственной премии Узбекской ССР им. Беруни, заслуженный деятель науки УзССР, член-корреспон- дент АН УзССР, член Международной советско-швейцарской комиссии по изданию трудов Эйлера, признанный у нас в стране и за рубежом специалист по истории математики.
Родилась Г. П. Матвиевская в г. Днепропетровске 13 июля 1930 г. Детство ее прошло в Харькове, где она закончила три класса средней школы. В 1941 г. с началом эвакуации с матерью уехала в г. Оренбург к отцу, незадолго до этого переехавшему туда работать в педагогический институт. Трудные военные годы запомнились нуждой, болью, разрухой и неистребимой жаждой радостной жизни, первыми уроками красоты, пробуждением интереса к математике. В 1948 г. Галина окончила среднюю школу с золотой медалью и посту¬
пила на математическое отделение механико-математического факультета Ленинградского университета.
В университете Галина отдавала предпочтение «царице математики» — теории чисел. Но творческая натура в том и состоит, что может отозваться на разное. Имея гуманитарные склонности, Галина заинтересовалась историей математики. Закончив в 1954 г. университет по кафедре алгебры и теории чисел, она поступила в аспирантуру по специальности «История математики». Ее научным руководителем был академик Владимир Иванович Смирнов.
Галина Павловна занялась изучением неопубликованных рукописей по теории чисел Л. Эйлера. В 1958 г. защитила на основе собранных материалов диссертацию на степень кандидата фи- зико-математических наук. После окончания аспирантуры работала младшим научным сотрудником в Ленинградском отделении Института истории естествознания и техники АН СССР. С этого времени Г. П. Матвиевская чуть ли не вся во власти богини Клио, покровительницы истории, одной из девяти муз греческой мифологии. Для Галины Павловны работы по истории математики — это общение с людьми разных эпох, средство раскрыть глаза на такие прекрасные явления и достойные деяния, о существовании которых читатель ранее и не подозревал.
В 1959 г. Г. П. Матвиевская переехала в Узбекистан, на родину мужа. С тех пор работает в Институте математики АН УзССР, вначале младшим научным сотрудником, а затем старшим, заведующей отделом; в настоящее время — главным научным сотрудником. Здесь ей, в плане комплексных исследований по истории восточной математики, проводимых под руководством академика АН УзССР С. X. Сираждинова, была предложена новая тема — изучение истории математики Средней Азии. Пришлось освоить арабский язык и заняться переводом и изучением восточных математических рукописей. Работа эта нелегка. Она требует от исследователя специальной подготовки: мало иметь фундаментальное математическое образование, надо еще обладать современными познаниями в области востоковедения; требуется не только хорошее знание языка и средневековой математической терминологии, но и навыки в исследовании рукописей. Нужно иметь захватывающий интерес к делу и трудолюбие. И такая работа оказалась вполне по плечу Галине Павловне. Уже в 1961 г. она опубликовала свою первую книгу— «К истории математики Средней Азии IX—XV вв.».
В 1967 г. вышла монография Галины Павловны «Учение о числе на средневековом Ближнем и Среднем Востоке», написанная на материалах выполненных ею переводов арабских
68


комментариев к X книге «Начал» Евклида, а в 1971 г.— монография «Развитие учения о числе в Европе до XVII в.», продолжающая ту же тему с использованием оригинальных латинских источников.
Результаты изучения истории математики средневековья легли в основу диссертации Г. П. Матвиевской «Учение о числе в средние века» на соискание ученой степени доктора физико- математических наук, которая была защищена в 1968 г. в Ташкенте.
Но не только математика средневековья привлекает Галину Павловну. Много времени она посвящает истории математики нового времени, в частности Л. Эйлеру — увлечению своей юности. Г. П. Матвиевская изучает научное наследие многих астрономов Востока.
Для историка науки исторические факты важны не только сами по себе: его заботит духовный мир ее служителей. Отдавая дань этой заботе, Галина Павловна опубликовала статьи, посвященные творчеству Беруни, На- сирэддина Туси, Улугбека, Фараби, ал-Хорезми, Ибн Ирака, Ибн ал-Багда- ди (арабский предшественник Декарта), Ибн Сины, ас-Суфи, Ибн Корры и других. В 1987 г. увидела свет ее брошюра «Рене Декарт. Книга для учащихся». Такие книги «рыхлят» плугом увлеченностй душу потенциальных математиков, делают ее восприимчивее к красоте истины, заставляют удивляться интуитивной ясности многих математических понятий.
Готовит Галина Павловна и кадры высшей квалификации — под ее руководством шесть человек защитили кандидатские диссертации, двое из них стали докторами наук.
Г. П. Матвиевская постоянно стремится расширять поле исследования. Она человек разносторонних интересов. С юных лет увлекалась живописью, серьезно училась, собиралась стать художником. Галина Павловна убеждена, что творчество великих художников и теоретиков искусства представляет для историка науки не меньший интерес, чем для искусствоведа. И она, по ее выражению, «для души» написала книгу об Альбрехте Дюрере — великом художнике эпохи Возрождения, создавшем бессмертные образцы портретной живописи, графики, разрабатывавшем научные основы искусства — теорию перспективы и учение о пропорциях человеческого тела. К тому же он был первоклассным и оригинально мыслящим математиком.
Галина Павловна поразительно любопытна и к жизни, и к различным проявлениям человеческого духа. Причем ее любопытство конструктивно, может вылиться в новую книгу или статью. Список ее научных работ в настоящее время насчитывает более 140 названий, среди них 15 монографий.
Богиня Клио изображалась часто со
шкатулкой для свитков. Заметен вклад Г. П. Матвиевской в эту шкатулку. А поэтому можно считать, что Галина Павловна не только призвана, но и признана богиней Клио!
И. Г. Башмакова, А. И. Бородин,
В. 	Ф. Галло, Б. В. Гнеденко,
А. 	П. Юшкевич
А. Ф. Семеновичу — 70 лет
7 ноября 1990 г. исполнилось 70 лет Александру Федоровичу Семеновичу, профессору кафедры математики Черкасского педагогического института им. 300-летия воссоединения Украины с Россией.
Свой трудовой путь в области народного образования А. Ф. Семенович начал 53 года назад учителем математики, а потом директором сельской школы в Свердловской области.
В 1942 г. А. Ф. Семенович окончил с отличием Свердловский пединститут. Интерес к геометрии и большие математические способности студента Семеновича были по достоинству оценены. Вся его дальнейшая жизнь была связана с работой в педагогических вузах. В 1943—1961 гг. он — ассистент, доцент, а затем зав. кафедрой геометрии и алгебры Свердловского пединститута; в 1960—1963 гг.— зав. кафедрой элементарной математики Ульяновского пединститута; с 1963 г. по настоящее время — доцент, профессор, зав. кафедрой геометрии, профессор-консультант кафедры математики Черкасского пединститута.
Научные интересы А. Ф. Семеновича формировались под влиянием замечательных математиков-педагогов
А. 	И. Фишер, С. А. Яновской, А. Н. Колмогорова. В 1949 г. А. Ф. Семенович защитил кандидатскую диссертацию на тему «Об исчислении точек», в 1972 г. ему было присвоено звание профессора.
Всего за прошедший период научно-педагогической деятельности юбиляр опубликовал 105 работ. Их можно разделить на три группы. К первой из них относятся научные работы по геометрии, ко второй — работы, посвященные преподаванию геометрии в пединституте, к третьей — работы по вопросам преподавания геометрии в средней школе.
Следует особо отметить плодотворный период научно-исследовательской деятельности А. Ф. Семеновича с 1968 по 1980 г. В это время он работал в авторском коллективе, возглавляемом А. Н. Колмогоровым, над учебным пособием «Геометрия 6—8». По этому пособию до 1980 г. велось преподавание геометрии в среднем звене школ СССР.
На этот период приходится публикация серии работ, посвященных вопросам преподавания геометрии
в школе, а также направленных на повышение квалификации учителей математики. Среди них следует особо отметить книги «Геометрия. Группы преобразований», «Геометрия. Аксиоматический метод», «Предмет и метод геометрии», «Формирование научного мировоззрения учащихся в процессе преподавания математики» (последние две написаны в соавторстве с В. И. Солдатовым и Ф. Ф. Нагибиным).
Издававшиеся школьные учебники по геометрии, методические пособия и книги по повышению квалификации учителей не утратили своей новизны и сейчас. Совершенствование преподавания математики непременно приведет к тому, что новые идеи будут проникать в среднюю школу независимо от желания отдельных личностей. Таков объективный характер развития связи школьной математики с математической наукой.
Много сил и времени Александр Федорович отдает вопросам преподавания геометрии в вузе. Его лекции всегда оригинальны по форме, насыщены научным и философским содержанием, в каждой из них есть что-то захватывающее, неповторимое. А. Ф. Семенович строит процесс обучения, используя формы работы, в основе которых лежит самостоятельная, индивидуальная и коллективная деятельность студентов, направляемая и контролируемая преподавателем. В процессе такой работы студент из «потребляющего знания» превращается в «добывающего знания».
На путях перестройки высшей школы Александр Федорович много работает над совершенствованием учебных планов и программ для физико- математических факультетов педвузов. Начиная с этого года студенты специальности «математика и информатика» в Черкасском пединституте будут учиться по разработанному им учебному плану.
Педагогическая деятельность Александра Федоровича не ограничивается только рамками вуза. Трудно найти такое направление работы с учащимися и учителями, которыми он бы не занимался. Проявляя постоянную заботу об уровне математической подготовки учащихся средних школ, пропагандируя профессию учителя математики, он часто бывает в средних школах, постоянный лектор в школе юных математиков при Черкасском пединституте. Многие учителя математики г. Черкасс и Черкасской области являются учениками Александра Федоровича. Они с большим уважением и теплотой отзываются о нем как прекрасном педагоге-наставнике.
За плодотворную научно-педагогическую работу профессор А. Ф. Семенович награжден орденом «Знак Почета», юбилейной медалью «За доблестный труд. В ознаменование 100-, летия со дня рождения В. И. Ленина», медалями «А. С. Макаренко», «Вете¬
69


ран труда», знаками «Отличник просвещения СССР», «Отличник народного образования».
А. 	Ф. Семенович и сегодня находится на переднем крае перестройки работы высшей школы, в поиске пу¬
тей формирования профессиональных качеств будущих учителей математики в соответствии с требованиями современной школы.
Сердечно поздравляем Александра Федоровича с юбилеем, желаем ему
доброго здоровья, многих лет успешной, плодотворной работы, осуществления всех творческих замыслов.
В. 	Г. Коваленко, Р. С. Черкасов
Иван Иванович Жегалкин
(Продолжение. Начало на с. 2 *обложки.)
Научная работа И. И. Жегалкина сосредоточивалась вокруг проблем оснований математики. Он занимался теорией множеств, был в числе первых у нас в стране, кто разрабатывал вопросы математической логики.
Монография И. И. Жегалкина «Трансфинитные числа» — одна из первых книг не только в отечественной, но и в мировой литературе, посвященная абстрактной теории множеств. Одним из самых принципиальных и, пожалуй, самых трудных в теории множеств является понятие бесконечности. В предисловии к монографии автор подчеркивает: «Два враждебных лагеря стоят друг против друга. Их разделяет ответ на вопрос, возможны ли трансфинитные числа. Одним из аргументов, приводимых против них, служит утверждение, что понятие о бесконечных множествах неизбежно приводит к логическим противоречиям». В монографии сначала излагаются все понятия и факты теории множеств, не зависящие от конечности и бесконечности множеств. Общая теория количественных и порядковых чисел строится также вне зависимости от понятия о конечном и бесконечном. «Только после того, как изучены все главные свойства чисел, наконец появляются и конечные множества... Множество всех конечных чисел дает нам счетные множества и мощность».
Монография И. И. Жегалкина показала, что само по себе введение понятия бесконечного множества не приводит к противоречию. Тем самым он поддержал точку зрения тех, кто признавал бесконечные множества как законные объекты математики.
Иван Иванович Жегалкин принадлежал к числу педагогов и ученых, до преклонных лет не утрачивающих чувство нового и творческую активность. Подтверждением тому может служить тог факт, что начиная с 1927 г. (т. е. в возрасте 58 лет) он стал публиковать ряд статей по математической логике, содержащих новые результаты. Первая из статей этого цикла называется так: «О технике вычислений предложений в символической логике». В ней построено исчисление предложений как арифметическое кольцо. Каждому предложению (в логике часто как синоним используется термин «высказывание») приписывается значение «истина» или «ложь», которым сопоставляются соответственно числовые значения 1 и 0. (Логические системы с 1 и 0 появились впервые в середине XIX в. у английских математиков Дж. Буля и А. Де Моргана). На множестве предложений И. И. Жегалкин ввел две операции: логическое сложение и логическое умножение, которые задаются следующими равенствами:
0-fp=p, 0-р=0, 1-р=р, р+р=0, р-р=р,
где р — истинностное значение предложения Р; р пробегает множество значений {0, 1). В грамматическом смысле операции логического умножения соответствует соединительный союз «и», а операции логического сложе¬
ния — разделительное «или». Разделительное «или» понимается в том смысле, что предложение вида «Р или Q» может быть истинно тогда и только тогда, когда истинно только одно из предложений: либо Р, либо Q. В теоре- тико-множественном смысле эти операции соответствуют пересечению и симметрической разности, а в арифметическом— изоморфны кольцу вычетов по модулю 2, в котором операции сложения и умножения классов вычетов удовлетворяют равенствам, в точности соответствующим приведенным выше.
И. И. Жегалкин показал, что введенных им операций достаточно для выражения всех различных функций истинности, и предложил алгоритм, позволяющий для каждой формулы, записанной в терминах исчисления предложений, выяснить, представляет ли она всегда истинное предложение или выполнимое предложение, т. е. то, которое может быть как истинным, так и ложным. Это исчисление называют иногда алгеброй Жегалкина. В ней исключительно просто формулы приводятся к каноническому виду. Операции «-|-» и «•», как легко убедиться, удовлетворяют законам коммутативности (p+q=q-bp, p-q=q-p), ассоциативности (p+(q+r)=(p-f q)+r; рХ X (q -r)=(p • q) -г)), дистрибутивности (p • (q-f r)=p • q+
+p*r).
Раскрывая скобки по закону дистрибутивности, любую формулу можно представить в виде суммы произведений переменных, включая произведения, состоящие из одиночных букв и константы 1, никакая буква не входит в сомножители более одного раза. Приведение подобных исключительно просто: любое четное число одинаковых слагаемых дает в сумме 0, любое нечетное число одинаковых слагаемых сводится к одному слагаемому. Например, пусть
f=(p+q)-(p+r)+q-(p+r).
После раскрытия скобок получаем
f! = p*p + p*r + q*p-fq.r-fq*p + q.r=p-fp-r.
В последующих статьях И. И. Жегалкин расширил исчисление предложений в исчисление предикатов и рассмотрел проблему разрешимости для одноместного исчисления предикатов.
К сожалению, эти результаты И. И. Жегалкина не стали в свое время широко известны за рубежом и некоторые из них были переоткрыты другими логиками спустя много лет.
В 1943 г. на механико-математическом факультете Московского университета был создан научно-исследовательский семинар по математической логике. Руководили этим семинаром С. А. Яновская, И. И. Жегалкин и П. С. Новиков. Семинар этот существует и по сей день. Он сыграл значительную роль в развитии математической логики в нашей стране. В те годы, когда семинар создавался, логика, как и кибернетика, была объявлена буржуазной лженаукой. Поэтому занятие математической логикой долгое время было не просто непрестижным, а даже небезопасным делом.
3. 	А. Кузичева (Москва)
70


# ЗА РУБЕЖОМ
Некоторые проблемы модернизации образования учителей математики в Польше
Ежи Тоцкий
(г. Жешув, Польша)
Нынешняя система подготовки учителей в Польше была введена в 1973 г. совместным решением Министерства науки, высшего образования и техники, Министерства просвещения и воспитания, Союза польских учителей. Основные обязанности по подготовке учителей были возложены на высшие педагогические школы и университеты. В обоих типах учебных заведений обучение продолжается 5 лет и в основном связано с одним школьным предметом. По этой системе в 70-е гг. было подготовлено довольно много учителей (особенно на заочной форме обучения). Этот эффект усилился демографическим фактором — уменьшением количества школьников, а также уменьшением процента учителей, уходящих на пенсию.
Однако в 1982—1983 гг. были улучшены пенсионные условия и снижена норма недельной нагрузки учителей (с 26 до 18 ч). Это стало причиной увеличения потребности в учителях (среди других причин этого явления — снижение реальной зарплаты учителей). Вузы, однако не смогли увеличить количество выпускников — было мало абитуриентов, а также (как всегда) не хватало профессоров и доцентов в области математики и педагогики.
Кроме этих объективных недостатков в подготовке учителей существуют и другие. Действующие программы математических курсов несовершенны. Они не составляют единой системы образования будущего учителя. Нет однозначных критериев, определяющих, чему учить, какой учебный материал необходим для эффективной работы учителя в современных условиях и в будущем, а также для непрерывного самообразования. Существующие до сих пор программы были одинаковы для теоретической и учительской специализации университетов и педвузов, их содержание чрезмерно (особенно в области геометрии), его невозможно полностью реализовать. Авторы учебных планов обучения слишком мало времени отводили дидактической и практической подготовке студентов.
Модернизация образования учителей проходит сейчас по трем направлениям.
1. Интеграция знаний вокруг главной цели, которой является образование учителя математики. Ответственность за решение этой задачи несут как математические курсы, так и общественно-философские, психолого-педагогические и методико-практические. Преподаватели этих предметов должны согласованно взаимодействовать в процессе преподавания. Такой подход сделает возможным формирование учителя как сознательного члена общества, одного из воспитателей личности ученика, эксперта в области школьной математики, наставника по разнообразным методам самообразования.
2. Необходимо изменить точку зрения на математические знания учителей. Выдающийся польский дидакт-математик профессор С. Крыговская писала, что «учитель математики не должен быть специалистом в математике, он даже не может быть таким специалистом — он должен быть специалистом в области обучения математике».
Исходя из этого, можно сформулировать следующие критерии отбора и расположения учебного материала математических курсов:
а) достаточно широкое и глубокое содержание основных разделов математики, создающих ее общую картину;
б) по возможности более тесная связь науки и школьных знаний — современных и перспективных.
Конечно, конструкция такой программы более сложная, чем для узкой математической специализации. Учитель не должен получить худшее образование по сравнению с мате- матиком-теоретиком, но оно должно быть другое, необходимое ему.
Сравнивая математику (как науку) с океаном, окружающим остров — школьный предмет, можно сказать: в подготовке учителей дело не в том, чтобы быстро выйти в открытый и безграничный океан согласно указаниям профессора и исследовать его глубины в определенной точке. Дело здесь в том, чтобы вокруг этого острова — не очень близко и не очень далеко — исследовать взаимовлияние океана и острова, назначить удобные места выхода в океан, посмотреть на остров из различных точек этого плавания.
3. 	Необходимо изменить подход к психолого-педагогиче- ской подготовке будущих учителей математики. Студентов следует учить определять цели обучения, проводить логический и фактологический анализ содержания обучения, пользоваться дидактическими средствами и средствами эффективного контроля, а также учитывать в педагогическом процессе индивидуальные особенности школьников.
В 1982 г. в Кракове была проведена научная конференция, посвященная основным проблемам совершенствования подготовки учителей, которой руководила профессор
С. 	Крыговская (см.: Zycie Szko'ty Wyzszej. 1982. № 3—4.
С. 	39—79). Рекомендации этой конференции постепенно осуществляются в наших вузах. Например, вузы получили возможность самостоятельно строить планы и программы- обучения будущих учителей.
Профессор Р. Дуда предложил следующие критерии отбора содержания математических курсов:
«предметом обучения в школе является и должна остаться математика, в значительной степени уже мертвая, но для культуры'важная;
обучение математике следует так вести, чтобы это была математика, дидактически живая;
преподавание математических курсов будущим учителям должно готовить к обучению школьников» (см.: Dydaktyka Matematyki. 1985. JSfe 5. С. 163—192).
Выражение «математика, дидактически живая» означает следующее: в процессе обучения следует обращать внимание на пути «открытия» математических: понятий, эффективные методы «открытия» свойств понятий, на основные математические идеи, на правильное понимание аксиоматики и дедукции, на связь понятий и теорем высшей и школьной математики.
Распространено мнение, что фундамент математического образования учителей должны составлять такие предметы, как логика, теория множеств, алгебра, классический анализ, классическая геометрия, информатика, но не только они. Учитывая указанные критерии, надо включить также теоретическую арифметику, школьную математику с точки зрения высшей, историю математики, избранные разделы современной математики (например, теорию катастроф, проблему четырех красок), обзор научно-популярной литературы.
Однако более сложная проблема — это такой подбор учебного материала каждого курса, чтобы в результате их изучения студенты получили представление о единой науке математике и о путях ее развития — от изучения пространственных форм и количественных отношений до современных структур.
Проведенные исследования показывают, что претворение в жизнь этих последних требований является самой слабой стороной процесса образования учителей математики. Здесь часто преобладает такая «дидактическая» последовательность: определение — теорема — доказательство — простое применение (задача) — определение и т. д.
В заключение следует сказать, что все указанные проблемы являются предметом специальных теоретических исследований, реализуемых по заказу Министерства национального воспитания.


Конференция методистов Европы
А. 	Я. Халамайзер
(Москва)
Свыше 250 участников собрала очередная 24-я конференция Немецкого общества дидактики математики в г. Зальцбурге (26.02—02.03.90). Наряду с основными участниками из ФРГ и Австрии с докладами выступили представители ГДР, Чехо-Словакии, Венгрии, Греции, Финляндии, Швейцарии, СССР и некоторых других стран Европы.
Наиболее важной из обсуждавшихся на конференции была проблема подготовки учителя математики. Представитель Министерства обучения, искусств и спорта Э. Г р ё п л ь* изложил содержание обучения математике и системы подготовки учителей в Австрии. Он проанализировал 15 уроков в гимназиях Зальцбурга и сформулировал дополнительные задачи подготовки и повышения квалификации учителей математики. Г. Вальтер провел опрос студентов педагогического института в г. Киле, предложив следующие вопросы: какие знания (интересы) следует развивать, чтобы увеличить шансы на получение штатного места учителя? Какие возможности имеет выпускник, если он штатного места не находит? Ф. К о с в и г рассказал о проведенных в Боннском университете исследованиях связи между подготовкой в гимназии* по математике, физике, химии, биологии с успехами в изучении этих дисциплин студентами. В докладе «Обучение математике как основа общего образования в процессе подготовки учителя» Г. Грауманн (г. Билефельд) выделил два аспекта подготовки будущего учителя: общекультурный и профессиональный. Докладчик высказал некоторые предложения по усилению приоритета первого из них.
Большой интерес участников вызвали доклады и дис-
* В XI—XIII классах гимназий ФРГ учащийся сам выбирает отдельные предметы и объем их изучения, например: 3 семестра по 2—3 ч в неделю или 6 семестров по 4—6 ч в неделю. Некоторые предметы гимназист может вообще не изучать и тем не менее получить аттестат.
куссии о роли и месте решения задач как в процессе подготовки учителя, так и в ходе обучения школьников и студентов. Б. Брудер (г. Потсдам) поделилась результатами исследований принципов решения задач в процессе обучения математике. О роли формулировки (учителем, учебником) требований при рассмотрении алгебраических задач рассказала Р. Мёллер (г. Вюрцбург) на основе проведенных ею исследований в IX классе гимназии. Э. П е к- конен (г. Хельсинки) сообщил о семинаре по решению задач, проводившемся в 1986 и 1987 гг. в учебном центре Хейнола, а также о совместных исследованиях с гамбургским педагогом Б. Циммерманом. Некоторые соображения о решении задач с целью развития логического мышления учащихся прозвучали в докладе А. Я. Хал а- м а й з е р а «Математические способности и математическое мышление». Стратегии анализа — синтеза был посвящен доклад Г. Винтера (г. Аахен) со ссылками на идеи Евклида, Аполлония, Ферма, Декарта, Пойа.
На конференции обсуждались также проблемы работы с особо одаренными учащимися. К. Фукс рассказал об опыте занятий информатикой с одаренными учащимися в Зальцбургской гимназии. Об особенностях обучения одаренных учащихся сообщила преподаватель физико-математи- ческого интерната при МГУ Т. Н. Т р у ш а н и н а.
В некоторых докладах рассматривалась связь математики с искусством.
Во время конференции состоялось расширенное заседание руководства Немецкого общества дидактики математики, на которое были приглашены методисты из СССР, ГДР, Чехо-Словакии, Венгрии. Обсуждались возможности обмена опытом — подразумевалась организационная и методическая помощь коллегам из соцстран. Затем президент Общества проф. Беккер (г. Бремен) предложил желающим вступить в члены общества и принять участие в последующих конференциях (без уплаты вступительных Л_нленских взносов). Запросы и заявки на немецком языке •следует направлять на имя проф. Л. Профке: Prof. L. Profke, Institut fur Didaktik der Mathematik, Universitat Giefien, D—6300—GieBen BRD.
Очередная, 25-я конференция общества намечается в начале марта 1991 г. в г. Оснабрюке.
А КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
Книга добротная. Но верен ли ее главный замысел?
В. В. Рыжков
(Москва)
Выпущенная в 1989 г. издательством «Радянська школа» (Киев) книга И. Г. Габовича «Алгоритмический подход к решению геометрических задач» имеет своей целью повысить эффективность обучения решению геометрических задач в рамках школьного курса Математики. И. Г. Габович предлагает выделить некоторый набор задач, называемых базисными, при твердом усвоении которых учащийся сможет решать «почти алгоритмически» много других задач, основанных на выделенных задачах. Отмечается, что сам выбор базисных задач определен неоднозначно и может, смотря по обстоятельствам, видоизменяться учителем.
Все содержание книги разбито на три главы: I — «Базисные задачи планиметрии», II — «Базисные задачи стереометрии»,-III — «Решение задач методом введения вспомогательных элементов». Первые две главы строго следуют основному замыслу книги и построены единообразно: по каждой теме в рамках данной главы рассмотрены базис¬
ные задачи и с их помощью решены некоторые другие задачи, уже не относимые к базисным. Третья глава выпадает из этого стиля, и о ней мы будем ниже говорить особо.
Что же представляют собой, например, базисные задачи по планиметрии? Нам кажется, что их можно отнести к двум существенно различным категориям: во-первых, это задачи (теоремы, формулы), которые должны быть усвоены каждым учащимся, если он претендует на знание курса планиметрии и, допустим, намерен поступить в вуз. Таковы задачи 1.1°, 1.2°, 1.5°, 1.10° и многие другие. Во-вторых, это задачи не столь фундаментального значения, но подобранные автором так, чтобы они также были ключом к решению многих других задач. Видимо, их набор учитель может изменять, смотря по обстоятельствам, да и просто сообразуясь со своим вкусом. К этой категории рецензент отнес бы задачи 1.3°, 1.4°, 1.7° и др. Естественно, это предлагаемое разграничение также субъективно. Есть задачи, которые трудно уверенно отнести к одной из указанных групп. Для того чтобы читатели могли лучше представить себе предложенную рецензентом группировку базисных задач, приведем по одной задаче из каждой группы.
Задача 1.10°. Доказать, что радиус окружности, описанной около произвольного треугольника, вычисляется по формуле R=abc/4S.
Задача 1.3°. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты АА\ и СС\. Доказать, что &А\ВС\ подобен данному с коэффициентом подобия, равным cos В.
72


Совершенно аналогично обстоит дело и с базисными задачами по стереометрии. Здесь, однако, равновесие между задачами первого и второго типа нарушено' в пользу задач второго типа: лишь немногие из базисных задач таковы, что должны входить в запас твердых знаний учащегося (видимо, к ним можно отнести задачи 2.5°, 2.9° и другие, но этот выбор субъективен). Вместе с тем и здесь базисные задачи таковы, что нормально успевающий ученик должен быть готов восстановить их решение в любой момент. Таким образом, наличие, наряду с безусловно базисными задачами, таких, которые можно отнести к условно базисным, не следует считать пороком книги* хотя было бы неплохо, если бы автор сам выделил задачи, так сказать, «базисные из базисных».
Третья глава, как замечено выше, построена существенно иначе, чем две первые. Это отличие относится не только к формальной структуре (базисные задачи не выделены; параграфы не отражают содержания какого-либо раздела курса), но и к содержанию главы. В ней последовательно рассмотрены приемы введения вспомогательного отрезка, вспомогательного угла и задачи на экстремум. Последние сочетаются с предыдущими задачами совершенно естественно, так как их решение всегда включает выбор вспомогательного элемента. Глава эта также может оказать помощь учителю в подборе и решении задач по геометрии, но из «алгоритмического» духа остальной части книги она выпадает.
Остановимся теперь на сильных сторонах книги и на том, что мы относим к ее слабостям. Если говорить в целом, то подбор задач — как базисных, так и иллюстрирующих их применение — в границах авторского замысла выполнен аккуратно; решения по большей части отчетливы и корректны. Однако рецензентом замечены и такие трактовки, с которыми трудно согласиться, даже если они отвечают реалиям нынешнего времени. Отметим некоторые из них.
Странное впечатление оставляет базисная задача 1.2°: «Доказать, что если AABCooAiBiCi, то имеют место следующие равенства:
а __Ь _ с _ ha _ hb _ hc _ trig ть _
ar~V~~ cr~~ lij ~~ ~~ ~Щ7 ~~ ma7 “ mb, ”
_ mc _ (4 _ /д Iq _P_r_R_ra __
“ mc, ~ lA, ~ lB, “ lC' ~ pf ~ r' ~~ Rf ~ ra, ~
= — = —
” V V ■
Целесообразнее было бы поставить общий вопрос о пропорциональности любых сходственных отрезков в подобных треугольниках. Возможны две версии этой задачи:
1) доказать, что перечисляемые отрезки — сходственные;
2) если понятие сходственных отрезков не считается известным (это маловероятное предположение автор книги, по- видимому, допускает), то доказать, что каждый из двух подобных треугольников получается преобразованием гомотетии из треугольника, конгруэнтного второму. По убеждению рецензента, именно эта конструкция должна лежать в основании теории подобия. Заметим, кстати, что уже Кавальери установил ряд теорем о подобных фигурах и телах вообще, а не особо о треугольниках, четырехугольниках, пирамидах и т. п. В том виде, как она сформулирована в книге, задача ничего, кроме вреда, принести не может.
Рассмотрим теперь задачу 2.4°: «Доказать, что для трехгранного угла, плоские углы которого равны а, р, y и двугранный угол при ребре, противолежащем плоскому углу у, равен <р, имеет место следующая зависимость:
cos v — cos a cos 6
COS<P = — :— ».
sin a sin (S
Здесь поднимается, по су£цеству, важнейший вопрос о решении трехгранных углов. Очень жаль, что в этом общем смысле проблема даже не намечена: ведь она является центральной для всей стереометрии. “Будь такая задача
выделена как базисная, это открыло бы путь для решения множества задач на многогранники. Впрочем, ничего порочного в приведенной задаче и в ее решении нет, огорчает лишь малая общность постановки вопроса.
Не будем множить замечаний такого рода, так как они позволяют легко перейти к субъективным оценкам. Подчеркнем особо, что в рамках, избранных автором рецензируемой книги, свою задачу он выполнил весьма добротно. В этом смысле есть уверенность, что книга И. Г. Габовича поможет многим учителям, особенно средней квалификации.
Подбор задач показывает, что круг их был заранее жестко ограничен минимумом школьной практики нынешнего дня. Все задачи вычислительные, т. е. имеют собственно к геометрии весьма условное отношение. Нет задач на доказательство, на построение, на геометрические неравенства. Нет и задач на применение векторов. В общем, складывается впечатление, что книга ориентирована на пресловутые «обязательные результаты».
В одной из своих книг Дьедонне высказывает мысль, что подробное изучение тригонометрии нужно лишь представителям трех почтенных профессий: астрономам, геодезистам и составителям задачников по тригонометрии. Если мы перенесем эту мысль на детальное знакомство с решением вычислительных задач в геометрии, то из трех профессий останется, пожалуй, лишь последняя: составители задачников. Поскольку школа вряд ли ориентирована на подготовку лиц этой профессии, надо ответить на вопрос: зачем развивать у учеников технику решения геометрических задач? Ответ очевиден: главная цель таких задач — развить математическую культуру школьников, побочная цель — подготовить их к сдаче вступительных экзаменов в вуз. Если принять такое мнение, то станет ясным, что:
1) алгоритмизация убивает творческий подход к решению задач и главная цель изучения геометрии не достигается;
2) побочная цель может быть временно достигнута (впрочем, чисто гипотетически).
Но представим себе, что все, даже малоспособные, ученики начнут задачи данного типа «щелкать» как орешки. Что дальше? Ясно, что через пару лет на вступительных экзаменах в вузы характер предлагаемых задач будет изменен так, чтобы их решение не было «алгоритмическим», а вновь требовало от поступающих элементарного математического творчества. Получится нечто похожее на саркастически описанное Жюлем Верном бесконечное соревнование между фабрикантами артиллерийского оружия и непробиваемой брони.
В заключение подчеркнем еще раз диссонанс между высоким уровнем исполнения авторского замысла в книге и тем, что этот замысел направлен мимо подлинной цели обучения — повышения математической культуры учителей и тех учащихся, которые действительно хотят знать математику. Этот диссонанс наводит на грустные мысли. Повышение математического уровня выпускников школы вряд ли может быть достигнуто в рамках «единого» и «обязательного» среднего образования.
ОТ РЕДАКЦИИ. Редакция считает пример из Жюль Верна неубедительным. Ведь производство артиллерийского оружия — явление негативное. Надо стремиться к его ликвидации. А если все ученики начнут «щелкать задачи данного типа как орешки»? Это хорошо или йлохо?
Мы полагаем, что применительно ко всем учащимся это очень хорошо, но, к сожалению, пока до этого далеко. Применительно к лучшим ученикам этого мало — они должны овладеть геометрией творчески. Но и для лучших учащихся желательно так усвоить стандартные задачи, чтобы не тратить на них силы: они должны пользоваться этими задачами, как пользуется шахматист знанием дебютов.
Школе нужна методическая литература разного типа — от олимпиадных задачников до пособий для всех и даже специально для слабых учащихся.
Публикуя статью В. В. Рыжкова, редакция и впредь будет давать место выражение’различных точек зрения по методическим вопросам.
73


Три задачника двух авторов*
В. 	А. Кузнецова, Л. Б. Медведева (г. Ярославль)
В 1989 г. издательство «Наука» выпустило книгу В. В. Прасолова и И. Ф. Шарыгина «Задачи по стереометрии» (см.: сноска, [1]), которая тесно связана с ранее вышедшими сборниками задач этих авторов (см.: сноска, [2],
[3]).
В идейном и структурном плане эта книга весьма напоминает задачник В. В. Прасолова. В ней представлен широкий диапазон стереометрических задач, начиная с классических тем, таких, как прямые и плоскости в пространстве, объемы, сферы, тетраэдры и т. п. и кончая задачами на максимум и минимум, центр масс, момент инерции, барицентрические координаты. Некоторые главы представляют 'собой естественное обобщение на трехмерный случай планиметрических .задач из соответствующих гла,р задачника В. В. Прасолова. Сохранены даже названия пунктов: «Разрезания. Разбиения. Раскраски», «Целочисленные решетки» и т. д. Как и у В. В. Прасолова, выделены задачи на специальные методы решения: «Принцип Дирихле», «Принцип крайнего». Очень широко используется метод параллельного проецирования: ему посвящен отдельный параграф и на него опирается решение многочисленных задач.
Охват тем в этой книге существенно шире, чем в задачнике И. Ф. Шарыгина, хотя в нее вошло более половины задач из него. В основном это своеобразные, интересные задачи, такие, как, например 8.10 [1] (334 [3]): «Некоторые грани выпуклого многогранника окрашены в черный цвет, а остальные — в белый, причем никакие две черные грани не имеют общего ребра. Докажите, что если черных граней больше половины, то в этот многогранник нельзя вписать сферу». Некоторые параграфы почти полностью повторяют одноименные пункты книги [3], например: из восемнадцати задач тем «Равногранный тетраэдр» и «Орто- центрический тетраэдр» книги [1] четырнадцать заимствованы из [3], а задачи для самостоятельного решения, предложенные в главе «Задачи на максимум и минимум», полностью взяты из [3], где они были приведены с решениями. Существенно расширен пункт, посвященный планиметрическим задачам, для решения которых требуется выход в пространство: в [3] было пять таких задач, в [1] — уже четырнадцать. Одна из них следующая (13.27, [1]): «На плоскости даны три параллельные прямые и три точки. Постройте треугольник, стороны (или продолжения сторон) которого проходят через данные точки, а вершины лежат на данных прямых». Для ее^ решения авторы используют построение сечения треугольной призмы, ребра которой изображаются отрезками на заданных прямых, плоскостью, проходящей через три заданные точки.
Структура книги повторяет задачник [2]: сразу после каждой главы приводятся решения, многие главы завершаются списком задач для самостоятельного решения, использована двойная нумерация задач с указанием главы и номера задачи в ней, имеется небольшое приложение, содержащее 37 задач для самостоятельного решения. Примерами таких задач могут служить следующие: «В любом ли многограннике найдется не менее трех пар граней с одинаковым числом сторон?», «Дан куб ABCDA\B\C\D\ с ребром, равным 1. Возьмем точки М и К на прямых АС\ и ВС соответственно так, что Z.АКМ=90°. Чему равно наименьшее значение ЛМ?»
* 1. Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. М.: Наука, 1989. 286 с.
2. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. М.: Наука, 1986. Ч. I. 270 с., ч. И. 288 с.
3. Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии. Стереометрия. М.: Наука, 1984. 159 с.
Следует заметить, что авторами книги проведена большая работа не только по составлению и подбору задач, но и по систематизации их по темам и методам решения. Это нашло свое отражение в названиях глав и параграфов.
Из задач, не присущих обычно сборникам задач по элементарной геометрии, в том числе и задачнику [3], особо следует отметить задачи по темам: инверсия в пространстве и стереографическая проекция, признаки невпи- суемости и неописуемости многогранников, формула Эйлера, аналог теорем Чевы и Менелая для трехгранных углов, обходы многогранников, задачи сферической геометрии.
Часть задач на инверсию отражает свойства пространственной инверсии, в другой, большей части, инверсия используется как метод решения. Такова, например, задача 16.13 из [1] (обобщение задачи 28.5 из [2]).
Необычны по формулировке и нестандартны по решению задачи на признаки невписуемости и неописуемости и обходы многогранников. Примером таких задач может служить уже упомянутая задача 8.10 или задача 8.21: «Планета имеет форму выпуклого многогранника, причем в его вершинах расположены города, а каждое ребро является дорогой. Две дороги закрыты на ремонт. Докажите, что из любого города можно проехать в любой другой по оставшимся дорогам». При решении последней авторы используют проецирование заданного многогранника на некоторую прямую.
В параграфе, посвященном формуле Эйлера для выпуклого многогранника, имеется семь задач, первая из которых — вывод самой формулы (приведены два ее доказательства), а завершающая (8.20) такая: «Дан выпуклый многогранник, все грани которого имеют 5, 6 или 7 сторон, а все многогранные углы — трехгранные. Докажите, что число пятиугольных граней на двенадцать больше семиугольных».
Нам представляется весьма интересной глава 15, названная «Разные задачи» и содержащая в основном задачи олимпиадного характера. Один параграф этой главы посвящен роли примеров и контрпримеров в геометрии. Так, для решения задачи 15.9: «Обязательно ли является кубом многогранник, все грани которого — равные между собой квадраты» — достаточно привести пример многогранника, обладающего указанным свойством, но не являющегося кубом, что и делают авторы книги.
В книге возрождены старые задачи, которые присутствовали в задачниках шестидесятых годов и считались тогда основными, развивающими пространственное воображение учащихся. Это задачи на комбинации тел, трехгранный угол, изображение фигур в параллельной проекции. Они не сгруппированы в специальные параграфы, а присутствуют во всех главах: например, задачи на комбинацию многогранника и сферы: «Найдите площади частей, на которые плоскости граней куба с ребром а разбивают описанную около него сферу» —* или: «В призму (не обязательно прямую) вписан шар. Докажите, что высота призмы равна диаметру шара».
Книга отражает всю школьную программу по стереометрии, однако по некоторым разделам задач приводится неоправданно мало: в главе, посвященной геометрическим преобразованиям, имеется всего 24 задачи, из них шесть — на свойства преобразований. Правда, преобразования используются и при решении задач из других параграфов, но это в основном симметрия относительно плоскости (гл. 9, § 4 «Самосовмещения правильных многогранников»).
Задачник содержит материал, выходящий за рамки школьной программы (векторное произведение, сферические треугольники, барицентрические координаты), но объем его сравнительно невелик, меньше, чем в книге |2]. Однако это не означает, что книга состоит из легких задач. Большинство из них имеет повышенный уровень трудности и требует от ученика значительных творческих усилий. Задачник способствует осмысленному, углубленному изучению геометрии и весьма полезен для специализированных классов и школ. Среди его 560 задач имеется ряд очень интересных, которые с успехом можно
74


решать не только на факультативных занятиях, но и на обычных уроках. В качестве примеров можно указать, например, задачу 1.2: «Дан куб с ребром 1. Найдите угол и расстояние между скрещивающимися диагоналями двух его соседних граней» — или задачу 6.54: «Плоскости боковых граней треугольной пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы; докажите, что проекция вершины на плоскость основания является центром вписанной или вневписанной окружности основания». Нам представляется также почти необходимым использование этой книги в педагогических институтах и университетах при подготовке учителей математики.
В книге очень мало недочетов. К числу несущественных можно отнести отсутствие ответов у задач, предлагаемых для самостоятельного решения, порой слишком краткое изложение решения задач. В этом плане нельзя согласиться с авторами, указавшими в предисловии, что книгу можно рассматривать как пособие для самостоятельного изучения геометрии.
Имеются неудачные объяснения решения задач. Так, решение задачи 13.22: «Правильный шестиугольник разрезан на равновеликие параллелограммы. Докажите, что их число делится на 3» — авторы начинают словами: «Правильный шестиугольник, разрезанный на параллелограммы, можно представить как проекцию куба, из которого вырезано несколько прямоугольных параллелепипедов». Не при всякой разбивке шестиугольника на равновеликие параллелограммы такая проекция существует: при разрезании, указанном на рисунке, такой проекции нет. Попутно заметим, что на рисунке 103, приведенном авторами в книге (с. 241) и повторенном на задней стороне обложки, разрезание произведено на неравновеликие параллелограммы.
Сказанное ни в коей мере не снижает общего сильного положительного впечатления, которое производит задачник. Очень хорошо, что такая книга появилась!
Школьникам о приложениях непрерывности
М. Б. Балк, P. X. Кристалинский
(г. Смоленск)
В 1989 г. в серии «Популярные лекции по математике» вышла интересная книга Ю. А. Шашкина «Неподвижные точки».
Прежде чем ломать голову над тем, как открыть сейф, надо иметь уверенность, что в нем действительно имеется то, что мы ищем. Точно так же, прежде чем искать решение сложного уравнения, неплохо знать наверняка: а есть ли у него решение?
Ответ на этот вопрос дается некоторыми известными в математике «теоремами существования», часто выражаемыми в виде «принципов неподвижной точки».
Пусть требуется найти расположенный на отрезке [а, Ь] корень уравнения, записанного в виде f(x)=x. И пусть еще известно, что все значения функции */=/(*) принадлежат отрезку [а, 6], когда аргумент 'х принадлежит тому же отрезку [а, Ь]. Тогда мы имеем задачу о неподвижной
точке: функция f(x) «сдвигает» каждую точку х — заменяет ее на другую точку отрезка [а, 6], а именно на точку y=f(x), вообще говоря отличную от х. Нас интересует только такая точка х на отрезке [а, Ь\> которую функция / «оставляет в покое», т. е. для которой /(*)=*. Эта «неподвижная точка» и есть корень рассматриваемого нами уравнения.
Такая же ситуация возникает при решении системы двух уравнений с двумя неизвестными. В этом случае задача часто сводится к поиску неподвижной точки при отображении квадрата в себя.
Поразительно, что важные и далеко не тривиальные теоремы о неподвижных точках устанавливаются для отображений, обладающих всего лишь одним простым интуитивно ясным свойством — непрерывностью. Великая сила непрерывности — вот что прежде всего иллюстрируется в данной книге. Для этой цели автор знакомит читателя с важными и активно работающими в математике топологическими понятиями: компактности, гомотопии, степени отображения, простейшими и вполне доступными школьнику идеями комбинаторной топологии.
Читатель узнает о замечательных по своим приложениям, по простоте своих формулировок и неожиданных по способу доказательства математических теоремах, полученных видными математиками в годы их молодости
Вы подвергаете «непрерывной деформации» отрезок — какйе-то его части растягиваете, какие-то сжимаете, какие- то сдвигаете, но не разрываете отрезок на куски. И пусть вы после деформации получили тот же отрезок. Можно ли гарантировать, что хотя бы одна точка осталась неподвижной, т. е. занимает в деформированном отрезке то же самое место, что и до деформации? Вот какой вопрос поставил себе в начале нашего столетия молодой голландский тополог Брауэр. И нашел ответ: да! И не только в случае отрезка — так же будет обстоять дело в случае произвольной -непрерывной деформации квадрата, круга, шара и некоторых других фигур. В параграфе, открывающем книжку Ю. А.. Шашкина, приводится доказательство этого факта (в случае отрезка и квадрата) на интуитивном уровне. Красивому строгому обоснованию теоремы Брауэра с использованием любопытных соображений комбинаторного характера (лемма Шпернера) посвящены § 2—8.
В качестве приложений автор выводит из теоремы Брауэра «теорему о промежуточном значении» и следующую теорему польских математиков К. Борсука и С. Улама: если на окружности задана непрерывная функция /, сопоставляющая каждой точке окружности некоторое действительное число, то найдутся на окружности такие две точки — антиподы х и х* (т. е. концы одного и того же диаметра), что f(x)—f(x*). Когда вы читаете это утверждение, вам приходит в голову мысль: наверняка имеется на земном экваторе такая пара точек-антиподов, в которых температура в точности одна и та же.
Вот пример приводимого в книге утверждения, вытекающего из теоремы Борсука — Улама: если Q и S — две ограниченные фигуры на плоскости (два «блина»), то существует такая прямая, которая разрезает одновременно и первую и вторую фигуру на две части равной площади.
Отдельный параграф (§ 9) доступно и наглядно излагает метод итераций, имеющий важные практические приложения к решению уравнений.
В последних четырех параграфах обсуждаются непрерывные отображения окружности и сферы в себя.
Небольшая по объему книга Ю. А. Шашкина не только будет полезна старшеклассникам, интересующимся идеями современной математики, но и может послужить прекрасным пособием для студенческого спецсеминара по математике в педвузе. Такой семинар позволит его участникам лучше осмыслить одно из центральных понятий математики — понятие непрерывности, получить содержательное представление о ряде идей топологии. В книге свыше 50 интересных задач, решение которых может также послужить базой содержательного цикла курсовых работ для студентов-ма- тематиков.
75


Новые книги
ИНФОРМАЦИЯ
Учебники и пособия для высшей школы. Монографии
Лрсак Ж. Программирование игр и головоломок / Пер. с фр.— М.: Наука, 1990.— 223 с.— 85 к., 323 ООО ^кз.
Бауэр Ф. Л., Гооз Г. Информатика: Вводный курс: В 2 ч. / Пер. с нем.— М.: Мир, 1990.— Ч. 1.— 324 с.— 1 р. 60 к., 20 ООО экз. Ч. 2.— 423 с.— 2 р. 10 к., 20 000 экз.
Герасимович А. И., Кеда Н. П., Сугак М. Б. Математический анализ: Справочное пособие: В 2 ч.— Минск: Вышэйшая школа, 1990.— Ч. 2. 272 с.— 1 р. 30 к., 17 500 экз.
Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Для вузов.— 10-е изд., испр.— М.: Наука, 1990.— 624 с.— 1 р. 40 к., 170 000 экз.
Научно-популярная литература.
Занимательная математика
Арнольд В. И. Теория катастроф.— 3-е изд., доп.— М.: Наука, 1990.— 128 с.— 30 к., 84 000 экз.
Бильдюкевич Е. В., Гурачевский В. Л., Шушкевич С. С. ЭВМ и микропроцессор: Книга для учащихся.— Минск: Народная асвета, 1990.— 207 с.— 85 к., 44 000 экз.
В книге даны сведения для понимания устройства, работы и возможностей применения микропроцессоров и ЭВМ.
Ватт С., Мангада М. Бейсик для детей / Пер. с исп.; Худ. В. Н. Игнатов.— Киев: Радянська школа, 1990.— 222 с.— 1 р., 50 000 экз.
Гарднер М. Путешествие во времени / Пер. с англ.— М.: Мир, 1990.— 336 с.— 1 р. 50 к., 100 000 экз.
Дубровский В. Н., Калинин А. Т. Математические головоломки: Вып. 1.— М.: Знание, 1990.— 144 с.— (Народный университет. Естественнонауч. фак.).— 50 к., 100 000 экз.
Литлвуд Д. Математическая смесь / Пер. с англ.— 5-е изд., испр.— М.: Наука, 1990.— 140 с.— 40 к.,
200 000 экз.
Книги для учителя и учащихся
Гольдберг Я. Е. С чего начинается решение стереометрической задачи: Пособие для учителя.— Киев: Радянська школа, 1990.— 118 с.—45 к., 80 000 экз.
Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы. Алгебра и начала анализа. Геометрия. Приложения: Книга для учащихся.— 2-е изд.— М.: Просвещение, 1990.— 416 с.— 85 к., 1 000 000 экз.
Лоповок Л. М. Факультативные задания по геометрии для 7—11 классов: Пособие для учителя.— Киев: Радянська школа, 1990.— 128 с.—60 к., 80 000 экз.
Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави.— Минск: Вышэйшая школа, 1990.— 528 с.—2 р. 10 к., 100 000 экз.
Ф. М. Шустеф (Минск)
Всесоюзная ассоциация учителей математики выпускает в 1991 г. первую серию книг из десяти брошюр в помощь учителям-практикам для проведения уроков и внеклассных занятий, для подготовки учащихся к поступлению в вузы.
Состав серии
Пойа Д. Как решать задачу.
Дорофеев Г. В. Квадратный трехчлен в задачах.
Шарыгин И. Ф. Избранные задачи по геометрии конкурсных экзаменов в вузы (1987—1990 гг.).
Голубев В. И. Тема «Абсолютная величина числа» в конкурсных экзаменах по математике (по материалам ведущих вузов).
Дудницын Ю. П., Смирнова В. К. Содержание и анализ письменных экзаменационных работ по математике за курс средней школы (по материалам экзаменов 1990 г. в школах России, Украины, Белоруссии).
Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавин Л. И. Курс алгебры 8 класса в задачах (для классов с углубленным изучением математики, специализированных классов естественнонаучного профиля, кружковых и факультативных занятий).
Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Курс геометрии 8 класса в задачах (для классов с углубленным изучением математики, специализированных классов естественнонаучного профиля, кружковых и факультативных занятий).
Миракова Т. Н. Развивающие задачи на уроках математики в 5—8 классах (приемы поиска решения).
Литвачук Л. АГолубев В. И. Путь к неравенствам (классификация задач, оригинальные методы решения, вопросы эффективного использования неравенств в решении конкурсных задач).
Дорофеева А. В. Страницы истории на уроках математики.
Серия издается высокой печатью. Примерный объем каждой книги 100 страниц.
Распространение книг производится по подписке. Все книги будут направлены подписчикам в течение 1991 г., большая часть — до начала учебного года.
Подписчики данной серии получают преимущественное право при оформлении подписок на последующие серии.
По всем вопросам об условиях подписки следует обращаться по адресу: 290053, г. Львов, абонементный ящик 5228, фирма «Квантор».
В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ «ПЕДАГОГИКА» ВЫШЛИ КНИГИ:
Алексин А. Г. Глядя в глаза...— 288 с.: ил.— 65 к., 100 000 экз.
Журавлев В. И. Педагогика в системе наук о человеке.— 168 с.— 55 к., 17 000 экз. Занков Л. В. Избранные педагогические труды.— 424 с.— (Труды д. чл. и чл.-кор. АПН СССР).— (в пер.): 1 р. 60 к., 30 000 экз.
Легенький Г. И. Цель и способы воспитания.— 136 с.— 45 к., 20 000 экз.
Лещинский В. И., Кузнецова С. С., Кульневич С. В. Всегда ли прав учитель? — 160 с.— (Б-ка учителя и воспитателя).— 35 к., 55 000 экз.
Литература по педагогическим наукам и народному образованию. Вып. 3(156). 1989 г.: Текущий библиогр. указ. / Гос. науч. пед. б-ка им. К. Д. Ушинского АПН СССР.— 112 с.— 55 к., 17 000 экз.
Перспективы развития системы непрерывного образования / Под ред. Б. С. Гершунско- го.— 224 с.— 1 р., 15 000 экз.
76


ПЕРВЫЙ ШАГ К ПРОФЕССИИ УЧИТЕЛЯ
Каким быть учителю математики XXI в.? Споры на эту тему продолжаются — а будущие учителя XXI в. уже приближаются к выбору своего жизненного пути, учатся в старших классах вашей школы.
Но вот парадокс — лучшие наши ученики, отлично знающие математику, далеко не всегда выбирают педагогическую профессию. И наоборот — собирающиеся на педагогическую стезю нередко весьма заурядны в математике. Не так ли?
Редакция журнала «Математика в школе» совместно с рядом заинтересованных организаций учреждает новую, необычную, олимпиаду для старшеклассников — по педагогике математики. Положение об олимпиаде, сами задания будут опубликованы в № 1 журнала за 1991 г. Олимпиада заочная, и жюри будет рассматривать только работы, поступившие до 1 мая 1991 г.
Сроки жесткие, и мы надеемся на помощь читателей журнала — учителей. Привлечь к участию в олимпиаде старшеклассников — как тех, кто интересуется педагогическими аспектами математики, так и тех, кто не подозревает о наличии таких способностей у себя — вот наша цель.
Предметные математические олимпиады для многих ученых-матема- тиков стали первым шагом в науку. Мы уверены в том, что олимпиада по педагогике математики может стать таким же первым шагом для многих будущих талантливых учителей, методистов, которые обеспечат высокий уровень математического образования в школе XXI в.
Итак, I Всесоюзная заочная олимпиада старшеклассников по педагогике математики стартует в 1991 г.
КООПЕРАТИВ «ЭЛЕКТРОН»
предлагает владельцам и пользователям ПЭВМ типов ДВК, УК-НЦ, ИБМ ХТ/АТ, «Синклер-Спектрум», «Атари», «Коммодор», «Агат», «Специалист», «РК-86» 32К, «РК-86» 64К, «Микроша», БК0010-01, «Львов», «Партнер», «Вектор», «Правец-8Д» широкий выбор системных, прикладных, игровых, учебных программ.
Предлагает учебные программы для классов УК-НЦ, КУВТ-86, «Ямаха».
Заключает с авторами договоры на тиражирование разработанного ими программного обеспечения с выплатой процентов от реализации, возможен обмен программами.
Продает программно-аппаратные комплексы и игротеки на базе компьютеров «Синклер-Спектрум», РК-86, «Специалист», ДВК, электронные диски (64К-256К, с операторной системой, для всех типов бытовых компьютеров).
Адрес для справок и запросов каталогов: 103489, Москва, Зеленоград, корп. 705, кооператив «Электрон». Телефон 536-12-81.
Тематический указатель статей, опубликованных в журнале в 1990 г.
Гнеденко Б. В. Советская школа и В. И. Ленин — № 3 с. 2.
Концепция развития школьного математического образования — № 1,  с. 2.
Приказ Государственного комитета СССР по народному образованию — № 2, с. 7
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ Математика в современной школе
Дорофеева А. В. Гуманитарные аспекты преподавания математики — № 6, с. 12.
Дорофеев Г. В. О принципах отбора содержания школьного математического образования № 6, с. 2.
Келбакиани В. Н. Контуры дифференциации в преподавании математики — № 6, с. 14.
Лавринович К. Богатство интересов — залог обучаемости — № 6, с. 13.
Мышкис А. Д. О прикладной направленности школьного курса элементов математического анализа — № 6, с. 7
Столяр А. А. Роль математики в гуманизации образования № 6, с. 5.
Эрдниев Б. П. О технологии творческого обучения математике — № 6, с. 15.
77


Проблемы совершенствования математического образования
Гладкий А. В. Об уровне математической культуры выпускников средней школы — № 4, с. 7.
Ларин С. В. Об изучении в педвузах школьной математики — № 4, с. 13.
Обсуждаем «Концепцию развития школьного математического образования» — № 4, с. 2.
Саитов Е., Саидов А. Е. Больше внимания методической подготовке студентов — № 4, с. 13.
Саранцев Г. И. О профессионализме в подготовке учителя математики — № 4, с. 11.
Таварткиладзе Р. К. Преодолеть формализм в обучении математике — № 4, с. 9.
Янченко А. М., Пидручная М. В. Формирование профессиональных умений и навыков будущих учителей — № 4, с. 12.
Преподавание математики в сельской школе
Зайкин М. И. Максимова Л. А. Малокомплектной школе — квалифицированную методическую помощь — № 2, с. 3.
Пономарев В. С.; Туматаев С. К. Преодолеть языковые проблемы преподавания математики — № 2, с. 4.
Совершенствуем методическую подготовку учителя математики — № 2, с. 5.
Хамракулов А., Хасанов Б. Нужны разноуровневые учебники — № 2, с. 5.
Чиканцева Н. И. Сельская школа в прошлом — № 2, с. 2.
Проблемы преподавания геометрии в школе
Абремский Б. А. Учим решать геометрические задачи на вычисление — № 6, с. 31.
Гладкий А. В. О некоторых определениях в учебном пособии — № 6, с. 22.
Долбилин Н. П., Шарыгин И. Ф. О необходимости курса наглядной геометрии в младших классах — № 6, с. 19.
Дуничев К. И. Теорема о сумме углов треугольника — № 6, с. 26.
Левитас Г. Г. «Введение в геометрию» — № 6, с. 21.
Смирнов В. А. О доказательстве признаков подобия треугольников — № 6, с. 27.
Файзуллаев А. Школьная геометрия и воспитание технического мышления — № 6, обложка.
Из опыта работы
Ахметгалиев А. А. Обучение организации учебной деятельности на уроке — № 3, с. 22.
Борода Л. Я., Борисова А. М. Некоторые формы работы по привитию интереса к математике — № 4, с. 39.
Возняк Г. М. Прикладные задачи в мотивации обуче¬
ния — № 2, с. 9.
Ворошилова Л. П. Оригинальная форма устного зачета — № 6, с. 34.
Гингулис Э. Ж. Развитие математических способностей учащихся — №  1, с. 14.
Гольдман А.  М., Звавич  Л. И. Учебные серии на
уроках математики — № 5, с. 19.
Григорьева Т. П. Творческие задания по геометрии для VII класса — № 3, с. 17
Груденов Я. И., Середа А. М., Середа В. Н. Психология подсказывает методике — № 6, с. 33.
Гузеев В. В. О разработке сценария для программы- тренажера — № 5, с. 10.
Далингер В. А. Чертеж учит думать — № 4, с. 32.
Иванова Т А. Как подготовить уроки-практикумы № 6, с. 37
Клименченко Д. В., Цикунова Т. Д. Задачи на построение
треугольников по некоторым данным точкам — № 1, с. 19.
Крайзман М. Л. Решение задач различными способами — № 1, с. 17
Кузнецов Э. И. Новые информационные технологии и обучение математике — № 5, с. 5.
Ландо С. К. Электронные таблицы на уроках математики — № 5, с. 8.
Литвиненко В. Н. Трафареты для изображения пространственных фигур — № 2, обложка.
Ноздрачева Л. М. Пропедевтика аналитического аппарата в геометрических задачах V—VI классов — № 2, с. 14.
Ольхов В. Е. Наглядно-интуитивное пояснение первого замечательного предела — № 3, с. 23.
Орлова Л. Э. Маленькие исследования на геометрической материале — № 6, с. 29.
Рогановский Н. М. Поисковые задания по геометрии — № 5, с. 22.
Ройтман П. Б. Итоги работы по новым учебникам — № 5, с. 26.
Скобелев Г. Н. Компьютер и школьная лекция — № 5, с. 14.
Старовойтова Т. С., Шляхтер Г. Е. Готовим знания к применению — № 3, с. 19.
Стерлигова Л. Л. Урок — КВН — № 4, с. 41.
Третьякова Г. Ф., Шарова О. П. Есть такой учитель — № 5, с. 31.
Фидлер М. М. Преобразования графиков функций и ЭВМ — № 5, обложка.
Фокин Б. Д. Предлагаю свою схему изучения десятичных дробей — № 2, с. 11.
Харитонов Б. Ф. Методика повторения приемов и методов решения геометрических задач — № 4, с. 36.
Консультация
В помощь учителям, работающим по учебнику «Алгебра 9» под редакцией С. А. Теляковского — № 3, с. 24.
Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Материалы для работы в IX классе с углубленным изучением математики — № 3, с. 40, № 6, с. 41.
Гольдман А. М., Звавич Л. И., Смирнова В. К. Об устном экзамене по геометрии в одиннадцатых классах школ РСФСР в 1989/90 учебном году — № 2, с. 17
Дорофеев Г. В., Дудницын Ю. П., Смирнова В. К. Об экзамене по алгебре и началам анализа в школах РСФСР — № 1, с. 21.
Кузнецова Л. В., Мельникова Н. Б., Минаева С. С., Фирсов В. В. Экспериментальные экзамены — № 2, с. 24.
Программа для школ (классов) с углубленным теоретическим и практическим изучением математики — № 3, с. 32.
Юдина И. И., Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. Материалы по подготовке к новому учебному году — № 3, с. 26; № 5, с. 34.
Преподавателям профтехучилищ
Алешина Т. Н. О разработке дидактических материалов по математике с профессиональной направленностью — № 4, с. 44.
Концепция математического образования в профессионально-технической школе (проект) — № 5, с. 2.
Проблемы и суждения
Башмаков М. И., Лаина П. И. Результативность обучения математике учащихся средних профтехучилищ — № 1, с. 37
Бескин Н. М. Несостоявшаяся дискуссия — № 3, с. 15. Гуреев Е. М., Черникова Э. Н. О конкурсе учебников и гласности — № 3, с. 15.
78


Гусев В. А. Индивидуализация учебной деятельности учащихся как основа дифференцированного обучения математике в средней школе — № 4, с. 27.
Дорофеев Г В., Кузнецова Л. В., Суворова С. Б., Фирсов В. В. Дифференциация в обучении математике — № 4, с. 15.
Дубинчук Е. С., Слепкань З. И., Соболь С. А., Филиппова С. Н. Обязательные результаты обучения себя оправдывают № 3, с. 9.
Капиносов А. Н. Уровневая дифференциация при обучении математике в V—IX классах — № 5, с. 16.
Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е. Профильная дифференциация обучения математике — № 4, с. 21.
Михальчук В. Г. О перестройке школьного математического образования № 3, с. 11.
Монахов В. М. Что такое новая информационная технология обучения? — № 2, с. 47.
Рогановский Н. М. Каким быть дифференцированному учебнику — № 3, с. 11.
Цукерман В. В. Нужны ли лекционные математические курсы в вузе? — № 1, с. 42.
Читатели предлагают — № 2, с. 39.
Юркина С. Н. О дифференцированном обучении математике — № 3, с. 13.
Конкурсные учебники
Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владимирова Н. Г. Об учебнике «Геометрия 10—11» — № 3, с. 46.
Маркушевич Л. А., Черкасов Р. С., Ястребинецкий Г. А. Комплексные числа — № 2, с. 41.
Муравин Г. К. Исследовательские работы в школьном курсе алгебры — № 1, с. 43.
Семенович А. Ф., Черкасов Р. С. О конкурсном учебнике «Геометрия 7—9» — № 4, с. 49.
Вступительные экзамены в вузы
Ананченко К. О. Витебский государственный педагогический институт им. С. М. Кирова — № 2, с. 32.
Богуславская Т. М., Семенова И. Н., Юдина И. Б. Коломенский педагогический институт — № 2, с. 34.
Воробьева М. А., Голдина В. Н., Петров И. М. Московский автомобильно-дорожный институт — № 2, с. 37.
Гуляев Г. М., Земзюлина В. Д. Анализ уровня подготовленности абитуриентов на основе результатов вступительных экзаменов — № 2, с. 38.
Денисов Д. В., Потапов М. М., Прошкин В. А., Соколихин А. Н. Московский государственный университет — № 1, с. 29.
Евсин Н. Г. Липецкий государственный педагогический институт № 2, с. 33.
Кварацхелия Н. М., Абсава Р. Г. Сухумский филиал Тбилисского государственного университета им. И. Джа- вахишвили — № 2, с. 36.
Мирзахмедов М. А., Мельников Н. Н. Ташкентский государственный университет — № 2, с. 35.
Рассудовская М. М. Московский областной педагогический институт им. Н. К. Крупской — № 2, с. 31.
Чернецов М. М. Московский государственный педагогический институт им. В. И. Ленина — № 2, с. 29.
Внеклассная работа
Агаханов Н. X., Канунникова Г. А., Купцов Л. П. и др. Всероссийская олимпиада школьников по математике (III этап) — № 3, с. 49.
Вавилов В. В., Фомин А. А. XXX Международная математическая олимпиада — № 2, с. 52.
Гохидзе М. Г. К теме «Вневписанная окружность» — № 2, с. 59.
Дразнин И. Е. О выборе последовательности упражнений — № 5, с. 43.
Заочный тур олимпиады по математике для сельских школьников — № 5, с. 41
Изаак Д. Ф. Метрические задачи на построение в стереометрии — № 3, с. 54.
Кузнецова Г. М., Сергеев И. Н. XXIV Всесоюзная математическая олимпиада школьников — № 6, с. 49.
Кузнецова Г М., Фомин А. А. Седьмая Балканиада в Софии — № 5, с. 47.
Кузнецова Е. П. Об одном методе построения графиков тригонометрических функций (метод рамок) — № 4, с. 61.
Куржина Ф. Еще два доказательства теоремы о высотах треугольника — № 1, с. 49.
Куценок В. Е. Окружность помогает решать задачи — № 2, с. 55.
Лазарев В. А., Левицкий Б. Е. Кубанские ЛФМШ — № 2, с. 60.
Ломоносов А. В. Комбинаторные применения двоичного алфавита — № 1, с. 51.
Манукян С. Л. Использование тождеств в решении задач — № 4, с. 65.
Математический бой двух команд — № 4, с. 56.
Медведева О. С. Развитие комбинаторного стиля мышления — № 1, с. 49.
Нудельман А. Г. Приобщение к математике — № 5, с. 43.
Прасолов В. В. Формула Герона — № 1, обложка.
Прицкер Б. С. Площадь четырехугольника — № 4, с. 66.
Ратников Н. П. От уравнения с параметром — к графику, задающему параметр — № 3, с. 80, обложка.
Раухман А. С. Клуб знатоков в средней школе — № 3, с. 56.
Тахонг Куанг. Простое доказательство одного утверждения Эйлера — № 6, с. 60.
Чванов В. Г. Выигрышные стратегии — № 6, с. 55.
Занимательная страница
Берколайко С. Т. Магический квадрат и арифметическая прогрессия — № 4, обложка.
Кордемский Б. А. Занимательное уравнение и его разновидности — № 1, с. 52.
Кордемский Б. А. Предлагается некая система пифагоровых триад — № 3, с. 58.
Михайлов И. И. Числовые курьезы — № 2, с. 63.
Соломин А. В., Соломин В. М. О представлении треугольных чисел квадратами — № 6, с. 60.
Задачи
№ 1, с. 53; № 2, с. 64; № 3, с. 60; № 4, с. 67; № 5, с. 48; № 6, с. 62.
Дорофеев Г. В., Шарыгин И. Ф. Замечания к решениям задач — № 1, с. 57; № 2, с. 68; № 3, с. 65; № 4, с. 74; № 5, с. 52; № 6, с. 66.
ДЕЯТЕЛИ НАУКИ И ПРОСВЕЩЕНИЯ
Башмакова И. Г., Бородин А. И., Галло И. Ф. и др. Призванная богиней Клио (к юбилею Г. П. Матвиев- ской) — № 6, с. 68.
Башмакова И. Г., Юшкевич А. П. Историк науки — № 1, с. 66.
Бескин Н. М. Дмитрий Иванович Перепелкин — № 1, обложка.
Болтянский В. Г. Педагог и популяризатор науки — № 1, с. 62.
Бородин А. И. Филдсовская премия — № 4, обложка, с. 76.
Глейзер Г. Д. Слово о А. И. Маркушевиче — № 1, с. 61.
Гнеденко Б. В. Ученый, учитель, гражданин (А. Н. Колмогоров) — № 5, с. 56.
Груденов Я. И., Черкасов Р. С. Владимир Модестович Брадис — № 5, обложка.
Долбилин Н. П. Борис Николаевич Делоне — № 1, обложка, с. 68.
79


Колмогоров А. Н. К обсуждению работы по проблеме «Перспективы развития советской школы на ближайшие тридцать лет» — № 5, с. 59.
Кузичева 3. А. Иван Иванович Жегалкин — № 6, обложка, с. 70.
Маркушевич Л. А. Воспоминания об отце — № 1, с. 65.
Мишин В. И., Чернецов М. М. К 100-летию Е. С. Березанской — № 1, с. 70.
Мышкис А. Д. Вячеслав Васильевич Степанов — № 3, обложка, с. 68.
Немировский Е. Л. Знаменитый библиофил — № 1, с. 67
Хавинсон С. Я. А. И. Маркушевич как математик — № 1, с. 64
Черкасов Р. С. О методическом наследии А. И. Маркуше- вича — № 1, с. 63.
Математический календарь
На 1989/90 учебный год: март — апрель — № 1, с. 59; май — июнь — № 2, с. 71; июль — август — № 3, с. 67.
На 1990/91 учебный год: сентябрь — октябрь — № 4, с. 75; ноябрь — декабрь — № 5, с. 53; январь —
февраль — № 6, с. 67.
Байсалов Д. У., Келдибаев Б., Майлиев Ш. Заслуженное признание — № 3, с. 68.
Бухштаб А. А., Жмулева А. В., Коробов Н. М. и др.
В. 	И. Нечаеву — 70 лет — № 2, с. 72.
Восилюс Р. В., Урбонас А. П., Шинкунас Ю. И.
В.  И. Близникасу — 60 лет — № 2, с. 72.
Гусак А. А., Феденко А. С. Н. В. Метельскому — 70 лет — № 1, с. 60.
Давыдов В. В., Дорофеев Г. В., Егерев В. К.,
Мордкович А. Г. Н. Я. Виленкину — 70 лет — № 5, с. 54.
Коваленко В. Г., Черкасов Р. С. А. Ф. Семеновичу — 70 лет — № 6, с. 69.
Лукс Л. Н., Макарова А. Д., Чунаева М. С. А. В. Штраусу — 70 лет — № 3, с. 67.
Пышкало А. И., Попов В. В., Кязимов Н. С., Гамидов С. С. Н. А. Садыхову — 60 лет — № 2, с. 72.
За рубежом
Блох А. Я. Тестовая система оценки знаний по математике в школах США — № 2, с. 74.
Блох А. Я., Черкасов Р. С. Социальные вопросы школь¬
ной математики на VI Международном конгрессе по математическому образованию — № 5, с. 62.
Кудрявцев Л. Д., Малкова Т. В. О подготовке к VII Международному конгрессу — № 5, с. 65.
Тоцкий Е. Некоторые проблемы модернизации образования учителей математики в Польше — № 6, с. 71.
Халамайзер А. Я. Тест для первокурсников Брауншвейгского университета (ФРГ) — № 5, с. 66.
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
Александров А. Д. Об основаниях геометрии — № 3, с. 70.
Балк М. Б., Кристалинский P. X. Школьникам о приложениях непрерывности — № 6, с. 75.
Канин Е. С.; Токарева Л. И. О третьем издании книги А. А. Столяра «Педагогика математики» — № 3, с. 73.
Козулин Б. В. В помощь учителю — № 5, с. 72.
Кремень Э. А. Издательство «Педагогика» № 3, с. 77.
Кузнецова В. А., Медведева Л. Б. Три задачника двух авторов — № 6, с. 74.
Кузнецова В. А. Школьникам о неевклидовой геометрии — № 5, с. 68.
Луканкин Г. Л., Рязанова Л. Н. Пособие для абитуриентов — № 5, с. 69.
Рыжков В. В. Книга добротная. Но верен ли ее главный замысел? — № 6, с. 72.
Степанов В. Д.; Валеева И С., Носик Р. Г., Семенов Е. Е. Об учебном пособии для студентов пединститутов «Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика» — № 3, с. 71.
Чуй И. В., Щукин Е. И.; Бугаева Т. И., Тимощук М. Е. О книге «Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики» — № 3, с. 76.
Шустеф Ф. М. Новые книги — № 1, с. 72; № 2, с. 73; № 3, с. 8; № 4, с. 14; № 5, с. 79; № 6, с. 76.
Ярский А. С. Пользоваться с осторожностью — № 5, с. 70.
ХРОНИКА
Ассоциация математических соревнований — № 4, с. 80.
Бунимович Е. А. Ассоциация учителей математики — № 3, с. 79.
Волович М. Б., Суворова С. Б.,  Чернышева Л. Ю. IV семинар методистов-математиков социалистических стран — № 1, с. 73.
Гисин В. Б. Межвузовский семинар в Казани — № 2, с. 79.
Гисин В. Б. Межвузовский семинар в Ярославле — № 5, с. 74.
Глейзер Г. Д. В Московском математическом обществе — № 5, с. 73.
Глейзер Г. Д. В секции средней школы Московского математического общества — № 1, с. 76.
Калинин С. И., Канин Е. С. Научно-методическая конференция — № 5, с. 74.
Келбакиани В. Н., Каладзе И. Г., Цомаиа С. Н. Конференция в Тбилиси — № 5, с. 76.
Ленинградский научно-методический центр математического образования — № 1, с. 79.
Никольский С. М. В секции средней школы НМС по математике Гособразования СССР — № 4, с. 79.
Пильтяй Г. 3., Шапиро Р. Л. Всероссийский конкурс студентов пединститутов — № 5, с. 73.
Садыхов Н. А., Попов В. В. Всесоюзная олимпиада студентов — № 2, с. 80.
Трушанина Т. Н. Всесоюзная научно-практическая конференция — № 1, с. 74.
Халамайзер А. Я. Конференция методистов Европы — № 6, с. 72.
Чунихина Л. Л. Семинар «Актуальные проблемы использования компьютеров в учебном процессе» — № 1, с. 78.
Шапкина В. Н. Семинар «Передовые идеи в преподавании математики в СССР и за рубежом» — № 1, с. 77; № 5, с. 75.
Шкиль Н. И., Слепкань 3. И. Пленум УМО по математике и проблемам средней школы № 2, с. 78.
Школьная секция Ленинградского математического общества — № 1, с. 79.
Некрологи
Абрамов А. М., Дудницын Ю. П., Егоров А. А., Шварцбурд С. И. Памяти Б. М. Ивлева — № 5, с. 77.
Н. Б. Шапошникова — № 2, с. 80.
Саннинский В. Я., Устян А. Е., Варанов И. А. П. А. Буданцер — № 5, с. 77.