Научно-методический
журнал
Министерства просвещения
СССР
Москва «Педагогика»
Издается, с-1934 года
Выходит один раз
в два месяца
МАТЕМАТИКА
В ШКОЛЕ
НОЯБРЬ — ДЕКАБРЬ
Новые рубежи и новые задачи а подготовке учителей математики
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
Подготовку учителей математики — на
уровень современных требований
(предложения, мнения, опыт, поиск)
R. Я. Виленкин, б МГЗПИ
А. Г. Мордкович
М. М. Буняев С МГПИ им. В. Й. Ленина
И. А. Новик 14 Минский пединститут
В. Н. Келбакиани <6 Кутаисский седине! игут
Подумаем вместе
Я. М. Бескин	17	Как решить проблему учебников
Я. И. Грудеков	19	Научные дискуссии — непременное	условие совершенствования учебников
А.	В. Жуков	20	Смелее совершенствовать процесс	обучения
В.	Г. Леонов	20	Воспитывать трудолюбие
Е. А. Беляков	21	Крайности неуместны
Профориентация на уронвх математики
И. М. Шапиро, 21 Ориентация учащихся на профессию учителя математики
М. Ф. Мартынова
М. X. Хайбупаев, 23 Реализация межпредметных связей математики и трудового обучения
3 А. Магомеддибирова
Из опыте работы
Л. М. Аксютина, 26 Организация методического объединения
Т. Е. Бондаренко
С. С. Минаева 28	Тематический контроль знаний в IV—V классах
В. А. Гусев,	30	Самостоятельные работы по геометрии в X классе
А.	И. Медяник	х
33 ' Программа по математике (VIII—XI классы) для школ (классов) с углублен-
ным теоретическим и практическим изучением физики
Эксперимент
М. Б. Волович, 37 Учитывать потребности курса физики при изучении темп «Измерение re-
г. В. Шахбазян	ометрических величина
В помощь самообразованию учителей
40 Примерные учебно-тематические планы и программа курсов повышения
квалификации учителей математики
© «Математика в школа» № 6, 1986 г.
<п
Внеклассная работа
В.	С. Мельник 4В О взаимосвязанных геометрических задачах
И. Ф. Шврыгин 50 Об одном методе нахождения расстояния и углв между скрещивающимися
прямыми
Занимательная страница
Б А Кордемский 51
В. Г. Болтянский 52
В мире интересных числовых конструкций
Информатика помогает математике
Задачи 54
МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИКИ
НАШЕГО ВРЕМЕНИ
Л. С. Атанасян и др. 63 Выдающийся ученый современности
Математический календарь на 1986/87
учебный год
А. И. Бородин 67
3. В. Шепелева 67
В. К. Смышляев 68
68
Январь — февраль
М. Е. Головин
Н. А. Агрономов
И. С. Бровиков
О. А. Козлова и др. 68
Ю. П. Дудницын и др. 68
В. С. Семаков, 69
М. Г. Лускина
Фаина Михайловна Барчунова
И. Т. Бородуле —70 лет
Е. С. Канину —- 60 лет
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
В. Н. Молодший 70
С. Г. Губа 71
В К. Смышляев 72
Ф. М. Шустеф 62
К выходу в свет V тома Математической энциклопедий
О двух полезных книгах для внеклассной работы
Русские математические журналы для педагогов и учащихся
Новые книги
ХРОНИКА
А. А. Кузнецов и др.	75
И. X. Розов	76
III семинар методистов-мстематиков социалистических стран
В секции средней школы Московского математического общества
77 Тематический указатель статей, опубликованных в журнале в 19В6 с.
Редаьцмсььai коллегия
Редакционный еовв»
(представители союзных республик)!
Зав. редакцией
3. В. Шепелева
Главный редактор Р. С, Черкасов
Зам. главного редактора А. И. Верченко
Члены редакционной коллегии:
К. М. Бескин
В. Л Болтянский
Н. Ф. Власик
Г. Д. Глейзер
Б. В. Гнеденко
Г. В. Дорофеев
Н. А. Ермолаева
А. Н. Колмогоров
Ю. М. Калягин
М. Р. Леонтьева
Г. Г. Маслова
К. И. Пешков
JI. М. Пашкова
И. С. Петраков
Н. X. Розов
В. А. Скворцов
П. В. Стратилатов
3. С. Сухотина
К. И. Шалимова
С. И. Шварцбурд
Г. А. Дстребинецкий
А М- Алиев (АзССР)
X А. Асадов (ТаджССР)
Б. Б. Бердыев (ТССР)
В. А. Гусев (РСФСР)
А. С. Зибертас (ЛитССР)
Д. И. И Крамов (УзССР)
К. К. Кожаспаев (КазССР)
Ш. М. Майлиев (KhdfCCP)
В Я. Миллере (ЛатвССР)
3. И. Моисеева (РСФСР)
С. Ф. Рубанов (БССР)
Н. Н. Садовникова (РСФСР)
Р. В. Саркисян (А ом ССР)
3. И. Слепканъ (УССР)
А. Э. Телъгмаа (ЭССР)
И. Ф, Тесленко (УССР)
Р. А. Хабиб (РСФСР)
А. М. Хошгария (ГССР)
Художественный редактор
Б. Ф. Рябов
Технический редактор
Г. Б. Андреева
Корректор Л, Ф. Чичрлияа
Сдано в
в печать
Печать высокая.
Уч.-изд. л. 11,29.
Тираж 438 НО экз.
набор 21.10.86.
25.11.86.
Подписанг
Формат 84х W8'/i..
Уел. печ. л. 8.4J.
Уел. кр.-отт= 9,03.
Цена 45 коп.
Заказ 240.
Издательство «Педагогика> Академии
педагогических наук СССР и Государст-
венного комитета СССР по делам изда-
тельств, полиграфии и книжной торговли.
Адрес издательства: 107847, Москва. ГСП,
Б-05. Лефортовский нер., Д. 8.
Адрес редакции: 129278. Москва.
ул. П. Корчагина, д. 7. Телефон 283-85-83
Московская типография № 13
ПО «Периодика> ВО «Союз полиграф-
пром> Государственного комитета СССР
по делам издательств, полиграфии и
книжной торговли.
1С7С05, Москва, Б-5, Денисовский пер.,
д. 30.
2
Новые рубежи и новые задачи
в подготовке учителей математики
Намеченная XXVII съездом КПСС стратегия
ускорения социально-экономического разви-
тия нашей страны рассчитана на приведение
в действие могучего арсенала средств, обес-
печивающего решение этой важной задачи.
В системе таких средств Коммунистическая
партия особое место отводит развитию обра-
зования и науки. Вполне закономерно, что в
документах XXVII съезда КПСС проблемам
развития образования и науки было уделено
столь большое внимание.
Последовательно осуществляя курс на по-
вышение эффективности образования, КПСС
разработала в развитие основных направле-
ний реформы общеобразовательной и про-
фессиональной школы программу перестрой-
ки высшего и среднего специального образо-
вания в стране, завершив таким образом соз-
дание целостной концепции совершенствова-
ния всех звеньев системы народного образо-
вания советского общества.
Новая концепция образования построена на
основе широкого использования всего ценно-
го, что достигнуто практикой социалистическо-
го развития, учитывает новые задачи и по-
требности общества, строящего коммунизм.
Особое место в совершенствовании образова-
ния, в повышении его эффективности, в уско-
рении социально-экономического прогресса и
формировании всесторонне развитой лично-
сти партия отеодит науке. «Центральный Ко-
митет исходит из твердого убеждения,— под-
чевкнул в своей речи на Всесоюзном совеща-
”ии заведующих кафедрами общественных
наук Генеральный секретарь ЦК КПСС
М. С. Горбачев,— что реализация курса на
ускорение, на перестройку, на достижение
качественно нового состояния советского об-
щества немыслима без активизации идейно-
теоретической деятельности, без надежного
научного обеспечения практических мер по
совершенствованию общественных отношений
развивающегося социализма».
Это положение имеет свое непосредствен-
ное отношение не только к общественным
наукам, но и ко всему комплексу наук фунда-
ментального и прикладного характера, без ко-
торых «невозможно ускорение, „задействова-
ние” главного фактора — фактора человече-
ского». В этом плане следует прежде всего
обратить внимание на математику, науку, кОт
торая пронизывает все сферы образования^
конкретную экономическую, творческую дея-
тельность советского человека в интенсифика-
ции научно-технического прогресса.
Важнее значение в реализации намечае-
мых преобразований придается проблеме по- '
вышения качества подготовки научно-педаго-
гических кадров, прежде всего первичного
звена — учителей средней школы.
Сформированность молодого человека как
гражданина, способного с полной отдачей
включиться в практическую деятельность, во
многом определяется трудом учителя, качест-
вом его профессиональной квалификации.
Сегодня в общеобразовательных школах
страны работает одна из самых представи-
тельных частей педагогического корпуса —
отряд учителей математики, насчитывающий
свыше 315 тыс. педагогов. Существенным яв-
ляется и ежегодное пополнение школы почти
16 тыс. молодых учителей математики — вы-
пускников педагогических институтов; степень
их готовности на высоком научно-методиче-
ском уровне воспитывать и обучать детей —
многогранная и сложная задача всех педвузов
страны.
В наши дни для учителей математики, как
и для всех учителей гуманитарных и естест-
венно-математических дисциплин, особое зна-
чение приобретает мировоззренческая подго-
товка, высокая идейность, глубокое знание
научной теории марксизма-ленинизма. Об
этом хорошо сказал М. С. Горбачев: «Умение
ориентироваться в нынешнем сложном, про-
тиворечивом, но взаимозависимом мире — не
дар природы. Не приходит оно и попутно,
вместе с освоением специальных дисциплин.
Этому умению надо учить будущих специали-
стов. Ведь мировоззрение — это не только со-
вокупность общих сведений о мире».
Школа сегодняшнего дня требует от учи-
1*
3
теля математики глубокого и оснсвательного
знания не только науки, предмета преподава-
ния, но и личности своего ученика, педагоги-
ческих и психологических закономерностей
его развития, методики донесения основ нау-
ки до сознания учеников и формирования
у них логического, математического мышле-
ния, навыков применения полученных знаний
в практической деятельности, в общественном
производстве.
Требования научно-технического прогресса,
а также возрастающий научно-информацион-
ный поток привели к необходимости сущест-
венным образом пересмотреть подготовку
учителя математики в системе высшего педа-
гогического образования. Одним из этапов та-
кой перестройки в подготовке учителя мате-
матики явилось введение целого ряда дисцип-
лин, обеспечивающих непрерывную комплекс-
ную компьютерную подготовку. Перед педа-
гогическими институтами страны поставлена
задача в кратчайшие сроки дать средней шко-
ле такого учителя математики, который спосо-
бен был бы преподавать во всех типах сред-
них учебных заведений не только по тради-
ционной технологии «учитель — учебник —
ученик», но и уже с широким использованием
в учебном процессе системы «учитель —
компьютер — ученик». С этой целью с 1985/86
учебного года в ряде педвузов страны начата
подготовка учителей математики по специаль-
ности № 2104 «Математика» с новой квалифи-
кацией «учитель математики, информатики и
вычислительной техники». В 1986 г. подготовку
учителей по этой специальности ведут 104
педвуза с приемом на I курс 10 тыс. студен-
тов. Подготовка преподавателей информатики
и вычислительной техники осуществляется так-
же и в университетах.
Новое направление в профессиональной
подготовке учителя математики рассматри-
вается комплексно, по всем формам обуче-
ния: дневной, заочной и вечерней. Для всех
этих форм обучения разработаны и внедрены
новые учебные планы, продолжается перера-
ботка и создание новых учебных программ.
Задача состоит в том, чтобы сделать их наи-
более профессионально ориентированными,
сблизить с содержанием новой базисной про-
граммы по математике для средней школы.
Такая работа проводится сейчас по всем цик-
лам математических дисциплин новых учеб-
ных планов. Характерной особенностью ста-
новится усиление практической направленно-
сти процесса обучения математическим дис-
циплинам, поднятие роли различных учебных
практик, в том числе практики работы на ЭВМ.
В этом же ряду вопросов подготовки новых
качеств учителя математики находится и пе-
реориентировка в подготовке студентов стар-
ших курсов — будущих педагогов-математи-
ков. Педагогическим вузам на основе соответ-
ствующего инструктивного документа Минву-
за и Минпроса СССР дано право в текущей
пятилетке осуществлять перевод4-летнего
на 5-летний срок обучения, присваивая вы-
пускникам новую квалификацию ^^ителя мате-
матики, информатики и вычислительной тех-
ники.
Политика партии по перестройке высшего
педагогического образования направлена на
повышение и «всемерное улучшение учитель-
ских кадров, призванных поднять на новый
уровень образование и воспитание подра-
стающего поколения, его подготовку к само-
стоятельной трудовой жизни». Важно воору-
жить будущих учителей и учителей-практи-
ков передовым педагогическим опытом, не-
примиримостью к формализму в обучении и
воспитании детей.
Перестройка высшего и среднего специаль-
ного образования в стране требует принци-
пиально нового подхода к осуществлению со-
трудничества педагогического вуза и школы.
Высшая педагогическая школа имеет в этой
работе богатый опыт и традиции. На разных
этапах школьного строительства ученые пед-
вузов принимали участие в разработке школь-
ных учебников по математике, методических
пособий для учителей. Однако за последнее
время в ряде педвузов наметилась тенденция
сокращения методических разработок по ма-
тематике в адрес школы.
С 1986/87 учебного года общеобразователь-
ная школа переходит на новые, усовершенст-
вованные программы по математике. Пред-
стоит создать и новые учебники по математи-
ческим дисциплинам, изучаемым в школе.
Вполне очевидно, что преподаватели матема-
тических кафедр педвузов должны внести
свой вклад в создание новых школьных учеб-
ников математики, ценность которых будет
определяться на основе конкурсов.
Следует провести серьезную перестройку в
организации научно-исследовательской рабо-
ты на математических кафедрах. Наряду
с разработкой фундаментальных научно-тео-
ретических проблем математики особое вни-
мание требует к себе школьная математик,
а также научно-методическое обеспечение
новой школьной дисциплины «Основы инфор-
матики и вычислительной техники».
Продолжает отставать от потребностей вре-
мени и разработка проблем использования
математических дисциплин в воспитательных
целях. На этапе ускорения социально-эконо-
мического развития важное место должна
занять работа по ознакомлению учащихся
с ведущими идеями применения Математики
в экономике. Между тем анализ учебно-мето-
4
дической литературы, процесса преподавания
математики в школе показывает, что по мере
повышения математического образования уча-
щихся число учебных задач с экономическим
содержанием сокращается, а это несомненно
отражается ;на уровне экономического воспи-
тания молодежи, их готовности к труду в об-
щественном производстве.
Большая группа педвузов (Свердловский,
Омский, ЛГПИ им. А. И. Герцена, Томский,
Тульский и ряд других) будет работать над
важным направлением плана-заказа Минпро-
са СССР по содержанию, организации и мето-
дике изучения информатики и вычислительной
техники в общеобразовательных школах, пе-
дагогических учебных заведениях и аппарате
управления. 20 педагогических вузов страны
во главе с Ростовским будут исследовать
проблемы совершенствования системы про-
фессионально-педагогической подготовки
будущих учителей математики. Кафедры
МГПИ им. В. И. Ленина, Киевского, Минского,
Казахского и других пединститутов работают
над проблемой заказа министерства по науч-
но-методическому обеспечению перестройки
курса школьной математики в свете реформы
школы.
Не может не волновать общественность и
проблема «Кто будет учителем?». В 1986 г.
конкурс абитуриентов в педагогические инсти-
туты несколько возрос. Но как и в прошлые
годы, многие педагогические вузы не ведут
целенаправленной профориентационной рабо-
ты по привлечению молодежи, проявляющей
склонность к педагогической деятельности по
математическим дисциплинам.
Учителями учителей обычно называют пре-
подавателей и наставников в педагогических
учебных заведениях. Основными направления-
ми перестройки высшей школы предусматри-
вается самое серьезное внимание обратить на
проблему улучшения качественного состава
научно-педагогических кадров: «...следует
значительно улучшить организацию и поднять
действенность повышения квалификации пре-
подавателей», а также «существенно улучшить
формирование профессорско-преподаватель-
ского состава, создать благоприятные условия
для раскрытия творческих способностей и ма-
стерства молодых научно-педагогических ра-
ботников».
В системе педагогических вузов страны ра-
ботает более 4 тыс. преподавателей матема-
тических кафедр, 47 % из них имеют ученые
степени доктора и кандидата наук. Хотя за
последние годы наблюдается тенденция роста
числа дипломированных специалистов, число
докторов наук по математическим наукам ра-
стет крайне медленно, в том числе докторов
педагогических наук по методике преподава-
ния математики. Особенно остро проблема
ученых-педагогов математиков стоит в пед-
вузах Сибири, Дальнего Востока, Казахстана.
Продолжает отставать от потребностей совре-
менного состояния и перспектив подготовка
научно-педагогических кадров через аспиран-
туру, в том числе преподавателей-методистов.
Особая потребность возникает сейчас в дип-
ломированных специалистах в области инфор-
матики и вычислительной техники и методики
ее преподавания в школе и педвузе. Требует
серьезного улучшения качество подготовки
через докторантуру.
Сегодня все в более широких масштабах
математика изучается на многих других фа-
культетах педвузов (общетехнических дисцип-
лин и трудового обучения, педагогики и мето-
дики начального обучения и др.), однако ка-
чество этой работы редко анализируется и со-
ответственно подвергается активной пере-
стройке. Руководители педвузов должны уси-
лить внимание и к этой важной составной ча-
сти математического образования, к повыше-
нию уровня преподавания прикладной мате-
матики для учителей других специальностей.
Все более объективно необходимой стано-
вится и связь математических кафедр педву-
зов страны с научны/ли учреждениями АН
СССР и АПН СССР. Большой группе педвузов
(Ярославский, Омский, Челябинский и др.)
предстоит принять участие в реализации комп-
лексной программы исследований «ЭВМ в
школе» на 1936—1990 гг.
Анализ всего комплекса научно-педагогиче-
ской деятельности математических кафедр
педвузов и соответствующих ректоратов, ор-
ганов управления педагогическим образова-
нием позволяет сделать вывод о том, что
большой отряд ученых-математиков все еще
в долгу перед школой. Предстоит большая и
серьезная работа по повышению качества
подготовки учителей математики, способных
решать весь сложный комплекс задач, постав-
ленных XXVII съездом КПСС перед школой и
всей системой народного образования.
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
ПОДГОТОВКУ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ —
НА УРОВЕНЬ СОВРЕМЕННЫХ ТРЕБОВАНИЙ
(предложения, мнения, опыт, поиск)
.'/А
1. В результате перестройки высшего и сред-
него специального образования должно быть
обеспечено более высокое качество подготовки
кадров. Чтобы достичь этого, нужно, в част-
ности, четко сформулировать цели обучения
по каждой специальности, которые опреде-
ляются прежде всего социальным заказом об-
щества. Значит, цели подготовки учителя су-
щественно зависят от требований школьной
реформы. На наш взгляд, цели обучения ма-
тематике в педвузах в настоящее время струк-
турируются следующим образом:
содействовать воспитанию у студента диа-
лектико-материалистического мировоззрения;
обеспечить такой уровень математических
знаний, умений и навыков, который гаранти-
ровал бы владение научным фундаментом
школьного курса математики, полное и глубо-
кое понимание фактов, идей, методов и струк-
туры школьного курса математики, общих це-
лей его преподавания и тонкостей изложения
отдельных вопросов;
сформировать достаточно высокий уровень
математического мышления;
обеспечить достаточный опыт математиче-
ской деятельности, включающей в себя специ-
фический для педвуза компонент: умение пре-
образовать научный материал в учебный,
умение понять фрагмент научной теории и ди-
дактически препарировать его во фрагмент
учебной дисциплины;	4
воспитать устойчивый интерес к математи-
ке, развить математические способности, ма-
тематическую интуицию, оказать воспитываю-
щее влияние на формирование характера и
интеллектуальную деятельность;
воспитать у студентов достаточно высокий
уровень математической культуры.
Неуклонное развитие науки и техники неиз-
бежно приводит к изменениям школьных про-
грамм, замене одних учебников другими, пере-
оценке важности тех или иных навыков и уме-
ний. Поэтому будущий учитель математики
должен получить подготовку, которая позво-
лила бы ему успешно вести преподавание в
этих сложных условиях, самостоятельно оце-
нивать качество различных подходов к изло-
жению математики в школе, уметь в зависи-
мости от подготовленности учащихся вести
преподавание как на высоком уровне строго-
сти и абстрактности (характерном, например,
для классов с углубленным изучением мате-
матики и ее приложений), так и пуТем более
наглядного изучения материала, опирающего-
/ся в основном на интуицию и здравый смысл.
Квалифицированный учитель должен уметь
решать не только задачи, приведенные в
школьных учебниках, но и задачи повышен-
ной трудности, уметь вести факультативные и
кружковые занятия, оценивать и правильно
воспринимать оригинальные решения задач и
доказательства теорем, предлагаемые одарен-
ными учащимися (в противном случае он рис-
кует упустить талантливых школьников). Ему
предстоит показать ученикам математику не
как формальную науку, сводящуюся к опре-
делениям, теоремам и решению оторванных от
практики задач, а как могучее орудие челове-
ческого разума, позволяющее решать различ-
ные практические проблемы, успешно служа-
щие техническому прогрессу.
Учитель математики должен систематически
совершенствовать формы и методы препода-
вания, ориентируя их на развитие познава-
тельных способностей учащихся, выработку
у них умения практически применять получен-
ные знания; он должен уметь использовать
вычислительную технику в учебном процессе
и вооружать школьников соответствующими
умениями и навыками.
Велики требования, предъявляемые к учите-
лю математики и в области воспитания уча-
щихся. Чтобы успешно формировать марксист-
ско-ленинское мировоззрение школьников, он
должен понимать философские проблемы ма-
тематики, знать о борьбе материализма и
идеализма в математике, о диалектике разви-
тия математических понятий. А чтобы успеш-
но решать проблемы патриотического и интер-
национального воспитания, ему необходимо
знакомство с историей математики, с тем
вкладом, который внесли в эту науку русские
и советские ученые, с тем поистине невидан-
ным в истории человечества развитием, кото-
рое получила математика в нашей стране
после Великой Октябрьской социалистической
революции. Знание истории и методологии
математики позволит учителю использовать
преподавание и в целях атеистического воспи-
тания учащихся.
Между тем в настоящее время математиче-
ская подготовка учителей в педвузах не в пол-
ной мере удовлетворяет перечисленным тре-
бованиям, она обладает рядом существенных
недостатков, основными среди которых яв-
6
ляются следующие: несоответствие современ-
ным требованиям знаний выпускниками
школьного курса математики, его методов
преподавания, его связей с вузовскими курса-
ми; фор^^лизм математических знаний, их
недостаточная действенность; недостаточный
уровень математической культуры, математи-
ческого мышления; отсутствие необходимого
опыта математической деятельности, слабые
навыки и умения в решении математических
задач; рецептурность методических представ-
лений; недостаточная развитость таких компо-
нентов готовности выпускника педвуза к пред-
стоящей деятельности, как мотивационный
(интерес к профессии учителя и к математике
как к науке и как к учебному предмету),
ориентационный (знания о предстоящей дея-
тельности как в предметном, так и в педагоги-
ческом плане), операционный (владение спо-
собами деятельности).
Таким образом, за период обучения в пед-
институте не отрабатывается (в комплексе)
необходимый для решения задач нынешнего
этапа развития советской школы уровень ос-
нов профессионального мастерства учителя
математики.
На наш взгляд, основными причинами ука-
занных существенных недостатков в подго-
товке учителей математики являются следую-
щие:
1)	Математические курсы пединститутов
оторваны по содержанию и методам изложе-
ния от школьного курса математики.
2)	В ходе изучения основных математиче-
ских курсов не формируются методические
взгляды будущего учителя, практически не
раскрываются связи между излагаемыми во-
просами и проблемами школьного курса ма-
тематики.
3)	Весьма несовершенны действующие про-
граммы математических курсов: они перегру-
жены материалом, далеким от потребностей
учителя математики, во многом формальны,
не нацелены на подготовку учителя математи-
ки; упор делается на расширение объема изу-
чаемого материала, что приводит к перегрузке
студентов, наносит ущерб развитию навыков
самостоятельного творческого мышления.
4)	Не создана система целенаправленного и
многопланового обучения студентов решению
математических задач.
5)	Недостаточно развивается интерес сту-
дентов к математике как к науке и как
к учебному предмету и к профессии учителя
математики.
6)	В учебном процессе недостаточно ис-
пользуются внутрипредметные и межпредмет-
ные связи, связи между теорией и практикой.
7)	Имеет место недостаточная требователь-
ность со стороны преподавателей и форма-
лизм в оценке знаний во время зачетов и эк-
заменов.
8)	Недостаточна самостоятельная работа
студентов в период обучения в институте, не-
совершенны формы ее контроля.
Все эти причины в конечном счете замы-
каются на одной — недостаточной профессио-
нализации процесса обучения математике сту-
дентов педагогических институтов.
Помимо отмеченных недостатков, носящих
«внутриматематический» характер, есть ряд
недостатков, касающихся связей между дис-
циплинами различных циклов. Одним из них
является разрыв между курсами математиче-
ского, психолого-педагогического и обществен-
но-идеологического циклов. Выпускники, хо-
рошо отвечая на госэкзамене на вопрос об ос-
новных принципах дидактики, не иллюстри-
руют свой ответ примерами использования
этих принципов в преподавании математики,
а рассказывая о психологических особенно-
стях учащихся данного возраста, не раскры-
вают, как следует учитывать эти особенности
при выборе методики изложения тех или иных
разделов математики. При изучении истории
развития общих идей педагогики студенты ни-
чего не узнают об истории развития методики
математики. Точно так же рассмотрение во-
проса о борьбе материализма и идеализма не
сопровождается рассказом о том, в каких фор-
мах ведется эта борьба в математике, каковы
источники возникновения математических по-
нятий, в чем заключается относительная само-
стоятельность математики и каковы движущие
силы ее развития.
2.	Профессионально-педагогическая направ-
ленность обучения характеризуется следующи-
ми условиями: а) фундаментальная, но не
оторванная от нужд приобретаемой профессии
специальная подготовка учителя математики,
овладение им своим предметом в пределах,
далеко выходящих за рамки школьного курса;
б) объединение в каждом математическом
курсе педвуза научной и методической линий;
в) выдвижение на первый план идеи связи
конкретного математического курса пединсти-
тута с соответствующим школьным предме-
том; г) выявление и оптимальное использова-
ние всех возможностей активного влияния
каждого математического предмета педвуза на
то, чтобы студент с первого и до последнего
дня своего пребывания в стенах института не-
прерывно приобщался к будущей педагогиче-
ской деятельности, постигал ее, входил в нее
Объединение научной и методической линий
означает, в частности, что комплекс математи-
ческих дисциплин, изучаемых студентом в пед-
институте, должен обеспечить ему современ-
ное научное истолкование всех основных по-
нятий и фактов, составляющих школьный
7
курс математики (разумеется, с запасом, при-
менительно не только к сегодняшнему состоя-
нию этого курса), определенный уровень ма-
тематической культуры и, в то же время, зна-
комство с методами изложения школьного
курса, которое нельзя считать прерогативой
только курса методики преподавания мате-
матики.
В процессе обучения преподаватель педвуза
всюду, где возможно, должен отдавать пред-
почтение тем методическим приемам, которые
студент будет использовать в своей последую-
щей педагогической деятельности. Речь идет
о таких приемах, как:
мотивационное обеспечение всей учебной ра-
боты и каждой отдельно взятой темы курса;
пропедевтическая линия;
показ разных точек зрения, различных спо-
собов доказательства одной и той же теоремы,
введения одного и того же понятия;
варьирование уровней строгости, общности
и полноты изложения, и в частности гибкий
подход к дефиниционному формализму;
обучение составлению и применению алго-
ритмов;
усиление внимания ко всем трем этапам
математического моделирования (формализа-
ции, внутримодельному решению, интерпрета-
ции), преодоление традиции уделять основное
внимание в математических курсах только
этапу внутримодельного решения;
прямое и косвенное обучение принципам
дидактики средствами математического курса;
реализация принципа политехнизма;
реализация принципа историзма;
использование школьных учебных пособий
в процессе изучения соответствующего вузов-
ского курса;
осуществление межпредметных связей и
обучение студентов реализации таких связей
в педагогической деятельности.
Такой подход к преподаванию математики
в пединституте должен, разумеется, привести
и к перестройке курса методики преподавания
математики, который сможет успешно решить
свои задачи (особенно в области частных ме-
тодик) только на основе двуединства хорошей
математической подготовки студента и его
уже начавших формироваться методических
взглядов. В настоящее время изложение этого
курса носит в значительной степени рецеп-
турный характер, при котором главным обра-
зом говорится, как надо преподавать по
действующим в данный момент школьным
программам и учебным пособиям. Но ведь ча-
сто бывает так, что построение того или иного
раздела школьного курса математики, объяв-
ленное лектором чуть ли не единственно воз-
можным, подвергается через несколько лет су-
ровой критике, а в качестве рекомендуемого
указывается совсем иное построение При
этом преподавание курса методики перегру-
жено необходимостью дазать сведения, кото-
рые должны быть рассмотрены в математиче-
ских курсах. По нашему мнению2_курс мето-
дики преподавания математики дружен в ос-
новном содержать общие положения' па кото-
рых строится изложение математики' в школе
при любом выборе программ и учебников, и
сравнительный анализ различных методов по-
строения школьного курса и отдельных его
вопросов.
Весьма важной проблемой, связанной
с улучшением подготовки будущих учителей
математики, является усиление воспитатель-
ного аспекта читаемых курсов. Преподаватели
специальных дисциплин и курса методики пре-
подавания математики должны раскрывать в
своих лекциях философские^ методологиче-
ские, психологические и педагогические ~аеиек-
ты разбираемых вопросов. В то же время пре-
подаватели дисциплин общественно-идеологи-
ческого и психолого-педагогического циклов
должны конкретизировать преподносимые ими
общие положения, имея в виду, что их аудито-
рия состоит из студентов-математиков.
3.	Одной из существенных причин отмечен-
ных выше недостатков в математической под-
готовке выпускников пединститутов является,
по нашему мнению, ошибочная установка,
принятая за основу при составлении учебных
планов и программ для педвузов в начале
70-х гг. и не исправленная в должной мере до
сего дня. В тот период была сделана попытка
перестроить школьный курс математики на
теоретико-множественной основе. Исходя из
этого, авторы программ пронизали все изучае-
мые в пединститутах математические курсы
вопросами, связанными с теорией множеств,
бинарными отношениями, математической ло-
гикой, общей алгеброй и т. д. Основное вни-
мание было уделено при этом формальной
строгости изложения, а проблемы профессио-
нально-педагогической направленности были
отодвинуты на задний план.
В настоящее время в школе взято иное на-
правление, ориентирующееся на большую сте-
пень прикладного характера курса математи-
ки. Эта перестройка имеет целью приближе-
ние школьного курса к нуждам основной мас-
сы оканчивающих среднюю школу, т. е. моло-
дых людей, идущих в промышленное и сель-
скохозяйственное производство, сферу обслу-
живания и т. д. Она делает неактуальными
многие из вопросов, на которые был сделан
упор при составлении программ пединститу-
тов в начале 70-х гг. Опыт истекшего времени
показал к тому же, что чрезмерно абстрактное
изложение математики слишком трудно для
большинства студентов и создает у них непра-
8
вильное представление о математике и ее при-
ложениях. При таком подходе во главу угла
ставятся вопросы, которые далеки от практи-
ческих нужд учителя, реальных запросов шко-
лы, не учитывается специфика пединститут-
ского преподавания. Хотя за последнее время
сделаны отдельные шаги по улучшению про-
грамм (несколько разгружены программы по
математическому анализу и геометрии), ос-
новное направление остается тем же, т. е. да-
леким от потребностей школы.
В программах математических курсов долж-
ны произойти значигельные изменения. Их
надо освободить от зопросов, далеких от бу-
дущей профессии выпускников (таких, напри-
мер, как интеграл Лебега, строение замкнутых
и открытых множеств на прямой, гильбертовы
пространства, изучение изолированных особых
точек и вычетов аналитических функций, ряд
вопросов, связанных с общими алгебраически-
ми структурами, иногомерной геометрией,
и т. д.). За счет этого необходимо усилить
изучение разделов, имеющих профессиональ-
но педагогическое ззачение. Например, через
курс математическою анализа красной нитью
должно проходить изучение свойств элемен-
тарных функций и различных способов их вве-
дения, одно из важнейших мест в курсе алгеб-
ры должно занимать изучение вопросов, свя-
занных с решением алгебраических уравнений.
При этом основные понятия теории групп же-
лательно не только изучать абстрактно, но
и показывать применение этой теории в гео-
метрии, теории чисел, комбинаторном анали-
зе, физике. Надо позшкомить студентов и
с приложениями общей теории симметриче-
ских многочленов к решению алгебраических
уравнений и систем таких уравнений. В курсе
геометрии необходимо устлить изучение во-
просов, связанных с теорий многогранников,
глубже осветить теоретичские вопросы, свя-
занные с решением задач га построение, рас-
смотреть элементы геометрш треугольника и
тетраэдра, разобрать связь различных аксио-
матик евклидовой геометриг.
Для совершенствования профессиональной
подготовки студентов понаобятся, на наш
взгляд, определенные изменения в номенкла-
туре читаемых курсов. Предтавляется полез-
ным объединение курсов, евзанных с основа-
ниями геометрии, числовымисистемами, мате-
матической логикой в единь’1 курс «Основа-
ния математики» (такой кур в эксперимен-
тальном порядке читается в екоторых педин-
ститутах). Чтобы устранит дублирование,
имеющееся в настоящее врем между курсами
геометрии и алгебры и теори чисел, жела-
тельно выделить вопросы линйной алгебры и
многомерной геометрии в отд'льный предмет.
Для усиления прикладной гаправленности
преподавания полезно выделить из курса ма-
тематического анализа цикл вопросов, связан-
ных с естественнонаучными приложениями
(дифференциальные уравнения, приложения
интегрального исчисления к физике и т. д.),и,
дополнив их кратким обзором уравнений в
частных производных и вариационных задач,
создать курс «Элементы прикладной матема-
тики». Усиление роли дискретной математики
и связь изучаемых в ней вопросов с информа-
тикой делают актуальным вопрос о включении
в учебный план курса «Дискретная матема-
тика и ее приложения», куда можно отнести
вопросы комбинаторики, теории графов, тео-
рии алгоритмов и т. д.
С целью усиления воспитательного аспекта
читаемых курсов полезно в их программах вы-
делять вопросы историко-методологического и
философского характера, а курс «История ма“
тематики» превратить в курс «История и ме-
тодология математики».
Для реализации требований перестройки в
области усиления самостоятельной работы
студентов как средства интенсификации
обучения нужно внутри каждого курса пере-
распределить число часов между лекциями и
практическими занятиями.
4.	Нуждаются в существенных изменениях
и программа, и организация такой ведущей
контрольной формы обучения, как государст-
венные экзамены. Государственный экзамен
по математике — это не обычный курсовой эк-
замен, его задачей не является констатация
того, помнит ли выпускник доказательства
теорем из курса математического анализа, ал-
гебры, геометрии (это задача курсовых экза-
менов, где следует существенно усилить тре-
бовательность). Государственную экзаменаци-
онную комиссию в основном должно интересо-
вать то, в какой степени выпускник проявит
свободное владение материалом, неформаль-
ное понимание сути дела, самостоятельность
в суждениях, умение приводить примеры, спо-
собность четко выделять этапы рассуждений,
строить свой ответ, учитывая педагогические
требования к нему, культуру и технику речи
и т. д.
Действующая программа госэкзамена край-
не перегружена. Следует резко сократить
объем теоретического материала, включаемого
в программу, ограничиться тем минимумом
сведений, который позволит выпускнику пока-
зать теоретическое и практическое владение
основными методами математических дисцип-
лин. В программу не должны входить теоре-
мы, доказательства которых искусственны,
громоздки, требуют заучивания. Материал,
входящий в программу, должен иметь про-
фессионально-педагогическое значение для бу-
дущей работы выпускника, содержать узло-
9
вне, идейные вопросы, иметь многочисленные
теоретические и практические приложения.
Вопрос экзаменационного билета должен быть
достаточно емким и давать комиссии возмож-
ность провести со студентом беседу, но в то
же время не требовать большой затраты вре-
мени на ответ. Только при этих условиях
можно оценить уровень математической под-
готовки и математической культуры выпуск-
ника, свести до минимума «лотерейность» эк-
замена.
С профессионально-педагогической точки
зрения неверно сводить госэкзамен по мате-
матике только к беседе по теории. Способ-
ность к математической деятельности, само-
стоятельность в суждениях, неформальное
владение материалом, умение связать теорию
с практикой, наконец, чисто педагогическое
умение объяснить суть дела проверяются ре-
шением задач. Этим же в значительной степе-
ни проверяется достижение уровня математи-
ческой подготовки, достаточного для работы
в школе.
5.	В заключение остановимся на некоторых
вопросах улучшения научной работы в педин-
ститутах. В настоящее время число препода-
вателей математических кафедр пединститу-
тов, имеющих ученые степени и звания, весь-
ма внушительно. Однако научная отдача не
всегда на должном уровне. Некоторые препо-
даватели прекращают научную работу после
защиты диссертации или ведут ее недостаточ-
но интенсивно. Нам представляется, что дело
здесь в значительной мере связано с недостат-
ками в организации научной работы по мате-
матике в пединститутах. Условия работы
(чрезмерная перегрузка учебными поручения-
ми, необходимость обеспечивать чтение боль-
шого числа различных курсов силами одной,
как правило, малочисленной кафедры и т. д.)
приводят к тому, что на математических ка-
федрах пединститутов редко удается сформи-
ровать коллектив исследователей, работающих
по близкой тематике. Выход из этого положе-
ния мы видим в формировании широких меж-
вузовских коллективов, ведущих исследования
в одной области математики, причем необхо-
димо предусмотреть проведение научных кон-
ференций, издание сборников работ, посвя-
щенных одной теме, и т. д. (существенным не-
достатком многих сборников научных трудов
является их разноплановость, отсутствие еди-
ной тематики). Необходимо активизировать
практику заключения хозяйственных догово-
ров между коллективами работников педин-
ститутов и предприятиями для выполнения
работ, имеющих народнохозяйственное значе-
ние.
Весьма актуальны в настоящее время проб-
лемы преподаваний математики в педвузе, в
частности проблема профессионализации ма-
тематической подготовки учителя. Поэтому
нам представляется весьма ценной инициати-
ва Гувуза Министерства просвещения
РСФСР — создать комплексную цёДевую про-
грамму на 1986—1990 гг. «Профе^бионально-
педагогическая направленность Математиче-
ской подготовки будущего учителя» и сформи-
ровать коллектив разработчиков этой про-
граммы. Такая программа в настоящее время
составлена, над нею будут работать препода-
ватели более чем 40 педвузов страны.
Для дальнейшего развития научных иссле-
дований по преподаванию математики в пед-
институтах необходимо в соответствии с тре-
бованиями Основных направлений реформы
общеобразовательной и профессиональной
школы расширить сеть специализированных
советов по методике преподавания матема-
тики.
Разумеется, реализация сформулированных
предложений по совершенствованию подготов-
ки учителей математики в пединститутах —
долгое и сложное дело. Оно потребует созда-
ния новых программ и учебных пособий, меж-
институтских научных коллективов и т. д. По-
надобится и перестройка взглядов и системы
ценностей у многих преподавателей, глубокое
понимание ими того непреложного факта, что
задачей пединститутов является подготовка
высококвалифицированных учителей и что это
дело имеет свои особенности. Лишь при усло-
вии систематической работы по усилению
профессиональной направленности всех кур-
сов, читаемых в пединститутах, можно будет
подготовить учителей, способных справиться
с проблемами, которые ставят происходящие
сейчас реформа общеобразовательной и про-
фессиональной школы и перестройка высшего
и среднего специального образования в стра-
не. Значит, несмотря на сложность работы,
она должна быть выполнена, ибо это является
залогом дальнейшего совершенствования ма-
тематического образования и подъема мате-
матической культуры, одним из важнейших
компонентов ускорения темпов социально-
экономического развития нашей Родины, ре-
шения задач, поставленных перед советским
народом XXVII съездом КПСС.
Н. Я. Виленкин, профессор МГЗПИ,
А. Г, Мордкович, доцент МГЗПИ
Коренная перестройка высшего образования
предполагает необходимость научно обосно-
ванных действий и, значит, развернутую науч-
ную аргументацию при обсуждении положе-
ний, определяющих пути подготовки учителя
10
математики, таких, как цели и задачи обуче-
ния, требования к профессиональной подго-
товке и содержанию обучения, структуре учеб-
ного плана и т. д. Учитывая возрастающую
потребность общества в высоком качестве
щкольнр1) подготовки для решения задач, вы-
двинутых XXVII съездом КПСС, мы считаем,
что разработка этих важных документов
должна быть поручена научным коллективам
ведущих педагогических вузов и происходить
с учетом мнений всех заинтересованных сто-
рон. Такой комплексный подход подразуме-
вает, конечно, и широкое обсуждение, в том
числе на страницах специальных изданий. Он
также создаст основу для дальнейшей научно-
педагогической деятельности на базе научно-
практических объединений, включающих в се-
бя педагогические вузы, школы и ряд других
организаций, тесно связанных как с педагоги-
ческой наукой, так и с материальным произ-
водством, при решении таких проблем, как,
например, компьютеризация обучения.
Обсуждая стратегию перестройки, представ-
ляется целесообразным выделить одно из ее
направлений схематично состоящее из сле-
дующих этапов; выработки научно обоснован-
ной профессиограммы учителя математики,
определения содержания, форм и методов
обучения, совершенствования структуры учеб-
ного плана, интеграции образования и практи-
ческой деятельности школы.
Ос1ювополагающим__докуме.нтом, задающим
дальнейшее направление перестройке матема-
тического образования в педвузах, с нашей
точки зрения, должна быть единая для всех
педагогических институтов профессиограмма
учителя математики, определяющая как цели
и задачи обучения, так и требования к его
профессиональной подготовке. За последние
годы появилось множество документов с по-
добным названием, различных по форме и на
первый взгляд удовлетворительно выполняю-
щих свои функций. Все они, как представляет-
ся, обладают существенными недостатками и
нуждаются в переосмыслении с учетом задач
перестройки высшей школы. Дело в том, что
существующие профессиограммы скорее отра-
жают структуру ныне действующих учебных
планов и содержание программ, нежели опре-
деляют их. Не в полной мере даются обосно-
вания, нуждаются в конкретизации положе-
ния, направленные на потребности практиче-
ской деятельности учителя, а также отражаю-
щие необходимость участия в системе непре-
рывного образования в течение всей трудовой
деятельности.
К работе над профессиограммой следует
привлечь научно-педагогические кадры педву-
зов, университетов, АН СССР и АПН СССР,
учителей математики, преподавателей ПТУ,
научно-инженерных работников, активно ис-
пользующих математику в своей практической
деятельности. Научно обоснованная профес-
сиограмма создаст объективную основу для
определения содержания обучения и повыше-
ния качества подготовки учителя математики.
Анализ прошлого опыта работы по повыше-
нию качества подготовки учителя математики
показывает, что экстенсивные, т. е. связанные
с дополнительными затратами времени сту-
дентов и преподавателей и увеличением объе-
ма и перечня изучаемых дисциплин, пути со-
вершенствования исчерпали себя. К сожале-
нию, надо отметить, что в течение ряда лет
резервы улучшения учебной работы в основ-
ном черпались именно в этом направлении.
В последнее время наметилась определенная
тенденция к сокращению программ по ряду
математических дисциплин. Однако опа, по
всей видимости, связана прежде всего со
стремлением привести в соответствие уровень
школьной подготовки учащихся и используе-
мые методы и формы обучения с уровнем
сложности и насыщенности изучаемых в пед-
вузах математических дисциплин.
В течение многих лет большие споры ведут-
ся вокруг математической подготовки учителя
математики. В настоящее время, обеспечивая
в целом хорошие фундаментальные знания,
математическая подготовка выпускников пед-
вузов не в полной мере соответствует требова-
ниям современной школы. Кроме того, буду-
щие учителя не готовятся должным образом
к тому, чтобы углублять и расширять свои
знания самостоятельно в течение всей трудо-
вой деятельности. Эти недостатки можно
устранить прежде всего путем создания устой-
чивых функциональных связей между положе-
ниями, зафиксированными в профессиограм-
ме учителя математики, и содержанием обра-
зования в педагогических высших учебных
заведениях. С нашей точки зрения, решение
проблемы лишь за счет механического или со-
провождаемого частичными перестройками
сокращения объема и сложности изучаемого
материала не оправдано с точки зрения задач,
стоящих перед высшей школой.
Формирование учителя математики как спе-
циалиста широкого профиля, сочетающего
глубокие научные знания и обстоятельную
практическую подготовку, возможно лишь на
основе дальнейшего углубления получаемых
в институте фундаментальных знаний, опти-
мального соединения теоретической и практи-
ческой подготовки.
На математическом факультете МГПИ
им. В. И. Ленина эта проблема решается пу-
тем создания устойчивых связей между комп-
лексом обязательных дисциплин и системой
спецкурсов, спецсеминаров по математике в
11
методике ее преподавания. Это позволяет
обеспечить как практическую направленность
обучения, так и знакомство будущих учителей
с проблемами современной науки. Большое
внимание уделяется также преемственности
между математическими дисциплинами на
младших курсах и методикой преподавания
математики, информатикой, работой на ЭВМ.
Математическая подготовка выпускников
педвузов должна быть достаточной для того,
чтобы обеспечить учащихся средней школы и
ПТУ знаниями, опережающими потребности
производства, дающими им возможность про-
должить образование в высшем или среднем
специальном учебном заведении, а также
участвовать в системе непрерывного образова-
ния в течение всей трудовой деятельности.
Уровень профессиональной подготовки учите-
ля должен обеспечить как развитие способно-
стей одаренных в математическом отношении
учащихся, так и формирование устойчивого
интереса к предмету у всех школьников. Ре-
шая задачу подготовки выпускников школы
к работе в сфере общественного производства,
необходимо учитывать тот факт, что лвгика
современной науки и производства формирует-
ся и на основе достижений математики — ма-
тематических идей и разрабатываемого мате-
матического аппарата. Таким образом, спе-
циальная подготовка учителя предполагает
хорошее понимание научных идей, владение
аппаратом и практическими приложениями
примыкающих к материалу школьной про-
граммы разделов математики, знание истории
и понимание перспектив развития своей нау-
ки. Все это будет способствовать формирова-
нию диалектико-материалистического миро-
воззрения, предоставит широкие возможности
на доступном для школьников уровне показы-
вать приложения математики в современных
отраслях знаний и производстве. Последнее
фактически означает обладание таким трудно
достижимым, но необходимым для учителя
качеством, как умение быть популяризатором
науки.
Очевидно, что выдвигаемые задачи совер-
шенствования специальной подготовки учите-
ля математики не могут быть решены без кар-
динального изменения структуры учебного
процесса, без внедрения современных методов
обучения. Содержание обучения, реализую-
щее требования, заложенные в профессио-
грамме учителя математики, должно быть
обеспечено современными методами и форма-
ми обучения, адекватным им рабочим планом
и организацией всех видов познавательной
деятельности студентов.
Остановимся подробнее на одной из цент-
ральных, с нашей точки зрения, проблем —
проблеме внедрения и разработки прогрессив-
ных методов и форм обучения в высшей шко-
ле. Общее направление этой деятельности
определено проектом ЦК КПСС «Основные
направления перестройки высшего1 и среднего
специального образования в стране»1 как «по-
ворот от массового, валового обучения к уси-
лению индивидуального подхода, развитию
творческих способностей будущих специали-
стов, опираясь на их самостоятельную работу,
активные формы и методы обучения». Отме-
тим, что, с одной стороны, теоретические осно-
вы оптимизации процесса обучения на основе
активного внедрения индивидуальных форм
преподавания в достаточной степени разрабо-
таны советскими педагогами и психологами,
с другой — по ряду как субъективных, так и
объективных причин до их широкого внедре-
ния дело еще не дошло. Методика преподава-
ния в высшей школе в этом отношении в дол-
гу перед практическими потребностями подго-
товки дипломированных специалистов.
Учитывая возможности, которые предостав-
ляет компьютерная техника, важная роль при
решении этой проблемы отводится специали-
стам, владеющим и навыками работы на
ЭВМ, и глубокими методическими знаниями,
т. е. в первую очередь преподавателям мате-
матики вуза. Многочисленные технические,
методические, психологические и другие во-
просы, возникающие в связи с внедрением
в учебный процесс ЭВМ, могут успешно ре-
шаться именно в стенах педагогических ву-
зов — научных подразделений, в которых со-
средоточены специалисты всех необходимых
профилей, поддерживающие тесные контакты
с учителями школ. В настоящее время в ис-
следования по компьютеризации учебного про-
цесса включились в основном специалисты в
области создания ЭВМ и математики-про-
граммисты. В научной литературе по данному
направлению рассматриваются порой исклю-
чительно технические проблемы — быстро-
действие, объем памяти, разрешающая спо-
собность дисплеев, программное обеспечение
и т. д., но не получают должного развития ме-
тодико-педагогические проблемы преподава-
ния с использованием ЭВМ, учитывающие об-
щедидактические принципы, факторы, оптими-
зирующие процесс обучения. Кроме того, пре-
подавание с помощью ЭВМ чаще всего ведет-
ся в старых организационных рамках.
Анализ результатов внедрения автоматиче-
ских обучающих систем (АОС), опыт матема-
тического факультета МГПИ им. В. И. Ле-
нина показывают, что применение АОС эф-
фективно только в сочетании с использова-
нием всех факторов, оптимизирующих процесс
обучения. ЭВМ выступает как средство, пред-
ставляющее новые качества и возможности
индивидуальных форм обучения, в частности
12
позволяющее расширить и углубить прямой
диалог обучающего и обучаемого, при этом
во всех случаях преподаватель остается цент-
ральной фигурой процесса обучения. Эффек-
тивность нобучения с использованием АОС
обусловливается во многом тем, насколько
правильна! произведено распределение време-
ни педагога на работу в режимах полного, ча-
стичного или вспомогательного использования
ЭВМ, зависящее от выбора оптимальных
форм и методов изучения данной конкретной
темы.
Проводимые на факультете исследования
по созданию АОС показывают, что задачами
первостепенной важности являются разработ-
ка критериев оптимизации процесса обучения,
активно использующего ЭВМ, обоснование и
внедрение ориентированных на АОС методик.
Построение обучения на базе АОС предпо-
лагает, с нашей точки зрения, и обязательную
перестройку структуры занятий. Последнее
обстоятельство, впрочем, характерно при
ориентации на индивидуализацию процесса
обучения и без использования ЭВМ, а такие
формы также нуждаются в широком внедре-
нии.
Хорошей предпосылкой для индивидуализа-
ции процесса обучения является запланиро-
ванное сокращение наполняемости студенче-
ской группы. В такой ситуации может быть
применен не только предметный принцип ру-
ководства познавательной деятельностью сту-
дентов, но и одновременно руководство про-
цессом обучения в целом.
Решая проблему оптимального сочетания
лекций, практических, семинарских занятий в
условиях педагогического вуза, необходимо
f учитывать, что для будущего учителя все эти
формы обучения являются не только способом
передачи информации, но и в определенной
степени конкретными уроками педагогическо-
го и методического мастерства. Как показыва-
ет опыт работы факультета, первостепенное
значение имеет не только количественное соот-
ношение лекций, практических, лабораторных
занятий, но и их «упорядоченность», завися-
щая от конкретного содержания темы. В част-
ности, заслуживает внимания подход, при ко-
тором отработка вводимых на лекциях поня-
тий начинается на практических занятиях и
самостоятельных лабораторных работах с ис-
пользованием вычислительной техники.
Совершенствование организации самостоя-
тельной работы студентов предполагает соз-
дание системы учебно-методических материа-
лов, ориентированных на эту форму обучения.
Здесь уместно вспомнить учебно-методические
комплексы, создаваемые в высших учебных за-
ведениях в течение ряда лет. Нужное, полез-
ное дело захлебнулось в большой лавине лиш-
них для учебного процесса бумаг. Ситуация
изменилась после появления приказа минист-
ра высшего и среднего специального образо-,
вания СССР «Об упорядочении учебно-мето-
дической работы в высших учебных заведени-
ях», пояснившего, что именно имеется в виду
под учебно-методическим комплексом.
В современных условиях создание разверну-
того всеобъемлющего методического обеспече-
ния учебного процесса просто необходимо, без
него невозможна ни индивидуальная работа со
студентами, ни ориентация на самостоятель-
ную работу, ни эффективное развитие творче-
ского мышления. Однако эта работа требует
привлечения современных методов исследова-
ния, создания специализированных научных
коллективов. Причем должна расширяться но-
менклатура входящих в методическое обеспе-
чение материалов, нельзя, например, как
раньше, удовлетвориться одним учебником.
По всей видимости, необходимо располагать
перечнем учебников и учебных пособий, отра-
жающих как различные подходы к изучаемому
материалу, так и специфику индивидуальной
деятельности обучаемых. Исходя из этого по-
ложения, на факультете разрабатывается на-
правленный на определенные формы и методы
работы учебно-методический материал. Ряд
подготовленных пособий издан и широко ис-
пользуется в учебном процессе. В настоящее
время ведется работа по созданию сборников
задач, ориентированных на активную само-
стоятельную работу студентов с использова-
нием ЭВМ. Особо следует обратить внимание
на критерий отбора самостоятельных заданий,
разнообразие планируемых видов контроля.
Наконец, хотелось бы остановиться на проб-
леме интеграции образования и практической
деятельности студентов педвузов в школе, ре-
шение которой предопределяет также и эф-
фективность выполнения ранее обсуждаемых
проблем. С нашей точки зрения, было бы
весьма целесообразным более смелое исполь-
зование непрерывной педагогической практи-
ки в организации преподавания предметов
психолого-педагогического и методического
циклов, а также использование большей части
времени, отводимого на изучение этих пред-
метов, для занятий непосредственно в школе.
Заслуживает также внимание опыт прове-
дения в МГПИ им. В. И. Ленина непрерывной
практики и практики на V курсе в течение все-
го учебного года. В последнем случае рано
еше делать какие-либо выводы, ясно лишь
одно, что эта работа потребует перестройки
как программ, так и учебных планов. Интегра-
ция образования в педвузах и практической
деятельности школ предполагает также актив-
ную совместную научно-исследовательскую
работу научных коллективов педвузов и при-
13
крепленных к ним базовых школ, т. е. создание
крупных научно-педагогических объединений.
В сферу научной деятельности этих объедине-
ний будут включены как преподаватели и сту-
денты педвузов, так и учителя школ. Такое
сотрудничество, над реализацией которого мы
работаем, создает необходимые условия для
внедрения новейших исследований в практику
преподавания, опору для развития творческих
способностей будущих специалистов, наконец,
прочные обратные связи в системе «педагоги-
ческий вуз — школа».
В заключение отметим, что накопленный
педвузами при реализации реформы средней
школы опыт создал объективную основу для
скорейшего решения задач, выдвинутых пере-
стройкой высшего и среднего специального об-
разования в стране, в том числе и для опера-
тивного решения поднятых проблем.
М. М. Буняев,
декан математического факультета
МГПИ им. В. И. Ленина
Учебные планы педагогических институтов
предусматривают изучение общественно-поли-
тических и математических наук на всех эта-
пах обучения, а изучение методики препода-
вания математики происходит только на пред-
выпускном и выпускном курсах, поэтому ак-
туальной является проблема преемственности
формирования профессиональных умений сту-
дентов от младших курсов к старшим. В связи
с этим в целях реализации положений школь-
ной реформы в Минском пединституте были
разработаны рекомендации по взаимосвязан-
ному изучению курсов методики преподавания
математики, педагогики и психологии.
Изучаемые на I и II курсах матфака разде-
лы психологии и педагогики готовят почву
для более глубокого восприятия общей мето-
дики преподавания математики на III курсе.
Раздел «Дидактика» входит в программы по
педагогике и по методике преподавания ма-
тематики. Анализ учебных программ, первые
результаты опыта реализации этих рекомен-
даций позволили сделать ряд выводов.
Опережающее изучение курсов психологии
и педагогики в достаточной для усвоения кур-
са методики преподавания математики мере
вооружает студентов необходимыми знания-
ми общей, возрастной, педагогической психо-
логии и педагогики.
В курсе психологии, читаемом на матфа-
ке, необходимо больше внимания уделять во-
просам психологии обучения, методам психо-
логии, применению математических методов в
психологических исследованиях, диагности-
ческим методам. Для обучения студентов пра-
вильному планированию работы в качестве
учителя математики и умелому дифференци-
рованному подходу к учащимся с учетом их
индивидуальных особенностей в кур е психо-
логии следует глубже изучать тавде темы,
как «Межличностные отношения внутри кол-
лектива», «Индивидуально-психологические
особенности личности», «Способность», «Па-
мять», «Восприятие». Правильной организации
системы внеклассных занятий по математике
в средней школе помогут вопросы психологии
воспитания, в частности психологические ос-
новы комплексного подхода к воспитанию лич-
ности и формированию приемов нравственно-
го, эстетического, физического и умственного
воспитания.
В курсе педагогики из вопросов дидактики,
общих для курсов методики преподавания ма-
тематики и педагогики, больше внимания не-
обходимо уделить изучению предмета и основ-
ных категорий дидактики, принципам обуче-
ния, требованиям к проведению, типологии и
структуре урока, теории воспитания. Для сту-
дентов IV курса необходим спецкурс «Методи-
ка работы классного руководителя».
Г ЕГ курсе методики преподавания математи-
ки необходимо уделять большое внимание со-
держанию образования в школе, организации
процесса обучения. Более глубокому, чем в
I курсе педагогики, изучению подлежат следую-
щие темы курса общей дидактики£_планирова-
|ние работы учителя, подготовка учителя к
уроку, план урока математики, факультативы
и методика их проведения, организация само-
стоятельной работы учащихся по математике
(в том числе домашней работы), формы и
методы проверки знаний учащихся по мате-
матике, учет успеваемости. Для подготовки
студентов к проведению урочной и внеурочной
воспитательной работы необходимо проведе-
ние спецсеминаров по актуальным вопросам
|воспитания на внеклассных занятих по мате-
‘ матике.
Однако наш опыт показал, что только со-
гласования читаемых курсов недостаточно. В
условиях всеобщего среднего образования бу-
дущему учителю необходимо знать психоло-
гию математических способностей школьни-
ков. Именно поэтому мы считаем, что из кур-
са психологии целесообразно выделить спец-
курс «Психология математических способно-
стей школьников», обязательный для всех сту-
дентов.
В связи с компьютеризацией учебного про-
цесса заслуживают внимания психолого-педа-
гогические проблемы обеспечения компьютер-
ной грамотности учащихся. Этим проблемам
было бы целесообразно посвятить психолого-
педагогический спецкурс или спецсеминар для
14
студентов математического факультета. Акту-
альность этих проблем очевидна и уже осве-
щалась в печати ведущими учеными нашей
страны.
Настало время издавать не просто учебни-
ки педагогики для студентов педвузов, а
учебники1 педагогики для учителей физики и
математики, биологии и химии, гуманитарных
дисциплин и т. д.
Требует некоторого пересмотра методиче-
ская подготовка учителя математики. В связи
с реформой школы, дальнейшим совершенст-
вованием математического образования круг
новых вопросов, вводимых в школьную про-
грамму, расширяется, что влечет за собой не-
обходимость изменения программы курса ме-
тодики преподавания математики. Следует
также признать, что будущие учителя все еще
не получают необходимой подготовки по сво-
бодному владению школьным курсом матема-
тики.
Курса элементарной математики, изучаемо-
го ранее в педвузе, в настоящее время нет.
Его пытались заменить такими предметами,
как научные основы школьного курса мате-
матики, современные основы школьного кур-
са математики, но попытка не удалась. Очень
важный для подготовки учителя практикум
по решению математических задач остался без
теоретического обеспечения, что отрицатель-
но сказывается и на усвоении курса методики
преподавания математики. Многие преподава-
тели, стремясь восполнить этот пробел, при
чтении курса методики преподавания матема-
тики стараются изложить и некоторые теоре-
тические основы элементарной математики.
С одной стороны, это делает курс более на-
полненным фактическим материалом, с дру-
гой— подменяет курс методики преподавания
математики изложением основ школьной ма-
тематики. Полагаем, что программа курса ме-
тодики преподавания математики должна
быть более детализированной и теснее свя-
занной с курсами педагогики и психологии, а
практикум по решению-задач"7должен быть
дополнен небольшим числом лекций.
Требует большей конкретизации вопрос
применения вычислительной техники при обу-
чении математике в школе. Уже известны
классы машин, используемых в средней шко-
ле, студенты знакомы с основными языками
программирования, и программу по методике
необходимо дополнить изучением этих вопро-
сов.
С нашей точки зрения, целесообразно пе-
(ренести изучение методики преподавания ма-
тематики на II курс и излагать ее параллель-
но с курсом педагогики, что позволит шире
использовать полученные знания в период не-
I прерывной педпрактики на младших курсах
и в большей мере будет способствовать под-
готовке студентов к педпрактике на старших
курсах. Кроме того, известно, что при подго-
товке учителей сдвоенной специальности курс
общей дидактики изучается трижды (напри-
мер, при подготовке учителя физики и мате-
матики студенты изучают его в курсах педа-
гогики, методики преподавания математики и
методики преподавания физики). Такое дуб-
лирование следует устранить. Исследование
этой проблемы проведено аспиранткой Мин-
ского пединститута О. И. Терещенко.
Необходимо внедрять и новые формы рабо-
ты. В частности, использование метода кон-
кретных Ситуаций и деловых игр на практи-
ческих занятиях по методике преподавания
математики на стационаре и заочном отделе-
нии требует создания новых учебных фильмов
о школе, тем более что студенты заочного от-
деления приезжают на сессию в каникулярное
для учащихся время и поэтому не могут по-
сетить уроки математики в средней школе.
В Минском пединституте (аспирантка
Н. К- Пещенко) разработаны сценарии учеб-
ных фильмов, которые были сняты С помощью
кафедры технических средств обучения с уча-
стием лучших учителей математики города.
Темы, вызывающие наибольшие затруднения
у молодых учителей, были подсказаны стаже-
рами. К таким темам, в частности, относятся:
решение текстовых задач на уроках математи-
ки в V классе, решение задач на построение
по геометрии в VII классе, домашние задания
по математике, технические средства обуче-
ния на уроках математики при закреплении
нового материала и др. Использование таких
фрагментов на занятиях по методике препо-
давания математики позволяет приблизить
обучение к практической деятельности учите-
ля, способствует повышению активности и за-
интересованности студентов. Однако отсутст-
вие возможности тиражирования, а также
сложность съемки затрудняют распростране-
ние этого хорошего начинания.
В целях усиления индивидуальной работы
со студентами в Минском пединституте про-
водятсяспецкурсы-семннары по методике пре-
подавания математики. В соответствии с те-
матикой студенты на IV курсе выполняют
курсовую работу, на V — дипломную или на-
учную студенческую работу. Такой спецкурс-
семинар должен стать центром, объединяю-
щим единомышленников, работающих вместе
2 года. Он послужит прекрасной школой обу-
чения студентов навыкам научного и профес-
сионального самообразования.
Пристального внимания требует организа-
ция^лабораторных работ по методике препо-
давания математикиТ* Увеличение в новом
учебном плане количества часов на их прове-
15
дение нами встречено с большим одобрением,
однако очень большое количество лаборатор-
ных работ также нецелесообразно; оптималь-
ным мы считаем 10—11 работ (4—5 на пред-
выпускном курсе и 5—6 на выпускном). Их
результативность зависит также от степени
подготовки студентов к каждой работе, уровня
организации, методики проведения и контроля
за выполнением каждой работы.
Введение непрерывной педпрактики в пед-
институтах— дело полезное, однако оно нуж-
дается в разработке целого ряда положений,
рекомендаций, связано с огромными органи-
зационными трудностями и потому не может
быть основано лишь на энтузиазме педагогов,
методистов и учителей, как это делалось до
сих пор. Здесь нерешенных проблем еще очень
много. Первый серьезный шаг в улучшении
положения сделан — с 1 мая 1986 г. во всех
педвузах введено в действие «Положение о
базовом учебно-воспитательном учреждении».
Поскольку базовое учреждение закрепляется
за педагогическим учебным заведением на
5 лет, целесообразно было бы укомплектовать
такие школы лучшими учителями-методистами.
Необходима серьезная разработка системы
заданий для использования студентами в пе-
риод непрерывной педпрактики. До сих пор
эти задания составляли преподаватели курса
педагогики. Мы считаем более целесообраз-
ным объединение усилий преподавателей трех
специальностей (педагогики, психологии и ме-
тодики преподавания математики) для созда-
ния учебного пособия с заданиями межпред-
метного содержания. Роль такого пособия
возрастает в связи с предстоящим сокращени-
ем числа аудиторных занятий и увеличением
времени, отводимого для самообразования
студентов.
Заслуживает распространения положитель-
ный опыт, накопленный преподавателями
МГПИ им.' В. И. Ленина в ходе проведения
эксперимента по организации непрерывной пе-
дагогической практики студентов, начиная с
I курса.
Требует самого серьезного рассмотрения во-
прос об увеличении времени продолжения пе-
i дагогнческой практики студентами в школе
(ПТУ) сроком до года. Первую педпрактику
целесообразно организовать на, IV курсе в
течение всего первого семестра, вторую — на
V курсе в течение всего второго семестра, сде-
лав ее преддипломной. Для тех, кто пишет
дипломную работу, решением совета факуль-
тета можно сократить ее на месяц. Дело в
том, что в настоящее время в период первой
педпрактики студенты самостоятельно прово-
пят. 8-зачетных уроков в восьмилетней школе,
а в период второй педпрактики —10 уроков в
старших классах средней школы. -
Известно, что хорошо провести один урок
легче, чем систему уроков по теме. При суще-
ствующей организации педпрактики студенты
не всегда успевают самостоятельно дать систе-
му уроков даже по одной теме ин провести
контрольную работу. К тому же учиреля, как
правило, не доверяют им ведениетвсех уро-
ков темы. В результате студенты не могут
оценить свою работу по конечному результа-
ту, так как не видят его.
В период педпрактики полезно один день в
неделю сделать свободным, чтобы студенты
могли поработать в библиотеке, а при необхо-
димости получить консультацию в институте
у психолога, педагога, методиста, научного ру-
ководителя курсовой, дипломной или научной
работы.
Мы считаем, что если увеличить количество
часов на педпрактику, то исчезнет необходи-
мость их увеличения на чтение курса методики
преподавания математики, так как работа
студентов в базовых школах станет для них
школой будущего профессионального мастер-
ства.
И. А. Новик,
зав кафедрой математики и методики
преподавания математики Минского пединститута
Педагогические коллективы вузов Грузии, го-
товящие учителей для средней школы, упорно
работают над претворением в жизнь школь-
ной реформы. Новый этап развития советской
школы выдвигает повышенные требования к
учителям, к их практической работе, к про-
фессиональному мастерству. Основой здесь яв-
ляется всесторонняя подготовка будущих учи-
телей в педагогических институтах и универ-
ситетах. В этом направлении в республике
многое уже сделано. Остановимся на освеще-
нии опыта Кутаисского пединститута.
Преподаватели кафедр специальных науч-
ных дисциплин и предметных методик поддер-
живают постоянную связь со школой. Кафед-
ры физико-математического факультета ока-
зывают методическую помощь школам не
только г. Кутаиси, но и всей Западной Грузии,
выпускники института систематически получа-
ют консультации, преподаватели часто прово-
дят открытые уроки в школах. На кафедре
организованы математические кружки для
старшеклассников; два раза в год проходят
научно-методические конференции, в которых
принимают участие преподаватели средней
школы и работники института усовершенство-
вания учителей. Уже много лет при институте
функционирует Педагогический университет
для родителей.
16
На спецкурсах и спецсеминарах большое
внимание уделяется изучению школьных учеб-
ников и методических руководств. Во время
педагогической практики завершается подго-
товка студентов к проведению в средней школе
факультативных курсов.
На занятиях большое внимание уделятся
анализу межпредметных связей математики и
других школьных дисциплин, методам реали-
зации этих связей в преподавании. Общетео-
ретические вопросы осуществления межпред-
метных связей рассматриваются в спецкурсе
по педагогике, которой проводится для всех
специальностей.
В Кутаисском пединституте, как и в других
педвузах и университетах республики, введен
новый предмет «Информатика и вычислитель-
ная математика», который преподается па всех
курсах физико-математического факультета.
Организованная на факультете вычислитель-
ная лаборатория в ближайшем будущем по-
полнится новыми ЭВМ. На ее базе студенты
старших курсов физико-математического фа-
культета кроме информатики и вычислитель-
ной математики изучают предмет «Вычисли-
тельная математика и программирование»,
проходят практику. В лаборатории проводятся
занятия со школьниками, учащимися проф-
техучилищ города и близлежащих районов.
Сотрудники лаборатории принимают участие
в подготовке преподавателей информатики и
вычислительной техники для средних школ
г. Кутаиси и Западной Грузии. Кроме обеспе-
чения учебного процесса ими разработан и
решен ряд прикладных задач.
В пединституте уделяется большое внимание
развитию научно-исследовательской работы
студентов. Значительно возросла активность
студенческого научного общества. Создана
система развивающих и усложняющихся за-
даний для самостоятельной работы студентов
в рамках УИРС и НИРС. Многие курсовые и
дипломные работы носят исследовательский
характер.
С целью обмена опытом проводятся межин-
ститутские и межреспубликанские слеты и
конференции, олимпиады, конкурсы.
В 1986/87 учебном году все виды этой ра-
боты получают дальнейшее развитие, отвечаю-
щее требованиям реформы высшей школы.
В. Н. Келбакиани, доцент кафедры математики
Кутаисского пединститута
ПОДУМАЕМ ВМЕСТЕ
От редакции. В этом номере начинается публика-
ция статей новою раздела, о котором сообщалось в № 1
нашего журнала за этот год (с. 80). Публикуемые
статьи посвящены различным проблемам математиче-
ского образования. Не всё, что предлагают авторы,
можно считать бесспорным. Но нашим корреспондентам
удалось затронуть волнующие учителя вопросы школь-
ной жизни,
Как решить проблему учебников
Н. М. Бескин
(Москва)
Положение с учебниками математики в нашей
школе неудовлетворительное. Нет единомыс-
лия среди авторитетных математиков. Смена
школьных учебников происходит слишком ча-
сто.
Настоящая статья не касается конкретных
учебников, а посвящена общему вопросу, обо-
значенному в заголовке.
Ответ на него очень прост!
Чтобы получить хороший учебник, надо из-
давать небольшими тиражами как можно
больше учебников. Эги учебники не пойдут в
школу, а предназначаются для ознакомления
учителей и методистов. Когда понадобится
учебник для школы — будет богатый выбор.
Вокруг учебников создастся общественное
мнение. Конкурсная комиссия будет состоять
не из нескольких членов, как теперь, а из де-
сятков тысяч учителей.
Учебники, не проникшие в школу, тоже не
останутся бесполезными. В учебнике, даже в
целом неудачном, могут быть отдельные ме-
тодические находки. Эти находки могут бьпь
использованы авторами других учебников.
Их возьмут на вооружение отдельные учителя.
Будет происходить кропотливая коллективная
работа по методике преподавания математи-
ки. Влияние существующих учебников на ав-
торов новых очень велико.
Высказанное предложение обосновывается
тем, что никакого другого способа получить
хороший учебник не существует. Это — единст-
венный возможный, и вот почему: нельзя за-
ранее предвидеть, кто сможет написать хоро-
ший учебник.
Существует живучий предрассудок, что хо-
роший учебник может (или должен) выйти
из-под пера крупного ученого. Так, академик
Л. С. Понтрягин выражал недовольство тем,
чго к составлению учебников (речь идет об
учебниках 1966—1976 гг.) были привлечены
авторы, «чьи имена совершенно неизвестны в
научном мире». Оставляю в стороне утверж-
дение о неизвестности авторов, так как не
2 «Математика в школе» № 6
об этом веду речь. Когда А. П. Киселев соз-
давал учебники арифметики и геометрии,
имевшие громадный (и вполне заслуженный)
успех, он никому не был известен. Именно эти-
ми учебниками он приобрел известность. То
же самое можно сказать о Н. А. Рыбкине,
создавшем выдающийся задачник по геомет-
рии. Если бы в то время существовала нынеш-
няя система заказов, никому не пришло бы в
голову заказывать учебники этим неизвест-
ным авторам. Таким образом, эта система за-
крывает путь новым авторам учебников.
В печати часто встречаются высказывания
о том, кого следует привлекать к написанию
учебников. Один отдают предпочтение уче-
ным-математикам, другие — методистам, тре-
тьи— учителям. Все это неправильно. Никого
не надо привлекать персонально к написанию
учебников. Надо только не мешать (закрывая
путь к изданию) писать всем желающим и
имеющим к этому призвание. Разумеется,
крупным ученым и методистам тоже не воз-
браняется писать учебники, но они должны
быть готовы к честной конкуренции с другими,
в том числе никому не известными, авторами.
Чтобы написать учебник, который выдер-
жит такую беспощадную проверку временем
(в условиях сильной конкуренции), как учеб-
ники А. П. Киселева и задачник Н. А. Рыбки-
на, надо глубоко чувствовать потребности
школы, понимать возрастную психологию, об-
ладать даром живого и ясного изложения,
способного заинтересовать школьников и про-
будить у них охоту читать учебник. Наконец,
надо уметь согласовать высокую науку с воз-
можностями школьников, т. е. найти опти-
мальный компромисс. Другими словами, надо
иметь специфический талант, которого может
и не быть у высококвалифицированного уче-
ного.
Поскольку заранее неизвестно, у кого та-
кой талант есть, надо стимулировать написа-
ние учебников. Всякий учебник, если он гра-
мотный, надо издавать. Эго избавит нашу
школу от повторения такого печального поло-
жения: срочно необходим учебник, а его нет.
Тогда выбирают авторитетного ученого, дают
ему несколько месяцев сроку и ждут от него
учебника, которому еще до рождения предназ-
начена роль стабильного, как отпрыску цар-
ского рода. Выдающиеся произведения науки
и искусства созданы не таким путем.
Нельзя внедрять в школу учебники, одоб-
ренные лишь несколькими авторитетными ли-
цами. Это — старый способ, уже много раз
продемонстрировавший свою несостоятель-
ность.
Могут возразить, что эти, созданные в теп-
личных условиях, учебники не сразу внедряют-
ся в школу, а сначала проходят эксперимен-
тальную проверку в отдельных (иногда много-
численных) школах. Эксперименты такого ро-
да уместны в естественных науках, но для про-
верки учебников они бесполезны (кстати, мне
неизвестен ни один случай, когда результат
оказался бы отрицательным). Было бы надеж-
нее и проще распространить учебник между
учителями. Опытный учитель, читая учебник,
может вполне ясно представить себе, что
получится при использовании его в школе. А
уж многие тысячи учителей наверняка не оши-
бутся.
Вот факт, которому трудно поверить, но он
факт: 100 лет назад в нашей стране издава-
лось больше новых учебников по матема-
тике, чем теперь. Например, в 1883 х, было
издано примерно_50 чебников и задачников
для начальных и средних школ всех типов (в
это число входят и повторные издания). Боль-
шинство из них не имело успеха, но этого яв-
ления нельзя избежать. Выдающееся дости-
жение может появиться, только выделившись
из многих. Не было бы «Начал» Евклида, ес-
ли бы в его время многие математики не со-
ставляли «Начал геометрии». Евклид выде-
лился из них, превзошел их (несомненно, опи-
раясь на них), и они забцты. Не было бы
Пушкина, если бы в XVIII и начале XIX в. в
России не было громадного числа поэтов, ко-
торые известны теперь только специалистам и
с которыми Пушкин взаимодействовал.
Может быть, издавать много учебников рас-
точительно? Но что же делать, если нет дру-
гого способа получить хороший учебник. Вред,
причиняемый школе неполноценными учебни-
ками, несравненно более велик. К тому же,
как говорилось выше, не вполне удачные
учебники тоже содействуют прогрессу методи-
ки преподавания. Они способствуют появле-
нию хорошего учебника, который может ро-
диться не в вакууме, а только в питательной
среде учебной литературы.
Когда человек пишет учебник потому, что
ему заказали, ничего хорошего, а тем более
выдающегося, не получится. Писать учебник
должен тот, у кого есть методическое призва-
ние, кто не может не писать. Сейчас учебни-
ков не пишут, потому что нет шансов на изда-
ние. Если такие шансы будут, то через не-
сколько лет хороший школьный учебник мож-
но будет получить без таких осложнений, как
сейчас.
Педагогические издательства, застопорив в
прошлые годы издание разнообразных учеб-
ников, нанесли нашей школе большой вред.
Они обязаны его исправить. Не надо никому
заказывать учебников, а надо только не за-
крывать издательский шлагбаум перед жела-
ющими.
18
Научные дискуссии —
непременное условие
совершенствования учебников
Я. И. Груденов
(г» Таганрог)
В настоящее время журнал «Математика в
школе» публикует явно недостаточное число
рецензий на действующие, вводимые и проб-
ные учебники, рецензий, отражающих различ-
ные точки зрения. Имеются только отдельные,
притом односторонние, высказывания одних
и тех же лиц, непомерно восхваляющие одни
учебники и принижающие другие. Подтверж-
дением этому мнению являются, например,
статьи, появившиеся в журнале в 1983 (№ 2.
С. 46—51) и 1984 гг. (№ 2. С. 13—15; № 6.
С. 72—74). В указанных публикациях мы
встречаемся с недостаточно аргументирован-
ными обвинениями в адрес одних учебных по-
собий и с многократными перечислениями до-
стоинств других пособий при одновременном
замалчивании имеющихся в них недостатков.
В этой связи имеет смысл вспомнить об
опыте 50-х гг., когда на страницах журнала
«Математика в школе» шла широкая дискус-
сия по поводу школьных учебников и учебных
пособий. Их достоинства и недостатки обсуж-
дались в многочисленных рецензиях. Замеча-
ния рецензентов помогали и авторам в совер-
шенствовании учебников, и учителям в прак-
тической работе по ним.
Общеизвестно, что научная дискуссия долж-
на быть конкретной, а высказываемые в ней
мнения — предельно четкими и аргументиро-
ванными, лишенными какой-либо двусмыслен-
ности. Между тем наблюдаются отступления
от этих общепринятых норм. Например, вы-
сказывая критические замечания по поводу
чрезвычайно усложненного доказательства
теоремы о сумме углов треугольника в дейст-
вующем учебном пособии, один из методистов
отметил, что никогда в прошлом доказатель-
ство этой теоремы не вызывало никаких ме-
тодических проблем. По поводу этого крити-
ческого замечания сторонник учебника
А. В. Погорелова пишет: «Сразу скажем, что
методическая проблема возникла не в учебни-
ке А. В. Подорелова, а в умах некоторых ме-
тодистов» (Математика в школе. 1984. № 5.
С. 24). Разве допустимы подобные некоррект-
ные высказывания в научном журнале, даже
если бы критическое замечание было ошибоч-
ным? А ведь в данном случае оно безусловно
справедливо.
Стремление любыми способами сохранить
авторитет действующих учебных пособий при-
водит к тому, что авторы некоторых статей
начинают отрицать традиционные, проверен-
2*
ные опытом методические принципы, считают,
что этими «установившимися методическими
взглядами» следует поступиться только пото-
му, что они находятся в противоречии с мето-
дическими принципами нового учебного посо-
бия (Математика в школе. 1984. № 5. С. 24).
Высказывания многих учителей о трудностях
работы по учебному пособию А. В. Погорело-
ва объясняют иногда только ошибочностью
«укоренившейся точки зрения» (Там же.
С. 24—25). А может быть эти затруднения
учителей порождены недостатками учебного
пособия?
Надо считаться с педагогическим опытом и
не отвергать без достаточно веских аргумен-
тов традиционные, установившиеся методиче-
ские взгляды. Нельзя пренебрегать также
закономерностями психологии и дидактиче-
скими принципами. В психологии, например,
установлено, что определенный уровень пони-
мания— необходимое условие запоминания,
в дидактических принципах сознательности
и доступности требуется, чтобы материал,
подлежащий усвоению, ученик прежде всего
хорошо понял. А учителям иногда рекоменду-
ют излагать на уроках такие доказательства
теорем, которые многие учащиеся поймут во
всех деталях не на данном уроке, а позже,
например при подготовке к экзаменам (Мате-
матика в школе, 1983 № 4. С. 9). Вот еще од-
но подобное высказывание: «К сожалению, в
школьной практике имеет место тенденция,
при которой обучение умениям рассуждать,
аргументировать, доказывать подменяется
преждевременными требованиями к понима-
нию содержания и доказательства теорем»
(Математика в школе, 1984. № 5. С. 25).
Спрашивается: а как иначе может и должен
поступать учитель? Или он должен вопреки
закономерностям психологии объяснять дока-
зательство теоремы, которое многие учащиеся
не поймут? Если ученик не понял, то логиче-
ское запоминание исключено, а механическое
запоминание при изучении математики не
нужно. В такой ситуации не лучше ли дать
эту теорему без доказательства? Ведь глав-
ное— это научить рассуждать, научить при-
менять изучаемую теорему (пусть даже
иногда и без доказательства) к решению за-
дач. Если такая концепция справедлива, тог-
да надо ее, эту концепцию, узаконить, чтобы
никто не мог обвинять авторов школьных
учебников в том, что они приводят ряд теорем
без доказательства. А сейчас такие обвинения
встречаются даже в официальных документах,
перепечатываемых журналом «Математика в
школе» (1984. № 6. С. 73).
В упомянутом документе выдвигается тре-
бование приостановить, свернуть широкую
экспериментальную проверку некоторых проб-
19
ных учебников. Но разве не является нашим
большим достижением такое положение, когда
одновременно испытываются различные проб-
ные учебники?	*
Создать хорошие учебники математики мож-
но только путем проведения широких экспе-
риментов с привлечением многих авторских
коллективов, известных математиков, опытных
методистов, лучших ' учителей, при наличии
широкой и открытой дискуссии в печати.
Именно такой путь создания учебников на-
мечен в постановлении о реформе школы.
Смелее совершенствовать
процесс обучения
А. В. Жуков
(г. Софрино Московской обл.)
По специальности я не учитечь, а програм-
мист. Но по просьбе школы, над которой шеф-
ствует моя организация, вот уже около двух
лет веду математику в восьмых классах по-
стоянно.
В практике обучения мне пришлось столк-
нуться с такими проблемами, которые, как
мне кажется, имеют отношение ко всей си-
стеме школьного математического образова-
ния.
Есть ученики, подверженные болезни, кото-
рую я называю «оценкоманией». Способные на
гораздо большее, они ограничиваются реше-
нием только таких задач, которые будут пред-
ложены им на экзамене. Хотят, чтобы учитель
постоянно спрашивал их только по обязатель-
ному материалу и ставил «заслуженные» пя-
терки. Если же я не вызываю сильного уче-
ника для ответа на вопрос не самой большой
сложности, а предлагаю ему задачу потруд-
нее, то он занимается ею без всякой охоты.
Опытные педагоги с таким явлением борют-
ся очень просто: держат свою аудиторию в
напряжении и страхе. Но к чему ведет такое
решение вопроса, основанное лишь на силе
характера учителя?
В ответ на жесткое педагогическое давление
школьники начинают всячески ловчить и из-
ворачиваться. Например, аккуратно списыва-
ют друг у друга как обязательную, так и «не-
обязательную» часть домашней работы. При-
чем они знают, что учитель прекрасно осведом-
лен об этих уловках, но все-таки продолжают
списывать, создавая внешнее благополучие.
Так в детских душах начинают прорастать
сорные зерна показухи.
Я убежден: отсутствие любознательности у
сильных учащихся грозит нашему обществу
такими же потерями, как и явное нежела-
ние заниматься, проявляемое нерадивыми
школьниками.
Выход из создавшегося положения мне ви-
дится в создании более гибких возрастных
градаций при изучении школьного курса, в
большей дифференциации обучения. Уточню,
что конкретно имею в виду.
Во-первых, было бы целесообразно разре-
шить учащимся отчитываться по школьному
материалу с опережением программы. Для
этого принимать у них зачеты по пройденным
темам, скажем, раз в месяц, а раз в полго-
да — экзамен.
Во-вторых, профессиональную ориентацию
желательно начинать гораздо раньше. Не
ждать, когда профессионально-технические
училища возьмут под свою опеку выпускников
VIII класса. Для учащихся, проявивших по-
вышенный интерес к техническому творчеству,
можно было бы ввести уроки специальным
образом организованного труда.
Воспитывать трудолюбие
В. Г. Леонов
(дер. Выстав Ленинградской обл.)
По моему мнению, основные несчастья нача-
лись в школе с того времени, как были отме-
нены экзамены во всех классах, кроме VIII и
X. Это решение основывали на мнимой пере-
грузке учащихся. Но, как и любой другой
школьный предмет, математика любит трудо-
любивых. Труд — вот основа прочных и глу-
боких знаний. Чем больше трудишься, тем
больше познаешь радость труда. В особенно-
сти это начинаешь сознавать в момент под-
ведения итога и обобщения содеянного. Под-
готовка к экзаменам и сами экзамены как
раз тот самый момент, когда учащийся под-
водит итог своей работе в течение года Каж-
дый сданный экзамен ученик ощущает как
крупную победу в своей жизни. Хорошие и
полезные ощущения! На экзаменах человек
взрослеет и мужает. А ведь в таком взросле-
нии и заключается первое звено связи школы
с жизнью. Труженик, боец и гражданин растет
только в трудовой и требовательной атмо-
сфере.
Ныне же нередко можно наблюдать такую
ситуацию. Идет открытый урок математики.
Ведет его учитель-профессионал с 20—30-лет-
ним стажем. Урок он продумал безупречно.
Его методическая вооруженность известна в
школьном коллективе. А знания большинства
учащихся в классе посредственные. В чем де-
ло? Ответ довольно прост: учитель делает
0
все, чтобы облегчить учащимся понимание
материала, по от самих учащихся требует
меньше, чем следовало бы.	|
В математической подготовке ярко просмат-
ривается трудовая функция обучения. Именно
она должна быть основой воспитывающей,
развивающей и обучающей функций. Однако
при действующей организации обучения мате-
матике на первое место ставится обучающая
функция, а затем развивающая и воспиты-
вающая. Что же касается обучения, основан-
ного на усилиях самих учащихся, то оно на-
ходится в забвении или воспринимается как
само собою разумеющееся.
Настала пора пересмотреть последователь-
ность реализации функций обучения. Не нару-
шая их единства, можно было бы в то же вре-
мя рассматривать их в таком порядке: тру-
довая, воспитывающая, развивающая и обу-
чающая.
Крайности неуместны
Е. А. Беляков
(Москва)
Одна из основных трудностей современного
учителя — отсутствие стабильного учебника
по математике. Но все последние годы борь-
ба с этой трудностью шла по линии замены
одного учебника другим, что только увеличи-
вало трудности учителя. Учебник А. П. Кисе-
лева заменили учебником Н. Н. Никитина, а
тот—пособием под редакцией А. Н. Колмо-
горова, которое через несколько лет вышло
вторым изданием, весьма отличающимся от
первого. Пособие под редакцией А. Н. Колмо-
горова сменилось нынешним учебником
А. В. Погорелова. При этом, как и несколько
раз в прошлом, произошла полная замена
всех установок, существовавших ранее в ме-
тодике преподавания математики. И все эти
изменения произошли всего за 10—15 лет.
Частые переходы от одного учебника к
другому мешают учителю спокойно и творче-
ски трудиться. Нужен стабильный учебник, но
плохо верится, что пособие, созданное по опуб-
ликованной программе (см.: Математика в
школе. 1985 № 6), действительно станет ста-
бильным. Ведь сама программа сначала была
принята, а потом стала обсуждаться, и пока
неизвестно, будет ли она переделана. А меж-
ду тем с рядом положений программы боль-
шинство учителей вряд ли согласятся. Преж-
де всего кажется странным снижение
требовательности к усвоению учащимися До-
казательств. Такое снижение отрицательно
влияет на сам смысл преподавания геометрии.
Далее, после дискуссии, в которой были
весьма преувеличены «злоупотребления теори-
ей множеств», учителя оказались вовлеченны-
ми в противоположную крайность, весьма за-
метную в опубликованной программе. Она со-
стоит в исключении множеств. Множества
оказались осужденными как нечто крайне
формалистическое. Но в пособии А. В. Пого-
релова формализма оказалось не меньше, хо-
тя в нем принято чисто словесное изложение
материала.
Теперь стало видно, что недостаточно проду-
манное отношение ко всяким изменениям, ос-
нованное, может быть, на излишнем доверии
к авторитетам, привело к тому, что из школы
исчез хороший и удобный язык теории мно-
жеств.
Мне кажется, что учителям ясна ошибоч-
ность такого исключения. Нельзя слишком
увлекаться теоретико-множественной символи-
кой, но нельзя и совсем обходиться без нее.
Теоретико-множественная символика была
введена для облегчения работы, и там, где она
употреблялась в меру и уместно, она вполне
выполняла свои функции. Конечно, раньше
имело место излишнее увлечение символикой,
но сейчас радикально «левый» уклон заменя-
ется радикально «правым».
Журнал «Математика в школе» является
органом, не только информирующим учителей
математики, но и воспитывающим их. Поэтому
для учителей очень важно, чтобы журнал по-
давал пример принципиального и полного об-
суждения всех новаций, которые планируются
в школьном курсе, чтобы не было непонятных
и малооправданных изменений.
ПРОФОРИЕНТАЦИЯ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ
Ориентация учащихся
на профессию учителя математики
И. М. Шапиро, М. Ф. Мартынова
(г. Барнаул)
Важнейшей задачей органов просвещения,
учебных заведений, готовящих педагогиче-
ские кадры, является отбор учащейся молоде-
жи, проявляющей склонность к работе с деть-
ми. Велика роль в этом и учителя, способно-
21
го своей увлеченностью делом, тонким пони-
ма'нием детской психологии, отличным знани-
ем предмета вызвать у учеников интерес к
профессии учителя.
Основными компонентами работы по ори-
ентации школьников на профессию учителя
математики являются формирование устойчи-
вого интереса к математике, включение уча-
щихся в посильную педагогическую деятель-
ность.
Формирование интереса школьников к мате-
матике предполагает использование на уро-
ках, внеклассных и факультативных занятиях
таких приемов обучения, которые учитывали
бы различную степень развития познаватель-
ных интересов, а также способностей учащих-
ся и проявлялись не только в содержании, но
и в организации деятельности учеников, в при-
емах их активизации.
Из числа учащихся^проявляющих интерес
к математике, важно как можно раньше вы-
явить учеников с педагогическими наклонно-
стями. Для этого целесообразно предлагать
им специально подобранные педагогические
задания.
Для учащихся V—VI классов рекомендуем
в числе других следующие задания.
Провести с учениками II—III классов бесе-
ду по математике (сообщение о том, как лю-
ди научились считать и записывать числа, де-
монстрацию отдельных приемов быстрого сче-
та, рассказ о применении математики в жиз-
ни и т. п.).
Подобрать (если необходимо, изготовить)
математическую игру для младших школьни-
ков.
Подготовить и провести час математических
игр с учениками начальных классов.
Провести с учащимися одного из начальных
классов занятие по решению занимательных
задач (15—20 мин).
Желательны и общепедагогические зада-
ния: работа вожатым октябрятской звездочки,
шефство над младшими учениками и др.
Подготовку и выполнение заданий консуль-
тируют и контролируют учитель математики и
учитель начальных классов (желательно тот,
у которого учащиеся V—VI классов учились
в начальной школе).
Такие задания включают школьников в
практическую педагогическую деятельность.
Ученики V—VI классов получают возможность
на некоторое время оказаться в роли учителя,
испытать чувство ответственности не только
перед своими наставниками, но и перед млад-
шими детьми. Отдельных учеников такая ра-
бота увлекает, другие выполняют задания с
интересом, но контакт с младшими школьни-
ками им дается трудно, третьих увлекает по-
иск материала для выполнения заданий, но
пугает общение с детьми. Некоторые явно не-
гативно отнесутся к выполнению заданий.
Таким образом учитель математики выяв-
ляет учащихся, интересующихся работой с
младшими школьниками, и определяет содер-
жание и формы дальнейшей работы.
В VII—VIII классах система заданий услож-
няется, усиливается их творческая направ-
ленность. Выполнение заданий предполагает
большую самостоятельность школьников. Счи-
таем целесообразным предлагать в числе дру-
гих и задания, содержащие элементы повсе-
дневного труда учителя математики, напри-
мер:
подготовка и проведение в III, IV классах
занятия математического кружка, математи-
ческой викторины, КВН, веселых математиче-
ских стартов и т. п.;
оказание помощи (под руководством учите-
ля начальной школы) конкретному ученику II,
III классов в преодолении затруднений по то-
му или иному вопросу;
подготовка наглядных пособий к уроку ма-
тематики во II—V классах;
размножение дидактических материалов к
урокам в этих же классах;
выполнение обязанностей лаборанта при
подготовке к урокам математики в своем
классе.
Эти задания требуют от школьников ответ-
ственности и внимания, знакомят их более
близко с трудом учителя.
Профориентационная работа с учениками
VII—VIII классов предполагает формирова-
ние убежденности в огромной значимости ма-
тематических знаний в самых различных сфе-
рах научной и производственной деятельно-
сти. И именно этим обусловлена значимость
профессии учителя математики — человека,
вооружающего подрастающее поколение мо-
гучим инструментом познания.
Планомерная работа по педагогической
профориентации с учениками V—VIII классов
позволяет к IX классу выделить группу
школьников, осознанно готовящихся к при-
обретению профессии учителя математики.
Таким старшеклассникам следует рекомендо-
вать обучение на математических отделениях
школ будущего учителя (школ юного педаго-
га), функционирующих при многих пединсти-
тутах, поручать им педагогические задания,
аналогичные приведенным ранее, но уровень
их выполнения предполагается более высоким.
Для старшеклассников одной или несколь-
ких близлежащих школ уместно организовать
встречи с учителями математики — мастерами
педагогического труда, отдельные открытые
уроки опытных учителей с раскрытием дидак-
тического замысла каждого урока и разъясне-
нием приемов его реализации.
22
Работе по педагогической профориентации
учеников следует придавать определенную
гласность. Для этого целесообразно организо-
вывать в школах конкурсы на лучшую рабо-
ту старшеклассников с младшими школьника-
ми, на лучшую постановку внеклассной рабо-
ты по математике, выставки наглядных посо-
бий и дидактических материалов, изготовлен-
ных учащимися, и т. п. Ученики, которые го-
товятся к овладению педагогической профес-
сией, должны составлять «математический»
актив школы, стать инициаторами и активны-
ми участниками математических вечеров,
олимпиад, конкурсов и викторин, выпуска ма-
тематических газет и листков, принимать ак-
тивное участие в оформлении школьных каби-
нетов математики.
Математический факультет Барнаульского
педагогического института проводит совместно
со школами и органами народного образова-
ния Алтайского края определенную работу по
ориентации учащихся на профессию учителя
математики.
С 1981 г. на базе института функционирует
краевая очно-заочная школа будущего учите-
ля (ШБУ) с двухгодичным сроком обучения.
Школа включает отделения, соответствующие
профилям факультетов, в том числе и отделе-
ние математики. В ШБУ принимаются учени-
ки девятых классов сельских школ края по
рекомендациям педагогических коллективов.
Ежегодный прием составляет около 100 чело-
век. Учебный план ШБУ предусматривает
четыре очные сессии по 3—4 дня каждая и
выполнение учащимися в своих классах прак-
тических заданий по педагогике, психологии,
математике. На очных сессиях читаются лек-
ции по перечисленным дисциплинам, прово-
дится анализ заданий, выполненных под ру-
ководством школьного учителя. По математике
читаются обобщающие лекции о функциях,
трансцендентных уравнениях и неравенствах,
измерении скалярных величин, работе с маг-
матической книгой.
ШБУ осуществила три выпуска, 65—75 %
окончивших ее ежегодно становились студен-
тами института.
В течение пяти лет факультет организует
работу летней математической школы, кото-
рая комплектуется из учеников VII—IX клас-
сов сельских школ, получивших рекомендации
педагогических коллективов. С учащимися
проводятся (отдельно по классам) теоретиче-
ские, практические и внеклассные занятия по
математике по 4 ч в день, остальное время дня
посвящается различным видам отдыха. Еже-
годно в летней школе занимается 120—180
учеников, немало школьников участвуют в ра-
боте летней школы на протяжении трех лет.
Большинство учеников летней школы стано-
вятся слушателями ШБУ, часть — студентами
факультета.
Работа по ориентации учеников на профес-
сию учителя математики многогранна. Мы
раскрыли лишь отдельные ее аспекты. Важ-
ность такой работы обусловлена тем, что мно-
гие качества, необходимые учителю, невозмож-
но воспитывать только во время обучения в
педагогическом учебном заведении. Основа
этих качеств должна быть заложена на школь-
ной скамье. Общественную значимость такой
работы трудно переоценить. Она позволяет це-
ленаправленно комплектовать педагогические
вузы молодыми людьми, увлеченными матема-
тикой и любящими детей, а это благотворно
скажется на постановке математического об-
разования в школе.
Реализация межпредметных
связей математики и трудового
обучения
М. X. Хайбулаев, 3. А. Магомеддибирова
(г. Махачкала)
Широкие связи математики и трудового обу-
чения проявляются на уроках технического,
сельскохозяйственного и обслуживающего
труда, где учащиеся применяют на практике
свои математические знания и умения. В то
же время большие возможности в реализации
межпредметных связей имеют и уроки мате-
матики.
| Существует несколько путей практического
осуществления таких связей. Один из них —
включение в учебный курс необходимого чис-
ла примеров и задач, относящихся по форме
и содержанию к различным вопросам техни-
ки, производства и сельского хозяйства. Хо-
рошо подобранные задачи прикладного со-
держания убеждают учащихся в значении ма-
тематики для различных сфер человеческой
деятельности и потому способны пробуждать
интерес к предмету, создавать уверенность в
его полезности и практической значимости.
При изучении отдельных разделов про-
граммного материала можно использовать
некоторые производственные сведения, с ко-
торыми учащиеся встречаются в практиче-
ской деятельности, на занятиях в учебных
мастерских, узнают от работников местных
производств. Это может помочь введению
школьников в мир труда и профессий.
Более целенаправленную работу по реали-
зации межпредметных связей можно органи-
зовать, если обучение математике будет по-
23
строено с учетом требований современного
производства к уровню математической под-
готовки. Иначе говоря, если на уроках труда
возникает какая-либо производственная зада-
ча, требующая применения математики, то
ученики должны при ее решении использо-
вать такие математические методы и приемы,
которые соответствуют современным пред-
ставлениям о технических приложениях. Глав-
ное, школьников нужно вооружить математи-
ческими знаниями и умениями, необходимы-
ми производству, причем их формирование
должно носить систематический характер Ре-
шение задач прикладного содержания явля-
ется только одним из таких средств.
При различных расчетах, связанных с про-
изводственной деятельностью, в большинстве
случаев приходится оперировать приближен-
ными данными и получать приближенные ре-
зультаты. При этом основным источником
непроизводительных потерь времени являют-
ся вычисления, связанные с умножением, де-
лением и возведением в степень приближен-
ных чисел. Поэтому повышение производи-
тельности связано с вооружением учащихся
практическими правилами приближенных вы-
числений с применением вычислительной тех-
ники. Важным в производственной деятель-
ности является умение предварительно при-
кинуть ожидаемый результат, т. е. решать за-
дачу с «удобными числами», что позволяет
избежать громоздких вычислений там, где
прикидка дает надежный ответ на поставлен-
ный вопрос.
С этой целью необходимо включать в рас-
смотрение достаточно большое количество
заимствованных с уроков трудового обучения
задач, наполненных конкретным содержа-
нием, и распределять их на довольно продол-
жительный промежуток времени: на уроках
геометрии предлагать задачи с приближен-
ными данными, полученными путем непосред-
ственного измерения, и постоянно подчерки-
вать, что для надежного ответа в расчетах
необходимо придерживаться правил прибли-
женных вычислений; постоянно работать с
вычислительными таблицами (процентных от-
ношений чисел, вычисления длины окружно-
сти по заданному диаметру, длины хорды,
значений тригонометрических функций, пере-
вода реальных величин в условные и др.), с
графиками функций и т. д.
Так, например, при изучении темы «Прибли-
женные вычисления» (VII класс) помимо
упражнений, данных в учебнике, полезно
предлагать задания, содержащие знакомые
школьникам из уроков трудового обучения
сведения. Приведем примеры таких заданий.
1.	При измерении диаметра болта и махо-
вого колеса были получены результаты: d —
= (1,75±0,01 J см; - D— (30,5±0,1 J м. Какое
из этих измерений точнее?
2.	Какое измерение сделано точнее:
а)	а— (10,6±0,1) см илиЬ — (1,25±0,01) см;
б)	а=(750±1) м или Ь = (1,25±0,01) м?
Такие упражнения ценны тем, что при их
решении у учащихся формируются нужные
для будущей профессиональной деятельности
(слесаря, токаря, наладчика) умения оцени-
вать качество проведенного измерения. Они
закрепляются и практически реализуются на
занятиях в учебных мастерских.
При закреплении темы «Правила практи-
ческих приемов вычислений» целесообразно
решать задачи, данные которых получены в
результате непосредственных измерений и
имеют реальный смысл. Чтобы измерения
приносили практическую пользу, необходимо
по возможности проводить их так, как это
делается в производственной деятельности. С
этой целью при решении задач на измерение
и построение как с инструментами, так и без
них, при выполнении лабораторных работ и
заданий по чертежам, эскизам и моделям гео-
метрических тел следует проводить измере-
ния или построения инструментами с наперед
заданной точностью, а также указывать, с
какой точностью выполнять проверку пра-
вильности построения или измерения без ин-
струментов.
Совершенствованию измерительных умений
способствует изготовление учащимися моде-
лей геометрических фигур и наглядных посо-
бий, а также решение специальных упражне-
ний, помогающих усвоить принцип устройства
различных измерительных инструментов.
Начиная с VI класса с целью формирова-
ния измерительных умений полезно предла-
гать учащимся задания следующего вида: за-
дачи без готовых данных, в которых необхо-
димые для решения данные определяются не-
посредственным построением и измерением;
задачи на расчеты и вычисления по готовым
рисункам, чертежам, выполненным в опреде-
ленном масштабе; задачи, требующие изме-
рений различными инструментами; задачи на
построение технического рисунка, эскиза, чер-
тежа. Приведем несколько задач, решение
которых способствует формированию умений
производить измерения.
1.	Произведя необходимые измерения на
рис. 1 (с точностью до 1 мм), проставьте по-
лученные размеры. Сделайте рисунок в тет-
ради в указанном масштабе (VI класс).
2.	Выполнив недостающие построения и из-
мерения с точностью до I лыи (см. рис. 2),
вычислите площадь заштрихованной части
фигур (VII класс).
3.	Лабораторна.я работа. Даны:
пластина, имеющая форму круга, масиыаб-
24
Рис. 1
пая линейка, поперечный масштаб, штанген-
циркуль. Впишите в данную пластину пра-
вильный шестиугольник (VIII класс).
4.	Измерьте длину и ширину пола, классно-
го помещения метром, длину и ширину сто-
ла.— сантиметровой линейкой, длину и шири-
ну пластины прямоугольной формы — милли-
метровой линейкой. В каком случае измере-
ние точнее?
Часто на уроках технического труда школь-
ники выполняют разметку (делают различ-
ные геометрические построения в связи с пе-
реносом чертежа на заготовку) при условиях,
когда заготовка имеет неправильную форму
(IV—VII классы). На уроках математики
можно показать учащимся некоторые допол-
нительные приемы геометрических построе-
ний при различных условиях. Приведем при-
меры.
1.	На пластине неправильной формы необ-
ходимо разметить прямоугольник с вершиной
в точке А (рис. 3), причем применение уголь-
ника невозможно.
Рис 2
В этом случае можно поступить так. Через
точку А проводят базисную прямую МИ, с
центром в точке А произвольным радиусом
строят окружность, которая пересекает базис-
ную прямую в точке В. Далее тем же радиу-
сом проводятся окружности с центром снача-
ла в точке В (получаем точку С пересечения
с первой окружностью), затем в точке С
(D— точка пересечения с первой окруж-
ностью); Е —точка пересечения еще двух
окружностей того же радиуса с центрами в
точках С и D-, прямая АЕ перпендикулярна
АВ. Действительно, Z~CAВ=60°, Z_CAE=
=30°, следовательно, Z_BAE=90°. Дальней-
шее построение прямоугольника не представ-
ляет трудностей.
2.	Прямой угол детали закруглить дугой
радиуса R (рис. 4).
Для решения задачи с центром в вершине
прямого угла проводят окружность радиуса
R, которая пересекает стороны прямого угла
в точках А и В. С центрами в точках А и В
строят еще две окружности радиуса R, С —
точка их пересечения. Дуга окружности ра-
диуса R с центром в точке С и будет иско-
мым закруглением.
3.	Произвольный угол детали закруглить
дугой радиуса R.
На расстоянии R от сторон угла проводят
соответственно параллельные им прямые
(рис. 5), точка О их пересечения дает центр
закругления радиуса R.
Прививать учащимся графические умения
и навыки помогают задания с чертежами,
эскизами и техническими рисунками. Такая
работа может проводиться в следующем по-
рядке: 1) показ эскиза детали; 2) знакомство
с содержанием геометрической задачи, кото-
рую предстоит решать; 3) переключение вни-
мания учащися с технического на математи-
ческое содержание; 4) запись условий, изме-
рение и нахождение недостающих данных и
решение задачи.
С этой точки зрения полезны и задачи, для
решения которых необходимы дополнитель-
ные построения.
Важным средством совершенствования вы-
числительных, графических и измерительных
умений являются лабораторные работы. Они
позволяют учащимся иметь дело с материа-
25
лами, приборами и инструментами, произво-
дить расчеты, выполнять чертежи и другие
иллюстрации к работе.
Так, после прохождения темы «Площади
простейших фигур» учащимся можно предло-
жить следующую лабораторную рабо-
ту:
Вычислить площадь и пеример четырех-
угольника, сделав необходимые измерения.
Вычисления производить с учетом погрешно-
стей измерения (т. е. с учетом возможностей
измерительных инструментов).
Школьники под руководством учителя со-
ставляют план работы, делают необходимые
построения и измерения, выполняют чертеж
фигуры в определенном масштабе, записыва-
ют результаты измерений и проводят вычис-
ления с учетом погрешностей измерения.
Установлению межпредметных связей бу-
дет способствовать оформление лабораторных
работ в виде последовательных инструкций —
указаний, аналогичных применяемым в тру-
довом обучении инструкционным и техноло-
гическим картам. С такими заданиями уча-
щиеся сталкиваются на уроках технического
труда, а впоследствии и в профессиональ-
ной деятельности.
Лабораторные работы можно и нужно
проводить и на уроках алгебры. Их темами
могут быть: расчеты наиболее рациональны-
ми приемами по специальным формулам; ра-
бота с таблицами и справочниками; чтение и
построение графиков; нахождение прибли-
женных корней уравнений при помощи гра-
фиков и др.
Реализуя межпредметные связи, учитель не
только показывает возможности применения
математических знаний и умений, но и знако-
мит учащихся с миром профессий, с условия-
ми успешного овладения избранной специаль-
ностью.
Подводя итоги, можно сказать, что исполь-
зование межпредметных связей математики и
трудового обучения помогает решать ряд
важных профориентационных задач:
показать школьникам комплексность ис-
пользования математических закономерно-
стей в современном производстве и его струк-
турных частях (технике, технологии, экономи-
ке, организации труда и др.);
убедить школьников в том, что рабочим
различных профессий необходима не только
специальная, но и математическая подготов-
ка, без которой нельзя заниматься рациона-
лизацией, изобретательством, творчески тру-
диться;
способствовать профессиональной мобиль-
ности выпускников школы за счет политехни-
ческой направленности обучения матема-
тике;
формировать на уроках математики и тру-
дового обучения общетрудовые (планирова-
ние, самоконтроль, организация рабочего мес-
та) и некоторые общепроизводственные (из-
мерительные, вычислительные, графические,
исследовательские) умения;
воспитывать у школьников ряд личностных
качеств (трудолюбие, аккуратность, точность,
бережливость, творческое отношение к труду
и др.), необходимых для участия в высокоор-
ганизованном производстве;
оказывать помощь в выборе профессии.
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ
Организация
методического объединения
Л. М. Аксютина, Т. Е. Бондаренко
(г. Воронеж)
Мы хотим рассказать о методическом объ-
единении учителей математики школы № 29
г. Воронежа, которым вот уже 13 лет руко-
водит старший учитель Полина Ивановна
Кондратенко.
В основу работы методического объедине-
ния положен годовой план, составленный с
учетом результатов анализа деятельности
каждого учителя математики и методическо-
го объединения за прошедший год. Планом
определяются: тематика заседаний объедине-
ния, формы внеклассной работы по предмету
и сроки проведения основных мероприятий,
направления совершенствования кабинетов
математики. В нем содержатся конкретные
предложения учителям по организации их
деятельности в новом учебном году и реко-
мендуются темы по самообразованию.
В течение учебного года проводится 6 те-
матических заседаний методического объеди-
нения. Приведем примеры отдельных тем, ко-
торые были на них рассмотрены:
1.	Реализация требований школьной рефор-
мы в практике работы учителей математики
школы.
2.	Тематический учет знаний, умений и на-
выков учащихся по математике как средство
преодоления формализма в оценке труда
школьников.
3.	Воспитание культуры учебного труда.
4.	Организация систематического повторе-
ния.
5.	Развитие устной и письменной речи уча-
щихся в процессе обучения математике.
26
6.	Преемственность в преподавании мате-
матики во II—V классах как средство совер-
шенствования учебного процесса.
Следует отметить, что деятельность объеди-
нения осуществляется под руководством ме-
тодического совета школы, возглавляемого
завучем Галиной Васильевной Трепалиной,
поэтому тематика заседаний объединения
тесно связана с проблемами, над которыми
работает вся школа. По каждой из тем учи-
теля математики продумывают комплекс во-
просов для обсуждения. Например, на засе-
дании, посвященном реализации требований
реформы школы, учителя рассмотрели раз-
личные пути усиления практической и при-
кладной направленностей обучения математи-
ке, рассказали об использовании на уроках
задач производственного содержания, состав-
ленных по местным материалам, обсудили
программные требования к математической
подготовке учащихся и проблему устранения
их перегрузки. Собравшиеся с увлечением
делились опытом разнообразия форм урока:
проведения лекционных уроков, семинаров и
уроков-консультаций.
На заседании методического объединения
по теме «Развитие устной и письменной речи
учащихся» учителя отмечали необходимость
специальной работы с математическими тер-
минами. Одной из составляющих такой рабо-
ты является тщательное разъяснение опреде-
лений, вводимых в школьном курсе матема-
тики, и систематический контроль за тем, по-
нимают ли учащиеся эти определения и уме-
ют ли их воспроизводить. Анализ результатов
экзаменационных работ в восьмых и десятых
классах позволил определить основные на-
правления совершенствования письменной
математической речи учащихся. В связи с
этим члены методического объединения уде-
лили особое внимание единству требований к
оформлению контрольных работ по матема-
тике. Все рассмотренные проблемы практики
преподавания послужили материалом для об-
суждения общего вопроса о взаимосвязи ре-
чевой и мыслительной активности учащихся
на уроках математики.
При подготовке к этому заседанию учителя
просматривали много книг по психологии и
методике преподавания математики. Кроме
того, они специально изучали материалы
«Сборника приказов и инструкций Министер-
ства просвещения РСФСР» (1983, № 9): «Об
усилении контроля по осуществлению единых
требований к устной и письменной речи уча-
щихся, к проведению письменных работ и
проверке тетрадей».
Вообще, в процессе подготовки к очередно-
му заседанию каждый член объединения вы-
полняет ряд заданий, которые определяются
разделом плана «Что должно быть подготов-
лено к заседанию МО». Одна из форм такой
подготовки — взаимопосещение уроков. Взаи-
мопосещения носят рабочий характер и про-
ходят в доброжелательной обстановке. Полу-
ченные данные заносятся в специальную тет-
радь и оформляются в форме справки. Эти
данные, а также тетради учащихся, резуль-
таты анализа диагностических контрольных
работ и открытых целевых уроков служат
основой для обсуждения вопросов, стоящих
в повестке дня заседания.
Таким образом, через систему взаимопосе-
щений, открытых уроков, совместных обсуж-
дений вопросов методики преподавания мате-
матики, изучения педагогической литературы
и нормативных документов методическое объ-
единение учителей математики в школе №29
г. Воронежа выполняет контролирующие и
обучающие функции. Не менее важна его ор-
ганизаторская функция, которая выражается
в управлении внеклассной работой по пред-
мету, самообразованием учителей, совершен-
ствованием кабинетов. Однако основную роль
оно играет как центр обмена педагогически-
ми находками. Например, через методическое
объединение получило распространение со-
ставление задач производственного характера
на местном материале.
В школе № 29 на эти задачи первой обра-
тила особое внимание П. И. Кондратенко.
Она предложила учащимся пятых классов
составлять карточки-задания, в которых при-
водятся, взятые из местных газет, числовые
данные, характеризующие выпуск и прирост
продукции, состав сотрудников предприятий
города. Используя эти данные, учащиеся со-
ставляют текстовые задачи с производствен-
ным содержанием, строят диайраммы, вычер-
чивают графики. Такие карточки-задания
имеют воспитательное значение, они со ста-
ранием оформлены учащимися, содержат ил-
люстрации к тексту, интересные задачи. Най-
денная форма работы понравилась и другим
учителям школы.
В обмене опытом особую значимость имеют
открытые заседания методического объедине-
ния учителей математики школы № 29, кото-
рые организуются Воронежским ИУУ и рай-
онным отделом народного образования для
завучей и руководителей методических объ-
единений школ города.
Тематический контроль знаний
в IV—V классах
С С. Минаева
(Москва)
В практике работы многих учителей при про-
верке знаний учащихся систематически ис-
пользуется тематический контроль (так на-
зываемые зачеты). Эта форма контроля спо-
собствует подведению итогов обучения от-
дельному вопросу курса, одной или ряду тем,
изучаемых в течение полугодия, года. Необ-
ходимость такого тематического контроля
обусловлена тем, что для каждого ученика
характерен определенный темп овладения
учебным материалом. А потому обычные
контрольные работы, в которых трудно учесть
должным образом индивидуальные особенно-
сти учащихся, могут оказаться недостаточ-
ными для того, чтобы судить о том, достиг-
нуты ли планируемые результаты обучения.
Тематический контроль, рассматриваемый
в статье, организовывался с целью выявле-
ния достижения каждым учащимся обяза-
тельных результатов обучения математике
(см.: Математика в школе. 1985. № 2. С. 14—
20). Он проводился в экспериментальных
школах Москвы и двух районов Молдавской
ССР. Эксперимент показал, что тематические
проверки позволяют учителю вести четкий и
строгий индивидуальный учет достижений
школьников. Во время тематического конт-
роля учитель может выяснить, в чем ученик
испытывает затруднения, по какой причине
не справился с той или иной задачей, и бла-
годаря этому своевременно организовать ра-
боту по устранению пробелов. Кроме того,
такой контроль оказывает влияние на отно-
шение учеников к овладению обязательными
результатами обучения. Он демонстрирует
единство требований, предъявляемых ко всем
учащимся, необходимость их безусловного
выполнения и одновременно доступность ма-
териала, обязательного для усвоения.
Тематические проверки проводятся в часы,
предусмотренные для письменного или устно-
го контроля, и организуются по-разному. В
эксперименте в начале изучения темы учи-
тель давал учащимся список задач, которые
они должны обязательно научиться решать, и
сообщал, что в конце темы будет проведен
зачет по аналогичным задачам, список задач
вывешивал в классе. На важности овладения
соответствующими умениями внимание уча-
щихся фиксировалось на каждом уроке.
Для обеспечения самостоятельной и актив-
ной работы всех учащихся в зачет кроме обя-
зательной части рекомендуется включать и
дополнительную. Обязательная часть зачета
содержит задачи из списка обязательных ре-
зультатов обучения. Дополнительную часть
составляют задачи, которые либо требуют
более высокого уровня отрабатываемого уме-
ния, либо проверяют, как применяется в бо-
лее сложной ситуации сформированное ранее
умение. Зачет считается сданным, если реше-
ны все задачи обязательной части. Включе-
ние в тематический зачет дополнительных за-
даний позволяет кроме выставления итоговой
отметки «зачет сдан» поставить учащимся
оценки «4» и «5». Причем при любом подходе
к оцениванию работ учитывается, что основ-
ной целью учителя при такой форме контроля
является проверка достижения учеником
уровня обязательной математической подго-
товки. Различные вопросы вызывает отноше-
ние отметки о сдаче зачета к оценке «3».
Сразу надо сказать, что мы не считаем воз-
можным проводить здесь полную аналогию.
Если отождествлять отметки «3» и «зачет
сдан», то это может неправильно отражать
уровень подготовки хорошего ученика, кото-
рый не смог по каким-то причинам (эти при-
чины бывают совершенно случайными) вы-
полнить задания дополнительной части. По-
метка в журнале «зачет сдан» ничем не при-
низит успехов учащегося, для которого оцен-
ка «3» была бы безусловно разочаровываю-
щей.
Ниже даны тексты тематических проверок.
Учащиеся работали по вариантам, из кото-
рых приводятся только два. Переписывать
формулировки заданий от учеников не требо-
валось. Нужно было выполнить только то,
что непосредственно указывалось в задании.
Поэтому обязательная часть не занимала
много времени.
IV КЛАСС’
Сложение и вычитание десятичных дробей
Вариант 1
Обязательная часть:
1.	Сравните числа: 3,4187 и 3,44.
2.	Округлите числа: 5,3872, 0,7318, 245,355
до сотых.
3.	Вычислите: 23,1854-4,87; 43,5—4,23.
4.	В одной коробке 5,6 кг конфет, а в дру-
гой на 1,7 кг конфет больше, чем в первой.
Сколько конфет в двух коробках?
5.	Собственная скорость катера 14 км/ч, а
скорость течения реки 0,6 км/ч. Найдите ско-
рость катера против течения реки.
Дополнительная часть:
6.	Упростите выражение 3,8а-(-4,6а—1,4а—
—1,7 и найдите его значение при а=14.
7.	Начертите угол АОВ в 114° и разделите
его с помощью транспортира лучом ОК на
два равных угла.
18
Вариант 2
Обязательная часть:
1.	Сравните числа: 5,87 и 5,8395.
2.	Округлите числа: 136,412, 6,785, 0,8365
до сотых.
3.	Вычислите: 34,2734-2,75; 56,7—5,32.
4.	С одного луга собрали 7,4 т сена, а с
другого на 1,6 т сена меньше, чем с первого.
Сколько сена собрали с двух лугов?
5.	Собственная скорость катера 19 км/ч,
скорость течения реки 1,2 км/ч. Найдите ско-
рость катера по течению реки.
Дополнительная часть:
6.	Упростите выражение 2,7a-j-4,6a—1,3а-—
—1,9 и найдите его значение при а=16.
7.	Начертите угол КОМ в 76° и разделите
его с помощью транспортира лучом ОВ на
два равных угла.
V КЛАСС
Умножение и деление положительных
и отрицательных чисел
Вариант 1
Обязательная часть:
1.	Выполните действия: —18-(—2), —4 15,
84 . (—4), —39: (—3), (—7)2, (—4)3.
2.	Вычислите: 4-(—0,2)—5-1,3.
3.	Найдите значение выражения:
а) —6х при х=—7, б) х2 при х=—6.
4.	Упростите выражение:
а) 8х— (4x4-2), б) 2(а4-1)4-(а—6).
5.	Решите уравнение:
а) — 7х=21, б) 4х4-15=9х—10.
Дополнительная часть:
6.	Решите задачу с помощью составления
уравнения: «Переплетчик за два дня израс-
ходовал 84 листа картона, причем в первый
день в 2,5 раза больше, чем во второй. Сколь-
ко картона израсходовал переплетчик в каж-
дый из этих дней?»
7.	Отметьте на координатной плоскости
точки А (-6; -1) и В (2; 3) и найдите коор-
динаты точек пересечения прямой с осями ко-
ординат.
Вариант 2
Обязательная часть:
1.	Выполните действия:	16 - (—3),
-5-(—12), —93 : (—3), (—48): 2, (—8)2,
(-5)3-
2.	Вычислите: —3-1,8—2-(—0,6).
3.	Найдите значение выражения:
а) —8х при х=4, б) х3 при х——4.
4.	Упростите выражение:
а) 9а—(5а—3), б) 3(х-|-1)4-(х—7).
5.	Решите уравнение:
а) —9х=—27. б)’ 2х—28=5х—7.
Дополнительная часть:
6.	Решите с помощью составления уравне-
ния задачу: «В стрловую привезли 85 кг яб-
лок и груш, причем груш привезли в 1,5 ра-
за больше, чем яблок. Сколько груш и яблок
в отдельности привезли в столовую?»
7.	Отметьте на координатной плоскости
точки М(—1; 6) и /<(3; —3) и найдите коор-
динаты точек пересечения прямой МК с ося-
ми координат.
Опыт показывает, что эффективность тема-
тического контроля повышается, если ученик
уже в его ходе узнает, успешно ли он спра-
вился с работой, какой материал он должен
доработать и ответить еще раз. С учетом
сказанного рассмотрим методику организации
зачетов, успешно применявшуюся в экспери-
менте учителем московской школы № 315 Ил-
ларионовой Татьяной Ивановной.
Учительница придает большое значение ор-
ганизационному моменту. Напоминает уча-
щимся цель зачета и правила работы. При
необходимости учащиеся пересаживаются.
Все это занимает не более 2—3 мин. и спо-
собствует созданию рабочей атмосферы, дис-
циплины в классе. Ведь главное — настроить
учеников на безусловное выполнение обяза-
тельной части работы.
Существенным отличием рассматриваемой
формы от других видов контроля является
то, что учащийся может приступить к вы-
полнению дополнительной части работы толь-
ко е разрешения учителя. Учитель, проходя
по классу и заглядывая в работу то одного,
то другого ученика, проверяет решения за-
дач. Одновременно по ходу работы над обя-
зательной частью он либо отмечает в тетра-
дях учеников верное решение задачи знаком
«4-», либо указывает на необходимость ис-
правления неверного решения. Таким обра-
зом, если в решении хотя бы одной из задач
обязательной части допущена ошибка, то
учащемуся предоставляется право продол-
жить работу, т. е. самому найти ошибки и
исправить их, а получив одобрение учителя,
приняться за решение задач дополнительной
части. Для учителя наиболее трудная часть
работы в течение урока — контроль каждого
ученика. Но при должной организации урока
трудности значительно уменьшаются. Во-пер-
вых, учитель проверяет не каждое задание, а
всю обязательную часть в целом. Поэтому
первую треть урока он относительно свобо-
ден и уделяет особое внимание тем учащим-
ся, которые недостаточно организованно на-
чинают работу. Вторая треть урока — это
«час пик» для учителя. Но если он заранее
позаботился посадить недалеко друг от дру-
га тех ребят, которые обычно работают в
быстром темпе, то в этот «час пик» ему не
приходится много перемещаться по классу. Во-
29
вторых, существенным элементом организа-
ции контроля являются предварительные за-
писи в тетради учителя. Задачи всех вариан-
тов записываются на одном листе. При этом
крупно выделяются номера заданий и их от-
веты. Это позволяет не терять времени ни на
поиск соответствующего номера, ни на реше-
ние заданий. Заметим, что последняя треть
урока уже не требует большого напряжения.
Учащиеся, получившие «зачет», углубились в
следующие задания, а остальные доделыва-
ют работу. Все внимание учителя направ-
лено на группу доделывающих. Иногда сла-
бому ученику учитель считает целесообраз-
ным дать задачу, аналогичную той, где была
допущена ошибка, для подтверждения ре-
зультатов контроля. Оценки «4» и «5» он мо-
жет выставить и после урока, собрав тетради
у тех, кто справился со всей работой.
Как правило, на обязательную часть хоро-
шо успевающий ученик затрачивает в сред-
нем до 15 мин. Если же учесть, что на орга-
низационный и заключительный моменты за-
чета необходимо 5 мин, то на выполнение до-
полнительной части приходится около
25 мин — в это время другие учащиеся про-
должают работу над обязательной частью за-
чета. Время на досдачу зачета выделяется
непосредственно на следующем уроке вклю-
чением в опрос либо в самостоятельную ра-
боту заданий, подобных не выполненным на
зачете.
При такой организации тематических заче-
тов и учитель, и его ученик, уходя с урока,
знают итоги контроля. Это оказывает моби-
лизующее воздействие на учащихся, а учите-
лю позволяет скорректировать цели после-
дующего обучения.
Самостоятельные работы
по геометрии в X классе
В. А. Гусев
(Москва),
А. И. Медяник
(Харьков)
В данной статье публикуются самостоятель-
ные работы, составленные к § 20 и 21 учеб-
ного пособия «Геометрия 6—10» А. В. Пого-
релова1. Учитель по своему усмотрению мо-
жет использовать предлагаемые задачи пол-
ностью или частично как индивидуальные
задания или на кружковых занятиях.
1 Самостоятельные работы к § 18 и 19 помещены
в № 4 за 1986 г.
С-11. Объем прямоугольного параллелепипеда
Вариант!	«
1. Найдите объем прямоугольного парал-
лелепипеда, если его ребра равны 2 см, 3 см
и 5 см.
2. Даны два прямоугольных параллелепи-
педа с объемами 60 дм3 и 65 дм3. Чему рав-
но ребро куба, объем которого равен сумме
объемов данных параллелепипедов?
Вариант 2
1. Во сколько раз надо увеличить каждое
ребро данного прямоугольного параллелепи-
педа, чтобы его объем увеличился в 216 раз?
2. Площади двух смежных граней прямо-
угольного параллелепипеда равны 12 см2 и
27 см2, длина их общего ребра равна 3 см.
Найдите объем параллелепипеда.
Вариант 3
1. Во сколько раз надо уменьшить каждое
ребро данного прямоугольного параллелепи-
педа, чтобы его объем уменьшился в 343 раза?
2. Площади двух непараллельных граней
прямоугольного параллелепипеда равны 18 дм2
и 24 дм2, длина их общего ребра равна 6 дм.
Найдите объем параллелепипеда.
Вариант 4
1. Дан куб, квадрат ребра которого равен
сумме квадратов ребер двух других кубов.
Докажите, что объем данного куба больше
суммы объемов двух других кубов.
2. Площади трех граней прямоугольного
параллелепипеда равны 10 м2, 14 м2, 35 м2.
Найдите его объем.
С-12. Объем наклонного параллелепипеда
Вариант 1
1. Основанием наклонного параллелепипеда
служит параллелограмм со сторонами 2 см
и 5 см и углом 30°. Найдите объем паралле-
лепипеда, если его высота равна 4 см.
2. Стороны основания параллелепипеда уве-
личили в 2 раза, а его боковое ребро оста-
лось неизменным. Во сколько раз увеличился
при этом объем параллелепипеда?
Вариант 2
1. Основанием наклонного параллелепипеда
служит параллелограмм с диагоналями Здм
и 6 дм и углом между ними 30°. Найдите
объем параллелепипеда, если его высота рав-
на 5 дм.
2. Одну из сторон основания параллелепи-
педа увеличили в 6 раз. Как изменится объ-
ем данного параллелепипеда, если его боко-
вое ре.бро уменьшить в 2 раза?
Вариант 3
1. Основанием наклонного параллелепипеда
служит ромб, одна из диагоналей которого
20
равна его стороне. Найдите объем паралле-
лепипеда, если его высота равна 3 дм, а сто-
рона ромба равна 4 дм.
2. Одну из сторон основания параллелепи-
педа уменьшили в 3 раза. Как изменится
объем данного параллелепипеда, если его
боковое ребро увеличить в 6 раз?
Вариант 4
1. Все грани параллелепипеда — ромбы с
углом 60° и стороной 2 см. Найдите объем
параллелепипеда.
2. Какой наибольший объем может иметь
параллелепипед, площади трех граней кото-
рого равны 4 дм2, 3 дм2 и 9 дм2.
С-13. Объем призмы2
Вариант 1
1. Вычислите объем модели прямой четы-
рехугольной призмы, произведя необходимые
измерения.
2. Даны прямая и наклонная призмы с оди-
наковыми основаниями и равными боковыми
ребрами. Какая из этих призм имеет больший
объем?
Вариант 2
1. Вычислите объем модели наклонной тре-
угольной призмы, произведя необходимые из-
мерения.
2. Дан параллелепипед ABCDA\BXC\D\. До-
кажите, что плоскость, проходящая через
прямую ВСХ и вершину А, разбивает его на
две равновеликие треугольные призмы.
Вариант 3
1. Произведя необходимые измерения, вы-
числите объем модели наклонной призмы, в
основании которой лежит параллелограмм.
2. Дан параллелепипед ABCDA\B\C\D\. До-
кажите, что плоскость, проходящая через пря-
мую АВ\ параллельно ребру ВС, разбивает
его на две равновеликие треугольные призмы.
Вариант 4
1. Вычислите объем модели наклонной че-
тырехугольной призмы, произведя необходи-
мые измерения.
2. Основанием призмы является трапеция.
Докажите, что плоскость, проходящая через
середины оснований трапеции параллельно
боковому ребру призмы, разбивает ее на
две равновеликие четырехугольные призмы.
С-14 Объем пирамиды
Вариант 1
1. Основание пирамиды — ромб со сторо-
ной а и углом а, высота пирамиды равна Л.
Найдите объем пирамиды.
2. Боковое ребро правильной четырехуголь-
2 Первые задания всех вариантов выполняются уче-
никами по готовой модели.
иой пирамиды равно 2 см, плоский угол при
ее вершине равен 60°. Найдите объем пи-
рамиды.
Вариант 2
1. Найдите объем пирамиды, высота кото-
рой равна h, а основание — прямоугольный
треугольник с гипотенузой с и острым уг-
лом а.
2. Сторона основания правильной шести-
угольной пирамиды равна 3 см, боковое реб-
ро составляет с плоскостью основания угол
45°. Найдите объем пирамиды.
Вариант 3
1. Основание пирамиды — прямоугольник,
диагональ которого равна d и образует со
стороной угол <р; высота пирамиды равна Л.
Найдите объем пирамиды.
2. Диагональ основания правильной четы-
рехугольной пирамиды равна 4 см, боковая
грань составляет с плоскостью основания
угол 60°. Найдите объем пирамиды.
Вариант 4
1. Основание пирамиды — равнобедренный
треугольник, его высота, проведенная к ос-
нованию, равна h, а угол, противолежащий
этому основанию, равен а. Высота пирамиды
равна Н. Найдите объем пирамиды.
2. Высота основания правильной треуголь-
ной пирамиды равна 2 см, боковое ребро со-
ставляет с высотой пирамиды угол 30°. Най-
дите объем пирамиды.
С-15. Объем цилиндра и конуса
Вариант 1
1. На барабан диаметром 1 м намотано в
один ряд 50 витков медной проволоки диа-
метром 3 мм. Найдите массу проволоки (плот-
ность меди 8,9 г/см3).
2. Образующая конуса, равная 6 дм, со-
ставляет с плоскостью основания угол 45°.
Найдите объем конуса.
Вариант 2
1. Толщина стенок стальной трубы равна
5 мм, длина внешней окружности поперечно-
го сечения трубы равна 160 мм. Найдите мас-
су одного погонного метра трубы (плотность
материала 7,8 г/см3).
2 Равнобедренный треугольник, основание
которого равно а и угол при основании а,
вращается вокруг прямой, содержащей медиа-
ну, проведенную к основанию. Найдите объ-
ем полученного тела вращения.
Вариант 3
1. Алюминиевый провод диаметром 4 мм
имеет массу 6,8 кг. Найдите длину провода
(плотность алюминия 2,7 г/см3).
31
2. Жидкость, заполняющую цилиндрический
стакан диаметром 6 см и высотой 9 см, пере-
ливают в конический сосуд с диаметром ос-
нования 9 см и высотой 11 см. Поместится ли
жидкость в этом сосуде?
Вариант 4
1. Кабель длиной 340 м и диаметром 7,5 мм
заключен в свинцовую оболочку толщиной
2 мм. Найдите массу оболочки кабеля (плот-
ность свинца 11,4 г/см3).
2. Равнобедренный треугольник с боковой
стороной, равной а, и углом, противолежащим
основанию и равным 0, вращается вокруг оси,
содержащей боковую сторону. Найдите объ-
ем полученного тела вращения.
С-16. Объем шара и его частей
Вариант 1
1. Масса металлического шарика равна
37 г, его диаметр 2 см. Найдите плотность
металла, из которого сделан шарик.
2. Радиус шара равен 3 см. Найдите объ-
ем шарового сектора высотой 2 см.
Вариант 2
1. Какой диаметр имеет чугунный шар мас-
сой 1 кг? (Плотность чугуна 7 г/см3.)
2. Радиус шара равен 4 см. Найдите объ-
ем шарового сегмента высотой 3 см.
Вариант 3
1. Масса деревянного шара равна 315 г,
его диаметр 10 см. Вычислите плотность де-
рева.
2. Объем шарового сегмента высотой 6 дм
равен 172 дм3. Найдите радиус шара.
Вариант 4
1. Какой диаметр должен иметь пробковый
шарик, чтобы его масса была равна 1 г?
(Плотность пробки 0,25 г/см3.)
2. Радиусы двух шаров равны 13 м и 15 м,
расстояние между их центрами 14 м. Найди-
те объем общей части этих шаров.
С-17. Заключительная работа
по материалу § 20
Вариант 1
1. Основанием наклонной призмы служит
прямоугольный треугольник с катетами 8 см
и 6 см. Боковая грань призмы, проходящая
через гипотенузу основания, перпендикулярна
плоскости основания и имеет площадь 200 см2.
Найдите объем призмы.
2. В шар радиуса R вписан цилиндр, осе-
вое сечение которого квадрат. Найдите объ-
ем этого цилиндра.
Вариант 2
1. В полушар радиуса R вписан цилиндр
R
высотой у-  Найдите объем этого ци-
линдра.
2. Основанием призмы служит треугольник
со сторонами 25 см, 25 см и 14 см. Высота
призмы равна высоте основания призмы, про-
веденной к меньшей его стороне. Найдите
объем призмы.
Вариант 3
1. Около шара радиуса R описан конус,
осевое сечение которого правильный тре-
угольник. Найдите объем этого конуса.
2. Основание пирамиды — ромб с тупым
углом <р и меньшей диагональю d. Основани-
ем высоты пирамиды является точка пе-
ресечения диагоналей ромба. Найдите объем
пирамиды, если ее большее боковое ребро
наклонено к плоскости основания под уг-
лом 0.
Вариант 4
1. Основанием пирамиды SABC является
треугольник, у которого AB = BC—b, Z_A = a.
Найдите объем пирамиды, если ее боковое
ребро SA перпендикулярно плоскости основа-
ния, а угол между плоскостями граней АВС
и SBC равен р.
2. В сферу радиуса R вписан конус, осе-
вое сечение которого прямоугольный тре-
угольник. Найдите объем конуса.
С-18. Площадь сферы
Вариант 1
1. Во сколько раз надо увеличить радиус
сферы, чтобы ее площадь увеличилась в
10 раз?
2. Стальной шарик диаметром 10 мм по-
крыт тонким слоем никеля. Найдите массу
покрытия для 1000 таких шариков, если на
1 дм2 площади покрытия затрачивается 0,22 г
никеля.
Вариант 2
1. Отношение площадей двух сфер равно
2. Найдите отношение диаметров этих сфер.
2. Сколько потребуется краски для окраски
100 деревянных шаров диаметром 10 см, если
на 1 дм2 поверхности требуется 1,2 г краски?
Вариант 3
1. Отношение площадей двух сфер равно
Найдите отношение длин больших ок-
ружностей этих сфер.
2. Сколько шаров диаметром 0,5 дм можно
окрасить, имея 1 кг краски, если на 1 м2 пло-
щади требуется 100 г краски?
32
Вариант 4
1. Во сколько раз надо уменьшить радиус
сферы, чтобы ее площадь уменьшилась в
5 раз?
2. В результате хромирования поверхно-
сти стального шарика диаметром 4 см полу-
чено покрытие толщиной 0,05 мм. Найдите
массу покрытия, если плотность хрома
7,2 г/см3.
С-19. Боковая поверхность цилиндра,
конуса и сферического сегмента
Вариант 1
1. В конус вписана правильная четырех-
угольная пирамида, сторона основания кото-
рой равна а, а боковое ребро Ь. Найдите
площадь боковой поверхности конуса.
2. Радиус шара равен 4 см. На какие ча-
сти (по площади) делит шаровую поверхность
плоскость, отстоящая от центра шара на2см?
Вариант 2
1. В правильную треугольную пирамиду со
стороной а и апофемой ш вписан конус. Най-
дите площадь его боковой поверхности.
2. Площадь поверхности сферического сег-
мента, отсекаемого от шаровой поверхности
плоскостью, равна 24л см2. Найдите поверх-
ность получившегося при этом другого сфе-
рического сегмента, если высота первого рав-
на 4 см.
Вариант 3
1. В цилиндр вписана правильная треуголь-
ная призма, сторона основания которой рав-
на а, а боковое ребро Ь. Найдите площадь
боковой поверхности цилиндра.
2. Площадь поверхности сегмента, отсекае-
мого от поверхности шара плоскостью, рав-
на 15л см2. Найдите поверхность получивше-
гося при этом другого сферического сегмента,
если радиус шара равен 5 см.
Вариант 4
1. В правильную шестиугольную призму
вписан цилиндр. Найдите площадь боковой
поверхности цилиндра, если сторона основа-
ния призмы 2а, ее боковое ребро I.
2. Радиусы двух шаров равны 10 см и
17 см, расстояние между их центрами 21 см.
Найдите площадь поверхности их общей ча-
сти.
С-20. Заключительная работа
по материалу § 21
Вариант 1
1	Площадь сферы равна 169 см2 Чему ра-
вен ее радиус?
2	. Диагональ прямоугольника, равная . d,
образует со стороной угол <р. Найдйте пло-
3 «Математика в шг.оле* № 6
щадь боковой поверхности цилиндра, полу-
ченного при вращении прямоугольника вокруг
оси, содержащей эту сторону.
Вариант 2
1. Дан шар радиуса R. Плоскость, пересе-
кающая диаметр шара под углом а, делит
этот диаметр в отношении 3: 1. На какие ча-
сти (по площади) разделилась при этом по-
верхность шара?
2. Образующая конуса равна I. В каких
границах находится площадь боковой по-
верхности этого конуса?
Вариант 3
1. Высота шарового сегмента h, дуга в его
осевом сечении равна а. Найдите площадь
поверхности сферического сегмента.
2. Образующая конуса равна I. В каких
границах находится площадь полной поверх-
ности конуса?
Вариант 4
1. Радиус шара 8 м. Какой процент по-
верхности шара виден из точки, удаленной
от центра шапа на расстояние: а) 17 м,
б) 80 м?
2. Стороны прямоугольника относятся как
1 :2. Вычислите отношение площадей пол-
ных поверхностей цилиндров, полученных при
вращении прямоугольника вокруг осей, со-
держащих данные стороны.
Программа по математике
(VIII—XI классы) для школ
(классов) с углубленным
теоретическим и практическим
изучением физики
ОБЪЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Настоящая программа является составной частью ком-
плекта программ для школ (классов) с углубленным
изучением физики. Она ориентирована на утвержден-
ный учебный план, согласно которому на изучение ма-
тематики отводится в VIII классе 6/7 ч в неделю,
в IX —6, в X и XI — по 5 ч. По сравнению с количе-
ством часов, отводимых на изучение математики в об-
щеобразовательной школе, выделяются дополнительно
17 ч в VIII и X классах, 34 ч — в XI.
Отличия настоящей программы от программы массо-
вой школы обусловлены спецификой школ (классов)
с углубленным изучением физики. С целью своевремен-
ного обеспечения курса физики необходимым матема-
тическим аппаратом введен ряд дополнительных волро-
33
сов и отдельных разделов, осуществлены некоторые пе-
рестановки тем и перераспределено учебное время.
Изменения внесены в соответствии с пожеланиями со-
ставителей программы углубленного изучения курса
физики Наиболее существенным представляется сле-
дующее.
1.	В программу курса алгебры IX класса введен раз-
дел «Элементы математического анализа», содержащий
сведения, необходимые для изучения первых разделов
курса физики X класса.
2.	Введена тема «Элементы комбинаторики» (IX класс).
3.	Основой для изучения раздела «Геометрическая
оптика» служат сведения о геометрических преобразо-
ваниях и подобии фигур. Поэтому соответствующие те-
мы сдвинуты в VIII класс.
4.	Введен пропедевтический раздел «Элементы сте-
реометрии» в курсе IX класса, содержащий простейшие
сведения о взаимном расположении прямых и плоско-
стей в пространстве, формулы объемов некоторых тел
и площадей поверхностей.
5.	Курс алгебры и начал анализа содержит тему
«Комплексные числа», дополнительные сведения о диф-
ференциальных уравнениях.
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА
VIII КЛАСС
(6 ч в неделю в I полугодии,
7 ч — во II, всего — 221 ч)
Алгебра
(3 ч в неделю в I полугодии,
4 ч — во II, всею—119 ч)
1 Повторение. Решение задач (10 ч)
2.	Алгебраические дроби (26 ч)
Разложение многочленов на множители способом груп-
пировки применение формул (а±б)3 = а3±3а2б-г3аб2±
±&3, а3±б3= (а±б) (щЧ-аб+б2), квадрата суммы не-
скольких слагаемых, формулы
хп—1 = (х— I) (х'-,+х"-2+ ... +Л-+1).
Алгебраическая дробь. Основное свойство алгебраиче-
ских дробей. Сокращение алгебраических дробей.
Сложение и вычитание алгебраических дробей. Умно-
жение и деление алгебраических дробей. Возведение
в степень алгебраических дробен.
Тождественные преобразования рациональных алгеб-
раических выражений.
3	Расширение понятия числа (8 ч)
Множества и операции над ними.
Натуральные числа.
Величины и их измерение. Задача измерения отрез-
ков. Рациональные числа. Представление рациональных
чисел в виде бесконечных десятичных периодических
дробей.
Доказательство отсутствия рационального корпя урав-
нения х2=2. Иррациональные числа. Действительные
числа и их свойства. Десятичные приближения числа
по недостатку в избытку с точностью до 10~".
4.	Квадратные корни и квадратные уравнения (36 ч)
Функция у=х2 и се график. Квадратные корни и их
свойства Формула 1 хг =|х|. Функция у— уГх и ее
график. Нахождение приближенного значения квадрат-
ного корпя Преобразование выражений, содержащих
квадратные корни.
Квадратные уравнения. Решение квадратного урав-
нения Формула корней квадратного уравнения. Иссле-
дование корней квадратного уравнения по его дискри-
мышшу и коэффициентам. Разложение квадратного
трехчлена на множители. Понятие о комплексных'
числах.
Решение систем уравнений, содержащих квадратные
уравнении.
5.	Степени и корни (12 ч)
Функция у=хП (п — целое).
Корни л-й степени и их свойства. Степень с рацио-
нальным показателем и ее свойства. Преобразование
выражений, содержащих степени и корни.
Понятие о степени с иррациональным показателем.
6.	Уравнения (17 ч)
Рациональные и иррациональные уравнения. Функ-
«/ —
ция у— у х и ее график. Понятие о равносильности
уравнений. Решение рациональных и иррациональных
уравнений. Проверка корней.
Решение текстовых задач с помощью уравнений.
7.	Повторение. Решение задач (10 ч)
Геометрия
(3 ч в неделю, всего—102 ч)
1.	Повторение Решение задач (9 ч)
2.	Четырехугольники (18 ч)
Теоремы об углах с соответственно параллельными
и перпендикулярными сторонами.
Теорема Фалеса.
Параллелограмм и его свойства. Признак^ паралле-
лограмма. Фигуры, симметричные относительно точки.
Прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства. Фи-
гуры, симметричные относительно оси.
Трапеция и ее свойства.
3	Векторы и координаты на плоскости (18 ч)
Скалярные и векторные величины. Примеры вектор-
ных физических величин Свободные, скользящие и за-
крепленные векторы.
Вектор. Длина и направление вектора. Понятие о па-
раллельном переносе. Угол между векторами.
Сложение векторов и его свойства. Правила треуголь-
ника и параллелограмма. Умножение вектора на чис-
ло и его свойства. Коллинеарные векторы.
Прямоугольная система координат на плоскости. Коор-
динаты точки. Проекция вектора на ось. Разложение
вектора. Координаты вектора. Координаты суммы век-
торов, произведения вектора на число. Проекция сум-
мы векторов, произведения вектора на число.
Теоремы о центре масс; приложения.
4.	Метрические теоремы (22 ч)
Теорема Пифагора.
Формула расстояния между двумя точками плоско-
сти с заданными координатами. Уравнения прямой
и окружности.
Синус, косинус, тангенс и котангенс угла. Соотно-
шения между сторонами и углами прямоугольного тре-
угольника. Значения синуса, косинуса, тангенса и ко-
тангенса углов 30е, 45°, 60°.
Скалярное произведение векторов и его свойства.
Формула вычисления скалярного произведения в коор-
динатах.
Применения координат и векторов к решению задач.
5.	Движения (12 ч)
Равенство фигур. Осевая и центральная симметрии,
поворот, параллельный перенос. Понятие об ориента-
ции. Примеры решения геометрических задач с по-
мощью движения.
Примеры фигур, обладающих симметрией. Правиль-
ные многоугольники.
Симметрия в природе, науке, технике, искусстве.
6.	Подобие (16 ч)
Подобие фшур. Гомотетия и ее свойства. Признаки
подобия треугольников. Применения подобия к реше-
нию задач и доказательству теорем.
7.	Повторение. Решение задач (7 ч)
IX КЛАСС
(6 ч в неделю, всего — 204 ч)'
Алгебра
(4 ч в неделю, всего—136 ч)'
1 Неравенства и их системы (24 ч)
Линейное неравенство с одним неизвестным. Число-
вые промежутки. Решение линейных неравенств. Поня-
тие о равносильности неравенств. Решение системы ли-
нейных неравенств с одним неизвестным.
Линейное неравенство с двумя неизвестными, его ре-
шение и геометрическая интерпретация. Система линей-
ных неравенств с двумя неизвестными и ее геометриче-
ская интерпретация. Решение неравенства второй сте-
пени с одним неизвестным.
Задание фигур на координатной плоскости уравне-
ниями и неравенствами.
Решение рациональных неравенств. Метод интер-
валов.
Примеры доказательств неравенств. Примеры реше-
ния систем неравенств с двумя неизвестными.
2.	Функция (26 ч)
Числовая функция. Область определения и область
значений функции. Способы задания функций. График
функции. Возрастание и убывание функций. Четные
и нечетные функции, свойства их графиков. Понятие
об обратной и сложной функции.
Преобразование графиков функций (переносы вдоль
осей, растяжения, «умножение» и «сложение» графи-
ков). Решение задач на исследование функций и по-
строение графиков.
3.	Элементы математического анализа (24 ч)
Приращения аргумента и функции. Задачи, приводя-
щие к понятию производной. Понятие о производной
и дифференциале. Производные мноючленов и рацио-
нальных функций. Знакомство с применениями про-
изводных к исследованию функций и построению
графиков.
Понятие о первообразной и ее основном свойстве.
Первообразные многочленов. Понятие о натуральном
логарифме; первообразная функции j/=
4.	Элементы тригонометрии (30 ч)'
Радианное измерение углов. Синус, косинус, тангенс
и котангенс произвольного угла. Нахождение их с по-
мощью калькулятора. Тождества sin2 a-(-cos2 а— 1,
sin a	cos a
Знаки значений тригонометрических функций. Нахож-
дение значений тригонометрических функций по зна-
чению одной из них.
Формулы приведения. Синус, косинус, тангенс и ко-
там енс суммы и разности двух углов. Синус, косинус,
тангенс и котангенс двойного и половинного углов.
а
Выражение sin a, cos a tg а и etg а через tg-j’. Фор-
мула суммы (разности) синусов и косинусов.
Тождественные преобразования тригонометрических
выражений
Производные тригонометрических функций (сводка
формул, без доказательства).
5.	Прегрессии (6 ч)
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Фор-
мулы n-го члена и суммы п первых членов прогрес-
сий. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
и ее сумма.
6.	Элементы комбинаторики (10 ч)
Основные понятия и принципы комбинаторики. Пра-
вила суммы и произведения. Формулы для числа раз-
мещений, перестановок и сочетаний Понятие о вероят-
ное г н.
7.	Обобщающее повторение курса aioeSpa.
Решение задач (16 ч)
Геометрия
(2 ч в неделю, всего — 68 чj
1.	Элементы стереометрии (10 ч)
Понятие о телах и поверхностях. Прямые и плоско-
сти в пространстве, наглядные представления о взаим-
ном расположении двух прямых и двух плоскостей
в пространстве; параллельность и перпендикулярность
прямой и плоскости, двух плоскостей.
Примеры многогранников (призмы и пирамиды). Раз-
вертка многогранника. Понятие о цилиндре н конусе.
Сфера и шар.
2.	Площади многоугольников (16 ч)
Площадь и ее свойства. Площади прямоугольника,
треугольника, параллелограмма, трапеции.
Решение задач на вычисление площадей многоуголь-
ников; примеры вычисления площадей поверхностей
многогранников.
3.	Длина окружности. Площадь круга (6 ч)
Понятие о пределе последовательности. Длина окруж-
ности, длина дуги. Число л. Площадь круга н ею
частей.
4.	Объемы и площади поверхностей (8 ч)
Понятие об объеме. Формулы для вычисления объе-
ма призмы и пирамиды, цилиндра и конуса, шара (без
доказательства). Площади поверхностей цилиндра, ко-
нуса, сферы. Площадь ортогональной проекции плоской
фигуры (без доказательства).
5.	Решение треугольников (12 ч)
Теоремы синусов и косинусов. Решение треугольников.
Применения алгебры и тригонометрии к решению гео-
метрических задач.
6.	Аксиоматический метод.
Знакомство с геометрией Лобачевского.
Обобщающее повторение курса планиметрии (16 ч)
X КЛАСС
(5 ч в неделю, всего— 170 ч)
Алгебра и начала анализа
(3 ч в неделю, всего — 102 ч)
1.	Введение (12 ч)
Числовые функции и их графики. Элементарное ис-
следование функций. Предел функции на бесконечно-
сти. Наклонные и горизонтальные асимптоты.
Метод математической индукции. Бином Ньютона.
2.	Предел и непрерывность (14 ч)
Числовые последовательности и способы их задания.
Предел последовательности. Существование предела
монотонной ограниченной последовательности (без до-
казательства). Теоремы о пределах последовательно-
стей. Примеры сходящихся и расходящихся числовых
рядов.
Предел функции в точке и его свойства. Теоремы
о пределах. Непрерывные функции и их свойства. Ариф-
метические операции над непрерывными функциями,
свойства функций, непрерывных на отрезке (без дока-
зательства). Теорема об обратной функции.
3.	Производная и ее применения (36 ч)
Производная. Дифференциал функции. Геометриче-
ский и механический смысл производной. Касательная
к графику функции и ее уравнение. Дифференцируе-
мость п непрерывность функции. Производная суммы,
произведения и частного функций. Производная слож-
ной функции. Вторая производная, ее механический
смысл.
Теорема Лагранжа и ее следствия. Исследование
функции на возрастание и убывание. Достаточное усло-
вие экстремума. Исследование функции на выпуклость,
3*
35
Точки перегиба Отыскание наибольших и наименьших
значений функции на промежутке.
Применение производной к построению графиков
функций, приближенным вычислениям, решению задач
иа максимум и минимум. Формула Тэйлора.
4.	Тригонометрические функции (28 ч)
Тригонометрические функции числового аргумента:
синус, косинус, тангенс и котангенс. Преобразование
тригонометрических выражений Свойства и графики
тригойометрических функций. Гармонические колебания
и их графики.
sin х
Предел —~— при х ->- 0. Производные тригономет-
рических функций.
Тригонометрические уравнения и неравенства. Аркси-
нус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Методы
решения тригонометрических уравнений и неравенств.
Обратные тригонометрические функции, их свойства
и графики Производная обратной функции. Производ-
ные ооратных тригонометрических функций.
5.	Повторение. Решение задач (12 ч)
Геометрия
(2 ч в неделю, всего — 68 ч)
1.	Введение в стереометрию (6 ч)
Основные понятия и аксиомы стереометрии. Приме-
ры пространственных фигур. Сечения.
2.	Параллельность прямых и плоскостей (16 ч)
Взаимное расположение двух прямых в пространстве:
пересекающиеся, параллельные, скрещивающиеся пря-
мые. Взаимное расположение прямой и плоскости: пе-
ресекающиеся и параллельные прямая и плоскость.
Признак параллельности прямой и плоскости.
3.	Перпендикулярность прямых и плоскостей (18 ч)
Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак
перпендикулирности прямой и плоскости. Теоремы о па-
раллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
Перпендикулярность плоскостей. Теоремы о парал-
лельности и перпендикулярности плоскостей.
Угол между прямыми. Угол между прямой и пло-
скостью. Двугранные углы. Линейный угол двугранно-
го угла. Многогранные углы.
4.	Многогранники (10 ч)
Параллелепипед. Прямая и правильная призмы, пра-
вильная пирамида, усеченная пирамида. Площадь боко-
вой поверхности правильной призмы, пирамиды.
Задачи на построение сечений многогранников.
5.	Векторы и координаты в пространстве (12 ч)
Векторы в пространстве. Сложение векторов и его
свойства. Умножение вектора на число и его свойства.
Проекция вектора. Разложение вектора. Базис Коорди-
наты вектора. Параметрическое задание прямых и
плоскостей.
Скалярное произведение векторов и его свойства.
Применение векторов к решению задач стереометрии.
Векторное произведение и его свойства; приложения.
Прямоугольная система координат в пространстве.
Уравнения сферы и плоскости. Задание фигур урав-
нениями и неравенствами. Применения координат к ре-
шению задач. Понятие о векторных пространствах.
6.	Повторение. Решение задач (6 ч)
XI КЛАСС
(5 ч в неделю, всего — 170 ч)
Алгебра и начала анализа
(2 ч в неделю в I полугодии,
3 ч — во II, всего — 8э ч)
1. Интеграл. Дифференциальные уравнения (16 ч)
Первообразная (неопределенный интеграл) и ее свой-
ства. Та б, ида первообразных Знакомство с техЦи код
интетрири^аиЕя.
Приме[ ы задач, приводящих к дифференциальному
уравнению. Начальные условия. Уравнения с разделяю-
щимися переменными. Дифференциальное уравнение
гармонического колебания Применения дифференциаль-
ных уравнений.
Площадь криволинейной трапеции. Определенный ин-
теграл. Формула Ньютона — Лейбница. Применения ин-
теграла к решению геометрических и физических задач.
Приближенное вычисление определенных интегралов.
2. Показательная, логарифмическая
и степенная функции (20 ч)
Показательная функция, ее свойства и график. Лога-
рифмическая функция, ее свойства и график. Основные
тождества для показательной и логарифмической функ-
ций. Число е. Натуральные логарифмы. Решение пока-
зательных и логарифмических уравнений и неравенств.
Производные показательной и логарифмической функ-
ций. Радиоактивный распад.
Степенная функция и ее производная. Иррациональ-
ные уравнения и неравенства.
*3. Решение уравнений и систем (10 ч)
Решение логарифмических, показательных, тригоно-
метрических и иррациональных уравнений и их систем.
4. Комплексные числа (18 ч)
Поле комплексных чисел.
Полярная система координат. Геометрическая интер-
претация комплексных чисел. Тригонометрическая фор-
ма комплексною числа. Умножение, деление, возведе-
ние в степень комплексных чисел в тригонометрической
форме. Формула Муавра. Извлечение корней из ком-
плексных чисел. Комплексные корни алгебраических
уравнений.
Понятие об основной теореме алгебры. Применения
комплексных чисел.
5 Обобщающее повторение курса алгебры
и начал анализа. Решение задач (21 ч)
Геометрия
(3 ч в неделю в I полугодии,
2 ч — во II, всего — 85 ч)
1.	Преобразования в пространстве (16 ч)
Движения пространства и их свойства. Параллель-
ный перенос, центральная симметрия, симметрии относи-
тельно прямой и плоскости, поворот пространства; их
свойства.
Понятие об ориентации пространства. Движения пер-
вого и второго рода. Теорема Шаля (без доказатель-
щва).
Симметрии пространственных фигур. Симметрии пра-
вильных многогранников. Виды правильных многогран-
ников. Симметрия в природе, науке и технике.
Преобразования подобия в пространстве. Гомотетия
пространства и ее свойства.
Применение преобразований к решению задач сте-
реометрии. Понятие о группе преобразований.
2.	Тела вращения (20 ч)
Цилиндр и конус. Сечения цилиндра и конуса плоско-
стями. Конические сечения, уравнения эллипса, гипер-
болы, параболы. Понятие о телах и поверхностях вра-
щения. Площади боковой поверхности цилиндра и
конуса.
Шар и сфера. Сечения шара плоскостью. Касатель-
ная плоскость к шару. Элементы сферической геометрии.
3.	Объемы многогранников (20 ч)
Объем; основные свойства объемов. Объемы много-
гранников: прямоугольного параллелепипеда, призмы, пи-
рамиды, усеченной пирамиды. Теорема об отношении
объемов подобных фигур.
4.	Объемы тел вращения (14 ч)
Объемы тел вращения: цилиндра и конуса, шара
н его частей Площадь сферы и ее частей.
5.	Обобщающее повторение курса стереометрии (15 ч)
36
ЭКСПЕРИМЕНТ
Учитывать потребности
курса физики при изучении темы
«Измерение геометрических
величин»
М. Б. Волович
(Москва),
Г. В. Шахбазян
(Ереван)
Измерения — подлинная основа всей физики.
Недаром при изучении физики в VI классе
большое внимание уделяется вопросу об из-
мерениях, причем каждая вновь вводимая фи-
зическая величина (скорость, масса, сила,
давление) рассматривается прежде всего с
точки зрения ее измерения. Вопросы измере-
ния величии играют существенную роль и в
последующих классах, при изучении тепловых,
электрических, оптических и других явлений.
Уже самые первые уроки физики требуют
знакомства с измерением величин. Например,
на с. 5—7 учебника физики для VI—VII клас-
сов (Перышкин А. В., Родина Н. А. М.: Про-
свещение, 1985) говорится об измерении длин,
площадей и объемов, указывается, что из-
мерить какую-либо величину — значит срав-
нить ее с однородной величиной, принятой за
единицу. Вместе с тем о сущности самого
процесса измерения здесь ничего не говорит-
ся. Да и в дальнейшей части курса физики
этот вопрос не уточняется. Такое положение
не случайно: измерение величин — сугубо ма-
тематическая тема. Об этом подробно го-
ворится, например, в статье «Величина»
А. Н. Колмогорова, опубликованной в БСЭ
(3-е изд., т. 4). А. Н. Колмогоров формули-
рует 10 аксиом, которым должны удовлетво-
рять положительные скалярные величины.
Эти аксиомы позволяют доказать основную
теорему об измерении: если в системе поло-
жительных величин выбрать какую-нибудь
величину е за единицу измерения, то любая
величина системы однозначно представляется
в виде ае, где а — положительное, действи-
тельное число.
Сложность математической теории величин
таЛЬва, что ввести ее в курс математики об-
щеобразовательной школы не представляется
возможным. Это бесспорно. Вместе с тем
очевидно и следующее: ничего не говорить о
процессе измерения — значит обеднять мате-
матическую культуру учащихся и не раскры-
вать перед ними физическую картину мира.
Выход из этой трудной в методическом от-
ношении ситуации мы видим в том, чтобы
на конкретных примерах измерения геомет-
рических величин дать учащимся представле-
ние о характере процесса измерения. Учиты-
вая потребности курса физики, сформировать
нужные представления целесообразно перед
тем, как учащиеся приступят к измерению
величин на уроках физики. В связи с этим
полезно, по-первых, обеспечить пропедевти-
ческое знакомство с измерениями величин на
уроках математики в IV—V классах, а во-
вторых, начать систематический курс геомет-
рии с темы «Измерение геометрических ве-
личин». Рекомендуемая перестановка геомет-
рического материала облегчается тем, что
измерение длин, площадей, объемов тради-
ционно считается одним из наиболее про-
стых вопросов школьного курса. Следова-
тельно, он может в самом начале облегчить
адаптацию учащихся к систематическому
курсу геометрии. К тому же эта тема изоли-
рованная, и ее, как мы покажем ниже, мож-
но изложить, опираясь лишь на те знания,
которые учащиеся получили в I—V классах.
Таким образом, вынесение темы «Измерение
геометрических величин» в самое начало си-
стематического курса геометрии не нарушит
цельности и логической последовательности
школьной математики.
Предложения, высказанные выше, были
проверены в экспериментальной работе, ко-
торая проводилась в девяти школах Риги в
1982—1985 гг. под руководством одного из
авторов данной статьи.
Покажем, каким образом может быть орга-
низована пропедевтическая работа в IV—
V классах.
Учителя единодушны: самым трудным в
теме «Измерение геометрических величин»
является переход от одних единиц измерения
площадей к другим. Основные трудности свя-
заны с необходимостью заучивать соотноше-
ния между различными единицами измерения,
при котором невозможно опереться на логи-
ческие связи между заучиваемыми цифрами.
Действительно, как ученик может запомнить,
что в одном квадратном метре 100 квадрат-
ных дециметров, а в квадратном километре
миллион квадратных метров? Вызубрить? Но
педагогами и психологами давно доказано:
зубрежка — самый нерациональный, самый
варварский и непроизводительный способ обу-
чения.
Нужна осмысленная, целенаправленная ра-
бота с подлежащим усвоению материалом,
в ходе которой этот материал запоминается.
Способ такой работы подсказывает физика.
В физике записи АВ — 5 см, S=15 см2, У=
= 11 дм3 считают произведением числа и
наименования. Такое соглашение может по-
казаться математикам весьма странным. По-
этому, чтобы подчеркнуть отличие математи-
ческой точки зрения от физической,- мы будем
37
употреблять слово «произведение» только в
кавычках, когда речь идет о числах и наи-
менованиях. Однако вне зависимости от от-
ношения математиков к такому «как бы про-
изведению» принятое соглашение очень удоб-
но, поскольку позволяет применять законы
действий к «произведению» числа и наиме-
нования.
Пусть, например, длина отрезка PQ рав-
на 5,32 дм. Так как в каждом дециметре со-
держится 10 см, то длина того же отрезка в
сантиметрах равна 5,32-10 = 53,2. Принятое
соглашение позволяет это вычисление запи-
сать так: PQ — 5,32 дм = 5,32-(10 см) =
= (5,32-10) см=53,2 см. Здесь к «произведе-
нию» числа на наименование применен соче-
тательный закон умножения.
Еще пример. Пусть известно, что фигура F.
имеет площадь 3 квадратных дюйма, и тре-
буется узнать ее площадь в квадратных сан-
тиметрах. Зная, что отрезок в 1 дюйм имеет
длину примерно 2,54 см, находим: S—3
дюйма2 = 3- (2,54 см)2 = 3• 2,54-2,54-см-см
=«19,4 см2.	I
Подчеркнем: мы вовсе не настаиваем на
том, чтобы в IV—V классах учитель говорил
что-либо учащимся о «произведении» числа
на наименование. Наоборот, мы даже предо-
стерегаем от этого. Но в то же время хотим
показать, что можно так организовать рабо-
ту, чтобы она фактически превратилась в
оперирование с наименованиями.
Предположим, мы хотим, чтобы учащиеся
IV класса «открыли», сколько в одном квад-
ратном метре квадратных сантиметров. Ра-
бота организуется следующим образом. Уча-
щимся предлагается начертить в тетрадях
квадрат и указывается, что его сторону бу-
дем считать равной 1 м. Требуется найти пло-
щадь этого квадрата, выраженную в квадрат-
ных сантиметрах. Для этого надо знать дли-
ну стороны квадрата в сантиметрах. На сво-
их рисунках учащиеся делают записи: 1 м =
= 100 см. Теперь остается подсчитать площадь
квадрата по привычной формуле S=a2:
100 см -100 см = 10 000 см2.
Точно так же может быть организована
работа при переходе от одних кубических еди-
ниц к другим. Например, чтобы узнать, сколь-
ко в одном кубическом метре кубических сан-
тиметров, можно рассуждать так: 1 м3 — это
объем куба со стороной 1 м, т. е. 100 см.
Найдем объем куба со стороной 100 см по
формуле V = о3:	100 см-100 см-100 см =
= 1 000 000 см3.
Фактическое оперирование с наименования-
ми, подготавливающее учащихся к курсу фи-
зики и вместе с тем облегчающее усвоение
текущего материала, может постоянно осу-
ществляться в IV—V классах. Например,
в ходе знакомства с умножением десятичных
дробей имеет смысл организовать перевод бо-
лее крупных единиц в более мелкие. При
этом заучивание сводится к минимуму: пом-
нить надо только то, сколько раз в одной
единице длины содержится другая единица
длины.
В VI классе эксперимент предусматривал
обобщение уже известных учащимся способов
вычисления длин, площадей и объемов, а так-
же способов перехода от одних единиц к
другим. Теперь уже учащимся сообщалось в
явном виде: с наименованиями в математике
(как и в физике) принято выполнять те же
действия, что и с числами. Это позволило до-
ступно объяснить учащимся один очень важ-
ный факт: отношение длин двух отрезков не
зависит от выбора единицы измерения.
Действительно, если АВ=а см, CD—b см,
то
АВ   а см   а.
CD	b см	b ‘
Здесь произведено «деление» числителя и зна-
менателя дроби на наименование «см», и в
окончательный результат единица измерения
не входит. Такое «деление на наименование»,
как известно, широко используется в физике.
В начале изучения систематического курса
математики может быть дана теория измере-
ния длин и площадей, достаточная не только
для всего последующего курса математики,
но и для физики. Она изложена, например,
в пробном учебнике В. Г. Болтянского, М. Б.
Воловича, А. Д. Семушина «Геометрия для
6—8 классов» (М.: Просвещение, 1979), а так-
же в переработанном, упрощенном и издан-
ном ротапринтным способом варианте этого
учебника, который и использовался для про-
ведения эксперимента.
Изложение рассматриваемого вопроса в
указанных изданиях строится следующим об-
разом.
Вначале вводится понятие единицы изме-
рения длин, или единичного отрезка. В каче-
стве такого отрезка может быть принят л ю-
б о й эталонный отрезок. Если единица дли-
ны указана, то длина любого отрезка Л/( —
это число, которое показывает, сколько раз
единичный отрезок откладывается на ^1/С-
Далее по рисунку демонстрируются не-
сколько случаев соотношения длин единично-
го отрезка MN и измеряемого отрезка АД.
Единичный отрезок может помещаться в из-
меряемом целое число раз, тогда длина из-
меряемого отрезка выражается целым числом
(на рис. 1,п, ЛД=5). Единичный отрезок
может не поместиться в измеряемом целое
число раз (на рис. 1,6, 5<Д/(<6). В изме-
ряемом отрезке могут уложиться несколько
единичных отрезков и еще несколько деся-
38
тых долей этого отрезка (на рис. 1, в, АК~
= 5,7, так как в отрезке FK укладывается
7 десятых долей единичного отрезка). На
рис. 7,г, десятая доля отрезка MN не уложи-
лась целое число раз на отрезке FK, поэтому
5,7 <//<<5,8.
Двойные неравенства, рассмотренные в
связи с рисунками б) иг), дают возмож-
ность ввести понятия о приближениях длины
отрезка с недостатком и с избытком. В слу-
чае б) длина отрезка выражалась с точно-
стью до одной целой, а в случае г) — с точ-
ностью до одной десятой. При необходимости
можно откладывать на получившемся остат-
ке сотую долю единицы измерения. В этом
случае получится длина отрезка АК с точно-
стью до одной сотой. Таким образом можно
измерять длину отрезка АК. с любой точно-
стью.
Описанный подход позволяет обойти труд-
ность, связанную с несоизмеримыми отрезка-
ми. Учащиеся сразу привыкают к мысли, что
при измерении мы чаще всего получаем не
точное число, а приближенное, с той точно-
стью, какая нам необходима. Отсюда же лег-
ко перейти к понятию бесконечной десятич-
ной дроби. Например, в упомянутых пособи-
ях подчеркивается, что процесс измерения
может окончиться через несколько шагов
(и тогда получается конечная десятичная
дробь), но может случиться и так, что про-
цесс измерения приведет к бесконечной деся-
тичной дроби. Например, если точки Р и Q
делят единичный отрезок MN на 3 равные
части (рис. 2), то процесс измерения отрезка
МР приведет к бесконечной десятичной дро-
би, т. е. МР = 0,333...
Важно подчеркнуть, что речь идет о геомет-
рических фигурах: любой геометрический от-
Рис. 2
О
дГ ~р Q //
резок можно мысленно разделить на любое
число сколь угодно мелких частей, в то вре-
мя как никакое изображение отрезка нельзя
разделить, скажем, на миллион равных ча-
стей (не позволят точность измерения ис-
пользуемых приборов и неизбежные погреш-
ности при построениях).
Знакомство с измерением площадей может
быть осуществлено аналогично, только вме-
сто единичного отрезка используется единич-
ный квадрат. Площадь рассматривается как
число, которое показывает, сколько раз еди-
ничный квадрат укладывается в данной фи-
гуре. В качестве инструментов измерения
удобно использовать палетки — прозрачные
сетки квадратов. Допустим, что с помощью
первой палетки, состоящей из единичных квад-
ратов, устанавливается, что 15<5<36, где
S = площадь фигуры F на рис. 3. Пользуясь
второй палеткой с квадратами площадью
0,01, значение S уточняют, например: 21,33<
<S<21,36. Далее следует пояснить, что для
получения более точных значений пришлось
бы взять палетку, разделенную на квадраты
площадью 0,0001, а для дальнейших уточне-
ний— еще более мелкую палетку.
Существенно, что введенные указанным вы-
ше способом понятия длины и площади в
дальнейшем уже не будут переосмысливаться
в школьном курсе математики. Они будут
лишь дополняться конкретным материалом
(например, формулами для вычисления пло-
щадей геометрических фигур). Это дает ре-
альные возможности исключить многие труд-
ности, которые существуют в настоящее
время.
Приведем только один пример: доказатель-
39
ство теоремы о площади прямоугольника в
случае, когда длины сторон прямоугольника
не выражаются натуральными числами. Фор-
мулу для вычисления площади прямоуголь-
ника учащиеся узнают еще в начальной
школе. Позже они пользуются ею и в тех
случаях, когда стороны прямоугольника вы-
ражаются дробными числами, не задумываясь
о том, что когда-то ее вводили только для
тех прямоугольников, у которых длины сто-
рон выражались числами целыми. Обычно
доказательство того факта, что формулу
S^ab можно распространить на любые пря-
моугольники, проводится в VIII классе и яв-
ляется довольно громоздким. Покажем, как
его можно упростить, чтобы иметь возмож-
ность изложить не в конце VIII, а в начале
VI класса.
Рассмотрим случай, когда длина а и шири-
на b прямоугольника — конечные десятичные
дроби, содержащие п и k десятичных знаков.
Пусть, например, n^k. Изготовим мысленно
палетку, состоящую из квадратов, сторона ко-
торых имеет длину
О, 00 . . .01.
п знаков
Ясно, что эта палетка может быть наложена
на прямоугольник ABCD таким образом, что
и вдоль отрезка АВ, и вдоль отрезка AD уля-
жется целое число таких малых квадратов.
Если, например, АВ=3,72 м, AZ) = 5,239 м, то
мысленно накладывается палетка со сторо-
ной квадрата 0,001 м, или 1 мм. Вдоль сто-
роны АВ уляжется 3720 мм1 2, вдоль стороны
AD — 5239 мм2. Остается заметить, что вместо
перемножения длин, выраженных в милли-
метрах, можно перемножать длины, выражен-
ные в метрах, т. е. а и Ь.
Аналогично можно поступить, если а и b —
обыкновенные дроби: эти дроби можно при-
вести к общему знаменателю; построить па-
летку, в которой длина клетки равна 1/п,
где п — общий знаменатель; подсчитать чис-
ло единичных квадратов этой палетки; найги
площадь получившейся фигуры; убедиться,
что эта площадь может быть получена пере-
множением чисел а и Ь,
Например, пусть a—mlk\ b = cld, т. е. а =
=mdlkd, b—cklkd. Строим палетку с длиной
стороны клетки 1/kd. Число таких клеток
равно tnd-ck\ площадь каждой клетки
1
kd-kd'
Следовательно, площадь прямоугольника
равна
, ,	1 тс
Rd • Rd Rd
То же число может быть получено умноже-
нием а на Ь:
т с тс
k ' dkd '
Если числа а и b — бесконечные десятичные
дроби, то можно представить мысленное на-
ложение палеток, у которых длина стороны
равна: единице длины; десятой части единицы;
сотой части; тысячной; десятитысячной и т. д.
Каждый раз будет получаться все более точ-
ное значение площади прямоугольника. И каж-
дый раз площадь будет получаться перемно-»
жением чисел а и Ь, округленных: до единиц;
до десятых; до сотых; до тысячных и т. д.
Это и означает, что самое точное, истинное
значение площади получается, если перемно-
жить числа а и Ь. (Разумеется, это только
пояснение. Если стороны прямоугольника а
и b выражаются бесконечными десятичными
дробями, то строгого доказательства теоремы
о площади прямоугольника без теории преде-
лов дать невозможно.)
Нам кажется, что предлагаемый вариант
изложения решает поставленные в начале
статьи задачи об обеспечении межпредмет-
ных связей курсов математики и физики в
части, касающейся измерения величин. Он
очень прост и не требует дополнительного
расходования времени. Более того, он умень-
шает многие трудности при изучении курса
математики.
В ПОМОЩЬ САМООБРАЗОВАНИЮ УЧИТЕЛЕЙ
Примерные
учебно-тематические планы
и программа курсов повышения
квалификации учителей
математики
«Теория и методика преподавания предмета»1
СПЕЦКУРСЫ И СПЕЦСЕМИНАРЫ
(по выбору слушателей)
Спецсеминар 1. Коммунистическое воспитание
учащихся в процессе обучения математике
^чебно-темагический план
1.	Идейно-политическое воспитание учащихся в про-
цессе обучения математике — 4 ч (2, 2, —) а.
1 Продолжение. Начало см в Ns 5 за 1986 г.
2 Перед скобками указано общее количество часов на
тему, в скобках — количество часов соответственно на
лекции, семинары, практические занятая.
40
2.	Трудовое воспитание.. Профессиональная ориента-
ция учащихся в процессе обучения математике — 2 ч
(-. 2, -)
3.	Нравственное воспитание учащихся в процессе
обучения математике — 2 ч (—, 2, —).
Программа
1.	Идейно политическое воспитание учащихся в про-
цессе обучения математике.
Система работы учителя по использованию материа-
лов XXVII съезда, пленумов ЦК КПСС па уроках ма-
тематики. Методика включения в учебный пропесс по
математике материалов по проблемам ускорения науч-
но-технического прогресса, интенсификации производст-
ва. Использование экономических показателей па уро-
ках математики и во внеурочной работе. Методы орга-
низации работы учащихся по составлению задач на ос-
нове применения статистических данных.
Работа учащихся старших классов с периодической
печатью по анализу статистических материалов. Харак-
теристика возможностей факультативных курсов мате-
матики в политическом просвещении учащихся. Опыт
проведения семинарских занятий по проблемам ускоре-
ния научно-технического прогресса.
2.	Трудовое воспитание. Профессиональная ориента-
ция учащихся в процессе обучения математике.
Задачи учителя математики по подготовке учащихся
к трудовой деятельности, вытекающие из решений
XXVI1 съезда КПСС н Основных направлений рефор-
мы общеобразова 1ельной и профессиональной школы.
Характеристика целей, задач, форм и методов трудо-
вого воспитания учащихся в процессе обучения мате-
матике. Роль математики в общей системе трудового
воспитания школьников. Углубление связей трудового
воспитания с профессиональной ориентацией. Учебный
труд как основной фактор трудового воспитания и под-
готовки к жизни. Формы участия школьников в произ-
водительном труде.
Особенности формирования трудовых навыков при
выполнении практических работ по геометрии. Задачи
с практическим содержанием в формировании устойчи-
вого интереса к общественно полезному труду. Обуче-
ние учащихся практическим приемам общения' с вычис-
лительной техникой как подготовка к деятельности
в различных отраслях современного производства. Ха-
рактеристика видов детского труда на внеклассных за-
нятиях по математике, их образовательно-воспитатель-
ное значение.
Организация, содержание, формы и методы профори-
ентационной работы при обучении математике. Учет
индивидуальных особенношей и возможностей учащих-
ся. Особенности профориентации при обучении основам
информатики и вычислительной техники. Методика ра-
боты учителя по подготовке учащихся к труду в сфере
материального производства. Особенности работы с уча-
щимися по профориентации на сельскохозяйственные
профессии. Подготовка учащихся к выбору педагогиче-
ской профессии.
3	Нравственное воспитание учащихся в процессе
обучения математике.
В. И. Ленин о коммунистической морали. Пути реше-
ния задач воспитания нового человека как творческой,
духовно богатой, гармонически развитой личности, вы-
текающих из материалов XXVII съезда, новой редак-
ции Программы КПСС.
Методика воспита гельной работы с учащимися на
уроках математики. Воспитание у учащихся высоких
 нравственных качеств: трудолюбия, добросовестного от-
ношения к учению, сознательности, исполнительности,
скромности, аккуратности, инициативы. Воспитание
у учащихся потребности в использовании полноценной
аргументации, развитие логической культуры и критич-
ности мышления. Роль этих качеств в формировании
умений вести дискуссию, бороться с негативными явле-
ниями. Характеристика нравственных аспектов форм
контроля и оценки знаний учащихся. Использование
системы самостоятельных работ в самовоспитании
школьника.
Темы для самостоятельных занятий:
Содержание и методика ознакомления учащихся с ма-
териалами статистического характера как средство идей-
но политического воспитания в процессе обучения ма-
тематике.
Воспитательные аспекты методики обучения учащих-
ся доказательству теорем.
Использование задач с практическим содержанием
в организации профессионального просвещения уча-
щихся.
Литература
Блинов Н. М. Контрпропагаида и молодежь. Л.: Лен-
издат, 1986.
Быков В. В., Чернов С. Е. Воспитание у учащихся
бережного отношения к общественному достоянию. М.;
Высшая школа, 1986.
Вайсбург А. А. Организация профориентационной ра-
боты школы, ПТУ, предприятия; Пособие для учите-
ля.— М.: Просвещение, 1986.
Гнеденко Б. В. Воспитание моральных принципов и
математика // Математика в школе. 1984. № 5.
Шуркова Н. Е. Когда урок воспитывает (Нравствен-
ный аспект). М.: Педагогика, 1981.
Спецсеминар 2. Использование
микрокалькуляторов в учебно-воспнтателыюм процессе
по математике
Учебно-тематический план
1. Задачи преподавания математики по реализации
требований реформы школы о внедрении в учебно-вос-
питательный процесс вычислительной техники — 4 ч
(2,	2).
2. Методика применения микрокалькуляторов в
учебно-воспитательном процессе по математике — 4 ч
2, 2).
Программа
1. Задачи преподавания математики по реализации
требований реформы школы о внедрении в учебно-вос-
питательный процесс вычислительной техники.
Постановление ЦК КПСС об ускоренном развитии
вычислительной техники, путях ее внедрения в систему
образования. Развитие микропроцессорной техники и
расширение сферы ее применения.
Типы и классификация микрокалькуляторов (МК), ха-
рактеристика их функциональных возможностей. Кла-
виатура Ввод чисел. Регистры, нх назначение. Точность
вычислений.
Устройство и принципы работы МК арифметическо-
го, инженерного и программируемого типов, методика
их применения в учебно-воспитательном процессе.
Опыт работы учителя математики с родителями по
обеспечению учащихся «домашней» вычислительной тех-
никой.
2. Методика применения микрокалькуляторов в учеб-
но воспитательном процессе по математике.
Методика введения начальных сведений о МК в V—
VI классах. Сочетание различных типов упражнений,
выполнение требований к развитию вычислительных на-
выков учащихся. Вычисления с помощью МК иа уро-
ках алгебры и геометрии в VII—IX классах. Алгорит-
мы вычислений.
41
Функциональные возможности и методика применения
МК «Электроника МКШ 2». Характеристика видов вы-
полняемых операций, составление простейших программ.
Организация вычислений учащихся X—XI классов на
программируемом МК типа «Электроника БЗ-36», «Элек-
троника МК-64». Вычисления в режиме «Автоматиче-
ская работа» н «Программирование». Составление про-
грамм. Углубление межпредметных связей при исполь-
зовании вычислительных средств по физике, химии
и другим предметам.
Обмен опытом работы. Подготовка к изучению ос-
нов информатики и вычислительной техники.
Темы для самостоятельных занятий:
Формирование у учащихся умений и навыков работы
с МК инженерного типа.
Организация и методика проведения уроков мате-
матики в кабинете вычислительной техники.
Формы и методы проведения игр с использовани-
ем МК.
Литература
Кройль Г. Что умеет мой микрокалькулятор. М.:
Мир, 1981
Лодатко Е А Школьнику о вычислениях с микро-
калькулятором: Кн. для учащихся 9—10 классов. М.:
Просвещение, 1985.
Минаева С. С. Вычисления на уроках и внеклассных
занятиях по математике: Пособие для учителя. М.:
Просвещение, 1983.
Чакань А. Что умеет карманная ЭВМ? / Пер. с венг.
М.: Радио и связь, 1982.
Спецсеминар 3. Связь преподавания математики
О основами информатики и вычислительной техники
Учебно-тематический план
1.	Формы н содержание связи преподавания матема-
тики с основами информатики и вычислительной тех-
ники — 4ч (2, 2, —).
2.	Развитие алгоритмической культуры учащихся —
2 ч (-, -, 2).
3.	Применение вычислительной техники в предметах
естественно-математического цикла — 2 ч (—, 2, —).
Программа
1.	Формы и содержание связи преподавания мате-
матики с основами информатики и вычислительной тех-
ники.
Основные виды, содержание и методы осуществления
межпредметных сьязей математики с основами инфор-
матики и вычислительной техники. Углубление матема-
тической подготовки, применение знаний и умений уча-
щихся при формировании основных понятий курса ин-
форматики. Включение в процесс обучения рекоменда-
ций раздела школьной программы по межпредметным
связям.
Совершенствование учебно-воспитательного процесса
по математике па основе использования средств и ме-
тодов вычислительной техники. Вопросы программного
обеспечения
2.	Развитие алгоритмической культуры учащихся.
Последовательное формирование у учащихся алго-
ритмических представлений в процессе изучения мате-
матики. Методика обучения алгоритмам действий с на-
туральными, положительными, отрицательными числа-
ми, обыкновенными и десятичными дробями в V—
VI классах. Использование алгоритмов при изучении
тождеств^йных ’ преобразований выражений, решении
уравнений и неравенств, в организации вычислений,
в' процессе изучения геометрического материала. Виды
алгоритмов, способы их описания и представления.
Развитие алгоритмической культуры учащихся при
изучении основ информатики. Построение алгоритмов
для решения задач Этапы решения задачи на ЭВМ.
Примеры задач из курса математики.
3.	Применение вычислительной техники в предметах
естественно-математического цикла.
Характеристика современных вычислительных средств,
применяемых в учебно-воспитательном процессе школы.
Цели и задачи использования вычислительных средств
в курсах математики, физики, химии, биологии, черче-
ния. Содержание и методика проведения межпредмет-
ных вычислительных практикумов. Практические рабо-
ты учащихся, выполняемые на ЭВМ. Развитие умений
и навыков учащихся в процессе использования вычис-
лительной техники на уроках по естественно математи-
ческим предметам. Роль школы в практическом реше-
нии задач ускорения научно-технического прогресса.
Темы дли самостоятельных занятий:
Воспитательные функции учебной деятельности школь-
ников при изучении основ информатики и вычислитель-
ной техники.
Пути осуществления системы межпредметных связей
в процессе применения современных вычислительных
средств.
Организация внеклассной работы учащихся.
Литература
Гиглавый А. В. Згут М. Я., Кравчук Т. П. Учим ра-
ботать с ЭВМ: Пособие для учителя. М.: Просвещение,
1984.
Криницкий Н. А. Алгоритмы вокруг нас. М.: Наука,
1984
Машбиц Е. И. Компьютеризация обучения: проблемы
и перспективы. М.: Знание, 1986.
Салтыков А. И., Семашко Г. Л. Программирование
для всех. М.; Наука, 1985.
Спецкурс 4. Научно-технический прогресс
и математика. Вопросы прикладной математики
Учебно-тематический план
I.	Концепция ускорения научно-технического прогрес-
са в материалах партийных документов—2 ч (2, —, —).
2.	Экономическое воспитание учащихся в процессе
обучения математике—2 ч (—, 2, —).
3.	Математические модели и их применение — 8 ч
.(4, 2. 2)
4.	Методы решения задач оптимизации— 12 ч (6,4,2).
Программа
1.	Концепция ускорения научно-технического прогрес-
са в материалах партийных документов.
XXVII съезд КПСС об ускорении социально эконо-
мического развития страны как стратегическом курсе.
Задачи КПСС по качественному преобразованию мате-
риально-технической базы народного хозяйства. Пути
ускорения научно-технического прогресса, его приори-
тетные направления. Электронизация и роботизация
современного производства Внедрение микропроцессор-
ной техники и ее использование в народном хозяйстве,
управлении, проектировании, научных исследованиях.
Подготовка подрастающих поколений к использованию
вычислительной техники, практическое осуществление
задач компьютеризации школы.
42
2.	Экономическое воспитание учащихся в процессе
обучения математике.
Цели и задачи экономического воспитания учащихся
в современной школе. Методы ознакомления с материа-
лами XXVII съезда КПСС, с основными направлениями
социально-экономического развития страны на уроках
и во внеклассной работе по математике. Формирование
у школьников экономического стиля мышления в про-
цессе изучения математики: рационализация (вычисле-
ний, преобразований и др.); сравнение вариантов ре-
шения задач, выбор нанлучших результатов в зави*
симости от менякщихси условии; анализ развития
народного хозяйства по статистическим данным.
Примеры решения задач на оптимизацию с практи-
ческим содержанием.
Система работы учителя по воспитанию у учащихся
бережливости, хозяйского отношения к социалистиче-
ской собственности, высокой сознательности.
3.	Математические модели и их применение.
Понятие математической модели. Соответствие мате-
матической модели изучаемому объекту. Развитие
и уточнение математической модели. Реализация мате-
ма гической модели с помощью ЭВМ. Примеры мате-
матических моделей, применяемых в физике, экономи-
ке, биологии. Вычислительный эксперимент и его осо-
бенности. Методика изучения сложных объектов с по-
мощью вычислительного эксперимента. Решение задач
на основе применения ЭВМ.
Теоретико-вероятностные модели. Основные теоремы
о вероятностях. Условные вероятности. Случайные ве-
личины и их числовые характеристики. Распределения
вероятностей. Применения теории вероятностей в науке
и технике. Элементы теории надежности.
Использование математических моделей в школьном
обучении.
4.	Методы решения задач оптимизации.
Пети и задачи оптимизации. Понятие целевой функ-
ции. Примеры одномерных задач оптимизации и методы
их численного решения метод равномерного распреде-
ления точек по отрезку; метод распределения точек по
отрезку, учитывающий результаты вычисления целевой
функции; специальные методы. Понятие о многомерных
задачах оптимизации и методах их решения.
Задачи оптимизации в экономике. Общая задача ли-
нейного программирования. Транспортная задача. За-
дача о назначениях. Симплекс-метод решения задач
линейного программирования Применение ЭВМ в ре-
шении задач оптимизации. Примеры задач из школь-
ной практики.
Темы для самостоятельных занятий:
Ознакомление учащихся на уроках математики с проб-
лемами ускорения научно технического прогресса.
Примеры математических моделей, изучаемых в школь-
ном курсе математики.
Обучение математическому моделированию на уроках
информатики и вычислительной техники.
Литература
Васильев Ю К. Экономическое образование н воспи-
тание учащихся. М.: Педагогика, 1983.
Гнеденко Б. В . Соловьев А Д. Математика и тео-
рия надежности. М.: Знание, 1982.
Гнеденко Б В Математика и математическое обра-
зование в современном мире. М.. Просвещение, 1985.
Гнеденко Б В . Хинчин А. Я. Элементарное введение
в теорию вероятностей. М.: Наука, 1982.
Моисеев Н. П. Математика ставит эксперимент. М.:
Наука, 1979.
Монахов В. М., Беляева Э. С., Красне р И. Я. Мето-
ды оптимизации: Применение математических методов
в экономике: Пособие для учителя. М.: Просвещение,
1978.
Тихонов Л. Н„ Костомаров Д. П Вводные лекции по
прикладной математике. М.: Наука, 1984.
Спецкурс 5. Особенности учебного процесса
в вечерней школе
Учебно-тематический план
1.	Современные требования к совершенствованию
учебно-воспитательного процесса в вечерней школе —
4 ч (2. 2, —).
2.	Особенности учебных планов и программы по ма-
тематике для учащихся вечерней школы — 2 ч (2.—,—).
3.	Требования к уроку математики. Лекционно семи-
нарские и зачетные занятия — 4 ч (2, 2, —).
4.	Групповые и индивидуальные консультации в заоч-
ной форме обучения — 4 ч (2, 2, —).
5.	Система руководства самостоятельной работой уча.
щихся — 2 ч (—, 2, —).
6.	Виды повторения, его организация и методика —
2 ч (-, -, 2).
7.	Планирование результатов обучения. Формы учета
и оценки знаний. Повышение качества знаний учащих-
ся — 2 ч (2, —, —).
8.	Конференция по обмену опытом преподавания
избранных тем курса математики X—XII классов — 4 ч
.(- 2, 2).
Программа
1.	Современные требования к совершенствованию
учебно-воспитательного процесса в вечерней школе.
Пути коренного улучшения работы вечерней школы
в свете реализации требований XXVII съезда КПСС,
Основных направлений реформы общеобразовательной
и профессиональной школы. Поиск новых путей разви-
тия системы непрерывного образования трудящихся
Совершенствование деятельности по комплектованию и
сохранению контингента, улучшению посещаемости
учебных занятий. Усиление воспитательной и культур-
но-просветительной функций вечерней школы, сочета-
ние и взаимосвязь школьных и внешкольных форм
учебно-воспитательной работы.
Система работы учителя по формированию у учащих-
ся диалектико-материалистического мировоззрения в
процессе изучения математики. Анализ трудовой дея-
тельности учащихся, воспитательная роль труда. Прак-
тическое участие взрослых учащихся в выполнении ре-
шений XXVII съезда КПСС, в ускорении социально-
экономического развития страны Использование пока-
зателей выполнения народнохозяйственного плана в эко-
номическом воспитании учащихся. Воспитательные функ-
ции применения производственного материала в учеб-
ном процессе. Углубление содержания и форм идейио-
политического воспитания. Особенности нравственного
и семейного воспитания взрослых учащихся. Идеологи-
ческое воспитание учащихся. Формирование потребно-
сти в знаниях, готовности к самообразованию и само-
воспитанию, ответственности за результаты обучения
в школе.
Совмещение общего образования с повышением про-
фессиональной квалификации. Прогноз путей развития
школы взрослых.
2.	Особенности учебных планов и программы по ма-
тематике для учащихся вечерней школы.
Особенности учебных планов для вечерней школы, их
многообразие и вариативность, учитывающие условия
обучения взрослых учащихся. Анализ учебных планов
по математике для очной и заочной форм обучения.
Факультативные курсы.
Цели и задачи математического образования в ве-
43
черней школе. Анализ программы по математике, ее
основных отличий от программы общеобразовательной
щколы. Требования к математической подготовке уча-
шихся
Учебники и методическая литература, анализ их осо-
бенностей и роли в совершенствовании учебно-воспита-
тельного процесса по математике. Система планирова-
ния учебного материала по математике в различных
формах обучения.
3.	Требования к уроки математика. Лекционно семи-
нарские и зачетные занятия.
Характеристика системы учебных занятий в очной
форме обучения. Взаимосвязь уроков и индивидуаль-
ных (зачетных) консультаций. Анализ требований к уро-
ку математики в вечерней школе. Планирование учи-
телем образовательных, воспитательных, развивающих
целей уроков. Структура и типы уроков математики
в вечерней школе. Особенности содержания и методики
проведения уроков на этапах вводного и заключитель-
ного повторения. Лекционно-семинарские формы учеб-
ных занятий.
Выбор методов обучения в соответствии с целями,
содержанием, уровнем подготовленности учащихся. Со-
вершенствование методов проведения уроков в усло-
виях применения зачетной формы учета знаний уча-
щихся.
Усиление индивидуализации и дифференциации в ус-
ловиях обучения в вечерней школе. Способы осущест-
вления дифференцированного подхода к учащимся на
уроке. Учет психологических особенностей усвоения ма-
тематических знаний взрослыми учащимися.
Подготовка к сдаче зачетов, проведение обобщающих
зачетных занятий.
4.	Групповые и индивидуальные консультации в заоч-
ной форме обучения.
Взаимосвязь основных звеньев учебного процесса
в заочной форме обучения: самостоятельная работа уча-
щихся групповые и индивидуальные консультации, за-
четы. Требования к отбору материала для групповой
консультации: теоретическое и практическое значение
темы в формировании и развитии знаний, умений и на-
выков учащихся; анализ воспитательных возможностей;
степень трудности для самостоятельного изучения; од-
нотипность по структуре и способам действий; форми-
рование и развитие приемов учебной деятельности и др.
Типы групповых консультаций: вводно-установочиые;
изложение нового материала, тренировочные; заключи-
тельное повторение и систематизация знаний.
Роль индивидуальных консультаций в достижении це-
лей обучения математике, в повышении качества знаний
учащихся. Отбор содержания для индивидуальной кон-
сультации. Специфика методов индивидуальной работы
с учащимися на консультациях. Методы закрепления
материала с различными группами, разъяснение наибо-
лее трудных вопросов темы, подготовка к зачету. При-
менение гибких форм и методов индивидуальной ра-
боты. Система использования различных типов дидак-
тических материалов. Закрепление приемов самостоя-
тельной работы учащихся
Воспитательная роль групповых и индивидуальных
консультаций.
5.	Система руководства самостоятельной работой уча-
щихся.
Характеристика содержания, видов и методики само-
стоятельной работы учащихся на уроках, групповых
н индивидуальных консультациях. Развитие методов са-
мостоятельной деятельности в условиях очного и заоч-
ного обучения, моральио-волевой готовности учащихся.
Система работы учителя по подготовке учащихся ве-
черней школы к самообразованию.
Роль дидактических и зачетных материалов в осу-
ществлении дифференциации и индивидуализации при
подготовке и проведении самостоятельной работы уча-
щихся. Анализ способов руководства самостоятельной
деятельностью с помощью специальных заданий для
учащихся. Содержание и структура заданий: задания
по работе с учебником; описание способов действий;
вопросы для самопроверки; указания по подготовке
к зачету. Роль инструктивно методических материалов
в педагогическом руководстве самостоятельной рабо-
той учащихся-заочников. Организация, содержание н
методика домашней самостоятельной работы учащихся
в различных формах обучения. Воспитательные функ-
ции самостоятельной работы.
6.	Виды повторения, его организация и методика.
Содержание и методика вводного повторения, систе-
ма опорных знаний, умений и навыков по математике
в X—XII классах. Обобщение и систематизация знаний
учащихся в процессе повторения. Роль текущего повто-
рения в преемственности изучения материала, в ликви-
дации пробелов в знаниях учащихся, в формировании
приемов систематизации знаний
Организация заключительного повторения по зачет-
ным разделам курса. Методика проведения заключи-
тельно-обобщаюших уроков и групповых консультаций.
Особенности методики заключительного повторения при
подготовке учащихся к экзаменам. Планирование учи-
телем содержания и видов повторения учебного мате-
риала в различных формах обучения.
7.	Планирование результатов обучения. Формы учета
и оценки знаний. Повышение качества знаний учащихся.
Требования к знаниям и навыкам как планируемые
результаты обучения. Характеристика особенностей уче-
та и оценки знаний в различных формах обучения,
применение зачетной системы. Виды и функции теку-
щего контроля и учета знаний учащихся на уроках.
Особенности применения текущего учета и контроля
знаний иа групповых и индивидуальных консультациях.
Группировка материала в зачетные разделы. Характери-
стика зачетных разделов по алгебре и началам анализа
и геометрии в X—XII классах Планирование зачетов,
их виды. Требования к подютовке и проведению за-
четов.
Оценка знаний учащихся. Роль контрольных работ
в системе учета и оценки знаний учащихся. Требования
к содержанию, подготовке и проведению контрольных
работ. Рецензирование зачетных контрольных работ.
Соотношение письменных и устных ответов, требования
к развитию устной и письменной речи. Совершенство-
вание методов оценки и пути повышения качества зна-
ний учащихся в различных формах обучения.
Темы для самостоятельных занятий:
Пути коренного улучшения качества обучения и вос-
питания учащихся вечерней школы.
Методика взаимосвязи преподавания математики
с производительным трудом учащихся.
Совершенствование методики проведения уроков, груп-
повых и индивидуальных консультаций в системе учеб-
ных занятий.
Специфика системы учета и контроля знаний учащих-
ся вечерней школы.
Литература
Индивидуализация и дифференциация обучения в ве-
черней школе/Под ред. Г. Д. Глейзера. М.: Просве-
щение, 1985.
Кулюткин Ю И. Психология обучения взрослых. М.:
Просвещение, 1985.
Малахов И. Д Педагогические основы среднего об-
разования взрослых. М.: Просвещение, 19S5.
Онушкин В. Г. Образование взрослых в СССР:, со-
стояние и перспективы//Вечерняя средняя шкода. 1985.
№ 2 '
Пути улучшения качества знаний учащихся вечерних
школ / Под ред. Е. В. Першаниной. М.; Просвещение,
1985.
Тонконогая Е. П. Дидактические особенности урока
в вечерней школе. М.: Просвещение, 1984.
Спепсемииар 6. Методическая работа.
Изучение и обобщение передового опыта
преподавания математики
Учебно-тематический план
1.	Пути совершенствования методической работы
в свете требований реформы школы о качественно но-
вом уровне обучения и воспитания учащихся — 2 ч
(2. - -).
2.	Виды основных умений аналитического содержа-
ния, методика их совершенствования — 2 ч (—, —, 2).
3	Методика изучения передового педагогического
опыта учителей математики — 2 ч (2, —, —).
4.	Мегодика анализа собственного опыта, его соот-
несение с передовым опытом—2 ч (—, 2, —).
5.	Роль педагогической и методической литературы
в раскрытии идей передового опыта — 2 ч (—, 2, —).
6.	Самообразование учителя математики—2 ч (2, —, —).
Программа
1.	Пути совершенствования методической работы
в свете требований реформы школы о качественно но-
вом уровне обучения и воспитания учащихся.
Отбор содержания и форм организации методической
работы учителя на основе учета требований реформы
школы о качественно новом уровне обучения и воспи-
тании учащихся. Изучение нормативных документов
о структуре, ор!анизации и содержании методической
работы в школе и в районе. Роль методической работы
в повышении идейно-теоретического, научно-методиче-
ского и профессионального мастерства, в формирова-
нии творческого потенциала учителя математики. Ор-
ганизация и планирование работы методического объе-
динения.
Разнообразие форм организации методической рабо-
ты в школе и в районе. Усиление роли опорных школ
в совершенствовании работы районных методических
объединений Изучение, обобщение и распространение
передового опыта учителей математики по реализации
реформы школы.
2	Виды основных умений аналитического содержа-
ния, методика их совершенствования.
Приемы анализа урока по математике. Основные на-
правления анализа, цели урока и результаты их до-
стижения, деятельность учителя и учащихся на уроке;
применение методов, развивающих самостоятельность
и творческую активность учащихся; соотношение меж-
ду элементами урока, рациональное использование вре-
мени урока; домашнее задание и методика его про-
верки; обучение учащихся решению задач, доказатель-
ству теорем; результативность урока. Выбор схемы
анализа урока в зависимости от целей его посещения.
Подготовка открытых уроков и других форм учебных
занятий, требования к их проведению и анализу. Схемы
анализа контрольных работ по математике, формы обоб-
щения результатов их выполнения учащимися. Основ-
ные направления анализа учебно-воспитательного про-
цесса по математике. Сочетание анализа и самоанали-
за в деятельности учителя.
3.	Методика изучения передового педагогического
опыта учителей математики.
Выбор проблемы для изучения передового педаго-
гического опыта учителя школы, района. Критерии
оценки передового опыта; научность, актуальность, но-
визна, результативность, стабильность результатов пре-
подавания.
Изучение системы работы учителя, выявление твор-
ческих элементов опыта. Эффективность учебно-воспи-
тательной деятельности учителя. Формы обобщения
и распространения передового опыта; устная или пись-
менная информация, выступление на методическом
объединении, в печати. Картотека передового опыта.
Творческий поиск учителя. Новаторский опыт, его
особенности. Методы изучения и внедрения опыта пе-
редовых учителей.
4.	Методика анализа собственного опыта, его соот-
несение с передовым опытом.
Особенности системы работы учителя по подготовке
уроков и внеклассных занятий. Анализ учителем своей
деятельности и результатов проведения уроков, вариа-
тивность методики проведения уроков, внеклассных
форм работы Соотнесение опыта учителя с передо-
вым опытом, пути его реализации в педагогической
практике учителя. Творческое отношение к передовому
опыту, его обогащение и развитие.. Формы передачи
опыта учителя мастера молодому учителю.
5	Роль педагогической и методической литературы
в раскрытии идей передового опыта.
Синтез педагогической науки и практики как условие
формирования передового опыта. Ознакомление учите-
ля с научно-педагогической и методической литературой
по проблемам повышения качества обучения и воспи-
тания, оптимизации и интенсификации учебного процес-
са, современного урока, методики изучения математики
по усовершенствованным программам Изучение мето-
дической литературы, обобщающей опыт учителей ма-
тематики, ее оценка, применение рекомендаций в прак-
тике.
Использование статей журналов «Математика в шко-
ле», «Народное образование», «Информатика и образо-
вание», «Вечерняя средняя школа» при изучении пере-
дового опыта преподавания математики.
6.	Самообразование учителя математики.
Самообразование как составная часть непрерывного
совершенствования профессионального мастерства учи-
теля Содержание, формы и методы самообразователь-
ной деятельности. Развитие самообразовательных уме-
ний учителя. Методы работы с источниками информа-
ции Руководство самообразованием и обобщение опы-
та самообразования учителей школьными и районными
методическими объединениями. Связь курсов повышения
квалификации учителей с самообразованием. Творческое
развитие учителя в процессе повышения квалификации.
Темы для самостоятельных занятий:
Содержание и методы работы школьного методиче-
ского объединения учителей математики.
Роль самообразования в повышении профессиональ-
ного мастерства учителя.
Взаимосвязь содержания, методов и форм повыше-
ния квалификации учителей математики.
Литература
Журавлев В. И. Взаимосвязь педагогической науки
и практики. М.; Педагогика, 1984.
Вонаржевский Ю. А. Педагогический анализ учебно-
воспитательного процесса й управление школой. М.; Пе-
дагогика, 1986.
Стратилатов П. В. Система работы учителя матема-
тики. Методические рекомендации по организации учеб-
ного процесса. М.: Просвещение, 1984.
Типовое соложение о методическом кабинете район-
45
него, городского, окружного отдела (управления) на-
родного образования//Народное образование. 1985.
№ 10.
Примерная тематика для самостоятельных занятий
в межкурсовой период
Развитие математики в Советском Союзе (на приме-
ре развития отдельных областей математической науки).
Основные мировоззренческие идеи курса математи-
ки (на примере одной из тем).
Опыт работы учителя по формированию научного ми-
ровоззрения у учащихся (на примере конкретной темы).
Методика изучения историко-математических сведе-
ний на уроках, факультативных занятиях н во вне-
классной работе.
Воспитание диалектико-материалистического мышле-
ния школьников при обучении математике (на примере
темы).
Система работы учителя по использованию материа-
лов XXVII съезда КПСС в учебно-воспитательном про-
цессе по математике.
Идейно-политическое воспитание учащихся в процес-
се обучения математике.
Опыт работы учителя по подготовке учащихся к тру-
довой деятельности, к жизни.
Опыт нравственного воспитания учащихся на уроках
и внеклассных занятиях по математике.
Опыт работы учителя по патриотическому и интерна-
циональному воспитанию учащихся.
Методика воспитания у учащихся научных убеждений.
Формы работы учителя по атеистическому воспита-
нию учащихся
Методика работы учителя по воспитанию у учащихся
инициативы и трудолюбия при изучении математики.
Методика работы учителя по воспитанию логической
культуры и критичности мышления школьников при
изучении курса геометрии.
Роль логического развития учащихся в воспитании
потребности в аргументах и доказательности, обосно-
ванности суждений.
Система работы учителя по воспитанию у учащихся
ответственности за результаты обучения.
Методика ознакомления учащихся с основными на-
правлениями ускорения социально-экономического и
научно-технического прогресса.
Экономическое воспитание учащихся на уроках и
вйеклассиой работе.
Примеры применения методов математики в эконо-
мических исследованиях.
Система внеклассной работы по математике.
Отражение методов математики в школьном курсе
(на примере темы).
Аксиомы школьного курса планиметрии, методика их
изучения.
Аксиомы школьного курса стереометрии, методика
их изучения
Современные требования к повышению эффективности
уроков по математике.
Организация, содержание и методика проведения
школьной лекции.
тематика и методика проведения семинарских за-
нятий.
Пути совершенствования учета, контроля и оценки
знаний учащихся.
Система работы учителя по формированию учебных
навыков учащихся.
Развитие познавательной и творческой деятельности
учащихся в процессе обучения математике.
Связь преподавания математики с основами инфор-
матики н вычислительной техники.
Разработка и методика применения алгоритмов при
изучении математики.
Воспитание алгоритмической культуры учащихся на
уроках математики.
Применение калькуляторов иа уроках математики,
физики, химии.
Организация вычислительных практикумов по мате-
матике с использованием калькулятора.
Формирование умений и навыков работы учащихся
с вычислительной техникой на уроках и внеклассной
работе.
Оборудование кабинета математики вычислительны-
ми средствами.
Роль изучения вычислительной техники в ориентации
учащихся на выбор математических профессий.
Методика профориентации учащихся на сельскохозяй-
ственные профессии.
Методика профориентации учащихся на учительскую
профессию.
Методика работы учителя математики с родителями
учащихся по вопросам семейного воспитания.
Содержание и методика идеологической работы учи-
теля среди учащейся молодежи и населения.
Литература
Маркс К., Энгельс Ф. О воспитании и образовании:
В 2 т. М.: Педагогика, 1978.
Ленин В. И. Очередные задачи Советской власти //
Поли. собр. соч. Т. 36. С. 165—194.
Ленин В. И. Набросок плана научно-технической ра-
боты // Поли. собр. соч. Т. 36. С. 228—231.
Программа Коммунистической партии Советского
Союза: Новая редакция. М.: Политиздат, 1986.
Материалы XXVII съезда КПСС. М.: Политиздат,
1986.
Горбачев М. С. Политический доклад Центрального
Комитета КПСС XXVII съезду Коммунистической пар-
тии Советского Союза. М.: Политиздат, 1986.
Основные направления экономического и социальною
развития СССР на 1986—1990 годы и на период до
2000 года. М : Политиздат, 1986.
Материалы Пленума Центрального Комитета КПСС,
23 апреля 1985 г. М.: Политиздат, 1985.
О реформе общеобразовательной и профессиональ-
ной школы Сборник документов и материалов. М.: По-
литиздат, 1984.
Горбачев М. С. Избранные речи и статьи. М.: Полит-
издат, 1985.
Проект ЦК КПСС: Основные направления перестрой-
ки высшего и среднего специального образования
в стране//Правда. 1986. 1 нюня.
Научно-теоретическая подготовка
Абоненты вычислительных центров коллективного
пользования / Под ред. Ф. И. Перегудова. М.: Финан-
сы и статистика, 1984.
Абрамов С. А. Элементы программирования. М.: Нау-
ка, 1982.
Алгебра и теория чисел / Под ред. Н. Я Виленкина.
М.: Просвещение, 1984.
Барабашев А. Г. Диалектика развития математиче-
ского знания (закономерности эволюции способа систе-
матизации). М.: Изд-во МГУ, 1983.
Баррон Д. Введение в языки программирования / Пер.
с англ.; Под ред. Ю. М Байковского. М.: Мир, 1980.
Беляев Е А.. Перминов В. Я. Философские и мето-
дологические проблемы математики. М,- Изд-во МГУ,
1981.
Берже М. Геометрия. В 2 т./Пер. с фр. М.: Мир,
1984.
Болтянский В. Г, Ефремович В. А. Наглядная топо-
логия. М.: Наука, 1982.
Бугров Я. С.. Никольский С М. Дифференциальное
в интегральное исчисление. М . Наука, 1984.
Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.: Наука,
1981.
Вострикова 3. П. Программирование на языке ас-
семблер ЕС ЭВМ. М.: Наука, 1985.
46
Гильберт Д.. Бернайс П. Основания математики: Тео-
рия доказательств М. Наука, 1982.
Глушков В. М. Кибернетика. Вопросы теории и прак-
тики. М.: Наука, 1986.
Грис Д. Наука программирования / Пер. с англ. М.:
Мир, 1984.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Сов-
ременная геометрия: Методы и приложения М.: Нау-
ка, 1986.
Дьяконов В. П. Справочник по расчетам на микро-
калькуляторах. М.: Наука, 1985.
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического
анализа. Ч. 1. М.: Наука, 1982.
Каргаполов М И., Мерзляков Ю. И. Основы теории
групп. М.: Наука, 1982.
Келли Д. Л. Общая топология. М.: Наука, 1981.
Легкое Ю. Л. Программирование на Бейсике. М.: Ста-
тистика, 1978.
Колмогоров А Н., Журбенко И. Г., Прохоров А. В.
Введение в теорию вероятностей. М.: Наука, 1982.
Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра
и геометрия М.: Наука, 1986.
Кудрявцев Л. Д. Современная математика и ее пре-
подавание. М.: Наука, 1985.
Лорин Г. Распределенные вычислительные системы /
Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1984.
Маджинис Д. Ж- Программирование на стандарт-
ном Коболе/Пер. с англ. М.: Мир, 1979.
Майерс Г. Архитектура современных ЭВМ: В 2 т./
Пер. с англ. М.: Мир, 1985.
Математическая энциклопедия В 5 т. М : Советская
энциклопедия, 1976—1985.
Математическое моделирование: Процессы в сложных
экономических и экологических системах / Редкол.:
А. А. Самарский и др М.: Наука, 1986.
Марков А. А.. Нагорный И М. Теория алгоритмов
М.: Наука, 1984.
Методологические и теоретические проблемы форми-
рования коммунистического мировоззрения школьни-
ков/Под ред. Э. И. Моносзона, Р. М. Роговой. М.:
Педагогика, 1984.
Панов М. И. Методологические проблемы интуицио-
нистской математики. М.: Наука, 1984.
Петров Ю. Е. Диалектика научных абстракций в ма-
тематическом познании. М.: Изд-во МГУ, 1986
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное
исчисления для втузов. Учебное пособие В 2 т. М .
Наука, 1985.
Погорелов А. В. Геометрия: Учебное пособие для
вузов. М.: Наука, 1984.
Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные
уравнения. М.: Наука, 1982.
Рыбников К. А. Очерки методологии математики М.:
Знание, 1982.
Рыбников К. А. Программа по истории математики
с элементами методологии//Математика в школе. 1985.
№ 3.
Сидоров Ю. В., Федорюк М. В, Шабунин М. И. Лек-
ции по теории функций комплексного переменного. М.:
Наука, 1982.
Скорняков Л. А. Элементы теории структур. М.: Нау-
ка, 1982.
Сосонкин В. А. Микропроцессорные системы числово-
ю программированного управления станками. М.: Ма-
шиностроение, 1985.
Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г.
Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.
Трошин В. Л1. Основы программирования и вычис-
лительная техника. М Высшая школа, 1983.
Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984
Философские проблемы естествознания / Под ред.
С. Т. Мелюхина. М.. Высшая школа, 1985.
Черняк Н. Г., Буравцева И. Н.. Пушкина И. М. Ар-
хитектура вычислительных систем н сетей. М.: Финан-
сы и статистика, 1986,
Шемакин Ю. И. Введение в информатику. М.: Фи-
нансы и статистика, 1985.
Методическая подготовка
Амонашвили Ш. А. Воспитательная и образователь-
ная функция оценки учения школьников. М.: Педаго-
гика, 1984.
Атутов П. Р Политехническое образование школьни-
ков: сближение общеобразовательной и профессиональ-
ной школы. М.: Педагогика, 1986.
Бабанский Ю. К- Оптимизация учебно-воспитательно-
го процесса: Методические основы. М.; Просвещение,
1982.
Бабанский Ю. К- Методы обучения в современной об-
щеобразовательной школе. М.: Просвещение, 1985.
Болтянский В. Г. и др. Оборудование кабинета ма-
тематики: Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1985.
Бондаревский В. Б. Воспитание интереса к знаниям
и потребности в самообразовании: Кн. для учителя.
М.: Просвещение, 1985.
Брудно А. Л., Каплан Л. И. Олимпиады по програм-
мированию для школьников. М.: Наука, 1985.
Васильева Э. К Семья в социалистическом общест-
ве. М Мысль, 1985.
Виленкин Н И Функции в природе и технике М.:
Просвещение, 1985.
Вицлак Г. Оценка поведения и характеристика уча-
щегося: Кн. для учителя / Пер. с нем. М.; Просвеще-
ние, 1986.
Возняк Г. М., Гусев В. А. Прикладные задачи на
экстремумы в курсе математики 4—8 классов- Книга
для учителя. М.: Просвещение, 1985.
Воспитание сознательной дисциплины и культуры по-
ведения школьников / Под ред. И. С. Марьенко. М.:
Просвещение, 1982.
Гнеденко Б. В Формирование мировоззрения учащих-
ся в процессе обучения математике, М.: Просвещение,
1982.
Горская Г. И., Чуракова Р. Г. Организация учебно-
воспитательного процесса в школе. М.: Просвещение,
1986
Гребенников И. В. Школа и семья Пособие для учи-
теля. М.: Просвещение, 1985.
Громцева А. К. Формирование у школьников готов-
ности к самообразованию. М.: Педагогика, 1983.
Доблаев Л. П Смысловая структура учебного тек-
ста и проблемы его понимания. М Педагогика, 1982.
Ершов Л. В Райхмист Р Б. Построение графиков
функций М.: Просвещение, 1984.
Звенигородский Г. А. Первые уроки программирова-
ния. М.: Наука, 1985.
Зверев И. Д, Максимова В. Н. Межпредметные свя-
зи в современной школе. М.: Педагогика, 1981.
Ирошников Н. П. Организация обучения математике
в 4—5 классах сельской школы. М.: Просвещение, 1982.
Калугин Н. И.. Сазонов А. Д., Симоненко В. Д. Про-
фессиональная ориентация учащихся М.: Просвещение,
1983
Клайн М. Математика. Утрата определенности. М.:
Мир, 1984.
Коллективная учебно-познавательиая деятельность
школьников. М.: Педагогика, 1985.
Кондратенков А. Е. Труд и талант учителя: Встречи.
Факты. Мысли Книга для учителя М.: Просвещение,
1985.
Конжиев Н. М. Система военно-патриотического вос-
питания в общеобразовательной школе. М.: Педагогика,
1986
Конфорович А. Г. Атеистическое воспитание в про-
цессе преподавания математики. М.: Педагогика, 1984.
Крупская Н. К. О политехническом образовании, тру-
довом воспитании и обучении / Сост. Ф. С. Озерская.
М.: Просвещение, 1982.
Кузнецова Л. В. Истоки гражданственности. М: Пе-
дагогика, 1986.	U:: '<
47
Леонтьева М. Р., Суворова С. Б. Упражнения в об-
учении алгебре. Пособие для учителя. М.; Просвеще-
ние, 1985.
Лихачев Б. Т. Воспитательные аспекты обучения М.:
Просвещение, 1982.
Математика в понятиях, определениях и терминах.
Ч. 2 / Под ред. Л. В. Сабинина. М.: Просвещение, 1982.
Махмутов М. И. Современный урок. М.: Педагогика,
1985.
Методика преподавания математики в средней школе:
Общая методика / Сост.: Р. С. Черкасов, А. А. Столяр.
М.: Просвещение, 1985.
Методика факультативных занятий в 7—8 классах.
Избр вопросы математики: Пособие для учителей/
Сост И. Л. Никольская, В. В. Фирсов. М : Просвеще-
ние 1981.
Методика факультативных занятий в 9—10 классах:
Избр. вопросы математики: Пособие для учителей /
Сост. И. Л. Никольская, В. В. Фирсов. М.: Просвеще-
ние, 1982
Нагибин Ф. Ф Канин Е. С Математическая шкатул-
ка Пособие для учащихся. М. Просвещение, 1984.
Об изучении материалов XXVI1 съезда КПСС в учеб-
ных предметах общеобразовательной школы//Матема-
тика в школе. 1986. № 4.
Основы информатики и вычислительной техники:
Пробное учебное пособие для средних учебных заве-
дений / Под ред. А П Ершова, В. М. Моиахова. Ч. I,
II М Просвещение, 1985—1986
Онищук В. А. Урок в современной школе: Пособие
для учителя. М.: Просвещение, 1986.
Педагогика / Под ред. Ю. К. Бабанского, Т. Нойнера.
М.: Просвещение, 1983.
Петраков И. С Математические олимпиады школьни-
ков М.: Просвещение, 1982.
Повышение вычислительной культуры учащихся М.:
Просвещение, 1985.
Политическая учеба учителей. Организация и мето-
дика: Учебное пособие/Под ред. Ф. Г. Паначнна,
В Т. Петрова. М.. Мысль, 1984.
Проблемы единого уровня общеобразовательной под-
готовки учащихся в средних учебных заведениях: На
примере дисциплин естественно-математического цик-
ла/Под ред. В. М. Монахова. М.: Педагогика, 1983.
Растригин Л А. Вычислительные машины, системы,
сети... М.. Наука, 1982.
Романов Г. М, Туркина Н В, Колпащиков Л. С. Че-
ловек и дисплей Л : Машиностроение, 1986.
Самостоятельная деятельность учащихся при обуче-
нии математике (формирование умений самостоятель-
ной работы): Сб. статей. М.: Просвещение, 1985.
Синица И. Я. Педагогический такт и мастерство учи-
теля. М.: Педагогика, 1983.
Скульский Р. П Учиться быть учителем М.: Педа-
гогика, 1986.
Совершенствование содержания образования в шко-
ле/Под ртд. И. Д. Зверева. М. II. Кашина. М: Педа-
гогика, 1985.
Современные проблемы методики преподавания мате-
матики/Сост. Н. С. Антонов. В. А. Гусев. М.: Про-
свещение. 1985.
Соединение трудового обучения и воспитания уча-
щихся с производительным трудом / Под ред Л. П. Ши-
ло. М.: Просвещение, 1983
Спирин Л. Ф„ Конаныхин П. В. Идейно-политиче-
ское воспитание школьников / Под ред. Г. Н. Филонова.
М. Просвещение, 1982.
Теоретические основы содержания общего средне-
го образования / Под ред. В. В Краевского, И Я- Лер-
нера. М.. Педагогика, 1983.
Филонов Г. Н. Воспитание личности школьника. М.:
Педагогика, 1985.
Фомченко А С. Дорофеев Г. В Примерные учебно-
тематический план и программа раздела «Теория и ме-
тодика -преподавания предмета» курсов Тйувишеиия
квалификации учителей математики//Математика в
школе, 1981, № 5, 6.
Фридман Л. М. Психолого педагогические основы
обучения математике в школе: Учителю математики
о педагогической психологии М : Просвещение, 1983
Фридман Л. М. Учитесь учиться математке. М.. Про-
свещение, 1985.
Фройденталь Г Математика как педагогическая зада-
ча: Пособие для учителей. Ч. 1, II / Пер. с нем под
ред. Н. Я Виленкина М.: Просвещение, 1982—1983
Харламов И. Ф Нравственное воспитание школьни-
ков. М.: Просвещение, 1983.
Цыпкин А. Г. Справочник по математике для сред-
них учебных заведении / Под ред. С. А. Степанова М.;
Наука, 1983
Шамова Т И. Активизация учения школьников М.;
Педагогика. 1982.
Шемякин В. П. Экономическое воспитание школьни-
ков: Вопросы теории и методики. М.: Педагогика. 1986.
Щербаков С. Г. Решения XXVII съезда КПСС — в
жизнь!//Сов. педагогика 1986. № 3.
Экономические проблемы научно-технического прог-
ресса ' Под ред. П. А. Краюхина М; Экономика, 1984.
Энциклопедический словарь юною математика Для
среднего и старшего школьного возраста. М.: Педагоги-
ка, 1985.
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
О взаимосвязанных
геометрических задачах
Н. С. Мельиик
(г. Гайсин Винницкой обл.)
Известно, что многие задачи геометрии взаимосвяза-
ны, т. е. решения их строятся на одной общей идее.
К сожалению, специфика школьного курса, и в первую
очередь его насыщенность, не позволяют в полной мере
раскрыть перед учащимися эту особенность геометриче-
ских задач. Большие возможности в данном отношении
имеют внеклассные занятия, в частности математические
кружки, где ученики не только углубляют свои знания,
но и приобретают определенные навыки методов реше-
ния задач.
Приведем пример такой работы.
С учащимися была разобрана следующая задача:
«Дан треугольник АВС и произвольная точка простран-
ства Р Доказать, что
Рвг=~^ (РАг + РВ, + РС,)—-^-(АВ’‘АВСг+СА'), (1)
где G — точка пересечения медиан (центроид) тре-
угольника»
Решение. Поскольку G — центроид треугольника
АВС, то
PG = "g* (РА +РВ-Р PC). Отсюда
PG’ = -у- (РА1 + РВг + РС* + 2РА -~РВ 4-
+ 2РА - PC + 2РВ • PC).	(2)
После возведения каждого из равенств АЕ = РВ—
—РА, ВС—PC—РВ, СА = РА—PC в квадрат и даль-
нейших преобразований получим
2РВ РА-Р2РС РВ+2РА  РС=^2(РА3+РВ^+
+РС2)—(АВ!>+ВС2+СА^.	(3)
48
Из равенств (2) и (3) следует доказываемое равенст-
во (1).
Заметим, что рассмотренная задача допускает ряд
следствий. Приведем некоторые из них.
1)	Если а. Ь. с — длины сторон треугольника АВС,
та — длина его медианы, то
та = ~ '/•2. (Ь2 ~ с2) — а2.
Действительно, если точка Р совпадает с вершиной
А и С—центроид треугольника АВС, то равенство (1)
примет следующий вид:
AG2 = -у-(0’ 4- Ь2 4- с’)—-у (а‘ 4- Ь2 4- с’), или
AG2 = -^-(b‘ +c2)-^- а2.
2	4,2
Поскольку AG =— та, то	= у (^2 + ^’).~
1	* гт
— -у- а2. Отсюда находим та.
2)	Высота правильного тетраэдра, ребро которого
а if ь
а, равна .
Указание. Пусть точка Р — одна из вершин тет-
раэдра. В равенстве (1) положить РА—РВ — РС—
=АВ—АС=ВС=а.
3)	Для любого треугольника АВС имеет место ра-
венство
a!+b2+c2=3 (GA 24- GB24- GC-),
где а, Ь, с — длины сторон, G — центроид треугольника.
Указание. В равенстве (1) достаточно принять,
что точка Р совпадает с точкой G.
Далее с учащимися была рассмотрена серия задач,
при решении которых используется равенство (1), т. е.
идея, положенная в основу решения разобранной зада-
чи. Предлагаем вниманию читателей некоторые из них.
1.	В треугольнике АВС медианы, проведенные к
сторонам АС и ВС, взаимно перпендикулярны. Дока-
зать, что а~А-Ь-=Зс2, где а, Ь, с — длины сторон тре-
угольника.
Для решения задачи можно воспользоваться след-
ствиями 1) и 3), а также теоремой Пифагора.
Замечание. Воспользовавшись этой задачей,
можно решить следующую: «Медианы треугольника
АВС, проведенные из вершин А и В, взаимно перпенди-
кулярны. Найти площадь треугольника АВС, если АВ =
=-с,	(Ответ: S Л АВС—с2 tg у).
2.	Дан треугольник АВС. Найти такую точку О, что-
бы сумма ОА2+ОВ2-)-ОС2 принимала наименьшее зна-
чение.
Для решения этой задачи достаточно применить ра-
венство (1) и учесть, что для данного треугольника
a24-b24-c2=const. (Ответ: искомая точка — центро-
ид треугольника АВС.)
3.	В окружность вписан треугольник АВС. Прямая,
Содержащая медиану CCi треугольника, пересекает
окружность вторично в точке D. Доказать, что СА2+
+СВ2^=2СС,СП.
Решение. Точку Р возьмем в вершине С. Если
G — точка пересечения медиан треугольника, то равен-
ство (1) запишем так (см. рис.):
CG’ = -у (О’ 4- СА’ 4- СВ2) — -^-(СА2 4- СВ24- АВ2).
2
Но CG = -у CClt поэтому
СА2 + СВ2 = -~ АВ- 4- 2СС? .	(4)
По теореме о пропорциональных отрезках в круге,
имеем
СС,С,О = ACtCtB ИЛИ СС^СО—СС,) = -у АВ2.
Отсюда
~АВ2+ ДХ? = 2CC.CD,	(5)
Из равенств (4) и (5) следует справедливость доказы-
ваемого равенства.
4	Доказать, что есаи G — центроид треугольника
АВС, а Р — произвольная точка пространства, то
РА ?-ррв2-рРС2=ЗР654-Л G2+BG2+CG2.
(Доказываемое утверждение — теорема Лейбница.)
3
Указание. Принять во внимание, что mo=-y4G,
3	3
nib=~BG, mc=~Y CG’ и воспользоваться равенст-
вом (1) и следствием 3.
5.	Ребра DA, DB, DC тетраэдра взаимно перпендику-
лярны, и их длины равны соответственно а, Ь, с. Най-
ти длину медианы тетраэдра, проведенной из верши-
ны D. (Медиана тетраэдра — отрезок прямой, соединя-
ющий вершину тетраэдра с точкой пересечения меди-
ан противопо полной ей грани.) (Ответ: ma =
= -у а2 + Ь‘ а с‘ .)
6 Длины ребер равногранного тетраэдра равны а, Ъ
и с. Найти длину медианы этого тетраэдра. (Равно-
гранным тетраэдром называется тетраэдр, все грани
которого — равные треугольники.) (О т в е т: /па =
=-у /2 (д’4- 6’4-с2)-)
7. Дана сфера с центром О и радиусом R В сече-
ние сферы плоскостью вписан треугольник АВС, длины
сторон которого а, Ь, с. Найти расстояние от центра
сферы до центроида G треугольника АВС. (Ответ;
-уу^9Д’ — (аа л- Ьг 4- с2).^
Конечно, все рассмотренные задачи можно решить и
другими способами Мы же пытались продемонстриро-
вать возможность раскрыть перед учащимися своеобра-
зие общности геометрических задач.
Каждый учитель при желании может дополнить пред-
ложенные в статье задачи или составить по своему ус-
мотрению новые серии задач, объединенных общей
идеей решения. Надеемся, что приведенный ниже спи-
сок литературы окажет учителю в этом помощь.
Герасимова И. С. и др. Сборник задач по геометрии
для 9—10 классов. М.: Просвещение, 1977. (С. 11—16,
54—60.)
Готман Э. Г., Скопец 3. А. Решение геометрических
задач аналитическим методом. Пособие для учащихся
9—10 классов. М.. Просвещение, 1979. (С. 56—76).
Гусев В А и др. Сборник задач и упражнений по
геометрии для 6—8 классов Пособие для учителей. М.:
Просвещение, 1975. (С. 43—45.)
Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. Л. Новые встречи с
геометрией / Под ред. А. П. Савина М.: Наука, 1978.
49
Сборник конкурсных задач по математике для посту-
пающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. М.: Выс-
шая школа, 1980. (С. 413—423.)
Туманов С И. Поиски решения задач. М.: Просве-
щение, 1969. (С. 206—266.)
Фетисов А. И. Геометрия в задачах. М.: Просвеще-
ние, 1977, (С. 27—35.)
Об одном методе
нахождения расстояния и угла
между скрещивающимися прямыми
И. Ф. Шарыгин
(Москва)
На вступительных экзаменах по ,.математике в внешне
учебные заведения достаточно часто встречаются за-
дачи, в которых требуется иайтн расстояние или угол
между скрещивающимися прямыми. Поскольку построе-
ние общего перпендикуляра к заданным в условии за-
дачи прямым в большинстве случаев затруднительно,
учебные пособия рекомендуют для нахождения искомо-
го расстояния различные искусственные приемы. Не опи-
сывая все известные приемы, обратим внимание лишь
на один способ нахождения расстояния между скре-
щивающимися прямыми, который, несмотря на свою
очевидность, малоизвестен, хотя в ряде случаев весьма
эффективен.
Предлагаемый способ основан на следующем утверж-
дении: «Расстояние между скрещивающимися прямы-
ми равно расстоянию от точки, являющейся проекцией
одной из данных прямых на перпендикулярную ей плос-
кость, до проекции другой прямой на эту же плос-
кость».
Другими словами, если It и (2— две скрещивающи-
еся прямые (рис. 1), L — плоскость, перпендикулярная
одной из них, например 1\, точка А — проекция прямой
I, на плоскость L, прямая Г2 — проекция прямой /2 на
плоскость L, то расстояние между прямыми Ц и /2
равно расстоянию от точки А до прямой Z'j. При этом
общий перпендикуляр между прямыми 1\ и /2 проекти-
руется в перпендикуляр, проведенный из точки А на
прямую 1'2.
Высказанное утверждение достаточно очевидно. Что-
бы убедиться в его справедливости, можно, например,
провести через прямую /2 плоскость П, параллельную
прямой Тогда прямая есть линия пересечения
плоскостей L и П.
Предложенная конструкция позволяет находить и угол
между скрещивающимися прямыми: если а — угол меж-
ду прямыми 1\ и 12, а р — угол между прямой /2 и
г	П	П X	К
Плоскостью L ( рис. 1, а > ₽ -С “у, то а =-	—
— р. Таким образом; взяв иа прямой Z, отрезок дли
ной d и найдя d’— длину его проекции на плоскость L
d'
получим sin а = —.
прямой А,В, то
прямоугольнику
lj,_ следователь-
катеты
В'!С' =
Решим две задачи.
1. Найти расстояние между скрещивающимися диаго-
налями двух соседних граней куба с ребром 1.
Решение. Рассмотрим куб АВСОА^С^. Будем
искать расстояние между прямыми Л,В и В,С (рис. 2,а).
Спроектируем куб на плоскость, проходящую через точ-
ку В и перпендикулярную диагонали А,В (рис. 2,6;
проекции вершин куба на этом рисунке обозначены
так же, как и его соответствующие вершины, но с до-
бавлением «штриха»). Задача сводится к нахождению
расстояния от точки В' до прямой B'tC'. Поскольку
плоскость ABiCiD перпендикулярна i
прямоугольник А'В'^С'^Ь' равен i
ABtCiD. Но В' — середина отрезка А'В‘
но, в прямоугольном треугольнике B'B'tC‘
B'B'i и В'С равны соответственно ——— и ]
= у/-|-. Если В'М — высота, проведенная
нузе В\С', то В'М =
В' в',-В'С'
1,
к
гипоте-
1
/3
проведем обший ,	„
и В, С, то он спроектиру-
проектировании отношение
одной прямой, сохраняется,
В' С
Замечание. Если мы
куляр между прямыми А [В
ется в В'М. Поскольку при
отрезков, расположенных на
то общий перпендикуляр между прямыми Д|В и В{С
перпепди-
делит отрезок BtC в отношении
В, М
. Последнее
1
отношение легко вычисляется, оно равно "ту. В таком
же отношении делится общим перпендикуляром и
диагональ BAt.
2. В основании пирамиды SABC лежит равносторон-
ний треугольник АВС, длина стороны которого равна
4^2 Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости
основания и имеет длину 2. Найти величину угла и
расстояние между скрещивающимися прямыми одна из
которых проходит через точку S и середину ребра ВС,
а другая через точку С и середину ребра АВ
Решение. На рис. 3, а изображена данная пира-
мида, D и Е — соответственно середины ребер АВ и
СВ. Спроектируем пирамиду на плоскость, перпендику-
лярную CD (рис. 3.6)' можно считать, что она со-
держит ребро АВ При этом CD спроектируется в точ-
50
ку D', точка Е — в Е'— середину отрезка B’D'. Оче-
видно, B'D'= В' А' = BA = 2y^2,S'D'±A'B' и
S'D'=SC—2.
Искомое расстояние равно расстоянию от точки D
до прямой S'E', т е, равно высоте в прямоугольном
треугольнике S’D’E', проведенной к гипотенузе S'E'.
Имеем:
E'D' - /Г, S'E' = / (S'D'V + (E'D')1 = /б.
Итак, искомое расстояние равно
S'D' • E'D' __ 2-^2	2	.
S'E'	у/ g -у/ 3
Поскольку
SE = V SC’ + С£’ - V"\2,
то можем найти а — искомый угол между прямыми SE
и CD;
S'E'	/б	л
sin сс = 'ёс  = —т-=- = —г,—, т. е. а = -т~.
SE	У 12 .	2	4
Задачи для самостоятельного решения
1	Основанием пирамиды SABC является равнобед-
ренный прямоугольный треугольник АВС, длина гипо-
тенузы АВ которого равна 4 у^2. Боковое ребро пира-
миды SC перпендикулярно плоскости основания и его
длина равна 2. Найти величину угла и расстояние меж-
ду скрещивающимися прямыми, одна из которых про-
ходит через точку S и середину ребра АС, а другая че-
рез точку С и середину ребра АВ. (Ответ:
к 2	\
' V s /
2.	Дан куб ABCDAxBiC^D^ с ребром 1, Е — середина
ребра ВВ;. Найти угол и расстояние между прямыми
AiB и ЕС. (Ответ: arcsin • "З*")
3.	ABCD — правильный тетраэдр с ребром 1. Найти
угол и расстояние между прямой, проходящей через
точку А и середину ребра ВС, и прямой, проходящей
через верг’чну D и середину ребра АВ. (Ответ:
уЗЬ 1/ 2 \
arcsin —— ,	35-J
ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ СТРАНИЦА
В мире интересных
числовых конструкций
Б. А. Кордемский
(Москва)
abc = ab2— с2
Это уравнение с тремя целыми неизвестными (0<"а^9,
0^6^9, О^с^Э) неожиданно легко решается. Рас-
сматривая уравнение
100с-Ы064-с= (lOa-f-б)2—с2
как квадратное относительно Ь, получаем
b = 5 — 10а + уГ с2 + с 4- 25.
Единственное подходгйцее значение с=7 и далее а=1,
6 = 4. Значит, есть лишь одно трехзначное число (147),
обладающее свойством: 147 = 14*—72.
А. Маматкулов (колхоз «Москва», Андижанская обл.,
УзССР) показал, что это свойство «наследственно» пе-
редается четырем множествам чисел, порожденным из
числа 147 вставкой между его цифрами серий других
определенных цифр, а именно:
13...346...67 = 13...342 — 6...672;	(1)
п п	п	п
148,.	.48484.. .847 = 148...4842 — 84.. ,8472;	(2)
я лар я пар	я пар	п пар
134683. . .4683468346. . .83467 =
п раз по 4 цифры п раз по 4 цифры
^134683.;. .468342—68346, . .834672;	(3)
л раз по 4 цифры	л раз по 4 цифры
13...346...683...346...683...346...67 =
п п п п п п
= 13...346...683...34’—6...683...346...672.	(4)
л л л	я я л
Левую часть каждого тождества обозначим буквой А,
правую — буквой В.
Доказательство тождества (1):
А = 13.. .34-10"+1 + 6.. .67 = 6.. ,67-(2-10”+1 + 1);
л	п	п
В = (13...34 — 6...67) -(13...34 + 6^67) =
п	п	п	п
= 6...67-20...01 =6...67-(2-10п+1+ 1).
я я	я
Совпадение результатов выполненных преобразований
доказывает справедливость тождества (1).
Доказательство тождества (2):
А = 148...48 — 1 = 104п+2 + 48...48— 1 =
2я+1 пар	2и+1лар
= Ю4я+2	48 (104П + 104”~2 + . . . + 1С2 + 1) — 1 =»
В = ( 148... 484 — 84... 847) •( 148...484 + 84... 847) =
л пар	я пар	л лар	л пар
51
•=»63.. .637-23.. .31 -ь (-рр • 9...9-10+ 7) (2-102л+1 +
п пар 2п	2п
1	\	7
+ =-9... 9-10 + 1) - ~т-(102п+,+ l)-(7-102n+1—7)-
О у. —ж »	z	оо
2л
= ^-(104п+2-1).
Частные случаи тождеств (1) и (2) при п = 1:
13 467=1342—672; 1 484 847 = 14842—8472.
Изобретательно развивая примененный прием преоб-
разований, А Маматкулов доказал тождества (3) и
(4), приведя левую (А) и правую (В) части этих тож-
деств к виду:
13 467
Л=В = +)«_ г-(10	— О - для тождества (3)
А=В = -^~ -(4-1С^"+6 + 4-10s”+5 + 5-1О4”+4 +
+ 4-103п+3 + 5-102/!+2 + 4-10n+K + 1) — для тожде-
ства (4)
Хорошая задача для любознательных: самостоятель-
но пройти путь преобразований А. Маматкулова или
найти собственный для доказательства тождеств (3)
и (4).
Успех достигается вычитанием
Утверждение Н. И. Бовсуновского (Математика в
школе. 1985. Ns 3. С. 49) о неразложимости число-
вых «фигурок» вида ааа па сумму квадратов нату-
ральных чисел, образующих арифметическую прогрес-
сию, остается иеопровергвутым, если предполагать все
слагаемые положительными.
Однако пришел и успех в построении желаемых
конструкций, как только учитель средней школы Ns 12
г. Тирасполя И. С. Зельцер позволил себе привлечь
в качестве слагаемых отрицательные числа. Возникли
три «фигурки» вида ааа-.
111=472—372—272, d= —10 (d— разность арифмети-
ческой прогрессии 47,37., 27),
222 = 542—412—282—152—22, d=—13;
555 = 282— 152—22 (= 502—372—242), d=—13.
«Урожайной» оказалась разность d——13
Пополнилась и коллекция двузначных «фигурок»
(аа):
1 1 = 142—1 12—82, d=—3;
44 = 282—222—162, d=—6;
55 = 92—52—12(=152—IP—72), d=—4;
88 = 562—432—302—172, d=—13;
«9 = 16г— 112—6» ( = 14 2—92—42), d=— 5;
99=422—332—242, d=—9.
Из двузначных «фигурок» остались пока неприступ-
ными только две — 22 и 33.
Магические треугольники
Если девять первых натуральных чисел (1—9) рас-
положить в форме треугольника так, что образуется
одна и та же сумма k (константа треугольника) вдоль
каждой из его сторон, то такой числовой треугольник
называют магическим.. Возможны треугольники с раз-
личными значениями k, н возникает несложная, но
увлекательная для школьников исследовательская зада-
ча: доказать, что для k нет иных значений, кроме 17,
19, 20, 21, 23, и построить треугольники (кто больше?),
обладающие каждой из возможных констант.
Прелесть конструкции усиливается при попутном воз-
никновении дополнительных констант. Таковы, напри-
мер, некоторые из магических треугольников, прислан-
ных в редакцию Ф. Ф. Егоровым (с. Мордово. Тамбов-
ская обл.) (рис. 1 и 2). Для треугольника на рис. 1
основная константа *=2+9+4+5=5+6+1+8=8+3+
Рис. 1
Рис. 2
+7+2=20; дополнительные константы а) 22+92+4г+
+52 = 52+ 62+12+ 82 = 82+32+72 + 22= 126; б) (по внут-
ренним треугольникам) 2+9+4+3+7 = 5 + 4+9+1+6 =
= 8+1 + 6+7+3 = 25, 22+92+4г+32+72 = 52+42+9г +
+ 12+62=82+12-|~б2+72+32= 159; в) (по внутренним
пятиугольникам) 2+Э+7+6+1 =5+4+6+7+3 = 8+ 1 +
+3 + 4 + 9 = 25.
На рис. 2—магический треугольник из чисел 1—6
и 13—15, уплотненный магическим треугольником из
чисел 7—12. Основные константы: для внешнего тре-
угольника — *,=3+13+6+1 = 1+15+5+2=2+14 +
+ 4+3=23, для внутреннего треугольника — *2=9+
+ 11+7=7+12+8=9+10+8=27; дополнительные кон-
станты: *, = 3+13+9+4 = 6+1 + 7+15 = 14+5+8 +
+2=29, *4=3+7+8=2+9+7=1+9+8=18. *5=3+
+ 11 + 10=2+10+12=1 + 11 + 12 = 24, *6 = 9+ 10+11 =
=8+10+12=7+11+12=30, *7=13+11 + 12+5=15+
+ 12+10+4=6+11 + 10+14 = 41, *8=3+13+5+2 = 2 +
+ 14+6+1 = 1 + 15 + 4 + 3 = 23, *9 = 3+13+4+15 + 5 =
= 1+6+15 + 4+14 = 2+14+5+13+6 = 40.
По предварительному подсчету Ф Ф. Егорова, мож-
но сформировать около 30 различных уплотненных ма-
гических треугольников из чисел 1—15. обладающих
константами указанного вида. Так ли это?
Информатика помогает математике
В. Г. Болтянский (Москва)
В заметке Б А. Кордемского, помещенной в этом но-
мере журнала, рассматриваются задачи, в которых
(с учетом тех или иных логических соображений) осу-
ществляется перебор трехзначных чисел, позволяющий
найти число, обладающее требуемым свойством (или
убедиться, что таких чисел нет). Перебирать «вруч-
ную» все трехзначные числа (и для каждого из них
проверять, удовлетворяет оно требуемому условию или
нет) — дело очень трудоемкое. В связи с этим логиче-
ские соображения, позволяющие отсеять подавляющее
большинство трехзначных чисел, как явно не удовлетво-
ряющих требуемому условию по тем или иным призна-
кам, играют очень важную роль. Однако отыскать та-
кие логические соображения, как правило, нелшко,
и это делает задачи перебора сложными и приближаю-
щимися к задачам олимпиадного типа.
Вместе с тем современная вычислительная техника
позволяет решать многие математические задачи совер-
шенно иными путями, заменяющими отыскание слож-
ных логических соображений весьма несложным про-
граммированием и делающими творческую, нестандарт-
ную задачу совершенно обычной. Так, первая задача,
рассмотренная в заметке Б А. Кордемского. решается
‘(на алгоритмическом языке Бейсик) с помощью следую-
щей программы:
52
10	FOR	A = 1	TO	9
20	FOR	В = 0	TO	9
30	FOR	C = 0	TO	9
40	Q =	100 • A 4-	10*	В 4-
50 Р = 1С*А + В
60 IF Q = P*P — С* С THEN PRINT О
70	NEXT	С
80	NEXT	В
90	NEXT	А
100	END
Поясним эту программу. Строки 10 и 90 означают,
что осуществляется цикл (перебор) по А от 1 до 9,
т. е. сначала компьютер принимает А=1 и производит
операции, указанные в строках 20—80, затем компьютер
принимает А = 2 и снова производит для этого значе-
ния операции 20—80 и т. д.
Далее, строки 20 и 80 означают осуществление еще
одного цикла (внутреннего по отношению к первому
циклу) по В от 0 до 9. Наконец, строки 30 и 70 ука-
зывают внутренний цикл по С от 0 до 9. Таким обра-
зом, компьютер будет перебирать все тройки А, В, С,
где 0<Аг^9, 0«gZ?<g9, 0^С^9. Для каждой из этих
троек выполняются действия, указанные в строках
40—60. Действия эти следующие.
Мы полагаем (для испытываемой тройки А, В, С)
Q=100*A4-10*B + C, Р=10* А+В
(звездочка означает умножение). Далее (строка 60),
ЕСЛИ Q — P2—С2, т. е. число Q удовлетворяет постав-
ленному требованию, ТО НАПЕЧАТАТЬ Q. Если же
условие Q = P2—С2 невыполнено, то строка 60 игнори-
руется, т. е. число Q не печатается, и компьютер пере-
ходит к испытанию следующей тройки.
Наконец, строка 100 — конец программы.
Если набрать эту программу (работая в режиме ин-
терпретатора языка Бейсик), а затем набрать директи-
ву RUN, означающую указание совершить «пробежку»
(прогон) программы, то через несколько секунд на
дисплее появится запись;
100
147
READY
Иначе говоря, компьютер нашел два числа, удо-
влетворяющих поставленным требованиям (в заметке
Б. А. Кордемского первое из них потеряно), и подтвер-
дил готовность к дальнейшей работе. Других решений
поставленная задача не имеет.
Задача Н. И. Бовсуновского, указанная в заметке
Б А. Кордемского, также несложно решается с по-
мощью компьютера. Вот соответствующая программа
10	FOR	A = 1	TO	9
20	FOR	Al = 1	TO	31
30	FOR	D = 1	TO	31—M
40	s - 0			
50	FOR	N = 1	TO	30
60	S = S	4- A1*A1		
70 IF	S=111*A THEN PRINT Al, D, N
80 IF S>111*A	GO TO 110
9J Al = At 4- D
DO	NEXT	N
110	NEXT	D
DO	NEXT	Al
130	NEXT	A
140	END
Здесь А меняется от 1 до 9 (строки 10 и 130).
и потому стоящее в строках 70 и 80 выражение 111 * А
пробегает значения ill, 222, ..., 999. Далее, внутрен-
ний цикл (по А от 1 до 30 — строки 50—100) означа-
ет, что значение S (первоначально равное 0 — стро-
ка -40)' «накапливает» сумму квадратов членов ариф-
метической прогрессии. Именно сначала S получает
значение Мг (строка 60), затем к Af прибавляется D
(т. е. новое значение М равно старому его значению
плюс D — строка 90); после этого цикл повторяется,
т. е. к S прибавляется квадрат нового значения М, так
что теперь уже S=Af2-f- (M+D)1. Затем М снова уве-
личивается на D, т е. S становится равным А42-{-
4-(Al-|-£>)24-(Af-|-2£>)2, и т. д. И каждый раз, если
окажется, что S (т. е. сумма квадратов членов арифме-
тической прогрессии) равна 111* А, то должны быть
напечатаны М, D, N (строка 70), т. е. первый член,
разность и число членов прогрессии. Предназначение
строки 80 в том, чтобы зря не «мучить» компьютер:
если сумма S уже больше 111* А, то дальнейшее при-
бавление квадратов бессмысленно. Перебор осущест-
вляется по всем М, D, N (т. е: по всем арифметическим
прогрессиям, члены которых не превосходят 31, так как
322 уже больше 1000).
Через полминуты компьютер, работавший по этой
программе (10 000 ООО'“Тактовых импульсов в секунду),
дал ответ
READY
т. е. прогон программы закончился, ни одно число
не было напечатано (и компьютер подтвердил готов-
ность к дальнейшей работе). Этим было доказано, что
утверждение Н. И. Бовсуновского верно: числа вида
100*А-f-lO • A-f-A (l-gA^9) не представляются в ви-
де суммы квадратов натуральных чисел, образующих
арифметическую прогрессию.
Существует целый ряд содержательных математиче-
ских задач, которые могут быть несложно решены
с помощью программ перебора. Вот некоторые из иих:
1.	Найти все двузначные числа, сумма квадратов
цифр которых делится на 13.
2.	Найти все трехзначные числа, равные сумме ку-
бов своих цифр.
3.	Долгожитель (т. е. человек, проживший более
100 лет) обратил внимание, что если к сумме квадра-
тов цифр его возраста прибавить число его дня рожде-
ния (т. е. некоторое из чисел от 1 до 31), то получит-
ся как раз его возраст. Сколько ему лет?
4.	Найти все трехзначные числа, равные сумме фак-
ториалов своих цифр.
5.	Найти четырехзначное число, являющееся точным
квадратом, у которого две первые цифры одинаковы
и две последние тоже одинаковы.
6.	Приписать к 1022 слева и справа по одной цифре
так, чтобы полученное шестизначное число делилось на
7, на 8 и на 9.
7.	Сколько существует пар чисел х, у от 1 до 1000,
для которых х2+у2 делится на 49?
8.	Три приятеля математика были свидетелями нару-*
шения правил движения. Номер автомобиля (четырех-
значный) ни один из них не запомнил. Однако один
заметил, что этот номер делится на 2, на 7 и на 11;
другой заметил, что в записи номера участвуют только
две цифры, а третий заметил, что сумма цифр числа
равна 30. Каков номер автомашины нарушителя?
Число подобных задач можно было бы при желании
увеличить. Заметим, что половина из указанных выше
задач предлагалась иа олимпиадах, что само по себе
показывает логическую трудность их решения. Приме-
нение информатики делает эти задачи стандартными
и легко решаемыми с помощью компьютера.
Разумеется, задачи перебора — далеко не единствен-
ный тип задач, при решении которых целесообразно
применять методы информатики. К числу других стан-
дартных применений компьютера для решения матема-
тических задач относится приближенное решение урав-
нений, приближенное вычисление определенных интегра-
лов, а также ряд других задач школьного курса ма-
тематики.
53
ЗАДАЧИ
Редакция напоминает читателям, принимающим участие
в решении задач, что решения алгебраических и гео-
метрических задач следует присылать отдельно, указы-
вая на конверте соответственно «Алгебра» и «Гео-
метрия».
Решения задач этого номера должны быть отправ-
лены в редакцию не позднее 1 марта 1987 г. О пра-
вилах оформления см. в № 1 журнала «Математика
в школе» за 1986 г. на с. 80.
Задачи для IV—VIII классов
3021. Цифры от 1 до 9 расставлены в вершинах и
на сторонах треугольника таким образом, что на каж-
дой стороне, включая вершины, стоят 4 числа, сумма
которых равна 20. Какие цифры стоят в вершинах?
Математический кружок 15-й шк. Целинограда
(рук. Л. П Мережковский)
3022. Какие числа вида 99 .9 могут быть представ-
лены в виде суммы квадратов двух целых чисел?
И. Д. Черепинский (Черкассы)
3023. Найти все натуральные числа, пятая степень
которых является шестизначным числом, оканчиваю-
щимся на 4.
В А. Ясинский (Винница)
3024 Для каких натуральных чисел п число--------
5
является простым числом?
Математический кружок шк. с. Илнсу
р-на Кахи АзССР (рук. X. А. Эфендиев)
3025. Найти все пятизначные числа, составленные из
пяти последовательных цифр, отличных от 0, квадрат
которых состоит из всех цифр от 1 до Q без повто-
рений.
Л. Д. К у р л я н д ч и к (Ленинград)
3026. Найти все двузначные числа, пятая степень
которых оканчивается двумя одинаковыми цифрами.
О. Я. Р о ж е и к о (Киев)
3027. Медиана треугольника, выходящая из одной
вершины, равна высоте, проведенной из другой верши-
ны, и равна 1. Высота, проведенная из третьей вер-
шины. равна V 3. Найти площадь треугольника.
3028 Построить треугольник по стороне а, проведен-
‘ной к ней высоте h и радиусу вписанной окружности г.
К. В. Майоров (г. Арзамас)
Задачи для IX—X классов
3031, Найти предел последовательности
1
аП = J хп (1 -)- е—х) dx.
о
Ш И. Сафаров
(АзССР, с. Юсифджаплы р-на Агдам)
3032. Решить систему уравнений
с-3
Л-~ +—^=- = *У, ха + у* = 8 (л-у) 2 (a£R).
У У 1 х
А. Н. Смоляков
(Ставропольский край, г. Нефтекумск)
3033 Дана окружность с диаметром АВ и центром О.
На отрезках АО и ВО, как на диаметрах, построены
две полуокружности с центрами Ot и О^, расположен-
ные по ту же сторону от прямой АВ, что и первая.
Окружность с центром О3 касается полуокружностей
с центрами О и СЦ. окружность с центром Ot касается
полуокружностей с центрами О и О2, окружности с
центрами О3 и О, касаются друг друга. Доказать, что
O^OOtOs — параллелограмм
Э Г. Г о т м а н (г. Арзамас)
3034. На окружности, описанной около треугольника
АВС, взята точка М: N — точка внутри треугольника
АВС. Точки Аь В] и С] симметричны точке М соот-
ветственно относительно прямых AN, BN и CN. Извест-
но, что прямые AAj, ВВ] и CCt параллельны. Дока-
зать, что N — центр вписанной в треугольник АВС ок-
ружности.
И. Т а б о в (Болгария, София)
3035. Разрезать прямоугольный треугольник с углом
30° на четыре части, из которых можно сложить квад-
рат.
П. П е е в (Болгария, г. Стара Загора)
3036. В пространстве расположены три правильных
пятиугольника ABCDE, ALNMB и AEKNL. Доказать,
что прямые AC, AN и АК попарно перпендикулярны.
Оценки
3037 Доказать неравенство
1 1
а’ 4- Ь3 + abc	с! + abc
+ с’ + а’ + abc abc с > ®)'
А. Н. Смоляков
Ряды
3038. Вычислить сумму
3	3-5	3-5-7
1 + 4 + 47ь + 4^8Л2+ "•
О. Я. Роженко
3029. Решить уравнение
зл-----------------	-----
V 2— х + У х— 1 = 1.
Математический кружок шк. с. Кашкент
Хивского р-на Дагестанской АССР
(рук. С. Р. С е ф и б е к о в)
3030. Решить систему уравнений
x’+y'+z = а,
 х' + у + г' = а,
X + yz + z1 = а.
Математический кружок шк. с. Кашкент
Хивского р-на Дагестанской АССР
Векторное произведение
3039 S — площадь выпуклого шестиугольника. S, —
площадь шестиугольника с вершинами в серединах сто-
рон данного шестиугольника, S2 — площадь шестиуголь-
ника с вершинами в серединах сторон второго шести-
угольника. Выразить S через St и S2.
Минимум суммы расстояний
3040. Все плоские углы при вершине D пирамиды
ABCD прямые; DA—a, DB—b, DC=c (as^b^yc). Че-
рез D проведено прямая I. Чем- ровно наименьшее
значение суммы расстояний от точек А, В, С до пря-
мой I?
54
Решения задач,
помещенных в № 2 за 1986 г.
2941.	Для каких натуральных чисел л>1 справедли-
во следующее утверждение; если сумма цифр числа
делится на п, то и само число делится на п?
Решение. Из признаков делимости на 3 и иа 9
следует, что для этих чисел указанное утверждение
справедливо.
С другой стороны, если данное утверждение спра-
ведливо для некоторого числа п, то числа 11...121 н
11...112, состоящие из п— 1 цифр, имеют сумму цифр л
и, следовательно, делятся на п. Но тогда и их раз-
ность 9 делится на п, а значит, п равно 3 или 9.
Таким образом, указанное утверждение справедливо
для чисел 3 и 9.
2942.	Существуют ли попарно различные цифры х, у,
z, t, и, v, w, для которых выполняется равенство
xy3=ztuvw?
Решение. Так как а>4=(/, то у — одна из цифр 2,
3, 7, 8. Кроме того, ху3— пятизначное число, откуда
23^хц^4б, и остается испытать числа ху, равные
23, 27, 32, 38, 42, 43
(числа 28 и 37 не удовлетворяют условию ш=/=х). В ре-
зультате «со второй попытки» найдем решение
273=19 683.
2943.	Запись девятизначного числа, делящегося на 37,
разделили на две части и переставили эти части друг
с другом. Обязательно ли полученное девятизначное
число будет делиться на 37?
Решение. Пусть девятизначное число А делится
на 37 и оканчивается цифрой у. Тогда оно имеет вид
A = 10x4-1/, а число В, полученное перестановкой циф-
ры у в начало, равно 108i/4-x, и
10В=А4-(109— l)j/=A4-999 999 9991/.
Так как оба слагаемые делятся на 37, то и В делится
на 37.
Мы доказали, что после перестановки последней циф-
ры числа А в начало получится число, также делящееся
на 37. Но, последовательно перенося по одной цифре из
конца в начало, мы придем к числу, о котором гово-
рится в условии. Следовательно, это число делится
на 37.
2944.	Складывая многозначное число с числом, по-
лученным из него некоторой перестановкой цифр, уче-
ник получил число, состоящее из одних девяток. Не
ошибся ли он?
Решение. Ясно, что ученик мог и не ошибиться,
если число девяток в ответе четное. Так,
4545...45Т-5454...54 = 9999...99.
Однако при п нечетном он обязательно ошибся.
Пусть Х1Х2...х„ — данное число и У\Уг...Уп — изменен-
ное. Из условия следует, что при сложении этих чисел
не происходит переноса цифр из разряда в разряд, и
поэтому
Xi+</i=9, х24-1/?=9, ..., xn-f-i/n=9.
Так как сумма S всех цифр xi, .... хп равна сумме
цифр Уи —. Уп, то, складывая записанные равенства,
получим 2S=9n, что неверно, так как 9п нечетно.
2945.	Существует ли число, не содержащее в записи
ни одного нуля и делящееся на 51987?
Решение. Пусть и=1987, н предположим, что в
записи числа А =5" первый справа 0 стоит на k-м мес-
те, считая справа. Тогда число 10*_|А-(-А на этом мес-
те имеет цифру 5, а последующие его цифры те же,
что у числа А, т. е. отличны от нуля. В результате мы
получили число, делящееся на А, у которого послед-
ние &+1 цифр отличны от 0.
Продолжая таким же образом, мы можем получить
число В, делящееся на А, у которого п последних
цифр отличны от 0. Отбрасывая остальные цифры этого
числа, т. е. вычитая из него число, делящееся на 10”,
мы получим, что последние цифры составляют исковое
число.
2946.	На доске записаны натуральные числа от 1 до
п; разрешается заменить любые два числа абсолютной
величиной их разности. Можно ли многократным при-
менением этой операции получить число 0?
Решение. При л>4 из чисел п—3, л—2, п—1 и п
тремя операциями можно получить сначала две едини-
цы, а затем 0, и задача сводится к оставшимся п—4
числам. Поэтому достаточно рассмотреть п—1, 2, 3, 4.
Ясно, что при л=3 и л=4 ответ на вопрос положи-
тельный, а при л=1 и п—2 — отрицательный.
Таким образом, получить число 0 можно при п—
= 46-{-3 и при n=4k.
2947.	Доказать, что a cos А 4-6 cos В с, где а, Ь, с —
стороны треугольника, А и В — углы, противолежащие
сторонам а и Ь соответственно.
Решение. Заметим, что a cos В-|-6 cos А=с. Таким
образом, a cos А 4-6 cos В—с=а cos A-j-b cos В—a cos В—
—6 cos А = (а—6)(cosA—cos В). Пусть a^zb, тогда А^
ЭгВ и cos А^ cos В, а значит, acosA4-6cosB—с=
= (а—6) (cos А—cos 6)^:0, что и требовалось доказать.
2948.	Внутри выпуклого четырехугольника ABCD
находится точка М. Известно, что Z. BMA—Z_CMD —
=90°, BM=k-AM, MD=kMC Найти площадь четы-
рехугольника ABCD, если BD=d.
Решение. Треугольник BMD получается из тре-
угольника АМС при повороте вокруг точки М на 90° и
гомотетии с центром М и коэффициентом k (рис. 1).
Следовательно, диагонали четырехугольника ABCD пер-
пендикулярны и АС= -^--BD, т. е. его площадь рав-
с!'
на "26‘
2949.	Найти целую часть числа
1	1	1
V 1 4- 4^2	/34-/4	^0 ф/Ь +
1
•	4- ~Г , -  ~ /•-, (л—нечетное число).
V л- — 24- V л' — 1
Решение. Обозначив данное число через А, рас-
смотрим число
В= —=-!----— 4- -	1--— 4- ...
И 4-/3	4 4-I-J5
________1_________
/ п‘—1 4- у^л’ ’
Тогда А>В, и, освобождаясь от иррациональности в
знаменателях, получим, что А-(-В=л—1. С другой сто-
роны,
4-14-4 2	\ 4 2 4- / о
1	f_________1________
I J 4- / 4 /	""	\ 4 л' — 3 4- у' л — 1
Рис. 1	Рис. 2
55
у n''-2 -j- yf n‘-1 ) У n:-----1 -f- у ns 3
< 1 + ^2 < L
A 4- В А —В	n — 1
Поскольку A = —— 4- —-— , to	—g— < -A <
n — 11	n — 1
< —-—4-~ и, следовательно, [Л] =—-j—.
2950. Существуют ли 1987 различных натуральных
чисел, сумма квадратов которых является квадратом
натурального числа?
Решение. Положим afc=fe (fe = l.... 1986). Тогда
1986
S,	/ab 4 с\ 2 pab с\2
al 331-1987.3973 = abc = ( ——) — (“г")
k = 1
и, следовательно, числа
f аЬ—с\
1, 2, 3,..., 1986 , 326 862^ -	)
удовлетворяют условию задачи.
2951.	Параметры а и Ь меняются таким образом, что
система уравнений
y=x2+a, х=у2+Ь
имеет единственное решение (хп, //Д. Векую; линию
описывает точка М(хп, Уп) при изменении а и Ь?
Решение. Данная система уравнений равносильна
системе
!/=х2Ц-а, Р(х) — х44-2ах2— х4-а24-Ь =0,
которая имеет единственное решение тогда и только
тогда, когда многочлен Р(х) имеет единственный ко-
рень. Обозначим этот корень через х0. Ясно, что хс^0.
Тогда Р(х) = (х—Xo)Q(x), и поскольку кубичны"!
многочлен Q(x) имеет по крайней мере один корень, то
он равен х0, и следовательно, Р(х) — (х—хп)2(х2+гх->-я}.
Приравнивая коэффициенты при различных степенях х,
получим равенства
г—2хо=О. s—2гхо4-х2о=2а.
гх2о—2sxD——1, sx2o=a2-f-6,
откуда г = 2х0, s = Хд + — и
R (х) = х’ -I- rx + s = (х 4- х„)? 4- Д.
Из последнего равенства следует, что х3>0 (в протез-
ном случае R(x], а значит, и Р(х) имел ба два раз-
личных корня). Тогда
2у0= 2хд + 2а = ?Xq + х0 + 77— — 4х? 4- х^ =» ——,
Х,ЛО	Л-о
т. е. 4ХоУо=1.
Таким образом, точка М(х0, у0) лежит на «правой»
ветви гиперболы 4xi/=l.
Докажем обратное утверждение.
Пусть 4хо«/о=1. Рассмотрим систему
t/=x24-a, х—у2А-Ь,
где а=у0—х20, b=xD—у20. Тогда х0 является единствен-
ным корнем многочлена
Р (х) = (х х0)2 ((х 4- х„)’ -I- т~ ) —
= (х’ — л£)’ -ь 2у„ (х5 — 2хх0 4 х?) -
= X* + 2 (Уо — х^о)х' ~х 4- 4 т V-.
и поскольку
с’ + Л =- Уо —2Уо*о + *о +*о— Уо - *о+ ^2’
то Р(х) =х44-2ах2—х-4-а24-Ь.
Другими словами, пара (х0, уо) является единствен-
ным решением рассматриваемой системы.
Итак, точка Л4(х0, у0) описывает ветвь гиперболы
4xi/= 1, лежащую в первой четверти.
2952.	Доказать, что при х^О выполняется неравен-
ство
log,(l + 2*)>logs(3* + (/2)Л).
Решение. Выделив под знаком логарифма в ле-
вой части множитель 2х, а в правой 3х, получим рав-
носильное неравенство
W,(, + (4)0>bS,[1 + (2^)').
Но ~2* >—з—, и поэтому
правое неравенство вытекает из убывания фунхц и
У = ,og'° =	<“ >’> ПРИ*>!-
2953.	Доказать равенство
Зк	2г ,—
tgTT +4 sin-jr = Т 11 .
Решение. Положив а = п/11, будем доказывать
равносильное равенство
А = (sin За4-4 sin 2а cos За)2—11 cos2 За=0.
Имеем:
(sin За 4- 4 sin 2а cos За)2 = (sin За 4-
4- 2 sin 5а — 2 sin а)2 =	(1 — cos 6а) 4-
4- 2 (1 — cos 10а) 4- 2 (1 — cos 2а) 4- 2 (cos 2а— cos ?а)—
— 2 (cos 2а — cos 4а) — 4 (cos 4а — cos 6а) =
9
= ~2~ —2 cos 2а — 2 cos 4а 4-
4- ~ cos 6а — 2 cos 8а — 2 cos 1Са;
11 cos’За = —j- (1 4- cos 6а).
Тогда
А = — 1—2(cos 2a4-cos 4a-[-...4-cos 10а).
Но
2s:n a(cos 2a4-cos 4a-|- ...4-cos 10a) =
= (sin 3a—sin a)4-(sin 5a—sin 3a)4-—4-(sin Пгт—
—sin 9a) =sin Ila—sin a=—sin a,
и поэтому <4 = 0
2954. Доказать, что при а>0, Ь>0, с>0 выполняется
неравенство
f \а X / 4А \ ( Лс \
(-ГТ7+1) (т^ + 1)(ттт+1;>25-
Решение. Данное неравенство является симмет-
ричным относительно переменных а, Ь, с, и поэтому
можно считать, что а^о^с. В стандартных обозна-
чениях
a1=a4-*4-c. <T2==cP4-ftc4-ca, оз—аЬс
56
неравенство принимает вид
(ai+За) (О|4-ЗЬ) (сц-рЗс) >25(0]—a) (cTj—b) (ог-с).
Теперь имеем:
о314-Зи21 (а4-64-с) +9(71 (ab+bc+ca) -)-27аЬс>
>25(u3i—о21 (a+b-j-c) +<?! (ab-J-bc-f-ca)—abc),
4o3i+90|G2+27oi>25(n <-г,—а3),
а3!—4а1о2+13а3>0.
Но
о3,—4О1О2+ 13аэ= (а+Ъ4-с) (а24-624-с2—2db—
—2ис—2bc) + it}abc= (a+b-f-c) ((a-)-b—c)2—4ab) 4-
13abc— (a4-t>4-c) (04-6—c)2—4ab (a-)-b)+9abc ~
= (04-64-6) (04-6—c)24-n6(9c—4a—4b).
Так как a^bgzc, то 9c—4a—46>0, откуда и следует
доказываемое неравенство.
2955 Из точки А, расположенной вне окружности,
проверены две касательные АЛ1 и AN (М и N — точки
касания) и секущая, пересекающая окружность в точ-
ках Р и Q. Пусть L — середина PQ. Доказать, что
/_MLA=Z_NLA.
Решение. Так как / ОМЛ—Д. ONA — A. OLA —
= 90° (рис. 2), то точки А, М, N и L расположены на
одной окружности с диаметром АО и центром О. В этой
вспомогательной окружности углы MLA и NLA опира-
ются на равные хорды AM и AN, значит, они равны,
поскольку их сумма не равна 180°.
2956. Дан куб АВСОАДЗ^СДЭ^. На ребрах АВ и ВС
взяты точки К и L таким образом, что BK — CL —
-= — АВ. Найти геометрическое место точек М, рас-
положенных в грани A^BXC}DU для которых длина
кратчайшего пути от М до К равна длине кратчайше-
го пути от М до L, если все пути проходят по по-
верхности куба.
Решение. Для того чтобы из всех путей, соеди-
няющих К с М и пересекающих ребро АД], найти
кратчайший, «развернем» грани АЬ’бцА] и ЛДД’Д]
так, чтобы они лежали в одной плоскости (рис. 3, 5.
указанная развертка обозначена сплошной линией, точ-
ки обозначены так же, как и соответствующие нм точ-
ки иа кубе). Кратчайшему пути, пересекающему ребро
АД|, на этой развертке будет соответствовать отре-
зок МК.
Для нахождения кратчайшего пути, пересекающего
ребра BS] я BiCt, надо сделать другую развертку, ей
на рис. 3,6 соответствуют штриховые линии и точки с
одним штрихом. И наконец, чтобы найти кратчайший
путь, пересекающий ребра AAt и А]£>|, надо сделать
еще одну развертку, которой на рис. 3,6 соответству-
ют штрихпунктирпые липни и точки с двумя штрихами.
Таким образом, кратчайшему пути по поверхности куба
между точками К и М на рис. 3,6 соответствует наи-
меньший из отрезков МК, МК', МК". (Нетрудно убе-
диться, что все другие пути по поверхности куба боль-
ше одного из указанных трех.) Длина же кратчайшего
пути равна длине наименьшего из этих отрезков. Сере-
динный перпендикуляр к отрезку КК' проходит через
6> (поскольку S]X=B|A") и пересекает Д]С] в такой
точке Е, для которой
ECt К'А' I
£> , (: , = А 'К ~ 2 ’
Итак, если точка М внутри треугольника ЕСД^, то
МК'<МК. В остальных случаях МК'^МК. Точно так
же определяется точка F, в которой серединный пер-
пендикуляр к КК" пересекает ВД\: DiF=-j- DtCi.
Грань A|B|C]Oi в результате оказалась разделенной на
три части: треугольник ЕСД}, для всех точек которого
кратчайшему пути соответствует отрезок МК'-, трапе-
цию АД^ЕЕ, для всех точек которой кратчайшему пути
соответствует отрезок МК, и, наконец, треугольник
6Д]А|. для точек которого кратчайший путь есть отре-
зок МК" В каждом случае длина кратчайшего пути
равна длине соответствующего отрезка.
Аналогично определим точки L, L’ и L" (рис. 3,е),
а также точки U и V на А]£>]: D1U=~2~DlAl, A]V=
Таким образом, грань А|В,С]£>| оказалась разделен-
ной на восемь частей (рис. 3,в), для каждой из кото-
рых легко находится длина кратчайшего пути, соеди-
няющего точку М с точкой К и с точкой L по поверх-
ности куба. Так, для четырехугольника HKOBi длина
этих путей равна соответственно отрезкам МК и ML.
Следовательно, если М лежит внутри четырехугольника
HNOBy и принадлежит искомому геометрическому мес-
ту. то точка М должна лежать н на серединном пер-
пендикуляре к отрезку KL. Точно так же искомое
геометрическое место точек внутри треугольника OC,S[
есть отрезок серединного перпендикуляра к отрезку LK'.
Теперь можно построить и все геометрическое место
57
точек М, для которых длина кратчайшего пути по по-
верхности куба между точками М и К равна длине
кратчайшего пути между точками М ъ L. Сначала
строим отрезок PQ (рис 3, в), где PQ— часть середин-
ного перпендикуляра к LK', затем отрезок QR — часть
серединного перпендикуляра к KL (легко проверить,
что R лежит на отрезке NO), далее получаем отрезок
BS— часть серединного перпендикуляра к KL' и, нако-
нец, отрезок ST, лежащий на серединном перпендику-
ляре к К,"!.'. Все геометрическое место точек, таким
образом, представляет собой четырехзвенную ломаную
PQRST. Положение вершин этой ломаной определить
нетрудно.
2957 Проекции прямоугольного треугольника на гра-
ни двугранного угла величины а являются правильными
треугольниками со стороной 1. Найти длину гипотену-
зы прямоугольного треугольника.
Решение. Будем считать, что вершина С прямо-
угольного треугольника АВС лежит на ребре двугран-
ного угла (если это не так, перенесем этот треугольник
параллельно самому себе). Заметим теперь, что если
проекции какого-то отрезка на грани двугранного угла
равны, то плоскость, проходящая через этот отрезок и
параллельная ребру двугранного угла (содержащая реб-
ро), параллельна одной из двух биссекторных плоскос-
тей (совпадает с одной из них) двугранного угла. Из
этого следует, что треугольник АВС лежит в одной из
биссекторных плоскостей данного двугранного угла.
(Под биссекторной плоскостью мы понимаем плоскость,
все точки которой равноудалены от плоскостей, опреде-
ляемых гранями данного двугранного угла. Для любого
двугранного угла биссекторных в этом смысле плос-
костей — ровно две)
Рассмотрим случай, когда треугольник АВС принад-
,	а
лежит биссекторнои плоскости, образующей углы
с гранями двугранного угла (для второй бисссктор-
.	п а \
нои плоскости эти углы равны ~тр-— ~Пусть А' и
В' — соответственно проекции А и В на одну из гра-
ДвУгРаниого угла. Введем в плоскостях АВС и
прямоугольные системы координат следующим
образом: их начало совпадает с точкой С, ось х, об-
щая для обеих, совпадает с ребром двугранного угла,
оси у и у' выберем таким образом, что угол между их
положительными направлениями равен -у. Положи-
тельное направление оси х можно выбрать так, чтобы
векторы СА’ и СВ' образовывали с ним углы ф и ф4-
+ ~3~- Тогда в этих системах координат (рис. 4) бу-
дем иметь соответственно точки
A’ (cos ср, sin ф) и
Я'(с05(ф +-у),
д (	Sin ф
Л / cos ф, -—
* а
I	cos ~2"
sin(<₽+-r)) и
Условие перпендикулярности СА и СВ приводит к
уравнению:
cos<p-cos f<j> + -у) J--—— .sincp X
cos’-у
X sin	= 0.
Отсюда
(•у + cos ^2ф + ~у)) • cos’ -у 4-
+ (4-cos(2<P +“г)) =0-
Рассматриваемый случай возможен, если cos ^2ф4~ "у
1 .	, а
1	+ cos "Г	, «	1
—-------------— <1, т*е- п₽и cos ~ -с ,|Л,‘
2	—cos’ -уу
1
cos а <-----у,
Далее найдем Л В2 •= Tecs Гф + -у^ —соэф^ 4-
1 f f ъ\ \2	, /	71 \
+----— (^1п(ф4- —) — sinefj = sin ^«р+уД
№S’T
cos
----1—.(1 4. cos (?ф-}--£-)) =
---2______ x
3^1 4- cos’-g
, i a
4 cos -y
Во втором случае надо всюду заменить а на (л—а).
Сводя вместе оба случая, получаем следующий от-
вет:
1
если 0 < a <aic cos-у, то
1^3	1/
АВ =-------~ у 1 + sin -у ;
2sin-Q-
1
если п — arc cos -у < а <С то
V 3	1 /
ЛВ=---------—]/ 14-cos2T.
2 cos -у
Для других значений а задача не имеет решения.
53
2958.	Прямые, пересекающие стороны АВ и CD па-
раллелограмма ABCD, делят его на трапеции, в каж-
дую из которых можно вписать окружность. Доказать,
что произведение длин оснований этих трапеций, рас-
положенных на АВ, равно произведению длин основа-
ний, расположенных на DC.
Решение. Докажем сначала вспомогательное ут-
верждение. «Пусть KLMN — трапеция, описанная около
окружности, в которой KN=a, LM — Ь (KN и LM —
основания трапеции), Z. LKN=a, Z_MNK=fi (рис. 5).
b а. 9
Тогда —= tg —-tg-rf». (Заметим, что последнее
равенство дает необходимое и достаточное условие, для
того чтобы в трапецию можно было вписать окруж-
ность.) I
Действительно, если О — центр вписанной в KLMN
окружности, г — ее радиус, то из треугольников KON п
LOM получим
/а	,	/ а ₽ X
о = г Qctg—+ ctg—J и b = г Mg — + tg-^J.
Отсюда следует, что
b а ₽
“= tg—-tg —.
Перейдем к нашей задаче. Пусть a,, bi, at, Р, (i=
= 1, 2, ..., п)—соответственно основания i-й трапеции
и ее углы, прилежащие к стороне at (нумерация ведет-
ся от А к В и от D к С, at — на стороне АВ, ш — угол
этой трапеции, ближний к вершине А параллелограм-
ма). В соответствии с доказанным выше
b> , Ia'
— “ tg — .tg—.
Перемножая эти равенства для всех i и учитывая, что
а,+1=л—рп=л—ац получим
bl-b,-...-bn =
cif ctt‘ • •. * ап
Что и требовалось доказать.
2959.	Найти геометрическое место точек М внутри
правильного пятиугольника, каждая из которых явля-
ется серединой не менее чем трех отрезков с концами
на различных сторонах этого пятиугольника.
Решение. Решим сначала следующую задачу.»
«Найти геометрическое место середин всевозможных от-
резков, концы которых расположены на сторонах АВ
и CD выпуклого четырехугольника ABCD».
Пусть Т — некоторая точка иа стороне АВ. Р, Q, R,
S — соответственно середины ВС, DB,AD,CA (рис. 6,а).
Тогда середина ТС — точка U лежит иа отрезке PS, се-
редина TD — точка V лежит иа отрезке QR. Следова-
тельно, середины всевозможных отрезков, одним кон-
цом которых является точка Т, а другой конец распо-
ложен на CD, описывают отрезок UV, параллельный
сторонам PQ и £5 параллелограмма PQRS. Меняя
положение точки Т, мы будем получать всевозможные
отрезки, параллельные сторонам PQ и параллело-
грамма PQRS с концами на сторонах SP и QR. Та-
ким образом, середины всевозможных отрезков с кон-
цами на сторонах АВ и CD четырехугольника ABCD
заполняют параллелограмм PQRS, причем граница это-
го параллелограмма соответствует отрезкам, один ко-
нец которых совпадает с вершиной четырехугольника
ABCD.
Прежде чем перейти к решению нашей задачи, сде-
лаем еще одно замечание: «Середины всевозможных от-
резков с концами на двух сторонах АВ и АС треуголь-
ника АВС заполняют параллелограмм с вершинами в
точке А и серединах сторон АВ, ВС л С А» (рис. 6,6).
Рассмотрим правильный пятиугольник EKLFN. Сере-
дины всевозможных отрезков с концами на двух сто-
ронах этого пятиугольника заполняют соответствующий
параллелограмм. Нас интересуют те точки пятпуголь-
Рис. 6
ника, которые принадлежат по крайней мере трем та-
ким параллелограммам: они заполняют пятиконечную
звезду EiF2KiN2L\E2FiK1N(рис 6, в) При этом гра-
ница звезды, за исключением точек /2, /v2, £2, К2, L?
не входит в рассматриваемое множество. В самом деле,
например, через точку F2 можно провести три отрезка
с серединой в точке Fa: один проходит через верши-
ну К, другой — через Е, третий параллелен прямой LN.
Для других точек на EtF2 таких отрезков, как легко
убедиться, только два.
2960.	На сторонах АВ и АС треугольника АВС
(АВ=/=АС) во внешнюю сторону построены треуголь-
ники АВМ и ACN, причем /_МАВ — Z-NAC = а
, /_MBA=Z_NCA. На прямой AD, где D — се-
редина ВС, взята точка Р, равноудаленная от М и N.
Доказать, что Z- MPN=n—2а.
Решение. Возьмем на прямой AM точку М' так,
что ВМ'=ВА, а на прямой AN точку N' так, что
CN'=CA (рис. 7). Точка Р' выбрана так, что ВАСР' —
параллелограмм. Треугольники М'ВР' н P'CN' равны,
поскольку М'В = BA = Р'С, BP' = АС — CN' и
Z- М'ВР'=2л-(л—2а)—(л—Д. ВАС) =2а+/_ ВАС=
— Z P'CN' (если 2а+ Z. ВАС>л, то эти углы равны
2л—2а—ZLBAC). Кроме того, Z. M'P’N' = Z. М'Р'В-р
+Z. BP'C-yz. CP'N' = Z. M'P'B+Z. BAC+Z- ВМ'Р'=
— л—ZM'BP'+ZBAC = л— (2а+ZB AC)ZB AC .=
= л—2а.
59
Отношения AM: AM' и AN: AN' равны. При гомо-
тетии с центром в точке А и коэффициентом k—AM:
: AM' точка М' перейдет в М, N' — в N, Р' — в иско-
мую точку Р, расположенную на прямой AD и такую,
что MP=PN, следовательно, Z.MPN=n—2а.
Замечания к решениям задач
В задаче 2941 практически во всех письмах был дан
правильный ответ, однако при его обосновании допу-
щено много логических ошибок.
В условии задачи 2942, к сожалению, допущена опе-
чатка, однако большинство решавших исправили ее са-
мостоятельно, заметив, что в предложенном виде задача
тривиальна. Разумеется, решения задачи в журнальной
формулировке признавались правильными.
Удивительно, ио подавляющее большинство решавших
задачу 2943 приводили решение «в общем виде», что
потребовало более громоздких выкладок. Возможность
сведения общего условия к одному или нескольким
частным случаям является важным моментом в реше-
нии математических задач, и этот прием применен, на-
пример, в решении задачи 2946.
Решая задачу 2944, многие читатели отметили, что на
ее вопрос нельзя дать однозначного ответа. Точнее го-
воря, ученик мог ошибиться, но мог и ие ошибиться.
Нельзя сказать, что этот ответ неверен, однако, как
показывает приведенное выше решение, можно дать и
более содержательный ответ. Таким образом, эту задачу
можно рассматривать как задачу с недостающими дан-
ными, н ее полный ответ зависит от введенного пара-
метра — числа цифр исходного числа Задачи такого
рода в последнее время проникают в практику обуче-
ния, они весьма полезны с дидактической точки зре-
ния, и поэтому мы ие считаем правомерным упрек в
некорректности задачи, содержащийся в нескольких
письмах.
Основным недостатком решений задачи 2946 было от-
сутствие доказательства того, что при п = 4й и при
n = 4fe+3 действительно можно получить число 0.
Конкурсные алгебраические задачи 2949—2954 реше-
ны в целом весьма успешно. Практически ие было оши-
бочных решений задачи 2949. достаточно легкой оказа-
лась задача 2952, однако многие читатели для ее ре-
шения исследовали функцию с помощью производной,
хотя элементарное решение значительно проще.
Несколько читателей доказали требуемое в задаче
2950 утверждение в общем виде — для любого нату-
рального числа п, используя «замечательное» равенство
32-f-42 = 52. В самом деле, если
9	2	9	9
х, + х2 + ... + хп =	. то
<3х,)«+ (Зха)»+...+ (Зг„)"+(4у)»= (5</)s.
Два интересных решения этой задачи прислали участ-
ники математического кружка 173-й шк. Киева (рук.
Р. П. Ушаков). В первом из них доказывается, что для
любого п числа Xi, ..., хп можно подобрать таким об-
разом, что сумма их квадратов равна (5В~1 )2, а во вто-
ром приводится рекуррентная формула для последова-
тельности (хп):
п
^ = 3, ^я+1 = —( 2х?-1)’
1=1
у которой сумма квадратов первых п членов всегда
является точным квадратом.
Наконец, читатель С. С. Тае му ратов из Астрахани по-
лучил явную формулу для получения требуемых п
чисел:
п
(ап)' 4- (Ьсп~1аг~'У = (сп)2,
1=1
где а, Ь, с — произвольная пифагорова тройка Инте-
ресно отметить, что исходным моментом для получе-
ния вышенаписанного равенства была известная фор-
мула
хп—уп= (х—у) (хп~1+хп-2у+...+Уп~>).
Наибольшие трудности для участников конкурса
представила задача 2951. Типичной для многих решений
оказалась логическая ошибка: убедившись, что коорди-
наты Хо и уо точки М удовлетворяют равенству ХоУо —
— 1/4, авторы сразу же утверждали, что точка Л/ опи-
сывает . ветвь соответствующей гиперболы Между тем
доказательство обратного утверждения здесь необхо-
димо.
Большинство решивших эту задачу считали совершен-
но очевидным, что координаты точки М обязаны быть
положительными. Действительно, геометрические сооб-
ражения в этом вполне убеждают, однако отсутствие
формального доказательства является все же. на наш
взгляд, логическим пробелом.
Кроме того, все решившие эту задачу с помощью
производных считали очевидным тот факт, что задан-
ная в условии система имеет единственное решение
только в случае касания соответствующих парабол. Од-
нако и здесь «не помешало» бы формальное доказа-
тельство, использующее выпуклость этих парабол «в
разные стороны».
Лишь Г. Б. Хасин из Москвы и Ю. А. Изосимов из
Астрахани привели вполне строгое решение этой зада-
чи, которое, естественно, оказалось более длинным и
менее изящным, чем решения с существенной ссылкой
на геометрические соображения
Разумеется, оценка решений подобных задач зависит
от требований, предъявляемых к уровню строгости; при
поимененин нх в работе с учащимися следует исходить,
прежде всего, из дидактических соображений. В част-
ности, решение с помощью производных, на наш взгляд,
для учащихся самое поучительное, однако нельзя не
указать на его логическую неполноту, которую могут
потребовать в аналогичных задачах, например, на
вступительных экзаменах в вуз.
Изящную по формулировке задачу 2953, как оказа-
лось, гораздо труднее составить, чем решить. Большин-
ство решений этой задачи повторяет приведенное выше,
однако многие читатели сводили левую часть равенства
(после возведения в квадрат) к многочлену от sin —
или применяли комплексные числа. Правда, все такие
решения требовали, к сожалению, не более простых
выкладок.
Задача 2954 не вызвала больших трудностей, хотя
было прислано несколько ошибочных решений, в кото-
рых чаще всего «доказывалось», что левая часть задан-
ного неравенства больше 27. Между тем число 25 яв-
69
ляется точной нижней границей для левой части нера-
венства, поскольку при а=Ь = 1
Лти(тТ7 + ,У(2с+1> = 25-
Наиболее короткое «литературное» решение этой за*
дачи прислал читатель С. С. Тисмуратов, указав на не'
равенство
cj — 4с! а, 9оа > О,
легко вытекающее из неравенства
abc^ (a-pb—c) (Ь-рс—а) (с+а—Ь),
имеющееся в книге В. Г. Болтянского и Н. Я. Вилен-
кина «Симметрия в алгебре» (М.: Наука, 1967).
Решение читателя В Л. Дидковского из Новоград-
Волынского также основано на этом неравенстве, но
оно содержит и его доказательство с помощью замены
2т=ц-}-Ь—с, 2п=Ь-}-с—а, 2р=с+а—Ь.
Отметим, что последнее неравенство имеет интересный
геометрический смысл: оно означает, что в треугольнике
со сторонами а, Ь, с выполняется неравенство 2г А'.
В. Л. Дидковский использовал этот факт во втором ре-
шении, сославшись на так называемую формулу Эйле-
ра: (12 = Ю—2rR где d — расстояние между центрами
вписанной и описанной окружностей треугольника.
Неравенство задачи 2947 является частным случаем
более общего неравенства: a sin <p+& sin(C—<р) sgc (ес-
ли <р = 90°—В, то получается неравенство задачи 2947),
доказательство которого достаточно просто.
В задаче 2948 мы привели авторское решение, пред-
почтя его другим, также вполне простым и коротким,
но меиее геометричным решениям.
Как и ожидалось, задача 2955 оказалась самой прос-
той из всех конкурсных задач. Включая ее в конкурс,
мы, в частности, хотели отдать дань уважения «вспомо-
гательной окружности», с которой столько раз встреча-
лись за последний год и с которой нам ие раз пред-
стоит еще встретиться.
Самой сложной оказалась задача 2956, которую мы
относили к категории «рабочих» задач с достаточно
очевидной идеей решения, правда, па пути ее реализа-
ции имеются серьезные технические трудности. Нельзя
не отметить, что ответ в этой задаче весьма неожидан.
Так что все участники конкурса, сумевшие, не споткнув-
шись, преодолеть весь маршрут от начала до конца, мы
надеемся, были вознаграждены (бывает ли вознаграж-
дение лучше!) красивым результатом.
Если трудность задачи 2956 все-таки можно было
заранее предвидеть, то второе место по сложности сре-
ди всех конкурсных задач задачи 2957 — неожидан-
ность. Тем более что ее нельзя отнести к разряду сов-
сем оригинальных, поскольку нечто подобное было
на вступительном экзамене на механико-математический
факультет МГУ лет 20 тому назад. У нас есть основа-
ние считать, что многие наши читатели при решении
этой задачи стали жертвой собственной небрежности.
Недочеты следующие: первый — рассмотрен только один
случай, когда плоскость, в которой расположен прямо-
угольный треугольник, параллельна основной биссектор-
ной плоскости двугранного угла; второй — разобраны
оба варианта расположения прямоугольного треугольни-
ка, но ие найдены или найдены неправильно ограниче-
ния на а, определяющие возможность реализации каж-
дого из этих вариантов. Кроме того, не все читатели
аккуратно и полно обосновали, почему плоскость пря-
моугольного треугольника должна быть параллельной
одной из двух биссекторных плоскостей.
Задача 2958, наоборот, оказалась проще, чем каза-
лась Обратим внимание на то, что доказанное нами и
а	а
многими нашими читателями соотношение---- — to—х
о	2
₽
X tg — наряду с общеизвестным условием равенства
сумм противоположных сторон является необходимым
и достатбчным условием для тбгб. чтобы в трапецию
можно было вписать окружность. Правда, в отличие от
последнего, обслуживающего любые четырехугольники,
доказанное в задаче 2958 условие верно лишь для тра-
пеций.
Практически все решения задачи 2959 основывались иа
той же идее, что и приведенное нами. Недочеты в ос-
новном связаны с границей найденной фигуры. Часть
читателей вопрос о границе попросту проигнорировали.
(Опять небрежность!) Некоторые исключили всю гра-
ницу получающейся «звездочки», не заметив, что пять
точек этой границы в искомое множество входят. Нам
кажется, что этот факт усиливает эстетическое воздей-
ствие задачи.
При подготовке конкурса мы предполагали, что за-
дача 2960 будет самой трудной. Однако, как оказалось,
мы недооценили упорство наших читателей, их умение
проделывать объемные выкладки. Участник конкурса
А. А. Симеонов из Болгарии в конце своего решения
эмоционально восклицает: «Координатный метод тор-
жествует!» Были и хорошие геометрические решения,
авторы которых получили небольшую надбавку «за
красоту». Решение, приведенное в этом номере, принад-
лежит читателю Е. М. Гольбергу. Оно оказалось не-
сколько короче, чем решение, предложенное автором
задачи, хотя п основывается на той же идее. Было
еще несколько подобных решений (В. Я. Зобнин, Г. Б.
Хасин, В. А. Юдаков, В. А. Ясинский). Хорошее реше-
ние, основанное на идее геометрических преобразова-
ний. прислали члены кружка 173-й школы Киева (рук.
В. и Ушаков).
Г. В. Дорофеев, И, Ф. Шарыгин (Москва)
Итоги конкурса
«Математика в школе» — 86
В конкурсе приняли участие 28 читателей журнала;
большинство участников в основном правильно и пол-
но решили все 12 предложенных иа конкурс задач.
Для сценки результатов конкурса была принята сле-
дующая система: каждая задача оценивалась в
100 баллов, которые поровну распределялись между
всеми решившими эту задачу. За определенные до-
стоинства решения начислялись дополнительные баллы,
например за оригинальность, за краткость решения за
близость метода решения к школьному курсу, за ин-
тересные методические комментарии и т. п. Кроме то-
го. недостатки решений оценивались «штрафными»
баллами; типичные недостатки указаны в «Замечаниях
к решениям задач».
Мы с удовлетворением отмечаем, что многие чита-
тели ие ограничивались в своих письмах чисто мате-
матическим решением; в ряде случаев они весьма об-
стоятельно комментировали особенности условий и ре-
шения задач, приводили разные способы решения, ука-
зывали вспомогательную литературу.
В результате подведения итогов победителями кон-
курса стали:
Е. М. Гольберг (Ленинград), В. Л. Дидковский
(Новоград-Волынский) и Г. Б. Хасин (Москва) —
46 баллов;
Ю. А Изосимов и С. С. Тасмуратов (оба из Астра-
хани) — 45 баллов;
В. Я. Зобнин (Л4осква) и А. А. Малахов (Евпато-
рия) — 44 балла;
Л1. Б. Эскеров (Дагестанская АССР, Хасавюртовский
р н, с. Куруш) и математический кружок 173-й шк.
Киева (рук. Р. П. Ушаков) —43 балла;
В. А. Юдаков (Иркутская обл., с. Ермаки) и
В. А. Ясинский (Винница) —42 балла.
Редколлегия журнала поздравляет победителей и
желает им дальнейших успехов.
G1
Сводка решений задач,
помещенных в № 2 за 1986 г«
Алирзаев А. А. '(АзССР) — 49, 50, 53, 55, 58. Аля-
ев А. В. (Пензенская обл.) — 50—55. Андреева А. Н.
(Саратов)—49—56, 58—60. Баранов Л. К (Яро-
славль) — 49—52, 54, 55, 57, 58. Герег И. А. (МССР) —
49—55, 57—60. Головачев Е. А. (Белгородская обл.) —
43, 44, 46—49, 51, 55, 58, 60. Гольберг Е. М. (Ленин-
град)— 49—60. Горбатый Е. 3. (Одесса)—41—43,
46—52, 55, 57—59. Дидковский В. Л. (Новоград-Во-
лынский) — 49—60. Егоров П. В. (Рязань) — 42—45,
47, 48, 50. Зубиташвили Г. И. (ГССР, г. Кварели) —
42, 47—53, 55, 58. Зурабишвили Г. А. (ГССР, г. Ква-
рели)— 49—55, 57—60. Зобнин В. Я. (Москва)—49—
60. Изосимов Ю. А. (Астрахань) — 49—60 Курга-
нов Т. К> (Ташкентская обл., г. Чирчик) — 42—45,
47—50, 52. Левко М. С. (Львовская обл.)—42—44,
46—48 Малахов А. А. (Евпатория) — 49—60. Мель-
ник Н. С. (Винницкая обл., г. Гайсин)—50, 52—55,
57—60. Повелий В. И. (Ровенская обл.) — 42—44, 49—
54, 57, 58, 60. Подкорытов Ю. А. (Московская обл.,
г Загорск) — 49—59. Пурэвдорж Д. (Улан-Батор) —
41—44. Романовский В. И. (Тамбовская обл.) — 49—
56, 58. 59 Садовин Л. Н. (Марийская АССР) —41, 44,
51, 55. Симеонов А. А. (Болгария, г. Своге)—41, 42,
45—48, 50, 51, 53—55, 58, 60. Симеонова Ц. К. (Бол-
гария, г Казаилык)—50, 52—54. Тасмуратов С С.
(Астрахань) — 49—60. М. Тухтабаев (Наманганская
обл.) — 49—52, 54, 55, 57—60. Фридлин Г. М. (Берди-
чев)—42, 45, 47, 48, 52, 54. Хасин Г. Б. (Москва)—•
49—60. Цакоев Б. М. (Рязань) — 42—44, 47, 48, 50.
Цхай Т. Т. (Андижан) — 42—46, 49—57, 59, 60. Чер-
касский О. А. (Киев)—49, 50, 53—60 Эскеров М. Б.
(Дагестанская АССР)—49—60. Эфендиев Я. Р. (Ба-
ку) — 42—45, 47—50, 52, 54. Юдаков В. А. (Иркут-
ская обл ) — 49—60. Ясиновый Э. А. (Куйбышев) —
52, 53, 55, 58. Ясинский В. А. (Винница) — 49—58, 60.
Математические кружки: индустриально-технологиче-
ского техникума г. Иджевана АрмССР (рук. 3. А Ала-
вердян) — 42, 44, 45, 47, 48; 46-й шк. Мурманска (рук.
В. Е. Андреев) —42—44, 46—48; восьмого класса 10-й
шк. г. Ангарска (рук. В. А. Васильева)—51, 52,
54, 55, 58; I курса Киевского автодорожного институ-
та (рук. И. Д4. Гальперин, А. М. Таранов)—42—44,
46—48, 50—54; 93 й шк. Киева (рук. М. Л. Кобозев) —
41—44, 49, 50, 52, 54—59; «Эврика» 79-й шк. Киева
(рук. В. Е. Куценок) — 42—44, 46—48, 50, 52, 55—59;
15-й шк. Целинограда (рук. Л П. Мережковский) —
42—46, 49—59; 38-й шк. Киева (рук. В. Я. Роженко) —
42—47; «Эврика» Дворца пионеров Астрахани (рук.
С. С. Тасмуратов)—42—48; 35-й шк. Кургантепинско-
го р-на Андижанской обл. (рук. М. М. Туйчиев) —
49—54; 173-й шк. Киева (рук. Р. П. Ушаков)—41 —
45, 47—60; «Массив 6 й шк. Еревана (рук. Р. А Ха-
лафян) —42—46; «Эврика» шк. с. Дашава Стрыйского
р-на Львовской обл. (рук. В. В, Юркив) — 42, 43 47,
48, 55.
Новые книги
Монографии.
Учебники и учебные пособия для высшей школы
Агапов Г. И. Задачник по теории вероятностей: Учеб-
ное пособие для студентов высшнх технических учеб-
ных заведений. М.: Высшая школа, 1986. 90 000 экз.
Брычков Ю. А., Маричев О. И., Прудников А. П.
Таблицы неопределенных интегралов. М.: Наука, 1986.
82 000 экз.
Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Выс-
шая математика в упражнениях и задачах: В 2 ч.
Ч. 2. Учебное пособие для вузов. 4-е изд., испр. и доп.
М.: Высшая школа, 1986. 110 000 экз.
Информатика: Учебное пособие для вузов/Под ред.
К. В. Тараканова. М.: Книга, 1986. 25 000 экз.
Колмогоров А. Н. Избранные труды: Теория вероят-
ностей и математическая статистика. М.: Наука, 1986.
7000 экз.
Морозов В. В., Сухарев А. Г., Федоров В. В. Иссле-
дование операций в задачах и упражнениях: Учебное
пособие для вузов. М.: Высшая школа, 1986. 22 000 экз.
Справочное пособие по математическому анализу:
Ряды, функции векторного аргумента, кратные и кри-
волинейные интегралы / И. И. Ляшко и др. 2-е изд.,
перераб. и доп. Киев: Вища школа, 1986. 20 000 экз.
Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифферен-
циальные уравнения: Качественная теория с приложе-
ниями/Пер. с англ. М.: Мир, 1986. 12 900 экз.
Учебники и учебные пособия для средней школы.
Научно-популярные книги
Алгебра: Пробный учебник для 7 класса. 4-е изд.,
перераб./Ш. А. Алимов и др. М.: Просвещение, 1986.
355 000 экз.
Александров А. Д., Вериер А. Л., Рыжик В. И.
Геометрия: Пробный учебник для 8 класса. М.: Про-
свещение, 1986. 46 000 экз.
Геометрия: Пробный учебник для 7 класса. 4-е изд.,
перераб./Л. С. Атанасян и др. М.: Просвещение, 1986.
355 000 экз.
Карцев В. Л. Приключения великих уравнений. Зе
изд, перераб. и доп. М.: Знание, 1986. 100 000 экз.
Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н.
Алгебра: Пробный учебник для 8 класса. М.: Просве-
щение, 1986. 32 500 экз.
Прасолов В. В. Задачи по планиметрии: В 2 ч. Ч. 2.
М.: Наука, 1986.— (Б-ка математического кружка).
130 000 экз.
Стратилатов П. В. Сборник задач по геометрии для
9—10 классов: Пособие для учителя. М.: Просвещение,
1986. 207 000 экз.
Шарыгии И. Ф. Задачи по геометрии (планиметрия).
2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1986. (Б ка
«Квант». Вып. 17). 150 000 экз.
Штейнгауз Г. Сто задач / Пер с польск 4 е изд М.:
Наука, 1986. 450 000 экз.
Методика преподавания
Изучение основ информатики и вычислительной тех-
ники: Методическое пособие для учителей и преподава-
телей средних учебных заведений: В 2 ч. Ч. 2./Под
ред. А. П. Ершова, В. М. Монахова. М.: Просвещение,
1986. 213 000 экз
Канин Е. С., Канииа Е. М., Чернявский М. Д.
Упражнения по началам математического анализа в
9—10 классе: Книга для учителя. М: Просвещение,
1986. 145 000 экз.
Красницкая Г. С. Самостоятельная работа учащихся
педучилищ по курсу «Методика формирования элемен-
тарных математических представлений»: Учебное посо-
бие для педучилищ. М.: Просвещение, 1986. 98 000 экз.
Кудрявцев С. В., Макарычев Ю. Н., Сорокина Е. М.
Дидактические материалы по алгебре для 7 класса:
Пособие для учителя. 3-е изд., перераб. М.: Просвеще-
ние. 1986. 87 000 экз
Щетинин М. П. Объять необъятное: Записки педаго-
га М.: Просвещение, 1986. 150 000 экз.
Эрдниев П. М„ Эрдниев Б. П Укрупнение дидакти-
ческих единиц в обучении математике: Книга для учи-
теля. М.; Просвещение, 1986. 60 000 экз
Ф. М. Шустеф (Минск)
62
• МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИКИ
НАШЕГО ВРЕМЕНИ
Выдающийся ученый
современности
Исполнилось 80 лет академику Андрею Ни-
колаевичу Тихонову, одному из крупнейших
ученых и организаторов науки и образования
в нашей стране. Его научное творчество пред-
ставляет собой образец сочетания первоклас-
сных достижений в самых абстрактных об-
ластях теоретической математики с глубоки-
ми исследованиями прикладных математиче-
ских проблем, непосредственно связанных с
потребностями практики и народного хозяй-
ства. А. Н. Тихонову принадлежат фундамен-
тальные, основополагающие результаты во
многих разделах современной математики и
ее приложений: в топологии и функциональ-
ном анализе, в теории дифференциальных и
интегральных уравнений, в вычислительной
математике и математической физике, в тео-
рии построения и исследования математиче-
ских моделей различных естественнонаучных
задач. Он внес огромный вклад в создание
и развитие ряда принципиально новых науч-
ных направлений, таких, например, как ме-
тоды решения некорректно поставленных за-
дач, системы автоматизированной обработки
результатов крупных научных экспериментов.
А. Н. Тихонов родился в г. Гжатске (ныне
г. Гагарин) Смоленской области. С 13 лет
работал конторщиком на железной дороге.
В 1922 г. закончил вечерние общеобразова-
тельные курсы и поступил на математическое
отделение физико-математического факуль-
тета Московского университета, по окончании
которого учился в аспирантуре Института ма-
тематики МГУ. В конце 20-х гг. работал учи-
телем математики в средней школе. Свою
научную деятельность Андрей Николаевич на-
чал в 18-летнем возрасте^ Еще в студенче-
ские годы он получил замечательные резуль-
таты в области топологии, вскоре принесшие
ему мировую известность. С 1936 г. А. Н. Ти-
хонов является профессором Московского
университета. С этого же времени до 1971г.
возглавлял кафедру математики физического
факультета МГУ. В 1939 г. его избирают чле-
ном-корреспондентом Академии наук СССР.
В 1953 г. за выдающиеся достижения в об-
ласти математической физики А. Н. Тихоно-
ву было присвоено звание Героя Социалисти-
ческого Труда и присуждена Государственная
премия СССР первой степени. В 1966 г. за
работы по созданию методов решения некор-
ректно поставленных задач он был удостоен
Ленинской премии. В том же году избран в
действительные члены Академии наук СССР.
В 1976 г. за работы по оптимальному мате-
матическому проектированию сложных физи-
ческих систем А. Н. Тихонов становится лау-
реатом еще одной Государственной премии
СССР. В 1981 г. ему присуждена премия Со-
вета Министров СССР.
В 1970 г. при активном и определяющем
участии А. Н. Тихонова в Московском универ-
ситете был образован факультет вычислитель-
ной математики и кибернетики. Андрей Ни-
колаевич с момента создания факультета яв-
ляется его деканом и возглавляет крупней-
шую кафедру этого факультета — кафедру
математической физики. Кроме того, с 1979 г.
является директоро1м Института прикладной
математики АН СССР им. М. В. Келдыша —
института, вносящего огромный вклад в на-
учно-технический прогресс.
Первые научные результаты А. ЕГ. Тихоно-
ва относятся к топологии и функционально-
му анализу. Чтобы дать хоть какое-то пред-
ставление об этих результатах, напомним, что
координатная плоскость и трехмерное коор-
динатное пространство представляют собой
произведение двух и соответственно трех чис-
ловых прямых. А. Н. Тихонов ввел общее
понятие произведения любого семейства то-
пологических пространств и доказал ряд фун-
даментальных утверждений, связанных с этим
понятием. Построенная им «тихоновская то-
пология» прочно вошла в арсенал основопо-
лагающих понятий современной топологии.
Она является фундаментом не только совре-
менной топологии, но и ряда разделов теории
групп, функционального анализа, теории ди-
намического программирования. По поводу
тихоновской топологии академик П. С. Алек-
сандров, научный руководитель Андрея Ни-
колаевича, писал: «Найти ее, усмотреть ее,
63
действительно было настоящим открытием, от-
крытием в океане теоретико-множественной ма-
тематики нового континента, названного по име-
ни открывшего его мореплавателя тихоновским
кубом». И далее: «... значительность топо-
логических результатов А. Н. Тихонова вы-
ражается не только в их фундаментальности
в топологии и широкой применимости за пре-
делами топологии, она не в меньшей степени
выражается в том, что топологические от-
крытия А. Н. Тихонова и теперь, через пол-
столетия после того, как они сделаны, про-
должают постоянно вдохновлять математиков
на значительные и интересные математиче-
ские исследования».
От исследований в области топологии Анд-
рей Николаевич перешел вскоре к изучению
общих вопросов теории дифференциальных и
интегральных уравнений и исследованию ак-
туальных задач геофизики и электродинами-
ки. Первые же работы А. Н. Тихонова по
уравнениям в частных производных получили
международное признание и оставили глубо-
кий след в науке. Они были связаны с зада-
чами геофизики, в частности с проблемой вос-
становления исторического климата Земли.
Отталкиваясь от конкретных прикладных за-
дач, Андрей Николаевич рассмотрел ряд
фундаментальных общематематических проб-
лем. Особо следует отметить ставшую теперь
классической работу об условиях, обеспечи-
вающих существование и единственность ре-
шения задачи Коши (т. е. задачи с заданны-
ми начальными условиями) для уравнения
теплопроводности. Идеи, заложенные в этой
работе, как и во многих других работах
А. Н. Тихонова, получили затем развитие в
исследованиях многих ведущих советских и
зарубежных математиков.
К работам А. Н. Тихонова по уравнениям
в частных производных относится и его док-
торская диссертация, защищенная в 1936 г.
В ней Андрей Николаевич ввел понятие функ-
ционального уравнения типа Вольтерра и
изучил условия применимости для решения
этого уравнения метода последовательных
приближений Пикара и метода полигональ-
ных приближений Коши — Липшица. В каче-
стве приложений полученных результатов был
рассмотрен ряд задач о распространении теп-
ла. Эти результаты были положены в основу
исследований физических свойств поверхности
Луны академиком В. Г. Фесенковым в
1939 г.
В кратком обзоре нет возможности даже
упомянуть обо всех важных результатах Анд-
рея Николаевича по уравнениям математиче-
ской физики. Отметим лишь некоторые из
них, связанные с фундаментальными задача-
ми геофизики и электродинамики. А. Н. Ти-
хонов построил строгую м'атематическую тео-
рию термопары, изучил влияние радиоактив-
ного распада на температуру земной коры,
провел фундаментальные исследования по
развитию электромагнитных методов зондиро-
вания земной коры и мантии (что имеет важ-
ное значение для разведки глубоко залегаю-
щих полезных ископаемых), предложил но-
вые методы изучения электрического строе-
ния земной коры на базе применения
естественного электромагнитного поля Земли,
получившие широкое применение в нашей
стране и ряде зарубежных стран, дал обос-
нование этих методов для получения элект-
рического разреза земной коры.
При решении указанных задач принципи-
альную роль играла рассмотренная А. Н Ти-
хоновым проблема устойчивости обратных
задач. Что это такое — обратные задачи? При-
ведем пример. Если заданы источники элект-
ромагнитного поля — заряды и токи, то зада-
ча нахождения самого электромагнитного поля
по заданным источникам представляет собой
прямую задачу. Малое изменение источников
приводит к малому изменению поля. Это
означает, что прямая задача устойчива. На
практике часто приходится решать обратную
задачу: по известному электромагнитному
полю, найденному с помощью измерений, тре-
буется найти распределение его источников.
Так, в случае электромагнитного поля Зем-
ли мы можем измерить его на поверхности
Земли и по этим измерениям пытаться вос-
становить распределение источников поля
внутри Земли (понятно, что найденное рас-
пределение источников — компас для развед-
ки полезных ископаемых). Так как всякое
измерение не бывает абсолютно точным и
дает лишь приближенную информацию об
электромагнитном поле, то естественно воз-
никает вопрос об устойчивости данной обрат-
ной задачи. Как правило, обратные задачи
оказываются неустойчивыми, и поэтому воз-
никает фундаментальная проблема разработ-
ки устойчивых методов их решения. Эти
вопросы входят составной частью в проблемы
решения некорректно поставленных задач,
о чем пойдет речь ниже.
Как уже отмечалось, многие работы
А. Н. Тихонова послужили началом крупных
направлений современной математики и ма-
тематической физики. В качестве еще одного
примера отметим три его статьи, опубликован-
ные в 1948—1952 гг. и посвященные исследо-
ванию систем обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений с малыми параметрами при
производных. Такие системы выступают в
качестве математических моделей во многих
задачах механики, физики, химии, биологии.
Между тем решить их известными тогда ме-
64
годами оказалось невозможно. А. Н. Тихо-
новым была доказана для таких систем «тео-
рема о предельном переходе», позволяющая
заменить исходную систему уравнений более
простой! инс ее помощью получить прибли-
женноезтргатеение исходной системы. Из этих
трех статей Андрея Николаевича выросло
целое направление в области дифференци-
альных уравнений и математической физики,
носящее теперь название «теория сингуляр-
ных возмущений». В этом направлении с
успехом работают многие известные математи-
ки как в нашей стране, так и за рубежом.
Термин же «тихоновская система» по праву
стал общепринятым в теории дифференци-
альных уравнений с малыми параметрами.
Фундаментальный вклад внес А. Н. Тихо-
нов в развитие вычислительной математики
и применение вычислительного эксперимента
при решении многих задач естествознания и
практики. Как известно, задачи современно-
го естествознания настолько сложны, что
решение их без использования мощной вы-
числительной техники невозможно. Наряду
с потребностями в совершенной вычислитель-
ной технике не менее острой является по-
требность в соответствующих численных ме-
тодах решения актуальных научных и прак-
тических задач. Совместно со своим учеником,
академиком А. А. Самарским, А. II. Тихонов
разработал теорию однородных разностных
схем, предназначенных для численного реше-
ния широких классов задач. Ими были сфор-
мулированы важнейшие принципы построе-
ния разностных схем такие, например, как
принцип консервативности. Научный коллек-
тив, возглавляемый А. Н. Тихоновым и
А. А. Самарским, исследуя процессы расши-
рения плазменного столба в магнитном поле,
путем вычислительного эксперимента открыл
новое физическое явление образования высо-
котемпературного слоя плазмы, получившее
название «эффект Т-слоя». Следует особо
подчеркнуть, что этот эффект был открыт не
путем физического (натурального) экспери-
мента, а с помощью эксперимента вычисли-
тельного, путем численного решения задачи с
применением вычислительной техники. Эф-
фект Т-слоя был зарегистрирован как от-
крытие и впоследствии получил многочислен-
ные подтверждения в физических экспери-
ментах.
Одним из наиболее ярких достижений со-
временной науки является разработанный
А. Н. Тихоновым устойчивый метод решения
некорректно поставленных задач. К их чис-
лу относятся уже упомянутые обратные за-
дачи. Приведем еще один простой пример
некорректно поставленной задачи, который
вполне доступен для школьников старших
классов, знакомых с понятием производной.
Пусть требуется найти производную функ-
ции при условии, что сама функция известна
не точно, а приближенно (такая ситуация,
когда исходная информация задана прибли-
женно, типична для прикладных задач). Эта
задача является некорректно поставленной, так
как сколь угодно малая погрешность в за-
дании функции может привести к сколь угод-
но большой погрешности при вычислении про-
изводной. В самом деле, производная функ-
ции у (х) есть предел отношения приращения
Ду
функции к приращению аргумента:	4*'
Ясно, что если функция задана приближенно,
то и ее приращение At/ известно лишь при-
ближенно. Но даже очень малая погрешность
значения у (х) приведет к большой погреш-
ности значения при достаточно малых Дх.
Как же в таком случае отыскать приближен-
ное значение производной? Ответ на этот
и многие другие вопросы дает тихоновский
метод решения некорректно поставленных за-
дач. Если попытаться в самой общей форме
сформулировать идею этого метода примени-
тельно к примеру с вычислением производ-
ной, то можно сказать, что для получения
приближенного значения производной нельзя
брать сколь угодно малые Ах, нужно согла-
совывать величину Дх с погрешностью вели-
чины At/. Как это сделать, показывает тихо-
новский метод.
До работ А. Н. Тихонова господствовало
мнение, что некорректно поставленные за-
дачи не могут служить математическими мо-
делями физической реальности. Создав устой-
чивый метод их решения, получивший назва-
ние «метода регуляризации Тихонова», Анд-
рей Николаевич доказал право на жизнь та-
ких задач. Роль некорректно поставленных
задач как математических моделей резко
возросла. С помощью тихоновского метода
регуляризации были решены многие важней-
шие задачи как в самой математике, так и
в ее многочисленных приложениях. Можно
отметить обратные задачи геофизики, реше-
ние которых существенно повысило точность
обнаружения полезных ископаемых, астрофи-
зики, где невозможно непосредственное изу-
чение космических объектов, а возможно ис-
следование их лишь на основе обработки кос-
венных измерений, оптической и нейтронной
спектроскопии, задачи диагностики плазмы,
задачи распознавания образов (в частности,
задачи медицинской томографии, состоящие в
изучении строения человеческого мозга на
базе измерения внешних полей, возбуждае-
мых источниками внутри мозга и в его обо-
65
лочке, и приведшие к революционному скач-
ку в медицинской диагностике), задачи ма-
тематической экономики и оптимального уп-
равления.
Под руководством А. Н Тихонова разра-
ботан принципиально новый подход к реше-
нию задач математического проектирования
сложных физических систем. Им сформулиро-
ваны основные принципы создания таких си-
стем. При непосредственном участии Андрея
Николаевича создан ряд систем автоматиче-
ской обработки результатов физических экс-
периментов, ему принадлежит принципиально
новый подход к решению задач интерпретации
результатов наблюдений, управ тения науч-
ным экспериментом и технологическим про-
цессом.
Далеко не все, что сделано в науке Андре-
ем Николаевичем Тихоновым, отражено в
этой статье. Но уже перечисленное дает
представление о необычайной масштабности
научной деятельности крупнейшего ученого
нашего времени. Научное творчество Андрея
Николаевича длится уже более 60 лет и не
иссякает, несмотря на то что у него отнимает
много времени колоссальная организаторская
деятельность. В этом году А. Н. Тихонов по-
лучил новые глубокие результаты, относя-
щиеся к решению задач с неточно заданной
информацией.
Андрей Николаевич Тихонов не только вы-
дающийся ученый и организатор науки, но и
блестящий педагог, требовательный, справед-
ливый, отзывчивый. Неоценима его роль в
подготовке научных кадров страны. Среди
учеников Андрея Николаевича более пятиде-
сяти докторов наук, много членов Академии
наук СССР и республиканских академий.
Под руководством и при непосредственном
участии А. Н. Тихонова создан многотомный
«Курс высшей математики и математической
физики» для университетов, получивший ши-
рокое признание в нашей стране и за рубе-
жом. Андрей Николаевич возглавляет науч-
но-методический совет по математике при
Минвузе СССР.
Значительна роль А. Н. Тихонова в поста-
новке и развитии школьного математического
образования в нашей стране. Он явился од-
ним из инициаторов исправления подвергше-
гося в последние годы критике положения дел
со школьной математикой. Под его руковод-
ством были разработаны экспериментальные
программы. Авторские коллективы, «доданные
Минпросом РСФСР, научное руководство ко-
торыми согласился взять на себя А. Н. Ти-
хонов, подготовили соответствующие экспери-
ментальной программе пробные учебники для
начальной и средней школы. В настоящее
время по этим учебникам ведется преподава-
ние в школах 9 территорий РСФСР.
А Н. Тихонов является членом комиссии
ЦК КПСС по реформе общеобразовательной
и профессиональной средней школы. Широко
известны его выступления на коллегиях Мин-
просов СССР и РСФСР по различным аспек-
там преподавания математики в школе. Важ-
нейшие тезисы этих выступлений — учебники
должны быть доступны для школьника, да-
вать возможность самостоятельно учиться по
ним, обеспечивать научный уровень, отве-
чающий потребностям народного хозяйства.
Завершая краткий обзор яркой деятельно-
сти А. Н. Тихонова, хочется особо подчерк-
нуть ее многогранность. И каждое дело, за
которое берется Андрей Николаевич, он вы-
полняет с предельной добросовестностью, не
жалея ни сил, ни времени.
29 октября 1986 г. Президиум Верховного
Совета СССР за выдающиеся заслуги в раз-
витии математической науки, подготовке науч-
ных кадров и в связи с 80-летием со дня рож-
дения наградил академика Андрея Николаеви-
ча Тихонова орденом Ленина и второй золотой
медалью «Серп и Молот». За большой вклад
в народное образование А. Н. Тихонов удосто-
ен высшей педагогической награды — медали
Н. К- Крупской.
Андрей Николаевич Тихонов полон неисся-
каемой энергии и новых творческих замыслов.
От всей души пожелаем ему доброго здо-
ровья, счастья и новых выдающихся свер-
шений.
Л. С. Атанасян, В Ф Бутузов, С. Б. Кадомцев,
Ю. М, Колягин, Э. Г. Позняк
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕНДАРЬ НА 1986,87 УЧЕБНЫЙ ГОД
Январь
1 января — 200 лет со дня смерти
(дата рождения неизвестна) порту-
гальского математика Жозе Анаста-
сио да Кунья (1744—1787), вы-
дающегося предшественника той
реформы исчисления бесконечно
малых, которую проводили Б. Боль-
цано, К. Гаусс, О. Коши и другие
математики XIX (см.: Историко-
математические исследования. Вып.
XVIII. М.: Наука, 1973. С. 157—175),
1 января — 75 лет со дня рождения
советского математика академика
АН УССР Бориса Владимировича
Гнеденко (см.: Успехи математи-
ческих наук, 1972. Т. 27. Вып. 2; 1982.
Т. 37. Вып. 6; Математика в школе,
1972. № 1; 1982. № 1).
1 января — 70 лет со дня рождения
советского математика Залмана Ал-
теровича Скопеца (1917—1984)
(см.: Математика i школе, 1976. №6;
1985. № 1).
2 января — 90 лет со дня рождения
советского математика и логика Ва-
лерия Ивановича Гливенко
(1897—1940) (см.: Математика в шко-
ле, 1966. № 6).
3 января — 70 лет со дня рождения
советского математика, академика
АН СССР и АН УССР Юрия Алек-
сеевича Митропольского (см.:
Украинская Советская Энциклопе-
дия. 2-е изд.; Успехи математиче-
ских наук. 1977. Т. 33. Вып. 1; Ма-
тематика । школе. 1966. № 2).
11 января — 80 лет со дня рождения
советского математика эаслуженно-
г< деятеля науки РСФСР Степана
Павловича Пулькина (1907—
1980) (см.: Математика в школе.
1967. № 2; 1980. № 5).
13 января — 150 лет со дня рожде-
ния русского математика, члена-кор-
респондента Петербургской АН
Алексея Васильевича Летникова
(1837—1888).	Осно ные труды От-
носятся к теории дифференциаль-
ных уравнений и теории функций.
Один из основателей Московского
математического общества (см.: Ис-
тория отечественной математики.
Т. 2. Киев: Наукова думка, 1967; Юш-
кевич А. П. История математики
России до 1917 года. М.: Наука,
1968).
14 января—100 лет со дня рожде-
ния польского математика, члена
Польской АН Хуго Дионисия
Штейнгауза (1887—1972). Ос-
новные труды относятся к теории
рядов, теории вероятностей, топо-
логии, теории выпуклых тел. Ав-
тор интересных научно-популярных
работ по математике, из которых
часть переведена на русский язык
(см.: Боголюбо А. Н. Математики.
Механики: Биографический справоч-
ник. Киев: Наукова думка, 1983).
Февраль
3 февраля — 70 лет со дня рожде-
ния советского математика Георгия
Евгеньевича Шилова (1917—1975).
Основные труды относятся к функ-
циональному внализу и дифференци-
альным уравнениям частных про-
изводных (Успехи математических на-
ук. 1976. Т. 31. Вып. 1; Математика
в школе. 1966. № 6).
4 февраля — 60 лет со дня рожде-
ния советского математика, акаде-
мика АН ГССР, члена корреспонден-
та АН СССР, лауреата Ленинской
премии Реваза Валериановича Г а м-
крелидзе (см.: Математика в'
школе. 1976. № 6).
14 февраля — 70 лет со дня рожде-
ния советского математика Шоты
Степановича Кемхадзе. Основные
труды относятся к теории групп и
методике преподавания математики.
Автор учебных пособий по алгебре
на грузинском языке. Заслуженный
деятель науки ГССР.
А. И. Бородин (г. Донецк)
В 1985 г. исполнилось
230 лет со дня рождения видного
деятеля математического образова-
ния России XVIII в. Михаила Ев-
сеевича Головина (1756—1790).
Родился в крестьянской семье в се-
ле Мажигор Архангельской гу-
бернии. Его мать, Мария Васильев-
на, была сестрой М. В. Ломоносова.'
Начальной грамотой овладел дома
не без помощи своего знаменитого
дяди. Хотя в то время крестьянских
детей запрещалось принимать даже
в цифирные школы, Ломоносов не-
задолго до своей кончины сумел
определить 9-летнего Мишу i гим-
назию при Академии наук.
Окончив гимназию, молодой человек
обучался в университете при акаде-
мии, где изучал математику под
руководством Эйлера, и добился та-
ких успехов, что Эйлер рекомендо-
вал его для работы академии.
В 1776 г. Головин стал адъюнктом
академии. Как и большинство адъ-
юнктов, готовил различные материа-
лы к конференциям, делал перево-
ды, участвовал в комиссиях, рас-
сматривавших различные технические
предложения. Вместе с Фуссом вы-
полнял секретарские обязанности у
Эйлера, который к тому времени
ослеп и мог только диктовать свои
работы. С 1776 по 1780 г. Головин
представил академии 78 мемуаров
Эйлере и 29 из них доложил на
конференциях.
Свободно владея французским, не-
мецким и латинским языками, Го-
ловин выполнял значительную рабо-
ту по переводу на русский язык
различных учебных пособий. Пере-
вел пособие Эйлера по строению и
вождению кораблей, «сочиненное
пользу учащихся навигации», книгу
де Ле-Ланда по астрономии. Голо-
вину принадлежат также весьма удач-
ные оригинальные учебники. На-
писанное им пособие «Плоская и
сферическая тригонометрия с алгеб-
раическими доказательствами...»
(1789) по своему научному уровню
превосходило многие русские и
иностранные учебники того времени.
Изложение нем построено по
Эйлеру, использованы ставшие те-
перь привычными для нас обозна-
чения и записи формул. Пособие
выдержало несколько изданий и
оказало заметное влияние на учеб-
ники тригонометрии для техниче-
ских школ и гимназий, созданные
другими авторами.
Михаил Евсеевич Головин много
сделал для развития системы на-
родного образования России.
В 1782 г. он входил в состав ко-
миссии, которая разработала Устав
народных училищ, определив их
положение, состав учащихся, под-
готовку учителей для этих учебных
заведений и издание учебников.
С 1783 г. он преподавал в Петер-
бургском главном народном учили-
ще, которое было создано для под-
готовки учителей.
Положение М. Е. Головина i акаде-
мии было очень сложным, что При-
вело к тому, что в 1786 г. он по-
лучил академии отставку, хотя
продолжал в ней работу по изда-
нию трудов М. В. Ломоносова.
В 1786 г. из Петербургского глав-
ного народного училища выделилась
Учительская семинария, где Голо-
вин стал профессором математики
и физики. Первые педагогические
учебные заведения подготовили прел
подавателей, которые ствли рабо-
тать различных уголках страны.
Возросшее число преподаватель-
ских кадров позволило открыть глав-
ные народные училища еще
26 губернских городах, а в уезд-
ных городах — малые народные учи.
лища. Для этих учебных заведений
необходимо было создать специаль-
ные учебники по арифметике, по-
скольку переводные руководства бы-
ли неудачны. В 1786 г. М. Е. Голо-
ин написал «Руководство к ариф-
метике». Придавая большое зна-
чение методике преподавания ариф-
метики, он посвятил этому вопросу
введение к своей книге. Другие его
учебники для народных училищ —
«Краткое руководство к физике» и
«Краткое руководство к геометрии»—
1ыдержали много изданий. В целом
учебники Гол >ина составили набор
руководств по обучению в народ-
ных училищах.
3. В. Шепелева (Москва)
67
100 лет со дня рождения известно-
го русского педагога-математика
Николая Александровича А гро-
мом о в а (1886—1929). Родился в
Риге в семье педагога. Среднее
образовение получил гимназиях
Риги и Вологды, высшее — в Пе-
тербургском университете. С 1910 г.
преподавал в средних учебных за-
ведениях г. Ревеля (ныне Таллин).
В 1915—1917 гг. издавал для учи-
телей и учащихся «Математический
листок» (о нем см. статью того же
автора в этом номере журнала).
Н. А. Агрономов не остался в сто-
роне от революционных событий
1917 г. Он был назначен первым
председателем Эстляндского учитель-
ского профессионального объеди-
нения, принимал активное участие
в организации Народного универси-
тета в Ревеле.
В последующие годы работал в
Ставропольском сельскохозяйствен-
ном институте доцентом, профессо-
ром, а затем и ректором. С 1923 г.
заведовал кафедрой математики во
Владивостокском университете. С
именем Агрономова связано созда-
ние на Дальнем Востоке Научно-
педагогического общества, подго-
товка и проведение математических
конференций и съезда преподавате-
лей математики и физики Дальне-
восточного края. Н. А. Агрономов—
автор 150 работ (по далеко непол-
ным данным), в том числе несколь-
ких учебных пособий по математи-
ке. Основное направление его ис-
следований — геометрия треуголь-
ника и решение неопределенных
уравнений целых числах.
В. К. Смышляев
70 лет со дня рождения одного из
крупных специалистов в области
прикладной математики, доктора
физико-математических наук, чле-
на-корреспондента АПН СССР Ива-
на Семеновича Бровикова
(1916—1981). Родился в с. Опалиха
под Рязанью в многодетной кресть-
янской семье. В 1939 г. закончил
механико-математический факультет
МГУ и был направлен на работу i
пединститут Коми АССР. Во время
Великой Отечественной войны И. С.
Бровиков рядах Советской Армии
прошел ратный путь от Москвы до
Берлина. Награжден орденом Крас-
ной Звезды и боевыми медалями.
После войны был зачислен аспи-
рантуру НИИ механики при МГУ.
Одновременно работал Океаногра-
фическом институте. За исследова-
ния по теории ветрового волнения—
одной из важнейших проблем гео-
физики — удостоен премии им. Ю. М.
Шокальского. Результаты этих ис-
следований легли в основу доктор-
ской диссертации И. С. Бровикова
и его доклада на II сессии Между-
народного совета геодезии и гео-
физики (1957, Торонто).
И. С. Бровиков плодотворно совме-
щал свою научную деятельность с
педагогической. Читал лекции по
приложениям математики на гео-
графическом факультете МГУ, кур-
сы высшей математики в Академии
авиационной промышленности, в За-
очном институте советдкофпторговли
и Всесоюзном заочном ягИиституте
текстильной и легкой промышленно-
сти, где более 20 лет заведовал ка-
федрой. Им написаны учебные по-
собия для студентов по линейному
программированию, монография «Ма-
тематические методы анализа в тор-
говле», которые по ясности изло-
жения пользуются репутацией луч-
ших пособий. Под его редакцией
была выпущена «Аннотированная
библиография работ на русском
и иностранном языках по исследо-
ванию волн цунами за период
1726—1962 гг.». Имя И. С. Брови-
кова занесено в «Американскую эн-
циклопедию» («Encyclopedia Ameri-
cana», 1968, v. IV). 8 течение ряда
лет он входил в состав ученых со-
ветов МОПИ им. Н. К. Крупской,
МГПИ им. В. И. Ленина, НИИ СиМО
АПН СССР, бы?1 членом экспертной
комиссии ВАК при Минвузе СССР,
членом Президиума Комитета п(
прикладной математике и вычисли-
тельной технике (ВСНТО СССР), уча-
ствовал в работе редакционного со-
вета журнала «Математика в шко-
ле». С 1975 г. до конца своей жиз-
ни руководил работой научно-мето-
дического семинара при АПН СССР
«Передовые идеи в преподавании
математики в СССР и за рубежом».
Фаина Михайловна
Барчунова
В ноябре 1986 г. учителя Москвы
сердечно поздравили с юбилеем
большого мастера педагогического
труда, члена комиссии по математи-
ке УМСа при МП СССР, заслужен-
ного учителя школы РСФСР, члена
КПСС с 1956 г. Ф. М. Барчукову.
8 14 лет Фаина Михайловна окон-
чила Малаховскую опытную школу-
десятилетку, где учителями матема-
тики работали Н. Н. Лузин и П. Я.
Дорф. Увлеченность учителей шко-
лы пробудила у нее уже в млад-
ших классах интерес к профессии
педагога. Однако, на некоторое вре-
мя оставив свою мечту стать учи-
телем, она работала в ЦАГИ чер-
тежницей и одновременно училась
на вечернем отделении авиационно-
го техникума. Лишь в 1936 г. ее
мечта осуществилась, она поступила
на физико-математический факуль-
тет МГПИ им. В. И. Ленина.
По окончании института, начиная с
1940 г. по настоящее время, вся
деятельность Ф. М. Барчуновой не-
разрывно связана с преподаванием
математики в школе. Она работала
учителем, заместителем директора
по учебной части; в течение многих
лет была районным методистом.
С первых дней перехода школ
страны на новые программы и
учебники по математике Фаина
Михайловна проводит большую ра-
боту по оказанию теоретической и
методической помощи учителям в
решении конкретных задач рефор-
мы школы. Она читает курс лекций
в Московском городском ИУУ, с
учителями математики Калининско-
го района систематически проводит
семинар по внедрению в школу
учебника геометрии А. В. Погоре-
лова. Разработанную ею систему
уроков на основе ведущих идей
теории оптимизации учебно-воспита-
тельного процесса используют в
своей работе учителя не только
Москвы, но и многих других райо-
нов страны.
В своих разработках Фаина Ми-
хайловна постоянно пропагандирует
активные методы обучения, направ-
ленные на поддержание и развитие
интереса всех учащихся к изучению
математики. Арсенал ее методов
разнообразен: работа над учебной
литературой на уроках и во внеуроч-
ное время, широкое применение
технических средств обучения, ис-
пользование устных упражнений и
математических диктантов, способст-
вующих развитию логического мыш-
ления учащихся, и др.
Многие годы Фаина Михайловна
Барчунова сотрудничает с редакци-
ей журнала «Математика школе»:
на его страницах делится опытом
по вопросам методики преподава-
ния математики, как рецензент ока-
зывает действенную помощь авто-
рам статей и пособий.
Поздравляя Фаину Михайловну с
юбилеем, желаем ей доброго здо-
ровья, многих лет новых творческих
поисков и свершений.
О. А. Козлова, Н. П. Прасолова,
С. М. Саакян
И. Т. Бородуле — 70 лет
Иван Тимофеевич Бородуля родился
в г. Гудовке Суражского района
Брянской области. По окончании
рабфака при МВТУ им. Н. Э. Баума-
на поступил на физико-математиче-
ский факультет МГПИ им. В. И. Ле-
нина. Еще будучи студентом, начал
работать учителем.
В тяжелые для нашей Родины го-
ды Великой Отечественной войны
Иван Тимофеевич находился в ря-
дах Советской Армии. В 1944 г. во
68
время боез у озера Балатон был
принят в партию. После демобили-
зации И. Т. Бородуля возвратился
к мирному труду. Он успешно соче-
тал работуо’учителя школы и пре-
подавателя Муза настоящее вре-
мя ИваймопТимофеевич— методист
ОктябрыЯАйФ района Москвы. Он
учит учителей современным мето-
дам преподавания, много времени
уделяет методике совершенствова-
ния обучения и воспитания учащих-
ся.
И. Т. Бородуля — автор ряда пе-
чатных трудов по математике, пред-
назначенных для учителей и сту-
дентов.
Ратный и мирный труд Ивана Ти-
мофеевича отмечен правительствен-
ными наградами. Ему присвоено по-
четное звание «Заслуженный учи-
тель школы РСФСР».
Коллеги и друзья, многочисленные
ученики желают юбиляру хорошего
здоровья и долгих лет жизни.
Ю. П. Дудницын, А. Н Родионов,
В. В. Рыжков
Е. С. Канину — 60 лет
Математический факультет Кировско-
го пединститута отметил 60-летие
заведующего кафедрой математиче-
ского анализа и методики препода-
вания математики Евгения Степано-
вича Канина.
Евгений Степанович родился
г. Великом Устюге Вологодской об-
ласти. Участник Великой Отечествен-
ной войны, он с 1943 по 1950 г. на-
ходился в рядах Советской Армии,
имеет воинские награды.
1955 г. Е. С. Канин с отличием
окончил физико-математический фа-
культет Кировского педагогиче-
ского института и был оставлен на
кафедре математического анализа
и методики математики ассистентом.
В 1965 г. он защитил кандидатскую
диссертацию, в 1967 г. получил зва-
ние доцента.
Широки и разнообразны научные
интересы Е. С. Канина: проблемы
обучения решению задач и изуче-
ния функций, методика формирова-
ния алгебраических умений и навы-
ков учащихся и изучение элементов
математического анализа в школь-
ном курсе математики. Он является
одним из авторов «Методики пре-
подавания математики» (Просвеще-
ние, 1985), четвертого издания «Ма-
тематической шкатулки» (Просвеще-
ние, 1984). Всего перу Е. С. Канина
принадлежит 9 книг и 51 статья,
опубликованных в центральных и
областных издательствах.
В настоящее время математиче-
ский факультет Кировского педин-
ститута ведет исследование по кол-
лективной теме «Пути совершенст-
вования подготовки студентов к вне-
классной работе по математике
сельской школе». Евгений Степано-
вич — научный руководитель и ор-
ганизатор этой работы.
За многолетний и добросовестный
труд Е. С. Канин награжден знач-
ками «Отличник просвещения
СССР» и «Отличник народного про-
свещения РСФСР», а также Почет-
ной грамотой МП РСФСР и респуб-
ликанского комитета профсоюза.
Поздравляя Евгения Степановича
со славным юбилеем, мы желаем
ему отличного здоровья, новых
творческих успехов, активного дол-
голетия.
В. С. Семаков, М. Г, Лускина
К сведению учителей
В книге М. Р. Леонтьевой, К. С. Муравина «Дидактические материалы по алгебре
для 6 класса» (М.г Просвещение, 1986) допущены ошибки и опечатки в ответах.
Приводим правильные ответы.
Зи -I- -V	/ а Ь \
К-1. В-2. 1. 0,2263004. 3.-g---км/ч. В-3.2.0. 3.	~ J • 7 гл. В-4.
3,	4-. 8 деталей. В-5. 4. —1а р 83. В-6. 2. —
К -2. В-5. 2. 7,2.
К-4. В-1. 1. у =—2; у =1,4; у = 10. При х = 69; х = 2,5. 2. уя=4,5. При
—5.	В-3. 2. ys=—2,0. При а'^8.
К-5. В-1. 1. в) х<5; х>5.	В-3. 2. Проходит. В-4. 1. а) у 10; у 8; у
~—1,	В-5. 1. б) х » 4; x«s2.	В-6. 1. а) у —6; у —1; у«6,5.
5
К-S. В-1. 4. хя=2,7; х ~—2,7. 5. 1 тур В-2. 4. х = 2,8; х — 2,8.	В-3. 4. х^а
•=«2,9; №= — 2,9.	В-4. 4. х^=2,6; х« —2,6.	В-5. 4. х^ 1,9. В-6.
1. а) —4. х = — 1,6.
К-7. Во всех вариантах снято четв ертое задание.
К-Э В-1. 1. 7х3 — 10x4-8.	В-4.	3. а) (х—14) (.V5 —2).	В-5. 3. а) (6 — 2) X
X (.6s + 3).	В-о.1. — 34х3 —ЗОх. 3. а) (х’ +2) (х —3).
К-10. В-2. 3. а) у - у - —7Г.	В-4. 4.' При ±72. В-6. 2. в) (5с—12cf)3;
у о	о
г) (11с —Зл)3.
2
К-11. В-3. 4. а) 2-у; 6) 324.
К-13. В-5. 2. 4ц и 5ц.
К-14. В-1. 1. 36	км и 16 км.	В-3. 2. г = 0,3; г = — 0,3/
К-15. В-1. 1. —125 л3± 8('лх34- 64х3. В-2. 1. —75a26f- 45а62	4- 27 63.	2.	а) 15 (сфЗ' X
х(3с —5);	б) (о — Ь) (а	4- 6) (л — 1) (х3 4-х 4- 1); в)	В’ (В 4-	Зу)	(р3 — Зру Р
4- 9у’). 3.	Точка И принадлежит, а точка К нет.	В-3.	2.	а) 12(26 —
— о) (6—1).	В-6. 1. — 125 63 4-5С63 4-406 — 8.
Редакция математики издательства «Просвещение»
SS КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
К выходу в свет V тома
Математической энциклопедии1
В. Н. Молодший
Вышел в свет V том Математической энциклопедии,
завершающий издание. Он содержит детально разрабо-
танный Предметный указатель. В нем жирным шриф-
том набраны названия обзорных статей с указанием
тома, в котором каждая из них напечатана, и страниц.
Рядом перечислены названия средних и мелких статей,
связанных с обзорной.
В V томе особого внимания заслуживают очерки,
посвященные одному из основных методов в теории
доказательства — методу формализации — способу по-
лучения формальной системы пз содержательной 'мате-
матической теории. Применение этого метода при ре-
шении узловых теоретических и прикладных вопросов
современной математики и техники освещается в ряде
статей этого тома и предыдущих.
Одно из основных понятии современной математи-
ки — понятие функции. Ему в V томе посвящен спе-
циальный очерк. В нем дано определение функции, ос-
нованное на понятии множества, описаны способы за-
дания функции, приведена классификация числовых
функций. Весьма точно и кратко изложены сведения о
развитии понятия функции от древних греков (эмбрио-
нальные формы) до середины XIX в (Фурье, Коши,
Больцано, Лобачевский, Дирихле). Очерк снабжен хо-
рошей библиографией.
Определение функции, сформировавшееся под влия-
нием работ Больцано, Лобачевского и Дирихле, трак-
туется в очерке как обобщение определения функции,
господствовавшего во второй половине XVIII в. Это,
конечно, верно. Но важнее другое: новое обобщенное
определение функции явилось одним из исходных пунк-
тов революционной ломки и перестройки существовав-
шей системы математического анализа (значительное
расширение области исследований, переработка исход-
ных понятий и принципов, перестройка системы в це-
лом). Новое обобщенное определение в принципе охва-
тывало все возможные функции действительного пе-
ременного. Путем соответствующих доопределений оно
позволило дать точные определения непрерывных и
разрывных функций. Дать то, что стало существенно
необходимо для разработки принципиально нового
математического аппарата (методы интегрирования
дифференциальных уравнений в частных производных,
тригонометрические ряды, несобственные интегралы),
способного помочь физике, механике решать жизненно
важные, но не разрешимые старыми методами задачи
практики
История формирования понятия функции дает пре-
восходный материал для иллюстрации решающей роли
практики в математическом познании. Об этой ее ве-
дущей роли неоднократно писал Энгельс (см , напри-
мер, «Анти-Дюринг» и «Диалектика природы») 1 2 Пи-
сал П. Л Чебышев3 и другие математики, придержи-
1 Математическая энциклопедия. Т. V. М,- Советская
энциклопедия, 1985.
Рецензии на т. I—IV опубликованы в журнале «Ма-
тематика в школе»: 1977. № 6; 1980. № 5; 1983. № 4-
1985. № 3.
2 Маркс К., Энгельс Ф. Соч. Т. 20. М., 1961.
3 Чебышев П. Л. Поли. собр. соч. Т. V. М.; Л.: Изд-
во АН СССР, 1951. С. 150.
Бающиеся преимущественно материалистического миро-
понимания.
В некоторых статьях хорошо видно, к каким слож-
ным математическим теориям приводят очень простые
по своей формулировке гипотезы, вполне доступные
пониманию учащихся. Такова, например' 1езтйкая тео-
рема Ферма: для любого натурального гЕагг>-2, урав-
нение xn-\-yn — zn не имеет решений в целых ненулевых
числах. Ферма сформулировал ее в 1бЗ(Рг. бВ обшем
виде она до сих пор не доказана. В статье «Ферма
теорема» содержатся интересные сведения о многочис-
ленных попытках ее доказать и о полученных в этой
связи результатах, имеющих значительный самостоя-
тельный интерес (Куммер и др ), приведена достаточно
полная библиография.
Отметим еще ряд статей, представляющих интерес
для учителя математики:
Совершенное число. Степенная функция. Степенной
ряд. Тангенс. Тангенсоида. Трансцендентное число.
Тригонометрические функции. Тригонометрия. Трисек-
ция угла. Удвоение куба. Уравнение. Чисел теория.
Число. Шварца поверхность. Элементарная теория чи-
сел. Элементарные функции. Экстраполирование. Эр-
лангенская программа.
Скажем теперь несколько слов о Математической
энциклопедии в целом. Подводя итоги рассмотрения
всех ее пяти томов, следует подчеркнуть, что каждый
из них содержит статьи, в которых предпринимаются
попытки хотя бы отчасти расширить, углубить диалек-
тико-материалистическое истолкование философских во-
просов математики. Затрагиваются такие проблемы.
Как определение предмета математики, природа и роль
абстракций математики, особенно абстракций от абст-
ракций. Хорошо показаны движущие силы развития
математики, подчеркнута ведущая роль практики,
включая практику математических исследований.
В рассматриваемом издании освешены раз чинные
области знаний, преимущественно точных наук, в ко-
торых используются математические методы, помогаю-
щие моделировать, изучать и прогнозировать разнооб-
разные процессы и явления, происходящие в природе
и обществе Этим подчеркнуто, что в наше время ма-
тематика стала языком техники и науки.
В ряде статей Математической энциклопедии с той
или иной степенью приближения трактуются вопросы
обоснования математики с диалектико-материалистиче-
ской точки зрения. Среди них целесообразно отметить
следующие
Логика математическая. Неевклидова геометрия. От-
носительности теория. Аксиоматический метод
Мы хотим обратить особое внимание читателей на
роль диалектико-материалистической методологии в
развитии науки. Ленин неоднократно отмечал: мате-
риалистическая диалектика — единственно верная науч-
ная теория познания. Он превосходно использовал си-
лу материалистической диалектики при анализе при-
чин и сущности кризиса физики конца XIX — начала
XX в. Показал неспособность идеализма н метафизиче-
ского материализма преодолеть этот кризис. Материа-
листическая диалектика помогла Ленину вскрыть су-
щество реальной диалектики объектов исследова-
ния физики того времени и высказать основополагаю-
щие утверждения о преодолении кризиса на путях
революционной перестройки ее системы в целом. В
наше время диалектико-материалистическая методоло-
гия является основой методологии математики и дру-
гих наук Рецензируемое издание содержит материалы,
пользуясь которыми преподаватель может показать
учащимся творческую силу диалектико-материалистиче-
ской методологии.
Математическая энциклопедия — хорошее пособие
для преподавателей математики, старающихся повы-
сить свой научный уровень, чтобы лучше соответство-
вать требованиям, выдвинутым реформой школы.
70
О двух полезных книгах
для внеклассной работы
С. Г. Губа
(г. Вологда)
В. А. Гусев, А. И. Орлов, А. Л. Розенталь
«Внеклассная работа по математике
в 6—8 классах»
Книга написана в качестве пособия для учителей Пер-
вое ее издание вышло в свет в издательстве «Просве-
щение» в 1977, а второе — в 1984 г. Потребность во
втором издании свидетельствует о том, что книга по-
лучила признание учителей. Новое издание дало авто-
рам возможность осуществить отдельные усовершенст-
вования, в частности принять во внимание все те из-
менения, которые произошли за последнее время в
школьном курсе математики.
Одним из достоинств книги является то, что авто-
ры не злоупотребляют излишним «теоретизированием»,
а считают более полезным, чтобы знакомство учащих-
ся с новыми для них математическими фактами и
идеями осуществлялось посредством решения «цепоч
ки» целесообразно подобранных задач. Оригинальный
и в основном «нешкольный» характер задачного ма-
териала в умелом изложении авторов перестает быть
непреодолимым препятствием для учащихся VI—VIII
классов, хотя и требует от них проявления некоторой
сообразительности, а от учителя — тщательно проду-
манного отбора материала для каждого занятия, осо-
бенно в работе с шестиклассниками.
Нестандартное содержание задачного материала
воспитывает у учащихся вкус к хорошей математиче-
ской задаче, раскрывает перед ними разнообразный и
увлекательный мир математики, знакомит с ее прило-
жениями. На многочисленных примерах учащиеся
убеждаются, что совершенно разные по внешнему виду
задачи могут иметь в своей основе одну и ту же ма-
тематическую модель.
Книга состоит из двух частей. Первая часть под
названием «Материалы для внеклассной работы» со-
держит 26 самостоятельных тем, которые в принципе
можно изучать в любом порядке, хотя от темы к теме
небольшое нарастание трудности все же имеет место.
Вот названия некоторых тем: «Как играть, чтобы не
протрать», «Круги Эйлера», «Коза на привязи»,
«Принцип Дирихле», «Поиск предмета». При этом
предполагается, что к некоторым темам можно воз-
вращаться несколько раз (например, начать в VI
классе, а закончить в VIII). Основным содержанием
каждой темы являются задачи. Решение части задач
приводится непосредственно после формулировки усло-
вия под заглавием «Обсуждение». Это не просто ре-
шение, а мастерски изложенная методика обучения
поиску решения задачи Часть задач рекомендуется
учащимся для самостоятельной домашней работы.
Решения к ним приведены во второй части книги.
Вторая часть называется «Методические указания.
Ответы и решения». Содержание ее ясно из названия.
Нужно лишь добавить, что авторы здесь предприняли
попытку кратко сформулировать учебно-воспитательные
цели каждой темы.
Успех в работе с данной книгой во многом зависит
от наличия у учителя некоторого опыта проведения
внеклассной работы, хорошего знания своих учеников
и хотя бы небольшого знакомства с литературой по
внеклассной работе. Предполагается также, что и уча-
щиеся к VI классу уже встречались с нестандартными
задачами, с задачами повышенной трудности. Авторы
рекомендуют обширный список дополнительной литера-
туры, наиболее соответствующей духу книги, имея в
виду, что частично эта литература могла быть исполь-
зована еще в IV—V классах, частично будет исполь-
зоваться параллельно с работой над предлагаемой
книгой, а к некоторой ее части следует обратиться
только в старших классах. Многие темы данной книги
написаны с целью возбудить у учащихся интерес к то-
му или иному вопросу, чтобы у них появилось жела-
ние более полно удовлетворить этот интерес с помощью
специальной литературы. Таковы, например, темы
«Графы», «Комбинаторика», «Арифметика остатков»,
«Многоугольники» и др.
Несколько особняком стоит последняя тема под на-
званием «Разные задачи». Здесь собраны интересные
задачи самого разнообразного характера, которые учи-
тель может использовать для подготовки школьников
к математическим соревнованиям.
Разумеется, не все темы в одинаковой мере удались
авторам. Остановимся на теме «Комбинаторика». Зна-
комство с комбинаторикой начинается со следующих
двух задач:
1. Сколько существует различных трехзначных чисел,
в записи которых участвуют лишь цифры 1. 2. Я ц' 4?
2. Среди чисел, о которых говорится в задаче 1,
сколько существует таких, в записи которых ци<рры не
повторяются?
Сначала авторы решают обе задачи не очень удач-
ным методом «вложенных ящиков», а затем уже дли
второй задачи приводит решение, основанное на изве-
стном «правиле перемножении возможностей» (часто
его называют также «правилом произведения»). Дума-
ется, что с этого правила и нужно было начинать,
сразу же привлекая внимание к такому мощному
средству решения комбинаторных задач, каким явля-
ется «правило перемножения возможностей», тем более
что метод «вложенных ящиков» нигде в дальнейшем
не используется. А вот количество задач на «правило
перемножения возможностей» следовало бы увеличить.
Приведем несколько примеров таких задач:
Задача I. Сколько существует возможностей раз-
ложить пять различных предметов по трем ящикам?
Решение. Для каждого предмета имеется трн воз-
можности. Следовательно, для всех пяти предметов по-
лучим 3-3-3-3-3 = 243 возможности. При этом вовсе
не обязательно говорить учащимся, что в задаче речь
идет о числе размещений с повторениями нз трех эле-
ментов по пять. Важно потренироваться в применении
«правила».
Задача 2. В комнате в разных местах расположе-
ны 6 лампочек, причем к каждой из них подведен свой
выключатель. Сколько имеется возможностей освещать
комнату, если для этого должна быть включена хотя
бы одна лампочка?
Ответ: 2-2 2-2-2-2—1=64.
Задача 3. Сколько существует пятизначных чисел,
которые одинаково читаются слева направо и справа
налево?
Ответ: 9-10-10-1  1 =900.
Задача 4. Сколько существует пятизначных чисел,
которые а) не содержат цифры 5; б) содержат хотя
бы одну цифру 5?
Ответы: а) 8-9-9-9-9=52 488;
б) 9-104—8-94=37 512.
Задача 5. Сколько существует пятизначных чисел,
у которых любые две соседние цифры различны?
Ответ; 9-9-9-9-9 =59 049.
Задача 6. Сколько существует пятизначных чисел,
у которых четные и нечетные цифры чередуются?
Ответ; 9-5-5-5-5=5625.
Число подобного рода задач можно при желании
увеличить.
В заключение отметим, что предлагаемая книга из-
дана под редакцией члена-корреспондента АПН СССР,
доктора педагогических наук, профессора С. И. Шварц-
бурда, который написал к иен небольшое, но весьма
содержа i ельное предисловие.
Новая книга
о старинных занимательных задачах
Многие старинные задачи с полным правом можно
отнести к категории нестареющих. Особенно это спра-
ведливо по отношению к занимательным задачам,
большинство которых окрашено народной мудростью.
На них оттачивали свою смекалку многие поколения
русских людей, поэтому было бы непростительным
упущением предать эти задачи полному забвению.
В 1985 г в издательстве «Наука* тиражом
300 000 экземпляров вышла книга С Н. Олехника,
10 В Нестеренко и М. К. Потапова «Старинные за-
нимательные задачи». В ней собраны занимательные
задачи, почерпнутые авторами из различных русских
рукописей и книг, вышедших в свет до 1800 г. Значи-
тельная часть задач подвергнута стилистической обра-
ботке, поскольку в первоисточниках оии были сформу-
лированы на старославянском языке. В то же время,
чтобы современный читатель мог получить представ-
ление о первоначальном их виде, в нескольких случаях
приведены две формулировки: подлинная и перерабо-
танная. Более подробно о проделанной работе авторы
рассказывают в «Предисловии» и «Введении». Попутно
отметим, что в конце книги имеются «Приложения»,
где приведены сведения о старинной русской нумера-
ции и старинных русских мерах длины, а также со-
держатся рассказы о выдающемся русском педагоге-
математике Л. Ф. Магницком (1669—1739) и всемирно
известном математике Л Эйлере (1707—1783), уро-
женце Швейцарии, для которого Россия стала второй
родиной. Заканчивается книга списком использованной
литературы.
Основная часть книги посвящена старинным занима-
тельным задачам и их решениям. Школьный учитель
математики должен хорошо понимать различие между
задачами старинными и устаревшими. Простейшим
примером устаревших задач могут служить те, число-
вые данные которых не соответствуют научно-техниче-
скому прогрессу сегодняшнего дня, что в наше время
особенно часто имеет место, если в условии речь идет
о производительности труда, о скорости отдельных ви-
дов транспорта и т. п. Правда, при желании эти за-
дачи нетрудно обновить.
Говоря о занимательных задачах, нужно отметить,
что многие из них не содержат каких-либо признаков
древности своего происхождения (если не считать не-
которых языковых особенностей). Сюда можно отнести
почти все задачи на свойства чисел и фигур, возраст
людей, похождения персонажей народных сказок, пе-
реливание жидкостей, магические квадраты и др. Пос-
ле небольшой обработки они ничем не отличаются от
задач, появившихся в наши дни.
Однако существует немало занимательных задач,
которые в той или иной форме отражают колорит
своей эпохи (производственные отношения, орудия
труда и пр.). Если они ие проповедуют прямо или кос-
венно чуждую нам идеологию и к тому же дают
правдивые сведения о своем времени, то не надо то-
ропиться списывать их в архив. В ограниченном коли-
честве их вполне можно помещать в школьных учеб-
никах среди современных задач, сопровождая помет-
кой о старинном происхождении. И уж тем более
оправдано их издание отдельной книжкой. Помимо то-
го, что эти задачи продолжают оставаться проверен-
ным средством для развития сообразительности, они
помогают также лучше понять соответствующую исто-
рическую эпоху, в том числе и отображающие ее ли-
тературные произведения, при чтении которых учащие-
ся постоянно встречаются, например, со старинными
русскими мерами длины, веса, а также некоторыми
вышедшими из употребления названиями денежных
единиц (алтын, полушка и др). Знакомство со всем
этим в процессе решения занимательных задач проис-
ходит в весьма непринужденной форме. Очевидно, что
в отдельных случаях будет уместным небольшой ком-
ментарий учителя.
Собранные в рецензируемой книге задачи существен-
но различаются и по трудности, и по своему харак-
теру. Среди них найдутся пригодные и длжьуроков ма-
тематики, и для кружковых занятий а южже для
проведения школьных математических вечерой» викто-
рин, олимпиад. Часть заданного материала может быть
использована для проведения математических игр в
летних пионерских лагерях. Некоторые задачи на-
столько просты, что вполне посильны учащимся на-
чальных классов К тому же они по существу не от-
личаются от тех задач, которые в достаточном коли-
честве имеются в школьных учебниках. Надо полагать,
что в книгу они помещены лишь с целью показать их
весьма древиее происхождение. В качестве примера
можно привести задачу 62 под названием «Сколько у
кого денег?»-
Двое крестьян поделили между собой 7 руб. причем
один получил на 3 руб. больше другого. Сколько денег
досталось каждому из них?
Однако подавляющее большинство задач действи-
тельно не лишено занимательности. Возьмем, например,
задачу 2 под названием «В жаркий день»:
В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за
8 часов. Нужно узнать, сколько косцов за 3 часа вы-
пьют такой же бочонок кваса.
Потруднее выглядит задача 26 под названием
«Сколько стоит кафтан?»:
Хозяин нанял работника на год и обещал ему дать
12 руб. и кафтан. Но тот, проработав только 7 меся-
цев, захотел уйти. При расчете он получил кафтан и
5 руб. Сколько стоит кафтан?
Необходимо обратить внимание учащихся на воз-
можность решать многие задачи как посредством со-
ставления уравнения, так и чисто арифметическим пу-
тем Бывает, что оба способа выглядят равноценными,
но в отдельных случаях какой-нибудь один представ-
ляется более рациональным.
Заслуживают внимания задачи на смешение веществ
и иа применение так называемого фальшивого («га-
дательного») правила. В этих задачах приводится не-
который алгоритм их решения, а читателю предлагает-
ся обосновать использование этого алгоритма. Если
учесть, что в средние школы введен обязательный курс
«Основы информатики и вычислительной техники», то
упражнения такого рода будут весьма кстати. Такая
работа вполне подойдет для занятий математического
кружка. На них же можно рассмотреть задачи 148—
171, где требуется дать математическое обоснование
некоторых игр с предметами и фокусов яа угадывание
чисел.
В книге имеется ряд задач достаточно серьезного
характера, как, скажем, задачи, относящиеся к разде-
лам «Шахматы» и «Фигурные числа». На обшем фоне
книги несколько чужеродным выглядит раздел «Гео-
метрические задачи Эйлера».
К сожалению, встречаются опечатки (например, на
с. 14, 34, 160).
Русские математические журналы
для педагогов и учащихся
В. К. Смышляев
Середина XIX в. ознаменовалась в научной жизни
России изменением положения в отечественной матема-
тике. Русские ученые (Н И. Лобачевский, М. В. Ост-
роградский) начинают получать выдающиеся результа-
ты Усиливается их воздействие на преподавание ма-
тематики в высших учебных заведениях, Одновремеи-
72
но возрастает интерес деятелей науки к положению в
средней школе. Известно, как близко стояли к запро-
сам школьной математики и как много сделали для
нее Т. Ф. Осиповский, П. С. Гурьев, Ф. И. Буссе и дру-
гие крупные представители педагогико-математической
мысли. Благодаря их усилиям в России за сравнитель-
но коропрвйю исторический период оформился курс
школьной->фуатематики, воплотивший в себе прогрессив-
ные для лкмо -времени научные и дидактические идеи.
Большойо<интерес педагогической общественности к
математическому образованию послужил стимулом для
создания математических журналов, которые, в свою
очередь, поддерживали и развивали внимание читате-
лей к математическим вопросам. Журналы издавались
в разные годы и ориентировались на различные чита-
тельские аудитории. Эта статья посвящена трем из
них, предназначавшимся для учителей и учащихся.
«Учебный математический журнал» (1833—1834)
Так назывался первый в истории русской периоди-
ческой печати журнал по методике преподавания ма-
тематики. Он вышел в свет более 150 лет назад в
г. Ревеле (ныне Таллии). Редактором и издателем
журнала был Карл Генрих Купфер (1789—1838),
который после защиты диссертации в Дерптском (ныне
Тартуском) университете занимался преподаванием
математики в частных домах, пока не получил про-
фессуру в Нежинском лицее.
Журнал издавался для военных учебных заведений,
гимназий, уездных училищ и домашнего чтения, т. е.
для средних и низших ступеней тогдашней школьной
системы.
«Учебный математический журнал» (УМЖ) выходил
раз в три месяца в виде брошюр объемом 5—6 печат-
ных листов. Издание продолжалось в течение двух
лет и прекратилось в связи с отъездом Купфера из
Ревеля.
Центральное место в УМЖ занимал реферативно-
библиографический отдел. В нем помещались списки
выходивших учебников (зарубежных и отечественных).
Наиболее интересные учебные пособия освещались до-
вольно подробно. Печатались и краткие аннотации
книг и статей.
Из научно-методических публикаций журнала наи-
больший интерес представляет статья «Первоначаль-
ная алгебра», написанная издателем, и исторический
очерк «Теория параллельных линий», принадлежащий
П. Г. Татаринову.
В восьми выпусках УМЖ мы встречаем около
400 задач и упражнений по арифметике, алгебре, гео-
метрии и тригонометрии. Они помещались под различ-
ными заголовками: «Задачи, выбираемые по большей
части из иностранных сочинений», «Задачи для начи-
нающих», «Упражнения остроумия для учеников, бо-
лее успеваемых» и др. Все задачи были снабжены от-
ветами или решениями и группировались с учетом воз-
раста учащихся и особенностей учебного заведения,
для которого были предназначены. Подписчики УМЖ
могли особо выписывать листы с упражнениями. Эти
листы в целом составили своеобразный задачник.
«Учебный математический журнал» педагоги встрети-
ли сочувственно. Об этом свидетельствует хотя бы тот
факт, что в конце 1833 г. количество его подписчиков
превысило 400 человек — число, довольно значительное
по тому времени. Для сравнения укажем, что журнал
«Вестник математических наук» (1860—1864), явив-
шийся как бы преемником УМЖ, не имел более
100 подписчиков.
Традиция методико-математической журналистики,
начатая Купфером, долго оставалась забытой. Ее
возобновление относится к 60-м гг. прошлого века, ког-
да возникли такие журналы, как упоминавшийся выше
«Вестиик математических наук» и вслед за иим «Ма-
тематический листок», О последнем мы расскажем
подробнее.
«Математический листок» (1879—1882)
Этот журнал издавал и редактировал известный ме-
тодист Александр Иванович Гольдеиберг (1837—
1902).
«Математический листок» предназначался учителям
математики, но в нем большое внимание уделялось
учащимся старших классов средних учебных заведений
и студентам. Именно о них редактор писал в № 1:
«Желание дать им возможность пополнить свое мате-
матическое образование приобретением сведений, не
входящих в наши официальные программы, и вместе с
тем применять свои знания к решению математических
вопросов будет постоянно руководить нами».
Редактор предполагал сделать журнал ежемесячным.
Однако материальные затруднения не позволили ему
выполнить намеченную программу. Первые 12 номеров
выходили в течение двух лет, выпуск остальных 9 рас-
тянулся еще иа 2 года.	*
В журнале сотрудничали видные методисты того
времени— К. Мазинг, Д Извеков и другие. Деятель-
ное участие в подготовке его научно-исторического
раздела принимал известный историк математики
В. В. Бобыиин. Он написал для журнала несколько
интересных статей, в числе которых — «Происхождение
и первоначальное развитие письменного счисления»,
«Математика древних египтян». Бобынину принадле-
жат также некоторые из помещенных в «Листке» пе-
реводов с немецкого, например, перевод обзора про-
фессора Бретшнейдера «Геометрия и геометры до
Евклида».
Но наиболее продуктивным автором «Математиче-
ского листка» был сам редактор, перу которого (вмес-
те с переводными работами) принадлежит 2/3 всех
публикаций журнала.
В методическом отделе «Листка» современного чи-
тателя могут заинтересовать такие статьи, как «Не-
сколько указаний относительно расположения курса
обыкновенных дробей» (№ 2), «К учению о пропор-
циональности» (№ 6).
Самым богатым отделом журнала был научно-попу-
лярный. Он содержал в основном статьи по геометрии,
дополняющие школьный курс математики. Из них от-
метим следующие: «Прямая Симеона» (№ 1), «Окруж-
ность девяти точек» (№ 2), «Рациональные треуголь-
ники» (№ 12).
За два года существования журнала он опубликовал
250 задач повышенной трудности для самостоятель-
ного решения. Около четверти этих задач читателями
были решены. По числу присланных решений выделял-
ся студент Петербургского университета П. Долгу-
шин, ставший впоследствии известным автором учеб-
ников.
Журнал оказал значительное влияние на повышение
математической культуры учащихся старших классов
и получил высокую оценку общественности. Многие
училища и гимназии имели полные его комплекты, а
известный педагог М. Г. Попруженко предлагал пере-
издать «Математический листок» Гольденберга в ка-
честве своеобразной хрестоматии
Показательно также, что журнал аналогичной ориен-
тации, вышедший в свет через много лет после того,
как издание Гольденберга прекратило свое существо-
вание, имел то же самое название.
«Математический листок» (1915—1917)
Это было небольшое, в 1 печатный лист, издание,
ставившее своей целью расширение математического
кругозора учителей средней школы, студентов, учени-
ков и учениц и вообще всех любителей математики.
«Наш журнал,— говорилось во вступительной статье
к № 1,— намерен помочь им в расширении математи-
ческих знаний, а главное—дать им возможность при-
ложить свои силы к самостоятельной математической
работе».
73
Журнал использовал интересную форму для разви-
тия творческих сил своих читателей. Кроме небольших
статей и заметок по различным разделам элементар-
ной математики, кроме задач и упражнений в нем
публиковались темы для сочинения, т. е. для само-
стоятельных исследований. Под темами редакция по-
нимала довольно сложные и трудоемкие задачи, тре-
бующие для своего решения больших знаний и затрат
порядочной доли труда Например изложить система-
тически все случаи построения треугольников, когда
данными являются высоты и медианы (в различных
вариантах); изучить всесторонне свойства четырех-
угольников, у которых диагонали образуют угол в 45°.
К задачам относились уже более легкие вопросы,
доступные хорошему и среднему ученику. Например:
доказать, что 11"+'—10п—-11 делится на 100; опреде-
лить функцию у—х3+ах2-}-Ьх при условии, что она до-
стигает максимума при х=т и минимума при х — п.
Под упражнениями подразумевались задачи, для ре-
шения которых нужно только твердое знание соответ-
ствующего отдела математики. Например, решить
уравнение
X + V X — у 1 — X = L,
решить систему уравнений
3
2 ’
Существовала и рубрика «Математические развлече-
ния», в которой помещались занимательные задачи,
например о размещении фигур на шахматной доске.
Задач и заметок было довольно много. Так, за пер-
вый год в «Листке» появилось 37 заметок, 60 задач,
53 упражнения, 11 тем и 4 конкурсные задачи.
Многие заметки представляют интерес и в настоя-
щее время. Так, в № 2 (1916) появилась заметка
А. Залеского о выводе формулы для вычисления объ-
ема усеченной пирамиды. Суть вывода сводится к
следующему.
Усеченная пирамида дополняется до полной и про-
водится сечение на расстоянии 1 от вершины полной
пирамиды параллельно основанию. Если В — площадь
нижнего основания, b — площадь верхнего основания
усеченной пирамиды, а р — площадь «единичного» се-
чения, то, как известно,
В Н' b h2
₽ “ 1 ' ₽ “ 1 ’
где Н — высота полной пирамиды, h — высота под-
строенной пирамиды. Отсюда В —₽Д2, 6 = рй2. Тогда
объем усеченной пирамиды равен
V = -^-ВН— -у bh = -у ₽ (№ — й’) =
=	₽ (Н-h) (Н2 + HJi т hs) =
Редактор «Математического листка» нашел и еще
одно своеобразное средство воспитания математической
активности учащихся. Он организовывал коллективные
работы читателей. В 1916 г. такой коллективной рабо-
той стало составление десятичных таблиц квадратных
корней целых чисел. На призыв «Листка» для участия
в этом деле записались около 100 учащихся. Им было
поручено составление различных частей таблицы под
руководством своих преподавателей Журнал регуляр-
но оповещал читателей, какие учебные'1! заведения
включились в такую коллективную работу и какая ее
часть ими выполнена.
В «Математическом листке» существовал отдел
«Разные известия». В нем появлялись информационные
заметки о деятельности математических кружков в не-
которых гимназиях и реальных училищах. В своей со-
вокупности эти заметки рисуют картину большой тяги
учащихся средней школы к математическим знаниям
и патриотических усилий передовых русских учителей
в поддержке и развитии интереса учащихся к матема-
тике.
Следует отметить, что с 1833 г., когда вышел «Учеб-
ный математический журнал» до описываемого време-
ни передовая математическая общественность России
выпускала около 10 журналов и повременных изда-
ний, предназначавшихся для учителей и учащихся
средней школы. Выходили они в разные годы с пере-
рывами (большими и малыми) и, как правило, суще-
ствовали недолго. Но были и долгожители Так, ЗОлет
(1887—1917) издавался «Вестник опытной физики и
элементарной математики» (ВОФЭМ), пользовавший-
ся большой популярностью.
И все же «Математический листок» при серьезной
конкуренции со стороны уже признанного и авторитет-
ного ВОФЭМ сумел привлечь к себе внимание многих
учащихся и учителей. География подписчиков была
очень широка; Южная Россия, Кавказ, Средняя Азия,
Дальний Восток, Сибирь Журнал выписывали люби-
тели математики в Англии и в ряде других зарубеж-
ных стран. Из числа юных корреспондентов журнала
некоторые (Г Боев, В. Коваленко и др.) впоследствии
посвятили себя научной и педагогической деятельности
в области математики.
В заключение скажем несколько слов об издателе
второго «Математического листка» — Николае Алек-
сандровиче Агрономов е. Еще будучи гимназистом,
он принимал участие в решении задач, предлагавших-
ся ВОФЭМ. В 16 лет опубликовал там свою первую
научную работу «К теории непрерывных дробей».
В студенческие годы написал ряд статей, которые по-
явились в ВОФЭМ и в бельгийском журнале «Mathe-
sis». Плодотворно сотрудничал как с русскими, так
и с зарубежными научными журналами. Дополнитель-
ные сведения об этом талантливом педагоге и журна-
листе помещены в «Математическом календаре» этого
номера,
= А) + Н+h* ₽) =
1 . г_____________
^ — (H—h)(B+-/Bb	6).
Ежегодно редакция журнала объявляла конкурс на
лучшее решение и составление специальных задач, на
лучшие работы по заданным темам. Победители кон-
курсов премировались математической литературой.
74
Jk ХРОНИКА
-R3XJ
ПГ^еминар методистов-
математиков
социалистических стран
Семинар проводится периодически один раз в 3 года
в рамках многостороннего сотрудничества центральных
научно-исследовательских институтов педагогики социа-
листических стран. Цель семинара — взаимная инфор-
мация по наиболее важным вопросам методики препо-
давания математики в средних общеобразовательных
школах, обобщение международного опыта, совместные
поиски наиболее перспективных решений. Темой III се-
минара, состоявшегося в г. Дрездене (ГДР), было раз-
витие вычислительной и алгоритмической культуры
учащихся в условиях научно-технической революции и
использования ЭВТ.
В работе семинара приняли участие делегации НРБ,
ВНР, СРВ, ГДР, Кубы, МНР, ПНР, СССР, ЧССР.
Участников семинара приветствовали вице-президент
АПН ГДР, доктор Шнейдер и ректор Высшей педаго-
гической школы г. Дрездена доктор Дау.
Доклад делегации ГДР был посвящен содержанию
и методике обучения вычислениям в школе. Основная
мысль, прозвучавшая в докладе, заключалась в том,
что в век компьютеров, как и прежде, формирование
у всех школьников уверенных умений выполнять вы-
числения остаетси одной из важнейших целей обуче-
ния математике, входит в основное ядро школьного
математического образования. Вместе с тем в требова-
ниях к вычислительной подготовке школьников проис-
ходят определенные изменения, которые выражаются в
необходимости усиления внимания к таким компонен-
там вычислительных умений, как устный счет, прикид-
ка, округление чисел, вычисления с приближенными
значениями величин, одновременно с существенным
ограничением требований к сложности письменных вы-
числений и отработке соответствующих алгоритмов,
так как использование калькуляторов фактически ис-
ключает их практическое применение. Положения докла-
да имеют под собой солидную базу широко проводив-
шихся в ГДР исследований, в которых не только учи-
тывались возможности калькулятора как вычислитель-
ного средства, но и были определены условия, нейтра-
лизующие те отрицательные явления в области вычис-
лительной подготовки школьников, которые может вы-
звать его использование.
В докладе были затронуты проблемы, связанные с
изучением информатики и влиянием ее на школьное
обучение. Решение этого вопроса в ГДР проводится в
двух направлениях. Пёрвое заключается в выяснении
возможностей традиционного содержания курса мате-
матики для формирования определенного метода мыш-
ления, специфических знаний, умений и навыков, важ-
ных для использования техники по обработке инфор-
мации. Второе направление заключается в разработке
педагогической концепции явного введения в школу
элементов информатики.
В ГДР имеется опыт изучения информатики в спе-
циализированных школах, а также на факультативных
занятиях, однако введение соответствующего содержа-
ния в общеобразовательную школу откладывается до
насыщения школ необходимым количеством ЭВМ.
В докладе делегации СССР была рассмотрена раз-
работанная в нашей стране концепция всеобщей
компьютерной грамотности, на основе которой разво-
рачивается работа по внедрению ЭВТ в среднюю обще-
образовательную школу. Подробно освещены цель »
общеобразовательное значение изучения основ вычис-
лительной техники и программирования в средней
школе, содержание общеобразовательного минимума
компьютерной грамотности, форма изучения программи-
рования и элементов вычислительной техники в школе.
Особо подчеркнуто, что формирование компьютерной
грамотности является задачей комплекаа учебных
предметов, среди которых в современных условиях ос-
новная роль отводится курсу «Основы информатики и
вычислительной техники».
Доклад делегации НРБ был посвящен формирова-
нию алгоритмической культуры учащихся общеобразо-
вательной школы в условиях НТР. В докладе отмеча-
лось, что эта работа проводится преимущественно на
уроках математики. Алгоритмическая направленность
общеобразовательного курса заключается в ознаком-
лении учащихся с традиционно изучаемыми математи-
ческими алгоритмами, со способами записи алгоритмов
на естественном и алгоритмическом языках и с по-
мощью блок-схем.
В настоящее время в НРБ ведутся активные иссле-
дования проблемы преподавания основ информатики в
общеобразовательных школах. Пока обучение инфор-
матике осуществляется факультативно, а также в рам-
ках профессиональной подготовки на второй ступени
средних политехнических училищ.
В докладе делегации ЧССР был обозначен круг
проблем, стоящих перед чехословацкими методистами-
математиками в связи с необходимостью введения в
школу элементов информатики и применения электрон-
но-вычислительной техники, а также обсуждались во-
просы вычислительной подготовки учащихся в усло-
виях широкого применения ЭВТ. Однако, как отмеча-
лось в докладе, действующий курс математики не со-
держит материала, изучение которого требует приме-
нения электронной техники. В связи с этим парал-
лельно с введением в школу ЭВМ предлагается уточ-
нить учебные планы по математике (и по другим
предметам) с целью введения в них задач прикладно-
го и межпредметного характера, решение которых
позволило бы эффективно применять электронную
технику.
Роли и месту алгоритмов в математике, а также в
обучении математике в школе был посвящен доклад
делегации ПНР, в котором дай подробный историче-
ский обзор возникновения и развития понятия алго-
ритма в науке, проанализировано традиционное содер-
жание школьного курса и приведено большое число
примеров изучаемых в школе алгоритмов, показана
широкая база школьного курса математики для раз-
вития алгоритмического мышления учащихся.
Доклад делегации ВНР был посвящен развитию вы-
числительной культуры учащихся в современных усло-
виях и охватывал широкий круг проблем, связанных
с данным вопросом. Отмечалось, что распространение
калькуляторов освобождает школьную математику (и
другие учебные предметы) от тяжелого балласта, от-
крывает новые возможности как для применения ма-
тематики в решении поступающих извне задач, так и
для лучшего понимания ее внутренних взаимосвязей.
Правильное использование калькуляторов должно пре-
вратиться наряду с вычислениями, проводимыми в уме
(включая прикидку и оценку, приближенные вычисле-
ния), в важнейший элемент культуры счета, но не вы-
теснять полностью письменных вычислений. Роль по-
следних сводится к формированию основных приемов,
что будет способствовать пониманию более глубоких
математических взаимосвязей. В докладе обсуждались
и более далекие перспективы в области развития
культуры счета, связанные с распространением в шко-
ле микроэлектроники.
Было обращено внимание и на некоторые отрица-
тельные последствия применения ЭВМ в школе, На-
75
пример, высказано предположение, что аудиовизуаль-
ные впечатления, экранная деятельность могут лишь
дополнить, но ие заменить сенсомоторного способа
приобретения математических знаний, накопление
конкретного деятельного опыта. Это должно непремен-
но учитываться в проведении исследований, связанных
с применением ЭВТ как средства обучения.
В докладах делегаций Кубы и Вьетнама была дана
общая характеристика совершенствования националь-
ной системы образования в этих странах и освещались
вопросы перестройки математического образования.
Исследования по включению в учебный процесс ЭВТ
находятся в этих странах лишь на самой первоначаль-
ной стадии (вопрос о ее массовом внедрении в школу
пока не ставится в силу материальных условий). По-
этому, как было отмечено в докладах, опыт других
социалистических стран в этом отношении представ-
ляет значительный интерес.
Дальнейшая работа семинара была посвящена рас-
смотрению содокладов членов делегаций по вопросам,
связанным с основной тематикой семинара. Всего бы-
ло заслушано 21 сообщение. Часть из них касалась
конкретных вопросов методики формирования вычис-
лительных умений в общеобразовательной школе в
связи с введением в школу ЭВТ. Другая — проблем
изучения информатики и вычислительной техники, фор-
мировании компьютерной грамотности школьников. В
последних выделилось два аспекта: использование ЭВТ
как средства обучения и включение элементов инфор-
матики в содержание образования. Основная часть
сообщений была посвящена второму аспекту. В ходе
дискуссии прозвучало общее мнение, что в настоящий
момент основное внимание должно быть направлено
на обучение школьников элементам информатики, уме-
нию пользоваться компьютеоом, на ознакомление с
основами программирования. Эта работа создаст пред-
посылки для решении вопроса об использовании ЭВТ
как средства обучения, который в настоящее время
недостаточно разработан и требует длительного иссле-
дования. Для его решения необходима соответствую-
щая материальная база, программное обеспечение, оп-
ределенная корректировка учебных программ общеоб-
разовательных предметов.
В ходе работы семинара были выявлены имеющиеся
расхождения в подходах разных стран к реализации
идеи компьютерной грамотности в общеобразователь-
ной школе, выработаны общие позиции по наиболее
поинципиальным моментам, намечены актуальные во-
просы. требующие для своего решения совместных
усилий специалистов социалистических стран, обмена
информацией и опытом. Эти результаты отражены в
документе «Научные итоги III семинара».
А. А. Кузнецов, Л. В. Кузнецова,
В. М. Монахов, С. Б. Суворова (Москва)
В секции средней школы
Московского
математического общества
(Год 38-й)
В течение 1985/86 учебного года состоялось шесть за-
седаний секции средней школы Московского матема-
тического общества, а также пять заседаний, прове-
денных совместно с секцией математики Московского
дома ученых и секцией втузов Московского математи-
ческого общества. По многолетней традиции заседания
секции средней школы проводились в третий четверг
месяца — с октября по апрель включительно — на ме-
ханико-математическом факультете Московского госу-
дарственного университета им. М. В Ломоносова —
г Главном здании МГУ на Ленинских горах. Совмест-
ные заседания секций проходили в Московском деме
ученых.
Заседание секции 17 октября 1985 г. было по-
священо знакомству его участников с современной
вычислительной техникой. Выступившие ‘^‘Заседании
В. Б. Бетелин, А. Г. Кушниренко, Г^В.1^ Лебедев,
А. В. Михалев рассказали о существуюпН1х'вВ настоя-
щее время компьютерах и их использовании ут£ля реше-
ния широкого круга проблем. Особое внимание было
уделено обсуждению различных вопросов, возникаю-
щих при изучении нового школьного предмета «Осно-
вы информатики и вычислительной техники», а также
перспектив использования компьютеров в учебном
процессе. Для участников заседания была организова-
на экскурсия в лабораторию вычислительных методов
механико-математического факультета МГУ.
14 ноября 1985 г. на совместном заседании секций
втузов и средней школы Московского математического
общества и секции математики Московского дома уче-
ных с докладом «Математика и математики в годы
Великой Отечественной войны» выступил Б. В. Гнеден-
ко. Докладчик рассказал о вкладе советских ученых-
математиков в решение актуальных для фронта за-
дач, в совершенствование боевой техники. Он поделил-
ся своими воспоминаниями о молодых математиках, с
оружием в руках сражавшихся с фашистскими войска-
ми, многие из которых отдали жизнь во имя свободы
Отчизны (см.: Квант. 1985. № 5).
На заседании секции 21 ноября 1985 г. было
продолжено знакомство с современной вычислительной
техникой. Собравшиеся заслушали сообщения
Е. А. Гребеникова и В. М. Репина о больших элект-
ронных вычислительных машинах и вычислительных
комплексах, о перспективах дальнейшего развития
компьютерной техники, об использовании ЭВМ для
решения крупных научно-технических и народнохо-
зяйственных задач. Состоялась экскурсия в лаборато-
рии Научно-исследовательского вычислительного цент-
ра МГУ.
10 декабря 1985 г. состоялся организованный
секцией математики Московского дома ученых, секция-
ми втузов и средней школы Московского математиче-
ского общества тематический вечер «Прикладная мате-
матика и научно-технический прогресс». Вечер вели
А. Н. Тихонов и В. А. Винокуров. Выли заслушаны
доклады А. Н. Тихонова «Теория некорректно постав-
ленных задач и ее приложение в науке и технике»,
В. В Загладина «Глобальные проблемы современно-
сти», Н. Н. Моисеева «Коэволюция человека и био-
сферы — грани допуст' мого», И. Т. Фролова «Общест-
во, человек и природа в век информатики и микро-
электооннкп».
Вступительным экзаменам по математике в Москов-
ский унивепситет в 19сс; г. было посвящено заседание
секции 19 декабря 1985 г. Выступивший с сообще-
нием И. Н. Сергеев продемонстрировал образцы ва-
виантов, предлагавшихся поступавшим на различные
Факультеты МГУ, познакомил с уровнем требований на
письменных и устных экзаменах, рассказал о типич-
ных ошибках абитуриентов и недостатках их подго-
товки. Основное внимание было уделено анализу ва-
риантов письменного экзамена ня механико-математи-
ческом факультете МГУ (см.- Математика в школе.
1986. № 1; Квант. 1986. № 2).
На совместном заседании секции математики Мос-
ковского дома ученых и секций втузов и средней шко-
лы Московского математического общества 16 я н в а-
р я 1986 г. обсуждался вопрос «Место ЭВМ в учеб-
ном процессе». В выступлениях В. А. Винокурова,
В. В. Кучеренко и Л. Е. Садовского были рассмотре-
ны различные аспекты использования современной вы-
числительной техники для улучшения качества и по-
вышения эффективности обучения на всех ступенях —
76