1 декабря исполнилось 100 лет со дня рождения видного советского математика и выдающегося педагога Якова Семеновича Дубнова.
Я. С. Дубнов родился в г. Мстиславле Могилевской губернии в семье известного историка профессора С. М. Дубнова. (Во время Великой Отечественной войны Семен Маркович Дубнов был расстрелян фашистами в возрасте 83 лет.) Годы учения Якова Семеновича прошли в Одессе. Сначала он занимался в гимназии, которой руководил видный педагог В. Ф. Каган. Затем поступил в университет. В гимназии на уроках
В. 	ф. Кагана закладывались основы многих методических принципов Дубнова, впоследствии часто возвращавшегося в своих рассказах и воспоминаниях к гимназическим годам и к урокам любимого учителя. Лицо физико-математического факультета Новороссийского (Одесского) университета в значительной мере определяли в те годы тот же
В. 	ф. Каган и его друг и соратник, оригинальный ученый и блистательный лектор С. О. Шатуновский. Университет оставил заметный след во всей деятельности Дубнова. Так, серьезное отношение университета к вопросам обоснования математики и к математической строгости проявилось в замечательной книге Я. С. Дубнова «Основы векторного исчисления» (1950—1952). В ней автору удалось соединить полную доступность изложения для учителей, студентов и даже школьников с безукоризненной корректностью всех построений, включающих аксиоматические (дескриптивные) определения всех операций векторной алгебры.
С другой стороны, нельзя не отметить большой интерес корифеев одесской математической школы — Кагана и Шатуновского — к школьному преподаванию, к популяризации математики. В. Ф. Каган, как мы уже отмечали, сам преподавал в гимназии (в которой он числился также инспектором, т. е. заведующим учебной частью), наряду с этим он много лет был главным редактором превосходного журнала для учителей и учащихся «Вестник опытной физики и элементарной математики», а также организовал лучшее в стране физико-математическое издательство «Матезис». Эти интересы, как и высокую требовательность к своим выступлениям на лекциях и в печати, переняли наряду с Я. С. Дубновым и другие ученики В. Ф. Кагана и С. О. Шатуновского, например И. В. Арнольд, Г. М. Фихтенгольц, С. А. Яновская.
Пребывание в университете у Якова Семёновича оказалось недолгим: за участие в революционных выступлениях одесского студенчества Дубнов был арестован и заключен в тюрьму. Через полтора месяца его выпустили, однако исключили из университета и выслали из Одессы «без права проживания в университетских городах». Университет Я. С. Дубнов закончил экстерном через несколько лет. Вплоть до революции 1917 г. он в основном незаконно проживал в Москве, где зарабатывал на жизнь частными уроками и статьями по математике, которые публиковались анонимно.
Совсем иной характер приняла педагогическая и литературная деятельность Я. С. Дубнова после Октябрьской революции. В 1918 г. он стал консультантом Отдела по реформе средней школы Наркомпроса и с увлечением занялся вопросами перестройки школьного курса математики. Преподавал на рабфаке при Московском университете, где ему пришлось иметь дело с целеустремленными, тянувшимися к знаниям, но совершенно не подготовленными людьми; эта работа была ему интересна, и впоследствии он часто и с удовольствием ее вспоминал. С 1921 г. Дубнов перешел в высшую школу. В 1930—1937 гг. он — профессор Московского государственного педагогического института, который тогда называли 2-м МГУ.
Много лет Яков Семенович отдал Московскому университету, профессором которого стал в 1931 г. Лекции Я. С. Дубнова всегда отличались глубокой продуманностью: очень тщательные по литературной
форме, они были также весьма совершенными с методической стороны. Обучая студентов математике, лектор в то же время учил их и методике преподавания. Впрочем, непосредственно методику математики Якову Семеновичу тоже приходилось преподавать: он первым прочитал такой курс на механико-математическом факультете МГУ. Параллельно педагогической развертывалась и научная работа профессора Дубнова, ставшего в 30-х гг. одним из руководителей московской геометрической школы. Книг и статей Яков Семенович написал сравнительно немного, ибо каждую книгу и статью он сначала долго продумывал и зачастую отрабатывал в процессе преподавания.
В 1927 г. вышли в свет его «Задачи и упражнения по дифференциальному исчислению», выдержавшие впоследствии 9 изданий. Этот задачник своей методической тщательностью резко отличался от иных книг. Задачи были сгруппированы по типам, и каждый тип начинался с разбора примеров, с объяснения основных путей решения и предупреждения о возможных ошибках. Учителям средних школ адресовалась брошюра «Ошибки в геометрических доказательствах» (1953), ставшая весьма популярной.
В 1943 г., когда была создана Академия педагогических наук, ее кабинет математики возглавил член-корреспондент АН СССР А. Я. Хинчин. Он пригласил Якова Семеновича работать в АПН. Одновременно Дубнов являлся бессменным членом правления секции средней школы Московского математического общества, много лет сотрудничал в журнале «Математика в школе». По его инициативе был создан сборник «Математическое просвещение», выходивший в 1957—1961 гг. Пятый выпуск сборника (1960) был (увы!) посвящен памяти Якова Семеновича Дубнова.
Он умер в Саратове, куда поехал читать лекции, причем умер буквально за работой: 13 декабря прочитал последнюю лекцию объявленного им курса, который привлек много слушателей, а той же ночью его не стало.
Продолжение см. далее в этом номере.


Научно-методический
журнал
Министерства просвещения СССР
Москва «Педагогика» Издается с 1934 года Выходит один раз в два месяца
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ
НОЯБРЬ — ДЕКАБРЬ
Б. В. Гнеденко, Г. Г. Маслова, Р. См Черкасов
3
6
[Андрей Николаевич Колмогоров!
Развитие школьного математического образования в Советском Союзе за 70 лет
15 О новом эксдервмейтальшш учебном алане
Э. Г. Якуба С. С. Татарченкова Я. М. Клеймав С. М. Саврасова В. Н. Бородихина. Э. А, Ясиновый
В И. Рыжик Б П. Эрдниев Г Ю. Бирюкова, В, Л. Топунов
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ Из опыта работы
20 22 23 28 37
37
Проблемы и суждения
38
41
42
В. К. Совайленко;
И. И. Монтик;
Э. К. Рахимжанов, J1. Ф. Лисецкая;
В. И. Куценко;
A. А. Ахметгалиев;
B. И. Монастырный 3. Кузиев;
В. И. Ягодницын
Совершенствовать методическое мастерство учителей математики
О работе совета кабинета математика
Решение задач различными способами
Система упражнений по планиметрии в IX—X классах
Устные вычисления в IV классе
Из опыта выявления и воспитания > учащихся интереса в математике
О программе по математике
Против неопределенности программных требований Компьютерная алгебра в средней школе
Подумаем вместе
44 Каким быть школьному учебнику
46 О некоторых трудных проблемах
Проблема совершенствования школьных учебников
47 Обзор редакционной почты
Ю. П. Дудншшн, Н, С, Прокофьева
Г М. Кузнецова и др. Д. Ф. Изаак
Консультация 49
Внеклассная работа
54 62
Об устном экзамене по геометрии в восьмых классах общеобразовательных школ РСФСР в 1987/88 учебном году
XXI Всесоюзная математическая олимпиада школьников Возникновение новых задач при исследовании задач по геометрии
© Математика в школе М2 6, 1987


Задачи 65
Математический календарь на 1987/88 учебный год
А И. Бородин 73 Январь— февраль
И. М, Яг лом 74 Яков Семёнович Дубнов
75 С. А. Ахмедову — 70 лет
75 Я. И. Груденову,—-60 лет
75 Л. А. Эпштейну — 60 лет
76 Памяти С. Л. Эдельмана
ф, М Шуе те ф 77 Новые книги
77 Тематический указатель статей, опубликованных в журнале в 1987 г.
Обращение к читателям
Редакционная коллегия журнала просит читателей высказать свои замечания по содержанию статей, опубликованных а основных разделах журнала за 1987 IV
Какие из этих статей вы считаете удачными, какие менее удачными или неудачными? Помогают ли вашей работе материалы, предлагаемые в отделах: «Из опыта работы», «Проблемы и суждения», «Подумаем вместе», «Обзор редакционной почты», «Консультация»? Каковы ваши пожелания по отделам «Задачи» и «Внеклассная работа»?
Каким вопросам вы рекомендуете посвятить публикации журнала в 1988 г.?
Редакционная коллегия
Главный редактор Р. С. Черкасов
Зам. главного редактора А. И. Верчен.ко Члены редакционной соллегив
h. М. Бескип В. /. Болтянский И. Ф. Власик Л Д. Глейзер
В. 	В. Гнеденко Г. В. Дорофеев Н. А. Ермолаева
|Д. Н. Колмогоров |
Ю. М. Калягин М. Р, Леонтьева Л Г. Маслова К. И. Нешков Л. М. Пашкова И. С. Петраков Н. X. Розов
B. А. Скворцов
П. В. Стратилатов 3. С. Сухотина К. И. Шалимова
C. И* Шваоиб иод
£* А, Ястребинецкиф
Редакционный совет (Представители союзных республик)
A. М. Алиев (АзССР)
X. А. Асадов (ТаджССР)
B. В. Бердыев (ТССР)
В. А. Гусев (РСФСР)
A. С. Зибертас (ЛнтССР)
Д И. И кранов (УзССР)
К. К. Ксжаспаев (КазССР) Ш. М. Майлиев (КиргССР)
B. Я. Миллере (ЛатвССР)
3. Н. Моисеева (РСФСР)
h Н. Садовникова (РСФСР) Р. В. Саркисян (АрмССР)
3. И. Слепкань (УССР)
А. Э. Тельгмаа (ЭССР)
И Ф. Тесленко (УССР)
Р. А. Хабиб (РСФСР)
А. \I, Хоштария (ГССР)
Зав редакцией 3. В. Шепелева Художественный редактор Б. Ф. Рябов Технический редактор Г. Б. Андреева Корректор М. А. Суворова Сдано в набор 20.10.87.
Подписано в печать 1.12.87.
Формат 84Х108,/|в. Печать высокая. Уел печ. Л. 8,40. Уч.-изд. л. 11,16 Уел. кр.-отт. 9,03. Тираж 466 460 ьаз. Цена 45 коп. Заказ 301.
Издательство «Педагогика»
Академии педагогических наук СССР и Государственного комитета СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Адрес издательства: 107847,
Москва. ГСП. В 05,
Лефортовский пер., д 8.
Адрес редакиии: 129278,
Москва, ул. Павла Корчагина, д. 7. Телефон 283-85*83.
Московская типография JNb 13 ПО «Периодика*
ВО «Союзполиграфпром» Государственного комитета СССР по делам издательств, полиграфия и книжной торговли.
107005. Москва.
Денисовский пер.. д. 30.


| АНДРЕЙ НИКОЛАЕВИЧ КОЛМОГОРОВ (
20 октября 1987 г. перестало биться сердце А. Н. Колмогорова — великого математика и замечательного педагога современности, одного из организаторов советской математической школы, зачинателя многих научных направлений как в самой математике, так и в ее приложениях. С его именем связано современное развитие теории вероятностей, теории функций, рйда разделов механики, топологии, теории динамических си¬
стем, математической логики, философии математики и ее истории.
Андрей Николаевич родился 25 апреля 1903 г. в Там? бове в семье агронома. Его мать скончалась при ро* дах, и все заботы по сохранению ребенка и его дальнейшему воспитанию легли на сестер матери женщин независимых, привыкших напряженно трудиться, обладавших высокими общественными идеалами. Они


привили эти идеалы племяннику, воспитав в нем чувство ответственности, стремление понимать, а не только запоминать, нетерпимость к безделью, самостоятельность. До поступления в университет Андрей Николаевич несколько месяцев проработал проводником на железной дороге.
Став в 1920 г. студентом Московского университета, А. Н. Колмогоров не сразу определился как математик. Длительное время он увлекался русской историей, был активным участником семинара профессора
С. 	В. Бахрушина и выполнил серьезное исследование о земельных отношениях в Новгороде XV—XVI вв. Тогда же появился у него интерес к древнерусскому искусству. Одновременно он слушал лекции ряда профессоров по математике, работал в семинаре В. В. Степанова по тригонометрическим рядам. Этот семинар и сыграл решающую роль в формировании Андрея Николаевича как математика. Уже осенью 1921 г. он поставил перед собой ряд сложных вопросов, относящихся к операциям над множествами. Весной 1922 г. исследование было закончено, в нем дано широкое обобщение результатов М. Я. Суслина. К сожалению, по не зависящим от автора причинам статья была опубликована только в 1928 г.; она оказала серьезное влияние на последующие исследования по дескриптивной теории множеств.
В следующем году А. Н. Колмогоровым был опубликован результат, явившийся в ту пору настоящей сенсацией и до сих пор вдохновляющий многих исследователей: им был построек пример ряда Фурье—Лебега, расходящегося почти всюду. В этой работе в полной мере проявилась та особенность исследований Андрея Николаевича, о которых впоследствии в речи, произнесенной в день своего бСКпетия, он сказал: «При поиске решения я в первую очередь вникаю в геометрическую картину задачи».
С 1925 г. определился интерес А. Н. Колмогорова к проблемам теории вероятностей. Именно эта область во всем мире считается основной в его исследованиях. Одна фундаментальная работа выполнялась им вслед за другой: сходимость рядов со случайными членами, условия для выполнения закона больших чисел, закон повторного логарифма, достаточные условия для закона больших чисел, аксиоматика теории вероятностей и многие другие. И в каждом из результатов предлагались новые методы и прокладывались новые пути исследований, открывались новые горизонты для других ученых.
Научная деятельность Андрея Николаевича поражала разнообразием интересов, обилием идей, глубиной проникновения в суть проблем, стоящих перед наукой. Всегда поражало его умение практически мгновенно вникать в новые для него вопросы, возникавшие на докладах в математическом обществе и на научных семинарах, на консультациях, которые он давал биологам, инженерам, физикам, при обсуждении аспирантских тем. Только за семь лет, с 1934 г. по 1941 г.,
А. Н. Колмогоров выполнил свыше 50 исследований, относящихся к теории вероятностей, математической статистике, геометрии, топологии, функциональному анализу, теории функций, террии турбулентности, истории математики, математической логике.
В период Великой Отечественной войны Андрей Николаевич продолжал напряженную творческую работу, В это время значительное внимание он уделял тематике оборонного характера. В частности, тогда он решил несколько вопросов оптимального рассеивания веера торпед при торпедных залпах, а также вопросов, относящихся к статистическому контролю качества массовой промышленной продукции, что имело большое значение для военной приемки. Еще в период войны А. Н. Колмогоров начал разработку важного класса случайных процессов, получивших наименование ветвящихся, которые позволяют изучать процессы ядерного распада.
К послевоенному периоду относятся исследовании А. Н. Колмогорова по теории информации, теории функций, теории динамических систем, теории турбулентности, механике, обоснованиям теории вероятностей, статистическим задачам стихосложения. За работы по почти периодическим гамильтоновым динамическим системам ему (совместно с его учеником В. И. Арнольдом) была присуждена Ленинская премия.
Под огромным влиянием Андрея Николаевича последние 60 лет происходило совершенствование математического образования на механико-математическом факультете Московского университета. Он принимал непосредственное участие в разработке учебных планов факультета и вносил в них новые идеи, приближающие образование к развитию науки и связям с общественной практикой. По его инициативе для студен- тов-математиков был организован специальный математический практикум, на котором они приучались к выработке широкого подхода к математическим проблемам, к связи с практикой и доведением решений до получения числовых результатов. Для студентов 1-го года обучения был основан курс «Введение в математическую логику». В подлинном смысле детищем А. Н. Колмогорова был введенный на 3-м году обучения курс «Анализ-ill», который, объединив ранее разрозненные разделы математики в единое целое на базе функционального анализа, поднял математическую культуру студентов на более высокую ступень. Это лишь основные вехи его влияния на образование про- фессионалов-математиков нашего времени.
Большое внимание Андрей Николаевич уделял подготовке аспирантов и подбору в аспирантуру талантливых молодых математиков. Он замечал увлеченных наукой и способных к самостоятельным исследованиям студентов 2-го и 3-го курсов, предлагал им темы для работы и впоследствии не выпускал их из своего поля зрения, возбуждая в них дух исканий и творческие начала, оказывал помощь советом, вопросом, указанием литературы. Так, в бытность его директором Института математики аспиранты, независимо от того, кто был их руководителем, систематически встречались с Андреем Николаевичем, сообщали ему о своих научных интересах и результатах, получали новые постановки задач и ценные советы.
Всю жизнь А. Н. Колмогоров был окружен многочисленными учениками, с которыми щедро делился проблемами, научными замыслами и идеями. Несомненно, что он был непревзойденным мастером индивидуального обучения молодых ученых. Он прививал своим ученикам широту взглядов, упорство в достижении цели, любовь к науке и поиску истины, а также внушал уверенность в их творческих способностях. Недаром среди его непосредственных учеников насчитывается по меньшей мере 90 кандидатов и 40 докторов наук,
14 академиков и членов-корреспондентов академий наук СССР и союзных республик. СледуеУ также учесть, что имеется много ученых, которые не были непосредственными учениками А. Н. Колмогорова, но считали и считают себя его учениками, поскольку они разрабатывали его идеи и их научные идеалы сложились под влиянием работ, докладов, консультаций Андрея Николаевича. Последние годы жизни он руководил отделением математики механико-математического факультета и много сил, энергии и новаторства проявил в руководстве подготовкой значительно возросшего контингента аспирантов-математиков.
А. Н. Колмогоров всегда проявлял большой интерес к среднему математическому образованию. В 1922— 1925 гг. он работал учителем математики в Опытно-по- казательной школе Наркомпроса РСФСР. Начиная с 1930 г. он принимал деятельное участие в организации школьных математических кружков при Московском университете, а с 1935 г.— школьных математических i олимпиад. Неоднократно был председателем оргкомитета Всесоюзных математических олимпиад, часто вы¬
4


ступал перед школьниками с рассказами о математике, о профессии математика, о связях математики с естествознанием.
С начала 60-х гг. Андрей Николаевич много сил, энтузиазма, энергии, выдумки и любви отдал организации физико-математической школы-интерната при МГУ {школа № 18). Среди студентов и школьников она известна под именем колмогоровской школы. К занятиям со школьниками Андрей Николаевич готовился особенно тщательно. В начальный период никаких специальных учебников еще не было, и он на машинке печатал два десятка экземпляров конспекта занятия и раздавал их учащимся. За четверть века эту школу окончили около 4000 молодых людей. Многие из них стали профессионалами математиками и физиками, известная часть предпочла использовать свою повышенную математическую подготовку для инженерного дела. Свыше 300 выпускников школы защитили кандидатские, около 20 — докторские диссертации. Ряд воспитанников школы с успехом ведут преподавательскую работу на механико-математическом факультете и одновременно, приняв эстафету от Андрея Николаевича, с увлечением преподают в родной школе.
Для А. Н. Колмогорова школа N2 18 была буквально родным домом: он организовывал и сам читал лекции для учащихся по истории музыки, искусства, художественной литературе; рассказывал им о своих зарубежных командирозках и участии в океанологических экспедициях.
В 60-х гг. А. Н. Колмогоров для стимулирования интереса школьников к математике и развития их математических способностей организовывал летние школы, куда приглашались учащиеся городских и сельских школ. Он исходил при этом из убеждения, что сейчас страна нуждается, как никогда раньше, в воспитании большого числа лиц, способных вносить новое как в теоретическую математику, так и в ее применения к инженерным, естественным и социальным наукам. Потенциальные математические таланты разбросаны среди народа равномерно, их нужно только отыскать, пробудить, развить. В нынешних школьниках Андрей Николаевич видел будущее советской математики и всего научно-технического прогресса.
А. Н. Колмогоров был инициатором создания специализированного физико-математического журнала «Квант» для школьников и бессменным руководителем его математической части. Андрей Николаевич написал для журнала ряд фундаментальных статей, имеющих большое воспитательное значение для формирования интереса школьников к математике, углубления их знаний.
Для журнала «Математика в школе» особенно ценно то, что с 1968 г. А. Н. Колмогоров входил в состав редколлегии, был активным автором многих глубоких и интересных статей, внимательным рецензентом, с исключительной доброжелательностью отвечающим на многие письма учителей.
В начале 60-х гг. Андрей Николаевич выдвинул задачу ' огромной важности — разработку нового содержания среднего математического образования.
Понимание значения самой постановки этой проблемы будет яснее, если заметить, что за последние 3—4 десятилетия изменилось лицо математики, широта и глубина ее применений, в жизнь вторглись электронные вычислительные машины, математика стала действенной силой технического, экономического и общественного развития. В то же время школьное преподавание
математики во многом оставалось на уровне доньюто- новского периода. Это сделало проблему перестройки особенно актуальной.
В 1964 г. А. Н. Колмогоров возглавил математическую секцию Комиссии АН СССР и АПН РСФСР по определению содержания среднего образования. Разработанная Комиссией в 1968 г. программа по математике для средней школы и до настоящего времени служит основой дальнейшей работы. Эта программа возвестила прогрессивный подход к школьному математическому образованию, провозгласила существенное приближение школьного курса к современным научным математическим представлениям и к специфике применения математики в современном производстве. Выла повышена роль графических методов в алгебре, введены начала математического анализа, усилена роль гЬомет- рических преобразований и векторов в курсе геометрии. Четкая организация математического языка школьных учебников подготавливала введение курса информатики.
Андрей Николаевич принял непосредственное участие в написании учебников по геометрии, алгебре и началам анализа по составленной программе. Значительная часть учительства высоко оценили дух новаторства и идейного обновления, который был заложен в учебниках. Целое поколение школьных учителей математики выросло в своем понимании школьного предмета, его связи с современной наукой, прикладного значения математики.
Вся деятельность Андрея Николаевича на поприще математического просвещения — большой гражданский подвиг. К идеям А. Н. Колмогорова, реализованным в ходе реформы школьного математического образования, обращаются и будут обращаться все, кто связан с обучением математике в школе.
Заслуги А. Н. Колмогорова в области науки и просвещения высоко оценены в нашей стране и за ее пределами: ему было присвоено звание Героя Социалистического Труда, он награжден семью орденами Ленина, орденом Октябрьской Революции и другими орденами и медалями, ему были присуждены Ленинская и Государственная премии, премии АН СССР, ряд международных премий. В 1939 г. он был избран академиком АН СССР, а позднее академиком АПН СССР. Свыше 20 зарубежных научных организаций удостоили А. Н. Колмогорова избранием в свои члены, в том числе Парижская, Английская (Ройал сосайти), Нидерландская, Польская, Румынская, Венгерская академии наук, Национальная академия паук США. Многие годы Андрей Николаевич являлся президентом Московского математического общества, а в последний период жизни был избран его почетным президентом.
«Вся жизнь Андрея Николаевича Колмогорова — беспримерный подвиг во имя науки,— сказано в некрологе, опубликованном 23 октября 1987 г. в газете «Правда».— Он был образцом благородства, бескорыстия и нравственной чистоты в служении социалистической Родине А. Н. Колмогоров вошел в плеяду великих русских и мировых ученых. Светлая память о нем навсегда сохранится в сердцах советских людей».
Министерство просвещения СССР Академия педагогических наук СССР
Редколлегия и редакция журнала «Математика в школе»
5


ОКТЯБРЬ
Развитие школьного математического образования в Советском Союзе за 70 лет
За 70 лет своего существования первое в мире социалистическое государство провело громадную по своему содержанию и масштабам работу по созданию нового общества. Страна под руководством Коммунистической партии, сплотившей вокруг себя миллионные массы трудящихся, из технически отсталой, преимущественно аграрной, с низким уровнем общей грамотности и культуры вошла в число передовых стран мира с совершенно новым типом социальных отношений, с развитой наукой и техникой. В достижении этих успехов решающее значение имело постоянное внимание партии и правительства к вопросам народного образования и воспитания подрастающего поколения. На каждом этапе социалистического строительства перед школьным образованием, его целями, структурой, содержанием ставились конкретные, все усложняющиеся задачи, соответствующие социальному заказу общества.
Н. К. Крупская отмечала: «История советской школы — это неповторяемый кусок истории борьбы за социализм, яркая страница того пути, который пройден нашей великой Родиной под руководством партии, под руководством Ленина» 1.
Характерно, что среди первых декретов, подписанных В. И. Лениным,— декреты 6 народном образовании: «О передаче дела воспитания и образования из духовного ведомства в ведение Народного комиссариата по просвещению» (15 декабря 1917 г.), «Об отделении церкви от государства и школы от церкви» (21 января 1918 г.), «О передаче в ведение Народного комиссариата просвещения учебных учреждений и заведений всех ведомств» (5 июня 1918 г.), «Об организации дела народного образования в Российской республике» (26 июня 1918 г.). Ими уже в первые послереволюционные месяцы было завершено формирование руководства общеобразовательной школы.
Большое влияние на избавление новой школы от схоластики и формализма, характерных для большинства учебных заведений
1 Крупская И. К. Педагогические сочинения: В 10 т.
Т. 2. М,; Изд-во АПН РСФСР, 1958, С. 692.
царской России, имели «Положение о единой трудовой школе РСФСР», принятое ВЦИКом РСФСР 30 сентября 1918 г^ и «Основные принципы единой трудовой школы» Государственной комиссии по просвещению РСФСР. Обучение в единой трудовой школе стало доступным всем, без различия сословий, религиозной и национальной принадлежности, имущественного положения.
Наиболее полно и всесторонне сущность единой трудовой школы была раскрыта в Программе РКП(б), принятой на VIII съезде партии в марте 1919 г. Структура школы предусматривала два концентра — I—IV и V—IX классы. (Существовала и средняя профессиональная школа со сроком обучения в 3—4 года.)
17 сентября 1920 г. декретом СНК РСФСР «О рабочих факультетах» была законодательно оформлена средняя школа нового типа — рабочие факультеты. Страна нуждалась в кадрах высокой квалификации, и эти факультеты должны были подготовить рабочих и крестьян к обучению в высшей школе.
Таким образом, даже в условиях гражданской войны, послевоенной разрухи партия и правительство создавали необходимые условия для развития народного образования.
В 1924 г. началась профессионализация старшего концентра средней школы, включавшего в те годы восьмые и девятые классы. Цель профессионализации—дать учащимся наряду с общим образованием и некоторую профессиональную подготовку.
Уже с первых лет существования нашего государства начались творческие поиски путей развития содержания и методов обучения математике, соответствующих общим задачам, стоящим перед общеобразовательной школой. При проведении этой работы существенно использовались достижения отечественной методики, идеи построения школьного курса математики, высказывавшиеся передовыми деятелями в области народного образования 2.
* См.: Никитин Н. Н. Съезды преподавателей математики в России // Известия Академии педагогических наук- РСФСР. М , 1946, Выл, 6.


В 1917—1920 nr, единых программ для трудовой школы не существовало. Учителя пользовались проектом программ Нарком- проса; они вносили в них необходимые изменения, используя не только свой опыт, но и коллективное мнение учителей школы или групп школ. В 1920—1924 гг. Наркомпросом издавались примерные, необязательные программы, в которых в определенной мере отражалась передовая педагогическая мысль о содержании и путях модернизации математического образования. Но они были чрезвычайно перегружены, так как наряду с новым фактически содержали и весь материал дореволюционной школы. Несовершенство программ, введение комплексного преподавания, не проверенных практикой новых форм обучения (метод проектов, бригадно-лабораторный метод) оказывали определенное отрица- ч тельное влияние на общий уровень математической подготовки школьников.
Вместе с тем работа по становлению математического образования в новой общеобразовательной школе привлекла внимание многих математиков и методистов. Это нашло отражение и в ряде публикаций по проблемам методики математики.
Так, например, в 1923 г. в Москве вышли книги А. В. Ланкова «Математика в трудовой школе» для учителей математики 1-й ступени, Н. А. Извольского «Методика геометрии», в 1925 г.— книга А. М. Воронца «Очерки по методике математики в школах 1-й ступени», в 1927 г. —работа С. И. Шохор-Троцкого «Методика начального курса математики»
(ч. I), в которой интересно ставился вопрос о необходимости целесообразного выбора задач.
В 1925 г. в Киеве появилась первая часть работы К. Ф. Лебединцева «Введение в современную методику математики», в которой подчеркивалась важность конкретно-дедуктивного метода обучения математике. Большое значение имели книги А. Д. Астряба, посвященные формированию начальных геометрических представлений, практическим работам на уроках геометрии.
В конце 20-х гг. в союзных республиках началась работа, очень важная не только для унификации школьного математического образования в рамках всей страны в целом, но и вообще для развития отечественной науки по созданию единой математической терминологии. Первые шаги в этом направлении были сделаны в связи с переводом на языки национальных республик школьных учебников и задачников по математике.
Однако, несмотря на значительные усилия учителей математики, органов народногр образования, педагогической оби^стэенности,
школа 20-х гг. не давала учащимся необходимого объема общеобразовательных знаний, в том числе и по математике.
Сама жизнь показала необходимость решительного улучшения работы общеобразовательной школы. Пути решения этой задачи были определены в постановлении ЦК ВКП(б) «О начальной и средней школе» (25 августа 1931 г.). В нем признавалось необходимым пересмотреть школьные программы с тем, чтобы затем принять их в качестве стабильных. В этих программах необходимо было точно определить круг систематизированных знаний по основам наук, в том числе и по математике. В постановлении подчеркивалось, что политехническое обучение должно осуществляться на базе прочного усвоения основ наук. Комплексный принцип составления программ был заменен предметным. Через год, 25 августа 1932 г., на основе анализа опыта работы школы по новым программам ЦК ВКП(б) принял постановление «Об учебных программах и режиме в начальной и средней школе», а 12 февраля 1933 г.— «Об учебниках для начальной и средней школы».
Введенная в 1935 г. во всех союзных республиках новая программа по математике, четкая структура школы (начальная школа — I—IV классы, неполная средняя школа — I— VII, классы, средняя школа — I—X классы) стабилизировали и унифицировали содержание математического образования в нашей стране на много лет.
Программа весьма четко очерчивала круг знаний и умений школьников и в целом была ориентирована на подготовку учащихся к поступлению в высшую школу. В V классе центральной темой являлись дроби. В этом же классе давались и начальные сведения по геометрии. В VI классе начиналось изучение систематических курсов алгебры и геометрии, в VII классе оно продолжалось* В программу VIII класса включались степени и корни, квадратная функция и ее график, биквадратные и иррациональные уравнения, системы уравнений второй степени. В курс геометрии этого класса входили пропорциональные отрезки, подобие, метрические соотношения в треугольнике и круге, площади прямолинейных фигур, тригонометрические функции острого угла. В IX классе по алгебре изучались прогрессии, давалось обобщение понятия степени, рассматривались логарифмы (и логарифмическая линейка), точность результатов арифметических действий над приближенными данными. В этом же классе завершалось изучение планиметрии (длина окружности и площадь круга) и начинался систематический курс стереометрии (взаимное расположение пр^мыХ; yi ^1Й0^кост^й); В курс X
7


класса был включен вывод формул площади боковой поверхности цилиндра и конуса, поверхности шара, объема параллелепипеда, прямой призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, шара. Вывод соответствующих формул проводился с привлечением понятия предела и известных теорем о пределах. В курсе алгебры X класса изучали теорию соединений и бином Ньютона, расширялось понятие числа (вводились комплексные числа), решались двучленные и возвратные уравнения. Программа по тригонометрии включала решение треугольников, обратные тригонометрические функции, тригонометрические уравнения, решение задач по геометрии с применением тригонометрии.
Следует заметить, что в программе 1935 г. не акцентировалось внимание на изучении функций, в ней отсутствовали элементы высшей математики, не нашла отражения идея геометрических преобразований. Приближенные вычисления были представлены в весьма ограниченном объеме.
Эта программа с небольшими изменениями просуществовала почти два десятилетия. Вносимые в нее некоторые частные коррективы фактически не влияли на общую направленность обучения. Это был традиционно сформировавшийся курс элементарной математики с вполне сложившимися требованиями к знаниям и умениям учащихся, отражающими представленную в учебниках и задачниках систему упражнений.
Переход на программу 1935 г. сопровождался введением стабильных учебников и задачников к ним. По арифметике для V— VI классов это был учебник И. Г. Попова и задачник Е. С. Березанской, по алгебре были приняты учебник А. П. Киселева и задачник
Н. 	А. Шапошникова и Н. К. Вальцева. По геометрии в качестве стабильных были приняты учебник Ю. О. Гурвица и Р. В. Гангнуса и задачник Н. А. Рыбкина. В 1938 г. учебник по геометрии после его серьезного разбора на заседании группы математики АН СССР был заменен учебником А. П. Киселева. По арифметике в V классе был также введен учебник
А. 	П. Киселева. По тригонометрии школа работала по учебнику и задачнику Н. А. Рыбкина. Большинство из введенных в школу стабильных учебников — учебников, по которым работала еще дореволюционная школа,— подверглись редактированию и переработке. Эти работы были выполнены А. Н. Барсуковым, А. Я. Хинчиным (арифметика и алгебра), Н. А. Глаголевым и В. А. Ефремовым (геометрия).
XV1I1 съезд партии (март 1939 г.) обратил внимание на необходимость подготовки учащихся еще в стенах школы к практической
деятельности в связи с поставленной съездом задачей постепенного перехода ко всеобщему десятилетнему обучению.
Проблемы кардинального совершенствования школьного математического образования и в те годы волновали широкую математическую общественность. Большое значение для повышения профессиональной подготовки учителей имели вышедшие в 30—40-е гг. книги и статьи профессиональных математиков, посвященные вопросам преподавания. С такими работами выступали П. С. Александров, А. Н. Колмогоров, И. В. Арнольд,
В. 	Л. Гончаров, Я. С. Дубнов, А, И. Маркуше- вич, И. И. Жигалкин, М. И. Слудская, А. Д. Бермант, Л. А. Люстерник, Н. Ф. Четве- рухин и другие. В эти же годы появляются работы известных методистов С. С. Бронштейна, И. И. Чистякова, В. М. Брадиса,
Н. 	Н. Никитина, А. И. Фетисова, П. А. Ларичева, И. А. Гибша и других. В них обобщался опыт преподавания математики в советской школе за минувшие годы.
Но развернувшаяся широкая работа по совершенствованию математического образования была прервана войной.
В послевоенные годы, когда все силы советского народа были обращены на восстановление и дальнейшее развитие народного хозяйства, сама жизнь требовала внесения определенных коррективов в цели, а следовательно, и в содержание и методы обучения. XIX съезд партии (октябрь 1952 г.) принял решение: «В целях дальнейшего повышения социалистического воспитательного значения общеобразовательной школы и обеспечения учащимся, заканчивающим среднюю школу, условий для свободного выбора профессий приступить к осуществлению политехнического обучения в средней школе и провести мероприятия, необходимые для перехода ко всеобщему политехническому обучению». В решениях XX съезда КПСС (февраль 1956 г.) это положение было конкретизировано — ставилась задача развивать политехническое обучение в общеобразовательной школе, обеспечив ознакомление учащихся с важнейшими отраслями современного промышленного и сельскохозяйственного производства.
На основании этих директивных указаний в 1952—1958 гг. развернулась работа по пересмотру содержания школьного курса математики, освобождению его от устаревшего материала. Велись поиски путей усиления связи обучения с жизнью, вооружения учащихся знаниями и умениями прикладного характера. В Системе Академии педагогических наук в тесном контакте с Министерством просвещения РСФСР был разработан ряд проектов программы по математике» Основные
3


идеи этих проектов экспериментально проверялись в условиях работы массовой школы, Эти идеи затем нашли отражение в программе, введенной в 1954/55 учебном году.
Существенной особенностью этой программы явилось исключение из курса арифметики устаревшего материала (например, решения типовых задач), усиление в курсе алгебры функциональной направленности уже при изучении первых разделов этого курса. При обучении геометрии обращалось внимание на развитие у учащихся конструктивных умений, пространственных представлений (уже в курс планиметрии VII—VIII классов включались разделы о простейших пространственных фигурах). По каждому классу приводился перечень рекомендуемых практических работ.
В качестве стабильных был введен ряд новых учебников и задачников. С 1954 г. учащиеся V—VI классов стали работать по сборнику арифметических задач С. А. Пономарева и Н. И. Сырнева, а с 1956 г. в этих классах был введен учебник по арифметике И. Н. Шевченко. По алгебре в 1948/49 учебном году был введен задачник П. А. Ларичева. С 1956 г. в VI—VIII классах были введены: по алгебре — учебник А. Н. Барсукова, по геометрии — учебник Н. Н. Никитина и задачник Н. Н. Никитина и Г. Г. Масловой. В старших классах был принят учебник тригонометрии С. И. Новоселова и задачник П. В. Стра- тилатова.
Послевоенные годы характеризуются высокой творческой активностью учителей. Этому способствовал не только пересмотр содержания обучения, но и широкая публикация методических пособий, статей из опыта преподавания математики. Кроме журнала «Математика в школе» были созданы методические журналы в ряде союзных республик, началось издание сборников «Математическое просвещение». Большое значение в повышении как собственно математической, так и методической подготовки учителей сыграли проводимые с 1945 г. Академией педагогических наук РСФСР (созданной в 1943 г.) Педагогические чтения. Фактически эти чтения уже в те годы являлись всесоюзными, так как в них принимали участие представители всех республик. Лучшие работы, отмеченные на этих чтениях, издавались в виде отдельных книг, брошюр, в специальных сборниках.
С 1950 г. Гостехиздат приступил к изданию серий «Популярные лекции по математике» и «Библиотека математического кружка». Издание этих серий брошюр, к созданию которых привлекались профессионалы-математики, дало возможность поднять на новый уровень внеклассные занятия по математике.
Большая работа по совершенствованию методики обучения математике развернулась во всех союзных республиках.
24 декабря 1958 г. Верховный Совет СССР принял закон «Об укреплении связи школы с жизнью и о дальнейшем развитии системы народного образования в СССР». Перед школой ставилась главная задача — подготовка учащихся к жизни, общественно полезному труду, дальнейшее совершенствование общего и политехнического образования, воспитание молодежи в духе глубокого уважения к принципам социалистического общества, в духе идей коммунизма. Некоторые изменения претерпела структура среднего образования. Первым его этапом для всех детей школьного возраста бьито обучение в восьмилетней трудовой политехнической школе; второй этап — обучение в учебных заведениях, дающих полное среднее образование—средняя общеобразовательная школа с производственным обучением, вечерняя (сменная) и заочная школа, техникумы и приравненные к ним учебные заведения.
Развитие целей обучения, внесенные коррективы в структуру школы и ее учебные планы повлекли изменение учебных программ по всем предметам, в том числе и по математике.
Программа по математике для V—VIII классов охватывала объем сведений, овладение которыми позволяло учащимся использовать их в практической деятельности, при получении профессиональной подготовки, для продолжения обучения в старших классах общеобразовательной школы.
Курс арифметики не претерпел больших изменений, так как исключение устаревшего и второстепенного материала было в основном проведено в 50-х гг. Большое внимание в нем уделялось формированию вычислительных навыков: значительно увеличилось
время на изучение десятичных дробей, была введена тема «Приближенные вычисления», при изучении которой систематизировались ранее полученные сведения, вводилось понятие абсолютной погрешности, рассматривались действия над приближенными числами.
Курс алгебры VI—VIII классоз в целом оставался традиционным. Но в нем была усилена функциональная линия. Пропедевтика понятия функции позволила уже в VI классе ввести понятие функции, прямоугольную систему координат; в VIII классе изучалась логарифмическая линейка.
Курс геометрии этих классов содержал традиционные темы, но с некоторыми упрощениями. Это позволило включить в программу стереометрический материал, ориентированный на обучение учащихся решению задач,
9


связанных с вычислением площадей поверхностей и объемов простейших тел.
По каждому классу должны были проводиться практические и лабораторные работы, перечень которых указывался в программе.
Курс математики старших классов включая только два предмета: алгебру и элементарные функции, геометрию. Содержание тради-J ционно существовавшего до этого курса тригонометрии было распределено между этими предметами.
Изучение функций связывалось с рассмотрением реальных процессов, которые описываются соответствующими функциями. Понятие производной применялось к исследованию функций (в восьмилетней школе исследование функций проводилось элементарными методами), к выводу биномиальной формулы, понятие интеграла —к нахождению площадей и объемов некоторых фигур.
Программа по геометрии традиционно включала планиметрию и стереометрию. Новым явилось то, что в планиметрической части центральное место занимали геометрические преобразования. Изучение метрических отношений в треугольнике дополнялось введением скалярного произведения векторов. В курс стереометрии была включена разработанная Н. Ф. Четверухиным система задач на построение на проекционном чертеже.
В целом эта программа представляла определенный шаг в направлении совершенствования содержания школьного курса математики, усиления его связи с жизнью, расширения круга и методов решения задач, которые могли решать школьники.
Вместе с тем программа имела существенные недостатки. Большая их часть была связана с тем, что она не была проверена на практике. Это обстоятельство, а также недостаточное время для изучения отдельных весьма существенных разделов курса привели к тому, что весь новый материал (геометрические преобразования, векторы, производная, интеграл) был вскоре из программы исключен. Уточненная новая программа была введена в восьмилетнюю школу в 1960 г., а в старших классах—в 1963 г.
Педагогическая мысль настойчиво искала новое содержание и новые формы более широкой и глубокой реализации связи обучения с жизнью, политехнического принципа в обучении математике. В начале 60-х гг. возникла новая форма производственного обучения— начали создаваться классы с математической специализацией, в которых изучался более расширенный по сравнению с общеобразовательной школой курс математики и прикладная математика. Учащиеся, оканчивающие X класс, получали к&алифйкцию про*
граммиста. Первые такие классы были организованы в экспериментальном порядке в 1959/60 учебном году на базе школы № 425 (впоследствии 444) Москвы. Очень быстро они получили широкое распространение. Для этих классов стали издаваться специальные учебные пособия.
С целью создания благоприятных условий для развития математических способностей учащихся, проявляющих интерес к предмету, но не имеющих для этого соответствующих возможностей, в 1962—1963 гг. при Сибирском отделении Академии наук СССР и при МГУ им. М. В. Ломоносова были созданы специализированные физико-математические школы-интернаты. Вскоре аналогичные школы были организованы при Ленинградском, Киевском, Тбилисском и других университетах; Их работу курировали крупнейшие математики страны, многие из них непосредственно вели занятия с учащимися.
Традиционно большое внимание учителя школ и математическая общественность уделяли внеклассной работе — работе, целью которой является вызвать у школьников интерес к приобретению математических знаний, развивать их математические способности и сопутствующие этому качества личности, прививать им вкус к исследовательской деятельности. Наиболее массовой формой внеклассной работы школьников являлись математические кружки, стали развиваться и ее новые формы.
В 1962 n была создана первая заочная физико-математическая школа при Московском государственном университете. Ее инициатором и научным руководителем явился академик И. М. Гельфанд. Несколько позже аналогичные школы для учащихся VIII—X классов были организованы и в ряде других уни- верситов. В них зачисляются учащиеся (или коллектив учащихся, например члены того или иного кружка) по результатам выполнения письменных работ, содержание которых ежегодно публикуется в соответствующих периодических изданиях. Эта форма работы со школьниками, осуществляемая по особым программам и предусматривающая контроль и помощь учащимся в выполнении ими заданий, получила заслуженное признание.
Одним из серьезных достижений в постановке работы со школьниками вне рамок обязательной школьной программы стало проведение математических олимпиад на различных уровнях —от школьной и районной до всесоюзной и международной. В этом важном виде внеклассной работы активное участие принимают многие профессиональные математики.
На XXII съезде КПСС- (17—31 октября


1961 г.) была определена генеральная перспектива развития советской школы. Она нашла отражение в принятой на этом съезде Программе КПСС — осуществление в нашей стране всеобщего обязательного среднего образования молодежи. Вопросы дальнейшего развития системы народного образования рассматривались на ХХШ съезде КПСС (29 марта—>8 апреля 1966 г.). Принятое на съезде решение по этому вопросу было детализировано в Постановлении ЦК КПСС и Совета Министроз СССР «О мерах дальнейшего улучшения работы средней общеоб- разозательной школы» от 10 ноября 1966 г.
В постановлении подчеркивалась необходимость приведения содержания школьного образования в соответствие с требованиями развития науки, техники, культуры, установления преемственности в изучении основ наук на всех этапах обучения в школе, более рационального распределения материала по годам обучения, начала предметного преподавания с IV класса, разгрузки учебного плана и программ от излишней детализации и второстепенного материала.
Принятию этого постановления предшествовала большая экспериментальная работа в системе Академии педагогических наук. Определение содержания школьного образования проходило в специальной комиссии Академии наук СССР и Академии педагогических наук, созданной в декабре 1964 г. Математическую секцию этой комиссии возглавлял академик А. Н. Колмогоров.
Первый проект программы по математике для IV—X классов был подготовлен в 1965 г. для его широкого обсуждения. Прежде всего изменялась структура курса: изучение начальной математики проходило лишь в I— !!1 классах. В IV—V классах вводился курс математики, в который входили арифметические вопросы и начальные сведения из геометрии, а также разделы, традиционно изучавшиеся в систематическом курсе алгебры: отрицательные числа, буквенная символика, решение простейших уравнений и пр. В VI— VIII классах вводился курс алгебры, а IX—X классах — курс алгебры и начал анализа. Си* стематический курс геометрии изучался начиная с VI класса (в VI—VIII классах — планиметрия, в IX—X классах — стереометрия).
Особенностью предложенного проекта было усиление внимания к обобщающим идеям курса — число, функция, геометрические преобразования. Предполагалось изучение элементов теории вероятностей, сведений о работе и возможностях ЭВМ, элементов математического анализа (производная, интеграл). Введение этих разделов усиливало общеобра¬
зовательное значение курса, создавало новый фундамент для раскрытия практических приложений математики. Таким образом, реализация принципа связи обучения с жизнью, политехнического принципа обучения математике поднималась на качественно новую ступень. Первый вариант проекта предусматривал также ознакомление школьников с аксиоматическим методом не только на примерах геометрии — намечалось знакомство учащихся с понятиями группы, кольца и поля в курсе алгебры и начал анализа. В текст проекта программы вошли простейшие теоретикомножественные понятия 3.
С первой половины 60-х гг. для старших классов средней общеобразовательной школы были изданы первые учебники и учебные пособия по математике, содержащие нозые для нашей школы разделы курса. Так, по алгебре и началам анализа вышли в свет пособия Б. Е. Вейца и И. Т. Демидова; Е. С. Кочеткова и Е. С. Кочетковой; коллектива авторов под редакцией А. И. Маркушевича. По геометрии были изданы книги В. Г. Болтянского и И. М. Яглома.
В эти же годы была организована широкая пропаганда идейных основ реформы школьного математического образования. Начало такой деятельности было положено циклом из 10 лекций А. Н. Колмогорова под общим названием «Избранные вопросы математики», прочитанных в феврале — мае 1965 г. в Политехническом музее для учителей и руководителей школьных математических кружков.
При последующей работе над программой ряд новых разделов был исключен, так как их изучение в рамках отведенного времени не представлялось возможным.
Второй вариант программы был в целом одобрен на заседании Отделения математики АН СССР (1967). В постановлении отмечалось: «Признать правильной и необходимой проводимую в предлагаемом проекте тенденцию включения в школьный курс математики более актуальных разделов с одновременным исключением менее важного материала. Особенно существенно введение в школьный курс первоначальных основ математического анализа. Это важно не только с точки зрения общего развития учащихся и понимания ими истинного содержания и значения математики, от чего действующие программы слишком далеки, но также для упрощения преподавания и лучшего усвоения учащимися ряда традиционных разделов математики и физики (например, площади и объемы, ос-
5 Программную комиссию по математике для начальной -школы возглавлял „ проф. И. К. Андропов.,
И*.


ноэные понятия механики и др.)»4. Этот вариант программы с незначительными изменениями был утвержден Министерством просвещения СССР5.
Методические идеи, отраженные в программе и относящиеся главным образом к построению курса математики IV—X классов (усиление функциональной пропедевтики и функциональной подготовки школьников, довольно раннее введение геометрических преобразований, использование понятия вектора при изложении систематического курса геометрии), явились предметом специально организованных методических исследований уже в 50—60-е гг. Поэтому при подготовке учебников оказалось возможным опираться на некоторый опыт экспериментальных школ.
Новые идеи в обучении математике привлекли внимание многих математиков и методистов практически во всех союзных республиках. Начался этап подготовки учебников. К этой работе, в частности, были привлечены авторские коллективы, отмеченные по итогам первого в нашей стране открытого конкурса на учебники, объявленного в 1962 г. Министерством просвещения РСФСР.
Все предложенные по новой программе учебники обсуждались на секции математики Ученого методического совета при Министерстве просвещения СССР. В результате были утверждены следующие учебники: по
математике для IV—V классов и по алгебре для VI—VIII классов — под редакцией А. И. Маркушевича, по геометрии для VI— VIII классов и по алгебре и началам анализа— под редакцией А. Н. Колмогорова, по геометрии для IX—X классов — под редакцией 3. А. Скопеца.
Принципиально важной особенностью реформы школы 1966 г. явилось включение в сетку часов учебного плана факультативных занятий по выбору учащихся в VII—X классах. Программы факультативных курсов разрабатывались параллельно с обязательной программой. Одни из этих курсов предполагали углубление и некоторое расширение программных вопросов общеобразовательной школы («Дополнительные главы и вопросы математики»). Посещая этот факультатив, учащиеся могли получить и более углубленную подготовку к экзаменам в высшую школу. Второй вид факультативных занятий — удовлетворение специальных интересов старше¬
4 О проекте программы средней школы по математике // Математика в школе. 1967. № 3. С. 28.
5 Программа по математике для средней школы//
Математика в школе. 1968, № 2. С. 5—20*
классников: изучение специальных курсов, рассчитанных на 1—2 года, например программирование, векторные пространства и задачи линейного программирования, элементы теории вероятностей и др. Но в последующие годы в связи с сохранившейся в школе перегрузкой учащихся факультативные занятия не нашли ожидаемого развития.
Общие методические концепции, положенные в основу новой программы, были сформулированы А. Н. Колмогоровым так: «1) всюду, где это возможно, учащихся надо прямыми путями вести к современным и рациональным методам решения проблем и задач; 2) переход к новому кругу идей должен быть по возможности мотивирован понятным для учащихся способом; 3) каждое направление работы учащегося, будучи начато, должно быть доведено до тех минимальных результатов, которые его действительно оправдывают...»6.
Переход на новую программу осуществлялся последовательно начиная с 1970/71 учебного года. Первыми на новую программу перешли IV классы, в 1973/74 учебном году — VII и IX классы. Таким образом, в большинстве школ переход на новую программу был завершен в 1974/75 учебном году.
Уточненная программа и учебник утверждались одновременно по каждому классу. Это была вынужденная мера, вызванная ограниченностью сроков перехода. Но этот факт привел к тому, что в последующие издания практически всех учебников приходилось вносить коррективы: улучшать систему и характер изложения и упражнений, исключать второстепенный материал и пр. Одновременно с учебниками в руки учителя поступали методические рекомендации по работе с ними.
Опыт работы по новым программам показал в целом их доступность, но вместе с тем выявил и существенные недостатки, вызванные в основном перегрузкой. Разбору программ и учебников был посвящен ряд публикаций в центральной печати. Вопрос о школьном образовании по математике обсуждался на бюро Отделения математики АН СССР, в специально созданной при Отделении математики АН СССР комиссии по математическому образованию под председательством академика Л. С. Понтрягина.
В итоге обсуждения были внесены некоторые изменения в саму программу. Из программы были исключены теоретико-множест- венные понятия. В качестве учебника геомет¬
• Колмогоров А. Н. Новые программы в некоторые основные вопросы усовершенствования курса математики в средней школе//Математика в школе. 1967. Кя 2. С, 6.
12


рии- для VI—X классов был введен учебник А, В, Погорелова. Была предпринята переработка других действующих учебников. Однако все это не привело к преодолению возникших в преподавании математики трудностей.
Развитие нашего общества, требования научно-технической революции поставили перед школой новые проблемы,
В «Основных направлениях развития народного хозяйства СССР на 1976—1980 годы», утвержденных XXV съездом КПСС (24 февраля— 5 марта 1976 г.), ставилась задача развивать и совершенствовать всеобщее среднее образование, повысить уровень учебно-воспитательной работы в средней школе, больше внимания уделять трудовому воспитанию учащихся, профессиональной ориентации молодежи, этическому и эстетическому воспитанию.
На XXVI съезде КПСС (28 февраля—3 марта 1981 г.) было отмечено взятие важного рубежа в развитии системы народного образования и поставлена задача «совершенствовать формы и методы трудового, нравственного и эстетического воспитания в школе, усилить работу по профессиональной ориентации юношества. Создать предпосылки для постепенного перехода на обучение детей с 6-летнего возраста в подготовительных классах общеобразовательной школы»7.
Решение этой задачи и реализация одобренных в апреле 1984 г. Пленумом ЦК КПСС и Верховным Советом СССР «Основных направлений реформы общеобразовательной школы» определили содержание дальнейшей работы по совершенствованию школьного математического образования. Шкрла должна изменить и свою структуру: начальная школа (I—IV классы), неполная средняя школа (I— IX классы), средняя школа (I—X! классы).
Характерным для этого этапа работы является комплексный подход к решению возникающих новых проблем, требующих улучшения всего дела образования молодежи, ее политического, трудового и нравственного воспитания. Реформой предусмотрено дальнейшее совершенствование учебных программ по математике, системы учебно-методических пособий, адресованных учащимся и учителям, содержания и организации подготовки учителей в педагогических институтах и университетах страны, повышения квалификации учителей в институтах усовершенствования и в системе самостоятельной работы. На новую ступень ставится изучение, обобщение и пропаганда передового педагогического опыта. При этом обращается особое внимание на
7 Материалы XXVI съезда КПСС. М„: Политиздат.
шах* с. ш.
его всестороннее осмысление, выявление в нем существенно важного, что позволяет учителям творчески применять это нозое в своей деятельности. Естественно, что в ходе этой работы должен быть максимально использован весь накопленный ранее громадный положительный опыт математического образования молодежи, опыт, равного которому и по глубине охвата, и по его массовости не было фактически ни в одной стране мира.
Заслуги советской школы перед нашей cfpaHofi неоспоримы: она обеспечила всеобщую грамотность, способствовала созданию советской интеллигенции, явилась прочной основой советской науки и техники. Воспитанники советской школы строили заводь» и фабрики, растили хлеб и выводили высокопродуктивные сельскохозяйственные культуры, создавали совершенные технические системы и на фронтах Великой Отечественной войны отстаивали свободу и независимость нашей Родины. Те, кто учился в советской школе, открыли дорогу в космос, построили космические корабли, неоднократно осуществляли их запуск с целью глубже узнать Вселенную и господствующие в ней законы. Мы не можем и не имеем права забывать того великого, что создано нашим разумом и нашими руками. Но мы не можем забывать и того, что достигнутое является лишь пусковой площадкой для будущих успехов, для предстоящих замыслов. Задача вывести советскую школу на уровень требований научно-технического и социального прогресса — веление времени.
Однако в развернувшейся конструктивной работе приходится в полной мере учитывать, что проявившиеся в нашем обществе застойные явления оказали отрицательное воздействие и на школу, на состояние школьного математического образования.
Преодоление встретившихся на пути реформы математического образования трудностей проходило без должного объективного обсуждения полученных в ходе ее реализации первых результатов и учета мнения учителей. По возникшим вопросам нередко принимались поспешные волевые решения с требованием их выполнения в жесткие сроки. Творческая деятельность педагогов тормозилась вошедшим в школьную практику крайним формализмом в руководстве работой учителя и учащихся, обилием надуманных бюрократических предписаний.
Революционные преобразования в жизни общества, необходимость которых всесторонне обсуждалась на XXVII съезде КПСС, открыли путь и к революционным преобразованиям в советской, щколе. Ef наши дни проходит всенародное обсуждение путей развития


школы — проекта устава, новых экспериментальных учебных планов. В этих документах, которые готовятся к предстоящему всесоюзному съезду учителей, закладываются решения о глубокой демократизации школьной жизни, создании условий для развития способностей каждого ученика с учетом его интересов и склонностей. Многоплановая подготовительная работа по решению новых задач ведется с должным учетом накопленного опыта.
Большая работа предстоит и в области совершенствования школьного математического образования. Базисное содержание курса математики было в целом определено в 60—70-е гг. Оно является основой усовершенствованных программ.
Опыт прошлых лет убедительно показал настоятельную необходимость обеспечения школы полноценными учебниками, отвечающими ее современным образовательным и воспитательным функциям. Фактически ни один из действующих учебников этим требованиям не удовлетворяет. Возникла необходимость привлечения к созданию школьных учебников различных творческих коллективов. Формой такого привлечения явилось объявление открытого конкурса на учебники, который проводится Министерством просвещения СССР совместно с Госкомиздатом СССР8.
Но принятие по итогам конкурса к изданию только одного одобренного конкурсной комиссией учебника не будет отвечать требованиям времени. Математическая общественность настойчиво добивается издания для школ не одного, а нескольких вариантов учебников по математике, написанных по утвержденной программе и рекомендованных конкурсной комиссией, Ученым методическим советом при Минпросе СССР. Начата работа' по созданию учебно-методических комплексов по математике. В него входят программа, учебники, поклассные методйки, дидактические материалы, книги для чтения учащимися, справочники, сборники задач, пособия для факультативных занятий. Основное направление, заложенное в этот комплекс,— ориентация на развитие инициативы каждого учителя, на отказ от регламентации в руководстве его работой.
8 Положение об условиях провеления конкурса на создание учебников математики для средней общеобразовательной школ id // Математика в школе, 1986. № 1« С. 10—11.
Включение в учебный план школы нового предмета — информатики — требует постоянного внимания к развитию нового аспекта межпредметных связей — связи курса математики с курсом информатики.
Все эти и многие другие важные вопросы нельзя решить без совместной творческой, поисковой работы педагогической науки и учителей математики.
Нам пора серьезно задуматься над тем, что интеллектуальные способности, увлеченность познанием, стремление к творчеству являются не только принадлежностью отдельного лица, но одновременно и ценнейшим капиталом общества. Без этого капитала прогресс в любой области жизни страны невозможен. Вот почему так важно не только сохранить уже имеющийся здесь опыт, но и постоянно его наращивать. Значит, следует срочно перестраивать отношение к ученикам, проявляющим повышенный интерес к математике, жаждущим учиться и познавать, стремящимся максимально развивать свои интеллектуальные способности. Надо разрабатывать новые методы работы с учащимися, позволяющие им, не отрываясь от класса, более глубоко усваивать учебный материал, выполнять индивидуальные дополнительные задания, требующие максимального напряжения умст* венных сил.
Педагогический процесс является одним из самых творческих. Здесь постоянно приходится быть в напряжении, учитывать реальные условия работы с классом. Даже в одном и том же классе в разные дни нужны различные педагогические подходы. Для того чтобы хорошо преподавать и вызывать интерес к занятиям, необходимо считаться и с индивидуальными характерами, и с интересом, и с настроением и, конечно, с возможностями учащихся. Вот та причина, в силу которой не может быть строгой регламентации труда учйтеля. Сейчас настала пора, чтобы наша литература, театр, кино во весь голос начали говорить о великом назначении труда учителя, его общественной значимости. Это создаст необходимый ореол вокруг работы школьного учителя, что привлечет талантливую молодежь к этой профессии и поможет нашей школе подняться на высокий уровень.
Впереди нас ждет трудная, но увлекательная работа по перестройке нашего общества, тем самым и по перестройке жизни школы, развитию ее идеалов и методов работы.
Б. В. Гнеденко, Г. Г. Маслова, Р. С. Черкасов
£Москва].


О новом экспериментальном учебном плане
В тезисах Министерства просвещения СССР, опубликованных в «Учительской газете» 14 июля 1987 г., сообщалось, что разрабатывается новый вариант учебного плана. Учебный план — важный документ, определяющий содержание учебно-воспитательного процесса в школе. Он устанавливает состав учебных предметов, их распределение по годам обучения, недельное и годовое количество часов, отводимых на каждый предмет.
При разработке проектов учебных планов учтены следующие положения.
Во-первых, необходимость в рамках единой трудовой политехнической школы создать реальные условия для дифференциации обучения в соответствии со способностями и склонностями учащихся, с учетом многообразия условий, в которых находятся школы. Поскольку одинаковое для всех детей общее образование не гарантирует достаточно интенсивного развития их способностей и склонностей к той или иной области знаний, предусмотрено расширить права педагогических советов школ и местных органов народного образования в реализации учебного плана, выделив в их распоряжение 25 % учебного времени за счет дисциплин по выбору и факультативов.
Во-зторых, усиливается гуманитарная направленность учебного плана, а значит, и всего содержания школьного образования. Это позволит в большей степени приобщать детей к мировой культуре и искусству, будет способствовать гармоничному развитию личности.
В-третьих, сокращается число предметов в учебном плане, а также число предметов, изучаемых в каждом классе, за счет интеграции одночасовых курсов с родственными дисциплинами. До 60-х гг. учебные планы средней школы включали 7—9 предметов в V— VIII классах и 9—10 — в старших.
В-четвертых, снижается общая учебная нагрузка школьников. Сегодня небезосновательно поступает много претензий, особенно от родителей, о перегрузке школьников. В первую очередь потому, что учащиеся среднего звена практически на протяжении всей недели имеют по 6 уроков в день, а в старших классах — по 7 уроков. Не являясь единственным фактором, это обстоятельство, действительно, вызывает определенную перегрузку школьников.
В-пятых, за счет снижения учебной нагрузки необходимо обеспечить возможность во второй половине дня организовать деятельность ребят по интересам в кружках и факультати¬
вах, развернуть работу пионерской и комсомольской организаций школы, ученического самоуправления.
Выносимые на обсуждение учебные планы разрабатывались на основе практики школы, общественного мнения, пожеланий и предложений учителей, специалистов разных областей знаний, опубликованных в прессе, а также анализа учебных планов советской школы, опыта зарубежных социалистических и развитых капиталистических стран в построении системы образования.
Подготовленный проект нового учебного плана является базовым (вариант 1 и вариант 2). На его основе разработаны учебные планы с курсами по выбору (вариант 3 и вариант 4).
Недельная учебная нагрузка школьников снижена в старших классах и в неполной средней школе на 2—4 ч в неделю в каждом классе. На гуманитарное и эстетическое образование отводится 49,3 % всего учебного времени; на естественно-математические дисциплины—31,3 %; трудовое обучение, начальная военная подготовка и физкультура занимают 19,4 % учебного времени.
Систематическое формирование материалистического мировоззрения в школе начинается с изучения обществоведения и естествознания, которые дают представления о природе, обществе и человеке.
Изучение общественно-политических дисциплин складывается из двух курсов: обществоведения и истории. В I—III классах начальной школы курс обществоведения вводит детей в социальный мир, знакомит с родным краем, Советским государством, знаменательными датами страны и республики, дает представление о правилах социалистического общежития. Логическим продолжением пропедевтического курса обществоведения станут курсы истории в IV—X классах и курс обществоведения в XI классе. В XI классе рассматриваются законы общественного развития природы и общества, общественно-политическая жизнь страны, основные конституционные права и обязанности граждан. Он призван сформировать отношение выпускника школы к семье, природе, обществу, дать основные морально-этические и правовые навыки общения людей в семье и обществе, экологические и экономические знания. Курс обществоведения интегрируется с курсом основ Советского государства и права.
Изучение естественных дисциплин начинается интегрированным курсом естествознания,
15


призванным дать школьникам среднего звена начальные понятия о природе, физических и химических явлениях и закономерностях, сформировать экологические знания и навыки. Систематические курсы естественных наук предполагается изучать с VIII класса, при этом изучение биологии, физики, химии, географии должно строиться на основе знаний, полученных в курсе естествознания.
Курс основ информатики и вычислительной техники в неполной средней школе даст возможность использовать приобретенные учащимися навыки пользования вычислительной техникой при изучении общеобразовательных предметов и во внеклассной кружковой работе.
Введен предмет «Эстетика и этика». Он призван сформировать у детей основы музыкальной и художественной культуры, навыки пения и рисования, дать представления о современных течениях в искусстве, заложить основы социалистической этики. При этом» конечно, нельзя потерять тот богатый опыт в области музыкального и художественного образования, который накоплен в нашей стране. Предполагается, что в I—VII классах будут
преподавать изобразительное искусство и музыку, а в VIII—XI — основы этики и эстетики.
Следует отметить, что все школьное образование, в том числе и трудовое обучение, должно быть глубоко политехническим.
В экспериментальном учебном плане выделено 16 ч в VII—XI классах на факультативные занятия, которые проводятся при наличии квалифицированных кадров и необходимой учебно-материальной базы. Факультативы организуются по желанию учащихся начиная с VII класса по различным направлениям физико-математических, химико-биологических и общественно-гуманитарных циклов, а также по эстетике и трудовому обучению. При этом педагогический совет школы определяет, исходя из желания ребят и возможностей школы, набор необходимых факультативных курсов.
Предлагаемый вариант учебного плана предполагается доработать с учетом критических замечаний и предложений, которые поступят при обсуждении. Хотелось бы, чтобы они носили конструктивный характер и учитывали, что введение того или иного нового предмета, увеличение времени на' изучение той или иной
Экспериментальный учебный план средней общеобразовательной школы (вариант № 1)
Учебные предметы
Количество часов в неделю по
классам
Всего
1
II
III (!
| IV
1 V
V, I
VII
VIII
I ix
1 х
1 Х|
1.
Родной язык и литература
7
9
10
10
9
9
6
5
5
4
4
7*
2.
Математика
4
4
5
5
6
5
5
5
4
4
4/5
51,5
3.
Основы информатики и ВТ
—
—
—
—
2
2
—
—
—
—
4
4.
История
—-
—
—
2
2
2
2
3
3
3
—
17
5.
Обществоведение
1
1
1
—
—
—
—
—
—
—
3
6
6.
Естествознание
—
—
1
2
2
2
3
—
—
—
—
10
7.
География
3
2
2
2
9
8.
Биология
2
2
2
3/2
8,5
9.
Физика и астрономия
—
—
—
—
—
—
2
3
4
4
13
10.
Химия
—
—
—
—
—
—
—
2
2
2
3
9
11.
Иностранный язык*
2
2
2
о
3
3
2
2
2
—
—
20
12.
Эстетика и этика
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
18
13.
Физическая культура
2
2
2
2
9
2
2
2
2
9
2
22
14.
Начальная военная подготовка
—*
—
—
2
2
4
15.
Трудовое обучение** и производительный труд
2
2
2
2
2
2
3
4
о
4
4
32
Итого
20
22
25
27
28
29
30
30
31
30
30
302
Факультативные занятия***
—
—
—
—■•
—
—
2
3
3
4
4
16
Трудовая практика (в днях)
10
10
10
16
16
20
82
* Изучение иностранного языка в X — XI классах осуществляется за счет факультативных тий по решению педагогического совета школы.
*• В VII —VIII классах изучается черчение по 1 ч в неделю в курсе трудового обучения. *** Этика и психология семейной жизни изучается за счет факультативных занятий.
заня-
16


дисциплины влечет за собой сокращение времени на изучение других предметов или увеличение общей нагрузки школьников.
Уже сейчас можно сказать, что учесть все поступающие предложения от специалистов и ученых различных областей знаний, такие, как, например, введение специального предмета по основам практической медицины, основам архитектуры, геологии, теории шахмат и т. п., невозможно.
Объединение курсов основ Советского государства и права и обществоведения 8 один курс обществоведения в XI классе может оказаться дискуссионным. Предложение ввести такой объединенный курс обществоведения исходит из того, что он должен строиться на едином подходе к освещению вопросов взаимоотношений человека в семье и обществе, его обязанностей перед обществом не только с позиций правовых, но и общегосударственных отношений, т. е. из стремления «очеловечить» этот важный и серьезный курс.
Можно предположить, что ряд читателей выскажется против объединения курсов физики и астрономии. Пока это сделано достаточно робко и предлагается отвести 2 ч в неделю
в первом полугодии XI класса на астрономию. Однако в большинстве зарубежных стран астрономия является органической частью естественных дисциплин — географии, природоведения, физики. При таком построении многие вопросы астрономии изучаются не только в старших классах, но и 10—13-летними детьми. При разработке программы интегрированного курса предстоит предусмотреть изучение взаимосвязанных вопросов астрономии и физики как в старшем, так и в среднем звене.
В экспериментальном учебном плане в целях решения задачи осознанного выбора выпускниками неполной средней школы профессии увеличено время на трудовую подготовку в восьмых и девятых классах соответственно до 4 и 5 ч. Предполагается, что часть этого времени будет использоваться на производительный труд учащихся. В старших классах для этой цели отводится по 4 ч еженедельно.
Предполагается также, что наряду с обязательными занятиями по труду в школах будет организован общественно полезный труд по инициативе школьных пионерских и комсомольских организаций. В настоящее время
Экспериментальный учебный план национальной средней общеобразовательной школы (вариант № 2)
Учебные предметы
Количество часов в неде лю по
классам
Всего
г
и
in !
1 'V |
1 v |
1 VI
VII |
VIII
IX |
! -
1 XI
1.
Родной и русский языки и литература
9
12
13
13
12
12
9
8
8
7
7
110
2.
Математика
4
4
5
5
6
5
5
5
4
4
5/4
51,5
3.
Основы информатики и ВТ
—
—
—
—
—
2
2
—
—
—
4
4.
История и история союзной республики
—
—
—
2
2
2
2
3
3
3
—
17
5.
Обществоведение
1
1
1
3
6
6.
Естествознание
— .
—
1
2
2
2
3
—
—
—
—
108
7.
География и география союзной республики
3
2
2
2
9
8.
Биология
—
—
—
—
—
—

2
2
о
2/3
8,5
9.
Физика и астрономия
2
3
4
4
13
10.
Химия
—
—
—
—
—
—
—
2
2
2
3
9
11.
Иностранный язык*
2
2
2
2
3
3
2
2
2
—
—
20
12.
Эстетика и этика
2
2
2
9
2
2
2
1
1
1
1
18
13.
Физическая культура
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
14.
Начальная военная подготовка
—
—
—
—
—
—
—
—
2
2
4
15.
Трудовое обучение** и производительный труд
2
2
2
2
2
2
3
4
5
4
4
32
Итого:
22
25
28
30
31
32
33
33
34
33
33
334
Факультативные занятия
—
—
—
—
—
—
2
2
2
3
3
12
Трудовая практика (в днях)
"
——
10
10
10
16
16
20
82
* Изучение иностранного языка в X — XI по решению педагогического совета школы.
классах осуществляется за счет
факультативных занятий
** в VII —VIII классах
изучается черчекие по 1
ч в неделю в курсе трудового обучения.
17


включШ% Г% сЙЙШШГе& й№ДОШЛf$-
ного, производительного труда обедняет зону пионерского действия, тому; л, что
из содержания Жятещтстк :циан^рской:’орга-~ низации,,изымается Наиболее.ItaQuiHOe: воспитательное средство, с помощью которого эта организация выполняет свою важнейшую функцию в- обществе т- включение детей в практику коммунистического строительства.' Общественно полезный труд утрачивает таким образом добровольный характер, ослабляется йдейно- нравственный мотив участия, в нем, тормозится самоуправление в Школе/ , :
Прйдавая важное значенф участию школьников в производительном труде, необходимо вместе с тем учитывать реальные ^условия, которые( складываются на местах, :и предоставить ‘йраво ■ решёния вопроса об "организации труда1 учащихся педагогическим советам, родительским? комитетам, ученическим организациям самоуправления. Необходимо, чтобы местные советские органы приняли исчерпывающие меры по созданию условий для эф- фектрвбШ.';труха:; ребят;";Сл едуъцщрко раздать межшкбльн^е УЦК й ga их основе
Создавать учебно-производственные объединения школьников. Участие учителя в организации общественно полезного труда учащихся вне расписания оплачивать по фактически затраченному времени.
Предлагаемый проект учебного плана, конечно, не идеален, содержит положительные и отрицательные стороны. Но он разрабатывался с учетом того учебного времени, которое позволит нормализовать нагрузку школьников и дать всем учащимся полноценное среднее образование. Несомненно, что широкое обсуждение этого плана будет способствовать его совершенствованию.
На основе учебного плана, о котором идет речь, разработаны учебные планы, предусматривающие дифференциацию обучения (вариант 3, вариант 4). В них введены «курсы по выбору», предлагающие углубленное изучение предметов в X—XI классах. При этом имеются в виду два уровня углубленного изучения: первый дает возможность такого изучения по 6 ч в неделю в каждом классе, второй — по 9 ч в неделю.
Предполагается, что органы народного об*
Экспериментальный учебный план средней общеобразовательной школы с курсами по выбору
(вариант № 3)
У чебцде, пред v ёъы
Количество часов в неделю по
классам
Всего
' I i
... *’
1 I» .1
: ф 1
1. *V
1 v
VI
| VII
| VIII
IX
1 X
1 X.
1.
.Родной,язык и литература
.7
9
ю
ю
9
9
6
5
5
3
3
76
2,
Математика
4
4
5
5
6
5
5
5
4
4
4
51
3.
Основы информатики и ВТ
—
—
;; —
2
2
—
4
4.
История
- —,
—
V 2
2
2
2
3
3
2

16
Обществоведен ие
1
1
1
—
—


4
7
б.
Естествознание
1
: 2
2
2
3
—


10
7.
География
3
2
2
2
9
8.
Биология
2
2
2
2
8
9.
Фйзикаасттюнйми*
—


•
■
2
3
3
3
11
10,
Хи мия

,
.
..
2
2
2
2
8
11.
Иностранный язык
2
2
2
2
3
2
2
2
20
12.
Эстетика и этика
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
18
13.
Физическая культура
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
14.
Начальная Егоейная подготовка
—
—
’—
—
— -
•. —
—
—
—
2
2
4
15,
Трудовое обучение** и производительный труд
2
2
2
2
2
2
3
4
5
3
3
30
16.
Курсы по выбору ***
6
6
12
Итого:
20
22
25
27
28
29
30
30
31
32
32
306
Факультативные занятия
—
—
—
—
—
—
2
3
3
4
4
16
Трудовая практика (в днях)
—•
10
10
10
16
16
20
—
82
* Изучение иностранного языка в X — XI классах осуществляется совета школы за счет курсов по выбору и факультативных занятий.
по решению
педагогического
VII — VIII классах изучается черчение по 1
ч в неделю
в курсе трудового
обучения.
Курсы по выбору определяются органами народного образования, факультативные педсоветами школ.
занятия —
18


Экспериментальный учебный план средней общеобразовательной яколые курсами to выбору
(вариант № 4)
Учебные предметы
Количество часов • неделю но класс**
I II I III I IV V I VI I VII I VIII | IX | х | XI
Всего
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. 11.
12.
13,
14
15.
16.
Родной язык и лите рагура Математика Основы информатики и ВТ История
Обществоведение Естествознание География Биология Физика и астрономия Химия
Иностранный язык Эстетика и этика Физическая,культура Начальная* военная подготовка Трудовое обучение** и производительный труд
Курсы по выбору***
10
5
10
5
2
1
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
3
2
2
1
2
78
51
4
W
7 10
9
8 И
8
20
18
22
4
30
т
Итого:
Факультативные занятия
Трудовая практика (в днях)
20
22
25
27
10
29
10
т
2
10
30
3
16
зь
4
т
36
4
314
16
8?
♦ Изучение иностранного языка осуществляется во решению велаг от imeocor© совета школы счет курсов по выбору и факультативных занятий.
** В VII — VIII классах изучается черчение по 1 ч в неделю в курсе трудового обучение
•** Курсы по выбору определяются местными органами , народного образов* йия4 факультативные занятия — педсоветами школ.
разования совместно с педагогическими коллективами и с учетом желания школьников определят перечень предметов для углубленного изучения за счет времени, отведенного на «курсы по выбору». В отличие от факультативных занятий такие курсы являются обязательными для учащихся и обеспечивают углубленное изучение предметов учебного плана. В одной школе может быть организовано углубленное изучение нескольких предметов (как правило, двух-трех) в зависимости от возможностей педагогического коллектива и особенностей классов. Это могут быть русский язык и литература, математика и физика, химия и трудовое обучение. Набор предметов
будет определяться до;. начал* текущего учеб- нбгб года. Таким образом, педагогическому коллективу предоставляётся 'возможность планировать до 25 % учебного времени в старших классах на изучение различных курсов (12 4— обязательных и 8"ч — факультатйШы’х)'. -'
- Публикуемые проекты учебных планой после их доработки с учетом внесенных прёддо* Женнй и замечаний н ббсужАтй* на ВсёсоЫ- йом (съезде учителей- долкыы • Нройт# uiH{iOtfyib эксйериментальиук^ проверку в течение б лет. Они могут вводятьея в массовую прак« тику не ранее тринадцатой пятилетки, т! ё. реально речь йдёт об учебном плане шкоды 2000 года.


Ш МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ
Совершенствовать методическое мастерство учителей математики
Э. 	Г. Якуба
(г. Ростов-на-Дону)
Система непрерывного образования учителей складывается из курсовой подготовки в институтах усовершенствования, участия в работе методических объединений и самообразования.
На курсах областного ИУУ в г. Ростове-на- Дону и на занятиях методических объединений учителей области весьма популярны так называемые методические упражнения, проходящие в форме разбора различных учебных ситуаций. Руководят такими занятиями методисты ИУУ, города или района, председатели школьных или межшкольных методических объединений, наиболее квалифицированные учителя. Руководитель начинает занятие с краткого пояснения, в котором описывает сущность изучаемого метода или приема, а затем дает конкретный учебный материал и предлагает на его основе реализовать обсуждаемый метод или прием обучения. Учителя выполняют эти задания либо сразу (на практических занятиях курсов), либо через некоторое время (к следующему заседанию метод- объединения).
Рассмотрим некоторые методические упражнения.
1. 	Формирование у учащихся прочных вычислительных навыков и навыков тождественных преобразований. Среди аричин, порождающих недостатки в обучении вычислениям и тождественным преобразованиям, следует указать нечеткие представления учителей о требованиях программы к навыкам учащихся той или иной группы классов. В связи с этим перед слушателями курсов ставят задачу: пользуясь программами и учебниками, произвести классификацию вычислительных навыков учащихся того или иного класса, в процессе классификации выделить две группы вычислительных навыков. К первой группе отнести навыки, сохраняющиеся только путем доведения их до автоматизма, ко второй — те, которые обеспечиваются прочным усвоением теоретического обоснования.
В процессе выполнения этого методического упражнения подчас выясняется, что некоторые учите.ля путают вычислительные навыки и навыки тождественных преобразований, сла¬
бо различают навыки устных и письменных вычислений, не учитывают навыков, которые формировались в предшествующие годы и должны совершенствоваться в последующих классах. В ходе выполнения задания учителя убеждаются, что рассмотренная классификация навыков определяет особенности методики их формирования у учащихся.
2. Обучение школьников работе с учебником. На занятиях по данной теме самим учителям надо выполнить ряд заданий, характеризующих их умение ориентироваться в системе упражнений какого-либо пособия. Приведем примеры заданий для учителей.
1) Рассмотрите в учебнике «Алгебра 7» упражнения к разделу «Квадратные уравнения» и отберите из них такие, которые следует выполнять: а) устно; б) письменно; в) коллективно; г) самостоятельно.
2) По пробному учебнику «Геометрия 6» Л. С. Атанасяна и других проанализируйте тему «Признаки параллельности прямых». Определите, какие задачи темы требуют простого переноса теоретических знаний, а какие развивают творческую инициативу учащихся.
3. Различные методы обучения. Сначала слушатели вспоминают наиболее существенные особенности тех или иных методов, не увлекаясь спорами о них. При этом они используют характеристики методов обучения, данные в статье М. Скаткина и И. Лернера «Современный урок» (Народное образование. 1985. № 1). Основное содержание занятия состоит в обсуждении заданий для самостоятельной работы. После обсуждения слушатели выполняют их либо здесь же, на занятии, если материал хорошо им знаком, либо дома. Укажем два таких задания.
1) Разработайте изложение темы «Основное свойство дроби» объяснительно-иллюстративным методом.
2) Составьте подробный план изучения темы «Первообразная» (первый урок в X классе) репродуктивным методом.
4. Обучение решению задач. Анализ уроков и письменных работ учащихся свидетельствует о том, что наиболее уязвимым местом в профессиональной подготовке учителей является методика обучения решению задач по геометрии. В связи с этим на курсах в Ростовском областном ИУУ особое внимание слушателей привлекают к следующим учебным ситуациям.
1) 	Вы планируете организовать коллективное решение задачи: «В плоскости XOY найдите точку D (х, у, О), равноудаленную от трех данных точек Л (0, 1, —1), В(—1, 0, 1), С (0, —1, 0)» (Погорелое А. В. Геометрия 6—10. § 17. № 4). Сформулируйте вопросы, с помощью которых учащиеся осмыслят зада¬
20


чу, выделят основные данные, переведут ее текст на математический язык.
2) 	При коллективном выполнении упражнений очень важно, чтобы каждый ученик понимал все этапы общей работы. Для этого перед сложным заданием целесообразно предложить устные упражнения, которые представляют собой элементы последующего общего задания. Пусть запланировано решить со всем классом неравенство
l°g_i_(* + 10) + log J_ (х -f- 4) > — 2
VT VT
XАлимов Ш. А. и др. Алгебра и начала анализа 9—10. № 142(2)). Сформулируйте подготовительные вопросы для устной работы.
После обсуждения предложенных вариантов слушатели остановились на следующей системе вопросов:
б) Найти х, если —2 = log i х.
VT
в) Найти корни уравнения x2+14/-f33 = 0.
г) Решить неравенство x2-f 14а:+33>0.
Занятия в ИУУ и посещения уроков позволяют вскрыть причины серьезных методических просчетов, которые допускают учителя.
Во-первых, при подготовке к урокам многие педагоги фиксируют свое внимание только на содержании урока, а методику каждого его элемента и всего урока в целом не продумывают как следует. В какой-го степени такая поглощенность учителя материалом объясняется тем, что слишком часто меняются учебники.
Во-вторых, даже зная различные методы и приемы обучения, учителя зачастую затрудняются в выборе какого-либо из них для урока.
В-третьих, некоторые не умеют рационально использовать время урока. Особенно отрицательно это сказывается на геометрии. Уроки по этому предмету иногда сводятся к затягиванию опроса, поспешному объяснению нового и непродолжительному решению задач.
Для преодоления указанных недостатков в Ростовском областном ИУУ изучают и пропагандируют лучший опыт организации уроков математики, организуя учебу молодежи у мастеров педагогического труда. Кроме того, проводятся деловые игры, т. е. имитации уроков. При подготовке деловой игры одному или нескольким учителям поручают разработать
план урока на конкретную тему и провести его со слушателями курсов или членами ме- тодобъединения, которые исполняют роли учащихся. Двум или трем учителям предлагают
быть наблюдателями.
1
Готовясь к деловой игре, учитель должен записать &се вопросы, которые предложит «учащимся», условиться о деятельности «учащихся» на каждом этапе урока, подготовить наглядные пособия, дидактические материалы, технические средства.
План деловой игры учитель сначала обсуждает с руководителями занятия. Только после этого проводится деловая игра-урок, продолжающаяся не более 45 мин. Участники игры, исполняющие роли учащихся, иногда дают заведомо неправильные ответы, создавая ситуацию, в которой необходима работа над ошибками. Проведение деловой игры-урока поручают как более опытным, так и молодым учителям.
После урока игры все ее участники выслушивают самоанализ учителя, ведущего деловую игру, а затем выступления учителей и методиста. Анализ урока-игры всегда строг и вместе с тем доброжелателен. Он не травмирует никого из участников игры, но побуждает их к дальнейшему самосовершенствованию.
По рекомендации кабинета математики Ростовского областного ИУУ деловые игры неоднократно проводились в районах и городах области. Они охватывали наиболее трудные темы с опережением на 2—3 недели. Ростовский областной ИУУ разработал рекомендации по проведению деловых игр: темы уроков и подробные планы некоторых из них. В этих разработках показаны различные методы и приемы обучения учащихся разных классов.
В деловой игре обращают особое внимание на такие профессиональные качества учителей, как знание программы и учебников,- умение решать трудные задачи, способность освоить новый методический прием, работа с классной доской, общая культура, в частности и речь учителя.
Упражнения по разбору методических ситуаций, деловые игры-уроки не исключают, а дополняют общеизвестные формы общения учителей и пропаганды передового опыта. Вместе с тем эти новые формы повышения методического мастерства являются своего рода катализаторами процесса повышения профессиональной активности педагогов.


о работе совета каШиета
математики
С. 	С. Татарченкова
(г. Архангельск)
Седьмой год успешно работает совет кабинета математики Архангельского областного института усовершенствования учителей, объединяющих опытных, талантливых педагогов гг. Архангельска и Новодвинска Постоянный поиск новых приемов, средств и методов обучения, критическая оценка результатов своего труда, готовность поделиться положительным опытом с коллегами — все это характерно для членов совета. Каждый из них является руководителем районного, меж- школьного или школьного методического объединения учителеи математики а также лектором по методике преподавания предмета в ИУУ.
В начале своей деятельности совет насчитывал немногим более }0 учителей, сейчас их уже 34. За эти годы 16 педагогов получили звание заслуженного учителя школы РСФСР, учителя-методиста, старшего учителя — таков итог этого творческого содружества, многогранной и кропотливой работы по повышению профессионального мастерства как самих членов совета, так и других* учителей области.
Совет кабинета работает в тесной взаимосвязи с кафедрой математики Архангельского государственного педагогического института им, М. В. Ломоносова. Таким образом, работа строится на основе внедрения достижений науки и передовой педагогической практики. Надример, в связи с переходом на обучение по учебному пособию А. В. Погорелова «Геометрия 6-—10» преподаватели кафедры и члены совета кабинета составляли опережающие разработки теоретических и методических особенностей каждой темы на основе рекомендаций Министерства просвещения РСФСР, давали открытые уроки, выступали на курсах повышения квалификации учителей, организовывали семинары по обмену опытом работы по этому пособию, проводили практикумы по методике решения задач, консультации по методике организации повторения, подготовки, и проведения экзамена по геометрии за курс босьмилетней шкояы, рецензировали рефераты участников областной научно-практической конференции по вопросам совершенствования преподавания геометрии.
Каждому заседанию совета предшествует длительная подготовка методистов кабинета Е. А. Качановой и Л. Г. Пгтушковой. Они тщательно изучают запланированную для обсуждения проблему, подбирают соответствующую литературу для обзора, готовят анализ
практического состояния дел по данному вопросу в области с тем, чтобы дать подробную информацию на заседании совета, и уже в ходе заседания разрабатываются методические приемы, помогающие преодолеть затруднения, составляется план их апробирования членами совета.
На последующих заседаниях делается критический анализ полученных результатов, проводится обмен опытом, принимается решение о распространении на курсах и семинарах положительного опыта работы среди учителей.
Совет решает самые разнообразные вопросы: подводит итоги выполнения плана повышения квалификации учителей математики, обсуждает рекомендации, подготовленные кабинетом, новые пробные учебники и программы, обязательные результаты обучения, осуществляет подготовку и проведение областных научно-практических конференций, обобщает положительный опыт работы учителей математики по. актуальным проблемам преподавания предмета,
Члены совета кабинета обобщают и опыт своей работы. Результаты обобщения заслушиваются, обсуждаются и анализируются на заседаниях, продумываются формы и методы его распространения.
Длительным и сложным был процесс подготовки к использованию учителями таких активных форм занятий, как лекции, семинары, зачеты, консультации и т. д. Члены совета решили внедрить в практику прежде всего своей работы использование в старших классах подобных форм обучения, сформировать коллективный опыт. Итогом этой деятельности стали открытые уроки, которые смогли посетить многие педагоги города и области. Так, например, на базе средней школы № 10 г. Архангельска учителя математики смогли показать на открытых уроках высокий уровень обучения учащихся, результаты своей плодотворной работы под руководством члена совета кабинета АН. Лукошковой. Совет обсудил первые итоги, выявил положительные моменты и недостатки, подготовил и провел в период летних курсов научно-практическую конференцию по теме «Совершенствование лекционно-семинарской работы в старших классах», где был представлен опыт работы лучших учителей области.
Задача школьной реформы состоит в том, чтобы поднять работу каждого учителя на качественно новый уровень, соответствующий потребностям общества, что невозможно без развития педагогического творчества на основе непрерывного образования. И это отлично понимают учителя Архангельской области, составляющие творческий актив кабинета мате- атйка. Но мобилизовать* эту силу, целена¬
Ш


правленно ею руководить — очень сложная задача, требующая энтузиазма и мастерства методистов института, их огромного труда,. Результаты такой работы сегодня есть: pacTef число мастеров педагогического труда, юные математики Архангельской области стали победителями зональной олимпиады 1986 г.
Решение задач различными способами
Я. М. Клейман
(г. Винница)
Решение задач различными способами предоставляет большие возможности для совершенствования обучения математике.
При решении задач только одним способом у учащихся единственная цель — найти правильный ответ. Если же требуется применить при этом несколько способов, школьники стараются отыскать наиболее оригинальное, красивое, экономичное решение. Для этого они вспоминают многие теоретические факты, методы и приемы, анализируют их с точки зрения применимости к данной в задаче ситуации, накапливают определенный опыт применения одних и тех же знаний к различным вопросам.
Все это активизирует учебную деятельность школьников, прививает интерес к предмету.
К решению задач несколькими способами учащихся следует приобщать постепенно начиная с VI класса.
Мы учим школьников, анализируя условие задачи, делать различные попытки решения, используя имеющиеся у них в запасе методы и приемы, т. е. вооружаем учащихся стратегией перебора всевозможных путей решения задачи. Учитель при этом должен поощрять самостоятельные находки школьников, обращать на них внимание класса.
Обычно в классе задача решается одним или двумя способами. Поиск других способов дается на дом, при этом мы указываем теоремы, которые можно использовать при решении. Учащиеся с большим интересом и увлеченностью выполняют такие задания. На уроках, занятиях кружка или консультациях разгораются дискуссионные разборы предложенных способов, рассматриваются те задачи, которые ученики не смогли решить.
Иногда найденные учащимися способы решения той или иной задачи бывают довольно сложными, но для учебных и воспитательных целей такая работа очень -важна: ребята
с большим увлечением * заинтересованностью
находятся в постоянных поисках, перебирая в памяти многие, варианты применения изученных, теорем, известных приемов и методов решения задач.
Отметим, что праитоговом повторений какого-либо раздела программы целесообразно использовать задачи, решаемые несколькими способа ми, охватывающие большой теоретический материал.
Систематически планомерная и настой*??' вая работа учителя' в.привитии учащимся на- выков в.отыскании различных способов решения задач способствует развитию приемов логического поиска,' который, в свою очередь, развивает исследовательские способности учащихся- . -V ■ \ - • '* ’
Рассмотрим решения несколькими способами некоторых планиметрических задач ц? учебного пособия А. В, ПогереХдва «Геометрия 6^-10» (М.: Просвещение, 19$б). '
§ 4, Mb 38. Высоты треугольника ABC, проведенные из вершин А и С, пересекаются $ точке М. Найдите ААМС, если Z.C=s80e (рис. 1).
Решение этой задача дало возможность повторить, закрепить и расширить знания уча- шихся об углах: свойства вертикальных углов, свойства смежных углов, ерлщ углов тве» угольника, свойства углов прямоугольного треугольника, свойства внешнего, угла треугольника, сумма внутренний углов выпуклого четырехугольника.
I способ. Из прямоуго^ьийХ треугольник ков А КС и ANC следует, что Z.KCA —70°=20е, ^ЛМС^ОО8—80*=*10V а тогда £.АМС== 180°— (20*4- М6) *=* 150®.
II способ. Вычислив Z^^C==al80®--(80,'4* -f7(f)=30?, определим; ЗСИч* =60°, затем <CNMС=9Й*--6йо«=309, котору? является смежным с .искомым углом .AMC.i
Для решения задаче этим' способом можно Использовать треугольники BA N И А КМ,
III способ. Вычйс4йв ZlABC^dQP, некоторые учащиеся пытались йз четырехугольни-
Рис. I
Рус. 2
23


ка BKMN найти Z^KMN, который является вертикальным для искомого. Этот путь потребовал дополнительных знаний, т. е. возникла возможность расширить теоретический багаж учащихся. И мы, воспользовавшись этим, предложили им доказать самостоятельно теорему: «Во всяком выпуклом четырехугольнике сумма всех внутренних углов равна 360°». Проведя диагональ KN в четырехугольнике BKMN, установили, что сумма внутренних углов четырехугольника равна сумме внутренних углов двух получившихся треугольников BKN и MKN. Воспользовавшись этой теоремой и тем, что /LBKM = Z^BNM = 90°, учащиеся нашли A.KMN = 180°—30°= 150°.
Таким образом, при решении задач несколькими способами учащиеся не только глубоко закрепляют знания изученного теоретического материала, но и расширяют свои знания, знакомятся с различными методами математических рассуждений.
§ 4, № 39. В треугольнике ABC медиана BD равна половине стороны АС. Найдите угол В треугольника (рис. 2).
I способ. Введем обозначения: Z^DAB = a, rZ.DCfi = P; так как, по условию, BD—AD = — DC, то Z-DBA—а и Z_Di3C=p. Тогда в ААВС 2а4-2{5=180°, следовательно, Z-.ABC= =-90°.
Когда у учащихся увеличится запас теоретических знаний, полезно вернуться к некоторым из рассмотренных задач, чтобы решить их уже на основе вновь изученного материала.
II способ (при изучении § 5), Вокруг АЛ ВС опишем окружность с центром в точке D и радиусом DB> тогда Z./lBC=90o, как вписанный, стороны которого проходят через концы диаметра АС.
1 III способ (при изучении § 6). Обозначив 21Л = а, Z-C=p и проведя в ААВС через точку D средние линии DN и DK, получим AADN=ADCK—ABDN = ADBK. Развернутый угол с вершиной D равен 2а+2р= 180°, следовательно, Z.ABC=90°.
§ 7, № 28. Найдите радиус г вписанной и радиус R описанной окружностей для равнобедренного треугольника с основанием 10 см и боковой стороной 13 см.
На предыдущем уроке учащимся было дано задание повторить теоремы о центрах вписанной и описанной окружностей, а также предложено выполнять дома построения произвольных треугольников и вписывать в них и описывать около них окружности, обосновывая шаги построения.
Для нахождения R и г будем пользоваться рис. 3 и 4 соответственно.
Рис. 4
I способ. Из ДЯОС находим по теореме Пифагора BD=VГЗ^-52=12 (см), О-центр описанной окружности, OKl.BC и В К = КС. Из Д ODC по теореме Пифагора OD— = VОС2 — DC2=VR2 — 52, а OD + OB=BD; следовательно, VR2—о2 + R = 12, откуда
R 169
24
СМ.
О, — центр вписанной окружности, OxD — = О V = r. Так как Д£Ю,С— ДЛ'С^С, то DC = CN и ВN—13— 5 = 8 (см), а ВОх = — 12 — г. Из (\,BOiN по теореме Пифагора Ofl2 = ВО] — BN2, т. е. г2 = (12 — г)2 — 82, ю
откуда г = -у см.
II способ. Пусть /DBC = <X, тогда соз «*-!!• Из ДОВК R= ОВ — вк 169
cos a
'24“
DC
тогда из
w 5
Из Д05С имеем: sina ^ 73-
/\BOxN следует, что OxN= ВОх*sina, т. е.
✓ 1 л V 5 10
г = (12-г) --JJ И г=т см.
III способ (при изучении преобразования подобия). Из подобия треугольников ОВК OB ВК R 13
3D
и CBD имеем
т. е.
п 169' и Я = 24* СМ.
Та к как /\OxBN cno [\CBD, to
13
во,
ВС
2-12
BN BD !
т. е.
12 — г 13
12
И г —
10
см.
IV способ. Продолжив BD до пересечения с описанной окружностью, получим прямоугольный треугольник ВСЕ, откуда ВС2 =
= BD-BE и R='-§ см.
Для нахождения радиуса г этим способом учащиеся предварительно на занятии математического кружка ао теме «Преобразование


подобия и его свойства» познакомились с зависимостью между касательной и секущей, проведенными из одной точки к окружности. Используя эту зависимость, имеем: BN2= = BM-BD, т. е. 82= (12—2г) • 12, откуда г = 10
=—см-
V способ. Если Z_D5C = a, то Z-DOC= = 2a, как внешний угол равнобедренного АСОВ (другое обоснование: так как точка В лежит по одну сторону с центром О относительно прямой £С, то по свойству вписанного
угла Z.EBC= ~ / ЕОС). Из ADOC R — ОС = DC 5
sin 2a ' 5
13 * 13
2sin a cos a
169 '/Л ч 24 (^м).
Из /\BOxN имеем r— OxN = BN igz. Так
5 12 , sin a
как sin a = — , cos a = —, to tg a «
-k и '■ = 8
10 /„ \ — (CM).
13 ’ 13 ' ~ 'e cos a
_5_
12 ~ 3
VI способ. Решению задачи этим способом предшествовало задание разобрать решения демонстрационной задачи (37) на с. 124 учебного пособия (для нахождения R) и демонстрационной задачи (10) на с. 150 (для нахождения г). Используя свойства двух пересекающихся хорд АС и BE окружности, учащиеся записали: AD-DC—BD-DE, т. е. 52=.
169
= 12-(2/?—12), отсюда/?= 24 см.
Используя свойство биссектрисы СОх тре-
or\f> CD DO\ 5 г
угольника В DC, имеем -^g- •= -gQ-> -jj — \2~~г>
10
откуда г = — см.
VII способ. Вычислив BD = V132 — 52 == 10212- = 60 (см2), найдем R
, гч abc 2S
и г по формулам и г = д g, где
а, Ь, с — стороны треугольника, S — его площадь.
= 12 (см) и S ■■
Рис. 5
Рис. 6
§ 8, № 43 (2). Составьте уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами (4,-1) a (-6, 2) (рис. 5).
Задачи из § 8 учебного пособия помогают учащимся осознать и глубоко понять координатный метод в геометрии и формируют твердые практические навыки построения фигуры по заданным уравнениям и составления уравнений по заданным фигурам на плоскости.
I способ аналогичен предложенному в учебном пособии решению демонстрационной задачи (47) на с. 104.
II способ. Подставив координаты заданных точек в уравнение прямой y = kx-\-qt получим систему
|— 1 —Ak + q,
\ 2=_6 k+q,
решив которую, найдем k=— 0,3, <7=0,2 и получим уравнение Ъх+\Ъу—2 искомой прямой.
III способ. В форме подсказки учащимся было предложено построить искомую прямую по двум заданным точкам А (—6; 2) и В(4; —1). Записав уравнение прямой в виде y=kx-\-q, получим точки пересечения прямой
с осями координат N(0; q), о). На
построенной прямой выберем произвольную точку С(х; у). Из графика (рис. 5) учащиеся наглядно установили, что q> 0, &<0 и
-х>а
Так как Д АЛ^оо Д ВВХМ, то ^ =
А,М 2
—-— те. — = В%М 9 с 1
6 —
4 + х
k а
— откуда \
3 •
Из подобия треугольников ААХМ и ССХМ
2
имеем
. ААХ
сс\
АХМ
CtM
т. е.
J2_
У
б +
3
или
(~х + "3“)» или 3^ + !0у = 2.
Хотя это решение несколько громоздко, но оно полезно для привития навыков использования координатной плоскости.
§ 10, № 53. Даны четыре точки: Л( 1; 1), В (2; 3), С(0; 4), D(—1; 2). Докажите, что четырехугольник ABCD — прямоугольник (рис. 6).
I способ. Нанеся заданные точки на координатнуюплоскость, получим векторы АВ( 1; 2)=£>С(1; 2), следовательно, ABCD — параллелограмм, так как ~AB\\DC, \АВ\ = — \DC\ и точка А не совпадает с точкой D. Вычислив координаты вектора AD[—2; 1),
25


найдем AD *=—2 • 1 *flк 2 *= 0; следователь*
но* ABCD — прямоугольник, так как ABXAD.
11 способ. После того как установлено, что ABCD— параллелограмм, вычислим длины диагоналей:
: Уф- *)*+ (« - 1)*“КТО,
АС:
*)* + (« ~ l)г■
K(2-|- 1)*+(3-2)*•
ВП •У (2 + 1)* + (3- 2)’ = КЮ. Таким образом доказано, что ABCD — прямо* угольник.
111 способ. Вычислив длины диагоналей
ACss BDs^ViQ и координаты середины от* рЬгков АС и BD
1 + 0 I _ 4 + 1
Хх = —В*» .-5- , у, —
л2-
— 1 +2
2 »
1
•Т-1
2,5;
v 2 + 3 «к
Уй ~ 9
-j- 2 > ..дв — 2
получим, что ABCD ~ прямоугольник. А так как |ЛЙ| = |ЯС| - 1Ш| — \AD\ ==У"5, то ABCD — квадрат.
Решение данной задачи несколькими способами позволило учащимся аовторить признаки и свойства караллелограмма, прямоугольника и квадрата, оперировать с векторами, находить длнвы отрезков по их координатам в координаты середины отрезков.
•' § 11, Ns 8. Даны стороны треугольника а, Ь, с. Найдите медианы т- ть, пи, проведенные к этим сторонам.
I способ. Из А А ВО и АВОС (рис. 7), по теореме косинусов, имеем:
с2» + пц,—cos л и в2а*-у -+•
•f mi -+ tot*cos*.
Сложив полученные равенства, найдем
ш,
2
И со особ, Дополни* ААВС до параллелограмма ABC0, используем свойство параллелограмма о сумме квадратов диагоналей (Изложенное в учебном пособии как- следствие из теоремы коейиусЬв): (2тА*+Ь*з=:2а*-{-2с*‘, отсюда следует
:Т
и»
?+:2с*—
Рис. 7
Вт 8
HI способ. Введем векторы ВА~~-с. ВС*=* =о, AC—b, BD—tnb (рис. 8). Используя правила действий над векторами, запишем:
а + с — 2ть, а — с = Ь.
Возведя оба равенства в квадрат, получим а2 + 2 а с + с2 = Ami, а2 — 2 а ~с + с2 = Ь2.
сле-
Сложив их, получим 2a2+2c2—'4m2b~-fb2, откуда
ть — уг2в’ + 2с1 — 6’.
§ 11, № 10. Докажите, что биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
I способ. См. решение демонстрационной задачи (10) на с. 150 учебного пособия.
II способ. Проведя DKWAB (рис. 9), получим равнобедренный ABDb(, так как ZJ)BK= =Z~BDK. Из подобия треугольников ABC и DKC следует, что
АВ __ DK _ ВК ВК _ АР
~ВС~ ~ “КС~ ~ КС ’ КС DC
АВ AD довательно, "уо~ — ос" •
III способ. Построим CIQBD и продолжим АВ до пересечения с С К (рис. 10). Ис¬
пользуя свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, докажем, что АВКС—равнобедренный. Так как стороны угла КАС пересечены двумя параллельными прямыми BD и КС, то
АВ АО АВ AD
В К ~ DC ’ ИЛИ ВС ~~ DC •
При решении задачи II и III способами были Повторены: свойства углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей, свойства равнобедренного треугольника, обобщенная теорема Фалеса, свойства преобразования подобия.
§ 12, № 18. У правильного треугольника радиус вписанной окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности. Докажите.
26


I способ. Так как у правильного треуголь- ника биссектрисы являются одновременно серединными перпендикулярами сторон И медианами, то центр вписанной окружности совпадает с центром описанной окружности, а медианы в точке пересечения делятся в отношении 1:2, то R=2r.
II способ. В равнобедренном треугольнике АОС (рис. 11) Z-j40C=120°, как центральный угол, опирающийся на дугу в 120°. Высота OD является одновременно и биссектрисой, поэтому Z.DOC—60°, a /LOCD—30°. Следовательно, 0C=20D, т. е. R=2r.
III способ. Если продлить отрезок OD до пересечения с описанной окружностью в точке К, то получим равносторонний треугольник ОКС со стороной R, у которого высота CD одновременно является и медианой. Следовательно, 0K—20D, т. е. R=2r.
IV способ. В ABDC биссектриса СО делит сторону BD в отношении
ВО ВС 2
OD ~ DC 1 '
следовательно, R—2r.
Для домашнего задания мы обычно подбираем задачи, подобные решенным в классе. Так, после данного урока на дом была дана задача № 17 из § 12: Хорда, перпендикулярная радиусу и проходящая через его середину, равна стороне правильного вписанного треугольника. Докажите.
§ 13, № 41. Найдите площадь трапеции, у которой параллельные стороны 60 см и 20 см, а непараллельные—13 см и 37 см (рис. 12).
По числовым данным условия задачи предположим существование другого вида трапеции (рис. 13), где Z-A — тупой. Если провести CKWAB и CNJLAD, то в полученном ACKD должно выполняться соотношение 3 72>132-{- -j-402, что неверно. Следовательно, углы iLCKD = Z.BAD должны быть острыми, а точка N должна принадлежать отрезку KD. Можно это доказать и по-другому, на основании соотношений между сторонами тре¬
угольника и противолежащими им углами в ACKD.
Решение задачи сводится к нахождению высоты трапеции CN.
I способ. Проведя CKWAB, вычислим площадь ACKD по формуле Герона, затем н-ай-
дем высоту CN— —
II способ. Обозначим Z-CKD — a и из ACKD, по теореме косинусов, найдем a, CN — = С К sin а.
III способ. В ДCKN обозначим A'.V—х, тогда ND=40—х. Из уравнения 132—х2— =s=372—(40—х)2 найдем х, а затем CN.
IV способ» Продолжив. АВ ц CD до взаимного пересечения, получим Д AQD, подобный Д ВОС. Так как -|§- — Ц = 4"’ 70
0£) ==-|- -37=55,5, ОА = -§- • 13 = 19,5. По формуле Герона найдем SAavd , a S'abcd •=
§ 1“3, № 42. В равнобокой трапеции большее основание равно 44 м, боковая сторона 17 м и диагональ 39 'Mi- Найдите площадь трапеции (рис. 14).
I способ» Из AACD по формуле Герона найдем SaAcd, а затем , высоту СК. Из ААСК по теореме Пифагора найдем отрезок АК, который, равен средней лиши трапеции.
II с п о с о б:: Пу<ш> £.САВ =^ol Тог^аа, используя теР'рш^-.<К0ХД1йутв.' для ААС В, въгайс- лим 003 а и sfn- в = 1 —cos2 а, затем из ААСК найдем АК и СК.
III способ, Обоэнатим АК—х, тогда KD = 44—х. Из треугольников АСК и CKD по теореме Пифагора имеем АС2—AK2—CD2— —KD2, или 392—'Зе2==?172—(44—х)2, где х=*АК равен средней... линии храяеции. Высота СК легко вычисляется по теореме Пифагора.
IV сп оса б. Пусть ВС=х. Выполним параллельный перерос диагонали. BD на вектор ВС. Тогда из АСМК следует CK2—CN2—KN2, a ns ACKD имеем. CK2—CD2—KD2; следовательно, CN2—NK2 = CD2—К&\ т. е. 392-*—
27


+ _ i72 _ ^.„.5-^ Вычислив ВС,
легко найдем СК.
V-с по со б. Обозначим Z-CAD — a\ используя теорему косинусов для AACD, вычислим cos а, затем sin а. Докажем, что SABcd=
==S&acni 5A^cw=-y*^C2sin2a=-~-.39? sin2a=s = 392 bin a cos a.
Система упражнений по планиметрии в IX—X классах
С. 	М. Саврасова
(Москва)
Опыт работы по учебному пособию А. В. Погорел ова в IX—X классах показывает, что учащиеся испытывают трудности в решении задач. Одной из причин указанного недостатка является непрочность навыка решения задач по планиметрии.
Предлагаемая система упражнений направлена на ликвидацию недостатков в знаниях по планиметрии учащихся IX—X классов, на формирование специальных математических навыков решения планиметрических задач. При этом из курса VI—VIII классов выбраны только те умения и навыки, которые имеют широкое применение при решении задач в IX—X классах. Фрагменты такой работы продолжительностью от 5 до. 15 мин можно включать в уроки стереометрии. Место того или иного фрагмента на уроке определяет учитель сам.
Думается, что статья будет интересна и учителям, преподающим геометрию в VI— VIII классах, а упражнения могут быть использованы в их текущей работе.
Система упражнений разбита на 4 серии. Каждая серия состоит из 3 частей:
^ 1) справочная таблица;
2) набор тренировочных упражнений;
3) проверочная работа.
Перечислим тематику этих серий.
I. 	Метрические соотношения в подобных треугольниках.
И. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.
III. Площади фигур.
IV. Правильные многоугольники.
В кабинете математики желательно иметь постоянно действующий стенд для учащихся IX—X классов «Повторяем планиметрию», составленный из справочных таблиц (I—IV)
этой статьи. Ученики к нему привыкают, достаточно легко ориентируются и быстро находят в нем необходимую информацию.
Для выполнения упражнений учащимся предъявляются готовые рисунки либо на доске, либо с помощью графопроекгора (з одном варианте для всего класса). Наборы тренировочных упражнений приведены в статье в таблицах IT—IVT. Учащиеся переносят каждую задачу в тетрадь и при минимуме оЗоснова- ний решают ее. Думается, что в подготовленном классе весь набор упражнений можно предложить учащимся для самостоятельного решения с дальнейшей фронтальной или индивидуальной проверкой решений. При этом учитель должен проявить все свое мастерство, чтобы создать всем учащимся условия для формирования навыка решения задач.
Проверочные работы можно взять из приведенных в статье таблиц (1п—IVn) -
Опишем методику работы с каждой из таблиц. Общая схема такова: повторение некоторого теоретического или практического материала, представленного в справочной таблице (1—3 урока), тренировочные упражнения (3— 5 уроков) и проверочная работа (1 урок).
Таблица I. Подобные треугольники.
С рассмотрения материала этой таблицы полезно начать работу в IX классе. Навыки решения подобных задач понадобятся уже при выполнении упражнений к § 15.
Фронтально с использованием таблицы со справочным материалом повторяются первый признак подобия треугольников и задача 54 из § 9 (сообщается, что в дальнейшем можно ссылаться на эту задачу как на теорему).
Далее учащиеся формулируют свойства сторон и углов подобных треугольников (свойство площадей найдет применение только в X классе).
На одном из следующих уроков закрепляется повторенный раздел теории и решается задача 5.1 из справочной таблицы I, раскрывающая механизм получения производной пропорции из данной. Эту задачу можно предложить в виде образца, а задачу 5.2 использовать для закрепления полученных сведений (при нахождении нужного отношения ученик все выкладки выполняет только в том случае, если ответ ему не очевиден).
На следующих 2—3 уроках учащиеся под руководством учителя выполняют тренировочные упражнения. Формы организации деятельности учащихся на этом этапе, степень их самостоятельности, формы учета знаний учитель определяет сам. Главное же состоит в том, чтобы дать возможность учащимся выработать соответствующий навык в решении этих задач. Если за 2—3 урока учащиеся не будут готовы
28


ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ
I. 	Справочная таблица
1. Первый признак подобия
\t-A= z_/4j С = Z- Qj
А
ААВС A A, Bt С]
2. Задача N54 из §9 .с
pq]\ab
йАВС Л PQG
В
3. 	СВойства сторон и углоб
■АВ
мы
4 AJ5C А МЫК ~N~K МКf ^ A—^M)^.B=/c.N/z.C=^K.
4. 	Свойство площадей - aABC^AMNK
Saabc _ АВ2 Samnk MN* '
5. Пропорциональные отрезки (задачи.)
MN/} АС мв 2_
МА ~ з
МА
АВ
Рё шение
MB 2
1) ~ри = у / значит, MB^Zk, МА -Зкг
АВ —5к и
МА Зк
А В ““ 5к
3__
6
Ответ: -ЦЛ. — А..
АВ 5
мы Нас вс 7 CN ~ 5
MN
С . АС
Решение
ВС __ 7
i) -gr—j>значит,ВС=..., CNf=...JBN=....u
т_
вс
Z) Так как AMBNc^ a ABC, то т..
MN
АС
Ответ:...
Тт. Тренировочные упражнения
© N.
\^^юсм
аГ
Найти Л В), если А, я, ЦА1 Bz
® JL
AzAt 2 ^ Aj 0 ~~ 3
A' А,Аг 5 A,0 ~ 3
© м ,
/ ^>5-г
[МА, 5 Аг MAZ ~ 9
Найти Аг В2, если в7 ЦАг вл ©
Al° = 4 A-j Az 3
D
@ ^ f Bt
■ у/у. B-,0 5 Bz^L—\Az B,Bz- 7


Хп. Проверочная работа
ф в-l yds Дано: MNthe Jjr / AM : MB **7:2
>7 j BC — 2,7 cm
j j HadmuiMN A l
B~-
Дано : BA ЦCE
(t\ лв:вс = 5:2 \ \ 4. AB = 4j5cm ,. » \ - Иа й m и: С £
Ф ЙДЧ. Дано: MNЦАС HA. jf NKttCff Mf\ \ AM _ 5 / \ \ MB 3
Найти: CO
A.. _
/-Ч
(£) /ГЧ Дано: MN ЦАС /1 \ /M7/CZ7 / 1^. AM _ 2
/ N. CD = 2,1 дм
Найти: N К
A
СООТНОШЕНИЯ, МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ I ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ
, Справочная таблица
7. Теорий. Ямфскорй
с*-~ а2 + Ьг-, ‘С =:\/а2 '+ь* ; аг = сг-Ьг, а-]/-с*+-Ьг;, Ьг ~ в2 '-аг, Ь =/сг -а*.
2. 	Определения синуса, косинуса и тангенса острого угла и следствия из них
si па = а=с since, с=
Ь Since *
COSCC = ^r, b=ccosoc,c- -b - ■
cosoc. >
tgx - a-btgee, t —
tgee
3. 	Теорем& b среднем пропорциональном •
b2 « acbC) h — ]/acbc ;
с2 = cac, a — l/cac ;
b2 =cbc , b =VcbJ •
St. Тренировочные упражнения
30


Яп. Проверочная работа N1
Пп, ЯроВерочиия работа N2
ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ
ВВЕДЕНИЕМ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО УГЛА
Jit Справочная таблица
1.Решение задачи
ВС-а СА-Ь
Q.
сп
в
Решение
Из треугольников С В И и ВАС СП
Sin В = Sind
оГ7 ■ ь 'IГаГРБ*’
£1L - Ь ■ о- VaJTb1 ’ ab
СП-
Уа2+Ь*
2. Доказательство теоремы АС-Ь
вс = а
АВ-С
с*=а2+Ь2
Доказательство
1) Пусть СЛ-Высота,
В и = аС) АВ-her
2) Из треугольников
BCD и ВАС О.!'
COS В —
COS В = -—■>
ас а -а=—’ --сас,
АСПи ABC
cos А = 4г >
и
cos А = ,
А
Ь ~ с Ьг = cbci
3) а2+Ьг = С(ас+Ьс) = сг
3 .Задачи с решениями. Найти х:
в .в -
1)АВ=]/В1+дг =10, У*дВ=-f и
igs= f,
f = f,x=3,75 Dm бет: 3,75
t) Be^W4i=j2,
2) case = jj«
cosb=
' 12_ —6,5 y_7l 13 ~ X ’X-'m
OrnSem: 7jfe
t) BC = 1*3=4;
2) AB=]/3i+42=5;
3) si'nB ~yu
sin В — -J- >
j = j-,x=oe. OmBern'. 0,6.
Пт- Тренировочные упражнения
Найти X •


ФОРМУЛЫ ПЛОЩАДЕЙ
щт. Тренировочные упражнения
32


Min. проверочная работа
ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ \h, г, R\ ФИГУРЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФОРМУЛЫ ПЛОЩАДИ
Tffl Справочная таблица
Найти. Ъ
Задачи с решениями
Найти г
Дано: АВСЯ- параллелограмм, AD—6, АВ=5, CELAB, СЕ=3, СПАЛ.
Найти: СF
Решение
$АВСЛ =ABCF, и SABCB —АВ-СЕ, АН-CF =АВ■ СЕ,
CF
- и.-
2,5
Ответ: CF=2,5.
Дано: а А ВС, 4.0 = 90°, АС=6, ВС =8, СИ LAB.
Haumw.cn
Решение
2Sabc —АС-ВС,
и 2SABC —АВ-СЕ, „„ _ АС-ВС ■ СП - ~^Св '
АВ~\/~6г+Ъ2 -10, Ответ: СЛ=4,8.
Найти R
Найти г
Дано: л А ВС,
АВ = 13,ВС=14, АС =15.
Найти: г
1) S=typ(p-a)(p-b)(p-с),
m.e.S=\fzi-8T6 =84;
z)S=p-r
5
~F>
г =-^ = 4- 21
Ответ: г
г =
Дано: л ABC, АВ =13, вс=п, АС =15.
НайтиЯ
1) 5-
abc
4Я
г) Из задачи (з) изВестно, что 5 =#4, тогда п_ abc ,
„ _ 13-1Ц-Т5_а1 н~ 4-84 -°8
Ответ: R-8t-
Дано:
A BCD -ромб,
АС=20, ВЛ =15. Найти:г
7) SA8CU — YАС-ВЛ, •S/iBCD —150;
2) ВС -\/0В2 +0С2,
ВС = 12,5 ;
3) Sabcv — 4S/iboc~ -4-£вс-г =рг,
rsf> r~-§=6-
Ответ: г=6.
illy. Тренировочные упражнения
2 «Математика в школе» № 6
33


ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
fv. Справочная таблица
jy т. Тр енироВочные упражнения
©
/
с
\
Дано: д ABC — равносторонний,
® Ft Дано: abchef- / \ правильный
/
\
АВ~3.
/ г4 \ шестиугольник,
А Я _ ' \ ТУ
/
/
А -..-^27 ав
J
г
\ Найти:
\ / Найти:
А
В l)h у 2) Г} 3) R, 4JS; 5)Х.
\l—^J 1) dj; г) dz ; з) г} в с 4)s; 5) х ■ ’
к выпрлнению проверочной работы, то учитель может увеличить число тренировочных «уроков», составив дополнительные упражнения.
Заметим, что, настроенные на идею подобия, большинство учащихся при решении задачи 1 из табл. 1т будут составлять пропорцию. Проверяя решение, следует обратить их внимание на возможность доказать, что А]В\— средняя линия АА2ОВ2 и, следовательно, A\BX =
= ~ A2B2»
Примерно на 6-м или 7-м уроке учитель проводит проверочную работу*
Таблица II. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.
Упражнения этой серии целесообразно выполнить до изучения § 16, 17.
Работа со справочным материалом таблицы может быть распределена на 3 урока: на 1-м — повторить теорему Пифагора, на 2-м — определение тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике и следствия из них, на 3-м — теорему о среднем пропорциональном. Затем на 3—4 уроках идет тренировочная работа. Каждый набор упражнений в данном случае (см. табл. Ит) состоит из 5 одношаговых задач. Наборы 1—4
34


следует использовать в том порядке, как они представлены, ибо з их построении есть внутренняя логика, позволяющая учителю вести за собой ученика. Методика проведения тренировочных упражнений избирается учителем самостоятельно. При этом важно, чтобы перед учащимися была четко сформулирована цель: научиться пользоваться соотношениями, существующими в прямоугольном треугольнике,— и рационально организована работа по ее достижению.
Сформированность соответствующих навыков проверяется при проведении проверочной работы № 1 (см. табл. Пп). Особого внимания требуют к себе пятые задачи из нее. Возможно, их решат немногие, однако задача на вычисление высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, встречается так часто (особенно в X классе), что учитель обязан отработать навык ее решения у всех учащихся. Поэтому на следующих после проверочной работы (Пп — № 1) уроках целесообразно рассмотреть 5 способов решения этой задачи, порекомендовать учащимся выбрать из них наиболее понравившийся и запомнить его.
С этой целью можно решить следующую задачу.
Дано: Д ABC, ^ С 90°
CD ± АВ, ЛС«6,
Я Найти CD.
I способ — введение вспомогательного линейного неизвестного.
Пусть AD=y, тогда CD2—АС2—у2 и CD2— — ВС2—(АВ—у)2. Отсюда находим у, а затем и CD.
II способ — применение теоремы о среднем пропорциональном. Используя равенство AC2=AB-AD, находим AD, а затем CD.
III способ — использование подобия треугольников.
AACDooAABC, значит Отсю¬
да находим CD.
IV способ — введение вспомогательного угла.
Из треугольников CAD и САВ имеем соответственно
Отсюда
sin А:
CD
АС
CD
АС
ВС
ВА
и sin Л:
И CD :
ВС
= ВА •
АС-ВС
ВА
Так как = — AB-CD, то
±АС.ВС=4-
S^abc —АС\ВС и S&ABC
АВ-CD и CD
АС'ВС
V способ — использование формулы площади треугольника.
АВ •
Хорошо, если указанные способы будут оформлены в виде настенной таблицы и станут доступными учащимся к использованию в нужный момент.
Отметим, что задачи наборов 1—4 из табл. Пт не исчерпывают множества задач, с которыми учащиеся сталкиваются в курсе IX—X классов по теме II. При решении задач на вычисление угла между прямой и плоскостью, двугранного угла или угла между плоскостями необходим навык вычисления углов в прямоугольном треугольнике. Его формированию и служат тренировочные упражнения 5—7 этой таблицы и соответствующая проверочная работа (Пп — № 2). Здесь необходимо объяснить учащимся, что нередко под задачей «Найти угол» понимают задачу «Найти какую-нибудь тригонометрическую функцию этого угла». Например, при отсутствии микрокалькулятора правомерен ответ: sin а=
= где а — острый (тупой) угол.
К серии II могут быть отнесены еще и задачи на вычисление линейных элементов прямоугольного треугольника введением вспомогательного угла (см. табл. II'). Этот навык потребуется при решении задач на вычисление радиуса шара, описанного около пирамиды или конуса (X класс).
Справочная таблица в данном случае предназначена только для того, чтобы показать учащимся, что с этим приемом они знакомы и его можно распространить на некоторые незнакомые задачи. При наличии таблицы задания 1 и 2 в тетрадь записывать, конечно, не надо. Применение метода введения вспомогательного угла учитель может показать на задачах 3.1—3 из этой таблицы. При их рассмотрении учитель подсказывает, что выбор тригонометрической функции угла зависит от условия задачи и что ученик должен ее ввести так, чтобы иметь возможность использовать известные элементы треугольников.
Далее предлагаются набор тренировочных упражнений (табл. 1ГТ) и проверочная работа. Заметим, что каждая из предложенных здесь задач может быть решена и с помощью подобия.
Таблица III. Формулы площадей.
Упражнения этой серии обслуживают в основном курс X класса. Прочные знания формул площадей нужны при решении задач на вычисление поверхностей и объемов много-
2*
35


гранников и тел вращения. Однако целесообразно работу по формированию или восстановлению соответствующих навыков проводить уже в IX классе; сделать это можно на двух уроках. Упражнения табл. III могут быть использованы и в X классе.
Когда все формулы, указанные в табл. III, будут повторены, учитель проводит на следующих 3 уроках тренировочные упражнения Шт> а затем проверочную работу 1Пп.
На этом работа по теме III не заканчивается. На следующих 2—3 уроках учитель сообщает учащимся, что в планиметрии часто знание площади фигуры используется для вычисления некоторых ее линейных элементов, таких, как высота, радиусы вписанной и описанной окружностей. Задачи табл. ИГ учитель предлагает в виде образцов. Навыки в решении названных задач закрепляются при выполнении тренировочных упражнений.
Таблица IV. Правильные многоугольники.
Владение этим материалом потребуется от учащихся как в IX классе при выполнении уп- ражений к § 16, так и при решении упражнений по курсу X класса в связи с изучением правильных призм и пирамид.
Работа со справочным материалом может быть распределена на 3 урока, В отличие от работы с предыдущими таблицами здесь все соотношения следует вывести с учащимися, а не предлагать их в готовом виде. Это необходимо для того, чтобы дать учащимся логическую основу для запоминания. Меру самостоятельности учащихся учитель определяет сам. Табл. IV избыточная. Так> вычисление
отношения -—-в практике IX—X классов не
встречается, но оно здесь приведено для того, чтобы дать еще один способ для вычисления г или Л. При этом интересно проследить, что
1 /Т /з
указанные отношения равны — , —^^—.
т. е. являются, например, значением синуса угла в 30°, 45° и 60° соответственно.
Далее проводится традиционная для данной системы упражнений работа по выработке на¬
выков сначала в тренировочных упражнениях (табл. IVT), а потом при выполнении проверочных работ № 1 и № 2.
Проверочная работа М 1
1. 	Закончить предложение, чтобы получилось верное высказывание: * Каждый внутренний угол правильного шестиугольника (треугольника) 1 равен...».
2. Написать формулу площади правильного треу гольника (шестиугольника) со стороной т.
3. Написать формулу для выражения стороны а правильного треугольника (четырехугольника) через радиус описанной окружности R.
4. Найти отношение в правильном четырехугольнике (треугольнике).
5. Выразить сторону х правильного треугольника (шестиугольника) через сторону а правильного шестиугольника (треугольника), вписанных в одну окружность.
Проверочная работа М 2
Дан правильный I вариант
1. АВ=ш. Найти медиану BD.
2. BD ± AC, BD = l. Найти АВ.
3. О — центр*, Л 0=3. Найти АВ.
4. О — центр, ОМ LAB, OM — Z Найти_АВ.
5. S д авс—6/3.
Найти АВ.
треугольник ABC
II вариант
1. АВ — п. Найти биссектрису AD.
2. ADLBC, AD—k. Найти АС.
3. О —* центр, ОК1АС, ОК=3. Найти АС.
4. О —центр, ОС=2. Найти АС. _
5. 5 д а вс=== 8 /3. Найти АС.
Если учителю покажется, что проверочных работ много, их молено использовать в качестве тренировочных.
В заключение заметим, что программа и IX, и X класса позволяет вести целенаправленную работу по формированию навыка решения планиметрических задач не только без ущерба для основного материала, но и с большой пользой, увеличивая степень самостоятельности учащихся в решении стереометрических задач.
1 В скобках записано разночтение для II варианта,
2 Можно рекомендовать ввести понятие центра пра¬
вильного треугольника.
Поправки к № 4 за 1987 г.
На с. 43: в задании 2 работы № 6 числа 54 и 48 следует поменять местами; в задании 4 работы Ms 7 слово «наибольшим» заменить словом «наименьшим». На с. 44: во II варианте задания 2г) работы № 4 второе уравнение системы должно быть у*+3х=*12; в задании
2° работы № 6 в левой части неравенства должно быть 0,1х’+бж“®»5; в I варианте задания 4 работы № 6 число 96 следует заменить числом 81, а слова «пропорциональные числам 3 и 2» вычеркнуть.
36
<


Устные вычисления в IV классе
Б. Н. Бородихина
(г. Ермак Павлодарской обл.)
В работе с учащимися четвертых классов я систематически стала использовать некоторые приемы устных вычислений, что значительно повысило интерес четвероклассников к математике. Особенно радует увлеченность устными вычислениями ребят, которых часто называют трудными.-Они всегда с большим желанием выполняют такие задания. В результате многие слабоуспевающие ученики почувствовали уверенность в своих силах.
Сначала с приемами умножения на 5, 25, 11, 98, 99, 97, 94, 93 я познакомила членов математического кружка. Но потом пришла к мысли о том, что такие умения необходимы всем учащимся, что они значительно облегчат их работу на уроках математики не только в четвертом, но и в старших классах.
Сейчас все четвероклассники знают, как устно умножить двузначное число, оканчивающееся на 5, на само себя. Интересно отметить следующее. Когда мы изучали этот прием, у ребят возникла идея применить его к трехзначным числам. С каким усердием они это доказывали!
При изучении приема умножения чисел, близких к 100 (т. е. 99, 98), учащиеся также решили использовать этот прием к умножению чисел, близких к 1000, и теперь с успехом его применяют. Проявление таких творческих начал у ребят очень радует.
Чтобы у учащихся не терялся интерес к приемам устных вычислений, мы предлагаем им, например, такие задания в самостоятельной работе:
1) (93 • 98—57*2) : 45+ (162,375+379,625);
2) (848-25—19* 1100) : 100.
Используем, на уроках и так называемые круговые задания, в которых сначала решается первый пример, затем тот, номер которого получился в ответе, и т. д. Например:
1) (85-85+87 • 11 —100) : 4041+57 : 19; '
2) ((2056-25+42 -11) : 1000—(0,576+
+0,286)) : 17;
3) 45-2,354—43-99: 100+3,924;
4) (65-65: 10—(75—12,34—25,16)) : 385—1;
5) (8016-125—92• 980— (9534,48+305,52)) : : 451 000.
Ответы: 1) 5, 2) 3, 3) 4, 4) 0, 5) 2.
Решают круговые примеры все учащиеся на своих местах, комментируя при этом вычисления. Каждый старается быть предельно внимательным, чтобы правильно выполнить очередное действие. На решение довольно сложных пяти примеров уходит обычно около 15 мии.
Навыки устного счета с натуральными числами значительно облегчают выполнение умножения десятичных дробей. Учащиеся быстро дают ответы на довольно сложные задания, например: 0,64-12,5; 10,5*1,05; 0,49-9,9; 0,83*9,8; 2,44-2,5.
Подбираются иногда такие задания, чтобы ответ учащиеся могли, показать на пальцах, закрыв глаза. Например: 2,4-1,25; 3,6-2,5.
Чтобы ученики относились к устному счету серьезно, мы проводим учет навыков вычислений в течение недели, а на заключительном уроке выставляем оценку за неделю.
Образец задания на заключительном уроке:
1) 10,5-1,05
2) 1,6-0,11
3) 0,88-1,25
4) 0,46-9,9;
5) 0,83-9,8;
6) 0,48-12,5;
7) 2,4-2,5;
8) 0,05-100;
9) 1,6-1,25.
С целью поощрения учащихся, которые отлично владеют приемами устного счета, мы доверяем им проводить занятия с группой ребят, плохо справляющихся с устными вычислениями.
Из опыта выявления и воспитания у учащихся интереса к математике
Э. 	▲. Ясиновый
(г. Куйбышев)
Ученик может получать постоянно оценки «4» и «5» по математике, но это еще не свидетельствует об интересе его к предмету. Другой школьник может учиться преимущественно на «3» и «4» (реже на «4», чаще на «3»), однако это не говорит об отсутствии у него интереса к предмету. Первому ученику легко дается учение, но, возможно, он не проявляет интереса к математике. Второму ученику учение дается не очень легко, но, возможно, ему интересно учиться. Оценка чаще всего показывает успехи и старания в изучении данного предмета в данное время. Одна только оценка не может являться признаком наличия интереса к этому предмету.
Бывают случаи, когда интерес к математике возникает у учащегося, слабо успевающего по предмету. Если учитель замечает это и в то же время видит его затруднения, связанные с плохим знанием теоретического материала за прошлые годы или с неумением быстро и умело проводить вычисления, преобразования и рассуждения, то ему надо помочь и поддержать появившийся интерес к математике. Способности могут получить дальнейшее развитие иосле окончания школы.
На собеседовании в ЗМШ ученик решил задачу, в условии которой дана длина а сто¬
37


роны основания правильной треугольной призмы ABCAiBiCi. Требовалось найти объем этой призмы, исходя из условия, что на диагоналях ВАх и ЛCi ее граней имеются по две точки, являющиеся вершинами правильного тетраэдра.
Однако решение, которое он нашел, ему не понравилось из-за сложных выкладок. Применив, по рекомендации учителя, векторный метод, ученик, к своему восторгу, получил красивое, оригинальное решение задачи.
Другой ученик, не проявлявший ранее особых успехов в математике, показал учителю свои решения задач, которые задавались более способным ученикам. Учитель стал предлагать ему нестандартные задачи, которые решали и отличники. Очень часто этот ученик справлялся с заданием одновременно с отличниками, а иногда и раньше их, нередко представлял оригинальные решения. Поддержка ученика, ранее не отличавшегося знаниями, но неожиданно проявившего себя в нескольких случаях как умеющего мыслить нестандартно, поднимает его авторитет перед учениками класса и вдохновляет на дальнейшее более серьезное изучение предмета. Здесь, по нашему мнению, имеет место негласное соревнование. Стремление выглядеть перед товарищами умеющим решать трудные задачи, сообразительным надо всемерно поддерживать.
Учащиеся часто задают вопросы, которые могут возникнуть в результате личных наблюдений и размышлений или в результате чтения дополнительной литературы. Ни один вопрос не должен оставаться без ответа, в то же время каждый учащийся заслуживает похвалу за хорошую постановку вопроса. Однако лучший способ поддержания интереса к предмету, формирований самостоятельности поиска— указать математическую литературу, в которой можно получить исчерпывающий ответ на интересующий ученика вопрос.
ПРОБЛЕМЫ И СУЖДЕНИЯ
О программе по математике
К. И. РснЖИК (Ленинград)
I Пропала ясность
Мы так ждали этой программы, программы обучения математике в послереформешюй школе, школе будущего.
В 1968 г. была проведена реформа преподавания математики, и с той поры устоявшаяся система математического образования пошла вразнос.
За эти годы мы устали от скоропалительных нововведений сиюминутной ценности. Ежегодно издавались весьма странные учебники: с прямыми ошибками (вспомним, как определялись многогранники в IX классе), с рваной логикой (то приводится доказательство, то его нет, а почему — неясно), напрочь оторвавшие теорию от практики (разнобой в определении вектора в математике и физике), с отвергнутыми методическими концепциями (полная аксиоматика в начале геометрии VI класса).
К традиционным в школе разделам математики добавились новые. Не буду их перечислять— они хорошо известны. Сопровождалось это увеличение объема программного материала уменьшением количества часов, отводимых на изучение предмета. Чтобы как- то спасти положение, почти ежегодно для учителей математики стали появляться циркулярные письма, в которых представители Минпроса объясняли нам, что из программы в предстоящем учебном году не изучать, что переставить. Ни дать, ни взять — Тришкин кафтан! Для работы с учебниками предлагалась специальная методика, порой резко противоречащая как всему предшествующему опыту, так и общим педагогическим установкам нашего времени, перечислялись задачи, которые надо решать, причем эти установки имели нормативный характер.
Эта информация шла к учителю с одной стороны. С другой стороны от нас требовали программированного обучения, проблемного обучения, применения технических средств и т. д. чуть ли не на каждом уроке.
Если до 1968 г. мы четко знали, чему и как учить, то в последние годы от этой уверенности мало что осталось. И как естественное следствие — наши ученики стали хуже считать, хуже видеть в пространстве, хуже говорить на математическом языке, хуже решать задачи. Уже не стало зазорным на олимпиадах и на конкурсных экзаменах в самые авторитетные вузы давать задачи, которые 20 лет назад решали даже троечники. Произошла инфляция оценки по математике. Выращенные нами полузнайки тем не менее оказались в вузах — других учеников взять было неоткуда.
Такое положение стало известно ученым- математикам, и их порой эмоциональная реакция возбуждала общественный интерес к нашему делу. Я помню, например, как академик А. А. Логунов в своем выступлении на сессии Верховного Совета СССР цитировал
38


определение вектора из учебника геометрии!
Когда стали искать виноватых, то ими объявили в первую очередь авторов учебников. Поэтому дореформенные учебники стали вспоминаться как идеальные, появились даже призывы вернуться к «золотым временам Киселева и Рыбкина», отчасти реализованные в нынешнем учебнике геометрии. Однако вряд ли возможно повернуть колесо истории назад.
В последние годы на страницах журнала «Математика в школе» публиковались статьи с полярными взглядами как на общие вопросы математического образования, так и на способы его осуществления. Похоже, что мы оказываемся свидетелями столкновения амбиций и приоритетов. Кто сейчас вспоминает о работе учителя, о «разумном, добром, вечном»?
Может быть, именно во всем этом — причина того, что мы перестали понимать смысл собственной работы, перестали чувствовать удовлетворение от нее. И стали уходить из школы при первой же возможности. Известный факт: сейчас учитель математики может найти работу и в середине года.
Мы так ждали новой программы. И что же?
II. 	В карете прошлого
Все то же содержание курса. Содержание программы-85 — это урезанное . содержание программы-68. Что-то урезано совершенно разумно. Например, исключены координаты и векторы в пространстве. Принципиальная сторона координат и векторов ясна из планиметрии, поэтому в стереометрии добавляется лишь техническая сторона, а ее на приличном уровне в школе все равно не осуществить. Да и не к чему, ибо все это по-настоящему изучают в технических вузах.
Но какая была надобность выбрасывать начальные сведения, связанные с понятием множества? Открыв почти любую книгу по математике, мы можем прочитать: «Рассмотрим множество...». Школа легко освоила и применяла такие ясные вещи, как пересечение и объединение множеств. Наконец, в некоторых случаях понятие множества можно обойти только искусственными приемами, например при знакомстве с отображениями. Так почему же не называть кошку кошкой?
А вот более принципиальный пример. Я не увидел в программе ни слова о непрерывности функций. Как известно, это понятие является фундаментальным для отражения реальных процессов в математической теории. Идея непрерывности для школьников очевидна, методика ее (не чересчур формального) преподавания, доступного для старшеклассников, известна, она наглядна — так почему же ее нет в программе?
Однако оставим чересчур конкретный разговор. В целом видно, что программа «поехала» по накатанной дороге чуть ли не столетней давности и сохранила почти полный набор тех математических сведений, вдалбливание которых внушало ужас и отвращение к предмету еще у наших предков. И по этой причине она не сделала никакого шага вперед в решении новых и трудных вопросов преподавания, поставленных жизнью и развитием науки.
Вот некоторые из этих вопросов. Как познакомить детей с огромным миром случайного— от «Спортлото» до генетики и квантовой механики? Как познакомить новые поколения с идеями кибернетики и конечной математики— ведь на этих идеях основаны и ЭВМ, и их применение? Как ввести в преподавание элементы прикладной математики, которая за последнее время стала совершенно самостоятельной? (В программе видны попытки отразить этот вопрос, но в результате нет никакой ясности в понимании политехнического, прикладного и практического аспекта преподавания.) Как ввести элементы стереометрии в средние классы — пространственные фигуры часто присутствуют в смежных дисциплинах, а уж об уроках труда и говорить не приходится? И т. д., и т. д.
В программе мы видим все те же установки относительно преподавания математики — они сформулированы в объяснительной записке, Кроме набора известных утверждений можно прочитать здесь и такое: «Важнейшей особенностью организации учебного процесса в условиях всеобщего среднего образования является ориентация на безусловное достижение всеми учащимися обязательного уровня математической подготовки, зафиксированного в настоящей программе». Во что выльется такая ориентация (химерическая в принципе, ибо содержит слово «всеми») на практике? Следует также заметить: такая ориентация, записанная в нормативном документе, не соответствует ни социальному заказу современного общества, ни реальной работе школы, ни другим положениям самой программы.
Уже стало традицией, что главное в результате обучения, по замыслу программы,— умения. Не знания, не понимание предмета, не даже общеучебные умения, а умения выполнять некий фиксированный набор формальных процедур: вычислений, тождественных
преобразований, решений уравнений и неравенств. А то, что эти умения не являются интеллектуальным или духовным багажом личности большинства учеников, то, что они вообще исчезнут из их памяти через какие-либо 2—3 года после получения ими среднего
39


образования — так ведь это уже потом, за порогом нашего ведомства. С болью я воспринимаю то, что написал в книге «Эверест-82» журналист Ю. Рост: «Господи, каким только мусором не забивали нам голову учителя! Что, какая часть из того, чем мучали н*ас и чем мучают теперь наших детей, сгодились нам в жизни для дела, любви, радости?».
Ответ ясен из программы. А в ней главное— умение ученика решать невероятное количество якобы необходимых упражнений и умение учителя добиться всего этого, причем от всех. Кульминация такой совместной деятельности — подготовка к экзаменам. Какое там развитие личности, развитие способностей, удовлетворение познавательного интереса... Даешь пример, еще пример, еще одно уравнение, еще один интеграл — ученики мои так уверены в серьезности происходящего... Не знаю, как другие, но я в последние годы все острее чувствую бессмысленность традиционного преподавания школьного курса. Если приложить достаточную силу, то можно вбить в голову ребенка все, что угодно— факт известный. Но какое отношение это имеет к решению задач воспитания и подлинного образования? Боюсь, что на таком пути, вновь * предопределенном программой, мы больше теряем, чем находим, и не столько развиваем ребенка, сколько оглупляем его. Школьные учителя прекрасно знают этот феномен: школьники IV—V классов лучше соображают, чем школьники VIII классов.
За последние годы много полезного было сделано для школы дидактами и психологами. Мало что из этого использовано в программе. Разве что чрезмерное употребление весьма странной терминологии теоретической педагогики: тут и «эффективность», и «рационализация», и «сбалансированность», и ставшая особенно модной в последнее время «оптимизация». Понятия эти, как известно, могут по существу применяться только к достаточно формальным системам. Какое отношение они имеют к учению» к воспитанию, к реальной работе учителя? Из периодической литературы известно, что 10 % школьников будут использовать математику в своей профессии, 20 % имеют пониженную обучаемость, в том числе и по математике; остальным 70 % математика нужна только как элемент общего образования. Нам нужно ясное, реализуемое на практике, понимание, зачем мы всех учихМ этой науке; чему учить в первую очередь эти 70% школьников; как учить те 10%, от которых будет зависеть научно-технический прогресс, и как сделать, чтобы 20 % ребят не приходили в школу, как на каторгу. Нам нужно ясное и современное понимание, что такое
«всеобщее среднее математическое образование». От бесконечных перестановок, вычеркиваний и добавлений такого понимания не прибавится. Такого понимания я в программе не увидел.
III. 	Учатся ли на ошибках?
Не меньше беспокойства, чем содержание программы, вызывает скорость ее внедрения.
Скорость ее прочтения в организациях, перечисленных в преамбуле к программе, была явно выше нормальной, иначе как объяснить, к примеру, такой факт: из программы изъят координатный метод в пространстве, однако в перечне требований к математической подготовке учеников X—XI классов по геометрии записано: «При доказательстве теорем и решении задач... применяются... координаты».
Скорость ее обсуждения в тех же организациях была такова, что в программу оказалось включенным не только содержание курса, но и расписанная по часам последовательность его прохождения. Но ведь конкурс учебников еще не завершен и участвующие в нем авторы могут иметь собственную точку зрения, основанную на оригинальных научных и методических установках! Не проще ли было бы в таком случае вообще обойтись без конкурса и дождаться, когда авторы программы развернут ее в виде соответствующих учебников?
Скорость ее введения такова, что по ней предложено работать уже с 1987/88 учебного года, а некоторые темы — тригонометрия в VIII классе — введены уже с 1986/87 учебного года.
Программа-68 была принята не сразу, за год был опубликован ее проект, который энергично обсуждался в печати. Сейчас мы тоже обсуждаем, но что? Еслй проект, то почему он уже вводится? А если программу, то когда же она была утверждена? И почему без предварительного обсуждения? И какой смысл ее обсуждать?
Эта программа, по-видимому, вводится также, как все эти 20 лет вводилось в преподавание математики все новое — скоропалительно и недемократично, в утвердившемся уже стиле полного неуважения к учителю и к его труду. Вот пример. Несколько лет назад без каких бы то ни было объяснений, так сказать, в рабочем порядке, заменили учебник геометрии. Мы посещали курсы, переписали планы уроков, прочитали методички, прорешали задачи, усвоили новую последовательность изложения материала, освоились с терминологией и обозначениями, научились обходить неудобные места — все потраченное на это время ухнуло, как в пропасть.
40


В школьном деле в настоящее время дейст- вительно многое изменилось. Изменились сама математика, представление о школьной математике, знания о возможностях детей, о способах их обучения, наконец, учить стали всех подряд: и тех, кто не хочет, и тех, кто не может.
Программа — ответ на заказ общества, а потому должна учитывать все это. Она не может быть вечной: меняются времена — меняется и заказ. Она рождается потому, что перестает годиться старая. Она, как говорят в математике, должна быть новой по определению, новой по духу и по содержанию. Настолько, насколько это только возможно.
Я сознательно воздержался от конструктивных предложений принципиального характера. Их реализация просто невозможна, так как новая программа уже введена.
Но ведь у нас есть еще время! Пока шестилетки проучатся в начальных классах, пройдет 4 года. Еще не поздно остановиться, подумать— а по той ли дороге мы идем с такой программой? В XXI-то век?
Против неопределенности программных требований
Б. П. Эрдниев
(г. Элиста)
В нескольких номерах журнала «Математика в школе» за 1985 г. (№ 2, 3, 4) опубликован документ под названием «Обязательные результаты обучения».
Рассмотрим вопрос о том, принесет ли какую-нибудь пользу учителю этот документ.
По известным нам публикациям в печати не было запросов хотя бы отдельных учителей, нуждавшихся в таком документе, начисто отрывающем содержание обучения от методов обучения, конкретные знания от обобщения.
В документе сказано: «...на обязательном уровне в итоговой проверке необходимо выявить умение применить тот или иной факт при решении определенных задач, точную же и полную формулировку этого факта требовать от учащихся не следует» (Математика в школе. 1986. № 4. С. 11). Между тем никем не отменялось требование добиваться от учащихся точных и полных формулировок. Без этого немыслимо само обучение.
Для IV класса «Обязательные результаты» представляют набор самых элементарных, изолированных друг от друга заданий типа следующих: 1) прочитай число {такое-то);
2) 	запиши число (такое-то); 3) выполни (сложение, умножение и т. п.); 4) сократи дробь; и т. п.
Однако известно, что то же сложение или сокращение дроби ученик должен комментировать соответствующим правилом. Не молчаливое манипулирование символами, а разговор вслух — вот что нужно требовать от школьника. Невелика цена знаниям, если ученику разрешают довольствоваться решением простейших упражнений, не утруждаясь запоминанием соответствующих правил, поскольку без перевода символического в словесное (и обратно) невозможно вообще достичь истинного понимания математики.
В любом пособии мы встретим указанные выше задания в качестве элементов предлагаемой в нем системы упражнений. Вырвав эти упражнения из контекста учебников, мы отнюдь не содействуем развитию методического мышления учителя. К тому же следование. «Обязательным результатам», состоящим из примитивно-элементарных заданий,— верный путь к снижению общего уровня знаний класса,
В документе разъяснено, что он «характеризует нижнюю границу овладения программными умениями». (Там же. С. 9.) Но в духе ли времени пытаться улучшить дело обучения, действуя с «потупленным взором», всюду оглядываясь на низший уровень знаний? Суждение «тройка — и то оценка» не принималось учителями и раньше, тем более оно неуместно сейчас, когда учителями-новаторами найдены существенные резервы детского мышления (опыт Шаталова, Лысенковой и др.).
Обратим внимание на то, что документа под названием «Обязательные результаты обучения» нет ни по одному другому школьному предмету. Трудно представить, что методисты по физике, русскому языку начнут издавать помимо государственной программы контрастирующие им «Обязательные результаты».
В программах по математике есть раздел «Требования' к математической подготовке учащихся». Этого вполне достаточно, чтобы учитель с высшим образованием разобрался и продумал аспект конкретного в своей работе на основе анализа и сравнения учебников и методических пособий.
Под благовидным предлогом «Обязательных результатов» проявляется неверие в силы учителя. Получается так, что ему не доверяется даже подбор системы обычных заданий, с которым всегда справлялся сам учитель (без диктовки штатных методистов).
Что получится, если педагоги вместо анализа учебников и пособий будут ограничиваться сравнением «нижних программ» с «верхними» (основными) программами? Конк¬
41


ретизация основных программ может (и должна!) стать делом каждого учителя. Впрочем, так всегда и было в школе. Не будем недооценивать и разоружать педагога.
«Обязательные результаты» связывают активную мысль учителя, особенно молодого, который, оглядываясь на этот документ, каждый раз будет сомневаться: не слишком ли сложный пример он подобрал для класса?
Мы не гарантированы и от того, что у иных нерадивых возникнет мысль: можно же учить на заниженных требованиях. Тем самым «Обязательные результаты» потеснят в сознании некоторых требования государственной программы и современной методики. В самом деле, зачем выдумывать оригинальные, нестандартные упражнения, если «Обязательные результаты» разрешают в сущности примитивную технологию урока. Добившись решения простейших заданий, иной начинающий учитель может удовлетвориться тем, что все его ученики выполняют заниженные требования, и на этом успокоится. Понятно, что такой подход может привести к нежелательным последствиям.
Компьютерная алгебра в средней школе
Г. Ю. Бирюкова, В. Л. Топ у нов (Москва)
Компьютерная алгебра — молодая, интенсивно развивающаяся наука. Ее зарождение относится к 60-м гг. нашего столетия и обусловлено определенными причинами. Поясним кратко эти причины. Известно, что все математические действия можно разделить на две группы: числовые (действия с числами) и символьные, или алгебраические (действия с алгебраическими выражениями). Специалисты в области вычислительной математики 90 % рабочего времени тратят на числовые вычисления и лишь 10% на аналитические, а «чистые» математики, наоборот, 90 % времени тратят на символьные вычисления и 10% на числовые. Таким образом, с появлением ЭВМ, оперирующих с числами, труд специалистов по вычислительной математике был облегчен, а работа «чистых» математиков оставалась на неавтоматизированном уровне. Появилась необходимость механизировать работу с символами, теоретические расчеты ученых и инженеров.
Компьютерная алгебра и занимается построением, изучением методов и алгоритмов, позволяющих «научить» компьютер действовать не только с конкретными числами, но и
с алгебраическими выражениями. Необходимо отметить, что при расширении возможностей алгоритмизации символьных преобразований изменяются представления о качестве алгоритма. Например, известно, что для возведения числа в степень наиболее удобным и быстрым является так называемый бинарный алгоритм: число возводится в квадрат, затем то, что получилось, снова возводится в квадрат и т. д. Количество операций умножения при этом существенно сокращается. Например, для возведения числа а в сотую степень вместо 99 последовательных умножений требуется выполнить всего 8 умножений:
аха=а2\ а2Ха2=а4; с4Ха4 = а8; а8ха8 = а16; а16ха16=а32; а32Ха32=а64; а64ха32Ха4 = Д100.
Казалось бы, что при возведении в степень не числа, а многочлена, тем более многочлена от нескольких переменных, бинарный алгоритм будет особенно эффективен. Но это не так, на самом деле быстрее работает обычный алгоритм, т. е. для многочлена / быстрее перемножить fXfXfX... 99 раз, чем вычислить /64Х/32Х/4 по бинарному алгоритму.
Если раньше было достаточно какого-либо одного доказательства, одного пути решения, то теперь появляется как бы пучок алгоритмов для решения одной проблемы. Это многообразие алгоритмов изучается, анализируется и в результате выбирается один алгоритм, наиболее эффективный для решения поставленной задачи.
Системы программирования (т. е. большие программы для ЭВМ с широкими возможностями), позволяющие проводить не только числовые, но и символьные расчеты, называются системами аналитических вычислений (или системами компьютерной алгебры). Если провести аналогию со школьной математикой, то можно сказать, что системы компьютерной алгебры относятся к традиционным вычислительным системам так же, как алгебра относится к арифметике.
Существующие системы компьютерной алгебры обладают большими возможностями. Из них в школах проще всего использовать преобразования символьных рациональных выражений: приведение к общему знаменателю, нахождение наибольшего общего делителя числителя и знаменателя и т. д. Например, машина может найти наибольший общий де- g, a -f- Ь
литель дроби g3 ___ р- и затем сократить эту дробь.
Системам компьютерной алгебры также доступны разложения на множители многочленов от одной и нескольких переменных, упрощения иррациональных выражений, содер¬
42


жащих символы, доказательства тождеств (например, тригонометрических), решения уравнений и систем уравнений с параметрами, дифференцирование и символьное интегрирование, вычисление пределов и т. д. Кроме того, ни одна система, кроме систем компьютерной алгебры, не допускает упрощения комплексных выражений с переменными и использования тождества i2— — 1.
Таким образом, системы компьютерной алгебры качественно изменяют возможности решения задач на ЭВМ. Причем развитие современной технологии позволяет предположить, что эти системы в скором времени будут выполнять символьные вычисления так же быстро и просто, как калькуляторы сейчас выполняют арифметические.
Следует также отметить, что в традиционных компьютерах числовые расчеты всегда проводятся приближенно, с определенной точностью, компьютер оперирует только с числами, имеющими конечное, не очень длинное представление в виде десятичной дроби. Но такой подход часто невозможен, например при доказательстве тождеств. Поэтому в системах компьютерной алгебры специальными средствами обеспечивается точная арифметика, т. е. используется каждый раз столько разрядов числа, сколько необходимо, а иррациональные числа могут быть заданы символами.
Отмеченные особенности компьютерной алгебры позволяют использовать ее для интенсификации процесса математического образования. Это обстоятельство не раз отмечалось на международных конгрессах по математическому образованию (ICME). В 1982 г. участникам конгресса был прочитан специальный курс по проблемам компьютерной алгебры, а в 1984 г. на конгрессе работала уже целая секция, рассмотревшая вопросы применения систем символьных вычислений в обучении. В настоящее время создаются системы компьютерной алгебры специально для образовательных целей (muMATH).
В нашей стране информатика, выделившаяся из математики, зажила своей жизнью. Пока что она используется в курсе математики явно недостаточно. И именно компьютерная алгебра позволяет поднять преподавание математики на качественно новую ступень,увеличить производительность труда учителя.
Более высокая эффективность применения систем компьютерной алгебры в математическом образовании иллюстрируется таблицей, взятой нами из материалов ICME-84 (см.: Stoutmyer D. A Radical Proposal For Computer Algebra In Education//ACM SIGSAM bull. 1984, № 3—4. P. 40—53). В таблице
количество звездочек означает степень
Таблица
Эффективность использования в математическом образовании
Области математики
Системы
^компью¬
терной
алгебры
Драдиии- онные си« стемы программирования
Числовые системы
******
******
Арифметика десятичных дробей
*****£г**
*
Арифметика рациональных дробей Вычисление значений алгебраиче¬
********
*
ских выражений
Преобразование алгебраических
********
********
выражений
********
*
Решение уравнений с параметрами Вычисление значений геометричес¬
********
*
ких формул
Доказательства геометрических
********
********
теорем
Индуктивные и конструктивные
*
•
алгебраические доказательства Вычисление значений тригономет¬
******
*
рических формул
Доказательство тригонометричес¬
********
********
ких тождеств
Численное дифференцирование и
********
*
интегрирование
Символьное дифференцирование и
*****
*******
интегрирование
********
*
Вычисление пределов
*********
*
Комбинаторика
********
*
Действия с рядами
********
*
эффективности систем компьютерной алгебры и традиционных систем программирования в некоторых областях математики. Из нее видно, что почти по всем рассмотренным позициям системы компьютерной алгебры более пригодны для использования в среднем и старшем звеньях образования, чем системы, основанные на традиционных языках программирования. Особенно интересно отметить их превосходство в таких вопросах, как арифметика рациональных и десятичных дробей, т. е. в материале, казалось бы, наиболее «выгодном» для обычных систем. Даже в численном интегрировании и дифференцировании системы компьютерной алгебры ненамного уступают «стандартно используемым» средствам программирования. Таким образом, видится много возможностей в использовании компьютерной алгебры для целей обучения математике.
Компьютерная алгебра, можно надеяться, даст возможность в дальнейшем принципиально изменить подход к преподаванию математики в школе, к формированию алгоритмического мышления у учащихся, а для существующего курса математики компьютерная алгебра могла бы стать незаменимым помощником уже сейчас.
С ее помощью можно сократить время, ухсь
43


дящее на однообразные и долгие символьные вычисления, часто не имеющие отношения к решаемой задаче. Системы компьютерной алгебры позволяют сместить «центр тяжести» с вычислений на обсуждение методов, способов решения задачи, рассмотрение различных алгоритмов. В школе появится возможность взяться за сложные задачи, тесно связанные с практикой, но, как правило, не обеспечивающие ни простого хода решения, ни «красивого» ответа. Такие задачи помогут учащимся приобрести опыт и уверенность в анализе проблем, в постановке их для решения на ЭВМ, т. е. получить именно те навыки, которые необходимы на производстве и в научной деятельности. Применение в школе систем компьютерной алгебры изменит и пути доказательства теоретических фактов: доказательство будет «расщепляться» на понятные утверждения. Каждый учащийся сможет работать в своем темпе, а степень проникновения в доказательство теоремы можно будет варьировать в зависимости от индивидуальных способностей ученика. Облегчится и труд учителя. Проверку правильности выполнения упражнений, само создание упражнений для учащихся он сможет поручить ЭВМ.
Эксперименты по использованию систем компьютерной алгебры в образовании уже проводятся. Например, один из таких экспериментов проходил при австрийском университете в г. Линце со старшеклассниками, не имеющими ранее опыта работы с ЭВМ. Эксперимент продолжался 12 недель, причем с системой muMATH учащиеся работали только 2 ч в неделю. Первый опыт дал обнадеживающие результаты, показал возможность использования компьютерной алгебры в среднем звене образования.
Системы компьютерной алгебры — это средство повышения эффективности обучения, коренного улучшения качества образования, обеспечения неразрывной связи обучения с практикой. Поэтому уже через несколько лет они обязательно придут в школу, это требование времени. Но необходимо уже сейчас указать учителю перспективу применения ЭВМ в образовании, сейчас заложить основы будущего курса математики, подумать о новых учебниках. Например, в курс информатики в университетах и педагогических институтах желательно включить раздел «Компьютерная алгебра», в журналах, адресованных учителям («Математика в школе», «Информатика и образование» и др.), помещать материал по компьютерной алгебре, отчеты об экспериментах по применению ее в обучении и др. Учитель должен знать о том, что его ожидает через 5—10 лет, и начинать готовиться к этим, переменам заранее.
ПОДУМАЕМ ВМЕСТЕ
Каким быть школьному учебнику ♦
На мой взгляд, располагать учебный материал нужно так, как это удобно учителю. Каждый параграф учебника должен соответствовать одному уроку и иметь несколько рубрик: изложение нового, материал для закрепления, вопросы для повторения, упражнения для домашних заданий. В домашнем задании последнюю задачу желательно предназначать для домашней работы и отмечать звездочкой. Лучше всего, если все главы будут примерно равны по объему: 10—11 параграфов, а каждая учебная четверть начнется с новой главы. В главах следует рассмотреть по 1—2 вида традиционных задач, отведя для этого отдельные параграфы.
Невозможно написать хорошие учебники по математике без новых современных задач. А если учесть, что составление задач не является прямой обязанностью авторов учебников (это самостоятельный вид творчества), то станет ясно, что пора предпринять организационные меры для привлечения к этому делу новых творческих сил.
Сегодня много говорят о коллективном создании учебников. Это правильный путь. Но он должен начинаться с обсуждения в педагогической печати новых идей построения учебников, а это, к сожалению, не имеет места. Нельзя не обратить внимание и на то, что за многие годы даже представительные и высококвалифицированные авторские коллективы не смогла написать хорошие учебники для школы. Не исключено, что в этом проявился недостаток прогрессивных идей. Но еще одним тормозящим фактором следует признать отсутствие базы для сравнения.
Практика показывает, что дело создания учебников настолько сложно, что его нельзя ограничивать какими- то одноактными мерами, скажем закрытым или открытым конкурсом. Это должна быть постоянная, планомерная разносторонняя деятельность. К сожалению, у нас нет никакой традиции в работе такого рода н никаких организационных принципов.
Для того чтобы выработать эти принципы, надо прежде всего решительно отвергнуть практику административного внедрения учебников, а также экспертную оценку их качества. Экспертная оценка допустима только на начальных стадиях, а на окончательной стадии мнение об учебнике должно оформляться в школе, после его опытной проверки. В ходе конкурса надо отобрать не 1, а по крайней мере 5 лучших учебников и издать их в количествах,, достаточных для ознакомления учителей. Через год-два каждый учитель сможет заказать для своих классов нужные пособия, и. таким образом, скорый переход на новые учебники действительно станет реальностью. Заявки учителей покажут, каким учебникам они отдают предпочтение. Это автоматически создаст условия для непрерывного творческого соревнования авторских коллективов, которое будет способствовать постоянному процессу совершенствования учебников.
Вопрос о переходе школы на параллельные учебники не нов. Против него выступает Министерство просвещения СССР, мотивируя свои возражения отсутствием бумаги. Но этот мотив несостоятелен, так как бумаги потребуется почти столько же. Ведь контингент учащихся остается прежним. Другое дело, что у Мин- проса увеличится забот, но на то и перестройка. Какая же это перестройка и какой это прорыв в завтра, если все остается по-старому? Все ждут лучших учебников, и они должны появиться,
В. К. Совайленко (г. Новочеркасск)
44


♦
Раздел «Подумаем вместе», который появился в № б за 1986 г., действительно актуален на данном этапе реформы школы. Я полностью согласен с выступившими в этом разделе Н. М. Бескиным, Я. И. Груденовым и Е. А. Беляковым. Их мысли сходятся в одном: надо искать новые пути создания учебников по математике.
Убежден, что школьный учебник должен быть прежде всего доступен учащимся. Нельзя рассчитывать на посредничество учителя между учебником и читателем- школьником. Сейчас обращается большое бнимание на самостоятельность молодежи в деле добывания знаний. А как же у школьника будет воспитываться самостоятельность, если он сам не может разобраться, скажем, в доказательстве теоремы?
Опыт показывает: то, что изложено кратко, не всегда самое лучшее. Так, в нынешнем учебнике по геометрии краткость достигнута явно за счет доступности, а также за счет качества издания. Полистайте «Геометрию 6—10» А. В. Погорелова — и ни одна теорема, ни один чертеж не привлечёт вашего внимания. А между тем в геометрии многое зависит от зрительного восприятия текста и рисунков. Поэтому не следует все печатать от края до края страницы, нужно применять отбивки, втяжки и другие способы выделения текста.
Если говорить о структуре учебника, то самый приемлемый вариант расположения материала — поурочный, В этом плане может быть примером книга К. С. Барыбина «Геометрия: Учебное пособие для 9—11 классов вечерней (сменной) школы». В этом учебнике, например, после доказательства теоремы следуют задачи на ее применение и вопросы, проверяющие усвоение теоремы.
В заключение хочу сказать, что сейчас происходит очень полезный процесс разрушения всяких догм в преподавании. Но этот же процесс принес и новые сложности. И первая из них — потеря стабильности. Учителя постоянно следят за всеми изменениями, но как трудно учесть все при подготовке к уроку! Приходится пересмотреть много пособий и номеров журнала «Математика в школе», сборников приказов Минпроса, прежде чем что-то внести в свой план, а что-то убрать из него. Появляется нервозность, все время боишься пропустить новое. Было бы желательно собрать всё, что нужно к каждому классу, и ежегодно выпускать к началу учебного года как приложение к журналу «Математика в школе» (пусть за отдельную плату). В такое приложение могли бы войти примерные поурочные планы с IV по X класс, контрольные и самостоятельные работы, методические письма, обязательные результаты обучения, планирование итогового повторения и т. д. Не надо скупиться на бумагу, поскольку такое издание принесло бы огромную помощь учителям,
И. И. Монтик
(с. Великие Луки Брестской обл.)
0
С конца 70-х гг* учителям математики почти каждый год предлагают новые варианты усовершенствованных программ. Вслед за ними изменяются учебные и методические пособия. За 10 последних лет издано столько методических пособий, дидактических материалов, сборников со всевозможными рекомендациями, что учителю порой трудно ориентироваться в большом потоке литературы, которая к тому же быстро устаревает. Учителя, особенно молодые, при подготовке к урокам испытывают растерянность, так как у них каждый раз нет уверенности в том, что они пользуются именно тем методическим пособием, которое соответствует всем требованиям текущего учебного года.
В печати уже высказывалось мнение о необходимо¬
сти создания поклассных учебно-методических комплектов по математике, куда входили бы программы, учебники, поурочные рекомендации, дидактические материалы, пособия для факультативных занятий и, для внеклассной работы. Мы целиком и полностью поддерживаем это предложение. На основе таких полных, разнообразных и выверенных материалов учителя математики смогут сделать значительный шаг вперед.
На наш взгляд, необходимо также выпустить сборники устных и полуписьменных упражнений по основным разделам курса математики каждого класса. Эти сборники тоже желательно включить в такой комплект, так как устный счет — обязательный элемент каждого урока по нашему предмету. В журнале «Математика в школе» несколько раз поднимался вопрос об улучшении навыков устного счета, печатались математические диктанты, а отдельных сборников пока нет. При подготовке такого сборника желательно учесть опыт методистов из разных регионов страны. Так, в нашей Карагандинской области еще в 1982—1983 гг. были выпущены сборники для устной работы, которые получили положительную оценку учителей.
Э. К. Рахимжанов, Л. Ф. Лисецкая
(пос4 Южный Карагандинской обл.)
Меня очень волнует вопрос о том, какими должны быть учебники по математике. Несколько раз я обсуждала этот вопрос в своей школе и в методическом объединении района. Со мной соглашаются, но писать куда-либо отказываются, мотивируя тем, что «никто не будет с нами считаться». Поэтому приходится выступать только от своего имени.
Так вот, учебники по математике для IV—V классов я хочу видеть прежде всего красочными, с историческими экскурсами, с задачами к знаменательным датам (например, к 23 февраля), с математическими сказками, задачами-шутками.
Еще в учебнике нужны образцы записи задач. Тетради быстро исписываются, и ребятам некуда заглянуть, чтобы вспомнить, как надо выполнять то или иное упражнение. Допустим, что учащийся IV класса забыл, как надо записывать числа при сложении в столбик. В таком случае ему очень помогла бы такая схема:
1 1 4,86 4,85 4,86 4,86
+ 14,43 + 14,43 + 14,43 + 14,43
77“ —* ..,.9 * .:,29 19,29
В виде схем можно было бы оформить решения типичных задач на проценты и ряд других, особенно важных.
Пункты учебника должны быть короткими, чтобы учащиеся успевали сами прочитать их на уроке. Так они будут приучаться регулярно читать учебник.
В. И. Куценко (г. Обоянь)
♦
Мне очень жаль авторов нынешних учебников: их критикуют несправедливо. Учителя сами недостаточно хорошо владеют учебниками, а обвиняют в неудачах только авторов пособий. Чтобы по-настоящему разобраться в учебном пособии, учителю нужно затратить много труда. Но нужно во много раз больше усилий, чтобы подружить с математической книгой своих воспитанников.
Прежде чем дать пособие в руки учеников, надо
45


научить их «управлять» книгой, т. е. дать им общеучебные навыки. Всем хорошо известна «Программа развития общих .учебных умений и навыков школьников» (Народное образование. 1982. № 10). Но она до сих пор еще не прижилась в школах. Учителя не несут ответственности за развитие у учащихся математической речи, умения работать с литературой, за прилежание школьников, наконец. Ребята берутся за пособие, не услышав ни разу о различных видах чтения (предварительное, сквозное, выборочное, повторное), не опробовав такие приемы фиксирования информации, как план, конспект, аннотация, реферат. А ведь мы говорим не о маленьких детях, а о подростках и юношах!
Могут возразить: этим вещам будущих учителей
учат в курсе психологии, и они должны уметь проводить с учащимися соответствующую работу. Да, за годы обучения в вузе студенты усваивают теоретическую сторону дела, но в практической школьной работе долго остаются беспомощными, поскольку требования психологии не поддерживаются ни учебником, ни книгой для учителя.
На мой взгляд, учебник не. должен ограничиваться математическим материалом. В нем могут быть описаны приемы осмысленного и рационального запоминания, приемы самоконтроля. В задачном материале неплохо бы выделить специальные упражнения по развитию различных компонентов математических способностей. Конечно, написать такую учебную книгу очень трудно. Но ведь никто еще и не пробовал сделать это. Для начала целесообразно создать такое пособие, не имея в виду его немедленную реализацию в школе, а рассматривая его только как экспериментальное, не стесненное ни объемом, ни предметом,
А. 	А. Ахметгалиев (г, Белебей Башкирской АССР)
О
Школьный курс математики сильно оторван от высшей математики. Полное игнорирование понятий теории множеств и логики — существенный недостаток и программ, и учебников. Концепции теории множеств являются фундаментом современной математики. Широкое применение в кибернетике, программировании и вычислительной технике находит математическая логика.
Кажется, что все согласны с тем мнением, что одной из важнейших задач школьного курса математики является логическое развитие учащихся. В этой связи нельзя оправдать невнимание к логической компоненте школьного курса со стороны авторов учебников для IX—X классов.
В самом начале курса геометрии для IX класса, после беседы «О логическом строении геометрии» можно было бы уделить некоторое время понятию «высказывание» и логическим действиям над высказываниями, рассмотреть таблицы истинности логических формул, законы логики, примеры их применения в контактных схемах.
Тем, кто стремится все более упростить курс математики, выбрасывая из него принципиально важные моменты, мы хотим напомнить, что никакие сокращения до сих пор не давали заметных сдвигов к лучшему. Здесь, видимо, происходит то, о чем предупреждал академик С. Л. Соболев со страниц журнала «Математика в школе» (1984. № 1. С. 19): «...математика представляет собой единое целое, и отрыв от нее фундаментальной, более абстрактной части неизбежно приводит к самым нежелательным последствиям. Это единство математики должно находить свое правильное отражение и в изучаемом в школе учебном курсе».
По моему мнению, в школьной математике должны найти отражение на начальном уровне и в доступной
форме (на примерах) структурные концепции математики. Это содействовало бы глубокому пониманию взаимосвязи школьной и высшей математики, научной систематизации математических знаний.
В. И. Монастырный (Минск)
О некоторых трудных проблемах ❖
Меня тревожит трудное положение учителя математики в школе и его общий культурный уровень. Редко кто из моих коллег интересуется чем-либо, кроме своего предмета, но и эти интересы постепенно ослабляются без поддержки. У учителя нет практически никакой литературы ни для самообразования, ни для дополнительной работы с учащимися.
Если сравнить положение учителей математики в школе с положением биологов, химиков, физиков, то увидим, что наши коллеги много «богаче» нас. У них хорошо оборудованные кабинеты, изготовленные промышленностью наглядные пособия, много научно-популярных книг. А у нас — ни книг интересных, ни пособий. Методички до нас тоже не доходят. Вот и получается, что единственной книгой учителя математики остается учебник.
Но и с учебниками беда. Они очень быстро меняются. «Геометрию 6—8» под ред. А. Н. Колмогорова совершенно новенькую ребята сдают в макулатуру. Не успела выйти «Геометрия б—10» А. В. Погорелова, а мы уже слышим, что в пособии некоторые пункты изучать не надо. Каждый год работать по этой книге приходится по-иному. Однако ряд лет она выходила без каких-либо изменений, как будто н не было никаких «неувязок».
Учебные пособия издаются поспешно, даже неряшливо. Один-два раза возьмешь книгу в руки — и она уже разваливается. Страницы часто перепутаны.
Делу народного образования в нашей республике мешает еще не изжитая практика использования ученического труда на хлопковых полях. Я не против трудовой практики, но нельзя же отвлекать ребят от учебы в течение четырех учебных месяцев. Из-за этого программа сокращается, но и «урезанный» вариант ее мы еле-еле успеваем выполнить за счет уменьшения каникул, занятий по праздникам. Когда же ученику учиться, а учителю заниматься самообразованием?
3. Кузиев
(с-з «Алтын-сай» Хатырчияского р-на Узбекской ССР)
♦
Я никогда не собирался быть математиком, но меня всегда покоряли глубина и логическая последовательность этого предмета. Теперь иногда помогаю тем старшеклассникам, у кого затруднения с задачами, и попутно наблюдаю молодежь. Больно видеть, что юноши и девушки не любят математику. Могут сказать, что любовь или нелюбовь к этому предмету зависит от способностей. Это так. Но хотя бы уважать математику должны же научиться ребята за 10 лет школы! Почему же не научились?
Мне кажется, что в школе мало уделяется места практическим аспектам курса математики. Например, на мои призывы учитывать законы приближенных вычислений при вычислении объемов тел, площадей и т. д. десятиклассники реагируют так, как будто никогда об этих законах не слышали. Даже хуже. Если бы просто не знали, то их можно было бы заинтересовать, Но я наблюдаю полное равнодушие к прибли¬
46


женным вычислениям у старшеклассников, как будто они убеждены в одном: это им не нужно.
Тут дело не в промахах учителя, а в том, что система упражнений курса составлена так, что учащимся действительно нет нужны вспоминать «пройденные» приближенные вычисления, как только они переходят к другому математическому предмету или к другой главе данного предмета.
Учительница математики нашей школы — самоотверженный человек. У нее очень больна дочь, но она всегда выбирает время для дополнительных занятий. Почему же для тех, с кем она работает больше всего, ее труд оказывается в значительной мере бесполезным?
Одна моя подопечная пожаловалась мне как-то, что ей в одну неделю надо прочитать «Поднятую целину», перевести большой отрывок с немецкого и т, д. У девочки есть общественная работа, не чурается она и домашних дел.*. И все надо делать сразу. Может быть, школа перегружает учащихся? Хорошо ли, если человек «проглатывает» быстренько «Войну и мир», а затем также торопливо — «Поднятую целину», а потом старается любым способом, но как можно скорее зафиксировать в своих тетрадях решение стереометрической задачи и перевод с иностранного? На мой взгляд, такая система — лучший способ воспитать верхоглядство,,
В. И. Ягодницын (Воронежская обл.)
ПРОБЛЕМА СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ШКОЛЬНЫХ УЧЕБНИКОВ
Обзор редакционной почтыт
Ряд полученных редакцией статей посвящен вопросам аксиоматики школьного курса геометрии. Содержание этих материалов требует глубокого обсуждения на страницах специальных изданий. Но представляется целесообразным познакомить учителей с теми из затронутых вопросов, которые наиболее близки школьному курсу.
Основной интерес читателей журнала сосредоточивается на книге: Погорелов А. В. Геометрия. Учебное пособие для б—10 классов средней школы. 4-е изд. М.: Просвещение, 1985. (В дальнейшем эту книгу будем обозначать [1].) Однако исследование логических вопросов построения теории заставляет обращаться к учебному пособию [2] того же автора для вузов: Погорелов А. В. Геометрия. М.: Наука, 1983.
В пособии (2] изложение опирается на школьную аксиоматику, но свободную от некоторых упрощений, обусловленных дидактическими соображениями.
Начнем с положения о разбиении прямой на два луча любой ее точкой, которое играет важную роль в построении геометрии. В школьном курсе оно формулируется при рассмотрении основных свойств взаимного расположения точек на прямой и на плоскости и опирается на наглядные представления {(1]. С. 6). Этому предложению предшествует определение полупрямой, или луча, как части прямой, «которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной ее точки».
В книге [2] на с. 172—173 вслед за аксиомами порядка Hi и Ih формулируется более четкое определение полупрямой: «Полупрямой, или лучом, АВ мы будем называть часть прямой АВ, которая состоит из всех
1 Продолжение, Начало см, в № 5 за этот год,
тех точек прямой, которые вместе с точкой В лежат по одну сторону от точки Л».
За ним следуют доказательства двух теорем:
Теорема 1. Полупрямая АВ состоит из тех я только тех точек прямой АВ, которые лежат в одной полуплоскости с точкой В относительно прямой, проходящей через точку А и отличной от прямой АВ.
Теорема 2. Точка Л, лежащая на прямой а, разбивает эту прямую на две полупрямые и является начальной точкой для каждой из них. Точки одной полупрямой не разделяются точкой А, а точки разных полупрямых разделяются этой точкой.
В статьях, указанных ниже, доказано, что теорема 2 не зависит от аксиом I и II групп А. В. Погорелова и, значит, не может быть выведена из этих аксиом. Дефект доказательства, приведенного в книге [2], вскрыт в статье П. М. Олоничева. Это доказательство опирается на утверждение, что если прямая а пересекает границу Ъ двух (открытых) полуплоскостей, то, по теореме 1, пересечения этих полуплоскостей с прямой а — лучи. Но условие теоремы I предусматривает существование общей точки В для прямой и полуплоскости* Поэтому доказательству теоремы 2 должно предшествовать доказательство существования на прямой а двух точек, лежащих по разные стороны от точки Л. Наличие одной из них следует из аксиомы 12, требующей существования, по крайней мере, двух точек на каждой прямой. Но существование другой точки не может быть доказано на основе аксиом I и И групп.
Авторы статей предлагают разные пути решения этой проблемы в школьном и вузовском курсах геометрии*
В. А. Гейлер, Н. И. Плеханова, А. А. Тремаскина (г, Саранск) предлагают модель, в которой выполняются аксиомы 1Ь Ь, И,, П2 А. В. Погорелова, но не имеет места теорема 2. В качестве «точек» они рассматривают точки какой-нибудь открытой полуплоскости с границей I на обычной аффинной плоскости и еще одну точку Л е L В качестве «прямых» берут пересечения обычных прямых аффинной плоскости с указанным множеством П «точек», если это пересечение содержит хотя бы две точки. Таким образом, каждая «прямая» есть либо обычная прямая, параллельная /, либо открытый луч с началом на /\{Л}, либо замкнутый луч с началом Л. Отношения «принадлежать» и «лежать между» понимаются в обычном смысле.
Очевидно, что на такой «плоскости» Г1 выполняются аксиомы I и II групп, но не выполняется теорема 2: «точка» Л не разбивает никакую содержащую ее «прямую» на две полупрямые. Значит, теорема 2 не зависит от аксиом I и II групп. Эта теорема названа в статье «аксиомой дополнительных лучей».
Далее в статье доказано, что аксиома дополнительных лучей не зависит от остальных аксиом планиметрии, не требующих для своей формулировки понятия полупрямой или основанного на нем понятия угла. Для доказательства построена довольно сложная модель, на которой мы останавливаться не будем.
В статье отмечен также интересный факт: если аксиому V (аксиому параллельных прямых) усилить требованием существования прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой, то аксиому дополнительных лучей можно вывести из аксиом I и II групп и усиленной аксиомы параллельных V'.
Действительно, пусть точка А принадлежит прямой
а. 	В силу аксиом I группы существует прямая т, проходящая через Л и отличная от а. По аксиоме И2, прямая m разбивает плоскость на две полуплоскости П1 и П2 (непустые множества). Достаточно убедиться, что части прямой а — ai==af\Ui и a2=af) П2 не пусты. Не- пустота одного из этих множеств, пусть аи вытекает из аксиомы 1Ь которая постулирует существование на каждой прямой по крайней мере двух точек* Докажем, что а2 не пусто. Пусть В — точка из П2; пользуясь аксиомой V'e проведем через точку В прямую /, парал¬
47


лельную т. Если бы / и а не пересекались, то через А проходили бы две прямые (а и т), параллельные /, что противоречит аксиоме V'. Поэтому I и а пересекаются в некоторой точке С. Нетрудно проверить, что С е а2» т. е. а2 не пусто.
Ссылаясь на рассмотренные модели, авторы статьи утверждают, что системы аксиом А. В. Погорелова в школьном и вузовском учебниках не полны, и предлагают либо включить в их число аксиому дополнительных лучей, либо заменить аксиому параллельных V усиленной аксиомой V'.
Вывод о неполноте системы аксиом А. В. Погорелова представляется неправомерным, так как доказана независимость аксиомы дополнительных лучей не от всех, а лишь от части аксиом А. В. Погорелова, Невозможность доказать аксиому дополнительных лучей на основе аксиом I и II групп не является основанием для исключения из рассмотрения всех аксиом, связанных с понятием луча, в частности аксиомы существования треугольника, равного данному, и следствий из нее.
П. М. Олоничев (г. Винница) доказывает независимость теоремы 2 от аксиом I и II групп с помощью иной модели. В качестве «точек» он рассматривает точки замкнутого круга на евклидовой плоскости, в качестве «прямых» — хорды этого круга. Отношения «принадлежность» и «лежать между» понимаются в обычном смысле. (Эта же модель была указана в статье: Александров А. Д. О строгости изложения в учебном пособии А. В. Погорелова // Математика в школе. 1985. № 5. С. 65.) Очевидно, что на этой модели выполняются аксиомы I и II групп, но точки, лежащие на окружности, не разбивают проходящие через них «прямые» на два луча.
Для того чтобы доказать теорему 2 на основе аксиомы принадлежности и порядка, П. М. Олоничев предлагает дополнить аксиомы порядка Hi и П2 одной из аксиом Гильберта: «Для любых двух точек А к В прямой а найдется точка С такая, что В лежит между А и С» (Из). Введение этой аксиомы позволяет сохранить общий порядок построения теории, принятый в пособии [2].
П. М. Олоничев формулирует теорему 1 в следующем виде: «Если а[)Ь—А, то 6 П cti (л) и &Па2(а)—лучи с началом в точке Л». (Здесь а и b — прямые, ai(a) и а2 (а) —открытые полуплоскости с границей а)
Доказательство. По аксиоме Ii на прямой Ъ найдется точка В, а по аксиоме И3 и точка С, такие, что А лежит между В и С. Тогда, по аксиоме И2, точки В и С лежат в разных полуплоскостях cti(a) и а2(а). Рассмотрим луч АВ, т. е. множество точек прямой АВ, состоящее из точки В, точек, лежащих между А и В, и таких точек М, что В лежит между А и Af. По этому определению, любая точка X луча АВ обязательно принадлежит той же полуплоскости, что и точка В, т. е. полуплоскости ai(a). Обратно, если X принадлежит Ь[\а\(а), то из аксиомы Н2 и определения луча следует, что X лежит на луче АВ. Для луча АС рассуждение повторяется.
Теперь теорему 2 удобнее принять за следствие теоремы 1. После этого можно определить дополнительные лучи, треугольник и доказать предложение Паша. Далее П. М. Олоничев приводит доказательства двух теорем, делающих корректной формулировку аксиомы IIIi об измерении отрезков: «Любой отрезок — непустое
множество», «Если точка В лежит между точками А и С, то отрезок АС состоит из отрезков АВ, ВС и точки В».
Доказательство первой из них, опирающееся на аксиому Н3 и предложение Паша, повторяет доказательство теоремы о существовании точки, лежащей между двумя данными точками, в книге Д. Гильберта «Основания геометрии» (М.—Л., 1948). Доказательство второй теоремы использует аксиому IIU определение луча и теорему 2.
К. И. Дуничев (Москва) указывает, что аксиома Из может быть доказана с помощью аксиом IIIi, IV, V из пособия [2], и поэтому дополнять ею аксиоматику А. В. Погорелова нет необходимости.
Действительно, по аксиоме IIIi, отрезок А В имеет определенную длину /л>0. Существует отрезок PQ длины п>т (аксиома V). По следствию из аксиомы IV (см. [2]. С 176), на луче АВ существует единственная точка С, такая, что длина отрезка АС равна п. Точка С отлична от точки В, так как пФт. Точка С не лежит между А и В. В противном случае в силу аксиомы IIIi выполнялось бы: т=п+СВ, где С£>0, что невозможно, поскольку я>/я. Значит, по аксиоме II! и определению луча АВ, точка В лежит между точками Л и С.
Аналогичным образом, взяв п<.т, докажем, что существует точка, принадлежащая отрезку АВ.
Таким образом, аксиома Из, а значит, и теорема о разбиении прямой на два луча любой ее точкой могут быть доказаны на основе системы аксиом А. В, Погорелова. Речь, следовательно, целесообразно вести только о том, на основе каких именно аксиом они доказываются и в каком месте пособия должны располагаться. Аксиоматика А. В. Погорелова не обладает той естественной расчлененностью на группы, которая характерна для аксиоматики Д. Гильберта.
Э. Е. Гуревич (г. Стерлитамак) тоже обращает внимание на некорректность изложения вопросов, связанных с понятием луча. Он считает неправильным отсутствие «чистой» аксиомы существования, поскольку тогда нельзя доказать, например, существование хотя бы одной прямой. Анализируя аксиомы И группы, он обнаруживает, что в пособии [1] неявно использована аксиома о том, что отрезок не пуст. Для обоснования этих выводов приводится сравнительный анализ более ранних изданий пособия [1], а также книги [2].
Э. Е. Гуревич отмечает еще и следующее.
При изложении однородного материала А. В. Погоре- лов использует разные уровни строгости. Так, предложение «каждая прямая плоскости разбивает эту плоскость на две полуплоскости» в пособии [1] принято за аксиому (высокий уровень строгости). В то же время утверждение: «между любыми двумя (различными) точками прямой найдется третья точка этой прямой» — используется как очевидное (низкий уровень строгости).
Стремясь к упрощениям, автор пособия [1] нарушает свой собственный запрет на обращение к наглядности, а для интуитивно очевидного использует дополнительные аксиомы.
A. В. Погорелов, по существу, стоит на «теоретикомножественных позициях, но скрывает это, что служит источником неясностей, двусмысленностей и ошибок».
В заключение Э. Е. Гуревич утверждает, что такое «псевдоаксиоматическое построение геометрии может принести только вред выработке представлении об аксиоматическом методе».
Не все упреки Э. Е. Гуревича справедлины. Он тоже смешивает школьный и вузовский уровни строгости, забывает, что в школьном пособии по геометрии логическая безупречность недостижима и ожидать ее от пособия не следует.
B. А. Гейлер, Н. И. Плеханова, А. А. Тремаскина рассматривают еще одно пособие, [3]: Атанасян Л. С., Бутузов В. Фм Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г. Геометрия: Пробный учебник для 6—8 классов средней школы. М.: Просвещение, 1981.
В статье показана модель, исходя из которой сделан вывод о невозможности доказать первый признак равенства треугольников на основе системы аксиом, принятой в книге [3]. Но в этом пособии часть аксиом из дидактических соображений вынесена за пределы нх явного списка, поэтому истолкование фактического содержания аксиом имеет в некотором смысле субъективный характер. К тому же в последующих изданиях этого учебника система аксиом существенно изменена.
48


К сожалению, остаются еще не решенными многие основные вопросы изложения начал геометрии в школе: на каких принципах стоять? какой стратегии придерживаться? когда, в какой дозировке вводить аксиоматику? как согласовать интуицию и опыт школьника с дедукцией?
Но есть и другие, тоже весьма серьезные, вопросы: как вводить определения? как учить доказательству? каким образом излагать и оформлять учебный материал? Последние вопросы частично рассматриваются в другой группе статей.
М. И. Мефисашвили и В. Н. Келбакиани (г. Кутаиси) указывают недочеты в определениях различных понятий, имеющие место во многих изданиях: порочный
круг, двусмысленность или неясность, лишние данные и, наконец, неестественность. Авторы считают: прежде
чем знакомить учеников с определениями, нужно объяснить им, зачем вообще нужны определения и как они применяются. Вопрос об определениях затрагивает в своем письме и А. В. Корнилов (г. Ростов-на-Дону), который показывает недостатки, имеющие место в трактовке даже такого фундаментального понятия, как понятие о теореме.
Критике устоявшегося способа изложения доказательств теорем посвятили свою статью О. Д. Акжарова и М. Е. Есмуханов (г. Кокчетав). Они пишут: «В существующих школьных учебниках отсутствует важный этап доказательства теорем — анализ». Для доказательства школьникам часто предписываются какие-то действия, назначение которых не объясняется. Учащиеся доказывают что-то, далеко отстоящее от основного пункта рассуждений, приводят построения, цель которых им не известна. «Если бы доказательство теорем начиналось с анализа, то необходимость каждого шага стала бы понятной, а вся цепь логических рассуждений более ясной для школьников».
3. И. Турлакова (г. Тирасполь) посвятила две свои статьи обсуждению того, как в учебнике А. В. Погорелова преломляются требования программы. По ее мнению, программа виновата в перегрузке учащихся. Особенно это относится к курсу планиметрии. А учебник еще больше увеличивает эту перегрузку, предлагая учащемуся, только начинающему изучать систематический курс геометрии, сразу большой набор приемов доказательства. Например, для доказательства признаков равенства треугольников, свойства углов, отложенных в одну полуплоскость, признаков параллельности прямых, суммы углов треугольника используются совершенно различные приемы, каждый из которых применяется только один раз и больше не встречается ни в теоретической, ни в практической частях учебника. Это приведет к тому, что даже к концу VII класса (нынешний VI) ученик не сможет осознать, что значит доказать теорему, у него не успеют сформироваться навыки использования какого-нибудь приема доказа¬
тельства.
Г. Н. Скобелев (г. Могилев) и М. К. Тятюшкина '(г. Молодечно) предлагают разработку к первым урокам стереометрии по учебнику А. В. Погорелова. Их общие впечатления от учебника сводятся к следующему: изучение первых разделов систематического курса стереометрии вызывают у учащихся довольно значительные трудности, но эти трудности не вновь появились, а наблюдались и раньше, при работе с другими учебниками. Их можно уменьшить при систематическом
применении наглядности: плакатов, моделей.
М. В. Умаров (с. Таз Самаркандской обл.) делает замечания по поводу структуры учебника. В пунктах
различные вопросы не выделяются, в наборе задач ученик не в состоянии самостоятельно найти те, которые относятся к изучаемому материалу. При указании домашних заданий нужно называть не только номер задачи, но и страницу — это неудобно. Язык пособия
очень сложен.
Это мнение о языке пособия А. В. Погорелова поддерживает в своем письме С. А. Береженцев (пос. Гло- дяны Молдавской ССР). Он указывает, что в газетах не раз высказывалось «общее недовольство» учебниками математики, особенно учебником геометрии. Одна из публикаций была озаглавлена «Загадочная медиана». Но кроме «загадочной медианы можно говорить и о загадочной биссектрисе треугольника, определение которой неудачно. Мой внук,— продолжает автор письма,— получил за него «2»,— я бы получил то же самое».
В заключение отметим одну статью, в которой читатель журнала делится своими впечатлениями о книге: Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В* И. Геометрия для 9—10 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 1984.
Автор вышеупомянутой статьи — учитель математической школы В. М. Паповский (Ленинград). Он отмечает два, по его мнению главных, достоинства пособия. Первое: в книге геометрия рассматривается как метод познания мира, а не только как дисциплина, изучаемая с целью обучения доказательствам. Это не значит, что изложение в пособии нестрого. Наоборот, как только геометрия вернула свои права на познание действительности, появилась возможность воспитывать у учащихся пространственное представление и, постоянно обращаясь к нему, разъяснять трудные вопросы на простых и наглядных образах.
Второе важное достоинство пособия состоит в так называемой потенциальной вариативности обучения. Книга дает возможность учителю, не отступая от программы, самому выбирать путь в преподавании теории и решении задач. Система задач в пособии «многослойна», и различные «слои» трудности присутствуют почти в каждой задаче. Учитель может сам определить уровень трудности задач в зависимости от аудитории, с которой работает. Аналогичные возможности есть и в теории. Разобрав всё, выучить всё невозможно, да и не нужно. Учитель в состоянии сам расставить акценты в основном курсе и решить, какие из дополнений к главам (этих дополнений достаточно и они разнообразны) выбрать и где их разбирать — на уроке, на семинаре, во время индивидуальных занятий. Таким образом, эта книга дает возможность каждому учителю преподавать по «своему» учебнику при общей методической идее.
Завершая этот обзор, редакция благодарит всех читателей, приславших свои статьи и письма по поводу школьных учебных пособий. Многие из полученных материалов были направлены авторам для возможного учета при переиздании пособий,
КОНСУЛЬТАЦИЯ
Об устном экзамене по геометрии в восьмых классах общеобразовательных школ РСФСР в 1987/88 учебном году
Ю. Л. Дудннцын, Н. С. Прокофьева (Москва)
С 1982/83 учебного года в соответствии с указанием Министерства просвещения СССР в общеобразовательных школах Российской Фе-
3 «Математика в школе» № б
49


дерацик начал осуществляться постепенный переход на обучение школьников геометрии по учебному пособию «Геометрия 6—10» А. В. Погорелова. Одновременно в общеобразовательных школах девяти территорий РСФСР (Горьковская, Калининская, Омская, Ростовская, Свердловская области, Хабаровский край, Мордовская АССР, 11 районов Ленинграда, 2 района Москвы) преподавание геометрии велось по пробным учебникам авторов Л. С. Атанасяна, В. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева, Э. Г. Позняка с целью проведения их массовой опытной проверки.
До 1987/88 учебного года восьмиклассники сдавали устный экзамен по геометрии по разным вариантам билетов: один вариант был составлен для школ, работающих по учебнику А. В. Погорелова, другой — для школ работающих по учебникам Л. С. Атанасяна и др., что объясняется прежде всего разными подходами к изложению учебного материала в этих учебниках, особенно в первые годы их введения.
Накопленный в течение ряда лет определенный опыт работы по указанным учебникам, установленные программой (издания 1986 г.) требования к обязательной математической подготовке школьников позволили подготовить к 1987/88 учебному году единые экзаменационные билеты по геометрии за курс восьмилетней школы. Они составлены в соответствии с содержанием программы. В билеты включены вопросы из основных разделов курса геометрии VI—VIII классов, изложенные в действующих в настоящее время школьных учебниках.
Согласно требованиям, предъявляемым усовершенствованной программой к математической подготовке всех учащихся (М.: Просвещение, 1986; Математика в школе, 1985, №6), школьники должны уметь изображать геометрические фигуры, изученные в курсе геометрии восьмилетней школы, выделять известные фигуры на чертежах или моделях, проводить доказательные рассуждения, применять аппарат алгебры и тригонометрии, векторы и координаты в ходе решения типичных задач, выполнять основные построения циркулем и линейкой. Например, восьмиклассники должны знать такие факты, как перпендикулярность касательной и радиуса окружности, проведенного в точку касания, положение центров окружностей, вписанных и описанных около треугольника. При изучении тем «Теорема Пифагора», «Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника», «Декартовы координаты на плоскости» и «Векторы на плоскости» учащимися должны быть усвоены основные алгоритмы решения прямоугольных треугольников, формулы для нахож¬
дения расстояния между двумя точками, для определения координат середины отрезка, уравнение окружности. У учеников необходимо отработать прочные навыки практического применения алгоритмов, формул при решении задач, а также умение производить простейшие операции над векторами.
В соответствии с пожеланиями учителей и методистов структура билетов в целом осталась прежней. Первые вопросы традиционно носят теоретический характер. В них предлагается дать определение геометрического понятия, сформулировать и доказать его свойства или признаки, вывести формулу для вычисления площади определенной фигуры и т. д.
Вторые и третьи вопросы проверяют умение восьмиклассников выполнять типичные задания на вычисление, доказательство и построение, осознанно применяя изученный теоретический материал.
Задачи по темам, указанным в третьих вопросах билетов, составляет или подбирает учитель, ориентируясь на типичные задачи учебника. При подготовке текстов задач рекомендуется учитывать контингент учащихся, степень их подготовленности по предмету. Уровень сложности задач не должен быть ниже обязательного минимума, определенного программой.
Приводим билеты для выпускных экзаменов за курс восьмилетней школы по геомет* рии на 1987/88 учебный год.
№ 1
1. Теорема о свойстве медианы равнобедренного тре- угольника, проведенной к его основанию.
2. Зависимость между стороной правильного многоугольника и радиусом описанной около него окружности (вывод формулы). Установление этой зависимости для квадрата, правильных треугольника и шестиугольника.
3. Задача по теме «Метод координат на плоскости*,
№ 2
1. Признаки равенства треугольников (доказательство одного из признаков по выбору учащегося),
2. Деление отрезка на п равных частей.
3. Задача по теме «Длина окружности»*
№ 3
1. Равнобедренный треугольник (определение). Тео« рема о свойстве углов при основании равнобедренного треугольника.
2. Вывод формулы для вычисления суммы углов выпуклого многоугольника.
3. Задача по теме «Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике».
№ 4
1. Параллельные прямые (определение) Признаки параллельности двух прямых (доказательство одного из признаков по выбору учащегося).
2. Нахождение гипотенузы, катета и острого угла прямоугольного треугольника по данным его второму катету и острому углу.
3. Задача пс теме «Векторы».


№ 5
1. Теорема об углах, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой 1,
2. Вывод формулы площади треугольника
|^5д *= — ab sin ^)*
3. Задача по теме «Теорема Пифагора».
№ 6
1. Внешний угол треугольника (определение). Теорема о внешнем угле треугольника.
2. Нахождение значений синуса, косинуса а тангенса угла в 45°,
3. Задача по теме «Четырехугольники»,
JVs 7
1* Геометрическое место точек (определение). Теорема о геометрическом месте точек, равноудаленных от двух данных точек8.
2. Круг (определение). Формула для вычисления площади круга (без вывода), Вывод формулы площади кругового сектора.
3, Задача по теме «Подобные треугольники»,
№ 8
1. Треугольник (определение). Теорема о сумме углов треугольника.
2. Выражение расстояния между двумя точками через координаты этих точек (рассмотреть случай, когда х\фх2 и ухФу2).
3. Задача по теме «Площадь круга»,
№ 9
1. Признаки равенства прямоугольных треугольников (доказательство одного из признаков по выбору учащегося) .
2. Окружность (определение). Формула для вычисления длины окружности (без вывода). Вывод формулы длины дуги окружности.
3. Задача по теме «Четырехугольники»,
№ 10
1. Признаки параллелограмма (доказательство одного из признаков по выбору учащегося).
2. Построение треугольника по трем сторонам.
3. Задача по теме «Правильные многоугольники».
№ 11
1. Параллелограмм (определение). Свойства диаго« налей параллелограмма.
2. Построение биссектрисы угла.
3. Задача по теме «Решение треугольников»,
№ 12
1. Прямоугольник (определение). Свойство диагоналей прямоугольника.
2. Нахождение катета и острых углов прямоугольного треугольника по данным его гипотенузе и другому катету.
3. Задача по теме «Признаки параллельности прямых»,
№ 13
1. Ромб (определение). Свойства диагоналей ромба.
2. Построение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данной прямой (рассмотреть случай, когда точка лежит на данной прямой),
3. Задача по теме «Вписанный угол»*
1 Учащиеся, обучающиеся по учебнику JI. С, Атана- сяна и др., доказывают одну из теорем по своему выбору.
2 Учащиеся, обучающиеся по учебнику Л. С. Атана-
сяна и др., формулируют определение серединного пер¬
пендикуляра отрезка и доказывают теорему о середин¬
ном перпендикуляре отрезка,
3* 51
№'14
1 Средняя линия треугольника (определение). Теорема о средней линии треугольника.
2. Построение касательной к окружности, проходящей через данную точку этой окружности*
3. Задача по теме «Площади фигур»,
№ 15
1. Средняя линия трапеции (определение). Теорема о средней линии трапеции.
2. Построение окружности, вписанной в треугольник,
3. Задача по теме хПараллельные прямые»,
№ 16
1. Признаки подобия треугольников (доказательство одного из признаков по выбору учащегося).
2. Построение угла, равного данному.
3. Вычисление площади пластинки, имеющей форму неправильного пятиугольника*
№ 17
1, Вывод формулы площади треугольника
(5д
2, Выражение координат середины отрезка через координаты его концов (рассмотреть случай, когда Х\ =г= =^*2 и У\¥=У2).
3, Задача на построение (VI класс),
№ 18
1. Вывод формулы площади параллелограмма,
2. Построение окружности, описанной около треугольника.
3. Задача по теме «Сумма углов треугольника»,
№ 19
1. Трапеция (определение), Вывод формулы площади трапеции.
2. Уравнение окружности (вывод).
3. Задача по теме «Равнобедренный треугольник»,
№ 20
1. Теорема Пифагора.
2. Правильный многоугольник (определение). Построение правильного шестиугольника.
3. Задача по теме «Равенство треугольников»,
№ 21
1. Теорема синусов.
2. Построение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой (рассмотреть случай, когда точка не лежит на данной прямой)*
3. Задача по теме «Теорема Пифагора»,
№ 22
1. Теорема косинусов.
2. Деление отрезка пополам,
3. Задача по теме «Подобие треугольников».
№ 23
1. Вертикальные углы (определение)* Свойство вертикальных углов.
2. Нахождение значений синуса, косинуса и тангенса угла в 30°,
3. Задача по теме «Векторы».
Несколько подробнее остановимся на отдельных вопросах билетов.
Отвечая на первый вопрос билетов № 2, 4, 9, 10, 16, ученик должен сформулировать все признаки или свойства того или иного геометрического понятия и доказать один (одно) из них.
Аналогичный характер должен носить ответ на первый вопрос билета № 5 учащихся, обучающихся по учебникам Л. С. Атанасяна и др.


При ответе на первый вопрос билета № 6 восьмиклассник дает определение внешнего угла треугольника, затем формулирует и доказывает теорему 4.5 (учебное пособие А. В. Погорелова издания 1983—1986 гг.). Учащиеся, занимающиеся по пробным учебникам Л. С. Атанасяна и др., формулируют и доказывают теорему о внешнем угле треугольника, изложенную в курсе VI класса (издания 1985, 1987 гг.).
Обращаем внимание учителей на то, что во вторые вопросы билетов включены задания, связанные с выводом ряда формул. Приемы и методы выполнения таких заданий изложены в тексте учебника. Многие вопросы содержат все основные задачи на построение, предусмотренные программой. Воспроизводя то или иное решение, восьмиклассник не только пересказывает его алгоритм, но и выполняет построение фигуры с помощью циркуля и линейки. Ответ считается полным, если ученик докажет, что построенная фигура удовлетворяет заданным условиям.
При построении треугольника по трем сторонам (второй вопрос билета № 10) экзаменующийся объясняет, при каком условии эта задача имеет решение.
Выбор приема построения касательной к окружности (второй вопрос билета № 14) восьмиклассник обосновывает ссылкой на ее определение (учебное пособие А. В. Погорелова) или теорему, обратную теореме о свойстве касательной («Геометрия 8» Л. С. Атанасяна и др. издания 1987 г.).
Если ученик не воспроизвел полного доказательства теоремы или вывод формулы, для уточнения оценки за ответ по билету члены комиссии могут предложить ему практическое задание на применение соответствующей теоремы или формулы. Правильное выполнение задания будет свидетельствовать об удовлетворительном усвоении учеником данного вопроса.
Приводим примерное содержание задач к третьим вопросам билетов, которые могут быть предложены учащимся при итоговом повторении курса. К каждому билету приведены три задачи различного уровня сложности. Первые, наиболее простые, соответствуют минимальным требованиям к знаниям и умениям школьников, выделенным в программе. Эти задачи, как правило, решаются в один-два шага. Вторые задачи — комбинированные, их уровень сложности несколько выше. Третьи— предназначены для учащихся, имеющих еще более высокий уровень подготовки. Подобные задания полезно предлагать восьмиклассникам, проявляющим повышенный интерес к занятиям математикой. Использование таких
упражнений позволит школьникам раскрыть свои творческие способности, умения проводить некоторые исследования предложенной геометрической ситуации.
Опытные учителя находят различные варианты использования дифференцированного подхода на экзамене. Одни при подготовке материалов к экзамену подбирают по одной задаче к каждому билету с учетом подготовленности всего класса. Другие — предпочитают подготовить к билетам по две-три задачи и выбирают ту из них, которая соответствует возможностям ученика.
№ 1
1. Составьте уравнение окружности с центром в точке Л и проходящей через точку В, если Л(—2, 1), В(4, 7).
2. Докажите, что четырехугольник ABCD, Л(—3, 3), В(—1, б), С(2, 4), 0(0, 1), является ромбом.
3. Составьте уравнение окружности с центром на прямой х=3, касающейся прямой Оу в точке (0, 2). Найдите точки пересечения окружности с прямой у=х,
№ 2
1. В окружность с центром О вписан квадрат ABCD♦ Найдите длину дуги АВ, если радиус окружности равен 10 см.
2. В окружность вписан прямоугольник, стороны которого равны 12 см и 16 см. Найдите длину окружности,
3. Около окружности описан ромб, сторона и острый угол которого равны 20 см и 30°* Найдите длины дуг, на которые делят окружность точки касания.
ЛЬ 3
1. Ширина ступеньки лестницы равна 40 см. Какова должна быть высота ступеньки для того, чтобы угол подъема лестницы не превышал 35°?
2. Основание равнобедренного треугольника равно 20 см, а угол при основании — 56°. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.
3. Два поселка находятся по одну сторону от железной дороги на расстоянии 5 км и 7 км от нее. Станция расположена таким образом, что сумма расстояний от нее до поселков наименьшая. Найдите эту сумму и угол между проселочными дорогами, ведущими от станции к поселкам, если расстояние между поселками равно 15 км (участки всех дорог считаем прямолинейными).
№ 43
1. Даны векторы 5(0,5, —4), 5(—1, 1), Вычислите координаты я абсолютную величину вектора с= в-(_4а+35),
2. Найдите углы треугольника с вершинами в точках Л(—1, 2), 8(1, 5), С{5, 3),
3. Используя векторы, докажите перпендикулярность диагоналей ромба.
№ 5
L Диагонали ромба равны 15 см и 36 см. Найдите его периметр.
2. Периметр прямоугольника равен 46 см. Найдите его стороны, если диагональ прямоугольника равна 17 см.
3. Установите зависимость между разностями квадратов диагоналей и квадратов оснований трапеции, если ее боковая сторона перпендикулярна основаниям.
* Учителя, работающие по учебникам Л. С. Атанасяна и др., подбирают задачи к билетам № 4 и 23 в соответствии с особенностями изложения указанной темы в этих учебниках.
52


№ 6
1. Две стороны параллелограмма пропорциональны числам 7 и 3. Найдите его периметр, если одна сторона меньше другой на 12 см.
2. Меньшее основание ВС трапеции ABCD равно Я см. Через вершину С проведена прямая, параллельная АВ, Периметр образовавшегося треугольника 12 см. Найдите периметр трапеции.
3. Определите вид четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон трапеции. При каком условии этот четырехугольник является квадратом?
№ 7
1. A BCD — трапеция с основаниями AD в ВС, О — точка пересечения ее диагоналей. Найдите AD, если ЛС—12 см, ОС=4 см, /?С=10 см.
2. Два угла треугольника равны 54° и 18°. Докажите, что биссектриса третьего угла отсекает треугольник, подобный данному.
3. В треугольник ABC вписан ромб СМКР так, что угол С у них общий, а точка К лежит на стороне АВ, Найдите сторону ромба, если ВС=а, ЛС=6.
№ 8
1. В окружность вписан прямоугольный треугольник с катетами 24 см и 32 см. Найдите площадь круга.
2. Хорды АВ и ВС удалены от центра круга на 15 см и 20 см. Найдите площадь круга, если данные хорды перпендикулярны.
3. Из квадратной металлической заготовки, сторона которой равна 40 см, вырезают детали, имеющие форму сектора. Центры секторов расположены в вершинах заготовки. Укажите радиусы секторов, при которых оставшаяся часть заготовки будет иметь минимальную площадь. Вычислите ее, если все секторы равны. Найдите второй способ вырезания таких же деталей, при котором выполняется указанное выше условие.
Jfe 9
1. Найдите углы параллелограмма, если разность двух из них равна 50°.
2. Периметр параллелограмма равен 30 см. Биссектриса острого угла А пересекает сторону ВС в точке Е, Найдите периметр треугольника АВЕ$ если BE—ЕС, Л£=8 см.
3. Постройте трапецию по основаниям в боковым сторонам.
№ 10
!. Сторона правильного шестиугольника равна 6 см. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей.
2, Диаметр поперечного сечения валика равен 20 см. Коней валика опиливается под правильный восьмиугольник с наибольшей стороной. Найдите периметр восьмиугольника.
3. Найдите отношение площадей правильных шестиугольников, вписанного и описанного около одной окружности,
№11
1. Сторона треугольника равна 20 см. Углы, прилежащие к ней, 35° и 70°. Найдите другие стороны и углы треугольника.
2. При определении расстояния между точками А а В, расположенными на противоположных берегах реки, школьники выбрали на том же берегу, что в точка А, некоторую точку С. Выполнив необходимые измерения, они получили: ЛС = 10 м, Л.ВАС~48°, jL.BCА = 72°. Найдите АВ.
3. К точке А приложены две силы и Р%г угол между которыми 50°. Найдите величину их равнодействующей, углы между каждой силой и равнодействующей, если Pi=20 Н, Pftsa 40 Н.
№ 12
1. 	Дав отрезок АС и точки б и D, лежащие в различных полуплоскостях относительно прямой Л С, До¬
кажите, что AB\\CD и AD\\BC, если AB — CD я Z.BAC = Z.DCА.
2. Через вершину В треугольника ABC проведена прямая МР. ^очки Р и А лежат в разных полуплоскостях относительно прямой ВС. Верно ли, что прямая МР параллельна биссектрисе угла Л, если Z.PSC = 95°, Z-Л =70°, Z-C = 80c?
3. Докажите, что четырехугольник с вершинами в точках пересечения биссектрис углов параллелограмма является параллелограммом.
№ 13
1. Сумма вписанного угла ABC с центральным углом АОС равна 90е, Найдите каждый из этих углов.
2. Хорды АВ и CD пересекаются. Найдите угол СЛД если АСОЛ =40°, <LABD = 8Q°.
3. Углы А, В ъ С четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, пропорциональны числам 4, 3, 5. Найдите все углы четырехугольника.
№ 14
1. Найдите площадь ромба, если его высота равна 20 см, а один из углов — 30°.
2. Найдите площадь трапеции ABCD, если ее меньшее основание ВС равно 12 см, AB = CD, Z.D~4b° а высота трапеции равна 8 см.
3. Найдите площадь треугольника по стороне а а прилежащим к ней углам аир,
№ 15
1. Прямая, параллельная стороне АС треугольника ABC, пересекает две другие его стороны в точках М а К. Найдите углы треугольника, если /LBMK — 52°, Z_C=58°.
2. Через два крюка (Л и В), прикрепленных к стене, перекинута леска. К ее концам и в некоторой точке С средней части (между крюками) подвешены три груза. При этом образовались три угла с вершинами в точках А, В и С, вся система находится в равновесии. Докажите, что один из углов равен сумме других.
3. Прямая k пересекает параллельные прямые а и Ь соответственно в точках А и В. Прямая л пересекает а и b соответственно в точках С и D, Докажите, что AB=CDt если £.ВАС+ЛВОС = \Ю\
№ 17
1. Постройте с помощью циркуля и линейки угол, градусная мера которого равна 60°.
2» Даны прямая а и точки А и В вне этой прямой. На прямой а найдите точку, которая одинаково удалена от точек А и В.
3. 	Постройте прямоугольный треугольник по катету а сумме гипотенузы и другого катета,
№ 18
1. Два угла равнобедренного треугольника пропорциональны числам 1 и 7. Найдите все углы треугольника. Сколько решений имеет эта задача?
2. Один из внешних углов треугольника вдвое меньше другого. Сумма этих углов равна 210°. Найдите все внешние и внутренние углы треугольника.
3. Существует ли треугольник, сумма любых двух углов которого меньше 120°? Ответ обосновать.
J& 19
1. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и медиане, проведенной к основанию.
2. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и сумме боковых сторон.
3. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и высоте, проведенной к основанию.
№ 20
1. Точка Р лежит на медиане BE равнобедренного треугольника ABC, АС — его основание. Докажите равенство треугольников АВР и СВР.
2. Верно ли утверждение, что в равных треугольниках ABC в А\В\С\ биссектрисы углов С и Ct равны? (Отвег обосновать.)
53


3. 	Будут ли равны треугольники ABC и AiBxC\, если ЛВ=Л1ВЬ BC — BiCi, и высоты ВК и ВA/Ci равны? (Ответ обосновать.)
№ 21
1. Боковые стороны трапеции равны 15 см и 17 см, одна из них перпендикулярна основаниям. Найдите периметр трапеции, если большее основание равно 48 см.
2. Через концы диаметра АВ проведены хорды АС и ВС. Расстояния от точек А, В до хорд равны 12 см и 5 см. Найдите расстояние от центра окружности до точки С и расстояние между серединами хорд.
3. Вне окружности радиуса R взята точка на расстояния а от центра. Найдите наибольшее ц наименьшее расстояния от этой точки до точек окружности.
№ 22
1. Из точки К катета ВС прямоугольного треугольника ABC проведен перпендикуляр КЕ к гипотенузе А В. Найдите АВ, если ВЕ=8 см, К£ = 6 см, оС=* = 12 см.
2. Биссектриса острого угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке Е, а прямую DC в точке К. Найдите периметр треугольника AKD, если ВС=8 см, Л£=10 см и периметр треугольника АВЕ равен 28 см.
3. В треугольнике ABC проведены высоты АА\ и ВВи Подобны ли треугольники СВ А и СА\В{}
№ 233
1. В координатной плоскости отложите от начала координат векторы а (—-2, 4) и 5(6, 3), Докажите, что данные векторы перпендикулярны.
2. Докажите, что четырехугольник с вершинами в точках Л(—2, 4), £(1, 7), С(5, 3) и D(2, 0) — прямоугольник.
3. Найдите, при каком значении а четырехугольник с вершинами в точках Л (2, —2), В (9, 5), С(4, а) и Z)(l, 3) является трапецией.
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
XXI Всесоюзная математическая олимпиада школьников
Г. М. Кузнецова, Л. П. Купцов,
С. 	В. Пчелмнцев, И. Н. Сергеев
(Москва)
Заключительный этап XXI Всесоюзной математической олимпиады школьников состоялся в г, Фрунзе с 11 по 18 апреля 1987 г. В нем приняли участие 162 учащихся VIII—X классов: 139 победителей республиканского этапа и 23 призера прошлогодней Всесоюзной олимпиады. В г. Фрунзе прибыли 29 команд, в том числе 14 команд от союзных республик, по одной команде от четырех зон РСФСР, от Москвы и Ленинграда, от специализированных физико-математических школ, Работу жюри возглавил академик АН УССР
В. 	В. Гнеденко, его заместителями и первыми помощниками были зам. директора Института математики АН Киргизской ССР А. Я. Баташев и доцент МГУ Ю. В. Нестеренко.
Олимпиада проводилась на базе школы-интерната спортивного профиля им. Н. К. Крупской. Программа, составленная оргкомитетом олимпиады, возглавляемым министром просвещения Киргизской ССР М. Б. Базар- куловым, была интересна и содержательна.
С большим интересом прошли встречи участников олимпиады с представителями редколлегии журнала
«Квант» во главе с заместителем главного редактора доцентом МГУ Ю. П. Соловьевым, а также с учеными Фрунзенского политехнического института.
125 участников олимпиады (из 162) приняли участие в компьютерных играх, организованных в кабинетах республиканского ИУУ и школах г. Фрунзе. Игра-соревнование «Математический глазомер» была проведена на персональных компьютерах типа «Агат» и «Ямаха». Проведение такой экспресс-олимпиады, не входившей в основной зачет, явилось интересным новшеством в программе заключительного этапа.
Было проведено совещание «за круглым столом», посвященное работе по развитию математических интересов школьников. Известно, что на протяжении ряда лет призовые места на математических олимпиадах занимают одни и те же команды, неудачно выступают также одни и те же республики. Такая ситуация вызывает беспокойство. Возникла необходимость обменяться опытом работы по развитию математических интересов школьников. Встреча «за круглым столом» проводилась по инициативе Центрального оргкомитета Всесоюзной олимпиады школьников. В ней приняли участие члены жюри Всесоюзной олимпиады и представители команд. На встрече представители МГУ, МФТИ, ЛГУ, Латвии, Белоруссии, Украины, Азербайджана, Молдавии, Киргизии сделали много интересных и конструктивных предложений.
Традиционно соревнования юных математиков на заключительном этапе олимпиады проводились в два дня. На каждом были предложены по 4 задачи разного уровня трудности, составленные в соответствии со школьной программой, но требующие для своего решения изобретательности, владения математическими методами и нахождения какой-либо оригинальной идеи.
Работы многих участников олимпиады получили высокую оценку. Ряд оригинальных решений, предложенных участниками олимпиады, были отмечены специальными призами. Всего присуждено 11 дипломов I степени, 30 дипломов II степени, 32 диплома III степени, 82 похвальные грамоты и ряд спецпризов.
Приводим список участников олимпиады, награжденных дипломами I и II степени. В скобках указаны школа, город и фамилия учителя. Все эти учащиеся являются участниками будущего заключительного этапа 1988 г., который будет проходить в Баку,
Дипломы I степени
VIII класс: Виро Александр (ФМШ № 45, Ленинград, Ю. И. Ионин), Иванов Дмитрий (шк. № 57, Москва, Б. М. Довидович), Иванов Сергей (шк, № 533, Ленинград, Н. Г. Полуаршинова),
IX класс: Берлов Сергей (шк. № 239, Ленинград,
С. 	Л. Кукса), Румынии Дмитрий (ФМШ № 165 при НГУ, Т. А. Панова), Хохлов Юрий (шк. № 30, Ленинград, Т. И. Курсиш).
X класс: Апситис Калвис (ФМШ № 1, Рига, И. О. Страздыньш), Борисов Лев (шк. № 19, Минск,
А. 	М. Фельдман), Каринский Алексей (шк. № 18, Москва, А. А. Русаков), Озолс Дидзис (ФМШ JVTg 1, Рига, И. О. Страздыньш), Черных Алексей (шк, № 40,г.Красноярск, В, А, Ярошенко),
Дипломы II степени
VIII класс: Гольднер Владимир (шк. № 40, Кишинев, Н. И. Савченко), Дубров Борис (шк. № 107, Минск, С. Я. Струпинская), Звайгзне Бентс (шк. Зелты- ни, Алуксненский район, ЛатвССР, А. Я. Колисте), Кулик Алексей (шк. № 145, Киев, А. В. Свищук), Ра- гулин Владимир (шк. № 127, г. Челябинск, А. В. Волкова), Рогинская Мария (шк. № 344, Ленинград, М. Р. Белошеева),! Семенцов Вячеслав (шк. № 26, «г. Смоленск, Л, П. Архипова), Симановскис Раймонд
54


{ФМШ № 1, Рига, Д. Э. Крикис), Скопенков Аркадий (шк. № 13, г, Саратов, М. П. Кузмия).
IX класс: Анисов Сергей (шк. № 42, Харьков,
А. 	Н, Борисенко), Баран Александр (шк. № 6, Минск, Г. П. Васильева), Валиуллин Марат (шк, Кя 94, Казань, И. Г. Егорова), Гороховский Александр (шк, № 79, Киев, В. Е. Куценас), Гравит Владимир (шк, № 27, г- Северодвинск, Т, И, Кабылина), Грынив Ростислав (шк. N° 62, г, Львов, О, С. Грынив), Жарков Илья (шк. № 130, г. Свердловск, И, Е. Старишша), Кокорев Игорь (ФМШ при ЛГУ № 45, Л. Д. Кур- ляндчик, Б. М. Бекнер, А, Н. Барвинок), Никоноров Юрий (шк. им. Г. Муратбаева, с. Михайловка, Джам- бульская область, КазССР, Г. Г1. Никоноров), Пелевин Олег (шк. № 32, г. Кострома, М. Я. Маркевич, Р. Г. Же- нодаров), Процак Виктор (ФМШ при КГУ, В. Ф. Кри- волапов), Слитинский Владислав (шк. JSTs 206, Киев, И. А. Кушнир), Туляков Дмитрий (шк, № 7, г. Жданов, Е. В. Грабик), Филонов Николай (шк. № 30, Ленинград, Т, И. Курсиш), Христенко Олег {шк. № 63, г. Караганда, В. А, Кох),
X класс: Борисов Александр (шк. № 19, Минск,
А. 	М. Фельдман), Гринберг Михаил (шк, № 27, Харьков, А. В. Столин), Дынников Иван (шк. № 1, г. Жуковский, В. К. Боковиков), Павлов Савва (шк. № 4, г. Черновцы, Е. Л. Городницкая), Пухов Игорь (шк, № 57, Москва, Р. К. Гордин), Шанько Юрий (шк,№10, г, Красноярск, Н. Н. Беляева)*
Далее приводятся задачи XXI Всесоюзной математической олимпиады с решениями к ним. После текста задачи в скобках указаны: число баллов за задачу; число участников, полностью решивших задачу; число участников, не решивших задачу; фамилия автора задачи,
VIII КЛАСС (46 участников)
1. 	Десять спортсменов участвовали в турнире по настольному теннису. Каждые два из них сыграли между собой ровно одну партию. Первый игрок одержал в ходе турнира хх побед и потерпел у\ поражений, второй одержал х2 побед и потерпел у^ поражений и г, <?, Доказать, что
+ • • • + *1о 1
У?+ ■... +У?о-
(5; 40; 3; А, А н д ж а н cj
Заметим, что каждый спортсмен сыграл ровно 9 партий, т. е. */+#/=9. Далее, *i+.. ,+*10=1/1+.»>+*/ю, поскольку в каждой иаргии один игрок выиграл, а другой, разумеется, проиграл. Тогда
+ ... + xf0) — ()»; + ... + у\0) —
“ {А—^i) + • • • + Ыо—>*io)=
= 9((jt, — у,) + ... + (**"iq — Уи)) - 0-
2. 	Найти 6 чисел, если известно, что составленные из них суммы без повторений дают S3 последователь- ных натуральных числа,
(7; 12; 7; А. С л и н ь к о)
Расположим искомые числа в неубывающем порядке: *,<*2^-* ^*6- Число, являющееся суммой некоторых из чисел хи х6, представимо в виде
е^-Ь *.+г6*б, (1)
где е»=0, 1 и хотя бы одно из si отлично от нуля. Выражений вида (1) ровно 25—1 =63. Согласно условию задачи их можно переписать так: *0+1, *о+2, *..» *о-И>3, Значит, все выражения (1) различны. Тогда Xi<X2<.» . »<С*6, *0+1 =*Ь *0 + 63 = *1 + *2+» . »+*б, *0+ -f-62=*2+* * .+*6- Сравнивая последние два равенства, получим *1 = 1. Тогда *0=0, *2=2, х1+ха=г3, *3 = 4. Допустим, что числа хи *4 (&^:5) уже найдены и выражения 81*1+.. .+е***, где е* удовлетворяют прежним ограничениям, дают числа 1, 2, 2*—1.
Тогда **+1=2* и выражения 8^+,*.+е*-н**+г при тех же St исчерпывают числа 1, 2, , 2Л+1—1* Отсюда
последовательно находим: *4=23, *5=24, *6=25,
Ответ: 1, 2, 4, 8, 16, 32-
3. 	Дан правильный семиугольник АА**Аъ Докажи* те, что
_J L_ , _JL_
А А, ~ А, А, + A, At *
(8; 14; 8; М< Розенберг)
Положим а*=*ААг* b~AAs> с=АА4 и проведем необходимые диагонали (рис, 1), Пусть 5 —точка пересечения диагоналей ААа и Л3Л7. Легко показать, что АхА%АгВ — ромб и что A\Aa~A<Ai и ААъ^ААъ Из подобия треугольников AiBAz и А*ВА7 находим, что Л, В А4 В ас — а
АЛГ’ откуда "У=”Т-* значит,
J_ 1.1 а
Ь + с '
ГГГП /I
А
%
еъ
а
Рис. 2
4. 	Игра «Морской бой» происходит в квадрате 7X7 клеток. Какое наименьшее число выстрелов необходимо сделать, чтобы наверняка ранить четырехпалубный корабль, если известно, что он: а) имеет вид А (рис. 2); б) состоит из 4 клеток, примыкающих друг к другу, и отличен от квадрата?
(10; 5; 8; А. Холодов)
а) Поскольку в квадрате 7X7 можно поместить 12 кораблей вида А (рис. 2) так, что никакие два из них не имеют общих клеток, то необходимо сделать не менее 12 выстрелов. Из рис. 3, а, б следует, что 12 выстрелов достаточно.
б) Ответ: 20 выстрелов. Их можно выполнить, как указано на рис. 4. Допустим, что мы сделали 19 выстрелов. Выделив в квадрате 7X7 четыре непересекаю- щихся прямоугольника 3X4 (как на рис. 4), получаем, что в один из них произведено не более 4 выстрелов. Пусть этот прямоугольник указан на рис. 5. Ясно, что в каждом его столбце должно быть отмечено по выстрелу и в нем нет строки, содержащей 3 выстрела (иначе в нем можно было бы расположить один из кораблей вида А, Б, Г (рис. 2), свободный от выстрелов). Рассмотрим в прямоугольнике на рис. 5 центральные клетки а, б. Если клетка а свободна от выстрела, то в квадрате 3X3 с центральной клеткой а возможно лишь одно (с точностью до симметрии) расположение выстрелов (рис. 6), Однако при таком расположении выстрелов в квадрате 3X3 можно поместить корабль вида В (рис. 2). Итак, можно считать, что выстрелы произведены в клетки а, бл Тогда клетки 1, 3, 4, 5i 6,7
55


(рис. 5) свободны от выстрелов. Свободной от них должна быть и одна из угловых клеток — скажем, 2, Но тогда в клетках 1, 2, 3, 4 можно расположить корабль. Таким образом, при любом расположении 19 выстрелов в оставшихся клетках квадрата 7X? можно разместить корабль, свободный от выстрелов.
5. Положительные числа а, Ь, с, А, В, С удовлетворяют условиям а+Л =&+£=б‘+С = £, Докажите, что аВ+ЬС-\~сА
(8; 5; 30; Д. Ф л а а с)
Имеем fc3= (а+Л) (b+B) (с+С) =sabc+ABC+k(aB-\- -\-bC-\-cA), Поскольку abc4-ABC>0, то k(aB+bC+ -КЛ)<63. Сокращая на k, получаем требуемое неравенство.
6. В каоюдой клетке квадратной таблицы размера 1987X1987 написано число, не превосходящее по мо- дулю 1. В любом квадрате 2X2 данной таблицы сумма чисел равна нулю. Докажите, что сумма всех чисел в таблице не превосходит 1987*
(6; 13; 26; А, Меркурьев)
Рассмотрим множество Л клеток в таблице, заштрихованных на рис. 7, Пусть В — множество клеток, симметричное Л относительно диагонали таблицы, С= ==ЛПв, D — множество клеток, не входящих ни в Л, ни в В. Сумму всех чисел в таблице получим, если к сумме чисел в клетках из А прибавим сумму чисел в клетках из Б, Еычтем сумму чисел в клетках из С и прибавим сумму чисел в клетках из D. Поскольку первые две суммы по условию равны нулю, а общее число клеток в множествах С и D равно 1987 (это в точности клетки, стоящие по диагонали), то сумма чисел в таблице не превосходит 1987.
7. Вершина В угла ABC лежит вне окружности, а лучи ВА и ВС ее пересекают. Из точки К пересечения луча ВА и окружности перпендикулярно биссектрисе угла проведена прямая, пересекающая окружность в точке Р, а луч ВС в точке М. Докажите, что отрезок РМ вдвое длиннее перпендикуляра, проведенного из центра окружности к биссектрисе угла ABC.
(6; 15; 20; С* Дужин)
Пусть О' —- точка, симметричная центру окружности
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Рис. 5
О относительно биссектрисы I угла ABC (рис. 8). Точки К и М также симметричны относительно L Допустим, что К и О лежат по одну сторону от L Соединим точки К и О, Р и О, М и 0\ Ясно, что КО и МО' пересекаются в точке Q\ лежащей на I. Из равнобедренных треугольников КО'М и КОР следует равенство углов KMQ' и КРО, значит, MQ'^PO. Поскольку КР\\00\ то четырехугольник РМО'О — параллелограмм и, значит, PM~00'=20Q,
8. Два игрока поочередно выписывают на доске натуральные числа, не превосходящие п. Правилами игры запрещается писать на доске делители уже выписанных чисел. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход.
а) Выясните, кто из игроков имеет выигрышную стратегию для я = 10, и укажите ее.
б) Выясните, кто из игроков имеет выигрышную стратегию для я = 1000,
{10; 8; 36; Д, Фомин)
СмЕ решение задачи Х,5*
*
IX КЛАСС (58 участников)
1. Докажите, что при каждом натуральном п число
11987^.21987+, . .+Я1987
не делится на (я+2).
(6; 30; 13; Д. Митькин)
При гг = 1 утверждение очевидно. Пусть п^2 и
Тогда
2ап—\ 1Э87+2198Ч-31987+* , , + *1987^1987 4.'
+ (Л—1) „ e+2I8W+11987=24' (2198Ч-Л19*7) +
+ (31987+ (я— 1)!S87) + ... +(л»в87+219в7). (1)
Поскольку при каждом k~2, 3, ... число fei9S7+ + _(я+2—fe)IS87 делится на (я+-2~~k) = я+2, то из равенства (1) следует, что число 2ап при делении на (я+2) дает остаток, равный 2. Поэтому число ап не может делиться на (я+2).
2, Какое наименьшее число фигур вида Д (рис. 2) нужно разместить в квадрате размером 8X8 клеток, чтобы в него нельзя было больше поместить без наложения ни одной такой фигуры?
(7; 24; 17; А. Берзиньш)
В каждом квадрате 2X2 должно быть покрыто по крайней мере две клетки. Квадрат 8X8 можно разбить на 16 непересекающихся квадратов 2X2. Следовательно, надо покрыть не менее 2*16=32 клеток, для чего
7
6
/
а
6
5
2
3
4
X
X
а
X
Рис. 6
56


потребуется, очевидно, не менее 11 фигур. 11 фигурами можно осуществить требуемое покрытие (рис. 9).
3. 	Параллельно сторонам треугольника проведены три прямые, Каждая из прямых удалена от стороны, кото- рой она параллельна, на расстояние, разное длине этой стороны. При этом для каждой стороны треугольника параллельная ей прямая и противолежащая этой стороне вершина расположены по разные стороны от нее. Докажите, что точки пересечения продолжений сторон треугольника с тремя проведенными прямыми лежат на одной окружности»
(7; 25; 15; Б. Чин и к)
Пусть ABC— данный треугольник, Аь А2, Ви В2г С!f С2 — точки пересечения продолжений его сторон с данными прямыми (рис. 10), Обозначим а=*ВС, Ь = СА, с=ЛЯ,
Покажем, что треугольники ЛЛ,Л2, BBxB2i ССХС2 подобны ААВС и что i4lJ42—B1B2==CiC2. Проведем в АААХА2 высоты AiK и A2Lt По условию, ЛД = 6, с b
A2L=c, так что —дд— = sin jLAxAA2= ~2а'" и
ААХ b АС
-д-j—« — *» "aW* *Фоме того> ВАС=АА\ААЪ следовательно, АЛЛ хА2оо АЛ В С, причем коэффициент подо*
а
бия равен sin /LBАС. В частности, Л ХА2~ ^ д
= 2R, где Я — радиус окружности, описанной около ААВС. Аналогично показывается, что треугольники ВВХВ2 и СС\С2 подобны A ABC и что BiB2~C\C2~2R, Далее, Л,Л2С1С2—равнобокая трапеция (не параллелограмм, ибо из подобия следует, что ^4.A2Ci== = Z^2CiC2=Z^£C), поэтому около нее можно описать окружность,
Pul. 10
йз равенств гСАхА2Сх ~ZALB2CU £AiCxC%=* = /-A2BiC2 следует, что точки В2 a Bi лежат на окружности, описанной около AxA2CiC2, Итак, все точка Ль Л2, Blf B2t Си С2 лежат на одной окружности.
4. 	На плоскости даны две замкнутые ломаные, каждая с нечетным числом звеньев. Все прямые. содержа- щие звенья этих ломаных, различны, и никакие три из них не пересекаются в одной точке. Докажите, что из каждой ломаной можно выбрать по одному звену так> чтобы они были противоположными сторонами некого- рого выпуклого четырехугольника.
(10; 1; 46; А. С е р д ю к о в, Д. Ф л а а с)
Докажем вначале два вспомогательных утверждения.
Лемма 1. Части плоскости, на которые делит плоскость замкнутая ломаная, удовлетворяющая условиям задачи, можно раскрасить в два цвета так. что соседние части будут окрашены в разные цвета. (Части плоскости называются соседними, если ах общая граница содержит отрезок).
Доказательство леммы 1 проведем индукцией по числу самопересечений ломаной. Если самопересечений нет, то ломаная является многоугольником и требуемая раскраска, очевидно, существует. Если же некоторые два звена ломаной пересекаются, то изменим ломаную так, чтобы число самопересечений уменьшилось, а ломаная осталась замкнутой (рис. 11). Этого всегда можно добиться, осуществив достаточно малую деформацию. По предположению индукции для измененной ломаной требуемая раскраска существует. Она же, как легко видеть, годится и для первоначальной ломаной.
Лемма 2. Число точек пересечений двух замкнутых ломаных, удовлетворяющих условиям задачи, четно. Число точек пересечений замкнутой ломаной, удовлетворяющей условиям задачи, и пряной, не содержащей звенья, вершины и точки самопересечения этой ломаной, четно.
Действительно, раскрасим части, на которые поделила плоскость одна из ломаных, в ДЕа цвета гак, как это было сделано в лемме 1, Тогда вторая ломаная разобьется на части, каждая из которых окрасится в соответствующий цвет. Обойдем вторую ломаную, начав движение из какой-то ее вершины. Поскольку ломаная замкнутая, тс мы вернемся в исходную вершину. Так как исходная вершина не может находиться
57


День
Номера дежурных
Число
дежурных
1
2,3, 4,5, 6,7,8,9,28,29
10
2
1,2,3,4,5,6,7,8,9
9
3
11,12,13, 14,15,16,17,18,30,31
10
ч
10,11,12,13,14,15,16,17,1в
9
5
20,21,22,23,24,25,26,27,32,33
10
6
19,20,21,22,23,24,25, 26,27
9
7
1, 10, 19, 28, 29,30,31,32,33
9
Рис9 11
на первой ломаной {см. условие задачи), то ребра, выходящие из этой вершины, окрашены в одинаковый цвет. Поэтому при обходе второй ломаной произойдет изменение цвета четное число раз. Так как число перемен цвета при обходе второй ломаной равно числу ее пересечений с первой ломаной, то отсюда следует первое утверждение леммы 2, Второе утверждение леммы 2 доказывается аналогично*
Докажем теперь утверждение задачи. Обозначим звенья первой ломаной через Хи Х2> Хт, второй — через Уь Y2> Ун (я*, я—нечетные числа). Рассмотрим всевозможные пары (Я*, У/) этих звеньев. Будем считать, что пара {Хъ У/) имеет вид Xi Уь если прямая, содержащая звено Xi, пересекает звено У/ и прямая, содержащая звено У/, пересекает звено Хи Запись Xi*-+Yf означает, что звенья Xi и У/ пересекаются. Будем писать Xi**Yh если прямая, содержащая звено Xi, пересекает звено У/, а прямая, содержащая У/, не пересекает звено Хь Аналогично вводятся записи Хг*- -*-У/ и Я* — У/.
Среди всевозможных пар №, У/), 1^/^л
имеются: а пар вида Xi+^Yi, Ь пар вида (Xt^Yf) и с пар вида X» — У/, Число а равно числу точек пересечений данных ломаных, в силу леммы 2 оно четное. Число а+Ь равно числу точек пересечений второй ломаной с прямыми, содержащими звенья первой ломаной, в силу леммы 2 оно четное; аналогично (а+с) — четное число. Итак, а. Ь, с, — четные числа, следовательно, число (a-fr-6+с)—четное- Так как число всевозможных пар (Xi, Y/) равно тп в нечетно, а число (a+b+с) четно, то найдется пара (Ха У0) вида Ха— У р. Это и есть искомая пара* четырехугольник, противоположными сторонами которого являются звенья Ха и Ур будет выпуклым, так как прямая, содержащая звено Ха не пересекает звено Ур и наоборот.
5. 	Дядька Черномор каждый вечер из 33 богатырей по своему усмотрению назначает на дежурство 9 или 10 богатырей. Через какое наименьшее число дней может оказаться, что каждый из богатырей выходил на дежурство одинаковое число раз?
(5; 43; 2; Б. Ивлев)
Ответ: наименьшее число дней равно 7; за эти 7 дней каждый богатырь дежурит 2 раза.
Пусть искомое наименьшее число дней равно N и каждый богатырь за эти N дней дежурит п раз. Занумеруем богатырей порядковыми номерами 1, 2, 33,
Введем числа аш 0 = 1, 2, N; 1, 2, 33) сле¬
дующим образом: а*& =0, если в i-й день &-й богатырь не дежурил; а** = 1, если в i-й день 6-й богатырь был дежурным. Обозначим через Р* число дежурных в i-й день, через Qk — число дежурств &-го богатыря; тогда,
Рис. 12
по условию задачи, справедливы следующие соотнсн шенияа
9^яц-|-Д/2”К «*”{“Я*зз—Р* ^ 10
для /== 1, 2, ..., N\ 1П
ei*+fl2*+. • .+Ямк = Qk для t=l, 2, ..., N; (2)
Просуммировав неравенства (1) по г=1, 2, N, получим неравенства 9N ^S^zlON, где
(011+fll2+. » *+Ль5з) + (й21+022+«« *4*^2,33)"Ь +. * *+ • .+ЯЛ,33)«
Просуммировав равенства (2) по fe=l, 2, .33, получим равенство S=33n. Таким образом, 9N^33n^ 3 10
^.IQN, или ~уу зз N. Целых чисел /г, лежащих
3 Ю
между двумя числами -jy N и -33 N, не существует для
N = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Лишь при N==7 неравенствам 3 Ю л ^
jf N^n^ 33- N удовлетворяет целое число п=2. Следовательно, число дежурств п не меньше 2, а наименьшее число дней N не меньше 7.
Несложно построить график дежурств, удовлетворяющих условиям задачи, для случая <V =7 и п=2 (см* табл. на рис. 12).
6. 	На целочисленной решетке отмечено непустое множество узлов. Кроме того, задан конечный набор векторов с целыми координатами. Известно, что если от любого отмеченного узла отложить все заданные векторы, то среди их концов будет больше отмеченных узлов, чем неотмеченных. Докажите, что отмеченных узлов бесконечно много.
(7; 34; 16; Д. Ф л а а с)
Предположим противное: множество отмеченных узлов конечно. Пусть это будут узлы Аи А2, ANt Свяжем с целочисленной решеткой систему координат хОу (рис. 13) и проведем через каждую (целочисленную!) точку Аь> &=J_, 2, N, прямую aki параллельную прямой у = У 2х. Так как у 2 — иррациональное число, то на каждой прямой а* будет находиться лишь одна целочисленная точка — сам узел Л*. Все узлы А2, An расположатся в полосе — обозначим ее через р — между крайними из проведенных прямых. Не ограничивая общности, можно считать, что это — прямые Д] и аы (рис, 13).
Возьмем узел А\ и отложим от него все заданные векторы с целыми координатами. Ни один из этих векторов не параллелен прямой аи и потому концы этих векторов будут лежать вне а\ в полуплоскостях, на которые поделит плоскость прямая а*. Меньшая часть
58


Рис. 13
этих векторов, согласно условию задачи, будет заканчиваться в полуплоскости (обозначим ее через а), не содержащей узел А ы, большая часть — в полосе р. Перенесем параллельно набор векторов в точку AN. Меньшая их часть, заканчивающихся в полуплоскости а, перейдет в векторы, которые, будучи отложены от узла ANi могут заканчиваться в узле, расположенном в полосе р* Но, по условию задачи, число векторов, отложенных от An и оканчивающихся в отмеченных узлах, т, е. в полосе р, должно превосходить число остальных векторов. Мы пришли к противоречию.
7, Выпуклый п-угольник (п^Ъ) разрезан по всем диагоналям. Докажите, что среди получившихся при этом частей найдутся части разной площади.
(8; 29; 13; Д. Митькин)
Обозначим последовательные вершины л-угольника через Аи А2, Ап. Проведем диагонали Л,у43> А{А*> А2Ап-ь Л2ЛЯ. Они попарно пересекаются в вершинах Ах и А2 и еще в четырех точках Р, Q, R и М, Существование точек пересечения Р, Q, R очевидно. Существование точки М следует из того, что п ^5, т. е. л—1^4, и поэтому диагонали A2An-i и АХА4 обязаны пересечься (быть может, при п=5 — в вершине /г-угольника, рис. 14).
Заштрихуем ту часть четырехугольника PQRM, которая лежит по ту же сторону от прямой АъАп, что ^вершины A j и А г Ясно, что отрезок PQ лежит в заштрихованной части. Заштрихованная часть, а вместе с ней отрезок PQ и треугольник PQR, не пересекаются (во внутренней точке) никакими другими диагоналями л-угольника: диагонали выпуклого (п—2)-угольника
AzA^.An^iAn пересекаются по другую сторону от прямой Л3Лп, диагонали AxAbi Л,Л4, А2Ап-ь А2Ап и, быть может, диагональ АъАп ограничивают заштрихованную часть, а остальные (если таковые имеются) диагонали проходят через вершины А\ и А2 и лежат вне углов А±А\Аъ и А\А2Ап—2»
Покажем, что среди четырех фигур — треугольников PQAU AiQA2t A2QR и заштрихованной части — имеются неравновеликие. Действительно, либо неравновеликими являются какие-либо два треугольника из этих
трех, либо все три треугольника равновелики и тогда PQ — QA2 (ибо высоты треугольников PQA\ и A{QA2i проведенные из вершины Аи совпадают) и, аналогично, AiQ = QR. В этом случае треугольник A,QA2 будет равен треугольнику PQR, и потому его площадь, равная площади треугольника PQR, будет, как и площадь треугольника PQR, строго меньше площади заштрихованной части.
8. 	Множество TQ состоит из всех чисел вида (2*)!, fc = 0, 1, 2, 3, * При каждом значении я==1, 2,
1987 множество Тп получается добавлением к множеств ву Тп-\ всех чисел, представимых в виде суммы нескольких различных чисел из Тп~х. Докажите, что хотя бы одно натуральное число не принадлежит множеству
Т1987-
(10; 0; 57; С Кон яг ин)
Пусть а*= (2*)!, 6=0, 1, 2, 3, . . Найдем такой
номер N (он будет достаточно большим), что все натуральные числа из интервала apj\ а^ не будут
принадлежать множеству Тт?.
Нам потребуются некоторые неравенства* Ясно, что
о* = (2*)! = 1 -2*3*...*2* < (2й)2* — 2ft'2* , k =0,1
Далее, если х, ^ — натуральные числа, то \х—1) X Х(У—1)>0, и поэтому ху^х+у—1. Полагая в этом неравенстве х — 1, 2, 3, «—1, я, а у=п, п— 1, я—2,
2, 1 соответственно и перемножая получающиеся неравенства, мы придем к неравенству 1Ш)2^пп, я== = 1, 2, 3, из которого следует, что
59


«*=(2*)!>(2*) 2 — 2‘
ft—i
Итак,
2**2*
6-0, 1,2, (1)
Зафиксируем некоторый номер N и рассмотрим все числа из Тп, удовлетворяющие неравенству An<aN. Они имеют вид:
Ля=*оОо4"*1#1+»».-{’Хн-.хйы—ъ "(2)
где Xi — неотрицательные целые числа. Числа я* с номером k^N в сумму (2) не входят, Множество чисел вида (2), удовлетворяющих неравенству An<aNy конечно, и среди всех коэффициентов xf существует наибольший. Обозначим его через Таким образом,
Для любого числа Ап вида (2), удовлетворяющего неравенству Л*<;ал,
Ясно, что Вi = l. Покажем, что
Вл<2(1+л,)'г_1-1 , п -1,2,....
Действительно, любое число Л„+1 из Тя+ь удовлетворяющее неравенству Л„+1<ал/, есть сумма некоторого количества М различных чисел Ап аз Та вида (2)з уИ N—1 /V—1 Ж
S ( S 2 ( 2 xik) аь- (3)
j—] ft=0 £ = О ;=1
Число Af не превосходит числа (23я+1)*, ибо 0^ Следовательно, любой коэффициент при at в (3) не превосходит Это значит,
что Bn+i^:Brl(Bn-\-1)*, «el, 2, , На основании этой
оценки с помощью индукции (по я) легко проверяется,
что справедлива оценка вл^2(1 + ^ f «=» 1, 2,
что и утверждалось,
В частности, ВШ7*? 2(1+Л)Шб~’1 . Поэтому для любого числа Л ,5,87 из Tm7t удовлетворяющего неравенству Л1987<ая, справедлива следующая оценка (см, 0)>:
Лг—1 ЛГ—1
Л1987 =2 XJ aJ < 2 aj) < NBiwiajy^ <
7=0 ;=0
< ЛГ.2(1+ЛГ)1986~1 + <N -D^-1
Подберем теперь число N (ЛГ^З) так, чтобы выполнялось неравенство
дг.2п + ^)193б-1 + ^ JL.2n'2N~~1 (4)
Рис. 15
Перепишем его в виде:
N < 22iV'~1““(1+yV)i9Sb — 22/V“"2+2/v~*2—(1 + W)1
Так как ЛГ<22^ 2 (ЛГ^З), то неравенство (4) будет справедливо при справедливости неравенства 2лг-2_ Пусть л?—2 =» 19866. Тогда послед¬
нее неравенство приводим к виду 2*^34-19866, а оно выполняется при 6 = 15: 215=32 768>34-1986-15=* =29 793.
Итак, при W=29 792 все числа Л1987 из Tmj, удовлетворяющие неравенству Л,987<£859792, удовлетворяют
и неравенству Ат7<.~ а29792, так что все натуральные
числа из интервала^— <229792; 029792 ) ае принадлежат
множеству Тт7.
X КЛАСС (58 участников)
1. Найдите такой набор из пяти различных натуральных чисел, в котором любые два числа взаимно просты, а любые несколько чисел дают в сумме составное число.
(6; 42; 5; Н. А г а я а н о в) Ответ: такими являются, например, числа 1, 7, 13, 19, 25-
2. Докажите, что если в выпуклом, пятиугольнике ABCDE £ABC=£ADE и ZAEC = ZADB, то /-ВАС = = ZDAE.
(7; 31; 14; И. Сергеев) Пусть F ~ точка пересечения диагоналей BD и СЕ (рис. 15). Так как ZAEF^jLADF, то точки Л, /\ D, Е лежат на одной окружности, откуда следуют равенства) /LABC^/L.ADE=ZAFE и ^ЛВС4-^Л/7С=180°. Поэтому точки Л, 8, С, F также лежат на одной окружности. Таким образом, ZLBAC=£.BFC= ZDFE~ &=ZDAE, что и требовалось доказать.
3. Найдите все значения а, для каждого из которых последовательность cos a, cos 2а, cos 4а, cos 8а, , * 4 состоит только из отрицательных чисел.
(10; 22; 0; В.Салихов) 2я
Искомые значения а имеют вид + -g- 4* 2кт, т £ Z. Действительно, если а удовлетворяет условию задачи, то cos а ^кначе —-у < cos а < 0,
7
cos 2а — 2 cos' а — 1 < я- и cos 4а =» 2 cos2 2а —
Учи-
— 1 > о). По той же причине для любого п £ N имеем:
1 I 1 | 2
cos 2ла< — —, откуда | cos 2ла — — | >
т) (cos* + т)>
тывая тождество 1
cos 2х 4- ” *
2 ^ cos х получаем, что величина
cos а 4*
<
1
cos 2а 4*
cos 4а 4-'
f 2 V4 1 I / 2 V
<\TJ \cos2na +~\<\т)
<
меньше любого положительного числа, а значит, раз- на 0. Наконец для указанных выше значений а имеем:
0 > —гу *= cos а — cos 2а « cos 4а =* cos Ьа «* .. • •
60


4. В квадрате из 1987X1987 клеток вырезана одна произвольная клетка. Докажите, что оставшуюся часть всегда можно разрезать на трехклеточные уголки вида Д (рис, 2).
(7; 27; 7; Р„ Ста д ья)
Заметим, что 1987=6-331 + 1, и докажем утверждение для квадратов размера (6я+1)Х(6л+1) индукцией по «eN. Во-первых, утверждение справедливо при я = 1, т. е- для квадрата, 7X7. Действительно, из соображений симметрии достаточно рассмотреть только случаи, когда вырезанная клетка лежит в одном из квадратов 2X2, заштрихованных на рис, 16,а, б, в, где показано, как разрезать оставшуюся часть. Во-вторых, пусть утверждение уже доказано при некотором значении /isN, Докажем его для квадрата (6л+7)Х Х(6я+7). Поместив в одном из его углов квадрат (6я+1)Х(6я+1), покрывающий вырезанную клетку и удовлетворяющий предположению индукции, разрежем оставшуюся часть на прямоугольники 2X3, а затем и на уголки вида Д.
5. Два игрока поочередно выписывают на доске чис• ла, не превосходящие п. Правилами игры запрещается писать на доске делители уже выписанных чисел. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход.
а) Выясните, кто из игроков имеет выигрышную стратегию для я= 10, и укаоюите ее*
б) Докажите, что тот же игрок имеет выигрышную стратегию для произвольного п s N,
(9; 23; 4; Д, Ф о м я я)
(Сравните с задачей 8 для VIII класса.)
Ответз Начинающий имеет выигрышную стратегию,
а) Первым ходом начинающий пишет число 6, после чего другой игрок может написать только одно из чисел з 4, 5, 7, 8, 9, 10, Разбив их мысленно на пары (4; 5), (7; 9), (8; 10), первый игрок в ответ на каждый очередной ход второго может писать парное число с тем, которое записал второй, и таким образом он не проиграет*
б) Рассмотрим новую игру —с теми же правилами, но с одним ограничением; запрещается писать на доске число 1„ Если в этой новой игре у начинающего есть выигрышная стратегия, то она годится н в исходной игре. Если же ее нет, то начинающий в исходной игре может первым ходом написать 1, превратив исходную игру в новую с той лишь разницей, что в ней начинающим будет второй игрок, не имеющий выигрышной стратегии,
6’ График функции y=f(x), определенной на всей числовой прямой, переходит в себя при повороте на угол я/2 вокруг начала координат,
а) Докажите, что уравнение f(x)=*x имеет ровно одно решение.
б) Приведите пример такой функции.
£7; 26; 0; А» Кдюшин)
Рас. 16
ш
щ
ш,
V///
ж
ш
m
III
it
О)
ж
ж
Ш
m
Ш
%
а\/^?ЛИ —^°* то точка (0; Уо) графика функции
#=/(*) после двух поворотов (на угол л/2 каждый) перейдет в точку (0; —у0) того же графика, поэтому Уо~--Уо и /(0)=50„ С другой стороны, для любого решения х—Хо уравнения f(x)=x имеем, что точка (*о; *о) графика функции y=f(x) после трех поворотов перейдет в точку (*0; —х0) того же графика, откуда дс0=»—*0—0, Итак, уравнение f(x)=x имеет единственное решение *=0.
б) 	График одной из возможных функций изображен на рис. 17.
7* Все грани выпуклого многогранника являются треугольниками. Докажите, что каждое его ребро можно покрасить в красный или синий цвет так, чтобы в итоге из любой вершины в любую другую можно было попасть, двигаясь как только по красным ребрам, так и только по синим ребрам.
(8; 22; 9; О. Ляшко)
Возьмем все грани многогранника при некоторой вершине А и раскрасим ребра этой части гак, как показано на рис. 18 (ребра одинакового цвета изображены сплошными линиями одинаковой толщины). Тогда для вершин раскрашенной части требуемое в задаче условие будет выполнено. Последовательно добавляя к уже раскрашенной части по одной грани, имеющей с этой частью общее ребро, будем раскрашивать ее ребра следующим образом: если у добавляемой грани уже покрашены два ребра, то трегье ребро красим в любой цвет (см. на рис. 18 штриховое ребро грани а), а если уже покрашено только одно ребро, то два остальных ребра красим в разные цвета (см. на рис. 18 штриховые ребра грани р). В любом случае для вершин раскрашенной части требуемое условие будет выполнено, причем в конечном счете все ребра будут раскрашены*
8, Докажите, что при любом re N справедливо не- равенство
J2/I+1)» £* (2л) "+ (2 л—1) •
(6; 27; 0; Ю. Нестеренко)
Из тождеств
II ±:*) * 1 ±пх+а2х2±а^х3+а4х*±а^х5+.. „ где а^0 (/**2, л), получаем тождество
(I+*)"•— (1— *)"•—2пх=2аъХ*+2а5х*-\-„. .^>0, Отсюда при *=1/2п следует неравенство
(»+2^)Я>1 +0-5г)‘.
СШОСМьйве требуемому.


Возникновение новых задач при исследовании задач по геометрии
Д. Ф. Изэаи (г. Орск)
Исследование задач по геометрии можно толковать довольно широко, рассматривая его не только как составную часть решения самой задачи.
По ходу решения любой геометрической задачи обнаруживаются различные свойства соответствующей геометрической фигуры. При этом могут обнаруживаться и такие свойства, которые в изложении решения не используются. Исследование задачи, как нам кажется, начинается тогда, когда, решив ее, мы продолжаем разыскивать новые свойства фигуры, заданной в задаче. В некоторых случаях эти новые свойства могут быть достаточно интересными (представлять собой небольшие открытия); их можно использовать для составления новых задач и различного рода обобщений.
В данной статье на нескольких примерах проводится исследование в изложенном выше смысле.
Задача \* В треугольнике ABC точка D выбрана на стороне АС так, что ZDBC= ZBAC. Известно, что AD = S, DC—А. Найти ВС.
Решение. Из условия задачи следует, что ДЛВСсо
АС АВ ВС c/sABDC (рис, 1), а тогда g и
BC=6<
Решение позволяет заметить, что сторона А В, а следовательно, и весь треугольник ABC недоопределены. Поэтому в порядке исследования можно задаться целью обнаружить различные свойства треугольника ABC и с их помощью составить новые задачи.
Так как сторона ВС имеет одну и ту же длину во всех треугольниках, удовлетворяющих условию задачи, то получаем такое свойство* если сторону АС и точку D £ АС считать заданными {ЛС=9, DC=4), то точка В принадлежит окружности <о (С, 6),
Нетрудно показать, что любая точка М окружности со, исключая точки Е и F (рис. I), может быть вершиной треугольника АМС, удовлетворяющего условию задачи; треугольники АМС и MDC подобны (ЛС:МС= = МС : DC = 3 : 2, ZACM = ZMCD), следовательно, ZMAC= ZDMC. Найденным свойством можно воспользоваться для построения треугольника ABC, удовлетворяющего условию задачи.
Приведем примеры задач с использованием полученного свойства*
Задача 1.1. На данном отрезке АС задана точка D, причем AD—5, DC=4. Построить треугольник ABC, в котором. ZDBC— ZBAC,
Указание. Вершина В £ со (С, б),
Задача 1.2, На данном отрезке АС задана точка D, причем ЛО= 5, DC=4. Построены всевозможные треугольники ABC, в которых ZBAC=* ZDBC. Найти множество точек В. Какие значения могут принимать угол А и сторона АВ треугольника ABC?
Заслуживает внимания еще одно свойство треугольника ABC. Из решения задачи 1 следует, что AB :BD=3:2. Это значит, что окружность ш можно рассматривать как множество точек, отношение расстояний которых до точек А и D равно 3/2, Возникает вопрос: можно ли полученный результат обобщить? Оказывается, мсжко, Получаем следующую задачу.
Задача 1.3. Доказать, что множество точек, отношение расстояний которых до двух данных точек равно к,Ф1, есть окружность.
Решение задачи 1.3 хорошо известно. Окружность, о которой говорится в задаче 1.3, называется окружностью Аполлония. Приведем решение задачи 1,3, вытекающее из решения задачи 1,
Рис. 1
Рис. 2
Пусть даны точки А и В; С—произвольная точка вне прямой АВ, обладающая свойством AC:BC = k* Для определенности будем считать £>1 (на рис, 2 k — 2).
Следуя задаче 1, проведем луч СО так, чтобы ZBCO^ZA (рис. 2). Докажем, что положение точки О не зависит от выбора С.
Пусть АВ = а, ВО=хч Из подобия треугольников АС О и С ВО следует: '
АС АО СО АС а+х СО
~ВС~= ТсГ = ВО ’ ВС “ СО х •
Д"ак как AC:BC=k, то CO=*kx, a+x~k2x, а м ab X~k'—V cu~~k9 — lm Таким образом, если ЛС:£С=&>1, то С £ со(0, г), где
a ak
ВО =
г =
k? — 1*
Обратно, пусть С£ со. Тогда
/ а \ ak
AOi(JC ^ ( а -}- | l fc* 1 ~ **
СО : OB*=k, ZAOC= ZCOB, ААСОсяАСВО, ZCAO= = /LBCO и AC:CB= AO:CO=kt
Пусть окружность со пересекает прямую АВ в точках Р и Q (рис. 2)* Тогда АР: PB=AQ: QB = =АС : BC~k. Это значит, что СР и CQ—биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине С треугольника ABC, ZPCQ = 90° и окружность Аполлония может быть построена, как окружность с диаметром PQ*
Отметим еще одно свойство окружности Аполлония.
Выше было установлено, что АО \ОС = ОС *ОВ, или ОС2 = 0/4«ОБ (рис. 2). Это означает, что прямая ОС касается окружности, проходящей через точки А, В, С, и перпендикулярна радиусу этой окружности, проведенному в точку С. Другими словами, окружность ЛВС ортогональна окружности Аполлония* Получаем еще одну задачу.
Задача 1.4, Доказать, что окружность Аполлония, построенная для точек А и В, пересекает под прямым углош любую окружность, проходящую через точки А и В (рис. 2).
При желании задачу 1.4 можно использовать для ознакомления учащихся с понятиями пучка окружностей и радикальной оси двух окружностей. Дело в том, что окружности, проходящие через точки Л и В, образуют эллиптический пучок с радикальной осью АВУ а каждая окружность эллиптического пучка с радикальной осью АВ рождает множество окружностей Аполлония, образующих гиперболический пучок с радикальной осью, перпендикулярной к отрезку АВ и проходящей через его середину.
Из решения задачи 1.3 следует, что если для точек А и В построена окружность Аполлония ш с центром О, причем отношение расстояний ЛС:#С=£>1, где С £ о, и прямая АС пересекает окружность Аполлония
62


/
Рис. 4
в точках С и D, то точка В лежит между точками А и О и Z.CAB — ZBCO — Z.BDO (рис. 3). Поэтому четы рехугольник BDCO вписан в некоторую окружность. Полученный результат можно использовать для составления новой задачи, приводящей к понятию радикального центра трех окружностей.
Задача 1.5. В треугольнике АСО на стороне АО взята точка В так, что ZCAO = ZBCO. Построена окружность © с центром О и радиусом ОС. Окружность ©I проведена через точки В и О так, что пересекает окружность со в двух точках — Ми К. Доказать, что точка А принадлежит прямой МК.
Решение I. Будем считать, что мы знакомы с окружностью Аполлония и ее свойствами. Тогда замечаем, что © — окружность Аполлония для точек А и В и k=AC : ВС (рис. 3) Если Ki— вторая точка пересечения луча AM с окружностью ю, то ZOAM = = ZOMB = Z.OKiB, откуда следует, что /(,£<»ь т. е. точка К\ совпадает с точкой К и точка К лежит на прямой AM.
Решение II. Приведем решение задачи 1.5, не опирающееся на знание окружности Аполлония. Из условия задачи 1.5 следует, что АЛОСс/эАСОВ, ОС2= = ОЯ-ОЛ, ОМ2 = ОЯОД, ОМ :ОВ = ОА :ОМ. Это значит, что ААОМс/зАМОВ и ZOAM = ZOMB. Обозначим через К\ — вторую точку пересечения луча AM с окружностью со. Тогда О/С j = СШ2 = 0£-ОЛ, OKii tOB = OA :ОКи AAOKicr>AKiPBy откуда следует, что ZOAKx~ZOK\B, Получаем: ZOMB = Z.OK\B, точка Ki принадлежит окружности <оь и поэтому Ki^K, т.е. точка К принадлежит прямой AM.
Задача 1.5 позволяет естественно познакомить учащихся с понятием радикального центра трех окружностей (точка Л — радикальный центр окружностей со, 0>) и 6)2).
При желании исследование задачи 1 можно продолжить, рассматривая различные частные случаи. Нам показались интересными такие случаи:
1) Среди треугольников ABC, удовлетворяющих условию задачи 1, возьмем тот, в котором BDX.AC. В этом случае ZABC—90°, ZABD—ZBCA, каждый из треугольников BDC и ADB подобен треугольнику ABC. Изучая свойства этой фигуры, можно получить рассматриваемые в школе метрические свойства прямоугольного треугольника, в частности теорему Пифагора,
2) Рассмотрим случай, когда BD — медиана в треугольнике ABC и ZBAD — Z.DBC. Такой треугольник можно дополнить до параллелограмма, в котором D —
точка пересечения диагоналей. Возникает следующая задача.
Задача 2. Изучить свойства параллелограмма, в котором диагонали образуют с соответствующими сторонами равные углы: ZBAC=Z~ADB (рис, 4).
3) 	Можно еще рассмотреть случай, когда в треуголь нике ABC AD: DC=2 и ZBAD = ZDBC (рис. 5). Такой треугольник можно рассматривать как часть треугольника АВЕ, в котором D — точка пересечения медиан. Возникает еще задача.
Задача 3. Изучить свойства треугольника, в котором две медианы составляют с соответствующими сторонами равные углы (на рис. 5 Z-CAB—Z.FBE, АС и BF — медиачы).
Решим задачи 2 и 3, формулируя их более конкретно.
Задача 2. В параллелограмме ABCD (AB = DC) Z В AC —Z ADB. Изучить его свойства. Составить новые задачи.
Решение. Пусть диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О, Z. BAC=ZADB (рис. 4). Тогда Z ACD=:Z.ADB, A AOD~ AADC, AO.AD^ =AD : AC, 2AO*=AD\ АС - AD /‘2 .
Аналогично яз подобия ^треугольников АВО и DBA получим, что BD — АВ j/*2 .
Легко доказать справедливость обратного предложения: если в параллелограмме ABCD ЛС=ЛО|/ 2, то A AOD ^ A ADC и поэтому Z.ACD=Z. ADO.
Полученные результаты можно сформулировать в виде задач.
Задача 2.1. В параллелограмме ABCD (AB — DC) Z BAC = Z ADB. Доказать, что
AC - ADyr 2, BD = AB /?,
Задала 2.2. В параллелограмме ABCD ЛС = = ЛО>^ 2 Доказать, что ZBAC—Z.ADB.
Запишем кратко полученные свойства параллелограмма ABCD:
1) <=£ ВАС - ^ ADB =s> АС — AD /Т и BD -
- АВ /2;
2) АС - AD /2 => ^ ВАС = ADB и В D =
-Лб/2;
3) BD - АВ /2 => ВАС = ^ ADB и АС =■
- AD /2.
Возникает вопрос: нельзя ли заменить каждое из трех условий условием АС : AD—BD : AB = k}
Другими словами, получаем еще одну задачу.
Задача 2.3. В параллелограмме ABCD диагонали пропорциональны сторонам, т.е. АС : AD — BD : АВ — k. Какие значения может принимать к? Каким может быть отношение сторон?
Решение. По теореме косинусов:
BD2^AB2+AD2—2АВ-AD cos Л, AC2=AB2+AD2+2AB -AD cos A.
Сложив полученные равенства и заменив BD — kAB я AC = kAD. получим
k*(AB?+AD2) =2(А£2+Л£>2) => k = .
Таким образом, если в параллелограмме диагонали пропорциональны сторонам, то отношение большей диагонали к большей стороне (или отношение меньшей диагонали к меньшей стороне) может равняться только
/Т. Указанное в задаче 2.3 условие эквивалентно каждому из рассмотренных ранее условий.
Найдем теперь отношение сторон. __
Обозначим AD—а, ЛВ = 6. Тогда АС = a 2 и из треугольника ACD будем иметь:
а /2 -~<г < а + д уг29 или j/~2— 1 <~ < /~2+ 1
63


Полученные свойства позволяют составить ряд новых задач.
Задача 2.4. На данном отрезке AD построены всевозможные параллелограммы ABCD, в которых
BAC=/.BDA. Найти множества точек С, точек В и точек О — пересечения диагоналей.
Решение этой задача легко усматривается из полученных ранее результатов. Точки С опишут окружность оз (A, AD /2), точки В — окружность coi = DA (ш),
/2
О — окружность а), 1 A, AD
точки и — окружность (В, ^А,.
3 а дач а 2.5. Построить
(AB=DC) в котором /.ВАС-
2 / (рас. 6).
параллелограмм A BCD
-/LBDA, если даны:
а) сторона AD и угол BADt где Z. BAD — а<90°;
б) сторона AD и угол CAD, где Z_ СЛ£>==р <45°;
в) стороны АВ и AD;
г) сторона AD и угол ACD, где /.ACD=y<90°;
д) сторона AD и бдльший угол межди диагоналями Z..AOD = а>90°;
е) сторона АВ и угол ACD, где Z. Л CD = 30°;
ж) диагонали.
Все эти задачи на построение легко решаются, если воспользоваться полученными выше соотношениями.
Задача 3. Медианы BD, AF, СЕ треугольника ABC пересекаются в точке М. Известно, что /L.ABD = ~/LMAD. Найти новые свойства этой фигуры. Составить новые задачи.
Решение. Из подобия треугольников ЛBD и MAD (рис. 7) следует:
А В AD BD '
AD'~MD*DD, BD-AD/3,
Ad А
MD
AD
AF
AB-MAVZ, -Jb
Так как BD- DC CD *■
1
/3 * 2 BD
3MD
, 3- -~7T-md /3’
/^BDC = /^CDAi, то Д CBD ^ Д MCD и поэтому
Z. CBD—Z. MOD,
Пусть AB=c, AC=b, BC~a, AF=ma, CE=*me,
В и юъ\ запишем коротко полученные результаты*
Jj /-ABD=<LFAU =*» Z. CBD—A. MCD,
m„ mо mc /3"
mb ■ T
2 • с a " 2
2) Z.CBD = /_ MCD =► Z. ABD*=Z_ FAD, b V 3 ma ma /Т
Рис. в
b j/* 3
2 » <? a “ 2 *
=>Z. ЛВ£> = ,/ /\4D, Z. CBD=/_ ECDt
ma mc ■y/'~S
с ~a~ 2 •
Рис. 7
В
А
23 С
Обнаруженные свойства побудили нас составить такие задачи:
Задача 3.1. Построить треугольник ABC, в кото• ром Z. ABD = /_ CAF, BD и AF <—медианы, если даны;
а) стороны АВ и АС;
б) сторона АС и угол С;
в) сторона АС и угол ABD, равный углу CAF. Задача 3.2. На данном отрезке АС построены все-
возможные треугольники ABC, в каждом из которых /. ABD^/. FAC, где BD и AF — медианы. Найти множество точек В и множество точек М пересечения ме* диан.
Указание. Из решения задачи 3 следует, что
DB.
АС /3
Выше было установлено, что если медианы BD и AF составляют со сторонами В А и АС равные углы то та : с=Шс I а ==з / 3:2. Возникает вопрос: будет ли
верна обратная теорема с условием ma:c=/nc:a и аФс?
Получаем еще одну задачу.
Задача 3.3. В треугольнике ABC медианы AF а СЕ обратно пропорциональны сторонам, к которым они проведены, т. е. та:пгс=с:а, причем афс. Изучить свойства такого треугольника.
Решение. Воспользуемся рис. 7. угольника АЕС и AFC равны, поэтому
1 с л ^ 1 а
гп,.*— sin ^АЕС =* — т„
Площади тре-
2
2
sin ^ AFC.
Так как по условию тс-с=*та-а, то sinZ.A£C=s = sin /-AFC. Если /.АЕС—/.AFC, то a=c, что противоречит условию. Поэтому Z. ЛЕС-j-Z. AFC= 180°, Z. BEC-\-/L BFA = 180°. откуда следует, что четырехугольник MEBF — вписанный, Z. МВБ=Z, MFE =* = Z. AL4D, т. е. /LABD — /LFAD, Но тогда по доказанному в задаче 3:
bV~ 3
т,
2
Можно
a
3.3
/3
условие задачи 6.6 заменить условием та \П
— = — в выяснить, будут ли из него следовать ос«
тальные свойства, отмеченные в задаче 3. Получаем еще задачу. _
Задача 3.4. В треугольнике ABC m*: с= ^ 3:2, где пга — длина медианы AF, а с=АВ. Выяснить, будет ли треугольник обладать свойствами, полученными в решении задачи 3.
Решение. Рассмотрим треугольники ABF и АМЕ (рис, 7). Имеем:
AF та /*3*
АВ
2
АЕ
AM
J2 : 3
Z. BAF
тп
6 с ”4 ' та
/.МАЕ.
S3
Отсюда следует, что Л ABFЛ AMEt /L AFB = /L АЕМ, четырехугольник MFBE — вписанный, а значит, Z. МВЕ = Z. MFE = Z. MAD, т. е. /.ABD=/.FAC. Таким образом, выполняется условие задачи 3, и треугольник ABC обладает всеми полученными выше свойствами. Перечислим их, используя принятые выше обозначения. Если рассматриваемый треугольник обладает одним из них, то обладает и остальными.
1) Медианы BD и AF образуют равные углы со сторонами ВА и АС.
2) Медианы BD и СЕ образую! равные углы со сторонами ВС н СА.
64


3) mb
b / 3
‘2
4) 	ma : mc—c : а=?^1,
гч m0 |/ 3"
t>) — - —9 •
б) 	Четырехугольник BEMF — вписанный.
В заключение отметим, что приведенный в статье материал может быть использован во внеклассной работе или в качестве индивидуальных заданий для учащихся, интересующихся математикой.
ЗАДАЧИ
Ряд читателей журнала, принимающих активное участие в проводимом конкурсе по решению задач, обратились в редакцию с просьбой увеличить время, предоставляемое для решения конкурсных задач. Идя навстречу этим пожеланиям, редколлегия приняла решение провести конкурс 1988 г. в этом номере, а итоги его подвести, как обычно, в № 5 за 1988 г. Большинство конкурсных задач предложено победителем конкурса 1987 г. учителем из Москвы Г. Б. Хаси- н ы м.
Редакция напоминает читателям, принимающим участие в решении задач, что решения алгебраических и геометрических задач следует присылать отдельно, указывая на конверте соответственно «Алгебра» и «Геометрия».
Решения конкурсных задач должны быть отправлены в редакцию не позднее 1 мая 1988 г., а остальных — как обычно, не позднее 1 марта 1988 г. О правилах оформления см. в № 1 журнала «Математика в школе» за 1987 г. на с. 79.
Задачи для учащихся
3141, Расшифровать пример на вычитание
v летела стая
ворон,
если разные буквы обозначают разные цифры и число сто делится на 139,
Н. 	К. Антонович (Новосибирск)
3142. Доказать, что для любого числа п можно найти число, которое записывается только с помощью двух цифр и делится на п,
К. Имаммагзам (Монголия, г, Кобдо)
3143. Четырехзначное число и его обращенное являются точными квадратами двух чисел, одно из которых делится на другое. Найти эти числа.
А. 	А. Б о б о я н (ГССР, г. Ахалцихе)
3144. Найти наибольшее значение выражения х2+у2, если
|3*+2*/|<6, |7*-3*/|<4.
Математический кружок 173-й шк. Киева (рук, Р. П. Ушаков)
3145. Решить уравнение
х /Г+Т + V3 —JC =.2'/х,+ 1.
А, Н, Смоляков {Ставропольский край,
с, Нефтекумск)
3146. Решить неравенство
х 2х
х + 1 + (х + 1) {2х + 1) +
Зх
+ (х + 1)(2*-нма*+ 1) + ••
1988
••• + (-* -f 1) (2х н- 1)...(1988* + 1) > *•
В. 	А. Ясинский (Винница)
3147. На сторонах треугольника ABC построены прямоугольники АВВ\А\, ВСС\В2 и САА2С2. Доказать, что серединные перпендикуляры к отрезкам ЛИ* В\В2 и С\С2 пересекаются в одной точке.
В. 	Протасов (Москва)
3148. Решить в положительных числах систему уравнений
х2+ху+у2=25, y2+yz-\-z2=:49, z2+zx+x2—121,
Г. Б, X а с и н (Москва)
Конкурсные задачи
3149. Числовая последовательность (ап) составлена по следующему правилу: запись числа п в двоичной системе является записью числа ап в троичной системе (например, а9= 10013=28). Доказать,,что никакие три числа из этой последовательности не образуют арифметическую прогрессию.
Г, Б. X а с и н
3150. Доказать, что в любой перестановке натуральных чисел от 1 до 102 найдутся два числа, которые в сумме со своими номерами дают одинаковые остатки от деления на 102.
3151. Доказать, что среди любых 995 различных натуральных чисел, меньших 1988, по крайней мере одно равно сумме двух других.
Г. Б. X а с и н
3152. Пусть десятичная запись числа 2а, где а >10, заканчивается десятичной записью числа а, и b — отличная от нуля цифра„ предшествующая числу а в записи числа 2°. Доказать, что запись числа 2Ьа заканчивается числом Ьа.
(Например, 236 заканчивается числом 736, и поэтому 2736 заканчивается числом 736,)
Г. Б X а с и н
3153. Решить уравнение
х5—10*34-40л;2—ах4-Ьх—5=0, где а, Ь, с> 0, если известно, что оно имеет пять поло- жительных корней.
Г, Б. X а с и н
3154. Пусть комплексные числа Z\, ..., zn являются вершинами выпуклого п-угольника. Доказать, что если
1 1 1 г — Zt + 2Г — 2Г, + ••• + 2 ~гп “ °»
то точка z лежит внутри этого п-угольника.
Г* Б, Хасин
3155. На сторонах АВ, ВС и С А треугольника ABC взяты соответственно точки С\, Ах и Вх. На стороне АС во внешнюю от треугольника сторону построен треугольник АСВ2 так, что jLACB2 = ZA\CiBu ZJCAB?= = ZCiA,£,. Доказать. что площадь четырехугольника А\ВС\В2 равна площади треугольника АБС.
И. Ф. Шарыгин (Москва)
3156. Существует ли тетраэдр, у которого площади трех граней равны соответственно 1, 2 и 3, а радиус вписанного шара равен 1?
Г. Б- X а с ы н
65


3157. 	Доказать, что если все высоты тетраэдра равны между собой, то все плоские углы тетраэдра острые.
Г, Б- X а с и н
31.58. Для внутренней точки М тетраэдра ABCD$ имеющего объем V, выполняется равенство
где Sx, ..S4 — площади граней, a R\, ..R4 — расстояния от точки М до вершин тетраэдра. Доказать, что тетраэдр ABCD — правильный.
Г. Б- X а с и н
3159. Окружность, проходящая через вершины А и С треугольника ABC, пересекает стороны АВ и ВС в точках D и Е. В криволинейный треугольник BDE (BD и BE — отрезки, DE — дуга построенной окружности) вписана окружность, касающаяся дуги DE в точке М. Доказать, что биссектриса угла АМС проходит через центр окружности, вписанной в треугольник ABC.
В. 	Протасов (Москва)
3160. Пусть 1\, /2 и /3 три попарно скрещивающиеся прямые в пространстве Рассмотрим множество М, состоящее из всевозможных прямых, каждая из которых образует равные углы с прямыми 1Х, 12 и /3 и равноудалена от этих прямых.
а) Из какого наибольшего числа пряных может со- стоять множество М?
б) Какие значения может принимать п, где п — число прямых, содержащихся в множестве М? (Задача для исследования. В настоящий момент мы не знаем полного ответа на поставленный вопрос.)
И, Ф, Шарыгин (Москва)
Решения задач, помещенных в № 2 за 1987 г.
3061. Определить год рождения одного из великих русских ученых, если известно, что сумма цифр года его рождения делится на 5, а если к году рождения прибавить 7452, то получится число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке.
Решение. Ясно, что год рождения великого русского ученого начинается с цифры 1; обозначив остальные цифры через х, у, z, запишем условие задачи в виде
лХхУг + 7452
гух\
Очевидно теперь, что 2=9 и что в разряде сотен происходит перенос единицы в разряд тысяч. Если в разряде десятков происходит перенос единицы, то 0+6 = 10+* и *+5 = 10+0, что невозможно. Следовательно, у+6=*, и поскольку *+# должно делиться на 5, то *=8, у = 2. Проверка показывает, что число 1829 удовлетворяет условию задачи.
3062. В коробке находится 13 красных и 17 белых шаров. Разрешается проводить в любом порядке и любом количестве следующие операции:
а) добавить 2 красных шара, убрав 1 белый;
б) добавить 1 красный и 2 белых шара;
в) убрать 2 красных, добавив 1 белый шар;
г) убрать один красный и 2 белых шара.
Можно ли, совершая такие операции, добиться того, чтобы в коробке оказалось 37 красных и 43 белых шара?
Решение. Пусть проделано х, у, г, г операций каждого вида соответственно и в коробке оказалось требуемое количество шаров. Тогда
2х + у — 2г — t = 24,
— х -f 2у + z — 2t = 26
и, сложив первое равенство с удвоенным вторым, получаем, что by—5? = 76, т. е. 76 делится на 5. Полученное противоречие показывает, что требуемого результата данными операциями добиться невозможно.
3063. В городе есть гостиницы трех типов. В каждой гостинице первого, второго и третьего типа имеются соответственно 150, 310 и 40 обычных номеров. а также 17, 37 и 5 номеров высшего разряда. Всего в гостиницах города имеются 1040 обычных номеров и 123 номера высшего разряда. Найти число гостиниц каждого типа, зная, что их общее число не превосходит 10.
Решение. Если х, у, г — число гостиниц каждого типа соответственно, то 17*+370+5г = 123, откуда у^3. При у — 1 получаем, что 17*+5г=86, что возможно только при *=3, г=7, но тогда х+#+г = 11, что противоречит условию. При у = 3 получаем 17*+ +5г=12, что незозможно. Наконец, при у —2 получаем равенство 17*+5г = 49, откуда *=2, 2 = 3, и следовательно, в городе было 2^гостиницы первого, 2 гостиницы второго и 3 гостиницы третьего типа.
3064. В течение нескольких дней в двух металлургических цехах выплавлялась специальная сталь, причем ежедневное производство в каждом цехе было постоянно и составляло целое число тонн. В итоге за все эти дни во втором цехе было выплавлено на k т стали больше, чем в первом, где 113<;&^118. Если бы ежедневное производство стали в первом цехе увеличилось в 2 раза, то за то же число дней там было бы выплавлено на 91 т больше, чем во втором цехе. Сколько дней выплавлялась специальная сталь? Сколько т стали производилось в каждом цехе ежедневно?
Решение. Пусть в цехах выплавлялось ежедневно * и у т стали в течение t дней. Тогда
t (*/--*) — ft, t (2х—у) =91 и, следовательно, 91 делится на t, так что fefl, 7, 13, 91}. В то же время k делится на t, а среди чисел от 113 до 118 нет чисел, делящихся на 7 и на 91, так что t равно 1 или 13. Значение f=l противоречит смыслу слова «несколько», а при / = 13 получаем 6 = 117, и тогда * = 16, 0=25.
3065. Найти все пары целых чисел х, у, удовлетворяющих системе неравенств
2х1 + 2у5 + 24.* — 28у + 167 < 0,
15
•*+ 2у < ~2~.
Решение. Записав первое неравенство системы в виде
2 (*+6) 2+2 (у—7)2 < 3, получаем, что оно выполняется в трех случаях:
’х + б —0, f|jr + 6| = lB | лг -f* 6 = 0,
у — 7 «= 0, \ у — 7 «0, \ | у — 7 j =1.
Решая эти системы и подставляя их решения во второе неравенство, получим два решения исходной системы: (—6, 6) и (—7, 7).
3066. В зависимости от числа а расположить в порядке возрастания числа 4, 1 и корни уравнения
х2—2 а*+2а2—4а+3 = 0.
Решение. Квадратный трехчлен /(*), стоящий в левой части данного уравнения, имеет корни при 1^а^3, и, кроме того,
f (1) =2 (а2—За+2), f(4) =2а2— 12а+19.
Поэтому при 1<а<2 выполняются неравенства f(\)<С <0, Д4)>0, так что (нарисуйте график!) *i<l<*2< <4; при 2<а^3 f( 1)>0, f (4) >0 и абсцисса вершины графика f (x) находится между I и 4, так что
66


1 <xi<лг2<4. Наконец, при а = 1, Xi ==jt2= 1 <4, а при а—2 Х\ — \, x2—3f т. е. jci = 1<*2<4,
3067. Для каких действительных значений а каждое решение неравенства х2^х+а2 является решением не- равенства (0,8) х'~2х < (l,25)a+jr ?
Решение. Второе неравенство приводится к виду х2—х^—а, и поэтому число а является решением задачи тогда и только тогда, когда a2^s—а, т. е. при 1 и при а^О.
3068. Определить а так, чтобы сумма квадратов всех решений уравнения
loga |х—2a|+loge*=2
равнялась 4,
Решение. Заданное уравнение равносильно уравнению 2а | =а2, для решения которого следует най¬
ти положительные корни уравнения х2(х—2a)2=a4, или (*2—2a*-fa2) (х2—2ах—а2)=0. Так как а>0, то э™ уравнение имеет положительные корни а и а(1+>/Л2), откуда получаем, что сумма квадратов корней равна
4 только при а= 1^*2 — 2 .
3069. Найти все значения а., при каждом из которых уравнение
((х—а—I)2—2) (л:—a—1)2=a2—1 имеет больше положительных корней, чем отрицатель- ных.
Решение. Перенося все члены уравнения в правую часть, представим уравнение в виде f(x)g(x)= 0, где f(x) =*2~ 2(a+l)*+a(a+l), g[x) = *2—2 (a+1) x+a (a+3),
Трехчлен f(x) имеет корни при a ^5—1. При а>0 его корни положительны, при —1<а<0 корни разных знаков («особые» значения а=0 и а=—1 мы рассмотрим отдельно). Эти факты схематично изобразим на рисунке (см. рис. 1) вместе с аналогичными утверждениями для трехчлена g(x). Тогда по рисунку находим, что (без учета «особых» значений 1, 0, —1 и —3) решениями задачи являются значения а>0.
Из «особых» значений условию задачи удовлетворяет только а=0, и следовательно, решениями задачи являются значения а^0.
3070, Для каждого значения a(0<a<2) найти паи-» меньшее значение выражения
+ — a (2*+ у)
при условии, что
Решение. Наименьшее значение данного выражения А достигается, очевидно, при неотрицательных значениях ха у — в противном случае, изменив знак у отрицательного значения переменной, мы смогли бы уменьшить значение А. Поэтому мы будем искать наименьшее значение выражения £ = 2Л+2а2=(г—а)2+ + (у—а)2 для неотрицательных значений г и у, где 2=2х, при условии, что гг/==4/г, где k — произвольное натуральное число или нуль.
Выражение В представляет собой квадрат расстояния от точки Л1 = (а, а) до переменной точки (г, у), лежащей либо на одной из осей координат, либо на
«положительной» ветви одной яз гипербол ги=* 4k (£>0)«
Касательная / к гиперболе гу~4 в точке Р=*(2, 2)' имеет уравнение г+у=*4 и везде, за исключением точки касания, лежит ниже гиперболы: при гф2 для точ-
4
ки (г, у) гиперболы имеем г+у=*г+— >4, С другой
стороны, окружность с центром в точке М, проходящая через точку Р^также касается прямой U йо расположена ниже этой прямой. Поэтому окружность и ветви всех гипербол г*/=4k лежат по разные стороны от прямой L
Отсюда следует, что расстояние от точки М до любой точки гиперболы zy=4k больше или равно длине отрезка МР. Следовательно, наименьшее значение В равно меньшему из чисел |Л1Р| = (а—2)2-Ь (а—-212 а а2 — расстоянию от точки М до осей координат.
Так как 0<а<2 и
2(а—2)2^а2 <=> а2—8а+
+8<0 -*=*• 4—2 /"2<а<4+2 то наименьшее значение В при 4—2у^2<а<2 равно
2(а—-2)2, а при 0<а<4—2^2 равно а2. Соответствующие значения выражения А равны 4—4а и —а2/2.
3071, Найти наибольшее значение выражения х+2у, если х и у отрицательны и удовлетворяют неравенству
х2-4ху+у2+3^0.
Решение, Выясним, при каких значениях а система
х + 2у - а,
х' — 4 ху + у* + 3 < 0
имеет решения х<0, у<0,
Наибольшее из этих значений и будет решением задачи. Подставляя х=а—2у в неравенство, приведем его к виду 13у2—8ay+a2+3^;0t Это неравенство имеет решения при а2^ 13. При а=
«=* —Y13 одним из его решений является у
у 13 ( 5
а тогда решением системы является пара^ —► '»
4 \
/ ^аким °^Разом» искомое наибольшее значе*
ние равно— V13.
3072. На координатной плоскости проведена прямая, координаты всех точек которой принадлежат тожеству пар [х, у), являющихся решением неравенства
4х | х -Ь у | х
| х + у | * 1о£|*+у1 4 *
X (2лг*— 10.2*+у *х + 2ху + у1 — 3) > 0.
Найти уравнение этой прямой.
Решение. Так как в области определения задав* ного неравенства х+у> 0, то прямая, о которой идет речь в условии задачи, не может пересекаться с прямой х+у~ 0 и, следовательно, имеет уравнение вида у=а—х. Поэтому неравенство принимает вид
(X2— (log41 a I +log41 а I) х+1) 10 • 2ах+а2—3) ^ 0,
и требуется найти значения, при которых это неравенство выполняется при любом х.
Первый множитель в левой части при \а\ф4 имеет два различных корня и отрицателен в промежутке между ними, так что для справедливости неравенства при любом х второй трехчлен также должен быть отрицателен в точности в этом же промежутке, т, е« должен иметь те же корни. Но тогда должны выполняться равенства
67


10‘2a=logiei 4+1og4 |e|, a2—3 = 1, откуда a =—2.
При |a|=4 первый множитель неотрицателен, а второй принимает вид
5
х1 — 160*+13 или х*— — х -|- 13
и неотрицателен при а=—4. Следовательно, а равно —2 или —4 и уравнение прямой *+*/=•— 2 или х-Ь# = =—-4.
3073. 	В выпуклом четырехугольнике A BCD точка Е — пересечение диагоналей. Известно, площади треугольников АВЕ и CDE равны между собой, диагональ АС является биссектрисой угла А, Л£=4. Найти ВС.
Решение. Из равенства площадей треугольников АВЕ и CD£ следует равенство площадей треугольников ABD и CDA (рис. 2). Следовательно, ABCD—' трапеция (AD\\BC), jLBCA=:Z.CAD. По условию, ЛС — биссектриса угла Л, Значит, Z.BCA—2LBAC и <5С=» =ЛВ = 4.
3074, Окружность касается прямых АВ и ВС соответственно в точках D и Е. Точка А лежит между точками В и D, а точка С — между точками В и Е. Найти площадь треугольника ABC, если длины сторон АВ и АС соответственно равны 13 и 1, а точки At D, Е и С лежат на одной окружности.
Решение. Имеем BD—BE (рис. 3) как касательные к одной окружности (по условию), Докажем, что ААВСю AEBD. Поскольку четырехугольник ACED, по условию, вписанный, то Z.BCA = 180°—ААСЕ=180°— —(180°—£ADE) « 2.Л DE, Следовательно, треугольник ABC, как и треугольник DBE, равнобедренный: Л£=
15 /■—
=£С. Его площадь будет равна ~ У 3.
3075* В трапеции КРМН длина боковой стороны МН
равна 7/2* Окружность, проходящая через точки К, Р, М, пересекает прямую КН в точке Е, Длина отрез¬
ка РЕ равна 14, а угол РЕК, равен 45°. Найти длину основания КН.
Решение. Поскольку КЕ и РМ параллельные хорды в окружности (рис, 4), то КРМЕ — равнобокая трапеция, /Ш=Р£=14, /LMKH=/.РЕК=45J. Следовательно, расстояние от точки М до прямой КЕ равно
/Ш-sin АМКН = 14-sin 45°=7 /2. По условию, МН —
=7/2, Значит, МН перпендикулярна КЕ, КН — МН —
=7/2,
3076. В остроугольном треугольнике PQR (PQ>Q£) проведены высоты РТ и R>S. QN — диаметр окружности, описанной около треугольника PQR. Известно, что величина острого угла между высотами РТ и RS равна а, Р/?=а. Найти площадь четырехугольника NSQT.
Решение. Пусть О — центр окружности, описанной около APQR, М — точка пересечения РТ и SR (рис. 5).
1) /L.PQT=/LTMR — a.
2) AQST подобен AQRP с коэффициентом подобия,
05 QT
равным cos а* В самом деле,'Qft' "" ~QP" ^cos
Следовательно, треугольники подобны по второму признаку. Из подобия следует, что ST—PR cos a=a cos a,
3) Докажем, что QOS. ST, Для этого достаточно доказать, что сумма углов OQS и QST равна 90°. Из подобия треугольников QST и QRP следует, что Z.QSr =
=Z. QRPt Z. OQS=90°—* ~ z. POQ=90e-Z. QRP=*
=90°—/L QSTt т. e. OQ 1 ST.
4) В четырехугольнике NSQT диагонали перпендику* лярны. Значит, его площадь равна
1 1 а а*
— ATQ.ST “ — • -jj^.a.cosa-.-g-ctga.
3077. Все ребра тетраэдра ABCD имеют равную дли* ну. На ребрах АВ, АС и AD выбраны соответственно точки К, L, М так, что длина отрезка КВ равна 12, a длина отрезка MD равна 8. Известно, что радиус шарая
описанного около тетраэдра ABCD, равен б/б, а
объем пирамиды AKLM равен 192/2. Найти сумму радиусов двух шаров: вписанного в пирамиду AKLM и описанного около нее.
Решение, Воспользуемся следующими легко доказываемыми формулами. Если а — ребро правильного
аъ /2
тетраэдра, то его объем будет равен V — ,
a /б~
а радиус описанного шара R — —. Таким обра-
•/ 6
зом, а —^— - 6/6 и а» 24, где а — ребро тетра-
24* /2*
эдра ABCD, Vabcd ** \2— *■ 2»243 у 2 # Следо¬
вательно»
Vaklm __ 192 /2~_ 1
Vabcd = 2-242 уг2 ” 6 ‘
Г 1
Но (рис. 6,а)
^ aklm АК AM AL
V abcd АВ AD * AC
(24—12) (24 — 8) Л£ AL
“ 24 • 24 * 24 “ 72 •
тогда
AL 1
~22~ ТГ* ^
Рас. 4 Рис. 5
Рис. 2


м
р
г* / \
\
А ^"Г—
0
6)
к
Наша задача свелась к определению радиусов вписанного и описанного шара для пирамиды AKLM, в которой все плоские углы при вершине А равны 60°, а ребра, выходящие нз этой вершины, равны AK — AL — = 12, AM. = 16 (рис. 6,6).
Пусть О — сентр правильного треугольника AKL. Возьмем на ребре AM точку М\ так, что /4Л4(»12. Тогда все ребра тетраэдра AKLM\ равны, MjO —его высота, MiO=4/6. Центр описанного шара (Q) совпадает с точкой пересечения прямой ОМi и серединного перпендикуляра к AM. Если Я —середина AM, то AQ (радиус искомого описанного шара) равняется диаметру окружности, описанной около треугольника АРО> в ко-
АО я* 4 /Т\ АР « 8,
тором
1
/* п >
У 3
sin
4/3
tZPAO-
синусов нахолим РО >
2R — Sj^x) нах°Дим AQ'
Vb
4 /3, а
По
cos РАО «* теореме ко-
V4
затем ^по формуле Итак,
4й-б/г
радиус описанного шара равен 6 /2 .
Для определения радиуса вписанного
\Г я=г 01,1 Snnau*^
воспользоваться формулой к — вию, И -192 /.2); осталось
*полн
найти
$полн • Sakl *" 36 /з> ^
** 5,4 ли — 48 / 3 ,
SliM* - 12 /43 (МК -ML - 4 /13), - 132 /3 + 12 /43;
3- 192 /2 48 /2
Г “ 132 /Т +■ 12 /43 ~ 11 /3 + /43 ' Итак, искомая сумма равна
48/Т
шара можно (по усло- г. Имеем
6 /2 +
И / 3 + / 43*
3078, В основании призмы лежит четырехугольник A BCD» диагональ АС которого является осью симметрии, АА\ ВВ\ СС\ DD' — боковые ребра призмы. Длины отрезков АС, ВО и АА' соответственно равны 26, 14 и 13 см. Некоторая плоскость пересекает ребра ВВ‘ и DDи в сечении этой плоскостью призмы получается правильный шестиугольник. Найти объем призмы. Решение. На рис. 7,a KLMNPQ — сечение, являющееся, по условию, правильным шестиугольником. Прежде всего заметим, что плоскость шестиугольника параллельна диагонали BD, поскольку LP н KQ параллельны между собой. Далее, KQ и MN являются средними линиями соответственно в треугольниках A3D л
B'D'C' (KQ II BD, KQ=~LP « ~BD, аналогично для
MN). По условию (AC — ось симметрии ABCD), треугольники ABD и B'D'C'— равнобедренные (AB=AD, B'C'—D'C'). Докажем, что они равны. Пусть О, О', О, F и £ — соответственно середины BD, B'D\ LP, KQ и MN; F, G и E лежат на одной прямой и FG = GE, поскольку KLMNPQ — правильный шестиугольник; О'Е || Of, следовательно, треугольники FGO и EGO' равны (рис. 7,6) по стороне и двум прилежащим к ней углам; 0F=0'E, а значит, Л0 = 0/С'=0С= 13. Сторона шестиугольника равна — £D=7, £C'=Z)C' = 14.
(В треугольнике ВВ'С — LM — средняя линия, а в треугольнике DD'C' средней линией является PN.) Таким образом, точка С' равноудалена от точек В и D. Следовательно, ее проекция на плоскость основания также равноудалена от точек В и О, т. е. основание высоты призмы, проведенной из точки С', лежит на ОС. В треугольнике ОС С известны ОС =13, СС'= 13,
00^=7/3 (ОС'—высота в цравильном треугольнике
Пусть С'Т — высота треугольника ОС'С (С'Т также является высотой призмы). Если S — середина ОС' (рис. 7, а), то поскольку ОС=ОС'= 13, CS — высота треугольника ОСС\ проведенная к ОС', и
CS= V169
Тогда
С'Т-
OC'.CS
ОС
Объем призмы равен V —
7/3 ,-f  13
• AC’BD-C'T
7/3 .23 26
1 3-23
2 ,26'14’ 26
1127 / 3.
3079, Длина ребра основания правильной треугольной пирамиды SABC (S — вершина) равна 3. Точки К и L расположены на ребрах АС и ВС соответственно, 3
причем С/С==“2~, SL= 1. Известно, что для данной пирамиды существует единственный конус, вершина которого совпадает с точкой К, центр основания лежит на ребре SB, а отрезок KL является одной из образующих. Найти объем этого конуса.
Решение. Прежде всего заметим, что центр основания конуса расположен на поверхности сферы, построенной на КХ, как на диаметре. А поскольку он лежит на ребре SB, то центр основания конуса расположен на окружности (вернее, полуокружности), являющейся сечением сферы с диаметром KL плоскостью,
69


а на отрезке
проходящей через КВ перпендикулярно плоскости ABC. Пусть О — центр треугольника АБС (рис. В,а). Перпе1Ь дикуляр к КВ в точке О (в плоскости ABC) делит ВС в отношении (от точки С) КО: ОВ = 1^:2, а значит,
проходит через середину LC (LC=2=~CB) и через
середину KL. Таким образом, О есть центр окружности, являющейся сечением сферы с диаметром KL плоскостью KSB (на рис. 8,6 изображена верхняя полуокружность этой окружности). Поскольку, по условию, искомый конус единственный, то ребро SB или касается этой полуокружности в точке Q, или вершина S расположена на радиусе ON (ON JL/CM),
В первом случае высота конуса h — KQ, ^.KOQ = 120°(cos^QOB-=§§ = §j= 4"); KQ “
3 ( 1 /1\
- г/СО-вШбО^/СО/З т=~2~ (КО - -3- КВ = — J.
Поскольку
+ 4
то г « YKV — KQ' — 1. где г —радиус основания, конуса. Объем конуса в этом случае будет равен
V = -дт яг’/г >
1
те
т
Во втором случае Л — высота конуса удовлетворяет
неравенствам KP<Ch<KM=if3. Найдем КР. Пусть /_PNO = q. Тогда
ОВ
tg ф = 2, ^ АГОР = 90° + (180° — 2ф)=270°—2ф, КР’ = 2/СО’ (1 — cos ^ да) = (1 + sin 2ф) -
_3_
2
V1 + l + tg4/“ 2 1+4/“ ю*
+ tg’<?,
Таким образом, во втором случае Л-
з/з"
+ '
высота конуса
удовлетворяет условию -^г=="<h</3. Его объем равен
/13 \
Поскольку производная по h функции h равна
13
4
•3h\ обращается в ноль при Л-/15
12 < /И’
3 /3
/То < <у 3
производная отрицательна, то во втором случае для V имеет место неравенство
1 /13 \ г- 1 / 13 27\3/3
т*(— —3)к <т*(— —то)jw
или
* /з Пи /5
20/16 *
12
3080. В правильной треугольной пирамиде SABC (S — вершина) длина ребра основания равна 6, а длина высоты пирамиды SH равна V15. Через точку В перпендикулярно к прямой AS проходит плоскость, ко• торая пересекает отрезок SH в точке О. Точки Р и Q расположены на прямых AS и СВ соответственно так{
что прямая PQ касается сферы радиуса у ~ с цент•
ром в точке О. Найти наименьшую длину отрезка PQ.
Решение. В правильной пирамиде SABC прямые SA и ВС перпендикулярны. LM — общий перпендикуляр к SA и ВС, расположен в плоскости SAH (рис. 9, а), при этом точка L — середина ВС. Очевидно, что LM пересекает SH в той же точке О, что и плоскость, проходящая через В перпендикулярно SA. (Эта плоскость есть ВСМ.) В треугольнике SLA имеем: LA =
- 3 /з\ НА = 2 /3 , LH - /J, SH - /15. Если SH /5
<zlSAH *** ф, то tgф«
АН
Тогда
3 /3 tg ф ,—
Ш = LA* sin ф — —г- = = Y15*.
/l+t g9q>
LO =
sin ф
/15.
Пусть QL=x, РМ=у. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с ребрами QL, LM и МР (рис. 9,6),
, 27
*’ + -г.
В треугольнике QOP имеем: QO «
1 / 12
ОР = [/ у* + -5-, QP » /х3 -Ь у5 4- 15. Высота CW,
проведенная из О на QP. равна ^^по условию,
Рмс. 9
70


QP касается сферы радиуса у — с центром OJ.
Имеем QN - /QO2 — ОЛТ ~ /** + 5, -
=» /*уа 4- 2. Поскольку QN 4- ЛТ3 « QP, то Yха+5+ -\-УУ* 4- 2 *=» /л:3 4- У2 4- 15. После преобразований получим *9у’ 4- 5у? + 2х° — 6. При этом условии надо определить минимум / =» j/~#* + у* 4* 15. Имеем у* — /* — а:’ —15 , поэтому ж5 (/* — jt2 — 15) 4*
4- 5 (Z1 — jc’ — 15) 4* 2-^"* — 6 = 0 или *44-(18 — — О х7 4* 81 — 5/а = 0. Получившееся уравнение имеет
81 , 81 решение при поскольку при I <~ все сла¬
гаемые левой части неотрицательны, а последнее по*
81
ложительно. При /* «— находим х «■ 0, у »
,/Т* 9
*= J/ —, значит, / =*' и есть искомое наимень¬
шее значение PQ.
Замечания к решениям задач
Многие решения задачи 3061 не отличаются последовательностью и полнотой. В качестве ответа нередко приводился год рождения 938, противоречащий и математическим соглашениям, и историческому контексту задачи. Отметим также, что лишь немногие читатели решили «необязательную часть» задачи, указав фамилию ученого — И. М. Сеченов.
Некоторые читатели неправильно поняли условие задачи 3062, полагая, что во всех вариантах непременно должны выполняться все четыре указанных операции, и делали вывод, что требование задачи невыполнимо, поскольку число шаров остается неизменным. На наш взгляд, условие задачи не допускает такого понимания.
Задача 3063 не вызвала трудностей, хотя и здесь не обошлось без вычислительных ошибрк. Однако никто из читателей не заметил, что одно из условий задачи можно не использовать, а если говорить более точно, то данная задача либо с лишними данными, либо с противоречивым условием. Для выяснения этого вопроса следовало проверить, удовлетворяет ли полученная тройка неизвестных (2, 2, 3) условию 15*4-31*/4-4г = = 104. В решении мы такой проверки делать не стали, поскольку выяснение этого вопроса не требуется логикой постановки задачи.
Интересной особенностью задачи 3064 является необходимость уточнения русского слова «несколько». В приведенном решении мы поступили, можно сказать, противоречиво: значение f = l отвергли по языковым соображениям, а значение /=91—по математическим соображениям. Подчеркнем, однако, что вряд ли следовало считать математической ошибкой включение в решение f=i: в этом случае, правда, задача имеет несколько решений
*=£4-91, # = 264-91 (113^6^118),
что никак не противоречит условию. Наше решение также следует считать вполне корректным. С другой стороны, при небольшом изменении текста задачи — «некоторое количество дней» вместо «несколько дней» — рассмотрение значения / = 1 было бы обязательным. Во всяком случае, всегда лучше пользоваться чисто математическими соображениями, чем вникать в сложные языковые вопросы, часто к тому же решающиеся субъективно.
Графическое решение задачи 3065 многих читателей привело либо к приобретению лишних решений, либо к потере решений, что вполне естественно при не слиш¬
ком аккуратном выполнении рисунка. Может быть, именно поэтому экзаменационные комиссии вузов далеко не всегда «засчитывают» решения алгебраических задач чисто графическими методами.
В задаче 3066 многие читатели не обращали внимания на возможность совпадения корней с числами 1 и
4. 	Трудно объяснима также ошибка, когда рассматривались только значения а= 1 и а=3. Наконец, в ряде писем приводятся ответы без всякого намека на способ рассуждений, которыми они получены. Отметим также, что практически никто не воспользовался приемом решения, связанным с рассмотрением расположения корней квадратного трехчлена, и в большинстве правильных решений задача решалась с помощью иррациональных неравенств, выходящих, строго говоря, за пределы Программы для поступающих в вузы.
При решении задачи 3067, к сожалению, весьма часто встречалась грубая логическая ошибка, когда утверждалось, что из неравенства х2—х^а2 следует неравенство х2—х^—а только при/а2=—а. Возможно, впрочем, это объясняется простой небрежностью: трудно предположить, что решающие задачи не чувствуют разницы между следствием и равносильностью неравенств. Кроме того, многие читатели считали (без четкого формулирования соответствующей логики), что для выполнения условия задачи требуется, чтобы получившиеся квадратные неравенства имели решение. Эта ошибка является, очевидно, следствием устоявшихся привычек к стандартным формулировкам задач, недостаточного внимания к постановке задачи.
Основная ошибка при решении задачи 3068 состояла в недостаточно точном теоретическом представлении о количестве корней уравнения. Источник ошибки — в известной теореме о том, что уравнение степени п имеет п корней. Однако следует иметь в виду, что эта теорема относится к четко определенному классу алгебраических уравнений и даже в этом случае в ее точной формулировке говорится не о числе корней: сумма
кратностей (комплексных) корней многочлена (с комплексными коэффициентами) равна степени многочлена,
Распространенная упрощенная формулировка допустима, но не тогда, когда речь идет о точном числе корней многочлена или уравнения — в таких случаях говорят, как правило, о различных корнях. Но еще более важно, что понятие кратности корня, т. е. учет того или йного корня несколько раз, вводится только для целых алгебраических уравнений (хотя его и можно обобщить на произвольные уравнения). Поэтому все решения, в которых учитывались «равные» корни, считались ошибочными.
В решениях задачи 3069 по не совсем понятной причине многие рассматривали лишь случай, когда заданное уравнение имеет четыре корня. Кроме того, громоздкие выкладки, необходимые в случаях, когда теорема Виета не применялась, привели к многочисленным вычислительным ошибкам.
Лишь небольшое число правильных решений оказалось в задаче 3070. Геометрические решения этой задачи были хотя и наглядно убедительными, но все же недостаточно строгими с логической точки зрения. В нашем решении, также геометрическом, мы обосновали главное утверждение, что расстояние от точки (а, а) до гиперболы измеряется отрезком биссектрисы — факт, геометрически достаточно очевидный, однако его доказательство потребовало привлечения понятия касательной и изучения взаимного расположения окружности, гиперболы и их общей касательной. На вступительных экзаменах такой уровень доказательности может оказаться необходимым, на что мы хотим обратить особое внимание руководителей математических кружков.
Впрочем, с помощью методов математического анализа вполне возможно решение этой задачи без всякого обращения к геометрическим соображениям и терминологии.
Решая задачу 3071, некоторые читатели ограничились
Я


при рассмотрении неравенства 13 у2—&ау-\-а2-\- 3^0 лишь констатацией того, что оно имеет решения при а2 ^13, а поскольку х и у отрицательны, то наибольшее значение суммы х+2у равно --V13. Однако следовало бы либо убедиться, что при этом значении а система имеет отрицательные решения, как мы сделали в приведенном выше решении, либо выяснить, при каких а Написанное неравенство имеет отрицательные решения, для которых, кроме того, значение х — а—2у также отрицательно.
Ряд читателей для решения задачи 3072 пытались воспользоваться подбором и нашли в результате одно решение, потеряв, конечно, второе. Другие. читатели, правильно найдя вид уравнения прямой, содержащейся в заданном множестве, не смогли полностью описать все логические возможности для того, чтобы произведение двух квадратных трехчленов было неотрицательным при любом х.
Отметим, что на этот раз никто из читателей не счел нужным сделать замечание по поводу условия задачи 3072, ь котором, на наш взгляд, не хватает знака умножения перед круглой скобкой, из-за чего вполне возможно двойное понимание условия. Однако в одном из этих вариантов задача настолько очевидно неразрешима, что все приславшие решения без всяких комментариев понимали условие так, как «надо».
Как показывает практика конкурсных экзаменов, геометрические задачи вызывают у абитуриентов гораздо большие затруднения, чем эквивалентные им по уровню сложности алгебраические задачи. В связи с этим вспоминается шутка одного экзаменатора: «Задачи бывают стандартные, нестандартные и ... по геометрии». Одна из задач нашего раздела — способствовать повышению геометрической культуры учителя, а через него — и ученика.
При решении задачи 3073 некоторые читатели каким- то образом пришли к выводу, что данный четырехугольник является ромбом или даже квадратом. Это утверждение — грубая ошибка. Проверка решений этой задачи выявила одну забавную закономерность. Практически все «индивидуалы» доказывали, что данный четырехугольник — трапеция, с использованием подобия, в то время как доказательство в решениях кружковцев совпало с приведенным в журнале. Интересно, что бы это значило?
Задача 3074 также представляет собой пример, очень несложный, когда правильный ответ можно получить безо всяких обоснований, например, усмотрев из рисунка равнобедренность треугольника ABC.
Задача 3076 —самая геометричная из всех геометрических задач, хотя она, если так можно выразиться, не совсем честная. Для ее решения нужно знать (полезно знать) некоторые геометрические факты, формально не входящие ни в программу школьную, ни, тем более, в программу конкурсного экзамена, поскольку трудно надеяться, что кто-то, не зная этих фактов, найдет их в процессе работы на экзамене (ограниченный во времени и в психологических удобствах). Впрочем, тот, кто способен догадаться, скорее всего, знает много теорем и методов решения задач, в программы не входящих.
Задача 3077 эстетически. малопривлекательна, хотя она представляет собой отнюдь не худший вариант за- лач-монстров, встречающихся на конкурсном экзамене. Вся конструкция задачи выглядит несколько искусственной. В ее решении опять-таки требуется знание некоторых теорем, не входящих (формально) в программу. Правда, следует заметить, что многие школьники, интересующиеся математикой, эти теоремы знают (например, формулу объема тетраэдра через, радиус впита иного шара и полную поверхность).
В отличие от предыдущей, основной частью задача 3078 является геометрическая, доказательная; вычисления в ней достаточно просты, хотя и приводят к ответу, который воспринимается с недоверием.
Две последние задачи (3079 и 3080), предлагавшиеся в Московском физико-техническом институте, достаточно хорошо иллюстрируют стиль стереометрических задач, принятый в этом институте. Если так можно выразиться, это задачи-ситуации, в которых составитель конструирует задачу, исходя из какой-то ситуации, идеи, маскируя ее при помощи более или менее усложненных конструкций.
В задаче 3079 речь идет о существовании единственного конуса, две точки поверхности которого (концы образующей) фиксированы, а третья (центр основания) принадлежит заданному множеству. Затем эта ситуация конкретизируется, привязывается к конкретному телу (тетраэдру). Обратим внимание на один нюанс. В условии сказано, что центр основания лежит на ребре SB, а не на прямой SB. Именно поэтому помимо случая касания этого ребра с поверхностью шара, на которой расположен центр основания конуса, возможен случай, когда один конец ребра находится внутри шара (ни один читатель его не указал).
В задаче 3080 речь идет о нахождении минимального отрезка с концами на заданных скрещивающихся прямых, удовлетворяющего некоторым условиям. Такого рода задач известно очень много: минимальный отрезок, параллельный заданной плоскости; минимальный отрезок, пересекающий заданную прямую, и т. д. Не все они решаются в общем случае. На сей раз идея кажется свежей: найти минимальный отрезок, касающийся заданной сферы. Найденная идея, как и в предыдущей задаче, реализуется привязкой к конкретному объекту (вновь тетраэдру). Дополнительный штрих придает задаче тот факт, что минимум соответствующей функции достигается на границе рассматриваемой области,
Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин (Москва)
Сводка решений задач по № 2 за 1987 г.
В сводку не включены фамилии читателей, не соблюдающих правила оформления решений.
Аляев А. В. (Пензенская обл.)—61—66, 68, 73—75, Андриевский С. А. (Омск)—61—65, 68. Арзикулов С. Н. (Андижанская обл.)—66, 69, 71, 73—75, 78. Ахмедов М. Я. (Чимкент)— 61—66, 73—-75. Василёв Ц. (София)— 61—67. Веребейчик И. Я. (Ленинград)—61—80. Гриневский Я. 3. (Ивано-Франковская обл., г, Коло- мыя)—61—65, 68, 69. Головачев Е. А. (Белгородская обл.)—61—65, 69, 73—77. Дьяков (Нарва)—61, 63, 64, 73-—76. Егоров П. В. (Рязань)— 61—65, 68, 73—75,
Зискинд Л. Е., Зискинд Л. Л. (Винница)—61—66. 68, 69, 73—76, 79. Зубилин Н. И. (Орловская обл.)—61, 63—65, 68, 71, 73—75. Извекова Т. М. (Пятигорск) — 61—65. Ильясов М. Н (Павлодар)—61—71. Казаков Г. (Тбилиси)—61—65, 71, 73—76. Квитка Г. (Черкасская обл., г. Ватутино)—62—66, 68, 69, 73—75. Керимов X. Я. (АзССР)— 61—66, 70, 71, 73—75. Ковриж- кин О. (Майкоп)—61—66, 68—70, 73—75, 78. Кузин Н. В. (Костромская обл.)— 61, 63—65, 68. Курганов Т. К- (Ташкентская обл., г. Чирчик)—61—65, 67— 69, 71—73. Левко М. С. (Львовская обл.)—61—65, 73—77. Логоикий Я. (Тернополь)— 61—66, 73—76. Макаров М. Ф. (Орловская обл.)—61—66, 68, 73, 75, 76. Масюк Н. В. (Волынская обл., г. Киверцы) — 61—66* 68. Нефедов А. С. (Киев)—61—63, 65. 71, 74, 75. По- велий В. И. (Ровенская обл.)—65, 74—76. 80 Рожен- ко К. (Киев)—61—65. Садыгов Д. В. (АзССР)—61, 63—65. Трошин В. В. (Волгоградская обл.)—61—66. Хайруллаев P. X. (Нукус)—61, 63—65. Цакоев Б М, (Рязанская обл,)—61—65, 68, 69, 73—76, 80. Цхай Т. Т.
72


^Андижан) 61—71, 73—79. Черепнин М. С. (Караганда)-61, 62, 64, 65, 68, 71, 73—77, 80. Шамсуди- нов X* X. (Дагестанская АССР) — 62—65, 70, 71, 73— 75, 78, 79. Щиряков А. Н* (Минск)—61—63, 74, 78. Юнгман Б. В. (Кемеровская обл.)—61—64, 68, 73—75, 77. Юркив В. В. (Львовская обл.)—61, 63—65. Юсупов С. (Хорезмская обл.)—61—67, 73—77, 79.
Математические кружки: «Эхтимал» 16-й шк. г. Али- Байрамлы АзССР (рук. Н. А. Алекберов)—61, 63—66, 73—75; 3-й шк. г. Барда АзССР (рук. А. Г. Алекперов)— 61—69, 73—75; сельской шк. с. Ени-Дашкенд Бардинского р-на АзССР (рук. Г. М. Байрамгулиев) — 61—65, 73—75; «Квант» Республиканского Дворца пионеров а школьников Алма-Аты (рук. Г. В. Белянская)— 61—63, 65, 73, 75; «Аван» 87-й шк. Еревана (рук. Г, Г. Бояхчян)—61—65, 68, 70, 71; 10-й шк.
г. Ангарска Иркутской обл. (рук. В. А. Васильева)— 61—69, 71, 73—78, 80; 429-й шк. Москвы (рук. В. Я. Зобнин)—61—80; 6-й шк. г. Барда АзССР (рук
А. 	А. Иманов)— 61—69, 71, 73—77; 8-летней шк!
с, Дарчели г. Зугдиди ГССР (рук. А. А. Карчава)— 61—69; шестых классов 6-й шк. Винницы (рук. Е. А. Кац)—61—65; 1-й шк. г. Самтредиа ГССР (рук,
М, Дж* Кашия}— 61—65; «Коллективный ученик
ВЗМШ» шк. пос. Ивье Гродненской обл. БССР (рук,
В. 	И, Кот)—61—66; «Эврика» 79-й шк. Киева (рук.
В. 	Е. Куценок)—61—66, 72—77, 80; 93-й шк, Киева (рук. М. Л. Кобозев)—61—67, 71—77, 79; 2-й Касум- Исмайловской шк. АзССР (рук. Р. И. Мамедова)—61, 63—65, 75; 2-й шк. г. Мархамат Андижанской обл,
(рук. О. Сатторов)—61, 63, 65, 68, 73—75; Быстрич- ской шк. Березновского р-на Ровенской обл. (рук. Ф. Г. Стахнюк)—61—66; 2-й шк. г. Ильичевска Андижанской обл. (рук. Ш. Тасмуратов)—61, 63, 65, 68; Башской шк. Самтредского р-на ГССР (рук. Л. Е. Тва- лавадзе)— 61—65, 75; 35-й шк. Курган-Тепинского р-на Андижанской обл. (рук. М. М. Туйчиев)— 61— 65; Уз- денобинской 8-летней шк. Кусарского р-на АзССР (рук. У. К. Хибабаев)—61—66, 71, 73—78; «Юный математик» 36-й шк. Днепропетровска (рук. Н. Ф. Хребет)— 61, 63—65, 73—76; Опаковской шк. Дрогобычского р-на Львовской обл. (рук. М. Ю. Шагур)— 61—63, 65, 69, 73—75; Кюрдборакинской шк. Бардинского р-на АзССР (рук. И. М. Шайров)—61—66, 73—75; «Горизонт» 51-й шк. Киева (рук. Б. Н. Школьник)—61—69, 71, 73—78; Минского педучилища № 2 (рук. А. Н. Щиряков) — 61—63, 73—75; «Оптимист» г. Дашава Львовской обл, (рук, В, В. Юркив)—61, 63—65, 74, 75,
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕНДАРЬ НА 1987/88 УЧЕБНЫЙ ГОД.
Январь
5 января—*150 лет со дня рождения французского математика Мари Эн- мона Камиля Жордана (1838— 1922). Область его научных интересов охватывает алгебру, теорию чисел, теорию функций, геометрию, топологию, дифференциальные уравнения и кристаллографию. 8аел понятие о функции с ограниченным изменением, разъяснил и дополнил весьма кратко изложенные идеи Галуа и сделал их достоянием широких математических кругов. Жордану принадлежит первый систематический курс по теории групп и теории Галуа (1870) и широко известное в свое время пособие для вузов «Курс анализа». Член Парижской АН. 8 1895—1921 гг. редактировал и издавал французский математический журнал. Иностранный член-корреспондент Петербургской АН (см.: БСЭ. 2-е и 3-е изд.; Шеренга великих математиков. Варшава,
1970),
7 января — 400 лет со дня рождения немецкого ученого-энциклопедиста Иоганна Генриха Альштеда (1588—1638). Получили известность его книги «Энциклопедия» и «Элементы математики».
S января — 100 лет со дня рождения немецкого математика Рихарда К у- ранта (1888—1972). Основные труды посвящены развитию и применению принципа Дирихле к теории конформных отображений и краевым задачам математической физики для уравнений эллиптического типа
(см.: БСЭ, 2-е и 3-е изд.; Математика в школе. 1967. № 1).
8 января — 60 лет со дня рождения советского математика Константина Сергеевича Сибирского. Родился в Кишиневе. Окончил Кишиневский университет, где затем преподавал (с 1971 р.—профессор). С 1964 г.— сотрудник Института математики и ВЦ АН МССР. Труды по качественной теории дифференциальных уравнений. Лауреат Государственной премии МССР, академик АН МССР (см.: Дифференциальные уравнения. 1978. Вып. 14. № 3).
13 января — 70 лет со дня рождения советского математика Александра Львовича Б р у д н о. Родился в г. Подольске. Окончил Московский университет. Доктор физико-математических наук, профессор. Основные труды относятся к теории функций, вычислительной математике и программированию. Работает в Институте электронных управляющих машин, является научным консультантом отделения программирования УПК Октябрьского района Москвы, с 1980 г. руководит московскими городскими олимпиадами по программированию для школьников.
17 января — 70 лет со дня рождения советского математика Евгения Алексеевича Барбашина (1918— 1969). Родился в с. Уинске Пермской обл., окончил Уральский университет. Преподавал 8 вузах Свердловска С 1966 г. — сотрудник Института математики АН БССР. Академик АН БССР. Основные труды относятся к качественной теории дифференциальных уравнений, вариационному исчислению, топологии и теории автоматического управления. Лауреат Государственной премии СССР. i9 января — 80 лет со дня рождения
советского математика Александра Геннадиевича Куроша (1908—
1971). Родился в р. Ярцеве Смоленской губ. Учился в Смоленском университете, затем в аспирантуре Московского университета. С 1930 е. работал в Московском университете. Доктор физико-математических наук, профессор (1937). Глава московской школы общей алгебры. В 1934 г. опубликовал доказательство знаменитой теоремы о подгруппах свободного произведения групп, названной ныне его именем. Начав свои исследования с топологии и теории групп, перешел затем к теории колец, алгебр, структур. Автор ряда монографий и пособий для вузов. Особенно известен его «Курс высшей алгебры», ставший на многие годы основным учебником по алгебре для университетов и пединститутов. Лауреат Государственной премии СССР, премии им. П. Л. Чебышева (см.: Математика в школе. 1971. № 6. С. 89—91; Вестник МГУ. 1983. № 5).
28 января — 100 лет со дня рождения английского математика Луиза Жоэля Морделла (1888—1972). Основные труды по алгебре и теории чисел. Известна гипотеза Морделла, выдвинутая им в 1922 г., о конечности множества рациональных точек на алгебраической кривой рода больше 1 над полем рациональных чисел. Она была доказана только в 1983 г. (см.: Морделл Л. Размышления математика. М.: Знание, 1971).
Февраль
3 февраля—90 лет со дня рождения советского математика Павла
Самуиловича У р ы с о н а (1898
1924). Родился в Одессе. Окончил Московский университет, где и пре¬
73


подавал. В 1921—1922 г. прочитал в МГУ первый в нашей стране курс топологии. Создал в топологии новое направление — теорию размерности. Ему принадлежат также важные исследования в математическом анализе, в теории интегральных уравнений, теории функций комплексного переменного, геометрии. Погиб во время поездки во Францию, купаясь в бурную погоду в Атлантическом океане у берегов Бретани (см.: БСЭ, 2-е изд.; Квант. 1974. № 8; Нейман J1. Радость открытия. М.: Детгиз, 1972).
5 февраля — 380 лет со дня рождения немецкого математика и физика Каспара Шотта (1608—1666). Во второй половине XVII в. пользовался известностью его «Курс математики, или Полная энциклопедия всех математических дисциплин» (см.: Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия / /Пер. с нем. М.: Наука, 1966).
14 февраля — 520 лет со дня рождения немецкого математика/ астронома и географа Иоганна Вернера (1468—1528). В тригонометрии был последователем Региомонтана. Вернер первым в Европе стал пользоваться формулой, выражающей произведение синусов в виде разности косинусов. В «Книге о двадцати двух конических элементах» одним из первых применил перспективу в геометрических исследованиях. Разрабатывал вопросы картографии (см.: Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII вв. / Пер. с нем. М.; Л., 1958).
14 февраля — 100 лет со дня рождения немецкого математика Роберта Ремака (1888 — год смерти неизвестен, умер в фашистском концлагере). Основные труды по алгебре и топологии. В теории групп известна теорема Ремака о разложении конечной группы в прямое произведение неразложимых групп (см.: Бур- баки Н. Очерки по истории математики / Пер. с фр. М., 1963).
23 февраля. — 80 лет со дня рождения советского математика и механика Феликса Рувимовича Г а н т м а- хера (1908—-1964). Родился в Одессе, закончил Одесский институт народного образования. Работал в вузах Одессы и Москвы, в Математическом институте АН СССР, в ЦАГИ. Доктор физико-математических наук, профессор. Научные интересы — теория матриц, механика, теория дифференциальных уравнений, теория полупростых групп Ли. В годы Отечественной войны принимал активное участие в исследованиях, связанных с обороной страны. Награжден орденом Красной Звезды, Государственной премией СССР.
А. 	И. Бородин Jr. Донецк)
Яков Семенович Дубнов
(Продолжение. Начало на с. 2 обложки )
О педагогических взглядах и концепциях Я. С. Дубнова можно было бы говорить много, но, сославшись на книгу [1], мы ограничимся минимумом. Мне кажутся и сегодня важными его взгляды на преподавание геометрии, являвшейся научной специальностью Я. С. Дубнова. Яков Семенович отнюдь не склонен был считать именно геометрию «школой логики». Он подчеркивал, что логическая структура геометрии — сложная и громоздкая, гбраздо более сложная, чем логическая структура алгебры, базирующаяся на небольшом числе простых законов (коммутативность сложения и умножения, ассоциативность тех же двух операций, дистрибутивность и т. д.). В этой связи Дубнов призывал чаще использовать слова «теорема» и «доказательство» в алгебре и, пожалуй, несколько сократить апелляцию к ним в курсе геометрии, где совсем уж полноценных доказательств не так-то и много. Полностью аксиоматизированный курс геометрии, начинающийся со средних классов школы, Дубнов считал ненужным и невозможным. С тех пор мы видели примеры попыток аксиоматического построения школьной геометрии, однако, как мне кажется, эти примеры скорее подтверждают правоту Дубнова, чём отвергают ее. Вслед за знаменитым Феликсом Клейном Яков Семенович Дубнов высоко ценил педагогическое значение геометрических софизмов, во многих случаях весьма выразительно иллюстрирующих иллюзорность принятого в преподавании геометрии уровня строгости. Ключевыми разделами геометрии он считал учение о геометрических величинах [2] и теорию геометрических преобразований. Я. С. Дубнов полагал более уместным иллюстрировать общую схему дедуктивного вывода из аксиом на учении о геометрических величинах, чем на началах геометрии. Притом делать это он рекомендовал лишь в старших классах школы, но никак не в первых главах курса геометрии. Что касается теории геометрических преобразований, то лишь в этом пункте заветы Дубнова можно считать в известной степени выполненными современной школой.
Другая линия интересов Якова Семеновича была связана с введением в школу начал «высшей математики»: аналитической геометрии и дифференциального и интегрального исчислений. Борьбу за подобную модернизацию курса математики средней школы профессор Дубнов начал еще в 30-х гг. Первоначально эта позиция имела успех: в 1933 г. Нар- компрос принял решение о введении
в среднюю школу соответствующих дисциплин и заказал учебники для средней школы Я. С. Дубнову, а также И. И. Привалову и С. А. Гальпер- ну. Однако противникам модернизации курса удалось добиться отмены этого решения, и заказанные книги ([3], [4]) вышли из печати не как учебники для учащихся, а с грифом «Пособие для учителя». Это не заставило Якова Семеновича отказаться от своих установок. Сейчас уже трудно себе представить, какую ярость вызывала эта его позиция, как и аналогичная позиция А. Я. Хинчина, у некоторых (ныне заслуженно совершенно забытых) «корифеев» методики математики 30-х, 40-х и начала 50-х гг.
В вопросах о введении начал «высшей математики» в школу Яков Семенович придерживался совершенно определенных взглядов, безусловно представляющих интерес и сегодня. Он считал, что соответствующие разделы школьного курса математики могут быть сделаны более просты- м и, чем традиционные вузовские разделы этой дисциплины. Такое упрощение, однако, не снимает требования о специальном к ним отношении и об определенной подготовительной работе. Пропедевтика аналитической геометрии и математического анализа должна была бы, по его мнению, начинаться очень рано — буквально с курса арифметики. Яков Семенович считал важным одновременное введение в школу обоих этих предметов, взаимно друг друга поддерживающих, поскольку их взаимодействие облегчало бы усвоение новых идей. При изложении аналитической геометрии и математического анализа основное внимание должно уделяться идейной, а не оперативной стороне; скажем, запас подлежащих дифференцированию и интегрированию функций может быть и достаточно бедным, но геометрический и физический смысл операций дифференцирования и интегрирования учащиеся должны понимать хорошо. Связанные с физикой и с геометрией наглядные представления полезны и для понимания свойств производных и интегралов; копирование здесь университетского преподавания с его повышенным уровнем строгости было бы просто преступно. Сегодня элементы математического анализа (но не аналитической геометрии) твердо вошли в нашу среднюю школу. В этом исключительно высока заслуга Я. С. Дубнова, неустанно призывавшего к модернизации школьного преподавания.
Прошло 30 лет со дня смерти Якова Семеновича Дубнова. Но его творчество нельзя отнести к истории нашей науки и педагогической мысли. Многое из того, что он доказывал, чего добивался, осталось еще не реализованным, не понятым до конца педагогической общественностью.
74


Завершая эту статью» посвященную памяти моего покойного учителя и друга, я хочу поставить здесь вопрос о новом переиздании сборника статей Я. С. Дубнова [1], а также сборника статей А. Я. Хинчина (5}. Современный учитель этих книг фактически не имеет и не знает, а дать они ему могут очень и очень много.
Литература
1, Дубнов Я. С. Беседы о преподавании математики. М.: Просвещение» 1965.
2, Дубнов Я. С. Измерение отрезков. М.: Физматгиз, 1962.
3, Дубнов Я. С. Введение в аналитическую геометрию. М.: Физматгиз, 1959.
4. Привалов И. И., Гальперн С. А. Основы анализа бесконечно малых, М.: Гостехиздат, 1949.
5. Хинчин А. Я. Педагогические статьи, М.: Изд-во AflH РСФСР, 1963.
И. М. Яглом (Москва)
С. А. Ахмедову — 70 лет
Сайдамин Ахмедович Ахмедов ■— один из ведущих методистов Узбекистана, доцент кафедры методики преподавания математики Ташкентского педагогического института им. Низами.
После успешного окончания Среднеазиатского университета С. А. Ахмедов работал учителем математики, а в 1940 г. был призван в ряды Советской Армии. Великую Отечественную войну встретил курсантом офицерской школы. Прошел всю войну. Участвовал в освобождении Украйны, Польши, в боях за Берлин и Дрезден. Не фронте вступил в ряды КПСС. Награжден 11 боевыми орденами и медалями.
После войны Сайдамин Ахмедович вернулся к любимой профессии. Был завучем и учителем математики в школе NS 16 Ташкента. В 1949 г. перешел на преподавательскую работу в Ташкентский пединститут. В 1963 г. защитил кандидатскую диссертацию на тему «Преподавание арифметики 8 Средней Азии и его стадии развития (IX—XIX вв.)».
С. 	А. Ахмедов опубликовал 22 научные работы. К ним относятся замечательные книги на родном языке «Из истории преподавания математики в Средней Азии», «Школьные задачи в трудах Беруни», «Развитие математики в Средней Азии и история ее преподавания».
В 1972—1977 гг. С. А. Ахмедов заведовал кафедрой методики преподавания математики Ташкентского пединститута. Его ученики успешно работают в нашей республике и за ее пределами.
8 течение ряда лет Сайдамин Ахмедович был членом научно-методической комиссии высшего и среднего образования Министерства просвещения Узбекской ССР, председателем секции истории математики координационного совета республики.
Поздравляя Сейдамина Ахмедовича со славным юбилеем, все его многочисленные друзья, ученики и товарищи желают ему доброго здоровья и новых творческих успехов в деле обучения и воспитания педагогических кадров.
И. М. Гайсинекая, Р. Н. Азимов, Т. Р. Толаганов
Я- И. Груденову—- 60 лет
Яков Иосифович Груденов начал свою педагогическую деятельность учителем в школе г. Горловки в 1957 г. К тому времени у него за плечами были семилетняя служба в рядах Советской Армии и учеба в Мелитопольском пединституте, который Яков Иосифович окончил с отличием. Пройдя аспирантуру под руководством известного советского методиста В. М. Брадиса, Я. И. Груденов защитил кандидатскую диссертацию на тему «О психологических основах построения системы упражнений по математике и методике преподавания геометрии в VI— VII классах». В 1963—1970 гг. работал в Курском пединституте и одновременно в школе. С 1970 г.—он сотрудник Таганрогского пединститута.
Яков Иосифович — тонкий знаток школы, остро чувствующий ее проблемы. Его научные интересы относятся к самым сложным вопросам методики обучения — разработке ее психолого-дидактических основ. Отправляясь от идей видного психолога П. А. Шеварева, Я. И, Груденоз построил систему психолого-дидактических и методических закономерностей, охватывающую все стороны учебно-воспитательного процесса. Для проверки теоретических выводов из системы закономерностей Я. И. Груденов применил специальные эксперименты, названные им психолого-дидактическими. Их особенность заключается в том, что они фиксируют изменения не уровня умений учащихся, а отдельных параметров учебной деятельности. Многие результаты его исследований внедрены в практику школы. Принцип непрерывного повторения, компактный метод изучения материала и т. д. прочно вошли в арсенал методистов и учителей. Большим успехом пользуется его книга «Изучение определений, аксиом, теорем» (М.: Просвещение, 1981). всего он опубликовал около 60 книг и статей, из них 49 в центральных, республиканских и зарубежных журналах. Недавно в издательстве «Педагогика» вышла монография Я. И. Груденова «Психолого-дидактические основы методики обучения математи¬
ке», которая, несомненно, окажет учителям помощь в деле совершенствования преподавания этого предмета.
Научно-исследовательскую работу Яков Иосифович успешно сочетает с общественно-педагогической. Он постоянно выступает с лекциями перед учителями и преподавателями педучилищ. На протяжении ряда лет руководил научно-метсдическим семинаром учителей г. Таганрога и преподавателей пединститута. В лекциях перед учителями и студентами доцент Я, И. Груденов умело увязывает* новые научные результаты с актуальными вопросами учебно- воспитательной работы в школах. Лекции, книги и статьи Якова Иосифовича пользуются заслуженным признанием у студентов и преподавателей Таганрогского пединститута, у учителей и методистов-математи- ков нашей страны*
Поздравляя Якова Иосифовича с юбилеем, желаем ему доброго здоровья, счастья и новых творческих успехов.
Г, И, Саранцев, А. М. Середа
Л. А. Эпштейну — 60 лет
37 лет назад выпускник Орловского пединститута Л. А. Эпштейн начал работать учителем математики в Тельченской средней школе Орловской области. Одновременно он поступил на заочное отделение Петрозаводского университета, которое через несколько лет окончил с отличием. Дальнейшая жизнь и деятельность Льва Арнольдовича Эпштейна связана с Карелией. С 1954 г. он преподает геометрию в Карельском государственном педагогическом институте.
Основное направление научных исследований Льва Арнольдовича — поведение кривых в многообразиях ограниченной кривизны. Более 10 статей предшествовали защите кандидатской диссертации, которая состоялась в Ленинграде в 1973 г. В дальнейшем Л. А. Эпштейн продолжил исследования. Его результаты опубликованы в «Украинском гео¬
75


метрическом сборнике», в сборниках научных трудов ЛГПИ им. А. И. Герцена.
С интересом слушают студенты доцента Л. А. Эпштейна. Его лекции по геометрии отличаются ясностью и строгостью изложения, ярки, эмоциональны. На практических занятиях Лев Арнольдович уделяет много внимания оригинальным формам обучения. Особенно нравятся студентам его экспресс-коллоквиумы.
Деятельность Льва Арнольдовича не ограничивается рамками вуза. Трудно найти такое направление работы с учащимися и учителями, которым бы он не занимался. Из 40 печатных работ юбиляра почти половина изданы в помощь учителю и
посвящены внеклассным занятиям. Л. А. Эпштейн — организатор юношеской математической школы при институте. По его инициативе и при активном участии в Карелии уже много лет проводятся математические олимпиады и летние физико- математические школы, о которых Лев Арнольдович рассказал на страницах журнала «Математика в школе» и в пособии для учителей «Лекции и задачи по математике», вышедшем в издательстве «Просвещение».
Л. А. Эпштейн очень активен в общественной жизни института. Он неоднократно избирался в партком и местком. В настоящее время успешно совмещает обязанности и. о. де¬
кана физико-математического факультета и председателя товарищеского суда института. Чуткое отношение к людям Льва Арнольдовича хорошо известно его коллегам и ученикам. Он умеет разделить чужую боль и радость, подать мудрый совет.
За какую бы работу ни брался Лев Арнольдович, он вносит в нее огонек задора, энтузиазма, очень легко находит людей, готовых вместе с ним осуществлять его идеи.
От имени учеников юбиляра, его коллег по кафедре хочется пожелать Льву Арнольдовичу крепкого здоровья и успехов во всех его начинаниях.
Т. М. Пуолокайкен
Памяти С. J1. Эдельмана
После тяжелой болезни на 77-м году жизни скончался видный деятель математического образования в Красноярском крае Самсон Львович Эдельман.
Педагогическую работу С. Л. Эдельман начал более 55 лет назад в техникуме г. Магнитогорска. Через два года начал учиться в столице. В 1937 г., закончив с отличием Московский государственный педагогический институт, уехал в Красноярск. Во время Великой Отечественной войны сражался в составе 5-й гвардейской армии Степного фронта, был командиром взвода истребительного противотанкового полка. В боях да Курской дуге получил тяжелое ранение. Кавалер нескольких боевых орденов и медалей.
После демобилизации Самсон Львович вернулся в Красноярский пединститут. Здесь, как и до войны, он скова стал деканом физико-математического факультета. Позже его избрали проректором по научной работе этого вуза.
Успешно защитив кандидатскую диссертацию, доцент
С. 	Л. Эдельман организовал при институте аспирантуру по алгебре. Под его руководством начал работать коллектив алгебраистов, занимающийся теорией структур и теорией структурных изоморфизмов групп,
С. 	Л. Эдельман — автор ряда работ по алгебре, математической логике, а также по методике преподавания математики. До последних лет жизни он руководил научным семинаром, который стал серьезной школой для многих преподавателей пединститута.
Большая научно-исследовательская деятельность С, Л. Эдельмана хорошо сочеталась с преподаванием. Он всегда подавал пример профессионального мастерства и своим коллегам, и студентам. Его умение заинтересовать слушателей своим предметом, привить им уверенность в собственных силах оставило у них светлые воспоминания.
Добрая память о Самсоне Львовиче Эдельмане сохранится в сердцах его друзей, коллег и многочисленных учеников.
Красноярский педагогический институт, физико-математический факультет
-г
Вниманию читателей!
В издательстве «Педагогика» в июне 1987 г. вышли следующие книги:
Загвязинский В. И. Педагогическое творчество учителя.— 160 с.— (Б-ка учителя и воспитателя).— 25 к., 50 000 экз.
Профессия — учитель: Беседы с молодыми учителями / Под ред. В» Г# Онушкина, Ю. Н. Кулюткина, С. Г. Вершловского.—192 с.—(Б-ка учителя и воспитателя).— 35 к., 50 000 экз.
Руднев Н. А. Бизнес на мечте. — 208 с,: ил. — (Империализм: события, факты, документы).— 55 к., 120 000 экз.
Сологуб Г, П. Пробуждение личности: Записки директора Очерской спецшколы Пермской обл. — 2-е изд., испр. и доп.— 208 с,— (Пед. поиск: опыт, проблемы, находки),— 35 к., 50 000 экз.
Требования к знаниям и умениям школьников: Дидактико-методический анализ /Под ред. А. А. Кузнецова.— 176 с.— 60 к., 20 000 экз,
Чистякова С. Н., Захаров Н< Н. Профессиональная ориентация школьников: Организация и управление.— 160 с.— 60 к., 22 000 экз.
Яковлев Н. С. Записки директора школы. — 112 с.—(Б-ка учителя а воспита* теля).—20 к,, 60000 экз.


Новые книги
История и методология математики.
Классики
Горелов И. Н. Разговор с компьютером: Психолингвистический аспект проблемы, — М.: Наука, 1987 — 256 с.— (Проблемы науки и технического прогресса), — 95 к« 62 ООО экз.
Гродзенский С. Я. Андрей Андреевич Марков. — М«з Наука, 1987* — 257 с, — (Научно-биографическая серия).— 85 к, 13 100 экз.
Жаутыков О. А. Методы математики в естественнотехнических науках. — Алма-Ата: Наука, 1987,— 119 с,— (Академия — школе). — 25 к. 3000 экз.
Закономерности развития современной математики: Методологический аспект / Отв. ред. М. И. Панов. — М,: Наука, 1987,— 336 с. — 3 р. 3200 экз.
Никифоровский В. А. В мире уравнений. — М.: Наука, 1987.— 175 с.— (История науки и техники), — 65 к, 37 500 экз,
Петровский И. Г. Избранные труды: Дифференциальные уравнения; Теория вероятностей. — М.: Наука,
1987, — 4 р. 10 к. 21 000 экз.
Розенталь И. J1. Геометрия, динамика, Вселенная,— М.: Наука, 1987-— 145 с,—(Планета Земля и Вселенная).— 50 к, 21 500 экз.
Рыбников К. А. Возникновение и развитие математической науки: Книга для учителя, — М*: Просвещение,
1987, —159 с, — 30 к, 85 000 экз.
Учебники и учебные пособия для вузов.
Монографии
Барановская Г. Г., Любченко И. Н. Микрокалькуляторы в курсе высшей математики: Практикум для ву- 80в, — Киев: Вища школа, 1987. — 288 с, — 70 к.
20 000 экз.
Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учебник для вузов. — 6-е изд, — М,: Наука, 1987,-320 с,— 80 к, 98 000 экз.
Ганчин Г. С. Методы оптимизации и решение уравнений. — М.: Наука, 1987. — 126 с. — 40 к. 17 000 экз.
Геометрия для подготовительных отделений вузов: Справочное пособие/А. И. Герасимович и др,— Минск: Вышэйшая школа, 1987. — 255 с.— 1 р. 10 к. 27 500 экз.
Ершов Ю. Л., Палютин Ю. А. Математическая логика: Пособие для вузов, — 2-е изд., испр. и доп, — М*з Наука, 1987. — 336 с.— 95 к. 30 000 экз,
Коршунов Ю. М. Математические основы кибернетики: Учебное пособие для вузов. — 3-е изд., перераб, и доп. — М.: Энергоатомиздат, 1987, — 496 с, — 1 рв
20 к, 21 000 экз.
Сборник задач по алгебре: Для вузов / Под ред,
А. 	И. Кострикина. — М^ Наука, 1987, —351 с,-1 р, 29 000 экз,
Научно-популярная литература. Внеклассная работа
Васильев Н. Б., Гутенмахер В. Л., Раббот Ж. М., Тоом А. П. Заочные математические олимпиады. — 2-е изд., перераб, — М.: Наука, 1987*—176 с* — 30 к.
500 000 экз.
Игнатьев Е. И. В царстве смекалки. — 5-е изд., испр. — М.: Наука, 1987.— 176 с. — 30 к. 300 000 экз.
Моисеев А. И. Звуки и буквы, буквы и цифры...: Книга для внеклассного чтения учащихся 8—10 классов. —
М.: Просвещение, 1987.— 192 с*—-(Мир знаний)* — 35 к. 148 000 экз.
Петраков И. С. Математические кружки в 8—10 классах: Книга для учителя. — М.: Просвещение, 1987, —
224 с. —60 к. 210 000 экз.
Фомин С. В. Системы счисления. — 5-е изд. — М.: Наука, 1987. — 48 с.— (Популярные лекции по математике).— 5 к, 127 000 экз*
Учебники и пособия для средней школы
Алгебра: Пробный учебник для 8 класса / Ш. А. Алимов и др.— 3-е изд., перераб. — М.: Просвещение,
1987.—240 с.—25 к. 410 000 экз.
Геометрия: Пробный учебник для 6 класса/Л. С. Ата- насян и др. — 5-е изд., доп. — М.: Просвещение, 1987, — 127 с. — 10 к. 299 000 экз.
Глейзер Г. Д. Геометрия: Учебное пособие для 6— 9 классов вечерней (сменной) школы. — 11-е изд., перераб.— М.: Просвещение, 1987, — 352 с. — 55 к«
97 000 экз.
Фаддеев Д. К., Никулин М. С., Соколовский И. Ф. Элементы высшей математики для школьников. — Ms: Наука, 1987,-336 с. — 1 р, 10 к. 288 000 экз.
Методика преподавания
Веселовский С. Б., Рябчинская В. Д. Дидактические материалы по геометрии для 9 класса: Пособие для
учителя. — М.: Просвещение, 1987. — 80 с.— 10 к-
600 000 экз.
Воспитание учащихся при обучении математике: Книга для учителя. Из опыта работы / Сост. Л. Ф. Пичу- рин. — М.: Просвещение, 1987.— 175 с. — 35 к.
80 000 экз
Гусев В. А., Медяник А. И. Задачи по геометрии для 8 класса: Дидактические материалы. Пособие для учителя, — М.: Просвещение, 1987. — 79 с. — 10 к. 824 000 экз.
Дубинчук Е. С. Активизация познавательной деятельности учащихся средних профтехучилищ в процессе обучения математике.— Киев: Вища школа, 1987. — 103 с. — 20 к. 3000 экз.
Методические рекомендации к курсу геометрии 6— 8 классов: (по пробному учебнику Л. С. Атанасяна и др.): Пособие для учителя/Под ред. Л. С. Атанасяна,
В. 	Ф. Бутузова. — М.: Просвещение, 1987, — 239 с. —
65 к. 39 000 экз.
Ф, М. Шустеф {Минск)
Тематический указатель статей, опубликованных в журнале в 1987 г
ПЕРЕДОВЫЕ
Гнеденко Б. В. Математика и математическое образование в Стране Советов — № 4, с. 6; № 5, с. 3.
Гнеденко Б. В., Маслова Г. Г., Черкасов Р. С. Развитие школьного математического образования в Советском Союзе за 70 лет — Кя 6, с. 6.
Действовать смело, творчески, компетентно — главное в перестройке — № 2, с. 3.
Курсом обновления и созидания — № 1, с, 3.
77


Шудкина М. Г. Орден Ленина — сельской учительнице— № 5, с. 8.
На путях перестройки высшей школы — Кя 2, с. 6.
Октябрь и современная школа — № 4, с. 3.
Прокофьев М. А. Развивать творческую активность молодежи — № 3, с. 3.
К 50-ЛЕТИЮ ЮНЕСКО
Маслова Г. Г., Монахов В. М., Черкасов Р. С. Равноправное и взаимополезное сотрудничество народов в области развития математического образования — № 3, с. 37.
КОНКУРС УЧЕБНИКОВ МАТЕМАТИКИ
Решение конкурсной комиссии по школьным учебникам математики по отбору конкурсных учебников «Математика, 5—6 классы» — № 4, с. 12.
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
От Главного управления общего среднего образования МП СССР
О преподавании математики в 1987/88 учебном* году — № 3, с. 32.
О новом экспериментальном учебном плане — № б, с. 15.
Из опыта работы
Бородихина В. И. Устные вычисления в IV классе — № 6, с. 37.
Воробьева Н. Г. Творческие задания—средство активизации познавательной деятельности учащихся — № 4, а 32.
Гельфман Э. Г., Ковалева Т. М., Новикова Г. А., Сазонова Т. А. Об уроках самоподготовки в школах с продленным днем — № 1, с. 12.
Губа С. Г. Стандартные задачи с нестандартным решением— № 2, с. 18.
Гузеев В. В. Одна из форм урока-семинара — № 2, с. 9.
Гузеев В. В. Три уровня в контрольной работе — № 5, с. 38.
Дугарова Д. ЦАнтонов Д. А.; Пилавов А. Ф. Экономическая грамотность — необходимое условие профориентации — N° 5, с. 26.
Исаханова В. С. Из опыта проведения общественных смотров знаний по математике — № 2, с. 12.
Клейман Я. М. Решение задач нескольюши способами—№ 6, с. 23.
Кожекина Т. В. Использование физического материала при обучении геометрии в VIII классе — № 2, с. 15.
Коровина В. Г. Развитие конструктивных умений и навыков учащихся IX—X классов как составная часть политехнического обучения — № 1, с. 18.
Кострикина Н. П. Как учить школьников IV—V классов решать задачи № 1, с. 15.
Мацкин Ю. М. Использование элементов координатного метода при решении текстовых задач в V классе— № 4, с. 26.
Минаева С. С. О формировании навыков вычислений в уме — № 5, с. 35.
Михайлов И. И. Некоторые замечания к задачам повышенной трудности в IV классе — № 4t с. 21.
Мищенко Т. М. Урок учителя А. И. Коровая — № 3, с. 17.
Об опыте работы учителя Р. Г. Хазанкина — № 4, с. 16.
Орлова JI. Э., Столяр А. А. Геометрические ситуации и связанные с ними задачи — № 5, с, 33,
Пазина В. П., Спиридонова J1. И. Воспитание сознательного отношения к учебному труду — № 5, с. 29.
Радченко Е. В. Интерпретация дробей и действий с ними на координатной плоскости — № 2, обложка.
Радченко Е. В. Решение текстовых задач в IV—V классах — № 4, с. 23.
Саакян С. М.; Иванова Т. А.; Сытина Т. JI.: Коваленко В. Г. Лекционно-семинарская система преподавания математики — № 3, с. 8.
Саврасова С. М. Система упражнений по планиметрии в IX—X классах — № 6, с. 28.
Тимощук М. Е. О некоторых приемах решения стереометрических задач — № 4, с. 35.
Чистякова Л. С. Приемы формирования практических умений и навыков при обучении геометрии—№ 4, с. 31.
Шалева J1. Б. Организация контроля на различных этапах обучения — № 4, с. 28.
Швец В. А. Поиск решения задач на вычисление в курсе стереометрии — № 1, с. 21.
Ясиновый Э. А. Из опыта выявления и воспитания у учащихся интереса к математике — № 6, с. 37.
Методическое объединение учителей математики в условиях школьной реформы
Рубанов С. Ф. Укреплять взаимосвязь педагогической науки и школьной практики — № 1, с. 10.
Слепкань 3. И., Соболь С. А. Из опыта работы методических объединений учителей математики школ Киева — № 1, с. 7.
Татарченкова С. С. О работе совета кабинета математики— № 6, с. 22.
Якуба Э. Г. Совершенствовать методическое мастерство учителей математики — № 6, с. 20.
Компьютер в школе
Ефимов В. И., Житомирский В. Г., Лапчик М. П. Новые направления подготовки учителей математики — № 2, с. 40.
Минаева С. С. Начальные сведения о калькуляторе в IV классе — № 2, с. 36.
Повышение эффективности урока
Мышкис А. Д., Сатьянов П. Г. О развитии математической интуиции учащихся — № 5, с. 18.
Пикан В. В. Совершенствовать формы учебных за^ нятий — № 5, с. 23.
В помощь начинающему учителю
Об использовании в 1987/88 учебном году учебных пособий и рекомендаций по планированию и проведению контрольных работ — № 3, с. 33.
Проблемы совершенствования школьных учебников
Обзор редакционной почты — № 5, с. 44; № 6, с, 47,
Межпредметные связи
Абремский Б. АПавлов И. В. Расширять содержание межпредметных связей — № 3, с. 29.
Александров Р. Л. Информатика плюс математика, Проблемы взаимопроникновения — № 3, с. 31,
Проблемы и суждения
Александров Л. Д. Пути развития школы — № 5, с. 9.
Аракелян К. Г., Болтянский В. Г. Когда и как вводить производную? — № 3, с. 43.
Аут К.-Х., Виленкин Н. Я. О ро^ги основных принципов дидактики в преподавании школьного курса математики— № 1, с. 41.
Балк М. Б., Балк Г. Д. Математический факультатив— вчера, сегодня, завтра — № 5, с. 14.
Бирюкова Г. Ю., Топу нов В. J1. Компьютерная алгеб^ ра в средней школе — № 6, с. 42,
78


Виленкин И. Я., Мышкис А. Д. Научно-техническая революция и школьный курс математики — Ms 3, с. 40.
Маликов Т, С. Логический и интуитивный компоненты в определениях математических понятий — Ms 1, с. 44.
Обсуждение программ по математике в' секции средней школы Московского математического общества — № 2,
с 44* *
Рыжик В. И. О программе по математике — Ms о,
с. 38.
Эрдниев Б. /7. Против неопределенности программных требований — М° б, с. 41.
Эрдниев П. М., Эрдниев 6. /7. О необходимости улучшения программы по математике для четырехлетней на< чальной школы — № 3, с. 48.
Подумаем вместе
Каким быть школьному учебнику? — № б, с. 44.
О некоторых трудных проблемах — М*з б, с. 46*
Из писем и заметок читателей
Галицкий М. Л. О дифференциальном уравнении показательного роста а показательного убывания — Ms 5, с. 50.
Из редакционной почты — Ms 3, с. 48.
Конюшков А. А. О решении двух задач — Ms I, с. 26.
Онищенко Г, /7. Об одном занимательном уравнении— Ms 5, с. 51.
Петров С. М. Уточнение ответа — Ms 5, с. 51.
Розов Н. К. Оправдали ли себя физико-математиче< ские школы? — Ms 5, с. 49.
Советы журналу —№ 1, с. 24.
Соколихин Д. Н. Какой же ответ? — Ns 1, с. 25.
Середа И. К. «Образцы», которым не следует подражать — № 5, с. 50.
Формализм в руководстве работой учителя не из* жит — Ms 1, с. 24.
Якунина М. С., Марусич В% /7, Здесь побежденных не бывает Ms 5, с. 48.
Консультация
Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.» Ивашев-Муса* тов О. С. и др. О работе по новому изданию учебного пособия «Алгебра и начала анализа» — № 4, с. 39.
Броневщук С. Г. Новая форма проведения письменного выпускного экзамена по алгебре и началам анализа за курс средней школы — Ms 3, с. 35.
Дудницын Ю. П., Прокофьева Н. С. Об устном экзамене по геометрии в восьмых классах общеобразовательных школ РСФСР в 1987/88 учебном году — Ms 6, с.. 49.
Дорофеев Г. В. О существовании конфигурации в геометрических задачах — Ms 5, с. 40.
О подготовке к переводным экзаменам по математике в IV и V классах общеобразовательных школ РСФСР (Методические рекомендации)—№ 1, с. 27.
По поводу выпускных экзаменов в 1986 г.— Me 2, с. 20.
Примерное планирование и контрольные работы ва 1987/88 учебный год — № 4, с. 42.
Шварцбурд С. И., Оксман Л. С. Некоторые вопросы преемственности в обучении математике — Ms 4, с. 51*
Учителям вечерней школы
Глейзер Г. Д., Ивлиева Е. Г. Планирование групповых консультаций по математике в IX—XI классах вечерней средней школы — Ms 4, с. 52.
Вступительные экзамены в вузы
Боголюбов А. П., Галкин В. Я., Муравей Л. А., Сер- геев И. Н. Московский государственный университет — Ms 1, с. 32.
Вступительные экзамены в вузы (обзор) — Ms 2, с. 26.
Голдина В. Н., Петров И. М. Московский автомо- бильно-дорожный институт —Ms 1, с. 40,
Дуничев К И. Московский государственный педагогический институт им. В. И. Ленина — Ms I, с, 38.
Учебное оборудование
Богушевский К. С.; Сикорский К. П.; Ибрагимов И. Р. Два варианта модели «Тригонометрический круг» — Ms 3, обложка.
. Коровина В. Е., Беспалова Л. В. Модель для решения тригонометрических уравнений — Ms 3, обложка.
Кострова Л. А. Еще раз о двух простых приборах по геометрии — Ms 4, обложка.
Эксперимент
Гингулис Э. Ж. Учителя о своей работе — Ms 2, с. 42, Факультативные занятия
Аммосова Н. В. Некоторые приложения движений на плоскости и их композиций — Ms 3, с. 25.
Гнеденко Б. В. К вопросу о содержании факультатива по теории вероятностей — Ms 3, с. 24.
Лютикас В. Наглядность —методическая основа факультатива по теории вероятностей Ms 3, с. 19.
О факультативах по математике (Лаборатория обучения математике НИИ СиМО АПН СССР) — № 4, с. 14.
Смирнова И. М. Многогранники на факультативных занятиях — Ms I, с. 48.
Внеклассная работа
Агаханов Н. XКупцов Л. П., Резниченко С. В., Маркова С. Н, Третий этап Всероссийской олимпиады школьников по математике — Ms 4, с. 56.
Акимов А. Б., Коган А. Ф., Порохняк А. О. Научное общество учащихся школы Ms 149 г. Харькова — Ms 4, с. 60.
Бородин А. ИКаменская М. В. Имена отечественных математиков на карте Луны — Ms 2, с. 8.
Габович И. Г. О двух зависимостях, полезных при решении стереометрических задач — Ms 3, с. 49.
Гохидзе М, Г. О вневписанной окружности в задачах по стереометрии —Ms 5, с. 61.
Елина А. М. Ортоцентрический тетраэдр и его свойства — Ms 3, с. 54.
Изаак Д. Ф. Возникновение новых задач при исследовании задач по геометрии — Ms 6, с. 62.
Кузнецова Г. М., Купцов Л. ППчелинцев С. В., Сергеев И. Н. XXI Всесоюзная математическая олимпиада школьников — Ms 6, с. 54.
Кукушкин Б. Н., Купцов Л. Я. Микрокалькулятор в школе — Ms 1, с. 52.
Курдюмова Н. А. Математическая игра на внеклассном занятии — Ms 6, обложка.
Курляндчик Л. Д. Неравенство Коши — Ms 5, с. 58.
Математические вечера, конкурсы, игры — Ms 3, с. 56.
Миражов 3. Ш, Секреты орнаментов — Ms 1, обложка.
Никитина Г. И. Решение задач на построение методом координат — Ms 3, с. 51.
Орешкина Г. П. Из опыта проведения общественного смотра знаний — Ms 5, с. 54.
Петров В. Д. Производственные задачи на уроке геометрии — Ms 5, с. 60.
Пузырева Г. Я. Школьникам о С. В. Ковалевской — Ms 1, с. 63.
Савин Д. П., Сарычева Т. Д., Фомин А. Д. XXVII Международная математическая олимпиада — Ms 2, с. 49.
* Сатьянов /7. Г. Задачи графического содержания при обучении алгебре и началам анализа—Ms 1, с. 56.
Сергеев В. Я., Фридман Г, Ш. Командные математические олимпиады — Ms 2, с. 52.
Скопец 3. Д. Обобщение теоремы Птолемея — Ms I, с. 60.
Тажмагамбетов Д. Проанализируем формулу —Ms 5, обложка
Иванов В, Г, Переформулировка задачи — № 5, с. 55.
79


Яглом И. М. О теореме Птолемея, теореме Кези а статье 3. А. Скопеца — № 1, с. 61.
Якубов А. В. К итогам практического тура Всероссийской математической олимпиады —* N° 4, с. 60.
Задачи
№ 1, с. 66; N° 2, с. 54; N° 3, с. 60; N° 4, с. 63; N° 5, с. 62; № 6, с. 65.
Замечания к решениям задач — № 1, с. 71; № 2, с, 59; N2 3, с. 65; Mb 4, с. 68; № 5, с. 69; № 6, с. 71#
Занимательная страница
Антонович Н. К. Арифметические ребусы — № 4, с. 62.
Кордемский Б. А. Занятное расчленение чисел — № 5, с. 61.
Раухман А. С. Это любопытно — N° 3, с. 59.
Рекстин Э. Э. Числовой ребус — N° 1, с. 65.
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
Дорофеева А. В. Декарт и его «Геометрия» — Ns 5, с. 51.
ДЕЯТЕЛИ НАУКИ И ПРОСВЕЩЕНИЯ
Абаляев Р. Н. Петр Семенович Гурьев — N° 1, обложка.
Голованова О. И. Нил Александрович Глаголев — N° 2, обложка.
Пушкарская Е. Н. Надежда Константиновна Крупская — № 5, обложка.
Шапкина. В. Н. Иван Козьмич Андронов — № 4, обложка.
Шустеф Ф. М. Игорь Владимирович Арнольд — № 3, обложка, с. 68.
Яглом И. М. Яков Семенович Дубнов — № 6, об» ложка, с. 74.
Математика и математики нашего времени
Башмакова И. Г., Беляев Ю. К., Колмогоров А. Н< и др. Борис Владимирович Гнеденко — N° 2, с. 62.
Математический календарь
На 1986/87 учебный год: март — апрель —N° 1, с. 73; май — июнь — № 2, с. 64; июль — август — N° 3, с. 67.
На 1987/88 учебный год: сентябрь — октябрь —№ 4, с. 71; ноябрь — декабрь — № 5, с. 72; январь — февраль — № 6, с. 73.
A. А. Гусаку — 60 лет — N° 5, с. 72.
Б. А. Кордемскому — 80 лет — № 2, с. 64.
B. Я. Саннинскому — 70 лет — № 2, с. 66.
Г. А. Ястребинецкому — 70 лет — № 2, с. 66.
Евгению Алексеевичу Щеголькову — 70 лет —№ 3. с. 68.
Л. А. Эпштейну — 60 лет — № 6, с. 75.
C. А. Ахмедову — 70 лет — № 6, с. 75.
Ю. М. Колягину — 60 лет — N° 2, с. 67.
Я. И. Груденову — 60 лет — № 6, с. 75.
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
Белов Ю. А. Новая книга В. Г. Болтянского — № 2, с. 75.
Бендукидзе А. Д. Книги для внеклассной работы (Ко- робенок Е. В., Столяр А. А. Сколько сторон у поверхности?) — № 2, с. 78.
Гнеденко Б. В. Журнал «Вопросы истории естествознания и техники» — N° 3, с. 73.
Гнеденко Б. В., Пономарев В. Н., Григорян А. А О двух сборниках трудов во философским вопросам математики — № 5, с, 74,
Губа С. Г. Удивительный мир чисел — № 5, с. 78.
Канин Е. С.; Первухина С. Г., Федорова Л. И. О книге И. А. Новик «Практикум по методике преподавания математики» — № 2, с. 76.
Колпаков В. А., Панов М. И. Об учебнике логики для педвузов (Гетманова А. Д. Логика)—N° 4, с. 72.
Кузнецова В. А. Для любителей геометрии — № 3, с. 74.
Марнянский И. А. Книги для внеклассной работы (Петров К. Сборник задач по алгебре: Книга для учителя) — N° 2, с. 77.
Тасмуратов С. С. От учебной задачи — к творческой, или О книге И. Ф. Шарыгина «Задачи по геометрии. Планиметрия» — № 5, с. 75.
Шепелева 3. В. План выпуска литературы издательства «Педагогика» на 1988 год — № 3, с. 76.
Шустеф Ф. М. Новые книги — № I, с. 78; № 2, с. 79; N° 3, с. 77; N° 4, с. 78; N° 5, с. 73; N° 6, с. 77.
Шушанский Н. И. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука» в 1988 г. (план изданий) — N° 4, с. 76.
Хабиб Р. А. План выпуска литературы издательства «Просвещение» на 1988 г. — N° 4, с, 73.
ЗА РУБЕЖОМ
Алексис Карраско Трухильо. Элементы математического анализа в X—XII классах кубинской школы — N° 2, с. 73.
Ганчев Ив., Кучинов И., Данова Т., Данов Кр. Из опыта компьютеризации обучения в школах Болгарии — № 3, с. 70.
Верченко А. И., Верченко С. Б. Обучение математике в средней школе Франции — № 2, с. 68.
Пышкало А. М. Иржи Кабеле и обучение математике в ЧССР — N° 2, с, 72.
ХРОНИКА
Асадов X. А., Супинская В. М. XIII Республиканские педагогические чтения в Душанбе — № 5, с. 79.
Г неденко Б. В., Мирзахмедов М. А., Арипов X. М. По поводу первого Всемирного конгресса Общества им. Я. Бернулли—N° 1, с. 75.
Гуревич В. Ю. Научно-практический семинар в Минске— N° 1, с. 78.
Ефимов В. И. В научно-методическом совете по математике Министерства просвещения СССР — N° 5, с. 79.
Канин Е. С., Понарин Я. П. Межвузовская научно- практическая конференция по внеклассной работе — N° 2, с. 80.
Кузнецова В. А. Обсуждение проблем математических школ в Московском математическом обществе — N° 4, с. 78.
Лауреаты высоких премий 1986 г. — № 2, с. 67.
Пышкало А. М. IV Всеевропейская конференция руководителей научно-исследовательских институтов педагогики — № 3, с. 78.
Розов Н. X. В секции средней школы Московского математического общества — N° 5, с. 80.
Садыхов С. Н., Садыхов Н. А., Попов В. В. Третий тур Всесоюзной олимпиады студентов педагогических институтов — № 3, с. 79.
Шапкина В. Н.; Солдатова Г. В. Методические семинары в Москве — N° 1, с. 76.
Некрологи
Андрей Николаевич Колмогоров — N° 6, с. 3.
Виктор Иосифович Левин — № 1, с. 80.
Памяти В. А. Жарова — N° 4, с. 80.
Памяти Сергея Федоровича Рубанова — № 3, с. 80.
Памяти С. Л. Эдельмана — № 6, с. 76.


МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИГРА НА ВНЕКЛАССНОМ ЗАНЯТИИ
Участники игры делятся на две команды и попеременно отвечают на вопросы, которые предлагают им соперники. Вопросы ребята подбирают заранее под руководством учителя или самостоятельно по указанной им теме. Формулировка вопросов — основная особенность рекомендуемой игры. Каковы бы ни были вступительные описания, сам вопрос начинается только со слов «Можно ли (указать объект с определенным свойством)?» — у первой команды и со слов «Всегда ли (объекты данного вида обладают определенным свойством)?» — у второй команды.
Формы ответов самые свободные: доказательство, пояснение, формула или чертеж, на котором представлен подтверждающий пример или опровергающий контрпример. Освобождая учащихся вначале от обязанности давать словесные пояснения, мы снимаем напряжение на первом этапе игры и привлекаем внимание ее участников к конструктивной стороне вопросов.
За каждый правильный ответ ведущий присуждает один балл. Побеждает команда, набравшая больше баллов. Время на раздумье—1— 2 мин. Не следует давать больше времени, так как иначе игра станет вялой.
После общего соревнования в борьбу вступают капитаны команд. Количество вопросов к капитанам определяется сложившейся ситуацией. Так, если разрыв в счете три балла, то ведущий предлагает капитанам не менее чем по три вопроса. Тем самым он дает проигрывающему шанс спасти команду и даже вывести ее вперед.
К капитанам требования более жесткие: они должны дать комментированный ответ, т. е. сформулировать нужное определение, теорему и т. д. Если капитан дал полный и правильный ответ, то его команда прибавляет к своему счету два балла. Если ответ не полон—один балл. Но капитан может и отказаться от ответа. Тогда у его команды вычитают один балл, а когда ответ неверный— два балла.
Слушая ответы капитанов, учатся грамотно математически изъясняться их более робкие товарищи. Это им пригодится очень скоро: если завтра игра повторится, то с этими же командами, но другими капитанами, пусть даже один из них привел свою команду к победе.
Укажем несколько вопросов для игры по алгебре и по геометрии. Они группируются вокруг одной темы соответствующего курса VIII класса. Среди них есть как весьма легкие, так и трудные. Трудность вопросов возрастает по ходу игры. Это очень важное условие, иначе ребята быстро приспособятся к легким вопросам и занятие лишится спортивного элемента.
Вопросы команд различаются литерами «а» и «б». В ответах помимо указанных примеров возможны, естественно, и другие.
АЛГЕБРА. ТЕМА «ФУНКЦИЯ»
1,а. Может ли область значений функции вида у==ах-\-Ь (аф0) включать не менее 1000 целых чисел? — Область значений данных функций — множество всех известных учащимся чисел, среди них бесконечное множество целых.
1,6. 	Рассмотрим функции, заданные на всей числовой прямой. Всегда ли они принимают как положительные, так и отрицательные значения?—Нет; например, значения функции у=х2 неотрицательны.
2,а. Может ли график неквадратичной функции быть симметричным относительно оси Оу?-— Может. (Как правило, указывают функцию вида у— а, где а — число. Желательно продемонстрировать и другие графики; см., например, рис. 1.)
2.6. Рассмотрим графики функций, симметричные относительно оси. Всегда ли их ось симметрии параллельна оси ординат? — Нет, не всегда. Функция вида у—\1х симметрична относительно прямой у—х.
3,а. Может ли функция, определенная для всех х>0, принимать только отрицательные значения?—Может; например, функция у=—i^TJx,
3.6. Всегда ли функция вида у= = ах2+Ьх+с имеет областью определения множество всех чисел? — Всегда. (Ребята часто связывают область определения квадратичной функции со знаком дискриминанта.)
4,а. Может ли четная функция быть задана на отрезке: 1) [—4; 4]?
2) 	[—3; 4]? — В случае 1) ответ положителен, в случае 2) отрицателен,
4.6. Всегда ли функция является либо четной, либо нечетной? — Нет; так, функции вида у=(х+а)2, аф0, не являются ни четными, ни нечетными,
ГЕОМЕТРИЯ. ТЕМА «ПЛОЩАДИ ФИГУР»
1,а. Дана трапеция с основаниями а и 4а. Можно ли через одну ее вершину провести прямые, разбивающие трапецию на 5 равновеликих треугольников?— Можно, см. рис. 2.
1.6. Всегда ли равновелики треугольники со стороной а и высотой h? — Не всегда. Не указано, на какую именно сторону опущена высота h (см. рис. 3 и 4).
2,а. Могут ли два параллелограмма с равными диагоналями иметь неравные площади?—Могут, если различны острые углы между их диагоналями.
2.6. Всегда ли два ромба, имеющие равные площади, имеют и равные периметры? — Не всегда. Рассмотрим один ромб со стороной 1 и углом в 30° и другой ромб со стороной 2 и углом а. Равенство площадей имеет место при sin а = 0,125.
3,а. Можно ли из двух равных трапеций сложить параллелограмм? — Можно, см. рис. 5. (Из этого построения легко вывести и формулу площади трапеции.)
3.6. Трапеция разделяется диагоналями на 4 части. Всегда ли различны площади частей трапеции, при-