P. M. СВИТЦЕР
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ
ТОПОЛОГИЯ-
ГОМОТОПИИ
И ГОМОЛОГИИ
Перевод с английского Ю. П. СОЛОВЬЕВА
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1985

22.15
С 24
УДК 513.83
ROBERT M. SWITZER
ALGEBRAIC
TOPOLOGY-
HOMOTOPY
AND HOMOLOGY
SPRINOER-VERLAO
BERLIN - HEIDELBERG - NEW YORK
1975
Свитцер Р. М. Алгебраическая топология. Гомотопии и гомологии:
Пер. с англ. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литера-
литературы, 1985.— 608 с.
Книга содержит описание, по существу, всех основных задач, методов и
результатов современной алгебраической топологии. Принятый автором спо-
способ изложения позволил ему при сравнительно небольшом объеме познако-
познакомить читателя с обширным материалом, до сих пор не включавшимся в учеб-
учебную литературу. Книга начинается с простейших понятий, так что от читателя
не требуется почти никаких предварительных знаний в этой области.
Для математиков начиная со студентов младших курсов. Может служить
справочником по алгебраической топологии.
1702040000-020
053@2)-85
1975 by Springer-Verlag
All Rights Reserved
Authorized translation from
English language edition
published by Springer-Verlag
Berlin — Heidelberg — New York
Перевод на русский язык.
Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической литературы,
1985

ПОСВЯЩАЕТСЯ
Карен, Валътраут и Элизабет
ВВЕДЕНИЕ
Эта книга возникла на основе курсов лекций по алгебраической
топологии, прочитанных автором в Манчестерском университете в
1967— 1970 гг., в Корнелльском университете в 1970—1971 гг.
и в университете Георга Августа в Геттингене в 1971 — 1972 гг.
Уровень материала в ней несколько выше того, который предус-
предусматривается на первом году специализации. Предполагается, что
читатель этой книги уже освоил начальный курс алгебраической
топологии, включающий сингулярные гомологии, фундаменталь-
фундаментальную группу и накрывающие пространства. Кроме того, для хо-
хорошего понимания материала главы 12 желательно знакомство с
дифференцируемыми многообразиями. В то же время не предпо-
предполагается никаких знаний по гомотопической топологии, за исклю-
исключением нескольких простых фактов о фундаментальной группе.
В настоящее время имеется несколько прекрасных руководств
по алгебраической топологии. Наиболее основательным из них
является, пожалуй, учебник Спеньера [72], который я рекомен-
рекомендую прочесть наряду с этой книгой. Разумеется, ряд тем в этих
книгах совпадает — это относится, в частности, к главам 0 — 6,
14 и 15. Однако настоящая книга охватывает более широкий
круг вопросов и рассчитана на то, чтобы дать вдумчивому чита-
читателю такую подготовку, с помощью которой можно было бы на-
начать самостоятельные исследования в различных областях алгеб-
алгебраической топологии: стабильной гомотопической теории, /С-тео-
рии, теории кобордизмов.
За исключением своего названия «Алгебраическая топология»
эта книга не претендует (и не может претендовать) на одинаково
полное освещение всех областей этой науки. Выбор предмета объ-
объясняется, главным образом, исследовательскими интересами ав-
автора. Поэтому, например, нестабильная гомотопическая теория
развивается лишь до того уровня, когда она становится по-нас-
по-настоящему интересной, а затем навсегда покидает сцену, уступая
ее стабильной гомотопической теории. Тем читателям, у которых
наш очерк нестабильной гомотопической топологии лишь разжег
любопытство, советуем использовать в качестве отправной вехи
сведения из книги Адамса [10]. Другая важная ветвь алгебраи-
1*

4 ВВЕДЕНИЕ
ческой топологии, которой мы совсем не коснулись,—это теория
препятствий. Отчасти это произошло из-за нехватки места, а от-
отчасти потому, что едва ли можно написать лучшее введение в
теорию препятствий, чем то, которое содержится в «Семинаре по
расслоенным пространствам» Томаса [80].
Красной нитью через всю книгу проходит следующая основ-
основная идея: большинство задач, которые решаются с помощью ал-
алгебраической топологии, может быть сведено к задачам существо-
существования или несуществования непрерывных отображении f : X -*¦ Y
между двумя топологическими пространствами X и У. Что же
касается этих задач, то для их решения используется алгебраи-
алгебраическое представление топологии, т. е. некоторое отображение то-
топологии в алгебру. Такое представление, формально описываемое
функтором, позволяет превратить топологическую задачу в соот-
соответствующую ей алгебраическую. Если при этом имеется доста-
достаточно много представлений такого рода, то топологическая за-
задача разрешима тогда и только тогда, когда разрешимы все
соответствующие алгебраические задачи. Например, если требу-
требуется доказать, что не существует непрерывного отображения
f: X -v Y, то рассматривают подходящий функтор F из катего-
категории топологических пространств в некоторую алгебраическую ка-
категорию, т. е. для каждого пространства X задают алгебраичес-
алгебраический объект F (X) (группу, кольцо, модуль и т. п.) и для каждо-
каждого непрерывного отображения / : X ->¦ Y гомоморфизм F(f): F(X) ->-
F(Y), сохраняющий используемую алгебраическую структуру.
После этого пытаются доказать, что такого гомоморфизма F (/):
F (X) -v F (Y) не существует (доказательства существования, как
правило, более трудны). С этой точки зрения чем более сложна,
богата естественная алгебраическая структура на F (X), тем луч-
лучше. В самом деле, если объекты F (X) и F (Y) имеют достаточно
сложную алгебраическую структуру, то множество соответствую-
соответствующих гомоморфизмов
ф: F(X)-+F(Y)
не может быть очень велико. А это дает хороший шанс доказать,
что нужного нам гомоморфизма F (f) не существует.
На протяжении всей книги мы будем стараться усложнить,
сделать более богатой ту естественную алгебраическую структуру,
которая имеется на наших функторах (см. главы 2, 13, 17, 18).
В главе 19 мы обнаружим, что эта алгебраическая структура
на F (X) достаточна для того, чтобы при некоторых благоприят-
благоприятных обстоятельствах точно сказать, какие гомоморфизмы Ф: F(X)-v
F (Y) имеют вид F (f) для подходящего непрерывного отобра-
отображения /: X-yY. Тем самым становятся возможными и доказа-
доказательства существования.
Главы 0 и 1 содержат некоторые результаты из теоретико-
множественной топологии, которые постоянно используются в кни-

ВВЕДЕНИЕ 5
ге, и основные определения из теории категорий; по-существу,
это краткие обзоры для читателей. В главе 2 появляются мно-
множества [X, Y] гомотопических классов отображений /: X-+Y и
рассматриваются следующие задачи: при каких условиях на про-
пространства X и Y множество [X, Y] может быть снабжено груп-
групповой структурой, когда точна последовательность
[X, W]?-[Y, W]^[Z, W]
и т. д. Другими словами, мы исследуем здесь те условия, при
которых естественная структура множества [X, Y] может быть
усложнена до групповой структуры. В главе 3 рассматриваются
множества
п„(У, г/о) = [Sn, s0; Y, y0],
являющиеся при п :з= 1 группами,—так называемые гомотопичес-
гомотопические группы пространства Y. Здесь же доказываются наиболее
элементарные свойства этих групп. В главе 4 определяются рас-
расслоения и слабые расслоения и показывается, что для любого
слабого расслоения р: Е-*-В со слоем F = р-1 ф0) существует
точная последовательность
Далее вводится очень важное для геометрических приложений
понятие расслоенного пространства и доказывается, что каждое
расслоенное пространство является слабым расслоением. После
этого строятся важные примеры расслоенных пространств:
O(n)^O(n)/O(n-k),
O(n)/O(n-k)-+O(n)/O(n-k)xO(k)
и т. д. Глава завершается утверждением о том, что любое накры-
накрытие р: Х'-*-Х является расслоенным пространством с дискрет-
дискретным слоем; это утверждение применяется к вычислению гомото-
гомотопических групп окружности S1 и «-мерного тора
Tn = S1xS1x...xS1.
Гомотопические вычисления для произвольных топологических
пространств X, Y очень трудны; нелегко, например, установить,
что существует хотя бы одно нетривиальное непрерывное отобра-
отображение /: X -у Y. Поэтому мы ограничиваемся более узкой кате-
категорией клеточных пространств, т. е. пространств, которые полу-
получаются в результате склеивания друг с другом различных клеток
D". Структура клеточных пространств позволяет строить требуе-
требуемые отображения и гомотопии шаг за шагом по клеткам. В гла-
главе 5 определяются клеточные пространства и доказываются их
простейшие свойства. Глава 6 содержит более глубокие гомото-
гомотопические результаты, относящиеся к таким пространствам.

О ВВЕДЕНИЕ
Упомянем здесь лишь наиболее важные из них: группа яп (X, х0)
зависит лишь от клеток размерностей, не превышающих /г+1;
гомоморфизм надстройки
2: пд(Х, xo)-*ag+1(SX, *) ([Л1—-ПАЯ)
для п-связного клеточного пространства X является изоморфиз-
изоморфизмом для q < 2л + 1; отображение /: X -*¦ У связных клеточных
пространств индуцирует изоморфизм гомотопических групп
/*: пд(Х, xo)-*-nq(Y, г/о), <?5эО,
тогда и только тогда, когда f — гомотопическая эквивалентность.
В этом месте мы покидаем гомотопическую топологию и обра-
обращаемся к теориям гомологии и когомологий. Обобщенной теорией
гомологии называется семейство функторов \hn\ neZ}, действую-
действующих из категории топологических пространств в категорию абе-
левых групп и удовлетворяющих всем аксиомам Стинрода — Эй-
ленберга за исключением аксиомы размерности. В главе 7 иссле-
исследуются свойства этих теорий, непосредственно вытекающие из
аксиом; это равносильно реализации той части программы Стин-
Стинрода и Эйленберга [74], которая не использует аксиомы раз-
размерности.
В главе 8 излагается бордмановская конструкция стабильной
категории спектров. Доказываются некоторые наиболее важные
свойства этой категории, в частности, тот факт, что
2: [?, F\-
— биекция для любых спектров Е и F. Завершается глава постро-
построением по заданному спектру Е теории гомологии Е% и когомо-
когомологий Е*. В главе 9 мы показываем, что таким образом полу
чаются все возможные теории когомологий из главы 8 (теорема
Брауна о представимости). Затем идут три наиболее известных
и важных примера теорий гомологии и когомологий: классичес-
классические гомологии и когомологий (глава 10), /(-теория (глава 11),
теории бордизмов и кобордизмов (глава 12). Кроме того, в гла-
главе 10 показано, как вычислить группы сингулярных гомологии
произвольного клеточного пространства, и доказана теорема Гуре-
вича об изоморфизме. Глава 11 содержит вычисление гомотопи-
гомотопических групп стабильных классических групп О, U, Sp.
Глава 13 посвящена умножениям в гомологиях и когомоло-
гиях. Она начинается теоремами об универсальных коэффициен-
коэффициентах (которые выражают группы Н„ (X', G) и Н* (X; G) через
Н„(Х\ 2) и G) и теоремой Кюннета (выражающей H*(XxY)
через Н*(Х) и Н*(У)). Затем кратко обсуждаются х-, w- и
^-умножения для сингулярных гомологии и когомологий. После
этого мы отклоняемся от основной темы для того, чтобы постро-
построить приведенное произведение двух спектров. Конструкция при-
приведенного произведения позволяет задать умножения в обобщен-

ВВЕДЕНИВ 7
ных теориях гомологии и когомологий Е%, ?*, ассоциированных
с кольцевым спектром Е. Завершается глава полным описанием
умножений для классических гомологии и когомологий, /(-теории
и бордизмов.
В главе 14 теория умножений в обобщенных гомологиях и
когомологиях применяется к исследованию различного рода двой-
двойственностей (Александера, Лефшеца, Пуанкаре—для многообра-
многообразий, Спеньера — Уайтхеда — для конечных спектров), а также
к вопросу об ориентируемости многообразий относительно обоб-
обобщенных теорий когомологий. Кроме того, с помощью двойствен-
двойственности Спеньера — Уайтхеда доказывается теорема о представи-
представимости для теорий гомологии, аналогичная когомологической
теореме Брауна из главы 9.
В главе 15 в связи с введением спектральных последователь-
последовательностей уровень трудности значительно возрастает, поскольку при
первом знакомстве структура спектральной последовательности
кажется совершенно необозримой. Однако опыт показывает, что
спектральные последовательности представляют собой наиболее
эффективный инструмент, имеющийся в распоряжении топологов,
так что труд, который требуется для хорошего овладения ими,
с лихвой окупается. Мы рассматриваем в этой главе спектраль-
спектральные последовательности Атья —Хпрцебруха — Уайтхеда и Лере —
Серра. В качестве приложений получаются точные последователь-
последовательности Гизина, Вана и Серра, теорема Лере — Хирша, теорема
Тома об изоморфизме.
Глава 16 посвящена вычислению колец гомологии и когомо-
когомологий Е* (BG), E* (BG) стабильных классифицирующих пространств
BG для G — O, V и Sp. С этой целью используется спектральная
последовательность Атья — Хирцебруха — Уайтхеда. В процессе
вычисления определяются некоторые классы Ci^E*{BG) кого-
когомологий, позволяющие получить инварианты сг (|) <= Е* (X) век-
векторных расслоений |->-Х со структурной группой G. Эти инвари-
инварианты с( называются характеристическими классами. Заканчива-
Заканчивается глава доказательством теоремы Ботта о периодичности BU ~
QtBU.
В главе 17 делается существенное продвижение в программе
усложнения естественных алгебраических структур. Мы показы-
показываем, что Е* (X) естественным образом превращается в модуль
над алгеброй А* (Е) = Е* (Е), а Е^(Х)-~ в комоду ль над алгеброй
Хопфа А ь(Е) — Е*(Е) (при подходящих условиях на спектр Е).
Далее вычисляются алгебры Хопфа А%(Е) для спектров E = MU,
MSp, К и КО. В качестве приложения находятся оценки обра-
образов гомоморфизмов Гуревича
hK: лд(Ми)-+Кя(Ми),
hK0: nq(MSp)-+KOq(MSp)
для малых значений q.

8 ВВЕДЕНИЕ
Глава 18 содержит вычисление алгебр А* (Н Bг)) и А* (ЯBг))
в терминах некоторых элементов Sq' е А* (И (%г))> называемых
квадратами Стинрода, и двойственных к ним. Аналогичные
результаты для А* (Н (ZP)) и А* (Н (ZP)) формулируются без дока-
доказательства
ПрО1рамма усложнения естественных алгебраических структур
триумфально завершается главой 19. В ней с помощью структуры
комодуля Е% (X) над Е% (Е) строится так называемая спектраль-
спектральная последовательность Адамса {Е)'1, dr\, член Еч которой имеет
чисто алгебраическое описание
?"»•'?? Extij.'(?)(?,(S°), Em(X))
(Extc*(—, —)—функтор, производный для Ногпс(—, —), С —
некоторая коалгебра) и которая сходится для связного спектра Е
к группе л* (Х)/О%. Здесь л* (А') — градуированная стабильная
гомотопическая группа пространства X и D^— некоторая ее под-
подгруппа, зависящая от спектра Е Для спектров E = MU или MSp
группа О# есть 0; для Е — Н (Zp) она состоит из элементов
конечных порядков, взаимно простых с р. Таким образом, в тех
случаях, когда спектральная последовательность Адамса под-
поддается вычислению, можно, отправляясь от ?* (?)-комодулей
Е^(Х), получить стабильные гомотопические группы n*(A')/D#.
В качестве первого применения спектральной последовательности
Адамса вычисляются стабильные группы сфер л, (S0) для несколь-
нескольких первых значений q. После этого мы обращаемся к спектрам
Е = К, КО. Указанные спектры не являются связными, так что
спектральная последовательность может не сходиться, но все еще
определены гомоморфизмы
ev: ker hK -* Extjtfft (tf, (S°), К* (X)),
eR: ker hK0-+ Ext^ko) (ЯЙ, (S% KO# (X)).
Вычисляются группы
и полученный результат используется для выделения в л* (S°)
нетривиального прямого слагаемого, порядок которого связан
с числами Бернулли.
Глава 20 посвящена применению спектральной последователь-
последовательности Адамса к вычислению колец бордизмов л^(Мв)^п° для
G — O, U и 50. Кроме того, мы доказываем здесь теорему Стон-
га — Хаттори, которая описывает образ гомоморфизма Гуревича
hK: n

ВВЕДЕНИЕ 9
После изучения материала этой главы для читателя не составит
труда разобраться в статьях Андерсона, Брауна и Петерсона
[13, 14], в которых вычислены кольца fi*u и Q*pin.
Даже из этого краткого обзора ясно, что математический уро-
уровень, необходимый читателю, значительно возрастает, скажем, от
главы 2 к главе 20. Студент, который начнет читать эту книгу,
обладая лишь указанной в главе 0 минимальной подготовкой, не
сможет приобрести легкости в обращении с материалом последую-
последующих глав, ограничиваясь исключительно их прочтением. Он должен
попытаться овладеть материалом каждой главы в степени, доста-
достаточной для решения задач, отличных от имеющихся в тексте.
В некоторых случаях будет полезно обратиться к книгам и
статьям, перечисленным в конце каждой главы
Помещенный в конце книги список литературы не претендует
на полноту. К тому же после выхода в свет уникального свода
Стинрода рефератов всех математических статей, имеющих отно-
отношение к алгебраической топологии, в таком исчерпывающем
списке нет необходимости. Вместо этого наша библиография пре-
преследует две цели: предложить литературу для дальнейшего изу-
изучения и указать те источники, из которых почерпнуто большин-
большинство материала данной книги.
В заключение искренне благодарю Фрэнка Адамса, которому
я обязан, без преувеличения, большей частью своих знаний по
алгебраической топологии. Каждый, знакомый с его работами,
заметит то влияние, которое они оказали на настоящую книгу.
Кроме того, в ряде мест (глава 8, материал главы 9, посвящен-
посвященный конечным клеточным пространствам, конструкция Ef\F) я
широко пользовался его подходом к соответствующим темам,
внося в него лишь самые небольшие изменения (отчего изложе-
изложение этих тем вряд ли улучшилось).
Мне хотелось бы также выразить глубокую благодарность
Эгберту Брискорну за его поддержку и многочисленные полез-
полезные предложения. И наконец, я сердечно благодарю фрейлен
Ингрид Сохачевски и фрау Кристиан Прейвиш за помощь в пе-
печатании рукописи.
Рукопись этой книги была представлена Геттингенскому уни-
университету Георга Августа в январе 1973 г. как диссертация
на соискание профессорского звания.
Геттишен, ноябрь 1973 г,
Роберт М. Свитцер

Г Л А В А О
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ
Мы предполагаем, что читатель знаком с элементами общей
топологии, т. е. с наиболее важными свойствами непрерывных
отображений, компактных множеств, связных множеств и т. д.
Тем не менее, для удобства читателей мы приводим в этой главе
некоторые результаты из общей топологии, которые будут по-
постоянно встречаться в настоящей книге
0.1. Пусть X — топологическое пространство и Аъ Л2, ...
..., А„ — его замкнутые подпространства, удовлетворяющие усло-
л
вию Х= у Л,.
Предположим, что заданы отображения Д: Д-*-У, l=s?jsgra.
Тогда отображение /: X-vF, для которого /1 Л,- = Д, 1«?1^я,
существует в том и только в том случае, когда Д | At f] Aj =
= fj| AtП Aj, l^i^n, 1«^/=Ся. При этом отображение / не-
непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывны все отображе-
отображения Д.
Очень часто мы будем строить непрерывные отображения /: X-*-
-*¦ Y, разбивая X на замкнутые подмножества Ai и определяя /
отдельно на каждом Л,- так, что f\At непрерывно по построению.
Тогда для доказательства непрерывности отображения / нам оста-
останется лишь проверить, что наши отображения f\At совпадают на
пересечениях At f) Aj.
0.2. Универсальное свойство декартова произ-
произведения. Пусть рх'. XxY->-Х, ру: X v Y-*¦ Y — проекции на
первый и второй сомножитель соответственно. Тогда для любой
пары отображений /: Z->-X и g: Z^-Y существует такое един-
единственное отображение h: Z^>-XxY, что Рх°^ = А Pr°h = g- Отоб-
Отображение h непрерывно в том и только в том случае, когда не-
непрерывны fug. Указанное свойство характеризует XxY с точ-
точностью до гомеоморфизма. Однозначно определенное отображе-
отображение h, как правило, будет обозначаться через (/, g).
В частности, для того чтобы проверить, что заданное отобра-
отображение h: Z-*-XxY непрерывно, достаточно доказать непрерыв-
непрерывность отображений рх ° h и pY • h.
0.3. Универсальное свойство факторпростран-
ства. Пусть а —некоторое отношение эквивалентности на топо-
топологическом пространстве X. Обозначим через Х/а, пространство
классов эквивалентности и через ра: X-v Х/а — естественную про-
проекцию. Если /: X -*¦ Y — некоторое отображение, то отображение

ГЛ. 0. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ П
/': Х/а-*¦ У, удовлетворяющее условию /' • ра = /, существует в том
и только в том случае, когда из хах' следует f {x) = f (х1). В этом
случае /' непрерывно тогда и толькб тогда, когда непрерывно
отображение /. Указанное свойство характеризует пространство
Х/а с точностью до гомеоморфизма.
Важным и часто встречающимся примером факторпространства
является пространство Х/А, получающееся из некоторого простран-
пространства X сжатием в точку его замкнутого пространства А. Более
подробно, пусть А — замкнутое непустое подпространство про-
пространства X; рассмотрим отношение
a = A-xA{j{(x, х): хеХ}с:ХхХ
и положим Х/А — Х/а. Если А = ф, примем соглашение, в силу
которого Х/А =*= Х/ф = Х+ = X U {точка}. Оправданием этого (на
первый взгляд, несколько необычного) соглашения будет служить
тот факт, что любая теорема о пространстве Х/А остается вер-
верной и для Х/ф.
0.4. Комбинация произведения и перехода
к факторпространству. Если а —отношение эквивалентно-
эквивалентности на топологическом пространстве X и ($ — отношение эквива-
эквивалентности на топологическом пространстве У, то имеет место
очевидное отношение эквивалентности ах Р на произведении
ХхУ:
(дс, у)ахф(х', у')<=>хах' и у$у'.
Существует и единственно такое непрерывное отображение
Ф:
что Ф°Рауз = РаХрр. Более того, отображение Ф даже биективно,
но, вообще говоря, не является гомеоморфизмом. Важный част-
частный случай, в котором Ф — гомеоморфизм, получается, если f}—¦
тождественное отношение 1 и К —локально компактное прост-
пространство.
Доказательство. Мы должны показать, что если множе-
ство Т открыто в . , то его образ Ф(Т) открыт в (X/a)xY.
OCX I
Открытость множества Т означает, что множество 7" = palXiG')
открыто в ХхУ. Пусть (х0) уо)^Ф(Т); выберем точку х'о^Х
так, чтобы ргЛ(х'0) = Хо- Из определений отображения Ф и множе-
множества 7" следует, что (х'й, уо)^Т', а поскольку Т' открыто, то
существуют такие окрестности U точки х'о в X и К точки у0 в У,
что U xK czT'. Кроме того, можно считать, что множество К
компактно.
Пусть У' = {х'еХ: х'xKczT'}. Покажем, прежде всего, что
множество J' открыто. Действительно, в силу компактности мно-
множества К для каждой точки х' е J' найдется такая открытая

12 ГЛ. 0. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ
окрестность Ux- этой точки, что UX'XK с: Г'. Следовательно, J'
открыто. Далее, если J={x^X/a: ххКаф(Т)\, то очевидно,
что Pa(J) = J'; значит, J открыто в Х/а. Но (х0, yo)<^JxKcz
а ф (Т), поэтому множество Ф (Т) открыто. П
Пример. Единичный отрезок /=[0, 1] компактен, следова-
следовательно,
0.5. Гомотопией пространства X в пространство Y называется
непрерывное отображение F: XxI-*-Y. Для каждого t^I гомо-
гомотопия F определяет отображение Ft'. X-+Y, задаваемое форму-
формулой Ft(x) = F (x, t), х^Х. Пусть /, g: X -*• Y — некоторые отоб-
отображения. Говорят, что / гомотопно g (и пишут f^g), если су-
существует такая гомотопия F: XxI-*-Y, что F0 = f и Л = g. Дру-
Другими словами, отображения fag гомотопны тогда и только
тогда, когда / непрерывно деформируется в g посредством неко-
некоторого семейства Ft. Пусть А — некоторое подпространство в X.
Гомотопия F называется гомотопией относительно А (или гомо-
гомотопией rel А), если F (a, t) = F(a, 0) для всех а е A, i<=I.
0.6. Отношение гомотопности ~ является отношением экви-
эквивалентности.
Доказательство. Свойство /~/ очевидно: нужно взять
F(x, t) = f(x) для всех xsX, t<=I. Если /~g и F — гомотопия
от / к g, то отображение G: XxI-*-Y, задаваемое формулой
G(x, t) = F(x, I—/), xsX, t^I, является гомотопией от g к /;
следовательно, gc^f. Пусть теперь / — гомотопия от / к g, &G —
гомотопия от g к h. Тогда гомотопия Н, определяемая формулой
(F(x,2t),
"(Х' Ц \G(x, 2t-\), ly
задает гомотопию от / к h. П
Отметим, что для доказательства непрерывности отображения Н
используется утверждение п. 0.1.
0.7. Отношение ~ разбивает множество всех непрерывных
отображений /: Х->У на классы эквивалентности. Эти классы
эквивалентности называются гомотопическими классами; соответ-
соответствующее множество всех гомотопических классов обозначается
через [X; Y]. Гомотопический класс непрерывного отображения
/: X -*¦ Y обозначается через [/].
В качестве приложения теоремы п. 0.4 мы получаем следую-
следующее утверждение.
0.8. Предложение. Пусть а —отношение эквивалентности
на топологическом пространстве X и F: Xxl-»-У — такая гомо-
гомотопия, что каждое отображение Ft пропускается через Х/а, т. е.
хах' =$ Ft(x) = Ft (х'). Тогда F индуцирует гомотопию F': (Х/а)х
X / -*• Y, удовлетворяющую условию F' - (ра х 1) = F.

ГЛ. 0. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ 13
Доказательство. Условие на гомотопию F означает в точ-
точности, что F пропускается через , т. е. что существует не-
непрерывное отображение F": ^. -»У, для которого F"°paxl = F.
В силу п. 0.4 отображение ф: . -> (Х/а) X / — гомеоморфизм.
Теперь F' = F"°(t>-1: (Х/а)х/-*-У и есть требуемая гомотопия. D
Пример. Пусть А— замкнутое подпространство в X и F:
Хх/->У —такая гомотопия, что F(a, t) = F(a', t) для всех а,
а' е A, t е /. Тогда F индуцирует гомотопию F': (Х/А)х1 -»-У.
0.9. Функциональные пространства. Для топологи-
топологических пространств X и У обозначим через Yx множество всех
непрерывных отображений /: Х->У. Снабдим это множество так
называемой компактно-открытой топологией, взяв в качестве
предбазы топологии все множества вида Л^с, t/ = {/: f(K)czU},
где К а X компактно, а УсУ открыто.
0.10. Отображение вычисления е: Yx х X —>- У опреде-
определяется формулой e(f, x)=f(x). Если пространство X локально
компактно, то отображение е непрерывно. Во всех интересующих
нас случаях X будет единичным отрезком / = [0, 1].
0.11. Экспоненциальный закон. Пусть X, Z —хаус-
дорфовы пространства и, кроме того, Z локально компактно.
Тогда естественное отображение
Е:
определенное равенством ((?/) (х)) (z) = f (z, x), является гомеомор-
гомеоморфизмом.
0.12. Отмеченные точки. В дальнейшем нам часто при-
придется рассматривать топологическое пространство X вместе с вы-
выбранной в нем точкой хо, называемой отмеченной точкой. Пара
(X, Хо) называется пунктированным пространством или простран-
пространством с отмеченной точкой (точно так же можно говорить и
о пунктированных множествах). В тех случаях, когда мы имеем
дело с пунктированными пространствами (X, х0), (Y, уп) и т. д.,
мы всегда требуем, чтобы все отображения /: X -у Y сохраняли
отмеченные точки, т. е. /(хо) = г/о, а также, чтобы все гомото-
пии F: Xx/->V были гомотопиями относительно отмеченной
точки, т. е. F (хо, О = Уо для любых tel, — за исключением тех
случаев, когда явно оговорено противное. Множество гомотопи-
гомотопических классов отображений, сохраняющих отмеченные точки,
будем обозначать через [X, x0; У, г/о]; конечно же, все гомото-
пии являются гомотопиями relx0. Множество [X, х0; У, г/о] пред-
представляет собой пунктированное множество с отмеченной точкой /0.
где /о — постоянное отображение: /о(#) = г/о для всех хеХ.
Пусть А и В — подпространства топологических пространств X
и У соответственно. Обозначим через (У, В)(Х> Л) подпространство

14 ГЛ. 0. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ
в Ул, состоящее из тех отображений /: Х-»-У, для которых
f (А) а В. Существуют очевидные обобщения этого обозначения,
такие, как (У, В, B'fx' А- А"> и т. д. В частности, если (X, х0),
(У, //о) — пунктированные пространства, мы получаем простран-
пространство (Y, у«Ух-Хо) отображений, сохраняющих отмеченные точки.
Отмеченной точкой пространства {Y, г/0)(Х> Хо) является /0, где
/0 (х) = г/о для всех х е X.
Если (X, дго), (У, г/о) и (Z, г0) — три пунктированных про-
пространства, то можно образовать пространство
((Y, г/оР-Ч /0)(Х-Ч /о B) = г/о для всех 2eZ,
которое является подпространством в (Yz)x.
Естественно выяснить, какое подпространство в YzxX соот-
соответствует ((У, yoyz- Ч /o)(X-*•> при экспоненциальном отображе-
отображении 0.11. Легко видеть, что это будет подпространство
(У,
Обозначим через Z\J X подпространство Z{}{}
Его можно представить себе как пространство, получающееся из
несвязного объединения Z[)X отождествлением точек z0 и х0.
Очевидно, что Z \J X является пунктированным пространством
с отмеченной точкой (г0, х0). Таким образом, мы имеем
0.13. Предложение. Экспоненциальное отображение Е:
Yzxx-+(YZ)X индуцирует непрерывное отображение
Е: (Y, yoyz*x-zW-+((Y, г/оР-Ч foYx-x'\
которое является гомеоморфизмом, если пространства Z и X
хаусдорфовы, и, кроме того, Z локально компактно.
Замечание. Подпространство Zх{х0}(J{z0} xXcZxX на-
называется букетом пространств Z и X и характеризуется следую-
следующим свойством: для любых непрерывных отображений /: (Z, z0) -*¦
(W, w0) и g: (X, xo)-*-(W, w0) существует и единственно такое
непрерывное отображение h: (Z\J X, *)-+(W, w0), что h\Z = f,
h\X=g (ср. это с п. 0.2). Это единственное отображение h будет
обозначаться так: (Z V X, *)-— (W, w0). Если заданы непре-
непрерывные отображения /: (X, хо)-*-(Х\ 4) и g: (У, г/0)-ИУ, г/о),
то очевидным образом существует непрерывное отображение / \Jg:
(Х\/У» (*о. г/о))->(Х' V Y', (х'о, у'о)), совпадающее с / на X и
с g на У. В дальнейшем отмеченная точка (х0, г/о) букета X \J У,
как правило, будет обозначаться через *.
Упражнение. Используя экспоненциальный закон 0.11,
дать независимое доказательство теоремы п. 0.4 в случае, когда
пространства X и У хаусдорфовы.

ГЛАВА 1
КАТЕГОРИИ, ФУНКТОРЫ
И ЕСТЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В современной математике всякий раз, когда определяют новый
класс математических объектов, одновременно с этим описывают
и класс исследуемых отображений между объектами Например,
рассматриваются топологические пространства и непрерывные
отображения, группы и гомоморфизмы, кольца и кольцевые гомо-
гомоморфизмы. Формализуя это наблюдение, мы приходим к понятию
категории.
1.1. Определение. Категория состоит из
a) некоторого класса объектов (например, пространств, групп
и т. д );
b) множеств hom(X, У) морфизмов с областью определения X
и областью значений У для каждой упорядоченной пары объек-
объектов X и У; если / е horn (X, У), то мы пишем /: X -> У или
X-LY;
c) заданного для каждой упорядоченной тройки (X, Y, Z)
объектов отображения пот (У, Z)xhom(X, Y)-y horn (X, Z), на-
называемого композицией; если /ehom(X, У), g shorn (У, Z), то
образ пары (g, /) в hom(X, Z) обозначается через g°f.
При этом должны выполняться две следующие аксиомы:
С1) если /ehom(X, У), g<=hom{X, Z), /iehom(Z, W), то
h-(g>f)=:(h>g)>fehom(X, W);
C2) для всякого объекта У существует такой морфизм lye
horn (У, У), что для произвольных морфизмов gehom(X, У)
и ft shorn (У, Z) мы имеем lyog = ? и h°\Y = h.
Нетрудно показать, что морфизм lY единствен.
1.2. Определение. Два объекта X и У называются экви-
эквивалентными, если существуют такие морфизмы /ehom(X, У) и
gehom(y, X), что g°f—lx и f>g=\y Морфизмы fug в этом
случае называются эквивалентностями.
1.3. Примеры, i) Категория о? всех множеств и всех ото-
отображений.
ii) Категория <?Г всех топологических пространств и всех не-
непрерывных отображений.
Hi) Категория $>еУ пунктированных множеств и отображений,
сохраняющих отмеченные точки.
iv) Категория &<ЗГ пунктированных топологических про-
пространств и непрерывных отображений, сохраняющих отмеченные
точки.
v) Категория > групп и гомоморфизмов.

Ю ГЛ. 1. КАТЕГОРИИ, ФУНКТОРЫ
vi) Категория orf абелевых групп и гомоморфизмов.
vii) Категория оМя левых ^-модулей (/? —некоторое фиксиро-
фиксированное кольцо) и /?-гомоморфизмов.
viii) Категория <?Г'', объектами которой являются топологи-
топологические пространства, но hom(X, Y) — [X, Y]. Для данных [/] е
hom(X, Y), [g]<=hom(Y, Z) композиция [g]°[fl определяется
как [g°f]. Легко проверить, что морфизм [g]°[/] корректно опре-
определен и выполнены аксиомы С1) и С2). Аналогичным образом
определяется категория of'-JT'.
Заметим, что пространства X и К эквивалентны в категории sf"
тогда и только тогда, когда они гомеоморфны; в категории же 3~'
пространства X и Y эквивалентны в том и только в том случае,
когда они гомотопически эквивалентны.
Алгебраическая топология изучает топологические простран-
пространства методами алгебры. Это означает, что каждому топологичес-
топологическому пространству X сопоставляется некоторый алгебраический
объект F (X) таким образом, что любому непрерывному отобра-
отображению f: X^fY соответствует гомоморфизм F (f): F (X) -> F (Y).
Достоинства такого подхода можно проиллюстрировать следую-
следующим важным примером. Предположим, что мы хотим доказать
несуществование непрерывного отображения /: X->F, обладаю-
обладающего некоторыми свойствами Указанный подход позволяет свести
доказательство к сравнительно более простому доказательству
несуществования соответствующего алгебраического отображения
F(f). Решив эту алгебраическую задачу, мы тем самым получим
решение исходной топологической задачи. Таким образом, сопо-
сопоставление F представляет собой «гомоморфизм» из одной катего-
категории (скажем, ef) в некоторую другую (например, 5? или <?/?).
Формализация этого понятия приводит к определению функтора
1.4. Определение. Функтором из категории ?? в катего-
категорию J?" называется соответствие, которое
a) каждому объекту Хе? сопоставляет объект F (X) <= J?;
b) каждому морфизму / е horrig. (X, Y) сопоставляет морфизм
При этом должны выполняться следующие две аксиомы:
F1) Для любого объекта Хё? имеет место равенство F AХ) =
^FfX)
F2)
Для любых /ehorrig>(X, У), gehom%,(Y, Z)
,(F(X), F(Z)).
Итак, функтор — это соответствие, «сохраняющее стрелки», т. е.
если /: Х->У, то F(f): F(X)-+F(Y).
Дуальным для функтора является понятие кофунктора; ко-
функтор «обращает стрелки».
1.5. Определение. Кофунктором F* из категории ?f в ка-
категорию @f называется соответствие, которое

ГЛ. 1. КАТЕГОРИИ. ФУНКТОРЫ 17
a) каждому объекту Хе? сопоставляет объект F* (X) е&\
b) каждому морфизму / е homg> (X, Y) сопоставляет морфизм
F* ф^Ьотц(F*(Y), F*(X)).
При этом должны выполняться следующие аксиомы:
CF1) Для любого объекта Хе^1 имеет место равенство
CF2) Для любых fehomg>(X, Y) и g ehomg.(F, Z)
F*(g-f) = F*(f)> F* (g) г hornj, (F* (Z), F*
Замечание. В математической литературе функторы в смыс-
смысле нашего определения часто называются ковариантными функ-
функторами, а кофункторы — контравариантными функторами.
1.6. Примеры, i) Определим функтор F: <1Г^-S0 следую-
следующим образом. Если X е <&~, то F (X) — это подстилающее мно-
множество для X (т. е. X без топологии), и если f: X-> Y — непре-
непрерывное отображение, то F (/) — подстилающее отображение (т. е.
/ без непрерывности). По очевидным соображениям F называется
пренебрегающим функтором. Читатель может привести много
других примеров пренебрегающих функторов
И) Пусть даны некоторое фиксированное кольцо R и левый
R-модуль К- Определим функтор FK: <JtR-*-&?, полагая для про-
произвольного объекта М е JfCR
(K, M),
и для произвольного гомоморфизма Ф: М-*-М'
FA-@) = Horned к, ф): HomR(K, M)-+HomR(K, M').
Аналогично можно определить кофунктор F'\: qMr->-qs?, если по-
положить Fk(M) = HomR(M, К), F*KD>) = HomR(<t>, \K).
iii) Подобным же образом для данного пунктированного про-
пространства (/С, k0) e &<ЗГ определим функтор
FK: ,
полагая для каждого объекта (X, Хо)
FK(X, хо) = [К, k0; X, хо]
и задавая для каждого морфизма /: (X, хо)-^(У, у0) морфизм
FK(f) формулой
Рк (!) [g] = U -g] а [К, k0; Y, у0], [g] s [К, k0; X, х0].
Аналогично получается кофунктор^: &><&~ -*- iPS*. Для его опре-
определения нужно положить на объектах
П(Х, хо) = [Х, х0; К, k0]

18 ГЛ. 1. КАТЕГОРИИ, ФУНКТОРЫ
и для каждого морфизма /: (X, xo)-v(]K, y0) задать F% (f) фор-
формулой
[g°f]?B[X, х„; К, k0], [g]e[F, у0; К, k0].
Заметим, что из соотношения /~/'relx0 вытекает FK(f)-
FK(f) и, аналогично, Рк([) = Рк(П- Следовательно/FK (соот-
(соответственно, F%) можно рассматривать как функтор (соответствен-
(соответственно, кофунктор) из категории cPsST' в категорию Ф&'.
iv) Определим функтор С: •/'-»-^', сопоставляя любому про-
пространству X е <лГ пространство С (X) = X — одноточечную компак-
тификацию пространства X. Если /: X -*- Y — непрерывное ото-
отображение, то существует и единственно такое непрерывное ото-
отображение /: X.-+Y, что f\X = f. Поэтому для любого fe
hom(X, Y) положим С (/) = /.
v) Пусть е^ — категория всех областей целостности и кольце-
кольцевых мономорфизмов, a -F — категория всех полей и кольцевых
гомоморфизмов. Определим функтор Q: s^-^-aF, сопоставляя лю-
любой области целостности А ее поле частных Q(A). Для любого
мономорфизма Ф: А^-В областей целостности существует и един-
единствен гомоморфизм Q(<?): Q(A)-^Q(B), ограничение которого на
AczQ(A) совпадает с ф. Поэтому Q — функтор.
vi) Пусть S3 — категория банаховых пространств над R и огра-
ограниченных линейных отображений. Определимо: ^g-vis, полагая
D(X) = X*, где X*—банахово пространство ограниченных ли-
линейных функционалов на X и D (f)= f* для ограниченного линей-
линейного отображения /: X-vF. Тогда D — кофунктор.
Для того чтобы сравнить два функтора F, G: &-*-&, вво-
вводится понятие естественного преобразования.
1.7. Определение. Пусть &, & — дре категории и F, G:
^-vi^ функторы из г^ в JJ. Естественным преобразованием Т
из F в G называется соответствие, которое сопоставляет каждому
Хе? морфизм Т(X) i= horrid(F(X), G(X)) так, что для любого
морфизма /ehomr(X, Y) имеет место равенство
т. е. коммутативна следующая диаграмма:
F(X)
Обращая стрелки, мы получаем определение естественного пре-
преобразования двух кофункторов.

ГЛ. 1. КАТЕГОРИИ, ФУНКТОРЫ 19
1.8. Если для каждого Хе? морфизм Т(X) является экви-
эквивалентностью категории D, то Т называется естественной экви-
эквивалентностью, а функторы F и G называются естественно эквива-
эквивалентными.
1.9. Примеры, i) Пусть ф: (К, ko)-*-(L, /0) — некоторый
морфизм в категории ФёГ. Определим Тф: FL-*~FK, полагая для
любых (X, хо) и [g]^FL(X, xo) = [L, /о; X, х«]
Тф(Х, Хо)[g] = [g'Ф] е [/С, ko', X, Хо].
Тф(Х, Хо) переводит постоянное отображение в постоянное и по-
поэтому принадлежит множеству морфизмов hom ry(F[_ (X, х0),
FK(X,x0)). Кроме того, для любого /: (X, хо)->-(У, г/о) диаграмма
[L,lo;X,xo] -±—>- [L,!0;Y,y0}.
ЫХ,х0)
коммутативна. Действительно, если [g]e[L, l0; X, vn1. то
ТФ(У, yo)-FL(f)[g] = Tt(Vt yo)\f.g] = \f.g.<i>] =
] = ^(Л»7-0(Х, xo)[g].
Упражнение. Показать, что отображение ф: (К, ko)-+
(L, /0) является гомотопической эквивалентностью в том и
только в том случае, когда Тф — естественная эквивалентность
И) Рассмотрим функтор D: Si-^-Si из примера l.G, vi). Легко
проверить, что D2 = D°D — также функтор. Кроме того, мы имеем
тождественный функтор 1: <?8^>-<ffl. Определим Т: 1->D°D, со-
сопоставляя каждому банахову пространству ХеЙ естественное
вложение Т(X): X-*¦ D2X = X**. Другими словами, если лс=Х,
то мы имеем [Т (X) (x)](f)=f(x) для любого / бХ*, Тривиальная
проверка показывает, что Т — естественное преобразование На
подкатегории конечномерных банаховых пространств Т является
даже естественной эквивалентностью. Наибольшая подкатегория
в SS, на которой Т — естественная эквивалентность, называется
категорией рефлексивных банаховых пространств.

ГЛАВА 2
ГОМОТОПИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ГРУППЫ
В алгебраической топологии особо важную роль играют функ-
функторы FK и кофункторы F"fc, введенные в примере 1.6, Hi). В на-
настоящей главе мы опишем условия на пространство (К, kQ), вы-
выполнение которых гарантирует групповую структуру на множест-
множествах FK (X, Хо) и F% {X, Хо) для любых пунктированных пространств
(X, хи)- Другими словами, мы опишем условия на (/С, k0), кото-
которые превращают FK (соответственно, F%) в функтор (соответст-
(соответственно, кофунктор) из категории aPdT (или <##"') в категорию
групп &. В частности, если Sn = \x е Un+1: Bxi=l} — единичная
сфера и So = A, 0, ..., 0), то оказывается, что для пунктирован-
пунктированного пространства (Sn, s0) Fsn является функтором из 3s W
в категорию групп $; мы исследуем здесь некоторые свойства
групп пп(Х, x») = Fsn(X, хо), п^О.
Всюду в этой главе термин «отображение» означает непрерыв-
непрерывное отображение одного топологического пространства в другое.
2.1. Путь в топологическом пространстве X есть, по опреде-
определению, любое непрерывное отображение w: I-+X. Часто до на-
называют путем из до@) в w(\) или путем, соединяющим точки w @)
и w(\). Таким образом, X' представляет собой пространство всех
путей в X с компактно-открытой топологией. Введем на про-
пространстве X отношение ~, полагая, что х^у в том и только
в тем случае, когда существует путь до: I-+X из х в у. Оче-
Очевидно, что ~ является отношением эквивалентности. Множество
классов эквивалентности обозначим через п0 (X). Элементы мно-
множества я,, (X) называются компонентами линейной связности или
0-компонентами пространства X. Если яо(Х) содержит ровно
один элемент, то пространство X называется линейно связным или
0-связным.
Упражнение. Показать, что из 0-связности следует связ-
связность, и привести контрпример к обратному утверждению.
Для пунктированного пространства (X, х0) мы можем рас-
рассматривать я0 (X) как пунктированное множество, отмеченным
элементом которого является 0-компонента точки хо. Если мы
хотим подчеркнуть, что по(Х) рассматривается как пунктирован-
пунктированное множество, то будем использовать обозначение яо(Х, х0).
Пусть f: X ->- Y — произвольное отображение. Тогда / переводит
0-компоненты пространства X в О-компоненты пространства Y и,
следовательно, определяет отображение яо(/): no(X)-*-n0(Y).
Аналогично, сохраняющее отмеченные точки отображение /:

ГЛ. 2. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ГРУППЫ 21
(X, хо)->-(У, г/о) индуцирует морфизм пунктированных множеств
ло(/): по(Х, лсо)->-По (У, г/о)- Немедленно проверяется, что яоAх) •=
1Я„(Х) и что no(f°g) = no{f)°no(g). Таким образом, я0 пред-
представляет собой фуНКТОр с^~->-е?" ИЛИ <^#" -V s^d?*.
Можно предложить и другое описание функтора я0. Обо-
Обозначим через * любое пространство, состоящее ровно из одной
точки. Обозначим, далее, через S" 0-мерную сферу { + 1, —1} с:
R1; снабдим S" отмеченной точкой s0 = -f-1 -
2.2. Предложение. Существует естественная эквивалент-
эквивалентность
задаваемая правилом
[f] •—* {^-компонента точки /(*)}.
Доказательство. Существует очевидное взаимно одно-
однозначное соответствие между отображениями /: *-+Х и точками
пространства X, задаваемое формулой /•—¦/(*). Отображения /
и g гомотопны тогда и только тогда, когда /(*) и g(#) лежат
в одной и той же компоненте линейной связности. П
Соответствующий результат в категории tfidT формулируется
следующим образом.
2.3. Предложение. Существует естественная эквивалент-
эквивалентность
[S°, s0; X, хо]~п0(Х, хо),
задаваемая правилом
I/]!—»-{^-компонента точки /(—1)}.
2.4. Пусть (X, х0), (Y, у0) е оРе/Г. Определим приведенное про-
произведение {X Д У, *) е a7s<#~ пунктированных пространств (X, х0)
и (У, Уп) как факторпространство
= XxY/X\JY,
отмеченной точкой в котором является точка * = p(X\JY).
Здесь р: X х У -*- X Д У — естественная проекция. Для любой
пары (х, j/)eXxV будем обозначать точку р(х, у) через [х, у].
Если заданы отображения
/: (X, Хо)-+(Х', х'о) и g: (У, г/0)-^(У, у'о),
то fxg: XxY^X'xY' переводит X \J Y в X'\J Y' и поэтому
индуцирует отображение / Д g: X Д У->- X' Д У.
Замечание. В обозначении ХДУ опущены отмеченные
точки. Строго говоря, мы должны были бы писать (X, х0) Д (У, у0),
но для сокращения записи точки х0 и у0 лишь подразумеваются.
Это явление встречается довольно часто; например, так же всегда
опускаются обозначения топологий на X и У.

22 ГЛ. 2. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ГРУППЫ
Упражнение. Показать, что
X/\(Y /\Z)=*(X/\Y)/\Z.
2.5. Теорема. Пусть (X, х0), (У, у0), (Z, zo)^.&^, про-
пространства X и Z хаусдорфовы и Z локально компактно. Тогда
существует естественная эквивалентность
A: [Z/\X, *; Y, уо] + [Х, х0; (Y, y<>yz-*\ f0],
задаваемая формулой А [/] = [/], где f: X-+-Y2 строится по f:
Z Д X ->- Y следующим образом: (f{x)) (z) — f [z, x].
Доказательство, i) Отображение А сюръективно. Дейст-
Действительно, для любого отображения /': (X, xo)-+({Y, уо)B-г°\ /о),
в силу предложения 0.13, отображение /: (ZxX, Z V X)-*-(Y, y0),
определяемое формулой f (г, х) = (/' (х)) (г), непрерывно (f = E~1f).
Согласно п. 0.3 f определяет отображение /: (Z Д X, *) -»- (Y, г/е)
такое, что f[z, x] — f(z, x) = (f (x))(z). Таким образом, / = /',т. е.
и) Отображение А инъективно. Предположим, что /, g:
(Z Д X, *)-v(F, t/o) — такие отображения, что ^4[/] = /l[g], т. е.
fo^g. Пусть Н': Xxf_->-(Y, у0Уг Zo) — гомотопия relx0. В силу
п. 0.13 отображение //: ZxXx I -*-У, опр^еленное соотноше-
соотношением Й (z, х, t) — (H'(x,_t))(z), непрерывно (H — E~lHr). Для каж-
каждого f е/ мы имеем Н ((Z V Х)х{/}) —уо, поэтому в силу пред-
предложения 0.8 существует такая гомотопия Н: (Z Д Х)х/->-Frel *,
что Н ([г, х], t) = H (г, х, t) = (#' (я, 0) (*)• Таким образом,
H0([z, x]) = (H'a(x))(z) = (f(x))(z) = f[z, к] и, аналогично, Hl = g.
Следовательно, [/] = [я]-П
Важным частным случаем теоремы 2.5 является ситуация,
когда пространство Z —это окружность
S' = {xe!?: {x\=\} и zo = so = (l, 0).
2.6. Для (У, yo)^3bdT определим пространство петель
(QY, со0) е 8bdf~ как пространство отображений
с постоянной петлей w0 (a»o (s) = г/о для всех s s S1) в качестве
отмеченной точки.
2.7. Для (X, х0) е ^#" определим надстройку (SX, *)е^а^"
над X как приведенное произведение (S1 Д X, *) пространства X
и окружности S1.
2.8. Следствие. Если (X, х0), (У, ув)^?Р^Г и простран-
пространство X хаусдорфово, то имеет место естественная эквивалент-

ГЛ. 2. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ГРУППЫ 23
ность
A: [SX, *; Y, yo]^*[X, х0; QY, ©„].
Замечания, i) В действительности мы получили два новых
функтора, которые стоит принять во внимание; оба они дейст-
действуют из &сЗГ в a^s^". Функтор надстройки 5 переводит простран-
пространство (X, х0) в (SX, *)¦ Если задано отображение /: (X, хо)-+
(X', *о), определим Sf как отображение
Функтор петель Q переводит пространство (У, у0) в (QF, соо).
Если задано отображение g: (У, yo)^>-(Y', г/о), определим Qg:
{QY, coo)-»-(QK', coo) формулой
g-<a(s), ssS1.
Определенное таким образом отображение Qg непрерывно
в силу утверждений 0.10 и 0.13. Согласно следствию 2.8 функ-
функторы S и Q сопряжены друг другу в категории $PdT'.
ii) Соответствие А из следствия 2.8 естественно в том смы-
смысле, что для любых отображений /: (X', xJi)-»-(X, х0) и g: (Y, уо)-+
W, у'о) диаграммы
[Х,хо;ПГ,(оо]
[X',x'o; QY,(o0]
[X,xo;QY,(oo]
\SX,*; Y',y0] -$-+ [X,x0; QY',(oi]
коммутативны. Здесь f* = FqY (f), g* = Fsx(g) и т д.
Теперь займемся изучением тех свойств пространств (К, ko),
которые превращают FK в функтор со значениями в категории
групп (или F% — в кофунктор со значениями в категории групп).
Путеводной нитью в этом изучении нам будет служить следую-
следующее описание групп.
Определение. Группой называется пунктированное мно-
множество (G, е) с такими заданными на нем операциями умнооюе-
ния ц.: GxG-+G и обращения v: G-+G, что следующие диаграммы
коммутативны:

24
ГЛ. 2. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ГРУППЫ
ч
(е — двусторонняя единица),
GxO
ц (ассоциативность),
GxG
/»
G
iii)
(существование обратного элемен-
элемента)
Здесь через е: G-+G обозначено постоянное отображение:
е(?) = едля всех g^G. Через (е, 1) обозначено такое отображение
G-+GxG, что (е, \){g)=(e, g); аналогично определяются A, е),
(v, 1), A, v). Группа G называется коммутативной, или абеле-
вой, если в дополнение к условиям i) — iii) коммутативна диа-
диаграмма
GxG
>
GxG
где Т: GxG->G'xG —отображение, переставляющее аргументы,
т. е. Т (gi, g2) = (g>, gi) для любых пар (glt g2) e G x G.
Отправляясь от этого определения группы, введем следующие
объекты.
2.9. Определение. Н-пространством называется пункти-
пунктированное множество (К, k0) с заданным отображением \i: К х К-*-К,
называемым умножением, таким, что относительно этого умноже-
умножения элемент k0 является гомотопической единицей, т. е. что диа-
диаграмма
2.10.

ГЛ. 2. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ГРУППЫ 25
коммутативна с точностью до гомотопии:
|А.A, k0) СИ 1 ~ Ц„ • (k0, 1).
Говорят, что умножение \i гомотопически ассоциативно, если
коммутативна с точностью до гомотопии диаграмма
их1
КхКхК -—»• КхК
2.11. l x f- /* т. е. если ц°(Нх 1) —ц°0 хц).
Отображение v: (Я, ^0) -»-(/С, ^о) называется гомотопическим
обращением, если коммутативна с точностью до гомотопии диа-
диаграмма
2.12. \ \п / т-е-
Говорят, что умножение \х гомотопически коммутативно, если
коммутативна с точностью до гомотопии диаграмма
Н-группой называется Я-пространство (К, k0) с гомотопически
ассоциативным умножением ц и заданным гомотопическим обра-
обращением V.
Замечание Все упомянутые в определениях отображения
и гомотопии рассматриваются относительно отмеченной точки;
произведение КхК имеет отмеченную точку (k0, k0).
Основанием для введения только что сформулированных опре-
определений является следующее предложение.
2.14. Предложение. Пусть (К, k0) — некоторая Н-группа
с умножением \х и гомотопическим обращением v. Тогда для лю-
любого (X, x»)<=ffdf~ множество
[X, х0; К, ko\

26 ГЛ. 2. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ГРУППЫ
можно снабдить групповой структурой, определив произведение
[/] • [g] как гомотопический класс композиции
Здесь А — диагональное отображение, задаваемое формулой А (х) =
= (х, х). Единицей группы является класс [k0] постоянного ото-
отображения, а обратный элемент определяется как [/]~1 = [v-/].
Если умножение fi гомотопически коммутативно, то группа
[X, х0; К, k0] абелева. Каждое отображение f: (X, xo)-+(Y, y0)
индуцирует гомоморфизм
>: [Y, у0; К, ko]-+[X, х0; К, Ы
Доказательство. Покажем прежде всего, что произведе-
ние l/]"fe] определено корректно. Пусть Я: X х /-*¦ К — некото-
некоторая гомотопия между отображениями / и /', a G: X х1-*-К — го-
мотопия между отображениями g и g'. Определим гомотопию М:
Xxl->-К, полагая
М(х, О = Ц(Я(дс, t), G(x, t)).
Тогда M0 = ^'(fxg)' А и Mi = ii-(f xg')' А. Тот факт, что опре-
определенное таким образом умножение удовлетворяет групповым
аксиомам, по существу, следует из диаграмм 2.10 — 2.13. Дока-
Докажем, в качестве примера, ассоциативность умножения. Имеем
x\i)°(fxgxh)°(l х А)» А] (в силу коммутативности диа-
диаграммы 2.11) хщ
Итак, если (К, kn) является Я-группой, то F% представляет собой
кофунктор из категории аР^Г' в категорию трупп &.
2.15. Примеры, i) Очевидно, что всякая топологическая
группа является Я-группой.
и) Наиболее важным примером Я-группы является простран-
пространство петель (QY, соо) произвольного пунктированного топологи-
топологического пространства (Y, y^^lfidr. Перед тем так определить
умножение
ц: QYXQY-+QY,
сделаем следующее замечание. Имеет место очевидный гомео-
гомеоморфизм
0, 1}, *)^(S\ *),

ГЛ. 2. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ГРУППЫ
27
индуцирующий гомеоморфизм
(Y, t/0)(Sl-*'^(F, t/0)(/ {0- '».
Очень часто нам будет удобнее рассматривать QY как
{У, Уй)и' <0 |}), т. е. как пространство путей, начинающихся и
кончающихся в точке у0- В этих терминах определим умноже-
умножение ц, полагая
и».
соB0,
В действительности мы определили отображение
\i: QYxQYxI-+Y,
непрерывное в силу утверждений 0.1, 0.2 и 0.10. Но тогда экс-
экспоненциальный закон 0.11 доставляет нам желаемое отображение
ц: UYxQY-^QY.
Петля ц.(со, со') будет обозначаться через со*со'. Схематически
петлю а» * со' можно представить диаграммой (рис. 1).
Мы должны показать, что тривиальная петля соо является
гомотопической единицей. Другими
словами, нам нужна гомотопия
И: QYxl^QY, связывающая ото-
отображения |л.Aхсоо) и 1. Для фик-
фиксированной петли со е QY наша го-
гомотопия Н выглядит так, как пока-
показано на схеме (рис. 2),
(О'
-т
1/2
Рис. 1.
Рис. 2.
где штриховыми линиям^ обозначены «изоклины». Более точно,
определим отображение Н: QFx/x/->F, полагая
со
Н (со, /, s) =
Уо,
Как и в предыдущих случаях, отображение Н непрерывно
в силу утверждений из 0.1 и 0.10 и поэтому определяет гомото-
пию Н: QY х I -*- QY. Немедленно проверяется, что Но = ц • A х соо)
и Hi=\. Тот факт, что fx»(coox l)c^ 1, устанавливается совер-
совершенно аналогично.

28
ГЛ. 2. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ГРУППЫ
Для гомотопии ц.°A х ц) ==; ц. - (|л х 1) мы укажем лишь схема-
схематическую диаграмму (рис. 3)
Предлагаем читателю попытаться выписать точные формулы
для этой гомотопии.
Определим теперь гомотопическое обращение v: QY-+QY,
() 1 1(i) (l t) </ С
р р р
полагая v(co) = co-1, где o)-1(i) = <o(l — t),
Схематическая
() )
диаграмма, устанавливающая гомотопию между (х«A, v) и со0,
изображена на рис. 4.
W
Рис. 3.
Рис. 4.
Существует очевидное понятие Н-гомоморфизма ф: (К, &о)->-
(/(', k'9) одной Я-группы в другую; конечно же, В/ является
Я-гомоморфизмом для любого отображения /: (Y, Уо)-+(У, г/о)-
Таким образом, мы нашли те условия на пространство (К, k0),
при выполнении которых кофунктор F%. пропускается через кате-
категорию групп 'S. В частности, таковым является кофунктор Fby
для любого (У, у0) е с?#". Аналогичный вопрос для функтора FK
приводит к двойственному понятию Я-когруппы.
2.16. Определение. Н-когруппой называется пунктированное
пространство (К, k0) с таким заданным непрерывным отображе-
отображением \i': K-+K\JК, называемым коумножением, что относительно
этого коумножения элемент k0 является гомотопической единицей,
т. е. диаграмма
2.17.
коммутативна с точностью до гомотопии. Здесь через (k0, 1) обо-
обозначено такое отображение, что (&0, 1) (&. ko) = ko и (k0, I) (k0, k) = k
для любых k e К- Далее, предполагается, что коумножение ц.'
гомотопичгски ассоциативно, т. е. что диаграмма

ГЛ. 2. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ГРУППЫ 29
Км К
;
коммутативна с точностью до гомотопии. Кроме того, простран-
пространство К должно обладать гомотопическим обращением v': К-*-К,
таким, что диаграмма
коммутативна с точностью до гомотопии. И, наконец, Я-ко-
группа К называется гомотопически коммутативной, если в до-
добавление к сформулированным выше условиям коммутативна
с точностью до гомотопии диаграмма
- КмК —?-> KvK
2.20. Ч
Метаматематическое замечание. Наблюдательный
читатель мог заметить, что способ дуализации понятия Я-группы
заключается в замене произведения пространств букетом и в обра-
обращении всех стрелок. Эта процедура еще не раз встретится нам
в различных контекстах.
А теперь сформулируем предложение, двойственное предложе-
предложению 2.14.
2.21. Предложение. Пусть (К, ko) — некоторая Н-когруппа
с коумножением \i' и гомотопическим обращением v'. Тогда для
любого пунктированного пространства (X, х0) <= ?Р<&~ множество
[К, k0] X, хо]
можно снабдить групповой структурой, определив произведение
Ц] ¦ [ё] как гомотопический класс композиции
Здесь А' — отображение «складывания букета», задаваемое форму-
формулой А' (х, Хо) = х = А'(хо, х). Единицей группы служит класс [х0]
постоянного отображения, а обратный элемент определяется фор-
формулой [/]-' = [/•/]. Если коумножение ц' гомотопически комму-

30 ГЛ. 2. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ГРУППЫ
тативно, то группа [К, k0; X, x,>] абелева. Каждое отображе-
отображение /: (X, xo)-+(Y, у о) индуцирует гомоморфизм
U: [К, k0; X, Хо]-+[К, h; Y, у0].
И на сей раз доказательство данного предложения вполне
очевидно.
2.22. Поскольку основными примерами Я-групп служат про-
пространства петель Q.Y для произвольных Y, то в.свете следст-
следствия 2.8 неудивительно, что основными примерами Я-когрупп яв-
являются надстройки SX произвольных пространств X. Прежде
чем явно определить коумножение
ц': SX-+SX У SX,
сделаем следующее замечание: в силу гомеоморфизма (S1, s0) =
(//{0, 1}, *) можно рассматривать SX как факторпространство
Пусть р: IxX-*-SX — естественная проекция; будем обозначать
точку p(t, x)&SX через [/, х], t е /, хеХ. При этих согла-
соглашениях коумножение ц' определяется следующим образом:
f ([2t, x], дсо), 0</<1/2,
** [>Xi~\(xo, [2t-l. x]), l/2<f<l.
Если представить надстройку SX следующим схематическим ри-
рисунком
X х {1}
X
то коумножение ц' можно изобразить так:
Рис. 6.
Другими словами, отображение \i' «сжимает надстройку SX в ее
середине». Отображение v': SX-+SX, задающее гомотопически
обратный элемент, «переворачивает SX», т. е.
v'[t, x] = [l-t, x], te=I, xsX.

ГЛ. 2. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ГРУППЫ 31
Доказательство того факта, что пространство (SX, *), снабжен-
снабженное отображениями ц' и v', является Я-когруппой, проводится
прямыми выкладками. Требуемые гомотопии изображаются теми
же самыми схематическими диаграммами, что и гомотопии для
QY; лишь интерпретации этих диаграмм несколько различаются.
2.23. Предложение. Соответствие
A: [SX, *; Y, уо] + [Х, х0; UY, со0]
является изоморфизмом групп.
Доказательство. Для заданных отображений f, g:
(SX, *)-»-(F, y0) обозначим через f-g композицию
SX ^SX V SX Ш> Y V Y -^ Y.
Для заданных отображений f, g': {X, xo)-v(QF, coo) обозначим
через f* g1 композицию
X А X х X ?*? QY у QY i QY.
Мы должны показать, что (f°g) = ?*g- Но для любых хеХ,
f е/ мы имеем
что и требовалось. ?
Предположим теперь, что (К, k0) — некоторая Я-когруппа,
a (L, /0) — некоторая Я-группа. В этом случае существует два
способа введения групповой структуры в множестве [К, k0; L, /0];
будут ли совпадать эти групповые структуры? Ответ оказывается
утвердительным, и объяснение этого явления вытекает из следую-
следующего общего наблюдения.
2.24. Предложение. Предположим, что на множестве X
заданы две операции умножения ¦ и *, удовлетворяющие следующим
условиям:
i) для операций • и * существует общая двусторонняя еди-
единица е, т. е. для всех иеХ выполняются равенства
И) операции - и * взаимно дистрибутивны, т. е. для любых х,
х', у, у'евХ
Тогда операции ° и * совпадают и, кроме того, обе они ассоциа-
ассоциативны и коммутативны.

32 ГЛ. 2. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ГРУППЫ
Доказательство. Пусть х, у, ге! Тогда
a) х • у = (х * е) - (е * у) = (* - е) * (е ° у) = * * у.
Следовательно, операции • и * совпадают. Далее,
b) х <¦ у — (е * х) ° (у * е) = (е ° у) * (х ° е) = у * х = у ° х.
Таким образом, операция • (и, значит, *) коммутативна. И, на-
наконец,
c) Х'(у-г) = (х*е)'(у*г) = (Х'у)*(е-г) = (х-у)-г.
Следовательно, операции ° и * ассоциативны. ?
2.25. Предложение. Если (К, ко) — некоторая Н-когруппа,
a (L, /о) — некоторая Н-группа, то обе групповые структуры на
[К, k0; L, /0] совпадают и являются абелевыми.
Доказательство. Поскольку мы уже установили, что
класс постоянного отображения является общей двусторонней
единицей, то, согласно предложению 2.24, нам достаточно дока-
доказать лишь, что два заданных умножения взаимно дистрибутивны.
Пусть ,и'— коумножение на /( и ц — умножение на L. Мы по-
прежнему используем обозначения, введенные при доказательстве
предложения 2.23. Покажем, что для любых /, f',g, g': (K,ko)->-
(L, /и) имеет место равенство
С этой целью рассмотрим следующую диаграмму:
t (КмК) х {КчК) >(LmL) x (LvL)
' (/v/)x
U
К х k0 х К х k0 > Lx loxJLx l0 »¦ LxL
V koxKxkox К V loxLxloxL
ixTxl
(KxK)y(KxK)
В этой диаграмме композиция отооражений из К в L, включаю-
включающая верхние строки, представляет собой (/'f')*(g°g'), а компо-
композиция отображенил из К в L, включающая нижние строки, есть
if*g)°(f'*S') Очевидно, что средний квадрат диаграммы комму-
коммутативен. И, наконец, без труда проверяется, что коммутативны
два крайних пятиугольника. П
Тот факт, что множество [SX, *; ИY, woj оказывается абеле-
вой группой, воспринимается как неожиданный подарок.

ГЛ. 2. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ГРУППЫ 33
Образуем итерированные пространства петель Q"Y, определяя
их по индукции: Q"Y = Q(Qn-1Y), nSsl, Q°Y = Y. Аналогично
определяются итерированные надстройки SnX — S(S"-1X), я1
S°X = X. Тогда группа [SX, #; HY, соо] изоморфна [X, х0;
соо]. а также [52Х, *; У, у0].
2.26. Предложение. Q"V является гомотопически комму-
коммутативной Н-группой для п :>= 2. Аналогично, SnX является гомо-
гомотопически коммутативной Н-когруппой для я ^2.
Доказательство. Как мы уже знаем, для любого (X, *0)е
&Ф" группа
[X, х0; QnY, ao\g*[SX, *; Q"-1^, co0] = [SX, *; Q(Q«-27), щ]
абелева. Таким образом, если [/], [g] s [X, х0; QnY, coo], то
\f\l] №)[/) (/)Д(/)Д В Х
р [/] [g] [ ]
\f\-lg] = №)¦[/)> т- е- Ц'(/Х?)°Д^°(?Х/)-Д. Возьмем Х =
Q"FxQ"K, f — p\ (проекция на первый сомножитель) и g = pi~
Тогда для (х, у) <=Q"Y xQnY мы имеем
(fXg)-A(x, y) = {plxpt){(x, у), (х, у)) = (х, у),
т.е. (fxg)°A = lx- С другой стороны, очевидно (gxf)°A(x, y) =
(PiXPi)((x, у), (х, у)) = (у, х) = Т(х, у), т. е. (gXf)°A = T. Зна-
Значит мы доказали, что \i c^\i°T, т. е. что умножение ц гомото-
гомотопически коммутативно. Доказательство того факта, что //-когруппа
SnX гомотопически коммутативна, совершенно аналогично. Ко-
Конечно, это предложение можно доказать и непосредственно. D
2.27. Лемма. Для любого п^О пространство S1f\S" гомео-
морфно S"+1-
Доказательство. Мы рассматриваем сферы S" и S"+1 вло-
вложенными в R"+2. На самом деле мы используем следующие под-
подмножества в |R"+a:
S"+1 = ^eR°+2: |х||= 1} —единичная сфера;
S"=|xg R"+2: |х 1 = 1, xn+i = 0} - экватор;
Dn+1 = {x e Rn+a: i^l^l, хи+2 = 0} — диск в экваториальной
плоскости;
tf++l =]д;еКл+|!: |*Ц=1, хч+2^0} —верхняя полусфера;
Я1+1 = {х е R°+2: |ix|!=l, хп+г^0\ — нижняя полусфера;
so = A, 0, ..., 0) — отмеченная точка.
Существуют очевидные гомеоморфизмы
р+: (D*\ 5")-*(я;+1, 5"),
р_: [D"\ S")-+(Hn-.+ \ S»),
2 Роберт М. Свитцер

34 ГЛ. 2. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ГРУППЫ
задаваемые формулами
p+(*i xn+i, 0) = [xi хл+ь 1/ 1 - 2 *' »
\ Г !=1 /
!, ..., Xn+1, 0)=
Если x<=Sn, то для каждого /е/ мы имеем
Определим отображение ft: S1 Д S"-*-S"+1, полагая
-B^+ A-20so), 0=^*^1/2,
Здесь мы снова рассматриваем Sl Д 5" как
/ х S"/{0\ х S" U / х \sn\() {\\ хSn.
Легко видеть, что это отображение корректно определено, биек-
биективно и непрерывно. Поскольку оба пространства S1 Д S" и 5"+|
компактны, то отсюда следует, что h — гомеоморфизм. П
2.28. Следствие. Для любого я^гО пространство S"X
гомеоморфно Sn Д X.
Доказательство. Так как S° = {—1, 1}, то
5°ДЛ: = {-1, l\xX/{l\xXU\—l, \\
Предположим, что уже доказан гомеоморфизм SnX ^ Sn Д X.
Тогда
S"+1X = 5 (SnX) c^S (Sn Д X) = S1 Д (Sn /\X)g*
(S1 f\Sn) /\X^S"^ /\X.
Следовательно, по индукции, наше утверждение верно для всех
га 3=0. D
Всякий раз, когда в поле зрения алгебраического тополога
оказываются группы, его ближайшей заботой является отыскание
связывающих их точных последовательностей. Сейчас мы и при-
приступим к построению точных последовательностей гомотопических
множеств и групп.
2.29. Пусть (А, с), (В, Ьо), (С, с0) = &<?" и f: (А, Оо)^(В, Ь„),
g: (В, Ь0)-+(С, Со) —два отображения. Последовательность
(А, ао)^(В, 6о) —(С, со)
называется точной, если im/ = g~1c0. Если А, В, С —группы
с единичными элементами Оо, Ьо, с0 соответственно и если f, g —
гомоморфизмы, то последовательность точна в обычном для групп
смысле (т. е. im/ = kerg) тогда и только тогда, когда она точна

ГЛ. 2. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ГРУППЫ 35
как последовательность множеств. Длинная последовательность
называется точной, если каждая из коротких последовательностей
(Л*-!, a*_i) k^(Ak, ak)-*~(Ak+1, ofe+1), 2^k^r,
точна.
2.30. Определение. Последовательность
(X, х„)->(К, yo)-+(Z, 20)
в ё^аГ называется коточной, если для каждого (W, wn) ер. Ф&"
точна в смысле определения 2.29 последовательность пунктиро-
пунктированных множеств
[X, х„; W, wo]?-[Y, у0; W, wo\?-[Z, г0; W, wo\.
(Здесь мы используем для 'Fwif) более короткое обозначение [*;
в дальнейшем мы часто будем прибегать к сокращениям такого
рода.)
Покажем теперь, что любое отображение /: (X, хо)->(К, у0)
из категории S^^~ может быть включено в коточную последовз
тельность
(X, Xo)-L(Y. y,)±(Z, г0)
при подходящем выборе пространства (Z, го) и отображения g.
2.31. Определение. Для любого пространства (X, х0) ^frdT
определим конус (СХ, *) е &"<гГ над X как приведенное произ-
произведение
(СХ, *) = (! f\X, •),
где в качестве отмеченной точки отрезка / взята точка 0. Более
подробно, СХ — это факторпространство
Как и в случае надстройки, обозначим через [t, x] образ точки
(t, x)e/xX в СХ. Отображение i: X-+CX, определенное фор-
формулой i(x) = [\, x], леХ, задает гомеоморфизм пространства X
на образ im i, поэтому мы можем отождествить X с imi и счи-
считать X подпространством конуса СХ. Отметим, что
CX/X^SX.
2.32. Предложение. Отображение /: (X, л-0)->-(У) у0) го-
гомотопно ге\х0 постоянному отображению (нульгомотопно) тогда
и только тогда, когда оно продолжается до отображения
g: (СХ, *)-МК, уо).
Доказательство. Предположим, что / гомотопно relдг0
постоянному отображению у0. Пусть Н: X х / -*¦ Y — гомотопия
2*

36 ГЛ. 2. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ГРУППЫ
между у0 и /. Если определить отображение h: I хХ -*-Y фор-
формулой h(t, х) = Н(х, t), то h({0\xX{jIx{x0\) = yo- Следова-
Следовательно, h индуцирует отображение g: CX-^Y, удовлетворяющее
условиям g[\, х] = /гA, к) — Н\ (х) = f (х) для всех хеХ. А это
означает, что g | X = /.
Обратно, предположим, что задано продолжение g: (CX, *)—<•
(У, г/о) отображения /. Обозначим через Н: X х I-*¦ Y композицию
Xxl — /хХ^СХ^У,
где q — естественная проекция. Тогда Но (х) = g([0, х]) = у0,
Hl(x) = g[l, x] = f(x) для всех х^Х и Я(л:0, t) = g[t, хо]==г/о
для всех / <= /. Следовательно, Н является требуемой гомотопией
rel*o между отображениями у0 и /.П
2.33. Для данного отображения /: (X, хо)->(У, i>e) в <^^
построим ко«г/с отображения Y [} f CX следующим образом:
Y[)fCX получается из Y \J CX отождествлением |1, х]^СХ
с /(х)еУ для всех teX. Неформально, мы приклеиваем осно-
основание конуса СХ к пространству Y при помощи отображения /.
Ясно, что проекция q: Y \/ СХ -+-У U fCX определяет гомеомор-
гомеоморфизм между пространствами У и q(Y), поэтому мы можем рас-
рассматривать У как подпространство в Y{jtCX.
2.34. Предложение. Для любого отображения g: (Y, t/o)-»-
(Z, 20) соотношение g'f^z0 выполняется тогда и только тогда,
когда g обладает продолжением
h: (Y\JfCX, *)->(Z, г0).
Доказательство получается очевидным обобщением доказатель-
доказательства предложения 2.32 D
2.35. Предложение. Для любого отображения f: (Л, хо)-+
(Y, г/о) из категории оР^Г последовательность
(X, *о)-ЧУ, yo)-L(Y[)fCX, *),
где / — очевидное включение, коточна.
Доказательство. Мы должны показать, что для любого
пространства (W, Woj^iPdr последовательность множеств
[X, х0; у, щ]^-[У, у,; W, wo)^[Y[},CX, *; W, щ]
точна. Прежде всего заметим, что поскольку включение /: У -*¦
Y\Jt CX продолжается до lY[}fcx: У U/ CX-+YU/ СХ, то /-/~*.
Следовательно, /*-/* = (/»/)* = #, т. е. im /* с: f*-1 (*). Предпо-
Предположим теперь, что элемент [h] е [У, у0; W, w0] лежит в f*~l (*),
т. е. /г«/с^*. Согласно предложению 2.34, отсюда вытекает, что
h продолжается до отображения h': Y\JfCX-+W Но тогда
/*1й'1 = [й'-/] = 1й|, так что Jft]e=im/*.D
Процедуру перехода к конусу отображения можно итери-
итерировать.

ГЛ. 2. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ГРУППЫ 37
2.36. Лемма. Для любого отображения f: (X, xo)-*-(Y, у0)
категории &3~ последовательность
(X, *о)-ЦУ, yo)^(Y[JlCX, *)^((Y{JfCX)\JjCY, *)-L
(((Y U / СХ) \]j CY) U k С (Y U, СХ), *),
где /, k, l —очевидные включения, коточна.
Доказательство. Мы должны проверить коточность для
пар (/, /), (/, k), (k, I). Но каждая из этих пар имеет вид
(U, uo)~(V, ио)-^(УЦфСи, *)
для подходящих U, V, ф. Поэтому данная лемма следует из
предложения 2.35. ?
Фигурирующие в лемме пространства
{Y[)fCX)[),CY и «Y[}fCX)[),CY)[}>C(Y[},CX)
представляются довольно нескладными. Оказывается, что их можно
заменить гомотопически эквивалентными пространствами, работать
с которыми гораздо удобнее. Прежде всего отметим, что если
в (У U / CX)\Jj CY сжать в точку подпространство СУ, то резуль-
результирующее пространство (У U/ CX)\Jj CY/CY будет гомеоморф-
но SX. Аналогично
((У U , СХ) U/ CY) U * С (У U / СХ)/С (У U / CX)g^SY.
Нам хотелось бы, чтобы этот процесс сжатия не изменял гомо-
гомотопического типа объемлющих пространств. Покажем, что это
действительно так.
2.37. Лемма. Для любого отображения f: (X, xo)-+(Y, y0)
проекция
q: (Уи,СХ)и,СУ^(Уи/СХ)иуСУ/СУ
является гомотопической эквивалентностью.
Доказательство. Пусть Z = (Y[) t CX)\Jj CY. Простран-
Пространство Z получается из СХ \/ CY отождествлением точек [1, х] е
СХ с точками [1, fx]^CY для каждого jsX. Определим ото-
отображение И: ZxI-*-Z, полагая
H([s, у], 0 = 1A — 0s. У]. s, te=I, y^Y,
}[(l+*)s, x], 0^s< 1/A+0,
s, x], t)=
, fx],
Получающееся таким образом отображение Н непрерывно и
H0 = lzf Hy(CY)=*. Поэтому Hi индуцирует такое отображе-
отображение г: Z/CY-+Z, что Г'Ц — Н\. Ясно, что r = ^~lzrel* Заме-
Заметим также, что Н, (CY) a CY для каждого is/, и поэтому
q°Ht(CY) = * в Z/CY при любых t. Согласно предложению 0.8
композиция ?'Н индуцирует такое отображение Н: Z/CY у I ->
ZJCY, что Н<(qxl) = q°H. Тогда для каждого zeZ мы имеем
t[0(q(z))=q°Hn(z) —q{z). Поскольку проекция q сюръективна, то
Ho=1zicy- Аналогично доказывается, что Hx{q(z)) = q'Hi(z) =

38 ГЛ. 2. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ГРУППЫ
q°r°q{z). Таким образом, В является гомотопией rel*, связы-
связывающей 1 и q°r. Другими словами, отображение г служит гомо-
топически обратным для q, так что q — гомотопическая эквива-
эквивалентность. ?
Из леммы 2.37 вытекает также, что естественная проекция
q': ((Y[}
[(Y[i,CX)[ijCY)UkC(YU,CX)/C(YU,CX)
является гомотопической эквивалентностью.
2.38. Предложение Пусть А — подпространство прост-
пространства X и i: А -*¦ X — естественное включение. Тогда X [) t С А/С А
гомеоморфно XIА.
Доказательство. Пусть q: X [) * С А -> X U< С А/С А — про-
проекция и /: X -у X U i С А — вложение. Тогда q • / (А) = * и, значит,
q>j индуцирует такое отображение Ф: Х/А-*-Х U. С А/С А, что
Ф«р = с?«/ (здесь через р обозначена проекция р: Х-+Х/А).
С другой стороны, можно определить отображение k: X \] С А ->
Х/А, полагая k\X = p, k\CA = *. Отображение k пропускается
через X U, С А и задает тем самым отображение k: X \J t С А -+ Х/А.
Ясно, что k(CA) = *, поэтому k, в свою очередь, индуцирует ото-
отображение
Легко видеть, что Ф»^=1, ф»ф = 1. ?
В частности,
(У U, СХ) UjCY/CY9* Y U / CX/Y^CX/X^SX,
((YU,CX)l)JCY){)kC(Y{)lCX)/C(Y{JfCX)^
(Y U / СХ) \]j CY/Y \J,CXg* CY/Y se 57.
Комбинируя эти гомеоморфизмы с гомотопическими эквивалент-
ностями, доказанными в лемме 2.37, мы получаем гомотопические
эквивалентности
q: (Y [)fCX)U, CY +SX,
q': {(Y{]lCX)\j/CY)\jliC(YUlCX)^SY.
В действительности мы получаем, что следующая диаграмма ком-
коммутативна с точностью до гомотопии:
2.39.
f СХ) \JjCY-L ((Уи, CX)Vj CY)vk C{Ykjx CX)
Я
Sf
<¦ SY.

ГЛ. 2. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ГРУППЫ 39
Здесь k' = q • k рассматривается как композиция Y [} , СХ ->
Y[) i CX/Y^.SX, a v': SX -+SX — гомотопическое обращение
в Я-когруппе (см. п. 2.22). Замечая, что верхняя строка в диа
грамме 2.39 коточна, мы получаем следующий результат.
2.40. Лемма. Для любого отображения f: (X, xo)-*-(Y, y0)
последовательность
(X, xo)^(Y, yo)-L(YUfCX,-»)±(SX, *)$-(SYt *)
коточна.
Доказательство. Для любого пространства (W,
отображения с/*, q'*, v'* биективны. ?
2.41. Теорема. Для любого отображения f: (X, х0)-*¦ (Y, у0)
последовательность
(X, xo)^(Y, y»)-!~(Y[) Я
(SY, *)^-...^(SnX, *)
коточна.
Доказательство. Пусть (W, w^^ZPeT. Мы должны про-
проверить точность длинной последовательности гомотопических мно-
множеств. Каждая возможная пара соседних морфизмов будет появ-
появляться в последовательности вида
[S*X, *; W, wo)s~f-[S"Y, •; W, т]&-
[S*(YU,CX), *; W, шо]-—
[S^X, *; W, wo] —-'L'- [S^Y, *; W, w»\
для некоторого nSsO. Опуская для краткости обозначения отме-
отмеченных точек, мы получаем коммутативную диаграмму
5"/* S"J*
[S-X; W] ч—— [5" Y; W] ч [5"( YV, СХ); W]
s \ап ^\ап s \ая
f* * j*
IX;Q"W]< [Y;Q"W] * [Yv, CX;Q" W]
S"k'* S"+I f*
* [5"+1 X; W] * [S"+1 Y; W]
k'* Sf*
[SXa?W] ^— [SY;Q*W].
Нижняя строка в этой диаграмме точна и, следовательно, точна
верхняя строка, что и утверждалось. О

40 ГЛ. 2. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ГРУППЫ
Разумеется, часть последовательности
[X, ль; W, wo]?-[Y, уо\ W, wo]^[YU(CX, *; W, wo]k~
[SX, *; W, wn]Sf'[SY, *; W, wo)*-...,
расположенная справа от члена [SX, *; W, w0], точна как после-
последовательность групп. Слева от [SX, *; W, wa] она точна как по-
последовательность пунктированных множеств. Однако в члене
[Y\j/CX, *; W, Wo] можно ввести несколько более сильное усло-
условие точности Именно, на множестве [Y\JtCX, *; W, ov] можно
задать такое действие группы [SX, *; W, до0], что множества j^x,
л:е[У, //0; ^t Wq], представляют собой орбиты этого действия.
2.42. Определение. Говорят, что группа G действует
(слева) на множестве А, если задано отображение a: GxA-+ А,
для которого коммутативны следующие диаграммы:
П)
1 х а
Gx.G x.A *¦ Gx. A
Lxl |а
GxA —?-+ А.
Здесь ц: GxG-vG —умножение в группе G, (е, 1)(х) = (е, х) для
всех «еЛ е —единичный элемент группы G. Орбитами данного
действия называются множества вида Gx = {gx: geG} для xs/1.
2.43. Определение. Говорят, что Я-когруппа (К, h, ^')
кодействует на пространстве (X, хп), если существует отображение
кодействия а': X -*¦ К\/ X, для которого коммутативны с точностью
до гомотопии следующие диаграммы:
KvX КмКмХ l^- KvX
ii) T^'vl
Следующее утверждение очевидно.
2.44. Предложение. Если Н-когруппа (К, k0, ц') кодей-
кодействует на пространстве (X, х0) и а' —отображение кодействия,
то для любого пространства (W, w0) существует естественное
действие группы [К, k0; W, w0] на множестве [X, х0; W, w0],
задаваемое формулой
«([Л. Ы) = [А' = (
для /; {К. k0) -> {W. w0), g: {X, хй) -> (W, w0).

ГЛ. 2. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ГРУППЫ 41
2.45. В дальнейшем нашим основным примером будет отобра-
отображение
a': Y\jfCX^SX\J (Y\jfCX),
определяемое следующим образом:
«'(</) = (*. У),
t, х], *), 0<*<1
Схематически это отображение выглядит так:
Рис. 7.
2.46. Лемма. Отображение а' является кодействием и обла-
обладает следующими свойствами:
i) а'»/ = (*, /), ii) ц'-&' = A \J k')°a'.
Доказательство почти очевидно. ?
Пусть заданы два отображения Д: Y [} fCX^-W, f2: Y[) fCX-+W,
таких, что fi\Y =fz\Y. Тогда можно построить новое отображе-
отображение d(/i, ft): SX^>-W, которое определяется формулой
A If f \ г/ у~\ \ ' ~~~ '
a(h, h)U, ^-\/,[2-2/, 4 1/2^<<1-
Ясно, что если h ~ /,' rel Y, /, ~ /5 rel Y, то d(fu /,)~d(/,', /j).
2.47. Лемма. Для любых двух таких отображений Д, /а:
^ в. [d(h, h)]-{ft] = Uil
Доказательство.
А' • (d (Д, f2) V /2) •«' (у) = f, (у) = Л (if), ye7,
U[2-it, 4 1/4«
/2 \2t — 1, х\, 1 /2 *

42
ГЛ. 2. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ГРУППЫ
Определим отображение Я: (Y [)fCX)xl -*- W, полагая
Я (у, t) = [i (у),
Л [D-30 s, x],
П ([S, Х\, I) — \ /2 2 ' I'
-l, x],
2 — t
Тогда tfo = A'°(rf(/i. ft) V/*)¦«'. //i = /i-n
2.48. Предложение. Пусть f: (X, хо)->-(У, у0) —произ-
—произвольное отображение. Тогда для любого пространства (W, Wo) s
eFsf" существует такое естественное действие группы [SX, *;
W, цу0] на множестве [Y\jfCX, *; IF, ш0], что отображения
в точной последовательности
[X;
; W]?-[Y[}fCX;
W)
удовлетворяют следующим условиям:
i) для ^i, *ge[KU^CX; W] равенство j*Xi = j*x2 выполняется
тогда и только тогда, когда существует 6s[5X; W] с Qx-i = Xi,
11) для уъ у2е[5Х; W] «леел k'* (уЛ + у^) = У1.к'* (у2);
Hi) для </ь г/a е [SX; W] равенство k'*yl = k'*y2 выполняется
тогда и только тогда, когда сущствует такой у е [SK; IF],
что i/2=i + 5/*()
iv) V*{y) =
Доказа тельство.
t
'л > \
in \\
II \ '
Рис. 8.
Предположим, что Хг, х% представ-
представлены отображениями /,, /2-
Y\JfCX-+W и /*xi = /*x2. Тогда
ft\Y c^falY. Обозначим через Н
гомотопию, связывающую /i ] Y
и ff\Y. Г1родолжим ее до гомо-
топии И: (FU/CX)x/-^V7 с
: Но = /2. Это можно сделать сле-
следующим образом. Пусть г: /х/->-
/ X {0} U {0, 1} х / — некоторая ре-
ретракция, скажем, проекция из
р р
точки A/2, 2) (рис. 8). Определим отображение F:
(Y CX) {0} W /|У/ Я^Г CX
( ) (р )
(Y U fCX) X {0} -»- W, полагая
Т б
( U f) {} , | (и f
Теперь требуемая гомотопия Я задается формулами
Я (у, 0 = ^@. 0.
H([s, x], /) =
j
fCX) x {0} =/2.
где я;-: Ixl->1, i = \, 2,— проекции соответственно на первый
и второй сомножители. Очевидно, что //0 = f2- Таким образом,

ГЛ. 2. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ГРУППЫ 43
/а = Нл является еще одним представителем для хг, и f't | Y = Д | К.
Тогда мы имеем *i=[d(/i, /*)]•[/*] = 8х3 для 6=[d(/b /s)]e=
[5Х; №]. С другой стороны, если [g]e[SX; W], то
*0 = /* [А' • («Г V /i) •«'] = [А' • (g V /.) •«' • /1
ii) Предположим, что г/i, г/2^[5Х; W] представлены соответ-
соответственно отображениями fi. SX-+W и f2: SX-+W. Тогда элемент
ft' * (?/i + Уг) представляется как
iii) Из свойства ii) следует, что если k'* (г/i) = й'* (г/2), то
' * (— ft + ifi) = (— ifi) ¦ k' * (У1) = (— у0 k' * (y2) -
Это показывает, что существует такой элемент y^[SY; W], что
5/*(т)= — tfi + Уг, т. е. t/2 = «/i + 5f*(v). С другой стороны, для
любого у
ft'* (ih + Sf* (T))=Jfi ¦ ft'* (Sf* (T))=jf • Ы = ft'* (у, + 0) =
iv) Для y<=[SX; W] имеем jfe'* (y) = k'* (y + 0) =
Теперь мы займемся дуализациеи результатов пп. 2.30 — 2.48.
Возможность этого после всего изложенного выше представляется
совершенно естественной. Более того, по-видимому, читатель был
бы очень удивлен и разочарован, если бы оказалось, что какие-то
из результатов, двойственные к 2.30 — 2.48, неверны.
2.49. Последовательность
(X, аг«) ->¦' (Y, yo)-e-(Z, z0) .
из категории Э-^Г называется точной (в топологическом смысле),
если для каждого пространства (W, ау0) <= c^s^" точна последова-
последовательность пунктированных множеств
[W, wo; X, xo]b.[W, wo, Y, yn\^[W, wn; Z, zn).
Замечание. К сожалению, понятие точности в категории &qT
не совпадает с этим понятием в категории ZPS*, определенным
в п, 2.29. Однако и то и другое использование термина «точный»
общеупотребительно в литературе Поэтому остается надеяться,
что в настоящей книге из контекста всегда будет ясно, в каком
смысле употреблен этот термин.
2.50. Обозначим через PY пространство (К, уо)и-0) путей,
начинающихся в точке у0- Легко видеть, что экспоненциальный
закон задает взаимно однозначное соответствие
[СХ, *; У, уо]++[Х, х0; PY, соо].

44 ГЛ. 2. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ГРУППЫ
Отображение р: PY-+Y, определенное формулой р (w) = ojA),
непрерывно. Заметим, что р1 (yu) = QY. Двойственным к предло-
предложению 2.32 является следующее утверждение.
2.51. Предложение. Отображение f: (X, л;0)->-(У, </о)
нульгомотопно тогда и только тогда, когда оно обладает таким
поднятием g: (X, xo)^-(PY, o)o), что p°g = f.
2.52. По данному отображению /: (X, хй) -*¦ (Y, у0), определим
пространство Pf, полагая Pf = \(x, w) e X xPY: f(x) = p(w) =
шA)} c= XxPY. Ясно, что отображение я: Я/->-Х, определенное
формулой п(х, хю) = х, непрерывно.
Двойственным к предложению 2.34 служит следующее
2.53. Предложение. Для любого отображения g: (Z, z0)-»-
(X, хо) соотношение f°g^y» выполнено тогда и только тогда,
когда g обладает поднятием h: (Z, zn) -*• (Р/, *), для которого
2.54. Предложение. Для любого отображения /: (X, *о)->-
(Y, уо) в категории ^Ж~ последовательность
(Pf, *)±(X, xo)-L(Y, уо)
точна.
2.55. Лемма. Для любого отображения f: (X, xo)-*-(Y, yo)
в категории &<ЗГ последовательность
(Яр, соо)-^(Ял, соо)^'(Я/, *) — (X, хо) — (Y, уо),
где я, р, а — естественные проекции, точна.
Как и ранее, отождествим Яя и Яр с более привычными про-
пространствами, именно, с пространствами петель QY и QX
соответственно.
2.56. Лемма. Для любого /: (X, Xo)-+(Y, y0) отображение
q: QY-*-Pn, определенное формулой q((u) = (xn, to, щ), является
гомотопической эквивалентностью.
Доказательство. Заметим прежде всего, что
Яя = {(*> w, w')s=XxPY xPX: f(x)=w(\), x = w'A)}.
Поэтому q((>>) принадлежит Яя для всех иейК. Определим
теперь еще три отображения
Я: QYXI-+QY,
К' Я х / —*¦ Р
полагая
г(х, до, w')~wx(f'W')~1, (x, w, до')еЯя,
I 2s
(О [-.—
Я (со, t)(s)= V f+l
Уо,
К{х, до, до', *) = (до'@> а(^. W, t), w't),

ГЛ. 2. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ГРУППЫ 45
где w't (s) = w' (st), s, t s /, w' s ЯХ и
( ), O^s^-2^-, /s/, w<=PY,
a(w, w', t)(s) = \
[ f'W'(s(t-2) + 2), -Lf^sK.1, w'<=PX.
Нетрудно показать, что отображения г, Н, К непрерывны. Кроме
того, очевидно, что Ho = r°q, #i = 1qk,' Ko — q°r и Ki=\p ¦ Сле-
Следовательно, г является гомотопически обратным к отображению q. ?
Из диаграммы 2.39 следует, что отображение q'\ Q.X -> Рр,
определенное формулой д'(со) = (л;о, о>о, со, ш0). является гомото-
гомотопической эквивалентностью. Кроме того, диаграмма
ар п f
Р„ > Рх —-+ Pf X ¦ > Y
Of
2.57.
QX
в которой p' = p°q (т. е. р'(со) = (хо, со)), a v: QX -v QX — гомо-
гомотопическое обращение в Я-группе QX, коммутативна с точностью
до гомотопии. Поскольку верхняя строка диаграммы 2.57 точна,
мы получаем следующее утверждение.
2.58. Лемма. Для любого отображения /: (X, хо)->-(У, Уо)
последовательность
(QA, щ)®-№, о)о)^(Я/, •) —(А, х«)-^(У, {/о)
точно.
2.59. Теорема. Для любого отображения f: (X, лго)->-(У, у0)
последовательность
...-y(Q"Ph coo)— -(Q"X, co0)-Q^(Q"K, ©,)->...
, соо) Ql- (QY, ио) ^ (Р„ *) -=. (X, х0) -L (У, Уо)
точна.
Аналогично можно сформулировать двойственные понятия и
утверждения для 2.43 — 2.48.
В заключение главы обратим внимание читателя на одно из
важнейших понятий теории гомотопии—понятие гомотопической
группы.
2.60. Определение. Для любого пунктированного прост-
пространства (X, х0) мы уже определили пунктированное множество
яо(Х, Хо). Если n^zl, определим п-мерную гомотопическую группу
л„(Х, х0) пространства (X, х0), полагая
, (о0).

46 ГЛ. 2. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ГРУППЫ
Согласно предложению 2.3, мы можем рассматривать яо(К, у0)
как множество [5.°, +1; У, у0], поэтому имеют место следующие
изоморфизмы:
лп(Х, хо) = по(п"Х, (о0) = [5°, +1; 0яX, щ]^
[Sl, s0; Q"-1*, GH]^lS2, s,,; Q«-2X, <oo]^...^[S», sn; X, x0].
Таким образом, можно определить nn(X, х0) как множество гомо-
гомотопических классов отображений Eй, So)->-(X, х0). Из этого
определения непосредственно вытекает, что л„ (X, х0) — группа
для я>1 и даже абелева группа для n^2. В главах 3, 4 и 6
мы изучим свойства этих групп.
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Гомотопические множества {X, Y] и [X, *0; Y, у0] впервые
систематически изучались М. Барратом в [20]. В частности,
в этой работе он ввел точную последовательность
[X, W)?[Y, W]+-[Y\)iCX\ W\+-[SX\ Г]ч-...
Исчерпывающее изучение этой последовательности и ее свойств
было проведено Пуппе [64] (в связи с чем она получила название
«последовательности Пуппе»). Описанная в этой главе двойствен-
двойственность (например, между СХ и PY, между Y\jfCX и Я/ и т. д.)
была впервые систематически исследована Экманом и Хилтоном
(см., например, их работу в С. R. A~ad. Sci., Paris, 1958, 246,
p. 2444 — 2447). Часто эту двойственность называют двойствен-
двойственностью Экмана — Хилтона *).
ССЫЛКИ НА ЛИТЕРАТУРУ
1. Баррат [20].
2. Пуппе [64].
1) См, также работу Д. Б. Фукса [9*]. — Прим ред,

ГЛАВА 3
СВОЙСТВА ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУПП
В этой главе мы докажем некоторые простейшие свойства
гомотопических групп. Затем мы построим относительные гомо-
гомотопические группы л„(X, А, Ко) пунктированной топологической
пары Хо е А сг X, а также длинную точную последовательность,
связывающую эти группы с группами п„(А, х0) и я„ (X, х0). И,
наконец, мы изучим связь между группами пп {X, х0) и я„ (X, Xi)
для различных отмеченных точек.
3.1. Установим прежде всего, что л„ является функтором из
категории аРеГ'' в категорию групп 5, п^ 1 (и даже в категорию
абелевых групп qs#, если п ^ 2). Любому (непрерывному) отобра-
отображению /: (X, хо)-*-(У, y0) отвечает отображение
, щ),
задающее гомоморфизм п„(/): я„ (X, Хо)->я„(У, у0). На самом
деле Q" есть функтор из #АэГ' в c<7W~' (/~/' =j> йл/~ Q"/'),
а я0 — функтор из сГ'еГ'' в ^^, принимающий на imQ" значения
в категории групп. Поскольку композиция двух функторов есть
функтор, то я„ = яо°й" является функтором. Очевидно, что уста-
установленный в п. 2.60 ияоморфиям я„(Х, xo)^:Fsn(X, хв) пред-
представляет собой естественную эквивалентность функторов.
Во всех случаях, когда исключены возможности недоразумений,
мы будем обозначать я„(/) просто через /*.
3.2. Из общекатегорных соображений вытекает, что если f —
эквивалентность в c7W', то /* = я„ (/) — эквивалентность в S.
Класс [/] е [X, Хо; У, г/о] является эквивалентностью в oiT'
тогда и только тогда, когда существует такой класс [g] <= [У, у0;
X, х0], что [g]-[/] = [lx]. [Л°[§] = [Ь']. т-е- когда g«/:-lxrelAro,
/°g~ 1гге1уп- Такое отображение / (или g) мы будем называть
гомотопической эквивалентностью, а о пространствах (X, х0)
и (У, «/о) будем говорить, что они имеют один и тот же гомото-
гомотопический тип. Итак, если / — гомотопическая эквивалентность, то
f,.: я,.,(Х, xo)~nn(Y, y0) — изоморфизм для любого /г^О, и если
пространства (X, х0) и (У, у0) имеют один и тот же гомотопиче-
гомотопический тип, то ял(Х, хо)9^пя(У, г/о) для любого гаЭ=0.
3.3. Определение. Пунктированное пространство (X, х0)
называется стягиваемым, если включение i: ({хп}, хо)-*~(Х, х0)
является гомотопической эквивалентностью. Если обозначить через
с: (X, Хо)-*¦({*<>}, Хо) отображение, переводящее пространство X
в отмеченную точку х0, то очевидно, что c°i = \[Х„). Таким обра-

48 гл. з. свойства гомотопических групп
зом, (X, х0) стягиваемо тогда и только тогда, когда существует
гомотопия Н: Xх/-*• Xrelх0, для которой H0 — lx, #i = t°c,
т. е. Hi(X) = x0. Такая гомотопия Я называется стягивающей
гомотопией. Согласно п. 3.2, если (X, х0) стягиваемо, то
пп(Х, *0) = л;я ({х0}, хв) для всех п>-Ъ. Но для каждого пЗ^О
существует ровно одно отображение E", so)->({xo}, x0), а именно,
«постоянное» отображение. Таким образом, п„({х0}, а;п)=0={группа
(множество) из одного элемента}. Итак, мы доказали следующий
результат.
3.4. Предложение. Если пространство (X, х0) стягиваемо,
то п„(Х, а;0) = 0 для всех лЗгО.
3.5. Примеры. Диск (D", х) размерности п ^ 0 стягиваем
при любом выборе точки х <= D". Следовательно, яг (D", х) = 0
для всех г^О, и^О. Аналогично
для всех
После этих элементарных вычислений может показаться, что
такие вычисления можно проделать и для других простых прост-
пространств, например, для /г-мерной сферы 5я. В главе 6 мы докажем,
что nr(S", so) = O для г<л и nn(S", so) = Z. nSsl- Однако
группы nr(S", s0) для г>п не обязательно обращаются в нуль
и в общем случае неизвестны. Вычисление этих групп представ
ляет собой важнейшее направление исследований в современной
алгебраической топологии.
3.6. Оп ределен ие. Пусть Л —некоторое подпространство
в X и i: A -*¦ X — включение. Подпространство А называется
ретрактом пространства X, если существует такое отображение
г. X->- А, что r°i — \A. Применяя функтор пп, п^2, мы полу-
получаем: Гф • J* = (г'i)# = A д)^ = 1„я (д, хв) для любой отмеченной точки
хо^А. Следовательно, гомоморфизм г# является левым обратным
к i*. Таким образом, t*: яя(Л, хо)^-л„(Х, х0) является мономор-
мономорфизмом. Верен и более сильный результат, а именно:
л„(Х, дсо)^1т^®кегг^^я.,(^, л;0)фкегг#.
В самом деле, im i* f| кегг^ = {0} и каждый элемент аел, {X, х0)
может быть записан в виде
а = t* (л* (а)) + (а - /« (г* (а))),
где t* (л* (а)) <= im i+, a - i* (r^ (а)) е ker /•«.
Позже мы увидим, что kerr^. можно отождествить с относи-
относительной гомотопической группой я„(Х, А, хе).
Для п = \ мы получаем, что гомоморфизм i*: Ях(/4, хо)^>-
ях (X, х0) является мономорфизмом, ker г% есть нормальная под-
подгруппа в ях (X, х0), и каждый элемент oceni(X, л;0) может быть
единственным образом представлен в виде а = а' ¦ а", где а' е
= ker г,,,. Это означает, что группа щ{Х, х0) есть так

ГЛ. 3. СВОЙСТВА ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУПП 49
называемое полупрямое произведение своих подгрупп inn"* и
v
3.7. Определение. Если А а X — ретракт (с ретракцией г)
и если, сверх того, i°/-~lx. то подпространство Л называется
деформационным ретрактом в X В случае, когда i°r ~ l^rel Л,
т. е. когда гомотопия постоянна на А, подпространство А назы-
называется сильным деформационным ретрактом в X. Гомотопия
Н: Xxl^-X, для которой Я0=1.х и #!(Х)с:Л, называется
деформацией пространства X в А. Если х0 е Л и Я —гомотопия
относительно х0 (что выполняется, например, для сильного дефор-
деформационного ретракта), то вложение i: (Л, хо)-*-(Х, х0) является
гомотопической эквивалентностью и, значит, ц: лл(Л, хо)->-
я, (X, хп) — изоморфизм для любого л^О. Отметим, что прост-
пространство (X, х0) стягиваемо тогда и только тогда, когда {ха}
является сильным деформационным ретрактом в X
3.8. Определение. Обозначим через аГ категорию топо-
топологических пар (X, Л), где Л — подпространство в X, и непре-
непрерывных отображений /: (X, Л)->-(К, В). Аналогично, через &&
обозначим категорию пунктированных пар (X, Л, а;0), Хо^ЛсгХ,
и отображений /: (X, Л, а;0) -*¦ (Y, В, у0), сохраняющих отмеченные
точки. Мы также имеем гомотопические категории <?TV', c^sf',
морфизмами в которых являются гомотопические классы отобра-
отображений пар1).
Для данной пары (X, Л, х0) е QpdT* обозначим через
Р(Х; х0, Л) = (Х, х0,
пространство путей в X, начинающихся в точке х0 и кончаю-
кончающихся в подпространстве А. Формула я(ш) = шA) задает непре-
непрерывное отображение
п: Р{Х; х0, А)-*-А.
Пространство Р (X; х0, А) нам уже встречалось; именно, это
есть Pi для включения i: Л->-Х. Вернее, мы имеем гомеоморфизм
h: Р(Х; х0, A) + Pt,
задаваемый формулой h(w) = (w(l), w). Обратный гомеоморфизм
/г1: /5;-*-Я(Х; х0, А) задается формулой
h-1 (а, до) = w.
Определим теперь для пары (X, A, xo)^3ie7~2 п-мерное
относительное гомотопическое множество яп(Х, А, х0), п^\,
полагая
пп (X, А, *о) = я„_! (Р (X; хо, А), щ) = п0 (Q"-1 Р (X; х0, А), ©0).
1) То есть гомотетии имеют вид (Xxl, Axl, хох1) -*¦ (Y, В, уо).—
Прим. ред

50 гл. з. свойства гомотопических групп
Ясно, что лп(Х, A, Xq) является группой при d^2 и абелевой
группой при л^З. Итак, я„ представляет собой функтор из кате-
категории ?Р<&' в категории &?", 5 или &&'. Определив гомоморфизм
д: яп(Х, A, xo)^-n.t.i(A, х0) как nn-i(n): л„_, (Р (X; х0, А), о>о)->-
яя_1(Л, х0), мы зададим естественное преобразование функтора
п„: &&">¦' -+&S? в функтор nn-X'R, где R: ®&~v -»®&~' имеет
вид R(X, А, хо) = (Л, Хо). Пусть /„: пп(X, Хо)^-пп(Х, А, хп) —
гомоморфизм, определенный как
nn-i(p'): Kn-i(QX, (оо)^-лл_1(Я(Х; х0, А), щ).
3.9. Предложение. Для любой пары (X, А, х0)
последовательность
...-+лп+1(Х, А, хо)~пп(А, хо)±яП(Х, хоI*
п„(Х, A, x(l)-t...-^n1(X, A, xo)-tno(A, хо)±
точна.
Доказательство. Согласно теореме 2.59 имеет место
точная последовательность пространств
Применяя к этой последовательности функтор [5°, +1; —], совпа-
совпадающий в силу предложения 2.3 с функтором по(—), мы получаем
требуемую точную последовательность 3.9. ?
Точная последовательность 3.9 называется точной гомотопи-
гомотопической последовательностью пары (X, А, х0").
3.10. Ранее мы установили, что группу п„(Х, х0) можно ото-
отождествить с группой гомотопических классов отображений л-мерной
сферы в пространство X. Точно так же можно показать, что
элементы п„(Х, А, хп)— это гомотопические классы отображений
(D", 5"-1, *)^>-(Х, А, Хо) Действительно, как и в п. 2.50, экспо-
экспоненциальный закон задает взаимно однозначное соответствие
[СХ, X, *; Y, В, уо]**[Х, х0; Р (Y; у0, В), щ).
Таким образом, мы получаем
лп(Х, А, хо) = пп-].(Р(Х; х0, А), соо) Se
[S»-\ s0; Р(Х; хо, А), соо]-^[CS"-1, S-1, *; X, Л, х0].
Но конус CS'-* гомеоморфен диску D". Конкретный гомеоморфизм
h: C5"'-1->-?>" задается, например,формулой h([t, х])=гх+A — t)s0,
/е/, xeS"-1. Следовательно, лп(Х, А, х0) = [?>", 5я-1, s0; X,
А, Хо]. В этой интерпретации гомоморфизм д: лп(Х, А, х0)-*-
n,,-i(/4, х0) описывается простой формулой ^ [/] = [/1 S"-1].
З.П. Рассмотрим точную гомотопическую последовательность
пунктированной пары (X, {х0}, х0). Поскольку я, ({*оЬ хо) = 0

ГЛ. 3. СВОЙСТВА ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУПП 51
для всех г^О, то гомоморфизм /„.: nr(X, хо)-*-лг(Х, {xq}, х0)
является изоморфизмом. Поэтому всякий раз, когда это удобно,
мы можем считать абсолютные группы частным случаем относи-
относительных групп. Более того, если отождествить пг(Х, хп)
с пг(Х, {х0}, Хр), то для любой пары (X, Л, х0) можно считать,
что гомоморфизм /„: л,(X, Хо)-+яг(Х, А, х0) индуцирован
включением
/: (X, {хо}, хо)^(Х, А, хе).
3.12. Определение. Пара (X, А)^.^Г* называется 0-связ-
ной. если каждая компонента линейной связности пространства X
пересекает А. Пара (X, А) называется п-связной, если она 0-
связна и лг(Х, А, о) = 0 для l^r^n и всех а^А. Простран-
Пространство X называется п-связным, если л;.(Х, х) = 0 для O^k^n и
всех iel
Из точности гомотопической последовательности пары (X, А, х<И
легко получается следующий результат.
3.13. Предложение. Пара (X, 4)esfa является п-связной
(п ^ 0) тогда и только тогда, когда для любой точки Хо е А
отображение
tV nr(A, хе)-+яг(Х, х0)
биективно при г •< и и сюръективно при г = п.
В частности, пара (X, X) является п-связной для всех п^О.
Следующее условие часто используется для характеризацич
тех отображений /: (D7, S"-1, So)-*~(X, А, х0), которые опреде
ляют нулевой элемент в л, (X, А, х0)
3.14. Предложение. Отображение /: (Dn, 5"-1, So)-*-
(X, А, Хо) определяет нулевой элемент в л„(Х, А, х0) тогда и
только тогда, когда f гомотопно относительно S"*1 такому ото
брожению /', что /' (Dn) с; А.
Доказательство. Пусть f c^f rel 5"-1 и f (Dn) a A. Обоз
начим через Н гомотопию, связывающую f и f'. Определим теперь
гомотопию G: (Dnxl, Sn~lxl, SoXl)->~(X, A, x0), полагая
(x, 2t), 0
Тогда G0 = f, Gi = x0.
Обратно, предположим, что G: (Dnxl, S"-1x /, s0 x I)-+(X, A,x0)
задает нульгомотопию отображения /.
Определим новую гомотопию Я: Dn x / ->- X формулой

52 ГЛ. 3. СВОЙСТВА ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУПП
где xsD", t <= /. Тогда H0 = G0 — f; для всех -tsS"-1, (e/,
Н(х, t) = G(x, 0) = Н(х, 0) и //i(D")c4.D
Таким образом, пара (X, А) является n-связной тогда и толь-
только тогда, когда любое отображение /: (Dk, Sk-l)-*~(X, А) гомо-
гомотопно относительно S*~' отображению в A, O^k^n (по опре-
определению, О° = точка, S"x = 0).
3.15. Для любого отображения /: (X, хо)-*-(У, у0) можно
включить морфизм /*: nr(X, xn)-+nr(Y, t/0) в длинную точную
последовательность. С этой целью мы используем стандартный
прием превращения отображения f во вложение- Назовем при-
приведенным цилиндром Mf отображения / пространство, которое полу-
получается из (Ix.X/1 x{xn})\/Y отождествлением [1, х] е/хХ//х {х0}
с /(*)«= У для всех шХ. Пусть q: {IхХ/Гх\хо})\/У-+ fo,—
естественная проекция; обозначим через [t, x] образ q([tt x\) для
[t, x]*=(IxX/I x{xo}) и через [у] —образ q(y) для y<=Y. Име-
Имеются следующие отображения:
i: (X, xe)^(Mf, *), /W = [0, *];
/: (Y, yo)^(Mh *), j(y) = [yl,
r: (Mf, *)^(Y, y0), r([y]) = y, r([s, x])
H: Mfxl-^Mh H([y], t) = [y],
H([s, x], t) = [t + s-st, x].
Эти отображения удовлетворяют перечисленным ниже соотноше-
соотношениям:
i) r.i = f,
ii) r*j=lY,
iii) ^o=1jm ,
iv) H\ = /•/".
Следовательно, г и / являются гомотопическими эквивалент-
ностями. Кроме того, очевидно, что i представляет собой гомео-
гомеоморфизм пространства X на его образ i (X) в Mt, так что мы
можем рассматривать X как подпространство в Mf.
Замечание 1. М//Х ^Y\J fCX.
Замечание 2. Для любого отображения /: X -»- Y из кате-
категории !#" можно определить пространство Mf, отождествляя в
(IxX)\jY точки [1, х] и f(x) для всех х^Х Пространство Mf
называется неприееденным цилиндром отображения.

ГЛ. 3. СВОЙСТВА ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУПП 53
Рассмотрим теперь точную гомотопическую последовательность
пары (М[, X):
Изображенная здесь диаграмма коммутативна, а г% и /„. являются
изоморфизмами, так как л и / — гомотопические эквивалентности.
Таким образом, мы получаем длинную точную последовательность
3.16. ...->лгИ(М,, X, «
я*.(У, ifo) *-*-*• M^/t X, *)-i...»
называемую точной гомотопической последовательностью отобра-
отображения f. С помощью этой последовательности утверждение о том,
что /* — изоморфизм, сводится к утверждению о связности пары
/, X, ¦).
3.17. Определение. Отображение f: X-*-Y называется п-
эквивалентностью, п ^ 0, если для всех х0 е X отображение
Z^: лг(Х, дсп)->лг(У, г/о) биективно при г<« и сюръективно при
л = п. Отображение / называется слабой гомотопической эквива-
эквивалентностью, если оно есть /г-эквивалентность для всех /г^О.
Отметим, что каждая гомотопическая эквивалентность (в еГ>
является слабой гомотопической эквивалентностью.
Из точности последовательности 3.16 вытекает следующий
результат.
3.18. Предложение. Отображение /: X-*-Y является п-
эквивалентностью (соответственно, слабой гомотопической эквива-
эквивалентностью) тогда и только тогда, когда для всех х0 е X пара
(Mf, X) 0-связна и nr(Mf, X, *) = 0 для l^r^n (соответствен-
(соответственно, для 1 «^ г).
3.19. Тройка (X, А, В, хп) — это топологическое пространство
X и два его подпространства В d A d X с отмеченной точкой
хоеВ. С данной тройкой (X, Л, В, Хо) можно связать целый
ряд различных вложений:
/V
/:
(X, J
(A, I
%})-*• (X, A),
1) + (X, B),
J:
h'- (A, {>
(X, B)-
Co})->
>(X,
(A,
A).
B),
(X,
Ы)-
>(X,

54 гл. з. свойства гомотопических групп
Индуцированные этими вложениями отображения гомотопичес-
гомотопических групп и сооответствующие морфизмы дъ д2, д3, называемые
граничными, нетрудно организовать в следующую диаграмму:
>з*
где через Д обозначена композиция /«„«di- Эта диаграмма ком-
коммутативна. Действительно, треугольники 1, 3 и квадрат 2 содер-
содержат лишь морфизмы, индуцированные вложениями. Так как я„ —
функтор, то они коммутативны. Треугольник 4 и квадрат 5 ком-
коммутативны в силу естественности граничного морфизма. Треуголь-
Треугольник же 6 коммутативен по определению отображения А.
3.20. Теорема. Для любой тройки (X, А, В, Хо) последова-
последовательность
...-».ял+1(Х, А,-Хо)±пя(А, В, хо)±±па(Х, В, хо) —
п„(Х, А, х0)-!..._> щ (Л, В, хо)^ jti(X, В, хо)^л1(Х, А, хо)
точна.
Доказательство. Читатель может проверить, что следую-
следующее доказательство пригодно и для п = 1 Мы должны проверить
шесть следующих утверждений.
i) 1+°А = 0. Поскольку ili>.'d1 = 0, имеем /* » А = /* %* °3i =
ii) A-7:j.=0. Так как /а# n is* = 0> то Д-У* = /г„. 'di> J% =
/а# ° t-2# «5з = 0.
iii) У*'/* = (). Нетрудно видеть, что У»/ совпадает с компо-
композицией вложений (Л, В)->(Л, Л)->-(Х, Л). Так как я„(Л, Л, л;0)=0,
то ^./^, = 0.
iv) ker/^crimA. Предположим, что хея„(Л, 5, а;0) и
/^.x = 0. Тогда дгх = <53/ ^х = 0 и поэтому существует такой эле-
элемент |/ел„(/1, дс0), что jz*y = x. Следовательно, /s* ° ti*tf =
I*' h*y=Ux~^' так что найдется геяДВ, х0) с is*z = ii^y.
Но тогда ii*(«/-t2*2) = i,^ —i1*i2*2==j1^-/8*z = 0 и, значит,
¦существует такой элемент
шё^нА, Л, хо),

ГЛ. 3. СВОЙСТВА ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУПП 55
для которого diW =* у — i^z. Имеем hw = jit °^1Ш = /г* (У — h*z) =
Н*У — Ь* ' ia*2 = х. Таким образом, х е im Д.
v) ker А с: im J+ . Предположим, что х s= пп (X, А, ха) и Дх = 0.
Тогда j2*°dlx = O и поэтому найдется je,vi№. *о) с infij — d^
Но t3t/ = ti* °h*y ==f'i* >д\Х = 0. Поэтому существует такой элемент
гел,(Х, В, х0), что д& = у. Следовательно, di(x — J#г) -=длх —
д^%г = д!Х — ii^d'tZ — dYx — iiitfy = 0, так что найдется элемент дае
я„(Х, Хо), для которого /i*^ = x — J*z. Тогда У* (/3*^ + г) =
^Ч^ау + У^г = jr. Значит, xeim7^..
vi) ker J% cr im/^. Пусть *ел„(А, В, л:0) и J^.x — 0. Тогда
'2*^3A:==6i7iitA; = 0, т. е. существует элемент у^лг.(А, В, х0),
для которого дчу = дзх. Таким образом, <33 (х — I*у) = д3х — d3J%у —
дзХ — дъу = 0, а значит, найдется такой элемент гЕП„(Х, х0),
что /3*г = х-/*(/. Но тогда /иг = 7*/,^ (г) = 7* (х-/^(/) = 0 и
поэтому существует шея,(Д х0) с 11н.ау = г Имеем: I#jiit,w =
/з*г1*да = ]з*г = х — I^y, т. е. х = /* (/г*да + У)- Следовательно, хе
im/^.D
Последовательность 3.20 естественна в том смысле, что если
/: (X, А, В, хо)->-(Х', А', В', ^—отображение троек, то
диаграмма
лп(А,В,х0)
пп(Х,В,х0) -^ п„(Х,А,х0)
п„{Х\ В\х'о) -^ п„(Х',А;
коммутативна.
Разумеется, если мы рассмотрим тройку (X, А, {хо\, х0), то
точная последовательность 3.20 после очевидных отождествлений
л„(А, {х0}, хо) = л„(Л, Хо) и т. д. сведется к точной последова-
последовательности 3.9 пары (X, А, х0).
3.21. Вернемся теперь к случаю, когда существует ретрак-
ретракции г: Х~>Л пространства X на некоторое его подпространство
(см. определение 3.6). Так как г:1, •(ф = (г« t)# = 1^, то ц — моно-
мономорфизм. Следовательно, в точной последовательности пары.
(X, А, х0)

56 гл. з. свойства гомотопических групп
гомоморфизм д обязан быть нулевым гомоморфизмом, и мы полу-
получаем семейство коротких точных последовательностей
О > п„(А,х0) —'-1+ ж„(Х,х0) -А*. Пп(Х,А,х0) > О,
г*
в которых г#«1„ = 1. Сейчас мы покажем, что в такой ситуации
средняя группа пп(Х, дг0), п>\, всегда изоморфна прямой сумме
крайних групп, т. е.
я„(Х, хо)^п„(А, хоHяя(Х, А, хо).
3.22. Лемма. Для любой короткой точной последовательно-
последовательности абелевых групп
эквивалентны следующие условия:
i) существует такой гомоморфизм г. В-+А, что r-i = l^;
ii) существует такой гомоморфизм q: С-*-В, что j°q=lc.
В каждом из этих случаев имеет место изоморфизм Bs/1 0 С.
Доказательство, i) Предположим, что нам задан гомо-
гомоморфизм г: В->- А, удовлетворяющий соотношению r°t = \A. Тогда
можно определить отображение Ф: Б->-/1фС, полагая Ф(Ь) =
(rb, jb). Ясно, что Ф — гомоморфизм. Если Ф(Ь) = О, то jb = O и
поэтому найдется такой элемент а е А, что ia = b. Но a = ria =
rb = 0, и, значит, b = ia = O. Следовательно, ф — мономорфизм.
Возьмем теперь какой-нибудь элемент (а, с) е А © С и выберем
Ь'^В так, чтобы jb' = c. Положим b — ia-\-b'—irb'\ тогда rb —
ria + rb' —rirb' =a + rb' —rb' = a и ib = jia + jb' — jirb' = jb' = c.
Следовательно, Ф — эпиморфизм. И, наконец, определим отобра-
отображение q: С-*-В, полагая q(c) = ф-1@, с). Легко видеть, что q —
гомоморфизм и /• q(с) = /«ф-1 @, с) = с — 1 с(с) для всех сеС,
т. е. /•?=1с-
ii) Предположим теперь, что нам задан гомоморфизму: С-*В,
удовлетворяющий условию /»<7=1с- Для любого deB имеем
j(b — qjb) = jb — jqjb=jb — jh = O. Следовательно, поскольку г —
мономорфизм, то существует и единствен такой элемент а4еЛ,
что i(ab) = b — qjb. Определим отображение г: В-+А, полагая
гф) = аь. Так как i(ab + ay) = {b-qjb) + {b'-qlb') = (b + b') —
qj(b + b') = i(ab+y), то r(b + b') = rb-\-rb', т. е. г — гомоморфизм.
Кроме того, для любого не/1 имеем ir(ia) = ia — qj(ia) = ia и,
следовательно, ri(a)=a для всех а. Итак, /¦°« = 1л, но тогда из
пункта i) вытекает, что В = А ф С. ?
Если выполняются условия i) или ii) (и, значит, оба), гово-
говорят, что короткая точная последовательность расщепляется. Если
группы, входящие в точную последовательность леммы 3.22, не-
некоммутативны, условие ii) выполняется тогда и только тогда,

ГЛ. 3. СВОЙСТВА ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУПП
когда В изоморфно полупрямому произведению групп С и А.
В этом случае условия i) и И) не эквивалентны.
Мы завершим эту главу исследованием зависимости гомотопи-
гомотопических групп от отмеченной точки. Получим ли мы изоморфные
гомотопические группы, выбрав другую отмеченную точку? Сле-
Следующий пример показывает, что в общем случае ответ на этот
вопрос отрицателен. Пусть X —несвязное объединение S'Ul-M
окружности S1 и точки х0. В главе 4 будет показано, чта
jtj E1, So) = Z для любой точки s0 e 51. Так как окружность S1
линейно связна, то для любого непрерывного отображения /:
E1, Sa)-+(X, у), i/eX, образ f (S1) обязан лежать в компоненте
линейной связности точки у. Следовательно, щ(Х, so) =
ni (S1, so) = Z, но в то же время щ(Х, хо)^п1({хо}, хо) — 0.
Таким образом, если пространство X не линейно связно, то группы
Л] (X, Хо) и я, (X, Хг) вообще говоря, не изоморфны. Однако
ниже мы покажем, что наличие линейной связности достаточно
для изоморфизма П] (X, л:0) = п1(Х, xL).
3.23. Определение. Пусть G и А — две группы с умноже-
умножениями [i: AxA-+A и ц': GxG-^G соответственно. Говорят, что
действие a: G х А -*¦ А группы G на множестве А в смысле опре-
определения 2.42 согласовано с умножением (х на А, если коммута-
коммутативна следующая диаграмма:
G х А х А
1 X Ц
GxA
Л х 1
G х G х А х А
1 х Гх 1
G х А х G х А
а х а
А.
Ax A
Другими словами, g(а^) = (gai)(ga2) для geG, аъ аг^А.
Замечания, i) Группа всегда согласованно действует слева
на себе самой при помощи сопряжения a: GxG-*~G, задаваемого
формулой a(g, a) = gag~1.
и) Если группа А абелева, то задание на А согласованного-
действия группы G эквивалентно заданию на А структуры мо-
модуля над целочисленным групповым кольцом Z[G]. Если, напри-
например, a: G х А -*¦ А — согласованное действие, то a': Z[G](g) Л-»- А
определяется формулой a'(Xi<^i(8)fli) = D«ia(g,-, а,). Наоборот,,
если a': Z [G] ® А -*¦ А — модульная структура на А, то согла-

58 гл. з. свойства гомотопических групп
сованное действие a: G х А ->¦ А задается равенством a(g, a) —
g8
Аналогично тому как мы переделали определение группы в опре-
определение Я-группы, можно также переделать определение согла-
согласованного группового действия в определение согласованного
Я-группового действия.
3.24. Определение. Согласованным действием Я-группы
(К., k0, Рк) на Я-группе (L, /0. Hi) называется такое действие а:
, что диаграмма
1*^
Jdxl
KxKxLxL
I lxTxl.
K*L
axa
LxL
коммутативна с точностью до гомотопии.
Для наших целей больший интерес представляет двойственное
понятие согласованного кодействия одной Я-когруппы на другой.
3.25. Определение Пусть (К, k0, цк) н (L, l0, \h'l)—не-
\h'l)—некоторые Я-когруппы. Согласованным кодействием Я-когруппы К
на Я-когруппе L называется такое кодействиеос': L-*-K у L, что
коммутативна с точностью до гомотопии диаграмма, дуальная
диаграмме 3.24 (т. е. полученная из нее обращением стрелок и
заменой знаков х знаками V)
Следующие предложения очевидны.
3.26. Предложение. Если (К, k0, ц#), (L, /0, \ll) — неко-
некоторые Я-группы и а: КX L -> L — согласованное действие, то для
каждого пространства (W, ы*о)^Зь<?г~ естественное действие
группы [W, w0; К, k0] на группе [W, w0; L, l0], определенное
формулой
{где [/] и [g] — гомотопические классы отображений соответственно
f: (W, wo)-*-{К, kn) и g: (W, w<,)-*-(L, /0)), является согласован-
согласованным действием.
3.27. Предложение. Если (К, k0, \i'k), {L, l0, il'l) —неко-
—некоторые Н-когруппы и a': L-*-K \/L — согласованноекодействие, то
для каждого пространства (W, Wq)^^^ естественное действие

ГЛ. 3. СВОЙСТВА ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУПП 5&
группы [К, k0; W, w0] на группе [L, l0; W; w0], определенное
формулой
[Л • И =[Д'-М *)•«']
(где [f] и [g] — гомотопические классы отображений соответст-
соответственно f: (К, ko)^-(W, Wo) и g: (L, lo)-+(W, wn)), является со-
согласованным действием.
3.28. Пример. Построим для каждого п S= 1 согласованное
кодействие окружности (S1, s0) на сфере Eя, s0). С этой целью
заметим, что если ц': Sn-»-5" V Sn — определенное в п. 2.22 ко-
умножение на 5", то Cw: CS"-yC (Sn V S'-)^CS" V CS^ явля-
является коумножением на C5" = D'Hl, превращающим CS" в Я-ко-
группу, причем С^ \ S" = ц'. Мы определим сейчас согласованное
кодействие a': CS"-»-^1 \J CSn таким оЗразом, чтобы oc'\Sn ока-
оказалось требуемым кодействием окружности S1 на 5й.
Представим сферу S", пз*1,как пространство, полученное из
цилиндра Sn-kxl сжатием нижнего основания S'^xjO} в точку
(отмеченная точка), а верхнего основания 5" х {1} — еще в одну
точку (это —так называемая неприведенкая надстройка над-S"-1).
Будем считать, что отмеченной точкой отрезка / служит 1. Зада-
Зададим отображение Р': C_Sn-+1 \J CSn, полагая
iBst, *), 2s* <
Доказательство непрерывности этого отображения не состав-
составляет труда, хотя и требует определенного времени Ограничение
Р'|5И задает отображение 0: Sn^I\/S". Если в нарушение
принятого соглашения считать отмеченными точками в / V S" и
/ V CS" точки *) @, *), то Р и Р' будут сохранять отмеченные
точки. Отображение Р' можно схематически представить следую-
следующим образом:
Рис. 9.
Точка So переходит в 0, та часть диска, на которой изображены
кривые линии, переходит в / (эти кривые представляют собой
поверхности уровня), а заштрихованная часть покрывает диск D".
1) Напомним, что X V У определяется как подмножество произведения
XxY и очевидно, что точка @, *), не будучи отмеченной в X V Y, тем не
менее лежит в X V Y. — Прим. ред.

60
гл. з. свойства гомотопических групп
Пусть /*/ = (/, 1) V (/, 0) с отмеченной точкой х) A, 1). Опре-
Определим отображение р.: /->/*/, полагая
~ Г B*. 0), 0*?*<1/2,
И ' ( A, 2/-1). .1/2*S/<1.
Тогда для любых путей ш, до' в X, удовлетзоряющих условию
w (l) = w' @), путь до* до' можно представить как
/ А / * / «ул х vx — а,
считая отмеченной точкой в X точку доA) = до'@).
Соберем в отдельную лемму необходимые нам свойства ото-
отображения р".
3.29. Лемма. Диаграммы
CS« 1-L-i. /v CSn (/¦ I)vCSn s /v(/vCSn) « H /vCS"
>• ' ' B' '
iii)
CS"vCS"
CS"
коммутативны с точностью до гомотетии. Здесь Л = (Лъ Да),
ДПЛ ^) = (Л *, *). A.U, *) = «, *> л)-
Доказательство.
| 2s/ «si,
DC, [
Определим гомотопию Я: CS"xI -*-CSa, полагая
*,
S<:
u
[
\[t\u+i)-u
'x'
!>•
¦Ц-и '
u
l) См. примечание на с. 59. — Прим. ред.

ГЛ. 3. СВОЙСТВА ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУПП
Тогда /7„=1, Hi = (*, 1)-P'.
и) A V ?>')'?>' (Is, х, t])~
Bs/, 0, *),
A, 4s/-2, *),
61
0«Ss/<l/2,
l/2«Ss*<3/4,
Ds/, 0, *),
A. 4s/-1,
1,
-, x, 2/-1
1/4 S?S/>
1/2 <st.
,1/2,
Определим отображение Я: CSn x / -*¦ / V V V CS"), полагая
>, x, /J, «)
. 0, •).
A, 4s/-u-l, •),
H+l
.«+2
Г4«-И-2 4/-и-21\ «±
» *» [4/_и_2 • *» 2-е Jj' 4
Тогда Н является гомотопией и Ho = (\i' \J l)»p', Я, = A VP')°P'-
iii) Если m^2, то диаграмма iii) даже строго коммутативна,
поскольку отображения р' и Q,- включают в себя различные
координаты надстроек. Для случая п=\ доказательство элемен-
элементарно, но довольно утомительно. Оно аналогично доказательству
соотношения .
(О * W * W' * (О ~ СО * W * СО * @ * Ш' * (О. ?
Пусть теперь q: I -+S1 — естественная проекция (q (/) = eiMt).
Определим отображения a': CSn-+S1\JCSn и а: Sn-+S1\/Sn,
полагая a' =(q V 1)°Р', а = (^\/0°Р- Тогда a'|S" = a. Введя
в соответствующие места диаграмм i), ii) и iii) множитель1) q\/\,
получим, что а' и а —кодействия.
3.30. Предложение. Для любой пары (X, А, х0) еe^sT'2
существуют согласованные действия групп Пх (А, х0) на пп (X, А, х0),
п2в2, и щ(Х, х0) на пп(Х, ха), п^1, обладающие следующими
свойствами:
I) Имеется в виду, что, например, в диаграмме i) отображение /уCSn -+CSn
разложится в композицию lyCS"-—>S1 \/ CSn->¦ CSn и т, а.—Прим. ред.

62
ГЛ. 3. СВОЙСТВА ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУПП
i) действия естественны, т. е. для любого отображения f:
(X, А, xo)-**(Y, В, г/о) имеют место коммутативные диаграммы
,х0) х яп(Х, А,х0) -* п„(Х,А,х0) п,(Х, х0) х пп(Х, х0) -> пп(Х, х0)
/*
/**/*
/*
,y0) х nn{Y,B,y0) -> nn{Y,B,y0) Ki(Y,y0) x тг^
ii) при n^5z2 гомоморфизм д: nn(X, A, Xo)-*-n!,-l(A, xQ) явля-
является гомоморфизмом групп с лх (Аи хй)-действием, т. е. имеет
место коммутативная диаграмма
, х0) х п„(Х, А,х0) -> я„(X, А, х0)
хд \д
iii) действие группы ni(X, x0) на самой себе задается сопря-
сопряжением, другими словами, если у, аея,(Х, х0), то у ¦ а = vav^1-
Доказательство. Действие группы ni(X, xo)=[S1, s0; X, х0)
на группе п„(Х, xo) = [Sn, s0; X, х0] задается отображением а и
в соответствии с формулой предложения 3.27. Действие группы
щ{А, х0) на я"(Х, A, xo) = [CSn~1, S"-1, #; X, А, х0] определя-
определяется аналогичным образом с использованием отображения а'.
Естественность немедленно следует из определений. Свойство ii)
вытекает из того, что a'jS"-1=a и д [/] = [/1 S"-1] для любого f:
(CSn~l, Sn-X, *)->(X, А, х0). Чтобы доказать свойство iii), отме-
отметим, что отображение a: Sl-*-S1 \J S* задается формулой
0<2=sSl/4,
(«, [2/ -1/2]), l/4*?f<3/4,
([4A-01, *). 3/4 «С* <1.
то элемент y<% представля-
Следовательно, если v —[/] и a =
ется отображением h: I-+S1, где
ft@=-
/D0.
— 1/2), 1/4
3/4,
/DA-0), 3/4 <*«?!.
С другой стороны, элемент
представляется отображе-

ГЛ. 3. СВОЙСТВА ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУПП 63
нием
h'
ft',
(t)
где
/
g
f
D0.
Dt —
BA-
1).
-0),
1/4 </
l/2<f
<l/4,
<l/2,
«S 1.
Ясно, что /j~/i'rel{0, 1}. ?
Вернемся теперь к сравнению гомотопических групп, постро-
построенных по различным отмеченным точкам. Пусть РХ [хо, хх] — мно-
множество гомотопических классов путей с началом в х0 и концом
в хх. Для любой пары (X, А) и любых точек хп, ху е Л опреде-
определим отображение
8: РА[х0, Xi]xnn(X, А, хх)-+пп{Х, Л, х0),
задавая 6 ([w], [/]) как гомотопический класс композиции
1, Sn-\ so) -^ (/ V CSn~l, I V Sn-\ @, *)) Ш1
(A\/X, A \J А, (ль, Xi))^(X, A, x0).
Здесь для построения букета А \/ X в обоих пространствах Л и
X отмечена точка Х\. Из леммы 3.29 немедленно вытекают сле-
следующие соотношения:
i) для любого [/] е яга(А:, Л, х0) имеем 6 ([щ], [/]) = [/];
ii) для любых [w] е РЛ [х0, jrj, [ш'] е РЛ [jti, х2] и [/] е
Л, х2) имеем  ([ш # w'], [/]) = 6 (
iii) для любых [ю] е РХ [xOl xx], [f
6(N, [Л+ 1/1) = в (N. [/]) + б(Н. [/'
ш], 8i_
, [/'] ё лй(^?, Л, *i) имеем
)¦
Для фиксированного класса путей \w] отображение
6 ([w], —): лп(Х, A, Xi)-ynn(X, Л, х0)
является гомоморфизмом в силу соотношения iii). Из соотноше-
соотношений i) и ii) следует, что
6 ([и»-1], 6 (И, [/])) = 6 {[w-l*w\, [/]) = 6 ([©„], [/]) = [/]•
Таким образом, гомоморфизм 6 ([or1], —) является обратным
к 6 ([w], —). Следовательно, для каждого гомотопического класса
путей [w]^PX[x0, Xi] имеет место изоморфизм
6([ш], —): лп(Х, Л, Xt)-+na(X, А, х0).
Итак, мы получили следующее утверждение.
3.31. Предложение. Пусть (X, А)—произвольная пара
топологических пространств. Если А линейно связно, то
пп(Х, А, хо) = яга(Х, Л, Xi) для любьсх х0, ^ 6 Д, п^1. Ана-
Аналогично, если пространство X линейно связно, то лп {X, х0) =
пп{Х, Xi) для любых Хо, Xi^X, п^О.
Замечание. Из определений ясно, что для уел^Л, х0),
аея„(Х, Ar jco) мы имеем у'а=в(у, а). Можно показать, что

64 ГЛ. 3. СВОЙСТВА ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУПП
построенный изоморфизм лп(Х, A, xi)^nn(X, А, х0) единствен1)
в том и только в том случае, когда действие ях(Л, х{>) на
пп(Х, А, х0) тривиально, т. е. у-а —а для всех ^еп((Л, х0),
а е лп(Х, А, хй).
Замечание. Поскольку действие группы лг(Х, х0) на
пп(Х, х0), n^s\, естественно, то пространства (X, х0) и (Y, уп)
могут иметь один и тот же гомотопический тип лишь тогда,
когда лх(Х, А'0)ОЁЯ1(К, г/о) и лп(Х, х0), я„(К, у0) при /г5э2
изоморфны как модули над кольцом Z[Jij(A, xn)]. Это более
сильное условие, чем просто требование, чтобы группы пп(Х, х0),
nn(Y, уо) были изоморфными для всех яЗгО.
3.32. Упражнение. Пусть /: X->-У — некоторое отобра-
отображение и М/ — неприведенный цилиндр отображения /. Показать,
что ретракция г: Mf-*- Y индуцирует изоморфизм г^: лд (Mf, x0)-*-
nq(Y' Уо)' <7^0. Таким образом, в точной последовательности
3.16 можно заменить Mt пространством Mf.
3.33. Упражнение. Показать, что если /: Х-+-Y — гомо-
гомотопическая эквивалентность (в еГ~), то индуцированные морфиз-
мы f#: nn(X, x)-*-nn(Y, f (x)) являются изоморфизмами для всех
й^О и всех х^Х
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Фундаментальную группу открыл Анри Пуанкаре. Серьезный
интерес к высшим гомотопическим группам появился лишь
в 1931 году, когда Хопф [94] открыл, что n3(S2, so)=^=O. С тех
пор их значение в топологии и геометрии неуклонно растет. На-
Например, в главе 12 мы покажем, что задача классификации глад
ких многообразий может быть сведена к вычислению некоторых
гомотопических групп.
ССЫЛКИ НА ЛИТЕРАТУРУ
1. Спеньер [72]. 3. Хопф [94].
2. Хилтон (89). 4. Ху [95]
1) То есть не зависит от выбора элемента у.—Прим. ред.

ГЛАВА 4
РАССЛОЕНИЯ
Читатель, знакомый с теорией гомологии, по-видимому, уже
заметил, что в предыдущей главе мы доказали для п„(Х, А, хоу
аналоги первых пяти аксиом Стинрода — Эйленберга. Вместо седь-
седьмой аксиомы (аксиомы размерности) мы получили равенства
пп{{хо}, Хо) = О для всех яЗгО. Что же касается шестой аксиомы
(аксиомы вырезания), которая позволяет вычислить группы гомо-
гомологии для широкого класса пространств (включающего сферы S').
то в шестой главе мы увидим, что для гомотопических групп эта
аксиома верна лишь при весьма жестких ограничениях. Однако
этот недостаток гомотопических групп восполняется наличием
точной гомотопической последовательности расслоения. Настоя-
Настоящая глава посвящена построению этой последовательности и до-
доказательству некоторых вытекающих из нее следствий. Мы нач-
начнем с простого случая.
4.1. Теорема. Для любых (X, х0), (Y, у^^оРёГ имеет
место изоморфизм
{Рх*, Ру*У- nn(XxY, (х0, уп))^лп(Х, x<,)xnn(Y, у0), п^О.
Доказательство. Для доказательства теоремы дважды
применим универсальное свойство произведений п. 0.2. Пусть
([/]> [g])^nn(X, хо)хлп(У, уо). Тогда существует такое отобра-
отобра(/ ) {S )(XY )) (f ) f
[] [ ( уу
жение (/, g): {Sn, so)->(XxY, (Хо, Уо)), что px°(f, g) f,
Pv°{f, g) = g- Следовательно, (рх*, pn)[(f, g)] = ([f], [g]) и, зна-
значит, (рх#, рк*) — эпиморфизм.
Пусть теперь h: (Sn, so)->-(^x7, (х0, г/0)) — такое отображе-
отображение, что px°hc^x0, pY'hc^y0. Обозначим через Н: Snxl-+X,
G:SnxI-^Y соответствующие гомотопии. Тогда К = (Н, G):
SnXl^-X х Y — тоже гомотопия и px°Ko = Ho=-px°h, рк°/е0 =
Go = pyh. В силу однозначной определенности отображения
(Но, Go) отсюда следует, что Ko = h. Кроме того, очевидно, что
/<i = (*o, Уо)- Поэтому hc^(x0, Уо), т.е. отображение (рх*. Py*) —
мономорфизм. ?
Отображение рх: XxY-^X представляет собой простейший
пример расслоения.
4.2. Определение. Говорят, что отображение р: Е-*-В
обладает свойством накрывающей гомотопии относительно про-
пространства X, если для любого отображения /: Х-*-Е и любой
гомотопии G: Xx/-vB отображения р°/ найдется такая гомо-
3 Роберт М. Свнтцер-

66 ГЛ. 4. РАССЛОЕНИЯ
топия F: Хх1-*Е, что f = F0 и p«F = G. Гомотопия F назы-
называется поднятием гомотопии G.
Свойство накрывающей гомотопии можно изобразить диа-
диаграммой
X-
f у
'о I у'р \р
в которой i0 (х) = (х, 0) для всех х е X.
Отображение р: Е-+В называется расслоением, если оно обла-
обладает свойством накрывающей гомотопии относительно любых про-
пространств X, и слабым расслоением, если оно обладает этим свой-
свойством относительно всех дисков D", « S= 0. Пространство F =
рг1 (bo), где Ьо&В — отмеченная точка, называется слоем расслое-
расслоения р.
Очевидно, что проекция рв: BxF^-B является расслоением.
Это расслоение называется тривиальным расслоением над В со
слоем F. В предыдущих главах мы уже встречались и с нетри-
нетривиальными расслоениями.
4.3. Предложение. Отображение л: РХ-+-Х является рас-
расслоением со слоем1) QX.
Доказательство. Пусть заданы отображения /: Y-*-PX
и С: YxI-*-X, причем G0 = n-^. Определим отображение F':
Yxlх/->-Х, полагая
F'(y, t,s).
[G(y,
, tsl,
Легко видеть, что F' непрерывно и, значит, определено ото-
отображение F: YxI-t-X', удовлетворяющее условию F(у, t)@) =
/(#)(О) = *о Для всех у, t. Другими словами, F (у, t)^PX,
F(U, 0)(s) = /(«/)(s) для всех у, s, т. е. F0 = / и n°F(y, t) = G(y, t)
для любых у, t. Итак, F — требуемое поднятие гомотопии G.
Очевидно, что n-1(x0) = {w &PX: шA) = дсо} = ЙХ. D
Вскоре нам понадобится следующее свойство пространства РХ.
4.4. Предложение. Пространство (РХ, щ) стягиваемо для
любого пространства (X, х0).
Доказательство. Зададим отображение Я': PXxIxI->X,
полагая
H'(w, t, s) =
1) Предполагается, что в X отмечена точка х0, относительно которой и
определяются пространства РХ и QX.—Ирим. ред.

ГЛ. 4. РАССЛОЕНИЯ
67
Оно непрерывно и, следовательно, определяет отображение Н:
PXxI -*-РХ. Легко видеть, что H0(w) (s) = w(s), и поэтому Яо*»=
\РХ- Далее, Hi (w) (s) = w @) = y0 = o)O (s), так что #i=»co0. Нако-
Наконец, Я(о)о, 0(s) — wo(s(l — O)=syo = mo(s), т. е. Я —гомотопия
rel ©о- Q
Займемся теперь изучением поведения гомотопических групп
на расслоениях.
4.5. Предложение. Предположим, что отображение р:
Е-+В обладает свойством накрывающей гомотопии относительно
пространства IjxX. Пусть Ь0^В'с:В и Е' = jr1 (В1) с Е'.
Тогда Р (р): Р (Е; е0, Е')-+Р{В; Ьо, В') обладает свойством на-
накрывающей гомотопии относительно X. В частности, если р —
расслоение (соответственно, слабое расслоение), то Р (р) также
является расслоением (соответственно, слабым расслоением).
Доказательство. Пусть заданы такие отображения /:
Х-+Р(Е; е0, Е% G: Хх1-+Р(В; Ьо, В'), что G0 = P(p)°f.
X
/о
Xxl
¦+P(E-,eQ,E') IxXx{O}u{O}xXxI
/x Jfx/
G'
P
+ B.
В силу экспоненциального закона они задают отображения f:
IxX-*-E и С: IxXxI-*-B, причем G6 = p-/': IxX-*-B. Опре-
Определим отображение /": I xXx{O\\J{Q}xXxI-*~Е, полагая
Г|/хХх{0} = /', f|{0}xXx/ = eo. Тогда G'|(/xXx{0}U{0}x
XxI) = P'f"- Кроме того, мы имеем очевидный гомеоморфизм А':
2, переводящий /х{0}Щ0}х/ на /х{0} (рис. 10)
Г oh'1 .
IxX > Е
«I
JxZx/
G'oh
-i
Р
В.
Рис. 10.
h' индуцирует гомеоморфизм A: IxXxI->/xXxf, который
отображает /хХх{0} U {0}хХх/ на /хХх{0}. Применяя к f'-h-1
и С • А-1 свойство накрывающей гомотопии, мы получаем поднятиеН":
1хХх1-+Е гомотопии G'-A-1 с Яв=/""А-1. Следовательно,
H' = H"'h служит поднятием гомотопии G', причем Я« = /' и
Я' @, х, t) = е0 для любых хеХ,/а/. Поскольку р = Я' A, х, t) =
3*

68 ГЛ. 4. РАССЛОЕНИЯ
G'(l, x, t)e=B', то
Я'A, л, t)e=p-1(B') = E'.
Таким образом, сопряженное отображение И: Хх1-+Е' является
требуемым отображением из Хх/ в Р (Е; е„, Е'), так как
P(p)-H = G и //<, = /•?
4.6. Теорема. Если р: Е-*¦ В — слабое расслоение, Ьо^В'сВ
и Е' = р~1(В), то р^: пп(Е, Е', е0)-*-п„ {В, В', Ьо) — изоморфизм
для любого п ^ 1.
Доказательство. Будем доказывать эту теорему индук-
индукцией по п, начиная с п—\. Если задан произвольный путь ю:
(/, О, 1)-*-(В, bo, В'), то можно найти его поднятие ы': 1->-Е
с со' @) = е0 (здесь мы используем свойство накрывающей гомото-
пии для О° = 0). Так как р. со' A) = со A) е= В', то <o'(l)s?'.
Следовательно, [(o']eiti(f, ?', е0) и ясно, что р* [«'] = [(<)].
Таким образом, р% —эпиморфизм. Рассмотрим теперь два таких
пути wu w2: /->? с we@)=e0, wE(l) s?", e = 0, 1,чтор«Ш1~
P'WirelO в В. Пусть G: / хI-+¦ В — соответствующая гомотопия.
Зададим отображение /: /x{0}U{0}x/U /х{1}->-?, полагая
/|/х{0} = а;1, /|/X{l} = as /|{0}x/ = eo. Тогда р./ =
G | (/ X {0} U / х {1} (J {0} х /). Так как существует гомеоморфизм
/2->-/2, переводящий /х {0}U{0}x/U /X{1} на /х{0}, то вновь
применяя прием, использованный в предложении 4.5, мы найдем
отображение Н: 1x1 -*-Е, продолжающее / и накрывающее G
(так как I^D1). Следовательно, Н является гомотопией, связы-
связывающей пути wx и ш2. Таким образом, гомоморфизм р„. моно-
морфен.
Предположим теперь, что теорема доказана для всех слабых
расслоений и всех п с l^n<m. Для любого слабого расслое-
расслоения р: Е-+В имеет место коммутативная диаграмма
пт(Е,Е',е0) • * *¦ пт(В,В',Ь0)
;ео,Е'),щ) ¦ ПР)* ' Jrm-i(/>E;W)><»o)
>0,Е'),РЕ',(о0) >- пт^{Р(В;Ь0,В'),РВ',(о0).
Так как пространства РВ' и РЕ' стягиваемы, то /* является
изоморфизмом в силу предложения 4.5, отображение Р (р) явля-
является слабым расслоением и, следовательно, по предположению
индукции, Р (р)% — изоморфизм. Поэтому р# — также изоморфизм,
что завершает шаг индукции. ?

ГЛ. 4. РАССЛОЕНИЯ 69
Комбинируя точную гомотопическую последовательность пары
(Е, F, е„) с изоморфизмом теоремы 4.6, мы получаем коммутатив-
коммутативную диаграмму
nn+i(E,F,e0) > ял(/>о) *¦
ЗА)
^*n(E,F,e0)-2-
Эта диаграмма порождает точную гомопотическую последователь-
последовательность слабого расслоения р: Е->В
4.7. ...^ял+1(В, bo)~nn(F, ео)±па(Е, еа)^
пп(В, bo) — ...-?¦ no(F, ео)±Ль(Е, ео)^по(В, Ьо).
4.8. Следств и е. Если р: Е->-В — такое слабое расслоение,
что пространство Е стягиваемо, то для любого п 5? 1 гомомор-
гомоморфизм д'\ пп(В, Ьп)-*-п„-1 (F, еп) является изоморфизмом.
Пример. В предложении 4.3 мы доказали, .что л: РХ-^-Х
является расслоением для любого X, а в предложении 4.4 уста
новили стягиваемость пространства РХ. Так как слой расслоения
л — это пространство петель QX, то согласно следствию 4.8 мы
получаем изоморфизм д'\ л„(Х, xo) = nn_i(QX, (oo), едва ли не-
неожиданный для читателя.
Теперь мы рассмотрим один класс наиболее часто встречаю
щихся расслоений Определяются они, однако, таким образом,
что выполнение свойства накрывающей гомотопии относительно
всех пространств совсем не очевидно. Мы ограничимся здесь лишь
установлением того факта, что в результате получаются слабые
расслоения.
4.9. Определение. Расслоенным пространством называется
четверка (В, р, Е, F), состоящая из тотального пространства Е,
базы В, слоя F и проекции р: Е->-В. При этом требуется суще-
существование такого открытого покрытия {?/а}аел пространства В и.
таких гомеоморфизмов
Фа- UaKF^p-lUa,

70 ГЛ. 4. РАССЛОЕНИЯ
что Р'Ф-i^pu^- UaxF-+ Uа для каждого а е А. Другими сло-
словами, отображение р: ?-vB локально должно выглядеть как
тривиальное ргсслоение1).
Можно показать, что для паракомпактного пространства В
такое отображение р: Е->В есть расслоение (см., например, [34]).
4.10. Предложение. Если (В, р, Е, F) — расслоенное про-
пространство, то р: Е-*-В — слабое расслоение.
Доказательство. Пусть /: Dn^>-E, Q: D"x/-»-B — такие
отображения, что G0 = p°f- Выберем открытое покрытие {Ua}aeA
пространства В и гомеоморфизмы Фа: UaxF~*-p^Ua такие, как
в определении 4.9. Тогда открытые множества {G'W^aeA покры-
покрывают Dnxl. Так как D х/— компактное метрическое простран-
пространство, то существует такое число А,>0 (лебегово число покрытия),
что каждое множество 5 с Dnxl диаметра < X содержится в неко-
некотором G^Ua. Возьмем теперь настолько мелкую триангуляцию
диска D", чтобы каждый симплекс о имел диаметр <V2 и затем
разобьем отрезок / внутренними точками O = to<.ti<....<.tM=l
так, чтобы диаметр любого множества ax[tit ti+i] не превосходил X,
Предположим, что мы уже построили гомотопию Я, накрываю-
накрывающую G на множестве Dnx[t0, ti\ гомотопию (H\DnX{0}=f). Про-
Продолжим Я на Dnx[to, ti+i], используя индукцию по размерности
симплексов а из Dnx[th ti+i]. Если dimo = 0, выберем номер
аеЛ так, чтобы G{ax[tt, tM])c:Ua. Поскольку р°Н(о, ti)—
G(a, U), то Я(ст, ti)<^pr4Ja. Положим Н{а, Г) = Фа{О{а, t),
прФа1 (Н (о, ti))) для всех / е [/;, /i+i]. Тогда гомотопия И непре-
непрерывна на ox[ht ti+i] и совпадает с ранее построенной гомотоплей
на ax{ti}. Предположим теперь, что Я уже построена на
e'x[th ti+i] для всех симплексов о' с dim о' <Сп, и пусть dim о = п.
Снова выберем номер ае А таким образом, чтобы G(о х[ti, ti+i])czUa-
Гомотопия Я уже определена на ox{ti)[)dx[th ti+i] (где черэз о
обозначена граница для о). Применим прием, использованный при
доказательстве предложения 4.5 и теоремы 4.6: существует гомео-
гомеоморфизм ox[tt, ti+i] на себя, переводящий ax{ti}[)ax[ti, ti+1] на
ax|(i|. Так как pUa: UaxF-+ Ua является расслоением, то мы
можем найти поднятие в UaxF гомотопии G\ax[tt, ti+1], продол-
продолжающее Фп1'H\(aX{ti}\J6y[th tM]). Композиция с Фа определяет
поднятие Я|ах[^, ^+i]. Это завершает шаг индукции. Тем самым
гомотопия Я продолжена на Dnx[0, /j+J. Используя индукцию
по i, построим гомотопию Я, служащую поднятием гомотопии G
на всем пространстве Dnxl. ?
4.11. Опишем теперь одну важную конструкцию, позволяющую
получать интересные расслоенные пространства. Пусть G —топо-
!) В дальнейшем автор, допуская tieKOTopyro вольность речи, называет рас-
расслоенным пространством просто проекцию р: Е-+В (позволяющую, впрочем,
восстановить всю четверку (В, р, Е, Р)). — Прим. перев.

ГЛ. 4. РАССЛОЕНИЯ 71
логическая группа и Я —ее замкнутая подгруппа. Рассмотрим
пространство G/H левых смежных классов по подгруппе Н и
проекцию р: G-+G/H; разумеется, G/H является группой в том
и только в том случае, когда Н есть нормальная подгруппа в G.
4.12. Определение. Говорят, что отображение р: Е-уВ
обладает локальным сечением в точке ^еВ, если существуют
такая окрестность U с В точки х и такое отображение X: U-+E,
что р'1= 1ц.
Замечание. Для того чтобы показать, что р: G-+GIH обла-
обладает локальным сечением в любой точке из G/H, достаточно про-
проверить, что р обладает локальным сечением в Н. Действительно,
группа G транзитивно действует на пространстве G/H по формуле
§" (8'Щ ^ (Sg')H- Пусть (U, Я) — локальное сечение для р в точке Н.
Для любой другой точки gH из G/H множество g-JJ служит
окрестностью для gH, а отображение kg: g -U ->- G, задаваемое фор-
формулой hg(g'H) = g'k(g-1g'H), g'H<=g-U, непрерывно и удовле-
удовлетворяет условию p°kg= \g.u-
Пространства GIH называются однородными пространствами.
Приведенное выше замечание объясняет происхождение этого
названия. Вообще, локальная структура в любой точке прост-
пространства GIH такая же, как локальная структура в точке Я.
4.13. Теорема. Если р: Q-+GIH обладает локальным сече-
сечением в точке Н, то для любой замкнутой подгруппы К сН чет-
четверка (G/H, р', G/K, HI К), где р': GIK-+G/H-естественная
проекция, является расслоенным пространством.
Доказательство. На основании сделанного выше замеча-
замечания мы можем считать, что р обладает локальным сечением
в любой точке G/H. Пусть jcsG/Я и (U, К) — локальное сече-
сечение для р в точке х. Определим отображение Ф: Uy H/K-+G/K, по-
полагая Ф (у, hK) =¦ Цу) • hK. для любых у &U, h&H. Тогда Ф
непрерывно и р' • Ф (у, hK) = р' (X (у) • hK) =• Я, (у) ¦ h ¦ Н = X (у) • Я =
Р(Ь(У)) = У Для y=U, h<=H. Пусть i|>: (р'у*(и)-*-ихН/К —
отображение, задаваемое формулой я|> (gK) = {gH, К {gH)~l ¦ gK),
gK e (p') (U). Нетрудно видеть, что \|з непрерывно и \|з»ф =
Замечание. Предположение о существовании локального
сечения является необходимым, так как очевидно, что любое
расслоенное пространство обладает локальными сечениями.
4.14. Примеры. 1) Обозначим через О(п) группу ортогональ-
ортогональных (а х п)-матриц. Если k^n, то группа О (?) вкладывается
в О {п): для этого достаточно рассмотреть 0(k) как подмножество
матриц из 0(п) вида
оГ/„
где А — ортогональная (k х ^-матрица, а /Л_А — единичная (п — k) x
(п — 6)-матрица.

72 ГЛ. 4. РАССЛОЕНИЯ
Рассмотрим 0(п) как подпространство в R; в индуцированной
топологии группа О (п) компактна, а О (k) — ее замкнутая под-
подгруппа.
Пусть Vk,n=!Vk.n(R) = {(vi, ..., »*):u,-sR", (vi, vj) = 6,7, 1 «с
t, /^/г}. Элементы множества Vk.n называются k-реперами в R".
Снабдим множество Vk.n топологией, рассматривая его как под-
подпространство в R"*; в этой топологии Vk,n компактно. Простран-
Пространство Vk.n называется многообразием Штифеля 6-реперов в R".
Определим отображение Ф*.„: О(п)/0 (п — k)-*- Vk.n, полагая
Фк,п(АО(п — к)) = {Ае„-к+и ..., Аеп\ для ^еО(п). Ясно, что
определение корректно, так как репер Фк,п(АО(п — k)) зависит
только от смежного класса AO(n — k). Легко видеть, что фь,п
биективно и непрерывно. Так как оба пространства О (п)/0 (п — k)
и Vu.n хаусдорфовы и компактны, то Фк.п — гомеоморфизм.
Существует очевидный гомеоморфизм V1,n==5"-1, так что
О(n)IO(n — \)^Sn~x. Кроме того, непосредственно проверяется,
что диаграмма
O(n)IO(n-l) -^> Vi.n
О(пIО(п-к) -^ Vkt.t
где q(vu •••, Vi) = (vi-k+u ••-, Vi), коммутативна для всех
Покажем, что отображение р: 0(п)-+0 (п)/0 (п — k) обладает
локальным сечением в точке 0(п — k). С этой целью построим
локальное сечение отображения q: Vn, п-*- У к, п. в точке (ел-*+1, • ¦ •. еп).
Рассмотрим в Vk.n подмножество 0, состоящее из таких реперов
(vi, ..., Vk), что векторы еь ..., е„_А, Vi, ..., vk линейно не-
независимы. Легко видеть, что U — открытая окрестность точки
(<Vft+i, .... еп) в Vk.n, что (vlt Vk)^U тогда и только югла,
когда векторы (еъ.... еп-к, Vi vk) линейно независимы. Опре-
Определим X: U -v Vk,n следующим образом. Процесс ортогонали-
зации Грама — Шмидта определяет каноническую непрерывную
процедуру, которая сопоставляет каждому множеству (нь ..., ип)
линейно независимых векторов из R" ортонормированное множе-
множество (и[, ..., и'п), где
„- _ «л ,,- "п I—<»я-1. Un)u,
и т. д Для (v\, ,.,,чц)е(У положим X (иь ..., и*) = (е|,..., е'„ _ft,
v'u ..., vk). Так как v, =vh 1 ^t^A, то q°'k= \и. Таким образом,
р'\ О(п)/О(п — I) — O(n)/O(n — k), &sg/, есть расслоенное прост-
пространство -о слоем 0{п — k)/0 (п — I) и, значит, q: VL ,,^-V*.n —
расслоенное пространство со слоем Vt-k, о-*- В частности, слой

ГЛ. 4. РАССЛОЕНИЯ 78
расслоенного пространства
р: O(n)/O(n-k-l)-*-O{n)/O(n-k)
есть О (п - k)/0 (п - k - 1) оё S"-*-1.
2) Обозначим через 0(« — k)xO(k) подгруппу в О(п), состоя-
состоящую из матриц вида
А\0
где А — ортогональная (n — k)x(n — &)-матрица, а В — ортогональ-
ортогональная (fex ^-матрица. Пусть G-,, „ = С*„ (К) — множество всех ^-мер-
^-мерных линейных подпространств из R". Существует очевидная
сюръекция я: V*r.ra->-G*in, задаваемая формулой n(vu ..., и*) =
<fi, ..., vk), где (ui, ..., Vb) — подпространство, натянутое на
векторы vi, ..., vk. Снабдим Qk<n фактортопологией, индуциро-
индуцированной отображением л.
Определим отображение \|)*,„: О(п)/О(п — &)xOF)-»-G*>n, по-
полагая г|з*,„(А (О(п — Щ чО(?))) = <Ле„_л+1, ..., Л<?„>- Очевидно, что
отображение \|)ftn определено корректно и что диаграмма
коммутативна. Следовательно, отображение $*,& непрерывно. Так
как 1|зА,„ биективно, то оно является гомеоморфизмом. В частно-
частности, O(n)/O(n-l)xO(l)sgGi,n^|R/3'J-1 = {(n-l)-MepHoe вещест-
вещественное проективное пространство}.
Построим локальное сечение отображения я: Vk,n-*-Gk,n в точке
{еп-ь+\, ¦••. еп). В качестве ее окрестности U' возьмем все такие
А-мерные подпространства W из Rra, для которых (еъ ..., en_t. f]
W = {0}. Если W ei/', то ортогональные проекции ei векторов е,-
на U^, n — k-\-1 ^t=^n, линейно независимы. Применяя процесс
Грама — Шмидта, получаем й-репер (ё'п-к + и •••. S'n). Положим
V(W) = (en_ft + i. •••• ^«)еУ*,ч. Очевидно, что п»Х' = 1у. Если
{II, ^—локальное сечение для q: Vn,n^-Vk.n, построенное в при-
примере 1), то U гэ V (W) и (?/', X'V) является локальным сечением
отображения n°q. Значит, р': O(n)/O(n — k)-*-O(n)lO(n—k)xO(k)
и л: Vk,n-+Qk,n представляют собой расслоенные пространства
со слоями 0(k) и Vk.k соответственно.
Пространство Gk.n называется многообразием Гроссмана 6-мер-
6-мерных плоскостей в R".

74 ГЛ. 4. РАССЛОЕНИЯ
3) В группе О (п) содержится подгруппа SO (n) ортогональных
матриц с определителем 1. Имеет место точная последовательность
{/} ->- SO («) -> О (я) — Z2 -»¦ {1},
где через Z? обозначена мультипликативная подгруппа {—1, +1}
группы R* = !R —{0}. Сечение отображения det задается формулой
4) Обозначим через U (п) группу унитарных (пхп)-матриц,
рассматриваемую., как подпространство в С1. Существуют вложе-
вложения U(l)c=UB)cz...<^U(n)cz..., и U (n)/U (п-к) с^У „.„(€),
где Укщ„ (С) — пространство всех ft-реперов в ©". Локальные сече-
сечения строятся точно так же, как в примере 1).
5) U (n)/U (n-k)xU (ft) ^ О». л (С), где Glt, „ (С) - пространство
всех комплексных ^-мерных линейных подпространств в ©"•
6) В группе (/ (п) содержится подгруппа SU (п) унитарных
матриц с определителем 1. В этом случае мы получаем точную
последовательность
{/} -* SU (п) -*• U (я) ^i S1 -> {1},
где через 51 обозначена мультипликативная группа всех комплекс-
комплексных чисел, модуль которых равен 1. Сечение отображения det
задается формулой
\0
7) Аналогичным образом определяются расслоения Sp(n)—>-
Vk,n(U) со слоем Sp(n-ft) и У„,„(Н)^0А,„ (Н) со слоем Vk,k(H>
где Sp (п) — группа симплектических (п х п)-матриц (через Н обо-
обозначено тело кватернионов).
Отметим, что Vi, „ (С) S* S1"-1, Vi. п (Н) ^ Sin~\ Gx, „ (С) ^ С/5",
^HHP1
.)
4.15. Предложение. Вложение i: S0(n)-*-0(n) индуцирует
изоморфизм i^: nq(SO(n), 1)->-я?@(п), 1), q^l. Кроме того,
nq(S0(l), 1) = 0, q^O, nq(O(\), 1) = D, <?>1, ло(ОA), l) = Zt
u --?(s0B). 1) —"?(Sl, so), ?^0.
Доказательство. Пример З) из 4.14 доставляет нам точ-
точную последовательность
2, l)->~ng{S0(n), 1)±п9

ГЛ. 4. РАССЛОЕНИЯ 75
и nq(Zi, l) = 0 для q~$z\. Отсюда следует первое утверждение.
Остальные утверждения следуют из того факта, что SO A) = {1},
ОA) = {— 1, 1} и S-OB)^SK ?
4.16. Определение. Расслоенное пространство (В, р, Е, F)
с дискретным слоем F называется накрытием пространства В.
Отображение р называется накрывающей проекцией, а простран-
пространство Е — накрывающим пространством над В.
Так как пространство F дискретно, тоя„(F, е0) = я„({е0}» еп)=0
для п ~5? 1 • Таким образом, мы получаем следующее утверждение.
4.17. Предложение. Если р: X-+- X — накрытие простран-
пространства X, то рч\ п„(Х, Хо)-*-яп(Х, Хо) — изоморфизм для любого
п> 1 и мономорфизм для п = \. Если пространство X линейно
связно, то точки слоя F находятся во взаимно однозначном соот-
соответствии со смежными классами группы ni (X, Хо) по подгруппе
p,(ni(X, Хо)).
4.18. Примеры. О Рассмотрим S1 как окружность в ©: S1=
{геС: |z| = l}. Пусть р: R-^-S1 задано формулой p(t)=eintt,
t s R. Покажем, что р — накрывающая проекция. Пусть Ui=S1 — {1}
и U2=iSl — {—1}. Тогда {Ui, Uг] служит открытым покрытием
окружности S1. Определим отображение Фх: UixX-^p~lU\
(Z — группа целых чисел), полагая Фг(г, n) = n + (l/2ni) In г, где
In z — главная ветвь логарифма на (D — {rsR: г^О}. Аналогично,
определим отображение Ф2: UixZ-*~p~1Ut формулой 4>2(z, n)=
п + A/2ш-) In z, где In г— главная ветвь логарифма на
C-{reR: г =^ 0}. В каждом из двух случаев мы имеем р • Ф1=ри{-
Кроме того, Фхх задается формулой Ф\1 (г) = (e2nir, [r]), где [л] —
целая часть числа г, г eR —Z = pr'^b a <?jl — формулой Ф*1 (г)=
(е*я'>, к+ " )' r^PilUi. Следовательно, Фи ^ — гомеоморфизмы,
что и требовалось.
Итак, в силу предложения 4.17 мы имеем n,,(S1, so)^nn(R, 0)
для пЗ=1. Поскольку пространство R стягиваемо, отсюда следует,
что nra(S\ se) = 0 для любого п>\. Из точности гомотопической
последовательности 4.7 мы получаем также, что имеют место биек-
ции jti(S\ So) = n»(F, О) = яоB, 0) = Z. В самом деле, при этом
классу [ls']sni(S1, So) соответствует leZ и нетрудно прове-
проверить, что классу [z-+zn] соответствует neZ. Кроме того, [z-+zn]*
[z^-2m] = [z-^-z"+m], так что имеет место и групповой изомор-
изоморфизм n1(S1, so)^Z.
ii) По определению n-мерным тором Тп называется я-кратное
декартово произведение S1x...xS1. Отображение р: Ra-*-Tn,
заданное формулой р(гъ гг, ..., rn) = (e2nir\ е2Шг* e2nir"),
является накрывающей проекцией, Слой —это целочисленная ре-
решетка в R". Так как пространство R" стягиваемо, то nk(Tn, #)=0

'<> ГЛ. 4. РАССЛОЕНИЯ
при k^s2. Этот результат можно вывести также из теоремы 4.1:
п
як G«, *) = П nk (S\ so) = 0, k Ss 2,
i= 1
я
л, (Г", *) = р| Z = Z © • • .©Z-
Основным источником накрытий служит следующая конструк-
иия.
4.19. Говорят, что топологическая группа G Оейстьует на
топологическом пространстве X, если задано такое непрерывное
отображение a: GxX-^X, что диаграммы
(е, 1) 1 х а
X}l2-+GxX GxGxX *¦ GxX
И)
\:
GxX
коммутативны. Здесь ц: GxG->-G —умножение в группе G и
(е, \)(х) — (е, х) для каждого х е X, где е —единица группы G
(ср. с определением 2.42). Множество GxaX называется орбитой
точки х е X.
Введем на X отношение эквивалентности ~, полагая дс~#'
тогда и только тогда, когда существует такой элемент geG, что
gx = x'. Факторпространство Х/~ по этому отношению эквива-
эквивалентности есть не что иное, как пространство орбит, которое мы
обозначим через X/G. Пусть G — дискретная группа с единицей е.
Говорят, что G действует на X вполне разрывно, если
a) для каждой точки х е X существует такая окрестность UXy
b) для любых точек у, х е X, уф Gx, найдутся такие их
окрестности Vу, Vх, что gVx{\Vy=Q) для всех geG.
Из условия Ь) следует, что пространство X/G хаусдорфово.
Покажем теперь, что при выполнении условия а) проекция
q: Х-*-X/G является накрытием.
4.20. Предложение. Если дискретная группа G действует.
на пространстве X вполне разрывно, то (X/G, q, X, G) является
накрытием.
Доказательство. Для любой точки z^X/G выберем х еА
с q (x) =2. Пусть Ux — окрестность точки х, удовлетворяющая
условию а). Положим W2 = q(Ux). Тогда а~^г= (J gUx, так
что множество Wz открыто иге Wz. Более того, ограничение
q | Uк является гомеоморфизмом открытых множеств Ux и Wг.
Определим отображение фг: WlxG-^q~1Wг, полагая Фг(у, g)~

ГЛ. 4. РАССЛОЕНИЯ 77
g¦ (q| Ux)-1 у, g^G, у <= Wz. Тогда существует отображение Фг1,
задаваемое формулой Фг1 (gy') = {q(y'), g) Апя gy' ^gUx. Следо-
Следовательно, Фг — гомеоморфизм и непосредственно проверяется, что
Я°Фг = Р\Рг. Так как открытые множества Wz покрывают X/G, то
(X/G, q, X, G) — накрытие. ?
4.21. Замечания, i) Предположим, что пространство X
линейно связно. Можно показать, что отображение
д: n,(X/G, *)-+no(F, xo) = G
является гомоморфизмом и последовательность
О-^ях(Х, *<,)-• i
точна. Гомеоморфизмы Tg(x)=gx пространства X определяют
действие группы G на пп(Х, дг0), п^\, а именно: g7 = 8([&yg],
(Tg)* (v)). гДе 7 ^ я„(Х, дго), a tei? — некоторый фиксированный
путь из х0 в Tg(xo). Если Jti(X, хо) = 0, то лх(Х/д, *)g^G, и мы
получаем действие группы G на я„(Х/С *), см. предложение 3.30.
Оказывается, что <7*: я„ (X, д:0) ->¦ ^л (^/G, *) является гомомор-
гомоморфизмом групп с G-действием: q^gi) = g¦ q* (у), g&G, у е пп (X, х0).
ii) Накрытие р: Х-*-Х называется регулярным накрытием, если
р„(эт/Х, г0)) — нормальная подгруппа группы щ{Х, л;0). Таким
образом, накрытия g: X->-X/G из предложения 4.20 всегда регу-
регулярны. Можно показать, что любое регулярное накрытие имеет
такой вид.
ш) Если G —конечная дискретная группа, действующая на
пространстве X так, что ни один ее элемент не имеет неподвиж-
неподвижных точек (т. е. (gx = х) => g = е) и X хаусдорфово, то легко
видеть, что G действует вполне разрывно.
iv) Группа Z вполне разрывно действует на R по формуле
п-г = г-\-п.
Для накрывающих пространств имеется хорошо р; звлтая тео-
теория; интересующийся читатель может познакомиться с ней, на-
например, по книге [72]. Обстоятельное изложение теории расслоен-
расслоенных пространств см. в [73].
4.22. Упражнение, i) Пусть р: Е-+-В — некоторое отобра-
отображение. Рассмотрим множество
Z = {(e, w)f=ExB': р(е) = ш@)}с?хВ'.
Говорят, что р удовлетворяет аксиоме о накрывающем пути, если
существует такое отображение к: Z->E', что к(е, w)@)=e и
р ° X (е, w) = w. Показать, что р является расслоением тогда и
только тогда, когда оно удовлетворяет аксиоме о накрывающем
пути.
ii) Пусть р: Е ->- В — расслоение со слоем F. Обозначим через
%: Z^-E1 какое-нибудь отображение из предыдущий задачи и

78 ГЛ. 4. РАССЛОЕНИЯ
определим отображения
g: F-+Pp, ft: PP-^F (Pp определено в п. 2.52),
полагая
S (/)= (А ш«) s ^р> ^ s ^ (^о~~ тривиальный путь в 5),
h(e, w) = [k(e, tcri)](l).
Показать, что отображения g, /г гомотопически обратны друр
другу.
Вывести отсюда существование точной последовательности
где р(ю) = [^(е0» w)]!!). wsQB. Применение к этой последова-
последовательности функтора [S0, +1; — ] дает точную гомотопическую
последовательность расслоения р: Е-*-В.
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Расслоенные пространства совершенно независимо от их заме-
замечательных гомотопических свойств играют важную роль в гео-
геометрии и, прежде всего, в теории дифференцируемых многообра-
многообразий. Мы познакомимся с этим аспектом теории расслоенных про-
пространств в главах 11 и 12.
ССЫЛКИ НА ЛИТЕРАТУРУ
1. Дольд [35].
2. Стинрод [73].
3. Хьюзмоллср [96].

ГЛАВА 5
КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
В общем случае задача вычисления гомотопических групп
чрезвычайно сложна, и потому запас полезных сведений о гомо-
гомотопических группах произвольных топологических пространств
очень мал. Одна из имеющихся здесь трудностей заключается
в том, что для данных топологических пространств X и Y обычно
весьма непросто построить какое-либо нетривиальное отображе-
отображение /: X-*-Y. В связи с этим разумно ограничиться простран-
пространствами, состоящими из элементарных «строительных блоков»
(например симплексов), и пытаться строить отображения, шаг
за шагом продолжая их на эти блоки. В настоящей главе мы
опишем полезную категорию таких пространств (именно, клеточ-
клеточных пространств) и выявим ряд их элементарных свойств. Более
глубокие гомотопические свойства клеточных пространств будут
доказаны в следующей главе.
Все рассматриваемые здесь пространства предполагаются хаус-
дорфовыми.
5.1. Определение. Клеточным разбиением К пространства
X называется семейство К={е^;. « = 0, 1, 2, ...; ае/») подмно-
подмножеств из X, индексированных неотрицательными целыми числами п
и элементами а, пробегающими для каждого п некоторое мно-
множество Jn. Множество ва называется клеткой размерности п.
Клетки должны удовлетворять некоторым условиям, которые мы
сформулируем ниже.
Положим Kn—{era: r^n, as/,}, n^O. Если мы работаем
в категории <&~, то по определению считаем, что К" = Ф при
п<0. Если же мы рассматриваем категорию <^аГ", то отмечен-
отмеченная точка Хо считается клеткой размерности -оо, и в этом слу-
случае Кп = {{хо}}, п<.0. Множество Кп называется п-мерным осто-
остовом разбиения К Положим I К" | = (J ега. Заметим, что | К" |
n
является подпространством пространства X, в то время как /С —
это семейство клеток. Для каждой клетки е? введем следующие
обозначения:
е

ГЛ. 5. КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Множество ва называется границей клетки е?, а б? — ее внутрен-
внутренностью. Требуется, чтобы К удовлетворяло следующим условиям:
О X =
п.,а.
iii) для каждой клетки е? существует сюръективное отобра-
отображение
/S: (D«, S*-1)-^, Й),
гомеоморфно отображающее Dra на е?. '
Отображение /а называется характеристическим отображением
клетки епа. Различные авторы по-разному относятся к вопросу
о том, являются ли Характеристические отображения частью кле-
клеточной структуры. Мы приняли здесь ту точку зрения, согласно
которой /« входят в определение клеточного разбиения.
Из условия iii) вытекает, что каждая клетка е„ является
компактным подмножеством в X и, следовательно, замкнута,
поскольку X предполагается хаусдорфовым. Условия i) и п)
означают, что X представляет собой несвязное объединение внутрен-
внутренностей ') Са-
Для любого п существует разбиение, не содержащее п-мерных
клеток, т. е. такое, что /„ = 0. Заметим однако, что в dT из
условия /о = © следует, что Х»=ф.
5.2. Определение. Положим
dim К = sup {я: Jn^0\.
Число dim К может равняться оо.
Клетка е^ называется непосредственной гранью клетки б?,
если е$ [)ваФ ф. Таким образом, любая клетка е? является непо-
непосредственной гранью самой себя, и если е^ —любая другая непо-
непосредственная грань, то т<С.п. Клетка ejj* называется гранью клет-
клетки е?, если существует такая конечная последовательность клеток
что каждая е"^ является непосредственной гранью e^'+l, 0 ==с i < s.
Клетка называется главной, если она не является гранью ника-
никакой другой клетки. Например, если dim/C = n<oo, то все п-
мерные клетки являются главными.
Замечание. Вообще говоря, е^ не является открытым под-
подмножеством пространства X Более того, даже внутренности глав-
1) Это можно доказать индукцией по остовам. — Прим. ред.

ГЛ. 5. КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 81
ных клеток не всегда бывают открытыми. Зто связано с тем
обстоятельством, что бесконечные клеточные разбиения могут
иметь очень плохие топологии.
5.3. Определение. Будем говорить, что на X задана струк-
структура клеточного пространства, если оно обладает клеточным раз-
разбиением К с двумя свойствами;
(С) каждая замкнутая клетка имеет лишь конечное число
непосредственных граней;
(W) X наделено слабой топологией, индуцированной разбие-
разбиением К, т е подмножество ScX замкнуто тогда и только
тогда, когда пересечение S0e? замкнуто в е? (для любого я и
любого а е J „)
Так как характеристическое отображение Д индуцирует гомео-
гомеоморфизм между е'а и факторпространством D"/~ (где х~->у тогда
и только тогда, когда /а* = /?#){ то из условия (W) вытекает, что
«S с X замкнуто в том и только в том случае, когда прообразы
(fa)'1 (S) замкнуты в диске D1 для всех п, а. Кроме того, оче-
очевидно, что внутренности главных клеток являются открытыми
множествами в клеточном пространстве
В подавляющем большинстве случаев мы будем называть X
клеточным пространством, если на нем можно ввести какую-либо
структуру К клеточного пространства Следует отметить, однако,
что если X допускает хотя бы одну клеточную структуру, то
на нем можно ввести много таких структур.
5.4. Примеры. 1) Любое симплициальное пространство
является к л .точным пространством.
2) Снабдим «-мерную сферу S" двумя различными структу-
структурами клеточного пространства, каждая из которых широко ис-
используется в алгебраической топологии
a) Возьмем в качестве единственной нульмерной клетки отме-
отмеченную точку So и в качестве единственной «-мерной клетки —
саму сферу S". Таким образом, e° = sn, e" = Sn. Характеристи-
Характеристическое отображение f: (Dn, S"-1) -> (еп, е") = (S", sn) устроено
очевидным образом. Например, если рассматривать диск D1 как
конус CSn~l над сферой Sn~l, то в качестве / можно взять ком-
композицию
CS"-1 -> CS^/S"-1 g^ SS"-1 s S".
b) Вторая клеточная структура содержит по две клетки в каж-
каждой размерности от 0 до п. Проще всего описать эту клеточ-
клеточную структуру по индукции Пусть мы уже разбили на клетки
сферу S'-1; рассмотрим ее как экватор в сфере S" Положим
j/(«-i j = S"-1 и e^. — Hi, e'L = H- (верхняя и нижняя полусферы
сферы S') В качестве характеристических отображений fU
(Dn, S"'1) ->-(:'", ej_) = (Я", Sn-1) возьмем отображения pit опре-

82 ГЛ. 6. КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
деленные в доказательстве леммы 2.27. В нашем случае /+IS"-1
является гомеоморфизмом, а именно, f± | S"-1 = 1 sn i.
3) Обозначим через R00 множество всех последовательностей
(*ь Хъ, ...), xt e R, в которых лишь конечное число элементов
отлично от нуля. Тогда
R0 <= R1 с... cz R" a R"+1 cz... cz RM.
Снабдим множество R00 слабой топологией, т. е. будем считать,
что подмножество S cz R°° замкнуто тогда и только тогда, когда
пересечения Sf]Rn замкнуты в R" для всех п. Тогда мы имеем
в Rx последовательность вложенных друг в друга сфер
S° a S1 cz... cz Sn cz Sn+1 с:... <= S00,
где S00 = (J S". Ясно, что можно снабдить S00 структурой кле-
точного пространства К с двумя клетками в каждой размерности
так, чтобы \Kn\ = Sn.
4) Вещественное проективное я-мерное пространство 1RP"
определяется как множество всех прямых, проходящих через
начало координат 0 в R"+1. Зададим в RP* топологию, рассмат-
рассматривая его как факторпространство R"+1 — {0}/~, где х-~^>х' в
Rn+1 — {0} тогда и только тогда, когда существует reIR1 —{0}
с x'**trx. Пусть q'\ R"+1 —{0}->RP'1 — естественная проекция.
Обозначим точку q' (хъ х2, ..., хп{1) eRP" через [хи хг, ..., хя±{\.
Тем самым в RPn вводятся так называемые однородные коорди-
координаты. Пусть q: Sn-+RPn — ограничение на Sn отображения q'.
Для любого х a IRP" прообраз q-^x состоит ровно из двух анти-
подальных точек сферы S", так что RP" можно рассматривать
также как факторпространство, полученное отождествлением анти-
подальных точек сферы S". Из этой интерпретации проективного
пространства UP" следует, что оно хаусдорфово и компактно.
Точно так же, как мы считаем R" подпространством в R"+1,
мы можем считать проективное пространство RP" подпростран-
подпространством в RPn:
Зададим на RPn структуру клеточного пространства К с одной
клеткой в каждой размерности, лежащей в пределах от 0 до п
включительно. Это можно сделать следующим образом Предпо-
Предположим, что IR-P"-1 уже снабжено такой клеточной структурой.
Возьмем тогда в RP" в качестве | К"'11 подпространство RP"-1 и
положим en — RPn. Характеристическое отображение
определяется как композиция
(Dn, S"-1) p-i (Я+, 5"-1) cz (Se, 5"-1) -"- (RPn, RP"-1).

ГЛ. 6. КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 83
Таким образом, f задается формулой
f (хъ .... *п)=*ь х2, .... хп, у 1 -2 *! •
На RP1 — iRP11 =ea можно определить отображение g", обратное
к fn \ Dn. С этой целью положим
gMlv. У 14 ¦- / Х1ХП+1 ХПХП+1
+ 1
Таким образом, fn\6n представляет собой гомеоморфизм откры-
открытого диска t>" на еп.
Подобно «бесконечномерной сфере» S00 определим RP00 как
объединение (J RP", снабженное слабой топологией. Тогда UP*
/ISO
обладает структурой клеточного пространства с единственной
клеткой в каждой размерности.
5) Комплексное проективное n-мерное пространство (D/ опре-
определяется как множество всех комплексных прямых, проходящих
через начало координат 0 комплексного аффинного пространства
<DB+1- Введем в С/ топологию, рассматривая его как фактор-
пространство (Dn+1 — {0}Д~, где х^х' в (D"+1 — {0} тогда и только
тогда, когда существует ге(С-@} с х' =zx. Пусть ц'\ (Dn+1 —
{0} -*¦ &Рп — естественная проекция. Зададим в ©Я" однородные
координаты, полагая [хг, ..., xn+i] = q' {xlt .... xr+i), где
(хъ .... xn+1) s (Dn+1 —{0}. Ограничение 9' на 52n+1 индуцирует
отображение tj: S2"+1 ->- (DP", с помощью которого можно опреде-
определить ©Р" как факторпространство S2"1. Прообразом точки из СР7
при этом отображении является окружность. В самом деле,
х' е S2n+1 имеет тот же самый образ, что и х е S2n+1, тогда и
только тогда, когда х' =zx для некоторого
Как и прежде, вложения РсС'с.сСс, индуцируют
вложения СР° с= ©Р1 сг ... с: ©Р"-1 с:.... Зададим на ©Р': струк-
структуру клеточного пространства К с единственной клеткой в каж-
каждой четной размерности от 0 до 2п включительно. Подобно пре-
предыдущим примерам, сделаем это по индукции: если ©Р"-1 уже
имеет клеточную структуру, то возьмем в ©Р" в качестве | К2"'1
подпространство ©Р"-1 и положим е2л=»©Рп. Характеристическое
отображение
Рп: (Din, S*"-1) -> (е2л, ёал) = (©Рп, ©Р"-1)

84 ГЛ. 5. КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
задается формулой
I /
На ©Я" — (DP" можно определить отображение g2n, обратное
к f*n | Ь2п. В самом деле, положим
im (г„
Iгл+11 [/ j] Ц,|» |гл+
И, наконец, определим (DP°° как объединение |J (DP", снабженное
слабой топологией. Тогда &РХ является клеточным пространством
с единственной клеткой в каждой четной размерности.
6) Кватернионное проективное «-мерное пространство РРп
определяется как множество всех кватернионных прямых, прохо-
проходящих через начало координат 0 в H"+1 (H"+1 рассматривается
как правый модуль над Н). Снабдим HP" топологией, рассматривая
его как факторпространство Н"+1 — {0}/~, где х<~~х' в Р' —{0}
тогда и только тогда, когда существует ^eH-jOj с x'=xq.
Как и прежде, мы имеем естественную проекцию ц'\ Ц"+х — {0}->
ИР" и однородные координаты [х1г ..., xn+i] в HP". Ограничениеqf
на S43 индуцирует такое отображение v: 54л+3-*¦ hP", что про-
прообраз каждой точки из 1\Рп гомеоморфен трехмерной сфере S3.
Зададим на ИР" структуру клеточного пространства К с един-
единственной клеткой в каждой размерности 4k, O^k^.n. Для этого
положим | К4"-11 = hP" а ИР" и е4" = HP". Характеристическое
отображение
/4л: {Din, S4"-1)-> (НРЛ, HP"-1)
определяется формулой
Xi + iX2 + JX3 + kxt Xtn-.s + iXir.2 + jXn-1 + kx4,,, ]/ 1 —2 XI .
Положим IP/*00*» (J HP" и введем туда слабую топологию; тогда
\-\Р~° является клеточным пространством с единственной клеткой
в каждой размерности, кратной четырем.

n
ГЛ. 5. КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 85
В начале этой главы отмечалось, что для получения содержа-
содержательных результатов о гомотопических группах нужна такая
категория пространств, в которой отображения можно было бы
строить по шагам. Следующее предложение показывает, что кле-
клеточные пространства как раз и обладают этим свойством.
5.5. Предложение. Пусть К—клеточное пространство*
a Y—топологическое пространство. Отображение /: X -> У непре-
непрерывно тогда и только тогда, когда для любого п и любого а е J
непрерьтно ограничение f \ епа или, эквивалентно, когда для любого п
и любого aei, непрерывна композиция f'f1^.
Доказательство. Пусть Л —замкнутое множество из У
Поскольку пространство X наделено слабой топологией, то f~lA
замкнуто тогда и только тогда, когда для любого п и любого
аеУ, пересечение (f~lA)f\e? замкнуто в е?. Но это выполняется
тогда и только тогда, когда /1 е^ непрерывно для любого п и
любого а е J„.
Альтернативным образом для каждого л^Ои каждого ае./„
мы можем взять по экземпляру га-мерного диска D?, а затем
определить «большое характеристическое отображение»
Х: И Da-*-X несвязного объединения этих дисков D« в X так,
чтобы xl ?>? = /?• Тогда X является факторпространством прост-
пространства М D^, и поэтому / непрерывно тогда и только тогда,
п. а
когда непрерывна композиция /°х- Но /°у, определена на несияз
ном объединении и, следовательно, непрерывна тогда и только
тогда, когда непрерывны все ее ограничения (j°%) ;^„ = /¦¦/? D
Как правило, мы будем строить отображения X ->У индукцией
по остовам. Таким образом, если отображение / уже определено
на j К"'11, то для того, чтобы задать его на | К" |, достаточно
для каждого а е Jn непрерывно продолжить f'.e'a на е?. Проделав
эту процедуру для всех п, мы получим непрерывное отображение
f: X->Y. Другими словами, если /I/O1! уже определено, то ял»
каждого aei, нужно непрерывно продолжить f - (/? | S"-]) на весь
диск D". Если обозначить это продолжение через g: D"-> Y, то
Ле? можно задать формулой / (/" (х)) — g {x), neD'. Очевидно,
что полученное таким способом отображение / корректно опреде-
определено и непрерывно.
Гомотопии также можно строить по клеткам.
5.6. Предложение. Отображение F: XxI-*-Y непрерывно
тогда и только тогда, когда для любого п и любого ке), огра-
ограничение F\e?xl непрерывно или, эквивалентно, когда для любого п
и любого aei, композиция F-Z/Jxl) непрерывна.

86 ГЛ. 5. КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Доказательство. Пусть /: \J D?-*-X — «большое харак-
п, а
теристическое отображение». Согласно предложению 0.3 отобра-
отображение F непрерывно в том и только в том случае, когда непре-
непрерывна композиция F'(%x\). Ho[ (J DjjW /= (J (D?x /) —несвяз-
\п, а , п, а.
ное объединение, и потому F~(% x 1) непрерывна тогда и только тогда,
когда для всех п,а композиции F - (f?x 1\ непрерывны. И, снова
%в силу предложения 0.8, F>(f?x П непрерывна тогда и только
тогда, когда непрерывны все ограничения F i(e?x/). ?
Время от времени нам будет полезно следующее утверждение
о клеточных пространствах.
5.7. Предложение. Пусть К — структура клеточного
пространства на X. Тогда любое компактное подмножество S с X
пересекается лишь с конечным числом внутренностей клеток.
Доказательство. Для каждого п и каждого такого а е /„,
что БОеаФф, выберем точку jc?eSf]ea- Пусть Г—множество
всех этих точек л?; нужно доказать, что оно конечно. Так как
каждая клетка разбиения К имеет лишь конечное число непосред-
непосредственных граней, то она содержится в конечном объединении
внутренностей клеток. Следовательно, любое подмножество Т'аТ
пересекает каждую клетку по конечному множеству точек. Но
в хаусдорфовом пространстве конечное множество замкнуто,
поэтому 7" П е? замкнуто для любых га, а. Таким образом, V
замкнуто. Поскольку это верно для любого подмножества 7" с: Т,
то Т дискретно. Кроме того, само множество Т также замкнуто,
а замкнутое подпространство компактного пространства компактно.
Следовательно, Т дискретно и компактно и, значит, конечно. ?
5.8. Определение. Пусть К. — клеточное разбиение прост-
пространства X и LczK- Тогда L называется подразбиением разбие-
разбиения К, если вместе с любой клеткой е* в L содержатся и все ее
грани. Подразбиение L является клеточным разбиением подпро-
подпространства \L\, при этом, если К — структура клеточного прост-
пространства на X, то L—структура клеточного пространства на|/,|.
Каждый остов К" является подразбиением разбиения К-
В предложении 5.7 мы доказали, что каждое компактное мно-
множество S из X содержится в некотором конечном подразбиении L.
В самом деле, для этого достаточно взять в качестве L конечное
множество клеток, внутренности которых пересекают S, вместе
со всеми их гранями.
5.9. Предложение. Пусть разбиение К задает структуру
клеточного пространства на X и L — подразбиение разбиения К.
Тогда \ L \ — замкнутое подпространство в X.
Доказательство. Мы знаем, что ejfll^l пересекается
лишь с конечным числом внутренностей клеток из L; обозначим

ГЛ. 5. КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 87
эти клетки через е, ..., enhk. Таким образом,
является конечным объединением замкнутых множеств и, следова-
следовательно, замкнуто. Поскольку это верно для всех п, а, то само
подпространство | L | также замкнуто. D
Замечание. Подпространство |L|, описанное в предложении
6.9, называется клеточным подпространстзом пространства X.
До настоящего момента мы изучали общие свойства топологи-
топологических пространств X с заданными на них разбиениями К на
клетки. Однако на практике наиболее важно уметь строить
пространства X, последовательно приклеивая новые клетки. Поэтому
сейчас мы займемся описанием такого построения. Мы будем рабо-
работать в категории пунктированных пространств a^s^", хотя описан-
описанный ниже метод может быть без труда приспособлен для кате-
категории 4Г.
5.10. Определение. Пусть X —некоторое пространство и
g: S"-1 -*¦ X — некоторое отображение. Тогда, как объяснялось
в главе 2, можно образовать конус X U gGS"-1 отображения g.
В результате получится новое пространство, называемое прост-
пространством X с приклеенной п-мерной клеткой. Отображение g
называется приклеивающим отображением клетки. Ограничивая
естественную проекцию q: X\/CSn-1-*X\JgCS"-1 на CS"-1, мы
получаем отображение /: CS^-t-XlJ gCS"-1, являющееся гомео-
гомеоморфизмом на внутренности конуса CS"-1. Отображение / назы-
называется характеристическим отображением клетки. Поскольку
CSn~1^Dn, то можно рассматривать / как отображение
/: (D«, S-1)-^(A:uffCS«-1, X).
Заметим, что /1S"-1 = g.
Более общим образом, если задано отображение
букета (га —1)-мерных сфер в X, то конус X {jgC(\/ S?~'\ =
•X U g V(CSa~') этого отображения называется пространством X
с приклеенными п-мерными клетками. Подмножество ^()
представляет собой л-мерную клетку е?, и ее приклеивающее
отображение есть g|Sa~'. Характеристическим отображением /?
клетки е? является q | CS"-1. Результат приклеивания нульмерной
клетки — это попросту несвязное объединение пространства X
и точки.

38 ГЛ. 6. КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
5.11. Лемма. Пусть К есть структура (га —1)-мерного кле-
клеточного пространства на X. Приклеим,к X п-мерные клетки е?,
«е/„ с помощью приклеивающих отображений ga: $"-* ^>-Х
и положим /С' = /Си{^а: ne/j}. Тогда К' является структурой
клеточного пространства на У = X1J uai\/ (CSJ""*1).
ее
Доказательство. Прежде всего мы должны показать,
¦что У — хаусдорфово пространство. Пусть х, у — разные точки
из У. Если хотя бы одна из них лежит внутри некоторой л-мер-
ной клетки е\, то в У можно без труда найти непересекающиеся
открытые окрестности точек хну. Поэтому предположим, что х,
jeX. В пространстве X точки х и у имеют непересекающиеся
открытые окрестности U и V соответственно. Однако U и V
не обязаны быть открытыми в У, так что мы поступим следующим
образом. Для каждого а множества gaxU, ga'V открыты в S"-1
и имеют там пустое пересечение. Следовательно, в D" найдутся
такие открытые непересекающиеся множества Ua, Va, что Ua(]
Sn-i^g^u, Va[\Sn-1 = galV. B XV(V Da) открытые множества
Ua\, V = V\J (VVa\ обладают тем свойством, что
qqi) q-l°q(V') = V\ поэтому qU', qV открыты в У.
Кроме того, очевидно, что qU'f]qV' = 0 и x^qU',y^qV.
Остальные свойства клеточного пространства проверяются
•более просто. Из построения очевидно, что множества е„ не пере-
пересекаются друг с другом. Ясно также, что e?f\ X =*ф и, следо-
следовательно, ва П е% = ф и при т < п. Кроме того, ясно, что У =
X U |J е%, = ((J ерЛ U U &• Клеткам е„ отвечают характеристические
\ К
отображения fa — q\CSa~l, обладающие нужными свойствами,
а клеткам разбиения К, такие отображения отвечают по условию
леммы. Тот факт, что каждая клетка е? е К имеет лишь конечное
число граней, является следствием свойства (С) из определения 5.3.
Так как каждое множество Й = ^аE"~1) компактно, то оно пере-
пересекается только с конечным числом внутренностей клеток из К
и, следовательно, каждая клетка е? имеет конечное число граней.
И, наконец, подмножество S czY замкнуто тогда и только тогда,
когда замкнут его прообраз q^S cz X\/l V CS"-1], а это верно
в том и только в том случае, когда S [)Х замкнуто в X и S (] е?
замкнуто в епа для каждого ае/„. Но S[)X замкнуто в X тогда
и только тогда, когда S[\e*? замкнуто в еТ для каждой клетки
ef} e К- Таким образом, У имеет требуемую слабую топологию. D
5.12. Предложение. Пусть
Х-1 с Х° с= X1 cz... с X» с Xr+1 с...

ГЛ. 5. КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 8?
такая последовательность пространств, что Кп получается из Хп~у
приклеиванием п-мерных кжток (га ^ 0) Если снабдить множество'
X = М Xя слабой топологией (в которой S а X считается
«>—1
замкнутым тогда и только тогда, когда S f) X" замкнуто в X"
для всех п з= — 1), то разбиение К = {все клетки) задает на X
структуру клеточного пространства.
Доказательство. И здесь самым трудным местом являете»
доказательство того, что пространство X хаусдорфово. Если ху
уеХ-две различные точки, возьмем такой номер п, при кото-
котором х, у е X". Используя лемму 5.11 и индукцию по размерности,
получим, что каждое X" является клеточным пространством и,
следовательно, хаусдорфово. Выберем в X" непересекающиеся
открытые окрестности U, V точек х, у соответственно. Тогда no-
индукции можно построить такие непересекающиеся открытые
окрестности Um, Vm точек х, у в Хт, т^п, что Un = U»
Vn = V. В самом деле, если Um-i> Ут-х уже построены, то с по-
помощью процедуры, описанной в доказательстве леммы 5.11, они>
«раздуваются» в непересекающиеся открытые множества в Хт.
И, наконец, U' = (J Um, V = \J Vm не пересекаются в X,.
m ^ п т^п
а поскольку U' Л Хт — Um, V f) Xm = Vm открыты для т^п, то-
U', V открыты в X. Ясно, что ле1/', г/eV".
Все другие свойства, требуемые от разбиения К, немедленно*
вытекают из того факта, что X" — клеточное пространство для-
каждого п. ?
Таким образом, мы получили прекрасную возможность строить
клеточные пространства по своим собственным чертежам.
5.13. Определение. Структурой относительного клеточного-
пространства на паре (X, А) называется такая последовательность ')>
А = (Х, /4)->с(Х, tfc..,c(X, Afcz(X, А)"*1 с... <= X,
что (X, А)" получается из (X, А)-1 приклеиванием га-мерных,
клеток, n;>=0, X= [J (X, А)п и X наделено слабой тополо-
пЗ=— 1
гией: S а X замкнуто тогда и только тогда, когда для любого-
«5=— 1 пересечение Sfl(^. А)" замкнуто в (X, А)п.
Назовем пару (X, А) относительным клеточным пространст-
пространством, если она может быть наделена какой-либо структурой отно-
относительного клеточного пространства.
Положим dim(X, А) = п, если (X, А)а = Х и (X, А^ФХ-
Отметим, что если А = \х0}, то X является клеточным простран-
пространством. С другой стороны, если X — клеточное пространство и
А а X — некоторое его клеточное подпространство, то пара (X, АУ
является относительным клеточным пространством.
') Ниже через (X, А)к обозначается одно пространство, а не пара про-
пространств.—Ярил, ред.

ГЛ. 8. КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Замечание. Если К — клеточное разбиение пространства X
и L — клеточное разбиение пространства Y, то множество
является клеточным разбиением пространства XxY. Характери-
Характеристическое отображение клетки е^хеТ определяется как произве-
произведение
fXf
Dn+m ~ Dn х Dm JLJ
При этом, однако, если К, L суть структуры клеточных прост-
пространств, то /CxL может не быть структурой клеточного пространства
на XxY. Дело в том, что топология произведения на XxY
может не совпадать со слабой топологией, определяемой разбие-
разбиением KxL. Иногда эту дилемму решают, просто наделяя XxY
слабой топологией. В противном случае требуется вводить неко-
некоторые ограничения. Например, если одно из разбиений К или L
локально конечно (т. е. любая точка имеет окрестность, пересе-
пересекающуюся лишь с конечным числом клеток), то эти две топологии
совпадают; в частности, X х/ является клеточным пространством
всякий раз, когда им является X.
б. 14. Упражнение. Показать, что если (X, А) — относи-
относительное клеточное пространство, то XIА — клеточное пространство.
Следовательно, если X и У" —клеточные пространства, то
при соответствующих условиях таковым же будет и произведение
X/\Y.
5.15. Упражнение. Пусть (X, А) — относительное клеточное
пространство и р: ?->-В — слабое расслоение. Показать, что для
любого отображения f: X-*-E и любых гомотопий F: Хх1-*-В,
Н: Ах1-+Е с
существует гомотопия G: X х I -> Е, являющаяся поднятием гомо-
гомотопий F и такая, что G\Axl — H, Go = /, p°G = F.
П О/|,
Xxl -у* В
В качестве частного случая упражнения 5.14 мы получаем
такой результат.
5.16. Следствие. Если пространство X получается из А
приклеиванием п-мерных клеток leg: Р<=В[, то Х/А^ V 5р.
При этом гомеоморфизм может быть выбран так, что комму та-

ГЛ. б. КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 81
тивна диаграмма
в которой /р — характеристическое отображение клетки eg.
5.17. Следствие. Для любого относительного клеточного-
пространства (X, А) с п-мерными клетками |е": Ре В} имеет
место гомеоморфизм
(X, А)п/(Х, Л)"-1^ V Si
Рев
и коммутативна диаграмма
v'ASn,*) > <y,S!, *)
5.18. Если мы захотим перенести все сказанное выше из
категории ?Р^Г в категорию aST", то приклеивающие отображения
g' \JSa-*-Xn надо считать определенными на несвязном объеди-
а
нении; кроме того, по определению Х-1 = ф.
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Клеточные пространства изобрел Дж. Г. К- Уайтхед в рабо-
работе [83]. Их широкое распространение в алгебраической топологии
объясняется тем, что для многих задач они представляют собой
наиболее адекватный, «правильный» класс пространств. В рабо-
работе [57] Милнор исследовал пространства, гомотопически эквива-
эквивалентные клеточным пространствам. Затем Уолл[87] нашел условия,
при выполнении которых произвольное пространство имеет гомо-
гомотопический тип конечного клеточного пространствах). В замеча-
замечательных свойствах этих пространств мы сможем воочию убедиться
уже в следующей главе
ССЫЛКИ НА ЛИТЕРАТУРУ
1. Милнор [57]. 3. Уайтхед [83].
2. Спеньер [72]. 4. Уолл [871,
!) То есть клеточного пространства с конечным числом клеток. — Прим.
ред.

ГЛАВА б
ГОМОТОПИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КЛЕТОЧНЫХ
ПРОСТРАНСТВ
В этой главе мы докажем несколько глубоких и трудных ре-
результатов о гомотопических группах клеточных пространств и
относительных клеточных пространств. Большинство из этих тео-
теорем будут следствиями теоремы о симплициальной аппроксима-
аппроксимации. Кроме того, мы покажем, что отображение /: Х-> Угодного
клеточного пространства в другое, индуцирующее для каждого
л^О изоморфизм
/„: л„(Х, xo)-*-na(Y, г/о),
является гомотопической эквивалентностью.
Начнем с понятия, двойственного понятию расслоения. На-
Напомним, что расслоение р: Е-+В определяется с помощью диа-
диаграммы 6.1.
Мы придем к определению корасслоения I: А -*¦ X, если обратим
в ней все стрелки, заменим Xxl двойственным ему простран-
пространством V и, наконец, заменим i0 отображением рп, где р0 (w) = w @).
Вспоминая, что G можно рассматривать как отображение А х /-»-У,
a F — как отображение Хх/->У, мы получаем следующее опре-
определение.
6.3. Определение. Говорят, что включение i: А -> X обла-
обладает свойством продолжения гомотопии относительно простран-
пространства У, если для каждого отображения /: X -> У и гомотопии
G: /)х/->-У ограничения f\A найдется гомотопия F: Хх/->У
отображения /, продолжающая G. Включение /называется корас-
корасслоением, если оно обладает свойством гомотопического продол-
продолжения относительно пространства У
Замечание. Можно показать, что если некоторое отобра-
отображение i: A -> X обладает свойством продолжения гомотопии1)
I) Чтобы определить это свойство для произвольного отображения, надо
в оиределении 8.3 заменить f)A отображением^, и т. в..—Прим перев

!
\\
ГЛ. 6. СВОЙСТВА КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ 93
относительно любого пространства Y, то оно является гомеомор-
гомеоморфизмом пространства А на некоторое замкнутое подпространство
пространства X, т. е. вложением А
в X. | • A/,2)
6.4. Лемма. Для любого ото-
отображения g\ (X, хо)-*-(У, Уо) вло-
вложение /: Y -*¦ Y U g CX является ко-
корасслоением.
Доказательство. Пусть
г: /x/->/x{0}U/x/ — некоторая
ретракция. Ее можно получить, на-
например, рассматривая 1x1 как еди- Рис-
ничный квадрат в R2 и проектируя
его на /х{0} U /х/ из точки A/2, 2) (рис. 11). Если
/: У U g CX ->- U? и G: Yxl -*~W — некоторые заданные отображе-
. ния с Go = f\Y, то определено такое отображение
(?': CXx{0}[}XxI-+W,
что G'\CXx{0}=f\CX и G'\XxI=G-(gXl). Определим теперь
гомотопию Я: (У [} g CX) xl-+W, полагая Я | У х I -> G и
H([s, x], t) = G'([pi-r(s, I), x], pi°r(s, t)) для [s, x]gCX, tel
(здесь pi и pi — ограничения на /х{0} U 1x1 проекций pi, р«: /х
/->/). Тогда Я корректно определена, непрерывна и удовлетво-
удовлетворяет условию Ho = f- О
Это рассуждение нам уже знакомо. Оно содержится в дока-
доказательстве предложения 2.48.
В частности, если X получается из А приклеиванием п-мер-
ных клеток, то X — A \JgC(\/ S?~'\, так что включение А-*-Х
является корасслоением.
6.5. Предложение. Если (X, А) — относительное клеточное
пространство, то включение i: А -*¦ X является корасслоением.
Доказательство. Для каждого п пространство (X, А)"
получается из (X, А)"-1 приклеиванием я-мерных клеток. Таким
образом, (X, Л)"-1 с: (X, Л)" —корасслоение. Если заданы отобра-
отображение /: Х->К и гомотетия G: Ах1-*-У его ограничения /j A,
то, используя лемму 6.4 и индукцию по размерности «, можно
построить семейство гомотоний Fn: (X, Л)лх/->У, удовлетворяю-
удовлетворяющих условиям
I) FJ = G, ii) Fon=/|(X, A)\ ill) Fn\(X, A)"-1 x 1-+F"-\
Определим теперь гомотопию F: Xx/-»-K, полагая F{x, t)—
Fn{x, f) для х е (X, A)n, t&I. Она корректно определена
в силу ш) и непрерывна потому, что F\enxl —F': | cu • I Из
условия ii) вытекает, что F0 = f, а из условия i) — что F\Axl =G. ?

94 ГЛ. 6. СВОЙСТВА КЛЕТОЧНЫХПРОСТРАНСТВ
Одним из приложений этого результата является тот факт,
что сжатие стягиваемых клеточных подпространств клеточного
проетранства не изменяет его гомотопический тип.
6.6. Предложение. Если i: А-^Х —корасслоение и про-
пространство А стягиваемо, то проекция р: (X, Л)->(Х/Л, *)
является гомотопической эквивалентностью.
Доказательство. Пусть Н: Ах/-*• А — стягивающая гомо-
топия, т. е. Я0=1л» Hi = x9, Н(х0, t)—x0 для всех <е/. Так
как отображение i: A-*-X является корасслоением, мы можем
продолжить i'H до такой гомотопии К: Хх1-*-Х, что /Со =¦= 1 х
и K\AxI = i'H. Тогда Ki (а) = Hi (а) = х0 для всех аеА Сле-
Следовательно, /Ci индуцирует такое отображение k: (XIА, *)-»-
(X, х0), что k'p = Ki- Другими словами, К является гомотопией,
связывающей отображения \х и k>p. Кроме того, поскольку
р°К(а, t)~* для всех аеЛ, ie/, то из предложения 0.8 сле-
следует, что р'К индуцирует такую гомотопию К: Х/Axl-*-Х/А,
для которой R • (р х 1) = р' К- Тогда для каждого х е X мы имеем
Ко (р (х)) = К (р (х), 0) = р.К(х10) = р (х) и Кг (р (х)) = К(р (х), 1)=
р'К{х, 1) = je>°/(i(*)=^°&(p(a:)). Так как отображение р сюръек-
тивно, то Яо=1х/л. Ki = p'k, т. е. р°?~1х/л. Следовательно,
k является отображением, гомотопически обратным к p. Q
6.7. Замечание. Для любого отображения /: (X, х0)-*•
(Y, г/о) включение a: CY-+~(Y \JjCX)\jjCY является корасслое-
корасслоением. Действительно, если задано отображение
h: (Y{JfCX){)jCY-+Z
и гомотопия G: CYxI-*-Z с G0 = h\CY, то можно продолжить
G\YxI до гомотопии Н': (Y\j ,CX)xI -*Z с H'0^h\Y [}fCX.
Определим теперь гомотопию
Я: [(Y\JfCX)[)jCY]xI-+Z
условиями H\(Y\JfCX)xI = H', H\CYxl = G. Тогда Н кор-
корректно определена, непрерывна и удовлетворяет соотношению
Ho = h, что и требовалось. Более того, конус над любым прост-
пространством стягиваем: соответствующая гомотопия F: CYxI-*-CY
задается формулой F ([s, у], t) — [s(l—t), у]. Таким образом,
лемма 2.37 является частным случаем предложения 6.6.
Теперь мы собираемся доказать, что для любого клеточного
пространства X группа л„(Х, х0) зависит лишь от (п+1)-мер-
ного остова Xn+1. Идея доказательства заключается в следующем.
Так как сфера S" n-мерна, то в тех случаях, когда ее образ в X
пересекается с m-мерной клеткой (т>п), он не заполняет всю
ее и поэтому может быть выдавлен из этой клетки радиальной
проекцией с центром в любой точке, не лежащей в образе. Пов-
Повторяя этот процесс, мы в конце концов продеформируем образ
сферы S" на л-мерный остов X". Аналогично, все гомотопии между

ГЛ. б. СВОЙСТВА КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ 95
отображениями могут быть продеформированы в Хл+1. Чтобы сде-
сделать эти соображения строгим доказательством, нам потребуется
так называемая лемма о симплициальной аппроксимации, утвер-
утверждающая, что произвольное отображение /: Sn-*-X можно про-
деформировать в отображение, линейное на внутренности любой
m-мерной клетки ет.
Предположим, что пространство X получено из А приклеива-
приклеиванием га-мерной клетки еп. Возьмем в D" два концентрических
диска D"aD" <=D" ей", например D" = {х ^ D": |х|<1/4},
D" — {x^Dn: \х\<:1/2}. Пусть g: Dn-*e% — характеристическое
отображение клетки еп и e"=g{D"), et~g(Di). С помощью g на
внутренности еп клетки е" может быть задана линейная струк-
структура1). Именно, если х, у^еп и s, reR, определим rx + sy
формулой
rx + sy = g (rg-*x + sg-xy)
в предположении, что rg^x + sg-^y eD" (это условие выполнено,
например, если r-f-s=l, r, s^O). Теперь мы в состоянии сфор-
сформулировать лемму о симплициальной аппроксимации.
6.8. Лемма о симплициальной аппроксимации.
Пусть пространство X — А [] еп такое же, как выше, (К, L) — ко-
конечная симплициальная пара и f: (\K\, |L|)-»-(X, А) —некоторое
отображение. Тогда существуют подразбиение (К', L) пары (К, L)
и отображение /': (\К\, \L\) ->-(X, А) такие, что
\) f и f совпадают на f-ЦА) и f ~ /' rel f1 (A);
и) если о — такой симплекс из К', что f (\ а |) пересекается с e*t
то f (\а|) содержится в еп и ограничены отображения f на \а\
является линейным2) отображением.
Доказательство. Возьмем настолько мелкое подразбие-
подразбиение К' пространства К, чтобы было выполнено следующее усло-
условие: если а —симплекс из К' и/(| а |) пересекает е", то/(|а|) cze"
и выпуклая оболочка множества /(|<х|) не пересекает ej. Это воз-
возможно потому, что пространство \К\ компактно и, значит,
g-1/ равномерно непрерывно на f~lel, где D" = {х е D": |дс|<3/4}.
Следовательно, существует такое б>0, что из неравенства
d(x, г/)<б в f-le% вытекает неравенство dig-Hix), g~1f(y))<l/'i
в D%. Поэтому достаточно взять такое подразбиение К', чтобы
все его симплексы имели диаметр, не превосходящий 6.
*) Точнее, структура вьтуклого подмножества из R", см. ниже.—Прим. ред.
2) Линейным в том смысле, что / (rx + sy)=Tf (x)-f-s/ (у) всякий раз, когда
обе части равенства имеют смысл (например, при r-\-s=l, r, O
Прим. ред.

96 ГЛ. 6. СВОЙСТВА КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ
Все симплексы из К' распадаются на'три непересекающихся
класса:
d-joe/C': f(\o\)c=X-e»),
С2 = {о<=К': fflaDctf},
C=-{ae/f': f(| a |)fltf Ф ф\.
Мы будем строить отображение f отдельно на каждом из этих
трех классов. На симплексах oeCi положим /' = /• Если
k k
о = (i»o, Vi, ..., и()бС{ и х = 2 ^fl» 2j ^ = 1 — некоторая точка
1 = 0 1 = 0
из | а |, то положим /'(*) = 2 rif(vd- Наконец, на симплексах
стеСз построим /' индукцией по dim ст. Если сНтст = 0, то поло-
положим f'(o) = f{a). Предположим теперь, что /' уже определено на
всех оеС3 с dima<ik, причем для каждого о его образ /'(|ст|)
принадлежит выпуклой оболочке множества f(\o\). Пусть симп-
симплекс ст = (у0. • • •. f*)eC3 имеет размерность k; тогда /' опреде-
определено на |д | и /' (|а |) лежит в выпуклой оболочке множества f(\a |).
k
Пусть b<i =2 !/(&+ П v>~ барицентр симплекса а. Каждая точка
1 = 0
х е | а | — {Ьст} однозначно представляется в виде х = /&ст + A — t) yx
для некоторых /е/ и г/ле|а|. Положим f {bo)=*f{ba) ц f (x) =
</(bCT)-f(l — /)/' (ух). Тогда /' непрерывно на |<т| и образ /'(lal)
лежит в выпуклой оболочке множества / (| ст |). Этим завершается
шаг индукции. Таким образом, мы построили отображение
f'(\K\, |L|)->(X, А), удовлетворяющее условию И) и первой
половине условия i). Построим теперь требуемую гомотопию
Н: |/(|х/->-Х. На симплексах ogCi определим Н как стацио-
стационарную (постоянную по t) гомотопию, а на симплексах a e C2 U Сэ
положим Н (х, t) = A — t) f (x) + tf {x), x e | a |, t e /. Тогда оче-
очевидно, что Я является гомотопией rdf^iA) между / и /'. D
6.9. Лемма. Если X = A\je" и хев', то А является силь-
сильным деформационным ретрактом пространства X — {х}.
Доказательство. Отметим прежде всего, что если а е Dn,
то S"-1 является сильным деформационным ретрактом простран-
пространства Dn — {a). В самом деле, каждая точка j/eD*-{a) может
быть единственным способом представлена в виде у — sa + A — s) гу
для некоторых гу е 5"-1, se[0, 1). Определим На- (Рп — {а}) X / -*¦
Dn — {a}, полагая
Ha(sa + (\-s)z, t) = {l-t)sa + {l-s(l-t))z
для se[0, 1), t^I, z^S"*1. Тогда На является требуемой
деформацией.

ГЛ. 6. СВОЙСТВА КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ 97
Пусть теперь f: (Dn, S"-1) -*- (X, А) — характеристическое
отображение клетки еп. Положим а = f~xx и построим деформацию
Н: (X — {x})xl -*-Х — {х}, считая ее стационарной на Л и задав
ее формулой
H(f(y), t) = f°Ha(y, t), ye=D»-{a}, te-I,
на (en—{x))xl. ?
Лемма о симплициальной аппроксимации имеет многочислен-
многочисленные применения. Приведем некоторые из них.
6.10. Теорема. Если (X, А) — относительное клеточное про-
пространство, то для каждого п^—1 пара (X, (X, А)п) является
п-связной.
Доказательство. Мы должны показать, что для каждого
/¦«Sin любое отображение /: (Dr, S'-^-^iX, (X, А)п) гомотопно
относительно S'-1 отображению /' с /' (Dr) с (X, А)п. Так как
образ f(Dr) компактен, то f(Dr)cz(X, A)m для некоторого т, и
f(Dr) пересекает лишь конечное число /п-мерных клеток, скажем,
ej™, ..., е™- Если т>п, то продеформируем / относительно
f-l{{X, A)m-°e?) в отображении /', линейное на (/')"г{(е?)о)- По-
Поскольку /' (Dr) f) е? имеет размерность самое большее г иг<п<т,
то существует точка х eef — f (Dr). Пусть
Н: [(X, АГ-{х}]х1-*(Х, АГ-{х]
— деформационная ретракция пространства (X, А)т — {х\ на
IX, А)т — е'?. Определим отображение К: DrxI->-X, полагая
д (у, t)>=H(f'(y), t) для ymDr, fa/. Тогда Л* является гомо-
топией relf^dX, A)m — °еТ), связывающей /' с таким отображе-
отображением /", что f"(Dr)cz(X, A)m — °eT- Повторим эту процедуру для
всех клеток размерности пг, пересекающихся с образом диска ЕУ.
В результате мы получим такое отображение /'", что f" {Dr) cz
(X, АI"-1 и Г cafTelS1"-1. Другими словами, мы продеформиро-
вали образ f(Dr) в (т—1)-мерный остов. Последовательно при-
применяя данную конструкцию ко всем остовам размерностей, боль-
больших п, мы получим в конечном итоге такое отображение f, что
fcxfreXS''-1 и f(Dr)a(X, A)n. Эти же рассуждения применимы
и в случае г = 0. ?
6.11. Теорема. Пусть X — клеточное пространство и
it X"-*¦ X — включение п-мерного остова, п>0. Тогда
*„: пг(Хп, хй)-+пг(Х, Хо)
•^изоморфизм при г<п и эпиморфизм при г~*п.
Доказательство. Рассмотрим точную гомотопическую по-
последовательность пары (X, л", Хо):
...-^лг+1(Х, X», хо)-+пг(Хп, хо)&
пг(Х, Хо)-*-л,{Х, Хп, хо)-у...
4 Роберт М. Сввтцер

98 ГЛ. 6. СВОЙСТВА КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ
По предыдущей теореме яг(Х, Хп, хо) = О при г^п, откуда и
следует требуемый результат. ?
6.12. Следствие. nr(Sn, so) = 0 при г<.п.
Доказательство. Снабдим 5" структурой клеточного про-
пространства с одной нульмерной и одной га-мерной клетками. Тогда
E")n-1 = So, так что я, ((S")"-1, so) = 0 для любого г. Но по тео-
теореме 6.11
— эпиморфизм для г «^ п — 1. Следовательно, nr (Sn, sa) =* 0 при
r<ra. D
Из теоремы 6.10 следует, что если (X, А) — относительное
клеточное пространство, не содержащее клеток размерностей «^ га,
т. е. (X, А)п = А, то пара (X, А) является n-связной. Имеет
место слабое обращение этого результата.
6.13. Предложение. Пусть (X, А) — п-связное относитель-
относительное клеточное пространство. Тогда (X, Л) можно вложить в та-
такое относительное клеточное пространство (X', Л'), что
i) X является сильным деформационным ретрактом простран-
пространства X', а А —сильным деформационным ретрактом простран-
пространства А';
ii) (Xf, A'Y = A'.
Доказательство. Используем индукцию по га. Для га = —1
утверждение очевидно: нужно взять Х' = Х, А' = А. Предполо-
Предположим, что утверждение верно для (п — 1) и пусть (X, Л) —неко-
—некоторое л-связное относительное пространство. Из «-связности про-
пространства (X, Л) очевидным образом следует, что оно (га — 1)-связно.
Поэтому можно считать, что (X, А)п~1 = А. Пусть в? — л-мерные
клетки из (X, Л) с характеристическими отображениями
fa'. (Dn, S"-\ so)->(X, Л, x0). Мы хотим для каждого ае/,
подходящим образом приклеить к X одну новую (п+1)-мерную
клетку е?+! и одну новую (га + 2)-мерную клетку е? + 2. Так как
я„(Х, Л, Хо) = О, то !/al = 0. Следовательно, /2 гомотопно отно-
относительно S"-1 отображению в Л. Соответствующую гомотопию
можно рассматривать как такое отображение ga- Dn+1-*-X, что
ga\{H%, Sn-1) = fa, ga{H-)aA. Согласно теореме 6.10 можно
считать, что ga (D"+1) cz (X, Л)"+1. Приклеим клетку е?+1 по
отображению (ga\Sn): S*->-X. Пусть ha: (D"+1, S")->(<?+1, ё„+1) —
характеристическое отображение этой клетки. Возьмем такое
отображение ka: Sn+l-+X \}el+\ что ka \ Hn++1 = ha, ka | Я1+' = ga
и приклеим клетку е?+2 по отображению ka.
Положим теперь
VI _ V

ГЛ. 6. СВОЙСТВА КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ 99
Очевидно, что (X, А) си (X', А'). Кроме того, поскольку любая
я-мерная клетка епа содержится в новой (п+ 1)-мерной клетке ej4,
то е?с: А' для любого а, т. е. (X', А')п — А'. Но пространство А'
получается из А приклеиванием (п-\- 1)-мерных дисков по южным
полусферам Н- их граничных сфер S" (посредством отображе
ний ga | Н-). Так как H"L является сильным деформационным рет
рактом диска D"1, то А есть сильный деформационный ретракт
пространства А'. Точно так же X' получается из X приклеива
нием'(« + 2)-мерных дисков по южным полусферам Я1+1 их гра
ничных сфер (посредством отображений ga). Следовательно,
X является сильным деформационным ретрактом простран-
пространства X'. О
На рис. 12 схематически изображен случай /г=-0.
Рис. 12.
6.14. Следствие. Пусть (X, х0) — некоторое п-связное кле-
клеточное пространство. Тогда найдутся клеточное пространство X
с (Х)п = Хо и гомотопическая эквивалентность /: (X, хо)-*-(Х, х0).
Доказательство. Применим предложение 6.13 к относи-
относительному клеточному пространству (X, {х0}). В результате (X, {хо})
окажется вложенным в такое пространство (X', А'), что (X', А')п=А'
и X является сильным деформационным ретрактом простран-
пространства X', а {хо\ — сильным деформационным ретрактом простран-
пространства А'. Последнее условие означает, что А' стягиваемо. Поэтому,
в силу предложения 6.6, (X', А')-*-(Х'/А', *) —гомотопическая
эквивалентность. Очевидно, что (Х'/Л')" = *. Таким образом,
можно взять в качестве (X, х0) пространство (Х'/А', *) и опре-
определить f как композицию (X, х0) а (X', Л')-у(Х'/Л', *)• П
6.15. Следствие. Пусть X — п-связное, a Y — т-связное кле-
клеточные пространства. Тогда X Д Y является {п -\- т + 1 )-связным
клеточным пространством.
Доказательство. Можно считать, что Хп = х0, Ym = y0.
Тогда клетки пространства ХхУ имеют вид х0хуо, хохет+1,
еп+1хуо, е"+1хет+1 и т. д. Первые три типа клеток лежат в X\J Y,
откуда следует, что (ХхУ, X V K)^ffl+1 = X V У Таким образом,
(X Д К)»+»»1 = (X х YIX V r)"+m+1 = *. ?
Мы пока далеко не исчерпали тех возможностей, которые дает
лемма о симплициальной аппроксимации. В том месте доказа-
4*

100 ГЛ. 6. СВОЙСТВА КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ
тельства теоремы 6.10, где рассматривались отображения/: Dr->
A U ет для г<Ст, мы использовали лишь следующие факты:
если / линейно на е™, то f(Dr)fle™ не может совпадать со всей
клеткой е™. Если г^т, это утверждение перестает быть верным,
однако в указанном случае можно кое-что сказать о размерности
множества /-1* для точек х е е™. Более точно, можно добиться
того, чтобы dim (f-ty^r — т. Это обобщает ситуацию f-xx = 0
для г<ст. Мы используем это неравенство для получения даль-
дальнейшей информации о гомотопических группах. В частности,-будут
вычислены гомотопические группы л„ (Sn, s0).
6.16. Триадой (X; А, В, х0) называется топологическое про-
пространство X, рассматриваемое вместе с двумя такими подпро-
подпространствами А, В, что Х = А[)В и хо^А[]В. Если X —клеточ-
—клеточное пространство и А, Б—два его клеточных подпространства
или же, если А = Х — U, где U а В — открытое подмножество
с U а б, то, как будет показано позже, включение
/: (А, А(]В)-^(Х, В)
для любого «SsO индуцирует изоморфизм
U: Нп(А, ЛП5)->ЯЯ(Х, В)
групп сингулярных гомологии. Это —так называемая «аксиома
вырезания» для гомологии. Можно спросить, верно ли аналогич-
аналогичное утверждение для гомотопий? Ответ в общем случае отрица-
отрицателен: гомоморфизм
У*: лп(А, А[)В, хо)-*-лп{Х, В, х0)
не является изоморфизмом. Нашей ближайшей целью является
доказательство теоремы о гомотопическом вырезании, которая
доставляет достаточные условия изоморфности /* при небольших
значениях п.
Однако, прежде чем приступить к доказательству этой тео-
теоремы, мы включим /* в некоторую длинную точную последова-
последовательность и сведем нашу задачу к исследованию обращения в нуль
некоторых гомотопических групп.
6.17. Определение. Определим п-мерное гомотопическое
множество я„ (X; А, В, Хо), п з* 2, триады (X; А, В, Хо), полагая
я„(Х; А, В, хо) = лп-г(Р(Х; Хо, В), Р (А; х0, А(]В), щ).
Разумеется, если а>2, то я„(Х; А, В, х0) — группа, и если
п>3, то я„(Х; А, В, к0) — абелева группа.
Вспоминая, что
пп(Х, В, хо) = лп-г(Р(Х; Хо, В), соо)
и
я„(Л, А 0 В, хо) = пп-1(Р(А; Хо, А(\В), щ).

ГЛ. 6. СВОЙСТВА КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ 101
мы видим, что точная гомотопическая последовательность пары
(Р(Х; хо, В), Р(А; *0. А[\В), щ)
превращается в
в. 18.
А, В, хо)^яп(А, А[\В, хо)±
пп(Х, В, хо)к-±пп(Х; А, В, хо)-~...
Последовательность 6.18 называется точной гомотопической по-
последовательностью триады (X; А, В, х0).
6.19. Предложение. Пусть (X; А, В, х0) — некоторая
триада. Вложение /: (А, А [} В)-+(Х, В) индуцирует отображение
/,: лг(А, А[\В, хо)-+пг(Х, В, х0),
являющееся изоморфизмом для 2«^г<п, эпиморфизмом для г = п
и «мономорфизмом» (/;' @) = 0) для г = 1 тогда и только тогда,
когда пг(Х; А, В, хо) = О, 2^г^п.
Доказательство очевидно.
Исследование групп пг (X; А, В, х0) значительно упрощается,
если отождествить их элементы с гомотопическими классами
отображений /: (D'^xl, Sr~2xl, Э'^хЩ, ^'xMUWx/)^
(X, А, В, х0). Возможность такого отождествления следует из
экспоненциального закона.
Выясним, когда указанные отображения нульгомотопны.
6.20. Лемма. Пусть (С, х0) — некоторое хаусдорфово про-
пространство, А получается из С приклеиванием п-мерной клетки еп,
В получается из С приклеиванием т-мерной клетки ет и X = А[]В.
Тогда для всех 2^г^п -\- т — 2 имеет место равенство
яг(Х; А, В, *0) = 0.
Доказательство. Рассмотрим произвольное отображение
/: (D^x/, Sr-2xl, D^xll}, D'-lx{0}\J{s0}xI)->
(X; А, В, хо).
По лемме о симплициальной аппроксимации можно так триангу-
триангулировать iy^xl, что если о — произвольный симплекс этой триан-
триангуляции и f (| а |) пересекается с е? (соответственно, е^1), то
/ (| а |) с е" (соответственно, f (| а |) с= ет) и f линейно на | а |. Кроме
того, если множество / (| а |) пересекается с ej, то оно выпукло
(в действительности / (| а |) является клеткой в смысле кусочно-
линейной топологии), и его размерность на единицу меньше мак-
максимального числа аффинно независимых точек в /(|а|).
Разобьем множество тех симплексов а, для которых / (| а |) П
е™ФФ, на два класса Ci и С2. Класс Ci состоит из симплек-
симплексов ст, для которых dim/ (| а |) <С.т, а класс С4 — из симплексов ст,

102 ГЛ. 6. СВОЙСТВА КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ
для которых dim/(|o |) = т. Множество (J f(\o') не покры-
osC,
вает е™, поэтому найдется такая точка рее™, что если ре/Xо|),
то ае С2. Без труда проверяется, что для любой такой точки р
множество /-1р является полиэдром (в D'-1 х /) размерности, не
превосходящей г — т. Пусть я: /У-1 х /-> D'-1 — проекция на пер-
первый сомножитель. Тогда К = л-1 (л (f~1p)) является полиэдром
размерности, не превосходящей г — т-{-\^{п-\-т — 2) — 1п-{-\ =
;г—1. Следовательно, f (К) не покрывает е?, и мы можем найти
такую точку ^sej1, что f-1qf\K=0. А это означает, что
я (/-!<?) Г,яЛ: = ф.
Далее, я (/-гр) и л (/-^) [J Sr~a — непересекающиеся замкнутые
подмножества нормального пространства Dr~x. Поэтому найдется
такая непрерывная функция %: D'-1-»-/, что
Зададим гомотопию Н: Dr-1xIxI-^-Dr-lxI, полагая
Н(х, s, t) = (x, s(\-tt(x))), x<=D'-\ s, /e/.
Тогда
ii) Hi (D'-i x /) с D'-i - f-ip;
iii) Я(О'-1х{1}х/)сО'-1х/-^;
iv) Я неподвижна на Sr~2xl.
Таким образом, если мы рассмотрим / как отображение
(D'-1 х /, Sr~a X /, D'-1 X{1\, D'-1 х {0} U {so} х /) ->
(X, Л, л - {q\, xo),
то f-H будет гомотопией, связывающей / с некоторым отображе-
отображением в (Х-{р\, А, Х — {р, q}, x0).
Рассмотрим диаграмму
г
*ЛХ- lp); А,Х- 0>,«}.*ь) -^* *,№ A,x-{q),xJ
I**
Мы уже доказали, что /i* [f] = /«*[/'] Для некоторого
[f'](=nr(X — {p}, А, Х — {р, q}, х0).
По лемме 6.9 пространство В является сильным деформационным
ретрактом пространства X — {q}. Отсюда без труда получается,

ГЛ. б. СВОЙСТВА КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ ЮЗ
что Д* — изоморфизм. Аналогично, А является сильным деформа-
деформационным ретрактом Х — {р], и поэтому /3* — также изоморфизм.
Но л, (Л; A, A — {q}, хо) = О. Таким образом, /,* [/] = /а* [/'] = О
и, следовательно, [f] = 0. D
Лемма 6.20 содержит в себе самую трудную часть доказатель-
доказательства следующей важной теоремы.
6.21. Теорема о гомотопическом вырезании. Пусть
(X; А, В, х0) —такая триада, что (А, А(]В) есть п-связное от-
относительное клеточное пространство, п Э= 1, и (В, A f] В) есть
т-связное относительное клеточное пространство. Тогда
/V пг(А, А(]В, хо)-+яг(Х, В, х0)
является изоморфизмомг) при 1 «g г ¦< п + т и эпиморфизмом при
г — п + т.
Доказательство. Будем говорить, что отображение пар/:
(U, y)-v(F, Z) является я-эквивалентностью, если /*: nr (U, V, но)->-
nr(Y, Z, z0) — изоморфизм при 1^г<" и эпиморфизм при г = п.
Таким образом, мы хотим показать, что / является (т + ^-экви-
^-эквивалентностью или, что то же самое, что лг(Х; А, В,хо) = О при
2^г^т-\-п. Обозначим для краткости пересечение А[\В
через С и рассмотрим следующие шесть случаев.
i) A = C[jen', B = C[jem', n'~>n, m'>m. Это в точности си-
ситуация леммы2) 6.20.
и) B = C[jem', A = C{]eni\J...\Jen", m'>m, щ>п, Ki<ft.
Мы имеем последовательность подпространств At = С U e U еп* [}...
. Взяв А0 = С, мы получаем
С = Ло a Ai а... <= Ак = А.
Пусть Xi = B[jAi, O^i^k. Тогда
B = Xoc=XlCz...czXk^X.
Согласно случаю i) отображение
k(i): (Ah Ai-U xo)^-(Xi, Xt-lt x0)
является (т -f- /г)-эквивалентностью. Докажем по индукции, что
j(i): (Ait С, Xoj^iXi, В, а-о)
есть (т + /г)-эквивалентность для любого i с O^t^A (заметим,
что j(k) = j). Это утверждение очевидно для i = 0. Предположим,
х) При г=1 изоморфизм надо понимать как биективное отображение
пунктированных множеств. В дальнейшем мы не будем этого специально ого-
оговаривать.— Прим. ред.
2) Для того чтобы доказать теорему в случае i), надо еще рассмотреть
случай г—\. По условию пх (А, А(]В) = 0, и надо показать, что Лх(Х, В) = 0.
Ясно, однако, что в случае i) имеем Х = В\}еп', где п' > 1, и, значит,
(X, В) = 0 по теореме 6.10. — Прим. ред.

104 гл. 6. свойства клеточных пространств
что оно доказано для < — 1; тогда мы имеем коммутативную диа-
диаграмму точных гомотопических последовательностей троек
*-nr(Xt-1,B,x0) -+ nr{XhB,x0)
Если 1 <r</n-|-«. то мы находимся в условиях леммы о пяти
гомоморфизмах. Следовательно, в этом случае / (*")* — изоморфизм.
Если же г = т-\-п, то второй и четвертый вертикальные мор-
физмы являются эпиморфизмами, а пятый — изоморфизмом. Этого
достаточно, чтобы доказать эпиморфность гомоморфизма /(/)«•
(Замечание: в случае г = 2 мы используем равенства
я1(Л<_1, С, хо) — п1(Х(-1, В, *о) = О, вытекающего из размерност-
ного ограничениях) п ^= 1.)
ш) A = CUen4J...[Je\ B = C{)emi\)em*\}...\}emt, щ>п,
К t <k, mi>m, l=s? i^L Положим Bo = C, Bt = СUeU.. ¦ Uem',
К / ^ /. Тогда В, = В. Пусть X,- = А [} Bh 0 < t < /; тогда
Х0 = Л, Xi = X. Отображение /: (А, С, хо)-*-(Х, В, х0) раскла-
раскладывается в композицию
(А, С, хо) = (Хо, Во, х0) X
(X,, В„ хо) = {Х, В, х0).
Согласно случаю ii), каждое отображение jt является (т-\-п)-
эквивалентностью. Следовательно, / = // • //_х •... • д — также
(т + я)-эквивалентность.
iv) (А, С)а = С, (В, С)т = С. Любое отображение
f: (D'-1 х /, S'-2 х 1, D'-1 х {1}, D'-1 х {0} U {s0} x /) ->
(X, А, В, х0)
1) Эти равенства объяснены в примечании на с. 103. В случае г=2 из
них тривиально следует, что /(«'—1)»— изоморфизм, и можно применять лемму
о пяти гомоморфизмах, а в случае г=1 из них тривиально следует, что
/(^„ — изоморфизм,— Прим. ред.

ГЛ. 6. СВОЙСТВА КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ 105
имеет компактный образ, и потому найдутся такие клеточные
подпространства Л', В', что СсгЛ'сЛ, Cc=B'czB,
и f(Dr-1xI)(^X' = A'\JB', т. е. гомотопический класс [f] лежит
в образе пг(Х'; А', В', хо)-*-пг(Х; А, В, х0). Но пара (А1, С)
по-прежнему я-связна, а (В', С) — m-связна. Следовательно, в силу
только что разобранного случая iii) при 2^г^т-\-п имеем
Пг(Х'\ А', В', хо) = 0.
v) {В, С)т = С. Согласно предложению 6.13, можно вложить
пару (А, С) в такое относительное клеточное пространство (А', С),
что (А1, С )п — С и С является сильным деформационным ретрак-
том пространства С, а Л —сильным деформационным ретрактом
пространства А'. Положим В' = В[}С, Х'=*В[)А'. Тогда X яв-
является сильным деформационным ретрактом пространства X' и
В — сильным деформационным ретрактом пространства В'. Таким
образом, включение триад
i: (X; А, В, *)-»(*'; А', В', х0)
индуцирует изоморфизм гомотопических групп
t*: n,{X; А, В, Хо)-+пг(Х'; А', В', х0)
при г Зг2. Но согласно iv) nr(X'\ А', В', д;0) = 0 при 2<r==S
т-\-п.
vi) Общий случай. Повторяя прием предыдущего случая,
вкладываем (В, С) в (В', С) и берем А' = А\]С, Х' = А[]В'.П
6.22. Следствие. Пусть (X, А, х0) — некоторая п-связная
(п^=1) клеточная пара с т-связным клеточным подпространст-
подпространством А. Тогда проекция р: (X; Л)-у(Х/Л, *) индуцирует ото-
отображение
р»: пг(Х, А, хо)^пг(Х/А, {*}, т)^пг(Х/А, *),
являющееся изоморфизмом при 2<г<т + яи эпиморфизмом при
г —/n-f-n + 1.
Доказательство. Рассмотрим коммутативную диаграмму
(Х,А) —%—+ (XUCA,CA)
в которой Ф — гомеоморфизм из предложения 2.38. Согласно пред-
предложению 6.6, отображение р' является гомотопической эквива-
эквивалентностью (пространство (СА, *) стягиваемо). Таким образом,

106 ГЛ. 6. СВОЙСТВА КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ
достаточно показать, что
t#: nr(X, A, Xo)-ynr(X{JCA, С А, *)
— изоморфизм при 2sSr=s?m-f-n и эпиморфизм при
или, эквивалентно, что пг(Х[]СА; X, С А, *) = 0 при 2sSrsS
m-frc + 1. Но это следует из теоремы 6.21, примененной к три-
триаде (Х[]СА; X, С А, *): действительно, пара (X, А) я-связна и
пг(СА, А, *)^л,._г(Л, Xo) = O при lsgrsgm+l.D
Как известно, для гомологии из аксиомы вырезания следует,
что для любого пространства (X, хп) е оР'зГ' имеет место изомор-
изоморфизм ст: Нп(Х, {xo})^.Hn+1(SX, {*}). Естественно ожидать, что
при соответствующих ограничениях аналогичный изоморфизм
имеет место и для гомотопических групп.
6.23. Определение. Гомотопической надстройкой называ-
называется отображение
2: пп(Х, хо)->лл+1 (SX, *), «SsO,
задаваемое формулой 2 [/] = [5/r] = [lSi Д/]:
s«+i ^ 5i д 5„ IM 5i д х = sx
Очевидно, что 2 является естественным преобразованием функ-
функтора я„ в функтор nn+1°S.
6.24. Лемма. Для любой пары (X, xo)^.&'dr и любого n^sb
диаграмма
пЙ(Х,х0) -2-
коммутативна.
Доказательство. Заметим прежде всего, что для любого
отображения /: (Sn, s0) -> {X, х0) имеет место коммутативная диа-
диаграмма
Cf
Sf
СХ
p
Так как <3[C/] = [/], то

ГЛ. 6. СВОЙСТВА КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ 107
6.25. Следствие. Отображение 2 является гомоморфизмом
для любого. (X, х0) и любой пары п 5= 1.
6.26. Теорема Фрейденталя о надстройке. Для
любого п-связного (п ^ 0) клеточного пространства X отображение
2: яг(Х, xo)^n,(SX, *)
является изоморфизмом при 1 <; г ^ 2я и эпиморфизмом при г —
2п+1.
Доказательство. Согласно лемме 6.24, достаточно дока-
доказать соответствующее утверждение для гомоморфизма р„. Но так
как пространство X n-связно, а пара (СХ, X) (п+ 1)-связна, то
требуемое утверждение о гомоморфизме р* вытекает из следст-
следствия 6.22, примененного к паре (СХ, X, *). D
¦ Применим теорему 6.26 для доказательства того, что
nn(S", &й)~Ъ для яЭ=1. Согласно примеру 4.18, i), этот ре-
результат верен для п = 1. Поэтому начнем со случая п = 2.
6.27. Предложение. Для любого п^О четверка1) (©Ря, т),
5*"+1, S1) является расслоенным пространством.
Доказательство. (€Рп, т\, S2"+\ S1) есть в точности рас-
расслоенное пространство Vlf n+i(C)->G1>n+1((D), обсуждавшееся в при-
примере 4.14. Можно, однако, дать и прямое доказательство этого
факта. Для каждого k, lsS&^n+l, положим
Тогда множества {f/i, ..., f/4+i} образуют открытое покрытие
пространства (DP". Зададим отображение фА: f/^xS1 -^ir1^/,, по-
полагая
Тогда очевидно, что Ц'Фь^Ри,, и отображение Ф11 задается фор-
формулой
/г 1 г* \
2*1,
Ясно также, что E?РЛ, р, Sn, S°) и (НРЯ, v, S4"+3, S3) явля-
являются расслоенными пространствами для всех яэ=0.
Мы знаем, что пространство ?Р° состоит из одной точки,
a (DP1 состоит из одной нульмерной и одной двумерной клеток.
Таким образом, (DP1 обязано быть гомеоморфным двумерной
сфере 52 (этот гомеоморфизм задается композицией S2 = О2/5г —
CPV'CP0, где /—индуцировано характеристическим отображе-
отображением /: (D2, S1)-^-((DP1, СР°) единственной двумерной клетки).
Отображение т) определено в примере 5) п. 5.4. — Прим. ред

108 ГЛ. 6. СВОЙСТВА КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ
Следовательно, мы имеем расслоенное пространство (S2, ц, S8, S1).
Рассмотрим отрезок точной гомотопической последовательности
этого расслоения:
...^na(S3, so)->n2(S2, so)^n1(S1, SoJ^n^S3, s,)-»»...
Так как n^S3, so) = na(S3, s0) —0 в силу 6.12, то
6.28. Теорема. Для любого п 3= 1 имеет место изоморфизм
2: nn(S\ So)->n«+1(S"+1, so)
и, следовательно, nn(Sn, So) = Z, nSsl.
Доказательство. Так как сфера Sn (я — 1)-связна, то по
теореме Фрейденталя
2: nr(Sn, So)^nr+1(S"+1, so)
— изоморфизм при г < 2п — 1 и эпиморфизм при г = In — 1. В част-
частности,
S: плEл, so)^JW(S"+\ so)
— изоморфизм при п<С.2п— 1 (т. е. при я>» 1) и эпиморфизм при
я-»1. Но любой эпиморфизм Z-*-Z является изоморфизмом. П
Рассмотрим другой отрезок точной гомотопической последова-
последовательности расслоения тр 53->S2:
2, so)-+n2(S\ so)-*...
Мы знаем (см. пример 4.18), что n3(S\ so) = n2(S1, so) = 0. Сле-
Следовательно,
t),: its(S8, So)-*-n8(S2, So)
— изоморфизм. Таким образом, ns(Ss, so) = Z, и это —первый
пример, в котором nm(Sn, so)=^=O для /n>n. Поскольку группа
ns(S3, So) порождается классом [Is»]» то лзE2, s0) порождается
классом [т]]. Отображение тр S3->-S2 называется отображением
Хопфа. Можно показать, что и расслоение v: 57->HP1 ^54 опре-
определяет ненулевой элемент [v] е я7 (S4, s0) бесконечного порядка.
Для каждого г мы имеем последовательность
Обозначим ее типичную группу nft+, (S*, s0), A^r + 2, через nf.
Она называется г-й стабильной гомотопической группойх). Напри-
Например, группа nf ^ it4 (S3, So) изоморфна группе Z2 и порождается
элементом 2 [г|], так как 2: яаE2, so)^-n4(S3, s0) — эпиморфизм.
J) Точнее, /--й стабильной гомотопической группой нульмерной сферы S°i
см. п. 8.43.—Прим. ред.

ГЛ. 6. СВОЙСТВА КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ 109
Займемся теперь доказательством теоремы Дж. Г. К- Уайтхеда,
которая утверждает, что в категории клеточных пространств сла-
слабая гомотопическая эквивалентность является гомотопической
эквивалентностью. Доказательство теоремы Уайтхеда не зависит
от леммы о симплициальной аппроксимации и гораздо проще мно-
многих рассмотренных нами доказательств. В главе 3 было показано,
что любая задача об «-эквивалентности может быть превращена
в задачу об п-связности; сейчас мы воспользуемся этим методом.
Предложение 3.14 утверждает, что пара {Y, В) является
n-связной в том и только в том случае, когда любое отображе-
отображение /: (Dr, 5/'-1)-y(F, В) может быть продеформировано relS'-1
в отображение /' с f'(Dr)czB для всех O^r^n (D0 —точка,
S-1 = 0). Используя цилиндр отображения, можно заменить вклю-
включение i: B^t-Y «-эквивалентностью /: Z-+-Y и показать, что
соответствующий результат верен и в этом случае.
6.29. Лемма. Пусть f: Z^-Y является п-эквшалентностью.
Тогда для любых отображений g: Sr-l-*-Z и h: Dr -»• Y с h | S'-1 =
f'g найдется такое отображение h'\ Dr^>-Z, 4moh'\Sr-1 = g и
hl
Доказательство. Соответствующая диаграмма отображе-
отображений представлена на рис. 13.
z^—
Sr-1
Рис.
— Y
13.
>
V
I
Рис.
¦ Mf
}joh
»s 1
14.
Пусть М/ — цилиндр отображения / с сопутствующими ото-
отображениями /: Z^r-Mj, /: Y-*-Mf, r: Mf-+Y и Н: М, х 1 -> Mf
(см. п. 3.15). Идея доказательства леммы заключается в замене
отображения /: Z-+-Y включением i: Z-*-Mf и применением предло-
предложения 3.14 к я-связной паре (Mf, Z) (рис. 14). Единственной труд-
трудностью, возникающей на этом пути, является отсутствие равенства
j'h\Sr~1 = i'g; в самом деле, j°fi\Sr-1 = j°f°g = j°r°i°gc^i°g.
Гомотопия в этой строке имеет вид H°(igxa), a(t) — \—t. Так
как S'-1 cz Dr является корасслоением, то можно продолжить
H°{igxa) до гомотопии Н': D'x/-*-M/cWJ = /-ft. Пусть h — H[\
тогда h\Sr-1 = H[ \Sr-1 = Ho'i'g = i'g- Следовательно, к отобра-
отображению Л: (Dr, S'-1)->-(М/, Z) можно применить предложение 3.14.
В результате мы получим отображение h'\ Dr-*-Z, гомотопное
rel S'-1, отображению h и такое, что h' | S'-1 = g. Таким образом,
f.h' —r°i°h' c^r'h' ~fi'h = h, и поскольку г°Н' \Sr~ixI e

ПО ГЛ. 6. СВОЙСТВА КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ
Г'Н '(igxа) — постоянное отображение, то указанная гомотопия
неподвижна на S'-1. ?
Приобретенный нами опыт работы с клеточными пространст-
пространствами позволяет предположить, что лемма 6.29 останется верной,
если заменить в ней пару (Dr, S'-1) относительным клеточным
пространством (X, А) с dim (X, A) «S п. Это и в самом деле так.
6.30. Теорема. Пусть /: Z^-Y— некоторая п-эквивалент-
ность и (X, А) — относительное клеточное пространство
с dim(X, A)-^n. Тогда для любых отображений g: A^>~Z, h:
X-^Y c h\A = f'g найдется такое отображение h': X-yZ, что
h' | A = g и f°h'c^.hre\A (случай п = со не исключается).
Доказательство. Пусть d?" — множество всех таких троек
(Х\ k, К), что /IcX'cX, ft: X'^-Z-отображение с k\A=g
и К: X'х I -*¦ Y — гомотопия, связывающая f°k с h \ X' и непод-
неподвижная на А. Зададим на S? отношение частичного порядка,
полагая, что (X', ft, К)^{Х", ft', К') тогда и только тогда,
когда ЛсХ'сХ'сХ, k'\X' = k, K'\X'xl=.K. Очевидно, что
тройка (A, g, /Co) (где /Со — постоянная гомотопия Лх/->-7) со-
содержится в е7*\ откуда следует, что яУф-ф. Покажем, что мно-
множество ?? удовлетворяет условиям леммы Цорна.
Пусть #" — некоторое линейно упорядоченное подмножество
в е?. Положим W = \JX', где в объединение входят все подпро-
подпространства X', для которых (X', k, К)^'&~- Зададим отображе-
отображение Ы: W-+Z и гомотопию #': WxI->Y, полагая h'(x) = k(x)
и Н' (х, t) = K(x, t), если хеХ' для некоторой (X', k, К) ^.эГ¦
Так как пространство X наделено слабой топологией, то Ы и Н'
корректно определены и непрерывны. Очевидно, что (W, h', H'}^.4f
и (X', k, K)^(W, А', Я') для всех (X', k, K)sdT.
Таким образом, по лемме Цорна множество 3" имеет макси-
максимальный элемент (X', k, К)- Поэтому нам осталось показать
лишь, что Х' = Х. Если Х'фХ, то рассмотрим множество кле-
клеток из X — X' и возьмем ту из них, которая имеет минимальную
размерность. Обозначим эту клетку через е. Пусть у. (D", S*)-*-
(X, X') — характеристическое отображение клетки е\\\\: = Ф\ S*:
5*-1 -> X' — приклеивающее отображение. Применяя лемму 6.29
к паре k°ty: Sk~l^>-Z, h°<j>: Dk^>-Y, найдем отображение 8:
D'->-Z с 9 | S*-1 = k ¦ т|з и гомотопию 6: Dk x / ->- Y, связывающую
f'Q с h'(f>. Продолжим k до отображения k': X'\Je^-Z и К до
гомотопии /С': (X'\]е) х. I ^>-Y, полагая
h (х), если )(Е X',
в (у), если х*=Ф(у) для у е Dk,
( К(х, t), если хеХ',
К'(Х' 1) = \ в(х, t), если х = Ф(у) для у е= D*.
Тогда (X'Ue, k', К) е S" и (X', ft, K)<(X'Ue, ft', К'), что
противоречит максимальности тройки (X', k, К)- Следовательно,
X' = X и поэтому можно взять h' = k. D

ГЛ. 6. СВОЙСТВА КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ 1 • I
Замечание. Разумеется, теорему 6.30 можно применить
к включению i: B-+-Y, которое является я-эквивалентностью,
если пара (У, В) n-связна. Тогда эта теорема утверждает, что
каждое отображение f: (X, A)-+(Y, В) из относительного кле-
клеточного пространства (X, A), dim(X, A)^n, может быть про-
деформировано rel А в отображение /' с /' (X) с В. В частности,
если (У, В) — относительное клеточное пространство, д-связное
для всех п, то применяя это утверждение к тождественному ото-
отображению 1: (У, В)->(У, В), мы найдем, что В является силь-
сильным деформационным ретрактом пространства Y. Таким образом,
любое клеточное пространство X, у которого пг(Х, хо) = О для
любого г^О, является стягиваемым.
6.31. Теорема. Пусть f: Z-^Y — отображение, являющееся
п-экзивалентностью {случай п — оо не исключается). Тогда для
любого клеточного пространства X отображение -
U: [Х- Z\-+[X; Y)
сюръективно, если dim X ==? п, и биективно, если dim X < п. Ана-
Аналогичное утверждение справедливо и в категории пунктированных
пространств.
Доказательство. Мы рассмотрим лишь случай пунктиро-
пунктированных пространств.
i) Отображение /„. сюръективно, если dim X ^n. В самом деле,
пусть А: (X, xo)-^(Y, y0) — некоторое отображение. Применим
теорему 6.30 к пространству А = {х0] и отображению g: A-+Z,
задаваемому формулой g (хо) = Zo- В результате найдется отобра-
отображение h'\ (X, Xo)->(Z, г0) с /./i'~/irelx0, т. е. f*[h'] = [h].
ii) Отображение/,„ инъективно, если dimX<n. Действительно,
пусть заданы отображения g0, g\i (X, xo)-y(Z, zo) и гомотопия h:
XxI-*-Y, связывающая f°g0 с /=gi (relx0). Возьмем Х' = Хх/,
Л' = Хх{0, l}UN}x/ (т. е. (X', А') = (Х, хо)хA, /)) и опреде-
определим отображениеg: A'-+Z условиями g\Xx{O}=go,g\ Xx{l}=gi,
g(xo, i) = z0, t s /. Тогда по теореме 6.30 существует отображе-
отображение h'\ X x / -*-Z с h' | A' =g. Таким образом, h' является гомо-
топией rel x0, связывающей g0 с gt. Другими словами, равенство
/* Ш = /* Ы влечет [gi] = [g0]. D
6.32. Теорема (Дж. Г. К- Уайтхед). Пусть X, Y —клеточ-
—клеточные пространства. Отображение /: X-vF является гомотопичес-
гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда оно является
слабой гомотопической эквивалентностью.
Доказательство. Очевидно, что гомотопическая эквива-
эквивалентность является слабой гомотопической эквивалентностью.
Пусть / — слабая гомотопическая эквивалентность. Тогда отобра-
отображения
[X; Х]^[Х; Y] и [Y; Х]^[У; Y]

1Г2
ГЛ. 6. СВОЙСТВА КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ
являются биекциями. Возьмем такое отображение g: Y-+X, что
/*[?] = [Ы- Тогда [/•?] = /«, [g] = [l у], т- е- f'g—h- Кроме того,
/*fe = /] = [/°g°/] = [li"/] = [/] = [/-lx] = /*[b], и так как отобра-
отображение /* инъективно, то [g»/] = [lx], т. е. g'fc~\x.O
Мы хотим предостеречь читателя от довольно распространен-
распространенной ошибки. При невнимательном прочтении теоремы 6.32 может
показаться, что гомотопический тип клеточного пространства пол-
полностью определяется его гомотопическими группами. На самом
деле это не так: важную роль играет существование отображе-
отображения /: X-»-F; просто наличие изоморфизмов л„ (X, х0) ^ л„ (Y, у0),
м^О, не гарантирует гомотопической эквивалентности (X, Хо) =
(Y, у0). Следующий пример иллюстрирует это обстоятельство.
6.33. Пример. Трехмерные линзовые пространства L(p, q),
pe/V —{0}, (р, q) = \, определяются следующим образом. Пусть
S3c?a- подпространство
{(г0, г1)еС2: |zo|2 + |zi|2 = 1}.
Определим отображение g: 58^-S3, полагая
Если обозначить черезgk fe-кратную итерацию g°g'...-g отобра-
жения g, то очевидно, что gp = ls»- Следовательно, g определяет
действие на S3 группы ZP, задаваемое формулой
Очевидно, что это действие не имеет неподвижных точек и, зна*
чит, согласно предложению 4.20 и замечанию 4.21, Hi), проек-
проекция q: S3^*-S'i/Zp является накрытием. Положим L(p, q) = SsjZP-
Так как лх (S3, s0) = 0, то из 4.21, i) следует, что лг (L (p, q), *) ^ZP
и, разумеется, nn(L(p, q), *)^.nn(Sa, s0) для всех «Э=2. Кроме
того, отображение q*: ялE3, s0)-*-л„(L(p, q), *) является гомо-
гомоморфизмом групп с операторами из ZP- Но g: S3->-53 гомотопно
(без сохранения отмеченной точки s0!) отображению Is- (соответ-
(соответствующая гомотопия Н: S3xI-*-S3 задается формулой
H(z0, zu t) = (e2ni"Pzo, е^^'Ргг)).
Значит, группа ХР тривиально действует на пп (S3, s0) и, следо-
следовательно, на nn(L(p, q), *), re^l.
Таким образом, мы показали, что гомотопические группы
пространств L(p, q) как группы с операторами из ЪР не зави-
зависят от q. Выясним теперь, будут ли L(p, q) и L(p, q') гомото-
пически эквивалентными при q-=f=q'- Когомологии . пространств
L (p, q) и L (p, q') изоморфны как группы, но не изоморфны как
кольца, за исключением того случая, когда qq' ^±m? (mod p)
для некоторого т (см., например, [92]). Таким образом, хотя

ГЛ. 6. СВОЙСТВА КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ 113
n!k(LF, 1), *)^л„, (LE, 2), *) (и это есть изоморфизм Zs-rpynn),
пространства LE, 1) и LE, 2) гомотопически не эквивалентны.
Замечание. На линзовом пространстве L(р, а) нетрудно
задать клеточную структуру. Для этого разобьем S3 на клетки
таким образом, чтобы g: S3-^S3 не переводило никакую клетку
в себя. Тогда L(p, q) = S3/Zp наследует естественную клеточную
структуру.
Комбинируя теоремы 6.10 и 6.30, можно показать, что любое
отображение клеточных пространств гомотопно отображению, «со-
«согласованному с клеточными структурами».
6.34. Определение. Пусть (л, А) и {Y, В) — относитель-
относительные клеточные пространства. Отображение /: (X, Л)->(У, В)
называется клеточным, если f((X, A)n) a (Y, В)п для каждого
п^—1. Гомотопия (X, Л)х/->(У, В) называется клеточной,
если она клеточна как отображение (Хх/, Лх/)->-(К, В).
6.35. Предложение. Пусть (X, А) и (У, В) — относитель-
относительные клеточные пространства. Тогда каждое отображение f (X, А)-+
(У, В) гомотопно rel А клеточному отображению и любые два
гомотопных rel А клеточных отображения можно связать клеточ-
клеточной гомотопией.
Доказательство. По теореме 6.10 для любого п^—1
пространство (У, (У, В)п) является n-связным. Поскольку
dim(X, Л)"==?и, то, применяя теорему 6.30, можно индуктивно
построить такую последовательность гомотопий Hr: XxI->-X,
г^=0, что
0 Я8 = /,
ш) Нг неподвижна на (X, ЛI"-1,
iv) H[((X, AY)cz(Y, BY.
Зададим теперь гомотопию Н: X х / -*¦ Y формулой
Н(х, /) =
Нг{х, 1), t-ml, xt=(X, AY.
Тогда Я есть такая гомотопия rel Л, что Яо = / и Hi — клеточное
отображение.
Для того чтобы доказать второе утверждение, достаточно при-
применить только что полученный результат к отображению
(Xxl, Лх/11*х{0, 1})->(К, В).П
Таким образом, для клеточных пространств (X, х0) и (Y, у0)
любой элемент из [X, х0; Y, у0] представим клеточным отобра-
отображением /: (X, xo)-*-(Y, уо).
Упражнение. Показать, что если /: (X, xo)-*-(Y, у0) —
клеточное отображение, то Y [} f CX — клеточное пространство.

114 ГЛ. 6. СВОЙСТВА КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ
Займемся теперь построением клеточных пространств с про-
произвольными гомотопическими группами.
6.36. Предложение. Пусть X — п-связное и Y — т-связное
клеточные пространства и либо X, либо Y локально конечно.
Тогда отображения ix: (X, хо)-+{Х \J Y, *), iY: (Y, г/0)-»-
(XV У, *), задаваемые формулами ix(x) — (x, уо), iy(y)==(xo, у),
при 2*~^г^п-\-т индуцируют изоморфизм
(h*> iv*): nr(X, xo)®nr(Y, yn)-*nr(X \J Y, *).
Доказательство. Как было замечено при доказательстве
следствия 6.15, можно считать, что (XxY, X \/ Y)a+m->1 = X \/ У-
Следовательно, точность гомотопической последовательности пары
(XxY, X\/ Y, *) влечет изоморфность всех гомоморфизмов
/»: nr(X\/Y, *)->it,(Xx7, *), К.г^п + т.
Кроме того, по теореме 4.1 мы имеем изоморфизмы
(рх*, Рк*): nr(XxY, *)->nr(X, xo)xnr(Y, //<,) =
Пг(Х, xn)®nr(Y, уо), г^2.
Так как px.j°ix= \х и py/<>fy=*tY. то (рх*, py*)'j*°{ix*, W*)=U
т. е. (ix*, iV*) —изоморфизм. П
6.37. Следствие. Для любого п^2 гомоморфизм
яя.гяется изоморфизмом.
Доказательство. Если множество индексов а конечно, то
требуемый результат индуктивно получается из предложения 6.36.
Если же множество индексов бесконечно, заметим, что каждое
отображение /: (S", so)-*-/'\/ S?, *\ имеет компактный образ и,
\ о /
следовательно, существует такое конечное множество а1( ..., аА,
k
что / (Sk) с \у Sar Используя коммутативность диаграммы
мы видим, что [/] е im{?a!J. Следовательно, {ia*} — эпиморфизм.
Аналогично, любая гомотопия Н: Snxl -*¦ \/ S5 имеет компактный
'>¦
образ, и поэтому {ia*\ — мономорфизм. ?
Следствие 6.37 можно сформулировать иначе:

ГЛ. 6. СВОЙСТВА КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ 116
пп(\/Sa, *\ есть (при я ^2) свободная абелева группа, по-
\ I
\ I
рожденная элементами [ia]. Для фундаментальной группы ях мы
имеем теорему ван Кампена, из которой следует, что пг (X V У, *)
изоморфна свободному произведению групп Лг(Х, x0) ил^У,^),
т. е. ni(X\/Y, *)sni(X, xo)*n1(Y, y0).
6.38. Предложение. Группа ni/\y Sa, *\ изоморфна свобод-
ной группе, порожденной элементами [ia].
6.39. Теорема, i) Для любой абелевой группы G и любого
целого яЭ=2 существует такое клеточное пространство X, что
G, л = я,
П) Пусть X — некоторое (п — \)-связное клеточное пространство
с лп (X, *o) = G, а (У, у0) — пространство с
Н, г~п,
Пусть Ф: G -> Н — некоторый гомоморфизм. Тогда существует и
единствзнно с точностью до гомотопии такое отображение f:
(X, *ь)-»-(У, г/о), что коммутативна диаграмма
Доказательство, i) Существуют такие свободные абелевы
группы F, R и гомоморфизмы к, X, что последовательность
точна (в качестве F возьмем свободную абелеву группу, порожден-
порожденную элементами группы G, X — очевидное отображение, R = kerX).
Пусть {xa}aeA. tab а г — базисы групп F и R соответственно.
Возьмем по одному экземпляру я-мерной сферы S& для каждого
а е= А и рассмотрим букет (Xя, хо) = ( V Sa, *)• Тогда
\A I
(
\osA
пл(Ха, хо) = пп( V
VA
asA
Для каждого уеГ выберем такое отображение hy: {Sn, s0)-*
(Хп, Хо), что элементу [hy] из я„ (Хп, х0) соответствует элемент
к(гу) из F, и приклеим по этому отображению (п+1)-мерную
клетку Й+1. Пусть Хп+1 = Х'' U (J ^ + 1. В точной гомотопической
УЕГ

116 ГЛ. 6. СВОЙСТВА КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ
последовательности
ак
" « „-
Л -F
0[«? + 1] = [*у]-к(/Ч). где g$ + >: (D**1, S», so)^(X«+\ X», *„)-
характеристическое отображение клетки e"+1. (Тот факт, что
Xnn/XnQ? V Sy + l, вытекает из следствия 5.16.) Таким обра-
¦у еГ
зом, вышеприведенная диаграмма коммутативна и поэтому
Предположим, что уже построено пространство Хт{т>п) с
6.40. я, (X», „„, .
Выберем для пт(Хт, х0) множество образующих {#р}рев и пусть
— отображение, представляющее г/р, р* а В. Приклеим по этим
отображениям (/П+1)-мерные клетки 62"+ 1 и положим
Хт U U ep"+1- Обозначим через /?+' характеристическое отобра-
ЭеВ
жение клетки е^ + '. Тогда в точной гомотопической последова-
последовательности
-1 V"! V \ 9, ТГ
3, так что 5 сюръективно. Значит, пт (Xm+1, Xo)=0.
Посколькуг) nr (Xm+1, Хо) ~ пг (Хт, х0) для 0 ^ г < /п, то прост-
пространство Xm+1 удовлетворяет условию 6.40, и, следовательно, можно
индуктивно продолжать построение. Построив семейство прост-
пространств Хт (т^п), положим
X°\JnXm
и наделим Х- слабой топологией. Тогда
G, г = п,
0, гфп.
1) По теореме 6.П.— Прим. ред.

ГЛ. 6. СВОЙСТВА КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ 117
М) Если Хп-1фх0, то заменим X гомотопически эквивалент-
эквивалентным ему клеточным пространством, (п — 1)-мерный остов которого
состоит из одной точки. Это новое пространство будем по-преж-
по-прежнему обозначать через X. Тогда Хп является букетом я-мерных
сфер V Sa', пусть ia: (Sn, s0) -> (X, х0) — вложение а-го экземп-
«64
ляра сферы. Так как Ф [ia] e л„ (У, у0), то найдется отображение
fa- (Sn, so)-+(Y, tjo), для которого [/?] = <t>[ia]- Определим отобра-
отображение f\Xn правилом /|S? = /?. Легко видеть, что построенное
нами отображение /1 X" делает коммутативной диаграмму
п+1(,,0) п@) H *
п
6.41. №% ?
Пусть /ег + 1}реВ — множество (я+1)-мерных клеток пространства X
и gg + 1: (?>"+1, 5", so)-*-(Xn+1, Xn, Хп) — их характеристические
отображения. Тогда
откуда следует, что композиция (/1 Хп) = to +' 15") нульгомотопна.
Значит, /1 Хп может быть продолжено на все клетки е\ +' (см.
предложение 2.34), определяя отображение /|ХЛ+1.
Предположим, что уже построено отображение f\Xm (m>n).
Если h: (Sm, so)->-(XOT, x0) — приклеивающее отображение (m+1)-
мерной клетки -в»л, то (/| Хт)% [h] еяот(У, г/о) = О, откуда сле-
следует, что (/| А"т)°/г~0. Таким образом, f\Xm продолжается на
е"*1, определяя отображение f\Xm+1. Следовательно, f\Xn продол-
продолжается, по индукции, на все пространство X, и диаграмма 6.41
показывает, что /*: л„(Х, xo)-+nn(Y, y0) совпадает с гомоморфиз-
гомоморфизмом ф.
Пусть теперь /, /': (X, л:0)->(У, уо) — два таких отображения.
Для каждого а мы имеем /? [;а] = ф [ia] =/„, [ia], т. е. /'|S5c^/|5S.
Следовательно, определена гомотопия Я": Хп X / -»- У, связываю-
связывающая отображения /' | X" и f | X". Продолжая эту гомотопию на
все пространство X описанным выше способом, получим /~/'. Q
6.42. Следствие. Любые два клеточных пространства X и
Л', удовлетворяющих условию
пг (X, хо) ^ пг (X', х'о) ^ { G> Г ~ "'
[ U, Т^П
гомотопически эквивалентны.

118 ГЛ. 6. СВОЙСТВА КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ
Доказательство. Пусть ф: G->G —тождественное отобра-
отображение. По теореме 6.39, И) существуют и единственны с точно-
точностью до гомотопии такие отображения /: (X, хо)-*-{Х', х'о) и
g: (X', x'n)^f(X, к0), что оба индуцированных гомоморфизма
f»: пп(Х, хо)^>~пп(Х', х'о) и g+: nn(X', х'л)-+-п„(Х, х0) совпадают
с Ф. С другой стороны, g-f: (X, хо)-+(Х, х0) и 1Х также инду-
индуцируют Ф на группе п„. Следовательно, в силу единственности,
g-/~lx. Аналогично, f*g^\x'-O
6.43. Определение. Произвольное клеточное простран-
пространство X, удовлетворяющее условию
называется пространством Эйленберга — Маклейна типа (G, п) и
обозначается через Н (G, п). Разумеется, символ Н (G, п) озна-
означает в действительности не отдельное пространство, а целый гомо-
гомотопический тип.
Замечание. В литературе общепринято обозначать прост-
пространство Эйленберга — Маклейна типа (G, п) через К (G, п). Сооб-
Соображения, по которым мы предпочли обозначение Н (G, л), станут
понятными позже.
6.44. Для любой группы G (не обязательно абелевой) можно
построить также пространство Н (G, 1). С этой целью выберем
такие свободные группы F, R и гомоморфизмы а, р, чтобы полу-
получить короткую точную последовательность
Пусть {Ху} — свободные образующие группы F, а \гу\ — свободные
образующие группы R. Положим X1 = \J S^- Далее, выберем ото-
отображения h,\ (S1, So)-v(X1, Хо), представляющие элементы р* (гу),
и приклеим по hy двумерные клетки е\. Тогда iti (X3, х0) = G. и
точно так же, как это делалось выше, можно продолжать при-
приклеивать клетки высших размерностей, «убивая» этим высшие
гомотопические группы. Для пространства Н (G, 1) справедлив и
аналог теоремы 6.39, И).
6.45. Замечание. Так как
пг (ОН (С, я), шо) 5ё яг+1 (Я (G, п),
(G, г = п-\,
\ 0, гфп-1.
то существует слабая гомотопическая эквивалентность
e;_i: H(G, n-l)-+QH(G, n).
Сопряженное к e^_i отображение
ев_г: SH(G, n-l)->//(G, n)
будет играть важную роль в главе 8.

ГЛ. 6. СВОЙСТВА КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ 119
6.46. Предложение. Для любого семейства групп Gn, n^l,
абелевых при п^2, найдется такое линейно связное клеточное
пространство X, что
пп(Х, xo)^G, nS»l. .
Доказательство. Положим
Х = \]Н (Gn, n).
Тогда
nr(X, xoK*Yl nr(H(Gn, п), *) = я,(Я(Ог, г), «)^G,, r^l. D
Сделаем теперь несколько замечаний, касающихся вычисления
гомотопических групп клеточных пространств. Как отмечалось
выше, включение я-мерного остова i: X"-*-X индуцирует эпи-
эпиморфизм I*: пп(Х", хп)^>~яп(Х, Xq). Поэтому представляет инте-
интерес вычисление ken*. Точно так же, как в доказательстве тео-
теоремы 6.39, мы имеем точную последовательность
ял+1(Хя+1, X", хо) — я„(Хп, хо)±пп(Х, *„),
откуда вытекает, что kert* = imd. Доказывая теорему 6.39, мы
могли полностью описать группу ял+1(Х"+1, X", х0), поскольку Хп
было односвязным. Рассмотрим теперь общий случай, когда на X"
не накладывается никаких условий.
6.47. Предложение. Пусть X — некоторое клеточное про-
пространство. Характеристическое отображение п-мерной клетки e*t
as4 обозначим через /?: (D", Sn~l, So)-*-{X", Хл-\ х0). Если
п ^= 3, то пп (Хп, X*-1, л:0) является свободной абелевой группой,
порожденной элементами у ¦ [/?], где а е Jn, ye яА (Xя-1, jc0) ^
пг(Х, хо).
Доказательство- Пусть р: X->-X"-1 — универсальное на-
накрытие для X"-1 и ga = /J | S"-1 — приклеивающее отображе-
отображение для клетки е?. Тогда для каждого у^Пх(Хп-1, х0) сущест-
существует понятие ga,y: (S"-1, so)-v(X, yic0) отображения ga (группа
ni(X"-\ хо) действует на X и р-1 (х0) = {ух0: у eni (X"-1, х0)}).
Приклеим к X n-мерные клетки eS, v п0 отображениям g^y и обо-
обозначим получившееся пространство через Y. Очевидно, что р про-
продолжается до такого отображения р: F->X'\ при котором е„,7
гомеоморфно отображается на Й- Отсюда почти немедленно сле-
следует, что р: Y ->Х" — накрывающее отображение. Пространство X
(и, значит, Y) может быть наделено структурой клеточного про-
пространства. Тогда по теореме 4.6 мы имеем изоморфизм
,V. nn{Y, X, А-0)-*лл(Х", Х»-\ Хо).

120 ГЛ. 6. СВОЙСТВА КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ
Но пара (У, X, ?0) (п — 1)-связна, а пространство X односвязно,
так что в силу следствия 6.22
•л (V У ? '\~тг (V/Y *Wir А/ Сл Л
\сб, у I
Следовательно, пп (Хп, X"-1, л:0) —свободная абелева группа с бази-
базисом ni (X, *0) X Jn. П
6.48. Предложение. Если п^=2, то
к: пя(Хл, Хо)-*пп(Х, Хо)]
является подгруппой группы пп (Хл, л:0), порожденной элементами
У [gal Ye)Ii(x.4 аеУ„+1, где ga: (Sn, so)->(Xn, х0) —при-
—приклеивающее отображение (п-\-\)-мерной клетки e?+l.
Если п=1, то kerf^i лх (X1, х0) -*¦ лп (X, х0)] представляет
собой нормальную подгруппу N <^л1(Х1, х0), порожденную элемен-
элементами [ga], ае/2, где ga: (S1, s0)-+(X*, х0) — приклеивающее ото-
отображение двумерной клетки el..
Доказательство. Для пЭ= 2 утверждение немедленно сле-
следует из предложения 6.47. Для п = 1 обозначим через р: X -у X1
накрывающее пространство над X1 с р* (щ (X, х0)) = N с пх (X, х0).
Поскольку [ga] s N, каждое отображение ga допускает поднятие
§а:У: (S1, so)->(X, уИ0), где_ у s щ (X1, xa)/N. Пусть У —прост-
—пространство, получающееся из X приклеиванием двумерных клеток
по отображениям |а> Y. Тогда р: X -> X1 продолжается до отобра-
отображения р: У->-Х2, по-прежнему являющегося накрывающей проек-
проекцией.
Любое отображение /: (/, /)->-(Х1, х0), определяющее элемент
[/] ekerfi^], обладает поднятием f: (/, 0)-v(X, хо). Поскольку f
нульгомотопно в X2, то f является петлей в У и, значит, в X.
Но тогда [J] е л^Х, х0) и [/]=р* [f] еЛ^. Следовательно, kert# c:/V.
Включение N сг ker »„, очевидно. П
6.49. Упражнение. Показать, что для любого топологиче-
топологического пространства У существует клеточное пространство У, до-
допускающее слабую гомотопическую эквивалентность /: У -*- У.
[Указание: для построения У и f используйте методы, при-
применявшиеся при доказательстве теоремы 6.39.]
6.50. Упражнение. Показать, что если У, У —клеточные
пространства, /": У" -> У — некоторое отображение и f: Y'-*-Y—
слабая гомотопическая эквивалентность, то существует такое кле-
клеточное отображение g: Y"-*-Y', что f • g ~ f, и g единственно
с точностью до гомотопии.
Построенная по топологическому пространству У пара (У, f)
из упражнения 6.49 называется клеточным эквивалентом прост-
пространства У (см. Дайер [30]). Из 6.50 следует, что любые два кле-
клеточных эквивалента пространства У гомотопически эквивалентны

ГЛ. 6. СВОЙСТВА КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ 121
и что эта эквивалентность единственна с точностью до гомотопии.
Кроме того, если задано отображение h: X-+Y топологических
пространств и (X', /'), (У, gr') — клеточные эквиваленты для X
и Y соответственно, то найдется такое клеточное отображение
h'\ X'^fY', что g''h'c^h'f и ft' единственно с точностью до
гомотопии. Эту ситуацию можно изобразить следующей диаграммой:
X' > X
Г —г* Y.
8
6.51. Упражнение. Пусть/: (Х'\ А', В', х'а)-*-(Х) А, В, *«,)—
такое отображение триад, что
/#: л*(А'Г[В', х'0)-+л*(АГ\В, х0),
/„: п*(А', х'о)-+л*(А, хо),
/#: я„, (В1, х'0)-*-п^(В, хо)
— изоморфизмы. Показать, что если Х — А\]В, то
fm\ л*(Х'; А', В', 4)->я*(Х; А, В, х0)
также является изоморфизмом. [Указание: заменить X цилинд-
цилиндром отображения, достаточно мелко триангулировать Dn~1x/ и
доказывать утверждение по симплексам.]
6.52. Упражнение. Пусть /: {X1; А', В')-+(Х; А, В) —
отображение триад, причем (X'; А', В') — клеточная триада,
X = A\)B,f\A'[\B': A'C[B'^A(]B,f\A': A'^A, f\B': B'-+B —
слабые гомотопические эквивалентности и относительные клеточ-
клеточные пространства (Л', А' (]В'), {В', Л'П#') являются О-связными.
Тогда /: Х'->Х—также слабая гомотопическая эквивалентность.
6.53. Упражнение. Показать, что результаты 6.21—6.26
могут быть перенесены на произвольные топологические прост-
пространства путем введения некоторых дополнительных предположе-
предположений (таких как Х = Л[}В для теоремы 6.21).
6.54. Упражнение. Пусть i: A a X— такое корасслоение,
что пара (X, А) «-связна («^1), а пространство А т-связно.
Обозначим через р: Х-+Х/А естественную проекцию. Показать,
что для любого клеточного пространства У cdimK<;m + « имеет
место точная последовательность
[Y, A)±[Y, X]^.\Y, X/A].
6.55. Упражнение. Графом называется линейно связное
одномерное клеточное пространство, а деревом — граф, который не
содержит клеточных подпространств, гомеоморфных S1.

122 ГЛ. 6. СВОЙСТВА КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ
a) Показать, что любое дерево стягиваемо.
b) Показать, что каждый граф содержит максимальное дерево.
c) Показать, что для каждого графа X с максимальным дере-
деревом Т имеет место изоморфизм
где F (Т*) — свободная группа, порожденная множеством Т* всех
одномерных клеток, не содержащихся в Т.
d) Для любого линейно связного клеточного пространства X
описать группу щ (X, х0) в терминах образующих и соотношений.
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Приведенное здесь элегантное и элементарное доказательство
теоремы о гомотопическом вырезании принадлежит Бордману.
Имеется много других доказательств этой теоремы, но все они
значительно сложнее помещенного в этой книге и используют
нечто вроде спектральных последовательностей, в то время как
для нашего доказательства нужны лишь самые тривиальные све-
сведения из гомотопической топологии. Еще одно (более сложное)
доказательство теоремы Фрейденталя будет дано в главе 15.
Доказанных в этой главе теорем о гомотопических группах
вполне достаточно для того, чтобы развить содержательную гомо-
гомотопическую теорию. Мы же обратимся в оставшихся главах к ста-
стабильной гомотопической теории и теории гомологии (являющейся
ветвью стабильной гомотопической теории; см. заключительные
замечания к главе 9).
ССЫЛКИ НА ЛИТЕРАТУРУ
1. Дайер [30].
2. Спеиьер [72].
3. Хилтон, Уайли [92],

Г Л А В А 7
ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИЙ
В начале пятидесятых годов Стннрод и Эйленберг [74] дока-
доказали, что на категории конечных симплициальных пространств
гомологии (симплициальные или сингулярные) с коэффициентами
в группе G однозначно определяются семью аксиомами, ныне
известными как аксиомы Стинрода — Эйленберга. Кроме того, они
показали, что многие свойства гомологического функтора могут
быть получены непосредственно из этих аксиом. Позже другие
математики (Атья, Хирцебрух и Дж. У. Уайтхед) заметили, что
имеются функторы, удовлетворяющие всем аксиомам Стинрода —
Эйленберга, за исключением «аксиомы размерности», и обладающие,
следовательно, многими свойствами обычного гомологического
функтора. Первое систематическое исследование таких обобщенных
теорий гомологии было предпринято Уайтхедом в работе [81].
В настоящей главе мы сформулируем аксиомы для обобщенных
теорий гомологии (и когомологий) и выведем из них ряд важных
следствий. В главе 8 описан метод построения различных теорий
гомологии и когомологий, а в главе 9 мы покажем, что этот
метод позволяет получить все теории когомологий на категории
клеточных пространств. В главах 10, 11 и 12 будут рассмотрены
три фундаментальных примера теорий гомологии и когомологий.
7.1. Определение. Обозначим через s^2 категорию всех
топологических пар (X, А) (А — подпространство в X) и непре-
непрерывных отображений f: (X, A)->(Y, В). На dT2 задан функтор
ограничения R: ёГ*-+$>Г2, определенный формулами R(X, A) =
(А, ©), R(f) = f\A. Пусть ef2' — гомотопическая категория: ее
объекты совпадают с объектами из <?Т~2, а морфизмами являются
гомотопические классы непрерывных отображений. На #"' по-
прежнему задан функтор
R: &-2>+&-*; R(X, Л)-(Л, ф), R[f] = [f\A].
Неприведенной теорией гомологии h^ на ef2' называется
последовательность функторов hn: ef'^-a^, где «eZ, и есте-
естественных преобразований дп: hn-+hr-i>R, n eZ, удовлетворяющих
следующим двум аксиомам.
i) Аксиома точности. Для любой пары (X, А)
имеет место точная последовательность

124 ГЛ. 7. ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИЙ
где i: (Л, ф)-+{Х, 0), /: (X, ф)-*-(Х, А) — естественные
включения.
ii) Аксиома вырезания. Для любой пары (X, А) еeF2'
и любого подмножества U с А с U а А все индуцированные
включением /: (X — U, A — U)-*-(X, А) гомоморфизмы
МЛ: hn(X-U, A-U)^hn(X, A), neZ,
являются изоморфизмами. В дальнейшем гомоморфизм hH\f] будет
обозначаться символом /*, а дп(Х, Л) —символом д.
Замечание. Аксиомы 1 и 2 Стинрода — Эйленберга утвер-
утверждают, что /г„ —функтор на ef2, аксиома 3 — что дп представляет
собой естественное преобразование, аксиома 5 — что hn определены
на sf2', а не только на sF2. Аксиома 4 —это сформулированная
выше аксиома точности и аксиома 6 —это аксиома вырезания.
7.2. Предложение. Аксиома вырезания эквивалентна сле-
следующему утверждению:
7.3. Для любой триады (X; А, В) (А, В — подпространства в X
и А{]В = Х), удовлетворяющей условию А\]В = Х, все индуциро-
индуцированные включением /: (А, А[]В)-*-(Х, В) гомоморфизмы
/.: ft.(Л, Af\B)-+hn(X, В), neZ,
являются изоморфизмами.
Доказательство. Пусть hn — функтор, удовлетворяющий
аксиоме вырезания и (X; А, Б) —триада с А[}ё = Х. Так как
X — А = Х — A cz В, то пара (X, В) и подмножество Х — АаВ
удовлетворяют условиям аксиомы вырезания. Но (X — (X — А),
В-(Х-А)) = (А, А(]В), поэтому hn(A, Af]B)^hn(X, В) —
изоморфизм.
Обратно, предположим, что функтор hn удовлетворяет утвер-
утверждению 7.3. Пусть (X, А) — некоторая пара, и пусть подмножество
U с А таково, что V а А. Так как (X - U)° [} А = (X - U) [} A zd
(X — A) U А = X, то мы можем применить 7.3 к триаде (X; X —
U, А). Но (X-U, (X-U)(]A) = (X-U, A-U), поэтому ft.
удовлетворяет аксиоме вырезания. П
7.4. Лемма. Пусть (X; А, В)—клеточная триада. Тогда
можно найти открытое множество A' z> А и гомотопию Н:
Хх1^*-Х, удовлетворяющие следующим, условиям:
\) Но = 1х>
ii) H неподвижна на А,
ill) Hi.(A')czA,
iv) H(BxI)<=B.
Доказательство. Пусть Л-Х = Л и Я-1: Ху.1 -+Х — ста-
стационарная гомотопия (Н~л (х, О = ^для всех is/). Предполо-
Предположим, индуктивно, что для каждого k, —\^k<Z.n, мы построили
такую открытую окрестность Ak подпространства А в (X, Л)*+1,
что Л*-1 = Л* П (-Х. Л)*, и такую гомотопию Я*: X х / ->- X, что

ГЛ. 7. ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИИ 125
b) Я* стационарна на (X, Л)*,
c) Я? (Л*) с: Л,
Обозначим через {e"+I: v^^l множество всех (п-\- 1)-мерных
клеток из (X, А), а через /?+| —характеристическое отображение
клетки е"+1- Пусть Dj+1 = {^eD"+1: ||x|<l/2}. Тогда D"+1-
Dq + ] является открытой окрестностью сферы S". Гомотопия К:
Dn+1 х / ->¦ ?>"+1, задаваемая формулами
j
J x (= D"+1 ^ «= /
показывает, что D —Dj+1 стягивается на S". Пусть теперь
Легко видеть, что (/"+1 — открытое подмножество.в e!J+1. Поэтому,
если положить An = An-1[j (J t/v+1> T0 без труда проверяется,
что Ап — открытая окрестность подпространства А в (X, А)п+1 и
Л" П № А)" = Л". Определим гомотопию Н": (X, A)n+1 x /->Х как
нп(х t)JHr(X)'
Тогда Нп непрерывна и удовлетворяет на (X, А)"*1 равенству
Но=Н"~\ что позволяет продолжить ее на пространство X
с сохранением этого равенства. Выполнение условий а), Ь) и с)
очевидно. Так как Я" удовлетворяет условию d), то Нп также
удовлетворяет ему. Следовательно, индукцией по k мы построим
окрестности Ак и гомотопии Я* для всех k^~ 1.
Положим теперь А' = (J Л*. Множество А' открыто, посколь-
ку А' П ^ = Ат~1 П ?у для всех т, у. Наконец, зададим гомотопию
Я: XxI^X как
1 Я'(х, 1), ^ = 1, хе(Х, ЛК.
Рассуждения, аналогичные использованным в предложении 6.35,
показывают, что гомотопия Я непрерывна и НО — Н1==1Х- Кроме
того, Я неподвижна в подпространстве Л, Я1(Л')с:Л и
Я(Я/)ЯП

126 ГЛ. 7. ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИЙ
Обозначим через W2 категорию клеточных пар (X, А) (где
А — клеточное подпространство в X) и их непрерывных отобра-
отображений, а через У)' — соответствующую гомотопическую категорию.
7.5. Предложение. Для любой клеточной триады (X; Л, В)
осе индуцированные включением /: (Л, А[\,В)-у (X, В) гомоморфизмы
U-. hn(A, ACiB)^hn(X, В), rae=Z,
являются изоморфизмами.
Доказательство. Пусть (X; А, В) —некоторая клеточная
триада. Выберем открытую окрестность Л' и гомотопию Н такими,
как в лемме 7.4. Пусть r = Hi. Тохда г\А': (Л', А'(]В)^>-
(Л, Л П В) является гомотопически обратным к отображению
i: (Л, А[\В)-+(А', А'{\В), так что (г | Л')* — изоморфизм. По-
Поскольку гс~1х, то r#: hn(X, B)-*-hn{X, В) — тождественное
отображение. Рассмотрим коммутативную диаграмму
Л ¦ КЧХ,в)
Так как X — А является открытым подмножеством в В и X =»
А'\)(Х — A) cz A'\JB, то, согласно п. 7.3, у", — изоморфизм. Сле-
Следовательно, /ф также является изоморфизмом. D
7.6. Итак, если неприведенная теория гомологии рассматри-
рассматривается на категории Wv, то аксиому вырезания можно заменить
эквивалентным утверждением 7.5.
Выведем теперь для теорий гомологии простейшие следствия
из аксиом.
7.7. Предложение. Если f: (X, Л)-»-(У, В) — гомотопиче-
гомотопическая эквивалентность, то /*: hn(X, A)-*-hn(Y, В) — изоморфизм
для любого «eZ.Q ¦
7.8. Следствие. Пусть А — деформационный ретракт про-
пространства X. Тогда hn(X, Л) = 0, /teZ.D
7.9. Следствие.
hn(X, X) = 0, ne=Z.D
7.10. Предложение. Пусть х — произвольная точка из X
и i: ({х}, ф)-+{Х, ф) — включение. Тогда гомоморфизм f# моно-
морфно отображает п„ (\х\, ф) на прямое слагаемое в hn(X, ф)
и, более того,
ha(X, ф)??М1*1. Ф)фЬп{Х, [х\).

ГЛ. 7. ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИИ 127
Доказательство. Пусть с: X-»-{*} — очевидное отображе-
отображение; тогда с ° i = 1. Рассмотрим точную последовательность
Поскольку с*• i* = (с • i)* = 1 # = 1, то эта последовательность рас-
расщепляется. Таким образом, согласно 3.22,
Указанный изоморфизм задается формулой
а<—»(с*(а), /*(а)). П
7.11. Предложение. Пусть(Х, А, В) —некоторая тройка1)
и I: (А, В)-)-{Х, В), J: (X, В)^>-(Х, А) —очевидные включения.
Тогда имеет место точная последовательность
где через А обозначена композиция
hn(X, A)-thn-1{A, 0)l^hn-1(A, В).
Доказательство дословно повторяет доказательство теоре-
теоремы 3.20.
7.12. Определение. Говорят, что топологическая триада
(X; А, В) вырезаема относительно теории гомологии /г*, если все
индуцированные включением/: (А, А[\В)-у(Х, В) гомоморфизмы
/V ft»(Л, A(]B)^h,,(X, В), neZ,
являются изоморфизмами.
Согласно предложению 7.2, триада {X; А, В) вырезаема, если
А[]В = Х. В силу предложения 7.5 любая клеточная триада
вырезаема.
7.13. Лемма. Триада (X; А, В) вырезаема одновременно
с (X; В, А).
Доказательство. Построим новые пространства С = А (]В,
Л' = (Лх{0})и(Сх/),
В'« (Cx/
С'= Cxi.
Проекция рх: Хх/->-Х определяет отображение рк: (X', Л',
В', С')-*-(Х, А, В, С). Нетрудно видеть, что (рх\ А'): (А1, С')->-
Ср. с. пп. 3.19 и 3.20.— Прим. ред.

'28 ГЛ. 7. ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИЙ
(А, С) является гомотопически обратным к отображению (А, С)-*-
(А1, С'), задаваемому формулой а*—*-(а, 0). Аналогично, (рх\Вг):
(В1, С')-*-(В, С) — гомотопическая эквивалентность.
Для каждого /ieZ мы имеем коммутативную диаграмму
hn(A\C)
hn(A,C) —»¦ hJLX,B),
J*
в которой j't — изоморфизм, поскольку A' U В' =» X'. Таким образом,
Рх*: hn(X', B')-+hn(X, В) являются изоморфизмами для всех
/ieZ тогда и только тогда, когда триада (X; А, В) вырезаема.
Поэтому, применяя лемму о пяти гомоморфизмах к коммутативной
диаграмме
ИРхЮ* \
hn(B,c) -7-
мы найдем, что рх*: К{Х', C')-+h{X, С) — изоморфизмы для
всех /ieZ тогда и только тогда, когда (X; А, В) вырезаема.
Но С = В(]А, С' = В'[)А', так что pXif: K{X', C')^hn{X,C) —
изоморфизмы для всех /ieZ тогда и только тогда, когда вырезае-
вырезаема триада (X; В, А). ?
Естественно ожидать, что гомологические аналоги следствий
из теоремы 6.21 о гомотопическом вырезании тоже верны, причем
уже без каких бы то ни было размерностных ограничений. Сфор-
Сформулировав их, мы получим следующие утверждения.
7.14. Предложен ие. Если А с X — корасслоение, то для
любого пъё.7. проекция р: (X, А)-*-{Х/А, {*}) индуцирует изо-
изоморфизм р*\ К(Х, A)-+hn(X/A, {#}).
Доказательство. Аналогично доказательству следст-
следствия 6.22 все сводится к проверке того, что триада (Х+[)СА+\

ГЛ. 7. ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИЙ 129
Х+, СЛ+) вырезаема. Множество
X' = X*[){[t, а): а^А, /ее [О, 1/3)UB/3. 1]}
является открытой окрестностью для Х+ в Х+ \]СА?, и оно дефор-
деформируется на X* так же, как в лемме 7.4 (рнс 15). Теперь дока-
доказательство завершается так же,
как доказывается предложение
7.5. ?
7.15. Для любого пространства
(X, Хо) с отмеченной точкой х0 конус
(СХ, х0) стягиваем. Поэтому в силу
следствия 7.8 hn(CX, {xn}) = 0 для
всех пе2, так что из точности
последовательности тройки (СХ, X, {х0}) вытекает, что для каж-
каждого neZ гомоморфизм
А: йи+1 (СХ, X)->К(X, {*„}), neZ,
является изоморфизмом. Определим гомоморфизм
К(Х, хо): hn(X, {*,})»Л„u(SX, {*})
как композицию
К{Х, {xo})-^hn+l(CX, X)^-h,,n(CX/X, {•})=han(SX,
7.16. Предложение. Если (X, х„) е «^eF, mo о„(Х, ач>)
является изоморфизмом для любого /ieZ.
Доказательство. Согласно лемме 6.4, включение X а СХ
является корасслоением. Следовательно, в силу предложения 7.14
гомоморфизм Ръ является изоморфизмом для любого neZ-D
7.17. Следствие. Для любого п еZ и любого неотрицатель-
неотрицательного целого числа k имеет место изоморфизм
on{S\ s0): hn(S», {*})-»-*„*(S**1. W)-Q
7.18. Обозначим через -f топологическое пространство, состоя-
состоящее из единственной точки. Тогда имеет место отображение
s: -\—>-S°, задаваемое формулой s(+) = —1. Так как триада
(S0; {—1}, {+1})' вырезаема, то
— изоморфизм для любого «eZ. Следовательно
ft»(S\ {So})^/i4_*E0, {so}) ^ *«-*(+, 0)
для любого neZ и любого ^5гО. Группы hn(+, ф) называются
группами коэффициентов теории гомологии ft*.
7.19. Теорема. Предположим, что триада (X; А, В) выре-
вырезаема, и пусть С сг А (] В- Тогда имеет место точная последо-
5 Роберт М. Свитцер

130 гл. 7. теории гомологии и когомологип
еательность
, C)a~hn(A,
hn(X, Q^K-^
где a{x) = (iu(x), й;(х)), P(*. </) = .3* (*)-'<>» (i/) ы через Д'
обозначена композиция
К (X, С) ^ К (А', ВL* К (А, А П В) *-- /1я_х (Л П S, С).
Здесь ilt i2, ia, ц, /t, Ji суть включения
(А,С)
1у Ч
D О В, С) {Х,О,
(Л, А(]В) -h-(X, В), (X, С)±(Х, В),
а Ai — граничный гомоморфизм для тройки (А, А(]В, С).
Доказательство 1: кеем
. а (х) = C («и М. *г* (-г)) = ^* • 'г* (^) - '
4*
Но очевидно, что /„ t) = i4»t2. Почюму р=а = 0, т. е. imac
kerp. Остальные пять включений (kerPcima, impczkerA',
ker А' с: ini fi, im А' с: ker a, kerac: im А') доказываются диаграмм-
диаграммным поиском по следующей коммутативной диаграмме:
> АЛ+1(Л,С) > hn+1(A, An В) -A* hn{A n В,С) -^>
hjLB,c)' -—>
'4*
АЯ(Л, С) »• А„(у<, Л П
7.20. Замечание. Возможно, читагель заметил некоторый
произвол р нашем определении гомоморфизма А'. Дело здесь вот
в чем: поскольку 1риада (X; В, А) также вырезаема, то можно

ГЛ. 7. ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИИ
131
с равным успехом определить гомоморфизм А" как композицию
hn(X, C)J-±hn{X, A)&-hn(B, A[\B)^hn.1(Af]B, С).
Разумеется, заменив А' гомоморфизмом А", мы снова получим
точную последовательность теоремы 7.19. В этой связи законно
спросить: совпадают ли гомоморфизмы А' и А"? Оказывается, не
совпадают; в действительности имеет место равенство А'= — А".
7.21. Лемма. Для любой вырезаемой триады (X; А, В) имеет
место равенство
Д'= —А".
Доказательство. Рассмотрим коммутативный шести-
шестиугольник
7.22.
~ hn(X,Ar\B) ~
с точными вертикальной и двумя диагональными последователь-
последовательностями Ломаная, идущая сверху вниз в левой части диаграммы,
представляет гомоморфизм А", а в правой части — гомоморфизм А'.
Для данного элемента х е К (X, С) выберем такой элемент г/i s
hn(A, Л Л б), что /i*#i = А**. Тогда Ai{/, = A'x. Кроме того,
так что из точности вытекает существование элемента у2
hn(B, А Л В) с ki^ — J^x — k^yi- Таким образом,
Следовательно,
= — A'jc. П
Последовательность 7.21 носит название точной последова-
последовательности Майера — Вьеториса и является одним из полезнейших
технических средств теории гомологии. Пусть С — ф. Если в этом
случае можно представить X в виде объединения двух подпрост-

132
ГЛ. 7. ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИЙ
ранств с известными гомоло! иями этих подпространств и их пере-
пересечения, то последовательность Майера — Вьеториса доставляет
нам информацию о гомологиях самого пространства X. Более
общим образом, если X = Xi [) Х2 U • • • U Хп и мы знаем группы
h;> (Xi, 0) и hk (Xt П (Xi U... О Хы), ф), то при удачном стечении
обстоятельств можно по индукции получить информацию о груп-
группах hk(X, ф).
С помощью последовательности Майера — Вьеториса без труда
доказываются следующие утверждения.
7.23. Предложение. Пусть (Х\ А, В) — вырезаемая триада.
Тогда для любого «eZ включения
(Л,
(В,
Af]B),
А[\В)
индуцируют изоморфизм
(»л*. (в*): МЛ. Л Л 5H MS. А[\В\
Положим
НЯ{Х, Aft В),
Доказательство. Положим С = А(]В. Тогда, согласно
следствию 7.9, имеем М^П^> Q = 0, «eZ. Используя диа-
диаграмму леммы 7.21, найдем, что Р = (/л#, —/в*) — изоморфизм.
Но это означает, что (iAit., in^) также является изоморфизмом. D
7.24. Следствие. Пусть Х = А\]В, где А, В —непересе-
—непересекающиеся открытые множества. Тогда
На*, IbJ: hn(A, ф)фНп(В, ф)-^Пп(Х, 0)
— изоморфизм для любого п е Z-
Доказательство. Поскольку A\jB = A (J В = X, то
триада (X; А, В) вырезаема. D
7.25. Следствие. Для любых пунктированных клеточных
пространств (X, х0), (Y, у0) включения ix: (X, {Xo\)-*~(X\/Y, {*}),
iY: (Y, yo)-+(X\JY, {*}) индуцируют изоморфизм
Их*, ir*)- К(Х, ЫHМУ. {yo\)-+hn(X\/Y, {*}). neZ.
Доказательство. Триада (X\JY; X, Y) является клеточ-
клеточной и, значит, вырезаемой. ?
Рис. 16.
7.26. Примеры, i) Top T^S^xS1 можно разрезать на два
куска Т = A U В таким образом, чтобы каждый из них был гомео-
морфен S1xl и ЛП5 = 51и51 (рис 16). Поскольку и А, и В

ГЛ. 7. ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГОМ0Л0ГИЙ
133
гомотопически эквивалентны окружности 51 (требуемую гомото-
гомотопическую эквивалентность задает отображение рд: A9^S1xl-^Sl),
то последовательность Майера — Вьеториса имеет вид:
7.27.
hn(A О В, 0)
hn{A, 0) 0 UB, 0)
, 0)
hn(Sl,0)&hn(S\0)
\ 0)@/,„(
Таким образом, возникает потребность исследовать гомоморфизм а'.
Если мы ориентируем окружности из А[\В так, как показано
на рис. 17, то оба края множества А будут согласованно ориен-
ориентированными (конечно, аналогично обстоит дело и с множеством В).
Пусть/л: Af\B^>A, jB: A f]B-^-B — очевидные включения. Тогда
композиция
есть тождественное отображение ls>- Аналогично, Pa'Ia |5j= \su
Рн°in\S\ = \su Pr'JbI-Sa = 1 si- Следовательно, гомоморфизм а'
задается матрицей
(!!)¦
т. е. а' (х, у) — (х-\-у, х-\-у). Но эта матрица эквивалентна
матрице
/1 о^
\0 0/ '
так что ker a' ^ /г„ (S1, ф), coker a' ^ /г„ (S1, 0). Поэтому после-
последовательность Майера— Вьеториса 7.27 разбивается в семейство
коротких точных последовательностей.
7.28. O-+hn(S\ (fr)-+hn(T, '0)-^/i,,-i(S1t ф)-+0, neZ.
Это —самое большее, что можно сказать о группах hn(T, ф),
не зная групп коэффициентов теории гомологии /г*. Если мы
рассмотрим обычные сингулярные гомологии с коэффициентами
в Z, то
В частности, /Vi(S\ 0) — свободная абелева группа, и поэтому
все последовательности 7.28 расщепляются. Таким образом, мы

134 ГЛ. 7. ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГ0МОЛ0ГИИ
получаем, что
К (Т, 0)^ftn_,
Z, n = 0, 2,
Z0Z, n=l,
О, пфО, 1, 2.
ii) Подобно тору, бутылку Клейна К также можно разрезать
на две части, гомеоморфные S1xl. Однако на сей^раз гомомор-
гомоморфизм а' задается матрицей
где v': Sl ->- S1 — отображение, обращающее ориентацию (как
в п. 2.22). Имеют место аналоги точных последовательностей 7.28:
О -> coker a'-, ->• Л„ (К, ф) ->• ker a,',_i ->- 0.
В случае сингулярных гомологии с целыми коэффициентами гомо-
гомоморфизм v',: Hi(S\ 0)-*-Hi(Sl, ф) есть умножение на —1, а
v^: HoiS1, 0)-+Ho(Sl, ф) —тождественный изоморфизм. Таким
образом,
1\ /2 0\ . .., /1 1\ /1 0
~(Л ,1 и an=(l 1 ^ 0 0,.
Следовательно, keraJ = O, coker а[ — Хъ keraj = Z, coker ai = Z.
Это дает
Z, я = 0,
л» (/с, ф) =
zez2, n=i,
0, п=И«0, 1.
Другие применения точной последовательности Манера — Вьето-
риса читатель найдет в главе 14.
Л\ы определили понятие неприведенпой теории гомологии Л#
на категории J^2'. Займемся теперь тесно связанным с ним поня-
понятием приведенной теории гомологии на 3i--7~'.
7.29. На категории tfJT' определен функтор надстройки 5,
задаваемый равенствами S (X, х0) = (SX, #) и S [/] = [5/] = [ls-ЛЛ-
Приведенная теория гомологии к# на категории §><?Г' — это семей-
семейство функторов kn: 3*оГ' -> ost и естественных эквивалентностей
оп'- kn^>-kn+i'S, «eZ, удовлетворяющих следующей аксиоме.
Аксиома точности: для каждой пунктированной пары
(X, А, х0) последовательность
ь 1/1 ь г/1
kn(A, xo)-^±kn(X, xa)^kn(X\JCA, *)
точна. Здесь i: (А, хо)-+(Х} х0) и /: (X, xo)^-(X\JCA, *) —
очевидные включения.
R дальнейшем для краткости мы будем обозначать kn [/}
символом /, и ол (X, х0) — символом а. Кроме того, как правило»

ГЛ. 7. ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИП 135
мы будем опускать в обозначениях отмеченную точку и писать
k,,(X) вместо"ka(X, xn).
Очень часто мы будем накладывать на приведенные теории
гомологии некоторые дополнительные требования. Сформулируем
их в виде двух аксиом.
7.30. Аксиома суммы. Для любого семейства {(Ха, хх): аеА(
пунктированных пространств вложения ia: Xa-*- \/ Х3 индуци-
рел
руют изоморфизм
ae A
7.31. Аксиома слабой гомотопической эквива-
эквивалентности. Если /: X-vF —слабая гомотопическая эквива-
эквивалентность, то для любой точки хп еX и любого ке2 гомоморфизм
f+: kn(X, xo)->-kn(Y, f(xa)) является изоморфизмом.
Аксиома суммы будет полезна при исследовании не конечных
клеточных пространств, а аксиома слабой гомотопической экви-
эквивалентности будет использоваться для получения информации
о пространствах, не имеющих клеточной структуры. Аналогичные
аксиомы можно сформулировать и для неприведенных теорий
гомологии.
7.32. Предложение. Пцсть \х} — одноточечное топологи-
топологическое пространство. Тогда для любого «eZ
Доказательство. Оба включения i: ({x}, .*;)->-({*}, х)
и /: ({х\, х)-*-({х\ U С{х\, *) являются тождественными отобра-
отображениями. Поэтому последовательность
ММ) - ММ) ~ ММ)
может быть точной в том и только в том случае, когда k:, ({л:})=0. ?
7.33. Предложение. Существуют такие естественные
преобразования
дп: ka(X\}CA)-^kn-l(A), /te=Z,
что для любой пунктированной пары (X, А, хп) имеет место
длинная точная последовательность
Доказательство. Пусть k': Х[)СА ->-SA — отображоние,
определенное в п. 2.39, а v': SA-+SA - гомотопическое обраш.е-

¦30 ГЛ. 7. ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИЙ
нпе в Я-когруппе SA (см. п. 2.22). Зададим дп(Х, А, х0) как
композицию
К (X U С А) ^и- К (SA) ^кп-х (А).
Очевидно, что гомоморфизм дп естествен относительно пункти-
пунктированных пар. Рассмотрим коммутативную диаграмму
Ш) -^ *¦<*) -^
kn(((XU CA)U CX)
kn(SX)
В силу аксиомы точности верхняя строка этой диаграммы точна.
Поэтому точна также и последовательность 7.33. D
Из сказанного выше ясно, что приведенные теории гомологии
более приспособлены для изучения пунктированных пространств,
чем неприведенные теории гомологии. Многие результаты гла-
главы 2 о гомотопических множествах имеют аналоги для приведен-
приведенных теорий. В дальнейшем мы увидим, что даже результаты
пп. 7.15 — 7.17 фактически являются утверждениями, относя-
относящимися к приведенным теориям гомологии.
Замечание. Стинрод и Эйленберг определили приведенные
группы сингулярных гомологии Нп(Х) как Нп(Х) = Нп(Х, \хп}).
Покажем, что этот прием, примененный к произвольной непри-
веденной теории гомологии, дает приведенную теорию гомо-
гомологии.
7.34. Пусть li# —некоторая неприведемная теория гомологии.
Обозначим через /i# семейство функторов hn\ ^^Г'-ху/, опре-
определенных равенствами hn(X, xo) = hn(X, {x0}), hn\!\ = hn[f\ для
/': (X, *o)->-(V\ */o) и естественных преобразований ст„: hn-*-hnJ.i°S
из п. 7.15. Согласно предложению 7.16, ст„ являются естествен-
естественными эквивалентностямп для всех /igZ.
Мы хотим доказать, что h^ — приведенная теория гомологии;
для этого достаточно проверить аксиому точности. Пусть
(X, А, х0) — произвольная пунктированная пара. Тогда имеет

ГЛ. 7. ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИЙ
место коммутативная диаграмма
СА,*)
137
Ип(ХиСА,{*})
hn(X\JCA,CA)
нижняя строка которой представляет собой часть точной после-
последовательности тройки (X, А, {х0}). Кроме того, i* — изоморфизм
по аксиоме вырезания (см. доказательство предложения 7.14) и
/* — изоморфизм в силу стягиваемости пространства (СА, *).
Следовательно, верхняя строка диаграммы также точна, откуда
вытекает, что h^ — приведенная теория гомологии.
7.35. Пусть теперь задана некоторая приведенная теория
гомологии /г„. Обозначим через k^ семейство функторов kn:
о4', определенных равенствами1)
ka(X, A) =
), ka[f]=kn\}],
где }: Х+ U С А* ->¦ У+ U CB+ индуцировано отображением пар
f: (X, Л)->-(У\ В) и естественными преобразованиями dn:hn-*~
kn.i'R предложения 7.33. Тогда в силу 7.33 функтор й* удов-
удовлетворяет аксиоме точности.
Предположим, что теория k* удовлетворяет аксиоме слабой
гомотопической эквивалентности. Пусть (X; А, В) —триада
с X = A\JB. Мы хотим показать, что для любого nsZ вклю-
включение /: (Л, А[)В)-+(Х, В) индуцирует изоморфизм
kn(A,
:, В), neZ.
Если (X; А, В)— клеточная триада, то это утверждение можно
доказать и без использования аксиомы слабой гомотопической
эквивалентности. Действительно, рассмотрим коммутативную
1) Заметим, что любой паре (X, А) канонически отвечает пара (Х+,
и Х+иСЛ+ = Х+иС(Л+) есть конус включения А+ с: Х+. — Прим ред.

'38 ГЛ. 7. ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИЙ
диаграмму
кя(А+ и С(А п В)+) -^- кп(Х+ и СВ+)
S ft» ¦
кп(А/АпВ) ? > к„(Х1В),
ss
в которой pi, р2 — гомотопические эквивалентности и /: А/А[}В-+
XIВ — г омеоморфизм. Следовательно, /# — изоморфизм, т е. на ка-
категории ?/72 клеточных пар k^ без каких-либо дополнительных
предположений является неприведенной теорией гомологии.
На категории е^2' дело обстоит сложнее.
Пусть (X; А, В) — произвольная триада с A\JB — X- Возьмем
клеточные эквиваленты С" для С = А[]В, А' для А, В' для В
таким образом, что А'(]В'=С, и обозначим все три отображе-
отображения С-+С, A' -v А, В'-+В одним и тем же символом l) f. По-
Положим X' — А'{) В'. Из упражнения 6.52 вытекает, что /: X' -+Х
является клеточным эквивалентом для пространства X. Из аксиом
точности и слабой гомотопической эквивалентности следует, что
индуцированные гомоморфизмы
являются изоморфизмами. Рассмотрим коммутативную диаграмму
к„(А+ и С(А О В)+) ~^->-
Гомоморфизм /* в ней является изоморфизмом, поскольку (X';
А', В') — клеточная триада. Следовательно, /#—также изомор-
изоморфизм и, значит, к^ удовлетворяет аксиоме вырезания. Таким
образом, k+ —непрнведенная теория гомологии.
Покажем теперь, что теория h^ естественно эквивалентна
теории h%, а йф—теории k^. лтим мы установим взаимно одно-
однозначное соответствие между приведенными и неприведенными тео-
1) Предполагается также, что отображения А' -*• А и В' -*¦ В совпа аюг
на С —Прим. ред.

ГЛ. 7. ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИЙ 139
риями. Однако уже сейчас ясно, что любому утверждению о
неириведенной теории соответствует утверждение о приведенной
теории и наоборот.
7.36. Предложение. Для любых (X, х0), (Y, y0) e= &W
и любого п включения ix' {X, xo)^>-(X\/Y, *), t>: (У, г/о)-»-
(X\/Y, *) индуцируют изоморфизм
Доказательство. Мы имеем коммутативную диаграмму
К(УЛ)) '^^ АДА'У {})
UX+ U Cxt) © А-„(У+ U Cy# A:n((Jv У)+ и С*+)
()
верхний морфизм которой является изоморфизмом в силу след-
следствия 7.25. Следовательно, нижний морфизм также является
изоморфизмом. ?
7.37. Лемма. Пусть {L, 1п)—такая Н-когруппа с умноже-
умножением [i1: L-*-L\JL и гомотопическим обращением v': L-+-L, что
L — клеточное пространство. Тогда гомоморфизм
задается формулой х >—¦* (х, х), а гомоморфизм
формулой х >—+ — х, где х е kn (L), n e Z-
Доказательство. Если /0: L^-L — постоянное отображе-
отображение (/0 (/) = /о для любого / е L), то имеет место коммутативная
диаграмма
кяЩ
| С/о, 1)* ,
Так как отображение /0: L-*-L пропускается через с: L-+{tn] и
kn({lo\) = O согласно предложению 7.32, то /«*=0. Положим
а~('i*> ta*)'^*'. тогда х — @, l)'a(-t), откуда следует, что
а{х)*я'(У' х) Для некоторого элемента у (зависящего от х). Исполь-
Используя тот факт, что A, /0)°[i'~li мы находим, что а(х) = (х, у')
для некоторого у'. Следовательно, а(х) — (х, х).

140 ГЛ. 7. ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИЙ
Мы имеем также (v', 1)°ц/~/п, откуда (vi, 1)-сх =
(v\ 1)ф •М-* = 'о* =0. Значит, 0 = (vi, l)»a(x) = v^ (x) + x для
всех x^kn(L), т. е. vi(x) = — л:. П
Замечание. Для любого пунктированного пространства
(X, х0) очевидным образом определено «складывающее» отобра-
отображение A': X\JX^>~X. Так как А'«й = 1Х = А'-4. то, очевидно,
Д*°(«1*. 'з*)(*> У) = х + У для любых X, r/sfe,,(^)-
Для любой приведенной теории гомологии А# имеет место
отображение
кп: [X, х„; Г, уо]-> Нот (*„(*), ЛЯ(К)),
определенное формулой
к» [/] = /* = *« [Л-
7.38. Предложение. Пусть (L, /0) — такая Н-когруппа,
что L — клеточное пространство. Тогда для любых п eZ.
(Ж,_ х0) s ^s^" отображение
ка: [L, /й; У, 0„1-* Нот (*„(?),
является гомоморфизмом.
Доказательство. Если заданы отображения /,g: (L, /0)
(К, г/о), то мы имеем
Следовательно,
«»(Ш+И) w=Ai • (/ v г)* • ц; w=а; (/, (х), g, (х))
/* W + g* (х) = кп [/] (х) + к„ [g] (х)
для любого ле^(L). Таким образом,
7.39. Определение. Особый интерес представляет случай,
когда (L, /0) = Eя, Su) и в группе kn (S°) выделе» элемент io<=&o(S°).
Определим гомоморфизм Гуревича h: лл(У, г/о)-^-/г„(У) как
композицию
nn(Y, yo)^[S", s0; Y, y0)^Hom(kn(S"), kn (Y)) il
Horn (&, E°), /
где е(Ф) = фA0) для Ф е Нот (fe E°), А„(У)). Имеется и другое
описание гомоморфизма h. Для каждого п положим in = с" (i0) e
А„ Eя). Тогда h [/] = /. (ц) е йя (Г) для любого /: E", s0) -»- (Г, у0).
В дальнейшем мы изучим этот гомоморфизм более подробно (см.
главы 10, 13, 19).

ГЛ. 7. ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИП 141
А сейчас завершим доказательство взаимно однозначного соот-
соответствия между неприведенными и приведенными теориями го-
гомологии.
7.40. Определение. Естественным преобразованием
Т*'- h*-**h* неприведенной теории гомологии h^ в неприведенную
теорию гомологии /t* называется такое семейство естественных
преобразований Тп: hn-+h'n, что для каждой пары (X, А) имеет
место коммутативный квадрат
TAX,A)
Э'
h'?X,A) > л;_,(л, 0).
Имеется и соответствующее понятие естественного преобразования
приведенных теорий гомологии*). Естественное преобразование Т%
называется естественной эквивалентностью теорий гомологии, если
Тп — естественная эквивалентность для каждого «eZ.
7.41. Для любой приведенной теории гомологии k% и любого
пунктированного пространства (X, х0) мы имеем
ln(X, xo) = kn(X, {xo}) = kn(X+[JC{xo'+).
Говорят, что (X, х0) — пунктированное пространство с невырожден-
невырожденной отмеченной точкой, если включение {хо\ а X является корас-
корасслоением. В этом случае в силу предложения 6.6 проекция
р: (Х+[}С {хо}-?, *)->-(А, х0) (сжатие конуса С {хо}+ в отмеченную
точку) является гомотопической эквивалентностью. Если обозна-
обозначить через гР^'ц гомотопическую категорию пунктированных про-
пространств с невырожденными отмеченными точками, то проекция р
определяет на этой категории естественную эквивалентность
Тп'- ka-+kn для каждого /isZ.
7.42. Лемма. Эквивалентности Т„ удовлетворяют условию
Таким образом, если k% удовлетворяет аксиоме слабой гомотопи-
гомотопической эквивалентности, то семейство Т% = \Тп\ определяет естест-
естественную эквивалентность приведенных теорий гомологии k^ и k% на
категории*) &&"
1) Соответствующим аналогом равенства д'Тп (X, А) = Тп_х (А, ф) д
является равенство Tn(SX) с--о'Тп_1(Х). — Лрим. ред.
г) Тот факт, что А„ являете:, приведенной теорией гомологии, доказан
в п. 7.35, и именно здесь используется то, что kt удовлетворяет аксиоме сла-
слабой гомотопической эквивалентности. — Прим. ред.

142
ГЛ. 7. ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИЙ
Доказательство. Рассмотрим диаграмму
а
+)<r-kn{X+)-^kn+l(S(X+))
J* 11 -f
(v'ok\
, 0)
Pz*
kn+l(CX,X)
Pi*
kn+l(SX,{*})
где /: (X+, +)-+(X, xv) определено формулами }\Х = lx,
/(+) = -^o- Из определения гомоморфизмов Тп(Х), Tn+l{SX), A,
д, о и естественности преобразования а непосредственно следует,
что эта диаграмма коммутативна. Каждая из проекций обозна-
обозначена символом pi, i=l, 2, 3. Заметим, в частности, что отобра-
отображение v' необходимо для того, чтобы имела место гомотопность
Так как А — изоморфизм, то для любого iel(X) найдется
такой y^kn+i(CX, X), что А (*/) = *. Но тогда
а. Т„(Х)(х) = а. Ри{х) = ориА(У) =
о•!•• д(У) = Sj*.o.S(у) = SU• (v'• k% (у) =
Гя+1 (SX) - а • А {у) = Тп+1 (SX) • а (х). П
7.43. Для любой неприведенной теории h# и любой пары
(X, Л)е^3' мы имеем
К(Х. А) = й„ (Х+ U СЛ+) == К (Х+ U СЛ+, {*}).
Для каждого neZ композиция
, A)
определяет естественную эквивалентность Т'п: fin-+ha.

ГЛ. 7. ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИИ
143
7.44. Лемма. Для любой пари (X, А) жвизалентности Т'п
удовлетворяют условию
д.Т'п(Х, A) = rH-i{A, ф).д.
Таким образом, если h^ удовлетворяет аксиоме слабой гомотопи-
гомотопической эквивалентности, то семейство Тч = \Т'Л) определяет естест-
естественную эквивалентность неприведенных теорий гомологии h^ и /г*
на категории dTv.
Доказательство. Из определений групп пп(Х, А),
К-х{А, ф) и гомоморфизма д следует, что д является композицией
К (X * U С А \ {*}) ^-*'Н hn
Рассмотрим диаграмму
К (СА\ А*) ^
П(Х,А)
Ji* hn(X+uCA+,A+)
и СА\ С А*)
Нетрудно проверить, что эта диаграмма коммутативна. Ломаная,
идущая по периферии из нижнего левого угла через правый ниж-
нижний угол в правый верхний угол, представляет собой гомомор-
гомоморфизм — д; знак минус появился потому, что мы пропустили
гомоморфизм v* (см. лемму 7.37). Заметим, что в центре диа-
диаграммы находится шестиугольная диаграмма 7.22 триады
(Х+иСЛ+; АЛ С А"). Следовательно,

144 ГЛ. 7. ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИИ
Если задан некоторый элемент x^hn(X, А) = Ь.„(Х+\}СА*, {*}),
то
д-Тп(х) = д' Щ - /,* - J,* (х) = ь» • Ai • /ii • У|* (х) =
— tai • Аз - /а* ° Л* (*) = — ^n-i M, ф)-Ьл'Рп^%9 (X) =
Замечания, i) Легко видеть, что если (X, A)^dT'i, то
Х^иСЛ1 е^/"о- Следовательно, доказав леммы 7.42 и 7.44, мы
установили взаимно однозначное соответствие между неприведен-
ными и приведенными теориями гомологии.
И) Если ограничиться категориями Wv и ^УТ' клеточных
пар и пунктированных клеточных пространств, то взаимно одно-
однозначное соответствие между неприведенными и приведенными тео-
теориями получается без аксиомы слабой гомотопической эквивалент-
эквивалентности (в силу пп. 6.32 и 7.7 она выполняется автоматически).
Из сказанного выше ясно, что нет нужды рассматривать сразу
оба класса теорий гомологии. Очевидно, что приведенные теории
более тесно связаны с гомотопическими группами. В то же время
мы увидим, что неприведенные теории более удобны в некоторых
других ситуациях, например, при изучении многообразий.
Так как для любого одноточечного пространства {х} простран-
пространство \х}+ гомеоморфно нульмерной сфере S0, то мы имеем kn (S°) ^
kn({x}+) — kr,({x}, ф) для любого neZ и любой приведенной тео-
теории гомологии к*. Поэтому разумно назвать группы kn (S°), neZ,
группами коэффициентов приведенной теории k^. Заметим, что
km (Sn) g>-: km-n E°) для любых т, п.
Поскольку для любого клеточного пространства (X, х0) мы
имеем Хп/Ха^1~ \J Sn, то точная последовательность пары
(X", Xй) превращается в точную последовательность
\ а
Если множество Jn конечно, то, применяя предложение 7.36 и
индукцию по числу клеток, мы получим изоморфизмы
Таким образом, имея информацию о группах коэффициентов k^)
мы зачастую можем индуктивно получить информацию о груп-
группах kr(Xn) Однако, если клеточное пространство X не конечно,
то требуются некоторые дополнительные предположения. Если k^

ГЛ. 7. ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИЙ 145
удовлетворяет аксиоме суммы, то
0 k?-n(S°)
J
даже когда множество индексов Jn бесконечно.
И все же, несмотря на то, что эти изоморфизмы для каждого п
доставляют нам некоторую информацию о группе kg(X"), мы
в общем случае не можем абсолютно ничего сказать о группе kg(X)
для бесконечномерного клеточного пространства X. Читатель
вправе спросить, почему эти проблемы не возникали при изуче-
изучении гомотопических групп. Дело в том, что элементы гомотопи-
гомотопических групп пп (X, ха) представляются отображениями f: Sn -*¦ X
и образ f(Sn), будучи компактным, всегда лежит в конечном кле-
клеточном подпространстве. Поскольку такого рода соображения
мало полезны для теорий гомологии k*, мы пойдем другим путем.
Вложения у": Хп-*-Хт, п^т, индуцируют гомоморфизмы
/?: kg(Xn)-+kg(Xm), удовлетворяющие равенствам /^• \npte = /?.
Кроме того, вложения in: Xn-*-X индуцируют такие морфизмы
in*'- kg(X")-*-kg(X), что t'm* °/n* = t/!*- Имеется обобщающая эту
ситуацию алгебраическая конструкция —так называемая прямая
(или индуктивная) система абелевых групп.
7.45. Определение. Направленным множеством называется
такое частично упорядоченное множество (A, =si), что для любых
двух элементов a, f> e А существует такой элемент уеА, что
P
Прямой (или индуктивной) системой абелевых групп назы-
называется такое семейство \Ga: aeA} абелевых групп Ga, индекси-
индексированных элементами направленного множества А, и гомоморфиз-
гомоморфизмов /Р: Ga->GP, a<p, что /J(°/? = /2 при a«sp<v и /а=1 для
любого aeA. Прямой (или индуктивный) предел1) dirlimGa
прямой системы Юа, у^, А| —это абелева группа, определяемая
следующим образом. Пусть i-x: G^-> ® Ga —очевидное вложение
as A
и пусть R — подгруппа ф Ga группы, порожденная элементами
as A
вида /р • /? ig) — ia(g) для всех geGa и всех таких а. Ре А, что
а*;р. Тогда dirlirnGa= © GJR- Вложения ia: Ga-»- © G%
индуцируют гомоморфизмы Ga-> dirlimGa, которые мы также обо-
обозначим через ta. Они удовлетворяют условию i^ - /Р = ia при a ss; p.
7.46. Предложение. Прямой предел (dirlimGa, {iz\) с точ-
точностью до изоморфизма характеризуется следующим свойством.
Для любой группы Н и любых гомоморфизмов /а: Ga-*-H, aeA,
•) В литературе встречаются также обозначения colim Ga, limGa,
indO^. — Прим ред. *

146 ГЛ. 7. ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИЙ
удовлетворяющих равенствам /р°/«==/« при всех ос=^Р, найдется
единственный гомоморфизм f: dir lim Ga-»-Я с f'ia — fa, aeA.
Доказательство. Прямая сумма 0 Ga характеризуется
USA
с точностью до изоморфизма тем свойством, что для любого се-
семейства гомоморфизмов /а: Ga->-# найдется единственный гомо-.
морфизм/': ffiC^W с /'-/« = /«, осе А. Если, кроме того,
а
гомоморфизмы fa удовлетворяют равенствам /p°/a — fa для всех
а, р с as^p, то /'(/?) = 0. Следовательно, в этом случае /' про-
пропускается через dirlimGot = ?В GJR, что дает отображение
asA
/: dirWmGj,->H с f°ia = fa, aeA.
Предположим теперь, что g: dir lim Ga->- Я — еще один гомо-
гомоморфизм, удовлетворяющий условиям g-ic, = /a, ueA. Для ком-
композиции g°g: @Ga->W, где q: ф Ga->-dirlimGa —естественная
a гееА
проекция, выполняются равенства (g°q)'ia — fa, «eA. Следова-
Следовательно, g°q = f- Но/ является единственным гомоморфизмом,
для которого f°q — f- Поэтому / = g.
Пусть, наконец, G —некоторая группа и ia: G^-*-G — такие
гомоморфизмы, что для любого семейства /a: Ga->H, aeA,
с f?,j^ = fa существует единственный гомоморфизм Ф: G—>H
с 0.ta = /a. Взяв в качестве /а гомоморфизмы ix: Ga->dir limGa,
мы найдем единственный гомоморфизм ф: G->dirlimGa, для ко-
которого Ф ' Ir,. = ia-
Аналогично, существует единственный гомоморфизм
Ф'\ dir lim Ga->G с Ф'°ц = 1а- Оба гомоморфизма ^ = ф' = ф и
¦ф=1о удовлетворяют условию \|)°ia=4. поэтому, в силу един-
единственности, ф'°Ф = \а. Точно так же Ф«Ф' = ldir Hm Ga- Следова-
Следовательно, Ф представляет собой изоморфизм, и он является един-
единственным изоморфизмом, для которого Ф' ia = ia. ?
Гомоморфизм /, существование и единственность которого
установлена в предложении 7.46, будет обозначаться через
{/я}: dir limGa-* Я.
7.47. Определение. Морфизмом прямых систем абелепых
групп {G-_, /?, A}J^l{Ga, }a, Л} называется такое семейство
гомоморфизмов Фа: Ga -> G'a, a е Л, что /'J1 - Фа — Ф^ - /Р.
7.43. Следствие. Любой морфизм прямых систем {Фа\:
{Go} ->¦ {G«} индуцирует такой гомоморфизм
dir lim Фа: dir lim Ga-^ dir lim Ga,
что (dir lim Фа) °tp = ip »Фр Зля em: Ре А.
Доказательство. Для отображений

ГЛ. 7. ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИИ 147
выполняются равенства /р»/« = /р • Фр • /а = /р • {? - </>а = i'a • <?а = /'д.
Следовательно, можно положить dirlim&x —{/a}. D
7.49. Следствие. Пусть (б'а, /?}, {G'a, fa}—прямые системы1)
и f >.'¦ Ga-*-H, /„: Ga-*-H', asA, — такие гомоморфизмы, что
f?-& = fa, f't'ia=f*- Пусть, далее, {Фа\: \G,X\-+{G'a\ - морфшм
прямых систем и Ф: И->-Я' —такой гомоморфизм, что для
каждого аеА диаграмма
V
ft »
коммутативна. Тогда имеет место коммутативный квадрат
Доказательство. Имеем Ф • {/а} • ig = Ф • /(i = /р • ф$ и
{/;} • dir ИтФа- tp = {/„} • tp = Ф3=/в°*р
для всех р е А. В силу единственности отсюда следует, что
«НУН/аМ'гНтФ*. П
Прямые пределы, кроме того, хорошо ведут себя по отноше-
отношению к точным последовательностям.
7.50. Предложение. Пусть {Аа\, \Ва\, {Са\ —прямые си-
системы U \фа\: {Аа} -*-{Ва}, {tya}' {Ba}-* {Са} — МОрфиЗМЫ ПрЯМЫХ
систем. Если все последовательности
Aj^B^Ca, aeA,
точны, то последовательность
тпже точна.
Доказательство. Введем на \J Ga отношение эквива-
1ЕА
лентности --•, полагая, что ?~g', где g<=Ga, g'eGp, тогда и
только тогда, когда существует у 9sa, уЭ^Р с /^ = Я?'- В фак-
!) В дальнейшем обозначение прямой системы |Оа, /^, А| будет часто
сокращаться до |Ga, /^} или даже до {Ga}.— Прим. ред

148 ГЛ. 7. ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИИ
тормножестве G = |J Ga/~ естественным образом определена опе-
операция сложения: {g\ + {g'} = {i%g +j%g'}, g(=G*,g' eGp. Зададим
гомоморфизмы ia: Ga^>-G, полагая i*x(g) = {g}- Легко видеть, что
\G, ia} обладает универсальным свойством прямого предела и,
следовательно, dir WmGa — G. В частности, если g e Ga, то ia (g) — О
в группе dir lim Ga тогда и только тогда, когда /'?(&) = 0 для не-
некоторого 7^а'
Без труда проверяется, что (dir lim \[)a)«(dir \\тфа) —
dir Пт(г])а°Фа) = 0. Пусть теперь для {b} eBg^dirlimBa выпол-
выполнено равенство dir lirm|ia{b} = 0. Для b^Ba это означает, что
для некоторого р ^ а. Следовательно, В/'Р (Ь) = Ф6 (а) для некото-
некоторого а^Ар. Таким образом, dir lim<*a({a}) = {b}. D
7.51. Следствие. Если {Фа}: \Gr/L\ -*¦ {G«} — такой морфизм
прямых систем, что каждый гомоморфизм Фа является мономор-
мономорфизмом (соответственно, эпиморфизмом; соответственно, изомор-
изоморфизмом), то этим же свойством обладает dir lim Фа.
В предыдущей главе мы в неявном виде использовали следую-
следующий результат.
7.52. Предложение. Пусть (X, х0) — пунктированное про-
пространство и {Ха- as А}—такое упорядоченное по включению
семейство его подпространств, что для каждого компактного под-
подмножества С а X существует такое Ху, что С а Ху. Пусть
;?: Xa->-A'p, ia' Xn-^-X— естественные включения. Тогда группы
я.. (Х-х, х») и гомоморфизмы /?ф образуют прямую систему абеле-
еых групп (пЭ=2) и
{la*}: dirlimnn(Xa> хп)-+пп(Х, х0)
является изоморфизмом.
Доказательство. Первое утверждение очевидно. Если
задано отображение /: (Sn, so)-»-(X, x0), то существует ХааХ
с / E") с: Ха. Таким образом, / определяет элемент [f]a e пп(Ха, х0)
и без труда проверяется, что {»'«*} ({[/]а}) = [/]- Следовательно,
{'«*} — эпиморфизм.
Пусть теперь gt: (Sn, so)^-(Aa, х0), gi- {Sn, so)->(Xfi, x0) —
такие отображения, что {ia:lt} ({[gi]}) = {*a*} ({[Ы1)- Эт° равенство
означает, что t'a°gi —'э*?г в X. Обозначим через Я связывающую
их гомотопию. Так как образ H(SnxI) компактен, то найдется
такое Ху, что И (SnXl)czXT Другими словами, ja*[gi\ = j}[g2],
т. е. {[gi]} = {[§2]}. Следовательно, {ia:(.) —мономорфизм. П
Соответствующий результат справедлив и для теорий гомоло-
гомологии, удовлетворяющих на &W аксиоме суммы.

ГЛ. 7. ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИЙ 14'*
7.53. Предложение. Пусть (X, х0) — клеточное простран-
пространство и
Х° с:... с X" а... сг X
— такая последовательность его клеточных подпространств, что
У Хп = Х. Обозначим через /™: Хп-+Хт, in: Xn->X очевидные
включения. Тогда группы kg(X") n гомоморфизмы /^ образуют
прямую систему. Если, кроме того, k* удовлетворяет на З'Ш
аксиоме суммы, то
{*„„}: div\\mkg(X")->k9(X)
— изоморфизм для любого q e Z-
Доказательство. Построим «бесконечный телескоп»
Х' = (J [л-1, пу/\ X" <=:[-2, co)+f\X.
п 5= — 1
Тогда X' является клеточным пространством, и мы имеем отобра-
отображение г: Х'->Х, которое представляет собой ограничение на X'
проекции рх: [—2, оо)хХ->Х. Для каждого п положим \'п =
п
U [k — 1, k]+ Д X* с X'. Легко видеть, что имеют место вклю-
* = -i
чения jT: Х'п-+Х',„, п^т, и i'n: X^->X'. Кроме того, опреде-
определены отображения гп: Х'„-*-Хп (ограничения на Х'„ проекции
[—2, пУ Д Х"->Х") и kn: X"-+X'n (задаваемые формулой к„ (х) =
[п, х], х е Л'я). Эти отображения удовлетворяют соотношениям
г . i'm — >'тоГ г Ь 1
'т 1 п — 1п ' nt ' п Кп — 1 хп>
I с Г = f ./' Ъ t. Y *~*^ 1 #
*П ' П ' * Я 9 КП ' П * V •
Л п
Гомотопия kn'fnc^\x' задается формулой
Kn([s, x], t) = [(l-t)s + tn, x], se[A;-l, n], хеХ», / е= 7.
Следовательно, гя является гомотопической эквивалентностью для
каждого п^5—1.
Без труда проверяется, что {пд(Хп, хп), /",}, {пч{Х'„, *), /«} —
прямые системы и |гл#} —морфизм прямых систем. В силу след-
следствия 7.49 квадрат
dirlim *,
7.54. dirlimrjs К*
1

150
ГЛ. 7. ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИП
коммутативен, а в силу предложения 7.52 {i'n*) и \ir*\ являются
изоморфизмами. Следовательно, г* — изоморфизм для каждого q.
Но тогда по теореме 6.32 Уайтхеда г является гомотопической
¦эквивалентностью. (Это хороший пример ситуации, когда трудно
представить отображение, гомотопически обратное к данному ото-
отображению г.)
Положим теперь
*¦>—i
k нечетно
5= (J [k-l, kYf\X"czX'.
ft четно
Легко видеть, что
И) А(]В = \/ ЩхХ*^ \/ X",
*>—i *>—i
iii) \/ {k}xXk — сильный деформационный ретракт в А,
*>—1
к нечетно
iv) V Wх ^* ~ сильный деформационный ретракт в В.
fc четно
Рассмотрим коммутативную диаграмму
кч(Х')
верхняя строка которой представляет собой точную последова-
последовательность Майера — Вьеториса для триады (Х'\ А, В), гомомор-
гомоморфизм а' определен формулой а' (х) = in (x) + tn+i*/n*~' (x) для
x^kq{X") (где {„: kq(X1-)->¦ ©кя{X") — вложение прямого сла-
п
гаемого), а гомоморфизм Р' задан формулой
Ясно, что а' — мономорфизм и, значит, Р' (а потому и
{(—l)n+1t'n*}) — эпиморфизм. Поэтому мы имеем коммутативную

ГЛ. 7. ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИЙ
диаграмму точных последовательностей
(НГЧЛ
О
где д {х) =. (-1)" {iVni"*+' (*) - U (*)} для х е fe9 (Xя). Но
dir lim kq (X") = ® ft, (X")/im a. D
Таким образом, если теория гомологии k* удовлетворяет на afiffl
аксиоме суммы, то, зная группы kq (X") для всех я ^—1, можно
получить некоторую информацию о группе
Доказательство следующей теоремы служит типичным приме-
примером рассуждения, основанного на индукции по остовам, — приеме,
о котором уже упоминалось выше.
7.55. Теорема. Пусть Т+: k^-^-k'^ —естественное преобра-
преобразование приведенных теорий гомологии. Если
TQ(S°): k9(S0)-+
изоморфизм при q<.N и эпиморфизм при q = N, то для каждого
конечного (п — 1)-связного клеточного пространства (X, х0) го-
гомоморфизм
Тв(Х):
является изоморфизмом при q<n + N и эпиморфизмом при
q = n-\-N Если теории k^, k* удовлетворяют на ^Ш' аксиоме
суммы, то сказанное справедливо и для бесконечного клеточного
пространства X. Если, сверх того, /г*, k'* удовлетворяют аксиоме
слабой гомотопической эквивалентности, то сказанное справедливо
и для произвольного (п — \)'-связного monoлогического пространства X.
Доказательство. Так как Т перестановочно с функтором
надстройки а, то квадрат
коммутативен, откуда следует, что Tq+n (Sn) — изоморфизм при
q<.N и эпиморфизм при q = N. Так как Т — естественное пре-

152 гл. 7. теории гомологии и когомологий
образование, то имеет место коммутативная диаграмма
Гомоморфизм (?Tv(s?) является изоморфизмом при q<n-\-N и
а
эпиморфизмом при q = n-\-N. И в той, и в другой теории {('rXil.} —
изоморфизм, если Jn конечно, или же если k*, &* удовлетворяют
аксиоме суммы. Во всех случаях Tq(\/ S?j — изоморфизм для
А' и эпиморфизм для G = rt
Заменяя, если необходимо, - гомотопически эквивалентным
пространством, можно считать, что X"-1 = {х0}- Так как fe9(X"-1) =
&v (|xnj) = 0 = k'q (X"-1) для всех ^, то Тд (X"-1) — изоморфизм. Пред-
Предположим теперь, что при некотором т^з-п мы доказали, что
Тд (Хт1) — изоморфизм при q<.n + N и эпиморфизм при q = n-\-N:
Рассмотрим коммутативную диаграмму точных последовательностей
••¦ - *,+i(V,.j.Sr) -> кДХ—1) -+ кя(Хт) -*
Если q<.n + N, то Т,(X-1), TJ\/S%\ и Tq-x(Xm-l)-\
физмы, a TqJrlI\J Sa) — эпиморфизм. Поэтому по лемме о пяти
\ /
гомоморфизмах Tq (Xm) также является изоморфизмом. Если же
q = n + N, то Т^Х-1), Tq(\J Sa\ -эпиморфизмы, а 7,_i(A1»-1) —
\ a /
изоморфизм, так что Та(Хт) является эпиморфизмом.

ГЛ. 7. ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИЙ 15*
В случае, когда клеточное пространство X бесконечномерно,
а &*, li* удовлетворяют аксиоме суммы, мы имеем коммутативную-
диаграмму
dirlim *,(*"•) -^U к„(Х)
dirlimr,(A'm) I I
Таким образом, если Tq(Xm) — изоморфизм при q<n-{-.V и эпи-
эпиморфизм при q = n-\-N (m;>=—Л), то теми же свойствами обла-
обладает гомоморфизм dir\imTq(Xm) и, значит, гомоморфизм Тд(Х).
Наконец, если теории /г*, к'# удовлетворяют аксиоме слабой
гомотопической эквивалентности, то мы получим доказательство,
взяв клеточные эквиваленты. ?
Двойственным к понятию теории гомологии является понятие
теории когомологий.
7.56. Определение. Приведенной теорией когомологий на
категории аРзГ' называется семейство кофункторов k": T-J~'-+?-Z
и естественных эквивялентностей ап: k"-1'S~*-k", neZ, удов-
удовлетворяющих следующей аксиоме.
Аксиома точности: для каждой пунктированной пары
(X, А, хп) последовательность
k"(A, xo)---*"(X, хо)?®k*(X[}CA, *)
точна. Здесь i: (А, хо)-*-(Х, х0) и /: (X, хо)-у(Х[]СА, *)-оче-
*)-очевидные вложения.
Аналогичным образом можно определить неприведенную тео-
теорию когомологий на категории sf~2'.
Для теорий когомологий все леммы, предложения, теоремы и т. д.,
начиная с предложения 7.2 и кончая леммой 7.44, допускают
двойственные формулировки и двойственные доказательства.
К сожалению, при переходе к пределу когомологий ведут себя
не так хорошо, как гомологии. Поэтому для теорий когомологий
аналоги всех результатов, начиная с определения 7.45, нуждаются
в особой трактовке.
Включения /л": Хп-+Хт, п^т, и in: Xn^>-X индуцируют
гомоморфизмы /Г: У (Хт) -*¦ № (Хп) и г*: k«(X)-+k« (Xn), удов-
удовлетворяющие равенствам jT° fm = j"n*, jn*'i% = i%- Это наблюде-
наблюдение приводит к следующему понятию, дуализирующему понятие
прямой системы.
7.57. Определение. Обратной (или проективной) системой
абелевых групп называется такое семейство {Ga\ абелевых групп,

154 ГЛ. 7. ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИИ
индексированных элементами направленного множества А, и
гомоморфизмов /?: G$-+Ga, а^р, что /?°/JjJ = /? ПРИ as?=P^ Y
и /'* = 1 для любого а е А. Если задана некоторая обратная
система Юа, /?, А|, то обратным (или проективным) пределом
называется группа 1 im° Ga = inv 1 im Ga, определяемая следующим
образом'):
invlimGa есть подгруппа группы |^ Ga,
состоящая из всех таких / е [] Ga, что /Р (/ (Р)) = / (а) для лю-
яе=Л
бых а, р с а<;р. Ограничения проекций pa: Y\ Ga-*-Ga на
подгруппу invlimGa индуцируют гомоморфизмы
ра: inv limGa-+Ga,
удовлетворяющие условиям lfx°P$ = P.- для любых a, p из А
с а<р.
7.58. Предложение Обратный предел (inv lim Ga, {pa})
характеризуется с точностью до изоморфизма следующим свой-
свойством. Для любой группы И и любых гомоморфизмов fa: #-*-G.a,
aeA, удовлетворяющих равенствам /?°/p = /a «рма-^р, ясй-
дгтся единственный гомоморфизм f: ^/->-invlimGa с pa°f = fa,
а е Л.
Доказательство. Легко видеть, что существует и един-
единствен такой гомоморфизм {/а}: Н-*• \\ Ga, что ра•{/%}= fa- По-
оёА
этому для доказательства достаточно убедиться, что при сделан-
сделанных предположениях im {f,-J crinvlimGa. А это проверяется дуа-
лизацией соответствующих рассуждений из 7.45. G
Как и раньше, обозначим гомоморфизм /, существование и
единственность которого гарантируется предложением 7.58, через
;/,-,}: W-»-i;ivliraC,
7.59. Существует очевидное определение морфизма обратных
систем. Дуализируя 7.48, получим, что морфизм {Фа\- {Ga\->-{Ga}
обратных систем индуцирует такой гомоморфизм
inv lim Фа: inv HmGa-> inv
что pJ5" inv lim Фа = Фр»рр для всех ре А.
7.60. Аналогичным образом можно дуализировать следст-
следствие 7.49. В результате получим такое утверждение: если задан
морфизм обратных систем
1) Встречаются также обозначения HinGa, Jim pro Ga и просто lim Ga.—
Прим. ред.

ГЛ. 7. ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИИ 155
и такие гомоморфизмы fa: #->Ga, f'a: H'-+G'a, Ф: Н-*Н', чта
/?°/р = /ос» i'a°f» = fa и fa'Ф = Фа'fa, то имеет место коммутатив-
ная диаграмма
Н —"—* inv lim Ga
ф\ inv lim ф(
H'l^U inv lim G'
Все сказанное до сих пор об обратных пределах получалось
дуализацией соответствующих утверждений о прямых пределах.
Однако, как только мы приходим к предложению 7.50, двойствен-
двойственность нарушается: обратный предел inv lim не сохраняет точность.
7.61. Пример. Пусть р: Ъ-^Ъг — каноническая проекция.
Тогда имеет место коммутативная диаграмма с точными строками
0
1
у 0.
Пусть {Ап, /'?} — проективная система с Ап — Ъ Для всех целых:
п5= 0 и /"'(г) = Зт-"г, п^т, а {в„, ft™}—обратная система
с Вп~Ъч. для всех п^О и k%=l, n^tn. Определим отображе-
отображения {«,.}'• И/.}-ЧЯл}, Ш- {Д,}->{0}, полагая Фп(х)=р(х),
х е Ап, г|)я = 0. Тогда {Ф„\, {tyn} являются морфизмами обратных
систем, и для каждого п ^ 0 имеет место точная последовательность.
Но единственной последовательностью целых чисел {аР, аи ...},.
для которой а; = За,+1 при всех i^=0, является нулевая последо-
последовательность. Поэтому inv lim Ля = 0. Ясно, что inv Нт5„ = 22-
Таким- образом, предельная последовательность
inv iim An inilH^L inv lim Вя ^-^ inv lim 0
не точна.
В действительности функтор inv lim представляет собой при-
пример так называемого точного слева функтора (см. [49]) и, следо-
следовательно, порождает производные функторы lim*, k^O. Мы огра-
ограничимся здесь случаем А = М, поскольку он гораздо проще общей
ситуации и в то же время вполне достаточен для приложений
к обратным системам [к4 {Х")\.

156 гл. 7. теории гомологии и когомологии
7.62. Рассмотрим отображение Jj[ Gn-- J^G,,, определенное
п п
формулой
для / е ]Д Gn. Отметим, что ker б с: Y\ Gn состоит из тех элемен-
п п
тов / (= Y\Gn,. для которых /'" +'(/(«+О) = /("). л 3=0. Но это —
в точности группа Нт°0„ = inv Y\mGn. Положим lim!G, = сокегб.
Говорят, что задана короткая точная последовательность
обратных систем, если для каждого п > 0 точна последователь-
последовательность абелевых групп и гомоморфизмов
7.63. Предложение. Короткая точная последовательность
проективных систем порождает точную последовательность
Доказательство. Будем считать, что
П <?.-'-П<?.
п п
представляет собой коцепной комплекс С* {Gn} с С0 = С1 = Y\ Gn,
С" = 0, ?.3=2. В этих терминах \\m°Gn = H0(C* ({Gn})), lim1G,=
Н1 (С* ({Gn})). Мы имеем короткую точную последовательность
коцепных комплексов
0-+C* ({Ап}) Х-Ш~ С* ({Вп}) i-^
Результирующая длинная точная последовательность групп кого-
когомологии есть не что иное, как последовательность 7.63. ?
7.64. Следствие. Если {Ф„}: {Gn\->• {G'n} — такой морфизм
обратных систем, что каждый Фп — изоморфизм, то Нт°Ф, и
Пт1 Ф„ являются изоморфизмами.
Попытаемся теперь дуализировать предложение 7.53. Прежде
всего сформулируем для теорий когомологии аналог аксиомы суммы.
7.65. Аксиомасуммы. Для любого семейства {(Х„, лг-^): аеА}
пунктированных пространств включения ia: Ха-*- у Xp инду-
индуцируют изоморфизм
{Й}: h* tyXa\-+ П *ЧХв).
I a У аеА

ГЛ. 7. ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИЙ
157
Самое большее, что мы можем получить в качестве аналога
предложения 7.53,—это следующее утверждение.
7.66. Предложение. Пусть (X, хп) — клеточное простран-
пространство и Х° с:... d X" а ¦ ¦. сХ — такая последовательность его
клеточных подпространств, что [J Хп = Х. Обозначим через
\"К Х"->-Хт, п^т, /„: Хп-+Х очевидные включения. Тогда
{&* (X"), /"*, М} для каждого q eZ образует обратную систему.
Если теория когомологий k* удовлетворяет на &W' аксиоме суммы,
то имеет место точная последовательностьг)
О -> lim1 к*-1 (Xя) -> k« (X)х-^- lim° к" (X") -*¦ 0.
Доказательство. Воспользуемся схемой доказательства
предложения 7.53. Пусть
л > - 1
[k-l, k]+/\X»aX',
I
О
:= (J fife— 1, k\*/\XkczX'.
к > — 1
ft нечетно
It четно
Точная последовательность Майера — Вьеториса для триады
(X'; А, В) в нашем случае имеет вид
1) Как уже говорилось, можно определить функторы lim*, k'rS-Q, беско-
бесконечно продолжающие вправо точную последовательность предложения 7.63
(см. [5*]). При этом для Л = М lim'' = 0 при fe>l, поэтому такая последова-
последовательность в предложении 7.63 обрывается. Обобщается и предложение 7.66:
если имеется семейство {^а} клеточных подпространств с U^a = ^' TO воз-
возникает спектральная последовательность (см. гл. 15) Ер,л', где Е?'" — \irnP№ (Ха),
сходящаяся к k* (X); см. \2*\.~Прим. ред

158 гл. 7. теории гомологии и когомологий
где гомоморфизм а' задан формулой [«'(/)](«) = (—1Г+1{/(«)—
/n + l*/(n+ 1)}' / s J][ ?9 (X"), а гомоморфизм p" — формулой
№'(*)] (я) = *»?*(*),"*<=#(*'). Таким образом, а'= — 6, и мы
получаем точную последовательность
О »¦ cokera' у к«(Х) -^-^ kera' >- О
III
Следовательно, для теорий когомологий гомоморфизм
\i*n\: k9 (X)-* \\т° & (X")
является изоморфизмом в том и только в том случае, когда
H1ft1(XH
()
Сформулируем теперь аналог теоремы 7.55. Его доказатель-
доказательство не использует результатов пп. 7.57 — 7.66.
7.67. Теорема. Пусть Т*: к* ->k'* — естественное преобра-
преобразование теорий когомологий, удовлетворяющих на категории №W'
аксиоме суммы. Если Т9 (S°): kq (S°) ->¦ к E°) — изоморфизм для
q> N и эпиморфизм для q — N, mo для любого п-мерного клеточ-
клеточного пространства (X, х0) гомоморфизм
является изоморфизмом для q>n-\-N и эпиморфизмом для
q
Доказательство. Получается дуализацией доказательства
теоремы 7.55. ?
7.68. В следующей главе мы опишем метод, с помощью кото-
которого можно построить много различных приведенных теорий гомо-
гомологии и когомологий на категории S/-W'. Однако в ряде задач
удобнее пользоваться теориями, определенными для любых топо-
топологических пространств. Поэтому мы должны исследовать, в каких
случаях приведенная теория гомологии (или когомологий) на (fit/?'
может быть продолжена на категорию !Ф<?Г'.
Пусть k^ — произвольная приведенная теория гомологии на
¦Ц-W' и (X, х,)) — некоторое пунктированное пространство. Вьк'е-
рем для X клеточный эквивалент /: X' -v X и такую отмечен-
отмеченную точку х'й е X', что / (х«) = Хо. Положим kn (X) = ka (X'), neZ
Так как клеточный эквивалент определен однозначно с точно-
точностью до гомотопической эквивалентности, то группы kn (X) кор-
корректно определены.
Для заданного' отображения /: (X, xo)-+(Y, y0) пунктирован-
пунктированных пространств возьмем клеточные эквиваленты g: X'->X,
h: Y'-*~Y и такое отображение /': (X", 4)-*(У\ у'ь), что ft./'~

ГЛ. 7. ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГО.МОЛОГИЙ 153
f'g. Тогда можно положить kn[[] = kn [/']. Поскольку отображе-
отображение /' единственно с точностью до гомотопнссти, то гомоморфизм
kn[f] корректно определен.
Пусть теперь (X, хи) — произвольное пунктированное прост-
пространство и f: (X', Хо)-»-(Х, *«) — его клеточный ьквивалент.
Положим
C1X = \\t, х}: 1/3^/^1, JteXlcSA',
C2X = {[t,x\: 0<*=s;2/3, xe=X}czSX.
Тогда {SX; СХХ, СгХ} является триадой с SX = СХХ° U С2Х°.
Кроме того, отображение триад
5/': (SX1; C+X', C_X')->EX; dX, C3X)
обладает тем свойством, что
S/'|C+X': C+X'-*dX,
Sf'\C-X'; С.Х'-+С%Х,
Sf | C+X' П C_X': C+X' П C-X' -v dX П C2X
— слабые гомотопические эквивалентности. Поэтому в силу 6.52
Sf: SX'^SX
является клеточным эквивалентом для SX. Это позволяет опреде-
определить гомоморфизм a: kn(X)-+kn+i(X) требованием, чтобы диа-
диаграмма
к„(Х) —
была коммутативной.
Если (X, А, .«о)— некоторая пунктированная пара, возьмем
клеточные эквиваленты /¦': А' ->Л иg': X'-+ X. Пустьh: A'->-X' —
такое клеточное отображение, что диаграмма
х-
гомотопически коммутативна. Заменим пространство X' цилинд-
цилиндром отображения М,„ а отображение g' —композицией g' -г
(г: Mh-+X'—естественная проекция). Это позволяет считать, что
A' d X'. Точно так же как выше, показывается, что g': X' [} С А' -*¦

160 ГЛ. 7. ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИП
X U СА — слабая гомотопическая эквивалентность. Но тогда из
коммутативности диаграммы
к„(А') > кп(Х') —*—¦ кп(Х' U СА')
вытекает, что к% удовлетворяет аксиоме точности. Следовательно,
к± является приведенной теорией гомологии на категории &J~'.
Очевидно, что k* удовлетворяет аксиоме слабой гомотопической
эквивалентности. Поэтому к* является неприведенной теорией
гомологии на <&~v'.
7.69. Замечание. В дальнейшем мы построим две важные
геометрические теории гомологии: теорию сингулярных гомологии
(глава 10) и теорию бордизмов (глава 12). Из построения этих
теорий будет следовать, что они естественным образом определены
на всей категории ffidT'. Но всякий раз, когда мы имеем теорию
гомологии, определенную на e^sf', мы обязаны выяснить, совпа-
совпадает ли она с описанным выше продолжением из &W' в &аГ'.
Это совпадение будет иметь место, если исходная теория удовле-
удовлетворяет аксиоме слабой гомотопической эквивалентности. Рассмат-
Рассматривая цилиндр отображения Mf слабой гомотопической эквива-
эквивалентности /: X ->¦ У и результирующую точную последовательность
...-+hn+i(Mh Х)-*Л„(Х, C0)±hn(Y, (?,)-+hn(Mh X)-*-...
для неприведенной теории /i*, легко вывести, что аксиома слабой
гомотопической эквивалентности для Л* равносильна выполнению
одного из следующих условий.
7.70. Если А с X — корасслоение и пара (X, А) п-связна для
любого «ЗгО, то h^ (X, Л) = 0.
7.71. Если пространство X «-связно для любого «3=0, то для
любой точки ллеХ гомоморфизм /г* ({лго})-»-/1„ (X) эпиморфен.
7.72. Упражнение. Показать, что функтор
nS = dirlimn9+nEnA—)
удовлетворяет аксиоме слабой гомотопической эквивалентности.
7.73. Упражнение. Пусть
Х,с=Х2с:...с:Хяс:...с=Х
— такая последовательность подпространств топологического про-
пространства X, что для каждого компактного подпространства К cz X
найдется номер /г^1, для которого К cz Xk- Тогда можно индук-
индуктивно построить такие клеточные эквиваленты /*: Х^->-ХА, k^l,
что Xj —клеточное подпространство в X'k+\ и /*+1|Х* = /*, &2sl.

ГЛ. 7. ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛ6ГИИ 161
Введем в X' == (J Х'к слабую топологию и обозначим через
f: X'-*-X такое непрерывное отображение, что f'\X'k = fk.
a) Показать, что /': Х'->~Х является клеточным эквивален-
эквивалентом для X.
b) Пусть &„, —теория гомологии, удовлетворяющая аксиомам
суммы и слабой гомотопической эквивалентности. Показать, что
{**«,}: dirlim ft, (**)-**«(*)
является изоморфизмом для любого ?sZ.
ПРИЛОЖЕНИЕ
В этом приложении мы докажем легко проверяемое условие
обращения в нуль группы lim1.
Пусть
— обратная система {Gn\ абелевых групп, индексированная неот-
неотрицательными целыми числами.
7.74. Определение. Говорят, что проективная система (Gn)
удовлетворяет, условию Миттаг-Леффлера, если для каждого п^Ь
найдется такой номер т (п) 5^ п, что
ira [fn: Gr^Gn\ - im [#</l): Gm[n) ->Gn)
для всех г^т(п). Другими словами, образ G, в Gn стабилизи-
стабилизируется, начиная с некоторого г.
7.75. Теорема. Если {Gn} удовлетворяет условию Миттаг-
Леффлера, то Hm1Gn = 0.
Доказательство. Без ограничения общности можно счи-
считать, что функция т (п) монотонно возрастает. Мы должны для
каждого элемента /е |П[ Gn найти такой элемент ge ГТ^ что
7.76. / (Л) = (_n»g (/,) + (—ir'
для всех л 5= 0.
Случай I. Предположим, что / (п) э im/JJ1 (л> для всех л, и
построим g (я) индукцией по п, начиная с g@) = 0. Пусть g{0),
g(\) g(n) уже выбраны так, что выполнено условие 7.76,
а также условие
7.77. g(*)e=im/?<*>, ft-0, 1, .... я.
Тогда мы имеем
g (п) - (—1 )л / (п) s im /™ <«)«- im /™ <"+•».
Найдем элемент с из уравнения g{n) — (—l)"/(n)"«/j(l<'t + l)(c) H
Б Роберт М. Сиигдер

1в> ГЛ. 7. ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИИ
положим g (п +1) = /™|п,+ '> (с). Тогда
т. е.
что завершает шаг индукции.
Случай II. Рассмотрим теперь произвольный элемент f и
определим h, полагая
Тогда
(—1)" h (n) + (— 1)л+1 /„/г (п + 1) = / (n) mod im /™ <">,
так что мы свели случай II к случаю I. ?
Замечание 1. Пусть {(}„, /": n, /и sB\l} — такая обратная
система, что каждая группа Gn конечна. Тогда все подгруппы
im \jrn: Gr-^GX r'Szn, не могут быть различными, и поэтому
должен существовать такой номер m(ri)^n, что im[fn: С?г->-С?„]=
im[/"(n): Gm(n)-*-C?n] для всех г^т(п). Значит, в этом случае
проективная система удовлетворяет условию Миттаг-Леффлера.
Замечание 2. Пусть X — некоторое топологическое прост-
пространство и
Хо с= *! с... с Хч с ... с X
¦—такая его фильтрация подпространствами Х„, что группы Я* (Х„)
конечно порождены. Пусть, далее, k* —такая теория когомологий,
что группа k9-s~1 (S°) конечна всякий раз, когда Hs (Х„) Ф 0.
Используя спектральную последовательность Атьи — Хирцебруха—
Уайтхеда (глава 15) нетрудно показать, что №-х(Хп) конечна для
всех п. Согласно замечанию 1 отсюда следует, что lim1 fe*-1 (Xn)=0
и, значит, ki(X)g*\\mok4Xn).
ССЫЛКИ НА ЛИТЕРАТУРУ
1. Адаме [10]. 4. Стинрод, Эйленберг [74],
2. Дайер [30, 31]. 5. Уайтхед [81].
8, Милнор [59].

ГЛАВА 8
СПЕКТРЫ
В настоящей главе мы приступаем к построению теорий гомо-
гомологии и когомологий. Для этого мы воспользуемся одной замеча-
замечательной идеей, имеющей своим источником теорему Брауна
(глава 9). Эта теорема утверждает, что каждый кофунктор
h: &W'-*¦&#, удовлетворяющий аксиоме суммы и некоторому
условию, похожему на теорему Майера — Вьеториса, имеет вид
h(X, Xd) = [X, хо\ Е, е0] для некоторого фиксированного клеточ-
клеточного пространства (Е, гв)е^'. В частности, если h* — приве-
приведенная теория когомологий, удовлетворяющая аксиоме суммы, то
для кофунктора h" при любом ве2 выполнены все условия тео-
теоремы Брауна, так что hn(—) = [—; Еп, *] для некоторого (Еп, *) <=
оЙЛ"'. Как мы знаем, кофункторы hn не являются независимыми,
они связаны естественными эквивалентностями
А' (-^ hr+1 о S
Тогда элемент (oryl[lE/]^[Er, QEr+i] представляется таким ото-
отображением в'/. ?,->Q?V+1, что (вг)* =(аг)-1. Пусть е/. SEr-+Eri —
отображение, сопряженное с г'г. Получающееся семейство
{Ег, «г: г е Z} является прообразом понятия спектра, строгое
определение которого мы дадим ниже.
Имеется и другая причина рассматривать категорию спектров.
Как мы знаем, в любой теории гомологии гомоморфизм надстройки
a: hn(X)-*-hn+1(SX) всегда является изоморфизмом. В связи
с этим по ряду причин было бы целесообразно так расширить
категорию клеточных пространств af-W', чтобы в этой новой кате-
категории функтор надстройки S стал обратимым. Оказывается, что
роль такой расширенной категории может выполнять категория
спектров. В то же время категория спектров сохраняет многие
приятные свойства категории &W': любое вложение в ней яв-
является корасслоением, имеет место теорема Уайтхеда, существуют
коточные последовательности и т. д. Рассматриваемая в этой
книге категория спектров была впервые построена Бордманом.
Приведенное здесь описание этой категории принадлежит Адамсу.
6*

164 ГЛ. 8. СПЕКТРЫ
8.1. Определение. Спектром ? называется такое семейство
{(?„, #): /igZ| клеточных пространств, что для всех neZ над-
надстройка SEn является (или гомеоморфна) клеточным подпростран-
подпространством в Еп+1. Подспектр fc? состоит из таких клеточных под-
подпространств FnaEn, что SFnczFn^.
8.2. Пример. Если X — произвольное клеточное простран-
пространство, то можно определить спектр Е (X), полагая
Вообще говоря, семейство {Еп, е„}, которое строится по данной
теории когомологий с помощью теоремы Брауна, не является
спектром; отображения е„ не обязаны быть гомеоморфизмами про-
пространств SEn на клеточные подпространства из Еп+1. Однако
в предыдущих главах мы видели, что любое отображение может
быть «превращено» во вложение.
8.3. Предложение. Для любого заданного семейства {Еп, в„}
клеточных пространств (Еп, *) и клеточных отображений гп: SEn-*-
En+i можно построить спектр Е' = {Е'п} и гомотопические эквива-
эквивалентности гп: Еп-+Е„, такие, что
т. е. имеют место коммутативные диаграммы
Доказательство. Мы используем еще одну конструкцию
«телескопа». Пусть
U S"-kEk/\[k, k+l]\ neZ,
где [x, k-\-1] sSn~kEk f\[k, k+ 1]+ отождествляется с
[S"-*-hk (x), ft + 1] s S"-*-1^! Л [ft +1, k + 2]+.
Поскольку каждое efe является клеточным отображением, то все
?^ — клеточные пространства. Определим отображения гп: Е'п-+Еп,
полагая гп [х, t] = ел_,. 5еч_2 -...» S"-*-1efe (х), (х, t) e Sn~kEk x
x[ft, ft + 1]. Кроме того, зададим отображения /„: Еп-*-Е'п формулой
in (х) = [х, п] е Еп х {п\ cz Е'п.

ГЛ. 8. СПЕКТРЫ
165
Легко видеть, что гп°1п—\Е . Наконец, определим гомотопию
Нп: Е'пх1 -*-Е'п, полагая
H([x,t],8) =
[Sn-mzm-1.Sn-m*4m-2°.--°Sn-k-lzk(x), (I -s)t + m] для [х, t]s
Sn-kEkf\[k, k+\y, k<n, /n<(l-
[x, n] для [х, l]<=Enf\ {«}+, se/,
Без труда проверяется, что Н непрерывна и Н0=\Е', Я,=1„°гя.
Следовательно, г„ — гомотопическая эквивалентность. Кроме того,
SE'n содержится в Е'п+\ как клеточное подпространство и rn+1\SE'n=
en>Srn. О
8.4. Определим понятие клетки спектра Е. Существует такой
подспектр F czE, что Fn = * для всех п; мы обозначим этот под-
спектр F также через * и назовем его клеткой размерности — оо.
Если ^ — произвольная d-мерная клетка в Еп (отличная от * при
d —0), то Se% представляет собой (d+1)-мерную клетку в Еп+и
и, вообще, Smei есть (т +^-мерная клетка в Еп+т. Клетка edn не
может быть более чем d-кратной надстройкой, так что мы можем
продолжать эту последовательность назад до тех пор, пока не
дойдем до такой клетки е%. в Еп>, что e^ = Sd~d'e^, (в этом случае
п = п' +d — d'), но е%, не является надстройкой ни над какой
клеткой из ЕП' — \. Тогда последовательность e = \ed^,, Se%,, Sze^,, ...|
будет называться клеткой размерности d' —п' в Е. Таким обра-
образом, в каждом клеточном пространстве Еп каждая клетка при-
принадлежит в точности одной клетке из Е.
8.5. Определение. Спектр ? называется конечным, если он
состоит из конечного числа клеток. Спектр называется счетным,
еели он имеет счетное множество клеток.
Замечание. Спектр Е конечен тогда и только тогда, когда
существует такое целое число Л', что En — Sn~NEN для n^N и
клеточное пространство EN конечно.
8.6. Определение. Фильтрацией спектра Е называется воз-
возрастающая последовательность {Е"; п е Z} его подспектров,
объединение которых совпадает с Е.
8.7. Примеры. 1) Фильтрация остовами {Е(п)} определяется
следующим образом: Е(п) есть объединение всех клеток из Е раз-
размерностей, не превосходящих п. В отличие от случая клеточных
пространств остов Е(п] может быть нетривиальным для произволь-
произвольного целого отрицательного п и это обстоятельство мешает при-
применению метода математической индукции к фильтрации остовами.
2) Фильтрация слоями {Еп} определяется следующим образом:
для каждой клетки е= {еп, Sen, ...} спектра Е можно найти конеч-
конечный подспектр F спектра Е, содержащий клетку е (например,

166 ГЛ. 8. СПЕКТРЫ
пусть Fn с: Е„ — клеточное подпространство, состоящее из е„ и
всех ее граней; положим тогда Fm = *, m<n; Fm = Sm-nFn, m^n)
Пусть / (е) — наименьшее из чисел клеток во всех таких подспект-
рах F (в действительности /(е) —число граней клетки еп) Поло-
Положим тогда ?" = *, п^О, Е" = {объединение всех клеток с 1(е)^п},
п>0. Подспектры Е" называются слоями спектра Е
8^8. Лемма. Последовательность {Еп\ является фильтрацией
спектра Е.
Доказательство. Подпространство EmczEm представляет
собой объединение всех таких клеток ет, которые еходят в клетки
e = {ek, Sek, .••} спектра Е с /(e)=s?n. Пусть F cz Е — некоторый
подспектр в Е, содержащий клетку е и состоящий, самое большее,
из п клеток. Тогда ет является клеткой пространства Fm cz Em,
и очевидно, что Fm с Ет- Следовательно, каждая грань клетки ет
лежит в Е„, так что Ет является клеточным подпространством
в Ет. Легко видеть, что SEmczEm+u EnczEn+l для всех ieZ
и U Еп = Е. ?
л
Интуитивно, спектр Е строится последовательно слой за слоем
Мы начинаем с Е1 = *. Затем мы приклеиваем к пространствам Ет
клетки соответствующих размерностей вместе со всеми их над-
надстройками и получаем Е2. Далее процедура повторяется. Мы будем
использовать фильтрацию слоями в доказательствах по индукции
Для построения категории спектров нужно определить поня-
понятие отображения спектров. Очевидное определение оказывается
не подходящим для наших целей, поэтому мы назовем эти объекты
«функциями».
8.9. Определение. Функция /: E->F из спектра Е в спектр
F — это семейство {/„: neZ} таких клеточных отображений
fn: En-*-Fn, что fn+i\SEn = Sfn. Композиция функций определяется
очевидным образом. Вложение i: F cz Е подспектра F а Е есть
функция, и если g: E-*-G — функция, Tog\F=g°i — также функция.
8.10. Определение. Кофинальным подспектром спектра Е
называется такой его подспектр F, что каждая клетка из Е лежит
в F; это означает, что для любой клетки е„ cz En существует такой
номер т, что Smen cz Fn+m. Очевидно, что если F — кофинальный
подспектр и Кп с: Еп — конечное подпространство, то существует
такое т, что SmKn d Fn+m.
8.11. Лемма. Пересечение двух кофинальных подспектров есть
кофинальный подспектр. Если GczF cz E — такие спектры, что F
кофинален в Е и G кофинален в F, то G кофинален в Е. Произ-
Произвольное объединение кофинальных подспектров есть снова кофиналь-
кофинальный подспектр. Q
8.12. Определение. Пусть Е, F — спектры. Рассмотрим
множество 5 всех пар вида (?', /')> ГДО Е' с Е — кофинальный
подспектр и /': E'-+F — некоторая функция. Введем на 5 еле-

ГЛ. 8. СПЕКТРЫ 167
дующее отношение эквивалентности: (?', /')~(?", f") тогда и
только тогда, когда существует такая пара (?'", /'"), что Е'" cz
Е'[\Е", Е"' кофинален в ? и /' | Е"=Г = f|?"'- Назовем классы
эквивалентности отображениями из Е в F; таким образом,
hom(?, /r) = S/~. Интуитивно, отображения — это функции, опре-
определенные лишь на «бесконечном хвосте» каждой клетки.
Следующая лемма понадобится для определения композиции
отображений.
8.13. Лемма. Пусть Е и F —спектры и /: E-*-F— функция.
Если F' czF — кофинальный подспектр, то существует такой
кофинальный подспектр Е' czE, что f(E')czF'.
Доказательство. Пусть S—множество всех таких иод-
спектров G спектра Е, что/(G) czF'. Положим ?" = (J G. Тогда Е'
gs
является подспектром спектра Е и f(E')czF'. Мы должны пока-
показать, что Е' кофинален. Пусть е — {еп, Sen, ...}—некоторая клетка
из Е и LczEn — некоторое конечное клеточное подпространство,
содержащее еп. В этом случае f(L) содержится в конечном под-
подпространстве К клеточного пространства Fn, и поскольку под-
подспектр F'czF кофинален, то найдется такой номер N, что
SNK cz F'n+N- Следовательно, f(SNL)czF'n + N. Таким образом,
G — \SNL, ...} является подспектром в ? и f(G)czF'. Значит,
{SNen, ,,.)с?', откуда вытекает, что Е' кофинален. ?
Теперь возможна композиция отображений; мы берем компо-
композицию любых компонируемых представителей. Существование таких
представителей гарантирует лемма 8.13.
В результате мы получаем корректно определенное отображе-
отображение. Очевидно, что композиция отображений ассоциативна. Функ-
Функция вложения подспектра i: F cz E определяет отображение, так
что для любого отображения g: E-*-G ограничение g\F = g'i
также является отображением.
8.14. Заметим, что в категории 3еаР спектров и отображений
любой спектр эквивалентен любому своему кофинальному под-
спектру. Действительно, если подспектр Е' cz E кофинален, то
вложение i: Е'-^Е и тождественная функция 1: Е'-*-Е' опре-
определяют такие отображения i: Е'~*-Е и /: Е-+Е' спектров, что
f • i = 1 е' . i'f=^E- Следовательно, любые два кофинальных подспек-
подспектра Е', Е" с Е, будучи эквивалентны Е, эквивалентны между собой.
Если Е = {Е„} — спектр и (X, х0) — некоторое клеточное прост-
пространство, то мы можем образовать новый спектр Е Д X: положим
(Е/\Х)п = Е„/\Х со слабой топологией. Это опять спектр, по-
поскольку 5(ЕДX)n=S(ЕпДX)=S*/\ (ЕяДX)s*{&AEn)Л*с?я+1 Л
X =(?/\X)n+i. Для данного отображения /: E-+F спектров, пред-
представленного парой (?', /'), и отображения g: K-*-L клеточных
пространств мы получаем отображение f/\g: Ef\K-*-Ff\L спект-
спектров, представленных парой (?" Д/С, F l\g), так как Е' /\К кофи-
кофинален в Е/\К.

168 ГЛ. 8. СПЕКТРЫ
8.15. Определим теперь гомотонии спектров. Гомотопия —
это отображение A: E/\I+-*~F. Существуют два отображения
i0: E-+Ef\I+, ii. E-+E/\I+, индуцированные включениями,
соответственно, 0 и 1 в /+. Говорят, что два отображения спек-
спектров /о, Д: E-*~F гомотопны, если существует гомотопия h:
Ef\I+-*-F с h'io — fo, h'ii=fi. Мы будем обозначать h°i0 через
Ло и h>ii через кх.
В терминах кофинальных подспектров два отображения /0> fi'
E-+F, представленные парами (E'b, f'u), {Е'и /0 соответственно,
гомотопны, если существует кофинальный подспектр Е" cz Е'<, [\ Е\
и функция /г": E"f\I+-+F такая, что h'i=f'0\E", /tj' = /;|?".
Гомотопность является отношением эквивалентности, так что
мы можем определить множество [Е, F] как множество классов
эквивалентности отображений /: Е-ь-F. Композиция отображений
спектров задает композицию гомотопических классов.
Таким образом, мы определили категорию S^Q" спектров и
отображений спектров, а также ассоциированную с ней гомо-
гомотопическую категорию e?iP'. Имеет место функтор aP'W -*~Se>€!>,
задаваемый соответствиями (X, хо)>—*'Е(Х) для (X, Xu)^.&W
и /н-»?(/), где E(f)n = Snf: SnX-+SnY, n^sO, для любого ото-
отображения /: (X, лсь)->(У, г/о)- Этот функтор вкладывает аРШ в
&3>. В случаях, когда нет опасности путаницы, мы будем обоз-
обозначать спектр Е (X) просто через X.
8.16. Замечание. Хотя для клеточных пространств X и У
описанный выше функтор инъективно отображает пот^^ДХ, Y)
в hom^ (Е (X), Е (У)), неверно, что индуцированный функтор
вкладывает hom^AX, Y) = [X, Y] в hom^, (? (X), ?(К)) =
[Е(Х), E(Y)]; можно найти гомотопию Н: Е (ХI\1+^Е (У),
связывающую Е (f0) и Е (/i), которая не имеет вида Е (К) ни для
какой гомотопии /С: X]\I+-*-Y из /0 в fv Например, может
случиться, что S/e~S/i, хотя fo^fi-
8.17. Для данного отображения /: E-+-F спектров построим
его конус F[)fCE. Снабдим единичный отрезок / отмеченной
точкой 0 и определим СЕ как ?Д/. Зададим F[)fCE, полагая
(F\JfCE)n = Fn[J ^(E'n[\l), где пара (?', /') представляет ото-
отображение /. Если (Е", /") — другой представитель отображения /,
то {Fn\j f' (E'nf\I)} и \Fn{] f*(E"n/\I)} имеют общий кофинальный
'Я 'Л
подспектр {Fn[} f (E'n f\I)\ и, следовательно, эквивалентны.
Для любого спектра Е — {Еп} определим спектр 2?\ полагая
2?я = ?„+!, neZ. Для любой функции /: E-*~F зададим функ-
функцию 2/: 2? -r> 2F формулой B/)„ = /„+i. Тогда для любого ото-
отображения f: E^*-F, представленного парой (?", /'), мы можем
определить 2/: Sf-^2/7 как отображение, представимое парой
B?\ S/')- Соответствие 2: ?*$•-+<>/'$• является функтором и
индуцирует функтор на S^^', поскольку из /о—/i следует, что

ГЛ. 8. СПЕКТРЫ 169
2/в~2/!. Можно итерировать функтор 2: 2" = 2 • Е"-1, л
Кроме того, функтор 2 допускает обратный функтор 2-1, опре-
определяемый соответствиями (I,-1E)n — En-i, B-1/)„ = /„-1. Ясно, что
2"»2т = 2л+т для всех целых чисел т, п. Позже будет уста-
установлено, что 2.Е и Еf\S* имеют один и тот же гомотопический
тип, откуда будет следовать, что функтор надстройки обратим
в &&'. А пока займемся изучением общих свойств категорий
<^& и &&>.
В категории S^Sh определено понятие суммы: для данного
семейства спектров {?а: аеА} положим t\J E*\ =*\J E%. Так как
\ t In a
S (\у Я] = V SE* <= V ?«+ь т0 эт0 спектр.
\ а ) а а
8.18. Предложение. Для любого семейства спектров
{?а: аеА} включения tp: Е$ -*• \/ Еа индуцируют биекции
а
{hom(ta, I)}:
для любого F
С помощью процедуры приклеивания клеток спектры можно
строить так же, как клеточные пространства Пусть {?"} и \Е(п)\—
фильтрации, соответственно, слоями и остовами. Пусть е ==
{е„, Sen, ¦¦¦} — некоторая d-мерная клетка в Е; обозначим через
/: Sn+d-1-^En приклеивающее отображение для еп. Пусть 5° —
спектр Е (S°); тогда спектр F, задаваемый соотношениями
является кофинальным подспектром в W^S0. Таким образом,
семейство {/, Sf, ...} определяет отображение /: E^S0 -*¦ Е,
которое мы назовем приклеивающим отображением для е.
8.19. Предложение. Пусть Е —некоторый спектр.
а) Для любого neZ обозначим через {еа: а е Jn\ множество
клеток из ?(л) — /-Ч"-11 и для любого осе/„ обозначим через fa:
2«-i5°_>? приклеивающее отображение для клетки еа. Тогда
g={fa}'- V Е"-^0 -> Е пропускается через f"-1* и Е(п) =»
b) Для любого n^Z обозначим через {еа: а<= Ап\ множество
клеток из Е" — Е"'1 и для любого аеА, обозначим через fa:
2da~'s0-»-.E приклеивающее отображение клетки еа. Тогда g =>

170 ГЛ. 8. СПЕКТРЫ
{fa}'- V 2da~1S°-+E пропускается через Е"-1 и
Доказательство очевидно. П
Подобно вложениям клеточных пространств, вложения спек-
спектров обладают свойством гомотопического продолжения
8.20. Лемма. Пусть Е и Н —некоторые спектры, F —под-
спектр в Е и G — кофинальный подспектр в Е /\{0}+\JF /\1+. Для
любой функции g: G-+H найдутся кофинальный подспектр /С с
Е/\1+, содержащий G, и функция k: K.-*-H, продолжающая g.
Кроме того, если G = ? Д{О}+и^ /\1+, то можно взять K~Ef\l+.
Доказательство. Построим KncEnl\I+ и k|К" индук-
индукцией по п. Так как G° = E° = *t то можно взять К° = Е° Д/+ и
k\K° = *- Предположим, что уже построены слой Кп и функция
k\Kn, причем выполнены следующие условия:
i) К" кофинален в Еп/\Ь+;
и) GnczKn;
iii) k\Gn = g\Gn.
Для каждой клетки е = {ет, Sem, ...} из Е"*1 — {ЕпUFn+1) можно
найти такой номер N, что клетки из SNem/\I+ приклеены к C+ai>
а функция g определена на SNem/\{0}+. Тогда мы имеем отобра-
отображение SNem/\{0}+\jSNem/\H-^HmJrN. Согласно предложению 6.5,
оно продолжается до отображения SNem[\I+-+HmJ).N. Следова-
Следовательно, мы можем добавить к /CJC?'1+1 клеточное подпростран-
подпространство SNemf\I+ и все его надстройки. Выполнив указанную про-
процедуру для всех клеток из En+1 — (En[)Fn+1), мы получим слой
К"~п и функцию k\Kn+1, удовлетворяющие условиям i) — iii).
Это завершает шаг индукции. В результате мы имеем спектр
К= У Кп и функцию k: K-+H, продолжающую g. Последнее
утверждение очевидно, для его доказательства достаточно при-
применить предложение 6.5 ко всем пространствам Еп/\1+, п^О. D
8.21. Определим гомотопические группы спектра, полагая
зт„(Е) = [E"S*, E], /tsZ. Можно также дать альтернативное
описание групп л„ (Е). С этой целью заметим, что кофинальные
подспектры S"S0 имеют вид H"-rE(Sr), r^O. Функция
f: i>"~rE (Sr)-»-? — это некоторое отображение /: Sr-+Er-n вместе
со всеми своими надстройками S*/: Sr+S ->- SsEr-n с: Er+s-n. Легко
видеть, что группы ял+„ (Ek, #) (k ^s min B, 2 — n)) и морфизмы
nk+n(Ek, *) ^ nfe+n+1 {SEk, *)-*-nk+1+n{Ek+1, *) образуют прямую
систему абелевых групп. Зададим отображение
а: [ЕЛ5°, ?] -> dir lim nh+n (Ek, *),
полагая a{2n-rE(Sr), /} = {[/]}• Очевидно, что а сюръективно.
Пусть {[/]} = 0 в dir lim я*+л (Ек, *). Это означает, что для неко-

ГЛ. 8. СПЕКТРЫ 171
торого s отображение Ssf нульгомотопно; обозначим через
Я: Sr+s/\I+-+Er+s-n соответствующую гомотопию. Тогда
{%"-r-s (Sr+S)/\ /+, Н) является нульгомотопией отображения спек-
спектров \1>a-rE (Sr), f], так что а инъективно. Следовательно, мы
имеем
nn(E)^&\r\\rnnn+k(Ek, *), dsZ.
Ниже (см. 8.27) мы дадим еще одно независимое доказательство
того, что лп(Е) — группа.
Предостережение В данном случае нужно тщательно
различать спектр Е (X) и клеточное пространство X. В самом
деле, nn{E(X))^d\r\imnn+k{SkX, *) = я^(Х)(см. теорему 6.28
и далее). Но стабильная гомотопическая группа я„ (X) простран-
пространства X может существенно отличаться от п„ (X, Хо).
Разумеется, любое отображение спектров /: E^>-F индуци-
индуцирует гомоморфизм/*: пп(Е)-*~ял(F), «eZ. Назовем / слабой
гомотопической эквивалентностью, если /„, — изо-
изоморфизм для любого neZ. В категории спект- /
ров имеет место теорема Уайтхеда, доказатель- С *" ~
ство которой формально аналогично соответст-
соответствующему доказательству для клеточных прост-
пространств.
Докажем сначала аналог теоремы 6.30. А ^ В
8.22. Лемма. Пусть задана коммутативная рис .„
диаграмма спектров и функций (рис. 18), в ко-
которой f — слабая гомотопическая эквивалентность.
Тогда можно найти такой кофинальный подспектр В' а В и
функции А': В'^>-С, k. B'/\I+-+D, что
i) AczB', ii) h'\A = g,
iii) (kH = h\Br, iv) (k)i = f°h',
v) k неподвижна на А, т. е. k(a, t) не зависит от t при
Доказательство. Рассмотрим вначале один частный слу-
случай. Пусть Лс1°, BczCZnS°, AczB. Тогда найдется такой
номер N, что gk = Sk+Ng-N для всех k^ — N\ то же самое верно
и для функции А. Пара (Sk + Nh-N, Sk+Ng-N) определяет элемент
группы dir lim я*+я+1 (Af fft, Ск, *). Так как последовательность
¦>ь *) ~ dir lim пк+п (Dft, #)-»-
'I I'
dirlimя*+л{Mfli, Ck, *)-v...
точна, то dir lim яй+я+1 (Mfk, Ск, *) = 0 и, значит, {(hk, gk)} = 0.
Следовательно, для некоторого номера г найдутся такие отобра-
отображения h'r: Dn+rJrl-+Cr и гомотопия kr: Dn+r+1/\I+-*-Dr, что
К \S"+r = Sr+Vg_Ift a ьг является гомотопией ге15"+г, связываю-

172 ГЛ. 8. СПЕКТРЫ
щей Sr+Nh-N и fr'h'r. Положим тогда
m~\Dm+n+\ s lm~\Sm-rh'r,
и
fm ' gm (X), —
Без труда проверяется, что В' кофинален в В и что A czB'.
Доказательство общего случая теперь формально совпадает
с доказательством теоремы 6.30. Действительно, рассмотрим мно-
множество 3" троек {В', /г', к), удовлетворяющих условиям i) — v).
Применяя лемму Цорна, найдем в 3" максимальный элемент
(В', h', k). Но тогда из разобранного вышеча-
-, / стного случая вытекает, что В' кофинален в
°\ " Н В. О
t \к t. 8.23. Следствие. Пусть задана комму-
81 \ч I тативная диаграмма спектров и отображений
''р (Рис- 19). Если / — слабая гомотопическая эк-
f с — вивалентность, то найдется такое отображе-
Рис 19 Hwe ^' E^~G> что k\F = g и f°k-=^hre\F.
Доказательство. Выберем кофиналь-
кофинальные подспектры ?" с: Е, (?'cG, F'cFf)?' и
функции g': F'-+G' czG, f: G'~*-H, h'\ E'-+H, представляющие
отображения g, f и h соответственно. Применяя к нашей диаграм-
диаграмме лемму 8.22, найдем такой кофинальный подспектр Е" cz E' с
F'aE" и функции К: ?"->С, к ?"Д/+-»-Я, что k'\F' = g' и
k является гомотопией rel/7', связывающей К и f'°k'. Тогда
k = {E", k'}.D
8.24. Следствие. Пусть f: Е->F — отображение спектров,
являющееся слабой гомотопической эквивалентностью. Тогда
U: [G, E]-+[G, F]
— биекция для любого спектра G.
Доказательство формально не отличается от доказательства
теоремы 6.31. ?
8.25. Теорема. Отображение спектров является слабой го-
гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда оно —
гомотопическая эквивалентность.
Доказательство формально совпадает с доказательством тео-
теоремы 6.32. D
Вооружившись теоремой 8.25, докажем теперь, что спектры 2Я
и EfrS1 имеют один и тот же гомотопический тип.
8.26. Теорема. В категории 3*3" существует эквивалент-
эквивалентность Е/\8г-*-ЪЕ, естественная относительно отображений
спектра Е.

ГЛ. 8. СПЕКТРЫ 173
Доказательство. Рассмотрим «телескоп» Е', построенный
в 8.3:
Е'а = Ея/\ {n}+ U U S"-kEh Л [k, k + 1]+, neZ.
Проекции гп: Е'л-^Еп определяют функцию из Е' в Е и, следо-
следовательно, отображение спектров г: Е'^-Е. Хотя вложения in:
Е„-+Е'п и не задают функции из ? в ?', тем не менее для каж-
каждого п отображения /„ являются гомотопически обратными к г„,
откуда вытекает, что г*: пп (Е')-*-пп (?) — изоморфизм для всех
ле2. Таким образом, по теореме 8.25 отображение г является
гомотопической эквивалентностью.
Построим теперь гомотопическую эквивалентность /: ?'Д5х->
2?. С этой целью возьмем отображение v': S1->S1 с (v'J = l
(см. п. 2.22) и следующим образом определим гомотопию Я:
(S1 hS1)xI^-S1/\S1. Пусть a: (I2, /2)->(D2, S1) - гомеомор-
гомеоморфизм, получающийся переносом центра квадрата в начало коор-
координат и последующей проекцией по радиусам. Зададим гомото-
гомотопию К: (D2x/, 51X/)->(D2, S1), полагая К(х, у, t) *=
(х cos (nt/2) - у sin (л//2), х sin (п^/2) +.У cos (nt/2)). Тогда а-1 • Kr a
является гомотопией квадрата (Р, /2) в самого себя. Следова-
Следовательно, если отождествить S1 Д S1 с Ixl/lxl {] I х/, то or^Kf-
индуцирует гомотопию Я: (S1 fyS^xI-+S1 f\ S1. Непосредст-
Непосредственно проверяется, что Яо=1 и Ях^, г/] = [v' (г/), jc]. Определим
теперь отображение
полагая
/л[6. л, 0] = [(v')
для ?е?л, i/e S1,
/„[s, x, 6, /n + f,
для seS'-™-1, x, i/gS1, Je?n, 0«?*=sSl. Легко видеть, что /„
непрерывно и Sfn = /„+i | S (Е'„ Д S1). Таким образом, мы получаем
функцию /: ?" Д S1-^-E?.
Рассмотрим теперь отображения gn: SEn-+E'n Д S1, заданные
формулой gn[x, E] = [|, n, (v')n(x)], l<^En, XG51. Так как
gnl&E^cxSg*-!, h'gn^U gn-fn^h то /„: яЛ^'Д^1)-^
я„B?) — изоморфизм для любого nsZ. Следовательно, по тео-
теореме 8.25 отображение / является гомотвпической эквивалент-
эквивалентностью. Таким образом, мы имеем Е ^S^-c^E' Д S1^ 2E. Оче-
Очевидно, что г и f естественны относительно отображений спект-
спектра E.D
Замечание. Доказать это утверждение «в лоб», отыскав
гомотопически обратные для отображений ли/, по-видимому,
очень трудно. Таким образом, теорема 8.25 играет в приведенном
доказательстве ключевую роль.

174 ГЛ. 8. СПЕКТРЫ
8.27. Следствие. Каждое множество [Е, F] можно снабдить
структурой абелевой группы так, чти композиция превращается
в билинейное отображение
Доказательство. Так как функтор 1 обратим, то [Е, F\-*-
[2?, 2F] — взаимно однозначное соответствие Кроме того, по
теореЯе 8.26 существует взаимно однозначное соответствие
[2?, SF]-*-[? Д S1, F Д 51]. Следовательно, отображение
а: [Е, F]-+[E f\ S\ F Д S1],
задаваемое формулой а ([/]) = [/ Л Is»]» является биекцией. Но
тогда
a2: [E, F]^[?A52, F Д S2]
— также биекция. Пусть теперь \i': S2 -»- S2 V S2 — коумножение
на сфере S2. Нетрудно видеть, что композиция
Е Д S2^? д (s« V S2)g^(E Д 5г) V (? Л 52)
превращает ? Д S2 в гомотопически коммутативную Я-когруппу
в категории спектров. Поэтому остается лишь показать, что
структура Я-когруппы на спектре Е f\S2 индуцирует структуру
группы в множестве гомотопических классов [Е Д S2, F Д S2],
а это делается точно так же, как для топологических пространств
(см. п. 2.22). ?
8.28. Определение. Для любого отображения спектров f:
E-*~F последовательность
называется специальной корасслоенной последовательностью1). По-
Последовательность спектров и их отображений
называется общей корасслоенной последовательностью или просто
корасслоенной последовательностью, если существует гомотопически
коммутативная диаграмма
анк
1" 1' I
f j
Е
в которой a, {J, у суть гомотопические эквивалентности.
») Здесь / есть очевидная функция, порожденная отображениями про-
пространств / из предложения 2.35 —Прим ред

ГЛ. 8. СПЕКТРЫ 176
8.29. Замечание. Без ограничения общности можно счи-
считать, что отображение / в диаграмме 8.28 является вложением
спектров. В самом деле, пусть пара {?',/'} представляет отобра-
отображение f. Тогда цилиндр отображения Mf = {Fn[)E'n/\I+} имеет
гомотопический тип спектра F и содержит Е' в качестве под-
спектра.
8.30. Предложение. Любая пара соседних отображений
в последовательности
образует корасслоенную последовательностьх).
Доказательство, по существу, совпадает с доказательством
леммы 2.40.
8.31. Лемма. Пусть задана гомотопически коммутативная
диаграмма спектров и их отображений (рис. 20), строки которой
являются корасслоенными последовательностями. Тогда найдется
такое отображение спектров ,
у: К-+К', что результирую- q ?* ц
щая диаграмма по-прежне- | I > I
му гомотопически комму та- а Д \у 1ал1
тивна.
Доказательство. Без
ограничения общности мож-
можно считать, что строки дан-
данной коммутативной диаграммы являются специальными корас-
корасслоенными последовательностями (т. е. К = H\jg CG, К' =
H'Ug'CG, h, h' —вложения). Более того, согласно п. 8.29 можно
предположить даже, что g — вложение спектров. Выберем пред-
представителей (В, Р') для Р, (A', f) для g' и (А, ос') для а так,
чтобы g(A)crB и ос'(А) с: А'. Тогда мы получим гомотопиче-
гомотопически коммутативную диаграмму
А —^-> В •¦ BVt CA -
V г V V V
строки которой являются корасслоенными последовательностями
и g — вложение. По лемме 8.20 найдется такая функция C":
В-*-Н', что P"°g = /'°a' и р"~р\ Определим функцию у', по-
полагая у'|Я = Р" и у'\СА = СЫ: СА-*-СА'. Если заменить Р'
функцией Р", то включение последней в диаграмму делает ее
строго коммутативной. Следовательно, диаграмма останется гомо-
гомотопически коммутативной даже при наличии функции Р'. ?
1) Здесь k' порождается отображениями k из леммы 2.36.—Прим. ред.

176 ГЛ. 8. СПЕКТРЫ
8.32. Предложение. Пусть G-^Н — К — некоторая корас-
слоенная последовательность. Тогда для любого спектра Е после-
последовательности
[F гл ,tp wi , г р К"]
точны.
Доказательство, i) Так как /z°g~O, то ^ <>?„, = 0. Рас-
Рассмотрим теперь такое отображение спектров /: ?->Я, что
/г!(<[/] = 0; применим лемму 8.31 к диаграмме
Е > Ehl • >• Et^S1 »¦ EbSL
f
I I" lk , |/Al
h gAl + t
в которой А: Е Д 1-*-К представляет собой нульгомотопию ком-
композиции h'f. В результате мы получим такое отображение k:
Е Д 51-»-G Д S1, что (g Д 1)«/г=^/ Д 1. Естественная эквивалент-
эквивалентность
а: [?, G]-*[? Д S1, G Д 51]
доставляет нам отображение k': E-+G с &~&'Д1. Но тогда
(g°kr) Д 1 = (§¦ Д 1)°(Л' Д 1) — (g Д l)°k^f Д 1. Так как а:
[?, Я] -> [? Д S1, Я Д S1] инъективно, то отсюда следует, что
g'k'~f,T. e. яЛ^'] = [/3-
И) Как и выше, равенство g* = A*=G следует из /z°g~O.
Пусть /: Н^>-Е таково, что ^[/j^O. Применяя лемму 8.31
к диаграмме
G *¦ Н ¦¦¦ > л, •
.!', I'
мы получим такое отображение /': К-*-Е, что f °hc^f. Следова-
Следовательно, А* [/'] = [/].?
Таким образом, в категории спектров еУаТ5' два сорта после-
последовательностей— корасслоенная последовательность 2.41 и рас-
расслоенная последовательность 2.55 —совпадают.
8.33. Теперь мы в состоянии определить (приведенные) теории
гомологии и когомологий, ассоциированные с произвольным спект-

ГЛ. 8. СПЕКТРЫ 177
ром Е. Для любого (X, х9) е &УУ' и п е Z положим
= яя (? Д *) = [S"S°, ? Л *].
2«?] ^ [S-»S° Л *, Е].
Если f: (X, a^)-v(K, i/o) — какое-либо непрерывное отображение,
то, по определению, En(f) = (\ Л/)*< En(f) = E(f)*. Зададим го-
гомоморфизм оп: En(X)-+En+1(SX) как композицию
Очевидно, что оп — естественная эквивалентность. И, наконец,
определим a": En+1 (SX) -*¦ Еп (X) как композицию
Здесь мы использовали тот факт, что Е (SX) является кофиналь-
кофинальным подспектром в 2? (X), и, значит, вложение i: E(SX)-+-
ХЕ (X) индуцирует изоморфизм
Легко видеть, что ап — естественная эквивалентность.
Пусть (X, А, Хо) — произвольная пунктированная клеточная
пара. Так как
Ea/\(X\JCA)^(En/\X){)C(En/\A), neZ,
то
Е /\A±?iE /\Х±-У~ Е /\(Х[)СА)
является кораселоенной последовательностью. Но тогда, согласно
предложению 8.32, имеет место точная последовательность
[2°, Е hA]ilAJlx[2nS0, ?Д^1— ^[2°, Е f\(X\JCA)].
По определению функтора Е„, эта последовательность есть не
что иное, как
Таким образом, Еч является теорией гомологии на категории
Поскольку
S" (X U С А) ^ SnX U С (SM), nsZ,
то
Е (Л) ?Я Е {X) ^{ЛЕ(Х{] С А)
•—корасслоенная последовательность. Поэтому в силу предложе-
предложения 8.32 имеет место точная последовательность

178 ГЛ. 8. СПЕКТРЫ
Но, по определению функтора Еп, эта последовательность есть
не что иное, как
Е» (А) ?- Е- (X) J- Еп (X U С А).
Таким образом, Е* является теорией когомологий на катего-
категории &W'.
Так как для любого семейства {Ха: а <= А} клеточных про-
пространств имеет место гомеоморфизм Sn I\J X ,.\ = \у S"X*, и, зна-
\ a I a
чит, Е (\J Ха\ = \/ Е (Хз), то из предложения 8.18 следует, что
{Ш: Еп
— изоморфизм для всех neZ. Другими словами, теория кого-
когомологий Е* удовлетворяет аксиоме суммы.
Чтобы установить аналогичный результат для теории гомоло-
гомологии ?„,, нам понадобится следующая лемма.
8.34. Лемма. Пусть Е —конечный спектр и {Fa: as A} —
такое направленное по включению множество подспектров спект-
спектра F, что \\Fa = F. Тогда включения ia: Fa-*-F индуцируют изо-
а
морфизм
{ia,}: dirlim[?, F*]-+[E, F].
Доказательство. Так как спектр Е конечен, то найдется
такой номер N, что EN — конечное клеточное пространство и Ет —
Sm~NEN, m^N. Если /: E^~F — произвольное отображение
спектров, представленное парой (?', /'), то, увеличивая в случае
необходимости номер N, можно считать, что E'n*=Es. Существует
такое конечное клеточное подпространство К cz FN, что /' (?л-) аК-
Поскольку А —направленное множество и \jFa = F, то можно
а
найти элемент а0, для которого К с: F%°. Пусть Е" — кофинальный
подспектр в Е, задаваемый равенствами
(*, m<N,
и f": E"-+Fa° — функция, определенная формулой/" = /'| ?". Тогда
{(?", /")} задает такое отображение спектров g: ?->-Fao, что
iao[g] = [/]. Следовательно, {ia^} —эпиморфизм.
Пусть теперь g: ?->-Fp —такое отображение, что {ia<c} {[g]\ = 0.
Обозначим через Л: Е Д /+ ->F нульгомотопию композиции ip°g.
Спектр Е Д /+ также конечен, поэтому, повторяя предыдущие
рассуждения, мы найдем элемент у s= P и нульгомотопию отобра-
отображения H'g. Следовательно, {[g]} = 0, т. е. {ta,#} — мономорфизм. D

ГЛ. 8. СПЕКТРЫ 179
8.35. Следствие. Пусть Е — произвольный спектр и
\Ya: а е А} — направленное множество подпространств Ya cz Y
клеточного пространства Y. Если \jYa = Y, то вложения /,:
YaczY индуцируют изоморфизм
{/,*}: dirlimEn(Ya)-+En(Y), n<=Z-
Доказательство. Так как 2"S° — конечный спектр, то
данное утверждение является частным случаем леммы 8.34, в ко-
котором Fa = E f\Ya, aeA.D
8.36. Следствие. Для любого спектра Е теория гомологи:'/
?* удовлетворяет аксиоме суммы.
Доказательство. Если -семейство {Ха: аеА) конечно,
то изоморфизм
{;.*}•• © Еп{ха)-+Еп( v
А \OSA
получается из предложения 7.36 индукцией по числу элементов
семейства. Переходя к общему случаю, обозначим через В мно-
множество всех конечных подмножеств из А, упорядоченное по вклю-
включению, и для каждого PgB положим Y$= у Хас \/ Хп
Тогда мы имеем коммутативную диаграмму
dirlim ?„(*") Ь
газ
dirlim {/e!J
*.,™ Ш as
dirlim(©«?/»?»(^J) ^~* У?»!
где /р: ф ?„(Ха)->- ф ?n(Xa), Р = В, —естественное вложё-
аер asA
ние. На основании сделанного выше замечания
является изоморфизмом для каждого реВ. Поэтому в силу 7.51
dir lira {t;,*} также изоморфизм. Тот факт, что {/jj} — изоморфизм,
представляет собой простое алгебраическое упражнение. Следова-
Следовательно, {ia*} — изоморфизм, что и утверждалось. ?
Для когомологий следствие 8.35 превращается в более слож-
сложное утверждение.
8.37. Предложение. Для любого спектра Е и любой филь-
фильтрации \Х") клеточного пространства X имеет место точная
последовательность
О-> Нш1 Е1-1 (ХП) -»Еч (X) М. lim°?? (Хп) -*¦ 0.

180 ГЛ. 8. СПЕКТРЫ
Это в точности гтредложение 7.66, примененное к теории кого-
мологий ?*.D
8.38. Группы коэффициентов теории гомологии Ет имеют вид
Еп(S0) = п„(Е Д S*) = пя(Е), «eZ.
Группы коэффициентов для ?* равны:
Еп E°) = [Е (S°), Z"?] = [S0, S"?]se
[2-"S°, E] = n-n(E), «eZ.
8.39. Любое отображение спектров /: E-*-F индуцирует есте-
естественные преобразования Т* (/): E%-+F*, T* (/): E*-*-F* теорий
гомологии и когомологий. Если f — гомотопическая эквивалент-
эквивалентность, то Т^ (/), Т* (/) — естественные эквивалентности. По тео-
теореме 8.25 это возможно тогда и только тогда, когда /*: ял (?)->¦
п„ (F) — изоморфизм для всех п е Z- Таким образом, преобразо-
преобразование Т# (/) является естественной эквивалентностью в том и
только в том случае, когда оно индуцирует изоморфизм групп
коэффициентов. Это частный случай теоремы 7.55. Разумеется,
априори могут существовать естественные преобразования Т:
?¦„, -*-/г<с теорий гомологии, не имеющие вида Т# (/) ни для какого
отображения /: E^>-F.
8.40. Можно продолжить теорию когомологий Е* на катего-
категорию спектров «W, полагая En(F)*=[F, 2Л?], neZ, feW.
Это продолжение (которое мы по-прежнему обозначаем символом
?*) будет теорией когомологий в том смысле, что для всех «eZ
имеют место естественные эквивалентности
и Е* удовлетворяет следующей аксиоме точности: для любой ко-
расслоенной последовательности
F-LG-^H
точна последовательность групп и гомоморфизмов
Еп (F) ?- Еп (G) ?- Еп (Н).
(На категории SPiff' эта аксиома эквивалентна ранее сформули-
сформулированной аксиоме точности.)
Если теперь Т*: Е* -*¦ F* — естественная эквивалентность теорий
когомологий на категории 3*&', то можно показать, что Т* =
Г* (/) для некоторого отображения /: E-+F. Действительно,
в группе ?° (?¦) = [?¦, Е] имеется выделенный элемент [\Е]- Пусть
Т° (?) [1?] <= ?° (?) = [?, F] представляется отображением /:?->-?.
Тогда для любого спектра G и x<=En(G), представленного ото-
отображением g: G-+I>nE, мы имеем
U'g] = Тп (/) (G) [g] = (T" (Л (О) (х).
Таким образом, Г* = Т* (/).

ГЛ. 8. СПЕКТРЫ 18f
После того, как мы определим приведенное произведение
Е Л G двух спектров, можно будет продолжить на всю катего-
категорию ?*&¦' и любую теорию гомологии Е^:
Еп (G) = пп (Е Д О = [2nS°, E Л С]-
Однако, в этом случае неясно, всегда ли естественное преобразо-
преобразование Т*: Ex-^F* на S^fr' имеет вид 7% = Г„, (/) для некото-
некоторого отображения спектров /: E^-F.
8.41. Определение. Пусть Е — такой спектр, что сопря-
сопряженное отображение г'п: En^-QEn+i к вложению чп: SEn-+ En+1
является слабой гомотопической эквивалентностью для любого
neZ. В этом случае Е называется Q-спектром.
8.42. Теорема. Если Е —некоторый Q-спектр, то для кле-
клеточного пространства (X, хй) имеет место естественный изо-
изоморфизм
9^[Х, хе; Ея, *]•
Доказательство. Положим
= [X, х0; Ея, •]
и определим Qn: kk+1(SX)-^kn(X) как естественную эквивалент-
эквивалентность
8л*
Так как для любой пары (X, А, х») последовательность
Г Л v- F sfcli^-ГУ г- F *1<С Г V11С А *• Р1 *1
точна, то k* является теорией когомологий на &W'. Поскольку
для каждого семейства {Ха: аеА} гомоморфизм
является изоморфизмом, то k* удовлетворяет аксиоме суммы.
Определим теперь естественное преобразование Тп: k" -v En. С этой
целью заметим, что любое отображение /: (X, хо)->-(Еп, *) инду-
индуцирует функцию /': Е'(Х)-*-Е, где
*,
является кофинальным подспектром спектра 2,~пЕ (X). Таким
образом, мы получаем отображение спектров f: Ц-"Е (X) -*- Е.
Положим

482 гл. 8. спектры
Поскольку диаграмма
[Z--lE(SX),E] «
\ T»+i(SX) [SX,*;SEn,*] }т\Х)
, *;EK+l,*] "* ^ J. [X,x0; ?•„, *1
-коммутативна, то Т* — естественное преобразование теорий кого-
мологий.
Далее, из коммутативности квадрата
nk(QEK+k+l,o)o) ^A
вытекает, что гомоморфизм
[5*. so; ?„+*, *|->dirlim[S^, s0;
¦является изоморфизмом. Значит,
Tn(S°): kn (S°) -у Еп (S°)
— изоморфизм для всех nsZ. Поэтому по теореме 7.67 преоб-
преобразование Т* есть естественная эквивалентность. ?
8.43. В главах 10, 11 и 12 мы рассмотрим несколько важных
примеров спектров и связанных с ними теорий гомологии и ко-
гомологий. А в заключение настоящей главы упомянем об одном
замечательном спектре, с которым мы уже неоднократно встре-
встречались, — сферическом спектре S° = E,(S°). Ассоциированная с ним
теория гомологии S* известна как теория стабильных гомотопии:
SI (X) = я„ (S0 Д X) = dir lim nn+k (Sk f\ X, *).
Для Sn(X), как правило, применяется обозначение tt|J (X). Соот-
Соответствующая теория когомологий S0* называется теорией ста-
стабильных когомотопий и обозначается через п%. Согласно упраж-
¦нению 7.72, теории п$ (—) = dir limxr,J+?(S» Д—) и S% (—) экви-
эквивалентны на всей категории &е>Т'.
Для любого nSs2 имеет место естественное отображение
i0: nn(X, xo)-+dir\imnn+k(SkX, *) = nf (X),
переводящее элемент х^.пп(Х, х0) в {х} edirlimnB+ft(SkX, *).
Это отображение можно определить и иначе. В самом деле, любое
¦отображение f: (Sn, so)->-(X, Xo) индуцирует функцию E(f):

ГЛ. 8. СПЕКТРЫ 183
E(S")-+E(X). Поскольку ?E^ — кофинальный подспектр спектра
2Л5°, мы получаем отображение спектров \Е (f)}: 2nS°-*-E{X).
Тогда
'о [/] = [{Е (/)}] s [S-S», Е (X)] = я„* (X).
Это описание отображения to годится даже для п = 0 или 1. Если
п^\, то to — гомоморфизм.
Группы коэффициентов л% (S°) = dir lim nn+k (S*, s0) суть не что
иное, как стабильные гомотопические группы сфер я%, о которых мы
уже упоминали после теоремы 6.28. Эти группы известны лишь для
нескольких первых значений «>0 (заметим, что я^ = 0, «<0,
jt^SeZ). Поиски методов вычисления групп п$ представляют
собой одну из важных областей исследований в современной
алгебраической топологии.
Замечание. Описанная в конце предыдущей главы конст-
конструкция позволяет нам определить для любого спектра Е приве-
приведенную теорию гомологии ?„ (—) и приведенную теорию когомо-
логий Е* (—) на категории Ъ<&~*'. Примем некоторое соглашение
об обозначениях, которых мы будем придерживаться во всех
дальнейших главах. Для любого пространства X е &<&*' обозна-
обозначим через ?* (X) приведенные гомологии Е# (Х') = я4 (Е Д Х')г
где X' — произвольный клеточный эквивалент для X. Для любой
пары (X, А) обозначим через ?„ (X, А) неприведенные гомологии
Ё^{Х+\]СА+). Для любого (не обязательно пунктированного) про-
пространства X будем использовать для группы Е* (X, ф) сокра-
сокращенное обозначение Е* (X). Эти обозначения имеют по меньшей
мере то достоинство, что в классических ситуациях они совпа-
совпадают с общепринятыми.
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
После того как эта книга уже была написана, я получил
экземпляр лекций Адамса «Стабильные гомотопии и обобщенные
гомологии», прочитанных им в Чикагском университете. Под вли-
влиянием этих лекций я решил переписать заново часть главы 13, но
оставил главу 8 такой, как она есть. Тем не менее, я настоя-
настоятельно рекомендую читателю заглянуть в лекции Адамса и срав-
сравнить его подход к теории спектров с изложенным в настоящей
книге.
ССЫЛКИ НА ЛИТЕРАТУРУ
1. Адаме [8].
2. Бордман [21].
3. Уайтхед [81].

ГЛАВА 9
ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВИМОСТИ
В предыдущей главе мы показали, что с каждым спектром Е
можно связать теории гомологии и когомологий (удовлетворяю-
(удовлетворяющие аксиоме суммы). Теперь мы займемся обратной задачей: по
данной теории когомологий k*, удовлетворяющей на &W1' акси-
аксиоме суммы, будут построены спектр Е и естественная эквивалент-
эквивалентность теорий когомологий Т: ?*->&* на &-Ш'. В действитель-
действительности мы сделаем несколько больше. Именно, для любого ко-
¦функтора1) F*: @W' -> &*о?', удовлетворяющего аксиоме суммы
и некоторому условию точности, мы построим клеточное простран-
пространство (Y, уо) и естественную эквивалентность Т: [—; Y, yo]-*-F*.
Кроме того, мы докажем аналогичную теорему для кофункто-
ров F*, определенных на категории afW'p конечных клеточных
пространств и принимающих значения в категории групп $. Фи-
Фигурирующее в этих теоремах клеточное пространство Y называется
представляющим, или классифицирующим, пространством кофунк-
тора F*.
Идея, на которой основаны все результаты настоящей главы,
состоит в следующем. Для (Y, у0) ^.^Ш' и меР(К)мы имеем
естественное преобразование Та: [—; Y, yo]^>-F*, задаваемое для
любого /: (X, Xo)-*-(Y, у„) формулой Та (/) = /* («) е F* (X). По-
Поэтому проблема заключается в построении таких (К, у0) и и g
F* (Y), для которых Ти — эквивалентность кофункторов.
Всюду в этой главе мы будем придерживаться следующих
соглашений. Поскольку мы рассматриваем здесь лишь кофункто-
кофункторы, то нет необходимости отмечать их звездочкой. Таким обра-
образом, кофункторы будут обозначаться просто через F и т. д. Если
A cz X — вложение t: A-*~X и u^F(X), то, как правило, мы
¦будем обозначать элемент i*(u)^F(A) символом и\А.
Сформулируем теперь те аксиомы, которым будут удовлетво-
удовлетворять на категории ePtu' наши кофункторы F.
Q Аксиома суммы. Для произвольного семейства {Ха:
«sA| клеточных пространств из ?Ш! индуцированный вложе-
вложениями if Xp -*- \/ Ха морфизм
tta}'- F
является биекцией.
х) На самом деле это построение осуществляется лишь для кофункто-
кофункторов F: $"ё11?' -*¦ ffiS^y где zP"St(T' — категория связных пунктированных кле-
клеточных пространств. В общем случае не верна лемма 9.11,—Прим. ред.

ГЛ. 9. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВИМОСТИ 18f>
MB) Аксиома Майера —Вьеториса. Для любой кле-
клеточной триады (X; Аи Л2) (т. е. клеточного пространства X и
двух таких его клеточных подпространств А± и Аг, что/liU А* — Х}
и для любых элементов X!^F(Ai), x2^F(A») с Xi\Ai(]As =
x2\Ai(]A2 найдется i/gF(X) с у\А1 = хл, y\Az = x2.
9.1. Предложение. Для любого (Y, уп)^^"^ кофунктор
F = [—; Y, г/«] удовлетворяет аксиомам суммы и Майера — Вье-
Вьеториса.
Доказательство.
С) Каждый элемент из Л^(Ха) индексирован семейством
а
{[/а]} гомотопических классов отображений fa: (Ха, xa)-+(Y, yn).
Отображения fa определяют отображение /: \у Xa-*~Y с f'ia = fa;
а ¦
следовательно, {й}1/] = {[/«]}• Таким образом, {iS} сюръективно.
Если два элемента [/], [g]&[\/ Ха, *; Y, у0] имеют один и
тот же образ при отображении {/„}, то существует индексирован-
индексированное семейство гомотопий На: Ха/\ /+-^-К с tT$ = f>ia, H* = g°ia.
Поскольку \J (Ха /\ I+) = l\/ Ха\ Л /+. мы получаем гомотопию Н:
(\/ Х*\ /\ I+-+Y с H>(ia/\l) = H« и Яо = /, Hx = g. Таким обра-
образом, [/] = [g], т. е. отображение {й} инъективно.
MB) Пусть At, A2 — такие клеточные подпространства клеточ-
клеточного пространства X, что Х = Ai[) A2. Рассмотрим элементы
[Д] eMi, Xq\ Y, у„], [fz] e [At, хй\ Y, у0], удовлетворяющие усло-
условию [ft] | /4i П А2 = [ft] | Av П /42; другими словами, /^ЛхП^г^
/21Л1ПАч- Вложение Ax^A-i-^-Ai является корасслоением, так
что если Н: (Лх П А2) х / -> Y — гомотопия, связывающая отобра-
отображения /i|i4inyU и /2|/4ifl/42, то найдется ее продолжение П:
AiXl-*-Y с //o = /i- Но тогда f'i = Hi является еще одним пред-
представителем элемента [fi] е [Аи х0; Y, у0] и f[ \ Ах П А2 = /г I Ах П /42.
Следовательно, мы имеем отображение g: (X, xo)-+(Y, yG)
с f | Ai=f'u g\A<L=fi. Другими словами, элемент [g]e [X, x0; Y, y0]
обладает тем свойством, что [^]|/4i = [/i], [g] | Л2 = [/2]. П
Нашей целью является доказательство утверждения, обрат-
обратного предложению 9.1. Начиная с этого места будем считать, что
кофунктор F: dW1 -+&S? удовлетворяет аксиомам суммы и
Майера — Вьеториса.
9.2. Лемма. Для любого одноточечного пространства {х<>}
множество F({x0}) состоит из единственного элемента.
Доказательство. Имеет место биекция
V {*о}) ^
задаваемая формулой а>—- (а, а). Но это возможно лишь в слу-
случае, когда F ({хо}) состоит из одного элемента. D

186 ГЛ. 9. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВИМОСТИ
9.3. Лемма. Если (X, хо)<=&Щ' и {хо! = Х-,сХ(,с...
... с А'„ с... с X - такая последовательность клеточных подпро~
странств X, что X — [JXn, то отображение
п
{it): F(X)-+\nv\\mF(Xn)
сюръективно.
Замечание. Обратный предел обратной системы множеств
определяется очевидным образом.
Доказательство. Доказательство данной леммы во мно-
многом сходно с доказательством предложения 7.66. Рассмотрим бес-
бесконечный телескоп X' = (J [п — \,п]+/\Хпи положим
J
*— 1
Л,= (J [k-l,
k нечетно
л2= (J [k-\, к?
ft>0
k четно
Тогда
=\/ Xk,
Лх~ \/ Xk и Л2~ \/ X*.
k нечетно k четно
Как следует из аксиомы суммы, для любого элемента {хп} s
invlimF(Xn) найдутся такие yi^F(Ai) и f/jef^), что
yi\Xk = xk, k нечетно, и yz\Xk = xk, k четно. Рассмотрим теперь
элемент у\ \ Ai {] А%. Если k нечетно, то, как отмечалось выше,
ух \ Xk = хк. Если же k четно, то у^.\Хк = /* {tji \ Хк+1) = % (*/,+i) = jc*,
где jk: Хк ->- XA+i — естественное вложение. Аналогичное свойство
верно и для элемента #.2| /Uf] А* Следовательно, yi\Aif]Az =
у21 Ai П ^а- Поэтому, используя аксиому Майера — Вьеториса, мы
получаем элемент y'^F(X') с #'l/4i=yb у'\А2 = Уч- Тогда
у'\Хк = хк, k^—1. Но X' ~Х; поэтому существует такой эле-
элемент «/е/г(Х), что у\Хк = хк, k^—\.\J
9.4. Предложение. Для любого отображения /: (X, хо)->
(F, г/о)  категории &УУ последовательность
F{X)?-F(?)<?¦ F{Y\J f CX)
точна.
Доказательство. Очевидно, что /*./* = (/./)* = 0. Пусть
г/ еF(F) — такой элемент, что }* (у) = 0. Рассмотрим в KlJfCX
подпространства Лх = [0, 1/2] Д ^ и Ла = [1/2, 1]+ Д X U Y. Тогда
^lifl ^2 = {1/2}+ Д Х^Х, Atc^Y и вложение Л^Лг-^-Лг гомо-
гомотопно отображению /. Пусть у\ ^F(Ai) равен нулю, а г^е/^Л

ГЛ. 9. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВИМОСТИ 187"
равен элементу у. Тогда уг\Ах[\ А-л = у1\А1{] Л2. Следовательно,,
существует такой элемент z e F (У [) f СХ), что z | Y = у. ?
9.5. Замечание. Из аксиомы суммы без труда выводите»
следующее утверждение: для любой Я-когруппы К множество-
F (К) может быть наделено групповой структурой.
9.6. Определение. Элемент heF(F) называется п-уни-
версальным, если
Ти: [S», sn; У, yo]+F(S*)
— изоморфизм для ц<С.п и эпиморфизм для ц = п. Элемент и на-
называется универсальным, если он «-универсален для всех п^О.
9.7. Лемма. Пусть f: (Y, yo)-*~(Y', у'й) — клеточное отобра-
отображение и ueFfK), и' еF(Y1) —такие универсальные элементы,,
что /*ы' = и. Тогда t индуцирует изоморфизм
/*: ng(Y, yo)^ng{Y', y't), q^O.
Доказательство. Для любого q^0 имеет место комму-
коммутативная диаграмма
nq(Y',y'o)
из которой следует требуемое утверждение. П
Будем называть произвольный элемент «ef(K) (—^-универ-
(—^-универсальным.
9.8. Лемма. Пусть (У, уо)<=&'Ш и ип еF(К) — некоторый1
п-универсальный элемент. Тогда существуют клеточное простран-
пространство Y', получающееся из Y приклеиванием (п-\-\)-мерных кле-
клеток, и такой {п-\-\)-униберсальный элемент un+i^F(Y'), что-
«л+11 У — «л-
Доказательство. Для каждого k^F (Sn+1) возьмем
экземпляр S" сферы Sn+1 и образуем клеточное пространство.
Y V (\/ Si+\ Если л;э=0, то для каждого класса а е nn (Y, уо\
с Тал (а) = 0 выберем представляющее его отображение /: E", So) ->•
(У, г/о) и приклеим к У V V ^+' по ЭТОМУ отображению (п+ 1)-
я.
мерную клетку е?+1. В результате мы получим клеточное про-
пространство Y'. Согласно аксиоме суммы существует такой элемент
v<=F(Y\l \/5? + 1У чт0 v\Y = un, v\Sl + l=k. Если

188 ГЛ. 9. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВИМОСТИ
— «большое приклеивающее отображение» для (п + 1)-мерных кле-
клеток е?+1, то имеет место точная последовательность
Нетрудно видеть, что g* (v) | S« == TUn (a) = 0 для всех а. Поскольку
отображение
биективно, то отсюда следует, что g* (v) = 0. Таким образом,
найдется такой элемент un+i^F(Y'), что un+i\(Y V \/ Sl + l\ = v.
\ i I
В частности, un+i\Y = ип и ыл+1|5"+ =%.
Теперь мы должны показать, что элемент ыл+1 является
(п-\- 1)-универсальным. С этой целью рассмотрим коммутативную
диаграмму
nt(Y,y0)
Так как пространство Y' получается из К приклеиванием
мерных клеток, то /„. — изоморфизм для q<in и эпиморфизм для
q = n. Следовательно, TUn также является изоморфизмом для
q<.n и эпиморфизмом для q = n. Предположим, что Т„п ^ф) = ()
для некоторого Резхл(У, у0). Поскольку ц—эпиморфизм для
q — n, то найдется такой элемент aEi,(F, y0), что t!|e(a) = p.
Но тогда Тап (а) = Т„п j^ (а) = Т„ (Р) = 0. Следовательно, в Y'
существует клетка е? + 1, заклеивающая элемент i^ (a), т. е. it (a)==
Р = 0. Значит, Т„л+1 — мономорфизм для q = n. Наконец, для каж-
каждого IeFE^) мы имеем Tttn+1([k]) = it(un^) = X, где ik:
Sx + 1->-У —вложение. Таким образом, Тпп х — эпиморфизм для
g = n.+ l.D
9.9. Следствие. Для любых (Y, уо)^&'№ и v^F(Y)
можно найти клеточное пространство У, содержащее Y в каче-
ствг клеточного подпространства и универсальный элемент и е
F(Y') с u\Y = v.
Доказательство. Полагая Y-1=Y, u-i = v и применяя
предыдущую лемму, мы найдем по индукции последовательность
У = К-1 с Ув с Ki с... с 7„ с... клеточных пространств, в кото-
которой Yп получается из УVi приклеиванием «-мерных клеток, а
также последовательность «-универсальных элементов un^.F (Yn),

ГЛ. 9. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВИМОСТИ 189
удовлетворяющих условию ип | Yn-i = «л-i- Положим теперь У =
(J Уп и наделим У слабой топологией. Тогда в силу леммы 9.3
найдется такой aef (У), что и| Yn = un. Рассмотрим коммута-
коммутативную диаграмму
Так как пространство У получается из У„ приклеиванием клеток
размерностей, больших п, то ^—изоморфизм для ц<Сп. Следо-
Следовательно, Ти: л, (У, г/о)-»¦ F (S?) — изоморфизм для всех q, т. е.
и — универсальный элемент. ?
9.10. Следствие. Существуют клеточное пространство
(У, уо) е&УУ и универсальный элемент «ef (У).
Доказательство. Положим в предыдущем следствии
У = {уо\, и пусть у —отмеченный элемент в F(Y). Тогда У из
указанного следствия есть требуемое клеточное пространство,
a aef (У) — универсальный элемент. ?
Доказательство теоремы о представимости напоминает одно из
доказательств теоремы Уайтхеда 6.32.
9.11. Лемма1). Пусть У — пространство с универсальным
элементом u^F(Y), (X, А, хв) — клеточная пара, g: (A, Xq)->-
(У, уо) — клеточное отображение и v e F {X) — элемент, удовлет-
удовлетворяющий условию v\ A —g* {и). Тогда существует такое клеточное
отображение h: (X, хо)-+(У, у0), что h\A=g и v = h*(u).
Доказательства. Обозначим через Т клеточное простран-
пространство, полученное из (/+ Д A) \J X V У отождествлением [0, а] (= /+Д А
с аеХ и [1, а] е /+ Д А с g (a) e Y. Пусть Аъ Л2сГ- клеточ-
клеточные пространства, задаваемые как Ai = ([0, 1/2]+ f\A)\] X, Аг =
([1/2, iyf\A)[)Y. Тогда Л1иЛ2 = Г, Аг[\ Л2 = {1/2}х А ^ А.
Кроме того, существует сильная деформационная ретракция
f: Ai.-h X и, аналогично, сильная деформационная ретракция
А%-+У. Следовательно, найдутся такие элементы v^F(Ai),
uef(i42), что v\X = v, п\У = и. Очевидно, чтоу|Л1П^2 =
/* (и | A) =f*g* {и) — п | Ах П М. Поэтому, согласно аксиоме Майе-
ра — Вьеториса, существует элемент w ef (Т) с w \ X—v, w \ Y=u.
На основании леммы 9.8 мы можем вложить Т в некоторое
клеточное пространство У и найти универсальный элемент и' е
F(Y') с u'\T = w. Пусть/: Y-+V — вложение; тогда /* (и') =
и' \Y = w\Y = и. Следовательно, по лемме 9.7 индуцированный
!) Здесь все пространства X, A, Y надо считать связными. Заметим также,
что d лемме 9.9 можно, считая Y связным, a F — заданным на категории
связных пространств, найти связное У. — Прим. ред.

190 ГЛ. 9. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВИМОСТИ
гомоморфизм гомотопических групп
/V я, (У. у.)-*я. О". Ж)
является изоморфизмом.
Пусть теперь g: X -*¦ У — вложение X в У. Тогда g\ A^j-g,
причем гомотопией, связывающей эти отображения, служит
композиция /+ Д A cz Т ->- У. Так как А с X является корас-
корасслоением, то найдется отображение g: Х-*-У с g\A — j°g
и gc^g.
Г
г\ \*
"А с х.
Из доказательств утверждений 6.29 — 6.30 вытекает существование
такого отображения h: X-+Y, что h\A=g, j'h^^gc^g. Сле-
Следовательно,
h* (и) «= Л* /* (ы') = g * (и') = v. ?
9.12. Теорема (БраунI). ?с.№ F: ff'ttf''-+&?* — кофунктор,
удовлетворяющий аксиомам суммы и Майера — Вьеториса, то
существуют такое представляющее пространство (F, у0) е ^"^
ы такой универсальный элемент «eF(K), что Га: [—; У, г/0]->-
F — естественная эквивалентность.
Доказательство. В силу 9.10 существуют клеточное
пространство (У, y^^.&W и универсальный элемент uF(Y)
Поэтому все, что осталось сделать, — это доказать, что
7V [X, хп; У,
— биекция для всех (X, ха)
a) Пусть oef (X) Положим в лемме 9.11 А = {хо\ и возьмем
в качестве g: (A, xo)-+(Y, y0) единственное отображение,
переводящее А в отмеченную точку у0. Тогда найдется отображе-
отображение h: (X, xo)-+(Y, г/о) с v = h* (u) = T,,(\h]). Следовательно,
Ти сюръективно.
b) Предположим теперь, что Та [g0] = Т„ [gi] для двух отобра-
отображений go» gi' (X, ль)-»-(У, Уо) Без ограничения общности можно
считать, что gu и gi —клеточные отображения. Пусть Х' — Х/\1+
и Л' = ХД{0, 1}+- Зададим отображение g: (А', *)-»-(У, уо),
полагая g\x, O] = go(x), g[x, \] = gi(x), x^X. Кроме того, пусть
') Как уже говорилось в примечании на с. 184, эта теорема здесь дока-
доказана лишь для кофункторов Fi?/ iW'1 -t-ff'S".— Прим, ред.

ГЛ. 9. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВИМОСТИ 191
р: X'-*¦X — отображение, определенное равенством р[х, t]=*x
для всех [х, 1]еХ' и v = p*g*u eF(X'). Тогда
Следовательно, g*u — v\A, так что по лемме 9.11 найдется ото-
отображение h: X' ->- Y с h \ A = g. Легко видеть, что h является
гомотопией, связывающей g0 и gi. Значит, Т„ инъективно. П
9.13. Теорема. Пусть F, F': $W'-*-¦РеТ' — два кофунктора
с представляющими пространствами (Y, у0), (У, у'.) и универ-
версальными элементами и, и' соответственно. Если Т: F-*-F' —
естественное преобразование, то существует единственное с точ-
точностью до гомотопии отображение /: (F, yo)-^{Y', у'и), такое,
что диаграмма
[ЛГ,х0; Y,y0]
TAX)
F(X) — F\X)
коммутативна для всех (X, ^е??^'.
Доказательство. Выберем такой гомотопический класс
[/] е [Y, y0; Y', y't,], что
В частности, отсюда следует, что представляющее пространст-
пространство (Y, у0) определено однозначно с точностью до гомотопической
эквивалентности.
9.14. Упражнение. Показать, что если [—; Y, г/о] — ко-
функтор из ?рУУ' в $, то можно так снабдить (Y, у0) структурой
//-группы, что умножение в [—; Y, Уо] индуцируется гомотопи-
гомотопическим умножением в (Y, у0).
А теперь обратимся к ситуации, когда кофунктор F определен
лишь на категории §W'p конечных клеточных пространств и
удовлетворяет там аксиоме Майера — Вьеториса и слабой аксиоме
суммы:
(Ссл) отображение (it, it): F(Xx\/X2)-+F(Xi)xF(Хг) биективно
для всех (Хи Xi), (X2, x2) &?PW'F.
Кроме того, будем считать, что F принимает значения в категории
групп, т. е. F: &>W"F-+$.
Легко понять, что доказательство теоремы о представимости
для кофункторов F на $W"F должно использовать иные средства,
нежели доказательство теоремы 9.12. Дело в том, что представ-

192 гл. 9. теоремы о представимссти
ляющие пространства Y, как правило, являются бесконечными
клеточными пространствами, и мы не можем уже рассматривать
F(Y). Поэтому мы изберем другой путь. Продолжим функтор F
на категорию of'W', полагая
где (X, xJi^PW' и Ха пробегает множество всех конечных
клеточных подпространств пространства X, содержащих отмеченную
точку ха. Очевидно, что F(X) = F(X) для (X, xo)^gPW'F. Если
бы функтор F удовлетворял сильной аксиоме суммы и аксиоме
Майера—Вьеториса, мы могли бы применить теорему 9.12 и получить
представляющее пространство Y. К сожалению, для/эти аксиомы
не выполняются- Мы увидим, что для г справедлив более силь-
сильный результат, чем лемма 9.3, однако вместо аксиомы Майера —
Вьеториса выполняется лишь некоторый ее ослабленный вариант.
Тем не менее этих свойств окажется достаточно, чтобы постро-
построить для функтора F представляющее пространство Y.
9.15. Лемма. Функтор F удовлетворяет аксиоме суммы.
Доказательство получается несложными, но скучными манипу-
манипуляциями с элементами {ха\ е inv lim F (Xa). О
9.16. Лемма. Для любого пространства (X, хо)&&''№ и
любой направленной системы {Ха} клеточных подпространств Ха
с X =* у Ха гомоморфизм
{%}: F(X)-+\nv\\mF(Xa)
является изоморфизмом.
Утомительное, однако совершенно прозрачное доказательство
этой леммы мы опускаем. ?
Теперь мы собираемся показать, что функтор F удовлетворяет
аксиоме Майера — Вьеториса для любой клеточной триады
(X; At, Л2), в которой ЛА П Аг — конечное клеточное пространство.
Доказательство этого факта требует некоторой подготовки.
Пусть гё — некоторая категория, обладающая следующими
свойствами:
i) объектами категории ?f являются только непустые множества;
ii) морфизмами категории '§ являются только сюрьективные
отображения;
iii) для любых X, 7ef существует не более одного мор-
физма а: Х->У в g1;
iv) для любых X, Fe?1 существуют объект Ze? и мор-
физмы а: Z->X, f>: Z-+Y.
В этой ситуации можно определить inv lim ?f. Действительно,
зададим на множестве объектов из ^ «отношение частичного
порядка», полагая X ^ Y в том и только в том случае, когда
в W существует морфизм a: Y^>-X (из Х«^У и Y«SX, вообще

ГЛ. 9. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВИМОСТИ 193
говоря, не следует, что X = Y). Тогда & превращается в «обрат-
«обратную систему» множеств и сюръекций. Неясно, однако, будет ли
множество inv lim "ё1 непустым. Чтобы гарантировать это, введем
некоторое дополнительное предположение.
Пусть ?f— категория, имеющая те же объекты, что и 2Г, но
более широкий класс морфизмов. Именно, отображение /: X-*-Y
является морфизмом в V? в том и только в том случае, когда
в "г? существуют такие морфизмы a: Z-+X, E: Z-*-Y, что/°а=р\
Категория сё по-прежнему обладает свойствами i) — iv). Более
того, без труда проверяется, что %f является наибольшей из кате-
категорий, имеющих объекты из г§ и обладающих указанными свой-
свойствами. Существует очевидная инъекция i: inv lim ?f->- inv lim <§\
Тривиальные рассуждения показывают, что в действительности i
является биекцией. Таким образом, нам достаточно найти условия,
которые гарантируют, что inv lim 'ёФф.
9.17. Предложение. Если категория гё имеет счетное (или
конечное) число классов эквивалентности, то
inv lim c€ = inv lim *ё Ф 0.
Доказательство. Пусть Yo, Yit ..., Yn,... — такое счетное
семейство объектов из ?f, что каждый Zs?" эквивалентен в W
в точности одному из F;. По индукции мы можем построить такую
последовательность объектов Хо, Хь ... в ^ и элементов xk e Xk,
что
a) X^Xw, k^O;
b) Yi^Xi для всех t'SsO;
c) если а: Хм -*¦ Xk — единственный морфизм, то а (xk+i) = xk.
Определим теперь для каждого объекта Ке?1 элемент xy^Y
следующим образом. Вспомним, что имеется такой (единственный)
номер /, что Y эквивалентно Yi в ?>. Пусть f: Yt -*¦ Y — соответ-
соответствующая эквивалентность. В с? существует морфизм a: Xt->-Yi
и мы положим xY = f-a(xi). Покажем, что семейство {ху} является
элементом множества inv lim гё'.
Пусть a: Z -*¦ Y — некоторый морфизм в g7. Тогда существуют
целые числа /, / и эквивалентности /: F,-->-F, g: Yj-+Z в W.
В категории 4g существуют морфизмы a,;. Xt -> Yt, a/. Xj -»- У}.
По определению, xY = / - а{ (*;), xz = g - a,- (jc;).
Рассмотрим два возможных случая.
1) t<:/. Тогда в сб существует морфизм щ/. Xj-^-Xi, так что
/•а4»ау и a°g°aj являются морфизмами в g7 из Xj в Y. Следо-
Следовательно, f°ai°aij = a.°g°a,j, т. е.
2) /<;i. В этом случае в & существует морфизм aj{: Xi->Xj,
так что f>(Xi, a°g'a'OLji являются морфизмами в & из Xt в Y.
7 Роберт М. Свитцер'

194 ГЛ. в. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВИМОСТИ
Следовательно, f •a,- = a»?°ayayj, откуда
Ху ~f-ai(xl)-~a •g-aj-aJi(xi)^cc'g' ay (*,)«=• a(xz).
Таким образом, в любом случае a(xz) — xY. Это показывает, что
{xY\ является элементом множества invlim^.D
9.18. Лемма. Функтор Р удовлетворяет следующему варианту
аксиомы Майера — Вьеториса
МВСЛ), для любой клеточной триады (X; А, В), в которой
А П В — конечное клеточное пространство, и для любых а<=г(А),
bтР(В) с а\А(]В=^Ь\А(]В существует элемент x^F(X)
с х\ А—а и х\В=*Ь.
Доказательство. Множество всех конечных клеточных
подпространств из А, содержащих А[\В, кофинально в множе-
множестве всех конечных клеточных подпространств из А. Другими
словами, для каждого конечного клеточного подпространства CczA
существует такое конечное клеточное подпространство С", что
АВС и СсгС. Следовательно,
где Аа пробегает множество всех конечных клеточных подпро-
подпространств А, содержащих А[\В. Аналогично,
где 5р пробегает множество всех конечных клеточных подпро-
подпространств В, содержащих A f) В, и
Разумеется, Р(A [\B) = F(А (]В).
Предположим, что нам заданы элементы aef(A), b^F(B),
удовлетворяющие условию а\А[\В = Ь\А[\В. Если а = {ах},
b = {fcp}, то аа\ А (]В = Ь^\ А (]В для всех а, р. Обозначим через
Хар cz.F(Aa U 5р) множество всех таких элементов w, что w\ Аа=ал,
w | Вр = fcp. Поскольку функтор F удовлетворяет аксиоме Майе-
Майера—Вьеториса, то Хар=^=ф для всех а, р\ Если AaciAe и
Вр с Вф, то мы имеем вложение Аа (J Вр с Ле О Вф, индуцирующее
морфизм Хе^, -*• Хар. Пусть ^ — категория, объектами которой
являются множества Хар, а морфизмы индуцированы описанными
выше отображениями. Очевидно, что »та категория обладает свой-
свойствами i), iii) и iv). Докажем свойство 11), утверждающее, что
морфизмы Хв0->-Хар сюръективны.
Аналогично предложению 9.4 доказывается, что последова-
последовательность
F(X)?-F (Y)?-F (Y{J,CX)

ГЛ. 9. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВИМОСТИ 195
точна для любого отображения /: (X, Xo)-*-(Y, y0) из
Отсюда обычным способом устанавливается точность последо-
последовательности
F(X)?-F{X) J-F(Y[j ,CX) — F(SX) lft- F(SY) +-...
и, наконец, выводится точность последователь!!ости Майера —
Вьеториса в категории &W'F:
F{A(]B)<-F(A)xF(B)<-F(X)+-F(S(Af}B))<-
F (SA) x F (SB) g^F(SA\f SB).
Таким образом, для любых Аа cz Ав, Ау cz Ао, В$ cz Вф, ВА с: Вф
имеет место коммутативная диаграмма точных последовательностей
9.19.
F(At) х F(Bf) < F(A. U В,) ^- F(S{A n В)) J±- F{S(AavB,))
I |« л II 1
F{At) x ДД>) ч F(Ae U Вф) «—?- F(S(A n BJ) +i^- F(S{A,vBJ0
j 1* II 1
Пусть щеХар и w' — произвольный элемент из Хвф. Тогда эле-
элемент w — jtw' при отображении в Z7 (Ла) х F (Bg) переходит в 0.
Следовательно, существует такой г ef(S (А'(]В)), что ДХ2 =
w — jfw'. Но это означает, что /* (А2г + w') = w — j*w' + j*w' — w,
т. е. jl(X4) = Xafi.
Множество inv lim ^ состоит из тех элементов х е
inv lim F[AxU5Р) = F(X), для которых х\А = а, х|В — Ь. Таким
обвазом, достаточно показать, что inv \\mc&Ф ф. Для того чтобы
применить предложение 9.17, нужно убедиться, что категория %
содержит не tonvi, чем счетное число классов эквивалентности.
С этой целью мы сейчас докажем следующее утверждение: морфизм
/: Xva->-Xap в категории YJ существует тогда и только тогда,
когда imgYac: \mg^ (см. диаграмму 9.19).
Предположим, что морфизм /: X^-vX^ в f3 существует. Это
означает, что найдется пара индексов F, Ф) и такие морфизмы
ц: Х0ф^-Хуб, \: Хвф-+Хар в i?, для которых / = |o, = v. Для
любого w<=F(S(Ay\JB6)) мы имеем A3-g^b(w) = 0 af (Ay{]B6).
Пусть х е Х&ф — произвольный элемент. Тогда в F (Аа [] Вр) вы-
Т

198 ГЛ. 9. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВИМОСТИ
полияется
v (х) -f i
цепочка
bigybiw)
равенств
*= v (x 4- Aag.
у«И)=/*1
/0*W + ^
n(*4-A2gveH) =
Wve(a;))=/'H'W = v
Следовательно, AigY6 (w) = О и, значит, существует такой элемент
ffl'sf(S (/4а V вр))» чт0 ?«р (ьу') = gy6 (w)- Таким образом,
im gys cz im ga#.
Обратно, пусть imgYe с imgap. Построим морфизм /: XYe-*-Xap.
С этой целью положим Ав = Аа[}Ау, Вф = В§\}Вв и для любого
х е XYe выберем такой элемент *' е Х^, что $(х')=*х. Зададим
морфизм / формулой f(x) = /*(*')• Мы должны показать, что/
корректно определен. Предположим, что элемент х" е Хе^ также
удовлетворяет условию j%(x") = x. Очевидно, что /?(*'— х") = 0.
Кроме того, элемента' —х^ при отображении в F(Аь)хР(Вф) пере-
переходит в 0. Следовательно, найдется такой и &F(S(A f| В)), что
Д2ы =х' —х". Так как Д3ы = /'»(*' — х") = 0, то существует элемент
ay <=f (S (/4YVfi«)) с ^чв(ш)=ы. Выберем элемент w' ^CS^V^))
так, что gap (w') =gyu (w) = "• Тогда
0 = Д^ар (ш') = Дг (и) = /Г (** -
Значит, /* (х') = /* (^"), т. е. морфизм / корректно определен
Очевидно, что /•(/? \Хвф) = jt\X^. В частности, Ха^с^Ху6 в ка-
категории ^ тогда и только тогда, когда imgap = imgYe. Заметим
теперь, что существует лишь счетное число классов гомотопически
эквивалентных конечных клеточных пространств Чтобы убедиться
в этом, достаточно, например, взять в каждом гомотопическом
типе конечное симплициальное пространство. Далее, существует
лишь счетное число гомотопических классов отображений S (Л |~| В)
а это семейство конечных симплициальных пространств (это можно
увидеть, заменив S (А(]В) конечным симплициальным простран-
пространством; тогда каждый гомотопический класс отображений содержит
симплициальное отображение) Следовательно, может существовать
не более чем счегное число различных множеств imgap. Это пока-
показывает, что W содержит лишь счетное число классов эквивалент-
эквивалентности. Таким образом, в силу 9.17 inv lirag'^ 0. D
Назовем элемент u^F(Y) п-универсальным, если Ta:[S9, s0;
Y, Уо]->-F(S9) является изоморфизмом при (/<« и эпиморфизмом
при <7 = п. Элемент и называется универсальным, если он «-уни-
«-универсален для всех n^sO.
9.20. Лемм а. Для любого клеточного пространства (У, у0) е
$>W с п-универсальным элементом ua^F(Y) найдутся клеточное
пространство У, получающееся из Y приклеиванием к нему (п-\-1)-
мерных клеток, и такой (п+1)-универсальный элемент «MieF(K')(
что \Y

ГЛ. 9. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВИМОСТИ 197
Доказательство. Построим пространство У как в дока-
доказательстве леммы 9.8, приклеивая (/г-4-1)-мерные клетки е?+' для
каждого аея„(К, у0) с Т„п(а) = 0 и (п+1)-мерные сферы SJJ+1
для каждого^ef (Sn+1). Обозначим через 5 множество всех таких
пар (У, и), что У —клеточное подпространство в У, содержа-
содержащее K.aueF (У") удовлетворяет условию ы | У = ы„. На S имеется
очевидное отношение частичного порядка: (Y[, u^<,(Y'i, u2) тогда
и только тогда, когда Y[ — клеточное подпространство в У?
и ы21 Y1 = Ы].
Из леммы 9.16 вытекает, что множество 5 индуктивно, т. е.
удовлетворяет условиям леммы Цорна. Следовательно, S содержит
максимальный элемент (FJ, ы0). Покажем теперь, что Y'^ = Y'.
Предположим, что У,' не содержит какой-либо (п -f-1 )-мерной
клетки е? + ' из Y' — Y. Если g: (S", s0) -*- Y cr Y"u — приклеиваю-
приклеивающее отображение клетки е?+', то по лемме 9.18 имеет место
точная последовательность Р (S*) ?-F (Y{) ?-Р(Го" L)eS + ')- Но
g*(uo)=g* (ыл) = Г„п (а) = 0 и, стало быть, существует элемент
Mi е?(Уо U«a+1) с «i|FJ = «o, что противоречит максимальности
пары (Fo, ы0)- Аналогично, если Yq не содержит какую-нибудь
сферу S?+1, то по аксиоме суммы найдется элемент «is
f (F5 V Sxn) с «i | Yo = u0, что снова противоречит максималь-
максимальности пары (Yq, и0). Следовательно, Y% = У.
Теперь положим ы„+1 = ы0 е^(У). Тот факт, что элемент ы„+1
является (п+ 1)-универсальным, доказывается точно так же, как
в лемме 9.8. D
После всего сказанного, теорема о представимости функтора F
доказывается точно так же, как теорема 9.12. Итак, мы получаем
следующее утверждение.
9.21. Теорема (Адаме)х)v Пусть F: ®W'f>-*-$ — кофунктор,
удовлетворяющий слабой аксиоме суммы и слабой аксиоме Майера —
Вьеториса. Тогда существуют представляющее пространство
(Y, г/о) ^.tPW и естественная эквивалентность Т: [—; У, yo]^>-F
на @W"F. U
В действительности существует универсальный элемент и е
F (У), и эквивалентность Т имеет вид
Т = Та: [X, *0; У, yo]
для (X, Xo)f=&WF.
Кроме того, имеет место теорема о представимости естественных
преобразований в категории $W'F. Для того чтобы сформулиро-
сформулировать эту теорему, нам понадобится следующее определение.
1) Здесь опять-таки надо считать F заданным на категории связных конеч-
конечных клеточных пространств.—Ярил. ред.

198 ГЛ. 9. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВИМОСТИ
9.22. Два отображения /, g: X->F называются слабо гомо-
гомотопными, если для любого конечного клеточного пространства Z
и любого отображения h: Z-+X мы имеем f'h^g*h. Будем
обозначать слабо гомотопные отображения символом fc^wg. Без
труда проверяется, что c^w есть отношение эквивалентности.
Обозначим через [X, Y]w (соответственно, [X, хй; Y, j/o]») множе-
множество всех классов слабой гомотопности отображений /: X->-F
(соответственно, /: (X, xo)->-(Y, г/оI))-
9.23. Предложение. Существуют естественные эквива-
эквивалентности
^p([—, X, хо], F)g*
NaW-([—; X, xo]w, F), (X, xo)
(для любых кофункторов G, Н: "ё1-*-^ символом Naty(G, Н) обо-
обозначается множество всех естественных преобразований Т: G-+H
в категории Щ.
Доказательство. Если задан элемент и&Р(X), положим
Та: [-; X, xo]-+F
J—; X, х0], F). Наоборот, для данного преобразования
([—; X, х0], F) возьмем элемент
где ia: Ха-^Х — вложение. Если элемент «eF(X) = invHmF(Xa)
имеет вид и = {иа}, то {ro[ia]}"^{ia (u)} = {ua} — u. Следовательно,
композиция и i—- Ta •—»- {Та [ia]} является тождественным отобра-
отображением нъР(Х). Пусть теперь TeNat^([—; X, х0], f)H««
{T[ta]}. Для любого [/]е[/С, ^о; X, х0] (К — конечное клеточное
пространство) можно найти такой номер р, что /(#)с:Хр. Дру-
Другими словами, f = i$°f для некоторого /': (К, ?<>)->(Хр, -^о)-
Следовательно,
т. е. Ти — Т. Итак, композиция Т ¦—*• {Т [ia]} i—*¦ Та является тож-
тождественным отображением множества Natw' ([—; X, х0], F).
Эквивалентность
>F([-; X, xo]w, P)
доказывается аналогично. ?
!) Конечно, здесь надо очевидным образом изменить определение слабой
гомотопности так, чтобы учесть отмеченные точки. — Прим. ред.

ГЛ. 9. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВИМОСТИ 199
Это предложение показывает, почему F играет такую решающую
роль в теореме о представимости.
Очевидно, что [X, х0; Y, yo]w — [X, хй\ Y, у0] для конечного
клеточного пространства X. Если ае^(Y) — универсальный
элемент из теоремы 9.21, то естественное преобразование
Та- [—; Y, yu]-+F в ®W'F допускает продолжение Та: [—; Y,
y«\w-*~F на категорию SP-ffl'. Это продолжение также является
естественной эквивалентностью. Действительно, если /, g: (X, х0) -*¦
{Y, у,,) таковы, что fu[f]w = fa[g]w и ft: (К, ko)-+(X, x0) — про-
произвольное отображение клеточного пространства К в X, то
h*(fa\f]w) = h*(ta[g)J, т е. Ta\f.h] = Ta[g.h]. Поскольку
Ти — биекция, то f-h^g°h, т. е. f^wg. Отсюда следует, что
Та инъективно. Точно так же показывается, что Та сюрьективно.
9.24. Теорема. Пусть F, F': З^Ш'р-+& —два кофунктора
с представляющими пространствами (Y, у0), (У, у'„) и универ-
универсальными элементами и, и' соответственно. Если Т: F-+-F' —
естественное преобразование, то существует такое единственное
с точностью до слабой гомотопности отображение f: (Y, у0)-*-
(У, j/o), что диаграмма
[X,xQ; Y,y0] —^ [Х,х0; Г,у'о]
TU(X)
Т(Х)
F(X) > F\X)
коммутативна для всех (X,
Доказательство. Существует очевидное продолжение
f: F-»-/1' преобразования Т на категорию &W'. В самом деле,
t (X) = inv lim T (Ха) для (X, Xo)<=&W'. Выберем класс
\J)W е I / , i/o, / , t/uja,
1аким образом, чтобы
Тогда диаграмма
[Х,х0; Y,yo]w -A* [X,x0; r,^L
UX) | fu.(X)
f(X)
F(X) ¦ > f'(X)
]ы

200 ГЛ. 9. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВИМОСТИ
коммутативна для всех (X, хо)^^Ш' и сводится к диаграмме,
фигурирующей в формулировке теоремы 9.24 в случае, когда
X — конечное клеточное пространство1). ?
Естественно, что отображение / определено лишь с точностью
до слабой гомотопности.
9.25. Упражнение. Предположим, что F: <$•%(?'-*¦$ — ко-
функтор, удовлетворяющий аксиомам суммы и Майера — Вьеториса.
Пусть (X, jeo)ea7W'' и {Ха\ —обратная система всех конечных
клеточных подпространств Ха, содержащих отмеченную точку х0.
Показать, что естественный морфизм F(X)-+ inv l\mF(Xa)
сюръективен.
9.26. Упражнение. Определить понятие слабой Н-группы
и показать, что представляющее пространство (Y, у0) из теоре-
теоремы 9.21 может быть таким образом снабжено структурой слабой
Я-группы, что Ти: [—; Y, t/o]-+F будет естественной эквивалент-
эквивалентностью кофункторов из ^ш'р в категорию групп Э.
Предположим теперь, что к* — приведенная теория когомологий,
определенная или на @W'F, или же на §W', и во втором случае
удовлетворяющая аксиоме суммы.
9.27. Теорема. Существуют Q-спектр Е и естественная
эквивалентность
Т: ?*->?*.
Доказательство. Пусть
F = kn: &W1 -+ е4 (или
В силу теоремы 7.19 кофунктор F удовлетворяет аксиоме Майе-
Майера — Вьеториса. Если областью определения F является катего-
категория &W', то по предположению он удовлетворяет аксиоме суммы.
Если же F определен на oP'Wf, to из предложения 7 36 следует,
что он удовлетворяет слабой аксиоме суммы. Значит, в любом
случае для F = kn еуществуют представляющее пространство2) Еп
и универсальный элемент ип е k" (Е„) (или же ип е /' (Е„)).
Теперь мы имеем естественные эквивалентности3)
[X, ко; Q?n+1, оH]л--'[5Л, *;
1) Единственность отображения / (с точностью до слабой гомотопности)
легко следует из единственности отображения f*. — Прим. ред.
2) Чтобы доказать представимость функтора F-=k" на всей категории $>W,
воспользуемся следующим рассуждением. Представим kn в виде композиции
tPW—*9*У7с А, где 5—функтор надстройки. Функтор kn+1 представим,
так что kn+i(SX) = [SX, *; Yn+1, *]. Теперь имеем kn (X) s$ *"+1 (SX) =
[SX, *i Yn+1, *] = [X, •: QVn+i, *] и можно положить En = QYn+i.—Прим.
ред
3) Если if' определена на tPtCfp, a X s aP'ti/'i то в последних двух
группах вместо k должно стоять h. — Прим ред.

ГЛ. 9. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВИМОСТИ 201
Следовательно, существуют отображения Ф„: ?я-»-?2?я+1 и
¦ф«: Q?n+i->-?„, представляющие A'Tz'^cr1 и О'Т„п ^А-1.
Но тогда ^п'Ф„ и Фп'^п представляют тождественные преобразо-
преобразования и, значит, т])„»0„~1, 0„»т]),,~1, или, по крайней мере,
^„•Фл=5г„1, Фл • г|)„ с^ж 1. В последнем случае фп, tyn являются
слабыми гомотопическими эквивалентностями. Таким образом,
семейство {Еп, Фп) определяет Q-спектр
Рассмотрим следующую диаграмму:
k?*\SX)
*;SEn,*
[SX,*;?„+!,*] *"* Z [
Если взять в качестве е„: S?B^-?B+i отображение, сопряженное
к фа, то данная диаграмма станет коммутативной. Это означает,
что естественные преобразования Т„п определяют естественную
эквивалентность теорий когомологий. П
Разумеется, аналогичная теорема о представимости имеет место
также и для естественных преобразований теорий когомологий
9.28. Теорема. Если Е, Е'— некоторые Q-спектры и
Т: Ё*-+-Ё'*—естественное преобразование теорий когомологий
на &W'', то существует такое отображение спектров f: ?-*-?',
что T = Tj.U
К сожалению, очевидная попытка доказать соответствующий
результат для естественных преобразований на категории &W'F
терпит неудачу. В самом деле, мы по-прежнему можем найти ото-
отображения fn: ?„->-?„, индуцирующие гомоморфизмы
Тп: Ёп(—)-*-?'"(—). Однако диаграммы
будут теперь коммутативны лишь с точностью до слабой гомо-
гомотопности, а не с точностью до гомотопности, как требуется для
того, чтобы получить отображение спектров.
Поэтому мы изберем несколько иной подход. Будем рассмат-
рассматривать теории когомологий k*, определенные на категории S^Q

202 ГЛ. 9. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВИМОСТИ
конечных спектров. Если X е 3*3*?, положим
%* (X) = inv lim k* (Xa),
где Ха пробегает множество всех конечных подспектров X. Тогда
имеют место естественные эквивалентности
где слабая гомотопность отображений спектров определяется
очевидным образом и через [—; ?]? обозначено семейство кофунк-
торов [—; ?]i = [—; ?пЕ]„, neZ.
Функтор k* не является теорией когомологий, однако он удов-
удовлетворяет аналогам слабой аксиомы суммы и аксиомы Майера —
Вьеториса. Элемент uefe0(E) называется п-универсальным, если
Та: nq (Е) = Е° (Sg) -»- k° (S9) — изоморфизм для q < п и эпиморфизм
для <7 = я.
9.29. Лемма. Предположим, что &?(S°) = 0 Зля всех ^>0.
Для любых спектра F и п-универсального элемента v е &° (F), п ^ О,
найдутся спектр Е, содержащий F в качестве подспектра, и такой
(п-\-\)-универсальный элемент u^k°{E), что u\F=*v.
Доказательство. Для любого aeP(S") с Та(а) — 0
выберем представляющее отображение /a: I,nS° -*-F и приклеим к F
по этому отображению клетку е^+1. Обозначим через F' спектр,
получающийся из F в результате такой приклейки, и положим
? = F' V (V E"+1S°V где % пробегает группу ^
\ I
\ I
Построение элемента и и доказательство его (л + 1 ^универсаль-
^универсальности производится так же, как в лемме 9.20. ?
Теперь мы в состоянии доказать аналог леммы 9.11 и, следо-
следовательно, существование естественной эквивалентности
в предположении, что () ^
9.30. Теорема. Пусть k*, k'* —определенные на eP@>'F тео-
теории когомологий с представляющими спектрами Е, Е' и универ-
универсальными элементами и, и' соответственно. Предположим, что
&?E°) = ft'?(S») = 0, q>0. Если Т: k*-*~k'*—естественное пре-
преобразование, то существует единственное с точностью до слабой
гомотопности отображение спектров /: Е-*~Е', для которого
коммутативна диаграмма
Ти.

ГЛ. 9. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВИМОСТИ 203
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Теорема Брауна о представимости явилась поворотным момен-
моментом в развитии алгебраической топологии. После появления этой
теоремы стало ясно, что многие наиболее важные функторы
в алгебраической топологии являются, по существу, гомотопиче-
гомотопическими функторами, и следовательно, к ним применимы методы
гомотопической топологии. Теорема 9.27 показывает, что значи-
значительная часть теории когомологий является ветвью стабильной
гомотопической теории. В главах 10, 11 и 12 мы рассмотрим раз-
различные конкретные примеры представляющих пространств и спект-
спектров, а в главе 14 будет доказана теорема о представимости для
теорий гомологии.
ССЫЛКИ НА ЛИТЕРАТУРУ
1. Адаме [9]. 3. Спеньер [72].
2. Браун [27]. 4. Уайтхед [81].

ГЛАВА 10
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГОМОЛОГИИ
Под классической теорией гомологии мы будем понимать такую
теорию А#, что kn(S°) = O для всех пФО. Если ko(S°) = G, то?#
называется (классической) теорией гомологии с коэффициентами
в группе G. Приведенные сингулярные гомологии Я# (—; G) пред-
представляют собой пример классической теории гомологии с коэф-
коэффициентами в G, определенной на категории c^sf'.
В этой главе мы покажем, что любые две классические теории
гомологии с коэффициентами в G, удовлетворяющие аксиомам
суммы и слабой гомотопической эквивалентности, естественно
эквивалентны. Кроме того, мы построим спектр Эйленберга —
Маклейна Н (G) с
Отвечающая этому спектру теория гомологии Я(б)#(—) есть
не что иное, как классическая теория гомологии с коэффициен-
коэффициентами в G. Таким образом, на категории №<ЗГ' имеет место естест-
естественная эквивалентность Я(б)#(—)^Я„,(—; G). И в завершение
главы мы найдем условия, при выполнении которых гомоморфизм
Гуревича
h: nn(Y, yo)-*Hn(Y; Z)
(см. определение 7.39) будет изоморфизмом.
10.1. Пусть п ^ 0 — некоторое целое число. Стандартным
п-мерным симплексом Д„ с R"+1 называется симплекс с вершинами
ео = A, 0, .... 0), ^ = @, 1, 0 0), .... е„ = @, ..., 0, 1).
Для любого i, (Xts^n, определим отображение д?. Дл-1-*-Д„,
задавая его на вершинах формулой
а,в\ Iе"'
и распространяя на весь симплеко Д„_х по линейности, т. е.
полагая
/=о
для всех Хо, ..., %„-!, таких, что Х/^0, 0</<rt — 1, и
1L=1.
,-0

ГЛ. 10. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГОМОЛОГИИ 205
Сингулярным п-мерным симплексом в топологическом простран-
пространстве X называется любое (непрерывное) отображение и: Ап-*-Х.
Определим i-ю грань d,u сингулярного симплекса и: ДЛ-»>Х как
сингулярный (л—1)-мерный симплекс ы»дг: Д„_х-»-Х.
Обозначим через Sn(X) свободную абелеву группу, порожден-
порожденную сингулярными л-мерными симплексами в X. Группа Sn(X)
называется группой п-мерных цепей пространства X. Пусть
d: S
— гомоморфизм абелевых групп, задаваемый на базисных элемен-
л
тах формулой du = ^(—1)'д;Ы и называемый дифференциалом.
t=o
Легко видеть, что d«d = O; следовательно, {SB(X), d} является
цепным комплексом. Положим
Za (X) = ker {d: Sa (X) -+ S,-a (X)} a Sn (X),
Bn (X) = im {d: Sn+i (X) -v Sn (X)} <= Sa (X).
При этом Zn(X) называется группой циклов, а В„(Х) —группой
границ. Так как d»d = O, то Вп (X) с: Zn (X). По определению
группой сингулярных гомологии топологического пространства X
называется группа
и /у* \Zn{X)IBn(X), л^О,
Ял(Х) = \0, л<0.
Для любого отображения /: X-**Y определен гомоморфизм
задаваемый на базисных элементах формулой /# (и) = / • и: Д„ -¦- У.
Тогда для любого сингулярного симплекса и имеют место равенства
t«-0 (-0
/#B(-1)Ч«]=ы<*«),
ч—о
откуда следует, что d«/# = /#«d, т. е. что
— цепное отображение. Поскольку
то /# индуцирует гомоморфизм
/ф: ЯЯ(Х)-^ЯЯ
для любого л е Z.

-06 гл. ю. классическая теория гомологии
Если (X, .4)е#~2, определим Sn(X, А) как факторгруппу
Sn{X)/Sr(A). Дифференциал d: Sn(X)-+Sn-i(X) индуцируетдиф-
Ьеренциал d на группе S* (X, А), и мы полагаем
ы ,v л, 1 аг a I Zn(X, А)/Вп(Х, А), л^О,
НН(Х, A) = kerd/imd = {
{ 0,
Отображение f: (X, A)-+(Y, В) определяет гомоморфизм пар
U: (Sn(X), Sn(A))^(Sn(Y), Sn(B)),
который, в свою очередь, задает гомоморфивм
/#: Sn(X, A)-+Sn(Y, В).
Как и прежде, f# индуцирует гомоморфизм групп гомологии
/„: Нп(Х, A)-+Hn(Y, В), neZ.
Пусть
— точная последовательность цепных комплексов и цепных ото-
отображений. Для каждого п е Z построим гомоморфизм д„: Н„ (С#)-+-
//„_! (Д#) следующим образом. Если zeZn(C#), то найдется
«<= Вп с gn (х) = г. Тогда gn-x (dBx) = dcgn (x) =¦ dcz = 0, ив силу
точности существует такой элемент у е Ля_1, что /„_i (у) = dBx.
Следовательно, /„_а (dAy) = dBfn-i (у) — dR - dBx == 0. Но поскольку
^—мономорфизм, то отсюда вытекает, что ^# = 0, т. е. что
у е Zn_i (Л). Положим 5n{z| = {«/}. Без труда проверяется, что
отображение дп корректно определено и является гомоморфиз-
гомоморфизмом. Если
Ь
I"
— морфизм точных последовательностей, т. •. вышеприведенная
диаграмма коммутативна, то
Кроме того, последовательность
точна

ГЛ. 10. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГОМОЛОГИИ 207
Применяя эти общие результаты к точной последовательности
цепных комплексов и цепных отображений
мы получим естественное преобразование
д„(Х, А): Нп(Х, А)^Нп.1(А, ф),
делающее точной последовательность
Для любой пары (X, А) е s^ и абелевой группы G образуем
новый цепной комплекс S# (X, A; G)=*{Sn(X, X)(g)G, dgl}
Определим теперь группы гомологии Ha(X, A; G), полагая
' A'G)\0, n<0.
Так как Sn(X, Л) —свободная абелева группа (она порождена
такими сингулярными n-мерными симплексами и: А„-*-Х, что
и (Ал) ф А), то последовательность
по-прежнему точна, и мы получаем длинную точную последо-
последовательность
Я{А, ф; G)±Ha(X, ф; G)±
Нп(Х, A; G)^Hn-t(A, 0; <?) + ...,
в которой дп — естественное преобразование.
Таким образом, если мы докажем, что из/=*/': (X, A)-*-(Y, В)
следует равенство
/,=-/;: Н,(Х, A; G)-+H*(Y, В; G)
и что Я# (—; G) удовлетворяет аксиоме вырезания, то тем самым
мы построим на qTv неприведенную теорию гомологии — так
называемую теорию сингулярных гомологии с коэффициентами в G.
Рассмотрим Д„х/ как подпространство произведения R"+1 x R.
Для точек v0, vlt -..,vm из Rn+2 обозначим символом [v0, i>i,..., vm]
линейный сингулярный симплекс с вершинами v0, щ, ..., vm,
т. е. такое линейное отображение и: Дт -> R"+s, что My(e<) = y<,
0 ^ i =ss m. Пусть бл s Sa (Aa) — сингулярный симплекс 1: к„-*- Ая.
В этих обозначениях определим (л + 1)-мерную цепь Р6„
в 5Л+1(Д„Х/) равенством
Р&п = ? (-l)'l(eo, 0), .... (eh 0), (eit 1), .... (еп, 1)].

208 ГЛ. 10. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГОМОЛОГИИ
Зададим теперь отображение Р: Sa(X)-*-Sn+i(XxI), полагая
для любого и: Д„ -»- X и продолжая его на всю группу Sn (X) по
линейности. Легко видеть, что Р естественно. Непосредственно
проверяется, что
n + Pdb
n
где i0, ii- X -*- X X / определяются формулами i0 (x) = (x, 0),
i1(x) = (x, l), леХ, Применяя к последнему равенству гомомор-
гомоморфизм (ых1)#, мы найдем, что
т. е. что
Пусть теперь F: XxI-*-Y — гомотопия, связывающая отобра-
отображения /о и fx. Тогда F • to = /о. F-ii = flt так что если определить
Н: Sn (X)->-Sn+i(Y) как композицию H — F#'P, то
Отсюда следует, что /0# и fl# цепно гомотопны и, значит,
K-fW- НА*; G)-»H<(Y; G).
Таким образом, из условия fo — fi вытекает, что /o*=/i*-
Мы не станем вдаваться в подробности доказательства аксиомы
вырезания и ограничимся лишь его наброском. Пусть о =
{Ua: a. e А} — открытое покрытие пространства X. Обозначим
через S$(X) цепной комплекс, порожденный «маленькими» сингу-
сингулярными симплексами, т. е. теми отображениями и: Д„-»-Х, для
которых и (Д„) d Ua при некотором а. Ясно, что дифференциал d
отображает 5f (X) в себя. Решающую роль в проверке аксиомы
вырезания играет тот факт, что вложение i: Sf (X) ->- S* (X)
является цепной гомотопической эквивалентностью. Для того
чтобы доказать это утверждение, возьмем некоторый сингулярный
симплексы: Ап-*-Х и рассмотрим открытое покрытие {«^(t/a): aeA}
множества Д„. Обозначим через к лебегово число этого покрытия,
существующее в силу компактности метрического пространства Д„.
Применяя последовательные барицентрические подразделения,
разобьем Д„ настолько мелко, чтобы диаметры всех полученных
симплексов не превышали X. В терминах этого подразделения
определим цепную гомотопию D: S* (X)-*-S, (X) так, чтобы
dD + Dd-\-t, где т: S,{X)-+S*(X) и t|S*(X) = 1.
Этот результат используется следующим образом: пусть
(X; А, В) - триада с X = A U В. Положим ? = {А, В\. Тогда S* (X)

ГЛ. 10. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГОМОЛОГИИ 209
цепно эквивалентен комплексу Sf (X)^S^ {A)-\-S* (В). Следова-
Следовательно, 5%(Х, В) = S* (X)/S* (В) цепно эквивалентен комплексу
(S, (А) + 5, (B))/S. (В) ^ S, (Л)/5„ (Л) П 5# (В) ^
5#(Л)/5ЛЛП5) = 5#М. Л Л В)-
Таким образом, гомоморфизм
/V Я#(Л, A ft В; G)^H,(X, В; G)
является изоморфизмом. Читатель, не знакомый с этим доказа-
доказательством, сможет найти его в монографии Стинрода и Эйлен-
берга [72] или же в обстоятельном учебнике Спеньера [74].
Для каждой пары (X, А) и абелевой группы G определен
коцепной комплекс
S*(X, A; G) = {Hom(Sn{X, A); G), Hom(d, 1)}.
Группы когомологий
H"(S*(X, A; G)) = Z»(X, A; G)/B'(X, A; G) =
kerHom(d, l)/imHom(d, 1)
этого коцепного комплекса называются группами сингулярных
когомологий с коэффициентами в G пары (X, А).
Разумеется, можно определить и группы приведенных гомоло-
гомологии и когомологий на категории §Pdir'. Для этого достаточно
положить
Нп(Х; С) = ЯЛ(Х, {хо}; G),
Я"(Х; G) = //"(*, {*,}; С).
Так как группа сингулярных цепей 5„({+}) одноточечного
пространства {+} в любой размерности п^О изоморфна группе
целых чисел Z, а дифференциал d: Sn ({+})-*¦ 5„-х({+}) имеет
л —1
вид d(tn) = m 2] (—1)Л meZ, то
Аналогично
Следовательно, Нп и Нп являются классическими теориями гомо-
гомологии и когомологий в смысле данного выше определения.
10.2. Напомним, что в главе 6 мы построили пространства
Эйленберга —Маклейна Н (G, л), которые характеризуются тем
свойством, что
n,(H(G, n),*)J
[id, ГфП.

210 ГЛ. 10. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГОМОЛОГИИ
По теореме 6.39, ii) любой гомоморфизм ф: G-*-G' порождает
отображение
Н(Ф, л): H(G, n)-+H(G', я),
единственное с точностью до гомотопии.
Так как
nr(QH(G, л), ш0)S*JW(Я(G, я), *) = ( ' г = п~ '
[ 0, гфп — 1,
то мы имеем отображение
е;_,: #(G, л-1)-^ОЯ@, л)
и сопряженное к нему отображение
e.n-i. SH(G, n-l)-+H(G, n), л^2.
10.3. Лемма. Для любого гомоморфизма ф: G^*-G' и любого
целого числа л^2 диаграмма
5Я(С,л-1)-5^. Я(С, и)
-О |я(^,иу
еомотопически коммутативна.
Доказательство. Тот факт, что диаграмма
H(G,n -1) -^> QH(G,n)
\н(ф,п-1)
гомотопически коммутативна, вытекает из единственности отобра-
отображения f в теореме 6.39, ii). Действительно, оба отображения
Q.H(Ф, n)'e'n_i и г'п-1'Н(Ф, п—\) индуцируют один и тот же
гомоморфизм Ф на пп-\{—) и, значит,
ОН(Ф, л)-е;_1~е'п_1.Я(Ф, л-1).
В силу естественности экспоненциального соответствия отсюда
следует, что
Н(Ф, я).ея_1^
Оэгласно предложению 6.35 мы можем считать, что все отобра-
отображения ел: SH (G, n)-*-H(G, я+1) являются клеточными отобра-
отображениями. Поэтому в силу предложения 8.3 существует такой

ГЛ. 10. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГОМОЛОГИИ 2Н
спектр H(G), что #(G),~#(G, п), л 3*1, Н (G)n =**, п «S 0. Дру-
Другими словами, для всех л5&1 -компоненты Н (G)n спектра пред-
представляют собой пространства Эйленберга — Маклейна типа (G, л).
Из сказанного выше очевидно, что Н (G) является й-спектром.
Значит,
пп (Я (G)) = dir I im я„+* (Я (О)ь •) - [ J
[ О,
л =?== U.
Следовательно, теории Я (G), и Я (G)* суть классические теории
гомологии и когомологий с коэффициентами в G.
Согласно лемме 10.3 любой гомоморфизм Ф: G-+G' определяет
такую последовательность отображении
Н(Ф)„: H(G)^H(G')n,
что Я (ф)„ \ SH (G)n-r ~ SH (*)„_!.
10.4. Лемма, а) Пусть Е, F — два спектра с Еп — « при
n<N для некоторого N ufn:En-*-Fn—такое семейство отображений,
что f\SEn-i^s:Sfn-i- Тогда найдется такая функция f: E-+F,
что f'n^fn для всех neZ.
b) Пусть g,,: En-*-F4 — ewfi одно такое семейство отображений
и g': E-^-F —ассоциированная с ним функция. Если gn^fn для
всех n^N и
Доказательство. Для n^N возьмем /л«=»/„. Предполо-
Предположим, что для всех т < п отображения f'm уже построены, причем
/m!S?m-i = S/m-i и f'm =^fm- Так как /д | 5?,-i с*5/я_а ~5/;_„
то можно продолжить эту гомотопию до гомотопии Е„ Д /+, кото-
которую мы обозначим через Н. Ясно, что Ha = fn. Пусть f'n — Hi.
Тогда /^|5?'„-1 = Я1|5?/1-1 = 5/^_1, и очевидно, что f'n^fn. Зна-
Значит, по индукции можно построить f'n для всех п. Тогда f «= {/„}
будет функцией f: E-+F.
А теперь сделаем следующее общее замечание. Пусть
— некоторая фильтрация спектра Е. Тогда для спектра Е можно
проимитировать конструкцию телескопа 7.52 и повторить дока-
доказательство предложения 7.66. В результате для произвольного
спектра F мы получим точную последовательность
л л
В нашей ситуации это замечание используется следующим обра-
образом. Спектр Е имеет фильтрацию \Еп\ с
п-пр

212 гл. io. классическая теория гомологии
Таким образом, мы получаем точную последовательность
0 -* lim1 F'1 (Еп) -> Р (?) -> lim° F° (?») -»- 0.
Единственность с точностью до гомотопии функции /': E-+F
гарантируется условием lim1 F-1 (?") = 0. Наконец, поскольку
Ц-аЕ (??„) является кофинальным подспектром в Е", то F-1 (Еп) &
Замечание. Пусть ?п — подспектр в Е, заданный правилом
Sm-a (?„р, т=э=л
((?mJm есть 2ш-мерный остов пространства ?т). Тогда Ё ** \J Ё"
п
является кофинальным подспектром в Е, и очевидно, что доста-
достаточно доказать равенство
lim1 F-1 (?») ^ lim1 F"-1 (?^) = 0.
Согласно результатам главы 7 (приложение), для этого достаточно,
чтобы группы Н* (Е„) имели конечный тип для всех п и группы
ng(F) были конечны в случае, когда Н"*?-1 (?¦*") Ф 0.
Итак, в этом случае мы можем считать Н (Ф) = {Я (<?)„} функ-
функцией, задающей, следовательно, отображение спектров Н(Ф): H(G)-*-
Н (С). Очевидно, что диаграмма
к ф «г
коммутативна.
Точно так же, как в п. 8.39, отображение спектров
Н(Ф): H{G)^-H(G') индуцирует естественное преобразование
7Ф (ф) = Г# (Я(Ф)): H(G)*^*H{G')t теорий гомологии (и теорий
когомологий). Преобразование Г# {Ф) является естественной экви-
эквивалентностью тогда и только тогда, когда Ф — изоморфизм.
10.5. Соответствующая конструкция для сингулярных гомоло-
гомологии выглядит следующим образом. Пусть задан гомоморфизм
ф: G-+G'. Тогда для любой пары (X, Л)е^ тензорное произ-
произведение Ф# = 1 (g) Ф: Sn (X, A) (g) G->-Sn(X, A)<2)G' определяет цеп-
цепное отображение Ф#: S+ (X, А; б)->5ф (X, A; G'). Оно, в свою оче-
очередь, индуцирует гомоморфизм групп гомологии Ф*' Яф (X, A; G)-*-
Н0 (X, А; С), естественный по отношению к отображениям
/: (X, A)-*-(Y, В). Короткая точная последовательность 0 -*- G -*¦

ГЛ. 10. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГОМОЛОГИИ 213
Н-+-К-+0 индуцирует длинную точную последовательность групп
гомологии
...-+НЯ(Х, A; G) + Hn{X, А; Я) +
На(Х, А; К)-^Нп-1(Х, A; G)-»....
Связывающий гомоморфизм р: Н„(Х, A; K)-*~Hn-i(X, A; G) на-
называется гомоморфизмом Бокштейна, ассоциированным с после-
последовательностью 0-»-G->-#-»-/C->-0.
10.6. Теперь мы намереваемся разработать средства для вычис-
вычисления групп классических гомологии произвольного клеточного
пространства. В тех случаях, когда нам известны все приклеи-
приклеивающие отображения клеточного пространства, эти средства ока-
оказываются эффективными и позволяют довести вычисления до
конца. Пусть {е?: а е /„} — семейство л-мерных клеток клеточ-
клеточного пространства X с характеристическими отображениями
/»: (Dn, Sn-\ so) -> (Xя, Xя-1, хо). Обозначим через С„ (X) свобод-
свободную абелеву группу, порожденную множеством /„, neZ. Будем
считать, что ^ — произвольная классическая теория гомологии
с коэффициентами в G, удовлетворяющая аксиоме суммы.
10.7. Лемма. Для каждого neZ имеет место естественная
эквивалентность
кп(Х): ka(XVX»-1) + C
и km(Xn/Xn-1) = 0, если тфп.
(Напомним, что Х* = {л:о} для /г<0; кроме того, С*(Х) = 0
для &<0, поскольку Jk = O-)
Доказательство. Согласно следствию 5.17 мы имеем
естественный изоморфизм
V
j
На основании аксиомы суммы гомоморфизм
it i» си ь |^"^_ь.ь / \ / ^"
i'ot*/' Ш кт\Эа)—*Km I у "а
является изоморфизмом. Так как
О, тфп,
то отсюда немедленно следует, что km(XnfXn~1) =»0 для тфп.
Определим теперь гомоморфизм ц: Cn(XHG-*- © fto(S°), задав
его на образующих формулой

214 ГЛ. 10. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГОМОЛОГИИ
и распространив на всю группу d(X)(g)G по линейности. Тогда
требуемая эквивалентность кп (X) определяется как композиция
У aeJs
10.8. Следствие.
i) Если т>п, то km(Xn) = 0;
ii) ka(Xn)^kn(Xn+1)-эпиморфизм-,
Hi) km(Xn)-n±km(X) — изоморфизм при т<п.
Доказательство. Рассмотрим точную последовательность
пары (Х*+\ X"):
km
+i
Из леммы 10.7 вытекает, что гомоморфизм i* является
a) изоморфизмом для тфп, п-\-\\
b) эпиморфизмом для т = п;
c) мономорфизмом для т = п + 1.
Таким образом, если т>п, то в силу предложения 7.32 мы имеем
km (X") s* km (Х-1) ^... з* Am (Х-1) - ^т ({^о}) - 0.
Утверждение ii) следует из Ь). Если же ш<ге, то из а) выте-
вытекает, что
km (X") ^ km (X-+1) ^... ^ ft* (ХО
для всех гз=п. Воспользуемся теперь коммутативной диаграммой
где /я определяется формулой /я(^) = {л;}. В силу предложения 7.53
гомоморфизм {tr#} является изоморфизмом. Гомоморфизм /„ также
изоморфизм, поскольку таковыми являются все морфизмы /$*:
km{Xs)-*~km(Xr) для n^s^r. Следовательно, in# —изомор-
—изоморфизм. ?
Пусть Д: kn(Xa/Xn-1)^kn-1(Xn-l/Xn-t) — граничное отобра-
отображение тройки (X", X"-1, X"-2). Для каждого «>0 определим
d: Сп (X) (g) G -*¦ Cn-i (X) (g) G как гомоморфизм, превращающий

ГЛ. 10. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГОМОЛОГИИ 216
диаграмму
к (X)
-1) -~* Сп(Х) <g> G
® С?
в коммутативную. Ясно, что это требование определяет d одно-
однозначно. Поскольку А является композицией
К (XVX*-1) -1 kn-i (X»-1) & fen_! (x»-VX«-«),
то А» А = р% в^вР* -5 = 0 (здесь мы воспользовались равенством
(Э°р# = О предложения 7.33). Таким образом, {kn (X"/Xn~1), А} и
{С„ (X) (g) G, d] — цепные комплексы и к# — естественная цепная
эквивалентность.
10.9. Теорема. Имеет место естественный изоморфизм
Н„({С* (X) <g>G, d})^kn(X), яе2.
Доказательство. Построим естественную эквивалентность
Ha({kn(Xn/Xn-1), Д}) = ?Л(Х). Тогда устанавливаемый теоремой
изоморфизм будет композицией этой эквивалентности и естествен-
естественной эквивалентности к,. Рассмотрим коммутативную диаграмму
Элемент zekn (Xn/Xn~1) является циклом тогда и только тогда,
когда Дг = 0. Но

216 ГЛ. 10. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГОМОЛОГИИ
Таким образом, р# определяет изоморфизм
Р*'- kn{Xn)-+Zn.
Далее, г е к„ (Хп/Хп-1) является границей тогда и только тогда,
когда z — Az' для некоторого z' e kn+i (Xn+1/Xn). Но г = р^дг' <=>
гер* (imд)<=>z<=pn (ker jnn$')<=>гер» (ker injtt). Следовательно,
Рь определяет изоморфизм р*\ kerin^-*-Ba. Таким образом, мы
имеем коммутативную диаграмму точных последовательностей
«з которой вытекает существование естественного изоморфизма
К (X) ** нп {{К (XniX"-\ А}), п
Данное выше определение дифференциала d: Cn(X)<&G-*-
*С"л-1 (X) (g) G было неконструктивно и поэтому мало пригодно для
вычислений. К счастью, как мы сейчас увидим, дифференциал d
•можно описать в более элементарных терминах.
10.10. Определение. Для любого niSsl имеет место изо-
изоморфизм nn(S", so)^r.Z. Обозначим через [15я] образующую груп-
группы пп(Saf So), соответствующую leZ- Степенью deg(/) произ-
произвольного отображения /: EЛ, s0) ->¦ (Sa, s0) называется целое число
meZ, соответствующее классу [/] при указанном изоморфизме.
Другими словами, если deg(/) = m, то [f] = m-[lsn]. Случай я = 0
•особый: no(S°, s0) —это двухэлементное множество {[1], [so]}-
Положим deg A) = 1, deg (s0) = 0.
Для любой л-мерной клетки е%, в X с приклеивающим отобра-
отображением gai (S"-1, so)^-(Xn-1, х0) и любой (л —1)-мерной клетки
«р-1 обозначим через Хр~1 клеточное пространство X"-1—ер,
т. е. пространство
Х"-аи{все (л— 1)-мерные клетки, кроме el},
и определим Щ: E"-1, SoJ^-tS"-1, s0) как композицию
(D»^/S»-2, ^^(S-1, So).
Интуитивно, /i| указывает ту часть границы клетки е2» которая
приклеивается к б§~'.

ГЛ. 10. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГОМОЛОГИИ 21?
10.11. Предложение. Дифференциал
d: C
имеет вид d = d'(g)l, где гомоморфизм d': Cn(X)-*~Ca-i(X) зада-
задается формулой
й'(а)= ^ deg(A?)P, аеУ,.
Доказательство. Для любых аеУл, geG имеем
d(a®g)= 2j Y®'?» ry<=G. Дифференциал d представляет
собой композицию d = Ka-1(X)'A°Kn(X)-1, Рассмотрим коммута-
коммутативную диаграмму
где р'ь: V ^-'-vS»-1 и щ: 0 fe0 E°)-> k0 (S°) - проек-
ции на Р-й множитель. Таким образом,
г" = яр (ц B у (8) /"?)) = "р •»* (d («<g> g))
= лр • ц • кя_х (X) • Д • Kn-i (X)-1 (a®g)
- яр • ф (о") • I'?*} • Vi • А. %?. ta, . а" fe)
т
т
Далее, для любого элемента х s fert-i E"-1) мы имеем /i| (^) ™
(deg (ftp) ls»)# (x) = deg (/$) ^ (см. предложение 7.38). Следовательно,
)-i (deg (/ф a*-* (g)) =
deg (/г|) (о^)-^ (a"-' (g)) = deg (Л|) g.

218 ГЛ. 10. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГОМОЛОГИИ
Таким образом, мы доказали, что
d(a®g)= 2 deg(A?)v®g = / 2 deg (A») y\ <g> g
Так как элементы a(g)g порождают группу Cn{X)(g)G, то отсюда
следует требуемое утверждение. ?
10.12. Мы можем даже описать гомоморфизм /#: kn {X)-*-kn (Y),
индуцированный клеточным отображением f: {X, xo)^>~(Y, yQ).
Прежде всего / определяет отображение f: Xn/Xn~1^*-Yn/Yu~1.
Пусть е'а — некоторая n-мерная клетка X и eg —клетка Y той же
размерности. Обозначим через f%: (Sn, su)->-(Sat s0) композицию
*)&iP*lS*^, *)^En, so).
10.13. Предложение. Гомоморфизм
имеет вид /# = /^(g)l, где f'#: С„(Х)-+Сп(У) задается формулой
Доказательство. Снова рассмотрим коммутативную диа-
диаграмму
*o(S°)
Ц
к avis-1) & кАХ"!*"-1) -^ к a Y"! y-1) i- A:«(vvs?)
Ранее мы установили, что f# (a<S)g) = 2 Y®rv Для некоторых
^еО. Из диаграммы видно, что r<* = a-"• /g^• a"(g) = deg^g.
Следовательно.

ГЛ. 10. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГОМОЛОГИИ
10.14. Отметим, что конструкции цепного комплекса С* ()
дифференциала d! и цепного отображения f'# зависят лишь от
геометрии клеточных пространств и не зависят от выбора теории
гомологии k+. Это наводит на мысль, что любые две классические
теории гомологии с коэффициентами в G естественно эквивалентны.
10.15. Теорема. Пусть k%, k% — классические теории гомо-
гомологии с коэффициентами в G и G' соответственно, удовлетворяю-
удовлетворяющие на категории ofW' аксиоме суммы и на категории &<ЗГ'
акЫоме слабой гомотопической эквивалентности. Для любого гомо-
гомоморфизма Ф: G-*-G' существует такое естественное преобразова-
преобразование Т,(Ф): ?*->-&; теорий гомологии на№<3~', что Т0(Ф)E°): ftoE°)->-
k'0{S°) совпадает с ф. Если kl — классическая теория гомологии
с коэффициентами в G", то Т*{Ф''Ф) = Т^{ф')>Т^(Ф) для любого
гомоморфизма Ф': G'-+G". Если 10: G-^G —тождественный изо-
изоморфизм, то Т+ Aа) — тождественное преобразование. В частности*
если ф —изоморфизм, то Т* (Ф) — естественная эквивалентность.
Доказательство. Согласно предложениям 10.11 и 10.13
гомоморфизм
является цепным отображением, естественным по отношению к ото-
отображениям /: (X, xo)-+(Y, уа). Следовательно, если X — клеточное
пространство, то можно определить Тп (Ф) (X) как композицию
К (X) с* Нп ({С, (*)®G, d}) il^-0b НП ({С, (X)®G', d}) ^ k'n (X).
Для произвольного топологического пространства воспользуемся
клеточными эквивалентами. Все остальные утверждения оче-
очевидны. ?
Результаты, доказанные в пп. 10.6 — 10.15, имеют аналоги
для классических теорий когомологий.
10.16. Предложение. Функтор Й^(—; G) удовлетворяет
аксиоме суммы на категории uP^Tq пунктированных пространств
с невырожденными отмеченными точками.
Доказательство. Прежде всего покажем, что аналогом
аксиомы суммы для неприведенной теории гомологии h* является
следующее утверждение:
для любого семейства {Ха: cteA} топологических пространств
вложения ia: Xa-*- (J Ха в несвязное объединение индуцируют
A
изоморфизм
K(Xa)+K( (J
Действительно, если приведенная теория гомологии h^ удовлет-
удовлетворяет аксиоме суммы, то

220 . ГЛ. 10. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГОМОЛОГИЯ
С другой стороны, пусть /г# удовлетворяет сформулированной
выше аксиоме и пусть {(Ха, ха): а е А} — семейство пунктирован-
пунктированных пространств, (Ха, ха) е^e^V Положим У = {ха: аеА}с
[jXa. Тогда
является гомотопической эквивалентностью [Y cz(JXa —корасслое-
—корасслоение) и поэтому триада (iJJXa)+\jCY+; ((JXa)+, CY^j обладает
свойством вырезания. Следовательно, из коммутативности диа-
диаграммы
©лда-®.'
f,CF+)
вытекает, что {*«,„}: 0Йя(Ха)-»-Ля/\/ Xa\~ изоморфизм.
a \ a /
Если [J Xa — несвязная сумма топологических пространств,
то очевидно, что S#((JXa; 0) = ф5#(Ха; G). С другой стороны,
для любого семейства {С?: ае А} цепных комплексов С? мы имеем
#СС) = 0#¦(??). Следовательно, функтор Я* (—; G) удов-
удовлетворяет сформулированному выше аналогу аксиомы суммы для
неприведенных теорий. ?
Таким образом, теории гомологии #*(—; G) и Я(б)ф(—) есте-
естественно эквивалентны на категории iPW'.
10.17. Предложение. Для любой абелевой группы G функ-
функтор Н* (—; G) удовлетворяет аксиоме суммы.
Доказательство. Как и прежде, достаточно показать, что
Н*([)Ха;0)^1\Н*(Х.>; G)
т.
для любого несвязного объединения (J Ха- С одной стороны,
S* (U Xa; G) = Нот E* (\J Xa); G) с*
Нот/0 S, (Xj; C)^f] Нот(S, (Х„); G) =П5*(Х«= G)-
С другой стороны. W* Р| С^ ^ \\ Н* (Со) для любого семейства
{Со,'. & s л) коцепных комплексов. Q

ГЛ. 10. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГОМОЛОГИИ 221
Таким образом, теории когомологий Н* (—; G) 'и Н (G)* (—)
также естественно эквивалентны на категории §W'.
Покажем теперь, что теории #„ (—; G), Н* (—; G) удовлетво-
удовлетворяют аксиоме слабой гомотопической эквивалентности.
10.18. Определение. Для любого «ЗгО и любой пары
(X, А) обозначим через S?- А) (X) подкомплекс комплекса S* (X),
порожденный такими сингулярными симплексами и: Ат->Х, кото-
которые отображают (л —1)-мерный остов симплекса Ат в подпрост-
подпространство А. Комплексом Эйленберга пары (X, А) называется под-
подкомплекс SW(X, A)*=S<f-AHX)/S0(A) комплекса S,(X,A).
Заметим, что S{m(X, Л) = 0 для 0^m<n.
10.19. Лемма. Пусть (X, А) — некоторая (п — \)-связная пара.
Тогда вложение
i: SW(X, A)-+S0(X, A)
является цепной гомотопической эквивалентностью и, следовательно,
индуцирует изоморфизмы
п #i H*(St(X, A; G))
и
i*: H*(S*(X, A; G))-+H* (Hom(S<r> (X, A), G)).
Доказательство. Мы хотим построить для каждого син-
сингулярного симплекса и: Дт-»-Х отображение ku: AmxI-*-X со
следующими свойствами:
k fcS"
ii) ku°(diX \) = kdiU, 0<i'<ffi;
iii) если u^Sm' A) (X), то ku(x, t) = u(x) для всех х е A
m,
Здесь i/. Am-vAmx/, / = 0,1, задается формулой ij(x) = (x, }).
Будем вести построение индукцией по размерности т. Для т==0
в качестве отображения ku: Авх1-*-Х возьмем любой путь,
начинающийся в и(Д0) и кончающийся в А (если ы(До)еЛ, то
будем считать, что ku — постоянный путь в точке и (An)). Предпо-
Предположим теперь, что отображение ku определено для всех сингу-
сингулярных симплексов и: д\-»-Х, k<.m. Для «: Дт-»-Х ku уже
определено на Ат х {0} U Дт х /, причем ku | Дт х / е S^"' A) (X). Так
как (Дтх{0}и Дтх/, Amx{l})^(Dm, S1»-1) и пара (X, А) является
(« —1)-связной, то в случае, когда т<Сп, можно найти гомото-
пию ku: Дтх/-*-Х, совпадающую на Amx{0}[JAmX/ с уже по-
построенной гомотопией и такую, что ku\ Amx{l} eSJJ' АЦХ). Если
и е Sm' А) (X), то в качестве ku мы берем постоянную гомотопию.
Пусть теперь т^п. Тогда ku есть произвольное продолжение
уже построенной гомотопии (существующее в силу того, что

222 ГЛ. 10. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГОМОЛОГИИ
Amx{0}|JAmx/ является ретрактом Amx/), причем если
usSU' А) (X), то ku — опять постоянная гомотопия.
Обратимся теперь к построенной в п. 10.1 цепной гомотопии
Р: St(bm)-*S*(/±.my I). Пусть Sm eSm(Affl)- сингулярная цепь
1: Дт-^АОТ. Определим цепную гомотопию Р: S* (X)-+S+ (X),
полагая на образующих Ри = (ku)^ (P8m) и продолжая ее на всю
группу S* (X) по линейности. Из свойств гомотопии Р следует,
что
dPu + Pdu = ku# (dP6m) + ?
ku# (f0* Fm) - ti* Fn) - Pdbm) + ? (—1)' ku# C{ x
«# (Sm) - (ku. hH Fm) + *uff [2 (—1)' (a, x 1 )# (Р8т
u-x(u) + ku#[P (v (_l)¦¦ di# Fm_,) -d8m)] = и-т(u),
где т(«) =ft«-ti — сингулярный симплекс в Sm' )(X). Тогда т
представляет собой цепное отображение S* (X)-*-S%1- A){X), цепно
гомотопное в S* (X) тождественному отображению. В силу усло-
условия Hi) T\S<f- A)(X) = l. Так как х(S* (A)) a S* (А), то отобра-
отображение т определяет цепную гомотопию т: S* (X, A)-*-Si?) (X, A),
обратную к вложению i. Все остальные утверждения очевидны. Q
10.20. Следствие. Функторы H*(—; G) и Н* (—; G) удов-
удовлетворяют аксиоме слабой гомотопической эквивалентности.
Доказательство. Согласно 7.70 достаточно показать, что
если пара (X, А) является л-связной для всех п, то #„ (X, A; G)=0.
Но по предыдущей лемме
Hg(X, A; G)^Hg(Si9+l)(X
поскольку 5^* + 1>(Х, Л) = 0 для всех q. Для когомологий дока-
доказательство аналогично. ?
10.21. Теорема. Имеют место естественные эквивалентности
Н* (-; G) = И (G)* (-).
10.22. Примеры., i) Снабдим сферу S" структурой клеточ-
клеточного пространства с двумя /7-мерными клетками еР, е? для каждого
р, О^р^п, подобно тому, как это делалось в примере 5.4, 2Ь),
с той лишь разницей, что теперь будем считать e°+ = sQ (—оэ)-мер-
ной клеткой. Тогда Cp{S")g^Z@Z, l^p^n, C0(Sn)g=LZ. При-
Приклеивающие отображения для клеток ер,, еР_ суть не что иное как
тождественные отображения 1: S**-1-»-S*1-1. Очевидно, что стяги-
стягивающее отображение SpJ -v Sp~1/e^~' ^ S?-1 гомотопно тождест-
тождественному отображению 1, в то время как S?-1 -*¦ S"-1^^l Si S"-1

ГЛ. 10. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГОМОЛОГИИ 223
гомотопно v'х). Таким образом, й (eQ = ер —' — epj~', й {еР^ -= е^~' —
е^.-1 и, значит, дифференциал d задается матрицей
1 —1
1 —1
Так как ранг этой матрицы равен единице, то BP = ZP^Z,
0<ps?n — 1, Zn^Z, Вп = 0. Кроме того, в нулевой размерности
дифференциал d: Co (Sn) -+¦ d (S") равен нулю и <?+ — el = d (e\).
Таким образом, мы получаем
Hp{Sn;G) =
G, р=*п,
0, рфп.
как и следовало ожидать.
И) Комплексное проективное пространство СР" имеет одну
2р-мерную клетку для каждого р, 1 =^ р ^ п, и одну (— оо)-мер-
ную клетку. Таким образом, С3р (CP")^Z, l^p^n, иСт((СР")=0
для остальных значений т. Очевидно, что все дифференциалы
d: C
равны нулю по размерностным соображениям. Следовательно,
G, tn = 2p, \^р^п,
О в противном случае.
Переходя к прямому пределу при га->эо, получаем
О в противном случае.
Ш) Совершенно аналогично
О в противном случае,
G, tn = 4k, fcSsl,
О в противном случае.
iv) Вычисления для вещественного проективного пространства
RP" более интересны. Мы имеем Ср (RPn) = Z, 1 =sS p < п. Далее
можно было бы рассмотреть композицию hm, равную
!) Здесь через v' обозначена симметрия относительно экваториальной сферы:
v*«=—1. Сформулированное в тексте утверждение вытекает из того, что сте-
степень гомеоморфизма Sp~1/^~i -^ S1''1 равна —1. Последнее вытекает из того,
что приклеивающее отображение для е?.~' есть l. — Прим. ред.

224 гл. ю. классическая теория гомологии
и показать, что degftm=l+(—1)т. Вместо этого мы поступим
следующим образом: если снабдить сферу S" структурой клеточ-
клеточного пространства как в примере i), то qn: Sn-+$Pn будет кле-
клеточным отображением. Рассмотрим цепное отображение цп : Ср (S")-*-
Ср(кР"). Очевидно, что композиция
^ Sp/Sp-1 ^ RPt/RPP-1 g H'+IS'-1 ?t D
представляет собой тождественное отображение. Поэтому, если
заменить слева р+ на р_, то данная композиция превратится
в отображение \хи х2, ..., хр}<—*{—хи —х2, ..., — хр\. Легко
видеть, что оно имеет степень (—1)р. Таким образом,
задается формулами q"#[ep^) = ep, ^(ef_) — (—1)рер. Следовательно,
deP = dql (еР+) = ^ (d^-) = q% {е\~' - &Г') =
eP-^ + i— lye^-n + t— l)p]eP,
откуда находим, что
G2, m нечетно, \*^пКп,
, т = п, п нечетно,
в остальных случаях.
Здесь G2 = G/2G и G2 —подгруппа элементов порядка 2 в группе О.
Так как л0 (Я (Z)) = [S°, H (Z)] = Z, то можно выбрать отобра-
отображение спектров i: S°->-tf (Z), представляющее 1 eZ. Это отобра-
отображение индуцирует естественное преобразование
7\(i): я|->Я(г)* = ЯЛ-;2)
(см. п. 8.39). Обозначим Г„, (i) через hs и назовем его стабиль-
стабильным гомоморфизмом Гуревича. Поскольку п$ E°) = 0 = п% (Н (Z))
для я<0, ц: л*(S°)-vл0(Я(Z)) — изоморфизм (группа it*(S°)
порождается элементом [lSo] и i# [ls°]=[i]), а ц: nf E°)->Л1(Я(^)) —
эпиморфизм, то положив в теореме 7.55 N—1, мы получим сле-
следующее утверждение.
10.23. Теорема. Если X— какое-либо (п — \)-связное прост-
пространство, то
hs: nsq(X)-+Hg(X;Z)
является изоморфизмом для q^n и эпиморфизмом для q*~n+l.
Так как ЯоE°; Z) = Z (см. определение 7.39), то мы имеем
также нестабильный гомоморфизм Гуревича
h: ла(Х,Хо)-+Йп(Х;1).

ГЛ. 10. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГОМОЛОГИИ 22J
В самом деле, Я (Z)o E°) = я0 (Я (Z) Л S0) = л0 (Я (Z)), так что мы
можем взять в качестве образующей элемент i e Яо E°; Z). Для
всех га Зг 0 положим in = an (i) e Hn (S"; Z). Тогда гомоморфизм h
определяется формулой
где /: (Sn, so)-*-(X, xQ) — представитель гомотопического класса
\f] €Е П„ (X, Хо).
10.24. Предложение. Для любых (X, х0) и п^0 диаграмма
коммутативна. Здесь
i0: п„(Х, xo)-*-nS(X)s*dlT\imn^k(SkX, *)
— естественный гомоморфизм.
Доказательство. Напомним, что по теореме 8.26 для
любого спектра Е существует эквивалентность
*(?): 2E-+E/\S\
естественная на категории «Р'еТ5''. Итерируя /г (?), мы получим
естественную эквивалентность
kn(E): 2nE-
Тогда 1„ е Я„ (S"; Z) = [2"S°; Я(г)Л5л] представляется отобра-
отображением
2» S° ^ 2» Я (Z) [*д(Я(?^ Я
Следующая диаграмма коммутативна в категории
IP-П» Iя ЯB)
[1л/]
[1л/]
ЩХ) = 5лТ
8 Роберт М. Свитцер

220 ГЛ. 10. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГОМОЛОГИЯ
Таким образом,
W-U (I.) - П Л Я • [*« (И (Z))] • [2" I]
[
10.25. Теорема (Гуревича об изоморфизме). Если X —не-
—некоторое (га — \)-связное пространство, п5=2, то h: пд(Х,х0)-+-
fig(X; Z) — изоморфизм при q^n и эпиморфизм при q = n+l.
В случае п = 1 гомоморфизм h является эпиморфизмом при q = n.
Доказательство. Комбинируя теорему 10.23 и предложе-
предложение 10.24, мы видим, что достаточно доказать следующее утвер-
утверждение: гомоморфизм to является изоморфизмом при q^n и эпи-
эпиморфизмом при q = п + 1 (или что ц — эпиморфизм при q = n
в случае га=1). По определению я, (X) = dir lim nq+k (SkX, #),
причем предел берется по индуктивной системе
пд(Х, xo)^ng^(SX, *)±ng+t(S*X, *)—...
Так как пространство X является (га —1)-связным, то из упраж-
упражнения 6.53 следует, что SkX (n-\-k — 1)-связно и, значит,
Z: я?+*E*Х, *)-^n^M(S^lX, *)
— изоморфизм при <7 < 2/г -f- k — 1 и эпиморфизм при q «= 2n + k — 1.
Если ^ <i«. то все 2 являются эпиморфизмами — на самом деле
все они изоморфизмы, за исключением первого в случае п •=* 1.
Если же п Зг 2 и <? «= га -(-1. то все 2 — эпиморфизмы. ?
Замечание. В случае л = 1 мы имеем
Так как группа я2EХ, *) абелева, то очевидно, что ядро kerS
содержит коммутант [^(Х, лг0), пх{Х, х0)] — подгруппу, порожден-
порожденную всеми элементами вида хух-1^1, х, у eni (X, х0). Более деталь-
детальный анализ гомоморфизма 2 показывает, что в действительности
кег 2 = [я1, Ях]. Альтернативно, можно показать прямыми вычис-
вычислениями, что ker/i есть в точности коммутант [яь Ях].
Для всех п^0 и всех пунктированных пар (X, А, х0) суще-
существует отноеительный гомоморфизм Гуревича
h: ял(Х, А, хо)-+Нп(Х, A; Z).
В самом деле, поскольку
р„: Hn(D", S°~L; 2)^Hn(S11, {*}; Z)-^(S-; Z)
— изоморфизм, то положим к„ = pi1 (in) & Н„ ф", S"-1; Z). Тогда
для любого отображения f: (?>", S"-1, So)-*-(X, A, Xt>)

ГЛ. 10. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГОМОЛОГИЯ 227
10.26. Лемма. Имеет место коммутативная диаграмма
пя(Х, А,х0) -^н- na{XjA, {*}, *) S nXXIA, *)
h
НЯ(Х,А; I) —^ НК(Х1А,{*У, 1) = Н„(Х1А; Z).
Доказательство. Пусть f: (D\ S"-1, so)->(X, Л, л:0) — неко-
некоторое отображение пунктированных пар. Тогда / индуцирует такое
отображение f: Sn = DnISn-l-+XlA, что J-p = p°f. Легко видеть,
что гомоморфизм
/V пп(Х, А, хо)-+лп(Х/А, {*}, *)^л,{Х,А, *)
переводит гомотопический класс [/] в класс [/]. Следовательно,
• D
10.27. Теорема (относительная теорема Гуревича об изо-
изоморфизме). Пусть (X, А) —такая (п — \)-связная пара (п^2),
что подпространство А односвязно. Тогда
h: nq(X, A, Xo)^>-Hv(X, Л; Z)
является изоморфизмом при q^-.n и эпиморфизмом при q = n-\-\.
Гомоморфизмом h будет эпиморфизмом при q = n даже тогда,
когда подпространство А всего лишь линейно связно.
Доказательство. Согласно следствию 6.22 гомоморфизм
/V л?(Х, Л, хо)-+лч(Х/А, *)
является изоморфизмом при q^n и эпиморфизмом для q = n-\-\.
Следовательно, пространство (XIА, *) (га—1)-связно и по тео-
теореме 10.25
h: ng(X/A, *)-+Hg(X/A)
— изоморфизм при q^n и эпиморфизм при q^n-\-\. Если
(X, А) — произвольная клеточная пара, то
AV Н„(Х, А)->Н„(Х1А)
— изоморфизм для любого q. Тем самым мы доказали теорему
для всех клеточных пар. Общий случай получается переходом
к клеточным эквивалентам. Q
Замечание. Предположим, что пространство А не одно-
связно. Напомним, что существует естественное действие фунда-
фундаментальной группы Я1 (Л, *о) на пп (X, А, х0). Если аа^ (Л, х0)
и хел„ (X, А, хо), то р* (ах)=р^ (а) ¦ р+ (х), где р* (а) s ni({*}, *)=1.
Следовательно, ^^(^ = 1 и р* (ах) = р^ (х). Поэтому группа
8*

828 ГЛ. 10. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГОМОЛОГИИ
ker h «= кег {р#: пп(Х, А, Хь)-*пп (XIА, {*}, *)} обязательно содержит
наименьшую нормальную подгруппу Н а пп (X, А, х0), содержа-
содержащую все »лементы вида ах — х для а е щ (А, х0), х&лп (X, А, Хо).
Можно показать, что в действительности кегЛ=»кегр„, = #.
10.28. Теорема (Уайтхед). Пусть f: X-+Y— отображение
линейно связных пространств.
i) Если / является п-эквивалентностью (случай п =» оо не исклю-
исключается), то
fm: Hg(X;Z)-+Hg(Y;Z)
— изоморфизм при q<n и эпиморфизм при q~*n.
ii) Если пространства X, Y односвязны и
U: H9(X;Z)-+H9(Y;Z)
<—изоморфизм при q<in и эпиморфизм при q = n, то f является
п-эквивалентностью (случай п = со не исключается).
Доказательство. Пусть Mf — цилиндр отображения /.
Тогда / является га-эквивалентностью в том и только в том слу-
случае, когда пара (Mf, X) л-связна (см. предложение 3.18 и лемму
8.32). Так как последовательность групп гомологии
...-*ЙЯ(Х; Z)±Hn(Y; Z)-+Hn(Mh X; Z)-Hn^(X; Z)±...
точна, то /„: Hq(X; Z)->//?G; Z) будет изоморфизмом при
<7<Ся и эпиморфизмом при q*=n тогда и только тогда, когда
Нд(М„ X; Z) = 0 при qe^n.
Пусть теперь / является га-эквивалентностью. Тогда
nq(Mj, X, *) = 0 при q^n и, следовательно, по теореме 10.27
Hq(Mf, X; Z) = 0 при <7<га. Обратно, если Hq(Mh X; Z) = 0
при q<,n и пространства X, Y односвязны, то пара (Mf, X)
также односвязна, и, значит, по теореме 10.27 гомоморфизм h:
n2(Mf, X, *)-*-H%(Mf, X; Z) является изоморфизмом. Если
га ~з* 2, то пара (Mf, X) оказывается 2-связной. Повторяя это рас-
рассуждение, мы получим, что пара (Mf, X) га-связна, т. е. что
отображение / является п-эквивалентностью. ?
10.29. Следствие. Пусть X и Y — односвязные клеточные
пространства. Отображение f: X -*¦ Y является гомотопической
эквивалентностью тогда и только тогда, когда
U: #„(Х, Z)-+Hn(Y; Z)
— изоморфизм для любого п^0.
Утверждения 10.23—10.25 имеют аналоги для когомологий.
Отображение спектров i: S°-»-#(Z) индуцирует естественное пре-
преобразование
из стабильных когомотопий в целочисленные когомологий. Обо-
Обозначим Т* (i) через tys и назовем его стабильным гомоморфизмом

ГЛ. 10. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГОМОЛОГИЯ 229
Хопфа. Так как
Ъ- ns(S°) + tf(Z)"(S°)
совпадает с гомоморфизмом
то ф5 — изоморфизм для п>—1 и эпиморфизм для п — — 1. По-
Поэтому мы можем применить к данной ситуации теорему 7.67
с N = —1. В результате получается следующее утверждение.
10.30. Теорема. Пусть (X, х0) — клеточное пространство
с dim X ^ га. Тогда стабильный гомоморфизм Хопфа
yps: nqs(X)-+fig(X; Z)
является изоморфизмом при q^n и эпиморфизмом при q = n—\.
Пусть (X, х0) — произвольное пунктированное пространство.
Тогда п-мерным когомопюпическим множеством п"(Х, к») назы-
называется множество гомотопических классов [X, х0; S", s0]. Оче-
Очевидно, что я" является кофунктором из c^eF" в категорию пункти-
пунктированных МНОЖеСТВ ЯРеУ.
10.31. Лемма. Пусть (X, х0) — клеточное пространство
с dimX^n (n^2). Тогда
i0: [X, xQ; S*, 1ю]-+[Е(Х), WS0]^n4s(X)
является биекцией для q^n и сюръекцией для q = n — l.
Доказательство. Пусть /: (X, х0)->(S9, s0) — некоторое
отображение. Тогда i0 задается формулой
Очевидно, что г0 представляет собой естественное преобразование
функторов, удовлетворяющих аксиомам суммы и Майера — Вьето-
риса. Поскольку
i«: [Sk, s0; S», 8о]->яИ5*)^яГ*E°)=»ял5_<,E°)
— изоморфизм при O^k^q и эпиморфизм при k = q-\-\, то мы
можем применить результаты главы 9. D
В частности, если dimX^n, то можно так снабдить множе-
множество лп(Х, хп) структурой абелевой группы, что отображение (о
станет изоморфизмом.
Упражнение. Показать, что если dimX«S2га — 2, то ото-
отображение
2: [X, х0; S", so]-+[SX, *; 5^, s0]
является биекцией. Следовательно, для всех клеточных прост-
пространств X с dim Х^ 2л —2 на пп(Х,ха) может быть задана груп-
групповая структура.

230 ГЛ. 10. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГОМОЛОГИИ
Рассмотрим геперь нестабильное отображение Хопфа
г|>: пп(Х, хо)-+Йл(Х; Z),
определяемое как композиция г|з$ • iV Если dim X «S га (или даже
dim X «S 2га — 2), то г|? — гомоморфизм. Легко дать еще одно опи-
описание отображения Хопфа г|>. Обозначим через i"e#"(S"; Z)
элемент, соответствующий при изоморфизме
Hn(Sn; Z)^H°(S°; Z) = я0 (Я (Z)) элементу i е= л0 (Я (Z)).
Тогда
10.32. Теорема (Хопфа об изоморфизме). Пусть (X, xd)—
клеточное пространство с dim X ^ п. Тогда отображение Хопфа
г|з: лЦХ, *«,)->-#» (X; Z)
является изоморфизмом при q^n и эпиморфизмом при q = n—\.
10.33. Предыдущая теорема допускает следующее обобщение.
Пусть К —некоторое (п— 1)-связное топологическое пространство.
Тогда для любого клеточного эквивалента У пространства Y
существует отображение
f: Y'^H(na(Y, уо), п),
индуцирующее изоморфизм на я, (—) (см. теорему 6.39, И)). Гомо-
Гомотопический класс [f] е [У, j/J; Н (п„ (Y, у0), га), *] определяет эле-
элемент 1'еЯ°(У; G), где G — nn(Y, y0)- В свою очередь i/ опре-
определяет элемент ieff*(F; G), (га+1)-универсальный в смысле
определения 9.6. Это означает, что
7\: [S*, s0; У, yo\^Hn(S<>; G)
— изоморфизм при i|</t й эпиморфизм при 7 = " + 1- Применяя
к этой ситуации теорему 6.31, мы получаем следующее утвер-
утверждение.
10.34. Теорема. Пусть (X, Хо) — произвольное клеточное про-
пространство. Тогда
7\: [X, хо; Y, yQ]-+Hn (X; G)
— изоморфизм, если dim X ^ га, и эпиморфизм, если dim X = п + 1.
10.35. Упражнение. Пусть X — клеточное пространство
с Х° = {а?0}. Согласно пп. 10.9—10.11 и упражнению 6.55, d) го-
гомоморфизм Гуревича
А: пг(Х, ха)-*'Й1(Х; Z)
индуцирует изоморфизм
хо)/[пи

ГЛ. 10. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГОМОЛОГИИ 231
где [ль Ях] — коммутант группы nj. (X, х0). Показать, что это
утверждение остается верным для любого линейно связного топо-
топологического пространства (X, х0)-
10.36. Пусть {X*: а (= А} — такое направленное множество
(а «^ р => Х* cz Х$) подпространств топологического простран-
пространства X, что для любого компакта СаХ найдется оеА с СаХа.
Показать, что естественные вложения ia: X*-*-X индуцируют
изоморфизм
{ia*}: dirlim #„(*"; G)-+Hn(X, G)
для любого «^0 и любой абелевой группы G.
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Среди всех различных теорий гомологии классические гомо-
гомологии занимают особое место. Это объясняется в первую очередь
тем, что в подавляющем большинстве случаев вычисление групп
классических гомологии пространства X гораздо проще, чем вы-
вычисление групп k%(X) для любой другой теории гомологии ?„¦
В дальнейшем мы увидим (см. главы 15 и 16), что первым шагом
в нахождении /г* (X) является вычисление групп #* (X). Таким
образом, с вычислительной точки зрения классические гомологии
являются, так сказать, фундаментальной теорией.
Приведенное здесь доказательство теоремы Гуревича об изо-
изоморфизме на первый взгляд довольно просто. Однако оно осно-
основано на теореме Фрейденталя о надстройке и, стало быть, на
глубоких результатах гомотопической топологии (глава 6). В ли-
литературе можно найти элементарные доказательства теоремы Гу-
Гуревича, которые не используют ничего, кроме определений гомо-
гомотопических групп и групп сингулярных гомологии. Рекомендуем
интересующемуся читателю познакомиться с одним из таких до-
доказательств по книге Спеньера [72].
ССЫЛКИ НА ЛИТЕРАТУРУ
1. Гринберг [29]. 3. Спеньер [72].
2. Дольд [36]. 4. Стинрод, Эйленберг [74],

ГЛАВА 11
ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ И ^-ТЕОРИЯ
В главе 4 мы ввели понятие расслоенного пространства (ло-
(локально тривиального расслоения). Рассмотрим теперь важный
класс таких пространств, а именно, те из них, в каждом слое
которых задана структура векторного пространства, «непрерывно
зависящая от точки базы». Используя классы некоторой эквива-
эквивалентности таких векторных расслоений над клеточным простран-
пространством X, мы построим абелеву группу К* (X) и покажем, что
функтор К* определяет теорию когомологий.
11.1. Определение. Символом F будет обозначаться одно
из полей R, (D вещественных или комплексных чисел или тело
кватернионов Н. Векторным п-мерным расслоением над F (или
п-мерным F-векторным расслоением) называется расслоенное про-
пространство I = (В, р, Е, Fn), в каждом слое р-1 (Ь), бей, кото-
которого задана структура векторного га-мерного пространства над F,
причем:
(i) существуют такое открытое покрытие {Ua: as А} базы В и
такие гомеоморфизмы Фа: UaxFn-+p-1Ua, as А, что р°Фа = Риау
(И) для каждой точки b^Ua отображение {Фа | {b} x F"):
{b}y.Fn-*-pri(b) является изоморфизмом векторных пространств.
В зависимости от того, какой из трех случаев R, (D или Н
рассматривается, мы говорим о вещественных, комплексных или
кватернионных векторных расслоениях.
11.2. Примеры, i) Для любого пространства В определено
тривиальное га-мерное F-векторное расслоение (В, рв, BxFn,Fn).
и) Касательным расслоением r(S") к га-мерной сфере Sn, n 3s 1,
называется расслоенное пространство (S", p, E, R"), где
и проекция р: E-*-S" определена формулой р(х, у) =
Пусть Ui — открытое подмножество в S" вида
Тогда {If?. I «^ i ^ м+1} является открытым покрытием сферы 5я.
Определим отображение фг: Ui x R" -*¦ p~xUu полагая
Ф*(*. «/) = (*. fi(y)-(x-h{y))x),
где fi'. R"-»-R'!+1 задано формулой
fiiyi, •••• Уп) = (У1 Ум. О, yh ..., уп).

ГЛ. 11. ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ И К-ТЕОРИЯ 233
Легко видеть, что ^ — гомеоморфизмы, удовлетворяющие усло-
условиям P'<t>i = pu. и линейные на слоях.
iii) Нормальным расслоением v(S") к я-мерной сфере 5",
называется расслоенное пространство (Sn, p', E', R1), где
и проекция р'\ E'-*-Sn определена формулой р'(х, у) = х. Опре-
Определим отображения
Ф: S"xRl-^E' и г|г. ?'-*-S"xR\
полагая Ф(х, "к) — (х, Хх) для (х, ^sS'XlR1 и г|з(дс, у) = (х, х-у)
для (х, у)^Е'. Тогда Ф, ty взаимно обратны, так что vE") —
тривиальное расслоение.
11.3. Определение. Морфизмом ф: §-»-?' Лвекторных
расслоений 1 = (В, р,-Е, Fn) и |'=-(В', р', Е', Fn) называется
такая пара отображений Ф: Е-*-Е', Ф: В-*-В', что р'.ф — ф.р
и Ф | р-1 (Ь): р-1 (Ь) -*• р'-1 (Ф (Ь)) — линейный изоморфизм для каж-
каждого 6еВ. Тождественные отображения 1: Е-+-Е, 1: В-*-В
определяют морфизм 1: ?->-?. Очевидным образом определяется
композиция ф'' ф двух морфизмов. Говорят, что два расслоения §,
|' с одной и той же базой В эквивалентны, если существуют
такие морфизмы ф: ?-»-?', \[з: ?'-*-!, что ф=1={GИ ф°г|) = 1,
•ф - Ф = 1. С понятием векторного расслоения тесно связано поня-
понятие главного G-расслоения, где G — топологическая группа.
11.4. Определение. Пусть G — топологическая группа. Ло-
Локально тривиальным главным G-расслоением называется расслоен-
расслоенное пространство ? = (В, р, Е, G) с правым действием (ср. с п. 4.19)
ExG->-E группы G на Е, удовлетворяющее следующим условиям:
i) существуют такое открытое покрытие {Ua: aeA} базы В
и такие гомеоморфизмы Фа: t/axG->-p-1(t/a), asA, что р • Фа = pUa;
И) ФаФ, 8) = Фа{Ьъ \)-g, beUa, g&G.
Морфизмом ф: l-»-^' главных G-расслоений называется такая
пара отображений Ф: ?->?', Ф: В-+В', что р' • Ф = Ф • р и Ф {eg) -»
Ф(е)-g для всех g^G, еа?. Очевидным образом вводится поня-
понятие эквивалентности двух G-расслоений ?, $' над одной и той же
базой В.
11.5. Определение. Картой (U, Ф) главного G-расслоения
| = (В, р, Е, G) называется пара, состоящая из открытого мно-
множества U а В и такого гомеоморфизма ф: UxG-^-p^U, что
р°Ф = Ри и Фф, g)~Фф, 1)-?, bet/, g.eG. Атласом главногр
G-расслоения называется такое семейство карт {(Ua, Фа): аеА},
что {Ua: a s A} — открытое покрытие В.
По определению каждое главное G-расслоение обладает хотя
бы одним атласом.

234 ГЛ. 11. ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ И «-ТЕОРИЯ
11.6. Определение. Множество функций перехода ? для
пространства В и топологической группы G — это открытое покры-
покрытие {Ua: as А} пространства В вместе с семейством таких ото-
отображений gafr: UaOUfL-^-G, а, Ре А, что
11.7. gay (Ь) - ?«р F) • gpv (Ь), Ь «= Uа П t/p П Uу.
Так как, в частности, g^ (b) = g^ (b) gaa (b) для всех beUa, то
П.8. ?aa(b)=*l, b<sUa.
Из условий 11.7 и 11.8 вытекает, что
" -9. ?ра F) - gap ФУ\ b<sUa[\ [/p.
Морфизм г: |-»-1' между множествами функций перехода |=»
{?/<xt gap: a, P sА} на В и f' = {t/y, ^«^ Т. 8еГ) на В' состоит
из отображения г: В-+В' и семейства rya: UaO^Uy-^-G непре-
непрерывных функций со значениями в группе G, удовлетворяющих
условию
11.10.
6 et/
множества функций перехода {Ua., gap: a, P-eA}, {Uy, g'^i
Y 8еГ} на одном и том же пространстве В называются эквива-
эквивалентными, если существуют такие отображения rya: f/afWv-^G»
а а А, уэГ| что
11.11. gMty-ryaWgatWrnibr1, baUa{\Ui(\U'y{]U'6.
Покажем, что классы эквивалентности главных G-расслоений
над фиксированным пространством В естественным образом нахо-
находятся во взаимно однозначном соответствии с классами эквива-
эквивалентности множеств функций перехода.
11.12. Лемма, i) Пусть | — главное G-расслоение над В. Тогда
каждому атласу {(Ua, Фа): оаА) для | можно сопоставить един-
единственное множество функций перехода 1 •= {Ua, ga$: a, p s A},
для которого
11.13.
ii) Бели |, 1'— два множества функций перехода, ассоцииро-
ассоциированные согласно i) с атласами {(Ua, Ф^): aeA), {(Uy, фу): у(=Т\
расслоений | = (В, р, Е, G), |'=.(В\ р', Е', G), и если ф: 1-+1' —
морфизм расслоений, то существует и единствен такой морфизм
множеств функций перехода г: i-»-f', что г=*ф и
11.14. ф. фа (b, g) - ф; (ф (Ь), rva ф) g), Ь е Ua П Ф^
Доказательство, i) Для любых а, Р@А отображение

ГЛ. 11. ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ И «-ТЕОРИЯ 235
удовлетворяет условию puanua'tya$ = Puac\Uo и, следовательно,
должно иметь вид г|)ар (b, g) = (b, h^ (b, g)) для некоторого Лар:
(UOU^GG. Другими словами, фе(&, g) = M&, ^«р(Ь, g)),
sO. Таким образом, фа(Ь, ft,,3(b, g)) = <!>$(b, g) =-
*(Ь, /la<j(&, l))g = <Mb, /Цр(&, l)g) ДЛЯ Всех Ь <=5
lp ?. Отсюда следует, что ЛаР(&, g) = /iap(&, l)-g. По-
Поэтому, для того чтобы удовлетворить условию 11.13, достаточно
взять g-t$(b) = h~.p(b, I), bet/afltV a, Ре А. Действительно,
если beUa П ^р П t/v» то $* (ft- ^v (й) ?)=*v (b> S)=h (b> Sfr (b) ffH
Фа (^. gapF)g,iv(fc)^)» откуда следует, что gay(b)=ga^(b)g^.(b).
Таким образом, | = {[/a, gaf a, Pe А} является множеством
функций перехода.
ii) Для любых аеА, уеГ отображения
удовлетворяют условию p^''^ya — Ф'Рц пл'и' и» следовательно,
должны иметь вид 8va (b, g) = (Ф (b), hya (b, g)) для некоторого h^a,:
(т
Значит,
*• ФаФ, g) = Фу(Ф (b), hy*(b, g)), bGUa(]Ф-Wy,
Ho_ тогда Фу(Ф(Ь), hyaib, g))=Ф^Фa(b, g)^^*[Ф^Фa{b, l)]-g=*
Фу(Ф(Ь), hya(b, 1))-^ = ф?(ФF), h^{b, \)g), откуда следует, что
hyaibr g)=hya(b, l)g- Таким образом, условие 11.14 будет вы-
выполнено, если мы положим гуа (Ь) «= hya (b, 1) для b e Ua f| ф-WL
ааА.уеГ. Пусть | = {[/«, gap: a, р еА}, %' = {Uy, gy6: у, бs= Г}.
Тогда для всех Ъ е t/a П t/p Л Ф^ П Ф~а^в и g e G имеем
откуда
Следовательно, г = {луа} является морфизмом множеств функций
перехода. ?
11.15. Предложение, i) Пусть i=*{t/a, gap} — некоторое
множество функций перехода для пространства В и топологичес-
топологической группы G. Тогда существуют такое главное G-расслпение | =•
(В, р, Е, G) и такой атлас {Ua, Фа] для ?, что | есть множе-
множество функций перехода, ассоциированное с этим атласом.
ii) Пусть Ъ = (В, р, Е, G), |' = (В', р', Е', G)-dea главных
G-расслоения с атласами {Ua, Фа}, \U'y, Фу} и ассоциированными мно-
множествами функций перехода |, \'. Для любого морфизма г: %-*¦%'
множеств функций перехода существует морфием ф: ?->-&' глав-
главных G-расслоений, индуцирующий г.

236 ГЛ. П. ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ И Л-ТЕОРИЯ
Доказательство, i) Пусть задано множество функций пе-
перехода 1 = {?/а. gaf,}- Положим Е— (J UaxGx{a} и зададим
аеА
на ? отношение ~, считая, что (b, g, а)~(р', g', р*) тогда и
только тогда, когда Ъ = Ъ', g — ga$(b)g'- Из равенств 11.7 — 11.9
вытекает, что ~ является отношением эквивалентности. Положим
Е = Е/~ и обозначим через {b, g, а} класс элемента (b, g, a)
в Е. Зададим отображение р: Е^-В формулой p{b, g, a} = b;
очевидно, что оно корректно определено и непрерывно. Зададим
теперь действие группы G на Е, полагая {b, g, a)g' = {b, gg',a},
g'eG. Так как {b, (g^(b)g)g',, a} = [b, g^(b)(gg'), a] =
{b, gg\ P}, то это действие корректно определено и по очевид-
очевидным соображениям непрерывно.
Пусть Фа: U axG-+р-Щ ^ задано формулой Фа(Ь, g) = {b, g,a}.
Тогда оно непрерывно и удовлетворяет условиям р°Фа = р'и
Фа(Ь, g) = {b, 1-g, a} = {b, 1, a)g=<t>a{b, \)g, b<=Ua, gf=Q.
Очевидно, что Фа — гомеоморфизм. Кроме того, для любых Ьт
^afl^p. g^G выполнены равенства Фа (b, gav(b)g) =
{b,gan(b)g, <*} = {b, g, Р} = Фз(Ь, g), так что {Ua, gap} —множе-
—множество функций перехода, ассоциированное с атласом {Ua, Фа}-
И) Положим Ф=~г и определим отображение Ф: Е-+Е' следу-
следующим образом: если es?, е = Фа(Ь, g) и р(е) е Uaf]Ф~х{U'v), то
Ф(е)=*Фу(ф(Ь), r4a(b)g). Если, кроме того, р(е)
то е = Фр(Ь, gfia(b)g) и
Ф'у(Ф(Ь), rya(b)g)f
так что Ф (е) корректно определено. Поскольку ограничение
Ф | р-1 (Ua П Ф~г (U?)) представляет собой композицию
0 U'v)xG & р'-
то ясно, что Ф непрерывно. Имеем р' - Ф (е) = р' • Ф'у (Ф ф), rya (b) g) -=
Ф(Ь) = ^>°р(е). Так как ек = Фа(Ь, g)h^=Ф<x(b, gh), то Ф (eh) =
Фу (Ф Ф), rYa (b) gh) = Фу (Ф (b), ryOi (b) g) h = Ф (e) h для А е G, e s ?•
Таким образом, ф — морфизм главных G-расслоений. И, наконец,
так как по определению Ф имеет место равенство Ф • Фа (b, g) =
Ф'У(Ф(Ь), rvaF)g), Ь е г/а П Ф'1 (V'y), g&G, то Ф индуцирует мор-
морфизм г = {Гуа} множеств функций перехода. D
11.16. Теорема. Существует взаимно однозначное соответ-
соответствие между классами эквивалентных главных G-расслоений над В
и классами эквивалентных множеств функций перехода. Это соот-
соответствие может быть описано следующим образом: если % — неко-

ГЛ. П. ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОВНИЯ И «-ТЕОРИЯ 287
торое G-расслоение, то с его классом эквивалентности сопостав-
сопоставляется класс эквивалентности {|} множества функций перехода,
ассоциированного с некоторым атласом расслоения ? согласно лем-
лемме 11.12,i).
Доказательство. Если Ф: ?->¦?' — эквивалентность G-pac-
слоений, то лемма 11.12, и) доставляет нам морфизм г(ф): !-*¦?'.
Так как Ф=1д, то очевидно, что этот морфизм является эквива-
эквивалентностью множеств функций перехода. Следовательно, указан-
указанное выше соответствие корректно определено.
Пусть теперь f — произвольное множество функций перехода.
В силу предложения 11.15 существуют такое G-расслоение | и
его атлас {(Ua, Фа)- аеА}, что f является ассоциированным
с этим атласом множеством функций перехода. Таким образом,
наше соответствие сюръективно.
Пусть |, I'— два таких главных G-расслоения, что | и f экви-
эквивалентны. Обозначим эту эквивалентность через г: 1->-|'. Со-
Согласно предложению 11.15, и) существует морфизм Ф: ?->|', ин-
индуцирующий г. В частности, Ф=1в- Кроме того, имеет место
морфизм г-1: |'->-|, задаваемый формулой /-1 = {г^}. Ассоцииро-
Ассоциированный с г-1 морфизм расслоений ф-1: ?' -*- ? служит обратным
к ф. В самом деле, для любых b <=.Ua[\U'f, geC, asAjsT
выполнены равенства ф-1 • Ф • Фа Ф, g) = ф-1»Фу ф, rya Ф) g) =*
ФаФ, г^1ф)тгх.ф)ц) = Фаф, g), откуда Ф'1 • ф = 1. Аналогичным
образом доказывается, что Ф • ф-1 — 1. Следовательно, \ с* \', так что
наше соответствие инъективно. D
11.17. Следствие. Пусть ф: ?-»-?' — такой морфизм глав-
главных G-расслоений над В, что Ф=1В. Тогда ф является эквивалент-
эквивалентностью.
Доказательство. Очевидно, что ассоциированный с ф мор-
морфизм г(Ф): |->-|' множеств функций перехода является эквива-
эквивалентностью. ?
11.18. Пусть GL(n, F) — группа всех невырожденных (пхп)-
матриц с коэффициентами в F. Так как GL (n, F) является под-
подмножеством в F" , то она наделяется индуцированной топологией.
Относительно этой топологии GL(n, /^ — топологическая группа.
Покажем, что существует взаимно однозначное соответствие между
классами эквивалентных га-мерных F-векторных расслоений с ба-
базой В и классами эквивалентных множеств функций пере-
перехода для В и GL(ra, F), а значит, взаимно однозначное со-
соответствие с классами эквивалентных главных GL{n, /^-расслое-
/^-расслоений.
11.19. Определение. Пусть t — (B, p, E, F") — векторное
расслоение над В. Карта (U, Ф) для расслоения ? состоит ив
открытого множества (/сВ и такого линейного на слоях гомео-
гомеоморфизма Ф\ UхF"-*-р-Щ, что р°Ф*~рц. Атласом называется
такая совокупность {(?/„, фа): аеА} карт, что {Ua.: aeA} —

538 ГЛ. 11. ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ И К-ТЕОРИЯ
открытое покрытие пространства В. Любое векторное расслое-
расслоение ?, обладает по крайней мере одним атласом.
Если {@%, Фа)'- «G А} —некоторый атлас векторного расслое-
расслоения I над В, то можно следующим образом построить множество
функций перехода {(Д., g-zjv а, Ре А} для В и GL(n, F).
Для любых индексов а, РеА отображения
= Ф« • (Фр I (?/« П Ub) xFn): (U* П Utf xFn-+ (Ua f) tfp) x F"
имеют вид г|)ар(Ь, «) = (&, hap(b, v)) при подходящем Лар:
(UaC\Uf,)xFn->-Fn. Если фиксировать точку &е?/аП^р» то
hapib, —): Fn-*¦ Fn — линейный изоморфизм, т. е. п<х$(Ь, —)а
GL(n, F). Следовательно, /г,р(Ь, У)=^ар(&)-У, где gOi?,(b)=hafi(b, —).
Таким образом, мы имеем
С помощью рассуждений, аналогичных тем, которые использова-
использовались при доказательстве теоремы 11.16, отсюда можно вывести
следующий результат.
11.20. Теорема. Существует взаимно однозначное соответ-
соответствие между классами эквивалентных п-мерных F-векторных рас-
расслоений над В и классами эквивалентных множеств функций пере-
перехода для В и GL (n, F).
Опишем теперь в явном виде соответствие {векторные рассло-
расслоения} *-> {GL (п, /^-расслоения}.
11.21. Пусть ! = (В, р, Е, G) — некоторое главное С-расслое-
ние и У — топологическое пространство с заданным на нем левым
действием группы G.
С | можно связать так называемое ассоциированное расслоен-
расслоенное пространство |[К] со слоем Y. Оно строится следующим
образом. Определим правое действие G на Е х Y, полагая (е, у) g =
(eg, g!/), g^G, ee?, у e Y. Пусть EY = ExY/'G. Обозначим
через {е, у) образ точки (е, у) в EY, тогда {eg, у} = {е, gy\ для
gsG. Зададим отображение ру: Еу-^В формулой ру {е, у) = р (е).
Так как р (eg) — p (е) для gsG, то ру корректно определено.
Легко видеть, что оно непрерывно. Если \(Ь'а< Фа)} — атлас для |,
определим атлас {(t/a, tyi)] для |[F] = (B, pY, EY, Y), полагая
*a(*. У) — {Фа(Ь, 1), у], 6 s ('•'», ye-Y.
Отображение ара непрерывно и удовлетворяет условию pY°tya = Pu .
Композиция
Г1 (Ua) х Y Q± Ua х G x Y i*E Ua x Y,
где p: OxY-*¦ Y —действие группы G на Y, индуцирует отобра-
отображение pV (Ua)-*-UaxY, обратное к г|)а.
Если Y = F", то формула г{е, v} + s{e', v'} — {e, rv-\-sg-lv'},
где e'g**e, g&GL(n, F), r, ssf, задает на слоях из \[Fn] струк-

ГЛ. И. ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ И К-ТЕОРИЯ 239
туру векторного пространства. Относительно этой структуры все
¦$л линейны на слоях.
11.22. Предложение. Пусть ц — векторное расслоение и
| — соответствующее ему в силу теорем 11.16 и 11.20 главное
GL (га, Р)-расслоение. Тогда r\ ~ | [F"].
Доказательство. Расслоение ? строится следующим обра-
образом: нужно взять атлас для х\ и построить по множеству функ-
функций перехода этого атласа главное расслоение. Но это же множе-
множество функций перехода получается и для результирующего атласа
на I [FH]. D
Функции перехода часто оказываются очень полезным инстру-
инструментом при доказательстве различных утверждений. Проиллюст-
Проиллюстрируем это следующим примером.
11.23. Предложение. Пусть (X; А, В) —триада с Х =
А[)В, I — п-мерное F-векторное расслоение {соответственно, глав-
главное G-расслоение) над А, I' —п-мерное F-векторное расслоение (со-
(соответственно, главное G-расслоение) над В и Ф: %\А(]В-*-
I' | А П В —эквивалентность их ограничений на Af]B (вообще, если
г\ш*(В, р, Е, F") и А с:В, то ц\ А = (Л, р\р~л(А), р-1 (A), F')).
Тогда существует такое п-мерное F-векторное расслоение (соот-
(соответственно, главное G-расслоение) ц над X, что ц | А ^?, т]|В~|'.
Доказательство. В обоих случаях мы, по существу, ра-
работаем с множествами функций перехода. Пусть \Ua, gpa: a,
р <= М}, {Uy, g'tv: у, б s Л^} — множества функций перехода для |,
I'. Обозначим через rya: Uaf\Uy~^G (или GL(n, F)) функции,
определяющие эквивалентность i\Af[Bc^^'\A(]B; это озна-
означает, что
'вр Ф) ffpa Ф) =» g'dy (Ь) Г^ ф)
для всех b e t/a f] t/p П Щ П Uе- Тогда без труда проверяется, что
{А{]1)а, B[\U'y: аеЛ1, у е Л^} — открытое покрытие для X и
G,
rya:
образуют множество функций перехода на X. Например, если
is?/«№(№ то
/"VP Ф) g№ Ф) в Гуа ф)\
чтобы доказать это, нужно положить в написанном выше урав-
уравнении б = у. Таким образом, мы получаем над X главное G-рас-
G-расслоение (или векторное расслоение) т). Ясно, что т) | А ~ \,
ч\\В~Ъ'.П
11.24. Пусть 5 = (В, р, Е, G) — главное G-расслоение над В
н /: В' -»- В — некоторое отображение. Построим над В' главное

240 ГЛ. 11. ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ И /(-ТЕОРИЯ
G-расслоение f*l следующим образом1). Пусть Е'—{ф', ё) е В' хЕ:
f(b') = p(e)}. Определим отображение р'\ Е'-*-В', полагая
р' ф' ,,е) — Ь''¦ Если /': Е'-*-Е — отображение, заданное формулой
f ф', е) = е, то коммутативна диаграмма
/'
В' —!—- В.
Действие группы G на Е' определяется правилом ф', e)/i •=(?>', eh),
h<=G. Пусть {{Va, Фа)' а е А} - атлас для ?. Тогда {(f-Wa, Ф'аУ-
«еА( является атласом для /*? = (В', р', ?', G), где
Ф'а-
имеют вид Ф'аф', #) = (&', Фа(!(Ь'), g)), V е/-Ч/а, grsG. Ясно,
что если |=ъг?\ то /*|~:f*|'.
В терминах функций перехода расслоение /*| можно описать
следующим образом. Если {[/а, g^: а, р s A} — множество функ-
функций перехода для I, то {f^U*, g{,a°f} — множество функций пере-
перехода для /*|.
Для /: В'-^В, g: B'-+B' очевидно, что tf.g)* l=g* Q*\) и
Аналогичная конструкция индуцированного расслоения /*|
имеет место и для векторного расслоения \.
11.25. Предложение. Если Ф: |-»-г\ — морфизм векторных
расслоений, то существует морфизм \[з: %-*-Ф*1\ с tf> = 1в- Следо-
Следовательно, в силу следствия 11.17 имеет место эквивалентность
расслоений ?~Ф*т].
Доказательство. Напомним, что Ф*г) = (В, р', Е', G), где
Е' = \ф, е)ебх Еп: Ф ф) — рц (е)}. Определим отображение г{з:
Ei-*-?", полагая \[з(е) = (р^(е), Ф(е)). Так как Рт1°^(е) = Ф°Р1(е)
для всех ее?ч, то очевидно, что ф(е) лежит в ?'. Легко про-
проверить, что р'-^ = рг и ф(eft) = (pj(eh), Ф(еЩ) — {р\(е), Ф(е)К) =
(Pi.(^)> Ф(е))h="^{e)h, AeG. Таким образом, \[> — морфизм глав-
главных G-расслоений с \[з=1в. П
Теперь дадим критерий существования морфизмов расслоений.
11.26. Определение. Сечением произвольного отображе-
отображения р: Е-+В называется такое отображение k: B-+E, что
р-Я=1в.
11.27. Предложение. Пусть \, %' — два главных G-расслов'
ния. Существует взаимно однозначное соответствие между мор-
') При этом говорят, что расслоение j*\ индуцировано из расслоения \
отображением f. — Прим, ред.

ГЛ. 11. ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ И /С-ТЕОРИЯ 241
физмами Ф: |-*-|' и сечениями X расслоенного пространства ?[?'],
определяемое правилом Ф >—•• "кф, где %ф (Ь) = {е, Ф (е)} для любого
еер~х(Ь). (Левое действие группы G на Е' задается формулой
ge' =e' g-1, ee?', geG.)
Доказательство. Покажем прежде всего, что отображе-
отображение Кф корректно определено. Действительно, если ё е р~х (Ь) —
некоторый элемент в слое над Ь, отличный от е, то найдется такое
g<=G, что e = eg и {ё, Ф{ё)\ = {ец, <l>(eg)} = {eg, ф(е)ц\ = {е, Ф(е)}.
Далее, Хф непрерывно, поскольку оно является не чем иным, как
отображением E/G-*-ExE'/G, индуцированным A, Ф). Ясно, что
Ре"Хф = 1ц.
Предположим теперь, что X: В ->-ЕЕ' = ExE'/G является сече-
сечением проекции рЕ>. Композиция Х'р должна иметь вид е>—-
{е, Ф>. (<?)} с некоторым отображением Фк: Е-+Е'. Если g^G, то
{eg, <Me)g} = {e> <M<?)} = A.°p(e) = A.°p(eg) = {eg. <t>x(eg)h откуда
следует, что Ф% (eg) = Фx(e)g для ee?,geG. Пусть ~ФХ: В-+В' —
индуцированное отображение E/G-+-E'/G. Если мы докажем не-
непрерывность отображения Фх, то это будет означать, что (Фх, Фх) —
морфизм G-расслоений.
Пусть ее? и U с Е' — открытая окрестность точки «fo(e).
Так как действие группы G на ?' непрерывно, то найдутся от-
открытая окрестность U' точки Фх (е) в Е' и открытая окрестность У
единицы 1 в G такие, что U' ¦ V с U. Возьмем такую окрест-
окрестность V единицы 1 в G, чтобы (V)-1 V cz V Пусть теперь
(W, ф) —карта для ?, содержащая Ь=р(е)\ предположим, что
e — ty(b, h), h^G. Тогда множество W = ty(W xhV) открыто в ?
и \W'xU'\ открыто в ExE'/G. Таким образом, O = Wx
k-^W'xU ) открыто в Е, ееО и, кроме того,
Покажем, что Фх (О) с: U. Пусть хеО, тогда Я°р(х)e{W" xU'}—
для определенности возьмем к'р(х) = {х', у'}, х' s W, у' е [/'.
Так как х, х' ef, то x' — xg-1 для некоторою g^V. Следо-
Следовательно, {х, Фх(х)\ = 1-р(х) = {х', y'j^lx-g-1, у'} = {х, y'-g}.
Но из того факта, что / е[/', ^еУ, вытекает y'-g^U, т. е.
Фх(х) eL/.D
Замечание. Если зт2: ExE'/G->-E'/G = В' — отображение,
индуцированное проекцией на второй сомножитель, то имеют
место равенства я2°%ф = Ф и я2 = Я = ^.
Покажем теперь, что если | —главное G-расслоение над В и
/о, f\. В' -> В — гомотопные отображения, то f^,c^f*\. С этой
целью для любого главного G-расслоения l = (B, p, ?, G) опре-
определим (З-расслоение 1x1, полагая
, pxl, ?x/, G),

242 ГЛ. 11. ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ И К-ТЕОРИЯ
где G-действие задается формулой (е, t)h = (eh, t), (e,
hG. Если {(Ua, Фа)} — атлас для I, то
является атласом для 1x1.
11.28. Лемма. Пусть t = (Dn, р, E, G), !' = (?', p',E',G) —
главные G-расслоения, ф: (рх I) (Dn х{0} U S"-1 х /) -»-?' — морфизм
расслоений и F: Dnxl—*-В'—некоторое продолжение морфизма ф.
Тогда существует продолжающий Ф морфизм Ф: g х / -*-%' с Ф = F.
Доказательство. Доказательство этого утверждения ана-
аналогично доказательству предложения 4.10. Выберем атласы
{(Ua, Фо)\, {(U;, Ф'у)\ расслоений \, ?'. Множества (Uaxl)(\ F-*(U;)
образуют открытое покрытие пространства Dnxl.
Так как Dnxl — компактное метрическое пространство, то
можно найти такое число ^>0, что каждое подмножество S с;
Dnxl диаметра <.% содержится в некотором (Uaxl) С\Р~г(иу).
Возьмем такую мелкую триангуляцию для (D", S"-1), чтобы любой
симплекс о из D" имел диаметр <V2, и затем разобьем отрезок
/ = (О = ^о <*i< •••<**= 1} так, чтобы каждое множество
[t t] Я 0ife
( }
ox[t:, ti+1] имело диаметр <Я,
Предположим, что отображение Ф уже определено на Ех
[h, U\Up-1 (S"-1)х/ (Ф|?х{0}ир-1Eл-х)х/ = Ф). Продолжим Ф
по симплексам на Ex[ti, *,-+i], используя индукцию по dim ст.
Если dim ст = 0 и о ф S"-1, то возьмем такие ее и у. чтобы
ax[th Mc([/,x/)nfJ(l/;). Так как р'*Ф(фа(о, g), t,) =
F(о, U) е Щ для каждого geG, то существует такое отобра-
отображение fa: G-+G, что
Ф(Фа(о, g), <j)-*;(F(o, tt), fa{g)).
Поскольку Ф(фа(а, g), и) = Ф(Фл(а, 1), tt)g, то fa(g) =
для всех g-eG. Пусть g-CT = /a(l); тогда Ф(Фа(а, g),t)
<ly(F(o, ti), gag). Определим Ф на (pxl)-1(ax[ti, tM]), полагая
Ф(Фа(о, g), г) = ф'у{Р{о, t), gag), te=[tt, tM].
Тогда Ф непрерывно продолжает отображение Ф |(рх I) (ох{/;()
и удовлетворяет условиям р' »Ф = ^ = (рХ 1), Ф ((е, t) h) — Ф (е, t) h
для всех (е, t) ^(pxl)-1(ax[th tM]), h<=G.
Предположим теперь, что отображение Ф построено на
(р х 1 )-1 (<т' х [0, tM]) для всех симплексов о' с dim а' < т. Пусть
dima = m, ст qt S"-1. Снова выберем такие a и у, что ax[tt, t(+1] с
(UaX^OF-^Uy). На (pxl)-1 (ax{ti}\Jax[th tM] отображение Ф
уже определено; продолжим его на (рх 1)-х(ох[^, -^+i]).
Как и выше, найдем, что на (рх ^(axiU} U&xft, U+i]) отобра-
отображение Ф имеет вид
а(*. 8). 1)-ФЦР(х, 0, fAx, t)g)

ГЛ. 11. ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ И К-ТЕОРИЯ 243
для подходящего/о: ax{^}U6x[^, ^+1J-^-G. Так как ох{<4 U
oy[ti, tin] является ретрактом для ох[<;, ti+1], то существует
продолжение /0: axUi, ti+l\-+G отображения fa. Определим Ф
на (рх I)-1 (оx[tit ^+i])> полагая
Ф (Фа (*, ^). О = *V (^ (*> 0. fa (X, 0 Я).
(х, /)еах[/(, /j+i], g*=G. Ясно, что Ф непрерывно, служит про-
продолжением отображения
и удовлетворяет условиям
), Ф((е, 0Л) = Ф(е, QA
для всех (е, t) & (р х I)-1 (a x[tit /i+i]), fteG. Это завершает шаг
индукции.D
11.29. Лемма. Пусть Ф: ?-*-?' — морфизм расслоений и
F: Bxl-*-В' — гомотопия с Fo = ф. ?сли 5 — клеточное простран-
пространство, то существует такой морфизм расслоений Ф: $Х /->?',
что O = F « Ф|?х{0} = Ф.
Доказательство. Проведем доказательство индукцией по
остовам: если Ф задано на (рх l)-1(Bn-1y I), то в силу предло-
предложения 11.27 определено сечение X: Bn~1xl-^ExIxE'/G. Мы
хотим продолжить это сечение на Впх1. (Начальный шаг п==0
индукции очевиден: либо В~1 — ф, либо ZH = {&<>} и F — гомото-
гомотопия rel&o-) Пусть fa'. (Dn, S"-1) -+¦ (В", В*-1) — характеристическое
отображение клетки е?. Для каждого а формула
(У, D — (У, ^ (JZ (у), t)), (у, 0 е D» х {0} U S-i х /
задает сечение расслоения (/?*| X /)[?"]. Из предложения 11.27
и леммы 11.28 следует существование такого отображения
ha: DnxI-^E n*xIxE'/G, что n2>^ = F-(/"xl). Продолжая Я,
на e?xl по формуле
^(/2(У). 0 = (/«xol)^a(i/, 0.
у е ?>", <е/, найдем, что Я непрерывно и является сечением.
Продолженное таким образом сечение Я определяет, в свою оче-
очередь, морфизм Ф: (рХ\)-1(Впх1)-^Е'.О
11.30. Теорема. Пусть Ъ = (В, р, Е, G) —главное G-расслое-
G-расслоение и f0, fi'. В' -*¦ В — два гомотопных отображения клеточного
пространства В' в клеточное пространство В. Тогда /*?—/*?•
Доказательство. Пусть F: В'Х/-+-В — гомотопия, свя-
связывающая /о и /i. Так как существует морфизм расслоений
Ф: fl%xl-*~\, накрывающий F, то согласно предложению 11.25 и
лемме 11.29 имеет место эквивалентность/*^X/c^F*|. Если опре-
определить отображение п: В' ->В' х / формулой ir ф') = ф', 1), b' fi'

244 ГЛ. 11. ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ И Я-ТЕОРИЯ
то /i = F°/i, так что
№ = (F • кГ I ^ П (F*l) - it (ftl x /) =
Замечание. В настоящей главе мы пока нигде не обращали
внимание на отмеченные точки. Разумеется, можно рассмотреть
С-расслоения (В, р, Е, G), где в В и ? отмечены точки Ьо, е0 и
все отображения эти точки сохраняют. При этом несколько ме-
меняется понятие эквивалентности: два расслоения ? = (В, р, E,G),
I' = (B; p', E', G) над В эквивалентны тогда и только тогда, когда
существует такое отображение ф: (Е, е0)->(?", е'„), что Ф(ек) =
Ф(е)к, h eG, е е Е и р' « Ф = р. Читатель без труда проверит,
что все доказанные в этой главе результаты остаются верными и
для расслоений (В, р, Е, G), в которых В, Е имеют отмеченные
точки.
11.31. Для любой топологической группы С можно следующим
образом определить кофунктор kQ: @*иУ' -*¦ SPS0. Для каждого
(X, Xo)eSP>tK/' обозначим через ka(X) множество всех классов
(пунктированно) эквивалентных главных С-расслоений над X.
Для любого гомотопического класса [/] отображений /: (X, х0)-*-
(Y, у0) определим ka\f\. kQ(Y)-+ka(X), полагая kQ[/]({!}) = {/*!}.
В силу теоремы 11.30 это отображение корректно определено.
Отмеченным элементом в ka(X) является класс эквивалентности
тривиального расслоения (X, pxl, XxG, G).
11.32. Предложение. Кофунктор ka удовлетворяет аксио-
аксиомам суммы и Майера — Вьеториса.
Доказательство. Пусть (X; А, В) —некоторая клеточная
триада. Согласно лемме 7.4, найдутся открытая окрестность А'
множества А и деформация Н: Хх1->Х окрестности А' на А,
переводящая В в себя. Если /: (А, А{)В)-+(А', А' |~| В) — вло-
вложение пар, то /*: ka{A')-+ka(A) и (j\A[]B)*: kQ(A'f}B)-+
ka(A[\B) являются биекциями. Предположим, что заданы такие
элементы Xi(=ka(A), x2^ka(B), для которых i* (xi) = i$ (x2)
в множестве kQ (A f] В). Выберем х\ е k0 (А') так, чтобы /* (х[) = х1.
Тогда в множестве kQ(A' (] В) имеем i[* (x[) = i'z* (л:2) (здесь
i[: A'[}B-*~A', i'i. А' ПВ->В — естественные включения). Следо-
Следовательно, элементы х[, х2 представляются такими расслоениями ?х
на А', |2 на В, что li \ А' [)Во^12\ А' [)В. Согласно предложе-
предложению 11.23, над X существует такое расслоение т], что т] | А' ~ \х,
т)|В~|2 (напомним, что А'[]В = Х). Если у= {т)} е?0(X), то
j[*y = x[, jty=*X2, где /{: А'-+Х, /2: В-*-X —включения. Таким
образом, /*# =/*/!*# = /**i ~xi (/i" ^ -*-Х —включение). Следова-
Следовательно, ka удовлетворяет аксиоме Майера — Вьеториса.
Пусть {(Ха, ха): а е А} — некоторое семейство клеточных про-
пространств с отмеченными точками. Для любого y<^kQ(Xa), aeA,
обозначим через ^а = (^а» Pa, Ea, G) главное О-расслоение, пред-

ГЛ. 11. ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ И «-ТЕОРИЯ 24Б
ставляющее уа. Определим над\/Ха расслоение | = (\/Ха, р, Е, G\,
о. \ а )
отождествляя в \J Еа те точки е е ?a. e' е ?р, для которых най-
а
дется такой элемент geC, что е = eag, е' = еР? (еа е ?а, ер s= ?р—
отмеченные точки). Пусть ? — результат этого отождествления и
р: Е -> \у Ха — очевидная проекция. Зададим на ? действие
а
группы С, полагая {e}h — {eh}, ее?а, /jsG. Нетрудно показать,
что это действие корректно определено, причем р ({<?}) —р ({в'})
тогда и только тогда, когда {е'} = {е}/г для некоторого h еО, Если
{(Uti Ф'&У- Ре Вес} — такой атлас расслоения ga, aeA, что
Ф1 (ха, 1) = еа всегда, когда хл е f/p, то из {(t/p, Фр): РеВа, а еА}
можно построить атлас расслоения ?. Ясно, что отображение
Й: *о f V^«l -*-*о(^а) переводит {?} в у,. Поэтому {Й}: kQl\JXa\-^
\ а ) \ а I
\\koiXa) сюръективно. Подобным образом, если |, ц — такие
а
расслоения над \/Хя, что ||Xac=:Tj|Xa для всех as А, то,
a
склеивая эти эквивалентности на \J Xa (они сохраняют отмечен-
a
ные точки), мы получим эквивалентность |^г]. Таким образом,
отображение {/«} инъективно, и, значит, ka удовлетворяет аксиоме
суммы. ?
11.33. Итак, мы показали, что кофункторы ka удовлетворяют
условиям теоремы 9.12. Поэтому для каждой топологической
группы G существуют такое клеточное пространство (BG, *) (опре-
(определенное с точностью до гомотопического типа) и главное С-рас-
С-расслоение la = (BG, pa, EG, G), что заданное формулой T[f] = {f*la\
естественное преобразование на eTW'
Tq: [-; BG, *]-+ka(-)
является естественной эквивалентностью. Таким образом, главные
G-расслоения над клеточным пространством X классифицируются
гомотопическими классами отображений f: (X, xo)->(BG, *). Сле-
Следовательно, п-мерные F-векторные расслоения над X классифи-
классифицируются гомотопическими классами отображений (X, Хо)->
(BGL(n, F), *).
Займемся теперь явным построением пространств ВО (п),
ЕО(п), BU (n), EU (п). С этой целью нам понадобится критерий
для распознавания того, в каком случае главное G-расслоение ?
является универсальным расслоением \а. Расслоение \0 универ-
универсально в том и только в том случае, когда для любого главного
G-расслоения | существует морфизм Ф: Е->1о или, в силу пред.
ложения 11.27, сечение A,: B->ExEQ/G. Имеется несколько по-
полезных критериев существования сечений. Один из них сформу-
сформулирован в следующей теореме.

346 ГЛ. И. ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ И К-ТЕОРИЯ
11.34. Теорема. Пусть (X, А) — относительное клеточное
¦пространство и% = (X, р, Е, F) — расслоенное пространство над X.
Пусть %': А->Е — сечение \\ А. Если слой F (п—1)-связен и
dim (X, А) <; п, то \' продолжается до сечения X: Х-*-Е проекции р.
Доказательство. Из точности последовательности слабого
расслоения р: Е-+-Х вытекает, что р является п-эквивалентностью.
Поэтому, согласно лемме 6.30, найдется отображение X": Х-уЕ,
¦служащее продолжением отображения X' и удовлетворяющее усло-
условию р.А."~1Аге1 А:
,j\f.
А <= X.
Так как р —слабое расслоение и (X, А) — относительное клеточ-
клеточное пространство, то из упражнения 5.15 следует, что гомотопия
р°Я"~ l^rel А поднимается до гомотопии Х"ге\ А. Таким образом,
мы нашли \: Х-*-Е с к\А=*\' и р-Х,==1х-П
11.35. Теорема. Пусть t — (B, р, Ё, 0) —главное О-расслое-
ние с п-связным пространством Ё. Тогда для любого клеточного
пространства X с dimX^n естественное преобразование
Т: [X, х0', В, 6o]-+ka(X), T[Л = {/*!}
является биекцией.
Доказательство. Пусть % — главное G-расслоение над X.
Так как слой ассоциированного расслоения %[Ё] является п-связ-
п-связным, то существует сечение Я этого расслоения: чтобы убедиться
в этом, применим теорему 11.34 с Л = {дсо}-и М*о)=фо, ^>}- Из
предложения 11.27 вытекает существование морфизма ф: ?-»-|.
Следовательно, ?~ф*| = Т[Ф], так что преобразование Т
сюръективно.
Пусть теперь /0. fi- (X, хо)->{В, Ьп)— такие отображения, что
f*i^:fti. Положим ? = /ci и применим теорему 11.34 к паре
(Xxl, Xxl \jxoxl). В результате получается сечение Я'расслое-
Я'расслоения ((I х /) | X х / U {хо} х /) [Ё], соответствующее морфизмам
((lxI)\XxO)^fU^tii((lxI)\Xxl)^fU-^l Если dimX<n,
то dim (Xxl, Xх / Uх0хI)^п + 1. Поэтому существует сечение
расслоения (?х/)[?], "продолжающее X', и, значит, морфизм
ф; ?х/->|. Но тогда Ф: X х/->В представляет собой гомотопию,
связывающую /0 и fi. Этим доказана инъективность преобразо-
преобразования Т. О
11.36. С помощью теоремы 11.35 нетрудно построить класси-
классифицирующие пространства для О (п)-расслоений. В примерах 4.14

ГЛ. П. ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ И К-ТЕОРИЯ 247
мы определили многообразия Штифеля Vk, „ ^ О (п)Ю (n — k) и
многообразия Грассмана Gk, п = О (п)/0 (п — к) х О (к), а также
описали связывающие их расслоения. Из точности гомотопической
последовательности расслоения
О (п - 1) _>¦ О (п) -> О (п)/0 (п - 1) з* S"-1
вытекает, что
пд(О(п — 1), *)-*-я?(О(п), #) — эпиморфизм для q = n — 2 и
я?@(п-1), *)^л?@(д), *) для<7<п — 2.
Таким образом,
л?@(д), *)^-nq(O(n + k), *)
— эпиморфизм для q ^ п — 1 и изоморфизм для <7 < п — 1. Следо-
Следовательно, п9 (Vk. к+п, *) = 0 для g «S я — 1. Значит, главное О (^-рас-
(^-расслоение \к, А+п = (Gft, *+„, я, Vk, h+n, О (k)) является универсальным
для О (&)-расслоений над клеточными пространствами размерности,
не превосходящей п — 1. Включения
R* с: RM cz...cz R*+ncz...,
задаваемые формулами (xt, .... xft+i)>—*@, хи ..., дсл+1), индуци-
индуцируют вложения
Gk, к —"¦ О*, fc+i —'¦.¦—*¦ Gk, k+n -*¦¦••
Положим BO(k)= (J Qk,k\n и снабдим его такой топологией,
в которой множество I/ сг ВО (k) открыто тогда и только тогда,
когда U f\Gi,,k+n открыто в Gk,к+п для всех n^sO. Пусть
EO(k)= [j Vk.k+n с такой же топологией и я: ЕО (k) ->- ВО (k) —
очевидное отображение. Тогда g0 (ft) = (ВО (?), я, EO(k), 0{k))
является универсальным 0 (й)-расслоением для всех клеточных
пространств.
Аналогичным образом можно показать, что Vk, *+л (С)->0*. *+л (С)
универсально для главных U (й)-расслоений над клеточными про-
пространствами размерности, не превышающей 2п— 1. Положим
BU(k) = U G*. *+„(©),-??/(А) - иУ*.*м«С). Точно так же
BSp(k)=- [J Gfc,fc+n(lH). Если обозначить через Gjf,n пространство
ориентированных k-мерных плоскостей в R", то
Qt. <. з* О (п)/О (п - *) х SO (Л),

248 ГЛ. И. ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ И К-ТЕОРИЯ
и можно положить BSO(k)=* \J Gt, k+л- Аналогично,
BSU{k)= U Gt.* + n«D).
11.37. Естественное включение О (ft) а О (k-\-1), описанное
8 примерах 4.14, индуцирует отображение
i: O(n + k)/O(n)xO(k)-+O(n + k+l)/O(n)xO(k + l),
коммутирующее с отображениями
/: Gk, k+n ~~*~ "ft, k+n+l-
Следовательно, это включение определяет отображение Bl: BO(k)-*-
ВО (k + !)• Аналогичным образом естественные включения
U(k)dOBk) (здесь мы отождествляем (С* с RBfc) индуцируют
•отображения BU (k)-+BOBk). Вообще, если h: С-^С —произ-
—произвольный непрерывный гомоморфизм топологических групп и
5 — главное С-расслоение над В с функциями перехода
{JJa, g$a- а, Ре А}, то {Ua, h°gfa,: a, PeAj является множест-
множеством фУнкЦии перехода для главного G'-расслоения, которое мы
обозначим через ft,,!. Если ?^?', то h^c^hj-,'. Кроме того, для
произвольного отображения /: В'-*-В имеет место эквивалент-
эквивалентность расслоений /* (АД) ~ ft,, (/*?), поскольку оба они обладают
одним и тем же множеством функций перехода {Ua, Ь^-/:
«, PeAj. Следовательно, гомоморфизм А определяет естественное
преобразование Г (A): ko-+ka>, задаваемое формулой
Г (А) (Ш)-{АЛЬ
Но тогда, в силу теоремы 9.13, существует такое отображение
Bh: BG-+BG', что коммутативна диаграмма
l-;BG,*] —2+fco .
\в1н
Если h'\ G'-*~G" — еще один непрерывный гомоморфизм, то
B(h'°h)~Bh'.Bh.
11.38. Пусть Я cz О — замкнутая подгруппа топологической
группы G. Говорят, что главное G-расслоание ? допускает редук-
редукцию к Н, если существует такое главное Я-расслоение ц, что i^r\
и | эквивалентны как G-расслоения (i: H -*¦ G — включение).
11.39. Предложение. Пусть i — главное G-расслоение над X
с классифицирующим отображением (X, Xo)-*-(BG, *). Тогда ?
допускает редукцию к Н в том и только в том случае, когда су-
существует отображение g: (X, хо)-*-(В#, *), входящее в гомото-

ГЛ. П. ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ И К-ТЕОРИЯ 24*
пически коммутативную диаграмму
f "BG.
Доказательство очевидно.
Замечание. Если Н — подгруппа в GL(n, F), то вложение-
t: H-*-GL(n, F) индуцирует //-действие на F". Для любого-
//-расслоения г) расслоенное пространство i)[Fn] имеет естест-
естественную структуру векторного расслоения. Поэтому, если т)
является редукцией к Я некоторого GL(n, /^-расслоения |, то*
Tt)[Fn] и l[Fn] эквивалентны как F-векторные расслоения. Напри-
Например, если {Ua, g(,a- ai P s A} — множество функций перехода,
для т), то {Ua, i'gpa- «i P^A} является множеством функций
перехода для |, а также для обоих векторных расслоений f\\Fn\
и Un-
Unit АО. Классы эквивалентности G-расслоений над надстрой-
надстройкой SX находятся во взаимно однозначном соответствии с мно-
множеством [SX, *; BG, *]~[X, x0; QBG, щ]. Однако существует
иное описание kQ (SX) как множества гомотопических классов.
Склеивающей функцией для SX называется отображение /: (X, хо)->-
(G, 1). По склеивающей функции f можно построить расслое-
расслоение |(/) над SX. Действительно, пусть С-Х = [0, 3/4) Д X,
С+Х = A/4, 1] Д X, где 0 является отмеченной точкой полуинтер-
полуинтервала [0, 3/4), а 1 —отмеченной точкой A/4, 1]. Тогда {С-Х, С+Х\
является открытым покрытием надстройки SX, причем С-Х (] С+Х=
A/4, 3/4)+ Д X Но это пересечение имеет своим сильным дефор-
деформационным ретрактом подмножество {1/2}хХ. Определим отобра-
отображение f: С-Х П С+Х-^-G, полагая f[t, x} = f(x), xe=X, /s(l/4, 3/4).
Тогда С-Х, С+Х, /, а также отображения C.X-+G, C+X-+G,.
переводящие все С+Х в единицу группы G, образуют множество
функций перехода на SX и, следовательно, в силу предложе-
предложения 11.15 определяют расслоение ?(/)• Легко видеть, что для
любого отображения g: (Xf, x'№)-+(X, х0) имеет место эквивалент-
эквивалентность расслоений Sg* (I (/)) ^ I (f • g).
11.41. Лемма. Если X — клеточное пространство и
/о, fi- (X, xo)-*-(G, I)—две склеивающие функции, то /0 ^^/lreljta-
тогда и только тогда, когда %(f0)~l(fi).
Доказательство. Пусть F: X Д /+-*-0 — гомотопия, свя-
связывающая /о и f^ Тогда \ (F) — расслоение над S (X Д /+) = SX Д /+.
Если to, ix: SX-+SX Д /+ — вложения, задаваемые формулами
t,U/)-[y, 4 е = 0, 1, yezSX, то it(l(F))^l(F-io) = l(fo)r
itdif^Dc^KF-i^^Kfj). Так как проекция SXx/^-SXx/+
является гомотопией между i0 и ilt то согласно теореме 11.30'
имеем tfF(/?))=*tf(g(f))

250 ГЛ. П. ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ И К-ТЕОРИЯ
Обратно, если % (/0) ^ I (ft), то существуют такие отображения
/"-: (С-Х, *) + (G, 1), г+: (С+Х, *)-^(С, 1), что fx[t, х] =
''-U, х]/о[*, *]•/•+[*, х] для хеХ, <еA/4, 3/4). Определим
отображение Н: Xx/-»-G, полагая
Н (х, t) = г_ [*/2, х] ¦ /о (х) • г+ [ 1 -1/2, х]
для (х, t) eXx/. Тогда
Таким образом, мы получаем естественное преобразование
Т': [—; G, l]->feo°S, задаваемое формулой 7"[/] = {!(/)}• Легко
видеть, что Т' (X) инъективно для любого X.
11.42. Лемма. Т' является естественной эквивалентностью
на категории &W'.
Доказательство. Нам нужно показать, что каждое G-pac-
слоение % над SX с точностью до эквивалентности имеет вид
?(/) для некоторой склеивающей функции /: X->G. Так как
С-Х, С+Х стягиваемы, то ko(C-X) = 0 = ka(C+X), и, следова-
следовательно, расслоения 11 С-Х, S | С+Х тривиальны. Поэтому система
{(С-Х, Ф-), (С+Х, Ф+)}, где Ф-, Ф± — произвольные тривиализации
расслоений 11 С-Х, % j C+X, является атласом расслоения |. Этот
атлас задает множество функций перехода {С X, С+Х, g),
g: С-Х Г) C4X->-G. Определим отображение /: (X, xo)->(G, 1)
формулой f{x)= g[M2, x]. Мы хотим показать, что s~?(/).
Прежде всего, очевидно, что f ~?rel*; пусть Н: (СХ()С+Х)/\
/+->G — соответствующая гомотопия. Тогда {С-Х/\I+, CfX/\I+, Н\
является множеством функций перехода на SX /\ /+ и, значит, на
SX Д /+ определено такое расслоение т), что t*T)~|(/), ifii^^l.
Но ц~я*$\)с^1$цх1 (где я: 5Хх/-^5Хх0 —проекция), и по-
поэтому ift\ ~ /*(^о'П х 1) — 'о1!- D
11.43. Предположим, что группа G имеет гомотопический тип
клеточного пространства. Так как кофункторы [—; G, 1] и
[—; QBG, соо] естественно эквивалентны на категории §W'', то
из теоремы 9.13 вытекает существование гомотопической экви-
эквивалентности
ц0: (G, 1)~(Q5G, coo).
В частности, отсюда следует, что nn(BG, #)^nn_i(G, I), n^sl.
Нетрудно видеть, что \iq естественна относительно гомоморфизмов
h: G->G'.
Пусть О (n, F) есть О (п), ?/ (п) или 5р («) соответственно тому,
что F есть R, (D или Н-

ГЛ. П. ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ И К-ТЕОРИЯ 251-
11.44. Предложение. Для всех мэП и F = R, © или Н
группа О (п, F) является сильным деформационным ретрактом
группы GL (n, F).
Доказательство. Обозначим через Н(п, F)czGL(n, F)
подгруппу верхних треугольных матриц. Из теоремы ортогонали-
зации Грама —Шмидта немедленно следует, что каждая матрица
A^GL (n, F) единственным образом представляется в виде А = ОН,
где О еО(я, F), H eH(n, F). Таким образом, отображение
6: 0(п, F)xH(n, F)-+GL{n, F), 6@, Н) = 0Н,
биективно. Можно показать, что 8 — гомеоморфизм. Но группа
Н (п, F) стягиваема: соответствующая деформация G: Н (я, F)Xl-*~
Н (п, F) задается формулой
{\ а„ ..
1 (\-t)an.un
Следовательно, lxG: 0{n, F)xH(n, F)x/-»-0(n, F)xH(n, F)
является деформацией 0(n, F)xH{n, F) на 0(п, F)x{I}.D
11.45. Предложение. Каждое GL(n, F)-расслоение над кле-
клеточным пространством допускает редукцию к О (п, F)-расслоению.
Поэтому можно считать, что любое F-векторное расслоение имеет
вид t][Fn] для некоторого 0(п, Р)-расслоения ц.
Доказательство. Из коммутативности диаграммы
nJ[BO(n,F),*) -^* Tcn(BGL(n,F),*)
и? ?
QBim
-I
*»-i(O(n, F), 1) -?+ Hn-dGUn, F), 1)
вытекает, что Bi — слабая гомотопическая эквивалентность. По-
Поэтому, согласно теореме 6.31,
[X, х0; В0(п, F), *]^*[л, лг„; BGL(n, F), *)
является биекцией для всех клеточных пространств X. Следова-
Следовательно, любое отображение /: (X, xo)-*-(BGL(n, F), *) допускает
поднятие в ВО (п, F). О
Таким образом, классы эквивалентных п-мерных F-векторных,
расслоений находятся во взаимно однозначном соответствии с гомо-
гомотопическими классами отображений в ВО (п, F).
11.46. Пусть 1 = (В, р, Е, F) и.?' = (В', р'', ?', F')- произ-
произвольные расслоенные пространства. Произведением \ и %' назы-

252
ГЛ. 11. ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ И «-ТЕОРИЯ
вается расслоенное пространство ?х?' = (ВхВ', рХр', ЕхЕ',
FxF'). Произведение главного G-расслоения с главным G'-расслое-
нием естественным образом наделяется структурой главного
GxG'-расслоения. Например, если l = {Ua, g$a'- «. РеА[ и
i' = {VY, g&v: у, 6 е Г} — множества функций перехода для ? и %'
соответственно, то
ix|' = {GaxVY, gtaXg&v: a, 0 ее А, у, бе Г}
является множеством функций перехода для |х?'. Аналогично,
если ?, ?' — векторные расслоения со слоями F", Fm, то ? х ?'
естественным образом наделяется структурой векторного расслое-
расслоения со слоем fxFm =Fn+m. Например, если {Ua, Фл: оеА}и
{Vy, \|)Y: ^еГ}-атласы для векторных расслоений | и ?', то
{UaxVy, {<t>axtyy)°(l XtxI): aeA, уёГ} является атласом для
векторного расслоения ?х|'. Кроме того, очевидно, что для
GL (я, /^-расслоения ? и GL (т, /^-расслоения %' имеет место
эквивалентность
Если ? и ?' — векторные расслоения над одной и той же базой В,
то можно образовать новое расслоение ?®|', полагая |®?' =
А*(?х?'), гДе А; В->ВхВ — диагональное отображение. Таким
образом, ? 0 ?' также является векторным расслоением над В.
Оно называется суммой Уитни векторных расслоений ? и ?'.
Слой ?0 ?' над точкой Ъ е В представляет собой прямую сумму
слоев расслоений ? и ?' над этой же точкой.
Пусть ?„ —универсальное 0(п, F)-pac^oeHHe над простран-
пространством ВО (п, F)nh: О (п, F)xO (m, F) -> О (п + т, F) — вложение из
примеров 4.14. Тогда расслоение я.,.(?,,х?т) над ВО(n, F)xBO(m,F)
классифицируется отображением
шлт: ВО(п, F)xBO(m, F)-+BO(n + m, F),
единственным с точностью до гомотопности.
11.47. Лемма. Для любых трех расслоенных пространств^,
?а, ?3 имеет место эквивалентность (|iX?2)x?2=^?iX(?2X|i3). При
этом, если %и \% и ?3 являются векторными или главными расслое-
расслоениями, то и указанная эквивалентность может быть выбрана как
эквивалентность векторных или главных расслоений.
11.48. Следствие. Диаграмма
ВО(п, F) х ВО(т, F) x BO(q, F) > ВО(п, F) х ВО{т + q, F)
ПО(» -1- т, F) х BO(q, F) * ВО(п + m + q,F)
гомотопически коммутативна для всех п, т, q.

ГЛ. П. ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ И К-ТЕОРИЯ 263
Доказательства очевидны. D
11.49. Лемма. Пусть |ь It —расслоенные пространства над
Въ В2 соответственно и г: BiXBt-^-B-iXBi — отображение, задан-
заданное формулой х(х, у) = (у, х). Тогда т* (?»xti) ~?ix|2. Если
li» %ъ —главные расслоения {соответственно, векторные расслоения),
то имеет место эквивалентность главных расслоений (соответ-
(соответственно векторных расслоений).
11.50. Следствие. Пусть ?ь |2 — векторные расслоения над
одной и той же базой В. Тогда gi © ?2 — ?г © li-
Доказательство. Так как т°Д = Д, то
11.51. Следствие. Диаграмма
BO(p,F)xBO{m,F) —*—+ В0(т, F) x ВО(п, F)
BO(n + m,F)
гомотопически коммутативна для всех п, т. О
Для каждого п 5* 0 обозначим через в„ тривиальное О (п, ^-рас-
^-расслоение:
«%.-(•. Р«, 0(п, Л, О (я, F)).
JeM же самым символом г„ будем обозначать тривиальное
0(п, ^-расслоение над В: ея = (В, рв, ВхО(п, F), 0(n, F)). Без
труда проверяется следующее утверждение.
11.52. Лемма. Пусть Bi: ВО (п, F) -> ВО (п + т, F)—ото-
F)—отображение классифицирующих пространств, индуцированное вклю-
включением 0(п, F)aO(n + m, F), uh: 0(n, F)xO(m, F)-+0(n + m, F) —
включение из примеров 4.14. Тогда имеет место эквивалентность
K(tnxem)c=iBi*(ln+m) расслоений над В0(п, F)x{*}g*BO{n, F).
11.53. Следствие. Диаграмма
BO(n,F)xBO(m,F)
О,*)/ \f">m
BO(n,F) —'-+ BO(n + m,F)
гомотопически коммутативна для любых п, т.
11.54. Определение. Начиная с данного места, мы не
исключаем возможности того, что рассматриваемые векторные рас-
расслоения имеют различные размерности над различными компонен-
компонентами связности базы. Говорят, что два векторных расслоения %, т)
над одной и той же базой X (но не обязательно одной и той же
размерности) стабильно эквивалентны (обозначение ?~,jr]), если

254 ГЛ. 11. ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ И К-ТЕОРИЯ
над X существуют !акие тривиальные расслоения е\ в", что-
10 е' ~ ц ф е". Обозначим через /(б (X) множество всех классов
стабильной эквивалентности вещественных векторных расслоений
над X. Класс стабильной эквивалентности векторного расслоения |
будет обозначаться через {1,}S.
Введем в множестве КЬ(Х) операцию сложения -f, полагая
iib + {Tlb=:{?STlb- Ясно, что эта операция корректно опреде-
определена, а из леммы 11.47 и следствия 11.50 вытекает, что она
ассоциативна и коммутативна. Класс {e}.v любого тривиального
расслоения является нулевым элементом относительно этой опе-
операции. Покажем, что К0(Х) — группа, т. е. что для каждого
{l}s <= КО (X) существует элемент — {1}S.
11.55. Предложение. Пусть ? — векторное расслоение над
конечномерным клеточным пространством X. Тогда над X сущест-
существует такое векторное расслоение ц, что ?0т)~е^ для некоторого N.
Доказательство. Предположим, что ? имеет размерность k,
а пространство X n-мерно. Из п. 11.36 вытекает, что ^-мерные
расслоения над X классифицируются гомотопическими классами
отображений из X в G*. *+„+!• Универсальное 6-мерное расслоение
%ь = (Ok, ft+л+ь п, Ek, R*j может быть описано следующим образом:
, х) е G*.k+n+lXR"+*+1: x<=W]
и я: Ek-+Gk,>n-n+i задается формулой n(W, x)=*W.
Построим дополнительное расслоение |fc = (Gfc( ft+n+i, я, Ek, Rrt+1)
с Ek = {{W, ^sGu^xR^1: xj_«7} и n(W, x) = W. Теперь
нетрудно определить отображение расслоений Ф: !*©!*-> en+k+1 —
Gfc,ft+n+,xR"+*+1, полагая ^((U7, x), (W, x')) = (W, x + x1). Без
труда проверяется, что Ф — эквивалентность расслоений.
Предположим теперь, что нашему расслоению | отвечает ото-
отображение /: X-+Gk л+л-ц, так что E~/*?fc. Пусть r) = /*|ft; тогда
ЁХ> является представимым кофунктором на категории
конечных связных клеточных пространств с отмеченными точками.
Существуют естественные включения Gft, k+n cz Gk+i. л+я+i. задавае-
задаваемые правилом W н-* (W, ek+n+i) = {(k-\- 1)-мерная плоскость, натя-
натянутая на W и ek+n+i}. Эти включения индуцируют включения
BO(k)czBO{k+\)t k^sl. Положим
50= U BO(k)
и введем в ВО слабую топологию. Пусть \k — универсальное А;-мер-
ное векторное расслоение над BO(k). Если X — конечное клеточ-
клеточное пространство, то оно компактно, так что любое отображение
/: X -** ВО пропускается через ВО (k) для некоторого k. Положим

ГЛ. 11. ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ И «-ТЕОРИЯ 255
[f] {fbk}s() Нам нужно показать, что Т корректно
определено. С этой целью рассмотрим отображение g: К-*-ВО,
такое, что g cxf. Если g пропускается через ВО (/), то T[g] = {g*h}s-
Пусть Я: Хх /->¦ ВО — гомотопия, связывающая fug; тогда Я
пропускается через ВО(п) для некоторого п. Так как / = Я»4,
g = H°ix, то можно считать, что n^k, n^l. Согласно тео-
теореме 11.30 имеет место эквивалентность расслоений /*?„~?*&,.
Но тогда, в силу леммы 11.52, g*li@en-' ~?*?л^/*|4фея~*.
Другими словами, g*%t~tf*lk, т. е. T[g]=*T\f].
11.56. Теорема.
Т: [—; ВО, *]-+Кб
является естественной эквивалентностью на категории SPtjW'p.
Доказательство. Пусть ? —некоторое векторное расслое-
расслоение над X; тогда существует такое отображение /: X-*-B0(k),
что/*^~|. Если ik: ВО (k)-+ ВО -вложение, то Т [ik •/]=¦{!}«
так что Т сюръективно.
Предположим теперь, что Т [/] = Т [g] для некоторых двух
отображений f, g: X-+B0. Тогда существует такое п, что fag
пропускаются через В0(п) и \f*ln}s = {g4*}s- Другими словами,
/*?*(+;е*^?*?„@елдля некоторого k. Следовательно,/*|n+*~g-*|n+fc,
поэтому в силу универсальности \n+k мы имеем fz^g в BO(n + k)
и, значит, в ВО. Таким образом, j/] = [g]. ?
Аналогичным образом определяются множество К(Х) классов
стабильно эквивалентных комплексных векторных расслоений
над X и множество Кьр(Х) классов стабильно эквивалентных
кватернионных векторных расслоений над X. В категории SP'e'W't
имеют место естественные эквивалентности
[—; BU, *]^К, [—; BSp, *]9*KSp.
Согласно упражнению 9.14 на пространствах ВО, BU и BSp
можно задать структуру слабых Я-групп. В действительности
верен более сильный факт —эти пространства являются Я-груп-
пами (и даже бесконечнократными пространствами петель; см. [22]).
Доказательство этого факта основано на следующем красивом
наблюдении, принадлежащем Бордману и Фогту [22].
Обозначим через ^ категорию, объектами которой являются
конечномерные или счетномерные векторные пространства со ска-
скалярным произведением, а морфизмами — линейные изометрии.
Определим функтор В: 1§'-+¦<&* следующим образом: для любого
Л-мерного векторного пространства со скалярным произведением V
положим В (V) = Ok (V 0 R°°), т. е. В (V) — многообразие Грассмана
й-мерных плоскостей в V®R* (топология в Gk (V 0 R") опреде-
определяется так же, как в аналогичном примере из 4.14). Если
/: V -*• W — линейная изометрия fe-мерного пространства V в т-мер-
ное пространство W, то определено ортогональное дополнение

256 ГЛ. 11. ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ И К-ТЕОРИЯ
l/ = /(V)-L. Это (т — &)-мерная плоскость в W. Для данной ^-мер-
^-мерной плоскости Р в V (g) R°° положим
Тогда
В (/) (Р) eEGm(W(g) R°°) = В (W)
и легко видеть, что В (/) непрерывно. Пусть теперь V — беско-
бесконечномерное пространство со скалярным произведением. Так как V
является прямым пределом своих конечномерных подпространств,
то можно определить В (V) как \J В (W) в слабой топологии.
dim W<co
Если /: V -> V' — линейная изометрия, W сг V — конечномерное под-
подпространство и х е В (W), то В (/1 W) (х) е В (/ (W)) определяет эле-
элемент из B(V), так что/ индуцирует отображение B{f): B(V)-*-B(V).
Легко видеть, что В: W-^efT — функтор. Непосредственно прове-
проверяется, что если //: V-*¦ W — гомотопия в множестве линейных
изометрий, то В (ft): B(V)-+B(W) также является гомотопией.
Заметим, что В (R0) = *, В (R") = ВО (п), В (R00) = ВО. Аналогичным
образом можно рассмотреть пространства BU, BSp, а также
BSO и BSU.
Определим «сумму Уитни»
a»: B\V)xB(W)-+B(V ®W)
для всех конечномерных объектов V, W е?, полагая w(P, P') —
Р ф Р' для fe-мерной плоскости Р cz V (g) 8^° и m-мерной плоскости
P'ef 0R" Действительно, тогда Р(&Р' является (k + т)-мер-
ной плоскостью в V (g) R00 ф W (g) R = (V 0 №) ® R00. На произ-
произвольные У, Ife?" отображение и» продолжается с помощью
перехода к прямому пределу. Без труда проверяется, что w делает
(строго) коммутативными следующие диаграммы:
11.57.
B(U) х B(V) х B(W) -^-l B(U ®V)x B{W)
I 1 x w \w
T ... Ў
j(co x ^(F e ж)
?(F) x J(^) —2-*. JB(FF) x B(V)
w
X

ГЛ. 11. ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ И К-ТЕОРИЯ
B(V) х B(W) > B(V © W)
B(f)xB(g)
B(V) x B(W')
Здесь /: V->V, g: W->-№" —линейные изометрии.
Было бы естественным определить умножение ш: ВОхВО-^-ВО
как композицию
5 (R00) х В (R00) -^ В (R<° 0 ROT) ^ {Л В (R00),
где /: R°° ф R°°-*-R — некоторая подходящая изометрия. Но как
выбрать эту изометрию? Остроумное наблюдение Бордмана и
Фогта состоит в том, что можно взять любую из них, так как.
любые две изометрии /, g гомотопны в множестве линейных
изометрии.
11.58. Лемма. Любые две линейные изометрии /, g: V^-R°°
гомотопны в множестве линейных изометрии.
Доказательство. Пусть /ь »2: К00-»-^00©^00 — вложения на
первое и второе слагаемое. Зададим отображение a: R°°->R°° ф R°°,
полагая a(ein) = (en, 0), a(ean-i) = @, en), n^l.
i) ti~»2; непосредственно проверяется, что #,
yi-i% является гомотопией в множестве линейных изометрии,
связывающей ix и н.
\\) hc^a; в самом деле, пусть Ь: К00-^-^00 определено форму-
формулой b (е„) = е2п. Тогда b ^^ Iroo, так как применяя процесс ортрго-
нализации Грама —Шмидта к гомотопии (\—f)Af>o>-\-tb, мы
получим гомотопию в множестве линейных изометрии. Следова-
Следовательно, а — а> lRcx3c^a°fe = i\. Обозначим через К гомотопию, свя-
связывающую отображения ir и а.
Пусть теперь h — произвольная линейная изометрия h: V-*-R°°.
Тогда формулы
а-1 - if ф К). //«-1, 1/4 ^ ^< 1/2,
задают гомотопию f: Ух/->К°°, связывающую изометрии fug.
(На самом деле, из доказательства данной леммы нетрудно из-
извлечь тот факт, что пространство линейных изометрии V-^-R00
стягиваемо.) D
Теперь сравнительно просто доказывается, что (ВО, со) яв-
является гомотопически коммутативной Я-группой. Покажем прежде
всего, что # = В (!R0) e В (R00) — гомотопическая единица. На осно-
основании перечисленных в п. 11.57 свойств отображения w для
9 Роберт М. Свитцер

258 ГЛ. П. ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ И К-ТЕОРИЯ
этого достаточно показать, что гомотопически коммутативна
диаграмма
B(g)
в которой t: R0 -> R°° — вложение, /: R°° ф R°°-v R00 — изометрия,
использованная в определении со, и g: R° 0 R°°-> R°° — очевидный
изоморфизм.
Гомотопическая коммутативность указанной диаграммы выте-
вытекает, в свою очередь, из существования гомотопии в множестве
линейных изометрий, связывающей fo(t 0 1) и g, а эта гомотопия
следует из леммы 11 58. Для доказательства гомотопической ассо-
ассоциативности умножения со согласно диаграмме 11.57 достаточно
показать, что имеет место гомотопически коммутативная диаграмма
В{Ш.* ф R* ф R")
т. е. что Вф'В{]гф1)с^Вф'ВA 0/). Но это очевидно, так
как согласно лемме 11.58 существует гомотопия
в множестве линейных изометрий Гомотопическая коммутатив-
коммутативность доказывается аналогично
Подобным образом можно установить, что BU, BSp, BSO и
BSU гакже являются гомотопически коммутативными //-груп-
//-группами.
Приведем теперь еще одно описание гр'упп КО (X). Пусть
Va (X) — множество всех классов эквивалентности вещественных
векторных расслоений над X. Определим на Vg (X) операцию
сложения +, полагая {^} -г- {tj} = {4 Ш Л}- Очевидно, что относи-
относительно этой операции V% (X) является абелевой полугруппой.
А теперь опишем стандартную процедуру, позволяющую вложить
произвольную абелеву полугруппу в абелеву группу.
11.59. Предложение. Пусть S — абелева полугруппа. Тогда
существуют абелева группа K(S) и гомоморфизм Ф: S-*-K(S)
абелевых полугрупп, обладающие следующим универсальным свойст-

ГЛ. 11. ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ И К-ТЕОРИЯ 269
вом: для любой абелевой группы А и гомоморфизма полугрупп
\р: S -*¦ А существует и единствен талой гомоморфизм В: К (S)-*-A,
что 6 • Ф = \J). Этим свойством группа К (S) определяется одно-
однозначно с точностью до изоморфизма.
Доказательство. Единственность группы K(S) очевидна.
Поэтому перейдем к ее построению. Обозначим через ~ следую-
следующее отношение на SxS: (х, х')~(«/, у') тогда и только тогда,
когда существует такое z^S, что х-\-у' -\-z = x' -\-y-\-z (можно
представлять себе (х, х') как «разность» х — х'). Без труда про-
проверяется, что ~ есть отношение эквивалентности. Положим
/((S) = SxS/~ и обозначим через {х, х'} класс эквивалентности
пары (х, х'). Зададим в К (S) операцию сложения, полагая
{х, х'}-\-{у, у'} — {х-\-у, х'-\-у'}. Легко видеть, что эта операция
корректно определена и наделяет К (S) структурой абелевой
группы: нулевым элементом в К (S) является {0, 0} и — {х, х'} =
{х1', х}. И наконец, зададим отображение Ф: S-^-K(S) формулой
Ф(х) = {х, 0}. Ясно, что Ф — гомоморфизм полугрупп.
Пусть теперь задан гомоморфизм \р: S-+-A, где А — абелева
группа Если существует такой гомоморфизм 6: /СE)->Л, что
в ° ф = гр, то мы должны иметь 6({*, *'}) = 8({х, 0} — {лг', 0}) =
В(Ф(х)-Ф(х')) = Ъ(Ф{х))-В(Ф(х'))^$(х)-у(х'). С другой сто-
стороны, если мы зададим отображение 6 формулой В({х, х'\) =
tj) (x) — \р (х'), то оно будет корректно определенным гомоморфиз-
гомоморфизмом, удовлетворяющим условию в»ф == гр. ?
Положим КО (X) = К (Vr (X)) для X e=W'F. Любой эле-
элемент из К0(Х) представляется в виде {1} — {т)}, где |, т) —веще-
—вещественные векторные расслоения над X. Формула if {|} = {?}„ где
{|}5 — класс стабильной эквивалентности I, задает гомоморфизм
я|з: Vf>(X)-+I(U(X) для (Хо, x)&&"W'f- Таким образом, для
(X, хо)<=&Ш'Р существует гомоморфизм 6: КО(Х)-*-КЬ(Х),
такой, что 8 {?} = {?}s. Кроме того, имеет место гомоморфизм
к: К0(Х)->-К0(Х), задаваемый формулой к({|}5) = {1} — {е*}, где
п = dim |. Этот гомоморфизм корректно определен, так как если
{?b = {iib> то ? © е* — Ц rS е' Для некоторых k и /. Если dim т|=/п,
то n~\-k = m-\-l или, другими словами, n — l = m — k. Таким обра-
образом, i Q гт с^ (] 0 гп, поэтому в группе КО (X) имеем {?} — {е"} —
{т)} —{ет}. Очевидно, что 8»к = lj@{X).
Без груда проверяется, что КО — кофунктор на категории
W"F. Если (X, Хо) е &><&W'F, то очевидные отображения с: X
{хо\, i: {хо}-+Х индуцируют гомоморфизмы i*: КО (X) - КО ({
с*: КО ({хо}) -*¦ КО (X). Последовательность
0 -* Кб (X) -Ь КО (X)« КО ({хо}) -+ 0
точна, поэтому для любых (X, x^)&.qF$W'f можно отождествить
группу К0(Х) с группой ker[**: КО (X) -> КО ({^0})]- Таким

260 ГЛ. П. ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ И /(-ТЕОРИЯ
образом, существует разложение в прямую сумму
КО(Х)д*кЬ(Х)®КО({хо}).
Ясно, что любой элемент {!} е Vr ({^о}) полностью определяется
своей размерностью dim?, так что У|?({.?о})^М- Следовательно,
КО ({*„}) = К (V* ({*„})) = К (N) = Z, т. е. на категории &gWF имеет
место естественная эквивалентность
[—; 2.ХВО]-+КО,
где Z рассматривается как топологическое пространство с диск-
дискретной топологией.
Аналогичным образом определяются абелевы полугруппы V^X),
УЫ(Х) и абелевы группы К(X) = К(Vc(X)), KSp(X) = K(VM(X)).
Имеем
К(Х)д*К{Х)®К(Ы) и KSp(X)^KSp(X)®KSp{{x0}).
Кроме того, K({xo}) = KSp({x0}) = Z и
Итак, мы определили на категории &W'F кофункторы Kb,
К и К~$р- Тепер^ естественно спросить, как устроены «группы
коэффициентов» /00E»), K(S«), KSp(S«), q^O. Согласно теоре-
теореме 11.56
[S*. So; ВО, *] = п?
Если <7 = 0, то
z e z ^ ко (s°) ^ Kb (s°) e
откуда /^O(S°) = Z. Аналогично,
При вычислении указанных групп коэффициентов используется
следующий замечательный и очень важный результат.
11.60. Теорема (Ботт). Имеют место гомотопические экви-
эквивалентности
Мы докажем гомотопическую эквивалентность ZxBU c^
в главе 16. Доказательства двух других эквивалентностей более
сложны, хотя и основаны на тех же принципах.

ГЛ. 11. ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ И ^-ТЕОРИЯ 261
В частности, мы имеем
ngn(BU, *)o*ng(Q2BU, (x>0)^nq(ZxBU, *)^
Z, 7 = 0,
nq(BU, *),
, *) ?ё я? (Q450, ao) = ng(ZxBSp, *)^
z,
nq(BSp, *),
ng+i(BSp, *)^я?(й455р, ш0)^я?BхВО, *)s^
Z,
Таким образом, группы nq(BU, *) повторяются с периодом 2,
группы nq(B0, *) —с периодом 8, а группы nq(BSp, #) — это
сдвинутые по размерности на 4 группы nq(B0, *) По этим сооб-
соображениям теорему 11.60 называют те о р ем ой Ботта о перио-
периодичности.
Итак, чтобы получить все группы коэффициентов КО E*),
K(Sg) и KSp(Sv), достаточно вычислить Ui(BU, *) и п?(Б0, *),
ng(BSp, *) для <7=1> 2, 3. Согласно п. 11.43, мы имеем
nq(BG, *)^^k?_!(G, 1) для любого <7^Э=1 и любой топологической
группы G. Поэтому достаточно вычислить группы no(U, 1),
пд(О, 1), я„Eр, 1), 7 = 0, 1. 2. Согласно замечаниям, сделан-
сделанным в п. 11.36, для этого нужно лишь вычислить лоA/A), 1),
ng(Sp(l), 1), я?(О(</ + 2), 1), 7 = 0, 1, 2.
Так как Ufy^S1 и 5рA)^53, то мы немедленно получаем
яо({/A), 1) = 0, п?EрA), 1)=0, 7 = 0, 1, 2. Из расслоения
5OB)-^OB)^-Za находим, что я0(ОB), 1)^Z2. Значит, оста-
осталось ЛИШЬ ВЫЧИСЛИТЬ ГруППЫ Я! @C), 1)^Я!EОC), 1) И
я«(ОD), 1)^я2EОD), 1).
11.61. Предложение. SOC)^RP*.
Доказательство. Рассмотрим RP3 как единичный трех-
трехмерный диск D3 с отождествленными диаметрально противополож-
противоположными точками граничной сферы S2. С другой стороны, SO C) —
это группа вращений пространства R8 и, следовательно, любой
элемент А е 50 C) представляется поворотом вокруг некоторой
прямой / на угол в, — я^в^я. Пусть х — точка пересечения /
с верхней полусферой Н+ и f(A) = [(B/n)-x] slRP3. Легко видеть,
что отображение / непрерывно и биективно и, значит, является
гомеоморфизмом. П
11.62. Следствие.
5
я2EОC),

262
ГЛ. П. ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ И /(-ТЕОРИЯ
Рассмотрим теперь точную гомотопическую последовательность
расслоения SOC)->-SOD)->-S8. Так как я» E0C), 1) = 0-
MS», so), то na (SO D), 1) = 0.
Представим результаты наших вычислений в виде следующей
таблицы:
qmodS
k6(S<?)
KSp (S9)
0
Z
Z
Z
i
Zt
0
0
i
Zs
I
0
a
0
0
0
z
I
z
к
0
0
Z"
6
0
z
Z2
1
0
0
0
Благодаря теореме 11.60 можно построить fi-спектры КО и
К- В качестве 1@ возьмем спектр периода 8 (т. е. К0д+8 — К0
для всех q e Z), определяемый следующей таблицей:
...КО0 КОх KOt KOS KOt КО, /СО, КО, КО„...
Ill I I II II II
ZxSO Q*BSp Q'BSp QBSp ZxBSp QSSO Q«BO QBO ZxBO
Отображение eg,,: K0&, -*¦ Q/CO8?+] — это гомотопическая эквива
лентность ZxB0-^-Q*BSp из теоремы 11.60. Аналогично,
е&,+4- Wge+4 -*¦ QKOeq+ь — это гомотопическая эквивалентность
ZxBSp->-Q450 из 11.60. Все другие к'„ суть тождественные
отображения. В качестве К возьмем спектр периода 2 с /B(? =
ZxBU, /C^+1 = QBt/; e^: /C2? -»¦ й/C^+j — это гомотопическая экви-
эквивалентность Z х fi^ -*¦ Q2BU из теоремы 11.60 и е^+i = 1
Эти спектры определяют теории гомологии и когомологий К%,
/(О* и /С*, /СО*. Поскольку К и /(О являются й-спектрами,
то на категории З^^Шр имеют место изоморфизмы
^[Х, хо\ ZxBO, (О, *)]^
с*[Х, хо\ ZxBU, (О, *)]^
Так как 22/( = Л и 2»К0 — К0, то группы коэффициентов К9 (S»)
имеют период 2, а группы коэффициентов /(О» (S0) — период 8.
Они помещены в приведенной выше таблице.
Относительные группы К0°(Х, А) допускают геометрическое
описание в терминах расслоений над X с тривиализацией над А.

ГЛ. И. ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ И ^-ТЕОРИЯ 263
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Группы К(Х) и КО(Х) были впервые введены Атьей и Хир-
цебрухом в работе [19] как средство для изучения многообразий.
Вскоре усилиями ряда математиков была разработана мощная
теория, оказавшая огромное влияние на многие разделы тополо-
топологии и глобального анализа. Так, например, /(-теория позволила
выявить глубокие связи между теорией эллиптических операто-
операторов на многообразиях и гомотопическими инвариантами этих
многообразий (см., например, [18]). С момента своего появления
и до настоящего времени /(-теория демонстрирует все новые и
новые свои применения к топологии многообразий. В главе 20
мы приведем важный пример таких применений (теорема Стонга —
Хаттори 20.34)J) Кроме того, теории когомологий К* (X) и
КО* (X) оказались весьма полезными при решении ряда проблем
алгебраической топологии. В этой связи прекрасным примером
является данное Адамсом решение проблемы о векторных полях
на сферах [2]. Упомянем также введенный Адамсом е-инвариант,
плодотворность которого при исследовании гомотопических групп
сфер будет продемонстрирована в главе 19.
ССЫЛКИ НА ЛИТЕРАТУРУ
1. Адаме [2]. б. Бордман, Фогт [22].
2. Атья [16]. 6. Ботт [25].
3. Атья, Зингер [18]. 7. Хьюзмоллвр [96].
4- Атья, Хирцебрух [19].
!) Замечательные применения /(-теории к «адаче классификации структур
на многообразиях дал Сулливан; см, [6*]. — Прим. ред.

ГЛАВА 12
МНОГООБРАЗИЯ И БОРДИЗМЫ
В этой главе мы рассмотрим еще один тип теории гомологии —
так называемые теории бордизмов, имеющие своим источником
многообразия. Заметим, однако, что способ построения теорий
бордизмов на основе многообразий существенно отличается от
способа построения К-теорий на основе векторных расслоений.
Мы начнем главу с определения многообразий и формулировок
некоторых теорем о них. Большая часть этих теорем приводится
здесь без доказательств, так как подробное изложение их непро-
непропорционально увеличило бы данную главу (советуем читателю,
незнакомому с топологией многообразий, обратиться к руковод-
руководствам [51] или [45]). Далее мы определим пространство Тома
векторного расслоения и различные спектры Тома MG. И наконец
завершим главу наброском доказательства теоремы Тома, утвер-
утверждающей, что теории гомологии, ассоциированные со спектрами MG,
могут быть описаны в терминах сингулярных многообразий.
12.1. Определение. Хаусдорфово пространство М называ-
называется (топологическим) многообразием размерности п, если сущест-
существует такое семейство
{(иа,.Фа): веА, UaaM, Фа: Ua->Rn},
что {Ua}ae а — открытое покрытие пространства М и каждое ото-
отображение Фа является гомеоморфизмом множества Ua на открытое
подмножество из R^. = {xeR": х„^0} Пары (Ua, Фа) называются
картами многообразия М; семейство карт {(Ua, Фа): & s A},
покрывающих М, называется атласом.
Пусть {(Ua, ФаУ- а е А} — некоторый атлас многообразия М.
Определим относительно этого атласа подмножество дМ в М.
Именно, х е дМ, если существует карта (Ua, Фа) с х е Ua и
^WeR'-^lxGR11: *л = 0}.
12.2. Лемма. Для любой точки х^дМ выполнено равенство
Нп(М, М—{х\; Z) = 0, в то время как для х^М—дМ имеет
место изоморфизм Нп{М, М — {х}\ Z) = Z-
Доказательство. Пусть х&дМ и (Ua, Фа)~карта с
х е t/a и Фа (х) е R"- Обозначим через Dn диск достаточно малого
радиуса в |R" с центром в точке Фа (х). Тогда V = Фа' (Dn [\ R")
является окрестностью точки х в М. В силу аксиомы вырезания
вложение пар
/: (V, V-{x\) + (M, M-{x})

ГЛ. 12. МНОГООБРАЗИЯ И БОРДИЗМЫ 265
индуцирует изоморфизм
/V Hn(V, V-{x})^Hn(M, M-{x)).
Но оба пространства V, V — {х} являются деформационными
ретрактами для V = Фа1 (S"-1 [\ R+), так что
Hn(V, V-{x}; Z) = 0.
Если же iE/И —дМ, выберем карту (Ua, Фа) с х е Ua и
обозначим через Dn диск достаточно малого радиуса в R" с цент-
центром Фа(х). Тогда V = Ф„' (Dn) — окрестность точки х в М, и мы
снова имеем Н„{М, М - \х\)^Нп(V, V - {х\)^Н„(У, V)
с 1/ = ф-'E"-1). Но (V, V)g^(D», 5я-1), так что Hn(V, V)Q*
Hn(D\ S-^Z-D
Итак, дМ можно охарактеризовать как множество тех точек
хеМ, что Нп{М, М — {х}\ Z) = 0. Ясно, что последнее условие
не зависит от выбора карты, и поэтому дМ является инвариантно
определенным подмножеством в М.
12.3. Определение. Множество дМ называется краем
многообразия М. Если дМ = ф, го М называется многообразием
без края. Компактное многообразие без края называется замкнутым.
12.4. Предложение. дМ является многообразием без края
размерности п — \.
Доказательство. Пусть {{Ua, Фа): аеА} — атлас много-
многообразия М и А' с А — подмножество таких индексов, что
Uа П дМ Ф ф для аеА'. Тогда
{(Ua(]dM, Фа\и
является атласом на дМ. ?
12.5. Определение. Дифференцируемым атласом класса С*
на многообразии М называется такой атлас {(Ua, Фа)'- аеА},
что для любых а, р" е А отображение
Фа (U* П f/p)): Фа (f/« П
имеет непрерывные частные производные порядка &. Два диффе-
дифференцируемых атласа {(Ua, Фа): неА}и {(Ур, %): РеВ} класса С*
называются эквивалентными, если
{(?/«, Фа): aeA}U{(Vp, %): MB}
есть снова дифференцируемый атлас класса Сь (очевидно, что
это — отношение эквивалентности). Дифференцируемой структурой
класса С на М называется класс эквивалентности дифференци-
дифференцируемых атласов класса С* на М.
Дифференцируемым многообразием класса С* называется много-
многообразие М с дифференцируемой структурой класса С* на нем.
Гладким многообразием называется дифференцируемое многообра-
многообразие класса Сот.

266 ГЛ. 12. МНОГООБРАЗИЯ И БОРДИЗМЫ
Замечание 1. Объединение всех атласов изданного класса
эквивалентности представляет собой наибольший атлас в этом
классе.
Замечание 2. В общем случае топологическое многообра-
многообразие М может вовсе не иметь дифференцируемой структуры, или
же может обладать несколькими различными дифференцируемыми
структурами. Начиная с этого места, мы будем рассматривать
лишь гладкие структуры и гладкие многообразия, хотя многие
результаты имеют аналоги для многообразий класса С*
12.6. Пусть М — гладкое многообразие размерности п. Сопо-
Сопоставим этому многообразию векторное расслоение х(М) раз-
размерности п. Для этого выберем в гладкой структуре на М ка-
какой-либо гладкий атлас {{0а, Фа): оеА), Пусть а, р — про-
произвольные индексы из А; обозначим через Фр-Фп1 отображение
Ч^)- ТоГДЭ МЭТрИЦа Якоби
обратима для всех хеМ. Следовательно, М$а (х) е GL (л, R)
для всех хе[/аП^1 <*¦ Р <= А. Согласно правилу дифферен-
дифференцирования композиции
Му$ (х) ¦ М$а {х) =
\
\ дхк
Фа <*>
Поэтому {Ua, Map: a, p e А} является множеством функций
перехода и, значит, определено векторное расслоение х(М) (или,
точнее, класс эквивалентности таких расслоений).
Пусть {(VY, tyy): у е Г} — некоторый гладкий атлас, эквива-
эквивалентный атласу {(Ua> Фа)'- аеА) и
— матрица Якоби в точке хеУт(]Ув. Для любого хе Uaf\]
ГТп ГТ/М1ГТГ1Г
положим
Матрица Rya обратима, и для всех точек х е Ua Л ^р П Vy П Ув
имеет место равенство
iVeY (jc) = /?вр W • M|ta (x) • #va (x)-\
Таким образом, множества функций перехода
{Ua, МРя: а, ре А} и {Kv, A'6v: у, беГ}
эквивалентны и, следовательно, класс эквивалентности векторного
расслоения х(М) корректно определен.

ГЛ. 12. МНОГООБРАЗИЯ И БОРДИЗМЫ 267
12.7. Определение. Однозначно определенный выше класс
эквивалентности х(М) называется касательным расслоением к М,
хотя он и не является расслоением. Если же мы хотим получить
настоящее векторное расслоение, то нужно взять наибольший
атлас и выполнить процедуру склеивания, описанную в предло-
предложении 11.15. Многообразие М называется ориентируемым, если
det (МЭо, (х)) > 0 для всех х, а, р\
12.8. Определение. Пусть М, М'— гладкие многообразия
размерностей п, п' соответственно и f: М-*-М' — некоторое ото-
отображение. Отображение / называется гладким, если для некоторых
гладких атласов {(Ua, Фа)' «еА) на М и {(Vp, if>p): Ре В}
на М' отображения
4W • Фа I Фа (/-1 (Ур) П Uа): Фа (f'1 (V(j) П U а) "> R"
принадлежат классу С°-
i2.§. Лемма. Если отображение f: М-*-М' гладко относи-
относительно атласов
{(Ua, Ф*): as A}, {(Vp, %): р s В}
на М, М', то оно гладко и относительно эквивалентных атласов
ва): бе Л}, {(П, t]y): ye Г}.
Доказательство. Так как атласы {(U'(,, 6e): беД)
и {(Ua, Фа): а е А} эквивалентны, то Фа • (бе11 бе (Ua П #«)) является
отображением класса С°° для всех asA, б s А. Точно так же
r)v" (H'e11 ^p (V$ П Vv)) является отображением класса С00 для любых
ре В, уеГ. Пусть г/ е 8e (/-1 (Уу) П ?Л) Для некоторых индексов
8еА,уеГ Выберем аеА.реВ так, чтобы у s 86 (/-1 (Ур) П ?/о).
Тогда на бв (^-1 (V3 fl ^v)fl ^afl ^в) выполнено равенство
nY • / • 9e' I s, (/-1 (v;) п ?/«) = (пу • ^в1) • (Ь -f' Ф«) (Фа - бе1).
Но 9й(/-1(КрП У у) П ^аП L'e) является открытой окрестностью
точки г/; следовательно, Лу °/° Qe11 Qe (/"x (Vv) П ^в) является отобра-
отображением класса С00. D
Таким образом, определение гладкого отображения гладких
многообразий не зависит от выбора атласов.
12.10. Определение. Если /: М-*-М'— такой гомеомор-
гомеоморфизм, что отображения / и f-1 гладки, то f называется диффео-
диффеоморфизмом. Многообразия М и М' называются диффеоморфными,
если существует диффеоморфизм из М в М'. Разумеется, в этом
случае они имеют одну и ту же размерность.
12.11. Пусть /: М -> М' — гладкое отображение и UUa, Фа)'
as A}, {(Vy, ipv): у е Г} — гладкие атласы для многообразий М
и М' соответственно. Тогда матрица Якоби

268 ГЛ. 12. МНОГООБРАЗИЯ И БОРДИЗМЫ
имеет размер (л' х л). Если
— матрицы перехода для касательных расслоений т (М) и т (ЛГ),
то мы имеем
Rya (X) • Noq (X) = N'y6 (f (x)) ¦ R6& (X)
для всех x&f^CVyf] Ув)П Ua{\ U$- Если бы RyOi.{x) была обрати-
обратимой квадратной матрицей, то это уравнение было бы в точности
определением морфизма множеств функций перехода (см. п. 11.10).
В п. 11.3 мы определили морфизм векторных расслоений как
коммутативную диаграмму
в которой Ф является линейным изоморфизмом на каждом слое.
Несколько ослабим последнее условие и будем рассматривать
морфизмы, в которых отображение Ф всего лишь линейно на каждом
слое (сами расслоения могут иметь теперь различные размерности).
Тогда матрицы Rya определяют морфизм x(f): т(М)->т(М').
Если g: М' -> М" — еще одно гладкое отображение, то т (g»/) =
x(g)'i(f). Очевидно, что тA) = 1Т(лг)- Морфизм т(/) называется
дифференциалом отображения /.
Пусть /: М-vM' — гладкое отображение илеЛ. Определим
ранг отображения f в точке х (обозначение (rank/%) как ранг
линейного отображения t (f) \ р'1 (х): р-1 (х)-+р'-1 (f (х)). Ясно, что
(rank f)x = rank R$a (x) при соответствующем выборе атласа
{(Ua, ФаУ- иеА) на М, атласа {(l/p, ipp): peB} на М' и индек-
индексов а, р с х е= Ua, f (х) <= Кэ.
12.12. Определение. Гладкое отображение f: M-^-M' мно-
многообразия /И размерности п в многообразие М' размерности п' ^п
называется погружением, если (rank f)x = n для всех точек х^М.
Вложением называется погружение, гомеоморфно отображаю-
отображающее М на свой образ / (М). На рис. 21 изображено погружение R1
в R2, которое инъективно, но тем не менее не является вложением.
Стрелка показывает, что кривая бесконечно приближается, но
не достигает оси х.
Упражнение. Показать, что погружение всегда локально
инъективно.

ГЛ. 12. МНОГООБРАЗИЯ И БОРДИЗМЫ 269
12.18. Согласно предложению 11.45, любое векторное расслое-
расслоение над клеточным пространством имеет вид ?[R"] для подходя-
подходящего О (п)-расслоения |. Таким образом, если предположить, что
на М задана структура клеточного пространства (а это всегда
возможно для компактного
М), то слои расслоения т (М)
окажутся наделенными ска-
скалярным произведением, не- ________
прерывно меняющимся от
слоя к слою (оно называется Рис. 21,
римановой метрикой на М).
Если /: М -*¦ N — погружение, то т(/): т (М) ->¦ т (N) индуцирует
отображение расслоений Ф: х (М) -*¦ f*x (N) (см. предложение 11.25)
с ф хх \м. Обозначим через V/ ортогональное дополнение к ф (х(М))
в расслоении /*т (N). Таким образом, слоем расслоения v^ над
точкой х&М является ортогональное дополнение к т{М)х
в (f*x(N))x. Ясно, что х(М) 0 V/~/*t(jV). В частности, если
N = W+l!, то T(iV) = e"+* и, значит, т (М) © vt =~ еп+*. Другими
словами, в группе Kff(M) имеет место равенство {v/}s = — {х(М)}.
Отсюда следует, что класс стабильной эквивалентности расслое-
расслоения- V/ зависит лишь от М и не зависит от конкретного погру-
погружения f: М-+- R"+*. Этот стабильный класс называется стабильным
нормальным расслоением многообразия М; очень часто стабильным
нормальным расслоением к М называют любой представитель v
из этого класса.
Обозначим через D(yf) пространство расслоения на диски,
состоящего из тех векторов из V/, длина которых не превосходит 1.
12.14. Теорем а. Пусть М — компактное многообразие. Тогда
для достаточно большого числа k существуют вложение f: M ->• R"+ft
и гомеоморфизм h: D (v/) -»¦ U на окрестность U образа f (M) cz Rn+h,
удовлетворяющие следующему условию: если i: M -*~ E (vf) — нулевое
сечение расслоения vf (i(x) = 0 в (vf)x), то h>i = f. Кроме того,
если f: M->R"+ft и п': D(v/<)->- U' — другие вложение и гомеомор-
гомеоморфизм, удовлетворяющие тому же условию, то существует изотопия
Н: Rn+ft х /-> R"+ft (каждое отображение fit — диффеоморфизм,
Окрестность U, участвующая в этой теореме, называется
трубчатой окрестностью образа вложения f(M) в jR"+ft. Замеча-
Замечательным свойством трубчатой окрестности является наличие такой
деформационной ретракции г: U-*-f(M), что r°h = f°p (p: ?(v/)->-
М — проекция расслоения). Таким образом, локально U имеет вид
произведения VxDk, где V открыто в f(M).
Доказательство теоремы 12.14, а также формулируемой ниже
теоремы 12.17 можно найти в книге Ленга [45].
12.15. Определение. Пусть М— гладкое многообразней
N — такое подпространство в М, что для каждой точки xsJV

270 ГЛ. 12. МНОГООБРАЗИЯ И ВОРДИЗМЫ
найдется карта (U, Ф) в максимальном гладком атласе многообра-
многообразия М, содержащая х и удовлетворяющая условию Л/ f| U =»
Ф'1 (RkczRn). В этом случае Л/ называется (гладким) подмногооб-
подмногообразием размерности k (или коразмерности n — k) в М. Очевидно,
что семейство {(U f]N, Ф \ U |~| N)} образует атлас для N, если
рассматривать <j>\Uf\N как отображение из Uf\N в |Rft. Таким
образом, /V является гладким многообразием размерности k. Без
труда проверяется, что включение i: N-*-M является вложением;
более общо: если f: М' -*М — вложение, то f(M') — подмного-
подмногообразие в М.
12.16. Определен ие. Пусть N — подмногообразие в М'
и /: М -*-М' — гладкое отображение замкнутого многообразия М
в Qi'. Говорят, что / трансверсально регулярно на N, если для
каждой такой точки х<=М, что 7 (*) s N, имеет место равенство
Например, если dimAJ + dimiV<;dimAJ', то f трансверсально
регулярно на N тогда и только тогда, когда f(M)[)N = (f). Если
М — многообразие с краем, то требуют, чтобы f было трансвер-
трансверсально регулярным как в М — дм, так и в дМ.
12.17. Теорема. Если отображение/: М-*¦ М' трансверсально
регулярно на N, то /-1 (N) является подмногообразием в М, причем
6f1N 6, т. е.
dim М - dim /-1 (N) = dim M' - dim N.
12.18. Теорема. Если N — подмногообразие в М' и f: М-+-
М' — непрерывное отображение, то существует гомотопное ему
гладкое отображение?': М-*~М', трансверсально регулярное на N.
Теоремы 12.14, 12.17 и 12.18 играют важную роль в доказа-
доказательстве теоремы 12.30 Тома.
В 1946 году Стинрод поставил следующую проблему. Пусть
X — топологическое пространство и х<~Нп(Х; Z) — некоторый
класс гомологии. Существуют ли гладкое ориентированное замк-
замкнутое многообразие М размерности п с фундаментальным классом ')
гм s Hn (M; Z) и непрерывное отображение /: М ->¦ X с /„ {гм)=х?
Другими словами, можно ли представить произвольный цикл
в С (X) непрерывным образом замкнутого гладкого многообразия.
Тот же самый вопрос можно задать для Жг-гомологий и неориен-
неориентированных многообразий. Кроме того, Стинрод спрашивал, какие
замкнутые гладкие (ориентированные) многообразия являются
краями гладких (ориентированных) многообразий? В 1954 г. Том
заложил основу для решения втих проблем, введя на множестве
х) Мсщно показать, что для лцобого замкнутого л-мерного многообразия V
имеет Mecfo изоморфизм Нп (М; Z) ai Z. и образующая этой группы называ-
называется фундаментальным классом. — Прим. ред.

ГЛ. 12. МНОГООБРАЗИЯ И БОРДИЗМЫ
271
м
замкнутых гладких (ориентированных) многообразий отношение
бордантности [78]. Кроме того, он полностью классифицировал
неориентированные много-
М1.
образия с точностью до
бордантности.
Говорят, что два замк-
замкнутых гладких л-мерных
многообразия М, М' бор-
дантны, если существует
такое компактное (п-\-1)-
мерное многообразие W
с краем dW, что dW =
=>М[)М', где через О
обозначено несвязное объединение М и М' (рис. 22). После
появления работы Тома понятие бордизма было применено рядом
авторов (Милнор, Новиков, Уолл и др.) к многообразиям с раз-
различными дополнительными структурами, что привело к новым
теоремам классификации. Опишем здесь некоторые из них.
Обозначим через X систему, состоящую из семейства тополо-
топологических пространств Ха и строго коммутативных диаграмм
Рис. 22.
отображения /„ в которых являются расслоениями.
12.19. Определение. Х-структурой на гладком многооб-
многообразии М называется пара (h, v), состоящая из вложения h: M -*¦
Kn+k с нормальным расслоением, классифицируемым отображением
v: M->BO{k), и поднятия v: M-^Xk отображения v:
(Вложение h: M->• Rn+k определяет отображение vA: Л1-»-О
ВО (k), получающееся параллельным переносом нормальных
гиперплоскостей к М. Если Т: Rn+k -*• R"+* — некоторый парал-
параллельный перенос, то vr.A = vA.) Х-структура {h, v) определяет
семейство пар (hm, vm), m^k, с vm = Blm-x-Bim-2°--.'Bik'V:
M-+BO(m), vm = gm-i°...-gh'v: M-+Xm и hm*=i°h: M^-Rn+m.
Две Х-структуры (Л, v) (с v: M-+BO(k)) и (/i\ v') (c v': M->
BO(k')) называются эквивалентными, если найдется такой номер

'272 ГЛ. 12. МНОГООБРАЗИЯ И БОРДИЗМЫ
(, k'), что /iv- = r°V для некоторого параллельного
переноса Т: R"+*" -»- R"+ft", и существует послойная гомотопия
Vfc-^^Vfc». (Последнее условие означает, что гомотопия Я: М х/->
Xfc», связывающая поднятия v^» и vk~, удовлетворяет для всех is/
соотношению fk"°Ht = Vk"-) X-многообразием называется гладкое
многообразие М с классом эквивалентных Х-структур на нем.
Замечание. Конкретные отображения /* играют в атом
определении существенную роль; если заменить fh гомотопными
отображениями f'k, мы получим, вообще говоря, неэквивалентные
Х-структуры.
Будем считать, что многообразие W с краем dW вложено
в Rn+*+x так, что W лежит в положительном полупространстве
КМ-*+1 = {хеКя+*+1: Хг^О} и dW с R"+* =. {* е= R**+1: *i = 0}.
Если (h, v) — некоторая X-структура на W и i: 5W7 -»¦ W — есте-
естественное вложение края, то отображение v • i определяет нормаль-
нормальное расслоение к dW в R"+ft. Таким образом, (h>i, v»i) является
Х-структурой на dW, называемой индуцированной Х-структу-
рой.
12.20. Определение. Пусть М, М' — гладкие многообразия
с Х-структурами (h, v), (A', v') соответственно. Отобраоюением
Х-многообразий называется такое гладкое отображение /: М-+М',
что h' 'f="T °h для некоторого параллельного переноса Т и
v'./~v (где ~ обозначает гомотопию над v'»/ = v).
Соглашение. Для любого пS*0 будем рассматривать пустое
множество 0 как гладкое многообразие размерности п. Многооб-
Многообразие ф обладает единственной Х-структурой.
12.21. Определение. Пусть Ми М2 — два замкнутых
Х-многообразия размерности п. Многообразия ML, М-г называются
Х-борданпгными (обозначение Mi^xM^), если существуют (п + 1)-
мерные компактные многообразия Wi, W2 с Мi U dWi ?^ М.2 0 dW2,
где 3W1( 3W2 наделены индуцированными Х-структурами и через
U^V обозначен Х-диффеоморфизм /: U-+V-
12.22. Лемма. Отношение ~х является отношением эквива-
эквивалентности.
Доказательство, i) Очевидно, что Mi\jd0 9^Мг \}дф\
следовательно, Мг ^х Мх.
п )М1{} dWi ^ М2 U dW2 => Мг 0 а^2 ^ Mi О 3W7!.
iii) Если Mi О <ЭН?1 ^ М2 0 dWt и М2 0 dW^ ^ М3 0 3\^8, то
М3 U ar2 U dWs = М3 О д (W2 U И78). ?
Обозначим через Q;? множество классов Х-бордантных замк-
замкнутых n-мерных Х-многообразий, п5*0.
12.23. Лемма. Операция 0 взятия несвязного объединения
индуцирует на Q* операцию суммы +, относительно которой Q*

ГЛ. 12. МНОГООБРАЗИЯ И БОРДИЗМЫ 273
является абелевой группой, n'SsQ. Класс {ф} определяет нулевой
элемент в Й».
Доказательство. Пусть Mi\jdW1^Mi\jdW2 и N
s. Тогда
U JVi 0 д (W! U ?Л) = (Mi U dW,) U (#i U at/i) ^
(М, 0 d№2) U (JVi U ЭД = М2 0 iVa 0 5 (W, U
Положим {М} + {N} = {М 0 W}. Из сказанного выше очевидно,
что операция + корректно определена, ассоциативна и коммута-
тивна. Кроме того, {М} + {0} = \М\ для всех М.
Пусть теперь задано Х-многообразие М с вложением
h: M-+- Rn+*. Построим вложение М х 1 в RnJrk как композицию
вложения М(=МхО) и такого параллельного переноса, что
образы Л!хО и Mxl не пересекаются. Очевидным образом про-
продолжим эти вложения до вложений Мх[0, 1/4], Мх[3/4, 1]
в К++* + 1. Вложения М X l/4-^R^.+* + 1 и М x3/4-vR++* + i
изотопны, поэтому можно найти отображение Мх[1/4, 3/4]->¦
R4-+A + 1, реализующее изотопию между ними. Эту изотопию можно
деформировать во вложение ге1УИх{1/4, 3/4}. Таким образом, мы
получаем вложение произведения Mxl в R++fe+1, совпадающее
на МхО с данным вложением h. Поскольку fk: Хк-+ВО (k) —
расслоение, то нормальное отображение v': MxI-^-BO(k) имеет
поднятие v': М х / -*- Xk. Тогда М х 0 {] М х 1 = д {М х /) или,
другими словами, {М}-{-{Мх 1} = 0. ?
12.24. Примеры. 1) Пусть X =50 = {SO(n)}, /„: Хп-г
ВО (п) — тождественные отображения и gn = Bin. В результате мы
получаем группы неориентированных бордизмов ?}°. (Том обозначал
их через ®4/'^). Любой ненулевой элемент в Q0 имеет порядок 2,
так как в неориентированном случае д(М xI)^M[) M.
2) Пусть.X = BSO^{BSO(n)} с отображениями /„: Хп-+В0(п),
индуцированными вложениями /„: SO(n)-+O(n). В этом случае
мы приходим к группам ориентированных бордизмов Qf° (Q^
в обозначениях Тома)^ Обратным к классу \М) е й^° служит
класс \Щ, где через М обозначено многообразие М с противо-
противоположной ориентацией; в самом деле, два края произведения
Mxl имеют противоположные ориентации (рис. 23).
3) Группа SO(n) не односвязна: niE0(n), l) = Z-,>- Поэто-
Поэтому 50 (п) обладает двулистным накрытием, которое также является
группой Ли и называется спинорной группой Spin(n). Проекция
Рп. Spin(n)^>-S0(n) индуцирует отображение Bpn: BSpin(n)^-
BS0(n), которое может быть выбрано расслоением. Положим
Х„ = BSpin (л) и fn = Bjn • Врп: Хп -*- ВО (п). В результате полу-
получаются группы спинорных бордизмов Q?p'".
4) Пусть X=BU, где Xta-Bt/(n) = Xte+1, n^O, f2n: Xin^
В0Bп) — классифицирующее отображение для универсального

274
ГЛ. 12. МНОГООБРАЗИЯ И БОРДИЗМЫ
Х3
расслоения yn-+BU (п), рассматриваемого как вещественное рас-
расслоение, и /гч+1: Хгп+г-*ВО Bп-f 1) — классифицирующее отобра-
отображение для уп 0 е1, рассматриваемого как ОBп +1)-расслоение.
В результате получаются группы унитарных бордизмов Q%.
5) Аналогичным образом, взяв Xin — BSU (л) = X2n+i, мы
получим группы Q%u.
6) Если положить Xin = Xin+i = Xin+i = Х4л+з = BSp (л), то по-
получаются группы симплектических бордизмов Щр.
7) Наименьшей подгруппой группы О(п) является G = {1}.
G-структура на расслоении — это выбор конкретной тривиализации
этого расслоения. Очень
часто расслоения с задан-
заданной на них G-структурой
называются оснащенными.
В качестве классифици-
классифицирующего пространства
ВС? (л) можно взять стяги-
стягиваемое тотальное простран-
пространство ЕО(п) универсально-
универсального главного О (м)-расслое-
ния. Если положить Х„ «=
= ?0 (п) и в качестве /„:
Х„->-50(л) взять проекцию рп: Е0{п)^>~В0{п), мы получим
группы оснащенных бордизмов &f*. На примере оснащенных мно-
многообразий, пожалуй, легче всего понять, какую роль играют в оп-
определении .Х-структуры послойные гомотопии. Так как ?0 (л) стя-
стягиваемо, то разрешив произвольные гомотопии, мы получили бы,
что все оснащения эквивалентны, т. е. что Q* — 0. Но, как мы
позже увидим, группы Qjf имеют очень сложную структуру.
8) Пусть хе№(ВО; 2г) — произвольный класс когомологий и
Рис. 23.
хп
(ВО (n); Z.)
— его ограничение на пространство В0(п). Обозначим через
Лл: ВО(п)->#(Z2, с() отображение, представляющее класс хп.
Пусть fn- В (х)„-*- ВО (л) — расслоение, индуцированное из рас-
расслоения путей РН (Za, <?)-*- Н (Za, q) при помощи отображения/г„:
—" ph&xS
f.\ h V
BO(n) —"-+ Щ12,д).
Взяв Xn**B(x)n, мы получим группы бордизмов Q?<*> Брау-
дера [26].

ГЛ. 12. МНОГООБРАЗИЯ И БОРДИЗМЫ 275
В книге Стойга [76] читатель найдет много других примеров
бордизмов1)
Итак, мы свели проблему классификации многообразий с точ-
точностью до бордантности к вычислению групп Q*. Впервые такие
вычисления были проделаны Томом для X = ВО. Том показал,
что группы Q* изоморфны гомотопическим группам я, (МО) неко-
некоторого спектра МО. Оказывается, такой изоморфизм имеет место
и в общем случае. Поэтому теперь мы займемся описанием спект-
спектров Тома MX.
12.25. Определение. Пусть | — векторное расслоение раз
мерности п над клеточным пространством X. Можно считать, что |
является О (я)-расслоением и, значит, обладает скалярным произ-
произведением на слоях Обозначим через D (|) ассоциированное с 1
расслоение на диски, состоящее из тех векторов в слоях из |, длина
которых не превосходит 1. Аналогичным образом обозначим через
S (I) ассоциированное с | расслоение на сферы. Если | = т)[Кл]
для некоторого главного О(я)-расслоения ц, то D(l)^r\[Dn],
S(l)~t\[Sn-1]. Если ?D(|) и ES(!) — тотальные пространства
D (?) и 5 (I), то ES (I) с ED (?). Положим
и пусть п: ED (§) -*¦ М (|) — естественная проекция.
12.26. Лемма. Пусть X — клеточное пространство с клетками
\е™\ a^Jm, m^s—\\. Тогда на М A) может быть задана струк-
структура клеточного пространства с клетками [ё™ + п: asJm, m3s— 1}.
Доказательство. Предположим, что мы уже построили
(fc-f я)-мерный остов М (|)ft+n = np~l {X") {М (g)"-1 = *). Пусть
/* + 1: (Dk+l, Sk) ->¦ (Xk+1, X*) — характеристическое отображение
клетки е* + 1, ае/м. Рассмотрим расслоение на диски (/?+')* (D(l))
над D*+1. Так как диск D*11 стягиваем, то все О (л)-расслоения
над D*+1 тривиальны и, следовательно, найдется тривиализация
(/* + ')* (D(I)), т. е. такое отображение f^+l: DMxDn->-ED(?,)
с р ^* + 1 =/* + 1 'PDk+i, что J^ + ' —гомеоморфизм на каждом слое.
Если обозначить через /?+1 композицию
^ D*+i у Dn -i-. ?D (?) -5. УИ (|
? (S*+") c: M (|)&+«, /a+' (D*-»«) с р () ^
морфизм на ?>*+л+1. Таким образом, можно взять ^* + л + 1 =
то ?* +' (S*+") c: M (|)&+«, /a+' (D*-»«) с яр-1 (X*+x) и ^ +' - гомео-
гомео!) Там они названы кобордизмами. На самом деле, как мы увидим ниже,
имеется спектр MX, так что возникают теории гомологии и когомологий,
называемые соответственно теориями бордизмов и кобордизмов. Описанные выше
группы суть группы коэффициентов этих теорий, так что их можно считать и
бордизмами, и кобордизмами. Однако, например, группа пп есть Qn(pt) =
Q''1 ipt), поэтому мы предпочли говорить о бордизмах, — Прим. ред.

276 ГЛ. 12. МНОГООБРАЗИЯ И БОРДИЗМЫ
/a+1 (Z)*+"+1). Без труда проверяется, что внутренности множеств
gk + n + i He пересекаются друг с другом и с (fc + л)-мерным осто-
остовом М (?)*+« и что М (?)*+л+1 = М*+я U U ёа+п + ] наделено сла-
бой топологией. Следовательно, структура клеточного простран-
пространства на М (?) может быть построена индуктивно. ?
12.27. Определение. Пространство М(?) называется про-
пространством Тома расслоения |. Если /: |-*-т) — отображение
О(л)-расслоений, то f (ED (?)) cz ED(tj), /(?5 A)) c= ES (tj), так что /
определяет отображение М (/): М (|) -*-_М (т)). Очевидно, что
M(j-g) = M(f)°M(g), МA)=1. Если /: X -»- Г - отображение
баз, индуцированное отображением расслоений /: |->т], то мы
иногда будем писать М (f) вместо М (/), рискуя навлечь на себя
обвинение в неправильном употреблении обозначений.
12.28. Предложение. Пусть |, х\ — векторные расслоения
с базами X, Y соответственно. Тогда существует естественный
гомеоморфизм
Доказательство. Имеет место очевидный гомеоморфизм
Dnx,Dm<^DnJrm. Слоем расслоения | х ц над точкой (л:, j/)sXx7
является пространство ixxv\y, поэтому мы получаем гомеоморфизм
D(g)xxD(r))y^_D(lxr])ix,y). Отсюда, в свою очередь, следует
гомеоморфизм D(I;)xD(t])^D(?xt}), при котором D(|)x5(t])U
5(g)D() отображается на S(?xt]). Таким образом,
п
Обозначим через е" тривиальное n-мерное расслоение над точ-
точкой х0. Из сказанного выше очевидно, что УИ(ел)^5п. Так как
для любого векторного расслоения | над X сумма Уитни |©е"
есть не что иное, как расслоение ?хе" над Ххх0, то
12.29. M(i9e")=M(IX8n)=M(|)/\М(г»)^М'A)f\Sng*SnM{Z,).
Пусть теперь Х = {Хп, gn, /„} — система, определенная в п. 12.19,
и юп — универсальное О (л)-расслоение над ВО (л). Над Хп мы
имеем расслоение уп — !%ч>п и
gnYn+i ¦= gift + i®»+i ^ /* E/„)* (о„+1 ^f* (©„фе1) ~
/:*юлфе1
Таким образом, gfn индуцирует отображение расслоений
и, следовательно, отображение
M(gn):

ГЛ. 12. МНОГООБРАЗИЯ И БОРДИЗМЫ 277
пространств Тома. Клеточные пространства МХп = М(уп) и ото-
отображения SMXn-^МХщл определяют спектр (см. предложение
8.3), который мы будем обозначать через MX. В частности, мы
имеем спектры Тома МО, MSO, MSpin, Mil, MSU, MSp и
MB (x), xe№ (BO; Z2)- Легко видеть, что для G = {1} cz О спектр
MG гомотопически эквивалентен спектру 5°.
12.30. Теорема (Том). Q» S* я* (MX).
Набросок доказательства. Прежде всего опишем гомо
морфизм Ф: Qn -*-яп(МХ). Пусть дано замкнутое гладкое л-мер-
ное многообразие М с Х-структурой (h, v), где h: M -> R"+ft — вло-
вложение. Мы должны построить гомотопический класс отображений
fM: 2"S°->-AfX. Рассмотрим S"+* как одноточечную компактифи-
кацию евклидова пространства |R"+* и рассмотрим расслоение на
диски D (v), ассоциированное с нормальным расслоением к М
в R"+ft, как трубчатую окрестность М в 5"+* —{s0}. Тогда можно
определить отображение g: Sn+k-*-M(v), полагая g\D(v) = n, где
я: D (v) -> M (v) — естественная проекция и g Eл+& — D (v)) = *.
Мы имеем также М (v): M (v) -*¦ М (X/,), причем композиция M(v)°g
— это отображение fM: (Sn+k, so)->(MXft, *). Поэтому положим
Из построения Ф очевидно, что оно корректно определено на
множестве классов Х-диффеоморфности Х-многообразий.
Пусть теперь (М, h, v) и (M't h', v') —два Х-многообразия.
Если Т: R"+ft -»- Rn+k — параллельный перенос, то вложение Т - h
имеет то же самое классифицирующее отображение v для своего
нормального расслоения, что и h. Значит, (М, T'h, v) эквива-
эквивалентно (М, h, v), и мы можем по желанию заменять h на T'h.
В частности, мы можем считать, что h' (M') [\ h (M) = 0 и, более
того, что К (М") содержится в нижней полусфере Н"-*~к, a h(M) —
в верхней полусфере Н++к сферы 5П+*. Если мы теперь выполним
описанную выше процедуру построения отображения fM*M, для
несвязной суммы М\]М', то экватор Sn+* стянется в точку, и
легко видеть, что [!М^МЛ -={[м} + {}м'}-
Пусть теперь W — некоторое Х-многообразие с краем. Мы можем
рассматривать вложение W ->-|R+"r* + 1 как вложение в 5Л+*х[0, 1),
при котором край 6W вкладывается в 5л+*х0. Выполним конст-
конструкцию, аналогичную описанной выше, стягивая дополнение
к трубчатой окрестности W в Sn+kxl в точку. В результате мы
получим такое отображение Я: Sn+k х/ -> AfXA, что H0 = fdwt
#j = *. Таким образом, {[dw} = 0 e л„ (ТИХ).
В частности, отсюда вытекает, что {fM^dw} = \!м) + {fow} = {Ы}-
Поэтому, если М~ХМ' или, другими словами, М \jdW ^ M' \JdW

278 ГЛ. 12. МНОГООБРАЗИЯ И БОРДИЗМЫ
-для некоторых многообразий W, W, то \fm) = tfMydv) = {!м
Цм'}- Следовательно, Ф — гомоморфизм из Q* в л^(МХ).
Тот факт, что Ф — мономорфизм, доказывается следующим
•образом: на пространстве ED (<»;.) расслоения на диски D (а>к)
можно задать структуру гладкого многообразия; при этом ВО (к)
¦ можно считать замкнутым подмногообразием (нулевым сечением)
в E°D(a>k). Предположим, что элемент аеп,(МХ) представлен
отображением f: (S''2+;'\ so)-*-(/WX/,, *). Тогда М0ь — {*} является
образом ED(со,,) в М0к. Гомотопией отображения Mfk'f на
V ~ h1' (Mfk)-1 (МОi, — {*}) мы можем добиться, чтобы оно стало
трансверсально регулярным на ВО (k) cz ED (a>k). Поднимем эту
томотопию на ED(yh) a MXh, а затем продолжим ее до гомото-
пии всей сферы 5Л+*, посылая Sn+Ii — U в точку *. Пусть ? — ре-
результирующее отображение. Тогда M=g~1 • (Mfk)~l (ВО(k)) является
подмногообразием в Sn+" коразмерности п. Можно даже подобрать
такую трубчатую окрестность Т многообразия М в Sn+k, чтоg\T
послойно отображает Т в М (уа) — {*}. Таким образом, g индуци-
индуцирует Х-структуру на М, и без труда показывается, что Ф ({M})—{f}.
Доказательство эпиморфности гомоморфизма Ф проводится
аналогично. См. подробности в [76] или [78]. ?
Опишем, для полноты, структуру групп бордизмов Q*, Q* и
Q#°. Доказательства соответствующих теорем будут даны в главе 20,
где мы вычислим гомотопические группы л* (МО), я.,. (MU) и
л# (MS0). В каждом случае мы будем описывать п? как градуи-
градуированные кольца; соответствующие умножения определяются
в главе 13.
12.31. Теорема. Q° изоморфно кольцу полиномов Т,ъ[х2, xit хь,...]
с единственной образующей хп размерности п для каждого п, не
равного 2' — 1 ни при каком t ^ 0. В качестве образующих *2а
могут быть взяты классы {RP2*}, &^sl.
Описание многообразий, представляющих нечетномерные обра-
образующие, более сложно. Впервые такие многообразия были скон-
сконструированы Дольдом в [33].
12.32. Теорема. Q* изоморфно кольцу полиномов Ъ\х%, xit хв,...]
й б 2k д д kl
р рф цу \
с единственнной образующей дг2* размерности 2k для каждого
Если k — p — \ для некоторого простого р, то в качестве xik могут
быть взяты классы {©/"¦'}.
12.33. Теорема. й*° имеет лишь 2-кручение и Q|°/torsion
изоморфно кольцу полиномов Z [х», Хц> ¦ • •] с единственной образую-
образующей Хы размерности Ak для каждого k^l.
Кроме й?, Q^ и fif° полностью вычислены градуированные
кольца Qiu и Qfp'", что же касается симплектических коборднз-
мов Q*p, то в настоящее время о них известны лишь отдельные
результаты. Для оснащенных кобордизмов известен изоморфизм

ГЛ. 12. МНОГООБРАЗИЯ И БОРДИЗМЫ 279
Q* ^я* E°) = я|, где я* — стабильные гомотопические группы
сфер. Этот результат был получен Понтрягиным за несколько лет
до основополагающей работы Тома о кобордизмах.
Разумеется, коль скоро нам задан спектр, мы получаем тео-
теории гомологии и когомологий Таким образом, мы имеем так
называемые теории бордизмов MX* (—) и теории кобордизмов
MX* (—) для различных спектров MX. С этой точки зрения сформу-
сформулированные выше структурные теоремы — не что иное, как описание
групп коэффициентов для этих теорий в случаях Х=ВО, BU и BSO.
Для любого пространства Y группы гомологии MXn(Y) допу-
допускают прозрачное геометрическое описание.
12.34. Определение. Сингулярным Х-многообразием ь У
называется пара (М, /), состоящая из замкнутого Х-многообра-
зия М и непрерывного отображения /: M->Y (ср. с определе-
определением сингулярного симплекса). Два сингулярных многообразия
(М, f) и (М1, Г) в Y называются Х-бордантными, если сущест-
существует пара (W, g), состоящая из компактного Х-многообразия W
с краем dW = М (] (—М') (знак минус перед М' в смысле груп-
групповой операции в й* х) и такого непрерывного отображения
g: W-+Y, что g\M=f, g\M'=f'.
12.35. Предложение. Группа Q% (Y) классов Х-бордантных
сингулярных п-мерных Х-многообразий в Y изоморфна MY
(MXA
Доказательство получается соответствующей переработкой до-
доказательства теоремы Тома 12.30.
12.36. Замечание. Согласно замечанию 7.69 мы обязаны
показать, что Q* удовлетворяет аксиоме слабой гомотопической
эквивалентности. На основании п. 7 71 для этого достаточно до-
доказать следующий факт: если Y «-связно для всех «2*0, то
?** (г/о) ->-Q* (Y) — эпиморфизм для всех j/цеУ. Но каждое ком-
компактное гладкое многообразие М имеет гомотопический тип кле-
клеточного пространства. Поэтому в силу теоремы 6.31 любое сингу-
сингулярное Х-многообразие /: M-+Y нульгомотопно и, значит,
Х-бордантно сингулярному многообразию М -v у0 -»¦ Y.
Упражнение. Показать, что в случае Х = В0 определение
Х-бордантности из теоремы 12.21 эквивалентно определению бор-
бордантности
ССЫЛКИ НА ЛИТЕРАТУРУ
1. Браудер [26]. 6. Манкрс [51].
2. Дольд [33]. 7. Милнор [54, 58].
3. Кервер, Милнор |40]. 8. Стонг [76].
4. Ленг [45]. 9. Том [78, 79].
5. Люлевичус |48]. 10. Уолл [35].
!) Точнее, знак минус обозначает противоположную Х-структуру на М'
ср. с доказательством леммы 12.23.— Прим. ред.

ГЛАВА 13
УМНОЖЕНИЯ
В предыдущих главах мы описали общие теории гомологии и
рассмотрели три важных примера таких теорий. При изучении
теорий гомологии полезно иметь в виду, что одним из основных
назначений их является перевод топологических задач на алгеб-
алгебраический язык. Например, теории гомологии позволяют свести
проблему существования или несуществования отображений /:
X -»- У с заданными свойствами к исследованию соответствующих
алгебраических морфизмов /*: &* (X)-*-k# (У). Поэтому неудиви-
неудивительно, что чем богаче алгебраическая структура на к„ (X), тем
k% более полезна для такого рода исследований. В настоящей
главе мы введем умножения, которые при подходящих ограни-
ограничениях для любого пространства X превращают к* (X) в кольцо.
В главах 17, 18 и 19 будет введена еще одна чрезвычайно полез-
полезная алгебраическая структура. Именно, мы превратим Е% (X)
в комодуль над некоторой алгеброй Хопфа, а Е*(Х) — в модуль
над двойственной к ней алгеброй Хопфа.
В начале данной главы мы покажем, как выразить Н*(Х; G)
и Я*(Х, G) через Н*{Х; Z) (теоремы об универсальных коэф-
коэффициентах) и как выразить Я*(ХхК; Z) через Я* (X; Z) и
Я„, (F; Z)- Техника, выработанная на этом пути, позволит нам
определить умножения на Я* (—; R) и Я* (—; R) для любого
кольца R. После этого мы несколько отклонимся от основной
темы и вкратце изложим конструкцию приведенного произведения
спектров, в результате чего окажется возможным задать умно-
умножения на Е% (—) и Е* (—) для произвольного кольцевого спек-
спектра Е
В главе 10 мы определили группы Я * (X; G) с помощью цеп-
цепного комплекса S* (X)(x)G. Поскольку Я* (X; Z) = H* (S* (Х))=
Я* (S* (X)(g)Z), то первым, наивным предположением могло бы
быть такое: Я* (X; 0)^.Н^{Х\ Z)(X)G. Этот изоморфизм в дей-
действительности имеет место для некоторых замечательных прост-
пространств, например, для X = S", X = <tPn или X=Y\Pn, n^O.
Однако для X = RP00 мы имеем
?,, Q = \J,
; Z) =
ц нечетно,
0, q четно,
в то время как
Hg(RP~°; Za)^Z4 для всех

ГЛ. IS. УМНОЖЕНИЯ 28*
Попробуем разобраться в этом явлении.
Для любого пространства существует естественный гомоморфизм
ц: H
задаваемый формулой
g<=G.
Без труда проверяется, что этот гомоморфизм всегда инъективен.
В то же время его коядро, вообще говоря, не тривиально. Для
того чтобы описать это коядро, нам понадобится немного гомо-
гомологической алгебры.
Пусть G —некоторая абелева группа. Если
— точная последовательность абелевых групп, то последователь-
последовательность
О -у A (g) G ф^ В (g) G«®i С (х) G -> О
не обязательно точна, так как гомоморфизм Ф <g) 1 перестает быть
инъективным. Например, если тензорно умножить на Ъг точную»
последовательность
-v Z —¦ Z —*¦ Za -*¦ (J,
то результирующая последовательность
уже не точна, поскольку Z2-^Z2 — не мономорфизм. Исследова-
Исследование ядра гомоморфизма Ф(g) 1 приводит к новому функтору Тог.
Для произвольной абелевой группы А всегда можно найти
точную последовательность
в которой R, /' — свободные абелевы группы. Например, в каче-
качестве F можно взять свободную абелеву группу, порожденную»
элементами аеЛ, а в качестве E — однозначно определенный:
гомоморфизм $(а) = а для всех as А. Положим тогда ?? = kerp
и возьмем в качестве a: R-+F очевидное вложение. Определим
группу Тог (Л, О) как ker(a(g)l). Другими словами, имеет места
точная последовательность
0->Тог(Л, G)-*-R®G<*&>F®g№±A®G-*'O.
К сожалению, из этого определения не ясно, что Тог (Л, G)
не зависит от выбора R, F, а, р. Сейчас мы это докажем.

282 ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
13.1. Лемма. \) Пусть
— две короткие тонные последовательности, в которых R, F, Rr
и F' — свободные абелевы группы. Тогда для любого гомоморфизма
Ф: А-*-А' существуют такие гомоморфизмы г|>: F-+F', 6: R-*-R\
что диаграмма
коммутативна.
и) Если (9', •»!/) — еще одна пара таких гомоморфизмов, то суще-
существует гомоморфизм у: F-*-R', для которого а' • у = г|/ — г|) и
Yoa = e'-e.
Доказательство, i) Пусть {/й: цеМ), {rv: veiV} —
базисы групп F н R соответственно. Так как Р'—эпиморфизм,
то для каждого цеМ найдется такой элемент f'^^F', что
Р' (f'v) — Ф$ (/ц)- Зададим гомоморфизм tip, полагая -ф (fv.) = f'u.> Ц^М.
Очевидно, что этим условием а|) определен однозначно и правый
квадрат диаграммы является коммутативным. Далее, для каждого
ve/V имеют место равенства
а поскольку нижняя строка точна, то найдется такой элемент
r'v^R', что a'(/-v) = i|xz(rv). Зададим гомоморфизм 8, полагая
8(rv)=rv, veiV. Как и выше, это условие однозначно опреде-
определяет 9 и левый квадрат диаграммы оказывается коммутативным,
и) Пусть теперь (9, а|)), (8', i|/) — две пары таких гомомор-
гомоморфизмов и {/ц}—базис группы F. Для каждого цеМ мы имеем
Р' (+' - Ч>) (/и) - Р V (/„) - РЧ (/и) = *« (М ~ Ф« tfiO = 0.
Следовательно, существует такой элемент г^ е i?', что а' (г'и) =
(tJj'— a|))(/,i). Обозначим через y: F-*-R' единственный гомомор-
гомоморфизм, для которого у(/ц) = Гц, ji еМ. Тогда а' • у = i|/ — if. Кроме
того, мы имеем
«'•ya = (i|)/— \|j)-a = a'.(S' — 8).
Поскольку а' — мономорфизм, то отсюда следует, что у • a =
e'-e.D
13.2. Мы можем рассматривать последовательность

ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
как цепной комплекс С* (Л), для которого
( F, <7 = 0,
СЛА)"
R, <?=!,
О,
В этих терминах
Лемма 13.1 утверждает, что каждый гомоморфизм ф: А-*-А'
индуцирует цепное отображение С* (Ф): С* (А)-*-С* (А'), которое-
не является единственным, однако единственно с точностью дс*
цепной гомотопии. Следовательно, Ф однозначно определяет
гомоморфизм
Тог(<*>, 1): Тог (Л, G)-vTor(/T, G),
а именно:
Из определения очевидно, что ТогAд, 1) = 1тог(/, о и что для1
гомоморфизма Ф': А'-*¦ А" мы имеем
Тог(Ф', 1).'Тог(Ф, 1) = Тог(Ф'.Ф, 1).
Полагая Ф==1л==Ф', мы видим, что группа Тог (Л, G) не зави-
зависит (с точностью до изоморфизма) от выбора цепного комплекса-
С* (А), называемого свооодной резольвентой группы А. Без труд»
проверяется, что Тог (—; G) является функтором для фиксирован-
фиксированной группы G
Любой гомоморфизм ф: G-+G' индуцирует коэффициентный»
гомоморфизм (см. п. 10.5)
A ® ф),: Hi (С* (Л) ® G) -* Я, (С* (Л) ® G'),
который мы будем обозначать как
ТогA, у): Тог (Л, G)-+Tot(A, G').
Ясно, что Тог (Л, —) является функтором для фиксированной-
группы Л.
13.3. Предложение. Функтор Тог обладает следующими
свойствами:
\) если А —свободная абелева группа, то Тог (Л, G) = 0;
И) если G — свободная абелева группа, то Тог (Л, G) = 0;
Hi) Tor (Л, G)^Tor(G, А) для всех A, G;
iv) если 0 —>-Л->б->-С-»-0 — короткая точная последователь
ность, то для каждой абелевой группы G имеет место длинная

284 ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
точная последовательность
О ->¦ Tor (Л, G)-vTor(fi, G)-vTor(C, G)-»-
Л <g) G ->- В (g) G ->- С <g) G -+¦ 0.
Доказательство: i) Если Л — свободная абелева группа, то
является свободной резольвентой для А и Тог (Л, G) =
ker(a(g)l) = 0.
ii) Если G —свободная абелева группа, то A(g)G=®А и
т. д. Но прямая сумма точных последовательностей также
является точной последовательностью.
ш) Пусть
— свободные резольвенты групп А и G соответственно. Поскольку
A(g)G = G (х) А, то изображенная ниже коммутативная диаграмма
имеет точные строки и столбцы:
О
О 0 Тог (G, А)
I I
0 -v Toi(A,G)
I I I
I I I
i I I
0 0 0
Используя диаграммный поиск, мы получаем гомоморфизмы
ф: Тог (Л, G)->Tor(G, Л)
и
ip: Tor(G, Л)->Тог(Л, G),
обратные друг другу.

ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ • 285
iv) Пусть С, (G) — цепной комплекс, соответствующий свобод-
свободной резольвенте группы G. Поскольку комплекс С* (G) свободен,
то из свойства и) вытекает, что
О -»- С* (G) (g) А -> С* (G) (х) В -*- С* (G) (х) С ->¦ О
является короткой точной последовательностью цепных комплек-
комплексов. Поэтому точная гомологическая последовательность вместе
с изоморфизмом Hi) дают желаемую точную последователь-
последовательность iv). ?
13.4. Упражнение. Показать, что функтор Тог коммути-
коммутирует с dirlim и ф, и вывести отсюда, что Тог (Л, 5) ?ё
Тог(Т(Л), Т (В)), где через Т (А) (соответственно, Т (В)) обоз-
обозначена периодическая подгруппа группы А (соответственно, груп-
группы 5).
13.5. Теорема (об универсальных коэффициентах). Для лю-
любого свободного цепного комплекса СЛ и любой абелевой группы G
имеет место естественная точная последовательность
Эта последовательность расщепляется, однако расщепление не
является естественным.
Доказательство. Мы имеем две точных последовательности
13.6. 0-+Zn{CJ->Cn±Bn-1{C,)-+0,
13.7. 0-»-B,(C,)-^Z«(C,)-»-//e(C,)-»-0f «eZ.
Поскольку Bn-i и Сп-1 — свободные абелевы группы, то в силу
предложения 13.3, i) и iv) последовательность
О -*- Zn (g) G -v Cn (8) G -^ Вл_10 G -v О
также точна. Таким образом, мы имеем короткую точную после-
последовательность цепных комплексов
О -> Z* ® G -v С* (g) G -^ В, (g) G -> О,
где d (8) 1 понижает степень на единицу, а дифференциалы из
Z#(8)G и B^^)G равны нулю Соответствующая точная гомоло-
гомологическая последовательность имеет вид
Д
и несложная проверка показывает, что д в этом случае есть не что
иное, как гомоморфизм i(g)l. Таким образом, мы получаем серию

ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
коротких точных последовательностей
O^coker(t(g) 1 )„->-#„ (С (g)G)->-ker(f(g) 1)„-1-»-0, neZ.
Последовательность 13.7 можно рассматривать как свободную
резольвенту группы Нп (С„). Значит, мы имеем точную после-
последовательность
О-vТог(Я. (С.), G)^B
откуда немедленно вытекает, что
ker (i <g) 1 )я_! э* Тог (Яя_! (С.), G).
Легко видеть, что отображение
есть не что иное, как определенный ранее гомоморфизм jx. Естест-
Естественность его также очевидна.
Для того чтобы построить требуемое расщепление, возьмем
какое-нибудь расщепление к: C^-^Z^ последовательности 13.6
(оно существует, поскольку В„ — свободный цепной комплекс). Тогда
композиция
отображает В (С* (§) G) в нуль и, следовательно, определяет
гомоморфизм
являющийся левым обратным к |х. ?
13.8. Следствие. Для произвольной топологической пары
(X, А) и абелевой группы G существуют естественная точная
последовательность
+Hn(X, A; G)-^Tor(Hn.1(X, A),
и не являющееся естественным расщепление
НЯ(Х, A; G)^Hn(X, Л)<8)С©Tor(//„-!(*, Л), G).
Выразим теперь Н* (X; G) в терминах групп гомологии Н^()
Когомологии определяются с помощью кофунктора Нот(—, G),
и этот кофунктор не сохраняет точные последовательности. Чтобы
убедиться в этом, достаточно применить функтор Ногп(—, Za)
к точной последовательности
0 17 ^ ГУ Г7 А

ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ 28?
В результате получается последовательность
О « ¦ Hom(Z,Z2) « Hom(Z,Z2) « ПотA2,1Д * О,
п \\г
гг 1г
не являющаяся точной. Поскольку такая же ситуация имела
место для функтора (g), то естественно предположить, что Нот
порождает некоторый производный функтор, аналогичный функ-
функтору Тог. Можно продолжить указанную аналогию и попытаться
построить -этот производный функтор тем же методом, как это
делалось выше для функтора Тог. Итак, возьмем свободную
резольвенту
О _*./?-?L/•-?¦/!-»-О
произвольной абелевой группы А и рассмотрим
О-*-Нот (Я, G)-*-Hom(F, G)
как коцепной комплекс
H6m(F, G), q = 0,
С* (А; С) =
Нот (Я, G), q=
О, ЧФ0, 1.
Тогда Н»(С*(А\ G))^HomM, G). Положим Ext (Л, G) «
ЯХ(С*(Л; G)). Таким образом, Ext (Л, G) = coker Horn (а, 1). Тот
факт, что функтор Ext не зависит от выбора свободной резоль-
резольвенты А, доказывается точно так же, как аналогичный факт для
функтора Тог.
Упражнение 13.4 объясняет, почему производный функтор
для 0 носит название Тог. Производный функтор для Нот на-
называется Ext, поскольку он тесно связан с расширениями абеле-
вых групп Пусть А и В — произвольные абелевы группы. Рас-
Расширением группы А при помощи В называется короткая точная
последовательность
O^fi-LC — A-*-0
с абелевой группой С (иногда эту группу С также, хотя и не
совсем правильно, называют расширением группы А при помощи В).
Расширения

288
ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
называются эквивалентными, если существует коммутативная
диаграмма
(разумеется, Ф является изоморфизмом). Обозначим через Е{А, В)
множество классов эквивалентных расширений группы Л при
помощи группы В. В множестве Е(А, В) можно таким образом
ввести операцию сложения, что оно превратится в абелеву группу.
Пусть элемент х е Е (А, В) представляется точной после-
последовательностью
и пусть
— свободная резольвента группы А. Тогда по лемме 18.1 най-
найдутся такие гомоморфизмы Фи Фй, для которых коммутативна
диаграмма
Гомоморфизм tf>2 s Нот (Я, В) определен по модулю подгруппы
im[Hom(F, 5) -v Нот (R, В)] и, следовательно, индуцирует эле-
элемент к.(х) <= Ext (А, В).
13.9. Упражнение. Показать, что элемент к(х) корректно
определен и отображение
к: Е(А, В) -v Ext (А, В)
биективно.
13.10. Теорема (об универсальных коэффициентах). Для
любого свободного цепного комплекса С и произвольной абелевой
группы G существует естественная точная последовательность
0-*-Ext (//._! (С,), G)
»Я" (Нот (С,, С))ц*
Нот (Яд (Сj, О)
0,

ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ 289
гомоморфизм ц* которой задается формулой
I*'{*}({*}) = * (г). МеЯ"(Нот(С„ G)), {г}еЯ,(С,).
Зта последовательность расщепляется, однако расщепление не
является естественным.
Доказательство. Поскольку комплекс В* свободен, то,
применяя к последовательности 13.6 функтор Нот(—, G), мы
получим точную (расщепляющуюся) последовательность
0-«-Hom(Z,, G)-<- Нот (С., С)ч-Нот (В„ G)-«-0.
Рассмотрим ее как короткую точную последовательность цепных
комплексов, считая, что Hom(Z#, G) и Нот (В*, G) снабжены
нулевыми дифференциалами. Результирующая точная последова-
последовательность групп когомологий имеет вид
...->Я" (Нот(С,, G))-vHom(Zn) G) Нот "' "¦
Нот(Вл, G)-*-//"+1(Hom(C,, G))-*...,
откуда получается серия коротких точных последовательностей
0->-cokerHom(i, 1 )„-!-> Я" (Нот (С„ G)) -v ker Нот (i, 1)„-»-0.
С другой стороны, последовательность 13.7 дает нам точную по-
последовательность
Hom(Zn, G)-(-Нот (ЯЛ(С#), GL-0,
откуда вытекает, что
cokerHom(i, I^^Ext (//„_i(C,)t G),
ker Horn (t, 1 )л ^ Нот (Яя (С.), G).
Остальные утверждения теоремы очевидны. П
13.11. Следствие. Для произвольной топологической пары
(X, А) и абелевой группы G существуют естественная точная по-
последовательность
Hn-^X, A), G)^Hn{X, A; G)^
Нот(Яя(Х, Л), G)-+0
и (не являющееся естественным) расщепление
На(Х, А; С)^Нот(Ял(Х, A), G) 0 Ext (Ял_1 (X, A), G).
Предлагаем читателю в качестве весьма полезного упражне-
упражнения вычислить группы ТогBЛ) Ът), Ext(Zn, Ът), Ext(Zm, Z)
для любых пит, найти с их помощью группы Я* (IR/3"; Zm),
Я* (RPn; Zm) и сравнить полученный результат с приме-
примером 10.22, iv).
Обратимся теперь к проблеме описания группы H^(XxY)
в терминах групп Яф (X) и Я* (Y). Решение этой проблемы естест-
10 Роберт М. Свитцер

290 ГЛ. IS. УМНОЖЕНИЯ
венным образом распадается на «геометрическую» часть (доказа-
(доказательство эквивалентности S^(XxY)c^Sit.(X)^St,(Y)) и алгеб-
алгебраическую часть (вычисление групп Н% (С* (g) С*)). Займемся
сначала алгебраической частью.
13.12. Определение. Пусть Л* и В,,—две градуированные
абелевы группы. Их тензорным произведением называется градуиро-
градуированная абелева группа Л*® В* о (Л* (§)В#)Л= 0 Л;® В/,
neZ. Аналогичным образом определяется Tor-произведение
групп Л* и В*: Тог (Л*, В^)п = ф Тог(Л^, Bf), /jeZ. Если
(С*, d) и (Ci, d') — два цепных комплекса, то определен новый
цепной комплекс (С*® С?, d®), где d&(a®6)=da(gN + (—\)pa(g)d'b
для а&Ср, b eCi. Заметим, что во втором слагаемом выраже-
выражения для *4> "меняются местами а и d". Элемент а имеет степень р,
гомоморфизм d имеет степень —1, так что мы получаем перед
новым членом знак (—1)р(-1) = (—\)р. Без труда проверяется, что
определенный таким образом гомоморфизм d% является дифферен-
дифференциалом (d®-d® = 0). В то же время, если бы мы опустили
знак (—1)р во втором слагаемом, то оставшееся выражение уже
не было бы дифференциалом. Всюду в дальнейшем, если не ого-
оговорено противное, мы будем придерживаться следующего согла-
соглашения. Если элемент степени р меняется местами с элементом
степени q, то перед получающимся таким образом членом ста-
ставится знак (—1)р*.
Следующая теорема (алгебраическая теорема Кюннета) выра-
выражает гомологии Н^(С^^)С^) через Н* (С#) и Я* (С*).
13.13. Теорема. Пусть С„. и С'* —два цепных комплекса,
один из которых является свободным- Тогда имеет место естест-
венная точная последовательность
[Тог (Я, (С,), ЯЛС*))]я-,->0.
Если оба комплекса С* и С* свободны, то эта последовательность
расщепляется, однако расщепление не является естественным.
Доказательство. Будем считать, что свободным является
комплекс С0; доказательство для случая свободного С* анало-
аналогично. Мы имеем точные последовательности
13.14. 0 -* Zn (С,) -> С„ -*- ?„-, (С.) -> 0,
13.15. 0-^В„(С*)- Zn(C*)^Hn(C*)-*0,
13.16. о-^ z,, (Q+с-^ ?„_!((:;)-> о,
13.17. 0-+B
Поскольку Bn-i (С*) — свободная абелева группа, то последова-
последовательность 13.14 расщепляется. Значит, она остается точной и

ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
после тензорного умножения на С»:
13.18. o-*z(
Будем рассматривать 13.18 как точную последовательность цеп-
цепных комплексов, предполагая, что на Z(C#)(g)C* и 5(C#)(g)Ci
заданы дифференциалы co(g)d', —to(g)d' соответственно, где
ы(а) = (—1)ра для a&Zp или Вр. Тогда получается длинная
точная последовательность групп гомологии
13.19. ...-я+1(.®;
я„ (z (с.) ® од-*яя(с,® од-*-...
Для того чтобы доказать теорему, нужно отождествить
^#(В(С„,)(8)С^), #*(Z(C.>)®C*) и д с более известными объектами.
Так как Z (С„) — свободная градуированная абелева группа,
то последовательность 13.16 остается точной и после тензорного
умножения на Z (С)
13.20. o-»-
Кроме того, мы имеем точную последовательность
13.21. 0-у Z (С*) ® В (ОД -у Z (С.) ® Z (ОД ->
Тогда из последовательности 13.20 вытекает, что
im (ш (g) d') == im A <g) d') ^ Z (C,) ® 5 (Q,
ker (cd (g) d') == ker A <g) d') ^ Z (C,) (g) Z (Ci),
откуда с помощью последовательности 13.21 находим, что
Н (Z(C NЪС')-кет{
Аналогичным образом,
Я* (В (С*) (g) Q ^ 5 (С,) ® Я, (Q.
Нетрудно проверить, что при этих отождествлениях гомоморфизм
превращается в гомоморфизм
i 0 1: В (С.) <g> Я. (Q -v Z (С#) ® Я* (CJ).
Таким образом, последовательность 13.19 ведает семейство корот-
коротких точных последовательностей
13.22. 0-^ сокег (I $ 1)„ -v Яя (С. <$ ОД -» ker (i ® l)^ -> 0.
Рассматривая теперь носледовательность 18.16 как свободную

292 ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
резольвенту группы Я„ (С*), мы получаем точную последо-
последовательность
13.23. О— Тог(Я.(С,),
Zn (С*) ® Нт (Q — Яя (С,) ® Нт (Q -*- О,
из которой немедленно вытекает, что
coker (i ® 1)„^[Я, (С J (g) Я* (С;)]л,
ker (г (8) 1)я-г е* [Тог (Я, (С*), Я* (С;))]*-!.
Предположим теперь, что комплекс Ci также свободен и пусть
к: C^->-Z(C^), к': Ci->-Z(C?) — расщепления последовательно-
последовательностей 13.14 и 13.16. Тогда ограничение к (g) к' на Z (С* (g> С*) опре-
определяет такой гомоморфизм
х-. г(С
что
X (В (С, (8) С)) с Im [5 (С,) ® Z (Q + Z (С,) ® 5 (С.)].
Следовательно, % индуцирует гомоморфизм
л. л. (с, <&о*;-> im [же,)®z(ca+z(C.) ® s
С другой стороны, из коммутативности диаграммы
® Z(Ci) -> 5(С#) ® Н(С1)
I I I
p.».—-,.
® B(C#) -»¦ #(C#) $
1 I
® Z(Ci) - ЩС*)
0 0 0
с точными строками и столбцами мы получаем точную после-
последовательность
в (с.) о z (Q+z (с,) (g) s (c;>—z (C
Таким образом, имеет место изоморфизм
? (С«) ® ^ (^*) ^ Н iC \
im [5 (С.) ® ZICU+Z (С*) ® В (ОД] = " (L *>

ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
293
Поэтому можно рассматривать X как гомоморфизм
я* (С, <g> О -*//, (С,) <g> я .(Q,
являющийся левым обратным для X. ?
Упражнение. Докажите соответствующий результат для
когомологий (для этого вам понадобится некоторое условие
конечности).
Займемся теперь геометрической частью нашего исследования,
а именно, доказательством того, что комплекс S* (X X У) цепно гомо-
топически эквивалентен тензорному произведению S^(X)®S#(K).
Для этого нам будет нужно построить цепные отображения
a: S
цепно гомотопически обратные друг другу. Мы докажем значи-
значительно более общую теорему о существовании таких отображе-
отображений. В дальнейшем эта теорема будет использоваться для изуче-
изучения умножений в произвольных гомологиях и когомологйях.
13.24. Определение. Пусть Ж — категория цепных комплексов
и цепных отображений nW — произвольная категория. Пусть М —
некоторое множество объектов из W (элементы М будут называться
моделями). Функтор F: %?-*-$? называется ацикличным на моделях
из М, если Hq(F(X)) = 0 для всех q>Q и Х^М. Другими
словами, функтор F ацикличен на моделях из М, если для любогв
X е М последовательность
9()9i(),()9(())
точна. Функтор F называется свободным на моделях из М, если
существует такое индексированное семейство В — {bj e F (Mj)},
j e J, где Mj е М, что для каждого Y е & индексированное
множество
множество
образует базис в F(Y).
13.25. Примеры, i) Пусть ^ = эГ' —категория всех топологи-
топологических пространств и непрерывных отображений и F=5^.: sT-уй1—
функтор, сопоставляющий с Хё/' его сингулярный цепной
комплекс 5„ (X). Положим М = {Ап: п^О}. Поскольку любой
симплекс А„, п^О, стягиваем, то Нg(F(Ап)) = Нq(А„) = 0, q>0,
п^О. Следовательно, функтор /г = 5# ацикличен на моделях из М.
Пусть 6„: Д„ -v Дя — тождественное отображение и 5 = {б„}яЭ=?.
Тогда для каждого Fe/"множество {F(/)(б„): f ehom^(Дл, Y),
«^0} = {/#(б„): f: Д„_>у _ отображение, п^О} = {/=: ДЛ->К,
п^0\ czS^CY) образует базис в 5* (У), так что /7 = 5!> свободен
на моделях из М.

294 ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
ii) Пусть ^ = ^"х^" — категория упорядоченных пар топо-
топологических пространств. Определим функтор F: ff-b-Sff, полагая
F(X, Y) = S*(XxY). Пусть
М = {(АЛ, Am): n, т^О}.
Так как произведение симплексов Д„ X Ат стягиваемо, то
Hg(F(An, Ат)) = Нд(АпхАт) = 0, q>0, n, т^О, и, значит,
функтор F ацикличен на моделях из М. Обозначим через б„: Дп->
Д„ХД„ диагональное отображение. Тогда 8п е5я(Д„Х Дя), и для
каждой пары (X, Y) е ^ множество
[FV, В) (&«У- (Л g) shorn*((Ля, A»), (X, Г)), rc=sO} =
($»): (f, g)shom^((An, Ал), (X, Г)), п^0} =
образует базис в 5ж(ХхК). Следовательно, F свободен на мо-
моделях из М.
Ш) Пусть ^" —та же категория, что и в предыдущем примере,
а функтор G: 'Ш ~*-Ж задается равенством
G(X, F) = 5#W(8M!|l(Vr)-
Если взять в качестве М множество из примера ii), то
© Я, (Дя) (g) Я, (Ат) 0 0 Тог (Я, (Д„), Я, (Ат)) = О
+ +1
для всех <? > 0, п, т ^ 0 (здесь мы воспользовались теоре-
теоремой 13.13). Таким образом, G ацикличен на моделях из М.
Кроме того, для каждой пары (X, Y) множество
{G(f, г)(в«®в«): (/. g)ehom^((An, Am), (X, У)), n, m^0} =
®6т): (/, §)^Ьоту((Дл, Дт), (X, Y)), п,т^0}~
: f: An^X, g: Am-*Y, n, m^O} cS, (X) <g) 5
является базисом для 5^. (X) (х) 5# (У). Следовательно, функтор G
свободен на моделях из М.
13.26. Теорема. Пусть W — некоторая категория и
F, G: сё' ^&С — такие функторы, что F свободен на моделях из
MczW, a G ацикличен на моделях из М.
i) Для каждого естественного преобразования ф: H0{F(—))->
Но @(—)) существует такое естественное преобразование Ф#\ F-*-G>
что коммутативна диаграмма
Ft(X) -> F0(X) -> H0(F(X))
U(X)
G0(X) -+ HQ(G(X)X

гл. 13. умножения 295
ii) Если Ф'#~ещг одно такое естественное преобразование, то
существует цепная гвмотопия Ф9: Fq(—)->-О?+1(—), ^^=0, для
которой
1°d = <t>'Q-<t>g, <7S&0 (Ф_1==0).
Доказательство, i) Все конструкции производятся на
моделях и из соображений естественности распространяются на
всю категорию (ср. с доказательством аксиомы гомотопии для
сингулярных гомологии) Пусть bj eB — такой элемент, что
b] sFo(Mj). Поскольку последовательность
точна, то найдется Ь) <= Go (My) с е F/) = ф (М/) («F,)). Положим
Фо(М1)(Ь)) = Ъ': для всех Ь} «= В П F„(Му).
Далее, так как отображение Фо должно быть естественным, то
для каждого /: Mj-*-X мы обязаны иметь равенства
13.27.
Фо (X) (F (/) (б,)) = G (/) Фо (Mj) (bj) = G (/) (b'f), bj^B[)F0 (Mj).
С другой стороны, множество {F(f)(bj): j^J, bj (y),
/ e horn (Afy, X)} образует базис для Fe (X), так что формула 13.27
определяет единственный гомоморфизм Фо(Х): Fe(X)->-Go(X).
В силу выбора элементов Ь\ мы имеем
Яо (G (/)) • е F)) = Но (G (/)) Ф (Му) (е (bj)) =
Ф (X) Но (F (/)) (е F,)). ф (X) • е
откуда вытекает, что 8 ¦> Фо (X) = Ф (X) • е для всех X е ?", как и
требовалось. Естественность отображения Фо немедленно следует
из его определения.
Предположим теперь, что мы уже построили отображения
Фо. Фи ¦••, Фк-и удовлетворяющие условию i). Для любого
bj e Fk (Mj) мы имеем
АФь-г (М,) (dbj) = Фй_2 (М,) (ddbj) = 0.
Поскольку последовательность
Gk (Mj) -> Gk-X (Mj) -
точна, то можно найти элемент b) e Gft (M;) с db' = (fH (Л1/) (d6y).
Положим <?„ (My) (by) = b] для всех bj<=Fk(Mj).
Требование естественности отображения Фк обязывает нао
положить
13.28. 4>k{X)(Fif){bj))~Gtf){b',)
для всех Ха^, bj&Fk(Mj) и /: My-vX. С другой стороны,
формула 13.28 определяет для каждого X &г€ единственный

296 ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
гомоморфизм Фк(Х): Fk(X)-^Gk(X), автоматически являющийся
естественным. Кроме того, из выбора элементов Ь) следует, что
(X) (F (/) ф))) = dG (/) ф]) = G (/) (db'j) =
G (/) Ф*_, (Mj) (dbj) = ФА_! (X) F (f) (dbj) = фм (X). d (F (/) F,)).
Таким образом, ^Ф*(X) = Фи-i(X)• d для всех Хе?1, что и
требовалось.
Мы надеемся, что читатель уже освоил основные приемы обра-
обращения с моделями и сможет доказать часть ii) теоремы 13.26
самостоятельно. ?
13.29. Примеры, i) Для любого Xs«T можно рассмот-
рассмотреть #е (X) как свободную абелеву группу, базисом которой
являются компоненты линейной связности пространства X. Таким
образом, группа H0(XxY) имеет базис {СхС: С —компонента
линейной связности из X, С — компонента линейной связности
из Y], а группа //0(S, (X)<g>S, (Y))9*Ht (X) <g) Яо (У)-базис
{С® С': С — компонента линейной связности из X, С — компонента
линейной связности из У}. Следовательно, можно определить ото-
отображения
полагая p_i(CxC') = C®С, o_i(C(g)C')==CxC'. Очевидно, что
О-1 ' Р-1 = 1, Р-1 'O-i=l.
Тогда из теоремы 13.26, i) и примеров 13.25, ii), iii) вытекает
существование естественных цепных отображений
р: S
о: S
индуцирующих на Яо отображения р_ь a_i. Кроме того, поскольку
композиция a • р индуцирует на Яо (X X Y) тождественное отобра-
отображение, то по теореме 13.26, ii) a»p цепно гомотопно тождествен-
тождественному отображению. Аналогично, р«ст также цепно гомотопно
тождественному отображению. Таким образом, мы доказали сле-
следующую теорему.
13.30. Теорема (Эйленберг — Зильбер). Существует естест-
естественная цепная гомотопическая эквивалентность
р: S* (X х Y) -> 5, (X) О 5» (Г). ?
13.31. Теорема (Кюннет). Для произвольных топологических
пространств X, Y имеет место естественная точная после-
последовательность
0-*[Я. (X) (g)H% (Y)]n±H
[Тог

ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ 297
Эта последовательность расщепляется, однако расщепление не
является естественным. ?
Гомоморфизм х в теореме 13.31 представляет собой компози-
композицию алгебраического гомоморфизма X
с индуцированным отображением
Упражнение. С помощью теоремы 13.31 вычислить группы
гомологии тора и сравнить результат с вычислениями, получен-
полученными другими методами (последовательность Майера — Вьеториса,
клеточные разбиения).
Существует относительный вариант теоремы 13.30. Для любых
пар (X, A), (У, В) мы имеем коммутативную диаграмму с точ-
точными строками и столбцами
0 0
I I.
0 -* S*(A) ® S*(B) -* S*(A) ® SAY) -*¦ S*(A) ® SAY, В) -* 0
I I I
0 -* SAX) ® S*(fi) - SAX) ® 5*(Г) -* SAX) ® S*(Y,B) -> 0
0 0
откуда получается точная последовательность
0-> 5, {А) ® S, (У) + S, (X) (g) S, E) ->
(с подобным приемом мы встречались при доказательстве тео-
теоремы 13.13). Таким образом, имеет место изоморфизм
13 32
5^ (X) (g) 5ц, (У)
* (A) ® S. (П + 5. W ® S. (В) *

298 ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
Кроме того, мы имеем коммутативную диаграмму с точными
строками
I I' 'I I
и
S*(Y)
A0 ®
откуда вытекает, что р и о индуцируют цепные гомотопические
вквивалентности
S, (A) ® S* (K) + S* (X) ® S* (В) — S, MxK) + S, (XxS)'
Наконец, мы имеем точную последовательность цепных комплексов
5,И х К) + S«(Jr х Л) S#(/l х YkjXx В)
~* ' хТ) " S9(A х У) ~"
II/
S,(/4 х УпА'х 5)
5,(-4 х У и А' х
S9(A x У) + S,(A' x В)
которая индуцирует гомологическую последовательность
...-,HnMAxY\JXxB, AxY)-,Hn+1
Нп(ХхВ, ^
О
Таким образом, если триада (AxYUXxB; XxB, АхУ) выре-
вырезаема (т. е. если /* — изоморфизм), то
S,(AxY[)XxB) \__п

или, другими словами,
13.34. S+(A
ГЛ. 13. УМНФЖЕНИЯ 299
Комбинируя 13.32, 13.33 и 13.34, мы получаем следующее
утверждение.
13.35. Предложение. Пусть (X, А) и (Y, В) — такие то-
топологические пары, что триада (AxY[}XxB; AxY, XxB) вы-
вырезаема. Тогда существует цепная эквивалентность
р: S,(XxY, AxY(}XxB)^St(X, Л)®5#(У, В).О
Как правило, мы будем обозначать napy(XxF, AxY\jX .В)
через (X, A)x(Y, В). Заметим, что
XxY/AxY{jXxB~(X/A)/\(Y/B).
13.36. Теорема (относительная теорема Кюннета). Пусть
(X, А) и (Y, В) —такие топологические пары, что триада
(A xY\j XxB; AxY, XxB) вырезаема. Тогда существует естест-
естественная точная последовательность
, B)]n-+Hn((X, A)X(Y, B)
[Тот(Н,(Х, A), Я, (У,
Можно было бы доказать когомологический аналог тео-
теоремы 13.36 (ем. [72]), но мы ограничимся здесь лишь описанием
гомоморфизма
х: Н*(Х; Z)®H*iX; Z)-+H*(XxY; Z).
Представляется разумным рассмотреть более общий гомоморфизм
х: Н*(Х; G)®H*(Y; H)-+H*(XxY; К),
где О, Н, К — абелевы группы, связанные гомоморфизмом
Для любых двух цепных комплексов С,, и С* мы имеем алгеб-
алгебраический X-гомоморфизм
HP (Нот (С,, G)) ® И" (Нот (С;, Щ) ^>
//w(Нет(С,®С;, G&H)),
определяемый следующим образом. Если ФеНот(Ср, G),
г|з € Нот (С'„, Н) — коциклы, то Ф (g) ij) s Нот (Ср <g) C^, Q ® Я), й
для всех а&Ср, Ь s C'Q мы имеем
&) =
—1)'S a ® db) =
Продолжим ф(§)г|з на всю группу (С„(х)С*)р+G, считая §||г®/
для (г, /) Ф (р, q). Без труда проверяется, что Ф ® of является

300 ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
коциклом. Положим
\Ф] х ft} = {Ф ® ф} е Я"+* (Нот (С, <g) Ci, G (g) Я)).
Кроме того, мы имеем цепное отображение
р: S,(XxY)-+St(X)®S,(Y)
и, следовательно, гомоморфизм
Нот(р, 1)*: Я* (Нот E, (X) ® 5, (К), G®H))-+
Я*(ХхУ; Gig)//)-
Наконец, [i индуцирует гомоморфизму. Определим х -гомоморфизм
X: Нр(Х; G)®W(Y\ H)-+Hi»«(XxYi К)
как композицию
Н"(Х; G)®H9(Y; //)-*.№»+» (Нот (S, (JQ®
S, (У), G®//)) SsSLiEiJ); яр+" (X х К, С®Я) ^ Нр+* (X X У; /С).
Гомологический х -гомоморфизм определяется аналогичным обра-
образом:
НР{Х\ g
С®Я) ^Ь Яр+? (X х Y; С®Я) Ь Яр+? (X х Y; К).
Если пары (X, A), (Y, В) таковы, что триада
(AxYlJXxB; AxY, XxB)
вырезаема, то мы имеем
х: НР(Х, A; G)®Hg(Y, В; Н)^Нр+д((Х, A)x(Y, В); К),
х: Нр(Х, A; G)®H'>(Y, В; Н)-^Н^Ц(Х, A)X(Y, В); К).
Гомоморфизм х называется гомологическим (соответственно, кого-
когомологическим) х-умножением, ассоциированным с ц: G(&H->~K.-
Особый интерес представляет случай, когда R — кольцо и
\х: R ® R->- R — умножение в этом кольце, или же когда М — неко-
некоторый R-модуль и [х: R®М-*~М — R-действие. В следующем
ниже предложении сформулированы некоторые из свойств х-умно-
х-умножения. Все формулировки приведены для абсолютного случая,
однако аналогичные результаты верны и в относительном случае.
13.37. Предложение. Пусть X, Y, Z — топологические
пространства, Gu G2, G3, Я, К, М — абелевы группы и
v Я, ц23:
M, v2:
— гомоморфизмы.

ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ 301
i) Из коммутативности диаграммы
ui2 ® 1
С, <g> G2 <g> <?з - Я <g> G3
-—> л/
следует коммутативность диаграммы
НР(Х; GO ® Hq(Y; G2) ® H&\ G3) ^-> H,+t(Xx Y\H)® Hr(Z; G3)
1®х х
tQ ,, ff (XxYxZ;M).
ii) Из коммутативности диаграммы
Ci ® G2 ~^> G2 ® Gt
H
следует коммутативность диаграммы
H,{X\ <?д) ® Яв(Г; G2) -il> Я4(Г; G2) ® Я
1« 1*
в которой т: XxF->FxX — тасующее отображение и Т задается
формулой Г(а®Ь) = (—1)р?Ь(8)а, ае=Нр{Х\ d), Ье=Я?G; G2).
iii) ?сл» /: Х->Х' ы g: Y-^-Y' — некоторые отображения, то
диаграмма
Н,(Х\ Gd ® Ha{Y; G2) -^ Я,+в(^Гх У; Я)
(/**)¦
' х Г; Я)
J/.et. |.

302 ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
Аналогичные результаты имеют место и для когомологического
х -умножения.
Доказательство, i) Непосредственно проверяется, что
диаграмма
i Hq(C2) ® ЯГ(С3) —^ #,+,(<?! © C2) © ///
® x x
Яр(С),) ® Hq+.(C2 ® C3) >• Яр+4+г(С1 ® C2 <S
коммутативна для любых цепных комплексов Ci, C2, С3. Поэтому,
все что нужно сделать,—это убедиться в том, что диаграмма
©'5,A0 ® 5*(ZI2-*. ^(ЛГх У)
цепно гомотопически коммутативна. Но композиции а - (ст® 1) и
индуцируют один и тот же гомоморфизм на На, а именно:
Ci <g> С2 ® С8 ^^ Ci X С8 X Cs,
где Ci, C2, C8 — компоненты линейной связности пространств X,
Y, Z соответственно. Следовательно, по теореме 13.26, ii)
ii) Доказательство этого пункта аналогично предыдущему до-
доказательству. Ключевым моментом является проверка того, что
диаграмма
I'
x Y)
цепно гомотопически коммутативна, но это снова следует из тео-
теоремы 13.25, ii).
iii) По определению х-умножение является композицией трех
естественных гомоморфизмов. Q

ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
303
Существуют два других важных «внешних» умножения, а именно
/: H"(XxY; С,)®Я,(К; О2)-^Я*-?(X; Я)
и
\: Н"(Х; Gd®H9{XxY; G2)-+Hg-P(Y; Я).
/•умножение можно определить следующим образом. Пусть
заданы коцикл Ф <= Нот (CigiC, G) и цикл z= 2 '
Образуем коцепь Ф/z е Нот (С, Я), полагая
(Ф/z) (с) - ? Ри (* (c®cj)®ft) e Я
для всех стС. Немедленно проверяется, что Ф/z является коцик-
лом и, следовательно, определен класс когомологий
Взяв композицию этого алгебраического /-умножения с гомомор-
гомоморфизмом
Hp(XxY; G^i^H^Y; Gt) Hom (q" "* —
У; С,),
мы получим геометрическое /-умножение. Аналогичным образом
определяется \-умножение. Без труда проверяется, что эти умно-
умножения естественны и связаны ассоциативностью с X-умножением.
Определим теперь «внутренние» умножения who. Пусть
А: Х-+ХхХ — диагональное отображение и /? —кольцо с умно-
умножением ц: R(g)R-+-R. Тогда w-умножение на Я* (X; R) — это
композиция
НЦХ; R)®Hq(X\ R)^Hp^{XxX; R)^Hp+"(X; R).
Относительно ^-умножения Я* (X; R) превращается в кольцо.
Если R коммутативно, то Я* (X; R) градуированно коммутативно,
и если R имеет единицу, то Я* (X; R) — также кольцо с едини-
единицей. Другое внутреннее умножение
о: НЦХ; R)®H9(X; R)-+Hq-p(X; R)
задается формулой
F), а<==Нр(Х; R),
Легко видеть, что эти умножения естественны и связаны друг
с другом некоторыми соотношениями ассоциативности. Можно
было бы исследовать поведение граничных гомоморфизмов д и б
относительно этих умножений, однако мы не станем вдаваться
сейчас в детали. Вместо этого рассмотрим все определенные выше
умножения в контексте общих теорий гомологии и когомологий.

304 ГЛ. 18. УМНОЖЕНИЯ
Для этого прежде всего нам понадобится построить приведенное
произведение спектров.
Конструкция приведенного произведения Еf\F двух спектров
Е и F, к сожалению, довольно сложна. Однако для тех прило-
приложений приведенного произведения, которые мы рассмотрим в гла-
главах 14 — 20, достаточно знать лишь, что такая конструкция суще-
существует. Естественно ожидать, что Е[\F должно быть, в некотором
смысле, пределом пространств Eif\Fj при стремлении i, j к бес-
бесконечности (Eif\Ej рассматриваются в слабой топологии). Это при-
приводит к следующей конструкции, часто называемой наивным при-
приведенным произведением спектров по Бордману. Пусть А — неко-
некоторое упорядоченное множество, упорядоченно изоморфное мно-
множеству М = {0, 1, 2, ...}. Тогда для любого подмножества ВсА
мы имеем монотонную функцию Р: Л ->IN, определенную правилом:
Р (а) == {число элементов Ь е В с Ъ <а}.
В частности, самому множеству Ас А также соответствует функ-
функция а: Л-»-М; легко видеть, что это сохраняющий порядок изо-
изоморфизм. Предположим теперь, что Л разбито в объединение
двух подмножеств: А = В[)С, В[\С=ф. Определим наивное при-
приведенное произведение Ё Две Л полагая
где Р, у: А ->- N — монотонные функции, ассоциированные с под-
подмножествами В и С соответственно. Заметим, что Р (a)Jry(a)^a(a)
для всех as А. Если а^.В, то
и мы отождествляем
с
[р, е], f]<aEz{a)n/\Fy(a)~[E /\BCF]4a)+i.
Если а&С, то
и мы отождествляем
Р, е,
с
[е, [v'P
где v': 51 -*¦ S1 — гомотопическое обращение в Я-когруппе S1.
Пример. Если X —клеточное пространство и Ё = Е(Х), то
Из определения очевидно, что спектр Ef\RcF естествен по
отношению к функциям спектров. Что касается отображений спект-

ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ 305
ров, то с ними нужно обращаться более осторожно. В самом деле,
если Ё'— кофинальный подспектр в Е, то Е'f\BCF кофинален
в Е/\всР в случае бесконечного множества В и не кофинален
в общем случае. Например, если В содержит п элементов и Е' —
такой кофинальный подспектр в Е, что E'q = * для q^n, то
Е' f\scF = *. Однако, если множество В бесконечно, то E/\bcF
является естественным по отношению к отображениям спектров
/: E-+G. Подобным образом, если множество С бесконечно, то
Е [\ncF естествен по отношению к отображениям спектров g: F-+H.
Кроме того,
так что гомотопический класс отображения f/\g в случае беско-
бесконечного В зависит лишь от гомотопического класса отображения /,
а в случае бесконечного С — лишь от гомотопического класса g.
Начиная с этого места, мы будем работать в гомотопической
категории S"^'. Поэтому термином «эквивалентность» будет обо-
обозначаться гомотопическая эквивалентность. Термин «коммутатив-
«коммутативная диаграмма» будет употребляться в том и только в том случае,
когда все соответствующие диаграммы отображений коммутативны
с точностью до гомотопии.
Итак, для любого разбиения А — В\}С множества А опреде-
определено наивное приведенное произведение Е f\BCF. Возникает воп-
вопрос: которое из них следует считать приведенным произведением
ЕJ\F спектров Е и /•? Разумеется, мы хотим, чтобы Е[\F обла-
обладало свойствами, аналогичными свойствам приведенных произве-
произведений пространств, такими как Еf\F^F/\Е, (Е/\F)f\G~ЕД
(FДО), S°/\Ec^Ez^Ef\S°. Некоторые из наивных приведенных
произведений коммутативны (Е f\BcF c^F f\CBE, если ф(а)у(а)
четно для любого а), некоторые из них ассоциативны
((E/\RcF)f\B[)c,DG — Ef\B.ci)D(F/\cDG) для любого разбиения
A — B{]C{]D с бесконечными множествами В(JС и СUD). Для
некоторых наивных приведенных произведений спектр 5° является
единицей — именно, S0 Дф, аЕ = Е «=?Дл.фЯ0. Но мы хотим,
чтобы все эти свойства выполнялись для Е ДF. Поэтому нельзя
выбрать какое-либо конкретное разбиение А—В\}С и положить
Е[\F — E /\bcF- Вместо этого мы склеим подходящим образом
все спектры Е /\bcF- Полученный таким образом спектр и будет
приведенным произведением Ef\F.
Обратимся теперь к конструкции бесконечного телескопа из
глав 7, 8. Для данного спектра Е построим новый спектр Т{Е),
полагая
/л—1
T(E)a=[ V S"-*A?*A[']+ V V Sn-{AE,A[i, i+\]+),
\t-o / \(-o /
где точка p, e, i] eS"-' Д?,-Д[»\ i+ 1]+ отождествляется с [i, e, i]
о"-'Д?¦; д[;]+ и [s, t, e, t-j-1] s S'I~'~1 Д51 f\Eif\[i, i'+l]+ oтoж^
отожде-

зов
ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
ствляется с [s, [t, e], i+ 1] &Sn-i-1/\Ei+1,f\[i + 1]+. Без труда про-
проверяется, что Т(Е) действительно является спектром (точка
S1/\T(E)n отождествляется
: Т (?)л-ц). Имеет место гомо-
*Е, стягивающая Т(Е)„ на
[s, t, e, ulhAM
в [[s, t], e, ulaS^hEiW, i+l]
топическая эквивалентность р: T(E)
E[YE
E
ш
конструкция телескопа равнозначна введению на луче [0, +оо)
структуры клеточного пространства с нульмерными клетками [п]
и одномерными клетками [л, п + 1]- После этого над каждой клет-
клеткой строятся некоторые прост-
пространства и производятся подходя-
подходящие отождествления на грани-
границах. Если заданы два спектра Е
и F, то можно построить, так
сказать, «двумерный телескоп»
Еf\F. Это делается следующим
образом. Зададим в квадранте
Рис. 24. [°. +°о)х[0, + со) структуру
клеточного пространства, считая
нульмерными клетками точки [п, ш], одномерными клетками —
отрезки [п, n + l]x[m] и [л]х[/и, m-fl] и двумерными клет-
клетками—квадраты [п, n + l]x[m, /и+1], п, т^вО. Для построения
(Еf\F)n мы используем только те клетки е, для которых i + / +
dim(e)^n (рис. 24). Над клеткой (I, /) возьмем пространство
S"-i-J/\Etf\Fj/\(it /)+; над клеткой [i, t + l]x[/] —пространство
S^-J^Et^FjMli, / + l]X[/])+ и над клеткой [flx[/, ^^-про-
^^-пространство Sn-'-Jf\Ei/\Fj/\([i]x[j, / + 1])+- Требуемые отождествле-
отождествления имеют вид:
to4kh_[s, e, fL(i, j)] щ8п~ч/\Et{\Fj/\([i, ^ +1 ]X[/])+ и [з, е, /,
отождествляются о
[s, e, f, (I, D)sS^-^Et/\Fj^(l, /)+;
точки [s, t, e, f, (i+l, j)]e5S»-t-J-lf\S4\Et/\Fjf\([i> f+l]x[/])+ с
[s, [t, e], f, (i+l, J)]
и точки [s, t, e, f, (i,
. Л,
[s, e,
Мы должны еще описать пространство над двумерной клеткой
е = [i, i + 1]х[/, /+ 1]; разумеется, над де это пространство должно
совпадать с уже определенными пространствами.
В де имеются два пути, начинающихся в (i, /) и кончающихся
Я (f+U /+1)> Если мы движемся по пути, проходящему через
Ь + U /)> то точка [s, t, и, е, /, (i, /)] переходит в точку [s, t,
[и, е\, /, (/ + 1, /)], а затем-в точку [s, [и, е], [v'(+1@. Я. (* + 1,
/-|- !)]• С другой стороны, если мы движемся по пути, проходя-

ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
3*7
щему через (i, /+1), то точка [s, t, и, е, f, (i, /)] попадает сна-
сначала в [s, t, e, [v"(«), /], {i, }+ 1)], а затем - в [s, [t, e], [v"(u), /].
({•_[_ lt y_|_ 1)]. Таким образом, в множителе S1/\S1 мы имеем функ-
функцию перехода (t, и) *-*¦ {и, v' (t)). Если рассмотреть S1 f\S* как
произведение [—1, -fl]x[—1, +1] с последующими отождествле-
отождествлениями, то эта функция перехода задается матрицей
° М
(
1-1
Отсюда вытекает, что построенное нами над де пространство имеет
вид
где М (I) — пространство Тома некоторого SO B)-расслоения |
над де. Следовательно, над е мы должны взять пространство
где л — некоторое 50 B)-расслоение над е, являющееся продолже-
продолжением расслоения |. Поскольку лх E50B), *)^ЯоE0B), 1) = 0,
то такое продолжение существует. Так как расслоение |, по суще-
существу, не зависит от I, /, п, Е и F, то расслоение ц над е также
от них не зависит. Таким образом, мы построили для пЭ=0 про-
пространства (E/\F)n; для п<0 положим (Ef\F)n*>=*. Очевидно, что
Е f\F — спектр.
Покажем теперь, что Е/\F обладает такими свойствами, как
естественность, ассоциативность и коммутативность. Ранее мы
отмечали, что каждое из этих свойств выполняется для некото-
некоторых наивных приведенных произведений Е /\bcF. Докажем, что
Е/\F гомотопически эквивалентно большинству наивных приве-
приведенных произведений. Идея доказательства заключается в том,
что мы можем вложить телескоп Т(Е /\пс.Р) в Е/\F для любых
разбиений А=В[}С Определим отображение
со: [0, +оо)->[0, +оо)Х[0, +оо),
полагая
ю t ( (p(a)-a(a) + f, у (а)), а^В,
I № (я)т V(a) — a(a) + 0- ae C>
Приме р.
Jl
[а(а), а(а) + 1].
= @,1,3,6,7,...)
= B,4,5,8,...)
Рис 25.

308
ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
Теперь мы можем вложить T(Ef\BcF) в E/\F, отождествляя
точку
[s, е, f, (\&S*"W№ua)f\Fna)/\[a(a), a(c) + l], a s A,
[s, e,f,m(t)]
если аеВ, или же с
[s, е, /, co@]s5»-
если а &С.
И, наконец, определим eqec как композицию
где р-1 — отображение, гомотопически обратное к р: Т(Е Лвс^)->-
Е /\bcF (напомним, что р-1 не имеет простого описания; см. 8.26).
13.38. Лемма. Если выполнено одно из следующих трех условийх
a) оба множества В и С бесконечны;
b) В имеет d элементов и SEr = Er+i для r^d;
c) С имеет d элементов и SFr = Fr+i для r~^d, то отображение
является гомотопической эквивалентностью.
Доказательство. Предположим, что выполнено условие а).
Для каждого as Л обозначим через Ga{a)cz(E f\F)a(a) подпрост-
подпространство, расположенное над клетками е^, где f^P(a) j()
(рис. 26).
i
YA
Щ
Щ
<
POO/jta
Рис. 26.
Из условия а) следует, что G = {Gn} — кофинальный подспектр
в ?Д^- С другой стороны, для всех а^А существует деформа-
деформационная ретракция пространства Ga(a) на Е^^)/\Ру{ау Таким
образом, в диаграмме
T{JE SB
\

ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ 309
два из трех отображений индуцируют изоморфизмы гомотопических
групп. Значит, этим свойством должно обладать и оставшееся
отображение. Но тогда по теореме 8.25
— гомотопическая эквивалентность. Следовательно, и eqec — тоже.
Если выполнено условие Ь), то мы построим кофинальный под-
спектр Ge(O) несколько иначе. Теперь Ga{a) с (Ef\F)a(a) — это под-
подпространство, расположенное над клетками еу с i + j<,a(a),
j^y(a). Тогда {Gn} по-прежнему является кофинальным подспек-
тром в Е/\F. Поскольку
— гомеоморфизм для всех s5=0, то E${a)[\Fy(a) является дефор-
деформационным ретрактом пространства Ga(a) для p(a) = d.
Случай с) доказывается аналогично. П
13.39. Следствие. Пусть X — клеточное пространство,
Е = Е(Х) и F-произвольный спектр. Тогда F/\Е(X)~F[\X. ?
Докажем теперь естественность приведенного произведения
Ef\F. Функции /: E^-G и g: F-*H очевидным образом инду-
индуцируют функцию ff\g: E/\F-*-G/\H. Однако, если E'czE — ко-
кофинальный подспектр, то Е'/\F, вообще говоря, не будет кофи-
кофинальным подспектром в E/\F. В то же время, если i: E'->-E
вложение, то оно является эквивалентностью в категории ?*$
и мы имеем коммутативную диаграмму
eqBC
для любых разбиений А = В \] С. Если множества В и С беско-
бесконечны, то eqBc — гомотопическая эквивалентность. Следовательно,
в этом случае /Д1: Е' f\F-+Ef\F также является гомотопической
эквивалентностью. Таким образом, если задано произвольное ото-
отображение спектров /: E-+G, представляемое функцией /': ?'->G,
где Е' — кофинальный подспектр в Е, то найдется такое отобра-
отображение ff\l: Ef\F-+G/\F, что имеет место коммутативная диа-
диаграмма

310 ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
Аналогично, отображение g: F-*-H индуцирует отображение
\/\g:EhF-+Ef\H. Поскольку (E/\I+)/\Fq*E/\(F/\I+)^(E/\F)/\
/+, то гомотопический класс отображения /Д1 зависит лишь от
гомотопического класса отображения /. То же самое справедливо
и для отображения 1 /\gf.
Из построения отображений /Д1 и 1Д# следует, что
i) если В — бесконечное множество и /: ?->-G —отображение
спектров, то диаграмма
eq4C
Ei\BCF —'--*• EsF
коммутативна;
ii) если С - бесконечное множество и g: F-+H отображение
спектров, то диаграмма
коммутативна.
Сформулируем теперь нашу главную теорему о приведенном
произведении Ef\F.
13,40. Теорема, а) Соответствие (Е, F)\—»¦ Еf\F является
функтором двух переменных.
Ъ) Существуют такие гомотопические эквивалентности (есте-
(естественные с гомотопической категории ??$'
а = а(Е, F, G):
т = т(?, F):
r-r{E): E/\S°-+E,
что в ?"№' коммутативны следующие диаграммы:

ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
811
(FaE)aG
TAl
Ш) а
lAt
vi)
vii)
viii)
1 л r
Замечание. Используя эти восемь диаграмм, можно дока-
доказать коммутативность любой другой диаграммы, включающей ото-
отображения а, х, I и г (разумеется, если она коммутативна!) (см.
[50]).
Доказательство. Пункт а) мы уже доказали. Конструк-
Конструкция отображений /иг довольно проста: / представляет собой
композицию
а г —композицию
По лемме 13.38 отображения е^ф. л и eqA, ф являются гомотопи-
гомотопическими эквивалентностями.
Рассмотрим теперь отображение т. Было Сы заманчиво опре-
определить т требованием гомотопической коммутативности диаграммы

312 ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
13.41. еЧвс\ \eqca
в которой оба множества В и С бесконечны и хВс задано фор-
формулой тВс[е, /] = [/» е]> e^E(i(a), /sFY(o). Однако на этом пути
возникают следующие трудности.
i) Отображение хвс не является функцией спектров. В самом
деле, для этого должно было бы выполняться условие хвс[е, /]=
(—i)P(°)v(o) гд е]. Но это невозможно, поскольку не существует
надстройки, результатом применения которой было бы умножение
на (—l)P(em«). Самый простой способ преодолеть указанную
трудность—это ограничиться такими разбиениями А = В[]С, для
которых оба прообраза а-1 Bп + 1) и а-1 Bп) при всех п ;з= 0 лежат
одновременно в В или в С. В этом случае произведение [5 (а) у (а)
всегда четно. В действительности, мы будем рассматривать более
узкий класс разбиений:
13.42. Все прообразы а-1 Dп), а-1 Dл+1), аг1Dп+2), а-1Dп+3)
лежат одновременно либо в В, либо в С для любых /гЗгО.
Причина, по которой мы рассматриваем сразу четыре прооб-
прообраза, станет ясной в ближайшем будущем. Заметим, что разбие-
разбиение А = ф U А удовлетворяет условию 13.42.
и) Другая трудность состоит в том, что для наших целей
(скажем, для доказательства утверждения vii)) недостаточно раз-
разбиений А — В U С, в которых и В и С бесконечны.
К счастью, все эти трудности преодолимы.
13.43. Лемма. Для любых спектров Е uF существуют такой
спектр Q и такие гомотопические эквивалентности
l0: E/\F-+Q, h: F/\E-+Q,
что для каждого разбиения А — В\]С, удовлетворяющего условию
13.42, имеет место коммутативная диаграмма
EsF FsE

ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ 313
Разумеется, мы определяем т: E/\F-+FJ\E как композицию
i^'io', в этом случае диаграмма 13.41 будет коммутативной для
всех разбиений А — В[]С, удовлетворяющих условию 13.42.
Доказательство леммы 13.43. Мы построим спектр Q над
[О, +оо)х[0, +оо)х/ таким образом, чтобы часть его, располо-
расположенная над [0, -|-оо)х[0, 4-°°)хО, равнялась Ef\F, а часть,
расположенная над [0, +°°)х[0, -f-oo)x 1, равнялась F /\Е. Пусть
ец — либо нульмерные клетки вида [i]x[/] для четных i или /,
либо одномерные клетки вида |У]х[/, /+1] Для четного i и
[г, t + 1 ] х[/] для четного /. Возьмем над клетками ец/\1+ соот-
соответствующую часть (Е/\F)n/\I+ и отождествим нижнее (нулевое)
основание цилиндра с соответствующей частью (Е /\F)n, а на верх-
верхнем (единичном) основании отождествим точки
[u;e,f, s,t]sS
с точками
[и, f, e, t, s]e=S^-J/\Fj/\Et/\e}t.
В силу условия 13.42 эти отождествления согласованы.
Итак, мы уже описали часть Qn над де, где е = [2/, 2iJ,-2]x
[2/, 2/ + 2]х/. Эта часть содержит клеточное подпространство
где т' — расслоение размерности 4 над де- Как и прежде, расслое-
расслоение т' не зависит от п, i, j, E и F, а зависит лишь от произ-
произвола, допущенного при построении спектра Ef\F. Обозначим
через aeniE0, 1) = 2г гомотопический класс отображений,
классифицирующих т'.
В e' = [4t, 4f + 4] х [4/, 4/ + 4]Х/ имеются четыре клетки рас-
рассмотренного ранее типа — обозначим их еъ е2, с3, ?i- Спектр Q
уже построен над dei U de2 U <^з U де4 и содержит клеточное под-
подпространство вида
где х" — некоторое 50 (8)-расслоеиие над dei \J де2 [} де3 (J де*. Оче-
Очевидно, что т" | dei —t' фв*. Следовательно, т" | де' классифицируется
элементом 4а==0, т. е. т" может быть продолжено на клетку е'.
Выберем это продолжение так, чтобы оно не зависело от п, i, /, Е, F.
Из всех построенных пространств мы сохраним лишь следующие:
(ЯДП.ЛО+, (Ff\E)nД1+, S'-«-*J-<'/\M(td)f\Eii/\Fijf\I+
для всех i, j с 4j + 4/ + d «^ п (где ха — подходящее расслоение
размерности d над d-мерными клетками [4г]х[4/], [4г, 41-\- 4]х[4/]
и т. д.) и, наконец,
для всех i, j с 4t +6/4-8===/г. ctoi набор мы назовем простран-

314 ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
ством Qn. Очевидно, что вложения i0: E/\F-+Q, ir: РДЕ-vQ
являются отображениями спектров; по теореме 8.25 г0 и ix - гомо-
гомотопические эквивалентности. Включенных в Q пространств как
раз достаточно, чтобы сделать диаграмму 13.43 коммутативной. Q
Теперь мы можем доказать теорему 13.40, b), it) В силу
п. 13.41, для этого достаточно установить коммутативность диа-
диаграммы
ec/
но она коммутативна даже и как диаграмма функций. Точмо
так же для доказательства утверждения 13. 40, b), vii) достато-
достаточно установить коммутативность диаграммы
которая снова коммутативна как диаграмма функций. Утвержде-
Утверждение 13.40, b, viii) следует из того факта, что отображение
имеет, по построению, степень 1.
Обратимся теперь к построению отображения а. Удобнее всего
было бы определить а требованием, чтобы диаграмма
13 44 ч~"~ ''"uC-D<* (EabcF)/\G
:
sBXkjj>(Ft\CDG)
была коммутативной для всех разбиений A=B\JC\JD с беско-
бесконечными В, С и D (заметим, что приведенные произведения
(Е /\BcF) /\buc.dG и Е /\b,cud(F /\cdG) представляют собой, по
существу, один и тот же спектр). Но, к сожалению, для того
чтобы доказать утверждение 13.40, b) iv) — vi), таких разбиений
недостаточно.

ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ 31Б
13.45. Лемма. Пусть Е, F и G —произвольные спектры. Тогда
существуют такие спектры Р', Р", что для любых разбиений
A^=B\}C\JD с бесконечными B\JC, C[]D коммутативны диа-
диаграммы
'I
T((EsBCF)sBuC,DG)
E\T{FsCDG) ^
к'
где V, i" — эквивалентности, не зависящие от В, С, D. Кроме того,
существует такая эквивалентность е: Р' -> Р", для которой ком-
коммутативна диаграмма
р>
Считая эту лемму доказанной, положим а = Г > е * Ц'У1-, тогда
коммутативна диаграмма 13.44.
Мы ограничимся здесь лишь идеей доказательства леммы 13.45.
Приведенное произведение (E/\F)/\G является «четырехмерным
телескопом», т. е. оно строится над клетками положительного
конуса в четырехмерном пространстве. Можно построить клеточ-
клеточное отображение 6 трехмерного конуса С3 в четырехмерный конус
и перенести с его помощью на С3 те элементы (расслоения и т. д.),
из которых составлено (E/\F)f\G. Таким образом, если eiJk — клетка
из С3, то часть ((Е/\F)/\G)n, расположенная над 9 {вф), содержит
клеточное подпространство вида
и мы определяем соответствующую часть спектра Р' как

316 ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
где б*тй —индуцированное расслоение на еу#. Спектр Р" строится
аналогично, причем из построения ясно, что Р' и Р" имеют одну
и ту же структуру. Следовательно, определена естественная экви-
эквивалентность е: Р'-*-Р". Во всех подробностях это доказательство
можно найти в лекциях Адамса [8].
Докажем теперь утверждение 13.40, b), i). С этой целью возьмем
произвольное разбиение
в котором все множества В,, ls?i=s;4, бесконечны. Тогда утвер-
утверждение 13.40, b), i) следует из того факта, что
У
представляет собой коммутативную диаграмму функций. Утвер-
Утверждение 13.40, Ь), ш) вытекает из коммутативности диаграммы
lAt
Доказательства утверждений iv), v) и vi) аналогичны. Тем самым
теорема 13.40 полностью доказана. ?
13.46. Предложение. Для любых спектров Е, F имеют
место естественные гомотопические эквивалентности
Доказательство. %Е/\F~I,(E/\F) представляет собой
цепочку естественных гомотопических эквивалентностей IEfF
1Лт

ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
317
а ЕД2F~2 (ЕДZ7) — цепочку эквивалентностей
F/Si)(EhF)№ ~ 2 (Е Д/7). D
Замечание. Диаграмма
гомотопически 'коммутативна с точностью до знака (—1)". Точно
так же диаграмма
»Z(SXaY)
I I
> IXaIY
коммутативна с точностью до знака —1.
13.47. Предложение. Если
E-LFJ-G
— корасслоенная последовательность и Н — произвольный спектр,
то
— также корасслоенная последовательность.
Доказательство. Если предположить, что
— специальная корасслоенная последовательность и заменить Д
наивным приведенным произведением Двс с бесконечными В и С,
то результат очевиден. Общий же случай сводится к рассмотрен-
рассмотренному. П
13.48. Предложение. Для любых спектров Е, Ха, as А,
имеет место естественная гомотопическая эквивалентность
Доказательство. Снова, если заменить Д на Две с бес-
бесконечными В и С, то результат очевиден. Но ецве является есте-
естественной гомотопической эквивалентностью. ?
Мы проделали тяжелую работу по построению приведенного
произведения Е Д F и доказательству наиболее важных его свойств.
Теперь начнем наслаждаться плодами нашего труда. Например,

318 ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
очевидно, что можно продолжить теорию гомологии #„, ассоци-
ассоциированную со спектром Е на категорию спектров ?*№: для этого
достаточно положить
Ея (X) = пп (Е Д X) - [S\ E Д X],
n<=Z, XeW. Поскольку для любого клеточного простран-
пространства X' мы имеем Е Д X с~ Е Д Е (X), то на категории клеточных
пространств это определение совпадает с прежним. Аксиомы для
теории гомологии на ?"§>' непосредственно следуют из предло-
предложений 13.46-13.48.
Как показывает следующее предложение, теорию гомологии
Еп(Х) можно определить также в терминах прямых пределов.
13.49. Предложение. Для любых двух спектров Е и X
имеет место естественный изоморфизм
где морфизмы индуктивной системы определяются как композиции
?„+? (X,) s* ?ч+?+1 (sxg) !а Ё
g q^-Xg+1 —включение.
Доказательство. Данное предложение является следст-
следствием формулируемого ниже алгебраического утверждения, дока-
доказательство которого мы оставляем читателю. Пусть
{% Фц- (I, /), (ft. OelNxN}
— индуктивная система абелевых групп Qy и гомоморфизмов
Ф G*G
для i^k, j^l, где NxN рассматривается с отношением частич-
частичного порядка (i, j)^{k, /)<=>i^ft, J*^l. Образуем группу
dir linif (dir lim; Gij).
Тогда для всех ft, /eN имеют место такие естественные гомо-
гомоморфизмы
fki- Gki -+¦ dir lirtij (dir limy Gtj),
что [тп'ф'ц "*fki- Пусть N»= ВUС — некоторое разбиение и функ-
функции р, v: N-+-N определены так же, как в конструкции наивного
приведенного произведения. Тогда
h (»). у {*)'• °э (*). у <»> -+ dir limi (dir п% Ov). " ® IN'
определяют гомоморфизм
be - {/р in), v (»)}: dir Итя Gp (n), v w -> dir lim, (dir lim/ 0tf).

ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ 319
Мы утверждаем, что если оба множества В к С бесконечны, то
1вс — изоморфизм.
Пусть теперь М = В [} С — произвольное разбиение с бесконеч-
бесконечными В и С Тогда мы имеем последовательность естественных
изоморфизмов
Еп (X) = пп (Е Д X) 22SL Ял (? Двс X) с*
dir Нтгял+Г((? f\BcX)r) = dir Нгагял+Р(г)+у(г) (?Р(Г) Д Ху(г)) -в~
dir lim,- (dir limy ял+Ну (?у Д Xt)) ^ dir linij л„+; (? Д ХЛ- ?
С помощью приведенного произведения спектров в теории го-
гомологии и когомологий вводятся различные умножения.
13.50. Определение. Кольцевым спектром называется
спектр Е с заданными в нем умножением fx: Е Д Е-+Е (Ц—ото-
(Ц—отображение спектров) и единицей i: S°-+E, для которых гомото-
пически коммутативны следующие диаграммы:
EsEhE
Если, кроме того, гомотопически коммутативна диаграмма
то умножение ц называется коммутативным (а Е — коммутатив-
коммутативным кольцевым спектром).
Для любого кольцевого спектра Е можно определить внешние
умножения:
i) Д: Ея(Х)®Ея{У)-+Ея+т(Х/\У),
и) Д: En(X)®Em(Y)-+E"+m(X/\Y),
iii) /: Е?(Х/\У)®Ед(У)-+Е''-ЦХ),
iv) \: Р(Х)®?,(ХЛЛ->?„(П
следующим образом:
i) Пусть х s En (X), y&Em (Y) представлены отображениями /:
Sn-+E f\ X и g: Sm-+E f\Y соответственно. Тогда х/\ у пред-
представляется композицией
n Д Sm Ш. (? Д X) Д (? Д Y)

320
ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
Без труда проверяется, что операция Д билинейна, так что
в действительности мы получаем гомоморфизм из тензорного про-
произведения.
П) Пусть ие?"(Х) и j/s?m(F) представлены отображени-
отображениями /: Х-+2пЕ и g: Y->-I,mE соответственно. Тогда х Д у пред-
представляется композицией
X Д Y Ш. ЪпЕ Д ZmE ~ in+m {Е Д Е)
Как и прежде, Д билинейно.
Hi) Если w е Ер (X Д Y) и у е Ед (Y) представлены отобра-
отображениями /: X Д К->2Р? и g: 5?->?Д Y соответственно, то w/y
представляется композицией
X ~ X Д
iv) Если хеР(Х) и w &Ед(Х /\Y) представлены отобра-
отображениями /: Х-*-2р? и g: S9-+E/\X/\Y соответственно, то
x\w представляется композицией
S9-p ЮРЛ 2"Р? Д X Д Y Ш X Д 2-рЕ Д У ^-^i
WE /\2->E frYc^E frE /\YSME /\Y.
В силу замечания, следующего за предложением 13.46, мы
должны договориться о том, что понимается под такими эквива-
лентностями, как 2л+т (X Д Y) ~ 2"Х Д 2ШК. В дальнейшем такая
эквивалентность будет означать композицию
{X Д У) ?* 2" (X Д 2mF) ~ 2"X Д 2тУ.
13.51. Замечания, i) Для /- и \-умножений имеется сле-
следующее мнемоническое правило:
a) когомологическая переменная всегда расположена слева,
а гомологическая переменная — справа от знака умножения;
b) символы, обозначающие пространства, подчиняются отно-
относительно этих умножений «правилу сокращения дробей», т. е.
„XY/Y-+X", ,X\XY-+r'
и) Для любых спектров Е и F можно определить более общие
умножения
Еп (X) О Fm (Y) -+ (Е Д F)n+m (X Д Y)
и т.д. (ср. с х -умножением Нп(Х\ G) §§Hm(Y; G')-»-#n+m(X(g)F;
G0G') для двух произвольных абелевых групп G, G').
Hi) Существует понятие модульного спектра F над кольцевым
спектром Е. Это означает, что задано такое отображение спект-

ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ 321
ров а: Е Д F -*¦ /Г. для которого гомотопически коммутативны
некоторые очевидные диаграммы. Комбинируя а с умно-
умножениями
Еп (X) ®Fm(Y)-+(E Д F)*+m (X Л У)
и т. д., мы получаем для любого модульного спектра F над Е
умножения
Еп (X) (Я) Fт (К) -* F4+m (Х.Д Y)
и т. д-
Для клеточных пар (X, А) мы имеем относительные группы
?„, (X, А), Е* (X, А) и соответствующие внешние умножения, ко-
которые определяются, исходя из того факта, что
(XIА) Д (УIB) g^Xx Y/X х В U A x Y.
Таким образом, мы получаем умножения
i) x: Ea(X, A)®Em(Y, B)^En+m(XxY, XxB\)AxY),
ii) x: E"(X, A)®Em(Y, B) -> ?"+m (X x Y, XxB{jAxY),
iii) /: E"(XxY, XxB\j A x Y) ®Eg(Y, B)-+E'~*{X, A),
iv) \: EP(X, A)®E9(XxY, XxB\)AxY)^Eg-p(Y, B).
Как известно, используя клеточные эквиваленты, можно опре-
определить ?*(Х, А) и Е*(Х, А) для произвольных пар (X, А).
Следовательно, наши умножения продолжаются на произвольные
пары (X, А) и (К, В), удовлетворяющие лишь тому ограничению,
что триада (X х В [} А х У; ХхВ, AxY) вырезаема относитель-
относительно Е.
Свойства естественности описанных выше умножений вытекают
непосредственно из определений. Сформулируем их в виде сле-
следующего предложения.
13.52. Предложение. Пусть f: X^>~X', g: Y-^-Y' —неко-
—некоторые отображения спектров.
\) Если лб?л(X), у<=Ет(Г), то (} [\ g)* (x/\y) = U (х)Д
8* (У)-
ii) Если хе?"(Д y<=Em(Y'), то {f /\g)* (x f\y)=f*(x) Д
g* (У)-
iii) Если и<=Е»(Х' /\Y'), yt=Eg(Y), то (ifl\g)*u)/y =
t*{u/g*y).
iv) Если хбРЩ ve=E4(Xf\Y), то х\(/Лй.(»)-
(f*)
g*(f\)
Если умножение ц коммутативно, то Д удовлетворяет сле-
следующему соотношению коммутативности.
13.53. Предложение. Если умножение ц: Е /\Е-*-Е ком-
коммутативно и х<=Еп(Х), y<=Em(Y), то г*(х/\у) = (—1)пту/\х.
Аналогичный результат справедлив и для когомологий.
11 Роберт М. Свитцер

322 ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
Вопрос: как должно быть сформулировано соотношение
коммутативности для более общего умножения
Л: Ея (X) ф Fm (Y) -+ (Е Д F)n+m (X Д Y)?
Доказательство. Предположим, что элемент х е Еп {X)
представлен отображением /: 5" ->¦ Е Д X, а элемент у е Ёт (У) —
отображением g: Sm-+E Д У. Тогда результат следует из гомо-
гомотопической коммутативности диаграммы
1ЛТЛ1
1
EaXkY
Единственное место, в котором гомотопическая коммутативность
не совсем очевидна, — это самый левый квадрат.
Коммутативность его получается двойной индукцией по (л, т),
базисом которой является утверждение о том, что отображения т:
S1 Д S1 -> 51 Д S1 и v' Д 1: S1 Д S1 -+ S1 Д S1 гомотопны (см. дока-
доказательство теоремы 8.26). ?
Построенные умножения связаны восемью соотношениями ассо-
ассоциативности.
13.54. Предложение, i) Если ле?,(Д y^tm(Y), гг
EP(Z), то
(х f\y)f\z = x/\{y/\z)e= En^p(X /\Yj\Z).
и) Если х е Еп (X), у е Em(Y), z<=Ep (Z), то
(x/\y)/\z = xh(y/\z)<= En+m^(X Д Y Д Z).
Ш) Если *е?'(X), и €= Ет(X Д Y), геЕр(Z), то
(х\и) Д г-х\(о Д z)<=Em^n(Y Д Z).
iv) Если хеР(Х), ue=Em(Y /\Z), z<=Ep(Z), то
х Д (и / г) = (х Д и) / г s ?n+m-p (X Д Г),
v) ?слы ьу г?т(X Д Y Д Z), {/г=?„(У), 2e?,(Z), то
(zA у)) е= ?"-"-" (X).

ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ 323
vi) Если хе=Ет (X), у е= Е" (У), w e=Ep(X /\Y /\ Z), то
у \ (х \ w) = т* (у Л х) \ w <= ?p-m-n (Z).
. vii) Если и<=Ет(Х /\Z), y<=E"(Y)t v<=Ep(Y/\Z), то
и / (у \ v) = [A Л т)* («Л»)]/»е ?л+т'р (*)•
viii) ?ым «е?ш (X Д ^). У sЕя (Y), ve=Ep(X /\ Z), то
(и / у) \ v = и \ [(т Д 1)* (У Л ")] е ?.7+^m (Z).
Доказательство этих утверждений заключается в выписывании
соответствующих диаграмм и проверке их гомотопической комму-
коммутативности . При этом важную роль играет ассоциативность умно-
умножения (X.
Вопрос: как формулируются эти соотношения ассоциатив-
ассоциативности для более общих умножений замечания 13.51, ii)?
Замечание. Если умножение и коммутативно, то с по-
помощью предложения 13.53 можно переписать соотношения v) и
vi) в следующем виде:
= (—l)mnxf\y\w.
В частности, для любого кольцевого спектра Е мы имеем
умножение
Д: Е„ (S0) 0 Ет (S0) -* ?в+т E° Д -S0) -* ?и+т (S"),
т. е. спаривание
л„(Е)®лт(?)->-лл+т(?), n, meZ,
превращающее я„ (Е) в градуированное кольцо. Ассоциативность
этого градуированного кольца следует из соотношения 13.54, i),
если полбжить в нем X = Y = Z = S°. Элемент 1=[5°—?]е
по(Е) является единицей этого градуированного кольца. Если
спектр Е коммутативен, то л„, (Е) градуирование коммутативно,
т. е. для хел, (Е), у е пт (Е) имеет место равенство ху =
(—\)птух. Кроме того, для произвольного пространства X мы
имеем умножения
Д: Еп (S0) ® Ет (X) 1. Еп+т (Я» Д X) = ?л+т {X),
Л: ?л E°) (g) ?т (X) -> ?л+т (S0 Д А) - ?л+т (X),
превращающие ?„, (X) и Е* (X) в градуированные (левые) модули
над градуированным кольцом я,,, (Е) (заметим, что Е" E°)= л_п (?)).
Аксиомы модульности следуют из предложений 13.54, i), ii) и
условия на i: S°->-E. Разумеется, точно так же можно опреде-
определить и правые градуированные модули.
Исследуем теперь, как наши умножения ведут себя относи-
относительно надстроек. Оказывается, существует восемь соотношений
11*

324
ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
типа a(ab) — o(a)b или a(ab) = a(ab), задаваемых следующим
предложением.
13.56. Предложение. Для любых спектровX, Yследующие
диаграммы коммутативны с точностью до указанного знака:
1)
Em(Y)
Em(Y)
ii)
НГ
E»(X)
Hi) I л
EH+i(IX)
Iv)
У)
(-1)"
У)) -
1(гГ)
I У),
Еп~т{Х)

ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ 325
1 E) <T
Доказательство. Доказательство состоит в выписывании
отображений, представляющих умножения, и в проверке того, что
соответствующие диаграммы гомотопически коммутативны. Напри-
Например, для доказательства утверждения ii) требуется установить
для любых /: S"^-E /\X, g: Sm->-E f\Y гомотопическую ком-
коммутативность диаграммы
1лтл1
II II
1У)
(см. замечание, следующее за предложением 13.46). D

E%XxBOAxY,AxY)
AxY)
Y,XxBvAxY)

ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
327
Установив связи между а и внешними умножениями, мы можем
теперь изучить их поведение относительно граничных гомомор-
гомоморфизмов д: Еп(Х, Л)->-?„-, (Л), Д: Еп(Х, А)-+Еп-1{А, В) ит д.
Перечислим двенадцать соотношений, которые будут следовать
из предложения 13.55 и естественности наших умножений сразу
же, как только мы заметим, что диаграмма на с. 326 коммута-
коммутативна для любых клеточных пар (X, А) и (Y, В). Таким обра-
образом, Д° = является, по существу, композицией A Д k')*°a-1. Еще
три таких диаграммы получаются заменой (X, А)хВ на /4*(F, В)
и Е* на ?,.
13.56. Предложение. Пусть (X, A), (Y, В) — такие топо-
топологические пары, что триада (X х В (J A х Y; XxB, A x Y) выре-
вырезаема относительно Е. Тогда следующие диаграммы коммутативны
с точностью до указанного знака:
En{X,A)®Em{Y,B)
а® 1
ЕЯ+ЖХ,А) х (Г, В))
Ea(Y,B)
У
BvAxY,X*B),
где Д — граничный гомоморфизм тройки (XxY; Xx*B\}Ay.Yt
XxB);
1 ®Э
11)
1-
Еп+т-г(ХхВ,АхВ)
Еп+АХ,А) х (Y,B)) -Z-* iW-хСГх В и А х Y,A x У),
где А —граничный гомоморфизм тройки {XxY, XxB[)AxY,
AxY);

828
ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
Hi)
E"+m(AxY,AxB)
E'+m+1((X,A)x(Y,B)),
еде А—граничный гомоморфизм тройки (XxY, XxB[)AxY,
XxB);
E%X,A)®En+\Y,B)
iv)
?"+"•(АГх J?
(-1)"
^) x (У, Д)),
e9e Д — граничный гомоморфизм тройки (XxY, XxBljAxY,
AxY);
Ел(ХхBVAxY,XxB) Д®\ Е*+\(Х,А)х (Y,B))
®EJiY,B) * ®Em{Y,B)
v) E*(AxYtAxB)®Em(Y,B)
4 ..

ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
329
E\XxBUAxY,Ax Y)
®Em(Y,B)
vi)
?<8> 1
E\X xB,AxB)<S> Em( Y, B)
E%A) ®
Em((X,A)x(Y,B))
vii) 5
(-I)*
E'(X,A)
viii)
(-1)"
En.n(Y,B)
IX)
®Em(Y,B)
I
H)"
, ^) x Ет.х(Х xB.AxB)
I'

330. ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
X)
E"(A) <g> Em(Xx BVA x Y,XxB)
E\A) <g>Em(X
Г, Л) x B)
xi)
E\A) ® E"\B)
A) ® ?mE) EM)
xii) ?«+«
¦I
Ии^х^хУ) Еп+т+\Хх BvAxY,XxB)
\
Доказательство. Доказательства соотношений i) —viii)
почти не отличаются друг от друга; для примера установим ком-
коммутативность диаграммы vi). Мы будем считать, что (X, А) и

ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ 331
(Y, В) — клеточные пары; общий случай получается взятием кле-
клеточных эквивалентов. Так как Д °?^ есть композиция AД k')* «cr1,
то для ue?"p, А)хВ), i/<=?m(Y, В) мы имеем
(\ l\k')*crlu/y = o-xu/k'*y= (по 13.52, iii))
(—1)л+т и / a-4i*y=> (по 13.55, vi))
(—1)п+ти /ду.
Соотнои:ения ix) — xii) получаются из шестиугольной диаграммы
7.22 для триады (XxB\jAxY\ ХхВ, AxY) и диаграмм О —
viii). D
Используя внешние умножения и диагональное отображение,
можно ввести внутренние умножения и и л аналогично тому,
как это делалось для сингулярных гомологии и когомологий. Для
любого пространства X определим
<j: Еп(Х)®Ет(Х)-+Еп+Г71{Х),
полагая w=A*»x. (Заметим, что в категории спектров диаго-
диагонального отображения не существует и поэтому нельзя задать
умножение w на Е* (X) для произвольного спектра X.) Для то-
топологических пар (X, А) и (X, В) мы также имеем w-умножение
Еп(Х, A)<S)Em(X, В)*.Ел+т((Х, А)х(Х, В)) ^
Еп+т(Х, А[}В),
где Д представляет собой отображение
Д: (X, А[)В)-+(ХхХ, ХхВ\]АхХ) = (Х, А)х(Х, В).
Определим теперь г»-умножение:
о: Еп(Х, А)®Ет(Х, А\)В)-+ЕЯпЯ(Х, В)
как композицию
Е"(Х, А)®Ет{Х, А[)В)^^
Е*(Х, А)®ЕЯЦХ, А)х(Х, В))±Ет-п(Х, В).
Из определений и предложения 13.52 мы немедленно получаем
следующие формулы естественности.
13.57. Предложение, i) Пусть f: (X, А,В)^(Х\А', В') —
произвольное отображение, хе?"(Г, А'), у &Ет(Х', В'). Тогда
п) Пусть f: (X, А, В)-*-(Х', А', В') — произвольное отобра-
отображение, хе=Еп(Х', А'), уе=Ет(Х, АЦВ). Тогда
Из соотношений коммутативности для Д ШЛ получаем соот-
соотношения коммутативности для w.

332 ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
13.58. Предложение. Если Е — коммутативный кольцевой
спектр, то для х^Е" (X, А), у е ?"* (X, В) мы имеем
yvjX = (— l)"mXKj ye=En+m(X, A[}B).
Поведение w-умножения относительно элемента
1 = [Х+ ~ Х+ Д 5° -М (Pt)+ Д Е с* Е] s ?° (*+)
описывается следующей леммой.
13 Л /7
у
13.59. Лемма. /7г/с/пь л^ ХхУ-»-*, я2: Xх У->- Y — есте-
естественные проекции. Тогда для х<=Е" (X), у е Em (Y) мы имеем
Доказательство тривиально.
13.60. Следствие. Для любых х^Е"(Х, А), у^Ет(Х, А)
имеют место равенства \vjx = x = xvj\ и 1 г\у — у.
Доказательство. В самом деле, 1 w х = Д* A х х)—
Д*я?л: = (я2.Д)*л: = л:, xvj 1 = Д* (хх 1) = Д*я?л: = (л1 • А)*х = х.
Равенство \глу*=у проверяется выписыванием представляющих
отображений. ?
Соотношения ассоциативности для внешних умножений поро-
порождают большое число соотношений ассоциативности между умно-
умножениями х, /, \, ^, гл. В следующем предложении мы пере-
перечисляем те из них, которые будут использоваться в настоящей
книге.
13.61. Предложение, i) Если х<=Еп(Х,А), уе=Ет(Х,В),
z<=iEp(X, С), то
, Л U В U С).
и) Если х&Еп{Х, А), х' <=Ет(Х, A'), y&E"(Y, В), у' &
E9(Y, В') и Е — коммутативный спектр, то
(х kj х')x(yvj у') = (— \)тР(хху)U (х'ху') е
Еп+т+^((Х, A[)A')X(Y, B[jB')).
ill) Если xesEn (X, А), уе=Ет (X, В), г е Ер (X, A U В [] С), то
(x\j у)^г=~хг\ (yr^z) аЕ^т-п(X, С).
iv) Если азЕп((Х, A)x(Y, В)), y^Em(Y, С), ге
BP(Y, В\}С), то
а/уъг = [аиAху))/г&Еп+т-р(Х, А).
v) Если а&Еп ((X, А) X (У, В)), у е Ет(Х, С), z<=Ep (F, В), то
vl) ?сл« яеРр, Л)х(У, В)), yaEm(Y, В), г
(Х, Л U С), то
(а/у)глг= яц, [а о (zху)] е-?р+т-ч(X, С),
яа: XxY->-X — проекция на первый множитель.

ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ 333
Доказательство. Утверждения i) и И) очевидны. Для
утверждения iii) мы имеем
хг^(уг^г) = х\&*{уг^2) = х\&,
*\@\AхД),Д,г) =
Т*(*Ху)\(Дх1)„ Д*2 =
А*т*(хху)\ Д*г =
A*(*Xy)\A.z=-
(х с/ у) г% г.
Для утверждения iv) имеем
[а^A ху)] /г=[АххуA xnf)(ax,
(ax#) / т„сДК!)!г = [A хт)* (а
а/(у\Д,г) =
»&\
(по
(по
(по
(т.
У)) /2
ХУ)]/
(по
А*2)™1
13.52)
13.54)
13.52)
А = Д)
13.54)
Доказательство утверждений v) и vi) оставляем читателю в каче-
качестве упражнения. ?
Связь между умножениями и и пи граничными гомомор-
гомоморфизмами может быть получена из предложения 13.56.
Кроме перечисленных умножений в дальнейшем нам понадо-
понадобится еще одно —так называемое умножение Кронекера
(, >: Е" (X) ® ?т (X) -+ ?т-„ (S°) = ят_„ (?).
Оно определяется следующим образом. Если заданы х е ?" (X),
у &Ет (х), то мы можем рассматривать jc как элемент группы
En(S° /\Х) или же «/ — как элемент группы Ет(Х f\S°). Поло-
Положим тогда
Если элементы х и у заданы своими представителями /: X -*¦ Е"?,
g: Sm^>-E Д X, то (*, у) представляется композицией
(В теории сингулярных гомологии умножение Кронекера может
быть определено как отображение вычисления представляющего
коцикла на представляющем цикле.) Умножение .;,) обладает
следующими очевидными свойствами естественности и ассоциа-
ассоциативности.

334 ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
13.62. Предложение, i) Если f: X-*¦ X'— произвольное
отображение, «е?"(А') и у е ?т (X), то
(х, /*</> = <Г% у).
и) Если ае=Еп(Х /\Y), y<=Em(Y), х<=Ер(Х), то
(а /у, х) = (а, х(у Д *)> епт?р-п(Е).
Hi) Если yeEE"(Y), xeEEm(X), а<==Ер(Х /\Y), то
(у, х\а) = {х*(у /\х), а)е=Пр-п-т(Е).
iv) Если уе=Еп.(Х, В), хе=Ет(Х, A), z<=Ep(X, A[]B), то
(у, Xr\z) = (yVJ X, Z) SE П^-г.-т (E).
v) Если x<=En(X), y<=Em(Y), a<=Ep(X), bs=Eq{Y), mo
(x Д У, a/\b) = (-A)? (x, a) (y, b).
vi) Если leFffl, у se E" (Y), ae=Em(Y), mo
(lxy)/a = (y, a)l^Em
13.63. Из соотношений ассоциативности для иипи из след-
следствия 13.60 следует, что w-умножение определяет на Е* (X, А)
структуру градуированного кольца для всех топологических
пар (X, А), а также структуру градуированного Е* (Х)-модуля
на Е* (X, А). Умножение гл определяет на Е^ (X, А) структуру
градуированного Е* (^)-модуля. В действительности мы имеем
больше: Е* (X, А) является не только градуированным кольцом,
но даже градуированной алгеброй над градуированным кольцом
л* (?) = ?* E°). Другими словами, ^ индуцирует отображение
и: Е*(Х, А)®Е*(Х, А)-+Е*(Х, А),
которое является гомоморфизмом градуированных к% (?)-модулей.
Кроме того, эти кольцевые и модульные структуры естественны
относительно отображений f: (X, A)^>~(Y, В). Таким образом,
нам удалось обогатить естественную структуру на Е* (X, А),
а это, как указывалось выше, является одной из главнейших
внутренних задач алгебраической топологии. Сейчас мы проде-
продемонстрируем, какую пользу приносят эти более богатые структуры.
13.64. Пример. Пусть X = S2x53, Y = S2\JS3\JS6. Оба
пространства X и Y имеют клеточные структуры с одной нуль-
нульмерной, одной двумерной, одной трехмерной и одной пятимерной
клетками. Для произвольной абелевой группы G мы имеем
, 9 = 0, 2, 3, 5,
(здесь мы воспользовались теоремой об универсальных коэффи-
коэффициентах и теоремой Кюннета). Когомологии пространства Y по*-

ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ 335
считываются непосредственно:
G, о = 0, 2, 3, 5,
Таким образом, группы когомологий не различают пространств X
и У. Совсем иначе ведут себя кольца когомологий Я* (X; Z),
Я* (У; Z). Пусть g, е= W (Sl; Z) - образующая, я,: X-+S2,
л2: X -*- 5s — естественные проекции и х = я*|г2еЯа№ Z), #«
n!g,e//3№ Z). Тогда
Но по когомологической теореме Кюннета гомоморфизм
х: ^*(Sa; Z)(g)tf*(S3; Z)^H*(X; Z)
является изоморфизмом. Следовательно,
?2X^8 =5^=0.
Пусть теперь t: S8 -»- У — вложение и я: У-^51 — проекция
(y/K*^S6). Так как „,^1^ то
i*: Я6 (К; Z)^#8(S6; Z)
— эпиморфизм и, значит, изоморфизм. Но поскольку для любого
лге#г(У; Z) обязательно
i*(*)e#2(S6; Z) = 0,
то для jeff(K; Z), jieЯ8(К; Z) имеем
Следовательно, xwy = 0, т. е. кольцо Я* (К; Z) не имеет нетри-
нетривиальных произведений. Таким образом, кольца Я* (X; Z) и
Я* (У; Z) не изоморфны, и, значит, 5ах58ф5а\/58\/58.
Так как Я* (Sn; R) = Я" (S"; /?) и для любых х, уе=Нп (Sn; R)
мы имеем
то Я* (S"; R) имеет тривиальную кольцевую структуру для всех
л>0 и любых колец R. В то же время, совсем не очевидно,
справедлив ли этот факт для произвольного кольцевого спектра Е.
Сейчас мы покажем, что Ё* (SX) имеет тривиальную кольцевую
структуру для всех пространств X.
13.65. Предложение. Пусть X*=A\JB, где оба подпро-
подпространства А и В стягиваемы по себе в точку х0 е A f] В Тогда
для всех х, у^Ё*(Х) = Е*(Х, {хц}) имеет место равенство
0

336 ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
Доказательство. Пусть
iA- (X, Ы)^(Х, A), iB: (X, {Хо\)-+(Х. В)
и i: (X, {хо})-*~(Х, X) — очевидные включения. Тогда
i*A: Е*(Х, А)^Ё*(Х) и %: Е*(Х, В)^Ё
являются изоморфизмами. Следовательно, найдутся такие элемен-
элементы х' сеЕ*(Х, А), у' е= Е* (X, В), что i% (х') = х, i% (у1) = у.
Таким образом,
X V у = i*A (X') W i% (у') = i* (X' KJ у'),
но x'w #'<=?*(*, A{JB) = E*(X, X) = 0.a
13.66. Следствие. Е* (SX) имеет тривиальную кольцевую
структуру.
Доказательство. SX = C+X\JC-X и конусы С+Х, СХ
стягиваемы. D
Аналогичные рассуждения показывают, что если X — конечно-
конечномерное клеточное пространство, то все элементы из Е* (X)
нильпотентны.
13.67. Предложение. Пусть X —клеточное пространство
с r-мерным остовом Хг и FrE* (X) = ker[?* {X)-+E* (X'-1)].
Тогда для любых а е F^E* (X), b e FqE* (X) имеет место включение
nude fp+??* (X).
Доказательство. Пусть
— вложения. Тогда элемент а может быть записан в виде а = /* (а')
для некоторого а' е Е* (X, Л^-1) и, аналогично, Ь = Ц{Ь') для
некоторого V е Е* (X, Х9'1). Мы имеем гомотопически коммута-
коммутативную диаграмму
ХхХ
л
(X,Хр+*-1) -^.(ХхХ,(ХхХУ+<-1) с (XхX, Xх X"-1 и X1 х X),
где Д' — клеточное отображение, гомотопное диагонали (X, )
(ХхХ, Xp+v^xXp+v-1), см. предложение 6.35. Таким образом,
а ^ b = Д* (ахЬ) = А* (Дх jt)* (a'xb') = ДД'* (a'xb1),
т. е. a\jbszFP+4E*(X).n

ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
337
13.68. Следствие. Если X — линейно связное клеточное
пространство размерности п, то для всех яе?* (X) выполнено
соотношение a"+l = 0.
Доказательство. Можно считать, что Х° = \хо\. Тогда
Ё*(Х) = Е*(Х, \хп)) — FlE*(X). Следовательно, для любого
а <= Ё* (X) мы имеем
= ker Г?* (X) _v E* (Хп)] =
= 0. П
13.69. До настоящего времени мы говорили только о кольцевой
структуре на Е* (X) (где X — некоторое топологическое простран-
пространство). Попытка определить таким же образом кольцевую структуру
на Е% (X) наталкивается на очевидное препятствие: в гомологиях
отображение диагонали Д: Х-^ХхХ действует не в том направ-
направлении. Чтобы такое определение оказалось возможным, необходимо
иметь отображение ХхХ -+Х. Таким образом, хотя для произ-
произвольного X на ?* (X) никакой кольцевой структуры не сущест-
существует, в случае, когда X является //-группой с умножением
\л: Хх X -+Х, а Е — кольцевой спектр, мы получаем умножение
Понтрягина
Еп (X) (х) Ет (Х)^Еп+т (X х X) ^ Е,1Лт {X),
которое превращает ?* (X) в градуированное кольцо и даже
в градуированную алгебру над л^ (Е). Например, классифици-
классифицирующие пространства BG для классических групп Ли G — O, SO,
Spin, U, SU, Sp имеют структуру Я-группы, индуцированную
суммой Уитни в 6о = [—; BG]. Следовательно, E^iBG) является
кольцом Понтрягина. Более подробно мы рассмотрим эти кольца
в главе 16.
Аналогично, для любого кольцевого спектра F с умножением
jj,: F/\F^-F мы имеем умножение Понтрягина
En (F) <g) Em (F) A En+m
13.70. Замечание. Можно определить абстрактное понятие
мультипликативных теорий гомологии и когомологий. Например,
теория гомологии h^ на &*&' называется мультипликативной
теорией гомологии, если для любых я, meZ, X, Ке??& суще-
существуют естественное преобразование
удовлетворяющее условиям 13.54, i), 13.55, i), ii), и такой элемент
1 е h0 (S°), что для любого х^пп (X) спаривание
К (S°)®hn (X) А К E° Д X)^hn (X)
отображает l(g)x в х. Определение для теории когомологий п*
аналогично.

338
ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
13.71. Упражнение. Пусть h* — мультипликативная теория
когомологий и Т: Е*-*-h* —естественная эквивалентность на S?^'.
Показать, что спектр ? обладает умножением ц.: Е/\Е^-Е и еди-
единицей i: S°->-E, индуцирующими на И* данное умножение.
Возможно, у читателя уже возник вопрос: переносятся ли
теорема об универсальных коэффициентах и теорема Кюннета на
произвольные теории Е* и ?*? И хотя такой перенос возможен,
в общем случае аналоги указанных теорем формулируются в тер-
терминах спектральных последовательностей. Мы рекомендуем
интересующемуся читателю вначале прочесть главу 15, а затем
познакомиться с этими теоремами по книгам [6] или [8]. Здесь
же мы рассмотрим лишь наиболее важный для приложений частный
случай, в котором теорема Кюннета сводится к изоморфизму.
13.72. Пусть R — кольцо с единицей 1, М — правый /^-модуль
и N — левый R-модуль. Определим тгнзорное произведение M5gRN
этих модулей над кольцом R С этой целью выделим в тензорном
произведении М 0 Л' (здесь М и N рассматриваются как абелевы
группы) подгруппу К, порожденную всеми элементами вида
тг (х) п — т 0 т для meM, r^R, n^N, и положим
М ®я N = М <g) NIK-
Таким образом, мы имеем точную последовательность
М ® R 0 #««®lzi®f?M <g)N-»-М ®яN-»-О,
где ам: M(g)R-*-M, a,v: R <g) N^-N — отображения, задающие
на М и N структуры /^-модулей. На неформальном уровне M$RN
получается из M0N добавлением соотношения mr(g)n = /n(g)/-n.
Упражнение. Показать, что М (g)^ R^M, R ®# N ^ W.
Из соотношений ассоциативности для Д и <,) вытекает, что Д
и (,> индуцируют гомоморфизмы
Д: E
Д: E
(, >: Е»(Х) ®„. (?, Ет (X) -> Ёт-„ E°) = пт.п (?).
Займемся отысканием достаточных условий, при которых ото-
отображения Д и {,) являются изоморфизмами.
13.73. Определение. Левый /?-модуль N называется пло-
плоским, если для любой точной последовательности
0-»А-»В-+С^0
правых Я-модулей последовательность
О -»- А ®я N -*¦ В (g)R N -> С ®RN -^ О
также точна. Аналогично определяется плоский правый R-модуль.
13.74. Упражнение. Показать, что каждый свободный
R-модуль является плоским.

ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ 339
13.75. Теорема. Пусть Е —кольцевой спектр и X, Y —про-
—произвольные спектры
i) Предположим, что либо Е^(Х)— плоский правый Ё* (S0)-
модуль, либо Е^(У)-плоский левый Ё^(8°)-модуль. Тогда
Д: Е
— изоморфизм.
и) Предположим, что либо Е* (X) — конечно порожденный
свободный правый Ё* (S°)-Mody.ib, либо Е* (Y) — конечно порожден-
порожденный свободный левый Ё* (8°)-модуль. Тогда
Д: Е*(Х)®Ъ.{5Я)Е*(У)^Е*(Х/\У)
— изоморфизм.
[В главе 17 нам понадобится следующее утверждение: если
п„.(Х/\Е) является плоским правым я^ (?>модулем, то
Д: щ(Х/\Е)®п.{Е)п*(Е/\У)^п*(Х/\Е/\У)
— изоморфизм. Доказывается оно в точности так же, как утвер-
утверждение i) настоящей теоремы.]
Доказательство, i) Для определенности будем считать,
что ?* (К) является плоским левым ?„, E°)-модулем; случай пло-
плоского правого ?,. E°)-модуля Е% (X) рассматривается аналогично.
Таким образом, пространство У предполагается фиксированным,
а X — переменным. Мы имеем два функтора
из категории ?У&' в категорию градуированных абелевых групп.
Оба этих функтора удовлетворяют аксиомам теории гомологии
на ?"&': Fx точен на корасслоениях потому, что ?„ (У) — плоский
модуль, а ^2 — потому, что если A -vB->- С — корасслоение, то
ЛЛУ-^^Л^-^^Л^~также корасслоение A3.47). Имеют место
естественные эквивалентности степени 1
(X) <g>g, (S0) ?* (Y) °-®А ?„ B X) 0g> (S0) E. (У)
Функтор Ft удовлетворяет аксиоме суммы потому, что ®R ком-
коммутирует с прямыми суммами и Е^ — теория гомологии. Функ-
Функтор F-i удовлетворяет аксиоме суммы в силу соотношения
Xi\/\Y—\/ (xa.f\y) A3.48). Отображение Д является естест-
(V
\ о
о .' а
\
венным преобразованием Fi-*-^ теорий гомологии; очевидно, что
Д: Fi(S°)-+-F°(S°) —изоморфизм. Таким образом, по теореме 7.55
Д — естественная эквивалентность.

340 ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
Н) Рассуждения для теорий когомрлогий те же самые, что
в i), за исключением того, что @R в общем случае не коммутирует
с прямыми произведениями. Поэтому мы предполагаем, что Е* (Y)
(или Е* (X)) является конечно порожденным свободным /?-модулем
(т. е. прямой суммой конечного числа экземпляров R = nj). (?)).
Это гарантирует выполнение аксиомы суммы. D
13.76. Пример. Пусть F — поле. Тогда Н^(Х; F) — плоский
модуль над #„, (S°; F)^F, и, следовательно, для любых X, Y
имеет место изоморфизм
Я,(Х; F)®FHt(Y; F)Ah*(X/\Y; F).
Аналогичный изоморфизм существует и для относительных групп:
Ht(X, A; F)®FH*(Y, В; F)±H*((X, A)X(Y, В); F).
Для когомологий требуется предположить дополнительно, что
Н* (X, A; F) или Я* (У, В; /^ — конечномерное градуированное
векторное пространство над полем F (на самом деле достаточно,
чтобы были конечномерными все векторные пространства
Нп(Х, A; F), flsZ).
Рассмотрим теперь умножение
Оно индуцирует гомоморфизм
к: Е" (X) -+ Нот-«(Е) (Е0 (X), я* (?)),
где для градуированных /?-модулей А „, В^ символом ^
обозначается группа всех /^-гомоморфизмов Ф: А^^-В^ степени г
(<t>(Aq)aBq+r Для всех q^Z). Точная формула для к имеет вид
[к(х)](у) = (х, у), хе=Е»(Х), уеЕЕт(Х).
Как и прежде, естественно спросить, в каких случаях к будет
изоморфизмом. Из теоремы Адамса об универсальных коэффи-
коэффициентах [8] следует, что эта ситуация имеет место, если Е^ (X) —
свободный л,, (?)-модуль. Для X = S° результат очевиден. Если
же Е% (X) = ?* (S0) и данный изоморфизм является в некотором
смысле естественным (хотя, возможно, имеющим степень, отличную
от 0), то соответствующий результат верен и для пространства X.
В главе 16 мы встретимся с другими ситуациями, в которых
— изоморфизм.
13.77. Упражнение. Пусть R — кольцо, М — правый ^-мо-
^-модуль и А — абелева группа. Показать, что существует естествен-
естественный изоморфизм
в: Нотл(Л(Н)/?, М)-+Нот(А, М),

ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ 341
задаваемый формулой В(Ф) = Ф', где Ф'(а) = Ф (a (g) 1) для фе
HomR(A(g) R, М), а^А. Таким образом, для поля F и тополо-
топологической пары (X, А) мы имеем
Sn(X, A; F) = Hom(Sn(X, A), F)^EomF(Sn(X, A)®F, F) =
(Sn (X, A) (g) F)* = {векторное пространство, двойственное
к Sn(X, A)®F)\.
Граничный гомоморфизм d: Sn(X, A; F)-+S"+1(X, A; F)
является двойственным к гомоморфизму d(g)l: Sn+i(X, A)(R)F-*~
Sn(X, A)(g>F. Следовательно, Я"(Л, A; F)^Hn(X, A; F)*,
и этот изоморфизм есть в точности изоморфизм
к: Н*(Х, A; F)-yHomF(H:?(X, A; F), F),
описанный выше.
В п. 7.39 мы определили для всех приведенных теорий гомоло-
гомологии k* с выделенным элементом i0 ^ko(S°) гомоморфизм Гуревича
Л: яя(У, yo)-+kn(Y).
В частности, если Е — кольцевой спектр с единицей i: S° ->¦ Е,
то мы имеем элемент
В этом случае гомоморфизм Гуревича h совпадает с композицией
пп(Х, xo)-+ns (^
Более общо, если F — еще один произвольный спектр, то можно
определить гомоморфизм Гуревича
Fn (X) = л„ (F Д X) s* nn (S° Д F Д X) iiAlAih
nn(E/\F/\X) = (E/\F)n(X).
Обозначим этот гомоморфизм через Н. Если, в добавление ко
всему, ?* (F) является плоским я* (^-модулем, то по теореме 13.75
имеет место изоморфизм
Таким образом, в этом случае Н можно рассматривать как
гомоморфизм
Двойственным к Я (см. пример 13.76) является гомоморфизм
Бордмана В:
[X, 2"F] = [X, 2" (S°/\ F)]lliiA-'is
[X, 2»

•342 ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
-Определим гомоморфизмы
cc: F» (X)-* Ногагш ,s>) (?„ (X), ?, (F))
т: (ЕЛ/7)"(X)-*¦ Hom^n(S0) (?„ (X), ?, (F)).
полагая
для /: X->2"F и
(т [ff])[ft! = IS*-" ?"^ 2-«? Л * Ш 2-"? Л 2"Е Д F«b!U ? д F]
для ft: Sq-*-Ef\X, g: X -»- 2n(E/\F). Тогда имеет место комму-
коммутативная диаграмма
Homi.%
Если ?* (X) — свободный ?,, E°)-модуль с конечным числом обра-
образующих в каждой размерности, то мы имеем изоморфизм
(X), Е> (F)) ^ (?, (X))* ® ё> (S0, ?
_
модуля Hom| (S0)(?,(X), Е* (F)) с пополненным тензорным про-
произведением модулей (?#(X))* = Hom|, (so)(?,(X), ?» (S0)) и
E%(F) (A 0 В означает, в сущности, что мы допускаем бесконечные
суммы ^ а; 0 ЬД- Заявляя, что гомоморфизмы Н и В двойственны
друг другу, мы понимаем под этим следующее.
13.78. Теорема. Для любых кольцевых спектров Е, F и про-
произвольного спектра X коммутативна следующая диаграмма
р (X) > 7tm „(Л
I'
'*

ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ 343
Если заменить в ней В гомоморфизмом а и если модуль ?„ (F)
плоский, то она принимает вид
F\X) ® Fm(X) ill : > 7rm_n(F)
I*
где к задается формулой к (Ф (g) / (g) x) = Ф (дг) • /
х(=Ет-ч(Х) и ФеНот^^да, ?# (F)) (зйесб • юзначает
умножение Понтрягина в ?„, (F)).
Доказательство. Оба гомоморфизма В и Я являются
естественными преобразованиями теорий гомологии и когомологий
соответственно, индуцированными отображением представляющих
спектров (а именно, отображением *./\l: F->Е/\F). Кроме того,
умножение (,) естественно. Отсюда следует коммутативность
первой диаграммы. Что же касается второй диаграммы — все что
нужно, это проверить равенство
В главах 17 и 19 читатель найдет различные применения
отображений Гуревича и Бордмана.
Мы завершим эту главу построением умножений \i: E[\Е-+Е
в спектрах Е = Н (R), где R — кольцо, Е = К, КО и Е — MG, где
G —одна из серий классических групп Ли.
13.79. Начнем наше построение со спектра Н (/?), где R —
произвольное кольцо. Пусть
, л), *; H(R, я), •]о*#»(#(*, л); /?).
Тогда мы имеем элемент
gnAgmGH"^(H(R, n)AH(R, m); /?),
который представляется отображением
|W Я (R, n)/\H(R, m)-+H(R, n + m).
Очевидно, что отображения pnm удовлетворяют соотношениям
гомотопической ассоциативности и коммутативности. Следующее
предложение доставляет нам метод, позволяющий построить из
этих отображений отображение "спектров
ц: H(R)hH(R)-+H(R).
13.80. Предложение. Пусть Е — спектр и ц: 5"->?„,
Рлт* Еп[\Ет-+Еп+т —система таких отображений, что для всех
т, п и р коммутативны следующие диаграммы:

344 ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
13.81. 13.82.
г-л+1 "
13.83.
E^Sm
Д«,т.+
где ъпт: S" f\Em-*- EnVm —вложения. Предположим, далее, что
lim1 Ё"-1 (Еп) = lim1 Ёа^-1 (?Р(О) Д ?v<«>) =
-i (?p(a) Д ?y(a) Д ?5(a)) = О
для любых разбиений А = В \J С или А = ВIJ С U D. Тогда для
каждого разбиения А = В (J С с бесконечными В и С существуют
такие отображения i: S°-*-E и iiBc'. Ef\E-*- E, что гомотопи-
гомотопический класс [|х] = [|лВс] не зависит от В, Си диаграммы
ScPS ?по л
13.84. 7 I I р,, |(
гомотопически коммутативны. Следовательно, тройка (Е, ц, i)
является кольцевым спектром. Если, кроме того, гомотопически
коммутативна диаграмма
13.85.
то (Е, ц., i) — коммутативный кольцевой спектр.

ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
345
Доказательство. Из 13.82 и 13.83 следует гомотопическая
коммутативность диаграммы
SEn\Em
! л Е„
5(?лл?т)
SE
n+m
EnASE
и+1
m -^
ЕпаЕ„+1
*[', [х,у}] « [[/, х],у], X[t, [x,у]] = [х, [v'"@,ylJ-
Далее, в силу леммы 10.4 существуют такие функции спектров
Г. S°-v? И р,ВС: Е/\всЕ~+Е, ЧТО 1п~1л И (р-вс)а(а) ^ Цр(о). Y(o>
для всех ne|N. Определим цвс как композицию
Тогда, если взять в диаграмме 13.84 в качестве ц отображе-
отображение |д,вс, то она очевидным образом станет коммутативной.
Для доказательства ассоциативности отображения ц нам нужно
показать, что диаграмма
Две Л 1
Е)/\ВиС DE
13.86.
1л ДС?)
гомотопически коммутативна для всех разбиений А = В [) С (J D
с бесконечными В, С, D. Но с учетом диаграммы 13.83 и условия
IJml J7ct(a)—1 (J? Д 17 Д С1. \ ~— С)
11111 с VcP(a)/\cv(a)/\'С6(<»)/ — и)
это непосредственно вытекает из леммы 10.4, Ь).
Комбинируя диаграмму 13.86 с диаграммой 13.44, мы находим,
что диаграмма
J^LeaE

34в
ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
коммутативна для всех разбиений A = B\jC\JD с бесконечны-
бесконечными В, С, D.
Включения гпт: Sn/\Em-+En+m индуцируют такое отображение
еВС: S0/\BcE->-E, что (&Bch{a)^ep,ahy(a): S^a)/\ Eyfa)-^Ea(a)
для всех as А и всех разбиений А = В(JС. Без труда прове-
проверяется, что диаграмма
Щвс/ VЕве
S°aE -. -Е
коммутативна. Следовательно диаграмма
¦ S Л вс -Е
13.87.
также коммутативна (коммутативность верхнего треугольника
является следствием из 13.82). Таким образом, для любых разбиений
А — В U С с бесконечными В а С имеет место коммутативная
диаграмма
1Л1
> Е
\Ивс
/
Е
Аналогичным образом доказывается коммутативность диаграммы
EsE
Иве
Для того чтобы завершить доказатель'тво предложения 13.80,
нам нужно показать еще, что гомотопический класс [рве] не
зависит от В, С. С этой целью рассмотрим внушающую страх

ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
347
диаграмму на с 348 (мы предполагаем, что входящие в нее
множества В и D бесконечны). Эта диаграмма включает в себя,
десять поддиаграмм, пронумерованных цифрами /, 2, ..., 10.
Диаграмма / коммутативна в силу 13.40, b), v), 2 и 3 коммутатив-
коммутативны в силу коммутативности диаграммы 13.87 и ее очевидного
аналога, 4, 5, 6 и 7 коммутативны в силу естественности отобра-
отображений eqB, c\)D и ецвцс, D, диаграммы 8 а 10 —в силу коммутатив-
коммутативности диаграмм 13.44 и 13.86 соответственно. Коммутативность
диаграммы 9 очевидна. Таким образом, если множества В и D
бесконечны, то ц^с, D ~ц,в, суо-
Предположим теперь, что А = Bi U Сг = Вг (J С2 — два разбиения
с бесконечными множествами Въ В2, Съ С8. Тогда Вг — (Бх f| В2) U
(Si П Сг), так что либо В\ П В2, либо Bi П С2 должны быть беско-
бесконечными. Пусть, для определенности, бесконечным является
множество BiftBi. Аналогично, d = (Ci П В2) U (Сх П С2), так что
одно из этих множеств, скажем, Сг П С2 бесконечно. Тогда мы имеем
в,). (В,пс,)и (С,пс.) =М'В„с,.
Остальные три случая рассматриваются аналогично. Таким обра-
образом, мы показали, что гомотопический класс [^вс] не зависит
от В, С. D
Итак, для того чтобы задать на спектре Е кольцевую струк-
ТУРУ> достаточно лишь построить отображения in: Sn -> Еп,
ряя»: Еп/\Ет^>-Еп+т, удовлетворяющие 13.81 — 13.83, и проверить,
что выполняется условие на Игл1. Сейчас мы проделаем это для
E = H(R), где R — кольцо, и для таких спектров Е, как К, КО,
MG, где G — одна из серий классических групп Ли.
13.88. В п. 13.79 мы построили такие отображения
jW H(R, n)/\H(R, m)-+H(R, n + rn),
ЧТО p*m(g«+m) =g»/\gm- ИЗ СООТНОШеНИЯ (gnAgm)/\gp=:Sn/\(gm/\gp)
вытекает, что \inm удовлетворяют условию 13.83. Для каждого п
мы имеем каноническую образующую ц е Я" (Sn; R) (ц = a-" (i0)),
которая представляется отображением in: Sn-+H(R, ^.Посколь-
^.Поскольку tn+i = a-1 (in), то для in выполняется соотношение 13.81. Для
Х- и Д-умножений в сингулярных когомологиях, которые стро-
строятся, следуя теореме 13.36, очевидным образом выполнены соот-
соотношения 13.56, Hi), lv) и поэтому также 13.55, Hi), iv). Таким
образом,
e*m (gn+m) = <Г» igm) = <Г* (Ц, Д gm) = О~п (l0) [\gm =
l«Agm = AЛД 1)* $*пт ign+m) = [Рлт ' (l« Д 1)]* (?*+*)»
откуда вытекает, что

348
ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ

ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ 349
Аналогично,
Следовательно, отображения рлт и in удовлетворяют условию 13.82.
Из соотношения gnf\gm = (-~i)'""gmf\gn находим, что диаграм-
диаграмма 13.85 гомотопически коммутативна для любого коммутативного
кольца R. И, наконец, условие на lim1 выполняется тривиально,
поскольку в нашем случае пространство
H(R, n)/\H(R, m)/\H(R, р)
{п-\-т-\-р — 1)-связно. Таким образом, (Я(R), ц, i) представляет
собой кольцевой спектр, коммутативный для коммутативного R.
Кроме того, х-умножение, построенное по этому спектру, совпа-
совпадает с алгебраическим х-умножением, описанным в теореме 13.36.
13.89. Следующим по сложности является спектр MG. В гла-
главе 11 мы определили такие отображения
(йпт: BG(n)xBG(m)-^BG(n + m),
что если ?„— универсальное G (п)-расслоение над BG(n), то
<")*m?n+m —!яХ|ш. Эти отображения были построены лишь для
G = 0, U, Sp, но совершенно так же можно задать их и для
G = SO, SU или Spin. Тогда индуцированные отображения про-
пространств Тома имеют вид:
р„т = М (шлт): MG (п) Д MG (т) д* М (|„ х gm) -*-
Вложение *-vBG(n) индуцирует отображение in: S" = M(e")->
MG(n). Коммутативность диаграммы 13.81 следует из соотноше-
соотношения e1xe"~e"a; коммутативность диаграмм 13.82, 13.83 и 13.85
вытекает из следствий 11.53, 11.48 и 11.51 соответственно. Со-
Согласно замечанию, следующему за 10.4, условия на lim1 будут
выполнены, если мы покажем, что Нпл ч~г (Е2пп; (Q) (х) Ня {Е; (EJ) = 0
для всех q и бесконечного числа размерностей п. В нашем слу-
случае это равносильно такому утверждению: если Hq (MG; Q) Ф 0,
то группы Я*»4 (MG (n); Q), Я8(л+т)+*-1(М0(п) Д MG (m); (Q) и
//Е(л+т+р)+<м щи („) д д|G (mj д mq (p). Q) равны нулю для беско-
бесконечного числа значений п, т, р. Здесь е есть 1, 2 или 4, в зави-
зависимости от группы G. Для классических групп это утверждение
будет следовать из результатов главы 16 (разумеется, тех, в кото-
которых не используется тот факт, что МО — кольцевой спектр!).
Умножение
МG* (X) (g) MG* (Y) -+ MG» (X х Y)
допускает геометрическое описание в терминах сингулярных мно-
многообразий. Если f: Мт-+Х и g: Nn -*¦ Y — некоторые сингуляр-
сингулярные G-многообразия, то MmxNn имеет естественную О(п-1-/гг)-струк-

350 ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ •
туру и fxg: МтхNn-*-XxY является сингулярным G-много-
образием. Тогда
[ЛР, f]x[N", g] = [MmxNn, fxg](=MGn,m(XxY).
В частности, в п% мы имеем
Это соотношение получается применением конструкции Понтря-
гина — Тома. Вложим Мт в R17'^" с трубчатой окрестностью ;V (M)
и N" в R"+' с трубчатой окрестностью N (Л'). Если рассмотреть 5*
как аффинное пространство R? с бесконечно удаленной точкой оо,
то Sm+n+*+' = (Rm+*X|R'l+/)U°o. и проекция
: Sn+m+k+l ^M(vMX vA) ^ M (vM) Д М (vN)
есть не что иное, как
ям Д л„: Sm+* Д Sn+l -* М (vM) Д Л4 (v^).
Следовательно, класс \MmxNn] представляется диаграммой
мс{т)ш6(п)
т. е. [] [][]
Структура колец Q? для групп G=O, SO nil описана в главе 12;
соответствующие вычисления будут проделаны в главе 20.
13.90. Займемся теперь построением умножений для /(-теории.
Поскольку К -теория определялась в терминах векторных расслое-
расслоений, естественно определить эти умножения с помощью тензор-
тензорного произведения расслоений.
Фиксируя базис в векторном пространстве F", —скажем, выбрав
стандартный базис еь eiy .... еп, — можно отождествить GL(n, F)
с группой Aut (F") линейных автоморфизмов F". Зададим гомо-
гомоморфизм тензорного произведения
tnm: GL(n, F)xGL{m, F)-+GL(nm, F),
отождествляя Fn ®Fm с Fnm при помощи того единственного изо-
изоморфизма, который переводит е,-®е/ в e(i-i)m+j для l^St^n,
lsg/^m, и определяя затем tnm(A, В) как автоморфизм
А®В: Fn®Fm-+Fn(g)Fm, где A<=GL(n, F), B(=GL(m, F).
Например, для п = т — 2 мы имеем
/аа' ас' са' сс'\
(а с\ fa' C\\_ ab' ad' cb' cd'\
)' \b' d'JJ~[ba' be' da' dc' '
\bb' bd' db' dd'J

ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ 351
Без труда проверяется, что
tnm(O(n, F)xO(m, F))czO(nm, F).
Пусть теперь F есть R или ©• Если заданы два /"-векторных
расслоения $-+Х и t\-+Y размерностей п, т соответственно, то
можно следующим об разом определить векторное расслоение
? ®f Ц -*• -X х Y размерности пт со слоем \х 0/? х\и над точкой (х, у).
Возьмем для !•, i, максимальные атласы
{(Ua, К): «бА|, {(Vy, К): ТеГ}
с соответствующими системами
\Ua, gat- а, Ре Л}, \Vy, gv6: у, fie Г}
функций перехода. Тогда
{UaxVy, tnnt'(ga^xgy6): а, р<=А, у, бе Г}
будет системой функций перехода на произведении XxY со зна-
значениями в GL(n, m, F). Используя затем процедуру склеивания
предложения 11.15, мы получим над ХхУ n/л-мерное векторное
расслоение, которое и назовем 1§<)рг).
Можно дать более элегантное описание класса расслоений,
изоморфных Е ®р г). Представим I и ц в виде | = |' [f], t) = т)' [Fm],
где ^' — главное GL (п. ^у-расслоение и tj' — главное GL (т, ^-рас-
^-расслоение (|' и т)' определены лишь с точностью до изоморфизма).
Тогда {tnm)* (§'х г|') является GL(nm, /")-расслоением и мы имеем
% ®Рл- ((U)* (Г х г)')) ff" (g)f Fml.
Из этого описания немедленно вытекают следующие свойства (g)P.
13.91. Предложение, i) (gip является функтором двух
переменных.
и) (I ^Л) ®f$^1 (Эр(Л ®1»0-
iii) ?слы v. XxK-vFxX — «тасующее» отображение (т(*, г/) =
iv) I Of (n x 0 ^ (? Of ti) x (g (g)f D-
v) Для любых отображений f: X'-*-X,g: Y' -*¦ Y имеет место
изоморфизм (fxg)* (| (g)Pr\) ~/*Ё (g)f g*i\.
Разумеется, если F-векторные расслоения | и ц заданы над
одним и тем же пространством X, то применяя диагональное
отображение А, мы получим внутреннее тензорное произведение
l&fT) с (Е®рт]).х = ?.х®рг)* для всех х е X. Свойства этого внут-
внутреннего произведения, соответствующие свойствам из предложе-
предложения 13.91, очевидны.
Замечание. Тензорное произведение V 0ц W двух кватер-
нионных векторных пространств не является кватернионным век-

352 ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
торным пространством и выдерживает всего лишь умножение на
вещественные скаляры. Можно определить тензорное произведение
^^иЛ Двух кватернионных векторных расслоений; оно будет
вещественным расслоением. В то же время, если V — веществен-
вещественное векторное пространство и W — кватернионное векторное про-
пространство, то их тензорное произведение V (x)r W является ква-
тернионным векторным пространством. Аналогичное утверждение
верно и для векторных расслоений.
Напомним теперь определение группы К (X). Пусть X — ко-
конечное клеточное пространство и V{ (X) — абелева полугруппа
классов изоморфных комплексных векторных расслоений над X.
Тогда существует абелева группа К (X) и гомоморфизм ф: К{ (X)-*-
К(Х) полугрупп, обладающий следующим универсальным свой-
свойством: для любой абелевой группы А и гомоморфизма г|з: V,-L {Х)-*~А
существует единственный гомоморфизм б: К{Х)-*-А с 6°ф = г|).
Группа К (X) состоит из классов эквивалентности пар ({?}, {г|}),
где | и т] — комплексные векторные расслоения над X. Легко
видеть, что для любых трех абелевых полугрупп S, S', S" били-
билинейное отображение 9: SxS'-+S" индуцирует такое билинейное
отображение в': K(S)xK(S')-*-K(S"), что коммутативна следую-
следующая диаграмма:
SxS'
KSxKS'
Таким образом, отображение
8: Vc(X)xVc(Y)-+Vc(X
заданное формулой
индуцирует отображение
х: K(X)®K(Y)-+K(XxY).
Естественность, ассоциативность и коммутативность х следуют
из предложения 13.91. Отправляясь от х, мы получаем умножение
Д: K(X)®K(Y)-+K(X/\Y)
для пунктированных клеточных пространств X и Y. Очевидно,
что умножение Д естественно, ассоциативно и коммутативно.
Мы хотим продолжить х и Д на бесконечные клеточные
пространства и спектры. Для этого необходимо построить умноже-
умножение /СД#->-^ (или, согласно предложению 13.80, отображение (д.:

ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ 353
BU[\BU-+BU с подходящими свойствами), индуцирующее Д-ум-
ножение на конечных клеточных пространствах.
В главе 11 мы определили BU как объединение
В[/= (J BU{k),
где BU (&)= U Gft>n((D). Нетрудно показать, что в действитель-
л>*
ности (J Gn,2n(C) гомеоморфно |J BU (k), так что
fit/= U °». *•(©)•
л>1
Мы рассматриваем здесь (D2"+a как прямую сумму (D 0 €2" ©Си
сопоставляем каждой гс-мерной плоскости W е С2" (л + 1)-мерную
плоскость W ф [бап+г], что определяет вложение
0п,2п СГ Gn
В дальнейшем пространство Gni2n для краткости будет обозна-
обозначаться через Gn- Пусть Ъ,п — универсальное, а е" — тривиальное
л-мерные расслоения над Gn. Положим ип = \п — е" &R(Gn)- Если
in- Gn->Gn+i —вложение, то it un+1 = un. Таким образом, {ип} при-
принадлежит группе lim°K(Gn) и определяет класс
Мы хотим построить элемент и /\и ^К (BU Д BU). Поскольку
отображение K(BU /\ BU)-*-\\m°K(Gn f\Gn) сюръективно, го су-
существует такой элемент и Д и е К(BU Д BU), что и /\u\Gn /\Gn =
ип Д «л для всех п ^ 1. Если нам удастся доказать, что «Дм
единствен, то задача будет решена. Так как в силу предложе-
предложения 7.66 имеет место точная последовательность
О -^ lim1 К-1 (Gn f\Gn)-+R (BU /\BU)-+ lim° К (Gn Д Gn) -+ 0,
то для доказательства единственности и Д и достаточно показать,
что lim1 Л/-1 (Gn Д Gn) = 0. В главе 15 мы построим спектральную
последовательность Атья —Хирцебруха и с ее помощью устано-
установим, что К'1 (Gn Д Gn) — 0 для всех п. Но тогда lim1 К*1 (Gn ДGn) = 0.
Пусть теперь элементы х<=К(Х), у^К(У) представляются
отображениями /: X-+BU, g: Y-+BU соответственно. Опреде-
Определим х Д у, полагая
Для того чтобы доказать ассоциативность умножения Д, доста-
достаточно проверить справедливость соотношения (мДы)Д«=«Д(мДы).
Ограничивая левую и правую части этого соотношения на
12 Роберт М. Свитцер

354 ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
С„ Л Gn Л G,:, мы получаем (ип Д «л).Д «« = ип Д (ы„ Д «„)• Следо-
довательно, соотношение (и /\и) /\и = и /\(и /\и) будет доказано,
если мы покажем, что lim1 К-1 (Gn Д Gn Д Gn) = 0. Но это опять
вытекает из того факта, что К'1 {Gn f\Gn Д Gn) = 0.
Предположим теперь, что отображение i2: S2-*-BU представ-
представляет элемент г| — 1 е К (S2), где т] -> S2 ^ С/31 — линейное расслое-
расслоение Хопфа. Изоморфизм периодичности Ботта
задается формулой
Жн-(Т1-1)Л*, Х(=К(Х).
Это означает, что структурное отображение
S2 /\BU-+BU
нашего спектра К является композицией
52 Д BUl±-^ BU /\BU± BU,
где [I представляет элемент и /\и s К (BU Д BU)- Таким образом,
если считать, что
1*-2п, %т- Kin Д Л 2т —*¦ А 2«+2т
есть не что иное, как \л: BU /\ BU ->- BU, и определить
I*,: S2"-^A-2n
как композицию
S2" ss S2 Д S2"-2 l-lhhn=l BU Д В^ -^ BI/, п Ss 2,
го диаграммы 13.81 — 13.83 и 13.85 будут гомотопически комму-
коммутативны. Условия на lim1 удовлетворяются благодаря замечанию,
следующему за леммой 10.4. Стало быть, мы получаем такой
коммутативный кольцевой спектр (К, ц, 0. что умножение
индуцировано тензорным произведением расслоений.
Аналогичным образом тензорное произведение векторных рас-
расслоений задает нам умножения
Да: KO(X)<g)KO(Y)-+KO(XAY),
Д,: ?б (X) <g> l(Sp (Y) -> К% (X Д Y),
Д8: l(Sp(X)<g)tfd(Y)-+K$p(X/\Y),
Д4: Л^р (X) 0 KSp (Y) -> fW (X Д Г)

гл. 13. умножения 355
для конечных клеточных пространств X и Y и, значит, отобра-
отображения спектров
ц,: ВО /\ВО-+ВО,
ц2: ВО Д BSp ->- BSp,
р3: BSp f\BO-+BSp,
> 50,
с помощью которых мы строим умножение р.: КО Д КО-*-КО.
Как и прежде, для того чтобы доказать единственность и ассо-
ассоциативность построенного умножения, достаточно установить, что
lim1 Кб-1 (С. 2„ (Н) Л Gn, гп (Н)) = 0.
Этот факт вытекает из замечания, следующего за леммой 10.4, и
результатов главы 16.
Пусть теперь i4: S* -*¦ BSp — отображение, представляющее
элемент (| — 1) = KSp (S4), где ? ->¦ 54 ?^ '^Р1 — квлтернионное рас-
расслоение Хопфа. Изоморфизм периодичности Ботта
задается формулой
Это означает, что структурное отображение
S4 Д ВО-*-BSp
нашего спектра КО представляет собой композицию
S4 Д ВО '* ^- BSp Д ВО -^ BSp.
Аналогично, отображение S4 Д BSp -*- ВО является композицией
S* Д BSp ± ^ BSp Д BSp ^ ВО.
Таким образом, мы получаем коммутативный кольцевой спектр
(КО, \i, i)j умножение в котором индуцировано тензорным произ-
произведением расслоений.
Опишем теперь кольца коэффициентов К* (S°) = n]|t (К) и
КО* (S°) = лЛ (КО). Ранее мы показали, что
Z, q четно,
О, q нечетно.
Если / = [i2] s n2(BU)^ n2(K), то умножение на этот элемент
является изоморфизмом
яд (К) -^ Л?+2 I
12»

356 ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
Следовательно, для всех ijeZ элемент t4 eп^(К) является
образующей
Таким образом,
13.92. n,(K)^Z[t, H],
где Z [t, H] — градуированное кольцо целочисленных полиномов
Лорана от переменной t.
На векторных расслоениях имеются некоторые очевидные
операции.
i) Для любого комплексного векторного расслоения л опреде-
определено сопряженное расслоение V-1 (т]).
п) Для любого вещественного векторного расслоения | опре-
определено комплексное векторное расслоение с (?) = | (x)r ©.
iii) Любому комплексному векторному расслоению ц соответ-
соответствует вещественное векторное расслоение г (ц), которое полу-
получается игнорированием комплексной структуры.
iv) Для любого комплексного векторного расслоения ц опре-
определено кватернионное векторное расслоение s(ц) = ц (х)с Н.
v) Любому кватернионному векторному расслоению | соответ-
соответствует комплексное векторное расслоение с' (|), которое получается
игнорированием кватернионной структуры с сохранением комплекс-
комплексной структуры.
Эти операции определяют естественные преобразования
с': KSp*-+-K* и даже отображения спектров Ч*1: К-+К,
с: КО-+К, г. К-+КО, s: ЛГ->24/@, с': 2*К0-+К- Нетрудно
проверить, что выполняются следующие соотношения:
13.93.
О гс = 2, sc'=2;
ii) cr=l+4f-1 = c's;
Мы уже знаем, что
Z, <? = 0 mod 4,
Z2, q=l, 2mod8,
0, (?^3, 5, 6, 7 mod 8.
Теперь мы хотим описать мультипликативную структуру в л# (КО).
Для любой пары G а Н топологических групп имеет место точ-
точная последовательность (расслоений)
(см п. 11.43). Поскольку любую вещественную ортогональную
матрицу можно рассматривать как унитарную, то определено
отображение O-+U и, стало быть, мы имеем расслоение
U/O->~BO~BU.

ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ 357
Далее, один из промежуточных результатов для вещественной
теоремы периодичности состоит в том, что пространство Z х ВО ~
Q*BSp гомотопически эквивалентно ZxBOc±Q(i//O) (см. главу 16).
Используя эту эквивалентность, мы получаем точную гомотопи-
гомотопическую последовательность
... -*. л;_! (ВО) -> щ (ВО) ~ jij (BU) -*- я,., (ВО) -»-...
Взяв t = 8 и / = 4, мы видим, что
с: л8 (ВО) ->л8(В{/) — изоморфизм и
с: n4(BO)-vn4(BL0 имеет своим образом 2Z.
Выберем элемент х е л4 (ВО) с c(x) — 2t2 и г/ е л8 (ВО) с с (#) = fd.
Поскольку с—кольцевой гомоморфизм, то хг = 4у.
Пусть со ->- S1 э^ R.P1 — вещественное линейное расслоение
Хопфа и
а = ю - 1 е= КО (S1) = лх (ВО) = nt (КО).
Тогда а — ненулевой элемент, и можно показать, что а2^ 0 ея«(/СО).
В то же время а3 = 0 = ах, поскольку а3ел3(/СО) и а-хелъ(КО).
Так как y^шoжeниe на у является изоморфизмом периодичности
Ботта nq (КО) ^ лч+9 (КО), то мы доказали следующий результат.
13.94. Кольцо л% (КО) мультипликативно порождается элемен-
элементами а е Hi (/СО), хел4(/С0), уел8(/СО), jr1 e л_8 (/СО), сея-
занными соотношениями 2а = а3 = а-^ = 0, х2 = 4г/, уу-х=.\.
13.95. Упражнение. Используя соотношения 13.93, опи-
описать гомоморфизм
г: л
13.96. Упражнение. Показать, что отображения
[W H(R, n)hH(R, m)-+H(R, n + m)
можно определить, используя лишь гомотопическую теорию без
предварительного построения х-умножения коцепей.
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Представленная в настоящей главе теория умножений содержит,
в принципе, все необходимое для конкретных вычислений. Однако,
если читатель попытается на основании этого сосчитать кольцо
когомологий Н* (X; R) некоторого конкретного пространства X
(скажем, X = RP"), то он найдет это занятие весьма непростым.
В главе 15 мы вычислим некоторые кольца когомологий, правда,
применяя для этой цели сферические расслоения и ассоциирован-
ассоциированные с ними точные последовательности групп когомологий. После
того как в главе 10 мы научились вычислять группы гомологии
и когомологий клеточных пространств, используя лишь их кле-
клеточную структуру, было бы заманчивым найти аналогичные «кле-

358 ГЛ. 13. УМНОЖЕНИЯ
точные» методы и для вычисления кольцевой структуры Н* (X; R).
Но на этом пути возникает серьезная трудность, заключающаяся
в том, что отображение А: Х-+ХхХ не является клеточным.
Разумеется, оно гомотопно клеточному отображению А', но в общем
случае об этом А' ничего нельзя сказать. В тех немногих слу-
случаях, когда А' допускает точное описание, оно и в самом деле
используется для нахождения кольцевой структуры на Н* (X; R).
Исторически теория умножений в гомологиях и когомологиях
развивалась совершенно иначе, чем это описано в настоящей
главе. В те времена, когда создавалась эта теория, топологи
работали почти исключительно с многообразиями и пытались, на-
например, представлять циклы вложенными подмногообразиями
С этой точки зрения естественно определить a\jb, a, b еЯ* (М; R),
следующим образом: нужно найти в М дуальные циклы Na cz M,
Nb ci M, образовать их пересечение (Л'„ и Nb должны находиться
в «общем положении») и затем дуализировать цикл Л/„ Г) Nh- Тео-
Теория «чисел пересечений» явилась предвестником современных умно-
умножений и по настоящее время представляет собой весьма эффектив-
эффективный метод вычисления мультипликативной структуры в И* {М: R)
для большого числа многообразий М и в особенности тех, кото-
которые имеют алгебро-геометрическое происхождение. Для читателя,
который серьезно заинтересовался предметом, было бы очень по-
полезным прочесть главу 14, а затем заглянуть в одну из старых
книг по алгебраической топологии (например, книгу Зейферта и
Трельфалля) и попытаться перевести теорию чисел пересечения
на более современный язык.
ССЫЛКИ НА ЛИТЕРАТУРУ
1. Адамо {б, 8J.
2. Спеньер [72].
3. Уайтхел [81J.

Г Л А В А 14
ОРИЕНТАЦИЯ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ
В предыдущих главах мы познакомились с тем, как, исходя
из спектра Е, построить теорию гомологии ?* и теорию когомо-
логий Е*. Кроме того, в случае, когда Е — кольцевой спектр,
были построены различные умножения, связывающие Е* и Е*.
Однако в ряде случаев для подходящих пространств X можно
установить более тесные связи между ?* (X) и Е* (X). Одно из
первых крупных открытий в алгебраической топологии состояло
в следующем: если М — некоторое замкнутое n-мерное ориенти-
ориентируемое многообразие, то Hr(М; Z) = H'~r {M; Z) Для всех г,
О =^ г <; п. В этой главе мы докажем эту теорему двойственности
Пуанкаре для произвольных теорий гомологии.
В главе 12 мы показали, что каждое дифференцируемое много
образие имеет касательное векторное расслоение. Хотя в случае
топологических многообразий это уже не верно, оказывается воз-
возможным заменить касательное расслоение некоторым его обобще-
обобщением, подходящим для наших целей. Таким образом мы придем
к введенному Милнором понятию микрорасслоения.
14.1. Определение. Микрорасслоением размерности п на-
называется четверка х = (В, р, X, i), где В и X — топологические
пространства, а *: В-+Х, р: Х-+ В —отображения, удовлетво-
удовлетворяющие следующим условиям:
i) p'i =1B;
ii) для каждой точки ЬеВ существуют такие открытые окрест-
окрестности U э Ь, V э i(b) и гомеоморфизм
hb:
что p'hb(u, v) — u для всех (и, v)^UxRn и hb(u, 0) — i(u) для
ссех и е U. Пары (U, h) из ii) называются картами микрорас-
микрорасслоения х.
14.2. Примеры, i) Тривиальное микрорасслоение над В
имеет вид (В, рв, BxR", I), где i(b) = (b, 0), be В.
ii) Если с, = (В, р, Е, R") — некоторое /г-мерное векторное рас-
расслоение, то четверка (В, р, Е, i), где i — нулевое сечение, т. е.
i (b) — 0 е р-1 (Ь) для всех be В, является n-мерным микро-
микрорасслоением.
iii) Если М — топологическое n-мерное многообразие без края
М = ф), то касательное микрорасслоение многообразия М
определяется как (М, я1( МхМ, Д), где Я1 — проекция на пер-
первый сомножитель и А—диагональное отображение. Выберем для

360 ГЛ. 14. ОРИЕНТАЦИЯ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ
любой точки х ^ М карту (II, /), содержащую эту точку и опре-
определим отображение
hx: Uxkn-+UxU,
полагая hx(y, v) = (y, /-1(/(y)—v)). Тогда hx — гомеоморфизм тре-
требуемого вида. Если многообразие М имеет край М, то касатель
ное микрорасслоение многообразия М определяется как ограни-
ограничение на М касательного микрорасслоения многообразия M[JC,
где С = Мх[0, 1) —кромка и где мы отождествляем точки х^М
с точками (х, 0) е С
14.3. Определение. Два микрорасслоения (В, р, X, <) и
(В, р', X', О называются эквивалентными, или изоморфными,
если существуют такие окрестность V cz X множества i(B), окрест-
окрестность V cz X' множества Г (В) и гомеоморфизм h: V -*¦ V, что
диаграмма
коммутативна.
14.4. Упражнение. Показать, что если М — дифференци-
дифференцируемое многообразие, то его касательное расслоение и касатель
ное микрорасслоение эквивалентны в смысле определения 14.3.
14.5. Определение. Пусть х = (В, р, X, i) — некоторое
n-мерное микрорасслоение и Е — кольцевой спектр. Для любой
точки йеВ мы имеем карту h: U x R" -*¦ /г1 (U) П V, где U с В—
окрестность точки Ь, V с X — окрестность точки i(b). Кроме того,
имеет место изоморфизм
Е* (Гх (Ь), (г1 Ф) -1 (Ь)) -- Е* (p-i (Ь) П V, р-1 (Ь) П V - i (b)) ?
E*(bx(R\ R"-"
Элемент ie?"(A, X — i(b)) называется ориентацией или классом
Тома микрорасслоения х, если для всех Ьеб
является образующей модуля Е* (р-1 ф), р~1ф) — 1ф)) над коль-
кольцом ?*(pt). Здесь jb: (р^ф), Р'1 Ф) - i Ф)) -* (X, Х-1ф)) —
включение пар. Микрорасслоение х называется ориентируемым
относительно спектра Е, если у этого микрорасслоения существует
класс Тома. Топологическое многообразие (с краем или без края)
называется ориентируемым относительно Е, если его касательное
микрорасслоение обладает классом Тома.

ГЛ. 14. ОРИЕНТАЦИЯ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ 361
Примеры, i) Пусть | = (В, р, X, R") - некоторое О (^-рас-
(^-расслоение. Тогда мы имеем изоморфизм
Еа(Х, X-i (В)) 3.Еп (D (|), D(I) -i (В))-&
Элемент t <= Ёп (М (?)) называется классом Тома расслоения {•,
если его прообраз в Еп(Х, X — i(B)) является классом Тома
ассоциированного микрорасслоения. Для каждой точки b e В
вложение ib: {b}-*-B индуцирует отображение M(ib): S"—
М (г") -> М (I). Ясно, что элемент t е Ёп (М (?)) будет классом
Тома тогда и только тогда, когда для всех 6еВ элемент
M(ib)*(t) из ?"EП)-образующая ?* E°)-модуля Ё* (Sn).
Пусть
BO(n)
— система отображений и расслоений из определения 12.19, при-
причем пространство Хп линейно связно. Пусть, далее, I — расслое-
расслоение с Х-структурой, т. е. такое расслоение, что его классифици-
классифицирующее отображение ft В->ВО(п) допускает поднятие f: В-*-Х„.
Тогда f индуцирует отображение М (f): М (|)->-УИ Х„ и, следо-
следовательно, определяет некоторый элемент t% = {M (J)}<^ MXn (M(Q).
Для любой точки 6efi диаграмма
гомотопически коммутативна, откуда вытекает, что М (ib)* (U) =a
in e MX" Eя). Таким образом, U есть класс Тома расслоения ?.
ii) Предположим, что | —некоторое О(и)-расслоение и что
10 е* имеет класс Тома
t е= ?л+» (М E © е»)) ^ ?"
Тогда легко видеть, что /' = a? (i) е ?" (М (I)) является классом
Тома расслоения |.

362 ГЛ. 14. ОРИЕНТАЦИЯ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ
ш) Пусть М — некоторое ^-многообразие. Тогда стабильное
нормальное расслоение многообразия М обладает Х-структурой
и, следовательно, ориентируемо относительно спектра MX. Для
классических групп Ли G(n) — O (n), SO (n), U (п), SU (п) или Sp(n)
мы имеем, кроме того, отображения р: Gk,п+*-*¦ Gn>n+k, переводя-
переводящие й-мерную плоскость в ортогональную к ней n-мерную пло-
плоскость. Если отображение v: M->-G*, „it определяет G-структуру
на М, то композиция p»v задает G-структуру на т(/И). Таким
образом, расслоение х(М) является yVfG-ориентируемым. Следова-
Следовательно, каждое G-многообразие ориентируемо относительно теории
когомологий MG* = Qg-
iv) В главе 16 мы построим классы Тома для некоторых дру-
других спектров. В частности, мы увидим, что U (я)-расслоения
всегда ориентируемы относительно К*, a Sp (п)-расслоения всегда
ориентируемы относительно КО*. Удивительно, однако, что не все
О (и)-расслоения ориентируемы относительно КО*: Атья, Ботт и
Шапиро [17] показали, что О (и)-расслоение ? является /((^-ориен-
/((^-ориентируемым тогда и только тогда, когда оно допускает (стабильно)
редукцию к группе Spin(n).
14.6. Теорема Тома об изоморфизме. Пусть х_ =
(В, р, X, /) — некоторое п-мерное микрорасслоение с классом Тома
t e E" (X, X — i {В)), и пусть пространство В линейно связно и
паракомпактно. Предположим, далее, что либо В — конечномерное
клеточное пространство, либо nq(E) = 0 при q<0. Тогда гомо-
гомоморфизмы
ФЬ Er(B)-+E"+'(X, X-i(B)), 4>T(x) = p*(x)vt, jcs?*(B),
¦»: En+r (X, X - i (В)) -*- Er {В), Ф, (x) = pt(trs x),
XZEE,t:r(X, X-i(B))
являются изоморфизмами.
Доказательство. Предположим сначала, что микрорас-
микрорасслоение х имеет атлас, состоящий из т карт, и докажем в этом
случае теорему индукцией по числу т. Пусть т = \. Тогда су-
существует такой гомеоморфизм h: BxRn-*-V, что h(b, 0) = i(b),
p(h(b, v)) = b для всех 6eB, yeR", где V — некоторая окрест-
окрестность множества i (В). Другими словами, х эквивалентно тривиаль-
тривиальному микрорасслоению и
Е*(Х, X-i(B))^E*(V, V-g
E*(BxR\
Следовательно, без ограничения общности можно считать, что
х = (В, рв, BxR", i) и tezEn(Bx(Rn, R"-{0})). Поскольку

ГЛ. 14. ОРИЕНТАЦИЯ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ 363
?*(R", R" — {0}) — свободный Е* (рт.)-модуль, из георемы 13.75
следует, что гомоморфизм
В * (В) <g>B. (Pt, E* (R», R" - {0}) -? ?* (В х (R-, R» - {0}))
является изоморфизмом. Так как t — класс Тома, го он имеет вид
(l+a)xg, где gG?"(R", Rn-{0})-образующая Я* (р^-модуля
и а е ?° E)- Если В — клеточное пространство размерности л, то
cc«+i=O, т. е. элемент 1+а обратим. Если же лд(Е) = 0 для
q < 0, то ?° (В) = 0, и поэтому а = 0. В любом случае
для xeE*(B), откуда следует, что Ф* — изоморфизм.
Предположим теперь, что теорема доказана для тех В, кото-
которые покрываются менее чем т картами, и пусть х = (В, р, X, i) —
микрорасслоение с атласом, состоящим ровно из т карт
U и U2 Um. Пусть
u V = Um, Kx=.pr4J, X2 =
Тогда (U, p | Xu Xi, i \ U), (V, p | X,, X,, i \ V) и (U П V, p \ X, [\ X2,
Xi П X2, 11 U f\ V) являются микрорасслоениями и
Xt-HV)),
— их классы Тома. Так как пространства U, V и U П V покры-
покрываются менее чем т картами, то Ф*г, Ф*г и Ф% — изоморфизмы.
Теперь было бы естественно использовать точную последова-
последовательность Майера — Вьеториса 7.19, однако для этого ее придется
слегка модифицировать. Именно, справедливо следующее утвержде-
утверждение: если (X; А, В) —триада, где Х = А[}В, и С — подпростран-
подпространство в X, для которого А\]С = А[)С, В{)С = В[)С, то имеет
место точная последовательность групп когомологий
...->А» (А, С)-*к*(А, A()C)®te(B, В ПС)
h*{A(\B, A(\B[\C)-
Для доказательства этого утверждения нужно взять последова-
последовательность 7.19 для триады (X; А', В'), в которой А' = А[]С,
В' = В\]С, и заметить, что A' f]B' =(Л (]В)\}С, h*(A', C)^
h*(A, Л ПС), h*(B', C)^h*(B, B{]C), h*(A'(]B', С) с*
л*ив лвс
ип, пп)
В нашем случае возьмем/г* =?*, A=Xi, В = Х2 и С = X —i(B).
В результате мы получим коммутативную диаграмму точных по-
последовательностей

364 ГЛ. 14. ОРИЕНТАЦИЯ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ
... > E'-\U) © Er~\V) — 1.
I... - ?«+r-i (Xlt Xx - iU) © E^-\X2,.X2 - iV)
A'
Er-\U (Л V)
Ф1:
r-\Xx П Х2, ХУПХ2- i(U n K)) -
>¦ ?r(^) © E\V)
En+r(X,X~ iB) -> Еп+\Хи Ху - iU) © Еп+'(Х2, Х2 - iV)
E%U n V)
En+r(Xl n X2, Xj,nX2- i(U n V)) -> • • •
Из леммы о пяти гомоморфизмах следует, что Ф* — изоморфизм.
Пусть теперь микрорасслоение х не допускает конечного атласа.
В этом случае нетрудно показать, что оно обладает счетным
атласом {^},->о (см., например, [96], с 50 русского издания).
Положим V/= [J Uh Xj = p-1Vj, tj = t\(XJt Xj-i(Vj)) для /^0.
1 = 0
Тогда имеет место коммутативная диаграмма
0 >¦ Urn1 E'-^Vj) * E\B)-
3
I lim1 ф*

ГЛ. 14. ОРИЕНТАЦИЯ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ 365
Строки этой диаграммы точны в силу утверждения, двойственного
к упражнению 7.73, а Нт°Ф* и Нт1 Ф* — изоморфизмы, поскольку
каждое множество Vj покрывается конечным числом карт. Следо-
Следовательно, ф* — изоморфизм. Доказательство для </>, аналогично. ?
Читатель может самостоятельно проверить, что диаграмма по-
последовательностей Майера — Вьеториса коммутативна, в частности,
что <#.д' = д'.Ф?;.
14.7. Следствие. Пусть х — (В, р, X, i) — микрорасслоение,
в котором пространство В линейно связно и паракомпактно.
Пусть, кроме того, или В — конечномерное клеточное простран-
пространство, или же л7(Е) = О для q<C0. Тогда для любых двух классов
Тома t, V е Еп(Х, X — i (В)) имеет место равенствох) V — р* (u)\jt,
где и е Е° (В) — обратимый элемент. Если же, вдобавок,
Ц @ = Jt (О е= Е" (р-1 (Ь), р-1 (Ь) -1 (Ь))
для некоторой точки ЬеВ, то и — 1 +а, где ае?°(В) =
ЕЦВ, {Ь}).
Доказательство. Так как в силу теоремы 14.6 отобра-
отображение ф*: Е° (В) -*• Е" (X, X — i (В)) является изоморфизмом, то
t' = p*(u)vjt для некоторого иеР(В). Аналогично, / =
р* (и') w t' =p* (u')\jp* (и) \j t = p* (и'и) w t. Другими словами,
Ф* (и'и) = ф* (\). Следовательно, и'и = \, т. е. и — обратимый
элемент.
Гомоморфизм Ц: Еп(Х, X - i (В))-+¦ Еп (р~1 (b), pJ(u)-t(fe))
отображает р* (и) \и t в i* (и) ¦ /* {I), где i* (и) е ?° (Ь). Таким
образом, если jt(t) = jt(t'), то мы имеем 1 ¦}%(i) = i* {и)ЦA).
Поскольку Е" (р*1 (Ь), р1 (Ь) — i (b)) — свободный Е° (р!)-модуль,
то /*(ы) = 1, т. е. t*(l— м) = 0. Следовательно, элемент —а —
1-й принадлежит ядру ker i* =E°(B). D
14.8. Условимся называть спектр Е связным, если п7(Е) = 0
для <7<0- Для связных Е и В следствие 14.7 утверждает, что
класс Тома t однозначно определяется элементами Ц (t), b eB.
14.9. Предложение. Пусть Е — связный спектр и х —
(В, р, X, i)~ некоторое микрорасслоение. Пусть, далее, [Uc. I ss;
i ^ m) — конечное покрытие пространства В открытыми мно-
множествами и
такие элементы, что
\) для каждой точки b e Vj элемент /*/,- является образую-
щей_?°(р\)-модуля En{p4b), P'1 (b)-i(&));
И) для любых i, k и для каждой точки b & Ui(]U\ имеем
j%U = jihi
Тогда существует и единствен такой класс Тома t &Еп(Х,
X-i(B)), что t\W t K
>) Здесь w-это спаривание Е* (Х)®?* (X, X — »(В))-»-?* (X, X — ЦБ)).—
Прим. ред.

366 ГЛ. 14. ОРИЕНТАЦИЯ И ДЕОИСТВЕННОСТЬ
Доказательство. Будем доказывать это предложение
индукцией по т. Если т — \, то tx — искомый класс Тома.
Предположим поэтому, что предложение доказано для всех
т' <.т и ¦ что пространство В в микрорасслоении х имеет покры-
покрытие, состоящее из т множеств ?/,-. Пусть U — Vi []... [} Vm-i,
V = Um, Xi = p-1 (U), Xz = p-x(V). По предположению индукции
существует такой класс Тома ty e En(Xi, Xi — i(U)), что
tu\p~1{Ui) = U, i^i^rn — 1; обозначим tv = tm. Согласно п. 14.8
и условию И) настоящего предложения ограничения отображе-
отображений tu и tv на подпространство Xi f) Хг совпадают. Поэтому
из точности последовательности Майера — Вьеториса
...-+Е"(Х, X-i(B))-+E»(Xu Xi-iU)@
Е"(Х2, Х^^-^Е^ХгПХ,, X^Xz
вытекает существование такого элемента t <= ?" (X, X — i (В)),
что t [ Xi = tUt t\ X-i = ty Элемент t и является требуемым клас-
классом Тома. Если V — еще один класс Тома, то t и f будут совпа-
совпадать в любой точке iefl и, значит, будут равны в силу
п. 14.8. Следовательно, класс Тома t единствен. ?
14.10. Предположим теперь, что открытые множества Ut пред-
предложения 14.9 являются картами микрорасслоения х. Другими
словами, существуют такие окрестности Vt a X множеств i (Ui)
и такие гомеоморфизмы /i;: UixRn-*-p-1(Ui)f] Vi, что
р - hi (и, v) = и, hi (и, 0) = i (и), и е U{. Для каждого i, I «S i «^ m,
выберем образующую g; e En (Rn, Rn — {0}) и обозначим через tt
прообраз элемента 1х^ относительно композиции
Тогда элементы tt удовлетворяют условию i) предложения 14.9,
но уже не удовлетворяют условию и). Вообще, для каждой ком-
компоненты N из Ui П Ui, найдется обратимый элемент uN e Е° (pt),
для которого t(\p-1(N) = uN-(tk\p~1(N)).
В случае Е = Н(Хг) кольцо ?°(pt) имеет лишь один обра-
обратимый элемент — единицу 1 этого кольца. Таким образом, в этом
случае класс Тома существует, т. е. относительно спектра Н(Ъ>)
любое микрорасслоекие ориентируемо.
Упражнение. Предположим, что многообразие М обладает
таким атласом {(Ua, $<*)}> что все гомеоморфизмы Фа°Ф$1:
Фр (Ua П ^р) -*• R" сохраняют ориентацию. Показать, что тогда
касательное микрорасслоение tM ориентируемо относительно
любого связного кольцевого спектра Е.
Вернемся теперь к теоремам двойственности для многообра-
многообразий. Все они будут вытекать из двойственности Александера,
которую мы докажем в первую очередь.

ГЛ. 14. ОРИЕНТАЦИЯ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ 367
Пусть В <=А czM — M — некоторые подпространства я-мер-
ного многообразия М. Вложение А х (М — В)|->- М х М индуци-
индуцирует отображение
/: (А, В)х(М-В, М-А)-*~(МхМ, МхМ-А).
Если t <= Еп (М х М, М х М — А), то можно определить гомоморфизм
у,: ЕГ(М-В, М - А) -* Еп~г (А, В),
полагая y,(x) — j*t/x для всех х <^ ЕГ(М — В, М — А). Гомомор-
Гомоморфизм yt естествен относительно вложений (А', В') с (А, В).
14.11. Теорема (двойственность Александера). Пусть М —
некоторое п-мерыое многообразие с краем М, t e E" (МхМ,
М х М — А) — класс Тома для М и В <^ А а М — М — компактные
полиэдры в М — М. Тогда гомоморфизм
у,: Er(M-B, M-A)-+En~r(A, В)
является изоморфизмом для всех г е Z. Аналогично, имеет
место изоморфизм
yt: ЕГ(А, В)-**Е*-г{М-В, М-А).
Доказательство. Рассмотрим различные случаи.
i) (А, В/= ({*}. 0). х<=М-М. Тогда
(Л, В)х(М-В, М-А) = {х}х{М, М-{х}).
Так как t — класс Тома, то j*t = \xg, где g еЕп(М, М.— {х})—
образующая над Е* (pt) (для любой карты (U, h), содержащей
точку х, имеют место изоморфизмы
Е*{М, M-{x\)&E»(U, U-{x})^E"(W, R"-{0})).
Таким образом, для любого элемента у е ?г (М, М — {х}) мы
имеем (\xg)/y = (g, y)-\, откуда следует, что у, — изоморфизм.
и) (А, В) = (од, ф), где сг? с: М — М — вложенный ^-мерный
симплекс, настолько малый, что а4 с ?/ для некоторой карты
(U, h). Выберем в симплексе а' некоторую вершину v. Тогда
имеет место коммутативная диаграмма
л*
EJLU, U- {v})
Et(Un, R».- Ыр*)) —zr+ Er(Sn, Sn - Що*»
?,(Па, R" - h(v)) -=--*- Er(Sn,Sn-kh(v)),

368 ГЛ. 14. ОРИЕНТАЦИЯ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ
изоморфизм k^ в которой индуцирован вложением k: R"-*-
Sn-H+CSn. Таким образом, yt: Er(M, M — а<>)-+Е"-'(а'>)
является изоморфизмом одновременно с
Er(Sn, Sn-kh(oi))-+Er(Sn, Sn-kh(v)).
Применяя лемму о пяти гомоморфизмах к точным последователь-
последовательностям пар Eя, 5" — kh(a")) и Eя, Sn — kfi(v)), мы видим, что
последний гомоморфизм будет изоморфизмом в том и только
в том случае, когда Ёг (Sn — kh (а4)) д^ Ёг E" — kh (v)) = 0. Поэтому
достаточно показать, что Er(Sn — Ф(а9)) — 0, reZ, для любых
вложений ф: og-+-Sn, q^sO, или, эквивалентно, что Er(Sn —
Ф (Iv)) = 0 для любых вложений Ф: /?->5", q^O.
Докажем это индукцией по размерности q. Случай q = 0 три-
тривиален. Предположим, что Ё*(8п — ФAд-1))ф0 для всех Ф: У?-1-»-
5", и рассмотрим вложение ф. /?->-5л. Пусть А0 = Ф{1д), В\ =
ФA^х[0, 1/2]), В2 = Ф(/?-1х[1/2, 1]). Тогда мы имеем точную
последовательность Майера — Вьеториса
... -* Er+i (S" - Вх П В2) — Er(Sn - Ао) -
Ёг (S" - В,) © Ёг (Sn - Bt) ->...
Так как ?1П5г = Ф(/?-1х{1/2}), то из предположения индук-
индукции следует, что ?„. EЛ — Bi[)B2) = 0. Значит, отображение
a: ?*(S"—40)->-?*(Sn--Bi)S?'H!(S''-B2)— изоморфизм. Пусть
ik: S"—An-^-S" — Вк, k=l, 2,—очевидные включения. Если при
некотором reZ найдется ненулевой элемент
то либо i'i*(.v) e Er(Sn — Bi), либо t2* {х) е Ёг (S" — В2) отличен
от нуля,—для определенности возьмем ii*(*). Положим Ai = Bi,
Xi = ili$(x) Повторяя этот процесс, мы получим такую последо-
последовательность подпространств
Ло :э Ах ¦=> Аг zd ... zd Ak zd ...
и ненулевых элементов хк ^Er(Sn— Ak), что Ёг (Sn — Л*) ->
Ёг (Sn — Ак+1) переводит xk в хм и [} Ак = ФA^-1х{5}) для
fc0
некоторого se/. В силу упражнения 7.73 и предположения
индукции
dir lim Ёг Eя - Ак) = ?r /S" - f) i4*) = 0.
o /
С другой стороны, последовательность {^fc} определяет ненуле-
ненулевой элемент в dir lim Ё, (Sn — Ак). Полученное противоречие пока-
показывает, что ?!|сEя-Ф(/?)) = 0.

ГЛ. 14. ОРИЕНТАЦИЯ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ 369
iii) Каждый компактный полиэдр является компактным мет-
метрическим пространством, поэтому для любого его открытого
покрытия определено число Лебега. Следовательно, мы всегда
можем настолько мелко триангулировать наш компактный поли-
полиэдр А, чтобы любой симплекс этой триангуляции лежал в неко-
некоторой карте заданного на М атласа. Такую триангуляцию поли
эдра А назовем хорошей.
Предположим теперь, что теорема доказана для всех пар
(А', ф), где А' хорошо триангулирован и число симплексов
триангуляции не превосходит т—1. Если полиэдр А а М имеет
хорошую триангуляцию с числом симплексов, равным т, то мы
можем считать, что А = А'[)ад, где А' а А —собственное симпли-
циальное подпространство и ад — симплекс из А размерности q.
Тогда и А' и а? имеют меньше чем т симплексов.
Рассмотрим триады (А; а, А') и (М — о; М—а, М — А'),
в которых о[)А' = 6 и (М — о)(](М — А') = (М - А), и применим
к ним еще один, вариант точной последовательности Майера —
Вьеториса 7.19. Именно, если (X; А, В; —триада, вырезаемая
для теории гомологии /ц и Y ^э X, то имеет место точная после-
последовательность
...-»hr(Y, A[\B)±hr(Y, A)@K(Y, B)±
hr(Y, X)^hr^(Y, Af}B)-+...
Доказывается это утверждение точно так же, как теорема 7.19.
В нашем случае это дает коммутативную диаграмму точных
последовательностей
?,+1(А/, М-a)® Eq+l(M,M-A') -> ?,+1(Л/, М-а) *
Е»-«->0) © Ея-<-КА') > ?"-«-'(*) >
Eq(M,М-А) -у ЕЯ(М, М-р)® Eq(M, М - А') -> Et(M, М-а)
Уг
yt@yt =\yt
> En-%&).
Из леммы о пяти гомоморфизмах следует, что yt'- Eg(M, M — А)-*-
Е"~9 (А) — изоморфизм для всех q. Поэтому, по предположению
индукции, yt — изоморфизм для любых пар (А, ф). (Мы снова
предлагаем читателю самостоятельно убедиться в том, что
указанная выше диаграмма коммутативна, в частности, что

370 ГЛ. 14. ОРИЕНТАЦИЯ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ
iv) Для любой пары (Л, В) мы имеем коммутативную диа-
диаграмму точных последовательностей
Eq+1(M,M-A) -> Eq+1(M,M-B) -*. Eq{M-B, M-A) ->
= It ft
У
?»-«-iE) у ?я-"(/|, 5) у
E?\l",M-А) -* ЕШ, М- В)
~\yt
Применяя к ней лемму о пяти гомоморфизмах, находим, что у,:
Е1](М— В, М — A)-+E"~i{А, В) — изоморфизм для всех usZ.
Доказательство того, что ЕГ(А, В) ->- Еп~г (М — В, М — А) яс-ля-
ется изоморфизмом для всех geZ, совершенно аналогично. D
Из только что доказанного утверждения вытекают следую-
следующие две теоремы двойственности.
14.12. Теорема (двойственность Лефшеца). Если М—ком-
М—компактное триангулируемое п-мерное многообразие с краем М и
t —класс Тома для М, то имеют место изоморфизмы
Ег (М, М) Л Еп~г (М - М) ? E'-r (M)
Доказательство. Рассмотрим воротник края М, т. е.
окрестность М^Мх[0, 1) края /Й в многообразии Л{ (см. [28],
приложение 2). Тогда имеет место коммутативная диаграмма
Е"~Г(М-М) .„
Er(M,N) -^-> En-\M-N)
Применяя теорему 14.11 к паре (М-—ДО, ф), получим, что yt:
Er(M, N)-+Er-~r (М — ДО) — изоморфизм. Легко видеть, что грай М
является сильным деформационным ретрактом воротника ;V,
а М —ДО —сильным деформационным ретрактом многообразия
М — М и, значит, многообразия М. Следовательно, Г* и две вер-

ГЛ. 14. ОРИЕНТАЦИЯ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ 371
тикальные стрелки — также изоморфизмы. Аналогично устанавли-
устанавливается и другой изоморфизм. ?
14.13. Теорема (двойственность Пуанкаре). Если М—ком-
М—компактное триангулируемое п-мерное многообразие без края и t —
его класс Тома, то существует изоморфизм
V,: Ег(М)-+Еп-г(М), гё2.
14.14. В то время когда создавалась эта книга, оставался
открытым вопрос: триангулируемо ли произвольное топологиче-
топологическое многообразие1). Если ответ на этот вопрос окажется утвер-
утвердительным, то теоремы 14.12 и 14.13 справедливы для любых
компактных ориентируемых топологических многообразий. Если
Е = И (R) для некоторого кольца R, то теоремы 14.12 и 14.13
могут быть доказаны для всех топологических многообразий М
и без предположения триангулируемости.
Приведенные выше теоремы 14.12 и 14.13 о двойственности
Лефшеца и Пуанкаре обычно формулируют в несколько ином
виде. Более привычные формулировки включают в себя понятие
«фундаментального класса».
14.15. Определение. Пусть # М — произвольное п-мерное
многообразие. Элемент ze Еа(М, УЙ) называется фундаменталь-
фундаментальным классом многообразия_ М тогда и только тогда, когда для
любой точки х^М — М элемент /, (г) е Е„ (М, М — {х})
(=*?-(?/, U - {*}) g=; En (Rn, R"-{0})) является образующей
?, (р{)-модуля Е^Ш, М-{х}).
Покажем, что изоморфизм, обратный к изоморфизму двойст-
двойственности Лефшеца, с точностью до знака задается формулой у i—-
уг\г для подходящего фундаментального класса г. Для этого нам
понадобится следующая лемма Спеньера.
14.16. Лемма. Пусть М —компактное, ориентируемое, три-
триангулируемое п-мерное многообразие и лх, п2: М х М -*¦ М — проек-
проекции. Для любых элементов
MvAf-A), bezEg(MxM, MxM-A)
и с е Er (M) имеют место равенства
* (а гл Ъ) = п2* (a r\ b) <= Eg-P (M),
a w п"с = a w я|с е Ер+Г (М х М, МхМ — А).
Доказательство. Перестановка сомножителей
1 хтх 1: МхМхМ*М-+МхМхМхМ
') В настоящее время (декабрь 1984 года) ответ на этот вопрос по-прежнему
неизвестен. Современное состояние указанной проблемы изложено в работе
Galewski D. Е,, Stern R. J. Classification of simplicial triangulations of
topological manifolds.—Ann. Math., 1980, 111, № 1.—Прим. перев.

372 ГЛ. 14. ОРИЕНТАЦИЯ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ
определяет отображение
Т: (М4, Mi - А (ЛР)) -»- (М\ М2-Д)х(ЛР, Мг-А).
Легко видеть, что если t^En(M2, /И2 —Д) —класс Тома много-
многообразия М, то
/' = T*(txt)<= Егп (М\ Mi - Д (М2))
— класс Тома многообразия МхМ. Поскольку Т°(тхт) = т'-7\
где t'(*i, х2, *з, дс4) = (хз, xlt хъ х2), то (тхт)* (f) = (— \)Н'.
Следовательно, диаграмма
Et(M2,M2-A)
Г
коммутативна и у^ — изоморфизм в силу теоремы 14.11. Таким
образом, т* (ft) = (—l)"ft для всех йе??(УИ2, М2 —Д) и, анало-
аналогично, т*(а) = (—1)"а для всех ае?р(Л12, Мг — Д). Поэтому
*с = {—1)"т* (awn*c) = awT*niC = awn|c. D
14.17. Предложение. Пусть М — компактное триангули-
триангулируемое п-мерное многообразие с классом Тома t. Тогда существует
такой единственный фундаментальный ш класс z е?„(М, М), что
гомоморфизм yt: Еа(М, М)-+Е°(М — М) переводит z в 1. Сверх
того, изоморфизмы, обратные к двум изоморфизмам двойственно-
двойственности Лефшеца, задаются (с точностью до знака) посредством
г^-умножения на класс z.
Доказательство. В силу теоремы 14.12 гомоморфизм yt
является изоморфизмом, поэтому найдется такой элемент z, что
yt (г) =' 1. Для любой точки х е М — М мы имеем коммутативную
диаграмму
Е„(М, М) -±+ UM, М - {х})
=1» =Ь
Е\М-Й) »¦ Е°({х}).
Так как /*A)=1, то /„ (z) = yjl A). Но yt является изоморфиз-
изоморфизмом ?* (р1)-модулей, поэтому уГ1 A) есть образующий элемент
в Е* {М, М — {х}). Следовательно, z — фундаментальный класс.

ГЛ. 14. ОРИЕНТАЦИЯ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ 373
Покажем теперь, что диаграммы
Е„(М,Й) Eq(M-M) —^> ?"-*(A/,J&)
Л
Е„(М)
коммутативны с точностью до знака. Пусть
/У. (М-М)Х(М, М)-+(МхМ, МхМ-А),
kL: (М- M)xM-+
/2: (М, М)Х(М-М)-+(МхМ, МхМ-А),
k2: Mx(M-M)-+MxM
— включения. Тогда для у е Е"~ч (М) имеем
Y* (У^г) = fit / {уъг) = [jft^(l xy)]/z =
(—l)^nU*y^(jtt/z)= (no 13.61)
(по выбору 2) =(— l)n+^i*y.
Аналогично, для х s ?? (М — М) имеем
yt(x)^z = {jit / x)rsz = n1*[jltrs(zxxj\=' (по 13.61)
ni*fea* [/a^(z X jc)] = я1в ^r>/2* BX^)] =
/8* (zXл:)] = (по 14.16)
= (—1)" Я1, [tr\juT* (ZXX)] =
x г)] =
(no 13.61)
Разумеется, отсюда следует, что изоморфизм, обратный к изо-
изоморфизму двойственности Пуанкаре, также задается (с точностью
до знака) посредством гл -умножения на фундаментальный класс.
14.18. Предложение. Пусть Е — связный кольцевой спектр.
Тогда компактное триангулируемое п-мерное многообразие ориен-
ориентируемо тогда и только тогда, когда оно имеет фундаменталь-
фундаментальный класс.
Доказательство. Мы только что видели, что если мно-
многообразие М ориентируемо, то оно имеет фундаментальный класс.
Пусть теперь z — фундаментальный класс в М; покажем, как по-
построить по нему класс Тома t. Для каждой точки iieiU мы

374 ГЛ. 14. ОРИЕНТАЦИЯ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ
имеем изоморфизмы
Еп(М, M-{b})SLEn(U, и-
Е"(М, M-{b})^E»(U, U-
где h: fZ-^R"— карта, содержащая Ь, причем h(b) = O. Пусть ib:
(М, М) -+(М,М- \Ь\) - включение nzb = tft* (г) <= Е„ (М, М - {6}).
Обозначим через tb е ?" (М, М — {Ь}) такой однозначно опреде-
определенный элемент, что (tb, zb)—l.
Возьмем теперь на многообразии М некоторый конечный
атлас {Vi, Щ. Тогда атлас касательного микрорасслоения к М
будет иметь вид {V,-, Я,}, где Н{\ ViхК"-»-У(л Vi —отображение,
задаваемое для любых oeFj, x e R" формулой Яj (у, х) =
(у, /i;1 (/г;(о) — х)). Пусть (V, /г) — некоторая карта атласа {Vh hi}.
Введем следующие обозначения: bo = hr1 @) ^ V\ для любой точки
bV
/»: (V, V
— включение слоя над Ь; отображение
hb: (R-, R"-{0})-4V, V -{b})
задается формулой hb(x) = л2°Я(Ь, ^), л;еР", и
Пусть <v=(^J)*@(.l( {})) ())
(см. п. 14.10). Мы хотим показать, что if. (tv) = tb\(V, V—{b\)
для любой точки b e V. Так как диаграмма
ъ х к+
F х (R-, R" - {0}) > (V х V,V х V - A(V))
н
коммутативна, соотношение jt(tv) = tb\(V, V — {b}) равносильно
следующей цепочке равенств:
tb\(V, V-{b}) = (bxh?)*(lxht(tbo\(V, V-\bo\)))
= W-htt(h.\(V. V-\bn}))
= gM(tt.\(V, V-{b0}))
Отображение gb^ можно включить в коммутативную диаграмму
k\ \k
r, or - {h(b)}) —— (R-, w - {0});

ГЛ. 14. ОРИЕНТАЦИЯ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ 375
где Ть — параллельный перенос на вектор —h(b). Параллельный
перенос Ть гомотопен гомеоморфизму s: R" -> R", тождественному
вне некоторого шара В, содержащего h(b) и 0, и отображающему
h{b) в 0. Поэтому gbob гомотопно отображению Gbob, тождествен-
тождественному вне /г1 (В). Мы можем, следовательно, продолжить G&0& до
отображения Gbob: (М, М)-+(М, М), гомотопного тождественному
отображению \м. Таким образом, мы получаем гомотопическв
коммутативную диаграмму
П-Jb
(M, М - {b}) -^ (М, М - {b0})
(Л/,М) -
Значит, gSo6 (tb, \(V,V- {bo}))=gtib • До (tba) = Л (GU (tbt)). Поэтому
(h,-, (Gw)t h* (z)) = (tbo, zbo) = 1.
Это равенство показывает, что jHtv) = tb\{y, V — {b}) для всех
i»eV и любой карты V. Таким образом, элементы ^е?я (р (Vj).
Р (^i) ~ i (Vi)), соответствующие классам ty., удовлетворяют усло-
условиям предложения 14.9, и, следовательно, существует такой класс
Тома t, что /1 (Vi X Vt, Vi x Vt - A (Vi)) =» tv.. U
Замечание. Условие связности кольцевого спектра Е в пред-
предложении 14.18 существенно. К сожалению, это условие не вы-
выполняется для таких интересных спектров, как К и КО.
Теорема двойственности Александера утверждает, что если X
и Y — дополнительные конечные клеточные подпространства евкли-
евклидова пространства R" (т. е. У~Кл — X), то для любого кольцевого
спектра Е существует изоморфизм двойственности между Е* (X)
и Е„ (Y):
Er (Y) ^ Er (R* -X)^ En'r (R", X) ? Ё'-*-* (X).
Существует другое описание этого изоморфизма. Действительно,
определим отображение ц: XxY-+-S"-1, полагая
, ч и—v
[I Ш, V) — -г. г .
Тогда изоморфизм двойственности задается формулой
Y (</) = ."*(?)/У- y<=E.(Y),
где g <= Ё"-1 (S"-1) - образующая Ё* E°)-модуля Ё* (S"-1). Это
наблюдение привело Спеньера и Уайтхеда к определению более
общей формы двойственности.

376 ГЛ. 14. ОРИЕНТАЦИЯ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ
14.19. Пусть X, X* — спектры и ц,: X* Д X-+S0 — некоторое
отображение. Для любых двух спектров U и V построим отобра-
отображения
D,: [U, V^X*]-+lU^Xy V]
и
„D: [U, X/\V]-+[X*/\U, V].
Для произвольного отображения f: U -+V Д X* определим О^[/]
как гомотопический класс композиции
U/\Х 1лЛу/\ X*/\ X -1-Л-й
Для отображения g: U-*~Xf\V определим ^D[g] как гомотопи-
гомотопический класс композиции
X*/\U l-A-?X*/\X/\V^S°/\ V~V.
Отображения D^ и ЦО естественны относительно U' -*-U kV'-*-V
и поэтому являются гомоморфизмами. Подобным образом для
данного отображения р: S°^>-X*/\X можно определить гомо-
гомоморфизмы
D»: [Ut\X*, V]-*[U. V/\X],
PD: [XfrU, V]-+[U, X*/\V].
14.20. Определение. Говорят, что ц: X*/\X-+S° есть
отображение S-двойственности, если D^ и ^D — изоморфизмы для
любых спектров (У, У. В этом случае спектр X* называется
S-двойственным к спектру X.
14.21. Пример. Если X = 2»S°, X* = 2-"S° и ц: Х*/\Х-+
S0 — стандартная гомотопическая эквивалентность 2"Р5°Д2Р5° ~
5°, то ^ является отображением S-двойственности.
14.22. Предложение. Если X, X* —конечные спектры,
то ц: X* Д X -> S0 является отображением S-двойственности
тогда и только тогда, когда Оц и ^D — изоморфизмы для U =
2°, У = 2?S° u всех р, ?eZ.
Доказательство. Пусть (У = 2Р5° и {]/"} —фильтрация
слоями спектра V. Тогда Ух= \/ 2daS°, и мы имеем коммута-
сееЛ,
тивную диаграмму
[U,V1aX*] у

ГЛ. 14. ОРИЕНТАЦИЯ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ 377
Вертикальные стрелки в этой диаграмме являются изоморфиз-
изоморфизмами. Это вытекает из следующего общего утверждения: для
любого конечного спектра W и любого семейства спектров {Ха}
имеет место изоморфизм {ia*}: © \W, Xa]-^-\W, \/ Х-Л
а^А 1 аеЛ J
Действительно, если W = HdS°, то |ia*} — изоморфизм в силу
следствия 8.36. Пусть теперь W = W UCB"S°). Тогда имеет
место коммутативная диаграмма с точными строками
\ Va ХД+- [W, Va X.) +- [W, Va ЛГ,]
'{U
с помощью которой требуемый изоморфизм доказывается индук-
индукцией по числу клеток в W, Итак, в изображенной выше диа-
диаграмме {(['с Д 1)*} и {ia*}—изоморфизм. Поэтому D^: [U, V1/\X*]-*-
[U/\X, V1] — также изоморфизм.
Предположим теперь, что D^ — изоморфизм для U = 2PS° и
У"-1. Рассмотрим коммутативную диаграмму с точными строками
[U,V*sX*\
В силу леммы о пяти гомоморфизмах D^ — изоморфизм для U —
2PS° и V; поэтому по индукции D^ является изоморфизмом для
U = 2PS° и любого слоя фильтрации V, п^О.

ГЛ. 14. ОРИЕНТАЦИЯ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ
Воспользуемся теперь коммутативной диаграммой
dh\\m[U,Vn sX*] = > dirlim [UhX,Vn]t
diliZ)
в которой {(tn Д l)*} и {in*} — изоморфизмы согласно лемме 8.34.
Тогда D^ — изоморфизм для U — 2Р5'° и любого спектра V.
Пусть теперь V — произвольный, но фиксированный спектр и
{[/"} —фильтрация слоями спектра U- Соображения индукции,
аналогичные использованным выше, показывают, что Du:
[Un, V[\ X*]-+[Un/\X, V]- изоморфизм для всех п^О. И, на-
наконец, имеет место коммутативная диаграмма с точными строками
О -> liml[Un,Z-lVbX*] -> [U,VsX*] -> lim°[Un,V\X*] -> 0
lim0/),,
0 -*-\iml[Un/\X,Z-iV] -> [UaX,V]-+ \\mQ[UnhX,V] -> 0,
из которой следует, что О„ — изоморфизм для любых спектров U
и V.
Изоморфизм \|D доказывается аналогично. ?
Замечание. Аналогичными рассуждениями можно показать,
что Dp и р?> будут изоморфизмами для любых спектров U, V
в том и только в том случае, если они — изоморфизмы для 0 —
2"S°, V = 2«S°, p, q<=Z.
14.23. Предложение. Если \х: X*Д X-+S0 — отображение
S-двойственности, то таковым же является и отображение ц,°т:
Х/\ X*-+S°.
Доказательство. Так как диаграмма
W,VaX*] —ц-+ [UnX,V\
Ч = т*
[U,X*hV] -^—* [Xf,U,V]
коммутативна, то ^D является изоморфизмом одновременно с D^.
Аналогично, D^x является изоморфизмом одновременно с ^D. D
Таким образом, если спектр X* S-двойствен к X, то X яв-
является 5-двойствгнным к X*.

ГЛ. 14. ОРИЕНТАЦИЯ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ
37»
Пусть (х: X*/\X-*-Su, v: Y* Д Y -+S0- отображения 5-двой-
ственности. В этом случае композиция 8(ц., v)
[X,
°]^[Y*, X*}
является изоморфизмом. Если /: X -*¦ Y — некоторое отображение,
то [/*] = 8 (|л, v) [/] характеризуется тем свойством, что диаграмма
У* л А' >- Х*аХ
/*л1
1л/ ц
Y*aY
S°
коммутативна с точностью до гомотопии.
14.24. Предложение, Пусть ц: X*/\X->-S0, v: К*ДГ->5°,
л: Z* Д Z-vS° — отображения S-двойственности и f: X-+Y, g:
Y -*¦ Z — некоторые отображения спектров. Тогда
i)/**~/; ii) {g'f)*mf*-g*; iii) 1*~1.
Доказательство. Согласно предложению 14.23 можно счи-
считать, что Х** — Х, Y** = Y. Так как диаграмма
XnY
ХаХ*
гомотопически коммутативна по определению отображения /*, то
Далее, диаграмма
Z*aX
. Z*aZ

380 гл. и. ориентация и двойственность
гомотопически коммутативна по определению отображений f* и
g*. Следовательно, f* °g* c^(g°f)*. Утверждение Hi) очевидно. П
14.25. Следствие. Пусть \i: X*/\ X -+S0 и р/ X*/\ X ->
S° — dea отображения S-двойственноети- Тогда существует такая
гомотопическая эквивалентность h: Х*-+Х*, что $-(h/\ 1)~ц,.
При этом h единственна с точностью до гомотопии.
Доказательство. Тождественное отображение 1: Х->-Х
индуцирует отображения l* = /z: Х*-+Х* и 1* = &: X* -*-Х*,
единственные с точностью до гомотопии и такие, что р.» (ЛД1) ^и,
\i°(k Д 1) c^(i. Тогда h-k и 1^, представляют собой одно и то же
отображение 1*: Х*-*-Х*. Следовательно, h-kcal^,. Анало-
Аналогично, k'hc^lx*.Q
Таким образом, любые два спектра, 5-двойственные данному
спектру X, каноническим образом гомотопически эквивалентны
между собой.
Покажем теперь, что любой конечный спектр обладает S-двой-
ственным спектром.
14.26. Лемма. Пусть ц: X*/\X-+S° и v: К*Д Y-+S0 —
отображения S-двойственности. Тогда их композиция (\х, v), опре-
определяемая как
х*ду*д Y/\ XLL1Mх*/\S° f\ Xс^Х* /\ X±S°,
также будет отображением S-двойственности.
Доказательство. Без труда проверяется, что следующая
диаграмма коммутативна для любых спектров U и V:
Пусть \i: X*/\X-+S°, v: Y*/\ Y-+S° — отображения S-двой-
S-двойственности и p: Y/\ X->5° — произвольное отображение. По-
Поскольку (К Д X)* = X* /\ Y*, то существует такое отображение р*:
S°-+X*/\Y*, что диаграмма
1 sp
S°aS° ' ' S°
гомотопически коммутативна.

ГЛ. 14. ОРИЕНТАЦИЯ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ
381
14.27. Лемма. Отображение р: Y[\X-*-S° является отобра-
отображением S-двойственности тогда и только тогда, когда Dp' и P*D —
изоморфизмы для всех спектров U, V-
Доказательство. Так как диаграмма
коммутативна, то Dp является изоморфизмом одновременно с P*D.
Аналогичным образом 0D является изоморфизмом одновременно
с D'".D
Следовательно, если отображение р: S°-*-X* f\ X Tai озо, что Dp
и PD —изоморфизмы, то оно также может быть названо отображе-
отображением S-двойственности. Лемма 14.27 доставляет нам взаимно одно-
однозначное соответствие между отображениями S-двойственности р:
S°-*-X*/\X и отображениями S-двойственности, определенными
в п. 14.20.
14.28. Лемма. Если ц: X*f\X^>-S0, v: Y*f\Y^-S°-
отображения S-двойственности и f: X -*¦ Y — отображение спект-
спектров, то (Sp/)* ~S"P(/*).
Доказательство. По определению отображения /* диа-
диаграмма
1л Г'/
в которой \ур, \р — очевидные отображения S-двойственности, го-
мотопически коммутативна. Следовательно, 2~р(/*)с^Bр/)*. ?
14.29. Лемма Пусть ц: X*/\ X-+S°, v: Y*/\Y-+S0-ото-
Y*/\Y-+S0-отображения S-двойственности и f: X -у Y — отображение спектров.

382 ГЛ. 14. ОРИЕНТАЦИЯ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ
Тогда имеет место коммутативная диаграмма
[U,VaX*] -—-
|(! л/*)*
[U,V\Y*]
Aл/)*
[t/лГ.И].
14.30. Лемма. Пусть f: X-^-Y, g: U->V — непрерывные
отображения топологических пространств и Z = Y [} f CX, W =¦
V\)gCU. Тогда
Z Д W/Yf\ V^[(SXf\ V) V (УЛ SU)]{]hCS[Xf\ U],
где h — композиция
(SXAlOV(X/\SU) uAg-Mv>).(SXДУ)\/(КA^t/)-
Доказательство. Рассмотрим гомеоморфизм
/x/
JxJ
/x{0, l}U{0}x/ "*" /x{0}U|0}x/ '
задаваемый формулой
f[2s*,s], 0^<<
\[s, 2s-2st], 1/
S> ¦l
(рис. 27).
Рис. 27.
1
Определим теперь отображение ф: [EХА V) V (УД SU)][)h
CS[Xf\U]-+Z/\W/Y/\V, полагая
8, t, x, «J —
ф[<, X, V] = [t, X, V], [t, X, 1>]€=S*A V,
Ф[У, t, «] = [i/, t, и], [у, t, u]<=Yf\SU,
[2st, x, s, «], 0
Легко получить формулы для обратного к Ф отображения ф-1.
Непосредственно проверяется, что Ф и Ф непрерывны. ?
14.31. Лемма. Пусть X-^Y ^Z^-SX ^ LY и Y* ^ X* ^
Z* ^SY*^SX*—корасслоенные последовательности пространств.

ГЛ. !4. ОРИЕНТАЦИЯ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ 383
Пусть, далее, ц: X*/\X-+Sn, v: Y*/\Y->~Sn —такие отобра-
отображения, что диаграмма
/*л1
Y*kX X*hX
Г
Y*aY —> S"
гомотопически коммутативна. Тогда найдется такое отображе-
отображение п: Z*ДZ->5"+1, что имеют место гомотопически коммута-
коммутативные диаграммы
14.32 |1 л* |Sv
Доказательство. Можно считать, что Z=Y\jfCX, Z* =
X* U,. СГ*. Определим отображение At: S (К* Д X) -*- (SK* Д Y) V
(X*/\SX так же, как в лемме 14.30:
S (Y* f\X)± (SY* /\Х)У (Y* Д SX)
Тогда композиция
5(У*Д Х)-^EГ*Д К) V(X^SX)
нульгомотопна. Следовательно, согласно лемме 14.30 существует
такое отображение р: Z*j\ZIX*/\Y-+Sa+\ что р|[EУ*ДУ)\/
(X*/\SX)]c^(Sv, Six). Определим я: Z*ДZ-*-5'1+1 как композицию
Z* Д Z -> Z* Д Z/X* Д Y -^ 5Л+1
Так как диаграмма
'- Z*aZ

384 ГЛ. 14. ОРИЕНТАЦИЯ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ
гомотопически коммутативна, то оба квадрата 14.32 также гомо-
топически коммутативны. ?
14.33. Следствие. Пусть XХуА^Л s XЯ 2 Y -корас-
слоенная последовательность и ц: X*/\Х->S°, v: Y*f\Y->S°—
отображения S-двойственности. Если X, X*, Y, Y* — конечные
спектры, то можно построить отображение S-двойственности
л: Z*f\Z-+S° и корасслоенную последовательность
X* Л- у* ?- Z* ?— 2-1Х* ?-— 2-1У*
Доказательство. Заметим прежде всего, что каждый ко-
конечный спектр Е имеет кофинальный подспектр вида ?d?(X) для
некоторых целого числа d и конечного клеточного пространства X.
Действительно, существует такое N, что Em = Sm~NEN для m^N
и EN — конечное клеточное пространство. Поэтому можно взять
X = ?v и d = — N.
Предположил^ теперь, что ц: X* Д X -> S0 имеет вид
2-rf?(p): ~Z-dE (X* f\X)^2-dE (Sd) для некоторого отображения
р.: X*/\X-+Sd конечных клеточных пространств X, X*. Анало-
Аналогичным образом предположим, что у_индуцировано отображениям
конечных клеточных пространств^: Y*/\Y->Sd'. Переходя, если
необходимо, к надстройке, мы можем считать, что d' = d. Точно
так же полагаем, что / _индуцировано отображением /: X -*- Y,
a f* — отображением f*: Y*-*-X* (мы снова заменяем, если не-
необходимо, пространства X, У и т. д. подходящими итерирован-
итерированными надстройками). Применив лемму 14.31 к корасслоенным
последовательностям
получим отображение ii: Z*(\2->Sd+1, где 1 = V\J jCX, Z* —
X*\l-ftCY*. Можно считать, что Z = 2-a?(Z); тогда Z* =
S*-"-^^*). Отображение п: Z*f\Z-*Sli+1 определяет функцию
2-rf-i?'B*^Z)->-S-rf-1?'(Sd+1), что, в свою очередь, задает отобра-
отображение спектров л: Z*ДZ->50.
Отображения спектров g*, h* определяются посредством ото-
отображений g, Л. И, наконец, для любых спектров U, V имеет место
коммутативная диаграмма

гл. 14. ориентация и двойственность 385
[U,VaY*]
S Dv
[UAXtV] l-^~ [UhY,V] i—14 [UaZ,V]
Согласно лемме о пяти гомоморфизмах Drt — изоморфизм. Тот факт,
что nD — изоморфизм, доказывается аналогично. ?
14.34. Теорема. Каждый конечный спектр обладает S-двой-
ственным спектром.
Доказательство. Мы знаем, что спектр 2H\S° является
5-двойственным для 2Р5° при любом р 6 Z. Поэтому доказатель-
доказательство получается индукцией по числу клеток в спектре с исполь-
использованием следствия 14.33 в качестве шага индукции. ?
В качестве применения понятия 5-двойственности докажем
теорему о представимости для теорий гомологии. Заметим, что
для любого спектра Е и отображения 5-двойственности |i: X* /\
Х-yS0 имеют место изоморфизмы
Du: Ep(X*)-+E-p(X),
Drf Ер(Х)^Е-р(Х*), psZ.
14.35. Теорема. Пусть k^— теория гомологии на категории
У'р конечных клеточных пространств с отмеченной точкой или на
категории q7&'f конечных спектров. Тогда существуют спектр Е
и естественная эквивалентность Т*: ?*->&* (на gPW'p или на
S?'
)
Доказательство. Можно считать, что теория гомологии &„,
определена на категории З"*?'?. В самом деле, если.она задана
на $>W'f, to ее всегда можно продолжить на конечные спектры F,
полагая kn (F) = dir lim kn+p (Fp). Если F = 2d? (X) для некоторого
конечного клеточного пространства X, то kn (F) = kn-d (X). Если
/: F-*¦ F' — произвольная функция, то {/м: kn+p (Fp) -»-kn+p (F'p)} —
морфизм прямых систем, и, значит, определен гомоморфизм
/*: kn{F)-*-kn(F'). В качестве о: kn (F)->kn^BF) возьмем есте-
естественную эквивалентность
К (F) = dir lim ka+p (Fp) ^ dir lim kn+p+1 (Fp+1) = ka+i ^ F).
13 Роберт М. Свитцер

386 ГЛ. 14. ОРИЕНТАЦИЯ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ
Наконец, если F — G-^Н — специальная корасслоенная последо-
последовательность, то для каждого р имеет место точная последователь-
последовательность групп и гомоморфизмов
К+Р (Fp) *¦**• kn+p (Gp) '-& kn+p (Hp),
остающаяся точной после перехода к прямому пределу G.50).
Поэтому для любой корасслоенной последовательности F~G-^H
последовательность
точна для всех nsZ. Таким образом, ?„. определяет теорию
гомологии на S^S^'f.
Зададим теперь кофункторы kn: .&'<$>¦-*¦ &t', полагая kn(X)—
k-n (X*), где X s S'uP'f, a X* — конечный спектр, 5-двойственный
к X. Так как X* единствен с точностью до гомотопического типа,
то группы kn(X) корректно определены. Если /: X -> Y — отобра-
отображение спектров, положим
Согласно предложению 14.24 kn является кофунктором. Определим
о": k^(llX)-^kn(X) как о_„: fe.».,BJX*)->i^(X*); ясно,
что оа — естественная эквивалентность. Если X — Y ~ Z — корас-
корасслоенная последовательность, то таковой же является и X* ?-
K*^-Z*. Отсюда вытекает, что точна последовательность групп
и гомоморфизмов
f* g
к"(Х) ч-i— *"(У) -• k\Z)
Таким образом, k* является теорией когомологий на категории
Применяя теперь к k* теорему 9.27, получим спектр Е и
естественную эквивалентность Т*\ E*-+k* на of^'p. Определим
Т^: Е^-^к* как естественную эквивалентность, превращающую
квадрат
ЕЯ(Х) —-* UX)
к'*{Х*)

ГЛ. 14. ОРИЕНТАЦИЯ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ 387
в коммутативный. Ясно, что этим требованием Т„, определена
однозначно. ?
14.36. Следствие. Пусть k^—такая теория гомологии на
ИЙ1У' (или ??&''), что {('«*}: dir \\m kn (Ха)-+kn (X) — изоморфизм
для любого п е Z, где {Ха} пробегает все конечные клеточные под-
подпространства (или подспектры) X. Тогда существуют спектр Е
и естественная эквивалентность Т%: E^-^-k* на§лш' (или <?/Ф').
Доказательство. Возьмем спектр Е и естественную экви-
эквивалентность 7V E^-^-k^ на qPW'f (или З^&'р), задаваемые тео-
теоремой 14.35. Продолжим Т* на Фш' (или <?>*?р'), единственным
образом определяя Тп(Х) как такой изоморфизм, что имеет место
коммутативная диаграмма
Е„(Х) ~-j^ UX)
dklimTn(Xa)
где {Ха} пробегает все конечные клеточные подпространства (под-
(подспектры) из X. Вертикальные стрелки в этой диаграмме являются
изоморфизмами на основании следствия 8.35 (или леммы 8.34)
и предположения о k^.O
Замечание 1. Можно показать, что предположение следст-
следствия 14.36 выполняется для любой теории гомологии &„,, удовле-
удовлетворяющей аксиоме суммы. Это утверждение является обобщением
7.53 и доказывается с использованием конструкции «обобщенного
телескопа».
Замечание 2. Предположим, что на З"^ заданы две тео-
теории гомологии k% и К с kg (S°) == kg (S°) = 0 для q < 0 и естест-
естественное преобразование Т: k^-^-k'^ между ними. Тогда очевидным
способом строится естественное преобразование Т*: &*->&'* соот-
соответствующих теорий когомологий и, значит, в силу теоремы 9.30
единственное с точностью до слабой гомотопии отображение/: Е-+Е'
их представляющих спектров. Если Т — естественная эквивалент-
эквивалентность, то / является гомотопической эквивалентностью; таким
образом, Е определено однозначно с точностью до гомотопического
типа. Для произвольных теорий гомологии &*, kn ситуация неясна.
В качестве еще одного применения теоремы 14.34 мы изложим
более простой и удобный чем теорема 14.22 критерий S-двойст-
венности.отображения ц: X* ДХ->5° (X, X* —конечные спектры).
14.37. Предложение. Пусть X, X* — конечные спектры.
Тогда ц: X* f\X-*-S° является отображением S-двойственности
в том и только в том случае, когда
D»: HP(X*; Z)-»H-p(X; Z)
13*

388 ГЛ. 14. ОРИЕНТАЦИЯ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ
nX: rip (л, L)-*-n *Чл*, ?)
— изоморфизмы для всех р eZ.
Доказательство. Так как спектр X конечен, то в силу
теоремы 14.34 существует отображение 5-двойственности v: X' /\
X->S° для некоторого спектра X'. Поэтому определен гомомор-
гомоморфизм 6 (v, |и)
г v vi И" г v* л v сот v г v* v'T
[ А , Л. J —» уЛ. 1\ Л., о J *^z~ [Л » A J.
Выберем такое отображение /: Х*^>~Х', что 6(v, И-)[1х] = [/]»
т. е. чтобы была гомотопически коммутативна следующая диаграмма:
/л!
X*hX >- А"лДГ
/'\ Sv
S0.
Отсюда вытекает, что диаграммы
также коммутативны. Если D^: HP(X*; Z)-+H-p(X; Z) — изомор-
изоморфизм при всех psZ, то на основании стабильного варианта тео-
теоремы 10.28 (теоремы Уайтхеда) отображение / является гомото-
гомотопической эквивалентностью. Следовательно, D^: n'^(X*)-vjt-p(X)—
изоморфизм при любом peZ. Совершенно аналогично доказы-
доказывается, что D^t: n$ (X)-^-njf (X*) является изоморфизмом для
любого peZ- Таким образом, из предложения 14.22 вытекает,
что ц — отображение 5-двойственности. П
14.38. Упражнение. Показать, что ОцХ: НР(Х; Z)->
Н~Р(Х*\ Z) является изоморфизмом для любого р е Z тогда и
только тогда, когда ^•т*: НР(Х; Z)->Я-''(X*; Z) — изоморфизм
для любого peZ. Подобным же образом D^ являются изомор-
изоморфизмами одновременно с nxD-x*.
Легкв видеть, что гомоморфизм ^«т^. задается формулой
x>-*ii*(io)/x для хееН*(Х\ Z), где 1°еЯвE°; Z)-образую-
Z)-образующая. Таким образом, для того чтобы определить, является ли
\и: X* ДХ -vS° отображением 5-двойетвенности, достаточно про-
проверить, что х>—* (а* (у°)/х — изоморфизм. Альтернативно, если

ГЛ. 14. ОРИЕНТАЦИЯ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ 389
р: S°->-X* f\X — отображение, двойственное к ц, то нужно лишь
проверить, что у—$/\р, М, У^И"(Х*; Z) (iQ^Ha(S°; Z) —
образующая) — изоморфизм.
Займемся теперь установлением связи между доказанными
в начале главы теоремами двойственности (Александера, Лефшеца,
Пуанкаре) и понятием 5-двойственности.
14.39. Пусть Мп — гладкое замкнутое многообразие. Вложим
М" в сферу 5Л+* достаточно болыьой размерности. Пусть v — нор-
нормальное расслоение и N — трубчатая окрестность этого вложения.
Очевидно, что N можно отождествить с тотальным пространством
расслоения на диски D(\), ассоциированного с v. Так же как
в главе 12 мы имеем отображение л: 5"+*->-М (v), совпадающее
на N с проекцией D(v)-»-M(v) и посылающее Sn+k — N в отме-
отмеченную точку М (v). Пусть р — композиция
JL м (v) -? М (v) Д D (v)+ '-Л-^ М (v) Д М+,
где Д' индуцировано диагональным отображением
A: (D(v), S(v))-*(D(v)xD(v), S(v)xD(v)),
и р: D{v)-*-M — проекция. Мы хотим показать, что р является
отображением S-двойственности, по крайней мере в случае, когда М
ориентируемо относительно Н (Z), т. е. в традиционном смысле.
Рассмотрим нормальное расслоение v как микрорасслоение.
Тогда класс Тома представляет собой элемент t е ?* {Е (v),
Е (v) — / (М)), где i (M) — нулевое сечение. Так как
Е* (Е (v), E (v) - i (M)) ^ E" (D (v), D (v) - i (M)) ^
то можно рассматривать f как элемент группы Ek (D (v), S (v)) ^
?*(Af(v)). Таким образом, изоморфизм Тома <t>t представляет собой
морфизм
(())
морфизм
14.40. Лемма. Пусть t ^Ek (M (v)) — класс Тома расслоения v
и inJrk s f'n+ft (Sn+k) — образующая. Тогда
является фундаментальным классом многообразия М.
Доказательство. Мы должны показать, что для каждой
точки леМ образ г в Еп(М, М — {л:}) является образующей
Е* Eа)-модуля ?„. (М, М — \х}). Возьмем такую координатную
окрестность (U, h) точки х, что расслоение v тривиально над

390 ГЛ. 14. ОРИЕНТАЦИЯ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ
V =h-1(Dn). Тогда имеет место коммутативная диаграмма
, Л/-{*}).
Отображение п': S"+* ->- V х D*/V х D* U V х S"-1 ^ S"+* в этой
диаграмме совпадает на D (v) | V с проекцией D (v) | V -> V и пере-
переводит S"+* — (D (v) | VH в отмеченную точку. Очевидно, что л'
является отображением степени 1, т. е. гомотопно lsn+* и, сле-
следовательно, переводит ia+k в i,+fe. Таким образом, /„, (z) — обра-
образующая Ё* Eв)-модуля Е^(М, М — {х}). П
14.41. Лемма. Пусть р: 5Л+*-»-М(vjДМ+ — отображение,
определенное в п. 14.39, ы г = Ф/(it^ (in+*)). Тогда для любого p^Z
диаграммы
коммутативны с точностью до знака.
Доказательство. Мы можем рассматривать о как отобра-
отображение 5°->2-"-*?(М (v))A?(Af+). Тогда
= Ф?
(х)\A Др)*
J
*•(<¦«.*))] =
Л Р* « Л л*
= х л г.
Вторая половина леммы доказывается аналогично. D
14.42. Предложение. Пусть М—замкнутое гладкое много-
многообразие, ориентируемое относительно Н (Z)- Тогда определенное
выше отображение р: S°-vS-"-*?' (M (v))/\? (M+) является ото-
отображением S-двойственности, и, значит, М {у) S-двойственно к М+.

ГЛ. 14. ОРИЕНТАЦИЯ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ 391
Доказательство. Так как стабильное нормальное расслое-
расслоение v многообразия М и его касательное расслоение т удовлетво-
удовлетворяют условию тфу~ел+* (е"^* —тривиальное расслоение), то легко
видеть, что М ориентируемо тогда и только тогда, когда ориен-
ориентируемо v. Поэтому для v определен класс Тома t е№ (М (v)) и
для всех р коммутативны с точностью до знака следующие диа-
диаграммы:
\
nz\ /Ф,
Нп.р(М).
Таким образом, Dp и Dxp — изоморфизмы, откуда на основании
предложения 14.37 и упражнения 14.38 вытекает, что р —отобра-
—отображение S-двойственности. ?
Тот факт, что М (v) S-двойственно к М+, верен и для неориен-
тируемых многообразий М.
14.43. Теорема (Спеньер, Милнор). Пусть М—замкнутое
гладкое многообразие. Тогда пространство Тома М (v) стабильного
нормального расслоения над М S-двойственно к Л1+.
Доказательство. Покажем, что М(у) имеет гомотопиче-
гомотопический тип пространства S(Rm — М). Вложим многообразие М
в евклидово пространство Rm достаточно большой размерности т
и отождествим трубчатую окрестность N этого вложения с тоталь-
тотальным пространством расслоения на диски D (v). Пространство
R™ — ;V является сильным деформационным ретрактом для R — М
и, значит, S-двойственно к М+ (см. замечания, предшествующие
п. 14.19).
Для любого векторного расслоения %-*-Х можно рассматривать
D(t) как цилиндр отображения S(E,)->~X (где А' считается нуле-
нулевым сечением). Вспомним, что для каждого отображения /: X -*¦ Y
включение X cz Mf является корасслоением. Поэтому корасслое-
корасслоением будет включение S (Q aD(Q, где ? — произвольное расслое-
расслоение, и, в частности, включение NczN. Следовательно, (Rm — Na
(Rm — тоже корасслоение. Так как пространство Rm стягиваемо,
то пространство S(Rm — Л) имеет гомотопический тип простран-
пространства RRm — N. Но, с другой стороны, имеет место гомеоморфизм
Rm/Rm-N^N/N^M(v). Таким образом, M(v) 5-двойственно
к многообразию М. ?
В работе [15] Атья доказал более общий результат: если
М — компактное гладкое многообразие с краем М, то М (v) 'S-двой-
'S-двойственно к М/М. Доказательство этого утверждения фактически
не сложнее доказательства теоремы 14.43.

392 гл. и. ориентация и двойственность
14.44. Упражнение. Что является аналогами утверждений
14.39—14.42 для многообразий с краем?
14.45. Замечание. Пусть М — некоторое Л-многообразие,
v: M -> ВО (k) — классифицирующее отображение для нормального
расслоения к М и v: М -> Хк — поднятие отображения \. Д\ы
можем рассматривать 1: М->М как сингулярное Х-многообразие
в М, что определяет элемент гм еМХп (М) (см. определение 12.34).
Применяя конструкцию Понтрягина — Тома (предложение 12.35),
получим, что гм представляется композицией
где р определено в п. 14.39. Очевидно, что \М (v): M (v) -*¦ MXk\ s
МХк (М (v)) является классом Тома расслоения v (см, пример i)
после определения 14.5). Рассмотрим первую из диаграмм 14.41
для теории когомологий /ИХ:
МХ°(М).
Имеем
(Здесь 1 еМХ°(Л1) = Л?^0(Л1+) отвечает отображению Е (М+) -+•
Е (S0) -^« МХ°.) Таким образом, сингулярное X-многообразие
1: M-vM определяет фундаментальный класс гм многообразия М
относительно MX, причем ?Л1 = Ф< (я* Aя+*))-
ССЫЛКИ НА ЛИТЕРАТУРУ
1. Адаме [8].
2. Атья [15].
3. Спеньер G1, 72].

ГЛАВА 15
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
В главе 10 мы видели, что если &,.—классическая теория
гомологии с коэффициентами G и X — клеточное пространство, то
для вычисления групп k* (X) можно использовать следующую
процедуру. Группы kq (X4lXq-1) и граничные операторы
A: kg(XVXo-1)-+kg-l{X'>-1/X<>-2) тройки (Х\ Х"-\ Х"~2) образуют
цепной комплекс \kq (Х^/Х?-1), Д}, гомологии которого совпадают
с /г* (X). Зто счастливое совпадение возникает главным образом
потому, что kn(XяIX1'-1) = 0 для пФц, откуда, в частности, сле-
следует, что kn(X(l) = 0, если n>q, и kn(X")?ёkn(X), если n<q.
Предположим теперь, что &* — произвольная теория гомологии,
удовлетворяющая а-ксиомам суммы и слабой гомотопической экви-
эквивалентности Что можно сказать о вычислении групп k^ (X) в этой
общей ситуации? Разумеется, группа kn (Х'/Х*-1) уже не обра-
обращается в нуль для всех п Ф q, и, следовательно, не равны нулю
и многие связанные с ней группы. Однако и в этом общем случае
существует метод, позволяющий при удачном стечении обстоя-
обстоятельств вычислить группы k.% (X); правда, на сей раз эти вычис-
вычисления значительно сложнее описанных выше. Первая настоящая
трудность возникает при попытке организовать в обозримую схему
все то огромное количество промежуточных групп и гомоморфиз-
гомоморфизмов, большинство которых обращается в нуль или изоморфно
друг другу для классической теории гомологии k4. Половину
этой организационной баталии удается выиграть путем введения
подходящей системы обозначений.
Предположим, что h% — произвольная неприведенная теория
гомологии, удовлетворяющая аксиоме, суммы. Вместо того чтобы
ограничиться клеточными пространствами и их остовами, рас-
рассмотрим произвольное топологическое пространство X с филь-
фильтрацией \Xq), т. е. с таким семейством замкнутых подпространств
Xя а X, что Xq cz X"*1 для всех q, Хч = ф для q < 0, [} X, = X,
Q
и любое компактное подмножество в X содержится в некотором Xя.
А теперь введем следующие обозначения:
Z% = im [/,: hp+q (X") + ftp+? (X", Я")].
В ? = im [A: /ip+?+1 (X, X") -+ hp+q (X", X"-1)],
FM = im [lt: ftw (X") -> hp+g (X)].

394 ГЛ. IS. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
15.1. Предложение. Для любых фиксированныхр и qгруппы
В'м, Zrpq, B^g, Zp°q являются подгруппами в hP+g(Xp, X^-1); при
этом имеет место следующая цепочка включений:
0 = 5^<=5^с:...с=В;?с=в;+1 с...сВ;,с
7"-° •— г— 7'' + > г— 7' <— г— 71
L,pq >— . . . I— L,pq <¦— L,pq '— ... I— ^pq-
Доказательство. Очевидно, чтоВр?=0и Zpq=hp+<1(Xp, X'' 2).
Включение Brpq a BTPt' следует из коммутативной диаграммы
|л hp,q(x>,x>-%
r-\xp) -^д
Другие включения доказываются аналогично. D
Положим
pq — Ь pqlDpq n IJ pq — Л pqj D pq>
15.2. Предложение. Имеет место естественный изоморфизм
pql^pq =Bp — r, q + r—l/'Jp — r, q + r—\-
Доказательство. Рассмотрим коммутативную диаграмму
I
Jj*
составленную из точных последовательностей троек (Хр, Хр-1, Хр~г)
и {Хр, Хр-Г, Хр-''-1). Изоморфизм 15.2 индуцирован композицией
Этот изоморфизм позволяет определить отображение dr: Epq->-
E'p-r, q + r-i для всех р, q:

ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 395
Из определения гомоморфизма dr следует, что
Таким образом,
\m\dr: E'p + r, q-r + \-+E'pq\ = Brpq 1В'ГЯ.
Следовательно, im dr a ker dr, т. e. dr-dr = 0. Другими словами,
для фиксированного г последовательность
р + г, q-r+\—' -Ср?-*" ?р — г. 0 + г —1->••.
является цепным комплексом. Кроме того,
ker d'llmdr == (ZrPtxIBrpq)l(BrPt l/Bpg) ^ Zrp + l/Brp +' = Erp + К
Итак, мы доказали следующее утверждение.
15.3 Предложение. Е*?1 = Н(Е**, dr).
Обратимся теперь к группам Fpgczhp+g(X).
15.4. Предложение. Имеет место цепочка включений
hp+g {X)zD...-=>FpqzD Fp-i, ?+i z)... z) F-j, p+?+1 = 0,
причем \J Frs = hpJrg(X). Кроме того, для любых р, q суще-
r+s=p+«
ствует естественный изоморфизм
CO
Fpq/Fp-l, g+1 = EpQ-
Таким образом, подгруппы Fp<n-pahn{X) образуют бесконеч-
бесконечную фильтрацию в ha (X), причем факторгруппы этой фильтрации
СуТЬ Ер°, п-р-
Доказательство. Включения Fpg гэ Fp-lf ?+1 вчевидны.
Поскольку У Хр = X, то в силу упражнения 7.73 имеем
р
р
{1Р„}: d\r\imphn(Xp)g^ha(X). Но lm{iM}= |J Frt. Для дока-
г -\- s = п
зательства изоморфизма FpqlFp-i., д^ = Е^„ рассмотрим коммута-
коммутативную диаграмму

396 ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
составленную из точных последовательностей пар (X, Хр) и
(Хр, Хр1). Требуемый изоморфизм индуцирован композицией
Все, что осталось теперь, —это перекинуть мост через пропасть,
отделяющую член ?"* от членов ?** с конечным г. Само обозна-
обозначение предполагает следующий результат.
15.5. Предложение. Zrpq — Z% для r>р и BJQ= (J B'pq.
Таким, образом, для г>р имеет место эпиморфизм Epq-+Erp^
и ?^ = dir WmErpq.
г
Доказательство. Для г>р мы имеем
Z^ = im[/,: hp+g(X", X'-')^ hP+q {X", X"-1)] =
im[i,: hp+q(X», ф)-+Н^д{ХР, Xp-1)] = Z™.
Пусть ]r\ (XP+r~\ X")^(X, Xp)~ вложение пар. Так как
1)Ха = Х, то
— изоморфизм (см. упражнение 7.73). Для каждого г обозначим
через A/. hp+q^iXP"-1, Xp)-rh^g(Xp, Хр-1) граничный гомомор-
гомоморфизм тройки (Xp+r-1, Xp, Xpl). Он индуцирует гомоморфизм
A: dirlim/i/,+?+1(X"+-1, Xp)^hp,q(Xp, X"-1).
г
Кроме того, имеет место коммутативная диаграмма
OV*Kf /л
hp+q+1(X,X>).
Следовательно, В^„ — im A = im Д = (J Brpq. Теперь последние
два утверждения очевидны. D
15.6 Подытожим теперь полученные нами результаты. Вычис-
Вычисление групп h* (X) может быть организовано следующим образом:
1) Отождествляем. Epq = hp+q (Хр, Хр-1) с какими-либо извест-
известными группами (это будет проделано в двух важных случаях;
ср. с леммой 10.7).
2) Отождествляем сР: Еря-*-Ер — \, „ с какими-либо известными
гомоморфизмами (это также будет сделано; ср. с текстом после
леммы 10.7).
3) Вычисляем EpQ = H(Epll, d1).

ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 397
4) Вычисляем d2.
б) Вычисляем Epq = H (Epih d2).
6) Повторяя эту процедуру, находим Erpq, r^sl.
7) Находим Ep°q = &\т \\т Erpq.
Г
8) Полагаем F0,,, = Eo.n- Для каждого р>0 решаем задачу
расширения 0-^Fp-i.n-p+i-fr-Fp^-p-vE^ „_„-»-0; это позволяет
индуктивно вычислить все группы FPtn-p, pS=0.
9) Вычисляем к„(Х)= (J Fp,n-p-
Замечание. К сожалению, пункты 4) и 8) данной программы
чрезвычайно трудны. Однако имеется много важных частных слу-
случаев, в которых эти вычисления удается довести до конца.
Аппарат {Erpq, dr) носит название спектральной последователь-
последовательности: абстрактная спектральная последовательность —это такая
последовательность ?**, ?|*, ..., ??* цепных комплексов (временно
не станем обращать внимания на тот факт, что они имеют двой-
двойную индексацию), что #(?2*) = ?**+'- Спектральные последова-
последовательности появляются в различных ситуациях. В типичном случае
известен член ?«* (или ?**), а член Е~** связан с каким-либо
интересующим нас алгебраическим объектом. Таким образом,
промежуточные члены El» как бы образуют мост между уже
известными объектами и объектами, структуру которых мы желаем
знать. Однако за каждый шаг по такому мосту приходится довольно
дорого платить: чтобы перейти от ?"* к ?**+\ нужно вычислить
соответствующий дифференци-
дифференциал. Стоит отметить, что это
лишь один из возможных ва-
вариантов применения спектраль-
спектральной последовательности. Часто
используется такая схема: от-
отправляясь от известного члена
??* и имея некоторую информа-
информацию о Е%,<, получают полное опи-
описание члена Е%* (см., например,
теорему 15.57).
При работе со спектральными Рис 28.
последовательностями удобно
следующее графическое представление ее компонент: группы Егр9
для фиксированного г изображаются целочисленной решеткой на
плоскости (р, q), а дифференциалы представляются стрелками
(рис. 28).
Чтобы полностью описать спектральную последовательность,
нужно нарисовать такие диаграммы для всех г. Очень часто по-
поступают по-другому: разбивают плоскость на единичные квадраты

398 ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
и вписывают в те из них, в которых Epq Ф 0, соответствующие
группы или же образующие этих групп. Примером такого изо-
изображения спектральной последовательности может служить диа-
диаграмма на с. 420 (рис. 33).
Наша спектральная последовательность обладает тем допол-
дополнительным свойством, что группы Е^ изоморфны последователь-
последовательным факторам фильтрации
{0} — Fo, „ cz Fi, * cz F2_ „. cz ... a Fn< „, a ... a G*
градуированной группы G* {=h% (X)). Если в этом случае Ep°Q —
dir \im Epq, то говорят, что спектральная последовательность
г
{Erpq, dr\ сходится к градуированной группе G*. Таким образом,
построенная нами спектральная последовательность сходится
к К (X).
Вернемся теперь к пунктам 1) и 2) описанной выше программы
вычисления групп Н% (X). Рассмотрим прежде всего случай, когда
X — клеточное пространство а X" cz X — его л-мерный остов Тогда
Хр/Хр-1 se \/ 5р, где индекс а нумерует р-мерные клетки прост-
а
ранства X. Следовательно
где Ср (X) = Нр (Хр/Хр-1) — группа клеточных цепей, определен-
определенная в главе 10. Более того, в этом случае дифференциал dx есть
не что иное, как граничный гомоморфизм
и точно так же, как в предложении 10.11, проверяется, что он
имеет вид
Таким образом, мы получаем, что Epq^Hp(X; h9(pt)). Это дает
удовлетворительное описание пунктов 1), 2) и 3). Заметим, что
хотя член Epq зависит от клеточного разбиения пространства X,
член E'pQ определяется уже самим X.
15.7. Теорема (Атья — Хирцебрух — Уайтхед). Для произ-
произвольной теории гомологии h.% и любого клеточного пространства X
существует спектральная последовательность {Epq, dr\ с ?р7 =
НР(Х; hq(pt)), сходящаяся к п%(Х).
Другими словами, мы начинаем с классических групп гомоло-
гомологии пространства X и групп коэффициентов /i,. и при удачном

ГЛ. 16. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 399
стечении обстоятельств (не забывайте о пунктах 4) и 8)!) получаем
в итоге группы hm (X).
Рассмотрим теперь еще один чрезвычайно важный для прило-
приложений случай. Пусть р: Е ->- В — некоторое расслоение, В —кле-
—клеточное пространство и Вп — его я-мерный остов. Тогда подпрост-
подпространства Е' = р-1 (В'') образуют фильтрацию пространства Е и мы
получаем спектральную последовательность {E'pq, dr\, сходящуюся
к ft* (?), член Ерд которой равен Eip4 = hpJrq(p-1Bp, р^В?-1); По-
Покажем, что E1p4^Cp(B)'2)h//(F), cA = d(g)l, и, следовательно,
ЕрЧ^Нр(В; hq{F)). Для этого нам будут необходимы некоторые
дополнительные факты из теории расслоений.
15.8. Пусть р: Е -> В — расслоение и /: X -> В — некоторое
отображение. Положим Ef = {(х, «)elx?: f (x)—p(e)} cz ХхЕ.
Проекции ях: ХхЕ-*~Х и я2: ХХЕ-+Е, будучи ограниченными
на Е/, задают такие отображения pf. Ej->X и ?: Ef->~ E, что
имеет место коммутативная диаграмма
Pf
15.9. Предложение. Отображениеpf: Ef-^-X является рас-
расслоением со слоем, гомеоморфным пространству F — р-1 (Ьо) =
4f
4
Доказательство. Пусть g: Y-*¦ Ej — некоторое отображе-
отображение и Н: Y X / -> X — гомотопия композиции pfg- Тогда
f°H: YxI-*-B является гсмотопией Pjf'g, и, значит, существует
гомотопия Я': Ух /->?отображения/'g, являющаяся поднятием
для f°H, т. е. р-Н' =f'H. Это равенство означает в точности,
что для всех (i/, /)еУх/
(Н (у, t), Н' (у, 0) е Ef.
Таким образом, если определить гомотопию /С: Y x I~*-Ef форму-
формулой К = (Н, Н'), то мы получим К0 = (Н0, H'9) = (prg, f'g)=g
и pfcK^zfj- Следовательно, р/ является расслоением. Слой этого
расслоения есть pf1 (х0) = {(х0, е): f (х0) =. р (е)} ^ р-1 (b0) = F. П
Расслоение р;: ?f-+X называется расслоением, индуцирован-
индуцированным из р: Е—"В при помощи отображения /. Примером может
служить рассмотренное в 2.52 расслоение л: Pf-*-X, индуциро-
индуцированное из PY ->У при помощи отображения /: X-+Y. Кроме
того, в главе 11 мы рассматривали индуцированные векторные
расслоения вида f*\.

400 ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
15.10. Определение. Пусть р: Е-*-В — некоторое расслое-
расслоение. Гомотопия Н: Хх1-*-Е называется послойной гомотопией,
если р° Н — стационарная гомотопия (другими словами, Н лишь
передвигает точки по содержащим их слоям). Пусть/,/': Х-+Е—
такие отображения, что р>/ = р°/\ Отображения /./'называются
послойно гомотопными, если существует связывающая их послой-
послойная гомотопия; этот факт будет обозначаться /~р/\ Два рас-
расслоения р: Е -> В и р'\ Е'-*-В' называются послойно гомопгопи-
чески эквивалентными, если существуют такие отображения
расслоений
В'
что f °g^±p- \е', g°f¦^р 1е- Два расслоения р: Е-+В и р': ?"-vfl
с одной и той же базой В называются сильно послойно гомотопи-
чески эквивалентными, если можно взять / = g = 1.
15.11. Предложение. Пусть р: Е-^-В — некоторое рас-
расслоение.
a) Пусть /0, fa Х^-В—два отображения и Н: Хх1-*-В —
связывающая их гомотопия. Тогда существует таког отображение
расслоений grf- Elo-*-Efiy что ~U°gH~h c помощью гомотопии,
являющейся поднятием гомотопии Я»(р/ох1).
b) Пусть К —еще одна гомотопия между f0 и /i и М: Хх I x
/-*¦ В — гомотопия relXx/ из Н в К- Тогда существует послой-
послойная гомотопия gK ^p, gH-
Доказательство, а) Пусть Я': ?/0х/-*-Е — поднятие
гомотопии Н-(р(„х1), удовлетворяющее условию Яо = /0- Опреде-
Определим отображение gH, полагая gH = {pu, H\). Так как р°Н\ =
Hi'ph = f1'pfa, то gH(Eu)cEh. Легко видеть, что gH является
отображением расслоений и что f\'gu = H[c^.Hl = fu-
b) Пусть К': Ef0Xl->-E — поднятие гомотопии К°(р?„х 1), удов-
удовлетворяющее условию /Су = f0, и ?к —отображение, определенное
формулой gK = (pf0, K\). Для Л = 0х/11/х/ а 1x1 определим
отображение М': Ef,xA-+E, полагая М' (х, t, 0) = H'(x, t),
М'(х, t, 1) =*'(*. 0. М'(х, O,s) = h(s)jui*Bcexxf=Elt,s,te=I.
Тогда р'М' = М ' (pfox 1) | Ef0X А. Используя стандартный гомео-
гомеоморфизм /х/->/х/, который переводит А в Ох/, мы можем
следующим образом переформулировать свойство накрывающей
гомотопии для р: существует поднятие /И': Ef0 х / х / ->- Е гомото-
гомотопии М ° (р{„х 1x1), продолжающее определенное выше отображение
EfaxA. Пусть L: E^xl^-Ef, — отображение, заданное формулой
Не', t) = (ph(e'), М'(е', 1, 0), е'е?,„ t e /•

ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 401
Тогда L(e', 0) — gH(e'), L(e', l) = g>(e'). и, значит, L —послой-
—послойная гомотопия между gH и gK. D
Замечание. Гомотопический класс [gH\ отображения gH из
предложения 15.11, а) однозначно определен.
Предложение 15.11 допускает несколько важных приложений.
15.12. Для любой точки (;еб положим Fb = p~l(b). Если
обозначить через * пространство, состоящее из единственной точки,
и через /: * -*¦ В — отображение с /(*)== Ь, то Ef ^ Fb. Любой
путь w в В из by в Ьг можно рассматривать как гомотопию, свя-
связывающую отображения *-*-bi и *-+Ьг. Таким образом, мы по-
получаем отображение hw: Fbt-+Fbl. Если и/— еще один путь из Ь\
в bi, гомотопный rel / пути w, то связывающая их гомотопия
является гомотопией гомотопий из 15.11, Ь) и, следовательно,
существует гомотопия hwa±hW'.
Так же, как в главе 3 (см. текст, следующий за предлэжением
3.3®),' обозначим через РВ (Ь\, Ьг) множество гомотопических классов
путей в В, соединяющих точки Ь\ и Ь%. Тогда соответствие
a. [w] = [hw] определяет отображение а: РВ (bi, b%) -*¦ [Fb,, Z7*,]-
По построению, а обладает следующими свойствами:
i) a[w*w'] = a[w]'a[w'], [w]<=PB(bu b2), [w']e=PB(b2, b3);
ii) а[шо] = [1/? I, где w0 — постоянный путь в точке b.
В частности, a[w] всегда является гомотопической эквивалент-
эквивалентностью и, значит, если пространство В линейно связно, то все
слои, расслоения р: Е->~В имеют один и тот же гомотопиче-
гомотопический тип.
15.13. Определение. Отображение ф: Fbl-*-Fbl называется
допустимым, если [ф]=а[ш] для некоторого [t»]sPfi {bu b2)- Из
свойств i) и ii) вытекает, что композиция двух допустимых ото-
отображений—снова допустимое отображение и что любое допусти-
допустимое отображение является гомотопической эквивалентностью, при-
причем гомотопически обратное к нему также может быть выбрано
допустимым. Если пространство В линейно связно, то существуют
допустимые отображения между любыми двумя слоями расслое-
расслоения р: Е^-В.
15.14. Определение. Пусть ft* — некоторая теория гомо-
гомологии. Для любого расслоения р: Е->-В со слоем /7 = р-1F0)
имеет место спаривание
15.15. Л!(В. bojx/i* (У7)—/г* (^К
задаваемое формулой 8 ([w], *) = а[ш]*х. Используя свойства i),
ii) из п. 15.12, нетрудно видеть, что б является действием группы
Я] (В, Ьо) на h# (F). Говорят, что расслоение р: Е -*¦ В ориенти-
ориентируемо относительно теории гомологии h, если это групповое дей-
действие тривиально для всех Ь0^В, т. е. если ух = х для всех.
y^^i(B, bo), x e/i* (Z7). В случае когда пространство В линейно
связно, для ориентируемости достаточно, чтобы действие было
тривиальным для какой-либо одной точки Ьо <= В.

М (х, t, s) ¦¦
402 ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
15.16. Предложение1). Пусть fp, h' X-»-В — (свободно) го-
гомотопные отображения. Тогда существует такая сильная послой-
послойная гомотопическая эквивалентность g: E^-+Eh, что fi°gc^f0 и
отображение (g\Ff,&t))' Fja(x-o)->Ffl{Xo) допустимо. (Свободная го-
гомотопия, вообще говоря, не сохраняет отмеченные точки.)
Доказательство. Пусть Я — гомотопия, связывающая ото-
отображения /о и /i. Положим Н (х, 0 = Я (х, 1 -/),xeX,/s/, и обо-
обозначим через Я'', Н' поднятия этих гомотопии. Пусть gH~{pfa, H{),
gjj = (Ph' H'i)- Определим теперь гомотопии К: XXI-+B и
М: Xxlxl-*¦ В формулами
К{Х' 1)~\Н(х, 2-20, 1/2<^1,
foW, 0^^1/2,
H(x,2t — s), s/2^t^\/2,
Н(х, 2-2t-s), 1/2 <**? l-s/2,
foW, 1-s/2</<1.
Тогда гомотопия /Г, задаваемая правилом
Я'(е', 20.
R'{gH(e'), 2/-1),
является поднятием гомотопии /С«(р^х1), причем Ко = for
(Pf,, K'i) = gjj'gH- Следовательно, мы можем положить gK = gq 'gM.
Пусть теперь М — гомотопия4 из 15.11, Ь), соединяющая К со ста-
стационарной гомотопией отображения /„. Тогда мы имеем g^'gii^
gK~pu \E^. По соображениям симметрии gH°g-c~Ph 1?^. Наконец,
если w(t) = H (Хо, 1 — 0. то легко видеть, что [gH \ Ffc Uo)] = a{[w]). D
15.17. Определение. Пусть р: Е->-В — расслоение со слоем
F = p'1(bo). Его гомотопической тривиалиэацией называется такая
сильная послойная гомотопическая эквивалентность g: BxF-уЕ,
что отображение g\boxF допустимо.
15.18. Следствие. Если пространство X стягиваемо
в точку Хо, то любое расслоение над X обладает гомотопической
тривиализацией
Доказательство. Пусть Я: Хх1-+Х — гомотопия с Н\=\х
и Нй (х) = ха для всех хе! Заметим, что ?1х ^ Е и ЕНо = XxF,
поэтому согласно предложению 15.16 существует допустимая на
слое над х0 сильная послойная гомотопическая эквивалентность
!) Ниже до следствия 15.21 включительно предполагается, что задано
которое расслоение р: Е->-В.—Прим. ред.

ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 463
15.19. Следствие. Пусть /0, f\. Х-*-В — два отображения,
связанные (свободной) голютопией Н. Предположим, кроме того,
что пространство X стягиваемо, и пусть
— гомотопические тривиализации. Тогда существует такое допу-
допустимое отображение Ф: f/oW-^M*»)» что диаграмма
коммутативна с точностью до послойной гомотопии.
Доказательство. Мы имеем сильные послойные гомото-
гомотопические эквивалентности
XхFuы j:Еи-.Eh S^XxFf,«„„
причем ограничение каждой из них на слой является допустимым
отображением. Композиция gV °gH°go имеет вид (х, f) *—*¦ (х, 8 (х, /))
для некоторого отображения 8: XxFnXll)-^Ffl{XllU обладающего
тем свойством, что ф = в(хв, —): Ffo {Xt) -+ Ft% (Xa) допустимо. Пусть
К: X х / -*- X — гомотопия, связывающая тождественное отобра-
отображение X с отображением, переводящим X в точку Хо (деформа-
(деформация X в Хо). Определим отображение
полагая Х(х, /, t) = gi(x, B(K(x, t), /)). Легко видеть, что % — послой-
послойная гомотопия, связывающая gi°(l хф) с gi°gil *gH°go—pgH°go- О
15.20. Замечание. Так как пространство X в только что
доказанном следствии стягиваемо, то оно линейно связно. Поэтому
всегда существует допустимое отображение ф: F-+-FnXo). Это
позволяет считать композицию gf = g[°(\x<t>): XxF-+Ef гомото-
гомотопической тривиализацией. Пусть f: X -> В — отображение, гомо-
гомотопное f, gf>: XхFf (jce) -*-Ef—гомотопическая тривиализация и
Ф': F ->- Ff (X,) — допустимое отображение. Согласно следствию 15.19
существует такое допустимое отображение Ф": F[ (*о) -*~Ff^Xl>), что
gH'gi —ppgr-(lxf). Тогда Ф'" = ф-1 • Ф"• Ф: F-+F является до-
допустимым отображением, причем
gH°Mf—pf.gf(\ *<!>'")¦
15.21. Следствие. Если р: Е-*• В — расслоение и f: X-+B—
гомотопическая эквивалентность, то f: Ef->E также является
гомотопической эквивалентностью.

404 ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Доказательство. Обозначим через g: B-+X отображе-
отображение, гомотопически обратное к /. Тогда возникает индуцирован-
индуцированное расслоение (E^gg^Ejog. Поскольку f'g^lB, то в силу
предложения 15.16 существует такая сильная послойная гомото-
гомотопическая эквивалентность Я: ?(= EiB\—>-Ef«g, что f°g °hc^\B=\E.
Кроме того, мы имеем ?;ogo; — ?;ofi -S-E/, а так как g°f c^lXt то
найдется сильная послойная гомотопическая эквивалентность
k: Ef->E[.g.f, для которой g °f°kc^ \x = \Е Таким образом,
имеет место следующая цепочка гомотопии:
ghf = ghfl Ef =* (ghf) (gfk) =* ghfg (AA-i) fk =
gh (fgh) h-ifk ~ ghh-*fk ~gJk~\Ef.
Следовательно, отображения /: ?/->-? и g «h: E-*Ef гомотопи-
гомотопически обратны друг другу. D
15.22. Теперь мы в состоянии заняться доказательством изо-
изоморфизма ЕрЯ~Нр{В\ hg(F)). Если р: ?->В — расслоение и
X с В — произвольное подпространство, то символом Е | X будет
обозначаться подпространство /г1 (X) a E. Пусть УсХсВ —
некоторые подпространства и
/: (D", S"-l)^(X, Y)
— отображение пар. Так как диск Dp стягиваем, то в силу следст-
следствия 15.18 существует гомотопическая тривиализацияgf: DpxF^>~Ef.
Тем самым мы получаем отображение К/, являющееся композицией
hp+t (Eh E, | S"-1) h /ip+* (E\X, E\ Y),
где а(х) = крхх и Kp^hp(Dp, S?-1) — каноническая образующая
/i*(р1)-модуля h^(Dp, 5p-]) (здесь мы предполагаем, что /ц—муль-
/ц—мультипликативная теория гомологии). Пусть
/': (Dp, S?-4-+(X, Y)
— еще одно отображение, свободно гомотопное /. Согласно пред-
предложению 15.16 существует сильная послойная гомотопическая
эквивалентность g: Е/с^Е;- с f'°gc^f. Если gf\ DpxF —>-Ef—
гомотопическая тривиализация, то в силу следствия 15.19 найдется
такое допустимое отображение ф: F-*-F, что g°gf c^p,,gf> ¦ (I хф).
Следовательно, мы имеем
/*°g/*"« = /* °g*°gf*°a = f* 'gf* °ОХФ)* "z = f'*'gr* °a°**-
Если предположить, что расслоение р: Е -+В ориентируемо отно-
относительно теории гомологии h#, то Ф* = 1, так что К( = щ-. Таким
образом, Kj зависит лишь от гомотопического класса [/] отобра-
отображения /. Чтобы подчеркнуть этот факт, будем в дальнейшем
вместо Kf использовать обозначение %j.

ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 405
Для произвольного пространства X с отмеченной точкой х0 поло-
положим яЦХ, хо) = п1(Х, xo)/[nlf Я]], где через [яь ях] обозначен
коммутатор группы п^Х, х0). Если Y а X — некоторое подпро-
подпространство в X и х0 е Y, положим п*п{Х, Y) — nn(X, Y, xo)lGt
где G — подгруппа, порожденная всеми элементами вида ух — х,
Yeiti(F, Хо), хея„(Х, Y, х0), п s= 2. (Мы не указываем в обо-
обозначении группы л* (X, Y) отмеченную точку х0] в дальнейшем
мы увидим, что эта группа не зависит от выбора отмеченной
точки.)
15.23. Лемма. Пусть h%— мультипликативная теория гомо-
гомологии и р: Е-+В — ориентированное в h% расслоение. Тогда ото-
отображение к определяет билинейное спаривание
F)^hp+q(E:X, E\Y),
естественное относительно включений пар Y а X а В. В случае
р = 1 мы полагаем Y = {л:0}.
Доказательство. Имеет место очевидное спаривание
пр(Х, Y, xo)xhg(F)-+hp,9(E\X, E\Y),
линейное по второму аргументу. Напомним, что сложение
в пр(Х, Y, х0) определяется с помощью коумножения ц': CSp-1-*
CSP^yCSP-1: если [/], [Л]е=яР(Х, Y, хп), то [f] + [h] представ-
представляет собой гомотопический класс [А'»(/ V h) • ц']. Расслоенные
пространства Е; и Eh имеют один и тот же слой F, поэтому
?д'°(/у h) — расслоенное пространство над CS^y OS?-1, получаю-
получающееся из Е[ и Eh отождествлением соответствующих точек слоя F.
Выберем гомотопические тривиализ-ации gf: OS?-1 x F -*- Efr
gh: OS?-1 xF-*-Еь так, чтобы они совпадали на *xF. Склеивая gf
и gh, получим гомотопическую тривиализацию
') X F -> ?д-. lf v ft).
Поэтому мы можем выбрать такую гомотопическую тривиализацию
g,+h: CS^xF + Ef+b,
что диаграмма
и' х 1
CSp-i x F Ц—^ (С5" V CS"-1) х F
послойно гомотопически коммутативна.
Так как

406 ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
то мы имеем
/*' Si* (kp x*) + h*° gh* (кР X x) = кт (дс) + K[h1 (л:)
для всех x(=hg(F). Это доказывает «линейность» по первому
аргументу (напомним, что группы л2(Х, У, Xq) и ni(X, x*) могут
быть неабелевыми). Поскольку у* и * свободно гомотопны, то
•отображение к пропускается через Пр(Х, Y)xhg(F).O
Таким образом, к индуцирует гомоморфизм
к: я* (X, Y) (g) Л, (Л -> V, (Я IX, Я | У),
естественный относительно вложений пар.
15.24. Лемма. Гомоморфизм к коммутирует с граничным
оператором точной последовательности тройки (X, Y, Z). Более
подробно, для любого р ^ 2 (Z = {х0} для р = 2) имеет место ком-
коммутативная диаграмма
, Y,x0)
-Здесь &: Яр(Л", У, дсо)->-Яр(Х, У) — естественная проекция.
Доказательство. Пусть x^hg(F), [/]еяр(Х, У, х0).
Тогда
(х) 1 ([/] (g) л) = /# «до/* »^* (
(дкрхх)
Обозначим через р: (CSP~2, Sp~2) -»• Eр-х, *) стандартную проек-
проекцию и определим отображение h: (CSp-2, 5р-2)->-(У, X) как
композицию
Легко видеть, что A[fl = [ft]. Выберем теперь такую гомотопиче-
гомотопическую тривиализацию gh: CS^xF -*-Eh, что диаграмма
CS"-2 х F > Eh
р х 1

ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 407
послойно гомотопически коммутативна. В результате мы получаем
к-k(g) 1 • A <g) 1 ([/] (g)х) =
15.25. Лемма. ?сли p: E-+Dp — расслоение, то
к: я* {И', SP-1)<S)hq(F)-^hp+q(E, ? 15"-1)
— изоморфизм для всех p^z2. Аналогично, если р: E-^-S1 —рас-
—расслоение, то
к: я1E1, *)®hg(F)-+hg+1(E, F)
— изоморфизм.
Доказательство. Так как диск Dp стягиваем, то сущест-
существует гомотопическая тривиализация g: DpxF-+E; в действитель-
действительности g = gf, где /: (Dp, S11-1) -+ (Dp, S''-1) — тождественное ото-
отображение. Следовательно, имеет место коммутативная диаграмма
®hq(F)
в которой р {х) = [1] 0 х. Поскольку я* (D", 5Р-1) ^ Z, то Р — изо-
изоморфизм. Гомоморфизм а также является изоморфизмом: для
доказательства достаточно заметить, что /i* (Dp, Sf-1) — свободный
h^ (р1)-модуль с образующей кр, и применить теорему 13.75.
Таким образом, к — изоморфизм. Случай р: E-+S1 рассматри-
рассматривается аналогично. D
15.26. Лемма. Пусть р: Е->В — ориентируемое в /г* рас-
расслоение и В <= ёъШ — клеточног пространство с В° = {Ь0\. Тогда
к: я* (В", Bp-i)®hq{F)-+hp,q{E\B?, E ; В»-1)
— изоморфизм для всех р^\.
Доказательство. Пусть %:(\/ Dg, \/ SS~1WEP, 5"-1) —
\ а а I
«большое характеристическое отображение» для р-мерных клеток^
пространства В. Покажем прежде всего, что
X*: К{ЕХ,Е%
1
— изоморфизм. Пусть N сг Вр — такая замкнутая окрестность
остова Вр~г, что Вр~х является сильным деформационным ретрак-

408 ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
том для N. Тогда вложение i: Bp~l-+N является гомотопической
эквивалентностью, поэтому согласно следствию 15.21 i: ?|Bpl->
Е | N также гомотопическая эквивалентность. Из леммы о пяти
гомоморфизмах следует, что
/,: А, (Е \В", Е\ В"-1) ->Л, (Е \В", E\N)
— изоморфизм. Пусть /V' = х (#) с \/ Ц?. Как и раньше, \/ S?~'
га a
является сильным деформационным ретрактом пространства N'.
Значит, мы имеем изоморфизм
К (Ех, Е
¦x
a
, EX\N').
Если BP^czNid Nid N, то имеет место коммутативная диаграмма
Г* Г*
Две горизонтальные стрелки справа являются изоморфизмами по
аксиоме вырезания, а вертикальный гомоморфизм %* справа инду-
индуцирован гомеоморфизмом. Следовательно,
X*: hjEx, E%
— изоморфизм, как и утверждалось. Отметим, что эти рассужде-
рассуждения верны для любой теории гомологии и, в частности, для
классической теории гомологии.
Чтобы завершить теперь доказательство леммы, рассмотрим
коммутативную диаграмму
? A ® 1 A® 1 S|ft ® 1
n*(B', B'1) ® h,(F) •? • nJCV.iDf.V.S;-1) ®A,(F) +^ ©,JtJ(/
"I "I
?» {' }
hpU(E\B',E\B'-1) i „ ft^fij.fjIV.Sr1)-1 Г ®«лг+.
Гомоморфизм «; справа является изоморфизмом по лемме 15.25.
Гомоморфизм Гуревича
h: n*p(DP,

ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
409
является изоморфизмом, поскольку пара (Dp, 5р-х) (р—1)-связна.
Разумеется, мы предполагаем, что теория гомологии Л„, удовлет-
удовлетворяет аксиоме суммы.
В случае р = 1 мы берем отображение %: \J Sa-+Bl; тогда х
и х ~ гомеоморфизмы. ?
15.27. Теорема (Лере — Серр). Пусть /г* — мультипликатив-
мультипликативная теория гомологии, удовлетворяющая аксиоме суммы для кле-
клеточных пространств и аксиоме слабой гомотопической эквивалент-
эквивалентности. Тогда для любого расслоения р: Е-*~В с линейно связным
пространством В, ориентируемого относительно h#, существует
спектральная последовательность \Erpq, dr\, сходящаяся к п# (?)-
Член Е%0 этой последовательности есть
Е%?_ Нрф; hq{F))
для любых р, q. Спектральная последовательность естественна
относительно отображений расслоений.
Доказательство. Вначале предположим, что Б —кле-
—клеточное пространство с отмеченной точкой Ьо и В° — {Ь0}. Рассмот-
Рассмотрим два экземпляра изоморфизма к: один для расслоения р: Е-+В
и теории /ц, а другой —для расслоения I: B-+B и теории
Н * (—; Z) Таким образом, мы получаем изоморфизм
Е'„
С„(В)
Соединив вместе два экземпляра диаграммы 15.24, мы получим
коммутативную диаграмму
h,UE\B',E\B'-t)
Л® 1
Hl{B',B'-1)®hJLF)
4® I
h,(F)
ha(F)
в которой Л(g) 1—эпиморфизм. Из этой диаграммы следует, что
наш изоморфизм

410 ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
является цепным отображением. Случай р = 0 ке является исклю-
исключением, поскольку
hq(E\B°, E\B-1)^C0(B)^)h9(F)
и оба гомоморфизма
д: hq+1(E\B\ E\B«)^hq(E\B\ ф)
«
d: Ci{B)-+C0(B)
нулевые (в предыдущей размерности дк ([ю](х)х) = a ([до])* (х) — х—0
и к: я?E\ bo)<g>h9(F)-*'hq+1(E\Bl, E \ В°)~ изоморфизм). Таким
образом, к индуцирует естественный изоморфизм
к: Epq^Hp(B;
для всех р, q. Итак, в случае, когда В является клеточным про-
пространством, наша спектральная последовательность индуцирована
фильтрацией его остовами.
Рассмотрим теперь расслоение р: Е -*-В, где В — произвольное
линейно связное пространство. Выберем для В клеточный экви-
эквивалент /': В'-+В с В'° = {Ь'0\. Пусть р'\ ?"->¦В' — индуцирован-
индуцированное расслоение Ef. Тогда из точности гомотопических последова-
последовательностей расслоений р: Е->В, р'\ Е'-+В' и из леммы о пяти
гомоморфизмах вытекает, что /: _Е'-*~Е — слабая гомотопическая
эквивалентность. Следовательно, /#: /t* (?')->/!,„ (Е) — изоморфизм.
Значит, спектральная последовательность расслоения р': Е'-+В'
обладает свойством ЕрЧ^Нр (В'; hq (F)) ^Нр (В; hq (F)) и сходится
к /ц (?')qe/i* (?). Естественность «продолженной» таким образом
спектральной последовательности немедленно вытекает из рас-
рассмотрения клеточных эквивалентов. ?
Замечание 1. Спектральная последовательность Атья —
Хирцебруха — Уайтхеда теоремы 15.7 получается из последова-
1ельности 15.27 как частный случай, причем не обязательно тре-
йовать, чтобы X было клеточным пространством, а достаточно
только его линейной связности. Действительно, для этого нужно
лишь применить последовательность 15.27 к расслоению 1: X -+Х,
ориентируемому относительно любой теории гомологии.
Замечание 2. Имеются относительные варианты спектраль-
спектральной последовательности 15.27^ В частности, пусть Ё cz E — такое
подпространство, что (р\Ё): Ё->В также является расслоением.
Положим F = F[}E. Тогда существует спектральная последова-
последовательность {ErF9, dr) с
Epq^Hp{B; hq{F, F)),
сходящаяся к п% (Е, Ё). Для того чтобы получить эту последо-
последовательность, достаточно заменить в ее 'абсолютном» аналоге
группы кръ (Е \ВР, Е\ В"-1) на h^q (Е | Вр, Е | В"-1 U Ё \ Вр).

ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 41 >
Упомянем еще об одной относительной спектральной последо-
последовательности. Пусть Во с В — некоторое 'подпространство. Тогда
существует сходящаяся к h% (Е, Е | Во) спектральная последо-
последовательность с
Е%^ИР(В, Во; hg(F)).
В частности, имеет место приведенная спектральная последова-
последовательность Атьи — Хирцебруха — Уайтхеда Нр (Х\ hg (S0)) =$h^ (X):
Замечание 3. Все полученные нами результаты о спект-
спектральных последовательностях для гомологии h^ имеют аналоги и-
для когомологий. Предлагаем интересующемуся читателю в каче-
качестве весьма полезного упражнения восстановить все детали в кон-
конструкции когомологической спектральной последовательности.
Заметим, однако, что когомологический аналог предложения 15.5,
вообще говоря, не верен из-за нетривиальности функтора lim1.
Замечание 4. Построенные нами спектральные последова-
последовательности согласованы с умножениями. В частности, если
pi. Ei—>-Bi, рг: E2-+B2 — psa расслоения, то piXp2: ЕххЕ2^>-
BiXB2 также является расслоением со слоем FiXF2. Обозначим
спектральные последовательности расслоений ри р2 и рлхр2 соот-
соответственно через ?^A), ErpqB) и ErpqC). Тогда х-умножение
индуцирует для всех р, q, r, s, t естественное спаривание
X': Е'роA)®Ег$1B)-+Ер + >, в + ,C).
Если ввести на ?;, A) (g) E%* B) дифференциал d®, задаваемый
формулой
d'% (a <gj b) = dr A) a <g) b + (—l)de«a a ® cf B) b,
где dega = p + q для se?j,,(l), то х' станет цепным отображе-
отображением, т. е. dr C) • хr = хr' d®. Кроме того, имеет место коммута-
коммутативная диаграмма
хр+1
Гомологическое х-умножение
х: hM(Ei) xhit,(E2)^hi,(E1xE2)
определяет умножение
х: FPg(\)®FstB)-+Fp+s,g+tC),
причем индуцированное им отображение

412 ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
совпадает с dirlimx''. И, наконец,
совпадает с обычным гомологическим х-умножением
х: ЯрEь hqiFtf^HABi; h^F^-^H^BxxB^ ^^)
соответствующим спариванию
К (Fd <g) h,(Fa) -*. hq+t(Fr x Ft)
групп коэффициентов.
Доказательства всех этих утверждений не сложны, однако
очень громоздки. Прежде всего, вводится спаривание
hp+g(X», XP-1) <g) hs+l(Y*, Y*-i)^
K+s+g+t (Xp x Y', Xp x Г*-1 U XP-1 x Ys) is.
hp+s+ди ((X X F)"«, (X X K)^-1).
Затем проверяется, что оно отображает
Zpg(l)®ZrstB) в Z; + S, , + <C),
^(i)®ZsH2) в fi; C)
и т. д.
В когомологической ситуации можно продвинуться гораздо
дальше. Применяя диагональное отображение, мы получим
w-умножение, которое превращает {Eprq} в биградуированное
кольцо, а гомоморфизм dr в дифференцирование:
dr (ab) =dr(a)-b + (— l)de«a a ¦ dr (b).
Замечание 5. Пусть i*: h^(F)-^h!/>,(E) и р#: #*(?)->
H*(B) — гомоморфизмы, индуцированные включением слоя i: F-+E
и проекцией р: Е-*-В. Их также можно включить в спектраль-
«ую последовательность в форме так называемых краевых гомо-
гомоморфизмов.
В самом деле, ось у всегда образует свободный край диа-
диаграммы для члена Яр,, т. е. ?р? = 0, если р<0 (рис. 29).
я,
\
\ Х
ч\
сl\
1
р
Рис. 29.

ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 413
Это означает, что дифференциал dr равен нулю на группах Е'ш
или, другими словами, что каждый элемент из E[q является цик-
циклом, и, значит, E[q~x есть факторгруппа группы Er9q. Следова-
Следовательно, Ега\ -+Ец<}~1 —эпиморфизм для всех q. Взяв композицию
этих эпиморфизмов
мы получим эпиморфизм Elq-^E^,. Но
Покажем, что композиция
совпадает с гомоморфизмом г'*. С этой целью рассмотрим расслое-
расслоение р': F->{bo\ и отображение расслоений
F-Ue
"I Г
{Ьо} с В.
Обозначим через Er'pq спектральную последовательность расслое-
расслоения р'\ в силу естественности мы имеем коммутативную диаграмму
hJLF) > ^0°°, * Ь?Е)
Но из конструкции ?^ следует, что Z^ =hg(F), Б^' = 0, и обе
горизонтальные стрелки представляют собой тождественные изо-
изоморфизмы. Значит, краевой гомоморфизм 15.28 равен /„., как и
утверждалось.
Если h^ = Нь — классическая теория гомологии, то Егря = 0
для q<.0, т. е. ось х также образует свободный край диа-
диаграммы (рис. 30).
Рис. 30.

414 ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
В Егро не существует границ, поскольку дифференциал dr
приходит из нулевой группы. Следовательно, Ept' = ker d' cr Erp0.
Взяв композицию этих вложений, мы получим вложение Ер\ а E'pq.
Кроме того, поскольку ?^, = 0 для ?<0, то
Fp* = Fp+i, -i = • • • = НР (?),
так что существует эпиморфизм Нр (Е) = Fp0 ->¦ Е°р%. Комбинируя
эти отображения, мы получаем еще один краевой гомоморфизм
15.29. Нр(Е)-+ЕР\-+Е\лд±Нр(В).
Оказывается, что он совпадает с гомоморфизмом р%. Доказатель-
Доказательство этого факта аналогично только что рассмотренному доказа-
доказательству совпадения hq (F) ^Ebq-+E™q-*hq (E) с t*: hq (F) -*-hq(E),
Действительно, рассмотрим отображение расслоений
E
* 1
В
и заметим,
B%-im
-> В
1'
что
[А: Яр+1(
В, В^->/
\т[д:
ЛВ"),
Нр+1 (В,
Следовательно, Ер%\~ Нр (ВрI'\т д ^ Нр (В) и композиция Нр (В)->
Е% -+Нр(В) равна тождественному изоморфизму.
Рассмотрим теперь некоторые применения теоремы 16.27. Для
того чтобы спектральная последовательность была действительно
полезной, мы должны уметь вычислять все дифференциалы dr.
Самой простейшей ситуацией является та, в которой член ?2
имеет настолько много нулевых групп, что все дифференциалы
равны нулю. Например, пусть E'pq = 0 для любого нечетного р
или q. Так как дифференциал d2: Epq->Ep_2i q+i меняет четность
градуировки q, то d? либо имеет нулевую область определения,
либо нулевую область значений. Следовательно, d2 = 0, т. е.
?** = ?;!*• Далее, поскольку d3: Е%-*ЕР-з, „+2 меняет четность
градуировки р, то d3 всегда равен нулю. Продолжая этот про-
процесс, мы найдем, что dr = 0 для всех г^2 и, значит, ?|* = Е**.
15.30. Имеется более интересный случай, в котором наличие
большого числа нулевых групп в члене Ег позволяет до конца
вычислить спектральную последовательность. Пусть h* =
Н* (—; R) — классическая теория когомологий с коэффициентами

ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
415
в R, где R — кольцо, и р: Е-*-В — ориентируемое расслоение,
слоем F которого является «-мерная сфера Sn, л>0 (такие рас-
расслоения называются сферическими). Тогда
Следовательно,
Поэтому в диаграмме для любого члена Ег имеется ровно две
ненулевых строки (рис 31).
Кроме
иг. с г
ТОГО
q
п
, все
( \J У \/ U U1J "J i 1 1 /1 /111\ J' 1 /1
\\\
f\f\l\l\/\)\J\J\l\)\l\l\l*J
Рис. 31.
дифференциалы
j\di\j\
Р
за исключением dn+b обязаны быть нулевыми по размерностным
соображениям. Очевидно, что
?np+°2 = coker [dn+1: Еря+пГи " -*?2+Oi].
Поскольку других ненулевых дифференциалов не существует, мы
имеем
р** с1** Р**
С„-\-2 = Crt + Z — ••• =^оо-
Так как ??? = 0 для q Ф 0, п, то имеют место соотношения
рт-п,. = pp. a = Hm(E\ R),
pm-n+Ln-\==pp,llz=pm,O) p + q
pm, 0 _ p"». °
Отсюда получаются две точные последовательности:

416 ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Объединяя их вместе и учитывая, что ?Р° = ?2" = ЯРE; R), мы
получаем длинную точную последовательность
15.31. ...^Нт(Е\ R)XHm-n(B; R)-n^
Более тщательный анализ показывает, что отображение
E; R)
есть не что иное, как краевой гомоморфизм 15.29, и, значит,
это просто р*. Сверх того, можно более подробно описать гомо-
гомоморфизм dn+i- Напомним, что
ЕЦ" 9* Н'(В; Я"EП; /?)), ?2р° = ЯрE; H°(Sn; R)).
Пусть «еЯлEл; R) — образующая; будем считать, что она
принадлежит группе Н°(В\ ЯЛEЛ; R)) = E2n- Положим
элемент е называется классом Эйлера Сферического расслоения
р: Е-+В. Можно считать, что любой элемент из группы ?Р'"
имеет вид их, где хе=НР(В; R) = Hp(B; H°(Sn; R)) = E§°. Поэ-
Поэтому из замечания 4 вытекает, что
d«+i (их) = (йя+1м) • х + (- 1 у"i • 4+1 (х)=е-х.
Следовательно, гомоморфизм
4+1= Нт~"{В\ R)-+Hm+1(B; R)
представляет собой w-умножение на класс Эйлера е, т. е.
dn+i(x) = ex. Последовательность 15.31 называется точной после-
последовательностью Гизина сферического расслоения р: Е-*-В
15.32. Пример. Для каждого nssl мы имеем расслоение
Хопфа 52л+1 -v СЯ" со слоем S1. Это расслоение всегда ориенти-
ориентируемо, поскольку Л1(СЯЛ, *) = 0, /i^l. Класс Эйлера е этого
расслоения лежит в Н2 ((DP*; R), и для 0</п<2« последова-
последовательность Гизина 15.31 превращается в последовательность
О -> Нт~х (<DPn\ R) -'-
Так как, кроме того, мы имеем точную последовательность
то Нг(€Рп: R) = 0. Значит,
Я2"-1

ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
417
и группа Я2г(СР"; R) порождена элементом ег. Поскольку СР"
является 2«-мерным клеточным пространством, то все группы
когомологий Н' (СРп; R), />2л, равны нулю. Таким образом,
мы доказали следующее утверждение.
15.33. Теорема. Имеет место изоморфизм колец
Я*
где R [е]/(ея+1)—усеченная полиномиальная алгебра и
образующая. Аналогично,
Рис. 32.
Было бы заманчиво применить последовательность 15.31 к рас-
расслоению S°^>-Sm->$Pm. Однако, к сожалению, мы пока не в со-
состоянии этого сделать, поскольку
должны предполагать, что размер-
размерность сферы S" больше нуля. Поз-
Позже мы сумеем получить последова-
последовательность Гизина без предположения
п>0.
15.34. В случае, когда в рас-
расслоении р: ?-»-fi пространство В
есть сфера S", л>0, спектральная последовательность также
вырождается в длинную точную последовательность, но теперь
уже подходит любая теория когомологий. Действительно, в этом
случае диаграмма для члена Я2 имеет ровно два ненулевых
столбца и единственный ненулевой дифференциал dn: E°np ->
Епп p-n+l (.рис. 32).
Рассуждая так же, как в предыдущем случае, мы в конечном
итоге придем к длинной точной последовательности
15.35.
...->- hm (?) -2- hm (F) ?* ft-"-1-1 (F) -1 A»*1 (E) -»....
где i: F->? — включение слоя. Все, что можно на сей раз ска-
сказать о гомоморфизме dn — это то, что он является дифференци-
дифференцированием:
dn (ху) = dnx¦ у + (- 1)'*I*• dny, х, у eh* (F).
Если h* = H*, то ф: Я0 (F) -+¦ Нп (Е) совпадает с краевым гомо-
гомоморфизмом
Я0 (F) ^ Я" (S"; Н° (/=")) ^ Я" (?).
Последовательность 15.35 называется точной последовательностью
Вана.
15.36. Упражнение. Вычислить кольцо когомологий
Я* (QSn; Z) (Предостережение: следует тщательно различать
случаи четного и- нечетного п.)
14 Роберт М. Свитцер

418 ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
15.37. Пример. Рассмотрим теперь пример, имеющий важ-
важное значение для вычисления гомотопических групп сфер. Как
известно,
[S3; //(Z, 3)]^//3(S8; Z)?sZ.
Обозначим через /: Sa-*-H(Z, 3) отображение, представля-
представляющее образующую группы [S3; H(Z, 3)]. Пусть Pa-+H(Z, 3) —
расслоение путей над Н (Z, 3) со слоем Q//(Z, 3) = #(Z, 2).
Тогда / индуцирует над S3 расслоение р: ?-*-53, также имею-
имеющее слой Н (Z, 2). Из точности последовательности
f J\ sfc I .-. у IT I г :tc 1 'w IT I \ ** ;fc 1 ¦ ¦
nr-i(H(Z, 2), *)¦
находим, что
ягE3), г>3,
Тот факт, что д: n3(S3, *)->я2 (//(Z, 2), *) —изоморфизм, следует
из выбора отображения / и из коммутативности диаграммы
я2(Я(/,2),*)
Таким образом, любая информация о группах я* (?, *) есть
не что иное, как информация о высших гомотопических группах
сферы 53.
Прежде чем заниматься вычислениями, отождествим простран-
пространство Н (Z, 2) с более привычным геометрическим объектом.
Из точности гомотопической последовательности расслоения
iS1->S2'"+1->-{DP'1 вытекает, что
|Z, r = 2,
Следовательно,
0 в противном случае,
так что ©Р^ имеет гомотопический тип пространства #(Z, 2).
По теореме 15.33
Н* ((DP»; Z) ^ Z[е\, г е Н*

ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 419
Точная последовательность Вана для расслоения р: ?->S3 имеет
вид:
—> H"(E) ~* H2m(CP') '* HIm-4CP~) -* //*"+1(?) -
II иг иг II
о г г о
Поскольку гомоморфизм сР является дифференцированием, мы
имеем d-i(em) = mem-1. Следовательно, kerds = 0, cokerd3^Zm и,
значит,
Применяя к этим группам теорему об универсальных коэффи-
коэффициентах для сингулярных гомологии, найдем, что
= О j
I-
Если обозначить через PG р-примарную компоненту группы1) G,
то полученный результат можно записать в следующем виде:
для любого простого числа р.
В работе [70] Серр получил далеко идущее обобщение теоремы
Гуревича об изоморфизме. Среди прочего эта теорема Серра утвер-
утверждает, что если для данного простого р при любом q<.m выпол-
выполнено равенство2) р[пд(Х, *0)] = 0, то р[ЯЛ(Х)] = 0, О^г<т, и
Таким образом, в нашем случае
р[яЛE3, *I?Ёр[я,(?, *)]^Р[Л
Например, я4E3, *)9^2г, и первая подгруппа 3-кручения
появляется в л6 (S3, *) и изоморфна %3-
Обобщение Серра теоремы Гуревича об изоморфизме доказы-
доказывается с использованием спектральных последовательностей (см.,
') Для конечно порожденной абелевой группы G pG есть факторгруппа G/H,
где Н — подгруппа элементов конечного и взаимно простого с р порядка. Так,
например, pZ = Z-— Прим. ред.
2) И, кроме того, з1х(Х, Хх,)=0, — Прим. ред.
14*

420
ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
например, [70] или [72]). Для читателя, который внимательно
следил за конструкциями и вычислениями настоящей главы, не
составит труда разобраться в этом
доказательстве.
15.38. Займемся теперь более
подробным рассмотрением того
важного случая, когда спектраль-
спектральная последовательность сводится,
по крайней мере частично, к точ-
точной последовательности. Пусть
р: Е-+В — такое расслоение, что
НР(В; G) = 0, 0<р<«, Hg(F;
G) = 0, 0<q<.m, и слой F ли-
линейно связен. Тогда диаграмма
для члена Ег имеет вид, изобра-
изображенный на рис. 33.
В незаштрихованной части диаграммы единственными ненуле-
ненулевыми дифференциалами являются те, которые выходят с оси х
и кончаются на оси у:
Рис. 33.
Как и раньше, мы получаем точные последовательности
0
, р—1
qI p—i-*-0,
справедливые при размерностном ограничении р<п-\-т. Объеди-
Объединяя их вместе, мы в итоге приходим к точной последовательности
15.39.
Яя+т_2(?;
.Я.(В;
; G)±//л+т_2(F;
{B; G),
в которой мы обозначили символом т дифференциал дР. Гомо-
Гомоморфизм т называется трансгрессией. Таким образом, при опре-
определенных ограничениях мы получили точную последовательность
для групп гомологии, аналогичную точной гомотопической после-
последовательности расслоения. Она называется последовательностью
Серра.
В действительности, трансгрессию можно определить и в общей
ситуации как отображение из некоторой подгруппы группы
Я„E; G) в факторгруппу группы Hn-i(F; G). Именно, т есть
Существует и другое описание этого отображения. Проекция
р: Е -v В индуцирует гомоморфизм
р„. Н„(Е, F; G)->H,,(B, {*}; G)s±Hn{B; G).

ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 421
Определим
т. imp^-^Hn-iiF; G)/d(kerp#),
полагая f (x) = {д (у)} для x<=imp# и у<=Нп(Е, F; G), такого,
что р# (у) = х. Элементы из imp,, cz Й„ (В; G) (т. е. те, на которых
определен гомоморфизм т) называются трансгрессивными. Покажем
теперь, что Т = т.
15.40. Лемма. Для всех pS=2 и любой фильтрации {Хп\
пространства X существует коммутативная диаграмма
hp(X"-\X°) -^* hp(X,X°) > ЕЪ > 0.
а
с точными строками.
Доказательство. Чтобы получить требуемое утверждение,
достаточно бросить взгляд на чудовище, изображенное на с. 422.
Отметим, что условие р^2 или эквивалентное ему условие
2р— 15гр+1 гарантирует выполнение равенства
Ahp+l (X2"-1, XP) = Ahp+1(X
15.41. Следствие. Для всех рЗ=2 имеет место равенство
Доказательство. Будем считать, что B° = {fr0} и что Е
профильтровано подпространствами Хп = р-1Вп. Тогда
К(Х, Х°) = НЯ(Е, F; G), hn.x (Xй) = Нп-Х (F; G),
Требуемый результат содержится в коммутативной диаграмме
Hn(B;G) -^ ЕЪ>
. U
Hn(E,F;G) уЕпя6
•I 1*
•• 0, п>2. а

422
ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
?
К
с*.
I
в,
i
+
а?
i
а о
Ь
^
I
U

ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 423
15.42. Особый интерес представляет случай, когда простран-
пространство расслоения Е стягиваемо. Определим в этом предположении
гомоморфизм
a': R*-i(F\ G)->Hn(B; G)
как композицию
Hn(F; G)^Hn(E, F; G)^Hn(B, {&„}; G) = Hn{B; G).
Из только что доказанной леммы вытекает, что гомоморфизм т
является обратным к а':
Нп{В; G)=>im а'->//„_! (F; G)/kera'.
Кроме того, если пространство В л-связно, п^\, то последо-
последовательность Серра 15.39 превращается в этом случае в семейство
изоморфизмов
a': Hri(F; G)g*Hp(B; G), 2^p^2n.
В случае расслоения QB-+PB-+B юмоморфизм а' часто
называют «гомологической надстройкой», о чем приходится лишь
сожалеть, так как это название в большей степени подошло бы
для гомоморфизма
a: Ha-i(B; G)^Hn(SB; G)
Но как бы то ни было, эти два гомоморфизма тесно связаны.
15.43. Предложение. Пусть f: X->HY — произвольное
отображение и /': SX-+Y—отображение, сопряженное с /. Тогда
для всех п имеет место коммутативная диаграмма
EK{SX;G) -^ Hn(Y;G).
Доказательство. Определим отображение
/: CX-+PY,
полагая (f [t, x\) (s) = / (x) (st), [t, x]^CX, ь е /. Тогда немедленно
устанавливается коммутативность диаграммы
X —^-> СХ —^-> SX
А I/ -\г
У,

424 ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
в которой f 1 (лг> = 11, х\, х е X, и q: CX -+SX —очевидная про-
проекция. Следовательно, в гомологиях мы имеем комммутативную
диаграмму
G) +4- HJiPY,QY; G) -^+MY;G). D
a'
Напомним теперь, что сопряженным о 1: SX-+-SX является
такое отображение Г: X-+QSX, что
{'(х)(s) = [s, дс], хеХ, se/.
15.44. Следствие. Для любого п имеет место коммутатив-
коммутативная диаграмма
) —?-> Hn{QSX;G)
с V У а'
15.45. Следствие. Если пространство X п-связно (п^ 1), то
Г.: ИР(Х; G)-+HP(QSX; G)
— изоморфизм для любого р ^ 2п + 1 ¦
Доказательство. Поскольку пространство SX (п -\-1 )-связ-
но, то данный результат немедленно следует из п. 15.42 и след-
следствия 15.44. ?
Пусть
S: np(X, Xo)-vnp+1(SA\ *)
— гомотопическая надстройка (ем. определение 6.23). Легко
видеть, что диаграмма
/'
х,(Х,х0) —±+ np(QSX,*)
К
n,+1(SX,*)
коммутативна.

ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 425
15.46. Теорема (Фрейденталь) Пусть X—некоторое п-связ-
ное пространство (n^l). Тогда
2: пр(Х, xo)-+np+l(SX, *)
является изоморфизмом для любого р^2п и эпиморфизмом для
р +
Доказательство. Согласно следствию 15.45 и теореме
10.28 Уайтхеда гомоморфизм
;',: пр(Х. Xo)-^np(QSX, *)
является изоморфизмом для р^2га и эпиморфизмом для
1
Таким образом, мы получили еще одно доказательство теоремы
Фрейденталя о надстройке. Оно было бы независимым от первого
доказательства, если бы мы не использовали теорему Фрейденталя
при доказательстве теоремы Гуревича об изоморфизме и, стало
быть, при доказательстве теоремы Уайтхеда. Как уже отмечалось
в главе 10, можно дать элементарное доказательство теоремы
Гуревича об изоморфизме (см. [72]), которое не использует ничего,
кроме определений гомотопических групп и групп сингулярных
гомологии.
Обратимся теперь к другому важному применению спектраль-
спектральной поеледовательности Серра, которое окажется очень полезным
в следующей главе. В формулируемой ниже теореме мы предпо-
предполагаем, что Н — произвольный кольцевой спектр.
15.47. Теорема (Лере — Хирш). Пусть р: (Е, Ё)-*-В—
ра$слоение над линейно связной базой В со слоем (F, F). Предпо-
Предположим, что существуют такие элементы еь ..., еге//*(?, Ё),
что 1*еъ i*e2,..., i*er e//* (F, F) образуют базис свободного
Н* (р{)-модуля Н* (F, F). Зададим в Н* (?, Ё) структуру модуля
над кольцом Н* (В), полагая be — p*(b)^je для Ь^Н*(В), ее
Н* (Е, Ё). Тогда Н* (Е, Ё) является свободным Н* (В)-модулем
с базисом {ег е2, ..., ег\.
Доказательство. Покажем прежде всего, что расслоение
р: (Е, ?)-*- В ориентируемо. В самом деле, если о: (/, /)->¦
(В, Ьо) — некоторая петля в В, то диаграмма
гомотопически коммутативна1), так что а(ш*) (i* (е;)) = 1* (ег) для
') Гомотопия задается семейством (F, F) -*¦ (F F), -*¦ (?, Ё), где (F F), —
слой над оз(^), а левая стрелка—перенос слоя вдоль пути ш![0, 1], — Прим. ред.

426
ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
всех 1 = 1, 2, ...,/. Но элементы i* (е{), ..., i*(er) образуют
базис для Н* (F, F); следовательно, а(со)* = 1.
Рассмотрим теперь новую теорию когомологий /г*, определен-
определенную равенством
h*{X, Л) = #*(*, А) ®„. <р„ Я* (F, F)
Так как H*(F, /^ — свободный Н* (р1;)-модуль, то п* удовлетво-
удовлетворяет аксиоме точности. Пусть /,• = i* (ег) е Я* (F, F). Для любых
Y а X с В зададим гомоморфизмы
Фху. h*(X, Y)-*H*(E\X, E\Y[}E\X),
полагая
на элементах вида х®/;. х^Н*(Х, Y), где /: (Е\Х, |)
(Е, Е) — включение, и продолжая их на весь модуль h* (X, Y)
по линейности. Очевидно, что Фх,у естественны относительно
вложений. Пусть {??", dr} — спектральная последовательность
для h*, построенная по фильтрации остовами клеточного прост-
пространства В, и {Ергч, dr) — спектральная последовательность Серра
для Н* и расслоения (/¦', F)-*~(E, ?)->-B. Тогда гомоморфиз-
гомоморфизмы {Фх.у} индуцируют морфизм спектральных последователь-
последовательностей
Ф: {??«. аг}->{??', d,)
(см определение 15.56). Другими словами, семейство {Фх,у\ опре-
определяет такие гомоморфизмы /?": E?q-+Epr-\ fp<>: Fpv^-Fpi, что
dr'fr" =fp + r' "~r + 1'dr, и коммутативны диаграммы
15.48.
ЩЕГ),
Q > ^Tp+l.e-l ,. ppq
0
I
i.«-1
0
0.
Кроме того, по определению гомоморфизмов к, к и Фвр Bp-t

ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 427
коммутативна диаграмма
H*W)H*(F,F))'*< > Н>+\Е\В',Е\В'-1 О
I)
[C{B;H*{pt))®H.tpnH*(F.F)]>+' ^^ C(B;H4F.F)\
Следовательно, /{" — изоморфизм. Но тогда, используя первую
диаграмму из 15.48, мы получим, что все /?*, г^1, также явля-
являются изоморфизмами. Значит, изоморфизмом будет и отображе-
отображение fig. С помощью второй диаграммы отсюда индуктивно выво-
выводится, что f"> являются изоморфизмами для всех р, q. Таким
образом, мы получаем в итоге, что
фв,ф: H*(B)®h*^)H*(F, F)-*H*(E, Ё)
— изоморфизм. А это как раз и означает, что {ег, еъ, ...,'ег)
является базисом модуля Н* (Е, Ё) над кольцом Н* (В). П
¦ 15.49. Аналогичный результат справедлив и в гомологиях:
имеет место изоморфизм
г|>: Н^(Е, E)-+-Ht(B)®H.mIl,(F, F),
задаваемый для всех к е Н% (Е, Ё) формулой
где {ft, ft, • • •, /*} — базис в Я# (F, /), двойственный к
{/i. fa, ¦••> //¦}• Доказательство аналогично приведенному выше.
15.50. В качестве приложения полученных результатов дадим
теперь новое доказательство теоремы Тома об изоморфизме A4.6).
Пусть р: Ё -*~В — сферическое расслоение со слоем S"-1 и
р: ?-> В — ассоциированное с ним расслоение на л-мерные диски.
Классом Тома или ориентацией расслоения р: (Е, Ё)^*-В назы-
называется такой элемент t е Н" (Е, Ё), что /* (/) е Н" (Dn, S"-1)
является образующей Н* (р{)-модуля Н* (Dn, Sn~l). Здесь
/: (Dn, S"-1) -*¦ (Е, Ё) — включение слоя над отмеченной точкой Ьо-
Так как всюду в этой главе молчаливо предполагается, что про-
пространство В линейно связно, это определение класса Тома экви-
эквивалентно определению, данному в главе 14 для векторных
расслоений (каждое О (п)-расслоение обладает ассоциированными
расслоениями на диски и сферы).
15.51. Теорема Тома об изоморфизме. Пусть
р: Ё -> В — сферическое расслоение со слоем 5"-1, р: Е^-В

428 ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
циированное с ним расслоение на диски и (еЯ"{Е, Ё) — класс
Тома. Тогда гомоморфизмы
Ф*: Hi(B)-
являются изоморфизмами для всех
Доказательство. Указанные изоморфизмы являются част-
частными случаями изоморфизмов теоремы 15.47 и п. 15.49 с r=l.D
Замечание. В частности, из доказательства теоремы 15.47
следует, что существование класса Тома влечет за собой ориенти-
ориентируемость расслоения р: (Е, ?)->-В в смысле определения 15.14.
Более того, пусть ? = (В, р, Е, R") — векторное расслоение со
структурной группой 0(п). Тогда определенный в п. 14.5 класс
Тома (еЯл (Е, Е — i (В)) индуцированного микрорасслоения за-
задает класс Тома для пары (D(l), S(Q):
Н» (Е, Е - i (В)) ^ Н" (D (|), D (I) - i (В)) с* Н" (D (I), S (I)).
Таким образом, из ориентируемости в смысле определения 14.5
следует ориентируемость в смысле определения 15.14.
Упражнение. В какой степени верно обратное утверждение?
15.52. Из теоремы Тома можно получить точную последова-
последовательность Гизина. В самом деле, рассмотрим следующую диаграмму:
S j*
... > Н«+-1(Ё) Н"*"(Е,Ё) <¦
| ? ф*
Ф Ф
Н\В) ——
Р*
Если определить Ф как Ф*-1^, а фкак р*-1«/* °Ф*, то эта диаграм-
диаграмма станет коммутативной. Отображение р: Е-+В является гомото-
гомотопической эквивалентностью, поскольку расслоение на диски
стягивается на свое нулевое сечение, гомеоморфное В.
Упражнение. Показать, что для спектра H = H(R) гомо-
гомоморфизмы ij) = dn+j и Ф совпадают с соответствующими гомомор-
гомоморфизмами последовательности 15.31.
Стоит отметить, что мы получили гораздо больше, чем просто-
альтернативный вывод точной последовательности Гизина. Теперь

ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 429
эта последовательность справедлива.для любой теории когомоло-
гий, относительно которой р: (Е, Ё)->В имеет класс Тома. В
частности, для классических когомологий с коэффициентами в Ъъ
последовательность Гизина верна и для сферических расслоений
со слоем 5°.
15.53. Применим последовательность Гизина для вычисления
когомологий Я* (UP"; Z2)- Расслоение S0-*¦ Sa-*-RPa порождает
точную последовательность
8)-*•
— Hn(RPn; Za)-*-0.
Так как Нч(S"\ Z2) = 0 для 0<q<n, то
t- HHRP"; Z2)->Я'+W: Z2)
является изоморфизмом для 0<С9<«—1 и мономорфизмом для
q = n— 1. Предполагая, что п~5?\, мы имеем р*: H°(RPn; Z2) =
Я0 E"; Z2), так что -ф является мономорфизмом даже для ^ = 0.
Таким образом, Z2 = H°{RPn; Z2) ^ H1 (RP"; Z2) = ..-^
Н«-Ц$Р"; Zs) и Я"Ш.РЛ; Z2)=^0. Поскольку Яя (S"; Z2) = Z2,
то гомоморфизм
Ф: Я" Eя; Zi) -> Я" (RP"; Z»)
обязан быть изоморфизмом, так что даже в старшей размерности
¦ф: Я'J-1(R^"I; Z2)-^Я'I(R^; Z2) - изоморфизм. Положим
л; Z2).
Элемент w является классом Эйлера для расслоения 5°-> 5"-*-$Рп,
а гомоморфизм -ф представляет собой умножение на w. Следова-
Следовательно, единственный ненулевой элемент из Нч (RPn; Z2) имеет
7
вид ш7.
15.54. Теорема. Имеет место изоморфизм колец
H*(RPn; Z2)^Z2H/(o>»+1).
Аналогично
Упражнение. Для сферического расслоения р: Ё->5
со слоем 5"-1 вывести соотношение между классом Эйлера
е^Нп(В; R) и классом Тома te=Hn{E, П; R).
15.55. Замечание. Мы имеем накрытие Sn-*RPn, так что
, *)^n,(Sn, *) = 0, Kq<n.
Следовательно, л^(R/300, *) = 0 для всех q>\. Поскольку
ni (RP00, *)^Z2, то RP00 имеет гомотопический тип простран-

430 ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
ства Н (Т.2, 1). Таким образом, мы вычислили кольцо когомологий
Я*(ЯB2, 1); 7л).
Завершим настоящую главу двумя общими результатами о
спектральных последовательностях, имеющих важные применения.
15.56. Определение. Морфизмом {/^} спектральных после-
последовательностей называется семейство гомоморфизмов f'pq: E'pq -v E'pqy
fpg- FPq-*~Fpq> удовлетворяющих для всех p, q и г следующим
условиям:
i)d'./;„ = ?_,. , + ,-i-d';
ii) диаграмма
коммутативна;
ш) диаграмма
dir lim/'
dirlimr?;, -Д-
коммутативна;
iv) диаграмма
" *" **Р-1,«+1 ^ ¦*/>
|//>-1,«+1 /иг I
0
коммутативна.
Отображение расслоений
р
В
-т-

ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 431
индуцирует морфизм спектральных последовательностей Серра, и
именно это свойство имеют в виду, когда говорят, что спектраль-
спектральная последовательность Серра естественна.
15.57. Теорема Зимана о сравнении. Пусть
{fpq\: {Егрч} -*¦ {Ер„} — морфизм спектральных последовательностей,
удовлетворяющий следующим условиям:
I) Epq — Erpq = 0 для р<0 или q<0;
,41 pi ITS /O\ ГЧ ?2 —p* iVl F3 11 f2 — P' fS?\f2 •
111 l^nq — Cpo l^y l—eq> '-•pq— '-¦p'J \Q/ L-'Qq u Ipq—/ра<У/<1*>
iii) ?~ =?Г« = 0 для всех (р, д)Ф@, 0);
iv) fpo — изоморфизм для любого pS=0.
Тогда flq является изоморфизмом для любого q^O.
Доказательство. Прежде чем непосредственно приступить
к доказательству теоремы, нам придется подробно выписать все
соотношения между различными группами, входящими в спект-
спектральную последовательность. Мы имеем B'pQ = im d2 cz Ej,Q,
Zpq = ker d2 с E'pq, так что
U = Dpq CZ Upq С ^pq СИ ^pq == **pq И tLpq == ^pql Оpq-
Тогда imcPcrfp, имеет вид \пиР = Врч/Врд и ker d3 = ZpqlBlg
для некоторых подгрупп BpqaZpq, таких, что
л R- <— R t— А?1 <—74 <—7' (— 7" F2 F* *~~^ 7А /R;
и — ?>Pq (— иря к— upq — ^pq — **pq — '"pq — '-'pqi *--pq == ^pqi¦%¦<;•
Продолжая этот процесс, мы получаем фильтрацию
0 = Bpq С Bpq С ... С Bpq С ... С Bpq d Zpq CZ ... d
Zpq CZ...CZ Zpq = E'pg,
для которой
pQ = U "P<7» Zpq == I I -^P»» Epq =
pq/Bj q.
Наконец, изоморфизм im dr ^ Epq/ker dT превращается в
ZpqIZpq Q=Bp — r, q-\-r—\IBp — r, q + r — l-
Так как дифференциалы
и '. hpq —*¦ hp — r, q+r — 1
равны нулю для г>р, то
7r+i/Rr kpr Лг Fr ^ 7T /Rr
L rQ IDpq — Kcl u — E'pq = *-TQi& pq*
Следователь!ю, если /">р, то

432 ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Аналогично
BPtl/Bpq для
так что
В частности, мы получаем
R<7+2_D<? + 3_ _ ROT
D D p0 .. — В pq-
Так как
ZppfxIBqpt2 = Z^qlB^q — E^q, если (р, ц)Ф (О, О),
то
Zpf=BPt2, если (р, ?)#@, О).
И вот, по существу лишь сейчас, мы начинаем доказательство
теоремы. Предположим, что flQ: E\q -*- EqQ — изоморфизм для q*?*Q
(случай q = 0 следует из условия iv)). Покажем, что тогда /о. c+i
также является изоморфизмом. На самом деле, обратной индук-
индукцией по г мы установим, что fr 0+1 —изоморфизм для всех г.
Если r>Q + 2, то Er0 Q + l = E~[y + 1 =0 = ?^C/+1 =?j_ )+x> что
позволяет начать индукционный процесс. Из коммутативной
диаграммы с точными строками
I i I
/ /o,Q+.l 7o,q+i
следует, что шаг индукции будет завершен, как только мы дока-
докажем, что /: B%+Q+i/Bo,Q+l-+B%+Q+i/B$,Q+i — изоморфизм для всех
р, 2<p<Q + 2. Но
и, аналогично,
Bp+Ql+l/Bp0,Q
Таким образом, достаточно показать, что
— изоморфизм для
Докажем, что /: Zrpq->Zrpq — изоморфизм для q + r^Q-\-2, a
/¦; Bpq -v Bpq — изоморфизм для q *^Q (как и выше, через / обозна-

ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 433
чается любой из гомоморфизмов, индуцированных семейством /?в).
Для г = 2 результат немедленно следует из условий И), iv) и
предположения индукции о гомоморфизмах f%q.
Будем считать, что наше утверждение уже доказано для неко-
некоторого г ^2. Рассмотрим тогда коммутативную диаграмму
Л Л А /4
Если q<*Q, то fi и /4 являются изоморфизмами. Следовательно,
fi и /3 — также изоморфизмы, так что мы получаем требуемое
утверждение уже для г+1. Этим завершается индукция по q и,
значит, доказательство теоремы. ?
Замечание. Имеется еще одна теорема сравнения, в которой
предполагается, что flq — изоморфизмы для всех q^O, и отсюда
выводится изоморфность всех гомоморфизмов /р0- Обе теоремы
сравнения имеют очевидные когомологические аналоги.
15.58. Определение. Пусть Л —алгебра над кольцом R.
Говорят, что множество элементов хь х-г ..., хп, ... е А является
простой системой образующих для А, если мономы х^х^.-.х^
(е; = 0 или 1, mSzO) образуют (аддитивный) базис модуля А
над R.
15.59. Примеры. В алгебре полиномов R [х] множество х,
х2, х\ ..., х%п, ... является простой системой образующих. Во
внешней алгебре Е (хъ х%, ...) такой системой служат элементы
Xi, Хч,
15.60. Теорема (А. Борель). Пусть Q.B->РВ-*¦ В — рас-
расслоение путей над В, где В — односвязная И-группа. Предположим,
что в Н* (QB; R) существуют такие элементы /ь /2, ..., что
\) для каждого п лишь конечное число элементов ft лежит
в Hn(QB; R);
ii) множество a' (/i), а' (/2), ...еЯ,(В; R) является простой
системой образующих кольца Понтрягина Нщ (В; R).
Тогда H*(QB; R)^R\fi, h, •••]•
Доказательство. Идея доказательства состоит в построе-
построении абстрактной спектральной последовательности {?%}, обладаю-
обладающей формальными свойствами спектральной последовательности
Серра \Erpq) расслоения Q.B-+PB-+B, и такого морфизма
спектральных последовательностей, что Ф~р0 — изоморфизмы для
всех р^О. Если такие спектральная последовательность и морфизм

434 ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
построены, мы можем применить теорему сравнения 15.57. В самом
деле, спектральная последовательность Серра {Erpq} удовлетворяет
условиям этой теоремы, поскольку
(//* (В; /?) — свободный R-модуль) и ?™, = 0, (р, <?)=#((), 0),
Мы начнем с построения семейства спектральных последова-
последовательностей ?*, (г), t^l. Пусть для фиксированного i элемент /г
лежит в группе Нп(Е\ R). Определим E\t(jl) как свободный
/^-модуль с базисом, состоящим из элементов
x(i, m) е ?о. mn. (t),
у (i, m) <= Eh.+\, mn{@. m^sO.
Зададим дифференциалы dr(i), полагая dr(i) = 0 для 2=Сг=^Л/ и
Так как до En' + 2(i) доживает лишь один из базисных элементов,
а именно, x(i, 0) = 1, то можно взять dr(i) = 0 для г>«D-1-
Определим теперь спектральную последовательность ?*ф. С этой
целью положим
где правая часть понимается в том смысле, что для каждого т
мы образуем модуль ?.;*(l)(g)...(g)??.x.(/л), а затем берем прямой
предел по т. Дифференциал dr определяется по обычной формуле
для дифференциалов на тензорном произведении, т. е. как
дифференцирование.
По теореме Кюннета мы имеем
Н (?'** A)) (х) Н (?;* B)) <g>... ^ Е: +' A) (х) ?;+1 B) ®... =
Таким образом, {?р?} —спектральная последовательность.
Заметим, что ?*0 обладает базисом, состоящим из элементов
у(\, 0)?i(g)yB, 0р®...®у(т, 0)?-
(е, = 0 или 1). Другими словами, у{\, 0), у B, 0), .и представ-
представляют собой простую систему образующих алгебры Е%$. Далее,
?о* имеет базис, состоящий из элементов
для гх, ..., гиеН Очевидно, что

ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 435
Кроме того, из условия i) теоремы следует, что E'pq = 0 для до-
достаточно больших г. Таким образом, Е^„ = 0 для (р, q) Ф (О, 0).
Определим теперь гомоморфизмы Фрч. Пусть bt = а' (/,) s
Hn.+i(B; R). Так как fi^x(bi), то мы имеем
15.61. drb, = 0, r<n, + l, dni*% = {fi\.
Положим
Ф'(уA, m)) = ft, {/,}*, г<я,+ 1,
где через х (i, т) обозначен элемент 1 (х)... (х) х (i, m) (g) 1...,
а через {/;} — класс элемента ft в ?<>. »,• Продолжим ф' до гомо-
гомоморфизма алгебр. Из равенств 15.61 и определения гомоморфиз-
гомоморфизма dr следует, что гомоморфизм Фг коммутирует с дифференциа-
дифференциалами. Кроме того, мы имеем коммутативную диаграмму
¦СрО 09
Поскольку множество bu Ьг, ... является простой системой обра-
образующих алгебры ?io = //*(#"> #). то 0*о — изоморфизм. Таким
образом, выполнены все условия теоремы сравнения 15.57 и мы
получаем, что
Ф1*: EJ,->?!,?* Я, (QB; R)
— изоморфизм. Следовательно, мономы fr*f*... f™ образуют базис
^-модуля Н+ (QB; R) или, другими словами,
Теорема 15.60 имеет аналог для когомологий. Поскольку он
будет играть важную роль в главе 18, приведем здесь его точ-
точную формулировку.
15.62. Теорема. Пусть F -> ? -*¦ В — расслоение со стягивае-
стягиваемым пространством Е и Ьъ Ьг, ... е Н* (В; R) — такие элемен-
элементы, что
i) для каждого п лишь конечное число их лежит в Нп (В; R);
п) о' (bi), a' (bz), ...e//*(F; R) являются простой системой
образующих.
Тогда Н* {В; R)g*R[bu bt, ...].

436 ГЛ. 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Едва ли найдется человек, имевший дело со спектральными
последовательностями и не испытавший при первом знакомстве
с ними некоторой неприязни или, по меньшей мере, растерянно-
растерянности. Требуется основательная практика, прежде чем все это ско-
скопище индексов перестанет расплываться перед глазами и обретет
форму и смысл. В следующих главах читатель найдет большое
количество различных применений аппарата спектральных после-
последовательностей. Мы надеемся, что эти применения, во-первых,
убедят его в исключительной полезности данного аппарата и,
во-вторых, помогут ему напрактиковаться в конкретных вычис-
вычислениях. Читатель не должен, однако, удовлетвориться прочте-
прочтением лишь приводимых здесь приложений, а должен разобрать
столько примеров, сколько ему нужно для приобретения уверен-
уверенности и свободы в обращении со спектральными последователь-
последовательностями.
ССЫЛКИ НА ЛИТЕРАТУРУ
1. Маклейн [49]. 4. Спеньер [72].
2. Мошер, Тангора [62]. 5. Ху Сыцзян [95].
3. Серр [68, 70].

ГЛАВА 16
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
В главе 11 мы видели, что классам изоморфных векторных
расслоений со структурной группой G (аI) над клеточным про-
пространством X отвечают гомотопические классы отображений
/: X-*-BG{n) в классифицирующее пространство BG(n). Если
g и г) —два G (гс)-расслоения с классифицирующими отображе-
отображениями /|, /г,: X-*-BG{ri), то \с^г\ тогда и только тогда, когда
fl^fv Следовательно, если мы хотим доказать, что расслоения
Ъ, и х\ не изоморфны, то все, что нужно сделать —это показать,
что /| и /п не гомотопны. Однако такой подход страдает двумя
недостатками:
i) обычно по векторному расслоению \ очень трудно постро-
построить классифицирующее отображение /Е; И) непосредственное дока-
доказательство того, что два данных отображения не гомотопны,
в общем случае ничем не легче доказательства неизоморфности
векторных расслоений. К счастью, для отображений имеется
следующий весьма плодотворный прием: если для некоторой
теории когомологий k*
то /|Ф/т), и поэтому IФ т). Таким образом, для решения по-
поставленной задачи нужно найти такую теорию когомологий k*
и элемент ieJ* (BG(ri)), чтобы
Поскольку гомотопический класс отображения /5 полностью
определяется расслоением ?, то и элемент f{ (x) e k* (X) при
данном х е k* (BG («)) также полностью определяется этим рас-
расслоением. Значит, мы с полным правом можем обозначить f\(x)
через хA). Элементы x(l)^k*(X) для различных x^k*(BG(n))
называются характеристическими классами расслоения |. Итак,
мы доказали следующее утверждение.
16.1. Предложение. Для того чтобы два G(п)-расслоения
\ и г\ были изоморфными, необходимо, чтобы для любых теорий
когомологий совпадали их характеристические классы.
1) Здесь G (п) обозначает одну из групп О (и), U (п) или S (п) и рассмат-
рассматриваются векторные расслоения со стандартной G (га)-структурой. Кроме того,
в этой главе под G (л)-расслоениями понимаются векторные (а не главные)
G (л)-расслоения.—Прим. оед.

438 ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
Разумеется, мы не утверждаем, что равенство характеристи-
характеристических классов для всех теорий влечет за собой изоморфизм
Следующая теорема позволяет нам при подходящих ограниче-
ограничениях на теорию когомологий h* получить характеристические
классы, которые обладают рядом хороших свойств и поэтому
легко вычислимы. Кроме того, эта теорема дает нам возмож-
возможность вычислить кольца когомологий h* (BG («)) для некоторых
классифицирующих пространств BG (п).
16.2. Теорема. Пусть /i* — такая мультипликативная тео-
теория когомологий, что для каждого п существует элемент хп е
Л2 (С/5"), удовлетворяющий следующим условиям:
+1
) ()(p)[]/()
ii) i*xnn = xn, где i: ©/"*->-C.Pn+1 — естественное включение и
Тогда для каждого U (п)-расслоения I над клеточным про-
пространством X существуют и единственны элементы ct (|) e
№ (X), 0=^i=s?rc, зависящие лишь от класса изоморфизма рас-
расслоения | и обладающие следующими свойствами:
a) если §->-Х — некоторое расслоение и f: Y ->• X — некоторое
отображение, то с{ (/*|) = /* (с* (?)), 0 «? i =s? n;
b) с0 (?) = 1 для всех ?;
c) если у-+(&Рп —комплексное линейное расслоение Хопфа над
, то с^(у) = хп;
d) если \ и х\ — соответственно U (т)- и U (а)-расслоения над
одним и тем же пространством X, то с,- (| ф t|) = ^j С1 (Ю с* (л)»
OsS-J^n + m (если i>m, мы полагаем с,-(?) = 0).
Доказательство. Прежде чем доказывать сформулирован-
сформулированные утверждения, займемся некоторыми вспомогательными кон-
конструкциями. Пространство С/5" представляет собой множество
всех комплексных прямых в С+1, проходящих через начало
координат 0. Слой расслоения у над / — это множество всех
точек из С+1, принадлежащих /. Другими словами, Е (у) =
\A, у) sCPnxCn+1: y^l}- Существует прием, позволяющий
в некотором смысле расщепить произвольное •. (п)-расслоение
?-»-Х в сумму Уитни (но над другой базой) линейного, т. е.
одномерного, расслоения и некоторого U (п— 1)-расслоения.
Пусть Р (I) — пространство всех прямых, лежащих в слоях рас-
расслоения | и проходящих через 0. Тогда существует очевидная
проекция р': P(Q-+X, и (Р (Q, р', X) является расслоенным
пространством со слоем &Р'^1. Пространство Р (|) можно описать
иначе. Пусть S A) — расслоение на Bп — 1)-мерные сферы, ассо-
ассоциированное с ?. На S{1) свободно действует группа U A).
Положим тогда Р E) = S (|) / U A). Без труда проверяется, что
оба определения Р (?) совпадают. Вторая конструкция обладает
тем достоинством, что с ее помощью на Р (?) очевидным образом

ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ 439
задается топология Если база X была клеточным пространством,
то на Р A) также можно задать структуру клеточного простран-
пространства (см. лемму 12.26).
Рассмотрим теперь индуцированное расслоение р'*Ъ, над Р (|).
Пусть к* — расслоение над Р (§), определяемое следующим
образом:
= {A, y)<=P(t)xE(l): ye/}.
Тогда существует мономорфизм расслоений ?^-ур'*Е; (заметим,
что если /: (С/)П~1->Р (|) — включение слоя, то /*Х| = у). Обоз-
Обозначим через Hi ортогональное дополнение к Я,| в р'*\. Тогда
р'*|~Х|фц.| и ji| является {У («— 1)-расслоением.
Из условий i), ii) на теорию когомологий h* вытекает, что
\\rv}h* (?/"') = 0. Поэтому, в силу предложения 7.66,
A* (OP») g^ \im°h* ССР") д^ A* (pt) [Ы\
где Хоо еА2(СРл) — такой однозначно определенный элемент, что
г*Хаз = хп для любого включения in: <1}Рп-*-§)Рх. Пусть /: Р {!•)-*¦
<tP™ — классифицирующее отображение для линейного расслое-
расслоения %ъ (напомним, что foP*"caBU (I) согласно п. 11.36). Если
/: (DP"~1-*-/) (E) — включение слоя, то f»jc^in-u и, значит,
j*f*xx = xn-i Положим
Тогда элементы 1, у, у2, ..., у"-1 из h* (P (|)) обладают тем
свойством, что множество {/*1, ]*у,..., j*y"-1} = {\, х„-ъ ..., x^zl]
образует базис h* (р1;)-модуля A* ((DP"-1). Следовательно, приме-
применяя теорему «Пере —Хирша 15.47 к расслоению СЯ'!~1-^/> (%)-*-Xt
мы находим, что А* (Р (?)) является свободным А* (Х)-модулем
с базисом {1, у, у2, ..., у"-1}.
Начнем теперь доказывать теорему 16.2. Прежде всего уста-
установим единственность классов с0 (|), С\ (|), ..., с„ (I). Так как
i*Y == v на СР'1 (символом у обозначается также и О (^-расслое-
(^-расслоение Хопфа над С-Р00), то в силу свойств а) и с) мы имеем
!* (Ci (V)) = С\ AпУ) = С, (у) = Хл, П ^Э 1.
С другой стороны, Хоз является единственным элементом, для
которого выполняются равенства i'n{xca) = xn, n^l. Следова-
Следовательно,
Любое С/A)-расслоение |-»-Х классифицируется отображе-
отображением fi'. Л-э-С-Р^- Поэтому, согласно а),
ci (I) = с, (/|Т) = /? fc, (v)) = ff (**),
откуда вытекает, что для любого U A)-расслоения | класс С] A)
определен однозначно.

440 ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
Предположим теперь, что единственность доказана для всех
V (п — 1)-расслоений, и пусть \ -*• X — некоторое U (п)-расслоение.
Тогда над Р(I) имеет место равенство р'*1 — \фц^ и сх(Х,|) =
/* (#<»)• Таким образом, мы имеем
р'* (с,- F)) = с, (//• (?)) = с, (Ц 0 цг) =
) + (Я) ) С,-
Но классы сДщ) и Сы(^|) однозначно определены по предполо-
предположению индукции. Следовательно, однозначно определен класс
р'* (с/ (!))¦ Так как по теореме Лере —Хирша гомоморфизм
р'*: h*(X)-+h*{P(l))
является мономорфизмом (р'* (х) = р'* (х)-1 =х-1), то и класс
?< (?) также определен однозначно.
Докажем теперь существование классов с0 (|), сх E), ..., сп (|).
Пусть 5 — некоторое U (п)-расслоение. Мы видели, что элементы
1, у, ..., уп~г образуют базис h* (Х)-модуля h* (P (?)). Следова-
Следовательно, у" представляется в виде линейной комбинации
уп = (_ 1 у»1ся (I) . 1+ (— 1 )«С„-1 (I) ¦ У + • • • + С! (I) • I/"
с подходящими коэффициентами Ci A), ..., сп (|) е Л* (X). Таким
образом, мы имеем
где, по определению, со(?) = 1-
Свойство Ь) следует из этого определения. Для доказатель-
доказательства свойства а) нужно, прежде всего, проверить, что Р (/*|) с^
/•/>(?). h'(l)^l*K где/: /*Р (g)->/>(!)-отображение, накры-
накрывающее /, и что /* (у|) = «/f»|. Все это немедленно получается
из соответствующих определений и конструкций. Далее,
o=/-
(- 1)' f* to №)) ^* Ы"-1 = S (-1)' f* (с,
Но, с другой стороны, существуют такие однозначно определен-
определенные элементы с* (/*!), что
1-0
Следовательно,
f*(ct(l))=ct{f*l),

ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ 441
Для доказательства свойства с) достаточно заметить лишь, что-
Р (у) = €РП и Ху = у, г/у = х„, откуда d (у) = х„.
Переходим к доказательству свойства d). Пусть ? и ^ — соот-
соответственно U (т)- и U (и)-расслоения над X. Тогда Р (?) и Р {г\)
являются подпространствами в Р(%@г\)- Положим U — Р (%фг))—
Р{ц), V =РA@г\) — РA). Без труда проверяется, что Р (?)
является сильным деформационным ретрактом для U, Р (ц) —
сильным деформационным ретрактом для V и U \JV = P (?)
Рассмотрим в h* (P (I ф т))) элементы
/•=0
где y = Ci(%^Q^. Поскольку xi\P(%) = 0, то X!|t/ = 0. Анало-
Аналогично, так как х2 \Р (г\) = 0, то х% \ V = 0. Следовательно, суще-
существуют такие элементы xj е Л* (Р (| ф t)), f/), x't е Л* (Р (| ф т]),
V), что
где
iv- (P(l®i\), Ф)-*(РA®Ч), V)
— вложения пар. Но тогда
и поэтому
*i ¦ х2 = /^х; • /*xi=/* (*; • 4)=о.
Таким образом,
) (-l)'c,
-o / \/-o
G другой стороны, по определению, существуют и единиьенны
такие элементы cfe(|0Ti), что
6= 2 (— 1)*сн4у>'|)Г+Я1-*'

442 ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
Следовательно,
Аналогичные результаты имеют место для вещественных и
симплектических расслоений.
16.3. Теорема. Пусть h* — такая мультипликативная тео-
теория когомологий, что для каждого п ^ 1 существует элемент
xn^hl(UPn), удовлетворяющий следующим условиям:
I) h* (R/>») = A* (pt)[xB] / D+|);
ii) ^Xn+i — x,,, где i: RPn -*¦ RP4+1 — естественное включение.
Тогда для каждого О (п)-расслоения ? над клеточным про-
пространством X существуют и единственны элементы wt (\) e h'(X),
Os?is?=fi, зависящие лииш от класса изоморфизма расслоения ? и
обладающие следующими свойствами:
a) wt(f* {\)) — f* {Wi(D) для любого отображения /: Y->X;
b) щ>A) = и
c) если <u-*-RPn — вещественное линейное расслоение Хопфа
над UP", то wf((o) = xn;
d) а»*(Бел)= Е o»i (Б) а»у (Л)-
16.4. Аналогично, если Л* (H/>") = /z* (pt) fjcj/ D+1) для
некоторых классов х„ е Л4 (V.Pn), то для любого 5/?(«)-расслоения
§ определены характеристические классы pt (|) е Л4' (X), причем
р,(р) = ^ч для 5рA)-расслоения Хопфа р-^НЯ".
Замечание Формально определим полный класс с(?), по-
полагая с(|) = 1 + С\(Е) + с2A)+ ... Тогда формула Картона 16.2, d)
может быть переписана в виде
Аналогично, для w&) = I +Wi (|) + О'г(|)+ ••• мы имеем
йу (Е © Л) = о-1 (?) ^ (!!)¦
Классы с (|) и ш (Е) (а также /г (|)) представляют собой чисто
формальную конструкцию, весьма удобную в конкретных вычис-
вычислениях.
16.5. Примеры. В теореме 15.33 мы показали, что
Я* (СРЛ; Z) ?S Z
Кроме voro, классы Эйлера для разных (DP" согласованы в том
смысле, что для естественного включения i: СЯ"->СЯ'г+1 имеем
i*en+i — i* a\ A) = d2 (»* П = d2 A) = еп. Аналогично,
Я* (ИРп: Z) ^ Z fe'l / (е"'+Ч, в' е Я4 (HP": Z),
Я* (RP"; Z.) ?ё Z21») / ^ау^1), ю е Я1 vk/3'. Z»).

ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ 443
Таким образом, мы получаем для U (я)-расслоений классы Чженн
с;(?)еЯ!/(Х; Z), дл-я Sp (я)- расслоен ий- классы Понтрягина
р,-(|) е Я4'(X; Z) и для О (л)-расслоений — классы Штифеля—
Уитни wt (Ъ) <= Н'{X; Z2)-
В частности, для универсального О (п)-расслоен и я со„-»-ВО (я)
можно рассмотреть универсальные классы Штифеля —Уитни wt =
Wi((on) g№ (BO(n); Z2), O^t^/г. Подобным образом опреде-
определены универсальные классы Чженя Ci = Ci(yn) e Я2' (BU (n); Z) и
универсальные классы Понтрягина р{ — pt (р„) е Я4' {BSp («); Z).
16.6. Характеристические классы оказываются полезными при
решении многих геометрических задач. Проиллюстрируем это
следующим простым примером. Пусть М" — дифференцируемое
многообразие, погруженное в евклидово пространство R"+*. Этому
погружению отвечает нормальное расслоение v*, удовлетворяющее
очевидному соотношению т" ф v*~en+*. Поскольку ш(кл+*) = 1, то
по формуле Картана получаем, что w (тч) w (v*) = 1. Следова-
Следовательно, класс w (v*) является формально обратным для класса w(xn).
Обычно класс w(xn\ обозначают через w(M") и называют классом
Штифеля —Уитни многообразия М". Класс w(vk) называется
дуальным классом Штифеля —Уитни многообразия М" и обозна-
обозначается w(M"). Заметим, что w,(M") = 0 для r>k.
Если многообразие М" может быть вложено в R"+fc, то в то же
пространство вкладывается и трубчатая окрестность М". Другими
словами, существует вложение D(v*)->R"+*. Прилежный читатель
может проверить, что если <e//*(D(v*), S(v*); Za) — класс Тома
и s: M"-+D(vk) — нулевое сечение, то s*j* (/) е Hk(Mn\ Zs)
является классом Эйлера e(v*) расслоения v* (см теорему 15.54
и далее). Таким образом, s*j* (t) = wh {Мп) (см. доказательство
теоремы 16.10). Мы имеем коммутативную диаграмму
где /: Mn -*¦ R"+* — вложение и /: D(v*)-^-R"+fc —его продолжение
на трубчатую окрестность. Гомоморфизм
f*: HkW»k, R«+ft-MM"); Z2)-+Hk(D(vk), 5(v*); Zt)
является изоморфизмом по аксиоме вырезания. Следовательно,
существует такой элемент

444 ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
что f*(t') = t, и поскольку /*1'еЯ*(К'н*; Z2) = 0, то
xibk (Мп) — s*j*t — s*j*f*t' — f*\*V = 0.
Таким образом, если многообразие М" может быть вложено в 03"+*,
то wr(Mn) — 0 для r^k.
16.7. Лемма. Пусть хп — касательное расслоение к RPn и
<о — линейное расслоение Хопфа над RPn. Тогда
где символом (п+1)(й обозначено расслоение й®и®..,фш
{п+\ раз).
Доказательство. Типичная точка расслоения (п-\-\)&
имеет вид ({*}, уох, ухх, ..., упх), где xeS", у0, У\ i/neR,
и через \х\ обозначен образ х в RPn. Зададим отображение
Ф: (п + 1) со-^т" 0 е1, полагая
Ф({х), Уох, yix, ..., упх) = ({х\, у-(ху)х, х-у),
где у — (уо, У\, ..., y,)eR"+1. Читатель сам без труда выпишет
отображение ф-1. П
16.8. Следствие. w(RPn) = {\ +x)n+1, гдеxe=Hl(RPn; Z2) —
1. ?
Доказательство.
и; (R/) = ш (хп) = w (тп © е1) =оу ((п+ 1) со) =
16.9. Предложение. Проективное пространство IRP"
дывается в R"+1 лишь тогда, когда п — 2г — \ для некоторого г,
а погружается в Rn+1 лишь тогда, когда п — 2г—\ или п = 2Г — 2.
Если п = 2г, то не существует ни погружения пространства RP"
в R2n~2, ни вложения его в К2"-1.
Доказательство. Как мы знаем, если RP" может быть
погружено в R"+1, то w(RP") = ] или й)(РЯп) = 1 -\-х. В первом
случае мы должны иметь A+х)"+1 = 1, откуда следует, что
п\-\—2г для некоторого г. Во втором случае A -\-x)'Hi = 1, т. е.
п + 2 = 2Г. При этом, если RPn вкладывается в Rn+1, то w (RPn) — 1.
Далее, если п = 2Г, то
w (RP^) = A + л:)-(л+11 = A + х)-п (
A + л:") - A + л: +. - - + л:я) = 1 + л: +... + л;"-1. ?
Замечание. Уитни показал, что любое n-мерное дифферен-
дифференцируемое многообразие может быть погружено в R2"-1 и вло-
вложено в R2).
1) Недавно Р. Коэн (см. [4*]) доказал гипотезу Масси о том, что любое
n-мерное многообразие погружается в R*"-'*"", где а (п)— число единиц
в двоичном разложении числа п.—Прим. ред.

ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ 445
F.10. Теорема.
Н*(В0(п); Zt)^Zi[wi. ву2, .... wn],
H*(BU(n); Z)^Z[cb с,, .... с„],
H*(BSp(n); Z)^
Доказательство. Покажем прежде всего, что
Bi'. BU (n—l)-*-BU (п) можно рассматривать как сферическое
расслоение для уп -v BU (n). Обозначим через EU (п) тотальное про-
пространство универсального главного U (п)-расслоения. В качестве
EU (п) может быть взято любое стягиваемое пространство, на
котором свободно действует группа U (п) (см. теорему 11.35).
Тогда BU (n)^EU (n)/U (n). Тотальное пространство сферического
расслоения уп представляется в виде Е (S (уп)) = EU (п) х и (л) S2"-1.
Оказывается, что можно построить гомеоморфизм
h: EU(n)/U(n-l)-^EU(n)xuln)S2'1-1.
В самом деле, пусть
g:
— отображение, задаваемое формулой g(e) = (e, s0), где s0 =
@, .... 0, l)eS2. Очевидно, что g(eA) = (eA, so) = (e, As0) =
(е, So) = g{e) для всех Де[/(п-1). Таким образом, g индуци-
индуцирует отображение
A: EU(ti)IU{n-\)^EU{n)Xu{n)S*n-1.
Построим обратное отображение А-1. С этой целью для данной
точки (е, s) e EU (n)xU{n) S2"-3 выберем такую матрицу А е U (п),
что Aso=s, и положим h-x(e, s) = \eA). Можно показать, что hrx
не зависит от выбора А и непрерывно. Следовательно, отобра-
отображение h является гомеоморфизмом. Поскольку EU («) — стягивае-
стягиваемое пространство со свободным действием группы U (п— 1), то
BU(n-l) = EU (n)/U (п - 1) ?*Е (S (уп))
и Ву есть в точности проекция Е (S (у„))->-В?/ (п).
Рассмотрим теперь точную последовательность Гизина сфери-
сферического расслоения S2n-1->Bt/ (n — 1)->-В?/ (п):
...-+Hm-l(BU{n-\)\ Z)~Hm-2"(BU(n); Z)e-^-
Hm(BU(n); Z)^Hm(BU(n-l); Z)-»-,
где e e #2" (BU (n); Z) — класс Эйлера. Предположим, что наша
теорема доказана для размерности п — 1 (для п = 1 она очевидна,
поскольку BU(\)~€Pm). Так как
Si* (с*) = Si* (с» (у„)) = ck (Bi*yn) = ck (у„-г) = ск
для всех O^k^cn— 1 и Bi* является гомоморфизмом колец, то
очевидно, что Si*—эпиморфизм. Следовательно, <р = 0, и гомо-

446 ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
морфизм умножения на класс Эйлера е является мономорфизмом.
Кроме того, kerBi* есть идеал, порожденный элементом е. Но,
с другой стороны,
fli* (с„) = Bt* (ся (?„)) = са (Bi*yn) = с„ (v«-i)-= О,
так что сп е kerfii* — (е). Пусть, для определенности, сп = осе, где
a^H°(BU (n); Z). Мы хотим показать, что а = ±1. Возьмем
X = (СР°° х... х СР°° (я множителей) и ^ухуХ-.-Ху. Пусть
/: X -*¦ Bf (л) — классифицирующее отображение для расслоения |.
Тогда полный класс Чженя с(%) равен
с(ухтх...ху) = ПA+^) =2 °;(#ь й» •••» #»)•
(=1 (=0
Здесь й = я?уеН!№ Z), я,: X-^CP — проекция на t-й мно-
множитель, и через о-, обозначен i-й элементарный симметрический
полином от переменных уг, уг, ..., уп. В частности, мы имеем
сп (I) = On (t/i. Уг Уп) = У1«/г • • • Уп- Но, с другой стороны,
сп (?) = /* (сп) = /* (о«) = «/* (^). откуда следует, что коэффициент а
обязан быть равным ±1. (Так как Я* (X; Z) = Z[#i, Уг, ...,//Л
и f*{e)=yi...yn.)
Доказательства для пространств ВО (я) и BSp (n) полностью
аналогичны. ?
16.11. Следствие.
Н* (ВО; Zy=*Zi[Wb wt, ...],
H*(BU; Z)^Z[ci, с„ ...],
Доказательство. Так как все гомоморфизмы Bi* сюръек-
тивны, то Mm1 H* (ВО (п); Хг) — 0. Следовательно,
Н*(В0; Хг)
Два других изоморфизма доказываются аналогично. ?
Пусть Х = СЯоохС/эоох...хС/э0° —то же пространство, что
в доказательстве теоремы 16.10. В алгебре Я* (X; Z) =
2[Уи Уг, ¦¦¦, Уп] имеется подалгебра 5(уъ уг, ...,у„) симметриче-
симметрических полиномов. Как известно из курса алгебры, S (j/i, у2,..., уп) ^
Z[ab a2, ..., а„]. Для любой последовательности целых чисел
а = (аь а2, ..., ап) обозначим через са моном c"ic...c™". Тогда
в качестве следствия теоремы 16.10 мы получаем такое утверждение.
16.12. Предложение. са(?) = 0а"*...а"«.
Доказательство. Мы показали, что Ci(l) = at. Сле-
Следовательно,
=/*

ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ 447
16.13. Следствие. Пусть}: X-*¦ BU(л) — классифицирующее
отображение расслоения |. Тогда f индуцирует в когомологиях
мономорфизм
f*: H*(BU(n); Z)-+H*(X; Z),
образом которого является подалгебра S(уи Уъ •¦¦, Уп)-
Аналогичные результаты имеют место и для ВО (л), BSp(n).
Теперь мы хотим вычислить гомологии пространств ВО, BU
« BSp. Все они являются //-пространствами с умножениями,
индуцированными сложениями Уитни соответствующих расслое-
расслоений. .Следовательно, //„. (BU; Z) (и точно так же Н% {ВО; Zi),
Н* (BSp; Z)) является кольцом с умножением Понтрягина. Более
подробно, если Ф: BUxBU -+BU представляет собой Я-умноже-
ние в BU, то умножение в //„. (BU; Z) определяется как
композиция
Очевидно, что это умножение ассоциативно и градуированно
коммутативно, т. е. ab = (—l)a-b<ba.
Пусть i: 0A)^-0 —включение группы 0A) в прямой предел
O = dir НтО(я) и Bi: ВО A)-> ВО — индуцированное им отобра-
отображение классифицирующих пространств. Поскольку B0(l)c^RP°°,
то Я* (?0A); Ъг) имеет 22-базис 1, хи х«, ..., где хп — элемент,
двойственный к wf еЯ* (В0A); Z2)- Этим же символом хп обо-
обозначим элемент Bi^ (л:„) ей, E0; Z2)- Аналогично, мы имеем
в #„, (Б?/A); Z) базис 1, yit y%, ..., двойственный к |cj|, и эле-
элементы 1, уи уг, ...в Н*{В11; Z). Точно так же строятся эле-
элементы 1, 2Ь г2, ... из H^iBSp; Z)-
Кроме умножения Понтрягина в гомологиях #„. (ВО; Z2), ото-
отображение Ф индуцирует также коумножение
Н* (ВО; Z2) — H* (BOxBO; Z*)^#* (ВО; Zt)(g)z,H* {ВО; Z.),
которое мы будем обозначать через Ф*.
16.14. Предложение. Пусть Ф* (z) = ^lzi<S)z't, где ге
Н*(В0; 2л). Тогда
для любых расслоений ? и х\.
Доказательство. Пусть/1: X-± ВО (т) к g: Х-уВ0(п) —
классифицирующие отображения -расслоений с и tj. Тогда сумме
?©т) отвечает отображение umn*(fxg)'A, где
цтп: ВО (т) х ВО (п) -> ВО (т + п)

448 ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
— классифицирующее отображение для сотхсол. Следовательно,
A**(fxg)*.(BimxBin)*°<l>* (г)=>
Здесь мы использовали тот факт, что диаграмма
ВО(т) х ВО(п) -?=2-». ВО(т + и)
Bim х Bln Bi,
'ш+Я
Ф *
ВО х 50 *¦ ВО
гомотопически коммутативна. П
Для расслоения Хопфа co-vRP00 мы имеем
х\ о-(А),
О в противном случае.
Таким образом,
{wa, Х{) => (tw1*, Bi,,, (л:4)) = Ei* (кЛ), Xj) = (ы/х((п), Xf^ =
f (дс*, дс(), a = (k) (I, a = («),
\ 0 в противном случае \ 0 в противном случае.
Следовательно, элемент лг< двойствен к w^l) =w\ е=Я* (ВО; Z2)-
Из сказанного вытекает, что wa (со) может быть записан в виде
ш«(со)= У
Поскольку каждый элемент z s Я* (?0; Z2) является Z2-линей-
Z2-линейной комбинацией классов tw", то мы доказали, что
16.15. г(со)= 2 <z. ^»>^. ге=Я*(В0; Z2).
Пусть X = RP°°x ... xRP°° (я раз) и ?л = юх ... Хю, где
со -*¦ &Р°° — расслоение Хопфа.
16.16. Предложение. Для любого геЯ* (ВО; Za) имеет
место равенство
На)=п

ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ 449
где щ = п*х, щ: X -*¦ RP00 — проекция на i-й множитель, ха —
ХаХа.г---Ха.п « I (а.) — т, если а = (аь а2, ..., ат).
Доказательство. Будем доказывать предложение индук-
индукцией по п. Для га=1 это в точности равенство 16.15. Предполо-
Предположим, что указанное равенство верно для п —1, и пусть
(In) = z(?n-1Xco) = 21
2! f 2! <*.-' *J "X2• • • <я-\) i 2
/ \/(«) = л —1 I \/>0
/, ((о)=я-1 \ I
). D
16.17. Теорема.
Я, (ВО; Z«)^Z.[xi, xk,....],
Доказательство. Рассмотрим сначала точную последова-
последовательность Гизина сферического расслоения S2"-1->-B(/(n —1)-»-
ВУ (п):
— 1); Z)^-tfm-2(B?/(/i); Z)
Hm(BU(n);
С помощью двойной индукции пол и m нетрудно показать, что
группы Hm(BU (n); Z) конечно порождены для всех п, т (это
очевидно для Hm{BU (I); Z^tf^CP00; Z)). Из точности после-
последовательности универсальных коэффициентов
О-^Ext(H^iBUin)- Z), Z)^Hm(BU(n); Z)-+
Нот (Нт (ВU (n); Z), Z)-*-0
вытекает, что группы H*(BU(n); Z) не имеют кручения для всех
«S=l. Таким образом, все группы Hm(BU(n); Z) являются ко-
конечно порожденными свободными абелевыми группами, откуда
следует, что
Hm(BU(n); Z)^Hom(Hm(BU(n); Z), Z)
15 Роберт М. Свитцер

460 ' ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
И
Hm(BU(n); Z)^Нот(Hm(BU(n); Z), ZK*
Нот (Нт. (BU; Z), Z)
для всех п>т/2. В частности,
/; Z), Z).
Итак, Hm(BU\ Z) — конечно порожденная свободная абелева
группа и rkHm(BU; Z) = rkHm(BU; Z). Поэтому для доказа-
доказательства изоморфизма
//2, ..-]
достаточно показать, что мономы уа = y'f1... у^* аддитивно по-
порождают //* (Я?У; Z).
Предположим, что существует такой элемент геЯ* (fit/; Z),
что (г, уа) = 0 для всех г/*. Тогда для всех /г
/*fii* (г) = г (?„) = 2 <г, */"> "Г1 • • • <" = 0,
а
где /: С/300х...х(С/>С0-»-В(/(я) — классифицирующее отображение
расслоения |„ = 7Х...Ху- Согласно следствию 16.13 гомомор-
гомоморфизм /* является мономорфизмом. Следовательно, Bi%(z) = 0 для
всех п. Но это означает, что 2 = 0. Приведенные рассуждения
показывают, что мономы г/06 порождают #„. (BU; Zp). где р — простое
число и Zp —поле из р элементов. В случае же коэффициентов Z
мы пока знаем лишь, что для любого леЯ» (BU; Z) найдется
такое целое число п, что пх является линейной комбинацией
мономов у"-.
Пусть N = Z[xi, хг, ...], deg*i = 2i, и h: N-^H^BV; Z) —
гомоморфизм алгебр, задаваемый формулой h(Xi)=yh t'Ssl. Мы
установили, что
— изоморфизм для всех простых чисел р. Предположим, что для
некоторого xsjV существует простое р, делящее h(x). Тогда
A(x)(8)l=0e#t(fl?/; Z)(x)Zp, т.е. х (g) 1 = 0 е= iV ® Zp. Сле-
Следовательно, р | л:. Этим завершается доказательство изоморфизма
H^(BU\ Z)~Z[//i, Уг, ...] для классифицирующего простран-
пространства BU. Доказательства для пространств ВО и BSp аналогичны. ?
16.18. Зная Н^(В11\ Z), можно вычислить кольцо Н^(К; Z).
Согласно предложению 13.49
Нп(К\ Z)Q^dirlimtfn+29(B?/; Z),
о
где гомоморфизмы прямой системы имеют вид

ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ 451
Обозначим эти гомоморфизмы через В и выясним, как они дей-
действуют на H*{BU\ Z). Прежде всего установим, что В ofpa-
щаются в нуль на всех произведениях и, значит, требуется лишь
вычислить В (ук) для всех k. Согласно предложению 15.43 имеет
место коммутативная диаграмма
Hn+24+2(S2ABU;I) -^
Кроме того, поскольку изоморфизм периодичности Ботта
сохраняв! суммы, то умножению Ф на BU при отображении
В': BU -+-QIBU соответствует умножение пгФ на QIBU. Но со-
согласно предложению 2.24 Q2<? с точностью до гомотопии совпа-
совпадает с умножением петель }га. Следовательно, в силу коммута-
коммутативности упомянутой диаграммы нам достаточно показать лишь
то, что на произведениях обращается в нуль гомоморфизм гомо-
гомологической надстройки а'.
16.19. Предложение. Пусть ft* — произвольная неприведен-
ная мультипликативная теория гомологии. Тогда гомоморфизм
гомологической надстройки
о': hn(QY)-»hn+l(Y)
обращается в нуль на всех произведениях Понтрягина.
Доказательство. Пусть a eftp(QK), b ^hg(QY). Рассмот-
Рассмотрим диаграмму, изображенную на с. 452 (здесь fi': &YxPY-+PY —
очевидное отображение ц/ (ш, w) — (n*w). Согласно предложе-
предложению 7.10 найдутся такие элементы a' <~hp(QY), b' &hq(QY), что
Ua' = a, l*b' = b, p^a' = 0 = p^b' e/z* ({t/0j). Но тогда ab =
/A(a'x&')e/ip+?(QK,|(Oo)) = V,(SF). Так как x-(l<g)d) =
(—\)рд'Х, то эта диаграмма коммутативна с точностью до знака,
и мы имеем a' (ab) = р*а' X о' (Ь) = Ь. ?
Факторалгеброй Q(A) неразложимых элементов некоторой
пополненной алгебры А называется факторалгебра А/ф (А (х) А),
где Л = кег[е: A -*-R] — идеал пополнения и Ф: A (g) A ->- А — умно,
жение. Так как В: H^{BV; Z)^-H^.(BU; Z) обращается в нуль
на всех произведениях (заметим, что H^{BU\ Z) = H*(BU; Z)),
то мы можем рассматривать его как гомоморфизм
В: Qm(H*(BU; Z))-> Qm+4 (Я, {BU; Z)).
15*

452
ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
и
С!
С!
С!
С!
X
is
а
is"
a,
x
а
+
«,
-s;
X
a.
X
*
ft.

ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ 453
Двойственной к Q(H* (BU; Z)) является подгруппа Р (Я* (BU; Z))
примитивных элементов из Я* (BU; Z): отображение суммы Уитни
Ф: BUxBU -*-BU индуцирует коумножение
Я* (BU; Z) — H*(BUxBU; Z)9±H*(BU; Z)®H*(BU; Z),
и элемент л: е Я* (BU; Z) называется примитивным, если Ф* (х) =
1 ®х + х (g) 1. Группа Р (Я* (BU; Z)) двойственна к Q(Ht (BU; Z))
потому, что л: е Я* (BU; Z) примитивен тогда и только тогда, когда
(х, ab) = 0 для всех нетривиальных произведений ab e Я* EG; Z)-
Действительно, если ф*х = ^] ^г (8) *ь то
Можно дать другое описание группы Р (Я* (BU; Z)). Нестабиль
ной когомологической операцией называется естественное пре-
преобразование
где k* и k* — некоторые теории когомологий. Операция 9 назы-
называется аддитивной, если 9 (х-\-у) = 6(х) + 9(f/) Для всех к, y^kq{X).
Пусть С*—множество всех когомологических операций К°(—)->¦¦
Я* (—; Z) и А*аС* — подмножество аддитивных операций.
16.20. Предложение. Соответствие
a: C*->H*(BU; Z),
задаваемое формулой 61—»¦ 9 (у) (где у е [Б(У, BU] ^К° (ВU)) —
гомотопический класс отображения 1ви, являетвя биекцией и ото-
отображает А* на P(H*(BU; Z)).
Доказательство. Мы знаем, что К"(Х)о±[X, ВU]. Опре-
Определим отображение а-1, полагая
для всех [/]е|Х; BU], x<=H*(BU; Z). Это отображение инду-
индуцирует естественное преобразование
очевидным образом продолжающееся на К°(—). Без труда про-
проверяется, что отображение а-1 является обратным к а.
Пусть 8 е А *; тогда
W = Ь(Ф*у) = 6 (у х 1 + 1
6 (у х 1) + 9 A х у) = 6 М ® 1 + 1 (g) S (у),

454 • ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
т. е. элемент 9 (у) является примитивным. С другой стороны,
если х примитивен, то
а (*) ([/] + [g]) = а (х) [Ф -{fxg) ° Д] =
Д* . (fxg)* Ф* (х) = Д* • (f х g)* (xx 1 + 1 х х) =
f*x + g*x = or» (x) [f] + a-' (x) tgrj.
Таким образом, a-1 (ж) е Л*. D
Определим отображение
В: P"(H*(BU; Z))-+Pn-2(H*(BU\ Z))
требованием коммутативности для всех 8 s А* следующей диа-
диаграммы:
16.21. Предложение. Отображения В и В связаны формулой
(в, 5a) = (B6, a),
8е=Л*. ae=Qm{H*(
Доказательство.
<8E*v), a2a) =
a2a) = F(Y), 5*a2a) = ^0M. Ba). D
В силу естественности любой элемент 9 е А* полностью опре
деляется своим значением на универсальном линейном расслое-
расслоении Yi над BU (I). В самом деле, если задано произвольное рас-
расслоение | -*¦ X, то подобно тому, как это делалось в доказательстве
теоремы 16.2, можно найти такое отображение f: Y-+X, что /*?
является суммой линейных расслоений и/*: Н*(Х; %)-*-H*(Y; Z)—
мономорфизм. Но для любого линейного расслоения X-*-Y най-
найдется такое классифицирующее отображение g'. K->BL'A), что
X, = g*Y! и, следовательно, B(k) = Q(g*y1) = g*b (yt). Если 6 е А",
то 9 (yi) может быть произвольным элементом группы Hn(BU(I); Z).
Пусть Фг — такая однозначно определенная операция, что
фг(у1) = у'^H^iBUil); Z). Тогда мы имеем (ф', t/?> = 6J.
16.22. Предложение. Вфг = гфг~1, г> 1, и S^ = 0.

ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ 455
Доказательство. Рассмотрим следующую коммутативную
диаграмму:
R°(X) ^—> R°(S2bX) ¦— > K°(S2xX)
а'1
U2r(S2hX;T) > H2r(S2xX;l).
Пусть т] — расслоение Хопфа над S2^^1 и w = t] — l ^K°(S2).
Верхний горизонтальный гомоморфизм в диаграмме — это умно-
умножение на элемент w. Нижний горизонтальный гомоморфизм —это
умножение на образующую |-е№E2; Z). Положим X = BU(l)
и применим диаграмму к расслоению yt— 1. Тогда
V (Ч хYi - 1 XYi - Лх ! + 1 X 1) =
Если (i1: BU A)хBU (l)-+BU(D — классифицирующее отображе-
отображение для Yi^Yi и ^: S*-*-BU A) — классифицирующее отображение
для г], то расслоение г) х Yi классифицируется композицией
S2xBU(l)h-^ BU (\)x BU (\)^-BU (I).
Поскольку |i*# = г/ х 1 + 1 X«/, то
1) = ФГ ((Ах 1)* nfYi) = (hx 1)* tfp (Yl) =
(/гх 1)* (if (yr) = (hx 1)* (г/х 1 + Гху)Г =
Hog2 = 0, так что V(r\xyi) = I xy' + rgxtf-1. Аналогично,
Следовательно,
16.23. Следствие. Для любого k^l
By к = (k + 1) г/fc+i + {разложимые элементы].
Пусть //'"'¦ еЯ2/-г»(^; Z) — образ элемента yj^flv(BU; Z),
где ??/ рассматривается как 2/г-й член спектра /С, /seZ, /^1.

456 ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
Согласно следствию 16.23
У)' * = (/+ 1)У1,+1.
Другими словами, г/* = A//!)//* для всех fteZ, /5^1.
16.24. Следствие. Для любого neZ элементу* порождает
группу Нгп(К; Z)~(Q. Кроме того,
Я2„+1(/С; Z) = 0, n.eZ.
Если 5: я? (В?/, *) ->- я?+2 (В(У, *) — отображение периодичности
ng(BU, *)^ng+2(S2 /\BU, *)^ng»(BU, *)
и /ея8(В?/, *) — образующая (соответствующая элементу т]-1а
А:°E2)), то B(t*) = t9+1, ijeZ. Так как диаграмма
6
коммутативна и ft(i)= yu то по индукции получается, что
h it") = Л (&»-») = ВЛ (i*-1) = В ((</ - 1)! уд-!) = q\yq
по модулю разложимых элементов. Поскольку диаграмма
также коммутативна, то h {Щ = q\ y4q = yf. Но Л является гомомор-
гомоморфизмом колец (кольцевая структура задается отображением
К[\К-+К). Следовательно,
Таким образом, для всех q e Z мы имеем у* = (у})*.
16.25. Теорема. Кольцо Н*(К; Z) изоморфно кольцу
(Q [ы, м-1] конечных лорановских рядов над (Q от переменной и =
iris Я, (К; Z).
Аналогичным образом можно вычислить кольцо //„. (АО; Z),
используя тот факт, что каждый (8п + 4)-й член спектра /(О есть
BSp.

ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ 457
В главе 13 мы определили для произвольных кольцевых
спектров Е и F отображение Бордмана
В: F*(X)-+(Ef\F)*(X).
В частности, можно взять E = H(Z) и F = K- Рассмотрим
теперь кофунктор k* = Нот* (Я* (—; Z), H*(K\ Z)) (Нот^,)
означает группу гомоморфизмов степени г градуированных групп).
В действительности k* является теорией когомологий: точность
следует из теоремы 16.25 и того факта, что Нот(—; (Q) — теч-
ный кофунктор (см. [49], с. 125 русского издания). Более того,
k* даже удовлетворяет аксиомам суммы и слабой гомотопической
эквивалентности. Рассмотрим отображение
т: (H(Z)/\K)*-+k*,
определенное формулой
где /: X-+H(Z)/\K, g: S° -v Я (Z) Л Я — произвольные отобра-
отображения и цн: ЯB)Л#B)->Я^) — умножение в спектре Н (Z)-
Без труда проверяется, что т является естественным преобразо-
преобразованием теорий когомологий, индуцирующим изоморфизм для
X = 5°. Следовательно, т — естественная эквивалентность. Кроме
того, поскольку кофунктор Нот(—, (Q) точен, то Ext (A, (Q) = 0
для всех абелевых групп А. Таким образом, из теоремы об уни-
универсальных коэффициентах вытекает, что
П Я2-? (X; (Q), г четно,
'*°
\\ Я2?+1 (X; (Q), г нечетно.
Обозначим эти произведения через Hev (X; (Q) и Hod(X; (Q) соот-
соответственно. Композиция
H^iX; Z), Я„ (/С; Z))^H**(X; (Q)
обозначается через ch и называется характером Чженя. Для
любого пространства X характер Чженя является кольцевым
гомоморфизмом.
16.26. Предложение. Если у—расслоение Хопфа над (DP",
то
Доказательство. Если группа Я* (X; Z) свободна и
имеет конечный тип, то
Нот (Я, IX; Z), H.(K; Z))9^*(X

458 ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
и указанный изоморфизм (не канонически) определяется формулой
где ф <= Нот* (Я* (X; Z), //* (/С; Z)), {га} - некоторый базис
в Я* (X; Z) и {ха} — двойственный базис в Я* (X; "?)¦
Далее, если Х = С/>СП, то элемент у— 1 ^K°(BU(l)) пред-
представляется отображением BU A) cBU ->-/(, вкладывающим Bf/ A)
в fit/ и рассматривающим Б?/ как нулевой член спектра /С-
Таким образом,
Но //г = A/i!) и'. Следовательно,
Отождествляя [Н* (BU (\); Z) (g) Я* (/(; Z)]j с Д Я" (BU (I); (Q),
мы получаем желаемый результат. П
Для произвольного U (л)-расслоения \-*-Х характер Чженя
ch (|) вычисляется следующим образом Если \ — некоторое ^7A)-
расслоение и f: X-*-BU(l) — его классифицирующее отображе-
отображение, то
ch A) = ch (f*y) = /* ch (y) = /* (еУ) = с'*-1 =
ль
Если же 5 является U (л)-расслоением, то найдется такое ото-
отображение /: Y-*-X, что /*? расщепляется в сумму линейных
расслоений ^0^0...©^ и /*: Я* (X; Z)^H*(Y; Z) —
мономорфизм. Тогда
ch (Xi) + ... + ch (Я.) = eci^i) + ... + eci W.
Займемся теперь теорией классов Чженя в других теориях
когомологий. Для того чтобы выполнялись условия теоремы 16.2,
достаточно следующего предположения.
16.27. Пусть Е — кольцевой спектр. Существует элемент у е
Ё* (С-Р00), переходящий при вложении i: (DP1 ->¦ €Р°° в образую-
образующую i*y Ё* E°)-модуля ?*(С/31)^?*E2).
16.28. Примеры, i) Элемент г/еЯ2(СР°°; Z) из теоремы
16.10 удовлетворяет этому условию.
п) Если у -*¦ §)РХ — линейное расслоение Хопфа, то элемент
Y = y — 1 е R0 (С^00) удовлетворяет условию 16.27.

ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ 459
iii) Имеет место гомотопическая эквивалентность BU (l)~
В самом деле, сферическое расслоение, ассоциированное с yi->
BU A), является универсальным U A)-расслоением (U(l) = S1)
и, следовательно, стягиваемо. Таким образом, D(yi)-*-
D (Yi) / 5 (yi) = MUi — гомотопическая эквивалентность. Но
B?/ A). Значит, мы имеем отображение
где М @ — отображение спектров, индуцированное вложением
MUi в качестве второго члена спектра MU. Тогда элемент
y = [f]^MU2(<CPx) обладает свойством, сформулированным в
п. 16.27.
16.29. Предложение. Если Е—кольцевой спектр и эле-
элемент уЕ е Ё9 (СЯ°°) удовлетворяет условию 16.27, то ?1*(С/3")^
?*(pt)U/?]/(U/?)n+1) и ?• (С/>~)^Я* (pt)[feB]], adeE*(pt)[[yB]]-
кольцо формальных рядов над Е* (pt) от переменной уЕ.
(Ограничение элемента уЕ на СР" также будет обозначаться
через уЕ.)
Доказательство. Покажем, что спектральная последова-
последовательность
Н* (СРЛ; Ё* (S0)) => Ё* (СР")
тривиальна для всех п. Для п = 1 это очевидно, поскольку
в данном случае в члене ??* имеется лишь один ненулевой
столбец. Заметим, что
/72, я-ъ ф »((г;я»)) = ker [E"
ker [Ёч (СРЯ) -^ Я» (pt)] = Ё" CDP»),
так как одномерный остов (СР"I состоит из одной точки. Сле-
Следовательно, уЕ е/72- "~2. Обозначим через g образ элемента у
в ?1ю*~2сг ?"г' "~2 (это вложение имеет место потому, что ??'*=0
для р<1). Так как y<=Et"~2, то drg = O, r5г=2. Но d,
является дифференцированием, поэтому d, (#*) = 0 для всех
г^г2. Далее, поскольку элемент
2 2 Я9 E°))
обладает тем свойством, что его ограничение на Я2 ((DP1; E9~2(S0))
является образующей, то он обязан иметь вид у = иу, где «е
??-a(S0) — некоторый обратимый элемент, а //еЯ2(СР"; Z) —
такой же, как в примере 16.28, i). Таким образом, д, (г/J, ...,
(у)п образуют базис Ё* E°)-модуля El*, и так как дифференциал
dr является Ё* E°)-линейным, то dr = 0.
Поскольку все дифференциалы равны нулю, то Е** ~
Н* (СРЛ; Ё* (S0)) имеет Ё* E°)-базис {д, (yf, ..., (у)"} и, значит,

460 ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
является свободным Е* E°)-модулем. Следовательно, задача рас-
расширения
фивиальна, и мы получаем, что Ё* ((DP") является свободным
Ё* E°)-модулем с базисом {уЕ, (уЕ)г, ..., (ув)"\- А это эквива-
эквивалентно первому утверждению.
Далее, мы имеем Vim1 E* (<[)Р") = 0 и, стало быть,
Е* (fDP°=) ^ Urn0 E* CDP") ^ E* (pt) [[уЕ]\. П
Таким образом, существования лишь одного элемента уЕ е
Е* (ОЯ10), удовлетворяющего условию 16.27, достаточно, чтобы
гарантировать существование обобщенных классов Чженя.
16.30. Предложение. Пусть спектр Е и элемент уЕ
такие же, как выше. Тогда существуют и единственны такие
элементы р\ е= ?* (<DPn), 1 «сi ==gп, что ((у8)*, р\) = 6?, 1</<п,
l^k^n. Кроме того, элементы {рь р2, •-., Р„} образуют базис
?* (8°)-модуля Е^ (<DPn). Коумножение
®?.(Р.,Я* CD/),
индуцированное диагональным отображением Д: С/3"->-СЯ"х СЯ",
задается формулой
See эти утверждения остаются справедливыми и для п = оо.
Доказательство. Подобно тому, как мы определяли
внешние умножения в спектральных последовательностях, можно
определить умножение Кронекера, задающее спаривание между
спектральными последовательностями
Н*(Х; ?*E°))=>?*(Х) и Н,(Х; ?* E°)) => ?„ (X).
В члене ?2 оно совпадает с обычным умножением Кронекера
(,): Я* (X; Ё* E°)) (х) Я* (X; Ёт (S0)) ->?„ E").
Как было показано выше, ?* E°)-модуль Я* (СЯЛ; ?* (S0)) имеет
базис
{У, (У)\---, (У)"}-
Следовательно, Я,,. ССЯ17; ?* E°)) должен иметь дуальный базис
{Рь Р.. .... Р»}. Но тогда
(г, d%) = (d*. р«) = 0
для всех ге??*. Таким образом, drp; = O, г ^=2, lsSt^n, т. е.
спектральная последовательность снова тривиальна и элементы

ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ 46)
{Рь Рг, • • ¦, Рй} образуют базис ?„ E°)-модуля ?„ (СЯ"). Для
п = оо мы получаем, что Ё* (CP°°) = dir llmE* (§)Рп) есть, свобод-
свободный ?* E°)-модуль с базисом {рь р2, ...}• Коумножение г|з двой-
двойственно к ^-умножению в Е* (Ю^00), так что
случае. П
Рассмотрим в Е# (BU) образы элементов р;. Мы по-прежнему
будем обозначать их через Pi и, кроме того, будем считать,
что Ро = 1 •
16.31. Теорема.
, Р2, ..-],
причем коумножение if) задается формулой
*Pi= I]
Доказательство. При доказательстве предложения 16.29
мы получили, что элемент у е Я2 (С^00; ??~2(S0)) имеет вид
у = иу для некоторого обратимого м е ?7~2 E°). Таким образом,
элементы р;еЯ2!A!Г; Ёця-z) E°)) имеют вид Pi = «-'#,-. Но тогда
из теоремы 16.17 и теоремы об универсальных коэффициентах
следует, что мономы от переменных р,- образуют базис Ё% (pt)-MO-
дуля Я* (BU; Е% (pt)). Поскольку в спектральной последователь-
последовательности для (D/300 drP< = 0, то такие же равенства обязаны выполняться
и в спектральной последовательности для BU. Но dr являются
дифференцированиями, и поэтому dr = 0 на всех мономах от пере-
переменных Р;. А так как dr — гомоморфизмы Е* (р!)-модулей, то
dr = 0. Таким образом, спектральная последовательность
HJBU; E.(pt))=*Et(BU)
тривиальна, т. е.
?,(m/)^?,(pt)[p,, р2, ...].П
Пусть i: (D/31 -*- С^3" — естественное вложение. Хотя элемент
i* {уЕ) <= Ё* (&Р1) — Ё* (S2) может и не быть канонической обра-
образующей u e Ё2 (S2), он обязан иметь вид i*yE = «i2, где
и е?* (S0) — некоторый обратимый элемент.
Пусть X = (D/JO:)X(D/3COX...X(D/3CO (л множителей) и s, =ух
7Х...ху. Точно так же, как в предложении 16.16, мы полу-
получаем, что

462 ГЛ. И. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
для всех z<=?* (BU), где Ра = Р^Ра, ¦ • • Рап и щ = п?уЕ. Из утвер-
утверждений 16.2, с) и 16.2, d) следует, что
сп (In) = Сг (Y) X ex (Y) X. •.. XCi (y) = U~nulU2 ...«„.
Таким образом,
( и~п, а = A, 1, .... 1),
\ 0 в противном случае.
Другими словами, элементы ся двойственны к нлр?, «3si.
16.32. Теорема,
i) E*(BU (k)Jj^E* (pt)[[cx с*]];
Доказательство. Пусть ?^@), Ef (I) и ?;" B)-спект-
B)-спектральные последовательности
и
H*(BU; E* (pt)) =*E
Eprq B) = HomE.a(pn D. @), ?, (pt)>.
Умножение Кронекера определяет отображение спектральных
последовательностей
к:
По теореме об универсальных коэффициентах это отображение
является изоморфизмом на члене ?V Следовательно, к — изомор-
изоморфизм на Ег для всех г, а отсюда, в свою очередь, вытекает, что
« — изоморфизм на члене Е^. Таким образом, мы имеем комму-
коммутативную диаграмму с точными строками
0 -*¦ Е&'Ц)—1— > СиA)
0 -*-
где
GP* = coim [?"+? {X) -> Я? (Х?)] =
? (X) -

ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ 463
По индукции получаем, что
к: С* A) -v Нот^(р1) {Fpm @), Еш (pt))
— изоморфизм для всех р, q. Но Еп (BLD — linipGP- "—рA) и
Hom?.(pt) (?* (ви)> Е* (Р*)) = lim° Нотя7(Р« (Fp* (°). ^* (Р1))-
Таким образом, мы доказали, что
Е* (BU) ?* HomJ. lPt, (?„ (Bt/), ?, (pt)).
(Отметим, что это доказательство проходит для любого простран-
пространства X, обладающего следующими свойствами: гомологии
Н* (X; Е* (pt)) являются свободным Е* (р^-модулем и спектраль-
спектральная последовательность Н%(Х; Е# (pt)) =$ Е% (X) тривиальна.)
Пусть Д": ВU-+BUxBUx...xВU — отображение, задаваемое
формулой Д" (х) — (х, ..., х), и т — некоторый моном от перемен-
; п
ных pY Предположим, что
(Д")* (т) = 2 т«х ® ^а, ® • • • ® "h.n.
Тогда
(ctlctt...ctn, т) = (Д"*(С(.(?)с<а(х)...(?)с*л), т) =
Это выражение не зависит от спектра ? и, в частности, оно точно
такое же для спектра E=H(Z). Следовательно, член ?2 спект-
спектральной последовательности имеет Е* (pt)-6a3HC, состоящий из
мономов от переменных с,-, откуда и вытекает требуемый результат.
Спектральная последовательность H*(BU(k); E* (pt))=$E* (BU{k))
также тривиальна. ?
16.33. В частности, мы имеем
К* (BU)^К* (pt)[[Си С,, ...]],
Pi. •••].
t cf2, ...]
Классы Чженя cf,- были впервые описаны Коннером и Флой-
дом [42]; этим объясняется наше обозначение.
16.34. Соответствующие результаты имеют место также и для
пространств ВО и BSp. В частности, (Yi — 1)®(Г(у — 1) s
ffi ' где vi-*-54 = HP1 и у-* HP00-

464 ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
симплектические расслоения Хопфа, и элементы
г = [HP00 ~ MSPl -+ 24 MSp] е MSp4 (Н/П
удовлетворяют аналогу условия 16.27. Следовательно,
lt zt,...],
b Р2, ...]],
MSp* (BSp) =* УИ5р* (pt) [[pfr, pf2, ...]].
16.35. Возможности элемента уЕ этим еще не исчерпываются;
например, с его помощью вычисляется кольцо Е% (Mil). Но
прежде мы вычислим кольцо Н^ (MU; Z).
Так как ni(BJJ (n), *) = 0, л^=1, то универсальное расслое-
расслоение уп над BU (п) ориентируемо относительно любой теории
когомологий. В частности, для каждого п 5г 1 существует и един-
единствен класс Тома tn<= H2n(MUn; Z) с u(tn) = i2n eHin (S2«; Z)
и ti = y ^H2(MUi, Z). Для любого t/(л)-расслоения Е с класси-
классифицирующим отображением /: X-*-BU (n) мы получаем класс
Тома i© = M(/)*(Ue№"(M (|); Z). Этот класс удовлетворяет
условию естественности: ^(^*Е) = Af (g)* (t (H)) для любого отобра-
отображения g: Y-уХ, а также равенству ^ (| х т]) = i (I) Д ? (т)) (почему?).
Для всех п Эг 1 определены изоморфизмы Тома
Ф*: Hg^(MUn\ Z)-+Hg(BU(n); Z),
связанные друг с другом посредством коммутативной диаграммы
я+гп+2(Мип+1;1)
> Hq{BU{n+l);l).
В самом деле, если аей„(М[/л; Z), то
Ф^М (/„)„. о2 (а) = рл+1, (<Я+1^^И (/„), ог (а)) =
Р«+1* • D (/„), [Al (fe)* (W)^o2 (а)] =
in*°Pn* [t (e1 © Y*)™2 (я)] =
Таким образом, переходя к прямому пределу, мы получаем «ста-
«стабильный изоморфизм Тома»
Ф*: tf, (Ml/; Z)-+Ha(BU; Z), i/eZ.

ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ 465
16.36. Лемма. H*(MU\ Z) и Н\ (В U; Z) являются кольцами
Понтрягина, и Ф* — кольцевой гомоморфизм.
Доказательство. Нам нужно доказать коммутативность
диаграммы
® ^p+2« (MUm) —?-+
Hq{BU(n)) ® H,{BU(m)) —
»¦ #t+p+2n+2JMUn+m)
Но если иеЯ,(Л1(/л) и b^H^(MUm), то
*„„)» (а/\Ь))
X рт* (/т ^6)] = Ц™* (Ф# (а) X Ф* (Ь)). П
16.37. Теорема. H*(MU; Z)?eZ|>i, fe2, ...], ade Ф* (^)=^.
Пусть теперь /: (DP00 =^ Aff/ A) --^ 22Mt/ - отображение из
примера 16.28, ш).
16.38. Предложение. f% (г/,) = Ь,_1, i^l.
Доказательство. Рассмотрим коммутативную диаграмму
Hit-2(BU{\);Z) -^-> H2l.2(BU;l)
г - ?
¦Й21(СР*;2) ^=-> H
Вспоминая, что
находим
Ф* (#

466 ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
Но (yk, yr\yt) = (у**1, yt) = 8c+l, так что уг\у, = г/;_ь /^ 1. Отсюда
следует требуемый результат. ?
Аналогичные результаты справедливы и для спектров МО, MSp.
Вернемся теперь к элементу уЕ е Ё* (С^300)- Напомним, что
в Ё* E°) существует элемент и = иЕ, для которого /*г/я = «?i3 e
?* (€Рг) = Ё* (S2). Руководствуясь предложением 16.38, определим
элементы bf e E2-(MU), полагая
Множитель иЕ введен в определение для нормировки
()
16.39. Теорема. Е* (MU)^E, (S0)|bf, ftf, ...].
Доказательство. Совершенно так же, как в теореме 16.31,
находим, что мономы от переменных bf задают /^-(З^-базис
члена Е2 спектральной последовательности H^(MU; E^(S°))=^
E#(MU). Как и прежде,
drbf = uj# (uEf>M) = Ъ (d,«?Pi+1) = 0,
откуда вытекает, что dr = 0 для г ^2. Таким образом, спектраль-
спектральная последовательность Я* (MU; Ё% (S0)) => Е* (MU) тривиальна,
что и доказывает нашу теорему. D
16.40. Можно проверить, что все ?/(п)-расслоения ориентируемы
относительно Е. Прежде всего рассуждения, аналогичные исполь-
использованным при доказательстве теоремы 16.32, показывают, что
Е* (MU) ^ Horn!, (S«) (?* (MU), ?* E°)).
В частности, существует и единствен такой элемент t ^E°(MU),
что /A)=1 и t(m) = Q для всех других мономов т от перемен-
переменных bf. Для каждого п обозначим через
«вложение» MUn в 22л MU и возьмем
Для любого U (п)-расслоения \-*-Х с классифицирующим отобра-
отображением f: X-+BU(n) определим класс t(l), полагая
(ср. с п. 16.35). Мы хотим доказать, что t(E,) — класс Тома рас-
расслоения ?. Поскольку для любого &еХ имеет место коммута-
коммутативная диаграмма
¦h/ \Jf(h)

ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ 467
то для этого достаточно установить, что tn является классом
Тома расслоения уп, или, эквивалентно, что i* (tn) s Ё2п (S2r)
является образующей модуля Е* (S2'). Рассмотрим еще одну ком-
коммутативную диаграмму
I2" MU
'Mitt
мип,
в которой е' = ел_! • 52ея_2¦>...» 52л~4е1. Из коммутативности этой
диаграммы следует, что
in)* o*« (t) = o-^hfM (h)
Если обозначить через gin s ?2^ (S2") каноническую образующую,
представляемую отображением i? Д 1: 5°Д52''-»-?'Д52'!, то
, gta) =
Таким образом, i*(n является образующей модуля Е* (Sin). Следо-
Следовательно, мы имеем изоморфизмы Тома
Ф*: Е
Проводя теперь рассуждения из предложения 16.38 в обратном
порядке, нетрудно убедиться, что
Предостережение. Было бы заманчивым предположить,
что Е* (MU) ^ Ё* E°) [[с[, с'ъ ...]] для с\ = Ф* (с;). Но это неверно:
Е* (МU) вообще не имеет никакой естественной кольцевой струк-
структуры. Разумеется, для Е = MU мы получаем умножение в
MU* (MU), задаваемое композицией отображений (см. главу 17),
однако и в этом случае Ф* не является гомоморфизмом колец:
композиция даже не коммутативна!
16.41. Аналогичные результаты имеют место и для спектров ВО
и BSp. Мы приведем здесь два частных примера:
KOSf(Si>){Z'u Z't, ...],

468 ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
16.42. Одним из наиболее значительных приложений характе-
характеристических классов является теория характеристических чисел
многообразий. Предположим, что нам задан некоторый класс
многообразий Мп, ориентированных относительно кольцевого
спектра (т. е. имеющих фундаментальный класс). Рассмотрим,
например, ^/-многообразия и спектр Е, удовлетворяющий усло-
условию 16.27. (Этого частного случая достаточно, чтобы продемон-
продемонстрировать общий метод.) Каждое ^/-многообразие М" может быть
вложено в сферу 5"2* для достаточно большого k, и нормальное
расслоение v* этого вложения наделяется U (&)-структурой. Пусть
/: M'-^BU (k) — классифицирующее отображение для расслое-
расслоения v*. Тогда можно рассмотреть характеристические классы
г (v*) =/* (z) ge Е* (Мп), z<=E* (BU (k)), а также элементы z [ЛГ]=
(z(v*), омп) е ?* (pt), где амп — фундаментальный класс. Элемен-
Элементы zfM1] называются характеристическими числами многообра-
многообразия ЛГ. В дальнейшем мы увидим, что они зависят только от
класса бордантности [М'] многообразия Мп. Название «характе-
«характеристические числа» объясняется тем, что первоначально элементы
z[M'] определялись для спектра E — H(Z) и, следовательно,
лежали в группе Я * (pt; Z) = Z.
В частности, мы имеем обобщенные классы Чженя d e
Е* (BU (k)), I sgVsSi k. Поэтому для каждого монома са=:с.. ,cakk
определено число Чженя са[М"]. Часто используются и некоторые
другие полиномы sa (сь с2, ..., с*) от классов Чженя а, с2, ..., с*.
Характеристические числа можно рассматривать и с иной
точки зрения. Вспомним, чтй группа Q% унитарных бордизмов
изоморфна nn(MU), и мы имеем гомоморфизм Гуревича
h:
По теореме 16.39
Et(MU)^E.(S«)[bu Ьг, .-.],
так что для любого класса бордизмов
его образ при гомоморфизме Гуревича равен
h[Mn]=Ylnab\
а
где па е ?* E°) = Е# (pt). Здесь через Ьа обозначен моном
Ьа^Ь^2... barr, a = (ai, a2, ..., аг). Что можно сказать о коэффи-
коэффициентах п^? В следующем предложении мы установим, что
/ja = sa[M"], где элементы s2 e E* (BU) образуют базис, дуальный
к {u'^^czEiBUI) |!
Здесь через и обозначен элемент u?e?°(S°).— Прим ред.

ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ 469
16.43. Предложение. ПустьМ" — некотороеU-многообразие
и z&E*(BU). Тогда мы имеем z[Ma] = (z, Ф%1г[Мп]) и, следова-
следовательно,
h [Mn] = 2 s« Iм"]b* е Еп №)¦
а
Доказательство. Напомним конструкцию Понтрягина-
Тома 12.30, задающую изоморфизм Q^ ^ п* (MU). Пусть Мп
вложено в сферу 5Л+2* с трубчатой окрестностью N, которую мы
отождествляем с D(v). Обозначим через f: iW->St/(ft) класси-
классифицирующее отображение нормального расслоения v. Тогда имеет
место коммутативная диаграмма
*—+ En(BU(k)),
где р: Sn+2k -> M (v) —отображение, совпадающее на N = D(v-
с проекцией D(v)->-M(v) и переводящее Sni2k — N ь отмеченную-
точку * пространства Тома Af(v). Согласно лемме 14.40
где 1л+2а — образующая модуля En+ik (Sn+2>l). Так как [М"\ пред-
представляется в nn(MU) гомотопическим классом {[^(ft'p]}, то
h\Mn] = M(f)Sf°pif(inJr-ik), Следовательно, для любого г<=Е*{ВЩ
мы имеем
Таким образом, если /г [АГ] = 2 па^а. т0
г[Мп] = /г, Ф* /2 п«Ьа^\ = /г,
Взяв z = sY, мы получаем окончательно
sY [Мя] = 2 n« <sv "'|а"Ра> = nv п
а
16.44. Следствие. Характеристические числа U-многообра-
U-многообразия М" инвариантны относительно бордантности.
Это утверждение можно доказать и непосредственно, используя
лишь определения характеристического числа и бордизма.
Замечание. Характеристические классы z(v), конечно же,
не инвариантны относительно бордантности: таковыми они стано-

470 ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
вятся только после кронекеровского, умножения на ам. Из дока-
доказательства предложения 16.43 очевидно, что при этом мы имеем
в виду вполне определенный класс ам, а именно, Ф* (р„. (in+2'.)).
Можно показать, что Ф„. зависит от выбора класса Тома t, однако
становится фиксированным, коль скоро фиксируем универсальный
класс Тома t^E°{MU). В противоположность этому характери-
характеристические числа z[M"] определены лишь с точностью до обратимого
элемента из E°(S°).
Замечание. Нетрудно показать, что полиномы s^ описы-
описываются следующим образом: представим симметрический полином
? Х1Х2 ... ATa^c^+i... Ха2 . . ¦Хаг
в виде sa(ob o2 а„). Тогда sa = sa(cu c2 сп) (см. [48]).
Предложение 16.43 доставляет нам способ вычисления харак-
характеристических чисел /ifM"] для конкретных многообразий Мп.
16.45. Предложение. Для всех пЗ*0
= (fr-'-V ё Н2п (MU; Z) Ч,
где Ь = + +
Доказательство. Касательное расслоение т к комплекс-
комплексному проективному пространству С^л удовлетворяет соотношению
тф«1~(«+1)Y. гДе у~линейное расслоение Хопфа над С^"
(см. лемму 16.7). Кроме того, стабильное нормальное расслоение v
является противоположным к т, так что если х: BU-+BU —
операция перехода к стабильно противоположному расслоению
<?>—*• — |), то мы имеем
sy (v) = (x*sY) (т) = (X*sY) ((п + 1) у) =
Для того чтобы найти sY [&Pn], нужно взять (sY (v), о^п), но
Z). Таким образом, мы получаем
«+l
/sY. x* [ 2 у»))
\ a++ о л //
Мы оставляем читателю в качестве упражнения проверку того,
что X*(!+4'i + 4'2 + ---) = (l+4'i + 4'2 + ...)-1- Поэтому
1) Здесь b-i = (l+F! + Ь,+ ...))
6)з + Л й
)-» = l-(

ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ 47J
и, следовательно,
h Ц
поскольку {Ф*ва} является базисом, двойственным к \Ьа). О
16.46. Примеры.
Ь-в =1 — 2&! + • - -1 следовательно,
b-»=l-3&t + 6bi-3&, + ..., так что
Вообще,
Ф~п~1)ъп — — (п-\-\)Ьп-\-{разложимые члены}.
Аналогичные результаты имеют место и для других классиче-
классических групп G. Например, мы получаем
h \Wn\ = (а-"-1)» <= Нп (МО; Zi),
где а=1+а,+а2 + ... (Нш (МО; Z«)^[ ])
16.47. Зная структуру кольца Н% (BU; Z), можно доказать
с помощью теоремы 15.60 Бореля теорему 11.60 Ботта о перио-
периодичности для унитарной группы. Так как QUc^ZxQSU, то
достаточно показать, что BU c^QSU. Мы начнем с некоторых
геометрических конструкций.
В главе 11 мы определили пространство BU как BU —
U Bu (k), где
На самом деле, легко видеть, что пространство
I I и&п)
U U (л) х. U (п)
имеет тот же самый гомотопический тип, что и (J BU (k). Таким
образом, для наших целей можно взять
II и B«)
й LI U(n)xU(n) •
Мы считаем, что подгруппа U Bп) с: U Bп + 2) образована всеми
матрицами вида
/1 0 0^
о А о, • Ае=Щ2п).
\о о 1/

472 ГЛ. !6. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
Комплексное проективное пространствр <&Рп рассматривается как
4>акторпространство
U (n)xU A)'
Таким образом, если U (n -f-1) cr U Bп) — подгруппа матриц
(о D' а^^+^
то вложение индуцирует отображение
U(n+i) ln UBn)
U(n)xU (I) " U(n)xU(n) '
которое является классифицирующим для расслоения Хопфа уа
над С/3".
Определим теперь отображения
полагая
[ 0
Без труда проверяется коммутативность диаграмм
S'*CP" > SV{n+\) S'
i* П и гГ П
Следовательно, мы получаем такие отображения ft: Д
^¦: S1 ,\BU-+SU, для которых коммутативна диаграмма
Sf ^
Классифицирующее пространство В U является Я-пространством
относительно умножения, ассоциированного с суммой Уитни
комплексных векторных расслоений. Это умножение можно
описать следующим образом. Группа U действует на пространстве
(D00 = {(*!, кг, ...): ^е(С, <2з1, Xi=j?=0, лишь для
конечного числа индексов i}.

ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ 473
Группа U Bп) действует в подпространстве пространства С°°,
натянутом на 2п первых базисных векторов. Пусть
— отображение, задаваемое формулами
Д (б;, 0) = <?2,_i, Д @, е,) = вц, г^1.
Тогда можно определить отображение
\iin: U Bn)Xi/ Bn)^*-U Dn),
полагая \1ы(А, 5) = А'(А^В)- Д-1. Например,
/а О Ь 0\
Па Ь\ Ix y\\ 10 х 0 у
W\\c d)' [и vj) \c 0 d О
\0 и 0 vl
Отображение Цг« индуцирует отображение факторпространств
(по-прежнему обозначаемое через \12п)
„ . Щ2п) х UBn) U (An)
M'te" U(n)xU(n) U{n)xU(n) U Bл)х(/ Bп)'
Нетрудно убедиться, что имеют место коммутативные диаграммы
(я) х Щп) Х С/(и) х U(n) " UBn) х f/B«)t'
I g'n.n X ^я,1. ?2»,2Я
VDn)
-*¦
Щп) х t/(«) ?/(я) х Щп) Щ2п) х f/B«)
П Г)
Щ2п ¦ __^
1/(я + 1) х <7(я + 1) <7(п + 1) х J7(n + 1) Щ2п + 2) х 1/Bя + 2)
где
— отображение, сопряженное к gn<n. Следовательно, {ц24 опреде-
определяют отображение ц: BUxBU-*-BU, обладающее всеми свойствами
гомотопического умножения (ц2я: ?/Bл)х(/Bга)-»-?/Dл) гомотопно
в U Dл+ 4) вложению ft: f) Btt) х (/Bп)-»-L/Dп), использован-

474 ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
ному нами в п. 11.46). Кроме того, если задать в QSU структуру
Я-пространства с помощью умножения йщ то g'n, „, n&sl, опре-
определяют отображение Я-пространств
g': BU^QSU.
Пусть h': foP™-+QSU — отображение, сопряженное к h. Тогда
«меет место коммутативная диаграмма
Мы хотим показать, что g' — гомотопическая эквивалентность.
На группе SU можно задать структуру клеточного пространства.
Следовательно, в силу сформулированной в главе 9 теоремы
Милнора, QSU имеет гомотопический тип клеточного простран-
пространства. Поскольку no(BU, *) = Jii(fi?/, *) = no(QSU, щ) =
я.1 (QSU, co0) = 0, то достаточно доказать, что
g[: H*(BU; Z)-+H.(QSU; Z)
— изоморфизм. Отображение g't является гомоморфизмом колец
Лонтрягина и Hk(BU; Z)^Z[(/i, y-i, ...], где */; = /* (г/,), i^l,
я {Уъ у*, ¦¦¦} — базис в гомологиях Я* (С^°°; Z). Таким образом,
достаточно показать, что Я,. (QSU; Z) = Z[«/!, у'ч, ...], где
¦y'i=h't(yi). Отметим здесь следующее обстоятельство. Кольцевая
структура в Я* (QSU; Z) была определена с помощью умноже-
умножения Q\i, однако согласно предложению 2.25 она совпадает о
кольцевой структурой, индуцированной умножением петель в QSU.
16.48. Лемма. Отображение
(S^©/*1, S1A<D/>"-V-*i(S(/(n+l), SU (л)) — E2"+1, so)
индуцирует изоморфизм групп гомологии. Здесь п (А) = Аег s S2n+1
для А е5(/(п + 1).
Доказательство. Поскольку пространства
Хаусдорфовы и .компактны, то для доказательства леммы доста-
достаточно показать, что индуцированное отображение
51ДСР" <-,„.,
¦биективно. Другими словами, мы должны доказать, что
a) gn,i(t, A)(e1) = ei<=>t <= I или
A(U (п)х1)^;^

ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ 475
Ь) любой вектор и <= Сл+1, не равный еъ можно представить
в виде u=gn,i(t, A)et для некоторых <е/, /1е(/(я+1).
Для любого элемента /1е(У(п + 1) мы имеем
^ = аЛ (ел+1) + (с, —аА(еп+1)), а. = (еъ А (ея+1)).
Тогда Л (ел+1) J_ (ei — аЛ (en+i)) и, следовательно,
Таким образом,
gn,, (<, А) е, = G ^)
е-п"(е1-осЛ(е,+,))), или
16.49. gn,i(t, i4)e, = (J" ^)(е, + (е2я''-1)аЛ(еч+1I
Из этого равенства вытекает, что gn,i(t> A)ei — e\ тогда и только
тогда, когда t е / или Л (е„+|) J_ et, т. е.
Пусть н —единичный вектор и афе\. Тогда
>i, и) —I {и—eil \u—ex
если положить
Если u ^ ei, то также и
"' = (o" 5»/)«=^ei;
следовательно, найдется такой элемент Л е t/(n + 1), что
Таким образом,
и' = ег + [e2nit - 1) <еь Л (ел+1)> Л (е„+1),
т. е. в силу формулы 16.49
gn.i(U Л)е, = и. П
Обозначим через zi+i элемент a (yf) s Ягм EСЯ"-1; Z),
1 < i «S я — 1.
16.50. Теорема.

476 ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
где
= gn-i. I*
fe) е Я«-1 (SI/ (л); Z), 2 < * < л.
Доказательство. Будем доказывать теорему индукцией
по размерности л. Для л = 2 утверждение очевидно, поскольку
SU B) с* 53.
Рассмотрим расслоение 5t/ (n)->S?/ (л-f 1) -^S2"+1 и ассоции-
ассоциированную с ним точную последовательность Вана
...->Hn(SU(n); Z)±Hm(SU(n+l); Z) -*•
ff«_(to+i,(Sf/(n); Z)- — //„_, (St/(л); Z)->...
Но если в каком-то расслоении F—- E->-Sn пространство ? и слой F
являются Я-группами, а отображение i — отображением Я-групп,
то из определения гомоморфизма г|}
следует, что г|) (д; • /, (у)) = ^(х)-у для любых j;eWs (?), i/ей, (F).
Кроме того, в нашем случае
<ювпадает с краевым гомоморфизмом
л*: W2n+1Et/(n + l); Z)^W2n+1(S2"+1; H0(SU (n); Z)).
Поскольку л^ (A,n+i) = n# -grrt l* (zn+i)i то из леммы 16.48 вытекает,
что п!(;(Хл+1) = ±12л.,1еЯ2л+1E2'1+1; Z), т.е. ^(Хп+1) = ±1. Сле-
Следовательно, для любого ie//s (S?/ (n); Z) мы имеем
¦ф (Я,„+1 • I» (д;)) = ± х,
что доказывает эпиморфность гомоморфизма if. Таким образом,
мы получаем семейство коротких точных последовательностей
(л); Z)-*0.
Покажем теперь, что элементы Х2, ..., кп+1 являются простой
системой образующих алгебры Н% (SU(n-\-1); Z). Для любого
« еЯ, (SI* (л +1); Z) положим до = ф(ы); тогда
г|з (Х„+1 ¦ w) = 1|з (Хя+0 • w = ±1 ¦ да = ± г|; (а).
Следовательно, u + \n+i-w eimt,, и стало быть, элементы ш и
«ц:Хл+1 • ш являются линейными комбинациями мономов ^2^8...Хгпп-
Тот факт, что эти мономы линейно независимы, очевиден. ?
Рассмотрим теперь элементы y'i —g'n, u (У.) е Я2; (Q5f/ (л4-1); Z).
Поскольку
о' (у'д = о' (gn, 1* (уО) = gn. 1» (а (уО) = g4, I* (zm) = AI+l, j 3? 1,

ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ 477
то выполнены все условия теоремы Бореля 15.60. Таким образом,
мы получаем следующий результат.
16.51. Теорема H*(QSU (n + l)\ Z)9*Z[y't, у*..., у'п],
где
У'г = g'n, i* Ш е= Hv (QSU (я + 1); Z).
Из этой теоремы вытекает, в частности, что g'*: H^.(BU; Z)->
H%(QSU; Z) — изоморфизм и, значит, g': BU^-QSU — гомотопи-
гомотопическая эквивалентность.
Гомотопические эквивалентности ZxBO^.U*BSp и
Q*B0 строятся в три шага каждая:
ZxBSp~Q(U/Sp), U/Sp=*Q@/U), 0/UsxQSO.
Доказательство того, что каждое из этих шести отображений яв-
является гомотопической эквивалентностью, в принципе, проводится
так же, как выше. Однако в техническом отношении оно гораздо
сложнее, поскольку теперь нужно доказывать, что каждое из
отображений индуцирует изоморфизм гомологии с коэффициентами
в Zp для каждого простого р.
Приведенное выше доказательство гомотопической эквивалент-
эквивалентности ZxBU c~Q2BU принадлежит Картану и Муру [38], а также
Дайеру и Лашофу [32]. Достоинством этого доказательства является
тот факт, что оно использует технику и результаты, уже имею-
имеющиеся в нашем распоряжении. В то же время оно имеет сущест-
существенный недочет, состоящий в том, что вне рамок нашего рас-
рассмотрения осталась геометрическая природа изоморфизма K°(Sn)^
K°(Sn+2). Например, развитой нами техники недостаточно для
доказательства того, что изоморфизм периодичности —это умно-
умножение на {у— 1} е ^°E2) = ^(СР1)- Приходится сожалеть, что
принадлежащее Атье геометрическое доказательство теоремы пе-
периодичности по своей технике и используемому материалу выходит
за рамки настоящей книги. Рекомендуем читателю, желающему
познакомиться с этим доказательством, превосходную книжку
Атьи [16].
16.52. Упражнение, i) Для любого кольца R положим
/>,- = (— l)'c2i(<of(g)(D) ^ H4i(BSO(n); R), где со+-^В5О(п)-универ-
со+-^В5О(п)-универсальное 50 (и)трасслоение. Показать, что если 1/2 ^R, то
H*(BS0Br); R)^R[Pl, рг, ..., Рг.и е],
H*(BS0Br+l); R)^R[Pl, p2, .... рг],
где е —класс Эйлера расслоения со+. (Отметим, что е2 (<о+) ==¦ 0 для
нечетного п и е2(со+) = рг для п = 2г.)

478 ГЛ. 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
ii) Так как S0B)g^SU(l)g^S1, то #*ES0B); R) является
свободным R-модулем с базисом {1, уи у2, ...}, Hi e #2< (BSO B); R).
Показать, что если 1/2 е/? и Bi: BSO B) -** BSO — отображение,
индуцированное вложением, то Bi,. {t/ut+i) = 0 для fe^O и
Я* (S50; /?) ^ R [<7„ ?2, .. •], где д, = fli, (y2i) s //«(В50; /?).
16.53. Упражнение. Вычислить кольцо Н*(и(п); Z).
ССЫЛКИ НА ЛИТЕРАТУРУ
1. Адаме [7]. 6. Коннер, Флойд [42].
2. Атья [16]. 7. Люлевичус [48].
3. Борель, Хирцебрух [23]. 8. Мнлнор [56].
4. Ботт [24, 25]. 9. Стинрод [73].
5. Дайер, Лашоф [32]. 10. Хьюзмоллер [96],

ГЛАВА 17
КОГОМОЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
И ГОМОЛОГИЧЕСКИЕ КООПЕРАЦИИ
В главе 13 для произвольного кольцевого спектра Е мы по-
построили отображения Гуревича
Н: [X, Y] - Нотг< E§) (?„ (X), ?«, (Г))
и Бордмана
В: [X, Y]^Uoms.iSa){E*(Y), Ё* (X)).
Эти отображения можно рассматривать как средство, позволяю-
позволяющее переводить геометрические задачи (существование или несу-
несуществование отображений f: X -*¦ Y с заданными свойствами) на
алгебраический язык (существование или несуществование гомо-
гомоморфизмов Ё* E°)-модулей с заданными свойствами). Действи-
Действительно, для того чтобы показать, что не существует отображения
/: X-+Y с определенными свойствами, достаточно установить,
что гомоморфизмы /*: Е% (Х)-уЕ% {Y) с соответствующими свой-
свойствами не принадлежат образу im#. В связи с этим весьма полезно
очертить размеры образа im H.
Следующее простое наблюдение оказывается чрезвычайно пло-
плодотворным во многих областях алгебраической топологии. Для
любого кольцевого спектра Е функторы Е^ (—) принимают зна-
значение в категории &<ЛЕ градуированных Ё* E°)-модулей. Пред-
Предположим, что в действительности Еч (—) всегда принимает зна-
значения в некоторой меньшей категории S3 с $<>Мц. Тогда im H
лежит в Нот*(?#(Х), ?* (Y)) а Нотё>E0) (Е, (X), E,{Y)), где
через Нот,»(—, —) обозначены морфизмы в категории Si. Хо-
Хороший пример такой ситуации доставляет \j-умножение: если
Е — кольцевой спектр, то на ИР-Ж'' кофунктор Е* (—) принимает
значения не в 5><Лп, а в меньшей категории &оЛЕ градуирован-
градуированных алгебр над Ё* E°). Другими словами, если предполагается,
что гомоморфизм f*: Ё* (Y) -*¦ Е* (X) индуцирован отображением
f: X->-Y топологических пространств, то ему нужно быть коль-
кольцевым гомоморфизмом. Например, H*(S2xS3; Z) и H*(S2\JS3\/
55; Z) изоморфны как градуированные группы и не изоморфны
как кольца; поэтому не может существовать гомотопической экви-
эквивалентности S2xS3c^S2\/S3\JS\
Стинрод нашел такую градуированную алгебру А (р)* над Zp,
что группа Н* (X; Z,,) является градуированным А (р)*-модулем
для любого спектра X, а гомоморфизм/*: Н* {Y; Zp)-*-H* (X; Zp),

480 ГЛ. 17. ОПЕРАЦИИ И КООПЕРАЦИИ
индуцированный отображением /: X-*-Y, представляет собой гомо-
гомоморфизм градуированных А (р)*-модулёй. Таким образом, im В сг
Нотл<р)* (Я* (Y; Zp), Н* (X; Zp)). Как мы увидим, алгебра Стан-
рода А (р)* устроена довольно сложно и эта сложность затруд-
затрудняет работу с ней. С другой стороны, в сложности структуры
алгебры Стинрода заключены огромные достоинства: отнюдь не
любой гомоморфизм f*: H* (Y; Zp)~+H* (X; ZP) оказывается
Л(р)*-линейным и поэтому группа Ноти(Р)«(Я*(У; Zp), Н* (X; Zp))
зачастую очень мала. Неудивительно, что лишь после этого откры-
открытия Стинрода были доказаны многие теоремы несуществования,
долго не поддававшиеся решению иными средствами.
Для любых X и п произвольный однородный элемент 6 е А (р)9
мы можем рассматривать как гомоморфизм
6: НЦХ; ХР) + Н**ЦХ; ZP),
полагая Ь(х) = Ь-х, х^Нп(Х; Zp). В этом случае 8 называется
когомологической операцией степени q. Операции Стинрода обла-
обладают тем дополнительным свойством, что они коммутируют с над-
надстройкой:
6.<т = ст.б: Нп+ЦЪХ\ ZP)-+H"+<>(X; ZP).
17.1. Определение. Когомологической операцией типа (р, q)
в теории когомологий k* называется естественное преобразование
6: kp(—)-»-&'(—) кофункторов со значениями в категории мно-
множеств. Операция 6 называется аддитивной, если она представляет
собой естественное преобразование кофункторов со значениями
в категории групп. Стабильная когомологическая операция сте-
степени q — это такая последовательность когомологических опера-
операций 8": kn (—) ->fer-+» (—), п <= Z, что в".о = о• ел+1 для всех п е Z.
Обычно такую последовательность {6я} обозначают просто 6.
17.2. Обозначим через А (Е)9 множество всех стабильных кого-
когомологических операций степени q для теории когомологий Е* (—),
где Е — некоторый спектр. На множестве А (Е)я можно опреде-
определить операцию сложения +, полагая (б -j-Ф) (я) = 0 (х) + Ф (я) для
всех х<=Е*(Х) и любых пространств X* Операция сложения +
превращает А (Е)9 в абелеву группу. Композиция операций опре-
определяет спаривание
17.3. Лемма. Если 8 = {0Л}— стабильная когомологическая
операция, то каждая операция 8" аддитивна.
Доказательство. Мы имеем коммутативную диаграмму

ГЛ. 17. ОПЕРАЦИИ И КООПЕРАЦИИ 481
где |л': ИХ ^>-2Х\/2Х — коумножение на 2Х. Для заданных
х, у е Я" (X) положим л: = а (*'), У = о (у'). Согласно когомологи-
когомологическому варианту леммы 7,37
Поэтому
6 U + (/) = 6 (ох' + ау') = 9 о о. ji'* о {if, i*}-i (х', ;/) =
о-ц'* •{»*, *?}-1-(вхе)(х\ у') =
о F*' + 6i/) = box' + bay' = Qx + by. ?
17.4. Следствие. Композиция когомологических операций
билинейна и, следовательно, определяет гомоморфизм
Доказательство. В силу леммы 17.3
[6 • (Ф + ф)] (х) = б (ф (дс) + ф (х)) = бф (х) + в-ф (х).
Кроме того, по определению операции сложения
[F + Ф) • Ц>] (х) = 6ф (х) + Ф$ (х). П
Так как композиция когомологических операций очевидным
образом ассоциативна, то она превращает А (Е)* — 0 А (Е)9
о
в градуированное кольцо. В действительности А (Е)* является
градуированной алгеброй над Ё* E°), поскольку для любых
ге?* E°) и б е А (?)* мы можем определить гб как такую ста-
стабильную операцию, что
(г6)(х) = F (*))/¦
для всех х.
17.5. Теорема. Пусть умножение в Е* {Е) индуцировано ком-
композицией отображений: [f][g]=[2mf °g]дляf: Е-+-2пЕ, g: E->-2mE.
Тогда соответствие 6i—»-6([l?]), [If] ^E°{E), задает кольцевой
изоморфизм А(Е)* -*-?* (Е).
Доказательство. Обозначим через а отображение, зада
ваемое формулой аF) = 6[1Б]. Определим |S: E* (Е)-+А (?)*,
полагая (?>[f))[g] = [Zmhg] Для любых /: Е-+ЪпЕ, g: X->2mE.
Тогда
так что Р • а F) = 6 То, что а — кольцевой изоморфизм, очевидно. D
16 Роберт М. Свитцер

*82 ГЛ. 17. ОПЕРАЦИИ И КООПЕРАЦИИ
17.6. Примеры, i) Обозначим через А (р)* алгебру Стинрода
А(НBР))* Таким образом, А (р)*^Н* (Н (Zp); ZP) для каждого
простого р. Позже мы вычислим алгебру А B)*: используя спек-
спектральную последовательность Серра, мы найдем Я* (Н (Za, q)\ Ъг)
для всех q^ 1.
П) В алгебре А(К)* = К* (К) легко находятся две следующие
операции: 1 =?1 и ? -1 —операция, переводящая каждое виртуаль-
виртуальное расслоение в комплексно сопряженное с ним. Эти две опера-
операции порождают подгруппу ZOZ- Автору неизвестно, существуют
ли в К* (К) другие элементы1); если нет, то алгебра А (К)*
малоинтересна.
Итак, мы установили, что для любого пространства X группа
Е* {X) является модулем над алгеброй А (Е)* = Е* (?). Возникает
надежда, что для гомологии существует дуальная конструкция.
И в самом деле, в 1967 году Адаме нашел такую конструкцию
при некоторых дополнительных предположениях на Е. Не уди-
удивительно, что объектом, дуальным к Е* (Е), оказался Е* (?). Мы
снабдим объект Е% (Е) структурными отображениями, которые
превратят его в алгебру Хопфа (умножение в ней —это умноже-
умножение Понтрягина, индуцированное спариванием Е/\Е-+Е коль-
кольцевого спектра Е). Тогда для любого X группа Е# (X) превра-
превратится в комодуль над ?* (Е).
17.7. Определение. Модули над алгебрами можно описать
в терминах коммутативных диаграмм. Именно, пусть R — кольцо,
Л —алгебра над R с единицей т) Тогда А'-модулем называется
R-модуль М с заданным на нем А действием, т. е. таким гомо-
гомоморфизмом Фм: /4(g)M-vM, что диаграммы
А®М ¦¦+ М
Фы
коммутативны. Здесь ФА: Л(х) А-> А —гомоморфизм, задающий
умножение на А. (Заметим, что А является /4-модулем с /1-дей-
/1-действием Фа-)
Обращая в этом определении стрелки, мы приходим к поня-
понятию комодуля. Пусть С — коалгебра над R с пополнением е: С-*- R.
Тогда С-комодулем называется /?-модуль L с заданным на нем
С-кодействием, т. е. таким /^-гомоморфизмом -ф/.: L-^-C^L, что
1) Существуют, и много (несчетное множество); см. A*J и работу Adams
J. F., Clark P. W. Stable operations on complex K-teory. — Illionois Jour,
Math., 1977, 21, p. 826—829.— Пvum. ред.

ГЛ. 17. ОПЕРАЦИИ И КООПЕРАЦИИ 483
диаграммы
е <8> 1
коммутативны. Здесь фс — коумножение на С (Заметим, что ^с
является кодействием для С )_ Нетрудно определить аналоги этих
понятий для градуированных объектоь.
В дальней и ем нас будет интересовать случай R==E^.(S°) и
С = Е*(Е). Здесь стоит сделать следующее замечание. Группа
?* (Е) является левым ?„, E°)-модулем относительно обычного
действия
В то же время на ?„, (?) существует естественное правое дейст-
действие группы Ё* E°):
Следовательно, Е* (Е) является также правым Ё# E°)-модулем и
эти две модульные структуры, вообще говоря, различны. Таким
образом, Е^ (?) есть то, что называют бимодулем над Е^ E°).
Понятия коалгебры, алгебры Хопфа и т. д. для бимодуля фор-
формально выглядят так же, как и раньше; однако следует прояв-
проявлять осторожность, чтобы не смешать две различные модульные
структуры.
17.8. Теорема. Пусть Е —такой коммутативный кольцевой
спектр, что Et (E) = С является плоским правым модулем над
E^(S°) = R. Тогда существуют такие гомоморфизмы
ф: C<g)C-*C, e: C-+R,
i)L: R-^C, с: С-+С,
r]R: R-+C, г|)?: С-*С^С
и, кроме того, для каждого X существует такой гпмпмопфизм
q: Е(Х)+С®Е(Х)
что
О С является алгеброй Хопфа с коммутативным умножением Ф,
имеющим левую и правую единицы r\L, п.«. « с ассоциативным
коумножением г|>?, имеющим пополнение е;
И) если lei? и леС, то
ta = Ф (Щ М®х), хХ = Ф(х($ ifc (К));
16*

484 ГЛ. 17. ОПЕРАЦИИ И КООПЕРАЦИИ
ш) етц = 1 = ет1/?, cr\L = i\R, cx\R = ци ее = г, с2 = 1;
iv) ^eA) = 1®\, следовательно, г|5?тц (?*) = r)i M $ 1 и
1(х)Чг?(к) для всех Хе/?;
v) гомоморфизм \\>х естествен относительно отображений спект-
спектров Х\
vi) \fx является /содействием;
vii) если г|)Х (х) = ^e'ifgjxt и tyY (У) = % е1®У1для х> х' е Е* (х)>
i i
у, yt е ?» (К), е,', е' е С, то
viii) диаграмма
СС
(с ® с) о Г
С (8)Я С " С <8>д С
ix) диаграммы
С- e—
х) отображение \|)s°: ?* (S^-^C^^f* E°) совпадает с 4\L.
Доказательство. Как мы уже указывали, отображение Ф
является умножением Понтрягина в Е*(Е). Пусть i: S'^-f —
единица спектра Е и ^ — умножение в Е. Определим гомомор-
гомоморфизмы t)i, х)ц, е и с, полагая
с: П
Для любых спектров Л\ К определим гомоморфизм т как ком-
композицию
т:

ГЛ. 17. ОПЕРАЦИИ И КООПЕРАЦИИ 485
Если л^(Х/\Е) является плоским правым л*(?)-модулем, то
т — изоморфизм, как показано в теореме 13.75. В предположении,
что С есть плоский правый /^-модуль, гомоморфизм tyx можно
определить как композицию
Мы получим я()Я, просто взяв Х = Е. Доказательство свойств
i) — x) состоит в выписывании некоторого количества диаграмм
и в проверке того, что каждая из них коммутативна. Приведем
пример одной из диаграмм, необходимой для доказательства свой-
свойства vi):
(lAIAl),
I'
A Л I Л 1 Л 1)#
\
' (lAlAlAl), 2 ll®(lAlAl)«
(везде, где необходимо, подразумевается изоморфизм n*(Ef\X)^
п* {E/\S°f\X)). Квадрат / очевидно коммутативен, квадраты 2
и 3 коммутативны в силу естественности гомоморфизма т. Ком-
Коммутативность квадрата 4 легко выводится из ассоциативности
умножения т: Таким образом, (l(g)*pj{)'to = (il>?<g)l)-i|)x- Взяв
Х — Е, мы получаем ассоциативность умножения 1|з?, утверждае-
утверждаемую свойством i). ?
Замечание. Гомоморфизм с представляет собой автомор-
автоморфизм алгебры С, переводящий правое R-действие в левое и на-

486 ГЛ. 17. ОПЕРАЦИИ И КООПЕРАЦИИ
оборот. Следовательно, алгебра С является плоским правым
^-модулем тогда и только тогда, когда она является плоским
левым Я-модулем.
17.9. Примеры, i) Пусть E = H(ZP). Так как Zp = R — поле,
а алгебра //(Z,,)* (H(ZP)), оказывается, имеет конечный тип
(т. е. группа Нч (Н (Zp); Zp) конечно порождена для любого q),
то из теоремы об универсальных коэффициентах следует, что
А (р)* =Я (Zp)* (H (Zp)) двойственна (как векторное пространство
над Zp) алгебре Стинрода А (р)*. Структура алгебры А (р)„ была
вычислена Дж. Милнором. Он установил, что А (/з)„. является
тензорным произведением внешней алгебры и алгебры полиномов.
Естественно ожидать, что коумножение (которое двойственно
к умножению в А (р)*) должно быть устроено довольно сложно.
Мы опишем алгебры /4B)* и Л B)„. в главе 18.
ii) Ранее мы уже отмечали, что алгебра К* (К), возможно,
очень мала. Однако в дальнейшем мы вычислим алгебру К* (К)
и увидим, что она имеет очень богатую и полезную структуру.
Кроме того, мы вычислим также алгебру КО* (КО).
Hi) Разумеется, можно рассматривать MU + (MU) и MSp^ (MSp)
как модули над кольцами MU* (S0) и М§р* E°) соответственно.
Прежде чем начать вычисление различных примеров алгебры
А (Е)^, рассмотрим более подробно ее общие свойства. Это отно-
относится, в частности, к двойственности между А (Е)* и А (?)*.
Ранее мы показали, как наделить Е* (X) структурой левого
А (?)*-модуля. Однако и Е^ (X) также обладает естественной
структурой А (?)*-модуля: если элемент и е?\, (X) представляется
отображением /: Sn-+E/\X и а^.Ет(Е) представляется отобра-
отображением g: ?->-2m.E', то аи — это элемент из Еп.т(Х), представ-
представляемый композицией
17.10. Предложение. Пусть as=A(E)*, и^Е^(Х) и
= '?ei<Sui<=C<g!E*(X). Тогда
i
>
Доказательство. Имеет место коммутативная диаграмма
а
т

ГЛ. 17. ОПЕРАЦИИ И КООПЕРАЦИИ 487
гомоморфизм а в которой определяется формулой a(e(g)u) =
(а, се) и. Доказательство того факта, что нижний четырехуголь-
четырехугольник коммутативен, заключается в вычислении отображения, зада-
задаваемого композицией (цД \)*°а'in(e'S)u), и в сравнении его с опре-
определением (а, се) и. Предложение немедленно следует из комму-
коммутативности диаграммы. ?
В том случае, когда элемент ге?* (X) полностью определяется
значениями (г, и) для всех «e?t(X), разумно определить дей-
действие алгебры А (Е)* на Е* (X) в терминах гомоморфизма tyx-
17.11. Предложение. Пусть a e <4 (?)*, у<=Е*(Х),
(ay, И) = 2 (—П'1"''''-(а, е,(у. и,».
i
Выражение в правой части этого равенства имеет смысл, поскольку
?,- е ?* (Е), а (у, щ) принадлежит кольцу ?„ E°), которое дейст-
действует справа на Е* (Е).
Доказательство. Для любого спектра F определим гомо-
гомоморфизм у%: n^(Ff\X)-^n^(FД?) следующим образом. Предпо-
Предположим, что у^Е*(Х) представляется отображением g: X-^ZPE
и что /: Sr-*-Ff\X задает некоторый элемент из л„, (F/\X). Пусть
У* ([/]) ~ класс композиции
Sr-P^z-pSr *-^l2-PF/\X~F/\Ъ-?Х х-^^F[\E.
Тогда нетрудно проверить, что (ау, и) = (а, у+и) для as E* (E),
Е(Х) Рассмотрим теперь коммутативную диаграмму
—— «¦ п,(ЕлЕ)
AЛ1Л1)«
У*
кЛ) -
т
гомоморфизм р в которой определяется формулой
Р (в (8) и) = (—1I* -->е<м, и), где ее?,(?), ие
Предложение следует из коммутативности этой диаграммы. ?
И, наконец, переходя к конкретным вычислениям, выясним,
как влияют описанные выше структуры на гомоморфизм Гуре-
вича. Имеем
ft: [X, К]-

488 ГЛ. 17. ОПЕРАЦИИ И КООПЕРАЦИИ
где через Нотс(Л1, L) обозначено множество гомоморфизмов
ф: M-+L комоду лей над коалгеброй С. В частности, для X = E(S")
мы имеем
h: nn(Y) = \S\ Y)-+HomE.iEl(E*(Sn), Et(Y)).
Пусть теперь ф: M-+-L— такой гомоморфизм градуированных
групп, модулей и т. д., что Ф(/И,,) с LA+d для всех ^eZ. Тогда
говорят, что Ф имеет степень d. Запись НотА(М, L) означает,
что мы рассматриваем гомоморфизмы степени 0. Обозначим через
Hoin^, (M, L) группу гомоморфизмов степени d. Композиция с ите-
итерированной надстройкой ап: Er(S°)~*~ Er+n(Sn) позволяет рассмат-
рассматривать h как гомоморфизм
h: nn(Y)-+HomEt{E)(E*(S°), Et(Y)).
17.12. Определение. Пусть С —алгебра Хопфа над коль
цом R с единицей 1 и М — комоду ль над С с кЪдействием Фм: М ->
C(g)flM. Элемент те/И называется примитивным, если Фм(т) =
1 (g)m. Множество Р (М) всех примитивных элементоь образует
подгруппу в М (которая не является /^-подмодулем, за исключе-
исключением того случая, когда левое и правое ^-действия в бимодуле С
совпадают).
17.13. Лемма. Существует изоморфизм
к: Нот?(/?, М)-+Рп(М),
задаваемый формулой к F) = 6A), 6eHom?(/?, M).
Доказательство. Структура С-комодуля на кольце R за-
задается с помощью гомоморфизма цьш. R-*- С с^ С ®rR, переводя-
переводящего элемент r^R р г- 1 (=л • 1 (g) 1). Тот факт, что 8: R -> М
является С-гомоморфизмом, означает коммутативность диаграммы
Фм
!
Таким образом, <*>л(kF)) = ^(8 A)) = A <g) 6) (тц A))= 1 (g) 6 A) =
10 к F). Другими словами, к F) ев Рп (М). Ясно, что отображе-
отображение /с —гомоморфизм.
Предположим теперь, что р^Рп(М), и пусть Ьр: R-+M опре-
определяется формулой ®р(г) — гр, r e R- Тогда для всех г ев/? мы
имеем
Фм°б„(г) — Фм(гр)=:ГФм(Р):=:(Фм — отображение ^-модулей)
г ¦ 1 (g) в, 0) = A (g) в,) (г • 1 (g) 1) = A (g) в,) (тц (г)).

ГЛ. 17. ОПЕРАЦИИ И КООПЕРАЦИИ 48Э
Следовательно, 6peHom?(/?, M) и поэтому к(Вр) = р. С другой
стороны, если элементы 9, 6' eHom? (R, М) таковы, что /с(9)=/с(8'),
то 9A) = б'A). Значит, для всех г <= R мы имеем 8 (г) = 9 (г ¦ 1) =
г6A) = г6'A) = 6'(г- 1) = 6'(г), т.е. 9 = 6'. Таким образом, к —изо-
—изоморфизм. ?
17.14. Следствие. Пусть Е — такой кольцевой спектр, что
Е* (Е) — плоский модуль над Ё^ (S0). Тогда образ гомоморфизма
Гурсвича h: n^(X)-^E^(X) содержится в группе Р{Е^(Х)) эле-
элементов из ?„. (X), примитивных относительно Е* (Е)-кодействия.
Во многих важных случаях группа РЕ% (X) вычисляется без
особого труда, что позволяет оценить группу imft.
17.15. Среди всех алгебр Хопфа Е% (Е) простейшей для вычис-
вычисления (с точки зрения развитой нами техники) является алгебра
ЛШ,(ЛШ).
17.16. Теорема. MU* (MU)^MU* E°)[Pi, pi, ...J, где1)
QtiW^fii^MUtiBU) и стандартное отображение f: (СЯ00^
M'Ui -^ Z2MU переводит рг в р;_ „ i ^ 1. Если р' = 1 + PI + P-j + • • •.
то коумножение задается формулой
1 + /=*
Антиавтоморфизм с определяется как сф'к)=т1„ где х =
формальный степенной ряд, обратный ряду ы= ^j P***+1« Попол-
«енме е задается правилом
еA) = 1, e(pJ) = O, /Ssl.
Гомоморфизм Tji определяется формулой
x\L {а) = а ¦ 1
^)
Доказательство. Первые два утверждения — это в точ-
точности теорема 16.39. Отображения
т|Л: ЛШ —5° Д Ми^-± MU Д
и
тц: лк; ~ Mi/ д 5°1/^ ми д
индуцируют естественные преобразования
л*, 4L- лн/,(-)->(лшллшы-)
и
>) См. предложение 16.30.—Прим. ред.

490 ГЛ. 17. ОПЕРАЦИИ И КООПЕРАЦИИ
На самом деле, Tjr — это отображение Бордмана, следовательно,
как и в пп. 13.77 и далее, мы имеем коммутативную диаграмму
MU*(X) -^-* {MUbMU)*(X)
\ А
Пусть X = СР°° и
У* = % (У), yL = r\L(y)eE(MU /\M U)*
Р? = ти (Р,-), Pf = iu (Pi) e (М(У Д
Равенство /* (P,) = Pi_i, t^l, можно интерпретировать как
17.17. y« = T)R[/]=V;
Созводя A7.17) в fe-ю степень, мы найдем, что
@*)*= 2 (R«-*,U/L)'-
Г0М0М0рфиЗМ lJ3cpoo — ЭТО КОМПОЗИЦИЯ
— (MU~]\~MUU
, {Mil) ®Mt>. (
Предположим, что 1(зСрсс (Р,) = ^] B^/i^P/, / ^ 1, для некоторых
коэффициентов S'_/ e MUt{i-j) (MU). Формула для г|^я°° ф^ экви-
эквивалентна равенству
Взяв произведение Кронекера, мы получим
Таким образом, грср°° (Pi) = 2 (P')j(i_/) ® Py- Применяя к этому
/ = о
равенству гомоморфизм 1 'Я)/* и используя естественность кодей-
') Здесь через у обозначен гомологический класс [/]; см. пп. 16. 27 —16.30.—
Прим. ред

ГЛ. 17. ОПЕРАЦИИ И КООПЕРАЦИИ 491
ствия ifx. мы находим, что
Нетрудно проверить, что полученная формула эквивалентна фор-
формуле для трми в утверждении теоремы.
Так как т° т]^ = т)^, то применяя антиавтоморфизм с к фор-
формуле 17.17, мы получим
С другой стороны, по определению элементов /п,- мы имеем
yL— 2 m:(yR)i+1. Следовательно, c(PJ) = m,- для t^O.
Легко видеть, что для любого хе MU* (MU) справедливо
равенство е(*) = A, х). Но
Таким образом, e(p|) = O, i^l. Формула для гомоморфизма щ
очевидна.П
Замечание 1. Формула для цр очень сложна. Интересую-
Интересующийся читатель может найти ее в [7].
Замечание 2. Так как элементы n%i определяются чисто
формально, то для их вычисления применяются стандартные мани-
манипуляции с формальными рядами. Предлагаем читателю доказать
в качестве упражнения следующее соотношение:
Например,
Алгебра когомологических операций A (MU)* = MU* (MU) была
вычислена Новиковым [63] и Ландвебером [44]. Простое изложе-
изложение этих результатов можно найти также в [5].
Для спектра MSp имеет место, аналогичный результат.
17.18. Теорема. MSp* (MSp)Оё AfSp» E°)[а'и а'^ ...], где
Ф* (о^) = а,-. Стандартное отображение g, задающее г1), удовлет-
удовлетворяет условию g% (a<) = a|-j, i^l. Если a'= l-\-a'i-{-a'i-{-..., то
t + / = *¦
1) Элемент г определен в п. 16.34.—Прим. ред.

492 ГЛ. 17. ОПЕРАЦИИ И КООПЕРАЦИИ
Антиавтоморфизм с определяется формулой с (а?) = пь, где п,, вы-
выражается через элементы o'k так же, как т^ через элементы р*?.
Пополнение г задается правилом е A) = 1, е (а*) = 0, k 2= 1. Гомо-
Гомоморфизм x\L задается формулой x\L (а) = а - 1 для всех а е MSp^ E°).
Замечание. Аналогичный результат существует и для
спектра МО. Однако, как оказалось, М0~ V2"%Н (Zi) и поэтому
кооперации для МО несут точно такую же информацию, как и
кооперации для HijLi).
Займемся теперь вычислением алгебр К* (К) и КО* (КО). Из
предложения 13.49 мы знаем, что К,(К) = dirlim Кя+2п(Ви), где
морфизмы прямой системы имеют вид "
К9«п (BU) SI к9+и* (S2 Д BU) ?-•• Kg+2nn (BU).
Аналогично, КОд (КО) g^ dir lim KOq+Sn+4(BSp), где морфизмы
п
прямой системы имеют вид
A~d?+8rt+4 (BSp) ?. w,7+8n+12 (s8 д BSp) ^ /Го?+вя+,2 (BSp).
Мы опишем алгебру К* (К), изучая ее образ в алгебре /С*
которую значительно легче вычислить.
17.19. Лемма. Для любых спектроз Е и F отображение
является изоморфизмом.
Доказательство. Мы будем рассматривать спектр Е как
фиксированный, а спектр f —как переменный. Тензорное умно-
умножение на (Q и на я,. (?)(x)(Q сохраняет точность, поэтому
л* (?) (х) л„. (—) 0 (Q и л# (? Д —) 0 (Q являются теориями гомо-
гомологии, а Д 0 1 — их естественным преобразованием. Это естест-
естественное преобразование является изоморфизмом для F = S°, по-
поскольку no(S°) = Z, а я?(S°) — конечные группы для всех д>0
по теореме Серра (см. [72J, с. 659 и далее русского издания).
Следовательно, Д (g) 1 — естественная эквивалентность. ?
Напомним, что в силу результатов главы 13 n*(K) = Z[t, t'1]
и отооражение комплексификации с: КО -> К переводит © n4n (КО)
в подгруппу Z[t2, t 2] группы л^ (/().
17.20. Следствие. К* (К) 0 (Q = (Q[«, v, м-1, у-1], « образ
раеен (Q[m2, и2, и, у2].
17.21. Лемма. Для любого q (= Z группы КЧ(К) и KOiq(KO)
не имеют кручения. Следовательно, для всех i/eZ

ГЛ. 17. ОПЕРАЦИИ И КООПЕРАЦИИ 493
— мономорфизмы.
Доказательство. Группы Kq+2n(BU) и KOiq+8n+i(BSp) не
имеют кручения в силу пп. 16.33 и 16.34. Следовательно, это же
утверждение справедливо и для прямых пределов. ?
Таким образом, мы сможем описать алгебры К* (К) и
фKOiq(K0), если укажем, какие конечные ряды Лорана /(«, v)
лежат в их образах.
В качестве модели для исследования отображения Ботта
В: Kq^n(BU)-+Kg+in+2(BU)
используем вычисления Н%(К), проделанные в пп. 16.18 — 16.25,
хотя, разумеется, в данном случае эти вычисления значительно
усложнятся. Согласно предложению 16.19 отображение В обра-
обращает в нуль произведения и, следовательно, определяет го-
гомоморфизм
В: Qg(K*(BU))-+Q9MK*(BU))
факторколец неразложимых элементов. Двойственными к Q/C* (BU)
и QKO* {BSp) группами являются группы РК* (BU) и РКО* {BSp)
примитивных элементов:
РК* (BU) ^ Hom^ (S0) (QK* (BU), /С, (S0)),
РКО* (BSp) ^ Нопуо< (S0) (QKO* (BSp), КО* (S°)).
Как и прежде, можно отождествить PK*(BU) с группой А*
аддитивных нестабильных когомологических операций
ф: К°(Х)^К*(Х).
Группа А* разлагается в прямую сумму вида
Первое слагаемое в ней порождается операцией 4го, которая пере-
переводит каждое U (п)-расслоение в тривиальное расслоение е" той же
самой размерности, а второе слагаемое состоит из тех операций,
которые обращаются в нуль в случае X = pt. Группу А* можно
отождествить также с группой аддитивных операций
ф: R°{X)-+R*(X).
Операция ФеЛ* полностью определяется своим значением на
универсальном линейном расслоении y-*~BU(\), и это значение
может быть любым элементом из

494 ГЛ. 17. ОПЕРАЦИИ И КООПЕРАЦИИ
Определим теперь некоторые операции, которые окажутся
полезными в дальнейших вычислениях. Прежде всего, пусть
Фг — такая операция, что Фг(у) = У'. Операция Ч^1, которая пере-
переводит любое виртуальное расслоение в комплексно сопряженное
с ним, также лежит в А*. Имеем 4flY = v = Y~1 = U + Y)-1.
17.22. Лемма Операция ?' коммутирует со всеми опера-
операциями из А0.
Доказательство. Пусть *е#и ф(у) = /(У) для неко-
некоторого степенного ряда /. Поскольку у —линейное расслоение, то
С другой стороны, V-1 (Ф (у)) = ЧГ-1 (/ (У)) = \ХУ~1 (Y)), так как Y
коммутирует с суммами, произведениями и пределами. ?
Поскольку W1 - Ч'1 = 1, то операция W-1 расщепляет Ли в пря-
прямую сумму подгрупп, соответствующих собственным значениям +1
и —1. Выберем в каждой из этих подгрупп некоторые базисные
операции. Пусть Sr — операция, задаваемая формулой
где У = 1Р1-1(У) = A -f-K)-1— 1. Обозначим через Аг операцию,
определяемую формулой
17.23. Лемма Если х&QK*(BIJ) и выполняется одно из
условий
i) (Фг, х) = 0 для всех r5sl,
ii) (Sr, jc> = 0 = </4', x) для всех rSsl,
то дс = О.
Доказательство. Если выполнено условие i), то утвер-
утверждение леммы очевидно. В случае ii) заметим, что
Sr (у) = Y2r + {большие степени Y},
Ar (v) = 2У2'-1 + {большие степени Y\. ?
Далее, отображения комплекспфикации с: КО-*- К а с':
определяют гомоморфизм
Класс Zn^KOin(BSp) задает элемент в Q^ (K# (BU)), который
мы также обозначим через Zn.
17.24. Лемма i) (Фг, Zn) = b'n\
ii) (Sr, Zn) = 2t%nb'n, (Ar, Zn) = 0, где t(=K2(S0)-образующая.
Доказательство. Утверждение i) очевидно. Так как эле-
элемент Zn лежит в образе гомоморфизмам. КО* (BU)->K*(BU), то

ГЛ. 17. ОПЕРАЦИИ И КООПЕРАЦИИ 495
откуда следует, что (Ar, Zn) = 0. Рассмотрим теперь коммутатив-
коммутативную диаграмму
BU i
/ 2 N
BSp > BSp ;
где s —симплектификация виртуальных расслоений и 2 означает
1 + 1 в смысле суммы Уитни. Пусть Pr e Pir (КО* (BSp)) — такой
однозначно определенный элемент, ограничение которого на BSp(\)
есть Zr <=KOir(BSp(\)). Образ элемента Z в группе /f*E^(l)^
равен
поэтому образ элемента Zr в ^E^A)) есть t'2r(Y + Y)r. Ото-
Отображение s: BU -*-BSp является Я отображением и, значит, пере-
переводит примитивные элементы в примитивные. Следовательно,
образ Рг в Р4г (К* (BU)) равен t2rSr. Итак,
Определим теперь гомоморфизм В: А*-+А* требованием комму-
коммутативности диаграммы
-=-у K°(S2aX)
\ф
для любого Ф е Л * и любого X. Горизонтальные стрелки в этой
диаграмме — изоморфизмы периодичности. Тогда мы имеем между В
и В соотношение:
¦>, Вх) = /(ВФ, х), xe(J» (/С, (flf/)).
Доказательство этого соотношения аналогично доказательству
предложения 16.21.
Заменой предложения 16.22 служат следующие вычисления
для гомоморфизма В.
17.25. Лемма. Если операция ФеЛ* удовлетворяет соотно-
соотношению Ф (y) — f(Y) для некоторого формального степенного ряда f, то
(Здесь Р означает формальную производную степенного ряда /.)

496 ГЛ. 17. ОПЕРАЦИИ И КООПЕРАЦИИ
Доказательство. Снова рассмотрим коммутативную диа-
диаграмму
-^-* R°(S2hX) > R%S2xX)
R*(X) -=L* R*(S2aX) > R*(S2xX).
Каждая горизонтальная строка в ней есть умножение на элемент
w = r\ — 1. Как и прежде, взяв X = BU(l) и применяя диаграмму
к Y — у — 1, мы по(лучим
w х (Вф) (У) = ф (w х Y) = ф ((т| - 1) х (y - 1)) =
Таким образом,
w(l + Y)r(Y)-wf@).
Здесь мы_пользуемся тем фактом, что до2 = 0 в K°(S2)- Следова-
Следовательно, (Вф)(у-1) = A + К)/'(У)-Г@)П
Так как ВЧ?-1 = — Ч1"-1, то гомоморфизм В меняет местами
подгруппы, соответствующие собственным значениям -И и —1
операции W-1. В действительности лемма 17.25 дает следующие
точные формулы.
17.26. Лемма. Вфг = гфг + гф'-1, BSr = rAr, BAr = rSr +
Dr-2)S/'-1, где, по определению, ф° = 5° = 0.
Доказательство. Рассматривая А* как факторгруппу
группы А*, мы можем пренебречь членом /'@) в лемме 17.25.
Для Фг мы имеем / (Y) = Yr, поэтому
Таким образом, Ёфг = гфг-\-гФг-1. _
Далее, дифференцируя соотношение A -\-Y) A + Y) = 1, най-
найдем, что
(\ + ?) + (l + Y)~Y = 0.
Следовательно,
)^

ГЛ. 17. ОПЕРАЦИИ И КООПЕРАЦИИ 497
Кроме того, (K-FJ = (i/ + n2-4FF = (y+FK + 4(r+F). По-
Поскольку для Sr мы имеем / (У) = (У + У)г, то
откуда вытекает, что BSr=rAr. _
Для Аг имеем f(Y) = (Y- V)(Y + КI-1, и, следовательно,
Таким образом, ВАГ = г5г + Dг - 2) S'-1. D
17.27. Следствие. В QK*(BU) имеют место равенства
(ВJ Zn = «2f2Zn + Bл + 1) Bл + 2) Zn+1.
Доказа1ельство. Первая формула немедленно следует из
лемм 17.26 и 17.24, i). Из леммы 17.26 мы получаем также, что
(BJSr = r*Sr + 2r(r-l)Sr-1 и что (ВJ Аг является линейной
комбинацией операций Аг и Аг~х. Поэтому вторая формула следует
из 17.24, Н).П
17.28. Следствие. В QK* (BlO(g)(Q имеют место равенства
t«Yn = ~{B-t)(B-2t)...{B-(n-l)t)lYu
В2 ~ '2) E'"Ц2)¦•¦(В2-(п-\)г t2) lx. U
Если мы теперь рассмотрим BU как 2п-й член спектра1) К,
a BSp — как (8я + 4)-й член спектра КО, то получим гомоморфизмы
и (с Д с)* °к„ = w(c Л *
17.29. Лемма. Диаграмма
V
1
I.
К2я.2п+2(К),
в которой элемент v^Kz(K) равен г\ц{п, коммутативна.
1) Точнее, 2л-м членом спектра /с является Zx.BU, но во все дальнейшш
рассуждения легко внести соответсъвующие поправки. — Прим. ред.

498 ГЛ. 17. ОПЕРАЦИИ И КООПЕРАЦИИ
Доказательство. Для доказательства нужно взять класс
[f] е Къч (BU), выписать представители для элементов v • in [/] и
1„В[/] и убедиться, что они совпадают. D
Обозначим 1„(К?) через Ynq и in(Zg) через Zq. Тогда из леммы 17.29
следует, что Yng = irnY°«, Z\n + 2 = v^nZ%.
17.30. Предложение. В К* (К) ® (Q имеют место равенства
unY"n = p'n(u, v) = ^v(v-u)(v-2u)...(v-(n-\)u), nSsl,
Z'n+t=q'n{u, v)=J
Доказательство. Немедленно следует из следствия 17.28
и леммы 17.29, если заметить, что умножение на / в /(, (BU)
переходит в умножение на и = t)i@ в К*(К)- Элемент tYt ^Kii^P1)
является образующим, поэтому io(tYi) = v. Аналогично, элемент
7. е= КОХ (УР1) является образующим, поэтому i2(Z0 = 1 е Ко (К)- D
17.31. Так как QK^(BU) является свободным Z[t, /-^-моду-
/-^-модулем с базисом {Yu У2, ...}, то очевидно, что элементы Yn0 поро-
порождают К* (К) над Z[«, и-1]. Но Ynq = irnY'q, следовательно, поли-
полиномы р'п{и, и) порождают К*(К) над Z[w, и-1, гг1]. Итак, мы
описали образ К* {К) в К* (К) ® (Е) = Q [и, и, и, и!- Анало-
Аналогично, . образ 0 Qinl(d* (BSp) в QKx (BU) является свободным
п
X[t*, 2t2, /~4]-модулем с базисом {Zt, Zu ...}. Поэтому образ
®КО1п(КО) в K*(K)(g>(Q порождается над-2[м4, 2ы2, и~*, v*}
полиномами q'n {и, у),
Сказанное в п. 17.31 дает полное описание алгебр К*{К) и
КОщ {КО). Однако можно дать и более удобное описание их эле-
элементов. В теореме 17.34 мы приводим полную характеризацию
тех полиномов Лорана, которые лежат в К* (К) или KOin (/СО);
доказательство этой теоремы опирается на две следующие леммы.
17.32. Лемма. Пусть f (t) e(Q[0 — такой полином, что
/(fe)eZ для всех целых k. Тогда f молено представить в виде
целочисленной линейной комбинации биномиальных полиномов
(ро, по определению, равен 1). Если, кроме того, полином f удов-
удовлетворяет условию f(—i) — f(t), то его можно представить в виде
целочисленной линейной комбинации 1 и полиномов
(Заметим, чти мы должны были бы интерпретировать q0 как 2»
но мы не будем рассматривать q0.)

ГЛ. 17. ОПЕРАЦИИ И КООПЕРАЦИИ 499
Доказательство. Ясно, что полиномы рп удовлетворяют
условию рп (k) e Z для всех k e Z. Поскольку qn (t) = 2р%п (/ + п) —
Ргп-\ (t-\-n— 1), то полиномы <?„ также удовлетворяют этому усло-
условию Кроме того, очевидно, что qn(— /) = qn (t), п~$?\. Мы дока-
докажем лишь второе утверждение леммы; первое утверждение дока-
доказывается аналогично и проще Доказательство поведем индукцией
по степени полинома /. Если deg/ = 0, утверждение очевидно.
Предположим, что лемма справедлива для всех полиномов сте-
степени <=2(d-'l).
Пусть f (t) — полином степени ^2d, такой, что ДА) s Z для
всех JeZ я /(—t)=f(t). Определим полином б2/, полагая
Тогда б2/ также удовлетворяет условиям леммы 17.32. Кроме
того, легко видеть, что deg62/=^2(d—1), поэтому по предполо-
предположению индукции
(б2/)(*) = "»+ 2] n,qr(t)
для некоторых целых коэффициентов щ, пх, ... Так как п0 **
(б2/)@) = 2(/A) —/'@)), то число п0 четно. Поскольку
то взяв
мы получим, что g (— /) = g (/) и 62g = б2/. Таким образом, обяза-
обязательно f(t) = a\-\-bt-{-g(t) для некоторых a, 6eQ. Но разность
f(t)—g{t) четна, следовательно, 6 = 0. Кроме того, o = f@)e'Z.
Это доказывает, что полином / имеет требуемый вид. ?
17.33. Лемма, i) Пусть f(u, v) — полином Лорана из
Щи, и-1, к, у-1], который удовлетворяет условию
f(M, kt)<=z[t, Н, 1
для всех ненулевых целых чисел h, k. Тогда f(u, v) можно пред-
представить в виде Z [и, и-1, гг^-линейной комбинации полиномов
р'п(и, v) = ^ и(v - и) (v — 2и).. .(v - (п — I) и), nssl.
И) Пусть f (и, v) — полином Лорана из (С[[«, w1, v, xr1], удов-
удовлетворяющий условиям
f(—и, v) = l(u, v) = f(u, —v),
f iht Wlc7 /' 9/2 /-* I h b c=.7 /01

500 ГЛ. 17. ОПЕРАЦИИ И КООПЕРАЦИИ
Тогда /(«, v) можно представить в виде Z[«4, 2и2, «-*, ц-*]-ли-
нейной комбинации полиномов
q'n (и, v) = BД2)[ (и2 - и2) (у2 - 2V)... (у2 - я2»2), л 3* 0.
Доказательство. Мы докажем утверждение ii); утвержде-
утверждение i) доказывается так же. Из равенств /(—и, v) = f(u, v) =
f(u, —v) вытекает, что / — полином Лорана от переменных и2 и у2.
Разлагая /(и, и) в сумму однородных составляющих, мы видим,
что достаточно рассмотреть случай, когда / однороден. Итак,
пусть / — однородный полином степени 2г. Если г четно, положим
f {и, v) — u-irf(u, v); если же г нечетно, положим /'(и, v) =
(w2r/2)f(u, v). Тогда /' — однородный полином степени 0 и мы
имеем
/'(", v) = g(u~1v)
для некоторого g(w) e (Q (до2, иг2]. Полином Лорана g имеет лишь
конечное число коэффициентов; пусть т — максимальный из пока-
показателей степеней, с которыми каждое простое число входит в зна-
знаменатели всех этих коэффициентов. Умножая g на подходящую
положительную степень монома иг* = «-4и4, мы видим, что доста-
достаточно рассмотреть случай, когда g делится наши uf". В част-
частности, тогда и@) = 0. Для любого целого числа кФ§ имеем
g(k) = f'(t, kt). Пусть р —некоторое простое число, делящее k.
Тогда, по построению, р не входит в знаменатель числа g(k).
Если же простое число р не делит k, то g (k) = /' (/, kt) по усло-
условию лежит в X[l/k]. Значит, и в этом случае р не входит в зна-
знаменатель числа g(k). Итак, g(^)eZ. Следовательно, полином g
удовлетворяет условиям леммы 17.32, и поэтому /' (и, v) = g(u~1v)
может быть представлен в виде целочисленной линейной комби-
комбинации полиномов 1 = q't, и
B§ji • (у2 - (л - !J и1)-
Но мы можем записать
<?2„(«-М = «-4п{D« + 2) Dл +l)q'u(u, у) + 4пг«2^_1(ы, v)},
Ягп-i (и-М = и-4" {4л Dп- 1) u^i—i (и. v) +
Bп-1Jи%„^(и, v)},
что и завершает доказательство леммы. ?
Комбинируя п. 17.31 с леммой 17.33, мы получаем нашу
основную теорему.
17.34. Теорема, i) Образ алгебры К* (К) в К^К)^^^
(Q [«, v, w1, it1] состоит в точности из таких полиномов Лорана
f (и, v), что
для всех h, feeZ —{0}.

ГЛ. 17. ОПЕРАЦИИ И КООПЕРАЦИИ 501
и) Образ алгебры © KOin(KO) в /С* (/С)(g)I) состоит в тонно-
п
сти из таких полиномов Лорана f(u, v), что
f(—u, v) = f(u, v) = f(u, — v)
и
f(ht, *0eZ[>, 2i\ t-\ -
для всех h, feeZ-{0}.D
Алгебра К0% (КО) является модулем над КО% E°), поэтому
определено отображение
р: Kd9(S°)®KO0(KO)-+KOq(KO), qz=Z,
задающее эту модульную структуру.
17.35. Теорема. Отображение р является изоморфизмом для
любого q. Более подробно
G=1, 2 mod 8,
О, G = 3, 5, 6, 7 mod 8.
Доказательство. Если q = 0mod 4, то утверждение немед-
немедленно следует из теоремы 17.34. Покажем, что р: КХ>Ч E°) (g)
/С00 (/СО) ->• /СО9 (/СО) — эпиморфизм. Каждый элемент из Кбч (BSp)
можно представить в виде ах-\-Ьу для некоторых у е KOi(BSp),
a, b ^ KO*(S°), х е KOo(BSp). Переходя к прямому пределу,
находим, что такое же утверждение справедливо и для элемен-
элементов КОд(КО). В силу замечания, сделанного в начале доказа-
доказательства этой теоремы, элемент у можно записать в виде y = cz,
c<=Kbi(S°), zeiKOo(KO). Это показывает, что КОЧ (S0) (х)
КОо (КО) ->¦ К Од (КО) — эпиморфизм. Следовательно, мы доказали
теорему для всех случаев, исключая <7=1, 2mod8.
Для того чтобы доказать мономорфность р в случае, когда
<7 = 1, 2 mod 8, мы должны более подробно описать отображение
кп: КО,. (BSp) -> KOg-sn-4 (КО).
Диаграмма
KOq+g(BSp)
(слс%
в*
R9(BU) > R,
коммутативна, поэтому из следствия 17.27 мы получаем, что
BnZn = niuZn4-{n2-\-(n-]rlJ\\ iA'Z,,t1 + 4! i i Zn+2.

502
ГЛ. 17. ОПЕРАЦИИ И КООПЕРАЦИИ
Здесь символом х обозначена образующая группы я4(/СО) (кото-
(которая отображается при комплексификации в элемент 2/2 s= я4 (К)),
а символом (/ — образующая группы щ{К0) (которая отображается
при комплексификации в элемент /4 е щ{К))- Следовательно, если
а —ненулевой элемент из К0я (S°) = Z2 (<7=h 2 mod 8), то
( ayZn, n нечетно,
\ 0, п четно,
поскольку ах = 0 = 2а. Таким образом, выражение
?оf 2 nkayn~kZ2k+i) с целыми коэффициентами ns обращается
в нуль тогда и только тогда, когда nk = 0mod2, k^O. Пере-
Переходя к пределу, мы находим, что
тогда и только тогда, когда пк = 0 mod 2, fe ^ 0.
Предположим теперь, что р (а (х) /) = 0 для некоторого /
К00 {КО). Тогда мы можем представить элемент / в виде
\*>0
Так как диаграмма
КО IS") ® QSn+AKO^BSp)
коммутативна, то
О = Р (a <g) /) = р. A <g) /с„) Га
L
Из результатов предыдущего абзаца следует, что п^ез 0 mod 2,
k Ss 0. Но в /<* (К) ® (Q элемент кп [ 2 ti'kxyn-hZ%k\ соответствует
сумме
й _ i («, и) =
Это показывает; что / делится на 2 в КОО(КО) и поэтому
a (g) / =в 0. Следовательно, р — мономорфизм. D

ГЛ. 17. ОПЕРАЦИИ И КООПЕРАЦИИ 503
17.36. Упражнение. Показать, что ряд f(u, v) представ-
представляет 0 в Zi<g}KO0(KO) тогда и только тогда, когда f\h, k)&
2Z[\Jhk] для всех нечетных целых чисел /i, k.
17.37. Теорема. Структурные отображения алгебр К* (К}
и /СО* (КО) задаются следующими формулами:
\) \|з(") = "® '. т|з (о) = 1 (g) v;
ii) е (и) = t = e (и);
Hi) c(«) = u, c(v) = u;
iv) если элемент а е /COi (S°) не равен нулю, то r\R (a) — i\l (ос).
Доказательство. Пусть i: 5°->К — единица. Мы знаем,
что группа Я1 E°) = Ъ% порождается отображением Хопфа т], при-
причем ^(tj^oc; другими словами, на основании следствия 17.14
aeim [h: лг E°) -*¦ кбх (S0)] с: РКОХ E°).
Свойство 17.8,х) означает, что отображение \|3s« есть в точности
V. ?б* (S°) -* /СО, (КО) ^ .'СО, (/СО) ®j^ (SQ) /CO* E°).
Следовательно, поскольку элемент а примитивен, мы имеем
тц (а) = 1 0 а = 1 а (х) 1 = т]/? (а), что доказывает утверждение iv).
По определению u — r\L(t), v = r\R(ty, поэтому в силу тео-
теоремы 17.8, iv) имеют место равенства -фи =г[зг)л(/) = Л/.@®1 =«® 1
и 1|зи = ^t]/j @ = 1 $ r)ff (/) = 1 <g) и. Согласно теореме 17.8 с • % = т]?
и с-т)Л = т].1?, откуда следует, что с(ы) = у и с(и) = ы Аналогично,
e-ri#= 1 =е = тц, т. е. e.(u) — t — z(v). ?
Теперь мы имеем полную информацию об алгебрах Хопфа
/С^ (К) и /СО* (/СО). Выведем из нее некоторые следствия.
В следствии 17.14 мы показали, что \m[h: л* (Х)-+Е# (Х)]а
Р(Е*(Х))\ например, h: я* (MU)-*-P (/С* (MU)). Зная алгебры
/С* (/С) и K*{MU)s^K*(S°)[Y[, Y'2, ...], можно попытаться вы-
вычислить P(K*(MU)). Отображение /: QP^^MUt-^^M'J пере-
переводит t'Yi е /^г; (С/300) в К; ^. е/Сг;-2(МУ). С другой стороны,
отображение (ГР°° c~BU(l)-+BU^K переводит /'У; в р', е /С* (/С).
Из результатов главы 16 известно, что любое U (л)-расслоение
ориентируемо относительно /С; в частности, существует универ-
универсальный класс Тома /е/С°(ЛШ), который можно рассматривать
как отображение спектров \i: MU -*¦ К. Это отображение задает
естественное преобразование
теорий гомологии, а также естественное преобразование теорий
когомологий. Из определения отображения ц следует, что
и:
отображает р, в PYL; значит,

¦504 ГЛ. 17. ОПЕРАЦИИ И КООПЕРАЦИИ
отображает ($'• в Y\. Рассмотрим гомотопически коммутативную
диаграмму
z2 ми —?+ тгк
i"
MU, ~ BU{\) с BU,
где BU интерпретируется как Кг- Из этой диаграммы следует,
что гомоморфизм ц*: К* (М?/)->/(„. (К) переводит У\ в
j
Положим
(р —и) (о —2и)... (p — nu)
Р " Щ
Тогда ясно, что гомоморфизм
переводит р\- в рг, t^l.
Теперь нетрудно видеть, что |л коммутирует с отображениями \|з:
это означает, что диаграмма
коммутативна. Взяв X = MU и применяя теорему 17.16, мы по-
получаем следующее утверждение.
17.38. Предложение. Кодействие tyUir на К* (MU) задается
формулой
Р = 1 + Pi + Рг + • • ¦ Следовательно, кодействие if>cp<» на

ГЛ. 17. ОПЕРАЦИИ И КООПЕРАЦИИ
505-
17.39. Следствие. Коумножение ^к на элементах р,е К
задается формулой
Аналогичные результаты имеют место и для спектров КО и MSp.
17.40. Предложение. Кодействие tyMsp на KO+(MSp}
задается формулой
где Q == I + <?i + <?г + • • •, Яп=я'п(и, v).
ствие т|;цу'о° «а КО^ (ИР00) имеет вид
¦¦ + / = -
17.41. Следствие. Коумножение
КО* (КО) задается формулой
Следовательно, кодей-
кодейна элементах
Пусть С, — пересечение в /(* (МU) его подмодуля /<C2n (MU\
с подмодулем, порожденным мономами Y'a = Y'^Y'f*... Yfr для
\a\ = a1 + 2ai + ... + rar^n. Тогда h(л2л (Alt/)) с: Р (/С* (Aft/))f)G^
поскольку Gn = F%n>0<=.Kin(MU). Пусть Gnfl^ (/С* (Mt/)) = P2,.
Мы вычислим P-sn для малых значений п.
dim 2: Типичный элемент из d имеет вид Л Y\ +Bt, A, BeZ.
Тогда
+ во -1 ® л к; + лр! ®
Этот элемент является примитивным тогда и только тогда, когда
А — 2В = 0, поэтому произвольный элемент из Р2 имеет вид
B{2Y\+t), SeZ.
Вычисляя элемент /iJCP1] e Ki(MU) способом, аналогичным изло-
изложенному в примере 16.4о (см. [8]), находим, что/1[(СР1] = —2Y[ — t.
Таким образом, мы видим, что в размерности 2 imh = P2.
dim 4: Типичный элемент из G2 имеет вид AY'2-\-BY\2+CtY[+Di2r
где А, В, С, DeZ. Следовательно,
~ (v - и) {BА + SB - 120) о - DЛ + ЗД - 6С + 12D) и} <g) К

506 ГЛ. 17. ОПЕРАЦИИ И КООПЕРАЦИИ
Этот элемент является примитивным тогда и только тогда, когда
Л + ?-С = 0,
2A + 3B-12D = O,
или, другими словами, когда А — ЗС — 12D, В = —2C+12D. По-
Поэтому произвольный элемент из Р4 имеет вид
CCY'i-2Y'l- + tY[) + D(—l2Y'i+l2Y\* + f\ С, DeZ-
Таким образом, мы видим, что Р4 порождается элементами
3Y'i-2Y'12 + lY'u 4Уг
или же элементами
После всего сказанного можно предположить, что
i) [СР1] могут быть выбраны в качестве полиномиальных обра-
образующих для Q$f, i ^ 1 и
п) h: Пъ{Ми)^Р{Къ (MU))-изоморфизм.
Однако дальнейшие вычисления показывают, что эти предпо-
предположения несовместимы. Именно, в Рй имеется новая полиномиаль-
полиномиальная образующая вида 2Уз + {разложимые элементы}, в то время
как из примера 16.46 следует, что h f(DP3] = —4Кд + {разложимые
элементы}.
Вычислим теперь РКО% (MSp) в нескольких низших размер-
размерностях. Как и ранее, обозначим через Gn пересечение подмодуля
KS с подмодулем, порожденным мономами Z —
^r с \a\=a1 + 2ai+...+rar^n, и пусть Рь =.
Р (KOk (MSp)) П Gn для 4/K*< 4n + 3.
diml: Согласно теореме 17.37, iv) имеет место равенство
f)R(a) — t)L (а)> где а е I&l {S°) ^ Z« — ненулевой элемент. Пере-
Пересечение Go П ^COi (MSp) изоморфно группе Ъ% и порождается эле-
элементом а ¦ 1, так что мы получаем
-1) = аA <8>П = Лл(а)® 1-Л*(а)® 1 = 1 <8> ех ¦ 1.
Следовательно, элемент а-1 примитивен, и поэтому Pi = Z%
порождается элементом а.
Далее, имеется отображение nf ^Q/-»-Qfp. Так как образ
ненулевого элемента [т]] е nf в КОу, (S°) равен а, то в размерно-
размерности 1 imh = Pt. В качестве представителя для ненулевого эле-
элемента из Qfp можно взять окружность S1 со стабильным нормаль-
нормальным расслоением со(^)Н (где со -*- S1 ^ RP1 — расслоение Хопфа).
dim 2: Пересечение Go П КОъ (MSp) — Ъъ порождается элемен-
элементом а? ¦ 1, и ^msp (а2 1) = 1 (х) а2 1 Поэтому Р2 = Ъг порождается
элементом a2 = /i[S1]2
dim3: КО» (MSp) = 0, поэтому Р8 = 0.

ГЛ. 17. ОПЕРАЦИИ И КООПЕРАЦИИ 507
dim 4: Для образующей х е /С04 (S0) имеем
(элемент л: отображается в 2иг е /СО^ (Л"О) сг © [гг, и, ы-1, tr1]).
Типичный элемент из Gi f)/CO4 (MSp) имеет вид AZ\-\-Bx, A, BeZ,
так что
Вх) = 1 <g> AZ; + Aql -g)
Этот элемент примитивен тогда и только тогда, когда А — 245 = 0,
поэтому Pi~Z порожден элементом 24ZJ + лг.
dim 5: Пересечение G4 П КОЪ (MSp) ^ 2г порождается элемен-
элементом aZ't. и
Из теоремы 17.35 и примера 17.36 следует, что aqi = 0 для
<?! (Л, ^)e2Z[l//i^] и любых нечетных /г, /г. Поэтому aZ[ прими-
примитивен и порождает PS = Z2-
dim 6: Аналогично предыдущему случаю, Ре ^ Z2 порождается
элементом a?Z[.
dim 7: /СО7 (AfSp) = 0, поэтому Р7 = 0.
dim 8: ^Sp^Zi + 5ZIa + CA:Z; + Dt/) =
1 (g) 4Zi -f 2Aqx (g) Zi + A72 ® 1 +1 ® BZj2 + 2B^ (g) ZJ +
fi^f (g) 1 +2Cu2 (g)Z; + 2С«Л/1 (x) 1 +Du4 (g) 1.
Для того чтобы упростить это выражение, воспользуемся соотно-
соотношением 2«2<7i = 8^1 — 20G2. В результате получим
^MSP(AZ'i + BZ[1-\-CxZ'i+Dy)=l gXAZ's + BZ'S + CxZl+Dy)—
2Cv <g> ZJ - Dv* (g) 1 + 2Л?! ® Zl + Aqt (g) 1 + 2B^ (x) ZI + B(/J (g) 1 +
2Cua(x)Z; + 8C(/?(g) 1 -2OC9,® 1 +Du4® 1 =
1 <g> (i4Zi + BZ? + CxZ\ + Dy) + B A + 2B - 24C) 4l ® Z\ +
{{A - 20C + 240D) qt + (B + 8C - 240D) q-f} ® 1.
Этот элемент примитивен тогда и только тогда, когда
или, другими словами, если
4 = 20C-240D, fi = —8C + 240D.
Таким образом, Р8 = Z 0 Z и порождается элементами
или, эквивалентно, элементами
144Z;a + 12xZ[ + у = | B4Z; + x)

508
ГЛ. 17. ОПЕРАЦИИ И КООПЕРАЦИИ
dim9: Gif\KO9(MSp) порождается элементами aZ'it ccZ{s и
а.у-1. Находим
1 = 1 ®ou/,
) = cc«4(x) 1 = 1 (х)ш/-сф4-и4)
так как и4 — и4 = 240(9? — q^).
Далее, a<72 Ф 0, поскольку
Следовательно, Р9 ^ Z2 © Z2 порождается элементами aZJ2, at/.
dim 10: Аналогичным образом Pw = Zz'?iZ2 и порождается
элементами a?Z\-y агу.
dim 11: KOn (MSp) = 0, поэтому Pu = 0.
Соберем наши вычисления в таблицу:
п
Pn(KO>(MSP))
0
Z
1
Z2
2
Z2
3
0
4
z
5
z*
6
Z2
7
0
8
zez
9
Z2©Z2
10
Z2®Z2
11
0
Согласно следствию 17.14 для любого п имеет место включе-
включение h(лл (MSp)) cz Pn{KO* (MSp)). Для tts^8 можно построить
такие симплектические многообразия М", что /i[AT] суть вычис-
вычисленные выше образующие (см. [67]). Поэтому h (я„ (MSp)) = Рп,
17.42. Упражнение. На основании замечаний, следующих
за леммой 17.21, можно единственным образом определить адди-
аддитивные (нестабильные) когомологические операции Wk: /C°(X)->
К°(Х), k<=Z, полагая ЧГк{у)=>у* = (\ + Y)K
a) Используя принцип расщепления (см. доказательство пред-
предложения 16.2i), показать, что операции Wk мультипликативны:
W"(xy) = y?k(x)Wk(y) для х, у<=К°(Х).
b) Показать, что xVk ° W = Wkt для всех k, IeZ.
c) Вычислить ?* на K°(S2n) для всех fteZ, n^0.
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В главе 18 мы вычислим алгебру Е*(Е) для Е = Н($,г) и
вкратце опишем Е#(Е) для Е —Н (%р), р нечетно. Затем, в двух
последующих главах мы займемся приложениями этих алгебр
Хопфа к некоторым фундаментальным проблемам. О применениях
когомологических операций см. п. 18.24 и [62].
ССЫЛКИ НА ЛИТЕРАТУРУ
1. Адаме [5, 6, 7, 8].
2. Адаме, Харрис, Свитцер [12].
3. Ландвебер [44].
4. Мошер, Тангора [62].
б. Новиков [63].

ГЛАВА 18
АЛГЕБРА СТИНРОДА И ДВОЙСТВЕННАЯ
К НЕЙ АЛГЕБРА
Вычислив в предыдущей главе алгебры Е^ (Е) для спектров
Е = MU, MSp, К и КО, обратимся теперь к вычислению алгебр
?¦*(?) и Е* (Е) для ? = ЯB2). Несмотря на то, что алгебры
Хопфа Н*(Н (Zi); Z2) и Я* (Я (Z2); Z2) были вычислены лет на
пятнадцать раньше, чем соответствующие алгебры для других
спектров, их вычисление ничуть не проще, чем, скажем, вычис-
вычисление для спектра КО. Идея вычисления выглядит следующим
образом: для каждого п существует расслоение Я (Z2, п— 1)->
РН (Z2, n)->~H(Z2, n) со стягиваемым пространством расслоения
РН G,2, п) (вообще, пространство путей Р Y стягиваемо для любого
пространства Y). Поэтому в спектральной последовательности
Серра этого расслоения ?,?а = 0, если (р, д)ф@, 0). А этот факт
позволяет вычислить Ht (Я (Z2, п); Ze). исходя из группы
H*.(H(Zi, n—\); Zi). Процесс вычисления начинается с п=1,
так как #*(#№, 1); 22) = Я*(Кр°°; Z»), а группу Я* (RP00; Z2)
мы знаем: это векторное пространство над полем Zi с базисом
{xi. j'Ss 1}, Xt еЯДКР00; Za)- И, наконец, исходя из H*(H(Zi., n); Z2),
найдем Нч(Н(Ъг); Z2)?^dirlim^+n(^(Z2, n); Z2). Именно так
п
проделал эти вычисления Картан (см. [37]), используя весьма
нетривиальный аппарат гомологической алгебры. Мы изберем
здесь иной подход. Прежде всего мы построим некоторые специаль-
специальные когомологические операции — так называемые квадраты Стин-
рода Sq' —и покажем, что они порождают алгебру А* =
Н* (Н (Ъг); 1л). Затем будет несложно вычислить двойственную
алгебру А^ = Н^(Н (Zi)\ Zi)- Кроме того, мы сформулируем соот-
соответствующие результаты для спектра H(ZP), где р — нечетное
простое число.
Начиная с этого места, мы будем рассматривать лишь коэф-
коэффициенты Z2- Поэтому, для краткости, будем писать Н вместо
H(Zi) и Н*(Х, А) вместо Я* (X, A; Z2)- В одном месте нам
понадобятся целочисленные когомологии, и мы обозначим их через
Я* (X, A; Z), оставляя обозначение Я* (X, А) для когомологии
с коэффициентами в Z2.
Идея построения квадратов Стинрода заключается в следую-
следующем. Диагональное отображение Д: Х-^ХхХ удовлетворяет
условию т• Д = Д, гдет: ХхХ-+ХхХ— «тасующее» отображение.
Любое цепное отображение Do: S (X)-+S(X)(g}S(X), индуци-
индуцирующее диагональный гомоморфизм Д*: На(Х)-^Но(ХHНо(Х),

510 ГЛ. 18. АЛГЕБРА СТИНРОДА И ДВОЙСТВЕННАЯ К НЕ0
называется диагональной аппроксимацией. Другими словами, если
р: S(X xX)-*-S (X)(&S (X) — цепная эквивалентность из теоремы
13.30 Эйленберга —Зильбера, то р°Л# является диагональной
аппроксимацией. В то же время произвольная диагональная
аппроксимация не обязана удовлетворять равенству Т 'D0 = D0,
где Т (х(х)у) = (—II*1' y (у(х)х). Выполняется лишь более слабое
условие: существует цепная гомотопия Dx: S(X)-+S(X)®S(X)
степени 1, связывающая Do и T°DU: dD1 + D1d = T°D0 — Dl>. Ана-
Аналогично, композиция T'Di не равна D,, но существует связы-
связывающая их цепная гомотопия Ds степени 2 и т. д.
Существование этой последовательности цепных гомотопий
устанавливается с помощью теоремы 13.26 об ацикличных моделях. ¦
18.1. Предложение. Существуют естественные гомомор-
гомоморфизмы Df. S(X)-*~S(X)(g)S(X) степеней /, /^=0, обладающие
следующими свойствами:
О Do — это цепное отображение, индуцирующее диагональный
гомоморфизм Но(Х)-+ Но (X) (х)Но (X);
и) dDj + (-l)^Djd = Dj-1 + (-l)JTDj-u />0.
Если {D/} и \D'j) — два семейства таких гомоморфизмов, то суще-
существуют естественные гомоморфизмы Ej: S(X)-*-S(X)(g)S(X) сте-
степеней j, /^0, для которых
ш) ?0 = 0;
iv) dEj+i + (-\)JEJ+ld = -Ej + (-\)^TEj + Dj-D'h /3*0.
Доказательство. Применим теорему 13.26 к категории й*
цепных комплексов над R, где R — Z [t]/(!2 — 1) — групповое кольца
группы 7л- Пусть W — свободный цепной комплекс над R:
... -v R i±i R bJ. /? _*... L"~i R i Z ¦
Другими словами, W представляет собой свободный градуиро-
градуированный /?-модуль с образующими wk e Wk по одной для каждого
ft$s0, снабженный дифференциалом d и гомоморфизмом пополне-
пополнения е вида
= [\+(—\L]wk-1, fcrssl,
Рассмотрим функторы F, G: ^"-*-^, определенные формулами
G(X) = S (X)®S (X) (t (u®ur) = T (и® и')).
Тогда функтор Z7 свободен на моделях М = {Д": «5*0}, а функ-
функтор G ацикличен на моделях М (по теореме 13.13 Кюннета).
Поэтому согласно теореме 13.26 существует цепное отображение
ф: F-+G, индуцирующее диагональный гомоморфизм Н0(Х)-+-
Н»(Х)(>§Но(Х). Определим гомоморфизмы Dj, полагая
18.2. Dj(a) = <l>(Wj<z<)a), a(=S(X).

ГЛ. 18. АЛГЕБРА СТИНРОДА И ДВОЙСТВЕННАЯ К НЕЙ 511
Свойства i) и П) семейства гомоморфизмов {Dj} вытекают из того
факта, что Ф — цепное отображение. С другой стороны, если задано
семейство {Dj}, удовлетворяющее условиям i), ii), то можно опре-
определить индуцирующее диагональный гомоморфизм цепное отобра-
отображение Ф, продолжая формулу 18.2 по линейности. Цепные гомо-
топии, соответствующие семействам {Е/}, удовлетворяют условиям
ПО и iv). D
Гомоморфизмы Dj задают коцепные отображения
Dj: Horn (S (X)(g}S (X), Z) -*- Horn (S (X), Z)
степеней —/. Пусть ceHom(S, (X), Z), d see Horn (Sm (X), Z) —
некоторые коцепи и c(g)d e Hom((S (X)(^;S(X))n+m, Z) — их тен-
тензорное произведение. Положим
18.3. c^id = Df (c(g}d)e= Horn (SnJ.m_,-(X), Z).
Определенное таким образом ^.-умножение коцепей обладает сле-
следующими свойствами.
18.4. ^.-умножение естественно, т. е. /* (cwid)=/*cwi/:*d для
любого отображения f: Y-+X и с, d<=S*(X; Z).
18.5. b[c\jic') = (—1
для c(=Sn(X; Z), с' ^Sm(X; Z).
Доказательство. Для любого aeS(X) мы имеем
б (c^tc') (a) = Dt (c(8)C) (da) = (c-'gjc') {Dl da) =
(clgic') ((—1У dDfl - (—1У D,_,a - TDc.a) =
(—1)' б (c®cf) (Dta) - (—1)' (c^c') (D,_l0) -
(— 1 )лт (c'(g;c) (D,_,a) = ((— 1)' 6c(x)c' + (— 1У+* c(xNc')
[(— 1)'
.П
18.6. (ci + й)и; (di + d-z) = CjU; d, -f Ci w/ d2 + c.wj di + c2^,- d2.
Это следует из линейности отображения D*.
Пусть с е Нот Eта (X), Z). Определим коцепи Sq'cs
Нот (Sn+j (X), Z), полагая
\
0,
Операции Sq! обладают следующими свойствами.
18.7. Sq' естественны: /* Sqic = Sq'7*c
18.8. Если с = 0 mod2 на S(A), АсХ, то Sq?c = O mod2
на S(A) (это —частный случай естественности).
18.9. Если 6с = 0 mod 2, то 6S<7'c = O mod 2.
Доказательство
fi Sq' с = б (cw,.j с) = bcKj a-i с 4- с^ „_j vc-f2c^n-i-t. с = 0 mod 2. П

512 ГЛ. 18. АЛГЕБРА СТИНРОДА И ДВОЙСТВЕННАЯ К НЕЙ
18.10. Если c = 6dmod2, то
Sq'c = 6[dwn_,c + dwn-,-id] mod2,
Доказательство.
6d w „_,-_! d + d v./ n_j_! fid + 2d ^ „_г_2 d =
= c^n_ic = Sq'c mod2. П
18.11. Если Си Сг — коциклы mod 2, то
Sq' (ci + c2) = Sq' cx + Sq' c2 + б (с, w„_J+1 c2) mod 2.
Доказательство. Если i>n, утверждение очевидно. Для
имеем
б (Ci w „_!+] с2) = fid v^BH+1 с2 + Ci ^n-i+i бс2 +
c\^n-iCi + Съ^п-i d = ci^n4 c2 + C2^n-iCi mod 2.
Таким образом,
Sq' (Ci + c2) = (Ci + cs) w „_,- (d + c2) ==
Ci ^ n-j Ci + cx w „_,- c2 + c2 w 4-i Ci + ca v> л-; c2 =
Sq' ci + Sq' c2 + fi (cx ^ Л_,Ч1 с2) mod 2. D
Свойства 18.7—18.11 показывают, что для каждого я^О и
любой пары пространств (X, Л) формула
Sq'{c},HSq'c},
задает естественный гомоморфизм
Sq': H"(X, A; Z2) + tf"+'(X, A; Z2).
Этот гомоморфизм не зависит от выбора последовательности {?>/}.
Действительно, если {D)) — еще одна такая последовательность,
то в силу предложения 18.1 существует последовательность {?,¦},
удовлетворяющая условиям 18.1, iii) и 18.1, iv). Поэтому для лю-
любого коцикла с и любого а е S (X) имеет место равенство
0 = (с <g) с) [d?._(-+1 + ?«н+1^ + ЕаЧ + ^^«-i + Dn4 + D'n4] (a) =
(с (х) с) [?n_i+1d + Dn4 + О'пЧ] (a) =
[Sq' с + Sq'" с + 6??_m (с ® с)] (a) mod 2.
Таким образом, |Sq'c}2 = {Sq''c}2.
С помощью редукции по модулю 2 можно рассматривать Sq'
как гомоморфизм
Sq': Hn(X, A; Z)-^Hn+t(X, А; 2л).
18.12. Предложение. Операции Sq' обладают следующими
ссойствами:
a) Sq°=l;

ГЛ. 18. АЛГЕБРА СТИНРОДА И ДВОЙСТВЕННАЯ К НЕЙ 513
b) Sq1 совпадает с гомоморфизмом Бокштейна, ассоциирован-
ассоциированным с точной последовательностью коэффициентов
c) если х<=Н"(Х, A; Z2), то Sq"x=-x2;
d) если хеЯ"(Х, Л; Z2), то Sq'x = 0 для i>n;
e) б Sq' = Sq'' б, где б: Н"-1 (Л; Z2)->#n(A:, Л; Z2) -кограниц-
ный гомоморфизм;
f) SS^S
g) S
/+
Доказательство. Свойство d) следует из определений.
Пусть р: 5 (Хх F)->S (X)(x)S (У) — цепная эквивалентность, су-
существующая согласно теореме 13.30 Эйленберга — Зильбера. Если
А: Х-*- ХхХ — диагональное отображение, то оба цепных ото-
отображения Д> и р-Д*: 5 (X) ->- 5 (X) (g) S (X) индуцируют диаго-
диагональный гомоморфизм и, следовательно, цепно гомотопны. По-
Поэтому
{cw« d] - {Do* (с ® d)\ = {Д# • р# (с ® d)} = {с} ^ {d}.
Таким образом,
для х<=Н"{Х, A; Z2).
Докажем теперь свойство е). С этой целью напомним опреде-
определение кограничного гомоморфизма б. Пусть с—некоторый ко-
коцикл из 5я-1 (Л; Хг); выберем коцепь deS"-1^; Za) с i#d = с.
Тогда i#6d = 6t#d = 8с = 0, и поэтому можно считать, что б<3
лежит в группе S" (X, А; 7л)- Положим Ь{с) = {Ы\. Таким обра-
образом, классы когомологий Sq' {с} и Sq' б {с} представляются соот-
соответственно коциклами c^n-i-xC и 6d^n_j6d. Пусть d' = dwn_j6c( +
d& Тогда
H с mod 2,
откуда следует, что 6 Sq' {с} = Sq' б {с}.
Пусть теперь р": Нп~1(—; Z2)-»-Я't(—; Z2) — гомоморфизм
Бокштейна, ассоциированный с точной последовательностью коэф-
коэффициентов
1, / четно,
Oj . нечетно
Покажем, что р Sq^ = S (у) Sq^+1; это равенство сведет доказатель-
доказательство свойств Ь) и f) к доказательству свойства а). Итак, пусть
{с}(=Нп-ЧХ, A; Z2)- Выберем коцепь deS"-1^, A; Zj)
17 Роберт М. Свитцер

514 ГЛ. 18. АЛГЕБРА СТИНРОДА И ДВОЙСТВЕННАЯ К НЕЙ
с r#(d) — c. Тогда г# Fd) = fir# (d) = 6с = О, так что 6d = oc#c' для
некоторого c'<=Sn(X, A; Zz)- Мы имеем Р{с} = {с'}. Класс кого-
мологий Sq-/{c} представляется коциклом c^Jn-j~iC, и 8с = 2Ь для
некоторого целочисленного класса b^Sn(X, A; Z). Имеет место
равенство
в (c^jn4-xc) = (-1Г-У-12bvjn-j-1c + (-iy-1CKjn_J_12b -
.S С.
Следовательно, Р Sq-' {с} представляется по модулю 2 коциклом
bvJn-j-i C + CKJn-j-i Ь + S (/) C\Jn-j-2C.
Ho b\ja-j-ic + cun-/-1b = b(cun-jb)mod2 и поэтому pSq/{c} =
S (/) S^1 {}
aji + n/ (nj
S (/) Sq^1 {с}, как и утверждалось.
Докажем теперь свойство а). Мы знаем из теоремы 15.54, что
Н* (RP2)^Zi[x] / (я3). На основании свойства с) имеем р Sq°x =
Вц1х = х2Ф0. Следовательно, Sq°A:#O и, значит, Sq°A: = x, где
х — единственный ненулевой элемент группы ^{RP2). Пусть/:
S1 ^ RP1 -*¦ RP2 — вложение одномерной клетки. Тогда f*x = glt
где ex — образующая группы Н1 (S1). Поэтому Sq°gi = Sq°/** =
f*Sq°x = f*x = gi. Из свойства е) вытекает равенство oSq" = Sq"o
для всех п, так что если gn g Hn (S") — образующая, то Sq°gn =
Sq°cr'x+1gi = cr-"+1SqogY = crn+1|Xi = |T/1. Далее, если dimX^tt, то
в силу теоремы 10.32 Хопфа имеет место изоморфизм г|г. [X, S"]-*-
Нп(Х; Z). Кроме того, если пространство X я-мерно, то точная
последовательность Бокштейна, ассоциированная с последователь-
последовательностью коэффициентов
0-^Z-Z — Z8^0,
заканчивается группами ...->#"(Х; Z)— Hn(X\ Z) ^Hn(X; Z2)->0.
Поэтому для любого х<=Н"(Х; 7л) можно выбрать элемент х' е
Нп(Х; Z) о г^(х') = х и отображение Л: X-+S" с
Тогда
х = г*х' = г,Л* Ы = Л* (r+gn) = h* (gn),
так что
Для произвольного клеточного пространства X с «-мерным
остовом X" вложение i: X"->X индуцирует мономорфизм i*:
Нп(Х)-+Нп{Ха) и, следовательно, Sq°=l на X. Если же X —
произвольное топологическое пространство, то для доказательства
равенства Sq° == 1 используется клеточный эквивалент простран-
пространства X. Наконец, для произвольной пары (X, А) имеют место
изоморфизмы
Нп (X, А)^ Нп (X U С А, С А) -Й. Я" (X U С А),
так что относительный случай следует из абсолютного.

ГЛ. 18. АЛГЕБРА СТИНРОДА И ДВОЙСТВЕННАЯ К НЕЙ 815
Нам остается доказать лишь последнее свойство g). Пусть
Р: S(XxY)^S{X)®S{Y)
— цепная эквивалентность из теоремы 13.30 Эйленберга — Зиль-
бера и
a: S(X)®S(Y)^>S(XXY)
— обратная к ней цепная эквивалентность. Определим цепное
отображение г: W-*-W (x) W, полагая на образующих
г (до,) = 2 (~ * У1 WJ <8> Vwk
и продолжая его по линейности на весь комплекс W. Тогда ком-
композиция
S (X х Y) !&?> W ® W ® 5 (X) ® 5 (F) 12IM
S (X) (х) S (У) ® S (X) <g) S (К) -225.5 (X х Г) (g> S (X х К)
является цепным отображением, индуцирующим диагональный
гомоморфизм, и, следовательно, она цепно гомотопна отображе-
отображению Фхху- Заметим, что композиция а - р цепно гомотопна тожде-
тождественному отображению 1. Поэтому для любых коцикла с и
цикла а имеет место равенство с(а°р(а))=с(а). Аналогичное
равенство выполняется и для композиции р»о. Итак, для любых
коциклов се=5л(Х; Z2), de=Sm(F; Z2) и циклов a<sS(X; Zs),
b^S(Y; Z2) находим (по модулю 2)
[Sq'' (сх d)] (axb) = [Sq< p* (c(g)d)] a (a (g) 6) =
[p* {c®d)® p* (с О d)] фхху (wn+m4 (g) о (a ® 6)) -•
(g) 1). (r ® p)K+m_,- <g) a (a (g) fe))
/+ft—n+m—f
17*

816 ГЛ. 13. АЛГЕБРА СТИНРОДА И ДВОЙСТВЕННАЯ К НЕЙ
Так как любой элемент из H*(XxY) имеет вид 2{а*х^»} для
подходящих {а;} е Я# (X), {ЬД е Я,,, (У), то
Sq<(xxj/) = S
для всех х^.Н*(Х), y^H*(Y). Поэтому, чтобы получить фор-
формулу для w-умножения, остается лишь применить диагональ-
диагональное отображение. ?
Легко видеть, что для любого п из свойства е) вытекает ра-
равенство а • Sq" = Sq" • ст. Поэтому Sq' являются стабильными кого-
когомологическими операциями, т. е. Sq/eЛ*, t'SsO.
Перейдем теперь к вычислению алгебры А* = Н* (Я). Согласно
предложению 8.37 имеет место точная последовательность
О -> lim1 Я?*"-1 (Я„) -> W (Я) -»- lim° Я?+л (Я„) -> О,
п п
где гомоморфизмы обратной системы имеют вид
Я*+л (#„) -^ Я?+" (SHn-,) -i Я9+"-1 (//„.О,
т. е. согласно предложению 15.43 представимы в виде
Я*+л (Я.) — Я»-1""-1 (ОЯЯ) ~ Я^"-1 (Я„_х).
Так как пространство Я„ является (л — 1)-связным, то из п. 15.42
вытекает, что о' — изоморфизм при n>q-{-l. Следовательно,
lim1 Я'"^" (Я„) = 0 для любого ц, так что
Мы знаем, что Hi^UPco, и, значит, Я* (Я^^ЖгЭД. Вычис-
Вычислим по индукции Я* (Я„), используя спектральную последователь-
последовательность Лере —Серра расслоения
Пусть ц g Я" (Я„) — класс когомологий, соответствующий еди-
единице 1 е[Я„, Ял]; нетрудно видеть, что ii = x. В кольце Я* (Я2)
мы имеем элементы
i2, Sq112, Sq2 Sq112, Sq4 Sq2 Sq112,
Из определения гомоморфизма о' и того факта, что Sq' коммути-
коммутирует с б, вытекает, что Sq' коммутирует с а'. Кроме того, аЧ„ =*
1Л_1 для любого п^2. Следовательно,
1 Sq2*... Sq112) = Sq2*... Sq1

ГЛ. 18. АЛГЕБРА СТИНРОДА И ДВОЙСТВЕННАЯ К НЕЙ
517
X*
X3 -
F X2
x —
1
-__
-^_
X*l2-
~>X2l2
Xl2-
h
-* 2.2
X l2
^X]\
Vi2Sq42
Член Ея выглядит следующим образом:
Sql i2
0
1
Естественно предположить, что Я* (Я2) является алгеброй поли-
полиномов от образующих i2, Sq112, Sq2 Sq112, ...; это и в самом деле
так. Для доказательства можно использовать теорему 15.62 Бо-
реля. Действительно, при любом п^1 мы имеем
a'(Sq2 Sq2 ...Sq2Sq1i2) = x2 .
Но из замечания 15.59 вытекает, что элементы х, хг, х*, ...дг2",...
представляют собой простую систему образующих алгебры
Следовательно, применима теорема Бореля.
Для того чтобы рассмотреть случай п>2, введем некоторые
новые обозначения. Пусть / = (/ь k, ..., /^ — произвольная по-
последовательность целых чисел; равенство / = 0 означает, что / —
пустое множество. Положим Sq' = Sq'iSq'2.. .Sq1* (разумеется,
Sq°=l). Назовем последовательность / допустимой, если / = 0
или ij 5s 2t2, k ^ 2t3, ..-, is~i 5= 2is, is ^ 1 • Мономы Sq' с допу-
допустимой последовательностью / называются допустимыми мономами.
(Так как операции Sq' удовлетворяют так называемым соотно-
соотношениям Адема
[а/2]
Sq° Sq* =
c=0

518 ГЛ. 18. АЛГЕБРА СТИНРОДА И ДВОЙСТВЕННАЯ К НЕЙ
частным случаем которых является равенство 18.12,f), то ясно,
что любой моном Sq' выражается в виде линейной комбинации
допустимых мономов. Это замечание не существенно для даль-
дальнейшего, и мы сделали его лишь для того, чтобы пояснить, от-
откуда берется понятие допустимого монома.) Степенью последова-
последовательности I = (iu t'2, .... is) называется число d (I) = i, + !2 + ¦ • •
... + is, так что Sq; — когомологическая операция степени d(I).
Определим избыточность еA) последовательности / формулой
е (/) = (и - 2f2) + (i2 - 2i3) +... + (is-! - 2is) + is =
ii — h—... — is = 2ii -d(I).
Для последовательностей / = (fA, t2, ..., is), J = (ju /2, ..., U)
обозначим через 1J последовательность (tb h, ..., iSt /1, ..., /,).
Таким образом, Sq/y = Sq'»Sq-/. Ясно, что d(IJ) = d(I)-\-d(j\.
18.13. Упражнение. Показать, что
/<?(/)d(/), если
eUJ)-\e(J), если / = 0.
Вывести отсюда, что если х&Нп(Х, А) и е(/)>«, то Sq;x = 0.
18.14. Теорема. Алгебра Н* (//„) изоморфна алгебре поли-
полиномов от образующих Sq' in, где I — произвольная допустимая по-
последовательность с е (/) <С п.
Доказательство. Для п=\ теорема очевидна. Кроме
того, мы уже доказали ее для я = 2, так как условие е(/)<2
означает, что последовательность / либо пуста, либо имеет вид
B*-1, 2*-2, ..., 2, 1) для некоторого s. Докажем теорему в общем
случае индукцией по п.
Предположим, что для некоторого п теорема доказана, и пусть
*ь *г, • • • — некоторое упорядочение множества элементов Sq7 in,
где / допустима и еA)<.п. Пусть xi = Sakl in e H4i(Hn)\ тогда
qt = d(I)-\-n. Введем новую допустимую последовательность
I B'-% 2'-% .... 2q, q), rz&l,
/to'r)-\0, r-0.
Без труда проверяется, что
к d(J {q, r)) — qBr—l). Элементы {xf:t^\, r^O) составляют
простую систему образующих алгебры Н*(Нп)- Для xi = Sq/in
элемент х? может быть записан в виде
Поскольку

ГЛ. It. АЛГЕБРА СТИНРОДА И ДВОЙСТВЕННАЯ К НЕЙ 619
то, применяя теорему Бореля к расслоению Я„->-РЯл+1-»-Яя+1,
находим, что Я* (#n+i) является алгеброй полиномов от обра-
образующих
где / пробегает множество всех допустимых последовательностей
с е (/) <С п, г S= 0. Нетрудно видеть, что последовательность
J(n-\-d(I), г) I допустима; единственно, что нужно проверить —
это неравенство n-\-d(I)^s2ilt но оно вытекает из условия п>
e(I) = 2h — d(I). В силу упражнения 18.13 мы имеем
(/), г = 0,
Таким образом, e(/(« + d(/), r)/)<n+l для всех допустимых
последовательностей / с е(/)<п и rSsO. Поэтому теорема будет
доказана, если мы сумеем установить, что каждая допустимая
последовательность / с еA) = п может быть записана в виде
г) /'
для некоторых г>0и допустимой последовательности /' се(/')<п.
Для заданной последовательности / обозначим через г первый
номер, для которого ir>2ir+i. Тогда мы можем представить /
в виде
/ = У(/Г, г) Г,
где /' = (?г+ъ ir+2, ..., is). Разумеется, г Sal, так что
п = е (I) = е (У (ir, г)) - d (/') -= ir - d (/') > 2*r+1 - d (/') = e (/')•
Кроме того, t/- = n + <i(/')-П
Гомоморфизмы нашей обратной системы {Н9+гг (#„)} имеют вид
Н"+п (Нп) -— Я?+л EЯ„) -^ Я^"-1 (Я,,-!),
и все произведения в Я* (SHn) равны нулю в силу следствия
13.66. Поэтому гомоморфизмы обратной системы переводят в нуль
все произведения из Я* (Я„), и выживают лишь неразложимые
элементы, т. е. линейные комбинации элементов Sq7 in, e(I)<.n.
18.15. Теорема. Как векторное пространство А* = Н*(Н)
имеет Ъг-базис, состоящий из допустимых мономов Sq7. Следова-
Следовательно, А* порождается как алгебра элементами l=Sq°, Sq1,
Sq*, ...
Доказательство. В пункте, следующем за доказательст-
доказательством теоремы 18.12, было установлено, что Л*^Нш°Я* (Яя), где
л
морфизмы обратной системы имеют вид
+п (Я„) ^ Я?*"-1 {QHn) ^

520 ГЛ. 18. АЛГЕБРА СТИНРОДЛ И ДВОЙСТВЕННАЯ К НЕЙ
и а'— изоморфизм при n>q-\-l. Таким образом,
А" ^ li
п
для любого n>q.
В силу теоремы 18.14 векторное пространство Ял+? (#„) имеет
Za-базис, состоящий из элементов Sq' in, где / — допустимая по-
последовательность, d(I) = q и еA)<С.п. Но из условия d (I) = q<C.n.
автоматически вытекает, что еA)<.п. Поэтому можно утверждать,
что <Hn*q(Hn) имеет 2г-базис {Sq7 in: /—допустимая последова-
последовательность, d(I)=q}. Так как гомоморфизм А9-*¦ lim°Ял+?(Нп)
п
задается формулой 8 >—»- {6 (in)}, отсюда следует утверждение тео-
теоремы. ?
Поскольку А^ — Н^Щ) имеет конечный тип над Z2 (это сле-
следует из ^-теории Серра; см. [70], [72]), то формула универсаль-
универсальных коэффициентов показывает, что Л* = Н* {Н) представляет
собой векторное пространство Нот/,, (Я* (Я); Za), двойственное
к Л*. Займемся описанием алгебры А*.
Мы уже знаем, что Нг^иРх и Н^(Н{) имеет Ъг-бъзш Хи
Хъ, ..., двойственный к степеням {х'} полиномиальной образую-
образующей х из #* (#i) = Z2[Xl- Кроме того, Hi является Я-простран-
ством, и, значит, существуют умножение Понтрягина
и коумножение
Так как ц,°(*, l)~l~fi-(l, *), т. е. постоянное отображение*
является гомотопической единицей, то элемент \i* (x) должен
иметь вид fi* (x) = x(R) I + 1 (х)*- Но ц* — гомоморфизм колец,
следовательно,
Таким образом,
в противном случае.
Итак, мы получили, что
- (И±Ж\ У
Другими словами Н* (RP00) представляет собой так называемую
алгебру разделенных полиномов.

ГЛ. 18. АЛГЕБРА СТИНРОДА И ДВОЙСТВЕННАЯ К НЕЙ 521
Без труда проверяется, что элемент хк неразложим тогда и
только тогда, когда k = 2s для некоторого s.
Мы знаем, что гомоморфизмы обратной системы {Йд+„ (#„)}
переводят все разложимые элементы в нуль, поэтому лишь эле-
элементы x2s из H2s (Hi) имеют шанс выжить в Я* (Я). Обозначим
образ элемента x%s в H2s_x(H) через ^, s^l. Более подробно,
если i: H^->2Я — естественное отображение, то i^x2s = %s. С дру-
другой стороны,
/•Sq'-Sq'* = (*'' 6СЛИ / = B"а' 2' -. 2, !)-/(«, 1).
\ 0 в противном случае.
Следовательно,
<Sq', i> = ( (t)) ( 2>
J(" П. / = /(*,!).
0, /#У(Л, 1).
Таким образом, элемент \ъ двойствен к Sq-7**-1*.
Мы можем представить полученный результат в виде следую-
следующего равенства:
Sq'x=;? <Sq', h)*?-
s>0
На первый взгляд, это выражение не дает ничего нового. Заме-
Заметим, однако, что каждый элемент ае/!* является Ж
комбинацией мономов Sq7. Поэтому
18.16. aue = 2j (a> li)*2* Для всех о.^А*.
Рассмотрим теперь гомотопическое умножение (л: Я Д Я ->- Я.
Оно индуцирует коумножение
ф*: Н*(Н)->Н*(Н/\Н)д^Н*(Н)®Н*(Н).
18.17. Предложение. Пусть а е Л* = Я* (Я) н х, г/е
Я* (X) — произвольные элементы. Если Ф*а — ^ a.i % щ, то а (ху) =
с
Z to*) Ш-
i
Доказательство. Для любого элемента геЯ* (Z) —
[Z, Я]*, представленного отображением f: Z-*-%pH, определим
гомоморфизм г*: Я* (Н)-*-Н* (Z), полагая г* (a) = a(z). Другими
словами, если a = [g: Я->2»Я], то z* (a) = [2pg'f: Z-¦-2Р""'Я].
Тогда для любых хеЯ* (X), уеЯ* (F) имеет место коммута-

522 ГЛ. 18. АЛГЕБРА СТИНРОДА И ДВОЙСТВЕННАЯ К НЕЙ
тивная диаграмма
[Н,Н]*
(ХАУУ
а
[Н,Н]* ®г2[Н,Щ*^
где х Д у означает композицию X Д
и а(а®а') = а{х) /\а'(у), а, а'<=[Н, Я]*. Так как a(xf\y) =
(х Д у)* (а), то для доказательства предложения остается приме-
применить диагональный гомоморфизм Д*.П
Замечание. Доказанное предложение верно для любого
такого кольцевого спектра Е, что Е* (Е) (x)e*<s») Е* (Е)-*-
Е* (Е Д Е) — изоморфизм.
Пусть теперь X = R/)C°xR/):oX...xRP=o (я множителей) и pt:
X -> RP00 — проекция на i-й множитель. Положим г/г = р*(л;)(=
ЯМА").
18.18. Предложение. Для любого аеЛ* ыжеет лесто ра-
равенство
где а пробегает множество всех последовательностей целых чисел
вида а = (аь о^, .... ая) и ^а = ЦЦ¦ • • ?ая-
Доказательство. Будем доказывать это равенство индук-
индукцией по л; случай /г = 1 есть в точности формула 18.16. Пред-
Предположим, что результат доказан для п — 1. Тогда для любого п.
и любого а е А* с Ф*а = ^ а; ® а>' имеем
2 Urf
3,/
где о-(Pi, p\ P_i, /).D

ГЛ. 18. АЛГЕБРА СТИНРОДА И ДВОЙСТВЕННАЯ К НЕЙ 523
В алгебре Я* {X) зё Z2 [yi, Уъ, • • •, У Л содержится подалгебра S
симметрических полиномов. Основная теорема теории симметри-
симметрических полиномов утверждает, что S = "Zi[oi, ..., а„], где аь •-•
..., ап —элементарные симметрические полиномы, определяемые
равенством
П (' + «/;) = 2 °,(Уи ••-, У
В частности, ап — ухуъ...уп- Упорядочим мономы а^.-.о™" в S,
вводя на множестве последовательностей (ссь сс2, ..., а„) правый
лексикографический порядок. Более подробно, а*1...а*«>
o^i...а?", если а„>Р„ или если а„ = Р„ и ая_г>р>„_1, и т. д.
18.19. Предложение. Если 1 — допустимая последователь-
последовательность с d(I)^n, то Sq; а„ = а„-/)/, где Pi— симметрический по-
полином вида Pt = 0^0^...Oi -{-{члены меньших порядков}.
Доказательство. Используем индукцию по длине s по-
последовательности/. Если мы формально запишем Sq = Sq° + Sqx +
Sq2 + ..., то из формулы Картана 18.12, g) вытекает, что Sq —
кольцевой гомоморфизм:
Sq (xy) = Sq (x) ¦ Sq (у).
Таким образом,
Sq (о„) = Sq (П yi) = П (Scl tt> = П
V i / i
Следовательно, Sq' an = anat, что доказывает предложение
в случае s =1.
Предположим теперь, что результат справедлив для всех до-
допустимых последовательностей /' длины, меньшей s, и пусть /=
(ii, h, ..., is) — допустимая последовательность. Положим /' =
<t2, i8, .-., h)- Тогда формула Картана дает
и
Sq' (о„) = Sq'. Sq'' (о„) = Sq'- (anPr) = ? SqJ (а„) Sq'«->
+ Л OnOj Sq?' ~> (P/') = OnOiOi ... a; +
а„аг, (меньшие члены из /*/-)+ ^j anGjSqlt~J (Pr)-
Легко видеть, что в этом выражении onotloit...ol есть наиболь-
наибольшее (в смысле нашего порядка) слагаемое. П

624 ГЛ. 18. АЛГЕБРА СТИНРОДА И ДВОЙСТВЕННАЯ К НЕЙ
18.20. Теорема. Имеет место изоморфизм алгебр Хопфа
А^^Хг[^,и 1г, •••], где справа коумножение г|э задается на обра-
образующих формулой
Доказательство. Так как мономы onOiOi2...at линейно
независимы в S а Н* (X), то при d(I)^n элементы Sq' an также
линейно независимы. Если бы существовал такой элемент не А*,
что (а, §а) = 0 для любого монома |а от переменных |,-, то в силу
предложения 18.18 мы имели бы
для любого п. Но, как мы знаем, элемент а можно записать
в виде линейной комбинации a = ^c7Sq; с подходящими коэф-
фициентами С/еЖг- Таким образом, 0 = а(а„) = ^C/Sq'an для
/
всех п. Однако это равенство возможно лишь в случае, когда
С/ = 0 для всех /, т. е. когда а = 0. Следовательно, мономы от
переменных & аддитивно порождают Л*.
Мы можем устроить биекцию a: gT" ->- &>? между множеством оГ
допустимых последовательностей / и множеством &# всех после-
последовательностей вида a = (ab ..., а„), полагая
a(tb iit ..., is) = (i1 — 2U, i2 — 2i3, ..., is).
Пусть Г = ?*i...|>; тогда
Следовательно, для любой допустимой последовательности / мы
имеем degSq;=deggau). Таким образом, мономов \а данной степени
существует ровно столько, сколько имеется допустимых мономов
Sq' той же самой степени, так что |я должны быть линейно не-
независимыми. Это доказывает кольцевой изоморфизм
Чтобы установить формулу для г|э, вычислим сперва (ab) x
для а, бе Л*. Имеем
а(
\
к I к
Пусть Д2*: R/)M^-!RP'ox...xRPo0 — отображение, задаваемое фор-
формулой Aik(t) = (t, ..., t) (так называемая 2*-кратная диагональ).
2* раз

ГЛ. 18. АЛГЕБРА СТИНРОДА И ДВОЙСТВЕННАЯ К НЕЙ 525
Тогда х2к = №к*{уъ уг, ...уги). Поэтому
? {а, Ъ)
а
Все слагаемые в этой сумме равны нулю по модулю 2, исключая
случай, когда а имеет вид (/, /, ..., /) для некоторого /. Дейст-
Действительно, если Отфап для m<Ln, то слагаемое, соответствую-
соответствующее последовательности
а' = (аь .... а„, ..., ат, ...)
будет обратным для слагаемого, соответствующего а. Таким об-
образом,
Следовательно,
2 la 0 b, 2 Ef®Efc\
Но, с другой стороны,
Согласно предложению 17.11 для любых аеЛ*, у = Н*{Х),
и еЯ, (X) имеют место равенства
(ау, и) = 2 (а, е, <г/, и,» = 2 <а, в<> (у. Щ) =
2 (а (g)«/, е,- (g) «г) = (а (х) у, г|зи>.
Если мы положим здесь г/ = ЬеЯ*(Я), и = ЕяеЯ„(^ т0
Поскольку это равенство справедливо для всех a, be. А*, то
Итак, несмотря на то, что умножение в Л* некоммутативно
и довольно запутано, мультипликативная структура в А* очень
прозрачна. Разумеется, коумножение в Aif (двойственное к умно-
умножению в А*) устроено непросто, но все же формулу для ty

526 ГЛ. 18. АЛГЕБРА СТИНРОДА И ДВОЙСТВЕННАЯ К НЕЙ
запомнить значительно легче, чем соотношения Адема
[а/2]
Sq« Sq» =
с—О
Конечно же, умножение гр* в А* полностью определяется коумно-
жением я|\ так что в принципе можно вывести соотношения Адема
из свойств rjj. Однако это трудно и мы не станем делать никаких
попыток в этом направлении.
В заключение сформулируем соответствующие результаты для
спектра Я (Zp), р — нечетное простое число. Начнем с аналога
теоремы 18.12.
¦ 18.21. Теорема. Для любых г'Э=О, geZ, (X, Л) е #~2 су-
существует естественный гомоморфизм
Р1: НЦХ, A; ZP)-+W+* <*-» (X, Л; Z,),
обладающий следующими свойствами:
a) Р°=1;
b) если x<=Hin(X, A; Zp), то Рпх = хР\
c) если х<=Я"(Х, A; Zp), то Р!х=0 для 2i>n;
d) бР' = Р'б;
e) Р1(ху)= 2 PJx-P"y.
l + k-t
Для любого нечетного простого р имеется гомоморфизм Бок-
штейна р, ассоциированный с точной последовательностью коэф-
коэффициентов
Имеется простое описание пространства Я (Zp, 1)- Без труда
проверяется, что бесконечномерная сфера S°° стягиваема и что
на ней существует вполне разрывное свободное действие группы Zp.
Таким образом, L = SX/ZP есть Н (ZP, 1). Можно показать, что
Н* (I; Zp) ^ Е (х) Э Z,, [У], к е Я1 (L; Zp), У е Я2 (L; Zp),
где Р*= — г/, Р?/ = 0 и ? (х) обозначает внешнюю алгебру.
Рассмотрим последовательности 1 = (е0, &i, 8i, s2, ..., st, 8/,)
с Sj e IN, е,- = 0 или 1 и мономы
Последовательность / и моном Р1 называются допустимыми, если
Sj^psMi + e,-, t^l. Имеет место следующий аналог теоремы 18.15.
18.22. Теорема. А* = Н(Zp)* (H(ZP)) имеет Zp-базис, со-
состоящий из допустимых мономов Р>'.
Пусть \и е А„ «= Я (Zp)* (Я (Zp)) — элемент, двойственный к PJk,
где J* = @, р"-1, 0, р*-2, 0 О, р, 0, 1, 0) и т*е Л* -эле-
-элемент, двойственный к PJk, где Л = @, р"-1, 0, ..., /?, 0, 1, 1).

ГЛ. 18. АЛГЕБРА СТИНРОДА И ДВОЙСТВЕННАЯ К НЕЙ 627
Тогда
deg?ft = 2(p*-l), degx»-2p*-l.
Так как тк имеет нечетную степень, то т? = О для любого k. Эле-
Элементы г*, Ik можно описать так же, так образы элементов х, у
при естественном гомоморфизме
#*(?; ip)-^h^h{zp)\ zP).
18.23. Теорема. Имеет место изоморфизм алгебр Хопфа
A*=H(ZPh (H(ZP))^E(x0, Tlf ...)(g)Zp[gi, ?2, ..], где справа
коумножение i|) задается формулами
2 f 2 fV
Несмотря на полное сходство формулировок, не нужно думать,
что доказательства теорем 18.21 — 18.23 полностью аналогичны
доказательствам теорем 18.12, 18.15 и 18.20. Это одна из тех
довольно часто встречающихся в математике ситуаций, когда про-
простое число 2 является исключительным. Тем не менее, построе-
построение операций Р1 настолько аналогично вышеизложенному постро-
построению операций Sq\ что в работе [75] эти построения излагаются
параллельно.
18.24. Следующий пример показывает, как работают когомо-
когомологические операции в теории гомотопий. Предположим, что ото-
отображение /: Sn-1-*-Sm гомотопно постоянному отображению /0.
Нетрудно проверить, что тогда пространство X = Sm\jfen гомо-
топичёски эквивалентно Sm \J[ten = SKl \/Sn. Векторное простран-
пространство Н* (X; 2г) имеет две образующие над Z2* х е Н'п (X; Жг) и
у<=Йп(Х; Z0, а так как X~Sm\/Sn, то
Й* (X; Zi) ^ Н* (Sm; Z,) 0 Я* Eя; Z2).
В самом деле, проекция р: Sm\/^'1^"'5m переводит образующую
gm(=Hm(Sm\ Zs) в х<=Нт(Х, Zi). Таким образом, для as Л»,
q > 0, мы имеем ах = ар* (gm) = p* (agm) — р* @)=0. Следовательно,
если для некоторого отображения /: 5"-1-^-Sm существует аевА*
с ах = у, то /9е/с
В качестве примера покажем, что надстройка S-n: 5* ->-S3 ото-
отображения Хопфа ц: 83-+8* не гомотопна постоянному отобра-
отображению. Этот результат не следует из теоремы Фрейденталя о над-
надстройке, так как гомоморфизм 2: л3E2, *)-*-л4E3, *) не явля-
является мономорфизмом. Пространство X==S2[}1]ei есть не что иное,
как (DP2, и поэтому Н* (X; Zi)^Z2[y]l{y3). В частности, у2 =
Sq2 у. Далее, SX = S3 \J Sr\ е6, и существуют образующие х =
о-1 (у) s Й3 (SX; Zi), г = а-1 (г/2) е Я5. Из стабильности опера-
операции oq2 вытекает, что
Sq2 х = Sq2 a-1 (у) = a-1 Sq2 (у) = о-1 (г/2) = г.

528 ГЛ. 18. АЛГЕБРА СТИНРОДА И ДВОЙСТВЕННАЯ К НЕЙ
Следовательно, 5т] не гомотопно постоянному отображению. На
самом деле можно показать, что л4E3, *)^ZaH, значит, группа
л4E3, *) порождена элементом [Si]].
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В этой главе я отклонился от тех идей, на которых основы-
основывались вычисления алгебр Е*(Е), E = MU, MSp, К, КО. Если
бы проводить вычисления алгебры А* в духе главы 17, мы дол-
должны были бы вычислить H^(H(Zp, n); Zp) для п^\, а затем
перейти к пределу: Hg(H(Zp); ZP) = dir \imHg+n(H(Zp, n); ZP)
n
Иными словами, мы должны были бы использовать метод Кар-
Картана [37]. Избранный мною подход мотивирован тем, что мне не
удалось изложить подходящую технику из гомологической алгебры
в достаточно простой форме. Достоинством его является тот факт,
что мы в явном виде строим квадраты Стинрода, а не вводим их
как некоторые элементы в двойственном базисе для А*. Однако
таким путем вряд ли можно получить доказательство теоремы 18.23
для простых нечетных чисел1). Поэтому я очень рекомендую
любознательному читателю заглянуть в труды семинара Картана.
ССЫЛКИ НА ЛИТЕРАТУРУ
1. Картан [37].
2. Милнор [55].
3. Мошер, Таигора [62].
4. Серр [69].
5. Спеньер [72].
6. Стинрод, Эпстейн [75].
См. по этому поводу работу М. М. Постникова [7*].— Прим. ред.

ГЛАВА 19
СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АДАМСА
И е-ИНВАРИАНТ
Как уже отмечалось в главе 17, алгебры Хопфа А (Е)* =Е^ (Е)
и А (Е)*=Е*(Е) оказываются очень полезными при доказатель-
доказательстве несуществования отображений /: Х-»-У с заданными свой-
свойствами (если такое отображение f существует, то гомоморфизм
/*:.?* (X) ->?* (У) должен быть А (/^„.-линейным). Кроме того,
в некоторых случаях эти алгебры позволяют получить удовлетво-
удовлетворительное описание образов гомоморфизма Гуревича
Н: [X, KJ-». Нот (?„(*). Е* (Y))
и гомоморфизма Бордмана
В: [X, У]->Нот(?*(У). Е*(Х)).
Однако возможности алгебр Хопфа А (?)* и А (Е)* простираются
значительно дальше. Адамсу удалось показать, что с их помощью
можно получить различные теоремы существования. Именно, Адаме
построил спектральную последовательность
ExtSH,'(?)(?*(*). Et(Y))=>[X, У]*,
член Ег которой имеет чисто алгебраическую природу
(ExtE.'fE, (?„. {X), ?* (У)) представляют собой производные функ-
функторы для Нопгв, (?)(?„, (X), E^'yY))) и которая сходится к полу-
полугеометрическому объекту [X, Y]n = [2"А\ У]. Краевой гомоморфизм
этой спектральной последовательности совпадает с гомоморфизмом
Гуревича
Н: [X, У],?
Другими словами, структуры Е% (?')-комодулей на Е% (X), Е% (У)
почти определяют (не забудьте о дифференциалах!) группы [X, У]*.
Спектральную последовательность Адамса, как она тради-
традиционно называется, можно рассматривать и с иной точки зрения.
Именно, можно считать, что эта спектральная последовательность
измеряет отклонение гомоморфизма Гуревича от изоморфизма.
Подобно формуле 13.31 Кюннета, спектральная последователь-
последовательность Адамса является смесью алгебры (Ext**(M, N)) и геометрии
([X, У]*). Мы начнем с необходимой-алгебраической подготовки.
В главе 13 было показано, как неточность функтора Нот (—, —)
приводит к производному функтору Ext (А, В) абелевых групп А, В.
Аналогичная конструкция годится и для произвольных левых

630 ГЛ. 19. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АДАМСА
модулей М, N над кольцом R, с той лишь оговоркой, что, вообще
говоря, мы при этом получим целую вереницу производных
функторов Ext&(—, —), pS=0.
19.1. Определение, ^-модуль Р называется проективным,
если для любой диаграммы модулей
(у — эпиморфизм) существует такой гомоморфизм /^-модулей
я*: Р-+В, что у'п' — п.
19.2. Пример. Каждый свободный /^-модуль проективен.
Теперь мы в состоянии построить модули Ext"R(M, N). С этой
целью рассмотрим проективную резольвенту модуля М, т. е.
такую точную последовательность #-модулей
0 ч- М ~ Хо ^ Хг &- Х2 ¦*- ...,
в которой все модули Xk (k ^ 0) проективны. Такая резольвента
всегда существует; более того, мы можем даже сделать все модули Xk
свободными. Действительно, возьмем в качестве Хп свободный
^-модуль, порожденный всеми элементами из М, и пусть г —
очевидный гомоморфизм. Применив эту же конструкцию к kere,
получим эпиморфизм Хг — ker е со свободным модулем Xi и т. д.
Итак, пусть задана проективная резольвента модуля М
Тогда для любого ^-модуля N мы имеем коцепной комплекс
Нот*(Хо, N)^Нот*(Хь N)^ Нот*(Х2, N)->...
Рассмотрим когомологии этого комплекса и положим
Ext"R(M, N) = H
Тот факт, что это определение не зависит от выбора проективной
резольвенты, требует дополнительного исследования.
Пусть /: М -> М' — некоторый ^-гомоморфизм и
0 1*8 v do v d\ V
fjf fit
П^ Л/Г' е V ° V 1 V '
— проективные резольвенты модулей М и М' соответственно.
Если рассматривать {Xt, dt) и {X'i, d'i\ как цепные комплексы,
то можно найти такое цепное отображение {/*: Х;->Х/}, что
е'=/0=/«е, и любые два таких цепных отображения цепно гомо-

ГЛ. 1в. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АДАМСА 531
топны. Это утверждение доказывается точно так же, как теоре-
теорема 13.26 об ацикличных моделях. Тот факт, что модули Xit
вообще говоря, не свободны, не имеет здесь большого значения:
для доказательства вполне достаточно проективности. Полагая
/=1аь мы видим, что любые две проективные резольвенты моду-
модуля М цепно эквивалентны и, следовательно, модули Ext? (M, N) ¦
определены корректно.
Для произвольного /: М^-М' цепное отображение {Д} задает
гомоморфизм
1): ExtnR(M', N)-+ExtpR(M, N), p^O
Если g: M' -> M" — другой ^-гомоморфизм, то легко видеть, что
Extfctf, l)°Ext&(g, l)=»Ext&fe./, 1). Кроме того, ExtR(l, 1) = 1,
так что Ext& (—, —) является кофунктором относительно пер-
первого аргумента. Легко видеть, что Ext%(—, —)—функтор отно-
относительно второго аргумента.
19.3. Предложение. Функторы Ext?.(—, —) обладают
следующими свойствами:
Г) Ex\R(M, N) = HomR(M, Л');
ii) если модуль М проективен, то ExtR(M, Л/) = 0 для р>0;
Hi) любая точная последовательность R-модулей
индуцирует длинную точную последовательность
О->Нот/?(М, Ni)-*-HomR(M, N2)-*¦ Нотл(М, N9)
ExVR(M, Ni)-
ExtpR(M,
Доказательство, i) Так как отрезок 0¦*-М¦*-Хпч-Xi
проективной резольвенты модуля М является точной последова-
последовательностью, то
HomR(M, N) = ker Horn (do, 1) = Н°(Нотк{Хщ, N)) =
Ext>R(M, N).
ii) Если модуль М проективен, то 0-<-М ^-М -*-0 является
его проективной резольвентой, и поэтому ExtR(M, Л') = 0
для р>0.
iii) Поскольку модули Xt проективны, мы получаем короткую
точную последовательность цепных комплексов
так что предложение 19.3, iii) —это порожденная ею точная кого-
когомологическая последовательность.

532 ГЛ. 19. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АДАМСА
Изложенная конструкция допускает следующее важное обобще-
обобщение. Пусть R — градуированное коммутативное кольцо с единицей,
А — градуированная алгебра над R и М, /V —левые градуирован-
градуированные Л-модули. Тогда определены группы Нотл (М, N) гомомор-
гомоморфизмов Л-модулей /: M-*-N степени q, т. е. /(М„) с= Nn+q, Z
Взяв резольвенту модуля М
в которой все Xi являются градуированными проективными
Л-модулями (определение проективности в категории градуиро-
градуированных модулей формально такое же, как в категории модулей),
мы получим для каждого ^eZ коцепной комплекс
Тогда
ExtPA4(M, Л/) = HP(Hom"A(Xtt Л/)), р^О, geZ.
19.4. Определение. Если ф: А (х)/? А-+¦ А — умножение
в ^-алгебре А и V — некоторый ^-модуль, то можно снабдить
А (Х)д V структурой Л-модуля, задавая действие А на A g)# V
с помощью композиции отображений
Модули вида A (g)R V называются расширенными Л-модулями.
Расширенные Л-модули удобны по следующей причине.
19.5. Предложение. Для произвольных R-модуля V и А-мо-
дуля N существует естественный изоморфизм
Ф: Ноли (Л <8)Л К, N)9^Hom"R(V, A/), ?eZ.
Если А является плоским R-модулем, то имеет место естествен-
естественный изоморфизм
(V\ Л'), p^O.g
Доказательство. Определим гомоморфизмы
Ф: Нот'л (Л (Я)* V, N)-+Нот% (V, N),
У: HomJUV, N)^Hom"A(A®RV, N),
полагая
Ф(/) (v) = /A (g)v), f eНот?, (Л ®« V, N), »е
Hom%(V, N),a<=A, и «
Очевидно, что эти гомоморфизмы обратны друг другу.
Существует более изысканное описание гомоморфизмов Фи?,
достоинством которого является то, что оно допускает естественную

ГЛ. 19. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АДАМСА 533
луализацию. Пусть r\: R ->¦ А — единица алгебры А. Тогда Ф(/)
является композицией
V^R^rV^A^V-^N.
Обозначим Л-действие на N через (f>N: A (g)# N -> N. Тогда W (g)
представляет собой композицию
Предположим теперь, что А является плоским ^-модулем,
и пусть
0*-V*-Uo+-Ui*-...
— проективная резольвента /^-модуля V. Тогда
является проективной резольвентой Л-модуля А (§)# V (покажите,
что Л-модули A 0R Ui проективны!). Таким образом, можно
вычислять ExtPA " (Л ®д V, N), используя коцепной комплекс
Нот' (Л (х)я Ui, N)~Нот%\иh N), откуда немедленно следует
изоморфизм
(Л ®л V, N) ^ Extfc * (V, N). D
Мы можем теперь дуализировать все введенные выше понятия
и конструкции. Рассмотрим коалгебру С над R и С-комодули К, L.
Пусть
О ч- К -«- ^о ¦*- Хг ч- Х2 ч-...
— резольвента для /С, все члены X,- которой являются проектив-
проективными С-комодулями (определение проективного комодуля фор-
формально ничем не отличается от определения проективного модуля).
Положим
Extpcg(K, LH
19.6. Определение. Если г)з: С-*-С(х)дС — коумножение
в С и У — некоторый ^-модуль, то можно снабдить С ®л V струк-
структурой С-комодуля, задавая кодействие С на C(x)rV с помощью
композиции отображений
С®R V Ф± (С®RС) ®ЯУ^С®R (С ®* V).
Произвольный С-комодуль такого вида называется расширенным
С-комодулем.
19.7. Предложение. Для любых R-модуля V и С-комодуля
К существует естественный изоморфизм
Ф: UomUK, C®RV)S*Hom%(K, V), q<=Z.

83* ГЛ. 19. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АДАМСА
Следовательно, имеют место естественные изоморфизмы
Extpcq(K, C®RV)^ExtpRq(K, V),
Доказательство. Взаимно обратные изоморфизмы Ф иТ
получаются дуализацией конструкции предложения 19.5. Если
— проективная резольвента С-комодуля К, то
Extpcq(K, C®RV) = Hp(RomQc(X*, C®RV))g*
№(Пот%{Х„ V)).
Пусть у: А -у В — некоторый эпиморфизм R -модулей А, В.
Тогда квадрат
UomqR(X,,A) >
П II?
„ С ®к В)
коммутативен. Так как последовательность
точна и С-комодули Х{ проективны над С, то отображение
Homc(Xi, С ®R A) -*- Home (Xit C(g)RB) является эпиморфизмом.
Следовательно, отображение Нот« (X,-, А) -*- Нот« (X,-, В) — также
эпиморфизм, и, значит, ^-модули Хг проективны над R. Но тогда
Н'{Ъ<т%{Х„ V))^ExtR-q(K, V).D
При некоторых ограничениях на модуль К возможна иная
конструкция функтора Extpc"(K, L), которая будет полезна для
построения спектральной последовательности Адамса.
19.8. Предложение. Предположим, что С-комодуль К явля-
является проективным R-модулем. Тогда возможна следующая конст-
конструкция для Ext с' * (К, L): если
— точная последовательность- С-ко люду лей {где Vi —произвольные
R-модули), то
Extpc"(K, L)g*Hp{g )
Доказательство. Положим
Qi = ira [С ®я Vi-i ->¦ С ®« Vt] = ker [С ®R Vt -+ С ®R Vi+1].

ГЛ. 19. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АДАМСА 835
Тогда получаются короткие точные последовательности
0_>L -+C<g)RVo-+Qi^0,
О -> Qi -*¦ С ®я Vi -> Qt -»- О,
Эти короткие точные последовательности определяют длинную
точную последовательность
Так как #-модуль К проективен, то Extg' " (К, С (g)# Vi) ~
Ext^' * (К, Vi) при р ^ 1. Таким образом, мы получаем изоморфизм
Ext?' " (К, Qt) 3* Extg" '• • (/С, Q»i), P ^ 2.
В частности,
Ext&'(/C, I)^Extg-ь *(/С, Qi)^...^Ext{; "(К, QP-i).
Кроме того, мы имеем, точные последовательности
Hom?(/(, C(g)RVi)^HomS(/C, Qp)->Ext{i "(К, QP-i)-^0
и
0->HomS(/C, (?р)->НотМ/С, С<S>RVp)
Поэтому
ti-* (/С, Qp-iHHomH/C, Qp)/im HomS (/С,
im [Нот* (^С, С ®R V^ -+ Нот* (К. С ®R Vp) J ~
7,)). П
Этим завершается наше алгебраическое введение. Обратимся теперь
к геометрии. Мы начали эту главу с описания наиболее общей
формы спектральной последовательности Адамса: ее член Ег имеет
вид El' ' = Ext?,'(?) (?* (X), Е^ (Y)), и она сходится к [X, У]„
(при некоторых ограничениях на Е). На практике эта общая
форма спектральной последовательности Адамса почти никогда
не используется; обычно полагают X = 5° и получают спектральную
последовательность, сходящуюся к nf(Y). Так что, если для
начала взять X = S°, то мы сможем оградить себя от многих
сложных деталей, сохранив при этом все существенные идеи.
19.9. Теорема. Пусть Е — такой кольцевой спектр, что
?„, (Е) является плоским Ё^ E°)-модулем. Для любого спектра Y
существует спектральная последовательность {Es/ ', dr], обладающая
следующими свойствами:

636 ГЛ. 19. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АДАМСА
i) дифференциал dr имеет вид dr: Esr' ' -*-Esr+r' '+г~х при
всех г, s, t;
и) ?sa''^ExtS?,<(?)(?*(S°). E*(Y)Y,
iii) ?sr+ic?*' ' для r>s-\- 1, так что можно ввести
E°J= П #'•
Существуют фильтрация
пп(У) = [2*S°, У] = F°-nidЯ'л+1 DP.»+!r>...DР-"+*id...
и
iv) мономорфизм O-+Fs-</Fs+1-'+1-+Esm', ss*0.
Краевой гомоморфизм пп(Y)->Е°^п-*Е\' п^Honi?,{e)(•?* E°),
?„, (У)) совпадает с гомоморфизмом Гуревича.
19.10. Замечание. В теореме не утверждается, что данная
спектральная последовательность .сходится к я* (Y); для этого
необходимо обращение в нуль следующих групп:
a) Л*-' = coker [/=•*]
b) Dn= p| F*-n+*
Если As-f = 0 для всех s, ^, то можно определить на группе
пп (Y)/Dn фильтрацию
л„ (Y)/Dn = F°'nZD F1-^1 zd ... id Fs~ n+s =)...,
где ps'n+s~Fs'n+*/D", s^=0. Тогда мы по-прежнему будем иметь
p,(/,p+un^p,(/fw,w~^' для всех s> ^
но в то же время f]Fs'' = O. Таким образом, если А*<1 обращается
в нуль, то спектральная последовательность сходится к группам
YyD*
Далее мы покажем, что для Е = Н (Zp) группы As'' равны
нулю, a D" представляет собой подгруппу в пп (Y), состоящую
из всех элементов конечных и взаимно простых с р порядков.
В общем случае приходится вводить дополнительные ограничения
на ? и У", гарантирующие выполнение условия А5-' = 0 для
всех s, t.
Доказательство теоремы 19.9. Ясно, что Ё^ (S0) как
модуль над кольцом Ё% (S0) проективен и даже свободен. Поэтому
мы можем использовать для вычисления Extc ' (Я* E°), Е* (У))
предложение 19.8: все, что нам нужно,—это найти резольвенту
состоящую из расширенных С-комодулей, где R = Ё% E°),
С = Е% (Е). Это соображение приводит к следующей конструкции.
Пусть Уо = У- Рассмотрим корасслоенную последовательность

ГЛ. 19. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АДАМСА 537
где /о — композиция Yo ?ё S0 Д Yo ^Al ? д у0. Повторим этот процесс:
если пространство Уя уже построено, то корасслоенная после-
последовательность
определяет пространство Yn+1.
Заметим, что диаграмма
1
+ njEAYJ
где [д. — умножение в Е, коммутативна. Следовательно,
— мономорфизм. Таким образом, точная последовательность
... -у Ед (У.) -+ Ед (Е Д Yn) -> Eq (Ул+1) -> Ег1 (У,) ->...
расщепляется на короткие точные последовательности
О -»- ?в (У„) -* ?9 (? Д Уя) -+ ?, (У„+1) -+ 0.
Склеивая их вместе, мы получаем длинную точную последова-
последовательность
Более того, согласно слабой теореме 13.75 Кюннета
и поэтому комоду ли ?#(?ДУ„) в действительности являются
расширенными С-комодулями. Таким образом, мы получаем
резольвенту, подходящую для построения Extc ', и, значит,
Спектр У„ доставляет нам последовательность
У = Уо ч- 2-iyj -с
называемую фильтрацией Адамса пространства Y. Ее можно пре-
превратить в фильтрацию в обычном смысле, заменяя У бесконечным
телескопом отображений. Обозначим через YslYs- кослой корасслое-
ния^-^'Уз'-^Уу для s<;s'. В частности, мы имеем YJYS+1~Ef\Ys-
Теперь мы, в соответствии с общей схемой построения спектраль-
спектральной последовательности по фильтрации, можем построить спект-

638 ГЛ. 19. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АДАМСА
ральную последовательность, ассоциированную с фильтрацией
Адамса пространства У.
Положим
Zs/ ' = im К (Ys/Ys+r) -* щ (У,/У,+1)];
где А представляет собой композицию
nt-r+i (Ys-r*iIYs) -> щ (Ys) -> л, (Ys/Ys
r>s+1\
Тогда имеют место включения
= Dj CDj С. . . С D, CZ: ?5^-f 1 CZ . ..
Например, включение Bs/ 'с: B'r'+i следует из коммутативности
в которой /: У^_г+1/У^->У^-,-/У^ индуцировано отображениями
1: Ys-+Ys и S-i-Ys-r+i-t-Ys-r. Обозначим через Z»' пересечение
Zb'= П z'''- Тогда
%' с= Z^,' с Zs/ ' для всех г.
Положим
?S, I rji, tinS, t C%,t rw%, (,n!, t
Г =/f /iff , Coo =^co /Ooo •
Так как В%' = В$/' при r>s+l, то существует мономорфизм
/¦>« + !

ГЛ. 19. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АДАМСА
Из коммутативности диаграммы
539
вытекает, что F
точную последовательность
^Z^'/B^'. Таким образом, мы получаем
которая превратится в точную последовательность
О -^ F*.'/F*+i• '+1 -* ^' -> Z% lll%l -> О,
если показать, что Z&'/Z& =AS-'. Для этого рассмотрим комму-
коммутативную диаграмму
n,{YtlY,.r) - лДы'У,+,-1
все «вертикальные» последовательности которой точны. Из этой
диаграммы извлекается точная последовательность
Т. е. Л — Лео //.и •

<Г'4О ГЛ. 19. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АДАМСА
Используя рассуждения, аналогичные тем, которые применя-
применялись при доказательстве теоремы 3.20, можно показать, что
в коммутативной диаграмме
ж,{YJYs+l)
+r-li Ys+rl 'stttl)
строка и столбец являются точными последовательностями троек.
Отсюда вытекает, что
Определим теперь дифференциал dr как гомоморфизм в коммута-
коммутативной диаграмме
Z* МО»' 7slC7s'r ~ nt+r и-г-1 i пи-г и-г-1 МО"° -rs+r.t+r-\/ps+r .и-г- I
Из определения немедленно следует, что
ker d, = Zb4!/Bs/ ', im dr = B6/^ ,/B?- '.
Таким образом,
Заметим, что ?{'' = Zj1' = щ (Ys/Ys+1) = л< (ЕД F,), а дифференциал
dt — не что иное, как отображение

ГЛ. 19. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АДАМСА 541
Более того, мы имеем коммутативную диаграмму
Далее, для любого спектра Z гомоморфизм Гуревича
является изоморфизмом. Это вытекает из коммутативности диа-
диаграммы
я'(?л2>
Hom<i(?,(S0),?,(
Итак, мы видим, что комплекс
р8 —1. < di pS, < dx ps + 1, t
...—*~jzi —• Hi —'Hi
цепно изоморфен коцепному комплексу {Home (E* (S0), Е# (Е Д Ys))},
используемому при вычислении групп Extc ' (?* (S0), Е^
Следовательно,
После всего сказанного утверждение о краевом гомоморфизме
практически очевидно.
Докажем теперь естественность рассмотренной выше конструк-
конструкции. В процессе доказательства обнаружится, что спектральная
последовательность не зависит от выбора фильтрации Адамса.

542 ГЛ. 19. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АДАМСА
Пусть /: Y -*-Y' — некоторое отображение. Тогда мы имеем
диаграмму
Согласно лемме 8.31 можно дополнить ее таким отображением
f\. Y\ -> Y[, что в результате она станет гомотопически коммута-
коммутативной. По индукции построим отображения ft: Yi-*-Y[ для всех
i э= 0. Отображения ft определяют морфизм спектральных после-
последовательностей. Неверно, что ft определены однозначно (хотя бы
с точностью до гомотопии), однако различные их выборы приводят
к цепно гомотопным отображениям щ(Е/\Yi)->-nt(EДУ!) и, сле-
следовательно, к одному и тому же отображению членов Еъ. А это
в свою очередь означает, что два отображения спектральных
последовательностей совпадают на всех членах Еп г Ss2. Кроме
того, если / = 1: Y-*-Y, то мы получаем цепную гомотопическую
эквивалентность членов ?i спектральных последовательностей,
построенных по двум различным фильтрациям Адамса. Следова-
Следовательно, все члены Ег при г^=2 изоморфны. ?
Изучим теперь условия, гарантирующие сходимость спектраль-
спектральной последовательности Адамса.
19.11. Предложение. Если пд (S0)-^ лд (Е) — изоморфизм
при q^O, эпиморфизм при q—1 и если, кроме того, я?(У) = 0
при q<Z.N, где N —некоторое целое число, то As-t***Ds = 0 для
всех s, t и, значит, спектральная последовательность Адамса схо-
сходится к л„. (У) (см. замечание 19.10).
Замечание. Первое предположение означает, что
0, <?<0,
1л или 0, q = 1.
Спектры E = MU и E = MSp удовлетворяют этому предполо-
предположению.
Доказательство. Покажем вначале индукцией по п, что
лг (У„) = 0 для г < N + 2я, замечая, что это утверждение верно
при п = 0. Пусть яг(Ул) = 0 для г < N + 2/1. Тогда имеет место
точная последовательность
^л) ** л2л+ЛГ+1 (Е Д Ул) —*" Я2Л+ЛГ+1 (Ул+l) ~*"
\AД1)# / rj" д \г \ /V \ тт i V \ П
Согласно теореме 7.55 гомоморфизм Гуревича

ГЛ. 19. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АДАМСА 543
является изоморфизмом при q^N-{-2n и эпиморфизмом при
q = N + 2n + l. Следовательно, п2л+лг+1 (Уя+1) == я2л+л-(Уя+1) = 0, что
завершает шаг индукции.
Таким образом, nt+r (Ys+r+i)=0 при г >-1—2s—N — 2. Поскольку
А'-' = im [л, (Ys/Ys^) -> я, (YM)] П
f) tm[n,4.r(yJ+r+i)-»-n<(y,+1)],
то A*-' = 0 для всех s, ?. Аналогично, лл+Л(Кг) = 0 при г>п — N,
и поэтому
Рассмотрим теперь еще один важный пример, а именно, спектр
Е = Н (Zp), который не удовлетворяет условиям предложения 19 11.
Покажем, что в этом случае Asj = 0, а группы D* явно вычислимы.
19.12. Предложение. Если E = H(ZP) и nq{Y) = 0 при
q<Z.N, где N —некоторое целое число, то элемент из лп(У) содер-
содержится в D"= f*| Fr'n+r cz nn(Y) тогда и только тогда, когда он
делится на ps для каждого ss^O. Если, кроме того, Н#(Y) имеет
конечный тип, то подгруппа D* группы я* (Y) состоит из всех
элементов конечных взаимно простых с р порядков, и ASJ = 0 для
всех s, t. Таким образом, спектральная последовательность Адамса
сходится к р-примарной части рп% (Y) = n!lf (Y)/D* группы л* (У).
Доказательство. Ранее мы показали, что Yn^E/\Yn
индуцирует мономорфизм ?# (У„)—— Е„. (Е/\ Уп), откуда, в свою
очередь, вытекает, что Е^ B-лУп+г) ->-?* (У„) — нулевое отобра-
отображение для всех п.
Примем в качестве предположения индукции следующее утвер-
утверждение: если хея„(У) делится на ps~x, то jtsp-J-w-i для
всех п и У'. Это утверждение тривиально для s=l. Пусть теперь
для некоторого Y элемент x^nn(Y) делится на ps; скажем,
х=р*у, где у е пп (Y). Тогда (i/\ 1), (ру)=р (сД 1)* (у) еЯл (У; Z,,),
т. е. AД 1)* (ру) = 0. Значит, поскольку
является корасслоенной последовательностью, найдется элемент
zensB4Fi) = iij+1(^i) в ?1*2 = рг/. Таким образом, н* (p*~M =
ps-Hi^. (z) = psy = x. Так как
служит фильтрацией Адамса пространства Кь то, применяя пред-
предположение индукции к ps~h snn+i(Fi), мы заключаем, что суще-
существует w<=na+s(Ys) с

644
ГЛ. 19. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АДАМСА
Следовательно, ii*^*-...-/.^ (w) = ii* (ps-1z) = x, т. е.
Это завершает шаг индукции.
Обратное утверждение доказывается несколько сложнее. Пред-
Предположим, что некоторый элемент лея,(Y) не делится на ps для
какого-либо s. Покажем, что тогда найдется t, при котором
x^F'-n+e. Пользуясь тем, что морфизмы спектров можно склады-
складывать, рассмотрим морфизм Y — Y — сумму р3 экземпляров морфиз-
ма 1/. Индуцированный этим отображением гомоморфизм гомото-
гомотопических групп л# (У)-у л* (Y) представляет собой умножение
на ps. Пусть W — кослой морфизма ps: Y-+Y. Из точности гомо-
гомотопической последовательности для YS-+Y 1~W получаем, что
л9 (W) = 0 при q<N. Кроме того, мы имеем короткую точную
последовательность
Поскольку ps (coker ps) = ps (ker ps) = 0, то pisn^()
Построим теперь одну фильтрацию пространства W. Пусть
лт — его первая ненулевая гомотопическая группа (мы знаем, что
m^N). Согласно теореме 6.39, точнее, ее аналогу для спектров,
гомоморфизм лт (W) -> пт (W) (х) Ър может быть реализован отобра-
отображением W ->ЕтЯ (ят 0 Ър)- Пусть Wi — кослой этого отобра-
отображения, т. е.
(где Wo = W) — корасслоенная последовательность. Точная гомото-
гомотопическая последовательность в данном случае имеет вид
0 -> лт+1 (Wt) -+ пт (W) -
откуда вытекает, что пт+1 (Wt) зёрлт [Wo). Итак, р^^п^х (Wt) = 0;
кроме того, p2snr(Wi) = 0 при r>m+ 1 и nr(Wi) = 0 при /-<т+ 1.
Таким образом, мы можем повторять эту процедуру до тех пор,
пока выполняются равенства лт+2^ (W2s) = 0. P2snr (W2s) = 0 при
r>m + 2s и nr(Wis) = 0 при /-<m + 2s. Затем вновь примемся
за работу и, убив группу nm+is+i (W2s) = 0, в конечном итоге най-
найдем такое t, что птМ (Wt) = 0.
Докажем теперь существование таких отображений fs: Ys-*- W
что /0 = / и диаграммы
s,
7a

ГЛ. 19. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АДАМСА 545
гомотопически коммутативны при всех s^O. Мы имеем корас-
слоенные последовательности
' (п„ (Ws) ® ZP),
определяющие пространства Wsii и Ys+i соответственно. В самом
начале доказательства было отмечено, что все отображения
(tJ+i)*: #* (E^Km; Zp)-»-//* (Ys; Zp) являются нулевыми. Фор-
Формула универсальных коэффициентов
H*(YS; ak{Ws)®ZP)QzHomzp(Ht(Yt; ZP), nk(Ws)'$ZP)
показывает, что также и t7+i=0 на II* (Ys; nk(Ws)(g)Zp)- Если
мы рассмотрим класс
[js]z=[Ws, 2*tf(:MW,)<g>Z,)] = //*(lP/. nk(W,)(g)ZP)
как элемент группы когомологий, то
[/, • /, • is л] = (fs • is+i)* [js\ = it+, ¦ ft [/Л = 0.
Ho [}s'fs'is+i] можно представить в виде js*\fs'isn], а после-
последовательность
точна. Поэтому из равенства /,*[/*• t, и] = 0 вытекает, что
для некоторого элемента [S-V^ile^-1^,!, 2-4fJ+1]. Таким
образом, мы можем построить отображения fs по индукции для
всех номеров s.
Предположим теперь, что xef'-""' для найденного выше
значения /. Тогда имеет место коммутативная диаграмма
'*
TtniY) -?-+ п„(У) — >¦ nJiW)
сточной нижней строкой. Тот факт, что *ёЯ'" + ', означает
существование элемента 1/еялй(У,) с i,(/ = i Таким образом,
f*x = i'*°ftx(y) = O, и поскольку нижняя строка точна, то x = psz
для некоторого гея„(У). Это противоречит исходному предпо-
предположению о том, что .v не делится на ps Следовательно, F1 +
Рассмотрим теперь
Л5- ' = ira [л, (Е Д Ys) -v л, (Ys+1)\ \) f| пЩ
1В Роберт М. Свитцер

546 ГЛ. 19. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АДАМСА
и фильтрацию Адамса
пространства Ys+i- Из сказанного выше следует, что каждый
элемент
f] im[n,+r(yj+r+i)-»-n,<yj+iI
делится на ря для гс^О. С другой стороны, пс(Е Д У.,) =//, (У,; Zp),
так что любой элемент из \т[п,(Е Д У^-^-л, (У,ч)] имеет поря-
порядок р. Далее, если H%(Y) имеет конечный тип, то, рассуждая
по индукции, получаем, что и #„ (Ys±i) также имеет конечный
тип. А тогда из ^-теории Серра (см [70] или [72]) вытекает, что
и гомотопические группы л^ (Ys+1) имеют конечный тип Но
в группе конечного типа единственным элементом порядка р,
делящимся на р" для всех п, являет-
является 0. Таким образом, А4' ' = 0. Утвер-
Утверждение о том, что D* является под-
подгруппой, состоящей из всех элемен-
элементов конечных порядков, взаимно про-
простых с р, очевидно. ?
Далее мы увидим, что индекса-
индексация спектральной последовательно-
последовательности Адамса устроена несколько ина-
иначе, чем в тех спектральных последо-
последовательностях, с которыми мы встречались до сих пор. Поэтому
при ее графическом изображении оказывается удобным отклады-
откладывать по оси ординат параметр s, а по оси абсцисс — разность
t—s. Тогда дифференциалы действуют так, как показано на
рис. 34
Другими словами, стрелка, соответствующая дифференциалу dr,
смещается на единицу влево и поднимается на г елиниц вверх.
Все группы, находящиеся в данном вертикальном столбце, ска-
скажем t — > = п, относятся к одной и той же гомотопической группе —
именно, к группе п„ (У).
19.13. Прежде чем переходить к конкретным примерам, необхо-
необходимо исследовать поведение спектральной последовательности
Адамса относительно умножений. Дело в том, что знание мульти-
мультипликативной структуры часто оказывается решающим при вычис-
вычислении дифференциалов йг и описании расширений
\
\
—
t-s
Рис. 34.
0-+F-
1, (+1
" Сот ¦
¦0
Пусть Е)' (У) —спектральная последовательность Адамса для У.
Если У, Z —два спектра, то существует такое естественное
спаривание
К (Y)®E?-- {Z)-+E* + i

ГЛ. 19. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АДАМСА
547
что дифференциал dr вычисляется по формуле Лейбница:
dr (у/\ г) = dry Д г+(-1У»у Д drz, у е Es; ' (К), z е Esr'''' (Z)
Кроме того, существует спаривание элементов фильтрации
F'> l(Y)(g)Fs'- <'(Z)->P + S'- t + ''{Y /\Z),
согласованное с обратным пределом спариваний
Е'й' (Y) (х) ?? l> (Z) -> Е1 + *'¦ t + i\Y Д Z).
Далее, внешнее умножение Е* (Y) <% Е* (Z)
(Y Д Z) задает
спаривание
Нога'с (/?, ?* (Г)) ® Нога? (/?, f^ (Z)) -»- Horrid'' (/?, ?;
которое, в свою очередь, индуцирует отображение
' (R. ?* (П) ® Extsc- '' (R, E
совпадающее с определенным выше спариванием
E,(Y/\Z)),
19.14. Рассмотрим теперь важный пример Y — S0, Е = Н(Хг)-
Член ?2 соответствующей спектральной последовательности Адамса
равен ExtsA^(Zi, Z2), где через А^ обозначена алгебра, двойст-
двойственная к алгебре Стинрода: А„. = Н* (Н(Zt); 22)^2г[1ь 1г. •••]•
На первый взгляд может показаться, что так как группа Ъ% очень
мала, то вычисление групп ExtX' (Z2. Zs) не составляет труда.
Вспомним, однако, что для их вычисления нужна резольвента
О -*- Ъъ -*- Хо -<- Ху ¦*- Хг ч-...,
в которой все X,-являются свободными Л„,-комодулями,—другими
словами, /Y; очень велики. Поэтому неудивительно, что группы
ExtX (Z2, Zs) вычислены лишь для небольшого числа размерно-
размерностей s. В нескольких первых размерностях член Е% выглядит сле-
следующим образом (см. [1] или [62].):
4
3
2
h'o
''о
Ло
1
t
• г"
L . - -»
К
г ¦
j
h\
hlh2 = h]
hoh2
hi
¦
hih,
ho hi
hi
a
hih.
18*
t-s

548 ГЛ. 19. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АДАМСА
В пустых квадратах стоят нулевые группы, а в остальных квад-
квадратах записаны образующие соответствующих 2г-слагаемых. Для
каждого (;s= 0 имеется образующая ht e ?'•2' (соответствующая
элементу й'е^; см. ниже предложение 19.17). Мультиплика-
Мультипликативная структура спектральной последовательности позволяет
выразить различные образующие в виде произведения некоторого
небольшого числа из них. Все группы, расположенные выше
штриховой линии, равны нулю.
Оказывается, что в этой части спектральной последовательно-
последовательности все дифференциалы равны нулю. Действительно, легко видеть,
что единственным элементом, на котором дифференциал dr имеет
шанс быть ненулевым, является /ii1). Предположим, что drhi = hr0 + l
для некоторого г. Но /гД =0и поэтому 0=d, (hohi)=ho (dA/i1)=/iJ + 2.
Однако все степени элемента h0 отличны от нуля, так что равен-
равенство drhx = hr0 + ' невозможно.
Таким образом, в изображенной части спектральной последо-
последовательности ?»' = Е% '. Займемся теперь проблемой присоединен-
присоединенное™. Рассмотрим вначале случай t — s = O. Легко видеть, что
образующая /loeiJJ11 соответствует отображению /: S"->S" сте-
степени 2 в п$. В качестве предположения индукции будем считать
доказанным, что элемент [f]s <=FS' s отображается в h\ eft'' Мы
имеем коммутативную диаграмму
из которой вытекает, что [f]s+1 переходит в hl+l. В частности,
элемент [f]s никогда не обращается в нуль. Другими словами,
класс [1] е2я^ имеет бесконечный порядок. Гомоморфизм Гуревича
К: п$ -> Я~о (S°; Z) переводит [1] в 1, так что класс [1] не де-
делится на 2. Следовательно, он порождает в tn% слагаемое, изо-
изоморфное Z. Предположим, что 2п^ ^Z © А; тогда Fs- s^ 2SZQ)AS
для некоторой подгруппы Asa А. Так как Р-s/fs+1> S+I = Z2,
то As = /4i+] для всех s ^ 0. Но [) ^' = 0, поэтому А = 0. Таким
образом, группа .гп^^Х и порождена классом [1].
') Равенство d2 (hih3) = h^h3 противоречит мультипликативности, так как
= Q = dih1 (последнее равенство доказывается ниже).— Прим. ред.

ГЛ. 19. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АДАМСА
649
Аналогичные (и более простые) рассуждения показывают, что
башня h2, hfjii, Кф-ч, для t — s = 3 дает 2n^^Z8. Эти рассуждения
работают всегда, когда имеется башня вида х, h^x, hlx, ...
Продолжая эти вычисления, мы найдем, что в размерностях
я=?^7 2-примарная часть группы ns выглядит следующим образом:
п
0
г
1
z2
2
Z2
3
Z8
4
0
5
0
6
Z2
7
Zls
Заглянув в [77], где стабильные группы л^ вычисляются иным
методом, мы найдем, что
п
0
Z
1
Z2
2
1г
3
ZM
4
0
5
0
6
Z2
7
Z240
<Ср. с примером 15.37.)
19.15. Упражнение. Существует еще один способ вычис-
вычисления групп Extg' *.
а) ^-модуль J называется инъективным, если для любой точ-
точной последовательности 0->Л-^? ^-модулей и произвольного
^-гомоморфизма р: A^-J найдется такой ^-гомоморфизм р': B-*-J,
что р'»а = р. Точно так же определяются инъективный Л-модуль
(А — некоторая /?-алгебра) и инъективный С-комодуль(С—некоторая
]?-коалгебра). Показать, что для любого С-комодуля К существует
мономорфизм K->~J комодуля К в инъективный С-комодуль J.
Вывести отсюда, что любой С-комодуль К обладает инъективной
резольвентой
(т. е. точной последовательностью, все члены Yt которой инъек-
тивны над С).
b) Показать, что если модуль J инъективен над С, то
Ext с' * (К, J) = 0 для любого С-комодуля К и р Ss 1 •
c) Показать, что если
—*• L —*¦ Г о —>¦ * 1 ~*" I 2 —*¦. • •
— инъективная резольвента С-комодуля L, то для любого С-ко-
С-комодуля К
Extg' " {К, L) ^Нр
(К, У»)), р =s 0, q

550 ГЛ. 19. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АДАМСА
19.16. Упражнение. Показать, что результат упражне-
упражнения 13.9 можно обобщить на случай градуированных С-комодулей,
где С — коалгебра над градуированным кольцом R. Точнее, пока-
показать, что Extc * (М, N) отождествляется с группой классов экви-
эквивалентности расширений вида
gP = — q.
19.17. Предложение. Если С — коалгебра над градуирован-
градуированным кольцом R и Рq (С) — группа примитивных элементов сте-
степени а, то
Доказательство. Пусть
— расширение, определяющее элемент из Extc * (R, R)- Как
R-модуль, М изоморфен Rx + Ry, где * = аA)<=УИр, jeMrt
и Р (f/") = I - Тогда
19.18. ^=1®^, т|я/=
для некоторого h(=Cq. Из равенств (if>(§) l)«\j) = ( ЭФЬФ
(е «§) I) • гр = 1 следует, что элемент h должен быть примитивным.
Элемент у определен неоднозначно: его можно заменить на y-\-kx
с любым k e Rq Тогда h заменяется на h-\-(f\L — r\R)(k). Та-
Таким образом, корректно определен лишь класс вычетов \h\ e
PC(R
С другой стороны, если имеется h e Pq (С), то можно определить
{Mh\ e Extc " (R, R), полагая М = R х -f R ¦ у, где х е Л10> </ е М,
и $ задан формулами 19.18. Ясно, что \Mh-\-{i)L — цк) {k)} = \Mh]
для любого А: е Rr D
Для коалгебры Л+ мы имеем гц = т|К, причем Р?(Л^) = 2* =
JEf'} при ^ = 2' и Рд(А^) = 0 при цф2'. Отсюда легко следует,
что группы Extl^*(Z2- Z2) как раз такие, как в п. 19.14.
19.19. В предложении 19.11 мы показали, что спектральная
последовательность Адамса сходится при выполнении некоторых
требований, включающих условие я9(?) = 0 для <7<0 К сожа-
сожалению, это условие не выполняется для спектров Е = К и Е — КО.
Тем не менее, теорема 19.9 остается справедливой и для этих
спектров и, в частности, краевой гомоморфизм
л, (К)-^"-^"Q
совпадает с гомоморфизмом Гургиича hK. Однако для У =5°
^^A^li0), А* (К)) есть или Z, или 0,

ГЛ. 19. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АДАМСА 651
в то время как группы я^ = лл (S0) конечны для всех п > 0. Сле*
довательно, все элементы групп л^, п>0, лежат в kerhK, так
что гомоморфизм hK бесполезен при исследовании групп л^. Тем
не генее, мы знаем, что kerhK = F[- " + 1 с: nn(Y), и поэтому опре-
определен гомоморфизм
Этот гомоморфизм был введен Адамсом и называется е?-инвариан-
том. Существует также его вещественный аналог
(К0)}
Таким образом, представляет интерес вычисление групп Р*(К* (К))
и Р* (КО* (КО)).
19.20. Предложение. Если мы превратим С—Щи, w1, v, tr1]
в градуированную коалгебру над кольцом R = Z[t, H], полагая
t-f = uf, f-t = fv для /еС и т|;ы = ы(§) 1, г|зу=1(х)у, degи —
deg v = 2, то
Рп (С) = (Q¦ (W — V) для всех neZ.
Доказательство. Пусть
/ = ? aiu'v'1-1 e С2л, fli s (R.
Тогда гр/= v а;ы< (g) o"-* и> следовательно,
flip,- <g> о"-4 + [о«Ря - /] ® 1.
п
где Pi = u' —vl, t^l. Это выражение обращается в нуль тогда
и только тогда, когда anplt — f = 0, т. е. когда f = an(un — v"). П
19.21. Следствие. Для любого я е Z - |0} группа
Pin (K*(K)) ^ Z порождена элементом (ип — i/')/m (| n |), где через
т(/г), п>0, обозначено такое наибольшее натуральное- число, что
(хп — l)/m (n) eZ[l/j:] для всех х е Z — {0}. Кроме того,
Ро (/(* (К)) = P2«+i (К* (Ю) = 0 для
19.22. Предложение.
0, ?=¦ 0 илы <7 нечетно.
Доказательство. Очевидно, что группа (щ — цц) X
гиE°))^2 порождена элементом (i]i — r\n){t ) = «" — V. ?

552 ГЛ. 19. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АДЛМСА
Таким образом, группы Extjc, uo (/(* (S°), K# (S0)) конечны для
всех ц. Это позволяет надеяться, что гомоморфизм ее- я|„_,-»-
Zm( п. ) будет ненулевым и доставит некоторую информацию о груп-
группах я^р rtSsl. В дальнейшем мы увидим, что для четных п
е-инвариант действительно не равен нулю.
19.23. Лемма.
Группа Pin (КО* (КО)) s^ Z порождена элементом
п четно,
n нечетно.
Доказательство. Это утверждение немедленно следует из
предложения 19.20 и теоремы 17.34. ?
19.24. Следствие.
' tun /em un /со\\^Л ^m(|s" >' п ^ '
K0» (до) (АС* F"), АО^ Fи)) = < „
^ и, /г = и.
Доказательство, (тц — t\R) (у") = uin — v*", (тц — iiR) (xyn) =
2(ы4л+2 —и42). П
Для дальнейших вычислений желательно иметь более полную
информацию о целых числах т(п). Оказывается, они тесно свя-
связаны с числами Бернулли.
Рассмотрим функцию х'(ех— 1). Ее разложение в степенной
ряд имеет вид
со
X _ \ о X'
i^^T ~ Li Pt tl •
где ^2^+1 = 0 для s>0. Коэффициенты Р/ связаны с числами Бер-
Бернулли соотношением
Р«, = (— If-1^, s>0.
Пусть m(/)— теоретико-числовая функция, определяемая следую-
следующим образом. Обозначим через vp(n) показатель, с которым про-
простое число р входит в разложение числа п на простые множители:
п = 2Ve <а) ¦ 3Va (л) • 5V»<а) •...
Тогда
0, 1фО(р-\),

ГЛ. 19. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АДАМСА 553
В частности, тB/+1) = 2 для всех ?^=0. В работе [3] Адаме
развил необходимый теоретико-числовой аппарат и доказал сле-
следующие утверждения:
i) mBt) является знаменателем несократимой дроби, рав-
равной Bt/4t;
ii) предположим, что f(k) — некоторая функция, принимающая
неотрицательные целые значения для всех к е Z, и пусть m(f, t) —
наибольший общий делитель чисел вида х>(х) (х' — 1), х е Z; тогда
т (/, t) делит т (I) для всех / и / и для каждого t найдется такая
функция /, что m(f, t) = m(t).
19.25. Предложен ие. m(t) — m(t).
Доказательство. По определению т(t) для любого фикси-
фиксированного t существует такая (неотрицательная) функция ft (x), что
m(t) "-"
при всех xeZ. Таким образом, m(t)\m(ft, t) и, значит,
m(t)\m(t).
С другой стороны, согласно ii) для любого фиксированного t
найдется такая (неотрицательная) функция ft{x), что
> gZ
m(t)
при всех xeZ. Следовательно,
m{t)
Z[Mx\ для
Поэтому т (t) < т (t). П
Ясно, что для q ^ 3, 5, 6 или 7 mod 8 имеет место изоморфизм
Extjfo". (ко, (Кб* (S0), КО* (S0)) =^
Pq (Кб* (KO))/DL - x]R) (Кб* (S0)) = 0.
Кроме того, мы можем вычислить эти группы для д=1, 2 mod 8.
Действительно, из теоремы 17.35 вытекает, что /СО?E°H
КОо (КО) ->- КОЯ (КО) — изоморфизм. Поэтому отыщем те f (ы2, v2) s
КО0(КО), для которых auinf(u2, у2) являются примитивными эле-
элементами. Для этого воспользуемся приемом, аналогичным тому,
который применялся при доказательстве предложения 19.20: если
/=УХы-2'Ъ2/, то
г))/ - h-4V« (g) / - / tg) 1 = v;a»«-2'f2' - 2 dill-4"!?"-21 (g)v2i-f®l
2 ® yai + [a0 A - н-4"и*л) - /] (x)

654 ГЛ. 19. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АДАМСА
Таким образом, если элемент аи4"/ примитивен, то
19.26. Предложение. Для q=\, 2mod8 имеет место
изоморфизм *
Доказательство.
Покажем теперь, что гомоморфизм
ек: nf
является эпиморфизмом для ле=О, 1, 3, 7 mod 8. Для этого нам
понадобятся некоторые сведения о /-гомоморфизме Уайтхеда
Гомоморфизм /: nr{SO(q))^T,nr+g(S4) определяется следующим
образом. Представим сферу Sr+<? в виде Sr+q=dDr+<>+l=d(Dr+1 x D4) =
S'xDi^D-^xSi-1 с SrxD<>nD^1KS<>-1 = SrxSl>-1 и для задан
ного /: Sr-*~SO(q) определим отображение g: Sr у S9'1 -*- 5?-1,
полагая g(x, y)=f(x)-y, (x, у) sS^xS*-1. Продолжим g до ото-
отображения SrxD1^*-D1 = H% cz S4, взяв g(x, y) = f(x)-y для xeS\
y<=D7. Затем продолжим'^ до отображения g: D^xSv-1^
CSrxS'?-1^CS^-1 = H'!-CzS'!, задавая ею формулой g([t, x\, у) =
[U g(x> У)]- В результате мы получим отображение g: SS
^[/l [] Д ф J
[ g ] у g
Положим ^[/l = [g']- Доказательство того фата, что J есть гомо
морфизм, см. в [9'6]. После стабилизации мы получаем стабиль-
стабильный /-гомоморфизм
Определим, кроме того, отображение /': nr+i(BSO)->nf тре-
требованием, чтобы диаграмма
была коммутативной. С помощью очевидных композиций опреде-
определим отображения J't\ :xr^(BU)-+nf и J^: nr.

ГЛ. 19. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АДАМСА 655
Покажем, что гомоморфизм
является эпиморфизмом.
19.27. Лемма. Пусть f: Sr+1 -*¦ В SO (q) —некоторое отобра-
отображение и ? = /'*G>$ — индуцированное расслоение над S^1. Согласно
лемме 12.26 пространство Тома М (|) имеет вид Sq [} ge''+r+1. Можно
найти такую гомотопическую эквивалентность М (|) ~S? U j-pe9*™1,
которая имеет степень 1 на обеих клетках.
Доказательство. Пусть /: Sr -*- SO (q) — произвольное
отображение. Покажем, что пространство X = S9 [} ^e?+/1+1 гомото-
пически эквивалентно M{Q, где ? = /'* (a'q), a/': Sr&1 -*-BSO(q) —
отображение, сопряженное с /. Выше мы описали отображение
Jf: 5?ir->57; гомотопический тип пространства X не изменится,
если мы стянем H-CzS11 в точку.
Расслоение на диски D(Q, ассоциированное с \, можно описать
следующичч образом. Будем рассматривать сферу S'1 как диск Dri1
с границей Sr, стянутой в точку. Тогда D (I) получается из
(Dr ' х D") и Dq отождествлением (х, у) ^SrxD" с / (х) ¦ у <= D".
Пространство Тома М (I) может быть получено стягиванием
(Dr+1 х S*) U S'-1 в точку. Но это есть в точности пространство
X/HL. П
Опишем теперь способ вычисления ей[/] для произвольного
отображения
Так как O = hKn[f] e КО* (S0), то / пропускается через первый
член Y\ фильтрации спектрами:
;4,-i '1 __> S°.
В действительности мы имеем гомотопически коммутативную
диаграмму
Г
If

556 ГЛ. 19. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АДАМСА
для некоторого отображения k: S° [) teir^- Yr/Y0 = КО Д .
Следовательно, диаграмма
KO%(S°) > КО^КО)
KOn(S°)
КОЛ У,) > КОт{ YJ Y2)
коммутативна. Анализ определения еЕ [/] показывает, что это в точ-
точности класс
(/CO. (S0), КО, Eе)) =
кег[Ноп#о> (К
im|HomJfo< {K0) (Кб. (S°), ЯО» (К0/К1))->Нот^о< (/С0) (^. E»), /СО, (УУК2))|"
С другой стороны, последовательность
О-+ КО* (S0) ± КО* (S° LI /в*0 "^ /СО* (S0) ^0
является расширением, т. е. элементом из Ext]<o4,r(i<O) (КО* E°),
/@^E°)) (см. упражнение 19.16). Соответствие между различ-
различными определениями групп Ext показывает, что это расширение
в точности отвечает классу {Xf'^} = e^[f].
Если выбрать образующие х, у е КО* (S° \j /е4') так, чтобы
1) ?)=!, то
= 1 (g) х,
(no 19.17).
Обозначим пространство S°\jjeir через Х/. Тогда мы имеем
КО* (Xf) ^ КО* (S°) а (Г КО* (S0) • Р
для подходящих а, Ре КО* (Xf), причем элементы а, р* можно
выбрать так, чтобы (а, *) = <Р, «/> = 1, (а, у) = '$, х) = 0. По-
Поскольку КО* (Xf) является свободным КО* E°)-модулем, то ото-

ГЛ. 19. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АДАМСА 557
бражения Бордмана и Гуревича превращаются в отображения
В: КО* (X,) -> КО* (Xf) 0K~Of m КО* (КО)
и
Н: КО* (Xf) -+ КО* (КО) (х)А,0> (S0) КО* (X,).
На первый взгляд может показаться, что отображение Н совпа-
совпадает с i|j, однако анализ определений показывает, что диаграмма
ХОДУ)
^ колко) $>&.&> колу)
коммутативна для любого спектра Y. Следовательно, Н (х) = 1 0х
и Н(у) = 1 ® У + с (h) (g) х. Так как элемент h равен a (u2r — v2r)
для некоторого а е (Q и c(m) = w, с(и) = н, то Н(у) = 1 (х)г/ — /г(х)д:.
Пусть аеА"О*(Х/) представляется отображением g: Xf-^-^KO.
По определению гомоморфизма Б мы имеем
С другой стороны, гомоморфизмы В и Я двойственны друг другу
(теорема 1378) так что
С друго р,
(теорема 13.78), так что
Таким образом,
* [/] = {g* (У)} е= Ptr (КО* (КО))/(щ - j]R) (K0ir (S0)).
Рассмотрим теперь отображение /': Sir -+BSp(q) и вычислим
ef-J'b [/']• В качестве Ху f, можно взять пространство Тома М {f'*%q),
а элемент а е КО* ,Xj> fA можно представить классом Тома
t(f'*%q) — M(f')*(t4). Класс Тома в /СО-теории представляется
отображением ц^: MSp-*-KO (см. главу 17), так что элемент а
представляется композицией
XjLr ~Щ MSP-i -
В качестве образующей r/ e/C0+ (M (/'*^)) можно взять Ф;1
где iir e /C04r E4r) — образующая.

558 ГЛ. 19. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АДЛМСА
Следовательно,
Таким образом, мы доказали следующее утверждение.
19.28. Предложение. Для любого г^имеет место комму-
коммутативная диаграмма
KO4r(BSP) Ф*
"коу
K*r(BSp).
J'h
в которой q — естественная проекция.
Если обозначить образующую группы' nt(BSp) через г, то
образующая из л8?+4(BSp) представляется в виде у13 -г, а обра-
образующая из я874-8 {BSp,I — в виде хуг'-г. Здесь мы воспользовались
спариванием jj2: я* (ВО) б<) я* (BSp)-»"^* (BSp), которое задает
на л# (BSp) структуру л^ (ВО)-модуля; через х е я4 (ВО), г/ел8 (ВО)
обозначены стандартные образующие.
Вычислим hK0(y'> z) и hK0(xy'! -z). Для любого отображения
/: SA->-X сферы Sr в клеточное простран-тво X имеем hK0\j\=*
f* (v)- Следовательно, для любых a, b e /\u* (X)
<о*. /iko [/]> = <а6, /, (I,)) = </* (а)/* F), i,) = О,
поскольку все произведения в Кб* (Sr) равны нулю. Таким обра-
образом, hK0\J] аннулирует все нетривиальные произведения в КО*(Х)
и, значит, hK0 \f\ примитивен относительно коумножения
КО* (X) ^ КО* (ХхХ)с* КО* (X) 0ко, (Р!) /(О, (X)
в предположении, что К0% (X) — плоский /(О* (р1:)-модуль. Далее,
Q (КО* (BSp)) порождается над КО* (pt) классами Понтрягина
Ръ Pi, ¦¦¦, Pk, ¦¦¦ и поэтому Р(КО* (BSp)) имеет над КО* (pt)
дуальный базис, состоящий из полиномов Ньютона /V'i, Nt,..., Nu, ¦ • •
(см. второе замечание за следствием 16.44).
Так как hKO(z)=Z1^.KOi(BSp) и диаграммы
2Вг * * В*

ГЛ. 19. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АДАМСА 659
коммутативны, то из следствия 17.27 вытекает, что
Ько (Уя ¦ z) = q~2 Z-iq+i + {разложимые элементы и
мономы от переменных Zb Z2, ..., Z2?},
h-ко (ху9'1- г) =^-Z2? + {разложимые элементы и
мономы от переменных Z,, Z2, ..., Z2?-i}.
Но h,<0(y9-z) и hK0(xyi-1 ¦ z) являются Z[t*, 2t2, Нелинейными
комбинациями полиномов Ньютона Nh и Nk = (—\)k~lkZh
mod {разложимые элементы}. Поэтому
hKo (У9 • z) = D<7 + 1)! Niq+1 + {члены вида
агУ^
hKo (xy"-1 ¦ z) =¦ — D?~1)! Niq + {члены вида
-ir и b
Оба отображения Ф* и fig* являются кольцевыми гомоморфиз-
гомоморфизмами и, так же как в главе 17, мы имеем
Ф;1 (Z,) = Zb fXR* (Z\) = (?; (и, v) = AГ-1^ (^ - и2)... (ti2 - iW).
Следовательно,
{члены вида аГы2лА/2G_,+1, /->0},
{члены вида aru2rNiq-r, г>0}.
Элемент e^J'^ (у7 ¦ z) имеет вид e^J'b {у9 ¦ г) = {ог?+1 (tL?+2 — ы4?+2)} для
некоторого агч+\ е (EJ; ясно, что a2?+i должен быть коэффициентом
при у47+2 в полиноме D<7 + 1)! A'^+i(^I, ••-. <7*?-ч)- Аналогично,
ep/'ц (^г/' • г) = {а2?(у*? — «4?)}, где й27 — коэффициент при vi9
в полиноме -(-2^r^Ni9(q'u •••, <7и)-
Полиномы Ньютона Nk удовлетворяют рекуррентному соот-
соотношению
(см. [48]). Следовательно, мы имеем
it
1 ; Bs-l)!Bft-

560 рл. 19. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ЛДЛМСА
где
1, s нечетно,
2, s четно.
Другими словами,
k
Пусть $'is = 2sssas, ss=l. Тогда
к
19.29. У B*+2)p:2s-fc = 0 для ftssl.
s = I V '
Выше мы определили числа $s как коэффициенты разложения
оо
X \ о Xs
w=i = L Psir
s = 0
Сравнивая коэффициенты при **+1, fe^l, в разложении
мы видим, что Р^ удовлетворяют соотношению
Без труда вычисляются первые два коэффициента: р0 = 1. Pi=—1/2.
Легко видеть, что
— четная функция, поэтому p2/-+i —0 для г^1. Следовательно,
j удовлетворяют соотношению
Значит, единственным решением уравнения 19.29 является
Рм _ р., _ (-1Г*в.т ,
a* 2sev~2sey~ 2sev ' ^ '
Таким образом, мы доказали следующее утверждение.
19.30. Предложение.
¦ Z) =

ГЛ. 19. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АДАМСА 561
для некоторого 2eZ, взаимно простого с mD^-f 2);
ii) e.Jb W>-1 ¦ z) = {- ?* (v*" - ««)} = {-^щ (if" - ы4*)} для не-
которого zeZ, взаимно простого с mDq).
С учетом леммы 19.23 мы получаем следующее утверждение.
19.31. Теорема. Гомоморфизм
(КО)) ^ ^
^) тB?)
является эпиморфизмом для всех
19.32. Следствие. Гомоморфизм
является изоморфизмом для всех q = 0, I mod 8, q > 1.
Доказательство. Если г — образующая группы я8_„_1 (SO),
то esj (г) является образующей группы ExtJ(O8"(KO) (Л^О* (Se),
/СО;,. (S0)) ^ZmDn)- Пусть ii e njs — ненулевор1 элемент; обозначим
через а его образ hK0(r\) e /COi (S°). Используя мультипликатив-
мультипликативную структуру спектральной последовательности Адамса, без
труда получаем, что элемент ец (ху) определен тогда и только
тогда, когда определен элемент еы (х) и ек (ху) = е« (х) hK0 (у) для
всех х, у е я|.
Определим отображение nq (SO) x nq+s(Sq) -+nq+s(SO) посред-
посредством очевидной композиции. Легко видеть, что / [f°g] = J\f]- [g],
где • обозначает умножение в группе я|. Таким образом,
esJ (z' ц) = eRJ (z) ¦ hK0 (ц) =
Ое ExtJco;(to,
Аналогично, e^J (г- т]2) =^ 0. П
В работе' [3] Адаме показал, что для образующей g е л4„-1 (SO)
и для каждого feeZ найдется такое положительное целое
число f(k), что
2k'(k)(k2n-l)g(=kerJ.
Так как т (/, 2п) определялось как наибольший общий делитель
чисел вида ki(k) (k2n— 1), то 2m(/:, 2n)geker/. В частности,
порядок группы, im/ делит 2m(f, In). Но m (/, 2п)\тBп), по-
поэтому о (im J) 12m Bn).
Адаме показал, что в действительности о (im J) \ m Bп), если
4/г — I==3mod8 и предположил, что o(im J) \ mBn), когда
4я —¦ 1 = 7 mod 8. Эта гипотеза была доказана Квилленом в ра-
работе [39]]). Объединяя эти результаты с теоремой 19.31, мы
egJ (фа^Ое ExtJco8;(to, (^6, (S°), /CO, E°)).
') См. также Сулливан [8*], Адаме [1*].—Прим. ред

562
ГЛ. 19. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АДАМСА
получим, что
\rn\J: я4л_1 (SO)-vnfn_|]^Zffl,
Кроме того, поскольку диаграмма
коммутативна, мы видим, что im/ выделяется в я^/1_1 прямым
слагаемым для всех п S= 1 • Таким образом, для всех п =s 0, 1 г
3,7 mod 8 нам удалось выделить нетривиальное слагаемое в стабиль-
стабильных гомотопических группах сфер я^.
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Исследованию общей формы спектральной последовательности
Адамса, а также более детальному обсуждению вопросов сходи-
сходимости посвящена книга [8]. В следующей главе мы займемся
основным применением спектральной последовательности Адамса,
а именно, вычислением групп кобордизмов. Читатель, интересую-
интересующийся вычислением стабильных гомотопических групп сфер, най-
найдет много интересного материала в лекциях Адамса [6J.
В работе [3J Адаме ввел в рассмотрение некоторые группы,
обозначенные им через Ext. Предлагаем читателю в качестве
весьма полезного упражнения показать, что эти группы Ext изо-
изоморфны нашим Ext к,* к) (—> —) и что определенный Адамсом
инвариант e-L совпадает на стабильных группах я| с инвариан-
инвариантом, рассмотренным в этой главе. На самом деле, Адаме опреде-
определил свой инвариант е: для нестабильных групп, что позволило
ему изучить ряд нестабильных явлений (заметим, что наш инва-
инвариант е* стабилен по своей сути). В заключение добавим, что
работа [3] содержит и много других интересных применений
^-инварианта к гомотопическим вычислениям.
ССЫЛКИ НА ЛИТЕРАТУРУ
1. Адаме [1], [3], [4], [8J. 4. Мошер, Тангора [62]
2. Квиллен [3% 5. Хьюзмоллер [96].
3. Люлевичус [48].

ГЛАВА 20
ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП БОРДИЗМОВ
В главе 12 мы уже упоминали о структуре различных групп
бордизмов i}°Q^MG№ (S1) = я„ {MG), — правда, без каких бы то
ни было доказательств. Оказывается, что для вычисления групп
я* (MG) очень удобна спектральная последовательность Адамса.
Это связано с тем обстоятельством, что для G = O, U, SO и SU
гомологии #„, (MG; Zp) имеют сравнительно простую структуру
А „- комоду лей. В настоящей главе с помощью спектральной по-
последовательности Адамса мы вычислим группы Q°, Qu и Q50.
Кроме того, мы докажем теорему Стонга — Хаттори, утверждаю-
утверждающую, что гомоморфизм /г. n%(MU)-yP(Kz(MU)) является изо-
изоморфизмом.
В главе 16 мы вычислили кольца Понтрягина Н^(М0; Z«) =
Zt[alt о., ...], H#(MU; Z)=eZ[&i, Ь,, •••], H*(MSp; Z)^
Z [<7i, q-i, ¦ ¦ •]• Чтобы вычислить спектральную последовательность
Адамса, скажем, для спектра Е — Н{Хг), нам необходимо знать
дополнительно комодульную структуру этих колец над коалгеброй
A, = A(H(Z*)U.
Пусть М = Я# (М0; Z2)\ мы хотим найти кодействие г|з: М-*-
А * (хO2 М. В дальнейшем мы покажем, что существует изомор-
изоморфизм /l*-комод улей
где
tf = Z2[«2, «4, «5. ••¦]
— алгебра полиномов над Z2 с образующими uk e Я«. для всех k,
не равных 2s—1. В действительности, мы докажем даже, что
/ — изоморфизм алгебр.
20.1. Определение. Пусть С —алгебра Хопфа и L —неко-
—некоторый С-комодуль с кодействием \р: L->-C(g)L. Комоду ль L на-
называется алгеброй на) С, если он обладает ассоциативным умно-
умножением ix: L :'\j L-+- L, согласованным со структурой комодуля,
т. е. если коммутативна диаграмма
>?,
1 <8>Г® 1 ф ®р
C®L®C®L + .C®C®L®L - *¦ C&L,
в которой Ф —это умножение в С.

564 ГЛ. 20. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП БОРДИЗМОВ
20.2. Примеры, i) H*(M0; Z2), H^(MU; Z2) и т. д.
являются алгебрами над Л*, поскольку умножения в них опре-
определяются отображениями спектров, Л^-кодействие естественно и
удовлетворяет условию 17.8, vii).
и) Если В —некоторая алгебра над Жг с умножением Фв: В(х)
В-уВ, то А*®В представляет собой алгебру над А* с умножением
(Л* <g В) ® (Л* ® fl)i®I®-L Л, ® Л, (g В %
В частности, Л* (g) Я* (ЛЮ; Z2), Л* &//„, (ЛШ; Z2) и т. д.
являются алгебрами над Л*.
Замечание. Всякий раз, когда мы работаем с модулями,
алгебрами и т. п. над Хр, — а именно такая ситуация и будет
встречаться в настоящей главе,—символ (х) будет означать (g)
В предыдущей главе мы установили изоморфизм Нот[,
С (><)# У) = Иот^ (К, V); напомним, что он устроен следующим
образом. Если g: К -у V — некоторый /^-гомоморфизм, то ему соот-
соответствует С-гомоморфизм g: K-+C (g)# V, определяемый как
композиция
20.3. Лемма. Если К —алгебра над С, V —алгебра над R и
g: К -у V — некоторый гомоморфизм R-алгебр, то g является гомо-
гомоморфизмом С-алгебр.
Доказательство. Рассмотрим диаграмму
Фк
к > к
+ 1 ® Т ® 1 Фс®Фк
С®К®С®К > С®С®К®К li+ С® К
g *
лл 1
-»• C®C®F®K — ^y С ®V.
Квадрат 1 этой диаграммы коммутативен потому, что К является
алгеброй над С, квадрат 3 коммутативен потому, что g — морфизм
алгебр над R; коммутативность квадрата 2 очевидна. Из комму-
коммутативности данной диаграммы следует, что g = (I ®g) ° %c является
морфизмом алгебр над С. ?
Так как tyM: М-э-Л^сх) М согласовано с умножением на М,
достаточно вычислить \рм{ак) для каждого k. В силу естествен-
естественности ^м для этого достаточно найти \ркр°° (^*+i) для каждого k.

ГЛ. 20. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП БОРДИЗМОВ 565
Вспомним теперь, что существует отображение а: КР°°^Я (Z2, 1)-»-
k
2"гЯBг), переводящее хгк в \k<=Aik_1 и г|з|А= 2 lf_s®^
в А * (х) А %. Следовательно, ^>х^=^У] ^s_s(x)A;ismod(/4!|! (х)(раз-
s = 0
ложимые элементы)). В действительности, можно вычислить i(wc*
вообще для всех k.
20.4. Лемма. \|3Xft= У) (Х-/),-(х)л;;-, fe^'O, г5е Х=1 +
Доказательство. Доказательство этой леммы аналогично
доказательству теоремы 18.20. Напомним, прежде всего, фор-
формулу 17.11:
Fу, и) = 2 <б, е,- (у, щ)) для 8е/)*, г/ <= Я* (X; Z2)
и
«еЯ^^Х; Z2) с i))« = 2 е< ® "«•
Применяя эту формулу к X = RPCC, y = x\ u = xk, получим
где ijjJCjt = 2j е./ ^S ¦*>• Вычислим теперь 6х'\ Пусть A'': RP°°-v
IRP00 х ... X RP00 — отображение, задаваемое формулой А' (г) =
(z,..., z). Обозначим через щ элемент п*х е Я1 (КРТО х... х RP00; Z2),
где п/. КР°°Х... х RP°°-^-RP00 — проекция на /-й множитель. Тогда
х' = Д1'* (mi«2 • • • "Л- Следовательно,
f
бл? = 6А'* (М!«2 • ¦ • щ) = Аг*8 (м1Ы.2... ui) =
А'* B <В, L) Uf »«f... «f Л = (по 18.18)
а
Таким образом,
Другими словами, е; = Х*_,- для всех t. П

566 ГЛ. 20. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП БОРДИЗМОВ
20.5. Следствие. Для всех ftSsO
Определим теперь гомоморфизм алгебр g: М-*-Н формулой
( ик, если кф2' — 1 ни для какого />0,
S к'~\ 0, если /г = 2' — 1 для некоторого />0.
Положим f = g: М->-Л* (х) Я; в силу леммы 20.3 / является го-
гомоморфизмом алгебр над Л*.
Пусть A'^cz A % — подалгебра, порожденная элементами 1, ?ь ...
..., \t и Я(т) с= Н — подалгебра в Н, порожденная 1, g(cii),
М, •••, g(am).
20.6. Лемма, i) f (аг_^в=Ъ, 0 1 mod Л',-1 ®Я<2'~2>,
и) /(аА)=1Сх)и*тос1Л^|(х)Я(^1),
2'-1 — 1 <Л < 2' — 1 (Л* = ker (е: Л* ->-Z2) = {элементы сте-
степени >0}).
Доказательство.
41 Kf-i)s I1 ® g) (Ь ® 1 + 1 (8) <y-i)s
Для любого k мы имеем я|;(а,г)= 1 .'x)Qftmod Л^.— | ® А4(*-1\ где
М1*-1'— подалгебра, порожденная элементами 1, аь а2 a'ft_lt
2'-1 ^k<2'— 1. Таким образом, если к,ф2'— 1, мы имеем
/(о*) = A ® г)*(а*) ав 1 (8)g(a*) mod Л^-' (х) Я'"-1» в
20.7. Теорема. Гомоморфизм
является изоморфизмом.
Доказательство. Нетрудно проверить, что М„ и (Л$®)
для любого п имеют одинаковую размерность как векторные про-
пространства над Ъ-1- Следовательно, достаточно доказать, что f —
эпиморфизм. Применяя двойную индукцию по t и т, покажем,
что для любых t, m imf содержит А'^0 Н<т>
Пусть Л^-1 (х) ЯB'-2^ с: im/. Тогда из следствия 20.6, i) выте-
вытекает, что |;(g)leim/ и, значит, что Л^(><)Я@' также лежит
в imf. Предположим теперь, что мы уже доказали включение
Л^(х) Н{т-1} с imf для4 некоторого т, удовлетворяющего неравен-
неравенствам 1 «S /м < 2т — 1. Если т = 2s — 1 для некоторого s,

ГЛ. 20. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП БОРДИЗМОВ 567
, то Я"п) = Я(т-1). С другой стороны, согласно 20.6, И)мы
имеем l(x)umeim/. Так как / — гомоморфизм Л^-алгебр, то от-
отсюда следует, что A'S(®H(m) cz im/. Таким образом, по индукции
мы получим i4!t(g)#^+l-2' с: im/. Это завершает шаг индук-
индукции. D
Следовательно, И^(М0\ Xi) = А# (х) И, что является наилуч-
наилучшим из возможных результатов, ибо согласно предложению 19.7
мы имеем теперь
( HomL (Z* H), s = 0 = j//() s = 0
I 0, s>0 JO, s>0.
Значит, спектральная последовательность вырождается, и мы по-
получаем следующую теорему.
20.8. Теорема. Гомоморфизм Гурее.ича
h: 2п,(М0)-+Р(Н*(М0; Z2)) ^P(A* (g) И)^
является изоморфизмом и, следовательно,
Согласно примерам 12.24 каждый ненулевой элемент из Q°
имеет порядок 2, поэтому я* (М0) = 2п* (МО). Таким образом^
мы вычислили кольцо неориентированных бордизмов Q?:
Q? = Z2f;V2, Л/4, Л'„ ...],
W* e Q" для любых k Ф 2' — 1 при всех / > 0.
Более того, мы видим, что в качестве полиномиальной обра-
образующей .Vjt e О^ можно выбрать любо"! класс бордизмов /V*,
для которого ¦
т. е. любой такой класс Л/*, что h{Nl) = akmo&M{-k-1). В терми-
терминах характеристических чисел это означает, что в качестве поли-
полиномиальной образующей может быть взят любой класс Nk, для
которого
S(o, о 1)(ЛГ*)= 1-
Рассмотрим теперь спектры MU и MSp. Пусть Ь=Н* (ЛШ; 2г),
K = H*(MSp; 2л).
20.9. Предложение. Пусть а: А % -*¦ А # — гомоморфизм
алгебр, задаваемый формулой а (х) = х2, х е А „,. Тогда существуют
такие изоморфизмы /: M^L, g: L -»- К (неградуированных) алгебр

568 ГЛ. 20. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП БОРДИЗМОВ
над Z2. что диаграмма
Доказательство. Для любого комплексного расслоения §
обозначим через г| его овеществление, и пусть с: RP~°—ь-Т.Р —
отображение, задающее расслоение ю (х) С, где со — вещественное
расслоение Хопфа. Если ц — комплексное расслоение Хопфа, то
с* (ш2гп) = шг (с*гц) = ш2 (rc*ri) = ш2 (со @ ы) = х2.
В частности, ш2гт) =5^0, так что мы должны иметь wtf\\ = i/s
°°; Z2)- Более того, с*(г/) = х2, и, следовательно,
* у*1" ' 0, k нечетно.
Согласно лемме 20.4
Поэтому
Таким образом,
2 а (ХГ1) (g) Ь/ для
Следовательно, верхний квадрат диаграммы 20.9 станет коммута-
коммутативным, если определить / формулой / (аА.) = Ък для k ^ 1 и по-
потребовать, чтобы / был гомоморфизмом алгебр. Аналогично, ниж-
нижний квадрат диаграммы будет коммутативным, если задать g
формулой g (bk) — Qk, k ;>= 1. ?
Пусть Н' = Ъг [v2, vt, vb, ¦ ¦ •] с vk e H'ik для любых k ф 2' — 1
и всех <>0. Аналогично, пусть Н"' = Z2[a»2, ^4, аъ,...] с H"

ГЛ. 20. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП БОРДИЗМОВ
56»
/гф2'-~1 при всех <>0 (эти элементы до* не слелует путать
с классами Штифеля — Уитни).
20.10. Теорема. Существуют изоморфизмы градуированных
алгебр над А*
-аЧ,
к': H*{MU; Z2)-
нГ: H*(MSp; Za)-
Доказательство. Мы имеем диаграмму
Н
a <g> а
$ н;
в которой /': Я -»- Я' — гомоморфизм алгебр, заданный формулой
/' (««•) = v-i, i 5г 2, /с: М -> .4 * 'х; Я — изоморфизм из теоремы 20.7.
а к' определен так, чтобы сделать квадрат 2 коммутативным.
Тогда квадрат 4 также коммутативен. Квадрат 1 коммутативен
по построению /, а квадрат 3 — по построению к. Внешний квад-
квадрат коммутативен, поскольку а является гомоморфизмом коалгебр
(почему?). Следовательно, коммутативен квадрат 5; другими сло-
словами, к' является гомоморфизмом комодулей. Без труда прове-
проверяется, что к' сохраняет градуировку. Аналогичным образом
строится изоморфизм к". ?
Если L—некоторый С-комодуль и V— некоторый /?-модуль,
то L <S:r V также является С-комодулем относительно кодействия
L <х)я V ^1 (С ®„ L) ®RVg*C ®* (L ®я V).
20.11. Лемма. Пусть Я—поле, V — градуированное векторное
пространство над R, С — коалгебра над R и L —некоторый С-ко-
С-комодуль. Тогда существует изоморфизм (вообще говоря, не естест-
естественный)
Extp(/?, L ®* V) ^ Extr (R, L)®RV.
Д»казательство. Выберем в проетранстве V однородный
/?-базис, т. е. такой базис {иа}, что каждый щ лелсит в У,(а)
для некоторого номера /(а). Затем определим отображение
Ф: UomHR, L ¦>>.,< V)-+tiomHR, L) QyK V,

570 ГЛ. 20. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП БОРДИЗМОВ
полагая Ф (Ф) = ^ Фа ® va Для каждого Ф е Home (#, L ®# V),
а
где Ф A) == 2] ФаA) ®?>* (^-гомоморфизм Фа однозначно определен
а
своим значением Ф„. A)). Так как Homc(R, —) = Р(—), то оче-
очевидно, что Ф — изоморфизм.
Пусть теперь
0->?,-* Ко-.-К!-*. К,-*...
— инъективная резольвента для L над коалгеброй С (ом. предложе-
предложение 19.15). Тогда каждый комодуль Yi<?)rV также инъективен
(почему?) и, значит,
является инъективной резольвентой С-комодуля L (х)/ч> V. Следо-
Следовательно,
Extb*(R, L®RV)g*H*(Hom?(Rt K,<?*V))=s
H*(Hom?(R, YJSzV).
Согласно теореме Кюннета мы имеем
H*(Hom*c(R, YJ®RV)^H*{Hom*c{R, K«,))<g>*V,
где V рассматривается как коцепной комплекс с нулевыми диф-
дифференциалами. Поэтому
Exi*c*(R, L®RV)g*H*(Hom*(R, Y,))®RV^
Ext*c*(R, L)®RV.D
Таким образом, члены Ег спектральных последовательностей
Адамса для MU и MSp изоморфны соответственно
Следовательно, мы приходим к задаче вычисления групп
Extc* {К, D) для некоторой подалгебры D czC. Разумеется, это
потребует более развитой гомологической алгебры.
20.12. Пусть А — некоторая алгебра над R, М — правый Л-мо-
дуль и Л/ —левый Л-модуль. Построим тензорное произведение
М ® a W» взяв М (x)r N и введя дополнительные соотношения
т (?) an = та (х) п для всех meM, ne<V, ае/1.
Другими словами, мы имеем точную последовательность
в которой Фм и Фл- — отображения, задающие действие алгебры Л
на медулях М и N. Дуализируя это определение, мы получим

ГЛ. 20. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП БОРДИЗМОВ 571
копгензорное произведение /CQ: L правого С-комодуля К и левого
С-комодуля L, где С — коалгебра над R. Более подробно, K^JL
определяется с помощью точной последовательности
в которой фк и i[5j- —отображения, задающие С-кодействия на К
и L Без труда проверяется, что Q: — ковариантный функтор по
обеим переменным Если R — поле, легко доказываются соотно-
соотношения ассоциативности типа
M®r(N Gc Q) = (М ®R N) Пс Q-
Пусть Е — связная коалгебра (т.е. E0 = R) над полем R с ком-
коммутативным коумножением и F cz E — подкоалгебра (наиболее
интересный для нас пример—это А ¦ (a (A)) cz А). Пусть, далее,
В = Е / F, где через F, как обычно, обозначаются элементы по-
положительных степеней из F. Для алгебры Лопфа ? и ее под-
подалгебры F с EF—FE обозначим через Е#F алгебру E/EF.
20.13. Упражнение. Коумножение tyE: E-+E®кЕ инду-
индуцирует гомоморфизм \рП: B-+B(R)r В. Показать, что В является
коалгеброй с коумножением \\-в и что гомоморфизм
где р: ?-> В — проекция, является кодействием, превращающим Я
в правый комодуль над В. В дальнейшем мы будем обозначать
композицию A ®р)\я|-? через ^.
20.14. Упражнение. Пусть о,: Е-+Е%RВ — гомоморфизм
задаваемый формулой стДе) = е(ХI для всех ее?. Показать,
что F является ядром гомоморфизма
20.15. Предложение. Существует естественный изомор-
изоморфизм Е-комодулей
Ф:
Доказательство. Кодействие т|з^ на Б-комодуле R зада-
задается формулой ф^ [г) = г ¦ 1 (g) 1 для всех r^R. Имеет место ком-
коммутативная диаграмма с точными строками
I - 1

572
ГЛ. 20. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП БОРДИЗМОВ
Эта диаграмма определяет отображение Ф. Покажем, что Ф — гомо-
гомоморфизм ?-комодулей. С этой целью рассмотрим диаграмму
Е ®к Е Ош
i
Фе
1B
R
П
E
s
DbR —
\*
p
1
4
> ?®R
1
i
2
® /
- ?
3
®
P
1
s
Квадрат / этой диаграммы коммутативен по определению отобра-
отображения Ф, квадрат 2 коммутативен потому, что F является подко-
алгеброй Е, квадрат 3 коммутативен, поскольку tyE — гомоморфизм
/^-модулей, квадрат 4 коммутативен по определению отображения
i|)eO1 и, наконец, внешний квадрат коммутативен, так как ком-
коммутативен квадрат /. Следовательно, квадрат 5 также коммута-
коммутативен, т. е. <? —гомоморфизм ?-комодулей. П
20.16. Предложение. Если Е, F и В такие же, как выше,
то для любого левого Е-комодуля L и левого В-комодуля М суще-
существует естественный изоморфизм
Hom'E(L, E{3BM)g±Hom'B(L, M).
Следовательно, существует изоморфизм
Extsi'(L, ЕС\вМ)^Ex&(L, M),
Доказательство. Это предложение обобщает наш преж-
прежний результат
Extsi'(L, E<g}RM)^Ex\%'(L; M)\
достаточно положить в предложении 20.16 F = E. На самом деле,
мы имеем диаграмму с точными строками
Homi(L,E®RB
О -^- Hom^(L,A/) -
Верхняя строка в этой диаграмме получается применением функ-
функтора Horti? (L, —) к точной последовательности, определяющей
" Поэтому все, что нам нужно сделать, это проверить

ГЛ. 20. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП БОРДИЗМОВ С73
включения
d>(Hom?iL, E{JBM))cz Horn's (L, M),
{,(/., M)) cz Uom'E (L,
а) Пусть g: /.. ->¦ M — некоторый В-морфизм; тогда W (g) пред-
представляет собой композицию
Мы покажем, что (i]j| (g) I — 1 (х) i];^) < Чг (g) = 0, откуда будет сле-
следовать, что W (g) <= Hortif (L, ?QfiM).
A (g) 1 (g)g)»(l (g)p(g) 1)-(г|з|(^) l) = ^f = (по определению
(l (8) 1 ®g) • A ® p® l) • A (8) r|3f)^f =
A (8) 1 ® ^) ° A <E) ^f) ° 'Ф! = (по определению гр?)
b) Предположим теперь, что /: L-> E (х)я Л1 — некоторый ?-мор-
физм; тогда Ф (/) является композицией
Покажем, что если f e Hom^ (L, ?QBM), т. е. (i))| (g) l)«/
A®^)"/. то O(/)eHom'B(L, M), т. е.
Ф (f)\ -Ф? - A ® к). A ® е ® 1). A (g)/). (р ® 1). г|»?
A ® к) • A (g) е (g) 1). (р (g) 1 <g) 1). A (g) /). ^f =
(p® 1)»A ®к)«A (g)e(g)
(p(g) l).ic.(e® 1 (g) l)«(*
K»(e(g) 1 (g) 1)-A (g)t|3^)«/ = (no предположению об f)
В этом месте нам придется сослаться без доказательства на
теорему Милнора —Мура [61]: при сделанных выше предположе-
предположениях на Е, F и В существует изоморфизм правых В-комодулей
E^F®RB. Так как R — поле (и, следовательно, F — векторное
пространство над R), то Е является свободным В-комодулем.

574 ' ГЛ. 20. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП БОРДИЗМОВ
Поэтому функтор ?[Нв точен. Если читатель усвоил изложенные
здесь факты о комодулях и котензорных произведениях, то он без
труда разберется в доказательстве этой теоремы.
Выберем теперь проективную резольвенту
комодуля L над Е. Тогда X,- будут также и проективными В-ко-
модулями. Действительно, если задана диаграмма В-комодулей
С > D > О
и X проективен над Е, то имеет место коммутативная диаграмма
) —*— Hom*(X,D)
II? II?
Пот*(Х,Е Пв С) -*¦ Hom|(A-, E П„ D).
Нижняя стрелка в этой диаграмме является эпиморфизмом, сле-
следовательно, Нотв(Х, С) -v Home (X, D) также эпиморфизм. Та-
Таким образом,
Exisi'(L, Е\ЗвМ) = Н*{Нот'Е(Х*, E{JBM))^
Н*(Нот'в(Х^ М)) = Extsa'(L, M), s^O, /eZ.D
20.17. Следствие. Для любого Е-комодуля L имеет место
изоморфизм
Extsi'(L, F)^Ext*B'(L, R).
Поэтому в спектральных последовательностях Адамса для МU
и MSp мы имеем, соответственно,
где B1 = AttAfa{AJ, Bt = At/Af<*(At).
Алгебру Bi легко описать: все квадраты хг в В| равны нулю
и, значит,
— внешняя алгебра над Za в образующими |je(Bi>2i_p
Алгебра В2 устроена более сложно. Отметим, что

ГЛ. 20. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП БОРДИЗМОВ 575
Кроме того, нетрудно выписать резольвенту для Ъг, состав-
составленную из расширенных комодулей над В\. Рассмотрим для на-
начала внешнюю алгебру Е (х) с одной образующей х, и пусть
•фх = х (х) 1 + 1 (g) х. Возьмем Y* = Е (х) (х) Z2 [у] с Ys = Е (х) <§ ys,
deg у = deg x и дифференциалом 6: К.*-> K»+i • задаваемым теми
требованиями, чтобы он был дифференцированием и чтобы Ьх=у,
&/ = 0 Тогда 6г/; = 0, 6хг/' = г/'+1 для всех sssl, гак что ком-
комплекс (У%, 6) ацикличен. Легко проверяется, что 6 —гомомор-
—гомоморфизм Е (х) комодулей. Если теперь ?"(?ь ?г, ...) —произвольная
Енешняя алгебра с конечным числом образующих |,- данной сте-
степени, то в качестве резольвенты Z2 над ?(Еь Е2, •••) возьмем
тензорное произведение построенных выше резольвент для каждой
Е fa) (ясно, что ЕAЪ &>, ...)^^l5i)(&?(l2)^)---)- Таким обра-
образом, мы получаем комплекс
где deg yt = deg ^,-, а дифференциал б определяется равенствами
fi|« = |/i. бг/, = О и требованием, чтобы он был дифференцирова-
дифференцированием. Тогда У'п представляет сабой Е (?ь |а, .. .)-комодуль, поро-
порожденный мономами уа = у*1 у**¦ ¦ ¦ уа/ с ax-fаг-\-... + аг — п. Из
теоремы Кюннета следует, что комплекс Y^ ацикличен.
Итак, если Bi = ?(|ь |2, •¦•), то
Hortiz, (Z2, Z2 [Уи i/2, ••¦]) = Z2 [г/i, уг, ...].
При этом изоморфизме дифференциал Hom(l, б) превращается
в нуль. Поэтому
Ext|*(Z2, Z2) ?ё Z2 [<?„. <7i, •••], ^eExts, (Z2) Z2),
где qu^yiM для всех k^Q.
20.18. Упражнение. Проверить, что умножение на q0 s
Exts,' (Z2, Z2) совпадает с умножением на элемент h0 из спект-
спектральной последовательности Адамса для я|.
Объединяя теорему 20.10, лемму 20.11, следствие 20.17 и про-
проделанные выше вычисления, мы найдем, что в спектральной по-
последовательности Адамса для MU имеет место изоморфизм
,2|/Пь tn-i, . . .\,
где
если k Ф 2' — 1 ни для какого t,
если k = 2' — 1
В частности, если разность t— s нечетна, то Е\' = 0. Следова-
Следовательно, поскольку дифференциалы d, уменьшают разность t — $
на единицу, то все они равны нулю. Таким образом, член ?„

576
ГЛ. 20. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП БОРДИЗМОВ
имеет вид:
4
3
2
1
0
•
яг
я1
я1
Яо
1
•
qWi
Яопц
тх
q\m\ q%m2
qam\ q30m2
mj q20m2
(fa mi
m2
t -
Каждая колонка ma, qjna, q\ma, ..., где т — моном от перемен-
переменных ть, определяет в 2я* (MU) слагаемое, изоморфное Z-
20.19. Теорема. Существует изоморфизм групп
sJT* (MU)^Z[mi, тг, ¦.•] (degmk = 2k).
При этом гомоморфизм Гуревша int{M.JJ)^fPHt{MU; 2г) = #?
является эпиморфизмом. В частности, группа n#(MU) не имеет
2-кручения.
20.20. Упражнение. Показать, что замкнутое многообра-
многообразие Мг" неориентируемо бордантно {У-многообразию тогда и только
тогда, когда оно неориентируемо бордантно V"xVn для некоторого
замкнутого многообразия V.
[Указание. Вычислить im [tf* (MU; Z»)->#* {MO; Zt)].]
Покажем теперь, что группы п^(М11) не имеют р-кручения
ни для какого нечетного простого р. Чтобы доказать этот факт,
необходимо исследовать спектральную последовательность Адамса
modp для MU. Как мы сейчас увидим, вычисления modp для
MU замечательно похожи на вычисления mod 2 для МО. Орга-
Организуем их так, чтобы подчеркнуть это сходство.
Напомним, что Н^ ((DP00; ЪР) является векторным простран-
пространH
ством над X? с базисом
р
и что H^(MU\ Zp) ~
? [ у ^
Zp[bi, b2, ...], где /: (DP"°-> E2vVIt7 переводит yi+1 в bh iSsO.
20.21. Предложение. Пусть А* =Н* (H (Zp); Zp) и Х =
1 + li + ?2 + • • • Тогда для любого a e A * ау =
довательно,
t) yfl. Сле-
Доказательство. Напомним, прежде всего, что
^^^^(te, ti, ...) (g) Z, [!i, l2, ¦¦¦]¦

ГЛ. 20. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП БОРДИЗМОВ 677
Двойственным к xt является допустимый моном
а двойственным к ^ — допустимый моном
рр'~1рр*~* # ^ pi
Так как #2A+1 (fl)/500; Zp) = 0 для всех k, то любой допустимый
моном, содержащий Р, должен быть тривиальной операцией на
Я*(СЯЮ; Zp). Так как г/еЯ2((СР^; ZP), то любой моном, имею-
имеющий избыток, больший единицы, будет аннулировать у. Следова-
Следовательно,
у"*> /==@> f^' 0> Р**' 0. •••• Р, 0, 1, 0),
0 в противном случае.
Это равенство можно записать следующим образом:
для всех допустимых мономов Р1. Но Р1 образуют Zp-базис для
А*. Значит, для любого аеД*
Аналогично тому, как мы вычислили ахк для всех а в алгебре
Стинрода mod 2, находим
ш/*=2<а> (X*), ,*-,,) 4Л
Следовательно, из равенства (az, и) = ^ (а. е; B> «;)) вытекает
/
формула предложения 20.21. D
20.22. Сл едствие.
Пусть теперь Н' = Zp [ui, Uaf • • J g uft s Я^ для всех k, не рав-
равных p' — l. Определим g: Н#(Ми\ Zp)->#', полагая
vk, если кфр? — \ ни для какого
^ \ 0, если k = р' — 1 для некоторого < > 0.
Тогда g индуцирует гомоморфизм/: Н^ (MU; Zp)->-C(g)H' алгебр
над /4„, где Сс Л# — подалгебра Хойфа ZP[Si, S«, •••]•
20.23. Теорема. Гомоморфизм f: H^(MU: Zp)-*-Q(g)H'
является изоморфизмом комоду лей над А^.
Доказательство фактически совпадает с доказательством тео-
теоремы 20.7.
19 Роберт М. Свитцер

578 ГЛ. 20. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП БОРДИЗМОВ
20.24. Следствие. В спектральной последовательности
Адамса modp для Mil имеют место изоморфизмы
Е$* с* Exty. (Zp, С®Н')с* Ext*/, (ZP, О ® Я' as
Ext|*(Zp,
где В = Л.М.-Са*?(т0, ть ...), ^в(т,) =»т,® 1 + 1 ®т,.
Здесь мы снова использовали утверждения 20.11 и 20.17.
Резольвента модуля Ър над внешней алгеброй Е (т0, хх, ...)
строится точно так же, как резольвента модуля Z2 над
Е&\, %ъ, ...); надо лишь везде заменить Za на Zp-
Следовательно, мы получаем
P, Zp)^
P).
Таким образом, член ?2 спектральной последовательности Адамса
modp имеет вид
если к,фр' — \ ни для какого <>0,
. если k = р' — 1 для некоторого ? > 0.
Как и прежде, если разность t—s нечетна, то Е\' = 0; значит,
все дифференциалы dr = 0. Умножение на ^0 в ??Г соответствует
умножению на р в п# (Aft/), поэтому мы получаем следующую
теорему.
20.25. Теорема. Имеет место изоморфизм групп
При этом гомоморфизм Гуревича
h: pnt(MU)-+PHt(MU; Ъ„)^Н'
является эпиморфизмом, В частности, группа я* (MU) не имеет
р-кручения ни для какого нечетного простого р и, следовательно,
вообще не содержит элементов конечного порядка.
20.26. Следствие, Гомоморфизм
h: n,iMU)-+Ht(MU; Z)
является мономорфизмом.
Доказательство. Соответствие
(h®l): п1(-)®^~^Н^(—; Z)®(Q
является естественным преобразованием теорий гомологии и изо-
изоморфизмом для X = S". Следовательно, h (g) I — естественная экви-

ГЛ. 20. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП БОРДИЗМОВ 579
валентность. Так как группа л^ (MU) не имеет элементов конеч-
конечного порядка, то в коммутативной диаграмме
я# (МЦ)-*-п^ (АШ)®(Е} — мономорфизм, откуда и вытекает тре-
требуемое утверждение. D
20.27. Теорема. Существует изоморфизм колец
n*(MU)^7,\Mu M,, ...], А1,-е= я2; (АШ).
При этом можно так выбрать полиномиальные образующие Mt,
чтобы
imod {разложимые элементы}, если i=f=p*—\ ни для
какого простого р;
' ~ pf{i)bi mod {разложимые элементы], если i = pt—\
для некоторого простого р и некоторого t >0,
где / (г) е N и f — такая функция, что / (i) = 0, если i не являет-
является степенью простого числа г).
Доказательство. Покажем, прежде всего, что п# (Aft/)®
Zp = Zp[Pi, Ръ, ..¦] с Pi<^n2i(MU) для каждого простого р.
С этой целью выберем в качестве Pt элементы гомотопических
групп лп(Ми), соответствующие т{^Е„. Нетрудно видеть, что
мономы Ра = Я*1... Я™' от переменных Pt линейно независимы.
Проверим теперь, что указанные мономы порождают я* (MU)<5§ZP.
Для этого нам понадобится следующая лемма.
20.28. Лемма. Предположим, что группа я#(К) имеет ко-
конечный тип. Пусть ^eZ, p — простое число, s>0. Если Gcz
nq (Y) — подгруппа элементов, делящихся на ps, то существует
такой номер t, что F'^^'czG.
Доказательство. Так как группа nq{Y) конечно порож-
порождена и каждый элемент j;en?(F)/G удовлетворяет условию
ps-x — Q, то группа ng(Y)/G конечна. Последовательность под-
подгрупп
nq(Y) F°-9+G F1-9 + 1+G_^ F
—7; = « !3 у. —) . . . ID
G G G
l) Можно показать, что для i = p'— I равенство h (Mi) = t>i mod {разложи-
{разложимые элементы} невозможно,—Прим. ред.
19*

580
ГЛ. 20. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП БОРДИЗМОВ
является фильтрацией для nq(Y)[G, поэтому из предложения
19.12 вытекает, что
I I
O
П
3
Значит, для некоторого номера t имеет место равенство
-—?-±^- = 0, т. е. /»-*+'сСП
Теперь мы в состоянии доказать, что мономы Ра порождают
я„ (MU)(g)Zp- Если положить в лемме 20.28 Y = MU и s—1,
то найдется такой номер t, что /•*• *+' (x)Zp = 0. Используя обрат-
обратную индукцию по s, начиная со значения s = i, покажем, что мо-
мономы Р* степени q и фильтрации, не меньшей чем s, порождают
Fs-i+*(g)Zp. Пусть
— мономы от переменных тг в ElT1' ч+*~х. Так как проекция
p-i,9+s-i-^Е^1' S+Q~x переводит элементы Pai в ma'', l^
то любой х е F*-1- 0+*-1 ig) Zp может быть записан в виде
в' mod
Но по предположению индукции каждый элемент из F*- ?p
является линейной комбинацией мономов Ра.
Первая часть теоремы 20.27 вытекает из следующей леммы.
20.29. Лемма. Пусть R — такое коммутативное градуирован-
градуированное кольцо конечного типа, что R(R)Zp^Zp[Pi, P2, ¦¦¦], Р% =
Pi (p) e Ra для каждого i^s\ и любого простого числа р. Тогда
R^Z[Mb M2, ...] для некоторых Mt e Ru, i^l
Доказательство. Для неразложимых факторколец мы
имеем Q2i(R)®ZP~Qu(Rtg)Zp)^Zp (с образующей Pt) для
1^=1 и всех простых р. Следовательно, Qu(R) = Z- Аналогично,
Qai+i (R) = 0, / ^ 0. Пусть Mi <= Ra — такой элемент, класс кото-
которого порождает Qa(R). Положим R' = Z[*i, x%, ...] с degлг^ = 2t
и определим /: R'-+R как гомоморфизм колец, удовлетворяю-
удовлетворяющий для всех i S; 1 равенствам / (л;г) = Мг. Тогда гомоморфизм
/®1: R' ®Zp-+R<g)ZP
обладает тем свойством, что / (xt) (g) I = Р{ ® аг mod {разложимые
элементы} для некоторого <Xj =^ 0«= Zp- Следовательно, / (g) 1 — изо-
изоморфизм для всех простых р.
Предположим, что /(г') = 0 для некоторого r'^R'. Тогда
(/® !)(/¦'® 1) = 0 и, значит, r'(g) 1 =0 s#'(g)Zp для всех про-
простых р. Отсюда вытекает, что р | г' для любого р. Следовательно,

ГЛ. 20. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП БОРДИЗМОВ 581
г' = 0, т. е. / — мономорфизм. С другой стороны, если /(/¦') делится
на некоторое простое число р, то / (г') (х) 1 = 0 е R (g) Zp, и по-
поэтому r'(g)l = O<=/?'(g) ZP, т. е. л' также делится на р. Так как
Rig и /?з? — свободные абелевы группы одинакового ранга, это
означает, что / — изоморфизм. ?
Вторая часть теоремы 20.27 без труда следует из нашего вы-
выбора элементов Mt.
Замечание. Милнор показал, что /(i) = 1 для всех таких i,
что /+1 —степень простого числа.
Для того чтобы изучить im h более подробно, нам потребуется
/(-теория; дело в том, что алгебра Я* (Н (Z); Z) не дает нужной
информации о Р{Н*(М11\ Z)). В то же время для гомоморфизма
Гуревича в /(-теории h: п^(Ми)->-К#(Ми) справедливо равен-
равенство imh = P(Kt(MU)).
20.30. Определение. Для любой абелевой группы G имеет
место гомоморфизм Iq: G->-G(x)(E), задаваемый формулой ia(g) =
g(g)\- Элемент yeG®(Q называется целым, если y = io(g) для
некоторого geG. Говорят, что гомоморфизм 9: G^-G' сохраняет
целые элементы, если любой у е G (g) (Ц является целым тогда и
только тогда, когда @<Э1)(|/) целый.
Замечание, i) Если элемент у целый, то очевидно, что
(9 ® 1) (У) также целый.
и) Гомоморфизм 9 сохраняет целые элементы тогда и только
тогда, когда из равенства Q(g) = ng' для некоторых g <=G, g'eG,
«eZ следует, что g = nh, h^G.
20.31. Упражнение. Показать, что если {9Л}: {Gn}^-{G^} —
морфизм прямых систем и каждый гомоморфизм 6Л сохраняет
целые элементы, го таким же является и предельный гомомор-
гомоморфизм dir Пт9я.
Гомоморфизм Гуревича h: л| (Х)^-К^ (X) индуцирован еди-
единицей i: S"^-K спектра К- Предположим, что i представляется
отображениями \iin: S2n->-BU} (напомним, что K2n = BU). Заме-
Заметим, что^ Кгч (MU) = я2? (К Л MU) 9=: л2д (Aft//\K) = MU2q (К)^
dirlimA?t/2?+2nEt/). Следовательно, имеет место коммутативная
диаграмма
a") 3 MU2q{S°) г n2q(MU)
dirlim(/2lI)J I»,- IA
dir MmnMUu+in{BU) s MU2q(K) г K29(MU).
Мы хотим показать, что h сохраняет целые элементы. Для этого
достаточно установить, что сохраняют целые элементы все гомо-
гомоморфизмы i2 0

582 ГЛ. 20. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП БОРДИЗМОВ
20.32. Лемма. Гомоморфизм
h: no(MU)-+Ko(MU)
сохраняет целые элементы.
Доказательство. Согласно упражнению 20.31 достаточно
показать, что этим свойством обладают гомоморфизмы h:
П2„(Ми {n))^>-Kin{MU (n)) для каждого п^О. Поскольку про-
пространство MU (п) является Bи— 1)-связным, то
h: л*п(Ми (n))-+Hia(MU (n))o*Z
— изоморфизм. Рассмотрим композицию гомоморфизмов
•12„ (MU (п)) -* Кгп (MU (п)) ^—I Ко (S0),
где тл е^2л (MU (п)) — класс Тома (см. п. 16.40). Если /2л: S2"->-
М/7 (п) —вложение слоя (и, следовательно, компонента единицы i:
S°-*-MU спектра MU), то мы имеем
<ТЛ, АA)> = <ТЯ, h[jin]) = (xn, J2n*(gin)) = (J2nXn, g2»>=l
(^2л е ^2л E2л) — образующая). Это показывает, что гомоморфизм h
сохраняет целые элементы — другими словами, что ЛA) делится
только на ±1. ?
20.33. Предложение (Стонг, Хаттори). Гомоморфизм
h: n
сохраняет целые элементы.
Доказательство. Покажем, что этим свойством обладают
гомоморфизмы i2n*: Л^Угл+»?E2л)->-М{У-гв+2?(В{/) для всех п и q.
Случай <7 = 0: мы имеем коммутативную диаграмму
dirlim MUlm{S2m) s no(MU)
h
dir lim MU2m{BU) ? K0(MU),
гомоморфизм h которой сохраняет целые элементы в силу леммы
20.32. Следовательно, такими же являются и гомоморфизмы 12я*.
Случай q>0: MU* (S*n) является свободным MU* E°)-моду-
лем с единственной образующей ^,,GM[/2n(S2s). Следовательно,
типичный элемент группы Ми2п+ц (S2n) ® (С) имеет вид u)g2n (g)
1/d для некоторого со e.MU%q{S0) и целого числа d. Пусть
12я* (Ягя) = 2 и>а$а, где Ра = Р™ХР • • ¦ Р™' — моном от полиномиаль-

ГЛ. 20. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП БОРДИЗМОВ 583
ных образующих р4* е М11ц (BU) и соа еМУф (S0). Тогда
Если этот элемент целый, то d должно делить каждый из коэф-
коэффициентов сосоа. Так как MU^ (S°) = ni(! (MU) — кольцо полино-
полиномов, это условие означает, что для каждого а имеет место равен-
равенство d = eafa С 3*1@, /а | <•><*. Пусть в = НОК {ба} И / = НОД {/а}.
Тогда d — ef, e|(o, /|соа для всех а. Следовательно,
— целый элемент. Но тогда, на основании рассмотренного выше
случая <7 = 0, мы получаем, что gu® 1// также является целым
элементом. Это возможно лишь тогда, когда / = ±1, откуда вы-
вытекает, что d | со Таким образом, a>g2/i(x) 1/d —целый элемент. ?
20.34. Теорема. Гомоморфизм
h: n
является изоморфизмом.
Доказательство. На категории конечных спектров функ-
функтор /С* (—)<8)Щ является теорией гомологии, а кофунктор
К* (—)<ЭЩ ~теорией когомологий. Следовательно, по теореме
Брауна существует спектр /CQ, представляющий К* (—)<S)(Q на
категории конечных спектров. Естественное преобразование
/С* (—)-*-К*{—)®(Q (переводящее * в х®1) определяет отобра-
отображение a: /C->/C(Q представляющих спектров. Тогда /C(Q*(^) =
'С* (^)®Q Для всех конечных спектров X Переходя к прямым
пределам, найдем, что этот изоморфизм имеет место и для любых
спектров Таким образом, мы имеем коммутативную диаграмму
n
KQ*(MU) s KJLAfU) <S> Q.
Поскольку группа /С* (Alt/) не имеет элементов конечного по-
порядка, то а — мономорфизм. Далее мы покажем, что Л<р — изомор-
изоморфизм. Из этого факта немедленно будет следовать, что h — моно-
мономорфизм. Пусть теперь у <=Я (K*(MU)); если Л<э эпиморфизм, то
для некоторого г е я* (Mt/)(x)(Q- Но согласно пред-

584 ГЛ. 20. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП БОРДИЗМОВ
ложению 20.33 гомоморфизм h сохраняет целые элементы, по-
поэтому г —целый. Таким образом, существует w ел, (MU)
с j(w) = z или, другими словами, а»/г(ау) = Лс«/(ау) = а(г/). Сле-
Следовательно, h (w) = у. Это показывает, что h — эпиморфизм.
Займемся теперь доказательством того, что для всех спектров
Е, X гомоморфизм
является изоморфизмом в предположении, что группа щ(Е) не
имеет элементов конечного порядка. Прежде всего, очевидно, что
Л<з — мономорфизм. Далее, в силу леммы 17.19 имеет место изо-
изоморфизм
При этом отождествлении hQ превращается в отображение
задаваемое формулой у*—*-10#. Кроме того, диаграмма
> EQJLEQ) ®&,я
коммутативна, еели положить *F(x(g)r/)==x(g)l(g)|/ для х s л^ (?),
(/ея^Х)®!). Таким образом, подгруппа примитивных элемен
тов совпадает с подгруппой элементов вида 1®у в л.^ (E)®n*(X)(g;
{Q^EtQ^iX), т.е. в точности равна образу гомоморфизма /г-
Следовательно, hQ — эпиморфизм. D
20.35. И конце главы 17 мы вычислили Р(К^ (MU)) в малых
размерностях. Теперь ясно, что эти вычисления можно рассма
гривать как описание образов полиномиальных образующих
Mi, Мг, ... из л„, (MU)^Q* при гомоморфизме Гуревича
h: n%(MU)->-K.*(MU). В частности, |СЯ31 не может быть поли-
полиномиальной образующей в размерности 6.
20.36. Замечание. В работе [42] Коннер и Флойд показали,
что существует тесная связь между спектрами MU а К, а также
между спектрами MSp и КО. В связи g этим естественно пред-
предположить, что имеет место следующий аналог теоремы 20.34:
гомоморфизм h: л* (AfSp)->-P (/CO* (MSp)) является изоморфизмом.
В малых размерностях группы я„. (MSp) известны, и мы можем
сравнить их с вычислениями, проделанными в конце главы 17.
Оказывается, что в размерностях, меньших 9, наша гипотеза
верна Однако ft9(MSp)^Z2, в то время как

ГЛ. 20. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП БОРДИЗМОВ 586
Неизвестно, является ли h мономорфизмом1). Более того,
неизвестно даже, справедливо ли более слабое предположение:
h: nn {MSp) -> Рп (КО% (MSp)) изоморфизм для п за 0 mod 4.
Основываясь на Q#, приступим теперь к вычислению кольца
бордизмов Qf°. Для любых нечетных простых чисел р спектраль-
спектральная последовательность Адамса mod p для я* (MS0) устроена
довольно просто, поэтому ею мы займемся в первую очередь. Мы
имеем изоморфизм Тома Ф#: Я* (MS0; Zp) -*¦ Я* (BSO; ZP). Со-
Согласно упражнению 16.52 существует изоморфизм H^.(BSO;ZP) =
ZP[qu <7г. ...], где Bln: H^(BS0B); ZP)-+H#(BSO\ ZP) удовле-
удовлетворяет равенствам Bi+ (t/w+i) = 0. t ^0, и fit* (yit) = qit i\
Рассмотрим коммутативную диаграмму
BU(\) S BSOB)
\m
ви —-+ bso
где г — отображение «овеществления», которое превращает ком-
комплексное расслоение в ориентированное вещественное расслоение.
Из этой диаграммы видно, что г„ (t/«) —<7ь г^ (yii+i) = 0 для всех
/ЗэО. Пусть q\ &H4i(MS0; ЪР) — такие элементы, что Ф# (^J)=^,
/^sl. Если обозначить через Mr: MU-+MS0 отображение, инду-
индуцированное отображением г: BU-+BSO, то
0, t нечетно.
Таким образом, из следствия 20.22 мы получаем вледующую
лемму.
20.37. Лемма tyq'k= S (xv+1)*i®q'i, k^^
Поэтому, если положить Я" =*ZP[zi, гъ ...], zsH\h для
любого k, не равного {р'—1)/2 ни при каком f^sl, то мы полу-
получим следующее утверждение.
20.38. Лемма. Существует изоморфизм А^-алгебр
Следовательно, в спектральной последовательности Адамса для
М SO мы имеем
EV&Zplqo, Яи .
1) Не является. Именно, в работе [3J построено много нетривиальных эле-
элементов групп nah+t(MSp), в то время кйк /C08ft+8(AfSp)==0. — Прим ред.

586 ГЛ. 20. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП БОРДИЗМОВ
С
IZk^E'iAk, если кФ(р1— 1)/2 ни при каком t,
qt^El'4k+\ если k = (p'— l)/2 для некоторого t>0.
20.39. Теорема. Имеет место изоморфизм групп
pn*(AfSO)^Z[«i, n2, ...].
При этом гомоморфизм Гуревича
h: pn*(MS0)-+P(Hb(MS0; ZP))
является эпиморфизмом. В частности, л% (MS0) не имеет круче-
кручения нечетного порядка.
20.40. Упражнение. Показать, что если /?—-нечетное про-
простое число, то существует изоморфизм групп
pnSit(MSp)g^Z[pi, Pi, •¦¦], deg pi = 4i.
[Указание. Доказать, что г': BSp-*-BSO индуцирует изо-
изоморфизм
H*(BSp\ Zp)^Ht(BS0; Zp).]
Вычисление спектральной последовательности Адамса mod 2
для MS0 более интересно. Мы покажем, что
H*(MS0; Z2)^ A*IA* Sqh$H*0 Л*'
где Н* =Хг[ръ р2, ¦¦¦] и Z* — некоторое векторное пространство
над полем Z2- Отсюда будет следовать, что
Сосредоточим сперва свое внимание на алгебре (^4*/^*Sq1)
Алгебра А* действует на Л^ слева и справа по формулам:
ф, щ) (аЪ, г]),
Кроме того, мы имеем с(ца) — с* (а)с(т)), с(ат)) = с(т))с* (а), аеЛ*,
1|ё4, где с: А % -> А „, — канонический антиавтоморфизм и
с*: А*-у-А* —двойственный ему автоморфизм.
20.41. Лемма. Sq*&,- = &_,,
Кроме того,
Sq1 (лл'> = (SqN) Л' + Л (Sq1 rj')
ы
(Зля любых ц, т)'

ГЛ. 20. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП БОРДИЗМОВ 587
Доказательство. Напомним формулу из предложения 17.11:
(ау, и) = J) <c, et (у, «,»,
t
где а е= А*, у<=Н* (X; Zs), «еЯ4 (X; Z2) и \|ш = ^j e'®"<- ПРИ"
меняя эту формулу к спектру Х = Н (Z2), получим
(a, Sq1 Ь> = (a Sq1, Ь> = S <а' Е^-/ ^Ч1. Ь)) =
<а, |?_i> для всех аеЛ*.
Следовательно, Sqx ?» = ё? i- Аналогично,
(a, bSq») =
для всех йеЛ*.
Таким образом,
go. t = l,
Пусть ^>: Л„.(g) Лл ->-/4# —умножение в А^иф*: А*-*- А
й ф Т *S S1
у ^ „g л # у ф
коумножение, двойственное к ф. Тогда ^*Sq1 = Sq101 +
Пусть as А*, т), i)'e^ и ф*а= ^а^а^. Имеем
(a, Sq1(TiV)> = <aSq1, ф (i\<g>r{)) = (ф* (aSq1),
/(^«^«fUSq^l
*@А*
<<?*a, Sq1T1®T1'+T1(g)Sq1T1'> = <a, (Sq1^) л' + Л (Sq1 Ц'))-
Следовательно, Sq1(T)T)') = (Sq1T))T]'4-'n(Sq1T)'). Аналогично дока-
доказывается, что
(tlTj') Sq1 = г) (т,' Sq1) + (л Sq1) л'. П
Мы имеем точную последовательность
А* ™? А* -+ A*/A* Sq1-»-P,
где через RSq1 обозначена операция Sq1, действующая справа.
Переход к двойственным объектам дает точную последовательность

688 ГЛ. 20. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП БОРДИЗМОВ
Применяя к этой последовательности антиавтоморфизм с, получим
0-+с (A*/A* Sq1)* -> Л* ^1". Л*,
так как c*Sq1 = Sq1.
20.42. Следствие. с(Л*/Л* Sq1)* g^Z2[?iJ, h, h> •¦¦]•
Рассмотрим теперь в группе Н° (MS0) (для краткости мы опу-
опустим обозначение группы коэффициентов Z2) элемент t, соответст-
соответствующий классам Тома tn^Hn (MSOn). Определим гомоморфизм
к*: A*^H*(MS0),
полагая K*(a) = a-t для аеЛ*. Гомоморфизм к* есть не что
иное, как композиция
А* ^ A* (g)Z2 --^ А *(х)Я* (MS0) ^ Я* (MS0),
где ц A) = t и все тензорные произведения рассматриваются над Ъ%.
По двойственности мы получаем гомоморфизм к: H(MSO) А
который представляется композицией
Я* (MS0) ^ Л* ®Я„ (MSO) L®5 Л
где е — пополнение в Я* )
В точной последовательности
0 ->¦ Н" {MSOn) -¦- Я" (BSO (n)) ^ Я" (BSO (п - 1 ))->...
(где мы рассматриваем MSOn как конус расслоения на сферы
BS0{n— l)^-BSO(n); см. следствие 16.11) класс Тома 2„ пере-
переходите wne=H'l{BS0(n)). (Замечание: Я*(В50(п))^22[ш2, ш3,...
.... а>„]; см., например, [96].) Так как Wi = 0 в H*(BSO(n)), мы
имеем Sq1 иу„ = шлш1 = 0; поэтому Sq4,, = 0 для всех п и, значит,
Sq4 = 0. Следовательно, /с* индуцирует гомоморфизмы
к*: А*/A* Sq1-+H*(MS0)
и
к: Я:l!(ЛlSO)-^(Л*/Л*Sq1)*.
20.43. Предложение. Гомоморфизм к* является мономор-
мономорфизмом или, эквивалентно, к является эпиморфизмом.
Доказательство. Прежде всего, введем некоторые обозна-
обозначения. Через Е! ... Е"г будет обозначаться типичный моном
в Л#; тогда {|а} является Ж2-базисом для А*. Через {Sqa} обо-
обозначим дуальный базис в Л*. (Замечание: в этих обозначениях
элемент Sq(ft), двойственный к ?(ft) = Ц, равен Sq*, но в общем
случае Sq^1' Ка' "-аг) не равен произведению Sq^Sq... Sqar.)
Мы знаем, что (A*/A* Sq1)* порождена как алгебра элемен-
элементами с(Ц), с(|2), сЦч)... Если мы покажем, что подгруппа Р* с: А+,
порожденная c(|i)i с(|3), сE3), •••, содержится в образе отобра-

ГЛ. 20. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП БОРДИЗМОВ 589
жения к, то поскольку к — гомоморфизм колец, отсюда будет сле-
следовать его эпиморфность. Двойственным образом, достаточно дока-
доказать, что к* является мономорфизмом на подгруппе Р cz А*, поро-
порожденной элементами с* (Sq<2)) = с* (Sq2), с* (Sqf0-1») = Sq<0-'\ ...
..., с* (Sq<0 °- 1>) = Sq@ °- 1), ... Обозначим через А, после-
последовательность @, ..., 0, 1), в которой единица находится на
1-м месте. Тогда SqA' удовлетворяет соотношению
(см. [55]), так что мы получаем
к* (с* (Sq2)) = с* (Sq2) -t = Ф* (w2),
к* (SqAw) = (Sq1 Sq2A<- + Sq2A< Sq1) • /»
Sqx(O* (w2t+i_2 + члены меньшей степени)) —
Ф* (Sq1ay2'+1-2 + 4JieHbI меньшей степени) =
Ф* (ш2т-1 + члены меньшей степени),
Здесь мы использовали тот факт, что Sq1 коммутирует с Ф*,
поскольку Sq1^ = O. Таким образом, мы видим, что к*— моно-
мономорфизм и, следовательно, к — эпиморфизм. ?
Так как Sq1»Sq1 = 0, то Sq1 можно рассматривать как диф-
дифференциал на любом Л*-модуле М и, значит, определены кого-
мологии Н* (М; Sq1). В частности, мы имеем
i) H*(H*(MS0); Sq^^Z.H, w\, ...].
Действительно, поскольку Sq1 коммутирует с Ф*, достаточно
показать, что Н* (Н* {BSO); Sq1)g^Z2K, w\, ...]. Но Sq1w2n =
Щп+i, поэтому если мы запишем Н* (BSO) в виде Н* (BSO) =
X%[w2, ws](x)Z2[^4, щ]0--- и используем теорему Кюннета, то
получим требуемый результат.
И) ^*(^*/^*Sq1; Sq^^Za- В самом деле, A*/A*Sql имеет
Z2-6a3Hc, состоящий из классов допустимых мономов Sq' с / = 0
или tV;3s2. Кроме того,
с 1 с / ( S4'' ll четн°. I^O,
Sq1Sq' =<
{ 0, i! нечетно или
где /' = (ti+l. н, •••, ir), если
дует требуемый изоморфизм.
Таким образом, если мы положим Н*
и определим отображение
8: A*/A*Sq1(g)H*-+H*(MSO)
формулой 6({а}(^^а) = аФ* (ш2а1ш^°2 ...w2*r}, a e А*, то 0 будет
гомоморфизмом Л*-модулей, индуцирующим изоморфизм
8*: H*(A*/A*Sq1®H*; Sq1) ^H* (H* (MSO); Sq1).
о,
(h,
н*
h,
-z
• • * )
a[Pi.
a
Pb
Отсюда
...], Pi
сле-

590 ГЛ. 20. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП БОРДИЗМОВ
Пусть теперь М = Я* (MS0), М = М/А*М, где через А* обо-
обозначены элементы положительных степеней алгебры А*, и пусть
р: М -*• М — естественная проекция. Выберем вМ, рассматривае-
рассматриваемом как векторное пространство над полем 2г, такое подпрост-
подпространство Z*cM, что р|Z* —мономорфизм и
Л?з?р (в (А*/А* Sq^H*))®? (Z*).
Другими словами, мы обозначаем через p(Z*) дополнение в Л-?
подпространства р8 (A*/A*Sq1tg)H*) и определяем Z* как подпрост-
подпространство, порожденное прообразом p-J(pZ*). Пусть N=A*lA*Sql(&
Я*фЛ*^2*. Продолжим гомоморфизм 6 на N, полагая ь(афг)=аг
для всех ае/1*, zeZ*.
20.44. Теорема. Гомоморфизм
6: N-+H*(MS0)
является изоморфизмом.
Доказательство. Обозначим через ЛЛя) и УИ(л) ^-под-
^-подмодули модулей N и М, порожденные, соответственно, Nh Mit
i^n. Покажем индукцией по п, что 6: ЛЛл) ->-М(л) является
изоморфизмом.
Из определения подпространства Z* следует, что f}(N{a))=M[n>.
Пусть л = 0; N^) = A*/A*Sql(g){l\ и М<е) = А*-(. Кроме того,
ограничение 9 | Л/(о) совпадает с к*, так что в силу предложения
20.43 81 jV@) является мономорфизмом.
-Будем теперь считать доказанным, что 9: М(п-и-*-М^п-1) —
изоморфизм, и пусть X: N/Nin~1] -*¦ М/М{п~1) индуцировано ото-
отображением 9. Мы хотим доказать, что Я, | (jV'/^'"') —мономор-
—мономорфизм. Обозначим через Р а N подпространство, порожденное эле-
элементами вида Л, г, Sq1 z для /i е Щ, z e Z*. Заметим, что Р можно
рассматривать как подпространство в N/N{n~1].
20.45. Лемма. Ограничение Х\Р является мономорфизмом.
Доказательство. Прежде всего, поскольку Н* (А*\ Sq1)=O,
то G*:H*(N; Sq1) -у Н* {М; Sq1) - изоморфизм. Так как 6: Л^*-1' -*¦
М'п-1) — изоморфизм по предположению индукции, го
>v*; Я* (yV/Л^с-1); Sq1)-^* (M/M'"-1'; Sq1) также является изомор-
изоморфизмом.
Пусть теперь иеР и Я,(v) = 0. Заметим, что dimt» = п или
= n+l; рассмотрим отдельно обе возможности:
dimt» = n: тогда v = h-\-z, h^H'i, z<=Z%.
Равенство %(v) = 0 означает, что 9(/г + г) ^М{"~1]. Следовательно,
в. силу выбора подпространства Z* имеем z — 0. Теперь, если
h^O, то h представляет неограничивающий Sqx-uHM в N и, зна-
значит, в N/N^^K Но это противоречит тому, что X(h) = O (так как
X* является изоморфизмом). Значит, h — 0.
dim v—n +1: тогда y=SqJ z для некоторого z s Z%- Если Х (и)=0,
то X(z) является Бс^-циклом в М/УИ(п-г). Так как X* — эпимор-

ГЛ. 20. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП БОРДИЗМОВ 59)
физм, отсюда следует, что X (z) = X (h) + Sq1 f для некоторых ft <= #2
и z' ^(M/M{n-v)n-i. Но это означает, что z' = 0, т. е. X(z) = X(h).
Таким образом, X (h + z) = 0, и мы оказываемся в исследованной
выше ситуации Следовательно, h — z — 0. ?
Вернемся теперь к доказательству теоремы 20.44. Умножение
fi: MS0f\MS0-+MS0 задает на М=Н* (MS0) коумножение
ц*: М-*-М®М. Так как Л*-действие $%: А*'&М^>-М естест-
естественно, то имеет место коммутативная диаграмма
Фм
А* ® М > М
*
ф
А* ®А* ®М ® И > М ®М.
(ФИ® Фи) ОТ
Пусть р: M-t-M/M^-v — естественная проекция. Если не
H$@ZZ, то (х*8(«) = l'g)8umodMg)M('I-1). Следовательно, для
любого aef выполнено равенство
Выберем теперь базисы hu Л2. •••. Л/- для Я* и 2i, z2, ..., zs
для Z^. Тогда Я имеет базис {vt} = {hu ..., /гг> Zi,..., zs, Sqxzi,...
..., Sq1?,}, и любой элемент v e N{n)/№lh~1) представляется в виде
t»=2jQiyi' rflea,-^^*Sq1 Чтобы получить это представление,
i
записываем v как
v=?c,, /Sq1 h, + ?dj,kSqJ zk,
где Sqy ф A* Sq1, и затем выражаем каждый элемент Sq-'z*,
J = (}\, ..., /r_i, 1), в виде произведения Sq7z* = Sqy'Sq1 zft с У' =
(/i, /г, .... /r-i)- Пусть т = max {dimаг} и пусть а^, а,2, ..., а^ —
элементы размерности т. Если %(v) = 0, то 6 (у) еУИ1"', и, сле-
следовательно, 0 = (l®p)(i*8(y) = Hai//®X(t»f/) + 2^ft-^(8)/n* Для не-
некоторых т4еА1 и 6t6/l с d'\mbk<:m. Но мы показали, что
Я | Я — мономорфизм, так что все Я(у,-.) линейно независимы. По-
Поэтому ct[.-t = O для всех /. Однако из равенства а{ -t = Q согласно
предложению 20.43 вытекает, что at. ^ A* Sq1. Полученное про-
противоречие означает, что равенство X (v) = 0 возможно лишь для
у = 0. Это завершает шаг индукции. ?
20.46. Следствие.
#* (MS0) д* (A*/A* SqT^H^A^Z,
где
и Z — некоторое векторное пространство над полем Zs- ?

592 ГЛ. 20. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП БОРДИЗМОВ
Согласно следствию 20.17 отсюда получается, что
Exty.(Z«, (A*/A*Sq1)*) = ^Ut/nAVA'S4^ (Zk, Z0-
Но А„//(А*/А* Sqi)*c^ A J/c(A*/A* Sq1)*^E(Ь), где Ц)
внешняя алгебра, порожденная элементом ?х. Так как мы умеем
строить резольвенты 2г над внешними алгебрами, то примени-
применительно к данному случаю получается изоморфизм
20.47. Следствие. ExtJ* (Zs, Я, (MSO)) ^ Zs [<7o]®#®Z.
Столбцы с Gо в спектральной последовательности Адамса по-
появляются лишь в размерностях, кратных четырем. Поэтому ника-
никакой дифференциал dr не может переводить элементы одного столбца
в другой. Предположим, что dr(z)=qr(,li для некоторых г 5^2,
г еZ, /1еЯ. Тогда 0 = dr(дог) = </04(z) = ?о+ !Л, что является
противоречием. Следовательно, и в данном случае все дифферен-
дифференциалы равны нулю, но на сей раз по несколько менее тривиаль-
тривиальным соображениям.
20.48. Теорема. Имеет место изоморфизм групп
гл* (ЛГSO) s* Z [пи пш, ¦ ¦ .]®Z, deg n, = 41.
При этом гомоморфизм Гуревича
А: 2я#(М50)-^Я(Я#(М50; Zs))
является эпиморфизмом.
На самом деле, Q|°/Tors представляет собой алгебру полнно-
мов от образующих /V,- е ^4г /Tors; этот факт можно доказать
с помощью рассуждений, аналогичных использованным в тео-
теореме 20.27.
Для вычисления Qfu применяется коммутативная диаграмма
г'
H,(MSU;Z2),
где а: Л^^-Л# задается формулой а(х)^х2, х&А*, a h — изо-
изоморфизм неградуированных алгебр, получающийся факторизацией
композиции
по H^iMSU: 22)-+Н*(Ми; Z2)- Следовательно,

ГЛ. 20. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП БОРДИЗМОВ 693
Группы ExtT. (Z2, «(Л*)) мы уже знаем. В работе [47] Люле-
вичус построил резольвенту для a(A*/A*Sq1)* над алгеброй А„,
и, таким образом, вычислил
Ext? (Zi, Я* (MSU; 7лI
Основываясь на этих вычислениях, Андерсон, Браун и Петерсон
[13] показали, что единственным ненулевым дифференциалом
в спектральной последовательности Адамса для MSU является
дифференциал d2, и тем самым полностью описали 2п* (MSU).
Вычисление ря# (MSU) для нечетных простых р не составляет
труда. Как и следовало ожидать, группы я* (MSU) не имеют
элементов нечетных порядков.
Более сложным оказывается вычисление группы лх^ (MSpin)
В работе [14] Андерсон, Браун и Петерсон установили, что
Я* (MSpin; 7л) =
А*/А* (Sq\ Sqi)®XQA*/A*S(i*tg)Y®A*®Z.
Это делается примерно так же, как при доказательстве изомор-
изоморфизма
H*(MS0; Zi)9^A*/A*S
однако гораздо дольше и сложнее. Затем они вычислили п$р{п (
используя скорее характеристические числа в /(О-теории, нежели
спектральную последовательность Адамса. И на этот раз нетрудно
показать, что группы Qf"'" не имеют элементов нечетного порядка.
О симплектических бордизмах Q*p известно немного. Оказы-
Оказывается, что группы Qfp имеют лишь 2-кручение. Кроме того,
имеет место изоморфизм групп Q*p/Tors ^ Z [*ъ *г> ¦¦¦], deg^=4t
(кольцевым этот изоморфизм не является)- Н. Рэй, Д. Сигал и
другие авторы вычислили Q%p для малых размерностей п.
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Приведенное здесь вычисление Л^-комодуля //„, (МО; Ъг) осно-
основано на работе Люлевичуса [45]. Доказательство теоремы 20.37,
по существу, содержится в книге Адамса [10], иное доказатель-
доказательство можно найти в [7]. Доказательства предложений 20.32 и
20.33 взяты из лекции Адамса, прочитанной им в 1967 г. в Ман-
Манчестере.
В вычислениях настоящей главы имеется одна деталь, кото-
которая, на мой взгляд, не позволяет считать их полностью безу-
безупречными. Дело вот в чем. С одной стороны, мы вычислили
я% (MU), используя спектральные последовательности Адамса
для Е = Н (Хр) при всех простых р. В то же время было заяв-
заявлено, что «правильным» гомоморфизмом Гуревича, пригодным для

594 ГЛ. 20. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП БОРДИЗМОВ
изучения л# (MU), является гомоморфизм h: л* (М(/)->- /С* (MU);
оправданием этого заявления служила теорема 20.34. Понятно,
что более естественным был бы такой путь: вычислить я» (MU)
и одновременно доказать теорему 20.34 с помощью спектральной
последовательности Адамса для К- Правда, вообще говоря, мы
не знаем, сходится ли эта спектральная последовательность,
однако в данном случае она, по-видимому, должна быть тривиаль-
тривиальной или «почти тривиальной» в подходящем смысле, который
гарантировал бы ее сходимость и делал теорему 20.34 очевидной.
К сожалению, в настоящий момент я не вижу, как реализовать
такой подход. Адаме и Люлевичус в работе [11] доказали эту
теорему, привлекая спектральную последовательность Адамса для
спектра ВР.
ССЫЛКИ НА ЛИТЕРАТУРУ
1. Адаме [7, 10, 11].
2. Андерсон, Браун, Петерсон [13, 14],
3. Дольд [33].
4. Коннер, Флойд [42, 43].
5. Люлевичус [46, 47].
6. Милнор [55, 58].
7. Милнор, Мур [61].
8. Стонг [76].
9. Том [78, 79].
10. Уолл [85, 86, 88].
11. Хьюзмоллер [96].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
{1] Адаме (Adams J. F.)- On the structure and applications of the Steenrod
algebra. — Coram. Math. Helv., 1958, 32, p. 180—214.
B] Адаме (Adams J. F.). Vector fields on spheres. — Ann. Math., 1962, 75,
p. 603—632. [Русский перевод: Адаме Дж. Ф. Векторные поля на сфе-
сферах. — Математика, 1963, 7 : 6, с. 48—79.]
C] Адаме (Adams J. F.). On the groups J (X), I—IV. — Topology, 1963,
2, p. 181—195; 1965, 3, p. 137—171; 1965, 3, p. 193—222; 1966, 5, p. 21—71.
[Русский перевод: Адаме Дж. Ф. О группах J (X), I—IV. — Матема-
Математика, 1966, 10 : 5, с. 70—84; 1967, 11 : 4, с. 42—69; 1968, 12 : 3, с. 3—97.]
D] Адаме (Adams J. F.). Stable homotopy theory. — Berlin: Springer, 1964.
E] Адаме (Adams J. F.). S. P. Novikov's work on operations on complex co-
bordism. —Chicago: University of Chicago Mathematics Lecture Notes, 1967.
{61 Адаме (Adams J. F.). Lecture on generalized cohomology. — Berlin: Sprin-
Springer, 1969.
[7] Адаме (Adams J. F.). Quillen's work on formal groups and complex cobor-
dism. — Chicago: University of Chicago Mathematics Lecture Notes, 1970.
[8] Адаме (Adams J. F.). Stable homotopy and generalized homology. —Chi-
—Chicago: University of Chicago Mathematics Lecture Notes, 1971.
[9] Адаме (Adams J. F.). A variant of E. H. Brown's representability theorem. —
Topology, 1971, 10, p. 185—198.
A0] Адаме (Adams J. F.). Algebraic topology: a student's guide. — Cambridge:
Cambridge University Press, 1972.
A1] Адаме, Люлевичус (Adams J. F., Liulevicius A.). The Hurewicz
homomorphism for MU and BP. — J. London Math. Soc, 1972, 5, p. 539—
545.
A2] Адаме, Харрис, Свитцер (Adams J. F., Harris A. S., Switzer R. M.).
Hopf algebras of cooperations for real and complex K"-theory. — Proc. Lon-
London Math. Soc, 1971, 23, p. 385—408.
A3] Андерсон, Браун, Петерсон (Anderson D. W., Brown E. H.,
Peterson F. P.). St/-cobordism, K"O-characteristic numbers and the Kervaire
invariant. — Ann. Math., 1966, 83, p. 54—67.
A4] Андерсон, Браун, Петерсон (Anderson D. W., Brown E. H.,
Peterson F. P.). The structure of the Spin cobordism ring. — Ann. Math.,
1987, 86, p. 271—298.
A5] А т ь я (Atiyah M. F.). Thorn complexes. — Proc. London Math. Soc. 1961,
11, p. 291—310. [Русский перевод: Атья М. Ф. Пространства Тома.—
Математика, 1966, 10 : 5, с. 48—69.]
A6] Атья (Atiyah M. F.). /C-theory. — N. Y.: Benjamin, 1967. [Русский пере-
перевод: А т ь я М. Ф. Лекции по /С-теории. — М.: Мир, 1967.]
[17] Атья, Ботт, Шапиро (Atiyah M. F., Bott R., Shapiro A.). Clifford
modules. — Topology, 1964, 3, suppl. 1, p. 3—38.
[18] Атья, Зингер (Atiyah M. F., Singer I. M.). The index of elliptic ope-
operators on compact manifolds. — Bull. Amer. Math. Soc, 1963, 69, p. 422—
433. [Русский перевод: Атья М. Ф., Зингер И. М. Индекс эллиптиче-
эллиптических операторов на компактных многообразиях. — Математика, 1966,
10 : 3, с. 29—38.]
[19] Атья, Хирцебрух (Atiyah M. F., Hirzebruch F.). Vector bundles
and homogeneous spaces. —Proc. of Symposia in Pure Mathematics, 3, Amer.

596 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Math. Soc., 1961, p. 7—38. [Русский перевод: Атья М. Ф., Хирце-
б р у х Ф. Векторные расслоения и однородные пространства. — Мате-
Математика, 1962, 6 : 2, с. 3—39.]
[20] Б а р р а т (Barratt M. G.). Track groups I, II. — Proc. London Math. Soc,
1955, 5, p. 71—106, p. 285—329.
[21] Бордман (Boardman J. M.). Stable homotopy theory, mimeographed
notes. — Warwick, 1966.
[22] Бордман, Фогт (Boardman J. M., Vogt R. M.). Homotopy-everything
Я-spaces. — Bull. Amer. Math. Soc, 1968, 74, p. 1117—1122.
[23] Борель, Хирцебрух (Borel A., Hirzebruch F.). Characteristic clas-
classes and homogeneous spaces I, II, III. — Amer. J. Matn., 1958, 80, p. 468—
538; 1959, 81, p. 315—382; 1960, 82, p. 491—504.
[24] Б о т т (Bott R.). The stable homotopy of the classical groups. — Ann. Math.,
1959, 70, p. 313—337.
[25] Б о т т (Bott R.). Lecture on К (X). — N. Y.: Benjamin, 1969. [Русский пе-
перевод: Б о т т Р. /С-теория. — Математика, 1967, 11 : 2, с. 32 — 57; 11 : 3,
с. 3—36.]
[26] Б pay дер (Browder W.). The Kervaire invariant of framed manifolds
and its generalization. — Ann. Math., 1969, 90, p. 167—186.
[27] Браун (Brown E. H.). Cohomology theories. — Ann. Math., 1962, 75,
p. 467—484; исправления: Ann. Math., 1963, 78, p. 201.
[28] В и к (Vick J. \V.). Homology theory. — N. Y.: Academic Press,
1973.
[29] Гринберг (Greenberg M.). Lectures on algebraic topology.—N. Y.:
Benjamin, 1967.
[30] Д а й e p (Dyer E.). The functors of algebraic topology. — In: MAA Studies
in Mathematics, 5, Studies in modern topology (P. J. Hilton, ed.). Englewood
Cliffs (N. J.): Prentice Hall, 1968.
[31] Д а й e p (Dyer E.). Cohomology theories. — N. Y.: Benjamin, 1969.
[32] Дайер, Лашоф (Dyer E., Lashof R. K.). A topological proof of the Bott
periodicity theorems. — Annali di Math., 1961, 54, p. 231—254.
[33] Дольд (Dold A.). Erzeugende der Thomschen Algebra 5». — Math. Z.,
1956, 65, p. 25—35.
[34] Дольд (Dold A.). Partitions of unity in the theory of fibrations. — Ann.
Math., 1963, 78, p. 223—255.
[35] Дольд (Dold A.). Halbexacte Homotopiefunktoren. — Berlin: Springer,
1966. [Русский перевод: Дольд А. Полуточные гомотопические функто-
функторы. — Математика, 1970, 14:1, с. 3—93".]
[36] Дольд (Dold A.). Lectures on algebraic topology. — Berlin: Springer,
1972. [Русский перевод: Дольд А. Лекции по алгебраической тополо-
топологии. — М.: Мир, 1976.]
[37] К а р т а н (Cartan H.). Seminaire H. Cartan 1954—1955. Paris.
¦¦"' Картан (Cartan H.). Seminaire H. Cartan 1959—1960. — Paris.
К в и л л е н (Quillen D.). The Adams conjecture. — Topology, 1970, 10,
p. 67—80.
[40] Кервер, Мил нор (Kervaire M. A., Milnor J. W.). Groups of homotopy
spheres I. — Ann. Math., 1963, 77, p. 504—537.
[41] Коннер, Флойд (Conner P. E., Floyd E. E.) — Differentlable perio-
periodic maps. — Berlin: Springer, 1964. [Русский перевод: Коннер П.,
Флойд Э. Гладкие периодические отображения.—М.: Мир, 1969.]
[42] Коннер, Флойд (Conner P. E., Floyd E. E.). The relation of cobor-
dism to /C-theories. — Berlin: Springer, 1966. [Русский перевод: Кон-
Коннер П., Флойд Э. О соотношении теории кобордизмов и /(-теории. —
В кн.: Коннер П., Флойд Э. Гладкие периодические отображения.
М.: Мир, 1969.]
[43] Коннер, Флойд (Conner P. E., Floyd E. E.). Torsion in SlZ-bordlsm. —
Mem. Amer. Math. Soc., 1966, 60.
[44] Ландвебер (Landweber P. S.). Cobordlsm operations and Hopf alge-
algebras. — Trans. Amer. Math. Soc, 1967, 129, p. 94—110.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 597
145] Л е н г (Lang S.). Introduction to differentiable manifolds. — N. Y.: Inters-
cience, 1962. [Русский перевод: Л е н г С. Введение в теорию дифференци-
дифференцируемых многообразий. — М.: Мир, 1967.]
[46] Люлевичус (Liulevicius A.). A proof of Thorn's theorem. — Cornm.
Math. Helv., 1962, 37, p. 121—131.
[47] Люлевичус (Liulevicius A.). Notes on homotopy of Thorn spectra. —
Araer. J. Math., 1964, 86, p. 1—16.
|48] Люлевичус (Liulevicius A.). On characteristic classes, mimeographed
lecture notes from the Nordic Summer School in Mathematics. — Aarhus,
1968.
[49] M а к л е й н (MacLane S.). Homology. — Berlin: Springer, 1963. [Русский
перевод: Маклейн С. Гомология. — М.: Мир, 1966.]
[50] Маклейн (MacLane S.). Natural associativity and commutativity. —
Houston: Rice University Studies, 1963, 49, № 4.
[51] M а н к р с (Munkres J. R.). Elementary differentia! topology. — Prince-
Princeton: Princeton University Press, 1966. [Сокращенный русский " перевод:
M а н к р с Дж. Элементарная диффгренциальная топология. — В кн/
Ми л нор Дж., Ста шеф Дж. Характеристические классы. М.: Мир.
1979.]
[52] М а с с и (Massey W. S.). Algebraic topology: an introduction.—N. Y.:
Harcourt, Brace and World, 1Э87. (Русский перевод: Ma ее и У., Стол
л и н г с Дж. Алгебраическая топология. Введение. — М.: Мир, 1977.]
[53] М а у н д е р (Maunder С. R. F.). Algebraic topology. — London: Van Nost
rand, 1970.
[54] Ми л нор (Milnor J. W.). Differential topology, mimeographed notes,—
Princeton: Princeton University, 1958.
[55] M и л н о р (Milnor J. W.). The Steenrori algebra and its dual. — Ann. Math.,
1958, 67, p. 150—171.
[56] M и л н о р (Milnor J. W.). Lectures on characteristic classes. — Princeton:
Princeton University, 1957. [Русский перевод: М и л н о р Дж. Лекции
о характеристических классах. — Математика, 1959, 3 : 4, с. 3 — 53; 1965,
9 : 4, с. 3 — 40. См. также М и л и о р Дж., С т а ш е ф Дж. Характе-
Характеристические классы. — М.: Мир, 1979.]
[57] М и л н о р (Milnor J. W.). On spaces having the homotopy type of a CW-com-
plex. — Trans. Amer. Math. Soc, 1959, 90, p. 272—280.
158] M и л н о р (Milnor J. W.). On the cobordism ring Q* and a complex analo-
analogue, Part I. — Araer. J. Math., 1960, 82, p. 505—521.
[59] M и л н о р (Milnor J. W.). On axiomatic homology theory. — Pacific J.
Math., 1962, 12, p. 337—341.
[60] M и л н о р (Milnor J. W.). Microbundles I. — Topology, 1964, 3, suppl. 1,
p. 53—81.
[61] Милнор, Myp (Milnor J. W., Moore J. C). On the structure of Hopf
algebras. — Ann. Math., 1965, 81, p. 211—264.
[62] Мошер, Тангора (Mosher R. E., Tangora M. C). Cohomology opera-
operations and applications in homotopy theory. — N. Y.: Harper and Row, 1968.
[Русский перевод: Мошер Р., Тангора М. Когомологические опе-
операции и их приложения в теории гомотопий. —М.: Мир, 1970.]
[63] Новиков СП. Методы алгебраической топологии с точки зрения тео-
теории кобордизмов. — ИАН СССР, сер. мат., 1967, 31, с. 855—951.
[64] Пуппе (Puppe D.). Homotopiemengen und ihre induzierten Abbildun-
gen I. —Math. Z., 1958, 69, p. 299—344.
[65] P э й (Ray N.). Some results in generalized homology, /f-theory and bor-
dism. — Proc. Camb. Phil. Soc, 1972, 71, p. 283—300.
[66] P э й (Ray N.). The symplectic bordism ring. — Proc. Camb. Phil. Soc,
1972, 71, p. 271—282.
[67] Рэй (Ray N.). Realizing symplectic bordism classes. —Proc. Camb. Phil
Soc, 1972, 71, p. 301-305.
168] С e p p (Serre J.-P.). Hornologie singuliere des espaces fibres. — Ann. Math.,
1951, 54, p. 425—505. [Русский перевод: Сер р Ж.-П. Сингулярные гомо-

598 список литературы
логии расслоенных пространств. — В кн.: Расслоенные пространства. М.:
ИЛ, 1958, с. 9 — 114.]
F9] Серр (Serre J.-P.). Cohomologie modulo 2 des complexes d'Eilenberg —
MacLane. — Comm. Math. Helv., 1953, 27, p. 198—231.
{70] Ce p p (Serre J.-P.). Groupes d'homotopie et classes de groupes abeliens. —
Ann. Math., 1953, 58, p. 258—294. [Русский перевод: Серр Ж.-П. Гомото-
Гомотопические группы и классы абелевых групп. — В кн.: Расслоенные про-
1 странства. М.: ИЛ, 1958, с. 124—162.]
G1] С п е н ь е р (Spanier E. H.). Function spaces and duality. — Ann. Math.,
1959, 70, p. 338—378.
G2] С п е н ь e p (Spanier E. H.). Algebraic topology. — N. Y.: McGraw-Hill,
1966. [Русский перевод: СпеньерЭ. Алгебраическая топология. — М.:
Мир, 1971.]
G3]Стинрод (Steenrod N.). The topology of fibre bundles. — Princeton
Mathematical Series, 14, Princeton: Princeton University Press, 1951. [Рус-
[Русский перевод: Стинрод Н. Топология косых произведений.—М.:
ИЛ, 1953.]
[74] Стинрод, Эйленберг (Steenrod N., Eilenberg S.). Foundations
of algebraic topology. — Princeton Mathematical Series, 15, Princeton: Prin-
Princeton University Press, 1952. [Русский перевод: Стинрод Н., Эйлен-
Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. — М.: ИЛ, 1956.]
G5] Стинрод, Эпстейн (Steenrod N.. Epstein D. В. A.). Cohomology
operations. — Princeton: Princeton University Press, 1962. [Русский пере-
перевод: Стинрод Н., Эпстейн Д. Когомологические операции. — М.:
Наука, 1983.]
[76] С т о н г (Stong R. E.). Notes on cobordism theory. — Princeton: Princeton
University Press, 1968. [Русский перевод: С т о н г Р. Заметки по теории
кобордизмов. — М.: Мир, 1973.]
[77] Т о д a (Toda H.). Composition methods in homotopy groups of spheres. —
Princeton: Princeton University Press, 1962. [Русский перевод: Т о д а X.
Композиционные методы в гомотопических группах сфер. — М.: Наука,
1982.]
[78] Том (Thorn R.). Quelques proprietes globales des varietes differentiables. —
Comm. Math. Helv., 1954, 28, p. 17—86. [Русский перевод: Т о м Р. Неко-
Некоторые свойства «в целом» дифференцируемых многообразий. — В кн.: Рас-
Расслоенные пространства. М.: ИЛ, 1958, с. 291—351.]
[79] Том (Thorn R.). Travaux de Milnor sur le cobordisme. — Paris, Seminaire
Bourbaki, 1958/59.
[80] Томас (Thomas E.). Seminar on fibre spaces. — Berlin: Springer, 1966.
[81] У a ft т x e д (Whitehead G. W.). Generalized homology theories. — Trans.
Amer. Math. Soc, 1962, 102, p. 227—283.
[82] У а й т x e д (Whitehead G. W.). Homotopy theory. — Cambridge, Mass.:
M. I. T. Press, 1966.
[83] Уайтхед (Whitehead J. H. C). Combinatorial homotopy I, II. — Bull.
Amer. Math. Soc, 1949, 55, p. 213—245, p. 453—496.
[84] Уайтхед (Whitehead J. H. C). The mathematical works of J. H. С Whi-
Whitehead. — London; N. Y.: Pergamon Press, 1962.
[85] У о л л (Wall С. Т. С). Determination of the cobordism ring. — Ann. Math.,
1960, 72, p. 292—311.
[86] У о л л (Wall С. Т. С). A characterisation of simple modules over the Steen-
Steenrod algebra mod 2. —Topology, 1962, 1, p. 249—254.
[87] У о л л (Wall С. Т. С). Finiteness conditions for Cl^-complexes. — Ann.
Math., 1965, 81, p. 56—69.
[88] У о л л (Wall С. Т. С). Addendum to a paper of Conner and Floyd. — Proc.
Camb. Phil. Soc, 1966, 62, p. 171—175.
(89] Хилтон (Hilton P. J.). An introduction to homotopy theory. — Cambridge:
Cambridge University Press, 1953.
(90] Хилтон (Hilton P. J.). Homotopy theory and duality. — N. Y.: Gordon
and Breach, 1965.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 599
[91J Хилтон, Стамбах (Hilton P. J., Stammbach U.)- A course in homo-
logical algebra. — Berlin: Springer, 1971.
192] Хилтон, Уайли (Hilton P. J., Wylie S.). Homology theory. Cambridge:
Cambridge University Press, 1950. [Русский перевод: Хилтон П., У а й-
л и С. Теория гомологии. — М.: Мир, 1965.]
[93] Хирцебрух (Hirzebruch F.). Topological methods in algebraic geo-
geometry.— Berlin: Springer, 1936. [Русский перевод: Хирцебрух Ф.
Топологические методы в алгебраической геометрии. — М.: Мир,
1973.]
[94] X о п ф (Hopf Н.). Uber die Abbildungen der dreidimensionalen Sphare auf
die Kugelflache. — Math. Ann., 1931, 104, p. 637—665.
[95] Xy Сыцзян (Ни S.-T.). Homotopy theory.—N. Y.: Academic Press.
1959. [Русский перевод: Xy Сыцзян. Теория гомотопий.—М.: Мир,
1934.]
[96] Хьюзмоллер (Husemoller D.). Fibre bundles. — N. Y.: McGraw-
Hill, 1956. [Русский перевод: Хьюзмоллер Д. Расслоенные простран-
пространства. — М.: Мир, 1970.]
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1*] Адаме (Adams J. F.). Infinite loop spaces. — Princeton, New Jersey,
1978, Ann. Math. Studies, 90. — [Русский перевод: Адаме Дж. Беско-
нечнократные пространства петель. —М.: Мир, 1982.]
[2*] Араки, Ёсимура (Araki S., Yosimura Z.). A spectral sequence asso-
associated with a cohomology theory of infinite ClF-complexes. — Osaka J. Math.,
1972, 9, №3, p. 351—365.
[3*] Вершинин В. В. Вычисление кольца симплектических кобордизмов
в размерностях до 32 и нетривиальность большинства тройных произведе-
произведений элементов Н. Рея. —Сиб. матем. журнал, 1983, 29, № 1, с. 50—62.
[4*] К о э н (Cohen R. L.). Immersion of manifolds. — Proc. Nat. Acad. Sci. USA,
1982, 79, № 10, p. 3390—3392.
[5*] Кузьминов В. И. О производных функторах функтора обратного
предела. — Сиб, мат. журнал, 1957, 8, № 2, с. 933—945.
[6*] Мадсен, Милг р.э м (Madsen I., Milgram R. J.), The classifying spaces
for surgery and cobordism of manifolds.— Princeton, New Jersey, 1979, Ann.
Math. Studies, 92. [Русский перевод: Мадсен И., Милгрэм Р.
Классифицирующие пространства для перестроек и кобордизмов многообра-
многообразий. — М.: Мир, 1984.]
[7*] Постников М. М. О теореме А. Картана. — УМН, 1966, 21, № 4,
с. 35—46.
[8*] Сулливан (Sullivan D.). Geometric Topology. Part I. — Localization,
periodicity and Galois symmetry, mimeographed notes, MIT, 1970. [Русский
перевод: Сулливан Д. Геометрическая топология.—М.: Мир, 1975.]
[9*] Фукс Д. Б. Двойственность Экмана—Хилтона и теория функторов в ка-
категории топологических пространств. —УМН, 1966, 21, № 2, с. 4—40.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелева группа 24
АДамса спектральная последовательность
528
— теорема 197
— фильтрация 537
Аддитивная операция 453. 480
АДеиа соотношения 517
Аксиома вырезания 124
— Майера — Вьеторнса 185, 194
слабая 194
— слабой гомотопической эквивалентности
135
— суммы 136, 156, 184
слабея 191
— точности 122, 134, 153
Алгебра над коалгеброй 563
— разделенных полиномов 520
— Стннрода 509
Александера двойственность 367
Аппроксимация диагональная 510
Ассоциированное расслоенное простран-
пространство 238
Атлас векторного расслоения 237
— главного 0-расслоения 266
— класса С00 дифференцируемый 265
— многообразия 264
Атьи — Хирцебруха—Уайтхеда теорема 398
Ацикличный на моделях функтор 293
Бернулли числа 552
Внмодуль 483
Бокштейиа гомоморфизм 213
Бордантные многообразия 271
БорДизмов теория 279
Борднзмы 264, 278
— Браудера 274
— неориентированные 273
— ориентированные 273
— оснащенные 274
— симплектнческие 274
— спннорные 273
— унитарные 274
Вордмана гомоморфизм 341
Вореля теорема 433
Ботта теорема о периодичности 261
Браудера ЙорДизмы 274
Брауна теорем? 190
Букет 14
Вана точная последовательность 417
Векторное /i-мериое расслоение 232
Вещественное векторное расслоение 283
— проективное пространство 82
Вложение 268
Внутренность клетки 81'
Вырезаемая триада 127
Вырезания аксиома 124
Гизииа точная последовательность 416
Главная клетка 80
Главное С-расслоение 233, 248
, редукция 248
Гладкое многообразие 265
— отображение 267
Гомологии сингулярных группа 205
теория с коэффициентами в группе О
207
— теория классическая 204
мультипликативная 33'
непрнвеДеиная 122
приведенная 134
с коэффициентами в группе С 204
Гомологическое Х-умножеине 300
Гомоморфизм Бокштейиа 213
— Бордмана 341
— Гуревича 140
нестабильный 224
относительный 226
стабильный 224
— краевой 412
—, сохраняющий целые элементы 581
— Хопфа стабильный 228
Гомотопнй продолжения свойство 92
— стабильных теория 182
Гомотопическая группа 45
п-мерная 45
спектра 170
стабильная 10S
— единица 24, 28
— надстройка 106
—точная последовательность 60
триады 101
— тривиалиэация 402
— эквиаалентность 4?
послойная 400
слабая 171
Гомотопически ассоциативное коумножв-
ние 28
умножение 25
— коммутативная Я-когруппа 29
— коммутативное обращение 25
умножение 25
Гомотопический класс 12
— тип 47
Гомотопическое множестно л-мерное 100
— обращение 25
Гомотопня 12
— относительно Л 12
— послойная 272, 400
— стягивающая 48
— цепная 208
Градуированное кольцо 323
Границ группа 205
Граница клетки 80
Грань клетки непосредственная J0
Грассмана многообразие 73
Граф 121
Группа 23
— абелева 24
— борднзмов Браудера 274
— — неориентированных 27J

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
60»
Группа борднзмов ориентированных 273
— — оснащенных 274
симплектических 274
спинорных 273
— — унитарных 274
— гомологии сингулярных 206
— гомотопическая 45
— — спектра 170
— — стабильная W?
— границ 205
— когомологий сингулярных с коэффициен-
коэффициентами в G 209
— коммутативная 24
— коэффициентов теории гомологии 129
— приведенной 144
— цепей 205
— циклов 205
Гуревича гомоморфизм 140
нестабильный 224
относительный 226
стабильный 224
— теорема об изоморфизме 22ь
— относительная 327
Двойственность Александера 367
— Лефшеца 370
— Пуанкаре 371
Действие 40
— вполне разрывное 74
— группы 40
— согласованное с умножением 5?
Я-группы на Н-группе 58
— топологической группы на топологиче-
топологическом пространстве 76
Дерево 121
Диагональная аппроксимация 510
Диффеоморфизм 267
Диффеоморфные многообразия 26?
Дифференциал 205
— отображения 268
Дифференцируемая структура класса С°°
265
Дифференцируемое многообразие 265
Дифференцируемый атлас класса С°° 265
Допустимая последовательность 517, 526
Допустимый моном 517, 526
Дуальный класс Штифеля — Уитни много-
многообразия 443
Единица гомотопическая 28
Р.стественная эквивалентность 19
— — теорий когомологий 141
Естественное преобразование 18
— — неприведениых теорий когомологий
141
Закон экспоненциальный 13
Замкнутое многообразие 265
Знмана теорема о сравнении 431
Идеал пополнения 451
Избыточность 618
Изоморфизм Тома 362
стабильный 464
Индуктивная система 146
Индуктивный предел 14В
Индуцированная Х-структура 272
Индуцированное расслоение 240, 398
Инъективная резольвента 549
Инъективный модуль 649
Карта Векторного расслоения 237
— главного О-расслоения 233
— микрорасслоения 359
— многообразия 264
Картана формула 442
Касательное микрорасслоение 369
— расслоение 232, 267
Категория 15
Кватернионное векторное расслоение 232
— проективное пространство 84
Класс гомотопический 12
— Понтрягина 443
универсальный 443
— Тома 360, 361, 427
Класс Тома микрорасслоения 360
— фундаментальный многообразия 371
— характеристический 437
— Чжеия 443
универсальный 443
— Штифеля — Уитни 443
— — — многообразия 443
дуальный 443
универсальный 443
— Эйлера 416
Классифицирующее пространство 184
Классическая теория когомологий 204
Клетка 79
— главная 80
— спектра 165
Клетки внутренность 80
— непосредственная грань 80
Клеточное отображение 113
— подпространство 87
— пространство 81
— — относительное 89
— разбиение 79
Клеточный эквивалент 120
КоборДизмов теория 279
Когомологий теория 153
мультипликативная 33?
Когомологическая операция кддитнвная
453. 480
нестабильная 453
стабильная 480
Когомологическая операция степени п 480
Стинрода 511
типа (р, q) 480
Когомологическое х-умножение 300
Когомотопнй стабильных теория 182
Когомотопнческое множество п-мериое 229
Кодействие 40
— согласованное 58
Кольцевой спектр 319
коммутативный 319
Кольцо градуированное 323
Коммутативная группа 24
Коммутативное шшоженне 319
Коммутативный Кольцевой спектр 819
Комоду ль 482
— расширенный 533
Компактно-открытая топология 13
Комплекс коцепной 209
— цепной 205
— Эйленбврга 221
Комплексйое векторное расслоение 9W
— проективное пространство 83
Композиция 15
Компонента линейной свяэнооте 81
Конечный спектр 165

602
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Конструкция Понтрягииа — Тома 275
Конус 36, 168
— отображения 36, 168
Корасслоение 92
Корасслоенная последовательность обща
174
специальная 174
Котеизорное произведение 571
Коточиая последовательность 35
Коумножеиие 28
— гомотопическн ассоциативное 28
Кофинальный подспектр 166
Кофунктор 16
Коцепной комплекс 209
Краевой гомоморфизм 412
Край многообразия 265
Кюннета теорема 296
— — Относительная 29Р
Лемма о симплнцнальной аппроксимации
95
Лере —Серра теорема 409
Лере — Хирша теорема 425
Лефшеца двойственность 370
Линейно связное пространство 20
Линейной связности компонента 20
Линзовое пространство 112
Локальное сечение 71
Майера — Вьеториса аксиома 185, 194
слабая 194
точная последовательность 131
Микрорасслоение 359
—, эквивалентность 360
Милнора — Спеньера теорема 391
Миттаг-Леффлера условие 161
Многообразие 265
— без края 265
— гладкое 265
— Грассмана 73
— Дифференцируемое 265
— замкнутое 265
— ориентируемое 267
— размерности п 265
— Штифеля 73
—¦ фундаментальный класс 371
Многообразия бордантиые 27!
— диффеоморфные 267
— сингулярные Х-борДантные 272, 279
Множество гомотопическое n-мерное ЮГ
— когомотопнческое п-мерное 229
— направленное 145
— относительное гомотопическое л-мерноь
49
— функций перехода 234
— , эквивалентность 234
Модель 293
Модуль инъективный 549
— плоский 338
— проективный 530
— расширенный 532
Модульный спектр 320
Моиом допустимый 517, 526
Морфизм 15
— /'-векторных расслоений 233
— главных О-расслоений 233
—множеств функций перехода 234
—, область значений 15
— определения 15
— обратных систем 154
—прямых систем 146
— спектральных последовательностей 430
Мультипликативная теория гомологии 327
когомологнй 327
Надстройка 22
— гомотопическая 106
Надстройки функтор 23
Наивное приведенное произведение спект-
спектров 304
Накрывающая проекция 75
Накрывающее пространство 75
Накрывающей гомотопии свойство 6ь
Накрытие 75
— регулярное 77
Направленное множество 145
Невырожденная отмеченная точка Hi
Неориентированные бордизмы 273
Непосредственная грань клетки 80
Непрнведеиная теория гомологии 122
Неприведенный цилиндр отображения 5^
Неразложимых элементов факторалгебра
451
Нестабильная когомологическая операция
453
Нестабильное отображение Хопфа 230
Нестабильный гомоморфизм Гуревича 224
Нормальное расслоение 233
стабильное 269
Область значений морфнзма 16
— определения морфизма 15
Обратная система 153
Обратный предел 154
Обращение 23
— гомотопическое 25
Общая корасслоенная последовательность
174
Объект 15
Окрестность трубчатая 269
Операция Стинрода 511
Орбита 40
— точки 76
Ориентация микрорасслсения 360
— многообразия 360
— расслоения 427
Ориентированные борднзмы 273
Ориентируемое мнкрорасслоеиие 360
— многообразие 267, 360
Оснащенное расслоение 27ч
Остов 79. 165
Остовами фильтрация 165
Отмеченная точка 13
невырожденная 141
Относительный гомоморфизм Гуревича 226
Отображение вычисления 13
— гладкое 267
— клеточное 113
— приклеивающее 87
— спектров 167
— трансверсально регулярное 270
— характеристическое 80, 87
— Хопфа 108
— — нестабильное 230
— S-двойственностн 37t
— Х-миогообразий 272
Отображения дифференциал 268
— степень 216
— цнлнндр непрнведенный 52
— — приведенный 52
Петель пространство 22
— функтор 23
Плоский модуль 338
Погружение 268
Подмногообразие 270
—, коразмерность 270

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
603
Поднятие 66
Подпространство клеточное 87
Подразбиение 86
Подспектр 164
— кофинальный 166
Понтрягина класс 443
универсальный 443
— умножение 337
Понтрягниа — Тома конструкция 277
Последовательность допустимая 517
— корасслоениая общая 174
— — специальная 174
— коточная 35
— Серра 420
— спектральная 397
Адамса 197
— - Атьи — Хирцебруха — УайтхеДа
398
— - Лере — Серра 409
сходящаяся 398
— точная 34, 35, 36
Вана 417
Гнзииа 416
гомотопическая 50, 53
слабого расслоения 69
— — Майера — Вьеториса 131
Послойная гомотопическая эквивалент-
эквивалентность 400
— гомотопия 272, 400
Предел обратный 154
— прямой 145
Представляющее пространство 184
Приведенная теория гомологии 134
когомологий 153
Приведенное произведение 21
— —¦ спектров наивное 304
Приведенный цилиндр отображения 52
Приклеивающее отображение 87
Примитивный элемент 453, 488
Проективная резольвента 530
— система 153
Проективное пространство вещественное
82
кватериионное 84
комплексное 83
Проективный модуль 530
— предел 154
Произведение котеизориое 571
— наивное приведенное спектров 304
— приведенное 21
— расслоенных пространств 252
— тензорное 290
¦ модулей 338
расслоений 351
Простая система образующих 433
Пространство классифицирующее 184
— клеточное 81
относительное 89
— линейно связное 20
— линзовое 112
— накрывающее 75
— петель 22
— представляющее 184
— проективное вещественное 82
кватерниоиное 84
комплексное 83
— пуиктироваииое 13
— расслоенное 69
ассоциированное 238
— стягиваемое 47
— Тома 276
— Эйленберга — Маклейна 118, 209
— л-связное 51
Прямая система 145
Прямой предел 145
Пуанкаре двойственность 371
Пунктированное пространство 13
Путь 21
Разбиение клеточное 79
Расслоение векторное 66
вещественное 232
кватерииониое 232
комплексное 232
— индуцированное 240, 399
— касательное 232, 267
— нормальное 233
стабильное 269
— ориентируемое 427
относительно теории гомологии 401
— оснащенное 274
— слабое 66
— сферическое 415
— тривиальное 66
Расслоения векторные послойно гомотопи-
чески эквивалентные 400
стабильно эквивалентные 254
эквивалентные 233
Расслоенное пространство 69
ассоциированное 238
Расширение (группы) 287
Расширения эквивалентные 288
Расширенный комодуль 533
— модуль 532
Регулярное накрытие 77
Резольвента ииъектнвиая 549
— проективнаи 530
— свободная 533
Репер 72
Ретракт 48
Свободная резольвента 283
Свободный на моделях функтор 293
Свойство накрывающей гомотопин 66
— продолжения гомотопии 92
Связный спектр 365
Серра последовательность 420
Сечение 240
— локальное 71
Симлекс л-мерный сингулярный 205
стандартный 204
Симплектические бордизыы 274
Сингулярное Я-многообразие 279
Сингулярные JC-бордаптные многообразия
279
Сингулярный л-мерный симплекс 205
Сингулярных гомологии группа 205
теория с коэффициентами в группе О
207
— когомологий теория с коэффициентами
в группе G 209
Система обратная 153
— прямая 145
Склеивающая функция 249
Слабая аксиома суммы 191
— гомотопическая эквивалентность 171
Слабо гомотопные отображения 197
Слабое расслоение 66
Слабой гомотопической эквивалентности
аксиома 135
Слой 66
— спектра 166
Слоями фильтрация 165
Согласованное действие 57, 58
— кодействне 58
Соотношения Адема 517
Сохраняющий целые элементы гомомор-
гомоморфизм 581
Спектр iol
— кольцевой 319
— — коммутативный 320
— конечный 165
— связный 365
— счетный 165

604
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Спектр Тома 275
— Эйлеиберга — Маклейна 211
— S-двойствеиный данному 376
Спектральная последовательность 397
Адамса 529
Атьи — Хирцебруха — Уайтхеда 398
Лере — Серра 409
сходящаяся 398
Специальная корасслоенная последователь-
последовательность 174
Спинорные бордизмы 273
Стабильная гомотопическая группа 108
— когомологическая операция 480
— когомотопическая группа 174
Стабильное нормальное расслоение 269
Стабильный гомоморфизм Гуревича 224
Хопфа 228
— изоморфизм Тома 465
Стабильных гомотопий теория 174
— когомотопий теория 174
Стандартный л-мерный симплекс 204
Степень гомоморфизма 488
— отображения 216
Стинрода алгебра 480
— операция 511
Стонга — Хаттори теорема 582, 583
Структура дифференцируемая класса С00
265
— относительного клеточного пространства
89
Стягиваемое пространство 47
Стягивающая гомотопия 48
Сумма Унтни 252
Суммы аксиома 135, 154, 184
слабая 191
Сходящаяся спектральная последователь-
последовательность 398
Счетный спектр 165
Тензорное произведение 290
модулей 338
расслоений 351
Теорема Адамса 197, 529
— Атьи — Хирцебруха — Уайтхеда 398
— Бореля 433
.— Ботта о периодичности 261
— Брауна 190
— Гуревича об изоморфизме 226
— — — — относительная 227
— действенности Александера 367
Лефшеца 370
Пуанкаре 371
— Зимана о сравнении 431
— Кюннета 296
— — относительная 299
— Лере — Серра 409
— Лере— Хирша 425
— о гомотопическом вырезании 100
— об ацикличных моделях 294
— об универсальных коэффициентах 285,
288
— Спеньера — Милнора 391
— Стонга — Хаттори 582—583
— Тома об изоморфизме 362, 427
— Уайтхеда 111, 228
— Фрейдеиталя о надстройке 107, 425
— Хопфа об изоморфизме 230
— Эйлеиберга — Знльбера 296
Теория бордизмов 279
— гомологии классическая 204
— — мультипликативная 327
непрнведенная 122
приведенная 134
— — сингулярных с коэффициентами в
группе С 207
Теория гомотопий стабильных 182
— кобордизмов 279
— когомологий приведенная 153
— когомотопий стабильных 182
Тома изоморфизм стабильный 464
— класс 360, 361, 427
микрорасслоения 360
— пространство 276
— спектр 275
— теорема об изоморфизме 362, 427
Топология компактно-открытая 13
Точки орбита 76
Точная гомотопическая последовательность
Отображения 53
— пары 50
слабого расслоения 69
триады 101
— последовательность 34, 43
Вана 417
Гизина 416
Майера — Вьеториса 131
расщепляющаяся 56
Точности аксиома 122, 134, 153
Точный слева функтор 155
Трансверсально регулярное отображение
270
Трансгрессивный элемент 421
Трансгрессия 420
Триада 100
— вырезаемая 127
—, точная гомотопическая последователь-
последовательность 101
Тривиализацня гомотопическая 402
Тривиальное расслоение 66
Тройка 53
Трубчатая окрестность 269
Уайтхеда теорема 111, 228
Уитни сумма 252
Умножение 23
— гомотопически ассоциативное 26
коммутативное 25
— Понтрягина 337
Универсальное свойство декартова произ-
произведения 10
— — факторпространства 10
Универсальный класс Понтрягина 443
Чженя 443
— - Штнфеля - Уитнн 443
— элемент 187
Унитарные борднзмы 274
Условие Миттаг-Леффлера 161
Факторалгебра неразложимых «лемеишов
451
Фильтрация 165, 393
— Адамса 537
— остовами 165
— слоями 165
— спектра 165
Формула Картаиа 442
фрейденталя теорема о надстройке 107, Ш
Фундаментальный класс многообразия 871
Функтор 16
— ацикличный иа моделях 283
— ковариантный 17
— контраварнантный 17
— надстройки 23
— петель 23
— свободный иа моделях 293
— точный слева 155
Функция 166

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
606
Функция перехода 334
— склеивающая 249
Характер Чженя 457
Характеристический класс 487
Характеристическое отображение 80, 87
— число 468
Хопфа гомоморфизм стабильный 228
— отображение 108
нестабильное 230
— теорема об изоморфизме 230
Целый элемент 581
Цепей группа 205
Цепная гомотопия 208
Цепной комплекс 205
Цепь 205
Цикл 205
Циклов группа 205
Цилиндр отображения 52
иеприведенный 52
приведенный 52
Чженя класс 443
универсальный 443
— характер 457
— число 468
Числа Бернулли 552
Число характеристическое 468
— Чженя 468
Штифеля многообразие 72
Штифеля — Унтнн к пасс 443
— — — многообразия 443
дуальный 443
универсальный 443
Эквивалентность векторных расслоений
стабильная 254
— главных й-расслоеннй 233
— гомотопическая 47
послойная 400
слабая 171
— естественная 19
теорий гомологии 141
— множеств функций перехода 234
— объектов 15
— Х-структур 271
Эквивалентные микрорасслоения 360
— множества функций перехода 234
— расслоения 233
— расширения 288
— Х-структуры 271
Экспоненциальный закон 13
Элемент примитивный 453, 48&
— трансгрессивный 421
— универсальный 187
— целый 581
— п-уииверсальный 187
е-ннвариант 551
G-расслоение главное 233. 248
//-гомоморфизм 28
//-группа 25
//-когруппа 28
//-когруппа гомотопически коммутативная
29
//-пространство 24
./-гомоморфизм 554
л-мерный остов 79
— симплекс 204
сингулярный 205
— — стандартный 204
л-связная пара 51
л-связное пространство 51
л- универсальный элемент 187
S-двойственностн отображение 376
S-двойственный спектр 376
Х-бордантНые многообразия 272. 279
Х-многообразие 272
— сингулярное 279
Х-многообразнй отображение 272
X-структура 271
— индуцированная 272
Х-структуры эквивалентные 271
Зйленберга комплекс 221
Эйлеиберга — Зильбера теорема 296
Эйлеиберга — Маклейна пространство 118,
209
— — спектр 211
Эйлера класс 416
Эквивалент клеточный 120
Эквивалентность пекторных расслоений 223
послойная гомотопическая 400
Q-спектр 181
Х-умиожение гомологическое 300
— когомологическое 300
/-умножение 303
\-умножение 303
о-умножение 303
^-умножение 303

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 3
Глава 0. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ... 10
Глава 1. КАТЕГОРИИ, ФУНКТОРЫ И ЕСТЕСТВЕННЫЕ ПРЕ-
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 15
Глава 2. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ГРУППЫ 20
Глава 3. СВОЙСТВА ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУПП 47
Глава 4. РАССЛОЕНИЯ 65
Глава 5. КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 79
Глава 6. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КЛЕТОЧНЫХ ПРО-
ПРОСТРАНСТВ 92
Глава 7. ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИЙ 123
Глава 8. СПЕКТРЫ 163
Глава 9. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДСТАВИМОСТИ 184
Глава 10. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГОМОЛОГИИ 204
Глава 11. ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ И tf-ТЕОРИЯ 232
Глава 12. МНОГООБРАЗИЯ И БОРДИЗМЫ 264
Глава 13. УМНОЖЕНИЯ 280
Глава 14. ОРИЕНТАЦИЯ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ ; . . 359
Глава 15. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 393
Глава 16. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ 437
Глава 17. КОГОМОЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ И ГОМОЛОГИЧЕ-
ГОМОЛОГИЧЕСКИЕ КООПЕРАЦИИ 479
Глава 18. АЛГЕБРА СТИНРОДА И ДВОЙСТВЕННАЯ К НЕЙ АЛ-
АЛГЕБРА 509
Глава 19. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ АДАМСА И
е-ИНВАРИАНТ 529
Г л а в а 20. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП БОРДИЗМОВ 563
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 595
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 600

Роберт М. Свитцер
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ —
гомотопии и гомологии
Редакторы: Ю. Б. Рудяк, Т. Д. Панькова
Технический редактор С. Я. Шкляр
Корректор Е. В. Сидоркина
ИБ № 12037
Сдано в набор 24.01.84. Подписано к печати 13.12.84.
Формат 60x90'/i$. Бумага тнп. М> 2. Литературная
гарнитура. Высокая печать. Усл. печ. л. 38 Усл.
кр.-отт. 38. Уч.-изд. л. 37,88. Тираж 9200 экз. За-
Заказ № 1315. Цеиа 3 р. 10 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Отпечатано с матриц ордена Октябрьской Револю-
Революции, ордена Трудового Красного Знамени Ленин-
Ленинградского производственно-технического объединения
«Печатный Двор» имени А, М. Горького в типогра-
типографии № 8 ордена Трудового Красного Знамени Ленин-
Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Ев-
Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государст-
Государственном комитете СССР по делам издательств, поли-
полиграфии н книжной торговли. 190000, Ленинград,
Прачечный переулок, 6, зак. 33

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ИЗДАТЕЛЬСТВА «НАУКА»
ПЛАНИРУЕТ ИЗДАТЬ В 1984—1985 гг.
СЛЕДУЮЩИЕ КНИГИ:
М. М. Постников. Лекции по алгебраической топологии.
Основы теории гомотопий.
Книга содержит подробное изложение теории гомотопий.
Особое внимание в ней уделено разъяснению и происхождению
основных понятий. Содержит обширный материал, в монографи-
монографической и учебной литературе до сих пор не излагавшийся.
Для студентов 3—5 курсов и аспирантов математических от-
отделений университетов. Может служить основой спецкурсов и
спецсеминаров.
М. М. Постников. Лекции по алгебраической топологии.
Теория гомотопий клеточных пространств.
Книга является непосредственным продолжением книги «Ос-
«Основы теории гомотопий» того же автора, выходящей в 1984 г., и
вполне доступна читателям и не знакомым с основами теории
гомотопий, но владеющим элементами теории гомотопий.
Основное внимание в книге уделено гомотопической теории
клеточных пространств и теории гомотопических групп сфер.
Для студентов старших курсов университетов, аспирантов и
научных работников, специализирующихся в области топологии и
смежных дисциплин.
Книги можно приобрести в магазинах Книготорга и Академ-
Академкниги.