ISSN 01J0-9358
МАТЕМАТИКА
В ШКОЛЕ
Научно-
методический
журнал
Министерства
просвещения
□г
X
ш
О
U
X
к
о
Николай Борисович Веденисов — советский
математик. Отдал жизнь за Родину осенью 1941 г.
Родился в Саранске в семье инженера путей
сообщения. Любовь к точным наукам привил ему отец—
Борис Николаевич Веденисов, ставший в годы
первых пятилеток выдающимся строителем, ученым,
членом-корреспондентом АН СССР, лауреатом
Государственной премии.
В 1922 г. Николай Веденисов поступил на физико-
математический факультет Московского университета.
Уже на втором курсе он вошел в первый состав
только что организованного П. С. Урысоном и
П. С. Александровым семинара по топологии.
Впоследствии общепризнанный глава советской
топологической школы академик П. С. Александров
вспоминал: «Этот семинар был дружным коллективом
очень увлеченных наукой молодых математиков, и
Н. Б. Веденисов был незаменимым членом этого
коллектива. Так же, как в свое время члены так
называемой „Лузитании” — значительно более обширное
сообщество учеников Н. Н. Лузина,— молодые
московские топологи 20-х гг. были объединены
общими научными интересами — ио и не только ими:
объединялись они и широкими общекультурными
интересами. Многие из них были постоянными
посетителями концертов — в Большом и Малом залах
консерватории; но еще большее их число
объединялось интересом к старому и новому
русскому искусству—архитектуре и живописи». Во
время интересных путешествий, которые совершали
молодые ученые по северу России, по Уралу, в
Новгород, в Ленинград, Н. Б. Веденисов часто заменял
экскурсоводов, так как был большим знатоком
сокровищ и ивописи, начиная с древней и до
новейшей. Широки были и его литературные интересы.
Пушкина он знал почти наизусть. Любил и хорошо
знал французскую поэзию, чему способствовало его
прекрасное владение французским языком.
«Глубина и абсолютная честность нравственной
личности Н. Б. Веденисова, в соединении с его
благожелательностью к людям, остроумием и просто
веселостью сообщали его личности, — писал
П. С. Александров. — обаяние и привлекательность
Понятно, что все его любили и вес нм дорожили в
том дружеском кругу, к которому он принадлежал».
Много сил Ник< лай Борисович отдавал математическим
исследованиям. Его глубокие знания в вопросах
теоретико-множественной топологии вскоре были
•амечены: французский журнал заказал ему и
А. Н. Тихонову составить обзорную статью по
топологии, которая вышла в свет в 920 г Оба
автора тогда были начинающими математиками.
Кандидатскую диссертацию Н. Б. Веденисов защитил
в 1937 г. К тому времени он был автором четырех
работ в области топологии Наибольшее признание
получили его результаты по общей теории
размерностей, одно соотношение этой теории носит
имя Веденисова. Специалистам известна также
«лемма Веденисова» о нуль-множествах непрерывных
функций.
Окончив университет, Николай Борисович преподавал
в Московском государственном педагогическом
институте, руководил также работой дипломников
и аспирантов в МГУ. Перед Великой Отечественной
войной он стал доцентом военной Артиллерийской
академии.
Вейна разорвала череду напряженных мирных будней
нашей растущей страны. Много талантливейших
советских людей, бросив строить н вычислять,
писать н растить хлеб, ушли добровольцами на
фронт.
Вместе с сотнями студентов, аспирантов и
сотрудников механико-математического факультета
МГУ Н. Б. Веденисов записался в 8-ю
Краснопресненскую ополченскую дивизию. Медицинская
комиссия строго отбраковывала тех, чье здоровье
не позволяло встать в строй. Среди добро, ольцев,
не отличавшихся крепким здоровьем, был и
Веденисов. За несколько лет до войны он повредил
позвоночник в одном из походов (он был страстным
туристом и альпинистом-любителем). Последствия
травмы сказывались заметно. Друзья и родные
просили его прислушаться к рекомендациям врачей,
повторяя, что можно и в тылу приносить ощутимую
пользу фронту при подготовке квалифицированных
офицерских кадров. Но Николай Борисович отвечал
всем лаконично, я должен быть там, где мои
у ченики,— на фронте.
Как н большинство мехматовцев, он был зачислен в
975-й артиллерийский полк 8-й Краснопресненской
дивизии, которая после формирования попала иа
ржевско-вяземское направление. Вблизи линии фронта
ополченцы проводили оборонные работы и
одновременно в ускоренном темпе проходили боевую
подготовку.
В начале октября 1941 г. обстановка на Днепровском
рубеже резко ухудшилась: под натиском
превосходящих сил противника части Красной армии
стали отходить. Для прикрытия отступления 24-й
армии командование Резервного фронта передало в
распоряжение 8-ю ополченскую дивизию Враг рвался
к Москве. Перед красноармейцами была поставлена
задача: быстро сняться с заранее подготовленных
позиций и сделать марш-бросок в район деревни
Уварове в предместьях г. Ельни, чтобы задержать
там продвижение противника.
Во время похода по осенней распутице обозы с
продовольствием и боеприпасами отстали, и уставшие
бойцы, среди которых было много вчерашних рабочих,
студентов, учителей, сразу с марша вступили в бой
с хорошо обученными, технически оснащенными и
численно превосходящими силами противника. Это
сражение стоило оккупантам 45 тыс. обстрелянных
вояк. Части 24-й армии выполнили свою задачу:
они задержали вражеское наступление на несколько
дней до подхода основных резервов Красной армии.
Это было достигнуто ценой огромных потерь. Среди
тех, кто не вернулся из-под Ельни, был и Николай
Борисович Веденисов.
На мемориальную доску механико-математического
факультета занесено 91 имя погибших воинов. Это
только малая часть того славного поколения,
которое заслонило собой свою Родину, спасло от
уничтожения нашу культуру. Математики Московского
университета не забудут имена героев и среди них —
имя талантливого ученого и замечательного человека
Николая Борисовича Веденисова.
Научно-м ггодический
журнал
Министерства просвещения
СССР
Москва «Педагогика»
Издается с 1934 года
Выходит один раз
в два месяца
МАТЕМАТИКА
®‘ g-J В ШКОЛЕ
НОЯБРЬ—ДЕКАБРЬ
	3 Подготовку учителей математики — на уровень новых задач
В. М Монахов	5 Совершенствование преподавания математики в свете требований реформы школы
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
Требования реформы — в жизнь
Москогскис городские педагогические чтения
аСовершенствование трудового воспитания, обу-
чения и профориентации учащихся»
С. М. Саакян	10	Изучение и прспаганца передового опыта учителей — важное усло- вие общих успехов
Л. Ф. Лебедева	12	Некоторые вопросы трудового воспитания учащихся в процессе обучения математике
Е. А. Морозова Л. В. Петрова	13	Профессиональная ориентация учащихся при обучении математике 14	Воспитание экономного и бережного отношения школьников к на- родному достоянию
Е. С. Смирнова В. Ф. Иконникова	15	Комплексное планирование задач обучения 16	Внеклассная работа как средство развития творческих способностей учащихся
Прелод-вание геометрии по учрбному пособию
а. В. Погореловэ
С. Е. Марон	/17	К началу обучения грпметпин я VIII классе по новому учебному пособию 28	Система самостоятельных работ по теме «Сумма углов треуголь- ника»
К И. Пешков, А. С. Чесноков	30 Примерные контрольные работы по математике для IV и V клас- сов на II полугодие
Из опыта работы
Д. И. Хан, В. А. Шубин	35 О формировании пространственных представлений школьников на уроках стереометрии
В. И. Платонова М. М. Рассудовская В Ф. Любичева	36 К вопросу о развитии пространственных представлений учащихся 38 Домашние задания творческого характера для всего класса 40 К вопросу совершенствования экономических знаний учащихся
Проблемы будущих учителей	подготовки математики
А. Г, Мордкович	42 О профессионально-педагогической направленности математической подготовки будущих учителей 45 Из редакционной почты
Очерки по истории развития
математических знаний			
К. А. Рыбников	50	Тригонометрия в школе и в системе математических	неук
А. В. Дорофеева	55	Юбилей великого открытия	
Внеклассная	работ»	1	
М, Куваев	57	К вопросу о графическом решении уравнений	
Ф. Г. Шлейфер	58	Об одной схеме доказательства неравенств	
Г. Н. Солт ан	61	Переход к новым переменным при решении некоторых	задач
Ю. С. Брьновский	61	О нахождении промежутков монотонности некоторых	функций
Тад“3	Q
Пдодрмаяем юбиляр»
Б. Я. Берзтисе,	Ы	Ян . ноамч Менции.'
Д. Я. Круч<
Математический календарь на 1984/85 учебный
год
А. к: Бородин	70	Январь, февраль
Г. X. Гайдаржи, 3. И. Турлакова	71	Герш Иг 1акович Глейзер
Н. X. Ро зов В. Н. Щепкина В. Ю. Гуревич Дж. Шарифов	ХРОНИКА 72 в комиссия по школьному математическому образованию Отделе* ния математики Академии наук СССР 74	в секции соедней школы Московского математического общества 75	25 лет семинару «Передовые идеи в преподавании математики а СССР и за рубежом» 76 Республиканский семинар в Мииск- 76 XII Республиканские педагогически-: чтения а Таджикистане	
Ф. М. Шустеф	77	Новые книги
	77	 ематический указатель статей, опубликопаниы> п журнал? в 1984 г.
Редакционная коллегия»
РйдикцвовиыЯ яове*
Зав. редакцией
3. & Шелелев^
Главный редактор F. С. Черкасов
(представители союзных республик);,
Зам. главного редактора А. И, Верченко
Члены редакционной коллегиям
Н. М. Веская
В. Г. Болтянский
В. Ф. Власик
Г. Д. Глейзер
Б, В. Гнеденко
Г. В. Дорофеев
Н. А. Ермолаева
А. Н. Колмогоров
Ю. Л4. Калягин
М. Р. Леонтьева
Г. Г. Маслова
К. И. Пешков
Л. М. Пашкова
Иа С. Петраков
а. х. Розов
В, А. Скворцов
|3. А. Скопец!
К. В. Стратилатов
3. С. Сухотина
К. И. Шалимова
С. И. Шварцбурд
Г» А. Ястребинецкий
А. М. Алиев (АаССР)
X. А. Асадов (ТаджССР)
Б. Б. Бердыев (ТССР)
В. А. Гусев (РСФСР )
А. С. Зибертас (ЛитССР)
Д- И. Икрамсв (УзССР)
К- К. Кожаспаев (КазССР)
Ш, М. Майли ев (КиргССР)
В. Я. Миллере (ЛатвССР)
3. И. Моисеева (РСФСР)
С. Ф. Рубанов (БССР)
Н, Н, Садовникова.(РСФСР)
Р. В. Саркисян (АрмССР)
3. Я. Слепканъ (УССР)
А. Э. Гелъгмаа (ЭССР)
И. Ф. Тесленко (УССР)
Р. А. Хабиб (РСФСР)
А. М. Хоштария (ГССР)
Художественный редактор
Б» Ф. Рябов
Технический редактор
Л. В. Розанова
Корректор
М. А. Суворова
Сдано в взбор 22.10*4 Подписано в
печать 03.12.84. Формат 84Х108,/1в. Печать
высокая. Усл. печ. я. 8.40. Уч.-изд. л 11.11.
Усл. кр.-отг. 9,03. Тираж 388035 экз
Цена 45 коп. Ззказ 308
Издательство «Педагогика» Академии пе-
дагогических наук СССР я Государствен-
ного комитета СССР по делам вала-
тельств. полиграфии и книжной торговли.
Адрес издательства: 107847. Москва. ГСП,
Б-05, Лефортовский пер., д. 8.
Адрес редакции: 129278. Москве.
ул. П. Корчагина, д. 7; телефон 283-85-83.
Московская типография № 13
ПО «Периодика» ВО «Союзлоляграфлром»
Государственного комитета СССР по де-
лам издательств, полиграфии и книжной
торговли
107005, Москва, Б-Б, Денисовский пер.,
д. 80.
Подготовку учителей математики —
на уровень нозых задач
«... Сам характер заде1., которые стоят перед нашим обществом, открывает погетиче
бескрайнее поле приложения творческих сил и энергии всех отрядов советской ин-
теллигенции. Формы и направления их деятельности исключительно mhoi ообразны.
Но есть и нечто общее, ч*о их объединяет. Я имею в виду то огромное вливние,
которое интеллигенци оказывает на общественное сознание, на духовную жизнь
общества».
Из речи товарища К. У. Черненко «Утверждать правду жизни, высокие
идеа, ы социализм!» на юбиле| ,ном пленуме правления Союза писате-
лей СССР 25 сентября 1984 г.— Правда, 1984, 26 сент.
Благодаря постоянному вниманию и зэботе
Коммунистической партии и Советского пра-
вительств^ о школе советские учителя i.a всех
этапах развития социалистического общества
успешно решали и решают поставленные пе-
ред ними ответственные задачи по обучению
и воспитанию подрастающею поколения.
Важной основой достигнутых нашей школой
успехов является высокий научно'педаюгиче-
ский уровень подготовки учителей. В Совет-
ском Союзе 99% учителей IV—X классов об-
щеобразовательной школь! имеют высшее об-
разование. Таких высоких качественных пока-
зателей подготовки учителей не удалось до-
биться ни одной из ведущих капиталистиче-
ских «ран.
Выполняя решения XXVI съезда КПСС, выс-
шая педагогическая школа страны провела
значительную работу по совершенствованию
качества обучения и воспитания будущих учи-
телей.
Вместе с тем вполне закономерно, что с по-
вышением уровня развития социалистического
общества станоьятся белее серьезными тре-
бования, предъг.зляемые к педагогическим
вузам и университетам, готовящим учителей
средней школы. Эти требования относятся
к идейно-нравственным качествам, профес-
сиональным знаниям, формированию социаль-
ной активности подготавливаемых кадров.
В современных условиях осуществления ре-
формьГ общеобразовательной и профессио-
нальной школы намного возрастает значение
учителя, его ведущая роль в обучении, ком-
мунистическом воспитании учащихся. Это
обусловлено новыми задачами, масштабами
и темпами коммунистического строительства,
динамичным развитием науки, техники и куль-
туры, совершенствованием всеобщего средне-
го образования, повышением общего культур-
ного уровня населения. «Успешное решение
сложных задач обучения и воспитания моло-
дежи,— говорится в Основных направлениях
реформы общеобразовательной и профессио-
нальной школы,— в решающей степени зави-
сит от учителя, его идейной убежденности,
профессионального мастерства, эрудиции и
культуры». Все это означает, что в подготовке
новых учителей в полной мере следует руко-
водствоваться принципиальными положениями
реформы, учить! '4ть требования органическо-
го сочетания профессионального образования
с дальнейшим повышением уровня общеобра-
зовательной подготовки у дещихся. Общие на-
правления предстоящей здесь работы отчет-
ливо указаны речи товарища К. У. Черненко
на юбилейном пленуме правления Союза пи-
сателей СССР: «... творческий характер труда,
творческий подход к своему делу должны се-
годня быть отличительной чертой каждого
интеллигента — ученого или инженера, учи-
теля или ipana. Как. разумеется, и каждого
рабочего, каждого колхозника, всех, кто чест-
но и доблестно трудится во имя процветания
нашей ьелиной Родины».
Творческий характер педагогического труда
требует от будущего учителя широкой мар-
ксистско-ленинской и профессиональной под-
готовки, сформированное™ навыков практи-
ческий работы, высокой политической и
нравственной культуры, умений применять на
соврем-эннт л уровне научно-методические
решения, владеть искусством руководс—ва
детским коллективом, добиваться успехов в
идейно-нравственном формировании каждого
воспитанника.
К достижению этих целей и направлена
сейчас работа вузов, готовящих учителей и
преподавателей средней общеобразователь-
ной школы, профессионально-технических
училищ.
Усовершенствованные учебные планы педа-
гогических институтов и университетов соз-
дают более благоприятные условия для реа-
лизации в преподавательской и воспитатель-
ной деятельности вузовских коллективов тре-
бований жизни.
На прошедших зональных, республиканских
и всесоюзных совещаниях по вопросам вьк-
шего педагогического образов шия отмечпл-
3
ся ценный опыт ряда вузов по совершенство-
ванию форм взаимосвязи в учебном процес-
се глубокого изучения общественных дисцип-
лин с изучением предметов фундаментально-
го, педагогического циклов.
Опыт передовых вузов показывает, что про-
фессиональному становлению молодого учи-
теля эффективно содействует вводимая в пе-
дагогических институтах непрерывная педаго-
гическая практика, развитие различных форм
научно-исследовательской работы студентов,
их активные занятия на факультете общест-
венных профессий.
Однако в работе по выполнению требований
реформы в подготовке учителей математики
мы находимся еще в начале пути.
Молодые учителя математики еще не полу-
чают необходимых знаний по организации
профориентационной работы с учащимися,
о тех требованиях, которые предъявляют к ма-
тематической подготовке учащихся местные
ПТУ, учебно-нроизводственные комбинаты.
Предстоит большая pa6oia по глубокому
ознакомлению студентов с новой вычисли-
тельной техникой и их подготовке к примене-
нию в обучении микрокомпьютеров.
О том конкретном, что предстоит сделать,
говорят и публикуемые в этом номере журна-
ла материалы, характеризующие уровень
практической подготовки будущих учителей
к важному разделу предстоящей работы —
решению школьных математических задач.
Медленно решается вопрос о. вклю-
чении . в учебный процесс математических и
физико-математических факультетов такого
важного мировоззренческого предмета, как
история математики, на чем многие годы
активно настаивает математическая с бщест-
еенность.
Приобщению молодого учителя к творче-
ской работе своих старших коллег способ-
ствует согласованная совместная работа вузов
и органов наводного образования го органи-
зации стажерской практики выпускников. В та-
кой новой форме работы уже накоплен из-
вестный положительный опыт. Об интересной
и содержательней деятельности в этом на-
правлении говорят публикуемые материалы
кабинета математики Московского городского
института усовершенствования учителей.
Высокий интерес всей советской обществен-
ности к проблеме реформы школьного обра-
зования, принятые решения о значительном
повышении материальное положения учите-
лей уже приносят свои благотворные резуль-
таты и в деле подготовки кацров новых учи-
телей. После ряда лет некоторого снижения
конкурса при приеме студентов на математи-
ческие и физико-математические факультеты
педагогических институтов в наступившем
учебном году прием на эти факультеты
проводился при значительно гозросшем кон-
курсе. Увеличилось число поступающих, полу-
чивших после окончания школы опыт произ-
водственной работы. Это позЕн-ляет отобрать
для обучения в педагогическом вузе более
подготовленную и правильно определившую
свое жизненное призвание молодежь.
В педагогических институтах и университе-
тах, готовящих учителей для средней школы,
развертывается целенаправленная работа по
реализации в подготовке педагогических кад-
ров идей и требований реформы.
Педагогические институты призваны теперь
наряду с подготовкой новых учителей решать
важные задачи по повышению квалификации
учительских кадров, организаторов народного
образования. В этом новом виде работы
должное, место займут и вопросы преподава-
ния математики, анализ опыта подгото! ки и
переподготовки учителей.
Нет сомнения в том, что высшие учебные
заведения, готовящие преподавателей для
средней школы, внесут свой достойный вклад
в дело подготовки новых кадров строителей
коммунизма, в социально-экономический и на-
учно-технический прогресс нашей Родины —
оплота мира и социализма.
Совершенствование
преподавания математики
в свете требований реформы школы
В. М. Монахов
(Москва)
За годы своего существования советская шко-
ла добилась впечатляющих успехов в обуче-
нии и воспитании подрастающего поколения,
в подготовке его к жизни и труду. Качествен-
но новым этапом в развитии ленинских идей
о единой, трудовой, политехнической школе и
ее роли в формировании всесторонне развитой
личности явились Основные направления ре-
формы общеобразовательной и профессио-
нальной школы. Этот документ — воплощение
страте! ической линии партии в деле развития
народного образования в СССР, намеченной
XXVI съездом КПСС, июньским (1983 г.),
февральским и апрельским (1984 г.) Пленума-
ми ЦК КПСС.
В Основных направлениях реформы значи-
тельное место отводится повышению качества
учебно-воспитательного процесса. Важной со-
ставной частью этого направления реформы
школы является совершенствование матема-
тического образования, так как математиче-
ская подготовка становится все более сущест-
венным элементом общеобразовательной под-
готовки молодого поколения общества разви-
того социализма
В эпоху научно-технической революции нау-
ка, и в особенности такая наука, как матема-
тика, все в большей степени становится непо-
средственной производительной силой; от ка-
чества математической подготовки молодого
поколения зависит научно-технический, про-
изводственный и оборонный потенциал нашей
страны. Школьная математика является од-
ной из базисных дисциплин в системе среднего
образования: без солидной математической
подготовки нельзя ставить вопрос об усвоении
ряда других предметов, в первую очередь фи-
зики.	J
Весьма значителен вклад школьной матема-
тики и в формирование таких качеств лично-
сти, которые должны быть присущи молодому
гражданину общества развитого социализма.
Таким образом, к прочности и качеству зна-
ний по математике должны предъявляться
особые требования; коренное улучшение под-
готовки будущих специалистов современного
общественного производства невозможно
без существенной опоры на высокий уровень
математической подготовки в школе.
Требования реформы — «уточнить перечень
и объем материала изучаемых предметов»,
«устранить Перегрузку учебных программ и
учебников», «предельно четко изложить ос-
новные понятия и ведущие идеи учебных
дисциплин», «но каждому предмету и классу
определить оптимальный объем умений и на-
выков, обязательных для овладения учащи-
мися» — конкретизируют основные направле-
ния по совершенствованию содержания и ме-
тодов обучения для всех школьных дисциплин,
в частности и для математики Необходимо
отметить, что в отношении преподавания ма-
тематики к настоящему моменту уже сделаны
первые, весьма существенные шаги по реше-
нию поставленных задач, включающие в себя
корректировку программы, переработку дейст-
вующих и создание новых учебников, опреде-
ление путей совершенствования методической
системы обучения математике и повышения
научного уровня преподавания. Омной из при-
чин развернувшегося в последние годы совер-
шенствования школьного математического об-
разования послужило широкое критическое
обсуждение итогов перехода школы в 70-х гг.
на новые программы и учебники, выявление
недостатков сложившейся системы математи-
ческого образования и определение путей их
преодоления. Эти аспекты созвучны требова-
ниям реформы, они в значительной степени
отвечают сформулированным в постановлении
ЦК КПСС и Совета Министров СССР направ-
лениям повышения качества учебно-воспита-
тельного процесса.
Принципиально важным шагом в совершен-
ствовании математического образования, кото-
рый может быть в настоящее время расценен
как начальный вклад в реализацию требова-
ний реформы, явилось введение в 1981 г. в
практику работы школы усовершенствованной
программы по математике. Эта программа
предусматривает существенную разгрузку
курса, освобождение его от излишне услож-
ненного и второстепенного материала. Базис-
ная часть программы, которую составляют та-
кие разделы, как «Содержание обучения» и
«Требования к математической подготовке
учащихся», задает содержание основной, обя-
зательной для всех школьников математиче-
ской подготовки. Раздел «Содержание обуче-
ния» фиксирует минимальный объем матема-
тического материала, обязательного для изу-
чения. В разделе «Требования к математиче-
ской подготовке учащихся» для каждого ма-
тематического курса перечислены основные
умения и навыки, которыми должны овладеть
все школьники на каждой ступени обучения.
Это позволяет ориентировать учебно-воспита-
тельный процесс на усвоение учащимися ос-
новного материала, на овладение ими в пер-
вую очередь основными умениями и навыка-
ми, что в определенной степени способствует
преодолению перегрузки учащихся.
Однако серьезного эффекта от внедрения
5
усовершенствованной программы по матема-
тике можно ожидать только после переработ-
ки действующих учебников, приведения их в
соответствие с обязательными программными
требованиями.
Учебник — один из важнейших факторов, от
которых зависит эффективность учебно-воспи-
тательного процесса и качество математиче-
ской подготовки школьников. В учебнике ин-
тегрально отражена взаимосвязь всех основ-
ных компонентов учебно-воспитательного про-
цесса (содержания, методов, средств, форм
обучения) во взаимодействии учителя с уча-
щимися. Поэтому совершенствование учебни-
ков по математике, приведение их в соответ-
ствие с высокими требованиями реформы —
неотложная задача, от успешного решения
которой зависит эффективность совершенство-
вания системы математического образования
в советской школе.
В настоящее время планомерно, с единых
позиций проводится работа по совершенство-
ванию действующих учебников математики.
Основные направления их переработки: устра
нение чрезмерной формализации в изложении
теоретического материала, усиление приклад-
ной и политехнической направленности обуче-
ния, более рациональное формирование прак-
тических умений и навыков. Характерной осо-
бенностью вносимых в учебник корректив яв-
ляется методическое отражение следующей тен-
денции: основное в программе должно быть
основным и в учебнике. Именно в этом заклю-
чается главный резерв разгрузки школьного
курса математики. Сохраняя высокую идей-
ность и научность, необходимо добиться боль-
шей доступности курсов, рационального рас-
пределения учебного времени между изуче-
нием теоретического материала и выполне-
нием упражнений, преимущественного за-
крепления теории в ходе решения задач, бо-
лее продуманной организации системы упраж-
нений (все эти требования особенно остро
стоят по отношению к учебникам для старших
классов).
В текущем учебном году в школы страны
введен переработанный вариант действующего
учебника для IV и V классов. В ходе перера-
ботки учебники приведены в соответствие
с программой, что позволило существенно
упростить и разгрузить курс. Из курса ис-
ключены теоретико-множественные и логиче-
ские понятия, устранена чрезмерная алгебраи-
зация материала. В то же время усилено вни-
мание к вычислительной подготовке учащихся
в соответствии с предъявляемыми к ней про-
граммными требованиями; пересмотрены со-
держание и структура геометрического мате-
риала.
Завершается переработка действующих
учебников алгебры: переработанные вариан-
ты учебников алферы для VI и VII классов
будут введены в школу в следующем учебном
году. В ходе переработки курс алгебры не-
сколько разгружен, а освобождающееся в свя-
зи с этим время будет отведено на более , си-
стематичное и доказательное изучение основ-
ных вопросов теории, а также на более тща-
тельную отработку практических умений (вы-
полнение тождественных преобразований ал-
гебраических выражений, решение уравнений,
неравенств, систем, построение и чтение гра-
фиков функций, вычислительных умений).
Усиление внимания к формируемым в курсе
умениям составляет важную сторону повыше-
ния прикладной и политехнической направлен-
ности обучения, укрепления межпредметных
связей, так как соответствующий математиче-
ский аппарат широко используется не только
в самом курсе математики, но и в смежных
дисциплинах — физике, химии, географии.
Последовательно вводится новый учебник
геометрии А. В. Погорелова. Основной зада-
чей курса геометрии VI—VIII классов являет-
ся систематическое изучение основных фактов
планиметрии и применяемых в ней методов.
Изучение систематического курса геометрии
характеризуется повышением уровня абстрак-
ции, усилением роли дедукции в изложении
теоретического материала. Практика работы
школы показывает, что правильное использо-
вание методических особенностей нового учеб-
ного пособия положительно сказывается на
результатах обучения. Учителя отмечают, что
у школьников развивается потребность в ар-
гументации геометрических фактов, разви-
ваются умения решать задачи, обогащается
речь.
Крупным вкладом в совершенствование
школьного математического образования яв-
ляется введение в школьный курс в условиях
всеобщего среднего образования элементов
математического анализа. Изучение основных
понятий и методов математического анализа,
которые дают учащимся широкий и мощный
аппарат исследования действительности сред-
ствами математики, имеет большое общеобра-
зовательное значение. Однако опыт свиде-
тельствует о наличии серьезных проблем в
преподавании этого курса. Характер изложе-
ния начал анализа в средней школе должен
быть серьезно изменен. Необходимо сущест-
венно разгрузить и упростить курс, освободить
его от тонких формальных моментов, усовер-
шенствовать методику формирования основ-
ных понятий, приблизив изложение к тому
уровню строгости, который традиционно при-
меняется в сфере приложений этого матема-
тического аппарата. При этом важно актив-
нее опираться на наглядно-интуитивные пред-
G
ставления учащихся, уделять главное внима-
ние не формальной, а содержательной стороне
изучаемых вопросов.
Однако, ставя вопрос о необходимом совер-
шенствовании учебников математики, следует
одновременно предостеречь от частых и во
многом вкусовых их переработок, взяв в по-
следующем явный курс на стабильность учеб-
ников. Практика показывает, что к любому
учебнику при его введении в школу предъяв-
ляется много противоречивых требований, ко-
торые снимаются по мере накопления опыта
работы по этому учебнику. Стабильность учеб-
ников— важнейшее условие совершенствова-
ния методической системы преподавания ма-
тематики. Поэтому основанием для определе-
ния направлений переработки учебника мо-
жет служить только опыт школы, накоплен-
ный в процессе достаточно длительной рабо-
ты. В частности, замена учебника на другой
возможна только при условии абсолютной уве-
ренности в том, что по своим научным и пе-
дагогическим достоинствам новый учебник за-
ведомо и существенно превосходит используе-
мый в школе и что коррекция действующего
учебника не может привести к аналогичным
результатам. Разумеется, такая уверенность
может основываться лишь на изучении сово-
купности данных, полученных в ходе теорети-
ческого анализа учебника учеными и методи-
стами и в результате достаточно представи-
тельного эксперимента, проведенного в соот-
ветствии со стандартной процедурой провер-
ки экспериментального учебника.
Важный резерв повышения качества учебна-
воспитательного процесса заключается в реа-
лизации требований определить оптимальный
объем знаний, умений и навыков, обязатель-
ных для овладения всеми учащимися.
Осуществление этой меры позволит перейти
к планированию уровня обязательной подго-
товки учащихся по математике, что особенно
важно в условиях всеобуча. Надо добиться
такого положения в школе, чтобы ученик, по-
лучивший положительную оценку, владел со-
вершенно определенным и заранее указанным
объемом знаний, умений и навыков, на кото-
рые можно было бы заьедомо опереться при
изучении последующих курсов. Особое значе-
ние это имеет по отношению к итоговым ре-
зультатам на выходе по каждой из ступеней
обучения — начальной, неполной средней и
средней школ. Хорошо известно, что, не полу-
чив на какой-либо ступени обучения необхо-
димого фундамента математической подготов-
ки, ученик оказывается не в состоянии нор-
мально участвовать в учебном процессе. Про-
белы в знаниях, существенные для дальнейше-
го усвоения курса, приводят к накоплению но-
вого незнания, что делает трудным, а иногда и
практически невозможным дальнейшее изуче-
ние не только математики, но и ряда смежных
предметов.
Программное задание запланированного
уровня обязательной математической подго-
товки позволит сделать решительный шаг в
упорядочении системы контроля и оценива-
ния подготовки учащихся, избавиться от фор-
мализма в этом сложном деле, существенно
снизить нагрузку слабоуспевающих школьни-
ков и, как следствие, усилить положительную
мотивацию их учения. Детям ведь свойствен-
но желание учиться и предложение им' по-
сильной нагрузки только усиливает это стрем-
ление, делает учение радостным и увлекатель-
ным занятием.
Разумеется, гарантированное достижение
всеми учащимися уровня обязательной мате-
матической подготовки не означает какого-то
насильственного выравнивания всех учащихся
по этому уровню. Методика обучения по-преж-
нему должна быть ориентирована на оптими-
зацию результатов подготовки каждого уче-
ника, обеспечение ее высокого качества, до-
полненной контролем достижения всеми уча-
щимися уровня обязательной подготовки.
Остановимся на резервах и возможностях
школьного математического образования в ре-
шении таких важнейших воспитательных за-
дач реформы, как формирование коммунисти-
ческого мировоззрения и нравственных ка-
честв личности, как коренное улучшение по-
становки трудового воспитания, обучения и
профессиональной ориентации, усиление по-
литехнической направленности содержания об-
разования.
В речи на апрельском (1984 г.) Пленуме
ЦК КПСС Генеральный секретарь ЦК КПСС
товарищ К- У. Черненко сказал: «...упор, ко-
торый мы сейчас делаем на воспитание по-
сильным для школьника производительным
трудом, при всей его принципиальной важно-
сти, не отменяет ту истину, что главный труд
детей — это, конечно же, учеба, прочное овла-
дение основами наук. Отсюда и требование
улучшить преподавание в школе всех общеоб-
разовательных дисциплин... Без этого невоз-
можно надежно обеспечить сегодня, а тем бо-
лее в перспективе, все участки коммунистиче-
ского строительства людьми, хорошо знающи-
ми свое дело, способными постоянно расти и
в чисто профессиональном, и в интеллек-
туальном плане.
Сегодня весь учебный процесс должен в го-
раздо большей мере стать носителем мировоз-
зренческого содержания... Призвание школы —
формировать у учащихся марксистско-ленин-
скую убежденность, способность к самостоя-
тельному, творческому мышлению, развивать
сознание своей ответственности за судьбы со-
т
циалистической Родины. И, конечно, приви-
вать стойкий иммунитет к чуждым нам взгля-
дам и нравам».
Воспитательная работа в процессе обучения
математике есть длительный и сложный про-
цеес, зависящий о г многих факторов. Среди
них самым существенным, от которого зависит
эффективность воспитательной работы, выбор
ее содержания и методов, является собственно
математическое содержание курса. Трактовка
содержания курса математики, определенного
программой, способы введения понятий, ис-
пользование исторического подхода, роль и
место задач в обучении, содержание упражне-
ний влияют на воспитательный эффект обу-
чения математике. С другой стороны, воспита-
тельная работа, в свою очередь, оказывает
влияние на усвоение математических знаний и
выработку умений. Так, раскрытие связей ма-
тематических понятий с действительностью
способствует сознательному усвоению мате-
риала, преодолению традиционного формализ-
ма в знаниях. Немаловажное значение в орга-
низации воспитательной работы в обучении
математике имеют также такие факторы, как
в'-естороннее использование межпредметных
связей, учет возрастных особенностей учащих-
ся. Отсюда следует, что для решения общеоб-
разовательных и воспитательных задач в ходе
обучения математике необходимо разработать
детальную программу по их реализации, со-
держащую перечень формируемых знаний,
представлений, умений и задающую пример-
ную динамику их формирования. Эта програм-
ма Должна стать составной частью целост-
ной межпредметной программы коммунистиче-
ского воспитания учащихся.
Вклад школьной математики в решение за-
дачи коммунистического воспитания подра-
стающего поколения связан с формированием
научного мировоззрения школьников, с разви-
тием у них научно-теоретического мышления,
с формированием идейно-нравственных ка-
честв личности.
В ходе Обучения математике необходимо
формировать у учащихся правильные пред-
ставления о природе математики, ее месте в
системе наук, в современном общественном
производстве. Разъяснение учащимся своеоб-
разия отражения математикой реальной дейст-
вительности, специфики ее методов будет со-
действовать пониманию ими роли научного
познания в практике.
Следует целенаправленно развивать у уча-
щихся такие навыки научно-теоретического
мышления, как умение проводить доказатель-
ства и опровержения, анализировать, обоб-
щать, планировать, критически оценивать по-
лученные результаты. Навыки рационального
логического мышления, получаемые при обу-
чении математике, необходимы в производ-
ственной и общественной деятельности каж-
дого выпускника школы.
Идейно-политическое воспитание школьни-
ков при обучении математике должно прово-
диться путем целесообразного привлечения
иллюстративного материала, направленного на
воспитание активного интереса к социалисти-
ческой действительности, советского патрио-
тизма. Знакомство учащихся старших классов
с процессом математизации, происходящим в
условиях научно-технической революции, по-
зволяет на примере математики формировать
у них правильные представления о политике
КПСС в области развития науки. В процессе
обучения математике следует постоянно уде-
лять внимание развитию таких ценных нравст-
венных качеств личности, как честность, на-
стойчивость и целеустремленность, творческая
активность и самостоятельность, ответствен
ность и трудолюбие.
Частью школьного математического образо-
вания является трудовое воспитание и профес
сиональная ориентация учащихся, развитие
качеств личности, составляющих основу умст-
венного труда, формирование у учащихся об-
щетрудовых и общеучебных умений.
Следует подчеркнуть, что в условиях стре-
мительною изменения характера трудовой
деятельности человека прочный фундамент
общенаучной, в частности математической
подготовки школьников, выступает как необхо-
димое условие совершенствования их трудо-
вой подготовки.
- В связи с реформой общеобразовательной и
профессиональной школы необходимо под-
нять на качественно новый уровень практиче-
скую и прикладную подготовку учащихся, вы-
рабатывать в процессе обучения математике
общетрудовые навыки и умения, имеющие по-
литехнический характер. Это означает, что
следует добиваться прочного владения на
уровне обязательных программных требова-
ний практическими навыками вычислений,
преобразования выражений, решения уравне-
ний и неравенств, измерений и постооений
и др. Необходимо усилить роль задач в обу-
чении как средства практического примене-
ния математической теории, чаще оперировать
реальными числовыми данными, Осилить вни-
мание к методам, имеющим практическую зна-
чимость. Прикладная, политехническая и
профессиональная ориентация обучения ма-
тематике предполагает систематическое рас-
крытие взаимосвязи теоретического и приклад-
ного аспектов курса, роли,’ места и возможно-
стей математических методов в науке, техни-
ке, производстве, в управлении народным хо-
зяйством. Чрезвычайно важное значение в
этом отношении имеет сформулированная в
8
постановлении ЦК КПСС и Совета Минист-
ров СССР о реформе школы задача вооруже-
ния учащихся знаниями и навыками исполь-
зования современной вычислительной техники,
обеспечение широкого применения микоо-
компьютеров в обучении.
Есть еще один аспект в решении сформули-
рованной в постановлении о реформе школы
задачи повышения качества учебно-воспита-
тельного процесса — повышение методическо-
”о уровня преподавания, совершенствование
урока — ключевого звена в классно-урочной
системе обучения.
Опыт показывает, что значительный резерв
повышения качества знаний учащихсй по ма-
тематике заключен в оптимальном планиро-
вании и построении системы уроков по каж-
дому разделу курса. Эффективность каждого
отдельного урока зависит от многих факторов,
но прежде всего от правильной, целенаправ-
ленной его организации. Определение конкрет-
ных целей обучения в системе уроков являет-
ся важнейшим условием эффективной органи-
зации учебного труда школьников. Отсутствие
четко поставленных целей делает урок аморф-
ным. случайным, не дает ожидаемых положи-
тельных результатов. Цели урока определяют
методы, формы, приемы обучения, используе-
мые в ходе его проведения. Любые действия
учителя должны отвечать достижению опреде-
ленных целей.
При постановке конкретных целей обучения
следует прежде всего исходить из требований
программы. Необходимо добиваться гаранти-
рованного достижения учащимися обяза-
тельных'программных требований. Иначе обу-
чать школьников таким базисным дисципли-
нам, как математика, нельзя: некачественное
усвоение программного, материала неминуемо
скажется на изучении последующих тем курса
математики и смежных дисциплин, приведет
к таким неприятным последствиям, как пере-
грузка, падение дисциплины учения.
Важным условием рациональной организа-
ции урока является дифференциация требова-
ний к усвоению учащимися основных и вто-
ростепенных и вспомогательных вопросов кур-
са. Вопросы, не включенные программой в чис
ло основных, не должны отрабатываться с той
же тщательностью, что и основные. Порою
в практике преподавания неоправданно много
внимания уделяется изучению второстепенно-
го и вспомогательного материала, наблюдает-
ся стремление довести до навыка решение
каждого типа упражнения. Все это приводит
к перегрузке учащихся и мешает достижению
основных целей обучения.
Аналогичного подхода следует придер ки-
ваться и при организации контроля за усвое-
нием учебного материала. Контроль и оценка
знаний учащихся являются одним из мощных
факторов, управления учебным процессом, не-
сут воспитывающие функции. Бессистемность
и стихийность контроля, включение в него слу-
чайного, второстепенного материала вызывают
у школьников неуверенность в своих силах,
не позволяют сделать вывод о реальной кар-
тине результатов обучения. Правильно орга-
низованный контроль должен быть ориентиро-
ван в первую очередь на проверку обязатель-
ных итоговых результатов обучения, причем
необходимо, чтобы учащимся были известны
требования, которые будут определять оценку
их достижений. Стиль работы учителя, когда
при изучении каждой темы ученик информи-
рован о том, что ему необходимо знать, какие
задачи он должен уметь решать для получения
минимальной положительной оценки, а какие
для более высокой, вносит необходимый орга-
низующий момент в учебный труд каждого
ученика, нормализует учебную нагрузку, спо-
собствует установлению спокойной деловой
обстановки.
Чрезвычайно важным моментом в планиро-
вании современного урока является определе-
ние роли и места самостоятельной работы
школьников.
Самостоятельная работа играет исключи-
тельно важную роль в обучении математике,
так как качество, глубина и прочность зияний
и умений школьников непосредственно зависят
от степени его активности в период их форми-
рования. Организация самостоятельной дея-
тельности школьников в период обучения спо-
собствует формированию активной и твооче-
ской личности. Однако организация самостоя-
тельной работы требует тщательного опреде-
ления ее целей, индивидуальною учета уровня
готовности учащихся, оптимального отбора
ее содержания. Самостоятельная работа
должна быть подготовлена предыдущей сов-
местной деятельностью учителя и ученика,
разумно сочетаться с другими видами дея-
тельности.
Таким образом, активное и продуманное ис-
пользование всего арсенала средств и мето-
дов, имеющихся в богатом учительском опыте,
широкая опора на программу при организация
учебно-воспитательного процесса способствуют
повышению научного уровня преподавания и
направляют преподавание на более полное
достижение основных общеобразовательных и
воспитательных целей обучения математике.
-.!
Ь
Ж МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
ТРЕБОВАНИЯ РЕФОРМЫ — В ЖИЗНЬ
МОСКОВСКИЕ ГОРОДСКИЕ
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ЧТЕНИЯ
«СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ТРУДОВОГО ВОСПИТАНИЯ,
ОБУЧЕНИЯ И ПРОФОРИЕНТАЦИИ УЧАЩИХСЯ»
Изучение и пропаганда
передового опыта учителей —
важное условие общих’-Успехов
Апрельский (1984 г.) Пленум ЦК КПСС, Ос-
новные направления реформы общеобразова-
тельной и профессиональной школы поставили
перед учительством ряд важных задач по по-
вышению качества обучения и воспитания
учащихся, их подготовке к труду в современ-
ных условиях. Решить эти задачи быстрыми
темпами невозможно без широкой пропаганды
передового опыта учителей. «Наука должна
активно и своевременно реагировать на все
прогрессивное, систематически обобщать пе-
редовой опыт, настойчиво бороться за его
внедрение» — отмечается в документах о ре-
форме школы.
Приведем некоторые формы работы кабине-
та математики Московского городского ИУУ
по изучению, обобщению и пропаганде пере-
дового педагогического опыта.
Ежегодно более 800 учителей математики
повышают свою квалификацию на различных
курсах ИУУ. В кабинете работают годичные
курсы для учителей дневных и вечерних (смен-
ных) школ; проблемные курсы: школа передо-
вого опыта, современный урок математики,
оптимизация учебно-воспитательного процесса
по математике; целевые курсы: для директо-
ров и их заместителей по учебно-воспитатель-
ной работе, по основам математической нау-
ки и факультативным занятиям в школе, для
резерва методистов, преподавателей ПТ У, для
учителей, ведущих работу по опытному внед-
рению учебника А. В. Погорелова с опереже-
нием на один год, для учителей, ведущих экс-
периментальную работу по учебникам МП
РСФСР и др.
Лекции по методике преподавания читают
методисты кабинета, районные методисты, за-
служенные учителя школы РСФСР, учителя-
ми тодисты, старшие учителя. Они хорошо
знают проблемы, волнующие учителей, требо-
вания к современному уроку, знакомят слуша-
телей с передовым опытом учителей.
Слушатели курсов посещают уроки лучших
учителей, на месте знакомятся с передовым
опытом; планируются лекции районных мето-
дистов об опыте работы учителей района.
Работа проблемных курсов «Современный
урок, оптимизация учебно-воспитательного
процесса по математике» направлена на со-
вершенствование форм и методов обучения
математике на основе достижений педагогиче-
ской науки, внедрения передового педагогиче-
ского опыта в практику работы школ.
Важным элементом работы курсов являет-
ся система семинарских занятий, на которых
обсуждаются различные проблемы, связанные
с процессом обучения математике, рассматри-
ваются различные варианты разработанных
слушателями планов уроков, методика само-
анализа урока.	*
Программой проблемных курсов «Школа
передового опыта» предусмотрены занятия на
базе опорных школ кабинета математики ин-
ститута. Слушатели курсов посещают уроки и
проводят их анализ. Учителя математики шко-
лы рассказывают о работе методического
объединения в борьбе за превращение школы
в образцовую, о конкретных делах по реализа-
ции задач реформы общеобразовательной
школы.
Мы придаем большое значение также рабо-
те целевых курсов «Резерв методистов и лек-
торского состава», так как деятельность этой
группы учителей также связана с проблемой
обобщения и внедрения передового опыта. Это
будущие районные методисты, лекторы каби-
нета в курсовой системе, руководители школ
пеоедового опыта на базе районов, кандидаты
на получение званий «старший учитель» и
«учитель-методист».
На ежемесячных вечерних лекциях-кон-
сульгациях по научно-методическим основам
изучения очередных тем программы внедряет-
ся новая форма проведения занятий и пропа-
ганды лучшего опыта. Под руководством со-
трудников кабинета математики института и
методиста Тушинского района Москвы осу-
ществляется показ лучшего опыта учителей
района.
Мы придаем большое значение работе с мо-
лодыми специалистами. На базе нескольких
районов Москвы организованы семинары
«Школа молодого учителя», слушатели кото-
рых посещают уроки опытных учителей. Под
руководством районных методистов проводит-
ся анализ этих уроков, обсуждается методика
комплексного планирования задач обучения,
а также конкретные проблемы, связанные
с осуществлением реформы школы. Работа
с молодыми учителями проводится на основе
10
совместного плана кабинета математики и ма-
тематического факультета МГПИ им. В. И. Ле-
нина.
Планируя работу по обобщению передового
опыта учителей в ближайшие два года, каби-
нет математики ориентируется в первую оче-
редь на проблемы, поставленные в материа-
лах о реформе школы, например: оптималь-
ный выбор содержания, форм и методов ра-
боты на уроках; формирование общеучебных
и специальных умений и навыков учащихся;
опыт применения лекционно-семинарского ме-
тода преподавания; формирование умений и
навыков учащихся в использовании микро-
калькуляторов и другой электронно-вычисли-
тельной техники; трудовое воспитание и про-
фессиональная ориентация учащихся в про-
цессе обучения математике; политехническая,
практическая направленность преподавания.
Участвуя в проведении экспериментальной
работы в школах Москвы по совместному
плану АПН СССР и Главного управления на-
родного образования Мосгорисполкома, со-
трудники кабинета оказывают учителям
практическую помощь в работе по обобщению
результатов эксперимента, опыта их работы.
Сотрудники кабинета изучают опыт луч-
ших учителей города и обобщают его. Так, в
1983/84 учебном году обобщен опыт Л. Ф Ле-
бедевой по трудовому воспитанию и профес-
сиональной ориентации учащихся, Л. В. Пет-
ровой по воспитанию экономного и бережного
отношения учащихся к народному достоянию,
Н. А. Гудовой по проблеме «Совершенствова-
ние обучения и коммунистического воспитания
учащихся на основе экспериментальных учеб-
ников МП РСФСР» (вместе с НИИ школ
РСФСР), С. М. Саврасовой по проблеме «Оп-
тимизация учебно-воспитательного процесса
по математике. Современный урок математи-
ки». Опубликована брошюра С. М. Саврасовой
(в соавторстве с методистом Ленинского роно
Г. А. Ястребинецким) «О работе с таблицами
на уроках геометрии в 6—8 классах». Таблицы
и рекомендации к ним составлены на основе
опытной работы по внедрению учебного посо-
бия А. В. Погорелова с опережением на один
год в школах Ленинского района Москвы.
Подготовлены рекомендации в помощь
районным методистам, отражающие опыт луч-
ших методистов по планированию работы.
В приложениях указан перечень материалов,
необходимых для изучения и обобщения опы-
та работы учителей, а также методических
объединений учителей математики и др.
На основе совместной работы методистов
районов и института составляется описание ин-
дивидуального и коллективного опыта учителей
по определенным проблемам.
Эффективной формой пропаганды и внед-
рения передового.опыта является систематиче-
ский выпуск кабинетом математики института
методических рекомендаций для учителей и
руководителей школ. В последние годы выпу-
щены две брошюры для учителей IX—X клас-
сов с углубленным изучением математики. Ме-
тодисты кабинета провели с авторами боль-
шую работу по подготовке материалов к пе-
чати.
Руководители школ Москвы в 1983/84 учеб-
ном году получили брошюру «Внутришколь-
ный контроль. Математика», написанную со-
трудниками кабинета на основе анализа и
обобщения лучшего опыта руководителей
школ по контролю за качественным выполне-
нием программы по математике, изучения
уровня знаний, умений и навыков учащихся,
организации-работы методического объедине-
ния учителей математики и ряда других во-
просов.
К началу 1984/85 учебного года вышла бро-
шюра «О проведении школьного и районного
туров олимпиады по математике для учащих-
ся школ Москвы», в которой приведены при-
мерная программа работы кружков для уча-
щихся IV—X классов с указанием соответ-
ствующей литературы, тексты школьного и
районного туров за 1971—1984 гг., краткие
указания или решения задач. Эти материалы
окажут помощь учителям в улучшении круж-
ковой работы.
Планируется изучение и пропаганда опыта
учителей, получающих в ходе аттестации зва-
ния «старший учитель», «учитель-методист»,
«заслуженный учитель школы РСФСР».
Участвуя в работе аттестационной комиссии,
сотрудники кабинета вместе с районными ме-
тодистами готовят обобщенные материалы
о работе этих учителей, в кабинете представ-
лен их опыт.
Готовясь к проведению городских педчте-
ний, сотрудники кабинета помогают учителям
обобщить свой опыт и подготовить доклад. На
педчтениях (март 1984 г.) выступил директор
НИИ СиМО АПН СССР В. М. Монахов. Он
рассказал о задачах учителей математики по
трудовому воспитанию, обучению и профессио-
нальной ориентации учащихся в свете требо-
ваний реформы школы. Доклады учителей
освещали различные пути повышения качества
обучения и коммунистического воспитания
учащихся: трудовое воспитание (старший учи-
тель шк. № 872 Красногвардейского р-на
Л. Ф Лебедева), профориентационная работа
(учитель шк. № 50 Дзержинского р-на Е. А.
Морозова, старший учитель шк. № 510 Крас-
ногвардейского р-на Н. П. Адамская); раз-
витие творческих способностей учащихся
(учитель шк. № 313 Бабушкинского р-иа В. Ф.
Иконникова}, комплексное цианирование за-
11
дач обучения (старший учитель шк. № 856 Со-
ветского р-на Е. С. Смирнова), воспитание
экономного и бережливого отношения школь-
ников к народному достоянию (старший учи-
тель шк. № 372 Куйбышевского р-на Л. В.
Петрова). Краткое содержание большинства
докладов учителей приводится ниже.
С. М. Саакян
Некоторые вопросы
трудового воспитания учащихся
в процессе обучения математике
Трудовое воспитание школьников в процессе
обучения математике проводит^ в различных
направлениях: воспитание умения и потребно-
сти учиться; формирование умений и навыков,
необходимых в практической деятельности;
развитие способности применять полученные
знания к решению практических задач.
Свою работу на уроках стараюсь строить
так, чтобы показать связь трудовых и умст-
венных навыков, которые вырабатываются в
процессе занятий математикой, с навыками,
необходимыми в различных профессиях. Это и
умение поставить задачу, и перевести конкрет-
ные понятия и явления и соотношения между
ними на язык математики, и овладение техни-
кой вычислений, и навык самостоятельного
творческого труда. Не забываю и о воспита-
нии и развитии у школьников внимательности
и аккуратности.
Большое значение придаю воспитанию мо-
лодого поколения в ду/е требовательности
к себе, к своим обязанностям в овладении
знаниями и умениями, в духе стремления
к творческому поиску. Для этого использую
богатые возможности, которые предоставляют
беседы с учащимися по истории математики.
На примерах творческой жизни ученых, исто-
рии их открытий можно привить учащимся ве-
ру в собственные силы, а также стремление
испытать эти силы в решении задач, возникаю-
щих перед современной наукой и производ-
ством.
Серьезный разговор о профессии учителя
математики, инженера-математика веду на
факультативных занятиях.
При подготовке к уроку или внеклассному
мероприятию стараюсь установить связь их
содержания с актуальными проблемами ком-
мунистического строительства в нашей стране.
Материалы XXVI съезда КПСС, других
партийных документов использую при объяс-
нении нового материала, привлекаю числовой
материал и для составления задач, в том чис-
ле силами учащихся. Умение школьников са-
мостоятельно использовать научную и полити-
ческую информацию способствует формирова-
нию их диалектико материалистического миро-
воззрения, коммунистической идейности. Спо-
собствуют этому и оформленные в кабинетах
математики стенды «Язык цифр», отражаю-
щие достижения нашей страны.
На уроках, если позволяет изучаемый ма-
териал, привожу примеры, непосредственно
связывающие математику с той или иной
профессией. В младших классах стараюсь
дать детям первоначальные знания о профес-
сиях и о том, какие навыки необходимы для
овладения ими. Так, при изучении законов
арифметических действий рассказываю, что
эти законы помогают быстрее и проще выпол-
нять различные вычисления, что необходимо,
например, бухгалтеру, кассиру, экономисту,
продавцу й т. д. Устные упражнения по этой
теме провожу в форме игры.
В старших классах учащиеся иллюстрируют
применение полученных на уроке теоретиче-
ских знаний конкретными примерами из опы-
та работы по своей профессии в УПК. Так,
при изучении темы «Параллельная проекция»
подчеркивается важность идеи стандартного
изобоажения пространственных фигур на пло-
скости. При этом упоминается ряд профессий:
токарь, слесарь, фрезеровщик, чертежник, кон-
структор, архитектор. При изучении темы «Эк-
стремумы функции» говорю с учащимися об
экономии материалов, об оптимальной работе
фрезерного станка, об экономной кройке. Про-
шу учащихся, изучающих в УПК профессии
фрезеровщика, столяра, швеи, подтвердить
эти мысли конкретными примерами.
В активной пропаганде рабочих профессий,
опирающейся на практику учащихся в УПК,
я вижу резервы в совершенствовании проф-
ориентационной работы, пути решения задачи
об укреплении связи обучения ц жизнью, по-
ставленной XXVI съездом КПСС, в материа-
лах апрельского (1984 г.) Пленума ЦК КПСС,
Основных направлениях реформы общеобразо-
вательной и профессиональной школы.
Большое поле деятельности для трудового
воспитания учащихся дает внеурочная работа.
Изучение стереометрического материала соче-
таю с заданиями по моделированию. Ученики
изготавливают в школьных мастерских модели
стереометрических фигур, модели к теоремам
и задачам, полученные при этом навыки не-
обходимы конструктору.
Силами учащихся оборудован кабинет мате-
матики, при этом на деле использовались зна-
ния, полученные в УПК. Стенды, ящики для
таблиц изготовили «столяры», оформление
стендов — забота «чертежников-оформителей»,
отпечатали материалы, помогли в составлении
карточек, систематизации материалов девоч-
12
ки, изучающие профессию секретаря-маши-
нистки. Итогом этой работы стало присвоение
кабинету звания «образцовый».
Во время экскурсий на базовое предприя-
тие, другие заводы, вычислительные центры, в
Политехнический музей учащиеся знакомятся
с ролью математики как средством решения
многих проблем организации производства,
ролью вычислительной математики. Итоги
экскурсий обсуждаются на уроках. В курсе
математики учащиеся знакомятся с различны-
ми алгоритмами (алгоритм сложения алгеб-
раических дробей, алгоритм нахождения про-
изводной и др.). В ходе экскурсий они видят,
например, как используются алгоритмы в ра-
боте программиста-оператора ЭВМ, мастера
по станкам с числовым программным управ-
лением.
Проводим также встречи с родителями —
передовиками труда, работниками базового
предприятия по темам: «Роль математики в
вашей профессии», «Ваш вклад в пятилетку».
Традиционным в школе стало проведение
математических чтений, на которых рассмат-
риваются работы учащихся по следующим
темам: «Связь математики с жизнью», «Мате-
матика в профессии твоих родителей». «Мате-
матика й твоя будущая профессия», «Матема-
тика и твоя профессия в УПК».
Я затронула лишь некоторые вопросы тру-
дового воспитания учащихся в процессе обу-
чения математике. Они говорят о том, что в
школе сложилась определенная система такой
работы. Велика роль в этом методического
объединения учителей математики, которое
направляет свою работу на освоение передо-
вого опыта, на создание творческой атмосфе-
ры в коллективе.
Л. Ф. Лебедева
Профессиональная
ориентация учащихся
при обучении математике
Работа по профориентации при изучении ма-
тематики должна вестись как на уроках, так
и во внеурочное время. В процессе изучения
основного материала следует знакомить уча-
щихся с миром профессий, где требуются зна-
ния математики, перспективами их развития.
Заинтересованность в математическом обра-
зовании и развитие профессиональных интере-
сов— это две взаимообуславливающие друг
друга стороны единого процесса познания.
В решении задачи профориентации сред-
ствами учебного предмета математики хочет-
ся выделить два направления. Первое — это
работа по профориентации через само содер-
жание предмета, т. е. через тот материал, ко-
торым должен владеть каждый для продолже-
ния своей трудовой деятельности. Второе —
это работа по решению задач производствен-
ного содержания, причем задач не придуман-
ных, а возникающих на самом деле, имеющих
определенное профориентационное .содержа-
ние.
Мы должны сформировать у каждого
школьника четкие представления о природе
математических знаний, специфике математи-
ческих методов, позволяющих применять их
в различных областях человеческой деятель-
ности, о месте математики в системе наук, об-
ществе, производстве, повседневной жизни.
Ведь математика, как никакая другая наука,
развивает логическое мышление учащихся,
умение находить оптимальные варианты.
Лабораторные и практические работы, уро-
ки труда и производственная практика в УПК
требуют от учащихся владения математиче-
скими методами решения задач определенно-
го типа, присущих той или иной профессии.
Использование приемов геометрических пост-
роений с помощью циркуля и линейки, актив-
ное использование измерительных инструмен-
тов, формул расчетов при изготовлении дета-
лей, моделировании, при подсчете рентабель-
ности изделий, рационального расхода сырья
и т. п.— вот далеко не полный перечень прак-
тических умений, которыми овладевают уча-
щиеся на наших уроках.
- Многие учащиеся сейчас пользуются каль-
куляторами. Поэтому учителю необходимо об-
ратить внимание на работу с этим прибором,
учить применять его при решении различных
задач. Ведь микрокалькулятор мы сейчас мо-
жем видеть в руках продавца и экономиста,
инженера и провизора, строителя и повара
и т. д.
И, конечно, долгом каждого учителя мате-
матики является работа по поиску и отбору
учащихся, интересующихся математикой и
проявляющих определенные склонности к это-
му предмету.
Работа по профориентации очень длительна
и кропотлива, и только проводя ее системати-
чески, и на уроках, и во внеурочное время,
можно достичь каких-либо результатов. Толь-
ко такая деятельность оправдывает себя, и
ученик находит профессию, которая ему по
душе.
Особое внимание мы уделяем формирова-
нию у учащихся чувства общественного долга,
сознания необходимости пойти работать туда,
где в этом ощущается острая необходимость.
Развитие склонностей и способностей под-
ростка может привести к формированию у не-
го устойчивых интересов к профессиональной
13
направленности и в конце концов к созна-
тельному выбору профессий.
Этому может способствовать только творче-
ская работа всего педагогического коллекти-
ва и каждого учителя в отдельности.
£. А. Морозова
Воспитание экономного
и бережного отношения школьников
к народному достоянию
Воспитание бережливости, воспитание пол пив-
ных хозяев своей страны начинается в семье и
продолжается в школе. Многое в успешном
решении этой проблемы зависит от нас, учите-
лей, воспитателей, от боевитости пионерской
и комсомольской организаций. Экономические
знания, умения и навыки учащихся форми-
руются последовательно и систематически
прежде всего при изучении основ наук При-
нято считать, чго наиболее благоприятными
для воспитания у учащихся коммунистических
убеждений являются уроки истории, геогра-
фии, литературы. И это понятно, так как
именно на этих уроках можно органически
увязать изучаемое с действительностью. Одна-
ко лаконичный математический язык цифр и
фактов не менее эмоционален И порою наибо-
лее понятен и убецителен. Поэтому использо-
вание на уроках математики задач с экономи-
ческим содержанием дает весьма ощутимые
результаты. Урок становится живым, интерес-
ным, у учащихся формируются умения само-
стоятельно пополнять знания, ориентироваться
в стремительном потоке научной И политиче-
ской информации. При этпм Нет необходимо-
сти искусственно вставлять в урок такой ма
териал. Но очень важно, чтобы он был тща-
тельно подобран, обработан в соответствии
с Поставленной Целью и возрастом Детей, кра-
сочно оформлен.
Учителя математики нашей школы состави-
ли сборник задач экономического содержания,
который используют в своей работе учителя-
Предметникн. Математический Материал, ко-
торый изучается в IV-—V классах, дает боль-
шой простор для составления задач, отражаю-
щих вопросы экономии и бережливости. На
таких задачах учащиеся Не ‘только тренируют-
ся в действиях' с натуральными и дробными
числами, процентами, решение этих задач обо-
стряет Практическую направленность обуче-
ния, содействует выработке активной жизнен-
ной позиции, знакомит С Экономической
жизнью страны, учит бережному отношению
к народном}' достоянию.
Так, например, учащимся V класса предла-
гается на основании цифрового материала,
взятого из периодической печати, составить
задачу, записав ее*условие и решение. На сле-
дующем уроке 2—3 ученика зачитывают со-
ставленные задачи, а учитель вместе с клас-
сом комментирует их, выделяя моменты эконо-
мии и бережливости. Наиболее удачные зада-
чи используются затем при повторении.
Другой способ составления задач — по го-
товым плакатам, изготовленным для кабинета
математики учащимися старших классов. Вот
плакат «Математика в подъезде»: яркий, кра-
сочный рисунок и броский крупный шрифт
привлекают внимание, заставляют оценить
свое поведение в общественных местах, на
улице. Учащимся предлагается составить
смету ремонта своего подъезда, используя
данные плаката. Полученные результаты ком-
ментируются на уроке, делаются, выводы о бе-
режном отношении к народному добру.
Особый интерес вызывают у детей практиче-
ские работы, выполняя которые они самостоя-
тельно или с помощью родителей могут под-
считать экономию электроэнергии или пище-
вых продуктов в семье, утечку воды из неис-
правных кранов, поговорить о семейном бюд-
жете. Эти задания заставляют ребят обратить-
ся к трудовому опыту родителей, ближе по-
знакомиться с их профессией, спецификой
предприятий, на которых они работают. Полу-
ченные результаты не всегда можно обрабо-
тать на уроках, поэтому на ЛЬлитинфОрма-
циях, классных часах, факультативах, круж-
ках продолжаем анализировать, сравнивать,
делать выводы
С целью вовлечения родителей в работу по
бережливости и приобретению учащимися ин-
тересной информации дети пишут домашние
сочинения на темы: «Моя. семья в операции
„Бережливость"», «Хлеб — всему голова»,
«Мой личный вклад в экономию», «Личный
вклад моих родителей и предприятия, на кото-
ром они работают, в государственную копилку
экономии».
Лучшие сочинения зачитываются на уроке,
данные используем для составления задач и
внеклассной работы.
Проводя со старшими учащимися экскурсии
на предприятия района, обращаем их Внима-
ние не только на суть производства, но и на
цифровой материал, который затем исполь-
зуем в различных видах работы
Таким образом, на уроках и но внеурочной
работе школьники получзют информацию об
экономической жизни страны, своего района,
своей семьи, учатся понимать, что в основе
повышения жизненного уровня советских лю-
дей лежит добросовестный труд и бережное
отношение к народному дсбру.
Л. В. Петрова
14
Комплексное планирование
задач обучения
Основной формой орюниЗации учебно-воспи-
тательного процесса был и остается урок,
урок тщательно подготовленный, на котором
наиболее полно «реализуются обучающие, вос-
питывающие и развивающие возможности со-
держания и методов образования». Эффектив-
ность каждого урока — это эффективность
учебно-воспитательного Процесса в целом.
И учитель должен сделать все, чтобы учебно-
воспитательный процесс был на уровне време-
ни, чтобы он позволил получить наилучшие
для данных конкретных условий результаты,
т. е. чтобы он бып оптимальным. Большое
значение в достижении таких результатов
имеет комплексное планирование задач обу-
чения и воспитания, включающее следующие
этапы: отбор и конкретизация содержания
обучения; отбор форм и методов обучения;
подготовка материалов для внеклассной рабо-
ты; отбор ТСО и других средств наглядности;
выработка программы действий по привитию
учащимся рациональной организации учебно-
го труда на уроке и во внеурочное время; от-
бор материалов по самообразованию.
Прежде всего необходимо систематизиро-
вать методическую и педагогическую литера-
туру в своей личной библиотеке. Затем подго-
товить тетрадь тематического планирования,
 которой будет накапливаться основная ин-
формация для работы над каждой темой кур-
са. 3 начале тетради помещается пронумеро-
ванный список методических пособий, которы-
ми учитель будет пользоваться. В другой тет-
ради выписываются названия всех экпанных
средств наглядности, каждое под своим номе-
ром. (Впоследствии для краткости в тетрадях
тематического планирования будут указывать-
ся только номера пособия или экранного
средства.) Заполняются Тетради или альбомы
с покадровой описью всех имеющихся в нали-
чии диафильмов, диапозитивов, кодопозитивов,
кинофрагментов; здесь же указывается лите-
ратура, где такая опись осуществлена. Выде-
ляются тетради Для материалов факультатив-
ных занятий, кружков; задач повышенной
сложности по курсу; сбора материалов по
формированию у учащихся навыков рацио-
нальной организации труда; подбора материа-
лов к работе над методической темой по са-
мообразованию; замечаний по курсу (своеоб-
разная «копилка» педагогическою опыта; сю-
да можно записывать и о групповом методе
обучения, и об озвучивании диафильмов, об
управляемых самостоятельных работах,
а также о том, 1де можно прочитать об
устройстве кадрирующей рамки для кодоско-
па и о приставке для кодоскопа и т. д.Д
После такой предварительной работы учи-
тель может приступить к более глубокому изу-
чению материалов и заполнению указанных
тетрадей и альбомов, причем заполнение всех
тетрадей должно вестись параллельно. Мате;
риалы одной и той же книги могут быть ис-
пользованы и на уроках, и на факультативных
занятиях, и для индивидуальных заданий
сильным учащимся, следовательно, они долж-
ны быть записаны в соответствующие тетради.
При такой работе учитель ведет целенаправ-
ленную подготовку различных направлений
учебно-воспитательного процесса.
Тетрадь тематического планирования мож-
но заполнять в виде таблицы.
Тема	Класс. . .
« 5
Литература
ТСО
Другие средства
наглядности
В разделе «Отбор и конкретизация содер-
жания обучения» выделяются главные мате-
матические идеи отдельных уроков, необходи-
мый минимум знаний, объем информации на
уроках, во внеурочное время, системы упраж-
нений для различных целей, тренировочный
материал для дифференцированного подхода
к учащимся, системы упражнений различных
уровней трудности, разработки творческих за-
даний, материалы для обобщающих и зачет-
ных уроков, для моделирования и других
практических заданий.
Продумывая план проведения уроков по
той или иной теме, учитель должен преду-
смотреть комплексное применение пособий,
вскрыть связь между ними, определить место
каждого из них (в связи с этим интересно от-
метить методику использования учебно-мегс-
дических комплексов, которая описана в № I
журнала «Математика в школе» за 1983 Г. на
с. 6). Конечно, следует продуманно относиться
к использованию средств нарядности, ТСО и
работать лишь с теми, которые позволяют
экономить время, дают необходимый педаго-
гический эффект в данном классе.
Для достижения максимальной эффективно-
сти работы необходим оперативный анализ
достигнутых результатов и материалов ис-
пользуемой литературы. Вот почему в тетра-
дях тематического планирования следует вве-
сти раздел «Выводы учителя», где записы-
15
ваются замечания по использованию литера-
туры, раскрывающей содержание, формы и
методы, средства обучения.
Реформа школы требует предельно четкого
изложения ведущих идей и основных понятий
курса. Поэтому учителю необходимо, плани-
руя учебно-воспитательный процесс в целом,
определить содержание тетради учащихся
для систематизации материала по курсу (ал-
гебры, геометрии, математики). В ней содер-
жится материал всего курса, но к одним те-
мам предлагается план изложения, к дру-
гим— конспект или сводная таблица или ал-
горитм, а также образцы выполнения основ-
ных упражнений и задач. При систематизации
материала особое внимание уделяется обоб-
щающим урокам, к которым в тетради дают-
ся вопросы по всей теме, систематизируются
методы решения уравнений и неравенств, ука-
зываются темы рефератов, задания для учеб-
ных встреч между классами, объем материала
для зачета по теме, литература.
Тетради для систематизации материала уча-
щихся младших классов начинаются с памя-
ток о работе с учебником, о составлении пла-
на, о составлении конспекта, о приемах запо-
минания и воспроизведения учебного материа-
ла и пр. Здесь много схем, таблиц, правил.
Отметидо, что комплексное планирование
учебно-воспитательного процесса немыслимо
без целенаправленного изучения личности
школьников, классных коллективов. Учителю
необходимо подобрать литературу для работы
и в этом направлении.
Комплексно планируя весь учебный про-
цесс, необходимо продумать многие стороны
работы. Это и подбор тем для обсуждения на
методобъединенин, вопросы переоборудования
кабинета, подбор материала к обобщающим
урокам по теме, усиление практической на-
правленности преподавания и др.
При такой работе учитель будет вооружен
большим арсеналом средств и методов обуче-
ния, опытом учителей многих поколений. Твор-
ческое их применение позволит ему создать
свои систему работы, в которой учитывались
бы индивидуальные возможности каждого уче-
ника и самого учителя, добиться оптимального
варианта учебно-воспитательного процесса.
3 заключение необходимо сказать, что
комплексная подготовка учебно-воспитатель-
ного процесса, всех задач обучения позволяет
в значительной мере сократить процесс при-
обретения учителем профессионализма, высо-
кого уровня компетентности, овладения им
теорией и методикой оптимизации, а все это
является одной из важнейших предпосылок
повышения качества обучения и воспитания
учащихся. От личности учителя, от его теоре-
тической и практической подготовки, от его
добросовестности и профессионализма, от его
политической зрелости зависит успешное ре-
шение задач, поставленных партией и юсу-
дарством перед советской школой.
Е. С Смирнова
Внеклассная работа
как средство развития
творческих способностей учащихся
/
Одна из основных задач внеклассной воспита-
тельной работы заключается в том, чтобы
каждый ученик мог найти приложение своим
силам, развить свои творческие способности.
Советская школа накопила богатый опыт
ведения внеклассной воспитательной работы
В последние годы возникли новые ее формы:
организация клубов, проведение недель того
или иного предмета. Получили дальнейшее
развитие многие, ставшие уже традиционными
формы работы: факультативы, кружки, олим-
пиады, вечера, экскурсии.
По своему содержанию внеклассная работа
строго не регламентирована. Однако при под-
боре материала для внеклассных занятий сле-
дует учитывать знания и умения учащихся.
И хотя непосредственная связь с текущим
программным материалом не обязательна,
внеклассная работа должна его дополнять,
’способствовать более глубокому усвоению
учащимися основного материала.
Главное значение различных видов вне-
классной работы по математике состоит в том,
что она помогает усилить интерес учащихся
к этому предмету, содействует развитию их
математических способностей. Устойчивый ин-
терес в нашей школе к внеклассной работе по
математике и к самой математике поддержи-
вается тем, что эта работа проводится систе-
матически, а не от случая к случаю. Центром
ее является кабинет математики. В кабинете
есть обширная математическая библиотека,
которой учащиеся пользуются для подбора
материала в стенную газету, на занятиях
кружка, факультатива, для индивидуальной
работы, для подготовки математических вече-
ров и других мероприятий.
Одной из форм внеклассной работы по ма-
тематике в нашей школе является проведение
недель математики. Для младших школьников
организуется КВМ (-клуб веселых математи-
ков). При подготовке к КВМ от каждой па-
раллели выбирается команда из 8—10 чело-
век. Остальные учащиеся составляю’!' команды
болельщиков. Каждая команда заранее полу-
чает домашнее задание: подготовить эмблему
16
команды, приветствие для команд соперников,
сочинить стихотворения о математике. После
приветствия команд и разминки проводятся
конкурсы, для внимательных, для капитанов,
для всей команды, для болельщиков, кон-
курс— контрольная работа. На все эго затра-
чивается-45 мин. Результаты' конкурсов оце-
нивает по пятибалльной системе жюри, члены
которого— учащиеся старших классов. Из
опыта проведения КВМ можно с уверенностью
сказать, что этот вид работы вызывает у ребят
большой интерес. Задачи-шутки, игровые си-
туации, веселые соревнования — все это увле-
кает школьников и ненавязчиво прививает им
интерес к предмету.
Для учащихся старших классов в эту неде-
лю проводится конференция, на которую при-
глашаются преподаватели втузов, студенты.
Учащиеся открывают конференцию доклада-
ми о математике. Преподаватели втузов рас-
сказывают о своем институте, о правилах
приема, о роли математики в профессии ин-
женера. Студенты делятся опытом учебы в
школе, институте, отвечают на вопросы ребят.
Проведение таких конференций помогает
школе в профориентационной работе.
Во время проведения недели старшекласс-
ники пишут сочинения о математике на раз-
личные темы, например: «Математика и био-
логия», «Математика и игры», «Математика и
туризм» и др.
В эти же дни в школе проходят олимпиады,
совершаются экскурсии в отдел техники Поли-
технического музея, выпускаются стенгазеты,
проводятся выставки работ и пособий, выпол-
ненных учащимися. Завершается неделя под-
ведением итогов, о которых сообщается в спе-
циальном объявлении.
Интересная и продуманная система вне-
классной работы по математике, как и по дру-
гим предметам, является частью той огромной
работы, которая поможет решить важнейшую,
непреходящую задачу советской школы — да-
вать подрастающему поколению глубокие и
прочные знания основ наук, вырабатывать на-
выки и умения, применять их на практике.
В. Ф. Иконникова
ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ ПО УЧЕБНОМУ
ПОСОБИЮ А. В. ПОГОРЕЛОВА
К началу обучения геометрии
в* VIII классе
по новому учебному пособию1
§ 12.	Многоугольники (12 ч)
Основной материал параграфа посвящен рас-
смотрению выпуклых многоугольников (впи-
санных в окружность, описанных около
окружности, правильных) и их свойств. Здесь
же выводится широко применяющаяся в прак-
тике формула длины окружности. При ее вы-
воде используется метод, основанный на рас-
смотрении периметров вписанных в окруж-
ность правильных многоугольников, неявно
использующий предельный переход. Понятие
«длина окружности» вводится на уровне на-
глядных представлений. При доказательстве
теоремы об отношении длины окружности к ее
диаметру используется довольно очевидный
факт, что длина окружности сколь угодно ма-
ло отличается от периметра вписанного в нее
выпуклого многоугольника с достаточно ма-
лыми сторонами.
В последнем пункте вводится понятие «цент-
ральный угол» (через понятие «плоский угол»,
являющееся здесь вспомогательным). После
установления взаимно однозначного соответст-
вия между центральными углами и соответст-
вующими им дугами окружности выводится
формула длины дуги окружности, отвечающей
центральному углу в п°. В конце параграфа
дается определение радианной меры угла и
выводится соотношение между радианной и
градусной мерами угла.
Ломаная (1 ч) 2
Комментарий для учителя
1°. Назначение пункта — ввести понятие ло-
маной (в том числе простой) и ее длины, до-
казать теорему о длине ломгной, которая яв-
ляется обобщением неравенства треугольника;
напомнить его учащимся можно непосредст-
венно в ходе проведения доказательства тео-
ремы.
__________ *
1	Продолжение. Начало см. в № 3—5 журнала «Ма-
тематика ь школе:- за 1984 г.
2	Предлагается в этот час включить и изучение по-
нятия замкнутой ломаной из пуша а «Выпуклые мно-
гоугольники».
2 Матемитшы в школ* № 6
17
z 2°. В результате изучения пункта учащиеся
должны знать свойство длины ломаной; уметь
изображать ломаную, называть по рисунку ее
элементы, проводить доказательство теоремы
12.1 3.
3°. К данному пункту относятся вопросы для
повторения 1, 2, задачи 1—3, 7.
‘ Методические рекомендации
к изучению материала
1°. Знакомство учащихся с понятием «лома-
ная» сопровождается обращением к рисунку
(например, рис. 184 учебного пособия), пока-
зываются вершины, звенья, концы ломаной.
С помощью этого же рисунка вводится поня
тие «простая ломаная». Учащимся сообщает-
ся, что в дальнейшем будут рассматриваться
только простые ломаные.
2°. После определения длины ломаной мож-
но предложить учащимся устно по готовому
рисунку (рис. I) найти длину ломаной
AjAiAsAiAsAs, где Ah А2, А3, А^ —вершины
квадрата со стороной 2 см, Д5 — точка пересе-
чения его диагоналей, Д6— середина стороны
3°. Сформулэдював теорему 12.1, учитель
обращает внимание учащихся на то, чти она
является обобщением известного им неравен-
ства треугольника. В ходе доказательства
теоремы следует использовать рисунок (см.
рис. 2).
Для усвоения и закрепления введенной тер-
минологии и теоремы 12.1 можно решить до-
полнительные задачи 1 —3.
Примерное планирование изучения
материала пункта
На изучение материала Отводится 1 урок.
В классе — познакомить учащихся с по-
нятиями «ломаная», «простая ломаная», «дли-
на ломаной», провести доказательство теоре-
мы 12.1, р'-щить задачу 3, дополнительные за-
дали 1, 2, ввести понятие «замкнутая лома-
* В этой рубрике по каждому пункту определяется
минимум требований, которые следует предъявлять веем
учащимся в ходе изучения текущего материала.
ная»4, решить задачу 4, дополнительную за-
дачу 1 к п. «Выпуклые многоугольники»; до-
ма— вопросы для повторения 1, 2, задачи 5,
6, дополнительную задачу 3.
Указания к решению задач
2. Задача повышенной трудности; предла-
гать ее можно в качестве дополнительной
наиболее подготовленным учащимся или на
факультативных занятиях
Сначала надо выяснить взаимное располо-
жение окружностей и сделать рисунок. Из ис-
ходного неравенства d<zRi—Rz получаем, что
Ri>Rz-}-d, поэтому Rt>R2 и RC>d. По-
строим окружность с радиусом Ri. Из послед-
него неравенства следует, что центр О2 второй
окружности находится внутри первой окруж-
ности. Из неравенства Ri>R2-\-d получаем,
что окружность с центром О2 лежит внутри
окружности с центром Oi, например так, как
на рис. 3.
Далее рассматриваются две ломаные
XO[O2Y и ХУО2О1 (рис. 4). Для ломаной
XOtO2Y X Y ^ZRl-\-d-}-R2 (теорема 12.1)’. Так
как А С—Rt -f-d-f- R2, то наибольшее расстоя-
ние между точками окружностей равно
^+^1+^2, это будет в том случае, когда точ-
ки X и У занимают положение точек А и С.
Для ломаной XYO2Oi XO^XY+R^d (по
теореме 12.1), т. е. Ri^XY-[-R2-{-d и XY^
~^R\—R2—d. Так как CD—th—R2—d, то наи-
.меньшее расстояние между точками окружно-
сти равно Rt—R2—d; в этом случае точки X и
У занимают положение точек D и С.
3. В условии имеется в виду, что хотя бы
три вершины ломаной не лежат на одной пря-
мой. Проведем отрезок, соединяющий ее кон-
цы Д1 и Ап. По условию найдется хотя бы од-
на вершина, не лежащая на прямой Д,ДП.
Обозначим такую вершину через Дй и соеди-
ним ее отрезками с концами ломаной (рис. 5),
тогда на основании неравенства треугольника
Д |ДлЧ~Д*Дп>Д >Дп-	(1)
4 Материал о замкнутой ломаной см в теме
«Выпуклые многоугольники» методические рекоменда-
ции (фрагмент Г), указания к решению задач 4 6,
дополнительную задачу 1.
18
. Далее рассматриваем две ломаные А|А2.. .Ah
и AnAk+i...An. По теореме 12.1 справедливы
неравенства:
AtAs-pAsAa^-p.. .^J-Ak-iAk^AiA/, и
AkAt^-i-J-—-j-An-iAn^AhAn.
Сложив почленно записанные неравенства, по-
лучим, что Д1Л2+А2Лз+...+Ап_1Лп^Л1Ял-[-'
+А*Ап. На основании строгого неравенства (1)
. получим тоже строгое неравенство
А1А2+А3А3--Н. .4-Ап-1Ап> AjA п»
После решения задачи уместно привести
пример простой ломаной, все вершины кото-
рой лежат на одной прямой, и пояснить, что
только в этом случае длина ломаной равна
длине отрезка, соединяющего ее концы.
7. Требуется доказать, что если концы ло-
маной лежат по разные стороны от прямой, то
у прямой и ломаной найдется хотя бы одна
общая точка. Пусть прямая а разбивает плос-
кость на две полуплоскости а> и а2, в которых
лежат концы А, и Ап ломаной AiA2A3. ..Ап.
Пусть А| С аь Ап£ а2. Каждая из осталь-
ных' вершин принадлежит одной из полуплос-
костей или прямой а. Если, например, А2£ а2,
то отрезок А,А2 пересечет прямую а; если
А2 Е а, то Д2 является общей точкой прямой и
ломаной. Если А2€ «ь перейдем к рассмотре-
нию вершины А3 и повторим те же рассужде-
ния. Если А3 € то перейдем к рассмотре-
нию вершины Д4 и т. д. Число вершин лома-
 )й конечно, и мы дойдем До вершины Ап-ь
Если среди ^вершин Д2, А3, .... An-i не найдет-
ся ни одной, которая бы лежала в а2 или на
прямой а, то в этом случае отрезок An-iAn
пересечет прямую а.
Дополнительные задачи
1.	Дбкажите устно, что длина ломаной
ABCDEK (рис. 6) больше длины ломаной
А О К.
2.	Дана ломаная ABCD: АВ—3 см, ВС—\
~4 см, CD=2 см. Может ли длина отрезка
AD быть равной а) 10 см-, б) 7 см-, в) 9 см?
3.	Докажите, что длина ломаной ABCD
(рис. 7) больше длины ломаной AKHD.
4.	Какая из ломаных ABCDGH, ABCEGH,
АКМН на рис. 8 имеет наименьшую длину, ка*
кая — наибольшую? Ответ обосновать.
5.	Докажите, что длина ломаной ABCD
больше длины ломаной AEGD (рис. 9)7
Выпуклые многоугольники (2 ч)
Комментарий для учителя
Г. Понятие «многоугольник» является обоб-
щением хорошо- известных учащимся понятий
треугольника и четырехугольника, поэтому со-
ответствующая терминология (вершины, сто-
роны, диагонали многоугольника, угол вы-
пуклого многоугольника) будет воспринимать-
ся ими как уже знакомая. Понятие «замкну-
тая ломаная» является вспомогательным и слу-
жит лишь для введения понятия «многоуголь-
ник» 5.
Следует сказать учащимся, что далее будут
рассматриваться только выпуклые многоуголь-
ники, и обратить их внимание на то, что и
изучавшиеся ранее многоугольники (треуголь-
ник, параллелограмм, трапеция) — выпуклые.
Оговорка в определении выпуклого много-
угольника «Сама прямая считается принадле-
жащей полуплоскости» позволяет говорить,
что многоугольник лежит в одной полуплоско-
сти относительно прямой, содержащей его сто-
рону.
2 . В результате изучения пункта учащиеся
должны знать, что сумма углов выпуклого
л-угольника равна 180°(л—2), а сумма внеш-
них углив выпуклого л-угольника равна 360°;
уметь чертить многоугольник (выпуклый),
показывать его вершины, стороны, внутренние
углы, строить диагонали, внешние углы, дока-
зывать теорему о сумме углов выпуклого л-
угольника,, решать задачи типа 5, 6, 10 (9)6 *.
3°. К данному пункту относятся вопросы для
повторения 3—6, задачи 4—6, 8(16), 10(9).
Методические рекомендации
к изучению материала
1°. Введение понятия «замкнутая ломаная»
сопровождается рисунком, на котором к лома-
ной добавляется отрезок, соединяющий ее кон-
цы. С опорой на этот рисунок можно ввести
понятия многоугольника и его элементов.
При ознакомлении учащихся с понятием
6 Это понятие рассматривается ранее вместе с .ма-
териалом пункта «Ломаная».
6 Здесь и Aaj.ee в скобках указаны номере соот-
ветствующих задач учебного пособия издания 1982 с.
19
Рис. 10
«плоский многоугольник» достаточно привести
рис. 187 учебного пособия й пояснить, что это
понятие потребуется, когда будут изучаться
площади геометрических фигур.
2°. Понятие «выпуклый многоугольник»
можно ввести с помощью рисунка, на котором
изображены выпуклый и невыпуклый много-
угольники (см., например, рис. 10); можно
использовать и рис. 188 из учебного пособия,
выделив на нем соответствующие полуплоско-
сти.
Для закрепления нового понятия целесооб-
разно предложить учащимся назвать извест-
ные нм выпуклые многоугольники (треуголь-
ник, изученные четырехугольники). Полезно
обратить их внимание на то, что все треуголь-
ники являются выпуклыми, но уже четырех-
угольники бывают как выпуклые, так и не-
выпуклые.
3°. Так как для доказательства теоремы 12.2
важным является понимание того, что из лю-
бой вершины выпуклого п-угольника можно
провести п—3 диагонали и что они разбивают
его на п—2 треугольника, то перед ее рассмот-
рением полезно решить устно по рисунку сле-
дующие задачи.
1. Сколько диагоналей можно провести из
одной вершины n-угольника, если: а) п—4; .
б) п=5; в) п=6; г) п — произвольное?
2 Из одной вершины выпуклого п-угольни-
ка проведены все его диагонали. Сколько при
этом образуется треугольников, если: а) п=
= 4; б) п=5; в) п=6; г) п — произвольное?
После решения этих задач формулируется
и доказывается теорема 12.2. На применение
выведенной формулы полезно решить допол-
нительные задачи 2—4.
4°. Понятие внешнего угла выпуклого мно-
гоугольника при данной вершине можно вве-
сти с помощью рисунка, на котором все внеш-
ние углы выделены (см. рис. И,о}. Здесь же
следует отметить, что при каждой вершине
имеется два внешних угла; они равны между
собой, поэтому достаточно рассматривать один
из них (рис. 11,6). Вывод формулы суммы
внешних углов выпуклого n-угольника (в за-
даче 9(8) учебного пособия) проводится с опо-
рой на рисунок
Полезно обратить внимание учащихся на
то, что сумма внутренних углов выпуклого
n-угольника зависит от числа сторон, сумма
же внешних углов одинакова для всех много-
угольников.
Для закрепления понятия «внешний угол
выпуклого многоугольника» и выведенной
формулы полезно решить (устно по рисунку)
следующее упражнение. Муха ползет по мно-
'гоугольной рамке из точки А (рис. 12). Чему
будет равна сумма углов ее поворотов, когда
она снова попадет в точку А? [Сумма углов
поворотов мухи равна сумме внешних углов
выпуклого n-угольника, взятых по одному при
каждой вершине, т. е. 360°.]
Примерное планирование изучения
материала пункта и понятия
•правильный многоугольник»
На изучение материала отводится 2 урока.
На первом уроке в классе ввести поня-
тия многоугольника, вершин, сторон, диагона-
лей многоугольника, выпуклого многоугольни-
ка, угла выпуклого многоугольника при дан-
ной вершине, доказать теорему 12.2, решить
дополнительные задачи 2—4, 6, задачу 8(16);
дома — вопросы для повторения 3, 4, 6, за-
дачу 10(9), дополнительные задачи 5, 7.
На втором уроке в классе познакомить
учащихся с понятием внешнего угла выпукло-
го многоугольника, решить задачу 9(8), вве-
сти понятие правильного многоугольника7,
решить задачи’ 11(1) (10(1)), 12(1) (11(1)),
дополнительные задачи 8—10, дополнитель-
ные задачи к п. «Правильные многоугольни-
ки» 1(1, 2), 2(1, 2), 3(1); дома — вопрос для
повторения 5, задачи 11(2) (10(2)), 12(2)
(11(2)), дополнительные задачи 11, 12, допол-
нительные задачи к п. «Правильные много-
угольники^ 1(3, 4), 2(3, 4), 3(2, 3).
Указания к решению задач
4	Пусть AiA2. ..Ап — замкнутая ломаная
длины /; Ац и Ат — две ее произвольные вер-
шины (рис. 13), которые разделяют замкну-
тую ломаную на две ломаные длиной /| и /2. * 12
7 По вопросу введении этого понятия см в теме
«Правильные многоугольники» методические рекомен-
дации (фрагмент Г), указания к решению задач 11,
12, дополнительные задачи I—3.
20
Для них по Теореме 12.1 верны неравенства
и, АкАт^12, причем 71+72=/-
Сложив неравенства почленно и разделив обе
части на 2, получим требуемое неравенство.
5.	Решение вытекает непосредственно из
теоремы 12.1.
6.	Не может, так как длина одного звена
больше суммы длин остальных (11 >1+2+,
+3+4), что противоречит теореме 12.1.
Дополнительные задачи
1.	Может ли пятиугольник иметь стороны
длиной 3 см, 4 см, 6 см, 8 см, 25 см?
2.	Вычислите сумму углов выпуклого а) пя-
тиугольника; б) десятиугольника.
3.	Проверьте справедливость теоремы 12.2
для треугольника.
4.	Сколько сторон умеет п-угольник, если
сумма его внутренних углов равна а) 1260°;
б) 1980°^
5.	В п-угольнике все внутренние углы рав-
ны между собой. । Может ли сумма внутрен-
них углов такого п-угольника равняться
а) 360°; б) 380°? [а) Может при л=4; б) не
может, так как уравнение 180°(п—2) = 360° не
имеет целого корня.]
6.	Найдите углы выпуклого четырехугольни-
ка, если их градусные меры пропорциональны
числам 1, 2, 2, 4.
7.	Докажите, что не существует многоуголь-
ника, число диагоналей которого а) 3; б) 4.
8.	(Устно.) Назовите выпуклый четырех-
угольник, у которого все внешние углы пря-
мые.
9.	Сколько сторон имеет выпуклый много-
угольник, если сумма егог внутренних углов
равна сумме внешних?
10.	Сколько сторон имеет выпуклый много-
угольник, если все его внешние углы — тупые?
11.	Докажите, что не существует выпуклого
многоугольника, у которого а) больше трех
тупых внешних углов: б) среди внешних уг-
лов больше четырех прямых. [Доказательство
методом от противного, приводящее к проти-
воречию с задачей 9(8) учебного пособия.]
12.	Докажите, что любой треугольник явля-
ется выпуклым многоугольником. [Рассмот-
рим произвольный треугольник АВС. Возьмем
любую из "его сторон, например АВ. Прямая
АВ разбивает плоскость на две полуплоскости.
По определению треугольника, третья верши-
на С лежит вне прямой АВ, т. е. С лежит в
одной из полуплоскостей; отрезки АС и ВС
лежат в той же полуплоскости. В этой полу-
плоскости лежит и отрезок АВ, так как в оп-
ределении выпуклого многоугольника сама
прямая считается принадлежащей полуплоско-
сти. То же самое можно повторить для любой
из остальных сторон треугольника. Значит,
треугольник — выпуклый многоугольник.] j
Поавильпые многоугольники (4 ч)
Комментарий для учителя
1°. В пункте вводятся понятия правильного
многоугольника, многоугольника, вписанного
в окружность, многоугольника, описанного
около окружности, доказывается существова-
ние описанной и вписанной окружностей для
любого правильного выпуклого многоугольни-
ка, а также выводятся формулы, выражающие
радиус описанной окружности и радиус впи-
санной окружности через сторону соответст-
вующего правильного многоугольнгта.
2°. В результате изучения пункта у"ащиеся
должны знать определения правильного мно-
гоугольника, многоугольника, вписанного в
окружность, многоугольника, описанного око-
ло окружности, знать, что для каждого пра-
вильного многоугольника существует окруж-
ность, вписанная в него, и окружность, опи-
санная около него, что такие окружности ийе-
ют общий центр и что он находится в точке
пересечения биссектрис углов правильного
многоугольника, знать формулы, связываю-
щие радиус описанной окружности и радиус
вписанной окружности со стороной а правиль-
ного л-угольннка для л=3, л = 4, п=6;
уметь проводить доказательство теоремы
12.3, выводить формулы
и конкретизировать их для любого правильно-
го многоугольника с заданным числом сторон,
уметь выводить эти формулы для п=3, 4, fi
без использования общей формулы, решать
задачи типа 11(10), 12(11), 17—20, 26—29.
3°. К данному пункту относятся вопросы для
повторения 7—9, задачи 11—16 (10—15), 17--
3I..38, 39.
Методические рекомендации
к изучению материала
1°. Введение понятия «правильный много-
угольник»8 полезно сопроводить обращением
к плакату, на котором изображены различные
правильные многоугольники.
Для закрепления этого понятия можно пред-
ложить учащимся следующие задачи (устно) г
1. Какие правильные многоугольники уже
рассматривались в курсе геометрии?
2. Приведите пример такого выпуклого мно-
гоугольника, у которого а) все стороны равны,
но он не является правильным: б) все углы
равны, но он не является правильным,
[а) ромб; б) прямоугольник, многоугольник,
8 Фрагмент Г рассмвдртыа^т^ ранее вместе с ма-
териалом -пункта «Выпуклые Mrfoi оугольиики».
21
Рис. 14
который получается из правильного путем от-
сечения его части прямой, параллельной одной
из сторон.]
2°. Введение понятий «многоугольник, впи-
санный в с чружность» и «многоугольник, опи-
санный около окружности» полезно сопрово-
дить плакатами или четкими (заранее заго-
товленными) рисунками (см., например,
рис. 14).
Целесообразно напомнить учащимся, что
при изучении планиметрии уже встречались
частные случаи введенных понятий: треуголь-
ник, вписанный в окружность, и треугольник,
описанный около окружности,— и вспомнить,
где расположены центры таких окружностей
Х§ 5).
3°. Следует пояснить, что в теореме 12.3 до-
казываются два утверждения, а именно: для
любого правильного многоугольника сущест-
вует: 1) окружность, описанная около него;
2) окружность, вписанная в него.
Необходимо обратить внимание учащихся
на то, что в ходе доказательства теоремы 12.3
установлен важный факт «Для правильного
многоугольника центры вписанной в него и
описанной около него окружностей совпада-
ю?», а также па то, что из доказательства тео-
ремы 12.3 вытекают правила .построения для
заданного правильного многоугольника обще-
го центра описанной и вписанной окружно-
стей, а также нх радиусов.
После этого следует дать учащимся практи-
ческое задание: Начертите правильный тре-
угольник и квадрат. Постройте окружности:
а) вписанные в них; б) описанные около них
Чтобы подчеркнуть тот факт, что центры
вписанной и описанной окружностей совпада-
ют только для правильного многоугольника,
полезно предложить учащимся построить
центры этих окружностей, например, для рап-
нобедренного н разностороннего треугольни-
ков.
4°. Формулы для радиуса описанной окруж-
ности (R) и радиуса вписанной окружности
(г) для правильного многоугольника выводят-
ся в, процессе решения следующей задачи'.
Дано: п— число сторон правильного мно-
гоугольника, ап — сторона правильного много-
угольника.
Найти: R иг.
Учащимся поясняется, что искомые элемен-
ты определяются из треугольника С ВО (рис,
191 учебного пособия), где ВО -биссектриса
Рис. 15
угла заданного правильного многоугольника,
а ОС_1_АВ.
После вывода формул для правильного п-
угольника рассматриваются их частные слу-
чаи при п=3, п=4, п=6, которые полезно
проиллюстрировать рисунками (см. рис. 15),
помогающими уяснить учащимся геометриче-
ский смысл величин, входящих в формулы;
рисунки целесообразно вывесить в классе.
Так как выведенные формулы широко ис-
пользуются и далее в курсе геометрии, то по-
лезно свести их в таблицу (см. табл. 1); ее
тоже надо вывесить в классе на все время
изучения данного параграфа.
упражнения на непосредственное применение
выведенных формул.
1.	Для правильного п-угольника со стороной
а = 6 см найдите радиус описанной около него
окружности и радиус вписанной в него окруж-
ности. если а) п=3; б) п = 4; в) л = 6.
2	Найдите (с помощью табл. 1) сторону ап
и периметр рп правильного п-угольника, если
задан а) радиус описанной окружности R;
б) радиус вписанной окружности г
3.	(Устно по табл. I.) Найдите сторону ап
правильного п-угольника, вписанного в окруж-
ность радиуса R, если а) п=3; б) /г==4;
в) п=6
4.	(Устно по табл. 1.) Определите сторону
ап правильного п-угольника, описанного около
окружности радиуса г, если а) п—3; б) п=4;
в) п=6.
22
При мерное планирование изучения
материала пункта
На изучение материала отводится 4 урока.
На первом уроке в классе ввести понятия
многоугольника, вписанного в окружность и
описанного около нее, доказать теорему 12.3,
решить задачи 18, 26, 13(12), дополнительные
задачи 14, 15; дома —вопрос для повторе-
ния 7, задачи. 27, 14(13), дополнительную за-
дачу 9.
На втором уроке в классе вывести форму-
лы, выражающие радиусы описанной и впи-
санной окружностей через сторону соответст-
вующего правильного л-угольника, конкрети-
зировать ихдля л=3, 4, 6, решить задачи 17,
19, дополнительные задачи 8, 10; дома —
вопросы для повторения 8, 9, задачи 20, 23,
дополнительные задачи 7, 11.
На третьем .уроке в классе решить задачи
21, 25, 28, 38 (1,3), дополнительные задачи
4(1,2), 5(Г,2), 7, провести самостоятельную
работу № 1; дома — задачи 29—31, 38(2),
дополнительные задачи 4(3,4), 5(3,4).
На четвертом уроке в классе решить зада-
чи 22, 39(1,3), 7, дополнительные задачи
4(3,4), 5(3,4); 16, провести самостоятельную
работу № 2; дома — задачу 39(2), дополни-
тельные задачи 17—19.
Указания к решению задач
15(14). Воспользуемся тем, «то тва движе-
ния, выполненные последовательно, дают сно-
ва движение. Произведем параллельный пере-
нос второго многоугольника, при котором его
центр совместится с центром первого, а затем
осуществим поворот второго многоугольника
(в новом положении)' относительно нбвого
центра.
16(15)’. Строим многоугольник, гомотетич-
ный относительно первого и равный второму.
Он будет подобен первому, поэтому второй
многоугольник может быть переведен в пер-,
вый преобразованием подобия.
17. Следует обратить внимание учащихся на
то, что решение этой задачи дает один из спо-
собов построения правильного треугольника,
вписанного в заданную окружность: в окруж-
ности строим произвольный радиус, находим
его середину и через нее проводим хорду пер-
пендикулярно радиусу; далее циркулем нахо-
дим третью вершину правильного треуголь-
ника.
25. I способ. Зная, чго
находим 05=1,18/? и Лю=0,62/?.
П способ. Пусть АВ=а5 и ОСА.АВ
(рис. 16); сумма внутренних углов правильно-
Рис. 16
Рис. 17
го пятиугольника равна 180° (5—2) =540°, зна-
чит, /LABD — 108°. Так как ВО — биссектриса
угла BAD, то . Z./1BO=540 и СВ=
=RcossLCBO=Rcos54°, А В=2R cos 54° «
»2/?-0,59, т. е. а5» 1,18/?.
Путем аналогичных рассуждений находится
и а10.
28. Пусть Л1Л2. -Ап — правильный л-уголь-
ник, вписанный в окружность радиуса /?, и
an=a; В[В2.. Вг — правильный л-угольник,
описанный около той же окружности (рис. 17).
Так как &OA}D~ДОВ{С, то
OD A,D R r OC-A,D
ОС = В,С	И 15“ OD '
Но ОС = /?,	= и OD — ]/ R2 —
поэтому Ъ — 8^2 = 2В&=	—
у 4 А® — аг
29. Задачу можно решить аналогично зада-
че 28 или .использовать ее результат:
А2 4я’	„	9 4Ьг рг
b	4/^—а2’ ОтаУда а — 4д>2_|. 6г
„	' 2ЬР
и а ~	
V 4Лг+ 6'
Задача 38, как и задача 39,— повышенной
трудности. Однако если их условия сопрово-
дить готовыми рисунками или дать подроб-
ный план их построения, то они станут доступ-
ными для всех учащихся.
38. Центры окружностей являются вершина-
ми правильного л-угольника, их радиус равен
половине его стороны.
1) При /7 = 3 (рис. 18) OD — R, &АВС —
равносторонний, АВ | ОЕ, X ОВЕ = 30°,
23
BE^r,	-fc. PD-r, OD-
(o \	/	9 X
1 + vr)’ ^Т+ут)’
?/з~
2+/3”
39. Центры окружностей являются вершина-
ми правильного п-угольника.
3) Если п=6 (рис. 19), то OD=R, AD=r,
АС=г, ОС А. АВ, /_ОАС=60°, АО=2г, АО=.
т. е. 2г ==/?4тг» r—R-
Дополнительные задачи
1.	Определите сумму внутренних углов пра-
вильного п-угольника, если' 1) л=4; 2) п=5;
3) п= 12; 4) п=24.
2.	Сколько сторон имеет правильный много-
угольник, внутренний угол которого равен:
1) 140°; 2) 144°; 3) 160°; 4) 162°?
3.	Сколько сторон имеет правильный много-
игольник, если внешний его угол равен: 1) 72°;
2) 45°?
4	В окружность радиуса 2 см впишите пра-
вильный п-угольник, если: 1) п=6; 2) п=3;
3)п==4; 4) п=8.
5.	Около окружности радиуса 2 см опишите
правильный п-угольник, если: I) п=6; 2) п—
= 3; 3) п=4; 4) п=12.
6.	Нарисуйте треугольник, у которого цент-
ры вписанной и описанной окружностей не
совпадают. [Любой треугольник, не являю-
щийся равносторонним, например тупоуголь-
ный.] -
7.	В окружность радиуса 12 см вписан пра-
вильный п-угольник. Определите его периметр,
если: 1) п—3; 2) п=4; 3) гг=6. [Полезно об-
ратить внимание учащихся на возрастание
периметра при возрастании числа сторон п-
уюльника..]
8.	Правильный треугольник со стороной
а V 6 см вписан в окружность. Найдите
сторону вписанного в эту же окружность
квадрата.
9.	Сторона правильного многоугольника а=
= 3 см, а радиус вписанной окружности г=
— 2 см. Найдите радиус R описанной окруж-
ности.
10	Правильный треугольник АВС вписан в
окружность с центром О и радиусом 8 см Ни
стороне этого треугольника построен квадрат.
Определите радиус окружности, описанной
около квадрата.
И. Сторона правильного , многоугольника
а=6 см, а радиус описанной окружности R =
=5 см. Найдите радиус г вписанной окруж-
ности.,	-т яг.нвтзу а к
12.	(Устно по рисунку.)' Сколько осей сим-
метрии имеет правильный 1) треугольник;
2) четырехугольник; 3) шестиугольник; 4) се-
миугольник; 5) восьмиугольник; 6) п-уголь-
ник? [1) 3; 2) 4 3) 6; 4) 7; 5) 8; 6) л.]
13.	(Устно.) Какие правильные п-угольники
имеют центр симметрии? [С четным числом
сторон.]
14.	(Устно, без обоснования.) Назовите мно-
гоугольник, который получится, если последо-
вательно соединить отрезками взятые через
одну вершины правильного 1) шестиугольни-
ка; 2) восьмиугольника; 3) двадцатиуголь-
ника.
15.	(Устно, без обоснования.) Назовите мно-
гоугольник, который получится, если соеди-
нить последовательно отрезками середины сто-
рон правильного: 1) треугольника; 2) четырех-
угольника; 3) шестиугольника; 4) двадцати-
' угольника.
16.	Докажите, что вершины правильного
шестиугольника, взятые череЪ одну, являются
вершинами правильного треугольника. [См.
решение задачи 13 из учебного пособия ]
17.	Докажите, что середины сторон правиль-
ного треугольника являются вершинами пра-
вильного треугольника. [См. решение задачи
14 из учебного пособия ]
18.	Продолжения сторон AiA? и Д4Д3 пра-
вильного шестиугольника. А 1Л271з^4^5^6 пере-
секаются в точке В. Определите градусную
керу угла А2ВА3
19.	Продолжения сторон Л3Л2 и Д5Л1 пра-
вильного пятиугольника АхА^А^А^А^ пересека-
ются в точке В. Определите градусную меру
угла Д2СЛ1.
Самостоятельные работы
№ 1
I вариант
1.	Сколько сторон имеет правичьный п-
угольник, если его внешний угол равен 20°?
2.	Правильный треугольник вписан в окруж-
ность радиуса 5 см. Определите радиус
окружности, вписанной в этот треугольник.
3.	Дополнительное задание. Для каких пра-
вильных п-уголыгиков сторона больше радиу-
са описанной окружности? Ответ обосновать.
[3<n<6.]
II вариант
1.	Сколько сторон имеет правильный п-
угольник, если его внутренний угол равен
. 140°?
2.	Правильный шестиугольник вписан в
окружность радиуса 4 см Определите радиус
окружности, вписанной в этот шестиугольник.
24
3.	Дополнительное задание. Для каких пра-
вильных n-угольников сторона меньше радиу-
са описанной окружности? Ответ обосновать.
[п>6.]
№ 2
I вариант
1. Правильный шестиугольник вписан в
окружность радиуса R. Выразите через R:
а) сторону этого шестиугольника; б) радиус
.окружности, вписанной в этот шестиугольник;
в) наибольшую диагональ.
2. Дополнительное задание. Какие прямые
являются осями . симметрии правильных п-
угольннков при четном п? Сколько их? [Пря-
мые, проходящие через противоположные.вер-
шины, и прямые, проходящие через середины
„	П Л	1
противоположных сторон; -у- + -у — п.
II вариант
1. Правильный треугольник вписан в окруж-
ность радиуса R. .Выразите через-/?: а) высоту
этого треугольника; б) радиус окружности,
вписанной в этот треугольник; в) сторону это-
го треугольника.
2. Дополнительное задание. Какие прямые
являются осями симметрии правильных п-
угольников при нечетном п? Сколько их?
[Прямые, проходящие через вершину много-
угольника и середину противоположной сторо-
ны; п ]
Длина окружности (1 ч)
Комментарий для учителя
1°. В пункте выводится знакомая учащимся
с V класса формула длины окружности. Фор-
мальное определение длины окружности здесь
не дается; с опорой на наглядные представле-
ния учащимся поясняется, что длина окружно-
сти сколь угодно мало отличается от перимет-
ра вписанного в нее выпуклого многоугольни-
ка с достаточно малыми сторонами, на осно-
вании чего доказывается независимость отно- .
шспия длины окружности к ее диаметру, вы-
водится формула l—2nR.
2°. В результате изучения пункта учащиеся
должны знать, что отношение длины окруж-
ности к ее диаметру одно и то же для всех
окружностей, что его обозначают греческой
буквой л, что яка 3,14, знать формулу длины
окружности; уметь доказывать теорему об
отношении длины окружности к ее диаметру
и выводить формулу длины окружности, при-
менять формулу длины окружности для реше-
ния задач типа 32, 33, 40 учебного пособия.
3°. К данному пункту относятся вопросы
для повторения 10, 11, задачи 32—37, 40. ри
Методические рекомендации
к изучению материала
1°. Чтобы показать учащимся, что длина
окружности как угодно мало отличается от
периметра правильного многоугольника с
большим числом сторон, полезно предъявить
классу плакат, на котором в окружности оди-
накового радиуса вписаны правильные п-
угольники при п=3, 4, 6, 12, 24.
2°. Сформулировав теорему 12.4, полезно
выделить и кратко записать ее условие и за-
ключение, сделать рисунок (см. рис. 20).
Рис. 20
После проведения доказательства теоремы
необходимо подчеркнуть факт появления чис-
ла л, количественно характеризующего по-
стоянство отношения длины окружности к ее
диаметру.
Примерное планирование изучения
материала пункта
На изучение материала отводится 1 урок.
В классе дать представление о длине
окружности и о том, что она сколь угодно ма-
ло отличается от периметра вписанного в нее
выпуклого многоугольника с достаточно ма-
лыми сторонами, провести доказательство тео-
ремы 12.4, вывести формулу длины окружно-
сти, решить задачи 32(1), 35, 36, дополнитель-
ные задачи 1(1), 2, 3; дома — вопросы для
повторения 10, 11, задачи 32(2), 33, 34, 37.
Дополнительные задачи
1.	Как изменится длина окружности, если
радиус увеличится на а) 3 см; б) 20 м; в) а м?
2.	Найдите отношение периметра правиль-
ного вписанного 24-угольника к,диаметру опи-
санной окружности радиуса 2 см и сравните
его с приближенным значением л.
3.	С вала сняли слой стружки толщиной
0,5 см. Определите длину окружности вала до
обработки, если длина окружности вала после
обработки стала равной 28,25 см.
Центральный угол и дуга окружности (2 ч)
Комментарий для учителя
1°. Для вывода формулы длины дуги окруж-
ности предварительно вводится понятие «цент-
ральный угол» и устанавливается соответствие
25
между дугами окружности и центральными
углами. Вспомогательным для введения поня-
тия «центральный угол* служит понятие
«плоский угол». Из определений плоского уг-
ла и его градусной меры (Р) следует, что
0°<р<360°.
2°. В результате изучений пункта учащиеся
должны знать, что такое центральный угол,
градусная мера дуги окружности, радианная
мера угла, знать, какой центральный угол
является углом в один радиан, что радианная
мера угла в 180° ра'вна л радиан; уметь
распознавать и изображать центральный угол
и дугу окружности, соответствующую данному
центральному углу, составлять пропорцию,
связывающую градусную меру центрального
угла и длину соответствующей дуги окружно-
сти, выводить из нее формулу длины дуги
окружности, составлять пропорцию, связываю-
щую градусную и радианную меры угла, и ис-
пользовать ее для перевода градусной меры
угла в радианную и обратного перевода, ре-
шать задачи типа 42, 44—47.
* 3°. К данному пункту относятся вопросы для
повторения 12—17, задачи 41—47.
Методические рекомендации
к изучению материала
1°. При введении понятия «плоский угол»
следует обратить внимание учащихся на то,
что сумма градусных мер двух дополнитель-
ных плоских угло'в равна 360°.
2°. Понятие «центральный угол» вводится с
опорой на рисунок (см. рис. 194 учебного по-
собия); отмечается, что центральный угол яв-
ляется плоским углом с вершиной в центре
окружности. На этом же рисунке показывает-
ся и выделяется (цветом или более жирной
линией) часть окружности, расположенная
внутри центрального угла, про которую гово-
рят, что она содержится в нем, или что она
соответствует центральному углу.
Для закрепления введенных понятий уча-
щимся можно предложить выполнить устно
следующее задание: Чему равна градусная
мера дуги окружности, если соответствующий
центральный угол равен: а) 45°; б) 130°;
в) 350°?
Следует отметить также, что поскольку
центральные углы являются плоскими углами,
тс для каждого центрального угла есть допол-
нительный ему центральный угол; при этом
сумма градусных мер дополнительных цент-
ральных углов равна 360°, а следовательно, и
сумма градусных мер дуг, соответствующих
дополнительным центральным углам, тоже
равна 360°. -
Для закрепления материала учащимся
можно предложить следующее задание (уст-
но): Окружность разделена на две дуги, при-
чем градусная мера одной из них в 3 раза
больше градусной меры другой. Сколько гра-
дусов содержат соответствующие центральные
углы? [Дугам, на которые разделена окруж-
ность, соответствуют дополнительные цент-
ральные углы, сумма градусных, мер которых
360°, а значит н сумма градусных мер соот-
ветствующих дуг тоже равна 360°.]
3°. Учащимся поясняется, что в основе выво-
да формулы длины дуги окружности лежит
известный им факт, что развернутому углу
соответствует длина полуокружности, т. е.
центральному углу в 180° соответствует дуга
длиной л/?; после этого полезно предложить
заполнить таблицу (см. табл. 2).
После заполнения таблицы порученная фор-
мула для вычисления длины дуги окружности,
соответствующей центральному углу в п°, вы-
писывается отдельно.
Следует обратить внимание учащихся на то,
что фактически формула длины дуги окруж-
ности, соответствующЕ й центральному углу в
п°, получена из соотношений
180° - тс/?,
л ° — Z,
которые определяют пропорцию
180 —	Юх
п ~ I •
Надо показать учащимся, что из пропорции
(2) легко получается не только формула для
вычисления длины дуги окружности, но и
формула для нахождения градусной меры
центрального угла по заданной длине соответ-
ствующей дуги.
Для выработки умений составлять пропор-
цию и выводить из нее нужные формулы мож-
но предложить дополнительные задачи 1—3.
4°. Учащимся сообщается, что предстоит по-
знакомиться с новой для них мерой углов, на-
зываемой радианной, и приводится ее опре-
деление. Затем предлагается найти радианную
меру углов в 180° и 90°s исходя из того, что
длина дуги окружности, соответствующей
2Ь
центральному углу в 180°, равна nR, а углу в
90°—	При выполнении этого задания
учащиеся должны, разделив длины соответст-
вующих дуг на' R, сделать вывод, что радиан-
ная мера угла в 180° равна я, а угла в 90°
равна
Целесообразно составить с учащимися соот-
шения между градусной (и) и радианной
{а) мерами угла:
180° —тс радиан,
п° —а радиан,
которые определяют пропорцию -
(3)
Из этой пропорции легко получается как
формула для выражения радианной меры уг-
ла через его градусную меру, так и формула
для выражения градусной меры угла через его
радианную.
Пояснив, что при радианном измерении уг-
лов за единицу измерения принимается цент-
ральный угол, соответствующий дуге, длина
которой равна радиусу, и что такой угол на-
зывается углом в 1 радиан, полезно предъ-
явить учащимся рисунок, где выделен цент-
ральный угол в 1 радиан и отмечено, что дли-
на соответствующей дуги I равна радиусу R.
После этого выясняется, чему равна градус-
ная мера угла в 1 радиан. Учитель поясняет,
что для определения градусной меры угла в
1 радиан- следует воспользоваться пропор
цией (3).
Для закрепления нового материала полезно
решить дополнительные задачи 6, 7.
Следует отметить, что обычно при измере-
нии в радианах указание единицы измерения
опускают и пишут, например, йе «угол л ра-
диан», а «угол л», не «угол а радиан», а
«угси а».
Примерное планирование изучения
материала пункта
На изучение материала отводится 2 урока.
На первом уроке в классе ввести опреде-
ления плоского угла, градусной меры плоско-
-го угла, центрального угла, дуги окружности,
соответствующей центральному углу, градус-
ной меры дуги окружности, составить пропор-
цию, связывающую длину дуги окружности и
градусную меру соответствующего централь-
ного угла; вывести формулу длины дуги
окружности, решить задачи 41(1), 42(1—3),
44(1,6), дополнительные задачи 1—4; до-
ма— вопросы 12—15, задачи 41(2,3), 42(4—
6), 44(2, 3), дополнительную задачу 5.
На вторам уроке в классе ввести опре-
деление радиана и радианной меры угла, ре-
шить задачи 45(1), 46(3), 47(1), дополнитель*
ные задачи 6—9; дома — вопросы для повто-
рения 16, 17, задачи 45(2,3), 46(1,2) 47(2,
3), дополнительную задачу 10.
Допо'лнительные задачи
1.	Найдите длину дуги окружности радиуса
6 см, если она соответствует центральному уг-
лу: 1) 20°; 2) 100°; 3) 240°.
2.	В окружности радиуса R-определите гра-
дусную меру центрального угла, соответствую-
щего дуге длиной: 1) 1 см; 2) 5 см.
3.	Длина дуги окружности 2л см. Чему ра-
вен радиус окружности, если центральный
угол, соответствующий этой дуге, равен:
1) 120°; 2) 90°; 3) 6b’; 4) 30°?
4.	Определите длины трех дуг, на которые
разделена окружность радиуса R=l м, если
соответствующие им центральные углы про-
порциональны числам: 1) 2, 3, 4; 2) 1, 2, 3.
5.	Определите градусную меру центрального
угла, соответствующего дуге длиной I в
окружности радиуса R, если 1) /?=15 см, 1=
= 5 см; 2) R = 20 см, 1=л см.
6.	Заполните таблицу (см. табл. 3):
7.	Найдите градусную меру vzAa, если
его радианная мера равна: 1) 1; 2) 0,1; 3) 3;
6> 4"-
8.	(Устно.) Каковы градусная и радианная
меры дуги, равной: I) половине окружности;
2) третьей части окружности; 3) четвертой
части окружности; 4) шестой части окружно-
сти; 5) восьмой части окружности?
9.	Из вершин квадрата со стороной 4 см
проведены дуги окружностей радиуса 2 см
(рис. 21). Определите длину границы заштри-
хованной фигуры.
10.	Из вершин правильного. треугольника
со стороной 6 см проведены дуги окружностей
радиуса 3 см (рис. 22). Определите длину
границы заштрихованной фигуры.
Рис. 21	Рис. 22 Рис. 23
27
Решение задач (1 ч)
В ходе решения задач повторяется основ-
ной материал по теме «Многоугольники».
В классе решить задачи 24, 37, 40, допол-
нительные задачи 1—8; дома повторить ре-
шения задач 10, 11 (1) (9, 10 (I)), 19, 20, 26,
27, 44(3), 45(1), 46.
Дополнительные задачи
1.	Найдите углы выпуклого четырехугольни-
ка, если их градусные меры пропорциональны
числам 2, 3, 4, 6. .
2.	Чему равен внутренний угол правильного
п угольника, если 1) п=5; 2) п=6; 3) п—8?
3.	Сколько сторон имеет правильный много-
угольник, если внешний угол его равен 40°?
4.	Представьте себе, что земной шар обтя-
нут по экватору жестким обручем и таким же
образом обтянут мяч. Если длину каждого
обруча удлинить на 1 м, то обручи отстанут
равномерно от поверхности тел на некоторое
расстояние. В каком случае это расстояние бу-
дет больше: у земного шара или у мяча?
[Обозначим радиус Земли через гь а радиус
мяча — г2. Задача сводится к отысканию ра-
диусов новых окружностей. Обозначим их со-
ответственно /?1 и Р.2. Тог*да 2лГ1-|-1 =?2л/?! и
2лг2+1=2л/?2, откуда
R1 — Г1 + '2^ И ^2 — Г2 + "27 •
т. е. расстояния обруча от поверхности будут
одинаковыми, равными-^-Р,16 (-m).J
5.	Длина окружности вала перед обработ-
кой 64,5 см, при его обработке глубина, реза-
ния 1 см. Определите длину окружности вала
после обработки.
6.	Дуги Л]В1 й A2B2 равной длины I принад-
лежат двум различным окружностям с радиу-
сами Rt и R%. Определите отношение градус-
ных мер. центральных углов, соответствующих
этим дугам.
7.	Вычислите длину дуги окружности радиу-
са 20 см, если радианная мера соответствую-
щего ей центрального угла 1) 0,1; 2) 1; 3) 2,5;
4) |в формуле I = — * выоажение — п
представляет собой радианную меру угла с
градусной, мерой п, т. е. для вычисления дли-
ны дуги достаточно умножить длину радиуса
на радианную меру соответствующего цент-
рального .угла.]
8.	Дан прямоугольник со сторонами 4 см и
2 см. С центрами в серединах его мецыиих
сторон проведены дуги окружностей радиуса
1 см (рис. 23). Определцте длину границы за-
штрихоьанпой фигуры-.----—
Система
самостоятельных работ по теме
«Сумма углов треугольника»
С. Е. Марон
(г. Бобруйск)
Задумываясь над вопросом, готовы ли учени-
ки к восприятию новой темы, мы часто име-
ем в виду только полноту их знаний и уме-
ний; не придавая достаточно серьезного вни-
мания способности применить их в новой си-
туации, привести в систему и т. д. Отсутствие
же умения систематизировать свои знания,
применить их к нестандартной ситуации при-
водит к формализму в знаниях и к неумению
решать задачи.
Трудности в обучении не только неизбежны,
они педагогически необходимы. Их преодо-
ление движет процесс обучения, содействует
развитию^ и воспитанию учащихся. Но это
происходит только тогда, когда трудности
по сильны, когда разрыв между новыми за-
дачами и подготовленностью к их решению
находится в «зоне ближайшего развития»
. учащегося. Если разрыв слишком велик, то
процесс, обучения не может реализоваться; не
происходит в этом случае и развития. Поэто-
му необходимо организовать преодоление по-
лезных в педагогическом отношении трудно-
стей, создавая всеми имеющимися в распоря-
'жении учителя средствами необходимую под-
готовленность учащихся.
В VI классе, приступая к изучению каж-
дой новой темы по геометрии, я четко вы-
деляю опорные понятия темы, показываю их
взаимосвязь и отношение к ранее изученным
понятиям, используя воспроизводящую, тре-
нировочную и творческую самостоятельные
работы, вырабатываю у учащихся прочные
навыки в использовании введенных понятий
в новых ситуациях. Только после такой ра-
боты приступаю к решению задач.
Рассмотрим, например, тему «Сумма углов
треугольника» (§ 4). Здесь учащиеся долж-
ны твердо усвоить, что такое накрест лежа-
щие углы, внутренние односторонние углы,
внешний угол треугольника, прямоугольный
треугольник, расстояние от точки до прямой,
расстояние между параллельными прямыми.
Они должны также научиться определять па-
раллельность прямых, находить сумму углов
треугольника, величину угла треугольника,
уметь доказать равенство прямоугольных тре-
угольников.	1
Разобрав параграф «Признаки параллель-
ности прямых», учащиеся выполняют само-
стоятельные работы трех различных видов:
репродуктивную (1), в данном случае на
_ распознавание углов, тренировочную (II) и
*28
Рис. 1	*
творческую (III). В дальнейшем вид само-
стоятельной работы будет указан римской
цифрой.
I.	Перечертите в тетради рис. 1,а—в, запи-
сав под каждым из них пары накрест лежа-
щих и односторонних углов.
II	Рассмотрите рис. 2 и запишите: а) пары
накрест лежащих углов прямых а, b и секу-
щей д; б) пары односторонних углов прямых
b, d и секущей /; в) пары равных углов при
условии, что а\\Ь.
III.	Прочитайте рис. 3, т. е. найдите па
рисунке «новые» углы и запишите, какие из
них равны, какие в сумме составляют 180°;
найдите, на этом рисунке' известные вам ра-
нее углы и треугольники и запишите, что вы
о них знаете.
В зависимости бт степени подготовленности
учащихся по ранее изученным темам их от-
веты будут различными, один увидит на ри-
сунке больше знакомых изображений, дру-
гой меньше. Так, в соответствии с только что
изученной темой многие учащиеся запишут:
a) Z.7-f-Z. 16= 180° (внутренние односторон-
ние), Z-3+zLl 1^= 180° (вн. одн.) и т. д.;
б) Z_3=Z.12 (накрест лежащие), Z_5=ZJ3
(н/л) и т. д. (В записях допускаются со-
кращения.) Но значительно меньшее количе-
ство учащихся догадаются вспомнить старый
материал и записать, что углы 15 и 16, 11 и
12, 13 и 14, 1 и 9 являются смежными и со-
ставляют в сумме 180°, углы 9 и 7, 1 и 8, 2 и
5 равны как вертикальные, что равнобед-
ренные треугольники MBN и KNC равны.
13 творческую самостоятельную работу не-
обходимо наряду с новым материалом вклю-
чать и «старый», так как это раскрывает
внутрипредмегные связ*и и способствует вы-
работке прочного навыка в использовании
геометрических понятий. Такая самостоятель-
ная работа позволяет учителю установить сте-
пень овладения материалом и возможность
продвижения дальше.
В следующем пункте «Сумма углов тре-
угольника» необходимо выработать у уча-
щихся навык нахождения угла треугольника
по двум известным и по одному известному
(в равнобедренном треугольнике), нужно так-
же ввести понятие внешнего угла и научить
находить его, если известен один смежный с
рим угол или два не смежных с ним угла
треугольника.
Система упражнений к этому пункту мо-
жет быть, например, такой:
I.	В каждом из треугольников, изображен-
ных на рис. 4, найдите величину угла I.
II.	Вычислите величины углов 1 -и 2 в каж-
дом из треугольников на рис. 5.
III.	На рис. 6,а—в, даны чертежи к трем
задачам и проставлены градусные величины
углов. Проверьте, правильно ли указаны чис-
ловые данные на каждом из этих рисунков.
При изучении пункта «Прямоугольный тре-
угольник» учащиеся должны научиться быст-
ро распознавать прямоугольный треугольник
среди прочих треугольников, четко знать
названия сторон, уметь найти катет против
угла в 30е, если известна гипотенуза, а также
наряду с приведенными в пункте признаками
равенства прямоугольных треугольников
уметь применить к ним и ранее изученные об-
щие признаки равенства треугольников.
Отработке всего указанного выше служат
задания I—III.
29
Рис. 7
I.	Являются ли треугольники на рис. 7, а—
в, прямоугольными? Обоснуйте свои ответы.
II.	На рис. 8 а||Ь, точка О—середина от-
резка DB. Запишите пары равных треуголь-
ников. [Учащиеся должны усмотреть кроме
прямоугольных треугольников еще пару рав-
ных треугольников МОА и NOC.]
III.	Прочитать рис. 9.
Если учащимся будет трудно понять смысл
этого задания, то можно расшифровать его,
предложив ответить по рис. 9 на заранее
подготовленные вопросы:
1)	Как расположены прямые а и Ь, е и £/?
2)	Укажите пару равных треугольников;
пару вертикальных углор на рис. 9.
3)	Найдите смежные углы на рис. 9.
4)	Найдите внешний угол треугольника
ACD при вершине С, при вершине А.
5)	Вычислите длины сторон СА и АВ, если
CD= 10 см.
6)	Каково расстояние от точки С до пря-
мой Ь?
7)	Найдите расстояние между прямыми а
и Ь.
Устная работа по описанию рисунков по-
могает привести в систему изученные поня-
тия. В зависимости от уровня подготовки клас-
са, а также цели, поставленной учителем на
уроке, эту работу можно проводить двумя
способами. Первый способ — это предложить
учащимся перечень вопросов. Но предпочти-
тельнее второй способ — дать учащимся пра-
во самим увидеть все, чтб только они в со-
стоянии извлечь из рисунка.
Выше были приведены задания вида «Про-
читайте рисунок», относящиеся к первым трем
пунктам § 4 пособия «Геометрия 6—10»
А. В. Погорелова. Укажем еще два таких
задания, которые можно предложить учащим-
ся в конце изучения § 4.
Задание № 1 сочетает рис. 10 с перечнем
вопросов по нему:
1) Параллельны ли прямые АД и ОС, ON
и РД?
Рис. 8
2) Сколько градусов составляют углы: 1,2,
4, 5? углы 3 и 4? углы 5, 6, 7, 8?
* 3) Есть ли на рис. 10 равные прямоуголь-
ные треугольники? Если есть, то назовите их.
4) Назовите внешние углы треугольника
NAM и найдите их величины.
5) Как измерить расстояние от точки N до
прямой РД?
, 6) Как измерить расстояние между пря-
мыми NK и ОС?
Задание № 2 состоит только из рис. 11.
Учащиеся сами, без наводящих вопросов
должны выделить из него связи между изоб-
раженными объектами. Например, они долж-
ны заметить, что Z_l=30°, Z_\ = Z_BCM =
=30°, Z.1 и £_ВСМ— внутренние накрест ле-
жащие для прямых ВД, СМ и секущей ВС,
поэтому ВДЦЛ1С, и т. д.
В заключение хочу обратить внимание
читателей на то, что все указанные выше за-
дания — это не контрольные работы по теме,
а проверочные, т. е. предшествующие конт-
рольным и имеющие целью выявить пробе-
лы в формировании навыков и показать уча-
щимся внутрипредметные связи.
Примерные
контрольные работы по математике
для IV и V классов на II полугодие
К. И. Нешков, А. С. Чесноков
(Москва)
Примерные тексты контрольных работ для
IV и V классов на I полугодие напечатаны в
№ 4 журнала за этот год. Как нижеприве-
денные, так и задания из № 4 взяты из сбор-
ников самостоятельных и контрольных ра-
бот1, в которых содержится по 15 контроль-
1 Нешков К. И., Чесноков А. С. Дидактические ма-
териалы по математике. 4 класс.— М.: Просвещение,
1984.
Нешков К.И., Чесноков А. С. Дидактические мате-
рталы по математике. ' 5 класс.— М.: Просвещение,
384.
30
вых работ в четырех вариантах. Ниже даны
только 2 варианта текстов каждой контроль-
ной работы с указанием пунктов учебника,
к которым они относятся. Полностью приве-
ден только I вариант, разночтения во II ва-
рианте помещены в квадратных скобках.
IV КЛАСС
№ 8 (к п. 33-37)
1.	Начертите окружность с центром А [Л4]
и радиусом 4 см [Зсм 6 мм]. Проведите одип
диаметр и три радиуса этой окружности.
2.	В классе 35 учащихся. Девочки состав-
4
ляют -j- класса. Сколько девочек в этом классе?
£ Длина прямоугольника 24 м. Ширина состав-
7
ляет -g- длины. Какова ширина прямоуголь-
ника?]
3.	Возле школы растут березы и сосны. Бе-
2
резы составляют -%- всех деревьев. Сколько
деревьев возле школы, если берез там 40?
| На районной олимпиаде числа членов на-
шей команды получили грамоты Сколько чело-
век в нашей команде, если грамоты получили
6 человек?]
л п	ч 5	7	8	4
4.	Сравните: а) и -р-; б) -д- и -д-
Г ч 8	4	5	6 1
1а)тги15’б)тт итг]-
5.	При каких значениях х будет правильной
т макула-
№ 9 (к и. 38—41)
3
1	Четвертый класс собрал -g-
туры, а третий---т. Сколько макулатуры со-
и
брали оба класса? ^Отрезок состоит из двух
частей. Длина одной части м, а другой
м. Какова длина отрезка?]	_
2.	За два дня со станций4вывезли	груза.
В первый день вывезли — груза. Какую часть
груза вывезли во второй день? j За день уда-
лось очистить от снега аэродрома. До
5
обеда очистили аэродрома. Какую часть
аэродрома очистили от снега после обеда?]
3.	Выделите целую часть числа: а) —-
б) 3 .
4,	Выполните действие:
Г ч 21	65 1
a)2-J- + 34-; 6>3-га—“> >4 +
+ 6±; r)8A-54 [в) 3+1;
ОбА-б-Ь В)2-П-+5Т' Ч.44-1-1].
5.	В результате деления числа л на 8 [чис-
ла а на 12] получилось 4 f11-£>•]• Найдите
число х [а].
№ 10 (к п. 42—44)
I.	Запишите углы, изображенные на рис. 1
[на рис. 2]. Измерьте угол АВМ [ЛОА].
2.	Начертите угол АМК [ДРВ] и проведите
на глаз его биссектрису.
3.	Постройте угол ВОС, равный 130° [угол
АВС, равный 152°].
4.	Постройте прямой угол МАК [постройте
прямой угол и обозначьте его].
5.	Мама купила 4 кг яблок. Расплачиваясь
за них, она получила 40 к. сдачи. Если бы
мама купила 6 кг яблок, тз ей пришлось бы
доплатить 40 к. Сколько стоил 1 кг яблок?
[Чтобы купить 6 пирожков, у Кати не хва-
тает 15 к. Если она купит 4 пирожка, то у
нее останется 5 к. Сколько денег у Кати?]
\/ № II (к п. 45—50) •
1.	Сравните: а) 2,1 и 2,099; б) 0,4486 и 0,45
[а) 7,189 и 7,2, б) 0,34 и 0,3377].
2.	Выполните действия: а) 56,31 — 24,245—
31
— (3,87+1,03); б) 100—(75+0,86+19,34)
[а) 61,35 —49,561—(2,69+4,01); б) 1000 —
— (0,72+81 —3,968)].
3.	Собственная скорость катера 15,2 км/ч
[теплохода — 40 км/ч]. Скорость течения
3,9 км/ч [2,8 км/ч]. Найдите скорость катера
[теплохода] по течению и его же скорость
против течения.
4.	Округлите: а) 6,235; 23,1681 и 7,25 до
десятых; б) 0,3864 и 7,6231 до сотых
[а) 3,062; 4,137 и 6,455 до сотых; б) 5,86;
14,25 и 30,22 до десятых].
5.	Напишите три числа, каждое из которых
больше 2,37 и меньше 2,39 [больше 0,012 и
меньше 0,014].	f
№ 12 (к п. 51, 52)
1.	Выполните умножение: а) 4,125-1,6;
б) 0,0012-7,3 [а) 3,2-5,125; б) 0,084-6,9].
2.	Найдите значение выражения 600 —
— (8,871 — 2,271) -2,05+7,68 [7004—(12,633 —
—3,133). 50,4+49,6].
3.	Купили 4 кг сахара по 0,95 р. за кило-
грамм и 5 кг вишни по 0,6 р. за килограмм.
На сколько больше заплатили за сахар, чем
за вишню? [На первую машину погрузили
6 плит по 0,75 т, а на вторую 5 плит по 0,94 т.
На сколько меньше груза на первой машине,
чем на. второй?]
4.	Найдите значение выражения 1,35х+
+ 1,45х [3,84m+0,06m], если х= 10; 100; 0,1;
0,01 [ги = 10; 100; 1000].
5.	На .сколько увеличится или уменьшится
произведение 3,7-6,5, если первый множитель
увеличить на 1, а второй уменьшить на 1?
[Увеличится или уменьшится произведение
8,2-0,9, если первый множитель уменьшить
на 0,5, а второй увеличить на 0,5?]
№ 13 (к п. 53—56)
1.	Выполните деление: а) 158,48:56; б) 4:
:32; в) 504,6:10; г) 3,7:’00 [а) 460,84:82;
б) 5:16; в) 612,5:10; г) 24,3:100].
2.	Найдите значение выражения 9,2—1,2-
-(25,5:17) [6,3+1,7-(26,6: 19)].
3.	За 5 кг муки и 3 кг сахара заплатили
5,1 р. Сколько стоит 1 кг муки, если 1 кг
сахара стоит 0,9 р.? [За 6 полотенец и 5 па-
чек салфеток заплатили 6,2 р. Сколько стоит
1 пач! а салфеток, если 1 полотенце стоит
0,6 р.?]	'
4.	Совхоз сдал государству 400 т овощей.
80% сданных овощей составил картофель.
Сколько картофеля сдал совхоз? [На базу
привезли 25 т фруктов. Яблоки составляют
60% всех фруктов. Сколько яблок привезли
на базу?]
5.	Как изменится число, если его умножить
па 0,5 [на 0,25]? Приведите пример.
№ 14 (к п. 57—59)
I.	Выполните деление: а) 29,64 7,6;
б) 55,9:6,5; г) 7,2.0,045 [a) b0,03:8-,7;
б) 72,2:7,6, в) 36,4:0,065].
2.	Найдите значение выражения (18—16,9) ч
• 3,3+3: 7,5 [(21 — 18,3)-6,6+-3:0,6].
3.	Найдите среднее арифметическое чисел
18,6; 19,1; 17,8 и 18,1 [28,7; 29, 29,6 и 30,3].
4.	Колхозник продал на рынке 20 кг яблок
по 1,3 р. за килограмм и 30 кг по 1,1 р..за
килограмм. Какова средняя цена проданных
колхозником яблок? [Было продано ' 10 кг
орехов по 3,6 р. за килограмм и 40 кг по
3,2 р. за килограмм. Найдите среднюю цену
проданных орехов.]
5.	Если в некоторой десятичной дроби
перенести запятую на один знак вправо
[влево], то она увеличится на 23,49 [умень-
шится на 2,25]. Найдите эту десятичную
дробь.
№ 15 (к п. 60, 61)
1.	Решите уравнение 1,7х+21 +3,1х=57
[ 11+2,Зу+1,3у=38}-
2.	Найдите значение выражения (32—
— 132,3: 12,6) -6,4+262,4 [102—(155,4 : 14,8+
+2,1)-3,5].
3.	В ящике 120 кг пшена. После того как
из ящика набрали мешок пшена, в нем оста-
лось 65% всего пшена. Сколько пшена вош-
ло в мешок? [Надоили 150л молока. Детский
сад получил 20% этого количества. Осталь-
ное молоко отправили в две бригады. ОАна
из них получила в 3 раза больше, чем другая.
Сколько молока получила каждая бригада?]
4.	В роще 700 берез и 300 сосен. Какой
процент всех деревьев составляют сосны?
[Смешали 4 кг сухих яблок и 6 кг сухих
груш. Сколько процентов смеси составляют
яблоки?]
5.	В пакете лежали сливы. Сначала из не-
го взяли 50 % слив, а затем 50 % остатка.
После этого в пакете осталось 9 слив. Сколь-
ко слив было в пакете? [В коробке были
цветные карандаши. Сначала из коробки
взяли 50% карандашей, а затем 40% остат-
ка. После этого в коробке осталось 3 каран-
. даша. Сколько карандашей было в короб-
ке?]
V КЛАСС
№ 8 (к п. 27—31)
1.	Разложите на простые множители число
648 [5544].
2.	Найдите наибольший общий делитель и
наименьшее общее кратное чисел 3120 и 900
[504 и /56].
32
3.	Начертите прямую АВ. Отметьте на этой
прямой точку М и вне прямой точку К. Сое-
дините отрезком точки М н /\. [Начертите
отрезок CD и прямую /, пересекающую этот
отрезок в точке О]. Постройте отрезок, сим-
метричный отрезку МК [СО] относительно
прямой АВ [прямой /].
4.	Выполните действия —5,6:0,644-9,2
[-268 8:0,564-0,44].
5.	Может ли сумма [разность] двух про-
стых чисел быть простым числом?
36
72
20
13 [ . 7
И 48 [а) ъ
8 .
9 ’
-х 31	25
б) 88 И 66
норму на 3 де-
№ 9 (к п. 32—35)
, „	’	18	50	56
1.	Сократите дроби , 75 и [35
1051
и 30 Г
2.	Приведите к наименьшему общему знаме-
нателю дроби: а) -гг- и -гт ; б) -.-г-
10	1Z	OU
9 А1 7 1
И 20 ’ б) 72 И 54j" к 
3.	Сравните дроби: а) -у и
Г * 8	7	„ 10	7 1
[ а) 15 И 12 ’	303 И 2Э2Г
4.	Рабочий, перевыполняя
тали в час, через 7 ч изготовил на 9 деталей
больше, чем полагалось по норме за 8 ч.
Сколько Деталей в час полагалось делать
по норме? [Первый автомат' выдает за час
па 20 деталей больше, чем второй. Известно,
что первый автомат выдает за 5 ч на 80 дета- ,
лей меньше, чем второй за 8 ч. Сколько де-
талей в час выдает каждый автомат?]
5.	Найдите две дроби, каждая из которых
больше и меньше
О
41-
Иг	7
больше и меньше
о L	у
№ 10 (к п. 36, 37)
1. Выполните действие: a) +	6)
_А-	23 _A А_А. гл А .
5 ’ В' 30	20 L6	4 ’ °' 14 + ;
х	9	111
40	60 _Г
2. Найдите значение выражения:
х	5	3.11	7	2	х
а)	6	8 +	4	’	б)	10	15 ’
ч I	8
г) 1	17
Г х 7 . 5	3.-х4	3.x
I9 + 12	4 ’ б) 5	7 ’ В)	8
£
21’
3
5
б
15 ’
5
0
3.	Поезд шел трое суток. В первые • сутки
он прошел эд- всего пути, во вторые -у. Ка-
кую часть пути прошёл поезд в тре гьи-сутки?
[j!a складе был 1 мешок цемента. Кладовщик
выдал одному рабочему -у мешка, а второму
1	т-
-у .мешка. Какая. часть мешка цемента оста-
лась на складе?^
4.	Решите уравнение х —	=	—
io L i^*
-А 4)=4]-
5.	Представьте в виде дроби выражение
5 , х_ г_5____х 1
9 "г 6 [ 8	у ]•
№ 11 (к п. 38, 39)
1.	Найдите значение выражения: а) —2-у4~
+'4- 6>А+34; в»74-('4+
А)1А+'4 ч-А+А;
2.	С одного гектара опытного участка со-
брали 6 -4” т пшеницы, а с другого — на 1-1. т
о	<L
меньше. Сколько пшеницы Собрали с этих двух
[з
Масса одной машины 8 — т, а дру-
гой — па 2 4г т меньше. Найдите массу обеих
машин, j
5
3.	Садовник рассчитывал за -у ч пригото-
„ 3
вить раствор и за 2 -у ч опрыскать деревья.
Однако на всю работу он потратил на 1 А ч
больше, чем рассчитывал Сколько времени
уш о у садовника на всю работу? ^Ученик
рассчитывал за 1-у ч приготовить уроки и за
Q
1 -у ч закончить модель корабля. Однако па
-	2
всю работу он потратил на -у ч меньше чем
предполагал. Сколько времени потратил ученик
на всю работу?
3 Математике в школе. Т4 6
л г>	1 3 Е 7 Ге 3
4.	Решите уравнение х — 1 у = 5 ц ° 44 —
-Х = 5Й
5, Представьте число 48 в виде произведе-
ния двух взаимно простых чисел. [Разложите
число 60 на два взаимно простых множителя
тремя различными способами. Разложения,
отличающиеся только порядком множителей,
считайте одинаковыми.]
№ 12 (к п. 40, 41)
2
1.	Найдите значение произведения: а) 4 -у х
Х1-2-; б)-4'4;
2.	Выполните действия:	. (7— 14'3-j-)
3.	Колхоз сверх плана сдал государству
з
960 т зерна; -у сданного зерна составила
5	„
пшеница, а -у остатка — рожь. Сколько
ржи сдал колхоз сверх плана? £ Во время
субботника завод выпустил 150 холодильни-
ков; — этих холодильников были отправле-
О
. 3
ны в больницы, -у остатка — в детские са-
ды. Сколько холодильников получили детские
сады’ |
2
4.	В один пакет насыпали 1 -у кг сахара,
а в другой — в 4 раза больше. На сколько
больше сахара насыпали во второй пакет’
[2
Масса гуся 4 -у кг, а масса страуса в 3 ра-
за больше. На сколько килограммов масса гу-
ся меньше массы страуса? j
е г-	а 12 Н Г 41	42 т
5.	Сравните дроби -у и -у и -у I.
№ 13 (к п. 42—44)
1. Найдите значение выражения:
3	12	1
2. За -у кг I -у кг конфет заплатили
1 у р. £1 -у р. |. Сколько стоят 2 кг [ 1 -у кг|
таких конфет?
3.	В первый день автомашина прошла
5
315 км, что составляет -у намеченного пути.
[з
Скосили -у все-
го луга. Найдите площадь всего луга, если
скосили 21 га. I
5 I
4.	Решите уравнение 2х — 1 -у = 1 — х 4-
, 1 г 1	। 3	9	,51
2 [ 7 Х^~ 4 “ 14 Х + 8J-
5.	Является ли число 5 делителем числа 5В—
—53? [Будет ли число 1012-j-5 кратно числу 5?]
№ 14 (к п. 45—47)
1.	Решите уравнение 13:39=х:1 [24:
:72=х:9].
2,	Из свежих груш получается 18 % суше-
ных [из слив — 35% сушеных]. Сколько взя-
ли свежих фруктов, если из них получили
45 кг сушеных [22,4 кг сушеных]?
3.	Для изготовления 8 деталей требуется
12 кг цветных металлов. Сколько килограм-
мов цветных металлов пойдет на изготовление
6 таких деталей? [Из 12 кг металла получа-
ется 8 деталей. Сколько деталей получается
из 9 кг металла?]
4-	Найдите длину окружности [площадь
круга], если радиус равен 25 см [2,3 м].
Число л округлите до сотых [до десятых].
5.	Сколько имеется несократимых правиль-
ных дробей со знаменателем 24? [123]?
№ 15 (к п. 49. 50)
1. В трех звеньях 26 пионеров. Число пио-
неров первого звена составляет 50%, а’ число
2
пионеров второго звена -у числа пионеров
третьего звена. Сколько пионеров в каждом
звене? [Три рассказа занимают в книге
300 страниц. Число страниц второго рассказа
составляет 60% числа страниц первого, ачис-
2
ло страниц третьего рассказа составляет-у
числа страниц второго. Сколько страниц за-
нимает каждый рассказ?]
2. Решите уравнение
3. Найдите значение выражения
34
4. Найдите неизвестный член пропорции
9,8:3,5 = л: 2,5 | 1 -|-:7-i- = 1,6
5. При каких положительных значениях х
[а] верно неравенство 3> Зл [8а<8]?
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ
О формировании
пространственных представлений
школьников
на уроках стереометрии
Д. И. Хан, □. А. Шубин
(г. Актюбинск)
Формирование пространственных представле-
ний школьников является важной задачей
преподавания геометрии. Одним из проверен-
ных приемов, содействующих развитию прост-
ранственных представлсшй, является на-
глядность. Но при изображении фигур уча-
щиеся зачастую затрудняются делать нагляд-
ные рисунки. Это относится прежде всего к
решению задач на «воображаемые» построе-
ния пои изучении первых разделов стереомет-
рии. Произвол в изображении взаимного рас-
положения заданных точек, прямых и плоско-
стей ведет к потере наглядности, что в ко-
нечном счете затрудняет решение задачи.
Приведем ’ некоторые рекомендации, позво-
ляющие, по нашему мнению, устранить в ка-
кой-то мере эти недостатки в преподавании
первых разделов стереометрии.
Рассмотрим задачу.
Задача L. В пространстве даны прямые
1[ и 12 и точка М, не принадлежащая им. Че-
рез точку М провести прямую 4 перпендику-
лярную прямым li и /2.
Д.1Я решения задачи необходимо предста-
вить расположение в пространстве двух скре-
щивающихся (в общем случае) прямых /4 и
li и точки М, не лежащей ни на одной из них.
Рисунки, которые отражают данную ситуа-
цию, зачастую выглядят у учащихся так, как
изображено на рис. 1. Опираясь на этот ри-
сунок, нелегко найти решение данной задачи.
В своей практике мы подводили учащихся
к тому, чтобы некоторые фигуры они распо-
лагали в одной плоскости; те же из них, ко-
торые не могут быть расположены в выбран-
ной плоскости, надо располагать определен-
ным образом относительно ее. Эгу плоскость
чаще всего бывает удобно изображать гори-
зонтально. В качестве такой плоскости выби-
рается плоскость, проходящая через задан-
ные в условии задачи две пересекающиеся
прямые, прямую и точку вне ее, две различ-
ные параллельные прямые и т. д. Если же
даны две скрещивающиеся прямые, то удобно
их расположить на двух параллельных пло-
скостях (существует, как известно, единст-
венная пара таких плоскостей^,
Исходя из сказанного, расположение фи-
гур в задаче 1 можно представить следую-
щим образом. Имеются две параллельные
плоскости, на которых расположены данные
скрещивающиеся прямые и 12. Прямая,
перпендикулярная данным прямым, перпен-
дикулярна и данным плоскостям, она легко
может быть представлена и изображена на
рисунке. Получился рис. 2, который отражает
воображаемые построения.
Надо отметить, что перпендикулярные пря-
мые в пространстве учащиеся зачастую счи-
тают пересекающимися, что ведет к ошибоч-
ным выводам. Необходимо, чтобы учащиеся
уяснили, что перпендикулярность прямых It
и /2 в пространстве означает перпендикуляр-
ность прямой li некоторой плоскости а, вклю-
чающей прямую 12 (или feJ-p, где 4с Р)-
Зная это, к задаче 1 можно применить не-
сколько иные рассуждения: искомая прямая/
перпендикулярна некоторой плоскости а, про-
веденной через прямую It, и некоторой плос-
кости р, проходящей через прямую 4. Но так
как а _1_ / и р_1_/, то а||р.
Формированию пространственных представ-
лений способствует использование следующе-
го известного приема: «Если искомая фигура
удовлетворяет нескольким условиям, то сна-
чала отбрасывается одно из этих условий и
рассматривается множество F точек, удовлет-
воряющих оставшимся условиям; затем от-
брасывается другое условие и рассматрива-
ется множество Ф точек, удовлетворяющих
остальным условиям. Искомая фигура X пред-
ставляет собой пересечение множеств F и Ф:
Х=б'(]Ф».
Сформулированную выше задачу можно
рассмотреть с этих позиций. Тогда искомая
прямая I должна удовлетворять следующим
условиям:
а)	проходить через точку М;
б)	быть перпендикулярной й;
в)	быть перпендикулярной 12.
Отбросив условие в), получим множество
F— множество прямых, проходящих через
точку М и перпендикулярных прямой />. От-
бросив условие б), получим множество Ф—
множество прямых, проходящих через точ-
ку М и перпендикулярных прямой 12. Эти
множества есть плоскости и искомая прямая
I—Р(]Ф; приведенным рассуждениям соот-
ветствует рис. 3.
Примером, подтверждающим по'лезность
рассмотренных способов рассуждения, слу-
жит решение следующей задачи.
Задача 2. Через данную точку М в про-
странстве провести прямую, пересекающую
две данные прямые Ц и /2.
Данные в этой задаче такие же, как и в
первой задаче, поэтому можно рассмотреть
рис. 2. Искомая прямая получится здесь при
пересечении плоскости, проходящей через
точку М и прямую с плоскостью, опреде-
ляемой точкой М и прямой /2.
Решение упрощается, если с самого начала
рассмотреть плоскость а, содержащую точ-
ку А1 и прямую It (рис. 4). Искомая прямая
здесь	где N—l2f]a. Исследование
данного решения полезно провести по ходу
построения. При этом следует рассмотреть
общий случай, т. е. когда точка М не при-
надлежит данным прямым, а прямые li и /2
скрещиваются.'
Итак, если (Al/V)^^, то задача имеет един-
ственное решение — прямую MN. Для слу-
чаев, когда	— т е.
точки Р не существует) или /•» || а (не суще-
ствует точки N), решений нет.
Случай отсутствия решения хорошо иллю-
стрировать на изображении параллелепипеда
AbCDAiSiCiDi (рис. 5). Здесь можно при-
нять вершину А за Данную точку М, 1\—
= ( A^i)» 1г=‘\РВ\)- Плоскость, проходя-
щая через вершину А и прямую Ч, есть пло-
скости грани АВВ^АЬ которая параллельна
прямой /2- Плоскость грани ADD^ проходит
через вершину А и прямую 12 и пересекает
прямую Zi в точке At. А так как (AAJ |] 1г,
то решения в данном случае нет.
Из вышеизложенного следует, что для раз-
вития пространственных представлений школь-
ников й облегчения решения ими задач (осо-
бенно на воображаемые построения) необхо-
димо научить:
1)	включать некоторые фигуры (точки, пря-
мые) в плоскость и изображать ее;
2)	при наличии скрещивающихся прямых
располагать их на двух параллельных пло-
скостях, которые всегда существуют и един-
ственны для данных прямых,
3)	рассматривать фигуры—множества то-
чек, образующихся при отбрасывании неко-
торых условий,^которым подчиняется исковая
фигура, а затем находить пересечение этих
фигур.
С целью обучения учащихся наглядному
изображению пространственных фигур целе-
сообразно перед решением задачи объявлять
конкурс на наиболее наглядный рисунок. Это
позволяет добиваться и более ответственного
отношения школьников к изображению фигур
как к важному компоненту решения задачи.
К вопросу о развитии
пространственных представлений
учащихся
В. И. Платонова
(Минск)
Хорошо известно- чем выше уровень прост-
ранственного представления учащихся, тем
проще обучать их геометрии, тем более ин-
тересные задачи можно ставить перед ними.
К сожалению, приходится обнаруживать у
школьников затруднения в моделировании
пространственных геометрических фактов и в
изображении их на доске. Последние годы
эти недостатки в математической подготовке
выпускников школ заявляют о себе все чаще.
Например, утверждение сплоскость проходит
через прямую» некоторые моделируют как
пересеченье прямой с плоскостью; высоту пи-
. рамиды считают всегда проходящей через
точку основания пирамиды; на изображении
скрещивающихся прямых указывают точку
их пересечения и т. п. Большинство таких
ошибок связано с недостаточно развитым про-
странственным представлением учащихся.
Причины последнего часто кроются в недо-
оценке роли наглядности. НаприМер, мы изоб-
ражаем на доске систему координат в прост-
ранстве: чертим три оси, проходящие через
одну точку. Это просто. Однако, если огра-
ничиться изображением системы координат и
36
не показать модель, то нет гарантии, что
изображение будет а :социироваться в пред-
ставлении каждого учащегося с моделью си-
стемы координат. Это обстоятельство вызовет
трудности в понимании координатного ме-
тода.
Наиболее эффективными средствами раз-
вития пространственных представлений уча-
щихся, как известно, являются: демонстриро-
вание фигур, сравнение положений геометри-
ческих фигур относительно друг друга, моде-
лирование, грамотное изображение фигур,
чтение чертежа. Эти средства приводят к наи-
лучшим результатам, если они используются
систематически и в комплексе. Однако не всег-
да учитывается, чю способность учащихся
мысленно представлять себе положение фи-
гур в пространстве нужно развивать задолго
до того, как приходит пора изучать стерео-
метрию. Надо заботиться об этом всякий раз,
когда мы работаем с геометрическими фигу-
рами. /Ложно, например, изучая треугольник
в VI классе, ограничиться выполнением ри-
сунка на доске. А можно, кроме этого, по-
просить учащихся отыскать треугольники у
пирамиды, копуса, куба и т. п.; указать углы
этих треугольников, медианы, высоты, бис-
сектрисы углов; изготовить дома соответст-
вующие модели.
. К окончанию V класса учащиеся знакомят-
ся со многими названиями фигур, которые
изучает геометрия: «окружность», «прямо-
угольник», «треугольник», «многоугольник»,
«параллелепипед», «сфера», «шар», «приз-
ма», «цилиндр», «конус» и др. С некоторыми
из указанных названий у учащихся ассоци-
ируются пространственные формы. Получен-
ные знания не следует предавать забвению.
На каждом уроке нужно искать и устанав-
ливать связи между понятиями планиметрии,
пространственными геометрическими фигура-
ми и предметами- окружающей действитель-
ности. При изучении основных понятий пла-
ниметрии полезно использовать каркасные
модели многогранников, известных учащимся
из курса математики предыдущих лет. Изу-
чая в VI классе пункт «Точка и прямая», да-
вайте не будем ограничиваться изображения-
ми их на доске, а принесем на урок конус,
пирамиду, параллелепипед, покажем их вер-
шины — «точки»; подчеркнем, что планеты
в космическом пространстве — «точки», что
на географической карте «точка» — это на-
селенный пункт. Скажем, что моделью прямой
линии можно считать карандаш, спицу, ли-
нейку; покажем возможные случаи располо-
жения прямой линии по отношению к плоско-
сти доски и стола (лежит иа плоскости, пе-
ресекает плоскость, не пересекает плос-
кость}.
На втором уроке, отведенном для изучения
пункта «Основные свойства принадлежности
точек и прямых», после доказательства
свойства 1.1 (две различные прямые либо не
пересекаются, либо пересекаются только в
одной точке) можно попросить ребят поду-
мать над вопросом: «Как могут быть распо-
ложены две прямые в поостранстве?» Интуи-
тивно они обнаружат следующие случаи: две
прямые пересекаются и укладываются в пло-
скости доски; две прямые не пересекаются и
укладываются в плоскости доски; две пря-
мые не пересекаются и не укладываются в
плоскости доски. О последнем случае ’ можно
сказать, что он не относится к планиметрии
и будет рассмотрен в старших классах.
Рассматривая понятие «отрезок», можно
предложить учащимся показать отрезки на
моделях куба, пирамиды, призмы, отрезки
пересекающиеся и не пересекающиеся. При
изучении пункта «Основные свойства измере-
ния отрезков и углов» целесообразно пред-
ложить задания:
1.	Определите «на глаз» расстояние между
вершинами: а) куба, б) параллелепипеда,
в) пирамиды.
2.	Измерьте с помощью линейки расстоя-
ния между вершинами: а) куба, б) паралле-
лепипеда, в) пирамиды. Сравните результа-
ты измерений.
3.	Определите «на глаз», какие из углов,
указанных учителем на моделях куба, парал-
лелепипеда, пирамиды, меньше 90е, равны
90°, больше 90°. Измерьте эти углы.
При изучении пункта «Существование тре-
yi ольника,равного данному» полезно исполь-
зовать модель шарнирного треугольника с вы-
двигающимися сторонами. Моделируя раз-
личные- треугольники, можно предложить
учащимся построить на доске треугольник по
его модели, измерить углы построенного тре-
угольника н углы л реугольника и а модели,
сравнить результаты измерений.
В пункте «Перпендикулярные прямые» ре-
бята докажут: «Через каждую точку прямой
можно провести перпендикулярную к нейпря-
мую и только одну». Давайте спросим теперь:
«Справедлива ли эта теорема в пространст-
ве? Сколько перпендикулярных прямых мож-
но провести к данной прямой через каждую
ее точку в пространстве?» Ответ легко де-
монстрировать с помощью двух спиц. Теперь
можно попросить учащихся показать эту гео-
метрическую ситуацию на модели, например,
куба.
Изучение признаков равенстватреугольни-
ков и свойств равнобедренного треугольника
полезно закрепить упражнениями:
На каркасной модели пирамиды укажите
треугольники, у которых: а) три стороны рав-
SE
37
ны, 5) две стороны равны, в) нет равных сто-
рон, г) три угла равны, д) два угла равны.
Какие из указанных треугольников равны?
Укажите на модели пирамиды треугольни-
ки, их основания, углы при основании и бо-
ковые стороны. Найдите на модели равнобед-
ренные треугольники.
При рассмотрении темы «Четырехугольни-
ки» полезно попросить учащихся показать че-
тырехугольники на моделях параллелепипеда,
пирамиды, усеченной пирамиды, противопо-
ложные вершины (стороны) четырехугольни-
ков на этих моделях; вершины четырехуголь-
ников, через которые проходят их диагонали.
Частные виды четырехугольников (параллело-
грамм, прямоугольник, ромб, квадрат, тра-
пеция) можно указать на моделях большин-
ствз многогранников. Помимо решения задач
планиметрии такие упражнения «проклады-
вают мостик» от планиметрии к стереометрии
и учат видеть зависимости между элемента-
ми пространственной фигуры.
Иногда считают, что средства наглядности
достигают своих целей в младших классах,
а по мере взросления учащихся необходи-
мость в наглядности уменьшается. Это оши-
бочное мнение. С каждым возрастом уча-
щийся смотрит на модель геометрической фи-
гуры по-новому. Становясь старше, он зна-
комится с теми свойствами геометрической
фигуры, иа которые ему не указывали и ко-
торым он не придавал значения раньше. По-
этому модели известных геометрических фи-
гур и знакомые модели полезно показывать
заново. Например, в VI классе изучается ок-
ружность. Учащиеся предстагляют эту линию
и могут ее изобразить. Но давайте не будем
обольщаться этим и не ограничимся изобра-
жением окружности на доске. Принесем в
класс обруч, уложим его на столе, изогнем
кусок проволоки и тоже положим его на
стол. Обратим внимание учащихся на то, что
все точки линии могут лежать в плоскости,
а может этого и не быть. Подчеркнем, что
окружность обладает первым из указанных
свойств. Обратим внимание ребят на то, что
бывают линии замкнутые и незамкнутые,
приведем примеры, подчеркнем, что окруж-
ность — линия замкнутая. При этом полезно
использовать срез цилиндра (конуса) плоско-
стью.
Моделирование не всякий раз должно быть
на уровне магазинных стандартов. Модели
могут быть рабочими, изготовленными тотчас
из предметов, которые есть на уроке. На-
пример, легко моделировать пару прямых в
пространстве, прямую и плоскость, пару пло-
скостей, коническую и цилиндрическую по-
верхности. Для этого достаточно иметь листы
бумаги и карандаши. Нужно постоянно рол
действовать тому, чтобы каждый ученик умел
быстро (где это возможно) изготовить мо-
дель: либо для выяснения геометрического по-
нятия, либо по условию теоремы и задачи.
К этим действиям может побуждать учащих-
ся моделирование, выполняемое учителем
экспромтом. Важно советовать ребятам мо-
делировать дома известные и новые геометри-
ческие факты, используя карандаши, спицы,
картон, мяч, яблоко, стакан, воронку, и ин-
тересоваться, следуют ли они этим советам.
Учащимся, пространственное представление
которых поддается развитию медленно, полез-
но давать специальные задания по изготов-
лению моделей для использования их на оче-
редном' уроке.
Мы не останайливались на средствах со-
вершенствования пространственных представ-
лений учащихся, которыми непосредственно
пользуется стереометрия, например, на изоб-
ражении пространственных фигур и чтении
чертежа. В VII классе начинается изучение
курса черчения. В объяснительной записке
к «Программе восьмилетней школы по черче-
нию» (М.: Просвещение, 1981) сказано: :Ос-
нова курса — ознакомление с проекционны-
ми способами изображения пространственных
форм на плоскости...». В процессе препода-
вания курса черчения используются геометри-
ческие факты и понятия, с которыми учащие-
ся познакомились за весь предыдущий пери-
од обучения. Здесь открываются большие
возможности для совершенствования и раз-
вития пространственных представлений у
учащихся совместными усилиями учителей ма-
тематики и черчения. Тесный контакт пре-
подавания геометрии и черчения в восьми-
летней школе может обеспечить хорошую ос-
нову для успешного изучения стереометрии.
Домашние задания
творческого характера
для всего класса
М. М. Рассудовская
"(Москва)
Методические приемы обучения должны уве-
личивать долю самостоятельной деятельности
учащихся, поощрять их инициативу. Большое
внимание при этом желательно уделять до-
машним заданиям, которые ученики выпол-
няют в основном самостоятельно. По тому,
как они относятся к домашней работе, как
ее выполняют и какие получают результаты,
можно судить о том, насколько они овладели
изучаемым материалом.
Время, отводимое для домашней работы,
определено уставом средней общеобразова-
38
тельной школы. Это обязывает учителя пра-
вильно устанавливать объем домашнего за-
дания и время, необходимое для его выпол-
нения. Сделать это не так просто в силу не-
однородности класса и по способностям, и
по предварительной подготовке.
Возникает необходимость в составлении ин-
дивидуальных домашних заданий, так как
при ориентировании только на среднего уче-
ника не используются полностью творческие
возможности сильных учащихся. В то же вре-
мя индивидуализация домашних заданий
путем увеличения числа задач и упражнений
для сильных учащихся исключает возмож-
ность проверки в классе тех задач, которые *
были даны дополнительно, так как основная
часть класса этих задач дома не решала.
Более ценными в методическом отношении
представляются проверенные нами на прак-
тике домашние задания, которые являются об-
щими для всего класса, но содержат дополни-
тельные вопросы или задачи, расширяющие
их основное содержание.
Приведем несколько таких заданий, обоз-
начая буквой А упражнение, обязательное
для всего класса, а буквой Б его усложнен-
ный вариант творческого характера,
Л® Д А. Выполните действия:
fi— — 4- — • 2 —• 4 —
V* 6 ’ 15 + 16	3 / ’ q 9 •
Б. Выполните указанные выше дей-
ствия и, используя предыдущий результат,
вычислите устно:
(4-L. _8- + Л.2А\-4 —
к 6	15 + 8	3 )	9 •
В упражнении Б учащиеся должны вспом-
нить, как изменяется произведение при уве-
личении в 2 раза одного из множителей и
как изменяется сумма при увеличении каж-
дого слагаемого в 2 раза. Проверка такого
задания в классе вызывает общий интерес,
у ребят появляется желание попробовать свои
силы на более трудном задании.	(
Л® 2 А. Решите уравнения: а) х2 —
-21x4-104=0; б) х2—15x4-56=0; в) х2 -
—Зрх-|-2р24-6=0. При каких значениях р
уравнение в) имеет решение? 
Решение примера в) заканчивается
указанием на то, что D=p2— 24^0 и урав-
нение имеет решение при р2^24.
Б. Решите в на~уральных. числах
уравнение
х2 —3xi/4-2fl24-6=0.
«
Решение. Будем считать у параметром.
Тогда D=y2— 24. Значение D должно быть
точным квадратом. Следовательно, уравнение
у 4- k =6
у — k =4
у2— 24=А2 нужцо решить в натуральных
числах:
у2—&2=24,
(y+k) (у—fe) = 24-l = 12-2=8-3=6-4.
Это дает четыре системы линейных уравне-
ний, из которых только две имеют решение
в натуральных числах.
(у 4- k= 12,
. q => у = 7; х2 — 21x4- 104 = 0.
(у — k = 2, Л	*
Отсюда х=8 или х=13.
=> у == 5; х2 — 15х 4- 56 = 0.
Получаем х=7 или х=8.
Исходное уравнение имеет в натуральных
числах четыре решения; (8; 7), (13; 7), (7;
5), (8; 5).
Л® 3. А. Синусы двух острых углов тре-
угольника равны соответственно ’/а и
Найти синус и косинус третьего угла.
Решение. Обозначим величины углов
треугольника через а, 0 и у, тогда sina=7/25,
sin0=*/5 и cosa—24/гз, cos 0=3/s- Поскольку
Y=180c—(a4-0). устанавливаем, что
sin 7 = sin (a 4- 0) = sin a . cos P 4- sin p • cos a =
7	3	4	24 = 117
= 25 ‘ 5 ' 5 ’ 25	125’
cos y=—cos (a 4" ?) ——cosa-cosP4- sin a-sin P=
24	3	7 , 4__ 44
=	25 ‘ 5 + 25 * 5 ~ 125*
Б. Синусы двух углов треугольника
равны соответственно 7/гз и 4/5. Найти синус
и косинус третьего угла.
Решение: Нужно рассмотреть три слу-
чая:
а)	а<90° и 0<9О°—совпадает с задани-
ем А.
б)	a <90° и 0>9О°; в этом случае cos0 =
=—3/5- Тогда
sin 7 = sin (а 4- Р) = ~ (-4-
_4_ 24____3_
+ 5	25 — 5 ’
cos7 = —cos(a 4- 0) =
24	/	3 \	7	4	4
~	25 * к “ 5 ) + 25 * 5 = 5 ’
с) «>90° и 0<;9О°; в этом случае cosa=
=—24/25. Тогда
sin 7 = sin (а 4- ₽) = —	<0.
Отсюда получаем, что у>180°. Задача реше-
ния не имеет.
Полученное решение полезно изобразить
графически. На рисунке треугольник АВСк
ЗС
соответствует случаю а), треугольник АВС2
иллюстрирует случай б), в, случае же в) лучи
АС3 и BCt не будут пересекаться в плоскости
АВС3.
Лс 4. А. Найти величину двугранного
угла между соседними боковыми гранями
правильной п-угольной пирамиды, если боко-
вые ребра ее образуют с плоскостью основа-
ния угол а.
Замечание. Если искомый угол обоз-
начить через х, то решение задачи (оно об-
щеизвестно, и его мы не приводим) дает та-
кой результат:
. х ,	180°	.
tg — = cig-------:sin а.
& 2 ь п
Б. В дополнение к заданию А:
а)‘ выяснить, может ли угол между соседними
боковыми гранями правильной п-угольной
пирамиды быть острым или прямым, б) по-
лученный результат иллюстрировать конкрет-
ными моделями пирамид.
Решение. Равенство, полученное при ре-
шении основной задачи, можно заменить не-
равенством
При /7 = 3 tg > ctg 60°, но cig 60° = tg 30°,
т. е. х > 60°.
При п =4 tg ~ > ctg 45°,	> 45°, х > 90°.
При п~^5 х>90°.
Следовательно, искомый угол может ока-
заться острым или прямым только в пра-
вильных треугольных пирамидах. Конкретны-
ми моделями может служить правильный тет-
раэдр (х<90°), пирамида, отсекаемая от ку-
ба плоскостью, прокодящей через концы трех
ребер, выходящих из одной вершины куба
(х=90°). Ответы на вопросы задания Ь бу-
дут интересны всему классу.
Разумеется, задания такого характера пред-
лагаются не каждый день, но они вызывают
живой интерес всего класса. Учащиеся ждут
эти задания. Число ребят, выполняющих за-
дания Б или пытающихся их выполнять, не-
изменно растет, хотя мы с самого начала
объявляем классу,;что для получения высо-
40
коп оценки достаточно справиться с задани-
ем А. Стимулом для выполнения задания Б
является бескорыстный интерес к матема-
тике.
Наш опыт также показывает, что домаш-
ние задания описанного нами типа могут
быть составлены самим учителем. Все приве-
денные примеры заданий А взяты из сущест-
вующих учебников и задачников, а задания Б
созданы учителем на базе этих общеизвест-
ных задач.
К вопросу совершенствования
экономических знаний учащихся
В. Ф. Любичева
(г. Новокузнецк)
Решение поставленных перед страной слож-
'ных экономических задач требует поднять на
более высокий уровень экономическое обра-
зование и воспитание учащихся. Повышению
экономической грамотности учащихся при обу-
чении математике содействует решение задач
с экономической тематикой.
Приведем примеры таких задач.
VI класс
1.	С каждого гектара поливных земель уро-
жай пшеницы Мироновская-803 в 2,5 раза
выше, чем на обычных землях. Бла, одаря
этому в Поволжье в 1981 г. с 1,5 млн. га по-
ливных земель собрали на 38,25 млн. ц пше-
ницы больше, чем с такой же площади неоро-
шаемых земель. Какова урожайность пшени-
цы Мироновская-888 на поливных и обычных
землях?
Решение. Пусть хц — урожайность пше-
ницы с 1 га неорошаемых земель, тогда
урожайность с 1 га поливных земель — 2,5хц.
Составляем уравнение: 1,5 (2,5х—х) =38,25,
откуда х=17; 2,5х=42,5.
После решения этой задачи учитель может
отметить, что мироновские пшеницы, которые
были созданы под руководством дважды Ге-
роя Социалистического Труда В. Н. Ремесло,
занимают многие миллионы гектаров у нас
в стране и за рубежом. Подробнее об этом
замечательном селекционере учащиеся могут
прочитать в 6-м томе Детской энциклопедии
(3-е изд., с. 93).
В учебнике алгебры содержатся задачи,
в которых говорится о перевыполнении плана
(783, 784, 785, 928, 984). В некоторых задачах
(259, 366) показано, что сокращение- времени
на изготовление одной детали позволяет ра-
бочему изготовить за одно и то же время
больше продукции, т. е. увеличить произво-
дительность труда.
При изучении обратной пропорционально-
сти можно привести такой пример.
Рабочий за 7 ч обрабатывает 70 изделий.
Производительность его труда—10 изделий
в час, время на обработку одного изделия —
трудоемкость изделия — (60:10) 6 мин. Те-
перь представим, что на этой же работе, но
применяя более экономичные методы труда,
другой рабочий изготовил за это же время
105 деталей. Производительность труда его
уже равна (105:7) 15 изделий в час, т. е.
больше в (15:10) 1,5 раза, а трудоемкость
изделия—(60:15) 4 мин, т. е. меньше в
(6:4) 1,5 раза.
Делаем вывод: производительность труда
обратно пропорциональна трудоемкости из-
делия. После этого предлагаем учащимся за-
дачу.
2.	Рабочий за 7 ч обработал 70 изделий.
Сколько времени затратит рабочий для обра-
ботки такого же количества изделий, если,
применив более экономичные методы труда,
он снизил трудоемкость в 1,5 раза?
Решение. Пусть х ч потребуется рабоче-
му на обработку 70 изделий. Тогда новая,
более высокая производительность труда рав-
на — изделий в час. Учитывая, что произ-
водительность труда обратно пропорциональ-
на трудоемкости изделия, заключаем, что
/70
возросшая производительность труда ( — из-
лий в час) в 1,5 раза больше прежней
(70:7=10 изделий в час). На основании
70
этого составляем уравнение— : 10= 1,5, от-
2
куда х= 4 -у или х=4 ч 40 мин.
При изучении графического способа зада-
нья функции можно предложить такое уп-
ражнение.
3.	Считая, что на рисунке дан график про-
изводительности труда рабочего в каждый из
5 рабочих дней недели, найдите а) произво-
дительность труда рабочего в каждый день
недели, б) в какой рабочий день недели от-
мечена самая низкая (высокая) производи-
тельность труда рабочего?
По плану рабочий должен был изготовить'
40 изделий за смену. Найдите плановую про-
изводительность труда за один час (продол-
жительность смены — 8 ч).
Постройте график фактической производи-
тельности труда рабочего за один час по
дням рабочей недели.
VIII класс
При изучении темы «Арифметическая и
геометрическая прогрессии» можно предло-
жить следующие задачи.
1. Пользуясь таблицей, вычислите средне-
годовой прирост добычи нефти за 1960—1970,
1970—1975, 1975—1980 гг., предполагая, что
добыча нефти ежегодно равномерно увеличи-
валась на одно и то же число.
	I960 г.	1970 г.	1975 г.	1980 г.	1985 г. (план)
Добыча нефти, включая газо- вый конденсат (в млн. т)	148	353	491	603	645
Решение. Добыча нефти растет в ариф-
метической прогрессии, ее разность d — сред-
негодовой прирост добычи нефти. Выпишем
члены этой прогрессии:
148,	а2,	а3,...,	а10,	353
1960 г.	1961г.	1962 г.	... 1969 г.	1970	г.
Итак, ai=148, ап=353, й=11, надо вы-
числить d. Пользуясь формулой п-го члена
арифметической прогрессии, получаем, что
среднегодовой прирост добычи нефти за
1960—1970 гг. составлял 20,5 млн. т, за
1970—1975 гг.—27,6 млн. т, за 1975—1980 гг.—
22,4 млн. т.
2. В 1980 г. добыча нефти в стране соста- •
вила 603 млн. т. Предполагая, что в каждый
год одиннадцатой пятилетки (1981 —1985) она
будет увеличиваться в 1,0135 раза, определи-
те добычу нефти в 1983 и 1985 гг.
Решение. Имеем: добыча нефти в
1980 г. составляла 603, в 1981 г.— 603-1,0135,
в 1982 г.—603-1.01352 млн. т и т. д. Замеча-
ем, что эти числа образуют геометрическую
прогрессию, причем <7=1,0135, /л=603. Иско-
мые величины — bt, и Ь6. Пользуясь формулой
bn=b\qn-1, находим /?4а;6281 &«645.
41
ПРОБЛЕМЫ ПОДГОТОВКИ БУДУЩИХ
УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ
Новый этап развития советской школы выдвигает по-
вышенные требования к учителям, к их непосредствен-
ной практической работе, к иХ профессиональному мас-
терству, важнейшим элементом которого является ме-
тодическая подготовка.
Ниже мы публикуем в порядке обсуждения посвя- .
щенную этой проблеме статью А. Г. Мордковича и
обзор поступившей в редакцию корреспонденции по
различным аспектам методической подготовки будущего
учителя математики.
С профессионально-педагогической
направленности математической
подготовки
будущих учителей
А. Г. Мордкович
(Москва)
«Неотъемлемая часть реформы системы народного об-
разования,— отмечается в Основных направлениях ре-
формы общеобразовательной и профессиональной шко-
лы,— значительное улучшение подготовки учительских
кадров. Будущим учителям, воспитателям нужно дать
самые современные знания и хорошую практическую
подготовку» [1, с. 57].
Вопросы дальнейшего совершенствования профессио-
нальной подготовки будущих учителей, устранение в
в этой подготовке имеющихся недостатков являются
предметом постоянного внимания нашей партии. В пе-
редовой статье «Народный учитель», помещенной в
жу> I але «Коммунист» (1982, № 13), отмечалось, что «в
адрес педагогических учебных заведений все еще посту-
пают упреки: многие их выпускники слабо владеют
методикой и техникой преподавания, беспомощны в ре-
шении сугубо воспитательных задач... Практическое ста-
новление педагогов происходит весьма медленно, затя-
гиваясь подчас на годы». Вскрывались две основные
причины такого положения: «Во-первых, отсутствует
действенный механизм профессиональнрй ориентации в
школе и значительная доля молодежи в педвузах ока-
зывается не определившей своего призвания, своей цели
в жизни, а вузовская подготовка остается формальным
обретением специальности. Во-вторых, основной упор в
обучении делается на „чисто” научные дисциплины при
недостаточном внимании к практическн-педагогичесчнм
курсам... В результате выпускники пединститутов и
педучилищ оказываются слабо подготовленными к ра-
боте в школе, к успешному решению новых сложных
задач обучения и воспитания, теряются при встрече
с первыми трудностями, утрачивают любовь к своему
делу, плохо овладевают профессиональным мастер-
ством».
Конечно, вуз в полном объеме не может подгото-
вить педагога-мастера, но во всяком случае должен
обеспечить необходимые предпосылки для этого — осно-
вы профессионального мастерства, представляющие со-
бой синтез необходимого уровня математических зна-
ний, умений и навыков, ясного понимания целей и за-
дач обучения математике в школе, гибкого и оператив-
ного владения методикой преподавания математики.
Объективную опенку качества профессиональной под-
готовки специалистов дают государственные экзамены.
Анализ отчетов председателей государственных экзаме-
национных комиссий педвузов РСФСР за 1982 и 1983 г.
позволяет выявить некоторые недостатки в деле про-
фессиональной подготовки выпускников.
Основным недостатком математической подготовки
будущих учителей является формализм в знаниях: не
все выпускники педвузов умеют приводить примеры и
контрпримеры, применять теорию к предложенным при-
мерам, выходить за рамки узкого круга заученных
стандартных примеров практического применения того
нли иного математического понятия или утверждения.
Иногда чувствуется неуверенность при отклонении от
стандартного изложения материала и при ответах на
дополнительные вопросы, которые имеют своей целью
проверить степень понимания студентом излагаемого
материала. Выпускники редко используют наглядность
для проведения рассуждений, не умеют выделить глав-
ное в рассматриваемом вопросе, обобщить и система-
тизировать некоторую совокупность отдельных фактов.
В ряде отчетов отмечается слабое знание выпускни-
ками школьного курса математики, что порождает у
них неуверенность в своих силах, не дает им возмож-
ности свободно ориентироватьег в выборе целесообраз-
ной методики при раскрытии тей или иной темы школь
ного курса. Это находит свое отражение на госэкзаме-
ие по методике преподавания математики в том, что
ответы многих выпускников сводятся к простому пере-
сказу материала школьного учебника: студент говорит
о том, что надо рассказывать, а не о том, как и по-
чему надо, излагать данный материал на уроке.
Типичным недостатком в ответах многих студентов
является то, что оии не видят связи между институт-
ским н школьным курсами математики.
Таким образом, приходится признать, что уровень
сформированнисти основ профессионального мастерства
у выпускников педвузов отстает от требуемого совре-
менной школой. Происходит это по ряду причин. Ука-
жем основные: недостаточная самостоятельная работа
студентов в период обучения в институте и несовер-
шенство форм контроля за ней со стороны преподава-
телей; невысокая требовательность преподавателей в
период обучения студента в институте; невнимание к
установлению внутрипредметных и межпредметных свя-
зей. связей между теорией и практикой, между вузов-
ским и школьным курсами математики, формализм в
обучении.
Еще одной немаловажной причиной является несовер-
шенство программ: в иих слабо выражена профессио-
нальная направленность, они недостаточно нацелены на
развитие интуиции, воображения, понимания материала
на содержательном, неформальном уровне. Комиссия
отделения математики АН СССР, проанализировав
учебные планы, программы и пособия для пединститу-
тов, пришла к выводу, что в программах «имеется пе-
рекос в сторону обоснования математических дисциплин
и абстрактных разделов математики в ущерб глубоко-
му изучению школьной математики и основных фунда-
ментальных разделов. Учебные пособия переполнены
второстепенным материалом, имеющим чисто теоретиче-
ское значение. Поэтому основные усилия по совершен-
ствованию высшего педагогической' образования долж-
ны быть направлены на то, чтобы улучшить прежпе
всего профессиональную подготовку будущих учителей»
[4, с. 41].
Имеются недостатки и в самом подходе к обучению
математике в педвузе, который редко требует от сту-
дента самостоятельности и активности, что влечет за
собой пробелы и профессионального, и морального
плана. Во-первых, достижение целей обучения в каждом
конкретном математическом курсе зависит, в частности,
от организации процесса обучения, от того, насколько
обучаемый в этом процессе самостоятелен н активен.
Во-вторых, вуз, в котором господствует только объяс-
нительное обучение, как правило, выпускает специали-
стов созерцательного типа Это педагоги, «умеющие
усваивать знания н воспроизводить научные истины, но
пасующие в ситуациях, требующих самостоятельного
мышления, не способные самостоятельно добывать зна-
ния и творчески относиться к делу. Такие учителя вуж-
42
даются в рецептах для решения любой педагогической
задачи: онн стремятся получить методические разработ-
ки для каждого урока, для каждого внеклассного меро-
приятия» [6, с. 69]. Это значит, что пассивность сту-
дентов при обучении математике, противопоказанная
вузу любого профиля, вдвойне противопоказана педин-
ституту.
Активное обучение математике означает прежде всего
организацию самостоятельной работы студентов, при-
чем не только цри выполнении контрольных и курсовых
работ, практических домашних заданий. Речь идет о
формировании у студентов стойкой потребности к само-
стоятельному изучению специальной учебной, научной и
методической литературы, потребности, которая впо-
следствии, уже не у студента, а у учителя математики,
перерастает в привычку заниматься самообразованием,
что очень важно для совершенствования профессиональ-
ного мастерства педагога.
Вопросы, связанные с формированием основ профес-
сионального мастерства в процессе обучения в педвузе,
недостаточно разработаны и в теоретическом плане. На-
пример, нельзя считать полностью исследованной проб-
лему такого построения лекционных курсов, которое
было бы специфическим именно для педагогического ин-
ститута. Не исследованы возможности формирования
методических взглядов будущего учителя в процессе
преподавания математических дисциплин. Не создана
система целенаправленного и многопланового обучения
студентов решению школьных математических задач, не
выявлены характеристики профессионально-педагогиче-
ского подхода к выбору задач и их роли в деле под-
готовки будущего учителя математики. Все это замы-
кается в конечном счете на одной проблеме — проблеме
профессионально-педагогической направленности обуче-
ния в педвузе.
Эффективность обучения в педвузе определяется
полнотой решения основной задачи: на базе марксист-
ско-ленинской методологии, гармонически сочетая идео-
логическую, научную, методическую и психолого-педаго-
гическую подготовку, обеспечить формирование все-
сторонне развитой и социально зрелой личности буду-
щего учителя математики высокой квалификации.
Проблема отыскания оптимальных условий профес-
сиональной подготовки и формирования личности спе-
циалиста в стенах вуза является одной из первоочеред-
ных задач педагогики высшей школы.
Немаловажную роль в решении этой проблемы иг-
рают содержание и принципы обучения студентов спе-
циальным дисциплинам. «Трудности при обучении лю-
бому предмету,— пишет Л. Д. Кудрявцев,— возникают
уже при отборе материала, которому собираются учить,
и, быть может, еще больше при установлении принци-
пов, которыми следует руководствоваться при обуче-
нии» [3, с. 9]. При обучении: а) математике, б) буду-
щего учителя математики — проблема «что препода-
вать», пожалуй, даже уступает по значимости пробле-
ме «как преподавать». Поэтому, оставив в стороне во-
просы, связанные с конкретным содержанием того или
иного математического курса, заострим внимание на
принципах обучения, точнее, на том, который представ-
ляется нам одним из ведущих. Речь идет о принципе
профессионально-педагогической направленности обуче-
ния, выражающем необходимость целенаправленного и
непрерывного формирования у студентов основ профес-
сионального мастерства, базирующихся на активных и
глубоких знаниях школьного курса математики, его на-
учных основ и методического обеспечения, о принципе,
который требует от любого математического курса и
от ведущего этот курс преподавателя использовать все
средства для создания благоприятного эмоционального
фона в отношении студентов к профессии учителя, к
математике как научной дисциплине и учебному пред-
мету. Он основан на разработанном советскими психо-
логами и педагогами так называемом деятельностном
подходе, который рассматривает всякое обучение как
обучение некоторой деятельности. При математической
подготовке студента в пединституте нужно стремиться
к диалектической взаимосвязи дьух разных родов.его
деятельности изучения математического материала се-
годня и подготовки к педагогической работе учителя
математики завтра. По существу это две стороны еди-
ного процесса профессионального воспитания будущего
учителя математики.
Принцип професснональио-педагогнческой направлен-
ности предполагает разумную сбалансированность меж-
ду двумя крайностями. Перная состоит в том, что об-
щенаучная подготовка отрывается от нужд приобре-
таемой профессии. Приходится иногда сталкиваться с
ошибочным мнением, будто единственное, о чем надо
заботиться,— это о высоком уровне математической
подготовки будущего учителя — все остальное прило-
жится само собой: высокий уровень математической
подготовки обеспечит «взгляд сверху» на школьный
курс математики и этого «взгляда сверху» уже доста-
точно для выработки правильной стратегии преподава-
ния математики в школе. Вторая крайность — необосно-
ванно утилитарный подход к общематематической под-
готовке, учитывающий только нужды школы, при ко-
торой учитель оказывается знающим не более того, что
он обязан преподавать. «Тот, кто рассматривает учеб-
ный материал, не  зная, что за ним следует, абсолюти-
зирует этот материал, изолирует его, возводит в сте-
пень верования, а это всегда опасно» [7, с. 56]. Эта
вторая крайность противопоказана математике еще и
потому, что содержание учебного курса не может быть
определено только с точки зрения потребностей приоб-
ретаемой специальности; при становлении математики
как учебного предмета необходимо учитывать внутрен-
нюю логику самой математики. Последнее обстоятель-
ство еще раз показывает необходимость солидной ма-
тематической подготовки учителя математики, овладе-
ния им своим предметом в пределах, далеко выходящих
за рамки школьного курса.
Комплекс математических дисциплин, изучаемых в
пединституте, должен обеспечить студенту, с одной сто-
роны, современное научное истолкование всех основных
понятий и фактов, составляющих школьный курс мате-
матики (разумеется, с запасом, применительно ие толь-
ко к сегодняшнему состоянию этого курса), н, с дру-
гой стороны, знакомство с методами изложения школь-
ной математики, не гнушаясь этой работы и не считая
ее прерогативой только курса методики преподавания
математики. По нашему глубокому убеждению, курс
методики преподавания математики сможет успешно
решить свои задачи только на основе двуедннства хо-
рошей математической подготовки студента и уже
сформированных (или хотя бы начавших формировать-
ся) его методических взглядов. В противном случае
этот курс рискует, как это, к сожалению, нередко бы-
вает, предстать перед студентами не строго научной, а
опытно-рецептурной дисциплиной.
Остановимся вкратце на некоторых возможностях
совмещения научной и методической концепций при чте-
нии математического курса в пединституте Больше вни-
мания преподаватели педвуза должны уделять мотива-
ционному обеспечению всей учебной работы и каждой
отдельно взятой темы курса. Это способствует, с одной
стороны, оптимизации учебного процесса в педвузе. С
другой стороны, преподаватель показывает студентам
пример деятельности, которая является одной из труд-
нейших и важнейших для учителя математики: форми-
рование у учащихся положительной мотивации всей
учебной работы. Необходимым условием эффективности
обучения математике на любом уровне является все-
стороннее изложение, показ разных точек- “рения, раз-
личных способов доказательства одной н той же теоре-
мы. Это особенно важно для пединститута, ибо способ-
ствует выработке у студентов определенных методиче-
ских взглядов.
 И с научной, н с методической точек зрения при обу-
43
чеипп математике существен вопрос о выборе уровня
строгости «Строгость изложения.— писал А. А. Ляпу-
нов,— должна быть разумным образом согласована с
профилем специальности. Во многих .случаях излишняя
Формализация математики препятствует развитию ин-
туиции и полноценному усвоению материала» [5,
с. 113—114]. Эта мысль особенно важна при построе-
нии математических курсов для будущих учителей. Из-
лишняя формализация приносит двойной вред студенту:
во-первых, затрудняет изучение им данного математи-
ческого курса, и во-вторых, постепенно и непроизвольно
вырабатывает у пего опасное для будущего учителя
убеждение, что обучение математике состоит исключи-
тельно из блоков вида: «дано» — «требуется доказать».
Целесообразно варьировать уровни строгости, предва-
ряя тот или иной-раздел математики элементарным об-
зорным введением, основанным иа правдоподобных
рассуждениях, на соображениях наглядности, на интуи-
тивных пре щгавлениях.
Одной из насущных задач преподавателя математи-
ки в педвузе является развитие у студентов интереса к
математике. Растущая увлеченность способствует изу-
чению математики, ведь деятельность, поддерживаемая
эмоциями человека, протекает более успешно, чем та,
к которой он себя принуждает Недаром интерес к ма-
тематике занимает одно из ведущих мест в перечне
специальных качеств, которыми должен обладать учи-
тель математики.	I
Будущий учитель должен в стенах вуза научиться со-
ставлению н применению алгоритмов и алгоритмических
предписаний, ибо этим характеризуется современный
стиль обучения математике. Тем самым отнюдь не при-
нижается творческая линия в математике и не стано-
вится менее значительным ее вклад как науки и как
учебного предмета в дело становления характера, мыш-
ления и обшей культуры обучаемого.
Курс методики преподавания математики должен
вооружить будущего учителя методами обучения
школьников построению п исследованию математических
моделей. Эту свою задачу он сможет выполнить лишь в
том случае, если в математических курсах студенты
овладели и lecii моделирования. Используя математиче-
ское моделирование для решения той илн иной задачи,
прсподаватеть любого математического курса может
явно выделить и подчеркнуть три этапа работы: форма-
лизацию, т. е. составление математической модели, ре-
шение задачи внутри построенной модели, интерпрета-
цию полеченного результата к исходной задаче. Делать
это желательно при каждом удобном случае, не боясь
повторов. Здесь уместно напомнить слова Я. С. Дуб-
нова о том, что «в преподавании методы не могут быть
оторваны от добываемых с их помощью фактов, по
педагог в каждом случае должен иметь ясное представ-
ление о том, где проходит магистральная линия его
усилий» [2, с. 30—31]. Преподаватель педвуза должен
помнить, что он учит будущего учителя математики.
Безусловно, важно, чтобы студент овладел той конкрет-
ной математической моделью, о которой сегодня ему
рассказывает преподаватель. Но «магистральная линия»
усилий преподавателя педвуза состоит не только в
этом. На । оикретной математической модели он может
показать будущему учителю всю важность правильной
трактовки элементов математического моделирования в
решении таких педагогических задач, как формирование
элементов математической и общей ку тьтуры учащихся,
их диалектнко-материалистнческого мировоззрения, со-
вершенствование прикладной направленности курса и
его внутрипредметных и межпредметных связей. Буду-
щие учителя должны понять: математическое моделиро-
вание является важной стороной политехнической на-
правленности среднего образования молодежи.
Еще одну возможность совмещения научной и мето-
дической концепций мы видим в обучении студентов
принципам дидактики в пронес~е преподавания мате-
матических дисциплин. Безусловно, формулировка и
изучение этих принципов — дело курса педагогики. Но
если собственный опыт обучения математике не пока-
зывает студенту эти принципы в работе, то он в луч-
шем случае настолько же добросовестно выучит нх к
экзамену по педагогике, насколько спокойно забудет
после экзамена. Урон будущей педагогической квалифи-
кации очевиден.
Обучать принципам дидактики в курсе математики
педвуза можно явно, подчеркивая использование того
или иного принципа при изложении материала (важно,
чтобы преподаватель математики в пединституте не
проходил мимо любой такой возможности), а можно и
косвенно (что не менее эффективно), целенаправленно
строя весь процесс обучения на принципах дидактики.
Совмещение научной и методической концепций вы-
двигает на первый план идею связи данной математи-
ческой дисциплины со школьным курсом математики.
Эта идея должна стать ведущей для любого математи-
ческого курса в педвузе, чтобы у студентов iie созда-
валось ложного представления о том, будто бы выс-
шая математика им, как будущим учителям, для ра-
боты в школе не нужна. Напротив, у них должно креп-
нуть убеждение, что без институтской математической
подготовки полноценных учителей из них ие выйдет.
Преподаватели математических дисциплин в пединститу-
те должны четко знать и доводить до сознания студен-
тов связь излагаемых вопросов с курсом математики
средней школы. На лекциях и практических занятиях
они могут показывать, зачем изучается тот или иной
вопрос, как он связан с будущей деятельностью учите-
ля математики, а также вскрывать неизбежные логи-
ческие пробелы в дедуктивном построении школьного
курса и пути их ликвидации, сопоставлять ь наиболее
существенных случаях школьный и вузовский варианты
изложения того или иного раздела, введения того илн
иного понятия. В начале или в конце изучения той или
иной темы полезны методические замечания о ее значе-
нии для школьного курса, причем такие замечания и
выводы должны появляться не от случая к случаю, а
систематически. Их отсутствие должно вызывать и у
студента, и у преподавателя ощущение дискомфорта.
Организация учебного материала вокруг ведущей
идеи (одной или нескольких), которая к тому же явно
сопряжена с будущей специальностью, содействует од-
новременному решению двух задач: апачи дальнего
прицела — формированию основ профессионального
мастерства будущего учителя н задачи сегодняшнего
дня — обучению конкретной математической дисципли-
не педвуза.
Совмещение в рамках математического курса педвуза
общенаучной и методической концепций не означает,
конечно, что одной из обязанностей преподавателя ма-
тематического анализа является обучение студентов
методике преподавания в школе элементов анализа,
преподавателя геометрии — методике преподавания гео-
метрии, а преподавателя алгебры — методике препода
вания алгебры. Речь идет о создании основными мате-
матическими дисциплинами наилучшнх предпосылок для
того, чтобы в курсе методики преподавания математики
можно было бы заниматься именно методикой в под-
линно научном смысле этого слова. Это отнюдь не при-
нижает значение курса методики преподавания 'мате-
матики и соответствующей кафедры, напротив, роль
кафедры методики преподавания математики как на-
правляющей, координирующей совместную работу пре
подавателей всех кафедр факультета по профессиональ-
но-педагогической направленности обучения, по нашему
мнению, должна возрастать
Литература
1.	О реформе общеобразовательной и профессиональ-
ной школы: Сб. документов и материалов.— М.: Полит-
издат, 1984.
2.	Дубнов Я С. Содержание и методы преподавания
элементов математического анализа и аналитической
44
Таблица 1
геометрии в средней школе.— Математическое просве-
щение, I960, № 5. 
3.	Кудрявцев Л. Д. Мысли о современной математи-
ке и ее изучении.— М.: Наука, 1983.
4.	AfuujeHKO А. С. Совершенствование подготовки
учителей математики в университетах и педагогических
институтах.— В сб.: «Совершенствование методической
подготовки учителей математики в педагогических ин-
ститутах СССР». Киев: КГПИ, 1983.
5.	На путях обновления школьного курса математики:
Сб. статей и материалов.— М: Просвещение, 1978.
6.	Сластенин В. А. Формирование личности учителя
советской школы в процессе профессиональной подго-
товки.— М.: Проев, щение, 1976.
7.	<Ррейдечталь Г. Математика как педаго! нческая
задача. Ч. 1.— М.: Просвещение, 1982.
Из редакционной почты
Общеизвестно, что необходимым условием эффективно-
го методического обучения студентов является хорошее
знание ими курса школьной математики. Однако
утверждать, будто бы указанное условие выполнено
ныне во всех педвузах, преждевременно. Об этом сви-
детельствуют, например, контрольные работы по школь-
ной математике, регулярно устраиваемые в пединститу-
тах Центральной зоны РС^СР За последнее время
проведены две такие работы: одна включала в себя за-
дачи из традиционных разделов школьного курса мате-
матики, непосредственно взятые из школьных учебни-
ков, ьторая, геометрическая, содержала задачи на век-
торный и координатный методы, в' принципе посил! ные
хорошим ученикам IX—X классов.
Приведем выдержку из статьи М. П. Замаховского
(г. Коломна) и М. И. Денисовой (г Рязань), содержа-
щую вариант контрольной работы по геометрии и ее
итоги..
«1	. В тетрведре РАВС М— середина ребра ВС и О —
центр тяжести грани РВС. Полагая et=^AB, е2=АС,
ез—АР, найти координаты векторов РМ и АО.
2.	Все ребра прямой треугольной призмы АВСАДД,
имеют раьные длины. Найти величину угла между пря-
мыми BCt и АС.
3.	Даны две смежные вершины А(—3; —1) и
В (2; 2) параллелограмма АВСР и точка М(3; 0) пере-
сечения его диагоналей. Написать уравнения прямых,
содержащих стороны этого параллелограмма
4.	Найти координаты центра описанной около тре-
угольника АВС окружности, если А (2; —2), В(—3: 2)
и С (1; 4.) »
Было условлено, что решение каждой задачи оцени-
вается баллами 3, 2, 1, 0. При сумме баллов 12 или
11 ставится итоговая опенка «отлично», при сумме бал-
лов 10—8 — «хорошо», 7, 6 — «удовлетворительно», при
сумме 5 и меньше — «неудовлетворительно». Общие
результаты по 17 институтам зоны указаны в табл. 1.
В статье В. Я. Саннинского (г. Тула) приводятся
два варианта проверочной работы, целью котовой было
оценить Уровень умений будущих учителей решать за на-
ми школьного типа Она была проведена в Центральной
зоне в ноябре 1981 г. Укажем одни ее вариант.
Кура	Средний балл за каждую из задач				«ДО Сумме сред- них баллов
	1	2	3	<	
I	2.3	0,9 ‘	2.4	1,6	7,2
IV —V	2,6	1.6	2.2	 0,9	7,3
«1 Методом математической индукции доказать:
4n-t-15n—1 делится на 9 при любом п £ N.
2. Решить уравнение
/jc+1— / х 1 — V х
S.	В двузначном числе цифра единиц на 2 больше
цифры десятков Само число деиася на 3. Найти это
число.
4. Произведение длин отрезков хорд, проходящих че-
рез данную внутри окружности точку, постоянно для
всех хорд Доказать
5. Построить график функции
у =-^-cos.^2x ——)»
Работа была рассчитана на 1,5 ч, каждая задача оце-
нивалась баллами 3, 2, I, 0. Студент получал за раиогу
«отлично», если он набрал 14 или 15 баллов, «хоро-
шо»— за 13-—II баллов, «удовлетвори 1Слыю»—за 10—
8, «неудовлетворительно», если получал меньше 8 бал-
лов. В работе приняли участие 234 студента вторых
курсов и 193 студента четвертых курсов 11 пединсти-
тутов Центральной зоны. Итоги В Я. Саннинский ука-
зывает в таблицах 2 н 3.
Отличную оценку получили 8 человек (1,9 % испытуе-
мых), хорошую — 89 (20,8%), удовлетворительную —
182 (42,6 %), неудовлетворительную—I 18	(34,7 %).
Итоговый средний балл составил 8,1, т. е. он оказался
фактически равным нижней грани, позволяющей полу-
• чить удовлетворительную оценку.
«Как видим,— пишет В Я. Саниинскнй,— за период
обучения на III—VII семестрах иатйи студенты в уме-
нии решать задачи школьного типа продвигаются весь-
ма незначительно, всего на 0,1 балла». Между прочим,
те же 0,1 балла продвижения видим мы и в таблице 1.
«Спрашивается,— продолжает В. Я Саыншскнй,— по-
чему наши студенты решают зада ih школьного типа
только на «удовлетворительно», а ие лучше, как это
должно быть?» Ответ иа этот вопрос он видит в тра-
диции считать обучение решению таких задач обязан-
ностью только «Практикума по решению задач», кото-
рому отводится сравнительно небольшое число учебных
часов.
«Для того чтобы научиться решать задачи, надо
решать задач н,— подчеркивает В. Я- Саннин-
ский.— Необходимо не на словах, а на деле выполнять
указания учебных программ педвуза:
отобрать для решения наиболее поучительные задачи
из действующих учебных пособий по математике для
VI—X классов;
Таблица 2
Сумма баллов	15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5
Число студентов	3	5	22	27	40	41	57	84	29	33	86
45
Таблица 3
Курс	Средний балл за каждую из задач					Сумма сред- них баллов
	1	»	3	4	Б	
II	2.3	2,1	1.5	0,9	1.3	8,1
IV	2,0	2,2	1,-5	0,8	1,7	8,2
распреде шть отобранные задачи по принадлежности
между математическими курсами;
решать их со студентами на всем протяжении этих
курсов; включать в текущие контрольные работы и се-
местровые зачеты— •
Исходя из профиля подготавливаемого специалиста
целесообразно, общими силами коллектива факультета,
разработать перечень основных умений, которые нельзя
забывать; составить и осуществлять сквозной, на весь
период обучения, план их систематического подкрепле-
ния; привлечь к реализации этого плана преподавате-
лей всех математических дисциплин (например, про-
порционально часам, отводимым на их изучение)».
Перейдем теперь к обзору статей, авторы которых
размышляют о совершенствовании обучения студентов
методике преподавания математики, о развитии у них
интереса к этому курсу в системе подготовки будущего
учителя математики.
В статье Г. Н. Скобелева и А. А. Столяра (Могилев)
«Тесты на практических занятиях по курсу методики
преподавания математики» мы читаем: «При установив-
шейся практике преподавания этого курса контроль за
работой студентов сводится к наблюдению за их вы-
ступлениями на семинарах и проверке домашних зада-
ний (которые порой выполняются наспех и не всегда
самостоятельно). Такое положение приводит к тому, что
преподаватель иногда не имеет правильного представ-
ления о том, насколько данный студент подготовлен к
работе в школе...
Изучая пути совершенствования подготовки учителей,
кафедра методики преподавания математики Могилев-
ского пединститута разработала технологическую карту
предмета, в которой кроме подробной детализации со-
держания каждой лекции, практического и лаборатор-
ного занятия предусмотрен н контроль за работой сту-
дентов. Контроль рассматривается как средство обрат-
ной связи (от студен га к преподавателю), позволяющее
улучшить управление процессом обучения. Практически
это осуществляется с помощью дополнения тестами тра-
диционных форм контроля...»
Тесты, описываемые Г. Н. Скобелевым и А. А. Столя-
ром, делятся на две группы Тесты первой группы вы-
рабатывают у студентов умения разбираться в педаго-
гических ситуациях, анализировать допущенные учащи-
мися ошибки и неточности, вести работу по преодоле-
нию пробелов в знаниях учащихся.
Другая группа тестов проверяет степень знакомства
студента с лекционным материалом н со школьными
учебниками. В них к каждому разбираемому школьно-
му упражнению указан ответ. Студент же должен оце-
нить правичьность или неправильность ответа. После
выполнения теста предложенные в нем задания пред-
ла1агтся обсуждать на семинарских занятиях.
Авторы делают следующие выводы о значении тестов
в деле повышения >ффективности практических занятий
по методике преподавания математики.
«Удачно дополняя традиционные формы контроля,
тестирование позволяет сделать проверку знаний гту-
дентов оперативной...
Тестирование экономит впемя контроля и позволяет
увеличить часто.у проверки знаний, улучшая тем самым
обратную связь, что ’способствует более эффективному
управ пению учебным процессом
Работа над анализом теста после его выполнения по-
вышает активность студентов на практических занятиях
и । пособствуег улучшению качества их знаний».
На той же кафедре методики преподавания- матема-
тики Могилевского пединститута ведется поиск путей
совершенствования содержания контрольных работ по
методике преподавания математики. Об этом рассказы-
вается в статье М. И. Буловацкого. При отборе конт-
рольных заданий на кафедре решили руководствоваться
следующим критерием: задания должны как можно
лучше отражать те формы деятельности учителя кото-
рые достаточно часто встречаются в реалы.ой практи-
ке. Это, например, реакция учителя на ошибки, допус-
каемые в ответах учащихся, проверка и оценка учите-
лем письменных работ учащихся (домашних, самостоя-
тельных, контрольных и др.), устранение и предупреж-
дение типичных ошибок и т. д.
Говоря о преимуществах таких работ, М. П. Було-
вацкий пишет: «Во-первых, студенты ответственнее от-
носятся к ним, понимая, что здесь они имеют дело с
элементами своей будущей деятельности в самом нату-
ральном виде. Во-вторых, обнажаются конкретные про-
белы в их методической подготовке».
Поиски путей совершенствования методики препода-
вания математики ведутся во многих пединститутах,
причем часто в одних и тех же направлениях (при об-
наружении «болевых точек»). Не случайно в редакцию
почти одновременно поступили две статьи, рассказы-
вающие о постановке лабораторных работ по этому
курсу в Минском (И. А. Новик) и Брянском (3. И. Во-
ронкова, Г. Е. Пулнчева, М. А. Скоробогатая) пед-
инстит утах.
В Минском пединституте определено содержание и
апробирована методика проведения 10 лабораторных ра
бот. Они выполняются параллельно с лекциями и прак-
тическими занятиями по методике преподавания мате-
матики и имеют целью формировать у студентов
определенные умения и навыки, которые нужны тем,
кому предстоит трудиться в школе.
И. А. Новик приводит перечень тем лабораторных
работ:
«№ 1. Методы активизации познавательной деятель-
ности учащихся при обучении математике.
А» 2. Методы контроля знаний учащихся.
№ 3. Наблюдение и анализ урока, посвященного
ознакомлению учащихся с новым материалом по мате-
матике в восьмилетней школе.
№ 4. Наблюдение и анализ внеклассного мероприя-
тия по мгиематике в восьмилетней школе.
№ 5. Организация и методика проведения работы с
учащн лися, неуспевающими по математике.
№ 6. Наблюдение и анализ урока геометрии по за-
креплению изученного матерйвла в старших классах
средней школы.
№ 7. Наблюдение за подготовкой учащихся к экзаме-
нам по математике (VIII и X класс) в средней школе
№ 8. Анализ урока, посвященного проверке знаний,
умений и навыков по алгебре и началам анализа в
старших классах средней школы.
№ 9. Изучение системы наглядных пособий и техни-
ческих ср :дств'обучен ия.
№ 10. Кабинет математика в школе и методика ра-
боты в нем».
В методических установках к каждой теме указаны
цель работы, оборудование, список необходимой лите-
ратуры, а также дана схема отчета по проделанной ра-
боте. Все это, по мнению автора, повышает эффектив-
ность обучения студентов и способствует формированию
у них основ профессионального мастерства.
3. И. Воронкова, Г. Е. Пуличева. М. А. Скоробога-
тая рассказывают о постановке в Брянском пединсти-
туте лабораторных работ по темам: «Проверка знаний
и умений учащихся по математике. Нормы оценок зна-
ний учащихся», «Применение микрокалькуляторов при
обучении математике в школе». Особый интер с пред-
ставляет вторая из них. Она проводится на V курсе,
46
когда студенты прослушали курс лекций, выполнили
цикл лабораторных работ по вычислительной математи-
ке и овладели техникой расчетов иа различных типах
малогабаритных электронных вычислительных машин с
клавишным вводом.
От студентов требуется выявить возможности при-
менения микрокалькуляторов (МК) в учебном процессе
средней школы; продумать методику ознакомления уча-
щихся с выполнением на МКШ-2 арифметических дей-
ствий, вычислением значений рациональных выражений
и использованием регистра памяти путем составления
программ вычислений. Особое внимание при этом об-
ращается на составление студентами конспектов прак-
тических работ по теме «Приближенные вычисления в
VII классе с помощью МК» и вариантов контрольной
работы для учащихся по теме «Приближенные вычисле-
ния», выполнение которой предполагает применение
микрокалькуляторов.
Преподаватели из Брянского пединститута ’приводят
также темы еще трех лабораторных работ;
«Школьный кабинет математики: наблюдение трех
уроков с последующим анализом (по математике в
IV--V классах, по алгебре и геометрии)».
«Планирование учебной работы по математике и со-
ставление конспектов трех уроков (по математике в
IV—V классах, по алгебре и геометрии)».
«Анализ системы упражнений по выбранной теме,
подготовка материалов к устному экзамену по геомет-
рии за курс восьмилетней школы».
По мнению авторов обеих статей, лабораторные ра-
боты по методике преподавания математики должны за-
нять видное место в системе обучения в пединституте,
поскольку они способствуют активному формированию
у студентов практических умений и навыков по всем
основным видам деятельности учителя математики.
В последнее время в высших педагогических учебных
заведениях усилено внимание к обучению студентов ме-
тодике проведения внеклассной работы по математике.
В присланных в редакцию статьях рассказывается о
спецкурсах, посвященных внеклассной работе, В качест-
ве примеров укажем спецкурс «Научно-теоретические
основы внеклассной работы по мат ематике» и спецсе-
минар «Формы и методы внеклассной работы по мате-
матике» в Казахском педагогическом институте им.
Абая, о которых написали в редакцию Н. Н. Забежан-
ская и К. Ш. Шаяхметова, а также спецкурс и спецсе-
минар «Школьный факультатив» в Саратовском госу-
дарственном педагогическом институте им. К. А. Феди-
на, описанный в работе Т. В. Автономовой и Е. С. Пет-
ровой.
Внеаудиторные заиятип со студентами также имеют
немалые возможности для привития им навыкрв вне-
классной работы и вкуса к ней. Н. Н. Забсжанская и
К. Ш. Шаяхметова рассказывают о формах таких вне-
аудиторных занятий, практикуемых в КазПИ им. Абая:
«Они начинаются уже с 1 курса, когда мы выявляем
(путем анкетирования и бесед) личные впечатления о
внеклассной работе по математике у вчерашних школь-
ников и тем самым фиксируем их внимание на отдель-
ных формах внеклассной работы по математике... В те-
чение I семестра мы готовим студентов к простейшим
внеклассным занятиям с учениками III—IV классов
(выпуск математических газет, проведение одного-двух
кружковых занятий) и начиная со II семестра привле-
каем их к работе с учащимися в школе». На факульте-
те уже 2 года существует клуб «Прометей», основной
целью которого является подготовка творческого учи-
теля, умеющего спланировать и организовать различные
формы внеклассных занятий по математике.
В ряде статей авторы рассказывают о поисках и на-
ходках кафедр в деле организации и проведения пед-
практики студентов. Приведем несколько выдержек из
статьи А. Г. Нудельмана (г. Омск), который указывает
две основные цели педагогической практики: «Раскрыть
перед практикантами дидактические особенности про-
цесса формирования у учащихся математических знаний
и сформировать у студентов основные методические
умения и навыки учительской деятельности».
Аьгор подчеркивает, что реализация этих целей долж-
на осуществляться совместно. «Действительно, дидак-
тические особенности процесса формирования у уча-
щихся математических знаний раскрываются только во
время активной деятельности учителя, т. е. тогда, когда
студент формирует свои основные методические умения.
Учитывая этот двуединый характер педагогической
практики, возникает необходимость начинать работу со
студентами с самого элементарного, а именно, с обуче-
ния их, как нужно строить свою подготовку к уроку.
Для этого в течение всего периода практики студентов
в тех случаях, когда учитель сам ведет уроки, целесо-
образно, чтобы свою подготовку к ним он проводил в
присутствии практикантов. ,
В условиях нашей базовой школы, где имеется ме-
тодический кабинет с необходимой литературой, учителя
...строили свою работу по-разному. В одних случаях
приходилось просто мотивировать выбранный прием из-
ложения материала, опираясь на данный конкретный
уровень подготовки учащихся; в других случаях учи-
тель как бы советовался со студентами, перебирая воз-
можные способы изложения нового материала, включая
подбор определенных учебно-наглядных пособий.
В последние 10 лет большое место в нашей работе
со студентами занимает формирование у них умений и
навыков использовать различные самсстоптельные ра-
боты при изучении нового материала. При этом внима-
ние практикантов акцентируется на возможности соче-
тать фронтальную, групповую и индивидуальную формы
работы с учащимися '.
На основе этого обучающего периода у студентов
начинает формироваться определенная методическая са-
мостоятельность. В конце ознакомительной недели каж-
дый студент уже имеет один-два самостоятельно под-
готовленных урока. Часть из этих уроков проводятся
им со своими колле! ами, которые играют одновременно
роли учеников и методистов. Эти репетиции проходят
в присутствии группового методиста, а иногда и учи-
телей.
У нас всех (практикантов, учителей, группового руко-
водителя) сложилось единое мнение, что, наряду с дру-
гими видами методической помощи, подготовка студен-
тами методических разработок с последующим нх ап-
робированием на практике в благожелательной обста-
новке не только является важнейшим средством для
формирования у них методической самостоятельности,
но и служит хорошим эмоциональным стимулом для
выработки у будущих учителей уверенности в своих
силах. Можно сказать, что создание для студентов бла-
гоприятных условий в период практики в сочетании с
должной требовательностью положительно влияет на
формирование у них учительского призвания».
О трех особенностях педпрактики в Саратовском пед-
институте рассказывают Т. В. Автономова и Е. С. Пет-
рова. Первая состоит в том, что в период педпрактики
студенты проводят лекции в порядке внеучебной рабо-
ты. Во время таких лекций они учатся организовывать
внимание слушателей, вызывать у них интерес к теме
лекции, использовать средства наглядности и ТСО.
Вторая особенность связана с созданием на физико-ма-
тематическом факультете кабинета математики школь-
ного типа, фонды которого постоянно пополняю-ся са-
мими студентами и предоставляются студентам в пе-
риод педпрактики. Наконец, следует отметить связь
педпрактики с курсовой работой. «Студенты IV курса
выбирают тему курсовой работы по методике препода-
вания математики задолго до педагогической практики.
1 См.: Нудельман А Г. Фронтальная и групповая
формы работы на уроках математики.— Математика в
школе, 1983, № 1.
47
В число требований, предъявляемых к этим раиотам,
входит обязательное использование личного опыта за-
нятий по математике в школе, а также опыта учителей
математики и методических объединений. В числе от-
четных документов по педпрактике обязателен научно-
методический доклад, составление текста которого слу-
жит подготовкой студента к написанию курсовой ра-
боты».
Курс методики преподавания математики, спецкурсы
и спецсеминары, курсовые и дипломные работы, пед-
практика, различные формы внеаудиторной работы со
студентамивсе это служит‘хорошей основой для со-
здания комплексной системы привлечения студентов 1—
V курсов к учебно-исследовательской, научно-исследова-
тетьской и научно-методической деятельности в области
ме.одики преподавания математики.
Опыт создания такой системы имеется в СГПИ им.
К- А. Федина. Т. В. Автономова и Е С. Петрова рас-
сказывают о 20 последовательных этапах научной ра-
боты студентов в области методики преподавания мате-
матики.
I—III курсы: 1) выбор теми для самостоятельного
исследования; 2) перевод статей и фрагментов книг по
избранной теме с иностранного языка; 3) курсовая ра-
бота по математике.
IV курс: 4) подготовка к курсовой работе по мето-
дике преподавания математики (подбор литературы,
изложение некоторых общих и теоретических вопросов,
решение задач школьного курса, выдвижение методиче-
ских гипотез, консультации  у преподавателей и т. д.);
5) апробация подготовленного ранее материала по теме
курсовой работы на уроках, факультативах, во вне-
классной работе в школе в -период педпрактики, уточ-
нение результатов, консультации у руководителя; 6) на-
учно-методический доклад по итогам педагогической
практики; 7) выступление на заключительной конферен
ции по педагогической практике; 8) занятия на спец-
курсе и спецсеминаре; 9) курсовая работа; 10) выступ-
ление па научной студенческой конференции; 11) защи-
та курсовой работы; 12) уточнение темы дипломной
работы по педагогике и методике преподавания мате-
матики; консультации у преподавателей кафедры педа-
гогики
JV—V курс 13) начало дипломной работы.
V курс: 14) апробация подготовленного ранее мате-
риала по теме дипломной работы на педпрактике в
старших классах, уточнение результатов, консультации
у руководителя дипломной работы; 15) выступление на
итоговой конференции по педпрактике: 16) занятия на
спецкурсе и спецсеминаре; 17) написание дипломной
работы; 18) выступление на научной студенческой кон-
ференции; 1S) окончательное оформление дипломной
работы; 20) защита дипломной работы.
Следует отметить, что в последнее время усилено
внимание к профессиональной подготовке учителей ма-
тематики в университетах. Об этом свидетельствуют
присланные в редакцию статьи преподавателей универ-
ситетов Е. К. Поветкиной из г. Иваново, В. Н. Сергеева
из г. Омска, 3. О Шварцмана из г. Томска и
Г. В. Злоцкого из г Самарканда.
«Вместе с возрастанием роли школы в обществе раз-
витого социализма,— пишет 3. О. Шварцман,— повыша-
ются требования к профессиональной -подготовке буду-
щего учителя математики. В связи с этим проблемы
методической подготовки учителя становятся весьма
актуальными, особенно в университетах, где математи-
ческие курсы не имеют педагогической направленности.
Между тем число университетов, большинство выпуск-
ников которых становятся учителями математики, зна-
чительно увеличилось за последние 10—15 лет...
Полученные в университете солидные математические
знания могут оптимально влиять на организацию учеб-
но-воспитательного процесса с учащимися лишь при
наличии соответствующей  методической щццотовки,
обеспечивающей учителю твердую уверенность в своих
профессиональных возможностях и установку на педа-
гогическую деятельность».
В статье 3. О. Шварцмана идет речь о системе ме-
тодической подготовки учителя -математики в Томском
университете, предназначенной для учительских групп,
которые формируются в середине III курса. Она «вклю-
чает трн основные подсистемы, которые можно назвать
так: 1) теоретическая; 2) исследовательская; 3) практи-
ческая... Система теоретической подготовки состоит из
курса методики преподавания математики (VII -се-
местр), специальных курсов „Дополнительные главы ме-
тодики преподавания математики” (VIII семестр),
„Факультативные занятия по математике”, „Развитие
творческих способностей учащихся в процессе изучения
математики” (IX семестр) и спецсеминара „Система
внеурочных занятий по математике” (X семестр). Си-
стема исследовательской подготовки включает выполне-
.ние рефератов, курсовых н дипломных работ по мето-
дике, проведение педагогических экспериментов, подго-
товку докладов к спецсеминару, научным конференциям
и некоторые другие формы. Практическая подготовка
учителя включает в себя подготовительный этап пед-
практики (VI—VII семестры), обучающую педпрактику
(VIII семестр), производственную, стажерскую пед-
практику (17 недель в IX семестре). В X семестре за-
нятия с учащимися продолжают те’ студенты, у которых
темы дипломных работ и докладов на спецсеминаре
требуют завершения экспериментов в школе».
<’ В. Злоцкий пишет: «Одна из важнейших задач
университетов состоит в оказании помощи органам на-
родного образования в повышении уровня учебно-вос-
питательной работы средней школы. В связи с этим
связь со школой — естественная и необходимая сторона
жизни университетов. Университеты, как правило, об-
ладают высоким научным потенциалом, квалифициро-
ванным составом профессорско-преподавательских кад-
ров, способным активно исследовать важнейшие педа-
гогические проблемы. Если учесть, что многие выпуск-
ники университетов в конечном счете оказываются учи-
телями средней школы, а среди преподавателей высших
и средних специальных учебных заведений нх подав-
ляющее большинство, то становится ясно, насколько
актуален вопрос о профессиональной ориентации неко-
торой части выпускников университетов на педагогиче-
скую деятельность.
Известно, что выпускников университетов отличает
достаточно высокий уровень математической подготов-
ки. Вместе с тем твердое знание отдельных математи-
ческих дисциплин и эрудиция в области'математики в
целом, приобретенные в стенах университета, порой не
приносят ожидаемых результатов в педагогической дея-
тельности. Объясняется это гем, что выпускники уни-
верситетов недостаточно осведомлены о психологических
закономерностях развития детей, подростков, учащихся
других возрастных групп, об особенностях усвоения ими
знаний, о методах обучения, разнообразии организаци-
онных форм обучения, практически не владеют методи
кой преподавания математики».
Г В. Злоцкий рассказывает о научно-методической
подготовке студентов Самаркандского университета к
профессиональной педагогической деятельности: «На
третьем курсе обучения в процессе специализации нз
студентов, проявивших склонность к педагогической
работе, подбираются слушатели спецкурса „Основания
математики”. В соответствии с составленной нами про-
граммой на этом спецкурсе на третьем, четвертом н пя-
том годах обучения изучаются содержание, научные
основы и методические аспекты действующего курса
школьной математики... Для этой специализации раз-
работан практикум по решению задач шкочьной мате-
матики... Студенты этой специализации пишут рефера-
ты, курсовые н дипломные работы по соответствующим
3 4 5
48
разделам школьной математики, методике формирова-
ния школьных математических понятий. Слушатели это-
го спецкурса привлекаются также к научно-исследова-
тельской работе в кружках студенческого научного об-
щества по проблемам методики преподавания матема-
тики. Свои выводы они сообщают на ежегодных студен-
ческих научных конференциях, проводимых универси-
тете... '
Производственную практику, предусматриваемую
учебными планами университета... для слушателей пе-
дагогического цикла, мы стали проводить в форме ста-
жерской педпрактики студентов в школах, техникумах,
профтехучилищах и .вузах... В процессе обучения мате-
матическим дисциплинам систематически акцентируется
внимание студентов на проблемах школьной матема-
тики...
В настоящее время мы работаем над созданием при
нашем университете базовых и опорных школ, в кото-
рых велась бы не только педагогическая практика сту-
дентов, но и научно-исследовательская работа препода-
вателей университета в области педагогических наук.
Думаем создать при университете общественную аспи-
рантуру по подготовке методистов-математиков, высшей
квалификации. По предложению проблемного совета в
курсы дисциплин психолого-педагогического цикла
включены темы, освещающие работу директора Школы.
его заместителей, отделов народного образования. Сюда
же включены вопросы школьной гигиены, школоведе-
ния, истории педагогики, без знания которых трудно
приступить к преподавательской работе».
В рассматриваемой статье содержится несколько
предложений по совершенствованию научно-методиче-
ской подготовки учителей математики в университетах.
«Представляется необходимым,— пишет Г В. Злопкий,—
программу курса „Методика преподавания математики”
в университетах привести в соответствие с требования-
ми педагогической пауки и практики, создать специаль-
ные учебные пособия.по этому курсу, учитывающие ?а-
дачи подготовки в универритетах преподавателей мате-
матики широкого профиля,, в том числе учителей мате-
матики средней школы, преподавателей средних и выс-
ших специальных учебных заведений и средних проф-
техучилищ... По нашему мнению, .университеты должны
быть ориентированы на подготовку учителей математи-
ки старших классов средней школы, преподавателей
сЬизнко-математических школ, техникумов и вузов...
Считаем, что настала необходимость в создании при
университетах научных центров по исследованию проб-
. лем подготовки студентов университетов к профессио-
нальной педагогической деятельности».
Как отрадный факт следует отметить усиление вни-
мания к вопросам бргаиизации и проведения педпрак-
тики в университетах, готовящих учителей математики.
Так, в Ивановском государственном университете пед-
практика проводится в IX семестре в течение 10 недель
(I четверть), ио распределение по школам происходит
в VJH семестре, чтобы студенты могли заранее позна
комиться с коллективом учителей и .учащихся. Каждый
студент потучает два класса: один младший (IV—VII)
и один старший (VIII—X). Первые 6 недель студент
проводит учебную и воспитательную работу в младшем
классе, а также посещает уроки, факультативные заня-
тия в старшем классе и ведет дополнительные занятия
со старшеклассниками.' Заключительные 4 недели сту-
дент дает уроки, ведет занятия факультатива в стар-
шем классе и продолжает внеклассную работу в млад-
шем классе. «Наш уже многолетний опыт,— пишет
Е. К. Поветкина,— показал-, что это дает студентам
возможность изучить программы и учебники для млад-
ших и старших школьников, приобрести умения- в пла-
нировании и проведении занятий в младших и старших
классах, познакомиться с особенностями работы с уча-
щимися разных возрастов»-.
В Томском университете педпрактика состоит чз трех
частей: подготовительной, обучающей, производственной.
«Во время подготовительной практики, проводимой в
VI и VII семестрах без отрыва от занятий в универси-
тетах.— пишет 3. О. Шварцман,— студентам важно на-
учиться наблюдать особенности' деятельности учителя и
учащихся на занятиях, принимать участие в учебно-
воспитательном процессе. Для этого студенты прикпеп-
ляются к учителям из нашего актива, к их классам.
Следует отметить, что часть будущих учителей с I—II
курсов трудятся в школах по шефской линии, накапли-
вая опыт общения со школьниками и руководства их
познавательной деятельностью.
Проведенная под целенаправленным педагогическим
руководством подготовительная практика создает бла-
гоприятные условия для организации обучающей пед-
практики в VIII семестре, которая идет в уже знако-
мых студентам «своих» классах в течение 18 дней, пол-
ностью освобожденных от занятий в университете. Хо-
тя обучающая педпрактика сравнительно непродолжи-
тельна, она обычно достигает своей основной цели —
подготовки студентов к производственной (стажерской)
педпрактике.
Производственная практика длится первые 17 недель
IX семестра преимущественно в сельских школах. Пя-
тикурсники работают в качестве учителей математики и
классных руководителей. Это во многом способствует
подготовке будущих учителей к работе в сельскрй шко-
ле. Часть из них после оконча!шя университета на-
правляются в те районы и школы, где они проходили
практику с учетом их желаний и просьб отделов народ-
ного образования».
Об интересном опыте проведения олимпиад по мето-
дике преподавания математики, накопленном в Ом-
ском । государственном университете, рассказывается в
статье В. Н. Сергеева. Это определенный и успешный
поиск в деле повышения у студентов интереса к курсу
методики и повышения эффективности его изучения.
В. Н. Сергеев пишет:
«Требования к учителю математики средней школы
возрастает с каждым годом. Становится все более яс-
ным, что каждый учитель-практик должен квалифици-
рованно разбираться как в научных тонкостях, так и в
методических приемах, практикуемых авторами новых
учебников, уметь отбирать для своей работы истинно
эффективные педагогические находки, обладать широ-
кой эрудицией, позволяющей осуществлять качествен-
ную профориентацию через предмет, реализовать меж-
предметные связи, комплекс внеклассных занятий.
Учебный процесс педагогических вузов н университе-
тов, где готовятся будущие педагоги, в основном успеш-
но служит целям этой подготовки. Особенно важно
отметить всевозрастающее влияние на учебный процесс
различных форм научно-исследовательской работы сту-
дентов, начиная- с кружков и педагогических лаборато-
рий при кафедрах и кончая системами студенческих
олимпиад, конкурсов, .конференций студенческих науч-
ных обществ.
В настоящее время наиболее распространенными в
университетах и педвузах стали два вида олимпиад.
В первую очередс следует отметить конкурс по педаго-
гике. проводимый в рамках Всесою:и ой олимпиады
„Студент и научно-технический прогресс”...
Второй, значительно более распространенный, тип
олимпиад проверяет умения студентов творчески ис-
пользовать знания, полученные при изучении математи-
ческих дисциплин, для решения оригинальных матема-
тических проблем — некоторый аналог математических
олимпиад для школьников. Польза от таких олимпиад
несомненна, однако, как нам кажется, целесообразно
усилить профессиональные аспекты таких олимпиад.
Для будущего педагот а более важно умение творчески
синтезировать знания всего цикла математических, пе-
дагогических, общественных дисциплин при решении ме-
тодических проблем, имитирующих профессиональную
деятельность будущего педагога. Другими словами,
£1 49
нужны олимпиады по методике преподавания матема-
тики вместо или вместе с чисто математическими...
Один на центральных вопросов — что следует считать
олимпиадной задачей по этому предмету. Устоявшаяся
классификация появится лишь при накоплении дальней-
шего ont та, вместе с тем уже сейчас можно выделить
несколько типов олимпиадных заданий:
Анализ высказываний видных отечественных и зару-
бежных ученых, мелодистов по проблемам преподавания
математики, требующий синтеза знаний философии, об-
щей педагогики, частной дидактики, психологии и т. д.
Интерпретация основных принципов дидактики через
конкретные методические приемы и ситуации.
Имитационное моделирование урока по определенной
теме или его элементов с привлечением современных
ме годов и форм его организации.
Конструирование отдельного внеклассного занятия или
цикла занятий с привлечением научно-популярных и
методических источников.
Анализ конкретной методической ситуации.
Поиск ошибок в предлагаемом математическом рас-
суждении и их разъяснение иа уровне, доступном ав-
тору этого рассуждения.
Конструирование конкретных задач по части данных.
Решение конкретной математической задачи различ-
ными способами и сравнение этих способов.
Основные материалы для составления подобных задач
дают методические статьи в журнале «Математика в
школе», в других изданиях, интересные ошибки, сделан-
ные на вступительных экзаменах в вузы, на олимпиадах
школьников, архивы преподавателей школ и вузов
По задачам, составленным в нашем университете, уже
несколько лет в г. Омске проводятся межвузовские
олимпиады по методике преподавания математики, в
которых ежегодно принимают участие 15—20 универси-
тетов и педвузов страны. Мы практикуем командные
олимпиады по методике. Команда (пять студентов)
имеет возможность совещаться, распределять между
собой задачи, обсуждать их. Как правило, олимпиад-
ное задание содержит 10—12 задач, рассчитанных на
решение командой в течение 4 астрономических часов».
Заканчивая настоящий обзор, заметим, что вопросы,
связанные с совершенствованием методической подго-
товки будущих учителей математики, должны быть
предметом постоянного внимания кафедр методики пре-
подавания математики и специальных кафедр высших
педагогических учебных заведений Успех осуществляе-
мой реформы школы зависит прежде всего от тех, кто
проводит эту реформу в жизнь,— от учителей. Кзждый
год многотысячная армия советских учителей пополня-
ется новым отрядом молодых специалистов. Будут ли
они в полной мере готовы к работе в школе завтраш-.
него дня? Это в первую очередь зависит от качества
нх профессионального обучения.
ОЧЕРКИ ПО ИСТОРИИ РАЗВИТИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ
Тригонометрия в школе
и в системе математических наук
К. А. Рыбников
(Москва)
Что такое тригонометрия. В современной нам структуре
математических наук тригонометрия определяется
как та их часть, где исследуют один из классов аналити-
ческих функций, называемых тригонометрическими, а
также нх приложения. Эти функции чаще всего вво-
дятся с помощью специальной конструкции — порож-
дающей окружности. В качестве своих аргументов они
могут иметь как действительные, так и комплексные ве-
личины, что придает им высокую степень общности. Их
специфические свойства: периодичность, четность или не-
четность и др. позволяют с помощью формул приведе-
ния и иных формул существенно упрощать н облегчать
операции с ними.
Тригонометрические функции связаны с многими дру-
гими классами функций, например с показательными
(в случае комплексного аргумента):
eiz -|» е—
е±1г — cos z + I sin z, откуда: cos г —--g-----•
е1г — е—12
Sin z =----г j
Их оперативную значимость усиливает то обстоятель-
ство, что они могут быть представлены в виде сте-
пенных рядов или бесконечных произведений.
Для решения многих важных задач, как теоретиче-
ских, так и в особенности прикладных, тригонометри-
ческие функции являются важным инструментом. Зна-
чительную роль оин играют, например, при изучении
явлений, обладающих свойством периодичности (ска-
жем, повторяемости во времени). Таково, в частности,
движение, в котором путь х изменяется в зависимости
от времени I по закону: х=а cos (ий+ф). Подобное
движение называется гармоническим колебанием, а
называется амплитудой, ы — частотой, а ф — начальной
фазой. Вследствие того что синусы и косинусы кратных
аргументов образуют полную ортогональную систему,
оказывается возможным представлять произвольные пе-
риодические колебания как суммы гармонических коле-
баний различных частот и выражать их с помощью ап-
парата тригонометрических рядов. Раздел математики,
посвященный разложениям функций в тригонометриче-
ские ряды и интегралы, входит в гармонический анализ,
составляя важную его часть.	_
В геометрической своей части тригонометрия явля-
ется той математической дисциплиной, где изучают со-
отношения между сторонами и углами геометрических
фигур. В зависимости от того, где расположены фигуры,
на плоскости или иа сфере, тригонометрия делится на
плоскую и сферическую. Формулы сферической триго-
нометрии находят широкое применение в астрономии.
К нашему времени структура тригонометрии сделалась
весьма разветвленной, а связи с другими разделами ма-
тематики— многообразными и взаимопроникающими.
Поэтому все чаще отходят от первоначального смысла
термина тригонометрия (который происходит от грече-
ских слов rpiywvov — треугольник и ретреа) — измеряю,
что буквально означает: измерение треугольников), на-
зывают эту часть математики гониометрией (от грече-
ских слов yovia — угол и ретреш—измеряю) или даже
перестают использовать эти очевидным образом уста-
ревшие, ио сохраняющиеся в силу исторических тради-
ций термины.
О тригонометрии как учебном предмете. В послед-
ние годы тригонометрию изучают в последних
50
классах школы. Материал соответственно разделен на
три части, обособленные во времени:
Впервые тригонометрические функции появляются в
курсе планиметрии, тотчас после теоремы Пифагора или
непосредственно перед ней. Используются они преиму-
щественно для решения плоских треугольников. При
этом отрабатываются начальные навыки работы с таб-
лицами тригонометрических функций.
Во второй раз тригонометрические функции опреде-
ляются с помощью производящей окружности. Посте-
пенно переходят к рассмотрению тригонометрических
функций любого аргумента, выраженного в радианах,
и соотношений между ними. Школьников обучают стро-
ить графики функций. Вводят понятие производной от
тригонометрических функций.
Затем переходят к решению тригонометрических урав-
нений и неравенств. В тесной связи с преподаванием
физики освещают вопрос о гармонических колебаниях, о
дифференциальных уравнениях, описывающих их, и о
том, что решения этих уравнений выражаются через
тригонометрические функции.
Такой отбор и распределение материала, насколько
оказалось возможным проследить, приобрело устойчи
вый характер. Ойо вызывает свои методические труд-
ности. Элементы тригонометрических знаний в ходе пре-
подавания могут оказаться (и нередко оказываются)
разъединенными или же слабо связанными. Необходимо
найти эффективные методические приемы, позволяющие
сохранить единство тригонометрических познаний и
возможность широкого их истолкования.
Настоящий очерк написан с целью оказать содействие
этим поискам. В ием освещены основные этапы развития
геометрических знаний людей, вплоть до современных
представлений о тригонометрии. Детали в нем по не-
обходимости опущены. Их можно дополнить при чте-
нии рекомендованной литературы. Опущено также боль-
шинство имен математиков, так как чрезмерное выпя-
чивание персональных аспектов в подобных очерках за-
темняет понимание закономерностей развития науки.
Очерк в основном посвящен истории плоской триго-
 иометрии, так как именно ее преподают сейчас в шко-
лах. Однако полностью разделить историю плоской и
сферической тригонометрии не удается. Это искажало
бы реально происходивший процесс развития тригоно-
метрических знаний.
Как накапливались тригонометрические знания лю-
дей. Задачи, в которых требуется измерять углы, по-
явились так же давно и столь же настойчиво требова-
ли своего решения, как и задачи, сводящиеся к измере-
нию расстояний. Более того, эти две измерительные опе-
рации всегда сосуществовали неразделимо. Роль изме-
рения углов оказывается особенно значительной в тех
случаях, когда непосредственное измерение расстояний
оказывается затруднительным или невозможным вслед-
ствие удаленности нли недоступности предметов. В
свою очередь, измерение углов может быть охаракте-
ризовано измерением специальных отрезков прямых —
тригонометрических линий. Тригонометрия вместе с гео- .
метрией начинали свой путь с решения практических
задач.
Все древние цивилизации вносили свой вклад в дело
накопления тригонометрических знаний. История хмате-
матической науки дает тому немало убедительных при-
меров На одной из глиняных табличек из Древнего Ва-
вилона, возраст которой определяют втовым тысячеле-
тием до нашей эры, решается задача: вычислить длину
з хорды круга, исходя из величины -(d) диаметра и
высоты (а) сегмента, отсекаемого этой хордой. Описа-
ние задачи я правила ее решения таковы, что в них
можно заметить испол: вовапие подобия треугольников
и теоремы Пифагора. В привычной нам символике этот
способ может быть опнсаи формулами:
s =	— (d — 2a)s, а~ -g- (d— cP — s’).
Руководитель одной из самых ранних научных пь тл
Древней Греции Фалес из Милета (не позже VI в. до
и. э.) упоминал в числе научных достижений древн»,
египтян метод определения высоты претмета по длине
отбрасываемой им тени. Этот метод послужил основой
гномоники — учения о солнечных часах. Как широко из-
вестно, гиомои — это прямой шест, вертикально укреп-
ленный ва горизонтальной площадке. Его тень в тече-
ние солнечного дня перемещается, «заметая» некоторую
площадь. Середина лниии, Окаймляющей эту площадь,
будучи соединена с основанием гномона, образует по-
луденную линию: север — юг. Отношение длины тени
к длине шеста (или обратное отношение) определяет
высоту стояния солнца над горизонтом. Деление липин
дает .части дня (часы) Регулярные замеры позволяют
отыскать пункт солнцестояния, определить длину сол-
нечного года и решить много других задач.
Многие сочинения древнегреческих математиков со-
держали элементы тригонометрии. Например, в трактате
Архимеда «Измерение кругах приведена лемма: «Если
вписанный в дугу окружности сломанный на две не-
равные части отрезок прямой принимает опущенный на
него из середины дуги перпендикуляр, то этот перпен-
дикуляр разделит всю сломанную линию пополам». Это,
почти очевидно, дает возможность вычислять хорды
суммы и разности.двух заданных дуг. В сочинениях ти-
па евклидовых «Начал», где авторы избегают рассуж-
дений метрическою, измерительного характера, содер-
жится, разумеется, меньше элементов тригонометрии,
хотя н здесь их не столь уж трудно обнаружить и ин
терп'ретировать. Например, во второй книге «Начал»
теоремы 12 и 13 по существу эквивалентны теореме ко-
синусов.
Наибольшее внимание ученых тех давних времен
привлекли,, однако, тригонометрические соотношения не
на плоскости, а на сфере Это было продиктовано нуж-
дами астрономии и географии. Дело в тЬм, что пре-
обладающей гипотезой о строений вселенной была гео-
центристская Согласно этой гипотезе. Земля располо-
жена в центре небесной сферы, которая равномерно
вращается вокруг своей оси. Светила расположены на
этой сфере и движутся по ией. Естественно, что мате-
матические задачи о расположении точек и фигур на
сферах и об их перемещениях приобрели превалирую-
щее значение.
Работы, в которых подобного типа задачи решаются,
получили обобщенное название: сферика. В сф“рику
включались: теоремы об окружностях и сферах, гра-
фические приемы построения сферических .треугольни-
ков и иных фигур сферопея илн объединение кинемати-
ческих моделей, изображающих вселенную, и т. п. В
сферйке. таким образом, сочетались элементы практиче-
ской астрономии, географии (определение места наблю-
дения, направления пути по положению небесных све-
тил) и сферической тригонометрии.
При таких условиях плоская тригонометрия не трала
второстепенной роли по отношению к тригонометрии
сферической. У нее была своя область приложении.
Креме того, она применялась и в практической астро-
номии, так как в задачах последней широко использу-
ются ортогональные проектирования. Фигуры, находя-
щиеся или передвигающиеся по сферической поверхно-
стн^ проектируются на плоское гь, избранную для отсче-
тов: плоскость горизонта, меридиана или иную; Тем
самым многие задачи сводятся к плоским. Измеритель-
ные операции при этом чаше всего прилагаются к хор-
дам дуг окружностей Многократное применение по-
добных операций неизбежно порождало стремление со-
ставлять таблицы «значений хорд».
Одно из самых-первых крупных достижений в состав-
лении тригонометрических таблиц относится ко И в.
пашей эры. Мы имеем в виду знаменитое сочинение
К Птолемея «Математическое собрание в 13 книгах».
Сочинение это более известно под назвзннем «Алма-
гест», что является средневековой латинизацией араб-
51
ского термина «Альмаджисти», который, в свою оче-
редь, является переводом с греческого «Мегале», т. е.
«Великая (книга)».
В этом сочинении Птолемея собраны, систематизиро-
ваны и обобщены в'се известные к тому времени ре-
зультаты, полученные в астрономии и в смежных с
нею науках. Великим же оно было названо потому, что
существовала «Малая астрономия» — сборник сочине-
ний, содержание которых необходимо было знать для
понимания joro, что написано в «Алмагестеа В сбор-
ник входили прежде всего сочинения по сфернке, а
также те работы Архимеда, Евклида, Аристарха Са-
мосского и других ученых, где рассматривались соот-
ветствующие содержанию «Алмагеста» задачи.
Как плоская, так и сферическая тригонометрия входят
в первую из книг «Алмагеста». В том, что относится к
составлению тригонометрических таблиц, ’ метод состоял
в следующем: в основе всех построений находится круг
заданного диаметра; на нем рассматривается единст-
венная тригонометрическая характеристика — длина
хорды, стягивающей дугу, соответствующую рассматри-
ваемому центральному углу..Задача состояла в вычис-
лении значений этой функции и в составлении таблицы
значений с наибольшей по возможности точностью и
высокой частотой в последовательности значений аргу-
мента. По существу, таблицы птолемеевских хорд яви-
лись первичной формой таблицы синусов.
При вычислениях Птолемей пользовался 60-ричной
системой счисления. Для регулярности в вычислениях
и для удобства он делил окружность на 360 равных
частей (градусов), диаметр — на 120 частей, с последу-
ющим более дробным делением градусов на минуты,
секунды, терции и т. Д. Вначале он определял длины
хорд, являющихся сторонами правильных вписанных в
окружность многоугольников с 3, 4, 5, 6, 10 сторонами.
Чтобы из этих «опорных» значений получать значе-
ния других (а в конечном счете любых) хорд, у Пто-
лемея были выведены соотношения, эквивалентные:
a)	sin5 a+cos2 a = l (для вычисления хорд дополни-
тельных углов);
б)	sin (a—Р) =sin a-cos р—cosa-smP (роль этого
соотношения играл частный случай теоремы Птолемея)
Кроме этого I в сочинении используется способ на-
хождения хорд для половины заданного угла в соот-
ношение, эквивалентное
п 1 — cos a
sin2 v ~.
Этих результатов оказалось достаточно, чтобы соста-
вить таблицу значений хорд для углов от 0° до 180°
с частотой в полградуса, что соответствует таблице си-
нусов углов первой четверти с частотой в четверть гра-
дуса. Позднейшие проверки показали, что таблица ока-
залась точной ДО пятого десятичного знака включи-
тельно.
Таким образом, уже в самые первые века нашей эры,
т е. около двух тысячелетий тому назад, элементы
плоской тригонометрии сложились и заняли определен-
ное место в совокупности математических знаний. Они
вначале существовали в виде относительно элементар-
ной части в системе неразделенных знаний, имевших
споен главной целью решение задач практического зем-
лемерия и практической астрономии и географии. По
своему значению онн, вероятно, не были столь рысоко
оиениваемы, как основы сферической тригонометрии,
так как теоремы последней непосредственно примыка-
ли к астрономическим суждениям. Применения же
плоской тригонометрии к измерениям недоступных рас-
стояний н, следовательно, к решению треугольников и
других фигур стимулировали составление таблиц зна-
чений тригонометрических функций и почти полностью
от этого сами зависели.
Столь же рано и естественно определились направ-
ления последующего развития плоской тригонометрии.
Они состояли: во введении других тригонометрических
характеристик, помимо птолемеевских хорд; в отыска-
нии формул, выражающих связи между этими характе-
ристиками; в разработке вычислительных приемов, име-
ющих целью облегчить составление таблиц тригономет-
рических функций.
Именно по этим направлениям и происходило накоп-
ление тригонометрических знаний в последующие века.
Процесс накопления замедлялся или ускорялся в зави-
симости ат общих темпов развития математических и
вообще научных знаний Подъемы и ускорения происхо-
дили в эти времена главным образом в Индии (начи-
ная с IV- VI вв н. э.) и в государствах Ближнего и
Среднего Востока (начиная с VIII—IX вв н э).
Математики и астрономы работавшие на территории
Иплостанского полуострова, восприняли греческую три-
гонометрию хорд и широко ее применяли. В их руках
она' получила существенные усовершенствования, среди
которых:
а)	замена хорды полухордой и введение таким об-
разом линии синусов,
б)	введение линии косинусов и синусов верзусов;
в)	выражение величины (длины отрезка) тригоно-
метрической линии в частях окружности и подготовка,
тем самым радианного измерения углов,
г)	фактическое введение линий тангенса и котангенса
при решении задач об определении недоступных рас-
стояний и высот, без явной их интерпретации как новых
тригонометрических объектов;
д)	со давление таблиц значений «тригонометрических
линий».
В науке арабоязычиых стран Ближнего и Среднего
Востока накопление и усовершенствование тригономет-
рических знаний происходило значительно энергичнее.
Оно достигло такого уровня, что фактически началось
выделение тригонометрии в отдельную, обладающую
возрастающей долей самостоятельности часть матема-
тики
Общеизвестно, что становление науки, в том числе
математики, в указанных государствах сопровождалось
(а в ряде мест начиналось) систематическим изучением
математических сочинений, написанных в Древней Гре-
ции и в других странах. Рукописи собирались во всех
местностях, куда распространялось влияние арабских
халифатов Свозили эти сочинения в административные
центры; там их изучали, перевэдили на арабский язык,
устраняли ошибки, уточнили данные, снабжали тексты
комментариями. Затем их дополняли результатами соб-
ственных исследований. Так в те времена складывались
научные школы и научная литература, опирающаяся
в интересующей нас здесь области — тригонометрии —
в основном на достижения индийской н древнегреческой
математики и астрономии
На этом пути рано (Начиная, по-видимому, с VIII в.
н э.) стали появляться арабские зпцжи Это были сбор-
ники астрономических и тригонометрических таблиц,
сопровождаемых пояснениями и доказательствами со-
отношений между тригонометрическими линиями Зиджи
являлись как учебниками, т^к и справочниками для реше-
ния разнообразных задач измерения времени, определе-
ния географических координат, расположения планет на
небесной сфере, вычисления времени восхода и захода
солнца, луны и их затмений К нашему времени сохра-
нилось около сотни зиджей, среди которых — знаменитый
«Гургаидский зндж», составленный в Самарканде в на-
учной школе Улугбека (1394—144Э)
Из содержания зиджей видно, что не позднее IX в.
н э. были введены и табулированы вслед за синусом,
косинусом и сиаусом-верзусом новые тригонометриче-
ские функции, тангенс, котангенс, секанс и косеканс.
Сравнительно быстро они приобрели самостоятельные
трактовки Однако зиджи более ранних времен были
еще целиком ориентированы на составление возможно
более точных тригонометрических таблиц.
С течением времени становилось все труднее вклю-
чать быстро разрастающийся тригонометрический мате-
52
риал в рамки зиджа. Поэтому начиная с X—XI вв
стали появляться отдельные, самостоятельные, трактаты
о плоской и сферической тригонометрии. В сочинениях
такого рода тршонометрические линии начали получать
свою трактовку уже без обращения к птолемеевской
системе построения хорд (так делал, например, аль-Фа-
раби). В ряде Других сочинений постепенно вводились
основные соотношения между тригонометрическими
функциями, снабжались доказательствами и по мере
возможности систематизировались. Так, в частности,
поступал аль-Баттани (ок. 858—929) в работе «Усовер-
шенствование Алмагеста». Сочинение это впоследствии
оказало большое влияние и на развитие тригонометрии
в Европе. Аналогичный характер имел и не меньшее
влияние оказал «Канон Мас’уда» адь-Бнруни (973 — ок.
1060). Вычислительные трудности арабскими математи-
ками были успешно ппеодолеиы и составление таблиц
уже не. представляло принципиальных трудностей. Об
этом, например, говорит получение значения sin 1 ° с
точностью до 17 знака (в десятичной записи) в табли-
цах аль-Каши (ум. ок. 1530), работавшего в Самар-
канде в научно-учебном центре Улугбека.
Как тригонометрия преобразовалась в самостоятель*
ную часть математики. В предыдущем разделе статьи
было рассказано, как происходило накопление тригоно-
метрических знаний и как этот процесс обогащения
фактами привел к тому, что, начиная примерно с
XIII в., накопленный материал стал подвергаться систе-
матизации, составляя отдельную, все более самостоя-
тельную область математики — тригонометрию.
Убедительным доказательством того, что такое каче-
ственное изменение происходило, можно считать появ-
ление специальных сочинений, посвященных системати-
ческому изложению тригонометрии. Впервые подобные
сочинения, как было выше отмечено, стали появляться
в средневековой арабоязычной математике Приведем
еще .одни пример, вероятно, наиболее характерный:
«Трактат о полном четырехстороннике» Насирэддина
Туси (1201 —1274). Трактат этот состоит из 5 частей
(книг) Первые две книги «одержат вспомогательный
материал для построения тригонометрии: теорию состав-
ных отношений и доказательство теоремы Менелая для
плоского четырехсторонника. В третьей книге введены
понятия синуса и косинуса, правила решения плоских
треугольников и доказательство предложения, эквива-
лентного теореме синусов.
В четвертой и в пятой книгах излагаются основы сфе-
рической тригонометрии. В одной из них рассмотрены
доказательства теоремы Менелая для полного сфери-
ческого четырехсторонника. В другрй — собраны методы
решения сферических треугольников, в том числе косо-
угольных. Для этого доказываются теоремы синусов и
тангенсов (разумеется, в специфической эквивалентной
форме). Такая структура сочинений по тригонометрии
сделалась в арабских сочинениях практически стандарт-
ной
В Европе первое сочинейие, в котором тригономет-
рия была рассмотрена как самостоятельная математи-
ческая дисциплина, было написано в 1462—1464 гг. Его
автором был Ио1анн Мюллер (1436—1476), более из-
вестный в истории науки под именем Региомонтан (по
месту рождения). Называлось это сочинейие «Пять книг
о треугольниках всех видов». Основное содержание его
по всей вероятности, позаимствовано из арабских ис-
точников, главным образом из упомянутого сочинения
Насирэддина Туси. Однако оно в значительной степени
переработано, модернизировано, дополнено собственны-
ми результатами автора и мастерски изложено. Хотя
автор не успел его издать при жизни и его напечатали
только в 1533 г., но оно было известно и ранее, сыг-
рав большую роль в дальнейшем развитии тригономет-
рии.
До сих пор тригонометрия формировалась и развива-
лась под определяющим влиянием астрономии Поло-
жение в этом смысле мало изменилось даже тогда, ког-
да самостоятельное существование тригонометрии сде-
лалось общепризнанным фактом. Вслед за Региомонта-
ном тригонометрией Много занимался Н. Коперник, по-
святивший- ей две главы своего знаменитого капиталь-
ного труда «Об обращениях небесных тел» (1543).
К таблице тангенсов Региомонтана Коперник добавил
другие таблицы, в том числе таблицу секансов- что поз-
волило заменять деление на синус или косинус умноже-
нием с целью облегчить вычисления. Знаменитый астро-
ном Тихо Браге (1546—1601) разработал много вычис-
лительных приемов, облегчающих задачу решения тре-
угольников как плоских, так и сферических. Таблицы
тригонометрических функций, по форме и по составу
близкие к ныне употребляемым, составил и ,издал в
1551 г. ученик Коперника Ретт К концу XVI в. устой-
чивый характер приобрели и -названия всех тригоно-
метрических функций
Принципиально новый этап в развитии тригонометрии
состоял в установлении связей этой науки с алгеброй.
Начало этому этапу было положено в самом конце
XVI в. Ф. Внетом (1540—1603). Первичные рассужде-
ния на эту тему были примерно такими: Виет вывел,
средн многих других тригонометрических формул, вы-
ражения для синусов и косинусов кратных дуг. Исходил
он при этом из известных формул для синуса и коси-
нуса суммы двух углов Правила вывода коэффициен-
тов в формулах привели Виета к аналогии с решением
уравнений 3-й степени в неприводимом случае и к об-
разованию важного класса алгебраически разрешимых
уравнений более высокой степени -
Дело тут. в том, что несложными преобразо! аииями-
всякому неприводимому уравнению третьей стецеии
можно придать вид:
q = xJ—Зх.
Сопоставление его с одним из соотношений, выведенных
Впетом
2 cos За = (2 cos а)3—3(2 cos а),	।
указывает, что решение кубического уравнения можно
интерпретировать как задачу о трисекциях' угла Ана-
логию эту оказалось возможным расширить путем ус-
тановления связей между задачами деления углов цр
равные части и алгебраическими задачами решения оп-
ределенных классов уравнений. Это было также проде-
лано в трудах самого Виета. Кеплера и Бюрги.
С тех пор установление связей между тригонометрией
и алгеброй -г осредством взаимных интерпретаций проч-
но вошло в практику математических исследований.
Следующий этап обогащения содержания тригономет-
рии состоял в установлении оолее общей трактовки
тригонометрических функций иа базе математического
анализа.
О формировании общей теории тригонометрических
функций Содержание тригонометрии, равно как и
средства ее аналитического выраже'ния (аналитический
аппарат), достигли состояния, близкого к современно-
му, около 200 лет тому назад, во второй иоловгне
XVIII в. Сущность произведенных в то время преобра-
зований состояла в радикальной перестройке тригоно-
метрии на алгебраическо-аналитической основе, позволя-
ющей ер сделаться важной частью математического
анализа. Решающая роль ь этой перестройке принад-
лежит Л. Эйлеру (1707—1783). Свою теорию тр тоно-
метрических функций он изложил в 8-й главе I тома
сроей книги «Введение в аиали i бесконечных» (1748 г.;
издание на русском языке—1961 г.), завершив тем са-
мым более или менее успешные попытки своих бли-
жайших предшественников
Л. Эйлер ввел в тригонометрию практически совпа-
дающую с привычной нам < чмволику, полностью разъ-
яснил вопрос о знаках всех тригонометрических функ-
ций -любого аргумента. Тригонометрические функции он
рассматривал как безразмерные числа, называя их об-
щим термином: «траисцеитентЦые количества, получаю-
। щчеся из круга». Ход рассуждений Эйлера, вводящих
53
тригонометрические функции в общую систему анали-
тических функций, был примерно таков:
1.	С помощью формул приведения для
311 к • — + и COS ' fe • -у + Z
при целых k выясняется вопрос о знаках тригономет-
рических функций любых дуг.
2.	На основе теорем о синусах и косинусах суммы и
разности аргументов выводится формула Муавра для
натурального показателя:
(cos z±Z sin z)"=cos nz±i sin nz.
3.	Из этой формулы Эйлер получает:
(cos z + I sin z)" — (cos z — I sin z)"
cos nz •=---------------2-----------------•
sin nz •= -y ((cos z + I sin z)n — (cos z — Z sin z)n),
а затем:
n (n—1)
cos nz =• cos" z —--2|---cos г sin* z 4-
n(n— 1) (n - 2>(n—3)
41
cos'1 * * 4 z sin* Z —
sin nz — —j— cos"~’ z sin z —
n(n— 1) (n— 2)
 —--------31-----cos"-’ z sin’ z 4-
n(n— l)(n— 2) (n— 3) (n—4)
+	gj------------- cos" 6 z sin' z—. . . .
4. Эйлер полапает в полученных формулах п — беско-
нечно большим, г — бесконечно малым, налагает усло-
вие: nz=v, т. е. конечное, а также
.	v
cos z — 1; sin г z —----,
	п *
и получает разложения тригонометрических функций в
ряды;
о* о*
COSV-I—у +
'	.	V* V*
Sinv-v—у
Тем самым„ в развитии тригонометрии был сделан
о" нь важный шаг. Дело в том, что предшественники
Эйлера неизменно связывали -понимание тригонометри-
ческих функций с образами линий в круге некоторого
радчуса, называя его ’полным синусом (Sinus totus).
Теперь же тригонометрические функции оказались про-
сто .одним из классов аналитических функций как от
действительных, так и от комплексных аргументов, что
было разъяснено с характерной- для того времени сме-
лостью и до поры до времени оправдывалось в основ-
ном полезностью достигаемых результатов. Теоретиче-
кое обоснование было получено по :же
В то же примерно время, в 1770 г., появился и удер-
жался до нашего времени термин: тригонометрические
функции. Его ввел Г. С. Клюгель в работе «Аналитиче-
ская тригонометрия».
Почти одновременно, во второй половине XVIII в.,
построение общей системы тригонометрических и при-
мыкающих к ним знаний получало развитие и в не-
сколько ином направлении. И. Г. Ламберт в «Очерках
об употреблении математики и ее приложений» (1770)
проделал обобщение тригонометрии на четырехугольни-
ки, создав таким образом тетрагонометрию. Еще через
нисколько лет, в 1774—1776 гг., в работах А. И. Лек-
селя было произведено дальнейшее обобщение и по-
стпоена полигонометрия.	-	-	__
Рассматривая и угольник со сторонами ац	—» а„
и углами <рь <р2... <рп между продолжениями сторон
и предыдущими сторонами, Лексель обнаружил соотно-
шения:
п	I	п	I
2 а/ sin 5] ФЛ = 0; 2 ai cos S Ф* “ °-
1=1 fc=l	1=1 n=i
Суммы в левых частях приведенных равенств экви-
валентны суммам векторов, направленных по сторонам
многоугольников Из этих формул, справедливых и для
иевыпуклых и самопересекающихся многоугольников, в
работах Лекселя выведены основные формулы тригоно-
метрии и тетрагонометрии. Затем он распространил
свою теорию на 5-, 6- и 7-угольннки и решил ряд более
общих задач относительно n-угольников, исходя из за-
данных диагоналей и углов, которые эти диагонали
образуют со сторонами л-угольиика.
Результаты Лекселя были существенно дополнены
С. Люнлье в книге «Полигонометрия, или об измерении
прямолинейных фигур» (1789). Основную роль в иссле-
дованиях Люилье играло выражение для площади мно-
гоугольника, которое он вычислял п способами: отки-
нув одну из п сторон, он составлял все попарные про-
изведения остальных n—1 сторон на синусы углов меж-
ду этими сторонами; складывая полученные (л—1) X
Х(л—2)/2 произведения, он находил удвоенную пло-
щадь многоугольника. Исходя из полученной формулы,
Люг.лье получил все соотношения полигонометрии, в
том числе и формулы Лекселя. Свои теоремы Люнлье
применил к решению n-угольпика по п—1 стороне и
п—2 углам; по всем углам и п—2 сторонам; цо всем
сторонам и п—3 углам.
Наконец, Люилье обобщил и эти результаты на про-
странственные случаи и, развивая работы Эйлера о
многогранниках, создал в 1799—1305 гг. полиэдромет-
рию—учение об измерении мнг гогранников (полиэд-
ров), описав ее в своей работе «Теоремы полиэдромет-
рии». Основной теоремой этой части математики яв-
ляется: площадь каждой грани многогранника равна
сумме произведений площадей остальных граней на ко-
синусы углов, образованных с первой гранью. Это рав-
носильно равенству нулю суммы векторов, направлен-
ных перпендикулярно граням многогранника и равных
по модулю площади этих граней.
Выводы и рекомендации. Как видно из настоящего
очерка, тригонометрия прошла следующие э^апы (своею
развития:
1	Она. была вызвана к жизни практической необхо-
димостью производить измерения углов. Влияние этих
побудительных мотивов прослеживается с давних вре-
мен интеллектуальной деятельности людей.
2.	Первыми шагами формирующейся тригонометрии
было установление связей между величиной угла и от-
ношением специально при нем построенных отрезкоз
прямых. Непосредственным результатом этого открытия
было то, что стало возможным решать плоские тре-
угольники с целью, главным образом, определения рас-
стояний до удаленных или недоступных объектов.
3.	Аналогичные результаты были получены для сфе-
рических поеерхнос.ей В этом испытывали острую нуж-
ду практическая астрономия н география. С тех пор
плоская и сферическая тригонометрия продолжали свое
существование как неразделимые части единой науки.
4.	Измерительный характер задач тригонометрии при-
водил к настоятельной необходимости табулировать зна-
чения тригонометрических функций. Составление таблиц
в течение длительного времени явилось центральной за-
дачей тригонометрии.
5.	Примерно в XIII в. начался процесс выделения
тригонометрии в самостоятельную часть математики,
имеющую цель исследовать тригонометрические функции
углов, их свойства и взаимоотношения.
6	В конце XVI в. были установлены первые связи
тригономшрии с алгеброй посредством взаимных интер-
54
претаций между задачами о делении углов и решениями
неприводимых алгебраических уравнений.
Б вычислительной практике эти связи находят
также свое выражение в решении алгебраических урав-
нений относительно тригонометрических объектов, а так-
же в решении неравенств.
7.	В течение XVIII в. тригонометрические функции
были введены в математический анализ в качестве од-
ного из классов аналитических функций. Оии сразу же
получили широкую область применения и сделались
важной частью аппарата математического анализа, ак-
туальной и для современной математики.
Почти одновременно тригонометрия приобрела более
широкие применения в традиционной области ее суще-
ствования — в геометрии.
8.	Таким образом, к XIX в. тригонометрия, не теряя
теоретической целостности, приобрела разнообразные ин-
терпретации, проникла в состав многих частей матема-
тики, чрезвычайно расширив область своих приложений.
9.	Упомянутая в начале статьи раздробленность три-
гонометрического материала в учебных планах средней
школы в ходе преподавания должна быть преодолена.
Она вызывает методическую необходимость подчерки-
вать единство развивающихся тригонометрических зна-
ний людей — знаний, находящих себе применения иа
различных уровнях математической подготовленности, в
различных областях математики и ее приложений.
10.	Фактический материал, который может обогатить
и конкретизировать знания по истории тригонометрии,
находится в литературе, список которой рекомендован
в одной из статей автора (см.: Математика в школе,
1982, № 3, с. 49). Кроме того, заинтересованный чита- »
тель может обратиться к интересной и доступно напи-
санной брошюре Г. П. Матвиевской «Становление плос-
кой и сферической тригонометрии» (М.: Знание.
Серия: «Математика, кибернетика», 1982, вып. 5).
Юбилей великого открытия
А. В. Дорофеева
(Москва)
В октябре 1684 г. в журнале «Acta Eruditornm» Г. В.
Лейбниц опубликовал мемуар «Новый метод максиму-
мов и минимумов, а также касательных, для которого
не служат препятствием ни дробные, ни иррациональ-
ные величины, и особый для этого род исчисления».
Это сочинение, насчитывающее всего 7 страниц, озна-
меновало рождение новой области математики—диф-
ференциального и интегрального исчисления. Славу его
создания Лейбниц делит с И. Ньютоном, который раз-
работал исчисление в форме метода флюксий еще в
1665 г., но опубликовал значительно позднее. Первая
работа Ньютона по анализу «Рассуждейие о квадрату-
ре кривых», была издана лишь в 1704 г.
Создание математического анализа является одним
из важнейших достижений науки XVII в. В это вре-
мя в Европе укреплялся новый общественный строй —
капитализм. Развитие промышленности, строительной
н транспортной техники, создание машин, постройка
судов для плавания в океане и многие другие техни-
ческие задачи приводили к необходимости изучать
законы движения.
Бессмертное творение Коперника, обнародованное
в 1543 г., изменило взгляды ученых на окружающий
мир. В XVII в. гелиоцентрическая система окончатель-
но утвердилась в науке. В начале века Кеплер открыл
законы движения планет. В тридцатые годы Галилей
разработал теорию движения тяжелых брошенных тел.
Перед наукой встала задача построения единой механи-
ки, объясняющей движение земных тел и небесных све-
тил. Ее успешно решил Ньютон, открывший закон все-
мирного тяготения.	,
Итак, проблема изучения движения выдьшается в
XVII столетии на первый план. Для ее решения необ-
ходимо было создать соответствующий математический
аппарат. В первую очередь нужно было ввести поня-
тия мгиой^иной скорости и ускорения, найти методы
для изучения траекторий движущихся тел. -И матема-
тики приступили к изучению кривых. Они’ проводили
касательные и нормали, отыскивали длины, кривых и
^ограниченные, ими площади.
Математику переменных величин разрабатывали Кеп-
лер и Г алилей, Декарт и Ферма, Торричелли и Каваль-
ерн, Валлис, Паскаль, Барроу и другие ученые. Мно-
гие из них были инженерами и конструкторами. До-
статочно указать, например, то, что Кеплер, Галилей и
Ньютон строили зрительные трубы, Гюйгенс создал ма-
ятниковые часы, Паскаль и Лейбниц — первые вычи-
слительные машины. Еще чаще, чем инженерами, ма-
тематики XVII в. были астрономами, механиками, фи-
зиками.
Решение большого числа разнообразных практических
задач привело ученых к накоплению множества ча-
стных приемов. При этом постепенно выяснялось внут-
реннее единство задач на отыскание скорости движе-
ния и задач иа нахождение экстремумов, касательных,
нормалей. Такое же внутреннее единство было обна-
ружено в задачах иа отыскание пройденного пути по
заданной скорости и на отыскание длин, площадей,
объемов, центров тяжести. Была замечена и взаимо-
обратиость этих задач. Так постепенно из множества
геометрических и механических образов были выделе-
ны два понятия — дифференциал и ‘интеграл и уста-
новлена связь между инми.
Однако до работ Ньютона и Лейбница в математи-
ке еще ие создалось оперативное исчисление: не бы-
ла выработана единая система исходных понятий, ие
существовало общего метода для работы С. этими по-
нятиями и единой символики.
В развитии математики переменных величин боль-
шую роль сыграла введенная Декартом и Февма
система координат. Ф. Энгельс писал о том, что бла-
годаря декартовой переменной величине «в математи-
ку вошли движение и .тем самым диалектика»
Важная заслуга Декарта состояла также в том, что
он выдвинул па первый план новый объект математи-
ческого исследования — функцию, заданную аналитиче-
ским выражением. Если до XVII в. функциональную
зависимость между величинами выражали словесно,
графически, кинематически, с помощью таблиц, то те-
перь на первый план выступают кривые, заданные с
помощью уравнения.
Правда, Декарт предложил ограничиться алгебраи-
ческими кривыми, потому что для изучения других
линий в то время не существовало общего аналитиче-
ского метода. Если бы это предложение оказалось
принятым, то из математики были бы исключены все
трансцендентные функции, в том числе логарифмическая
и тригонометрические, которые в то время были пред-
ставлены исключительно в виде таблиц.
Большим достижением математики XVII в. оказа-
лось создание теопии бесконечных степенных рядов.
Тем самым был найден общий метод для представле-
ния всех известных в то время функциональных зави-
симостей. К концу XVII в. тригонометрические, лога-
рифмические и показательные функции оказалось воз-
можным представлять в виде степенных рядов.
Аппарат степенных рядов является оперативной ос-
новой теории флюксий Ньютона. Его первое открытие
в области анализа состояло в обобщении бииомпаль-
1 Энгельс Ф Диалектика природы.— Маркс К, Эн-
гельс Ф. Соч., т. 20, с. 572.
55
ной теоремы иа случай дробных и отрицательных • по-
казателей. Так был найден биномиальный ряд.
В 1665 г. Ньютон разработал основные принципы
метода флюксий. Летом 1669 г. он передал Барроу
свою работу «Анализ с помошью уравнений с беско-
нечным числом членов» с целью закрепить свои права
на открытие. В 1670—1671 гг. Ньютон подготовил к
изданию более полный труд «Метод флюксий н беско-
нечных рядов». Уже названия сочинений говорят о
большом значении, которое он придавал аппарату сте-
пенных рядов. Найти издателя для этих работ не уда-
лось: в то время математические книги приносили
убытки.
Основным понятиям математического анализа Ньютон
дал механическую трактовку. Он рассматривал функ-
ции от времени x(t), i/(t) н назвал их флюентами.
Мгновенные скорости Ньютон обозначал так: x(t), y(t)
и называл их флюксиями. С помощью метода флюксий
он получил многие важные результаты своей механики,
которую изложил (не упомииа'я, правда, метода флюк-
сий) в знаменитом сочинении «Математические начата
из гупальной философии», опубликованном в 1687 г. Эта
работа Ньютона явилась отправным пунктом для всего
дальнейшего развития естествознания.
Результаты Ньютона становились известными многим
английским математикам по его рукописям. Посредством
переписки. которую активно вели ученые XVII. в. о
них узнали и в других странах Европы В 1676 г.
по просьбе Лейбница Ньютон изложил в двух боль-
ших письмах свои главные результаты в теории бес-
конечных рядов. Но метод флюксий он от Лейбница
скрыл, поместив в письме лишь две анаграммы, обра-
зовав (ые нз расположенных в порядке алфавита букв,
принадлежащих трем фразам, в которых говорилось
об этой теории. Вот одна из этих фраз в русском пеое-
воде: «По данному уравнению, содержащему скс гтько-
либо флюент, найти флюксии и обратно». Даже если
бы эти три фразы были написаны без шифровки, они
не дали бы Лейбницу представления о сущности ис-
числишя Ньютона.
Г. В. Лейбниц пришел к -созданию дифференциаль-
ного и нитегэалыюго исчисления независимо от Ньюто-
на и примерно на 10 лет позднее. Так же как Ньютон,
он опирался на опыт многочисленных предшественни-
ков, накопивших достаточно предпосылок для создания
нового исчисления Сам Лейбниц указывал на три
главных источника своего открытия: 1) данный Паска-
лем метод характеристического треугольника со сто-
ронами dx, dy, ds, 2) введенное Декартом алгебраи-
ческое представление кривых линий, 3) открытия Вал-
лиса и Меркатора в области ’бескоиечнЬгх рядов. К
1675 г Лейбниц создал исчисление бесконечно малых
и в 1677 г. описал свое открытие в письме к Ньютону,
но ответа не получил
В мемуаре «Новый метод», о котором мы говорили
в начале стагьн, Лейбниц изложил основы дифферен-
циального исчисления Статья содержала правила днф-
ферснципования суммы, разности, произведения, дроби
и степени с любым показателем, условия для экстрему-
ма и для точек перегиба. В ней вьедены термины
«дифференциал» и «дифференциальное исчисление».
Лейбниц подчеркнул алгорптмнчность своего метода
,и применил его к большому классу задач на касатель-
ные и экстремумы. Он сфорМулпровал признаки возраста-
ния и убывания функций, исследовал их иа выпуклость
п вогнутость.
Правила интегрального исчисления Лейбниц изложил
в статье «О глубокой геометрии й анализе неделимых
и бесконечных», опубликованной в 1686 г. Он впервые
ввел знак интеграла и подчеркнул взаимно обратный
характер операторов {nd.
• Лейбниц много работал над созданием и усовершен-
ствованием символики нового исчисления. В 1678 г.
он шпал Чирнгаузу: «Следует заботиться о том, что-
бы знаки были удобны для открытий. Это достига-
ется в наибольшей мере тогда, когда знаки коротко
выражают и как бы отображают глубочайшую приро-
ду вещи, и при этом удивительным образом сокраща-
ется работа мышления». Символика Лейбница была
хорошо продумана и облегчала понимание нового ис-
числения. Обозначения Лейбница используются в со
временной математике. Ему принадлежат термины
«функция» н «координаты». Термин «интеграл» ввел
II. Бернулли.
Практические успехи нового исчисления к концу
XVII в. достигли такого уровня, что в 1696 г. появил-
ся  первый учебник «Анализ бесконечно малых» Лопн-
таля.
В XVIII в. математический анализ был широко развит
и усовеошенствован. Из него выделились такие облас<и
исследования, как теория днфференцнатьных уравнений
(обыкновенных  и с частными производными), вариа-
ционное исчисление, теория функций комплексной) пе-
ременного, дифференциальная геометрия На основе
математического анализа были созданы такие фун-
даментальные работы, как «Механика» Эйчера, «Ана-
литическая механика» Лагранжа, «Небесная механика»
Лапласа.
В XIX в. приложения математического анализа су-
щественно расширились. Он стал использоваться для
изучения теплопроводности, электричества, магнетизма
и других физических процессов. В XX в. создан функ-
циональный анализ, обобщивший главные идеи класси-
ческого, математического анализа и являющийся основ-
ным аппаратом современной физики.
Рассмотрим теперь вопрос об основах анализа. В
XVII столетии он стоял очень остро. К. Маркс в сво-
их «Математических рукописях» назвал этот период
развития математики неременных величин мистическим.
Исчисление было создано, оно давало много новых
результатов, но не было должным образом обосновано.
Ученые не могли удовлетворительным образом отве-
тить на главный вопрос — что такое бесконечно малая
величина? Вопрос о природе бесконечно малых вызывал
горячие спооы не только в XVII, но и в XVIII столе-
тни. Оперативная сторона нового исчисления основы-
валась на отбрасывании бесконечно малых. Математи-
ки постоянно использовали равенство a + dx = a, вызы-
вавшее множество возражений и приводившее к ожив-
ленным дискуссиям.
Так, прн отыскивании производной от функции
у —х2 в XVII и XVIII вв. проводились такие рассуж-
дения: от точки х переходили к соседней точке x+h и
составляли отношение
/ (х + А) — / (х> _ (х + h)2 — х8
h '	h
2xh+ A8 „
---T. — = 2x -} h.
h
Затем отбрасывали бесконечно малую величине ft и
получали правильный результат у =2х.
Ньютон возражал против постоянно употреблявшего-
ся отбрасывания бесконечно малых. Он писал: «В ма-
тематических вопросах ое следует пренебрегать и самы-
ми малыми ошибками». Для обоснования своего ис-
числения он разработал теорию предельных переходов,
которую изложит- в «Математических' началах нату-
ральной философии» Он ввел и сам термин «предел»
(limes), но не дал этому понятию какого-либо опреде-
ления, считая его интуитивно ясным.
Определение предела впервые сформулировал Дэчам-
бер в 1765 г. В XIX в. благодаря трудам Коши, Абеля
Больпано и Вейерштрасса математический анализ был
обоснован на базе теории пределов В классическом
математическом анализе бесконечно малая — это пере-
менная величина, предел которой равен нулю.
В наши дни развивается новое научное направле-
ние— нестандартный анализ Он основан из рассмотре-
нии постоянных бесконечно малых величин. Такой иод-
56
ход хорошо согласуется с интуицией естествоиспытате-
ля. В учебниках физики часто встречаются рассужде-
ния о бесконечно малых площадях и объемах, о бес-
конечно малом отрезке времени, за который точка про-
шла некоторый бесконечно малый путь. Поэтому не-
стандартный анализ.оказался удобным средством , для
изучения физических явлений. Для знакомства с ним
мы рекомендуем читателю брошюру В. А. Успенского
«Нестандартный, илн неархимедов, анализ» (М.: Зна
ине, 1983), в которой содержится большая библио-
графия.
Покажем кратко, как определяется в нестандартном
анализе бесконечно малая величина. Пусть е>0 — не-
которое число Образуем суммы e-f-e, е+г-Н,
е+е+е+е и так далее. Если все полученные числа бу-
дут меньше единицы, то число в называется бесконеч-
но малым. Ясно, что это понятие бесконечно малой про-
тиворечит аксиоме Архимеда, которая утверждает, что
для любых чисел а и Ь, 0<а<Ь существует такое на-
туральное число п, прн котором выполняется неравен-
ство па>Ь Поэтому нестандартный анализ называют
также неархимедовым. В этой теории к действительным
числам добавляют бесконечно малые и получают но-
вое более широкое множество, элементы которого на-
зывают гнпердействительиыми числами. В нестандарт-
ном анализе приобрела точный смысл операция отбра-
сывания бесконечно малых н тем самым оказалось
реабилитированным приведенное выше рассуждение
относительно производной функции х2.
Лейбниц ввел в математику понятие о дифференциа-
лах функции и аргумента Для операций с дифферен-
циалами он разработал алгоритм отбрасывания беско-
нечно малых, которые трактовал как величины, несрав-
нимые с конечными. В 1695 г. Лейбниц пг^ал: «Я при-
нимаю равными не только те величины, разность кото-
рых есть совершенное ничто, по и те, разность которых
несравнимо мала». Так впервые возникло понятие о не-
архимедовых бесконечно малых величинах.
' Таким образом, положения нестандартного анализа
оказались возрождением на новом уровне идей Лейб-
ница, изложенных в его знаменитом мемуаре, со дчя
опубликования которого исполнилось ровно 300 лет
в октябре 1984 г.
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
К вопросу
о графическом решении уравнений
М. Куваев
(г. Томск)	-
В школьном курсе математнки, как правило, рассмат-
риваются уравнения не выше 4-й степени. Графическое
решение таких уравнений допускает несколько способов.
По на уроках изучаю? только один способ — нахожде-
ние точки пересечения графиков функций у—ах2
(у — ахл, у —ах*) и прямой. В статье |1] покйзаиэ,
что путем некоторых алгебраических преобразований
уравнение 2 й степени можно свести к виду, который
позволяет находить его корни как абсциссы точек пере-
сечения прямой с гиперболой или окружностью. Если
же речь идет об уравнении 3-й или 4-й степени, то мож-
но рассмотреть пересечение параболы с гиперболой,
с окружностью или с фиксированной параболой.
Примеры, приведенные в статье [1], интересны. На
внеклассных занятиях очень важно знакомить школьни-
ков с такими алгебраическими преобразованиями, учить
находить нх Но в ciaibe [1] не сказано об особенно-
стях Ьтих преобразований, которые нельзя упускать из
виду, так как это может привести к погрешностям. На
внеклассных занятиях целесообразно обсуждать пути
преодоления и предупреждения таких погрешностей
и границы применимости рассматриваемых преобразо-
ваний. Покажем, как можно сделать такие уточнения.
Итак, задача о графическом решении квадратного
уравнения * обычно сводится к отысканию точек пере-
сечения графиков функций
У=х2, y=—px—q.
В статье [1] предлагается преобразованием
1	и
у-—
сводить. задачу к определению общих точек гиперболы
и Прямой:
uv=l, u4-^u+p=0.
Применим преобразование (I) к уравнению г’—х=0
с корнями 0 и 1. Здесь р=—1, о=0, задача сьелась
к нахождению точек пересечения гиперболы tra=I и
прямой и—1=0, но они имеют лишь одну общую точ-
ку, что для квадратного уравнения дзет лишь один ко-
рень х=1. Причины потери корня можно искать лишь
в ’ особенностях преобразования (1). Выражения (I)
лишены смысла при п=0; если же х = 0, то данному
значению х не соответствует ни одно из зн? гений э
и и. Следовательно, преобразование (1) не является
определенным всюду на плоскости и поэтому может
приводить к потере корней, Как мы только что заме
тилн на примере.
Второе преобразование
по мнению авторов статьи fl], позволяет свести .эда-
чу к пересечению единичной окружности и прямой;
г2+и'2=Г, рг+(1—1 =0.
Однако, вообще говоря, при данном преобразовании
число точек пересечения окружности и прямой не всег-
да равно числу точек пересечения их образов. Напри-
мер, в плоскости гОаи пересечение единичной окружно-
сти и прямой г4-а' = 1 состоит из Явух точек (0: 1)
и (I: 0), тогда как в "плоскости хОу их образы — пара-
бола у—х2 и прямая х= 1—пересекаются лишь в од-
ной точке. Правда, прн графическом решении квадрат-
ных уравнений такая ситуация, к счастью, не будет
иметь места, так как не появятся прямые, параллель-
ные оси у (кроме, конечно, самой оси у). Однако неоп-
ределенность преобразования (2) при w=l в других
। случаях может привести к погрешностям.
При решении кубического уравнения x3 + px + q — Q
в статье [1] рекомендуется преобразование
v	и* + Vs — v
У--------7^-’	™
обратным к которому будет
-4-	у	х(х 4- у)
“ “ I х*~' v “ 1 -I- х» •
Преобразование (S) переводит систему
{у — х*.
у----рх - q
в систему
( и’ 4- V2 + qu 4- (р— 1) v = 0.
Но система (6) при любых р и q имеет решение
и=0, и=0, чему в плоскости хОу соответствует целая
прямая х4-1/=0 Следовательно, приходится заключить,
1 Квадратное уравнение легко решается аналитически.
Следовательно, прибчижениый графический метод луч-
ше иллюстрцровать на-других уравнениях.
57
что кубическая парабола у—хъ и прямая i/®=—px\-q
пересекаются по прямой х |-i/=0. Но это заключение
ложно, так как парабола 3-й стедёни и прямая могут
иметь не более трех общи» точек Дело в том, что пре-
образование. (3) определено при и^О, а обратное ему
преобразование (4), определенное во всей плоскости
хОу, прямую х+у=0 переводит в одну точку (0: С).
Таким образом, преобразования (3) и (4) не являют-
ся взаимно однбзначными. а сис гемы (5) и (6) не всег-
да эквивалентны. В системе (6) требуется ввести огра-
ничение и=#0.
Преобразование (3), имеющее смысл при и=А0. не
может отображать всю кубическую параболу i/=x3
и каждую прямую у=—рх—q иа плоскость перемен-
ных и, о.
В заключение коснемся утверждения о возможности
решать графически любое квадратное уравнение с по-
мощью одного экземпляра графика функции у= х2.
Это утверждение встречается в работах [I] —13). Если
для графического решения уравнения х2—х—0,1 = 0
с корнями —0,09... в 1,09... важна часть параболы при
малых абсциссах, то для уравнения х3—109x4-1=0
с корнями 0,01... и 99,99... нужна часть параболы с абс-
циссами —l^x^llO. Общий рисунок параболы, год
ный для графического решения обоих уравнений, где
единица масштаба соответствует 1 см, требует лист
миллиметровки в 100 м высоты. Таким образом, с прак-
тической точки зреиня возможность решить, графически
каждое квадратное уравнение с помощью одного эк-
земпляра параболы преувеличена — всю необходимую
часть параболы изобразить ие всегда удается.
Литература
1.	Никулин Н. А., Колесников О. Н., Банникова Л. П.
О графическом решении некоторых алгебраических урав-
нений.— Математика в школе, 1982, Ks 1, с. 55.
2.	Практикум по педагогике математики/Под ред.
А А Столяра.' Минск; Вышэйшая школа. 1978, с. 57.
3.	Энциклопедия элементарной математики. -Т. II.
ГИТТЛ. М.; Л., 1951, с. 392,
Об одной схеме
. доказательства неравенств
Ф. Г. Шлейфер
(г. Арзамас)
Изложение классических неравенств в достаточно пол-
ном объеме для учащихся средней школы представляет
серьезные трудности главным образом потому, .что до-
казательство каждого отдельного неравенства требует,
как правило, своих хитроумных преобразований. В дан-
ной заметке указывается одно весьма обшее неравен-
ство, которое, во-первых, позволяет просто доказывать
основные классические неравенства и составлять новые,
во-вторых, имеет наглядный в легко запоминаюшийез
вид. Материал этой заметки целесообразно использо-
вать на факультативных или кружковых занятиях с уча-
щимися IX—X классов. Ниже будут удобны следую-
щие обозначения: А (а,, а2, ..., а„) и Г(а1, а2, .... а„)—
соответственно среднее арифметическое и среднее гео-
метрическое действительных неотрицательных чисел
а>, Qj, с»
I.	Неравенство Коши о среднем арифметическом
и среднем геометрическом
Теорема (Коши). Пусть аь а. .... ап — дейст-
вительные неотрицателыЬле числа, тогда справедливо
неравенство A(at, .... ап9>Г(аь аь .... ап), причем
равенство имеет место тогда и только тогда, когда все
числа аь аг,...., а„ равны.
Доказательство. Если среди чисел' ац а2, ....
ап имеется хотя бы один нуль, то утверждение теоре-
мы очевидно: А(аь а2, .... а„)>0 = Г(а,. д2.. а„),
причем равенство имеет место тогда и только тогда,
когда А(аь а2, .... с„) =0, т. е. а1=а2=...₽а„=0.
Пусть теперь среди чисел а,,'а2. а„ нет равных ну-
лю, т. е. Я[>0, ..., ая>0. Обозначим далее А =
=Л(“1. а2, ,л, а„), Г0=Г(а1г а2, .... ап).
а)	Если среди чисел ац а2, .... а„ имеются отличные
от А, то имеются как большие, так и меньшие А.
Пусть для определенности aj>A, а2<А. Рассмотрим
новый набор чисел:
°]  А. а? ai + а, — A, at, at.....а„.
Легко видеть, что сумма новых чисел осталась преж-
ней, а произведение увеличилось, так как (А—Qi) X
Х(А—а2) <0 и ajrtj — А(<21 4-а,— А) >ц,а,.Итак, чего
мы добились, введя- новый набор чисел? Во-первых,
сумма чисел нового набора осталась прежней, т. е.
Л= A(alt dv ае,...,ап) Во-вторых, произведение чи-
сел нового набора возросло по сравнению с произве-
дением чисел первоначального набора, т. е.
Гв — Г (а,, а,..а„) < Г (а,, д2,а,....дп) — Г,.
В-третьих, среди чисел нового набора увеличилось ко-
личество чисел, равных А.
б)	С новым набором чисел, получевиым в п. а), по-
ступим так, как мы поступили с первоначальным набо-
ром, и т. д. Нетрудно видеть, что через несколько (не
более п—1) указанных шагов мы придем к набору чи-
сел: А, А, А, .... А. Обозначим количество шагов через
k (О^А^п—1), а среднее геометрическое чисел в на-
боре, получаемом после I шагов, через ГТогда из
п. а) полччаем цепочку неравенств: Го<Г1</'2<„..<
<Гк—А. Итак, справедливо неравенство Го<А, если
среди чисел аь а2. а„ имеются отличные от А; спра-
ведливо равенство Го=А, если ai=a2=...=an. Теоре-
ма доказана.
Примечание. Строгая запись приведенного дока-
зательства может быть получена применением метода
математической индукции.
II.	Обобщение неравенства Коши
Рассмотрим прямоугольную таблицу из л строк и 4
столбцов,, заполненную действительными неотрицатель-
ными числами: в первой строке записаны числа а(, а2,
..., аь; во второй строке записаны числа Ьи Ь2, .... Ь*
и т. д., наконец, в последней (л-й) строке записаны чис-
ла С], с2, ..., о, (табл. 1)-. Вычислим среднее 1еометри-
ческое чисел .в каждой строке н обозначим их соответ-
ственно через Гь Гг, ..., Г„. Далее, вычислим среднее
арифметическое чисел в каждом столбце и обозначим
Таблица 1
их соответственно через At, Аг. Л*. Имеет место
следующее основное неравенство.
 еорема Г(АЬ А2,	А*)^А(Г!, Г2, .... Гп).
Доказательство а) Если А —0, то a\=bt =
. =...=Ci—0 и далее Г(АЬ Аг, ..., Ак)—0 = Г1 = Гг=
= ...=Гп и теорема доказана. Если А2=0, или А3=0,
.... или А*=0, то доказательство теоремы проводится
аналогично.
б) Пусть теперь 4i>0, А2>0, .... А*>0. Применим
неравенство Коши
«1
к числам -д- ,
а, . а*
А........А и ум'
ножим его на число kt
а, а,	аь ________кГ,_________
А, А, ’’’ Ац^ Г (Ai,A,,...,Aii)
Аналогично можно записать и другие неравенства:
bi , f>, t Ьк ~	кГ,
А + А + ”‘+А> Г (А,А,--..А)
1 f I	t	ck	n
A Л* А Г (A»A»*«»»-A)
После сложения указанных выше неравенств получим
nA,
Л
nA,	пАь
-аГ+- + ~аГ>
+
k п
> Г (А,, А,.Ак) *Л (Г,Г”
или, после очевидных преобразований,
' (А,. Аг, ..., Ал) А(Г|, Гг.. Гв).
Теорема доказана.
Замечание. Основное неравенство превращается
в равенство, если хотя бы одни из столбцов сплошь
заполнен нулями или числа во всех строках пропор-
циональны.	*
Покажем, что основное неравенство является обоб-
щением неравенства Коши. Для доказател! ства рассмот-
рим квадратную таблицу размером гхп и заполним
ее действитечьными неотрицательными числами аь а2,
.... Лп так, чтобы в каждой строке и каждом столбце
встречались все эти числа (например, как это сделано
в Табл. 2). При таком заполнении получаем, что Гt =
= Г2=...«=Вп = Г(а1, я2, ..., Яп), А। = А2=...=Ап ==
=А(аь я2, ..., яп), в основное неравенство запишется
так:
А(яь а2, .... Оп)^Г(аь а2, .... я„).
Таблица 2
III. Применение основного неравенства
Неравенство Коши — Буняковского. Для произволь-
ных действительных чисел ян я2, яп; Ь2........... Ьп
меет место неравенство
(я? + а2 + - • • +	(*1 |-	+ • • • + ®л) >
> (а,Ь, + а,Ь, + ... + апЬп)*.
Для доказательства рассмотрим прямоугольную таб-
лицу из п строк и двух столбцов, в первом столбце
-	2	2	2
которой записаны числа а{, а2......«п»	в во втором
столбце—	Ь‘, Ь?,..:,1 Основное неравенство
для указанной выше таблицы выглядит так:
-» /" я^ + я^ •+-..+ я^ bf + 6 4- ... + b~
V	п ~ • h >
I I -Ь I 1	4~ I I
-	п	9
и переход от него к неравенству Коши — Буняковского
не представляет никакого труда.
Неравенство Гёльдера. Пусть Я|, я2, ..., ап; Ьи б2, ....
Ьп\ ...; сь с2, ..., с„ — k последовательностей действи-
тельных неотрицательных чисел Пусть далее а, р,
у — k положительных рациональных чисел, сумма ко-
торых равна 1. Имеет место неравенство:
<•*1 -...-с1 + я“.&Р.....^ + ...-(- я* •**•...-с* <
<(f.+ я, + ... W • ££, + *, + ... + V ••••
...•(с, + с. + ... + ся)т .
Для доказательства сначала приведем рациональные
числа а...у к общему знаменателю Л1:
А	В	С
* а “ М ’ Р"- М .....7- м .
где М. А, В, .... С — натуральные числа
и Л4=А-|-В-|-...-|-С. Далее рассмотрим, таблицу из п
строк и М столбцов, заполненную следующим образом:
первые А столбцов заполнены одинаково, а именно чис-
лами Я1, я2, ..., Яп, записанными- сверху вниз в указан-
ном порядке; следующие В столбцов заполнены также
одинаково, но уже числами blt bit .... bn, записанными
сверху вниз в указанном порядке; и т. д. Неравенство
Гёльдера теперь немедленно получается, если по дан-
ной таблице записать основное неравенство (табл. 3).
Замечание. Неравенство Коши — Буняковского
является следствием неравенства Гёльдера, если при-
нять Л=2, о. = ₽ — -g-*
Неравенство степенных средних.  Пусть яь а2, ....
а„ — дейст! 1ельные неотрицательные числа, а, 0 —
натуральные числа, причем а^0. Справедливо ш ра-
венство:
1 1
/ я₽ + я| + ... +я₽0 \ ₽	/я“ + я“ +... + a“V
I	. I > I	I
59
Для доказательства заполним прямоугольную табли-
цу из п строк и р столбцов так: первые а столбцов
заполним одинаково, расположив в лих числа
0 в в
а\, <гп "верху вниз в указанном порядке, в
клетки остальных столбцов впишем число 1. Остается
записать основное неравенство и извлечь из левой и
правой его частей корень степени а (табл. 4).
Таблица 4
Замечание. Условие, что числа пир натураль-
ные, можно заменить на более общее: а и Р — поло-
а
жительиые числа, причем-^- — рациональное число.
При этом в доказательстве нужно сначала записать
а Р
у — др, где Р, М — натуральные числа, и затем
при рассмотрении таблицы заменить числа аир соот-
ветственно на Р и М.
НеравенствЬ, связанное с определением числа е.
Пусть п — натуральное число, х — действительное чис-
ло, причем х^—п, Справедливо неравенство

причем равенство достигается лишь при х=0.
Рассмотрим, таблицу размером (л-f-1)X(л+1), за-
полненную следующим образом, в клетках диагонали,
идущей из левого верхнего угла в правый нижний,
записаны единицы, а в остальных клетках записано чис-
х
ло 1-р—. Остается лишь выписать основное иера-
. вепство и возвести его в степень л 4-1.
Замечание. Доказанное выше неравенство позво-
ляет. утверждать, что последовательность чисел
/ 1
U + yJ строго возрастает (принять х=1), а
последовательность чисел
(принять х=—1).
/ I
^1 4-	строго
убывает
Неравенство с круговой перестановкой коэффициен-
тов. Пусть и, р, у — положительные рациональные чис-
ла, ж, у, г—неотрицательные действительные числа.
Справедливо неравенство
(а*4-Ру4-уг) (рх+^у+аа) (утЧ-ау + р?! > (а +р+<у)8хцг.
Для доказательства сначала приведем числа а, р, у
к одному знаменателю.
А „ В С
а--м' ₽“лГ-	.где
М, А, В. С—натуральные числа. Затем рассмотрим
табл. 5. выпишем соответствующее основное неравен-
ство, умножим его иа число (о4-₽4"У) и затем возве-
дем полученное неравенство в куб.
Замечание. Рассмотренное неравенство легко об-
общить на случай п положительных рациональных чи-
сел и и неотрицательных действительных чисел.
Еще два неравенства. Цля произвольных действитель-
ных неотрицательных чисел аь ...........а„ справедливы
неравенства:
(а" + п— 1)-(<?2 4- п — 1)-...- (апп 4- п — 1) >
> (Лт + а, 4- ••• + «„)".
(а, 4- а? 4- йз 4- ••• 4-вп"-1)’!**! 4-^2 4-•••
। Л2п^1 । „ \	/Л2л-*1 ।	 „3 ।
••• + дл—1 + <*/>)•••.•(«,	4- а, 4- а3 4- •••
 2л—3, » / „л . „л f	! „л -л
• ••4- ап ) > (с, 4-а2 4-... 4- пп) -
Для доказательства заполним таблицу размером
п\п так в первом случае на диагонали, идущей из
верхнего левого угла в правый нижний, запишем чис-
ла а”.а”»---*82"» вне диагонали — единицы; во вто-
ром случае клетки первого столбца заполняем содержи-
мым первых скобок, клетки второго столбца заполняем
содержимым вторых скобок и т. д. Соответствующие
основные неравенства легко преобразуются в доказы-
ваемые.
Упражнения
1	Пусть х, у, г — положительные числа, причем
Ж1/£=1. Доказать, что
(ж4-2у)(у4 2г)(г42х)>27.
2	. Пусть х, у, г—положительные числа, причем «4*
4</+г = 1. Доказать, что
3	Пусть ж, у, г — действительные числа,. Доказать,
что x'J-i-у2+ г2^ху+хг+уг.
4	. Пусть Qi, а2, .... ап—неотрицательные действи-
тельные числа. Доказать, что
(1+д1) ‘ (1 + °г)	(1 +а») 5s (14-2 «Ь. а2> •  •> fln)) "•
Литература
Шклярский Дл О., Ченцов Н. Н.. Яглом И М.
Избранные задачи и теоремы элементарной математи-
ки. Ч. 1. Арифметика и алгебра.— М.: Физматгиз, 1954.
Кречмар В. А. Задачник по алгебре,— М.: Наука,
1S64.
60
Переход к новым переменным
гри решении некоторых задач
Г. Н. Солтан
(Минск)
При решении некоторых алгебраических задач иногда
целесообразно переходить к новым переменным, пред-
ставляя все исходные переменные, кроме первой, в ви-
де суммы первой переменной и некоторой новой перемен-
ной. Покажем эффективность использования такого
приема при решении нескольких задач повышенной
трудности.
1. Разложить многочлен ax3+bx2y+cxy2-\-dy3, у ко-
торого сумма всех его коэффициентов a, ft, с, d равна
нулю, на два множителя
Решение. Положим, х—у+р. Тогда ах3+Ьх2у+
+ cxy2+dy3 = a(y+p)3+b(y+p)2y + с(у + р)у2 4- dy3 =
= (r+ft + c+d)i/3+3a(/2p-f-3oi/p2 + up3 + 2by-p 4- bi/p2 +
+cy2p = p(3ay2+3ayp+ap2+2by2+byp+cy2) = (x—y)X
X(3ay2-f-3ay(x—y)+a(x—y)2+2by2+by(x — y) +cy2) =
= (.x—y)(ax2 I- (a-f-ft) xg+(fl + ft4-c)g2).
2. Не находя решения (x; у) системы . уравнений
(	4- 271x=- -7.
I 3”x + 77у == 25,
узнать, что больше, у или х, и на сколько
Решение. Обозначим у череЬ x-{-h и подставим это
выражение в данную систему. Получим
'	[ 49 (х 4-ft) + 271х---7,
I ЗЗх + 77 (х 4 h) -» 25.
После очевидных преобразований имеем:
— 7—49ft
х ”	320
25 — 77ft
х = ПО '
— 7 — 49ft 25 — 77ft
Тогда	320	“ J W •
Отсюда получаем ft=777/1925. Таким образом доказа-
но, что ft>0 и, значит, у, больше х, причем больше
на 777/1925.
3. Доказать неравенство
,	а3—а2—За+5>0, а^О.
Решение. Выполнимость неравенства на проме-
жутке [0; 1] очевидна. Для всех а> 1 введем обозна-
чение а=14-с. где ОС. Тогда а5—а2—За4-5 =
= (1 Тс)5—(1+с)2—3(1+с)+5 = (1+с)2-(Не)3-1-
—Зс4 2=(с2-:-2е+1);с3+Зс2+Зс)—Зс+2 = (с’4-2;)Х
Х(с3+Зс24-Зс)4-с34-Зс2тЗс—Зс4-2= (с24-2с) (с3 Т Зс1 4-
+Зс)+с3+Зс2+2>0.
4. Доказать неравенство
(х 4- v)n
хп + уп> —„ — (х>0, у>0, /r£N).
Решение. Положим х+р=с, и пусть для опреде-
ленности x^Ji/, т. е. г/==х+Дх,| где AxJsO. Тогда име-
ем х4-х+Д*=с, откуда
с — йх с 4- Дх
х =	2~ ’ у = F •
Далее	‘
„ , „ fc—Дх\л /с + ДхА"
+ г =	—) + (-— -) =
2сп 4- F (Дх) сп (х 4- У)п
2П	= 2П—1	’
так как Г(Дх)^0, в чем легко убедиться, просуммиро-
вав разложения (с—Дх)‘ и (с4-Дх)п.
О нахождении промежутков
монотонности некоторых функций
Ю. С« Брановский
(г. Ставрополь)
При исследовании функции с помощью производной
в стандартных школьных задачах аналитическое выра-
жение для производной, как правило, получается прос-
тым, что не затрудняет дальнейшее решение, однако
в более сложных заданиях учащиеся не располагают
приемами, позволяющими завершить решение. В неко-
торых случаях, когда производная данной функции
представляет собой рациональное выражение от аргу-
мента и тригонометрических функций, можно восполь-
зоваться неравенствами
п
Sin х < х < tg х при 0<х<-2~.
Приведем примеры.
Найти промежутки монотонлости в интервале
] 0;	£ следующих, функций:
х2
1)	fix) --cos х—-2~;
sin х
2)	. g(x)^ ——;
3)	ft ix) = — Ineosx--g" — "(У-
Решение. На указанном множестве рассматривае-
мые функции непрерывны и дифференцируемы. Вычис-
лим их производные:.
х — 1g х
/' (х) - sin X — л g' (х)------р----cos х;
1
h' (х) = tg х — х — — х».
Для определения знака функций на интервале
1 я Г
0; -g- используем неравенство (>К):
I 2 Г
Г(х)<0 для г f 0: — , поэтому f(x) убывает
на этом интервале согласно достаточному условию убы-
вания функции на промежутке.
JC — X	1 Те Г
g'(jr) = —Р- "cos х < 0 для х € J °: Т [ •
следовательно, g(x) также убывает на рассматривае-
мом промежутке.
Для определения знака h'(x) на интервале J 0;	|
* 1
рассмотрим на нем функцию р (х) = tg х—х—	х3.
Она в указанном промежутке непрерывна и дифферен-
цируема. Находим ее производную
1
р' (х)	—1—х2 = tg2x —х2-
- (tg X — х) (tg X 4- х) > О
для xf_j 0; "у [, так как в этом случае tg х~>х и U
4-х>0. Следовательно, функция р(х) иа рассматривае-
мом множестве возрастает, поэтому p(x)=h (х)>
>р(0) =0,т. е. tg х- х----х* > 0. Таким образом,
1	I 7t Г
функция ft(x) на интервале 0; “g” I возрастает.
Замечание. При решении третьего примера неяв-
но находилась вторая прои (водная.
ЗАДАЧИ
От редакции. В честь все-
народного праздника — 40-летия
Победы советского народа в Ве-
ликой Отечественной войне редак-
ционная коллегия журнала «Ма-
тематика в школе» объявляет
конкурс по решению задач.
Конкурсные задачи будут опуб-
ликованы в № 1, 2 журнала за
1985 г.
Конкурс будет проводиться от-
дельно для индивидуальных чи-
тателей и для математических
кружков, а также отдельно по
задачам для IV—VI11 и IX—X
классов. Правила оформления решения задач будут
опубликованы в № I журнала за 1985 г. Мы просим
каждого участника конкурса сообщить свою профес-
сию, год рождения и стаж работы, а учащихся — фа-
милию преподавателя математики, ведущего занятия
или кружок, или название заочной (вечерней) матема-
тической школы, в которой они учатся.
Победители конкурса будут награждены грамотами
Министерства просвещения СССР и дарственными но-
мерами журнала.
Решения заддч этого номера должны быть отправлены
в редакцию ие позднее 1 марта 1985 г. О правилах
оформления решения задач см в № I журчала «Мате-
матика в школе» за 1984 г. иа с. 78.
Задачи для IV—VIII классов
2781.	Существуют ли такие цифры х, у, г, t, что вы-
полняется равенство
И xyzt
= Z
ху 4- х if zt 7
ААатематический кружок 35-й шк.
Ходжаабадского р-на Андижанской обл.
(рук. А. Ж а л а м о в)
2782.	Может ли сумма 46 последовательных нату-
ральных чисел делиться на 46?
Н. К. Антонович (г. Новосибирск)
2783.	Найти наименьшее число вида п3 -Зп24-4, де-
лящееся на 173,
Математический кружок 173-й шк. Киева
(рук. Р. П Ушаков)
2784.	Найти натуральное число, являющееся точным
кубом, запись которого состоит из одной единицы, двух
двоек, трех троек и т. д. до девяти.
•	В. А. Ясинский (г. Винница)
2785.	При каких х, yfz N хотя бы одно из чисел
х2—2ху-}-2у2, x2+2xy+2tj2 делится на 5?
Г. П. Онищенко
(Днепропетровская обл., пос. Покровское)
2786.	При каких nf N выполняется равенство
л /	-------- л /-----—.------
у 17/5 -J-38 + у 17/5 — 38 = /20?
А. Галушка
(Днепропетровская обл., пос. Магдалиновка)
2787.	Около треугольника АВС описана окружность
<о; Аи By Ct — середины дуг ВС, СА, АВ соответствен-
но, не содержащих верш’^ы треугольника. Доказать,
что три окружности юцАь- г1 = |А,С| = IA.BI г ш2(В>:
r2~\HiA | = |' \С|), <оз(Сь г3=|С1Д| = |С1В|) имеют ,
общую точку.
Д. Ф. И з а а к (г. Орск)
2788.	В треугольнике АВС, в котором | АВ | =/»
=£ I 8С | , npoet. иены медианы AAt BBt, ССЪ Из-
| AAt |	| CCj |
вестно, Что । дд'|"’ “ ВС*| '*' Доказать» чт0
/АА,1	| СС,1 ' {ВВ.]	/3
| АВ j в | ВС | " | АС | “ 2 *
Д. Ф. И з а а к
Задачи для IX—X классов
2789.	Решить систему уравнений
I tgx — tgy = х — у,
I sin х -J- sin у = /2
ж Г
,	-2-[.
Математический кружок 87-й шк. Еревана
(рук. Г. Г. Б о я х ч я и)
2790. Решить систему уравнений
4x24-4i/24-12x=7, x24-y24-z2=2z-|-3z—3.
Математический кружок 87-й шк. Еревана
2791. Вычислить сумму
m+m+m+.„
Математический кружок 1 й Калининской
азерб. шк. Га^дабанского р-на ГССР
(рук. И. М. Мамедов)
2792. Найти функцию y=f(x), удовлетворяющую
уравнению
y'sinx — jrcosx=sin2x.
Р. М. С а л и м ж а н о в (г. Петропавловск)
2793. На окружности даны две точки А и В. Найти
множество точек пересечения диагоналей трапеций
ABCD, вписанных в эту окружность.
Т. В. Бурлакова (Ивановская обл., г. Шуя)
2794. В прямоугольном треугольнике АВС (С=90э)
через середину катета ВС и центр окружности, вписан-
ной в треугольник, проведена прямая, пересекающая
катет АС в точке М. Доказать, что
| AM | А
| МС | = tg 2 *
Е. А. Боков (Краснодарский край)
2795. Треугольник АВС — остроугольный. Доказать,
что числа
a) a cos л, Ь cos В, с cos С, б) a sin Л, b sin В, с sin С
являются длинами сторон некоторого треугольнику.
Р. П. Ушаков (Киев)
2796. Боковое ребро правильной треугольной пирами-
ды имеет длину а. Доказать, что объем такой пирами-
а3
ды не превышает -g*.
С. И. М а й з у с (г. Запорожье)
Комплексные числа
2797. Представить число 2 в виде суммы квадратов
двух десятичных дробей с тремя отличными от 0 зна-
ками после запятой.
 Б. С. Романов (г. Хабаровск)
62
Неравенства
2798. Решить систему уравнений
2х:
хг + 1 “ у‘
 _____3>"________
у1 + № + 1
4г*
г*4-г*+ z’4-1 = х’
Л Б. Печерский (Москва)
Сравнение площадей двух многоугольников
2799 Многоугольник А^-.А^ вписан в окружность.
Причем центр этой окружности О лежит внутри мно-
гоугольника. Из точки О проведены перпендикуляры к
сторонам многоугольника до пересечения с окружно-
стью в точках В,, Bj, Вп. Доказать, что площадь
многоугольника BiB2...Bn не меньше площади много-
угольника АИ2...Лп.
Р. П. Ушаков
Геометрическое неравенство
2800. Доказать для треугольника неравенство
Зл!4-3*2 —«’>4^35,
где а, Ь, с •^•стороны треугольника, S — его площадь.
Выяснить, когда имеет место равенство.
3. А. Скопец (г. Ярославль)
Решения задач,
помещенных в № 1 за 1984 г.
2681. При делении чисел 13 742 и 16 974 на некоторое
натуральное число п получились остатки соответствен-
но 7 и &. Чему равно п?
Решение. По условию, выполняются равенства
13 742 = Пр+7, 16 974=п?+6,
из которых получаем, что число п является общим де-
лителем чисел 13 735 и 16 968 Однако
13 735=5-41-67, 16 9С8—23 3-7-101,
так что их единственным общим делителем является
число 1, что противоречит вытекающему из условия
неравенству п>7. Поэтому условие задачи противо-
речиво.
2682. Может ли число 5п4-1 делиться на число
5Л—1 (п, k — натуральные числа)?
Решение. При и>1 и k> 1 число 5n-f-l оканчива-
ется цифрами 26, т. е. не делится на 4, тогда как
5Л—1 оканчивается цифрами 24 и делится на 4; отсю-
да следует, что 5"4-1 не делится на 5*—1.
Аналогично рассматриваются случаи п=1 и * = 1.
В результате получаем, что ии при каких п и k число
5п4-1 не делится на б*—1.
2683.	Построить график уравнения
1	1	2
хг 4-1 у2 4- 1 = х у 4-1 ‘
Решение. Перенеся все члены уравнения в одну
часть и сделав приведение подобных, мы получим
х24- У2—2ху-\-2х'£у2—х3у— ':у3 — 0,
или
(*—у)2(1—ху) =0,
Отсюда х—у или xy=t, и, следовательно, график дан-
ного уравнения является объединением прямой и гипер-
болы, которые нетрудно изобразить на рисунке.
2684.	Может ли куб двузначного числа оканчивать-
ся цифрами 432?
Решение. Если число п3 оканчивается’цифрой 2,
то само п, как легко проверить, оканчивается цифрой 8,
т. е. п= 10*4-8, а тогда
п3 = 1000*34-2400*24-1920*4-512 = 100m4-10 (2*41)4-2-
Если цифра десятков числа п3 равна 3, то 2*4-1 равно
либо 3, либо 13, так что * равно 1 или 6. Проверка
показывает, что цифрами 432 оканчивается число 683.
2685.	Сколько членов арифметической прогрессии
2, 19, 36, 53,
записываются одними тройками?
Решение. Общий член данной прогрессии имеет
вид а» = 17(п—1)4-2; испытывая последовательно чис-
ла 333, 3333 и т. д., находим, что остаток 2 при деле-
нии на 17 дает число 333 333 333, которое, следователь-
но, является членом данной прогрессии.
Продолжая испытания, мы получим, что число, со-
стоящее из 16 троек, делится иа 17, и поэтому число,
состоящее из 164-9 троек, дает при делении иа 17 ос-
таток 2, т. е. является членом прогрессии. Ясно теперь,
что членами прогрессии являются и все числа, состоя-
щие из 94-16* троек, следовательно, данная прогрессия
содержит бесконечное число членов, записываемых од-
ними тройками.
2686.	Доказать, что если х-{-у=г-{-!(х, у, г, Z),
то число x24-y24-z24-/2 является суммой квадратов трех
целых чисел.
Решение. Действительно,
v24-^24-z24-<2=x24-i/24-z24-<24-2x(x4-4-z—/) =
= 3x2+y2+z2+t2+2xy—2xz—2xt— (x-J-y)24.
4-(x-z)24-(x-02.
2687.	иерез точку М данного прямоугольника про-
ведены две прямые, параллельные его сторонам. Найти
множество таких точек, чтобы два образовавшихся пря-
моугольника с одной общей вершиной М были подоб-
ны дачному.
Решение. Пусть М — точка искомого множества,
т. е. прямоу чэльники ARMQ, MPCS, ADCB подобны
(/?S||AB, PQ))CB) (рис. 1), значит,
MQ| : |<2Л4| =|Л15| : |SC| = |AB| : |ВС|,
а тогда будут подобны и прямоугольные треугольники
АСВ. AMQ, MCS. Отсюда следует, что MA$—CMS==
— (2АВ, т. е. точки А, М, С — коллинеарны, значит
Л1 е HQ.
Рис. 1
Если подобны четырехугольники RMPD, QBSM,
ABCD, го М С [В*>].
Обратно, через точку М диагонали АС, проведем пря-
мые /?5[)АВ и PQ^CB. Поскольку MAQ=^M§=^A&,
то прямоугольники MRAQ, CPMS, CDAB подобны.
Итак, искомое множество точек состоит нз внутрен-
них точек диагоналей прямоугольника.
2688.	В треугольнике АВС 6=50° С=70°. Найти
углы треугольника IHC, где Н — ортоцентр, I — центр
вписанной в треугольник АВС окружности.
бп
Решение. Имеем (рис. 2) г
{НС -/СА — {1СА - С — (90° — Л) =
- 35° —30° = 5°.
Далее, Д/С- 90е + -у- А - 120°, £//fc = 180°—Я-
— 120°. Следовательно, четырехугольник В1НС впи-
санный, поэтому ///^ — ^ВС -=• 90° — С = 20°. Нако-
нец, !нё— 180° —20°—5°=155°.
Таким образом, углы треугольника 1НС-. 5°, 20°, 155°.
2689. Решить уравнение
-/х- 4- 24 - Зг 4- 8 4 Vх’ + 12.
Решение. Переписав данное уравнение в виде
12
-------------- ----------3x4- 8,
у Xs 4- 24 4- >/ х3 4- 12
заметим, что его левая часть является убывающей, а
правая часть—возрастающей функцией и, следова-
тельно, оно не может иметь более одного корня. С дру-
гой стороны, очевидно, что число —2 является его кор-
нем, и, таким образом, уравнение -имеет единственное
решение х=—2.
2690, Для каких п £ Z выполняется неравенство
Решение. Докажем, что tg 26° < 1/2. Имеем:
tg 26° < —- -<=>2 sin 26° < cos 26° <=> 4 sin2 26°<
1	3
< cos2 26п <=> sin2 26° < -jT- <=> cos 52° > -5- *=£
9	7	7
<=s> cos2 52° > 25- <=>cos 104° >—	** s,n 14° < 25” •
Ho
к к 7
sin 14° < sin 15° - sin^ < 12 < ^5 ’
так что tg 26° < -г;-.
Теперь докажем, что tg27° > -j~. Действительно,
tg27° > -77- <=>4 sin2 27° > cos2 27° <=> sin2 27° >
1	3.3
> -g- <=> cos 54° < - g» <=> sin S6° < — <=> sin2 36° <
ООО
9	7	7
< 25^cos72 > 25 <=>sinl8°> 2-;
/5—1	1,2	7
Ио sin 18°=----> -г- > 77г.
4	4	25
Итак, исходное двойное неравенство выполняется
при «==264-180/’.
2691. Упростить выражение
(’•+<) («•+)
Решение. Умножая каждый миожитель в числите-
ле и знаменателе на 16 и пользуясь равенством
л’4-4 = (л2—2л4-2) (л24-2л4-2) =
= ((«-1)4-1) ((п+1)2+1),
получим, что данное выражение равно
‘ (2*4- '/ ,6« 4-4)...(38«4-4)
(4*4-4) (8* -J- 4)...(ч0* 4- 4)
(Г 4- 1) (3’4- 1) (524-1) (72 4- 1)...(372+1) (39’4-1) .
“(3’4- 1) (52 4- 1)(7’+ 1) (92 4- 1)--. (39’4-1) (41’4-1) “
1
“841*
2692. Последовательность (хп) определена равенства-
ми
Л,-Х,-1, Хя+1 ----------------Г.
*	*«—1 4 X»
Цайти ее предел.
Решение. Ясно, что все члены заданной последо-
вательности положительны. Переписав рекуррентное со-
отношение в виде
____ 1_____
Хп “ ха_г ха 4-1’
мы получим, что —<1, т. е. эта последователь-
*п
ность — убывающая. По теореме Всйерш грасса, оиа
имеет предел а, который может быть вычислен перехо-
дом к пределу в последнем равенстве;
1
1 “ а2 4- 1 *
Таким образом, 11m хЛ => 0.
2693. В равнобедренном треугольнике для угла а при
основании выполняется соотношение sin3a4-sin’a4-
4-sina=l. Найти отношение периметра треугольника
к Juaметру описанной окружности
Решение. Обозначим через Р и R соответственно
периметр треугольника АЬС и радиус окружности, опи-
санный около него; |ВС| = |СЙ|, А=а<90°. Имеем:
Р | АВ | 4- 2 | АС |
2Н “	2/? ,
=• sin С 4- 2 sin А
= sin 2a 4- 2 sin т. = 2 sin a (1 4- cos a).	(1)
Из данного равенства следует, что 1—sina=sin3a4-
4 4in2 а, а тогда (1—sin a) (14-sin a) = (sin3a4-sin’a) X
X(14-sina), cos’a=sin’a(l-|-sin a)2, cos a=sin a(14-
4-sina), cos a-|-l = l-|-sin a-j-sin’a. Согласно (1) полу-
чим;
P
2^- = 2 sin a (1 4- sin a 4- sin2 a)-=
 - 2 (sin a 4- sin2 a 4- sin’ a) = 2.	>
2694 Для каждой точки X треугольника АВС прово-
дятся три секущие, пари тлелъные его сторонам. В ре-
64
вуъьтате этого построения образуются три треугольни-
ка. ограниченные двумя секущими и стороной тре-
угольника. Пуст' площади этих треугольников равны
3t(X) S2(X). S3(X). Найти точку минимума функции
f(X)=Sl(X)+S2(X\+S3(X\.
Решение 1. Введем следующие обозначения
(рис. 3); МД|=с, |ОХ( = |ЛС| =и, |GX| = |BK|=o,
тогда	с-и—о. Используя формулу для площа-
ди треугольника, имеем:
и* sin 4 sin В
2 sin1 С
ст* sin A sin В
2 sin2 С
- 5, (X).

= S. (X),
FGX “
„	(с — и — о)* sin A sin В
SA XLK-------ГТТх------’— s*
2 sin1 С
Таким образом.
sin A sin В
f (X) —--------—— (u* 4- v1 4- (с—и — vy)
2 sin2 С
Для данного треугольника АВС выражение
sin A sin В
2 sin1 С
постоянно, поэтому нужно найти наименьшее значение
выражения и2-|-о2+ (с—и—о)2. Используя неравенство
между средним квадратичным и средним арифметиче-
ским, получим:
1 /г иг 4- о2 4- (с—и—о)2	и 4- v 4 (с—и— о)
г з > ----- з
сг
иг 4- V1 4- (с — и —V)1 > —т~.
«5
Равенство достигается при
с
и *= V = С и—V "= "д-о
При этом ясно, что точка X— точка пересечения ме-
диан треугольника АВС.
Итак, точка минимума функции [(X) — точка пересе-
41 ния медиан треугольника АВС.
Решение 2. Треугольники с площадями Sb S2, Sa
гомотетичны треугольнику с площадью S, поэтому
S,:S = if, S,:S - k?2, St-.S = k‘it
где й, = и: c, fc2=u;c, k3=(c—u—M : c, fe14-fe24-fe3= 1.
Очевидно, что /(X) — 5 (kf 4- k, -j- &j), причем Aj-f-
4-^4 *3= 1- Но тогда
1 f+ k2 •+ k3 k, + k,+ k,
V 3^3'
откуда следует, что 4-	4- &з> -g-, f (X) > у S.
Минимум f (X) достигается при ki = k, = k3 = -г-.
Это значит, что точка X — точка пересечения медиан
треугольника АВС.
2695. Дан треугольник АВС. Через прямую ВС про-
вести плоскост') а, отличную от плоскости АВС, так,
чтобы угол BAiC был конгруэнтен углу ВАС, где 711—
ортогональная проекция вершины .4 на плоскость c.’J
Решение. Если среди углов В и С нет тупого уг-
ла, задача решений не имеет, так как ВАС больше
К этому заключению приходим после поворота
плоскости АВС до совмешепш. с плоскостью а и рас-
смотрения названных углов.
Пусть угол С тупой (рис. 4). Строим высоту А К тре-
угольника АВС и высоту А,К треугольника AiBC Ра-
диусы описанных окружностей около треугольников
АВС и Л1ВС равны. После совмещения й. ю< костей «Л ВС
и о получим ива треугольника АВС и 4,ВС. вписан-
ных в одну и ту же-окружность (ряс. 5). Точки К. А
и лежат на одном перпендикуляре к прямой ВС
Таким образом, находим (/G4J и косинус q двугран-
ного угла между плоскостью о и плоскостью ЛВС;
этим плоскость о определяется однозначно.
2696. В правильной п-угольной пирамиде- двугранные
углы при ребре основания и боковом ребре имеют ве-
личины aufJ соответственно. Найти наибольшее зна-
чение выражения
₽
у = cos а 4- cos -g*.
Решение Имеем: SKO — а- АМ^ — ₽ (рнс. 61,
Z\	/\ /	180°	/\ Z\
AOK =	КОВ -ВАС	- - -	-, МАК	- КЗВ.	Таким
образом,
Р | MN | J WB | sin SBO
2 I AM | “	/\
| АВ | cos ВАМ
180° I SO |
| 4В | sin п  । SB ।
| АВ | cos
(80°	|SO|'
s,n п ’| SB |	180°	| SO | \
|S/< |	" sin n * | SK | •
I SB |
„	₽ по-
следовательно, cos -g- = sin —-— sin а и у— cos n 4-
4- sin —-— sin а. По теореме Ксгши— Буняковского,
1/	180°	у/	18(Г~
у <	1 4- sin2 — и Утах = у 1 4- sin2 —— .
180°
Максимум достигается при tg a *= sin— —
65
Рис. 6
Рис. 7
2697. Доказать неравенство
Решение. Пользуясь неравенством Коши, будем
иметь
откуда и следует заданное неравенство.
2698. Верно ли неравенство
з.-------------- з.------------з.--------------
sin 3-У cos 2 — sfn 2 у cos 3 < у cos 2cos 3?
Решение. Так как cos2-cos3>0, то, разделив обе
части данного неравенства на его правую часть, мы
можем переписать его в виде
sin 3	„ sin 2
зг 3 < $2,
. у cos 3 у cos 2
или f(3) < f(2), где
sin х	(	7 т. Г\
у COS X
Для удобства дифференцирования этой функции по»
ложим
t
у sin/
= -cos/(sinO~T-^--y
тогда
2	]	_-1
f (/) = sin 31 у -3-sin 3 /-cos’ / -1 -1
= sin /-j--|-sin 3 t— 1	7T|)»
4------- 4----------------
f {t) = -o- sin 3 /‘cos t-—sin 3 /-cos / =
У	У
- 4" ros z’sln~ T/ (sin2 / —1)< 0 G ] 0; -|-Q .
Следовательно, f (1) — убывающая функция и на
промежутке J 0;	/' (/) > /' (“J*) = 9. т. е.
f (х у ”2”) возрастает иа Jo; 'jrjj а / (х) возра-
1 *
стает на -g- ; я .
В частности, f 3)>/(2), т. е. исходное неравенство
неверно.
2699. Точка Н — ортоцентр остроугольного треуголь
ника АВС; [АО], [В£], [CF] — высоты этого треугольни-
ка. Доказать, что
| АВ | + | ВС | + | СА | >
> 2 /З( | HD | у | НЕ 1 + | HF |).
Решение. Из треугольников 3HF и BCF (рис. 7)
имеем соответственно \HF| «= |BF| ctg А и [В£1 =
= |BC|cosB. Следовательно, \HF | = |BCI cos В ctg Л =
=2Й sin Л cos В ctg Л, или \HF| =2B cos A cos В. Ана-
логично, |7AD|=2B os В cos С,- JW£| — 2R cos Ceos А.
Пусть |ВС| < |АС|, тогда cos Л > cos В и
| HD |	27? cos В cos С cos В
2.R cos С cos A cos А
Значит, |Н1>] < ]Н£|. Таким образом, если | ВС| jg
'^|АВ|^|СЛ|, то |HD| |H£|sg |В£|. В таком
случае имеет место неравенство Чебышева;
(|ВС| + |/В|-: |С’4|) (|£П1 + 1Н£|_- |В£|)^
^3(|ВС|.|Н£| + |ЛВ|.|Н£| + |СЛ].|Н£|) = 65йлвс.
Разделив обе части последнего равенства на (I ВС 14-
\АВ]у |СА | )2, получим
| HD | + | HF | + | НЕ |	68д АВС
| ВСН | ЛВ| у |СЛ | 4рг •
Но, как известно, S-.Ap2^—Зо~• Следовательно,
6S 6 /3 _ /з 1
4рг 36	6	“ 2	'
Итак,
|7Я>| + I HF | + [ /7£ |	1
| ВС | + I АВ I + I CD  < 2 /3 -
2 /3" ( | HD | + | HF | у | НЕ | ) <
<|ВСН |ЛВ|4- |СЛ| .
Равенство достигается лишь при Л = B=C=60°.
2700. В окружности to провей на хорда АВ и пер-
пендикулярный ft ней диаметр CD. В сегмент АС В впи-
сана произвольная окружность <0ь а в точке D касает-
ся окружности 1и внутренним образом некоторая ок-
ружность ш2. Доказать, что касательное расстояние ок-
ружностей соI и ил не зависит от выбора окружности ин.
(Касательное расстояние —расстояние между точками
касания ''бщей внешней касательной окружностей <ы
И (О2-)
Решение 1. Рассмотрим окружности <о(0; R},
<0i(Oji rib шДОг; г2), Расстояние |A4(V|—касательное
Рис 8
расстояние между «щ и гг>2 (рис. 8). Пусть О|ОС = <р,
|ОР| =а. тогда
1^р=|О1Ог|г-|О2К|2=|ОО,И+|ООгГ+
4-2100,1 |ОО2| cos <j>— (г2—п)2.
о	л + Г,
Заметим, что cos <р =	’ ПОЗТОМУ
I mv р= (Д—-|) =4- (/г—г2)=4-
4-2 (Я—г2) (04-г,) — (г2—г,)2.
После раскрытия скобок и упрощений получаем, что
|Л1Л'|2=2(Л-гг) («4-а).
Следовательно, расстояние | MN j не зависит от радиу-
са Г, окружности Ь>|.
Решение 2. Применим теорему Кэзи: если четы-
ре окружности Ыд, шв, шс. касаются внутренним
образом окружности ш в вершинах четырехугольника
ABCD, то касательные расстояния |шдыв|( |(овь>с|,
| сосШг» |, |о>ла)д|, |ыдшс|, | <овып | удовлетворяют ус-
ловию:	|о»дюв| -|й)сын|4-|<ов<пс| ]и>»ы.4| = |а>лыс|Х
Х|*оеШг,|- В частности, «окружности» могут быть и ну-
левого радиуса, т. е. точками, принадлежащими со В на-
шем случае имеем такие окружности: А, ы,, В, ш2,
поэтому
|ЛШ||-|В(о2|4-|(о,Й|.|со2Л| — |АВ|-|ЛШ|.
Так как |Ао2| = |Вь>2|, то |Лш2| (|Ло,| 4- |<щВ|) =
= |ДВ) IMW| Нс |Ды,|4-|ю,В| = |ДВ|. следователь-
но, |Л/Л'| = |Л<,)2| и расстояние |AW| от окружности
со, не зависит. В частности, ш, может быть и точкой А,
поэтому |ЛЛА/1 = |Лсо2|.
Замечания к решениям задач
В условии задачи 2681, к сожалению, была допущена
опечатка —- первое Число в условии должно быть равно
13 342. Математическое Содержание задачи при этом не
изменилось, одиако возникла трудность логического
характера — условие задачи оказалось невыполнимым.
Большинство читателей написали, что задача не имеет
решения, однако более точно было бы сказать, что за
дача «не имеет условия», или, как иногда говорят, яв-
ляется «задачей с ложными данными». В школьной
практике задач такого рода всячески избегают, одна-
ко, на наш взгляд, их можно предлагать учащимся: раз-
ве в реальной жизненной практике не приходится встре-
чаться с противоречивыми данными? Отметим еще, что
некоторые читатели посчитали ответом полученное в
ходе решения значение п=1, не обратив внимание на
то, что при делении числа на 1 вообще не может по-
лучиться остатка.	•
В нескольких письмах было дано красивое решение
задачи 2682: «Если 5п4-1 делится па 5'1—1, то
5s (5”-*4-1) =* (5"4-1) 4- (5h— 1)
делится па б*—1, т е. 5"~'-Н также делится на б*—1
и, продолжая, легко приходим к противоречию». Это
решение иллюстрирует классический математический ме-
тод-—так называемый «метод спуска» — в форме, впол-
не доступной младшим школьникам.
В одном из писем весьма оригинально было понято
условие задачи 2685, это видно из следующего ее ре-
шения: Поскольку 2 = 3—3:3, 19 = 3-34-3-34-3:3, той
всякий член данной прогрессии «записывается одними
тройками». Нам, однако, не кажется, что формулиров-
ка задачи 2685 допускает такое понимание (в условии
речь идет, разумеется, о записи числа в позиционной и
притом именно в десятичной Системе счисления — для
любого другого, нестандартного понимания требуются
специальные оговорки).
Вопрос точности формулировки возник и в связи с
условием задачи 2690. Многие читатели нашли правиль-
ный ответ по таблицам, считая вправе поступать таким
образом, поскольку в условии задачи использование
таблиц ие запрещено. Тем не менее нам кажется, что
это ограничение в условии очевидным образом подра-
зумевается — в противном случае задача становится
просто бессодержательной. Подчеркнем, что явное запре-
щение пользоваться таблицами в задачах такого рода
мы не считаем обязательным.
В решениях задачи 2692 типичной была следующая
логическая неаккуратность: доказав, что последователь-
ность имеет предел и обозначив его через с, многие
читатели получили для числа с уравнение непосредст-
венно на основе рекуррентной формулы, задающей по-
следовательность: с = -----1. Отсюда они сдела-
с+ Т
ли вывод, что с=0, т. е. данная последовательность
сходится к 0. Между тем число 0 не является корнем
уравнения, поскольку оно не входит в его область оп-
ределения, и это уравнение вообще не имеет корней.
Ошибка связана здесь с переходом к пределу в част-
ном i/x„. Ясно, что надо проверить прежде всего, что
предел знаменателя отличен от 0. Правильное решение
на Этом пути можно провести следующим образом:
предположив, что с=А0, перейти, как и раньше, к пре-
делу и убедиться в отсутствии корней полученного для
с уравнения. Это противоречит существованию предела,
установленному ранее, и, следовательно, с=0.
Несколько неудачной оказалась задача 2697. идея ав-
торского решения —- использование неравенства х"^
^пх—(п—1)—показалась нам вполне заслуживающей
внимания, однако впоследствии обнаружилось «посто-
роннее», почти стандартное решение, основанное на не-
равенстве Коши и найденное многими читателями.
Кроме того, оно дает и более сильное утверждение, чем
требовалось в задаче. Заметим, что в формулировке
этой задачи было пропущено ограничение на значения
переменных, однако «по стилю» неравенства большин-
ство читателей восстановили это ограничение и, заме-
тив, что при некоторых значениях переменных неравен-
ство не выполняется, доказали его для положительных
значений переменных.
Нахождение множества точек в задаче 2687 затрудне-
ний не вызвало. Читатели решали задачу, в основном,
традиционно, реже — используя метод координат. Од-
нако абсолютное большинство читателей не решают за-
дачу в обратную сторону, что в задачах такого типа де-
лать необходимо. Некоторые авторы найденное геомет-
рическое место Точек дополнили двумя Точками Mt и
УИ2, лежащими на оси симметрии, параллельной боль-
шей стороне а прямоугольника, и отстоящими от его
Ьг
Меньшей стороны Ь иа расстоянии В этом случае,
проводя параллельные прямые к сторонам прямоуголь-
67
ника, получаем два прямоугольника, подобных давно
му. однако у этих прямоугольников не одна общая вер-
шина, а две; в условии же задачи сказано, что оба че-
тырех\гольннка имеют только одну общую вершину.
Задачу можно использовать на уроках геометрии в
VII классе в теме «Подобные фигуры».
В нескольких решениях задачи 2688 найден только
одни из искомых углов. Некоторые находили не сами
углы, а приближенные значения синусов этих углов,
хотя углы выражаются целыми числами.
Ряд читателей при решении задачи 2693 пришли к
уравнению третьей степени, а затем иашли приближен-
ное значение искомого отношения, между тем, задача
путем умелых тригонометрических преобразований ре-
шается довольно просто и кратко.
Все присланные решения задачи 2694 примерно одина-
ковы: их авторы либо рассматривали функцию от двух
переменных и находили минимум (в качестве аргумен-
тов брали длины сторон указанных треугольников), либо
рассматривали три треугольника и использовали нера-
венство Коши — Буняковского. Не все указали оконча-
тельный ответ, т е. что точка минимума функции бу-
дет в том случае, когда X— точка пересечения медиан,
а только находили, что все площади равны и их сумма
равна -д' S (S — площадь треугольника АВС).
При решении задачи 2695 многие не учли, что тре-
угольник АВС может быть тупоугольным, и поэтому
ответили, что решения нет. В отдельных решениях угол
между плоскостями выражался через элементы тре-
угольника, однако исследования, что треугольник мо-
жет быть тупоугольным, проведено не было.
Задача 2596 особых затруднений не вызвала. Однако
некоторые читатели рассмотрели только частные случаи;
были допущены ошибки в вычислениях.
В большинстве решений задачи 2699 все рассужде-
ь;ая сводились к неравенству
sin A -I- sin В 4- sin С	.—
---z =----------х  ----------х 2 /3 .
cos В cos С + cos С cosA 4- cos A cos В
Решения в этом случ'ае оказались довольно длинными.
Более рациональное решение получается путем приме-
н"ния неравенства Чебышева; оно и приведено в тексте
«Решений».
Решения задачи 2700 в основном традиционны: ис-
пользовалась теорема Пифагора, теорема косинусов.
Большинство выражали искомое касательное расстоя-
ние через данные задачи, некоторые вводили вспомо-
гательную окружность В тексте приведенного решения
применяется теоремт Кэзи, которая позволяет быстро
получить ответ. Рекомендуем читателям обратить вни-
мание на эту теорему и попытаться вывести соответст-
вующую формулу между касательными расстояниями.
Сводка решений задач,
помещенных в № 1 за 1984 г.
В номерах задач опущены две первые цифры.
Алавердян 3. А. (АрмССР, г. Иджеван)—81, 83, 84,
8Ь, 87, 89, 92. Александров Г. Г. (Чувашская АССР,
г/ Алатырь) — 81, 82, 84, 85, 87, 88, 93, 96, 97, 00 Аля-
ев А. В. (Пензенская обл.)—81—89, 91, 93—97, 00.
Алирзаев А А. (АзССР) —81—84, 86. 88, 91 бз 96,98,
99. Андриевский С. А. (Омск) —81, 83, 84, 92, 96. Апша
ев X. М. -(Кабардино-Балкарская АССР)—83,84, 86,91,
93. Арутюнян В. X. (Краснодарский край, г. Курга
нинск)—81—84. 86, 87. Багдасарян С. С. (-АзССР) —
81—84, об. 87, 91, 94. Байжанов А. (Хорезмская обл.) —
81, 83, 86. 87, 91. Баранчук Г. Я. (Рсвенская обл.) —
81—84, 86, 87 Богомолов А. П. (Петропавловск)—81,
83—89. 91, 92, 94, 96, 98, 99. Бортьая М. И. (Киевская
щ-1	1 .
обл., г. Тетиев)—82—84, 86, 87. Буваматов Ф Т.
(Андижанская оол )—81, 82, 84, 86. Вдовин Р В.
(Тульская обл., г. Алексин) —81—84, 86—88, 91 93, 94,
96, 00. Веребейчик И. Я. (Ленинград)—81—00. Гаджи-
ев Э.	(АзССР)—81—84, 91, 93—95, 98, 00. Гему-
ев А. А. (Нальчик)—81--84, 86—90, 92—96. Голова-
чев Е. А. (Белгородская обл.)—81—00 Гончар Г. В.
(Кутаиси)—г!—87, 89. Гордон В. О. 'Чита)—81 -86,
88—92, 94, 97—99. Грачикова К. С. (Московская обл.,
г. Ожерелье) —81, 82, 84, 85. Григорян Г. С. (АрмССР,
г. Раздан)—81—84, 86—89, 91—94, 96, 00. Гулуа И. Л.
(Тбилиси)—81, 82, 84, 88. Джаббаров М. Б. (АзССР,
г. Саатлы) —81—84, 86, 88, 89, 91, 93. Егоров П. В.
(Рязань)—81—88, 91 93, 94. Емелюшин И. С. (Бар-
наул) — 81—87, 89—94, 96—99. Закаряев Б. Ш. (АзССР,
г. Шеки) —81—84, 89, 91, 93, 94, 97—99. Зискинд Л. Е.
(Винница)—81—89, 91—94, 96, 97, 00. Калмыков В. И.
-(Якутская АССР, г. Алдан)—81—84, 87 89, 91 94.
Корнилов А. В. (Ростов-иа-Дону)—81—86, 89—91. Ког-
4ов С. Б. (Болгария, г. Пазарджик) - 81, 82, 84, 86,
88. Куделин А. Г. (Ленинград)—81—83, 85—87, 89, 98.
Курганов Т. К. (Ташкентская обл., г. Чирчик)—81—84,
87, 89, 91—94, 97, Ланкерович М. Я- (Черновцы) —
Ы -84, 86, 87, 89, 91, 92, 94—96, 00. Левко М. С.
(Львовская обл.) — 81—88, 91, 94. Ледней М. Ф. (-За
‘карпатская обл.) —86, 87, 91, 94, 99, 00. Макаров М. Ф.
(Орловская обл.)—82—89, 91, 92. Мамедов Т. И.
(АзССР, г. Саатлы)—81, 83, 84 86. Мнсько Л. И.
(Тольятти)—81—85, 87—89, 91, 93, 94,96,97 Мун В. К.
(Ташкентская обл., г. Чииаз)—81—87, 91—95, 97—00.
Мусаев Г. К. (АзССР) — 81—84, 86—89, 91—93, 95,
97—99. Невзоров А. Л. (Кременчуг) — 82—87, 94. Нер-
сесян П. Н. (АзССР) —81—87, 89, 91, 94. Облокулов X.
(Ленинабадская обл. г. Пенджикент)—81—87, 89, 94.
Оруджев 3. Ш. (АзССР)—81, 83, 84, 91. Повелий В. И.
(Ровенская обл.)—81, 82, 84, 86, ,87,91,97, 00. Прав-
дин А. Л. (Горьковская обл.)—81 -87, 89, 91—93, 98.
Рытов Н. Н. (Тамбовская обл.)—81—89, 94, 99. Са-
банчеев И. Я- (Пензенская обл.)—81, 83, 84, 86, 91.
Салнмжанов Р. М. (Петропавловск)—81—87, 89, 91,
92, 94. Садовин Л. Н. (Марийская АССР)—81—85, 87,
88, 91, 94. Саркисян С. С. (АрмССР, г. Раздан)—81 —
83, 85—87, 94, 97. Седых С. П. (Удмуртская АССР) —
83, 86, 91, 93. Семенов М .С. (Якутская АССР)—83,
8ч, 86, 87, 91, 92, 94. Сефибеков С. Р. (Дагестанская
АССР) —81, 82, 84 86, 88, 89. Симеонов А. А. (Волга
рия, г. Своге) — 86 89, 91—97, 99, 00. Слычько В. И.
(Винницкая обл.)—81—86, 88, 89, 93. Стоппе Ю. В.
(Вильнюс)—81, 84—87, 94. Сукхасем (Махачкала) —
81, 82, 84, 85, 87, 91—93. Суховой М. Т. (Новоси-
бирск)— 81—87, 89—95, 97, 99, 00. Сысуев Г. Я- (Ха-
баровский край. с. Князе-Волконка)—81, 82, 84, 87,
88, 91, 93, 99. Ткач К. Л. (Черкасская обл.)—81, 82,
84.86,93. Трофимчук Ю. В. (Винницкая обл. г. Калн-
новка)—81—84, 92, 98. Туйчиев Ш. И. (Андижанская,
обл.)—81, 83—87. Фридлин Г. М. (БерДичев)—81—84,
86, 87,89—91,94. Хагабанов X. Т. (Кабардино-Балкарская
АССР)—81, 82, 84—86, 91. Хачатурян Ю. М. (Нагор-
но-Карабахская автономная обл., г. Степанакерт) —
81—83, 86, 89, 91, 92. Холов Д. (Душанбе)—81, 82, 84,
91. Хизанишвили Ц. И. (Тбилиси)—81—84, 86- 89,
‘ 91, 92, 94, 99. Цакоев Б. М. (Рязанская обл.)—81—88,
91, 93, 94. Цхай 1 Т. (Андижан)—81—89, 91—97, 99,
00. Чваньков И. Т. (Гомельская обл.) — 82—88, 91, 93,
94, 96, 97. Шамсутдинов X. X. (Дагестанская АССР) —.
81—86, 89, 91—93, 96, 98. Шевчишен С. Ю. (Сумская
обл., г. Шостка)—82, 86, 91, 94, 97, 98. Юдаков В. А.
(Иркутская обл.)—81—87, 89—92, 94—97, 00. Ясин-
ский В. А. (Винница) — 82, 84, 87, 93, 94, 00.
Математические кружки: 4-х и 9-х классов Зарнавин-
ской сельской шк. Исмаиллинского р-на АзССР (рук.
А. А. Агаев)—81—84, 86, 89; Дамбаловской восьмилет-
ней шк. Масаллинского р-на АзССР (рук. М. А. Ага-
ев)— 82, 83, 86, 89, 91, 98; Еникендской восьмилетпей
шк. Шаумяновского сельского р-на АзССР (рук. Г. А.
68
ь . -
Акопян) — 81—84, 86; 46-й шк. Мурманска (рук. В. Е.
Андреев)—81—87, 89, 91, 94, 97; Муганлинской сель-
ской шк. Бардинского р-на АзССГ (рук. 3. X. Асадов)—
81—84, 86, 91; 2-й шк. с Култук Нефтечалинского р-на
АзССР (рук. В А. Ахундов)—81, 84, 86, 91, 98; «Ту-
си» Сарванской шк Сальянского р-на АзССР (рук.
А. М. Багиров) —81—87; «Квант» Республиканского
Дворца пионеров и школьников Алма-Аты (рук. Г. В.
Белянская)—81, 82, 86—89, 91, 92, 96, 00; «Агат»
6 й шк. г. Цхинвали (р!ук. Э. А. Бекоев) — 82—84, 86,
89, 91; 180-й шк. Киева (рук.’Л. И. Брудман)—81—
89, 94; 10-й шк. Ангарска Иркутской обл. (рук. В. А.
Васильева) — 82—88, 92—96, 00; Нариманабадской шк.
г. Ленкорань АзССР (рук. Р. А. Гасаиов)—81—86,
89, 98; 94-й шк. Киева (рук. Е. Я. Грищенко)—81—83,
85, 87, 89 91, 92; 93-й .лк. Киева (рук. М. Л. Кобо-
зев)—81—94 96—98, 00;	84,й шк. Тбилиси (рук.
Ц. И. Курчишвили) —81—84, 92, 97; 206-й шк. Киена
(рук. И. А. Кушнир)—82—89, 92—94, 97; Цурибской
сельской шк. Чарадппского р-иа Дагестанской АССР
(рук. X. И. Магомедов) — 81—88, 91, 93, 94; 1-й Кали-
нинской азерб. шк. Гардабанского р-иа ГССР (рук
И. М. Мамедов) — 83—86, 98; Арабгардашбейлинской
шк. Нефтечалинского р-на АзССР (рук. И. Д. Мехти-
ев)-^ 81—84, 86, 92; шк. пос. Герматук Ленкоранского
р-на АзССР (рук. М. И. Музаффаров) — 82—84, 86, 91,
92, 98; г. Рогачева Гомельской обл. (рук. С. Л. Нахам-
чик)—81—84, 86—89, 91—93, 96, 97, 35-й шк. Петро-
павловска (рук. Р. М. Салимжанов) — 81 -84. 89; 9-х
классо з Ханлыкской сельской шк. Кубатлинского р-на
АзССР (рук. А. М. Самедов)—81—89, 93, 94; 2-й шк.
г. Мархамат Андижанской обл. (рук. О. Саттиров) —
81, 84, 86, 87, 91, 93, 94; Нюджинской шк. Лерикского
р-на АзССР (рук. А. А. Талибов) —81—86, 91, 98; сту-
дентов физмата Астраханского пединститута (рук. С. С.
Тасмуратов)—81—87, 89, 91, 92, 94, 96—98; 173-й шк.
Киева (рук. Р. П. Ушаков)—81—00; Ханлыкской сель-
ской шк. Кубатлинского р-на АзССР (рук. Ф. С. Фата-
лиев)—81—87, 93; 17 й шк. Киева (рук. А. П. Шапи-
ро)— 81—89, 91—98; 4-й шк. Эллнккалипского р-на
Каракалпакской АССР (рук. Р. И. Эшимбетов) —81, 83,
84, 86, 91—93.
ПОЗДРАВЛЯЕМ ЮБИЛЯРА
Ян Янович Менцис
(К 70-летию со дня рождения)
Кандидат педагогических наук, до-
цент кафедры математики Лиепай-
ского государственного педагогиче-
ского института им. В. Лациса Ян
Янович Менцис родился 4 мая
1914 г. В 1934 г. закончил с отличи-
ем реальное отделение Рижского
учительского института и начал ра-
ботать учителем математики в Об-
разцовой школе того же института.
Уже с первых лет работы Я. Я.
Менциса заинтересовали проблемы
школьных учебников, методических
пособий, средств обучения. В 1940 г.
после восстановления Советской вла-
сти в Латвии Я. Я. Менцис был
включен в авторский коллектив по
созданию школьных учебников. Он
составляет учебники для III и VI
классов но в связи с началом Ве-
ликой Отечественной войны дальней-
шая работа прекратилась, а рукопи-
си погибли.
После войны Я. Я. Менцис рабо-
тал учителем математики в средней
школе, был завучем школы, рабо-
тал преподавателем методики мате-
матики в Лиепайском педучилище.
Параллельно с работой в школе
окончил с отличием физико-матема-
тический факультет Латвийского го-
сударственного университета им.
П. Стучки.
С 1963 г. Я. Я. Менцис работает
в Лиепайском госудаоственном педа-
гогическом институте им. В. Лациса,
долгие годы был заведующим
кафедрой математики.
Последние 30 лет Я. Я. Менцис
активно работает над созданием
школьных учебников, методических
пособий для учителей, учебников по
методике преподавания математики,
дидактических материалов. Он явля-
ется автором или ведущим соавто-
ром 64 учебников по математике,
5 учебников по методике препода-
вания математики, 34 методических
пособий, им опубликовано более 60
статей в различных изданиях.
Большое внимание Ян Янович уде-
ляет созданию различных нагляд-
ных пособий. Им разработан план-
шет для программированного обуче-
ния- «Лиепая-12». За улучшенный ва-
риант— планшет «Лиепая-15» Я. Я.
Менцису выдано авторское свиде-
тельство. За планшет «Лиепая-12» и
учебники по математике для I и III
классов он награжден бронзовыми
медалями ВДНХ. Я. Я. Менцис —
автор и ведущий телепередач по
математике, в основном для I—
III классов и детей шестилетнего
возраста.
Педагогическая общественность
Латвийской ССР знает Я. Я. Менциса
как активного участника многих се-
минаров и конференций. Он уже
много лет подряд регулярно читает
лекции на республиканских курсах
повышения квалификации учителей и
директоров средних школ, выступа-
ет с докладами на учительских кон-
ференциях и семинарах. Несколько
поколений учителей математики рес-
публики— ученики Яна Яновича.
Большую научно-исследовательскую
и преподавательскую деятельность
Я. Я. Менцис сочетае! с постоянной
общественной работой. Он является
членом комиссии по математике
Ученого методического совета при
Министерстве просвещения СССР,
членом методических комиссий по
математике при Министерстве про-
свещения Латвийской ССР и при
Министерстве высшего и среднего
специального образования Латвий-
ской ССР. Я. Я. Менцис награжден
значком «Отличник народного про-
свещения», несколькими Почетными
грамотами Министерства высшего и
среднего специального образования
СССР и Министерства высшего и,
среднего специального образования
Латвийской ССР.
Ян Янович Менцис находится в
расцвете творческих сил. Пожелаем
ему крепкого здоровья и больших
успехов в его научно-методической
и педагогической деятельности.
Б. Я. Берзтисе, Д. Я. Круче
69
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕНДАРЬ
НА 1984/85 УЧЕБНЫЙ ГОД
Яшаръ
1 января — 80 лет со дня рождения
польского математика Станислава
Мазура (1905—19В1). Родился во
Львове. В 1932 г, не проходя кур-
са обучения, получил степень док-
тора математики Львовского универ-
ситета. С 1939 г.— профессор. Ра-
ботал во Львовском, Лодзинском и
Варшавском университетах, в Мате-
матическом институте Польской АН.
Основные труды относятся к функ-
циональному анализу. Один из соз-
дателей (вместе с С. Банахом)
Львовской математической школы.
Основные результаты относятся к
функциональному анализу (см.: Бо-
голюбов А. Н. Математики, механики:
Биографический справочник. Киев:
Наукова думка, 1983).
2 января — 80 лет со дня рождения
советского математика Льва Генри-
ховича Шнирельмана (1905—
1938). Родился в Гомеле, окончил
Московский университет (1925). С
1933 г. — член-корреспондент АН
СССР. Работал в Математиче-
ском институте АН СССР им.
Стеклова. Основные результаты
относятся к вариационному ис-
числению и теории ч ел (см.:
БСЭ. 2-е и 3-е изд.; Математика в
школе, 1963, № 5; 1979, NP 6; Боро-
дин А. И. Сс-°тские математики.—
2-е изд. Киев; Донецк 1982).
8 января — 70 лет со дня рожде-
ния советского математика Юрия
Владимировича Линника (1915—
1972). Рсдился в г. Белая Церковь.
Окончил Ленинградский университет.
Доктор физико-математических наук
(1940). В июне 1941 г. вступил до-
бровольцем в Народное ополчение,
участвовал в боях за Ленинград.
Работал в Ленинградском универси-
тете (с 1944 г.— профессор), в Ле-
нинградском отделении математи-
ческого института АН СССР. Акаде-
мик АН СССР (1964). Основные ре-
зультаты относятся к теории чисел,
теории вероятностей и математиче-
ской статистике. Герой Социалисти-
ческого Труда, лауреат Ленинской
и Государственных премий (см.: БСЭ.
3-е изд.; Бородин А. И. Советские
математики. Киев; Донецк, 1982,
Математика в школе, 1982,	№ 5,
с. 2 обложки).
16 января — 80 лет со дня рожде-
ния советского математика и меха-
ника Анатолия Дмитриевича Кова-
ленко (1905—1973). Родился в Ки-
еве. Окончил Киевский политехниче-
ский институт (1929). С 1949 г.— про-
фессор Киевского университета. Ра-
ботал также в Институте механики
АН УССР (в 1959—1965 гг.—дирек-
тор). Академик АН УССР (1961). Ос-
новные исследования относятся к
теории упругости и термоупругости
применительно к конструкциям но-
вой техники. Заслуженный деятель
науки и техники УССР (см. Матема-
тика в школе, 1974, № 6).
21 января — 70 лет со дня рождения
французского математика и физика
Андре Лихнеровича (Лишне-
ровица). Родился в Бурбон — л'Ар-
шембо. Окончил факультет наук в
Париже и Высшую нормальную шко-
лу (1936). Работал в Страсбурге, с
1949 г.— в Париже. Основные мате-
матические труды относятся к ма-
тематической физике, дифференци-
альной геометрии и теории групп
Ли (см.: Боголюбов А. Н. Математи-
ки, механики: Биографический спра-
вочник. Киев: Наукова думка. 19ВЗ).
29 января—150 лет со дня рожде-
ния русского математика-педагога,
популяризатора физико-математиче-
ских знаний Александра Федорови-
ча Малинина (1В35—1В8В). Родил-
ся и учился в Москве. Преподавал
математику .в гимназии. Основал
первый в России Московский учи-
тельский институт и был его первым
директором (с 1В72 г.). Автор мно-
гих учебников и учебных пособий
для средней школы (часть из них
написана совместно с К. П. Бурени-
ным), по которым десятки лет учи-
лось юношество всей России (см.:
Математика в школе, 1949, № 1).
Февраль
3 февраля — 120 лет со дня рожде-
ния русского педагога-математика
Всеволода Константиновича Б е л-
люстина (1В65—1925). Родился в
г. Зубцове бывшей Тверской губер-
нии. Окончил Московский универ-
ситет (1886). Работал в уездных учи-
лищах и различных педагогических
учебных заведениях. Один из круп-
нейших организаторов преподавания
математики в начальной школе. Ав-
тор ряда учебников, сочинений по
методике преподавания и по истории
математики (см.: Математика в
школе, 1974, № 6).
13 февраля — 180 лет со дня рожде-
ния немецкого математика Петера
Густава Лежена Дирихле (1805—
1859). Родился в Дюрене. Учился
в Париже. В 1831—1В55 гг. про-
фессор Берлинского, а е 1855 г.—
Гёттингенского университетов. К
числу его учеников принадлежали
Ф. Эйзенштейн, Л. Кронекер, Б. Ри-
ман и Р. Дедекинд. Основные груды
относятся к теории чисел, математи-
ческому анализу и математической
физике (см.: БСЭ. 2-е и 3-е изд.,
Клейн Ф. Лекции о развитии мате-
матики а XIX столетии / Пер. е нем.
Ч. I, М., Л., 1937. Историко-матема-
тические исследования. Вып. 27. М„
1983).
15 февраля — 200 лет со дня рожде-
ния французского математика и меха-
ника Луи Мари Анри Навье (1785—
1836). Родился в Дижоне. Окончил в
Париже Политехническую школу
(1В04) и Школу место- и дорог
(1806). Работал в этих учебных за-
ведениях. Вывел уравнения теории
упругости изотропного типа и урав-
нения движения несжимаемой вят-
кой жидчости. Занимался практиче-
ским мостостроением; дал метод
расчета висячих мостов. Автор ряда
учебников по механике (см.:
БСЭ. 2-е и 3-е изд.; Историко-мате-
матические исследования. Выл. 8.
М., 1955).
15 февраля — 80 лет со дня рожде-
ния Семена Алексеевича Понома-
рева (1905—1982). Родился в стани-
це Нижне-Чирской (ныне Волгоград-
ской обл.), окончил пединститут в
г. Орджоникидзе. С 1932 г. препо-
давал в Московском городском пе-
дагогическом институте и в одной
из школ города. Участник войны,
был несколько раз ранен, имел бое-
вые награды. С 1946 г. 20 лет про-
работал в издательстве Учпедгиз
(ныне «Просвещение»), В 1966—
1981 гг. — заместитель главного ре-
дактора журнала «Математика в
школе». Автор ряда методических
работ и (вместе с Н. И. Сырневым)
«Сборника задач по арифметике
для 5—6 классов», который являлся
стабильным школьным задачником
до 1972 г.
20 февраля — 60 лет со дня рожде-
ния советского математика Валентина
Даниловича Белоусова. Родился
в г. Бельцы. Окончил Кишиневский
пединститут (1947), доктоо физико-
математических наук. профессор
(1967), член-корреспондент АПН
(1968). С 1963 г. работает в Инсти-
туте математики АН Молдавской
ССР. Основные труды относятся к ал-
гебре, в частности к теории квази-
групп и их приложениям. Заслужен-
ный деятель науки и техники Молдав-
ской ССР. Лауреат Государственной
премии по науке и технике Молдав-
ской ССР (см.: История Отечествен-
ной математики, т. 3, 4).
А. И. Бородин (г. Донецк)
7С
Герш Исаакович Глейзер .
(К 80-летию со дня рождения)
Исполнилось 80 лет со дня рожде-
ния известного педагога-математика
Герши Исааковича Глейзера*.
Юный сельский житель местечка
Секуряны (ныне Черновицкой обла-
сти) Г. И. Глейзер, закончив на ро-
дине среднюю школу, продолжил
свое эбразование на физико-матема-
тическом факультете Римского уни-
верситета. Через год после оконча-
ния университета (1928 г.), защитив
диссертацию, он вернулся в Бессара-
бию и до 1940 г. работал учителем
м тематики средней школы.
После воссоединения Бессарабии
с СССР Герш Исаакович стал препо-
давателем Кишиневского, а затем
Тираспольского пединститута, где он
работал до последних дней своей
жизни.
Многие годы Г. И. Глейзер руко-
водил кафедрой математики и мето-
дики ее преподавания в Тирасполь-
ском пединституте здесь он читал
курсы по геометрии, истории мате-
матики, методике математики. Его
лекции, глубокие по содержанию и
методически тщательно продуман-
ные, вызывали неизменный ин-
терес у многочисленных учени-
ков и коллег по работе. В его
выступлениях всегда чувствовалось
понимание забот, связанных с мате-
матическим образованием молодежи.
Видимо, это и определило направ-
1 О творческой деятельности
Г. И. Глейзера см.: Математика в
школе, |967, № 4.
ление его научной деятельности:
большинство из опубликованных им
работ (около 40) посвящены исто-
рии математики, в частности исполь-
зованию исторического материала в
школьном преподавании математики.
Герш Исаакович Глейзер пленял
окружающих своей эрудицией (ис-
следования многих классиков мате-
матической науки были ему доступны
в подлиннике) и работоспособно-
стью. Учителям математики средних
школ Г. И. Глейзер знаком по ра-
боте «Историзм в преподавании ма-
тематики в школе», которая издава-
лась на русском, молдавском, бол-
гарском, литовском языках. Книга
«История математики в школе», ока-
завшаяся последней реализацией
творческих планов Герша Исаакови-
ча, вышла после его смерти. Тяже-
лая болезнь преждевременно обор-
вала жизнь этого неутомимого тру-
женика.
Каждый учитель математики созна-
ет, ч1 _ использование исторических
сведений в процессе преподавания
математики может повысить интерес
школьников к предмету и углубить
его знание. Отсюда понятен тот
большой интерес, который вызвало
новое издание работы «История
математики в школе» (в трех кни-
гах) 2. Цель этих книг, переработан-
ных в соответствии с новыми про-
граммами,— дать в руки учителям
математики пособие, помогающее
им сопровождать ознакомление
учащихся не только с математиче-
скими фактами, но и с обзором их
исторического развития. Такое тес-
ное сплетение науки математики с
ее историей способствует формиро-
ванию у школьников марксистско-
ленинского мировоззрения, процес-
су их умственного развития и созна-
тельному усвоению учебного мате-
риала.
Глубокие по содержанию и мето-
дически хорошо изложенные работы
Г. И. Глейзера продолжают служить
достойным вкладом в дело матема-
тического образования современной
молодежи.
Память о Герше Исааковиче Глей-
зере живет в сердцах его многочис-
ленных учеников, коллег по работе,
друзей и товарищей, хорошо знаа-
ших этого замечательного педаго-
га.
Г. X. Гайдаржи,
3. И. Турлакова
2 Речь идет о трех книгах Г. И.
Глейзера под общим названием «Ис-
тория математики в школе», выпу-
щенных издательством «Просвеще-
ние» (1981 г.— IV—VI	классы;
1982 г.— VII—VIII классы; 1983 г.—
IX—X классы).
ВНИМАНИЮ ЧИТАТЕЛЕЙ!
В издательстве «Педагогика» в августе—сентябре 1984 г. вышли следующие книги:
Буржуазная педагогика на современном этапе: Критический анализ / Под ред.
.3. А. Мальковой, Б. Л. Вульфсона. — (Зарубежная школа и педагогика).— 256 с.—
В пер. 1 р. 40 к. 90 000 экз.
Журавлев В. И. Взаимосвязь педагогической науки и практики.— 176 с.— 80 к.
6000 экз.
Литература по педагогическим наукам и народному образованию. Вып. 4(133).—
112 с.— 45 к. 3110 экз. Подписное.
Ломов Б. ф. Человек и автоматы.— 128 с.,'ил.— (Ученые — школьнику).— 35 к.
110 ОСС экз.
Методологические и теоретические проблемы формирования коммунистическо. о
мировоззрения школьников / Под ред. Э. И. Моносзона, Р. М. Роговой. 10 с.
1 р. 20 к. 19 ЛОО экз.
Новые исследования в психологии. № 2(31)/Сост. М. Э. I оцманова.— 72 с.—
ВО к. 2370 экз. Подписное.
Педагогика / Под общ. ред. Г. Нойнера, Ю. К. Бабанского. 368 с. В пер.
2 р. 10 к.— 40 000 экз.
Трудовое становление школьной молодежи / Под ред. И. И. Зарецкой. 104 с.
45 к. 30 000 экз.
Экологическое и эстетическое воспитание школьниноз / Под ред. Л. П. Печко.—
J36 с.— 45 к. 20 000 экз.
71
ХРОНИКА
В комиссии по школьному
математическому образованию
Отделения математики
Академии наук СССР
Главному редактору журнала «Математика в школе»
Прошу опубликовать в ближайшем номере журнала
«Математика в школе» прилагаемый материал «В ко-
миссии по школьному математическому образованию
Отделения математики Академии наук СССР» в качест-
ве официального материала Отделения математики АН
СССР.
Председатель комиссии пи школьному мате-
матическому образованию академик
Л. С. Понтрягин
i
В первом полугодии 1П84 г. состоялись три заседания
комиссии по школьному математическому образованию
Отделения математики Академии наук СССР, председа-
тель комиссии — академик Л. С. Понтрягин
На заседании 9 января был рассмотрен вопрос о
задачах по улучшению преподавания математики. выт< -
кающих из требований проекта ЦК КПСС «Основные
направления реформы общеобразовательной и профес-
сиональной школы».
В своем решении комиссия отметила, что одно из
основных требований проекта ЦК КПСС состоит в су-
щественном повышении качества общеобразовательной,
трудовой и профессиональной подготовки учащихся.
Для этого необходимо решить ряд задач по улучшению
преподавания математики в школе.
После выступления Отделения математики АН СССР
в 1978 г. с критикой положения со школьными про-
граммами и учебниками по математике Министерство
просвещения СССР сделало ряд существенных шагов
по нормализации преподавания математики в школе.
В 1981 г. была утверждена новая программа по ма-
тематике, разработанная с участием сотрудников Ака-
демии наук СССР. В программе определено содержание
математических курсов, сформулированы требования к
математической подготовке учащихся по ступеням об-
учения. Эти разделы программы не зависят от конкрст-
ых учебников и создают предпосылки для стабилиза
ции преподавания математики в школе.
С 1982/83 учебного года начат переход на преподава-
ние геометрии по учебнику А В. Погорелова. Этот учеб-
ник обладает большими научными и педагогическими
достоинствами, он краток и доступен, обеспечивает вы-
сокий уровень геометрических представлений учащихся.
Трудности, естественно возникающие при введении, но-
вого учебника, при должном методическом руководстве
и правильной организации дела вполне преодолимы Пе-
реход на учебник Погорелова решает иа длительное
время вопрос еб учебнике геометрии для VI—X клас-
сов
Ведется переработка действующих учебников алгебры,
что позволит нормализовать преподавание алгебры, в
ближайшие голы. Создаются и проходят проверку пер-
спективные варианты новых учебников алгебры.
Комиссия отметила вместе с тем, что при проведении
указанных мер были допущены серьезные просчеты. Пе-
реход на учебник Погорелова во всех классах с VI по
X растягивается на 5 лет. Этот переход можно было
повсеместно осуществить за 3 года, как это сделано в
школах Украинской ССР если вводить учебник также
и с девятых классов, когда начинается изучение стерео-
метрии В 1982/83 учебном году, т. е. одновременно с
введением учебника Пигорелоьа. была начата широкая,
охватывающая сотии тысяч учащихся, эксперименталь-
ная проверка в нескольких областях РСФСР ряда проб-
ных, учебников, в частности учебника геометрии Л. С.
Атанасяна и др. В условиях, когда принято решение о
введении учебника Погорелова, проведение широких
экспериментов по учебникам геометрии является неце-
лесообразным Они распыляют силы работников просве-
щения, дезориентируют учителей подрывают их доверие
к проводимой' работе по нормализации преподавания
математики в школе.
Документы о реформе ставят в качестве одной из
основных задач в осуществлении реформы школы не-
обходимость обеспечения более высокого научного уров-
ня преподавания каждого предмета.
В последние годы по отношению к преподаванию ма-
тематики повышение научного уровня часто понималось
неверно — как требование вести изложение с очень об-
щих позиций, на теоретике-множественной основе, с при-
влечением элементов формальной логики и понятий, по
существу чуждых школьному курсу математики. На
практике такой подход привел к выхолащиванию со-
держания математического образования, формальному
заучиванию и в конечном счете к перегрузке" учащихся
при уменьшении объема фактических знаний и умений.
Комиссия считает необходимым сохранить и разви-
вать традиционный для советской школы высокий на-
учный уровень при обучении математике. Отказываясь
от формализма в преподавании, исключая второстепен-
ный и чрезмерно усложненный материал, нельзя допус-
тить снижения теорет гческого уровня подготовки и обед-
нения курсов математики по существу.
Комиссия считает, что для решения задач по улуч-
шению преподавания математики необходимо стабили-
зировать программы и учебные планы по математике.
Содержание образования, требования к математической
подготовке учащихся в пределах каждой ступени об-
учения. а также распределение учебных часов должны
оставаться постоянными в течение длительных сроков.
Стабильной программой после некоторой ее доработки
может стать программа 1981 г.
Должна быт! продолжена работа по исправлению
положения с учебниками математики. Нужно взять
курс на их стабилизацию. После начальной школы учеб-
ники математики должны быть едиными во всей стрз-
не. Это создаст деловую обстановку работы учителей,
обесьечит накопление и развитие педагогического опыта.
Необходимо повысить требования к качеству всей
учебной и методической литературы по математике, вы-
пускаемой для учащихся и учителей. Система контро-
ля за качеством указанной литературы работает сейчас
неэффективно, что приводит к появлению значительного
числа малоквалифицированных изданий.
Комиссия отметила, что не наступило коренного улуч-
шения в работе журнала «Математика в школе», сла-
ба его практическая помощь учителю. Журнал не стал
активным гоопагандистом в проводимой работе по нор-
мализации преподавания математики в школе. Ряд пуб-
ликаций журнала фактически идет вразрез с этой ра-
ботой и дезориентирует учителей.
Необходимо улучшить обучение студентов — будущих
учителей математики. В настоящее время в их матема-
тическом образовании уделяется недостаточно внимания
подготовке к работе в качестве учителя, к глубокому
и активному овладению ими школьным курсом мате-
матики.
Основные положения этого решения комиссии были
отражены в статье «Дело, затрагивающее интересы все-
го народа», опубликованной в журнале «Коммунист*
(1984, № 4, с. 83—84).
Заседание комиссии 16 марта было -посвящено
пробным учебникам гео 1етрии авторов Л. С. Атанасяна,
72
В Ф Бутузова. С. Б. Кадомгева, Э. Г. Позняка. Рас-
сматривались третьи из„ани',. учебников для VI и
VII классов.
На заседании комиссии отмечалось, что перед школь-
ным курсом, геометрии, наряду с обучением конкретно-
му геометрическому материалу, стоит не менее важная
задача развить у учащихся потребность в доказатель-
стве, обучить навыкам точных рассуждений, строгой
логике.
Для рассматриваемых пробных учебников характе-
рен несбалансированный, скачкообразный уровень обос-
нований. Ученику, пришедшему в VI класс и еще не
знакомому с тем, что такое доказательство, предлагают
решить одну геометрически очевидную задачу на аксио-
матическом уровне об< счованности и тут же Д[ угую
на наглядном уровне Познакомившись с той или иной
аксиомой, ученик тут же сталкивается с утверждени-
ем, именуемым теоремой, доказательство которого не
приводится, а вслед за тем с утверждением, столь же
наглядным, но снабженным длинным подробным дока-
зательством Через некоторое время он встречается
опять с новой аксиомой и т. д
Путаниость и противоречивость изложения, громозд-
кость и неряшливость выражений не способствуют воз
можности самостоятельного изучения материала по
учебнику. При меньшем содержании по сравнению с
учебником Погорелова пробные учебники потребовали
увеличения числа учебных часов за счет алгебры. Но и
после этого учителя, работающие по пробным учебни-
кам, испытывают нехватку времени
Вместе с тем после предыдущих учебников 1зомет-
рии учителям легче работать пб пробным учебникам,
они им оольше нравятся. Учителям всегда трудно пе-
реходить на другие учебники и они не хотят новых
перемен.
В решении комиссии о пробных учебниках геометрии
Л. С. Атанасяна и других отмечается, что они обла-
дают серьезнымг научными и педагогическими недос-
татками.
Введение аксиом и сама система аксиом неудовлет-
ворительны. Авторы не нашли приемлемого логического
уровня изложения. Недопустимо много утверждений, в
том числе фундаментальных фактов школьного курса
геометрии, приведено без доказательств. Имеются логи-
ческие пробелы в рассуждениях, математические ошиб-
ки. Пояснения многословны и громоздки, перегружены
терминами. Учебники перенасыщены малосодержатель-
ными в зачастую вредными «практическими» заданиями.
Учебники ие могут обеспечить необходимый уровень
навыков логического мышления учащихся.
Длительный процесс переработки учебников не привел
к их улучшению в, целом. Несмотря на весьма сущест-
' веиную переделку, отмеченные недостатки сохраняются
от издания к изданию. Некоторые важные вопросы
* (учение о площадях, подобие фигур) в третьем издании
изложены хуже, чем в предыдущих.
Комиссия считает, что ввиду низкого качества ука-
занных пробных учебников они не могут быть реко-
мендованы для использования в школе. Следует напра-
вить силы учителей и методистов на обеспечение пе-
рехода школы на существенно более качественный учеб
ник геометрии Погорелова, вводимый сейчас по всей
стране. Должна быть безусловно исключена возмож-
ность дальнейшего расширения преподавания по проб-
ным учебникам Л. С. Атанасяна и других. Проведение
чрезмерно широких экспериментов по учебникам неоп-
равданно Несостоятельным является положение, при ко-
тором сотни тысяч учащихся обучаются по недоброка-
чественным учебникам при наличии хороших пособий.
Следует начать работу по сокращению масштаба пре-
подавания по указанным пробным учебникам и доведе-
нию его до обычного объема экспериментального пре-
подавания При этом необходимо учитывать трудности,
которые испытывают учителя при замене учебников, да-
же плохих на хорошие.
Заседание комиссии 3 апреля было посвящено
учебникам алгебры. Основное внимание было уделено
пробным учебника" Ш А. Алимова, Ю. М. Колягина,
Ю. В. Сидорова, М. И. Шабунин:» в 'связи с просьбой
Министерства просвещения СССР дать отзыв на эти
учебники. Рассматривались также пробны»- учебники:
а) Д. К. Фаддеева, б) С. М. Никольского и М. К. Пота-
пова, а также переработанный под редакцией С. А. Те-
ляковского вариант действующего учебника, авторы
Ю. Н. Макарычев и др.
На заседании комиссии был высказан ряд общих
пожеланий по совершенствованию учебников алгебры
Необходимо улучшить строгость, обоснованность и яс-
ность изложения, научить понимать, зачем нужно стро-
гое математическое доказательство, какие .рудноети
могут возникнуть, если рассуждать нестрого. Заслужи-
вает одобрения указание приемов решения задач. Одна-
ко такие рецепты необходимо вводить в текст учебника
очень продуманно, отделяя их от изложения основного
теоретического материала, иначе они могут вытеснить в
понимании школьника строгие доказательства Дальней-
шего продумывания требуют примеры, показывающие
связь изучаемых понятий с практикой. Необходимо, чтог
бы школьники возможно чаще упражнялись в проведе-
нии тождественных преобразовании и решение задач,
требующих таких преобразований.
При обсуждении пробного учебник^ Ш. А. Алимова
и других отмечалось, что вызывает сомнение общая кон-
цепция авторов, направленная на максимальное упро-
щение материала. В учебнике сконцентрировано внима
иие иа алгоритмической стороне предмета и полностью
игнорируется творческая сторона математики, требую-
щая нестандартных рассуждений Это снизило теорети-
ческий уровень учебника по сравнению с учебниками
последних 30 лет. Принятая установка особенно сильно
сказалась на системе упражнений. Ориентация учебни-
ка на среднего ученика может оказать неправильное
влияние и на учителя.
Комиссия приняла решение о пробны» уч< бниках
алгебры Ш. А. Алимова и других для VI и VII клас-
сов (третьи издания).
В решении отмечается, что учебники обладают опре-
деленными достоинствами. При их подготовке была
учтена критика действующих учебников, касающаяся, в
частности, чрезмерного формализма и введения основ-
ных понятий на базе теории множеств. Авторы стреми-
лись упростить курс, сделать его доступным, ориенти-
ровать на формирование навыков вычислений.
В то же время с научной точки зрения эти учебники
вызывают принципиальные возражения. Принятый в них
подход к изложению алгебраического материала на чис-
ловой основе искажает алгебраическое содержание кур-
са. не способствует формированию понятий и умений,
относящихся к буквенной алгебре. Неонрзаданно сни-
жен логический уровень изложения, что приводит к не-
обходимости формального заучивания. Многие вопросы
изложены недостаточно четко и ясно. Некоторые поня-
тия в результате их упрошенного введения предстают
в искаженном виде (алгебраические выражения, решение
уравнений и неравенств, иррациональные числа и’пр)
Имеются многочисленные неточности. Учебники не рас-
считаны на развитие творческих способностей учащих
ся. Они явно ориентированы только на средних и сла-
бых учеников.
Комиссия считает, что вследствие имеющихся недос-
татков пробные учебники Ш. А. Алимова и других не
могут быть рекомендованы для использования в
школе.
С учетом трудностей перехода иа новые учебники для
внедрения в школу могут быть рекомендованы лишь
учебники, удовлетворяющие требованиям реформы шко-
лы. В настоящее время нет законченного нового учеб-
ника алгебры, прошедшего всестороннюю экспертную
оценку и эксперимед .альную проверку и пригодного для
введения в школу. Поэтому в качестве временной меры
73
целесообразно использовать действующие учебники ал-
гебры с минимальной необходимой переработкой, опре-
деляемой требованиями соответствия программе, устра-
нения чрезмерного формализма, согласования' с дейст-
вующим учебником геометрии Погорелова.
Безусловно, необходимо усилить работу по созданию
высококачественного нового учебника алгебры. Следует,
в частности, организовать представительную экспери-
ментальную проверку перспективных учебников: а) Д. К.
Фаддеегза. б) С. М. Никольского и М. К- Потапова.
Создавшееся положение, когда один пробные учебники
эксперимеитируются неоправданно широко, а по дру-
гим эксперимент ведется в заведомо недостаточном
объеме, является неудовлетворительным.
Решения комиссии по пробным учебникам от 16 марта
и 3 апреля были одобрены Бюро Отделения математики
АН СССР 6 апреля 1984 г.
В секции средней школы
Московского математического
общества
(Год 36-й)
Н. X. Розов
(Москва)
В течение 1983/84 учебного года состоялось семь засе-
даний секции средней школы Московского математиче-
ского общества. Заседания, как и прежде, проводились
в Главном здании Московского университета иа Ленин-
ских горах в третий четверг каждого месяца (с октяб-
ря по апрель включительно).
На заседании 20 октября 1983 г. с докладом «Таб-
лица для разложения составных чисел на простые мно-
жители и ее применение» выступил В. С. Хитрук. До-
кладчик подробно рассказал о разработанном им алго-
ритме разложения составных чисел на простые множи-
тели, оформленном в виде довольно компактной табли-
цы. На конкретных примерах было показано, как эту
таблицу можно использовать; в частности, она облег-
чает решение диофантовых уравнений.
Заседание 17 ноября 1983 г. было посвящено всту-
пительным экзаменам по математике в Московском уни-
верситете летом 1983 г. Выступивший с сообщением по
этому вопросу И. Н. Сергеев познакомил собравшихся
с вариантами, предлагавшимися поступающим на раз-
личные факультеты (см.: Квант, 1984, № 2), рассказал
о порядке проведения и уровне требований на письмен-
ных и устных экзаменах, проанализировал наиболее
характерные ошибки абитуриентов. Как обычно, осо-
бое внимание было уделено приемным экзаменам по
математике на механико-математическом факультете и
факультете вычислительной математики и кибернетики.
На заседании 15 декабря 1983 г. состоялся до-
клад Б. В. Гнеденко «Педагогические вопросы на Меж-
дународном конгрессе математиков в Варшаве (1983 г.)».
Участники очередного Международного конгресса ма-
тематиков, проходившего в Варшаве летом 1983 г. (см.:
Математика в школе,’1984, № 4), много внимания уде-
лили вопросам преподавания математики и прежде
всего — в средних учебных заведениях. В докладе было
рассказано о наиболее интересных педагогических
идеях, высказанных на конгрессе, о некоторых воззре-
ниях на содержание школьной программы по матема-
тике и результатах ряда педагогических экспериментов
в зарубежных странах.
19 января 1984 г. на заседании секции А. Я. Ха-
ламайзер прочел доклад «Русские школьные учебники
по математике: методические идеи». Проведя сравни-
тельный анализ различных школьных учебников по ма-
тематике, докладчик попытался проследить становление
наиболее ценных методических подходов и выделить
тот удачный опыт прошлых лет, который и сегодня
представляет несомненный интерес для учителей. В до-
кладе обсуждались также те требования, которые не-
обходимо предъявлять к современному учебнику по
математике для средней школы.
«Нужна ли формальная логика при решении стандарт-
ных задач?» — с таким докладом на заседании 16 фев-
раля! 984 г. выступил Г. В. Дорофеев. В докладе бы-
ли показаны примеры, когда при решении обычных
задач, встречающихся в школьной практике и на всту-
пительных экзаменах, возникают логические топкости,
требующие использования основных понятий математи-
ческой логики.
В 1984 г. исполнилось 50 лет со дня основания жур-
нала «Математика в школе». В связи с этим юбилеем
15 марта 1984 г. была проведена встреча членов сек-
ции с членами редакционной коллегии журнала. Со-
стоялся оживленный и полезный разговор о задачах и
планах редколлегии, об успехах и недостатках издания;
в нем участвовали главный редактор журнала
Р. С. Черкасов, члены редколлегии Н. М. Бескин,
В. Г. Болтянский, Б. В. Гнеденко, многие из присутст-
вовавших. Секция средней школы приняла специальное
решение, в котором, в частности, отмечена конкретная
и квалифицированная помощь, оказываемая журналом
учителям математики школ и профтехучилищ в их
практической работе, подчеркнута особая актуальность
систематически публикуемых в журнале материалов, на-
правленных на обеспечение высокого качества препо-
давания математики, на повышение уровня профессио-
нального мастерства и образования учителей, развитие
их творческой инициативы. Одобрив в целом сущест-
вующую структуру содержания журнала и перспектив-
ный план намеченных для освещения тем, секция в
своем решении рекомендовала редколлегип журнала
тщательно проанализировать высказанные замечания и
предложения н наметить необходимые меры по их реа-
лизации (см.: Математика в школе, 1984, № 3).
В одобренном Пленумом ЦК КПСС н Верховным Со-
ветом СССР документе «Основные направления рефор-
мы общеобразовательной и профессиональной школы»
указано, что для совершенствования содержания обра-
зования необходимо, в частности, «вооружать учащихся
знаниями и навыками использования современной вы-
числительной техники, обеспечить широкое применение
компьютеров в учебном процессе, создавать для этого
специальные школьные и межшкольные кабинеты». Пу-
тям решения этой важнейшей задачи был посвящен до-
клад С. И. Шварцбурда и М. П. Ковалева «Микро-
калькуляторы в учебном процессе средней школы», сде-
ланный па заседании 10 апреля 1984 г.
Обращаем внимание читателей журнала, что в засе-
даниях секции средней школы Московского математиче-
ского общества могут принимать участие не только
учителя — члены секции, но н все желающие. Тематика
заслушиваемых на заседаниях секции докладов и сооб-
щений представляет интерес для широкого круга пре-
подавателей математики школ, профтехучилиш и тех-
никумов. сотрудников педагогических учреждений,
студентов-математиков педагогических институтов. За
справками о работе секции н по вопросу о вступлении
в члены секции следует обращаться в научный отдел
механико-математического факультета МГУ к Нине Ни
колаевне Марчук (Гла мое здание МГУ, 15 этаж,
ауд.. 15—14, тел. 139-17-70).
74
25 лет семинару «Передовые идея
в преподавании математики в СССР
и за рубежом»
В. Н. Шапкина
(Москва)
В 1984 г. семинар отметил 25-летие своей непрерывной
деятельности.
24 мая состоялось заседание, посвященное памяти
И. К. Андронова. Наряду с коллегами, учениками и по-
читателями выдающегося ученого на нем присутствовали
его дети, внуки и правнуки. Председательствующий,
профессор О. В. Мантуров, зачитал приветствия в ад-
рес семинара, полученные от коллег и учеников И. К.
Андронова, работающих в Москве, Томске, Минске и
других городах.
После доклада В. В. Шапкиной о жизненном и твор-
ческом пути И. К. Андронова, иллюстрированного стен-
дами фотографий, присутствовавшие делились своими
воспоминаниями о совместной работе, творческом об-
щении и встречах с И. К. Андроновым. Профессора
В. Ф. Ноздрев, Р. С. Черкасов, Ю. М. Калягин, доцен-
ты Е. П. Шимбиреве, Н. Г. Федин, Ч В. Кирилюк,
Г. Н. Бычкова рассказывали об уникальности личности
И. К Андронова, восхищавшей своим большим и раз-
носторонним умом, высоким духовным и нравственным
настроем, поразительным трудолюбием и работоспособ-
ностью, редким педагогическим мастерством, безгра-
ничной добротой, неистощимой душевной бодростью.
Свои интересные воспоминания прислала заслуженная
учительница школы РСФСР В. А. Гусева, которой в
этом году исполнилось 90 лет. Ровесница своего учите-
ля, она через всю жизнь пронесла чувство благодар-
ности ему за приобщение к математической культуре,
глубокое уважение к учителю и тот образец высокого
служения делу просвещения, который являл собой
И. К. Андронов. Перед собравшимися выступил сын
ученого Н. И Андронов, заслуженный художник
РСфСР, поблагодаривший присутствовавших за добрую
память об отце.
Иван Козьмич Андронов опубликовал свыше 100
пеннейших работ, создал большую школу ученых-мето-
дистов и тем навсегда связал свое имя с историей ста-
новления и развития математического образования в
нашей стране.
В 1959 г. он организовал наш семинар, который сразу
же стал проводником передовых научно-методических
идей, внося свой вклад в дело совершенствования мате-
матического образования в стране. За 16 лет руковод-
ства семинаром И. К. Андронов сделал иа нем 15
больших докладов, отличавшихся глубиной анализа и
оригинальностью постановки проблем.
Участники семинара обсуждали новые школьные про-
граммы по математике — советские и зарубежные; де-
лали обзоры научно-методических журналов разных
стран; исследовали роль выдающихся представителей
отечественной культуры в развитии математического
образования в России; рассматривали состояние мате-
матического образования в зарубежных странах, выяв-
ляя передовые тенденции и знакомясь с деятельностью
известных педагогов-математиков: Э. Кастельиуово,
А. Фуше, В. Литцмана, У. Сойера и других.
За время существования семинара было заслушано и
обсуждено 200 докладов. В работе семинара активное
участие принимали учителя, аспиранты, преподаватели
вузов из разных городов Советского Союза. С докла-
дами выступали известные педагоги, психологи и мате-
матики, профессора: П. А. Шеварев, В. А. Крутецкий,
Н. С. Менчинская, А. И. Маркушевич, Н. Ф. Четверухин
и другие, а также деятели математического образования
Болгарии. Венгрии, Польши, Чехословакии, ГДР, Бель-
гии, Японии.
За 25 лет своей деятельности семинар обрел тради-
ции и получил известность среди педагогической обще-
ственности пашей страны и за рубзжоп, что служит
убедительным доказательством жизненности творческого
наследия И. К. Аидроиова.
После кончины И. К. Андронова руководство семи-
наром взял на себя член-корреспондент АПН СССР,
доктор физико-математических наук профессор И. С. Бро-
виков, начавший сотрудничать в семинаре еще при
жизни И. К- Андронова. И. С. Бровиков привлек к его
работе новые силы.
С 1981 г., после безвременной смерти И. С Брови-
кова, семинар возглавили сначала член-корреспондент
АПН СССР, доктор физико-математических наук про-
фессор И. Я. Верченко, а затем доктор физико-матема-
тических наук профессор О. В. Мантуров.
1983/84 учебный год семинар работал при Москов-
ском городском институте усовершенствования учите-
лей, не нарушая сложившихся традиций.
За истекший год было проведено 8 заседаний. На
первом, 13 октября 1983 г., Л. В. Кирилюк
(г. Гродно) познакомила слушателей с учебно-методи-
ческим комплексом (УМК) по аналитической геомет-
рии, включающим список рекомендуемой литературы,
лекционный и практический материал, вопросы для са-
мопроверки (в том числе вопросы, выносимые на экза-
мен).
10 ноября собравшиеся выслушали доклад
В. В. Цукермана (Москва) «Проблемы изучения ’’На-
чал анализа" в средней школе», и котором был показан
вариант изложения дайной темы иа факультативе в
форме спецкурса из 8 лекций.
8	. декабря В. А. Оганесян (Ереван) доложил о
своем исследовании -Научные принципы отбора основ-
ного содержания обучения математике в средней шко-
ле».
На заседании 12 января 1984 г. с докладом «При-
ложения неравенств» выступила И. П. Фролова (г. Ниж-
ний Тагил). Она показала последовательность учебных
заданий по числе вым и функциональным неравенствам
для всех уровней, подчеркнув, что они дают возмож-
ность учителю осуществлять на конкретном материа-
ле экономико-математическое воспитание учащихся и
знакомить их с принципами автоматизации некоторых
технологических процессов.
9	февраля Д А. Антонов (г. Чебоксары) сделал
сообщение «Об основах пропедевтики начал анализа в
школьном курсе математики», в котором, в частности,
предложил систему упражнений, подготавливающих
учащихся к усвоению главных идей этого курса.
На заседании 15 марта было заслушано два со-
общения. В. В. Шапкина (Москва) рассказала о мето-
дических рекомендациях известного английского мате-
матика и педагога У. Сойера * 1 по обучению математи-
ке в школе, которые развиты им в книге «Поиск зако-
номерности»2. X. Ш. Шихалиев (г. Махачкала) доло-
жил о своем учебном пособии «Алгебра, VI—VIII клас-
сы», проходящем экспериментальную проверку в шко-
лах Дагестанской АССР.
12	апреля был сделан обзор, материалов по обсуж-
дению Проекта реформы дколы С сообщениями высту-
пили Н. Г. Федин (МЗГПИ), М. А. Петрова (МОПИ
им. Н. К. Крупской), В. Л. Шамшурин (НИИ школ).
В заключение заседания В. В. Аммосова (г. Астра-
хань) познакомила слушателей с содержанием факуль-
1 У. Сойер извесп i советскому читателю по перево-
дам двух его книг: «Прелюдия к математике» (М., 1972)
и «Путь в современную математику» (М., 1972), а так-
же по статьям в сборнике «Математика в современном
мире» (М., 1967) и в журнале «Математика в школе:
(1972, № 1).
1 Sawu^r W. W. The Search for Pattern.— Penguin
Books, 1970, p. 35 L
75
татива «Элементы теории групп», разработанного ею для
учащиеся IX—X классов.
В новом учебном году семинар продолжает свою
работу при Педагогическом обществе РСФСР. Заседа-
ния по-прежнему проходят во второй четверг месяца по
щресу: Москва, пер. Островского, 7а (Городской инсти-
тут усовершенствования учителей).
Республиканский семинар в Минске
В. Ю. Гуревич
(Минск)
Республиканский научно-практический семинар «Акту-
альные проблемы преподавания математики в средней
школе» работает при НИИ педагогики МП БССР.
В 1983/84 учебном году состоялось 7 заседаний семи-
нара.
В ряде выступлений были рассмотрены пути решения
задач, сформулированных в Основных направлениях
пеформы общеобразовательной и профессиональной
школы. С докладом «Проблемы и перспективы исполь-
зования в обучении и управлении народным образова-
нием современных электронно-вычислительных уст-
ройств» выступил директор ИВЦ МП БССР А И. Пав-
ловский Он рассмотрел следующие аспекты этой проб-
пемы: 1) создание автоматизированных обучающих си-
стем, предназначенных для интенсификации и индиви-
дуализации процесса обучения и управления им; 2) ис-
пользование микрокалькуляторов «Электроника МКШ-2»
в качестве объекта изучения на уроках Математики и
применение их па уроках по другим предметам.
А. И. Павловский рассказал о ходе создь тия автома-
тической системы управления при МП БССР, практи-
ческих результатах внедрения ее первой очереди.
Опытом использования микрокалькуляторов на уро-
ках математики поделился заместитель директора сред-
ней школы № 7 г. Орши 3. Ф Пейсахович. Он отметил
положительное влияние микрокалькуляторов на фор-
мирование ряда навыков и умений, ускорение темпов
изучения материала.
С докладом «Опыт использования ЭВМ иа приемных
экзаменах» выступили доцент кафедры высшей матема-
тики Минского радиотехнического института Р. М. Жев-
чяк и старший преподаватель той же кафедры
В. А. Алешко Они подчеркнули: использование ЭВМ
для обработки результатов конкурсных экзаменов, как
свидетельствует накопленный опыт, содействует отбору
абитуриентов, математические знания которых более
полно соответствуют специфике института.
С докладом «Опыт преподавания геометрии в VII
классах по учебному пособию А В Погорелова» вы-
ступила учитель-методнст школы № 2 г. Молодечно
М. К. Тятюшкина. Она отметила ряд преимуществ по-
собия: методы доказательств, основанные на призна-
ках равенства треугольников, определение тригономет-
рических функций острого угла с помощью прямоуголь-
ного треугольника, рассмотрение теоремы Пифагора до
изучения подобия — все это, методически оправдано, до-
ступно учащимся и плодотворно используется при ре-
шении многих задач.	/
Учитель математики школы № 6 работающей моло-
дежи В С. Н Тельман в докладе «Новые учебные при-
боры для обучения математике» продемонстрировал
свои приборы, служащие для изучения широкого спект-
ра понятий и теорем школьного курса математики.
С докладом «Об изучении положительных и отрица-
тельных чисел в V классе» выступил доцент Гомель-
ского университета А Н. Бекаревич. На основе дидак-
тической обработки метола пар он разработал мето-
дику последовательного обобщения понятия числа и по-
строил систему задач, предназначечтую для практиче-
ской реализации этой методика.
Опытом обучения школьников решению трансцендент-
ных уравнений поделился заместитель директора сред-
ней школы № 10 г. Гродно Н Д. Виноградов. Он рас-
сказал о построенной им системе задач, направленной
иа формирование е развитие умений решать трансцен-
дентные уравнения.
С докладом «Системный подход ж проверке решений
текст! вых задач» выступал доцент БГУ им. В. И. Ле-
нина Я. 3. Метельский. Он показал, что ии одни из
Известны способов проверки решения текстовой зада-
чи с помощпП уравнений сам по себе еще ие гаран-
тирует соответствие полученных решений условию за-
дачи. Автор предложил системный подход к проверке,
позволяющий одвовременно вскрыть как возможные ло-
гические иля вычислительные ошибки, так и нереаль-
ность, противоречивость условия задачи.
На этом семинар завершил десятый год своего су-
ществования.
XII Республиканские
педагогические чтения
в Таджикистане
Дж Шарифоа
(ТаджССР, г. Куляб)
25—'26 мая 1984 г. в Душанбе проводились XII Рес-
публиканские педагогические чтения на тему «Опыт ра-
боты школ и профессионально-технических училищ по
трудовому обучению, воспитанию и профессиональной
ориентации учащихся», посвященные 60 летию образова-
ния Таджикской ССР и Коммунистической партии Тад-
жикистана.
Выбор темы ХТ1 педчтений предопределили Основные
направления реформы общеобразовательной и профес-
сиональной школы, где указывается, что школа долж-
на прививать любовь к труду в уважение к людям тру-
да, знакомить учащихся с основами современного про-
изводства. формировать у учащихся трудовые навыки
и умения, помочь им получить первоначальную профес-
сиональную подготовку и выбрать будущую профессию.
Вопросы профессиональной ориентации должны стать
составной частью учебных занятий.
С большим вниманием участники Педагогических чте-
ний заслушали на общем пленарном заседании докла-
ды министра просвещения Таджикской ССР Р. Д. Да-
дабоева «Совершенствование трудового воспитания, об-
учения и профориентации учащихся в свете реформы
школы», председателя Госкомитета по профтехобразо-
ванию республики К Г Хасанова «Задачи работников
системы профтехобразования по дальнейшему повыше-
нию уровня подготовки расючих кадров для народного
хозяйства» и директора ПИИ трудового обучения и
профориентации АПН СССР П. Р. Атутова «Трудоная
подготовка учащихся в свете реформы школы».
В секции «Трудовое воспитание и профессиональная
ориентация учащихся в процессе изучения предметов
естественно-математического цикла» было заслушано
40 докладов.
Народный учитель СССР, работающий в школе № 11
Восейского района Кулябской области. Иди Халифаев и
учитель школы № 13 Ленинабада кандидат педагогиче-
ских наук А. Бегматов в своих выступлениях показали
средств” и методы трудового воспитания и профессио-
нальной ориентации в процессе обучения математике.
Н. Кадыров (учитель-методист шк. № 4 Аштского
р-иа Ленинабадской обл.) ознакомил слушателей с ре-
зультатами эксперимента по воспитанию у учащихся
творческого иодхода к труду на уроках математики.
76
В докладе А. Ф. Зориной (учительница шк. № 42
Душанбе) были указаны конкр-’.ные примеры политех
ныеского аспекта преподавания математики в школе
Большой интерес у слушателей вызвали выступления
учителей из Душанбе Г. И. Байдаковой (шк. № 54)
«Профориентационная работа на уроках математики и
во внеклассной работе: и М. Садикова (шк, № 80)
«Формирование практических умений и навыков в про-
цессе изучения математики».
С большим вниманием присутствовавшие выслушали
сообщения о трудовом воспитании и профессиональной
ориентации учащихся на уроках математики и физики,
которые сделали учителя: М. Давлятшоев (шк. № 13
Ишкашимского р-иа); И. Т. Сабиров (шк. № 18 Лени-
нарада); М. Заробеков (шк. № 5 Ванчского р-на);
Н И. Вигандт (шк. № 20 Душанбе); У. Каримов (шк.
Хе 58 Шугнанского р-на), А. X. Халиков (шк. № 65
Душанбе); а также М X. Мухибханов— заведующий
кабинетом Центрального института усовершенствования
учителей Таджикской ССР. Все доклады сопровожда
лись демонстрацией оригинальных рисунков, таблиц и
других средств наглядности, изготовленных учащимися.
Новые книги
Ф. М. Шустеф
(Минск)
Истории и методология математики
Каиовей В. Г. Аксиома выбора н аксиома детерминиро-
ванности. — М.: Наука, 1984. — 64 с. — 25 к. 23 000 экз.
Монографии. Учебники н учебные пособия
для высшей школы
Арсении В. Я. Методы математической физики и спе-
циальные функции: Учебное пособие для втузов. —
2-е изд., перераб., доп. — М.: Наука, 1984. — 333 с.—
1 р. 10 к. 12 800 экз.
Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и
линейной алгебры: Учебное пособие для вузов. — 5е
нзд., перераб. — М.: Наука, 1984. — 320 с. — 80 к.
100 000 экз.
Be-а Г. Таблицы семизначных логарифмов — 5-е
изд. — М.: Наука, 1984. — 565 с. — 3 р. 40 к. 16 000 экз.
Турский Е. И. Сборник задач по теории вероятностей
и математической статистике: Учебное пособие для ву-
зов.— 3-е изд., перераб. — Минск: Вышэйшая школа,
1984. —223 с. —75 к. 10 000 экз.
Данилов 10. А. Многочлены Чебышева. — Минск:
Вышэйшая школа, 1984.— 15 с. — 25 к. 18000 экз.
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учеб-
ное пособие для ун-тов. — 3-е изд., доп. — М.: Наука,
1984. — 294 с. — 95 к. 40 000 экз.
Ландо Ю. К-. Элементы математической теории уп-
равления движением: Учебное пособие для пед. ин-тов.—
М.: Просвещение, 1984. — 87 с. — 15 к. 10 000 экз.
Мендельсон Э. Введение в математическую логику /
Пес с англ. — 3-е изд. — М.: Наука, 1984. — 319 с.—
1 р. 80 к. 23 000 экз.
Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных
дифференциальных уравнений: Учебник для ун-тов. —
7-е нзд., испр. —М.: Изд-во МГУ, 1984. — 295 с.—
80 к. 14 700 экз’
Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных
уравнений: Для ун-тов. — 4-е изд., испр. — М.: Изд-во
МГУ, "1984.— 136 с. — 20 к. 13 500 экз.
Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. — 4-е изд • —
М Наука, 1984. 520 с. — 3 р. 10 к. 7900 экз.
Попов Б. А.. Теслер Г. С. Вычисление функций на
ЭВМ Справочник. — Киев: Наукова думка, 1984. —
599 с.— 1 р. 90 к. 10000 экз.
Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной ал-
гебре: Для вузов. — 7-е изд. — М.: Наука, 1984,—
336 с. — 1 р. 20 к. 45 000 экз.
Научно-популярные книги
Буткевич А. В., Зеликсон М. С. Вечные календари. —
2-е изд., перграб., доп. — М.: Наука, 1984.— 206 с.—
35 к. 150 000 экз.1
Зигель Ф. Ю. Неисчерпаемость бесконечности / Ху-
дожник П. Чернус 1ий. — М.: Детская ‘ литература.
1984 — 254 с. — (Люди. Время. Идеи) — 65 к.
100 000 экз.
Лойд С. Математическая мозаика / Сост, ред. М.
Гарднер; Пер. с англ. — 2-е изд., стереотип. — М.: Мир,
1984. —312 С — 1 р. 20 к. 25 000 экз.
Учебники и учебные пособия для средней школы
Алгебра. Геометрия. Пробные учебники для 8 клас-
са. — 2-е изд., испр., доп. — М.: Просвещение, 1984. —
303 с. — 30 к. 857 000 экз.
Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. Гео-
метрия: Пробный учебник для 6 класса. — М.: Просве-
щение, 1984.— 176 с.— 15 к. 45 000 экз.
Гельфанд М. М., Простосердов В. П. Алгебра: Учеб-
ное пособие для 6—9 классов вечерней (сменной) шко-
лы.— 8-е изд. — М.: Просвещение, 1984.—416 с.—
55 к. 195 000 экз.
Сборник задач киевских математических олимпиад /
В. А. Вышенский и др. — Киев: Вищ^ школа, 11’84. —
234 с. — 90 к; 40 000 экз.
Методика преподавания математики
Дид: ктические материалы по алгебре и началам ана-
лиза: Для 9 класса. Пособие для учителей / Б. М. Ив-
лев и др. — М.: Просвещение, 1984. — 144 с.— 15 к.
783 000 экз.
Совершенствование математической подготовки уча-
щихся средних профтехучилищ / Под ред. Е. С. Дубпи-
чук.— Киев: Вища школа, 1984.— 96 с.—15 к.
3000 экз.
Фридман Л. М. Наглядность и моделирование в об-
учении.— М.: Знание, 1984 —80 с.— 15 к. 152880 экз
Шустеф Ф. М. Материал для внеклассной работы
по математике: Книга для учителя — 2-е изд., , пеэ-*-
раб.--Минск: Народная асвета, 1984.— 224 с —40 к.
23 000 экз.
Тематический указатель статей,
опубликованных в журнале
в 1984 г.
ПЕРЕДОВЫЕ
Основные направления реформы общеобразовательной
и профессиональной школы — № 3, с. 3.
От поколения к поколению — № 1, с. 3.
Подготовка учителей математики — на уровень новых
задач — № 6, с. 3.
Решено партией — поддержано народом — № 4, с. 3.
С думой о будущем — № 2, с. 3.
Формирование всесторонне развитой личности — наш
стратегический ориентир — №. 5, с. 3.
♦
Гнеденко Б. В. 'Воспитание моральных принципов и
математика — № 5, с. 6.
Монахов В. М. Совершенствование преподавания ма-
тематики в свете требований реформы школы — № 6,
с. 5.
77
Лауреаты высоких премий 1983 г, — № 1, с. 14.
♦
Черкасов Р С. К б!' "стдю научцо-методичес.;ого
журнала «Математика ₽ школе» — № 3, с. 37.
НАРОДНЫЕ УЧИТЕЛЯ СССР
Анчукова Л. П. Маргарита Николаевна Сивцова —
№ 1, с. 7.
Магомеддцбирова 3. А., Мирзоев С. С. Ахмедхаи Гад
жияхяевич Караев — Ns 1, с. 10.
Саркисян Р В. Самсон Агабекович Дагбашдн — № 1,
с. 9.
СЛОЗО ДЕПУТАТАМ "ЕРХОВНОГО СОВЕТА СССР
Бокарева Т. Н. Благородная цель — 4, с 11.
Захаренко А. А. Растить инициативных — № 4, с 8.
Мусвидайте Р. В. Целенаправленно видеть — № 4,
с. 9.
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
От программно-ме-одического управления МП РСФСР
О выпускном экзамене по алгебре и началам анализа
в вечерних (сменных) школах РСФСР — № 1, с. 45
♦
Виленкин Н. Я-, Чесноков А. С., Шварцбурд С И
Об уиебннках по математике для IV—V классов —
№ 3, с. 26.
Гнеденко Б. В. Математические рукописи К. Маркса
и вопросы математического образования — № 2, с. 7
Гордиенко В Н Проблемная ситуация при исследо-
вании функций — № 3, обложка.
Медяник А. И. О роли внутрипредметных связей при
обучении геометрии — № 2, с. 13
Нешков К. И., Чесноков А. С.. Примерные контроль-
ные работы по математике для IV—V классов на I по
лугодие — № 4, с. 26; II полуюдие — № 6, с. 30.
Об использовании в 1984/85 учебном году учетных
пособий и рекомендаций по планированию и проведе-
нию контрольных работ — № 4, с. 30.
О преподавании математики в 1984/85 учебном году
(методическое письмо)—№ 3, с. 16.
Соболев С. Л. Судить по конечному результату —
№ I, с. 15.
Хавелов С. В. Поворот координатных осей при вы-
числении объемов — № 3, обложка.
Преподавание геометрии
по учебному пособию А. В. Погорелов:
Гусев В. А., Медяник А. И. Самостоятельные работы
по геометрии в VII классе — № 1, с. 32.
Гусев В. А., Медяник А. И. Самостоятельные работы
по геометрии в VIII классе — № 4, с. 23.
Долбилин Н П Мишенко Т. М. О планировании
геометрии в VI классе 4, с. 25
К началу обучения геометрии в VII классе — № 1,
с. 19.
К началу обучения геом:трии в VIII классе по но-
вому учебному пособию — №. 3. с. 29; № 4, с. 13; № 5,
с. 11, № 6, с. 17.
Марон С Е Система самостоятельны’ работ по теме
«Сумма углов треугольника» — № 6, с. 28.
Примерные планирование и контрольные работы по
геометрии в VIII классе (1 полугодие)—№ 3, с. 36;
(II полугодие) —№ 5, с. 19
Из опыта работ
Богачева Г И. К методике обучения школьников
IV—V классов анализу текстовых задач — № I, с. 37.
Виленкин Н. Я, Петерсон Л. Г. Использо"°ние ко-
ординатного луча для решения задач на двнженлцр>
№ 1, с. 39.
Волкова Н Д , Гришина Т. В Воспитывать, обучая —
Ns I, с. 33.
Закрсвский А. М. Из опыта работы Ивана Андрееви
ча коровая — № 2, с. 15
Канин Е С. К формированию умений и навыков в
вычислениях и тождественных преобразованиях — Ns 5,
с. Зб
Крючкова В. В. Об опыте работы с правилами в те-
ме «Многочлены» — Ns 5. с. 38.
Курдюмова Н. А. Эффективная форма пропаганды
передового опыта — № 2, с. 28.
Кушнир И. А. Об "дном способе решения задач на
построение — Ns 2, с. 22.
Любичева В. Ф. К вопросу совершенствования эконо-
мических знаний учащихся № 6, с. 40
Маланюк М. 11, Гапюк Я. Ф. Упражнения сообщаю-
щего характера в курсе алгебры VI класса — № 2,
с. 25.
Муравин Г. К. Об одном из способов изучения си-
стем уравнений в VI классе — № 1, с 42.
Окунев А. А Приемы. воспитания навыков само-
обучения на уроках математики-—№ 2, с. 19.
Ольхов В. Е. Применение производной для преобра-
зования выражений — Ns 2, с. 21.
Пак И. И. Приемы рационализации вычислений как
средство развития мышления учащихся — Ns 5, с. 35.
Платонова В. И. К вопросу о развитии пространст-
венных представлений учащихся — Ns 6, с. 36.
Рассудовская М. М. Домашние задания творческого
характера для всего класса — Ns 6, с. 38.
Хан Д И., Шубин В. А. О формировании простран-
ственных представлений школьников иа уроках стерео-
метрия — N° 6, с. 35.
Черных Л. А. С чего начинать объяснение нового
материала? —№ 2, с. 27.
О вступительных экзаменах в вузы в 1983 г.
Бокатуева С А., Пецко Н. Д„ Шестырева Л В. Ко-
ломенский педагогический институт — Ns 2, с. 40.
Воробьев А. В., Терентьев А. Д.. Федяев О. И. Мос-
ковский областной педагогический ин< гнтут им
Н. К- Крупской — № 2, с. 38.
Галушкина Ю И-, Тимохина А. О. Московский тех-
нологический институт пищевой промышленности —
Ns 2, с. 43.
Копылов В С., Редозубова О. С. Московский государ-
ственный педагогический институт им В. И. Ленина —
№ 2, с. 31..
Мельников Н Н Ташкентский государственный уни-
верситет— Ns 2 с. 35.
Одинцова Л. А Ореховская А. П. Математический
факультет Барнаульского педагогического института —
Ns 2, с. 36.
Рябов Ю. А., Давыдов Е. F Московский автомобиль-
но-дорожный институт — № 2, с. 41.
Янцевич А. И. Минский педагогический институт им.
А. М. Горького—.№ 2, с. 34.
Проблемы подготовки будущих- учителей математики
Мордкович А. Г. О профессиоьально-педагогической
направленности математической подготовки будущих
учителей — № 6, с. 42.
Консультация
Александров А. Д- Тар. что же такое вектор?— № 5,
с. 39.
Виленкин Н. Я-, Абайдулин С К.. Таварткиладзе Р К.
Определения в школьном купсе математики и методика
работы над ними — № 4, с. 43.
78
Дорофеев Г. В Отлогость oupeftt-ленив жа-гемат гче-
скьх пеня 1 ий школьного курса с Методической точки
зрения — № 3, с. 56.
Прикладная математика, микрокал1-к\ляторы
в учебной и виею.ассной работе
Зелинская Т. Я. Об оптимальной модели микрокаль-
кулятора для школы — № 3, с. 51'
Ионов Г- И. Микрокалькулятор как средство обуче-
ния и контроля — № 3, с. 51.
Малкове Т .В., Монахов В. М Математическое моде-
лирование — необходимый компонент современной под-
готовки школьника — № 3, с. 46
Шевченко Г. С. Применение микрокалькулятора при
изучении темы «Поедел последовательности — № 3,
с. 54
Московские гпролскиг педагогиче-кие чтение
Иконникова В. Ф. Внеклассная работа как средств-
развития творческих способностей учащихся — № 6,
с. 1(
Лебедева Л. Ф Некоторые юпросы трудовою воспи-
тания учащихся в процесс с обучения математике — № Q,
с 12.
Морозова Е. А. Ррофег-.гоиалььг я ориентация уча-
щихся при обучении математике — № 6, с 13.
Петрова Л. В. воспитание 1коиомичес.сого и береж
ного отношения школьников к а.гродному достоянию —
№ 6. е 14.
Саакян С. М. Изучение и пропаганда передовой
эпыез учителей -важное /слоте общих успехов — W>6,
с. 10.
Смирнова Е С. комплексное планирование ааяяч
обучения— № 6 с. 15.
В помощь учителям,
работающим по программе самообразования
Александров А. Н. О понятии множеств- и курсе
те )мстрии - Ke I, с. 47.
Колмогоров А. Н Замечание о юняти множества в
школьном курсе математики — № 1, с. 52.
Коммунистическое зоспитаии‘> учащихся в процеса
обучения математике (тематическ 1й указатель ста-
тей)—№ 1, с. 53
Учебное оборудование
Агеез А. Ц. Конструирование из железных епчц —
№ 5, обложка.
Волович М. Б., Левитас 1\ Г. Таблицы по алгебре
для VI класса — № 6. обложка.
Г лазков Ю. А. Кинофильмы к урокам математики —
№ I. с. 49.
Гончарен 'о Б. Г Складные иитгные модели по сте-
реометрии — № I, обложка.
Казиева Т. А. Настольная разрядная касса — № 2.
об пожка.
Каримова X. К. Математическое лото в IV классе —
N 2, обложка,
Рыжов М. М. Посооие из эластичных шнуров — № 4.
обложка.
Уралова Р, Ш. Оборудование кабинета математики в
его использование в учебном процессе — Ns 4. с. 48.
Шилов В Ф„ Исаев В. И. Модели из магнитов и
шнуров — Ns 5. обложка.
Шираков А. И. Модели из стеклянных трубок — № 4,
обложка
Проблемы и суждения
Медяник А. И. О строгости изложения в учебном по-
собим А. В. Погорелова — № 5, с. 46.
Эксперимент
Аруыжян Е. Б, Глазков Ю, А., Левитас Г. Г О пре-
подавании математики с помощью печатных и звуко-
вых средств обучени > — № 4, с. 34
Башмаков М. И„ Суслов В. И, Методические особен-
ности экспериментального курса математики ь средние
профтехучилищах — № 4, с. 32.
Романов В. И. Экспериментальный курс «Прикладная
математика и программированием — № 4, с. 38.
Очерки по истории развития математических знаний
Дорофеева А. В. Юбилей вел”кого открытия — № 6,
с. 55.
Рыбников К. А. Тригонометрия в школе и в систе-
ме математических наук — J® 6, с. 50.
Факультативные занятия
Балк М. Б., Болтянский В. Г. Применение понятия
центра масс на факультативных и кружковых заняти-
ях — № 2, с. 15.
^чеиласснвя работа
Абрамов А, М., Сарычева Т. А-. Соловьев Ю. П.
XXIV Международная математическая олимпиада —
№ 2, с. 51,
Болтянский В. Г. Об одном паркете — Ns 1, с. 65.
Брановский Ю. С О нахождении промежутков моно-
тонности аекоторых функций — № 6, с. 61.
Гюаьс A. AL Вычисление объемов тел вращения —
№ 2, с. 61.
Заочная олимпиада механико-математического факуль-
тета Московского университета — № 1, с. 62.
Ивашев-Мгсатое О, С. О законах отражения и пре
ломлеиия света — № 5, с. 60.
Изаак Д. Ф. Задачи по геометрии на максимум и
минимум в X 1 глас се — Ns 2, с. 57.
Имранов Б Г. Прим< неии»* векторов к решению гео-
метрических задач ча вычисление расстояний и углов —
-V 2. ₽. 64.
Куваев М. К юяросу о графическом решении урав-
нений — № 6, с. 57.
Кузнецова Л. И. Гомотетия как частный случаи го-
мологии— № 1, с. 64.
Купцов Л. П„ Резниченко С. В.. Шалимова К. И-
Якослее Г. Н. Третий тур X Всероссийской олимпиады
школьников по математике — Ns 3, с 60.
Купцов Л. П„ Резниченко С. В., Яковлев Г Н. X Все-
российская олимпиада школьников — Ms 4. с. 50.
Ли В. А. X Республиканская математическая олим-
пиада в Казахстане — № 4, с. 5ч
Овчинников В. Ф. О Всесоюзной заочной математиче-
ской школг АПН СССР при МГУ — № 4, с. 58.
Петров К. Метод гомотетии в решении задач — №1,
с. 63.
Пономаренко А. С., Слинько А. М. XVIII Всесоюзная
олимпиада школьников по математике — № 5, с. 50.
Рукшин С, Е., Матвеев Н, М. 50 лет математических
олимпиад — Ns 4, с. 54.
Сарычева Т. А., Нестеренко Ю. В XVJ1 Всесоюзная
математическая олимпиада — Ns I, с. 55.
Сергеев И. И. Решения задач заочной олимпиады ме-
ханико-математического Факультета Московсгого уни-
верситета — № 2. с. 54.
Солтан Г. Н. Переход к новым переменным при ре-
шении некоторых задач — Ns 6, с. 61.
Цукаръ А. Я. Построение обобщений теорем—№ 5,
с. 57.
Ш лейфе р Д Г. Об одной схеме доказательства нера-
венств— № 6, с. 58.
79
Задачи
Л° 1, с. 67 № 2, а 67; № 3, с. 63; № 4, с. 61; Ns 5.
с. 61;	6, а 62.
Дорофеев Г. В., Скопец 3. А. Замечания к решениям
задач —№ 1 с. 71; № 2, с. 71: № 3, с. 68; № 4, с. 65;
5, а 66. Kf- 6, с. 67.,
Занимательная страница
Кордемский Б. А. Формулы, производящие героновы
триады — № 4, с. 59.
ДЕЯТЕЛИ НАУКИ И ПРОСВЕЩЕНИЯ
Акивис М. А., Васильева М. В. Сергей Павлович Фив-
ников — № 2, а 77.
Александр Яковлевич Хинчип — № 4, обложка.
Андрей Андреевич Марков — Ns 3, обложкгб
Ахулкова Е. С., Петрова М. А., СаФоаэбекян Р. А-
Иван Козьмич Андронов — Ns 5, с. 78
Борис Владимирович Болгарски'', — № 2, с. 76.
Виктор Викторович Бобынин — Ns 1, обложка.
Гайдаржи Г. X., Турлакова 3. И. Герш Исаакович
Глейзер — № 6, с. 71.	*
Надежда Николаевна Гернет — Ns 2, обложка.
Николай Борисович Веденисов — Ns 6, обложка.
Соловьев Ю. h. Дмитрий Иванович Менделеев —
№ 1, с. 12.
Софья Александровна Яновскаи — № 5, обложка.
Математический календарь
На 1983/84 учебный год; март — апрель — № 1, с. 77;
май — июнь — № 2, с. 75.
На 1984/85 учебный год: июль—август — № 3, с. 75;
сентябрь — октябрь — N« 4, с. 78; ноябрь — декабрь —
№ 5, с. 77; январь — февраль — № 6, с. 70.
Поздравляем юбиляров
Акмалов А. а др. Давид Абрамович Мавашев — Ns 4,
с. 77.
Ёелоусов В. Д., Нягу Я. И. Петр Константинович Пет-
рушин — № 4, с. 77.
Берзтисе Б. Я.. Круче Д Я. Ян Янович Менцис —
№ 6. с. 69.
Гнеденко Б. В., Скопец 3. А.. Стратилатов П. В.
А. Я. Халамайзер — Ns 3, с. 77.
Кайбылдаев О. К., Майлиев Ш. М. С. М. Мусаеву —
60 лет — Ns 5, с. 76
Колмогоров А. Н., Олейник О А. С. Л. Соболев и
современная математика — Ns 1, с. 73.
Крейн С. Г., Левин В. И., Симонов А. С. Л. М. Лих-
тарников — № 3, с. 77.
Мишин В. И., Чернецов М. М. В. Г. Прочухаеву —
90 лет — № 3, с. 76.
Сибирский К С., Стахи А. М., Чебан И. К. Б. А.
Щербаков — Ns 3, с. 78.
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
Горенштейн Б. Е. О книге Г. И. Глейзера «История
математики в школе. VII—VIII классы» — Ns 5, с. 73.
Дорофеева А. В. Книга о В. А. Стеклове — Ns 4, с. 74.
Кордемский Б. А. Три сотни занимательных задач из
Франции — Ns 2, с. 73.
Кузнеирва В. А. Еще один задачник «Кванта» —
Ns 5, с. 75.
Марнянский И. А. — Как научить догадываться? (О
книге М. Балка и Г. Балк «Поиск решения/, —№5,
.с. 74.
План и шаиъп издательства «Педагогякга ня I&85
год — № 3, с. 69.
Ульянов П. П. Сборник статей о Лузине — № 5,
с. 73.
Хабиб Р. А. План изданий издательства «Просвеще-
ние» на 1985 год — № 3, с. 71.
Шкиль Н И.. Дичек Н. П К 75-летию «Наглядной
геометрии» 4 М. Астряб? — № 4, с. 74.
Шустеф Ф. М. Новые кзиги— Nt I, с. чб; Ns 2, с. 75;
№ 3, с. 55; № 4. с. 60- № 5, с. 76; № 6, с. 77.
Шушенский Н. И План изданий Главной редагг ни
физико-математической литературы издательства «Пау-
ка» на 1985 год — № 3, с. 7.3.
Из редакционной почты
Григорьева Т. П. О последовательности нзложе 1ия
курса геометрии и VII классе — Ns 5, с. 25.
Из редакционной почты — № 6, с. 45.
Кадыров Н.— Замечания к решению трех задач—
№ 5, с. 26.
Марченко Д. И., Моцык Н. Д. О системе заданий к
теме ^Признаки равенства треугольников» — Ns 5, с. 27.
- Обзор корреспонденции — № 5, с. 19.
Отвечаем на письма читателей — № 4, с. 29.
ЗА РУБЕЖОМ
Гнеденко Б. В. Международный математический кон-
гпесс в Варша -е — № 4 с 67
Дмитриев Г Д. Кризисное состояние математического
образования в школах США — Ns 5, с. 70.
Нгуен Ван Чанг Математический анализ в XI—ХЕ
классах школ СРВ — № 5, с. 68.
Сабо А. М. Преподавание математики в школах Вен-
герской Народной Республики — Ns 4. с. 69.
Фрейтаг К. Математические доказательств., и обос-
нования- -№ 4, с. 71.
ХРОНИКА
В комиссии по школьному математическому образо-
ванию Отделения математики Академии наук СССР —
№ 6, с. 72.
Всесоюзное совещание по вопросам преподавания ма-
тематики — № 4, с. 79.
Встреча с читателями журнала «Математика в шко-
ле» — Ns 3 ,е. 79.
Гуревич В. Ю. Республиканский семинар в Минске —
№ 6, с 76.
Литвиненко Г Н. Республиканский семинар по вопро-
сам преподавания геометрии.— № 3, с. 80.
Михелович Ш. X Республиканская научно-методиче-
ская конференция в Латвии — N» 5, с. 79;
Памяти Эйлера — Ns I, с 79.
Розов Н. X В секции средней школы Московского ма-
тематического общества—№ 6, с. 74.
Халамайзер А. Я. Памяти Н Н. Лузина — № 2, с. 78.
Шапкина В Н. 25 лет семинарч «-Передовые вдеи в
преподавании математики в СССР и за рубежом» —
Ns 6, с. 75.
Шарифов Дж. XII Республик; некие педагогические
чтения в Таджикистане — Ns 6. с. 76
Юнерман И. А Всесоюзная заочная школа програм-
мирования — № 3, t 79.
некрологи
Баренблат Г И. и ор Абрам Миронович Лопшиц —
Ns 5, с. 80.
Евгений Гог горьевич Гонив — Ns 2, с. 79.
Памяти К. II Сикорского — Ns 4, с. 80."
Памяти Сергея Викторовича Пазельского — № 2,
с. 75,
8С
ТАБЛИЦЫ ПО АЛГЕБРЕ ДЛЯ V1 КЛАССА
С 1985/г"5 учебного года ше< гые классы начинают за-
ниматься по переработанному учебнику алгебры. Пред-
лагаем серию из 9 таблиц, составленных по этому
учебнику; их нетрудно изготовить в условиях школы
Шесть таблиц из серии напечатаны на четвертой стр-г
нице обножки журнала, три даны в описании.
Таблица «Уравнения» — справочная, посвящена по-
нятию равносильности уравнений. В ее верхней части
(рис. J) определение равносильных уравнений прнве
депо в фирме, удобной для работы с определением.
Например, в одном из упражнений к п. / учебника
требуется выяснить, равносильны лн уравнения |х| =
=3 и х2=9. Если ученик затруднится ответить на
этот вопрос, учитель может обратить его внимание на
верхнюю часть таблицы и спросить, в каком случае
уравнения считаются равносильными. Это приведег
учащегося к мысли, что надо установить, имеют ли
данные уравнения одни и те же корни (или нс имеют
их вовсе).
Далее в этой таблице зашифрованы три свойства
равносильных уравнений. Цветной прямоугольник в
первом столбце таблицы обозначает левую часть урав-
нения, а круг — правую часть уравнения. В столбце
справа показано, что к правой и левой частям yj..
нения можно прибавить одно и то же число, можно
умножить их на одно и то же (не равное 0) число
или перенести слагаемое (цветной квадрат) из одной
части уравнения в другую.
Например, отвечая на вопрос о равносильности урав-
нений 7(х—3)=49 и х—3 = 7, нужно сослаться на
второе свойство. Это удобно сделать, если таблица
находится перед глазами учащихся.
Аналогично используется и справочная	таблица
«Функции», изображенная на рис. 2.
Две таблицы посвящены линейной функции. Первая
из них — справочная (рис. 3). По ней можно навести
справки о расположении графиков прямой пропорцио
нальности в зависимости от знака углового коэффи-
циента k (левая часть таблицы), об общем способе
построения графика y=kx-\-b при й=/=0, о виде графи-
ка при k=0 (правая часть таблицы)
Следующая таблица — рабочая (рис. 4). На ией
изображены графики y=kx-\-b, отличающиеся знака-
ми параметров k и Ь, всего 9 графиков. Ради эконо-
мии места эти графики нанесены иа 4 координатиы
плоскостях, так что при изготовлении этой таблицы
нужно использовать графические приемы различения
прямых. Проще всего воспользоваться разными цвета-
ми. По этой таблице можно ставить такие вопросы:
На каком графике k положительно, а b отрица-
тельно?
Каковы знаки k и b в данном случае3 (Учитель по-
казывает прямую указкой.)
Какие из этих графиков задают прямую пропорциг
нальиость?
Еще одна справочная таблица — о степени с нату-
ральным показателем. Первые две строки таблицы после
заголовка содержат определение:
«Для п=#1 ап=а-а-.. .-а; для п=1 ап=а'=а». На
п
следующих строках располагается текст:
Свойства степени
1)	aman = пт+",
2)	"^д"=‘2т—л. если
3)	(а™)" = лт",
4)	(аЬ)” — ап-Ьп.
Таблица «Функции у=х2 и у=х3»— справочная.
Она делится вертикальной чертой иа две части. В ле-
вой части вычерчена парабола у=х2 и дана таблица
значений этой функции для х =—3, —2, —1, 0, 1, 2, 3.
В правой части — кубическая парабола у=х3 и ана-
логичная таблица прн тех же значениях аргумента. На
каждом графи» е выделена точка в I четверти коорди-
натной плоскости, а на осях записаны ее координаты: х
их2; г и х3. Кроме того, выделены точки (—х; (—х)2)
на левом и (—х: (—х)3) иа правом графике. Их ко-
ординаты также проставлены на осях. Эти пары точек
на каждом из графиков соединены тонкими линиями.
Все это напоминает учащимся о симметрии графика
у—х2 относительно осн ординат и о симметрии графи-
ка у=х3 относительно начала координат.
Таблица «Формулы» — справочная. На пяти ее стро-
ках помещены формулы сокращенного умножения:
1) (а—6) (а+6) = а'—Ь2, 2) (а+6)2 = a2+2ab+b2,
3) (a—b)2=a2—2ab+b2, 4) а34-63=(а+6) (а - аЬ^Ь2),
5) а3—Ь3= (а—6) (a2+ab+b2).
По таблице, изображенной на рис. 5, удобно сопо-
ставить и противопоставить методы графического
шения уравнения и графического решения системы
уравнений. Чертежи одинаковы, ио различны пели их
построения: если в левой части таблицы отыскиваются
лишь абсциссы точек пересечения графиков, то в пра-
вой— обе координаты. Если при решении уряп:"-'
х3=х+6 ответом служит число 2 — корень уравнения,
то при решении системы
| У-х + 6,
1 У = х1
ответом является пара чисел (2; 8) — решение системы.
Завершает серию справочная таблица «Способы ре-
шения системы уравнений» (рис. 6). На ией показано
решение одной и той же системы способом сложения
(слева) и способом подстановки (справа). Прн этом
в таблице содержится намек на разные варианты ре-
шения системы каждым из этих способов.
М. Б. Волович, Г. Г. Левитас (Москва)
Цена 45 коп.
70557
Издательство «Педагогика» Москва
У равнени я
Функции
/РАВНЕНИЯ	УРАВНЕНИЯ ИМЕЮТ ОДНИ И ТЕ ЖЕ
РАВНОСИЛЬНЫ «а---- КОРНИ ИЛИ ОБА НЕ ИЬие»О ' КОРНЕЙ
1 Для любого числа а равносильны уравнения
2. Для любого аф 0 равносильны уравнения
3. Равносильны уравнения
1
X
2
Способы решения системы линейных уравнений
Способ сложения
J 10*.+15 у =35
\^10х-8у = -28
(	7у=7
j 2х + 3</ = 7
Г </ = '
I 2x+J-7 = 7
Способ подстановки
Математика г школе, 1984, № 6, 1—80