Журнал "Математика в школе", 1979 №06

Author: Черкасов Р.С.

Tags: образование журнал математика в школе

ISBN: 0130—9358

Year: 1979

Similar

О законе больших чисел

Собрание сочинений Т.3 Работы по различным вопросам математики

Историко-математические исследования. Выпуск XXI

Избранные труды. Том 4. Математика и математики. Книга 1. О математике

Text

ISSN 013f—9358
Л
МАТЕМАТИКА
6-79 В ШНОЛЕ
Математический календарь на 1979 / 80 учебный год
Январь
15 января —130 лет со дня рож-
дения русского математика, а также
писателя и публициста, члена-кор-
респондента Петербургской АН
Софьи Васильевны Ковалевской
(1850—1891) (см.: Математика шко-
ле, 1949, № 1; 1953, № 2; 1965, № 1,
Кзант, 1975, № 3).
15 яг* заря — 75 лет со дня рожде-
ния советского математика, члена
корреспондента АН СССР (с 1933 г.)
Льва Генриховича Шнирел ьмана
(1905—1938). Родился в Гомеле.
Окончил Московский университет
(1925), доктор физико-математичззс-
ких наук, профессор (1929). Основ-
ные труды относятся к теории чисел
и топологическим методам в вариа-
ционном исчислении. Он создал но-
вый метод решения аддитивных за-
дач теории чисел, основанный на
рассмотрении плотности лисловых
последовательностей. В 1930 г. он
показал, что всякое натуральное чис-
ло можно представить в виде суммы
ограниченного числа простых чисел.
Эта работа Л. Г. Шнирел ьмана была
в то время сенсацией в математике.
Совместно с Л. А. Люстерником им
были развиты топологические (каче-
ственные) методы вариационного ис-
числения. Ими была решена задача
«о трех геодезических», выдвинутая
еще в 190В г. французским матема-
тиком А. Пуанкаре: было доказано
существование трех замкнутых гео-
дезических не только на выпуклых
поверхностях, но и на всех поверх-
ностях рода нуль. Известны также
работы Л. Г. Шнирельмана, относя-
щиеся к теории функций и к геомет-
рии (см.: БСЭ, 2-е и 3-е изд.; Успехи
математических наук, 1967, № 4; Ма-
тематика в школе, 1963, № 5).
17 января — 70 лет со дня рожде-
ния советского математика, заслу-
женного деятеля науки и техники
Татарской АССР (с 1955 г.) Игоря
Дмитриевича Адо. Родился в Ка-
зани. Окончил Казанский универси-
тет (1931), доктор физико-математи-
ческих наук, профессор (с 1939 г).
Работает в высших учебных заве-
дениях Казани. И. Д. Адо — ученик
Н. Г. Чеботарева, его труды отно-
сятся к алгебре; он получил важные
результаты по теории представления
непрерывных групп, позволяющие,
в принципе, свести изучение локаль-
ных групп Ли к изучению объектов
элементарно-алгебраической приро-
ды, а именно матриц (см : БСЭ, 2-е
изд.; История отечественной мате-
матики, т. 3—4).
18 января —100 лет со дня рож-
дения нидерландского физика-тео-
ретика, иностранного члена АН СССР
(с 1924 г.) Пауля Эренфеста
(1880—1933). Родился в Вене. Улился
в Вене и Геттингене. Ученик Л. Больц-
мана. В 1907—1912 гг. преподавал
физику в Политехническом институте
в Петербурге. С 1912 г. вплоть до
своей трагической кончины — про-
фессор Лейденского университета
(Нидерланды). Основные труды от-
носятся к теории относительности,
статистической физике и квантовой
'механике. Его исследования по
поводу эргодической теории (частич-
но выполненные совместно с его
женой Т. А. Афанасьевой-Эрен<1 ес-)
способствовали ее становлению как
новой математической дисциплины.
П. Эренфест указывал, что символи-
ческая логика в физике, технике иг-
рает ту же роль, как и формулы в
химии. Это замечание имеет боль-
шой методологический смысл, так
как подчеркивает принципиальное
единство природы логической и ес-
тественнонаучной символики (см.:
БСЭ, 3-е изд.; Эренфест П. Относи-
тельность. Кванты. Статистика. М.,
1972; Френкель В. Пауль Эренфест.
М., 1971; Наука и жизнь, 1971, N2 4,
Квант, 1972, № 4).
22 января—100 лет со дня рож-
дения венгерского математика, члена
Венгерской АН, почетного прези-
дента Математического общества
им. Яноша Больяй Фридьеша Рисе
(1880—1956) — брата Марсел я Риса
(1886—1969). Ф. Рис родился i Дье-
ре. Учился в Цюрихе, Будапецте,
Геттингене и Париже. Ф. Рис — один
из основателей функционального
анализа и теории топологических
пространств. Ф. Рису дважды при-
суждалась премия им. Кошута (1949,
1953). На русском языке была из-
дана (1954) его работа «Лекции по
функциональному анализу» (см.:
БСЭ, 2-е и 3-е изд.; Успехи матем> -
тических наук, 1957, т. 12, вып. 4).
МАТЕМАТИКА
В ШНОЛЕ 6 1979
Нвучно-методический
журнал
Министерства просвещения
СССР
Москва «Педагогика»
Издается с 1934 года
СОДЕРЖАНИЕ
Дальнейший подъем качества обучения и воспитания — важнейшая задача
От Министерства просвещения СССР
К IV Всесоюзной научно-практической конференции «Изучение в средней
школе жизни, деятельности, произведений Б И. Ленина, документов
КПСС и Советского государства»
7
ПРОБЛЕМЫ И СУ.ЧДЕРИЯ
О среднем математическом образовании
О грех опубликованных проектах программ по математике
Бег. ненужной ломки и поспешных решений
В преподавании все зависит от учителя
8 С. Ф. Рубэроа
10 П.В. Стоатипатов
13 3. И. С юпиень,
Е. С. Дубинчук,
А. М. Дурицкий
15 Т. Е. Курыыхина
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
О математическом творчестве
Показательная и логарифмическая функции
Учить самоконтролю
V Всесоюзные педагогические чтения
Воспитание активной познавательной деятельности учащихся в процессе
обучения
Воспитательные возможности проблемного обучения
За творческое использование технических средств обучения
Читв'ели вносят предложения
Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений функций
К изучению скалярного произведения векторов
Консультация
Примерные планирование учебного материала и контрольные работы по гео-
метрии для VII—VIII классов на II полугодие 1979'80 учебного года
Фигурная скобка в определении модуля
ПрсЗпемы методической подготовки учителя математики
Чему должна учить методика преподавания математики
Внекласс гая работа
XIII Всесоюзная опимпчада школьников
Заниматель на страница
Числовые ребусы
«Загадки» календаря
Задвои
ЗА РУБЕЖОМ
16 Б. В. Гнеденко
22 А. Н. Колмогоров и Др.
27 С. М. Чуианцов
31 М. К. Тят ошкина
34 М. 3. Каплан
38 В. Д. Кры юв
42 А. Т. Упимаевв
43 Т. П. Григорьева
44
47 В. Г. Болтянский
48 А. А. Столяр
52 Н. Б. Васильев и др.
56 Э. Э. Рекстин
57 И. И. Михайлов
58
О новых программах по математике в средних школах Японии
64 Сэцуко Минз,
В. Н. Шапкина
© Издательство «Педагогика», «Математика в школе», 1979 г.
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
Книге по истории математики Х!Х века
О книге В. М. Монахова, Э. С. Беляевой, Н. Я, Краснера « Методы оптими-
зации*
Вопросы преподавания математики на страницах молдавского журнала для
учителей
68 И. Н. Володин,
Ю. Б, Ермолаэв,
Б. Л. Наптев
69 И А. Лурь *|
70 Б. П. Бычков
ХРОНИКА
О работе научно-методических семинаров при НИИ СиМО АПН СССР
в 1978/79 учебном году
О работе республиканского научно-практического семинара «Актуальные
проблемы преподавания математики в средней школе»
Впервые в республике
Научно-методическая конференция выпускников физико-математического
Факультета
Поздравляем юбиляра
Виктор Иосифович Левин
71 В. А. Далиигер;
И. С. Брлвикоа, .
В. Н. Шапкина;
И. Л. Никольская
73 В. Ю. Гурепич
73 А. Г. Зобнина,
Т. Т. Самзркачова
74 Д. А. Антонов
Тематический указатель статей, опубликсзаиных в журнале а 1979 г.
75 Л. С. Атанасян и др.
76
УЧЕНЫЕ-МАТЕМАТИКИ
Христиан Гюйгенс
Якоб Бернулли
80
80
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ
Главный редактор Р. С. Черкасов. Зам. главного редактора С. А. Пон/ марев Члены
редакционной коллегии: '. Л1 Ь--кин, В. Г. Голгяш куй, Н Ф Члпсик, Г Д. Глейзер,
Ь В. Гнеденко. Г. В. Дорофеев. Н. А. Ермолаева. А. И. Колмогоров, М. Р Леонтьева,
Г. Г. Маслова, К И Пешков. Л. М, Пашкова, И. С. Петраков, Н. X. Розов К П Си-
коре. гий в. А. Скворцов з. А. вконец. П. В. Стратилцтов. 3. С. Сухотина, К, И. Ша-
лимова, С. И Шварубурд, Г А. Ястребинецкий.
РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ (тредсттвители союзных республик)
А. М. Алиев (АзССР), X. А. Асадов О 1ДАССР). Б В. Бердже, (ТССР). И. С. Бро-
виков (РСФСР), 6. П. Бычков (MCCP). fl. А. Гусев (РСФС1 А. С. Зибертао
(ЛитССР). Д. И. Икрчиов (УзССР), К- X. Кожаспаев (Ka.-CCFj Ю. М. Калягин
(РСФСР). Ш. М. Маилие, (КиргССР), в Я Миллере (ЛатиССР), К. С. Муравин
(РСФСР), 3 И. Моисеева (РСФСР). С Ф. Оублнов (БССР). Р. В Саркисяч (АрмССР)
3. И. Сл^ги-ачь (УССР), А. 3. Тельгмаа (ЭССР), И. Ф Тесленко (УССР). А. М. Хош-
тария (ГССР). Р. А. Хабиб (РСФСР)
Зав. редакцией
3. В. Шепелева
Художественный
редактор
Б: Ф. Рябов
Технический
редактор
Л. С. Владимирская
» Корректор 41. А. Суворов»
Сдано в набор 22.10 79. Подписано в печать 28.11.79, Формат бумаги 84X108‘/ie.
Бумага типи р” бсчая № 2. Печать гь'-..жая. Гарнитур: литератуон ,я. Усл. печ. л. 8.40.
Уч.-изд. л 10.76. Тира» «0"350 «кз. Заказ 405 Цена 45 коп.
Издательство «Педагогика» Академии педагогических наук СССР
и Государственного комитета СССР
по дела , изд: тепьств, полиграфии и книжной торговли.
Адрес издательства: КП841, Москва, ГС11 Б-66. Лефортовский пер., д. Я.
Телефон редакции: 283 85-83.
Московская типограф,.я № 13 Союзполнграфпрома при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
107005. Москва, Б-5, Денисовский пер., д. 30.
Дальнейший пбдъем качества обучения
и воспитания— важнейшая задача
«С—датский специалист сегодня — это человек, который хорошо овла-
дел основ, ми марксистско-ленинского учения, ясно видит политические
цеги партии и страны, имеет широк/ю научную и праюи*ескую подготов-
ку, в совершенстве ьлвэеет своей спегг- льнос ью.
Coeei ский спе гиалист сет эрня — это умелый организатор, способный
на практике применить поиндипы научной ор-анизации труда. Он умеет
раСстать с людьми, ценит коллективный опыт, прислушивается к мнению
товарищей, критически оценивает достигнутое.
И, конечно, современный специалист — это человек высокой куль-
туры, широкой эрудиции, в общем, это настоящ).й интеллигент нового,
социалистического общества».
(Из речи товарища Л. И. Брежнева на Всесоюзном слете студентов *
19 октября 1971 г.]
К^чдечщстичте^Ля партия и Советское
правительство придают огромное значение
подготовке высококвалифицированных спе-
циалистов народного хозяйства, образования
и культуры. От деятельности специалистов
в немалой степени зависит успешное реше-
ние коренных . вопросов хозяйство! ания,
обучения и воспитания, культурного роста
трудящихся. Наше государство проявляет
пост< янную заботу о росте насыщенности
народного хозяйства специалистами. За пос-
ледние 40 лет число специалистов с гысшим
и средним специальным образованием в
промышленности увеличилось в 34 раза, а
в сельском хозяйстве — в 47 раз. Звание спе
циалиста в 1979 г. присвоено более чем 2
млн. человек.
Успешно на базе развития высшего и
среднего педагогического образования . идет
подготовка учительских кадров. За годы
между всесоюзными съездами уч! телей —
1968—1978 гг.— педагогические учебные за-
ведения страны подготовили более 2,2 млн.
учителей и воспитателей с высшим и сред-
ним педагогическим образованием, в том
числе с высшим образованием около 1,4
млн. человек. Абсолютное большинство мо-
лодых специалистов, оканчивающих педаго-
гические учебные заведения (70—80%),еже-
годно направляются на работу в сельские
районы. В стране успешно функционируют
200 педагогических институтов, в том чис-
ле около 100 в РСФСР. Свыше 60 тыс. учи-
телей подготовил для страны за годы Совет-
ской власти МТТ1И им. В. И. Ленина.
В начале 70-х гг. ЦК КПСС и Совет Ми-
нистров СССР приняли специальное поста-
новление о высшей школе, сыгравшее очень
важную роль в совершенствовании подго-
товки специалистов. Принятое в то же вре-
мя постановление ЦК КПСС и Совета Ми-
нистров СССР о завершении перехода ко
всеобщему среднему образованию и . его
реализация также имели большое значение
для улучшения качества подготовки специа-
листов. В постановлении ЦК КПСС и Соке-
та Министров СССР «О дальнейшем совер-
шенствовании обучения, воспитания уча-
щихся общеобразовательных школ и под-
готовки их к труду» (декабрь 1977 г.) отме-
чалось: «Завершение перехода ко всеобще-
му обязательному среднему образованию
является выдающимся достижением Ком: гу-
нистической партии и советского народа,
социалистического обществ энного строя. В
условиях развитого социализма подрастаю-
щее поколение нашей страны вступает в
жизнь, имея полное среднее образование,
что создает новые возможности для даль-
нейшего роста производительности труда,
духовной культупы и сознания трудящихся
масс, формирования человека коммунмсти-
ческого общества».
Выполняя решения XXV съезда партии,
высшая школа достигла определенных успе-
хов в обеспечении народного хозяйства ква-
лифицированными кадрами специалистов
и по масштабам их подготовки в основном
удовлетворяет потребности страны. Она
многое сделала не только для подготовки
новых кадров специалистов, но и для повы-
шения квалификации опытных кадров, пе-
реподготовки специалистов по новейшим
направлениям науки, техники, культуры. Все
1»
сто дало оснрвание ЦК КПСС и Совету Ми-
нистре" СССР отметить в недавно принятом
постановлении «О дальнейшем развитии
высшей школы и повышении качества под-
готовки специалистов», что в стране завер-
шено формирование системы непрерывного
образования в соответствии с требования-
ми развитого социализма. «Высшая школа,—
сказано в постановлении, — оказывает все-
возрастающее влияние на ускорение науч-
но-технического прогресса, дальнейший рост
культуры народа и духовного богатства со-
цгалистического общества» '
Выпускники вузов хорошо теоретически
подготовлены, инициативны, обладают ост-
рым чувством нового. В этом немалая за-
слуга профессоров и преподавателей. «Кол-
лективы ппофессоро з и преподавателей мно-
гих учебных заведений, — отмечено в поста-
новлении ЦК КПСС и Совета Министров
СССР, — обеспечивают обучение студентов
на высоком профессиональном и идейно-те-
сретическом уровне, плодотворно сочетают
подготовку специалистов с разрабоз кой
крупных научных проблем. Достигнут):. по-
ложител! ные результаты в улучшении изу-
чения общественных наук. Введение во всех
вузах последовательного преподавания
марксистско-ленинской теории на протяже-
нии всего периода обучения способствует
более глубоком^' ее усвоению, идейно-теоре-
тической закалке будущих специалистов.
Возросла политическая и трудовая актив-
ность студенческой молодежи» 1 2.
Главный труд студентов — учеба. Все боль-
ше сознательности, инициативы, творческо-
го подхода проявляют студенты к учебе, что
находит свое выражение в соответствую-
щих ре зультатах. Растет успеваемость. В
стране насчитывается более 400 тыс. ленин-
ских и именных стипендиатов, отличников
учебы. Свыше 500 тыс. студентов награж-
дены значком ЦК ВЛКСМ и Минвуза СССР
«За отл1 иную учебу» 3 *. Во многих студенче-
ских группах педагогических институтов
более половины студентов успевают на «от-
лично» и «хорошо». Большое влияние на
рост идейно-теоретического уровня студен-
тов оказывают всесоюзные конкурсы сту-
денческих работ по общественным наукам,
истории ВЛКСМ и международному моло-
дежному движению.
ЭЛсЬектьрным средством повышения уров-
ня подготовки молодых специалистов, роли
1 Коммунист, 1979, № 11, с. 5.
2 Там же.
3 ВЛКСМ- 1974—1978. Информационные материа-
лы.— М.: Молодая гвардия, 1978, с. 55.
учебных групп в борьбе за глубокие и проч-
ные знания, развития у юношей и девушек
навыков самостоятельной работы, стремле-
ния к постоянному расширению кругозора
стали всесоюзные олимпиады «Студент и
наушно-технический прогресс». Во Всесоюз-
ной олимпиаде 1976/77 учебного года, посвя-
щенной 60-летию Великого Октября, приня-
ло участие более 80% студентов дневной
формы обучения.
Широкий размах в вузах приняла научно-
исследовательская работа студентов. Актив-
ной научно-исследовательской деятель-
ностью занимается более 1,7 млн. юношей
и девушек, или свыше 70% студентов днев-
ной формы обучения. Около 230 тыс. уче-
ных, преподавателей руководят этой рабо-
той *.
Значительным проявлением роста трудо-
во1 i и общественно-политической активно-
сти вузовской молодежи является деятель-
ность студенческих строительных отрядов.
«Все мы знаем, — говорил Генеральный сек-
ретарь ЦК КПСС товарищ Л. И. Брежнев
в Отчете ЦК КПСС XXV съезди
партии, — как тянется в них молодежь. Й
ведь эти отряды делают огромное дело. За
девятую пятилетку они выполнили объем
работ примерно на 5 миллиардов рублей.
Невозможно переоценить их значение и
как школы трудового воспитания»Б. Дея-
тельность студенческих строительных отря-
дов становится все более широкой, эффек-
тивной, разносторонней. В 1974 г. армия сту-
денческих строительных отрядов насчиты-
вала 619 674 бойца, в 1975 г. — 636 273, в
1976 г. —689 947, в 1977 г. —741 295 чело-
век6. В этом движении студенчества оттачи-
ваются и навыки профессионального мастер-
ства. Примером может служить деятель-
ность студенческих педагогических отря-
дов.
Большие и сложные задачи решаются в
обществе развитого социализма. «Полностью
реализовать возможности развитого социа-
лизма,— указывает Генеральный секретарь
ЦК КПСС, Председатель Президиума Вер-
ховного Совета СССР товарищ Л. И. Бреж-
нев,— в этом, если хотите, пафос наших дней.
Это же определяет и меру ответственности,
возложенной на нас сегодня историей» 7.
4 Там же, с. 56.
е XXV съедд Коммунистической партии Советского
Союза.— М.: Политиздат, 1976, т. 1, с. ПО.
® ВЛКСМ от СЪ1 зда к съезду.— М.: Молодая гвар-
дия, 1978, с. 79 ч
1 Брежнев Л. И. Ленинским курсом, т. 6, с. 582.
4
важнейшая задача работников высшей
школы состоит в том, чтобы наиболее
полно использозать те огромные возможно-
сти, которые предоставило ей общество
развитого социализма. Тем более необходи-
ма решительная борьба с еще имеющими-
ся недостатками в работе вузов, в том числе
и педагогических институтов. В учебном
процессе не всегда находят отражение но-
вейшие достижения науки, техники и куль-
тур? >i, передовой опыт организации произ-
водства, народного образования и т. д.
«Часть выпускников вузов не обладает глу-
бокими знаниями по общенаучным дисцип-
линам, имеет слабую профессиональную
подготовку. Не уделяется должного внима-
I ня организации самостоятельной творче-
ской работы студентов, формированию у них
навыков общественно-политг ческой и орга-
низаторской деятельности»8. ЦК КПСС и
Совет Министров признали необходимым
принять меры, направленные на дальней-
шее улучшение деятельности высшей шко-
лы, повышение ее роли в социально-эконо-
мическом и научно-техническом прогрессе,
более полное обеспечение ведущих отрас-
лей народного хозяйства страны высококва-
лифицированными кадрами.
Постановление ЦК КПСС и Совета Ми-
нис^ров СССР «О дальнейшем, развитии
высшей школы и повышении качества под-
готовки специалистов» — глубоко научная,
развернутая программа действий работни-
ков высшей школы в современных, услови-
ях. Ь постановлении четко выделены глав-
ные направления последующего развития
высшей школы в обществе зрелого социа-
лизма. «Главное внимание высшей школы
должно быть сосредоточено на всесторон-
нем улучшении качества профессиональной
подготовки и идейно-политического вос-
питания специалистов, укреплении связи с
производством, практикой коммунистиче-
ского строительства. Постоянно совершен-
ствовать учебные планы и программы на
основе повышения значимости фундамен-
тальных наук в теоретической и профессио-
нальной подготовке специалистов широкого
профиля, более полного отражения новей-
ших достижений науки и передового опы-
та» 9.
ЦК КПСС и Совет Министров поставили
задачу сконцентрировать усилия профес о-
ров и преподавателей вузов на улучшении
8 Коммунист, 1979, № 11, с. 5.
в Там же, с. 6
учебно-воспитательной и научно-методиче-
ской работы. В связи с этим предложено,
например, обеспечить дальнейшее повыше-
ние уропня лекций и их значения в форми-
ровании у студентов научного мышления и
марксистско-ленинского мировоз зрения,
активизировать семинарские и лаборатор-
ные занятия в закреплении знаний и разви-
тии творчежих способностей студентов.
Главным звеном вуза, определяющим содер-
жание и единство учебьс го, научно] о и вос-
питательного процесса являются кафедры.
В педагогических вузах страны функциони-
руют ^352 кафедры. В постановлении о выс-
шей школе предложено усилить роль ка-
фе лр. Для выполнения данного указания по-
требчется оказывать всесторсннюю помощь
молодым преподавателям в овладении педа-
гогическим мастерством, совершенство-
вать систему морального и мат ериального '
стимулирования педагогического труда.
Очень важное значение для повышения
качества подготовки специалистов имеет
дальнейшее -расширение и укрепление свя-
зей высших учебных заведений с соответст-
вуюшими отраслями народного хозяйства.
,\ля пед?! огических в нститутоь это означа-
ет укрепление творческих связей с учреж-
дениями и организациями народного образо-
вания - - школа: ги, ПТУ, дошкольными уч-
реждениями. Творческие связи педвузов со
школами и органами народного образования
налажены. давно. Следует отметить, напри-
мер, то, что 48 учебников, используемых
сейчас в школах, подготовлены с участием
ученых педагогических вузов. Плодотворно
осуществляют связь со школой многие ка-
федры педагогических институтов страны.
Прочно вошло в практику заключение спе-
циальных договоров о творческом сотруд-
ничестве педвузов, школ и органов народ-
ного образования. Все эти формы творче-
ских связей следует развивать и дальше.
Главное в свете постановления ЦК КПСС и
Совета Министров СССР о высшей школе
состоит в том, чтобы это сотрудничество
поднять на новую качественную ступень.
Богаче должно стать содержание сотрудни-
чества, четче и оперативнее его организа-
ция.
Постановление ЦК КПСС и Совета Мини-
с-гров нацеливает высппто школу на успеш-
ное решение таких острых, актуальных и
важнейших вопросов, кек повышение эф-
фективности мер по подготовке < пециалис-
тов для Сибири, Севера, Дальнего Востока,
Нечерноземной зоны РСФСР в соответствии
с потребностями интенсивного и кс мплекс-
Б
кого развития этих районов, укрепление
материально-технической базы вузов в этих
районах страны, интенсивная подготовка
кадпов по остродефицитным специально-
стям и т. д. Предусмотрено проведение ря-
да мер по улучшению подготовки, распреде-
лению и повышена ю квалификации препо-
давателей общественных наук. Намечено
дальнейшее усиление потенциала и дейст-
венности вузовской неуки.
В условиях развитого социализма возрас-
тает значимость мировоззренческой направ-
ленности под1 отовки высококвалифициро-
ванных специалистов. Товарищ Л. И. Бреж-
нев, выступая на Всесоюзном слете студен-
тов в 1971 г., указывал на необходимость то-
го, «чтобы процесс учебы шел рука об ру-
ку с процессом коммунистического воспита-
ния. Конечно, эти два процесса не практике
должны сливаться воедино. Однако это не
приходит само собой. Об этом надо забо-
титься и заботиться постоянно как в ходе
препода] >ания наук, так и в организации об-
щественной жизни вузов. Огпомную роль в
этом деле призваны играть вузовские пар-
тийные и комсомольские организации10».
Ответственные задачи поставлены ЦК
КПСС и Советом Министров СССР перед
высшей школой в области коммунистическо-
го воспитания будущих специалистов. В ву-
зах предстоит повысить уровень изучения
студентами марксистско-ленинской теории,
истопического опыта КПСС, трудов товари-
ща Л. И. Брежнева, других руководителей
партии; усилить ответственность всех ка-
федр за мировоззренческую направленность
учебно-воспитательного процесса, руковод-
ствуясь при этом постановлением ЦК КПСС
«О дальнейшем улучшении идеологической,
политико-воспитательной работы».
ЦК КПСС и Совет Министров СССР, рас-
крывая основные направления дальнейшего
развития высшей школы и повышения каче-
ства подготовки специалистов, исключитель-
но большое значение придают комплексно-
му решению задач коммунистического вос-
питания студенчества. Огромное воздействие
10 Брежнев Л. И. Ленинским курсом, т. 3, с. 130.
на успешное развитие коммунистчческок.
воспитания молодежи оказывает реализа-
ция постановления ЦК КПСС «О дальней-
шем улучшении идеологической, политико-
воспитательной работы».
В интересах усиления коммунистического
воспитания студентов следует полнее ис-
пользовать воспитательные возможности со-
циалистического соревнования.
Коммунистическая партия неуклонно до-
бивается, чтобы молодые граждане нашего
обшества были стойкими борпами за дело
коммунизма. Она прививает молодому поко-
лению чувство исторвческой ответственно-
сти за судьбы социализма, за процветание
и безопасность Родины-
Постановление ЦК КПСС и Совета Ми-
нистров о высшей школе окажет огромное
влияние на совершенствование деятельно-
сти всех видов учебных заведений стоаны,
в том числе и на работу общеобразователь-
ной школы. Повышение качества подготов-
ки специалистов требует сохранения и ук-
репления преемственности в работе высшей
и средней общеобразовательной школы, по-
следующего повышения эффективности де-
ятельности общеобразовательной школы, но-
вого подъема творческой активности учи-
тельской армии. Требуется дальнейшее уси-
ление организации учебно-воспитательного
процесса в школе.
Всем учителям школы, в том числе и учи-
телям математики, необходимо еще актив-
нее вооружать школьников знаниями о дос-
тижениях современной науки и технипп,
полнее способствовать подготовке учащихся
к труду, поднимать уровень идейно-полити-
ческого воспитания и развивать обществе! I-
но-полнтнческую активность школьников.
С каждым днем все более пл [рокий раз-
мах принимает подготовка к знаменательной
политической дате — 110-летию со дня рож-
дения В. И. Ленина. Активно участвуя в
подготовке к славному юбилею, советское
учительство внесет весомый вклад в реше-
ние новых важных задач, которые постав-
лены Коммунистический партией и Совет-
ским правительством перед школой в усло-
виях развитого социализма.
От Министерства просвещения СССР
К IV Всесоюзной научно-практической конференции
«Изучение в средней школе жизни, деятельности,
произведений- В. И. Ленина, документов КПСС
и Советского государства»
нерских работников, преподавателей вузов и
сотрудников научно-педагогических учрежде-
ний. Предполагается также обсудить и при-
нять соответствующие рекомендации.
Тексты сообщений (не более 12 страниц ма-
шинописи через 2 интервала и тезисы на 2—3
с-раницах в двух экземплярах) представ-
ляются министерствами просвещения союз-
ных республик, комитетами ВЛКСМ з НИИ со-
держания и методов обучения АПН СССР
(103062, Москва, К-62, ул. Макаренко, 5/*6,
сектор по изучению в средней школе ленин-
ского наследия). Тезисы и сообщения прини-
маются до 31 декабря 1979 г. Тезисы и текс-
ты ряда сообщений предполагается опубли-
ко вать.
В адрес НИИ содержания и методов обуче-
ния АПН СССР направляются также предло-
жения, которые могут быть включены в ре-
комендации конференции.
Органы народного образования и комитеты
ВЛКСМ призваны обеспечить активное учас-
тие учителей, руководителей школ, комсо-
мольских и пионерских работников, методис-
тов, преподавателей вузов и научных сотруд-
ников в подготовке и проведении IV Всесоюз-
ной научно-практической конференции «Изу-
чение в средней школе жизни, деятельности,
произведений В. И. Ленина, документов КПСС
и Советского государства»..
Примерная тематика докладов и сообще-
ний на конференции опубликована в журна-
лах «Преподавание истории в школе» (1979,
№ 5) и «Советская педагогика» (1979, № 9).
Коллегия Министерства просвещения СССР,
Секретариат ЦК ВЛКСМ, Президиум АПН
СССР приняли постановление о проведении
совместно с Татарским обкомом КПСС в мае
1980 г. в г. Казани IV Всесоюзной научно-
практической конференции «Изучение в сред-
ней школе жизни, деятельности, произведе-
ний В. И. Ленина, документов КПСС и Совет-
ского государства».
Глазная задача конференции состоит в том,
чтобы, руководствуясь постановлением ЦК
КПСС «О дальнейшем улучшении идеологи-
ческой, политико-воспитательной работы»,
способствовать выявлению, анализу, обобще-
нию и пропаганде передового опыта изучения
в общеобразовательной школе жизни, дея-
тельности, произведений В. И. Ленина, истори-
ческого опыта КПСС, материалов XXV съез-
да КПСС и других важнейших документе i
партии, Конституции СССР. Конференция »
явится одним из важных мероприятий в под-
готовке и проведении празднования 110-й го-
довщины со дня рождения В. И. Ленина.
Утвержден Оргкомитет конференции под
председательстзом первого замес-чтеля ми-
нистра просвещение СССР Ф. Г. Паначина, а
также примерная программа конференции и
тематика сообщений
На конференции будут заслушаны сообще-
ния руководителей школ, работников органов
народного образования, учителей начальных
классов, истории, обществоведения, основ
Советского государства и права, литературы
и языка, географии, физики, химии, биологии
и других предметов, комсомольских и пио-
ПРОБЛЕМЫ
К СУЖДЕНИЯ
О СРЕДНЕМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ
ОБРАЗОВАНИИ
В постановлении ЦК КПСС и Совета Министров
СССР «О дальнейшем совершенствовании обучения,
госпитаиия учащихся общеобразовательных школ и
подготовки их к труду» от 22 декабря 1977 г. дана
высокая оценка достижений советской школы.
Вместе с тем в постановлении уке зывается на нали-
чие серьезных недостатков в школьном обучении и
воспитании. В нем, в частности, говорится: «Школьные
программы и учебники в ряде случаев перегружены
излишней информацией и второстепенными материа-
лами, что мешает выработке у учащихся навыков са-
мостоятельной творческой работы». Это прежде всего
относится к программам и учебникам по математике».
В связи с этим заслуживают самого пристального
внимания обсуждение вопросов школьного обучения
математике в Отделении математики АН СССР и опу-
бликованные статьи известных советских математиков.
Несомненно, это придает новый импульс работе по
совершенствованию процесса обучения математике в
средней школе и приведению его в соответствие с
требованиями жизни
Глубокий анализ ныне действующих программ и
учебников дан в статье академиков Л. В. Канторови-
ча и С. Л. Соболева «Математика в современной шко-
ле» (Математика в школе, 1979, № 4). В ней указаны
также пути дальнейшего совершенствования матема-
тического образования в средней школе. Критике ны-
не действующих программ и учебных пособий посвя-
щена статья академиков В. С. Владимирова, Л. С. Пон-
трягина, А. Н. Тихоноса «О школьном математическом
образовании» (Математика в школе. 1975. № 3).
В статье «О школьном математическом образовании»
авторы в целом положительно оценивают ныне дей-
ствующие программы по математике: «Проведенный в
последние годы пересмотр содержа нчя школьного
курса математики, включение в него эл зментов мате-
матического анализа, теории верогтностей и т. д. мож-
но в принципе рассматривать как явление прогрес-
сивное». Затем дается критика отдельных недостатков
ныне действующих программ и учебников. Например,
указываются случаи неоправданного усложнения опре-
делений отдельных математических понятий. С таки-
ми замечаниями нельзя не согласиться.
Однако ряд положений этой статьи вызывает воз-
ражения. Например, в статье сказано: «Нет сомнения
« том, что исключение в последние годы геометрии
из выпускного экзамена объясняется непониманием
подавляющим большинством школьников основных
геометрических понятий, которые запоминаются лишь
формально». На наш ззгляд, такое толкование причин
отмены в отдельных республиках экзаменов по гео-
метрии является субъективным. В Белоруссии, напри-
мер, экзамен по геометрии не отменялся и его ре-
зультаты не могут подтверди-ь точки зрения авторов
статьи. Вызывает удивление другое- утверждение:
«Стремление охватить весь содержащийся в дейстсу-
ющем' школьном курсе обширный и весьмг трудный
материал привело к тому, что большую часть учебно-
го времени (около 80%) учитель вынужден затрачи-
вать на разъяснение смысла вводимых понятий, кото-
рые вследствие их абстрактной постановки стали груд-
ными для восприятия».
Авторы возражают против теоретике множественно-
го подхода в изложении школьного курса математи-
ки, утверждая, что по этой причине неоправданно
усложнено определение функции. Они также пишут:
«Теоретико-множественный подход заставил авторов
учебников геометрии вместо привычного термина ра-
венства ввести эквивалентный ему, но не принятый в
русском языке термин конгруэнтности».
Опыт нашей работы говорит о том, что сами по се-
бе указанные примеры не представляют значительных
трудностей для учащихся. Нам представляется бес-
спорным, что математика (как и ее основы) неотдели-
ма от теоретике- множественного толкования многих
ее понятий и исключать «тго из школьного курса не
гол*-ко нецелесообразно, но и невозможно. Речь мо-
жет идти только о недопущении крайностей в этом
деле (чрезмерное увлечение теоретико-множествен-
ным подходом или недооценит его).
Что касается статьи «Математика в современной
школе», то мы пол: остью разделяем взгляды ее ав-
торов. В дополнение к их выводам хотелось бы оста-
новиться на некоторых вопросах практической реали-
зации ныне дейстьующих программ.
Слов нет, трудный это был период, особенно в на-
чальной его стадии. Быстрота перехода на новые про-
граммы и учебники потребовала большой работы по
созданию учебной и методической литературы, а так-
же по теоретической и методической переориентации
педагогических кадров. Вполне естественно, что в
этих условиях методическая служба и литература не
сколько отставали и не всегда могли вовремя обес-
печить педагогический процесс необходимым для
работы по новым программам. Методическая сторона
самих учебников и учебных пособий в ряде случаев
была не вполне удовлетворительна.
Однако эти трудности роста школы постепенно
преодолевались и преодолеваются. Опыт работы дает
8
основание утверждать, что учебники и методические
пособия для I—IV классов по своим качествам в Ос-
новном вышли на уровень стабильных и вполне отве-
чают задачам математической подготовки школьников.
Значительною улучшены учебные пособия по матема-
тике для V—VIII классов. В большей мере нуждаются
в совершенствовании учебные пособия для старших
классов. В них, например, допущен некоторый разрыв
между обобщениями индуктивных представлений и
высокой степенью абстракции при введении отдельных
понятий (функция, предел и непрерывность функции,
вектор), что затрудняет усвоение их учащимися.
Коренная перестройка содержания обучения мате-
матике не обошлась, конечно, без некоторых изли-
шеств и просчетов в составлении школьных программ
и учебников, как ?то отмечают авторы указанных ста-
тей. В целом же новый школьный курс математики,
на наш взгляд, вполне оправдал себя и явился значи-
тельным вкладом в дальнейшее развитие советской
средней школы. Этому способствовали, в частности,
включение в программу начал анализа, более полное
использование идей движения, отображения, коорди-
натного метода, теоретико-множественный подход и
i
элементы математической логики.
Практика подтверждает, что эти направления и идеи
курса математики в своей основе доступны учащимся
при должном методическом обеспечении педагогиче-
ского процесса. Например, с важнейшими понятиями
начал анализа учащиеся справляются вполне успешно.
Можно утверждать, что как начала математического
анализа, так и другие основные нововведения вполне
себя оправдали и прочно вошли в школьный курс ма-
тематики. Однак ' наличие отдельных иногда сущест-
венных недостатков нынешнего школьного курса ма-
тематики настоятельно диктует необходимость его со-
вершенствования.
Конечно; как в программах, учебниках, так и в пре-
подавании имеются недостатки. В некоторых случаях
причина этих недостатков кроется в неполном соблю-
дении требований диалектического подхода к разви-
тию математического образования. Так, наряду с от-
рицанием устаревшего традиционного материала в
учебных пособиях допущено отрицание отдельных
традиционных подходов, которые могли и должны
были бы сыграть положительную pint в дальнейшем
совершенствовании обучения математике. Это, кстати,
привело к неоправданному усложнению определений
некоторых понятий, формулировок аксиом, доказа-
тельств некоторых теорем.
Однако, как показывает опыт работы, сопоставление
достоинств и недостатков ныне действующих программ
и учебников приводит к убеждению, что они в своей
основе отвечают требованиям времени.
Переход школ на обновленное Содержание курса
математики сьп pan свою положительную роль в по-
вышении идейно-теоретического и методического уров-
ня преподавателей, что, в свою очередь, привело к
более эффективному обучению и воспитанию.
По нашему мнению, никакая экспериментальная ра-
бота по новым проектам не может сравниться по
своим результатам с практическим осуществлением
ныне действующих программ в течение более чем
десятилетнего периода. Ра бот а школ по этим програм-
мам и учебникам дает достаточный теоретический и
практический материал для глубокого анализа состоя-
ния преподавания математики и выработки на этой
основе усовершенствованного варианта программ и
учебников для средней школы. Кстати, сама постанов-
ка вопроса в настоящее время о замене ныне дейст-
вующих программ (а не их со 1ершенствование) новы-
ми программами, резко отличающимися от ныне дей-
ствующих, подрывает необходимую для школы отно-
сительную стабильность программ и учебников.
Кроме того, сами проекты программ, опубликован-
ные в № 2 и № 3 журнала, включают весьма спорные
вопросы. Это касается отношения к теоретико-мно-
жественному подходу (о нем говорилось выше), к ос-
новам кур-о гсс оии и др.
Избранное напо----ение в построении ныне дейст-
вующего Ш"' ~ ю,рС0 геометрии правильное. Оно
сочетает в себэ г зж-ейтчие элементы традиционного
(евклидога) к'»- - гоом.стрии, теории отображений и
векторного и- счия. Другое дело, что это сочета-
ние не во в>-ех случаях осуществлено оптимально.
Этим главных^ образом можно объяснить те трудности,
которые испытывает школа при обучении геометрии.
В отдельных случаях методика изложения в учебных
посоЬи"< ко отвечает требрванию доступности.
Предложение авторов одного из проектов исполь-
зовать при обучении геометрии «Сборник задач по
геометрии» Н. Рыбкина свидетельствует о неоправдан-
ном стремлении отказаться от нынешнего содержания
курса геометрии и вернуться к прежней программе.
Авторы новых проектов программ не коснулись
обучения математике в начальных классах, поэтому
следует думать, что они согласны с содержанием и
методами обучения учащихся этих классов. А ведь в
них заложены основы для преподавания в следующих
классах с использованием теорет «ко-множественного
подхода и других принципов, от которых авторы про-
ектов отказались. В действующих же программах и
учебниках последовательность и преемственность со-
держания и методов обучения в начальных и после-
дующих классах вполне обеспечиваются.
Мы полагаем, что в целях непрерывного совершен-
ствования школьного курса математики, укрепления
связи школы с жизнью было бы целесообразным
иметь перспективные планы, предусматривающие ос-
новные пути дальнейшего развития содержания и ме-
тодов обучения учащихся на каждые десять лет, обес-
печивая таким образом как относительную стабиль-
ность действующих программ и учебников, так и про-
вэдеиие целенаправленных экспериментов.
С. <Р. РУБАНОВ,
директор и учитель математики
средней школы № 10 г. Слуцка,
Герой Социалистического Труда
9
I
О ТРЕХ ОПУБЛИКОВАННЫХ ПРОЕКТАХ
ПРОГРАММ ПО МАТЕМАТИКЕ
в журнал. «Математика в школе» опубликованы три
проекта программ по математике *, Оии со ставлены
во исполнение решения ЦК КПСС и Совета Минист-
ров СССР от 22 декабря 1977 г., где было указано на
необходимость внесения изменений в действующие
программы, учебники и учебные планы.
Каждый из трех вынесенных на обсуждение проек-
тов имеет ссои особенности и может быть кратко оха-
рактеризован следующим образом.
Проект 1 в основном сохраняет содержание ныне
действующих программ, по которым школа работает
уже 10 лет. В нем сохранен теоретико-множествен-
ный подход, на базе которого построен! изучение
всего школьного курс- математики (функции в ал-еб-
ре и геометрические преобразования в геометрии).
В проекте коренным образом изменена структура
программы, введены разделы с межпредме..|ых свя-
зях, о требованиях к учащимся в отношении знаний,
умений и навыков и др., что окажет учителю большую
помощь.
Одна.(о проект перегружен теоретическим материа-
лом ныне действующей программы, из-за чего ос-
тается мало времени на его освоение всеми учащими-
ся и особенно на упражнения, в частности на решение
задач прикладного характера.
Проект 2 исходит из следующих положений: не следу-
ет брать за основу школьного курса математики тео-
рию множеств и не следует строить школьный курс
геометрии на основе теории отображений. В нем мно-
гие понятия даны на уровне, далеком от современ-
ной трактовки Вводятся «буквенные выражения», «пе-
ременная величина»; на основе понятия переменной
величины, вероятно, будет введено понятие функции.
В проекте 2 курс школьной математики строится или
в приближении к курсу дореволюционных средних
учебных заведений, или, как курс геометрии, — при-
менительно к учебнику геометрии А. В. Погорелова
(«Планиметрия», «Стереометрия», изд. 1968 г. и после-
дующие).
Проект 3, по существу, немногим отличается от про-
екта 2. Он также не содержит пэнятия множества и
отображения множеств, но в пояснениях к нему ска-
зано, что при изложении материала допускается ис-
пользование некоторых теоретико-множественных по-
нятий. И тут же поясняется, что эти понятия должны
играть лишь вспомотательную роль.
Проект 3 вводит изучение обыкновенных дробей
ранее десятичных, что нецелесообразно. Кроме того,
на десятичные дроби дается меньшее число часос,
чем на обыкновенные. Это совершенно непонятно,
1 См.: Математика в школе, 197В, № 4, 1979, № 2 и
3. Для удобства ссылок присвоим этим проектам но-
мера 1, 2, 3 в порядке их публикации в журнале.
так как десятичные дроби более широко использу-
ются в практических расчетах.
Все вопросы, относящиеся к произиодным и инте-
гралам, в проектах 2 и 3 отнесены к программе X
класса, поэтому не представится возможным исполь-
зовать их в курсе физики, показав таким образом их
применение к решению практических задач, что проти-
воречит требованию выработки у учащихся материа-
листического мировоззрения. Вместе с тем в проекты
2 и 3 включено понятие о комплексном числе, а это
обеспечивает логическую законченность учения о чис-
ле и теории решения квадратных уравнений, чего не
хватает в проекте 1. В проекте 3 выпал вопрос о чис-
ле е, хотя даются производные показательной и ло-
гарифмической функций Нахождение первообразных
ограничивается только многочленами.
Таким образом, если проект 1 в основу при -рам-
мы кладет понятия множества и их отображение, про-
ект 2 целиком отвергает и то, и другое в школьном
курсе, то проект 3 отводит этим понятиям вспомога-
тельную роль и, не вводя их в программу, предлага-
ет, очевидно, авторам учебников осуществить реали-
зацию замечания, сделанного в пояснениях к програм-
ме. Это вполне естественно, так как содержание про-
граммы раскрывается в учебникам. Однако опыт по-
казывает, что, к сожалению, авторские коллективы
значительно отступают от такого рода указаний и да-
же от программы, а это ведет к усложнению школь-
ного курса и учебников.
Оценивая имеющиеся три проекта программы, сле-
дует иметь в виду, что учащиеся, которые будут -за-
ниматься по одному из них, окончат школу через
8—10 лет, и математика будет находить более широ-
кое применение в различных областях их деятельности,
чем это имеет место теперь В связи с этим нам пред-
ставляется совершенно невозможным выкинуть из
школьной программы понятия: множество и отобра-
жение множеств, отказаться от ознакомления уча-
щихся общеобразовательных школ с этими основными
понятиями математики и их приложениями.
Проекты 2 и 3 исходят из того, что школьный курс
математики должен обобщать наглядные представле-
ния и практический опыт учащихся, готовить их к при-
менению математических знаний в последующей дея-
тельности. Авторы проектов считают, что углубленное
и расширенное изучение математики школьниками ре-
ализуется преимущественно через кружковые и фа-
культативные занятия. Но кружки и факультативы, как
известно, охватывают только учащихся, специально
интересующихся математикой. Задача же общеобра-
зовательной школы заключается в том, чтобы подни-
мать общий уровень обучения, добиваться,
чтобы ice учащиеся, оканчивающие средние школы,
владели основополагающими понятиями математики.
Выпускники школы должны быть в состоянии продол-
жать образование или повышать свою производствен-
ную квалификацию при помощи самостоятельного
изучения соответствующей литературы. Вот почему
10
проект* i 2 и 3 нам представляются менее удачными,
чем проект 1.
Однако нельзя не согласиться с мнением академи-
ков В. С. Владимирова, Л. С. Понтрг.гина и А. Н. Ти-
хонова («Математика в школе», 1979, № 3), что теоре-
тйко-множег. венный подход к изложению программно-
го материала отличается повышенной степенью аб-
стракции и предполагает определенную математиче-
скую культуру, которой школьники не обладают. Но
очевидно, эту культуру нужно воспитывать и, с дру-
гой стороны, следует соблюдать должную меру в от-
ношении углубления и расширения соответствующего
теоретического материала. Нельзя ведь опираться
только на наглядные представления и практический
опыт учащихся! И здесь мы должны констатировать,
что проект 1 такой меры не нашел, он значительно
превысил допустимый уро iert> абстракции изучаемого
матер: ала.
Авторы проекта 1 в значительной части использо-
вали для отбора материала последние издания учеб-
ников для IV—УШ классов. Это относится особенно к
учебникам «Математика 4» и «Математика 5». Так, пер-
вая тема проекта программы для IV класса «Натураль-
ные и дробные числа» кроме основного материала со-
держит в себе понятие обыкновенной дроби, сложе-
ние и вычитание натуральных и дробных чисел и дро-
бей с одинаколыми знаменателями, делители и кратные,
признаки делимости, высказывание, предложение с
п временной. В учебнике все эти вопросы еще в боль-
ней мере расширены. В нем появилась и бесконечная
шкала, и множестве с любыми элементами (после
рассмотрения числовых множеств), и др. Если учесть,
что в lv класс включен еще и геометрический ма-
териал, то станет очевидным, что такое разнообразие
не может обеспечить приобре|вние прочных знаний и
навыков вычислений с натуральными числами, а про-
извольное чередование пунктов учебника, знакомящих
учащихся то с вопросами числовых мн"жесгв, то с
элементами геометрии, нарушает систематизацию изу-
чаемого материала и не обеспечивает должного ка-
чества знаний.
Аналогично и в учебнике «Математика 5». В нем
отрицательные числа предшествуют обыкновенным
Дроблм, а изучение действий с обыкновенными дро-
бями йачинается с умножения и деления. При сложе-
нии и вычитании дробей с разными знаменателями
учащимся сначала дается способ приведения к обще -
му знаменателю путем перемножения знаменателей
и только потом — способ нахождения наименьшего
общего кратного знаменателей.
В проекте 1 такой же подход имеет место и к про-
грамме по алгебре. Так, в VII классе говорится о рав-
носильных пре уложениях, о следовании одного пред-
ложения из другого. Учащимся предлагается обнару-
жить наличие или отсутствие отношения логического
следования и равносильности между предложениями,
находить множество истинности предложения и т. д.
В<.е это взято из учебника «Алгебра 7». Но эти вопро-
сы превышают возможности учащихся VII класса и в
лучшем случае формально заучиваются. Тогда как
более простая и доступная теория равносильности
уравнений и нергвенств дается только в X классе.
Излишне теоретизирован и курс «Алгебра и начала
анализа». Например, в IX классе рассматривается прё-^
дел последовательности, вводится понятие бесконечно
малой последовательности, предела функции, петитом
дано понятие бесконечно малой функции и т. д. Труд-
но и громоздко излагаются вопросы нахождения мак-
симума и минимума функций.
Особенно много претензий к курсу геометрии VI—
X классов: большинство доказательств построено на
применении геометрических преобразований, что обус-
ловливает теоретизацию изучаемого материала; из-
лишне углублено применение понятия вектора в кур-
се стереометрии, а это ведет к ухудшению простран-
стьенных представлений и пространственного вообра-
жения учащихся. В учебнике геометрии IX—-X классов
напрасно помещена аксиоматика Вейля и другие воп-
росы, выходящие за рамки программы.
Однако следует различать программу и учебники,
отделять' достоинства и недостатки программы от до-
стоинств и недостатков учебников. Нельзя переклады-
вать все дефекты учебников на программу. Легко
говорить о недостатках учебников, так как >ни един-
ственные, в той или иной мере приспособленные к
действующей программе. Неизвестно, каковы окажутся
учебники, написанные для проектов 2 и 3.
Не следует забывать и еще об одном важном об-
стоятельстве — о выработке учителем методики пре-
подавания. За 10 лет работы по новым программам
учитель, строго говоря, не имел возможности выра-
ботать единую методику, так как каждый год вноси-
лись некоторые изменения в про: рамму и в учебники
МП СССР: отдельные пункты учебников предлагалось
опускать или изучать не со всеми учащимися. Это на-
рушало систему изложения материала и заставляло
учителя в той или иной мере перестраиваться. А ведь
методика работы учителя, по существу, является ре-
шающим фактором в деле обучения.
Академики В. С. Владимиров, Л. С. Понтрягин и
А. Н. Тихонов считают, что построение школьного кур-
са на теоретико-множественной основе привело к ис-
кусственному его усложнению, к перегрузке учащихся
и формализму в знаниях. Только ли программа по-
винна в этом? Следует ли отсюда, что виновата в этом
теоретико-множественная основа курса? Следует ли
отсюда, что от нее нужн вовсе отказаться в школь-
ном курсе математики? Нам кажется, что можно сде-
лать и иные выводы: программа и особенно учебни-.
ки без особой нужды, в ущерб вопросам прикладной
математики, превысили объем необходимого для изу-
чения материала. Отсюда также следует сделать вы-
вод, что недостаточна работа по критическому рецен-
зированию рукописей учебных пособий для учащихся
в издательстве «Просвещение» и в УМСе МП СССР.
Но если считать, что в школьном курсе следует вовсе
11
отказаться от элементов теории множеств и теории
отображений, то этим мы нанесем ущерб общему и
логическому развитию школьников.
Из с сего предшествующего следует, что ни один из
представленных для обсуждения проектов не может
считаться окончательным 'вариантом программы. Од-
нако иа том же основании можно сделать и второй
вывод: за основу программы следует принять проект 1,
проект МП СССР и АПН СССР.
Нам представляется, что программа по математике
должна быть одна. Не следует вводит: несколько
вариантов программы, даже в том случае, когда они
рекомендованы такими авторитетными учреждениями,
как Отделение математики АН СССР и Коллегия МП
РСФСР.
Единственность программы представляется нам ос-
новным принципом обучения. Какою же должна б >ть
программа по математике для средней школы? В ос-
нову ее следует положить теорию множеств и их
отображений. Больше внимания нужно уделигь вопро-
сам прикладной математики, повышению вычислитель-
ной культуры школьников, в частности по вопросам
метрической геометрии.
Учение о числе следует изучать в таком порядке:
натуральные числа, начальные сведения об обыкно-
венных дробях, десятичные дроби и все действия с
ними, обыкновенные дроби и все действия с ними,
затем вводить отрицательные числа, множество ра-
циональных чисел, иррациональное число и множест-
во действительных чисел и, наконец, ввести 'понятие
о комплексных числах и познакомить с их примене-
нием к решению квадратных уравнений, двучленных
уравнений третьей, четвертой степени и выше. Изуче-
ние множества рациональных чисел должно быть за-
кончено в V классе.
Следует отказаться от введения понятий математи-
ческой логики (предл ожение с переменными, множест-
во истинности предложения, равносильность предло-
жений и др), но дать понятие о высказывании. Ввести
в, IV—V классах уравнения I степени и рассмотреть
применение их к решению задач, но стоит показать и
некоторые арифметические способы решения тексто-
вых задач, в частности способ приведения к единице.
Необходимо прочно отработать вычислительные на-
выки при решении упражнений и задач, особенно ча
проценты. В VII—VIII классах нужно рассмотреть рав-
носильность уравнений и неоавенств.
Нам представляется, что понятие о функции следует
дать на основе соответствия элементов двух множеств
и изучить все элементарные функции, включая и об-
ратные тригонометрические. В программу должны
быть включены основные вопросы начал математиче-
ского анализа: предел функции, непрерывность, про-
изводная и ее применение к исследованию функций и
построению их графиков, а также понятие об опреде-
ленном интеграле как пределе интегральных сумм и
его приложения в геометрии для вычисления объемов
пирамиды, конуса и шара.
12 (
Конечно, мно1 о сложнее вопрос о программе по
геометрии, в частности об аксиоматике. Мы бы счи-
тали целесообразным сохранить аксиоматику А. Н. Кол-
могорова, к ней уже привыкли учителя за 1U лет ра-
боты и она достаточно проста и близка к аксиомати-
ке Гильберта. С другой стороны, кажется целесооб-
разным отказаться от определения термина «переме-
щение».
Представляется, «то в курсе геометрии VI—VIII клас-
сов нужно больше применять признаки конгруэнтности
треугольников, обоснование которых (с помощью на-
ложения) можно рассмотреть в V классе. Признаки
конгруэнтности треугольников следовало бы применить
и при доказательстве конгруэнтности образов данных
фигур при осевой и центральной симметрии, при по-
вороте и при параллельном переносе, а не вводить
их в определения этих преобразований, как это сде-
лано в учебниках геометрии VI—VIII классов. Напад-
ки на термин «конгруэнтность» явно несостоятельны:
напомним о курсе геометрии Э. Бореля (перевод под
ред. В. Ф. Кагана. М., 1922), в котором вводится этот
термин, хотя вовсе чет понятия «множество». Можно
вспомнить также методику геометрии Н. М. Бескина,
изданную в 1947 г., и многие другие пособия для учи-
телей средней школы, не говоря уже о пособиях для
студентов педагогических институтов и университетов.
Полагаем, что в геометрии вектор следует опреде-
лять не как направленный отрезок, а через множест-
во о резков, имеющих одну и ту же длину и направ-
ление. Учащимся следует сказать, что, в отличие от
физики, в математике рассматриваются так называе-
мые свободные векторы. Вряд ли стоит культивировать
применение вектора к решению задач, особенно в
стереометрии.
Следует продумать вопрос о требованиях к знаниям,
умениям и навыкам учащихся. В проекте 1 этот раз-
дел перечисляет всё, пройденное учащимися по
программе данного года обучения. Но в требованиях
I к учащимся должны быть перечислены только основ-
ные, узловые вопросы изученного за данный
учебный год. Необходимо также более четко отрабо-
тать вопросы межпредметных связей, чтобы учителю
не пришлось в IV классе говорить ученикам, что изу-
чаемый материал им пригодится в VI классе и т. п.
Вёсьма важным является вопрос о достаточности
учебного времени для прочного освоения курса ма-
тематики. Нам представляется, что следует несколько
увеличить число учебных часов на математику в IX—
X классах. Э.го можно сделать за счет уменьшения
числа часов на факультативы. Можно было бы стагить
вопрос о разбиении пополам класса для занятий по
решению задач и упражнений, как это делается при
обучении иностранному языку.
Последнее замечание. Целесообразно подумать о
построении программы из двух, частей. Первая часть
обязательна для всех учащихся. Материал второй час-
ти сообщается всем учащимся класса в ознакомитель-
ном порядке. Он обеспечивает логическую завершен-
ность изучаемого курса, углубляет вопросы приклад-
ного .характера и ориентирует интересующихс.1 мате-
матикой учащихся на самостоятельную домашнюю ра-
боту. Эту часть программного материала учитель из-
лагает сам, и она не является обязательной для освое-
ния всеми учащимися. Такое построение программы
могло бы । беспечить более эффективную работу и
способствовать повышению математической культуры
молодых людей, оканчивающих общеобразовательную
среднюю школу.
. П. В. СТРАТИЛАТОВ,
заслуженный учитель школы РСФСР (Москва)
БЕЗ НЕНУЖНОЙ ЛОМКИ
И ПОСПЕШНЫХ РЕШЕНИИ
Мы хотим высказать свое мнение по опублико-
ванным в журнале «Математика в школе» (№ 2 и
№ 3 за 1979 г.) проекте м программ по математике для
IV—X классов.
Мы не согласны с тем, что в школьном курсе ма-
тематики следует исключить теоретико-множественный
подход к изложению ряда понятий.
Более чем десятилетний опыт работы школ по но-
вой программе и учебникам по математике показал,
что использование элементов теории множеств, теоре-
тико-множествен» ой терминологии и символики яви-
лось наиболее удачным нововведением. Для школьни-
ков уже не уровне IV класса язык теории множеств
оказался естественным, доступным. Он способст >ует
четкости математического языка при изучении веду-
щих понятий и идей школьного курса математики
(числовые множест >а, функция, отображение, уравне-
ния, неравенства, геометрические фигуры и др.). Уча-
щиеся охотно используют теоретико-множественную
терминологию и соответствующую символику как в
алгебрэ, так и в геометрии. Трактовка геометрической
фигуры как множества точек хорошо воспринимается
школьниками, а определение ряда геометрических по-
нятий через понятие множества реализует единый
подход к . изучению геометрическое > материала, дает
возможность осуществить связи между алгеброй, гео
метрией и другими предметами. И если на первых
порах при введении ' новой программы некоторые
учителя скептически и даже негативно относились к
использованию теоретико-множественных понятий и
символики, тс I. мере освоения ведущих идей школь-
ного курса математики и новых учебникоь это отно-
шение изменилось в пользу языка теории множеств.
Вызывает возражение и другое требование, поло-
женное в основу опубликованных проектов программ*
«отказаться от имеющейся в действующих программах
и учебниках не оправданной для школьног з образо-
вания чрезмерной общности при введении математиче-
ских понятий и определений». Это требование не со-
ответствует реализуемой в наше время в школе кон-
цепции развивающего обучения и тем выводам пси-
хологических исследований, которые проведены у нас
в стране и за рубежом (исследования В. В. Давыдова,
Л. В. Заькова, Д. Б. Эльконина, Дж. Брунера, Ж. Пиа-
же и др) С точки зрения этих* исследований, под-
крепленных экспериментальными данными, уже в на-
чальной школе должны закладываться основы аб-
страктного, теоретическою мышления, и возможности
младших школьников в этом плане явно недооценива-
лись. Основной путь, по которому шла начальная шко-
ла на протяжении многих десятилетий, — эго форми-
рование обобщения путем перехода от конкретного,
частного к формально общему, сходному, одинако-
вому. В результате у школьников слабо формирова-
лась способность к абстрактному мышлению. Иссле-
дования показали, что конкретно-индуктивный путь
обучения не единственный; уже у младших школьни-
ков возможно формировать конкретные понятия на
базе перехода от общего к частному.
Более чем десятилетняя практика работы школы по
действующим программам и учебникам показала, что
рассмотрение в IV классе понятий «множество», «пе-
ременная», «предложение р переменной», на которых
основываются понятия уравнения и неравенства с пе-
ременной, вполне себя оправдывает. Общее опреде-
ление функции, введенное а VI классе с помощью
понятий «множество», «отношение», «соответствие»,
хорошо усваивается шестиклассниками. Изучение об-
ратной функции, отдельных видо > элементарных функ-
ций, в том числе показательной и логарифмической,
уже в VIII классе сказывается естественным продол-
жением учения о функции. То же самое можно ска-
зать о трактовке геометрической фигуры как множест-
ва точек, об изучении отдельных видов геометриче-
ских преобразований (поворот, центральная и осевая
симметрия) с помощью понятия перемещения.
Требование авторов проектов сократить до мини-
мума количество сведений, сообщаемых без доказа-
тельства, звучит очень общо и трудно согласуется с
большим охьатом классов (IV—X), которым адресова-
ны программы. Ведь ни у ког э не вызывали возра-
жения сформулированные в свое время академиком
А. Н. Колмогоровым принципы:
«Всюду, где это возможно, учащихся надо вести
прямыми путями к современным и рациональным ме-
тодам решения проблем и задач». 1
«Переход к ноеому кругу идей до'лжен быть по воз-
можности мотивирован понятным для учащихся спо-
собом».
Можно сослаться и на профессора А. И. Маркуше-
вича, который говорил (в период разработки проек-
тов ныне действующих программ), что прокладывание
новых путей в математическом образовании молоде-
жи — это прокладывание детских путей к сокровищ-
нице математической мысли.
Эти, принципы еще не всегда удачно реализованы
в учебных пособиях по математике, на что в ряде слу-
чаев правильно указывают авторы новых проектов.
Но задача и состоит в том, чтобы совершенствовать
13
их с учетом уже достигнутых на практике положитель-
ных результатов и данных новейших психолого-педа-
гогических исследований. Подготовка учащихся к тру-
ду в сфере материального производства требует,
чтобы они уже в восьмилетней школе получили от-
носительно завершенный и практически значимый
круг математических знаний, а это не всегда согласу-
ется с требованием «все доказывать*.
Выскажем наше мнение о структуре проекта, опуб-
ликованного в журнале «Математика в школе* № 2
за 1979 г.
Мы считаем нецелесообразным концентрировать
изучение начал математического анализа только в X
классе, как это сделано в проекте. В этом смысле
действующая программа имеет бесспорное преиму-
щество. Она предусматривает в X классе кроме воп-
росов математического анализа изучать и ряд тем
курса алгебры, что дает возможность учителю орга-
низовать систематическое повторение ведущих линий
курса алгебры (уравнения, неравенстве и их системы,
все виды элементарных функций и связанные с ним>.
тождественные преобразования). 'Опыт работы в шко-
ле показал, что девятиклассники без особых труднос-
тей воспринимают тему «Производная и ее примене-
ние». Изучение производной в IX классе дает воз-
можность решать и целый ряд других дидактических
задач, например совершенствовать навыки в выпол-
нении тождественных преобразований при нахожде-
нии производных сложных функций, решать уравнения
и неравенства при нахождении областей определения
функций и др.
Представляется неоправданным рассматривать три-
гонометрические функции угла в отрыве от их при-
менения к решению задач.
Изучение темы «Площади фигур» в конце VIII клас-
са нам представляется слишком запоздалым по ряду
причин, в том числе и с точки зрения практических
применений. Вместе с тем мы считаем преждевремен-
ным включать в курс VIII класса принцип математи-
ческой индукции, который нелегко воспринимается
школьниками.
Одной из положительных сторон действующих ныне
прогр >мм является изучение свойств параллельно, с
проектирования и применение их к построению изо-
бражений неплоских фигур, к решению конструктив-
ных задач на построение. Это с юсобствует не только
повышению культуры выполнения стереометрических
рисунков, но и реализации прямых связей с курсом
черчения. В опубликованном проекте эта тема отсут-
ствует.
Обратимся к развитию понятия о числе и к форми-
роганию вычислительных умений и навыко».
Опыт работы в школе показывает, что идея рас-
ширения понятия о числе лучше осознается школьни-
ками, если при каждом новом расширении числового
множества показывается сохранение законов ариф-
метических действий. При этом каждое возвращение
к свойствам арифметических действий способствует
их осознанию и закреплению в памяти. С этой точки
зрения мы считаем нецелесообразным относить за-
коны действий над числами в VI класс, когда будут
изучаться буквенные выражения. На этом этапе удоб-
нее проьести обобщение изученных ранее свойств для
натуральных, дробных, положительных и отрицатель-
ных чисел.
Проект предлагает изучать приближенные вычисле-
ния в VIII классе, ио они нужны в школе раньше и
в пергую очередь для курсов физики и химии. Более
уместно рассматривать эту тему в VII классе в связи
со свойствами числовых неравенств, как это и делает-
ся в настоящее время.
Система изучения понятия функции и отдельных
элементарных функций, пред >агаемая в проекте, усту-
пает действующей программе с точки зрения дидак-
тической целесообразности. В самом деле, возвраще-
ние к понятию переменной величины является шагом
назад, так как в практике приходится иметь дело не
только с величинами, но и переменными любой при-
роды. Неясно, чем мотивируется рассмотрение прямой
пропорциональности как переменной величины, а об-
ратной пропорциональности — как функции.
Попытка в пробных учебниках по алгебре изучать
функцию у=ах2+вх+с в VII классе, как это вновь
предлагается проектом, не оправдала себя, поскольку
это требует большой затраты времени.
В проекте вовсе не предусмотрено введение в вось-
милетней школе понятия обратной функции. А между
тем в курсе алгебры и начал анализа IX класса пред-
лагается трактовать логарифмическую функцию как
обратную показательной.
Линия уравнений и неравенств развивается в про-
екте недостаточно последовательно и ч гтко. Об урав-
нении, его корне, об общей задаче решения уравнения
в проекте не сказано ни в IV, ни в V классе. Однако
в V классе сре зу появляется способ решения уравне-
ний с помощью прибавления одного и того же числа
к правой и левой части. Нс вводится понятие о гра-
фическом способе решения уравнения, но в VI классе
сразу появляется графический способ решения
системы дзух уравнений. Аналогично в IX классе
предусматривается эешение системы неравенств с
двумя и тремя переменными, хотя до этого момента
не предлагалось решать неравенства с двумя перемен-
ными. Простейшие показательные и логарифмические
уравнения и неравенства проект рекомендует решать
только в IX классе, что нельзя признать целесообраз-
ным, так как они помогают школьникам более глубо-
ко осознать свойства показательной и логарифмиче-
ской функции и их полезно вводить как упражнения
в связи с изучением этих функций уже в VIII классе.
Линия тождественных преобразований проводится в
проекте менее удачно, чем в действующей программе.
Авторы вернулись К старой трактовке преобразований
как действий. Это вполне допустима и может быть
оправдано с точки зрения формирования общего по-
нятия об операции. Но тогда нужно показать и дру-
гие действия над выражениями. Например, почему
есть умножение многочленов и нет сложения и вычи-
тания, нет деления одночленов?
Несколько слов об учебниках по математике. Соз-
дать совершенный школьный учебник — дело не лег-
кое. История школьного математического образования
свидетельствует о том, что особенно трудной всегда
была задача создания учебника по геометрии. Факти-
чески логическая основа школьных учебников по гео-
метрии не менялась на протяжении столетий. Поэтому
естественно, что переход на новое содержание мате-
матического образования в школе особенно болез-
ненно проходит по геометрии. Здесь много объектив-
ных трудностей, которые не сразу могут быть преодо-
лены.
Спрсведливости ради следует отметить, что учебное
пособие по геометрии находилось в более трудных
условиях, чем пособие по алгебре, ибо его перерабо-
танное издание вышло только в 1979 г. Учителя и пе-
дагогическая общественность справедливо указывали
на ряд слабых сторон этого пособия, главным обра-
зом на несовершенство его методического аппарата.
И авторы в значительной мере учли эти критические
замечания.
Трудности введения новых учебников, по нашему
мнению, преувеличиваются.
Мы убеждены, что на данном этапе развития школь-
ного образования следует идти не ло пути создания
новых программ, а совершенствовать действующие
программы и учебные пособия, доводить их до уров-
ня стабильных. В этой работе должны принимать ак-
тивное участие те, кого волнует и от кого зависит
судьба школьного математического образования, —
ученые-математики' и методисты, учителя-практики. При
этом нужна не только критика действующих программ
и учебных пособий, но и конкретные предложения по
их совершенствованию, дополненные созданием раз-
личных вариантов учебных пособий.
Надо всегда помнить об учителях, трудом которых
в конечном счете определяется успех любой пере-
строгаем. Переход на новые программ: i и учебники в
то >в емя, когда учителя только освоили действующую
проервмму и учебные пособия, не лучшим образом
скажется на уровне школьного математического обра-
зования. г
3. И. СЛЕПКАНЬ,
доцент Киевского пединститута,
Е. С. ДУБИНЧУК,
зав. отделом НИИ педагогики УССР,
А. М. ДУРИЦКИЙ,
заслуженный учитель школы УССР
(Боровская средняя школа Киевской обл.)
В ПРЕПОДАВАНИИ
ВСЕ ЗАВИСИТ ОТ УЧИТЕЛЯ
В своих статьях, опубликованных в журнале «Мате-
матика в школе» № 4 за 1979 г., академики Л. В. Кан-
торович и С. Л. Соболев, а также аксдемик АПН
СССР А. И. Маркушевич убедительно писали о том,
что, говоря о современной школьной математике, надо
с большим вниманием прислушиваться к мнению уЧИ-
телей, итдаьших многие годы преподаванию школьной
математики.
С 1961 г. я обучаю детей математике. Становление
новых программ шло на моих глазах. Я сторонница
нс?вых, теперь уже действующих в средней школе про-
грамм по математике. Хорошо знаю соответствующие
им учебники и пособия, вижу, что хорошо, что плохо.
Да, учебники еще не совершенны! Но написать хоро-
ший учебник можно, только переиздавая его несколь-
ко раз, учтя опыт современной школы. Однако рядо-
вому учителю некогда рассказывать об этом опыте,
о своих методических находках или трудностях. У нас
нет времени даже рвои заметки черкнуть после про-
веденного урока —так загружен учитель.
Но сейчас, по-видимому, не время молчать, поэто-
му накануне 1 сентября взялась я написать о своей
работе. Про моих учеников никто не говорил, что они
плохо знают математику. Они знают, любят ее, сви-
детельство тому то, что они успешно выдерживают
экзамены не тольк< в областные, но и в столичные
вузы. В преподавании все зависит от учителя.
Не потому новые программы трудны, что в них
«теоретико-множественный подход» (без этого все рав-
но не обойтись!), да еще введено это трудное слово
«конгруэнтные фигуры» (ну скажем иначе, например
«одинаковые фигуры»), а потому, что их плохо еще
внедряют! Вот хотя бы такая цифра с последней
августовской конференции: почти половина учителей
математики Холмогорского рейона не имеет специ-
ального высшего образования, а в дальних селах ма-
тематику преподают девушки после десятилетки. Если
еще учесть, что у иных учителей нагрузка 27—30 ча-
сов в не, |елю, то о каком .ут современном творческом
преподавании может идти речь?!
Все новое входит в нашу жизнь с большим трудом,
борьбой отвоевывая себе право на существование.
И мы, наследники земли Ломоносова, хотим видеть
наших детей, независимо от их будущей профессии,
вооруженными не только вычислительными навыками,
но и современным научным мировоззрением, прони-
занным идеями движения!
Т. Е. КУРЫШКИНА,
учитель математики (с. Холмоюры Архангельской обл.)
МЕТОДИЧЕСКИЙ
ОТДЕЛ
Б. В. ГНЕДЕНКО
(Моск-а)
О МАТЕМАТИЧЕСКОМ ТВОРЧЕСТВЕ
Два недавних постановления руководящих
органов нашей страны «О дальнейшем улуч-
шении идеологической, политико-воспитатель-
ной работы* и «О дальнейшем развитии выс-
шей школы и повышении качества подготов-
ки специалистов» имеют прямое отношение ко
всем сторонам жизни средней школы и педа-
гогических учебных заведений. В частности,
в этих постановлениях обращено особое вни-
мание на развитие творческих способностей
молодежи, чго имеет большое значение для
дальнейшего научно-техни зес'.ою и социаль-
ного прогресса.
Прогресс человечества неразрывно связан
с творчеством, с созданием нового, с возник-
новением методов и идей, позволяющих взгля-
нуть на хорошо известные явления и отрабо-
танные производственные операции с неожи-
данных позиций. Творчество необходимо во
всех областях деятельности, а не только в
науке, проектировании, литературном или ху-
дожественном труде. Те, кто сейчас учатся в
школе, через несколько лет вступят в само-
стоятельную жизнь и станут рабочими, воен-
ными, колхозниками, инженерами, учеными,
врачами или педагогами. На их плечи ляжет
обязанность не только подгерживать достиг-
нутое состояние экономики, обороноспособно-
сти страны, ее науки и культуры, но и способ-
ствовать их постоянному дальнейшему совер-
шенствованию Для этих целен потребуется
умение напряженно трудиться, увлеченность
делом, рассвет талантов и творческих способ-
ностей. которыми так богаты народы нашей
родины. Но для того чтобы потенциальные
творческие таланты пробудить к жизни, необ-
ходимо систематически воспитывать учащих-
ся в духе поиска нового, в стремлении поиска
лучших путей для выполнения порученного
дела.
О творческих способностях. Когда говорят
о творчестве, то обычно имеют в виду только
исключительно гениальных людей и их произ-
ведения. При этом перед нашим умственным
взором прежде всего возникают имена тита-
нов мысчи прошлого — Архимед, Гомер,
Пракситель, Леонардо «да Винчи, Моцарт,
Бетховен, Ньютон Лобачевский, Гете, Пуш-
кин, Толстой и многие другие, кто своей
мыслью и трудом сумел преодолеть привыч-
ное и создать новое, совершенное; кто пока-
зал человечеству возможность неожиданных
подходов к старым проблемам и новых аспек-
тов проникновения в окружающий нас мир.
Иными словами, мы думаем прежде всего
о тех, кто предложил для развития науки,
литературы, искусства, техники совершенно
новые пути.
Однако это только одна сторона творчества.
Творит музыкант-исполнитель, который не
создал ни одной строчки собственных музы-
кальных произведений но зато сумел так пе-
редать произведения великих композиторов,
что они зазвучали в полную силу и заставили
слушателей переживать величие звуков и свя-
занных с ними идей Творит рабочий, когда
замечает возможность совершенствования
привычной последовательности операций, ко-
гда создает совершенные формы и достигает
исключительной точности обработки. Творит
учитель в классе, когда излагает предмет и
заставляет учащихся забыть о мелочных лич-
ных заботах и увлекает их идеями своего
предмета, показывая важность и грандиоз-
ность заложенных в них возможностей как
для развития науки, так и для познания при-
роды, прогресса культуры и практической
деятельности.
Способности человека являются величай-
шей ценностью, которая принадлежит всему
обществу и крайне ему необходима. Как мно-
го потерял бы каждый из нас, если бы не
творили Моцарт и Пушкин, Жуковский и Ар-
химед, а попусту растеряли свои способности!
Эта простая мысль должна быть близка каж-
дому учащемуся и каждому педагогу. Однако,
чтобы преподаватель мог передать учащимся
все разнообразие проявлений творческих та-
лантов, он должен знать об этом гораздо
больше, чем дает лично приобретенный им
опыт. Мы должны по крупицам собирать опыт
ученых и педагогов, чтобы вcopvжить учителя
необходимыми ему сведениями для выявления
16
и проявления творческих способностей уча-
щихся. Это будет важным шагом на пути
практического осуществления указанных в на-
чале статьи постановлений ЦК КПСС и Со-
вета Министров СССР. Этим мы продвинемся
в осуществлении тезиса В. И. Ленина; «Все
дело в том, чтобы не довольствоваться тем
уменьем, которое выработал в нас прежний
наш опыт, а итти непременно дальше, доби-
ваясь непременно большего, переходить не-
пременно от более легких задач к более труд-
ным» (Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 37,
с. 196).
О математических, способностях. Многие
крупные мыслители полагают, что некоторые
лица обладают специфччесчшии творческими
задатками и что успех человека в той или
иной области деятельности во многом зависит
именно от их наличия. Позволю себе в связи
со сказанным привести небольшую цитату из
статьи А. Н. Колмогорова: «Талант, одарен-
ность, скажем в области математики, физиче-
ского эксперимента, конструирования новых
приборов даны от природы не всем. Никакой
упорный труд не может заменить эту природ-
ную одаренность. Он дает действите льно цен-
ные плоды ь науке лишь в соединении с ода-
ренностью, как, конечно, и одаренность ока-
жется бесплодной без упорного и сосредото-
ченного труда» (Колмогоров А. И. Наука тре-
бует горения.— Известия, 1962, 21 фгвр.).
Л1ы все прекрасно знаем, что многие очень
хорошие студенты-математики, превосходно
сдавшие все экзамены, не стали математика-
ми-творцами. И это случилось совсем не пото-
му, что они не прилагали усилий к поиску но-
вых результатов, а потому, что это у них не
получалось. Из них выросли хорошие популя-
ризаторы, авторы сводных монографий, бле-
стящие лекторы, но они были лишены внут-
реннего творческого начала в математике. И х
одаренность была совсем иного плана. Р то
же время мне известны многие лица, которые
не блистали во время экзаменов, не могли
считаться глубокими знатоками той или Иной
области математики, но у них был дар сопо-
ставления, способность видеть вещи как бы
с другой стороны, и в результате они получа-
ли новое и интересное там, где множество
специалистов не замечало ничего перспектив-
ного.
В то же время следует сказать, что матема-
тическая одаренность встречается далеко не
так редко, как это многим кажется. Но эта
творческая математическая жилка проявляет-
ся у разных лиц по-разному и в различных
направлениях.
Одни находят обобщения ранее полученных
результатов и тем самым расширяют поле их
применимости. Другие умеют найти новые
объекты для исследования. Третьи сильны в
логическом совершенствовании теории. Чет-
вертые ищут и находят решения глубоких при-
кладных проблем и открывают пути для ре-
шения. мно1счисленных вопросов в разнооб-
разных областях знания. Пятые подвергают
математические понятия и направ. тения иссле^
дований, так сказать, философскому анализу
и затем объединяют различные ветви матема-
тической мысли воедино.
При решении вопроса о наличии или отсут-
ствии творческого таланта у того или иного
лица следует обязательно принимать во вни-
мание многообразие форм проявления мате-
матического творчества и не пропустить ни
одну из них.' Отсутствие какой-нибудь одной
из них еще не означает, что данное лицо пол-
ностью лишено творческих математических
способностей.
Здесь уместно сказать несколько слов о ма-
тематических олимпиадах. Олимпиады стали
важным элементом нашей культурной жизни.
Они приводят к тому, что десятки тысяч
школьников систематически углубленно рабр-
тают над математикой и ее методами. Они со-
действуют развитию интереса к математике и
к поиску решения сложных задач, т. е. к эле-
ментам творческой деятельности. Недаром
многие страны мира заимствовали наш опыт
и в течение последних лет также проводят
свои математические олимпиады. Более того,
сейчас проводятся международные матома ти-
ческие олимпиады, в которых принимают-уча-
стие не только учащиеся социалистических,
но и ряда капиталистических стран. Судьба
победителей таких олимпиад, как правило,
уже определена — они находят свое место в
жизни. Но ведь кроме победителей имеются и
побежденные. Их судьба должна нас крайне
тревожить, поскольку они могут потерять ве-
ру в СВОИ силы и способности. Они должны
знать, что поражение в олимпиадах, в этих
крайне напряженных соревнованиях, не
означает отсутствия способностей. Я не толь-
ко убежден, но я эго знаю, что среди них так-
же имеются будущие творцы во всех областях
деятельности, в том числе и математической.
О развитии творческих способностей. Разви-
тие творческих способностей требует длитель-
ного воздействия и должно быть предметом
внимания педагогического коллектива бук-
вально с первых дней обучения. Воспитанию
стремления к творчеству следует уделять при-
стальное внимание на всех этапах обучения.
Каждый предмет школьного курса способен
внести свою неповторимую долю воздействия
14
на творческий облик учащегося. Математика
предоставляет для этого исключительные воз-
можности. Действительно, поиск решений не-
стандартных задач, нестандартных решений
традиционных задач, размышления над пара-
доксами, анализ содержания теорем и внут-
ренней сути их доказательств, беседы о твор
ческих лабораториях выдающихся ученых,
о том, как они подходили к постановке проб-
лем, решение которых прославило их имена,—
все это составляет важные слагаемые на пути
развития способностей и духа творческого го-
рения.
Чем раньше учащийся почувствует, что он
обладает задатками замечательного дара соз-
дания нового, тем лучше будет для общества
и для него самого. Но при этом следует вос-
питывать учащихся в духе уважения к другим
членам общества и понимания той мысли, что
их товарищи, не проявившие творческих дан-
ных в одной области деятельности, могут об-
ладать выдающимися способностями в иных,
также важных для страны и ее прогресса.
Но привить только стремление к творче-
ству еще недостаточно, нужно,' чтобы моло-
дые люди поверили в свои силы и способно-
сти, поняли, что без напряженного системати-
ческого труда никакие врожденные способно-
сти нс могут привести к успеху. К сожалению,
нередко наблюдаешь за тем, как потенциаль-
но весьма одаренный человек, способный дать
много нового и ценного, ленится приложить
усилия к определенному делу. Зачастую лень
к систематическому познанию и многочислен-
ные в наше время развлечения — телевизор,
хоккей, футбол, магнитофон — отвлекают мо-
лодежь от настоящего дела. Я не против фут-
бола или хоккея, особенно если любитель не
только смотрит спортивные состязания, но и
сам время от времени принимает участие в
игре. Убежден, что пассивное времяпрепро-
вождение только отнимает время, не давая ни
умственного, ни физического развития, и мо-
жет привести к утрате творческих способно-
стей.
Нередко даже хорошие учащиеся убеждают
себя в отсутствии у них творческих способно-
стей, поскольку они не могут так свободно
разговаривать о математике и нерешенных за-
дачах, как некоторые их одноклассники, для
которых, если только их послушать и им пове-
рить, все самое сложное очевидно и тривиаль-
но. Однако это скороспелое решение, посколь-
ку обнаружить наличие или отсутствие спо-
собна тей, творческого таланта можно толь-
ко в бочьбе, в длительном поиске решения
сложной проблемы, которая способна захва-
тить челог ?ка п заставляет его думать о ней
все свободное время. Талант — это не только
врожденное свойство, но и напряженная по-
вседневная работа.
Для развития таланта и для проявления
творческих сил необходима проблема, кото-
рая способна увлечь человека и заставить его
думать о ней постоянно, испытывать различ-
ные подходы к ее решению Но зачастую по-
тенциально способный чеЛо.век не имеет увле-
кательной и действительно важной задачи,
ему неоткуда ее получить, поскольку рядом
нет коллектива, способного выдвинуть и раз-
вить полезную тематику, способствующую
прогрессу науки, производства, культуры.
В результате у него нет объективной возмож-
ности проявить свои творческие способности.
Нередко при этом он принимается за решение
проблем, которые не имеют интереса ни для
науки, ни для практики. Недаром во все вре-
мена молодые люди стремились попасть для
обучения в прославленные университеты, где
работали зарекомендовавшие себя руководи-
тели и где выдвигались и разрешались серьез-
ные научные проблемы. Молодой человек, по-
павший в такой коллектив, становился не
только обладателем большого запаса проб-
лем, заслуживающих разработки, но и допол-
нительно узнавал о возможных подходах к их
исследованию, наблюдал, как другие Продви-
гаются к заветной цели. Все это приближало
его к проникновению в процесс научного твор-
чества, оказывало огромное воспитывающее и
стимулирующее воздействие на его личность.
С такой же ситуацией приходится сталки-
ваться и на производстве. Там всегда имеют-
ся многочисленные проблемы, требующие по-
иска, ломки традиций, свежей мысли. Для
творчества производство открывает необозри-
мые просторы. Но на начальной стадии по-
иска требуется толчок, первичная поддерж-
ка, указание на необходимость совершенство-
вания технологического процесса, оборудова-
ния, системы его использования, возможностей
облегчения труда, отбрасывания излишних
операций и т. д.
Поддерживать естественное .стремление
к творчеству молодежи должна и школа. Не-
даром в постановлении ЦК КПСС «О даль-
нейшем улучшении идеологической, политико-
воспитательной работы» перед Министерством
просвещения СССР, Комитетом по профессио-
нально-техническому обучению и Академией
педагогических наук СССР среди прочих ста-
вится задача дальнейшего развития внекласс-
ной работы, технического и художественного
творчества. Привить интерес к творчеству и
творческим поискам необходимо еще в дети
стве, Иначе может быть поздно.
О значении творческого коллектива. В кон-
це прошлого века в нашей стране прославила
себя петербургская математическая школа,
достигшая расцвета в период, когда в Петер-
бургском университете работал выдающийся
ученый П. Л. Чебышев. Ряд направлений —
теория чисел, теория функций, теория вероят-
ностей, теория механизмов — интересовали
самого Чебышева. Он охотно делился нере-
шенными проблемами с молодежью, увлечен-
ной наукой. Эти проблемы возникали у него
в результате напряженных научных исследо-
ваний. Совсем не случайно Чебышев был как
бы центром притяжения для способной моло-
дежи, и из среды его учеников вышли выдаю-
щиеся исследователи — А. М. Ляпунов,
А. А. Марков, Д. А. Граве и многие другие.
Чебышевым была создана обстановка, благо-
приятствующая развитию талантов. Он пред-
лагал своим ученикам проблемы, которые
увлекали их на многие годы и оказывали глу-
бокое воздействие на прогресс науки.
Само собой разумеется, что новые пробле-
мы выдвигает не только руководитель, моло-
дые члены научного коллектива сами
участвуют р этой важнейшей части научного
творчества. Но в коллективе эти проблемы
обсуждаются, получают должную полноту по-
становки и острую направленность. Чем ак-
тивнее молодежь в постановке новых вопросов
исследования, тем совершеннее научная шко-
ла, тем большие возможности она в себе таит.
Мне самому посчастливилось провести на-
учную юность в первоклассной московской
школе теории вероятностей, возникшей в сте-
нах Московского университета в конце 20-х —
начале 30-х гг. Попал я в эту школу в период
ее расцвета, когда в ней в полную силу талан-
та работали такие исследователи, как
А. Н, Колмогоров, А. Я. Хинчин, Н. В. Смир-
нов, Е. Е. Слуцкий. Тогда буквально каждая
неделя приносила науке новые результаты,
новые методы исследования, новые постанов-
ки вопросов. И все это активно обсуждалось
в научном семинаре по теории вероятностей.
Вместе с математиками в это^! семинаре при-
нимали участие физики и биологи, специали-
сты по технике телефонной связи. В результа-
те такого общения теория вероятностей возни-
кала перед глазами начиьаюших математи-
ков не только как объект математического
исследования, но и как орудие познания явле-
ний реального мира.
Традиционное обсуждение докладов пока-
зывало разнообразие возможных подходов к
той или иной проблеме и убеждало в том, что
в, казалось бы, завершенном исследовании
часто имеются аспекты, которые нуждаются
в доработке, уточнении, углублении и даль-
нейшем развитии.
Коллективное обсуждение индивидуального
труда неизбежно приводился, к мысли о том,
что наука является не Только личным делом
исследователя, но важным общественным
явлением. И далее: для личных научных успе-
хов крайне важен критически воспринимаю-
щий научный коллектив и научные дискус-
сии. Именно они позволяют заметить такие
стороны изучаемой проблемы, котооые могли
пройти незамеченными исследователем-оди-
ночкой.
В таких условиях постепенно появлялись
знание и свобода обращения с бол! шой груп-
пой вопросов, а также проникновение в мето-
ды, разработанные для их исследования. По
мере совершенствования знаний появлялся бо-
лее широкий и свободный взгляд на весь круг
идей, а вместе с тем и некоторая неудовлетво-
ренность уже достигнутым. Возникали новые
вопросы, на которые еще не было ответа; и
эти вопросы, волновали, о них думалось не-
произвольно в любой обстановке: за столом,
во время прогулок, в трамвае, при чтении
журналов и даже в концертных и театраль-
ных залах. Мысль непрерывно искала и сопо-
ставляла вновь узнанное с тем, что хотелось
разрешить.
О роли учителя. В процессе воспитания
творческого начала исключительно велика
роль учителя, который способен направить
учащихся на путь исканий, вызвать в них
страсть поиска. Но без личного увлечения по-
иском нового, без наличия педагогического
таланта и такта этого добиться по меньшей
мере затруднительно.
Учитель помогает ученикам войти в атмо-
сферу творчества, в круг идей, дающих боль-
шие возможности для самостоятельного по-
иска и для новых научных находок. Благода-
ря этому молодые люди приобщаются к науч-
ным исследованиям и выявляют свои творче-
ские возможности.
По-видимому, в какой-то мере каждый че-
ловек способен к творчеству. Однако мера
творческих способностей для различных лю-
дей различна, и для того чтобы не упустить
большие таланты, следует создавать обста-
новку творческого искания, напряженных ин-
тересов к определенной области знания и дея-
тельности. Направление сознания на поиск
лучшего, более совершенного, воспитание не-
удовлетворенности уже достигнутым, привыч-
ка к систематическому напряженному само-
стоятельному труду — вот основа для разви-
тия творческих способностей.
19
Приведу такой пример. Специальный курс
А. Я. Хинчина в MTV, посвященный пробле-
мам предельных распределений для сумм не-
зависимых случайных величин и базирующий-
ся в значительной степени на его собственных,
в ту пору только что полученных результатах,
дал слушателям очень многое. Они получили
детальное представление обо всем, что к тому
времени (1936 г.) было накоплено .в данной
области науки. Они были подняты до самых
последних результатов самого А. Я- Хинчина,
П. Леви, В. Феллера, А. Н. Колмогорова и
других ученых. Слушатели могли как бы
с «птичьего полета» обозреть уже известное и
заметить неисследованное.
Именно это обстоятельство дало возмож-
ность А. А. Боброву обобщить результаты
А. Я. Хинчина по закону больших чисел для
положительных случайных величин (теорема
об относительной устойчивости сумм). Сам
А. Я. Хннчин рассмотрел только случай ти-
наково распределенных слагаемых, А. А. Боб-
рову удалось изучить случай произвольно рас-
пределенных слагаемых В результате этого
курса Д. А. Райков путем сравнения необхо-
димых и достаточных условий сходимости
функций распределения сумм к нормальному
распределению и условий относительной
устойчивости сумм пришел к превосходному
результату, который связал закон больших
чисел с центральной предельной теоремой.
Мне также удалось внести некоторый вклад
в теорию суммирования. Я заметил, что если
в начале развития этой теории — в работах
Я Бернулли, П. Лапласа, С. Пуассона,
П. Л. Чебышева, А. А. Маркова, А. М. Ляпу-
нова и других — основной интерес возбужда-
ли вопросы выяснения условий сходимости
к определенным предельным законам (нор-
мальному и единичному — закон больших чи-
сел), то в дальнейшем эти постановки задач
были как бы заморожены. Интересы и усилия
исследователей получили новую направлен-
ность— выяснить классы возможных предель-
ных распределений при тех или иных усло-
виях, наложенных на слагаемые. Так передо
мной возникли две задачи: найти условия су-
ществования предельного распределения;
найти условия сходимости функций распреде-
ления сумм к каждому из возможных пре-
дельных распределений.
Обе задачи были решены, но для этого при
шлось разработать новый метод, получивший
наименование метода сопровождающих без-
гранично делимых распределений. Интересно
заметить, чго размышления над строго очер-
ченным кругом задач и изобретение метола
исследования позволили сделать большее, ’
а именно одновременно получить естественное
и простое решение вопроса о классе предель-
ных распределений, незадолго перед тем глу-
боко изученного в работах Г. М. Бавли и
А. Я. Хинчина посредством совсем других
приемов рассуждений.
Краткий рассказ о событиях, свидетелем и
участником которых я был, позволяет сделать
такое заключение: для раскрытия творческих
способностей очень важно попасть в атмосфе-
ру научного поиска; включиться в работу
коллектива, увлеченного развитием широкого
круга важных для науки (или для практики)
вопросов; получить самоотверженного руково-
дителя, готового помочь, поправить, но не
сделать за тебя; найти в себе силы и увлечен-
ность длительное время размышлять в опреде-
ленном направлении, имея в виду решение
строго ограниченного круга проблем Без вы-
полнения этих условий нет возможности го-
ворить о воспитании творческих способностей,
о развитии у молодежи творческого начала.
К этому добавим еще следующую мысль, вы-
сказанную К. А. Тимирязевым— знаменитым
русским ботаником начала нашего века:
знать все о немногом и понемногу обо всем.
Это крайне важно, поскольку знание о многом
придает шпроту взглядам, а знание всего
о немногом позволяет сосредоточить внима-
ние, поиски на том, что действительно нужно
' и еще неизвестно, а потому требует продвиже-
ния и исследования.
Творческие способности, как любые способ-
ности человека, требуют постоянного упраж-
нения, постоянной тренировки. Эта трениров-
ка начинается еще в школе. И каждая само-
стоятельно решенная задача, каждое само-
стоятельно преодоленное затруднение в позна-
нии формирует характер и обостряет творче-
ские способности. Но без искреннего увлече-
ния проблемой, без внутреннего убеждения,
что дальше нечьзя существовать без поиска
решения, без способности длительно размыщ-
лять над ней и возвращаться к осмысливанию
различных возникающих при этом аспек гов,
творческий успех не придет. Он должен быть
подготовлен предшеств} ющей работой
Примеры «внезапного» появления решения.
Каждый, кому приходилось сталкиваться
с математическим творчеством, знает, как ча-
сто мучительно и долго разыскиваемое реше-
ние приходит в голову как бы внезапно, каза-
лось бы, без видимых усилий, в силу какого-то
внутреннего озарения. О таких случаях увле-
кательно рассказано в статье великого фпан-
цузского математика Анри Пуанкаре (1854—
1912), которая сейчас доступна советскому
читателю в связи с тем, что напечатана в ка-
2&
честве приложения к книге другого выдающе-
гося французского математика Жака Адама-
ра1 (1865—1963). Приведу пример такого же
рода, с которым мне пришлось столкнуться
самому.
В одной из бесед А. Я. Хинчин сообщил мне
о гипотезе, которую он пытался доказать, но
без успеха. Эта гипотеза относилась к теории
характеристических функций — важному ана-
литическому средству теории вероятностей.
Гипотеза состояла в следующем: как бы ни
был мал отрезок — в котором заданы
значения характеристической функции f(t),
они однозначно определяют ее значение при
всех t(—оо < t < оо). В ту пору я интересо-
вался теорией квазианалитических функций,
обладающих таким же свойством. Поскольку
аналитическая природа характеристических
функций очень сложна, я высказал предполо-
жение, что гипотеза Хинчина ошибочна. Он
очень доброжелательно улыбнулся и сказал:
«Ну что ж, тогда попытайтесь доказать вашу
гипотезу».
Попытки найти решение оставались безре-
зультатными на протяжении ближайших трех
дней. После этого вечером мы встретились
вновь, и Александр Яковлевич поинтересовал-
ся моими успехами. Я ответил, что решения
еще нет, но я по-прежнему сомневаюсь в пра-
вильности его гипотезы.
После этой беседы я находился в каком-то
возбужденном состоянии. Мне не хотелось ни
беседовать, ни ужинать, и все мысли верте-
лись около нашей задачи. С этими мыслями
я н уснул. Когда ранним утром я проснулся, в
голове была окончательно сформировавшаяся
идея решения: был указан пример двух ха-
рактеристических функций, совпадающих в
заданном промежутке аргумента с центром в
начале координат и различных при остальных
значениях аргумента t. К Я. Хинчин был
очень доволен полученным результатом и сра-
зу же сдстал из него ряд выводов, положив-
ших начало красивой ветви теории вероятно-
стей, получившей название арифметики рас-
пределений. Пощнее М Г. Крейн развил этот
результат в главу теории продолжения опера-
торов.
Возникает вопрос: а как же все-таки была
решена проблема? Ведь ночью человек епчт,
а не думает. Здесь 'я согласен с мнением
А. Пуанкаре и ряда психологов, согласно ко-
торому сознание человека во время сна от-
ключено не полностью. Человек спит, а его
1 Ада лар Ж. Исследование психологии процесса изо-
бретения в области математики. Приложение Ш Пуан-
каре А. Математическое творчество.— М.; Сов. раДио,
1970.
«подсознание» непрерывно работает. Все вре-
мя идет процесс в некоторых частях головного
мозга, в результате чего происходит отбрасы-
вание бесперспективных путей развития мыс-
ли и сохранения тех из них, которые могут
привести к искомому результату. Но это под-
сознательное мышление базируется на том
предварительном периоде занятий, когда
проблема ставилась, обдумывалась, предла-
гались отдельные подходы к ее решению, на
тех сознательных поисках, которые исследо-
ватель осуществлял раньше.
Подобные случаи, когда недостающие
звенья доказательства или поиск идеи, про-
должавшийся долгие месяцы, а то и годы,
вдруг заканчивался в совершенно неожидан-
ном и, казалось бы, неподходящем для твор-
чества месте — в самолете, поезде, магазине
или на лекции, — я наблюдал неоднократно.
Но'каждый раз это внезапное озарение, мол-
ниеносное появление мысли, которая ставила
все на свои места, происходило после дли-
тельного предшествующего размышления,
после многочисленных безуспешных поисков.
Отдельные неудачи не приводили к разочаро-
ванию, а заставляли искать и отбрасывать все
новые и новые пути решения и искать новые
подходы. В творчестве, как и в любом ином
виде деятельности, действует старая и про-
стая истина: «Дорогу осилит идущий».
Необходимость рассказов о процессе твор-
чества, а не только о его результатах. В наши
дни творческий процесс заслуживает самого
пристального внимания, поскольку общество
нуждается в массовом творчестве, в массовом
совершенствовании уже известного, в отказе
от устоявшегося и привычного, но пришедше-
го в противоречие с имеющимися возможно-
стями п потребностями. Вот почему так важ-
но, чтобы ученые писали не только об оконча-
тельных результатах, но и о том, как они их
получили, о том, как проходил и в чем заклю-
чался процесс творчества.
К сожалению, в научных статьях, в моно-
графиях читатель видит только окончатель-
ный результат, тщательно отполированный и
отшлифованный. В них изложены результаты
и методы исследования, но от творческого го-
рения, ог мучительных переживаний, связан-
ных с поисками решения, уже ничего не
остается. Если же мы хотим воспитать твор-
цов нового, то молодежи следует показывать
и сам творческий процесс, тот невидимый
огромный труд, который предшествует полу-
чению окончательного результата^
В слове, которое ппоизнес А. Н. Копмого-
ров перед студентами, аспирантами и препо-
давателями механико-ма!ематического фа-
2 1
культета Московского университета в день
своего 60-летия, была такая важная мысль:
математик в своем творчестве Bcei да следует,
даже при решении самых сложных проблем,
какой-то простой идее — геометрической, фи-
зической или иной. Далее он добавил, что им
всегда руководит -простая геометрическая
идея, наглядный геометрический образ.
Несомненно, что математическое творчество
может происходить на различных уровнях и
в разных аспектах — создание новых концеп-
ций, открытие новых направлений математи-
ческих исследований, построение новых мето-
дов исследования, объединение на их базе
разнородных частей математики; обобщение
ранее известных фактов и придание им наи-
более удачной формулировки; решение от-
дельных задач, ранее не поддававшихся уси-
лиям других исследоватзлей, построение при-
меров, позволяющих по-новому взглянуть на
устоявшиеся тоикп зрения; разработка мате-
матических моделей реальных явлении и по-
лучение из них цепных ьыводов и т. д.
Все эти формы научного математического
трсрчсстьа могут достигать различной силы
Но творческая сила человека зависит уже от
врожденных возможностей и от умения скон-
центрировать свои внимание, знания, изобре-
тательность и воображение на действительно
решающих направлениях прогресса.
В настоящей статье речь шла только о на-
личии творческого начала, но не о его силе.
Задача педагога — пробудить способности
своих воспитанников, вложить в них смелость
мысли и уверенность в том, что им по силам
любые задачи, в том числе и творческого ха-
рактера. Это надо систематически прививать,
воспитывая самостоятельность в мышлении,
привычку к прео юлению трудностей, любовь
к систематическому труду.
§ 15. Основные свойства показательной и
логарифмической функции
63. Показательная функция
64. Логарифмическая ф^нкцид
§ 16. Производная показательной и лога-
рифмической функции
65. Производная показательной функции
66. Дифференциальное уравнение показа-
тельного роста и показательного убывания
67. Производная логарифмической функ-
ции
§ 17. Степенная функция
68. Степенная функция и ее производная
69. Иррациональные уравнения
Пункты 66, 68, 69 подверглись незначитель-
ным изменениям, поэтому ознакомиться с их
содержанием можно по тексту действующего
пособия. Более принципиальны изменения в
других пунктах — эти пункты печатаются
ниже.
63. Показательная функция
Напомним известные вам сведения о пока-
зательной функции ах с положительным осно-
ванием а. Значения этой функции определяют-
ся сначала для целых х, а затем для дробных
х = ~ (р — число целое, q— натуральное)
по формуле
р ч____
ах =0.4 = Уар.
Определенная на множестве рациональных
чисел функция ах при а> 1 возрастает, а при
0 < а <Z 1 убывает на этом множестве.
Построив на координатной плоскости до-
статочное число точек с координатами (х; ах)
при рациональных х (рис. 1, а, б), мы видим,
что такие точки можно соединить плавной
кривой, которую естественно считать графи-
ком некоторой функции, определенной уже на
А. Н. КОЛМОГОРОВ, А. М. АБРАМОВ,
О. С. ИВАШЕВ-МУСАТ )Й. Г. М. ИВЛЕВ,
С. И. ШВАРЦБУРД (Москва)
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ
ФУНКЦИИ
Публикуемые материалы — сокращенный
вариант изложения главы «Показательная,
логарифмическая и степенная функции» в
подготавливаемом к изданию на 1980/81 учеб-
ный год переработанном учебном дособии
«Алгебра и начала анализа» для IX—X клас-
сов *. Приводим содержание этой главы.
1 Сообщение о новом издании пособия редакция
предполагает поместить в одном из ближайших номе-
ров журнала.
всей числовой прямой,
принимающей значения
aq при рациональных
Р
х =~ и возрастаю-
щей (при а>1)
или убывающей (при
О < а< 1).
Эти наблюдения под-
сказывают, что спра-
ведливо такое предло-
жение:
Для любого положи-
тельного числа а суще-
ствует одна и только
одна функция, опре-
деленная на всей числовой прямой, возра-
стающая при а~> 1 (убывающая при а < 1)
р
и принимающая значения а. ’ при всех ра-
р
циональных значениях аргумента х=-^~.
Эту функцию и называют показательной
функцией (обозначают ах). Графики функ-
ций ах ддя Некоторых значений а изображены
на рис. 2.
Наметим схему доказательства сформули-
рованного предложения в случае а> 1. Так
как функция ах должна быть возрастающей,
то при любых рациональных гх и г2, таких,
что и < х < г2, значение ах удовлетворяет
неравенству
аг'<^ах <Zar‘‘- ,
Выбирая значения rt и г2, приближающиеся
к х, нетрудно заметить, что и соответствую-
щие значения аг\ и аг-> будут мало отли-
чаться. Можно доказать, что существует, и
притом только одно, число у, которое больше
всех аг >, соответствующих рациональным
Г| < х, и меньше всех аг\ соответствующих
рациональным г2 > х. Это числи у и есть ах.
Теперь остается доказать, что определенная
таким образом функция действительно обла-
дает требуемыми свойствами.
Перечислим основные свойства показатель-
ной функции:
1. Область определения функции ах—-мно-
жество R действительных чисел.
2. Область значений функции ах (при
а=^=1)—множество R+ всех положительных
чисел.
3. При а > 1 функция ах возрастает на всей
числовой прямой; при а < 1 функция ах убы-
вает на R (рис. 3).
4. При любых действительных значениях
* и у
ах-а* = ах+>, (аху = ах?.
Кроме этих, уже известных, свойств укажем
еще одно.
5. Показательная функция непрерывна в
каждой точке числовой прямой. (Это свойстве
доказывается в курсах математического ана-
лиза.)
64. Логарифмическая функции
3 п. 51 была сформулирована теорема об
обратной функции. Заметив, что показатель-
ная функция ах при а =/= 1 удовлетворяет ее
условиям, приходим к выводу, что функция
ах имеет обратную. Вы уже знаете, что эту
обратную функцию называют логарифмиче-
ской и обозначают lognx.
По определению, взаимно обратные функ-
ции f и g обладают таким свойством:
7UV0) —
Так как функции f(x) ~ах и g (х) = logax
взаимно обратны, то для любого х 2> 0 спра-
ве дливо равенство
aIoV=.A-. (1)
Полученное тождество означает, что лога-
рифм числа х по основанию а есть показатель
степени, в которую надо возвести число а, что-
бы получить х.
В частности, для любое о а > О
а = 10'2“
(напомним, что логарифм по основанию 10
обозначается 1g).
Отсюда, пользуясь свойством 4 показатель-
ной функции, получаем:
a/ = (101Bc)x = 10xlge,
т. е.
ах = 10*
С помощью этой формулы можно находить
значения функции ах при произвольном
а>0, имея таблицы значений функции 10х и
десятичных логаршрмов.
Значения функции loga находятся с по-
мощью таблицы десятичных логарифмов и
формулы
(2)
Для доказательства формулы (2) пролога-
рифмируем равенство (1) по основанию 10.
Получим: logax•tgc =Igx, откуда и следует
формула (2).
На рис. 4 изображены графики функций
logax при некоторых значениях а. Перечислим
основные свойства логарифмической функции
(они следуют из свойств показательной функ-
ции и теоремы об обратной функции).
1. Область определения логарифмической
функции — множество всех положительных
чисел: D(loga) = R+-
2. Область значений логарифмической функ-
ции — множество всех действительных чисел:
£(log„) = R.
3. На промежутке ]0; оо [ логарифмическая
функция возрастает при a> 1 и убывает при
0 < а < 1 (см. рис. 4).
4. Функция loga непрерывна на всей обла-
сти определения.
5. Для любых положительных чисел х и у
log„.xy = l°go-* + Rg6y>
log„~ = l<1g„x^log„ у;
для любого положительного числа х и любо-
го числа р
log„V = plog„x.
Упражнения
Вычислите:
1145. Iog28. 1146. log, -дт. 1147. Iog0 „ 0,04.
1148. Iog0 2 25. 1149. log3 5. 1150. log, 2. 1151. Iog3 З3,7.
1152. log,|J7 12,3.
Найдите область определения функции:
1153 Iog3 (jc — 5). 1154. Iog0 з (7 -x). 1155. log03(9 —
—x2). 1156. log,, (6 -}- x — x’).
1157. Докажите свойство 5 логарифмической функ-
ции.
Построите график функции:
1158. log, х. 1159. logs х. 1160. Iog0 Зх. пер. jogc
Решите уравнение
1162. 2* = 10. 1J63. (0,3)* = 7. 1164. 9*~0,7
1165. 10* = л. 1166. log3x = 2. 1167. Iog0,4 x = --’1.
1168. lgx=—2. 1169. log, л-= — Ц70. log, (3 —
— x) = 0. 1171. Iog0 8 (5—2x) = 1- 472. log] (2x —
— 4)= —2- 1173. 1g (x2 + 2x -| 3) = lg6. 1174. 3’—s*=
— 7. 1175. 0,21-jr = 3. 1176. 5V’=7. 1177. 3V’ 1 *-°>5 =
-» /3.
Решите неравенство:
1178. log, x > 2. 1179. log, x< 0,1. 1180. log0>7 x>
>5. 1181. log02x< —2. 1182.3* <5. 1183. 0,8* < II.
1184. 1,72jc-1>7. 1185. 0,32—* > 12. 1186. Iog2(x2-
— x~4) < 3. 1187. Ig(x{-1)+Igx< Ig2. 1188. Ig(x2-
— x-f-8)>I. 1189. lg(12—2x—x2) > 2. 1190. Ig2 x+
/IV 2
+ 2lgx>3. П91. 4*—2* <2. 1192. — -g>3.
Что больше:
1193. Iog3 5 или log, 4? 1194. Iog0 3 2 или log63?
1195. Iog2 10 или log, 30?
65. Производная показательной функции
В предыдущих пунктах графики показа-
тельной функции рисовались в виде гладких
линий без изломов, к которым в каждой точ-
ке можно провести касательную. Но сущест-
вование касательной к графику функции
в точке равносильно дифференцируемости ее
в этой точке. Поэтому естественно предполо-
жить, что показательная функция дифферен-
цируема во всех точках.
Нарисуем несколько графиков функций ах
для а = 2, 2,3; 3; 3,4 (рис. 5) и проведем
мысленно к ним касательные в точке с абс-
циссой 0. Углы наклона этих касательных
к оси абсцисс приближенно равны 35°, 40°, 48°
и 51° соответственно, т. е. с возрастанием а
угловой коэффициент касательной к графику
функции ах в точке Л1 (0; I) постепенно уве-
личивается от tg35° до tg5l°. Представляется
очевидным, что, увеличивая а от 2 до 3, мы
найдем такое значение а, при котором угло-
вой коэффициент соответствующей касатель-
1
+
1.
5?
(П
функция е-
ной равен 1, т. е. угол ее наклона равен 45°.
Точная формулировка этого предложения
(мы принимаем его без доказательства) та-
кова •
Существует такое число, большее 2 и мень-
шее 3 (это число обозначают буквой е), что
показательная функция у=ех
имеет производную, равную 1, т.
е&х — I
lim —т-----= 1.
Ал -о
Теорема 1. Показательная
дифференцируема в каждой точке и
(exY = ег. (2)
Доказательство. Найдем сначала при-
ращение функции у = ех в точке х0'
= ехо + — ех°=- ех°- е&х — ех° = еГа (е^х—1).
Пользуясь равенством (1), находим:
г Ду <1 ех°(г^х—1) _ |. е^х—1 ,
lim ~ = 11m —Ц-------- = ех« Нт — = ех°.
Lx-tO Ьх-М Д-* Дл^-О Д-*
По определению производной отсюда следует:
у' = ех.
Пример 1. Найдем производную функции
е5зс:
в точке . О
е.
(е5Х)' = 5е5Х.
Замечание. Доказано, что число е ирра-
ционально и поэтому записывается в виде бес-
конечной десятичной непериодической дроби.
С помощью электронных вычислительных ма-
шин найдено более двух тысяч десятичных
знаков числа е. Первые знаки этой дроби та-
ковы
' е = 2,71828... .
Функцию ех часто называют экспонентой и
। обозначают ехрх (читается: «эксп от икс»).
Так как число е положительно и отлично
от 1, можно рассматривать логарифм по ос-
нованию е.
Определение. Натуральным логариф-
мом (обозначается In) называется логарифм
по основанию е:
In X = log₽ X.
Поскольку функции ехр и In взаимно обрат-
ны, то для любого положительного числа а
еи'а = а.
I Поэтому любая показательная функция ах
В может- быть записана в виде:
ах =(е1па)х =ех1па,
I т. е.
ах = ех1па. (3)
I Выведем теперь формулу производной пока-
I зательной функции при произвольном значе-
I ниио>0.
I Теорема 2. При любом положительном а
функция ах дифференцируема в каждой
точке и
(а*)' — a* Ina. (4)
Доказательство. Формула (3) озна-
чает, что функцию ах можно представить в
виде сложной функции f(kx), где f(y) = ev,
k — Ina. По теореме о производной сложной
функции получаем, что функция ax(a>0)
дифференцируема при любом х и
(ах)' = ех 1п ° In а — ах 1 п а.
Пример 2. Найти производные функций
2Л и 5-4
По формуле (4) имеем:
* (2Л)' = 2Л In 2,
(5-3*)' = (—3)-5-3jc 1п5.
Пример 3. Исследовать функцию
у = хех на возрастание (убывание) и экстре-
мум.
Найдем производную этой функции:
у' = (хех)' = х'ех -|- х (ех)' =
= ех + хех = ег(1 +лХ
Так как ех > 0 для любого х, то знаку'
совпадает со знаком (1-|-х), Следовательно,
у' > 0 на промежутке ]—1; оо [, поэтому у
возрастает на промежутке [—1; оо [. На про-
межутке ] —оо; —1[ имеем у' < 0, поэтому у
убывает на промежутке ]—оо; —1]. В точке
х0 = —1 производная меняет знак с «—» на
«+», значит, х0=—1 является точкой мини-
мума.
Эскиз графика функции у — хех приведен
на рис. 6.
Упражнения
Найдите по таблице натуральных логарифмов:
11%. 1п 3. 1197. In 56. 1198. In 47. 1199. In I 7.
1200. In 0,73.
Найдите производную функции:
1201. <?’*. 1202. е~гх. 1203. ех\ 1204. 4>3~5л.
X X
1205. е 2 — 3<?91Jr . 1206. 4>5л 4- 4с~Г. 1207. х3'<?-*.
1208. 1209. Зьх—7-25-7*. 1210. 1,7~ + i.
-V 0 3—x
1211. 2*cosx. 1212. 7 1 tg3x. 1213. —=------.
У x-f-0,5
3Л
1214. 2J. + gj..
Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремум
функцию:
1215. хе~Ч 1216. хе51. 1217. х*-2-*. 1218. х’-0,7*.
Напишите уравнение касательной к графику функ-
ции f в точке с абсциссой Хо, если:
1219. f(x) = ех, х0 = 0 1220. f(x) = 3* х0 = I.
67. Производная логарифмической функции
Для вывода формулы производной логариф-
мической функции воспользуемся, теоремой
о производной обратной функции.
25
Теорема. Пусть функции fug взаимно
обратны, производная функции f в точке х0 су-
ществует и не равна нулю Тогдб. производная
функции g в точке у0 = f(х0) существует и
павна
Теорема имеет наглядный геометрический
смысл. Рассмотрим касательную MN к графи-
ку функции f в точке с абсциссой хп (рис. 7).
Если а — угол наклона касательной MN
к оси Ох, то tga == f'(х0). При симметрии от-
носительно прямой у —х график функции f
отобразится на график функции g (эти функ-
ции взаимно обратны), а касательная МИ—
на касательную K.L к графику функции g
в точке (у0-, х0).
Рассматривая треугольник KLO, находим,
что угол наклона касательной KL к оси абс-
цисс равен 90°—а. Следовательно,
g’ (Уо) = tg К LO _tg (90° - а) =
I 1
= Ctg 1 — ;-- = 777—г .
& *Е'1
Теорема может быть доказана с помощью
такой выкладки:
этой теоремы следует, что логарифмическая
функция дифференцируема в каждой точке
области определения, а производная функции
logQx в точке х0 равна -т-, где t0 есть произ-
водная показательной функции в точке logox0,
Подставляя значение logaxo в формулу произ-
водной показательной функции, находим-
’ (1°go Х°У = (alofc<r*°) In а '
Формула (1) доказана.
Так как Ine = 1, то в частном случае а = е
формула производной логарифмической функ-
ции имеет особенно простой вид:
(1пл)' = -^-. (2)
Пример 1. Найдем произволные функций:
«
1 9
(1„(5 + 2.г)УГ^п:?.2=^Л27;
1
2
(log7 2х)' = 2а..1п7 = j-jj-y- •
g'(у0) = И1Т1 %— = llm = — =
6 д^одЛ
Ах
1
"» & ' /,,х5'
Пример 2. Исследовать функцию у =
ч= х21пх на возрастание (убывание) и экстре-
мум и построить ее график.
Найдем производную этой функции:
у' = 2х In х + х2 • = 2х In х + х =
(Здесь нуждается в дополнительном обосно-
вании законность перехода от предела при
Ду-*0 к пределу при Дг->0.)
Выведем теперь формулу для производной
логарифмической функции
(10В«*)' = ЖГ- (П
Доказательство. Воспользуемся тео-
ремой о производной обратной функции. Так
как функции ах и logax взаимно обратны, из
= 2j-(lnx-f--i-) .
Так как х>0, то знак у' совпадает со зна-
ком (in х -f- . Отсюда следует, что />0
11 г
на промежутке —оо[и поэтому у на про-
J У е
межутке 00 [возрастает; на промежутке
10; —U[ производная у' отрицательна, поэтому у
У е
26
убывает на промежутке 10; -4=1. В точке -4=
у е J у е
фоизводная меняет знак с «—» на « + »—зна-
чит, это точка минимума.
Эскиз графика этой функции приведен на
pi с. 8.
формула (2) показывает, что для функции
у на промежутке ]0; оо[ любая первообраз-
ная может быть записана в виде
1
In х + С. (3)
Функция -у имеет первообразную и на про-
межутке ] — оо; 0 [ — это функция In (— х).
Действительно,
(1п(-х))' = ^
Так как |х|=х при х>0 и |х| =—х при
< 0, то мы доказали, что
первообразной для функции — является
функция 1п | х | на любом промежутке, не со-
держащем нуля.
Пример 3. Для функции 3 первообраз-
ные равны In | х -j- 31 + С (на любом промежут-
ке, не содержащем точку —3).
Для функции - общий вид первообраз-
ОЛ /
ной — In 15х 4- 71 -(- С ^на тюбом промежутке,
не содержащем точку-----.
Пример 4. Найдем площадь фигуры,
ограниченной линиями у = у = 0, х = 1,
л= 2 (рис. 9).
Поскольку 1пх есть первообразная для ~ ,
то площадь интересующей нас криволинейной
трапеции равна
S = 1п2 — Ini = 1п2.
• in х
1238. In 6х. 1239. х’ In х. 1240. ---—.
, J In (5 4- Зх) Л ,—
1241. - 1 -. 1242. 1gЗх. 1243. /xlgx.
Напишите уравнение касатетьной к графику функ-
ции / в точке с абсциссой х0, если:
1244. /(х) = 1пх, х0 «= 1. 1245. /(х) = 1пх, х0=3.
1246. /(х)= Igx, х„ = 1. 1247. /(х) = log3x, х0=9.
Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремум
функцию;
1248. xlnx. 1249. xln2x. 1250. -^-.1251.
Найдите первообразные для функции:
1252- 7ТТ- 1253- зЖ 1254- ТТЛ*
з
Вычислите интегралы:
1256. ^—-. 1257. ^U'_- (а > 1). Т258. (
1 i -1
о
0 dx
1259‘ J 0,5х-'-3 ‘
—4
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
1260. у=0, y = -i-, х= 1, х = 3.
1261. у=0, y = -j-, х = 2, х = 5.
1262. у = 0, у=-^-, х = 4, х=Ю..
1263. у = 0, у = ~, х = 0,3, х=1.
С. м. ЧУКАНЦОВ
(г. Калуга)
УЧИТЬ САМОКОНТРОЛЮ
Упражнения
Найдите производную функции:
1232; k,g2x. 1233. Iog,.3x 1234. log, (2 4. Зх).
1235._ logs (9 + 5х). 1236. Iog27x. 1237. in(l-|-3x).
Рис. 9
Жизнь ставит такие условия, при которых
молодой человек и после окончания школы
должен непрерывно пополнять свои знания.
Вот почему в постановлении ЦК КПСС и Со-
вета Министров СССР «О дальнейшем совер-
шенствовании обучения, воспитания учащихся
общеобразовательных школ и подготовки их
к труду» обращено внимание на то, чтобы
каждый урок в школе способствовал разви-
тию познавательных интересов учащихся и
приобретению ими навыков самостоятельного
пополнения знаний.
При самостоятельном пополнении знаний
ученик сам должен планировать свою работу,
систематически, без напоминания выполнять
27
ее и контролировать качество приобретаемых
знаний и умений. Следова гельно, оканчиваю-
щий школу молодой человек должен обладать
не только знаниями основ наук и умением
применять их на практике, но и навыком са-
моконтроля, как одним из обязательных ком-
понентов процесса самостоятельного пополне-
ния знаний, да и вообще повседневного конт-
роля качества результатов своего труда.
Чтобы успешно осуществлять самоконтроль,
нужны определенные умения, навыки и посто-
янная внимательность в работе. Но сами по
себе эти качества у ученика не рождаются,
их надо воспитывать. Самоконтролю надо
учить учащихся так же, как мы учим их, на-
пример, решать задачи или доказывать теоре-
мы. Важно также, чтобы учащиеся видели и
собственное положительное отношение учите-
ля к самоконтролю.
Новые школьные программы позволяют
учителю создавать на уроках проблемные си-
туации и сочетать это с проверкой выдвину-
тых идей, развивать у учащихся способность
к мотивации, воспитывать навыки самоконт-
роля. Однако эти возможности, как показы-
вают наблюдения и анализ контрольных и эк-
заменационных работ учащихся школ г. Калу-
ги и области, в практической работе реали-
зуются далеко нс в полной мере.
В каждой школе, в которой нам предста-
вилась возможность проанализировать конт-
рольные или экзаменационные работы по ма-
тематике, наряду с прекрасно выполненными
работами встречались и такие, в которых ответ
на вопрос той или иной задачи не удовлетво-
рял ее условию. Проверкой легко было уста-
новить это несоответствие, а затем обнару-
жить ошибку и уточнить решение. Однако не-
обходимый в таких случаях самоконтроль осу-
ществлялся учащимися далеко не всегда или
осуществлялся формально, а иногда и непра-
вильно. Не имея соответствующих умений и
навыков самоконтроля, учащиеся часто не
могут самостоятельно отличить правильное
решение от неправильного и ожидают оценки
качества работы только от учителя.
Приведем примеры. В IV классе на уроках
математики уделяется определенное внимание
проверке ответа при решении уравнений. Это
дает возможность каждому ученику самостоя-
тельно убедиться в правильности полученного
им ответа или обнаружить ошибку (описку
или иной недосмотр) и исправить решение.
В некоторых школах учащиеся, как прави-
ло, так и поступают. Например, при выполне-
нии контрольной работы, проведенной Инсти-
тутом усовершенствования учителей в школе
№ 5 г. Калуги, 95% учащихся, четвертых кл ас-
28
I
сов при решении уравнения 2,3t/-}-31 -}-2,5у=6 i
проверили правильность полученного ответа i
Не потому ли 96% учащихся этой школы ml
лучили правильный ответ? Наоборот, в одно i
из школ Дзержинского района Калужской оС <
ласти, решая то же уравнение, никто из уча!
щихся такой проверки ие выполнил. В это.,
школе каждый третий ученик, выполнявши!
контрольную работу, не заметил, что полученЯ
ный им ответ не удовлетворяет данному урав-
нению! Подобные случаи не единичны, они, а
сожалению, встречаются и в школах ряда дру )
гих районов.
С .решением текстовой задачи подавляющи
большинство учащихся четвертых классоь
справились успешно, хотя проверка правичь-В
пости полученного ответа обычно не проводи-L
лась. В результате в отдельных работах оста-
лись незамеченными даже явные описки, на-|
пример: 24—13=21 (км/ч).
Проверяя тетради или контрольные работы!
учащихся IV и V классов, учитель, как пса-!
вило, зачеркивает ошибку, допущенную уче-
ником, и надписывает вверху нужную цифру!
или верный результат математического дей-|
ствия. Вряд ли это всегда4целесообразно Из-|
вестно, что неумеренная помощь ученику при !
водит к тому, что при малейших затрудпени-1
ях он стремится искать чужой помощи (у учп-1
теля, соседа по классу, родителей или найти I
готовый ответ в книге). Но жизнь помимо зна-В
ний требует и личной инициативы, догадки,
привычки не бояться затруднений, умения крп-В
тически оценивать свои затруднения и неда-1
статки, контролировать результаты своего тру-1
да. Вот почему часто бывает полезно вместзВ
исправления ошибки записать на полях тетра-И
ди: «Проверьте ответ». Такая запись обязыь i-1
ет ученика к действию. А найти ошибку в[
своем решении — необходимая часть всякой I
творческой работы. Работа ученика иадошиб-1
ками в таком случае состоит в более глубо-1
ком осмысливании условия задачи, повторном
ее решении и проверке правильности вновь I
полученного'ответа (а не в механическом пе-I
реписывании исправленного учителем реше- I
ния).
Полезно иногда предложить учащимся са-1
мим оценить свою работу. В таких случаях, I
как показывает наш опыт работы, учащиеся
проявляют особое внимание к проверке пра-
вильности полученного ответа и всего реше-
ния. При проверке работы учитель или под-
тверждает правильность оценки ученика, или
же тактично разъясняет, почему нельзя со-
гласиться с его оценкой.
Многие учащиеся VII и VIII классов полу-
чили неправильный ответ при решении нера-
венства. Проверкой легко было обнаружить
ошибочность ответа, а затем и уточнить реше-1
ние, однако никто из них этого не сделал.
Правильный ответ при решении неравенст-
ва с одной переменной должен удовлетворять
следующим трем условиям: 1) замена пере-
менной в данном неравенстве граничными зна-
чениями, входящими в ответ, приводит к тому,
что левая часть неравенства оказывается рав-
ной правой части или же какие то выражения
теряют смысл; 2) замена переменной числом,
наугад выбранным внутри множества, состав- .
ляющего ответ, обращает данное неравенство
в верное числовое неравенство; 3) замена пе-
ременной числом, произвольно выбранным за
пределами полученного множества, приводит
к ложному числовому неравенству.
Покажем это на конкретном примере. При
решении неравенства (3—2х)(5+Зх)<0 в не-
которых школах каждый четвертый восьми-
классник получил неправильный ответ. Неред-
ко встречался ответ: j —1—; 1,5^. Проявив
элементарную наблюдательность, легко обна-
ружить ошибку: в полученное множество вхо-
дит число нуль, однако при х—О неравенство
оказывается ложным. П все же проверим от-
вет по вышеприведенной схеме; это поможет
выяснить причину ошибки.
2
1. При х = — 1 -у и х = 1,5 левая часть не-
равенства оказывается равной его правой ча-
сти Следовательно, граничные значения опре-
делены правильно.
2. При —1-|-<х-<1,5 (например, при
х=0 или х=±1) данное неравенство не об-
ращается в верное числовое неравенство, сле-
довательно, в решении допущена ошибка.
3. Замена переменной числом, произвольно
выбранным за пределами полученного множе-
ствам <— 1-у (например, х=—4) и х>1,5
(например, х=6), не приводит к ложному
числовому неравенству (наоборт, эти значе-
ния переменной удовлетворяют данному нера-
венству). Это подсказывает, что при решении
где-то неправильно поставлен знак неравен-
I ства.
Теперь легко обнаружить и исправить ошиб-
I ку. Она допущена при решении неравенств:
I 3—2х<0 и 3—2х>0 (ошибка, о которой на-
I стойчиво предупреждают авторы пособия «Ал-
I гебра в VII классе», 1978, с. 77). Уточнив ре-
I шейпе, получаем ответ:
] —сю; — 1-у| (J 11,5; +*сю[.
Конечно, обнаружить неполноту решения
иногда и при такой проверке не удается. На-
пример, некоторые учащиеся при решении то-
го же неравенства получили ответ: | 1,5, 4-оо[.
Очи, как и другие учащиеся, не проверили
правильность своего ответа, но и проверив,
могли не обнаружить его неполноту. В самом
деле, их ответ вполне удовчетворяет первому
и второму условиям правильного ответа, а при
неудачном подборе значения переменной (на-
пример, при х=1) —и третьему условию. Но
2
если взягь значение переменной х<— 1-я-
О
(например, х=—2), то обнаружим, чго в по-
лученное в ответе множество входят не все
значения переменной, удовлетворяющие дан-
ному неравенству. Уже можно предположить,
что в работах этих учащихся рассмотрена
только одна система линейных неравенств
(3—2х<0, 5+Зх>0), но не рассмотрена си-
стема неравенств противоположного смысла
(ошибка, являющаяся следствием недостаточ-
ного знания соответствующей теории).
Значит ли это, что проверка ответа при ре-
шении неравенства бесполезна? Нет, не зна-
чит. Ведь и при решении уравнений проверкой
не всегда обнаруживается неполнота ответа,
однако это не дает основания отрицать полез-
ность проверки ответа, полученного при реше-
нии уравнения.
В некоторых школах было предложено не-
2__________5д-
равенство g- 0- Отдельные учащиеся
получили ответ ]-g~; + °°[' Авторы этих ра-
бот не обратили внимания на тот факт, что
при х=2 выражение, стоящее в знаменателе
дроби, обращается в нуль.
При решении уравнения
3x4-1 х-Ь2 и
в некоторых школах каждый пятый семикласс-
ник получил ответ:
х = у (вместо х ------.
Истинность высказывания (Зх-р 1) (х-(-2) #=0
1 1
при х — у или х —-------—проверил каждый
учащийся, а вот убедиться в том, что дейст-
вительно полученное значение переменной яв-
ляется корнем данного уравнения, семикласс-
ники, как правило, не догадывались. Не пред-
полагают ли авторы этих работ, что проверка
условия неравенства нулю знаменателя дроби
заменяет собой проверку правильности полу-
ченного ответа? Но это1 серьезное заблужде-
ние. Кстати, на это уже обращалось внимание
29
в статье В. Г. Болтянского «Преодолеть за-
блуждения, связанные с ОДЗ» (Математика
в школе, 1975, № 5, с. 10—1G).
В одном из вариантов экзаменационной ра-
боты для восьмиклассников была предложена
за чача:
«Один мотоциклист прошел 60 км с некото-
рой скоростью, второй прошел 50 км со скоро-
стью на 10 км/ч большей, чем первый. Пер-
вый мотоциклист был в пути на 30 мин боль-
ше второго. 11айти скорость первого мотоци-
клиста».
В некоторых школах примерно каждый чет-
вертый ученик получил неправильный ответ
на вопрос задачи. Сшибки допускались как в
составлении уравнения, так и в преобразова-
ниях, а иногда и в решении квадратного урав-
нения. (Причем и здесь нередко встречались
ошибки, являющиеся следствием невниматель-
ности, небрежности в записях и явные описки,
например: 0,5-10х=50х.) Полученные ответы,
как правило, не проверялись. В результате
ошибки не замечались даже в том случае, ко-
гда ответ был весьма далек от истинного (на-
пример, 4, 13, 14, 30, 50 и даже 479 км/ч).
При этом ответ, не удовлетворяющий усло-
вию задачи, принимался за правильный на том
основании, что полученное значение перемен-
ной удовлетворяло требованию ОДЗ уравне-
ния, составленного по условию задачи (на-
пример: «Высказывание 2 4(4-|-10)#=0 истин-
но. Ответ: скорость первого мотоциклиста рав-
на 4 км/ч»). Такая запись указывает на явное
непонимание этими учащимися, зачем прове-
ряется условие ОДЗ переменной уравнения, а
также на недооценку проверки ответа по смыс-
лу задачи (см. статью В. Г. Болтянского «Нуж-
на ли проверка при решении текстовых задач
на составление уравнений?». — Математика в
школе, 1971, № 3, с. 45).
В условии задачи отражена реализованная
ситуация, и один из корней уравнения, состав-
ленного по ее условию, как отрицательный, не
может являться ответом на вопрос задачи, сле-
довательно, проверка полученного ответа не
является логически необходимой (см. статью
Г. В. Дорофеева «Проверка решения тексто-
вых задач».— Математика в школе, 1974, № 5.
с. 45). Поэтому было бы неправильно требо-
вать выполнения проверки ответа от учащих-
ся, уверенных в своих знаниях и умениях.
Однако, учитывая ответственность момента
(экзаменационная работа за 8 лет учебы!),
можно сказать, что здесь имеет место как раз
тот случай, когда полезно поступить по пос-
ловице к<Семь раз отмерь, один — отрежь».
Особенно это относится к тем учащимся, ко-
ЗЭ
торые в течение учебного года не всегда от-
лично выполняли контрольные или самостоя-
тельные работы. Вот почему’ мы не можем по-
нять тех, правда немногих учителей, которые
перечеркивали проверки правильности полу-
ченного ответа при решении.
Уделяя должное внимание аналитическим
способам проверки результатов математичес-
ких вычислений, не следует пренебоегать й
проверкой ответа на основе здравого смысла.
Как могли некоторые учащиеся IV класса не
заметить (при решении уравнения 4.8у—36),
что 36 : 4 8 не может равняться 75? Почему
одна из восьмиклассниц, решая вышеприве-
денную задачу на движение, не обратила вни-
мания на тот факт, что вычисленная ею ско-
рость мотоциклиста (479 км/ч) в несколько
раз превышает скорость курьерского поезда3
Один ученик, решая ту же задачу, получил
ответ: «4 км/ч». Но ведь это скорость нетороп-
ливого пешехода! Стоит ли при такой скоро-
сти пользоваться мотоциклом, отправляясь в
60-километровый путь?
Одним из существенных средств предупреж-
дения вычислительных и других ошибок уча-
щихся должно быть воспитание у них внима-
тельности. Важно, чтобы каждый ученик шко-
лы понимал, что внимательность и самоконт-
роль — это не только учеба без двоек, но и
необходимое условие работы без брака в его
будущей производственной Деятельности. И по-
мочь понять это учащимся должен не только
учитель математики, но и пионерская и ком-
сомольская организации, родители и вся со-
ветская общественность.
Большое значение в воспитании указанных
качеств у учащихся имеет практическое уча-
стие школьников в общественно полезном тру-
де, работа в школьных мастерских, ученичес-
ких производственных бригадах, летних лаге-
рях труда и отдыха и других трудовых объе-
динениях, на что обращается внимание в при-
веденном ранее постановлении ЦК КПСС и
Совета Министров СССР о школе.
Как показывает наш опыт работы, очень
помогает в деле воспитания внимательности,
самоконтроля и вообще ответственного отно-
шения к учению решение учащимися задач с
практическим или производственным содер-
жанием, выполнение лабораторных и практи-
ческих работ по математике, а также измери-
тельных работ на местности. Вот почему сле-
дует приветствовать включение разделов
«Практические занятия» и «Межпредметные
связи» к каждой теме проекта программы по
математике для восьмилетней и средней шко-
лы, предложенного МП СССР (см.: Матема-
тика в школе, 1978, № 4).
ГР-
я-
o-
je
У-
4M
JC-
II
la.
не
5).
му
зе-
IH-
<o-
.ко
[a?
ил
зп-
эо-
> в
ж-
ча-
ла-
ко-
нт-
> и
его
по-
эКО
эм-
со-
[ЫХ
ча-
ру-
tec-
ire-
ъе-
ри-
L и
ень
:ти,
но-
ч с
iep-
:ти-
ри-
:ле-
лов
ные
по
IKO-
ма-
V Всесоюзные
педагогические
. чтения
ВОСПИТАНИЕ АКТИВНОЙ
ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
УЧАЩИХСЯ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ
Перед учителями школ поставлена важней-
шая задача — осуществлять комплексный под-
ход к воспитанию школьников. Но эту задачу
невозможно решать без воспитания активной
познавательной деятельности учащихся.
Для достижения поставленной цели необхо-
димо организовать обучение таким образом,
чтобы оно максимально обеспечивало умст-
венное развитие ученика. Кем бы ни стали
наши ученики после окончания школы, им
всегда нужны будут знания, сообразитель-
ность, наблюдательность, хорошая память,
острый глазомер, фантазия, пространственное
воображение, внимательность, умение логиче-
ски мыслить, анализировать, сопоставлять и
обобщать факты. Математический стиль мыш-
ления необходим человеку любой профессии.
Бывает так, что учитель, готовясь к уроку,
задумывается лишь над тем, как лучше рас-
крыть тему. С точки зрения комплексного под-
хода к воспитанию этого недостаточно: необ-
ходимо продумать, как максимально исполь-
। зовать воспитательные возможности урока,
как сделать, чтобы урок способствовал разви-
тию интеллектуальной, эмоциональной, воле-
вой стороны личности ученика, научить актив-
। но, самостоятельно добывать знания, разбу-
рить его мысль и развить интерес к предмету.
В течение ряда лет в процессе работы мы
I отбирали и совершенствовали те методы, ко-
. орые способствуют:
1) воспитанию сознательного отношения к
I труду, воспитанию привычки и потребности
•.иться;
2) привитию устойчивого интереса к изуче-
тис математики;
I 3) приобретению способности преодолевать
I трудности^
4) привитию умения самостоятельно добы-
вать знания.
Научить детей творчески трубиться и мыс-
лить— основная задача школы; учитель дол-
жен уметь создавать творческий, деловой на-
строй на уроке.
Требованиям современного процесса обуче-
ния и воспитания отвечает умелое применение
на уроке наглядности и технических средств.
Каждое средство обучения имеет свои дидак-
тические функции, свои возможности, свои
педагогические границы использования — от-
сюда следует и комплексное использование
всех видов наглядности. Если слово учителя
подкреплено хорошо продуманным-зритель-
ным образом, если на помощь приходят раз-
нообразные средства обучения, то урок стано-
вится живым, интересным для каждого уче-
ника.
Учитель должен обращать особое внимание
на методическую сторону применения средств
наглядности. Надо искать все новые и новые
возможности использования элементов на-
глядности, в частности необходимо иметь на-
боры подвижных моделей, подготовленных в
соответствии с программой.
Изготовление моделей, в свою очередь, спо-
собствует более глубокому усвоению матема-
тики; ведь прежде чем сделать модель (при-
бор), ученику приходится продумать техноло-
гию ее изготовления. При этом учитель побуж-
дает учащихся находить идею (иногда вычи-
тать ее в учебнике или специальной литера-
туре), а затем воплощать ее в конкретное де-
ло— это настоящее творчестве! Изготовление
таких моделей трудности не представляет, с
желанием работают все ученики.
При моделировании стараемся воспитывать
у ученика ценные качества — привычку тру-
диться, презрение к плохо исполняемому де-
лу и работе с прохладцей, учим самостоятель-
но думать, испытывать радость от доведенно-
го до конца дела, искать новые, лучшие воз-
можности. В кабинете математики нашей
школы хранятся подвижные модели по всем
основным темам планиметрии, изготовленные
руками учащихся из картона и жести на па-
нелях размером 60X60 см (некоторые из них
приведены на рис. 1—4, всего их изготовлено
57).
Динамичность наглядных пособий позволя-
ет проследить процессы изменения фигур, пре-
образование одних фигур в другие; рассмот-
реть различные варианты доказательств тео-
рем. Однако внимание ученика обязательно
надо обратить на то, что логические доказа-
тельства нельзя подменять иллю< грацией рас-
сматриваемых положении на моделях.
3-
При подготовке к уроку с использованием
модели следует продумать, в какой именно
момент урока лучше демонстрировать модель
(до изучения нового материала или после),
что надо сделать прежде — показать ' модель
или выполнить рисунок. Необходимо при этом
помнить, что выставленная без надлежащего
объяснения модель мало дает пользы учени-
кам. С большой пользой для дела можно ис-
пользовать модели и при постановке пробле-
мы, при закреплении рассматриваемых вопро-
сов, при повторении. Так, например, модели
«Взаимное расположение окружностей»
(рис. 1, передвигая по проволоке кольцо, мож-
но продемонстрировать все случаи взаимного
расположения окружностей) и «Перпендику-
ляр к отрезку, проведенный через его середи-
ну» (рис. 2, вставляя последовательно болтик
в различные отверстия на панели и натягивая
резинку, показываем свойство точки, лежащей
на серединном перпендикуляре к отрезку)
помогают изучить новый материал. Модель
«Площадь трапеции» (рис. 3, поворот ЛВСЕ)
демонстрируется после самостоятельного изу-
чения теоремы по учебнику (другое доказа-
тельство). Модель «Поворот — результат вра-
щения плоскости» (рис. 4) окажет помощь
при закреплении материала.
Рис. 3
Рис. 4
Еще одним из средств воспитания познава-
тельной активности учащихся является ис-
пользование таблиц, которые применяются на
различных этапах урока и выполняют раз-
личные функции. ,
Так, справочные таблицы воспитывают
устойчивый интерес к предмету; на них поме-
щается материал, подлежащий отработке и
запоминанию. Таблицы этого вида могут быть
посвящены, например, таким вопросам: опре-
делению предела функции, основным форму-
лам векторного метода, векторному методу
решения задач.
Справочные таблицы обычно висят в клас-
се продолжительное время. Ученик в любой
момент может обратиться к ним и без участия
учителя найти ответ на возникший у него
вопрос.
Рабочие таблицы предназначены для оп,>
са учащихся, для создания проблемной ситуа-
ции; их применение дает возможность выпот-
нять большое количество упражнений, эконо-
мит- время урока, время учителя при подго-
товке к уроку, воспитывает внимание ученика,
что позволяет учителю управлять его познава-
тельной деятельностью.
Специальные таблицы-задания формируют
творческий подход к решению учебных задач
Такие таблицы заполняют учащиеся. Их, на-
пример, хорошо использовать на первых уро-
ках стереометрии для развития пространст-
венного воображения (теневые демонстрации),
при построении сечений многогранников.
Многолетний опыт работы показывает, чт
учащихся больше всего привлекают те виды
познавательной деятельности, которые прони-
заны творческими элементами. Воспитывать
такой подход к изучению предмета помога!
творческие работы учащихся по определенной
теме. По любой теме можно подобрать ш
ресные дополнительные задачи, которые соот-
ветствуют школьному курсу, указать литера-
туру, имеющуюся в кабинете. Наиболее инте-
ресные решения обсуждаются, и ученику д'
ется право оформить задачу как творческую
32
работу с указанием использованной литера-
туры. Для этой цели в кабинете имеется пап-
ка «Творческие работы» (работы оформляют-
ся на листах бумаги, предназначенных для
уроков черчения).
Воспитывать познавательную активность,
творческий подход помогают нам и различные
способы доказательства теорем, различные
варианты решения задач.
Так, например, при изучении геометрии в
IX классе мы часто встречаемся со свойством
медиан треугольника, которое рассматривали
в VI классе в виде задачи. По мере того как
идет пополнение знаний учащихся, мы пред-
лагаем доказательство этого свойства и в VII,
и в VIII. и в IX классах (доказательство — в
творческих работах).
Еще один пример: в VII классе задачу
«Доказать, что каждая вершина ромба равно-
удалена от его сторон» учащиеся решили тре-
мя способами; решение с использованием
свойства биссектрисы угла было помещено в
папку для творческих работ.
Творческие качества ученика развивает и
самостоятельное составление задач. Приведем
две из таких задач (на доказательство и на
построение)
1. Доказать, что величина угла между' вы-
сотой и медианой прямоугольного треугольни-
ка, проведенными из вершины прямого угла,
равна разности величии его острых углов.
2. По длине высоты, проведенной из верши-
ны прямого угла, и разности величин острых
углов построить Прямоу! ольный треугольник.
Учить учеников активности, воспитывать в
них эту активность, учить отстаивать свои по-
зиции, помогает нам решение нестандартных
задач и нестандартное решение стандартных
задач. Большой честью считается для учени-
ков, если их фамилии попадают в папку «Они
хорошо знают математику», которая пополня-
ется, изменяется в конце каждой четверти.
Это как бы моральное поощрение учащихся.
Формированию научного мировоззрения по-
могает нам введение в преподавание элемен-
тов историзма, библиографических справок.
Как часто в школе мы преподносим матема-
тику как науку уже готовую и безымянную,
перед глазами учеников мелькают теоремы,
формулы, законы, а имена их авторов, история
открытий не упоминаются. Следует чаще зна-
комит^» учеников с фактами из истории науки,
с жизнью и деятельностью выдающихся мате-
матиков. С этой целью в нашей школе ведет-
ся следующая работа:
1. «Исторический материал на уроках мате-
матики»— такхю папку завели кружковцы
седьмых классов.
2. Совет кабинета оформляет планшет «Наш
математический календарь»; материал для
него берут из журналов «Математика в шко-
ле», «Квант» и из другой литературы. Кален-
дарь знакомит учащихся с историческими
фактами, с жизнью и деятельностью выдаю-
щихся математиков.
3. Проведение пятиминуток об исторических
сведениях в начале или в конце урока.
4. Решение исторических задач (с нагляд-
ной демонстрацией, например, о квадратуре
круга, об удвоении куба, о трисекции угла,
«золотое сечение»).
Сама природа математики предоставляет
богатые возможности для воспитания у уча-
щихся чувства красоты в широком значении
этого слова: это форма, сочетание размеров,
пропорциональность, гармония, симметрич-
ность, периодичность и др. Математические
формулы — это красота мысли и сила разума.
Мы учим детей любить красоту звуков, кра-
соту красок; задача математики — научить их
любить и красоту человеческой мысли. Когда
я вижу умное решение, свое или чужое — го-
ворю: «Красиво» (слова ученицы).
Выработке материалистического мировоз-
зрения помогают методы обучения с примене-
нием диафильмов и диапозитивов. Динамика
сменяющихся кадров порождает определен-
ную подвижность эмоций, усиливает работу
воображения. Однако необходимо помнить,
что качество восприятия зависит от предвари
тельной беседы, имеющей целью сосредото-
чить внимание детей.
Большую пользу в воспитании внимания
учащихся приносит применение магнитофона;
использование его на уроке дисциплинирует
учеников, активизирует их работу. Мы прово-
дим устную работу с помощью магнитофона;
для повышения графической культуры полезно
проводить графические диктанты (чертеж про-
ецируется на экран, а условие «читает» маг-
нитофон) .
Воспитывать познавательную деятельность
школьника можно только развивая его инте-
рес к делу; неоценима в этом отношении де-
монстрация озвученного фильма (работает
проектор и синхронно с ним магнитофон).
Обеспечить активную работу на уроке всех
учащихся помогает нам и применение кино,
так как кино живо будит непроизвольное вни-
мание.
Единство обучения и воспитания на уроке
нашло свое применение и развитие во вне-
классной работе. Активизируют познаватель-
ную деятельность вечера, кружки, экскурсии
математические газеты и другие формы вне-
классной работы. С помощью хорошо пропу-
2 Математика в школе, М 6
S3
манной системы внеклассных мероприятий
можно значительно развить познавательную
деятельность учащихся. В условиях кабинета
интересно проходят игры, здесь необходима
фантазия членов совета кабинета. Надолго
запомнятся ученикам игры: «Морская эскад-
ра», «Космическая математическая республи-
ка», «Математический экспресс», математиче-
ские эстафеты по темам, БУМ (бой увлечен-
ных математиков) и др
Игра — это методический прием учителя,
она активизирует мыслительную деятельность.
Но следует помнить, что любая игра должна
отвечать конкретной цели, направленной на
усвоение или повторение программного мате-
риала. Игра на уроке и во внеклассной рабо-
те— это занятие не только младших школь-
ников, потребность в игре остается и в стар-
ших классах, но меняется ее характер.
Несколько слов о внеклассном чтении. При-
вить вкус и навыки к чтению математической
литературы — задача трудная. На занятиях
кружка мы иногда устраиваем коллективные
чтения математических статей, книг; вырабо-
таны советы для самостоятельного чтения.
Внеклассная работа значительно расширяет
кругозор не только ученика, но и учителя.
В статье мы рассказали о некоторых мето-
дах воспитания активной познавательной дея-
тельности учащихся, способствующих их умст-
венному, трудовому, нравственному и эстети-
ческому развитию.
Вопрос о воспитании познавательного инте-
реса— это вопрос о воспитании личности че-
ловека, его духовного мира. Вся наша воспи-
тательная работа — это борьба за умы и серд-
ца молодежи.
Для каждого учителя должно стать аксио-
мой, что никакими сверхсовременными мето-
дами нельзя достичь цели, если не научить
ученика работать настойчиво и увлеченно.
Обучая математике, мало учить школьника
решать задачи математические, необходимо
больше уделять внимания решению нравст-
венных задач. ,
М. к. ТЯТЮШКИНА,
учитель школы № 2 г. Молодечно БССР
ВОСПИТАТЕЛЬНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ
ПРОБЛЕМН ОГО ОБУЧЕНИЯ
Одним из эффективных средств усиления
воспитательной функции урока является проб-
лемное обучение. Во-первых, оно способствует
формированию у учащихся марксистско-ле-
нинского мировоззрения, так'т ак творческое
мышление, самостоятельное решение пробле-
мы— одно из основных условий превращения
знаний в убеждения. В применении к матема-
тике проблемное обучение выступает как
средство формирования у учащихся убежден-
ности в реальном происхождении математиче-
ских понятий и важности математических ме-
тодов решения практических задач. Во-вто-
рых, развивающая направленность проблем-
ного обучения математике в школе связана с
особым подходом к организации мыслитель-
ной деятельности учащихся, развитию их по-
знавательной активности, способностей, само-
стоятельности и других положит ;льных ка-
честв личности учащихся.
Проблемное обучение имеет и особый мето-
. дический аспект, который заключается в при-
витии учащимся глубокого интереса к изучае-
мому предмету, в выработке у них умения эф-
фективно использовать время на уроке и вне
его, творчески подходить к изучению мате-
риала.
В данной статье покажем, как осуществля-
лось проблемное обучение в нашей школе.
Отметим, что проблемное обучение, в пер-
вую очередь, включает в себя создание проб-
лемной ситуации. Каким бы способом ни ста-
вилась проблема, всегда преследовалась опре-
деленная практическая цель. Остановимся на
четь [рек видах постановки проблемы.
I. Введение в новую тему.
В VII классе при изучении п. 30 «Понятие
арифметического квадратного корня» учащим-
ся было предложено указать множество це-
лых или дробных рациональных чисел, квад-
рат которых: 9; —9; 0; 25; 4; 2.
Последний случай вызвал затруднения.
Возник вопрос: существу ет ли вообще число,
квадрат которого равен 2?
Под руководством учитедя была доказана
теорема:
«Не существует рационального числа,
квадрат которого равен 2». (1)
После этого учащиеся начертили квадрат,
длина стороны которого равна 1 единице дли-
ны, т. е. с площадью 1 кв. ед. Продолжив две
стороны квадрата на 1 лии. ед. (ри". 1,о) и
выполнив дополнительные построения, они по-
лучили фигуру ABCD (риг 1,6). которая яв-
ляется квадратом с площадью 2 кв. ед. (что
легко доказывается). Если длина стороны
такого квадрата х, то площадь его г2, е
х2—2. Значит.
«существует число, квадрат которого
равен 2» (2)
34

s-u$.ea
$
Рис. I
Проблема налицо. Сравнивая выводы (1) и
(2), учащиеся после некоторого замешатель-
ства приходят к выводу, что, наверное, суще-
ствует такое число, квадрат которого равен
2, но оно не является рациональным. Далее
учитель рассказал им об иррациональных чис-
лах (очень кратко, согласно требованиям про-
граммы), и затем было продолжено изучение
материала с использованием рис. 42 учебника
«Алгебра 7».
II. Решение поставленной задачи эффек-
тивным способом.
Например, семиклассникам можно предло-
жить упростить выражение
С
при этом преднамеренно не называть тот спо-
соб. который в данном случае предпочтитель-
нее.
Учащиеся выполнили упражнение так:
а — Ь „ а — b 4- Зс
—— +3 ------—
с____________с______
а + b J а b — с
с с
_ (я — 6 + Зс) с а — Ь 4- Зс
с(а + b — с) a -f- b — с '
После этого им было предложено найти более
рациональный способ решения. В результате
раздумий они пришли к выводу, что данное
выражение можно рассматривать как дробь
вида ; но чтобы упрощать дроби, нужно
знать их свойства.
Некоторые учащиеся сразу вспомнили ос-
новное свойство дроби и, применив его в
конкретной ситуации и убедившись, что вы-
полнение данного упражнения при этом упро-
щается, разъяснили его остальным ученикам
класса:
с ~ +3)с _ - » + Зс
(а + Ь \ a -t-b —с *
Затем упражнения такого типа выполнялись
уже устно.
Ш. Установление связи известного учебного
материала с новым.
При введении понятия первообразной и
изучении ее основного свойства учащимся бы-
ло предпожено найти производные функций:
а) У = б) 3’ = Т'“5; в) У~~^--------7'
В результате выполнения этого задания
оказалось, что для всех случаев tf—x2. Далее
была поставлена проблема:
1) Указать функцию у, для которой j/'=x2.
(Ответ оказался многозначным, таких функ-
ций бесконечное множество.)
2) Как удобнее записать ответ? (Функции,
производная которых равна х2, имеют вид
у — ~ + С, где С = const.)
После выяснения этих вопросов разреша-
лась проблема: если F(x)— первообразная
для f(x) на некотором промежутке, то всегда
ли Г(х)4-С — тоже первообразная для f(x)
на том же промежутке?
Такая постановка проблемы помогла увя-
зать дифференцирование с новой операцией —
интегрированием.
IV. Выделение отдельных сторон изучаемо-
го вопроса для более глубокого их осмысле-
ния и запоминания сделанных выводов.
Эта цель достигается созданием проблем-
ной ситуации при закреплении материала.
Так, говоря о размерностях, о необходимости
следить за тем, чтобы все наименования при
решении задач с физическим содержанием
брались в одной системе (например, в системе
СИ), учащимся предлагалось найти объем
фигуры, полученной от вращения криволиней-
ной трапеции, ограниченной параболой у=х2,
осью абсцисс и прямой х—а (рис. 2,а). Реше-
ние задачи приводило к выражению
а а а
Ж® тс
у dx - тс \ m —--Е~а5.
J 0 0
0 0 о
Получилось, что объем выражен в единицах
пятой степени, а не в кубических единицах!
Как устранить явное противоречие? Рассмот-
рев рис. 2,6, учащиеся догадались, что имеет-
Рис. 2
2*
35
ся а? линейный единиц, как и а линейных еди-
ниц, но а5=а2-а2-а, поэтому получается а5
кубических единиц. После этого учащимся
сообщалось, что при интегрировании и диф-
ференцировании за наименованиями, размер-
ностью не следят, и вместе с ними выяснялось,
почему это возможно.
Постановка проблемной ситуации не толь-
ко преследует различные пели в каждом из
конкретных случаев, но и в каждом из них
осуществляется различными приемами, разра-
ботанными в трудах многих советских мето
дистов. Наиболее простой из них — четкая по-
становка проблемы учителем.
К примеру, после изучения теоремы «Пря-
мая, перпендикулярная диаметру окружности
и проходящая через его коней, является каса-
тельной к этой окружности» (т. 39, «Геомет-
рия 7») перед учащимися ставилась задача:
«Сформулировать обратную теорему и дока-
зать, истинна она или ложна».
Другой прием заключается в создании та-
кой ситуации, в которой от учащегося требу-
ется самому понять и сформулировать имею-
щиеся в ней проблемы. Это более сложный
прием, чем в первом случае, и требует боль-
шей затраты времени, но формулировка и не-
обходимость разрешения проблемы вызывают
значительный интерес и активность учащихся.
Так, после изучения шести свойств расстояний
между точками (п. 4,5, «Геометрия 6») я про-
сил учащихся:
а) сравните свойство 3 из п. 4 и свсйство 3
из п. 5;
б) чем вызвано сходстве и различие фор-
мулировок (в первом случае: для любых точек
А, В, С |АА?| |АС| + (еВ|, во втором: если
ДС (АС), то |А5|<|АС|-г|ВС|)?
в) какой случай не рассматривается свой-
ством 3 из п. 5? (|А/?( = |АС|-{-|С6’|.)
г) как расположена в этом случае точка С
относительно точек А и В? (С лежит между
А и В.)
д) изобразите на рисунке положение точек
А, В, С.
Учащиеся расположили точки А. В, С на
одной прямой, после чего их внимание было
обращено на то, что на рисунке появилась
прямая, о которой не упоминается в опреде-
лении понятия «лежать между». Обязательно
ли в рассматриваемом случае точки А, В, С
принадлежат одной прямой? Откуда это сле-
дует?
Самими учащимися была четко сформули-
рована проблема «Доказать, что если точка
лежит между двумя другими, то все три точ-
ки лежат на одной прямой» и ими же легко
разрешена.
Более интересным является способ создания
ситуации с четко обозначенной проблемой, но
при поиске решения которой ученик должен
прийти к новой, дополнительной проблеме,
им самим выявленной и предусмотренной при
конструировании ситуации.
Пример. Разрешая проблему (при изучении
§ 56 из учебного пособия «Геометрия 10»),
как по данной прямой треугольной призме по-
строить прямоугольный параллелепипед с
объемом в 2 раза болошим, чем у данной
призмы (при этом использовались модели),
учащиеся сами сформулировали и разрешили
проблему нахождения объема прямой тре-
угольной призмы. Поиск велся всем классом,
обобщение формулы для любой прямой приз-
мы проводилось индивидуально. Тем самым
теорема об объеме прямой призмы была как
бы самостоятельно открыта учащимися в ходе
разрешения совсем другой проблемы.
Разумеется, в данном случае открытие было
предусмотрено учителем. Но случается и так,
что, решая задачу, учащиеся самостоятельно
обнаруживают новую проблему, не предусмот-
ренную учителем при конструировании проб-
лемной ситуации.
Приведем пример. Учащиеся IX класса
• п г>
знают, что sin у = -у . Вскоре после изу-
чения формул сложения им было предложено
вычислить sin у тс, используя выведенную
формулу sin(a-)-p) = sin a cos 04-cos a sin 0.
Часть учащихся догадалась, что у « нужно
представить как-у + -у. Были выполнены
еще два аналогичных упражнения, и затем
бы та объявлена тема урока: «Тригонометри-
ческие функции двойного аргументах; форму-
лы для sin 2a, cos 2a, tg2a вывели сами уча-
щиеся, предложив 2a представить как c'-j-a.
Вскоре после выполнения упражнений с ис-
пользованием формул cos2a=l—2 sin2 а и
cos2a=2cos2a—1 и сделанного вывода, что
по значению sin а или cos а можно найти зна-
чение cos 2a, один из учащихся заметил воз-
можность решения обратной задачи.
Классу было предложено проверить возмож-
ность разрешения этой проблемы, с чем до-
вольно быстро справилось большинство уча-
щихся:
cos а = +
36
Возникшая при этом проблема знака перед
корнем разрешилась довольно быстро. Итак,
разрешая проблему нахождения функции
двойного аргумента, учащиеся попутно при-
шли к новой проблеме — нахождению значе-
ния функции половинного аргумента по значе-
нию аргумента; хотя это и материал X клас-
са, они ее благополучно разрешили.
Ученикам было сказано, что они сами по-
ставили и решили проблему — вывели форму-
лу из курса X класса, тем самым проверив
свою подготовку; это не могло не вызвать ин-
тереса при решении задач и упражнений с ис-
пользованием новых формул, записанных для
удобства иначе.
1 , Г\ — со* а
sin_ = ±|/. _ __
п . А +- со-1
COS-2- ± |/ -------2--
Запоминания этих формул я не требовал от
'.чашихся, но все они усвоили их вывод, и
когда в X классе подошли к изучению этого
вопроса, затраты времени на него бы пн мини-
мапьиымн.
Следует сказать, что иногда у учащихся
может возникнуть проблема более глубокая,
разрешение которой увело бы в сторону от по-
ставленной цели урока, потребовало бы мно-
го времени. В этом сл1 чае лучше всего позна-
комить с ней весь класс и предложить поду-
мать над ее разрешением дома.
Не всегда проблему следует ставить катего-
рично, если есть возможность, ее можно пред-
варить интересным рассказом, историческим
экскурсом, интересной задачей
Например, в VIII классе перед выводом
формулы суммы п членов арифметической
прогрессии было рассказано, как юный Гаусс
быстро подсчитал сумму первых 100 чисел на-
турального ряда. Не раскрывая его секрета,
учитель предложил учащимся сделать тот же
подсчет. После раскрытия секрета им было
дано задание вывести формулу суммы п чле-
нов арифметической прогрессии
Выводу формулы суммы п первых членов
геометрической прогрессии предшествовал
рассказ о хитроумном изобретателе шахмат,
который попросил рассчитаться с ним зерном;
при этом количество зерен, требуемое им за
изобретение, соответствовало сумме 1+2+4+
4-84-16+,. 4 263. Оказалось, что названная
сумма настолько велика, что ее не могли под-
считать индийские мудрецы.
Учащиеся попытались найти эту сумму, но
очень быстро поняли бесплодность попытки и
пришли к заключению о необходимости выво-
да соответствующей формулы.
Еще один пример создания проблемной си-
туации— практическая задача, решение кото-
рой требует овладения новыми математиче-
скими знаниями. Цель этой задачи — вызвать
интерес учащихся к изучению нового мате-
риала и показать его связь с жизнью.
Так, при переходе к изучению темы «Наи-
большие и наименьшие значения функций»
перед учащимися была поставлена проблема
в виде задачи (см. рис 3) «На буровой (точ-
ка В) заболел человек. Его товарищ на всло-
Шоссе,(2 км/ч
15км
С

ПОЛЕ,6 км/ч.
Рис 3 В'
сипеде поехал в город С за медицинской по-
мощью. Известно, что по полю он мог ехать
со скоростью 6 км/ч, по шоссе со скоростью
12 км/ч К какой точке шоссе ему надо ехать,
чтобы в кратчайшее время попасть в город С,
если | ВА | = 9 км, |/1С| = 15 км?»
В решении этой проблемы принял участие
весь класс, но вскоре учащиеся убедились, что
разрешить ее можно, лишь изучив материал,
указанный в теме урока. После изучения тео-
ретического материала и решения поставлен-
ной в начале урока задачи им было предло-
жено изменить содержание задачи, сохранив
при этом реальные ситуации. Были высказа-
ны разные варианты; вот один из них: «Из
пункта В, расположенного в поле, колонна
машин возит зерно в пункт С. Скорость ма-
шины по полю 30 км/ч, по дороге 60 км/ч.
Сколько времени сэкономит колонна из 30 ма-
шин, если выберет наиболее выгодный ва-
риант, по сравнению с вариантами: а) В->-/1-*-
-»С, б) В->С; в) В-^Е-^С, где |4Е| = |ЕС|?
Сколько дополнительно рейсов будет сделано
за это время?» Таких рейсов оказалось не-
мало. После решения этой задачи была под-
черкнута роль математических методов при
решении некоторых жизненных ситуаций.
Очевидно, что проблемное обучение не
ограничивается лишь созданием проблемных
ситуаций Но поиск решения проблем, практи-
ческого применения полученных результатов
превращает обучение в проблемное.
37
Учитель не передает учащимся готовые зна-
ния, его вопросы являются лишь катализато-
ром для их умственной деятельности. К концу
урока они убеждены, что сами вывели форму-
лу( доказали теорему и т. п.), зная при этом,
каким путем они шли к выводу, так как проб-
лемное обучение требует от учителя необходи-
мости ознакомления учащихся с аналогией,
индукцией, дедукцией и т. д.
Школьники получают знания как результат
творческой работы, ими осмысливается про-
цесс получения этих результатов, развиваются
их творческие способности, убежденность в
умении самостоятельно решить проблему. В
этом важная воспитательная роль проблемно-
го обучения.
Многолетний опыт работы в школе позво-
ляет утверждать, что воспитательное значение
проблемного обучения раскрывается не столь-
ко в том, что учащиеся самостоятельно под-
ходят к «открытию» новых математических
фактов, сколько в привитии им особого стиля
мышления, в усилении положительного влия-
ния учителя на личность учащегося. Ученики
не боятся во внеурочное время высказывать
свои мысли при учителе, спорить с ним, одно-
временно прислушиваясь к его мнению, ува-
жая это мнение.
М. 3. КАПЛАН,
старший учитель школы № 10 г. Гомеля
ЗА ТВОРЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
ТЕХНИЧЕСКИХ СРЕДСТВ ОБУЧЕНИЯ
I
Совершенствование методов обучения не-
возможно без широкого использования техни-
ческих средств. Пер'ед школой, перец каждым
учителем стоит задача: использовать имею-
щуюся в школах технику с максимальным эф-
фектом. Этого можно добиться только в том
случае, если учитель будет хорошо знать те
возможности, которые появляются при приме-
нении технических средств, и научится пра-
вильно их использовать в своей повседневной
работе. Необходимо знать фонд учебных ки-
нофильмов, диапозитивов и диафильмов, вла-
деть соответствующей аппаратурой.
В данной статье описан опыт использования
технических средств обучения на уроках ма-
тематики в Семчинской восьмилетней школе
Рязанского района Рязанской области.
Кабинет математики начал создаваться
пять лет назад. Из двух классных помещений
было сделано одно; его площадь позволила
оборудовать небольшое подсобное помещение.
В настоящее время в кабинете оборудовано
дистанционное управление затемнением и
освещением, имеется набор аппаратуры: кино-
проектор «Школьник», диапроекторы «Свет»,
«Свитязь», эпидиаскоп, магнитофон, электро-
фон, телевизор, усилитель. Вся эта аппарату-
ра размещена в "подсобном помещении каби-
нета и включается с пульта дистанционного
управления, установленного в учебном поме-
щении. Изображения проецируются на изго-
товленный из шелка экран «на просвет»,
вмонтированный в перегородку между учеб-
ным и подсобным помещениями. Предусмот-
рено размещение эпидиаскопа и в учебном
помещении; в этом случае изображения прое-
цируются на тот же экран или непосредствен-
но на раздвигающиеся поля классной доски.
За левым полем раздвижной классной дос-
ки имеется приспособление для демонстрации
таблиц, хранящихся в подсобном помещении,
за правым — телевизор.
В подсобном помещении имеются: библио-
тека учебно-методической литературы (рис 1),
настенные шкафчики для хранения диафиль-
мов, диапозитивов как промышленного изго-
товления, так и самодельных (рис. 2), приспо-
собление для хранения таблиц и т. Д.
Рис. 1
Рис. 2
38
Рис. 3
Рис. 4
В кабинете оборудована система автомати-
зированного контроля за знаниями учащихся,
имеется так называемый пульт преподавателя
(рис. 3), настенное табло оценки знаний
(рис. 4) При этом программированной систе-
мой контроля могут пользоваться и учителя
других предметов. Предусмотрено использова-
ние системы в качестве тренажера для отра-
ботки отдельных навыков, операций.
Применение на уроке тех или иных техни-
ческих средств зависит от учителя, от приня-
той им методики изложения. Однако, появив-
шись на уроке, технические средства ведут
себя весьма активно и оказывают сильное
воздействие на методику изложения учебного
материала, на весь ход учебного процесса, на
всю деятельность учителя. Использование на
уроках технических средств обучения в комп-
лексном виде дает большой эффект и позво-
ляет решать следующие задачи:
1) повышать качество обучения, преодоле-
вать формализм в знаниях учащихся;
2) повышать наглядность обучения и, как
следствие этого, делать доступным для уча-
щихся такой материал, который при обычных
спссобах изложения малодоступен;
3) повышать темп изложения учебного ма-
териала;
4) освобождать учителя от чисто техниче-
ской работы и использовать сэкономленное
время для творческой деятельности;
5) облегчать труд учителя и учащихся.
Таким образом, применение технических
средств обучения в конечном итоге приводит
к повышению качества знаний учащихся, к
повышению производительности и облегчению
труда школьников и учителей.
Каковы же возможности использования тех-
нических средств обучения?
Наиболее распространенное применение в
школе имеет эпидиаскоп (не стану останавли-
ваться на кодоскопе, поскольку его можно ис-
пользовать аналогичным образом). Несмотря
на то что эпидиаскоп обладает рядом значи-
тельных конструктивных недостатков, напри-
мер малой надежностью объектива для диа-
проекции, возможности его использования
довольно широки: это использование в качест-
ве эпипроектора, использование рисованых
диапозитивов, а после незначительных конст-
руктивных переделок — использование в нем
широких лент вместо отдельных диапозитивов
(аналогично тому, как это сделано в кодоско-
пе).
Рисованые диапозитивы в нашей школе по-
лучили очень широкое распространение. В
своей работе я применяю их на всех этапах
урока.
Для проверки выполнения домашнего зада-
ния двое-трое учеников выполняют определен-
ную часть домашнего задания на пленке: если
оно довольно сложное или дается сразу же
после первого урока по некоторой новой теме,
то на пленке работают «сильные» учащиеся,
менее подготовленные учащиеся выполняют
аналогичную работу тогда, когда задание не-
сложное и при изучении нового материала
отработаны соответствующие навыки. Пленка
вставляется в эпидиаскоп, и выполненное на
ней задание проецируется на экран. Все необ-
ходимые надписи учащиеся выполняют чер-
нильной авторучкой дома или в подсобном
помещении кабинета, где для этой цели име-
ются тушь, перьевые ручки, инструменты для
выполнения рисунков.
При проведении устных упражнений зада-
ния, предназначенные для выполнения, также
записываются на пленке, сюда же помещают-
ся и необходимые рисунки. Применение ри-
сованых диапозитивов дает в этом случае
большой эффект: до минимума сокращаются
непроизводительные затраты времени, с само-
го начала урок идет в высоком темпе, что по-
39
ложительно сказывается на его дальнейшем
ходе.
При изложении нового материала на пленке
можно поместить необходимые рисунки, если
нужно — с сопроводительным текстом, образ-
цы оформления здписей и т. д. На этом этапе
урока я очень часто применяю различные спо-
собы проецирования изображений на доску.
Так, например, при изучении в IV классе те-
мы «Прямоугольный параллелепипед» необхо-
димо научить учащихся изображать прямо-
угольный параллелепипед. Неоценимую по-
мощь в этом оказывают диапозитивы с непол-
ными чертежами параллелепипедов: чертеж
проецируется на доску, и учащийся мелом про-
водит недостающие линии. Удобно это делать
и при изучении тем, связанных с функциями,
где приходится часто заполнять всевозможные
таблицы значений функции. Если такую таб-
лицу начертить на пленке и спроецировать на
доску, то учащимся (или учителю) останется
только заполнить ее. Выигрыш во времени
здесь очевиден.
Большую помощь в работе оказывает так-
же диапозитив с изображенной на нем систе-
мой координат. Такая «экранная» модель ко-
ординатной плоскости выгодно отличается от
прочих существующих моделей. Во-первых,
изготовить ее очень просто. Во-вторых, изме-
няя расстояние от эпидиаскопа до доски, мож-
но получать различные размеры изображения.
В третьих, спроецировав систему координат
на магнитную доску, можно получить коорди-
натную плоскость с магнитным креплением.
В-четвертых, «экранная» модель удобнее и с
психологической точки зрения: она появляет-
ся на доске только в нужный момент, не утом-
ляет учащихся своим постоянным присутст-
вием, не надоедает им.
При закреплении изученного материала со-
держание диапозитивов составляют задачи с
готовыми чертежами.
Еще одно применение эпидиаскопа имеет
огромное значение: с его помощью удается
установить довольно интенсивную обратную
сгязь в системе «учитель — ученик». При про-
ведении самостоятельных работ задания,
спроецированные на экран, некоторые из уча-
щихся выполняют на пленке, и по окончании
работы проводится их проверка через эпидиа-
скоп. В зависимости от объема и степени
сложности работы удается иногда получить
информацию от 10—12 учащихся.
Основой для рисованых диапозитивов слу-
жит рентгеновская пленка. Значительная пло-
щадь кадра (85X85 мм) позволяет поместить
на нем довольно большой объем информации:
рисунки, таблицы, текст. Их основным до-
стоинством является то, что на них можно по-
местить именно такой материал, который ну-
жен учителю к данному уроку. Диапозитивы
же промышленною изготовления несколько
ограничивают творческую инициативу учите-
ля, заставляя использовать не совсем, быть
может, подходящие кадры для достижения
поставленных дидактических целей. Однако
не следует впадать и в такую крайность, ког-
да на уроках используются только рисованью
диапозитивы: во-первых, диапозитивы про-
мышленного изготовления экономят время
учителя, во-вторых, они способствуют эстети-
ческому воспитанию учащихся.
Большое применение на уроках имеет диа-
проектор «Свет», который многие учителя ис-
пользуют для демонстрации диафильмов и
диапозитивов. Но если подходить к его ис-
пользованию творчески, то, оказывается, воз-
можности этого аппарата намного шире.
При изучении некоторых разделов матема-
тики очень важио, чтобы учащиеся видели ди-
намику того или иного явления: это всевоз-
можные перемещения, сдвиги графиков и т. д.
Без использования специальных моделей не-
возможно добиться даже удовлетворительного
усвоения материала, поэтому к таким урокам
просто необходимо изготавливать подвижные
модели.
Авторы некоторых учебных пособий реко-
мендуют изготавливать подвижные модели из
органического стекла, прозрачной пленки, бу-
маги. На мой взгляд, такие модели громозд-
ки, требуют больших затрат труда, времени и
дефицитных материалов. Кроме того, они об-
ладают рядом существенных недостатков. На-
пример, при демонстрации модели поворота,
изготовленной из органического стекла, у уча-
щихся может возникнуть вопрос: почему вмес-
то одной плоскости, которая отображается
сама на себя, учитель показывает две?
В своей работе я использую экранные по-
движные модели или, как их еще называют,
динамические диапозитивы; проецирование на
экран ведется с помощью диапроектора «Свет».
Экранные модели обладают рядом преиму-
ществ по сравнению с другими аналогичными
моделями. На их изготовление затрачивается
несравненно меньше времени, и необходимые
материалы можно приобрести в любом мага-
зине фототоваров, используется обычная фо-
топленка с удаленным эмульсионным слоем.
Расскажу о двух таких моделях.
Модель 1 состоит из двух частей — непо-
движной и подвижной (рис. 5). Неподвижная
часть представляет собой кусок фотопленки,
изогнутой особым образом для тою, чтобы се
можно было неподвижно закрепить на рамке
40
Рис. 5
диапроектора. Подвижная часть — фотоплен-
ка, которая вставляется в рамку диапроекто-
ра так же, как обычный диафильм Если, на-
пример, на неподвижной части изобразить си-
стему координат, а на подвижной — всевоз-
можные графики функций, изучаемых в шко-
ле, го получится универсальная модель, при-
годная для использования на всех уроках с
функциональной тематикой. С помощью этой
модели можно демонстрировать и всевозмож-
ные сдвиги графиков.
На уроках геометрии эта модель использу-
ется при изучении таких тем, как параллель-
ный перенос, пересечение и объединение фи-
гур, взаимное расположение прямой и окруж-
ности, взаимное расположение двух окружно-
стей, а также при доказательстве теорем и
решении задач, опирающихся на понятие па-
раллельного переноса (например, при доказа-
тельстве теоремы о величине вписаного угла).
Модель 2 состоит также из двух частей —
неподвижной и подвижной. Неподвижная
часть представляет собой квадрат со сторо-
ной 50 мм, подвижная — круг с диаметром
50 мм; обе части соединяются друг с другом
при помощи булавки. Для того чтобы подвиж-
ная и неподвижная пленки не разъединялись,
поставлена стопорная шайба, которую можно
изготовить из любой мягкой пластмассы. Мо-
дель вставляется в рамку диапроектора вмес-
то обычного диапозитива. Если на неподвиж-
ной пленке изобразить систему координат, а
на подвижной — прямую, приходящую через
центр круга, то получим модель для демонст-
рации расположения прямой y—kx в зависи-
мости от коэффициента k. Если прямую про-
вести не через центр круга, то получим анало-
гичную модель для изучения функции у=
=ах-\-Ь.
В геометрии эта модель используется при
изучении поворота, при доказательстве тео-
рем, опирающихся на понятие поворота, при
решении задач (например, при изучении те-
мы «Центральные углы и дуги»).
Покажем еще одно применение на уроке
технических средств. Известно, что при изуче-
нии четырехзначных математических таблиц
учителю бывает трудно сконцентрировать
внимание учащихся на каком-то определен-
ном их участке, потому что каждый из них
смотрит в свои таблицы и быстро не может
сориентироваться; теряются темп, четкость
изложения учителем нового материала. Чтобы
избежать этого, я изготовил специальные диа-
фильмы, в которых поместил весь необходи-
мый материал по четырехзначным математи-
ческим таблицам. Кроме того, на некоторых
кадрах непосредственно показано, как пользо-
ваться той или иной таблицей, помещены со-
ответствующие примеры. Теперь обучение ра-
боте с таблицами проходит более эффективно.
Изготовлено также несколько диафильмов
с заданным материалом, рисунками; все это
заметно обдегчает работу учителя и позволяет
добиваться хороших результатов в обучении
учащихся.
В кабинете математики вот уже три года
действует система программированного конт-
роля, она выполняет очень важную задачу;
обеспечивает связь «учитель — ученик». Ис-
правлять ошибки учащихся в момент их со-
вершения— вот цель, к которой стремились и
стремятся по сей день учителя. Ежедневная
проверка тетрадей — это попытка хоть в ка-
кой-то степени восполнить острейший дефицит
обратной связи на уроке. Однако о результа-
тах проверки письменных работ ученик узнает
лишь на следующий день (в лучшем случае),
что чревато серьезными последствиями: оши-
бочные мыслительные операции могут закре-
питься в сознании учащегося, привести к об-
разованию неправильных связей, которые в
дальнейшем придется ломать, перестраивать,
а это в< егда сопряжено с большими трудно
стями.
Действующая в кабинете контролирующая
машина полностью решает проблему обратной
связи. Работает она по принципу выборов’ ого
ввода ответов. Каждый ученик получает инди-
видуальное задание, содержащее 5 задач или
вопросов, к которым дается по 5 ответов: одни
правильный, а остальные получены с учетом
возможных ошибок. На рабочих местах уча-
щихся имеется небольшой пульт с пятью пере-
ключателями для ввода выбранных ответов
(см. рис. 4).
Информация о правильности выполнения
задания поступает на пульт преподавателя
(см. рис. 3) одновременно от всех учащихся.
По загорающимся лампочкам можно судить о
ходе выполнения .Задания п своевременно ока
зывать помощь том, кто с ним не справляется.
По окончании работы включается настенное
табло (см. рис. 4) на нем каждый ученик
может видеть полученную оценку и номера
задач, с которыми он не справился. Если си-
стема контроля работает в режиме тпен
ра, то табло остается включенным постоянно
и каждый учащийся самостоятельно может
контролировать правильность выполняемых
им заданий
Говоря и контролирующих устройствах, ра-
ботающих по принципу выборочного ввода от-
ветов, следует отметить, что при всех пере-
численных их достоинствах они обладают и
рядом недостатков. Во-первых, велики затраты
времени на подготовку индивидуальных зада-
ний; некоторое облегчение, правда, дает ис-
пользование для этой цели существующих ди-
дактических материалов. Во-вторых, сущест-
вует, хотя и очень маленькая, возможность
получения удовлетворительной оценки путем
случайного подбора правильных ответов.
Для ликвидации указанных недостатков на
ближайшие годы я планирую создание конт-
ролирующего устройства, использующего ме-
тод прямого набора содержания ответа; тогда
отпадет необходимость тратить массу времени
на составление заданий, так как можно будет
брать задания из дидактических материалов
без какой-либо их переработки.
Подводя итог сказанному, следует подчерк-
нуть, что технические средства обучения — это
орудие в руках учителя, эффективность кото-
рого зависит от умения применять его для до-
стижения конкретных педагогических целей.
В. Д. КРЫЛОВ,
учитель Семчинской восьмилетней школы
Рязанской обл.
Читатели вносят предложения
А. Т. УЛИМАЕВА
(г. Уфа)
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШИХ
И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИИ ФУНКЦИИ
Опыт нашей работы в школах Башкирской АССР по-
казал, что при организации повторения учебного мате-
риала в X классе целесообразно рассматривать задачи
на нахождение наибольших и наименьших значений
функций, причем использовать при их решении наряду
с аппаратом производной и другие способы. Это спо-
собствует активизации мыслительной деятельности уча-
щихся, вызывает у них интерес к решению задач и к
изучению математики в целом.
Лрнвсдем пример решения одной такой задачи:
Требуется оградить прлиоугольный участок земли
п.и^адыо о2. Определите оптимальные размеры уча-
периметр наименьший. Пунь
прямоугольника, тогда длина
а2
равна ——. Периметр прямо-
стка, при которых затраты на ограду будут наименьши-
ми (предполагается, что стоимость ог/ ады пропс- ”«
нальна ее длине с коэффициентом > 0).
Решение. 1 способ. Найдем прямоугольник пло-
щади а2, у которого
х > 0 — длина стороны
смежной с ней стороны
/ а2\
угольника Р (х) = 2 ( х + j.
Найдем наименьшее значение Р(х), применяя прон’
водную:
Р'(х)=2 (1--^-), х£]0; +то[.
Определим критические точки функции:
1 —
(х = а или х =—а),
так как а > 0, то х = а £ ] 0; + со [.
Найдем следующие значения функции Р' (х):
Р>
1 —
Р' (2л) = 2(1 —
3
2->0.
Следовательно, min Р(х)=4а при х — а.
Длина другой стороны прямоугольника также рав-
на а.
Из условия задачи известно, что стоимость изгороди
IV (х) пропорциональна ее длине с коэффициентом
k > 0 : JV(x) = k-P(x). Следовательно АД.-) получит
наименьшее значение тогда, когда Р(х) имеет наимень-
шее значение, откуда
JV„nf (x) = minIV(x)-= А-4а при х = а.
Р ]0;+оо(
Итак, чтобы оптимизировать стоимость изгороди, це-
лесообразно выбрать участок квадратной формы.
II способ. Замечая, что
=2
P(Jt) = 2(x + ~) =
2
I +
а
4-4а, гдех£]0; -р оо [, заключаем, что min Р(х)
= 4а при х = а:
{[ г- а V
Обозначим полупериметр прямоуголь-
х — длина одной из его сторон, тогда
ней стороны равна р— х(0 х р)
III способ,
ника р(х). Пусть
длина смежной с . _ _ ,_______
Площадь прямоугольника а2 =' х(р — х);
(Xs -Ь а2 — рх = 0) -с=> ((х — а)2 + х (2а — р) = 0).
Последнее равенство истинно лишь при 2а — р О,
т. е. при р^2а. Следовательно, наименьшее значение
полупериметра равно 2а.
Подставляя в уравнение х2+а2—рх=0 наименьшее
значение р, получим уравнение х2—2ах+аг=0, откуда
х=а.
IV способ. Обозначим длины смежных сторон
прямоугольника через х н у, а его полупгриметр че-
рез р. Тогда ху = а2.
Чтобы найти наименьшее значение периметра прямо-
угольника площади а2, воспользуемся известным тож-
деством (х + у)2 = (х — у)2 + 4ху. Заменив в нем
произведение хи на равное ему значение а*, получим
равенство
(х + у)2 = (* “ У)2 + 4а2.
Из этого равенства видно, что выражение (* + '/)2 =
= р2 получит наименьшее значение при х — у = 0, т. е.
при х — у Полупериметр р — х 4- у достигнет своего
наименьшего значения при х = у = а, при этом Р=4а.
V способ. По условию ху = а2, где х и у — дли-
ны смежных сторон прямоугольника.
Предположим, что х ф у, пусть, например, х=а-\-Ь
(6 > 0), тогда
а! а2 — Ь2
у = ^-рг>-^гг = а-6-
Значит, х+у>а+Ь+а—Ь=2а.
Пусть теперь х = у = а. Б этом случае х + у = 2а.
Имеем: х 4- у 2а, откуда следует, что наимень-
шее зиаиенис периметра прямоугольника равно 4а и
достигается оно при х — у = а.
VI способ. К решению задачи можно применить
также геометрические построения. В условии задачи
дано: ху = а2, где х и у — длины смежных сторон
прямоугольника.
При х = у — а (а > 0) получаем х + у = 2а. По-
троим окружность с центром в точке О радиуса
И0| = а. Имеем: |ЛВ | = | АО | + | ОБ | = х + у —
= 2а (см. рис.).
А
Пусть х =# у. Построим на том же рисунке окруж-
ность с центром в точке О] и ралнусом, равным длине
"трезка О(£, так, чтобы |£О| -|О£| = а2. Тогда
|£0| + |О£| = |££|, где |£О| = х, |О£| = у.
Рассматривая рисунок, замечаем, что |££| > 2а, так
как |££|—длина диаметра, а 2а — длина хорды ССХ
окружности (О(, |О|£|). Таким образом получаем, что
х + У 2а, причем х 4- у — 2а ирн х = у = а.
Т. П. ГРИГОРЬЕВА
(г. Горький)
К ИЗУЧЕНИЮ СКАЛЯРНОГО
ПРОИЗВГ ДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
1972, № б, с. 22). Однако названные доказательства ли-
бо слишком алгебраичиы, либо громоздки. Приведем
новое доказательство, навеянное статьей 3. А. Скопеца,
опубликованной в № 6. журнала «Математика в шко-
ле» за 1965 г., которое, нам кажется, имеет преимуще-
ства по сравнению с указанными.
Предварительно с учащимися нужно рассмотреть мет-
рическое свойство параллелограмма: сумма квадратов
длин диагоналей параллелограмма равна сумме квад-
ратов длин его сторон, т. е.
d{ 4- dl = 2а2+ 2b2. (1)
Доказательство этого свойства следует из равенств
(а — 6)г == а2 — 2а-1> + Ь2 (2)
и
(а 4- 6)8= а2 4- 2а -14- & (3)
и не представляет трудностей дтя учащихся.
Заметим, что метрическое соотношение (1) может
быть доказано ранее, в VIII классе, с помощью теоре-
мы косинусов и применяться при решении других за-
дач.
Перейдем теперь к доказательству распределительного
свойства скалярного умножения векторов.
От точки О отложим векторы ОА= а, ОВ= Ь, ОС =
= с.
а) Пусть точки А, В, С не принадлежат одной пря-
мой (рис. I). Достроим гпеуготкннк ЛВС до параллело-
грамма АВСГ>. Тогда АВ = Ь~а, АС с — а, ВС-*
= с — Ь. Нетрудно видеть, что а + </= (, где d —
= OD, откуда d - b |- с —а, АГ) = b 4- с — 2а. Со-
гласно (1) запишем
21 АВ I’ 4- 21 АС |’ - | АО |! 4-1 ВС |г,
или
Доказательство распределительного свойства скаляр-
«ого умножения векторов представляет трудности как
в методическом, так и в математическом плане.
В учебном пособии «Геометрия 9» (§ 26, с. 59) приве-
дено доказательство этого свойства векторов. Cvuie-
ствугот и другие доказательства (см.: Скопец 3. А.
О распределительном свойстве скалярного произведения
векторов. — Математика в школе. 1965, № б, с. 26;
Скмец 3. А. и др. Скалярное произведение двух век-
торов.— Математика, в школе, 1968, № 6, с. 8; Ско-
пец 3. А. Соотношение Лейбница и распределительное
свойство скалярного произведения векторов.—Квант,
2 (Ь — а)2 4- 2 (с - а)2 - ((7 4- с) - 2а)2 4- (с — ~Ь)2.
После раскрытия скобок, основанных на равенствах (2)
и (3), получаем
Ь- а 4-'с -а — ( Ь 4- с)-а.
Отмс-гим, что рассмотренное доказательство справед-
ливо как для компланарных, так п для некомпланар-
ных векторов.
Для полноты изложения рассмотрим два частных
случая.
43
'1 Пусть точки А, В, С принадлежат одной прямой
(рис. 2). Тогда введем вектор ka, где k =# 1, k 0.
Согласно случаю а) имеем:
к.1 (Ь 4 с) = (ka)-b + (ka)c,
или
fe(^-(7+ с))=И««Н к(а-с).
После сокращения на к получаем требуемое равенство.
в) Пусть векторы а, Ь, с коллинеарны. Тогда л = ае.
Ь = с = 7 е. где | е | = 1. Огсюта следует:
а (Ь + с) = ае (ра 4- 7<0 = «’•(₽ + 1)е =
= о (₽ + 7) = Т «7- (4)
С другой стороны,
а-b + а с = (ас) (Р₽) 4- (те) (7е) = ср 4- а7- (5)
Сравнивая правые части равенств (4) и (5), получа-
ем истинность распределительного закона скалярного
умножения векторов и для этого случая.
На уроке достаточно ограничиться Лэбщим случаем.
Случаи б) и в) можно предложить либо в качестве
упражнений, либо при повторении, либо сообщить уча-
щимся лишь идею доказательства.
Приведем пример применения распределительного
свойства скалярного умножения векторов.
Задача. Даны четыре точки А, В, С, D. Известны
расстояния между этими точками: | DA | = а, | DB | =
= Ь, |£>С|=с, |ЛВ| = сь |6С| = а,, | 4С | = 6,.
Найдите расстояние от одной из этих точек до центрои-
да 1 оставшихся трех точек.
Решение. Пусть требуется найти расстояние от
точки D до центроида G точек А, В, С (рис. 3). Вве
дем векторы: DA = a, DB = b, DC = с. Тогда
1 -> -> -*
DG= -3- (а 4- Ъ + с).
отсюда
DG* = ~^-((а 4- *) + с)’ = -у ((^4- by 4-
4-2 (а 4-0 7 4-с*).
* Центра дом трех точек Р, Q, R называется такая
точка G, что
OG =~- (ОР 4- OQ 4- OR).
Согласно распределительному свойству скалярного ум I
ножения векторов имеем
DG* = -^-(а* 4- 7г + с’ 4- 2а-Г 4- 2Ь-с 4- 2са).
Но
- 7 ОА* + ОБ* АВ* «г +Ьг е1
и. -Ь = — 2 " '*
7 - ОВ* 4- ОС* - ВС* Ь* у с* — а\
Ь-с = = о •
-- О&УоТ* — 7с* c*ya* — b\
с-а= 2 2 ' >
поэтому
|£G|*--J-(a’4 *г4-с=)—*i + CiV J I
Отметим, что если точки А. В С, D являются вер-
шинами тетраэдра A BCD, то квадрат длины отрезка
DG вычисляется по формуле (6).
Решая эту задачу, мы попутно вывели формулу ска
лярного квадрата суммы трех векторов:
(а 4- b 4- с)" = а* 4 Ь* + с’ , 2> b ‘?Ь-с 4- 2г а
Эта формула часто применяется при решении задач
Материал, рассмотренный в статье может быть нс I
О
каз>
О Uh
С
I
ты
1
1
•
рс
Oi
Р<
пользован учителем на уроках жомстрни как при я»
посредственном изучении материала так и при его
повторении, а также на внеклассных зап-гия1:.
«
шувта^ия
ПРИМЕРНЫЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УЧ/БНОГО МАТЕРИАЛА
И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ГЕОМЕТРИИ
ДЛЯ VII—VIII КЛАССОВ НА II ПОЛУГОДИЕ
1979/80 УЧЕБНОГО ГОДА 1
В коррективах к учебным программам общеобразова-
тельных школ по математике на 1079/80 уд оный год2
указаны разделы курсов геометрии VII и VIII классов,
которые можно не изучать; нее раз тепы изучались ранее
во П полугодии, поэтому учителям при составлении
тематического плана эти изменения необходимо учесть
(в публикуемом материале это учтено).
В связи с тем что изучение геометрии в VI классе
в (979/80 учебном году ведется по обновленному
учебному пособию «Геометрия 6- -8» (ЛА. Просвещение,
1979). какие либо изменения в программу шестых клас-
сов коррективами не вносятся. Примерный тематиче-
ский план по геометрии для VI класса и контрольные
работы опубликованы в журнале «Лдатематика в шко-
ле», 1°79, № 3 (с. 50) и №4 (с. 44).
1 ЛАатериал подготовлен методистом ЛАосковского го-
родского института усовершенствования учителей
Ю П. Дчдницын^м.
2 См.: ЛАатематлка в школе, 1979, № 3, с. 22.
44
ПЛАНИРОВАНИЕ
VU КЛАСС
III четверть (20 ч)
Г л в в в V. Векторы (продолжение, 4 ч|
Основные законы векторной алгебры (без до-
казательства) 2 ч
Обобщающий урок по теме 1 ч
Контрольная работа №5 1 ч
Глава VI. Подобие (28 ч)
§ 1. Подобие и гомотетия (12 ч)
Подобные фигуры. Определение гомотетии 2 ч
Основные свойства гомотетии 2 ч
Пропорциональные отрезки. Определение высо-
ты предмета 2 ч
Построение гомотетичных фигур 2 ч
Построение подобных фигур 2 ч
Обобщающий урок по теме 1 ч
Контрольная работа № 6 1ч
§ 2. Подобные многоугольники (16 ч)
Признак подобия треугольников по трем сто-
рон м 1 ч
Признак подобия треугольников по двум углам.
Определение расстояния до недоступной точки 2 ч
Признак подобия треугольников по двум сто-
ронам и углу 1 ч
IV четверть (18 ч)
Признак подобия реугольников по двум сто-
ронам и углу 1 ч
Теорема Пифагора 2 ч
Контрольная работа № 7 1ч
Подобные многоугольники 1 ч
Отношение площадей подобных фигур 2 ч
«Метод подобия» при решении задай на постро-
ение. Мензульная съемка плана земельного участ-
ка - 3 ч
Обобщающий урок по геме 1 ч
Контрольная работа Ns 8 1ч
Повторение 6 ч
VI11 КЛАСС
III четверть (20 ч)
Глава IX. ^писанные м описанные многоугольники
(продолжение, 9 ч)
§ 3. Правильные многоугольники (продолжение,
4 ч)
Выражение сторон правильных многоугольников
через радиус описанной окружности 2 ч
Площадь правильного многоугольника 2 ч
§ 4. Илина окружности и площадь круга (5 ч)
Длина окружности 2 ч
Площадь круга 2 ч
Контрольная работа Ns 5 1ч
Inaaa X. Начальные сведения из стереометрии (19 ч)
§ I. Взаимное расположение точек, прямых
и плоскостей в пространстве (6 ч)
Основные свойства прямых и плоскостей Вза-
имное расположение прямых. Взаимное располо-
жение плоскостей 3 ч
Взаимное расположение прямой и плоскости.
Перпендикуляр к плоскости. Ортогональное про-
ектирование 3 ч
§ 2. Площади поверхностей и объемы некото-
рых тел (13 ч)
Прямая призма 2 ч
Контрольная работа №6 [ ч
Пирамиды 2 ч
IV четверть (18 ч)
Цилиндр 2 ч
Конус 2 ч
Шар 2 ч
Обобщающий урок по теме 1 ч
Контрольная работа ,Ns 7 1ч
Повторение 10 ч
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
VII КЛАСС
№ 5
Вариант I
—> —>
1. Задайте два не коллинеарных вектора с и d и по-
стройте векгор d— с.
2. В треугольнике АВС проведена медиана АВ
(рис. I). Используя рисунок, укажите векторы: а) 2В£;
б) BA — БЕ.
3. Четырехугольник ABCD — параллелограмм
(рис. 2). Используя рисунок, выразите векторы DB
> — >
и О А через векторы CD и СВ.
Вариант II
—>
1. Задайте два неколлннеариых вектора тили по-
-> -»
стройте вектор m—п.
2. В треугольнике АВС проведена средняя линия EF
(рис. 3). Используя рисунок, укажите векторы;
a) -g-А В; б) BF — BE.
Рис. I Рис 2 Рис 3
3. Четырехугольник ABCD — параллелограмм (рис. 2).
Используя рисунок, выразите векторы СА и ВО через
векторы БА и ВС.
№ 6
Вариант I
1. Дан отрезок АВ и точка О^=(АВ}.
а) Постройте отрезок AiB,. гомотетичный отрезку АВ
относительно центра О с коэффициентом гомотетии
?=—2.
б) Найдите длину отрезка AtBi, если |АВ| —3 см.
2. В треугольнике MNP врпведеиа средняя линия EF
(рис. 4).
а) Найдите ко’ ффицнеит гомотетии, отображающей
треугольник MNP на треугольник ENF. 1
б) Постройте образ медианы тр< угольника MNP, про-
веденной из вершины N, при юмфтетии, уча данной в
задании 2 а).
45
Вариант II
1. Дан отрезок CD и точка OijS (CD}.
а) Постройте отрезок С|£>|, гомотетичный отрезку CD
относительно центра О с коэффициентом гомотетии
1
k= 2 .
б) Найдите длину о-резка CiDb если |CD|=6 см.
2. В треугольнике АВС проведена средняя линия MN
(рис. 5).
Рис. 8
а) Найдите коэффициент гомотетии отображающей
треугольник MNC на треугольник АВС.
б) Постройте образ высоты треугольника 'ИЛ'С, про-
веденной из вершины С, при гомотетии, указанной в
задании 2 а).
№ 7
Вариант I
1. Докажите, что дьа равносторонних треу; ельника
подобны.
2. Дано. А АВС (рис. G), DEA=BCA, |ЛВ| =24 см,
|Л£)| = 16 см, |ВС| = 15 см.
Найдите jDEj.
3. Из точки С к окружности (О; 6 см) проведена
касательная СЛ (рис. 7), |СА | =8 см. Найдите:
а) |ОС|; б) расстояние от точки А до прямой ОС.
Вариант II
1. Докажите, что два равнобедренных прямоуголь-
ных треугол! ника подобны.
2. Дано: А АВС (рис. 8), ACB=^MN, |Л!Л’|=4 см,
|АЯ| = 15 см, |ВС| =-> 12 см.
Найдите |АЛ/|.
3. В прямоугольнике ABCD (рис. 9) |А£>|=8 см.
|SD| = 10 см. Найдите:
а) |АВ|; б) расстояние от точки А до прямой BD.
№ 8
Вариант I
Меньшие стороны двух подобных многоугольни-
ков имеют длины 2,4 см а 1,8 см. Найдите:
15
а) периметры многоугольников, если периметр одно-
го из них на 15 см больше периметра другого.
б) площади многоугольников, если сумма их площа-
дей равна 175 см2 3.
2. Постройте прямоугольный треугольник по данно-
му острому углу а и медиане т, проведенной из вер-
шины этого угла.
Вариант II
1. Большие стороны двух подобных многоугольников
имеют длины 5,5 см и 4,4 см. Найдите
а) периметры многоугольников, если сумма их пери-
метров равна 117 см;
б) площади многоугольников, если площадь одного
многоугольника на 27 см2 меньше площади другого.
2. Постройте прямоугольный треугольник по отноше-
нию длин его катетов 2:3 и высоте Л, проведенной к ги-
потенузе.
VIII КЛАСС
№ 5
Вариант I
1. Сторона правильного шестиугольника имеет длину
10 см. Найдите:
а) длину окружности, описанной около шестиуголь-
ника.
б) площадь круга, вписанного в шестиугольник.
2. Найдите отношение площадей правильных вписан-
ных в данную окружность восьмиугольника и четырех-
угольника.
Вариант II
1. Сторона квадрата имеет длину 4 см. Найдите:
а) длину окружности, вписанной в квадрат;
б) площадь круга, описанного около квадрата.
2. Найдите отношение площадей вписанных в дан-
ную окружность шестиугольника и треугольника.
№ 6
Вариант I
1. Начертите прямоугольный параллелепипед
ABCDAtBtC.DУкажите:
а) два его ребра, параллельные грани AAtBtB;
б) грань, герпендикулярную ребру ВС;
в) два ребра, котэпые лежат на прямых, скрещива-
ющихся с прямой DDt.
2. Основанием прямой призмы служит равнобедрен-
ный треугольник, основание которого 8 см, а боковая
сторона 10 см. Высота призмы 5 см. Вычислите:
а) площадь боковой поверхности призмы;
б) объем призмы.
Вариант II
1. Начертите прямоугольный параллелепипед
CDEFCiDiEiFj. Укажите:
а) два его ребра, перпендикулярные грани CDD^C,;
б) грань, параллельную ребру ЕЕг.
в) два ребра, которые лежат на скрещивающихся
прямых.
2. Основанием прямой призмы •'лужит ромб, сторона
и одна из диагоналей которого и деют длину 5 см. Вы-
сота призмы [О см. Вычислите:
я) площадь боковой поверхности призмы;
б) объем призмы.
№ 7
Вариант Г
1. Квадрат со 'тороной 1,2 см вращается около своей
стороны. Вычислите площадь боковой поверхности и
объем полученного цилиндра.
2. Прямоугольный треугольник с катетами 8’ ст и
15 см вращается около большего катета. Вычислите
объем и площадь боковой поверхности полученного ко-
нуса.
Вариант II
1. Прямоугольник, стороны которою 5 см и 8 см,
вращается около меиьшей стороны. Вычислите объем
и площадь боковой поверхности полученного цилиндра.
2. Прямоугольный треугольник с гипотенузой 20 см
и катетом 1С> см вращается около меньшего катета.
Вычислите площадь боковой поверхности и объем по-
лученного конуса.
Еще одно употребление
определении модуля:
X,
фигурной скобки имеется -в
если
если
х>-0,
х<0.
(1)
Эта запись вызывает неясность у многих учителей. Не-
которые сомневаются в правомочности использования
здесь фигурной скобки («Ведь здесь смысл объедине-
ния, а не пересечения»,— пишут они). К. М. Аруста
мян (г. Кафап Армянской ССР) предлагает вместо (1)
писать
(2)
Аналогичные вопросы задают (устно или письменно) н
многие другие учьтеля. Разберемся в этом
Для удобства введем еще переменную у дли записи
значений функции, т е. перепишем (I)
подробном виде:
и (2) в
более
(у = |л|)О
если
если
х>0.
х<0,
то
то
у = л,
У------х;
(Ю
В. Г. БОЛТЯНСКИЙ
(Москва)
ФИГУРНАЯ СКОБКА Б ОПРЕДЕЛЕНИИ МОДУЛЯ
Фигурные скобки используются в математике в раз-
личных ситуациях (например, при задании множества
перечислением элементов), но в этой статье мы рассмот-
рим только: I) запись системы уравнении, 2) так на-
зываемые кусочные определения.
При записи систем уравнений (или неравенств) фи-
гурная скобка заменяет логический союз «и» (конъюнк-
цию), напоминая, что надо найти решения, удовлетво-
ряющие и первому, и второму уравнению (н всем по-
следующим, если система содержит более двух урав-
нений).
При графическом истолковании уравнений и нера-
венств это понимание фигурной скобки («и») соответ-
ствует теоретике-множественной операции пересечения.
Например, если обозначить через А множество всех то-
чек координатной плоскости, координаты которых удов-
летворяют соотношению f(x, </) =0, а через В — мно-
жество точек, координаты которых удовлетворяют со-
отношению д(х, у)^0, то система
J /(*, У) = о,
I В (л У)>0
задает множество точек, координаты которых удовлет-
воряют соотношению )'(х, у)=0. и (вот оно, логиче-
ское и»1) соотношению <т(т, г/) 55=0. т. е. множество
А Л В
В отличие от фигурной квадратную скобку исполь-
зуют для обозначения так называемой совокупности
уравнений или неравенств; оиа заменяет логический
союз «плч» (дизъюнкцию) При графическом истолко-
вании квадратная скобка соответствует теоретике мно-
жественной операции объединения. Например,
f (х, у) ж- 0,
" («. у) > 0
адает множество точек, координаты которых удовлет
воряют соотношению f(x, й)=0 или соотношению
y(i, т. е. множество A |J В
(у = |х|)о
(2')
Оба соотношения (Г) и (2') можно также записать в
строчку, если использовать логические знаки => (им-
пликация), А (конъюнкция), V (дизъюнкция):
(y=|x|)<=>[(x>0)=>(y x)Ja
д((х<0)^(у = -х)]; (1")
(у = I .У I) <=> ((л-> 0) л (у = X)) V
v((^<0)A(y--x)J. (2")
Какие же из этих соотношении верны 1 Мы сейчас
увидим, что оба соотношения (I") и (2") или предше-
ствующие им соотношения правильны, а замена в (1)
фигурной скобки на квадратную приводит к ошибке.
Сначала проверим правильность записи (I"), а следо-
вательно, и (1). В самом деле, высказывательная фор-
ма (предложение)
(х > 0) =У(у - г) (3)
изображается графически множеством Р, показанным
на рис. 1 Ему принадлежат все точки открытой
левой полуплоскости и все точки биссектрисы первого
координатного угла. Ведь при х0<0 н при любом г/0
точка (х0; ?/о) превращает предложгнне (<) в истинное
высказывание, поскольку высказывание лож
но, а из ложного высказывания вытекает любое вы-
сказывание: Л => Л, Если же хс">0, то точтся.
(х0; jfo) превращает (3) в истинное высказывание дщщ»
при уо—Хо-
Аналогично, высказывателвная форма
• х ч, 9) ~Ф(у — —л) (4)
изображается графически множеством Q, показанным
на рис. 2. Ему принадлежат все точки замкнутой
правой полуплоскости п в<-<; точки биссектрисы второго
координатного угла.
Рнс. I
Рис. 2
Пересечение же Р f] Q совпадает с графиком функ-
ции у = |х| Таким образом, соотношение (1") верно,
т. е. использование в (г) или в (1) фигурной скобки
правильно.
Если в (1) заменить фигурную скобку квадратной, то
мы получим множество Р U Q, представляющее собой
всю координатную плоскость, а вовсе не график функ-
ции у=г|х|. Таким образом, заменить в (1) или в (1')
фигурную скобку иа квадратную нельзя. Это приведет
к ошибке.
Теперь осталось проверить, допустима ли запись (2"),
а следовательно, и (2).
Высказывательная форма
(х>0)Д(у = х).
же соотношение (1) занимает меньше места (две стро-
ки вместо четырех). В связи с этим Солее предпочти-
тельной (и традиционно употребляемой) является за-
пись (1).
Заметим в заключение, что фигурная скобка традици-
онно используется в математике не только в записи (I),
но и в других «кусочных» определениях, т. е. в тех
случаях, когда функция задается разными выражения-
ми на нескольких различных промежутках Например,
если автомобиль ехал 3 ч со скоростью 60 км/ч, затем
2 ч стоял и после этого 4 ч ехал со скоростью 80 км/ч,
то функция, выражающая пройденный автомобилем путь
(в указанных единицах и при отсчете времени от на-
чала движения), определяется равенством:
«(/) =
6О< при
180 при з < / < 5,
180Н 80(/—5) при
Здесь, как и в других «кусочных» определениях, фи-
гурная скобка употребляется в смысле «и» (конъюнк-
ция).
Еще один пример — определение скалярного произве-
дения
—► —► —► —> —►
I а | ( b | cos а при а =/= 0 и Ь =£ 0 (где а — угол
а-Ь = -♦ -»
между а и Ь),
О при а = 0 или 6=0.
т. е. система
| *>0.
Здесь также «при» имеет смысл импликации, а фигур-
ная скобка — конъюнкции.
определяет графически биссектрису первого координат-
ного угла, а высказывательная форма
(х < 0) Л (№= —х)
определяет биссектрису второго координатного угла без
начальной точки Объединение же этих множеств дает
график функции г/=|х|. Таким образом, соотношение
(2"), или (2), является правильным.
Обратим внимание на различие логических операций
(которое и вызвало вопросы авторов писем): в (1")
внутри скобок используется импликация (=*-), а в (2")—
конъюнкция (Д). Именно этим различием и объясня-
ется то, что внешняя скобка в (1) является фигурной,
а в (2) — квадратной.
Следует отметить, что в записи (1) иногда вместо
«если» употребляется слово «при»:
{х при л>0,
—х при х < 0,
а иногда просто запятая
х>Ъ,
х<0.
Обе записи следует понимать только в том смысле, что
«при» или «,» обозначают импликацию («если»). По-
этому последняя запись особенно нежелательна (ведь
запятая не является логическим знаком, и есть опас-
ность спутать подразумеваемый вместо нее знак =>- с
каким-либо другим логическим союзом).
Какая же из записей (1) и (2) является более удоб-
ной? Чтобы ответить на этот вопрос, заметим, что со-
отношение (1) непосредственно указывает, чему равны
значения функции j/=|x|, а из (2) увидеть, чему рав-
ны значения функции, психологически сложнее. К тому
Проблемы методической
подготовки учителя
математики
А. А. СТОЛЙ?
(г. Могилев)
ЧЕМУ ДОЛЖНА УЧИТЬ МЕТОДИКА
ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
Постановление ЦК КПСС и Совета Министров СССР
«О дальнейшем развитии высшей школы и повышении
качества подготовки специалистов» указывает па то.
что главное внимание высшей школы должно быть со-
средоточено на всестороннем улучшении качества про-
фессиональной подготовки специалистов. В свете этого
постановлении особую значимость приобретает методи-
ческая подготовка учителя математики, синтезирующая
всю его профессиональную подготовку.
Из задач, сформулированных в постановлении ЦК
КПСС «О дальнейшем улучшении идеологической, по-
литико-воспитательной работы», непосредственное отно-
шение к методической подготовке имеет задача «доби-
ваться органического единства учебного н воспитатель-
ного процессов, формирования у учащихся научного
мировоззрения, высоких морально-политических ка-
честв, трудолюбия».
Существенная особенность этих задач заключается
в том, что, с одной стороны, они касаются методов
48
школьного обучения математике, с другой — методов
обучения студентов — будущих учителей — методике
преподавания математики в школе. Взаимосвязь этих
двух сторон раскрыта в докладе министра просвещения
СССР М. А. Прокофьева на Всесоюзном съезде учите-
лей [1].
В решении сформулированных задач в области мето-
дической подготовки учителя математики имеется не-
мало нерешенных проблем. О некоторых из них пойдет
речь ниже.
Научные основы методики раскрываются в общих за-
конах педагогики и принципах советской дидактики. Во-
прос состоит в том, как н i б« >е законов педагогики и
принципов ди там аки строить методику преподавания
математики, теорию обучения математике, конкретную
дидактику, учитывающую специфику учебного пред-
мета.
Некоторые из этих вопросов в общем виде были по-
ставлены в статье президента АПН СССР В. Н. Столе-
това [2]. Печатаем, что проблема методической п, дго-
товки утителя математики, обсчждение которой было
начато ранее в статье [3], должна стать предметом спе-
циального обстоятельного обсуждения.
Конкретизация обшедндаклическпх принципов, мето-
дов и форм обучения с учетом специфики учебного
предмета (математики) — дело сложное, и оно отнюдь
не сводится к цитатам из исдаготкн или к вставке
। тога «математика» в тск'т, составляющий описание
педагогических катс'орпй Отна.чо именно такое упро-
шенное решение вопросов встречается в учебном по-
собии [4]. В частнО| ти, если во всем тексте параграфа
Ю методах и формах обучения математике» (с, 294—
2Е) вычеркнуть слово «математика» (всюду, где оно
тречастся в нем), текст не потеряет смысла, а пре-
вратится в некоторое описание методов и форм обуче-
ния вообще и вполне может быть помещен в пособии
по дидактике. Это свидетс и.ствует о том, что в рас-
сматриваемом изложении не отражена специфика учеб-
ного предмета (математики), что это изложение со-
ставлено лишь путем формального многократного до-
бавления слова «математика» к общедидактическому
ратмотрению вопроса о методах и формах обучения
Можно согласиться с определением современной ди-
дактики математики, данными в пособии [5] (с. 12). Од-
нако дальше в пособии происходит подмена содержания
этого предмета длинным, громоздким изложением фраг-
ментов традиционной Аристотелевой логики (посвящен-
ным понятиям, суждениям, умозаключениям и т. д.),
не относящихся ни к предмету традиционной методики,
ни к предмету современной дидактики математики, но
весьма близких к «Ло> ическому словарю-справочнику»
Н. И. Кондакова (М Наука, 1975).
Совершенно очевидно, что вопросы «Каков предмет
математической логики?», «Что такое мышление?», «Что
такое умозаключение?» и т. п., на которые пытаются от-
ветить авторы пособий [4] и [5], не относятся к курсу
методики преподавания математики.
В методической литературе появляются и такие ра-
боты, в которых предпринимаются наивные попытки соз-
дать универсальную методическую систему, одинаково
пригодную для обучения учащихся как младшего, так
и । таршего возраста любому предмету [6].
Чему Же должна учить методика преподавания мате-
матики’ Кзк и всякая вузовская учебная дисциплина,
она должна прежде всего излагать систему научных
SH3HI й. почерни тых из соответствующей научной тео-
рии теории обучения математике.
У оная лиецпп чина «методика препоат зн.'я мате-
матики» до |ЖН’ разумеется, учить не то ;ько теории,
но и практике об ченчя математике, «техно .огии» пр
меаения этой теории в конкретных учебных сит ациях
Она должна дать будущим учителям систему удгеипй
3 Математике в шкозе М 6
н навыков в осуществлении выбора и целесообразного
сочетания различных методов обучения, наилучшим об-
разом соответствующих его содержанию, структуре,
возможностям умственной деятельности учащихся и це-
лям обучения на данном этапе.
Самостоятельная научная дисции типа — дидактика
математики — развивающаяся на стыке педагогической
психологии дидактики, математики, логики и социоло-
гии. получает в настоящее время все более широкое
признание. Однако достаточно развитой научной теории
обучения математике пока нет ни в нашей, ни в зару-
бежной литературе. Разумеется, в имеющейся литера-
туре отражено немало общетеоретических концепций, на
базе которых можно строить различные теории обуче-
ния математике, отличающиеся психолого-дидактиче-
ским базисом или целями и задачами, выдвигаемыми
обществом перед математическим образованием.
Остановимся на попытке систематизации эмпирическо-
го материала по методике преподавания математики,
основанной на обучении математической деятельности,
которая является предметом наших многолетних теоре-
тических и экспериментальных шелеюваний и получи-
ла некоторое отражение в книгах [7] и [8].
1 При построении теории обучения математике мы
исходим из задач среднего образования, определенных
потребностями развитого социалистического общества в
эпоху научно технической революции, из роли и места
математики в жизни современного общества, ее специ-
фики в качестве учебного предмета, ее воспитывающих
и развивающих функций.
2. В основу теории положена определенная психоло-
гическая концепция — разработанный нашими психоло-
гами деятельностный под.хол. рассматривающий всякое
обучение как обучение некоторой деятельности (в ко-
нечном счете мыс ште.льиой. так как всякая практике
ская деятельность является ее внешним отражением).
В результате конкретизации этого общего психологиче-
ского подхода мы получаем концепцию обучения опре-
деленного рода мыслительной деятельности, специфиче-
ской для математики и называемой поэтому математи-
ческой деятельностью
При построении системы теории обучения иа базе при-
нятой концепции мы исходим из млели, выделяющей
три основные аспекта матемаы :еской деятельности:
1) математизация эмпирического материала (МЭМ)
или математическое описание конкретных ситуаций
2) логическая организация математического матер и-
ла (ЛОММ), полученного в результате первого аспекта
деятельности;
3) применение математической теории (ПМТ), пел
чеипоь в результате второго аспекта деятельиостч
Математический материал, полученный в качеств •
описания конкретной ситуации (эмпирического материн
ла) обычно представляет собой конечное множество
предложений A1={pi, р2, ..., Рт.}
Под ЛОММ понимают выявление нз М возможно
минимального подмножества 4(АеМ) посылок («ло-
кальных аксиом»), из которых следуют все остальные
предложения М.
Следовательно, такая «локальная» (в рамках не-
большой темы) ЛОММ, по существу, означает построе-
ние маленькой теории. Описанная модель, как и вся-
кая другая, отражает моделируемый объект лишь упро-
щенно, схематично. Но она выделяет некоторые действи-
тельно основные аспекты математической деятельности,
к тому же, по-видимому, наиболее важные с познава-
тельной точки зрения
Три стороны единого процесса познания отражаются
в трех взаимосвязанных аспектах математической дея-
тельности. Это пот ение явт< гея м'тодологической
основой описываемой концепции георпп обу гения ма-
те малике,
4J
Таблица 1
Основные аспекты мате* матической деятельности Основные типы проблемных ситуаций
цель известное неизвестное результат
I. МЭМ II. ЛОММ III. ПМТ Введение новых поня- тии Систематизация зна- ний Раскрытие возможно- сти применения знаний в новой ситуации ЭМ, конкретная ситуация, подлежащая математическому описанию ММ, совокупность математи- ческих предложений, описы- вающих ЭМ, почерпнутых из опыта, логически не упорядо- ченных ЭМ, конкретная ситуация, задача и необходимая МТ Математический ап- парат, необходимый для описания ЭМ Способ логической организации ММ Способ применения МТ к новому ЭМ в новой ситуации Новые матема- тические знания Система мате- матических зна- ний Перенос мате- матических зна- ний
В принятой модели отражены и некоторые особен-
ности исследований в математике и в областях науки,
где применяется математика. Подобные исследования
часто начинаются с поиска математического языка и
аппарата для описания изучаемого обьекта, построения
его математической модели (деятельность по МЭМ).
Затем исследуется и совершенствуется построенная мо-
дель с помощью соответствующей теории или же строит-
ся математическая теория изучаемого объекта (ЛОММ).
И наконец построенная теория с помощью различных
интерпретаций применяется к новым объектам (дея-
тельность по ПМТ). Эта аналогия приближает процесс
обучения к процессу исследования.
Главное при таком обучении заключается в том, что
учащиеся сами становятся соучастниками построения
некоторой маленькой теории. После изучения темы
учащийся смотрит на изложенный в учебнике матери-
ал как на результат собсгвечного исследования (про-
веденного. разумеется, под руководством и с помощью
учителя).
Реализация зтого подхода к обучению требует боль-
ше времени, чем при традиционном подходе, так как
включает систему задач, поэтому он не может приме-
няться к каждой теме школьного курса. Целесообразное
сочетание различных методик с учетом специфики содер-
жания обучения является важной педагогической за-
дачей.
3. Теория обучения математике, являясь продолжени-
ем и конкретизацией дидактики, должна опираться на
определенную общедидактическую систему. В качестве
такой мы принимаем систему проблемного обучения, со-
гласно которой процесс обучения протекает в виде сня-
тия последовательно создаваемых в учебных целях
проблемных ситуаций.
Конкретизация общедндактической системы проблем-
ного обучения при обучении математической деятель-
ности приводит к трем основным (специфическим для
обучения математике) типам пооблемных ситуаций, от-
личающихся учебными целями, природой известного и
неизвестного, несогласованность которых порождает
проблемную ситуацию, и результатами ее снятия.
Краткая характеристика основных типов проблемных
ситуаций даиа в табл. 1.
Система общедидактических принципов дополняется
двумя принципами, характерными для обучения мате-
матике:
(1) Школьный курс математики должен отражать
фундаментальные идеи и логику современной математи-
ки (разумеется, в определенной мере, в какой это до-
пускает уровень мыслительной деятельности учащихся).
(2) Процесс обучения математике должен строитьея
подобно процессу исследования в математике, он дол-
жен имитировать провесе творческого поиска в матема-
тике (опять-таки в определенной мере, в какой это до-
пускает уровень мыслительной деятельности учащихся).
Первый принцип относится к построению содержаичя
и в какой-то мере представляет собой конкретизацию
обшедидактического принципа научнохтн; второй прин-
цип относится к построению процесса обучения и кон-
кретизирует обшедидактический принцип проблемности,
в реализации которого центральное место занимают ис-
следовательские методы Эти методы ориентированы
главным образом на обучение не готовым знаниям, а
познавательной деятельности, результатом которой яв-
ляется усвоение необходимой системы знаний.
4. Анализ познавательной деятельности выявляет три
основных ее компонента: а) набор общих логических
приемов мышления; б) набор специфических приемов
мышления (аспектов математической деятельности, в ко-
торых используются и общие логические приемы мыш-
ления); в) система знаний.
Система знаний является и важной компонентой, н
результатом познавательной деятельности Это объясня-
ется тем, что формирование и развитие системы знаний
происходит постепенно в процессе учения с помощью
логических и специфических приемов мышления на ба-
зе уже полученных знаний.
Наиболее частое применение тех или иных логических
приемов в различных аспектах математической деятель-
ности представлено в табл. 2.
Таблица 2
Логические приемы мышления Аспекты математической деятельности
МЭМ ЛОММ ПМТ
Индукция Дедукция + + +
Анализ 4- + +
Синтез + + +
Сравнение + +
Сопоставление + +
Классификация Обобщение + + +
Абстрагирование Конкретизация + +
50
Логические и специфические приемы мышления лежат
в основе исследовательских методов, способствующих
интенсификации влияния обучения на логическое и ма-
тематическое развитие учащихся.
Роль логики в теории и практике обучения матема-
тике состоит в том, что, во-первых, усвоение общих ло-
гических приемов мышления является необходимым ус-
ловием формирования и развития познавательной дея-
тельности и, во-вторых, разработанные в рамках мате-
матической логики (являющейся одновременно и «мате-
матикой логики», и «логикой математики») язык и не-
которые общие понятия (высказывания, предикат, логи-
ческие операции, отношения следования н др.) способ-
ствуют раскрытию структуры и бопее глубокому пони-
манию математики. Речь идет лишь о разумном, дидак-
тически целесообразном применении некоторых логиче-
ских понятий и соответствующего языка как важных
вспомогательных средств обучения. Переоценка роли ло-
гики как одной из основ теории обучения математике
так же вредна, как и недооценка этой роли.
В связи с уточнением роти логики в теории и прак-
тике обучения математике уместно привести высказы-
вание академика А. Н. Колмогорова. «Ответственность
преподавателей математики здесь особенно велика,
так как отдельного предмета «логика» в школе нет и
знакомство с началами логики практически в значитель-
ной мере происходит на уроках математики» [9].
5. Один из основных аспектов математической дея-
тельности — ПМТ — связан с решением разного рода за-
дач. Естегтвенно, что концепция обучения математиче-
ской деятельности должна включать и определенную
стратегию обучения решению задач.
Можно выделить три учебные ситуации, обусловлива-
ющие различную стратегию обучения решению задач:
1) решается стандартная задача и соствегствующпй
алгоритм известен учащимся;
2) решается стандартная задача и соответствующий
алгоритм еще не известен учащимся;
3) решается нестандартная задача.
В ситуации 1 необходимо учить распознавать класс
стандартных задач, которому принадлежит данная за-
дача, и применять общее предписание, предназначенное
для решения любой задачи этою класса к данной част-
ной задаче.
В ситуации 2 необходимо учить переходу от решения
частных задач, однотипных, принадлежащих одному
классу, к описанию общего метода (алгоритма) для
решения любой задачи этого класса ([8], гл. 1, § 4).
В ситуации 3 при решении любой нестандартной за-
дачи возникает необходимость поиска решения, а сле-
довательно, необходимо обучать учащихся некоторым
методам поиска.
Анализ мыслительной деятельности человека в процес-
се поиска решений показывает, что он продвигается по
пути «проб и ошибок» (эта деятельность и была осно-
вой при разработке регулярных методов поиска реше-
ний для обучения ЭВМ этому поиску). Теперь откры-
вается возможность для заимствования некоторых идей
кибернетики в частности разработанных в ней методов
поиска решений с целью разработки методов обучения
учащихся поиску решения нестандартных задач ([8],
гл. 1, § 5).
6. Описанная нами в самых общих чертах концепция
теории обучения математике является, разумеется, лишь
одной из возможных, к тому же, быть может, и не
наилучшей. Однако она позволяет систематизировать
накопленный многочетним опытом эмпирический мате-
риал в области методики преподавания математики и
объяснять с единой точки зрения установленные опыт-
ным путем общие закономерности и рекомендации к
преподаванию конкретных тем. Кроме того, разработан-
ная на базе описанной концепции конкретная методика
обучения различным аспектам математической деятель-
ности ([7], [8]) и соответствующие системы задач на
материале различных разделов школьного курса при
экспериментальной проверке оказались достаточно эф-
фективными в достижении всех целей обучения.
Особо отметим, что в рамках принятой концепции
естественным образом нэходит свое решение проблема
межпредметных связей. Это решение вытекает из самой
принятой модели. С одной стороны, теория обучения
математике строится действительно (а не на словах)
на стыке психологии, педагогики, математики и логики,
при этом четко выявляются отношения между методи-
кой преподавания математики и каждой из этих базис-
ных дисциплин. С другой стороны, в принятой модели
математической деятельности два из трех основных
аспектов деятельности (математизация и применение
теории) отражают межпредметные связи в школьном
обучении математике, причем и здесь эти связи выте-
кают из самой концепции обучения.
7. Концепция обучения математической деятельности
отвечает не только общеобразовательным, но и воспи-
тательным целям обучения, в том числе воспитанию на-
учного мировоззрения.
Особенность проблемы воспитания правильных мате-
риалистических концепций у учащихся в процессе об-
учения математике связана с высокой степенью общно-
сти и абстракции математических теорий, легко приво-
дящих к неправильным толкованиям предмета Различ-
ные неправильные толкования предмета математики
объясняются именно тем, что математическая теория
рассматривается в них ограниченно, в одном лишь ас-
пекте; логическое построение отрывается от реальной
основы, на которой оно выросло, и от приложений, ра-
ди которых оно осуществлено.
8. Существуют различные понимания того, как учить
студентов — будущих учителей—методике преподава-
ния математики в школе. Здесь также много нерешен-
ных проблем. Рассмотрим лишь одну: должны ли ме-
тоды исследования проблем обучения математике нахо-
дить отражение в учебной дисциплине «Методика пре-
подавания математики»? Если исходить из того, что
студентов следует обучать не только результатам науч-
ных исследований, но и методам, приводящим к этим
результатам, а именно такая задача ставится в настоя-
щее время, когда говорят об учебно-исследовательской
работе студентов (УИРС), то ответ па поставленный во-
прос положителен.
Но что такое УИРС? Это новое понятие. В литерату-
ре встречаются различные толкования. Мы исходим из
того, что УИРС является новым стилем, новой системой
подготовки учителей, а не дополнением к традицион-
ной Мы придаем словам «учебно-исследовательская ра-
бота» двойной смысл. С одной стороны, речь идет об
обучении студентов элементам исследовательской рабо-
ты, с другой — сами исследуемые проблемы являются
учебными, т. е. они уже решены в науке, ио в процессе
обучения имитируется исследование, с помощью которо-
го получено их решение.
Исследовательский опыт необходим учителю, в част-
ности, и для того, чтобы он мог организовать процесс
обучения школьников подобно процессу исследования.
Для того чтобы знания учащихся были результатом их
собственных поисков, их самостоятельной познаватель-
ной деятельности, необходимо организовать этн поиски,
управлять ими, развивать познавательную деятельность
учащихся, что, несомненно, более сложно и требует ме-
тодической подготовки более высокого уровня, чем объ-
яснение изложенного в школьном учебнике материала
и требование его заучивания учащимися. Вряд ли такое
преподавание сможет осуществить учитель, не имею-
щий опыта исследовательской работы (хотя бы на уров-
не учебного исследования).
3*
51
Совершенно очевидна значимость разработки и широ-
кого внедрения системы УИРС в методической подго-
товке учителя математики.
Лишь совместными усилиями многих исследователей
может быть достигнут успех в решении сложных проб-
лем связанных с приведением методической подготовки
учителя математики в соответствие с современными тре-
бованиями, с подготовкой учителя, способного творче-
ски решать актуальные учебно-воспитательные задачи,
поставленные партией перед советской школой.
Литература
1. Учительская газ., 1978, 29 июня.
2. Столетов В. Н. За действенную связь педагогиче-
ской науки и школьной практики. — Математика в шко-
ле, 1977, № 3. с. 5—7.
3. Черкасов Р. С. О методической подготовке учите-
ля математики в педагогическом вузе. — Математика в
школе, 1976, № 5, с. 80—84.
4. Калягин Ю. М. и др. Методика преподавания мате-
матики в средней школе. Общая методика. — М: Про-
свещение, 1975.
5. Метельский Н. В. Дидактика математики. —
Минск: Нзд-во БГУ, 1975.
6. Эрдниеь П. М. Преподавание математики в шко-
ле. — М.: Просвещение, 1978.
7. Столяр 4. А. Педагогика математики Курс лекций.
2-е изд., доп. и перераб.— Минск: Вышэйшая школа,
1974.
8. Практикум по педагогике математики/Под общ.
ред. А. А. Столяра — Минск: Вышэйшая школа, 1978.
9. Колл огоров А. Н. Научные основы школьного кур-
са математики. Первая лекция. Современные взгляды на
природу математики. — Математика в школе, 1969,
№ 3, с. 17.
внеклассная работа
Н. Б. ВАСИЛЬЕВ, В. Л. ГУТЕНМАХЕР,
А. И. ЗЕМЛЯКОВ, Н. X. РОЗОВ,
Т. А. САРЫЧЕВА (Москва)
XIII ВСЕСОЮЗНАЯ ОЛИМПИАДА
ШКОЛЬНИКОВ
Заключительный этап XIII Всесоюзной олимпиады
школьников по математике проходил в этом году с 11
по 18 апреля в Тбилиси — там же. где 12 лет назад со-
стоялась I Всесоюзная' олимпиада. В столице Советской
Грузии собрались 152 юных математика: 39 восьмиклас-
сников. 54 девятиклассника, 59 десятиклассников.
Олимпиада началась с торжественного возложения
цветов к памятнику В. И. Ленину. Затем в республи-
канском Дворце пионеров и школьников олимпиаду от-
крыл председатель оргкомитета министр просвещения
ГССР О. Д. Кинкладзе. Участников олимпиады сердеч-
но приветствовали и пожелали больших успехов в со-
ревновании и дальнейшей учсбь зам. председателя Со-
вета Министров ГССР О. Е. Черкезия, президент АН
ГССР Е. К. Хорадзе и другие.
Как всегда, заключительный этап олимпиады прово-
дился в два тура. На 1 туре участникам было пред то-
/сено по 3 задачи, на решение которых отводилось 4 ч.
Задания II тура состояли из 4 задач и были рассчитаны
на 5 ч работы.
Хотя в целом задачи были достаточно серьезны, уча-
стники олимпиады показали высокие результаты. В част-
ности, не было ни одного задания (кроме пункта «б»
последней задачи для X класса), которого бы никто не
решил. В ряде задач школьники предложили не из-
вестные ранее способы решения. Отметим, что в этом
году набор заданий наряду с традиционными «олимпи-
адными» задачами включал и несколько упражнений,
близких к школьным, они могут быть использованы учи-
телем как учебные.
По итогам заключительного этапа XIII Всесоюзной
олимпиады школьников по математике жюри присуди-
ло 14 дипломов I степени, 31 диплом II степени и 36
дипломов III степени (VIII кл.— 8 человек, IX кл.—
12 человек, X кл.— 16 человек). Кроме того, выступ-
ление на олимпиаде 44 школьников отмечено грамота-
ми; всем остальным вручены памятные дипломы участ-
ника олимпиады.
Приводим список участников олимпиады, награжден-
ии т дипломами I и II степени (полный список победи-
телей публикуется в журнале «Квант», 1979, № 11).
Диплом I степени
VIII класс: Барздинь Гунтис (шк. № 145 Киева),
Рублев Богдан (ФМШ при КГУ), Чеканов Юрий (шк.
№ 91 Москвы)
IX класс: Беспамятных Сергей (шк. № 12 г. Арте-
мовского Свердловской обл.), Концгвич Максим (шк.
№ 91 Москвы), Кузьмин Юрий (ФМШ при МГУ), Раз-
боров Александр (шк. № 2 Москвы), Ткаченко Юрпй
(шк. № 145 Киева).
X класс: Амброладзе Мурман (ФМШ Тбилиси),
Дегтярев Александр (шк. Ns 30 Ленинграда), Захаро-
вич Илья (ФМШ при ЛГУ), Лысеиок Игорь (ФМШ
при МГУ), Ляховец Андрей (ФМШ при МГУ), Хлебу-
тин Сергей (ФМШ при МГУ).
Диплом II степени
VIII класс: Алания Леван (ФМШ Тбилиси), Алек-
сеев Валерий (шк. № 9 г. Миасса), Аралкин Андрей
(шк. № 47 г. Новокузнецка), Бураго Дмитрий (ФМШ
при ЛГУ), Гр”нберг Наталья (шк. № 145 Киева), Драм-
бян Рубен (ФМШ Еревана), Маланюк Тарас (ФМШ при
KTV), Мннарский Андрей (шк. № 80 Ленинграда),
Мелгалвнс Алчис (шк. Ns 1 Риги), Овчинников Павел
(шк. № 11 г Вязники), Огурцов Алексей (шк. № 6
г. Светлогорска), Пименов Андрей (шк № 123 Казани),
Шулюпов Владимир (шк. Ns 28 г. Тулы), Эпиктетов
Михаил (шк. Ns 15 Алма-Аты).
IX класс: Артюшкпн Игорь (шк. Ns 16 г. Пензы),
Балинский Александр (шк. Ns II г. Львова), Василов-
ский Сергей (шк. № 30 Ашхабада), Зайцев Юрий (шк.
Ns 6 г. Видное Московской обл.), Ижболдин Олег
(ФМШ при ЛГУ), Канепс Янис (шк. Ns 1 Риги), Кела-
рев Андрей (шк. № 141 г. Свердловска), Коротков
Александр (шк Ns 58 г. Воронежа), Лернер Леонид
(шк. № 8 Вильнюса), Набоков Руслан (шк. Ns 13 г. Са-
ратова), Радченко Вадим (ФМШ при КГУ), Сивацкий
Александр (ФМШ чри ЛГУ), Стрелецкий Александр
(шк. Ns 8 Вил1нюса).
X класс: Ашкинази Александр (шк. Ns 315 Моск-
вы), Надеждин Борис (ФМШ при Ml У), Облаков
Игорь (ФМШ при ЛГУ), Рудковский Михаил (ФМШ
при КГУ).
Ряду участников заключительного этапа олимпиады
были вручены специальные призы, установленные Ми-
нистерством просвещения СССР, Министерством просве-
щения ГССР, ПК ЛКСМ Грузии, АН ГССР, Тбилисским
52
университетом, производственными предприятиями рес-
публики и другими организациями: за лучшие индиви-
дуальные достижения, за оригинальные решения, за ре-
шения наиболее трудных задач, за умелое сочетание за-
нятий математикой с активной комсомольской работой,
со спортивными достижениями и т. д.
Восемь участников олимпиады из числа победителей
вошли в состав сборной команды СССР д пя выступле-
ния на Международной олимпиаде по математике, ко-
торая проходила в Лондоне.
Участники олимпиады, безусловно, надолго запомнят
заботливый прием, оказанный нм работниками Минис-
терства просвещения ГССР и коллективом Республикан-
ской физико-математической школы-интерната им.
В. М. Комарова, теплые встречи с учениками тбилис-
ских школ, яркие впечатления от экскурсий по Тбилиси
и его окрестностям — от древней Мцхеты до нового ком-
сомольского городка им. Б. Дзнеладзе, замечательные
театральные и музыкальные вечера. Запомнят юные
математики и встречу с чемпионкой мира по шахматам
Майей Чебурданидзе. Она провела сеанс одновременной
игры на 20 досках с представителями всех команд. Уже
«ничья» была большой радостью для участников встре-
чи так закончились 7 партий.
Впервые для участников олимпиады была выпущена
специальная брошюра, в которой наряду с приветствия-
ми от видных деятелей науки и культуры Грузии содер-
жалась интересная информация о разносторонней ра-
боте, проводимой в республике с юными любителями
математики (в том числе — о первой в Советском Сою-
зе математической олимпиаде школьников, состоявшейся
в Тбилиси в 1933 г.).
В дни олимпиады проводилось и много разнообраз-
ных научных мероприятий. Кроме разбора решений за-
дач и их обсуждения для участников олимпиады были
организованы лекции и встречи с членами жюри, с ма-
тематиками, приглашенными советом молодых ученых
Грузии, с редколлегией журнала «Квант».
Вся эта насыщенная и содержательная программа за-
ключительного этапа была полностью и четко осуществ-
лена благодаря большому вниманию к олимпиаде пар-
тийных и советских органов республики, грузинских ма-
тематиков. Особенно много сил н времени уделили под-
готовке и проведению олимпиады министр просвещения
ГССР О. Д. Кинкладзе, зам. министра просвещения рес-
публики 3. А. Ломидзе, председатель жюри олимпиады
чл.-кор. АН ГССР Т. Г. Гегелия, директор Республикан-
ской ФИШ 4 Л Ц гадая.
Ниже помещены условия задач заключительного эта-
па XIII Всесоюзной олимпиады школьников по матема-
тике и их краткие решения. В скобках после текста
условия каждой задачи указаны: класс, в котором за-
дача предлагалась; количество участников олимпиады,
решивших задачу полностью или с небольшими недо-
четами; автор задачи. Более подробные решения этих
задач, а также иные варианты решений будут опубли-
кованы в журнале «Квант».
Условия и краткие решения задач
I. Какое наименьшее значение может иметь отноше-
ние площадей двух равнобедренных прямоугольных тре-
угольников, три вершины одного из которых лежат на
'грех разных сторонах другого? (VIII—5, IX—22; В. Б а-
т ы р е в I
Ответ (неочевидный!): наименьшее значение рав-
но 1/5; оно достигается в том случае, когда вершина
прямого угла одного треугольника лежит на катете
другого и делит его в отношении 2:3.
Пусть а — длина катета большего треугольника Д,
а вершина прямого угла вписанного в него треуголь-
ника Д' находится на катете Д, причем ее расстояние
до вершины прямого угла Д равно х.
Площади треугольников Д' и Д относятся как квад-
раты их катетов.
х2 4- (а — 2х)2 /х 2 V 1
о2 = 5\~— b) + 5 •
Отсюда видно, что минимум отношения площадей ра-
вен 1/5.
Возможен еще случай, когда вершина прямого угла
Д' находится на гипотенузе Д (тогда расстояния от
этой вершины до катетов Д равны а/2). Так как кате-
ты Д' не меньше, чем а/2, то минимум отношения пло-
щадей достигается, когда Д' образован средними ли-
ниями Д. Минимум отношения площадей в этом случае
равен 1/4.
2. Кенгуру прыгает по углу х^О, у^О координатной
плоскости Оху следующие образом: из точки (х; у)
кенгуру может прыгнуть в точку (x-f-l; у — 1) илш теч-
ку (х—5; у4-7), причем прыгать в точки, у которых
одна из координат отрицательна, не разрешается. Из
каких начальных точек (х; у) кенгуру не может по-
пасть в точку, находящуюся на росс тоянии более
1000 от начала координат? Нарисуйте множество всех
таких точек (х; у) и найдите его площадь. (VIII—19;
А. Кушниренко, А. Сосинский.)
Ответ: множество точек, из которых кенгуру не
может ускакать в «бесконечность», — ступенчатая фигу-
ра К из 54-44-34-24-1 = 15 незаштрихованных клеток,
показанная на рис. I.
По условию, кенгуру может прыгать на векторы а =
(1; —1) и Ь=(—5; 7), не выходя при этом за преде-
лы угла х^0, у^0. Из точек фигуры К прыжок на а
снова приводит в точку из К, а прыгнуть на b вообще
невозможно, так что выйти из К не удастся. Из любой
же точки заштрихованной области кенгуру может не-
сколькими прыжками на а попасть в область хГ>5(«/^0),
а из любой точки этой области прыжками на 04 5а=
= (0; 2) уйти на расстояние больше 1000 от начала
координат.
Эта задача оказалась хорошим тестом на наблюда-
тельность и аккуратность. Много ответов-рисунков, дан-
ных школьниками, не совпадали в некоторых деталях
с настоящим ответом задачи.
3. В парламенте у каждого его члена не более трех
врагов Докажите, что парламент можно разбить на
две палаты так, чтобы у каждого парламентария в од-
53
ной с ним па tare будет не более одного врага. (Счи-
тается, что если А — враг В, то В — враг А) (VIII—
3; IX—9; X—13; О. Бородин.)
Распределим парламентариев по двум палатам про-
извольным образом. Пусть s — общее количество пар
врагов в той и другой палатах (в сумме). Если в ка-
кой-то палате у ее члена А не менее двух врагов, то
в другой палате у А не более одного врага. Поэтому
после перемещения А в другую палату величина а
уменьшится Поскольку уменьшение s может произойти
лишь конечное число раз, то после нескольких таких пе-
ремещений получим требуемое разбиение на палаты.
Кроме указанного решения этой изящной задачи воз-
можны более громоздкие доказательства по индукции.
При проведении такого доказательства учащиеся часто
допускали логические ошибки.
4. В тетради написано несколько чисел Разрешается
приписать к уже написанным числам любое число, рав-
ное среднему арифметическому двух или нескольких из
них, если только оно отлично от всех уже написанных.
Докажите, что, начиная с двух чисел 0 u 1, с помощью
таких приписок можно получить: а) число 1/5;
б) любое рациональное число между 0 и 1. (IX—а) 35,
б) 16; X—а) 56, б) 32; М. Серов.)
Представим число 24 = 16 в виде суммы пяти разных
слагаемых: 1+2 1-3+4+6. Среднее арифметическое пя-
ти чисел 1/16, 2/16. 3/16, 4/16 6/16 равно 1/5. В свою
очередь, каждое из этих пяти чисел легко получить,
взяв средние арифметические пар чисел: (0; 1), затем
(0; 1/2), (0, 1/4), (1/4; 1/2), (0; 1/8) и (1/8, 1/4). Тем
самым задача а) решена.
Аналогично можно решить и задачу б). Легко полу-
чаются все двоично-рациональные числа между 0 и 1
(числа вида а/211). Чтобы получить произвольную дробь
m/п, т<п, достаточно представить число т 2* (для
некоторого достаточно большого k) в виде суммы п
различных слагаемых (это можно сделать, если 2*> 1 +
+2+.„+п=п(п+1)/2); разделив затем каждое слагае-
мое на 2'*, получим п чисел, среднее арифметическое ко-
торых равно т/п.
Возможны и другие алгоритмы получения всех пра-
вильных дробей.
5. Убывающая последовательность (хп) положитель-
ных чисел такова, что при любом натуральном п
Докажите, что при любом натуральном п
Ответ:
(X—39; 3. Ч а н т у р и я.)
Воспользовавшись монотонностью, заменим каждое хт
ближайшим предшествующим ему хк, (k3 т
(fe + I)3— 1); тогда xft, >хт и для любого п вида
(/ + I)3 — 1 (где I = 1, 2,...) получим
(?+!)’ — II i
2 2^<з.
m=l fe=l й=1
Для других п это следует из положительности хп.
6. На плоскости дано несколько точек. Для некото-
рых пар (А; В) этих точек взяты векторы АВ, причем
так, что в каждой точке начинается столько же векто-
ров, сколько в ней заканчивается. Докажите, что сумма
всех взятых векторов равна 0. (VIII—36; В. Произ-
волов.)
Выберем где угодно точку О и представим каждый
нз взятых векторов АВ как О В — О А. В сумме всех
векторов АВ каждый вектор ОМ, где 41— одна из
данных точек, будет встречаться со знаком «минус»
столько же раз, сколько и со знаком «плюс».
7. Какое наименьшее число фишек нужно поставить
на поля шах чатной доски размером
а) 8X8 клеток;
б) п X п клеток
для того, чтобы на каждой прямой, проходящей через
центр произвольного поля и параллельной какой-либо
стороне или диагонали доски, стоя ча хотя бы одна
фишка? (Фишки ставятся в центры полей.) (VIII—
а) 15, б) 4, X — а) 41, б) 21; Н. Васильев.)
Ответ: а) 16; б) 2п при четнэм и и 2н+1 при не-
четном п.
В случае п = 8 (и аналогично — для любого четно-
го п) доказательство опгима.’н нести примера показан-
ного на рис. 2 очевидно здесь имеются 15 прямых,
параллельных одной диагонали, и на каждой должна
стоять фишка, кроме того на большей диагонали их
должно быть две — поскольку в каждом углу должна
стоять фишка. Для нечетного п из-за одной «лиш-
ней» фишки требуется более гонкое доказательство.
8. Найдите х и у из системы уравнений
X — V у? X3 — V2
-----= . _-_j—_= — а,
1 1 - X2 + у3
у — X уГ X3 — V»
--- _ — -- Ъ
V I — Xs + у3
(а и Ь — данные числа) (VIII—13; X—47; В. Гутен-
махер.)
а + b ]^в3 — Ь3
I 1 — J3 + Ь3
i + а /а3— Ь3
у 1 — а3 + Ь3
система имеет решение, если 0-<д2— й’<1.
Складывая и вычитая данные уравнения, получим
эквивалентную систему
f(x + у) (1 — > х3 - у3 ) = /1—х3+ у3 (а + 6).
дх — у) (1 + 4 Xs — у3) = у 1 — х3 + у2 (а — Ь).
Перемножая левые и правые части этих уравнений, на-
ходим
х2 — у» — а3 — Ь3. (2)
Используя это соотношение, систему (1) можно пере-
писать так-
+ у-
(а + &) у'1'-1 — а2 + £3
I — /а2 — &2
(а — Ь) /1 — д> + д3
1 + /а3 — Ь3
Складывая и вычитая эти уравнения, получим ответ.
54
Это рассуждение считалось достаточным для полу-
чения оценки «+>, ио, строго говоря, заменяя х2—у2
на а2—Ь3, мы получили лишь следствие исходной систе-
мы. Впрочем, поскольку полученные формулы ответа
совершенно такие же, как исходные уравнения (с за-
меной х на а и у на —Ъ), го из них, в свою очередь,
легко получить равенство (2) и вернуться обратно к
исходной системе; эта «обратимость» заменяет про-
верку.
В этой задаче в завуалированной форме присутству-
ет преобразование Лоренца из теории относительности
Эйнштейна:
t — vx'c3
9. Задан набор квадратов, сумма площадей которых
равна 4. Докажите, что квадратами этого набора всег-
да можно покрыть квадрат площади 1. (VIII—3;
А. Б а й н г р о б, Г. Гальперин.)
Уменьшим длину стороны а, каждого из данных квад-
ратов, лежащую в отрезке [2-к, 2~к+1[. до 2~к. От этого
она уменьшится ие более чем в 2 раза а поэтому пло-
щадь — не более чем в 4 раза. Теперь у нас есть на-
бор квадратов со сторонами вида 2~* (где k — неко-
торые натуральные числа) общей площадью больше 1.
Покрыть ими квадрат площади I уже не составляет
труда.
10. Докажите, что д 1я любых чисел хь х-2. Хп,
принадлежащих отрезку [0; 1], выполняется неравенство
(х, + хг + ... + хП + I)2 > 4 (х, + х‘ + ... + х‘п ) .
(IX—36; А. Плоткин, С. Фомин.)
Докажем сначала неравенство
(x,+xj + ... +хл+ 1)2>4(х, + х, + хя). (1)
Обозначим сумму х, через а; тогда неравенство (1)
принимает вид (а4-1)?^4а и становится очевидным.
Поскольку X/ xj для каждого xz £ [0; 1], то
4(х, -f- х2 + ... + х„)>4 (xj + x^-f- ... + х^),
и поэтому из неравенства (1) следует исходное нера-
венство.
11. Натуральные числа р и q взаимно просты. Отре-
зок [0; 1] разбит на p+q одинаковых отрезков. Дока-
жите, что в каждом из этих отрезков, кроме двух край-
них, лежит ровно одно из p-\-q—2 чисел:
1 2 р—1 1 2 q—\
р • р р q ’ q •••• q •
(IX—23; Н. Васильев.)
I ]
Две дроби —— и не могут лежать в одном от-
Г m m + 1 ] l
реьке17+7; F+7J’ поскольку всегла V <
< —;— < — (и не могут
из-за взаимной простоты р
таком отрезке (т — 1, 2,...
одна из указанных дробей.
совпадать с его концами
и q). Поэтому в каждом
, Р + q — 2) лежит ровно
12. Через точку О в пространстве проведено 1979
прямых (j, h, .... /is??, никакие две из которых не пер-
пендикулярны друг другу. На прямой ?| взята точка Аь
отличная от О. Докажите, что можно выбрать на каж-
дой из остальных прямых по точке Ал С 4 (Л=2, 3.......
1979) так, чтобы, следующие 1979 пап прямых были
взаимно перпендикулярными:
(А,А7) J. (А^Л,) ± (Aj_, А**,)!
(А)>71 А,,7>) J. (Дг.Д)1 7ци« (Ац79 A,) J. Z7.
(IX—17; Б. Агафонов.)
Для того чтобы выполнялось условие (A*-fA»+1) ±ZA,
проекции точек А*-, и A$+i иа 1ь должны совпадать;
таким образом, по точке А| мы можем последовате гьно
определить положения точек Аз, А5, ..., А1979, Аг, А», ....
Люте и должны убедиться, что на последнем шаге вновь
попадем в Аь Пусть е*—единичный вектор, параллель-
ный прямой 1ь; —угол между et и вл-и (ф1979— угол
между в|979 и Ci); ОАА=аьвА. Тогда по построению то-
чек А* а*+2соь фА<.(=а* cos фц (для 6=1. 1977) и
С2 COS?, - o,,lecos<p1(7(.
Перемножив эти равенства и сократив одинаковые
множители, получим нужное:
a, cos<p„„ - а,,7S cos<p,.„.
13. Конечная последовательность а, аг, .... ап из чи-
сел 0 и 1 должна удовлетворять следующему условию:
для любого целого числа k от 0 до п—1 сумма
ai ak+i + йа аЬ+г + • • • + йл—6 ап
является нечетным числом.
а) Придумайте такую последовательность для л=25.
б) Докажите, что такая последовательность сущест-
вует для некоторого л>1000. (IX — а) 2, б) 1; С. Ко-
ня г и н.)
Сначала укажем нужную последовательность для
п=4;
А4 = 1101. ,
Ответом для л=25 является последовательность
Агб— 1101 000 1101 000 0000000 1101.
Ее сокращенно можно записать так:
А,6-А7 4_3 - А1ОООА<ОО...ОА*.
--------------------- '* -V- -
4—1 3-4—2
Аналогично можно построить новую последователь-
ность А7т_3 по предыдущей Ат;
Ajm—i г Ащ 00., .0 Ат 00.. .0 Ат.
т—1 3m—2
На пятом шаге мы уже получим последовательность
длины
76 + 1
п = —> 1000.
Доказательство того, что при таком построении по-
следовательность удовлетворяет условию задачи, прово-
дится индукцией по т.
Возможны и другие серии примеров нужных после-
довательностей (одну из них нашел на олимпиаде де-
вятиклассник А. Разборов).
14. Выпуклый четырехугольник ABCD разрезан свои-
ми диагоналями на четыре треугольника Докажите,
что если радиусы всех четырех окружное геи, вписан-
ных в эти треугольники, равны между собой, то четы-
рехугольник ABCD — ромб. (X—15; А. Егоров.)
Пусть О — точка пересечения диагоналей. Предполо-
жим, что диагонали АС и BD не перпендикулярны
друг .другу — пусть, например, угол АОВ — острый. За-
метим, что окружности, вписанные в конгруэнтные
треугольники АОВ' и ВОА', где А’В'АВ — параллело-
55
Рис, 3
грамм с центром О, имеют меньший радиус, чем ради-
ус ' окружности, вписанной в zi АОВ (поскольку пло-
шали Д АОВ и Д АОВ' равны. а периметр Д АОВ'
оольше). Если из точек А ч В провести касательные к
окружностям радиуса г, вписанным в углы АОВ' и
ВОА' соответственно, то они пересекут лучи OB' и ОА'
в точках О и С, расположенных за В' в А' (рис, 3), и
отрезок СО не сможет коснуться окружности радиуса г,
вписанной в угол В'ОА'. Итак (AC)l(BD); тогда пря-
мые АС и BD очевидно, служат осями симметрии че-
тырехугольника ABCD и, значит, он — ромб
15. На прямой по порядку расположены точки Ао,
At... Ап так, что длины отрезков |АоА[|, lAtAj), ,.ч
|.4я_1Ап| ие превосходят 1. Требуется отметить fe—1 из
точек At, Ау, „., An-i красным цвете* * так, чтобы дли-
ны любых двух из k частей, на которые отрезок
разбивается красными точками отличались не более
чем на 1. Докажите, что это всегда можно сделать:
а) при ft~3;
6) для каждого натурального k<n. (X — а) 2, б) Oj
В Гринберг.)
Приведем решение пункта а), идея которого при
должном логическом развитии годится и для доказа-
тельства пункта б).
Поставим каким-то образом две красные точки В и
С (в некоторые точки Аг и А,) и сравним длины от-
резков [Ао$; |ВС| и |САЖ|. Пусть наибольший из
них длины М расположен с одного края — скажем
Л4 = |САп|, — а наименьший — с другого. Ели т =
----- |At>B| М—1, то все в порядке. Если же т<Л4—I,
то можно уменьшить М или прийгн к требуемому рас-
положению следующим образом. Передвнвем красную
точку В в одну нз следующих точек Аг+i, Ar+s, _. так,
чтобы длина нового левого отрезка А0В' оказалась при-
надлежащей отрезку [Л1—1; ЛГ[; ясно, что, добавляя кт
числа lA^.+tl, |Аг+1А<+г|.... ве превосходящие 1, мы
можем этого добиться. Если теперь и \В'С\^М— I, то
все в порядке. Если нет, то сдвинув вправо точку С,
мы заведомо уменьшим длину максимального отрезка.
Если же максимальный в минимальный отрезки с самого
начала расположены рядом (и разность их длин боль-
ше 1), то уменьшить максимум М можно сразу за
один шаг.
Итак, мы описали процедуру, последова гельное при-
менение которой неизбежно приведет к нужной рас-
становке красных точек. Школьники, решившие пункт а),
шли по другому пути: рассматривали две точки, деля-
щие отрезок на трч равные части, и доказывали (пе-
ребором), что некоторые соседние с ними точки Аг го-
дятся на роль красные точек Но подобное решение не
обоощается на общий случай б).
внимательная страница
ЧИСЛОВЫЕ РЕБУСЫ
В предлагаемых ребусах все цифры заменены буква-
ми и звездочками. Разные буквы обозначают развые
цифры.
1. ДОДЕКАЭДР
Х ДОДЕКАЭДР
СрКР^ЕэКД^А
•J х si'' 'А' ф Ф'
уф Ф Ф •'Ф -Ф -ф -Ф -Ф -ф хф
*.!*' ф' "ф- фх фх фх фх "фу -\ly фу
уф -Ф уф -ф уф -Ф ф. уф уф хф
vL- ф* фх ф" ф' фх six фх фх
уф ф хф хф хф уф хф уф уф уф
ф *Ф’ -ф фх фх -фу -ф фх
уф Ф -ф ф ф *Ф ф хф ,ф
ДОДЕКАЭДР
Я<- X » Ж Чг * * ж
од Е К АЭД р
Расшифруйте число ДОДЕКАЭДР.
2. v А В А Н С
АВАНС
*Р
* А Ж
X Й Ж
*****
К Р А Й Н О С ,Т Ь
Восстановите первоначальный вид примера на умно-
жение.
3. ТРИ
Х Д В А
Р * Ас*
Т **
* * *
Ш Е С Фь
Восстановите скрытый в этой записи пример на ум-
ножение.
Решевия
1. А=0 (шестая строка сдвинута относительно пятой
сразу ва два разряда влево); 0=1 (число в девятой
строке совпадает с числом в первой).
Четвертая строка заканчивается нулем. Отсюда, во-
первых, вместо двух после/ их звездочек третьей стро-
ки можно вписать буквы ДР, во-вторых, одна из этих
букв (Д или Р) обозначает пятерку, а другая является
четной цифрой. Предположим, что пятерку обозначает
буква Д. Тогда буква Р обозначала бы шестерку (ведь
последние цифры числа ДОДЕКАЭДР и его квадрата
совпадают, В этом случае в последней строке
предпоследней была бы не Д, а какая-то другая бук-
ва. Стало быть. Р=5. а Д — цифра четная. Лег-
ко определить, что Д=2 и четвертая строка закан-
55
чивается на 250. Последнее, в свою очередь, возможно,
только если Э=6 (единица ведь обозначается бук-
вой О).
Цифры К и Е должны быть больше 5 (в шестой и
седьмой строках стоят 10-значные числа). Рассматри-
вая же второе частное произведение, можно найти, что
К-2=1Е. Ясно, что Е=8 (четная цифра дольше 5),
а К=9.
Итак, ДОДЕКАЭДР = 212890625.
2. В=0 (шестая строка сдвинута влево относительно
пятой сразу на два разряда).
А =#= 1 (число н пятой строке отлично от числа
АВАНС) В то же время А^З (число АВАНС2 девя-
тизначно). Предположим что буква А обозначает двой-
ку: 2022=40 804 и 2032 = 41 209. т е в седьмой стро-
ке было бы К = 4, а из следующих • рех разных цифр
одна должна была бы быть нулем. Но ведь нуль обо-
значается буквой В, стало быть, А #=2; тогда А=3.
3032=91 809 и 3042=92 416, поэтому 918090000<
< КРАЙ НОСТЬ <924160000.
Так как в числе КРАЙНОСТЬ третья цифра тройка,
то буква Р может быть только двойкой.
Вторая цифра в третьей строке может быть двойкой
только тогда, когда С=4.
Третья цифра в четвертой строке может быть трой-
кой только в случае Н=8 (Н#=9, так как девятка обо-
значается буквой К).
Окончательный ответ:
3 0 3 8 4
х 3 0 3 8 4
5 3 6
4- 2 4 3 0 7 2
9 115 2
9 115 2
923187456
3. Выделим частные произведения:
Т Р И - А = Р Ж (I)
Т Р И В = Т ж (2)
Т Р И Д - (3)
(2)=>В=1 1 (Р>2
(1етз;=д-^
Г Р>3
I Т>4 1
(3) 1 => Т = 4, Р = 3.
Д = 2 J
Ребус принимает вид:
4 3 И
Х2 1 А
3
„+ 4 3*
8 7 Ч;
Ш Е С 4 Ь
Несложно найти, что IE—9, Е—5.
Теперь ясно, что нуль может находиться только на
месте буквы С. И т. д. Окончательный ответ:
4 3 8
Х2 1 7
3 0 6 6
.+ 438
8 7 6
9 5 0 4 6
Примечание. Задача ТРИ• ДВА=ШЕСТЬ имеет
6 реи ений;
139-408 = 56 712,
247-158 = 39026,
438-217 = 95 046,
463-207 = 95841,
483 109=52647,
745-126=93870.
Э. Э. РЕКСТИН
(Рига)
«ЗАГАДКИ» КАЛЕНДАРЯ
В ряде печатных изданий в 1978 г. была опублико-
вана любопытная заметка под названием «Раз в четы-
реста лет». Вот ее содержание:
«Специалисты» по сюрпризам календаря обратили вни-
мание на то, что 1978 г. начинается 1 января в вос-
кресенье и заканчивается 31 декабря также в воскре-
сенье. Оказалось, что происходит это один раз в четы-
реста лет. Таким образом, мы — свидетели календар-
ной «редкости», которая повторится только в 2378 г.».
Попробуем разобраться. То, что 1978 г. (как, впро-
чем, и любой невисокосный год) начкнается и заканчи-
вается одним и тем же днем недели, вытекает из равен-
ства 365=7-52+1. В самом деле, если невисокосный
год начинается некоторым днем недели, то, поскольку
в году 52 полные недели и еще один день, этот первый
и единственный день неполной 53-й недели — последний
день года — будет тем же, что и первый — I января.
Ясно, таким образом, и следующее: если год — висо-
косный, то его последний день — следующий день не-
дели по сравнению с первым днем года.
Вернемся к заметке в газете. Неужели воскресное
начсто года — такая редкость?
Давайте посмотрим. Итак, если 1978 г. начинался с
воскресенья, то 1979 г. — с понедельника, 1980 г. — со
вторника, 1981—с четверга (так как 1980 г. — висо-
косный), 1982 —с пятницы, 1983 — с субботы, а 1984 —
...с воскресенья. Стоп! Значит... Впрочем, вывод прежде-
времеи, ведь 1984 г. — високосный и заканчивается не
воскресеньем, а понедельником.
Пойдем дальше. 1985 г. начинается со вторника,
1986 —со среды, 1987 — с четверга, 1988—с пятницы,
а вот 1989? — С воскресенья! И заканчивается воскре-
сеньем!
Зы ходит, что это произойдет не через 400 лет, а уже
через 11. Легко проверить, что этим условиям удовлет-
воряют и 1995, и 2006, и 2017 г. и т. д.
И. И. МИХАЙЛОВ
(г. Иваново)
57
Задачи
ЗАДАЧИ ДЛЯ IV—VIII КЛАССОВ
2181. Найти цифры х, у, г, при которых выполняется
равенство xyz—xyz.
И. И. Михайлов (г. Иваново)
2182. Найти циф^ы х, у, г, при которых выполняется
равенство xyz=y-xz.
И. И. Михайлов
2183. Найти цифры х, у, г, t, при которых выполня-
ется равенство xy-zt=xyz-t.
И. И. Михайлов
2184. Верно ли неравенство
1 + 1980"”’ „ 1 + 1980”” ,
1 + 1980”” < 1 + 1980'»®° '
Математический кружок Лежбадинской ср. шк.
Маоиеульского р-иа ГССР
(рук. С. М. Айдамиров)
2185. Вычислить сумму а1+а2+...+а999. если
аь—1
Зй! _ 3fe + 1
(fe2 _ /;)*

Н. И. Бовсуновский (Житомирская обл.,
с. Путиловичи)
2186. Может ли число вида 1979” — 1 оканчиваться
на 1979 нулей?
С. Л. Манукяи (АзССР, с. Малый Памач)
2187. Точки М и N—середины оснований АВ и CD
трапеции ABCD, точки Р и Q принадлежат прямым AD
и ВС. Доказать, что прямые PN и QM пересекаются на
прямой АС (или параллельны ей) тогда и только тог-
да, когда (PQ)UAB).
И. А. К у ш в и р (Киев)
218”. В треугольнике АВС проведены медианы AAit
ВВ\, CCi. Через концы каждой медианы и центр О ок-
ружности. описанной около треугольника АВС, праве
дены соответственно три окружности: АА^О, ВВ{0,
СС]О. Доказать, что эти окружности имеют вторую об-
щую точку.
А. А. Я г у б ь я я ц (г. Ростов-на Дону)
ЗАДАЧИ ДЛЯ IX—X КЛАССОВ.
2189. Сколько цифр вместе содержат записи чисел
2” и 5П?
С. И. М а й з у с (г. Запорожье)
2190. «Докажем*, что интеграл от положительной
функции может быть отрицательным:
к к
о о
Где в этой записи допущена ошибка?
Математический кружок Лежбадинской
ср. шк. Марнеульского р-па ГССР
2191. Найти функцию, определенную на интервале
]0; 1[, если известно, что для любого х £ R
f (cos’ jc) = etg2 x — cos 2x, f (0) = 0.
M. А. Алиев (АзССР, с. Внстан)
2192. Пусть А—множество точек плоскости, коорди-
наты которых ни при каком а £ R не удовлетворяют
х — а
уравнению у „ _, g — множество точек, ко-
ординаты которых хотя бы при одном а С R удовлетво-
ряют уравнению а(\А-ху)=х-)-у. Изобразить графиче-
ски множество А Г, В.
В Л. Дидковский (Новоград-Волынский)
2193. В окружность со вписан треугольник АВС. По-
строена окружность соь касающаяся окружности со и
ab
сторон СА и СВ. Доказать, что | С А, | = где At-
точка касания со и (ВС), 2р=аА-Ь-(-с.
3 А. Скопец (г. Ярославль)
2194. Стороны четырехугольника A BCD разделены
точками К, L, М. N по его обходу в равных отноше-
ниях. Площадь четырехугольника ABCD равна S. Какие
значения может принимать площадь четырехугольни-
ка KJ.MN?
Э. Г. Г о т м а н (г. Арзамас)
2195. Дан тетратдр ABCD и точка М£(\В), через
которую проведены прямые Ц и 12. параллельные медиа-
нам A At и ВВ, тетраэдра и пересекающие грани BCD
и ACD соответственно в точках Р и Q. Доказать, что
—► —► л —►
MP + MQ = -у ЛЮ, где G—точка пересечения ме-
диан тетраэдра.
Р. 3. Г у ш е л ь (г. Вологда)
2196. Дана треугольная призма ABCAtBtCt. Доказать
что диагонали .4 В, ВС\, СА[ боковых граней не могут
быть параллельны одной плоскости.
I. П. Григорьева (г. Горький)
Делимость чисел
2197. Найти хотя бы одно число п, при котором чис-
ло 1979п — 1 оканчивается нс 1979 нулей.
С. Л. Манукяи
Функциональное уравнение
2198. Найти все непрерывные функции f, определен-
ные на множестве R. удовлетворяющие тождеству
7(х’) + /(х) = л’ + х.
Два куба, вписьяние в сферу
2199. В сферу радиуса R вписаны два куба. Найти
сумму квадратов расстояний от всех вершин одного
кубе до всех вершин второго куба.
3. А. Скопец
Сечение минимального периметра
2200. Тетра.-др ABCD пересечен плоскостью так, что
в сечении получился четырехугольник. Какое наимень-
шее значение может принимать периметр сечения, если
|АО| = | ВС | =а, |OD| = |AC|=b, \CD\ = \AB\=c?
Э. Г. I о т м а и
58
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ,
ПОМЕЩЕННЫХ В № 1 ЗА 1979 Г.
2081. Найти цифры х и у так, чтобы выполнялось ра-
венство
Зххххх => уххххх — у.
Решение. Вычитая из обеих частей рассматривае-
мого равенства число ххххх, обозначенное для кратко-
сти через а, мы получим равенство
2а = у00000 — у, или 2а — 99999у •
Но 2а=2х-11111, поэтому 2x=9z/. Отсюда следует,
что х=9, у—1.
2082. Найти цифры х и у так, чтобы выполнялось
равенство
хуг —‘ух’ — (ху)’ - 1979.
Решение. Рассматриваемое равенс гво можно пе-
реписать в виде
(10х 4- у)’ — (Юу + х)а — х‘уа = 1979,
откуда после преобразований получим
99 (Х> _ уа) - 1979 + хауа.
Из этого равенства следует, что 1979-'-х2г/! делится на
99, и поэтому х2у2—1 = (x!f/!4-1979)—1980 также делит-
ся на 99.
Поскольку х2у2—1 =(xf/4-1) (ху— 1), то один из по-
лученных множителей делится на 9, а другой на 11.
Простым перебором можно получить единственное ре-
шение данной задачи: х—5, у=2.
2083. Доказать, что не существует целых чисел х и у,
для которых справедливо равенство
у х’ 4- х 4- 1 4- Vу’ — У 4- 1 = И-
Решение. Так как для любого целого числа х чис-
ла х2 н х либо оба четны, либо лба нечетны, то сум-
ма х!4-х всегда четна. Поэтому выражение под первым
знаком корня всегда представляет собой нечетное чис-
ло. а следовательно, и корень из него — нечетное чис-
ло Точно так же нечетным числом является второе сла-
гаемое в левой части данного равенства. Но сумма двух
нечетных чисел не может быть равна 11, откуда и вы-
текает требуемое утверждение.
2084. При каком наименьшем натуральном п каждая
из дробей
7 8 31
п 4- 9 ’ «4-10.... «4-33
несократима?
k
Решение Все данные дроби имеют внд %у
а такая дробь будет несократимой, если числа k и
п+2 не имеют общих делителей. Таким образом, п+2
должно быть взаимно просто с числами 7,8, ..., 31, а
наименьшее натуральное число, обладающее этим свой-
ством, 37. Следовательно, искомое число п равно 35.
2085. Найти все целые числа х и у, удовлетворяющие
уравнению
(2х 4- 5у 4- 1) (2|х 1 4- х= -р х 4- у) = 105.
Решение. Так как 105 — число не"етное, то числа
2х4-5у4-1 и 2|х| 4-ха 4-х 4-у
также нечетные. Отсюда у — число четное, и поскольку
число х2+х при любом х четно, то число 2 должно
быть нечетным, а это возможно лишь при х=0.
Теперь получаем равенство (5//4-1) (1/41) = 105, т. е.
число 105 представлено в виде произведения двух мно-
жителей, разность которых делится на 4. Простым пе-
ребором можно убедиться, что это возможно лишь при
У=4.
Итак, условию задачи удовлетворяют только числа
х=0 и у-=4.
2086. Найти все целые числа х, у, г, удовлетворяю-
щие уравнению
х’ —Зу’—9г’ = 0.
Решение. Ясно, что если числа х, у, г удовлетво-
ряют данному уравнению, то х3 делится на 3, а сле-
довательно, и х делится на 3, т. е. х=3£ (fegZ). По-
этому данное уравнение можно переписать в виде
9fe3 — у3 — За3 = 0.
Теперь видно, что у делится на 3, т. е. у=31 (Z£ Z),
и мы приходим к уравнению 3k3—9Г—z3=0. Отсюда
снова следует, что г = 3m (m g Z), так что k3—3l3—
—9m3=0, т. e. целые числа k, I, m удовлетворяют ис-
ходному уравнению.
Мы доказали тем самым, что если числа х, у, г удов-
летворяют данному уравнению, то каждое из них де-
лится на 3, и частные х/3, у/3 и г/3 также удовлетво-
ряют уравнению и, следовательно, делятся на 3. Но тог-
да исходные числа х, у, z делятся на 9, аналогично
можно получить, что они делятся и иа 27, и иа 81, и,
вообще, на любую степень числа 3. Однако таким свой-
ством обладает только число 0 Следовательно, единст-
венным решением данного уравнения являются числа
х—0, ji=0, 2=0.
2087 Автобусные билеты имеют номера от 000 001
до 999 999. Номер считается счастливым, если три пер-
вые его цифры нечетны и различны, вторые три цифры
четны, причем 7 и 8 не стоят рядом. Сколько существу-
ет различных счастливых номеров?
Решение. Число номеров, удовлетворяющих пер-
вым двум условиям задачи (но, быть может, не удов-
летворяющих третьему условию), можно подсчитать
следующим образом: первую цифру такого номера мож-
но выбрать пятью способами, вторую — четырьмя, тре-
тью — тремя, каждую последующую — пятью способа-
ми; поэтому общее число таких билетов равно
5-4-3-5-5-5 = 7500.
Из рассмотренных номеров третьему условию задачи
не удовлетворяют номера, в которых тре гья цифра 7, а
четвертая 8; число таких номеров подсчитывается так
же, как и выше: оно равно 4 - 3 5 • 5 = 300.
Итак, число различных счастливых номеров рав-
но 7200.
2088. Найти наименьшее число п такое, что в любом
множестве из п натуральных чисел найдутся, по край-
ней мере, два числа, сумма или разность которых де-
лится на 7
Решение. Легко убедиться, что сумма и разность
любых двух чисел из множества {4 5; 6; 7} не делится
на 7, так что искомое число п больше 4. Докажем, что
число п=5 удовлетворяет условию задачи.
Пусть множество А состоит из 5 натуральных чисел.
Если хотя бы два из этих чисел дают одинаковые ос-
татки при делении на 7, то разность этих чисел делится
на 7, и поэтому остается рассмотреть случай, когда все
числа из множества А дают прн делении на 7 различ-
ные остатки. Поскольку делимость суммы двух чисел
на 7 зависит только от остатков, которые дают эти чис-
ла при делении на 7, то каждое число в множестве А
можно заменить его остатком и считать, таким обра-
зом, что А состоит из 5 чисел, взятых из множества
II; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.
69
Еще более удобно будет выйти за пределы натураль-
ных чисел и считать, что множество Л состоит из 5 чи-
сел, входящих в множество
В = (—3; —2; —1; 0; 1; 2; 3),
при этом числа —3, —2, —1 и 0 заменяют соответствен-
но числа 4, 5, 6 и 7. Для множеств i В требуемое ут-
верждение очевидно: если взять любые пять его эле-
ментов, то, по крайней мере, два из них будут проти-
воположными. и, следовательно, их сумма будет делить-
ся на 7.
Таким образом, н в исходном множес ве А сущест-
вуют два числа, сумма которых делится на 7, так что
п=5 н является решением задачи.
2089. В данный четырехугольник вписать ромб, сто-
роны которого параллельны диагоналям четырехуголь-
ника.
Решение. Пусть ромб KLMN вписан в четырех-
угольник ABCD (рис. 1). Обозначим |ДВ|=а, |/<С| =
=у, |BD| = di, |flC|=d2, |Лд|=х.
Рис. 1
Из подобия треугольников AKL и ADB, LBM и АВС
имеем соответственно
у । di=x за н у d3= (о—j<) : а.
Отсюда x=adjs (<Л+<М.
Из последнего равенства следует, что отрезок AL
есть четвертый пропорциональный отрезков АВ, АС и
отрезка длины di+d2.
Построив отрезок длины х, найдем точку L на сто-
роне АВ, после чего можно построить ромб KLMN.
Так как х<а, то построение ромба всегда возможно,
причем оно единственное.
2090. Доказать, что для треугольника АВС имеет ме-
сто соотношение
1 ,------------
та > “2“ V а (3₽ — 9а).
где а — его сторона, р — полупериметр, та — медиана,
проведенная к стороне а. Для ка :ого треугольника
справедливо равенство?
Решение. Известно, что та «= -g- У26’4- 2са—-а’.
Далее, 26а -|- 2са — а* - 26’ 4- 2с’ 4- 8a’ — 9a’ — 4a’ +
4- (2aа + 26’) + (2aa+ 2с’)— 9а’. Учитывая, что >
> ifРЯ> имеем:
4а’ 4- 46’
2а’ 4- 26’-----ту---> 4а6,
4а’ 4-4 с’
2«’ 4- 2с’ —-----g----> 4ас.
Следовательно,
262 + 2са — а* > 4аа 4- lab 4- 4ас - 9аа -
— 4а (а 4- 6 4- с) — 9аа = а (8р — 9а).
В силу возрастания функции у = /х получаем
1 ,_____________
«а> “J" У а (8/1 —9а).
Очевидно, равенство имеет место при а=Ь=с, т. е,
для равносторонне! о треугольника.
2091. Функция f задана формулой
, х
х-> х* 4- -g-,
S — функция, обратная к f; решить уравнение
f(x)=g(x).
Решение. Пусть число а являетсн решением дан-
ного уравнения, т. е. f(a)=g(a), и, следовательно,
/ (/ (о)) — /(J? (а}) = а по определению обратной функ-
ции. Другими словами, а является корнем уравнения
/ (/ W) — х, или
( х \* х‘ + ~2~
^х* 4- ~2~) +----2----“ х' или
х((2х’4-1)(х’(2х’4-1)’4-2) —Я) =0. (1)
Ясно, что решением уравнения (1) является 0; кроме
того, функция
<->(2( 4- 1)(((2( 4- 1)а4-2) —8
возрастает на множестве неотрицательных чисел, и не-
трудно подобрать (единственное) значение (=1/2, при
котором она обращается в 0. Мы получили, таким об-
разом, что уравнение (1) имеет корни 0, 1/-j/2 и
— 1/1^2 Легко подсчитать, что
/(0) —0, / = ----1_
? \/2/ /2’ Л /2/ у 2’
следовательно, полученные трн числа и образуют мно-
жество решений исходного уравнения.
2092. Имеет ли решения неравенство
Зх — tg х > 1,2
на отрезке [0; л/2]?
Р е ш е в и е. Достаточно убедиться, что данное нера-
венство удовлетворяется при х=л/4:
я я Зя 9
З--^-— *Я-4~ “ "4”— 1 > “у-— 1 “ 1,25.
Таким образом, на отрезке [0; л/2] данное неравенст-
во имеет решения
2093. Найти все функции f, определенные на множе-
стве положительных чисел и удоелетворяющие диффе-
ренциальному уравнению
х’у" 4- 2xyz 4-1-0,
где y—f(x).
Решение. Перепишем данное уравнение в виде
(х’у7)'---------------------1.
Отсюда видно, что xayz = — х 4-С, или у' = —— 4-
С u
4- Но тогда
у------1П х — 4- С„ (1)
н, следовательно, все искомые функции задаются фор-
мулой (1), где С и Ci—произвольные действительные
числа.
2094. Дан равносторонний треугольник АВС.
На продолжении стороны АВ взята точка М та-
кая, что ^СМ — 15°. Найти k, если k МВ — AM.
Решение. Пусть |СД| — | СВ | — а, тогда | СМ | =
— —► —-—>
. Учитывая равенство kMB = AM,
60
Рнс. 2
с
получим
77" СА + кСВ
СМ- \~k ‘
Тогда
СМ* - (Т4-Л)2 (СЛ‘ + 2kCA -СВ + Л2СВ2),
или
3 1
“Г0’ = (1 + Л)2
Отсюда Л2 4- 4Л -f- 1 = О и k = — 2 — /3.
2095. б окружности ы(О; R) проведены два перпен-
дикулярных радиуса ОА и ОВ. Через вершину А тре-
угольника ОАВ и центр М вписанной в него окружно-
сти проведена хорда AAt окружности со. Вычислить от-
ношение |/1Л1| |Л1Д, |
Решение. Пусть М — центр окружности, списан-
ной в треугольник АОВ (рис. 3). Поскольку М — точка
пересечения биссектрис треугольника АОВ, то (JAM =
ТС /\ 71
— ~g~, АОМ = А так как треугольник AOAt рав-
нобедренный, то AAfi = -§“ и /ЮА, = -|~ тс. Следова-
тельно, МОЛг =
По теореме синусов из треугольника АМО следует»
что
|ОЛ1| | AM |
тс тс *
sin -g- sin -j-
где | ОМ | = I MA j I sin Отсюда
| AM I /2
НМД, I " 2 '
2096. Дан тетраэдр ABCD, ребра AD, BD CD кото-
рого попарно перпендикулярны, причем. |AD|=a,
|BD|— b, |CD|=c. Доказать, что сумма расстояний от
А, В, С до прямой I, проходящей через D и пересекаю-
щей грань А ВС, не превосходит V 2 (аг -f- ft2 4- с’)- При
каком положении I имеет место равенство?
Решение. Пусть прямая I пересекает грань АВС
в точке М. Введем обозначения: ДПЛ1 = a, BDM = ₽,
CDM = у, s — сумма расстояний от А, В, С до I. Тогда
s => a sin а 4- h sin ₽ 4- с sin у
Применяя неравенство Коши — Буняковского, получаем
s < аг + Ьг + сг-у^sin2 а 4- sin2 р 4- sin2 7 .
Известно, что
cos2 а 4- cos2 ₽ 4- cos2 7=1,
тогда
sin2 а 4- sin2 р 4- sin2 7 = 2.
Следовательно,
s < <2 (а2 4- 62 4- с2)
Равенство возможно тогда и только тогда, когда
sin a sin р sin 7
а = Ъ “ с ’
откуда
sin2 a sin’P sin2 7 2
а2 = ' Ь‘ с2 = д2 4- 62 4- с2 •
Заметим, что эти равенства возможны лишь при усло-
вии
д2 < 62 4- с2, Ь* < с2 4- а2, с2 < а2 4- й2.
Итак, равенство s »</ /2, где d = /о2 4- 62 4- с2,
имеет место тогда и только тогда, когда каждое из
ребер АВ, ВС и АС тетраэдра ABCD не меньше про-
тивоположного ребра н
а /2 „6/2 с /2
sina=—, sinp=—sin 7-----------------т~.
2я
2097 Может ли число вида 2 4-1 делиться на 73?
Решение. Поскольку по малой теореме Ферма
число 272—1 делится на 73, то и 2™- -1 делится на 73.
Поэтому число 272fc4-l не делится на 73 нн при каком Ь,
а следовательно, его делитель 28i-H не делится на 73.
Отсюда следует, что число вида 22 4- 1 не может де-
литься на 73.
2098. Что больше 4tg5°tg9° или 3tg6°-tgl0°?
Решение. Рассмотрим функцию J, определенную
формулой
tg х
Ясно, что на промежутке ] 0, т/2[ ее производная
х
соя2 х ,gx х—sin х cos х 2х — sin 2х
f “ X2 ’ = X2 COS2 X = 2х2 cos2 X
положительна, н, следовательно, на этом промежутке
функция f возрастает; поэтому
бтс 5ix 5ti 677
180 lg 180 < 180 ,g 180
и 6tg5°<5tg6°.
Аналогично получаем неравенство
10tg9'’<9tgl0o.
Перемножив два последних неравенства, мы получим,
что
3tg6°tgl0e>4tg5o-tg9°.
2099. В треугочьнике АВС построена точка D, сим-
метричная центру вписанной окружности относительно
центра описанной окружности. Доказать, что
|СО|2 = 4Я2-|ВС|-|АС|.
Решение ) (предложенное А. С. Владимировым
из г. Асбеста). Введем обозначения- |ВС|=а, |СА| =
==Ь, |АВ|=с, О и I — центры описанной и вписанной
окружностей радиусов R и г (рнс 4>.
Применяя формулу квадрата длины медианы СО для
треугольника CDI, запишем:
|ГО(г_1££1’, L2LL
|СО|2------4- -2~----------—.
С1
А по формуле Эйлера |О/|а-=Аа— 2Rr. Легко ви-
деть, что | CI |а = га + (р — с)а, где 2р = а + b + с.
Следовательно,
| CD |а = 4/?а — 4Rr — г= — (р — с)я.
,, л г, а^С S®
Но 4Rr ±ra + (Р — с)а---------+ —+ (р — с)» =
После алгебраических упрощений получаем
4Rr + га -|- (р — c)a = ab.
Итак,
|CD |а = 4/?а — ab = 4Да —| ВС |-| АС|.
Решение 2 (применение координат). Построим
точку С|, симметричную точке С относительно цент-
ра О описанной окружности (рис. 5), тогда |СО| =
= |/Ci|, где / — центр вписанной окружности. Относи-
тельно базисного треугольника АВС точка Ct имеет
триполярные координаты (/ 4Ra—b\ / 1А’а—аа, 2R)»
а точка / — барицентрические координаты
/ а b с \
\2р ’ 2р ’ 2р )‘
Известна формула для вычисления расстояния d ме-
жду двумя точками, одна из которых задана трипо-
лярными координатами Q(ri\ г2; г3), а другая — норми-
рованными барицентрическими координатами P(pi; р2;
Рз) относительно координатного треугольника АВС:
~ Piri + Pad + P-d — (“’РаРз + *’Р1Рз + captpt),
(1)
где а, Ь, с — длины сторон ВС, СА, АВ данного тре-
угольника.
Согласно формуле (1), имеем:
а Ь
।С’7 I’ “ 2р” - *’) + 2F(4/? ~ <?’) +
с , (aabc baac caab\
+ 2р \4ра 4ра + 4ра/’
или
. . . оЬ (а 4- b) abc
| С1/ |а - 4/?а--= 4/?а - ab.
Итак, | CD |а — 4/?а — |ВС|-|СА|
Примечание. Триполярные координаты точки Q
относительно базасного треугольника АВС—это рас-
стояния точки Q до вершин треугольника; нормиро-
ванные барицентрические координаты точки Р относи-
тельно треугольника АВС — что отношения площадей
ориентированных треугольников РВС, РСА, РАВ к
площади базисного треугольника.
21 ПО В гиперболу вписан треугольник АВС. Хорды
AAi, BBt, CCi проходят через центроид С треугольника.
Доказать, что
AG BG CG „
= 3.
GA, GB, GCi
Решение. Поскольку аффинным преобразованием
плоскости уравнение гиперболы можно привести к виду
ху=1, то координаты вершин треугольника АВС тако-
вы (рис. 6):
Координаты центроида G треугольника АВС, как из-
вестно, равны средним арифметическим одноименных
координат вершин треугольника, поэтому
/ а + b + с 1/1 1 1\\
°(------3------: -(v + -r + -))- (’)
--—* --й -->
Векторы AG и GA] коллинеарны, следовательно, AG =
-= XaGA, или в координатах:
а “ Лд (х ^o)t
у» —~ = у»)'
где хе, Уа — координаты центроида С.
Решив систему, получим для 1о два значения:
При >4,=—1 точки А и А| совпадают, т. е. прямая
AG — касательная к гиперболе (рис. /).
62
Ограничимся рассмотрением общего случая. Учиты-
вая формулу (1), получаем
/1 1 2 х
= — /1'1 1 \ *
(а + 6 + с)( а + ь + с J- 9
Аналогично находим
/ 1 1 2 \
“ / 1 1 1 \ •
(* + * + с)(—+ V + VJ-9
/ 1 1 2 \
f 1 1 1 \ „
(* + * + <-г+-/>-+—)~Q
и убеждаемся, что Ха -f- X* 4- Х£ — 3, т. е.
AG BG CG
— - + ттх 4- Зх - 3.
G.l, GB, GCt
СВОДКА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ
ПО № 1 ЗА 1979 Г.
Алавердян 3. А. (Арг^ССР, г. Иджеван) —2081—2083,
2085, 2090, 2093. Алиев Н. М. (г. Кировабад)—2081—
2084, 2086, 2089. 2090, 2094, 2098. Аляев А. В. (Пензен-
ская обл.)—2081, 2083—2086, 2090, 2092, 2094, 2095,
2099 Андриевский С. А. (г. Омск)—2081, 2082, 2090—
2095, 2097. Антонов П. К. (Ульяновская обл.)—2081—
2090, 2092—2095, 2097. Ахматов М А. (Краснодарский
край, г. Ейск) —2081—2083, 2085, 2089, 2090, 2094. Ах-
медов М. Я. (г. Чимкент)—2081, 2083, 2085, 2092—
2094. Багдасарян С. С. (АзССР) — 2081—2085, 2094,
2095. Б.ломолов А. П. (г. Петропавловск) —2081—2086,
2088- 2090, 2092 2097, 2099. Бочаров П. Т. (Краснояр-
ский край) — 2083 —2085, 2088, 2089, 2095. Буц В. В.
(Полтавская обл.)—2081—2090,2092- 2095 ВелькоА. В
(Минская обл)—2081—2084, 2086. 2090, 2093—2095,
2098. Ветров К. В. (г. Братск)—2081—2086, 2088—2090,
2093—2095. 2099. Владимиров А. С. (Свердловская
обл., г. Асбест)—2081—2085, 2087, 2089—2096, 2099.
2100. Войнов И. И. (Орловская обл., г. Волхов) —
2081—2086, 2088—2090, 2092, 2094—2100. Гасанов Г. И.
(АрмССР)—2081- 2083, 2086, 2094. Гемуев А. А.
(г. Нальчик) —2081—2086. 2088—2090, 2092, 2094. 2095.
2097. Головачев Е. А. (Белгородская обл.)—2081—
2086, 2088 -2100. Головецкчй В. II (Житомирская
оол)—2081—2088, 2090, 2092, 2093, 2095. Голосо-
ва А. В. (Тульская обл.) —2081, 2083—2085, 20Q2, 2095.
Джаббаров М. Б. (АзССР) — 2081—2085, 2090, 2093,
2098 Джурляк Д. А. (Хмельницкая обл.)—2081, 2082,
2087, 2094, 2095. Дндковский В. Л. (г. Новоград-Волын-
ский)—2091—2100. Егоров П В. (г. Рязань)—2082 —
2086, 2089—2092. Журавлев В В. (г. Ярославль) —
2081, 2087, 2088, 2092 2095 Зассеев И. С. (ГССР,
г. Цхинвали)—2081—2083, 2086, 2089, 2090, 2092, 2094.
Зискинд Л. И. (г. Винница)—2081—2086, 2088, 2090,
20и2, 2094, 2095. Зубилин Н. И. (Орловская обл) —
2081—2085, 2090, 2095, Ибрагимов 3. (УзССР) —2081—
2083, 2089, 2090. Карабаев А К (КазССР) -2081—
2084, 2091, 2094, 2095. Курганов Т. К. (УзССР, г. Чир-
Ч1'к) — 2081—2083, 2085, 2090—2094. Магомедов X. И.
(Дагестанская АССР) — 2061—2085, 2087—2090, 2092,
2094. 2095. Макаров М. Ф. (Орловская обл.) — 2о81—
2090, 2092, 2094, 2095. Мехманов М. Ш. (АзССР) —
2081—2085, 2093, 2094. Невзоров А. Л. (г. Кременчуг)—
2081—2095, 2100. Нифтнев В. И. (АзССР)—2081, 2083,
2086, 2090, 2094. Пац А. Н (Гродненская обл.) —2081—
2090, 2092—2096. Повелий В. И. (Ровенская обл.) —
2083—2085, 2090—2092, 2094—2100. Лолховский Н. Н.
(г. Фергана) —2081—2085, 2090, 2092—2096. Пырко-
ва 3'. Я. (г. Караганда) —2081, 2082, 2084, 2085, 2088,
2089. Ручкин Д. Д. (Марийская АССР)—2081, 2082,
2084, 2086, 2092, 2094, 2095. Рытов Н. Н (Тамбовская
обл.).—2081, 20о2. 2084, 2085, 2087—2090, 2092, 2094,
2095. Сабитов А М. (Целиноград) —2081—2083, 2086,
2088, 2092—2097. Салимов Э. (г. Кировабад)—2081—
2086, 2088—2090, 2092, 2095, 2097, 2098. Симеонов А. А.
(Болгария, г. Своге) — 2095, 2097—2100. Сысуев Г. Я.
(Хабаровский край) —2084, 2085, 2092, 2094, 2095, 2097.
Тасмуратов О. (г Астрахань)—2081—2086. Темкин И. С.
(г. Днепродзержинск)—2081, 2082, 2084, 2087, 2088.
Токарев В. А. (Сахалинская обл.)—2081, 2082, 2089,
2092, 2094. Трофимчук Ю. В. (Винницкая обл.)—2081,
2082, 2085 2086, 2090, 2092. 2094, 2095. Ушеренко А. У.
(Винницкая обл.)—2081—2084, 2036—2088, 2090, 2092—
2095. Фридман Г. М. (Ж.и гомирская обл., г. Бердичев)—
2082—2091, 2094. 2095, 2097. Хагабанов X. Т. (Кабарди-
но-Балкарская АССР)—2081—2086, 2088, 2092, 2094,
2095. Халидов С А. (АзССР) — 2081—2085, 2087, 2088,
2090, 2092—2096. Халилов У. М, (г. Кировабад) —•
2081—2083, 2085, 2088, 2090, 2094, 2095. Хизанишви-
ли Ц. И. (г. Тбилиси)—2081, 2091, 2093—2095. Цхай
А. И. (Ташкентская обл., г. Ян.июль)—2081—2083,
2085, 2086, 2090 2094, 2095. Цхай Т. Т. (г. Андижан) —
2081—2083, 2085—2090, 2093—2097, 2099, 2100 Черка-
сов С. Н. (Тамбовская обл.. г. Уварово)—2081—2084,
2086, 2093, 2095. Шалтаев А. Н. (Ульяновская обл.) —
2081—2036 2088—2090, 2092—2098. Щуренко Ф. А.
(Черкесская обл)-—2081—2083, 2085, 2095. Юсупов С.
(Хорезмская обл.) — 2081—2087, 2090, 2092, 2093, 2097.
2098. Ясинская Е. П. (г. Винница)—2081, 2083, 2085,
2086, 2089, 2090, 2093, 2096.
Математические кружки: Лежбадинской ср. шк. Мар-
неульского р-на ГССР (рук. С. М. Айдамиров) —-2081—
2083, 2085, 2090, 2091, 2094; железнодорожной шк. №33
Саатлинского р-на АзССР (рук. Ш. С. Алиев)—2081—•
2085, 2090, 2094, 2095; 46-й шк. г. Мурманска (рук.
В. Е. Андреев)—2081, 2082, 2084, 2086—2089, 2092,
2094, 2095; 10-й шк. г. Ангарск! (рук. В. А. Василье-
ва)—2081, 2083, 2086, 2089, 2090. 2094, 2099 Пираль-
ской ср. шк. Кусарского р-на АзССР (рук. X. Ш. Гусей-
нов)—2081, 2084, 2090. 2093—2095; 39-й шк. г. Киро-
вабада (рук. М. А. Джафаров)—2081—2086, 2088—
2090, 2092, 2095, 2097, 2098; Украинской ср шк. Джам-
булского р-иа Северо Казахстанской обл. (рук. Ш М.
Ибрагимов) —2081, 2082, 2084, 2090, 2094, 2095; Карай-
манлинской ср. шк. Нсфгечалинского р-иа АзССР (рук.
Ф. Исмаилов)—2081—2083. 2085, 2090, 2093, 2095;
206-й шк. Киева (рук. И. А. Кушнир)—2081, 2083—
2086, 2088—2094, 2096, 2098—2100; 5С. й шк. Киева (рук.
М. А. Мартынец) — 2082—2092, 2094, 2095: Дворца пио-
неров и школьников г. Караганды (рук. Э. Я. Пырко-
ва) — 2081, 2082, 2084, 2085, 2088; 25-й шк. Мархамат-
ского р-на Андижанской обл. (рук. X. М. Ся шмов) —
2081, 2082, 2091. 2093, 2094; 2-й ср. шк. г. Мархамат
Андижанской обл. (рук. О. Сатторов) —2081, 2082,
2085, 2090, 2092, 2095; 173 г шк. Киева (рук. Р. П. Уша-
ков) — 2081—2093, 2095, 2096, 2099; Чородинской ср.
шк. Тпяратинского р-на Дагестанской АССР (п1 к.
X, X. Шамсудинов) —2081—2085, 2087, 2090, 2094, 20S5.
63
ЗА РУБЕЖОМ
СЭЦУКО МИНЗ
(Осака),
В. Н. ШАПКИНА
(Москва)
О НОВЫХ ПРОГРАММАХ ПО МАТЕМАТИКЕ
3 СРЕДНИХ ШКОЛАХ ЯПОНИИ
За последние годы в Японии была проведена модер-
низация математического образования в школе.
С 1971—1973 гр. введены в действие новые программы 1
и учебники.
После того как эти программы были опробованы,
выяснилось, что они значительно перегружены и труд-
ны для усвоения. Появилась необходимость устранить
перегрузку и лучше приспособить программы к возраст-
ной психологии учащихся. Настоящая статья касается
как раз того нового, упрощенного варианта программ
по математике который буд°г вводиться в жизнь школы
для младшей ступени с 1981 г., а для старшей —
с 1982 р.
Модернизация математического образования — слож-
ный процесс, затрагивающий миллионы учащихся и ты-
сячи учителей. Он требует для своего успешного осу-
ществления создания ноьых учебников, методических
пособий для учителей, книг для чтения, задачников,
а также известной ломки привычек преподавателей
и родителей школьников. Поэтому оценка успехов ре-
формы математического образования требует некоторого
времени н многократных шагов по улучшению как са-
мих программ, так и сопровождающих их учебников
н учебных пособий.
Школьное обучение в Японии продолжается 12 лет,
начиная с 6-легнего возраста. Его структура показана
на схеме. Начальная школа н младшая ступень сред-
ней школы, продолжающиеся суммарно 9 лет, являют-
ся обязательными для всех учащихся. Трехлетнее обуче-
ние иа старшей ступени средней школы не обязательно,
н за него взимается плата.
НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА
средняя школ,
м." \цшая
ступень
СТАРШАЯ
СТУПЕНЬ
6 ле»
2лет
Бле»
Фее1
* Содержание этих, ныне действующих, программ бы-
ло опубликовано в журнале -Математика в школе»,
1973, № 6, с. 86—89.
На всех ступенях обучения в Японии существуют раз-
ного типа школы: государственные, общинные (город-
ские. сельские), частные. Государственных школ очень
мало, и оии существуют при государственных универ-
ситетах и других вузах. Обучение в государственных
и общинных школах на первых двух ступенях (с 6 лет
до 12 и с 12 лет до 15) бесплатное. Учебные планы
и программы во всех государстьенных, общинных и
частных школах одинаковы. В частных школах обуче-
ние платное (кроме учебников, которые в школах ьсех
типов выдаются бесплатно). Школы всех трех ступе-
ней размещаются в различных зданиях. Контакты меж
ду различными ступенями образования развиты недо-
статочно, и эгот дефект все еще не полностью устранен
новыми учебными планами и программами.
В основу реформы действующей программы положены
следующие принципы:
1. Школьный курс математики должен дать основы
знаний, необходимые всем учащимся, независимо от вы-
бора ими будущей профессии.
2. Объем, содержание и методы обучения следует
привести в оптимальное соответствие с возрастными
особенностями учащихся.
3. Необходимо развивать и углублять математиче-
ское мышление учащихся, вырабатывая у них умение
математически осмысливать различные практические
задачи.
4. Следует обеспечить преемственность в обучении
математике на всех трех этапах.
Реформа не меняет идейной структуры действующих
программ. В основе курса по-прежнему лежит теорети-
ко-множественный подход. Однако множества упоми-
наются лишь в подходящих случаях, и о них говорит-
ся на интуитивной основе (например в начальной
школе четные и нечетные числа рассматриваются как
подмножества множества натуральных чисел). Общее
определение геометрической фигуры как множества то-
чек не дается, хотя на младшей ступени средней ьп о-
лы серединный перпендикуляр к отрезку и биссектриса
угла рассматриваются как множества точек, обладаю-
щих определенными свойствами.
Про1рамма каждого класса начинается с пункта «Це-
ли», где перечисляются главные задачи обучения на
данном этапе. Затем приводится содержание программы.
В нем указываются только основные понятия и навы-
ки, которыми должны овладеть учащиеся. Подробное
изложение тем по пунктам и строгое соблюдение их
последовательности в преподавании не практи.- ютея
Вопрос о последовательности изтожения материя та
учитель должен решить сам. Показательно, что каждая
тема начинается словами: «Помочь детям постепенно
понять идею (научиться использовать метол и т. д.)».
После содержания идет примечание «Термины и симво-
лы.». Например в V классе оно выглядит так:
Сокращение дробей, приведение к общему знаменате-
лю, общий делитель, общее кратное, конгруэнтность,
сектор, центральный угол, %.
Программа каждого класса завершается «Замечания-
ми по содержанию», в которых уточняются требования
к знаниям и умениям учащихся по каждому разделу
программы. В качестве иллюстрации приведем замеча-
ние к одному из пунктов раздела «Геометрические фи
гуны» в IV классе:
Дети должны научиться изображать простейшие про-
странственные фигуры (куб и прямоугольный паралле-
лепипед) и их развертки.
Программа начальной школы, как и ппежде, состоит
из четырех разделов, содержание которых не претер-
пело значительных изменений:
А. Числа и действия над ними.
В. Величины и их измерение.
С. Геометрические фигуры.
D. Математические отношения.
64
Отметим основные моменты, касающиеся некоторого
перераспределения материала и расстановки акцентов.
Прежде всего, изучение геометрических фигур пред-
полагается начинать раньше, с 1 класса, в то время как
раздел Г) перенесен из 11 класса в III.
В разделе А (Числа и действия над ними) уделяется
больше внимания формированию понятия о числе, вы-
работке вычислительных навыков. В 1 -II к тассах дети
овладевают четырьмя арифметическими действиями с на-
туральными числами, в 111 классе рассматривают прос-
тейшие случаи употребления десятичных и обыкновен-
ных дробей. Учащиеся IV класса должны понять, что
действия нац десятичными дробями и их запись анато-
гнчны способу записи це 1ых чисел и действиям над ни-
ми. Они также изучают сложение п вычитание обык-
новенных дробей с одинаковыми знаменателями. Уче-
ники V класса должны уметь предет таять целые почо-
жительные числа и обыкновенные дроби в виде деся-
тичных, переводить десятичные jpooi в обыкновенные,
вычитать и складывать дроби с разными знаменателями,
умножать и делить обыкновенною дробь па ц тое чис-
ло. В конце обучения в начальной школе дети выпол-
няют четыре арифметических действия иад десятичны-
ми и обыкновенными дробями; исследуют связь между
цечыми положительными числами, десятичными и обык-
новенными дробями, получают более глубокое пред-
ставление о числовой прямой.
Раздел Ь (Величины и их измерение) предназначен
для воспитания у учащихся умений приближенно оце-
нивать длину, площадь, объем объекта с последующей
проверкой этой оценки измерением. В V классе учитель
должен пс двести детей к пониманию того, что размеры
фигур могу г Сьть определены не только непосредствен-
ным измерением, но и с помощью вычислении. Учащие-
ся вычисляют тощали треугольников, параллелограм-
мов, трапеций, объемы ь. ,бов и прямоугольных парал-
лелепипедов. В VI классе изучается метрическая сис-
тема мер и отношения существующие между ее едини-
цами, эти знания используются в практических нзме-
р. ниях
Раздет С (Геометрические фигуры) опишем более
подробно.
В 1 классе Дети должны получить богатый опыт
в ксн труироранчи и разъединении плоских и объемных
моделей Большое значение здесь придается процессу
выработки аопграктных представлений об элементах
геометрических фигур путем оперирования иад конкрет-
ными обьектами.
Во II классе постепенно вводятся понятия об основ-
ных геометрических фигурах. Учащиеся должны отли-
чать и зизть элементы многогранников (грани, стороны,
вершины), знагь квадрат, прямоугольник, прямоуголь-
ный треугольник.
В 111 классе рассматриваются равнобетройные и рав-
нпсторовгше треугольники, окружность (ее центр, ра-
диус. диамето) и сфера. Дети учатся изображать гео-
метрические фщуры с помощью циркуля и линейки.
В IV классе б.-лее глубоко изучаются основные плос-
кие фигуры: параллелограмм, трапеция, ромб,— а также
параллельность и перпендикулярность прямых и плос-
костей в сьязн с прямоугольным параллелепипедом.
Д.ются представления об основных пространственных
фигурах и о расположении объектов в пространстве.
Ученики V класса узнают о конгруэнтных фигура!
и о соэггстствующих вершинах, сторонах, углах в кон-
гру антных фигурах. Постепенно они подводятся к по-
ниманию того, какие элементы определяют геометриче-
скую фшуру ст роя г правильные многоугольники (с по-
мощью окружностей) и изучают их свойства.
В VI классе рассматриваются с точки зрения сим-
метрии основные геометрические фигуры. Учащиеся
должны научиться читать простые чертежи, выполнен-
ные в масштабе, строить призмы, круговой цилиндр
(конус).
Раздел О (Математические отношения) представляет
собой пропедевтику понятия функциональной зависимо-
сти, а также начальных понятий статистики. Учащиеся
постепенно привыкают изображать отношения между
числами в виде выражений, содержащих переменную,
записывать числовые опытные данные в виде простых
таблиц, диаграмм и читать их.
В IV V классах школьники должны строить столб-
чатые и секторные диаграммы (с иснол! зованпем про-
центов), отыскивать числовые значения выражений при
различных значениях переменных.
В VI классе вводятся прямая и обратная пропорцио-
нальности (.<-р’ з рассмотрен! соответствующих значе-
ний величии), которые записываются в виде формул.
Числовой матавнал наблюдений получает дальнейшую
статнстгчсс сую обработку в форме частотных таблиц
и диаграмм (простейшие случаи)
Новая пре рамма младшей ступени средней школы
развивает содержание курса математики по следующим
разделам:
Д Числа п алгебраические выражения.
В. Функция.
С. Геометрические ф «гуры.
D. Вероятность и статистика.
Все эти разделы входят и в действующую программу.
Исключение составляет раздел Е (Множества и логи-
ка), который присутствует в действующих программах,
но из новых программ изъят, хотя его простейшее по-
нятия я идеи в них остались. Упразднение этой темы
как самоеточтетыюй и составило одно из основных уп-
рошений курса математики на младшей ступени сред-
ней школы.
Укажем теперь, как распределен по классам мате-
риал этих разделов.
Д. ЧИСЛА 11 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
В 1 классе2 yi тубляются представления учащихся
о свойствах натуральных чисел и вводятся отрицатель-
ные числа. Буквенное выражение рассматривается как
запись отношения между числами. Учащиеся вычисляют
значения простейших буквенных выражений, решают
с помощью свойств равенств уравнения первой степе-
ни с одной переменной, знакомятся с приближенными
значениям. ! величин и учатся правильно использовать
их в различных ситуациях.
Во II к. Л'-се вдет дальнейшее развитие вычислитель-
ных навыков, способности выражать количественные от-
ношения в буквенной форме, преобразовывать выраже-
ния (сложение и вычитание несложных многочленов,
умножение н целей >е одночленов, умножение одночлена
на многочлен и деление многочлена на одночлен).
Предполагается научить учащихся решать простые
уравнения, линейные неравенства (на основе свойств
неравенств), простые системы линейных уравнений
и системы линейных неравенств с двумя переменными.
В связи с рассмотрением многозначности решения ли-
нейного уравнения с двумя переменными вводится по-
нятие о множестве решении уравнения, но без обяза-
тельного употребления самого термина.
В новой программе не требуется формально выяв-
лять структуру числового множества (замкнутость от-
носительно операции, абстрактные свойства операций,
существование единичного элемента и обратного элемен-
та), как это имеет место в действующей программе. Об
этом предполагается говорить конкретно (число, обрат-
ное данному, коммутативность сложения и умножения).
2 В младшей средней школе, как и в старшей, нуме-
рация классов по годам обучения начинается с 1,
65
В III классе вводится понятие квадратного корня из
положительного числа; предусмотрено выведение прос
тых формул, включающих квадратный корень, умноже-
ние простых линейных выражений и разложение на
множители по формулам:
(а + 6)г=д’ + 2а6 + 62,
(а 4- А) (а — Ь) = аъ — Ь2,
(х 4- а) (х + Ь) = х2 + (а 4- b) х 4- ab.
Рассматриваются квадратные уравнения, имеющие ра-
циональные корни, и их решение посредством разложе-
ния на множители и по формулам корней.
В. ФУНКЦИЯ
Учащиеся 1 класса должны углубить свои представ-
ления о функциональных отношениях через изучение
отношений между объектами различной природы,
в частности отношений двух переменных величин. Им
разъясняется, что функциональное отношение может
быть выражено таблицей, графиком, формулой н т. д.
и это помогает исследовать его характеристики
Изучая прямую и обратную пропорциональности (их
алгебраические выражения и графики), школьники
учатся выражать математические отношения между ве-
личинами.
Во 11 классе рассматривается линейная функция; ли-
нейное уравнение с двумя переменными и< толковывает-
ся как форма выражения функциональной зависимости
между переменными. Школьники изучают параметры
линейной функции, учатся пользоваться ими при опре-
делении положения графика функции, а также числовых
значений отношений соответствующих значений пере-
менных
В отличие от действующей программы на этом этапе
не предусматривается употребление обобщенного сим-
вола у=/(х).
В. Ill классе через примеры различных явлений, охва-
тываемых функциональной зависимостью, расширяется
объем понятия функции. Изучаются пропорциональности
квадрату и кубу независимой переменной ( у = ах2’
а ,
у = у — ах3 и т. д.). Рассматриваются два мно-
жества (область определения и область изменения функ-
ции) и отношения соответствия между их элементами,
тем самым обобщается само понятие функции.
Понятие обратной функции в отличие от действую-
щей прогр; 1ы вводится на старшей ступени средней
школы.
С. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ
В I классе рассматриваются взаимные расположения
прямой и плоскости в пространстве, тела вращения, се-
чения пространственных фигур, их проектирование на
плоскость и развертки (исключая технически сложные
примеры).
Осуществляется построение биссектрисы угла, сере-
динного перпендикуляра, окружности как множеств
точек, удовлетворяющих определенным условиям.
Рассматриваются вопросы измерения величин: длина
цуги, площадь сектора, площадь поверхности и объем
цилиндра, конуса и шара
Во II классе предполагается развивать у учащихся
способность усматривать свойства плоских фигур с ис-
пользованием свойств параллельных прямых и призна-
ков конгруэнтности треугольников. Здесь же создаются
определенные навыки в преобразованиях параллельного
переноса, симметрии и вращения.
Вводится понятие подобия фигур, на основании
признаков конгруэнтности и подобия треугольников
рассматриваются свойства фигур (отношение отрезков
прямых, заключенных между параллельными прямыми,
свойства треугольников и параллелограммов).
В III классе планируется изучать свойства круга;
взаимное расположение прямой н окружности, двух пе-
ресекающихся окружностей, соотношение между дугой
окружности и центральным углом
Рассматриваются метрические свойства фигур: теоре-
ма Пифагора и ее приложения; определение высоты
объекта и недоступного расстояния с использованием
подобия; подобие пространственных фигур, соотноше-
ния между длинами, площадями и объемами подобных
фигур.
Раздел С несколько изменен в новой программе по
сравнению с действующей. Наблюдается сдвиг материа-
ла (подобие пространственных фигур н взаимное рас-
положение прямей и окружности перенесены из И клас-
са в III) и изменение в содержании: преобразования
фигур рассматриваются не формально, а путем непо-
средственного выполнения симметрии, поворота и па-
раллельного переноса конкретных фигур, само понятие
преобразования плоскости в средней школе изучать
не предполагается. В значительно большем объеме вве-
дены элементы стереометрии, что и составляет характер-
ную особенность новой программы.
D. ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА
Этот раздел вводится со II класса. Здесь предпола-
гается научить школьников целенаправленно собирать
данные, располагать их в виде таблиц, диаграмм с тем,
чтобы усмотреть закономерность в их поведении (часто-
та распределения по гистограмме, относительная часто-
та и выборочная функция распределения; смысл сред-
него значения и разброса значений случайной вели-
чины)
В Ill классе вводится понятие вероятности как отно-
сительной частоты, полученной в результате большого
числа наблюдений или проб. Производится подсчет ве-
роятностей в простейших случаях. Проводится идея, что
закономерности во в< ей совокупности могут быть обна-
ружены по выборке из этой совокупности (совокупность
и выборка; полное и выборочное среднее значение)
Для иллюстрации рассматриваемых понятий исполь-
зуются ветвистые графы («деревья») исходов опыта
нли наблюдений. Содержание всей темы остается чисто
описательным и относится больше к статистике, чем
к теории вероятностей.
В старшей средней школе учащиеся комплектуются
в классы по профессиональной направленности — акаде-
мической, торговой, домоводству, технической, сельско-
хозяйствениой и пр. Академический поток, подготов-
ляющий учащихся главным образом для поступления
в университеты, имеет два направления: естественно-
научное и гуманитарное. Ряд школ старшей ступени
комплектуются учащимися только одного направления.
В соответствии с этим они носят наименования акаде-
мических, торговых, технических и пр.
Программа старшей ступени средней школы диффе-
ренцирована применительно к потокам. В связи с этим
для старшей ступени составлены отдельные программы
по разным курсам математики.
Курс «Математика I» (140 ч) изучается в I классе
на вс< х потоках и является, таким образом, обязатель-
ным. Далее идут факультативные курсы по выбору
(105 ч для каждого курса). Во II классе: «Математи-
ка 11», «Алгебра и геометрия», «Начала анализа», «Ве-
роятность п статистика»; в Ill к гагсс — «Дифференци-
альное и интегральное исчисление».
66
Во 11 классе школьники изучают один из первых че-
тырех курсов в зависимости от потока (учащиеся мо-
гут изучать сразу два факультативных курса).
В III классе математику изучают лишь учащиеся есте-
ственнонаучного направления из академического пото-
ка Это курс «Дифференциальное и интегральное исчис-
ление», для которого необходимо во II классе усвоить
курс «Начала анализа».
Приведем содержание упомянутых курсов.
МАТЕМАТИКА 1
1. Числа и алгебраические выражения Числа и мно-
жества; числа: целые, рациональные, действительные
и комплексные, алгебраические выражения и действия
над ними.
2. Уравнения и неравенства. Квадратные уравнения,
простейшие уравнения третьей и четвертой степеней;
системы уравнений; квадратные неравенства; алгебраи-
ческие выра/кения и действия над ними.
S. Функция. Квадратичная функция; дробно-линейная
функция; простейшие алгебраические функции, связан-
ные с радикалами; обратная функция.
4. Геометрические фигуры. Тригонометрические соот-
ношения в треугольнике (синус, косинус и тангенс; тео-
рема синусов, теоремы косинусов). Метод координат на
плоскости (координаты точки, уравнения прямой и
окружности).
Факультативные курсы изучаемые по потокам, пред-
ставлены следующим содержанием.
МАТЕМАТИКА II
1. Вероятность и статистика. Комбинаторика — пере-
становки, размещения, сочетания:
РП, А|>
Вероятность события, противоположные события. Ста-
тистика, дисперсия, относительная частота, математи-
ческое ожидание.
2. Векторы. Алгебра векторов, применение векторов.
3. Дифференцирование и интегрирование. Смысл раз
ностиого отношения Ду/Лг, производная и ее приложе-
ния. Смысл интегрирования, определенный и неопреде-
ленен й интегралы.
4 Прогрессия (арифметическая и геометрическая).
5. Элементарные функции (показательная и логариф-
мическая функции, тригонометрические функции).
6. Электронно вы'целительные машины (принцип уст-
ройства и назначение ЭВМ, понятие алгоритма).
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
1. Кривые 2-го порядка (парабола, эллипс, гипер-
бола).
2. Векторы на плоскости. Алгебра векторов: сложение
и вычитание векторов, умножение вектора на число,
скалярное произведение двух векторов. Применение
векторов (уравнения прямой и окружности).
3. Матрицы. Матрицы и их применение; обратная
матрица; линейное преобразование и отображение.
4. Пространственные фигуры. Метод координат в про-
странстве; векторы в пространстве и их применение:
уравнения прямой, плоскости и сферы.
ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА
1 Упорядочение числовых данных Рассеяние изме-
ряемой величины, пяд распределения, мода, дисперсия,
среднее квадратичное отклонение.
2. Опыты с конечным числом исходов. Перестановки,
размещения, сочетания:
Рп, Агп, Сгп.
Формула бинома.
3. Вероятность. Понятие вероятности и ее основные
свойства; зависимые и независимые события; условная
вероятность.
4. Законы распределения. Вероятности исходов опыта
и распределение вероятностей, биномиальный закон
распределения, нормальный закон распределения.
5. Статистические гипотезы (генеральная совокупность
и выборка, статистические гипотезы).
НАЧАЛА АНАЛИЗА
1. Последовательности. Арифметическая и геометриче-
ская прогрессии; принцип математической индукции.
2. Функция. Показательная и логарифмическая функ-
ции Тригонометрические функции (радианная мера ду-
ги, периодичность функции, теоремы сложения тригоно-
метрических функций).
3. Изменение значений функции. Смысл разностного
отношения Д.1,7Ах. Производная и се применение; про-
изводная суммы (разности) функций и произведения
функции на число; касательная к кривой, возрастание
и убывание функции, скорость.
4. Интеграл и его применение (определенный и не-
определенный интегралы, площадь).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
1. Предел (предел последовательности, предел функ-
ции).
2. Дифференциальное исчисление и его применение.
Производная. Производная произведения и частного
двух функций, производная сложной функции н обрат-
ной функции. Производная показательной и логариф-
мической функции. Применение проп >водной: касатель-
ная к кривой, возрастание и убывание функции, ско-
рость движения и ускорение движения.
3. Опр ’деленный интеграл и его применение. Вычис-
ление определенного интеграла, геометрический смысл
интеграла. Правила вычисления определенного интегра-
ла (по частям, подстановкой). Применение интеграла
(площадь, объем, длина пути). Дифференциальное урав-
нение и его смысл; решение дифференциальных урав-
нений вида
dy
dx
Курс математики и в старшей средней школе (в от-
личие от действующей программы) не содержит в яв-
ной форме темы «Множества и логика». В результат»
этого из него исключена часть материала, связанная
с абстрактным изложением элементов математической
логики (композиция, эквивалентность), и другие вопро-
сы. Снят вопрос об аксиоматическом построении плани-
метрии В остальном содержание курса сохранилось
прежним, только подверглось «перекраиванию» в соот-
ветствии с профессиональной паппавленностью обучения.
Вместе с тем ставится цель добиться большей унифи-
кации курса. Выделенный единый для всех учащихся
первого года обучения на старшей ступени средней
школы курс «Математика I» углубляет программу по
математике для младшей средней школы по прежним
четырем направлениям. Пять факультативных курсов
по выбору на двух последних годах обучения, с о гной
стороны, дают возможность развить личные наклонно-
сти учащихся, с другой — подготовить нх к освоению
будущей профессии.
67
КРИТИКА И
БИБЛИОГРАФИЯ
И. Н. ВОЛОДИН, Ю. Б. ЕРМОЛАЕВ, Б. Л. ЛАПТЕВ
(г. Казань)
КНИГА ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
XIX ВЕКА
Рецензируемая книга * — первый том предполагаемой
серин из четырех томов, излагающих историю матема-
тики XIX в. Серия продолжает трехтомную «Историю
математики с древнейших промен до начала XIX столе-
тия», опубликованную в 1970—1972 гг. Предполагается
также издание двух ton ов, посвященных математике
первых четырех десятилетий XX в.
В работе над книгой принял участие коллектив авто-
ров: И. I. Башмакова. Б. В. Гнеденко 3. Л. Кцзичева,
Ф. А. Медведев, Е И Ожигова. А. Н. Паршин,
А. Н. Рудаков, Е. И. Славутин, О. Б. Шейнин,
А. П. Юшкевич.
Труд в целом, даже в той части, которая уже издана,
является самым большим и полным из имеющихся на
русском языке книг по истории математики.
Рецензируемый том содержит четыре главы, посвя-
шен-ые разделам математики, указанным в подзаго-
ловке книги. Он имеет удачную структуру, разбит на
отдельные разделы, каждый из которых содержит не-
сколько страниц и освещает либо деятельность отдель-
ного ученого, либо определенную задачу. Авторам уда
лось найти удачное сочетание простоты изложения со
строгостью приводимых фактов В книге освещены наи-
более актуальные исследования в математике XIX в.
Многим понятиям дается определение, а утверждения
приводятся с доказательствами, основанными иа идеях
первоисточников. Книга читается сравнительно легко,
хотя отдельные разделы и требуют все же некоторой
подготовки в соответствующей области.
Остановимся на содержании отдельных глав.
Глава первая—«Математическая логика» — начинает-
ся кратким обзором развития логики с трактатов Ари-
стотеля до трудов Лейбница. Символической логике
Г. В. Лейбница уделен отдельный раздел. Особое зна-
чение математическая логика приобрела лишь в XX в.
в связи с повышением интереса к обоснованию матема-
тики после появления канторовской теории множеств
и известных парадоксов (парадоксы Рассела и др.).
1 Математика XIX века. Математическая логика. Ал-
гебра. Теория чисел. Теория вероятностей/Под ред.
А. Н. Колмогорова и А. П. Юшкевича.— М.; Наука,
1978.
Несколько упрощая положение вещей, можно сказать,
что в XIX в. развивались лишь те разделы математиче-
ской логики, которые сейчас принято называть алгеб-
рой логики и исчислением высказываний.
В данной главе прослеживается только развитие ал-
гебры логики в работах ученых XIX в. Среди них:
А. де Морган, Дж. Буль, У. С. Джевонс, Дж. Вени,
Э. Шрёдер, П. С. Порецкий.
Особое место уделено основному достижению мате-
матической логики XIX в.— алгебре Буля.
Вторая глава — «Алгебра и алгебраическая теория
чисел» — посвящена развитию алгебры за период с пер-
вого по седьмое десятилетне XIX в. В XIX и начале
XX в. алгебра претерпела качественное изменение. Из
науки о решении уравнений она ппевратнлась в совре-
менную абстрактною ачгебпу. В рассматриваемый пе-
риод возникали и формировались ее основные понятия
и идеи. Процессы становления теории групп, полей, ал-
гебр, оформления линейной алгебры хорошо показаны
в книге. Поскольку абстрактные понятия возникли из
конкретных задач, отдельные разделы второй главы по-
священы этим конкретным задачам. Доказательство
основной теоремы алгебры о корнях уравнений К. Ф. Га-
уссом и Л. Кроиекером, теория решений уравнений
в радикалах в работах Э. Галуа, К. Ф. Гаусса,
Н. X. Абеля, первые шаги в теории групп, связываемые
с именем А Кэли, линейная алгебра у К. Жордана
и К. Г. Якоби, гиперкомплексные числа в работах
У. Р. Гамильтона, Г. Грассмана, У. К. Клиффорда, тео-
рия инвариантов у Дж. Сильвестра, возникновение
алгебраической теории чисел в трудах К. Ф. гаусса,
Э. Э. Куммера (в связи с великой теоремой Ферма)
и Е. И. Золотарева, теория идеалов в работах Р. Де-
декинда н Г. Вебера, теория дивизоров Л. Кронекера —
вот примерный перечень тем, рассмотренных во второй
главе
Третья глава — «Проблемы теории чисел» — содержит
четыре параграфа. Первый параграф посвящен арифме-
тической теории квадратичны: форм. В нем обсуждают-
ся работы III. Эрмита А. М. Коркина, Е И. Золотаре-
ва, А. А. Маркова Во втором говорится о гео» етрии
чисел в работах Л А. Зеебера, К. Ф. Гаусса, Г. П. Ле-
жен-Дирихле. Г. Дж. С. Смита, Г. Минковского,
Г. Ф. Вороного. В третьем параграфе рассматриваются
аналитические методы теории чисел, в том числе тео-
рема Г. П. Лежен-Дирихле об арифметических прогрес-
сиях и установленные им асимптотические законы тео-
ретико-числовых функций, теория П. Л. Чебышева
о распределении простых чисел, учение о числовых про-
изводных Н. В Бугаева. В последнем параграфе осве-
щаются вопросы, связанные с доказательством транс-
цендентности л и е.
Четвертая глава посвящена анализу развития идей
и методов теории вероятностей — науки, изучающей за-
кономерности случайного.
К началу XIX в. был накоплен обширный числовой
материал, касающийся самых различных областей че-
ловеческого знания. Успехи экспериментальной физики,
астрономии и геодезии с особой остротой выдвинули за-
дачу создания единой теории ошибок наблюдений. Во-
просы демографии приобретают общегражданское зна-
чение и требуют создания единых методов анализа де-
мографических данных. Точно такое же положение
и в биологин, где благодаря в основном исследованиям
Ч. Дарвина возникает новая научная дисциплина — био-
метрия. Из хаоса числовых данных, собранных при ис-
следовании разнообразнейших объектов природы и бы-
тия, рождается новая наука — «математическая стати-
стика».
Однако процесс становления этой науки требовал
строгого математического определения понятия случай-
ности и обоснования существующих методов изучения
68
закономерностей в появлении случайных событий. До-
стигнутые в XIX в. успехи в этой области предопреде-
лили создание теории вероятностей как научной дис-
циплины, формирующей основные понятия, определения
и методы анализа статистических экспериментов.
Девятнадцатый век в рассматриваемой главе откры-
вается исследованиями П. С. Лапласа — анализом его
труда «Аналитическая теория вероятностей» (1812).
Особое внимание уделяется знаменитой интегральной
предельной теореме Лапласа об аппроксимации распре-
деления суммы большого числа одинаково распреде-
ленных случайных величин. Предельные теоремы — из-
любленная тема исследований большинства русских ве-
роятшктников — до сих пор не иссякает мощный поток
публикаций на эту тему, и поэтому авторы рецензируе-
мой книги наиболее детально прослеживают исследова-
ния XIX в. по предельным теоремам. Это относится
в равной мере н к анализу работ С. Пуассона но пре-
дельным теоремам в схеме Д. Бернулли, и к изучению
деятельности русской школы теории вероятностей
(П. Л. Чебышев, А. М. Ляпунов, А. А. Марков).
Естественно, в рецензируемой книге освещаются ис-
следования и по другим проблемам теории вероятно-
стей. Отмечаются заслуги Лапласа в области примене-
ния вероятностных методов в задачах астрономии и де-
мографии, которые послужили мощным стимулом в фор-
мировании статистики как математической дисциплины.
Обсуждается также теория ошибок Лапласа в свете
аналогичных исследований Гаусса
В книге дай анализ деятельности различных статисти-
ческих обществ XIX в. по сбору и публикации число-
вых данных о населении, промыт ценности и т. п. Отме-
чается роль таких ученых, как Л. Кетле, Ф. Гальтон,
К. Пирсон и другие, в создании этих обществ.
Чго касается русской школы теории вероятностей, то
в книге освещается научная и педагогическая деятель-
ность В Я. Б\гняковского, Н Д Брашмана, A. IO. Да-
видова и, в более широком плане, деятельность П. Л Че-
бышева и А А. Маркова — основоположника теории
случайных процессов.
К сожалению, подробный план следующих томов
не опубликован, поэтому неясно, появится ли в них
глава с общей характеристикой математики XIX в.,
освещающая ее отличия от математики предыдущих
эпох, которая, безусловно, необходима. Желательно
также дать обзор и подчеркнуть значение появившихся
в XIX в. основных математических журналов, в частно-
сти отмстить первый реферативный журнал «Jahrbuch
iiber die Forschritte der Mathematik».
Подводя ито1и. мы можем отметить, что рецензируе-
мый том является ценным вкладом в псторико матема-
тическую литературу как по характеру изложения, так
и по тщательному отберу обширного материала, поз-
волившему ярко осветить основные линии развития вы-
деленных четырех разделов. При этом достижения
и влияние работ русских математиков органично вклю-
чены в общую картину взаимосвязей математических
идей.
Что касается использования книги в работе со школь-
никами, го, по-видимому, не все в ней будет доступно
даже учитетям если они не специализировались в соот
ветствующей области. Однако достоинство книги сле-
дует видеть прежде всего в том, что она содержит
обширнейший библиографический и справочный мате-
риал. Пои изучении специальных разделов ачгебры или
теории вероятностей на математическом кружке руко-
водитель всегда может получить справку о перво-
источниках и первооткрывателях, а также охватить
в общих чертах развитие идей и методов обсуждаемого
раздела в историческом плане — во взаимосвязи различ-
ных школ и направлений.
И. А. ЛУРЬЕ
(Москва]
О КНИГЕ В. М. МОНАХОВА Э. С. БЕЛЯЕВОЙ,
Н. Я. КРАСНЕРА «МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ»1
Это пособие для учителя посвящено одному из важ-
ных разделов прикладной математики — методам опти-
мизации решения. Оно будет полезно как учителю для
самообразования и проведения внеклассных занятий
с учащимися старших классов, так и старшеклассникам
для самостоятельного чтения. В книге хорошим мате-
матическим языком в достаточно популярной форме по-
казаны подходы к основным задачам линейного и не-
линейного программирования, дан соответствующий ма-
тематический аппарат и освещен широкий спектр при-
менения этого аппарата при решении экономических
задач.
Авторы обращают большое внимание на необходи-
мость применения соответствующих методов нахожде-
ния оптимальных решений. Читатель постепенно под-
водится к пониманию постановки и поиску решения
распространенных задач линейного программирования
(например, транспортной задачи).
Кроме того, в книге говорптси о создании математи-
ческих моделей рассматриваемых реальных ситуаций
и о математическом аппарате, необходимом для реше-
ния полученной математической задачи.
Так, в первой главе показано применение известных
старшеклассникам методов (квадратный трехчлен, сред-
нее арифметическое, среднее геометрическое, производ-
ная) при решении практических задач на нахождение
оптимума. Этот материал может быт о использован учи-
тетями не только во внеклассной работе, но и на уро-
ках.
Во второй главе рассматриваются математические
модели нескольких экономических задач, а поиск их ре-
шения проверится на эвристическом уровне, что дает
во 1можность читателю ознакомиться с трудностью про-
ведения такого поиска и осознать необходимость мате-
риала, излагаемого в последующих главах.
Четыре следующие главы посвящены различным ас-
пектам линейного npoi раммнрованпя Центральное ме-
сто в этом разделе занимает универсальный метод ре-
шения задач линейного программирования — симплекс-
ный. Как и все остальные вопросы, симплексный метод
вводится постепенно и освещается достаточно глубоко.
Сначала рассматривается метод Гаусса для решения
систем линейных уравнений. Затем разбирается гео-
метрический метод их решения, что позволяет в даль-
нейшем давать наглядные иллюстрации всех этапов ре-
шения задач симпчексным методом Завершается изу-
чение этого раздела рассмотрением распространенной
задачи линейного программирования — транспортной
задачи, содержание которой и интуитивный поиск ре-
шения были разобраны ранее. Теперь же описывается
общий метод решения — метод потенциалов.
В последней главе читатель знакомится с нелиней-
ным программированием. Для этого авторы на отдель-
ных примерах иллюстрируют некоторые (в основном
геометрические) методы решения задач. Разбор реше-
ний и позволяет читателю уяснить различие между ли-
нейным и нелинейным программированием.
Весь материал в книге разбит на небольшие куски,
что может облегчить проведение занятий по данному
пособию. Каждая глава заканчивается системой уп-
ражнений. аналогичных разобранным в тексте, само-
стоятельное решение которых поможет читателю про-
верить степень усвоения им изучаемого материала. Эти
1 М.: Просвещение, 1978.
69
же упражнения могут быть использованы учителем
при проведении внеклассных занятии.
К сожалению, авторы не дают в книге ответов и
указаний к упражнениям, что затрудняет проведение
самопроверки.
В целом дынная книга, безусловно, полезна учителю
математики.
Б. П. БЫЧКСЗ
(Кишинев]
G ЭПРОСЬ’ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
НА СТРАНИЦАХ Г ЭПДАВСКОГО ЖУРНАЛА
ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ
В Молдавии издается ежемесячный педагогический
журнал Министерства народного образования МССР
«Ынвэцэторул советик» («Советский учитель»), в ко-
товом публикуются статьи и по вопросам преподавания
математики в средней школе. Приводим краткий обзор
таких материалов, напечатанных в 1977—1978 гг.
Из семи статей, опубликованных за это время, четы-
ре относятся к факультативным или внеклассным за-
нятиям и лишь в трех содержится материал, который
может быть использован учителями для работы на
уроках.
В статье И. Гуцу и А. Рэйляну «Элементы матема-
тической логики в средней школе» (1977, № 12; 1978,
№ 1) разъясняются понятия «высказывание», «преди-
кат», вводятся логические операции (отрицание, конъ-
юнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция), по-
казывается их применение в курсе математики средней
школы В статье А. Зазули и П. Петрушина «Решение
задач — действенное средство обучения математике»
(1978, № 3) рассматривается решение одной и той же
задачи различными способами как метод, повышающий
эффективность обучения математике И Барбул в ста
тье «Математика в VI классе» (1978. № 8) дает реко-
мендации к изучению алгебры в шестых классах по
стабильному учеинику, который был введен в молдав-
ских школах с 1978/79 учебного года.
Эксперимент по введению элементов векторной алгеб-
ры на факультативных занятиях в восьмых классах
описывается в статье И. Лупу и Я. Поповича «Элемен-
ты векторной алгебры в средней школе» (1977, № 3;
1978, № 4, 7). Авторы рассматривают скалярное про-
изведение и его свойства, векторные уравнения, при
менение векторов к доказательству теорем и решению
задач, векторное произведение, смешанное произведе-
ние, определители 2-го н 3-го порядка.
Внеклассной работе посвящены следующие три ста-
тьи: К. Филатова «Числа-великаны» (1977, № 5);
В Зуза «Функция антье и некоторые ее приложения»
(1978 № 9); С. Мирон «Применение выпуклых функ-
ций» (1978, № 10).
В первой из этих статей дается описание утренника
учащихся IV класса, на котором использовались мате-
риалы XXV съезда КПСС и материалы пятилетнего
(1976—1980 гг.) плана развития народного хозяйства
СССР и МССР. В. Зуза рассматривает свойства функ-
ции у = [х] и их применение к решению уравнений и
доказательству неравенств, содержащих целую и дроб-
ную части числа. С. Мирон в своей статье описывает
применение свойств выпуклости (вогнутости) функций
к решению некоторых упражнений.
В заключение отметим, что в журнале слабо отра-
жается опыт работы учителей по новой пршрамме.
ОТ РЕДАКЦИИ
Рукописи, присылаемые в журнал «Математика в школе», должны удовлетворять
следующим требованиям:
1. Рукопись представляется тслько в наш журнал.
2. Авторы адресуют статью в один из отделов журнала. Объем статьи не дол-
жен превышать 15 машинописных страниц. К статьям, содержащим задачи, следует
обязательно приложить их решения.
3. В редакцию представляются два экземпляра машинописи (первый и второй),
напечатанные через 2 интервала; третий экземпляр статьи автор оставляет у себя.
4. Все цитаты и ссылки на статьи и книги необходимо тщательно выверить по
первоисточникам. В сноске обязательно указывается, откуда взята цитата: автор и
название книги или статьи, издание, в котором эта статья опубликована, место (город),
издательство, год издания и номер страницы.
5. Статья подписывается автором (если авторов несколько, то необходима под-
пись каждого из них). После подписи указываются следующие сведения: фамилия,
имя и отчество автора (полностью), место работы, занимаемая должность, а также
адрес для ответа с указанием почтового индекса.
6. Рисунки, чертежи, фотографии (фотографии должны быть напечатаны обяза-
тельно на глянцевой бумаге) прилагаются к статье на отдельных листах в двух эк-
земплярах. Чертежи и схемы нужно выполнять с применением действующих обще-
принятых стандартных обозначений. На фотографиях надписи следует делать только
на одном экземпляре; второй экземпляр фотографий должен быть обязательно
чистым (с обеих сторон), без пометок.
О РАБОТЕ
НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИХ СЕМИНАРОВ
ПРИ НИИ СиМО АПН СССР
В 1978/79 УЧЕБНОМ ГОДУ
«Основные проблемы преподавания математики
в средней школе»
В 1978/79 учебном году па заседаниях семинара, ру-
ководимого действительным членом АПН СССР
А. И Маркушевпчем и действительным членом
АН УССР Б. В. Гнеденко, заслушано и обсуждено
девять докладов
Тематика докладов посвящена раз тачным пробле-
мам преподавания математики в средней школе.
28/1Х 1978 г. были заслушаны доклады члена-кор-
респондента АН СССР А. /. Ершова и Г. А. Звениго-
родского по вопросу о месте информатики в школьном
образовании. Были рассмотрены теоретическая концеп-
ция этой проблемы и опыт экспериментальной педаго-
гической работы по изучению элементов информатики
в школе, проводимой Новосибирским вычислительным
центром Сибирского отделения АН СССР
26/Х 1978 г. заседание семинара было проведено
совместно с заседанием секции средней школы Мос-
ковского математического общества н математической
секции Дома ученых АН СССР. С докладом «Воспи
танне научного мировоззрения па занятиях по мате-
матике» выступил Б В. Гнеденко. Была показана воз-
можность продемонстрировать учащимся на уроках
математики познаваемость действительного мира с по-
мощью математических методов, показаны способы
построения моделей этой действительности.
29/Х1 1978 г. было проведено совместное заседание
нашего семинара с семинаром по проблемам физиче-
ского образования в средней школе. Член-корреспон-
дент АНН СССР С. И. Шварцбурд осветил основные
перспективы использования Микроэлектронной техники
при обучении математике и физике. Был показан об-
щепедагогический и методический эффект ее приме-
нения, ее роль в разгрузке программного материала
школьных курсов.
28/ХП 1978 г. заседание было посвящено общей ха-
рактеристике уровня образования по математике в ев-
ропейских социалистических и капиталистических стра-
нах. На основе анализа целей обучения и соответству-
ющих систем образования показаны различия в уров-
нях математического образования в социалистических
и капиталистических странах. С докладом выступила
Г. Г. Маслова.
25/1 1979 г. Б. В. Гнеденко посвятил свое выступле-
ние вопросу о математическом творчестве. Докладчик
охарактеризовал главные компоненты математического
творчества, остановился на анализе основных средств
раз вития математического творчества учащихся.
22/П 1979 г. О. С. Ивашев-Мусатов выступил с док-
ладом «Пути совершенствования курса алгебры и на-
чал анализа». Были указаны некоторые пути разгруз-
ки программного материала по данному курсу осве-
щены различные подходы к определению «которых
понятий, при этом выделены различные уровни усвое-
ния учащимися основных понятий. В частности, эти
вопросы рассматривались применительно к понятиям
предела функции и непрерывности.
22/Ш 1979 г. состоялась дискуссия по вопросу о со-
отношении логики и интуиции на разных ступенях
обучения математике в школе. В ней приняли участие
Б. В. Гнеденко, И. Я. Виленкин, Е Г. Глаголева,
И Л. Никольская, Л. 10. Чернышова, К. О. Ананченко.
Были рассмотрены вопросы о разумной мере доказа-
тельства в школьном курсе математики, о соотношении
индукции и дедукции, о целесообразности разных
уровней усвоения материала и о строгости его изло-
жения, о соотношении между формированием поня-
тий н; содержательной стадии и его опредетением.
26/IV 1979 г. с докладом «Фактор познавательного
интереса при решении проблемы оптимизации обуче-
ния математике в общеобразовательной школе» высту-
пил Н. В. Метельский. Был дан анализ результатов
анкетного опроса учащихся IV—X классов по Выявле-
нию так ресч к различным учебным предметам.
24/V 1979 г. участники семинара познакомились с
выступлением А. М. Абрамова «Принципы построения
и методические особенности учебного пособия «Геомет-
рия 6—8». Докладчик осветил основные принципиаль-
ные отличия нового учебного пособия (1979 г. изда-
ния) от предшествовавших. Подробный анализ был дан
курсу геометрии VI класса.
В 1979/80 учебном году семинар продолжит свою
работу. Его заседания будут проходить в четвертый
четверг каждого месяца по адресу: Москва, ул. Ма-
каренко, дом 5/16, в аудитории 28. Начало заседаний
в 17 ч 30 мин. Желающие могут принять участие в
работе семинара.
Секретарь семинара В. А. ДАЛИНГЕР
(Москва)
«Передовые идеи в преподавании математики
в СССР и зв рубежом»
На заседаниях семинара, работающего под руковод-
ством члена-корреспондента АПН СССР, профессора
И. С. Бровнкова за истекший год было заслушано и
обсухсдено 8 докладов По различным проблемам пре-
подавания математики в средней школе.
В работе семинара приняли участие преподаватели
Москвы и других городов, а также коллеги из-за ру-
бежа.
На первом заседании 12 октября 19«8 г. иылО
заслушано сообщение И А. Мешковой (г. Горький) «О
применении знаковых моделей прн решении уравнений
в IV—V классах и решении задач посредством состав-
ления уравнений в VIII классе». Вызвали интерес ука-
занные в сообщении элементы проблемности и поиска,
которые имеют место при моделировании условий за-
дачи.
«Об опыте работы по формированию понятия бинар-
ных отношений в курсе геометрии восьмилетней шко-
лы»— с таким докладом 16 ноября 1978 г. высту-
пила Л. Г. Ярославцева (г. Пермь). Она остановилась
71
па пропедевтике этих понятий в IV—V классах, удач-
но проиллюстрировав их примерами из школьных учеб-
ников.
14 декабря 1078 г. И. Н. Антипов (Москва) в
докладе «Вопросы изучения программирования в сред
них учебных заведениях» рассказал о путях внедре-
ния элементов машинной математики в среднее звено
образования. Были освещены основные аспекты програм-
мирования и те направления, по которым целесообраз-
но разрабатывать проблему совершенствования средне-
го математического образования на основе использо-
вания средств и методов современного программиро-
вания
11 января 1979 г. было с интересом выслушано со-
общение А. В. Цукермана (Москва) на тему «Длина
цуги окружности и радианная мера угла». Доклад-
чик дал упрощенный вариант вполне строгого изложе-
ния этого вопроса, доступный учащимся VIII—X клас-
сов на факультативных и кружковых занятиях.
На заседании семинара 8 февраля 1979 г об-
суждалось содержание школьного курса геометрии
восьмилетней школы и те трудности, которые встрети-
лись при освоении этого содержания. Н. Н. Шоластер
(г. Коломна) в итоге своего сообщения высказал ряд
рекомендаций: о расширении практических работ по
математике на младшей ступени обучения; о переносе
системы аксиом на старшую ступень, ограничившись
на младшей ступени разп яспенпем содержания аксиом;
о целесообразности изучения понятия расстояния па-
раллельно С изучением понятия действительного числа
и др.
Большой интерес вызвал доклад доцента Осакского пе-
дагогического института Сэцуко Мине «Новые програм-
мы по математи! е в средних школах Японии», сделан-
ный 29 марта 1979 г. Она сообщила, что в результате
апробирования программ, принятых в 1970--1971 гг., об-
наружилась некоторая перегрузка содержания, в резуль-
тате чего они оказались трудными для усвоения. В но-
вом варианте, ие меняющем идейной структуры ныне
действующих в Японии программ, содержание несколько
сокращено и более приспособлено к возрастной психоло-
гии учащихся.
12 апреля 1979 г. на семинаре выступил В. Л Шам-
шурин (Москва). Он посвятил свой доклад вопросам
теории н практики формирования диалектико-материа-
листического мировоззрения учащихся. Докладчик ос-
тановился на объективных возможностях формирова-
ния диалектико материалистических представлений уча-
щихся, которые присущи предмету математики, на лич-
ности учителя математики и его методологической
подготовке как субъективном факторе формирования
научного мировоззрения учащихся, Он высказался за
целесообразность включения в программы по матема-
тике обобщающих уроков по отдельным темам, где
были бы сконцентрированы основные мировоззренче-
ские выводы, уделялось должное внимание истории
развития математики, ее связи с другими науками и
практикой.
На заключительном заседании 1(1 мая 1079 г. был
заслушан доклад Т. А. Корешковой (Москва) на те-
му, связанную с измерением величин: «Площадь пря-
моугольника по Лебегу». Предложенный вариант из-
ложения этого вопроса удачно сопоставлял школьный
способ изложения с классическим, имеющимся в науке.
В 1979/80 учебном году семинар продолжает свою
работу Заседания проводятся во второй четверг каж-
дого месяца (р 17 ч 30 мин) по адресу: Москва, ул.
Макаренкс, д. 5/16. НИИ СиМО, комн. 28.
И. С. БРОВИКОВ,
В. Н. ШАПКИНА
(Москва)
Т2
«Воепитв! ие логической культуры
при обучении в школе»
В 1978/79 учебном году состоялось 10 заседаний се-
минара, руководимого кандидатом педагогических на-
ук И. Л. Никольской. Семинар работает три года.
Его тематика отражает комплексный, межпредметный
характер проблемы воспитания логической культуры
школьников. В работе семинара принимают участие
специалисты по «етодике преподавания не только ма-
тематики, но и других школьных дисциплин.
На заседании 31 октября 1978 г. В. С. Недель-
ман (Москва) рассказал о ходе и результатах экспе-
римента по изучению логических понятий на уроках
математики в IV—V классах с помощью разработан-
ных им средств обучения — приборов, диафильмов,
тетрадей с печатной основой.
5 декабря 1978 г. С. Ф Шилова (Москва) высту-
пила с докладом «Формирование логических приемов
мышления при обучении физике», в котором отметила,
в частности, «песпецифичиость» многих дефектов в зна-
ниях учащихся по физике, их обусловленность недоста-
точным уровнем общей логической культуры.
В. А. Далинггр (г. Омск) сделал сообщение 16 ян-
варя 1979 г. о методике формирования на уроках
математики в IV—V классах общелогического понятия
«отношение». Сообщение вызвало оживленную дискус-
сию о месте и роли понятия «отношение» в школьном
курсе математики и его общеобразовательном значе-
нии.
30 января 1979 г. Е. Е. Семенов (г. Нижний Та-
гил) выступил с докладом «Методика изучения родо-
видовых отношений и пропедевтика аксиоматического
определения понятий в IV—V классах». Доклад ил-
люстрировался оригинальными дидактическими мате-
риалами, разработанными автором.
13 февраля 1979 г Н Н. Лаврова (Москва) рас-
сказала о совершенствовании логической подготовки
будущих учителей начальных классов при обучении
математике в педвузе. Особый интерес слушателей
вызвал анализ взаимосвязи между логической подго-
товкой учителей и логической грамотностью учащихся.
На заседании семинара 27 февраля 1979 г.
К- О. Ананченко (г. Витебск) поделился опытом обу-
чения восьмиклассников индуктивным и дедуктивным
умозаключениям.
3 апреля 1979 г. Б. Д. ГТайсон (г. Барнаул) изло-
жил свои соображения о целесообразности и возмож-
ности явного введения некоторых правил логического
вывода в курсе алгебры восьмилетней школы.
Заседание, состоявшееся 24 апреля 1979 г., было
посвящено обсуждению статьи Б. Л. Трахтенброта «О
воспитании математико-логической культуры учащих-
ся», помещенной в книге «Олимпиады, алгебра, комби-
наторика» (Новосибирск, 1979 г)
15 мая 1979 г. Н. Н. Лаврова выступила с докла-
дом «Методика изучения логических понятий в курсе
математики па педфаке».
29 м а я 1979 г. Т. А. Кондрашенкова (г. Смоленск)
познакомила слушателей со своим опытом работы по
воспитанию логической культуры у учащихся IV—V
классов при обучении математике. Особое внимание
участников семинара привлек межпредметный характер
этой работы, ее связь с преподаванием русского языка,
географии, истор! и.
С октября 1979 г. семинап продолжает свою оабо-
ту. Припять участие в ней может каждый, кто инте-
ресуется проблемой воспитания логической культуры
школьников и хочет способствовать ее решению. Справ-
ки о семинаре можно по пучить по телефону 465-94-87.
И. Л. НИКОЛЬСКАЯ
(Москва)
В. Ю. ГУРЕВИЧ
(Минск)
О РАБОТЕ РЕСПУБЛИКАНСКОГО
НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКОГО СЕМИНАРА
«АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ»
Семинар работает при НИИ педагогики Министер-
ствй просвещения БССР. В 1978/79 учебном году сос-
тоялось 6 заседаний.
Два доклада сделала заведующая лабораторией обу-
чения математике НИИ содержания и методов обу-
чения АПН СССР Г. Г. Маслова. В первом докладе
«Задачи дальнейшего совершенствования школьного
математического образования» на основе анализа сос-
тояния преподавания математики в школе, изучения
знаний учащихся, обобщения многочисленных предло-
жений работников народного образования был обосно-
ван основной тезис доклада: в рамках существующе-
го курса математики средней школы необходимо н воз-
можно найтн резервы для повышения качества пре-
подавания, существенного улучшения знаний и норма-
лизации нагрузки учащихся. В докладе были рассмот-
рены основные пути достижения этой цели: разгрузка
курса математики за счет устранения второстепенного,
дублирующего, излишне усложненного, не имеющего
большого образовательного значения учебного матери-
ала, усовершенствование структуры программ и учеб-
ников, анализ практики преподавпния и использование
передового педагогического опыта, усиление развива-
ющих возможностей содержания курса математики и
их эффективное использование в обучении. В развер-
нувшейся оживленной дискуссии участники семина-
ра, представляющие учителей, методистов, препода-
вателей вузов всех областей Белоруссии, поддержали
основные положения доклада, констатировали необхо-
димость безотлагательного совершенствования ныне
действующих программ и учебных пособий по матема-
тике, внесли ряд конкретных предложений.
Во втором докладе Г. Г. Масловой «О политехниче-
ском обучении в средней школе» были рассмотрены
основные направления совершенствования политехни-
ческого образования. I) отражение математикой мате-
риального мира и его закономерностей; 2) сближение
методов решения задач в школе с методами решения
задач в науке; 3) усиление прикладной ориентации
школьного курса математики. Г. Г. Маслова рассказа-
ла о методах и формач реализации каждого из рас-
смотренных направлений в практике преподавания ма-
тематики, привела конкретные примеры, иллюсгрирую-
шие их применение на уроках
Большой интерес вызвал доклад «Пути совершенст-
вования содержания школьного курса геометрии», с
которым выступил заведующий кафедрой геометрии
Московского государственного педагогического инсти-
тута им. В. И. Ленина профессор Л. С. Атанасян. Док-
ладчик ознакомил слушателей с проектом программы
по математике, разработанной комиссией МП РСФСР
и одобренной комиссией АН СССР под председатель-
ством академика А. Н. Тихонова, и рассказал о со-
держании соответствующего этой программе пробного
учебника по геометрии для VI класса средней школы,
подготовленного профессорами Л. С. Атанасяном и
Э. Г. Позняком. При подготовке этого учебника авто-
ры руководствовались следующими принципами и со-
ображениями: 1) введение минимального числа поня-
тий при максимальном их использовании; 2) доказа-
тельство практически всех теоретических утверждений;
3) сосредоточение основного внимания на собственно
геометрическом материале за счет ослабления роли
теоретико-множественных понятий и методов; 4) опре-
деление вектора как натравленного отрезка; 5) посте-
пенное, трехэтапиое вс едение перемещении. Участники
семинара одобрили организацию опытной проверки
этого учебника.
Указанные три доклада были заслушаны на сов-
местном заседании семинара, кафедры методики пре-
подавания математики Минского государственного пе-
дагогического института им. А. М. Горького, кабинетов
математики Республиканского, минских областного и
городского ИУУ.
С докладом «Обучение применению векторов при ре-
шении геометрических задач» выступил декан мате-
матического факультета Минского государственного
пединститута доцент А. Б. Василевский. Докладчик
изложил и методически обосновал разработанную нм
систему приемов обучения учащихся применению век-
торного аппарата при решении геометрических задач.
А. Б. Василевский познакомил слушателей с результа-
тами опытной проверки этой системы и проиллюстри-
ровал ее эффективность на конкретных примерах ре-
шений задач школьного курса геометрии.
Доцент Могилевского государственного педагогиче-
ского института, заслуженный учитель школы БССР
А А. Мазании в докладе «Особенности решения на уро-
ках математики задач с физическим содержанием» со-
поставил результаты анализа межпредметных свя-
зей курсов математики и физики, предусмотренных
программами, учебниками и основными методическими
пособиями, с результатами наблюдений за практиче-
ской реализацией этих связей иа уроках математики
и физики. Докладчик обнаружил существенные разли-
чия в употреблении и использовании одних и тех же
понятий и операций (преобразование выражений н вы-
числение их значений, величина производная, гармо-
нические колебания, оформление записей и др.) учите-
лями математики и учителями физики. Были сформу-
лированы методические рекомендации. направлен-
ные на единый подход к трактовке, формированию и
использованию понятий и их свойств, изучаемых в
школьных курсах математики и физики.
С докладом «Использование внутрипредметных свя-
зей с целью совершенствования структуры школьного
курса математики» выступил старший научный сот-
рудник НИИ педагогики МП БССР В. Ю. Гуревич. В
докладе были изложены принципы построения такой
структуры учебного предмета, которая обеспечивает
наибольшую эффективность использования ранее изу-
ченного материала в организации изучения нового
учебного материала. В соответствии с этими принци-
пами была исследована и усовершенствована структу-
ра курса геометрии VI класса. В результате удалось
выявить те элементы знаний, которые без ущерба мо-
гут быть исключены или перенесены в более старшие
классы, и расположить взаимосвязанные элементы
знаний, насколько позволяет логика предмета, макси-
мально близко друг к другу.
А. Г. ЗОБНИНА, Т. Т. CAMAPUAHGBA
(Ташкент)
ВПЕРВЫЕ В РЕСПУБЛИКЕ
С 10 по 12 мая 1979 г. впервые в Узбекистане была
проведена Республиканская олимпиада по математике
среди учащихся средних профтехучилищ. Она проходи-
ла в г. Ташкенте и была организована Республикан-
ским учебно-методическим кабинетом Госкомитета
УзССР по профессионально-техническому образованию
73
В организации и проведении этой олимпиады принял
активное участие совет молодых ученых Ташкентско-
го государственного педагогического института им. Ни-
зами.
Первой Республиканской олимпиаде предшествовали
училищные и областные олимпиады, по итогам кото-
рых были составлены комаиты из учашпхс=. первых
и вторых курсов средних профессионально-технических
училищ.
10 мая в актовом зале Ташкентского пединститута
в торжественной обстановке олимпиада была открыта.
Перед собравшимися выступила профессор _С. И. Афо-
нина. Она рассказала учащимся о красоте математики,
о важности этой науки в жпзг.н.
11 мая приводился теоретический тур олимпиады,
задания для которого были составлены секцией ма-
тематики РУМКа Узкрофобра. Приведем эти задания
соответственно для I и II курса профтехучилищ:
I КУРС
I. 30 команд участвуют в первенстве по футболу
Каждые две команды должны сыграть между свбон
один матч, Докажите, что в любой момент состязаний
имеются две команды, сыгравшие одинаковое количест-
во матчей.
2. Покажите, что выражение
(х—1) (х—2) (х—3) (х—4)4-10
положительно при любых значениях х. Найд! те наи-
меньшее значение этого многочлена.
3 Докажите, что если три угла выпуклого четырех-
угольника тупые, то диагональ, один конец которой
совпадает с вершиной четвертого угла, длиннее, чем
другая диагональ.
4. Даны два отрезка АВ и CD Известно, что
|AC|* S— |BC|2=|A£)|S — |Z?£>|2.
Докажите, что отрезки АВ и CD перпендикулярны.
5. Найдите значения а и Ь, при которык значение
многочлена a34-t>34 ш? наименьшее, если а4-й=1.
II КУРС
1. Найдите наименьшее положительное значение сум-
мы a-i-fj, еези (sin a-Pcos a) (sin В-|-соь Р) =2cos a cos р.
2. Докажите что сумма квадратов длин всех диаго-
налей параллелепипеда равна сумме квадратов длнн
всех его ребер
3. Призеры футбольного турнира набрали соответ-
ственно 7, 5, 3 очка. За выигрыш команде присужда-
лось два очка, за ничейный результат — одно, за прои-
грыш — нуль Если две команды набрали одинакогое
количество очков то их места определялись по раз-
ности числа забитых и пропущенных голов Сколько
участвовало в турнире команд и сколько очков на-
бдала коман ia занявшая последнее место?
4. Если квазрат любого натурального числа содер-
жит нечетное число десятков, то цифра его единиц
всегда равна 6. Докажите это.
5. В прямоугольник размером 20X25 бросаю г >20
квадратов размером 1X1. Докажите, что при любом
расположении квадратов вчхтри прямох гольннка оста-
ется свободное место для размещения круга диамет-
ром 1.
Но итогам олимпиады жюри присудило
I место- М₽меджанову Серверу (1 курс ГСГ1ТУ
№ 57 г. Ташкента), Корчмарю Андрею (И курс ГСПТУ
АГ» 24 г Ферганы).
II место: Зинатуллину Рамилю (I курс ГСПТУ
Л"? 155 г. Ташкента); Корчегановои Марине и Дулико-
вой Елене (II курс ГСПТУ As 169 г. Алмалыка Таш-
кентской обл.).
Ьчашнеся. занявшие первые места, награждены По-
четными грамотами ЦК J1KCM УзССР Грамоты Гос-
комитета УзССР по профессионально-техническому
образованию были врсчены учащимся занявшим как
первые, так и вторые места. Все призеры олимпиады
полечили памятные подарки.
Проведение олимпиады способствовало повышению
интереса к математике и выявлению наиболее одар< н-
ньх учащихся средних ПТУ.
Республиканский учебно-методический кабинет Гос-
комитета УзССР по профессионально-техническому об-
разованию в дальнейшем будет совершенствовать ор-
ганизацию олимш ад, проводя их ежегодно.
НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ВЫПУСКНИКОВ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА
5 октября 1979 г. в Чувашском государственном пединститута им. И. Я. Яковлева
прошла I конференция выпускников физико-математического факультета по пробле-
мам обучения учащихся математике. В ее работе приняли участие выпускники факуль-
тета, проработавшие по направлению вуза в сельских школах Чувашии в течение года.
Основная цель конференции состояла в том, чтобы приобщить выпускников факуль-
тета к творческой работе учителя в условиях сельской школы
При участии профессорско-преподавательского состава факультета обсуждались
доклады стажеров-учителей, посвященные актуальным вопросам методики препода-
вания математики.
Подготовка и проведение таких конференций будет укреплять творческие связи
педагогического института со сва хми выпускниками.
Д. А. АНТОНОВ
Поздравляем юбиляра
ВИКТОР ИОСИФОВИЧ ЛЕВИН
(К 70-лгтию со дня ,'ождения)
заменив в нем вес —; г в левой части иа большую
т 4- п - 1 J
функцию индексов суммирования
f v’(v4 2)’+2
k (т + п) = k (у) = In — 2 ,Lij >
1 декабря 1979 г. исполняется 70 лет известному со-
ветскому математику и педагогу, заведующему кафед-
рой математической физики и декану факультета повы-
шения квалификации МГПП им. В. И. Ленина, доктору
физико-математических наук, профессору Виктору
Иосифовичу Левину.
Многие поколения советских учителей, инженеров, ма-
тематиков. физиков и работников народного просвеще-
ния е иубокой благодарностью вспоминают о влиянии,
которое В И. Левин оказал на их подготовку.
Педагогическая деятельность Виктора Иосифовича
тесно связана с научной работой, которую он начал
вести уже в годы учебы в Берлинском высшем техни-
ческом училище, а затем в аспирантуре Кембриджского
университета
На ею научные результаты в области теории анали-
тических функций, полученные еше в 30-х гг., до сих
пор ссылаются в своих работах специалисты по теории
функций комплексного переменного.
Он внес существенный вклад в теорию функциональ-
ных неравенств н неравенств для числовых рядов. На-
пример, ему удалось усилить точное неравенство Гиль-
берта
т=о
оо
X
ZJ
л=0

т—0
Л т &П
т -Ь п -j- 1
1_________1_
> м + 1 — m + и + Г
В настоящее время он работает над теорией цикли-
ческих неравенств и вместе с Е. К- Годуновой доказал
справедливость неравенства
п
2j xi>°- х1+* + xi+2>0
л« + 1Т-’Д+2 z
i = l
для и = 11, 12.
Для лекций и семинаров В. И. Левина — блестящего
лектора и вдумчивого педагога — характерно сочетание
математической глубины с ясностью физического истол-
кования, тщательная разработка деталей изложения,
четкость формулировок, насыщенное гь интересными
примерами.
В. И. Левин является автором нескольких учебников
по операционному исчислению и математической фи-
31 ке, пользующихся широкой известностью и переве-
денных на ряд языков, в том числе на английский,
японский немецкий, монгольский и венгерский языки.
В. И. Левин подготовил много аспирантов, работаю-
щих в различных районах страны. Он оказывает боль-
шую нау но-методическую помощь кафедрам периферий-
ных вузов, в частности вузов Снбирн и Дальнего Восто-
ка. В течение ряда лет он возглавляет математическую
комиссию при ГУЕУЗе Министерства просвещения
СССР, неизменно поддерживая все ценные начинания
преподавателей педагогических вузов страны, активно
работает в обществе «Знание» в качестве лектора-ме-
тодиста, публикует статьи в журналах «Квант» и «Ма-
тематика в школе».
На кафедре математической физики МГПИ
им. В И. Ленина, которую он возглавляет свыше
15 лет, Виктор Иосифович сумел создать творческую
атмосферу: здесь оживленно обсуждаются читаемые
курсы, идет большая работа по их совершенствованию,
создаются методические пособия, растет деловая
и научная квалификация преподавателей.
За долгую и плодотворную работу В. И. Левин на-
гражден несколькими медалями, в том числе медалью
«За доблестный труп в Вешкой Отечественной войне»,
а также значками «Отличник народного просвещения
СССР», «Отличник народного просвещения РСФСР».
Л. С. АТАНАСЯН, А. М. БЕРЕЗМАН,
Б. А. БЕЛЬТЮКОВ, А. Н. МАНСУРОВ
(Москва)
75
ТЕМАТИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ СТАТЕЙ,
ОПУБЛИКОВАННЫХ В ЖУРНАЛЕ В 1979 Г.
Передовые
Глаголева Е. Г. и др. Вопросы формирования миро-
воззрения в процессе обучения математике — № 5, с. 3.
Дальнейший подтем качества обучения и воспита-
ния — важнейшая задача — № 6, с. 3.
Преподаватель математики среднего профтехучили-
ща — Xs 4, с. 3
Социалистическое соревнование и народное образова-
ние — Xs 1, с. 3.
Гнеденко Б. В. Школьный курс математики и воспи-
тание мировоззрения—Xs 3, с. 3.
Экономическое образование и воспитание учащихся —
№ 2. с. 3.
От Министерства просвещения СССР
К IV Всесоюзной научно-практической конференции
«.Изучение в средней школе жизни, деятельности, про-
изведений В. И. Ленина, документов КПСС и Совет-
ского государства» — № 6, с. 7.
V Всесоюзные педагогические чтения
Беюликов Ю. М. Тематический учет знаний — сред-
ство повышения эффективности обучения и воспита-
Н| я — Xs 5, с. 16.
Вилкова Е. 3. Идейно-нравственное воспитание стар-
шеклассников в процессе познавательной деятельно-
сти— Xs 5, с. 14.
Каплан М 3. Воспитательные возможности проблем-
ного обучения — Xs 6, с. 34.
Крылов В. Д. За творческое использование техни-
ческих средств обучения — Xs 6, с. 38.
Маслова Г. Г. V Всесоюзные педагогические чтения—
Xs 4. с. 17.
Рубанова А. С. Идейно-политическое воспитание
уч цци.'ся в процессе обучения математике — Xs 5, с. 10.
Т.чтюшкина. М. К. Воспитание активной познаватель-
ной деятельности учащихся в процессе обучения —
Xs 6, с. 31.
Коммунистическое воспитание учащихся
в процессе овладения основами иаук
Головина В. Д. Взаимосвязь обучения и воспитания
в курсе математики — Xs 3, с. 7.
Звавич Л. И. Вопросы профессиональной ориента-
ции учащихся в работе учителя математики — Xs 3,
с. 10.
Раскин Л. 3. Язык цифр и фактов в процессе идей-
но-политического воспитания на уроках математики—
Xs 3, с. 9.
Саакян С. М. Городская научно-практическая конфе-
ренция учителей математики Москвы — Xs 3, с. 6.
Фурса Н. М. Работа по профориентации в младших
к пассах — Xs 3, с. 11.
Проблемы и суждения
О проекте программ
по математике для средней школы
и содержании школьных учебников
Атоян 3. Б. Мы ждем хорошие учебники — Xs 5,
с. 23.
Больсен Е. М. Усилить связь с физикой — Xs 5, с. 23.
Вершинина Е. Г. и др. Ныли предложения по про-
ектам программ — Хэ 5, с. 20.
76
Владимиров В. С., Понтрягин Л. С., Тихонов А. И.
О школьном математическом образовании — Х° 3, с. 12.
Гувернюк В. М. Главное—недостаток времени —
Xs 5, с. 29.
Жаринов Ф. И. Не надо спешить! — Хв 5, с. 28.
Жук В. Д. Создать стабильную программу — Хв 5,
с. 22
Канторович Л. В., Соболев С. Л. Математика в
современной ш .оле Xs 4, с. 6.
Кононов А. Я- Лучше вооружать учащихся знания-
ми, умениями и навыками — Хв 5, с. 22.
Курышкина Т. Е. В преподавании все зависит от
учителя — Xs 6, с. 15.
Маркушевич А. И О школьной математике — Xs 4,
с. 11.
Мурадов А. Ш., Сулейманов Э. М., Айрапетов Я М.
Нужны тщательные эксперименты — Xs 5, с. 28.
О проекте программ по математике для средней шко-
лы и содержании школьных учебников (Гуревич В. Ю.;
Янгибаева Э., Якубова 3.; Абас-Заде А.; Холомай Б. В.
н др.; Тесленко И. Ф.; Эрдннев П. М., Эрдниев Б. П.;
Саранцев Г. И.; Хабиб Р. А.; Гирецкий В. И.) —
Xs 1, с. 5.
О проекте программ по математике для средней
школы (Киседюс Н ; Мурадов А. Ш , Сулейманов Э. М.,
Айрапетов Я. М.; Фирсова I П., Чекунова Н. И., Пер-
вухина С. Г.; Бурдин А. О.; Таварткиладзе Р. К ;
Петрушин П. К.; Бородин А. И. и др.; Рябов Ю. А.,
Воробьева М А.; Увдиев О. и др.)—Xs 2, с. 13.
Обзор отзывов па проект программы по математи-
ке МП СССР — X? 5, с. 37.
Понарин Я- /7. Работать в одном направлении — Xs 5,
с. 28.
Проект программы по математике для IV—X клас-
сов средней общеобразовательной школы, разработан-
ный комиссией под председательством акад И М. Ви-
ноградова — Xs 2, с. 7.
Проект программы по математике для IV—X клас-
сов средней общеобразовательной школы, подготовлен-
ный комиссией МП РСФСР — Xs 3, с. 15.
Рубанов А. Ф. О среднем математическом образова-
нии — .№ 6, с 8.
Сергеева Д. Е. К вариантам программ нужны учеб-
ные пособия — Х° 5, с. 26.
Ситников В. Ф. Часто менять программу нельзя —
X? 5, с. 23.
Слепкань 3. И., Дуиинчук Е. С., Дурицкий А. М. Без
ненужной ломки н поспешных решений- Хв 6, с. 13.
Ставраки Л. В. Во всех проектах не устранена пе-
регрузка — X" 5. с. 26
Стратилатов П. В. О трех опубликованных проектах
программ по математике — Xs 6. с. 10.
Шур М. С. Каждый из проектов имеет свои досто-
инства и недостатки — Xs 5, с. 24.
Методический отдел
От Главного управления школ
Министерства просвещения СССР
Коррективы к программе по алгебре и началам ана-
лиза для IX класса на II полугодие 1979/80 учебно-
го года — Xs 5, с. 30.
О коррективах к учебным программам общеобразо-
вательных школ на 1979/80 учебный год — Xs 3, с. 22.
Бычков Б П. 60-летие советских школьных программ
по математике — 3, с. 51.
Гсльфанд М. Б., Берман. В. П Упражнени- межпред-
метного характера к теме <Производиая» — Xs 2, с. 31.
Гладкова Т. С. Из опыта работы предметных каби-
иегов — № 1, с. 28.
Гнеденко Б. В. О математическом творчестве — Ns 6,
с. 16.
Гетман Э Г Задачи на отыскание наибольших и наи-
меньших значений — № 2, с. 36.
Гуляев В. В. Задачи с природоохранительным сю-
ж том в IV классе—№ 3, с. 51.
Дубинчук Е. С. Некоторые аспекты преемственно-
сти в обучении математике в восьмилетней школе и
среднем профтехучилище — № 1, с. 23.
Дугарова Д. Ц. О геометрических построениях в
курсах математики и трудового обучения IV—V клас-
сов — № 4, с. 30.
Закирова 3. 3. Об одном виде проверочных зада-
ний — № 2, с. 27.
Ильяков Ю. Д. Об ошибке при нахождении относи-
тельной погрешности измерения температуры—№ 1.
с. 31.
К методике изучения первых разделов курса геомет-
рии VI класса — № 3. с. 42.
К составлению задач и упражнений по статистиче-
ским данным —№ 1, с 33; № 2, с. 40.
Клименченко Д. В. Об одном виде задач на построе-
ние — № 4, с. 33.
Колмогоров А. Н. и др. Показательная и логарифми-
ческая функции — № 6, с. 22.
Колмогоров А. Н.. Черкасов Р. С., Семенович А. Ф.
Об учебном пособии «Геометрия 6—8» — № 3, с. 38-
Кудрявцев С В., Моисеева 3. И., Пешков К- И. Об
оценке знаний и умений учащихся по математике в
средней школе — № 3, с. 28.
Кузнецова Л. В. и др. О методических аспектах те-
оретико-множественного подхода к понятию функции—
N 2. с. 23.
Макарычев Ю. Н. и др Об учебном пособии по ал-
гебре для VIII класса — № 3, с. 31.
Маслова Г. Г. и др. О нормализации нагрузки уча-
щихся — Ns 3, с. 24.
Пешков К. И. Об изучении обыкновенных дробей в
V .классе — № 5, с. 31.
Пичурин Л. Ф. О подготовке учителя к уроку — Ns 4,
с. 28.
Примерные контрольные работы по алгебре для VIII
класса на 1979/80 учебный год — Ns 4. с. 40.
Примерные контрольные работы по геометрии для
VI класса на 1979/80 учебный год — Ns 4, с. 44.
Примерное планирование учебного материала и конт-
рольные работы по геометрии для VII—VIII классов
на II полугодие 1979/80 учебного года — Ns 6, с. 44.
Размас Р. А. О связи исследования функций с реше-
нием уравнений и неравенств — № 4, с. 40.
Ретюнский В. П. и др. Реализация межпредметных
связей при формировании понятия о стандартном виде
числа - - Ns 2, с. 30.
Рубцова Н Г. О доказательстве переместительности
сложения коллинеарных векторов — Ns 1, с. 32.
Уткина Т. И. К методике обучения учащихся реше-
нию задач с помощью векторов — Ns 4, с. 37.
Чуканцов С. М. Учить самоконтролю — Ns 6, с. 27.
Шарифов Дж. О повышении эффективности само-
стоятельной работы учащихся на уроках геометрии —
Ns 4, с. 35.
Юрченко П. М. По поводу некоторых задач для
V класса — № 1, с. 30.
О повышении эффективности урока
Бакланова А. П., Рабунскай Е. С. О систематиче-
ской взаимопроверке знаний учащихся на уроках — Ns 1>
с. 17.
Мостовой А. И., Шарипов Т. А., Наконечный М. П.
О создании проблемных ситуаций при решении задач
различными способами — Ns 1, с. 20.
Севостьянова М. В. Развитие самостоятельности уча-
щихся при изучении темы «Параллельность в прост-
ранстве»— № 1, с. 18.
^итатели вносят предложения
Батуров П. М. Упражнения нз тему «Основное свой-
ство первообразной» — Ns 5, с. 36.
Григорьева Т. П. К изучению скалярного произве-
дения векторов — Ns 6, с. 43.
Маликов Т. С. Рассуждения, заменяющие метод ма-
тематической индукции для узкого класса функций —
Ns 5, с. 35.
Никольская И. А. Из опыта изучения темы «Задачи
на проценты» — Ns 5, с. 34.
Родионов В. П. О площади проекции треугольника —
N; 4, с. 27.
Улимаева А. Т. Решение задач на нахождение иаи-
бочыпих и наименьших значений — № 6, с. 42.
Янцевич А. И., X. Мора Сальвадор. Об одной из тео-
рем темы «Функция, обратная данной' — №5, с. 35.
В помощь учителям вечерних (сменных) школ
и профтехучилищ
Башмаков М И., Поздняков С. Н. Изучение темы
«Векторы» на первом курсе средних профтехучилищ —
Ns 4, с. 47.
Глейзер Г. Д., Саакян С. М. О преподавании мате-
матики в IX—XI классах вечерней (сменной) школы
в 1979/80 учебном году — Ns 3, с. 53.
Пашкова Л. М„ Барчунова Ф. М. Примерное тема-
тическое планирование для I и II курсов средних
профтехучилищ — Ns 4, с. 45.
О вступительных экзаменах в вузы в 1978 г.
Алексеев А. С„ Вяльцева И. Г. Новочеркасский по-
лн1ехнический институт — № I, с. 36.
Карасев Г. А.. Кузнецов Э. И. Московский государ-
ственный педагогический институт им. В. И. Ленина—
Ns 1, с. 38
О некоторых итогах проведения вступительных экза-
менов (обзор статей) —№ 1, с. 44.
Ускова О. Ф., Федотенко Г. Ф. Воронежский госу-
дарственный университет им. Ленинского комсомола—
Ns 1, с. 41.
Ястребинецкий Г. А. Лучше учитывать содержание
школьной программы—-Ns 1, с. 48.
Консультация
Болтянский В. Г. Фигурная скобка в определении
модуля — Ns 6. с. 47.
Технические средст-а обучения.
Учебное оборудование
Дудницын Ю. П., Сытина Т. Л. Таблицы по геомет-
рии для IX класса — № 4, с. 54.
Ентис П. Я. Приспособление для крепления лога-
рифмической линейки — Ns 4, обложка.
Минатулаев Б. Прибор для демонстрации решений
неравенств — Ns 5, обложка.
Шилов В. Ф. Строго соблюдать технические нормы
эксплуатации проекционных аппаратов — Ns 2, с. 42.
Шилов В Ф., Исаев В. И Новые возможности маг-
нитной резины — Ns 2, обложка.
77
В помощь самообразованию учителей
Болтянский В. Г. Обратная функция — № 1, с. 49.
Понарин Я. П Преобразования подобия плоскости —
№ 3, с. 62.
Проблемы методической подготовки
учителя математики
Столяр А. А. Чему должна учить методика препода-
вания математики — № 6, с. 48.
Проблемы методики изучения некоторых
разделов школьного курса математики
Вейц Б. Е. Векторы в школьном курсе математики—
№ 4, с. 19.
Мацкин М. С.. Мацкина Р. Ю. О преподавании эле-
ментов математического анализа в средней школе —
№ 4, с. 23.
Эксперимент
Болтянский В. Г Школа и микрокомпьютер — № 2,
с. 46.
Джапаров Ш., Тимофеев А. И. Из опыта проведения
письменных выпускных экзаменов по математике в
Киргизии — № 2, с. 50.
Искандарян С. А. Вопросы обучения младших школь-
ников элементам алгоритмизации — № 2, с. 52.
Ковалев М. П., Швирибурд С. И. О современных ус-
ловиях обучения счету — № 2, с. 43.
Метельский И. В. Об изучении познавательных ин-
тересов школьников — № 5, с. 48.
Монахов В. М., Малкова. Т. В. О некоторых обще-
образовательных аспектах принципа двойственности —
№ 3, с. 59.
Семушин А. Д. Экспериментальная система оценки
успеваемости учащихся по математике в IV—X клас-
сах — № 5, с. 43.
Шалимова К. И. О новой форме проведения пись-
менного экзамена по алгебре в восьмых классах обще-
образовательных школ РСФСР — № 2, с. 49.
Факультативные курсы
Жму лева А. В. В помощь уМгтелю, ведущему фа-
культативный курс в VII классе — Хе 3, с. 68.
Земляков А. И. Дифференциальные уравнения как
математические модели физических процессов — Ne 1,
с 55.
Внеклассная работа
Андрощук И. И. — Математический вечер в сельской
школе «Математика и сельское хозяйство» — № 1,
с. 62.
Ахметгалиев А. А. Математическая конференция в
сельской школе — Хе 4, с. 60
Вавилов В. В., Земляков А. Н. Из опыта работы
летней физико-математической школы при МГУ — Хе 4,
с. 61.
Васильев И. Б., Гутенмахер В. Л., Раббот Ж. М.
ВЗМШ— в помощь учителю — Хе 4, с. 63.
Васильев И. Б. и др. XIII Всесоюзная олимпиада
школьников — Хе 6, с. 52.
Григорьев И. Д. Конкурсы по решению задач — Хе 5,
с. 58.
Гусятников П. Б., Шалимова К. И., Яковлев Г. И.
V Всероссийская физико-математическая и химическая
олимпиада школьников — Хе 5, с. 52.
Ермолаев И. К. О правильных многогранниках на
занятиях кружка — Хе 3. с. 73.
Ивашев-Мусатов О. С., Ивлев Б. М., Шварцбурд
С. И. Формула Ноютона (натуральная степень бино-
ма) — Хе 2, с. 57.
Игнатьева Л. А. Математический вечер в сельской
школе «Считай, смекай, отгадывай» — Хе 1, с. 63.
Мейлер В. М. Школьный музей Н И. Лобачевско-
го - Хе 4, с. 59.
Михайлов И. И. Из опыта решения в IV и V клас-
сах задач повышенной трудности — Хе 5, с 57.
Михайловская А. Ю. Операции над множествами
и тригонометрические уравнения — Хе 1, с. 64.
Музенитов Ш. А. Задачи экономического содержания
на внеклассны с занятиях — Хе 2, с. 54.
Ольхов В. Е. Об использовании тригонометрических
функций при доказательстве неравенств — Хе 2, с. 56.
Скопец 3. А. Свойства плоских углов трехгранного
угла — Хе 2, с. 56
Toor А. Л. О задачах вступительной работы в
ВЗМШ - Хе 5, с. 51
Я синовий Э. А. Применение векторов — Хе 3, с. 71.
Задачи
Хе 1, с. 67; Хе 2, с. 58; Хе 3, с. 76,
Хе 4. с. 65; Хе 5, с. 59; Хе 6, с. 58.
Занимательная страница
Буланова В. П. Занимательное о трехчтене Эйлера
и простых числах Ферма — Хе 4, с. 64.
Кордемский Б. А. В отличне от уравнения Ферма —
Хе 3, с. 75.
Кордемский Б. А. Алгоритм получения курьезных ра-
дикалов — Хе 3, с. 75.
Кордемский Б. А. Расшифрованные числовые тождест-
ва — Хе 1, с. 66.
Михайлов И И. Загадки календаря—Хе 6, с. 57.
Рекстин Э Э. Числовые ребусы — Хе 6, с. 56.
Ученые-математики
Буняковский Виктоп Яковлевич — Хе 3, обложка.
Джордж Буль — Хе 2, обложка.
Лаплас Пьер Симон — Хе 3, обложка.
Лаптев Б. Л.. Юшкевич А. П. И. Г. Ламберт — Хе 5,
с. 69.
Николай Иванович Лобачевски5— Хе 4, обложка.
Платон Сергеевич Порецкий — Хе 2, обложка.
Христиан Гюйгенс — Х° 6, с. 80.
Чебышев Пафнутий Львович — Хе 5, обложка.
Шарль Эрмит — Хе 5, обложка.
Якоб Бернулли — Хе 6, с. 80.
Янош Больяй — Хе 4, обложка.
Математический календарь
Иа 1978/79 учебный год, март —апрель —Хе 1, об-
ложка; май — июнь — X» 2, обложка; июль — август —
Хе 3, обложка; на 1979/80 учебный год, сентябрь — ок-
тябрь— Хе 4, с. 16; ноябрь — декабрь — Хе 5, с. 66; ян-
варь — февраль — Хе 6, обложка.
Зверович Э. И.. Бурдун А. А., Василевский А. Б.
Николай Владимирович Метельский — Хе 5, с. 67.
Бровиков И. С. Яков Рафаилович Берман — Хе 5,
с. 68.
Поздравляем юбиляров
Атанасян Л. С., Лопшиц А. М. Григорий Борисович
Гуревич — Хе 1, с. 76.
78
Атанасян Л. С., Вересова Е. Е., Тимошенко В. В.
Вячеслав Тимофеевич Ьазылев— Ns 3, с. 78.
Атанасян Л. С. и др. Виктор Иосифович Левин —
Ns 6, с. 75.
Бровикое И. С., Пономарев С. А., Шварцбурд С. И.
Анатолий Михайлович Пышкало — № 3, с. 79.
Гусев В. А., Сенько Е. Е., Рузин Н. К- — Абрам
Аронович Столяр — Ns 1, с. 77.
Ефимов Н. В. и др. Мардан Аюбович Сабиров —
№ 3, с. 77.
Кузнецова М. Ф. Николай Николаевич Шоластер —
Ns 1, с. 76.
Недошивкин Е. Ф., Казанский В. П. Михаил Ильич
Ягодовский— № 3, с. 79.
Критика и библиография
Антипов И Н., Шварцбурд С. И. Учебное пособие
по программированию — Ns 4, с. 75.
Бычков Б. П. Вопросы преподавания математики
на страницах молдавского журнала для учителей —
№ 6, с. 70.
Васильев Н. Б. О книге «Теорема Абеля в задачах
и решениях» — № 1, с. 78.
Володин И Н., Ермолаев Ю. Б. Лаптев Б. Л. Книга
по истории математики XIX века — № 6, с. 68
Габа С. Г. Новое издание книги Е. И. Игнатьева «В
царстве смекалки» — № 2, с. 72.
Игнатьева Т. Б. О книге «На путях обновления
школьного курса математики» — № 2, с. 71.
Из плана выпуска литературы издательства «Педа-
гогика* на 1480 г — Ns 5’, с. 79.
И сошников Н П Библиографический указатель по
методике преподавания алгебры и элементарных фупк
цпй —Ns 4. с 79
Л чрье IT 1 О книге В. М Монахова, Э С. Велие-
вой. II Я Краепера «Методы оптимизации» — Ns 6,
с. б>>
Слободецкий И. Ш. Новая научно популярная серия
из тзгеттсгва «Наука» — библиотечка «Квант» — Ns 5,
с. 29
Хавинссн С. Я. Интересно и своевременно — Ns 4,
с. 73.
За рубежом
Гаврилюк А. В. Об одной схеме введения понятия
предела н непрерывности — № 4, с. 76.
Ганчев И. Сто лет обучения математике в бол-
гарской школе и влияние русской и советской мето-
дики на его развитие —• Ns 2, с. 74.
Сэцуко Минз, Шапкина В. Н. О новы* программах
по математике в средних школах Японии — Ns 6, с. 64.
Яглом И. М. Новые учебники геометрии для средних
школ США — Ns 5, с. 72.
Хроника
О работе научно-методических семинаров при НИИ
СиМО АПН СССР в 1978/79 учебном году — № 6, с. 71.
Пополнение Академии наук СССР — № 4, с. 5.
Гуревич В. Ю. О работе республиканского семинара
«Актуальные проблемы преподавания математики в
средней шкоче — Ns 6, с. 73.
Гусев В. А. Всесоюзная конференция по проблемам
межпредметных связей в подготовке учителей мате-
матики и физики — Ns 2, с. 78
Жуланов К. А. Республиканский семинар в Узбеки-
стане— Ns 2, с. 79.
Зобнина А. Г., Самарканова Т. Т. Впервые в рес-
публике — Ns 6, с. 73.
Литвиненко i Н. Научно-практическая конференция
на Украине — Ns 3, с. 80.
О заочной математической школе механико-матема-
тического факультета МГУ — № 2, с. 80.
Розов Н. X. В секции средней школы Московского
математического общества — Ns 4, с. 79.
Сикорская В Л Волжский зональный семинар —
Ns 2, с. 79.
Чернышева Л. Ю„ Демидова С. И. Советско-амери-
канский семинар по вопросам педагогических исследо-
ваний в области образования — Ns 2, с. 77.
Некрологи
Белоусов В. Д., Нчгу Я. И. Иван Константинович
Парно — № 4, с. 80
Бескин Н. М.. Лопшиц А. Л!. Михаил Владимирович
Потоцкий — Ns 1, с. 80.
Ерошкина Л. Н. и др. Иван Михайлович Уверенков—
№ 5, с. 78.
Колмогоров А. Н. и др. Алексей Иванович Марку-
шевич — Ns 5, с. 77.
Свешников А. Г. Гнеденко Б. В. Петр Сергеевич Мо-
денов — № 1, с. 79.
ВНИМАНИЮ ЧИТАТЕЛЕЙ!
В издательстве «Педагогика» в сентябре 1979 г. вышли следующие книги:
КОРЧАК Я. Избранные педагогические сочинения. 474 с., 40 000 экз., 1 р. 70 коп.
КРУПСКАЯ Н. К. Педагогические сочинения в 6-ти т. Т. 4. Подписное издание.
450 с., 60 000 экз., 1 р. 50 коп.
Н звые исследования по возрастной физиологии. Вып. 2(13). 104 с., 20 000 экз., 1 р.
Семья и система нравственного воспитания. Актуальные проблемы воспитания
подро тков/Сост,. М. А. Иволгин, И. ф. Дементьева, 232 с., 50 000 экз., 40 коп.
Сипа педагогического коллектива: [Из опыта работы шнопы № 18 г. Павловского
ПосадарПод ред. О. Гаманина. Серия «Передовой педагогический опыт». 144 с.,
30 000 экз., 35 коп.
УЧЕНЫЕ-МАТЕМАТИКИ
ХРИСТИАН ГЮЙГЕНС
(1629—169SJ
Христиан Гюйгенс — выдающийся механик, физик,
математик, создатель волновой теории света. Гюйгенс
родился в Гааге. По окончании университета (5651) он
опубликовал работу об определении длин дуг окруж-
ности, эллипса, гиперболы, а в 1654 г.— «Об опреде-
лении величины окружности», эта работа была сущест-
венным вкладом в теорию вычисления числа л.
В 1655—1659 гг Гюйгенс с помощью усовершенство-
ванных им телескопов открыл спутник Сатурна и ко :ь-
цо Сатурна.
ЯКОБ БЕРНУЛЛИ
(1654—1705)
Якоб Бернулли — один из членов большой семьи
швейцарских ученых-математиков, в числе которых на-
до назвать его брата Иоганна (1667—1748) — почетного
члена Петербургской АН, сыновей Иоганна: Николая
(1695—17?6), профессора математики, и Данииле
(17С0—1782), выдающегося математика и физика, так-
же почетного члена Петербургской АН.
Якоб и Иоганн Бернулли жили и работали в то вре-
мя, когдз складывалось исчисление бесконечно малых
после открытия, сделан .ого Лейбницем и Ньютоном.
С 1657 г. он и обр^п м-’ т'-чсовые часы. Значение
ётсто изобретения было огромно.
В 1о65 г. при основании Парижской АН Гюйгенс был
приглашен в Париж в ка-it ге ее председателя
0665—1681). В Париже он про жил 16 лет Здесь в
1673 г. вышел его главный т уд — «Маятниковые ча
сы», где иесл девались проб емы математики и физи-
ки, связанные с двил имел маятника. В 1680 г. он ра-
ботает над «план тней машиной», для конструкции ко-
торой ра. аба jot тес ию непрерывных дробей
Расчет «пл й машины» — прообраза современно-
го планетария—блестящий при/.,ср достижений Гюй-
генса в точной механике.
По возвращении на родину Гюйгенс продолжает
исследования по оптике, которые завершаются «Трак-
татом о свете» (1690). Б нем впервые в стчетлизой
форме излагается и применяется к исследованию
оптических явлений волновая тсооия света.
В трактате «Космотеорос». опубликованном уже пос-
ле смерти автора, Гюйгенс изложил теорию о множе-
ственности миров и их обитаемости. Интересно отме-
тить, что в 1717 г. этот трактат по приказу Петра I был
переведен на русский язык.
Ознакомившись с первым мемуаром Лейбница по
дифференциальному исчислению, Якоб Бернулли бле-
стяще применил новые идеи к изучению свойств ряда
кривых. Ему при .адлежит термин «интеграл».
Братья Бернулли положили начало вариационному
исчислению. Их прогрессивные математические идеи,
нензмончое стремление строить математический ана-
лиз в тесной связи с его приложениями сочетались
с передовыми те: енциями в области естествознания.
Яксб Бернулли в труде «Искусство предположе-
ний» впертые опубпигезал теорему (названную впо-
следствии теоремой Бернулли), являющуюся простей-
шим случаем закона больших чисел, чрезвычайно
изящное и краткое доказательство которого было дано
П. Л Чеб шевы.м в середине XIX в. В связи с вычис-
лю тием гуммы одинаковых степеней натуральных чи-
сел Якоб Бернулли впервые рэссмютрел так называе-
мые числа Бернулли.
Кроме математики он работал также в области фи-
зики по определению центра качания тел, сопротивле-
ния тел различней формы, движущихся в жидкости.
Известно уравнение Бернулли, устанавливающее связь
между скоростью и давлением в потоке жидкости. Оно
используется при расчетах трубопроводов.
Математический календарь на 1979/80 учебный год
22 января — 60 лет со дня рожде-
ния советского математика, члена-
корреспондента АН УССР Николая
Павловича Корнейчука. Родился
в с. Бобрик (ныне Гомельская обл.),
участник Великой Отечественной
войны. Окончил Днепропетровский
университет (1955), доктор физико-
математических наук (1964), профес-
сор (1965). В настоящее время рабо-
тает в Институте математики АН
УССР. Н. П. Корнейчук — ученик ака-
демика С. М. Никольского. Основ-
ные труды Н. П. Корнейчука отно-
сятся к теории функций. Его цикл
работ, посвященный экстремальным
задачам теории приближения функ-
ций тригонометрическими многочле-
нами, отмечен Государственной пре-
мией СССР (1973) (см.: История оте-
чественной математики, т. 3—4; На-
ука сегодня. М., 1974).
29 января — 225 лет со дня рож-
дения русского математика и педа-
гога, академика Петербургской АН
(с 1783 г.), члена академий а Бер-
лине, Стокгольме и Копенгагене Ни-
колая Ивановича Фусса (1755—
1826). Н. И. Фусс родился в Базеле
(Швейцарии). Был учеником и дру-
гом Л. Эйлера, по приглашению ко-
торого переехал в Россию. Разраба-
тывал вопросы, близкие к работам
его учителя (сферическая геометрия
и тригонометрия, теория рядов,
геометрия кривых, интегрирование
дифференциальных уравнений и др.),
а после смерти Эйлера опубликовал
его мемуары. Н. И. Фуссу принад-
лежит ряд распространенных в то
ьремя учебников, способствовавших
развитию математического образо-
вания в России (см.: БСЭ, 2-е и 3-е
изд.; Юшкевич А. П. История мате-
матики в России. М., 1968; Лысен-
ко В. И. Николай Иванович Фусс. М.,
1975).
Февраль
5 февраля — 125 лет со дня рож-
дения русского математика Дмитрия
Федоровича Селиванова (1В55—
1932). Окончил Петербургский уни-
верситет (1878), доктор математики
(1889), профессор (1905). Работал в
Петербургском технологическом ин-
ституте и на Высших женских курсах,
а с 1905 г.— в Петербургском уни-
верситете. Его труды относятся к
различным разделам алгебры. Д. Ф.
Селиванову принадлежит ряд учеб-
ников, в частности «Курс введения в
анализ» и «Исчисление конечных
разностей» (см.: История отечествен-
ной математики, т. 2; Историко-мате-
матические исследования, I960,
вып. 13).
8 февраля — 280 лет со дня рож-
дения выдающегося физика и мате-
матика Даниила Бернулли (1700—
1782) (см.: Математика в школе,
1969, № 6).
9 февраля —100 лет со дня рож-
дения выдающегося венгерского ма-
тематика Липота фей ер а (1880—
1959) (см.: Математика в школе,
1969, № 6).
13 февраля —175 лет со дня рож-
дения знаменитого немецкого мате-
матика, члена Берлинской АН Пете-
ра Густава Лежена Дирихле
(1805—1859) (см.: БСЭ, 2-е и 3-е изд.;
Математика в школе, 1964, № 3).
13 феврвля—80 лет со дня рож-
дения советского математика Абра-
ма Иезекииловича Плеснера
(1900—1961) (см.: Математика в шко-
ле, 1969, № 6).
17 февраля — 90 лет со дня рож-
дения английского биолога и мате-
матика — одного из создателей со-
временной математической статисти-
ки Рональда Эйлмера Фишера
(1890—1962). Родился в Лондоне.
Окончил Кембриджский университет.
В 1936—1957 гг. работал в Кембрид-
же. В 1957 г. переехал в Австралию.
Многие понятия и утверждения ма-
тематической статистики связаны с
именем Фишера. Он разработал так
называемый метод максимального
правдоподобия. Р Э. Фишер — по-
четный член многих академий и на-
учных общестг Награжден Дарви-
новской медалью -Лондонского ко-
ролевского общества (см.: БСЭ, 3-е
изд.).
19 февраля — 60 лет со дня рож-
дения советского математика Вале-
рия Витальевича Рыжкова. Родил-
ся в Харькове. Окончил Московский
университет (1941), доктор физико-
математических наук (1960), профес-
сор (1962). Преподавал в Москов-
ском инженерно-строительном ин-
ституте и Московском инженерно-
физическом институте, с 1961 г. ра-
ботает в Университете дружбы на-
родов им. Патриса Лумумбы. Труды
В. В. Рыжкова относятся к геометрии
(см.- История отечественной мгтема-
тики, т. 3—4).
А. И. Бородин
(г. Донецк)
Цена 45 коп. 70557
ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ
Наша практика показала, что уча-
щиеся испытывают большие затруд-
нения при переходе от плоскостных
и объемным фигурам. На уроке лег-
ко показать фигуры вращения, поль-
зуясь центробежной машиной. Эта
машина имеется в каждом кабинете
физики.
Для получения фигур вращения
необходимо изготовить набор рамок
из стальной проволоки диаметром
4—5 мм (рис. 1). Ориентировочные
размеры рамок 150X200 мм. Каж-
дая рамка имеет ось, которая встав-
ляется в шпиндель центробежной
машины и закрепляется винтом.
Корпус машины (рис. 2) имеет ме-
таллический стержень, при помощи
которого можно укреплять ее в под-
ставке-треноге. Он может поворачи-
ваться вокруг горизонтальной оси и
закрепляться в вертикальном или го-
ризонтальном положении. Шпиндель,
в котором закрепляют проволочную
рамку, приводится во вращение с
помощью рукоятки. При одном обо-
роте рукоятки шпиндель совершает
9 оборотов, и даже при медленном
движении рукоятки рамка вращается
быстро, что создает иллюзию объем-
насти.
Рис. 2
Рис. 3
Если шпиндель установить гори-
зонтально (рис. 3), а на темном фо-
не начертить координатные оси так,
чтобы ось абсцисс совпала с осью
шпинделя, то при вращении рамки,
изображающей график функции, хо-
рошо просматривается фигура, полу-
чающаяся от вращения криволиней-
ной трапеции. Можно предложить
учащимся вычислить ее объем или
площадь поверхности.
Для получения контрастных изо-
бражений фигур вращения рамки
необходимо покрасить алюминиевой
краской или белилами.
В. Ф. Шилов, В. И. Исаев
(Москва]
Математика в школе, 1979, № 6, 1—80