TOPOLOGY
v» i. u м !¦: и
New edition, revised :ind augmented
К. К U R Л Т О W S К I
Professor of Miillieniiilics,
University of Wiirsnw
1968
ACADEMIC PRHSS
NFW YORK AND LONDON
PANSTWOWI- WYDAWNICTWO NAIJKOWI-
WARSZAWA

К.К у РАТОВСКИЙ
ТОПОЛОГИЯ
том
Перевод с английского
М. Я. Антоновского
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва 19 69

УДК 513.8,4
Монография известного ученого, вице-президента
Академии наук Польской Народной Республики, ино-
иностранного члена АН СССР Кд.чнмпра Куратовеко-
го — кидающееся пиление и математической лите-
литературе. Она представляет собой наиболее полное и
легко читаемое сочинение, охватывающее большин-
большинство разделов современной общей топологии. Моно-
Монография выдержала три издания на французском
языке.
В последние годы текст книг» был значительно
переработан автором. Перепод первого тома ново-
нового, исправленного п дополненного издания был вы-
выпущен в I960 г. (пзд-во «Мир») и получил высокую
оценку советской научной общественности.
Кинга заинтересует всех математиков, начиная
от студентов и кончая специалистами, так как то-
топологические методы в настоящее время широко
проникли почти во все отрасли математики.
Редакция литературы, по математическим наукам
Инд. 2-2-3
10-69

ПРЕДИСЛОВИЕ
КО ВТОРОМУ ТОМУ
Этот том составляет единое целое с первым. Согласно пла-
плану, изложенному в предисловии к первому тому, глава 4 по-
посвящена компактным пространствам, глава 5 —связным про-
пространствам, глава 6 — локально спязным пространствам и глава
7 — ретрактам, окрестпостпым ретрактам и другим родственным
«опросам (например, гомотетии). Последние две главы носят
более специальный характер: глава 9 посвящена некоторым
проблемам разбиения сферы &1 п, связанным с понятием кого-
мотоипн, а глава 10 —топологии плоскости. Глава 8, связан-
связанная с теорией групп, носит вспомогательный характер, однако
некоторые изложенные и пей результаты важны с топологиче-
топологической точки зрения; например, представляет интерес изучение
пространств, стягиваемых относительно окружности, и группы
целочисленных мер, определенных на открыто-замкнутых под-
подмножествах данного пространства.
Некоторые параграфы можно опустить без ущерба для по-
понимания последующего. Таков, например, § 46, посвященный
теории размерности п являющийся продолжением §§ 25 — 29
тома 1. Однако автор считает, что особая красота этой теории
и используемых в ней методов является достаточным оправда-
оправданием для се включения в монографию. То же относится к
§ 51, посвященному теории кривых. Кроме того, § 48, в кото-
котором излагается теория неприводимых пространств и неразло-
неразложимых пространств, в какой-то мере занимает изолированное
положение в этом томе. Однако в последнее время эти воп-
вопросы приобрели интерес благодаря работам Бннга, Моиза и
других (некоторые их результаты упоминаются в приложении
к французскому изданию этой книги).
Английское и русское издания существенно отличаются от
французского тем, что метрические сепарабельпые простран-
пространства не являются в них главным объектом исследования. Они
заменены (везде, где это было возможно и целесообразно) бо-
более общими топологическими пространствами. Так сделано,
например, в §§ 41—44 (о компактных пространствах), напи-
написанных заново, в §§ 46, 47 (о связных пространствах), в §§ 49,

Предисловие ко аторомц том//
ПО (о локально связных пространствах). Добавлен ряд новых
утверждений в различных частях книги; приложение, име-
имеющееся по французском издании, растворено в основном
тексте.
В конце книги приводится обширный список литературы,
содержащий известные монографии и учебники по топологии.
Я выражаю глубокую благодарность коллегам, помогавшим
мне в подготовке этой монографии. Среди тех, которых я упо-
упоминал в предисловии к первому тому, я хочу еще раз побла-
поблагодарить Р. Эпгелькнпга и пани Карлович. Я также выражаю
глубокую благодарность профессорам Хилтону, Беднареку и
Лслску и доктору Кпркору за цепные замечания.
Я особенно благодарен профессору М. Я. Антоновскому за
большой труд, который он взял па себя, переводя этот том
па русский язык. Мне хочется также выразить благодарность
издательству «Мир» за издание моей «Топологии».
К. Куратовский

ГЛАВА 4
КОМПАКТНЫЕ
ПРОСТРАНСТВА
§ 41. Компактность
I. Определения. Условия Бореля, Лебега, Рисса, Кантора
и Больцано—Вейерштрасса. Лемма Александера. В § 5, VII,
т. 1 было дано следующее определение:
Определение I1)- Топологическое пространство .Т на-
называется компактным, если оно удовлетворяет следующему
условию (называемому условием Бореля—Лебега2)):
(I) каждое открытое покрытие содержит конечное подпок-
подпокрытие.
Другими словами, если. ¦?'=\JG/, где Gt открыто для
t
каждого t ? Т (множество Т произвольно), то существует ко-
конечная система /ь ..., /„, тикая, что S'=Gtl [) ... (J Gt .
Определение 2. Топологическое пространство .Т назы-
называется счетно-компактным, если оно удовлетворяет условию
(называемому условием Бореляя)):
(Г) каждое счетное открытое покрытие содержит конечное
подпокрытие.
Очевидно, что компактное пространство является счетио-
компактпым, тогда как обратное неверно (это видно па при-
примере пространства порядковых чисел а < 12; см. § 20, V, 2°).
Однако для метрических пространств компактность и счетная
компактность эквивалентны (см. §21, IX, теорема 2).
') Это определение по существу принадлежит П. С. Александрову п
П. С. Урысоиу. Эти апторы называют ппкомпактнпстыо то, что мы иа.чы-
ваом здесь компактностью (термин «компактное пространство» пепольчо-
налси ими и смысле счетно!'! или секвенциальной компактности). См.
Александров и Урысон [1]. См. также Александров п Хопф [1, гл. II, § I],
Вьеторпс [ I],
2) См. Лебег [I, стр. 1051. Г-Р- Юнг [1, стр. 3841.
) Это условие начинается также условием ГеИне— Бирслн. См. Во-
Pe.'iii [I, стр. 51]. Обширную библиографию см. и работе Гпльдебрапдта
'. стр. 423].

8
I'.ниш 4. Компактные npocrpum
Классическими примерами компактных пространств явля-
являются интервал в, куб вп и, вообще, каждое замкнутое
и ограниченное подмножество евклидова пространства сГ11
(см. п. VI). С другой стороны, пространство целых чисел и
пространство сР действительных чисел являются, очевидно,
некомпактными.
Легко видеть, что следующее условие (называемое усло-
условием Рисса [2, т. 2, стр. 21]) эквивалентно (и двойственно)
условию Бореля — Лебега:
B) если Ft замкнуто для каждого I ? Т и П Ft — 0> то СУ~
t
ществует конечная система /,, ..., /„, такая, что
/v,n ... n Fia = o.
Легко показать, что следующие два условия эквивалентны
условию A), а значит, и B):
C) если семейство {GJ является открытым покрытием
пространства & и направленным множеством относительно
включения с (т. е. для каждой пары t{ и /¦> существует
такое t3, что Gt, cz Gt3 и Gt, cz Gt,), то существует такое t, что
D) если Ft = Ft ф 0 и семейство {F,} является направлен-
направленным множеством относительно включения гэ (г. е. для каждой
пары U и t2 существует такое h, что Ft, cz Fty и Ft, cz Ft,), то
Условие Бореля (Г) эквивалентно следующему условию Кан-
Кантора [1]: _
B') если Jn = Fn?=0 для п = 1, 2, ... и F{ zz> F\ гэ ..., то
F,[\F2[\ ...Ф 0.
Импликация B')=т>A') была выведена в § 20, V (замечание
к теореме 3). Для того чтобы показать, что A/)=^>B/), допустим,
что предположения условия B') выполняются. Пусть /г,, ..., km —
произвольная конечная система положительных целых чисел и
/ — наибольшее из них. Тогда Fux П ... П />,„ = /*'/ Ф 0. Положим
Gn = X - Fn. Тогда Gkl U ... U Gk,n Ф X, и,"согласно A'), отсюда
следует, что G{ U G2 U ... Ф&, т. е. F{{\F2{\ ... Ф 0.
Замечание 1. Легко видеть, что условие D) можно сле-
следующим образом выразить при помощи логических символов:
Пусть задано семейство {ф((х)} функций высказывания,
таких, что множества /-'< = ЕсрДя) замкнуты и для каждой

§ 41. Компактность
индексов t{, t,2 существует такой индекс ty что ф(
М Л <ри(х); тогда
0)
Аналогично, условие Кантора можно выразить следующим
образом:
IIt/сть задана бесконечная последовательность функций
высказывания q>{ (x), q>2(x),..., таких, что Ф„(х)=7'Ф„-1 (х) и
множества Ефя(*) замкнуты; тогда
п х
Эквивалентно: если фп(^)=#Фи + 1(^) ы Еф„(^) открыто, то
х
(iii)
3 а м с ч а и и е 2. Следующее утверждение также эквива-
эквивалентно условию Кантора:
(iv) если Ап Ф 0 для п = 1, 2, .. ., то Ls Л„ ?= 0.
Действительно, Ls Л„ = fl^nU/i^n U •¦• (см. § 29, IV, 8).
Замечание 3. В метрических пространствах (и, более
общо, в -^'-пространствах) условие Кантора эквивалентно
следующему условию Вольцано — Неиерштрасса (называемому
также секвенциальной компактностью; см. § 20, V):
E) каждая бесконечная последовательность точек р\, р2, ¦ ¦ ¦
содержит сходящуюся подпоследовательность: !im pu = р, где
иными словами,
E') множество Л" точек накопления множества А непусто
при условии, что множество Л бесконечно.
Замечание 4. Отметим (без доказательства), что следую-
следующие условия эквивалентны компактности '):
F) если {Fa} — трансфинитная последовательность убываю-
убывающих замкнутых непустых множеству то f\Fa=?Q\
') См. Куратопскпй и Сершшскин [I, стр. 1731; Понтрягин [4, стр. 80,
теорема 4]; Александров и Урысоп [I, гл. I, § 2.7].

10 Г,шва 4. Компактные пространства
G) для каждого бесконечного подмножества И простран-
пространства ,'Г существует точка р порядка II (т. с. такая точка р,
что для каждой ее окрестности О мы имеем A (\ /: = Е).
Покажем, 'Сто в определении I вместо открытых множеств
можно ограничиться множествами данной открытой предбазы.
В дальнейшем будет удобно называть покрытие существенно
бесконечным, если оно не содержит никакого конечного покры-
покрытия пространства (следовательно, компактные пространства —это
пространства, не имеющие существенно бесконечных открытых
покрытий).
Лемм а Л л е к с а и д с р а '). Пусть А — открытая аредбаза
топологического пространства .?'. Предположим, что имеется
существенно бесконечное открытое покрытие .?'. Тогда найдется
такое существенно бесконечное открытое покрытие .?', которое
содержится в А.
Доказательство. Обозначим через Ш совокупность псех
существенно бесконечных открытых покрытий .?'. По предполо-
предположению Ш ф 0. Покажем вначале, что Ш обладает следующим
свойством: если {/*«} — монотонная трапсфппптпая последова-
последовательность (т. е. Ри cz />h при а < fi) элементов из Ш, то (U Р„\ С -W.
Очевидно, что (J Ри яв.тяется покрытием .?¦'. Это покрытие
а
существенно бесконечно, ибо в противном случае оно содер-
содержало бы конечное покрытие A\, ..., Aп, и, следовательно,
существовала бы конечная система индексов аь ..., а„, такая,
что G,(;Р„.. Обозначим через C наибольшее из а,- A^/^к).
Тогда (it^Pp для каждого /=1, ..., и, и отсюда следует,
что P.s ие является существенно бесконечным.
Из доказанного свойства Ш следует (см. т. 1, введение,
§ 3, XI), что Ш содержит максимальный элемент. Обозначим
его через Р. Таким образом, если множество // открыто и не
принадлежит Р, то Р[](Н) не является существенно бесконеч-
бесконечным покрытием; тогда существует конечная система Gu ..., Gn,
такая, что
(8) //UGilK/'aU ¦•• U </„ = .#• и Gt?P для i=\,...,n.
Покажем, что семейство открытых множеств, ие принадле-
принадлежащих Р, является фильтром, т. е. (// и G — открытые мно-
множества)
(9) если //,<?Р и H-i^P, то {Н){\Н2)?Р,
См., например, Колли [1|.

§ 41. Компактность 11
II
A0) если Н^Р и //cG, то G^P.
Услоппе H)(fcP, /=1, 2, влечет за собой (см. (8)) суще-
существование множеств G/,,, ..., G !п, таких, что
(И) Z/jUGmUOYjU ... UG,.n/-.Sr „ GM?A\
Отсюда следует, что
A2) (tfinWa)UUGM = .2\
1.1
поэтому {Ifif\H2)^P, так как Р является существенно беско-
бесконечным покрытием.
Таким образом, (9) доказано.
Пусть теперь Н^Р. Можно предположить, что (8) выпол-
выполняется. Поэтому если II с О, то мы имеем
откуда следует, что G (? Р.
Покажем, что из (9) и A0) следует, что Af\P является
покрытием X.
Пусть хо^;Х. Так как Р есть покрытие пространства ,Т,
то существует G^P, такое, что xo(zG, а так как А есть пред-
база Л', то существует конечная система Ни ..., Ип элемен-
элементов А, такая, что
Отсюда, согласно (9) и A0), следует существование такого i,
что IIi?_P. Тогда хо?_ FIi?_ А[\Р и, следовательно, А[\Р есть
покрытие X.
Наконец, поскольку покрытие Р существенно бесконечно,
таким же является и покрытие А[\Р.
И. Нормальность и другие свойства компактных пространств.
Вначале докажем два элементарных свойства компактных про-
пространств.
Теорема 1. Всякое компактное подмножество (Т2-простран-
замкнуто.
Доказательство. Пусть множество Лей' компактно.
Мы должны показать, что X — Л открыто, т. с. что для нсикон
т°чки Ь?Х—А существует открытое множество G, такое, что
KG a X-А.

12 Г лапа 4. Компактные пространства
Так как Л' является (/^-пространством, то для каждой
точки х?А существует пара открытых множеств Uх и Vх,
таких, что
Следовательно, семейство множеств Л П V к., где х?А, есть
открытое покрытие множества Л (рассматриваемого как про-
пространство). Так как Л компактно, то существует конечное мно-
множество точек Х\, ..., хп, такое, что
Л = (Л n VXl) U ... U (Л П VXn), т. е. Л с vXi U •.. U VXn.
Положим G = Uх, П • • • П ^д-„- Множество G открыто и
Теорема 2. Всякое замкнутое подмножество компактного
пространства компактно.
Доказательство. Пусть F = F с Л" и {Gt}, t ? Т, — по-
покрытие F, причем множества Gt открыты относительно F.
Тогда существует открытое (относительно Л') множество Нь
такое, что Gt = F П Н{. Следовательно, семейство множеств IIt,
где t? T, с добавленным множеством II--.T — F является
открытым покрытием Л\ Так как Л' компактно, то суще-
существует конечная система индексов tu .,., tn, такая, что
?~=H\JHtl\J ... [)Htn. Следовательно, F=GhU ... \JG,n.
Теорема 3. Всякое компактное ^^-пространство нормально.
Эта теорема является непосредственным следствием (с при-
применением теоремы 2) следующей леммы.
Лемма. Пусть А и В —два компактных непересекающихся
подмножества пространства Л', и пусть R — семейство открытых
множеств, такое, что для каждой пары точек а ? А и Ь ? В
существует множество G?R, такое, что a^G и b^G. Тогда
в R существует конечная система \G)\, где i=\, ..., k и
}= 1, ..., ink, такая, что
A) лс(б!п ... пс'Ои ••• u(G*n ... пС,
B) вп[(ёТп ... по~т,)и ... u(ofn ... по
Доказательство. Пусть а 6 Л — данная точка. Для
каждой точки /; обозначим через G (Ь) элемент из R, такой, что
а 6 G (Ь) и b ? Л~ — G (Ь). Так как семейство множеств {Л' — G (Ь)},

$ 41. Компактность 13
где b?B, является открытым покрытием компактного множе-
множества В, то существует конечное множество (blt ..., br), где
r = r(a) зависит от а, такое, что
n ... f]O(br)].
Иначе говоря, полагая
Hi(a)=G(bi),..., Hr(a) = G(br) и H(a) = Hl (а) {] . .. {] Н, (а),
получаем а?Н(а) и ВП//,(я)П ... {]Нг(а) = 0.
Следовательно, {Я(а)}, а?А, есть открытое покрытие ком-
компактного множества Л. Таким образом, существует конечное
покрытие М(а1), ..., Н(dii) множества Л. Полагая G) = Hj(ai)
и mi = r(ai), получаем формулы A) и B).
Замечание 1. Компактное пространство не обязано быть
ни наследственно нормальным, ни совершенно нормальным.
Это вытекает из следующих утверждений:
(i) существуют вполне регулярные ^-пространства, которые
не являются нормальными (см. § 14, II);
(П) каждое вполне регулярное ^-пространство гомеоморфно
подмножеству компактного пространства (см. § 16, V, тео-
теорема 5);
(iii) каждое совершенно нормальное пространство является
наследственно нормальным (см. § 14, VI).
Следствие 1. Пусть Аи ..., А,„ — конечная система ком-
компактных подмножеств некоторого ^^-пространства .Т. Пусть R,
в соответствии с прежними нашими предположениями, — семей-
семейство открытых множеств, обладающее следующим свойством
отделимости: если
C) Л,ПЛ = 0, х?Аг и y?As,
то существует G ? /?, такое, что
D) x?G и y?G.
Тогда R содержит конечное семейство R", обладающее ука-
указанным свойством отделимости.
Доказательство. Если m = 2, то следствие непосред-
непосредственно вытекает из леммы в предположении, что R* есть
семейство всех множеств G/.
Следовательно, если Аг П As — 0, то существует конечное
семейство RrticzR, такое, что для каждых х?Аг и y?As суще-
существует G?RriS, удовлетворяющее D).

14 Глава 4. Компактные пространства
Пусть /?* —объединение всех Rr, .„ таких, что ЛГ[)ЛХ = О;
тогда R* — искомое семейство.
Следствие 2. Пусть .#" есть компактное ^^-пространство
со счетной открытой базой. Тогда Л' метризуемо.
По теореме 3 пространство .2" является нормальным, а по
метризационной теореме Урысоиа (см. § 22, II, теорема I) каждое
нормальное ^-пространство со счетной базой метризуемо.
Замечание 2. По определению нормальности если мно-
множества Л а В замкнуты и не пересекаются, то существуют
открытые непересекающиеся множества G и //, такие, что
E) Лег G и BczH.
Если пространство компактно, то это утверждение можно
усилить следующим образом.
Следствие 3. Пусть Л? есть компактное ,Тгпрост ранет во,
и пусть В — его открытая база. Пусть, далее, Вх обозначает
семейство конечных объединений элементов В. Если множе-
множества А и В замкнуты и не пересекаются, то существуют непе-
непересекающиеся множества G?BS и H?BS, удовлетворяющие E).
Доказательство. По теореме 3 пространство ,Т нор-
нормально. Следовательно, существуют открытые непересекаю-
непересекающиеся множества Go и //0, удовлетворяющие E). Так как
В — открытая база Ж, то существует покрытие множества А,
состоящее из элементов В, содержащихся в Со, и поскольку А
компактно, это покрытие можно предполагать конечным. Обо-
Обозначим через G объединение элементов этого покрытия. Мно-
Множество И определяется аналогично.
Следствие 4. Пусть X — компактное совершенно нор-
нормальное J'^пространство. Пусть множество G открыто, а мно-
множество F замкнуто. Тогда существуют две бесконечные после-
последовательности G\, G2, ... н //], /72 такие, что
F) G = \JGn, Gec=Gn+I, GntBs,
п
II
G) Г-П/fn, fin=>nn + u /Ia?B,
n
(где Bs — то же, что и в следствии 3).
Доказательство. Так как .Т совершенно нормально, то
G = F \\] V ч\\ .... где /*"„ замкнуты. Определим Gn по индукции
следующим образом. Так как F\ компактно, существует Gi^_Biy

S 41. Компактность 15
такое, что F,c:G', и G{czG. Так как Fn\]G,,..\ компактно,
существует G,,?/??, такое, что (Fn\j 0п_1)с0п и G,,czG. Сле-
Следовательно, F) выполняется.
Для доказательства G) представим F в виде /•' = Q, П Q2 П • • -.
где Q,, открыты. Пусть множество //)? Bs таково, что FaH {aQ{,
и вообще пусть Нп?Вл, FczHnczQn и //„cz//„._,.
Теорема 4. ?слн компактное пространство имеет счетную
открытую базу, то семейство множеств, одновременно замкну-
замкнутых а открытых, счетно.
Доказательство. Пусть Ru R.>, ... —открытая база рас-
рассматриваемого пространства. Для данного открытого множе-
множества G положим G = Rk, U Rk, U •••• Если G замкнуто, то мы
имеем G = Rk{\} ... U Rkn для некоторого п. Положим о (G) =
= (к\, ¦¦., к„). Так как a(G)=7^cr(Gi) при G=?G{, а множество
всех конечных систем положительных целых чисел счетно, то
теорема доказана.
Теорема 5. Пусть .?' = Л[] В, где Л и В компактны;
тогда .'/' компактно.
Доказательство. Пусть {GJ — покрытие .Т. Так как Л
п В компактны, существуют две конечные системы ии ..., ап
п у,, . . ., vm, такие, что
/ic(;,(iu ... ио„в и вес, и ••• UGOfB.
Отсюда .r<=GUl U ... U Gun U Go, U . . . U GDfn.
Теорема 6. (Обобщенная теорема Бэра1).) Пусть .Т — ком-
компактное ^^-пространство (или, более общо, счетно-компактное
J',-«рост ранет во), и пусть Е = N \\] N^ii • • •, где N'„ нигде не
плотны. Тогда Е является граничным множеством.
Доказательство. Пусть G — произвольное открытое не-
непустое множество. Мы должны показать, что
(8) G-ЕфО.
Определим бесконечную последовательность открытых мно-
множеств G'o, G\, ..., такую, что
(9) G0=G и Q=^GnczGn^x~Ntl для «=1,2
') Чох [(>, стр. 838]. Ср. Сикорский [1, стр. 256, примечание]. Ср. также
§ 34, IV (случаи полных метрических пространств),

](i Глава 4. Компактные пространства
Доказательство проведем по индукции. Пусть п^\. 'Гак
как Nп нигде не плотно и Gn_i^0 (по предположению), суще-
существует открытое множество //„, такое, что ОфНnczGn_{ — Nп.
Так как пространство Ж регулярно (по теореме 3), существует
открытое множество Оп, такое, что 0фОпаНп. Отсюда выте-
вытекает формула (9). Следовательно, по свойству Кантора (I B'))
мы имеем П Gn^=0. Отсюда получается (8), так как
1
(Ю) П Gn<= П (G-Nn)=G- LJ Nn = G-E.
n~\ n -1 n = 1
Следующее утверждение будет использовано позже.
Следствие 5. Пусть .Т — компактное совершенно нор-
нормальное J'^пространство. Пусть В — открытая база X и А —не-
—некоторое Fa-MHOJicecTeo.
Тогда существует последовательность Gu G2, ... в В, такая,
что
(И) Acz\JGn,
п
A2) UGnaUGn[)A.
Доказательство. Положим
A3) Л = Ли/72и .... где
Пусть в соответствии с G)
A4) Л = НХ[\Н2(\ ..., где Нк открыты и Нк+]сНк.
Следовательно, FkcHk, и, поскольку Fk компактно, суще-
существует конечная система множеств Glt ..., Gm/e в В, такая,
что
A5) Fk с G? U ... U Gkmk и Gt с: Нк для 1 < i < mh.
Расположим множества G?, где k—\, 2, ..., l^i^mk,
с бесконечную последовательность Gb G2, .... Покажем, что
условия A1) и A2) выполняются. Соотношение A1) есть пря-
прямое следствие A3) и A5).
Для того чтобы доказать A2), рассмотрим для данного k
произвольное j>k. Согласно A5) и A4),
G'i с: Н] с Ih, откуда Gn cr Нк

41. Компактность
для достаточно большого п. Поэтому (G,t (J O'fM.| U ¦ ¦ •) cz ЯА и,
следовательно,
П G»UGn + IU ...с://*, откуда П GeUGe+1U ... с f) Я, = Л;
I 11 ftI
1-1
A2) следует отсюда в силу соотношения (см. § 4, III (9))
Замечание 3. Условия, появляющиеся в определениях
^-пространств, регулярных и вполне регулярных пространств,
могут быть усилены следующим образом с помощью понятия
компактности.
0) Если Л~ есть О^о-пространство и А, В —два непересекаю-
непересекающихся компактных подмножества пространства Л'', то суще-
существуют два непересекающихся открытых множества G и Н,
таких, что Acz G и В cz H.
Это следует и.ч леммы к теореме 3.
(ii) Если Л' регулярно, А компактно, F замкнуто и А П F = О,
то существует такое открытое множество G, что Acz G и
В самом деле, для каждого х?А существует такое откры-
открытое множество Gx, что x?Gx и Gx(] F = 0. Так как А ком-
компактно, существуют такие хи . .., хп, что A cz GX] []...[} Gx и
(iii) Если Л' является вполне регулярным J'^простран-
J'^пространством, С компактно и F — такое замкнутое множество, что
F П С = 0, то существует непрерывное отображение \: Л"—>&,
такое, что
f(x) — O для х?С и f(x)—l для x?F.
Доказательство. Так как пространство .Т вполне ре-
регулярно, для каждой точки р ? С существует непрерывное ото-
отображение fp: Ж-> 8, такое, что fp(p) = O и fp(x)=l для x?F.
Обозначим через / интервал 0^/<1/2. Очевидно, семейство
[fp^U)} есть открытое покрытие С. Поэтому в силу компактно-
компактности С существуют такие ри ..., рп, что
С cz /-' (У) U ... U fptlt (У).
Положим /г(л;) = niiti {fp (x), .... fPn(x)\. Легко видеть, что
Функция /, определенная условием: -у J(х) есть наибольшее из
2 Зак. 190

18 Г.шва I. Компактные пространства
двух чисел h{x)— -х- п 0, является искомым отображением
пространства .Т в В'.
III. Непрерывные отображения.
Теорема 1. Образ компактного пространства при непре-
непрерывном отображении компактен.
Доказательство. Пусть пространство .2^ компактно и
/: .?¦'—> У непрерывное отображение на. Пусть {Gt} — открытое
покрытие У. Тогда {/~'(G<)) есть открытое покрытие простран-
пространства .?'. Так как .V компактно, существуют /,, ..., /„, такие,
что
•Г = Г' («/,) U ¦¦• иГ1 («/„), откуда 9=Gtl[} ... U Gv
Т е орем а 2. Каждое непрерывное отображение компакт-
ногл пространет па в ^^-пространство есть замкнутое отобра-
отображение.
Л » к <1 з а т с л ь с т в о. Пусть .Т компактно и отображение
/: .?¦'-> У непрерывно. Пусть множество Fc.t' замкнуто. По
теореме II, 2 множество /•" компактно. Следовательно, по тео-
теореме 1 множество /'(/¦') компактно и потому, согласно тео-
теореме II, 1, замкнуто (так как "У есть .^пространство).
Т с о р о м а 3. Всякое взаимно однозначное и непрерывное
отображение компактного пространства в ^.^пространство есть
гомеоморфизм.
Эта теорема следует из теоремы 2, так как всякое взаимно
однозначное замкнутое отображение есть гомеоморфизм (см.
§ 13, XIII).
Теорему 3'- можно обобщить следующим образом.
Пусть задано отображение /: Л'->У; обозначим через В
множество тех значении /, которые принимаются точно в одной
точке х?.?\ т. е.
г/? /? = {[''([/) состоит из единственной точки).
Теорема 3. Пусть Л' компактно, У есть ^^-пространство
и отображение /: Л'—> У непрерывно. Тогда сужение f\f~ (В)
есть гомеоморфизм.
Это следует из того факта (см. § 13, XIII, теорема 1), что
если отображение / непрерывно и замкнуто, то для любого
Cczy сужение ц — f I/" (С) замкнуто (а если С = В, то g, оче-
очевидно, взаимно однозначно),

§ 41. Компактность 1У
Замечание 1. Предположение компактности простран-
пространства Ж существенно. Так, например, г — е'х есть непрерывное
взаимно однозначное преобразование пространства 0^л;<2я
на окружность |z|=l, не являющееся гомеоморфизмом. (См.
также следствие 4а ниже.)
Более того, можно определить два не гомеоморфных про-
пространства Ж и У, таких, что каждое из них может быть полу-
получено из другого с помощью непрерывного и взаимно одно-
однозначного отобраокения ').
Именно, пусть Ж есть объединение открытых интервалов
C«, Зл+1) и изолированных точек вида Зп + 2, где а ^ 0.
Пространство У получается из Ж заменой точки 2 на точку 1.
Отображение /: Ж-* У определяется условиями: f(x) — x для
л /B)= 1.
Отображение g: У-*Ж определяется следующим образом:
-g- для л;<1,
у— 1 для 3<х<4,
х — 3 для
Теорема 42). Пусть Ж — компактное J'^-пространство и
F — непустое замкнутое подмножество в Ж. Тогда существуют
компактное J*2-n рост ранет во У, точка уо^У и непрерывное
отображение /: Ж —>У, такие, что f(F) = (y0) и f есть гомеомор-
гомеоморфизм множества Ж — F на множество У — (//0).
Именно, пространство У есть пространство разбиения
(с фактортопологией, см. § 19, I) пространства Ж, состоящее
из множества F и одноточечных подмножеств пространства
Ж- F.
(Следовательно, У получается из Ж путем «отождествления»
точек, принадлежащих F.)
Доказательство. Очевидно, рассматриваемое разбиение
является полунепрерывным сверху (каким бы пи было t7YnIH'
страпство Ж), т. е. для каждого замкнутого множества Л с: Ж
объединение всех элементов разбиения, которые пересекают Л,
замкнуто. Отсюда следует (по теореме 5 из § 19, 11), что нор.
малыюсть Ж влечет за собой нормальность У. Так как про.
стрппство У есть непрерывный образ Ж (по теореме 2, § 19, II)
') См. Куратопскт'1 [2|. По этим попросам см. гакже де Гроот [3].
г) Для метрического Ж ср. с теоремой 1 из § 22, IV.

1'лиоа 4. Компактные пространства
то & — компактное пространство (по теореме 1), и доказатель-
доказательство завершено.
Следствие 4а. Пусть X — компактное ^^-пространство и
G с X — открытое множество. Тогда существуют (компактное)
^^-пространство У и непрерывное отображение f: Х—>&, такие,
что f | G есть взаимно однозначное отображение G на У.
Доказательство. Пусть а ? G — фиксированная точка;
положим в теореме 4
Замечание 2. Обратим внимание на следующие свой-
свойства непрерывных отображений компактных пространств (или,
более общо, непрерывных замкнутых отображений топологиче-
топологических пространств).
Пусть X компактно, У есть ^-пространство и f'- •%"~>У —
непрерывное отображение на. Справедливы следующие утвер-
утверждения: ______
(i) если Vczy, то V с f\rl (V)\;
(ii) если V1 U V2 с: У, f~l{Vi) a f~l{V2) отделимы, то отде-
отделимы V\ и V2-
Доказательство, (i) Мы имеем
= frl(V)czf[ri(V)\, откуда V cz f[f~l (V)\.
Но по теореме 2 f[{
(ii) Согласно (i) и § 3, III A3), мы имеем
v, n v2 с f Ir'iv,)} n v2 = / |r'(v.) П Г' (V2)j.
По предположению/ J(V\)f\f ' {V2) = 0, следовательно, V\ П V2=0.
Аналогично К1ПУ2 = 0.
IV. Прямые произведения.
Теорема 1 '). Пусть X — произвольное топологическое
пространство, и пусть пространство У компактно. Тогда про-
проекция произведения X X У на Х-ось есть замкнутое отображе-
отображение X X У на X.
Эквивалентно: если G открыто в X X У, то множество Q
всех точек х?Х, таких, что (i)X2/cG, открыто в X.
') AJi*i ^"-пространств см. § 20, V, теорема 7.

§ 41. Компактность 21
Д о к а л а т с л ь ст во. Докажем теорему во второй форму-
формулировке. По определению топологии произведения множество G
имеет вид О = U {Gt X Ht), где Gt открыты в X, a Ht открыты
t
в У. Пусть х0 — фиксированная точка Q, т. е. (х0) X У cz G.
Тогда для каждого у?У существует индекс t(y), такой, что
(хо, !/)?Gt(y) X HUy) czG. Следовательно,
1I) х0 6 Gt (у), у 6 Н{ (У) и Gt (у) X Ht (у) cz G.
Так как семейство {///(„)}, где у пробегает &, есть открытое
покрытие пространства &, то существует конечная система
У\, ¦ ¦ ¦' //«' такая, что
B) ' 2/= ///(,,) U ... U #<(„„).
Положим R(xn) = О<(//,) П ••• f\Gt(yn). Тогда R(x0) открыто,
xt)?R(x0) (согласно A)) и, согласно B) и A),
[R(xo)X&]cz\(Gt{Ul)XH4Ul))[i ... \](Gt{yn)XHi(yn))\czG.
Отсюда Rix^czQ. Так как R(xQ) открыто и содержит х0,
из этого следует, что Q открыто.
Следствие 1а. При тех же предположениях проекция
на .Т-ось Fa-MHOjicecTea из Ж X У есть Р„-множество в простран-
пространстве .Т.
Следствие 1Ь. При тех же предположениях пусть
ц>(х, //) — функция высказывания, определенная на .? X У. Тогда
если множество Е ф (х, у) замкнуто (соотв. типа Fa), то таковым
х, у
является и мноокество ЕУф(я, у); если Еф(я>у) открыто
х у х, у
(соотв. типа Ой), то таковым будет и множество ЕЛфС*. У)-
х у
В самом деле, Е Уф(л:, у) есть проекция Еф(я, у) на .?*-ось
х у х, у
(см. § 2, V, теорема 1).
Замечание 1. В этом же направлении имеет место сле-
следующее утверждение (принадлежащее УоллесуI).
Пусть Л' и У— два (произвольных) топологических простран-
пространства, Л и В —два компактных подмножества в .Т и У соот-
соответственно, a U — открытое подмножество в X X У, содержащее
Л X В. Тогда существуют два открытых подмножества G и И
пространств X и У, таких, что Acz G, В сг И и G X Н с U.
В качестве приложения следствия 1Ь рассмотрим следующее
утверждение.
•) См. Келли [1].

Глава 4. Компактные пространства
Следствие 1с. Пусть X компактно и совершенно нор-
нормально, & — некоторое ^^-пространство и отобраоюение f: Х->У
непрерывно. Тогда множество Bj точек х, таких, что
С\\ I v' -A v\ -А Г f I v'\ —А- Г I vW
\°) \Л /^ л/=?[/ ^л ) -/= / \X)\i
есть Gffмножество.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласпо C), Bf = Е Л {[/ (х) = / (х')\ =v"
X X'
=?(х = х')}. Так как множество Е [} (х) = }(х')] замкнуто (см. § 15,
X, X'
IV, теорема 3), то множество точек (х, х'), удовлетворяющих
условию в скобках { }, является О6-множсстпом (объединением
открытого и замкнутого множеств). Из этого следует, что Bj
также является (/^-множеством.
Замечание 2. Предположение относительно компакт-
компактности У, сделанное в следствии 1а, можно заменить более сла-
слабым предположением: У есть объединение счетной последова-
последовательности компактных множеств: У = Y\{) Y2l) ....
Действительно, если S = /*", U F21J .. ., где Ft = /•",- cz X X У,
то мы имеем
V (-V, y)?S = V V(U //> 6 /'„)(//€ Ym),
откуда
E V(Cv, tMS)= U|E V ({x, y)?Fn)\,
x Ц^У n,m\ x V?Ym f
и для данных п и m множество в скобках { } замкнуто по
теореме 1.
Замечание 3. Напомним, что проекция открытого мно-
множества есть открытое множество (каково бы пи было простран-
пространство У). Но проекция Ой-множсства может и не быть О6-мпо-
жеством. Действительно, проекции Од-мпожеств произведения
?/ X '/ являются аналитическими множествами в 6 (см. § 38, IV).
Теорема 2. Пусть {: Х—>У, где У — компактное J'.про-
J'.пространство. Отображение f непрерывно тогда и только тогда,
когда множество I— E(// = f{x)) замкнуто (в X X У).
X И
Доказательство. Необходимость этого условия была
доказана в § 15, V (теорема 2), ибо У есть ^-пространство.
Для того чтобы доказать его достаточность, предположим,
что /•" = /•' cz У. Мы должны показать, что /"*' (F) замкнуто в X.
Согласно теореме 1, достаточно показать, что множество f~ (F)
есть проекция множества / [}(Х X F) ~ Е (У = /(-v))(l/€ F) на

41. Компактность
,?'-ось. Но это следует из очевидного соотношения
[*€/ ' (П\ - \I(x)?F\ - V(// = /(A'))(//6 /О-
Замечание 4. Без предположения компактности простран-
пространства .''/ теорема перестает 6i>iti> нерпой, как показывает следую-
следующий пример: //' = ,'/, :'/ = о", /"(*)= I/* при хфО и Д0) = 0.
'Г е о р е м а 3. Прямое произведение ,Т X У двух компактных
пространств есть компактное пространство.
Д о к а з а т е л ь с т is о. Легко нпдеть, что нсякое измельчение
существенно бесконечного пок|штня есть существенно бесконеч-
бесконечное покрытие. Так как для всякого покрытия произведения
.?' X ;'/ существует измельчение, состоящее из множеств вида
G X //, где G открыто в .?', а // открыто н :!/, то достаточно
показать, что каждое покрытие С = {G, X//,} пространства
.?' X .'/ содержит конечное подпокрытие.
Обозначим через R семейство всех открытых подмножеств Q
пространства .?', таких, чго для подходящей системы индексов
1[, . . ., tn мы имеем
D) Q X У а (О,, X lit) U ... U {Gtn X Ht,,).
Покажем, что R есть покрытие пространства .'/'. Пусть
A'nf.?". Так как (л'п)Х .''У ^= У и :'/ компактно, то (л'о) X & содер-
жптся в конечном подпокрытии покрытия С:
(л-„) X 'Ус(О,х X Я/,) U • ¦ ¦ [}(Gtn X ///„).
По теореме 1 существует открытое множество Q, содержа-
содержащее л-,, и удовлетворяющее D). Следовательно, R есть покры-
покрытие .9". Так как .?" компактно, то мы имеем .?' = Q, U . . . U Qk.
Согласно D),
Q, X :>J с (О,Л , X Я,,.,,) U . .. U {G,L „ ,, X //,, „ ((,) для / < к.
Следовательно,
к к "/
•Г X 2/ = U(Q;X 9)cU U«/. , X //« у.
(-1 I- I 1"[ '''
Замечание 5. Произведение двух счетно-компактных ре-
регулярных пространств может и не быть счетно-компактным1).
Однако произведение компактного пространства и счетно-
компактного пространства есть счетно-компаы гное пространство 2),
') См. Новак [1].
2) Теорема Кате то на. См, Повак [1, стр. 111].

пространства
Напомним, что счетное произведение счетно-компактпых
„^-пространств есть счетно-компактное пространство (§ 20, V,
теорема 4).
Замечание 6. Теорему 3 можно легко распространить на
произведение любого конечного числа сомножителей. Менее
элементарным путем ее можно распространить, как мы покажем
ниже, на произвольное число сомножителей.
Теорема 4. (Теорема Тихонова о произведении1).) Произ-
Произведение 3 = П ¦#*< компактных пространств S't есть компактное
ЩТ
пространство. В частности, обобщенный куб <</К|< компактен при
любом а.
Доказательство. Пусть Л— открытая предбаза простран-
пространства 3, состоящая из множеств (см. § 16, I A))
E) W/.o = Eft'€ G), где t?T и множество GcJ, открыто.
Предположим, что 3 ]1С является компактным. Тогда по
лемме Алексапдера (п. I) найдется существенно бесконечное
покрытие U с: А.
Обозначим через Vt семейство множеств, определенных
условием
F) G?Vt^%i
Предположим, что существует такое t?T, что Vt есть по-
покрытие .#"/. Так как .Tt компактно, то мы имеем
G) .Г, = G, U ... U С„, где Gt 6 Vt, т. е. G,, a^U для i < п.
Согласно E), отсюда следует, что
У ©*. о, = У Е (\' 6 Gt) = Е V (\* 6 Од = Е (*' 6 U G,) =
,)
S
Следовательно, /7 содержит конечное покрытие простран-
пространства i).
Таким образом, мы можем предположить, что, каково бы
ни было t?T, Vt не есть покрытие .Vt. Это означает, что суще-
существует такое S 6 3, что
(8) G?Vt^b'(?G, т. е. ©<l
') Тихонов [1]. Другие доказательства теоремы Тихонова см. и работах:
Ллексамдер [8]; Чех [6, стр.830]; Фринк и Шевалле [1]; Такки [1]; Вурбаки
[1, гл. I, § 9, м. 5].

§ 41. Компактность 25
Так как U есть покрытие пространства [) и U а А, то су-
щестнует пара (t, G), такая, что >6^\,0 ?U. Но это находится
в протшюрсчии с соотношениями E) и (8), поскольку
Se<\o#S'€G. тогда как «,,06# #s'?G.
Следствие. Следующие свойства пространства Л' топо-
топологически эквивалентны:
(i) .W — вполне регулярное ^^-пространство;
(п) .Т — подмножество обобщенного куба Я*а;
(iii) .T — подмножество компактного ^^-пространства.
Доказательство. Импликация (i)=>(ii) имеет место
согласно § 16, V (теорема 5); (п)=ф(Ш), так как 2Л< является
компактным сТ^-прострапством по теореме 3 и § 16, V (тео-
(теорема 4); (iii)=>(i), так как всякое компактное ^пространство
является по теореме 3 п. II нормальным и, следовательно,
вполне регулярным, а последнее свойство наследственно (§ 14,
I, теорема 2).
Из теоремы 4 вытекает следующая ')
Теорема 5. Пусть (Т, X, /) — обратный спектр (см. § 3,
XIII, стр. 36), и пусть Xt компактно для каждого t?T. Тогда
предел обратного спектра Lim (T, X, f), обозначаемый также
Lim \X,, !,,), компактен.
Более того, если Х{ф0 для каждого t?T, то этот предел
не пуст.
Замечание 7. Можно доказать следующую интересную
теорему2).
Каждое компактное ^^-пространство есть предел обратного
спектра Lim [P,, ftj\, где Pt есть симплициальный полиэдр
(см. § 28, стр. 317), а \ы~симплициальное отображение Pt-+Ph.
Добавим, что каждый полиэдр Pt есть нерв некоторого от-
открытого конечного покрытия пространства ЛГ (см. § 28, стр. 326).
V. Компактификация вполне регулярных ^-пространств.
Компактное пространство & называется компактификацией
пространства Л\ если А' гомеоморфпо всюду плотному под-
подмножеству пространства У.
Например, И и ?РХ являются компактификациями '?.
') Доказатольстно см., например, п книге: Стнирод и Эйленберг [1, тео-
Рсма 3.6].
2) См. Фрепдснталь [2]; Пасынков [I, стр. 45]; Стпнрод и Эйленберг [I]-

20 /'.шин I. Компактные просгрчпстча
В § 16, V (теорема Г>) было показано, что для «сякого
вполне регулярного .^-пространства .?' существует обобщен-
обобщенный куб с'/"" (при подходящем а), который является компактн-
фпкацисп .Т.
Более точно, ХA--Ф, где Ф ~ Нх, и требуемый гомеомор-
гомеоморфизм v //" ->4W, где 2У-~ (,'/")м1|, определяется условием:
A) |>(.v)]((|) — (| (л) д.1Я каждого qC'l» и x^.'t.
11оложим
B) $.Г^п/П-
Следовательно, [i,V есть компактнфпкадпя пространства .9?
(называемая номпактификициси Стоуна— Чеха1)).
Мы увидим, что эту комнактнфикацшо можно рассматривать
как максимальную (среди ^-нростргшетв)).
Обозначим через ргф(№) для to ? 2i* проекцию \х> па ф-ю ось,
т. е. (см. § 3, VIII)
C) РГ,,.(«))=
Мы имеем
D) ргф ' л = Ф,
так как, согласно C) и A),
(ргф ¦¦ .0 (х) = рг(|, [\ (х)} - [I (л-)] (ф) = Ф (л-).
Формула D) дает
E) ф^Г = Рг(|) Для каждого ср^<1>,
так как q>*\~ = pr,p \^~ с: рг,,„ согласно § 3, III B0).
Отсюда следует
Лемма 1. Пусть отображение /: ,T->f/ непрерывно.
Тогда функция /"Я": 1{№)->& имеет непрерывное продолже-
продолжение /*: Щ->в, а именно /* = рг/.
Другими словами, отождествляя Л' с \{Л'), мы имеем
F) fa Г: Ш->&.
Лемму 1 можно обобщить следующим образом.
') См. Чех [G], где прпподятся многочисленные сноГютвя р.'/,'; Стоук М. |i
См. также Уолмен [I]; Склярснко fl, стр. .40]; Эпгелыимп- [I, стр. 231
де. Фрнс [I]; Склярепко н Этслькшп1 [1J.

§ 41. Компактность 27
Лемма 2. Пусть Т — произвольное множество, и пусть
отображение f: •#"—K#r')sei непрерывно. Отождествим .#" с л (.?').
Тогда мы имеем
G) fez [': 2B->(t7r)soi, где /* непрерывно.
Действительно, обозначая 2-ю координату / через /*, мы
получаем ftczf't: Ш>->9, откуда следует, что составное ото-
отображение /*, имеющее ft споей t-i'i координатой (см. § 3, VIII G)),
удоилстворяст G).
Теорема. Пусть ,Т — вполне регулярное [f ^пространство,
У — компактное ^^-пространство и /: .¦?*—> У — непрерывное ото-
отображение. Тогда, отождествляя Ж с \{&), мы имеем
(8) f ^ g' $S?->У, где g непрерывно.
Доказательство. Так как У является вполне регуляр-
регулярным ^(-пространством, то (по теореме 3 п. II) его можно рас-
рассматривать как подмножество куба (ffr)set для подходящего
множества Т. Таким образом, f: <T-> {ffr)^ci. Применяя соот-
соотношение G), положим /,г = Г1Р-?~- Отсюда следует, что fczg.
Наконец, g: $.Т->У, так как из непрерывности g и компакт-
компактности У следует, что
g ф.Г) = s (.Г) с glJF) = fW)cz У - У.
Замечание. Компактнфнкация, определенная выше, яв-
является максимальной в следующем смысле. Для любой задан-
заданной компактификании У пространства X (где У есть ^-про-
^-пространство) существует непрерывное отображение р.#* в У, кото-
рос тождественно на X.
Сказанное является по существу другой формой предыдущей
теоремы. Действительно, пусть Л — топологическое вложение
пространства .7' и У и hah": р.?"->#. Отождествляя х с h{x),
мы поручим требуемое отображение $.Т в У.
VI. Связь с метрическими пространствами.
Теорема 1. Всякое компактное метрическое пространство
является полным, вполне ограниченным и сепарабельным.
Полнота компактных метрических пространств была дока-
доказана п § 33, II. По теореме 1 из § 21, IX каждое компактное
метрическое пространство является вполне ограниченным, сле-
следовательно, сепарабельным (по теореме 3 из § 21, VIII).
Теорема 2. Полное метрическое пространство компактно
д и только тогда, когда оно вполне овраничено.

28 Глава 4. Компактные пространства
Доказательство. Так как всякое компактное, метри-
метрическое пространство вполне ограничено (по теореме 1), то нам
нужно показать, что пространство .?' счетно-компактно, в пред-
предположении, что Л' полно н вполне ограничено.
Пусть А — произвольное бесконечное подмножество про-
пространства Я'. Согласно I C'), достаточно показать, что Л'{ф0.
Так как пространство .1' вполне ограничено, то мы имеем
= К U ... U /=¦«„. где
Так как множество Л бесконечно, то существует последова-
последовательность ltu ko, .... такая, что множества Л П /ч-„ Л П/¦"';,(]
2 ... бесконечны. По теореме Кантора о полных простран-
пространствах (§ 34, II) существует точка р, принадлежащая каждому
множеству F\l П . .. П F'k\ для я = I, 2, .... Так как диаметр
этого множества меньше 1/п, то отсюда следует, что шар
с центром в точке р радиуса ]/п имеет бесконечное пересече-
пересечение с множеством Л. Следовательно, р ? Аа.
Замечание 1. Можно показать, что всякое некомпактное
метрическое пространство гомеоморфно некоторому неполному
пространству. Следовательно, метрическое пространство X ком-
компактно тогда и только тогда, когда всякое метрическое про-
пространство, гомеоморфное ,Т, является полным ').
Следствие 2а. Подмножество пространства cf(n<S$n)
компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и огра-
ограничено.
Доказательство. Если множество Aczcf" компактно,
то А замкнуто по теореме 1 п. II и ограничено по теореме 1
этого пункта.
С другой стороны, если множество А с: с?" ограничено,
то А является подмножеством некоторого куба Cczif". Так
как С компактно, то, если А замкнуто, оно компактно (по
теореме 2 п. II).
Замечание 2. Всякое вполне ограниченное метрическое
пространство Ж" изометрично подмножеству некоторого компакт-
компактного метрического пространства.
По теореме Хаусдорфа (см. § 33, VII, стр. 420) простран-
пространство X изометрично подмножеству полного пространства Ж*.
Замыкание Л" (относительно .%") является вполне ограничен-
ограниченным и полным, следовательно, компактным (по теореме 2).
') См. Немыцкпй и Тихонов [П.

# 41. Компактность 29
Теорема 3. Для ^^пространств свойство быть компакт-
компактным ч метризуемым инвариантно относительно непрерывных
отображении.
Доказательство. Пусть Л" — компактное метрическое
пространство, У — некоторое JYnpoCTpanc™0 и f: ЯГ —>У — не-
непрерывное отображение на. Мы должны показать, что прост-
пространство У метризуемо (компактность У есть следствие теоремы 1
п. III). Так как У нормально (по теореме 3 п. II), то остается
показать (согласно метризационной теореме Урысона, см. § 22,
II, стр. 249), что У имеет открытую счетную базу. Определим
эту базу следующим образом. По теореме 1 пространство ЯГ
сепарабслыю. Следовательно, оно содержит открытую счетную
базу /?[, R2, .... Пусть Sb S2, ... — последовательность всех
конечных объединений множеств Rt. Докажем, что семейство
множеств
A) Qn = V-f(.r-Sn), л=1, 2, ....
есть открытая база пространства У. Пусть множество СсЗ/
открыто и у? G. Покажем, что существует такое п, для которого
B) y?Qn<=G.
Действительно, множества f~l (у) и f~l (У — G) компактны и
не пересекаются, поэтому (вследствие нормальности ЯГ) суще-
существует такое п, что
C) r[(y)czSa и 5„ПГ'B/-О) = 0, т. е. Snc=rl(G).
Отсюда JT - Г'(G) с: ..Г-Sncr „Г-Г'(#), т. е.
и, следовательно, У — Q cz \{Я? — Sn) cz У — (у), что дает соот-
соотношение B).
Замечание 3. Теорему 3 можно усилить следующим
образом. Компактное ^^пространство, являющееся непрерыв-
непрерывным образом сепарабельного метрического пространства, метри-
метризуемо ').
Следствие За. Каждое из следующих условий необ-
необходимо и достаточно для того, чтобы $2-прост ранет во ЯГ было
компактным и метризуемым:
') Теорема Корсона. См. Майкл Э. [10, стр. 14]. См. также Корсон и
Майкл [I] и Мищенко [I]. Аналогичные теоремы, в которых компактность
не предполагается, но отображения (метрических пространстп) предполага-
предполагаются замкнутыми* или открытыми, см. Стоун А. [2], Балаичандран [I]. Ср.
также Произволов [I].

30 Глава 4. Компактные пространства
(i)
X гомеоморфно замкнутому подмножеству гильбертова
куба (У(: — $*";
(ii) X является непрерывным образом канторова дискон-
дисконтинуума iS (при условии ХфО).
Доказательство. Предположим, что метрическое про-
пространство X компактно. Тогда оно сепарабелыго и по теореме
Урысоиа (§ 22, II, теорема 1) X=YczS&. Отсюда У ком-
компактно и, следовательно, замкнуто. С другой стороны, если
X=Y=Ycz3!&, то У, а, следовательно, X компактны.
Доказательство второй части следствия сводится к доказа-
доказательству того, что если F (фО) есть замкнутое подмножество &€%
то F есть непрерывный образ &\ Согласно следствиям 6а из
§ 16, II и 2 из § 26, II, существуют отображения g: iS —y<sf? и
h: c?~->g~x(F), оба непрерывные и на. Следовательно, и
g ° h: if > F — непрерывное отображение на.
Теорема 4. (Теорема Вейерштрасса.) Всякая непрерывная
действительная функция f, определенная на компактном про-
пространстве X, ограничена и достигает своих точных нижней и
верхней граней.
Это следует из того факта, что /(.#*) —замкнутое и ограни-
ограниченное подмножество в ef (по теореме 1 п. III, теореме 1 п. II
и теореме 1 этого пункта).
Следствие 4а. Всякое непустое компактное метрическое
пространство X содержит две точки а и Ь, такие, что
| а - Ь 1 = 6 (X).
Это вытекает из теоремы 3 § 4 и теоремы 4, так как рас-
расстояние является непрерывным отображением пространства
X X X в tf.
Следствие 4Ь. Если А компактно, В замкнуто и А П В = 0,
то р(Л, Я)>0 (мы предполагаем, что А ф 0 ф В).
Доказательство. Очевидно, что р(А В) = inf p(.v, В).
Так как р (х, В) представляет собой непрерывную функцию,
определенную на компактном множестве, то существует такое х0,
что infp(.vr, B) — p(x0, В), а так как хо(?В, то мы имеем
p(.v0, fi)>0. Это завершает доказательство.
Следствие 4с. Пусть {Ft}, где t^T, — семейство замкну-
замкнутых подмножеств компактного метрического пространства, такое,
что П^<Е°0; тогда существует е>0 (называемое коэффициен-

7/. Компактность .41
том ,'l сбега системы {/¦',}), такое, что всякое множество Л диа-
диаметра <к не пересекается хотя бы с одним из множеств Ft.
Доказательство. Заметим, что в силу компактности
пространства мы имеем b'i{{] •-¦ П Ftn = 0 для подходяще!"! си-
системы индексов /,, ..., /„. Положим
/(.V,, ..., .*•„)-= шах | _v,- — х,\, где Л/, 6/•',
t.l-'ч
и обозначим через f нижнюю границу / (заметим, что
[: /¦'/ X ... Xl*inyd' irenpepbimioi. Так как 1-'(] {] ... []/•',==(),
мы имеем е.>0.
Предположим, что Л П /;/ ?= 0 для каждого /?'/'. Пусть
хи 6 /1П /-V Тогда 6(Л)>8(л-„ ..., хп)>г.
Следующее утпержденне двойственно следствию За.
С л е д с т в и е 4(]. Пусть С — открытое покрытие компактного
метрического пространства X. Тогда существует число е>0,
такое, что всякое покрытие пространства. .%', состоящее из мно-
множеств диаметра <е, есть измельчение С.
Теорема 5 (Гснис1)). Если метрическое пространство .1*
компактно и отображение /: .%'-+(? непрерывно, то f равномерно
непрерывно. Это означает, что для каждого е>0 существует
й>0, такое, что
A) \ х — х' \<& влечет за собой \ [(х) — \{х') |<е.
Доказательство. Предположим, что справедливо про-
противное. Тогда существуют две последовательности х\, х2, ...
и х\, х'„ . . ., такие, что
B) K~i
Так как пространство компактно, то можно предположить,
что последовательность хи х2, ... сходится: lini.r,, = .v. Отсюда
\ппх'п = х и l\mf(xn) = f{x) = \\mf(x'n),
по это противоречит неравенствам B).
Замечание 4. Теорему 5 можно легко доказать, исполь-
используя логические символы. Положим (для данного е>0)
<ра(х, х') ^ {{\ х - х' \^ l/n]^[\ f (х)- f (х')\<е]}.
Мы должны показать, что в формуле Л V Л Ф«(*> х') (которая
х а х'
') В случае интервала доказано F'oiiue [I].

32 l\ioiia 4. Компактные пространства
истинна по предположению) кванторы Д и V можно пере-
X II
ставить. Далее, так как множество Е <Рл(*. х') открыто, то
X, X'
множество Е ЛфЛ-^ х') также открыто (согласно следствию 1Ь,
X X'
п. IV), и так как
Лфп(*> Л^ЛФм!^, х'),
х' х'
то, согласно I (iii),
Л(Лф„(
X 11 \ X'
Теорема 6 '). Пусть Л' — сепарабельнос метрическое про-
пространство. Если X разреженно, то существует разреженная
метрическая компактификация X.
Доказательство. Так как X счетно (см. § 23, V), его
можно рассматривать как подмножество в QyV (пространстве
всех иррациональных чисел между 0 и 1). Далее, так как вся-
всякое метрическое сепарабслыюе разреженное множество есть
множество типа Ол (§ 24, III, теорема 1) и всякое Ол-подмно-
жество пространства Р/^гомеоморфно замкнутому подмножеству
в q№ (§ 36, II, следствие), то мы можем предположить, что X
замкнуто относительно <>Ж''. Другими словами, обозначая че-
через Л" замыкание X относительно 0, мы имеем X' — %' [\<Ж'.
Замыкание Я' и есть требуемая компактификация X". Это
следует из того факта, что Л' — XczSi (множеству рациональ-
рациональных чисел), и следовательно, Л" счетно; таким образом, Л' ком-
компактно и счетно и потому разреженно (согласно следствию 4
из § 34, IV).
Замечание 5. Более общо, для всякого полного сепара-
бельного нульмерного пространства Л~ существует метрическая
нульмерная компактификация У, такая, что разность У — Ж
счетна.
Справедливость этого утверждения можно доказать, заменяя
в приведенном выше рассуждении множество d\T множеством ^
с исключенными из него концами выброшенных интервалов,
гомсоморфным в/У.
Если ^" — компактное метрическое пространство, то утвер-
утверждение I D) можно сформулировать более точно следующим
образом.
') Теорема Кнастера— Урбапика [1]. Детальный анализ затрагиваемых
|десь вопросов можно найти в книге Семадепп [!, гл. 4].

§ 41. Компактность 33
Теорема 7. Пусть .Т — компактное метрическое простран-
пространство и {Ft} — направленное семейство замкнутых множеств
относительно включения =э (см. I D)). Тогда
C) a(n/^ = inf
Иначе говоря,
('1)
Доказательство. Пусть 6(Ft)^e для каждого t. Тогда
существуют л: и х', такие, что
E) x?Ft, x'?Ft, |*-*'|>е.
Положим
F) /С,- E(x?Ft)(x'?Ft)(\x~x'\>e).
х,х'
Ясно, что /<¦/ замкнуто в Ж X .^". Семейство {Л^} направлено
относительно з. В самом деле, пусть заданы t\ и t2, и пусть
Ft,c:Ft,r\Ft,; тогда /С/, <= /С<, П Kt,.
Так как ^Х^* компактно, то отсюда следует (согласно I D)),
что П Kt?= 0. Пусть (х0, х'о) 6 П Kt, т. е. (х0, х'о) 6 /С, для ка-
каждого t. Тогда, согласно F),
Следовательно, д([\ Ft
V < I
t
Замечание 6. Вторая часть вышеприведенного доказа-
доказательства есть простое применение формулы I (i). А именно:
Л V {(\x~xr\>e)(x<EFt)(x'?Ft)}^
t х,х'
^ V M(\x-x'\>e)(x?Ft)(x'eFt)}=z
X, X' t
** V (U-X'l>
X, X'
Известно (см. IV, теорема 2), что если /: &-+1У, где У ком-
компактно, и если /= Е d/ = f{x)) замкнуто, то / непрерывно.
х,у
Если пространство У предполагается метрическим, то имеет
место более точное утверждение.
3 Зак. 190

34 Глава 4. Компактные пространства
Теорема 8. Пусть АаЖ и f: A-+У, где У — компактное
метрическое пространство. Тогда
G) <D(*)-
где а(х) обозначает колебание f в точке х (см. § 21 F)), г. е.
(8) ®(x
t
еде {Gf} — семейство всех открытых окрестностей х.
Доказательство. Положим Ft — f(Gt). Семейство {Ft}
направлено относительно включения id. Действительно, пусть
t\ и t2 заданы, и пусть Gt, = G*, fl Gt2. Тогда Gt, есть открытая
окрестность х и
f{Gt^f(Gtl){]f(G,,)c:f(Gtl)(]f(Gt,).
Применяя теорему 7, мы имеем, согласно C) и (8),
(9) со(л:) = Я7
Для доказательства формулы G) остается показать, что
имеет место следующее утверждение (справедливое для произ-
произвольных топологических пространств Ж и У):
п
где {GJ есть семейство всех открытых окрестностей точки лг0.
Предположим сначала, что (хо, Уо)?1. Тогда для каждого t
и каждого открытого Н, содержащего tjo, существуют Х\ 6 Gt
и г/, 6 Я, такие, что (хи у{) 6 /, т. е. //,=»/ (л:,), откуда ух ?f(Gt) и,
следовательно, tjo?f(Gt).
Таким образом, </o6n/(G,)-
t _
Далее, предположим, что (х0, Уо)$:1- Тогда существуют t и
открытое Н, содержащее (/о. такие, что (Gt X Н)(] I = 0. Отсюда
следует, что yo^.f{G,), ибо в противном случае существовало бы
y?H[\f(Gt), следовательно, г/ = /(л:) для некоторого x?Gt;
но тогда (х, y)?(Gt X H)[\l.
Теорему вложения Урысона можно усилить следующим
образом.
Теорема 91). Пусть X=-%cz3*\ и пусть f: Ж-^-У-не-
Ж-^-У-непрерывное отображение на. Выберем а так, что
A1) б[Г'(г/)]<а для каждого у^У.
') См. Куратовский [39].

§ 41. Компактность 35
Тогда существует вложение 1г: У-> 3*\ такое, что
A2) \hf(x) — x\<a для каждого x?.V.
Сначала докажем следующую лемму.
Лемма. Если а удовлетворяет условию A1), то суще-
существует г\ > 0, такое, что
A3) [\f(x)-f(x')\<i))=$[\x-x'\<a].
Следовательно, если В а У и 6(B)<t], то б[/~' (В)] <а.
Доказательство леммы. Предположим, что такое т]
не существует. Тогда существуют две последовательности
хь х,„ ... и х\, х'2, ..., такие, что
A4) \f(xk)~f(x'k)\<l/k,
(\ rt) х — у' I > (Т
Поскольку Л' компактно, можно предположить, что эти после-
последовательности сходятся:
A6) limxfc = A; и lim x'k = x'.
Так как f непрерывна, то отсюда вытекает, что
lim/(.vfc) = /(.v) и \imf(x'k)
следовательно, согласно A4), f (x) = f (x').
Положим y = f(x). Тогда х, x'(zf~[(y) и \х — х'\<а, со-
согласно A1). Но это несовместимо с A5) и A6).
Доказательство теоремы 9. Пусть г\ удовлетворяет
условию A3), и пусть Go, ..., Gm — открытое покрытие про-
пространства "&, такое, что
A7) 2/ = G0U ... UG,,,, 6(G/)<r]/2, Gt Ф 0.
Пусть лг/6/~ (Gi)- Рассмотрим х-отображение, определяемое
системами {Go, •¦•, Gm} и {х0 х,„} (см. § 28, VI):
* (У) = ^о (у) ¦ х0 + ... + Кп (У) • хт,
где
Покажем, что
A8) \н{(х)~х\<о.

36 Глава 4. Компактные пространства
Пусть задано х. Обозначим через i0, ..., ik систему всех
индексов, таких, что лг6/~'(G(/). Тогда точка к[(х) принадлежит
симплексу Х[ ... xik. Обозначим через S симплекс xx{q ... xlk.
Тогда 6(S)<a. Так как условие f{x)?Gi(]Gim влечет за
собой, согласно A7), неравенство 6(G\- U G,m)<T], то отсюда
\f(x,l)-f(xlm)\<4, а это, согласно A3), даст | xif - х1щ \ < а.
С другой сторон))), f{x) и f(Xi,) принадлежат Git поэтому
\ х — xtj\<C. Следовательно, 6(S)<a, откуда вытекает A8), так
как х и х/(лг) принадлежат S.
Далее, обозначим через h гомеоморфизм У в 3*\ доста-
достаточно близкий к х (см. § 22, II, теорема 2), точнее, такой, что
A9) \ h (у) — к (у) | < о — | nf (х) — х \ для каждого х 6 ¦#* и у 6 У.
Отсюда следует неравенство A2), ибо, согласно A9), мы
имеем
Лемма '). Пусть Л' — топологическое пространство, У — неко-
некоторое $'^-пространство и /: SC —>У — непрерывное, отображение.
Пусть, далее, {Ut}, t?T, — база окрестностей некоторого мно-
окества Л(фО) в пространстве Sf (это означает, что для любого
открытого множества G ^ Л существует такое t ? Т, что
AczUtczG). Тогда
Доказательство. Очевидно, достаточно доказать, что
П f(Ut) a f (Л), пли, что то же самое, для любого г/
существует такое t, что y
Пусть //0(Л); тогда Л ПГ'(.'/) = О, т. е. AaX-fx{tj). Так
как У есть ^-пространство и f непрерывно, то множество
Л" ~ /~'(.'У) открыто. Следовательно, существует такое t, что
Ac:Utcz.r-r>(y). Поэтому С/^ПГ'Ы^О, т. е. y?f(Ut).
Теорема 10. Пусть F — компактное подмножество метри-
метрического пространства X, У — некоторое ^^-пространство и
\: Л' -> У — непрерывное отображение. Обозначим через Sh обоб-
обобщенный шар с центром в F радиуса \/k, т. е.
Sft = E(p(-v, F)<\/k).
') Этой формулировкой я обязан пани Карлович.

§ 41. Компактность 37
Тогда
\k-[
Доказательство. Так как последовательность Si, S2, ...
есть база окрестностей множества F, то
(n
U-i
С другой стороны, так как Sk с Sft_, и /(Sft) замкнуты, то
и потому
VII. Инварианты отображений с малыми прообразами
точек. Квазигомеоморфизм. Пусть .%" — метрическое простран-
пространство, и пусть задано отображение f: Х-*У. Назовем комно-
жестами отображения f полные прообразы отдельных точек
пространства У, т. е. множества /"' (у) (обозначаемые также
через / (у)). Положим
6f = sup6[r'(y)]. где у?У.
Определение I1). Свойство Р пространства X назы-
называется инвариантным относительно отображений с малыми ко-
множествами, если существует число а>0, такое, что f{X)
обладает свойством Р, каково бы ни было непрерывное ото-
отображение /, удовлетворяющее условию 6f<a.
Замечание. Очевидно, что всякий инвариант отобра-
отображении с малыми комиожествами есть топологический инвариант.
Обратное не верно (даже для компактных пространств). Напри-
Например, неравенство dim^<« не является инвариантом отобра-
отображений с малыми комиожествами; но, с другой стороны, свой-
свойство А\тХ"^п является таким инвариантом (для компактного .#"
см. § 45, IV, следствие 9).
Следовательно, доказать инвариантность некоторого свой-
свойства относительно отображений с малыми комиожествами — это,
вообще говоря, больше, чем показать, что оно является
топологическим инвариантом.
Определение 22). Два компактных метрических про-
пространства Хх и Ж2 называются квазигомеоморфными, если
') Александров [5, гл. I].
2) См. Куратовский и Улам [1, стр. 252].

38 Глава 4. Компактные пространства
существуют непрерывные отображения Л\ па Л\ и Л'2 на .Т\
с произвольно малыми комножсстпами, или, другими словами,
если для всякого е>0 существуют два непрерывных отобра-
отображения па: U'- ¦У'\->Я\ и /V Л'-г->Л'и таких, что 6f,<e и 6^<е.
Так, например, шар квазигомеоморфен объединению двух
шаров, имеющих единственную общую точку ').
Проблема доказательства инвариантности относительно ото-
отображений с малыми комиожествами может быть сведена к рас-
рассмотрению отображений g, таких, что | g(x) — x |<е для доста-
достаточно малого е. Именно, справедлива следующая
Теорема 2). Пусть Л' = Л' cz ff*°. Всякое топологическое
свойство Р, инвариантное относительно непрерывных отобра-
отображении g: Л'-> tf*\ таких, что \ g (х) — х | < е для всех х?Л~,
инвариантно относительно непрерывных отображений f: Л?-*У,
таких, что 6f <e.
Доказательство. В соответствии с теоремой 8 п. VI
пусть h — гомеоморфизм пространства У в д*\ такой, что
| hf(x) — х |<е. Положим g = h"j. Тогда по предположению мно-
множество #(.?') обладает свойством Р. Так как g{&) гомео-
морфно f (Л') и свойство Р топологическое, отсюда следует, что
/(.$¦) также обладает свойством Р.
Замечания и примеры. 1. Для двух заданных компакт-
компактных метрических пространств Л' и "У рассмотрим следующий
коэффициент:
т(.2\ 2/) = inf6f, где f: Л' ->¦ & — непрерывное отображение.
Таким образом, х{Л\ &) — это наибольшее число, такое,
что для всякого непрерывного отображения f: Л~->У сущест-
существуют две точки х{ и хъ удовлетворяющие условиям
f(x,) = /(x2) и \Х1-х.2\>х(.Г, У).
Очевидно, что пространства Л' и & квазигомеоморфны тогда
и только тогда, когда х(Л\ &) = 0 = т(У, .Т).
2. Пусть dn есть и-мерный шар, определенный уравнением
|р|^1, а &п есть и-мериая сфера радиуса 1. Тогда3)
2п + 2 ~
[) Как мы видим, квнзигомеоморфпость не влечет за собой гомеоморф-
гомеоморфность. Однако в. классе замкнутых ориентируемых 2-многообразий эти два
понятия эквивалентны. См. Форт [2, стр. 53|,
2) См. Эйлембсрг [5].
3) См. Куратовский C0, стр. 206],

§ 41. Компактность 39
3. Хорошо известную теорему Борсука — Улама '), утвер-
утверждающую, что для всякого непрерывного отображения &\
в <fn существуют две диаметрально противоположные точки
па еУп> которые переходят в одну и ту же точку '?п, можно
выразить следующим образом:
для каждого компактного X cz <fn.
4. Пусть J1 — тор и отображение f: б2->^ непрерывно.
Тогда2) существует комножество диаметра ^1/6.
VIII. Связь с булевыми кольцами3). Напомним, что (непу-
(непустое) множество А, в котором определены операции сложения
и умножения, называется кольцом, если оно является абелевой
группой по сложению, а умножение ассоциативно и дистрибу-
дистрибутивно по отношению к сложению.
Кольцо А называется булевым кольцом, если оно содержит
элемент 1, такой, что 1-а = а, и если а-а = а для каждого а.
Булевым кольцом является, например, семейство всех под-
подмножеств данного множества, если умножение понимается как
пересечение, а сложение —как симметрическая разность.
Для любого булева кольца очевидны следующие соотноше-
соотношения:
ab=*ba и а + а =» 0, откуда — а = а.
Непустое подмножество / булева кольца А называется идеа-
идеалом (ср. § 1, VII), если
(О (*6/. 66/)"М(а+ &)€/];
B) а€1=$(аЬ)?1 для каждого Ь.
Если В а А, то множество элементов вида
... +апхп, где ах а
есть наименьший идеал, содержащий В (говорят, что он поро-
порожден множеством В).
') См. Борсук [7, стр. 177]; см. также § 57, I и § 59, V.
2) См. Форт [2] и Ганя [I]. Ср. с задачей 21 Улама в Scottish Book.
См. также Войдыславский [2J; эта статья содержит несколько результатов
о квазигомеоморфизмах.
3) Этим разделом я обязан профессору Мостовскому. Изложенная здесь
теория принадлежит М. Стоуиу [I]. Эту теорию можно распространить без су-
существенных изменений на дистрибутивные структуры; см. Биркгоф Г. [ 1, гл. IX,
§ 5 и 6], где содержится обширная библиография. См. также Сикорский [2].
Обобщение, связанное с работами И. М. Гельфанда по нормированным
кольцам, см. в работе Завадовского и Словиковского [1].

40 Глава 4. Компактные пространства
Можно доказать (с помощью аксиомы выбора), что всякий
идеал {Ф А) содержится в некотором максимальном идеале
1ФА.
Очевидно, 0?/ и 1?Л —/.
Легко видеть, что если / есть максимальный идеал и
а ? А — /, то каждый элемент из А имеет вид
i + ах, гле i(zl и х 6 А
Следовательно,
C) (a?A-I)
Отсюда мы выведем следующую лемму.
Лемма. Если I есть максимальный идеал булева кольца А,
то
D) (aeA-I)=*(l+a?I).
Доказательство. Очевидно, что
A — ах){1 +а)=> 1 +а + а(\ + а)х= 1 +а + (а + аа)х = 1 + а.
Следовательно, если а^А — 1, то мы имеем (согласно C))
1 —аж?/. Поэтому 1 + а?/ (согласно B)).
Обратная импликация следует непосредственно из C).
Теорема (М. Стоуна). Пусть А — булево кольцо и М —се-
—семейство всех его максимальных идеалов. Введем топологию
в М, взяв в качестве открытой базы пространства М множе-
множества вида
E) Оа = Е(а?Л — /), где а пробегает А.
В этой топологии пространство М становится компактным
нульмерным ^^-пространством.
Доказательство. Покажем прежде всего, что
F) Ga[\Gb=Gab.
Согласно E) и B), мы имеем
Обратно, пусть I(~Ga[\Gb. Тогда, согласно E), а,Ь?А —
и, следовательно,
G) 1 »/, + ах} = /2 + Ьхъ где /,, i2€I.
Поскольку 1 ? А — /, из G) следует, что

§ 41. Компактность 41
Так как / — идеал, то из этого следует, что ab?A — I, откуда
/6 fiab (согласно E)).
Это завершает доказательство формулы F).
Из формулы E) вытекает, что пересечение двух множеств
вида E) снова есть множество того же вида. Следовательно,
множество М становится топологическим пространством, если
семейство множеств, указанных выше, принять за открытую
базу множества М.
Покажем теперь, что это пространство есть ^2-простран-
ство.
Пусть /, / ? Л! и а?! — J. Тогда в силу E) / 6 Ga и / 6 О\+а,
так как A + а) ?(/! — /) (согласно D)). Кроме того, согласно F),
(8) GanG1+a-G0 = 0.
Докажем далее, что М компактно. Пусть
(9) М = U О„, где ВсА
ft ?B
Пусть / — идеал, порожденный множеством В.
Mi.i имеем 1 ?/. Действительно, предположим, что 1(?/.
Тогда существует максимальный идеал / =э / и /?Л! (по опре-
определению Л!); с другой стороны, для каждого b 6 В имеем 6 ?/,
откуда 1^ОЬ. Но это противоречит соотношению @).
Так как 16/, то
(Ю) l=Mi+ ••• +Ьпхп.
Покажем, что
(П) Л! = 06, U ... ИОЬп,
чем завершим доказательство компактности /VI.
Пусть [^М. Так как 1(?/, то существует (согласно A0))
k^n, такое, что bk(fcl. Из этого вытекает, согласно E), что
I(zGhk. Следовательно, равенство A1) доказано.
Наконец, пространство М нульмерно, т.е. содержит базу,
состоящую из открыто-замкнутых множеств. Такой базой является
семейство множеств Оа, где а ?А. Мы имеем
A2) M-Ga = G1+a
вследствие равенства (8) и тождества 0oU0i+a = Mi которое
следует из D) и E); именно,

42 Глава 4. Компактные пространства
Замечание. Булево кольцо Л изоморфно кольцу G всех
открыто-замкнутых подмножеств пространства М.
Этот изоморфизм определим, положив
f{a)=>Ga, где
иначе говоря,
A3)
A4) f(a + Ь) = If (a) -f(b)] + [f(b)
A5) f{ab)-f(a)[)f(b),
A6)
Доказательство. Для того чтобы доказать A3), доста-
достаточно (так как Ga — открыто-замкнутое множество) показать,
что для всякого F?G существует такое а, что F=Ga.
Далее, так как множество F компактно и открыто-замкнуто
(в М), то F есть конечное объединение множеств Gx. Следова-
Следовательно, мы должны показать, что Ga\]Gb— Gc для некоторого
определенного с. В действительности мы покажем, что
A7) Ga[}Gh^Ge, где c = a + b + ab.
Так как из включения / ? Ga следует, что а? А — I, то с? А~ I
(поскольку а — са), откуда / ? Gc. Таким образом, GaczGc, и,
следовательно, Оа [) G,,cOc.
Обратно, если/(?((?„(J Gft), то мы имеем a, b 6Л откуда с?/
(согласно (I) и B)), и поэтому I(fcGc. Это завершает доказа-
доказательство соотношения A7).
Чтобы доказать A4), заменим в A7) а на a + ab и b на
b + ab. Очевидно, что
(a + ab){b-\- а6) = 0 и (a
Отсюда, согласно A7), следует, что
Ga + ab U  + аб —
Применяя F) и A2), мы получаем
A8) Ga+6 = (GanG,+())U(GftnGI+a
Это соотношение эквивалентно A4). Соотношение A5) эквива-
эквивалентно F). Наконец, из равенства Ga = Gh, согласно A8), сле-
следует равенство Ga+b — Q, откуда а + 6 = 0, и потому а~Ь,

§ 41. Компактность 43
IX. Диадические пространства1).
Определение2). Пространство называется диадическим,
если оно является непрерывным образом обобщенного канто-
рова дисконтинуума D (где D — двуэлементное множество
{О, 1}).
Согласно следствию 2Ь п. VI, всякое компактное метричес-
метрическое пространство есть непрерывный образ канторова дисконти-
дисконтинуума ft = D*° н, следовательно, является диадическим. Легко
показать, что всякое компактное (/..-пространство веса ni^Xo
(ср. § 5, XI, замечание 3, стр. 59) есть непрерывный образ
замкнутого подмножества пространства D'". Однако оно не
обязательно является диадическим (см. пример ниже).
Теорема 1. Всякое семейство непересекающихся открытых
подмножеств пространства Dm счетно.
Доказательство. Очевидно, можно предполагать, что
элементы рассматриваемого семейства принадлежат базе про-
пространства Dm. Следовательно, можно считать, что они имеют вид
где tt?T, F=m, /, = 0, 1 для г = 1, ..., п.
Назовем число п длиной множества О, а систему /,, .. ., /„ —
системой отмеченных индексов. Легко видеть, что два непере-
непересекающихся элемента базы должны иметь общий отмеченный
индекс и различные проекции на соответствующие оси.
Для доказательства теоремы достаточно показать, что при
любом заданном п всякое семейство непересекающихся множеств
длины п счетно. Будем рассуждать по индукции. Для п — 1
наше утверждение вытекает из только что указанного свойства
пересекающихся элементов базы.
Предположим, что оно верно для п— 1. Пусть О — семей-
семейство множеств длины п. Предположим, что О несчетно. Пусть
G0?O. Ни один элемент семейства О не пересекается с Со,
следовательно, каждый из них имеет общий с Ga отмеченный
индекс. Поэтому О = О{ [) ... \J Gn, где элементы OL имеют
общий отмеченный индекс. Так как G несчетно, то можно
предположить, что О{ также несчетно; пусть / — общин отме-
') Этим разделом я обязан профессору Энгелькингу.
2) См. Александрой [9]. Данное пыше определение является «внешним».
«Внутреннее» определение довольно сложно; см. Александров и Понома-
Пономарев [1].
I Го теории дпадических пространств см. дополнительно следующие статьи:
Ефимов [I, 2]; Ефимов и Эпгелькппг [I]; Мардешпч и Папнч [1J.

44 Глава 4. Компактные пространства
ченнып индекс элементов О{. Тогда либо для / — О, либо для
i=l существует несчетное семейство //,с:Оь такое, что про-
проекция элементов //, на /-ось есть (/). Из этого следует, что лю-
любые два элемента семейства Я, имеют еще другой общий от-
отмеченный индекс и их проекции па соответствующую ось не
пересекаются. Пусть К", получено из //, отбрасыванием (в ра-
равенстве A)) индекса t (и соответствующего верхнего индекса/).
Тогда К{ несчетно, по это противоречит тому, что длина его
элементов равна (к—1).
Замечание 1. Из приведенных выше рассуждений видно,
что теорема 1 верна для всякого прямого произведения про-
пространств со счетной базой1).
Замечание 2. Теорема 1 следует также из того, что Dm
является компактной топологической группой и, следовательно,
допускает меру Хаара 2).
Заметим, что всякая компактная топологическая группа
является диадической3).
Следствие 1. В диадическом пространстве всякое семей-
семейство непересекающихся открытых множеств счетно.
Пример. Пусть ^ — одноточечная компактификация не-
несчетного дискретного пространства (см. X, теорема 5), и пусть
открытые множества определяются как дополнения к конечным
множествам. Очевидно, что X есть компактное не диадическое
^¦пространство.
Замечание 3. Из существования недиадических компакт-
компактных пространств следует, что D'" при m> No содержит замкну-
замкнутые подмножества, которые не являются не только ретрактами
D™, но и непрерывными образами Z)'".
Заметим, что замкнутое подмножество пространства Dm
может быть непрерывным образом Dm и в то же время не быть
его ретрактом 4).
Для заданного прямого произведения Z= П ^обозначим
через пт„ где Т'аТ, его проекцию на частичное произведение
Z'— П ^th. е. л.,, ставит в соответствие каждому отображе-
i 6 Г V '
нию z?Z его сужение {z\T')?.Z').
') Это утверждение доказано Марчевским [1, стр. 525]. Более сильные
результаты см. в работах: Марчевский [2] и Шанин [1].
2) См., например, Халмош [I, гл. 9),
8) См. Ивановский [1, стр. 785] и Кузьминой [1, стр. 727].
*) Это ответ на вопрос, поставленный Халмошем, См. Эпгелькипг [5),

'и. компактность
Теорема 21). Пусть $\ —сепарабельное пространство
(t ? Т), и пусть 2/ есть ^^-пространство, точки которого являются
О'^множествами. Положим Z = П^, и пусть отображение /: Z -> &
непрерывно. Тогда существуют счетное множество Т'аТ и не-
непрерывное отображение /': Z'—>&, такие, что / = /'«лг.
Доказательство. Для каждого z? Z множество f~l [/B)]
есть множество типа Ол. Поэтому оно содержит счетное пере-
пересечение элементов базы пространства Z, содержащих г.
Следовательно, существует счетное множество T{z)aT, та-
такое, что
B) если яГ(г)(*)= "г(г)B) Для -V?Z' то / (-v) = / B)-
Определим по индукции последовательность Zo, Zb
счетных подмножеств пространства Z, таких, что
C) лг (Zf+1) =
где
D) Гг = у U T(z).
Пусть Zo = (zo), гДе 20 —произвольная точка пространства Z
(которое можно предполагать непустым). Далее предположим,
что Zo, .... Zk удовлетворяют условию C). Согласно D), мно-
множество Tk счетно, и, следовательно, произведение |~| &t содер-
жнт счетное всюду' плотное подмножество. Отсюда следует,
что существует счетное множество Zk+i, удовлетворяющее C)
при i = k.
Положим T' = 7'oU7'iU •••• Чтобы доказать существование
такого /', что f — Y ° пт„ остается доказать, что для произволь-
произвольных х, и х2 из Z имеет место импликация
E) [M^-M^WW-ZWl-
(Заметим, что пг есть открытое отображение, и потому ото-
отображение /' непрерывно.)
Предположим, что f(xi)?=f(x<2). Пусть Ui и U2 — открытые
подмножества в У, такие, что
F) /(*,)№, f(x2)€U2 и ?/,П?/г«0.
') Теорема Глисона. См. Исбелл [2, стр. 130]. Аналогичная теорема
имеется в работах: Мазур [1] и Эпгслькнпг [0].

46 Глава 4. Компактные пространства
Так как ХF/~'(?Л) при t== I, 2, то я, принадлежит произведе-
произведению вида П U\, где 1)\ открыто в .Ти U\ — ,.ft для всех, за
t(T
исключением конечного числа, индексов t? T и |~| ?/'с;/"'((/,).
Если предполагать, что левая часть E) справедлива, то можно
считать, что U t = U] при t ? 7''. Тогда, согласно C), существует
точка 2^(Z0UZ,U ...), такая, что zt^U\ для t?T', и из этого
следует, согласно B) и D), что f{zl) = f(z) = f(z2) всякий раз,
когда z\ = z' для t ? Т' и z\ = x\ для t^T — T'.
Так как Zj6 П ?/', то Ulf\U2?=0, что противоречит F).
Теорема 3. Пусть f и Z такие же, как выше. Если У —
вполне регулярное J'[-пространство веса ш, то можно предпо-
предположить, что Т' имеет мощность <! т.
Доказательство. По предположению 2/ можно рас-
рассматривать как подмножество пространства ffm (ср. с теоре-
теоремой 5, § 16, V, стр. 163). Напишем вт = П Is, где ls=8 и
S = ni. По теореме 2 существуют счетное множество TsczT и
отображение /6: П ^t-*Sf, такие, что ns°f — fs°nr (рДе Щ
t?Ts s
есть проекция 9т на /Л). Для завершения доказательства по-
положим Т' = U 7\, и пусть Г— отображение, имеющее в ка-
честве своей s-й координаты [,«% .
Теорема 41). Всякое диадическое пространство .V веса ш
есть непрерывный образ Dm.
Доказательство. Так как пространство № диадично,
существуют кардинальное число it ^ m и непрерывное отобра-
отображение /: D"->^. Положим D" = П Dh где Dt-=D и? = «. По
t?T
теореме 3 существуют Т'аТ и [': П Dt->?', такие, что
Т — m и / = /'олг, где f непрерывно. Очевидно, что /' — тре-
требуемое отображение пространства D на #".
Следствие 22). Всякое диадическое пространство со счет-
счетной локальной базой (см. § 5, XI, стр. 59) есть непрерывный
образ канторова дисконтинуума *€.
') Ср. Шанин [1]. По поводу нрипедениого здесь доказательства см.
Пелчннский и Энгелькнпг [1].
2) См. Есении-Вольми» [1, стр. 441]. Более сильные утверждения см.
в работах Ефимова [4, 5].

§ 41. Компактность 47
Это следствие из теоремы 2.
Замечание 3. Из теоремы 3 п. VI следует, что если
^„-пространство есть непрерывный образ ?\ то оно компактно
н* метризуемо и потому имеет счетную базу. Следовательно,
если диадическое пространство имеет локальную счетную базу,
то оно имеет счетную базу.
3 л м е ч а и и е 4. Легко видеть, что совокупность всех диа-
дичсских пространств есть наименьшая совокупность JYnpo-
стр.чнств, содержащая конечные пространства (или, эквива-
эквивалентно, содержащая метризуемые компактные пространства)
и замкнутая относительно взятия прямого произведения и не-
непрерывных отображений.
Теорема 5 '). Всякое замкнутое О ь-под множество диади-
чсского пространства диадично.
Доказательство. Очевидно, достаточно показать, что
всякое Gft-множество А, замкнутое в D"\ есть ретракт про-
пространства Dm. По теореме Веденисова (§ 14, VI, стр. 141) суще-
существует непрерывное отображение f: D™—>Sf, такое, что /"'(О) —Л.
Положим Dm — П Dt. По теореме 2 существуют счетное мно-
tCT
жество Т'аТ и непрерывное отображение /,: П Dt—>8, такие,
t?T
что f = /,nnr. Поэтому Л = /|"'@)Х П Dt. Так как f~'@) есть
ttr
ретракт произведения П Dt, то из этого следует, что Л есть
ретракт D1".
Замечание 5. Теорему 5 нельзя распространить на замк-
замкнутые подмножества диадических пространств.
В самом деле, рассмотрим подмножество F пространства /)"',
состоящее из точек, имеющих по крайней мере одну коорди-
координату, равную 1. Тогда F замкнуто, но не диадично, так как
оно гомеоморфио одноточечной компактификации дискретного
пространства мощности N,.
Замечание 6. Как указывалось выше, пространство D
содержит компактификацию дискретного пространства мощ-
мощности И \. Это утверждение можно обобщить следующим об-
образом:
') См. Р.фимо» C1. По поподу приведенного здесь доказательства см.
11елч1шский II Нигелькныг [1J; более сил.пые реаультатц см. и работе
Эт [5].

48 Глава 4. Компактные пространстпа
Теорема 6'). Пусть X — диадическое пространство. Если
наименьшая мощность базы в точке х?Х равна т(^ Но), то
существует дискретное множество McJ, такое, что М = \п и
М U {х} компактно.
Отсюда следует2) (ср. замечание 3), что все замкнутые под-
подмножества диадичсского пространства X диадичны тогда и
только тогда, когда пространство X метризуемо.
X. Локально компактные пространства.
Определение. Пространство называется локально ком-
компактным в точке р, если существует компактная окрестность
точки р, или, другими словами, если существует открытое
множество G, такое, что х ? G и G компактно.
Пространство называется локально компактным, если оно
локально компактно в каждой своей точке.
Примеры. Евклидово «-мерное пространство локально
компактно. Всякое дискретное пространство локально компактно.
Теорема 1. Всякое замкнутое подмножество локально
компактного пространства локально компактно.
Доказательство. Пусть F => F с.%" и х ? F. По пред-
предположению существует открытое множество О, такое, что x?G
и G компактно. Таким образом, GQF открыто в F и множе-
множество G[\F[\F есть замыкание G (] F относительно F. Это мно-
множество является замкнутым подмножеством компактного мно-
множества G и, следовательно, само компактно (по теореме 2
п. II).
Теорема 2. Всякое локально компактное ^^-пространство
вполне регулярно.
Более того, если множество С с: X компактно, множество
Fa Л' замкнуто и C{]F = 0, то существует непрерывное ото-
отображение /: .Т—>в, такое, что
A) f(x) = O при х?С, /Ч*)=1 при x?F
и /~'([0, а]) компактно для каждого я<1.
Доказательство. Для каждого х?С пусть Gx — откры-
открытое множество, такое, что x(zGx и Gx компактно. Пусть
Х\, ..., jcft — конечное множество точек, такое, что С cz G—
') Доказательство см. в работах: Ефимов [3] и Энгслькинг [5].
2) См. Ефимов [3].

.<> 41. Компактность 49
— OXU ... [HХ/{. Ясно, что G компактно и является JVnpo-
странством (ср. II, теорема 5), следовательно, оно нормально
(по теореме 3 п. II). Поэтому существует непрерывное отобра-
отображение g: G~*-f/, такое, что
= 0 для х?С и ц{х)=1 для xe[(G[]F){j(G-G)\.
Положим f(x) — fr(x) при x?G и /(jc)= 1 при x(fcG. Оче-
Очевидно, отображение / непрерывно и удовлетворяет условию A).
Наконец, если f{x)<\, то x^G, и, следовательно, при а<1
множество /~ ([0, а]) есть замкнутое подмножество (компакт-
(компактного) множества G и потому компактно.
Теорема 3. Всякое открытое подмножество локально
компактного ^^-пространства локально компактно.
Доказательство. Пусть Па,1? открыто и *?//. По
предположению существует открытое множество (}, такое, что
i?G и G компактно. По-теореме 2 пространство .?¦' регулярно.
Поэтому существует открытое множество U, такое, что x^U
и U с= G П ff. Следовательно, U открыто относительно И и U
компактно, поскольку UczG.
Теорема 4. Пусть .У — регулярное ^^пространство и
Л с: .'Г. Если Л локально компактно, то Л локально замкнуто
в .Г.
Следовательно, Л есть разность двух замкнутых множеств,
и потому множество Л — Л замкнуто.
Доказательство. Пусть р^А. По предположению су-
существует компактная относительно А окрестность U точки р.
Следовательно, существует окрестность /; точки /> (относи-
(относительно .Т), такая, что U — Е П А (можно .положить Е =
= (Я' — А — U) U U). Так как U замкнуто, это означает, что А
локально замкнуто в точке р (см. § 7, V, теорема 2).
Вторая часть теоремы есть следствие первой части (см.
§ 7, V, следствие).
Теорема 5. (Теорема Александрова об одноточечной ком-
пактификации :).) Всякое локально компактное J'o-npocTpan-
ство Sf гомеоморфно подмножеству Xq компактного $ч-про-
странства Ж", такому, что .2" — Хо состоит из единственной
точки.
') См. Александров и Хопф [I, стр. 93].
4 Зак. PJO

50 Глава 4, Компактные пространства
Если пространство X метрическое сепарабельное, то X" —
тоже метрическое сепарабельное.
Доказательство. По теореме 2 пространство X вполне
регулярно, и, следовательно, согласно теореме 5 § 16, V, про-
странстро X можно рассматривать как подмножество компакт-
компактного ^-пространства С (с обобщенному кубу). Кроме того, можно
предположить, что X всюду плотно в С, т. е. С=-Х. По тео-
теореме 5 множество С — X замкнуто, поэтому, согласно тео-
теореме 4 п. III, существуют компактное ^"Пространство X*,
точка р?Х* и непрерывное отображение /: С-+Х*, такие, что
f(C — X) = {p) и f есть гомеоморфизм X на Х'-(р).
Это завершает доказательство первой части теоремы.
Если X — метрическое сепарабельное пространство, то по
теореме Урысона С можно считать замкнутым подмножеством
гильбертова куба. Так как X* есть непрерывный образ ком-
компактного метрического пространства С, то X* метризуемо по
теореме 3 п. VI.
Замечание 2. Другое доказательство первой части тео-
теоремы 6, связанное с известным процессом присоединения бес-
бесконечно удаленной точки к евклидову пространству У, состоит
в следующем.
Пусть р — точка, не принадлежащая X. Положим X* — X \j(p)
и определим топологию в X*, взяв в качестве элементов от-
открытой базы S"
(i) открытые подмножества Jfc",
(ii) множества вида (p)\J(X — F), где FczX компактно.
Мы должны показать, что X" компактно. Пусть {Gt}, t?T,—
открытое покрытие X*. Пусть p?Gta. Тогда X — Gu компактно,
и поэтому {Gt} содержит конечное покрытие Gt[f ..., Gtn про-
пространства X — Gta- Отсюда следует, что Gta, G^, ..., Gtn есть
покрытие X*.
Замечание 3. Согласно теоремам 3 и 5, понятия локально
компактного ^-пространства и открытого подмножества ком-
компактного ^^-пространства топологически эквивалентны.
Эта эквивалентность непосредственно приводит к следую-
следующим утверждениям:
Теорема б1). Если X — локально компактное ^2-простран-
ство, то существует взаимно однозначное непрерывное отобра-
отображение пространства X на некоторое компактное J12-простран-
ство.
') См. Пархоменко [1],

Это вытекает из следствия 4а п. III.
Теорема 7. Если X и У — локально компактные <f2-npo-
странства, то X X У — тоже локально компактное J\-простран-
J\-пространство.
Это следует из инвариантности компактности и открытости
по отношению к прямому произведению (см. IV, теорема 3,
и § 15, VII, теорема 1).
Замечание 4. Относительно бесконечных прямых произ-
произведений справедливо следующее утверждение."
Произведение П-^ есть локально компактное с7УпР0Стран-
t
ство тогда и только тогда, когда каждое Xt есть локально
компактное ^-пространство и все Xt, за исключением конеч-
конечного числа, компактны {Xt предполагаются непустыми).
Теорема 8. Если .V — локально компактное метрическое
сепарабельное пространство, то существует последовательность
компактных множеств Ft, F2, ..., такая, что
X = F{\}F2\) ... и Fnczlnt(Fn+l).
оо
Следовательно, X — \} Int (F,,), и потому семейство % (X)
п = [
всех компактных подмножеств X конфинально с последова-
последовательностью F[, F<2 т. е. каждый элемент из Ч? (X) содер-
содержится в некотором члене указанной последовательности.
Это вытекает из следствия 4 п. II, так как для каждого
открытого подмножества X компактного метрического простран-
пространства X* существует последовательность открытых множеств
(/1, G2, ..., такая, что
X=G,UG2U... и GnczGn+l.
Следовательно, множества /71 = Gi, F2~G2, ... образуют
требуемую последовательность компактных множеств.
Замечание 5. Отметим следующую интересную теорему.
Если пространство X паракомпактно, пространство У ло-
локально компактно и отображение /: Х—>У непрерывно и
замкнуто, то Fr ( / (у)\ компактно для каждого у ? У ').
Замечание 6. Локально компактное пространство может
не быть нормальным.
') См. Майкл Э. [9]. В случае метрического пространства $С см. Вайи-
штейи [1].
4*

/ лава 4. компактные пространства
Примером (принадлежащим Л. Н. Тихонову) является про-
пространство Е (« ^ Q) X Е (Р ^ w) с выброшенной точкой (Q, со)
a f,
(ср. § 14, V, замечание 1, и п. II, замечание 1).
§ 42. Пространство 2х
1. Компактность пространства 2х. Напомним, что топология
в пространстве 2Г (называемая экспоненциальной) определя-
определялась заданием открытой предбазы этого пространства как сово-
совокупности всех множеств
A) B(G) = E(Fc:G) и С(Я)= Е (F П НФО),
/•¦ /¦•
гд'е G п Я — открытые подмножества пространства W, a F
пробегает 2V (см. § 17, I).
Отсюда следует, что совокупность всех множеств
B) В (Go, G,, .... Gn) = ?(F с: G0)(F ПО,=И=0). . .(Ff\Gn^=0),
/•¦
где Go, ..•> Gn открыты, есть база пространства 2х.
Теорема I1). Если пространство Л? компактно, то про-
пространство 2х также компактно.
Доказательство. По лемме Александера (см. § 41, I)
мы должны показать, что всякое покрытие пространства 2х,
элементы которого принадлежат какой-нибудь открытой пред-
базе пространства 2е, содержит конечное подпокрытие. По-
Поэтому пусть (в соответствии с A))
C) 2*=\JB(Gt)[)\JC(Hs),
t X
где G( и Ял открыты в ,Т.
Положим Fq = JV —\J Иs. Тогда для каждого s мы имеем
б-
^0ПЯ5 = 0, т.е. FO?C(HS), откуда F0?\JB(Gt).
Следовательно, существует такое /о. ч'г0
^0 6 B{Gto), т. е. Fo <= Gtn откуда .Г - G/, cz X - Fo - U ffs.
Так как множество .#"—G<0 компактно, то существует ко-
конечная система индексов su ..., sn, такая, что
D) .r-G/сЯ, U ... [iff..
') См. Ui.eropnc [2] A Фринк [1, теорема 15].

•?/. пространство
Покажем, что
E) 2х - В (Gt0) U С (HSi) U ... U C(H,J,
завершив тем самым доказательство.
Пусть F^2r. Необходимо рассмотреть два случая:
(i) Fez G,; тогда F?B{G,a).
(ii) /г <? G,,, т. е. /•" Г\(ЯГ- Gto)=?O. Тогда, согласно D), суще-
существует такое /', что F{]Hs^=0, т. е. F?C(HSj).
Таким образом, в обоих случаях F принадлежит правой
части равенства E).
Справедлива также обратная
Теорема 21), Если пространство 2х компактно, то и X
компактно {.Т предполагается J1 i-пространством).
Доказательство. Пусть X=>\JGt, где Gt открыто.
Тогда 2х -{0)=\jC{Gt). Так как 2*-@) компактно, то
2х- @)=C(Gtl)[) . . ,[)C(G,n). Пусть xoGJT. Тогда {x^?C(Gt^
для некоторого /<я; это означает, что xo?Gtr Следовательно,
jr=G/,U ... [}G,n.
Замечание 1. Стоит заметить, что если пространство 2х
метризуемо, то пространство JP компактно (Майкл Э. [1, стр. 164]).
Замечание 2. Если Я? — счетное бесконечное компактное
подмножество пространства <f, то пространство 2тгомеоморфно
объединению капторова дисконтинуума Sf с множеством цен-
центров смежных интервалов. (Теорема Пелчинского [1, стр. 85].)
Между прочим, это утверждение показывает, что гомеомор-
гомеоморфизм пространств 2х' и 2У не влечет за собой гомеоморфизм
пространств J и J 2).
Замечание 3. Для произвольного топологического про-
пространства X обозначим через Ч? (X) множество всех его ком-
компактных подмножеств. Так как %{.?) а 2х, то (экспоненциаль-
(экспоненциальная) топология &"(.#") определяется естественно.
Можно показать (Майкл Э. [1]), что If (ЛГ) обладает следую-
следующими интересными свойствами (соответствующими свойствам
пространства 2Г, сформулированным в § 17): &(.?) регулярно,
соответственно вполне регулярно, соответственно компактно
тогда и только тогда, когда таковым является пространство X'.
') См. Майкл Э. [1, стр. 1G1].
2) Эта задача была поставлена Пономаревым [1, стр. 195].

/ лапа 4. компактные пространства
Замечание 4. Пусть X есть (/[-пространство. Простран-
Пространство Л' локально компактно тогда и только тогда, когда 2х
локально компактно ').
II. Случай компактного метрического пространства .Т.
В § 21, VII мы для любого метрического пространства У
обозначали через {2K)m метрическое пространство всех замкнутых
подмножеств JT; (хаусдорфово) расстояние dist (Д, В) между
двумя множествами Л^О и В=й=0 определялось как точная
верхняя грань чисел р(х, В) и р(у, Л), где х?А, у?В; пустое
множество определялось как изолированная точка простран-
пространства BТ)Ш.
Теорема. Пусть № — компактное метрическое простран-
пространство. Тогда
Именно, тождественное отображение 2r—>BT)m есть гомео-
гомеоморфизм на.
Более общо,
где [&"(.?")]„, обозначает множество *? (S) с хаусдорфовым рас-
расстоянием.
Доказательство. 1. Сначала покажем, что каждое
открытое множество Н в [^(.?*)]т открыто в <?'(.#*) (в его экспо-
экспоненциальной топологии). Очевидно, достаточно доказать, что
каждый шар с компактным центром А:
@) /? = Е [drst (Л, F)<e], где F^O и F?2X,
г
открыт в.2г.
Поскольку Д вполне ограничено (см. § 41, VI, теорема 1),
для каждого /г=1, 2, ... существует конечная система точек
ак., ..., ак„ множества Л, такая, что для каждого х f А и k мы
1 пк
имеем |а, — х\< l/k при некотором i (см. § 21, VIII, теорема 1).
Пусть
A) G* = E[|*-a?|<e
B) ' G«E[p(JC, Л)<
') Майкл Э. [I, стр. 162]. См. также Ватсоп [1].

!$ 42. Пространство 2х 55
Покажем, что (ср. I B))
C) tf= \JB(G,Gi Gknk)-
U E(F <=:G}(F (H\ФО) ... (F
и IP \
ft-I
завершив тем самым доказательство.
Во-первых, пусть F?R. Тогда dist(/l, /г)<е— 1/6 для неко-
некоторого 6. Отсюда следует, что
D) *6ЛФР(*. F)<e-l/k
и
E) ^ФрО/, Л)<в-1/Л.
Из соотношений E) и B) видно, что FcG. С другой сто-
стороны, для x = af, согласно D), существует элемент yi~F, такой,
что |у — а*| <е— 1//г. Это означает (ср. A)), что F f\ G) Ф 0 для
г'=1, 2, ..., «fe. Таким образом, F принадлежит правой части
равенства C).
Обратно, предположим, что F czG и F [\Gki ф 0 для некото-
некоторого k и всех i~\, 2, ..., пк. Тогда, согласно B), мы имеем
F) y?F^p(!f, Д)<е.
С другой стороны, пусть х6 Л и / таково, что | а\~ х\< l/k.
Так как FflG/^O, то существует y?F, такой, что (ср. A))
|у — а!\| <е — 1/Л. Тогда | у — х |<г и, следовательно, р(л;, F)<е.
Таким образом,
G) х?Л^р(х, F)<b.
Соотношения F) и G) дают
2. Далее мы должны показать, что для всякого открытого
множества Н в 2х множество Н$\Ч?(Х) открыто в [8й(&)}т.
Мы можем, конечно, ограничиться случаем, когда Н принад-
принадлежит предбазе пространства 2х.
Случай 2а. Н = Е (F с: G), где G открыто в X (и G ф Ж).
F
Пусть множество А компактно и содержится в G. Пусть
е = р(Л, Ж — G). Согласно следствию ЗЬ, § 41, VI, е>0. Остается
показать, что
Rczff, т.е.
(где R определяется формулой @)).

5fi Глааа 4. Компактные пространства
Предположим, что p?F—G. Тогда р(р, Л)>е и, следова-
следовательно, dist(/\ A)>e и F^R.
Случай 2b. H= E {FQ G Ф 0). Пусть множество А ком-
р
пактпо и А П G ф 0. Пусть а 6 Л Г) G. Положим е, = р{а, X — G).
Отсюда следует, что /? с: Н. Это завершает доказательство
теоремы.
Замечание 1. Легко показать '), что если X — компактное
метрическое пространство, то условия
lim dist(Fn, F) = 0 и lim Fn = F
эквивалентны, каковы бы ни были замкнутые непустые мно-
множества Fn и F. Следовательно,
причем топология в BV)L индуцируется операцией Lim.
Заметим, что гомеоморфизм между пространствами BT)m
и BX)L не имеет места для некомпактных метрических прост-
пространств (см. § 29, IX).
Замечание 2. Для каждого непустого компактного под-
подмножества F def обозначим через \х (F) первую (или последнюю)
точку /;. Тогда отображение \i: 2^ —> 3 непрерывно. Более общо,
ц,: (tf((f)->(f непрерывно.
Доказательство. Пусть F\, F2^^((f) и ц(/7[) ^Ц (F2)-
Тогда
l^fil-l'^hplli^), F2l<dist(F11 F2).
III. Семейства подмножеств пространства X. Операции
над множествами. Напомним, что если множество К замкнуто,
a G открыто, то множество Е (F cz К) замкнуто, a E.(FczG)
р р
открыто в 2х, каково бы ни было топологическое пространство X
(см. § 17, II, теорема 1).
Нсли .1' есть ^-пространство, т0 множество Е (-4 cr F) замк-
замкнуто в 2х, каково бы ни было множество A cz X (§ 17, II, тео-
теорема 2). Для компактных пространств мы имеем еще ряд
утверждений.
Теорема 1. Пусть X — компактное ^2-пространство. Тогда
если А является Gb-множеством, то таким же является мно-
множество Е (F <= А).
') См. Хаусдорф [1]; см. также § 29, IX.

S 42. Пространство 2V 57
Доказательство. Рассмотрим эквивалентность
A) F<?A*aV(x
Множество Е (х 6 F) замкнуто в Ж X 2Т (это верно для
X, 1-
всякого сТ2'пР0СТРанства X, см. § 17, IV, теорема 1). Следова-
Следовательно, Е (х 6 F) (х ? •#' — А) есть /-"„-множество, а потому и его
x.F
проекция на 2г-ось есть /'„-множество (согласно следствию 1а
из § 41, IV); но это означает, что Е {F ф А) есть /'„-множество.
Теорема 2. Пусть ,8Г — компактное метрическое простран-
пространство. Тогда если А есть множество проективного класса СА,
то таким является и множество E.{F cr Л).
F
Доказательство, основывающееся на эквивалентности A),
совершенно аналогично предыдущему доказательству.
Замечание, Аналогичное утверждение для случая, когда
множество А типа Fa, не верно. В самом деле, если S? = S
и A — ?/i (множество рациональных чисел), то E.{F а А) не есть
р
множество типа Fn; более того, оно даже не является анали-
аналитическим множеством (см. § 43, VIII, следствие 3).
Теорема З1). Пусть JP — компактное метрическое про-
пространство. Тогда семейство Р всех совершенных подмножеств
пространства X есть G^-множество в пространстве 2х.
Сначала покажем, что имеет место следующая лемма (спра-
(справедливая для любого регулярного (/[-пространства Ж).
Лемма. Если CcJ- открытое множество, то множество
Е [{F Л G) ==> (х)] есть пересечение замкнутого множества с откры-
x.F
тым множеством в Ж X 2Т.
Доказательство леммы. Так как множество Е (
x.F
замкнуто в X X 2х (см. § 17, IV, следствие б), то множество
E[U)c(FnC)]- E(x?F)(\ E (x?G)
х. Р х, Р х, F
есть пересечение замкнутого множества с открытым.
С другой стороны, (л;) представляет собой непрерывное отобра-
жение(согласно следствию За из§ 17, III), и поэтому (x)U(^— G)—
тоже непрерывное отображение (как ¦ объединение двух
') Эта теорема принадлежит Банаху.

08 I'лава 4. Компактные пространства
непрерывных отображений; см. § 17, III, теорема 4). Поскольку
множество Е (F <= Н) замкнуто в 2х X 2х (так как X регулярно,
F, Н
см. § 17, IV, теорема 1), отсюда следует, что множество
Е [(Ff\G)cz(x)} = E[F<=(x)[)(#-G)]
X, I' X. Г
замкнуто в JX 2х.
Это завершает доказательство леммы.
Доказательство теоремы 3. Обозначим через Р
семейство всех совершенных подмножеств пространства X.
Пусть G[, Gi, ...—открытая база пространства X. Условие
F?2X — Р эквивалентно существованию точки х и индекса п,
таких, что Ff\Gn = (x), т. е.
[(n) W] U
/•' п х п F х
По лемме Е [{F П Gn) = (jc)] есть /^-множество, а потому и
X.F
множество Е V [(F Л Gn) = (л;)] типа Fo. Следовательно, 2х — Р
F х
есть /''„-множество.
Следствие За1). Пусть X — компактное метрическое про-
пространство. Тогда семейство всех счетных замкнутых подмно-
подмножеств пространства Ж есть множество проективного класса СА
в 2х.
Доказательство. Обозначим через U семейство всех
несчетных замкнутых подмножеств пространства X. Так как
каждое F?U содержит совершенное непустое подмножество
(по теореме Кантора—Бендиксона, см. § 23, V), то
F К
По теореме 3 множество Е (О ф К cr F)(K?P) есть (?в-мно-
F,K
жество. Следовательно, U как проекция 0в-множества есть
аналитическое множество (см. § 38, I).
Замечание. Рассматриваемое семейство необязательно
является аналитическим (см. § 43, VII, следствие 3).
Теорема 4. Пусть X — компактное метрическое простран-
пространство. Тогда семейство N всех нигде не плотных замкнутых
подмножеств пространства X есть Ой-множество в 2х.
') Теорема Гуревича [4].

§ 42. Пространство 2х 59
Доказательство. Пусть Gu 6'2, ...—открытая база про-
пространства Л" (Gn?=0). Тогда
2х - N = E V (С, cf) = UE (Gn с F).
F п. п 1'
Так как E.{Gncz F) замкнуто, то 2х— Nесть множество типа Fa.
F
Теорема 5. Пусть .t" есть ^^пространство. Пусть Acz2x
и S = S(^) {объединение элементов А). Если А открыто, то S
открыто. Если А компактно и X регулярно, то S замкнуто.
Доказательство. Допустим, что А открыто в 2х. Не
ограничивая общности, можно предположить, что А есть элемент
базы пространства 2х. Пусть Go (/„ — система открытых
множеств (в ,?'), такая, что (ср. § 17, I)
(F 6 А) ^ (F cC0)(f П С, Ф 0). .. (F П Gn Ф 0)
и О Ф Gi cr Со для i = 1, ..., я.
Докажем, что S = Go-
Очевидно, что SczGq. Обратно, пусть *o€G<>; обозначим
через х{ любую точку Gt для г=1, ..., п. Тогда множество
F = (xn, xh ..., х„) есть элемент А и, следовательно, jco6S.
Таким образом, GQc:S и S = G0, что завершает доказательство
первой части теоремы.
Теперь пусть множество А компактно. По определению
(x?S)^ V (*6П
и, согласно теореме 1 из § 17, IV, множество Е (х 6 F) замк-
л, р
нуто в .^* X А. Так как S есть проекция этого множества на
.?'-ось, то из этого следует (в силу компактности А), что S
замкнуто (см. § 41, IV, теорема 1).
Замечание 1. Из теоремы 5 следует, что если А есть
счетное объединение компактных множеств, то таким же является
и множество S(^) (например, если А есть /^-множество, я 2Т
компактно).
Однако подобная теорема не имеет места для О6-множеств.
Это видно на следующем примере.
Пусть X = 0, Fn — (—, — , ..., ~\ и А — семейство всех Fn,
га=1, 2 Очевидно, А есть дискретное подмножество про-
пространства 2а и, следовательно, множество типа Gb (см. §24, III,
теорема 1а). Множество S(^) есть множество всех рациональ-
рациональных чисел (в 0) и, следовательно, не является (/^-множеством,

60 Глава 4. Компактные пространства
Замечание 2. Семейство W всех вполне упорядоченных
(по отношению <) замкнутых подмножеств пространства tl есть
множество проективного класса С А в 1&.
Для того чтобы доказать это утверждение, воспользуемся
тем очевидным фактом, что подмножество У не является вполне
упорядоченным тогда и только тогда, когда оно содержит убы-
убывающую последовательность элементов. Поэтому, обозначая
через ^ = [}A), $B), ...] произвольную точку пространства &
мы имеем
2-v - w= Е V Л
F к
Л
п, к
Отсюда следует, что множество 2Г — W аналитическое.
Замечание 3. Легко показать, что для любого З'^-простран-
ства семейство всех множеств, состоящих не более чем из п
элементов, замкнуто (при фиксированном п) в пространстве 2х.
Отсюда следует
Замечание 4. Семейство всех замкнутых конечных мно-
множеств есть Fa-множество в пространстве 2х.
Более того, оно всюду плотно в 2х (см. § 17, П, теорема 4).
Теорема 6. Пусть пространство X компактно и Ft — Ft czS"
для каждого t?T. Предположим, что семейство A — {Ft) конечно-
мультипликативно, т. е. для каждой конечной системы индек-
индексов tu ..., tn существует такое t?T, что Ft=*Ft Л ••• f\Ft.
Тогда ( П Ft) 6 А.
Доказательство. Положим Z — f\Ft. Мы должны пока-
t
зать, что если G открыто в 2х и Z ? G, то существует такое t,
что F,?G. Очевидно, можно предположить, что G принадлежит
базе, рассмотренной в I B). Другими словами, для дайной
системы открытых множеств Go, ..,, Gn (n .?*), таких, что
B) ZczGo и Z(]Gi^=0 при / = 1, ...,«,
мы должны показать, что для некоторого t?T
C) Ft с: Go и Ft[\Gi?=0 при /=1, ..., п.
Предположим, что это неверно. Так как соотношение
FtflGt^O следует из соотношений Z Л Gt ф 0 и Z a Ft, то
паше предположение означает, что для каждого t мы имеем
Ft(?Go, т. е. Ft (] Н Ф 0, где li = X — G^. Поэтому для любой
конечной системы индексов tlt ..., tn мы имеем (/ч,ЛЯ)Л •• •
• . • Л (Fin Л Я) Ф 0; по предположению существует такое t, что

42. Пространств 2Ь 6|
следовательно,
(Ft, П Я) П .. . П (/="/„ П Я) = (F, Л Я) Ф 0.
Отсюда вытекает, согласно условию Рисса (см. § 41, I B)), что
П(^ЛЯ)=7^0, т. е. ZqLGt, вопреки B).
IV. Неприводимые множества. Насыщенные множества.
Множество Р называется неприводимым множеством (соответ-
(соответственно насыщенным множеством) семейства множеств А, если
F ? А и из соотношении ХфР и X а Р (соответственно X гэ F)
следует, что X(fcAl).
Из теоремы 6 п. III вытекает
Теорема 1. Пусть X — компактное пространство и А а 2х —
вполне упорядоченное убывающее семейство множеств
A) F0=>Fi=>...=>Fa=>..., n<y.
Тогда (П/="аNА
Теорема 22). Пусть пространство X компактно. Тогда
всякое замкнутое семейство С а 2х содержит неприводимый
элемент.
Доказательство. Пусть Fo —произвольный элемент С.
Если FoHe является неприводимым, то существует F, ? С, такое,
что F[ cz р0 и F{ ф Fq. Продолжая таким образом, мы определим
с помощью трансфинитной индукции последовательность A),
считая, что Fa+l удовлетворяет условиям Fa+l^Cn Fli+ic-F^Fa+i
(при условии что Fa не является неприводимым), и полагая
F\~ П Fi, если X есть предельное порядковое число. Так как
к*.
множество С замкнуто, то в силу теоремы 1 отсюда следует,
что /\г6 С при каждом а. Ясно, что, начиная с определенного а0,
последовательность {Ff} не может продолжаться. Следовательно,
Fa<,~ неприводимый элемент С.
Замечания. Если X — компактное метрическое простран-
пространство, то можно ограничиться последовательностями A)типа со3).
В связи с этим стоит заметить, что следующее утверждение
можно доказать аналогичным способом (см. Лелек [I]).
Пусть ^ — топологическое пространство со счетной открытой
базой, и пусть А — семейство замкнутых подмножеств простран-
') Эти понятия были введены Янишевским.
2) Ср. Брауэр [4, стр. 138].
3) Это доказано Мазуркевичем; см. Куратовский [1, стр. 27].

62 Глава 4. Компактные пространства
ства Л\ такое, что для всякой последовательности A) типа у = со
пересечение Fo П /*"i П ••• содержит элемент семейства А. Тогда-
каждое множество, принадлежащее А, содержит множество,
неприводимое в А.
Очевидно, последнее утверждение остается справедливым,
если не предполагать, что пространство X имеет счетную откры-
открытую базу, а ввести условие (f\Fu\?A для всякой последова-
\ а 1
тельности A) подмножеств из Л' (каково бы ни было порядко-
порядковое число у). Это по существу было показано при доказательстве
теоремы 2.
V. Операции 6(F) и p(F|, F2). Пусть .^ — компактное метри-
метрическое пространство. Так как X ограничено, то ограничен и
диаметр b(F) для каждого F с X (напомним, что 6(F) есть
точная верхняя грань всевозможных расстояний между точками
множества F; см. § 21, III).
Теорема 1. Функция 6: 2*—>ef непрерывна.
Более точно (ср. п. II, замечание),
A) e(Lifn)<liminfe(fn),
B) Hmsup6(Frt)<6(Ls/;'J.
Доказательство. Пусть р и q таковы, что (ср. § 41, VI,
следствие 2d)
C) b{UFn) = \p-q\ и p?UFn, q?UFn.
Тогда существуют две последовательности р\, р2, ... и
qb q2, . . ., такие, что
D) p = limpn, q = limqn, pn?Fn, qn?Fn.
n n
Поэтому
откуда
На основании C) отсюда следует A).
Далее, предположим, что
E) limsupS^HlimS^J и 6(F,J = | pkn~ qkn\,
где Pua?Fkn и qkn?Fka.
Очевидно, можно предположить, что последовательности
pki, pk}, ... и qk, qk, ... сходятся (в противном случае мы

§ 42. Пространство 2* 63
заменили бы последовательность Fklt F^, ... последователь-
последовательностью с требуемыми свойствами). Положим
F) Vim ркп~р и \\mqkn = q, откуда p?LsFn и q?LsFn.
Отсюда следует, что
G) \p-q\^6(LsFn) и \im\pkn- ?*J=I P~q\.
kn
На основании E) отсюда следует B). Итак, доказательство тео-
теоремы 1 завершено.
Далее, напомним, что p(Fu F\) обозначает точную нижнюю
грань всех расстояний | х, — х21, где х, 6 Fu х2 ? F2 (см. § 21, IV).
Если F] и F2— переменные замкнутые подмножества компакт-
компактного метрического пространства X, то р есть действительная
функция, определенная на прямом произведении 2V X 2V.
Теорема 2. Функция р: 2rx2r-><if непрерывна.
Более точно (в предположении, что Fn?2v и Нп?2х), мы
имеем
(8) р (Ls Fn, Ls Hn) < lim inf p (Fn, Hn),
(9) lim sup p (Fn, Hn) < p (Li Fn, Li Hn).
Доказательство. Положим
A0) liminfp(Fn, Я„)-Птр(^п, Hkfi), p(Fv tf,J=| P,n-qkn\,
где
Pkn?Fkn и ?»„€#*„.
Очевидно, можно предположить, что последовательности
Р^» Р*,» • • • и ^» Qk> ' • • сходятся, т. е. выполнено F). Тогда.
p(LsFnt Ls#n)<| p-</| = lim|/?ftn-^n|,
что на основании A0) дает (8). Далее, положим
A1) p(LiFn, UHn)-\p-q\, p?UFn, q?UHn.
Тогда
p «lim p., Pn?Fn, q~\lmqn, qn?Hn.
Поэтому
\p-q\»\\m\pn-qn\ и | pn - ?„ | > p (Fn, Hn)
и, следовательно,
A2) |p-Gl>lim
Из A1) и A2) вытекает (9).

М Глава 4. Компактные пространства
§ 43. Полунепрерывность
I. Полунепрерывность и предположение компактности про-
пространства X1). Напомним (см. § 18, I), что отображение
F: 2/—>2'г, где X и У — топологические пространства, называется
полунепрерывным сверху, если для всякого замкнутого множе-
множества Acz.t' множество Е [/'(.'/) П Л =т^0] замкнуто в У.
Заменяя и этом определении слово «замкнутый» словом
«открытый», Miii получим определение полунепрерывности снизу.
Более точно, /•' называется полунепрерывным сверху в точке у0,
если
каково бы пи было открытое множество G; F называется полу-
полунепрерывным снизу в точке г/о, если
каково бы ни было замкнутое множество /С.
В § 18 был сформулирован ряд свойств полунепрерывных
отображений. Сейчас мы сформулируем еще ряд свойств, в пред-
предположении, что пространство Ж компактно, а У — произволь-
произвольное JVnP0CTPaHCTB0-
Сначала заметим, что если отображение /: •#"—>2/ непре-
непрерывно, то / — замкнутое отображение (см. § 41, III, теорема 2).
Отсюда и из теорем 5 и 5а § 18, III вытекает следующее утвер-
утверждение:
Теорема I. Если отображение f: Х-*У непрерывно, то
отображение J~ : 2' —> 2х полунепрерывно сверху.
В частности, /: '&->2т полунепрерывно сверху.
Теорема 2. Пусть отображение Q: У~>2ххУ определено
соотношением Q (у) — Л' X (у). Если пространство .Т компактно,
то отображение Q полунепрерывно сверху.
Отображение Q полунепрерывно снизу при любом простран-
пространстве X.
Доказательство. Пусть A cz <T X У — замкнутое мно-
множество. Мы имеем
A)
') Ср. Куратопский [26, стр. 148]. См. также Берж [2, гл. VI].

43. Полцнепрерьшности 65
уго означает, что множество Е [Q (у) Г) /1^0] есть проекция мно-
жества Л на 2^-ось. Это множество замкнуто, так как простран-
пространство Л' компактно, а множество Л замкнуто (ср. § 41, IV, тео-
теорема 1). Следовательно, отображение Q полунепрерывно сверху.
Если множество Л открыто, то открытым будет и множество
Е [Q {[/) П А=?0], так как формула A) означает, что (ср. § 2, V(l))
У х U
и Е(*. ,'/)?Л открыто для всякого х.
и
Замечание. Для некомпактного пространства ,Т отобра-
отображение Q может не быть полунепрерывным сверху. Пример:
.1' = '<f, H = 3\ рассмотрите множество
А= Е(х=\/у) @<//<1).
X, У
Теорема 3. Пусть О = йс.ГХ^ и F (у) = Е [(х, у) ? D]
(горизонтальное сечение). Тогда F полунепрерывно сверху.
Доказательство. Пусть /^ = Дгс:.Т. Так как отображе-
отображение Q из теоремы 2 полунепрерывно сверху, то таким будет и
Qf\D (ср. § 18, V, теорема 2). Так как КХ°У замкнуто в ,ГХ^,
то замкнуто и множество
Остается показать, что это множество совпадает с множе-
множеством E[F(yHK?=0]- Но это вытекает из соотношении
у
((х, y)?
следовательно,
П/С^О]^ V [*€(/'(//)П/С)]
Теорема 4. Пусть F: 2/->2r. Отображение F полунепре-
полунепрерывно сверху тогда и только тогда, когда замкнуто множество
B) D^E[x
Х..У
5 Зак. 1У0

66 Глава 4. Компактные пространства
Доказательство. Нслп отображение /•' полунепрерывно
сверху, то /) замкпую (по теореме I из § 18, III, которая
справедлива для любого регулярного пространства Л').
Обратно, если I) замкнуто, то паше утверждение следует
нз теоремы 3, так как (х, //) ? О = х ? F (//)•
В § 18, V, стр. 189, было показано, что пересечение двух
полунепрерывных сверху отображении полунепрерывно сверху,
если пространство .?' нормально. Мы хотим распространить
эту теорему на пересечение произвольного семейства полу-
полунепрерывных сверху отображении в предположении компакт-
компактности пространства Л'.
Сначала мы докажем лемму, соответствующую (в конечном
случае) лемме из § 18, V, стр. 188.
Лемма1). Пусть Т — произвольное множество, .?'— ком-
компактное ,Т.,-пространстао a i\: У -> 2V для каждого 1?Т. Поло-
Положим F(t/)=f\Ft(ij).
i
Тогда для каждого открытого множества G cz Л' мы имеем
C) r-1BG) = Un^'B4
где оСгъединенпе распространяется на все семеистап U, состоя-
состоящие и:> открытых множеств Uh имеющих (i ti качестве их
общего пересечения и таких, что, ;ш исключением конечного
числа индексов, U,=--Л'.
Д о к а з а т с л ь с т п о. 1. Пуст ь ;/ ? /•'""' Bп), т. с. (f\ /•', (ij) ) cz 0
• i
или, эквивалентно, (~| {F-t(ij) — G) ~ 0. Так как пространство .'К
t
компактно, а множества Ft(ij) — G замкнуты, то существует
(ср. с условием Рнсса, § 41, I B)) конечная система индексов
/i, .. ., tk, такая, что
D) {F,xUl)-G)[\ ... [\{F,n(//)-(/>=().
Так как множества /*V (//) — С замкнуты, то существует, со-
согласно D), система открытых множеств V^, ..., Vtt,, такай,
что (см. § Ы, III, стр. 131)
E) К,,П •¦• П^ = 0 п /•„(//)- G cz V,,
') '¦)t;i лс\г\гл, n также (i[)iin<vi<'i'iii.ie дл/юс гсорсма » следегшш .при-
.принадлежат Эшч'лькшпу llj.

для /--"I, 2, ..., А*. Пусть U — семейство всех множеств
///. ¦-d{)Vii при г — 1, 2, ..., А' и U,-=¦?' при /-^/;. Очевидно,
П ^ - U, П ... П ?Л„ = (G U К/,) П ••• П (G U I7/,.) = G,
согласно первой части соотношения E). Согласно второй части
/гого соотношения, F,{y)czlJh т. е. // ? /•'/ ' Bи<) для каждого
I A\ и, следовательно, ;/ принадлежит iipaiiofi части соотно-
соотношения C).
2. Предположим теперь, что у принадлежит правой части
равенства C). Тогда существует семейство U открытых
множеств U,, таких, что [\Ut = (i н y(zFt \2 '), т. е. Ft(y) cz Uf
t
д.чя каждого /?7'. Следовательно,
F (У) = П /;/ (//) <=nUf= G, т. е. // 6 /•"' B").
t t
Георема 5. Пусть пространство .Т и отображение F
такие же, как в лемме. Если каждое Ft полунепрерывно
сверху в точке //„, то и отображение /; полунепрерывно сверху
.лои точке.
Доказательство. Пусть множество G открыто и
//,, (- F'' BГ'). Мы должны показать, что //,,? Int|/•"""'Bf')|. При-
Применим лемму и рассмотрим семейство U, такое, что
/А,€ /'У Bй') дли каждого Ut^U и, кроме того, Ut — .V, за
исключением тех /, которые принадлежат конечной системе
/ь ..., /,.. Так как /•'/, полунепрерывно сверху в уп, отсюда
следует, что //„^Int Ffx \2 '<)\, и поэтому
Согласно равенству C), f\ FT.1 Ь"'*) cz F ] Bа), откуда
Теорема 6. Пусть пространство Л'/ компактно п
/¦',: :'/->2ri, / - 0, I. Положим F (у) -^/•„(//) X /-,(//). 7'огЛ/ гч:лм
/•',, » /•'] полунепрерывны сверху в точке t/n, то и отображение F
полунепрерывно сверху в этой точке.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как
1\(У) X F{(!/) = Шу) X .?-,] П [-^о X Fdy)]

08 Г.кта ¦/. Компактные прпгтршптпа
и пересечение двух отображении, полунепрерывных сверху
в точке //о, снова есть отображение, полунепрерывное сверху
в г/о, то при доказательстве можно ограничиться частным слу-
случаем, когда Т7, (;/) = .#",.
Пусть G с: .Я"о X &\ — открытое множество, такое, что
^о(.'/о!IX -?-\ cz G. Мы должны определить (ср. § 18, III, тео-
теорема 3) открытое множество II а&, содержащее уп, такое, что
F) yeH^Fn(y)X.rtc:G.
Далее, вследствие компактности ,7\ существует открытое
множество Ucz.?'o, такое, что (ср. § 41, IV, теорема 1)
G) F0(if())X.Tl czU X.r,c=G.
Следовательно, F0(yn)c: U, н так как Fn полунепрерывно
сверху в 1/о, то существует открытое множество // с "У, со-
содержащее //0, такое, что
(8) y
Очевидно, что из соотношений (8) и G) следует F).
Теорема 7. Пусть .Тh Ft и F — такие же, как в тео-
теореме 6. Если отображения Fn и F{ полунепрерывны снизу
в точке //0, то и отображение F полунепрерывно снизу в этой
точке.
Доказательство. Пусть множество /(cfuX^i зам-
замкнуто; предположим, что
(9) уо ? F~' BК), т. е. F0(yn) X F, (//,,) ф К-
Мы должны показать, что //0 ^ F~x BK). Другими словами,
мы должны определить открытое множество U с: У, содержа-
содержащее //п, такое, что
(Ю) f/nF^BK) = 0, т.е. Fdy)*Fdy)<?K
для каждого //^ U.
Согласно (9), для / = 0, 1 существуют элементы Xj^Fj(yn),
такие, что (хн, х{) (? Д'. Следовательно, существует открытое
множество VjCz.t'j, такое, что
(И) x,?V, и (К0ХК,)П^ = 0.
Из этого следует, что
A2) Х/б^П

§ -13. По.и/пенрерынность ПО
откуда
.Tj-Vj, т.е. yo$I-7lBTrvi).
Так как Ft полунепрерывно снизу в точке //,,, то
//<>$ ^/~' BГ' ~V')- Следовательно, существует открытое множество
Uj cz '&', содержащее //0 и такое, что
A3) (//П/71BТ'"'1'0 = 0, т.е. F^^ni/y^O
для каждого //?{/,.
Положим ?/ = ?/[ X (/;>. Ич соотношения A3) следует, что
для // ? (/
откуда в силу A1) получаем A0).
Следствие 1. Пусть X^ Fj и F — такие же, как в тео-
теореме 6. Если отображения Fo и F\ непрерывны в точке //„, то
и отображение F непрерывно в этой точке.
Следствие 2. Ее Аи пространства Хп и Х{ компактны,
го операция произведения К X L есть непрерывное отображе-
отображение пространства 2Го X 2Г' в 2Т'ХХ'.
Замечание. Теоремы 6 и 7 и вытекающие из них след-
следствия можно распространить на бесконечные прямые произ-
произведения.
II. Случай компактного метрического пространства X.
Пусть .^ — компактное метрическое пространство и F: &->2v.
Теорема I1). Отображение F является полунепрерывным
сверху тогда и только тогда, когда
@) (lim yn = y) =#(LsF(f/n) с F (//));
другими словами, F полунепрерывно сверху тогда и только
тогда, когда из соотношений
A) lim yn = y, \\mxn = x и xn?F(yn)
вытекает соотношение
B) хб F(y).
Эта теорема следует из теоремы 4 п. I, так как имплика-
импликация A)=ФB) означает, что множество D замкнуто.
') См. Уилсон [1, стр. 165].

70 Глава 4. Компактные пространство
Т о о р о \i ;i 2. Отображение F но.iунепрерывно снизу тогда
и только тог<)а, ко<'<)A
C) dim //„ = //) =ф (/• Ui)cU F (i/n)),
или, другими словами, тогда и только тогда, когда из соотно-
соотношении
(А) lim ;/„-=;/ // х 6 /•'(//)
вытекает сущсствоаание последовательности Х\, х-,, ..., такой,
что
E) lini х„ ^ х и л-,,^ /•"(//«)•
Док;: :i а тс.чьстио. Пусть М = Мс?-' ц ^ = Е [Z7 (//) <=М].
у
1. Предположим, что C) выполняется, и пусть lirnУп — Ц и
/¦'"(//„jcT/VJ; тогда tjn^_N и ij^N. Mo, согласно C), мы имеем
F(y)czU F(t/n)czM, откуда г/?Л/.
(^.чедонателыю, множество Л/ замкнуто, а это означает, что
отображение /; полунепрерывно снизу.
2. Далее, предположим, что соотношение C) неверно. Тогда
мы имеем
Уии !/„¦¦¦-у, х^/•"(//) и х0ЛР(уп).
Следовательно, существуют открытое множество G и после-
последовательность /,'[</.'.,< ..., тлкне, чт.) х ? О и G[\F(yk ) = 0.
Положим М ¦-.?¦' - A. 11ч утого следует, что ///, ? /V и //^Л/;
но-угому множество Л/ незамкнуто, а это означает, что отобра-
отображение F не является полунепрерывным снизу.
Замечание 1. Теоремы 1 и 2 .четко можно локализовать:
отображение /-' полунепрерывно сверху (соотв. снизу) в точке у
тогда п только тогда, когда выполняется высказывание @)
(соотв. C)).
Теорема 3. Отображение F полунепрерывно снизу тогда
и только тогда, когда множество
/„ •=-Е {р [*, /•'(//)]< л)
¦V, Ч
открыто дл.ч каждого ц>0.
Доказательство. I. Предположим, что отображение /;
полунепрерывно снизу. Пусть
(<)) (-V,f/)€A,. fiп 1 л-Л1 = А" и lim//„ = #.

§ 43. [loMincnpeptiieHncTii 71
Мы должны показать, что для достаточно большого и имеет
место включение (,vn, //,(N/„, т. е.
G) р[хп, /--(//„)] <Ц.
Из включения (х, ;/)?:/,, следует, что существует vhwiciit
x'?F(y), такой, что \х — х'\<ц. Так как отображение /¦' полу-
полунепрерывно снизу, то мы имеем х' — lim .v;' п л'('?/-'(//„)•
Следовательно, | х/— л: I < ti при достаточно больших », и
G) доказано.
2. Далее, предположим, что отображение /•' не является
полунепрерывным снизу в точке у. Тогда
х € /¦' (//) - I-i /;" (//,,) и // -= Пш //„.
11
Следовательно, существуют число t)>0 п иоследоиателыюст:.
к{ < 1г-> < .. ., такие, что
р\х, /•'(.'//.¦„)!> Л>«. откуда (х, ///,„)$/„.
Так как (х, г/N/п, то из этого следует, что множество /,, не
является открытым.
Теорема 4. /;>лн отображение Г полциеирерышю cuepxii,
то и отображение о ¦ F полунепрерывно сверху.
Доказательство. Пусть \\\\\ у„ -- у. Мы должны дока-
доказать, что
(8) Пш sup b\F ((,„)!< b\F (//)],
где 6(/1) обозначает диаметр множества /1 (заметим, что так
как пространство .?' компактно, то /•"(//„) и /•'(.'/) ограничены).
Допустим, что соотношение (8) неверно. Тогда можно пред-
предположить, что
(9) lim б [/•(//„)]>«[/•(//)].
Так клк множество /¦'(//„) компактно, то существуют (см. § 11, Vt,
е.чедетвне 2d)xn н л',, такие, что
С°) *„ 6/-'(.'О. ¦<, 6/•'(//) " A|/4.//,,)h4-V"-v:,|-
Выберем /i'i</i'<>< ... так, чтобы последовательности .vt n v'
сходились:
(II) lim а',. ~ .V и lim л,. --- х'.
Из соотношении A0) и (II) вытекает, что х н х' прштд/к'Жат
l.s/¦'(//„) и, следовательно, по теореме 1 принадлежат F (у).
1 Ьэтому | х — jc' | ^ 6 [F (у)\.

72 Глава 4. Компактные пространства
С другой стороны, на основании A1), A0) и (9)
х ~ х' | = I im | х„ - х'к | == I mi 6 [ F (yk J ] > 6 [F (у)},
и мы пришли к противоречию.
III. Разбиения компактных пространств. Напомним (см. § 19,
I), что если задано семейство D замкнутых непустых и непере-
непересекающихся подмножеств пространства Л\ объединение кото-
которых есть Л' (называемое разбиением пространства Л'), то то-
топология и D (называемая фактортопологией) определяется
с помощью следующего соглашения: множество AczD открыто
(в D) тогда и только тогда, когда S(A) открыто (в Л').
Отображение Р: Л" —>D, называемое проекцией, опреде-
определяется условием [D = Р (х)]з=(л: 6 /? 6^)-
Легко видеть, что отображение Р непрерывно.
Разбиение D называется полунепрерывным сверху (снизу),
если для всякого открытого (замкнутого) множества ВаЛ'
объединение всех D?D, содержащихся в В, открыто (замкнуто);
это эквивалентно условию, что Р — замкнутое (открытое) отоб-
отображение.
Добавим, что понятие полунепрерывности можно локализо-
локализовать (в D6A см. § 19, стр. 194).
Теорема 1. Если пространство Л* компактно, то разби-
разбиение D (в его фактортопологии) компактно.
Если, кроме того, разбиение D полунепрерывно сверху и Л'
есть ^^-пространство, то разбиение D тоже является JV«po-
странством (и, следовательно, D — нормальное пространство).
Доказательство. Компактность разбиения D следует
из непрерывности проекции Р: .?"—> D (по теореме 1 из § 41, III).
Если .V есть JVnpocTpaiiCTBO, то Л7 нормально (по теореме 3
из § 41, II). Следовательно, если разбиение D полунепрерывно
сверху, то D также нормально, ибо нормальность есть инва-
инвариант относительно полунепрерывных сверху разбиений (но
теореме 5 из § 19, II).
Замечание 1. Из теоремы 1 видно, что если D — полу-
полунепрерывное сверху разбиение компактного JVпространства,
то существуют компактное ^^-пространство У (а именно D) и
непрерывное отображение f: 3'—>У (а именно Р), такие, что
элементами разбиения D являются прообразы f(y) точек f/6'ЗЛ
Существует единственное (с точностью до гомеоморфизма)
пространство 2/, удовлетворяющее этому условию; это означает,

§ 43. Поя1/непрерывность 73
что если отображение f{: S->^x непрерывно и элементы раз-
-I
биения D совпадают с множествами f](//), где у^У\, то про-
пространство % гомеоморфно пространству "J/.
Именно, сложное отображение g = fi° f есть гомеоморфизм 4J
па У\ (ибо для Л = Лс12/ мы имеем g(A) = g(A) в 2/,).
Теорема 2. Пусть X и У — компактные ^^-пространства
и F: &-> 2х — полунепрерывное сверху отображение, такое, что
(i) F{y) OF (y') = О при у Фу'
и
(ii) -*'= U F(y).
Тогда соотношение (ii) определяет полунепрерывное сверху
разбиение пространства .Т.
Доказательство. Пусть множество Aa.V замкнуто.
Мы должны показать, что объединение U всех F(y), таких, что
А[] F{y)^0, замкнуто. Итак,
х 6 U = V [* 6 F (у)] [А П F (у)фО] = V [х 6 F (у)] \х> 6 f (//)] \к' 6 Л].
У У. X'
По теореме 1 из§ 18, III множества Е \x?F(i/)] и Е [v'6 ^ (//)]
замкнуты. Следовательно, в силу компактности пространств .К
н 'У множество U замкнуто (см. § 41, IV, следствие 1Ь).
Теорема 3. Если ,Т — компактное ^^-пространство и
/: Л''—> 2/ — непрерывное отображение на, то разбиение
х= U~i (у)
полунепрерывно сверху.
Это следует из теоремы 2 и теоремы 1 п. I.
IV. Разбиения компактных метрических пространств. В этом
пункте мы будем предполагать, что Л'— компактное метриче-
метрическое пространство.
Теорема 1. (Александров1).) Всякое полунепрерывное
сверху разбиение D пространства .Т (в своей фактортопологии)
гомеоморфно компактному метрическому пространству.
') См. Александров [41. По поводу проблем, связанных с метризуемостью
и паракомпактностью разбиения D, см. также Архангельский [1, 2].

['лит 1. Компактные iipncrpuiirnm
Доказательство. По теореме 1 п. Iff разбиение D
нвляегея ТУпрострппстиом.
Кроме того, D является непрерывным образом компактного
метрического нрострапетиа Л'. Следовательно, D компактно »
мстрпзуемо (по теореме 3 из § 41, VI).
Теорема 2. Каждое из следующих условий является не-
необходимым и достаточным для том, чпюы разбиение D про-
пространства .'/' было полунепрерывным сверху:
(i) и)Г\1МI1Ф0)^{\.ъПпа1)) {где П, nn?D),
(ii) се.in 11ослс()ов:1те.и,иост/> D\, D-i, ..., Dn, ... сходится,
го ее предел содержится в единственном элементе разбиения D.
До к а .ч а те л ь с т но. I. Предположим, тто разбиение D
полуиепрерыипо снерху. Тогда, согласно замечанию к теореме 3
п.ч и. Ill, eymecTiiyioT компактное (метрическое) пространство У
п пепрерынпое отображение /': ¦/'- у У, такие, что каждое D?D
i
имеет нпд /) •- / (//), у ? }J.
I |редпо'Ю'Кнм далее, что х ? A) П l-i Dn). Отсюда
х€ i (/у) П и У (.//„),
Т. е.
/ (.v) =- // и .V --• liin л'„, где / (х„) = ;/„.
По.чожпм
x'fj.s/),,, т.е. л-' = !1шл-;, , где / (хМ = //,..
Мы должны показать, что x'^D, т. е. что 1(х') = ц. Так как
отображение /' пепрерышю, то мы имеем
f (xr) - liin /(.v;j = Iiin //A.j( = lim / [xk^ = f(x) = //.
i
С..'1едона ic.-ibiio, x'(f(y), т. e. x'?D. Это завершает доказа-
тельстио.
2. Ясно, что (i)—>(ii).
.'5. Предположим, что выполняется условие (ii). Мы должны
показать, что разбиение D полунепрерывно сверху; это озна-
означает, что если множество /j с,?' замкнуто, то замкнутым
является и объединение всех D, таких, что D {] В =ф 0. Другими
словами, предположим, что
мы должны 1юкп:кггь, что D Г) В Ф 0.

Так как пространство 2х' компактно, то можно считать, что
последовательность Ль О-,, ... сходится: liin Л„ - •/.. По пред-
предположению 1. содержится в единственном лк'мспте простран-
пространства D. Более того, L (] Вф 0, так как семейство всех ;лечеп-
тов пространства 2г', имеющих общие точки с В, замкнуто (по
теореме 1 из § 17, II) н, следовательно,
(Л„ П И Ф 0) =?• (/- П « Ф 0)•=>(/) П Я -А 0).
Теорема 3. Дли того чтобы разбиение D пространства .?'
было полунепрерывным снизу, необходимо и достаточна сле-
следующее условие:
(iii) (Л П Li 1)п ф- 0) =>(Л cz Li Л„) {где Л, Л„ ? D).
Доказательство. I. Необходимость. Пусть I) (]1Л 1)„ф-0.
Тогда
B) a- f D, .v-lini.v,, н xnf/),,.
Пусть х'?Л. Мы должны показать, что л''?1лЛ„, в пред-
предположении, что разбиение D полунепрерывно спичу; что о ша-
чает, что, каково бы ни было открытое множество С/, содержа-
содержащее к', мы имеем Dnf\ (i ф 0 для и > //,,.
Теперь обозначим через t/ объединение всех //?/), таких,
что Л' П (j Ф 0. Так как D полунепрерывно снизу, то // открыто.
Так как х'? Л ГК'\ то мы имеем I) cz U, и, согласно (Г>), суще-
существует такое /;„, что /)nf]U фО для //>//„. Из что го следует,
что Dncr.U (так как элементы разбиения /> не пересекаются).
По что означает, что Dn П О Ф 0.
2. Достаточность. Предположим, что D не является полу-
полунепрерывным снизу. Это означает, что существует открытое
множество (i, такое, что объединение (/ всех таких 1)(~О, для
которых Л П О Ф 0, не является открытым.
Следовательно, существуют такие х и Л, что
C) а- 6 Л с: U, х - I ini х„ и а-„ (? У.
Обозначим через Л„ такой элемент D, что .\'„(;Л„. Следо-
Следовательно, Л„ П 0'= 0. Так как f) cz U, то мы имеем Л f| ^ "^ 0;
положим АО6ЛП('- Поскольку .\"(i€Cj, тогда как Л„ Г) (;¦-(), Т()
мы имеем А'„^1лЛ„, н поэтому DgtlAl),,.
С другой стороны, А"?/) (~|Li Л„ (согласно (())). С.медовате.чьно,
импликация (iii) пе выполняется.
V. Непрерывные разбиения компактных пространств. На-
Напомним, что разбиение D произвольного ¦топологического

76 Глава 4. Компактные пространства
пространства ,'/' называется непрерывным, если оно полунепре-
полунепрерывно одновременно сверху и снизу (см. § 19, стр. 194).
Из этого определения следует, что D — непрерывное разбие-
разбиение тогда к только тогда, когда проекция Р: .Т —> D есть ото-
отображение, одновременно замкнутое и открытое.
Теорема I. Пусть .?' — компактное ^^-пространство и
/: .?"—> :У — непрерывное отображение на. Разбиение D про-
пространства .7' на прообразы отдельных точек пространства '&
непрерывно тогда и только тогда, когда отображение f открыто.
Доказательство. 1. Предположим, что разбиение D не-
непрерывно. Тогда отображение/: &—>2х непрерывно (здесь топо-
топологии в D н в 2V совпадают, см. § 19, стр. 196) и, согласно
теореме 5 из § 18, III, отображение f открыто.
2. Предположим, что отображение /' открыто. Пусть G cz .7' —
произвольное открытое множество; обозначим через U объедн-
-1 -I
некие всех / (//), таких, что / (;/) П О ф 0. Очевидно, U = /""' /(С),
н так как f (G) открыто, а / непрерывно, то из этого следует,
что множество U открыто. Это означает, что D полунепрерывно
снизу. По теореме 3 п. Ill D также полунепрерывно сверху,
следовательно, разбиение D непрерывно.
Замечание. В п. VII мы покажем, что всякое полунепре-
полунепрерывное разбиение компактного метрического пространства со-
содержит элементы непрерывности.
Следующая теорема будет использована ниже (в § 46, VI):
Теорема 2'). Пусть 3' — компактное метрическое про-
пространство и /: Л'—> У — непрерывное отображение на. Бели все
-I
множества f (//) счетны (или, более общо, содержат изолиро-
изолированные точки), то существует последовательность замкнутых
множеств F\, F2, ..., такая, что
@ U HFn)~'->J и 1\Рп ест<> гомеоморфизм при п=\, 2
п «I
Д о к а з а т е л ь с т в о. Мам достаточно определить последо-
последовательность /^-множеств А\, Аъ ..., такую, что
B) U
I
') Ср. Александрой [10, стр. 283].

§ 43. Полцнепрерывность 77
п сужения / | Л,„ взаимно однозначны, так как если мы положим
Лн = U Л'в> гЛе Alm замкнуты,
то требуемая последовательность /•",, F2, ..., Fn% ... получается
и результате расположения двойной последовательности {Л1т}
и простую последовательность.
Далее, пусть Rlt R2, ...—счетная открытая база простран-
пространства .Т; положим
C) Л„ = ЕУклПШ = (*)!.
Так как множество Е [Rm П F = (х)], согласно лемме из § 42, III,
является ^„-множеством (в пространстве ,Т X 2Г), то таким
г -1
является и множество Е I Rm П /(.'/) = (х) (в пространстве Х'У.У),
х.„
поскольку отображение / открыто, и поэтому / непрерывно (иа
основании следствия 2 из § 13, XIV). Проекция этого множе-
множества на .Т-ось есть множество Л,„ (по формуле C)), и поэтому
А,„ также есть ^„-множество (согласно следствию 1а из § 41, IV).
Для доказательства утверждения A) возьмем //6 2/. По пред-
1
положению множество f (у) содержит изолированную точку,
скажем х. Следовательно, существует такое ш, что
Rm П f (.'/) = (х), когда х 6 Ащ и У 6 / (Лт).
Наконец, докажем, что отображение f\Am взаимно однозначно.
Пусть х?Ат, х'?Ат и f(x) = f(x'). По определению Ат суще-
существуют у и //, такие, что
D) tf,Bn}'(.v) = W и Rmf) 1 (у') = (*')•
Поэтому y=*f(x) и у' = /(^/). а так как /(л;) = /(л;/). т0 и .(/ = //'•
Заменим //' па ?/ во втором из равенств D). Мы увидим, что
х — х', и тем самым доказательство будет завершено.
VI. Примеры. Отождествление точек.
1. Пусть .?* обозначает га-мерный шар и D — его разбиение,
один элемент которого — граница е$°„_, шара .?", а другие эле-
элементы—одноточечные множества (х), где х^-Т — &1 п^\. Тогда
разбиение D полунепрерывно сверху и гомеоморфно сфере ?РП
(и этом случае мы говорим, что точки сферы <^„_| отожде-
отождествлены).

78 Г.шеи 4. Компакты? пространства
2. Пусть .7' -- г>5"„; отождествим пары диаметрально проти-
противоположных точек. Тогда разбиение D гомсоморфно п-мерному
проективном// пространству. При этом D — непрерывное разбие-
разбиение С(|)С|)Ы рУ„.
3. Положим .T—ff'2. Отождествим диаметрально противо-
противоположные точки вертикальных сторон квадрата .Т. Получае-
мое таким образом разбиение пространства ,'/'-' есть .liter Мё-
Мёбиуса.
Отождествляя течки вертикальных сторон, имеющие одну
и ту же ординату, мы получаем цилиндрическую поверхноегь.
Если мы, кроме того, отождествим точки горизонтальных
сторон, имеющие одну и ту же абсциссу, то получим поверх-
поверхность тора.
4. Всякое (непустое) компактное метрическое пространство :'J
можно рассматривать как полунепрерывное сверху разбиение
канторова дисконтинуума (<j .
В самом деле, согласно следствию 21) из § 41, VI, про-
пространство ':'/ есть непрерывный образ \f и, следовательно, го-
мсоморфно ра.чбнепшо пространства & на прообразы отдельных
точек пространства :'/.
VII. Связь полунепрерывных отображений с отображе-
отображениями класса 1.
Теорема 1. Пели .9' ~ компактное метрическое простран-
пространство, то всякое полунепрерывное отображение !•': :!/—>2-1' есть
(Н-измсримое) отображение класса 1 (т. е. прообразы открытых
множеств есть F'„-множества).
Доказательство. Так как .?'— компактное метрическое
пространство, то этими своГк-твами обладает и пространство 2V;
следовательно, 2е имеет счетную открытую базу. Так как сово-
совокупность множеств вида Е(Л* ^ (') ил» вида Е(/\ П (> Ф 0) (где
к к
множество Ост.?' открыто) есть иредбаза пространства 2Г (см.
§ 42, I), то достаточно доказать, что прообразы множеств, при-
принадлежащих этой предбазе, являются /^-множествами (ср. § 3t, II,
теорема 1). Другими словами, мы должны доказать, что и пред-
предположении полунепрерьшпоети отображения /•' каждое из мно-
множеств
(i) E[F{,,)czG],
(if) Е[Пц)П(> Ф0]
и
есть Fo-множество.

§ -13. Пп.и/ш'п/и'рыпнпгть 79
В нашем доказательстве мы воспользуемся следующим
представлением множества О (ср. § 41, II, следствие 4):
(I) О --= К i U К ^ U ..., где Кн замкнуто н Д'„ с: Int (/<„ + 1).
Спач 1ла предположим, что F полунепрерывно сверху. Тогда
по определению множество (i) открыто и, следовательно,
я или стен /""„-множеством.
Кроме того, из (!) следует, что
Е | /• (//) п а ф о] = и Е [г (//) п к а Ф 0],
ц и I у
п так как Е (/' (//) П Д'„ Ф 0] замкнуто, то (ii) есть /^-множество.
it
Далее, предположим, что отображение F полунепрерывно
снизу. Тогда множество (ii) открыто по определению. Кроме
того, если /•'(//) сп Г/1, то в силу формулы (I) и компактности /•'(//)
сущестнует такое //, что /•'(//) cz }\n. Следовательно,
Е [/•'(//) с «]= и Е [/•(.»/) с /<„\,
II n I U
\\ так как множество Е (/'(//) с;/\,;| открыто, то (i) есть Avmiio-
//
жестио.
Следствие I. Пусть У — метрическое, а .'(' — компактное
метрическое пространство. Если отображение F: H/—>2V полу-
полунепрерывно, то множество точек разрыва отоиралсен/ш F есть
множество первой категории.
Следовательно, если пространство У полно, то множество
точек непрерывности отображения F, т. е. множество точек у,
таких, что (ср. замечание 1 и. II)
(lim //„ = //) 4> (Lim /; (//„) = /- (у)),
всюду плотно в У.
Доказательство. Первая часть следствия вытекает из
теоремы 1 §31, X, утверждающей, что множество точек раз-
разрыва функции класса I есть множество первой категории. Вто-
Вторая часть вытекает из известной теоремы Ьмра, утверждаю-
утверждающей, что в полном пространстве дополнение множества первой
категории всюду плотно (см. § 34, IV).
Замечание. Следствие I может быть доказано при более
оГмцих предположениях, именно: ^ — топологическое простран-
пространство, Л' — метрическое пространство и F (у) компактно для ка-
каждого у?'У (ем. Форт [1]).

80 Г лай а 4. Компактные нространстна
Следствие 21). Пусть, как в теореме 3 п. I, D —замк-
—замкнутое подмножество произведения Я' X У {где .?¦' — компактное,
а 2/ — метрическое пространство) и Г {у)— его горизонтальное
сечение, т. е.
B)
Тогда если Р — борелевское подмножество пространства 2Г,
то множество В = Е [F{y)?P] ecTI> борелевское подмножество
и
пространства 2/.
Доказательство. Так как /'" — полунепрерывное сверху
отображение (по теореме 3 п. I), то /; есть отображение класса 1
и, следовательно, множество F~l (Р) — В есть борелевское мно-
множество.
Следствие З2). Семейство Р\ замкнутых счетных мно-
множеств и семейство Р, замкнутых множеств, не содержащих
иррациональных чисел, не являются борелевскими множествами
пространства 21/.
Доказательство. Пусть Л — аналитическое неборелев-
ское подмножество пространства Я (ср. § 38, VI). Определим
замкнутое подмножество D пространства 82 так, чтобы из B)
следовало
C) Е [F (У) 6 Я,] = f/ - А = Е [/; (//) 6 Я21.
Это соотношение завершит доказательство, так как из след-
следствия 2 будет вытекать, что множества Р\ и Р2 не являются
бореленскими.
Пусть /: q/V-> А — непрерывное отображение на, такое, что
оно принимает каждое свое значение несчетное число раз
(ср. § 39, VII, замечание 1; заметим, что последнее предполо-
предположение относительно f при доказательстве того, что множе-
множество Р2 не является борелевским, можно опустить). Положим
D = Е [у = /(*)], где х 6 Я и //6 Я.
х, и
Так как / непрерывно, то множество EL'/ = /4*)] замкнуто
в о/Г X Я, т. е.
х, Ч
') См. Куратопскип и Марчснский A, стр. 1Ь0).
5) См. Гуревич [¦1].

'13. Пплциспрсрывнпсть 81
Таким образом, соотношения х ? <?У и (х, i/)?D дают y — f(x),
откуда //б Л. Другими словами, если ;/(;// —Л, то из включе-
включения (х, //)?/) следует включение х^в — еЖ*, т. е. F{y)cz
ci сс/ — о/У\ и поэтому F (у) ? /V
Обратно, если //?/1, то множество /(;/) несчетно, а потому
несчетно множество /•"(//), так как f(y)czF(y). Следовательно,
Это завершает доказательство соотношения C) (так как
Р, с: Л).
Следствие 41). Всякое полунепрерывное сверху разбие-
разбиение D компактного метрического пространства .%' содержит эле-
элементы непрерывности.
Более точно, семейство всех элементов непрерывности есть
всюду плотное Gh-множество в D (в его фактортопологии).
Доказательство. Согласно замечанию из п. III, суще-
существует непрерывное отображение /: Л'—>У, такое, что элементы
рассматриваемого разбиения совпадают с множествами f(y),
где y??J (здесь У можно отождествить с D). Так как отобра-
-1
жепис /: "У->2ъ полунепрерывно сверху (ср. § 19, IV, тео-
теорема 2), то остальная часть доказательства вытекает из след-
следствия 1.
VIII. Примеры отображений класса 2, не являющихся ото-
отображениями класса 1.
I. Граница (т. е. отображение F, определяемое условием
/.'(/() = /( f] .Г - К для /( 6 2») есть отображение 2* в 2* класса 2
(предполагается, что .2' —компактное метрическое пространство).
Отображение F есть композиция двух полунепрерывных
отображении: отображения пересечения и отображения замы-
замыкания дополнении (по теореме I из § 18, V и следствию из
§ 18, VI), т. е. композиция двух отображений класса 1 (со-
(согласно теореме 1 п. VII) и, следовательно, есть отображение
класса 2 (по теореме 1 из § 31, III).
Кроме того, граница может и не быть отображением класса 1.
Например, в случае, когда ,Т есть канторов дисконтинуум,
легко видеть2), что F разрывно в каждой точке @)
') См. Куратопекцл [13, стр 176, теорема VII]. Ср. также Хилл [1].
2) См. Куратовскин [26, стр. 15G].
6 Зак. 1яо

82 Г лапа •/. Компактные прпстранстпа
2. Производная множества 1\ (т. с. множество всех точек
накопления множества 1\) есть отображение класса 2'). Кроме
того, если .?'-=#, то это отображение разрывно в каждой
точке К ~?-~~ 0, так как всякое конечное множество имеет пустую
производную, по (если оно непусто) является пределом бес-
бесконечных множеств, т. с. множеств, имеющих непустые произ-
производные; аналогично, всякое бесконечное множество есть предел
конечных множеств.
Предыдущие примеры показывают, что среди многозначных
отображении (в отличие от действительных функции действи-
действительного переменного) очень простые и важные отображения
не являются пи непрерывными, ни даже класса I.
Добавим, что л силу следствии 3 п. VII характеристические
функции, определенные па 2:/ для семейства счетных замкну-
замкнутых подмножеств пространства ,'/, не являются Н-измерпмыми.
IX. Замечания о селекторах. Пусть задано многозначное
отображение /•': У->2Т, где /•'(//) ?= 0 для каждого i/^'У; ото-
отображение / '. У - > ,Т называется селектором отображения /'", если
/(//) 6 /''(//) Д-1'» каждого //?:'/.
Можно показать2), что если 'У — метрическое пространство,
,7' — полное, сепирибелыюе пространство и F ' — полунепрерывное
отображение, то существует селектор класса 1.
Это утверждение вытекает из следующей общей теоремы:
Пусть L — алгебра под множеств пространства У (т. е. если
А и В — элементы L, то Л[] В, Л Л И и У—Л—также элементы L).
Обозначим через La счетно-аддитивное семейство, порождаемое L
(т. е. семейство всех счетных объединений элементов L). Пред-
Предположим, далее, что .Т — полное сенирабельное пространство
и F: "У -> 2х — такое отображение, что 1Цу)Ф0 для каждого
у€У и
Е [/; (//) П G Ф 0] 6 La,
и
каково бы ни было открытое множество G сг ,77.
Тогда существует селектор f: У->.%', такой, что
f~ {G)?.Lu, каково бы ни было открытое множество Ocz,77.
Эту теорему можно применить к Я-измернмым отображе-
отображениям, к измеримым (по Лебегу) функциям, к отображениям
со свойством Бэра и т. д. (см. замечание ниже). Среди разно-
разнообразных приложении этой теоремы отметим следующее утвер-
утверждение:
') См. Куратонскпй [2(i, стр. 157|.
г) См. KyparoucKiiii и Рылль-Нардяевскнн [1].

43. II плцнепрсрынность 83
Л ля всякого полного ее царапанного пространства .?' сцще-
сгвусг функция выбора f: \'2Х — @)| —>.'I' класса 1, т. е. /(Л)? Л
Оля всякого О -ф Л —- Л cz.?'; f можно считать непрерывной,
если (liin,?" = 0.
Элементарное рассуждение показывает, что для .Т == Г'У- не-
непрерывной функции выбора не существует (конечно, для .?' = ,с/
сущестиуст непрерывная функция выбора)').
Замечание. Напомним, что отображение /: У - > .?' назы-
называется В-измеримым класса а<12, если / ~ (G) есть борелевское
мпожестно аддптннного класс?! а для псяког» оперьггого мно-
множества Gcz.T, или, -жииналеитно, если / (К) ости множество
мультипликативного класса а для всякого замкнутого множе-
множества К <=.?".
Обобщение понятии полупепрерывностн сверху и снизу при-
приводит к следующим определениям:
Отображение F: "J/-¦¦>2Х будем называть отображением,
класса и" , еоотиетственпо класса а_, если множество
Е {/• (и) с о)
и
есть множество аддитивного класса а дли открытого G, соот-
соответственно множество
сч%т1> множество мультипликативного класса а для замкнутого /(.
Следующее утперждепие, касающееся Л-измерпмости селек-
селекторов, вытекает пз тоореми, сформулированной выше.
Пусть пространство & метрическое, а пространство -Т пол-
нос сснарабсльное. Если /•": 'У—> 2х — отображение класса <х_
(г()е а > 0) и F (//) ф 0, то существует В-измеримып селектор
/: .''/->.Г, /(//)?/' (//), класса а.
Наконец, нашу теорему можно применить к отображениям,
измеримым в следующем смысле. Пусть L — счетпо-аддптивное
(следовательно, счетпо-мультпнлпкативиое) по.че подмножеств 'У
(например, поле измеримых по Лебегу подмножеств интервала).
Отображение /: У—'>Я" (где .?/ —топологическое пространство)
называется L-измеримым, если
, каково бы ни было открытое множество Сс,?'.
') Различные условия, к.! которых нитскает cymi'd'uoiiaiiiif попрормн-
iioro ce.iei<Topa, см. и работе MaiiK.ia Э. [8]. Ср. также, дли бппахоны.ч иро-
сграистн Лнпдсиштраус [I]. По чтим вопросам см. также Дай и Куратои-
гкпй [1J и Майкл Э. [4, стр. 374].
6*

84 Глава 4. Компактные пространства
Конечно, отображение F: У->2Т является L-пзмернмым,
если множества
Е{Г(у)Г\ОФ0} и Е
ч у
принадлежат L для любого открытого в X множества G и
замкнутого в X множества /\.
Отсюда вытекает следующее утверждение:
Если X — полное сепарабельное пространство, F: y~>2v
есть L-измсримое отображение и F (у) -Ф О, то существует
L-uaмеримый селектор /: "У-+Х, /(//) ? F (//).
§ 44. Пространство Ух
I. Компактно-открытая топология пространства Уг'. Пусть
X и ^ — произвольные топологические пространства. В про-
пространстве &v введем топологию, называемую естественной, или
компактно-открытой, следующим образом.
Определение1). Для С а X и // с: У положим
A) Г(С, H) = E[f(C)<=H], гдс/6.^г.
Компактно-открытая топология пространства ?JV определяется
соглашением, что совокупность множеств Г (С, Н), где С ком-
компактно и II открыто, образует открытую предбазу простран-
пространства yv.
Теорема 1. Если множество Fez У замкнуто, то множе-
множество Г (С, F) для любого С cz X также замкнуто {в Ут).
Доказательство. Ясно, что
/6Г(С, F)^{f{x)?F для каждого х?С}^
— {f€^[(x)< f'"\ Для каждого х?С}.
Следовательно,
2/г'-Г(С, F)-U Г[(Х), У-F].
Так как (л:) компактно и У — F открыто, то Г [(.г), У — F\
открыто (по определению), а потому открыто н &с — У (С, /•").
Теорема 2. Если пространство "У регулярно, то простран-
пространство У* также регулярно2).
') Это определение принадлежит Фоксу [1]. См. также Лрснс [1] и
Кел.'ш [I].
*) По ноиоду вполне регулярности см. н. III, теорема 5.

§ 44. Пространство Ух 85
Доказательство. ПустЕэ /?Г(С, //), где С компактно
п // открыто. Определим открытое множество G в простран-
пространстве У, такое, что
B) /€r(C,G) и Г (С, О)сГ(С, Я).
Так как f(C)cr//, то в силу регулярности пространства 2/
отсюда следует, что для каждого х ? С существует открытое
множество G х, такое, что
C) f{x)?Gx и Gxc=H.
Так как множество /(С) компактно, то его покрытие [G х)
содержит конечное подпокрытие GX[, •••, GXn. Положим
G = GX{ U ... U Gxn- Тогда, согласно C),
D) f(C)<=G и G = GXlU ••• \)бХпс=Н.
Первое из соотношений D) дает первое из соотношений B),
а, согласно второму, Г (С, С)сГ(С, И); так как У (С, G) замк-
замкнуто (по теореме 1), мы получаем второе соотношение B):
Г(С, О)сГ(С, С) = Г(С, G)<=V(C, H).
Из B) мы легко выводим, что пространство /v регулярно1).
Замечание 1. Можно также доказать, что
(а) семи °3 есть ^^-пространство, то °J/V тоже J-npocTpaH-
ство2);
(Р) если Л' и У — сепарабельные метрические пространства,
то пространство Ух нормально (« даже наследственно нор-
нормально).
В действительности можно доказать при тех же предполо-
предположениях, что пространство Лх наследственно является простран-
пространством Лнпделёфа и наследственно сенарабельио3).
По регулярное пространство Липделёфа (т. е. пространство,
в котором каждое покрытие содержит счетное подпокрытие;
см. § 5, VII, стр. 56) является нормальным (см. § 14, II, теорема I);
кроме того, если пространство У метрическое (следовательно,
регулярное), то пространство СУХ регулярное (по теореме 2) и
регулярность наследственна (см. § 5, X, стр. 58).
Замечание 2. Интересно отметить, что пространство "У17
может и не быть нормальным, даже если пространство У ком-
компактно4).
') См., например, Эпгелькинг [Я, гл. I, § 5, теоремп 3].
2) См. Келли [I].
3) См. Майкл Э. [7, стр. 921]. Ср. Руднн и Кли II].
4) См. Стоун Л. [3]. Случай, когда пространство У паракомнактн j, см.
Фойделл [1].

86 Глава 4. Компактные пространства
Замечание 3. Пусть X, 2/ и ? — топологические про-
пространства и отображение g: '&¦>% непрерывно. Положим
V(/) = # 7 Д-чя любого / ? Ух. Тогда отображение у: 1УС~>%Х
непрерывно.
Это утверждение есть следствие соотношения \~'(Г(С, //)) —
= 1'(С, g~l(H)), которое само следует из соотношения [#/'(С)сг//] =
= U (С) cz ft-'(//)] для любого /?#«.
II. Совместная непрерывность и связанные с ней проблемы.
В п. II —IV мы будем предполагать, что пространство :'Jr имеет
компактно-открытую топологию.
Теорем а I. Пусть задано [: Л' -> У; положим w ([, х) — / (.v).
Если .%' — компактное ^^-пространство, a :'J — произвольное про-
пространство, то отображение хю: Ух X .?" -> & непрерывно.
Бо.чес того, компактно-открытая топология является слабей-
слабейшей топологией пространства аУх, в которой w непрерывно.
Доказательство. Пусть множество //сг 2/ открыто. Мы
должны показать, что множество
открыто в Ух X ЗГ, или, другими словами, для каждого /о(-^
существует множество Q, открытое » Ух X А', такое, что
A) (А>
и
B) Qczw-ЧИ), т.е. [(/, х) 6 Q]=M/U) 6 Щ.
Так как /0 непрерывно и пространство Л' регулярно (ср. § 41,
II, теорема 3), то существует открытое множество G в ,Т, такое,
что
*o€G и fo(G)(=H, т. е. Л,6Г(О, Я).
Положим
C) Q = r(G, //)X G.
Из этого следует, что Q открыто в '&* X X и включение A)
выполняется.
Соотношение B) также верно, поскольку включение (/, .v)?Q
означает (согласно C)), что /(G')cr// и x^U, следовательно,
f(x)?lf. Это завершает доказательство первой части теоремы.
Для доказательства второй части предположим, что J — то-
топология пространства Ух, в которо/i отображение w непре-
непрерывно. Мы должны показать, что любое множество G, открытое

44. Пространство СУ'1' Я7
п компактно-открытой топологии пространства Уг, открыто в то-
топологии </. Очевидно, можно предположить, что G принадлежит
нредблзе пространства У?, рассмотренной в п. I; таким образом,
положим (} — У(С, //), где множество Ccf компактно, а мно-
множество // сг У открыто.
Пусть /?Г(С, //), т. с. f(C)czfI. Для данного х?С суще-
существуют (в силу иепрерытюстн w) два открытых множества Vх
в пространстве .Т н Wx в пространстве У10 (относительно (/-то-
(/-топологии), таких, что
•V 6 Vx, К Wx и w (Г, х') 6 // для всех х' ? Vx и Г 6 Wх.
Так как множество С компактно, то покрытие {Vл) содержит
конечное покрытие VX[, . . . , Vхп множества С. Положим W =
= Wx П • • • П Wx, ¦ Очевидно, множество W открыто в простран-
пространстве Ус (относительно ./-топологии) и f?W.
Кроме того, WczV{C, 11). Действительно, предположим, что
j'?W и х'?С. Тогда существует такое /е</г, что x'?Vxk; так
как /'6 WXl,, то из утого следует, что w(f, x')?H, т. е. /'(*')€ //.
Таким образом, V(С) сг//, т. е. Г6Г(С, Я).
Теорему I можно обобщить следующим образом:
Теорема 2'). Пасть f и .Т — такие, же, как в теореме I,
а '& — некоторое </2-пространство. Пасть F (f, K) = f (К)- Тогда,
отображение F: УХУ^2Х->2У непрерывно.
Доказательство. Пусть заданы /о6^г " /(о62г. Пусть
множество !Vc2" открыто и Ы^о) 6 W. Мы должны опреде-
определить два открытых подмножества V пространства Ут н U про-
пространства 2х, таких, что
D) h€V, Kt>eU и f{K)€W для всех f 6 V и K?U.
Очевидно, можно считать, что W принадлежит открытой
предбазе пространства 2?/. Следовательно, можно предполо-
предположить, что либо
(О W=E(S<=G),
в
либо
(ii) ХУ=Е(В[H)ФО,
где множество G сг X открыто.
') Для метрических пространств теоремы 2 — 6 были доказгшы по фран-
французском издании эт(я1 книги (более простым способом); см. гл. IV, н. VI и VII
(см. также замечание Чассара, там же, стр. 502). Приведенными здесь фор-
формулировками этих теорем я обязан проф. Энгелькингу.

88 Глава 4. Компактные1 прпстранстаа
Сначала рассмотрим случаи (i). Тогда /o(/C,,)c:G, т. с. для
каждого х?Ко мы имеем /0(.v)?G. Так как отображение w
непрерывно (по теореме I), то существуют открытое множество
V ха"Ух и открытое множество Hxcz.t', такие, что
E) foeVx, х?Нх и f{xf)?G для всех / ? V, и х' ? //.,.
Таккак {Нх} — открытое покрытне(компакгпого) множества Ко,
то существует конечное подмножество х\, ..., х^ множества Ко,
такое, что КосНх U ... [)НХ.. Положим
(б) v = vXfn ... ovXk и и = Е(к<=нхи ... инч).
к
Первое и второе из соотношении D) непосредственно следуют
из F) и первой части соотношения E). /Для доказательства
последнего соотношения D) положим / ? V и K?.U. Тогда, со-
согласно F),
G) feVXl(] ... f]V4 и /tc/^,11 ... U//v
Пусть х' 6 К', тогда существует такое /, что х'?Нх., и так как
f^VX/, то, согласно последней из формул E), мы имеем
f(x')?G. Таким образом, f(K)c:G и Д/(N W, согласно (i).
Далее рассмотрим случай (ii). Так как /0(Ко) 6 W, то
ЫЛл))П G ^ 0; следовательно, существует х0?Ко, такое, что
/о(*о)€ G. Так как отображение w непрерывно (по теореме 1),
то существуют открытые множества V сг "У^ и На Я', такие,
что
(8) /обК, Хо?Н и /(jcNG для всех f ^ 1/ и дг 6 ^/-
Положим (/ = Е(/СП Н Ф 0). Очевидно, множество U от-
к
крыто в пространстве 2Г, и, так как Ха? КоГ\Н, мы имеем
Kn?U- Следовательно, первые два из соотношений D) верпы.
Чтобы доказать последнее, предположим, что f?V и KdU,
т. е. КПНФО. Пусть х?К(]Н- Тогда, согласно (8), f(.t)GG,
и, следовательно, f(K)QG Ф 0; это означает (согласно (ii)), что
f(?W
Замечание. В теореме 2 (так же как и в теореме 1)
предположение компактности пространства .Т не может быть
опущено (ср. Арене [1]). Однако его можно заменить предпо-
предположением локальной компактности.
Следствие. Пусть задано отображение /: .?'X ?/—> 2;
положим
у{f, К, L) =

§ 44. Пространство СУХ 89
Если .Т и У — компактные jVflространства, % — произвольное
^-пространство, то отображение у: ZxxV X 2Г X 2W ->22 не-
прерывно.
В частности, отображение ц: 2х ХУ —> 2г, определяемое ра-
равенством
г х
непрерывно {при фиксированном /).
Доказательство. Положим
iKf, M) = f(M) для /6S
п
а{К, L) = KXL при К?2Г и /^ 2У.
Тогда y является составным отображением:
Y(f, ^, L) = $\J, a(K, L)].
Так как отображение \\> непрерывно (по теореме 2) и отображе-
отображение а непрерывно (согласно следствию 2 из § 43, I), то непре-
непрерывно и отображение у.
Теорема 3. Пусть .Т — компактное ^г-прост ранет во не-
непроизвольное ^^-пространство. Тогда множество
Ф= Е Lv = fU)]
I. ".I/
замкнуто в пространстве Ух X Ж X 2Л
Доказательство. Покажем, что дополнение множе-
множества Ф открыто. Пусть (/о, х0, //о) принадлежит этому допол-
дополнению, т. е. fo(xo) ф //о- Так как 2/ есть ^"Пространство, то
в & существуют открытые множества U и V, такие, что
Так как отображение /0 непрерывно, а пространство .Т ре-
регулярно, то существует открытое множество Gcr.T, такое, что
,Vn?G и fa(G)dU. Для завершения доказательства достаточно
показать, что
(Ю) (/,„ х0, //ОNГ(С, U)XGXV,
т. е.
fo(G)<=U, xoeG, //об К,
A1) [Г(О, f/)X G X

90 Глава 4. Компактные пространства
Т. С.
{(/(G)c=U)(x?G) (// 6 V)} =# [/(л-) Ф ,,].
Остается доказать только соотношение (II). Пели x?G
и J((j)czU, то f(x)?U, откуда, согласно (9), f(x)(fcV, тогда
как y?V. Таким образом, \{х)фу.
При тех же предположениях относительно пространств .Т
и У справедливы такие следствия:
Следствие 4. Множество Е[Д-2") = У] замкнуто в прост-
f
pa нет ее "У^.
В самом деле, Е [/(•«") = У\ = П Е V [//= /(.«)].
/' // f «
Следствие 5. Если F — F, то множество E.U (x)(z F]
i.x
замкнуто в пространстве Ух X .2".
В самом деле, E.[f(x)?F] = w~l(F), где да (/, ,г) = /(лг); так
!,х
как ьу непрерывно (по теореме 1), то это завершает доказа-
доказательство.
Следствие 6. Пусть множество G открыто, а множе-
множество F замкнуто (в Л'). Тогда множества
Е [М//) с G] и Е [Г1 (/')<= С]
открыты соответственно в пространствах i!/v X -У и 'У1.
Первая часть этого следствия вытекает пз соотношения
эквивалентности
[/'{у)ф О] ^ V{[у = 1(х)](х?.Г- G)},
х
так как множество точек (/, х, у), удовлетворяющих условию
в фигурных скобках, замкнуто (по теореме 3, ср. также с тео-
теоремой 1 § 41, IX).
Диалогично, вторая часть (на основании следствия 5) выте-
вытекает из соотношения эквивалентности
[/-¦ (/•') ф G] ^ V {[/ (.V) 6 П (х?.Г- (})}.
к
Замечание. Большую часть теорем этого раздела, сфор-
сформулированных для компактных пространств, можно распростра-
распространить на локально компактные пространства.

.$ 44. Пространства ^ 91
III. Операция сужения. Обратные спектры. Пусть /?2/г.
Обозначим через рс операцию сужения: рс(/) = /1С для дан-
данного Ссг.Т; таким образом, рс: &т->&'¦'.
Теорема 1. Если множество С компактно, то операция
сужения рс непрерывна.
/Доказательство. Мы должны показать, что если мно-
жестпо Ф С&(: открыто, то множество рг:'(Ф) открыто и про-
пространстве Ух. Очевидно, можно предположить, что Ф имеет
вид Ф = 1'(С|, //), где
A) Г (С,, П) = Е[8{Сд<=Н], $?УС,
к
а множество С\ с С компактно. Поэтому
т. с.
р-1(Ф)='1(С„ Я).
Это завершает доказательство.
Положим, как раньше, /|С = рс(/), и для Ф с: У* пусть
Ф|С = рс(Ф), т.е. Ф\С есть множество всех элементов g^yc
вида ?¦-=/! С, где 1?Ф.
Теорема 2. Следующее соотношение эквивалентности
верно для любого множества Фа'&х:
B) (/?ф)== [(/| СNФ| С <Эу7я любого компактного СсГ].
Доказательство. Импликация слева направо есть пря-
прямое следствие теоремы 1.
Для доказательства обратной импликации допустим, что
/(|(?ф. Мы должны определить компактное множество Сс J,
такое, что
C)- и\с$Ф\с.
По предположению существуют две конечные системы
С и .. . , Сп и //) /¦/„ (соответственно компактных и откры-
открытых множеств), такие, что
D) /о 61' (Сь //,) П ... П Г (Ся, Яп) с^-Ф.

92 Глава 4. Компактные пространства
Положим С = С, U • • • U Сп и напишем для сокращения #о = /о1 С
Для доказательства соотношения C) достаточно, очевидно, по-
показать, что
E) go 6 Г (С,, Я,)П...ПГ(С„, Н,г)аУ<:-(Ф\С).
Так как С,-с: С, то мы имеем #0(С,) = /о(СД а Т-'1К как (со-
(согласно D)) /о?Г(С;, Я,-), то из этого следует, что йп(С/) с= /У,-,
откуда go6I"(Q. Я,).
С другой стороны, если #6Ф|С, то tf = /I С Для некоторого
/6Ф, а из этого следует, согласно D), что для некоторого
i^n мы имеем }^^(С{, Н{), т. е. ^{С^ф Ht. Mo это означает,
что g(Ci)c?Hi и, следовательно, Ц0\С{, НС).
Следствие 2а. Если <1>0 и Ф, — доя замкнутых подмноже-
подмножества пространства &х, то
(Фо = Ф,)=[(Фо [ С) = ((!>! | С) для каждого компактного С с:.?"].
Теорема 3. Пусть f: З'-^У, где .Т — метрическое прост-,
ранство (или, более общо, № есть ^^-пространство, обладаю-
обладающее k-свойством; см. ниже). Если сужение f\C непрерывно,
каково бы ни было компактное множество С с= Л', то отобра-
отображение f непрерывно, т.е. f ? Ух'.
Другими словами (ввиду теоремы 2),
F) (/ 6 У*)^Ш I С) 6 2^с для любого компактного С с: .Г].
Доказательство. Доказательство будет основано на
следующем й-свойстве подмножеств метрического пространства:
(k) если множество А П С замкнуто для любого компакт-
компактного С, то множество А замкнуто 1).
Действительно, предположим, что множество А не замк-
замкнуто; тогда существует точка Ро^А, такая, что рп — Игл рп, где
Рп€А для п=\, 2, .... Обозначим через С множество
(ро, Pi1, ..., Рп, •••)• Очевидно, множество С компактно, а мно-
множество Л П С не замкнуто.
Остается показать, что если f\ С непрерывно для любого
компактного множества С а Ж, то f непрерывно (на X), т.е.
что множество \~l(F) замкнуто для каждого F, замкнутого
в 2/. Положим A~f~[(F). Очевидно (ср. § 3, III, A4)), что
') Детальное изучение пространств, обладающих /г-свойством, прово-
проводится в работе Архангельского [3].

§ 44. Пространство У® 93
По последнее множестпо злмкнуто (потому что/| С непрерывно),
;i пл этого в силу 6-свойства вытекает, что замкнуто множе-
множестпо Л.
Замечание. Эту теорему можно также применить к слу-
случаю, когда .?¦' и 2/ являются ^"-пространствами.
Для каждого .Т обозначим через <?(.?") семейство всех
компактных подмножеств пространства .Т (см. § 42, I). Оче-
нидно, что 4f (<%¦') упорядочено отношением включения и, более
того, является направленным множеством (так как если
Сб^СП и С, 6 8" (.Г), то (С,иС2N^(.П C,cC,UC2 и
С, с С, U С2).
Определим отображение пс,с, для Со с: Ci условием
tcoc,(s') = i?|Cu для #€2/с'.
Следоватслр^но, лС!с = рс> если Я' компактно. Ясно, что Ясс {g) = g
и
ДЛЯ Со С Cl С С?.
Таким образом, [?f(.T), S/c, л] является обратным спектром
(ср. § 3, XIII). Обозначим через L предел этого обратного
спектра:
G) /,= Lim {&c, лСоС|}.
С, CocrC,
Теорема 4. Если X — метрическое пространство (или, бо-
более общо, Ж обладает k-свойством), то У% = ^
to])
Именно, отображение р, имеющее рс своей С-й координа-
координатой, есть гомеоморфизм пространства У0 на L.
Доказательство. Отображение р есть гомеоморфизм,
так как по теореме 2 (для Ф с= &v) мы имеем
(8) (/еФ)={РсШ6Рс(A>) для каждого С 6 «" (-*')},
а последнее условие эквивалентно включению р(Л6р(Ф) (по
теореме 3 из § 16, VI, где вместо S, i} и Т мы подставляем
соответственно р(/), р(Ф) и &(.?')).
Остается показать, что р есть отображение на L.
Пусть {gc)(:L- Мы должны определить f^<&x так, чтобы
(9) f\C = ec для каждого С ^ (.Г).
Требуемое отображение f получается, если предположить, что
A0) f(x) = gix)(x) для каждого

94 Глава 4. Компактные пространства
Равенство (9) верно вследствие того, что g(:{x) — #( г) (х) для
каждого .v ? С. Кроме того, по теореме 3 отображение /" непре-
непрерывно (т. с. /6'уг), так как, согласно (9), f \ С ¦¦¦= Ц(: ?:'/¦', а уго "
означает, что отображение / непрерывно на любом компактном
подмножестве пространства .?'.
Теорема 5. Если У — вполне регулярное ^^пространство,
го и :'JV ~ такчее вполне регцлярное J'^-пространство.
Д о к а ,з а т е л ь е т во. Пусть /0 6-^г. " пусть Ф{1 -- открытое
множество в .'У, содержащее /A. Мы должны определить не-
непрерывное отображение
у: ';'/*"-><•¦/, такое, что у(/о) = О и у(/)=1 для /"(?Ф,.|.
Очевидно, мы можем считать, что Ф,, = Г(С, //), где С cz.?'
компактно и И cz':'J открыто. Тогда /,, (С) компактно н содер-
содержится в Н. Поэтому (см. § 41, II, замечание (Hi)) существует
непрерывное отображение
«¦: У > И, тл кое, что gf0 (С) = 0 и /т(?J - //) = I.
Обозначим через y(j) последнюю точку множества ftf(C). Сле-
Следовательно, у: :'Jr >с7. Покажем, что у — непрерывное отобра-
отображение. Очевидно, f>f(C) = (gf\C)(C). Положим
F(f) = xf{C) при /6^ и и(и) = ци(С) при и?:Ус.
Следовательно,
/•': ¦*Уг->2'/, f/: »с->2"у п F(f)=> Upi:(f).
По теореме 2 п. П отображение G является непрерывным, и
так как но теореме 1 п. III отображение р(; непрерывно, то
и /•' непрерывно. Отсюда следует, что отображение у непре-
непрерывно (см. замечание 2, § 42, II).
Очевидно, y(fn) = O. Наконец, пусть /'(?ф(); тогда существует
х?С, такое, что f(*)(?//, и потому gf{x)~\. Таким образом,
Y(/)=l.
IV. Связь между пространствами У" и {:!/' ) . Пусть
Я: •'/' X ,/ - > .'У; положим
(О A (-v) - й (*, /).
Таким образом, отображение /', рассматриваемое как функ-
функция от /, ставит в соответствие каждому 1?,Т отображение,
для которого х является независимой переменной (ср. § 20, VII).

§ 44. Пространство У® 95
Теорема 1 ')• Если отображение g непрерывно, то непре-
непрерывно и о ran ражен не f, т. е.
Доказательство. Пусть множество Q открыто н про-
пространстве Ух. Мы должны показать, что множество /"'(Q)
открыто в J1. Мы можем, конечно, считать, что Q имеет вид
Q—-V((;, II), где мпожестпо С компактно в Л', а множество //
открыто в '&. Следовательно, для данного /,,6/' ' (Q) мы должны
определить открытое множество U » пространстве J*, такое, что
C) /»6f/ и Uczf-'(Q).
Далее, мы имеем
И) \t€rl(Q)\~(ft€Q)^\ft(x)€H Для каждого х?С].
Так как AN/~'(Q). то отсюда па основании A) следует, что
ff(.v, /(>)(;// для каждого х?С, т.е. С X (/0) cz g~'(//).
Так как отображение # непрерывно, то множество д1" (//)
открыто в .?" X Т и потому является об|>еди,1еппем прои.чведе-
inn'i Os X f/.v открытых М1ЮЖ0СТИ (в пространствах .?' п ,/ со-
соответственно):
= U О'.,Х?/,.
Так как множество С X (/,,) сг д~'(//) компактно, то покрытие
{6',, X U,) содержит конечное подпокрытие:
E) СX(/„)<=((;,, X f/.,,) U ... U (<л,„X f/,-,), где /„ 6 ^/,, П ... П (/,д.
Положим f/ -— f/.v, П ••• П tJsn- Тогда tu?U н множество /7 от-
открыто в пространстве J1.
Для доказательства второй части соотношения C) допустим,
что / ? f/. Так как С с: б1,,, U • • • U ('*„, то мы имеем для каждого
а- е с
(л-, /N(«.,, X f/.,,)U ... U(G,H X C/.,l()c:Ar
т. е. />• (х, 1)^11, откуда f,(x)?II, и вследствие D) 1(Ц"'(Q).
Обратной к теореме I является следующая
Теорема 2. Пусть .?' — регулярное локально компактное
пространство. Тогда если отображение f непрерывно, то непре-
непрерывно и отображение ц.
') См. Фокс [I, стр. 430, лемма I]. Ср. также Ьрпуп [2].

96 Глина 4. KoMtuiKiiiMi! прпстринстки
Это означает (в силу теоремы 1), что
F) *е»г*г
Доказательство. Пусть множество Н открыто в про-
пространстве 2Л Мы должны показать, что множество Ц~1(П)
открыто в пространстве .W X J". Таким образом, для заданного
#(•*¦<), t{))?H мы должны определить два открытых множества G
(в Л') и U (в J1), таких, что
G) *0€G, to?U и GxUczg-ЧН).
Так как fh с= '&* и ff>(x^ = g(xn, ?„)€#> то существует открытое
множество Go в пространстве .1', такое, что xa?Gn " ff ШЛаН.
В силу регулярности и локллыюп компактности пространства .^"
сущес(вует открытое множество G, такое, что х{)?(], множе-
множество О компактно и С с (]п. Отсюда следует, что
(8) //o(G)c=/JGo)c//, т. е. /,вбГ(О, //).
Положим
(9) и = Г][Г(О, Н)\, т.е. t?U = fter(G, //).
Так как отображение / непрерывно и мнажество ГF\ //) от-
открыто (по определению компактно-открытой топологии), то мно-
множество U открыто. Кроме того, t{)?U, согласно (8). Для дока-
доказательства второго соотношения G) допустим, что x?G н /?f/.
Мы должны показать, что #(.v, t)(zH, т. с. что ft(x)?H. Но
включение t?U, согласно (9), означает, что f, (;Г(С, //), а так
как Г(G, //)<=Г(О, //), то f,?r{G, Н), т. с. /,(-«)€// Для
каждого х? G.
Замечание 1 '). В связи с формулами B) и F) следует
отметить, что, поставив в соответствие каждому g?'&VXT ото-
отображение /?(^г) , определенное формулой A), мы зададим
гомеоморфизм 2/rxJ" в {'&т)г. Зтот гомеоморфизм становится
отображением па при выполнении условии теоремы 2. Таким
образом, для регулярного и локально компактного простран-
пространства Л' выполнено соотношение
A0) ..угх' = (.*>у.
Замечание 2. Подобным же образом следующие утвер-
утверждения, которые были доказаны для топологии непрерывной
') См. Джексон [2]. Ср. § 20, VII, теоремл 3, для простр/шетвл
с непрерывной сходимостью.

§ 44. Пространство Ч/х 97
сходимости (см. § 20, VII, теоремы I и 2, и VIII, теорема 3),
могут быть доказаны для открыто-компактной топологии:
A2) <&А х&вЩ&
при условии, что А и В замкнуты в А\) В и Af)B = Q;
A3) ^'(ЮсУ*
top
при условии, что f непрерывно, X компактно и f{X) есть
^-пространство.
Замечание 3. Наконец, можно доказать (ср. § 21, X,
теорема 8) следующую формулу:
A4) «у* с 2***
top
при условии, что X компактно. А именно, поставим в соот-
соответствие каждому f?'&v его график.
Лемма. Пусть отображение f: J" —+ &х непрерывно и мно-
множество Сс J компактно. Положим v (t) = ft\C. Тогда v: </ —> Ус
непрерывно.
Доказательство. Пусть AcJ1 и /?Л. Покажем, что
v (/) ? v (А). Так как / непрерывно, то из / ? Л вытекает, что
ft€HA). Положим Ф = /(Л) в III B). Тогда (fr|CN<FTC. Этим
завершается доказательство, ибо Ф|С = о(Л).
Теорема 3. Если X — метрическое пространство {или, более
общо, ^-пространство, обладающее k-свойством), то справед-
справедливо соотношение F).
Доказательство. Принимая во внимание теорему 1, мы
должны лишь доказать, что если f непрерывно, то и g непре-
непрерывно; для этого достаточно показать, что g \C X J" непрерывно
для каждого компактного CczX (ср. III F)).
Напишем (как выше) v(t)=>ft\C. Так как f непрерывно, то
(согласно лемме) и v непрерывно, т. е. v^^f, и на основа-
основании теоремы 2 (где X следует заменить на С и g на g \C X <f)
g\C X j непрерывно.
Замечание 4. Предположение о том, что J1 — метрическое
пространство, можно опустить, так как произведение простраи-
7 Зак. 1!Ю

98 Глава 4. Компактные пространства
ства, обладающего ^-свойством, и компактного пространства
обладает /г-свойством ').
V. Топология равномерной сходимости пространства Ух.
Напомним, что для данного произвольного множества .%' \\
метрнчгского пространства У через Ф(.Т, У) мы обозначаем
семейство всех ограниченных отображений /: .?'-- >У. Это семей-
семейство можно рассматривать как метрическое пространство, опре-
определив расстояние следующим образом (см. § 21, X, стр. 228):
A) I/,-f21 = sup |Ых)-Ы*Н
Добавим, что сходимость в пространстве Ф(.#\ У) совпадает
с равномерной сходимостью (см. следствие 1а, § 21, X).
Топология пространства Ф(.Т, У), индуцированная опреде-
определенным выше расстоянием, называется топологией равномерной
сходимости.
Теорема 1. Если X компактное, а У — метрическое про-
пространство, то ^сфA, У), и, следовательно, пространство У?
метрическое (в топологии равномерной сходимости).
Эта теорема есть непосредственное следствие того факт.1,
что если отображение f: .Т—>У непрерывно, то множество f(S')
ограничено (см. § 41, VI, теорема 1).
Замечание 1. Если ,Т — компактное метрическое про-
пространство, то равномерная сходимость непрерывных отображе-
отображении совпадает с непрерывной сходимостью, которая означает
(см. § 21, X, теорема 5), что
B,) (lim *„ = *)=#> Ит/„(х„Н/(х)|
Теорема 2. Если ,Т — компактное, а У — метрическое про-
пространство, то топология равномерной сходимости простран-
пространства У? совпадает с его компактно-открытой топологией.
Доказательство. 1. Сначала покажем, что каждое мно-
множество, открытое в топологии равномерной сходимости, открыто
в компактно-открытой топологии. Очевидно, достаточно дока-
доказать, что для каждого f»?'&v и любого е>0 существуют две
системы С], ..., Сп и Нь ..., Ип (множества С^ с: Ж компактны,
a Hi с У открыты), такие, что
C) ШПС„ //,)П ... ПГ(С„, Hn)]czK(U e),
где К(!п, в) — шар с центром в точке /0 радиуса е, т. е.
К (/о, e)=El/-/ol<e.
См. Архангельский [3, стр. 18]. Ср. также Браун [1, 2].

§ 44. Пространство %я ¦ "
Так как пространство .Т компактно, а отображение /0 не-
непрерывно, то существует конечное открытое покрытие X —
= Go U ... UGn, такое, что 6 [/„(G,)] <е/2 и G, Ф 0 для г = 1, ..., п.
Выберем xt ? G; и положим
D) Gi = Gl и //, = К[Ы*/), е/2] = Е[]//-/о(-^I<е/2].
у
Далее, так как 6 [fo(C,)] <е/2, то для х?Сг мы имеем неравен-
неравенство \fo{x) — ft){xi)\<e/2 и, следовательно, fn(x)?Hh т. е.
/о€Г(С,>, //(). Это верно для каждого /= 1, .... п. Таким обра-
образом, доказательство первой части соотношения C) завершено.
Для доказательства второй части предположим, что
f 61 (Сь Ht). Тогда для каждого х?С; мы имеем f(x)?Hi и,
согласно D), \f{x)-lo(xl)\<e/2. Так как 6 [/0(С;)] <е/2, то
I / (х) - /о(JC) КI / (х) - /о (хд I + I fo(xt) ~ f0(X) | < е.
Поэтому f?K{fo, e).
2. Пусть множество G открыто в компактно-открытой топо-
топологии пространства °УХ. Мы должны показать, что оно открыто
в топологии равномерной сходимости'). Не ограничивая
общности, можно предположить, что G — T(C, H).
Пусть /0? У (С, Н). Мы должны определить такое число
е > 0, что
E) If — Ы<е влечет за собой /6 Г (С, Я).
Положим
F) e = infp[/0(x), У -Я], где х?С.
Так как fn(x)?H для каждого х?С, то р[/0(х), У— #]>0,
а так как множество С компактно и р — непрерывная функция х
(ср. § 21, IV, E)), то р достигает своей нижней грани на мно-
множестве С (см. § 41, VI, следствие 2с). Следовательно, г >0.
Пусть \f — fo\<?. Допустим в противоположность E), что
[(?Г(С, Я), т. с. что /(хо)?2/ — Я для некоторого хо6С. Тогда
Р [/о (JCo), 2/ - Я] < | f0 (хо) - f (х0) |< е.
Но это противоречит равенству F).
Замечание 2, Из теоремы 2 следует, что топология равно-
равномерной сходимости в случае, когда пространство ,Т компакт-
компактное, а пространство У метрическое, есть топологический инва-
инвариант (она не зависит от метрики пространства У); в случае,
') См. Джексон [1].
7*

100 Глина 4. Компактные пространства
когда .^ — компактное метрическое пространство, это утвержде-
утверждение следует также из соотношения B).
Теорема 3. Если Ж — компактное, а "& —полное {метриче-
{метрическое) пространство, то пространство Ух полно в своей тополо-
топологии равномерной сходимости.
Это непосредственное следствие теоремы 2 из § 33, V.
Замечание 3. Напомним, что если .V — компактное метри-
метрическое пространство, а У ~ сепарабельное, то пространство У%
сепарабельно (см. § 22, III).
Теорема 4. Пусть У — компактное метрическое простран-
пространство, а Л" — произвольное пространство. Пусть Л с: JT; положим
H(f) — f(A). Отображение Н: У*-+Т' непрерывно {в топологии
равномерной сходимости пространства Ух).
Более точно, dist [//(/), H(g)]<\f~g\, где f, g?i!J*.
Доказательство. Мы имеем
dist [// (/), Н (х)] = (list [f (А),
так как (ср. § 21, X, стр. 231) для каждого y(zf(A) существует
i/€g{A), такой, что \y-y'\<,\f- g\; именно, y' = g(x), где
х^ Л —такой элемент, что y — f{x).
Замечание 4. Можно показать, что для компактно-откры-
компактно-открытой топологии пространства 2/г теорема 4 не верна.
Следствие 4а. Пусть У —компактное метрическое,
а .%' — произвольное пространство. Пусть AaS и В czS". Тогда
множество
G)
открыто в пространстве Ух.
В самом деле, множество Е (K{)L — 0) открыто в простран-
стве 2У X 2У, ибо пространство У нормально (ср. § 17, V, тео-
теорема 1).
Замечание 5. Теорему 4 и следствие 4а можно выразить
в следующем более общем виде.
Пусть X — произвольное множество и У — метрическое про-
пространство. Для /1сг.?" обозначим через Х?А множество элемен-
элементов /?Ф(.#\ У), таких, что /(Л) компактно, и положим
^(/) = ?(Л)' Тогда отображение И: XVA >Ч?(У) непрерывно (ср.
с теоремой из § 42, II), а множество G) открыто в ^дП^д.

§ 44. Пространство Ух 101
Для доказательства этого утверждения заметим, что экспо-
экспоненциальная топология пространства &'B/) совпадает с его
топологией, определяемой хаусдорфовым расстоянием (согласно
§ 42, II), и множество Е (К Л L = 0)(К, L ?#(#)) открыто
в пространстве 4S {У) X 4% [У).
VI. Гомеоморфизмы.
Теорема I1)- Если X — совершенно нормальное компакт-
компактное ^^-пространство и У— произвольное ^^-пространство, то
множество Ф всех гомеоморфизмов f: Ж—>& есть О^-множе-
О^-множество в пространстве °УХ.
Доказательство. Очевидно,
)
X. X'
Далее, множество Е U(x) = f(x')] замкнуто (по теореме 3
f, X, X'
п. II), а множество Е {хфх') открыто (по теореме 2 § 15, IV);
f. X, X'
следовательно, их пересечение есть ^„-множество, а поэтому и
»1> как проекция, параллельная компактной оси, является /^-мно-
/^-множеством (в силу следствия 1а § 41, IV).
Замечание. Предположемие компактности существенно2).
Лемма. Пусть JP — компактное пространство, 2/ = ffH", Л и
В ~ два замкнутых непересекающихся подмножества простран-
пространства X. Пусть f ? Ут и е>0. Тогда существует # ^ Ут, такое, что
A) гЙ)ПгЩ=0 и \g-f\<e.
Иначе говоря,
B) ЕШШЩЩ^
е
Доказательство. Положим f{x) = [f1(x), f2{x), ...], где
f"(x)?ff. Пусть п такое, что 2~п<е. Определим g следующим
образом:
1) gl(x) = fl{x) для /<л,
2^ 8П '^ p(*. Л) + р{х, В) '
< I (T I v\ tzt. (i ГТ ГГСТ / ""^ /? —J-* I
') См. Куратовский B5, стр. 270].
2) Ср. Роберте [3, стр. 126].

102 Глава 4. Компактные пространства
Следовательно, цп+1(х) = 0 для х?_А, откуда //^' = 0 для
Из этого следует, что ?/!+1 = 0 для //?#(Л).
С другой стороны, для y(zg(B) мы имеем ?/'+1 = 1. Это
завершает доказательство первого соотношения A). Второе
можно доказать следующим образом:
Теорема 2. Пусть .У — сепарабельное метрическое про-
пространство, У — компактное метрическое пространство и для
любой пары замкнутых непересекающихся подмножеств А и В
пространства &' справедливо равенство B) (таким является,
например, случай У = 8*°). Тогда множество элементов про-
пространства &т, которые не являются гомеоморфизмами, есть
множество первой категории в пространстве Уг'.
Более точно, если F — замкнутое подмножество прост-
пространства .У и равенство B) справедливо для любой пары замк-
замкнутых непересекающихся подмножеств А и В множества F, то
множество всех f 6 2/г, таких, что f\F не является гомеомор-
гомеоморфизмом, есть множество первой категории в пространстве Ух'.
Доказательство. Пусть Ru R2, ...—счетная открытая
база по отношению к F. Положим
я
для каждой пары индексов k, I, таких, что R/, cr Rt.
Так как пространство Ут полное (по теореме 2 из § 33, V)
и так как множества Фк1 всюду плотны (согласно B)) и от-
открыты (п силу следствия 4а и. IV), то их пересечение Ф есть
Gj-множество, дополнение которого есть множество первой
категории (по теореме Бэра). Наконец, если / 6 Ф, то /(/?,,) Л
Л f(F — Ri) = 0, каково бы ни было RkczRt. Mo из этого сле-
следует, что f\F есть гомеоморфизм (по теореме 3 из § 22, I).
VII. Случай локально компактного пространства .Т. В этом
пункте мы будем предполагать, что .V и "У — метрические про.'
странства, причем пространство X локально компактно,
По теореме 8 из § 41, X мы имеем
A) JT-^U^U...,
где F<c: Int(F(+1) и множества Fj компактны.

§ 44. Пространство У* 103
Отсюда следует, что для каждого компактного множества
С ci //" существует такой индекс /, что С cz Ft. Другими сло-
словам», семейство &(.Т) всех компактных подмножеств прост-
пространства Л' конфинально с последоиателыюстыо {Fu F2, ¦. ¦
.... Fh ...}¦
Из этого вытекает по теореме 2 п. III, что
B)
для каждого подмножества Ф пространства Ут (снабженного
компактно-открытой топологией).
Теорема 1. Пространство &т (в своей компактно-открытой
топологии) метризуемо. Метрика этого пространства может быть
задана формулой
W If 8\- ^l 1 + |(/|^)-(й|/;/I "
Доказательство. Вначале покажем, что
D) Ух <= Ур1 X У];' X
top
Доказательство аналогично доказательству теоремы 4 из п. III.
Положим ()/(/) = /I Fi\ тогда р,: УХ->У1'1. Положим р =
= (Pi, P21 • • •); тогда р: У*->У''1 X У1' X ... и, согласно A),
E) (/ ? cl))^ Д [рг(/) ? Рг(Ф)] = [р(/) 6 p((t))l-
<
Это означает, что р есть гомеоморфизм, и, таким образом,
D) доказано.
Далее, так как пространство У ' метризуемо (ср. V A)),
то расстояние между двумя элементами / = (/ь f2, •••) и # =
— (fi\j <?2> ••¦) пространства У''ХУ''Х ... можно положить
ранным (ср. § 21, VI, стр. 222)
оо
(G) I/ gl^y^""' \fi~ai\
I/W
1=1
Это завершает доказательство теоремы 1.
Кроме того, при помощи этих рассуждений, как и в случае
теоремы 4 п. III, получается следующая
Теорема 2. yv == Um {&'*, пп], где яГе(?) = g\ Ft для
1 i, t<k

104 Глава 4. Компактные пространства
Определенное выше отображение р есть требуемый гомео-
гомеоморфизм. Из C) легко получаем, что
G) (/= Iirn/M^[(/|F,)= \im (fk\F,) для /-I, 2, ...1^
= [(/|С)— lim (fk\ С) для каждого компактного С]',
[ k + oo J
(8) /lim хк-х)=$ lim/*(**)-Д*I;
это означает, что сходимость в пространстве Ух есть непре-
непрерывная сходимость.
Теорема 3. Если пространство У сепарабельно, то про-
пространство Ух тако/се сепарабельно. Если пространство У полно,
то полно и пространство Ут.
Первое утверждение следует из D), так как простран-
пространство y?i сепарабельно (см. замечание 3 п. V).
Для доказательства второго утверждения воспользуемся
формулой D) и тем фактом, что произведение Уг' X У1' X ...
полных пространств (см. теорему 3 п. V), метризованное по
формуле F), является полным пространством (см. теорему 2
из § 33, III). Кроме того, р есть изометрическое отображение
пространства °УХ на замкнутое подмножество произведения
У'1 X У1' X ... (по теореме 2).
Теорема 4. Пусть заданы последовательность множеств
ОфФкСи!/*, где /e~l, 2, .... и последовательность натураль-
натуральных чисел пги пгг, ..., такие, что
(9) Ф/е | F, = Фт; | Ft для k>mi и I =1,2
Тогда существует сходящаяся последовательность fu f2. •••»
где Д?Ф,;.
Более точно, существует отображение f^2^r, такое, что
A0) f(x)"°fk(x) для x?F{ и k>mlt
откуда f«=« lim fk (согласно G)).
<:->оо
Доказательство. Очевидно, можно предположить, что
m,<ffi1,<.... Во-первых, определим последовательность fm,
imt, ..., такую, что

§ 44. Пространство У^ 105
lml W = /m W ДЛЯ Xtr{.
Проведем рассуждение по индукции. Пусть ^—произволь-
^—произвольное отображение, удовлетворяющее условию A1) при 1—\.
Предположим, что условие A1) выполняется для данного г(^1).
Положим в равенстве (9) k — ml+l. Из этого, согласно A1),
вытекает, что (/m IZ7,) 6 ((t»m \Ft\. Следовательно, суще-
существует такое fm , что A1) справедливо для /+1 (т. е.
^+.^+1) ^t\i '«i+l\t спРавеДливо Равс»-
ство A2).
Этим завершается определение последовательности / ,
Далее, из A2) следует существование отображения f,
такого, что
Lt x?Ft и /=1, 2, ....
Так как F{ cz lnt(F[ hl), то отображение / непрерывно, т. е.
Остается определить fk для mt<k<.mt+i (если /г<ть то
fft — произвольный элемент ФА). Теперь, согласно (9) и A1), мы
имеем Пт F\ 6 (Ф/е | Z7,). Следовательно, можно считать, что
A4) /,6Ф, и fk{x)-fmi(x) для х6^-
и соотношение A0) следует из A2)—A4).
Замечание. Если пространство Ж не является локально
компактным, то пространство Ух (с компактно-открытой топо-
топологией) не метризуемо '). Однако оно является псевдометрическим
(ср. § 21, XV, стр. 241) относительно семейства псевдометрик \\\,
таких, что
Если пространство Ж сепарабельно и локально компактно, то
семейство 2f {Ж) можно заменить семейством Fh F2, ...; из этого
вытекает метризуемость пространства &v (см. § 21, XV, заме-
замечание 2).
') См. Мруика [I, стр. 274]. Ср. также Арене [I] и Арене и Дугуидьи [1].

10В Глава 4. Компактные пространства
VIII. Топология поточечной сходимости пространства ':'JV.
В § 16 мы определили топологию (называемую также тихо-
тихоновской) п прямом произведении [~1 ''Л- топологических про-
странств ЧУ х (где У— не обязательно топологическое простран-
пространство). В частном случае, когда псе пространства :Чх совпадают,
т. е. &X = W, множество всех отображений /: Л'->:!/, обозначен-
обозначенное символом (^r)S(<t, становится топологическим пространством.
Если же ограничиться непрерывными отображениями f (пред-
(предполагая пространство Л' топологическим), то пространство &v
снабжается указанным способом топологией, называемой топо-
топологией поточечной сходимости.
Это название связано с тем фактом, что сеть (см. § 20, IX) {/J
сходится к g тогда и только тогда, когда {ft{x)} сходится к g(x)
в каждой точке х^.'^ (случай счетного произведения см. н § 20, IV).
Легко показать, что множества Г (У7, //), где /•" — конечное
подмножество пространства Л\ а Я —открытое подмножество
пространства У, образуют базу указанной топологии простран-
пространства &*. Из этого следует, что топология поточечной сходимости
слабее, чем компактно-открытая топология пространства "Ут.
§ 45. Вопросы теории размерности (продолжение)
Настоящий параграф является продолжением § 25 — 28 пер-
первого тома. Здесь будет использовано понятие компактности,
изученное в предыдущих параграфах этой глачы.
В § 45 пространство Л' предполагается сепарабельным
метрическим ').
I. Отображения порядка k. Точка // называется значением
отображения [ порядка к, если множество f (//) состоит из k
элементов. Говорят, что отображение имеет порядок ^/г, если
каждое его значение имеет порядок -^.к.
Лемма 1. Пусть Аа, . . ., Аг — система непересекающихся
подмножеств пространства ,Т и f — отображение пространства Л"
порядка k~^r. Предположим, что
A) Д
Тогда сужение ft = f | \At (] f~[ (B)\ имеет порядок ^.k — r.
Кроме того, если мы положим С,- = /~'/(Л) — Л,-, то суже-
сужение f\Ct имеет порядок <!/г—1.
') Волое общий подход см. п работе Пагата [I].

§ 45. Вопросы теории размерности (продолжение) 107
Доказательство. Предположим, что // ?/[/1г Л /""' (В)]
Так как (ср. § 3, II A3))
B)
то существует система из (г + 1) точек хй, ..., хг, такая, что
*о6А), .... хг?Аг и y = f(xa)= ... =f(xr).
Поскольку множества Ло, ..., Аг не пересекаются, множе-
множество f (у) Г) Л состоит не более чем из к — г точек, и тем же
свойством обладает множество
Г'(</)ПЛПГ'(Я), т. е. /"'(//)
почти по той же причине.
Аналогично, если y?f(Ci) = f(Ai)r\f(.T — Ai), то // есть точка
порядка <J к — 1 отображения f\&'' — At и, следовательно, ото-
отображения f\C{.
Теорема 21). (Гуревич.) Если непрерывное отображение f
порядка ^.k (/г ^ 1) отображает компактное пространство X, то
Более общо, если /10, ..., Аг @ <! г ^.k) — система непересе-
непересекающихся замкнутых множеств, то
dim(/(A)n ... ГШЛ)) < dim Л, +/г-г-1.
Доказательство. Первая часть теоремы будет доказана
по индукции. Пусть dim .Т — п.
В случае, когда либо «= — 1, либо к— 1, утверждение оче-
очевидно. Предположим, что оно имеет место для и— 1, каково бы
пи было значение k, и что оно также имеет место для пары п
п /?о - I.
Пусть //6/(.?0 и S — открытый шар с центром в точке //.
Мы хотим определить окрестность Е точки ;/ в /(.#"), такую, что
По теореме 1 из § 27, II существует открытое множество G
в /г-мерном пространстве X, такое, что
f~'(y)c=G, Gczf^S) и dim(C/-GXn-l.
') См. Гурепич [1, стр. КИ1. Ср. Нагами |1], Судзуки [1, стр. 201],
Вапцштсйп и Каждаи [I]. ВаГшштсГш [2, стр. '131J и [3, стр. 19].

108 Глава 4. Компактные пространства
Положим ? —/(G). Тогда
Гг (?) = Fr [ДО)] =-f(G)(\f (JT) -f(G) с
потому что f (.Г) - f (G) cz f {ЛГ - G) (ср. § 3, ШC)).
Точка ;/??, так как /"' (//)<= G и, следовательно, y(zf(G)czE.
С другом стороны, ?/^Fr(?), поскольку
но тогда f(..r-G)czi(.r)-r/, и поэтому #$/(.Г - G) =э Fr(?).
Таким обрачом, Е есть окрестность точки у. Наконец, мы полу-
получаем (ср. § 3, III A3))
G)nr'/(-r-G)]u 0
представляя миожестпо G в виде объединения
G-F.U^U .... где Fffl = Fffl.
По предположению из неравенства dim(G — G)^tt— 1 выте-
вытекает неравенство
dim / \(A -ОП Г7 (¦«* - G)l < п + /г0 - 2;
тот факт, что отображение / имеет порядок ^ кп — 1 па мно-
множестве G П/ /(^*~G) (по второй части леммы 1 при At = S — G),
влечет за собой неравенство
По теореме сложения (§ 27, I теорема 1) из этого неравенства
вытекает неравенство
dim
и, следовательно,

§ 45. Вопросы теории размерности (продолжение) 109
Вторая часть теоремы 2 есть следствие первой ее части, так как,
согласно лемме 1, A) и B), мы получаем
dim В =-dim f\At 0 Г1 (В)]<
< dim [Л, П Г' (В)\ + fe-r-l< dim Л,+ /г-г-1.
II. Параметрическое представление я-мерных совершенных
компактных пространств на канторовом множестве <?'). Согласно
следствию За § 41, VI, каждое компактное пространство имеет
параметрическое представление на множестве & (т. е. явл.яется
непрерывным образом ?f). Этот факт можно сформулировать
более точно следующим образом:
Теорема 1. Если совершенное подмножество Р компакт-
компактного пространства X п-мерно (или, более общо, Р удовлетво-
удовлетворяет условию Dn из § 27, III), то существует непрерывное ото-
отображение мноокества *? на X, такое, что каждая точка
множества Р имеет порядок ^я+1.
Кроме того, если Ф — множество функций f, таких, что\^Х^
и f(if) — JF, то подмножество Ч' множества Ф, состоящее из
функций, имеющих точки порядка >я + 1 в Р, есть множество
первой категории в Ф.
Доказательство. Так как Ф — непустое (§ 41, VI, след-
следствие За) и замкнутое (§ 44, II, следствие 4) подмножество
полного пространства %"* (§ 44, VII, теорема 3), то достаточно
доказать вторую часть теоремы 1, ибо по теореме Бэра под-
подмножество первой категории не может заполнять полное про-
пространство.
По определению Чг каждой функции f?lIr соответствуют по-
положительное целое число / и система точек х0, ..., хп+[, такие,
что
A)/(*,)-П*/NР и \xt-x,\>l/l при 0</</<п+1.
Пусть xVt — множество функций /, для которых существует
система точек х0, ..., хп+\, удовлетворяющих соотношению A);
тогда
v = и vt.
(-1
Идея доказательства состоит в том, чтобы показать, что
множество xVt нигде не плотно в Ф.
') См. Куратоиский [27, стр. 285].

ПО Глава 4. Компактные пространства
Так как Чг( замкнуто, то, как легко видеть1), паша задача —
показать, что х\', есть граничное множество, т. с. каждому
элементу /?Ф и каждому е>0 соответствует отображение /*,
такое, что
B) f(E<i>-^
и
C) lf-ГКе.
Так как отображение f равномерно непрерывно па прост-
пространстве 4$, последнее можно разбить па непересекающиеся
замкнутые части таким образом, что
Sf = C0U ... UCm, JI/(C,)|<e/2 и
Пусть G,— открытый шар с центром /(С,) радиуса е/4. Тогда
D) jr = G0U ... UGm,
Так как Я — совершенное множество, то из условия D(i вы-
вытекает (ср. § 27, III, теорема 5E)) существование системы
замкнутых множеств Ht, таких, что
E) .Г = #о11 ... UHm, 0#Я,сС„ РПЯ,вП...ПЯ/д+1=«0
для любых различных индексов /о. •¦-, t'n+i-
Пусть /' — непрерывная функция, такая, что f*(Ct) = H{. Так
как
то /* принадлежит множеству Ф. Допустим в противополож-
противоположность B), что f 6^V Пусть х0, .... Jtn+i— система точек, удо-
удовлетворяющих условию A) (в котором / заменено на /"*). Так
как б(Сг)<1//, то пи одно множество С{ не содержит двух
различных точек, принадлежащих этой системе; поэтому суще-
существует система различных индексов i0, ..., in+l, такая, что
xi?Ctjt / = 0, . .., п+ 1. Следовательно, f'(Xj) 6/'(Cf/)= //,-/t
и так как Г(xQ) = f*(Xj)? P (ср. A)), то
П*о)бРПЯ,„П •¦• П Я,я+1
вопреки E).
Например, определяя yV[ через логические снмполы:
¦v ¦••¦

§ 45. Вопросы теории размерности (продолжение) 111
Таким образом, условие B) доказано этим противоречием.
Отсюда получаем неравенство C). Действительно, на основа-
основании D) и E) имеем
f{x)?f(C,)<=Gt и fWe/^cG,
для любого х 6 С{ и, следовательно, согласно D),
\f(x)-ft(x)\<s6(Gt)<B.
Из теоремы 1 вытекают следующие три теоремы:
Теорема 2. Совершенное компактное пространство имеет
размерность <!я тогда и только тогда, когда оно имеет пара-
параметрическое представление порядка <^ п + 1 на множестве 'ё.
Это пытекает из предыдущей теоремы (если мы положим
3? ~ Р) и теоремы 2 п. I.
Теорема 3. Для компактногох) пространства .Т условие Dn
эквивалентно неравенству dim.f
Доказательство. Принимая по внимание теорему 4
из § 27, III, достаточно показать, что из условия D,, вытекает
неравенство dim .?*<«.
Пусть .Vo — совершенное подмножество пространства .?,
такое, что множество Х — Хй счетно (теорема Кантора — Бен-
днксопа, § 23, V). Так как открытое множество Л' — ,?'ц имеет
размерность <!0, то мы получаем (ср. § 27, I, теорема 1)
dim,?" = dim JP0 (за исключением случая, когда .9"п = 0, который
можно опустить, так как при этом dim.^^0). Следовательно,
остается только показать, что dim.^o^n, или, согласно тео-
теоремам 1 и 2 п. [, что .9^о удовлетворяет условию Dn. Пусть
F) -ro=/liU ... 1)Л„
— разбиение на множества, которые открыты в .9. Пусть
Г/; —открытое множество в .%", такое, что Л( = G,-П-^о. где
i= I, ..., in, и пусть Ga = -T — Xq\ тогда
.r=GQU ... l)Gm.
Поэтому из свопстпа D,, пространства .V вытекает существо-
существование системы открытых множеств Нп, ¦¦-, И„„ такой, что
.г^наи ... ия„„ //,cg, и н1оп ... п//,яи = о.
Полагая Bt = Н^.Уа, мы получаем В0==0 и
jrQ=B,U ... UBm, BiCzAt, В, П ... ПЯ/,1+ =0.
Случай произвольного пространства см. в п. VII, следствие 3.

112 Глава 4. Компактные пространства
Эти соотношения вместе с F) показывают, что Хо удовлет-
удовлетворяет условию Dn.
Теорема 4. Пусть Ри Р2, ...—последовательность совер-
совершенных множеств в компактном пространстве X. Тогда суще-
существует непрерывное отображение множества <? на Х% такое,
что каждая точка множества Рг(г'=1, 2, ...) имеет порядок
d
Доказательство. Пусть Ф имеет тот же смысл, что
и в теореме 1, и пусть ЛР — множество функций /6Ф, не удо-
удовлетворяющих условиям теоремы 4. Мы имеем Чг = VF, [J г1г2 [J . .. t
где Ч;г — множество функций f€<J)> обладающих точками по-
порядка >dimPi + l на множестве Рг.
Так как Х1\ — множество первой категории в Ф (согласно
теореме 1), то же самое верно для Ч;. Поэтому Ф — XV =^= 0.
Перейдем к рассмотрению параметрического представления
замкнутых множеств (не обязательно совершенных).
Лемма 5. Всякое замкнутое подмножество F совершен-
совершенного компактного пространства X содержится в совершенном
множестве Р, таком, что dim Я = dim F.
Следовательно (если подставить вместо $" гильбертов
куб <^7К°), отсюда вытекает, что всякое компактное пространство
топологически содержится в совершенном компактном прост-
пространстве той оке размерности.
Доказательство. Если ри р2, ...—последовательность
изолированных точек в F и Pt — совершенное множество, такое,
что Pi?Pi, b(Pi)< l/i и dimPi = 0, то множество
совершенно и dimP = dim/7 по теореме сложения (§ 27, I, тео-
теорема 2).
Теорема 6. Всякое п-мерное компактное пространство
имеет параметрическое представление порядка п + 1 на нуль-
нульмерном компактном пространствеЛ).
Более общо, теорема 4 остается верной, если отбросить
предположение, что множества Pi совершенны (но сохранить
предположение, что множества Pt замкнуты), а множество ^
заменить нульмерным компактным пространством &"о> выбран-
выбранным надлежащим образом.
') См. обобщение у Робсртса [2, стр. 565].

g 45. Вопросы теории размерности (продолжение) 113
Доказательство. Рассмотрим пространство № как под-
подмножество пространства 8*\ и пусть Р\ — совершенное множе-
множество (в 3**), такое, что
Ptczp'i и dim Я* = dim Р).
Пусть / в соответствии с теоремой 4 есть непрерывное отобра-
отображение Й* на &*\ такое, что каждая точка множества Р( имеет
порядок <dimPl+l. Положим ? =/"'(¦#*); тогда f\4f0 — тре-
требуемое отображение Й°о 11а &•
Теорема 7. ?с./ш G есть п-мерное открытое подмножество
компактного пространства X, го существует нульмерное ком-
компактное пространство &0 и непрерывное отображение f про-
пространства Й°о «а Ж, такое, что каждая точка мнооюества G
имеет порядок ^я + 1.
Доказательство. Если Рь Р2> ...—последовательность
замкнутых множеств, такая, что G = Р{[) Р2 U ..., то остается
только применить вторую часть теоремы 6.
Замечания. При п = 0 из теоремы 2 следует, что всякое
нульмерное совершенное пространство гомеоморфпо капторову
множеству Й°. Все эти пространства имеют один и тот же тополо-
топологический тип и обладают всеми топологическими свойствами
пространства S? (например, свойством однородности).
Для счетных компактных пространств S? справедлива сле-
следующая
Теорема Мазуркевича — Серпи некого1). Если
JT(a) есть последняя производная (ср. § 24, IV) пространства ,Т
и п есть число элементов в JT(a>, то пространство .%" гомео-
морфно вполне упорядоченному подмножеству сегмента типа
со" • п + 1.
Следовательно, топологический тип счетного компактного
пространства характеризуется парой (а, п). Отсюда вытекает,
что счетные компактные пространства могут быть расположены
по Ki топологическим типам.
Однако существуют с различных топологических типов раз-
разреженных пространств, которые являются метрическими сепа-
рабельными, но не обязательно компактными2).
III. Теоремы о разбиении. Тот факт, что всякое п-мерное
пространство удовлетворяет условию Dn, является весьма част-
частным случаем следующей теоремы:
') См. Мязуркевич и Серпииский [1, стр. 21],
2) Мазуркевпч и Серпииский [1].
Ц Зап. 100

114 Глава 4. Компактные пространства
Теорема I1). Пусть задана последовательность замкну-
замкнутых множеств Р[, Р2, ¦ ¦ ¦ в компактном2) пространстве ,Т. Тогда
всякому разбиению на открытые множества .97 = Gq\J ... []Gm
соответствует разбиение на замкнутые множества
.r = F0U ... U/',,,, где FiczGl
для любых целых чисел j = 1, 2, ..., r^dimP; + 1 и
Доказательство. Согласно теореме 6 и. II, суще-
существуют нульмерное компактное пространство ??„ и непрерывное
отображение /, такие, что /(ё'о) = -^* и каждая точка множе-
множества Pj имеет порядок ^dimP/+ 1. Так как множества f~l(Gi)
открыты, то из разбиения
8W~'(G0)ll ... UГ1 (От)
следует существование системы непересекающихся открыто-
замкнутых множеств At, таких, что
Положим /7г = /(Л,-). Тогда
.** = /=¦<>U ••• [}F,n и F^Gi.
Наконец, положим Q/ = /~'(^/); тогда сужение f\Q/ имеет
порядок ^dirnP/ + 1; отсюда по теореме 2 п. I (при
k = c\imPj+l) п по условию dim At = 0 получаем неравенство
diin|f(^onQ/)n ... П f (Л,г П Q/)] < dim P/ - г.
Но это неравенство завершает доказательство теоремы, так как
(ср. § 3, III A3))
Следствие3). Всякое компактное п-мерное пространство
для любого е>0 можно разбить на конечное число замкнутых
множеств, таких, что диаметр каждого из них < е и любое
') Ом. Куратонский [27, стр. 290]. Частный случай (когда последом'
телыюсть /'i, Р2, ¦¦¦ конечная) см. у Мспгсра [I, стр. 170].
2) От предположения компактности можно освободиться, как будет
пока.чано в п. VII (теорема 5).
3) См. Мепгер [I, стр. 156].

§ 45. Вопросы теории размерности (продолжение) 115
пересечение г множеств имеет размерность ^ п — г + 1
(г=1, 2, .... п + 2).
Доказательство. Достаточно положить
jr = P, = P2= ... и 6(G,)<e.
Замечания. Это следствие более просто выводится из
первой части теоремы 6 п. II. Пусть <?0-" нульмерное про-
пространство и / — требуемая функция. Разобьем ?f0 на доста-
достаточно малые непересекающиеся замкнутые множества AQ, ..., А,п
так, что 6 [/(Л,)] <е; тогда требуемое разбиение имеет вид
Кроме того, если вместо числа е рассматривать сходящуюся к О
последовательность еь е2, .... то получится последовательность
разбиении, удовлетворяющих условиям следствия и таких, что
(/+1)-е разбиение есть подразделение /-го разбиения. Для
этого необходимо только подразделить множества /10, ..., Л,„.
IV. я-мерная степень, и-мерная степень пространства Ж
(обозначается dn(.t')) определяется1) как точная нижняя грань
таких чисел е, что существует система открытых множеств
Go, •••• Gm, удовлетворяющих условиям
A) ^=GoU ••¦ UG
B) 6(С()<е,
C) Gio() ... r\Gin = Q для
m,
Другими словами, неравенство dn(X)<ie имеет место тогда
и только тогда, когда существует система открытых множеств,
удовлетворяющих условиям A) —C).
В частности, неравенство rfI(.^')<e означает, что простран-
пространство .Т можно разбить на конечное число непересекающихся
открыто-замкнутых множеств диаметра <е.
Условие C) можно заменить следующим условием:
D) G«on •¦• flG(n = O для го< ••• </„<т.
Можно также брать множества Gt замкнутыми вместо
открытых (см. § 14, III).
Теорема 1. Если пространство X компактно, то условие
d,!+I(jr) = 0 эквивалентно условию Dn и, следовательно, усло-
условию dlmX^n (ср. II, теорема 3).
') Ср. с поперечником Урысопа [5, стр. 353].

116 Глава 4. Компактные пространства
Доказательство. Применяя условие Drt к покрытию
пространства Л' открытыми множествами диаметра <е, полу-
получаем ofn+,(..^)=0.
С другой стороны, пусть X = A0\J ... U А,п — разбиение на
открытые множества. Согласно следствию 4d, § 41, VI, суще-
существует число е>0, такое, что всякое множество диаметра <е
содержится по крайней мере в одном из множеств At.
Предположим, что dn+i(X) = О, и рассмотрим множества
Go,..., О,ю которые удовлетворяют условиям A) —C), где
п заменено на (я+1). Пусть It — множество индексов /, таких,
что GjCzAh и пусть Яо — объединение всех G Jt таких, что
/6/о, и, вообще, пусть #г+, — объединение всех G/, таких,
что /6Л+1~-(Л>11 ••• U А). Из этого следует, что
... [)Hm, HiCzAi и
а это показывает, что X удовлетворяет условию Dn.
Если Е — подмножество пространства &, то условие dn(E)<e
означает, что существует система множеств Ао, ..., Ап„ откры-
открытых в Е и удовлетворяющих условиям
Пусть G0> ¦••, Gm —система открытых множеств, подобная
системе Ло, ..., Лт и такая, что Л( = ЯПСг и 6(G()<s
(ср. § 21, XI, теорема 2); тогда условие dn(E)<e эквивалентно
существованию открытых множеств Go, ..., Gm, удовлетворяю-
удовлетворяющих условиям B) и C), а также включению Е с G0U ... U Gm.
Кроме того, условие C) можно заменить условием D).
Замечание. Предположение компактности пространства Ж
не может быть опущено. В самом деле, существует множество
Acz<f3 размерности 2, такое, что для каждого е>0 найдется
непрерывное отображение множества А в одномерный полиэдр,
при котором образ каждой точки имеет диаметр <е. Таким
образом, d2{A) = 0. Более того, А является Gа-множеством
(см. Ситников [2, 4]).
Теорема 2. Предположим, что пространство $~ компактно.
Тогда семейство всех замкнутых множеств F, таких, что
dn(F)<s, открыто в пространстве 2V для каоюдого е>0.
Иными словами, функция dn(F) полунепрерывна сверху
в пространстве 2х.
Доказательство. Если Г —система открытых множеств
Go Gm, удовлетворяющих условиям B) и C), то семейство
=Сои ... UGffl)

§ 45. Вопросы теории размерности (продолжение) 117
открыто в 2х (ср. § 17, II, теорема 1). То же самое верно для
семейства
ЕК(Л<е] = уФг.
Теорему 2 можно обобщить следующим образом:
Теорема 2'. Если пространство Ж компактно, то мно-
множество
Е К№П ... (]Fk)<B]
F,-.Fk
открыто в пространстве Bx)k.
Доказательство. Для доказательства этого утвержде-
утверждения достаточно положить
Фг= Е (f,n ... fl/^czGoU ••• UGm)
/-,. -..Fk
и применить теорему 1 из § 17, V вместо теоремы 1 из § 17, II.
Отсюда вытекает, что множество Фг открыто в простран-
пространстве
Теорема 3. Если пространство Ж компактно, то суще-
существует множество F?2X, такое, что dn{F) = dn{,T) и из усло-
условий X?2V и X с: F ф К следует, что dn(X)<dn(F); это озна-
означает, что множество F неприводимо по отношению к своей
п-мерной степени.
Доказательство. Так как множество Е [dn (F) ~&z dn
F
замкнуто, то оно содержит неприводимый элемент (согласно
теореме 2 из § 42, IV).
Теоре м а 4. Если пространство JPкомпактно, то E(dimF<n)
F
есть G^-множество в пространстве 2х. Следовательно, функция
dim F есть функция второго класса на пространстве 2х,
Доказательство. Утверждение теоремы вытекает из
соотношения
К+,() ]
/•¦ F k-l F
и из того, что множество Е \dn+l (^)<"г по теореме 2 открыто.
Множество E("t^dimF^n) есть разность двух G6-мпо-
жеств. Следовательно, оно есть /^-множество, и поэтому раз-
размерность замкнутого множества F, рассматриваемая как функ-
функция от F, есть функция второго класса Бэра.

118 Глава 4. Компактные пространства
Применение теоремы 2' вместо теоремы 2 дает следующую
теорему.
Теорема 4'. Если пространство .%' компактно, то множе-
множество
Е [dim(F,n ... П/="*)< л]
fl f:k
есть G^-множество в пространстве BГ)*.
Замечания, (i) Функция dim F есть предел возрастающей
последовательности полунепрерывных сверху функций l\k(F).
Доказательство. Пусть Ak(F) обозначает наименьшее
целое число «^—1, такое, что существует система открытых
множеств Go> ..-, Gm, удовлетворяющая условиям
FciGoU ... UGra, HGi)<\ и G,ofl ... nG/(>+, = 0
для любого множества индексов /0< ••• <in+i^m.
Таким образом, условие [s.k{F)^n эквивалентно условию
dn+[(F)<\/k. Следовательно, по теореме 2 функция Лд. (/•') по-
полунепрерывна сверху. Положим dim F = и; тогда \k(F)>n— I
для достаточно больших значении /г, так как в этом случае
dn{F)^\\k, С другой стороны, из условия Dn вытекает нера-
неравенство Aft(FXJrt, а из этого следует, что
п — dim F = lim Ak{F).
k-*oo
(ii) Множество E(dimF<rc) не обязательно типа FQ и, еле-
(¦•
довательно, функция dim F не обязательно первого класса.
Например, если Ж = 3, то семейства Fo и Fu состоящие
из 0-мерных и 1-мерных множеств F соответственно, всюду
плотны в пространстве 2х. Поэтому Fo не может быть /^-мно-
/^-множеством, согласно теореме Бэра (§ 34, IV).
(Hi) Если S? — метрическое сепарабельное пространство, то
функция /(/>) = йШр.Т является функцией второго класса.
Доказательство. В самом деле, согласно теореме 2
из § 25, III, множество E(dim/7.2"<n) является (?Л-множе-
р
ством (которое не обязано быть /^-множеством).
Теорема 5. Если пространства X и У компактны, то
множество
к1
лк1
) у
открыто в пространстве "У* для любого е>0.

§ ¦!!>. Вопросы теории размерности (продолжение) 119
Мноокество Е Л {с''гп [/"' (.'/I ^ 'А есть G^-множество.
I и
Доказательство. Пусть Ф(/ = Е [dn [/"' (;/)| <е}. Вклю-
f
чение {?Ф.У означает, что существует система открыт!>[х мно-
множеств Go, ..., Gm, удовлетворяющих условиям B), C) и вклю-
включению f~'(//)c^()U ••• U Gm. Так как множество пар (/, //),
удоплетпоря ющих этому включению, открыто (§ 44, II, след-
ствше 6), то открыто и множество Ef/6'l';/], а также мпоже-
!. и
ство ЕЛС/б'^и) (СР- § 41, IV, следствие 1Ь).
t и
Наконец,
Л {dim [/"'(/УХ «И
что доказывает вторую часть теоремы.
Теорема 6. Пусть Л и В — компактные множества; тогда
из неравенств dn(A)<s, dn(B)<e и dim(/l ("I В) ^п — 2 следует
неравенство dn (А [} В) < г.
Доказательство. По предположению существуют две
системы открытых множеств Ло, ..., AL и Во, ..., В,п, такие,
что
«czSoU ... UB», ^ /„
Используя теорему III, 1 в случае, когда .Т=АпР{ = Р2 =
= ... = А П В, получаем, что существует такая система замкну-
замкнутых множеств Л*, . . ., Л", что
л = л;;и ... ил;, а\^а(
dim (Л П Л*о П ... ГМу <«-г- 2
для любого г^.п — 1.
Эта же теорема, примененная к случаю .2' = В, влечет за
собой существование системы замкнутых множеств В*, ..., В*т,
такой, что
в = в;,и ... ив;, в]ав1
ил!ол ... пл*гпв;оп ... пв;„_г_, = о

120 Глава 4. Компактные пространства
(где множества В(]Л(оП ... Л Ai играют роль Pt и где 0^
<г<п-1).
Таким образом, получается разбиение
лив = л;и ... ил;ив;и ... ив;
на замкнутые множества диаметра <е, такие, что не суще-
существует точки, общей для (п + 1) из этих множеств. Следова-
Следовательно, dn{A\J В)<г.
Замечание. Условие dim (А П В) ^.п — 2 нельзя заменить
условием dn_l(Af] B)^e.
Теорема 71). Если пространство X компактно, то dn)
есть точная нижняя грань чисел г, для которых суи^ествует
непрерывное отображение f пространства Я?, такое, что
(i)
(ii) 6[Г'(#)]<е для любого y?f($~).
Более точно, если (/„(.#*) <е, то существует непрерывное
отображение f, удовлетворяющее условию (ii), пространства X
в (п — 1)-мерный полиэдр; с другой стороны, если f — непрерыв-
непрерывное отображение, удовлетворяющее условиям (i) и (ii), то
йп{.Т)<г для компактного пространства X.
Доказательство. Предположим, что dn(.T)<z. Тогда
существует система открытых множеств Go, ..., Gm, удовле-
удовлетворяющих условиям A) —C). Пусть Pq... pm есть т-мерный
симплекс. Отображение
f (х) = 10{х) • ро + ... +\п{х)-р,п,
где
9 (х, .Т ~ Go) + ... +р{х, Ж ~ G,n)
(т. е. отображение х, ассоциированное с системами р0, ..., рт
и Со, .... Gm), является требуемым отображением (ср. § 28, VI,
теорема 4).
С другой стороны, пусть / — отображение, удовлетворяющее
условиям (i) и (ii). Так как множество /(.#*) компактно, то,
согласно (ii), существует (ср. § 41, VI, лемма) число ri>0,
такое, что из соотношений f(S~) = H0[) ... [)Нт и 6(//,)<г|
вытекает b[f~l (Ht)\<e.
') Ср. Ллоксаидроп [2, стр. 6401, а также Куратовскпй и Улам
[1, стр. 246].

§ 45. Вопросы теории размерности (продолжение) 121
Согласно условию (i), можно считать, что множества Ht
открыты и //@П ¦¦¦ A Я;п = 0. Если мы положим Сг = /~'(^).
то будут удовлетворяться условия A) —C); следовательно,
dn{S)<z.
Следствие 8. Если пространство X компактно, то
1) соотношение dimJP^n есть инвариант отображений с ма-
малыми прообразами точек!), а именно прообразами точек диа-
диаметра < dn (Ж);
2) в случае, когда2) J^def"», условие dim Ж *^Ln эквивалентно
существованию для каждого е>0 е-сдвига пространства &
в п-мерный полиэдр*);
3) степень dn(S~) есть точная нижняя грань чисел х(.Т, У)А),
где "У пробегает множество всех компактных пространств
размерности < п.
Используя следующую теорему, коэффициент dn можно опре-
определить с помощью d\.
Теорема 95). Для компактного пространства 3? степень
dn(J^) есть точная нижняя грань чисел е, таких, что суще-
существует система замкнутых множеств Аи ..., Лп, обладающих
следующими свойствами:
( + ) S=AK\] ... [)Ап и с/,(Л;)<е для i-1, .... в.
Более точно, условие drt(jT)<e эквивалентно существованию
разбиения такого вида.
Доказательство. Пусть сначала dn(JV)<z. Восполь-
Воспользуемся индукцией. При п=\ существование требуемого раз-
разбиения очевидно. Покажем, что такое разбиение существует
для числа п. при условии, что оно существует для числа п—\.
Так как dn(.T)<z, то существует система замкнутых мно-
множеств Fo, ..., Fm, такая, что
¦r = F0[j ... \]Fm, Fion ... П^„ = 0, 6(F{)<e.
Пусть F — объединение всех пересечений из п множеств, при-
принадлежащих этой системе. Так как эти пересечения попарно
не пересекаются, то dl(F)<e. В соответствии с теоремой 2
пусть S —открытый шар с центром F достаточно малого радиуса,
такого, что dt{S)<e. Из условий
') Определение см. § 41, VII. Следствие 8, 1) принадлежит Брауэру.
г) Стоит заметить, что, согласно недавнему результату Андерсона [2J,
пространство йк° еомеоморфно гильбертову пространству.
J) Ср. § 28, VI, замечание 1
4) Ср. § 41, VII.
6) Теорема Эйленберга [8, стр 147].

12.'? Глина ¦!. Компактные пространства
вытекает, что
dn.x{.r-S)<B.
Таким образом, согласно предположению,
JT-S= A2[j ... [\Ап, A,= At, d{{Ai)<v, для i = 2 к.
Полагая /1, = S, получаем разбиение ( + ).
Обратно, предположим, что система замкнутых множеств
Аи ..., Ап удовлетворяет условию ( + ).
Итак, для каждого / существует разбиение множества At
на замкнутые непересекающиеся множества
Ai--=A{{) ... [}4Г где б(л;:)<е при /=1,...,/гг.
Таким образом, $" = \JAlj есть разбиение пространства .Т па
«./
замкнутые множества, никакие (я+1) из которых не имеют
общей точки. Следовательно, dn{$')<e.
Из теорем 1 и 9 вытекает такое следствие:
Теорема 10. Если пространство X компактно, то dim Я* < п
тогда и только тогда, когда для каждого е>() существует си-
система замкнутых множеств У1Ь ..., Лп, удовлетворяющая усло-
условию ( + ).
V. Размерностное ядро компактного пространства. Множе-
Множество jV называется размерностным ядром (ср. § 27, V) «-мер-
«-мерного пространства Я,', если N есть множество всех точек р,
таких, что dimpS" = п. В общем случае размерностное ядро
метрического сепарабельного пространства имеет размерность
~$zn— 1, но не обязано быть «-мерным (именно, если простран-
пространство слабо «-мерно; ср. § 27, VI). Однако если пространство
компактно, то имеет место следующая теорема Менгера '):
Теорема. Размерностное ядро N компактного п-мерного
пространства .Т является п-мерным в каждой из своих точек.
Таким образом, dimyV = «.
Доказательство. Предположим противное, т. с. что
p?N и dinipAf<«. Пусть е>0. Тогда существует открытое
множество G, такое, что
A) p?G, 6(G)<e и
') Меигер [5, стр. 138].

§ 45. Вопросы теории размерности (продолжение) 123
В соответствии с § 27, IV пусть Р есть Gл-мпожество, такое, что
B) Nf\Fr(G)czP и dim/><n-2.
Из включения B) вытекает, что jV П [Fr(G) — Р] = 0. Поэтому
C) с1!тЛ..Г<л-1 для x?[Fr{G)-P].
Следовательно, существует семейство открытых множеств, таких,
что каждой точке х? [Fr (G)—Р] и каждому положительному
числу к соответствует множество Н этого семейства, удовле-
удовлетворяющее следующим условиям:
D) х?Н,
Так как Р есть (?6-миожество, то множество Fr(G) — P есть
/^„-множество. Следовательно, в указанном семействе можно
выбрать последовательность Ни Н2, ..., такую, что (ср. § 41,
II, следствие 5)
E) Q7/mciU/TnUFr(G) и Fr(G)-P<=Utfm;
m in m
отсюда
Fr(G)-Utfm<=P,
m
следовательно,
F) dim[Fr(G)-y//m]<n-2,
согласно B). Положим
G) Q = G U U Hm.
tn
Тогда из A) и D) следует, что p?Q н 6(QX2e. Мы пока-
покажем, что
dimFr(Q)<n-2,
откуда получится требуемое противоречие, так как, согласно
предположению, p?N и, следовательно, d\mp.T = п.
Из E) следует, что
Fv(Q)=Q~Q=-(G-Q)U(UHm-Q"
<=(G-G-U Hm\ U j [U Hm U Fr (G)l - G - U Hm \ <=.
\ in J \ I in ' - '
с Fr(G)-UtfJUUFr(tfm).
in
поскольку
U Hm - U Hm с U (Hm - Hm) - U Fr (Hm).
tn m m m

124 Глава 4. Компактные пространства
Наконец, согласно F) и D) (ср. § 22, I, теорема 2),
dim Fr (Q) < dim ( IFr (G) - U tf,J U U Fr (Hm) j < n - 2.
VT. Отображения с /г-мерными прообразами точек.
Теорема 1'). Пусть [ — непрерывное отображение ком-
компактного пространства X. Если для всех y?f{X) удовлетво-
удовлетворяется условие dim/~' {y)^k, то
dim/(.?•);> dim JF-fe.
Доказательство. Пусть dim ..?* = « и dim f (X) = m.
Мы покажем, что
Очевидно, теорема верна для m= ~ 1; следовательно, можно
предположить, что она имеет место для числа т — \. Так как
йп(Ж) фО, то можно также предположить (ср. IV, теорема 3),
что пространство X неприводимо по отношению к своей п-мер-
ной степени. Пусть /li и /Ь — два замкнутых множества, таких,
что
/(.«•)=» Л, U Л2, АхФ\(Х)ФЛг и dimO4,rM2)</tt-l.
Из среднего неравенства следует, что
откуда
d[r{{A)\<d(V) и
1
Так как Jf = f~*(A^U [~1 {А2), то, согласно теореме 6 п. IV,
dim[r'(>l,)nrlD2)l>ft--l, т.е. dim/~lD, П Л2)>п - I.
С другой стороны, так как ditn(/l, П /12)<т- 1, то, согласно
предположению,
dim (Л, П Л2)> dim Г1 Mi П ^г) - fe-
Отсюда мы получаем, что
Следствие 22). Если пространство $" компактно и / — от-
открытое отображение пространства .V, такое, что множества
f~l(у) счетны, то
dimf (JT) = di
') См. Гуревич [I, стр. 164].
2) См. Александров [10].

45. Вопросы теории размерности (продолжение) 125
Доказательство. Из теоремы 1 следует, что
^ dim f(X), а, согласно теореме 2 из § 43, V, существует по-
последовательность замкнутых множеств F,, F2, ..., такая, что
и f(Ft) гомеоморфно Ft, следовательно, такая, что
dim f (Ft) = dim Ft < dim X.
Отсюда по теореме об объединении (§ 27, I, теорема 2) сле-
следует, что
dim/(^)< dim.Г.
Замечание. Предположение счетности множеств f~ (у)
lie может быть заменено1) услопием dim/"'(//) = О (которое
означает, что отображение f 0-мерно).
В самом деле, для каждого компактного пространства '&
положительной размерности существует \-мернос компактное
пространство .Т и открытое 0-мерное отображение f простран-
пространства X на 2/2).
Теорема 3. Пусть заданы три компактных простран-
пространства X, 2/, и Уч и два отображения f{: .?*->3^, /= 1, 2. Опре-
Определим отображение f: X -* Ух X %, положив f(x) = [fi(x), f^ix)].
Если dimf~] (z)^k для всех г?УхХУ2, то
dim/,"'(#,)^ dim У2 + k для каждого У1?'&1.
Доказательство. Зафиксируем точку #[?%. Положим
'' = /21 [A~' (^i)l- ^3 соотношений
{/;(х)=//2}={[/,(л;) = г/,][/г(х) = //2]}^{/(х) = (г/ь у2)}
следует, что h~[ (y2)cfl (yu y2), поэтому diin/z"^)^^. Из тео-
теоремы 1 (с заменой X на /T'O/i) и f на '0 получаем
dim f;1 (г/,) - k < dim /г [/,""' (у,)( < dim Уг
!) Это доказывается с помощью примера Колмогорова (см. Ллексянд-
роп [10]). Некомпактный пример был дан Робертсом; см. Гуревич и Уолмен [I].
'2) См. Пасынков [2]. Ранее Л. Келдыш [4] доказала эту теорему для
Щ =-t/2. См. также Л. Келдыш [2] и [3].
По поводу теорем об открытых отображениях, повышающих размер-
размерность, см. Андерсон [1]. где показано, например, что для любых п ^ 3 ц
т^2 существует монотонное открытое отображение ^на ^п-

12Г) Глава 4. Компактные пространства
VII. Пространство (&')* при r>2dim.2" + l.
Теорема 1. (Теорема вложения Менгсра и Пёбелинга').)
Всякое п-мерное метрическое сепарабельное пространство топо-
топологически содержится в кубе ff2n+[:
2n+\
если А\тЛГ = п, то X'<=. fJ2
top
Более точно2), если замкнутое множество ?c.f удовлетво-
удовлетворяет условию D,, и если г!>2м+ 1, то функции ftzWf, такие,
что сужение f\E есть гомеоморфизм, образуют остаточное мно-
множество (т. е. дополнение множества первой категории) в про-
пространстве (&г)х-
Доказательство. Если А и В — два замкнутых непере-
непересекающихся подмножества и я Е, то обозначим через ФАВ се-
семейство функций # 6 (сО^, таких, что
Так как множество Е удовлетворяет условию D,, и г~^2п + I,
то теорема 4 из § 28, VII показывает, что
Отсюда по теореме 2 из § 44, VI непосредственно следует
вторая часть теоремы 1.
Для того чтобы получить первую часть теоремы из второй,
положим Е = Ж и воспользуемся тем фактом, что пространство
(ffr)T полно (ср. § 33, V, теорема 1) и потому каждое его оста-
остаточное подмножество не пусто (по теореме Бэра).
Замечания, (i) В теореме 1 показатель степени 2п+1
не может быть уменьшен. В самом деле, существуют гс-мерные
пространства, не гомеоморфные никакому подмножеству куба Я ".
Например, доказано3), что таким пространством является объ-
объединение всех гранен размерности не более п Bп + 2)-мерного
симплекса,
(ii) Теорему Менгера и Нёбслинга можно усилить следую-
следующим образом 4):
') Менгрр [4, стр, 1125] и Нобелинг [1, стр. 71].
а) Гурович [S, стр. 754] (случай, когда #' компактно). Общий случай см,
В статье Куратовского [32, стр. 336].
3) Флорес [1, стр. 4],
4) Нббелинг [1],

$ 45. Вопросы теории размерности (продолжение) 127
Пусть N„ — подмножество куба 5lnvy, точки которого имеют
самое большее п рациональных координат. Из условия dim .%' = п
следует включение ,t'aNn.
U)|)
Следовательно, пространство Nn имеет самый высокий топо-
топологический ранг среди всех метрических сепарабельиых про-
пространств размерности не более п.
Сначала мы докажем следующее утверждение:
Если dim*2'<;«, то множество Ф функций g, таких, что
A) g(#)<=:Na,
является остаточным G&-множеством в пространстве (tf2n+[)' .
Доказательство. Пусть п + 1 ^ m ^ 2п + 1 и задана
система гп рациональных чисел г,, ..., rm и m целых чисел
г, < ... <im «2л+ 1); тогда множество точек
X = I
xln+l\ где
есть Bл + 1 — т)-мерпое линейное многообразие.
Для переменных т, ги .... гт и /[,..., 1т получается по-
последовательность L\, L2, ... линейных многообразий, такая, что
Так как d\mLk^n, то множество Е [я (^') П Lk = 0] всюду плотно
и
в пространстве \Я"п ) (согласно замечанию к теореме 3 из
§ 28, VII). Но это множество и открыто в указанном простран-
пространстве (ср. § 17, II, теорема 1 и § 44, V, теорема 4); следова-
следовательно, Ф есть остаточное С6-множество, согласно следующему
соотношению:
ОО "I OO .
ffWn U Lk = o = Г) E[ffWfU* = 0].
fe-i J *=i ц
Так как множество гомеоморфизмов также остаточно, то гомео-
гомеоморфизмы, удовлетворяющие условию A), составляют остаточ-
остаточное множество в пространстве (<9r2rt+1) . Поэтому %'czNn.
top
Остается только показать, что dim Nn^n.
Обозначим через Rk,m подмножество из ffm, точки которого
имеют 1г рациональных и (m — lt) иррациональных координат;
тогда
Nn— Ro. 2rt + l U ••• U ^/t, 2/1 + 1-

128 Глава 4. Компактные пространства
Так как объединение (п+l) нульмерных множеств имеет раз-
размерность <гс (ср. § 27, I, теорема 1), то остается только по-
показать, что')
B) dim/?*,„,-О @<*<т)
Пусть гь г2, ... — последовательность рациональных чисел,
содержащихся в интервале 01, и пусть Z/J' ...,/* — множе-
множество точек {xw, .... xim)), для которых x^^~rjx, .,., x(ik"> — rjk,
а все остальные координаты иррациональны. Тогда
U ?/[ /
где суммирование распространяется на все системы ^ < ...
... <4<т и /,, ..., /fe.
Пространство Z/,'.!.,'/* гомеоморфно (m —/г)-й степени про-
пространства о#* (всех иррациональных чисел в интервале 5Г) и,
следовательно, самому o/F; поэтому оно имеет размерность 0.
Кроме того, оно замкнуто в Л^,т, так как каждая точка х
множества Z/^...]/* —2/'р ...[ ^ имеет в дополнение к коорди-
координатам х''=*Г[ xtk = r[k по крайней мере одну рациональ-
рациональную координату и, следовательно, x(^Rk<m.
Множество Rk,m имеет размерность 0, так как оно есть
объединение последовательности 0-мерных множеств, замкну-
замкнутых в Rk<m (§ 26, III, следствие 1).
Теорема 2 (теорема о компактификации 2)). Всякое п-мер-
ное пространство топологически содержится в некотором п-мер-
ном компактном пространстве.
Более точно, если пространство & удовлетворяет условию D,,,
то гомеоморфизмы h, такие, что dim/i{JP)^n, образуют оста-
остаточное множество в пространстве {0Г) ¦
Доказательство. Положим H{f) = f{S); функционал Н
непрерывен в пространстве (&г)х, согласно теореме 4 из § 44, V.
По теореме 4 п. IV (если Ж там заменить на 3') отсюда сле-
следует, что
есть бб-множество в пространстве (&г)т.
') См. Менгср [I, стр. 147).
2) Гуревич [2, стр. 425].

§ J5. Вопросы теории размерности (продолжение) 129
Так как пространство X удовлетворяет условию Dn, то
множество Ф всюду плотно в пространстве {fjr)x (согласно
теореме 3 из § 28, VII). Следовательно, оно является оста-
остаточным множеством в этом пространстве (Борсук [16, стр. 97])
и таковым является пересечение Ф с множеством всех гомео-
гомеоморфизмов, ибо последнее множество является остаточным,
согласно теореме 1.
Замечания, (i) Замечание (ii) к теореме 1 в сочетании
с теоремой 2 приводит к следующему заключению.
Существует п-мерное компактное пространство, имеющее
наивысший топологический ранг среди всех метрических сепа-
равельных пространств размерности ^«.
Таковым является n-мерное компактное пространство, ко-
которое топологически содержит множество Nn.
(ii) Теорему 2 можно обобщить следующим образом ').
Если (\\п\Ж-^.п, то множество гомеоморфизмов g, таких,
что dim g{-t')^n и для любого х ? Л'размерность пространства .Т
в точке х равна размерности множества g{-V) в точке g{x),
есть остаточное множество в пространстве (Иг)"°.
Следствие 3. Неравенство A\m??-^Ln и условие D,, экви-
эквивалентны.
Доказательство. Условие D,, вытекает из неравенства
dim.^'^tt, согласно теореме 4 § 27, III. Обратно, из усло-
условия Drt, согласно теореме 2, следует, что пространство .V го-
меоморфио подмножеству некоторого множества размерности
не более п, а потому (Пт.'Л-'^н.
Легко видеть, что доказательство теоремы 1 по существу
опирается па следующее утверждение (которое является пря-
прямым следствием теорем § 28, VII, 4 и § 44, V, 4а).
Теорема 4. Если А и В— два замкнутых непересекаю-
щихся п-мерных множества, причем :V = A U В, то совокупность
всех функций g, удовлетворяющих условию
есть всюду плотное открытое множество в пространстве (ffr)'c.
Теорема 4'. Пусть в метрическом сепаравельном, про'
странстве Л' заданы I + 1 замкнутых множеств /10, ..., Л,
1) Доказательство см. Куратовскнй [34, стр. 13]. Ср. также Гуревич
|2, стр. 430].
9 Зак. 1!Ю

130 Глава 4. Компактные пространства
размерности ^ п; тогда множество Ф функций g, удовлетво-
удовлетворяющих условию
C) (Иш[гШп ••• ngMi)]<dim(A,n ... ПИ(),
является остаточным Gf,-множеством в пространстве {Зг)%'.
Доказательство. По теореме 4' из п. IV множество
Е [dim(Fon ... n^)<dim(/lon ... П At)]
" F
есть С6-множество в пространстве B^г)ж. Так как операция
g(At) (если ее рассматривать как функцию от g) непрерывна
(§ 44, VI, теорема 2), то множество Ф является Ой-множеством
в пространстве {8Г)Х. Наконец, оно всюду плотно в этом про-
пространстве по теореме 5 из § 28, VII.
Теорема 5. Пусть Ао, Ah ...—последовательность замк-
замкнутых множеств в пространстве .%'. С топологической точки
зрения пространство it' можно рассматривать как всюду плот-
плотное подмножество такого компактного пространства И", что
если А* обозначает замыкание А в %*, то
D) dim(/,on ... n^,)-dim(^on ...П
для любых индексов iQ, ..., it (
Следовательно, условие компактности в теореме III, 1 можно
опустить.
Доказательство. По теореме 2 из § 44, VI множество
гомеоморфизмов Ч1 является остаточным в пространстве (<9rt!o)J?,
а потому, согласно теореме 4', таким же является множество
Ф(г'о, ..., ii) функций g, удовлетворяющих условию
E) dim[g{AiJ(\ ... ng(^y <<Нт(Л<0П ... f\A{[);
следовательно, таким будет и Г = гРППФ(г'о. .... h)> гДе
/о, .... it пробегают все системы неотрицательных целых чисел.
Пусть ??Г. Предположим, что W = g{%'), и отождествим X
с g(%'). Тогда
Поэтому, согласно E),
dim \g (Ai0) П ... П g (Att)\ = dim (Л,о П ... fl
откуда вытекает равенство D).

# 45. Вопросы теории размерности (продолжение) 131
Теперь рассмотрим вторую часть теоремы 5.
Пусть Яо, Р\, ... —последовательность замкнутых подмно-
подмножеств пространства J и Go, ..., Gm —такая система открытых
множеств, что t' = GQU ... [}Gm. Положим
F) Ql = &-Gl; тогда Qofl ... flQm = O.
По доказанному пространство X можно рассматривать как
всюду плотное подмножество компактного пространства ."I",
такого, что
G) dim Я) = dim Я, и Q*Q(] ... (] Q*n = 0
(последовательность Ао, Аи ... мы заменили на Qo, ..., Qm,
PQ, Ph ...)• Положим U c =-°1" - Q*; тогда
c/ou... ut/m=^*-(Q;n... nQ'j = .*-.
Так как множества Ut открыты, то, согласно теореме 1
из п. III, существ ег система замкнутых множеств WQ, ..., Wm
(в it'*), такая, что
V=W0[) ... [}Wm, WtczU{,
dim (P* П Wio П ... П И^,) < dim ?; - /
для любых /= 1, 2, ... , / < dim Pt + 1 и /0< ... <z, <m.
Положим Ft = .%' [\W{. Тогда
(9)
Fi = .«• n W< «= ,r П f/< = .*• П -^ - Q* = •«' - Q',
а так кпк Q( замкнуты в .^", то, согласно F),
&{)Q*=Qt, откуда .Г- Q* = .r- Q, = G,-,
it, следовательно, Ft a Gi в соответствии с (9). Наконец, со-
согласно (8) и G), имеем
dim (/>, П /\ П ¦•• П Z7^) < dim (/>; П Wia П ... П Wi) < dim P;- - /.
Теорема б1)- Пусть в метрическом сепарабельном про-
пространстве Я' заданы два замкнутых множества Л и В размер-
размерности ^п, таких, что пересечение А (~) В компактно. Тогда,
функции g, удовлетворяющие условию
(Ю)
образуют остаточное множество в пространстве
') См. Куратовский [34]. См. также Морита [I].
9*

132 Глава 4. Компактные пространства
Доказательство. Положим Sk — E.[p(x, Af\ B)< \/k] и
Лк = А- Sk; тогда Лк Л В = 0 и А- В = Л, U Л2 U .... По тео-
теореме 4 множество Ф,е = Е [g{Ak) Л Я (Я) = 0] открыто и всюду
g
плотно в пространстве {Вг)х\ поэтому множество Ф = Ф,П
П <1J Г) ••¦ —остаточное в том же пространстве.
Пусть д ? Ф, Докажем, что выполняется равенство A0).
Имеем
к
<= \Js(Ak)Uns(A - Лк) cr U g(Ak)[) П g(Sk).
к к к к
Так как (ср. § 41, VI, теорема 10) Л йТ^Г) = R (Г\
к \ к
g(A[)B), мы получаем
и потому
ибо предположение ^бФ^ФгП ••¦ означает, что
Следующая теорема представляет собой приложение тео-
теоремы 4.
Теорема 7 !). Пусть в кубе Я' задана последовательность
множеств Аи Л2, ... размерности ^.п. Тогда для каждого е>0
существует последовательность гомеоморфизмов /?0, hb...,
таких, что
hMd^S', ht{Al)[\h,{A1) = Q (если \Ф1\
Доказательство. Каждой точке х — \хх, х2, ...] множе-
множества Л, поставим в соответствие точку fi(x) — [i, Xх, х2, ...]
пространства efr+l. Очевидно, что /г — гомеоморфизм и множе-
множества Bi = fi{Ai) попарно не пересекаются и открыто-замкнуты
в своем объединении S = B0U6iU ••• • Так как dimJ3(^/?, то
из этого следует, что
') См. Александров [8, стр. 210] и Гуреиич [5, стр. 700J.

§ 45. Вопросы теории размерности (продолжение) 133
Пусть g — функция, равная /J на Bt для/»=О, 1 Тогда
g€(tfr)s и, следовательно, согласно теоремам 1 и 4, сущест-
существует гомеоморфизм h?{3r)s, такой, что
|A-ff|<e и h(Bt)(\h(B,)-0 при \Ф1.
Таким образом, достаточно положить hl(x) = hf,(х) для х? At.
VIII. Пространство (#г)г при г > dim Я".
Теорема Гуревича1). Если dim^«^га, то существует
функция g: X—> вт, никакое значение которой не принимается
более чем в m точках, где m — наименьшее целое число,
удовлетворяющее условию m ^ п _ .
Более общо, если V\ — множество значений порядка >/г
функции g, то
A) dim К» < я-Л (г-га) при k^^~-.
Более того, множество }Vk функций g, удовлетворяющих
условию A), и, следовательно, множество Чг0 f| lF, f) ... являются
остаточными в пространстве (^r)v.
Доказательство. Пусть /?,, /?2, ... — база пространства X,
и пусть g: .%"-*¦ вт и y(zVk- Тогда существует система из таких
(/г+1) различных точек х0, .... xk, что y = g(xo)=' ... i)
Следовательно, существует система индексов S=°(i0, ...,
такая, что множества Rio Rik не пересекаются и
откуда
B) Vk а у й^О П • •. П g (^7)-
Это счетное объединение замкнутых множеств; поэтому
из предположения, что функция g не удовлетворяет условию A),
вытекает существование системы S, такой, что
C) dim\g(Rln)(] ... ug(Rtk)]>n-k(r-n).
Другими словами, если #(?ЧГЛ, то существует система S, удо-
удовлетворяющая условию C). Сели Г5 есть множество функций g,
удовлетворяющих условию C), то
С <7rYr _ if r- II Г
') См. Гуревич [5, стр. 755]. См. также Эйленберг C, стр. 156].

134 Глава 4. Компактные пространства
Так как Г5 —граничное множество (по теореме 6 из § 28, VII)
и /^„-множество (IV, теорема 4, и § 44, V, теорема 4), то
xl'k — остаточное множество.
Пример. Если dim.^'=l (например, в случае, когда X —
некоторая кривая), то Ж можно отобразить на плоскость таким
образом, что ни одна из точек плоскости не будет накрываться
более чем двумя точками ,Т и при этом множество точек пло-
плоскости, которые накрываются двумя точками множества .#',
имеет меру 0.
IX. Пространство (8Г)Х при r<dim.#\
Теорема Гуревича1)- Если dim .2"^ га, то существует
функция g: ¦%'->&', такая, что
A) dim [g~}(y)] <л — г для каждого г/6 ?(¦?")¦
Более того, если пространство ,Т компактно и dim .2"^ га,
то множество функций g, удовлетворяющих условию A), является
остаточным G'^-множеством в пространстве (8Г)Х'.
Доказательство. Так как всякое пространство содер-
содержится в некотором компактном пространстве той же размер-
размерности (VII, теорема 2), то достаточно установить справедли-
справедливость второй части теоремы.
Вначале рассмотрим случай, когда г = п. Так как множество
g~} (у) компактно, то условие dim [#"' (//)] = 0 эквивалентно
(IV, теорема 1) условию dl[g~[ (у)] = 0, которое означает, что
B) dde
для k = 1, 2, ... .
Наконец, условие B) эквивалентно существованию разбиения
множества g~x {у) на конечное число замкнутых непересекаю-
непересекающихся множеств диаметра < \/k (ср. п. IV). Если множество
функций g, удовлетворяющих условию A), обозначить через Чг,
а множество функций g, удовлетворяющих условию B), —
через хУк, то
ч' = ч',пч'2п ....
Так как множество Mrfc всюду плотно (теорема 7 из § 28,
VII) и открыто (IV, теорема 5), то XV — остаточное ОЛ-мпожество.
Теперь рассмотрим случай, когда г<п. Поскольку Чг есть
О6-множество (IV, теорема 5), остается только показать, что
оно всюду плотно.
') См. Гурспич [5). В случае, когда ^Г —полиэдр, нернпя часть теоремы
становится элементарной, См. также Болдяиский и Солтан |1],

§ 45. Вопросы теории размерности (продолжение) 135
Пусть /: .%"->&' и е>0. Определим функцию /,: &—>вп
следующим образом:
, { f'(x) для t<r,
1*{х}-[ 0 для /¦</<«.
Как мы только что показали, существует функция gt: &'-*¦ ?fn
с 0-мерными прообразами точек, такая, что \ gt — /, |<е.
Положим g(x)=*[g[(x), .... g[(x)\. Тогда
g: ^-*^Л и |g-/|<e.
Наконец, яб1^. так как условие A) непосредственно сле-
следует из теоремы 3 п. VI, если положить
/, = ?, A> = 0C О- следовательно, / = ^.

ГЛАВА 5
СВЯЗНЫЕ
ПРОСТРАНСТВА
§ 46. Связность
I. Определение. Общие свойства. Монотонные отображения.
Говорят, что пространство X связно '), если оно не содержит
такого множества X, что
A) О
иными словами, если не существует множества X, удовлетво-
удовлетворяющего условию 0 ф X ф & н имеющего пустую границ!/.
Теорема 0. Пространство связно тогда и только тогда,
когда оно не является объединением двух непересекающихся
замкнутых непустых множеств.
В самом деле, если пространство можно разбить таким
образом на множества X и Y, то условие A) выполняется;
обратно, если X удовлетворяет условию A), то .Т —X [].?.' —X
есть разложение пространства SP на два непересекающихся
замкнутых и непустых множества.
Отсюда следует, что множество С (лежащее в данном про-
пространстве) связно тогда и только тогда, когда всякое подмно-
подмножество X множества С, такое, что 0 ф X ф С, удовлетворяет
условию Cf\ X (]С — X ф 0; другими словами, С нельзя разбить
на два непустых непересекающихся множества X и Y, замкну-
замкнутых в С, или па два непустых отделимых множества X и Y,
т. е. удовлетворяющих условиям
B) C = X\JY,
Открытое связное множество называется областью.
Теорема 1. Если множество С связно и СП ЛфОфС — А,
то СГ\Рг{Л)фО.
') Принятое здесь определение связности посходит кЖордаиу [I, стр.25].
Ср. Легшее [I, стр. 303]. Нго цель —выразить на топологическом языке
интуитивное понятие непрерывности точечного множества.

46. Спямость 137
Действительно, ОфС[]С(]Л(]С-Лс:СГ\Л(].Г-А =
= СПРг(Л).
Теорема 2. Если множество С не связно, то существует
открытое множество G, такое, что
C()G ФОФС-G и CflFr((?) = O.
(Пространство предполагается метрическим; более общо,
можно считать, что оно наследственно нормально.)
Доказательство. Допустим, что X и Y удовлетворяют
условиям B); положим
G = E[p(x, X)<p(x, Y)}.
X
Тогда
XczG и GПГ = 0, следовательно, (X{J YH(G - G) = 0.
Теорема 3. Связность есть инвариант непрерывных ото-
отображении.
Доказательство. Если f (С) = X U Y, где X и 7 — два
непересекающихся замкнутых непустых множества, то
причем множества f" (J) и /~'(У) также не пересекаются,
замкнуты и непусты.
Примеры и замечания. Пространство с? действитель-
действительных чисел связно. Это простое следствие аксиомы Дедекипда.
Множество, состоящее из одной точки, и пустое множество
свя.чпы.
Легко видеть, что не существует других связных подмно-
подмножеств '(f (содержащих более одной точки), кроме следующих:
замкнутые или открытые интервалы, замкнутые или открытые
лучи, интервалы без одной концевой точки.
Так как пространство Я связно, то связным является и
график Е [// = /(*)]> где отображение /: 3~*2/ непрерывно,
х. и
а У — произвольное пространство, так как этот график гомео-
морфеп 8 (см. теорему 1 из § 15, V).
Следствие За. Пространство Ж связно тогда и только
тогда, когда каждая непрерывная функция f: Л'->'сГ обладает
свойством Дарбу (т. е. переходит от одного значения к другому,
принимая все промежуточные значения).

138 Глава 5. Связные пространства
Доказательство. Пусть пространство Ж связно и ото-
отображение f непрерывно; тогда по теореме 3 множество f(.T)
связно и в силу предыдущих замечании отсюда сейчас же сле-
следует, что / обладает свойством Дарбу.
Если пространство X несвязно, то .%' = A U /?, где А и В ~
непересекающиеся замкнутые непустые множества. Положим
f(x) — O для х?А и f(x)—\ для х?В. Тогда функция / непре-
непрерывна, но не обладает свойством Дарбу.
Теорема 4. Мощность вполне регулярного связного
пространства С, содержащего более чем одну точку, не
меньше с.
Доказательство. Пусть а и b — две различные точки
пространства С. Тогда существует непрерывная функция
f: C-+8f, такая, что f (а) = 0 и f (b) = 1. Согласно следствию За,
что завершает доказательство.
Замечание. Существуют (бесконечные) счетные связные
^-пространства1).
Теорема 5. Если С — связное метрическое сепарабельное
пространство (содержащее более одной точки), то dimpC=^=0
для каждого р?С
Действительно, в противном случае существовала бы открыто-
замкнутая окрестность точки р, отличная от С.
Теорема 6. Пусть f: 0 -+<f" — функция первого класса
Бэра, такая, что f(x)(zf(xx') и f(x')(zf{xx') для каждого от-
открытого интервала хх'. Пусть У — ){0). Тогда "У связно.
Доказательство. Допустим, что F — открыто-замкнутое
подмножество пространства У и 0 ф F ф У. Положим А = \~ (F).
Из связности 8 следует, что Fr (А) = А П Я — А ф 0. Так как
/ — функция первого класса, то сужение /|Рг(Л) имеет точку
непрерывности а (§ 34, VII). Поскольку F и &—F, а, следо-
следовательно, А и в — А удовлетворяют тем же предположениям,
можно считать, что а?А и потому а?_А[\8 — А.
Множество Л = /~' {F) содержит окрестность точки а отно-
относительно множества Fr (Л), так как функция f\Fv{A) непре-
непрерывна в точке а и F — окрестность f{a); поэтому существует
число е>0, такое, что из условий x^Fr{A) и \х — а\<е сле-
следует, что х?Л. Пусть b — точка множества в — А, такая, что
') Пергш/i пример такого пространства был дам Урысоном [2J. См. также
Раухваргир [1] и БурОакн [1].

§ 46. Связность 139
| и — b |<e (в соответствии сословием a?fj — А). Следовательно,
b^Fr(A), откуда Ь 6 И — А. Пусть cd — (открытый) интервал,
смежный к Л и содержащий Ь. Один из концов этого интер-
интервала, скажем с, лежит между а и Ь; это дает: \с — а\<ъ,
а так как c?Fr(/l), то из этого следует, что с?А, и поэтому
f{c)?F. Но это противоречит формуле
А) = !Г1(& - F) = V - F.
Из теоремы 6 вытекает следующая
Теорема 7. Пусть g: 0-+<f — действительная функция.
Если g — функция первого класса, обладающая свойством Дарбу,
то множество С— Е [y — g{x)\ связно^).
Доказательство. Из свойства Дарбу вытекает2), что
каждому х соответствуют две последовательности {х'Л и [х'{Л,
сходящиеся к х, одна из которых возрастает, а другая убывает,
такие, что
\img(x'n) = g(x)= lim g«).
tl->°o n -> oo
Следовательно, составное отображение /(х) = [л:, g(*)] удовлет-
удовлетворяет условиям теоремы 6. Отсюда вытекает, что множество
С = }(&) связно.
Из теоремы 7 непосредственно следует
Теорема 8. ?слм производная dg(x)/dx конечна для лю-
любого х, то множество Е \У = - ,* связно3).
Более того, будучи Оь-множеством (ср. § 31, VII, теорема 1),
эго множество является топологически полным пространством
(§ 33, VI).
Замечания. Теоремы 7 и 8 позволяют определить связ-
связные множества, обладающие целым рядом замечательных
свойств (ср. VI, (ШL)).
Для функций, не являющихся функциями первого класса,
условие Дарбу (как легко доказать) остается необходимым для
связности графика, по не является более достаточным.
') См. Куратонский и Сершшский [2, стр. 304]. Ср. Хаусдорф [I]. См.
также II йопее и Томас [1|.
г) Для функций первого класса имеет место и обратная импликация;
см. Юнг [2, стр. 187].
3) См. Кнастер и Куратоиский 14].
4) В тех же целях могут быть использованы функции, удовлетворяющие
функциональному уравнению I' (х + у) •= / (х) + f (у), ср. йонес [1, стр. 115].

ИО Глава 5. Связные пространства
В самом деле, рассмотрим функцию Чезаро (второго класса)
<bU)° lim sup a'+ '•• +пп , где 0<л;<1
и х==@, а^.., .. .J~ двоичное разложение х.
Функция со принимает каждое значение между 0 и 1 в лю-
любом интервале. Следовательно, она удовлетворяет условию
Дарбу, а потому этому условию удовлетворяет и функция g{x),
определяемая следующим образом: g{x) = O, если х==ы(х), и
g(x) = <a{x) в противном случае. Отсюда следует, что прямая
линия у — х пе пересекает множество Е [у — g(x)\, а потому
это множество не связно').
Определение. Непрерывное отображение f: Х->У назы-
называется монотонным, если прообраз /"' (С) каждого связного
множества С с: 2/ есть связное множество2).
Таковы, например, действительные функции действительного
переменного (определенные на интервале), монотонные в обыч-
обычном смысле.
Теорема 9. Если прообразы точек при замкнутом отобра-
отображении f: T -» У связны, то отображение f монотонно.
Доказательство. Пусть множество С а'& связно. Пусть
А и В — два отделимых множества, таких, что /~' (С)= А\] В.
Отсюда следует, что если ;/?С и /""' (г/)П А Ф 0, то f"'(//) сг А.
Пусть М — множество всех точек у С С, таких, что f~ (у) а А.
Тогда А = /~ (М).
Аналогично, существует множество N, такое, что В = f~l (N).
Так как множества Aw В отделимы, то М и УУ —тоже отде-
отделимы (ср. § 41, III, замечание 2 (и)). Следовательно, из пред-
предположения связности множества С = М U N вытекает, что либо
М = 0, либо N ¦= 0, и поэтому или А = 0, или В = 0.
II. Операции над связными множествами.
Теорема 1. Если С — связное подмножество объединения
Nl\]N двух отделимых множеств М и N, то либо С П М — О,
либо СП#«О.
') Йонсс [11. Олнако множество Е [(/""и(л)] связно как доказал Вье-
к и
торис [1, стр 173|
'\ Ср Уайберн [I, стр 127| См. 1акже Уоллес [I, стр. J36J (обобщение
понятия монотонного отображении).

§ 46. Связность 141
Доказательство. Действительно, в противном случае
множество С было бы объединением множести С (] М и Cf\N,
которые непусты и отделимы.
Теорема 2'). Пусть [С t\ — семейство связных мнооюеств.
Объединение |J Ct связно при условии, что существует множе-
t
ство Со> не отделимое от любого множества Ct.
Доказательство. Пусть объединение U С, есть все про-
t
странство .Т. Предположим, что .f = M\JN, где М и N — от-
открыто-замкнутые и непересекающиеся множества. Покажем,
что либо М — О, либо N — 0. Согласно теореме 1, можно пред-
предположить, что С0П М = 0; тогда CoczN, и поэтому N есть
(открытая) окрестность множества Со. Так как множества Со
и С( неотделимы, отсюда следует, что С, Л N ф 0, и потому,
согласно теореме 1, Ct?\M — 0 для любого t. Следовательно,
М = 0.
Теорему 2 можно также вывести из следующей теоремы 2':
Теорема 2'. Пусть (Q) — направленное семейство связных
множеств {это означает, что для каждой пары tu t2 существует
такое t3, что Ctt cr Ct, и Ct, cr Си). Тогда объединение S = (J Ct
связно.
Доказательство. Предположим, что S=*M\JN, где
М и М — отделимые множества. По теореме 1 для каждого /
либо Ct cr M, либо Ct cz N. Пусть С(„ Ф 0. Очевидно, можно
предположить, что Ct{)czM\ следовательно, Ctn<?N. Покажем,
что SczM, завершив тем самым доказательство.
Пусть ^ — произвольный индекс, и пусть f — такой индекс,
что Ct^cz Cr и Ct cr Су. Первое включение дает Се ф. N. Отсюда
Ct>czM, и потому CtczM. Из этого следует, что SczM.
Следствие 3. (i) Объединение связных множеств, имею-
щих общую точку, представляет собой связное множество.
(и) Если С связно и С сг X с: С, то X связно.
(iii) ?слм каждая пара точек пространства содержится в не-
некотором связном множестве, то все пространство связно.
Доказательство, (i) вытекает непосредственно из тео-
теоремы 2.
Чтобы доказать (п), положим X=M\JN, где М и N отде-
отделимы. Согласно теореме 1, можно считать, что С cz M. Отсюда
') См. Кнастер и Куратовский [2, стр. 210].

142 Глава 5. Связные пространства
вытекает, что С с М и, следовательно, С [}N = 0. Так как Хс:С,
то мы получаем X Л N = 0, а отсюда N — 0.
Теорема 41). Если С — связное подмножество связного
пространства 3' и если М и N — два отделимых мноокества,
таких, что .1' — С = М U N, то множества CUM и С[) N связны.
Более того, если С замкнуто, то С U М и С U N также замк-
замкнуты.
Доказательство. Предположим, что С[) М = A(j В, где
А и В отделимы. Покажем, что либо Л = 0, либо В = 0. В соот-
соответствии с теоремой 1 можно предположить, что С П Л = 0,
откуда АаМ, так как AczC\JM. Поскольку множества М и N
отделимы, множество А отделимо от N, а следовательно, и от
N\JB, ибо А и В отделимы (ср. § 6, V, теорема 4). Соотно-
Соотношение
даег разложение связного пространства на два отделимых мно-
множества А и ВЦ N. Следовательно, одно из них пусто, что и
завершает доказательство.
Наконец, если С замкнуто, то
так как М Л iV = 0.
Следствие 52). Пусть А и В — два замкнутых {или два
открытых) множества. Если множества А[) В и Af\B связны,
то множества А и В также связны.
Доказательство. Пусть А [} В — все пространство #";
положим в теореме 4
М = Л - В, Л^=В-Л и С = ЛПВ.
Так как множества А— В и В — А отделимы (ср; § 6, V, тео-
теорема 2), то множества
А = А[}В[](А-В) и В = А()В{)(В-А)
связны.
Теорема 6. Если Е не является объединением п связных
множеств, то существуют п + 1 попарно отделимых множеств
А\, ..., Л„ + 1, таких, что
Е = Л,и ... U Ап+и Агф0 для 1<*<и + 1.
') Кнастер и Куратовский [2, теорема VI |.
2) См. Куратовский и Янишеиский [1, стр. 211, теорема 1].

$ 46. Связность 143
Доказательство. При п=1 утверждение, очевидно,
верно; предположим, что оно верно для п—\. Таким образом,
? = Л, U ... U Лп и Л/ являются попарно отделимыми непустыми
множествами. По предположению одно из них, скажем Ап,
не связно, т. е. существуют два отделимых непустых множества
Л'п и Аг+i, таких, что An — A*n\J An+\\ отсюда следует требуемый
результат.
Теорема 7 (обобщенная теорема 4')). Если Сь ..., С„ —
связные подмножества связного пространства 3?, а М и N -~
два отделимых множества, таких, что
то множество С\[] ... [)Сп\]М состоит из п связных множеств
(различных или совпадающих).
Доказательство. Предположим, что существует разло-
разложение на п + 1 попарно отделимых, непустых множеств (ср.
с теоремой 6):
с,и ... ис„им = л,и ... идч+).
Ни одно из множеств Л; не отделимо от /V для i<Jrc+l, ибо
в противном случае существовало бы разложение
jf-^UMiU ... U4-iU4+iU ...UA,+.UAO
на два отделимых непустых множества, вопреки связности про-
пространства .Т. Множества М я N отделимы, следовательно,
А/фМ, и потому Л; П С/ ф 0 для некоторого j^n. Так как
С; —связное подмножество объединения отделимых множеств
Л], .... Ап+и отсюда следует, что С/с:А{.
Наконец, мы заключаем, что каждое из множеств Аи ..., Л„+,
содержит (непустое) множество, принадлежащее системе
{Сь ..., CJ, что, очевидно, невозможно.
Теорема Т. Всякое связное пространство, содержащее
более одной точки, есть объединение двух связных множеств,
отличных от всего пространства и содержащих более одной
точки 2).
Доказательство. Если для каждого х множество
3? — х связно, то существует разложение X = {.°V — ж,) U {.Т — х2),
') См. Кнастер и Куратовский [5; стр. 648]. Ср. также (в случае п = 2)
Уайберн [3, стр. 1811.
2) Более точный результат А. Стоуна и связанные с этим вопросы см.
Эрдёш [1, стр. 442]. .

144
Глава 5. Связные пространства
где хх ф х2- С другой стороны, если существует такое х, что
X — х не связно, то X — x — M[)N, где М и N отделимы и
непусты; поэтому (ср. с теоремой 4) X = (x\j M)\j(x\j N).
Замена н и е. Однако существуют пространства, называе-
называемые бисвязными, которые не допускают никакого разложения
на два связных непересекающихся собственных подмножества,
содержащих более одной точки.
Рассмотрим следующий пример1). Соединим точку \-~-, -^-1
с каждой точкой канторова множества <? прямолинейным от-
отрезком (рис. 1). Если этот отрс-
(¦*¦¦-) зок содержит конец интервала,
смежного с <?, то возьмем все
его точки с рациональными орди-
ординатами; в противном случае бе-
берем точки с иррациональными
ординатами. Все эти точки обра-
образуют требуемое бневязпое мпо-
//// //// UW \ \ жество.
Определенное так бисвязное
пространство X имеет точку р,
называемую «точкой дисперсии»,
@,0)
а именно точку I -_-, у I, такую, что
A0) ^ ~ Р не содержит никакого спяз-
Р и с. 1
ного множества (имеющего более
одной точки). С помощью ги-
гипотезы континуума можно дока-
доказать, что существуют бисвязиые пространства, не обладающие
этим свойством 2).
Добавим, что множество всех рациональных точек (т. е.
точек с рациональными координатами) гильбертова пространства
становится бисвязным при присоединении одной точки3).
Теорема 8. Если С — связное пространство и {Gi} —откры-
—открытое покрытие С, то каждую пару точек можно соединить цепью
со звеньями, принадлежащими этому покрытию, т. е. каждой
') Доказятельстпо см. в цитированной выше статье Кпастсрл и Куря-
товского [2, стр. 241]. Другие примеры см. в статье Кнастера н Куратов-
ского [4, стр. 3].
См. также Сунпгл [I], Эрдйш [1J, Дуда [3] и Рудип [1]. Ср. Мартин
[1, стр. ЮГ)-167] п Рогг [1].
2) См. Миллер [1 ].
3) Роберте [4|. См. также Уилдер [2].

.<? 46. Связность 145
парс (х, у) соответствует конечное множество индексов tu .. ., fn,
таких, что
A) x?Gv Gtkf]Gtk+i^O для 1</г<«, //€G,n.
Доказательство. Пусть х — фиксированная точка и
Е — множество всех точек //, которые можно соединить с точ-
точкой х цепью. Наша задача показать, что Е = С. Так как ЕфО
(поскольку х?Е) и так как Е, очевидно, открыто, задача сво-
дится к тому, _чтобы показать, что множество Е замкнуто.
Пусть р?Ё~ и p^Gt. Так как Gt открыто, то существует
точка y(zE{]Gt. Если цепь G^, ..., Gtn удовлетворяет усло-
условию A), то цепь Gtx, ..., Gtn, Gt соединяет точку х с точкой /;.
Следовательно, р?Е, и потому Е = Е.
Отсюда непосредственно вытекает
Теорема 9. При тех же предположениях относительно С
и {Gt} каждой паре непустых множеств (Л, В) соответствует
неприводимая цепь между Л и В, т. с. существует система
множеств /?i,..., Rn (rc>0), принадлежащих семейству {GJ,
такая, что если мы положим Rn — Л и Rn + l = Ii, то условие
Ri П Ri' Ф 0 эквивалентно неравенству | / — I' \ ^ 1.
Теорема 10. Если при предположениях теоремы 8 индексы t
пробегают множество натуральных чисел, то существует пере-
перестановка /г,, ko, ... этого множества, такая, что
B) (GtlU •¦• UGfen)nGfe/i+i^=0 для n=l, 2
при условии, что множества Gk непусты.
Доказательство. Пусть /гг = 1. Для /г>0 пусть
kn+{ — наименьшее положительное целое число, удовлетворяю-
удовлетворяющее условию B) и отличное от чисел /гь ..., kn.
Такое целое число существует, так как в противном случае
множество G^U ••• U Gkn было бы открыто-замкнутым и отлич-
отличным от всего пространства.
Мы хотим показать, что последовательность {?„} содержит
псе положительные целые числа.
Предположим, что это неверно, и пусть /,, U, ... —последо-
—последовательность (конечная или бесконечная) положительных целых
чисел, не принадлежащих последовательности {kn}. Так как
пространство связно, то из этого вытекает, что
(Gkl[)Gk,[) ...)n(G/,UG;,U ...)Ф0.
Следовательно, существуют два индекса п и пг, такие, что
Зак. 190

146 Глава 5. Связные пространства
По определению kn+l отсюда следует, что kn + x<lm и анало-
аналогично kn+2<lm и т. д. Но это невозможно, так как последова-
последовательность {kn} пеограпичена.
Теорема 11. Прямое произведение J= П С, связных про-
странств связно.
В частности, евклидово пространство if", пространство
Фреше ef"° и гильбертов куб &*° связны.
Доказательство. Если (хх, ух) и (х2, у2) — д,ве точки
пространства Сх X С2, то множество {Сх X ух) U (х2 X С2) связно
как объединение двух связных множеств, имеющих общую
точку (je2, г/|). Таким образом, пространство Сх X С2 связно,
согласно следствию 3 (Hi).
Итак, произведение двух связных пространств (а следова-
следовательно, любого их конечного числа) связно.
Рассмотрим теперь общий случай, когда Т произвольно.
Можно считать, что Ct Ф 0 для каждого t ? Т.
Пусть /о — фиксированный элемент X (например, точка
(О, 0, ...), если X — гильбертов куб). Поставим в соответствие
каждой конечной системе S = (tx, ..., /„) произведение Ks
множеств С, для (f S и одноэлементных множеств (fo(t)) для
/(?S. Иначе говоря, если f ? ¦%", мы имеем
C) (feKs)^U(t) = h(t) для
Прежде всего заметим, что Ks связно. Это вытекает из связ-
связности (только что доказанной) множества Ls — Ct X ... X Ct
и того факта, что Ks можно получить из этого множества
с помощью непрерывного отображения, а именно с помощью
отображения h: Ls~*-Ks> гДе ^(*/,> •••> xt^~xti> если h 6 S,
и h*(xtl xtn) = f0(t), если t(fcS.
Ясно, что (S a S')=^>(Ks c: Ks'), а из этого следует, что
семейство всех Ks направлено; это означает, что для любой
пары S[ и S2 существует S3, такое, что Sx с S:] и S2 cr S3
(а именно 5;) = 5i U 52). Следовательно, по теореме 2' объеди-
объединение U = \jKs связно, а потому связно и U (согласно след-
ствию 3 (ii)). Остается показать, что ?/ = .#", т. е. что для
всякого открытого непустого множества Qcz.%" мы имеем
Очевидно, можно считать, что Q принадлежит базе про-
пространства X. Следовательно, мы можем предположить, что
существуют S = (tx, ..., tn) и множества Gt(, открытые отно-

§ 46. Связность 147
сителыю Ct. (для tt 6 S), такие, что Q есть произведение этих
множеств и множеств Ct при t(fcS:
Q^UGt, где Gt = Ct для t$S.
Пусть / 6 Q — такой элемент, что f(t) = fo(t) для ^5.
Согласно C), f(zKs- Следовательно, f?U()Q.
Лемма. Пусть отображения /;: У ~+.9? непрерывны для
с = 1, .. ., я (где X есть J1 ^пространство). Положим F (у) =
~ (fi (//). •••> fn(y))- Тогда отображение F: &-+2г непрерывно
(заметим, что F (у) есть множество, составленное самое большее
из п элементов, а не конечная последовательность).
Доказательство. Чтобы доказать непрерывность F,
достаточно показать, что прообраз Р~*(Щ всякого открытого
множества № из 2х есть открытое множество в "У. Очевидно,
что область изменения © можно ограничить открытой предбазой
пространства 2х. Таким образом, мы должны показать, что
множества
E[F(y)czH] и E[F(y)(]H^0]
У У
открыты в 2/ для каждого множества Я, Открытого в 2/.
В первом случае мы должны показать, что если F(;/rt)c:#,
то существует Q, открытое в &, такое, что #o€Q и F(Q)czH.
Но включение ^(/'0^с:Я означает, что Ы//о) 6 Н для
каждого 1^.п. Так как отображение /; непрерывно, существует
открытое в 2/ множество Q,-, такое, что iJo(zQi и fi(Qi)c:H.
Остается положить Q = QIU ••• UQn-
Во втором случае мы должны показать, что если
F (г/о) П Я ф 0, то существует открытое множество Q, такое,
что //o6Q и /Г(г/)ПЯ=/=О для каждого y(zQ. Соотношение
F (г/о) П Я =/= 0 означает, что существует 1^п, такое, что
)?Я. Пусть множество Q, определено, как выше. Оче-
Очевидно, остается положить Q = Q(,
Теорема 121). Если С —связное J" ^пространство, то
семейство Fn с 2е всех подмножеств, составленных не более
чем из п элементов, связно.
Следовательно, семейство F всех конечных подмножеств
пространства С связно.
') См. Майкл Э, [1, стр. 1G5].
10*

И8 Глава 5. Связные пространства
Доказательство. Положим в лемме ,?" = С, У = С" и
fi(xi, ..., xn) = xt. Тогда F(хи ..., хп) — подмножество в С,
составленное из элементов хи ..., х„. Очевидно, F: C"—*Fn
есть непрерывное отображение на (так как отображения f{
непрерывны по теореме 1 из § 15, II). Так как пространство С"
связно (по теореме 11), то связно и Fn (по теореме 3 п. I).
Так как F = Fl[)F.2\J ... и FkczFk+l, то F связно, согласно
теореме 2.
Следствие 13. Если С — связное ^^пространство, то
таким -же является пространство 2е.
В самом деле, 2е = F (по теореме 4 из § 17, II).
Теорема 14. Семейство С всех замкнутых связных под-
подмножеств нормального пространства X замкнуто в 2Х[).
Доказательство. Пусть Л с: Ж — несвязное замкнутое
множество. Тогда A — M\jN, где М и N замкнуты и М П N = О,
М Ф 0 ф N. Так как пространство $" нормально, существуют
два открытых множества G и Н, таких, что MdG, N с: // и
Gf\H = 0. Обозначим через V семейство всех замкнутых
множеств F, таких, что
D) FcGUtf и FnG^O^Fntf.
Очевидно, V открыто в 2х. Кроме того, Л6У, и никакое
связное множество F не удовлетворяет условию D), т. е.
К(~|С = 0. Следовательно, множество 2Г— С открыто.
III. Компоненты. Множество называется компонентой про-
пространства, если оно насыщено относительно свойства быть
связным2); другими слонами, С— компонента, если С связно
и если для любого связного множества С! из включения
С<^С, вытекает, что C = CY.
Легко видеть (см. теорему 2 и следствие 3 п. И), что спра-
справедливы следующие утверждения:
Теорема 1. Компоненты являются непересекающимися
замкнутыми множествами.
Теорема 2. Всякое непустое связное множество содер-
о/сится в одной и только в одной компоненте пространства.
Теорема 3. Если С — компонента множества А и если
С сг В сг А, то С есть компонента множества В.
') См Мапкл Э. [1, стр. 166, теорема 4.13.5J.
2) Но Хаусдорфу [1J.

S 46. Связность 149
Теорема А. Всякое открыто-замкнутое множество F есть
объединение семейства компонент пространства. В частности,
если множество F связно и непусто, то оно — компонента.
Доказательство. Действительно, в силу теоремы 1 п. II
не существует компоненты С, такой, что C[\F ф Чф С — F.
Теорема 5. Пусть Ж — связное пространство. Если
А — связное множество и С — компонента множества Ж — А,
то множество Ж — С связно.
Доказательство. Предположим, что
JT - С = М U N, (М П N) U (М П Ю = 0.
Наша задача — показать, что либо М = 0, либо N = 0.
Так как
то, согласно теореме 1 п. II, можно считать, что А(]М = 0,
откуда следует, что
ЛП(СиМ) = 0, и поэтому Cc=(CllA?)c:Jr-A
Так как множество С[}М связно (по теореме 4 п. II), то
из этого двойного включения следует в соответствии с опреде-
определением компоненты, что С = С [} М, откуда М = 0.
Из теоремы 5 вытекают такие следствия:
Теорема 6. Если пространство Ж связно, то всякая ко-
конечная система S (содержащая по крайней мере два элемента)
непересекающихся связных подмножеств содержит но крайней
мере два элемента X и У, обладающих следующим свойством:
(Р) Существует связное множество, не пересекающееся с X
(соответственно с Y), которое содержит все элементы S, отлич-
отличные от X (соответственно от Y).
Доказательство. Пусть S = (C0, С,,..., С„); восполь-
воспользуемся индукцией. При п = 1 утверждение очевидно; предполо-
предположим, что оно имеет место для д—1 B> 1).
Покажем, что существует число fe>0, такое, что множе-
множество Ck обладает свойством (Р).
Предположим, что множество С\ не обладает этим свой-
свойством. Тогда существуют по крайней мере две компоненты А
и В множества Ж — Си содержащие множества системы S;
пусть А — та компонента, которая не содержит Со.

150 Глава 5. Связные пространства
Пусть m,, ...,nij — последовательность индексов мно-
множеств С{, содержащихся в Л. Тогда
A) 1</<«-1,
B) Офпг 0фт},
C) если г ф тъ ..., г ф т.] а г^п, то Cr cz X — A.
Так как множество X — А связно (по теореме 5) и система
¦S = [X — Л, Сщ^ Ст2, ••¦, СтЛ
содержит не более п элементов (согласно A)), то по предполо-
предположению существует индекс s^/, такой, что множество Ст
обладает свойстном (Р) по отношению к системе S". Следова-
Следовательно, существует связное множество К, такое, что
(JT - A) U Сш, U ¦ • • U Cm_,_, U Cms+l U ... \)Cm}c=K<=:#- C,v
Согласно C), CqCZ К для каждого q Ф ms. Это означает,
что множество Ст обладает свойством (Р) (по отношению
к системе S).
Наконец, ms>0, согласно B); следовательно, ms есть
искомый индекс к.
Теорема 7. Пусть S — бесконечное семейство непересекаю-
непересекающихся связных множеств в связном пространстве .Т. Если,
50 и St ~ два произвольных элемента S, то в X — SQ или X — S;
имеется связное множество, содержащее бесконечно много эле-
элементов из S.
Доказательство. Пусть Cj (для / = 0, ^ — компо-
компонента множества X — Sj, содержащая 5i_y. Из условия
51 dCi^jCz X — S,_/ вытекает двойное включение
S [ — j СИ X — С 1 _ ; СИ Л — ^ У»
из которого в свою очередь следует, что
D) .*•-<:,_, с с„
так как множество Ж — Сх~\ связно (по теореме 5).
Предположим, что Со содержит только конечное число эле-
элементов из S. Тогда существует бесконечно много элементов S,
содержащихся в Х~ Сп и, следовательно, согласно D), n Ct.
Таким образом, множество 9? — S{ содержит связное множество,
а именно С и которое содержит бесконечно много элементов
семейства S.

46. Связность 151
Теорема 8. Пусть % — П •#*/, \ ~ {\1} 6 S и С, — компонента j'
в ,#У Тогда С — V\Ct — компонента % в %.
t
Доказательство. Так как С, связно для каждого t,
то С связно по теореме 11 п. II, и, очепидно, \ ? С. Пусть
D — связное множество, такое, что CcDc 2. Покажем, что
D = C.
Пусть Dt — проекция D на .^. Тогда Dt свлзпо и Ct<^Dt.
Так как С, — компонента St, то /)( = С(. Следовательно, П Dt = С.
t
Но СсВсПО;. Таким образом, D = C.
Теорема 9. Пусть f: J%" —>2/ — монотонное непрерывное
отображение на. Множество С является компонентой множе-
множества D с: 2/ тогда и только тогда, когда f~l (С) — компонента
множества f~ (D).
Доказательство. Очевидно, что
из /(С)с=?с:/~1(О) следует Cczf(E)czD.
Далее, если предположить, что С — компонента D и Е
связно, то
С = /(?), откуда Г1{С) = Г1НЕ)=>Е и Г'(С) = ?.
т. е. f~' (С) есть компонента множества f~l (D).
Обратно, если предположить, что /~' (С) — компонента f~] (D),
и если И — такое связное множество, что С cz И с: D, то
Г' (С) с Г' (Я) с Г' (D),
и так как множество f~ (H) связно, то
f~](C) = /"'(//), что дает С = Я.
Следовательно, С есть компонента D.
IV. Связность между множествами. Пространство называется
связным между А и В, если не существует открыто-замкнутого
множества F, такого, что Ac: F и F [) В = 01).
Связность между двумя множествами есть симметричное
отношение, ибо множество^ — /7 открыто-замкнуто, S F
и (.Г - F) П Л = 0.
') Ср. Мазурксинч [1J.

152 Глава 5. Связные пространства
Легко доказать следующие утверждения.
Теорема In. Если пространство ,Т связно между Л и В,
то АфОфВ, а если A cz Л, и В cz Bu то .?-' связно между
Ах и В{.
Теорема 1Ь. Пели .%' связно между А и В, то оно связно
и между А и В.
Если А П В ф О, то .7" связно между Л и В.
Теорема 1с. Связное пространство связно между любой
порой своих непустых подмножеств.
Теорема 1A. Если подмножество пространства связно
между Л и В, то и все пространство обладает этим свойством.
Теорема 2. Метрическое (сспарабельное) пространство
имеет размерность О тогда и только тогда, когда не. существует
пары непересекающихся замкнутых множеств, между которыми
оно связно (§ 26, II, теорема 2); оно имеет положительную
размерность в точке а тогда, и только тогда, когда оно связно
между а и некоторым замкнутым множеством В, не содержа-
содержащим а.
Теорема 3. Если пространство не является связным ни
между А и Во, ни между А и Ви то оно не является связным
между А и До U By.
Д о к а з а т с л ь с т в о. Пусть /•"/, где / = 0, 1, — такое открыто-
замкнутое множество, что A<zzFj и Fj(]B/ = O. Положим
Р — р{){\ /-¦",. Тогда множество /•" открыто-замкнуто и удовлетво-
удовлетворяет следующим условиям:
AczF и Fir\(B0[)Bl) = 0.
Теорема 4. Пусть Ап, .. ., А„ — такая система множеств,
что пространство не является связным, между любой парой мно-
множеств Ah Aj, где i Ф /; тогда существует система открыто-
замкнутых непересекающихся множеств Рп, ..., Fn, такая, что
A) ,Т = р0 у ... у рп и Л,: с F, для 1 = 0, . .., п.
Доказательство. Воспользуемся индукцией. Д.чя п = 1
утверждение очевидно. Достаточно доказать его для /;> 1, пред-
предполагая, что оно верно для п — 1.
Положим A*i = Ai для /<п—1 и Л„_| = Лп-у U Л„. Согласно
теореме 3, пространство не является связным между любой
парой А], А) для i ф j. Таким образом, по предположению су-
существует система непересекающихся замкнутых множеств
F*o, . . ., F,i-y, такая, что
B) /7/-К) U ••• U/•'»-! и A\czF'i для t=*0, .... н-1.

§ 46. Связность IS3
Так как пространство не является связным между Л„_, и Л„,
то этим свойством обладает и множество У-'/г_, (ср. с теоремой Id).
Следовательно, существуют два непересекающихся замкнутых
множества /•'„_] и /•'„, удовлетворяющих условиям
C) F't-i = /-'„-I U Fn, Ai-i ci Fn-\ и Лп a Fn.
Положим Fi = Fi для i<n — 1. Соотношение A) следует из B)
и C).
Теорема 5. Если пространство не является связным
между Л и В, то функцию /, равную 1 на Л и 0 на В, можно
непрерывно продолжить на все пространство так, чтобы она
принимала только два значения 0 и 1.
Обратно, если / — непрерывная функция с целочисленными
значениями, и если множества f(A) и /(В) не пересекаются,
то пространство не связно между А и В.
Доказательство. Во-перпых, характеристическая функ-
функция открыто-замкнутого множества /;, такого, что Л a F и
F П В = 0, есть искомое продолжение /.
Во-вторых, если положить F = /"' [/(Л)], то Л с: F и F{] В = О,
так как
Л а Г* U Ш и /•П^с:Г1[/(Л)]П/"[/(«)] = /"'[/(Л)П/(В)] = О.
Теорема 6. В любом пространстве со счетной открытой
базой существует такая последовательность Fu F2, ... открыто-
замкнутых множеств, что каждой парс точек р, q, между кото-
которыми пространство не является связным, соответствует индекс п,
такой, что Fn содержит р, но не содержит q.
Доказательство. Пусть Ru R2, . . . — база пространства,
состоящая из открытых множеств. Если пространство не связно
между Ri и Rj, то обозначим через /-'г/ открыто-замкнутое мно-
множество, такое, что RlczFil и Ftlf\Rj==O. Расположим множе-
множества Fij в простую последовательность Fu F2, .... Это и есть
искомая последовательность. Действительно, если /•' — открыто-
замкнутое множество, такое, что p?F и q?Jl' — F, то суще-
существуют множества Rt и R/, такие, что р ? /?,• czF и q ? Rjcz 3' — F.
Это означает, что А' не является связным между R{ и R/. Следо-
Следовательно, существует такое п, что pQRiCzFn и q? RjCz.1' — Fn.
Замечание 1. Если пространство компактно, то в каче-
качестве семейства {Fn} можно взять семейство всех открыто-замк-
открыто-замкнутых множеств. Указанное семейство счетно, согласно тео-
теореме 4 из § 41, II.

154 Глава 5. Связные пространства
Замечание 2. Теорему 6 можно обобщить следующим
образом. Если SV — пространство бесконечного веса ш, т. е.
если оно имеет открытую базу В мощности ш, то существует
такое семейство С мощности ^in, состоящее из открыто-замк-
открыто-замкнутых множеств, что для любой пары точек р, q, между кото-
которыми пространство не связно, найдется элемент из С, содер-
содержащий точку р, но не содержащий точку q.
Теорема 7. Подмножество Е наследственно нормального
пространства .Т связно между двумя подмножествами А и В
тогда и только тогда, когда не существует открытого множе-
множества G {в $'), такого, что
?f]Fr(G) = O, A<=G, Gf\B = 0.
Доказательство. Если такое множество G существует,
то множество Е [) G открыто-замкнуто в Е. Обратно, если F
открыто-замкнуто в Е, то множества F и E — F отделимы и
существует (по теореме 3 из § 14, V) множество G, такое, что
FczG и G[\EozF, откуда E[)G~G = Q.
Теорема 8. Если пространство X связно, то всякое соб-
собственное замкнутое подмножество Л связно между своей
границей (т. е. между мноокеством A Г) Л' — А) и каждой своей
точкой.
Если метрическое сепарабельное пространство Si' имеет по-
положительную размерность в точке а, то существует число е>0,
такое, что всякое замкнутое множество А, содержащее а и
имеющее диаметр < е, связно между а и А П Л' — А.
Доказательство. Предположим, что F — замкнутое под-
подмножество множества А, такое, что множество A — F замкнуто,
a?F и F (]Si~ ~ А = 0. Тогда имеет место разложение
SV = F U [(А - F) U SC - А]
на два непересекающихся непустых замкнутых множества (при-
(причем 6(F)<e).
Теорема 9. Если в метрическом пространстве множества
Си С2, ... связны, а 6 Li Сп и b 6 Li Сп, то множество Е =
= aUfrUC]UC2U ••• связно меокду а и Ь.
Доказательство. В противном случае в Е существо-
существовало бы открыто-замкнутое множество F, такое, что a?F и
b?E-F. Так как a?Ffl Li Сп, то F П С„ -ф 0 для достаточно
больших значений п, следовательно, CnczF (поскольку С„ связно,

§ 46. Связность 155
a F отделимо от Е — F). Но тогда Li Cn с: F, откуда следует,
что b ? /¦'.
Пример. Пусть
С„ = Е[(~1 <*<!)(//= 1/«)], « = (-1,0), 6 = (+1,0).
*, и
Множество Е связно между а и 6, однако а и ft принадлежат
двум различным компонентам множества Е.
Более того, Е — (Ь) связно между а и множеством В точек
A, 1/я), /2=1, 2, ..., но оно не связно между а и любой от-
отдельной точкой множества В (ср. также § 47, II, теорема 1).
Пусть 3' есть JYnP0CTPaHCTB0- Введем сокращенное обозна-
обозначение
{х0 « л;,) гз (.?:' связно между х0 и х{).
Очевидно, что отношение хй «* jcj есть отношение эквивалент-
эквивалентности.
Теорема 10. Отношение Xn~Xi мультипликативно.
Это означает, что если задано семейство пространств
t?T, то для каждой пары точек Я и t) пространства $* =
справедливо соотношение
A) (*~ 9)^ Л (*'«&')•
Доказательство. Вначале предположим, что для дан-
данного ^ = U соотношение ^ ^ \)' не имеет места. Тогда существуют
два открытых множества Gt и Ht, таких, что
Пусть W — прямое произведение множества Gt на множество
всех осей З'у, где ?-ф1. Аналогично определим ¦&. Тогда
B) («П?==0, «U •&=-.«•, *?«, tN-^-
Это означает, что соотношение j « i) не имеет места.
Далее предположим, что $ =» \)' для каждого t. Мы должны
показать, что Я » >)•
Рассмотрим случай, когда Т конечно: Г = A, 2, ..., /г), и
применим индукцию. Очевидно, наше утверждение верно для
п = 1. Предположим, что оно верно для п— 1. Положим
U> = (^, ..., \п~1, I)"). По предположению
{\\ ...Л")» 0>', .... У") в ЙГ, X ... Х.Т„-!.
Поэтому
^ № в (J1 Г) X %Л и Ш » 9 в 5Г, X ... X ^¦„-., X (9"),

156 Глава 5. Связные пространства
Отсюда вытекает, что
i«9 в ((\\ ...,\«-1)Х Гп)Ц(Л\ X ... X .Г„_, X (Г)),
и, следовательно, п .Ж", X Я\ X ... X Л'п.
Это завершает доказательстпо в случае конечного Т.
Рассмотрим общин случай, когда Т произвольно, и пред-
предположим, что \' rs l/ для каждого i ? T, тогда как соотношение
J ~ У не верно. Тогда и X существуют два открытых мно-
множества (И и ф, удовлетворяющих условиям B). По определе-
определению топологии в .%' (ср. § 16, Г) существует конечная система
индексов tu ..., tn, такая, что
* 6 П G, с ©,
t
тде Gt открыто
Определим
Тогда Я) 6 П Сц
в Xt и
точку №
to' = '
, откуда
П)
= ,Tf, если /'=^
Г условием
для t = ^, 1 ¦
для других /.
^W. Покажем,
:«/ для
ЧТО 1» :
каждого i ^ п.
« 9 в .#"; это и
приведет нас к противоречию (с условиями B)).
Итак, пусть
( для / = th i < «,
где ^ {
Как показано бышс,
(^, .... ^»)«(А ./., 9'») в .rtiX ... Х.Г,в,
а из этого вытекает, что ft) « р в Я и, следовательно, в JT.
Теорема 11. Отношение хп~Х\ замкнуто.
Иначе говоря, множество Ъ— Е (хп ~ *¦) замкнуто в про-
странстве ,Т X .?".
Доказательство. Пусть (х0, JC])^i^. Тогда существует
открыто-замкнутое множество А, такое, что к{)? А и х\(?Л,
т. е. (х{), х{) ?[А X (.К - Л)]. Далее, если х? А и х/?.2Г - А,
то Ж не связно между х и *'. Отсюда
[Л X (.Г-/1I Л Л = 0
и, следовательно,
<л-о, JC,) 6 [Л X {.Г - Л)) с= .Г X JT - 3.
Поэтому множество ^Х^* — *б открыто,

$ 46. Связность 157
Теорема 12. Пусть &— наследственно нормальное про-
пространство и A cz .Т. Множество А связно между Х\ и х2 тогда
и только тогда, когда каждое открытое множество GzdA связно
между этими точками.
Доказательство. Очевидно, что если А связно между
Х\ и хъ то между этими точками связно и G (это верно для
произвольного пространства .?*).
Предположим теперь, что А не связно между Х\ и х2. Тогда
существуют два отделимых множества Р, и Р2, таких, что
К\ ? Р] и х2^Р2- Так как пространство Ж наследственно нор-
нормально, существуют открытые множества (?, и О2, такие, что
P,c:Gb P2czG2 и G,nG2 = 0 (ср. § 14, V, теорема 1). Оче-
Очевидно, множество G = Gj U О2 несвязно между Х\ и х2.
V. Квазикомпоненты. Квазикомпонентой точки р назы-
называется пересечение всех открыто-замкнутых множеств, содер-
содержащих точку р'). Другими словами, это множество всех
точек х, таких, что пространство связно между р и х.
Ясно, что квазикомпоненты — это классы эквивалентности,
определяемые отношением х, « х2. Их семейство есть фактор-
семейство &I** (ср. § 2, VII, стр. 18).
Легко устанавливаются следующие утверждения.
Теорема 1. Компонента точки р содержится в квази-
квазикомпоненте точки р.
Обратное утверждение, вообще говоря, неверно (как по-
показывает пример из п. IV). Однако оно верно для компакт-
компактных ,7'пРостранств (см. § 47, II, теорема 2).
Теорема 2. Квазикомпоненты представляют собой не-
непересекающиеся замкнутые множества.
Теорема 3. Для всякого ^2-пространства Ж существуют
обобщенный канторов дисконтинуум Dm (где D — двуэлемент-
ное множество @, 1)) и непрерывное отображение f: .T->Dm,
такое, что квазикомпоненты пространства X совпадают с про-
прообразами точек при отображении /.
В частности, если X имеет счетную открытую базу, то D
можно заменить канторовым дисконтинуумом &2).
') См. Хауслорф [2, стр. 248].
2) См. Куратовский [37, стр. 245], где показано, что если .^ — метри-
метрическое сепарабельное пространство, то функции /, удовлетворяющие усло-
условию теоремы 3, образуют остаточное множество в пространстве Vх,

158 Глава 5. Связные пространства
Доказательство. Пусть A = {Ft}, t? T, — семейство всех
открыто-замкнутых подмножеств пространства Sf, и пусть
/ — его характеристическая функция; это значит (см. § 3, VII),
что /'(*)= 1, если x(zFu и /'(лг) = О, если х?.Т — Ft. Пусть
m = Т — кардинальное число множества Т. Следовательно,
f: $'->Dm. Очевидно, f непрерывно для каждого t? T, а по-
поэтому непрерывно и f.
Далее, если х~ х', то f{x) = f{x') для каждого t?T; сле-
следовательно, f(x) = f(x'). Обратно, если отношение х ~ х' не
выполняется, то для некоторого t мы имеем x?Ft, тогда как
x'^V-Fu т. е. /'(*)= 1 и f'(x') = O, откуда f(x)?=f(x').
Это завершает доказательство первой части теоремы.
Теперь заметим, что вместо семейства А можнс рассмат-
рассматривать подсемейство {Ft}, t?T{), со следующим свойством:
для всякой пары точек х, х', такой, что к~х' не имеет места,
существует t ^ То, такое, что х ? Fu тогда как х' ^ .1' ~ Ft.
В частности, если .%' имеет счетную базу, то можно пред-
предположить, что множество То счетно (по теореме 6 из п. IV);
это завершает доказательство второй части теоремы.
Теорема 4. Всякое метрическое сепарабельное прост-
пространство Л' топологически содержится в таком компактном
пространстве .°1'*, что две различные квазикомпоненты прост-
пространства .Т всегда содержатся в двух различных квазикомпо-
квазикомпонентах пространства 3'*').
Более того, в функциональном пространстве (ff*°)' гомео-
гомеоморфизмы f, такие, что множество &" — fC') удовлетворяет
указанным выше условиям, образуют остаточное множество.
Доказательство. Пусть Fu F2, ...—последователь-
...—последовательность открыто-замкнутых множеств, рассмотренных в тео-
теореме 6 п. IV (пространство .С1' не предполагается связным).
Согласно следствию 4а § 44, V и теореме 2 § 44, VI, мно-
множество Фп гомеоморфизмов f, таких, что
@) f€i$*f и М/^ГШЯ"-/=¦„)-о,
является остаточным в пространстве (ff*') . Следовательно,
этим свойством обладает и множество Ф = <[IПA^П •¦• •
Пусть /?Ф- Пусть р и q — две точки, принадлежащие двум
различным квазикомпонентам Р и Q пространства X. Тогда
существует такой индекс п, что
p?Fn и q?.t:-Fn, откуда f(p)?f(Fn) и f(q)€f(V~Fn).
') Куратовский [37, стр. 243]. Эта теорема была сформулирована Кна-
Кнастером.

46. Связность 159
Так как
и f^®^ то в силу тождества @) X* не связно между f(p) и
f(q); поэтому эти точки принадлежат двум различным квази-
квазикомпонентам пространства SC*.
Теорему 10 п. IV можно переформулировать следующим
образом.
Теорема 5. Пусть $ = {$'} — точка произведения Z= П &',,
п t(r
и пусть Q — квазикомпонента точки % в Z. Тогда Q = П Qt, где
Qt — квазикомпонента точки ft* в SCt.
Va. Пространство квазикомпонент. Обозначим через (И(З')
фактортопологию пространства 3'/^, где х0 ~ х\ означает, что
пространство SC связно между х0 и х{ (в соответствии с п. IV).
Другими словами, множество G сг 6 (№) открыто в б(^), если
объединение всех квазикомпонент в G открыто в пространстве 3'
(см. § 19, I).
Кроме ($.(%'), рассматривается еще другая топология семей-
ствт всех квазикомпонент (обозначим ее Q(.f*)).
Именно, в качестве открытой базы топологии Q(.#") берутся
все множества вида
(О E(A<=F),
А
где F — открыто-замкнутое множество в SC и Л — квази-компо-
нента пространства Xх).
Следующие два утверждения очевидны.
Теорема 1. Топология Q(%~) слабее, чем ()
Другими словами, тождественное отображение есть взаимно
однозначное непрерывное отображение 6 (&) на )
Теорема 2. Множества вида EMcrF) открыто-замкнуты
я
в Q (X). Следовательно, Q (.2Г) нульмерно и вполне регулярно.
Замечание. Очевидно, что если каждая квазикомпо-
квазикомпонента пространства %' состоит из одной точки, то К(.^')гомео-
морфно it'. Следовательно, если SC имеет положительную раз-
') Ср. де Гроот [2], где рассматривается случай метрического сепара-
болмюго пространства Х- Общий случай см. Майкл Э. [10, стр. 15]. См.
также де Фрис [1, гл. 3] и Лелек [3, стр. 81].

160 Глава 5. Связные пространства
мерность (а такие пространства, безусловно, существуют;
см. п. VI), то топологии (?(.'?*) и Q C') различны.
Теорема 3. Обозначим через Р(х) квазикомпоненту, со-
содержащую к. Тогда {естественное) отображение Р\ 3' —> Q (."I")
непрерывно.
Это вытекает из соотношения эквивалентности
где F — открыто-замкнутое множество.
Теорема 4. Если 3'— компактное ^-пространство, то
таким лее является и пространство (S (.У). Более того, прост-
пространства К (Л') и QC') гомеоморфны.
(В этом случае квазикомпоненты &~ совпадают с компо-
компонентами, см. § 47, II, теорема 2.)
Доказательство. По теореме 3 п. IV существует не-
непрерывное отображение /: 3'—>Dm, такое, что (S C') совпадает
-I
с разложением пространства 3' на прообразы точек f(y),
где J/6/(^')' Отсюда следует (по теореме 2 из § 19, II), что
&(.¦?') гомеоморфно }C').
Так как &C') компактно, то компактно и Q{3") (по тео-
теореме 1).
Теорему 3 п. V можно усилить следующим образом.
Теорема 5. Для всякого ^^-пространства %' существует
взаимно однозначное непрерывное отображение g: QC')—>Dm
(для подходящего т).
-1
Именно, (g(A) = у) s= (f (у) = Л) для каждого A?Q (.?*).
Доказательство. По теореме 3 отображение g взаимно
однозначно. Остается показать, что g непрерывно. Так как Dm
имеет открыто-замкнутую базу, достаточно показать, что если
множество G открыто-замкнуто в Dm, то g~x (G) открыто в Q($').
Далее, так как / непрерывно, то множество /~'(G) открыто-
замкнуто в .Т. Покажем, что
это завершит доказательство.
Пусть A^g~'[(G). Тогда g(A)^G. Положим g(A) = y. Тогда
A = f(y) и Aczf~[(G). Обратно, если Лc:f~I(G), то }{A)c=G
н fi(A)^G, Следовательно, A?g~l{G).

§ 46. Связность 161
VI. Наследственно несвязные пространства. Вполне несвяз-
несвязные пространства.
Определении. Пространство называется наследственно
несвязным (или дисперсным), если оно не содержит никакого
связного множества, состоящего более чем нз одной точки,
другими словами, если каждая его компонента состоит из
одной точки.
Пространство называется вполне несвязным (или нигде не
связным), если оно но снязио между любой парой точек, дру-
другими словами, если каждая квазикомпонента состоит из одной
точки.
Следующее утверждение очевидно.
Теорема 1. Всякое нульмерное пространство вполне не-
несвязно, а всякое вполне несвязное пространство наследственно
несвязно.
Теорема 2. Любое слабо одномерное пространство (т. е.
такое, что множество N точек, в которых оно имеет положи-
положительную размерность, нульмерно; ср. § 27, VI) наследственно
несвязно ').
Доказательство. Если С — связное множество, содержа-
содержащее более одной точки, то ciiinpC>0 для каждой точки р?С
(ср. с теоремой 5 п. I). Поэтому С cz N н, следовательно,
Следующая теорема очевидна.
Теорема 3. Всякое пространство, допускающее взаимно
однозначное непрерывное отображение во вполне несвязное про-
пространство, само вполне несвязно.
В частности, слабо одномерное множество, определенное
в § 27, VI, является вполне несвязным G^-множеством положи-
положительной размерности2).
Действительно, это множество допускает взаимно однознач-
однозначную проекцию на канторово множество.
Замечания, (i) Существуют вполне несвязные простран-
пространства произвольной конечной или бесконечной размерности.
Действительно, канторово множество ?f есть взаимно одно-
однозначный непрерывный образ метрического сепарабельного про-
пространства произвольной размерности (конечной или бесконеч-
бесконечной 3)).
') Мепгер (I, стр. 204].
2) ricpiiuii пример иполпе irecmi.iiioro пространства положительной раз-
размерности Оыл д;ш Оршшскич в его статье [8|.
3) Теорема Хплыереа [I].
11 Зак. I»

162 Глава 5. Связные пространства
Более того, существуют полные сепарабельные вполне не-
связнью пространства произвольной размерности').
(ii) Существуют (полные сепарабельные) наследственно не-
несвязные пространства, которые не являются вполне несвяз-
несвязными 2).
Доказательство. Пусть Е — слабо одномерное Ов-множе-
ство в компактном пространстве (например, множество, опре-
определенное в § 27, VI). Пусть dima?=l. Тогда, как легко пока-
показать (ср. § 42, II, теорема 8), существует точка Ь ф а, такая,
что множество ? О (Ь) связно между точками а и /;. Кроме того,
множество Е U (Ь) наследственно несвязно, так как оно слабо
одномерно.
(Hi) Помпейю определил функцию g на д', производная g'
которой конечна в каждой точке и принимает нулевое значение
в любом интервале, по не постоянна ни в одном из них. Эту
функцию можно задать с помощью формулы 3)
x = 2 Тп (у - af\ где а„ - B* + I )/2
6 и т — целые числа, удовлетворяющие условиям
m + l
Согласно теореме 8 п. I и теореме 1 § 27, VII, множество
С— Е \y~gix)] является связным (?в-мпожеством.
Пусть $'(а)фО. Множество А=>С~ в \\{а, 0) связно между
точками 𠫦 [а, 0] и q~[a, g'{a)].
Предположим противное, а именно, что М и N — отделимые
множества и
A-MUN, р?М и <7€N.
Пусть be такой интервал, что
b<a<c, Nf]bc = 0 и ^F)-0-/?'(с).
Обозначим через N{ подмножество из N, проекция которого
лежит в интервале be; тогда множество N\ отделимо от N~N\,
¦л также от множества 3 и, следовательно, от множества
.V - N, U M U 0. Так как
и р^М, gdN, то это противоречит связности множества С.
') Теорема Мазуркевича [141. По поводу Я-проблемы Урысона см. Ма-
зуркевич [12, стр. 324|. См. также Кнастер [81.
2) Теорема Серпинского [81.
') См. Помпейю [I]. См. также Кепке [1—3] и Кнастер и Куратовский ('

$ 46. Связность 163
Из этого следует (ср. § 26, III, теорема 3), что множество
С — 3 имеет размерность 1 в каждой своей точке.
Заметим далее, что из тождества С {]0 == if следует, что
С — 6 вполне несвязно. Следовательно, множество А наслед-
наследственно несвязно (не будучи вполне несвязным) (см. Куратов-
скип [11]).
(iv) Пространство называется экстремально несвязным,
если замыкание всякого открытого множества открыто
(см. Стоун М. [3]).
Очевидно, всякое экстремально несвязное регулярное про-
пространство имеет открытую базу, состоящую из открыто-замк-
открыто-замкнутых множеств (а именно из замыканий открытых множеств),
следовательно, оно нульмерно. Обратное неверно.
VII. Разделители. По определению (ср. § 6, V) множество С
разделяет пространство X между множествами А и В (является
разделителем между А и В), если X — С не связно между
множествами А и В, другими словами, если существуют два
множества М и N, такие, что
(i) X-C=*M\JN, (M
Ас:М, BcN.
Множество С (коротко) называется разделителем пространства X,
если существует пара замкнутых множеств А и В, между кото-
которыми пространство X связно, а множество X — С не связно.
Если пространство X связно, то С является разделителем
тогда и только тогда, когда множество X — С не связно (так как
всякое связное пространство связно между любой парой своих
точек).
Множество С называется неприводимым разделителем между
точками а и Ь, если С — разделитель между этими точками,
но любое множество X, такое, что X cz С ¦ф X, таковым не
является.
Множество С называется вполне неприводимым разделите-
разделителем, если С — неприводимый разделитель между любой парой
точек, которые разделяются множеством С (и если существует
по крайней мере одна пара таких точек).
Говорят, что множество С локально разделяет пространство,
если оно разделяет некоторое содержащее его открытое мно-
множество, т. е. если существуют открытое множество О и два мно-
множества А и В, замкнутых в G, таких, что A\j B\j С cz G и
множество G связно между А и В, а множество G — Q — нет.
И*

104 Глава 5. Сяяпные пространства
Теорема 1. Если D — .T, то каждый замкнутый раздели-
разделитель представляет собой разделитель между парой точек, при-
принадлежащих D.
Доказательство. Действительно, если М и М —два
непустых открытых множества, таких, что X — С ~ М [} N п
М П N = 0, ToMfiO^O^iVn/).
Теорема 2. Замкнутое множество С разделяет простран-
пространство между Л и В тогда и только тогда, когда существуют
два замкнутых множества Р и Q, таких, что
(ii) & = P\JQ, C-P0Q, ЛП(? = 0 = /?ПР.
Более того, если множества А, В и С не пересекаются, то
двойное тождество можно заменить включениями Лс Р и В czQ.
Доказательство. С одной стороны, если удовлетво-
удовлетворяется условие @, то можно считать, что
С другой стороны, если Р и Q удовлетворяют условиям (ii),
то можно предположить, что
Теорема 3. Пусть Я- — наследственно нормальное про-
пространство. Если множество В разделяет всякую пару множеств,
принадлежащих системе Л,, ..., Лп, то множество Е содержит
замкнутое множество F, обладающее тем же свойством.
Доказательство. По предположению и согласно тео-
теореме 4 п. IV,
#*-? = *, U ••¦ UXn, Д(сХ„
где множества Xt не пересекаются и открыты в .Т — Е. В соот-
соответствии с теоремой 4 § 14, V существует такая система непере-
непересекающихся открытых множеств G,, ..., Gn, что XtczGi. Доста-
Достаточно положить /•" = .?" — (G|U ... U Gn).
Теорема 4. Всякое множество С, являющееся общей
границей двух компонент А и В его дополнения, есть неприво-
неприводимый разделитель между каждой парой точек (а, Ь), таких,
что а?А и Ь?В.
Доказательство. С одной стороны, множество С =
= А П •%' ~ Л разбивает пространство на два отделимых множе-
множества А — С и 3' — А — С, одно из которых содержит точку а,

8 46. Связность 105
;i другое —точку b. С другой стороны, если X cz С ф X, то при
условии с?С — Х множество А [) (с) (J В связно и соединяет
точку а с точкой /; вне X. Поэтому множество X не является
разделителем между точками а и /;. Таким образом, множество
С — неприводимый разделитель между точками а и Ь.
VIII. Разделение связных пространств1). В п. VIII —XI про-
пространство Я' предполагается связным метрическим и сепара-
бельным.
Если множество С —замкнутый разделитель между точками а
и Ь, то, согласно VII (i), существуют два открытых множе-
множества М и N, таких, что
A) .Г - С = М I) Л/\ МПЛГ = 0, a?M, b?N.
Вообще говоря, существует много разложений, удовлетво-
удовлетворяющих условиям A); так обстоит дело, например, в случае
пространства, состоящего из трех сегментов ас, be и dc, имеющих
только одну общую точку с.
Теорема 1. Пусть С — семейство замкнутых непересскаю-
ы{11.хся связных разделителей между точками а и /;. Если мы
поставим в соответствие каждому множеству С ? С пару откры-
открытых множеств М(С) и М(С), удовлетворяющих условиям A), и
положим А(С) = М(С)[] С, то семейство F всех множеств А(С),
еде С?С, строго монотонно2).
Более того, если С -ф D, то либо A(D)czM(C), либо
A(C)czM(D).
Доказательство. Пусть С ф D — два элемента семей-
семейства С. Так как множества М (С) и N (С) отделимы и D — связ-
связное подмножество их объединения, то одно из них содержит D,
тогда как другое не пересекается с ним. Предположим, что
DaM(C). Покажем, что тогда M(D)czM(C).
Во-первых, CczN{D). Действительно, иначе имело бы место
включение CczM(D) (по указанным выше причинам). Но из
условий
B) Jr = M(C)l)CUW(C) и # =
иытскает, что
X = М (С) U M (D) U С U D U (ЛГ (С) П N (D)),
') См. Уайбери [15] и Куратовский [35].
2) Напомним, что семейство множеств называется строго монотонным,
если для каждой пары X Ф Y его элементов либо X cr Int (К), либо )' с: Int (X).
Теорема I позволяет применить к семейству F теоремы, установленные
в § 24, VIII.

Ififi Глава 5. Связные пространства
а так как /) с Л1 (С), то из включения С с Л-] (/)) следует раз-
разложение пространства
X ¦= [М (С) U M (D)] U [N (С) П ЛМ П)\
па два непустых непересекающихся открытых множества (со-
(содержащих соответственно а и /;), что противоречит предполо-
предположению связности пространства. Итак, CczN{D).
Теперь рассмотрим разложение
¦Г - М (С) U N (D) U С U D U (N (С) П М (D)) =
которое также следует из соотношении B).
Оба члена второго объединения суть непересекающиеся от-
открытые множества, и первое н.ч них непусто; поэтому
N(C)r\M(D)=>0, откуда М (D) <= M (C)U С,
а так как CflM(D) = 0 (ибо С с: N (D)), то
Af(D)c:/Vf(C).
Это дает
z M(C)cz h\\\A(C)],
так как М (С) — открытое подмножество множества Л(С).
Аналогично, если мы предположим, что DcN(C), то
С с= М (D), и по симметрии
Л(С)сЛ/(О)с=Ы[Л@)],
что н завершает доказательство.
Теорема 1 в сочетании с теоремой I из § 24, VII и тем
фактом, что из условия С Ф D следует соотношение А (С)Ф A(D),
приводит к следующему утверждению.
Теорема 2. Элементы С семейства С можно снабдить
такими индексами г/, что 0</у<1 и что из условия и < i/ сле-
следует М(С„)с:Л(С,;)с:Л'Г(С,/).'
Отсюда следует, что если н<//<2, то Си разделяет С„
и Cz,
Теорема 3. За исключением счетного множества элемен-
элементов семейства С, каждый элемент С ? С удовлетворяет следую-
следующим условиям:
C) Int [Л (С)] = ЛТ (С), следовательно, Рг[Л(С)] = С,
D) C = F

<*' 16. Связность 167
в семействе С существуют две последовательности {Dn} a {Еп},
такие, что
E) С = П М (DB) П N (?„) = П Л (/>„) П [JT^f (?Л1,
F) /И (С) и yV(C) связны.
Доказательств. Согласно теореме 2, имеет место
включение
U Int [А (С,,)] с Af (С„) с: Iut И (Су)].
и -i у
В соответствии с теоремой 4 § 24, VII положим
1п1М(С„I= U Ititl4(CM)].
Отсюда следует, что
Int [Л (С„)]-ЛГ (С,),
и, следовательно,
Fr [Л (С„)] = Л (С(/) - Int [Л (С,)] - Су.
В силу C) из § 24, VIII E) вытекает, что
С - Fr [Л (С)] =-Л(С)~- Int [Л (СI -
= ]Т7Г[ЛТС)] - Int [Л (C)J - Fr [Int (Л (С))] = Fr [M (С)].
Соотношение E) следует из C) и § 24, VIII (9):
Си = П {Int [Л (Dn)\ - А {Еп)} cz П Af (/)„_,) П Л^ (?„) с
так как A (Dn) cz M (Z)rt_i) по теореме 2.
И, наконец, как мы увидим, из E) следует F).
Пусть М(С) — Л/, U М%, где М, — непересекающиеся открытые
множества и a?/Vf,. Покажем, что /Ио = 0.
Так как множества М (С) и NIC) отделимы, а X и С связны,
то множества С U М (С) и С [} N {С) связны (по теореме 4 п. II),
Па том же основании множества С [] N(C)\j Mi и С U N(C)\J M2
связны. Но так как множество C[}N(C)\JAU соединяет точки
и и /;, а /;„~ разделитель между этими точками, то пч этого
следует, что Е„ П [С U N (С) U A7,] ФО. Так как множество А (/:„)
предтествует множеству Л (С), то Я„ П iV (С) — 0. Но тогда
/:"„ f I Af | =т^= 0 и, следовательно, НпС\М-2~0. Так как множества
ЛЬ и M^JN(C) отделимы, то множество Л/2 U С связно и, со-
согласно последнему равенству, не пересекается с Еп. Ич гклю-
чепия С cz Ы(Е„), которое получается из E), следует, что
М2U С czN(?„), и тогда M2cz.N{En).

168 Глава 5, Связные пространства
С другой стороны, согласно теореме 2,
М2с/1(С)с]Ц(/)„),
и потому
П()
а так как С |"| Af2 = 0, то из этого следует, что /И2 = 0.
Теорема 4. Во всяком семействе непересекающихся замк-
замкнутых и связных разделителей каждый разделитель, за исклю-
исключением самое большее Ко из них, разделяет пространство на
два авизных множества и является их общей границей; сле-
следовательно, он является вполне неприводимым разделителем.
Доказательство. Пусть р\, ръ ... — последовательность
точек, всюду плотная в пространстве.
По теореме 1 и. VII рассматриваемое семейство можно
разложить в (счетную) последовательность подсемейств Сц раз-
разделителен между точками р( и р/. Поэтому наша теорема выте-
вытекает из утверждений D) и F), ибо неприводимость есть след-
следствие теоремы 4 п. VII.
Теорема 5. Пусть в пространстве X задано семейство С
разделителен между точками а и Ь, не пересекающихся, замк-
замкнутых, связных и снабженных индексами в соответствии с тео-
теоремой 2. Тогда существует непрерывное отображение f про-
пространства Л' на в, такое, что f{a) — 0, f(b)=\ и для каокдого
индекса у
либо Г'@//)-Л(СД либо Г1 @!/)- Г) Л(Сг),
в соответствии с тем, существует ли индекс, непосредственно
следующий за у, или нет.
¦ Доказательство. Пусть F* — семейство множеств Аи =
= Л(С,Д где 0<;у<1, пополненное множествами Ло = («) и
Л| = .#'. Рассмотрим функцию f, определенную в § 24, IX, тео-
теорема 3. Очевидно, /(д) = 0 и /F)=1, если не существует ин-
индекса, непосредственно предшествующего 1. В противном слу-
случае если г — индекс, непосредственно предшествующий 1, то
необходимо только изменить определение функции f па мно-
жестне .Т — А,, а именно
l
ИсполмуЯ' теорему 5, многие свойства семейств С
можно вывести из соотношений A3) —A8) § 24, IX. В част-

tf 46. Связность 109
пости, справедливо следующее утверждение (в силу C) и § 24,
IX A7)):
Теорема 6. Соотношение С,, = f~! (у) имеет место для всех,
за исключением самое большее No, множеств Су.
IX. Разделяющие точки. Как и в п. VIII, предположим, что
Я'— связное метрическое сепарабельное пространство. Пусть
S(a, b) — множество всех точек, разделяющих точки а и h.
Эти точки можно снабдить индексами в соответствии с тео-
теоремой 2 ц. VIII; таким образом, из условия ы< у < г следует,
что точка ри разделяет точки ри и рг.
Из теоремы 4 п. VT Г Г вытекает следующая
Теорема 1 '). Множество Я' — (х) либо связно, либо пред-
представляет собой объединение двух связных множеств для каждой
точки х, за исключением самое большее счетного множества
этих точек.
Теорема 2. Если множество Л связно, то каждая точка
множества A[\S(a, b), за исключением первой и последней
(если они существуют), разделяет множество Л.
Отсюда в силу теоремы 1 п. VII вытекает следующее
утверждение:
Теорема 3 2). Каждая точка связного множества Л, являю-
являющаяся разделяющей точкой пространства (за исключением счет-
счетного множества таких точек), является также и разделяющей
точкой множества Л.
Замечание. Отмстим без доказательства следующее
утверждение:
Если С — семейство невырожденных непересекающихся связ-
связных множеств, каждое из которых содержит разделяющую
точку пространства, то С счетно :i).
Теорема 4. Если множество С представляет собой топо-
топологический предел (ср. § 29, VI) последовательности Сь С2, ...
непересекающихся связных множеств, то множество C[)S(u, !>)
содержит самое большее две точки. Следовательно, множество
точек множества С, разделяющих пространство, счетно.
Доказательство. Предположим, что рп, ру, рг^С и
и<у<2. Тогда pu^M(p,j) и pz^N(Py) (ср. VIII, теорема 2).
') См. Зараиксчшч и Куратовский [1].
2) См. З.фапкевич [1] н при более ограничительных предположениях
Мур [4].
'") Теорема Зараикевпча [2|. Доказательство см. в ранее цитированной
екпъе Куратовского [35, стр. 30].

170 Глава 1. Сняяныг пространства
Так как множества М{ри) и N{ptl) открыты, то из условия
ру?\Л\л\ Сп следует, что для достаточно больших п
откуда
Cnf]\-rM(P!,)^0, т. е. р„?Сп.
Следовательно, множества Сп пересекаются.
Теорема 5. Существует непрерывное отображение /: Я" —> Я,
такое, что множества точек, в которых f взаимно однозначно,
пополненное подходящим счетным множеством, совпадает
с множеством S(a, b)[]n\jb.
Именно, f есть функция из теоремы 5 п. VIII, где С — се-
семейство множеств, сводящихся к отдельным точкам и разделяю-
разделяющих а и Ь.
Доказательство. !гслп р — точка, отличная от а и Ь,
в котором функция / взаимно однозначна, то существует число у,
такое, что р — 1 (;/) и 0 =ф у ф I. Поэтому
tf--p = r'@.v- и) иГ' (//!-//)
есть разбиение на два открытых множества, одно из которых
содержит а, а другое Ь. Отсюда следует, что p?S(u, b).
С другой стороны, в каждой точке множества S(a, b),
за исключением счетного подмножества, функция f взаимно
однозначна, согласно VIII G).
Теорема 6 (Лепнес ')). Если Я" — Я(а, b)\ja\Jf>, т. с. если
каж.дая точка, отличная от а и Ь, разделяет пространство
между а и Ь, то существует взаимно однозначное непрерывное
отображение, f пространства Г на 8.
Доказательство. Предположим, что f(py) — у, f(a) — O
и lib)— I. Так как очевидно, что функция / взаимно однозначна,
остается только показать, что она непрерывна, т. с. множество
/ {(}) открыто (в пространстве Я') при условии, что О — от-
открытый интервал в в. Но это следует из соотношении (ср. VIII,
теорема 2)
Г' @// - и) = М (ру) и Г' 0/1 ~ У) = # (/>„).
так как множества М (ру) и N(py) открыты.
') (;,м. Лсннес [I], где этл теорема докпзлиа при /кнюлшпельпых пред-
по.'южч'ммях. ("|>. тмкже1 Хпуодорф [1] и § 2 етяты! Kitcic.Ti'pa и Куратои-
cKciro \'2\, где шучаются иросгр.шетия лого nm,,i (т:\\\ они назпгшы связ-
связными пространствами, пенричоОнмыми между а и Ь).

46. Связность 171
Замечания. Очевидно, что условие теоремы 0 .эквива-
.эквивалентно такому условию: каждой точке х соответствуют два
замкнутых множества А ч В, таких, что
.^-ЛиВ, «6/1, ft 6 В, /lfl В ¦=(¦*)•
Оно также гжвнвалептпо следующему предположению:
точки а и b нельзя соединить никаким собственным связным
подмножеством пространства.
Доказательство. Предположим, что p?(.i' — а — Ь) —
точка, не отделяющий а от Ь. Тогдп существует спичное мно-
множество С, такое, что а, 1> ? С ф ./¦'. В самом деле, если мно-
множество ,'/' — р несвязно, то существуют два открытых множе-
множества G и //, такие, что
¦rl'-p = GUH, <7ПЯ = 0, //=^=0 и a, b?G,
ибо р не отделяет точку а от точки /к
Таким обра.чом, множество С ~ (р)[) G есть связное собствен-
собственное подмножество (ср. II, теорема 4) пространства, соединяющее
точки а и Ь.
X. Уникогерентность. Дискогерентность.
Определение. Топологическое пространство ft" назы-
называется уникогерентным, если оно связно и если для каждой
пары Л, В замкнутых связных множеств, таких, что ,1 = Л U #,
пересечение А{]Й связно.
Пространство Л' называется дпскогерентным, если для любой
пары замкнутых множеств А и В, таких, что
A) :1' = Л[]В и ЛФ.ГФИ,
пересечение Л П В несвязно.
Согласно теореме 5 и. II, если связное пространство не
является дискогерептпым, то существуют два замкнутых сеян-
сеянных множества А и В, имеющих связное, пересечение и удовле-
удовлетворяющих условиям (I).
Очевидно, что всякое днскогерептное пространство связно.
Примеры. Интервал в упикогерентеп, а окружность ^
дискогерентпа. Позже мы увидим, что </" уппкогерептпо для
всякого п, а &'„ унпкогерентно для п ^ 2.
Теорема 1. Связное пространство Л днскогерентно тогда
и только тогда, когда дополнение любого замкнутого связного
подмножества С связно.

172 Г лака 5. Связные пространства
Доказательство. Если
(Г) .V-C = M[)N, (M()N)\J(N()M)=>0 и МфОфЫ,
то множества А = С[)М " B = C[}N замкнуты,
А ф Я Ф В и А П В = С.
С другой стороны, если замкнутые множества А \\ В удо-
удовлетворяют условиям A) и если пересечение А(]В связно, то
(Г) справедливо при условии, что М = Я' — А и N = Я' — В.
Таким образом, (замкнутое и связное) множество С является
разделителем пространства.
Теорема 2. Если пространство Я' дискогерентно, а мно-
множества С и D замкнуты, связны и таковы, что
B) %'=*C\}D и С ф .Г Ф D,
то множества А — Я' — С и В = Я' — А связны, удовлетворяют
соотношению A) и А = Я' — В.
Доказательство. Множество Я' — С связно по теореме 1.
Следовательно, связно и множество А — Я' — С. Отсюда выте-
вытекает, что множество Я'— А связно, а поэтому связно и мно-
множество В — Я' — А.
Согласно соотношению B), Я' — С cz D ф Я', откуда .#*— Ccz
а РФ Я'; следовательно, Аф.1'. Так как Оф.Г- Cczlnt{A) =
= Я' — Я' — Л, то из этого следует, что В ф Я'. Тогда
A U В = A U Я' - А = Я\
Наконец, в соответствии с § 8, VIII
я; - в = я~ - я' - а = я: - я: - я' - с = я: - с = А.
Теорема 3. Свойства уникогерентности и дискогерентности
инвариантны относительно непрерывных монотонных отобра-
отображений .
Доказательство. Пусть /: X ~* У — непрерывное моно-
монотонное отображение на. Пусть А и В —два замкнутых связных
множества, таких, что f(?') = A\JB. Тогда Я" = f~l (A){Jf~1 (В)
и множества f~l (Л) и f~l(B) замкнуты и связны. Следовательно,
если пространство Я' уникогерентно, то множество

§ 46. Связность 173
сиязио, н потому сиязно мпол<естпо
ЛПб = [(Г'(ЛПЙ)|.
Таким образом, прострапспю / C') упикогерентио.
Если пространство 3' дискогерептпо, то множества /~ (Л П В)
и ЛГ\В несвязны. Следовательно, пространство f C") дискоге-
рептно.
*Х1. и-мерная связность1). Понятие связности можно сле-
следующим образом уточнить.
Пусть ."// — метрическое сепарабелыюс пространство (содер-
(содержащее более одной точки). Говорят, что 3' не более чем
п-мерно связно, если существуют дна замкнутых множества М
и N, таких, что
A) 3' = M\}N, МфЗ'фЫ и din^MRA'Xn-I;
другими словами, если существует открытое множество О,
такое, что
B) ОФС ОФЗ" и dimFr(G)</i-l,
или если существует замкнутое не более чем (п — 1)-мерпое
множество, разделяющее пространство 3'.
Наименьшее целое число, обладающее этим свойством (ко-
(конечное пли бесконечное), называется размерностью связности
пространства 3' и обозначается dc3'2).
Таким образом, если с]с.."?" < оо, то существует замкнутый
разделитель размерности dc.^'-~ 1, но не существует замкну-
замкнутого разделителя размерности <lc.i' —2.
Далее, положим dc(p) = 0 и dcO=— 1.
Легко установить, что dcJ?'<! dim-f' и что условие dc3"^ 1
эквивалентно предположению, что пространство 3' связно »
содержит более одной точки.
Компактные пространства 3, удовлетворяющие условию
<\с&' = dim 3", называются канторовыми многообразиями.
Замечания. Если пространство представляет собой объе-
объединение двух кубов, имеющих только одну общую вершину, то
<1с =1; если они имеют только одно общее ребро, то dc = 2;
наконец, если они имеют только одну общую грань, то dc = 3.
Отсюда видно, что число dc3' позволяет выразить более
точно геометрическую идею более или менее «сильной» связ-
связности полиэдра, состоящего из двух кубов, в соответствии
с тем, соединяются ли они по грани, ребру или вершине.
') См. Куратовский и Отто [I].
2) См. Куратоиский [37]; там а следует заменить па п + 1.

174 Глава 5. Связные пространства
Из теорем б и 3 § 45, IV вытекают следующие две теоремы.
Теорема 1. Если X — компактное пространство, неприво-
неприводимое по отношению к своей п-мерной степени, то dc .T ^ п.
Теорема 2. Во всяком компактном пространстве размер-
размерности ~^п содерокится замкнутое множество F, такое, что
dc F ^ п; следовательно, в нем содержится, в частности, компо-
компонента размерности ^л1).
Многие теоремы теории связных множеств можно обобщить
и переформулировать таким образом, чтобы они стали теоре-
теоремами о размерности связности. Сформулируем некоторые из
них без доказательства.
Теорема 3. Если С — множество, содержащее более одной
точки, то условие dc С ^ п эквивалентно существованию двух
множеств М и N, таких, что
C-MUN, С-МфОфС-N,
dim[(M(]N)U(Nt\M)]i^n- 1,
а также существованию открытого множества G, такого, что
D) СПС ФОФС-G, dim[CnFr(G)]<«-l.
Те_орема_4. Если dcC^n, CcM\JN и если
dim [(/И П N) U (Л П Af)l< « - 2, то либо СаМ, либо С <= N.
Теорема 5. Если {Ct} — семейство таких множеств, что
dc С; > и, и если оно содержит такое множество Со, что
dim (Со П Ct)^n — 1 для каждого t, то dc(\JC(\^n.
V / /
Теорема 6. Если С с: Е cz С и dcC>«, то dc?>«.
¦ Теорема 7. с1с(.Г-С)> dcT-dim С-1.
Теорема 8. Если «"-C-MUAf, {М Л N)[)(Nf\M) = 0 и
dcC<dc.r, то dcC<dc(CUM) и dc С <dc(CLJA/).
Теорема 9. Если А и В — два замкнутых множества, таких,
что dcMnBXdcMUB), то dc(A(]B)^dcA и dc(/l Л В) < dcB.
Теорема 10. Если f — непрерывное отображение (связ-
(связного) компактного пространства Т, такое, что dim /~ (у) ^ k
для каоюдого у, то
') Ср. с понятием «размерностной компоненты>, введенным П.С.Алексан-
П.С.Александровым [8, стр. 215). Ср. также Тумаркин [1].

$ 46. Связность 175
*XII. я-мерная связность между двумя множествами. Про-
Пространство .V называется п-мерно связным между двумя под-
подмножествами А и В (записывается: dcA в 3" = п), если л —наи-
—наименьшее целое число, такое, что существуют два замкнутых
множества М и /V, удовлетворяющих условиям
&~*M\}N, ЛП/У = 0 = ВПМ, сЗип(МПЛ0</г-1;
это означает, что существует замкнутое множество размер-
размерности <]/г— 1, которое разделяет 3' между А и В.
Можно доказать следующие утверждения '):
Теорема 1. Множество С пространства 3' не более чем
п-мерно связно между двумя подмножествами А и В тогда и
только тогда, когда существует открытое множество G, такое,
что
AaG, СПВ = 0, diin[CnFr(G)]<rt-l.
Теорема 2. Если йслип 3" ^.п и (Зсдг,в 3" ^.п, то
<1сд,ил,. д.Т</г.
Теорема 3. По всяком компактном пространстве из п-мер-
ной связности меокду двумя замкнутыми множествами А и В
вытекает п-мерная связность между парой точек а ? А и b ? В.
Более точно, если в компактном пространстве заданы два
подмнооюества А и В третьего подмножества С, то существуют
две точки а ? А и Ь?В, такие, что
Теорема 4. dimQ.T^rt тогда и только тогда, когда
dc0 B3*^.n для всякого замкнутого множества В, такого, что
Теорема 5. dim.^'^/г тогда и только тогда, когда
(\сЛ<вЗ'^.п для любых замкнутых непересекающихся мно-
множеств А и В.
Если 3~ компактно, то dim 3~ ^ n тогда и только тогда,
когда dcaib3'^.n для любых точек а =? Ь.
Теорема 6. Если С — подмножество компактного простран-
пространства, то каокдой точке а?С соответствует точка b ф а, та-
такая, что
dca,,, (С U b) — dima С при условии d\maC <оо.
') См. примечание 1 на стр. 173 и стр. 268—269.

176 Глава 5. Связные пространства
Теорема 71). Каждое сепарабельное метрическое про-
пространство можно компактифицировать без увеличения размер-
размерности связности между любой парой точек.
Более того, множество гомеоморфизмов f: Я'—>{/*", таких,
что размерность связности пространства Я' между точками р
и q равна размерности связности множества }(Я') между )(р)
и f(q) для любой пары точек р, <1^Я\ представляет собой оста-
остаточное множество в пространстве (<</к«)г.
§ 47. Континуумы
I. Определение. Непосредственные следствия. Компактное
связное ^-пространство называется континуумом2). Предпо-
Предполагается, что все пространства, рассматриваемые в § 47,
являются ^-пространствами.
Т с о р е м а 0. Компактное метрическое пространство Я' есть
континуум тогда и только тогда, когда ¦') каждой парс точек а,
Ь?Я' и каждому числу е>0 соответствует конечная система
точек
=/;, где
и
Доказательство. Условие необходимо, так как множе-
множество F(a, e) точек, которые можно соединить с точкой а «цепью»
со звеньями <е, замкнуто и открыто; оно совпадает с про-
пространством Я", если .'/-' связно. Условие достаточно, так как
если Я' = A U В — разложение компактного пространства Я' па
два непустых непересекающихся замкнутых множества, то
р(Л, В)>0, и, следовательно, не существует цепи, соединяю-
соединяющей а и I), со звеньями длины <р(Л, Я).
Следующие утверждения вытекают непосредственно из соот-
соответствующих теорем о связных множествах § 46.
Теорема 1. Объединение двух континуумов, имеющих
общую точку, есть континуум (ср. § 46, II, следствие 3 (i)).
Теорема 2. Если Л и В — два таких компактных множе-
множества, что Л[)В и Л П В — континуумы, то Л и В — континуумы
(ср. § 46, II, следствие 5).
') См. Куратонскмй [37, стр. 2'13]. Теорема 7 является обобщением тео-
теоремы 4 п. V.
2) Термин «континуум» используется рапными авторами также для обо-
обозначении замкнутого связного множества.
') Это перноначалыюе кантороиекос определение континуума; см. Кап-
тор [2].

§ 47. Континуумы 177
Теорема 3. Если С — подконтинуум континуума .Т и если
М и N — два отделимых множества, таких, что .с? — С = М [} N,
то множества С. (J М и С (J /V — континуумы (ср. § 46, II, тео-
теорема 4).
Теорема 4. Прямое произведение (конечное или бесконеч-
бесконечное) континуумов есть континуум (§ 46, II, теорема 11).
Теорема 5. Непрерывный образ континуума есть конти-
континуум (§ 46, I, теорема 3).
Теорема 6. Компоненты компактного пространства пред-
представляют собой континуумы (§ 46, III, теорема 1).
II. Связные подмножества компактных пространств.
Теорема 1. Всякое компактное пространство обладает
следующим свойством:
(М) Пели пространство связно между двумя замкнутыми
множествами А и В, то оно связно между некоторой парой
точек а и Ь, где а^Л и Ь?В1).
Доказательство. Предположим, что пространство 3'
не связно между любой парой точек а и Ь, где а ? Л и Ь?В.
Пусть МаЬ — открыто-замкнутое множество, такое, что
а ? М„I, и Ь ? МаЬ.
Для дайной точки /; 6 В семейство {МпЬ}а^л есть открытое по-
покрытие (компактного) множества Л; следовательно, существует
конечное подмножество Л' множества Л, такое, что {Маь}а^Л: —
тоже открытое покрытие Л. Положим для Ь?В
Mb= U МаЬ.
a d Л'
Множество Мь есть открыто-замкнутое подмножество прост-
пространства Л' и AczMb, тогда как Ь(^МЬ. Далее, семейство
{/' — М b}h ^ в есть открытое покрытие (компактного) множества В;
следовательно, существует конечное множество В' cz В, такое,
что {Я' — Mb}b?D, тоже покрывает В.
Таким образом, открыто-замкнутое множество (~| Мь со-
ь g в'
держит А и не пересекается с В, что приводит к противоречию.
Теорема Г. Всякое компактное наследственно нормаль-
нормальное пространство обладает следующим свойством: если
') Ср. Мл (уркепнч
12 Зак. 190

178
Глава 5. Связные пространства
подмножество Е связно между двумя множествами А и В {где
А\}ВаЕ), то существует пара точек а6А, Ь?В, такая, что
множество Е [} а О b связно между а и Ь.
Доказательство. Пусть G —семейство всех открытых
множеств G, таких, что ?flFr(G) = O. Предположим, что мно-
множество Е U a U b не связно между а и b для любых а ? А и
6 6 й; это значит (ср. § 46, IV, теорема 7), что каждой паре
точек а?А и Ь?В соответствует открытое множество G, такое,
что
т. е. G6G.
Согласно лемме § 41, II, существует множество
Я - (О! П ... П О»,) U ... U (О? П ... П G?fe), где G', 6 О,
такое, что Л с: Я и S П /7 = 0. Так как (ср. § 6, II (8) и (9))
Fr(tf)c:yFr(O}),
то отсюда вытекает, что Е П Fr (Я) = 0. Следовательно, Е не
связно между Л и В.
Теорема 2')• В компактных пространствах (или в прост-
пространствах со свойством (М)) квазикомпоненты связны и поэтому
совпадают с компонентами.
Доказательство. Предположим, что квазикомпонента Q
точки р не связна. Тогда существуют (ср. § 46, I, теорема 2)
открытое множество G и точка q, такие, что
A)
-G и QnFr(G) = 0.
Последнее равенство означает, что пространство не связно
между р и любой точкой множества Fr(G). Следовательно, из
свойства (М) вытекает, что пространство не связно между
точкой р и множеством Fr(G). Поэтому существует открыто-
замкнутое множество F, такое, что
') Более прямое доказательство см. Шура-Бура [1]; см. также Куратов-
ский [50, стр. 227].

$ 47. Континуумы 179
Отсюда следует, что p?Ff\G и q?X — (F(\G); кроме того,
F (] G — открыто-замкнутое множество, так как
Fj]G <=F(\ G = Ff] G- F f]Fr(G)\j(F(] G) = Ff] G.
Таким образом, пространство не связно между точками р и q.
Теорема 3. Если компактное пространство {или простран-
пространство, обладающее свойством (М)) связно между двумя замк-
замкнутыми мнооюествами А и В, то существует компонента С, та-
такая, что С(]АфОфС(]В.
Доказательство. Пусть (а, Ь) — такая пара точек, что
а?А, Ь?В и пространство связно между а и Ь; тогда С —
компонента (и, следовательно, квазикомпонента) точки а.
Теорема 4'). Во всяком компактном метрическом прост-
пространстве предел сходящейся последовательности связных мно-
множеств есть связное множество.
Это вытекает непосредственно из теоремы 14 § 46, II.
Теорема 5. Если Clt С2, ...—последовательность конти-
континуумов, такая, что
B) С,=эС2=> ... =>С„гэ ...,
то пересечение С, р С2 Л . • • Л Сп Л ... есть континуум.
Доказательство. Действительно, из условия B) по тео-
теореме 1 § 42, IV следует, что CiOC^f] ... принадлежит за-
замыканию семейства всех подконтинуумов множества С]. Но по
теореме 14 из § 46; II это семейство замкнуто.
Замечание. Если в некотором полном пространстве
С\ tD Ci^>... — убывающая последовательность замкнутых связ-
связных множеств, такая, что lima(Cn) = 0, то пересечение
«->оо
С\ Л Сч Л ... есть континуум2).
Доказательство. Предположим, что
C) П Сп - A U В,
D) А** А, В" В, АФОФВ,
Пусть G — открытое множество, такое, что
E) AcG и СЛВ-0.
') Ср. Зоретти [1, сто. 8].
") См Куратовскнй [24, стр. 304]. Определение а (С) см. §37, IV, заме-
замечание 2.
12*

180 Глава 5. Связные пространства
Так как множество Сп связно, то ил условия С„ (] О Ф 0 ф Сп — G
следует, что Сп П Нг(О=^0. Положим /•'„ = Сп {] I-'r (G). Так как
Д откуда lim
П->оо
то, согласно § 34, II,
П^^=0, т.е. DCnnF()
п п,
Но это противоречит условиям C) и E).
Таким образом, установлено, что множество (~1 Сп связно.
п
Компактность этого множества вытекает из условия aff] Cn\ = 0,
V я /
которое означает, что множество П Сп вполне ограничено (ср.
п
§ 41, VI, теорема 2).
Теорема 6. Если Си С2, ... —последовательность подкон-
подконтинуумов компактного метрического пространства, такая, что
Li Сп ф 0, то множество Ls Cn есть континуум.
Доказательство. Согласно следствию из § 29, VIII,
Ls Сп есть объединение пределов сходящихся подпослсдова-
тельностей {Ckrt}- Так как эти пределы связны (по теореме 4)
и содержат множество Li С'„ (ср. § 29, II, теорема 5), то их
ге->оо
объединение связно (ср. § 46, II, теорема 2).
Теорема 7. Если f — непрерывное отображение контину-
континуума .%', то существует подконтинуум С континуума 3', непри-
неприводимый по отношению к свойству: быть таким континуумом,
что fC) f&)
Доказательство. Это утверждение — следствие тео-
теоремы 2 из § 42, IV и того факта, что семейства континуумов
и замкнутых множеств X, таких, что f(X) — fC'), замкнуты
в пространстве 2V (ср. § 44, II, теорема 2).
Теорема 8. Пусть Е — подмножество компактного метри-
метрического пространства. Если А\таЕ>0 {где а —некоторая задан-
заданная точка Е), то существует точка Ь ф а, такая, что ЕЦ(Ь)
связно между а и Ь1).
1) Теорема Меигера [1, стр. 207].

§ 47. Континуумы 181
Доказательство. Пусть Во — замкнутое множество в Е,
такое, что а?? — Во и Е связно между а и Вп (ср. § 46, IV,
теорема 2); положим в теореме 1 А = а и В — Во.
Теорема 9. Если компактное метрическое пространство
(или пространство, обладающее свойством (М)) имеет положи-
положительную размерность в точке р, то точка р лежит в некотором
связном множестве (содержащем более одной точки).
Доказательство. Согласно теореме 8, пространство
связно между р и некоторой точкой q Ф р. Квазикомпонента
точки р, совпадающая со своей компонентой, содержит точку q.
III. Замкнутые подмножества континуума.
Теорема I1). Если А —собственное замкнутое подмно-
подмножество континуума № и если С — компонента мноо/сества А, то
С[\Л'-ЛфО, т. е. С{]Рг(А)фО.
Доказательство. Действительно (ср. II, теорема 3),
множество А связно между каждой точкой а ? А и множеством
Л(]:Г-А (§ 46, IV, теорема 8).
Теорему 1 можно обобщить следующим образом:
Теорема 2. Если X — произвольное собственное подмно-
подмножество континуума X и С — компонента множества X, то
С(\$'-ХфО, т. е. С{]?г(Х)фО.
Доказательство. Пусть а?С. Очевидно, можно пред-
предположить, что а(?."?' — X. Рассмотрим семейство А всех откры-
открытых множеств G, таких, что .t' — XczG и a^G. Обозначим
через Со компоненту точки а в Sl' — G. По теореме 1 имеем
С а П G ф 0.
Так как J-XcG, то J-CcX. Следовательно,
CaczC, откуда С(]СфО.
Так как семейство А направлено по включению гэ, т. е. для
каждой пары множеств G, и С2 существует множество G3,
такое, что G3c:Gi и G3c:G2 (а именно G3 = GinG2), то напра-
направленным будет и семейство всех множеств С ПС, где G?A.
Так как множества Cf\G компактны и непусты, то
') Теорема Яиишсвского [2, стр. 907]. См. также Вьеторис [1] и Шн-
мапский [1|, где приводятся библиографические ссылки. Более современный
подход см. Шура-Бура [1, стр. 386J.

182 Глава 5. Связные пространства
(согласно § 41, I D)) их пересечение F непусто. Очевидно,
пересечение всех множеств G, где G ? А, равно 3' — X, откуда
Теорема 3. Если А — собственное замкнутое подмножество
континуума, то всякая компонента А содержит по крайней
мере одну компоненту границы А.
Следовательно, мощность семейства компонент множества А
не превосходит мощности семейства компонент Fr(/1).
Доказательство. Если С — компонента множества А,
то по теореме 1 С f| Fr (Л) ф 0. Пусть D —такая компонента
Fr(/1), что С(]Оф0. Так как D czFr (A)cz А, то DczC.
Теорема 4. [1усп> 3' и К <= 3' — континуумы, a G — такое
открытое множество, что К <^G и G ф 3'. Тогда существует
такой континуум С, что К, аС с G и К Ф С.
В частности, если 3' — метрическое пространство {содержа-
{содержащее более одной точки), то каждая точка пространства 3'
принадлежит некоторому континууму (содержащему более одной
точки) произвольно малого диаметра.
Доказательство. Заменим в теореме 1 А на G и обо-
обозначим через С компоненту множества G, содержащую К,.
Следующая теорема вытекает непосредственно из теоремы 4.
Теорема 5'). Если К — собственный подконтинуум конти-
континуума SP, то существует континуум С, такой, что
/СсС и КФСф 3\
Теорема 6 (Серпинский [5]). Никакой континуум нельзя
разложить в объединение счетного семейства непустых непере-
непересекающихся замкнутых множеств.
Доказательство. Предположим, что пространство 3~ —
такой континуум, что
где множества А„ замкнуты, не пересекаются и по крайней
мере два из них непусты. Определим последовательность кон-
континуумов d, С2, ..., таких, что
С,=>С2=э..., СПА.-0 и Спф0;
') См. также а. VII и § 4В, VI, теорема 1.

$ 47. Континуумы 183
это приводит к противоречию, так как
ПС„ПиЛ„ = 0, откуда ПС„ = 0,
п a ft
вопреки теореме Кантора.
Наша задача свелась к доказательству существования та-
такого континуума С, что СГМ] = 0 и по крайней мере два из
элементов последовательности С ft А2, С ft Л3, ... непусты (С бу-
будем обозначать через С], а для того чтобы определить С2,
будем рассматривать С\ как все пространство, и т. д.).
Но, очевидно, можно предположить, что А{ ф О (так как
в противном случае можно было бы считать, что С=*Я'). Пусть
Л,„Ф0 при тф\. Пусть У7 —замкнутая окрестность множества
Л,„ (т. е. Лт П -'V — F — 0), такая, что FftA^ — O, и пусть С —
компонента множества F, такая, что С ft Лтф0. Так как
FftAi — О, то CftAi — 0. С другой стороны, согласно теореме 1,
СГ\.Г~^?Ф0, откуда С<?Ат, т. е. С-Лтф0,
а так как
то существует такой индекс п ф т, что С()Лпф0.
Замечания, (i) Из теоремы 6 вытекает следующая
Теорема 6а. Если компактное пространство допускает
разложение на (непустые) непересекающиеся континуумы С\,
С2, . . ., то каждый континуум Сп — компонента этого про-
пространства.
Доказательство. Действительно, в противном случае
существовал бы континуум К., такой, что /(эС„ и К Ф С„,
и ряд
(
содержал бы по крайней мере два непустых члена.
(ii) В теореме 6 предположение компактности суи{ественно.
Пострц/ш пример связного локально компактного простран-
пространства Е, допускающего разложение в ряд непересекающихся
замкнутых связных множеств (рис. 2). Пусть Е — объединение
1) сегментов х~2~'\ 0<//<1, п = 0, 1, 2, ...; 2) сегмента
х = 0, 0<//<11, из которого выброшены точки с ординатами 3/2";
3) дуг р = 2~", л/2<8<2я (в полярных координатахI).
') См. Серпниский [9, стр. 5] и [6, стр. 188]. Ср. также Кнастер и Ку-
ратовский [3, стр. 58].

184
Глава 5. Связные пространства
Множество Е можно гомеоморфно отобразить на замкнутое
связное множество, лежащее в трехмерном евклидовом про-
пространстве. Однако на плоскости не существует замкнутого
связного множества, допускаю-
допускающего разложение в ряд непере-
непересекающихся замкнутых связных
множеств ').
С другой стороны, на плоско-
плоскости можно построить замкнутое
связное множество, допускающее
разложение в ряд непересекаю-
непересекающихся (несвязных) замкнутых
множеств 2).
(iii) Точка р называется дости-
достижимой из множества Л, если су-
существует такой континуум С, что
A) р?Сс:Л{]р и СФр.
Так, например, если Е — кривая
г/ = sin A/лг), 0<|х|<1, попол-
пополненная сегментом |//|^1, х — О, то только концы этого сег-
сегмента достижимы из множества (?'~ — Е, а все остальные
точки этого сегмента недостижимы.
Теорема 7 (Урысоп i!)). Если. Е есть Р0-множество а ком-
компактном метрическом пространстве :Г, то множество Еа точек,
достижимых из множества ."?' — Е, является аналитическим.
Доказательство. Действительно (ср. § 41, IV, след-
следствие 1Ь),
Рис. 2
V {(С
ф
Ф
где С пробегает компактное пространство (ср. II, теорема 4)
подконтинуумов пространства А'.
Замечание. Примеры замкнутых множеств, лежащих
в '6"'\ показывают, что Еа может быть иеборелепским множе-
множеством4).
Если Е — компактное подмножество плоскости, то Еа — боре-
левское множество (см. Мазуркевич [28, стр. 153]).
') См. Мазуркепич [II] п Мур [6].
2) Малуркевич [II).
3) С".м. Урисоп [3]. /loKa.'iaTc.jiiiCTHo см. в статье Куратопского |25, сгр. 2Ю].
По поводу аналогичных теорем, касающихся прямолинейной достижимости,
ср. § 38, VIII, стр. 475.
4) См. Урысои [3] и Ннкодим [IJ.

<S 47. Континуумы 185
IV. Разделение компактных метрических пространств. Из
теоремы 3 и. II вытекает следующая
Теорема 1. Если 3' — компактное пространство, то множе-
множество С является его разделителем тогда и только тогда, когда
существует компонента Q пространства 3', содержащая две
точки, между которыми множество 3' — С не связно.
В этом случае, очевидно, С П Q — разделитель множества Q,
Однако разделитель компоненты пространства 3' не обяза-
обязательно является разделителем .It'.
Теорему 1 из § 46, VII можно усилить следующим обра-
образом.
Теорема 2. Во всяком компактном пространстве SV суще-
существует последовательность точек ри р2, ..., такая, что каждый
замкнутый разделитель F является разделителем между парой
точек (ph pj), между которыми пространство SC связно.
Более точно, если {Qn} — семейство компонент, всюду плот-
плотное в семействе всех компонент пространства .'?*, и если Р —
— {Рп) ~~ такое счетное множество точек, что P^Qn^Qn ^ля
п—\, 2, ..., то каждому замкнутому разделителю F соответ-
соответствуют три индекса i, /, к, таких, что ри pj ? Q^ и F разде-
разделяет пространство между pt и pj.
Доказательство. Согласно предположению, существуют
два открытых множества М и N и. компонента С простран-
пространства .%', такие, что
A) .V-F = M[]N, Affltf-O,
B) C[]M^0^C(]N.
Так как множество С — предел последовательности, содержа-
содержащейся в семействе {Q,,}, то существует такой индекс /?, что
Наконец, из условия Р f)Qk = Qk вытекает существование двух
индексов / и /, таких, что pi?Qkf\M и Pj^zQuf) N. Согласно (I),
множество /•' — разделитель пространства между точками pt
и pj.
Теорема 3 (Уапберп [11, стр. 151]). Если № — континуум,
то множество S (а, Ь) всех точек, разделяющих простран-
пространство 3' между точками а и Ь, есть объединение Оь-множества
с некоторым счетным множеством.
Доказательство. Согласно теореме 5 из § 46, IX, мно-
множество S{a, b) после удаления из него некоторого счетного

186 Глава 5. Связные пространства
множества точек совпадает с множеством точек, в которых
непрерывное отображение пространства Л' взаимно однозначно,
а последнее является <?й-множеством (ср. со следствием 1с
§ 41, III).
Теорема 4. Множество всех точек, разделяющих Я', есть
множество типа G^.
Доказательство. Это следует из теорем 2 и 3.
Замечание. Если ."?' не компактно, то S(a, b) может
быть иеборелевским множестпом. Пусть Я' — подмножество
¦квадрата ff2, состоящее из основания квадрата и вертикальных
сегментов с абсциссами, принадлежащими некоторому множе-
множеству D, всюду плотному в в. Положим а = @, 0) и Ь — {\, 0).
Тогда S(a, b)^g-D.
Теорема 5 (Мур ')). Во всяком континууме .Т (содержа-
(содержащем более одной точки) существуют по крайней мере две точки,
которые его не разделяют.
Доказательство. Покажем, что для каждой точки р
существует точка офр, которая не разделяет пространство Л'.
Пусть р0, Ръ Pi •¦• ~ последовательность точек, всюду плот-
плотная, в d-', где ри~р и Pi=^=pj для i?=j. Можно считать, что
точки рп разделяют пространство :1" при п>0.
Пусть /0 — 0, /], /2, ...—некоторая последовательность ин-
индексов, и пусть Ло = ."?\ Л\, Л2, ... — последовательность от-
открытых множеств, определяемая следующими условиями:
(i) /„ — наименьший индекс >in_h такой, что /?/н 6 Ai-ь
(И) Ап — открытое множество, такое, что
(Существование множества Ап вытекает из того факта, что
SC'— Pi допускает разложение на два непустых-непересекаю-
непустых-непересекающихся открытых множества; то из них, которое не содержит
точки Pi _,, обозначается через Л„.)
Так как множество Л„ — континуум (ср. § 46, II, теорема 4),
то из условий
A) Р^бЙпГМ,,., и Гг(Л„_1) = р^_), откуда Лп П Fr(/4e_,)=0,
следует, что Л„с:Ля_1 (ср. § 46, I, теорема 1).
') См. Мур [3. стр. 340, теорема 2] и [Ц Обобщения см. п а. VI. Ср.
также Мачуркевнч [8J, Геман [2, стр. 433]. Бииг [0. стр, 501] и Курагов-
ский [5, стр II3J.

# 47. Континуумы 187
Поэтому /^ГМгГ) ¦•• Ф® (ср. § 41, I, замечание 4). Пусть
B) q ? {А 1 П Л2 П • • •). откуда qфpt для п = 0, 1.....
Пусть М и Л/ — два таких открытых множества, что
C) .Т •— q — М\] N и ЛТ П N = 0.
Покажем, что одно из них пусто. Предположим, что суще-
существует бесконечно много индексов /„, таких, что pt ? N; тогда,
согласно A), B) и C),
D) (М U <7)П Fr (Л„) = 0.
Так как множество Л4 U^ — континуум (ср. § 46, II, тео-
теорема 4), то из условия (М [j q)(] Апф0 (ср. B) и D)) по тео-
теореме 1 из § 46, I следует, что
E) М U q с= Ап, откуда М \) q а А, ПЛ П • ¦ • •
Если МФО, то существует точка ри^М\ но в этом случае
если п удовлетворяет условиям /„>/г^з/п_1( то pk? M cz Лп
(согласно E)), а потому кф1п_ъ Рк€Ап„\ и г'„ не является
наименьшим индексом >г'га_ь удовлетворяющим условию
Pi 6Л„_ь что противоречит условию (i). Следовательно, ЛТ = О.
V. Дуги. Простые замкнутые кривые. Дугой называется
пространство, гомеоморфное интервалу в'. Пространство, гомео-
морфпое окрулености х2 + у2~\, называется простой замкнутой
кривой.
Всякий интервал содержит точно две точки, которые его
не разделяют, а потому этим свойством обладает и каждая
дуга. Эти две точки называются концами дуги («дуга ab» — это
дуга с копнами в точках а и Ь).
Теорема 1. Если каждая точка х метрического контину-
континуума .°)'\ за исключением двух точек а и Ь, является раздели-
разделителем, то Л' — дуга ').
Доказательство. Пусть афхф!) и /Г — х = M\j N, где
М и Л/— два непустых, непересекающихся открытых множества.
Пусть а?М. Тогда b^N, так как в противном случае, обозна-
обозначив через у (в соответствии с теоремой 5 п. IV) ту точку
множества Л/, которая не разделяет континуум N (J х, мы по-
получили бы, что множество
.t'-t/-=(N[}x)-y[}(MUx)
связно вопреки предположению.
') Ср. с примечпнием к теореме Леннееа (§ 46, IX, теорема 6). См.
также Мур [3, стр. 3'@].

188 Глава 5. Связные пространства
Так как каждая точка х есть разделяющая точка между
точками а и Ь, интервал 8 представляет собой непрерывный
взаимно однозначный образ Я' (теорема 6 из § 4E, IX). Следо-
Следовательно, как компактное пространство, Л' гомеоморфпо этому
интервалу (ср. с теоремой 3 ия § 41, III).
Теорема 1'. Если метрический континуум X содержит
две точки а и Ь, такие, что каждой точке х соответствуют
два замкнутых множества Л и В, удовлетворяющих условиям
Ж = А\}В, а?А, ьев и ЛГ)В = *,
то Я" — дуга 1).
Доказательство. Действительно, каждая точка
х?Я' — a — b является разделителем.
Замечание. Условия, данные в теоремах 1 и Г, являются
не только достаточными, но также и необходимыми для того,
чтобы метрический континуум был дугой. Вообще, так как
все дуги имеют один и тот же топологический тип, всякое то-
топологическое условие, достаточное для того, чтобы простран-
пространство было дугой (и выполняющееся хотя бы для одного про-
пространства), является одновременно п необходимым.
Теорема 2 (Мур2)). Если любая пара точек разделяет
метрический континуум Я", то Я' — простая замкнутая кривая.
Доказательство. Покажем, во-первых, что для каждой
точки а множество Я" — а связно. Действительно, в противном
случае существовали бы два континуума Р и Q, таких, что
Следовательно, согласно теореме 5 п. IV, существовали бы
две точки рбЛ ^6Q. p?=a=^=q, такие, что множества Р — р
и Q — q связны. Но в этом случае множество
было бы связно (так как а?(Р — p)f](Q — q)) вопреки пред-
предположению.
По предположению каждая точка х ф а есть разделитель
множества Я" —а. Согласно теореме 4 из § 46, VIII, среди
этих точек х имеется некоторая точка /;, разделяющая мно-
множество Я' — а на два непустых связных отделимых множества
М и АЛ Следовательно,
') Ср. Серпипский [2] п [4], Страшевич [!]•
2) Мур [3, стр. 342]. Ср. также Бинг [6, стр. 505].

§ 47. Континуумы 189
Отсюда вытекает, что М — М [) a\J b, так как предположение
а(^М повлекло бы за собой существование разложения (связ-
(связного) множества 3' — b па два отделимых множества М и N[}a.
Аналогично N = N [) а [} Ь.
Покажем, что М и N — две дуги ab.
Предположим, например, что М не является дугой ab.
Тогда по теореме 1 существует точка х ? М, такая, что ЛТ — х
связно. Следует различать два случая в соответствии с тем,
является ли N дугой ab или пет.
Если N не является дугой ab, то существует точка y^N,
такая, что N — у связно. Но тогда множество
связно вопреки предположению. ,
Если Af — дуга, то каждая точка y?N определяет разбиение
множества N на два связных множества ау — у и by— у, что
приводит к тому же противоречию, так как множество
%-х- у = (M-x)[j(ay-u)U(by- у)
связно.
Следующие два утверждения вытекают непосредственно из
теоремы 2".
Теорема 2'. Если каждой паре точек a, h метрического
континуума tV соответствуют два замкнутых множества А и В,
таких, что
X = A LJ В, А Л В = (а, Ь) и А Ф ,Г Ф В,
то Ж — простая замкнутая кривая ').
Теорема 2". Если не существует связного подмножества,
разделяющего метрический континуум &', то № — простая замк-
замкнутая кривая 2).
Теорема 3. Пусть в компактном метрическом пространстве
задана последовательность {Сп}, п=\, 2, ..., связных мно-
множеств, содержащих точки а и b и таких, что каждой точке
х 6 П Сп соответствует разбиение Сп = Лп [) Вп, удовлетворяющее
') 1>олее ограничительное условие, получающееся из теоремы 2' в предпо-
предположении, что А и В — континуумы, принадлежит Янншевскому [I].
2) Ср. Клайи [2].

190 Глава 5. Связные пространства
следующим условиям:
@ а?Аа, Ь?Вп, х?АпПВп;
(И) Нтй(Д,ПВ,,)-0;
(iii) An+1czAn, Bn+xaBn\
тогда пересечение П Сп есть дуга ab.
п
Более общо, вместо предположения компактности рассма-
рассматриваемого пространства можно считать, что оно полно и
Нта(С) = 0.
га->оо
Доказательство. Так как Сп+1 = Яп+1 U Вп+1с Ап[] В„ = СП,
то пересечение [\Сп есть континуум (ср. II, замечание к тео-
п
реме 5) и
ПСп+1аГ\Сп влечет за собой ПСП = Г|С„.
п п п. п
Пусть (для фиксированного х)
Покажем, что А и В удовлетворяют теореме V (еслн Ж'= f\ С Л.
_ _ _ \ п /
Так как An+l cz Апс Ап, то А = |~1 Аа, откуда следует, что мно-
п
жество А замкнуто. Множество В замкнуто по той же при-
причине. Из включений Ап+1 а Ап и Вп+1 с Вп следует, что
п п п п
Наконец, х€Г\(АпГ\В„)*= А{\В, и так как 6(Л П В) = 0, то
А Л 5 = х.
VI. Разбиение компактных пространств на континуумы.
Теорема 1 '). Разбиение компактного пространства SC на
компоненты полунепрерывно сверху.
Доказательство. По теореме 3 из § 46, V существует
такое непрерывное отображение f пространства X в обобщенный
канторов дисконтинуум Dm, что квазикомпоненты .Т (следова-
(следовательно, и его компоненты; см. II, теорема 2) совпадают с про-
прообразами точек при отображении /. Так как пространство Э?
О.ц. Ьрауэр [3]. Сц. тцщъ Зсдецпсов [I].

§ 47. Континуумы 191
компактно, то его разбиение на прообразы точек при непре-
непрерывном отображении полунепрерывно сверху (по теореме 3
из § 41, III).
Из теоремы 1 вытекают два следствия.
Следствие 2. В разбиении компактного пространства на
счетное семейство С,, С2> ... непустых непересекающихся кон-
континуумов имеется по крайней мере одно открытое множе-
множество Сп ').
Доказательство. Согласно теореме 6а п. III, конти-
континуумы Ck являются компонентами пространства, а по теореме I
указанная выше функция f отображает пространство на счетное
замкнутое множество; пусть у— изолированная точка этого
множества; тогда /"'(//) —искомый открытый континуум.
Следствие 3. Всякое замкнутое множество F, являю-
являющееся объединением семейства компонент компактного метри-
метрического пространства, представляет собой пересечение последо-
последовательности открыто-замкнутых множеств.
Доказательство. Пусть /: $"-->8' —рассматривавшееся
выше отображение; положим A**f{F). Тогда
Л «Л, F-f~l(A) и dim Л» 0.
Следовательно, в 8" существует (ср. § 26, I, следствие 1Ь)
такая последовательность {Gn} открыто-замкнутых множеств, что
Поэтому /"'(^л) открыто-замкнуто и
Теорема 5 п. IV допускает следующее обобщение.
Теорема 4. Если С — собственное связное подмножество
метрического континуума %t то в множестве ЗС — С существует
точка, не разделяющая Ж 2).
Доказательство. Так как в случае, когда С =>.'?*, тео-
рема_очевидна (ср. § 46, II, следствие 3 (И)), то предположим,
что С Ф fV. Пусть /: .%' -> У — такое непрерывное отображение
континуума Ж на континуум 2/, что множество f(C) состоит
из одной точки у0, а при у ф уа множество f~'(у) состоит из
одной точки множества Ж - С (ср. § 22, IV, теорема I). Согласно
') См. Мур [5].
г) Теорема Гемана [2, стр. 435].

192 Глава 5. Связные пространства
теореме 5 из п. IV, существует точка /у, ф у{), такая, что мно-
множество У — У] связно. Следовательно, множество /" (.'У — /у,) —
= Я' — fA(yi) также связно.
Сформулируем без доказательства следующее обобщение
теоремы 5 п. IV.
Теорема 5. Пусть метрический континуум Л' представляет
собой объединение (по крайней мере двух) связных множеств Ct;
тогда существуют два индекса tx Ф А>, таких, что множества
U Ct и U С( связны ').
1 Фи tФU
В доказательстве теоремы 7 мы используем следующую
теорему 2).
Теорема 6. Если D — полунепрерывное разбиение компакт-
компактного метрического пространства Я', то семейство F компонент
элементов разбиения D само является полунепрерывным раз-
разбиением.
Доказательство. Пусть Fq, F{, ...—последовательность
множеств, являющихся элементами семейства F, такая, что
A) For\UFn?=O.
Мы должны показать, что
B) Ls Fn с Fo.
Пусть Dn (n^O) — элемент разбиения D, компонентой которого
является Fn. Согласно A), ?>оП Li Drt =^ 0, откуда следует, что
Ls Dn cz Da, так как разбиение D полунепрерывно.
Поэтому Ls Fn с: Do. Согласно A) и теореме 6 из п. II,
Ls Fn — континуум. Но так как /;0 —компонента множества Do
и Ls Fn~ подконтинуум множества D{), имеющий общие точки
с Fo (согласно A)), то из этого следует включение B).
Теорема 7. Всякое непрерывное отображение f компакт-
компактного метрического пространства Я' можно представить в виде
композиции двух непрерывных отображений h и g
где отображение h монотонно, а отображение ц имеет нуль-
нульмерные прообразы точек.
Более точно, если h (в соответствии с теоремой 6) — непре-
непрерывное отображение, прообразы точек которого суть компоненты
х) ЭПлепберг [2]. См. также Лелек II].
2) Теоремы 0 и 7 см. Зйлспберг |1]; Уайберп [20]; Хокииг и Юнг [1],
гдч эти теоремы доказаны без предположения метризуемости.

# 17. Континуумы 193
прообразов точек отображения f, то отображение ц, опреде-
определенное равенством
C) «(;/) =/к1 (//)!, где y€h{&),
непрерывно и
A) dim /Г1 (z) = 0 для z ?/"(Я")-
Д о i; ;i :i ;i т с льет п о. Вначале заметим, что правая часть
равенства C) состоит из одного элемента, ибо множество Л"'(//)
содержится в одном прообразе точки отображения /.
Отображение # непрерывно, поскольку (ср. § 41, IV, тео-
теорема 2) множество
Е [z = Ц (//)] = Е V [z = f (а-)] \х 6 Л"' (!))} =
I/, г и. г х
= Е V [г =/(*)][//==/,(*)],
как проекция замкнутого множества, замкнуто.
Для доказательства соотношения D) рассмотрим конти-
континуум С, такой, что
E) Сац-Чг).
Покажем, что континуум С состоит только из одной точки.
Из C) » E) следует, что
/Г1 (С) с=ГЧ \li ' (СI = Г'йГ (С) сг Г'8ЬГ' (z)l == Г' (г).
Так как функция h монотонна (по теореме 9 из § 46, I), то мно-
множество h" (С) — континуум и, следовательно, подконтинуум ком-
компоненты Q в множестве /~ (г). Так как отображение Л постоянно
на Q и, следовательно, па h~ (С), то множество С = h\h" (C)\
состоит только из одной точки.
Т с орем а 8. Пусть G — открытое подмножество конти-
континуума ."/¦' и р — изолированная точка множества Fr(O'). Тогда р
достижима из множества G.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через С компоненту точки р
в (} и положим F — Fr(G) — (р). Так как точка р изолирована
n Fr(G), то множество F замкнуто.
Рассмотрим сначала случаи, когда С[}1:ф0. Согласно тео-
теореме 4 и. III (где мы положим Я' = С, К = {р) и GflF — Q),
существует такой континуум СA, что Сп?~-(р), p(zC<fCzC — F
и, следовательно, Со —(/>)cr G. Итак, в этом случае точка /;
достижима из множества G.
13 Зак. 190

194 Глава 5. Связные пространства
Теперь рассмотрим случай, когда С Л F = 0, т. е. когда
С П Fr(G) = (р). Остается показать, что Cf\G^=0 (т. е. что С
не сводится к точке р). Обозначим через U объединение всех
компонент множества G, имеющих общие точки с F. Так как F
замкнуто и разбиение множества О на компоненты (по тео-
теореме 1) полунепрерывно сверху, то множество U замкнуто.
Поскольку каждая компонента множества G имеет общие точки
с Fr(G), а следовательно, с Fr(G) (ибо Fr(G)c:Fr(G)), то
С U U = G.
Отсюда вытекает, что СОйфО, ибо иначе G с U и, следо-
следовательно, GczU, а тогда CczU; но последнее означает, что
C(]F=^0 вопреки нашему предположению.
Это завершает доказательство.
VII. Пространство 2х. Согласно теореме 14 § 46, IT, семей-
семейство С всех подконтинуумов компактного пространства .1' зам-
замкнуто в пространстве 2х. Имеет место также следующий ана-
аналогичный результат:
Теорема 1. Если А и В —два подмножества компакт-
компактного пространства S", то семейство множеств X 6 2х, связных
между множествами А и В, замкнуто.
Доказательство. Множество X не связно между мно-
множествами Л и В тогда и только тогда, когда существует от-
открытое множество G, такое, что (ср. § 46, IV, теорема 7)
AczG, BflG = 0 и XnFr(G) = 0.
Так как семейство множеств X, удовлетворяющих этим усло-
условиям для данного множества G, открыто (ср. с теоремой 1
§ 17, II), отсюда непосредственно следует требуемый вывод.
Теорема 2. Пусть F — монотонное семейство замкнутых
множеств в компактном метрическом пространстве ZU. Если
F — континуум (в 2х), то F — дуга.
Доказательство. Пусть Е — элемент семейства F, М
и N— такие подсемейства F, состоящие из множеств X, что
XczE^=X, соответственно ЕаХфЕ.
Предположим, что Е не является ни первым, ни последним
элементом F; тогда M^Q=/=N. Более того, семейства М и N
отделимы, так как из условия L = Lim Xn следует, что либо

§ 47. KnnTiiHi/i/мы 195
LczE, либо Ее: L, в соответствии с тем, выполняется ли
включение Хп?М или Xn?N для всех п.
Таким образом, легко видеть, что, за исключением первого
и последнего элементов, каждый элемент F есть разделяющая
точка. Следовательно, семейство F — дуга в силу теоремы 1 п. V.
Теорема 3. Если А и С — два {непустых) метрических кон-
континуума, таких, что ЛаС?= А, то существует монотонное се-
семейство континуумов, образующее в пространстве 2е дугу с кон-
концами в точках А и С ').
Доказательство. Сначала покажем, что если 0<es^
s^ (list (Л, С), то существует континуум Ле, такой, что
АаЛ^аС и dist {А, АР) = е.
Пусть .S — множество таких точек х, что р(х, /1)^е и х?С,
н пусть У1р — компонента множества S, содержащая /I; тогда
ЛС = С в случае, когда e=disl(/l, С), и Ле Г) {X — S)=?0 в про-
противном случае (ср. III, теорема 1); по если р ? Ае П {X — S), то
р{р, А) —г и, следовательно, dist (Л, Ае) = е.
В случае, когда dist(/1e, C)>0, поступаем аналЬгичным об-
образом: определим множество Ле,е, заменяя Л па Ле в определе-
определении множества Л, далее определим Hfif>e и т. д.
После конечного числа шагов обязательно получим конти-
континуум, расстояние которого до С не превосходит е, ибо в про-
противном случае существовала бы бесконечная последовательность
точек пространства 2е, расстояния которых друг от друга
были бы ^е (по это невозможно, так как пространство 2е ком-
компактно).
Таким образом, каждому числу е>0 соответствует конеч-
конечная система континуумов
В„= Лег Л,сг Д2С1 ... сгВ„ = С,
где dist(/?,-_!, В,)<8 Для ''=1. •••> «• Следовательно, суще-
существует монотонное (счетное) семейство D континуумов, такое,
что A?D, C?D и для каждой пары Dh D2?D и каждого е>0
в В существует система Во, В\, ..., Вп, такая, что
BO = DU Bn = D2 и dist(?,_[, Вг)<е.
Поэтому семейство D есть континуум (в 2е, ср. п. I), и его
элементы— тоже континуумы (и С).
Следовательно, согласно теореме 2, это семейство — дуга,
так как оно монотонно.
') Эта теорема и ее следствие принадлежат Борсуку н Мгиуркевнчу [1].
13*

I Oil Глава 5. Связные пространства
С л е д с т в и е 4. Если С — метрический континуум, то каждую
и о pi/ Л, В элементов, принадлежащих 2е, можно соединит
дугой в 2е ').
Более точно, если Л ? 2е и АфС, то существует монотонное
семейство замкнутых подмножеств множества С, образующее
в пространстве 2е дугу с концами Л и С.
Доказательство. Пусть р?А. В пространстве 2е суще-
существует дуга А с концами в точках р н С (по теореме 3). Се-
Семейство В псех множеств Л{]Х, где X ? А, монотонно, со-
содержит Л н С и, как непрерывный образ А (ср. § 17,111,
следствие 4а), представляет собой континуум и, следовательно,
дугу (по теореме 2).
Для того чтобы выпестн первую часть теоремы из второй,
рассмотрим две дуги: дугу А{), соединяющую Л с С, и дугу Аи
соединяющую В с С. Пусть /; — первый элемент дуги А[ (ориен-
(ориентированной от /} к С), принадлежащий Аь тогда поддугп Д,
дуги Д, и Вх дуги Л, с концами Л, I: и соответственно В, Н
образуют дугу, соединяющую Л с В.
Замечание. Следствие 4 допускает такое обобщение.
Если С — метрический континуум, го пространство 2'-' пред-
представляет совой непрерывный образ континуума, который полу-
получается соединением точки A/2, 1/2) с каждой точкой канторова
множества cff (ср. § 46, II, замечаниеJ). Заметим, что
//8(с2Сз).
VFFF. Полуконтинуумы. Разрезы пространства.
Определение 1. Пространство, любую пару точек кото-
которого можно соединить континуумом, называется t юл у конти-
континуумом.
Объединение всех континуумов, содержащих данную точку р,
называется конституантой этой точки. Следовательно, консти-
конституанта точки р — это наибольший полуконтинуум, содержащий
точку р. Ясно, что два различных полукоптипуума не пересе-
пересекаются.
Теорема I. Всякий полуконтинуум связен.
Конституанта точки р содержится в компоненте точки /?;
поэтому разбиение пространства на конституанты является из-
измельчением его разбиения на компоненты,
') С|>. Ко.ч [I].
2) См. Мгиуркопич [23|.
п) См. Л1|2]

47. Континуумы 197
Теорема 2. Всякий локально компактный (но не компакт-
компактный) метрический полуконтинуум .%' есть объединение возра-
возрастающей (счетной) последовательности континуумов.
Доказательство. Любое локально компактное простран-
пространство гомеоморфио некоторому компактному пространству с од-
одной выброшенной точкой (§ 41, X, теорема 5); поэтому мы
должны показать, что если С — континуум н р — такая точка С,
что С — р — полуконтппуум (гомеоморфпьш &'), то существует
последовательность континуумов Ки К2, • ••, удовлетворяющая
условиям
A) С - р = К\ U Къ U ¦ • ¦ и К\ с Кг cz . . . .
Пусть q?C — p, Sn — открытый шар с центром в точке р диа-
диаметра — \(] — р\ и К п. ~ компонента точки а в С — Sn. Так как
С — р есть полуконтинуум, то каждой точке х?С — р соответ-
соответствует континуум Qx, такой, что .v, q?Qxc^C — p, и, следова-
следовательно, Qx а 1(п для достаточно больших значений п. Отсюда
следует условие (I).
Определение 2. Говорят, что множество разрезает про-
пространство (или является разрезом пространства), если его до-
дополнение не является полуконтинуумом. Говорят, что множе-
множество Е разрезает пространство .СГ между точками а и /;, если
эти две точки принадлежат двум различным конституантам
множества .°1'— Е (это означает, что они принадлежат .СГ — Е,
но их нельзя соединить континуумом вне /f). Говорят, что мно-
множество Е неприводимо разрезает пространство Л' между точ-
точками а н Ь, если никакое его собственное замкнутое подмно-
подмножество не разрезает Я' между этими точками.
Ясно, что если Е разделяет пространство между точками
а и Ь, то оно разрезает пространство между этими точками.
Обратное неверно. Так, например, замыкание кривой
// = sin A/л), 0<xs^l, рассматриваемое как пространство, раз-
разрезается точкой @, 0) между точками @, + 1) и @, —1), но
не разделяется между этими точками.
Однако открытое множество разделяет компактное простран-
пространство между точками а и b тогда и только тогда, когда оно
разрезает пространство между ними.
Действительно, всякое компактное пространство, связное
между двумя данными точками, содержит континуум, соеди-
соединяющий их (П, теорема 3 и I, теорема 6),

198 Глава 5. Связны? пространства
Теорема 3'). Метрический континуум С представляет со-
совой простую замкнутую кривую, если его не разрезает ника-
никакой подконтинуум.
IX. Наследственно разрывные пространства.
О п р е д е л е п и с. Прострлнство называется наследственно
разрывным («ponctifonne»), если оно не содержит никакого кон-
континуума, состоящего более чем из одной точки, иными слонами,
если всякая конституанта пространства сводится к одной точке.
Очевидно, что всякое наследственно несвязное пространство
наследственно разрывно. Для компактных (метрических) про-
пространств следующие понятия совпадают: наследственная раз-
разрывность, наследственная несвязность, полная несвязность и
нульмерность.
Действительно, всякое пространство положительной размер-
размерности связно между двумя непересекающимися замкнутыми
множествами (§ 46, IV, теорема 2) и, следовательно, содержит
как компактное пространство континуум, соединяющий эти
множества (согласно теореме 3 п. II).
Существуют также наследственно разрывные, связные (пол-
(полные сспарабельные) пространства'2). Так, например, если
# —функция Помпейю (§ 46, VI, (Hi)), то множество
связно по теореме 8 из § 46, I и наследственно разрывно, по-
поскольку производная dg(x)/dx имеет точки разрыва во всяком
интервале (и, следовательно, С не может содержать ни дуги,
ни континуума, имеющих более одной точки).
Простой пример (полного сепарабелыюго) пространства,
наследственно разрывного и связного, можно построить путем
сгущения сингулярности функции, определенной следующим
образом: ф(х) = sin A/х) при х^Ои (|)@) —0. Так, если
B) *W = ?^—•
и-:
гдр {/"„} —последовательность рациональных чисел, то множе-
множество Е [//= ¦>!'(.*)] связно (по теореме 7 из § 46,1) и наслед-
х, У
ственпо разрывно, так как функции ф разрывна в каждой
точке г„ 3).
') Доказательство см. Куратовскнй [5, стр. 119|.
а) Первый прпмс|) пространства такого вида был дан Мазуркевичем [6].
:1) См. KypaioBCKiifi il CepiiiincKirii \'2, iip. 30(>|,

§ 48. Неприводимые и неразложимые пространства 199
§ 48'). Неприводимые и неразложимые пространства
Пространство 3' предполагается метрическим сепарабель-
ным.
1. Определение. Примеры. Общие свойства. Пространство
называется неприводимым между точками а и Ь, если оно
связно и если эти дне точки нельзя соединить никаким замк-
замкнутым связным множеством, отличным от всего пространства;
другими словами, если пространство пеприводнмо относительно
свойства быть замкнутым связным множеством, содержащим
точки а и Л 2).
Точка а называется точкой неприводимости пространства.
Примеры. 1. Всякий интервал неприводим между своими
концами.
2. Кривая «sin(I/x)>>, определенная условиями
(/ = sin(l/x) при 0<|х|<1 и — 1<у<1 при х — 0,
является неприводимым континуумом между точками
[- 1, sin(-l)] и [1, sin I].
Ее «половина», состоящая из точек с абсциссами ^0, не-
приводима между точкой A, sin 1) и каждой точкой @, у), где
2а. Если г|э — функция, определенная в § 47, IX B), то
множество
есть неприводимый континуум.
3. Кривая г=1+A/0), 0>1 (г и 0 —полярные координаты),
пополненная окружностью г= 1, является неприводимой между
точкой г = 2, 0=1 и каждой точкой окружности.
4. Пусть Со — капторово множество, расположенное па оси х,
а С] — то же множество, расположенное па прямой //=1 (пло-
(плоскости х, у). Соединим каждую точку множества Сп с соот-
соответствующей точкой множества С, вертикальным отрезком и
добавим смежные интервалы к Со длины 1/3, 1/3'!, ... и смеж-
смежные интервалы к С, длины 1/32, 1/3\ .... Полученный таким
образом континуум (на рис. 3 слева) пеприводим между каждой
точкой с абсциссой 0 и каждой точкой с абсциссой 1.
') Ср. Куратопскнп Н] и [10].
2) Это определение принадлежит Зоретти [2], который ппел его при по-
попытке топологически охарактеризовать интервал 01. Понятие континуума,
неприводимого между двумя точками, изучено Янишевскцм [I] в его дис-
диссертации; см. также Янишепский [41,

200
Глава 5. Связные пространства
5. Соединим прямолинейным отрезком каждую точку х
интервала 01 па оси х, абсциссу котором можно записать без
цифры 1 в системе счисления с основанием -1, с точкой (или
с двумя точками) прямой y=i, абсциссу которой можно по-
получить из абсциссы х, заменяя в разложении последней цифру 2
па цифру 1 '). Этот континуум (на рис. 3 справа) иеприводнм
между теми же точками, что и континуум в примере 4.
Р и с. 3
Если Я' — континуум, то семейство всех подконтинуумов,
содержащих две данные точки а, Ь?Я', замкнуто в простран-
пространстве 2е (ср. § 47, II, теорема 4). Отсюда на основании тео-
теоремы 1 § 42, IV вытекает следующее утверждение:
Теорема 1 2). Всякий континуум, соединяющий две точки
а и Ь, содержит неприводимый между ними континуум.
Пример «левой половины крипом sin(I/x)» (пример 2) с вы-
выброшенной точкой @, 0) показывает, что связное локально
компактное пространство допускает отбрасывание подмножеств,
неприводимых между двумя данными точками (точки @, 1) и
@, - 1)).
Теорема 2. Если Я" — континуум и f — непрерывное ото-
отображение Я', такое, что f (Я') неприводим между двумя точками,
то Я' содержит континуум С, неприводимый между двумя
точками и такой, что / (С) =/(."?').
') Этот пример принадлежит Кнастеру. См. также Уилсоп [1|.
2) Эта теорема принадлежит Мазуркевичу и Яшпнеискому [1]. Ср. Ма-
зуркевнч ['2\.

§ 18. HrnpiinnOiiMhir' it неразложимые пространства 201
Доказательство. Пусть С — континуум, неприводимый
по отношению к свойству f (С) — }(Я') (ср. § 47, ГГ, теорема 7);
если а и /> — две такие точки С, что f (Я') неирпводим между
f (а) и /(/>), то С неприводим между а и Ь.
Теорема 3. Если Я'— неприводимый континуум между
точками а и b и f — непрерывное монотонное отображение Я',
то f {Я') — неприводимый континуум между /(«) и f(b).
Док а з а тельст в о. Пусть С — континуум, такой, что / (г;),
/ (/;)? С а {(Я'). Поскольку/ монотонно, множество /"'(С) —кон-
—континуум. Так как а, Ь ?Г' (С), то f'1 (С) = .Г и С = /Г'(С) =
Теорема 4'). Если ."I —континуум и а —такая точка Я",
что .'/' не является объединением двух собственных подконти-
подконтинуумов, содержащих точку а, то а — точка неприводимости Я'.
II. Связные подмножества неприводимых пространств. Пусть
Я' — неприводимое пространство между точками а и /;.
Теорема 1. Если С — связное подмножество простран-
пространства Я', соединяющее точки а и Ь, то С не приводимо между
а и Ь.
Доказательство. Если /'" — связное подмножество, со-
содержащее точки а п I), то /•' =--./'. Следовательно, если пред-
предположить, что Г замкнуто в С, т. е. F~F{]C, то из этого
следует, что F = С.
Теорема 2. Пространство Я' не является объединением
двцх замкнутых связных подмножеств Л и. В, таких, что
а?Л(]В и АфЯ'фВ.
Доказательство. В противном случае од m из этих
множеств содержало бы точку /;, а потому обе точки а и Л,
но это противоречило бы неприводимости пространства Я'.
Теорема 3. ffi/сть С — замкнутое связное множество.
Если множество Я' —С несвязно, то он) представляет собой
объединение двух открытых связных множеств, одно из кото-
которых содержит точку а, а другое — точку Ь.
Таким образом, если а?С, го множество Я'— С связно.
Докааатсльстно см. Куратонский [10, стр. 270].

202 Глава 5. Соляные пространства
Доказательство. Предположим, что множество .'Г —С
несвязно; тогда существуют два открытых множества Р и Q,
таких, что
Согласно теореме 4 из § 46, II, множества А = С\}Р и В =
= С U Q связны и замкнуты; из этого следует, что
(i) .-Г-Л U Я, ЛГ\В = С и
Отсюда по теореме 2 а(?с. Таким образом, пторая часть
теоремы доказана.
В силу соотношений (i) ни множество Л, шг множество В
не могут содержать обе точки а и /;. Пусть а?Л и Ь?В. По-
Поскольку множество А замкнуто и связно, его дополнение Q,
как только что было показано, связно и ft ? Q. По соображе-
соображениям симметрии множество Р также связно и а?Р.
Теорема 4. Пели Л и В —два замкнутых связных мно-
множества, таких, что а?А и Ь?П, то множество Я' — (А[)В)
связно.
Доказательство. Можно предположить, что Af\B — 0,
так как и противном случае А[]В~:1'. Множество С = SC — А
связно по теореме 3. Допустим, что
C-B = U[]V, Uf]V = 0, U и V открыты.
Мы должны показать, что
либо U = 0, либо V = 0.
Согласно теореме 4 из § 46, II, множества B\jU и В [} V
связны, а потому связны множества B[)U и B[)V. Так как
.Г = A U В U X -А-В и А П В = 0,
то
Л[\ЯШ-Л-ВФО, т. е. ЛПи{)
Следовательно, либо A(]U=/=0, либо Af\V=?O. Предположим,
например, что Af)U=A0. Тогда множество А[H[)В связно.
Так как a, b ?(A{] U [) В), то из этого следует, что
A U U U В = ."?", откуда .Г-A-BaU.
А так как V с С - В = Я' - А - В, то V ей.
Поскольку U П V = 0 и V открыто, отсюда вытекает, что

-IS. Непршюдимыс и ие/юп.тжчмые прпстраисгиа 203
Теорема 5. Если замкнутое множество С связно, то
связно и множество Int(C).
Доказательство. Можно считать, что СфЯ' и, следо-
следовательно, что а^Я' — С. Следует различать два случая.
Если Я' —С связно, то связно и Я' — С, а так как a ?.i'~С
то множество Inl (С) — Я' — Я' — С связно по теореме 3.
Если Я—С не связно, то Я' — С = Р U Q есть объединение
двух связных множеств и а?Р, b?Q. Полагая в теореме 4
Л=Р и B = Q, мы заключаем, что множество Int (С) =
= &-(P\)Q) связно.
Теорема 0. Пели С — замкнутое связное множество и
F то множество С Н1гг<)е не плотно.
Доказательство. Множество Я' —С связно но тео-
теореме 3. Следовательно, если мы положим А = С и В = Я— С,
то из теоремы 2 следует, что Я' — С = Я'.
Теорема 7. Если С — замкнутое связное множество и
а?С, то множество Я' — С неприводимо между точкой b и
каждой точкой множества Fr(C).
В частности, если С нигде не плотно, то пространство Я7
неприводимо между точкой Ь и каждой точкой множества С.
Доказательство. Множество Я' — С связно по тео-
теореме 3. С другой стороны, если F — замкнутое связное мно-
множество, Ь ? fcf — С и /'" П 1нг (С)^=0, то множество С U F связно,
откуда вытекает, что С[) F — &'. Поэтому Я' — С с F и, следо-
следовательно, F = Я' — С.
III. Замкнутые связные подобласти. Как а выше, пусть
.^' — пространство, неприводимое между точками а и /;. Пусть
D — семейство всех замкнутых связных областей, содержащих
точку а; кроме того, пусть 0 ? D. Напомним, что по опре-
определению (ср. § 8, VIII) D — замкнутая область, если
@) d = я: - я; - о.
Теорема 1. Если 0 ф D ? D, то D неприводимо между
точкой а и каждой точкой Fr(D). (Последнее множество не
пусто, за исключением случая О = Я'.)
Доказательство. Если D ф- Я'', то множество .'/' — D
связно и содержит точку Ь. Следовательно, согласно тео-

204 Глава 5. Связные пространства
реме 7 п. II, множество D — :l' — .T~D связно между точкой а
и каждой точкой множества Fr (//'— ?>).
Но D — замкнутая область, поэтому Fr{:f — D) -- Fr(D)
(ср. § 8, VIII).
Теорема 2. Семейство D строго монотонно.
Доказательство. Покажем, что
если D,, D2?D и D, =^= D2 <? Int(D,), то D,c:Int(D2).
Условие Di(?\nt(Di) эквивалентно соотношению
D2 П &' — О] =^ 0, а из него следует, что IX, [} .'/•" — /)| = ."V
(ибо В\ф X и поэтому /;?.?/ —D|", таким образом, множество
.2'— D] связно по теореме 3 п. II). Итак,
#• - /Г -D,c D2) откуда D{czD2,
согласно @).
Так как D2 пеприводимо между точкой а и каждой точкой
множества Д> П &' — D2 (по теореме 1), то из условия D{=^D2
следует, что
D^.'i: ~D2^=Q, откуда D, cr Int (D2).
Теорема 3. Семейство D, упорядоченное отношением
D( cr D2 ф D\, не имеет дыр.
Иначе говоря, если семейство D разложено на два под-
подсемейства D\ и D2 так, что каждый элемент из Dt есть под-
подмножество любого элемента из D2, то либо в D2 существует
первый элемент, либо в D{ — последний элемент. В самом деле,
таким элементом будет множество S, где S — объединение
всех элементов из D{ (S — замкнутая область; ср. § 8, VIII).
Сочетая теоремы 2 и 3 с теоремой 2 из § 24, VII, полу-
получим следующее утверждение:
Теорема 4. Элементы I) семейства D можно снабдить
индексами, образующими замкнутое подмножество Jet/,
таким образом, что
[;/, < у2] - [D!h с 1)ш Ф D,J.
Теорема 5. Пусть Е— семейство {пополненное пустым
множеством) всех замкнутых связных областей, содержащих
точк1/ Ь. Тогда Е совпадает с семейством множеств Л' — I), где

§ 48. Неприводимые н неразложимые пространства 205
И других обозначениях
Е г- {ки}> i'-ц — ¦<* ~ Д/> Я — Ец — /);/.
Более общо, ггл« с— точка неприводимости пространства,
то семейство F замкнутых связных областей, содержащих с
(пополненное пустым множеством), совпадает либо с D, либо с Е.
Первая часть теоремы очевидна, а вторая часть вытекает
из следующего утверждения.
Лемма1). Если пространство Я' неприводнмо как между
точками а и Ь, так и между точками с и cl, то .7/ неприводнмо
либо мемеду точками а и с, либо между точками b и с.
Доказательство. Предположим, что пространство Я-
пе яиляетсн неприводимым пи между точками а и с, пи между
точками b и с. Тогда существуют два замкнутых связных мно-
множества /\ и /., таких, что
с<сКГ\Е, и?К, b(~L, К Ф Я" Ф Е.
Так как Я' неприводнмо между точками с и cl, то
d 6 (¦'/" - К) П (."/¦• - L) = .'/•¦ - (К U L), откуда К U L Ф . Г.
По это противоречит предположению, что пространство Я-
пепрпводнмо между а н Ь, так как a, b?(K\JL).
Замечание. Обозначим через а порядковый тип семей-
семейства D (и, следовательно, множества /); порядковый тип а*,
обратный к а, есть тип семейства Е. Если | а | — «абсолютное
значение а», не зависящее от «знака» порядка (мы условимся,
что | а | — | а* |), то из теоремы 5 следует, что |а| однозначно
определяется неприводимым пространством (т. с. независимо
от выбора его точек неприводимости).
Бее пространства в примерах 1—5 п. I имеют один и тот же
тип | а |, а именно тип интернала в2). Как будет показано
в п. VII, каждому подмножеству / = / cz 8 соответствует про-
пространство того же типа, что и /.
Пусть
[у — множество таких точек х, что Du пепрнводнмо между
точками а и х,
Jи — множество таких точек х, что Еу неприводнмо между
точками /> п х.
') (Л1. Иопсима [I, топремп 3, стр. 48].
'•) llpocip.iiienia этого типа называют также нрострамстиамм пша X.

206 Глава 5. Связные пространства
Теорема 6. Для Dy и Еу выполняются следующие
условия:
(I)
B) если //, < ij2, то ?>„, П 1У1 = 0 = ЕУ: П /„, и Dy, fl E,h = 0;
C) если tji<y2, то /(/1П/г/.. = О = /у1П^, и /„, П/-/,="-0;
D) если У[<у2<Уя, го /у, П Л/, = 0.
Доказательство. Соотношение A) —прямое следствие
теоремы 1. Условия B) и C) следуют из A).
Согласно B), ЕУг{\1и1 = 0, следовательно, /„, с: Л/' — Пи,с D,,;,
если //2 < //з, то Dyi П /у, = 0, откуда следует, что /,,, П /;/1 = 0.
Теорема 7. .«'= U (/„ U 1У)-
Иными словами, каждой точке р соответствует замкнутая
область, неприводимая либо между точками а и /», либо
между точками b и р.
Доказательство. Так как семейство D не имеет дыр,
следует рассмотреть два случая в соответствии с тем, суще-
существует ли наименьший элемент D^D, такой, что p?D, или
существует наибольший элемент D?D, такой, что p^.i-' — D.
В первом случае предположим, что D неприводимо между
точками аир; тогда существует такое связное множество С, что
а, р?С, C^CcD фС.
Множество Я' — .."// — С есть собственное подмножество D (как
подмножество С); более того, согласно теоремам 5 и 6 и. II,
оно принадлежит семейству D. Поэтому
р 6 W - % - Л' -С с .f - С,
откуда следует, что p?Fr(C). Следовательно, множество Л' — С
есть замкнутая область, неприводимая между точками b и /;
(согласно теореме 7 п. II).
Во втором случае предположим, что E = .i.'~D. Тогда
Е?Е. По соображениям симметрии можно допустить, что в Е
не существует наименьшего множества, содержащего точку р.
Поэтому пусть
Отсюда следует, что
' — РфО и потому p?<'t' — F^D,

§ 48. Неприводимые и неразложимые пространства 207
согласно определению множеств D. Следовательно, р ? Fr (/;)
и F иеприводимо между точками b и р.
Следствие1). Если существуют два замкнутых множества,
неприводимых между точками а и р, то существует только одно
замкнутое множество, неприводимое между точками Ь и р.
Это следствие вытекает из теоремы 7 в сочетании со сле-
следующим утверждением:
Лемма. Если D — замкнутая область, неприводимая между
точками а и р, то D является единственным замкнутым мно-
множеством, неприводимым между этими точками.
Доказательство. Предположим, что
a, p?F = F<?D, откуда F Л Я' - О ф 0.
Так как множество F связно, то связно и множество F U Я' — /),
а поскольку I) ф Л', отсюда следует, что b?JF — D, а потому
Flj.f — D = Ж. Таким образом,
& - л' -DczF,
откуда
3' —DczF и, следовательно, F = D.
Теорема 8. Если [/i<y2, то DUar\Ey, = DUl — DUl и мно-
множество Dy, — Dlh связно.
Доказательство. Имеем
Dlh П EUl = Dyt П Л' - D!h = Dy, - DBl,
где последнее равенство является следствием включения
Dy.cz ШA)У1).
Действительно, пусть Aczlnt(B) и В = В. Тогда
Л Г) Л' -Acz л: -Л- iV -lid (.Г - Л) - {."V -В)=В - А,
откуда
В Г) Я' - Л = (Л П W - Л) U ((В - Л) (K'-Л) cz В- A cz
cz В{]Я' - А = В(]Я' - А.
Следовательно, В Г) Я' — А = В — А.
Так как а —точка неприводимости Dyi (по теореме 1), то
из теоремы 3 и. II следует, что Du, — DWl связно, а потому
связно множество DUl — D,Jr
См. Яипшеиский [2]. Ср. это следствие с примером 3 из п. I.

20S Г.кпш ft. Ск.чзшис ирпгтрингггш
IV. Слои неприводимого пространства. 11одставнм D вместо F
в п. X § 24 и рассмотрим функцию ц. Прообразы точек #~'@
-/roi'i функции назовем слоями Ч\ пространства .7", неприводи-
неприводимого между точками а и Ь.
Согласно теореме 2 из § 24, X,
(|) Г(==Ц-1Ц)=: П ОгП П ?„, 0</<|.
!'(/)<г к < YC)
Слон не зависят от выбора точек неприводимости простран-
пространства Я'.
Если /)<:хA, то :/¦' сводится к одному слою (.7" однослойно).
Если /)> Ко, то разбиение па слон дает линейное расслоение
(частичное упорядочение) пространства Я' на непустые замк-
замкнутые множества.
Теорема 1. Пусть /г: Я'-> f/— непрерывное отображение;
если множества /Г @/) связны it содержат точку а для всех,
за исключением самое большее &$„, значений t, то каждый про-
прообраз точки при отображении h есть объединение некоторых
прообразов точек при отображении g.
Доказательство. Это утверждение представляет cofioii
следствие теоремы 4 § 24, X (согласно теореме 2 из § 24,
IX и VIII (Г)), 1Г1 @1) можно считать замкнуто!! областью).
Теорема 2. Слои неприводимого континуума являются
континуумами.
Док а з а т е л ь с т в о. Если у (() ф 0 и Г (() ф 1, то в /
имеются две такие последовательности, что
= lim »„, un<iin+l и Г(/)= lim z,,, zn>zaVl.
Отсюда (ср. § 24, X, теорема 2) получаем
Г г- Д 1\ П Еип и D,,, П/ЧРЯ,,, м П/:,,,,
Так как по теореме 8 п. III О,пГ\ Ей ~ коптинуум1>1, то, согласно
теореме 5 § 47, II, континуумом будет и множество 1\.
Нелн y(/)•—() или Г(/)=1, то
П Еи = Я' или П /)г =--.?"
и па основании теоремы 1 л. III н теоремы 5 § 47, II
Т) — континуум.

4ft. Неприводимые и неразложимые пространства 200
T е о р с м л 3. Разбиение, неприводимого континуума на
слои является самым мелким из всех линейных полунепрерыв-
полунепрерывных разбиений на континуумы ]).
Другими словами, если 1г. 3' —> И — непрерывное отображе-
отображение на и каждое множество 1С ((), еде 0^/-<^1, ест/, кон-
континуум, то этот континуум представляет собой объединение
некоторых слоев континуума Я'.
Д о к а з а т с л ь с т в о. Пусть
/*(«) = /„, Л (fo) = /i-
Так как пространство .1' компактно, множества 1С (i) связны
и, следовательно, отображение /г монотонно, можно применить
теорему 4 из § 47, VI. Другими словами, если С —связно, то
связно п 1С (С). Поэтому множество h (/,/,) (соответственно
множество h"l(tit(l), если t{ < /„) есть континуум. Так как ему
принадлежат точки а и ft, он совпадает с пространством Л.
Следовательно, можно предположить, что /0 — 0 и ^ —1.
Пусть 0</<1. Как только что было доказано, множество
h (()/) связно. Более того, это множество содержит точку а.
Применяя теорему 1, мы приходим к требуемому заключению.
Замечания. Согласно теореме 2 из § 24, IX, все с.;оч Ти
за исключением (бесконечного) счетного их числа, удовлетво-
удовлетворяют условию
тг~--ЛТ~А\ТГ1Ги.
u<t v > t
Слои такого вида называются слоями кохезии. Слон 7\ является
слоем кохезин, если t — точка непрерывности обеих функции
й"'@0 ч #"'(")• Однако слон кохезин Tt не обязательно должен
быть слоем непрерывности2).
Так, например, вертикальный сегмент крипом sin(l/jc) (ем.
п. I, пример 2) является слоем разрыва, будучи в то же время
слоем кохезии.
В примере 4 вертикальные сегменты континуума — слон раз-
разрыва; те из них, которые содержит концы интервалов, смежных
к капторовскому множеству, не являются слоями кохезпн.
') См. 1\у|),1То|)ск1п"[ [10, стр. 250]. Менее топкие разбиении пли тлкне,
которые требуют дополнительных предположении относительно нросграпетня,
рагематрипалпсь Ханом («Priinleile»), Вьеторпсом («Seliichteii») н Уилсоном
(«complele oseillalory sets»). Ср. Куратовскип [10, шр. 220 220, 2A1].
См. также Томас [I ].
2) Слон У/ ия.чинпется слоем непрерывности, если он предетлнляег cofioii
элемент непрерьшпоетп ра.чбиеппя .'/' па елоп (ср. § 10, II, сгр. 191), иными
слонами, если / — точка непрерывности отображении ц,
I 1 .(.ж. I'M

210 Глава 5. Связные пространства
Легко видеть, что в примере 5 имеется всюду плотное мно-
множество индексов /, таких, что Tt не являются слоями кохезии;
это слои вида V или Л. Все другие слои представляют собой
слои непрерывности.
Кнастер [7] доказал, что существует неприводимый конти-
континуум, такой, что J = ff и каждый его слой является слоем не-
непрерывности, содержащим более одной точки.
Однако, как показал Моиз [2], случай, когда все слои
являются дугами, невозможен (более сильный результат см.
п. V, замечание 3)').
С другой стороны, существует такой континуум, что все
слои гомеоморфам (они представляют собой псевдодуги); см.
Андерсон [1].
Наконец, напомним, что, согласно следствию 1, § 43, VII,
множество таких индексов t, что Tt — слой непрерывности, об-
обра 11/ет всюду плотное О&-множсство в интервале О'.
Теорема 4. 7-,= U (/„ U /„)•
V(O<y<no
Доказательство. Пусть y(t)^. у ^.V(t). Тогда
J Г@<г
п, согласно теореме 6B) п. III, для u<y(t)
1и<=&-DuczElt, откуда /с П Е„.
Следовательно, fyczTt (ср. (I)), и по соображениям симметрии
JuczTt. Отсюда получаем
U (/„ U /„) с 7V
<y<r(«
Так как слои попарно не пересекаются, то это включение
в сочетании с теоремой 7 п. III дает и обратное включение.
Теорема 5. ^ (Ot-t) = Dv(/)-/Y@, я (/1 -t) = Era, ~ h <«•
Следовательно, оба эти множества связны (не пересекаются и
открыты).
Доказательство. Введем сокращенные обозначения:
¦у (/) = у и Г(/)=Г. По теореме 4 имеем
g-J@/-0= U 7V= U (/„U/„).
t'<t и < V
Покажем, что
U (/„U/J=DV-/V.
н < v
') См. также Хамстром [I].

§ 48. Непршюдимые и неразложимые пространства 211
Пусть h<y- По определению у существует такое и{, что
u<iii<\- Поэтому, согласно теореме 6 B) и. III,
/:«, П К = 0, откуда /„ с .Т - ?„, с DUl
и, следовательно,
/« U /и с: DUl.
С другой стороны, Dni(] 1у = 0, откуда DU| = D,,, —/Y с: Dv —/Y.
Таким образом, /„ U /„ ci Dy — fy, и, следовательно,
U(/eU/e)czDv-/v.
и < Y
и < Y
Для доказательства обратного включения предположим, что
р€.1)у — 1у н P6A(U/,, (ср. с теоремой 4). Покажем, что и<у.
Если /'6 Лп то а ф у (так как p^/Y) и DY не может быть соб-
собственным подмножеством Лм. Следовательно, н<\. Пели /'(;/„,
то из предположения p^Dy — Iy но теореме 6A) п. III следует,
что р?.' — Еу. Так как р?Еи, то ЕусЕиФ Еу, откуда «<y-
Теорема 6. 'Л = /у о U(?r«> П ?у<о) U ^г(/)-
Доказательство. Положим, как раньше, y@ = Y ч
Г(/) == Г. Ваяв пересечение объединении tV — Оу[] Еу и ."// = Л|- U Ег
и используя условия
которые следуют из неравенства y^^. получим
X = Dy\J(D,f}Ey)[JEv,
откуда
Я' = (DY - /v) U (/v U (Dv П Еу) U /г) U (?r - /г)-
Элементы этого об1)Сдипсния не пересекаются, так как, согласно
теореме 6 A) п. III,
Dy П /г с: D7 П ?г <= /)v П ?v с /v
По теореме 5 имеем
rt = .<i'-[f!-l(Ol-t)[)g-4tl-t)] =
- Л* - [(Dy - Iy) U (i-r - /г)] = /v U (/>г П /:v) U /.¦•
Т е о р е м а 7. Пусть Ял — континуум и f: Я' -> в — непрерыв-
непрерывное отображение на. Если асе слои /"'('/), 0 <1 //^ 1, — нигде
не плотные континуумы, то существует связное множество С,
содержащее точно по одной точке из каждого слоя.
14*

212 Глава 5. Связные пространства
Следовательно, если ^бСПГ'(О) « /;?СПГ'A), то С не-
прив<н)цмо по отношению к свойству: быть связным множеством,
covduHHH)U{UM точки а и /;').
V. Неразложимые пространства2).
Определение. Пространство .'V называется неразложи-
неразложимым, если оно связно и не допускает представления в виде
объединения двух замкнутых связных множеств, отличных от Я'.
Примеры. 1. Простейший пример неразложимого конти-
континуума можно построит!) следующим образом'1).
Континуум состоит из
(i) neex полуокружностей с ординатами ^0 с центром A/2,0),
проходящих через каждую точку капторова множества 2f;
(ii) всех полуокружностей с ординатами ^0, имеющих для
п~^\ центр в точке E/B-3"), 0) и проходящих через каждую
точку множества ?f, лежащую в интервале 2/3"<! х^ 1 /3" .
Л охазатольетво того, что построечное множество неразло-
неразложимо, будет дано в замечании к теореме 8 п. VI.
2. Если точку ('/a. 7l>) выбросить из континуума примера 1, то
получится неразложимое пространство (ср. с теоремой З)'1),
имеющее следующую особенность. Луга, соединяющая точку
@, 0) с выброшенной точкой ('/г. '/г), насыщена относительно
свойства быть замкнутым связным собственным подмножеством
(рис. 4-5).
3. Пуст!) /; — множество чисел интервала И, которые в си-
системе счисления с основанием 5 можно представить без цифр 1
и 3. Положим
Чп = Е (х ? Е) B/5" н < х < 1/5") н Fn = Е [A - .г) 6 /•„].
X X
Искомый континуум представляет собой объединение
') Теорема Кнастера [(>, стр. 277].
'') Перлмложпмые континуумы Пили открыты Прлуэром [ 1], который
опронерг ппютелу (Шёпфлнса) о том, что всякая общая Гранина днух пло-
плоских обл;1стсГг пергпложнма. Как мы увидим ниже, они рассма!ршннотся
но miioi'iix топало) пчеекпх попросах. По поводу применения нсргмложпмых
контнпуумон ii теории топологических групп см. Дашип'[1], Вьеторпс ['1|,
Хеемерт [I].
Кроме bpayspa, примеры неразложимых коптннуумо» были сообщены
Дапжуа [I] и Нопенма [I, стр. (Ю| (пример принадлежит Виде).
¦') Это построение принадлежит Кнастеру [I]. Оно получается упроще-
упрощением построения Яншпевского [1, стр. 30], которое в свою очередь тесно
евялапо с упомянутым примером Ьрауэра.
¦*) Ясно, что ато нростр.'шетчо гомооморфно замкнутому плоскому множе-
множеству, которое получается ни континуума примера I с помощью ипнерпиг
с центром в точке A/2, 1/2). См. Кнастер и Куратоискпн [2, ст|>. '13, рис. I1J.

§ 48. Неприводимые и неразложимые пространства
213
(i) всех полуокружностей с ординатами ^СО с центром
в точке 7/10 • 5", проходящих через все точки П„;
(ii) всех полуокружностей с ординатами ^0 с центром
в точке 1—7/A0-5"), проходящих через все точки /•'„ (п >0)').
Существенное различие между континуумами примеров 1
и 3 состоит в том, что первый континуум имеет только одну
композаиту (в смысле н. VI), содержащую достижимые точки,
Рис. 4-1
тогда как второй континуум
а другую — точки 1).
¦две (одну — композаиту точки 0,
Заме ч а и и е 12). (i) Объединение композаит неразложимого
плоского континуума, содержащих достижимую точку, есть
множество первой категории в этом континууме.
(ii) Семейство композаит неразложимого плоского конти-
континуума, содержащих более одной, достижимой точки, (пс более
чем) счетно.
Замечание 2. Много примеров неразложимых конти-
континуумов можно получить при помощи следующей теоремы'1):
Всякое компактное пространство размерности ^ 2 содержит
неразложимый континуум.
3 л меч аи не 3. Всякий неприводимый континуум, такой,
что J ~ с/ и каждый слон есть слой непрерывности (содержащий
более одной точки; ср. IV, замечания), содержит неразложимые
континуумы4).
') Этот пример также принадлежит П. Кнастеру.
2) См. Малуркепнч [Н>] и [17]. Ср. также Курлтопекнп [ID].
¦') Доказательство см. Мапурксннч [27]. Эта теорема отвечает по ншфое,
поставленный II. Александровым.
4) Доказательство см. Дайер [I]. См. также be тел [1J.

211 Глава 5. Связные пространства
3 а м е ч а и и е 4. Существуют наследственно неразложимые
континуумы, т. е. континуумы, всякий подконтинуум которых
неразложим ').
Более того2), в пространстве всех подконтинуумов квад-
квадрата Я" множество всех наследственно неразложимых конти-
континуумов есть всюду плотное Оумножество и, следовательно,
остаточное, множество.
Этот факт кажется весьма удивительным: среди подконти-
подконтинуумов квадрата наиболее сингулярные континуумы наиболее
части.
Ясно, что наследственно неразложимый континуум не со-
содержит дуг:().
Замечание 5. Тот факт, что в пространстве всех подкон-
подконтинуумов компактного пространства неразложимые или наслед-
наследственно неразложимые континуумы образуют Од-множество,
следует непосредственно из их определений (ср. § 17, IV, тео-
теорема 1; § 17, III, следствие 4а; § 41, VI):
{С разложим} = V (С = К U L)(K Ф С ф L),
{С не является наследственно неразложимым} ==
= V(/Cc=C)(/C разложим),
к
где С, К и L — элементы пространства континуумов.
Теорема 1. Никакое замкнутое связное подмножество С
неразложимого пространства не является его разделителем.
Доказательство. Если
Я'~С = М\]Ы, МфОф N, М П W = О,
где М п N — открытые множества, то множества С [) М и CWN
замкнуты п связны, поэтому (ср. § 46, II, теорема 4)
Теорема 2. Связное пространство X неразложимо тогда
и только тогда, когда всякое связное подмножество либо всюду
плотно, либо нигде на плотно, или тогда и только тогда, когда
всякое замкнутое связное собственное подмножество нигде не
плотно.
') Доклмтельстпо см. Кнастер [2]. По поводу интересных приложений
см. Moiki 11 ].
'') М.пурксипч [19].
;') О cyiiLiH'THouniniii континуумов, пе содержащих дуг, сообщил Янншев-
скнй на Международном конгрессе математикой в Кембридже в 1912 г.

§ 48. Псприппднмые и неразложимые пространства 21 Г)
Доказательство. Предположим, что Л' = Л[}В, где А
и В — замкнутые связные множества, такие, что АФЛ'ФВ.
Следовательно, ни множество Л, пи множество В не являются
нигде не плотными (или всюду плотными).
Обратно, пусть С — связное множество, которое не является
ни всюду плотным, ни нигде не плотным, т. е. СфЗ~фЗ' — С.
Так как множество 3' — С связно (по теореме 1), то простран-
пространство 3" разложимо, ибо 3' = C\J3' — C.
Теорема 3. Всякое всюду плотное связное подмножество
неразложимого пространства неразложимо.
Доказательство. Пусть С — всюду плотное связное мно-
множество, и пусть D — связное подмножество множества С. Со-
Согласно теореме 2, нам нужно доказать, что /) либо всюду
плотно, либо нигде не плотно в С. Но D по теореме 2 либо
всюду плотно, либо нигде не плотно в пространстве (т. е. в С),
поэтому требуемое заключение следует из теорем 2 п 4 § 8, VI.
Теорема 4. Если X — континуум и f — такое непрерывное
отображение 3", что fC') неразложимо, то .Т содержит нераз-
неразложимый подконтинуум.
Таким является каждый континуум, неприводимый относи-
относительно условия f (С) = f ($').
Доказательство. Если Л и В —два подконтинуума С,
такие, что
АФСФВ и С = Л11Д,
то
f(A)f(C)?f(B) н
VI. Композанты.
Определение. Множество С всех точек пространства ."//,
которые можно соединить с точкой р замкнутым связным соб-
собственным подмножеством пространства 3', называется компо-
зантой ') точки р.
Примеры и замечания. 1. Композанты несвязного про-
пространства совпадают с его компонентами (ср. § 46, III).
Если пространство JP связно, то множество 3? — С совпа-
совпадает с множеством точек х, таких, что пространство неприво-
димо между точками р и х.
') Ср, с понятием нерва, введенным Брауэром. Дальнейшие свойства
композант см. также Кук [1].

2 Hi Г.шип />. Сеянные npitcrpuiicnia
Если пространство спязно, но р не является пн одной из
сто точек неприводимости, то С —Я'.
Таким образом, очевидно, что понятие комнозанты точки р
не представляет никакого интереса, за исключением того слу-
случая, когда р — точка неприводимости пространства.
2. Леп.о доказать (Куратовский [5]), что комнозаита точки О
в примере 1 п. V состоит из бесконечно» последовательности
полуокружностей, проходящих через концы интервалов, смеж-
смежных к %". Эта композапта представляет собой взаимно одно-
однозначный непрерывный образ полупрямой х^О. Нее другие
композанты этого континуума — взаимно однозначные непре-
непрерывные обра!ы всей прямой.
3. Семейство композапт данного континуума строго тран-
зитивно в смысле категории1), т. е. если множество, обладающее
свойством Бэра, есть объединение некоторых композапт, то
либо это множество, либо его дополнение (по отношению к кон-
континууму, рассматриваемому как пространство) является мно-
множеством первой категории2).
Теорема 1. Если С — композанта точки р, то существует
последовательность замкнутых связных множеств К\, Кч, ....
такая, что
(О с = а:,и/с2и..., рекп, к„ф&.
Д о к а з а т с л ь с т в о. Пусть А?,, А?2, . .. — элементы открытой
базы пространства, которые не содержат точки р. Пусть
Кп — композанта точки р в множестве :l' — Rn. Тогда
р?Кп — КпФ-1', следовательно, Д'„ с: С и К\ U Кч U ... czC.
Обратно, если х^С и Q —замкнутое связное множество,
такое, что р, x?Q ф ¦0!'-\ то существует множество А?„, не пере-
пересекающееся с Q. Следовательно, Qcz.°l' — Rn, откуда QczKn
и х?К,п наконец, С cz K\UK->U ••••
Т е о р е м а 2. Пели композанта С не является всюду плот-
плотной, то она замкнута. Поэтому она насыщена относительно
свойства быть замкнутым связным собственным подмножеством
пространства.
Следовательно (ср. § 47, III, теорема 5), всякая композанта
континуума еегь всюду плотное множество.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что С ф Я'\ тогда CczC,
так как С — замкнутое связное собственное подмножество про-
пространства.
') Это cRoiicTim япляется анплогом строгой трпн.штинпости (в смысле
меры), рясенлтрпвасмой в статистической механике. См., например, Бирк-
гоф Лж. [11, \2].
2) См. Курлтоиекпй [28].

§ 48. Неприводимые и неразложимые пространства
Заме ч а н и я. 1. Пример 2 п. V показывает, что существуют
множества, удоплстпоряющне условиям теоремы 2.
2. Существование множества, насыщенного относительно
свойств, указанных в теореме 2, тесно связано с существова-
существованием неразложимых подмножеств. Имеют место следующие две
теоремы '):
Теорема 2'. Если в связном пространстве Я' подмноже-
подмножество S насыщено относительно свойства быть замкш/тым связ-
связным собственным подмножеством пространства .7', то множе-
множество .4' — S неразложимо.
Теорема 2". Всякое связное пространство, содержащее
два непересекающихся множества, насыщенных относительно
указанных выше свойств, неразложимо.
Теорема 3. Если С — композанта континуума .Т, то мно-
множество :1' — С связно.
Доказательство. Можно предположить, что простран-
пространство ."/' иепрпводимо между точками а и b и что С —компо-
запта точки а (ср. пример и замечание 1). Пусть
B) S?-C**M\)N, Mf\N^0 = N[\M, b?M.
Покажем, что N = 0.
Так как множества М и N отделимы, то (ср. § 14, V, тео-
теорема 1) существует открытое множество G, такое, что
C)McG и ОПЛ/ = 0, откуда (G - G) f](M (J N) = 0.
Пусть К — композаита точки /; в G. Предположим, что ЫфО
и, следовательно, G ?= -I'; тогда К — G ?= 0 (согласно теореме 2
из § 47, III). Пусть
pe.K~G; тогда р ? Q - G <=. Я' -(М U N) = С,
согласно C) и B). Таким образом, существует континуум Р,
такой, что a, p?PczC. Так как /;, р?К, то множество
/( U l} ~ континуум, соединяющий точки а и Ь; отсюда
K\jP = .T и потому NczKUP-
Так как KczG, то, согласно C), N f\ К с: N П G = 0, а так как
PczC, то па основании B) имеет место соотношение N (] Р ^z
cz N П С = 0. Следовательно, N — 0.
') См. Кнастер и Куритовскпй ['2, стр. 45].

218 Г лапа 5. Связные прпстранстаа
По теореме 2 дополнение композанты континуума всегда
есть граничное множество. В связи с этим сформулируем сле-
следующую теорему:
Теорема 4. Пуст1> С — композанта континуума Я'. Если
Я' — С не является граничным множеством, то оно есть нераз-
неразложимая область.
Доказательство. Предположим, как раньше, что про-
пространство .'/' пепршюдимо между точками а и Ь и что С — ком-
композанта точки а.
Пусть Q = Я' — Я' — С. Предположим, что Я' — С не является
граничным множеством, т. е. Q ф Я'.
Так как множество Я' — С представляет собой континуум,
содержащий точку b (по теореме 3), то множество Q —также
континуум (согласно теореме 3 п. II). Отсюда следует, что QcC.
В самом деле, если мы предположим, что Q Ф 0 и, следова-
следовательно, что Я' - С ф Я', то а 6 Я' - Я' - С с: Q (так как Я:
пепрнводимо между точками а и /;) и Q сг С, поскольку Q фЯ".
Отсюда вытекает, что Я' — С cz Я' — Q и
Я' - С с: Я' - Q = Я: - Я' - Я' - С с: Я~ - С,
и потому
D) .V - С = &'- Q.
Это показывает, что Я' — С — замкнутая область.
Предположим, что множество Я' — С разложимо. Пусть М
п N — два континуума, таких, что
E) Я'-C^MljN п Мф Я' -С Ф N.
Тогда
F) М-С фОф N-C.
Действительно, из равенства N — С = 0 следует включение
Я' — С cz Я' — iV; следовательно, согласно E),
Я' - С с: •."/.¦ - С - N с: М, а потому Я' -С czM
вопреки неравенству E).
Рассмотрим два случая в соответствии с тем, будет ли Q = 0
или Q ф 0. В первом случае Я' — С = X = М U N. Пусть а?М.
Но тогда из F) следует, что Л1 =¦ Я', что противоречит нера-
неравенству E).

§ 48. Неприводимые и неразложимые пространства 210
Теперь рассмотрим второй случаи. В этом случае, как
мы уже показали, a?Q. Поскольку пространство евячпо, in
равенства
.Г = .'/: - .-// - С U &' -C = Q[jM\JN
(ср. E)) следует, что Q (](М [] N) =/= 0. Можно предположить,
что Q П М ф 0. Поэтому множество Q\jM есть континуум,
соединяющий точку а с некоторой точкой множества М — С
(согласно F)). Следовательно,
QUAf = .r, т.е. З'-QczM, и потому Я' -QczM,
а из равенств D) и E) следует, что 3'— С — М попреки нера-
неравенству E).
Теорема 5. Композиты неразложимого пространства
попарно не пересекаются.
Доказательство. Пусть Р — композанта точки р,
a Q —композанта точки q. Предположим, что а ? Р П Q и
b(:P — Q. Таким образом, существуют три замкнутых связных
множества Л, В и С, таких, что
р, а 6 Л Ф X, р, Ь?Вф„Г, q, а?СФ &.
Следовательно, Л [} В U С — замкнутое связное множество, соеди-
соединяющее точку b с точкой q. Отсюда
Л U В U С = Я\
Из этого следует, что пространство разложимо. Этот вывод
очевиден, если A[)B—:t'\ с другой стороны, если Л[)ВфУ',
то из соотношения .°V — (Л UB)U С следует искомое разложение.
Из теоремы 1 в сочетании с теоремой 2 п. V вытекает следую-
следующая теорема:
Теорема 6. Всякая композанта неразложимого простран-
пространства есть Ра-множество первой категории').
Нижеследующая теорема вытекает из теоремы Бэра.
Теорема 7. Всякое полное неразложимое пространство
содержит (бесконечное) счетное множество композант.
Каждая точка этого пространства есть точка неприводи-
неприводимости.
Более точно, множество точек х, таких, что пространство
неприводимо между точками а и х, есть всюду плотное
О;,- множество.
') Теорема Мазуркевича [5].

220 F.iana 5. Связные пространства
Замечания, (i) Первую часть теоремы 7 можно усилить
следующим образом:
Но всяком неразложимом континууме существует совер-
совершенное, множество {мощности с), содержащее не более одной
точки из каждой композанты1).
(ii) Из теоремы 7 вытекает следующее утверждение:
Теорема 7'. Полное связное пространство tV неразло-
неразложимо тогда и только тогда, когда .Т содержит три точки a, b
и с, между любой парой которых оно неприводимо, или, эк-
эквивалентно, сели любая точка пространства Л' есть точка не-
неприводимости.
Доказательство. Необходимость этого условия сле-
следует и:; того факта, что пространство содержит по крайней
мере три композанты. Для доказательства достаточности пред-
предположим, что К и L замкнуты, связны и
Если a, b и с — любые три точки пространства .1', то либо К,
либо L (либо оба) содержат две из этих точек. Таким образом,
пространство Я' не является неприводимым между ними.
Теорема 8. Всякое связное пространство, содержащее
композантц, являющуюся граничным множеством, неразложимо.
Следовательно (ср. с теоремой 7), полное связное прост-
пространство неразложимо тогда и только тогда, когда оно содержит
композанту, являющуюся граничным множеством.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть р — точка, композанта которой Р
есть граничное множество, т. е. .4' — Р = .7'. Если пространство
разложимо, то
Я' Л
где Л и И замкнуты и связны.
Пусть р?Л. Тогда AczP, откуда
и поэтому .'?; = .6Г-
что противоречит неравенству ВфЯ'.
Замечание. Из теоремы 8 в сочетании с замечанием 2
(стр. 216) вытекает, что континуум из примера 1 п. V является
неразложимым.
Теорема 9. Континуум .Т, неприводимый между точками а
и Ь, неразложим, тогда и только тогда, когда он содержит
См, MaiypKcini'i [I3J,

§ <18. Неприводимые и неразложимые пространства 221
полуконтинуум S, являющийся всюду плотным граничным
множеством, содержащим точку а1).
Доказательство. Пусть S — композаптл точки а. Ясно,
что сформулированное условие необходимо (ср. с теоремами 2
и б).
Для доказательства достаточности нужно (согласно тео-
теореме 8) только показать, что композаптл С точки /> есть гра-
граничное множество, пли что С Л S = 0 (так как S всюду плотно).
По если СП 3=7^0, то существуют два континуума К и I.,
таких, что
a?K<=zS, b€LaC n A'f
Так как пространство непршюдимо между точками а и Ь, то
из этого вытекает, что
К U L = .'/', следовательно, Я' — Sczi' — /\с=Л и Я' — SczL.
По предположению Я' — S — Я', следовательно, L = .'V, а так
как /.с: С, то из этого следует, что d?C. По это противоречит
предположению, что Я' непршюдимо между точками а и Ь.
VII. Неразложимые подмножества неприводимых про-
пространств.
Теорема 1. Пели С — неразложимое замкнутое подмно-
подмножество пространства Я', неприводимого между точками, а и /;,
то С — либо замкнутая область, либо нигде не плотное мно-
множество. В первом случае (если С ф 0) в семействе D (рассмо-
(рассмотренном в и. III) имеется такое множество I), что I) и D[]C
образуют скачок.
Дока -л а т е л ь с т в о. По теореме Г> п. 11 множество Л — Я' —
— Я'— С связно. Поэтому, согласно теореме 2 п. V, множе-
множество Л либо всюду плотно, либо нигде не плотно в С.
В нервом случае Я' — Я' — С = С, а это означает, что С —
замкнутая об.часть.
Но втором случае множество Л нигде не плотно (в Я.'),
а потому оно пусто (как открытое множество), следовательно,
ЯТ^С^Я'.
Теперь рассмотрим вторую часть теоремы. Пусть С — нераз-
неразложимая непустая замкнутая область. Если С = Я<\ то доста-
достаточно предположить, что D — 0. Поэтому пусть СфЯ'. Тогда
либо а?.1' — С, либо Ь?Я' — С. По соображениям симметрии
можно предположить, что а^Я' — С. Согласно теореме 3 п. II,
') Тсч)|л_\ч.л .VpueoiKi [5, стр. 22.i],

222 Глава 5. Связные пространства
множество Я' — С состоит из двух замкнутых связных областей,
одна из которых, скажем D, содержит точку а, а другая
либо пуста, либо содержит точку />. Так как О{]Сф0, то
множество D\jC связно и принадлежит D (ибо оно является
замкнутой областью; ср. § 8, VIII). Пусть
D'?D, DaD"ciD\]C.
Покажем, что либо D* = D, либо D' — D\jC.
Согласно теореме 1 п. Ill, a — точка неприводимости мно-
множества D". Следовательно, по теореме 3 п. II множество D" — D
связно. Так как D* — D — замкнутая область относительно мно-
множества D', которое само представляет собой замкнутую об-
область, то D* — Л —замкнутая область (ср. § 8, VIII). Поэтому
D* — D как подмножество С является его связной н относи-
относительно замкнутой подобластью. Поскольку С неразложимо, то
из теоремы 2 п. V следует, что либо [У — D = 0, либо [У — D = С.
В первом случае D* = D, а во втором
D U С = D U If - D cr D U D' = О\ следовательно, D" = I) U С.
Обратно, имеет место следующая
Теорема 2. Если элементы Dyi и D!h семейства D обра-
образуют скачок, то множество Du, — D(/, неразложимо.
Доказательство. По теореме 1 п. III и теореме 3 п. II
множество D!h — Dih связно. Пусть А и В —два замкнутых
связных множества, таких, что Du, — D!h = A U В. Покажем, что
одно из них совпадает с D,h — D,h.
Пусть А* — X — 3' - А и В* = Я' — Я' ~ В. По теореме 5 п. II
множества Л* и В* связны. Более того, множество A U В =
= Dyi — Dy, есть замкнутая область (как замкнутая область,
относительно замкнутая в замкнутой области Оц,),
АЦВ = 3'- if - (Л U В),
откуда (ср. § 8, VII (i))
Л* U В* = Л U В = Dtt, - D,h.
Если D,h ?= 0, то либо D!h f] Л* ф 0, либо D,h П В* ф 0. Можно
предположить, что имеет место первое неравенство. Следова-
Следовательно, (/),,, U Л*) ?D. Это же включение выполняется при усло-
условии, что /},/, = 0, а А* означает то из множеств Л* н В*, ко-
которое содержит точку а.
По предположению
либо ОЦ1 U Л* = Dy,, либо Dlh U А" — D!h.

§ 48. Неприводимые и неразложимые пространства 223
В нервом случае
Du, = D,, U Du, - Ay, = A,, U A' U В' - Dy, U В\
Следовательно,
А/. — А/1 ^ й* ^ й> и "отому A,, - А,, = В.
Во втором случае
АЛ - А, с: Л* с: Л, откуда DUl - DUt = Л.
Из теорем 1 н 2 вытекает следующая
Теорема 3. Семейство D имеет порядковый тип интервала
тогда и только тогда, когда рассматриваемое неприводимое
пространство не содержит замкнутого неразложимого подмно-
окества, не являющегося граничным множеством.
Замечание. Если F —замкнутое подмножество if, содер-
содержащее точки 0 и 1, то существует неприводимый между точ-
точками 0 и 1 континуум, для которого J = F (другими словами,
такой, что D подобно F).
Действительно, необходимо только заменить каждый интер-
интервал, смежный к F, континуумом из примера 3 п. V, подходя-
подходящим образом уменьшенным и имеющим тс же концы, что и
соответствующий интервал.
В частности, для всякого непустого неразложимого конти-
континуума пара @, 1) совпадает с множеством /.
Теорема 4. Слои континуума 3\ неприводимого между
точками а и Ь, совпадают с множествами, насыщенными отно-
относительно свойства быть континуумом, являющимся объедине-
объединением (конечной или бесконечной) последовательности нигде не
плотных континуумов и неразложимых континуумов.
Доказательство. Пусть / — непрерывное монотонное
отображение, такое, что f (-'?') = с7. Пусть С — нигде не плотный
континуум, Л' — С — iV% Покажем, во-первых, что /(С) состоит
из одной точки.
Предположим, что \(С) — а§, где 0^а<E5^1. Множества
/~'@а) и /"'(pi) —континуумы (ср. § 47, VI, теорема 4), один
из которых содержит точку а, а другой —точку Ь и которые
имеют общие точки с С; поэтому
следовательно, 3' — С cr f~[ (Oa) U f~l (pi), и так как Я' — С = Я\
то отсюда мы получаем, наконец, что S( = f~[ (Oa)\Jl '(PI);
это противоречит формуле fC') 7

221 Глава 5. Связные пространства
Таким образом, /(С) состоит только н.ч одной точки, и
f(S) = (p) при условии, что Л' — полуконтниуум и объединение
последовательности нигде не плотных континуумов. Так как
каждый неразложимый континуум Д' по теоремам 1 и 6 п. VI
является замыканием некоторого полукоптпнуума S такого
вида, то отсюда следует, что /'(/<)— (/>)• Наконец, нз угого
вытекает, что если Q — континуум, являющийся объединенном
последовательности нигде ие плотных континуумов и неразло-
неразложимых континуумов, то [(Q) также состоит только па одной
точки; другими словами, Q содержится в одном слое (теперь
необходимо только подставить функцию g из п. IV вместо
функции /).
Обратно, согласно теореме 4 п. IV,
т( = и (/„ и /«,)=и пи и 1„\
где // пробегает (счетное) множество индексов, таких, что //?/
и Y @ ^.'/^ 1"@- Так как каждое из множеств 1и н Jy есть
либо нигде не плотный континуум, либо неразложимы., кон-
континуум (ср. с теоремой 4 п. VI), то слон Tt является объеди-
объединением последовательности нигде не плотных континуумов и
неразложимых континуумов. А так как каждое множество
такого вида, как мы показали, содержится в одном слое и
слон попарно не пересекаются, то из этого следует, что слой
насыщен относительно указанных свойств.
Теорема 5. Слои неприводимого континуума, имеющего
порядковый тип интервала, совпадают с нигде не плотными
насыщенными континуумами ') (т. е. с нигде не плотными кон-
континуумами, не являющимися собственными подконтинуумами
никаких других нигде не плотных континуумов).
Доказательство. Всякий нигде не плотный континуум
(как мы только что показали) содержится и одном слое. С дру-
другой стороны, так как пространство не содержит никакого не-
неразложимого континуума, не являющегося нигде не плотным
множеством, то каждый слой по теореме 4 представляет собой
объединение последовательности нигде не плотных контину-
континуумов; таким образом, он и сам является нигде не плотным
континуумом.
Теорема 6. Всякий неприводимый между двумя точками
континуум, который не содержит никакого нигде не плотного
') Мноснс спопствп нигде не плотшх насыщенных кшгпшуумон изло-
изложены и статье Куратор.скиго [10, § 2J.

# 48. Неприводимые и неразложимые пространства 225
подконтинуума {состоящего более чем из одной точки), яв-
является дугой ').
Доказательство. Рассматриваемый континуум не со-
содержит никакого неразложимого подконтинуума (состоящего
более чем из одной точки), потому что всякий неразложимый
континуум имеет нигде не плотный подконтинуум (состоящий
более чем из одной точки; ср. с теоремой 2 п. V). Следова-
Следовательно, согласно теоремам 3 и 5, слои представляют собой
нигде пе плотные подконтинуумы, т. е. отдельные точки. По-
Поэтому функция g (из п. IV) есть гомеоморфизм.
Теорема 7 2). Всякое дискогерентное разложимое про-
пространство Ж', неприводимое между точками аа и аи представляет
собой объединение двух неразложимых множеств Ао и Ль
таких, что
A) AQ = .T-AX и Л, = .Г-Л0.
Доказательство. В соответствии с теоремой 2 из § 46, X
пусть Ло и Л| — два связных множества, удовлетворяющих
условию A) и таких, что Ао=? 3' Ф Л,. Пусть aQ?A0 и а{?А\.
Предположим, что
где Вп и В| — замкнутые связные множества. Пусть a^Bi. По
теореме 1 из § 46, X множество 3' — Во связно. Но
S- - fi0 = Ло - Во U Л, - So = Ло - Во U В, - Во
Ао~ВофОФ В{~В0,
следовательно,
О Ф Ло - Во П В, - Во с= Ло П В,.
Поэтому множество ЛоУВ] связно, атак как ао?Аа и а{?Ви то
/10U д, = .f, т.е. X—AoczBu и поэтому Л, =.?" - Лос: В1(
вопреки неравенству Л1=^В|.
VIII. Пространства, неприводимо связные между множе-
множествами А и В. Пространство 3' называется неприводимо связ-
связным между множествами А и В, если оно связно между Л и В,
') Теорема Янишевского [1]. См. также § 47, V, теорема 1. Ср. Хол-
лет [I].
*) См. Куратовскнй [12, стр. 403]. Ср. Александров [3, стр. 537].
15 Зак. юо

226 Глава 5. Связные пространства
но_никакое подмножество вида F U Л I) В ни для какого F =
= F ф :V не является связным между А и В, другими словами,
если пространство иеприводимо относительно свойства быть
замкнутым множеством X, таким, что X [) А I) В связно между
Лий.
Теорема 1. Если пространство ЭС неприводимо связно
между А и В, то множества А и В отделимы и не пусты,
а пространство tl~ связно.
Следовательно, если Л ф О ф В, то связность пространства !%
между Л и В можно заменить в определении просто связностью.
Доказательство. Мы должны показать, что простран-
пространство связно, так как остальная часть теоремы есть прямое
следствие § 46, IV, 1а. Предположим, что
/ИоПМ, = О, М^М/фЗ', где /=-0, 1.
Последнее неравенство вытекает из предположения, что мно-
множество М/UAijB не является связным между А и В, и по-
поэтому М/ не является связным между А(]М/ и В(]М/. Отсюда
вытекает, что
Предположим, что P = PQ\JPl и Q = QoUQi- Тогда
&-P[}Q, P = P, Q=-Q, PflQ = O и A(]P = 0^BClQ,
а это означает, что пространство не связно между А и В.
Теорема 2. Пространство, неприводимо связное между
мноо/сествами А и В, неприводимо между любой парой точек
а?А, Ь?В.
Доказательство. Если С — замкнутое связное множе-
множество, такое, что а, Ь?С, то множество С U А [) В, очевидно,
связно между А и В; следовательно, С = 3'.
Замечание. Обратная теорема, вообще говоря, неверна
(она имеет место в компактных пространствах; ср. с теоремой 2
п. IX).'
Для того чтобы доказать это, рассмотрим пример 2 п. V.
Построенное там пространство неприводимо между точками
а = @, 0) и &=»A, 0). Тем не менее оно не является неприво-
неприводимо связным между этими точками, так как последователь-
последовательность полуокружностей с центром A/2, 0), проходящих через
точки C~", 0), где я = 0, 1, ... (при /г = 0 точка A/2, 1/2) полу-

§ 48. Неприводимые и неразложимые пространства 227
окружности выбрасывается), образуют замкнутое множество,
связное между точками а и Ь.
Теорема 3. Если пространство неприводимо связно между
А и В, то оно также неприводимо связно между любой па-
парой Аи В,, где О ф Л, сг А и 0 ф Bt cr В.
Доказательство. Так как Л[ ф О ф S, и пространство
связно, то оно связно между Л( и В\\ с другой стороны, если
F U A U В не связно между А и В, то F U Л! U S, также не связно
между Л, и В\.
Теорема 4. ?слм пространство X неприводимо связно
между А и fio=fio, а также между А и B1 = fi1, то X непри-
непривод амо связно между А и fioUSi-
Доказательство. Согласно теореме 1а из § 46, IV,
пространство 3' связно между А и Bollfii (так как SoCiBoUfii)-
С другой стороны, пусть F = F ф X. Тогда множество F U Л U S/,
/ = 0, 1, не связно между А и Bt и поэтому отлично от X;
таким образом, F{] В/ ф X. Из этого вытекает, что множество
(F U Во) U A U В] не связно ни между А и В\, ни между Л и Во
(по соображениям симметрии); следовательно, согласно тео-
теореме 3 из § 46, IV, это множество не связно также между Л
и BoUB,.
Теорема 5. Если пространство X неприводимо связно
между замкнутыми множествами А и В, то множество
X ~ (A U В) связно и всюду плотно в X.
Доказательство. Предположим, что множество
Х — {А\]В) не связно. Пусть G и // — два открытых множе-
множества, таких, что
X-(A\JB)=G\JH, G(]H = 0, вфОфН.
Так как множество G \] А\} В = X — Н ф X замкнуто, то оно
не связно между Л и В. Отсюда следует, что
где множества Р, Q, W и Z замкнуты.
Следовательно, X = (Р U W)[)(Q U Z) есть разложение про-
пространства на два замкнутых непересекающихся множества, ибо
р n z «=[р n{z n н)]\}[р n(zn л)н
15*

228 Глава 5. Связные пространства
причем одно из них содержит множество В, а другое — множе-
множество Л. Так как пространство связно, то из соотношении
.<Г = Л[}ЯШ-{А[]В)\1В и Л|"|В=0
следует, что
Л П .Ж" -(Л US) ф 0 =?& В П .«"-(Л U В).
Поскольку множество #' —(Л11В) связно, множество
.%' — (A U В) U Л U В связно между Л и В. Отсюда по предполо-
предположению следует, что
% -(А\}В) = %.
Теорема 6. Если два замкнутых множества Е!} / = 0, 1,
неприводимо связны между множествами Aj — Aj и E0QElt то
объединение Е0[)Е[ неприводимо связно между Ло и Л,').
Доказательство. Так как множество f0U?i связно, то
достаточно показать, что для любого данного множества
множество F\}A0\]A\ не связно между Ло и А{.
Но из условия F^EqUE] следует, что либо F ( Ео =? Ео,
либо Р{)Е\ФЕ\. Предположим, что F () Еаф Eq\ тогда мно-
множество (F П Ео) U Ло U (Ео П ^0 не связно между Ло и Ео Л Еи т. е.
(F(]E0)[jAQ[j(EQnEl)^M[jN, М = М, N = ЛГ,
0 = МП^ = МПВ1 = ^ПЛ0.
Отсюда следует, что
Z7 U Ло U Л, - (/? П Ео) U Ло U (F П ?¦) U Л, с= М U (JV U ?,),
где МП(^иВ|) = 0, Лос:М (так как ЛОП^ = О) и Л,с:Лги?1.
Эти соотношения показывают, что множество F\JAo(]A\ не
связно между Ло и Л,.
IX. Неприводимо связные компактные пространства.
Теорема 1. Всякое компактное пространство, связное
между двумя замкнутыми непересекающимися множествами А
и В, содержит замкнутое множество С, неприводимо связное
между множествами С (] А и С (] В.
Доказательство. Согласно теореме 1 из § 47, VII,
семейство замкнутых множеств F, связных между множествами
Л и В, замкнуто. Замкнуто также и семейство F замкнутых
') Ср. Клайн [3, стр, 315),

§ 48. Иеприапдимые и неразложимые пространства 229
множеств X, таких, что множество X U А [} В связно между А
и В, ибо X U A U В — непрерывная функция переменного X (ср.
§ 17, III, следствие 4а).
Пусть С — неприводимый элемент семейства F. Тогда С
связно между С (~1 А и СП В, так как в противном случае
C = M{JN, Cr\AczM = M, C[}BczN=^N, Mf\N = Q,
и разложение
С IM U В = И 1Ш) U (В U AT)
на два замкнутых непересекающихся множества противоречит
соотношению C?F.
Кроме того, если И = Н а С ф И, то множество И U (С П А) I)
U (СП i3) не СВЯЗН0 между СПЛ и СП В, так как И U У1 U В не
связно между А и В.
Теорема 2. Компактное пространство SC неприводимо
связно между двумя замкнутыми непересекающимися множе-
множествами А и В тогда и только тогда, когда .%' неприводимо
между любой парой точек а, Ь, где а?А и Ь?В.
Доказательство. Согласно теоремам 1 и 2 п. VIII,
достаточно показать, что если пространство .GV неприводимо
между любой парой точек а?А и Ь?В, а С — замкнуто и не-
неприводимо связн.о между Л П С и В П С, то С~.\
Пусть а?/1ПС и Ь?В(]С. Так как множество С замкнуто,
связно (согласно теореме 1 п. VIII) и соединяет точку а с точ-
точкой Ь, то С = .Ж'.
Теорема 3. Если неразложимый континуум .Т неприво-
неприводимо связен между двумя замкнутыми множествами Ап и Аи
то существует композанта С, такая, что С f\(An\j Л,) = 0.
Доказательство. Пусть RQ, Ru ... — база континуума .?',
и пусть Sjn, / = 0, 1, есть объединение компонент множества
3" — Rn, пересекающихся с множеством Aj, Объединение
A) S] = Sl0[jSj]U ...
совпадает с объединением композант пространства, пересекаю-
пересекающихся с множеством Af, действительно, если К —такой конти-
континуум, что К 0 Aj ф 0 и К, ф 3', то существует такое число п,
что К cz %' — Rn и> следовательно, /( cr S!n cr S/.
Таким образом, достаточно показать, что S/ — множество
первой категории, или, так как Sj есть /^-множество (согласно
A)), что Sj — граничное множество, т. е.

230 Глава 5. Связные пространства
Но каждая композанта, содержащаяся в 5,_у, всюду плотна
в пространстве (ср, VI, теорема 2), поэтому
C) 5i_y==.^".
Так как пространство & неприводимо между любой парой
точек ао?Ао, a{?Ai, то из этого следует, что
SoflS^O, значит, S\-jCZ 3? — Sj, откуда 5|_^сг 3' — Sj,
а это на основании C) дает B).
Теорема 4. Если ?0 и ?, — два неразложимых континуума
и Ао и Ai~dea замкнутых множества, таких, что foO^i =
= Aol) At и Ej {где / = 0, 1) неприводимо связны между множе-
множествами Ао и Аъ то объединение E0\JEi неприводимо между
двумя точками.
Доказательство. Согласно теореме 3, существует ком-
композанта Cj множества Ejt где / = 0, 1, такая, что
С)Г)(ЛUЛ,) = 0, следовательно, С)[\Ей(\Е\ = 0.
Пусть uj^Cj. Континуум Е] неприводим между а} и каж-
каждой точкой множества EQf\Eu а потому (по теореме 2) непри-
неприводимо связен между а} и ?0П^1-
Отсюда следует, согласно теореме 6 п. VIII, что множе-
множество Е0[}Е\ неприводимо между точками а0 и а.\.
X. Дополнительные замечания. Цепь — это конечная сово-
совокупность открытых множеств G\, ..., Gn, таких, что G/ П Gy ^=0
тогда и только тогда, когда |/— /1^1. Если б(С;)<е при
/= I, ..., п, то цепь называется г-цепью. Континуум назы-
называется змеевидным, если для каждого положительного е его
можно покрыть е-цепью ')•
Сформулируем без доказательства следующие интересные
утверждения о змеевидных континуумах:
1. Змеевидный континуум неприводим между любой парой
своих точек.
2. Всякий подконтинуум змеевидного континуума змеевид-
змеевидный.
3. Всякие два змеевидных наследственно неразложимых
континуума (содержащих более одной точки) гомеоморфны. Эти
континуумы называются псевдодугами (см. Моиз [1, стр. 583]).
Таким является, например, континуум Кнастера, упомянутый
в замечании 4 п. V.
') По поводу определений и большинства дальнейших теорем см, Бинг [7].
1) По поводу определений и большинства дальнейших т
Ср. также Баррет [1], Верджесс [4], Фугейт [1, 2], Скори

§ 48. Неприводимые и неразложимые пространства 231
4. Псевдодуга обладает свойством неподвижной точки (см.
Гамильтон [1]).
5. Всякий змеевидный континуум топологически содержится
в плоскости.
6. Существуют наследственно неразложимые континуумы
всех размерностей (см. Бинг [8]; бесконечномерный случай см.
Келли [2]).
7. Совокупность топологических типов (плоских) наслед-
наследственно неразложимых континуумов имеет мощность с (см.
Бинг [9]).
8. Существугт монотонное открытое отображение /: a^-*"^.
такое, что все прообразы точек f~l (у) являются псевдодугами
(см. Андерсон [1]).
9. Псевдодуга гомеоморфна каждому своему подконтинууму
(содержащему более одной точки) ').
10. Всякий разложимый континуум, гомеоморфный каждому
своему подконтинууму (содержащему болез одной точки), есть
дуга (Хендерсон [2]).
11. В пространстве всех подконтинуумов квадрата псевдо-
псевдодуги, а также однородные континуумы образуют остаточное
множество. Псевдодуга однородна (см. Бинг [4], Моиз [3],
Бинг и йонес [1]).
12. Всякий однородный змеевидный континуум (содержащий
более одной точки) есть псевдодуга (см. Бинг [10]).
Отсюда следует, что на плоскости существует однородный
континуум, отличный от простой замкнутой кривой (вопрос был
поставлен Кнастером и Куратовским [1, стр. 223]). Напомним,
что по теореме Мазуркевича всякий плоский однородный и ло-
локально связный континуум есть простая замкнутая кривая 2).
13. Прямое произведение п змеевидных континуумов топо-
топологически содержится в ef+l (Беннет [1]).
14. Каждый змеевидный континуум представляет собой
непрерывный образ псевдодуги (Мёдушевский [1], Лехнер [1]).
15. Каждый змеевидный континуум представляет собой
предел обратного спектра дуг, причем проекции являются не-
непрерывными отображениями на 3).
') Теорема Моиза [1, стр. 594]. Эта теорема дает решение проблемы
Мазуркевича [9] (вопрос состоял в том, существует ли континуум, отличный
от дуги и обладающий указанным свойством).
й) См. Мазуркевич [10]. В этом направлении см. Коэн [1], Иоиес [2]
н [3], Берджесс [I], [3], [5] и [2].
i!) См. Исбелл [I]. См. также Хендерсон [I], Пасынков [3, стр. 474].
О непрерывных образах змеевидных континуумов см. Лелек [2J
и Фирнли [4], [5] и [6].

ГЛАВА 6
ЛОКАЛЬНО СВЯЗНЫЕ
ПРОСТРАНСТВА
§ 49. Локальная связность
I. Точки локальной связности.
Определение. Топологическое пространство называется
локально связным в точке р {л. с. в точке р)'), если всякая
открытая окрестность G точки р содержит некоторую ее связ-
связную окрестность; другими словами, если С —компонента точки
р в G, то p?lni(C). Если пространство метрическое, то это
означает, что для каждого е > 0 существует связная окрест-
окрестность Е точки р, такая, что д(Е)<е,.
Замечание. В сформулированном выше определении
можно ограничиться окрестностями G, принадлежащими от-
открытой базе В пространства.
Действительно, пусть p(zG, где G — произвольное открытое
множество. Тогда существует элемент R^B, такой, что р? RczG.
Пусть С —компонента точки р в R, a D — компонента точки р
в G. По предположению p?Int(C); но С с D, откуда Int(C)c:
crlnt(D) и, следовательно, p?Int(D). Это означает, что про-
пространство л. с. в точке р.
Локальная связность — топологический инвариант (по опре-
определению). Это свойство является локальным, а именно спра-
справедлива следующая
Теорема 0. Если G открыто и p?G, то G л. с. в точке р
тогда и только тогда, когда пространство ,°V л. с. в точке р.
Доказательство. Пусть пространство Я? л. с. в точке р.
Пусть р?Н, где Н — множество, открытое относительно G,
т. с. Н открыто и Яс=С. Пусть С — компонента точки р в Я.
По предположению /??Int(C), т. е. р^.Т — С, откуда р?С —
— G — C. Но это означает, что р — внутренняя точка множе-
множества С относительно G. Следовательно, G л. с. в точке р.
') Ср. Налли [I], Мазуркевич [3], Хаи [2].

§ 49. Локальная святость 233
Обратно, пусть G л. с. в точке р. Пусть Н — открытое мно-
множество и р ? Н. Так как множество G [\ II открыто, то
р — внутренняя точка своей компоненты в G [\Н и, следова-
следовательно, своей компоненты в Н. Таким образом, Я' л. с. в точке р.
Теорема 1. Множество точек, в которых метрическое
пространство локально связно, есть G^-множество.
Доказательство. Это множество есть бесконечное пере-
пересечение О\Г\О2Г\ ¦¦¦ множеств G,,, где Gn — объединение всех
множеств Int(?), таких, что Е связно и д(Е)<\/п.
Теорема 2. Метрическое пространство локально связно
в точке р тогда и только тогда, когда для каждого е>0 суще-
существует т)>0, такое, что из условия \х — р]<т] следует суще-
существование связного подмножества С, такого, что х, р?С и
6(С)<е.
Доказательство. Если пространство л. с. в точке р,
то существует связная окрестность Е точки /), такая, что
6(?)<е, поэтому остается положить С — Е и обозначить через ц
радиус сферы с центром в точке р, содержащейся в Е,
Обратно, если условие теоремы выполнено, то каждому х,
такому, что \х— р\<ц, поставим в соответствие связное мно-
множество Сд., такое, что х, р?Сх и Ь(Сх)<г, Положим E~\JCX;
тогда р?Ы(?) и 6(?)<2е.
Теорема 3. Если p(zAof)A\ и каждое из множеств Ао
и Л[ л. с. в точке р, то в точке р л. с. и множество Аа{] Аг.
Доказательство. Пусть Ej — связная окрестность точки р
в As, где / = 0, I. Тогда
р<?Л,-Е,, т.е.
Так как
(Л - Ео) U (Л ,-?,)=> [Л> - (fin U Е,)] U [Лi - (fi0 U ?,)]
то
откуда следует, что множество EolJE[ есть связная окре-
окрестность точки р п множестве Аа[} А{.
Теорема 4. Если Я'j л. с. в точке а/(/ = 0, 1), то прямое
произведение Л\ X Я\ л. с. в точке (а0, а}).

234 Глава 6. Локально связные пространства
Доказательство. Пусть G ~ открытое подмножество
произведения 3?0 X 5С\, содержащее точку (а0, а{). Пусть Я/ —
открытое множество (в %'/), такое, что (ср. с теоремой 3
§ 15, I)
^HT и
Пусть С/ — компонента точки at в Я/. По предположению
aj ? Int (С/), откуда (ср. § 15, III B)) имеем
(а0, а,) 6 Int (Со) X Int(d) = Int(C0 X С,) и Со X С( с Яо X Я, с G.
Следовательно, Со X С[ — содержащаяся в G связная окрест-
окрестность точки (а0, й[) (как прямое произведение двух связных
множеств; ср. с теоремой 11 из § 46, II).
Очевидно, теорему 4 можно распространить на любое
конечное число множителей. Если число множителей произ-
произвольно, то справедлива следующая
Теорема А'. Пусть 3 = П %ь г&е все &и 3® исключением
конечного числа, связны. Пусть S = ft}€3- Если .У{ л. с.
в точке tf для каждого t, то 3 л. с. в точке \.
Доказательство. Пусть множество G сг 3 открыто.
j\?G и С — некоторая компонента точки \ в G. Нам нужно
показать, что $?Int(C). Согласно замечанию к определе-
определению, можно считать, что G = V\Gh где Gt открыты в Xt и,
t
за исключением конечной системы индексов, скажем /,, ..., /„,
Gt = &t и & t связны.
Для каждого t^T обозначим через Ct компоненту точки ^
в Gt. Тогда, согласно теореме 8 из § 46, III, С= П С,. Для
t<kT
ь где /=1, .... п, мы имеем Gt' — &t'. Отсюда Cr = SC?
(ибо 2?? связно). Следовательно, Int (С) = П Int (Ct) (CP- § 16,
III C)). Но J* € Int (С,), поэтому S ? hit (С).
Замечание. Предположение связности пространств .Tt,
за исключением конечного числа индексов, существенно. Это
видно на примере, где isTrt состоят из элементов 0 и 1 для
л = 1, 2, ... . Тогда ."Г, X №г X ... — канторов дисконтинуум.
Примеры, (i) Пространства ef" и ff" локально связны
в каждой точке для любого п (конечного или бесконечного).
(и) Всякая изолированная точка есть точка локальной
связности.
(iii) Кривая sin(l/x), определенная следующим образом:
у — sin A/х) для 0<|лсК1 и — 1 <; г/< 1 для х — 0, не является
л. с. ни в одной точке оси у.

.? 49. Локальная связность 235
(iv) Континуум, получающийся в результате соединения
сегментами точки @, 1) с точками 0 и \/п, п—\, 2 оси х,
не является л. с. ни в какой точке 0<1#<1 оси у.
(v) Аналогично, если точка \-~ , у) соединяется с каждой точ-
точкой канторова множества ?* (см. § 46, II, замечание), то полу-
получающийся в результате континуум не является л. с. ни в одной
точке, за исключением (у, у].
(vi) В п. VII будет показано, что неразложимый континуум
не является л. с. ни в одной точке.
(vii) Отрезки, соединяющие точки 1/(/г—1), п = 2, 3, ....
оси х с точками (\/nk, \/n), k=l, 2, ..., вместе с отрезком
01 оси х составляют континуум, который л. с. в начале
координат. Однако не существует никакой малой окрестности
этой точки, которая была бы связной и открытой.
(viii) Существуют связные и локально связные простран-
пространства, не содержащие никакой дуги') и даже вполне не со-
совершенные2).
II. Локально связные пространства.
Определение. Пространство, локально связное в каждой
точке, называется локально связным.
Пространство 3" в п. II предполагается локально связным.
Из теорем 3 и 4 п. I вытекают следующие теоремы:
Теорема 1. Конечное объединение замкнутых л. с. мно-
множеств локально связно.
Теорема 2. Конечное прямое произведение л. с. прост-
пространств локально связно.
Теорема 3. Всякое открытое подмножество л. с. прост-
пространства локально связно.
Действительно, локальная связность — локальное свойство
(ср. с теоремой 0 п. I).
Теорема 4. Всякая компонента открытого подмноже-
подмножества G пространства % — открытое множество3) и, следова-
следовательно, область4).
В частности, всякая компонента пространства Л' есть от-
открыто-замкнутое множество.
') См. Мур [Ю].
2) См. Кнастер и Куратовский [6]. Ср. также § 51, I, 7.
3) См. Хан [3].
4) Напомним, что область есть открытое связное множество.

236 Глава б. Локально связные пространства
Действительно, p?Int(C), если С — компонента точки paG.
Обратно, справедлива следующая
Теорема 4'. Если всякая компонента каждого открытого
подмножества G данного топологического пространства от-
открыта, то пространство локально связно.
Более того, здесь можно ограничиться множествами G,
принадлежащими некоторой открытой базе пространства.
Теорема 5. Пусть 3'— наследственно нормальное прост-
пространство, и пусть А и В — два отделимых множества. Если Л
связно, то существует область R, такая, что
A) AczR и R(]B = 0.
Если оба множества А и В связны, то существуют две
области R и S, такие, что
B) A<=R, BcS и R(]S = 0.
Доказательство. Так как пространство X наслед-
наследственно нормально, существует открытое множество G, такое,
что AczG и G(]B = 0. Пусть R — компонента G, содержащая А,
а в случае, когда В связно, пусть S — компонента множества
St'-~G, содержащая В. Согласно теореме 4, R и 5 —области.
Теорема 6. Семейство компонент открытого множества
в л. с. пространстве со счетной базой счетно.
Действительно, любое семейство непересекающихся откры-
открытых множеств в таком пространстве счетно (ср. § 24, I, тео-
теорема 2).
Теорема 7. Семейство компонент компактного л. с. про-
пространства конечно.
Поэтому каждое компактное локально связное J-npocT-
ранство есть объединение конечного числа локально связных
континуумов.
Это утверждение следует из теоремы 4.
Теорема 8. Всякое л. с. пространство X имеет базу,
состоящую из областей.
Если пространство X регулярно, то всякое открытое мно-
множество G есть объединение областей:
G=*[jRt, где Rt a G.
t
Если fV — метрическое сепарабельное пространство, то для
каждого е>0 существует такая последовательность областей
Ru R2 что

49. Локальная связность 237
(i) 6(/?„)<е для «=1, 2, ...;
(ii) всякое открытое множество G есть объединение
G = U Я*., <^е RknaG.
n = l
Доказательство. 1. Пусть В —открытая база прост-
пространства 3'. Тогда семейство С всех компонент элементов
из В есть требуемая база, состоящая из областей.
2. Если пространство 3" регулярно,_то G есть объединение
открытых множеств Gs< таких, что GsaG. Следовательно,
G есть объединение всех компонент множеств G.,. Обозначим
через {Rt} семейство этих компонент.
3. Если В счетно, то и С счетно (так как каждый элемент В
имеет счетное семейство компонент). Кроме того, если В =
= (Gi, G2, ...) и пространство 3' метрическое, то можно пред-
предположить, что условия (i) и (ii) выполняются, когда Rn заме-
заменено па Gn (ср. § 22, II). Отсюда легко получаем, что С =
= {Ru R-2, •••) — требуемая база, удовлетворяющая (i) и (ii).
Теорема 9. Всякая область С относительно множества Е
имеет вид С = ?ПЯ, где Н —область.
Доказательство. Пусть G — открытое множество, такое,
что C — Ef\G, и пусть Я —компонента множества G, содер-
содержащая С.
Теорема 10. Пусть А и В —замкнутые множества, такие,
что множества А\]В и А[\В локально связны; тогда А и В
локально связны.,
Доказательство. Можно считать, что А[}В — 3". Так
как множество А — В = 3' — В открыто, то множество А л. с.
в каждой точке множества А — В. Поэтому нам нужно по-
показать, что Л л. с. в каждой точке р?АГ\В.
Пусть G - открытая окрестность точки р. По предположе-
предположению компонента С множества AC\Bf]G, содержащая точку р,
открыта относительно этого множества. По теореме 9 (для
tV = G и ?¦ = Л П В П G) существует область И, такая, что
Н cz G и С = Л Л В П Я. Объединение и пересечение множеств
Н П А и Я П В (замкнутые в Я) связны, так как
и поэтому множества Я Л А и Н (] В связны (§ 46, II, тео-
теорема 5). Так как множество ЯЛЛ есть связная окрестность

233 Глава 6. Локально связные пространства
точки р относительно множества А, содержащаяся и G, то Л
л. с. в точке /;.
Теорему 10 можно следующим образом обобщить.
Теорема 10а. Если Ж = Ft U ... UFn, F, = F, u Flf\Fk
л. с. (для j=?k), то множества Fу локально связны.
Доказательство. Положим
A = F, и B = F][}...[)Fj^[)Fl+lU...{)Fn.
Так как множества F^F,, л. с, то А П В л. с. по теореме 1.
Следовательно, множество А л. с, согласно теореме 10.
Теорема 11. Если множество F замкнуто и л. с, а С —
компонента множества ?1' — F, то Ж — С и С (J F локально
связны.
Более того, если S — объединение некоторых компонент
множества SI' — F, то % — S, и S\J F локально связны.
Доказательство. Это утверждение есть следствие тео-
теоремы 10, так как
/7) и (.r-S)fl(SU/7) = /7,
поскольку S — открыто-замкнутое множество.
Теорема 12. Пусть F и S — непустые множества, удо-
удовлетворяющие условиям теоремы 11. Если пространство Ж
связно, то каждая компонента С множества W — S содержит
компоненту множества F.
Следовательно, множество № — S имеет компонент не больше,
чем F (если F связно, то связно и 3' — S).
Доказательство. Так как F cz№ — S, то мы должны
показать, что Cf)F=?O. Допустим, что СП/7==0, т. е. что
CaS? — F. Пусть R есть компонента множества X — F, содер-
содержащая С. По определению множества S каждая компонента
S — F, не содержащаяся в S, не пересекается с 5. Следова-
Следовательно,
ЯП 5 = 0, т. е. RczW-S, откуда Ren С,
так как Rf)C^O и С — компонента множества 5? — S.
Таким образом, мы получаем С — R; это означает, что
С открыто-замкнуто (как компонента замкнутого множества
5С — S и открытого множества S* — F). Но это несовместимо
со связностью пространства SC'.

49. Локальная связность 239
Теорема 131). Если {Л<} — семейство компонент
жества А, та
Доказательство. Очевидно, что lnt(At)czlnt(A), С дру-
другой стороны, пусть p^Int(/l), At — компонента точки р в А
и G —компонента точки р в Int (Л). Так как G связно, то
G с: At. Поскольку пространство SC л. с. и G открыто, G с: Int(/lt)
и, наконец, р ^ Int (Л^).
Теорема 142). Пусть R — область в метрическом сепа-
рабельном пространстве; тогда существует последовательность
областей Ru R2, ..., такая, что
C) /?=Я, U Я2и.-. и RnczRn+l.
Доказательство. По теореме 8 существует последо-
последовательность областей Qlt Q2> • •¦« такая, что
D) /?=Q,UQ2U....
E) Qn с R.
Так как R связно, то можно предположить (ср. § 46, II, тео-
теорема 10), что
F) (Q1U-..UQn)nQn+1^O для п =1,2
Множества Q{ и X ~ R замкнуты и не пересекаются (ср. E)),
поэтому они отделимы, и, согласно теореме 5, существует
область /?lf такая, что
Q, с: /?, и Я, <= Я.
Продолжаем построение по индукции. Пусть
G) Q!U...UQ,,crtf и #„<=?;
тогда множество /?n(JQn+i связно (согласно F)) и отделимо
от ,"Г — /? (согласно E) и G)). Поэтому в соответствии с тео-
теоремой 5 существует область Rn+i, такая, что
Я„ U Qn + i <=/?„ + ! и Rn+[cR.
Следовательно, условия G) выполняются для л=1, 2, ....
В сочетании с D) из них вытекает условие C).
Теорема 15. Пусть пространство № регулярно. Если F —
компактное подмножество области R, то существует область Q,
такая, что F с Q « Q с /?.
') Ср. Хаусдорф [2, стр. 331].
2) Ср. Уилдер [3, стр. 650].

240 Глава 6. Локально связные пространства
Доказательство. Так как -2-'— регулярное простран-
пространство, то существует открытое покрытие А == {GJ области R,
такое, что Gt — область и Gt с R (по теореме 8). Так как мно-
множество F компактно, мы имеем F a G^ (J .. . (J Gt . Соединим
Gt с каждым Gt,, где 1</«^л, конечной цепью элементов
семейства А (ср. с теоремой 8 из § 46, II). Объединение этих
цепей есть требуемая область Q.
Теорема 16"). Если F — компактное подмножество откры-
открытого множества G, то F пересекает только конечное число
компонент множества G.
Более того, если пространство .%' компактно, то все компо-
компоненты множества il' — F, за исключением конечного числа, со-
содержатся в G.
Доказательство. Так как компоненты множества G
открыты, среди них имеется конечное число Ru ..., Rn таких,
что F cz R{\j ... U Rn- Поэтому если R — компонента G, отлич-
отличная от /?„ ..., /?„, то F(]R = 0.
Для доказательства второй части теоремы положим .i' — F = G*
и 3~~G = F*. Так как F a G, то из этого вытекает, что
F* cz G*. Следовательно, F* пересекает только конечное число
компонент множества G', а это означает, что все эти компо-
компоненты, за исключением конечного числа, не пересекаются с F*
и, следовательно, содержатся в G.
Теорема 17. Если пространство X связно между множе-
множествами М и N, то оно содержит компоненту С, такую, что
СПМфОфС ON.
Доказательство. Допустим противное. Пусть S — объеди-
объединение компонент, пересекающихся с М; тогда М с S и JV f| S = 0.
Так как множество 5 открыто-замкнуто, то пространство X не
связно между М и N.
Из теоремы 17 следует, что всякое л. с. пространство обла-
обладает свойством (М) (ср. § 47, II, теорема 1).
Теорема 18. Квазикомпоненты л. с. пространства совпа-
совпадают с его компонентами.
Доказательство. Пусть С и Q — соответственно компо-
компонента и квазикомпонента точки р. Очевидно, С cQ. Так как С
открыто-замкнуто, то Q сг С, откуда Q = C.
') Ср. Борс-ук [9].

§ 49. Локальная сннзнпсть 241
Теорема 19. Если л. с. пространство Я' связно и С —
компонента произвольного множества ХфЗ', то
'-Хф 0.
Доказательство. Пусть р?С. Можно предположить,
что р ?$" — %' — X— Int (X). Пусть Со — компонента lnt(X), со-
содержащая р. Так как множество Int(X) открыто, то открытой
множество Int (X) —Со, как объединение компонент lnt(X),
отличных от Со. Тогда CU{\W — ХфЪ, ибо в противном случае
соотношение
X = {Л--Х U [Int (X) - Со]} U Со
означало бы разбиение (связного) пространства на два непу-
непустых отделимых множества. Так как Со с: С, то Cft.t' — ХфО.
Мноокество L{AI).
Пусть ^" — произвольное метрическое пространство (л. с. или
нет) и Л — подмножество .Т. Обозначим через L (Л) множество
всех тех точек х^А, для которых существуют открытые мно-
множества G произвольно малого диаметра, содержащие х и та-
такие, что G П А связно.
Теорема 20. Множество L(A) есть множество типа G6.
Доказательство. Действительно, L(A)=^Af\Glf\G2f]-- -,
где Gn — объединение открытых множеств G, таких, что G С\ А
связно и 6((?)< \/п.
Теорема 21. Если А локально связно, то AczL(A).
Теорема 22. Если Ас В cr L{A), то В локально связно.
Доказательство. В самом деле, из включений
GOAcGftB с;СЛ AczG Л А следует, что множество СЛВ
связно (при условии, что G Л А связно).
Теорема 23. Если & — полное пространство, А — локально
связное подмножество ."?' и f: A-> У— непрерывное отображе-
отображение, то существует непрерывное продолжение #: В-*& отобра-
отображения /, где В —л. с. Gt,-множество.
Более того, Ас В с L (А).
Доказательство. Действительно, согласно теореме 1
нз § 35, I, существуют бд-множество А*, содержащее А, и про-
продолжение /*: А"~*У отображения /. Остается положить
В -Л* Л 1{А) и ? = Г|В.
') См. Эйленберг [7, стр. 83].
1§ Зак. 1ЭД

242 Глава 6. Локально связные пространства
III. Свойства границы1).
Теорема 1. Пусть {At} — семейство произвольных множеств
в л. с. пространстве SC; тогда
A) F
Более точно, если p?Fr(\J At\ — \JFr(At), то X не является
\t J t
л. с. в точке р.
Доказательство. Если бы пространство Ж было л. с.
в точке р, то существовала бы связная окрестность Е точки р,
такая, что
B) E<=.%-\J?T(At)t так что р 6Int(?')n Fr(U At\
Но тогда (ср. § 7, II, следствие 1а)
Int
и, таким образом,
lnt{E){]\J Л(ф0ф1пНЕ)~и Л,.
t t
[)JtJt
t i
Следовательно, существует такой индекс tn, что
ьФОфЕ-Аь, откуда E
так как Е связно (ср. § 46, I, теорема 1). Но это противоре-
противоречит условию B), ибо
Е cz % - U Fr(At) с .Г - U Ft (At).
t t
Замечание. Соотношение A) характеризует л. с. простран-
пространства. Действительно, всякое пространство, не явтяющеэся л. с,
содержит бесконечную последовательность непересекающихся
открытых множеств, не удовлетворяющих соотношению (IJ).
Теорема 2. Если G\, G2, ...—последовательность непере-
непересекающихся открытых множеств в л. с. метрическом простран-
пространстве, то
Ls Gncz Ls Fr(GJ.
') См. Куратовский [8, стр. D01.
2) Курятовский [3, стр, 142], где это утверждение доказано для общих
топологических пространств.

iS 49. Локальная связность 243
Доказательство. Если p?LsGn, то p^'l' — Gn для
каждого п (так как множества Gn не пересекаются). Таким
образом, p^iV — \JG,U и из включения Ls Gn ^ U Gn выте-
каст, что
Р € U Gn - U Gn = Fr f[J Gn) cz U Fr (С),
согласно теореме 1. Следовательно,
Ls Gnc=UFr(Gn),
fl-»oo n
откуда
для любого т (ср. § 29, IV, теорема 7). Таким образом (ср
§ 29, IV, теорема 8),
Ls Gncz П U Fr(Gn)= Ls Fr(Gn).
Теорема З. Если А — подмножество л. с. пространства и
С — компонента А, то Fx{C)czFv(A).
Более того, если p^Fv{C)~Fr(A), то пространство не
является л. с. в точке р.
Доказательство. Пусть
р е Fr (С) - Fr (Л) = С П X ~ С-(А Л % - А).
Тогда
р6 А -(АП&-А)<г ЗС -ЗС - А.
Пели бы пространство X было локально связным в точке р,
то существовала бы такая связная окрестность Е точки р, что
Е сг #' —.%' — А и, следовательно, р? Int(?)f|Fr(C);
отсюда (ср. § 7, II, следствие 1а, и § 46, I, теорема 1) имеем
-C и
Но это противоречит предположению, что С —компонента мно-
множества Л, так как из условий Е сг А и Е{]СфО следует, что
Е сг С, поскольку Е связно.
Теорема 4. Пусть А — подмножество л. с. пространства.
Если Fr(Л) локально связно, то локально связно и А.
16*

244 Глава б. Локально связные пространства
Доказательство. Это утверждение следует из теоремы
10 п. II, так как
IV. Разделение локально связных пространств. Пусть if —
л. с. регулярное пространство.
Теорема 1. Если F — замкнутое множество, не разде-
разделяющее множества М и N, не пересекающиеся с F (это озна-
означает, что it' — F связно между М и N), то существует об-
область R, такая, что
A) KftM^0?=R[}N и RClF~O.
Доказательство. Согласно теореме 17 п. II, сущест-
существует компонента С множества it' — F, такая, что С[\Мф
ФОфСf]N. Пусть р€_С[\М и q?C[\N. Согласно теореме 15
п. II, существует область R, такая, что р, ц ?R и R сг С,
откуда следует соотношение A).
Теорема 2. Множество G точек множества % — (М [) N),
не разделяющих пространство между М и N, открыто в
Доказательство. Пусть x?G, и пусть R — связное мно-
множество, такое, что R(]Mф0фRC\N и х?% — R. Тогда пи
одна точка множества ЗС — R не отделяет М от N.
Лемма. Если Z — произвольное множество пар (ш, п)
положительных целых чисел, то существует бесконечная по-
последовательность k\<k2< ..., такая, что для всех индексов I
B) либо {kh kl+l)?Z, либо (kh kl+l)(fcZ.
Доказательство. Предположим, что не существует по-
последовательности первого типа; тогда существует число /и
(более того, m может быть как угодно большим), такое, что
из условия п>т вытекает, что (m, n)(fcZ. Обозначая последо-
последовательность этих чисел m через {kt}, получаем требуемую по-
последовательность второго типа.
Обозначим через S{a, b) множество точек, отделяющих а
от Ь (ср. § 46, IX).
Теорема 3 (Уайберн1)). Множество S(a, b)\ja\jb ком-
компактно {пространство ft' предполагается связным и метрическим).
') См. Уайберп [4] и [13, стр. 927].

§ 49. Локальная связность 245
Доказательство. По теореме 2 множество S(a, b)[)
\Ja\Jb замкнуто. Предположим, что оно не компактно. Тогда
S(a, b) содержит бесконечную последовательность (различных)
точек рь ръ .... всякая подпоследовательность которой об-
образует замкнутое множество. По предположению для каж-
каждого п существуют два открытых множества, таких, что
Пусть Z — множество пар (ш, п), таких, что р,п^Мп. Согласно
предыдущей лемме, существует бесконечная последователь-
последовательность ki<k2<. ..., такая, что для всех индексов i
либо pki?Mki+i, либо Pkl$Mki+i, т. с. PkieNki+i.
По соображениям симметрии можно считать, что имеет место
первая формула. Так как Рг(уИ„) = (/з„), то, согласно теореме
1 п. III, имеем
Это означает, что множество MinUMk,\J... замкнуто (ср. § 6,
II G)). Но это множество открыто и отлично от it' (потому
что Ь^Мп для любого п\ что противоречит связности прост-
пространства 3?.
Теорема 4. Если метрическое пространство X связно и
.У" S(a, b)\ja[jb, то оно есть дуга ab.
Доказательство. Это пространство компактно по тео-
теореме 3 и, следовательно, согласно теореме 1, § 47, V, пред-
представляет собой дугу.
Замечание. Объединение двух множеств Лий, непри-
водимо связных между одной и той же парой точек (р, q)
и таких, что А(]В = (р, q), не обязательно есть простая замкну-
замкнутая кривая, даже если оно локально связно (см. Бинг [5]).
Теорема 5. Связное метрическое пространство Ж (со-
(содержащее более одной точки), которое.разделяется каждой па-
парой своих точек, но не разделяется никакой отдельной точкой,
представляет собой простую замкнутую кривую.

246 Глава б. Локально связные пространства
Доказательство. Пусть о0 ~ фиксированная точка. По
предположению множество 3" ~ а0 связно и каждая точка
л: ? (.*?" — ао) разделяет множество Я? — а0. Согласно теореме 4
из § 46, VIII, все эти точки х, за исключением, может быть,
счетного их множества, разделяют множество °V — а0 на две
области. Пусть а,—одна из таких точек х. Таким образом,
существуют две области Ro и Rit такие, что
3'-ao~ai = Ro[jRu /?oD/?i = O и /?,^=0 для / = 0, 1.
Из этого следует, что Fr(/?/) = (a0, a{), потому что если бы
Fr (Rj) состояло из единственной точки, то эта точка разделяла бы
пространство. Следовательно, наша задача сводится к доказа-
доказательству того, что Rj есть дуга aoat.
Так как множество Fr (/?/) л. с, то л. с. _и множество Rt (по
теореме 4 п. III). Из предположения, что Rj не есть дуга aoai,
следует по теореме 4 существование точки р ? Rjy такой, что
множество R/ — р связно между а0 и ах. Покажем теперь, что
Rj — р — связное множество. Из предположения
D) Ri=*Ul)V, U = U, V-V, Ur\V = p,
i
следовало бы, что а{ ? U (так как Rj — p связно между точками
а0 и п\), и поэтому
^,_,П1/ = 0, откуда (Rl_,UU)(]V^U(]V = p.
Но разложение & = {Ri~j{]U) [JV противоречит предположе-
предположению, что р не разделяет пространство.
Предположим далее, что Ro не есть дуга айа{. Тогда суще-
существует точка po(:Ro, такая, что множество RQ— pQ связно.
Рассмотрим два случая, в зависимости от того, является ли
множество /?i дугой аоа{ или нет. В первом случае пусть рх ? R{',
во втором случае пусть р, — такая точка множества Rit что
/?! — pi связно (существование такой точки только что дока-
доказано). В обоих случаях пара Ро. Pi не разделяет пространство
вопреки предположению.
Теорема б1). Если метрическое пространство & {содер-
{содержащее более одной точки) дискогерентно (т. е. никакое
замкнутое связное подмножество не разделяет его), то 3' — про-
простая замкнутая кривая.
') См. Уилдер [6, стр. 54].

§ 49. Локальная святость 247
Доказател ьство. Пусть Q — такая область, чтоОфС}=?№.
Пусть
Ro**&-Q и R^V-Ro.
Множества Ro и /?( связны по предположению, не пусты и (со-
(согласно § 8, VIII)
E) R,-A'-Rl4 для /-0, 1.
Пусть /7 = Fr(/?o). Это дает
F) F - Ro - Ro = Ro П Ri = Fr (/?,) = .Г - (Ro U /?,).
Следовательно, множество F содержит более одной точки (по-
(потому что никакая точка не разделяет пространство). Покажем,
что F содержит в точности две точки.
Предположим, что F содержит три различные точки а0, ах
и а2. Так как пространство 3' локально связно, то пусть Ло, Лх
и Л2 —три такие области, что
G) akeAk (Л = 0, 1, 2) и Л0П Л,--= Л, П Л2 = Л2П Л = 0.
Поскольку ak?F = Fr(Rj), то
(8) 4feriFr(/?/)=^O, следовательно, R,(}Ak=?0
для / = 0, 1 и k = 0, 1, 2.
Поэтому множество R? = Rii] Ао{] Ai связно, откуда сле-
следует, что множество
(9) Ri~-i = Ri-i - (й0 U Л,) = Ж - ?, - Ло - Л, - .Г - А?/"
есть область. Согласно F), G) и (9), а2?/?, П/?f_r Следова-
Следовательно, множество /?/1)#Г-/ связно, а потому связно и мно-
множество (ср. E))
Так как множества Ло и Л| отделимы (ср. G)) и
/?,_/ - /?,_, = /?,_/ - «|-, - (Лс U Л,)с: Ло U Л,,
то одно из следующих множеств:
Aof\Ri-i — Ri-i или А[ П R\-t — R\-i
пусто. Предположим, что первое множество пусто:
A0) ЛоП/?1-/~/?Г-/ = О.

248 Глава 6. Локально связные пространства
Но, согласно (9), Л0Г|/?i-/= 0, откуда Aof]Ri-i = O (так как Ао
открыто), и поэтому, согласно A0),
0 = ЛоП /?i-/ - RT-i = Л П /?i-/,
что противоречит соотношению (8).
Таким образом, доказано, что множество F — ?x(Rj) состоит
из двух точек. Пусть F = (a0, a^. Согласно теореме 4 п. III,
множество Rj локально связно. Остается показать, что Rj есть
дуга аоаи т. е. (ср. с теоремой 4) каждая точка множества Rs
разделяет R/ между а0 и аи
Предположим, что р ? RQ и R() — р связно между а0 и а,\. По
теореме 1 существует замкнутое связное множество С, такое, что
аа, ctiZCczRo- р, откуда FczCcz.T - /?,.
Из этого соотношения, согласно F), следует, что
Но это равенство дает разложение множества .1' — С на два не-
непустых непересекающихся открытых множества (ибо p^Ro — C),
что противоречит предположению о дискогерентности про-
пространства.
Теорема 7. Множество Е разделяет метрическое про-
пространство Я' на п отделимых (непустых) частей тогда и только
тогда, когда Е содержит замкнутое множество F, такое, что
каокдое множество Н, удовлетворяющее условиям FczH = HczE,
разделяет пространство SC на п (непересекающихся и непустых)
открытых множеств.
Доказательство. Сформулированное условие необхо-
необходимо, согласно теореме 3 из § 46, VII.
Для доказательства его достаточности предположим, что-
множество Я' — Е не состоит из п непустых отделимых частей.
Тогда по теореме 6 из § 46, II существуют k связных множеств
С\, ..., С<с, таких, что
A"-? = C,U... U С*, где k<n.
Пусть F~FczE, и пусть Gu ..., Gt (j ^ k) — система компо-
компонент множества tl' — F, такая, что
.r-?cGill... U О/.
Положим tf = /?'-(G,U ... UG,). Тогда FczH = ffczE, так как
SC — EdGi U ... U GjZZ.T — F. Однако множество И не разде-
разделяет пространство :V на п непустых открытых множеств.

§ 49. Локальная связность 249
Теорема 8. Пусть а и b — две точки компактного л. с
^2-прост ранет ва и {Fn} — последовательность замкнутых мно-
множеств. Если ни одно из множеств Fn не разрезает никакой
области между точками а и Ь, то и объединение F1{]F2\J...
не разрезает никакой такой области').
Доказательство. Пусть R — область, содержащая точки а
и Ь. Определим по индукции последовательность областей Ro,
/?,, ..., удовлетворяющих следующим условиям:
(И) _ a, b?Rn,
A2) Rn+i^Rn-Fn-
Положим Ro = R. Пусть Rn удовлетворяет условию (И), и
пусть R*n — компонента множества Rn — Fn, содержащая двуэле-
ментное множество (а, Ь). Согласно теореме 15 п. II, суще-
существует область Rn+l, такая, что a, b(zRn+\ и Rll + lczRn, откуда
получаем включение A2).
Далее, пусть К = R] П Ri П • ¦ • . Так как R\, R2, ... — убыва-
убывающая последовательность континуумов, то К — континуум (со-
(согласно теореме 5, § 47, II). Кроме того, из A1) и A2) следует,
что
a, b
V. Неприводимые разделители. Пусть &' — локально связное
(л. с.) пространство.
Теорема 1. Пусть С — некоторое замкнутое множество, А
и В —две различные компоненты множества it' —С, и пусть
и 6 Л Ь ? В. Множество С является неприводимым разделителем
между а и Ь тогда и только тогда, когда
(I) Fr(^)=C = Fr(fi).
Доказательство. Условие A) является достаточным по
теореме 4 из § 46, VII, поэтому остается показать, что оно
необходимое. По теореме 3 п. III имеем
Fr(/l)c:Fr (.Г-С)с:С.
Так как Fr (Л) есть разделитель между а и b (ср. с теоре-
теоремой 6 из § 6, V), а С — неприводимый разделитель между а
и b (по предположению), то C = Fr(/l). Аналогично C = Fr(B).
Теорема 2. Если А — область, а В — компонента мно-
множества 3' — А, то Fr (В) есть неприводимый разделитель между
каждой парой точек а? А и b ? В.
') Ср Клайн [I].

250 Глава 6. Локально связные пространства
Доказательство. Мы имеем (ср. с теоремой 3 п. III)
B) Fr (B)c=Fr (JT - А) = Aft X - Acz Aft % - A = A- A.
Следовательно, a^Fr(B), откуда вытекает, что a?& — B, и
потому Fr(fi) отделяет а от Ь. С другой стороны, из B) видно,
что x(zAftB для ncex x?Fr(fi), следовательно, А[)х[)В связ-
связно и потому никакое собственное подмножество Fr(B) не от-
отделяет а от Ь.
Теорема 3 (Мазуркевич1)). Всякий замкнутый раздели-
разделитель С между точками а и b содержит замкнутый неприводи-
неприводимый разделитель F между а и Ь.
Доказательство. Пусть А — компонента точки а в Ж — С.
Тогда Ь?%' — А, так как А = AU Fr(A)aA\j С. Если В — компо-
компонента точки b в 3' — А, то (ср. B)) Fr(B)czFr{A)czC. Таким
образом, согласно теореме 2, достаточно положить F = Fr(B).
Т е о р_е м а 4. Пусть в нормальном пространстве а0 6 Fo =• Л).
«16 F[ — P\ « /:оП/71 = О- Тогда существует замкнутый раздели-
разделитель С, неприводимый между а0 и а,\ и не пересекающийся с
Доказательство. Если G— такое открытое множество,
что FoczG и GftFi=>0, то Fr(G) содержит искомый раздели-
разделитель С.
VI. Множество точек, в которых континуум не является
локально связным. Континуумы сходимости. В п. VI и VII
пространство предполагается метрическим.
Определение. Континуум К называется континуумом
сходимости2) пространства %, если он является топологическим
пределом такой последовательности континуумов, что
Если пространство 5V компактно, то континуумы К. и Кь
можно считать попарно непересекающимися, ибо их можно
заменить континуумами Кп„ Кп„ •.., где П\ =» 1 и
dist(/(, Kn,)<p(K, Knt_t), ni>ni-\ для />1.
') См. Мазуркенич [II, стр 193, лемма 1).
2) По Зарапкеиичу [1, стр. 127J. Ср. Урысон [6].

19. Локальная свяяность 251
Пример. У кривой Е [у = sin(l/x)] @<|х|<1) сегмент
х, у
— 1^#^1> х = 0 есть континуум сходимости.
Теорема 1. Если пространство № — континуум, и N — мно-
множество точек, в которых X не является локально связным, то
каждая точка p?N принадлежит континууму сходимости
(причем 1
Доказательство. По условию существует такая зам-
замкнутая окрестность Е точки р, что если С —компонента точки р
в Е, то р не принадлежит ее внутренности, т. е. р 6 Е — С.
Положим
A) p=limpn,
П-> оо
B) Рп?Е-С.
Пусть Сп — компонента точки рп в Е. Тогда
C) С П С„ = 0.
Действительно, в противном случае множество С [) Сп
было бы континуумом в Е, следовательно, С [) Спс:С, откуда
рп?С вопреки B).
Пусть F — замкнутая окрестность точки р, такая, что
D) FcInt(E).
Можно считать, что р„6^ для п—1, 2, ... . Пусть Dn — ком-
компонента точки рп в F. Так как FaE, то
E) DncCn.
Из последовательности {Dn} выберем сходящуюся подпосле-
подпоследовательность (ср. § 42, I, теорема 1, и § 42, II) и положим
F) K
В силу A) отсюда следует, что
G) p
Но тогда (ср. D)) К^Е, а так как К — континуум (ср. § 47, II,
теорема 4), то
(8) KczC,
1) Ср. Мур [2], Заранкевич [1, стр, 132} и Урысон [6, стр. 48],

252
Глава б. Локально связные пространства
Условие КФр выполняется, поскольку, согласно теореме 2
из § 47, III,
DnnFr(F)^0, откуда ftnFr(f)^0,
тогда как p^Fv(F) (ибо F — окрестность точки р).
Далее, /(crN. Предположим противное: x^K~N. В силу G)
и D) Е есть окрестность точки х, а так как К — подконтинуум
множества Е, соединяющий точку х с р, то С — компонента
точки х в Е. Следовательно, x?Int(C) (так как мы предпола-
предполагаем, что x(?n\ Но
х ? Ls D,, cr Ls С„
(ср. E) и § 29, IV, теорема 2) и существует индекс п, при ко-
котором СПС„=7^=0, что противоречит C).
Наконец, К. является континуумом сходимости, так как из (8),
E) и C) следует, что К П Dn = 0.
Рис. 6
Теорема 2. Всякий континуум, не содержащий никакого
нигде не плотного подконтинуума {состоящего более чем из
одной точки1)), является локально связным.
Доказательство. Действительно, всякий континуум схо-
сходимости является нигде не плотным.
Замечание. Нигде не плотный континуум не обязан быть
континуумом сходимости. Это показывает следующий пример
(рис. 6).
Пространство состоит из сегмента 01 оси х и последова-
последовательности вертикальных сегментов
где
и п» 1, 2
') Нигде не плотный континуум, состоящий более чем
называется также континуумом конденсации.
одной точки,

§ 49. Локальная связность 253
Горизонтальный сегмент представляет собой нигде не плот-
плотное множество, но не является континуумом сходимости.
Теорема З(Мур')). Пусть .Т ~ континуум и N —множе-
—множество точек, в которых ЗС не является л. с; тогда разбиение
пространства ЗС на компоненты множества N и отдельные точки
множества ЗС — N является л. с. континуумом.
Другими словами, существует непрерывное отображение f
пространства ЗС на У, такое, что 2/ есть л. с. континуум и
семейство множеств f~l (у), у ? У, совпадает с семейством ком-
компонент множества N и отдельных точек множества ЗС — N.
Доказательство. Функция /, индуцированная рассма-
рассматриваемым разбиением, является гомеоморфизмом в каждой
точке множества .6С ~ N (ср. с теоремой 1 из § 43, IV). Следо-
Следовательно, точки множества \{ЗС — N) суть точки локальной связ-
связности пространства 2/. Если Q — множество точек, в которых 2/
не является л. с, то Qczf(N). Так как dim f(N)^O (см.
§ 46, V, теорема 3, и § 47, VI, теорема 1), то dim Q<0 и, сле-
следовательно, Q = 0 в силу теоремы 1.
Сочетая теорему 3 с теоремой 6 п. IV, получаем следующее
утверждение:
Теорема 4. Если .Т — дискогерентный континуум и Nф.Ч',
то пространство У, рассмотренное в теореме 3, является про-
простой замкнутой кривой.
Отсюда вытекает следующий результат:
Теорема 5. Всякий дискогерентный континуум X локально
является дугой в каждой точке множества .Т — N.
Доказательство. Простая замкнутая кривая локально
является дугой, а функция / есть локальный гомеоморфизм
в каждой точке множества ЗС — N.
Замечание. Теорему 3 можно легко обобщить следую-
следующим образом2). Напомним, что свойство называют локальным,
если пространство обладает им в точке р тогда и только тогда,
когда каждая окрестность этой точки обладает в р этим свой-
свойством. Пусть Р обозначает локальное топологическое свойство
в точке, такое, что множество точек, в которых континуум
') См. Мур [7].
2) См. Уанберп [21].

254 Глава 6. Локально связные пространства
обладает им, не является нульмерным (т. е. либо пусто, либо
имеет положительную размерность). Тогда имеет место сле-
следующая
Теорема 6. Если N —множество точек, в которых про-
пространство ЗС обладает свойством Р, то теорема 3 остается спра-
справедливой.
Под Р можно понимать следующие свойства!
(i) dimes'>п (я>1);
(ii) ordpS"^ Ко (см. § 51, III, теорема 5);
(Hi) ordpS">c;
(iv) p — элемент континуума сходимости (или нигде не плот-
плотного континуума), который содержит не только точку р.
Доказательство, аналогичное доказательству теоремы !, по-
позволяет установить следующее утверждение:
Теорема 7. Всякий континуум, который не является л. с,
содержит
(О связное множество, не являющееся полуконтинуумом;
(ii) несвязное множество, которое, однако, связно между
двумя точками.
Доказательство. Пересмотрим доказательство тео-
теоремы 1, сохраняя смысл символов р, Е, F, С и Сп. Можно
считать, что континуумы С„ попарно не пересекаются и обра-
образуют сходящуюся последовательность:
(9) L = LimCn.
Согласно A), р? L, откуда LcC, так как/, — континуум (§ 47, II,
теорема 4). Согласно теореме 1 из § 47,111, С„ f|Fr {Е)фО,
откуда Lf]Fr(?)=^O в силу (9). Из равенства F(\Fx{E) = 0, вы-
вытекающего из D), следует, что L — \F U Fr(?)]=^0, так как L
связно. Таким образом, существует точка ц ? L Л Int (?) — F.
Пусть Н — замкнутая окрестность точки q, такая, что HczE — F.
Пусть D — компонента точки р в F и / — компонента точки q
в Н. Тогда DU/cC и D(]I = 0. Поэтому множества D, /, С,,
С2, ... попарно не пересекаются и, согласно теореме 7 из
§ 46, III, существуют бесконечная последовательность индексов
&i<&2< ••• и связное множество W, такие, что
C4,UCj,U ...clt7 и либо Щ?> = 0, либо Wf\f = 0.
В силу симметрии достаточно рассмотреть первый случай.
Так как p?.L, то множество P = W\JP связно. Однако оно
не является полуконтинуумом, ибо в противном случае суще*

§ 49. Локальная связность 255
ствовал бы континуум R (ср. § 47, III, теорема 4), такой, что
p?RczP(}F и
(так как F — окрестность точки р).
Но из условия р? Rcz F следует, что RczD, откуда R П W — О,
а поскольку Rep, то R = p.
Наконец, множество р \j q U U Сп связно между точками р
п
и q (§ 46, IV, теорема 9), хотя оно и не является связным мно-
множеством.
VII. Относительное расстояние. Колебание1).
Определение 1. Точная нижняя грань диаметров б(?),
где Е означает произвольное связное множество, соединяющее
точки х и у, называется относительным расстоянием между
точками х и у2):
A) Р,(х, y) =
Из определения следует, что условие рг{х, г/)<е имеет место
тогда и только тогда, когда существует связное множество Е,
такое, что
B) х, у?Е и 6(?)<е.
Теорема 1. Относительное расстояние определяет метрику
во всяком пространстве, в котором любую пару точек можно
соединить связным ограниченным множеством.
Другими словами, выполняются следующие соотношения
(ср. § 21, I):
C) [р,(х, у) = 0]=(х = у);
D) рг (у, г) < р, (х, у) + рг (х, г).
Доказательство. Соотношение C) очевидно. Дока-
Докажем D). Пусть Y и Z —два связных ограниченных множества,
соединяющих соответственно х су и х с г. Тогда (ср. § 21,
III D))
9r(y,
') Эти понятия принадлежат С. Мазуркевичу [3], [4] и [7]. Много тео-
теорем, касающихся этих понятий, можно найти в докладе того же автора
в «Трудах I конгресса математиков славянских стран» (Варшава, 1930);
см. также Урысон [6].
Дальнейшие результаты см. Локуциевский [1], Штанько [1].
2) Более общо, если множество Е пробегает семейство F, то можно опре-
определить относительное расстояние по отношению к семейству F. Ср. Арон-
шайн [2, стр. 97].

256 Глава 6. Локально связные пространства
Предположим далее, что
Ь(У)<р,{х,у) + в и b(Z)<Pr(x, г) + е;
тогда pr{y, z)<pr(x, y) + pr(x, z) + 2e, откуда и следует соотно-
соотношение D).
Теорема 2. Если пространство есть континуум, то в опре-
определении A) множество Е можно считать континуумом: число
Prix, у) при этом не изменится.
Доказательство. Действительно, если Е связно, то
Е — континуум и д{Е)~Ь{Е).
Теорема 3. Относительное расстояние является метрикой
в любом связном и локально связном пространстве.
Кроме того, в определении A) множество Е можно считать
областью.
Доказательство. Для того чтобы установить первую
часть, достаточно, согласно теореме 1, показать, что псякую
пару точек рассматриваемого пространства можно соединить
связным ограниченным множеством. Но это следует непосред-
непосредственно из теоремы 8 § 46, II при условии, что \Gt)— семей-
семейство ограниченных областей.
Для доказательства второй части достаточно заметить, что
если С —связное множество, то каждому е>0 соответствует
такая область R, что
а именно R есть компонента множества С в открытом шаре
с центром С радиуса е/2.
Теорема 4. Пусть ЗС — пространство, удовлетворяющее
условиям теоремы 1. Пусть 3\ — то же самое пространство
с метрикой, порождаемой относительным расстоянием. Тожде-
Тождественное отображение /: ЗСг->>-9? непрерывно; обратное отобра-
отображение f~l непрерывно в точке р тогда и только тогда, когда X
локально связно в этой точке.
Доказательство. Функция / непрерывна, так как
|х-«/КРг(*. У)-
Обратно, если функция /"' непрерывна в точке к, то каждому
е>0 соответствует такое г|>0, что из условия \х — у\<ц сле-
следует рг(х, у)<е. Это означает, что существует связное множе-

§ 50. Локально связные метрические континуумы 257
ство Е, удовлетворяющее условию B). Согласно теореме 2 п. I,
пространство 3' л. с. в точке х.
Из теоремы 4 следует
Теорема 5. Если пространство 3* связно и л. с, то обыч-
обычная метрика и относительное расстояние топологически экви-
эквивалентны (т. е. / — гомеоморфизм).
Это следует из того, что связное метрическое пространство
локально связно тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно
пространству, в котором всякий открытый шар связен (см. Нью-
мап [1, стр. 75]).
Определение 2. Число
br(A) = suppr(x, у), где х, у ? Л,
называется относительным диаметром множества Л.
Колебание функции {~ в точке р (которое называют также
колебанием пространства в точке р) есть по определению (ср.
§ 21, III) число
G>(p)=inf 6r(X) = limsuppf(x, у), где
Примеры. Рассмотрим крипую sin(l/*) из примера 3 п. I;
для нее а>(р) = 2 во всякой точке этой кривой с абсциссой 0.
В примере 4 «(#)= 1 — ;/ на оси у.
Теорема 6. На всяком неразложимом континууме 3'
колебание постоянно (=6C')).
Доказательство. Действительно, по всякой окрестности
данной точки р существует точка q, такая, что пространство 3'
неприводимо между р и q (§ 48, VI, теорема 6); поэтому
Рг(р, </) = 6 (.П
§ 50. Локально связные метрические континуумы')
1. Дугообразная связность.
Определение. Пространство называется дугообразно
связным (д. с), если любую пару его точек можно соединить
дугой. Оно называется локально дугообразно связным (л. д. с.)
и точке р, если в любой окрестности точки р существует д. с.
окрестность точки р, т. е. каждому е>0 соответствует такое
ti>0, что из условия | х- р \<ц вытекает существование дуги А,
такой, что х, рбЛ и 6(/1)<е.
') Локально связные метрические континуумы называются также
тинуумами Пеана.
17 Зак. 100

258 Глава 6. Локально связные пространства
Теорема 1. Если пространство локально дугообразно
связно о точке р, то оно локально связно в этой точке.
Теорема 2. Если связное пространство локально дуго-
дугообразно связно, то оно также дугообразно связно.
Более общо, всякая область (и, в частности, всякая компо-
компонента) л. д. с. пространства дугообразно связна.
Доказательство. Перная часть является прямым след-
следствием теореМЕл 8 in § 46, II, если Gp означает д. с. окрест-
окрестность точки р.
Вторая часть следует из первой, поскольку компоненты л. с.
пространства — области (§ 49, II, теорема 4).
Теорема 3. Во всяком связном и л. д. с. пространстве
относительное расстояние рг(х, у) равно точной нижней грани
диаметров дуг, соединяющих точки X и у. Поэтом;/ условие
рг{х, у) < е означает, что существует дуга ху диаметра < е.
Доказательство. Это утверждение есть следствие тео-
теоремы 2 и § 49, VII, теоремы 3.
Теорема 4. Если F — компактное подмножество связного
л. д. с. пространства ."Г, то каждому е>0 соответствует такое
т\ > 0, что для каждой пары точек х, у ? F из условия \ к — у | < ц
следует рг (х, у) < е, т. е. точки х и у можно соединить в 3'
дугой диаметра < е.
Доказательство. Действительно, функция расстояния
рг(х, у) непрерывна на пространстве ."/" (§ 49, VII, теорема 4)
и, следовательно, равномерно непрерывна па F.
Поскольку У7 —непустое компактное множество, то сущест-
существует непрерывное отображение /, такое, что (ср. § 41, VI, след-
следствие 2Ь)
A) f: V->F и f(V)~F.
Это утверждение можно усилить следующим образом:
Теорема 5. Если F — непустое компактное подмножество
связного и л. д. с. пространства ."/-', то всякая непрерывная
функция f, удовлетворяющая условиям A), имеет продолжение
/*: Э'-> Я', являющееся гомеоморфизмом в любом интервале,
смежном к %'.
Доказательство. Пусть (ah b\), {a,, b2), ...—последо-
...—последовательность интервалов, смежных к <?. Так как
lim (/;„ — «„)== О,

§ 50. Локально спязныо метрические континуумы 259
ТО
lim|fFn)-/(an)| = 0,
и по теореме 4 в! существует последовательность дуг Лп
(п—\, 2, ...) с концами /(а„) и f(bn), такая, что lim 6(Л„) = 0.
Пусть /„ — гомеоморфное отображение интервала anbn на дугу Лп,
такое, что }n(an) = f(an) и fn(bn) = f{bn). Функция /* определяется
следующим образом:
для
fn(t) Для а„</<6„, «=1, 2
Следующее утверждение является частным случаем теоремы 5.
Теорема 6. Всякий непустой л. д. с. континуум является
непрерывным образом интервала.
Доказательство. Достаточно положить F = .T.
В п. II будет показано, что теорему 6 можно обобщить,
заменяя условие локальной дугообразной связности условием
локальной связности.
П. Характеризация локально связных континуумов.
Теорема 1 (Мазуркевича — Мура — Менгера ')). Всякое
полное л. с. пространство является л. д. с.
Доказательство, Можно считать, что пространство
связно (ср. § 49, II, теоремы 3 и 4).
Пусть рфа — цве фиксированные точки. Пусть О — семей-
семейство областей диаметра < 1. Согласно теореме 9 из § 46, II,
это семейство содержит конечную систему областей R{, .. ., Rk,
которые составляют «неприводимую цепь» между точками р и q\
это означает, что
A) р€Я„ q€Rk, RiC\Rt+i?=0 (Для i<k),
B) Ri(\Ri> = 0, если |/-Г|>1.
Пусть О* —семейство областей S, таких, что 6E)<1/2 и
S cz R^ Пусть (ср. § 46, II, теорема 9) 5i, ..., 5/, —цепь со
звеньями, принадлежащими О*, неприводимая между р и /?, Л /?2
(или между р и </, если ?=1). Аналогично строится цепь, не-
неприводимая между 5;, П/?г и ^гП^з. и т- Д-> " наконец строится
') Мазурксвич [7). См. более ранние статьи [3, стр. 305 и 941) н
[4, стр. 428| того же автора. Мур [I, стр. 135]. Меигёр [8, стр. 212]. Ср.
также Ароншайн [1, стр. 228] и Куратоиский [24, стр. 307].
17*

260 Глава 6. Локально связные пространства
цепь, неприводимая между S/fe П/?й и q. Таким образом, для
/(_,<;</<¦ (/0 = 0) имеем
C) • S/c:/?,,
и легко видеть, что цепь
D) Si, ..., Sfj, S/, + 1, .... S/8, ..., Sift_], Sjft_J + i, .... S^
нсприподима между р и </.
Так как цепь /?ь ..., /?fc неприводима, то для любой ее
точки х существуют индексы а и а', такие, что
E) а<а'<а+1, х6/?аЛ#а, x(fcRt для ъф'ьфа.
Аналогично, если х принадлежит цепи D), то существуют два
индекса р и |3', таких, что
Sp', x^S/ для р^=у^=р'.
Из C) вытекает следующее соотношение между аир:
F) /а-1<Р<Р'</а'.
Действительно, если, например, Р</а-ь то, согласно C),
вопреки соотношению E).
Из соотношений C) и F) легко получаем, что
В (обобщенной) теореме 3 из § 47, V положим
Л = fli U • • • U /?а-, б. = /?„ U ... U Rk, С, = Л, U 5„
А2 = S, U ... (J 6>, S2 = Sp U ... U Sik, С2 = Л2 U 52-
Легко видеть, что условие (i) указанной теоремы выполняется
для п—\, 2, а условие (iii) —для п~\. Кроме того,
x6AnSi-tfaU/?a' и х е А2 П 52 -
и, следовательно,
й(Л, Л fliX в (/?а) + Л (/?«-) < 2 и 6(Л2ПЯ2)<1.
Процедуру построения цепи D) из цепи #ь ..., Rk можно
продолжить при помощи индукции и получить бесконечную по-
последовательность цепей, неприводимых между точками р и q.
Если С,, — объединение звеньев n-й из этих цепей, то выпол-

§ 50. Локально связные метрические континуумы 261
л. ... i.i,-. - i Tfi *" ' ¦ I ¦ I. , '
пяются все предположения цитированной теоремы и, в част-
частности,
а{Сп)<Мп и Ь(Ап, Вп)<2/п.
оо
Отсюда следует, что множество f~| Сп есть дуга pq.
Теорема 2 (Хана — Мазуркевича — Серпинского 1)). Если
3" — непустой континуум, то следующие условия эквивалентны:
(i) 3' — непрерывный образ интервала;
(и) каждому е>0 соответствует разбиение пространства 3"
на конечное число континуумов диаметра <е;
(iii) пространство 3' локально связно.
Доказательство. Из условия A) следует условие (И).
Действительно, если f: 8->3' — непрерывное и, следовательно,
равномерно непрерывное отображение на, то
# = Л,иЛ2и ... 1М„, 3-^!{АХ)\] ... Uf(An) и 6[/(Л(.)]<8,
«-= 1, .. ., п,
при условии, что Л,, .... Л„ — достаточно малые интервалы.
Из условия (И) следует условие (iii). Предположим, что за-
задана система континуумов С\, ..., Сп, такая, что
.r = C,U ... \JCn и Ь(С,)<6.
Пусть р^З', и пусть i\, ..., 4 — система всех индексов, та-
таких, что
рес1г.... Pecik.
Тогда множество С^ U ••• U dk еоть связная окрестность
точки р диаметра < 2е.
#з условия (iii) следует условие (iJ). Так как континуум .'?*
л. с. и, следовательно, л. д. с. (по теореме 1), то он является
непрерывным образом интервала, согласно теореме 6 п. I.
Теорема 3. Всякое компактное л. с. пространство .°V до-
допускает разбиение на конечное число л. с. континуумов с про-
произвольно малыми диаметрами.
') См. названные выше статьи Мазуркевнча, а также Хан [1], [2]; Сор-
пинский [7].
Простое доказательство дугообразной связности непрерывных образов
интервала (которое следует из теорем 1 и 2), принадлежащее Келли, можно
налтл I) книге Уайбернл [1, стр. 39 C)].
2) Это утверждение содержит как частный случай известную теорему
Пеано [1|, согласно которой квадрат &г является непрерывным образом
интервала &. Более прямое доказательство приводится, в § 16, II, след-
следствие 6Ь,

262 Глава в. Локально связные пространства
Доказательство. Так как всякое компактное л. с. про-
пространство является объединением конечного числа л. с. конти-
континуумов (§ 49, II, теорема 7), то достаточно рассмотреть случай,
когда iV — л. с. континуум и, следовательно, непрерывный образ
интервала. Повторяя доказательство первой части теоремы 2
(из (i) следует (ii)), мы приходим к заключению, что ."Г есть
объединение конечного числа континуумов диаметра <е, ка-
каждый из которых есть непрерывный образ интервала; из этого
вытекает требуемый результат (ибо (i) влечет за собой (iii)).
Теорема 4. Пусть SC — л. с. континуум и е>0 некоторое
заданное число. Тогда существует такое г)>0, что любую пару
точек, расстояние между которыми <ц, можно соединить дугой
диаметра < е.
Доказательство. Это утверждение следует из тео-
теоремы 4 п. I.
Теорема 5. Свойство быть л. с. континуумом является
инвариантом непрерывных отображений.
Доказательство. Это вытекает из эквивалентности
условий (i) и (iii).
Из теоремы 1 вытекает следующая
Теорема 6. Всякое полное пространство, которое связно,
л. с. и неприводимо между двумя точками афЬ, является
дугой ab.
Замечание. Теорема 6 вместе с теоремой 2 из § 49, VI
дают теорему б из § 48, VII.
Теорема 7. Пусть SP — континуум, неприводимый меокду
двумя точками, и пусть N — множество точек, в которых X
не является л. с. Пространство У разбиения пространства $*
на компоненты множества N и точки мноокества X — N является
дугой (при условии что N ф 3')').
Доказательство. Действительно, У — континуум, непри-
неприводимый между двумя точками (по теореме 3 из § 48, I) и
л. с. (согласно теореме 3 из § 49, VI).
Теорема 8. Замкнутое множество разделяет полное л. с.
пространство между двумя точками тогда и только тогда,
когда оно разрезает это пространство между этими точками,
') Теорема Мура [7],

<У 50. Локально саязные метрические континуумы 263
Другими словами, если полное л. с. пространство связно
между двумя точками, то оно содержит континуум, соединяю-
соединяющий их.
Доказательство. Так как пространство связно между а
и Ь, то существует область R, содержащая эти точки (а именно,
компонента точек а и Ь; ср. § 49, II, теорема 17). Поскольку
область R локально связна и топологически полна, она со-
содержит континуум, соединяющий точки а и b (по теореме 1),
Теорема 9. Пусть !% — сепарабельное связное и л. с. про-
пространство, которое локально компактно, но не компактно.
Каждая точка ,%' является вершиной замкнутого топологиче-
топологического луча (т. е. замкнутого множества, гомеоморфного полу-
полупрямой) ').
Доказательство. Пусть SC4 обозначает пространство .Т,
к которому добавлена «бесконечно удаленная точка» оо (ср.
§ 41, X, теорема 5). Тогда .#" есть л. с. континуум (ибо псе
точки, за исключением оо, являются точками локальной связ-
связности в пространстве 3?*, следовательно, такой является и
точка оо по теореме 1 из § 49, VI). Если Л —дуга р оо (суще-
(существование которой следует из теоремы 1), то Л —(оо) есть тре-
требуемый луч.
Сформулируем без доказательства следующую теорему
(Мазуркевич [24]).
Теорема 10. Пусть X — одномерный локально связный
континуум и е>0 — данное число. Тогда существует такое
непрерывное отображение f: .%'-+$', что
(i) f(x) гомеоморфно ломаной линии,
(п) б[/~'(//)]<е для любого у.
Замечание 2. Не предполагая, что Пространство метри-
метрическое, можно установить следующие теоремы (аналогичные
теореме 2).
Теорема 11. Пусть Ж есть некоторый континуум. Про-
Пространство Я' локально связно тогда и только тогда, когда для
каокдого открытого покрытия существует конечное измельчение,
состоящее из континуумов.
Доказательство. 1. Условие необходимо. Пусть {GJ—
открытое покрытие $*. Для каждого p?.f пусть p6G((p).
Так как пространство Ж нормально (и, следовательно, регу*
') См. Куратовский [3|.

264 Глава в. Локально связные пространство.
лярно; см. § 41, II, теорема 3), то существует открытое мно-
множество Яр, такое, что
(8) р?Нр и HpczGt(p).
Пространство SC предполагается локально связным, поэтому
(согласно теореме 4 из § 49, II) компоненты множества Нр
открыты. Следовательно, семейство всех компонент всех мно-
множеств Нр является открытым покрытием пространства Я'. Так
как пространство 3" компактно, это покрытие содержит конеч-
конечное подпокрытие S\, ..., Sn. Положим Ci — St. Тогда
(9) 3- = С, U ... U С„,
а так как St связно, то С, — континуум. Наконец, для каждого /
существует такое t, что C/CzG*; именно, мы полагаем t = t(p),
где Si — компонента Нр.
2. Условие достаточно. Пусть G открыто и p?G. Нам
нужно определить связное множество Е, такое, что
A0) /? 6 Int (?") и EczG.
Рассмотрим покрытие, состоящее из двух элементов: G и
И— t'~-{p) (Я открыто, так как 3~ есть JVnPocTPaHCTBO и
потому (/(-пространство). По предположению формула (9) имеет
место и каждое Ct — подконтинуум либо множества G, либо
множества Я.
Пусть С*,, С/;2 Ck —те континуумы, которые содержат
точку р, а Ст , ¦ . •, Cm — те, которые ее не содержат. Положим
Тогда i"-?cCffll[) ... \jCms и ^'-fcCm.U ••¦ UCmj. Та-
Таким образом, р ?% — .%' — Е, т. е. p?lnt(E). Включение A0)
также справедливо, ибо р^С/ц, откуда С/ц&Н и, следова-
следовательно, C/;.c;G для / = 1, ..., г.
Теорема 12. Пусть .%" и У — два J'o-npocrранетва. Пусть
отображение /: 3' —> У непрерывно и на. Если 3' — локально
связный континуум, то таковым является и 2Л
Доказательство. Пусть {Я*}— открытое покрытие У.
Согласно теореме 11, мы должны определить конечное измель-
измельчение, состоящее из континуумов.
Далее, так как {f~l (Я,)} — открытое покрытие локально
связного континуума 3', то существуют континуумы С\, ..., С„,

§ 50. Локально саязные метрические континуумы 265
такие, что формула (9) имеет место и Ctczf~l (Ht). Следова-
Следовательно,
и /(С,) (=#
Это завершает доказательство.
Замечание 3. Условие (И) (Серпинского), которое харак-
характеризует локально связные метрические континуумы, легко по-
получается из теоремы 11.
III. Области и подконтинуумы локально связного контину-
континуума Ж. Пусть F — замкнутое множество и G — его дополнение.
Теорема 1. Существует последовательность замкнутых
л. с. множеств Fu F2 такая, что
(i) F-f.n^n ...;
(ii) /="„ =>/="„+,;
(iii) всякая компонента множества Fn содержит компоненту
множества F;
(iv) никакая компонента G не содержит двух различных
компонент множества iV — Fn;
(v) множество .°l' — Fn имеет конечное число компонент.
В частности, если F — континуум, то и Fn — континуум;
если F не разделяет пространство, то Fn также его не раз*
деляет.
Более того, число компонент множества Fn не превосходит
числа компонент множества F, а число компонент множества
.T — Fn не превосходит числа компонент множества G.
Доказательство. Сначала определим последователь-
последовательность замкнутых л. с. множеств F\, F2, ¦••, удовлетворяющую
условиям (i) — (iii).
Воспользуемся индукцией. Положим F*\~.V. Предположим,
что Fn замкнуто и л. с. и что FaFn. Определим Fn+\.
Согласно теореме 3 п. И, для каждого п сущевтвует си-
система л. с. континуумов К" Kin , таких, что
Пусть Fn+\ — объединение всех таких множеств Ки что
Тогда
FczFn+iCzFn и dist(f, /vn)<l/n,
откуда следуют условия (i) и (ii),

26В Глапа в. Локально спязныс пространства
Кроме того, Fn+.i локально связно, как объединение л. с.
континуумов (ср. § 49, II, теорема 1).
Наконец, выполняется условие (Hi), так как каждая ком~
понента множества Fn+i пересекается с множеством F, ибо она
является объединением некоторых множеств К", пересекаю-
пересекающихся с F.
Итак, последовательность [Fn} определена. Переходим
к определению последовательности {Fn}.
Пусть Qb Q2, ... — (конечная или бесконечная) последова-
последовательность компонент множества G. По теореме 14 из § 49, II
существует двойная последовательность областей \Rk\, такая,
что
A) Qt = R\URlal) ..-,
B) rJ
Расположим эту последовательность {/?*} в простую после-
последовательность Ru R2, .... Тогда
C) G = /?,U/?2U -..,
D) kG.
Для фиксированного п рассмотрим все области Rk с индек-
индексами /г<!п, не пересекающиеся с F*n. Пусть Sn — объединение
компонент множества № — F*n, содержащих эти области. Поло-
Положим Fn = % - Sn. Тогда Sn с ЗГ - F'a, откуда F\ cz SC - Sn - Fn,
а так как F^F\[\F\[\ ..., то
F с Ft П F2 П . .. .
Условие (i) эквивалентно равенству G = SiU52U ... и, следо-
следовательно, равенству
/?,и/?2и ••• =s,us2u...
(согласно C)); поэтому наша задача состоит теперь в том,
чтобы показать, что для данного целого числа k существует
целое число n"^k, такое, что Rk[\Fn~ 0.
Но .t' — Rk — окрестность множества F = Lim F*n (согласно D)),
поэтому для достаточно большого п мы имеем Fn с 3' — R^
откуда Rk(]K = 0.^
Так как F*hzd Fn+\, то Sn^Sn+u откуда следует (и).
Поскольку Fn локально связно, то, согласно теореме 11
из § 49, II, множество Fn = X — Sn также л. с. По теореме 12

<J> 50. Локально связные метрические kohtuhi/i/мы 267
из § 49, II каждая компонента множества Fn содержит компо-
компоненту множества Fn, а потому она содержит компоненту мно-
множества F (так как F*n удовлетворяет услопию (Ш)).
Предположим, что условие (iv) не выполнено; это означает,
что существуют две (различные) компоненты U и V множе-
множества Sn, содержащиеся в одной компоненте QL множества О.
Согласно определению множества Sn, U и К —две компоненты
множества 3' — Fn> содержащие два различных члена последо-
последовательности R\, /?2 Но это противоречит включению B).
Наконец, условие (v) выполняется, так как число компо-
компонент множества Sn не превосходит п.
Теорема 2. Существует такая последовательность замк-
замкнутых л. с. множеств #i, #2) ..., что
(О G = //,и//2U ¦•¦;
(ii) //„cilnt(//„+,);
(iii) никакая компонента множества G не содержит двух
различных компонент множества Нп;
(iv) каждая компонента множества 3' — Нп содержит компо-
компоненту множества F, а потому
(v) множество 3' — Нп имеет конечное число компонент.
В частности, если G —область, то Нп — континуум; если
F — континуум, то 3" — Нп — область]).
Более того, число компонент множества Нп не превосходит
числа компонент множества G, а число компонент множества
3' — Нп не превосходит числа компонент множества F.
Доказательство. Пусть {Q.}, {/?';} и [Rk] — последова-
последовательности, рассмотренные в предыдущем доказательстве. По-
Положим
E) t/ft-/?,U ... URk, где fe=l, 2
По теореме 1 существует замкнутое л. с. множество А^,
такое, что
F) Uk<= AkczG, где k=\, 2, ... ,
а каждая компонента множества Ak содержит компоненту мно-
множества ?/ft.
Пусть Uk обозначает объединение множества Ak и всех,
компонент множества 3' — Лк, содержащихся к G.
По теореме 11 из § 49, II множество #,. замкнуто и л. с.
') Частный случай и некоторые родственные утверждении см. Кии-
ia-йд [1].

268 Глава 6. Локально связные пространства
Условие (i) является прямым следствием соотношений C),
E) и F). Кроме того, поскольку
G) G = ?/,U?/,U .... UkczUk + l и UkczHk,
условие (i) удовлетворяется, если последовательность {Нк} заме-
заменить любой подпоследовательностью {Ятд,}, где ni[<i пи <.....
Чтобы выполнялось условие (П), заменим последователь-
последовательность {Нк} подпоследовательностью [Нтк\, определяемой по
индукции следующим образом:
1) /»i=l, 2) mk + i — наименьший индекс г, такой, что
Нтк с^ Uг (существование такого индекса г следует из G) и
из того факта, что Нтк — компактное подмножество G).
Согласно B), никакая компонента Q; множества G не со-
содержит двух различных компонент множества Uk, а потому и
множеств Лк и Нк (так как каждая компонента множества Нк
содержит компоненту множества Лк, согласно теореме 12 § 49, II).
Так как каждая компонента С множества &' — Нк является
компонентой МЕЮжества $* — Лк, не содержащейся в G, то
отсюда вытекает, что С — G ф 0, т. е. С Г) F Ф 0. Следовательно,
существует компонента К множества F, такая, что С[\КФ®-
Из этого неравенства в сочетании с включением К <= •'?' — Нк
(которое следует из включений Нка G и К с: F) вытекает, что
К с С, так как С — компонента множества 3'~-Нк, а /( — под-
подконтинуум.
Лемма 3. Пусть /? — область и S — система п + 1 непере-
непересекающихся континуумов, лежащих в R. Пусть C0^S. Если
элементы системы S перенумеровать соответствующим образом,
то можно найти п областей R\, ..., Rn, таких, что дли k — 1, ..., п
выполняются следующие условия:
(8) Rk cz /?ft_, - Ck, Co U Cfe+I U Ck+2 U ... U Сп с Rk
(где Ro = R).
Согласно теореме б § 46, III, существует континуум
Ci?S — (Co), такой, что все элементы множества S —(С,) распо-
расположены в одной компоненте Q множества R — C\. Поэтому они
содержатся в области Rh такой, что RlczQ (ср. § 49, II, тео-
теорема 15).
Аналогично, существуют элемент С2 системы S — (C0, Cj) и
область R2, такие, что все элементы системы S — (CU C2) со-
содержатся в R2 u R2cz R\ — C2.
Продолжая шаг за шагом таким образом, мы получим тре-
требуемую нумерацию элементов системы S.

50. Локально сппзные метрические континуумы 269
Теорема 4. Пусть F — замкнутое множество, состоящее
из бесконечной последовательности компонент, каждая из кото-
которых, за исключением одной, скажем Со, открыта в F.
Если эти компоненты упорядочить подходящим образом
в виде бесконечной последовательности Со, Сь С2, ¦ .., то можно
найти последовательность открытых множеств G\, G2, ... ,
такую, что Gn состоит из п + 1 компонент:
(9) 0„ = /?„,„ U ... U /?„,„,
и при этом
(Ю) f= П 0„,
(И) О„
A2) Cj<=:Rnil для 1</<я,
A3) с0исп+,ис„+2и... =/?„,„.
Доказательство. Заметим сначала, что существует
последовательность континуумов /(,, /Сг такая, что
A4) Со= П /С„,
A5) Кп+у^Кп
и для каждого я все компоненты множества /% за исключением
конечного числа, содержатся в Кп-
Если F], F2, ••• — последовательность замкнутых л. с.
множеств, удовлетворяющих условиям (i) и (ii) теоремы 1,
то пусть Кп — компонента Fn, содержащая Со. Пересечение
/С1П/С2П ••• совпадает с Со как подконтинуум множества F.
Кроме того, так как число компонент множества Fn конечно
(согласно теореме 7 из § 49, II), то Кп содержит все компо-
компоненты множества F, за исключением конечного числа.
Пусть Sn — система, элементами которой являются конти-
континуум Кп и всо компоненты множества F, не пересекающиеся
с Кп- Из условий A4) и A5) легко следует, что псе компоненты
множества F, отличные от Со, являются элементами объедине-
объединения Si и s2 и ....
Пусть /„+1—число элементов в Sn. Можно считать, что
0 = /0</,</2< ... . Согласно лемме 3, улементы из Sn — Sn_lt
отличные от /Сп, можно снабдить индексами k = ln-i+ 1, ..., ln
и найти такую систему /„ — /„_] областей Rk, что
A6) RkczRk^~Ck, Ro=*%,
A7) KnUCk+i\jCk+2\j ... [}CinczRk.

270 Глава 6. Локально связные пространства
Так, например,
СПЯ, = 0, /<i U С2 U С:, LJ ••¦ U С,, с: Я,, /С. с/?,„
~Rh а /?,,_, - C(l.
Можно также считать, что область Ri содержится в шаре Zn
с центром К», радиуса 1/я; это означает, что
A8) р(х, KnXUn для х 6 &„.
Действительно, /?/ можно заменить, если необходимо, компо-
компонентой множества Zn |~| Rin, содержащей Кп-
Далее, определим области Rn>0, ..., Rn,n, где п — 0, 1, ....
Пусть п фиксировано. Положим Rn,o = Rn- Предполагая,
что С] a Rn-{, у, где 1^/^п— 1, обозначим через /?„, / область,
для которой
A9) С, с Rn,i,
B0) Rn,, cz Rn_u „
B1) р(дс, C,)<l/n для х6 /?„./•
Кроме того, пусть (ср. A6))
B2) _ С„с= /?„.„,_
B3) /?„,„<=/?„_!-/?„.
Определим Gn соотношением (9). Тогда области Rn,0, ..., /?„,„
являются его компонентами; другими словами, они не пере-
пересекаются. В самом деле, для 0<i<j^n мы имеем (ср. B0),
B2) и A6))
Rn.t<=Rt,t<=Ri-i- RiCiRi.i- /?/_ь откуда /?„,, П Rn, i = 0,
а, с другой стороны,
/?„. о П/?„,/<=#„-#, = 0.
Условие A0) следует из соотношений
оо оо оо
Со= П /?«,о= П Rn и Су-П^,/ (/>0),
KOTOpi>ie в свою очередь вытекают из A4), A8), A6) и B1).
Далее, включение A1) получается из следующих соотноше-
соотношений (ср. B0) и (8)):
-1), Rn.o=*Rn<=Rn-i.o, Rn.n<=Rn-i.o-
Наконец, включения A2) и A3) следуют из A9), B2) и (8).

$ 50. Локально связные метрические континуумы 271
Теорема 5. Если задана конечная система областей
Rh ..., Rn, такая, что :Г = R{ \J . . . (J Rn, то существует система
л. с. континуумов Си ..., Сп, такая, что
B4) Я' = С, U ... U С„ и С1 с Rh
Доказательство. Согласно следствию из § 14, III,
существует система замкнутых множеств Ft, ..., Fn, такая, что
.1' = Ft U ... U Fn и Ft a Rt.
По теореме 15 § 49, II из последнего включения вытекает
существование такого континуума Ch что Ftcz Ct cz Rt. Согласно
теореме 1, можно считать, что С{ — л. с. континуум, откуда
следует B4).
Теорема 6. Если л. с. континуум Я1' не является уни-
когерентным, то он представляет собой объединение двух л. с.
континуумов, пересечение которых несвязно.
Доказательство. По предположению существуют два
континуума К и L, таких, что ."V ~ К [} L и пересечение К П L
несвязно. В соответствии с теоремой 1 пусть К\, /Cl>> • • • и
L,, Z-2. ••• ~ Две последовательности л. с. континуумов, таких,
что
оо оо
К — П Кп> L = П Ln, /С„-цСг/Сга и Ln.yxciLn.
п-\ /1 = 1
Отсюда следует, что
•Г = К„1и„ и KfU= П {Kn[\Ln).
п = \
При достаточно большом значении п множество Кп П Ln не-
несвязно, ибо в противном случае Kf\L было бы связным
(согласно теореме 5 из § 47, II).
Теорема 7. Если R — подобласть пространства X, то
(i) множество всех точек Fr (/?), достижимых из R, всюду
плотно в Fr(R);
(ii) если p^Fr(R) и R\j p локально связно, то точка р
достижима из R;
(iii) всякая точка р, достижимая из R, достижима при по-
помощи л. д. с. континуума и, следовательно, при помощи дуги,
т. е. существует такая дуга L, что р ? L aR\J p.
Доказательство. Пусть p?Fr(R) и е — положительное
число. Так как .?" локально связно, существует дуга qp, такая,
что q ? R и Ь{<1р)<г. Поэтому если г — первая точка

272 Глава б. Локально связные пространства
границы ?r(R) на цр, то г — достижимая точка и \ р — г \<г;
отсюда вытекает утверждение (i).
(ii) следует из теоремы 1 п. II на том основании, что R\] p
есть О6-множество и потому топологически полно (ср. § 33, VI).
Наконец, пусть С —такой континуум, что
ptC^RUp и C(]R?=0.
Положим
B5) Л, = СПЕ[1/л<и-рК1/(л-1)];
X
тогда
оо
B6) C-p=\JAn.
n=i
Таким образом, Lim Л„ = р. По теореме 1 существует такое
замкнутое л. с. множество Fn, что
B7) AndFncz R,
B8) LimFn = p
П-> оо
¦jj все компоненты множества Fn (число которых конечно; ср.
§ 49, II, теорема 7) имеют точки, общие с Ап. Согласно
B6) —B8), множество С* = p\J FxU F2\J ... есть континуум. Со-
Согласно B7), никакая точка не принадлежит бесконечному числу
множеств Fn, следовательно, континуум С* л. с. в каждой
точке объединения F, U f 2 U .. ., а потому в каждой своей точке
(так как р не может быть единственной точкой, в которой С*
не является л. с; ср. § 49, VI, теорема 1).
Сформулируем без доказательства следующее утверждение:
(iv) если dimFr(y?) = 0 и p^Fv(R), то R[)p л. с. (Уанберн
[11, стр. 315]).
Теорема 8. Пусть G — открытое подмножество л. с. кон-
континуума, и пусть /?,, R2, ... — последовательность его компо-
компонент. Если Um6(Rn) = 0, то
другими словами (ср. § 45, IV), существует конечная система
открытых множеств Н\, ..., Нт, такая, что
G = //, U ••• U Ят, Я;ПЯ/ = 0 для 1Ф\ и б (//;)< max 6 (/?„).
Доказательство. Положим ц= max б (/?„). Пусть k — та-
такой индекс, что 6(Rn)<\i/3 для n>k. Так как множество G

§ 50. Локальна спялные метрические континуумы
273
вполне ограничено, пусть Ль ..., Аг~такая система множеств,
что
G = ^,U ... [} А, и J(i4,)<|i/3 для 1=1, ..., г.
Положим m = k + г, Я, = Rt для i^k, и пусть Я/е+/ — объеди-
объединение множеств /?„, таких, что n>k я
/?„ПЛ/?=О = /?ППЛ, для 5</ A</<г).
IV. Наследственно локально связные (н. л. с.) конти-
континуумы !). Так называется всякий л. с. континуум, каждый
подконтинуум которого также л. с.
тТг
тТг
:rFr
тРг
ж
:rFr
тТг
«е. 7
Примером множества такого вида является дуга, а также
континуум из § 49, VI (замечание). Однако квадрат 32 — л. с,
по не н. л. с. континуум. То же самое относится к следую-
следующему континууму, являющемуся объединением двух н. л. с.
континуумов (рис. 7).
Пусть С — континуум, состоящий из сегмента (O^x^l,
г/ = 0), вертикальных сегментов (х = m/2n+I
+I
где
') Ср. Уайберп [И].
18 Зак. 190

274 Глава б. Локально связные пространства
0<ш<2'и1, и горизонтальных сегментов @<л:<1, /у =1/2"),
где п = 0, 1 Континуум С представляет собой объеди-
объединение двух н. л. с. континуумов, симметричных относительно
прямой л; =1/2; один из них отмечен на чертеже жирными
линиями. ¦
Из теоремы 2 § 49, VI вытекает (ср. также § 51, IV, тео-
теоремы 3 и 2) следующая
Теорема 1. Всякий континуум, который не содержит ни-
никакого нигде не плотного подконтинуума {состоящего более
чем из одной точки), является н. л. с.
Теорема 2 '). Континуум является н. л. с. тогда и только
тогда, когда он не содержит никакого континуума сходимости
(состоящего более чем из одной точки).
Доказательство. Услопне достаточно по теореме 1
из § 49, VI, поэтому докажем его необходимость, а именно
если задана такая последовательность континуумов К и К->> •••>
что
himКп = К, KiClK/^O для 1ф], КПКп = 0, Р^КФр,
то существует континуум, не являющийся л. с.
Итак, можно считать, что пространство л. с. Тогда суще-
существует континуум Q, такой, что p?Int(Q) и К — Q?=0. Так
как p?L\mr(n, то существует число я0, такое, что Q[)K
для п ^ «о- Континуум
не является л. с. ни в какой точке q?K~Q, ибо в протип-
ном случае существовал бы континуум LczC — Q, содержащий
точку q в своей внутренности относительно С, причем
Но тогда равенство
/. = (L П К) U а П /С«.) U (L П Kni+\) U ...
было бы разбиением континуума L па последовательность
замкнутых попарно непересекающихся множеств, по крайне»
мере два из которых непусты, что противоречит теореме Сер-
пинского (§ 47, III, теорема 6).
Теорема 3. Если R\, R>, ...—последовательность непе-
непересекающихся областей а н. л. с. континууме, то Птй(Л?п) = 0.
') См. Зараикеиич [I, стр. 134] и Урысоп [6, стр. 49].

50. Локально связные метрические континуумы
Доказательство. Действительно, в противном случае
существовали бы число е>0 и сходящаяся последовательность
континуумов Kio Kh, .... такие, что KinczRtii и 6(/Gj>e. Но
тогда предел /С = Lim /C<! был бы континуумом сходимости,
П -> оо "
содержащим более одной точки, ибо
Замечание. Однако может существовать -такая последо-
последовательность попарно непересекающихся континуумов С{, С2, ¦ ¦ ¦ ,
что Мш о (Сп)ф0. Примером служит следующий копти 1уум ').
Пусть ри р2, ... — последовательность простых чисел, начи-
начинающаяся с 3; С —интервал 01 оси х в пространстве х, у, z;
С„ —дуга, состоящая из полуокружностей, соединяющих по-
последовательно точки
и лежащих в плоскости z = y/ti.
Континуум CL) С[ U C2L) ... является н. л. с, однако
Пт6(С„)=1.
П->оо
Теорема 4. Пусть G — открытое подмножество н. л. с.
континуума и R\, R2, ...—последовательность компонент G.
Если b(Rn)<e для каждого п, то d{(G)<e, т. е. G допускает
разбиение на конечное число непересекающихся открытых мно-
множеств диаметра <е.
Доказательство. Теорема 4 следует из теоремы 3 и
теоремы 8 п. III.
Из теорем 3 и 4 легко выводится следующая
Теорема 5. Всякий н. л. с. континуум обладает следую-
следующим свойством:
(*) если G\, Gi, •¦• —последовательность непересекающихся
открытых множеств, то \\xndl(Gn) = Q, т. е. каждому е>0
соответствует такой индекс пг, что для п~>пг множество Gn
допускает разбиение на конечное число непересекающихся от-
открытых множеств диаметра < е.
Эту теорему можно сформулировать в более общем виде:
Теорема 5а. Если Л —подмножество н. л. с. континуума,
то Л, рассматриваемое как пространство, обладает свойством (*).
Теорема 5а вытекает из следующего утверждения:
') Ср. Урысон [в, стр. 461 и Уайбери [10, стр. 3331.
Заметим, что на плоскости рассматрииаемая особенность не появляется
(ср. § 59, II, теорема 13).
18*

276 Глава б. Локально сйязныс пространства
Теорема 6. Свойство (*) наследственно, т. е. если А —не-
—некоторое подмножество пространства, обладающего свойством (*),
то это свойство сохраняется для А при условии, что в каче-
качестве «открытых» рассматриваются множества, открытые отно-
относительно А.
Доказательство. Пусть G\, Go, ••¦ — попарно непере-
непересекающиеся множества, открытые в Л; тогда существует по-
последовательность #,, Н2, . .. попарно непересекающихся мно-
множеств, открытых в пространстве, такая, что Gn = А П #„ (ср.
§ 21, XI, теорема 2). По предположению для п>пе суще-
существует разбиение Нп = Нп[) ... U Н™п на непересекающиеся
открытые множества диаметра <е. Равенство
дает разбиение множества Gn на открытые в А непересекаю-
непересекающиеся множества диаметра < е.
Лемма 7. Пусть в сепарабельном пространстве, обла-
обладающем свойством (*), заданы замкнутое множество А и се-
семейство открыто-замкнутых множеств {Gt}, такие, что А с: (J Gt.
t
Тогда существуют бесконечная последовательность индексов
/i, t2, . .. и бесконечная последовательность открыто-замкнутых
множеств Н\, Н2, .. ., такие, что
A) HnczGtn,
п п.
Доказательство. По теореме Линделёфа (§ 5, XI)
существует такая последовательность tlt t2, ..., что
A^UGt,
Положим
C) Fx = Gt{ и Fn = Gtn~(Gll[] ... [}Gln_,) длял>1.
Таким образом, множества Fit F2, ... открыто-замкнуты и не
пересекаются, следовательно,
D) Леи Fn.
п
Так как lim rf[(/;'ft) = 0, то
E) Fn = Fnl U ... U Fn,n, где 6(FBJ < е„ и lim е„ = О,

§ 50. Локально связные метрические континуумы 277
и множества FnU ..., Fnl открыто-замкнуты и не пересекаются.
Пусть //„ — объединение тех из них, которые имеют общие
точки с Л. Из соотношений C) и E) вытекает включение A).
Первая часть соотношения B) вытекает из C) —E). Для дока-
доказательства пторой части положим
х == lim хп, где хп ? И,Пп и тх < т2 < . .. .
1т.
Следовательно, хп ? F,VfV где A [\F,,,nim^0; пусть //„? Л f)/;,v,,
Таким образом, | хп - уп |< 6 (Fmj )< в откуда lim //„ = х.
Поэтому х?А = А, откуда следует, что x?\JIIn, согласно
п
включению B).
Теорема 8. Если сепарабельное пространство обладает
свойством (*), то из связности этого пространства между двумя
замкнутыми множествами А и В следует его связность между
некоторой парой точек а?А и /;?й.
Другими словами, из свойства (*) вытекает свойство (М)
(рассмотренное в § 47, II, теорема 1).
Доказательство. Сначала покажем, что пространство,
не связное между В и любой точкой а ? Л, не связно между
А я В. По предположению каждой точке а?А соответствует
открыто-замкнутое множество G (а), такое, что
a?G{a) и Bf\G(a) = 0.
Из леммы вытекает существование открыто-замкнутого множе-
множества Я, такого, что
ДсЯс U G (а), откуда В П Н = 0.
a i A
Таким образом, пространство не связно между множествами А
и В. Итак, из связности между двумя замкнутыми множе-
множествами Л и В вытекает связность между множеством й и не-
некоторой точкой а 6 А. Применяя эту импликацию к случаю,
когда А = (а), получаем, наконец, что пространство связно
между точкой а и некоторой точкой b ? В.
Теорема 9. Всякое подмножество Е н. л. с. континуума
(любое сепарабельное пространство, обладающее свойством (*))
удовлетворяет следующим условиям:
(i) если Е связно между двумя множествами А и В, замк-
замкнутыми в Е, то существует компонента С множества Е, такая,
что

278 Глава 6. Локально связные пространства
(ii) квазикомпоненты множества Е связны, и потому совпа-
совпадают с компонентами множества Е;
(iii) если dimp?'>0, то р принадлежит связному множеству
(состоящему более чем из одной точки), содержащемуся в Е;
(iv) для каждого е>0 существует только конечное число
компонент множества Е с диаметрами > е;
(v) ') если множество Е связно, то оно локально связно.
Доказательство. Утверждения (i), (ii) и (iii) имеют
место в силу теоремы 8 или теорем 3, 2 и 9 из § 47, II соот-
соответственно.
Чтобы доказать (iv), рассмотрим, в соответствии с теоремой 3
из § 46, V, такое непрерывное отображение /: Е-+&, что мно-
множества f~l (у) совпадают с квазикомпонентами множества
е (y€f(E)).
Если Е имеет бесконечно много компонент и, следовательно,
согласно (ii), бесконечно много квазикомпонент диаметра > е,
то существует такое бесконечное множество Aczf(E), что
6 [/"'(г/)| >е для у ?А Пусть Н и Н2, ... —бесконечная после-
последовательность непересекающихся множеств, открытых в If и
таких, что А(]Нпф0. Тогда никакое множество Gn = f~l(Hn)
не допускает разбиения на непересекающиеся открытые мно-
множества диаметра < е (ибо Gn содержит связное множество
диаметра > е). Но это противоречит свойству (*), так как
множества G\, G2, •¦• не пересекаются и открыты.
Перейдем к доказательству (v). Будем считать, что Е — про-
пространство. Предположим, что пространство Е не является л. с.
в точке р; тогда существует замкнутая окрестность F точки р,
такая, что р не является внутренней точкой своей компоненты
в F. Следовательно, существует последовательность точек рь
р2, ..., сходящихся к р и принадлежащих различным компо-
компонентам Qi, Q2, ... множества F. Так как p?lnt{F), то, согласно
теореме 6 и (iv), существует такой индекс п, что Qncz\nt(F),
т. е. Qn П Fr (F) = 0. Согласно (ii), Qn — квазикомпонента точки рп
в F. Поэтому F не связно между рп и любой точкой Fr (F),
а, следовательно, по теореме 8 между рп и Fr(f). Другими
словами, F содержит замкнутое множество //, такое, что рп?Н,
/У П Fr (F) = 0 и Н открыто в F и, следовательно, в Int(f) (так
как Н clnt(/r)). Но в таком случае Н открыто-замкнуто, что
противоречит связности пространства.
Теорема 10. Если всякое связное подмножество контину-
континуума 3" есть полуконтинуцм, то любое подмножество Е, связ-
связное между двумя точками а и Ь, содержит дугу ab.
') Унлдер [4, стр. 616J.

§ 51. Теория кривых. Порядок пространства п точке 279:
Доказательство. Согласно теореме 7 § 49, VI, 3 есть
н. л. с. пространство. Так как Е связно между двумя точками,
то оно содержит связное множество (по теореме 9 (i)) и, сле-
следовательно, полуконтинуум S (по предположению), содержащий
точки а и Ь. Таким образом, S содержит дугу ab, ибо всякий
полуконтинуум в 3" дугообразно связен.
§ 51. Теория кривых. Порядок пространства в точке
I. Определения и примеры '). Если и — кардинальное число
^ с или порядковое число со, то говорят, что пространство ,%'
имеет порядок ^ и в точке р:
orАР3' ^ п,
если для любого е>0 существует открытое множество G, такое,
что 2)
A) p?G, 6(G)<e и Fr(G) < и.
Положим
Равенство ordp.2T = n означает, что ord,, Ж ^.п и что соотноше-
соотношение ordp.ST^iu не имеет места ни при каком in < п.
Соотношение ord .T =^ и означает, что ordpJ-" <^и для любой
точки р.
Говорят, что пространство ЗС имеет порядок < и между
двумя множествами А и В:
ord,,, в # < и,
если существует открытое множество G, такое, что
B) Дсб, GflB = 0 и F(
другими словами, если существует замкнутое множество F
мощности ^н, разделяющее пространство .Т между множе-
множествами А и В.
[Ясно, что символу ord^.^,?' нельзя приписать никакого
смысла, если множества А и В не отделимы; в этом случае
ordAiB.cl^>tt для любого и, если считать, что знак > есть
отрицание знака ^.]
') Ср. Меигер [2], где можно найти много литературных ссылок. Основ-
Основные определения и теоремы теории кршзых содержатся в работах Менгера
[3, 8] и_Урысома [I, 5].
2) X обозначает мощность множества X. Неравенство Х^ы означает,
что множество X конечное.

280 Глава в. Локально связные пространства
Точки порядка ^ Я() называются рациональными; точки
порядка ^ со называются регулярными (это те точки, для кото-
которых множество Fr(G) конечно). Точки порядка 1 называются
концевыми точками. Очевидно, что точки р порядка 0 совпа-
совпадают с теми точками, в которых dimp.^' = 0.
Пространство, которое состоит только из регулярных (соот-
(соответственно рациональных) точек, т. е.
.<T = .^N (соответственно ЗС = З'[м),
называется регулярным в смысле теории порядка (соответст-
(соответственно рациональным).
Всякий одномерный континуум называется кривой. Следо-
Следовательно, рациональный континуум — кривая.
Примеры. 1. Точки 0 и 1 — концевые точки интервала
с7 = 01. Если (^ — окружность х2 + у2=1, то
2. Пусть Ап — отрезок, определяемый в полярных коорди-
координатах условиями
а = п/п, 0 < р < 1 /п,
и пусть Я' = Л, U A2 U ... и р = @, 0); тогда
отдр3' = со.
3. В примере (iv) из § 49, I для каждой точки р сегмента 01
оси у имеет место равенство
ordp.r= к0.
4. Если .Т —континуум из § 46, II (замечание), то для
любой точки р
Это же соотношение имеет место, если 9С — произвольный
неразложимый континуум.
5. Универсальная кривая Серпинского является плоским
нигде не плотным и локально связным континуумом, состоящим
исключительно из точек порядка с (Серпинский [3]).
Эта кривая определяется так. Разобьем квадрат 82 на
девять конгруэнтных квадратов и выбросим внутренность цен-
центрального квадрата. Аналогично разобьем каждый из остав-
оставшихся 8 квадратов и выбросим из них центральные квадраты.
Продолжим этот процесс далее шаг за шагом. Невыброшенные
Точки образуют указанный выше континуум (рис. 8).

51. Теория кривых. Порядок пространства п точке
281
6. Треугольная кривая Серпинского определяется следующим
образом (см. Серпинский [1] и [2]).
Пусть Т — равносторонний треугольник. Разобьем его на
4 конгруэнтных треугольника. Пусть Го, Ти Г2~те ия "их,
которые имеют общую вершину с Т. Аналогично разобьем
D
?
?
?
П
П
а
а
?
?
?
?
?
D
?
D
?
?
?
а
?
п
?
а
Г]
п
п
п
п
п
п
п
п
?
?
а
п
п
а
п
и
Г.1
а
а
а
а
D
G
D
Г..1
L1
П
П
п
?
?
а
п
о
in
Г]
а
и
а
Рис. 8-9
каждый из треугольников То, 7\, Т2 на 4 конгруэнтных тре-
треугольника, и пусть 7'оо, Той 7*02. ^щ. •••. Т^~ те из них, кото-
которые имеют общую вершину с одним из треугольников То, Ти
Т2. Будем продолжать таким образом шаг за шагом.
Положим
a2...aA) И & = U Ва^ ... ak,
где индексы а( принимают значения 0, 1 и 2, а k = 0, 1
Континуум .Т имеет три точки порядка 2 (вершины тре-
треугольника Т), счетное множество точек Порядка 4 (вершины
других треугольников), а все остальные точки имеют порядок 3.
Легко построить континуум, состоящий исключительно из
точек порядка 3 и 4. Для этого достаточно к X добавить
топологически эквивалентный континуум, имеющий общими
точками с 3' только вершины треугольника Т.
7. Существуют связные и вполне несовершенные регулярные
пространства (Кнастер и Куратовский [6]).
Доказательство. Разобьем плоскость па Два вполне
несовершенных непересекающихся множества Л И В. Пусть
3' — континуум Из примера 6, и пусть S — множество вершин
треугольников Та
можно доказать, что множество
(Af\3')\jS обладает указанными свойствами.

282 tAaaa 6. Локально саязные пространства
8. Объединение п дуг раь ..., рап, которые попарно не
пересекаются, за исключением точки р, имеет порядок п
в точке р.
Обратно, имеет место следующая замечательная теорема ')•
Пусть 3' — локально связный континуум. Если огAрЛ"^п,
то существуют п дуг раи ..., рап, которые попарно не псрв"
секаются, за исключением точки р.
U. Общие свойства.
Теорема 1. Точка р принадлежит множеству (? U р)
тогда и только тогда, когда для каждого е>0 существует
открытое множество G, удовлетворяющее условиям
A) . p?G, 6(G)<e и ?nFr(G)<i).
Необходимым и достаточным исловием того, что огс1л,ПЕ^.п,
где Л, В cz E, является существование открытого множества G,
такого, что
B) AczG, G ПВ = 0 и ?ПНг(О)<п.
Доказательство. Если р ? (Е [] р)п|, то существует мно-
множество //, открытое в Е U р и такое, что
C) р?Н, д(Н)<е и (Е
Так как множества Н и ? — Н отделимы, то (согласно теореме 1
из § 14, V) существует открытое множество G, удовлетворяющее
условиям
ЯсС Gfl?-/7 = O и 6(G)<e.
Следовательно,
?AG-G с?ПЯ- Я, откуда ? П Fr (G) <?гГя- /7<tt.
Обратно, если открытое множество G удовлетворяет усло-
условиям A), то множество Н — Е Л G LJ р открыто в Е [} Р и удо-
удовлетворяет условиям C), ибо
(E[)P)nH-H-{E[}p){\(EnG[)p)-(E()G{)p)
= (Е П?ГИ? U Р) - (Е Л G U р) =
Следовательно, р6(?Ыр)
') Теорема Мснгсра (««-Beinsalz»), см. Меигер [6, стр. 98|. Доказ<этоль-
ctdo см. Мспгер [2, гл. VF, I] м Уайбери [23]. Доказательство для л - 2
будет дано в § 52, Ц, теорема 15.

§ 51. Теория кривых. Порядок пространства в точке 283
Рассмотрим вторую часть теоремы. Пусть ordAiBE^.n и
Я — множество, открытое в Е и такое, что
D) Лег Я, #П# = 0 и Е П Я - Я< п.
Если G — открытое множество, такое, что
HaG и <ЗГ)?-Я = 0,
то условия B) удовлетворяются.
Обратно, если условия B) выполняются и если H = Ef\G,
то выполняются и условия D), откуда ord^,BE^.n.
Теорема 2. Множество Ж и вообще множество
есть G^-множество.
Доказательство. Это множество равно G\f\G2(] •••>
где Gk состоит из точек р, для которых существует открытое
множество G, удовлетворяющее условиям A) с е=1//г.
Теорема 3. Е Л Ж[п] сг Е[п\ т. е. если р?Е, то
ordpE -s^ordp $".
Теорема 4. Если множество G открыто, то EП-^*[и' =
= <ЗПО'Ч т. е.
ordp G = ordpSP для p(zG-
Доказательства теорем 3 и 4 очевидны.
Теорема 5. Если X =*$>'№, то существует база, состоящая
из открытых множеств Ru R2, .... таких, что Fr~(Ri) ^ и.
Доказательство. Поставим в соответствие каждой
точке р и каждому положительному целому k открытое мно-
множество Gkip), удовлетворяющее условиям I A) для e=l/k.
По теореме Линделёфа (§ 5, XI) для каждого k существует
последовательность Gk(Pi), G1AP2), •••. такая, что.^" = Gk(Pi)l)
UGa(p2)U •¦• • Если двойную последовательность {Gk(Pi)}y где
k=\, 2, ... и 1=1, 2, ..., упорядочить в простую последова-
последовательность, то получится требуемая база Rh R>, ....
Теорема 6. Для того чтобы ordp.T^n, необходимо и
достаточно, чтобы всякое замкнутое множество F, такое, что
р?.Т — F, удовлетворяло условию ordp, F "V ^ и.
Доказательство. Так как это условие, очевидно, необ"
ходимо, остается показать, что ohq достаточно.

284 Глава 6. Локально связные пространства
Пусть е > 0; положим F = Е [ I х — р | ^ е]. По предположению
X
существует открытое множество G, такое, что p?G, Fr(G)=sCit и
G П F = 0; отсюда 6(G)=S^e и, следовательно, ordp#'^n.
III. Порядок Ко и с.
Теорема 1. Пусть \\— Ко или и = с. ?сл« SC — компактное
пространство порядка и между двумя замкнутыми множе-
множествами А и В, то X имеет порядок и между двумя точками
а?Л и Ь?В.
Более общо, если подмножество Е компактного простран-
пространства имеет порядок и между множествами Л и В (где Л [} BczE),
то существует пара точек а и Ь, таких, что
A) а?Л, 1>?В и orda,b(El}a[}b)>n.
Доказательство. Эта теорема доказывается аналогично
теореме 1 из § 47, II ').
Пусть О~ семейство всех открытых множеств G, таких, что
?TlFr(G)<n. Предположим, что для всех точек а 6 Л и Ь?В
условие A) не имеет места, т. е. (ср. с теоремой 1 п. II) что су-
существует открытое множество G, для которого
«?G, b$G и (Е'и~аиТюР'г{О)<)\, откуда G?G.
Таким образом, согласно лемме из § 37, II, существует мно-
множество
где
такое, что АсН и ЙПЯ = 0. Так как (ср. § 6, II (8))
Fr (Я) с= U Fr (G/), откуда E{]Fv(H) < it,
i.l
то orr\A< BE<\\.
Теорема 2. Пусть n= No или tt = c. Если пространство №
компактно и ordp :t'= и, то существует точка q, такая, что
ordPi „.<?• = и.
Более общо, если Е — подмножество компактного простран-
пространства ?С, то каждой точке р порядка и в Е соответствует точка q,
такая, что ordp,^ (E {J q) = и.
') По поводу аналогий между теорией размерности и теорией порядка
следует упомянуть, что многие теоремы обеих теории можно получить из
теории семейств, определяющих размерность (ср. § 27, VII).

§ 51. Теория кривых. Порядок пространства п.точке 285
Доказательство. С одной стороны, для любых цфр
имеет место неравенство ordPtq{E U q) =?^ordp E, а с другой сто-
стороны, если в теореме 1 множество В заменить замкнутым мно-
множеством Е, таким, что р^Е — В и от&рЕ ^orAPi ВЕ (ср. II,
теорема 6), то существует точка q?B, такая, что
ord,,, д?<оЫр>G(?и<7). откуда ordp, „(? U q) = п.
Теорема 3. Если пространство .Т компактно и ordp Л X ^
<^ Ко для каждого хфр, то ordpJ?'^ Ко-
Доказательство. Если ordp.T> Ко. то, согласно тео-
теореме 6 п. II, существует замкнутое множество F, такое, что
p?.°l~ — F и ord/)t FtV = с. Но тогда (по теореме 1) существует
точка x?F, такая, что ordp, x!%' — t.
Теорема 4. Пусть п= Ко или н = с. Если .CV — компактное
пространство up — фиксированная точка Я', то множество
Р = /> U E(ordPl ,#>).)
х
есть континуум х).
Доказательство. Сначала заметим, что Р замкнуто,
так как множество .Т — Р является объединением открытых
множеств А, таких, что р^.Т — А и Fr(/l)<n. Для доказатель-
доказательства связности Р обозначим через G открытое множество, такое,
что p?G и Р П Fr(G) = 0. Покажем, что Р cr G.
По теореме 1 из равенства Pf]Fr(G) = O следует, что
ordp,Fr(G) •?¦ <". Поэтому существует открытое множество Я,
такое, что
р€#. //flFr(G) = O и ЩН)<\\.
Отсюда следует, что
р6ЯПE и Fr(#nG)c;Fr(#),
так как
Fr (Я П О) = Я Л G ~ (Я П О) с (Я П G - Н) U (Я П G - G) сг Я - Я
(ибо ЯП G - G = 0). Поэтому Fr(tf ЛО)<п. Так как p?H[}G,
то (по определению Р)
откуда Р с Я Л О = Я Л G cr G.
') Очевидно, что квазикомпонента точки р (§ 46, V) совпадает с мно-
множеством Е (ordp, х % ^ 1),

28() Глава 6. Локально связные пространства
Следующее утверждение является простым следствием тео-
теорем 2 и 4.
Теорема 5. Во всяком компактном пространстве множе-
множество иррегулярных точек (т. е. множество 3' —."/¦|<), так же как
и множество иррациональных точек (т. е. множество 3' — //Л№1)
являются объединениями континуумов (содержащих более
одной точки*)).
Теорема 6. Вели 3~ — компактное пространство, то мно-
множество ) точек порядка с иррегулярно в каждой из своих точек,
т. е.
B) C' — JTlKoJ)1 = О3).
Доказательство. Предположим, что р ? C'— 3'^«ja\
Пусть е>0. Существует открытое множество G, такое, что
C) p?G, 6(G)<e и Fr(G;-~^Nol)<co.
С другой стороны, существует семейство G открытых множеств,
таких, что каждому х? Fr (G) П 3'^ и каждому положитель-
положительному целому к соответствует множество II (~ G, удовлетворяю-
удовлетворяющее условиям
D) х?Н, 6(Н)<е/к и Fr~G?)<K0.
Так как множество Fr(G) — .^'lNo1 конечно (согласно C)), то
множество Fr(G)[}3*l*d является множеством типа Fa. Поэтому
можно применить следствие 5 из § 41, II. Таким образом, су-
существует последовательность множеств //,, Я2> •••. принадле-
принадлежащих G и удовлетворяющих условиям
E)
F) UtfmcU//,,,
in tn
Положим
G) Q = G U U Hm.
m
Из этого следует, согласно C) и D), что
(8) p?'Q и 6(Q)<3e.
') См. Мепгер [3, стр. 287], Урысом [0, стр. 19) и Гуревич [3, стр. 759].
2) Это множество на.чыпастся порядковым ядром по аналогии с ралмер-
ностным ядром (рассмотренным в § 27, V).
;|) См. Менгир [3, стр. 289] и Урысоп [0, стр. 21]. Данное здесь доказа-
доказательство теоремы 6 совершенно аналогично доказательству соответствующей
теоремы о размерностном ядре (§ 45, V),

# 5/. Теория Кривых. Порядок пространства в точке 287
Кроме того, согласно G) и F), имеем
cz(G-G-\J Hm) U ( IU Hm U Fr(G) - G - U НЛ <=
ибо
U Я„, - U //„ с U (//,„ - //,„) = U Fr (//,„).
»I W Ш /71
В силу D)
(9) Р7Щ)<Ко,
так как, согласно E) и C),
Fr(G)-U^m < ЩЬ~)- ^"[««i < со.
Из условий (8) и (9) следует, что р ? j?*rN°l, а это противоречит
нашим предположениям.
Замечание. Термин иррегулярный нельзя заменить тер-
термином иррациональный. Действительно, существует компактное
пространство 3', множество точек которого порядка с рацио-
рационально (т. е. не имеет ни в одной точке порядка с) и не пусто.
Рассмотрим следующий пример ]).
Для х6<? пусть
х = 2/3"' + 2/3"» + ..., где пх < п2 < ... < nk < ...,
и
/(*) = (-!)"'/C/2)+ (-1)"*
Прострпнстпо Я' состоит из сегментов с концевыми точками
(х, ix) и (х, Sj), где 1Х и sx обозначают соответственно нижний
и верхний пределы функции f в точке х, где x?^f.
IV. Регулярные пространства, рациональные пространства.
Теорема 1. Всякое связное регулярное пространство ло-
локально связно.
Более точне
связно в точке р.
') См. Отто [[]. Ср. Куратогн'кнй [29]. Первый пример с этим спойстпом
бил наплел Мпзурксвнчем [18]. Частичное решение см. Куратовскш'1 и Ма-
зуркеиич [1].
Более точно, если ZV связно и ordp^'^co, то Ж локально

288 tAaea в. Локально связные пространства
Доказательство. Пусть е>0 и G — такое открытое
множество, что
A) p?G, 6(G)<e и Fr(G) = (<7,, ¦••. <7„).
Множество ."&' —Fr(G) является объединением двух отдели-
отделимых множеств G h.V — G, а множество Fr(G)—объединением п
связных множеств (согласно A)). По теореме 7 из § 46, II мно-
множество G = GUFr(G) есть объединение не более п связных от-
отделимых множеств
B) G==S,U ... US*, р€5, и *<я.
Так как множество 5] отделимо от множеств S2, 53, ..., Sk,
то оно отделимо от их объединения 52U ••• U Sk и, следова-
следовательно, 5, есть окрестность точки р относительно G, а потому
и относительно X (ибо p?G).
Наконец, 6E|)<е, согласно A) и B). Поэтому X локально
связно в точке р.
Теорема 2. Всякий регулярный континуум наследственно
локально связен.
Более точно, всякое связное подмножество регулярного про-
пространства локально связно.
Доказательство. Действительно, всякое подмножество
регулярного пространства регулярно.
Замечания, (i) Обратная теорема неверна. Существуют
наследственно локально связные пространства, которые не ре-
регулярны.
Таким является, например, (плоский) континуум1), состоя-
состоящий из сегмента 0<х<Л, у = 0, полуокружностей
где п—\, 2, ... и k= 1, 2, 3, ..., 2п~\ и полуокружностей
2/fe - I \2 , , • ^ а
где « = 0, I, ... и 1г=> 1, 2, ..., 3" (рис. 10).
(п) Однако имеет место следующая теорема: всякое наслед-
наследственно локально связное пространство рационально2).
Наконец, существует рациональный континуум, не являю-
являющийся локально связным. (См. пример (Hi) в § 49, I.)
') Этот пример принадлежит Кнастеру; см. Меигер [2, стр. 258]. См.
также Гсман [1, стр. 43].
2) Доказательство см. Меигер [2, стр. 251] или Уайберп [1, стр. 94].

§ Г>1. Ti'optt» кривых. Пор.кк1ок прост ранета ч точке
280
Георемп 3. Всякий континуум, не содержащий нигде не,
n.ioTHbix подконтинуумов (за исключением отдельных точек),
является регулярным.
Доказательство. Пусть Я' иррегулярный континуум;
согласно теореме 5 п. III, существует континуум
C) Kci'-.f,
содержащий более одной точки. Предположим, что Я' не со-
содержит нигде не плотных континуумов (состоящих более чем
н.ч одной точки); тогда он на-
наследственно локально связен
'по теореме 1 из § 50, IV). По-
Поэтому континуум К локально
связен и (ср. §50, II, теорема I)
содержит некоторую дугу Л.
Эта дуга не является нигде не
пло'п:о в Я', поэтому пусть
/> — внутренняя точка Л. Оче-
Очевидно, что
orclp.-V' = ordp Л <2
попреки соотношению C).
Теорема 4. Пространство
рационально тогда и только
тогда, когда оно является
объединением двух множеств,
одно из которых самое большее нульмерно, а другое
счетно ').
Доказательство. Пусть пространство Я' рационально,
и пусть в соответствии с теоремой 5 п. II R\, Rit ... —база
пространства Я', такая, что Vr Щг) ^ Юо. Положим
D) D = UI7r(/?m).
m
Тогда
E) В <: $0 и dim{.°V - D)<0,
так как множества /?,„ — D открыто-замкнутм в Я' — D и об-
образуют базу в :V — D.
Обратно, пусть D — множество, удовлетворяющее усло-
условиям E). Пусть />?•"?'• Тогда
F) dini,,(.^-DUp) = 0,
согласно пераиепству E) и следствию 2 § 26, III.
') Эг;| теорема есть частный случаи теоремы 1 нз § 27, V Г Г.
Р и с. 10
19
I'JU

290 Глава в. Локально связные пространства
Пусть е>0. Согласно F) и теореме 2„ § 25, II, существует
открытое множество G, удовлетворяющее следующим условиям:
G) p?G, 6(G)<e и Fr(G)czD, откуда F7(G)-<^ «„
в силу E).
Из условий G) следует, что ordp X ^ Ко.
Теорема 5. Всякое семейство непересекающихся связных
подмножеств (содержащих более одной точки) рационального
пространства счетно.
Доказательство. Предположим, что это семейство не-
несчетно. Пусть D — счетное множество; тогда в этом семействе
существует связное множество С, не пересекающееся с D (и
даже несчетная совокупность таких множеств), т. е. Ccz."l' — D.
Так как С связно, то множество X — D не может быть нуль-
нульмерным, что противоречит теореме 4.
Теорема 6. Объединение бесконечной последователь-
последовательности замкнутых рациональных множеств есть рациональное
множество ]).
Доказательство. Пусть ^ — рассматриваемое объеди-
объединение, а Л,, Л2, ... — его члены. Полагая Л* = Л, и А*п =
= Ап — (А\ U ... U Аг-i), получаем, согласно теореме 4, что
где
Поэтому
(8) -Г = U в* U UA,, dim/U
п п \ п
так как Вп есть /^-множество в U Вп, а объединение беско-
п
печной последовательности нульмерных /^-множеств нульмерно
(ср. § 26, III, следствие 1).
Из соотношений (8) и теоремы 4 следует, что пространство 5V
рационально.
Замечание. Пример, рассмотренный п замечании (i), по-
показывает, что объединение двух регулярных континуумов мо-
может быть иррегулярным континуумом.
») Ср. § 27, VII. 1.

,<> SI. Теория кривых. Порядок пространства в точке 291
Тем не менее имеет место следующая
Теорема 7. Пусть .Т — компактное пространство. Если
Я' — A U В, где множества А и В замкнуты и регулярны, то
множество С = -0Ь' — Л есть граничное множество как в А,
так и в В.
Доказательство. Так как А - В а.1'ы и В - Acz.cl'w,
то CczA[\D. Покажем, что
(9) СсгЛ^С.
Имеем
A0) .Г - А - С = [Л - Л - С] U [В - А - С\аЛ П С [} ВаВ,
потому что CczAf\B.
Множество ."/-' — А — С регулярно как подмножество регу-
регулярного множества В. Как открытое множество оно содер-
содержится в 3 (ср. с теоремой 4 п. II); отсюда получаем вклю-
включение (9).
Теорема 8. Допустим, что выполняются предположения
теоремы 7. Если, кроме того, выполняется одно из следующих
условий:
(i) dim А Г\ 13 = 0;
(п) В не содержит континуума (состоящего более чем из
одной точки), нигде не плотного в В,
то пространство Я' регулярно.
Это непосредственное следствие теорем 7 и 5 п. III.
Теорема 9. Пусть m — со или ш = N0. Если пространство .Т
компактно, то каждое из следующих условий необходимо и
достаточно для того, чтобы SC = А'1"'1, т. е. для того, чтобы .Т
было регулярным или рациональным в соответствии с тем,
какое из значений: со или iiQ принимает nt:
(i) ог(.\ХъУ ."I'^.m для любых точек хфу;
A1) ordл, л X ^ in для любых непересекающихся замкнутых
множеств А и В.
Доказательство. Условия необходимы, ибо условие (i),
очевидно, выполняется, если пространство Ж регулярно (рацио-
(рационально), а из (i), согласно теореме 1 п. III, вытекает (ii).
Условия достаточны, согласно теореме 6 п. II.
Теорема 10 (о разбиении). Пусть задано открытое покры-
покрытие компактного регулярного (или рационального) пространства:
19*

202 Глава в. Локально связные пространства
Я' = G\ U .. . U (/;,.; тогда сцщестацет система замкнутых мно-
множеств /•'[, ..., /•'/;, удовлетворяющих условиям
A1) ."/¦¦ ~ Г, U . .. U/'"*, F,cGi u f\W'i<m d.ia i^j,
где in ¦--- со (или соответственно ш = Хо).
Доказательство. Доказательство пропедем по индук-
индукции. Для k--2 справедливость теоремы вытекает из теоре-
теоремы 9 (и). Действительно, полагая
:Г: = G | U 0-2, Л = Я' - G | и Я - .7' - G2,
получаем ЛП^~О, откуда огс1л, д .^'^ш. Поэтому существует
открытое множество U, удовлетворяющее условиям
Лс:6\ G[)B = 0 и рГГе/Хш.
(Следовательно, множества f'\--=.'(¦' — G и F2=G удовлетворяют
условиям A1).
Предположим теперь, что теорема перца для А'—1. Как мы
только что показали, существуют дна замкнутых множества //
и /•",,, таких, что
A2) Я' = [[[} /•',, //crG, U ... U 0%..!, Fk<=Gk ii //П"/7,; < ni.
Так как множество // компактно и регулярно (соответственно
рационально), то из равенства Н = {И f] G|)LJ • • • U(W П Gk_.x)
в силу предположений вытекает существование системы зам-
замкнутых множеств /-",, ..., /?й_1, удовлетворяющих условиям
A3) tf = F,U...Un-b F,<=fff]G,
и /•"; П /•"/ s^m Для i<j<k.
Условия A1) легко выводятся из A2) и A3).
Ил теоремы A0) вытекает следующая
Теорема II. Пели Я' — компактное регулярное (или ра-
рациональное) пространство, то каждому е > 0 соответствует ко-
конечная система замкнутых множеств /•', Fl:, удовлетво-
удовлетворяющих условиям
A4) Я' = F, U ... U Fk, f>(F,)<в, /W7< m, /;/, П /="« П /="/ = 0
любой системы различных индексов (т обозначает со
Доказательство. Так как dim /'/.' «^ 1, то (ср. § 45, IV,
теорема 1) существует система открытых множеств G[t ..., Gk,
удовлетворяющих условиям
•Г* G, U... U G*. t>(Gi)<e, Gnf\Ot(]Gt = 0.

$ 51. Теория кривых. Порядок аространстна в точка 203
Если F\, ..., Fk — система замкнутых множеств, удовлетво-
удовлетворяющих условиям A1), то выполняются условия A4).
3 а меча и и я. 1. Существует регулярный континуум, не
являющийся объединением континуумов диаметра < е, таких,
что каждые два из них имеют не более одной общей точки ').
2. Если Л' — регулярный континуум, то множества F[t . . ., Fk
в теореме 11 можно также считать регулярными континуумами.
Доказательство. Так как объединение /*"i U ... U Fk
связно и всякое пересечение FtC\Fi, где 1Ф\, имеет конечное
число компонент, то легко видеть, что каждое множество Ft
имеет конечное число компопсегг. Пусть С), ..., С'1 — компо-
компоненты Ft. Заменяя равенство
/.¦ /.• '",¦
Я'= U Fi на .!i' = U U CI,
получаем требуемое разбиение.
Теорема 12-). Пусть Я' — регулярный (или рациональный)
континуум. Тогда существует непрерывная функция f: .?•'-> в,
такая, что множество точек //, для которых /"'(/7)^111 (где
in = со млн К()), всюду плотно в ,с/.
Доказательство. Рассмотрим бесконечную последова-
последовательность замкнутых множеств /•",, F>, ..., определенную по
индукции следующим образом:
F] — замкнутое множество, такое, что
A5) Int(/='I)?=O, ГхфЛ: и рП/^Хш.
Предположим, что система множеств /•",, F.,, ..., F.fi (где
/?^0) строго монотонна и удовлетворяет условиям A5) (где
индекс 1 заменяется па г^Г.З'1'); тогда существует система мно-
множеств F,jt+l, . • •, /'У'+|> удовлетворяющая условиям A5) и такая,
что система Fv ..., F^+i строго монотонна.
Чтобы доказать это, заметим, что если три замкнутых мно-
множества Л a Fez В образуют строго монотонную систему, то (по
теореме 9 (ii)) существуют два множества */•' и /•""*, таких, что
Acz'F cz Fcz F* czB и эти пять множеств образуют строго моно-
монотонную систему. Кроме того, множества *F и F* удовлетворяют
') Роберте [11.
2) Теорсмл Угшбсрмя [18]. Случай, когда множество f~] (у) конечно при
любом ;/, изучался Чехом [3],. Мгиурвдцичем [22], Эичисоном [1] н Х
дом [lj.

294 Глава 6. Локально связные пространства
условиям A5), если им удовлетворяет F. Наконец, можно
предположить, что из соотношения р(х, 3' — F)> ijk следует
xCF.
Пусть F — семейство множеств Fn, n— 1, 2, .... Порядковый
тип семейства F (упорядоченного по включению) плотный, ибо
из условий Fma\ni(Fn) и ОфРтфЯ' следует, что Fm?=Fn.
Согласно теореме 1 § 24, VII, элементы семейства F можно
представить и виде Ап где индекс г пробегает двоично-рацио-
двоично-рациональные числа между 0 и 1. Из определения "F и F* сле-
следует, что
А,= П Л, и lnt{Ar) = U Int (Л,).
s> r q<г
Отсюда, согласно § 24, IX A4), получаем, что если f: .T -*¦ & —
отображение, рассмотренное в теореме 3 § 24, IX, то
Fv(Ar)czr[(r)czn As- U Int(Aq) = Ar- Int(H,) = Fr(/lr),
s> r q < r
откуда /~ (r) — Fr(Ar) для любого г.
Теорема 13'). Если пространство .%' компактно и рацио-
рационально, то существует порядковое число a<U, такое, что для
каждой точки р?_№ и каждого е>0 найдется открытое мно-
множество G, удовлетворяющее условиям
p6G, 6(C)<e и [Fr(G)](a) = 0,
где З'(а) — производное множество пространства .ЗГ порядка а
(ср. § 24, IV).
Доказательство. В соответствии с теоремой 5 п. II
пусть /?ь R2, . . ¦ — база, состоящая из открытых множеств R{,
таких, что Fr(/^) < Ко- Таким образом, существует (ср. § 24, IV)
порядковое число a(<Q, такое, что [Fr (fy)]^ = 0, и достаточно
выбрать a^a( для i= I, 2, ... .
Замечание. Итак, компактные рациональные простран-
пространства можно распределить по Ы i классам в соответствии с наи-
наименьшим возможным числом2) а, которое было определено выше.
Можно доказать'1), что ни один из этих классов не пуст (в част-
частности, класс 0 есть класс нульмерных пространств, а класс
1 — класс регулярных пространств). Отсюда следует, что среди
') См. Решовски [1, стр. 19].
2) Мснгср [6] назвал его «Geschlecht» (род). Более подробно об этом
понятии см. Решовски [I] и Менгер [2, гл. IX].
3) Мснгср [2, стр. 294J.

§ 51. Теория кривых. Порядок пространства в точке 295
рациональных пространств нет пространства, имеющего наи-
наивысший топологический ранг.
В дополнение приведем здесь без доказательства три теоремы.
Теорема 15 (о компактификации ')). Всякое регулярное про-
пространство топологически содержится в компактном регулярном
пространстве.
Теорема 162). Множество гомеоморфизмов /: 5?-+8*\
таких, что
p)il(l!)f{?f), где ord^3'< оо,
является остаточным множеством в пространстве (<УХо)' .
Теорема 17. Всякое регулярное множество {лежащее в про-
произвольном пространстве) содержится в регулярном О'^-множестве.
Теорема 17 является простым следствием теоремы 15 и тео-
теоремы Лаврентьева (§ 35, II, следствие).
Замечания. 1. Теорема 15 не имеет места для рациональ-
рациональных пространств. Рассмотрим (плоское) множество, состоящее
из сегментов, соединяющих точку (у, -~\ со всеми рациональ-
рациональными точками интервала 0*^x^1. Это множество нельзя ком-
компактифицировать, так как точка [-г, —\ становится точкой по-
порядка континуум.
2. Теорема 15 не имеет места для регулярных пространств
фиксирогашого порядка п. Существует пространство порядка 4
(т. е. порядка ^4 в каждой точке), которое топологически не
содержится ни в каком компактном пространстве порядка 43).
3. Среди регулярных пространств не существует простран-
пространств;', имеющего наибольший топологический ранг4).
V. Точки конечного порядка. Характеризация дуг и про-
простых замкнутых кривых.
Теорема 1. Если огйр?? ^\, то р не является разделяю-
разделяющей точкой пространства 3~. Следовательно, если простран-
пространство 3? связно, то связно и множество 5С — р.
Доказательство. Предположим, что X — р не является
связным между двумя замкнутыми множествами Л и В, между
') См. Нёбелинг [2], Куратовский [34].
2) См. Куратовский [37, стр. 246].
8) См. Deep [!].
4) См. НёОелинг [2, стр. 82].

2!H Глава 6. Локально связные пространства
которыми связно пространство Я' (ср. § 46, VII). Тогда суще-
существуют два открытых множества А" и В\ удовлетворяющих
условиям
A) у: - р = л* (J /Г, А*(]В' = 0, Лег-Л' н Вс/Г.
Согласно условию ог<\,,Я-' ^.\, существует открытое множе-
множество G, такое, что
B) p?G, бп(Л[)В) = 0 ч Р7ПГ)<1.
Из последнего неравенства следует, что
либо Fr(G)rM* = 0, либо Fr(G)D#* = 0.
Предположим, что Fr(G)f) б* = О- Тогда
В* - Q = /Г - [G U Fr @I = «' - О,
откуда видно, что множество Д* — G открыто.
С другой стороны, согласно A) и B),
д;1-(л* и о) и (fi*-о), (л*ио)п(й*-а) = о,
Лс:Л*иС, BczB'-G.
Следовательно, пространство .1? не связно между Л п й, что
противоречит предположениям.
Теорема 2. dim J^'1'1 ^ 0.
Доказательство. Пусть S — множество разделяющих
точек пространства Я'; тогда Я П5 = 0 по теореме 1. Таким
образом, достаточно показать, что для каждого р ? .*/-'"' и каждого
е>0 существует открытое множество G, такое, что
C) p?G, 6(G)<e
и
C') Fr(O)c=S.
Если ord/;^r = 0, то <ИтрЯ' — 0. Поэтому существует открытое
множество G, удовлетворяющее условиям C) и такое, что
Fr(G) = O, откуда получаем включение C').
Если ordp.7'-—1, то (\\тгЯ'ф0. Следовательно, простран-
пространство Я' связно (ср, § 46, IV, теорема 2) между точкой /; и
замкнутым множеством /•", таким, что />?."Г —/<'. С другой сто-
стороны, из равенства ord/;."?' = l следует, что существуют точка q
и открытое множество G, удовлстворяю1цее условиям C) и
такое, что G {] F — 0 и Fv(G) = q. Следовательно, точка q раз-
разделяет пространство между р и F, откуда получаем, что q ? 5,
и условие C') выполнено.

§ 51. Теория кривых. ПоржЧок пространства в точке 297
Теорема 3. Пусть пространство Я' ненрчвпдимо между а
и ft; тогда .i'il]cz(a, b).
Другими словами, из равенства огй^Я'— 1 следует, что либо
р = а, либо р - ft.
Доказательство. Предположим, что ord/; „T— 1 и
афрфЬ. Пусть G — открытое множество и (/ — такая точка, что
D) />€G, _
D') a, b?.f -G,
D") F
Так как множества G и Я." — G отделимы, то из равенства
,Т -q = :Г -(G- G) = О U (.*" - G)
следует, что множество q U(.'/' — G) — Я' — G связно (ср. § 46, II,
теорема 4). Таким образом, ."/-" — G — замкнутое связное множе-
множество, содержащее точки а и Ь (согласно D')). Так как про-
пространство .?<' кспрнподимо меж';у этими точками, то отсюда
следует, что Л' — G = .'I' вопреки D).
Теорема 4. Если Я' — континуум, то Я' — .^'||' — полукон-
полуконтинуум.
Доказательство. Пусть и, /; ^."Г— ."?•¦'''' и С — неприво-
неприводимый коптичуум между а и b (ср. § 48, I, теорема 1). Со-
Согласно теореме 3 п. II и теореме 3,
СП 'Г|1|с:С"|с:(«, Ь), следовательно, СП^'"'=0,
откуда СаЯ'-Л:1Ц.
Теорема Г). Всякое связное пространство Я', содержащее,
такие две точки а и Ь, что
E) ог(\аЯ~ = 1 = ordft.?-',
F) ord.r.f = 2 для аФхфЬ,
является dycoi'i nb ').
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть /•" = 5 (a, b) U а {] Ь, где 5 (a, ft) —
множество точек, разделяющих пространство ./" между а и Ь.
Так как Я~ локально связно (согласно теореме 1 п. IV), то до-
достаточно показать, что Я'— Г (ср. § 49, IV, теорема 4).
Предположим, что Я' — FфО. Пусть R — компонента множе-
множества Л' — F. Тогда R ф Я' и, так как Я' связно, существует
') Ср. Фргшкль [1].

298 Глава 6. Локально связные пространства
точка p?Fr(R). Поскольку пространство локально связно, имеем
Fv{R)czFr(F) (согласно теореме 3 из § 49, III), а так как мно-
множество F замкнуто (согласно теореме 3 из § 49, IV), то Fr(F)czF.
Поэтому р ? F, т. е.
G) p
С другой стороны, аФрФЬ. В самом деле, пусть р = а. Тогда,
согласно E), с-уществуют точка с и открытое множество G до-
достаточно малого порядка, такие, что
и Fr(G) = c.
Отсюда c?S{a, b), т. с. c?F, и потому с?$* — /?, т. е.
Однако условие р ?G f\Fr(R) влечет за собой
и так как R—G^O, то вследствие связности R (ср. § 46, I,
теорема 1) мы получаем R П Fr(G)=^0. Таким образом,
(8)
Согласно F), ord,, .1' = 2. Поэтому существуют открытое мно-
множество G и дне точки q и г, такие, что
(9) p?G, a,b?.V-G, R-G=?0 и Fr(G) = {q, r).
Так же как и выше, отсюда получаем A?nFr(G)=^0 и, следо-
следовательно,
A0) либо q?R, либо г 6 R.
Более того, так как p?S(a, b) (согласно G) и (8)), то суще-
существуют два открытых множества А и В, таких, что
A1) а 6 Л, b?B, .V-p = A\JB и А(]В = 0.
Так как множество A U р связно (ср. § 46, II, теорема 4), то
из соотношений р ? G Г\(А[) р) и a?(A\J p)— G (ср. (9) и A1))
следует, что (Л U p) |"| Fr(G)=^0 (ср. § 46, I, теорема 1), откуда
получаем Af]Fr(G)? (ср. (9)). Аналогично SnFr(G)=^0.
Итак, пусть q ? Л, г ? В и в соответствии с A0)
A2) г ? R, следовательно, r?.cl' — F.
Положим H = A\jG. Согласно A1) и (9),
Л = Л1)р и G = GU</Ur.
Следовательно,
Fr(H) = (A[)p[jGl)ql)r)-(AUG) = r, а?Н и Ь-?Я'-Н.
Отсюда r?S(a, b)czF, что противоречит A2).

§ 51. Теория кривых. Порядок пространства в точке 299
Теорема 6. Всякий континуум, все точки которого имеют
порядок 2, является простой замкнутой кривой.
Доказательство. Согласно теореме 2 из § 47, V, до-
достаточно показать, что рассматриваемый континуум ."V раз-
разделяется всякой парой своих точек.
Предположим, что это не так; пусть афЬ и множество
ЭС ~{а, Ь) связно. Так как аС локально связно (по теореме 1
п. IV), то пусть аи —дуга. Тогда И'ФаЬ (ибо в противном слу-
случае orda.#"=l). Пусть
c?[ab-(a, b)\ и d?[X-ab].
Так как множество ЭС — {а, Ь) открыто и связно, то существует
(согласно теореме 1 из § 50, II) дуга cdcz.f — (а, Ь). Пусть
е — последняя точка дуги cd, принадлежащая дуге ab. Тогда
и ed[)ab — (e).
Очевидно, что е — точка порядка 3 множества abljed, следо-
следовательно,
orde & > 3.
Пусть ЭС'"•*' — объединение открытых множеств G, таких, что
A3) 6(G)<1/Jfe и Fr(G)<n.
Лемма 7. Пусть А и В — два замкнутых множества, таких,
что Я" = A U В, и р — изолированная точка множества Л{]В,
такая, что ordp.T ^ 2п — 1 (п~^\). Тогда для каждого е>0 и
каждого целого k>0 существует открытое множество Р, такое,
что
A4) р?Р, Fr7P)<oo, б(Р)<е,
и при этом
A5) либо Af}Fr(P)cza:[n'k], либо В П Fr(P) с Я'[п- *'.
Доказательство. По предположению существует откры-
открытое множество Н, удовлетворяющее условиям
A6) НГ\АПВ = р?Н, b(H)<l/k и ЩЩ < 2л - 1.
Так как
то
?тЩ = ЩЩШ+
откуда, согласно A6),
либо Fr(tf)n A<n, либо ?гЩТ\Ъ<п.

30J Г лапа в. Локально связные пространства
Предположим, что
A7) 1"
Так как
Fr (Я - В) = Н - П - (II - В) -
= Н-В-Н[) \П - Л П В] <=~-
[(II - И) Л Л' - В] U [// П :*¦' -В{] В]
то, согласно A6) и A7), Fr G/ — В) ^ и, откуда, согласно A3),
получаем включение
A8) // - В <= :1Лп-"'.
Пусть Р — открытое множество, удовлетворяющее условиям A4)
и такое, что Р cz If. Тогда
(Р- Р) П Л П В - 0, т. е. P-Pcz (.'Г - Л) U (#" - Д).
Следовательно, _
Л[\Р~Р czll- В,
так как Р а II. Отсюда п силу A8) следует соотношение A5).
Теорема 8 (Айреса1))- dim С*'1*'1 - .^'!|)< 0 (для л>1).
Доказательство. Ясно, что
1
Так как множество % /;' открыто, то (согласно теореме 1
из § 21, III) достаточно показать, что
для любого fe; другими словами, что для каждой точки q ?/?.
и для каждого е>0 существует открытое множество G, удовле-
удовлетворяющее условиям
A9) q?G, 6(G)<e п Q (G) = О,
где для любого X
Aiipcc [5J.

§ Г> 1. 'Георш/ кривых. Порядок пространства и точке 301
Так как q ? .7 "" , го существует открытое множество //, такое,
что
B0) q СП, &(//)<е и Fr"G/)<oo.
Положим
B1) m = ~Q(H).
Определим мпожестно G но индукции. Если т — 0, то положим
О- П. Условия A9) при этом выполняются. Пусть /п > 0. Пред-
Предположим, что для любого открытого множества //ь такого, что
Q(ll\)^.tn— 1, и удовлетворяющего условиям B0) (в которых //
заменяется на Я|), существует открытое множество (}, удовле-
удовлетворяющее условиям A9). Таким образом, остается установит!)
существование множества /У, указанного вида.
Пусть p?Q(FI). Положим в теореме 7 Л = Н и В — .Г — П.
Согласно B0), существует такое открытое множество /', что
B2) р?Р, q?.'l'-P, 6(P)<e-6(//), Vv{p)<oo
и что
B3) либо /7nFr(P)c;.<r'"'fc|,
B4) либо Гг(Р)-НсГ1п-к].
В соответствии с тем, имеет ли место B3) или B4), положим
B5) Я, = //-Р
или
B6) //, =-- H\j Р.
В обоих случаях из B0) и B2) следует, что
B7) «/?//,, б (//,)<в и р6^"-Рг(Я|),
так как, поскольку Р открыто, имеем (ср. § 5, III и § 6, II (8))
Pf\\<i-{[I-P)czP{]fI -PczPnif- P = Q и РПРг{[[[)Р) = 0.
Кроме того, в обоих случаях
B8) Fr(//,)cFr(//)U.^1*1,
ибо, с одной стороны, из B5) вытекает (ср. § 6, П (9) и E)),
что
Fr (//,) <= Fr (И) U (/7 П Fr (Р)) с= Fr (И) U (/? П Fr (P)),
а с другой стороны, согласно B6),
Г,- (//,),= ffijp- ц-pcz Fr (/У) U [Fr (P) - //].

302 Глава в. Лпкальнп связные пространства
Из включения B8) следует, что
Рг(/У1)-Л"'*'с=Рг(//)-А->Ч откуда <Э(Я,)с Q(//),
и потому Q (Я))^ шЛ_согласно B1).
Таким образом, Q (//j) ^ /?г — 1, так как р ? [Q (Я) — Q (Я,)],
согласно B7). Наконец, в силу B7) множество Я) удовлетво-
удовлетворяет условиям B0) (в которых Н следует заменить на Я,), ибо
Fr(tf,)czFr(tf)UFr(/>) и Fr (Я) U Fr(P)< oo,
согласно B0) и B2).
Из теоремы 8 вытекают следующие две теоремы.
Теорема 8'. Для всякого пф2 имеем
dim (#¦""-Я'"-11) <0.
Доказательство. Для п = 1 это следует из теоремы 2.
Если п>3, т. е. если п < 2« - 3, то /Г|п| с: .Г12*""""", откуда
по теореме 8 следует требуемое заключение.
Теорема 8". Если все точки № имеют один и тот же
конечный порядок п > 0, то п — 2.
Следовательно, если Я' — континуум, то он является простой
замкнутой кривой.
Доказательство. По предположению i' = i -.T""'1
Следовательно, из условия п ф 2, согласно теореме 8', полу-
получаем, что dim^'^0; но в таком случае п — 0.
Вторая часть теоремы получается с помощью теоремы 6.
Теорема 9 '). Если X — континуум, то все его разделяющие
точки, за исключением, возможно, их счетного множества,
имеют порядок 2.
Доказательство. По теореме 1 из § 46, VII существует
последовательность точек аи а2, ..., такая, что всякая разде-
разделяющая точка является разделителем между некоторой подхо-
подходящей парой (a,, uj). Поэтому достаточно показать, что для
заданной пары точек (а, Ь) равенство ordp^' = 2 имеет место
для каждой точки p?S{a, b), за исключением, возможно, счет-
счетного множества таких точек.
Представим себе, что точки p?S(a, b) снабжены индексами
в соответствии с теоремой 2 из § 46, VIII. Согласно теореме 3
') См. Уайбери [0, стр. 606]. Обобщение георемы 6 па. точки локального
разделения см. Уайбери [9, стр. 309].

§ 51. Теория кривых. Порядок пространства а точке. 303
из § 46, VIII, каждому индексу у, за исключением, может быть,
счетного множества, соответствуют две последовательности
индексов {zj и {«„}, такие, что
Так как пространство ."?•' компактно, то (ср. § 42, V, теорема 1)
Так как множество А (р ) Г) 3' — Л (р \ есть окрестность точки ри,
то ordp ,°l' = 2 в силу следующей формулы:
= Л (Pz) П .Ж" - Л (рв J П {.«• - Л (р0 U # - .*• - Л
Теорема 10. Пусть .1'— локально связный континуум и
р —точка, которая его не разделяет. Если ordp.^'^2, то суще-
существует точка q Ф р, такая, что ordPf q SV ^ 2.
Доказательство. Из соотношения ordp^"^2 вытекает
(ср. с теоремой 6 из п. II) существование замкнутого множе-
множества F, удовлетворяющего условиям
B9) Fcz.i'-p и ordp, f ^ > 2.
Так как множество 3' — р связно, то, согласно теореме 15 из
§ 49, II, существует континуум С, такой, что
C0) Fc.Cc .Г - р.
Пусть /}<7~такая дуга, что pqf\C = q.
Предположим, что ordPi qX = 1. Тогда существует точка г,
разделяющая пространство X между р и q, откуда получаем
г ?(pq — р — q). Так как С — континуум, то из соотношений
г ? 3' — С и q ? С следует, что г — разделяющая точка между р и С
Следовательно, ordpC.^' = l и, согласно C0), ox&PtF.l'—\,
что противоречит B9).
VI. Дендриты.
Определение. Локально связный континуум, не содержа-
содержащий простых замкнутых кривых, называется дендритом.

З'М Г лапе в. Локально спи.чшчс и/югг/ниатиа
Примеры, (i) Всякая дуга есть дендрит. Объединение,
трех дуг ab, ас, ad, имеющих попарно только одну общую
точку а, есть дендрит (называемый триодом).
(и) Пример 2 п. I —дендрит, содержащий точку порядка со.
Легко сконденсировать эту особенность.
(Mi) Континуум ил § 49, VI есть дендрит, содержащий нигде
не плотный подконтинуум, а именно сегмент 01 оси х.
(iv) Очевидно, что объединение двух дендритов не обяза-
обязательно должно быть дендритом. Кроме того, n.t рисунка в § 50,
IV видно, что объединение двух дендритов может содержать
континуум, который не является локально связным. Ср. с за-
замечанием 1 п. VII.
(v) Па плоскости существует дендрит, топологически содер-
содержащий каждый другой дендрит ').
Пели ."{¦' — дендрит, то имеют место следующие теоремы:
Теорема 1. Пространство .1' цникогерентно.
Более точно, если К и I. — два континуума в пространстве .?¦',
то множество К (] L — континуум.
Доказательство. Если .1' — локально связный конти-
континуум, то каждый подконтинуум континуума ."/¦' есть пересече-
пересечение бесконечной убывающей последовательности локально связ-
связных континуумов (ср. § 50, III, теорема I). Л так как пересе-
пересечение всякой убывающей последовательности контпнуумоз
является континуумом (ср. § 47, II, теорема 5), то доказатель-
доказательство сводится к случаю, когда К. и Л — локально связные кон-
континуумы.
Предположим, что К П /- не мязю:
тогда существуют (ср. § 50, II, теорема 1) дуга /1 и две точки /)
и q, такие, что
/1с/(, Л П/> = (/>) н Л П С? = (г/)-
Пусть В — дуга pq cz L; тогда
Л П П с Л П К П А - Л П (Р U Q) - (/)) U (</).
Следовательно, Л[] В — простая замкнутая кривая.
3 а ме ч а н и с. Обратно, каждый одномерный локально связ-
связный упнкогерептпый континуум есть дендрит; см. § 57, III,
теорема 8.
') Дока.ипч'.'п.стно см., панрпмор, Mem-op \l2, гл. X, (>|. с;р. Пажснскмн
1. стр. Г>7|.

fi 51. Теории крив/их. Ппрядок пространсгиа и точке 305
С ,ч е д с т в и е 2. Всякую пару точек а Ф b в дендрите можно
соединить единственной дугой ab, имеющей в качестве концов
эти точки.
Теорема 3. Если подконтинуумы К и I- дендрита Я' не
пересекаются, то ordA-, L //' = 1, т. с. существует точка р, раз-
разделяющая К и L.
В частности,
A) оп1д., „ .'/-'= I для любых х ф у.
Более того, если К. — континуум, a L —объединение а кон-
континуумов и К Г) I- — 0, то ov(\KL:i'^.n.
Доказательство. Пусть сначала п — 1. Пусть Л — дуга с/г,
такая, что Л П К = Я и Af\L — r. Клжчая точка р^Л — q — r
разделяет К. и /., ибо если бы /\ и /. содержались в одном
и тон же компоненте множества ."/-' — р, то существовала бы
(ср. § 50, II, теорема 1) дуга В cz .'-Г — р с концами ц \\ г н,
следовательно, А ф В, что противоречит теореме 2.
Пусть, далее, /„¦-=/,, U ... IJ/,„ есть объединение п (м>1)
континуумов. Как только что было показано, существуют
точка Pt и открытое множество Gt (где / = 1, . . ., п.), такие, что
К с= Gi, Vr(Gi) = pi п 1Ч cz .Г - Gt.
Положим G — G\f] ... f\Gn. Тогда
KczG, Fr(G)ciFr(G,)U ... U lJr(G,,) = (/'[, •••- />„)
и
I. cz {.Г - G,) U ... U ( ¦/' - «„) = /i" - (G, П ... П Gn) <= Л* - G.
Следовательно, множество Fr(G) разделяет ¦'/¦' между К и L
и состоит не более чем из п точек.
Согласно теореме 9 п. IV, из условии (I) вытекает следующая
Теорема 4. Пространство .'¦>' есть регулярный континуум.
Следовательно, всякий подконтинуум дендрита — дендрит.
Замечание. Та же импликация показывает, что усло-
условие (I) характеризует депдриты в классе континуумов. Дей-
Действительно, с одной стороны, всякий регулярный континуум
локально связен (согласно теореме I, п. IV), а с, другой сто-
стороны, не существует пространства, содержащего простую замк-
замкнутую кривую п удовлетворяющего условию A).
20 3;'к. |'Ю

305 Глава в. Локальна связные пространства
Теорема 5 (разложения). Для каждого е >0 существует
конечная система дендритов F[, ..., F/., удовлетворяющих
условиям
<e, ^ТО<1 и Fh П /', П F, = 0
любой системы различных индексов.
Доказательство. Так как ^" — регулярный континуум
(по теореме 4), рассмотрим разложение A4) из п. IV. Множе-
Множество F\, как подконтинуум it', — дендрит (согласно теореме 4).
Так как пересечение Fi(]Fj конечно и связно (по теореме 1),
то оно содержит не более одной точки.
Теорема 6. Если число компонент множества Я'— р ко-
конечно, то оно равно отАрЯ'.
Доказательство. Пусть это число равно п. Ясно, что
огАвЯ'^п; поэтому достаточно показать, что огАрЯ-' s^/г; дру-
другими словами (ср. II, теорема 6), что для всякого замкнутого
множества F, такого, что р^Я' — F, существует множество,
состоящее из п точек и разделяющее Я' между р и F.
Пусть Я' — р = R{ U ... U Rn — объединение п областей. Мно-
Множество Ff\Ri замкнуто, так как F Л Ri <= F [){Rt {] р)= F ("I /?,•;
следовательно, существует континуум Ki, такой, что F Л Ri^Ki
(ср. § 49, II, теорема 15). Таким образом, согласно теореме 3,
существует множество, состоящее (не более чем) из п точек,
которое разделяет Я' между К\ U • • • U Ка и р и, следовательно,
между F и р.
Теорема 7. Я' - Я'® < к 0.
Другими словами, в дендрите множество точек «разветвле-
«разветвления» счетно.
Доказательство. Это следует из теоремы б и теоремы I
из § 46, IX.
Теорема 8. Я-' = .Т'2' — А"'1' {при условии что Я' состоит
более чем из одной точки) ').
Доказательство. Пусть G — (непустое) открытое мно-
множество и Л —дуга abc:G- Очевидно, что
Л Л-^ <={а!>), поэтому
и по теореме 7
См. Meiircp [7J.

§ 51. Теория кривых.. Порядок пространства в точке 307
Следовательно, __
откуда
Теорема 9. Пусть Я' — дендрит; тогда всякое непрерывное
отображение /: Я'-> Я' имеет неподвижную точку1).
VII. Локальные дендриты.
Определение. Континуум называется локальным ден-
дендритом, если всякая его точка имеет окрестность, являющуюся
дендритом.
Из теоремы 4 п. VI непосредственно вытекает следующая
Теорема 1. Всякий локальный дендрит есть регулярный
континуум.
Теорема 2. Если Я'— локальный дендрит, то существует
такое е > 0, что всякий подконтинуум С диаметра < е является
дендритом.
Доказательство. В силу компактности Я" существует
конечная система дендритов D{, ..., Dn, такая, что
¦2'=Int(D,)U ... UInt(DB).
Поэтому существует (ср. § 41, VI, следствие 4d) такое е>0,
что всякое множество диаметра < е содержится в одном из
множеств Int (Dt), а следовательно, в дендрите Dt. Пусть С — кон-
континуум диаметра < е. Так как всякий подконтинуум ден-
дендрита — дендрит (по теореме 4 п. VI), то С —дендрит.
Лемма 3. Пусть Я'— локально связный континуум и
е — точная нижняя грань диаметров простых замкнутых кривых,
содержащихся в Я'. Если е>0, то Я' — локальный дендрит.
Доказательство. Если р^Я" и С — локально связный
континуум, являющийся окрестностью точки р, такой, что
6(С)<е (ср. § 50, II, теорема 3), то С не содержит простых
замкнутых кривых, а это и означает, что С —дендрит.
Теорема 4. Каждое из следующих условий необходимо
и достаточно для того, чтобы Я' было локальным дендритом:
(i) Я' — локально связный континуум, содержащий не более
конечного числа простых замкнутых кривых;
') Ср. § 53, III, георемы 8 м ](!. Частный случай теоремы 9, когда
/ — гомеоморфизм, был установлен Шерером []]. См. также Айрес [4].
2U*

308 Глава 6, Локально связные пространства
(И) Я' — континуум, яв L4'()ti{iu'iCH конечным объединением
дендрит о в:
A) .'/¦ = /;, U ¦•¦ U/Л. еде Z>"№<<» для i=?j.
Доказательство. I. Из условия (i) вытекает, что
.Т — локальный дендрит. Это прямое следствие теоремы 3.
2. Если ."/' — локальный дендрит, то Я' удовлетворяет усло-
условию (ii). Действительно, ."/-' —регулярный континуум (по тео-
теореме 1), поэтому (согласно замечанию 2 из и. IV) существуют
континуумы 1)и ..., 1)к, удовлетворяющие условию A) и имею-
имеющие диаметр < р., где е>0 —заданное число. Предположим,
что в —число, определенное в теореме 2; тогда континуумы
D\, ..., Dk суть депдриты.
3. Из условия (ii) следует условно (i). Для доказательства
положим
B) F^\JDt[]Dh
и пусть А — ccMeiicT.u) всех дуг Л, удовлетворяющих следующим
двум условиям:
(F) А содержится в одном из депдрнтов Dt;
(II) концевые точки дуги Л принадлежат F.
Так как множество /; конечно, то конечно и семейство А
(ср. VI, теорема 2).
Пусть С —простая замкнутая кривая, содержащаяся в .t''.
Тогда С ПI7 ?= 0, так как С не содержится ни в каком Dt.
Если R — компонента множества C — F, то /?? А. Отсюда сле-
следует, что С — объединение некоторых дуг, принадлежащих се-
семейству А. Так как это семейство конечно, то конечно и семей-
семейство простых замкнутых дуг, содержащихся в ."?'.
Теорема 5. Если в локально связном континууме содер-
содержится бесконечное множество простых замкнутых кривых, то
среди них имеются кривые произвольно малых диаметров ').
Доказательство. Очевидно, что J&'— локальный ден-
дендрит, если точная нижняя грань диаметров простых замкнутых
кривых, содержащихся в ."/', положительна. Но в таком слу-
случае ."/-' содержит только конечное число простых замкнутых
кривых (ср. (i)).
Теорема G. Теоремы 7 и 8 п. VI остаются верными, если
предполагать, что .1' — локальный дендрит.
(сорома .'JnpniiKCBii'ia [I, стр. I4(ij.

jjf 51. Теории кривых. Порядок пространства в точке 309
Доказательство. Применим условие (ii) теоремы -1.
Пусть /*' определяется равенством B); тогда О1ч1р(/)г —/¦') — ord,,X
для любого р (ср. II, теорема 4). Поэтому
следовательно,
X - X™ = U (Oi - ЯЛЛ) cU(Of- /tf') U F.
i -1 1 ¦ I
Отсюда, согласно тео])еме 7 п. VI,
Аналогично (ср. II, теорема 4)
oVm _ ^.(п _ р = ^ D п (^-[21 _ ^.(ii) _ f = у (Dru] _ Dni) _ р
а так как множество F конечно, то, согласно теореме 8 п. VI,
i-\ . i -i
Теорема 7. Всякий локальный дендрит, топологически не
содержащийся в плоскости, топологически содержит одну из
двух следующих ломаных (рис. II — 12):
(i) объединение ребер тетраэдра и сегмента, соединяющего
два непересекающихся ребра;
(ii) объединение ребер тетраэдра и четырех сегментов, со-
соединяющих центр тетраэдра с его вершинами ').
Теорема 7 н теорема 10 из § 50, II дают следующее утверж-
утверждение:
Теорема Т. Пусть X есть одномерный локально связ-
связный континуум. Если не существует непрерывного отображе-
отображения X в плоскость с прообразами точек диаметра < е, где
е — положительное число, выбранное должным образом, то
[) Доказдтсльстпо см. Курптопский [23].
Если локальный дендрит представляет собой ломаную (граф), то тео-
теорему можно доксчзат!» проще. См. Дирак и Шустер |1|, [2|; (>орж [||;
Ха.иш [[]; Нусэкср и Саатп [I, стр. 70-73]; Тутти и Хармрп |!|.
См. также Уитнн [I ]; Мак-Лепп [1],[2|; Лефшен [5]; Холл [2]; ISinir [.'));
Вагнер [i]; Opj [![; Харарп | I ].
Что касасгсч других ссылок на литературу, см. очень подробную библио-
библиографию и рлооте Зьпсона [1|.

310
Глава 6. Локально связные пространства
континуум 3' топологически содержит одну из двух ломаных,
определенных выше ').
Рис.
Теорема 82). Континуум SC есть локальный дендрит тогда
и только тогда, когда его можно деформировать в топологи-
топологическую ломаную с помощью малого непрерывного сдвига;
другими словами, когда для любого е>0 существует непре-
непрерывная функция f: Л'X 3-+$ и ломаная линия L, такая, что
f(x, 0) =
\f(x, t)-x\<e
|= L.
Теорема 9. Всякий локальный дендрит есть объединение
двух дендритов3).
Замечание 1. Объединение двух дендритов (даже двух
дуг) не обязательно должно быть локальным дендритом. Более
того, для каждого п существует (на плоскости) регулярный
континуум порядка 3, являющийся объединением ровно п и
никакого меньшего числа дендритов 4).
Замечание 2. В теореме 7 предположение о том, что
пространство есть локальный дендрит, можно заменить пред-
предположением: пространство есть локально связный континуум,
не содержащий точек разреза5).
') Теорема Мазуркевича [24].
2) Теорема Александрова [6].
3) Теорема Стипрода [I, стр. 565].
4) См. Борсук [II].
6) Это утверждение доказано Клейтором [1]. Простое доказательство
см. Моиз [4J.

.<> 52. Циклические элементы 311
Клейтор [1] рассматривал общую проблему харлктеризации
произвольного локально связного континуума, содержащегося
в плоскости.
Замечание 3. Всякая не лежащая в плоскости двумер-
двумерная полиэдральная поверхность, за исключением сферы <ff2,
содержит каждый из элементарных графов (i) и (пI).
§ 52. Циклические элементы локально связного
метрического континуума 2)
I. Вполне дугообразно связные множества3). Так мы будем
называть всякое подмножество L локально связного конти-
континуума .#', удовлетворяющее следующему условию:
A) если х, у ? L, то всякая дуга ху содержится в L.
Из этого определения, очевидно, вытекают следующие два
утверждения.
Теорема 1. Пересечение произвольного семейства вполне
дугообразно связных множеств является вполне дугообразно
связным.
Теорема 2. Всякое вполне дугообразно связное множе-
множеств,) локально и глобально дугообразно связно.
Теорема 3. Если объединение и пересечение двух мно-
множеств М и N, замкнутых в М U N, являются вполне дугооб-
дугообразно связными, то и сами множества М и N вполне дугооб-
дугообразно связные.
Доказательство. Пусть аЬ — дуга с концевыми точ-
точками а, Ь?М. Покажем, что ah cz M. По предположению
B) abczM[)N, т. е. ab == (аЬ П М) [)(ab П N).
Пусть c?abP\N. Покажем, что с^М.
Множества ас [~| М и ас [~| N замкнуты в М U jV, а следовательно,
в ас; поэтому из равенства (ср. B)) ас = (ас |~1 М) U {ас Л АО
') См. Куратовский [23, стр. 282].
2) Ср. Кургггонский и Уайберм [2]. По поводу некоторых обобщений
понятия циклического элемента и разбиений на более топкие элементы см.
Уайберн [19], Холл [1], Радо и Рейхельдерфер [I] и [2|, Юнге [I], Альберт
и Юпгс [1|, Уоллес [4]. См. также Мак-Аллистер CI. где имеется много
литературных ссылок.
) Ср. с понятием дуги-кривой (arc-curve) Айреса [I]. Это понятие
является вспомогательным в теории циклических элемеитоп, которая будет
изучаться в п. П.

312 Глава в. Локально свнзныс пространства
вытекает, что ас. f) М П N ф 0. Пусть р^ас f] M f] N и
q^ch П М П N. По предположению дуга pcq содержится в Л/ П N.
Поэтому с ? М.
Пусть L — замкнутое вполне дугообразно связное множество.
Имеет место следующая
Теорема 4. Граница любой компоненты R множества
& — L состоит из одной точки {принадлежащей L).
Доказательство. Действительно, п противном случае
граница Fr(/?) содержала бы две различные точчн р и ц, до-
достижимые из R (ср. § 50, III, теорема 6). Поэтому существо-
существовала бы дуга pq<=R{JpU<!> откуда pq — L=?0, что противо-
противоречит предположению.
Г е о р е м а 5. Всякое замкнутое множеств:) /•', разделяю-
разделяющее L между А и В (где A IJ В ci L), разделяет все простран-
пространство Л' между этими множествами.
Доказательство. Если /; не разделяет пространство
между Л и В, то существует дуга ah, такая, что а?Л, Ь?В
и а')П/7 = 0. 'Гак как ah с: Л, то последнее равенство показы-
показывает, что F не разделяет множество /, между Л и В.
Теорема 5'. Если Л IJ В a L Г) Z и Z связно между Л и В,
то между Л и В связно и множество L П Z.
Доказательство. Предположим, что L[\7. не связно
между А и В, т. е. что L — Z разделяет L между А и В. Тогда
множество L — Z содержит (ср. § 46, VII, теорема 3) замкнутое
множество /•', разделяющее L меж^у А и В. По теореме 5
множество /•' разделяет все пространство .4' между этими мно-
множествами и, следовательно, ."Г — F не связно между А и В.
То же самое имеет место для Z, ибо Z cz Я'— F.
Из теоремы 5 непосредственно вытекает следующая
Теорем а 6. Если А{] В сг /,, то ordy,, /;/. = ordA л'/-'.
Теоре м а 7. /;г.<ш последовательность компонент Ru R2, . ..
множества :V — L бесконечна, то lim ft (/¦?„) = 0.
Доказательство. Действительно, » противном случае
можно было бы выбрать сходящуюся подпоследовательность
\Rnk\, предел которой содержит две точки афЬ. Полагая
Z = U^'i/, U a U Л, мы получили бы, что a, b?L(]Z. Таким обра-
зом, множество Z оказалось бы связным между а и /; (ср.
§ 46, IV, теорема 9), тогда как I.QZ не связно (поскольку
оно состоит из двух точек а и /;),

!>2. Циклические элементы 313
Теорема 8. Если А и В — два замкнутых вполне дуго-
дугообразно связных множества, таких, что А[) В фО, го множе-
множество Л U В вполне дугообразно связно.
Более того, множество А П В разделяет пространство между
А — В и В — Л.
Доказательство. Пусть aft —дуга, концевые точки ко-
которой принадлежат А{] В. Мы должны показать, что ab с: Л (J В.
Предположим, что это не так. Пусть аф\ — интервал дуги а' ,
смежный к множеству аЬ[\{Л\]В). Так как оба множества
Л и В вполне дугообразно связны, пи одно из них не может
содержать обе точки ах и Ь\. Поэтому можно считать, что
C) а, 6 Л-Я
и
D) Ь^ В-А.
Следовательно,
E)
F) афу П В = Л|.
Пусть с?Л[\В. Так как Ьь с?В, то всякая дуга /;,с удо-
удовлетворяет условиям
G) 1>{ссг.В, откуда alb,f]biC = bh
согласно F). Следовательно, axb\ (J Ь\С — дуга, концевые точки
которой принадлежат Л. Но в таком случае аф{ (J Ьхс с: Л,
а отсюда Ь\<^Л вопреки D).
Вторая часть теоремы следует непосредственно из теоремы 5,
так как множество А П В разделяет Л (J В между Л — В и В — А.
Теорема 9. Если пространство ."V у никого рент но, то уни-
когерснтно и множество L.
Доказательство. Пусть Л и В — два таких континуума,
что L = Л U В. Мы должны показать, что их пересечение Л П В —
континуум.
Пусть М — объединение всех компонент R множества Я'— L,
таких, что Fr(^)cyi. Пусть S — объединение всех остальных
компонент множества ."/•" —А. Так как (по теореме 4) множе-
множество FrG?) состоит из одной точки, принадлежащей А, то

314 Глава 6. Локально связные пространства
драница компонент, составляющих 5, содержится в В. Отсюда
следует, что
(8) & = {A[)M)U{B\)S)
и
(9) (A\JM){)(BUS) = A(}B.
Так как множества А[}М и В U S — континуумы (ср. § 49,
III, теорема 1) и пространство X уникогерентио, то А[\В —
континуум.
Теорема 10. Пусть К, A'i, Кь -••—последовательность
континуумов, такал, что
A0) Lim Кп = К <= L,
П-*<х>
(И) L[]Kn^0.
Тогда
A2) Lim/.n/C = /C.
Доказательство. Согласно A0) и § 29, IV, 2,
Ls (L П Кп) <= Ls Кп = /С.
Покажем, что
A3) /(с Li (LHU
П-»оо
Пусть р 6 К- Определим такую последовательность ри р2, ...,
что
A4) Р„€^П/СЯ
и
A5) Птр„ = р.
Согласно A0), р ? Li /(„. Поэтому существует последователь-
ность qu q2, ..., такая, что
A6) qnEKn
и
A7) lim^ = p.
п-»оо
Определим р„ следующим образом. Если qn?L, то положим
р„ = qn\ если qn(z.T — L, то в соответствии с теоремой 4 положим
A8) prt = Fr(tfn), где qa?Ra
и ^„ — компонента множества 3* ~ L.
Мы утверждаем, что соотношение A4) удовлетворяется.
В случае qn?L это видно непосредственно из A6), поэтому

§ 52. Циклические элементы 315
предположим, что qn?.fy" — L и, следовательно, qn ? Кп~ L (со-
(согласно A6)). Отсюда следует, что
так как 0 ф L (] Кп ^ Кп ~~ Rn> согласно A1).
Из условия A9) вытекает (ср. § 46, I, теорема 1), что
Кп П Fr {Rn) Ф 0, поэтому рп ? Кп
(согласно A8)), а так как Fv(Rn)czL (ср. § 49, III, теорема 3),
то отсюда следует условие A4).
Предположим, что условие A5) не удовлетворяется. Тогда
существует такая последовательность тх < т2 <..., что никакая
подпоследовательность последовательности {Ртп} не сходится
к р.
Следовательно, в соответствии с A7) можно считать, что
Рт т6 Qm ПРИ любом п, а потому, согласно A8),
B0) pmn = Fr{Rma}.
Далее необходимо различать два случая.
(i) Существует последовательность /,</2< ..., такая, что
компоненты Rmi , Rm[ , . .. попарно различны. Тогда, согласно
теореме 7 и B0), имеем
lim 6G?m ) = 0, откуда lim I рт - qm I = 0;
П^оо V 'п/ П-»оо I 'n til
следовательно, согласно A7),
lim pm[ = р.
(и) Существуют индекс г и последовательность индексов
ii</2< ¦••. такие, что Rm[t = Rmii = ... = Rr. Положим
B1)
Из B0) вытекает, что
B2) рт — рт = ... = а, откуда lim pmi =a.
'2
С другой стороны, qm ^Rr (согласно A8)); следовательно,
p?Rr (согласно A7)). Так как (ср. A0)) p?L, то p?Fr(Rr),
а это означает, что p = a= lim pm , согласно B1) и B2).
П-»оо 1п
Итак, в обоих случаях последовательность [рт ] содержит
подпоследовательность, сходящуюся к р, что противоречит
определению последовательности {пгп}.

316 Глава f>. Локально связные пространства
II. Циклические элементы.
О п р с д е л с и и е. Циклическими элементами ') простран-
пространства .'/¦' мы называем следующие объекты:
(i) каждую точку, разделяющую Я';
(ii) каждое множество
A) ?p=
(т. е. множество таких точек х, для которых не существует
точек, разрезающих Я' между /; и х) при условии, что /;
не разделяет Я'.
Пример. Пусть пространство .Т состоит из двух окруж-
окружностей, касающихся внешним образом, и некоторого радиуса.
Циклическими элементами являются каждая из окружностей,
а также их общая точка и каждая точка радиуса.
Легко доказать следующие утверждения:
Теорема 1. Если р не разделяет пространство, то р?Ер.
Следовательно, пространство является объединением своих
циклических элементов.
Теорема 2. Если ог(\рЯ'—\, то Ер = р.
Однако из теоремы 10 § 51, V вытекает следующая
Теорема 3. Если точка р не разделяет пространство и
если огAр Я' > 2, то Ер — рФ 0.
Теорема 4. Если ЕафЕ/„ то множество ЕаГ\Еь либо
пусто, либо состоит из одной точки, которая разделяет про-
пространство.
Доказательство. Пусть с ? Еа — Е,,. Тогда существует
точка q, разделяющая пространство между с и Ь. Пусть
р?Еа[\Е,,. Покажем, что p~q. По предположению
B) огA„,р.Г>2, ordp>ft.?-'> 2 и ordf, a X > 2.
Более того, q ф а, так как а не является разделяющей точкой.
Предположим, что р ф q. Тогда (согласно B)) следующие
точки можно соединить дугами, минуя q: а с р, р с Ь, с с а
и, следовательно, с с Ь. Но в таком случае q не отделяет с
от Ь, что противоречит определению точки а.
Теорема 5. Если b не разделяет пространство и b ? Еа, то
') Понятие циклического элемента принадлежит Уайберпу [5]. Ср. также
Мур [11|.

§ 52 Циклические элементы 317
Доказательство. Действительно, Ь?Еа[)Еь по тео-
теореме I, а Еп[]ЕьФ Ъ но теореме 4.
Теорема 6. Каждое из следующих условии необходимо и
достаточно для того, чтобы множество Е {содержащее более
одной точки) было циклическим элементом:
(i) существуют две точки а ф Ь, такие, что
C) огс1й.„Л->2,
и множество Е является пересечением всех замкнутых вполне
дугообразно связных множеств, содержащих а и 1>;
(и) /: связно и насыщено относительно свойства не содер-
содержать точек, разделяющих его.
Доказательство. 1. Пусть Еа— циклический элемент,
причем Еафа. Пусть b ? Е„ — а и L — пересечемте всех замкну-
замкнутых вполне дугообразно связных множеств, содержащих а и Ь.
Покажем, что
D) Еа = L.
Пусть х ? Л' — L, /? —компонента множества Л' — L, содержа-
содержащая х, и ;/=Fr(/?) в соответствии с теоремой I. п. I и теоре-
теоремой 4. Так как у разделяет пространство, а а его не разде-
разделяет, то уфа, и, поскольку я ? L, а х ? R, точка у разделяет
пространство между а и х. Следовательно, х 6 •?'— Еа> откуда
вытекает, что Еа с /„.
Обратно, пусть х 6 № — Еа; тогда существует точка у, раз-
разделяющая пространство между а и х. Поэтому
E) .r = M[}N, M=M, N = N, а ? М, х 6 N, М П N = //.
Так как /; ? Еа — а, то отсюда вытекает равенство C), а
поэтому, согласно E), b 6 М. Применим теорему 3 п. 1; тогда
из условий E) следует, что М вполне дугообразно связно;
поэтому из определения L получаем, что L с: М, откуда *?.#* — L,
ибо, согласно последним двум соотношениям (Г)), х 6 Л" — М.
Итак L а Еа, откуда получается равенство D).
2. Мы утверждаем, что из условия (i) вытекает условие (ii).
Если /: удовлетворяет условию (i) и х ^ Е, то множество
Е — х связно. Предположим, что
F) E = M\jN, ЛТ=М, N = N и M(\N = x.
Покажем, что либо М = Е, либо N = E.
Так как имеет место хотя бы одно из неравенств хфа или
хфЬ, то пусть, например, хфа. Более того, можно предполо-
предположить, что а ? М. Согласно C), точка х не разделяет простран-
пространство между а и Ь, следовательно, и множество Е не разде-
разделяет пространство между этими точками (ср. теоремы 1, 4 и

318 Глава 6. Локально саяяные пространства
5 п. I). Таким образом, согласно условию F) и теореме 3 п. I,
множество М замкнуто, вполне дугообразно связно и содержит
точки а и Ь. Поэтому Е czM, откуда в силу F) получаем
М = Е.
Далее, пусть С —связное множество, такое, что Е°^.СФЕ.
Покажем, что С содержит точку, которая его разделяет.
Пусть р ? С — Е, и пусть R — компонента множества X — Е,
содержащая р. В соответствии с теоремой 4 п. I положим
q = Fr(R). Очевидно, что С разделяется точкой ц.
3. Далее, из условия (и) следует, что Е — циклический
элемент.
В самом деле, по предположению никакая точка не разде-
разделяет множество Е, поэтому множество точек из Е, разделяющих
пространство, не более чем счетно (ср. § 46, IX, теорема 3).
Пусть р — точка множества Е, не разделяющая пространство.
Покажем, что Е = ЕР.
По предположению ordPt х Е~^2 для каждого х ? Е, следо-
следовательно, ordp, XX ^2, откуда, согласно A), х?Ер. Таким
образом, Е с: Ер.
Итак, Е = ЕР, поскольку (как было доказано) Ер удовлетво-
удовлетворяет условию (н), из которого следует, что Ер связно н не со-
содержит разделяющих точек; с другой стороны, Е насыщено
относительно этого свойства.
Замечание. Теорему 4 можно переформулировать сле-
следующим образом:
Если А и В —два циклических элемента и р —такая точка,
что А[\В — р, то точка р разделяет пространство между А — В
и В-А.
Это непосредственное следствие теоремы 8 п. I, ибо мно-
множества Л и Л вполне дугообразно связны (согласно теореме
6 (i) и теореме 1 п. I).
Теорема 7. Всякий циклический элемент является ло-
локально связным континуумом.
Доказательство. Это непосредственное следствие усло-
условия (i) теоремы 6, теоремы 1 п. I и теоремы 2.
Теорема 8. Если Е — циклический элемент, то множество
А его точек, принадлежащих другим циклическим, элементам,
счетно.
Доказательство. Согласно условию (ii) теоремы 6, не
существует точек, разделяющих множество Е. Поэтому (ср. § 46,
IX, теорема 3) множество В разделяющих точек пространства,

$ 52. Циклические элементы 319
принадлежащих /;, ие более чем счетно. Наконец, по теореме 4
Лей.
Теорема 9. Если Е[, Е2, ... — последовательность различ-
различных циклических элементов, то lim 6(?") = 0.
П->оо
Поэтому семейство всех циклических элементов, не сводя-
сводящихся к точкам, счетно.
Доказательство. Предположим, что это не так. Тогда
существуют такие две последовательности точек {ап} и {Ьп},
что
ап, Ьп?Еп, Нта„ = а, \\mbn — b и афЬ.
Из этого следует, что для достаточно больших значений п су-
существуют две непересекающиеся дуги апап+1 и bnbn+] (ср. § 50,
II, теорема 4). Но в таком случае пересечение связного мно-
множества
Z = ?n+lUaBan+,U &„&„+!
с множеством Еп не связно, так как
а множество Еп[]Еп+] либо пусто, либо состоит из одной
точки (по теореме 4). Этот вывод противоречит теореме 5' п. I,
так как Еп вполне дугообразно связно (по теореме 6 (i) и тео-
теореме 1 п. I).
Теорема 10. Всякое связное множество С, которое не
разделяется никакой точкой, содержится в некотором цикли-
циклическом элементе.
Более точно, если а и b — две {различные) точки множе-
множества С, то пересечение Е всех замкнутых, вполне дугообразно
связных множеств, содержащих эти точки, является требуемым
циклическим элементом.
Доказательство. Множество Е есть циклический эле-
элемент по теореме 6 (i), так как ordai(,^^2. С другой стороны,
если р ? С — Е и R — компонента множества S" — E, содержа-
содержащая р, то точка Fr(/?) (ср. I, теорема 4) разделяет С между
а и р или между b и р (в зависимости от того, какое из усло-
условий a=^Fr(R) или b^Fr(R) имеет место).
Теорема 11. Для того чтобы континуум L (содержащий
более одной точки) был вполне дугообразно связным, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы он был объединением циклических
элементов.
Доказательство. 1. Условие необходимо. Предполо-
Предположим, что точка р ? L не принадлежит никакому циклическому

320 Г.икш б. Локально щязныс пространства
элементу /,. Тогда сама точка р не является циклическим эле-
элементом и потому пе разделяет пространство. Следовательно
(ср. с теоремой 4), Ер — единственный циклический элемент, со-
содержащий р.
По предположению Ер — ].ф§. Пусть R — компонента мно-
множества Ир — ].. Так как множество L[)EP вполне дугообразно
связно относительно множества Ер (рассматриваемого как
пространство), то граница /¦? относительно Ер содержит (но тео-
теореме 4 из п. I) единственную точку, скажем (/. Таким обра-
образом, точка q разделяет Ер между Ер — 1. и Lf\Ep — (/, откуда,
согласно теореме 6 (ii), вытекает, что Lf]Ep~q = 0, т. е,
I,[)Ep = q; а так как Р ? LCI ЕР, то q = p и Lf]Ep-^-p. Поэтому
(ср. I, теорема 8) точка р разделяет пространство между Ер—L
и L — Ep> и, следовательно, L — Ер = 0, т. е. L — p = 0, откуда
L =¦- р, что и противоречит предположению.
2. Условие достаточно. Предположим, что континуум L
есть объединение циклических элементов, чго a, b ? /, н
ab — 1,Ф$. Тогда дуга ah содержит ноддугу cd, такую, что
G) Lf]cd = (c, d) и L-c
Очевидно, что or'\rill.?"^ 2. Поэтому существует цикли-
циклический элемент Е, такой, что с, d ? Е, откуда Е — ЬфО,
согласно G). Это неравенство приводит к противоречию, так
как из теоремы 8 вытекает, что множество Е П L счетно, а из
теорем 6 (i) и 5' п. I вытекает, что Е П Е — континуум (содер-
(содержащий по крайней мере две точки с и d).
Замечание. Вообще можно доказать, что связные, мно-
множества, являющиеся объединениями циклических элементов,
совпадают с вполне дугообразно связными множествами'1).
Теорема 12. Всякий континуум сходимости {содержащий
более одной точки) пространства .#* является континуумом схо-
сходимости содержащего его циклического элемента.
Доказательство. Пусть /С, К\, ...—такая последова-
последовательность континуумов и а, Ь — такая пара (различных) точек,
что
(8) Lim Кп = К,
II >оо
(9) а, Ь 6 К,
(Ю) К1ПК/ = 0 для (Ф1,
(II) КГ\Кп = 0 для «=1,2
') Ср. Уаш'к'рм [I, стр. 80J.

§ 52. Циклические элементы 321
Тогда множество Z = a\j b{J /(,11 К2[] ... связно между а и
b (согласно теореме 9 из § 46, IV). Из этого следует, что
A2) orda,ftjr>2.
Действительно, предположим, что р разделяет 3~ между а и
Ь; тогда одно из множеств /(„, скажем Ки содержит р. Но в
таком случае, согласно A0), точка р не принадлежит мно-
множеству (a U b U /C2U К3\] • • •), которое также связно между
а п Ь.
Таким образом, условие A2) установлено. В соответствии
с теоремой 6 (i) пусть Е — циклический элемент, содержащий
точки а и Ь.
Так как точки а и Л выбираются произвольным образом, то
A3) КаЕ.
Покажем, что /С — континуум сходимости множества Е, а
именно, что Е П Кп ~ континуум, такой, что
A4)
A5)
Но Е П Кп ~ континуум (по теореме 5' из п. I). Кроме того,
A6) Е[)Кп^® Для достаточно больших п.
Действительно, если предположить, что т, < ш2 < ... и Е П Km =
= 0, то окажется, что множество V =а U b \J KITIl U/Cmi U ¦.'.
связно между а и b (согласно теореме 9 из § 46, IV), а мно-
множество Е П V = (а, Ь) не связно; это противоречит теореме 5' п. I.
Итак, соотношение A6) установлено; соотношение A4) полу-
получается из теоремы 10 п. I (если положить L = E). Наконец,
соотношение A5) есть непосредственное следствие A1).
Лемма 13. Пусть заданы четыре дуги а{си а2съ ab и
, такие, что (рис. 13)
A7)
A8) а,с, пс1с2 = с], а2с2 П CiC2 = с2.
Тогда объединение a|C,U a2c2U ab содержит две дуги М и N,
соединяющие множество (а,, а2, а) с точкой b и множество
(аи а2) с множеством (си с2) соответственно, причем таким
образом, что
A9) () 0
21 Зак. 190

322
Глава 6. Локально связные пространства
Доказательство. Следует рассмотреть два случая.
1. ab f\((t\Ci U а2с2) = 0. В угом случае мы полагаем
М — ab и N — ti\C\ (или а2с2).
2. аб П («1^1 и«2с2)^0- Пусть /> — первая точка (ориентиро-
(ориентированной) дуги Ьа, принадлежащая объединению r/,c, [J (//,. По
соображениям симметрии можно считать, что /> ? «[С,. Тогда
и достаточно положить
М = а{р[] pb и N ~ а,С;.
Рис. 13
Лемма 14. Пусть в локально и глобально дугообразно
связном пространстве .#" заданы два непересекающихся замк-
замкнутых множества А и В, для которых не существует точки х,
разделяющей множества А — х и В — х. Тогда существуют две
непересекающиеся дуги, соединяющие А с В.
Доказательство1). Пусть ? — множество таких точек
х, что существуют дне непересекающиеся дуги, соединяющие
Л с х я А с В соответственно. Мы должны показать, что
Е[)В=?0. Покажем, что Е = X. ,
Так как пространство связно, то достаточно установить, что
B0) ?^0,
B1) Е открыто,
B2) Е замкнуто.
Пусть ab — дуга, неприводимая между А и В. Пусть
«1 6 {А —а). Так как пространство локально дугообразно связ-
связно, то существует дугообразно связная окрестность R точки ау,
') См. Уайбера 116].

§ 52. Циклические элементы 323
пс пересекающаяся с ab. Поэтому R а Е, откуда получаем
соотношение B0).
Пусть р 6 F-- Тогда существуют две непересекающиеся
дуги М и N, соединяющие Л с /; и с В соответственно. Если
R — дугооЗразпо епязная окрестность точки р, не пересека-
пересекающаяся с N, то легко видеть, что R<eE. Поэтому множество
1: открыто. _
Покажем, что /: = /:. Пусть q ? Е\ мы должны показать,
что q ? П. И силу предположения точка q не разделяет про-
пространство между А — q и Ii — q. Следовательно, множество .%' ~ q
содержит дугу ab, неприводимую можду А и В. Пусть /? —ду-
—дугообразно связная окрестность точки с/, не пересекающаяся с
ab. Тогда существует точка г ? В П R, а потому —дуга qr cz R,
такая, что
B3) qr[\ab=*0,
а также две дуги Р и Q, соединяющие Л с г и с G соответ-
соответственно и такие, что
B4) PflQ = O.
Можно предположить, что QOqr^Q, ибо в противном случае
дугу S, соединяющую Л с q, можно выбрать в P\jqr, откуда
S П Q = 0 и, следовательно, с/ ? Е.
Далее, пусть «,с, и а.2с.г — две такие дуги, что
B5) сис{ с Q, о, 6 Л,
B6) а1с,П?г = с„ а.2 ? Л,
B7) а2с, с= Р,
B8) «2^2 П ?Г = С~>.
Предположения леммы выполняются, а именно A7) выте-
вытекает из B5), B7), B4) и B3), а A8) следует из B6) и B8).
Итак, множество ахс{ U a2c2 U ab содержит две дуги М и N,
соединяющие Л с В и с (сь с2) соответственно, причем таким
образом, что удовлетворяется A9); поэтому (ср. B6), B8) и B3))
имеем
B9) M[\{N
В множестве N [)clc2[)qcl можно выбрать дугу, соединяющую
Л с с/, и из соотношения B9) вытекает, что q ? Е.
Теорема 15. В локально связном континууме Ж всякая
точка р порядка ^ 2 расположена на некоторой дуде apb {где
У)
') Ср. Ларис [3J, Более прямое докашо.чылий см. Айрсе [6],
21*

324 Глава 6. Локально связные пространства
Доказательство. Сначала установим эту теорему при
дополнительном предположении, что ни одна точка не разде-
разделяет Л\ т. е. что .Т — циклический элемент.
Можно считать, что р не разделяет никакой локально связ-
связный континуум С, поскольку всякая дуга, соединяющая в С
две точки а и Ь, принадлежащие различным компонентам мно-
множества С — р, содержала бы точку р (являющуюся их общей
границей).
При этих предположениях определим по индукции дне
последовательности точек а0, аи . .. и h0, bu ..., а также
последовательность не содержащих разделяющих точек ло-
локально связных континуумов Ео, Ei, ..., удовлетворяющие
следующим условиям:
C0) апФЬп,
C1) ап, Ьп ?Еп-р,
C2) p?EnczEn_u
C3) й(?„)< 1/п.
Пусть Ей = X, а а0 и 60~Две такие точки, что
а0фЬ0 и
Предполагая, что а„_,, 6rt_, и ?„_, удовлетворяют условиям
C4) а„_1=^&„_,, а„_ь fc,,_, ? ?n-i-p.
C5) р 6 ?„_„
обозначим через С„ локально связный континуум, такой, что
C6) С„с=?„_„
C7) а„_„ 6„_, 6 Я„_,-С„,
C8) Й(С„)< 1/п,
а через р — точку множества С„, внутреннюю относительно
?„_,; тогда (ср. § 51, II, теорема 4)
C9)
так как ?„_] не содержит разделяющих точек.
Согласно C9), теореме 6 (i) и теореме 10 из § 51, V, точка
р принадлежит циклическому элементу множества Сп, скажем
Еп, такому, что ЕпФр. Согласно C7), отсюда следует, что
а„_ь Ьп^\ ^ Еп_\ — Еп. Так как множество ?n_i не содержит
разделяющих точек, то по теореме 14 существуют две дуги
ап„;ап и />„_!&„, такие, что
D0) а„_,а„ U 6»-1&„ = ?„_,,
D1) а„_,а„П &„-(&„ = 0, a^-j-г,, П^ = «» и bn-Xbn[\En = Ьп.

52. Циклические элементы 325
Из D1) и C8) следует, что выполняются условия C0) —C3)
(ап*?*р, ибо в противном случае точка р разделяла бы конти-
континуум Е„[)ап^ап).
Положим А = аоа{ \J a{a.2 (J .. . и В = bobt U b{b2 U • • • •
Покажем, что А[]р\]В есть дуга aopbQ.
Действительно, A (J р (так же как и B\jp) — дуга, ибо
р?Я'-А, согласно C2) и D1), и ат_,ат с: (?„,_,-?m)U«m.
согласно D0) и D1), откуда получаем (в силу C2)), что
i U ... U а„_,ап) П а„ап + 1с(?0-?„ U а„) П (En-En + l U а„ + 1) = а„,
и, согласно C2), C3) и D0),
Limart_,art = p.
Наконец, дуги A\j р и В Up имеют единственную общую точку
р, так как, согласно D1), А Г) В = 0.
Таким образом, в случае, когда SC — циклический элемент,
теорема доказана.
Общий случай сводится к предыдущему. Как и раньте,
можно считать, что р не является разделяющей точкой. Но
тогда из соотношения ordp^"^2 вытекает по теореме 6 (i) и
теореме 10 из § 51, V, что р принадлежит циклическому эле-
элементу, содержащему более одной точки.
Теорема 16. Всякая пара точек рФ(] локально связного
континуума X', не содержащего разделяющих точек (следова-
(следовательно, любая пара точек циклического элемента), содержится
в некоторой простой замкнутой кривой.
Доказательство. Прежде всего заметим, что р при-
принадлежит простой замкнутой кривой. По теореме 15 существует
дуга apb; с другой стороны, так как множество 3'— р связно
по предположению, оно содержит дугу cd, неприводимую между
ар и pb. Искомая простая замкнутая кривая, содержащая р,
получается путем добавления к cd дуг ср и pd (содержа-
(содержащихся в apb).
Далее, пусть Р и Q — две простые замкнутые кривые, содер-
содержащие р и q соответственно. Необходимо рассмотреть три
случая.
(а) Р П Q — 0- В этом случае по теореме 14 существуют две
непересекающиеся дуги А к В, неприводимые между Р и Q.
Легко видеть, что объединение Р U Q U А [} В содержит простую
замкнутую кривую, соединяющую р с q.
(Р) Пересечение Р П Q состоит из единственной точки г.
Пусть R — дуга, содержащаяся в 3' — г и неприводимая между

326 Глава 6. Локально связные пространства
Р и Q; тогда объединение Р U Q (J R содержит простую замкну-
замкнутую кривую, соединяющую р с q.
(у) Наконец, если пересечение Р П Q содержит (по крайней
мере) две.точки, то точки р и q принадлежат простой замкну-
замкнутой кривой, содержащейся в Р U Q.
Теорема 17. Для того чтобы множество, содержащее бо-
более одной точки, было циклическим элементом, необходимо и
достаточно, чтобы оно было насыщенным относительно су-
существования для любой пары его точек простой замкнутой
кривой, содержащей эти точки.
Доказательство. Условие необходимо. Если Е — цикли-
циклический элемент, то по теореме 16 всякая пара его точек при-
принадлежит простой замкнутой кривой, содержащейся в Е.
Согласно теореме 6 (ii), множество Е насыщено относительно
этого свойства, ибо всякое множество, обладающее им, не со-
содержит разделяющих точек.
Условие достаточно. Всякое множество Е, удовлетворяющее
этому условию, не содержит разделяющих точек. Поэтому оно
содержится (ср. с теоремой 10) в некотором циклическом
элементе Е*. Так как всякая пара точек Е* содержится (как
только что было доказано) в простой замкнутой кривой, ле-
лежащей в Е*, а Е насыщено относительно этого свойства, то
отсюда следует, что Е* cz E и потому Е = Е*.
Ш. Продолжимые свойства1)- Полезность разбиения ло-
локально связного континуума на циклические элементы объясня-
объясняется, вообще говоря, тем, что континуум имеет дендритообраз-
ную структуру относительно своих циклических элементов2).
Многие свойства всего пространства связаны только с анало-
аналогичными свойствами его циклических элементов. Такими
являются продолжимые свойства. Так мы будем называть вся-
всякое свойство (множества), которым обладает все пространство,
если этим свойством обладает каждый циклический элемент.
Свойство, которым обладает всякий циклический элемент,
при условии, что им обладает все пространство, мы будем на-
называть приводимым.
') См. Куратонский и Уайберн [2, стр. 322]. Там можно найти много
примеров продолжимых свойств.
2) Ср. также Уоллес [i]; ациклическими элементами аптор называет
компоненты множества разделяющих точек и концевых точек; теория ацикли-
ациклических элементов двойственна по отношение к теории циклических эле-
ментоз,

§ 52. Циклические элементы 327
Теорема 1. Пусть F —семейство замкнутых подмно-
подмножеств локально связного континуума .\ такое, что
A) (х) ? F для любого х 6 %•
Следующее свойство Р множества Е продолжимо:
Для всякой пары (различных) точек х, у ? Е существует
множество F ? F, разделяющее эти точки.
Доказательство. Предположим, что всякий цикли-
циклический элемент обладает свойством Р. Пусть а и Ь — две раз-
различные точки. Покажем, что существует множество F ? F, ко-
которое их разделяет.
Если а и b принадлежат некоторому циклическому элементу
Е, то по предположению существует множество F a F, разде-
разделяющее Е между а и Ь. Это множество разделяет и все про-
пространство между этими точками (по теореме 6 (i) п. II и тео-
теоремам 1 и 5 п. I).
С другой стороны, если не существует циклического эле-
элемента, содержащего а и Ь, то по теореме 6 (i) из п. II мы
имеем ох&а%ь??^\ и, следовательно, существует точка х, раз-
разделяющая а и Ь. В соответствии с A) для завершения дока-
доказательства достаточно положить F = (x).
Если в качестве F последовательно берутся семейства
1) конечных множеств,
2) замкнутых счетных множеств,
3) замкнутых множеств размерности <!ге (гс = 0, 1, 2, ...),
то из теоремы 1 в сочетании с теоремой 9 § 51, IV и
следствием 1Ь § 27, II вытекает следующая
Теорема 2. Следующие свойства множества Е продол-
жимы:
(i) быть регулярным,
(и) быть рациональным,
(in) dim?^ra (для л=»1, 2, ...).
Теорема 3. Наследственная локальная связность — про-
должимое свойство.
Доказательство. Предположим, что локально связный
континуум ?С не является наследственно локально связным. Тогда
он содержит (по теореме 2 из § 50, IV) континуум сходимости /С
(состоящий более чем из одной точки). Согласно теореме 12
п. II, множество К является континуумом сходимости некото-
некоторого циклического элемента Е.
Отсюда следует (согласно теореме 2 § 50, IV), что Е не
является наследственно локально связным.

328 Глава 6. Локально связные пространства
Теорема 4. Дугообразная связность связных подмножеств
множества Е — продолжимое свойство.
Доказательство. Пусть С — связное множество, и пусть а
и b — две (различные) точки С. Пусть А — дуга ab и S —мно-
—множество всех точек, разделяющих пространство X между а и Ь.
Положим F = S U a U Ь. Очевидно, что FczC f| А.
Так как F = F (ср. § 49, IV, теорема 3), то множество А — F
является объединением последовательности (открытых) смеж-
смежных интервалов
a.\b\ — a.\ — b\, a2b2~ а2~ Ь%
Из этого вытекает, что
B) отда^Я > 2.
Действительно, в противном случае существовала бы точка р,
разделяющая пространство между at и 1ц, а следовательно,
между а и Ь, поэтому выполнялось бы включение
Р € F П (afii - at - bt),
что невозможно.
Пусть Е1 — циклический элемент, содержащий а/ и \ц. Так
как множество С |"| Е1 связно (по теореме 5' п. I) и, следова-
следовательно, дугообразно связно (по предположению), то существует
дуга (afitfczC |"| Е1. Положим
C) s = f
Так как ВаС, то остается только показать, что В —дуга.
Рассмотрим отображение /: А—* В, такое, что
(i) f(x) = x для x?F,
(ii) сужение /la/ft/ есть гомеоморфизм дуги atbi на {atbi)'.
Покажем, что отображение f взаимно однозначно и непре-
непрерывно. Для этого покажем, что
D) Л П Е1 = a,bt.
Из включения ah bi(~E' по теореме 5' п. I следует, что
E) 1
С другой стороны,
F)
Действительно, точка а, разделяет V между aat — я, и bt (так
как at?F). Поэтому из включения x^{aat — at) следует, что

$ 52. Циклические элементы 329
ordx,(, .T = 1, откуда, согласно теореме 6 (ii) п. II, получаем
х ? к - Е'.
Таким образом, первое равенство F) установлено, а второе
получается из соображений симметрии.
Из соотношений E) и F) непосредственно вытекает D), сле-
следовательно, Е'ФЕ1 для 1Ф'}.
В соответствии с замечанием к теореме 6 п. II пересечение
Е П Е^ либо пусто, либо состоит из единственной точки р, раз-
разделяющей пространство между любой парой х(~Е' — р и
y?EJ—p- Принимая во внимание включение E), получаем,
что точка р разделяет пространство между а и Ь, а потому
p?F.
Таким образом,
G) E'nEJ<=F и F{]Eld{ah bt),
где последнее включение является следствием D).
Из включений G) вытекает, что функция f взаимно одно-
однозначна. Действительно, имеем
f(A)^f(F)U\Jf(aibl-al-bl),
i
f(F)(]f (afii - а,- - ht) = F П {afitf -a,- bt<=F (] El - (a,, bt) = 0,
f {aibi -ai-bi){]f (a,bj -a,- b,) =¦
= [(ЧЬУ - a,- - bi\ П [(a/fr/Г -a,- b,]cz
czElr\E'{]F-(ah Ь„ а„ bj) = O.
Наконец, функция f непрерывна. Это очевидно, если семейство
дуг afii конечно. Если это семейство бесконечно, то, согласно
теореме 9 п. II,
Птб(?'/) = 0, поэтому lim й(а,-/;;)' = 0,
/->ОО /->0О
откуда следует непрерывность функции /.
Замечание. Применяя теорему 10 из § 50, IV или слегка
изменяя доказательство теоремы 4, можно показать, что сле-
следующие свойства продолжимы:
(i) всякое связное подмножество множества Е есть полу-
континуум;
(ii) всякое подмножество множества Е, связное между двумя
точками, является дугообразно связным между этими точками.
Теорема 5. Уникогерентность является продолжимым и
приводимым свойством,

330 Глава 6. Локально связные пространства
Доказательство. Предположим, что локально связный
континуум X не является уникогерентным. Пусть (в соответ-
соответствии с теоремой 6 из § 50, III) К и L — два локально связ-
связных континуума, а Л и В —два замкнутых множества, удо-
удовлетворяющих условиям
(8) &-K[)L, K(\L = A\)B, А{]В=0, АфОфВ.
Пусть ab — такая дуга, что abczK, ab(]A — a и ab{\B = b. От-
Отсюда следует, что
(9) ordOiiJT>2.
Действительно, если бы точка р разделяла X между аи Ь, то
мы получили бы, что
p?(ab(\L),
и, следовательно,
A)U(ab(]B) = (a, b),
т. е. либо р — а, либо р = Ь.
Пусть Е — некоторый циклический элемент, содержащий а
и Ь. Тогда, согласно (8),
Е - (Е П К) U (Е П L), (Е П К) П (Е П Ц = (Е (] A) U (А {] В),
Так как множества Е П К и Е П L — континуумы (по теореме 5'
п. I), то установленные выше соотношения показывают, что ци-
циклический элемент Е не является уникогерентным.
Итак, уникогерентность — продолжимое свойство. Согласно
теореме 9 из п. I, оно, кроме того, и приводимо.
Замечания. Континуум Ж называется п-когерентным,
если для любого разбиения Ж = К U L на два континуума
пересечение К П L содержит не более п компонент1).
Для n-когерентного континуума X положим rC') — n—i.
Тогда2)
()
где Е1, Е2, ... —последовательность циклических элементе», не
сводящихся к отдельным точкам.
Следующая формула позволяет вычислить порядок прост-
пространства в точке р, если он конечен3):
ordp#" = m (p) - и (р) + 2 ordp?',
') Эйлспберг [Ю].
2) См.. например, Уайберн [I, стр. 85].
3) См. Куратовский и Уайберн B, стр. 326J.

§ 52. Циклические элементы 331
где т(р) — число компонент множества Ж — р, а ?', Е2, ...
. .., ?"а'> — система циклических элементов, содержащих р, но
не сводящихся к р.
IV. 0-кривые. Так называется континуум, являющийся объе-
объединением трех дуг, имеющих одни и те же концевые точки и
не имеющих никаких других общих точек (подобно букве 6).
Класс локально связных континуумов, не содержащих 0-кри-
вых, представляет собой важное обобщение дендритов (так,
например, всякий континуум такого вида гомеоморфен границе
некоторой области, расположенной на плоскости1)).
Теорема 1. Всякий локально связный континуум .%', не
содержащий в-кривых и разделяющих точек, является простой
замкнутой кривой (за исключением случая, когда он состоит
из одной точки).
Доказательство. Так как пространство SC не является
дендритом, пусть С —простая замкнутая кривая, содержа-
содержащаяся в ii'. Предположим, что ЖфС. Пусть R — компонента
множества Я' —С. По предположению Fr(/?) содержит по край-
крайней мере две точки. Следовательно, существуют (ср. § 50, III
теорема 7) две (различные) точки р, q?Fr(R), достижимые и?
области R, а поэтому дуга pq<=.R\J p [) q. Так как Fr (R)czC
(ср. § 49, III, теорема 3), то р, q?C, следовательно, С U pq
есть 8-кривая.
Теорема 2. Каждое из следующих условий необходимо
и достаточно для того, чтобы локально связный континуум .:1'
не содержал ^-кривых:
(i) всякий циклический элемент {содержащий более одной
точки) является простой замкнутой кривой;
(ii) для всякой пары точек р, q имеем ordp, q№ ^2.
Доказательство. 1. Условие (i) необходимо по теореме 1.
2. Из условия (i) вытекает (ii). Если точки р и q не принад-
принадлежат циклическому элементу, то ordp, r^*=l (по теореме 6 (i)
п. II). Если Е — циклический элемент и, следовательно, про-
простая замкнутая кривая, содержащая р и q, то ordPi qE — 2, от-
откуда по теореме 6 из п. I получаем ordp,q%'— 2,
3. Условие (и) является достаточным. Если р и q — точки
ветвления б-крив'ой б, то ordp78 = 3. Итак, если 8cf, то
Теорема 3. Всякий локально связный континуум X, не
содержащий 0-кривых, регулярен, и всякое связное подмно-
жест во континуума $' дугообразно связно.
') См. Лйрес [2].

332 Глава 6. Локально связные пространства
Доказательство. Это следует из теоремы 2 (i) и тео-
теорем 2 (i) и 4 п. III.
Теорема 4. Если К не является локально связным под-
подконтинуумом локально связного континуума it', то существует
кривая 0 = (o&)oU(«ft)i [}{ab},, такая, что для г = 0, 1, 2 дугу
{ab)i можно соединить с К континуумом Qh не пересекающимся с
l \\J(ab)i+2 {индексы берутся по mod3')).
Доказательство. Согласно теореме 1 из § 49, VI, мно-
множество К содержит континуум сходимости (не сводящийся к
точке). Поэтому в К существуют последовательность непере-
непересекающихся континуумов /С|, /С2, ... и две сходящиеся после-
последовательности точек, такие, что
lirn ипф lim о„, и ип, vn^Kn-
П->оо П-*оо
Так как пространство локально дугообразно связно, то можно
считать, что Л и б —два локально связных континуума, таких,
что
A) Ц(), Mj, U'2 С Л, Uo> fli ^2^ В И Л I) D = 0.
По теореме 3 из § 50, II пространство SC является объедине-
объединением конечного семейства F локально связных континуумов,
которые настолько малы, что если К\, Л*, б* обозначают объе-
объединение элементов F, пересекающихся с Кь Л, В соответст-
соответственно, то
B) л* п в- = о = к; п к; = к; п к*2 = к; п к;.
Пусть Р(<7( — такая дуга, что
(о) Pitft ! 1 Л = р^, PiQi П ^ ~ ^i И PiQi^~-1\ i (^ ^^ 0, 1, л).
Пусть poPi и ?/of/[ —две дуги, содержащиеся в Л и В соответ-
соответственно. Кривая
С = PoPi U PiQi U <7i<7o U <7оРо,
очевидно, является простой замкнутой кривой. Соединим дуги
PoPi и <7О<7, в континууме Л U K U В некоторой дугой, скажем
{аЬ\г, так, чтобы только ее концевые точки принадлежали рор\
и 4V7, соответственно. Тогда C[){abJ есть 0-кривая.
Действительно, согласно B) и C),
)-i с: (р0, <7о) и р^! П (а&J <= (Рь <7i)-
') См. Куратоиский [22J. Эта теорема будет применяться в § 59, II, 4.

,<J 52. Циклические элементы 333
Полагая С = (abH{J(ab)u получаем
D) (аЬ),аЛи K]\i В, а?А, Ь?В (i = 0, 1, 2).
Из соотношений А' П (аЬ\Ф0ФВ* (](аЬ), и Л*Л#* = 0 вытекает,
что (aft);^^* U В*. Следовательно, согласно D), существует точка
ci ? А'*~~ (^* U В*). По определению /С* точка сг принадлежит кон-
континууму Qi^F, такому, что
(б) Q,n/
Так как сF Qi Ф (Л* U В*), то по определению А" и В*
F) B,П(ЛиВ) = 0.
С другой стороны, включение E) вместе с равенствами B)
дает
G) QnK;+1=o = Q,n/<;+2.
Из соотношений D), F) и G) вытекает, что
Q!(](ab)i+i^O^Qi(](ab)l+2.
Таким образом, в силу E), Q; —искомый континуум.

ГЛАВА 7
АБСОЛЮТНЫЕ РЕТРАКТЫ.
ПРОСТРАНСТВА,
СВЯЗНЫЕ В РАЗМЕРНОСТИ п.
СТЯГИВАЕМЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 53. Продолжение непрерывных функций. Ретракция
I. Отношения т и т„. Пусть Я' и 2/ —дна метрических про-
пространства, и пусть ФсУ* и Л с Я'; обозначим через Ф | Л мно-
множество всех сужений f \ Л, где [?Ф. В частности, "JJV \ А — мно-
множество функций, принадлежащих УА и допускающих непре-
непрерывное продолжение на Я'.
По определению символ Я'х'И означает, что
любого F = Fcz.r,
т. е. что всякая (непрерывная) функция f: F—>У допускает
(непрерывное) продолжение /*: :Г->У1). Положим
Е
где Е пробегает все окрестности множества А.
Таким образом, соотношение f^(:<i/v\vA) означает, что
функция / допускает продолжение /* па окрестность Е множе-
множества Л, т. е. _____
f cr /* ^ УЕ, где А П :Ь' - Е = 0.
Мы используем символ Я\^У для обозначения того, что
у? =. B/:У \v F) для любого F = Fcz.T; другими словами, -/го
будет означать, что каждая функция, ирппадлеж'ицая У1', до-
допускает продолжение на окрестность F.
Примеры и замечания, (i) По теореме Тнтце (§ 14, IV)
интервал в обладает следующим свойством:
tl'xfj для любого метрического пространства Я".
Пространства °У, обладающие указанным свойством интер-
интервала, называются абсолютными ретрактами (AR) (см. п. III).
(и) Если & — полиэдр, то Л'х^У для любого :1' (см. п. Ш).
Пространства У, обладающие этим свойством, называются
абсолютными окрестностиыми ретрактами (ANR).
') Ср. Уоллес [3].

§ 53. Продолжение непрерывных функций. Ретракция 335
(iii) Если пп есть /г-мерпый шар и ?Рп~\ — соответствующая
сфера, то отношение С1п%^п_х не имеет места (§ 23, III, след-
следствие 1а).
(iv) Из условии f/хЯ" следует, что Я' дугообразно связно
(ср. и. IV). Соотношение У"хиЯ' характеризует пространства,
называемые связными в размерности < п (они будут изучены
в п. IV).
(v) Соотношение .Тт??п эквш алептно соотношению dim Jit' ^«
(см. п. VI).
(vi) Соотношение dim Я' ^ 0 эквивалентно предположению,
что Я'хУ для любого 6Уф0.
Рассматриваемое предположение вытекает из этого соот-
соотношения согласно IV (i). Обратная импликация следует из та-
такого утверждения:
(vii) Если dim .'Г >0 и Я'хУ, то У связно.
Доказательство. Предположим, что
Ло U И, с: ."/¦', ЛоП/1,-О, Л^А, (/-0, 1),
2/ = Bn U В и Во П Bi = 0, h, 6 П, = В,-.
Если Я'хУ, то отображение /: yi0LMi—>#, определяемое равен-
равенствами ДЛ/) = 6/, имеет продолжение g: .%'-+'&. Полагая
Fi*=8~4Bj), получаем
.V=>F0[)Ft, FoftF^O и A}czFl = Ti.
Отсюда следует, что dim .'it* = 0.
(viii) Отношение х на транзитивно.
Доказательство. Имеем {рхЗхё? (согласно (i) и (v)),
и то время как отношение e'4uf не имеет места (ср. (iii)).
(ix) Отношение х не рефлексивно.
Согласно (vii), никакое несвязное пространство X положи-
положительной размерности не удовлетворяет отношению З'х:'1\
П. Операции. По определению функция g есть продолжение
функции /, если
Е [// = /(*)] <= Е [// = ?(*)].
В таком случае мы будем коротко писать: fcg.
Если /: Л-> У н я: В ->У, то положим
f + /?=E[// = /(x)]UE[i/ = gW]1).
х. и х, и
') Для того чтобы п:|Г)сжя'п> недоразуиоиий, ми будем писать f + ц
вместо / 4- у, если и пространстве 1J определено сложение.

33E Глава 7 Абсолютные ретракты
Напомним (ср. § 13, V, теорема 3), что если множества А
и В замкнуты, а непрерывные функции f и g совпадают на
А(]В, т. е. f(x)--=g{x) при х?Л()В, то (f + g): А\]В-*У~
непрерывная функция.
Теорема 1. Пусть F = Fcz.T. Из условия ~l'xv& выте-
вытекает Fxv&, а из условия Хх& следует Fx&.
Доказательство очевидно.
Теорема 2. Пусть 2^ = ЛоU ^i. Л = Л и А\ = А{. Если
ХхьАй, Я'хг,А1 и 3~xvAoflAu то .%'xv{A0[) Л,).
Если 'хА0, %хАх и .ГтЛоПА, то d'x{An\} А{).
Теорему 2 мы выведем из следующей леммы, которая также
будет использоваться в дальнейшем.
Лемма 2'. Пусть (для / = 0, 1)
A) & = AoUAu Л/ = Л/,
B) Sr = B0\JBl, B, = B,,
C) F = F a ,T, f: F -> У непрерывно,
D) F(]Bl = fi(Al),
E) B,xvAlt
F) (f I F П fl0 П S.) 6 Mo U Л,)й'пд' U П Во П S.l-
//p« этих предположениях
G) f6»*l,F.
Более того, если индекс v вычеркнут в соотношениях E) и F),
то его можно вычеркнуть и в G).
Доказательство. Согласно F), имеем
(8) (/|/7ПйоПВ.)я
где Я —замкнутая окрестность множества ^ПвоП^ относи"
тельно В0(]Вй поэтому
(9)
Положим fj = f\Ff\B. Согласно (8), получаем, что
A0) fi(x) = f(x) = g{x) для хб^ПВоПВ,-
Так как F Л В/ Г) Я cz F П Sofl i3,, то из A0) следует, что
A1)

f 53, Продолжение непрерывных функций Ретракция 337
Множество Ff\B/f\H ость замкнутое подмножество Bf, следо-
следовательно, в силу E)
A2) fi + S^g^A^l,
где V i ~- замкнутая окрестность F(]Bj[)H относительно Bf,
поэтому
A3) Ff\Bj^Vi = 0.
Положим E = (Vo[)Vi)-VonVif\H и h, = g, \Е П К,. Так как
, = //, то, согласно (8), A1) и A2),
а так как (Е П Vn)\J(Ff) 1/,) = Е, то (Ло + /г,): ?-> 3/ - непре-
непрерывная функция. Остается показать, что Е — окрестность F,
т. о. что
i\A\ F Л 97 — F = О
и
A5) /сАо + А,.
Соотношение A4) выводится следующим образом:
.Г - Е с [.ЯГ - (Ко U К,)] U (Ко ПК,- Я),
F П Я' ~ (Ко U К,) = F П So ~ (Ко U К,) U F П S, ~ (Ко U К,) с
c=(FnSo-Ko)U(/7nS1-K,) = O (ср. A3));
/7ПКоПК,-ЯсгРПВоПб.-// = О (ср. (9)).
Наконец, так как F П 5/ ci E Г) К/, то, согласно A2), f/Czhj,
а это дает включение A5).
Чтобы доказать вторую часть леммы 2', достаточно положить
Н = Bof\ Bi и Vj = Bj в предыдущем доказательстве. Тогда мы
получим, что Е ~ %.
Доказательство теоремы 2. Предполагая, что усло-
условия C) удовлетворяются, положим
Из этих соотношений немедленно вытекают условия B) и D).
Из отношения il'xvAj вытекает E) (по теореме 1). Наконец,
Зак. IU|)

338 Глапа 7. Абсолютные ретракты
отношение Я'х.иЛй[\ А\ дает F). Следовательно, из леммы 2'
вытекает G), откуда получаем :l"xv&.
Если индекс v опустить в предположениях, то его можно
опустить и в заключении; отсюда получаем вторую часть тео-
теоремы 2.
Теорема 3. Пусть & = A0{J Л{, Ло=Ло и А1 = А1.
Если .Vxv(A0\J Л,) и Я'хи(Аа(] Л,), то ¦°l'xvAj для / = 0, 1.
Если .?'т(ЛоиЛ,) и .°Гх(А00 Л,), то Я'тА/ для / = 0, 1.
Доказательство. Пусть F — F cz .¦}' и отображение
f: F ~> Ай непрерывно. Нужно определить окрестность V мно-
множества F, такую, что f?An\F. Из предположения .°1'х0 (Ло U Л,)
вытекает существование продолжения h: П —>(Al]\JA[) отобра-
отображения /, где Е — замкнутая окрестность множества F. Пусть
Ej — /Г1 (Aj). Тогда
A6) E = E0\jEh Fez По и A(?or)?i)<= Л„ П А\.
Ич последнего включения вытекает (в силу отношения
.t'xv{A(_i\J A\)) существование продолжения #: Q->¦(Д)ПЛ|) ото-
отображения /г^оП^ь где Q —замкнутая окрестность множества
Ео П Е\ в ?ь т. е.
A7) ?-t — Q П ^о = О.
Положим
A8) K = /?oUQ и Г = (Л I /:„) + ц.
Из этого следует, что f cz f ? А», так как (ср. A6) п A8)) /•" си V
Наконец, V — окрестность множества F. Действительно,
согласно A6) и A7), имеем
а это показывает, что V — окрестность F в Е и потому в ."?'
(ибо Е — окрестность F в .?/).
Для доказательства второй части теоремы 3 положим Е = .1'
и Q = EU откуда получаем V = ."l' (согласно A6) и A8)).
Теорема 4. Пусть &и У.^ ...—(конечная или бесконеч-
бесконечная) последовательность пространств; ,i'x(:'J\ X "Уч X . . .) тогда
и только тогда, когда Л"х:Ук для каждого k.
Если последовательность конечна, то х можно заменить
на т„.

S 5,'i. Продолжение непрерывных функций. Ретракция 339
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть % ~ У\ X ?/. X .. . . Предполо-
Предположим, что Я'х%. Покажем, что Я'т.У{. Пусть pk — фша-нров.ш-
пая точка пространства :'Jk для к = 2, 3, . . . . Пусть /•' = /•" с.Г
и отображение /: F—>:!/] непрерывно. Обозначим через g функ-
функцию, отображающую точку x?F в точку \f(x), p.,, рл, ...]
из %. По предположению существует продолжение /г: Я'—> %
отображения g. Полагая
/!(*)« [Л1 (*). Л2 (X) ,...],
получаем, что f a h ^ Й/f. Следовательно, Я'х'&{.
Обратно, предположим, что Я'х'&к для k=l, 2, .... Пусть
F = /•' cz Я' и отображение /: F—> % непрерывно. Пусть
/ = [/'. /2. •••]¦ Для каждого к по предположению существует
функция gk, такая, что
fk с gk ^ yxt ОТкуда fczg*=[gl, g2, ... ] 6 S r.
Поэтому .V-'xS.
Для того чтобы перейти к отношению xv, необходимо только
произвести в предыдущих рассуждениях следующие изменения:
(i) вместо /?: Я'—> % положим /;: Е~* %, где Е — окрестность
множества /¦';
(и) вместо gk: Я'-у ?Jk положим gk: Ек~>Ук, где Ек — окрест-
окрестность /•'; тогда множество E~Eif\ ... П Еп — окрестность /•",
а из этого вытекает, что f cz g — [g\ ..., g"](z'ZE.
Теорема 5. Если ,Т компактно, то из отношения J1 X Я'хВ
вытекает отношение Я'х'У7, а из отношения $ХЯ-'хх,У вытексег
отношение Я'х^'.У .
Доказательство. Пусть F = F"а Я' и f: F—>"?JT непре-
непрерывно. Таким образом, / сопоставляет каждому x?F непре-
непрерывную функцию fx: J'—y'i'J. Положим
тогда отображение g: {?XF -> & непрерывно, согласно теореме 2
из § 44, IV. Если ^хЯ'хУ, то существует продолжение
g*: (/X Л" ~> У отображения g. Поэтому функция /*, определяе-
определяемая равенством
f"x{t)~g'{t, х\
непрерывна и fci/*: X~>У .
Если ,f X Я'туУ, то существует (ср. § 41, IV, теорема 1)
окрестность Е множества F и продолжение g*: J1 X Е-*¦'& ото-
отображения g (g определяется, как выше). Тогда f czf" ?($?)'
22*

340 Глава 7. Абсолютные ретракты
Замечание. Топологией пространства Ух является, как
обычно, его компактно-открытая топология. Следует заметить,
что первая часть теоремы 5 справедлива также для топологии
непрерывной сходимости в пространстве Ух (ср. § 20, VI, опре-
определение 2) без предположения компактности J ').
Напомним (ср. § 13, V), что подмножество А пространства 3'
на !ывается ретрактом 3\ если существует непрерывное ото-
отображение, называемое ретракцией, /: 3'—у Л, такое, что/(х) = л:
для х?А.
Назовем А окрестностным ретрактом пространства 3", если
существует ретракция некоторой окрестности Е множества А
на А.
Теорема 6. Если 3"т0У и % — окрестностныи ретракт про-
пространства У, то 3'xv%. Если З'х'& и Z —ретракт У, то З'х%.
Дока зательство. Пусть F = F а 3' и /': F —> 2 — непре-
непрерывная функция. Из предположений следует, что
f<=g?yE и г: G->2,
где Е — окрестность F, G — окрестность 2 и г — ретракция G
на %.
Следовательно, множество Н = Е (] g~l (G) — окрестность F
и fczrg^Z"- Поэтому 3'xv%.
Чтобы доказать вторую часть теоремы, в предыдущих рас-
рассуждениях следует положить Е = 3' и G — У. Тогда Н — 3',
откуда получаем З'х%.
Теорема 7. Пусть J1 Ф- 0 — компактное метрическое про-
пространство. Тогда У является ретрактом пространства У'т. Следо-
Следовательно (ср. с теоремой 6), из отношения 3'xv& вытекает
отношение 3'хуУ, а из отношения 3'хУт следует отноше-
ние З'хУ.
Доказательство. Пусть ?о€с7*- Отождествим простран-
пространство У с семейством постоянных функций, принадлежащих У7,
и поставим в соответствие каждой функции f^&r постоянную
функцию f(to). Это соответствие есть ретракция УГ на У.
В самом деле, оно непрерывно, ибо
из limfn = f следует Mm /„(*0) = f (to),
и тождественно па У.
') См. также Ху Сы-цляи [3, стр. 187].

,<S 53. Продолжение непрерывных функций. Ретракция 341
III. Абсолютные ретракты.
Определение. Метрическое пространство У называется
абсолютным ретрактом (AR), соответственно абсолютным
окрестностным ретрактом (ANR), если
.ТхУ, соответственно Я'х^У
для любого (метрического сепарабелыюго) пространства FV ').
Примеры и замечания, (i) Согласно теореме Титце,
евклидово пространство У и куб fjn — абсолютные ретракты.
Более того, всякое выпуклое подмножество пространства &3""
есть абсолютный ретракт (см. § 28, IX, теорема 1, замечание).
(и) Очевидно, что
0^ = 0 для &ФЪ и 0° = @);
следовательно, пустое множество не является абсолютным ре-
ретрактом. Однако оно есть абсолютный окрестностный ретракт.
(iii) Всякий абсолютный ретракт дугообразно связен, а всякий
абсолютный окрестностный ретракт локально дугообразно связен.
(iv) Всякий полиэдр есть ANR (Борсук [6, стр. 227]). Всякий
дендрит есть AR (см. теорему 16, а по поводу более сильного
утверждения см. теорему 7 § 54, VII).
Это легко получается (по индукции) из теоремы 1 ниже.
(v) Группы Бетти (компактных) ANR имеют конечное число
образующих (см. Борсук [10, стр. 97] и Лефшец [1, стр. 129]).
(vi) В пространстве cf3 существуют AR, которые нельзя пред-
представить в виде конечного объединения меньших AR (см. Борсук
и Мазуркевич [2]). Кроме того, существует двумерный AR, ни-
никакое собственное замкнутое двумерное подмножество которого
не является AR (см. Борсук [24]).
Если У — конечномерное пространство, то из условия УХ&тУ
следует, что У является AR, а из условия У X &т„У следует,
что У есть ANR (ср. § 54, VII, теорема 6).
Из теорем 2, 3 и 4 п. II непосредственно вытекает следую-
следующее утгерждение (см. Ароншайн и Борсук [1]):
Теорема 1. Пусть Ло и Ai — два замкнутых множества;
если Ло, Ai и ЛоП Л\ суть AR (соответственно ANR), то таким же
является yiolMil если /101М, и ЛоЛЛ суть AR (соответ-
(соответственно ANR), то такими же являются множества Ап и А{.
') Это понятие принадлежит Борсуку [1]. Терминология связана с тео-
теоремой нч п. IV. Более детальное изложение см. в книге Ху Сы-цзяиа [3].
См. также Борсук [30] и [22], [23], [27]-[29]; ср. Мольский [1], [2J.

342 Глина 7. Абсолютные рагракты
Замечание. Однако из предположения, что Л(), Л) н
/lolMi суп» AR, пс следует, что Л0ГМ1 —тоже AR (даже для
полиэдра). (См. Бегль [1].)
Теорема 2. Декартово произведение У', X У,> X ... {соот-
{соответственно конечное произведение :'/, X ... X У„) есть AR (со-
(соответственно ANR) тогда и только тогда, когда каждое Ук
есть AR (соответственно ANR).
Замечание. Вторая часть теоремы 2, касающаяся ANR,
не допускает обобщения на бесконечные последовательности.
Действительно, пусть все Ук равны между собой и состоят из
двух элементов; тогда пространство 2/, X ^ X ... гомеоморфно
каиторову множеству <? и, следовательно, не является ANR,
хотя каждое из Ук есть ANR.
Теорема 3. Пусть J" — компактное метрическое простран-
пространство. Тогда пространство &т есть AR, соответственно ANR,
тогда и только тогда, когда таким является пространство У.
Следовательно, Ят и cf суть AR, а если У — замкнутый
полиэдр, го У'Г есть ANR.
Дока з а т е л ь с т в о. Если Ут есть AR (соответственно ANR),
то по теореме 7 из п. II таким является и У.
Обратно, если У есть AR, то J" X Жх'У для каждого .%',
а отсюда А'х'Ут но теореме 5 и.ч п. II. Но это означает, что Ут
есть AR.
Аналогично, если У есть ANR, то Уг — тоже ANR.
Сформулируем без доказательства следующее утверждение:
Теорема 4. Если Ж — локально связный континуум, то
пространство 2Г есть AR ').
Теорема 5. Для того чтобы (метрическое сепарабельное)
пространство У было абсолютным ретрактом (соответственно
абсолютным окрестностным ретрактом), необходимо и доста-
достаточно, чтобы для любого пространства 3», содержащего У как
замкнутое подмножество, У было ретрактом % (соответственно
окуестностным ретрактом %).
Д о к а з а те л ь с т в о. 1. Если У есть AR, то ZхУ. По-
Поэтому если /: У -> У — тождественное отображение, то /?.'Уг|#,
а это показывает, что У — ретракт %. Если У есть ANR, то
1^УИ\'У, где Я —окрестность У в 3.
2. Для доказательства того, что условие достаточно, пред-
предположим, что F — FczJi' и /: F ¦¦> У — непрерывная функция.
') Дока.]ательст1!о см, Воидиславский [1]

§ 53. Продолжение Hi'tipfpbtnHhix фцнкцш"/. Ретракции 343
Согласно следствию 2а § 28, IX, У можно рассматривать как
замкнутое подмножество пространства 2, такого, что /? S*|/-\
Следовательно, существует непрерывная функция ц: ..?'->• 3,
такая, что g(x) = f(x) для x?F. Предполагая, что г — ретрак-
ретракция ? на У (соответственно открытого множества Е на У),
получаем, что fczrg, откуда iVvil (соответственно Л'х„У).
Теорема 6. Всякий ретракт абсолютного ретракта является
абсолютным ретрактом. Окрестностный ретракт абсолютного
окрестностного ретракта есть абсолютный окресгностный ретракт.
Доказательство. Пусть У есть ANR, G— открытое иод-
множестно У, г: G -*¦ Л — ретракция, F = F cz/I' н f: F -> Л — не-
непрерывная функция. Тогда fcf*^.'JE, где ^ — окрестность F.
Положим H = f"~l(G). Из этого следует, что Fez II; таким обра-
образом, // — окрестность F, и fczrf^A". Следовательно, Л есть
ANR.
Если & есть AR, то рассуждаем аналогично, полагая G — У
и Е — .°1'. Тогда Я = .Ж* и f cz rf* ? Av. Следовательно, А есть AR.
Теорема 7. Компактные AR совпадают (топологически)
с ретракт а ми гильбертова куба ff*\ Компактные ANR совпа-
совпадают с ретрактами открытых подмножеств кцба //"" ')•
Доказательство. С одной стороны, так как с'/"" есть AR,
то всякий ретракт куба 3*« есть AR, а всякий ретракт откры-
открытого подмножества куба &*¦ есть ANR (согласно теореме 6).
С другой стороны, если замкнутое подмножество У про-
пространства с6/"" является AR, то оно —ретракт пространства И*"
(по теореме 5); если это подмножество — ANR, то оно —ретракт
открытого подмножества куба ?/*«.
Теорема 8. Пусть У — компактное пространство. Пели
3*тУ, то У есть AR. Если &*чуУ, то У есть ANR.
Доказательство. Будем рассматривать У как подмно-
подмножество ?/№ ; пусть f: У—* У — тождественное отображение. Если
0*хУ, то f czr ?У'у*°, т. е. У — ретракт пространства НА\ а, сле-
следовательно, по теореме 7 и абсолютный ретракт.
Аналогично, если с7"х"с?Д, то '& — ретракт открытого подмно-
подмножества куба <с/*~, а потому ANR.
Лемма 9. Пусть F = /•" с ."Г. Поло-жим
@) F° = FX8\] tl' X 0.
') Ворсук [6, стр. 223].

344 Глава 7. Абсолютные ретракты
Тогда
yxxir i ро = усх& |ро
Другими словами, всякая непрерывная функция /г: F°—*-?J,
допускающая продолжение на окрестность Е множества F0,
допускает продолокение на все пространство 3" X в'.
Доказательство. Так как 8 компактно, то существует
открытое множество G, такое, что FczG и G X Я ci E.
Пусть1) <р: 3"-+8 — непрерывная функция, такая, что
1,
о,
если
если
Р (х, А
X
X
6 F,
¦0)
-G;
например,
m ' И " ^--a) + p(xF)
В соответствии с предположением пусть /г0 — продолжение Л
на GX^U^'XO. Положим
h'{x, t) = ho(x, t-<f{x))>
Тогда отображение
h': WX?J->y непрерывно и h*(x, t) = h(x, t) для (х, t)?F°.
Теорема 10. Пусть У есть ANR. Если пространство Уу
дугообразно связно, то У есть AR2).
Доказательство. Пусть S* —пространство, содержа-
содержащее У как замкнутое подмножество. Покажем (в соответствии
с теоремой 5), что У — ретракт Ж.
Пусть ft: У—>У (/= 0, 1) —такие функции, что fu(y) = c и
fi(y)=tJ Дая У€"У- По предположению существует дуга, соеди-
соединяющая /о с /, в пространстве У'. Пусть g: Я -* Уу — такая
непрерывная функция, что До = /о и g\ = f\- Положим
h(x, t) = gt{x) для х?У и h{x,0) = c для л:^^'.
Положим Уй = (?У X cf) U (.^ X 0). Тогда отображение h: У0 -* ?У
непрерывно, согласно теореме 3 § 44, IV. Так как У есть ANR,
то из предыдущей леммы вытекает, что hcih' ^&vx^.
Положим г (х) — /г" (х, 1). Тогда flczr ^_&v, и, следовательно,
г: 3"-*¦ У — ретракция.
') Ср. с доказательством Даукера [1, стр. 232].
2) Случай компактного У см. Борсук [6, стр. 229],

§ 53. Продолжение непрерывных функций. Ретракция 345
Теорема 11. Всякий компактный AR обладает свойством
неподвижной точки1).
Доказательство. Теорема 11 следует из теоремы 7 и
теорем 12 и 14, приводимых ниже.
Теорема 12. Если У — ретракт пространства X, обладаю-
обладающего свойством неподвижной точки, то У также обладает этим
свойством.
Доказательство. Пусть /: X -> У — ретракция и
g: У-*¦ & — непрерывная функция. Так как gf: ,T-*&, то
gf: 3'-+.Т, и по предположению существует точка х0, такая,
что gf(xo)<=xo. Так как gf{xQ)?y, то хо?У, откуда f(xQ) = x0,
и, следовательно, g{xQ) = xQ.
Лемма 13. Пусть X — компактное пространство. Если
каждому е>0 соответствует непрерывное отображение \: &-+&',
такое, что
A) |/(*)-*|<в,
и если множество f{X) обладает свойством неподвижной точки,
то пространство ?1' также обладает этим свойством.
Доказательство. Предположим, что непрерывное ото-
отображение g: Я- -* .Т не имеет неподвижной точки. Так как про-
пространство X компактно, то существует е>0, такое, что
B) |?(x)-x|>e
для любого х. Пусть f — отображение, удовлетворяющее усло-
условиям теоремы; положим h(x) = fg{x) и F = f(.V). Так как ото-
отображение A: :l' -> F непрерывно, то непрерывно и отображение
(h\F): F^>F, а потому существует точка xo?F, такая, что
h{xo) = xo, т. е. fg(xo) = xo. Согласно A), | fg(х0)- g{x) |<е,
а следовательно, | х0 — g(xo) |<e, что противоречит B).
Теорема 14. Пространство if** обладает свойством не-
неподвижной точки 2).
Доказательство. Представим точки z?&*° в виде
z — [z1, z2, ...], где 0 < zn ^ 1, и положим
fn(z) = [z\ ..., z\ 0, 0, ...].
') То есть для всякого непрерывного отображения /: J?T—>."?Г существует
такая точка х, что j(x)=*x. Ср. Борсук [6, стр. 230].
2) Ср. Шаудер [1, стр. 173]. Ср. также Биркгоф и Келлог [1].

31E Глача 7. Абсолютные ретракчы
Тогда | /,,(г) — z |< 1/2" и множество fn(ffSl), как гомеоморф-
ныII образ замыкания /г-мерпого симплекса, обладает свойством
неподвижной точки (по теореме 1 § 28, III).
По лемме 13 пространство 8** также обладает этим свой-
свойством.
Теорема 15. Всякий циклический элемент [и, более общо,
всякое замкнутое вполне дугообразно связное подмножество)
некоторого абсолютного ретракта является абсолютным ре-
трактом.
Более того, если :? — локально связный континуум, то всякий
циклический элемент (и, более общо, всякое замкнутое вполне
дугообразно связное множество) является его ретрактом.
Доказательство. Пусть F — замкнутое вполне дуго-
дугообразно связное множество, и пусть Rh R2, ...—последова-
...—последовательность компонент множества X — F. По теореме 4 из § 52, I
множество Нг(/^„) состоит из единственной точки рп. Положим
)'(х) = рп для x?Rn и f(x) = x для x?F. Так как Ii(
(ср. § 52, I, теорема 7), то функция f непрерывна. Следова-
Следовательно, F — ретракт пространства ."?'.
С другой стороны, имеет место следующая ')
Теорема 16. Если всякий циклический элемент локально
связного континуума является AR, то весь континуум есть AR.
В частности, всякий дендрит есть AR.
Приведем без доказательства следующие теоремы.
Теорема 17 (вложения). Если У— компактное простран-
пространство (czf/*1), то существует бесконечный полиэдр Р, такой, что
& U Р — абсолютный ретракт '2).
Эта теорема является обобщением теоремы 1 из § 28, [X.
Теорема 18 (вложения). Для каждого и существует
(п + \)-мерный абсолютный ретракт, который топологически со-
содержит любое метрическое сепарабельное п-мерное простран-
пространство 3).
Теорема 19. Пусть Т — компактное пространство, F — зам-
замкнутое его подмножество и f: .СГ -*¦ У непрерывная функция,
такая, что
(f\.T-F): .T-F-+y
') См. Борсук [5, сгр. 211|
2) Доказательство см. Борсук |14, стр. 240].
3) Докататсльсизо см. Боте [1J.

§ 53. Продолжение непрерывных функции. Ретракция 347
— гомеоморфизм. Если 3,\ F и /(/-') суть ANR, го и У есть
ANR1)-
Замечания о локальной характсризацпн ANR. Простран-
Пространство называется ANR в точке р, если существует окрестность
точки р, являющаяся ANR.
Теорема 20 (Ханпсра). Пространства является ANR тогда
и только тогда, когда оно локально ANR в каждой из canix
точек'2).
Доказательство основывается на следующих утверждениях:
(i) Всякое открытс.е подмножество ANR есть ANR.
(ii) Объединение открытых ANR есть ANR.
IV. Связность в размерности п. Случай, когда <с/"хУ. Про-
Пространство У называется связным в размерности п, если
это означает, что всякое непрерывное отображение /: $"—>У
имеет непрерывное продолжение /*: пЛ v{ — у У:i).
Пространство "У называется локально связным в размер-
размерности п в точке р, если каждому е>0 соответствует г)>0, такое,
что всякая непрерывная функция /: р/п~>У, для которой
6 [р U fiS^n)] <rj, имеет непрерывное продолжение
Г- fift+i-*^. такое, что }'@)^р и 6 [/> U Г («„ , i)] <e4).
Пространство & называется локально святым в размер-
размерности п, если оно обладает этим свойством в каждой точке.
Более точно, под (л. с. я)-пространстном (соответственно
(с. «^пространством) мы будем понимать пространство, локально
связное (соответственно связное) в размерностях <п. Простран-
Пространство У мы будем называть ЬСп-пространством, если для каж-
каждого е>0 найдется такое ц>0, что всякое непрерывное отобра-
отображение /: ?f m —> У, где m = — 1, 0, ...,«, для которого б/ (<?",„) < ц,
допускает непрерывное продолжение /*: Gm+l->'&, такое, что
Гй )
') См. Уайтхед Дж. [1, стр. 1125] и (в случае конечной размерпоати)
Барсук A3, стр. 250].
2) Докамател) стйо см. Ханиср [1]. В случае компактного пространства
см. Ял:н|ма [I].
3) Напомним, что
р
4) Это понятие принадлежит Алексшгдеру и Лефшецу (см. Лофшец [1]),
См, также Куратовскнй [31],

348 Глапа 7. Абсолютные рстракты
Очевидно, что если У компактно, то оно является LC"-npo-
странством тогда и только тогда, когда оно является
(л. с. п + 1^пространством.
Для того чтобы установить условия, характеризующие
(л. с. «)-пространства, рассмотрим сначала одно вспомогатель-
вспомогательное понятие.
Пусть /6^"+'1в5р,1. Положим
где /* пробегает У "+1 и удовлетворяет условию /с/*.
Очевидно, что если / — константа, то %{f) = 0.
Для л. д. с. пространства У легко доказать следующую
лемму:
Лемма. Для того чтобы У было локально связным в раз-
размерности п в точке р, необходимо и достаточно, чтобы функция %
была определена в некоторой окрестности {относительно У^п)
постоянной функции /, принимающей значение р, и чтобы f
была точкой непрерывности %.
Другими словами, необходимо и достаточно, чтобы из ус-
условия lim 6[p Uf/(«5"n)] = 0 {означающего, что последователь-
последовательное
ность /ь /2. • • • равномерно сходится к постоянной функции /)
вытекало, что lim х(//) = 0.
Теорема \. Следующие условия (для УфО) эквивалентны:
A) У есть (л. с. п)-прост ранет во;
B) У есть окрестностный ретракт всякого пространства 2,
такого, что У замкнуто в % и dim (% — У)^.п;
C) если F = Fcz& и dim (% - /=¦)< п, то УР = yx\vF;
D) если dim^^n, то Л'х^У;
E) 8nivy;
F) если rfe = U Е [1рН !//)(/>€ 6*+i)] U @),
то УТк = Уб^1тк для k<n.
Теорема V. Условие
(Г) У есть (л. с. п)-прост ранет во и (с. п)-пространет во
эквивалентно каждому из условий (обозначим их номерами
B/)-(G')), получаемых соответственно из условий B)—F) заме-

§ 53. Продолжение непрерывных функций. Ретракция
319
ной слов «окрестное!ный ретракт» на «ретракт» и вычеркива-
вычеркиванием индекса v.
Доказательство теоремы 1. (Доказательство тео-
теоремы Г легко получить отсюда, заменяя Е я G на %' и V
на %.) _
A)=Н2). Если У = У и dim {% — У)^п, то, согласно след-
следствию 2а § 28, IX, существуют пространство Л\ содержащее 2/,
в котором У замкнуто, а .'Г — 2У — бесконечный поли др
размерности ^п, и непрерывное отображение g: %—>."?, та-
такое, что #(;/) = // для у^У. Таким образом, достаточно пока-
показать, что ?У — ретракт одной из своих окрестностей ? в Л'
(так как g~[(E) — окрестность У в 2). Последнее утверждение
докажем по индукции; покажем, что
(i) оно имеет место, когда dim (.?" — 2/) = 0;
(ii) если оно имеет место для dim(.?" —'#)^&, то оно также
имеет место для dim (.?' — #) = А + 1.
В случае, когда 3'~"J/ есть нульмерный (бесконечный)
полиэдр, он является дискретным множеством, состоящим из
(конечной или бесконечной) последовательности точек /?,, ръ ... .
Обозначим через fo(pi) точку множества У (которое не пусто
по условию), такую, что
\fo(pi)-Pi\<2p(Pi, 2/);
очевидно, это соответствие дает ретракцию 5С на У.
Теперь рассмотрим (ii). Пусть бесконечный полиэдр X — 2/
(размерности k + l) представлен как объединение симплексов
бесконечного комплекса; обозначим через R объединение всех
симплексов размерности ^k, а через ?),, Д>, ... обозначим
(? + 1)-мерные симплексы. Таким образом, симплексы Dt не
пересекаются, и их границы Di — Dl содержатся в R. Кроме
того, можно допустить, что lim b{Dt) — 0 ').
Так как dim R ^ k, то по предположению существуют ок-
окрестность G множества У (в Я?) и непрерывное отображение
/: (R П G U '&)-* У, являющееся тождественным отображением
на У. Положим ft = f \Dt — Dt для Dtci0. Пусть Е — объедине-
объединение множества к[\<Э[)У и всех симплексов Dt (содержащихся
в G), таких, что отображение ft имеет продолжение f!: Di—>&.
Выберем f\ таким образом, чтобы
G) в[
Симплексы Dt не пересекаются друг с другом и с У, поэтому
') Ср. Александрой и Хопф [1, стр. 144, «HUfssatz»J.

.'ПО Глава 7. Абсолютные ретракты
пусть /* = f + /* + /*+.... Мы должны показать, что П — окрест-
окрестность множества У и отображение /* непрерывно.
Пусть р?У a p — \\mpj, где pj ? •¦<*' — (У U R)- Так как
Л; П -У ="- 0, то, полагая р/6/)(/, можно допустить, что все
индексы ij различны. Следовательно,
(8) lim 6 (?>,.) = О
и
(9) HmefpU Z>,.1 = о-
Так как p6G, to для достаточно больших / получаем
DipG, откуда bij - DtjczR П G,
так что отображение / определено па множестве Dt. — D,-,
гомеоморфном e$V Так как отображение f непрерывно в точке р,
то из условия (9) вытекает, что
A0) Дт 6 [/(р) U [(/);,-/?,¦,.)] = ().
Поскольку пространство "У локально связно в размерности /г
в точке р, то из соотношения A0), которое, очевидно, эквива-
эквивалентно соотношению
A1) \unJ\p[jfij(DirDij)\^O,
вытекает, что Пгпх(/ь) = 0 (ср. с леммой).
Таким образом, начиная с достаточно большого /, каждое
отображение // имеет продолжение па Di Тем самым пока-
показано, что DiXzE, следовательно, pi¦ ? П. Таким образом,
р — внутренняя точка Е.
Кроме того, из неравенства G) вытекает, что
Принимал во внимание A1) и соотношение
приходим к выводу, что
l
откуда

§ 53. Продолжение непрерывных функций. Ретракция 351
Следовательно, отображение /* непрерывно.
B)=ФC). Е:слп F -¦-¦Fa.Г, dim (Я' — F) </г и отображение
f: F-> У непрерывно, то существуют (согласно следствию
2а § 28, IX) пространство %, содержащее 2/, такое, что
dim(S — ,;У)</г и У замкнуто в 2, и продолжение /0: Я'-* %
отображения /. Предположим, что имеет место условие B);
тогда существуют окрестность V множества У (в %) и ретрак-
ретракции g: V-> У. Отображение f* = gfo— искомое, так как оно
является продолжением отображения f, определенным на мно-
множестве Е = fa {]/), которое представляет собой окрестность мно-
множества F (в Я').
Импликации C)=ФD)=#>F) очевидны.
F)=К1). В соответствии с леммой мы должны показать, что
при условии F) имеет место следующее: если &<«, р?°У и
/ь !ъ . *.—последовательность функций, принадлежащих У°7к и
сходя|дихся к постоянной функции g'- ?Pk-*'&, принимающей
значение р, то
Положим f(x) = f/(jx) для \x\=l/j и /@) = р.
Очевидно, что f?&Tk. Поэтому, согласно F), fczf ^ Ур'к ,где
Ек — окрестность множества Тк. Так как 0 ? 7\, то существует
индекс /о, такой, что x^Blt для |jc|^1//o. Положим
Для x^rS^i, получаем
откуда
а так как /* @) --== / @) = р, то мы имеем
lim Г(х) — р\ следовательно, lim 6[/J(Sfc+l) 1 = 0,
откуда Iimx(//) = 0.
Следствия 2 и 2'. Каждое из следующих условий экви-
эквивалентно условию A) (для УфО):
A2) Если J" коми iktho и dim J" -¦= /j <«, го Ца~кх0Ут.
A3) ?с//н /г</2, го #то2г4

352 Г лапа 7. Абсолютные рстракты
Условие A') эквивалентно условиям A2') и A3'), которые
получаются из A2) и A3) вычеркиванием индекса v; в этом слу-
случае предположение компактности пространства J" может быть
опущено.
Доказательство. Из D) вытекает A2), так как если
dim f = k<n, то (ср. §27, VIII) dim (j1 X #""*)< п, откуда
(с/ X ?Jn~k)%vy, и, следовательно, #"" т^З/7" по теореме 5 из п. II.
Так как из A2) вытекает A3), то остается показать, что из
A3) следует A).
Пусть k<n, р?У и е>0. Так как пространство У^к ло-
локально связно в размерности 0 в точке р (по предположению),
то существует такое т]>0, что каждой непрерывной функции
/г: &к^>-У, для которой д[р [) h (a^)] <Ц, соответствует непре-
непрерывная функция f: в->¦ У^к, такая, что f0—P, f\ = h и
\fx~ P 1<е/2, так что
L Для каждого х?
Положим h'(t- x) = fx(t) для t^afk- Тогда
следовательно, 6 [р U Л* Fft+I)] < e.
Наконец, чтобы установить импликацию A3')==ЦГ), опустим
условия е>0 и ti>0 в предыдущем доказательстве. Таким об-
образом, каждому непрерывному отображению h: &'k~>& соот-
соответствует непрерывное отображение К": (zk+]-*'&, такое, что
hczh' (где р — произвольная точка).
Теорема 3. Пусть п>0. Если каждый подконтинуум
пространства & связен в размерности п, то пространство У
связно и локально связно в размерности п.
Доказательство. Пусть p^Gczy, где Q открыто, и
пусть /: &П-* G — непрерывное отображение. Так как п>0, то
сфера &'„ есть континуум, поэтому и ]{&>^) — континуум. По
предположению
/erf: 6rt+j->/(<?"„), где /' непрерывно.
Так как /(^°„)с:G, то ? — непрерывное продолжение / в Q.
Поэтому У локально связно в размерности п в точке р.
Для доказательства связности У в размерности п доста-
достаточно в предыдущем доказательстве заменить G на У.

§ 53. Продолжение непрерывных функций. Ретракция 353
Примеры и замечания, (i) Если УфО, то, очевидно,
0°хУ @° состоит из единственной точки, а <5"_| = 0). Поэтому
(ср. B')) если У — замкнутое подмножество пространства %,
такое, что dim B — У) =¦= 0, то У — ретракт пространства Z-
Если dim^'==0, то .ТхУ для любого & ф 0 (ср. D')).
(ii) Соотношение ?Jxvy означает, что У локально дугообразно
связно, а УхУ означает, что У, более того, дугообразно связно.
Поэтому локальная связность в размерности 0 эквивалентна
локальной дугообразной связности.
(Hi) Следующее пространство является (л. с. /^-пространством
для любого п и тем не менее не является абсолютным окрест-
ностным ретрактом.
А именно, У есть объединение бесконечной последователь-
последовательности сфер а^о, g$°i, ..., расположенных таким образом, что
a?nf\<&'n+i состоит из единственной точки, ь^я П ь^я+г = 0 при
г>1, аУп^еРп, и эта последовательность сходится к точке
(iv) Множество У предыдущего примера можно рассматри-
рассматривать как множество, расположенное в гильбертовом пространстве
таким образом, что абсциссы его точек стремятся к нулю.
Пусть q~ точка A, 0, 0, ...). Соединим q с каждой точкой
пространства У прямолинейным отрезком. Полученное множе-
множество будет (л. с. п)- и (с. п)-пространством для любого п, но
тем не менее не является абсолютным ретрактом.
(v) Пусть dim У — п. Если У есть (л. с. п + 1)-пространство,
то У есть ANR. Если, более того, У есть (с. п+ 1)-пространство,
то У есть AR (ср. § 54, VII, теорема 6).
(vi) Компактное (л. с. п)-пространство (п>0) является
(с. /^-пространством тогда и только тогда, когда его группы
Бетти размерности <п и его фундаментальная группа три-
тривиальны (Гуревич [8] и [9]).
(vii) Если У — компактное пространство (с<^к«), то для
каждого п существует бесконечный полиэдр Рп размерности ^п,
такой, что У\}Рп есть (л. с. п)- и (с. п)-пространство (Борсук
[14, стр. 242]).
(viii) Пространство, локально связное в размерности п,
может не быть локально связным в размерностях <п. Так,
например, множество точек 1, 1/2, 1/3, ..., 0 локально связно
в размерности п для любого п>0, но не является локально
связным в размерности 0 в точке 0.
(ix) Предположение, что пространство У связно в размер-
размерности 1, эквивалентно предположению, что его фундаменталь-
фундаментальная группа тривиальна.
23 Зак 190

354 Глава 7. Абсолютные ретракты
(х) При изучении локальной связности в размерности п мы
ограничились рассмотрением метрических сепарабельных про-
пространств. Однако многие теоремы можно распространить на
произвольные метрические пространства (и даже нормальные
пространства')).
V. Операции.
Теорема 1. Объединение двух замкнутых (л. с. п)-мно-
жесте, пересечение которых есть (л. с. (и — 1))-множество,
является (л. с. п)-множеством.
Теорема остается справедливой, если «л. с.» заменить на
«л. с. и с».
Доказательство. Пусть & = A0\J Au A, = Ah FaFczff",
f: F-+r& непрерывно и С/ = f~l (Л/).
В соответствии со следствием Id § 27, II пусть
Из последнего неравенства в сочетании с условием Зп~ т„ (Ло П А\)
и условием C) п. IV вытекает условие F) п. II. Предполагая,
что cc/"t:vAq и G"т„Л|, и используя лемму 2' п. II, получаем
необходимые заключения (ср. IV E)).
Следствие 2. Сфера &'„ есть (с. п)-прост ранет во {но не
является (с. п+\)-прост ранет во м; ср. I (Hi)).
Доказательство. Доказательство проведем по индукции.
Случай п = 0 очевиден, а именно 0°х^о, так как 0° состоит
из одной точки, а а?о состоит из двух точек.
Пусть п >0. Предположим, что 8п~ х&\-\, и разобьем &'„ на
две замкнутые полусферы ?f^ и ь>°й, такие, что aft П &>п=&'п~\.
Тогда dn~\?ft П ь^Г» а так как ^°„ь и b?V — абсолютные ре-
ретракты, то
и 8\SPnt следовательно, 5"т(^и^)в^»
по теореме I.
Из теорем 3 — 6 п. II непосредственно вытекают следующие
теоремы:
') См. Дугумдьи [11. Ср. также Хаммер [2], Катетов [1], Кодама [1]
и [2], Майкл Э. [2] и [3], Даукер [2].
См. также цитиропаимые выше монографии: Борсук [30], Ху Сы-цзян [3]
и Дугундьи [2, гл. VII].

# 53. Продолжение непрерывных функции. Ретракция 355
Теорема 3. Если объединение и пересечение двух замк-
замкнутых множеств суть (л. с. п)-пространетва, то такими являются
и сами эти множества.
Теорема остается верной, если «л. с. п» заменить на «л. с. п
и с. п».
Теорема 4. Для того чтобы декартово произведение (конеч-
(конечное или бесконечное) последовательности сомножителей было
(л. с. п и с. п)-прост ранет во м, необходимо и достаточно, чтобы,
таким был каждый сомножитель.
Для конечной последовательности «с. п» можно опустить.
Теорема 5. Пусть dimj' = ?. Если У есть (л. с. n + k и
с. п + k)-npocT ранет во, то У есть (л. с. п и с. п)-прост ранет во.
Если J1 компактно и & есть (л. с. п + k)-npocr ранет во, то Ут
есть (л. с. п)-прост ранет во.
Доказательство. В самом деле, из соотношения Зп+ктУ
вытекает соотношение J1 X &пхУ (согласно IVD') и E')), откуда
получаем 0пхУ по теореме 5 п. II.
Теорема 6. Окрестностный ретракт (л. с. п)-пространетва
является (л. с. п)-пространетвом.
Ретракт (л. с. п и с. п)-прост ранет ва является (л. с. п и с. п)-
пространством.
Поэтому справедлива следующая (ср. с теоремой 7 п. II)
Теорема 7. Если Ут (где J1 компактно и непусто) есть
(л. с. п)-прост ранет во (соответственно (л. с. п и с. п)-пространство),
то таким является У.
VI. Характеризация размерности').
Теорема 1. Если SC — метрическое сепарабельное простран-
пространство, то соотношения dim/?'s^rt и З'х(^п эквивалентны.
Эту теорему мы выведем из теорем 2 и 5, приводимых ниже.
Теорема 2. Из соотношения dim^^n следует соотноше-
соотношение %%&'„.
Доказательство. Так как &"п есть (л. с. п и с. /^-про-
/^-пространство (по теореме 2 п. V), то по теореме Г D') п. IV имеем
SCiofn, когда d^
Теорема 3. Из соотношения .ТТ°„ следует, что
для 1>п.
') См. Александрой [8, § 1]. Ср. Гуреви'1 [7].
23*

356 Глава 7. Абсолютные ретракты
Доказательство. Доказательство сводится к проверке
того, что из 3'%?fn вытекает .°1'х&'п+1. Пусть, как обычно, S^n+i
и <з5^,7+1 — две (замкнутые) полусферы сферы ?Рп+ь такие, что
<i?n+\ П ^п+\ = ??п. Тогда
Я'х?Рп + \, З'таУп + l И ЯтаУп-И П ?Рп.+\,
откуда по теореме 2 п. II получаем, что &'т?Рп + 1.
Пусть S — невырожденный от-мерный симплекс ра . .. р,п.
Пусть Лп — полиэдр, являющийся объединением всех граней 5
размерности не более п. Тогда имеет место следующая
Лемма 4. Из соотношения Я'х^ п вытекает, что Я?хАп для
любого п< т.
Более точно, если З'ха7п, то для каждой непрерывной функ-
функции /: .V —>S существует непрерывная функция /*: Ж" -> Лп,
такая, что
A) из f(x) ?Лп следует Г (х) = f{x),
B) из f ix) 6 р1а ¦ ¦ ¦ pik следует f {x) 6 P,o • • • Plk-
Доказательство. Пусть d = m — n; проведем индукцию
no d.
Для d= 1 имеем Л„ = Лт_, -^?Рт-.\. Поэтому если /*: SC-* Ап —
любое (непрерывное) продолжение сужения /|/~'(Лп), то усло-
условия A) и B) выполняются.
Предположим, что лемма имеет место для d— 1, и покажем,
что она справедлива для d.
Пусть /: SC-* S — непрерывная функция. По теореме 3 из
соотношения .С1'х&'п вытекает, что 3'xS^n+\. Следовательно, по
предположению существует непрерывная функция g: Ж-> Ап+Ъ
такая, что
C) из Д*NА,+, вытекает g(*) = /(*),
D) из f ix) 6 Pia ... pik вытекает g ix) 6 P1q .. . p,ft.
В соответствии с определением Л„+1 пусть 7"i, ..., ТГ суть
(«+ 1)-мерные грани 5, такие, что
E) Л„+1=Г,и...иГг.
Пусть В{ — граница Т{ (т. е. объединение всех граней размер-
размерности ^п). Положим
F) Ufg'Hf,),
G) C, = rW

# 53. Продолжение непрерывных функций. Ретракция 357
Тогда UfcBi, так как Bij—S^n и 3\S^n по предположению. Таким
образом, g\Ct имеет непрерывное продолжение g;: /7;->Вг.
Пусть
(8) Г = ?t+ ... +8п
т. е. /*(*) = .?;(*) для л;6/7„ где 1<г<л
Для i Ф j получаем
U,[\U, = g-1 (ft П f,) = Г1 (Я, П Bt) = С, П C/,
следовательно,
(^ I ?/< п u,)=(g, i c, n c,) = (g i c, n C/) =
Таким образом, /*: J^ —> An — непрерывная функция, ибо В{ (J ...
... U ?r = Л„.
Пусть f(x) 6 ^п- Тогда /(х) = g(x). Предположим, что ^(л:) 6 Bt\
тогда x^Ct, а отсюда g(x) = gi{x) = f(x). Следовательно, усло-
условие A) выполняется.
Для установления условия B) предположим, что
€р?о ••• Pik- Тогда g(x)€pia ... pift) согласно D).
Поэтому можно считать, что g(x)^pi ... р, , где
Если j^n, то ?(;е)?Л„, поэтому /*(л;) = й'(л;), откуда получаем
условие B).
Пусть теперь j>n; это означает, что j — п + 1 (ибо g(*N Л„ + 1).
Отсюда следует, что р. ... р. —Тг для некоторого подходя-
щего s. Следовательно, x?Us, согласно F), а при помощи (8)
находим, что
Теорема 5. Из соотношения Я\(^п вытекает неравенство
Доказательство. Пусть ЗСх?Рп. Пусть Go,..., Om —
система открытых множеств, такая, что ^ = GoU ••• [)От и
нерв ее имеет размерность />п. Согласно теореме 7 § 28, VI
и следствию 3 § 45, VII, доказательство сводится к определению
непрерывной функции f: 3'-+At^\, такой, что
(9) /""'(P,)c:G( для г = 0, I,..., т,
где Р( — объединение граней симплекса S, имеющих вершину pt,

358 Глава 7. Абсолютные ретракты
Рассмотрим преобразование х, соответствующее системам
{Go GJ и {р0, ..., рт}1):
к(х) = К0(х)- ро+ ... +Кп(х)-Р,п,
где
Так как нерп системы {Go, ••-. Gm} является /-мерным, то
из этого следует, что х: SI*—*¦ Л, — непрерывное отображение.
Поскольку ^ЧрУ,_| (по теореме 3), то существует (по теореме 4)
непрерывное отображение /: iV—> At_{, такое, что
A0) из х(х)^р^ ... pik следует f (*)? р^ ... р^.
Отсюда мы получим включение (9).
Пусть x?f~ (Pi); тогда f(x)?Pi. С другой стороны, пусть
х (*) € Pto ¦ ¦. Plk, откуда f (x) 6 plg ... plk,
согласно A0). Отсюда сразу получаем, что г —один из индексов
г'о, ..., ik> таким образом,
х(л;)?Рг, следовательно, x?x~1(Pi), а потому x^Git
ибо vrl(Pi)czGh согласно § 28, VI A0).
Следствие б2). Для того чтобы dimJT^n, необходимо
и достаточно, чтобы для каждого непрерывного отображения
f: ¦f-+fin + \ существовало непрерывное отображение g: 3C-*
~+(®п+\~®) (где 0 означает начало координат), такое, что
A1) если f(x)€&n, то ц(х) = !(х).
Доказательство. Пусть f: .V-* 6п+1 — непрерывное ото-
отображение и F = f~ ((??„). Предположим, что dim^'^n; тогда
XxSfn, и поэтому (f\F)ag ?а?%, откуда получается условиеA1).
. Обратно, пусть F = F cr SC и h: F->&'n — непрерывное ото-
отображение. Так как 6П+, — абсолютный ретракт, то пусть /гс/(
?6*+i. Предположим, что непрерывное отображение g: .%'—>
-*(fin+I —0) удовлетворяет условию (И), и положим
Тогда h cr f ? а^д. Поэтому SCx^f^ откуда по теореме 5
') Ср. § 28, VI. О покрытиях произвольными множествами (не обяза-
обязательно открытыми) см. Кодаира [1],
') См- Александров [7J.

$ 53. Продолжение непрерывных функций. Ретракция 359
Теорему 2 можно переформулировать следующим образом;
Теорема 7 (двойственностиI). Пусть F = F сг .1" и
dim C' — F) = m. Для каждого непрерывного отображения
f: F'-> &\ (где п^т) существуют множество Z, такое, что
Z = Za3'-F и dim Z<m-я-1,
и непрерывное продолжение /*: (Я? —Z)->¦>?„ отображения f.
Доказательство. Так как очевидно, что теорема верна
для пг = — I, а также для п =— 1, то можно предположить,
что она имеет место для /л — 1 и п^О.
Как обычно, пусть <з?п и ?Рп —(замкнутые) полусферы, на
которые а?п-\ разбивает &\. Пусть /: F—> ¦sf п— непрерывная
функция, Со = / (ь^ге), С\ = ]~ (а^я) и в соответстпии со след-
следствием Id § 27, II
# = Bollfii, Bj = Bh F(]Bj = Ch dim[(/?onSi)-(C0nC,)]</n-l.
Так как мы предположили, что теорема верна для ш — \, то
где Z = Z с: (Во Л В,)-(Со ПС,) и
dimZ<dim[(BonB.)-(ConC,)]-(rt-l)-l.
Следовательно, dim Z^m — n— 1. Отсюда
следовательно, Z с:.%' — F.
Если в лемме 2 п. II подставить ??% вместо Ло, <?fn вме-
вместо А, X — Z вместо ZV и опустить индекс v, то можно заклю-
заключить, что существует непрерывное продолжение /*: {'V — Z)->?fn
отображения /.
Замечания, (i) Если множество Ж — F — бесконечный по-
полиэдр, то можно предположить, что Z есть полиэдр2).
(И) Теорему 7 (пополненную замечанием (i)) можно обоб-
обобщить, заменяя &\ произвольным (л. с. m и с. /^-простран-
/^-пространством 3).
') Эйленберг [9]; ср. также Гуревич [5, стр. 765].
2) Эйленберг, [9, стр. 281].
3) Борсук [18, стр. 162].
Другое обобщение (отбрасывающее предположение сепарабельности)
см. Акасаки [1J.

360 Глава 7. Абсолютные ретракты
VII. Пространство LCn{&). Напомним (см. п. IV), что про-
пространство 3' называется LCn, если для каждого е>0 суще-
существует такое ц > 0, что всякое непрерывное отображение
/: ^т-*Я', где «?= — 1, 0, ..., п, для^которого bf(S^m)<r\, до-
допускает непрерывное продолжение /*: Sm+l-*-/l', такое, что
fF)<
f(m+.)<
Пусть а%(г) (для фиксированного п) — точная верхняя грань
чисел т}(^е). Пусть /„С" B0 обозначает семейство всех ком-
компактных подмножеств пространства У, являющихся LCn. Это
семейство наделяется топологией следующим образом: после-
последовательность элементов Аи А2, ... сходится к А (обозначается
Ai — > Л)) если эта последовательность сходится в смысле Хаус-
дорфа, т. е.
lim
и, кроме того, если она равномерно LCn, т. е. число ц, соот-
соответствующее е, не зависит от индекса i').
Теорема 1, Если пространство У полное, то можно опре-
определить расстояние в пространстве LCn (&) таким образом, что
оно станет полным пространством.
Именно, для каждой пары элементов А и В ? LC'1 {У) по-
положим
а (Л, В) = dist (Л, В) + ^j -г» • 1 + |/,„ (Л)-/„,(«I '
т-\
где
Mm
fm(X)~l: \ ax(t)dt.
о
Можно показать, что определенное таким образом расстоя-
расстояние согласуется со сходимостью At—-*A, определенной выше.
Доказательство2) по существу опирается на теорему о полной
измеримости, сформулированную в § 33, VI, замечание 2.
') По поводу этого понятия сходимости, называемой также регулярной
сходимостью п смысле Кертиса, см. Кертис [1], Уайт [1]. Ср. также с по-
понятием регулярной сходимости Уайберна [22].
2) См. Куратовский [45]. По поводу гомологической локальной связ-
связности см. Бегль [2]. По поводу постановки задачи и связанных с ней ре-
результатов см. Борсук [25].
По поводу полной измеримости пространства локально связных под-
контииуумои полного пространства см, Мазуркевич [25] и Куратовский 145].

ф 54. Гомотопия. Стягиваемость 361
Следующие утверждения относятся к пространству LCn (&),
когда & полное').
Теорема 2. Пусть В{—->А в пространстве LC"{&). Пусть
% — совершенное компактное пространство размерности ^ п + 1
и /: .Т —> А — непрерывное отображение на. Тогда существует
последовательность непрерывных отображений gh равномерно
сходящаяся к f и такая, что gt(^) = Bt для любого положи-
положительного целого i, большего некоторого фиксированного /0.
Таким образом, для каждого A?LCn(&) и каждого е>0
в пространстве LCn (&) существует окрестность А, каждый эле-
элемент В которой имеет вид B = g(.T), где \g — /|<e.
Полагая 3' = А и f(x) = x для всех х, заключаем, что имеет
место
Теорема 3. Если A ?LCn B^) — совершенное множество
размерности пг^п+1, то для каждого е>0 существует окрест-
окрестность Л в LCn B0, каждый элемент В которой можно полу-
получить из А путем непрерывного преобразования g, такого, что
\g(x)~x\<e.
Теорема 4. При тех же предположениях относительно А
существует окрестностность А в LCn (&), состоящая исключи-
исключительно из множеств размерности ^ т.
Доказательство. Последняя теорема вытекает из пре-
предыдущей на основании инвариантности неравенства dim/l^rt
при преобразованиях с малыми прообразами точек. В действи-
действительности условие на размерность в теореме 4 можно заменить
любым другим свойством, инвариантным при указанных пре-
преобразованиях.
§ 54. Гомотопия. Стягиваемость
I. Гомотопные отображения. Два непрерывных отображения
/0: *1' —> У и \\\ 3' -*¦ У называются гомотопными (по отношению
к &), обозначается /0~/,, если существует непрерывное отобра-
отображение h: SC X 8'->2/, такое, что
A) h{x, 0) = foW и h(x, 1)-/,(*)•
Другими словами, если отображение g: {.1' X 0(J^' X 1)-* У\
такое, что g\.cl' X 0 совпадает с /0 и g\.T X 1 совпадает с flt
имеет непрерывное продолжение h: 3' X <7—>2/.
') См. Куратовский [46].

362 Г лапа 7. Абсолютные ретракты
Примеры и замечания1), (i) Говорят также, что два
отображения fQ и f, гомотопны, если они получаются одно из
другого с помощью (непрерывной) деформации. Эта термино-
терминология естественно возникает в том случае, когда переменная
t ? в рассматривается как параметр времени.
(п) Если Я'X в^У (и частности, если У — абсолютный ре-
тракт), то f0 — fi для любой пары /0. fu Я"-*-У. Следовательно,
две непрерывные функции с действительными (комплексными
и т. д.) значениями всегда гомотопны.
(Hi) Пусть ff — плоскость с?2 с выброшенной точкой 0.
Пусть f: ^'—>o9° — непрерывное отображение; f гомотопно по-
постоянному отображению тогда и только тогда, когда f(x) — ef!ix\
где g: SV -> о — непрерывное отображение.
Достаточность условия очевидна: можно, например, поло-
положить /г (х, /) = e('-')«W. Необходимость будет установлена в тео-
теореме 3 § 56, IX.
(iv) Локально связный континуум SC уникогерентен тогда и
только тогда, когда каждое непрерывное отображение f: .°V ->?P
гомотопно постоянному отображению (см. § 57, III, теорема 3).
(v) Если Я' = S?n, то понятие гомотопии естественным обра-
образом приводит к понятию группы гомотопии в смысле Гуре-
вича [8].
Теоремы 1—3. Гомотопия является рефлексивным, сим-
симметричным и транзитивным отношением, т.е. f ~ f; если f ca g,
то g c~ f; если f ~ g и g ~ h, то f ~ h.
Доказательство. Для того чтобы доказать 3, пред-
предположим, что и: Я" X В -> У непрерывно,
и(х, O) = f(x),
Теорема 4. Если f: Т-*У и gt: У-+ Z (/ = 0, I)-не-
I)-непрерывные отображения и gu~~gu то gof — ffif-
Доказательство. Пусть h: У X ?J-* % — непрерывное
отображение, такое, что h(у, j)~gj(y). Положим и(х, t) =>
= h[f(x), t]. Тогда и: Я" X Я -> Z непрерывно и
и(х, /) = h [f (x), j] — gjf (x), следовательно, g^fc^gj.
Теорема 4а. Пусть f0, ft: SP-+Z. Если % — ретракт
пространства У, то
\/ 0 -— /1 О1 п . С/ ) =¦ \j о — I [ ОТН . ?э }.
') Подробно эта теория излагается в книге Ху Сы-цзяиа [1]. Более
алгебраический подход см. Хилтон [1} и Уайтхед Г. [1].

§ 54. Гпмотопия. Стягиваемость 3G3
Доказательство. Докажем импликацию слева направо.
Пусть h\ &'х 8->°У непрерывно и h(x, j) = ft(x). Пусть
г: У -> Z — ретракция. Тогда g = г ° h — искомая гомотопия, т. е.
Теорема 5. Пусть fQ, f^: X'-> У — непрерывные отобра-
отображения и {/•"(} — семейство открыто-замкнутых множеств, такое,
что 3' = \JFt. Если fQ\Ft^f\\Ft при каждом t, то fo~f,.
t
Доказательство. В соответствии с теоремой Линде-
лёфа (§ 5, XI) пусть
* = „Q,F'-=F'.и (Ft> - Ft>)u (F'. - f<. - *.)и • • • •
Пусть G<,, G^, ... —члены этого объединения.
По предположению для п—\, 2, ... существует непрерыв-,
ное отображение hn: GtnXcf-+y, такое, что hn(x, j) = f/(x)
для x€Gtn и / = 0, 1.
Пусть h равно hn на G<rt X 8¦ Так как множества Gtn от-
открыты и не пересекаются, то h: %' X 8-> У — непрерывное
отображение и /г(л:, j) = fi(x). Следовательно, fo — t\-
Теорема 6. Условие /о —/i имеет место тогда и только
тогда, когда существует дуга {или, что эквивалентно, локально
связный континуум), соединяющая /0 с f, а пространстве СУХ.
Доказательство. С одной стороны, если непрерывное
отображение /г: Х'Х8-^У удовлетворяет условию A) и если
каждому t ? 8 соответствует отображение gt: &'—>&, опреде-
определяемое равенством
B) gt(x) = h{x,t),
то g: ff-^y10 непрерывно (ср. § 44, IV, теорема 1). Так как
g(8) есть (Тг-пространство (поскольку Ух есть ^-пространство;
ср. § 44, I, замечание 1), то g{8) метризуемо (по теореме 3
из § 41, VI) и, следовательно, является локально связным кон-
континуумом, соединяющим точки go — fo и g\=f\ в 2/г.
С другой стороны, если g: 8'—> &v непрерывно и go = fo,
g\=f\, то отображение h: X х 3'-*У удовлетворяет усло-
условию A) и непрерывно по теореме 3 из § 44, IV.
Теорема 7. Если отображения //: %->У (/ = 0, 1) по-
постоянны, /у(д:) = С/, то fo — fi тогда и только тогда, когда в :'J
существует дуга, соединяющая точки с0 и сх.

364 Глава 7. Абсолютные ретракты
Доказательство. Если h: 3' X &-+¦ У — непрерывное
отображение и h(x, j) — ch то условие g(t) = h(х0, t), где
лг0 — фиксированная точка в 37, определяет непрерывное отобра-
отображение g: 8~*У, и поэтому g{8) — локально связный конти-
континуум. Следовательно, он содержит дугу, соединяющую точку
g@) = c0 с точкой g(\) = C[.
Обратно, если точки с0 и с, можно соединить дугой в У,
то отображения fQ и fx можно соединить дугой в Ух, ибо
У с У^.
top
Пусть (f*_\ — множество последовательностей z = [z\ z2, ...],
таких, что г1 = — 1 и zn?<?'.
Пусть ^'criif^0,. Обозначим через А(&) объединение прямо-
прямолинейных отрезков, соединяющих точку 0 (начало координат)
с каждой точкой множества SCX\ т. е. множество точек вида tx,
где х 6 &' и 0 ^ t ^ 1. Если 3? пусто, то будем считать, что
Л (%')— начало координат.
Теорема 8. Пусть ЗС — компактное пространство. Для того
чтобы f было гомотопно константе с, необходимо и достаточно,
чтобы f имело непрерывное продолжение /*: А{3?)->'У, где
Г@)
Доказательство. Функция tx непрерывна на 37 X 8 и,
за исключением точек, для которых / = 0, взаимнооднозначна.
Следовательно, если f c= f ?y^x и если h(x, t) = f (tx),
то /г: 3' X 8 -*У непрерывно и
h(x, 0) = f@) и k(x, 1) = f* (х) = f (x),
откуда f ~ f @).
Обратно, если /г: 37 X ^-> 2^ — непрерывное отображение,
h {x, \) — f(x) и h [х, 0) = с, то можно положить f* @) = с и
f{z) = h(x, t) для z = <jc=^O. Тогда f af ?УХ(Х).
Теорема 9. Отображение (х | (^„) we гомотопно 1 относи-
относительно &'„.
Доказательство. Это утверждение вытекает из тео-
теоремы 8 и следствия 1а § 28, III.
') Ср. Лефшец [4, стр. 94].

§ 54. Гомотопия. Стягиваемость 365
Отметим еще следующие очевидные формулы:
C) diinA(/lXdim/l+1;
D) Л(ЛиВ)=Л(Л)иЛ(В);
E)
F) Л(«^в) = +
II. Гомотопия относительно (л. с. я)-пространств. Рассмот-
Рассмотрим случай, когда пространство У является (л. с. п)-простран-
ством. Очевидно, что все теоремы будут верны, в частности,
для абсолютных окрестностных ретрактов; в этом последнем
случае предположения, касающиеся размерности (например,
dim(^' — F) ^.п — 1), можно опустить.
Теорема {.Пусть У — (л. с. п)-прост ранет во, F = Fcz.ul',
dim (Ж — F)^n — 1 и /0, /,: Я'—> У —два непрерывных отобра-
отображения. Если (/01 F) ~ (f 11 F), то существует открытое множество
G => F, такое, что (f0 \ G) ы (/, | G).
Если, более того, У есть (с. п)-прост ранет во, то f0 ~ fi%
Доказательство. Пусть
%\ = ^ X g, F{ = (F X 0) U (•«• X 0) U (.-Г X 1)
и отображение g: Ех-+У непрерывно и удовлетворяет условию
g(x, j) = fi(x).
Так как dim („Г,- ^^< dim [(•*' - Л X &] <п и 2/ есть
(л. с. п)-пространство, то существует, согласно § 53, IV, 1 C),
открытое множество G\ t3 F\ и продолжение g": G{-+y ото-
отображения g. Пусть G —открытое множество, такое, что F с G
и Gx^crG, (ср. §41, IV, теорема 1). Тогда (f(l | G) ~ (/, | G).
Если jy —(с. п)-пространство, то нужно положить G^ — ^l'^
Теорема 2. Пусть заданы: компактное пространство Ж
размерности ^.п—l, (л. с. п)-пространство У и две непрерыв-
непрерывные функции /0, fx: .Т-+У; тогда семейство замкнутых под-
подмножеств F пространства ЗС, таких, что f0 | F си /, | F, открыто
в пространстве 2х.
Действительно, рассматриваемое семейство есть объединение
семейств Аа = Е(/г cr G), где G — открытое переменное множе-
ство, такое, что f01G ^ Д IG (семейство Лд открыто согласно
теореме 1 § 17, II).
Те же предположения приводят к следующему заключению:

366 Глава 7. Абсолютные ретракты
Теорема 2а. Если F| => F2^> ..., Fn = Fn u{fo\Fn) не гомо-
гомотопно (/] | Fn) ни при каком п, то
h\r\Fn) не гомотопно
J
Теорема З1). Пусть У — (л. с. п)-пространство, F — Fci.T,
dim {iV — F)^.n— 1, и пусть fQ, fx: F-*¦ °У — два непрерывных ото-
отображения, таких, что /0~/,. Если f0 имеет продолжение /о
на $', то fi также имеет продолжение /i на SC. Более того,
Доказательство. Положим F° = (F X 3)\}{.% X 0). Так
как f0 —/ь то существует непрерывное отображение h: F°->2^,
такое, что
h(x, O)-fo(x) для х^Ж, h(x, l) = fi(x) для x?F.
Так как У есть (л. с. п)-пространство, то из неравенства
dim(S* X g-F*)<~n вытекает (ср. §53, IV, 1C)), что ото-
отображение h имеет продолжение на окрестность множества F°;
следовательно, согласно лемме 9 из § 53, III, оно имеет про-
продолжение Ь* на пространство SC X в ¦
Остается только положить f\(x) = h (x, 1).
Теорема 42). Пусть % — компактное пространство, У есть
(л. с. п)-прост ранет во и F = FaS. Если dim^^tt—1, то
множество Ух | F (т. е. множество непрерывных отображений
f: F-*&, продолжаемых на 0U) открыто-замкнуто в У.
Доказательство. Так как пространство У" локально
дугообразно связно (согласно § 53, IV A2)), то каждая ком-
компонента Ф множества У дугообразно связна (§ 50, I, теорема 2).
Таким образом (ср. I, теорема 6), если /0, Д6Ф. то U — fu
поэтому если fo^yx\F, то Ф с: Уг | F. Другими словами, мно-
множество Ух\ F есть объединение семейства компонент простран-
пространства У3. Так как последнее пространство локально связно, то
каждая компонента открыто-замкнута (ср. § 49, II, теорема 4);
следовательно, тем же свойством обладает множеств Ух \ F.
Замечание. Если У — сфера, то имеет место следующее
более сильное утверждение.
Теорема 4а. Пусть % — компактное пространство и
F = Fcz&. Если /об^т!/7 и |/,-Ы<2, то f,6<^mlF.
') Борсук [19].
2) Боргук [17, стр. 106].

§ 54. Гомотопия. Стягиваемость 367
Доказательство. Согласно теореме 3, достаточно по-
показать, что
A) если /о. U- %'-*t&m непрерывны и
|fo-M<2, то /o^f,-
Положим
р{х, t) = fQ{x) + tfl(x)-tf0{x) и h(x, /) =
для 0</<1. Тогда р(х, г)ФО. Действительно,
\Р(х, t)\^\fo(x)\-t\fl{x)-fo{x)\>l-2t
и
\р(х, t)\>\fl{x)\~(l-t)\fl{x)-fo(x)\>l-2(l-t).
Кроме того, h(x, O)=*fo{x) и h(x, l) = fi(x).
Теорема 5. Пусть У есть (л. с. п)-прост ранет во и (с. щ)-
пространство (где пг^п), и пусть F, FQ и F\ — замкнутые под-
подмножества &\ такие, что
B) FaF0()Fu
C) dim(F/-F)<n-l,
D) dim(FonF,-F)<m-l.
Тогда (<&f°\f) n(^F'|/7) = (^FoUF'l F), т. е. каждое непрерыв-
непрерывное отображение f: F—уУ, продолжаемое на Fo и F{, продол-
продолжаемо на FQ{] Fj.
Доказательство. Пусть [ af 16 2/F/, / = 0, 1. Так как
У — {л.с.п и с. т)-пространство, то из условий D) и соотноше-
соотношения fo\F = f°=fi\F следует, согласно теореме 1 (если подста-
подставить m вместо п и FQ f] Ft вместо 3'), что {f0 I Fo П F|) ^ (/i I Fo П F,).
Согласно теореме 3 (если подставить Fo вместо 3\ Fq[}F\
вместо F и f/|FoDFi вместо //), отображение filFoDF, имеет
непрерывное продолжение /г: Fo-*&. Следовательно, fc=(f2 + /i) €
Теорема 6. Пусть У — (л. с. п « с. т)-пространство (где
r<n-2, ^T-FoUFb Fy = F, u dim Fofl F, < m-2.
/: &-*¦'& — непрерывные отображения и (fQ | F/)~(fi | F/)
5ля / = 0, 1, го fo^/i-
Доказательство. Положим
Пусть /: F* —> У — (непрерывное) отображение, определяемое
равенством f(x, /) = /()

368 Глава 7. Абсолютные ретракты
Так как (/„ I F,) ^ (/, | F,), то f 6 (Ур> IF') Л (У^ | Г). Поскольку
выполняются предположения теоремы 5, имеем f?*&v'\F*, так
как ."?'* =/^ II/> откуда fo^fr
Из теорем 3, 5 и 6 непосредственно вытекают (ср. § 53,
III (iv) и V, теорема 3) следующие три утверждения:
Теорема 7. Если F = Fci3' и У — абсолютный окрестност-
ный ретракт, то всякое непрерывное отображение f: F —> У,
гомотопное константе, имеет продолжение [*: 3"-*У.
Теорема 8. Если F = F, Fj~Fj, F с Fq(] F\ и
dim(FoП F, - F)< m - 1, то
Теорема 9. Если F, = Fh dim Fo Л F,<m-2, f: (F0L)Fi)->
-> if m — непрерывное отображение и f\FjCal для / = 0, 1, то
/~ 1.
Теорема 10. Пусть У — полное (л. с. п)-прост ранет во и X' —
компактное пространство размерности < п. Пусть f, g: 3'->У —
непрерывные отображения. Тогда f ~ g а гол ц только в том
случае, если fug принадлежат одной и той же компоненте
пространста У° .
Доказательство. Согласно следствию 2 § 53, IV, про-
пространство Ух локально связно. По теореме 3 из § 44, V это
пространство полно, следовательно, каждая его компонента
представляет собой связное, локально связное и полное множе-
множество, а потому она дугообразно связна (ср. § 50, II, теорема 1,
и I, теорема 2).
Теорема 10 вытекает, таким образом, из теоремы 6 п. I.
III. Отношение /о 3* /i- Этот символ будет означать, что
непр.
пространство ."V неприводимо относительно негомотопности
отображений fa и f\\ другими словами, что
A) _ fo&fu
B) из F = F ф% следует fo\ F ~ f, | F.
Так как <?Рп — р — абсолютный ретракт, то (ср. п. I, тео-
теорема 9, и (И))
C) (х | if ^) if* 1 относительно if'„.
непр.
Теорема 1. Пусть X — компактное пространство, dim 3' ^
— 1, й^ —(л. с. п)-прост ранет во и f0, f\'- 3' ->&'.— непрерыв-

§ 54. Гомотопия. Стягиваемость 369
ные отображения. Если fo$*f\, го X содержит замкнутое мно-
множество F, такое, что fo\F ф f{\F.
непр.
Доказательство. Эта теорема является непосредствен-
непосредственным следствием теорем 2а из п. II и 2 из § 42, IV.
Следствие 1а. Если 0U — компактное пространство,
f: SC -*¦ еУт — непрерывное отображение и f ф 1, то X содержит
замкнутое множество F, такое, что f\F if* 1.
непр.
Теорема 2. Пусть У есть (л. спи с. т)-прост ранет во (пг^.п),
dim .?'< п — 2 и /о. /i: %' ->У — два непрерывных отображения.
Если /о Ф /ь то никакое замкнутое множество размерности
ненр.
<т —2 не разделяет пространство 3'; другими^ словами, .Т
нельзя представить в виде &' = F0\JF{, где F/= F/ для / = 0, 1
и dim (FQ П FiX m - 2.
Эта теорема представляет собой непосредственное следствие
теоремы 6 из п. II.
Следствие 2а. Если /: .%"-*¦ ?Рт — непрерывное отображе-
отображение и f ф. 1, то никакое замкнутое множество размерности
Т!С11|).
^ m — 2 не разделяет пространство &'.
Отсюда следует (ср. C)), что &п — канторово многообразие
(ср. § 46, XI).
Теорема 3. Если Ж — локально связный континуум,
f: X'-> &'„, — непрерывное отображение, пг^21) и f\E~l для
каждого циклического элемента Е множества &¦', то /~ 1.
В противном случае, согласно следствию 1а, существовало бы
замкнутое множество F, такое, что f\ F ф. 1. Согласно след-
непр.
ствию 2а, множество F связно и никакая точка не разделяет
его. Поэтому (ср. § 52, II, теорема 10) F содержится в одном
циклическом элементе Е. Так как /|?~1, то f|F~l, что
противоречит определению F.
IV. Деформация. Пусть J"c:2/. Если непрерывное отобра-
отображение /: &-+У гомотопно тождественному, т. с. если суще-
существует непрерывное отображение h: SC х 8 —> У, такое, что
A) h(x, 0) = х и h(x, 1) = /(*),
то говорят, что множество f(.T) получается из .Т с помощью
деформации в & (а именно, h и есть эта деформация).
') Теорема 3 имеет место также для m = 1. См. § 56, X, 5.
24 Зак. 190

370 Глава 7. Абсолютные ретракты
Если f: ?1" -> .Т — ретракция, гомотопная тождественному ото-
отображению, то множество f(&) называется деформационным
ретрактом пространства X, а функция h называется ретрак-
ционной деформацией ').
Теорема 1. Пусть X и X* — два подмножества простран-
пространства &, и пусть второе получается из первого деформацией.
Пусть gn, gi'. У-> % —непрерывные отображения. Если gu\il" ~
Доказательство. Пусть f: %'->ЛГ* и h: Ж х 3 -+ У —
отображения, удовлетворяющие условию A) и такие, что
\{9С) = ЗС*. Тогда
g/h: SC X в-* Z, gjh(x, 0) = gt(x) и g,h{x, 1) = gif(x),
откуда следует, что gf\.T ca g/f. Положим по определению
g* = gjlSK"'. По предположению g*Q~g*v поэтому, согласно тео-
теореме 4 из п. I, g*f~g*f. Так как g*lf = glf^gj\^, то gQ\.°P~gl | SC.
Теорема 2. Множество Л (.Ж") можно деформировать в его
вершину (точку 0) в нем самом.
Доказательство. Точки z множества Л (.Ж*) имеют
вид z = tx, где х?.% и O^fs^l. Пусть h(z, u) = utx для
0^н^1. Тогда отображение h непрерывно и
h: A(.T)X /->A(JT), A(z, 0) = 0, h(z,l) = z.
Теорема 3. Всякий ретракт R пространства ЗС', который
можно получить из fV с помощью деформации, является
деформационным ретрактом пространства .Т.
Доказательство. В соответствии с предположениями
пусть г: .Т-* R — ретракция; следовательно, г(х)~х для x?R.
Пусть f: OV-+R и h: SC X 3-+Ж — непрерывные отображения,
такие, что
tl \Х, UJ — л, П \Х, I ) — / \Х) И / \*О J — /\,
Положим
h(x, 2t) для 0<^<1/2,
r[h(x, 2-2^I для 1/2<*<1.
Отсюда следует, что g: .Т X fj —> № непрерывно, так как
h(х, \) = г[1г(х, 1)], и что g(x, 0) = х и g(x, l) = r(x).
') См. Борсук [10].

<$ 54. Гомотопия. Стягиваемость 371
Теорема 4. Если X X 8хУ (следовательно, если У — абсо-
абсолютный ретракт), то ЖаУ, а если f: 3'—уУ ~ непрерывное
отображение, го X допускает деформацию в f{'V).
Действительно, / гомотопно тождественному отображению
(ср. п. I (И)).
Теорема 5. Пусть f-.S—уУ — непрерывное отображение.
Если Z — деформационный ретракт У, то существует непрерыв-
непрерывное отображение /*: 3'->%, такое, что
Г~! и r(x) = f{x), когда f(x) ? Z.
Доказательство. Пусть h: У X 8 —>-У непрерывно,
/г(у, 0) = у, h(y, \) = r(y), где г: У-* % — ретракция. Положим
f* = rf и g(x, /) = g(/W, О-
Тогда g(x, Q)=.f(x) и g(x, l) = f*(x). Наконец, если f(x)?Z,
то r[f(x)] = f(x), т. е. f(x) = f(x).
Теорема б1). Если У—абсолютный окрестностный ретракт,
а % — деформационный ретракт пространства У, то существует
непрерывное отображение h: У X 8-*У, такое, что h(y, 0) = у,
h(y> 1N 2 и h(y, t) = y для любых у6 2 и t(z8.
Примеры, (i) Если У = & и У = 8й (п < К 0), то дефор-
деформацию SC на /(.^') в У можно определить следующим образом:
h(x, t) = (l-t).x + t.f(x).
(ii) Положим f(x) = x/\x\. Тогда функция h является ретрак-
ционной деформацией пространства (?"'— 0) на &п-\.
V. Стягиваемость.
Определение. Пространство ЗС называется стягиваемым,
относительно пространства У, если всякая непрерывная функ-
функция /: tV-*У гомотопна постоянной2).
Теорема 1. Если пространство У дугообразно связно, то
стягиваемость пространства X относительно пространства У озна-
означает, что любая пара непрерывных отображений /0, /,: &'-*¦'&
гомотопна {в У).
Действительно, в дугообразно связном пространстве все
постоянные функции гомотопны (ср. с теоремой 7 п. I).
Теорема 2. Пространство У* дугообразно связно тогда
и только тогда, когда X стягиваемо относительно У, а У дуго-
дугообразно связно.
') Доказательство см. Самельсоп [1].
2) Борсук [13, стр. 250]. Ср. Люстериик и Шцирельман [1].
24*

372 Глава 7. Абсолютные ретракты
Доказательство. Если 3' стягиваемо относительно У,
а У дугообразно связно, то fo — f\ для каждой пары непре-
непрерывных отображений /„, f{: 3'—>У (ср. с теоремой 1). Из гомо-
топии fo — fi вытекает (ср. с теоремой 6 п. I), что существует
дуга, соединяющая /0 с f{ в У*.
С другой стороны, если Ух дугообразно связно, то /0 са /[
для любой пары непрерывных функций /0, f{: .Т-+ У (согласно
теореме 6 п. I). Поэтому 3~ стягиваемо относительно У,
а У дугообразно связно (по теореме 7 п. I).
Теорема 3. Стягиваемость пространства 3J относительно
пространства У инвариантна при ретракции SC'.
Доказательство. Пусть /- — ретракция 3~ и /: гC')-*У —
непрерывное отображение. Тогда fr: 3'->У, и так как 3' стяги-
стягиваемо относительно У, то fr ~ const. Следовательно, / гомо-
гомотопно постоянной, ибо f(x) = fr(x) для х?г(.%').
Теорема 4. Нестягиваемость пространства 3' относи-
относительно У инвариантна при деформации 3' на подмножество.
Это утверждение следует из теоремы 1 п. IV.
Теоремы 3 и 4 имеют такие следствия:
Теорема 4'. Пусть 3" — деформационный ретракт 3'. Про-
Пространство X* стягиваемо относительно У тогда и только тогда,
когда этим свойством обладает пространство 3'.
Теорема 5. Если пространство У — абсолютный окрестно-
стный ретракт, то нестягиваемость компактного пространства 3"
относительно У инвариантна при отображениях с малыми про-
прообразами точек ').
Доказательство. Согласно следствию 4с § 41, VI,
достаточно показать, что если 3' — №cz8[*° и если непрерывное
отображение f: 3"-*У не гомотопно постоянной, то суще-
существует число <х>0, такое, что для любой непрерывной функ-
функции g: ЗС-> 0*\ удовлетворяющей неравенству \g(x) — x\<a
при каждом х, множество g{3') нестягиваемо относительно У.
Но так как У — абсолютный окрестностный ретракт, то суще-
существует открытая окрестность G множества X и продолже-
продолжение /*: G ->У отображения /. Положим а = р(,Т, 0*° — О). Тогда
из условий х?3', х' 6 сс7Ко и | х — х' |<а вытекает, что сегмент хх'
содержится в G. Следовательно, если g: 3"->ff*°— непре-
') Теорема Борсука и Улама [1]. Доказательство см. Эйлснберг [6].
См. также Александров [8, стр. 226].

§ 54. Гомотопия. Стягиваемость 373
рывное отображение и | g{x) — х |<а, то множество 'V — g(X)
можно получить из 3' с помощью следующей деформации h в G;
Л(^ 0 = A-0-* + '•?(*)¦
Тогда f*\3" не гомотопно постоянной. В самом деле, в про-
противном случае в силу теоремы 1 п. IV (если заменить там У
на G, % на У и g0 на f) f*\3~ было бы гомотопно постоянной;
по тогда и / было бы гомотопно постоянной, что противоречит
предположению.
Замечание 1. Если & = ??„, то имеет место следующее,
более сильное утверждение (Куратовский [30]):
Пусть 3'— компактное пространство, g: 3' —> ??„ — непре-
непрерывное отображение, не гомотопное постоянной, и ц — положи-
положительное число, такое, что из \х — х'\<ц вытекает
Если f — непрерывное отображение, прообразы точек кото-
которого имеют диаметр < г\, то пространство f C') не стягиваемо
относительно &'„.
Теорема 6. Если У — абсолютный окрестностный ретракт
и если Ло и А\ — замкнутые множества, такие, что Ай[\ Ах и
Aq\} А\ стягиваемы относительно У, то и множества Ао и А\
стягиваемы относительно &.
Доказательство. Пусть /0: До—>У — непрерывное ото-
отображение. По предположению /0 |Л0П Л гомотопно постоян-
постоянной. Тогда (ср. с теоремой 7 п. II) оно имеет продолже-
продолжение /,: Л{->'&. Положим / = /o + /i- Так как (/оМоГМ,) =
= (/i IЛ П Л{), то /: (Ло U Аг) -> 2/ непрерывно. По предположению f
гомотопно постоянной, а потому и /о гомотопно постоянной.
Из теорем 9 п. II и 2' п. III вытекают следующие тео-
теоремы 7 и 8.
Теорема 7. Пусть /!0 и Ах — два замкнутых множества,
таких, что (Нт(Л0П А)^ m — 2. Если /10 и Л, стягиваемы отно-
относительно &'ш(/п^1), то и множество ЛоиЛ) обладает этим
свойством.
Замечание 2. Как будет показано в § 58, I (теорема 5),
условие сИт(ЛоП Л))^т — 2 в случае т = 1 можно заменить
менее ограничительным условием стягиваемости ЛоПЛ) относи-
относительно (^m_i (которое в этом случае эквивалентно связности
ЛоПЛ). В случае /п = 2 это не так: если а?А разложить на две
') Это длина ребра регулярного (и + 1)-мериого симплекса, вписан-
вписанного в о5*п.

374 Глава 7. Абсолютные ретракты
полусферы, то их пересечение аУ^ стягиваемо относительно Зр\,
хотя <? не стягиваемо относительно S^2- См. также замеча-
замечание 3.
Теорема 8. Если X неприводимо по отношению к свой-
свойству быть нестягиваемым относительно &',„ (т. е. если каждое
собственное замкнутое подмножество пространства Л стяги-
стягиваемо относительно а?т), то никакое замкнутое множество раз-
размерности ^.пг — 2 не разделяет пространство .%' ').
Теорема 9. Пусть У — абсолютный окрестностный ретракт.
Если каждое из компактных множеств Ло =э А\ zd ... стягиваемо
относительно У, то этим же свойством обладает их пересече-
пересечение р = лопл,п —
Доказательство. Пусть /: Р->У — непрерывное отобра-
отображение и /' — его продолжение на окрестность Е множества Р.
Так как множества At компактны, то АьаЕ для достаточно
больших значении /. По предположению отображение f \ At
гомотопно постоянной; следовательно, гомотопно постоянной
и f, ибо f = f'\P<=zf'\Ai.
Теорема 10. Для того чтобы локально связный континуум
был стягиваемым относительно &'т (т ^ 2J), необходимо и
достаточно, чтобы такими же были все его циклические эле-
элементы 3).
Условие необходимо, согласно теореме 15 из § 53, III, и
теореме 3. По теореме 3 п. III оно также и достаточно.
Теорема 11. Пространство У связно в размерности п
тогда и только тогда, когда &'п стягиваемо относительно У.
Доказательство. Действительно, связность в размер-
размерности п означает, что
2/^ = 5/й„+1|^п) следовательно, 2Г5"" = Ух ^«> | &п,
так как б„+1 = Л (<?"„); таким образом, &\ стягиваемо относи-
относительно У (ср. I, теорема 8).
Замечание 3. Возникает проблема: определить индексы
m и п так, чтобы сфера &'m была стягиваема относительно
сферы &'„.
Заметим, например, что <2?5 стягиваема относительно S^2,
') См. Александров [8, стр. 161].
в) Теорема 10 имеет место также для ш=\. См. § 56, X, теорема 5.
«) Борсук [5, стр. 206].

<S 54. Гомотетия. Стягиваемость 375
тогда как а?7, и &\ нестягииаемы; ^п+2 стягиваема относи-
относительно &'„ при п^З, a a^n-i нестягиваема при четных п ').
Стягиваемость (произвольных) пространств относительно &\
будет изучаться в § 58.
VI. Пространства, стягиваемые в себе. Так мы будем называть
всякое пространство, стягиваемое относительно самого себя.
Теорема 1. Всякое пространство, стягиваемое в себе,
дугообразно связно 2).
Доказательство. Так как по условию тождественное
отображение гомотопно постоянной, то предположим, что
@) h: f Х^->1 непрерывно и h{x, 0) = х, 1г(х, 1) = с.
Пусть р^Я?. Положим f(t) = h(p, t). Отсюда следует, что
/ — непрерывное отображение, такое, что
/: 8-+%, f(O)=p и
Таким образом, точку с можно соединить с любой точкой
/??JT локально связным континуумом и, следовательно, дугой.
Теорема 2. Следующие 5 условий эквивалентны:
A) 3' стягиваемо в себе,
B) SV деформируемо в одну точку,
C) ЗС стягиваемо относительно любого пространства У,
D) любое пространство J" стягиваемо относительно ?V,
E) %х дугообразно связно.
Доказательство. Из A) вытекает B), так как усло-
условие A) означает, что тождественное отображение (простран-
(пространства %') гомотопно постоянной.
Из B) вытекает C). Пусть /: SC -+"У — непрерывное отображе-
отображение. Если отображение h удовлетворяет условиям @), то f ~f (с),
ибо отображение fh: 3'х8-*-У непрерывно, fh{x, O) — f{x) и
fh(x, 1) = /(с).
Из B) вытекает D). Пусть /: J1-*¦.%¦' — непрерывное отобра-
отображение. Если функция h удовлетворяет условиям @), то опре-
определим функцию
g(t, U) = h[f(t), и], где u?g.
') Нестягнваемость <?°3 относительно гУ2 и Угп-\ относительно &п (для
четных п) быля установлена Хопфом [1] и [2|. Другие результаты и более
подробное изложение см. Эйлепберг [14, стр. 57] и [12J; Фрейденталь [3]
и [4]; Гуренич |в); Поитрягпн [I], [2| и [3].
2) Это частный случай теоремы 4.

376 Глава 7. Абсолютные ретракты
Тогда / ~ с. Действительно,
g: J"X&-*3? непрерывно, g{t,O) = f(t) и g{t, 1) = с.
Импликации C)=^A) и D)=ФA) очевидны. Наконец, соот-
соотношение эквивалентности E) = A) следует непосредственно
из теоремы 2 п. V и теоремы 1.
Теорема 3. Всякий абсолютный ретракт и всякое множе-
множество Л (.#') стягиваемы в себе.
Это утверждение вытекает из B) в силу теорем 4 и 2
из п. IV.
Теорема 4. Всякое стягиваемое в себе пространство 3'
связно в любой размерности я = 0, 1, 2, ....
Доказательство. Согласно теореме 2 D), сфера ?Ра
стягиваема относительно 3", откуда по теореме 11 п. V следует
требуемое заключение.
VII. Локальная стягиваемость. Пространство У называется
стягиваемым в себе в точке ;/0, если каждому е>0 соответ-
соответствует такое т] > 0, что каждое множество А, для которого
6(</оU Л)<ц, может быть деформировано в у0 в шаре Q с цен-
центром tjn радиуса е, т. е. если тождественное отображение Л
гомотопно уй относительно Q1).
Пространство У называется локально стягиваемым в себе,
если оно стягиваемо в себе в каждой точке.
Теорема 1. Если У стягиваемо в себе в точке у0, то
каждому е > О соответствует такое ц > 0, что для любого ком-
компактного пространства 3' всякое непрерывное отображение
f: 3" -*¦ 2/, для которого б [yQ {] f (.T)] < ц, имеет продолжение
f; ЛC')->&, такое, что
(О Г@) = № и 6{г/оиПМ-Я]}<е.
Доказательство. Так как тождественное отображение
множества f{3') гомотопно у0 относительно шара Q с центром у0
радиуса е/2, то fez у0 относительно Q. Отсюда по теореме 8 п. I
(при У — Q) следуют условия (i).
Теорема 2. Из стягиваемости в себе в точке уп вытекает
локальная связность в этой точке во всех размерностях
л = 0, 1, 2,
Доказательство. Для доказательства достаточно под-
подставить &'„ вместо 3' в теореме 1, принимая во внимание
гомеоморфизм Л(й9р„) = й„+1.
') Это понятие принадлежит Ворсуку [6, стр. 236].

§ 54. Гомотопия. Стягиваемость 377
Теорема 3. Всякое пространство, локально стягиваемое
в себе, является (л. с. п)-прост ранет во м, а всякое пространство,
стягиваемое и локально стягиваемое в себе, является
(л. с. п и с. п)-прост ранет во м для каждого п = 0, 1, 2, ....
Доказательство. Это утверждение следует из тео-
теоремы 2 и теоремы 4 п. VI.
Теорема 4. Из условия B/Х^)т,2/ вытекает, что
У локально стягиваемо в себе.
Из условия {& X 8)<У вытекает, что У стягиваемо и
локально стягиваемо в себе.
Доказательство. Пусть уо?У и Fu /^....—последо-
/^....—последовательность замкнутых окрестностей точки у0, такая, что
(И) lim&(Fn) = 0.
ft->°°
Пусть е>0. Покажем, что для фиксированного и достаточно
большого п существует непрерывная деформация h: FnXc?-*У
множества Fn в точку у0, такая, что 6[h(Fn X <¦/)] <е. Пусть
Тогда Р = ?аУ X 9. Положим
z=tJ для У€рп и ИУ
Отсюда, согласно (И), следует, что f: F-^-У непрерывно.
Так как {У X 8)хпУ, то существует открытая окрестность G
множества F и продолжение /*: G ->У отображения /. По-
Поскольку множество G открыто, существуют (ср. § 41, IV, тео-
теорема 1) открытая окрестность И точки у0 (в У) и замкнутый
интервал ? — (t0, 1), такие, что Я X ? с: G. Более того, так как
f непрерывно, можно считать, что й[Г/
Рассмотрим такое п, при котором ——->t0 и FnaH
(ср. (ii)). Положим %п = ((п — 1 )/п, 1); тогда
F.X^cffx;, откуда b[r(FaX?n)]<e.
Положим
Тогда
( ^) ( ^) У; h(y, \) =

378 Глава 7. Абсолютные ретракты
h: FnX & -*У непрерывно и
X #)] = 6 [И/7* X Л
Таким образом, локальная стягиваемость У установлена.
Наконец, из соотношения (УX в)хУ вытекает существова-
существование непрерывного отображения f: УХд—>У, такого, что
fiy, ^) — У и f(y> U —!/о. откуда следует стягиваемость У
(ср. VI B)). Отсюда вытекает следующая
Теорема 5. Всякий абсолютный окрестносгный ретракт
локально стягиваем в себе, а всякий абсолютный ретракт
стягиваем и локально стягиваем в себе').
Для конечномерных пространств имеют место следующие
теоремы, обратные к теоремам 3 и 5.
Теорема 6. Пусть dim У — п. Следующие условия экви-
эквивалентны:
A) У есть (л. с. пЛ- 1)-прост ранет во;
B) (УХ&)хьУ;
C) У локально стягиваемо в себе;
D) У — абсолютный окрестностный ретракт.
Аналогично, эквивалентны следующие условия:
(Г) У — (л. с. п + 1 и с. п+ \)-прост ранет во;
B') {УХ&)х&;
C') У стягиваемо и локально стягиваемо в себе;
D') У — абсолютный ретракт.
Доказательство. A)=т>B). Из условия A) и неравенства
dimB/ X с7)<п + 1, по теореме 1 D) из § 53, IV, вытекает B).
Импликация B)=7>C) следует из теоремы 4.
C)=ФD). В соответствии с теоремой 1 из § 45, VII пред-
предположим, что
У<=&2п+1 и R = y\jF2n+2-^2n+l).
Так как пространство У локально связно в размерностях
< 2п + 2 (ср. с теоремой 2), то У является окрестностным ре-
трактом пространства R (ср. § 53, IV, теорема 1, B)). Л так как
последнее пространство — абсолютный ретракт (ср. § 53, III (i)),
то У — абсолютный окрестности и ретракт (по теореме 6,
§ 53, III).
Импликация D)=ФA) очевидна; таким образом, первая часть
теоремы 6 установлена. Доказательство второй части анало-
аналогично.
') См. Борсук [6, стр. 237] и Лефщец [2, стр. 93).

<S 54. Гомотопия. Стягиваемость 379
Замечание. Теорема б неверна для бесконечномерных
пространств. Существует (компактное) пространство, стягивае-
стягиваемое и локально стягиваемое в себе, не являющееся абсолют-
абсолютным окрестностным ретрактом (Борсук [21]).
Следствие 7. Всякое связное подмноокество Е дендрита
является абсолютным ретрактом.
Доказательство. Во-первых, Е глобально и локально
дугообразно связно (ср. с теоремой 3 § 52, IV и следствием 2
§ 51, VI). Далее, Е — {с. пял. с. я)-прострапство для любого п
(по теореме 3 из § 53, IV), так как всякий подконтинуум ден-
дендрита является дендритом, а следовательно, абсолютным ре-
ретрактом (по теореме 16 § 53, III). Таким образом, Е удовле-
удовлетворяет условию (Г) и потому условию D').
VIII. Компоненты пространства Ух, где У — абсолютный
окрестностный ретракт. В п. VIII —X символ SV обозначает
метрическое пространство, а У — сепарабельный абсолютный
окрестностный ретракт; С обозначает произвольное компактное
подмножество пространства Л\ т. е. С?С(№
Теорема 0. Если 9С — компактное пространство, то
У* (с компактно-открытой топологией) является абсолютным
окрестностным ретрактом. Следовательно, его компоненты —
открыто-замкнутые и дугообразно связные подмножества про-
пространства Ух, и потому любые два элемента каждой компо-
компоненты гомотопны.
Это вытекает непосредственно из теоремы 3 § 53, III и
теоремы 6 п. I.
Обозначим, как и в § 44, III, через рс операцию сужения,
т. е. рс(/)==/1С для Ccz.T и /?2^. Таким образом,
рс: У*-+<$&.
Кроме того, операция сужения непрерывна (по теореме 1
из § 44, III).
Пусть Г сг У*. Как обычно, рс(Г) = Г|С есть образ С при
операции сужения, т. е. множество всех сужений /|С, где /? Г.
Теорема 1 '). Если Г — компонента отображения f в про-
пространстве У*, то Г \С — компонента отображения f\C в Ус.
Доказательство. Так как операция сужения непре-
непрерывна и Г связно, то связно и рс(Г) — Г |С,
') См. Куратовский [49],

380 Глава 7. Абсолютные ретракты
Обозначим через А компоненту f\C в Ус. Так как
(/|СN(Г |С), то (Г |С) с: А. Покажем, что А = Г|С. Для этого
нам нужно показать, что
Так как С компактно, то элементы множества Л попарно гомо-
гомотопны (по теореме 0). В частности, g~(/|C), и по теореме
Борсука (см. II, 3) существует f ?3^, такое, что g = (f*\C) и
f* ~ /. По теореме 6 п. I отсюда следует, что существует дуга
в Ух, соединяющая f с /. Поэтому f ?1\ а так как g = f*\C,
то мы, наконец, получаем g ?(Г |С).
Теорема 2. Пусть Г — компонента пространства Ух; тогда
(f 6 Г) as КЛ С) 6 (Г |С) для каждого
Это утверждение вытекает из § 44, III B), так как Г и
Г |С — замкнутые подмножества пространств &х и Ус соответ-
соответственно.
Следствие 2а. Пусть Го и Г, — две компоненты про-
пространства У*. Тогда
(Го - Г,) == [(Г„ | С) - (Г, | С) для каждого С?С (.%')].
Теорема 3. Пусть фсг:УР замкнуто. Множество Ф есть
компонента пространства &с тогда и только тогда, когда
Ф|С — компонента пространств i Ус для каждого С ?С (/?').
Доказательство. В силу теоремы 1 остается показать,
что это условие достаточно. Пусть /?Ф н Г —компонента /
в &v, и пусть С ?."?' — компактное множество. Покажем, что
Ф=Г. Согласно следствию 2а из § 44, III, достаточно пока-
показать, что Ф|С = Г|С.
Но множества Ф|С и Г]С суть компоненты Ус (первое —
по предположению, а второе —по теореме 1), и оба содержат
/|С. Следовательно, они совпадают.
Теорема 4. Квазикомпоненты пространства &v связны, а
потому совпадают со своими компонентами.
Доказательство. Пусть f0 и f{ — два элемента из 2/с,
пусть Г —компонента элемента f0, и пусть А^Г. Мы должны
показать, что ft не принадлежит квазикомпоненте /0, т. е. суще-
существует открыто-замкнутое множество Фс?/1, такое, что /д(;Ф

.? 54. Гомотетия. Стягиваемость 381
Так как /i(?l\ то по теореме 2 существует компактное мно-
множество СаЯ', такое, что (f\ |С)(?(Г \С). Положим
Ф = р-'(Г|С), т.е. (/6Ф)
Тогда ?0?Ф и /^Ф. Кроме того, Ф открыто-замкнуто в У®,
так как рс непрерывно и Г|С (по теореме 1) есть компонента
локально связного пространства Ус и, следовательно, открыто-
замкнутое подмножество этого пространства.
IX. Пространство 6B^) компонент пространства Ух. Обо-
Обозначим (ср. § 49, Va) через &{УХ) пространство разбиения про-
пространства Ух на квазикомпоненты (следовательно, — по тео-
теореме 4 п. VIII —на компоненты). Это означает, что ЗсгК(#?)
открыто в QL(yv) тогда и только тогда, когда S3 (т. е. объе-
объединение компонент, принадлежащих 3) открыто в Ух.
Обозначим через P(f) компоненту f в уч. Следовательно,
Р является (естественной) проекцией пространства Ух на КB^г).
По теореме 1 из § 19, II Р взаимно непрерывно, т. е. Р~'C)
открыто в 2/* тогда и только тогда, когда 3 открыто в К (&v)
(ср. § 13, XV).
Аналогично, для компактного множества С с: ft' обозначим
через Qc{g) компоненту Л элемента g в Ус и положим
Sco,c,(A) = A|Co для Со с С, и Л6КB/с0-
Наконец, положим /?С(Г) = Г |С для Г ^EB/г). По теореме 1
п. VIII мы имеем (Г \С)^{УС), Следовательно,
Rc: КB/^)->6B/с) и R:
где Я(Г) = {/?С(Г)}.
Теорема 1. Диаграмма
коммутативна. Следовательно, Rc непрерывно, а потому и R
непрерывно.
Доказательство. Пусть /?2/* и /6Г6<5B/Г). т. е. Г =
= Р(/). Тогда /?с [Р (/)] — Р (/) IС — Г | С, и по теореме 1 п. I
Г|С — компонента f\C в 2^с. Следовательно,
= Qc(/|C)«Qc[pc(f)].

382 Глава 7. Абсолютные ретракты
Это завершает доказательство коммутативности диаграммы.
Непрерывность Rc вытекает из теоремы 3 § 13, XV в силу
взаимной непрерывности Р и непрерывности Qc°9c (по тео-
теореме 1 из § 44, III рс непрерывно).
Теорема 2. Если пространство 3" компактно, то прост-
пространство SB/c) дискретно.
Действительно, элементы пространства E (&х) — открыто-
замкнутые множества (по теореме 0 и. VIII).
Теорема 3. Пусть 3 <= К (&х). Тогда
@) (Г€3)=[/?с(П€/?сC) для каждого С],
т. е.
для каждого С].
Доказательство. Импликация слева направо вытекает
из непрерывности Rc (теорема 1) и того факта, что 31С замк-
замкнуто в пространстве (?{°УС) (так так последнее дискретно по
теореме 2).
Далее предположим, что справедлива правая часть соотно-
соотношения @). Покажем, что Г?3-
Пусть / ? Г. Тогда
(/|С)€(Г|СNC[С), т.е. (flCNSC|C).
Очевидно, SC|C) = SC)|C, поэтому (f |С)б [S CI С] и, следо-
следовательно, f6SC) (согласно § 44, III B)); так как f — произ-
произвольный элемент Г, то из этого вытекает, что TczS (Л). Но
SC)<=SC) (ибо S C)«=S C) = S C) по_ определению фактор-
топологии), поэтому TczSC). т.е. Г^З-
Теорема 4. Проекция Р: 2/-*1-> С B/*) — открытое отобра-
отображение.
Доказательство. Пусть Gcz2/r открыто, и пусть Г ? Р (G),
т. е. ГПС^О; пусть /?ГПС.
Предположим, вопреки нашему утверждению, что Р (G) не
является открытым, а именно, что Г?3> где 3 = К (&v) — P(G).
По теореме 3 отсюда следует, что (ПСNC1 С) Для каждого
компактного множества С. Так как (f\C)?(T\C), To(f |C)?SC|C).
Далее, SClC)=SC)lC,OTKyAa(/|CN[SC)|C],no3TOMyf6SC).
Следовательно, 8C)ПС-=^0, поэтому 8C) ПС-=7^0 (так как G
открыто), т. е. существует компонента пространства (Ц2/г), при-

§ 54. Гомотетия. Стягиваемость 383
надлежащая [] и имеющая общие точки с G. Но это противо-
противоречит определению 3-
Замечание. Разбиение пространства "Ух на компоненты
полунепрерывно снизу, так как свойство Р быть открытым ото-
отображением эквивалентно открытости множества EOTlG^O)
(при условии что Gcz2/-^ открыто).
Очевидно, Sec ° Sc,c, = Sec, лля Со^С\сС2- Поэтому про-
пространства (?B/с) и отображения Sec, образуют обратный спектр
(переменные С, Со, С\ пробегают семейство С {.У), которое,
очевидно, направлено относительно включения CqCzCu ср.
§ 44, III).
Теорема 5. К B/*) с Lim {<Ц2/С)( SCac)-
top С, С0<=С,
Именно, отображение R: К B/?) -> ПК B/с) еегб требуемый
гомеоморфизм пространства КB/?) в указанный предел обрат-
обратного спектра.
Доказательство. Обозначим сокращенно этот предел
через й. Сначала мы должны показать, что
A) Г6<Ц»«)=ФЯ(ГN8.
По определению /? (Г) = {Rc (Г)}. Следовательно, чтобы дока-
доказать A), достаточно показать, что
Но sto означает, что (Г|Ct)|Со = Г|С0; последнее очевидно.
Осталось показать, что R — гомеоморфизм, т.е. что
B) (Г?3)=[/?(Г)б7Ш)] для каждого 3<=6(»*).
Так как /?(ГN^ (согласно A)), то мы имеем (см. § 16, VI,
теорема 3)
C) [R (Г) 6 ЩШ = [/?с (П 6 /?сC) Для каждого компактного С],
откуда в силу теоремы 3 вытекает B).
Следствие. Пространство КB/?) вполне регулярно.
Действительно, это пространство гомеоморфно подмноже-
подмножеству произведения [Щ B/с) вполне регулярных (в действитель-
с
ности дискретных) пространств.
Теперь мы усилим теорему 5 для случая, когда SC сепа-
рабельно и локально компактно
Во-первых, напомним (см. теорему 8 из § 41, X), что в рас-
рассматриваемом случае существует последовательность C|CzC2cz...
компактных подмножеств пространства Л', такая, что каждое

384 Глава 7. Абсолютные ретракты
компактное подмножество пространства X представляет собой
подмножество некоторого Сп.
Теорема 6. Если пространство SU сепарабельно и локально
компактно, то
С B/*)= Lim{<5(»4 Scnck).
top п, n<fc
Именно, обозначим через R (Г) элемент {/?с„(П} произведе-
ния ПЙB/'"); тогда R —искомый гомеоморфизм.
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 5,
легко показать, что R — отображение в рассматриваемый выше
предел обратного спектра. Для того чтобы доказать, что R —
гомеоморфизм, достаточно (согласно C) и @)) показать, что
если
D) (Г|Св)€C|Сд) Для каждого
то
E) (Г|СNC|С) для каждого
Пусть С?С(Ж) и Сс=С„. По предположению
(Г|С„NC1С„), следовательно, [(Г|С„) \С] 61C1С„)|С].
Но (Г|С„)|С = Г|С и(Я|С„)|С = В|С. Таким образом, (Г|СNC|С).
Это завершает доказательство импликации D) =^E).
Теперь перейдем к доказательству самой существенной части
теоремы, а именно того, что R является отображением на. Мы
должны показать, что для каждой последовательности Д„ ?
6 6B^"), п=\, 2 такой, что
F) А/е|С„ = Дге, каково бы ни было n<k,
существует Г ? 6 {Ух), такое, что
G) Г|С„ = А„ для «=1, 2, ... .
Для этого определим по индукции последовательность flt f2, ...,
такую, что
(8) f,6A, и f(|C(._, = /,_!.
Пусть f, — произвольный элемент из А,. Предположим, что
ft 6 А( для некоторого г'^1; так как А(+,|С, = АЬ согласно F),
то существует /i+) ?Л,+1, такое, что fi+\\Ct =/,. Следовательно,
условие (8) удовлетворяется для i+l.
Последовательность fu f2. • • • порождает отображение
/: %'-*'&, определяемое следующим образом:

$ 54. Гомотетия. Стягиваемость 385
(9) / (х) = fi (х),' где I — наименьший индекс, такой, что х ? CV
Отображение / непрерывно (по теореме 3 из § 44, III), так
как оно непрерывно на каждом Сп, а следовательно, на каждом
компактном подмножестве С пространства 3' (ибо С содержится
и некотором Ci с подходящим индексом i).
Пусть Г —компонента / в Ух. Из соотношении (8) н (9) вы-
вытекает, что f\Ci = f[. Следовательно, ft ? Аг ГКП^), откуда вы-
вытекает G), так как Лге и Г|С„ — компоненты одного и того же
пространства, а именно пространства бB/с") (ср. с теоремой 1
из п. VIII).
Следствие 6а. Если & сепарабельно и локально ком-
компактно, то пространство EB/г) гомеоморфно замкнутому под-
подмножеству пространства иррациональных чисел ы?*, следова-
следовательно, полному сепарабельному нульмерному пространству.
Действительно, пространство (а(&'п) дискретно и счетно,
оо
следовательно, ПК (У'") гомеоморфпо
% Зак. 190

ГЛАВА 8
ГРУППЫ &т, &х И т{%)
§ 55. Группы В* и
I. Общие свойства коммутативных групп. Прежде всего
мы сформулируем здесь элементарные свойства коммутативных
групп, которые нам понадобятся позже.
Множество ЗС произвольных элементов называется комму-
коммутативной (или абелевой) группой относительно операции а + Ь,
сопоставляющей каждой паре элементов а, Ь? -У некоторый
элемент из ЗС', если при этом выполняются следующие усло-
условия:
(О (a+b) + c = a + {b + c);
(и) а + Ь = Ь + а;
(iii) существует один (и только один) элемент 0, такой, что
а + 0 = а1);
(iv) для каждого а ? X существует один (и только один)
элемент —а, такой, что а + (— а) = 02).
Если m — целое число, то произведение m •а определяется
следующим образом:
О • а = 0, пг • а = (пг — I) • а + а и (— пг) • а = пг • {— а) для т>0.
Говорят, что аФО есть элемент конечного порядка (по-
(порядка /л), если существует целое число тфО, такое, что
m • а = 0.
Подмножество группы X называется подгруппой, если
Вместе с элементами а и b оно содержит а + Ь и если вместе
с каждым элементом а оно содержит —а. Поэтому любая под-
подгруппа содержит 0; в частности, она может состоять только
из нуля.
') Этот элемент называется нейтральным элементом группы &.
В п. I——VIII нуль везде будет обозначать нейтральный элемент.
а) Групповая операция (называемая композицией) обозначается здесь
знаком +. Иногда более удобно рассматривать композицию как умножение;
в таком случае 0 заменяют на 1, а вместо —а пишут 1 : а (и, следовательно,
вместо а—Ь пишут а : Ь).
Здесь под «группой» мы всегда будем понимать коммутативную группу.

§ 55. Группы &х и ЭЗо (X) 387
Определение. Если в группе X определена топология,
относительно которой операции а + b и — а непрерывны, то 3?
называется топологической группой.
II. Гомоморфизм. Изоморфизм. Пусть X и У — две группы.
Поставим в соответствие каждому элементу х из X элемент
h (х) из ЗЛ Соответствие h называется гомоморфизмом, (или
аддитивной операцией), если
h(a + b) = h(a) + h(b).
Тогда
Л@)-0 и й(-а)--Л(а),
так как А(О) = Л(О + О)*й(О) + Л(О) и 0-Л@)-Л(а-а) =
h() h()
() ()
Кроме того, h {Ж) — подгруппа группы &, и если G — под-
подгруппа У, то h~x{G) —подгруппа 5С. Группа h~l @) называется
ядром гомоморфизма h.
Гомоморфизм Л, при котором из соотношения h(a) + h(b) =
— h{c) вытекает, что а + Ь = с, другими словами, при котором
называется изоморфизмом между X и
Для того чтобы гомоморфизм был изоморфизмом, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы он был взаимно однозначным, т. е.
чтобы его ядро сводилось к элементу 0 (следовательно, чтобы
из равенства h(x) = 0 вытекало равенство л: = 0).
С теоретико-групповой точки зрения две изоморфные группы
неразличимы (точно так же, как с топологической точки зре-
зрения нельзя различить два гомеоморфных пространства). В та-
таком случае мы будем писать
III. Факторгруппы. Если G — подгруппа группы X, то от-
отношение a~bmod G означает, что (a — b)?Q. В частности,
Легко проверить, что отношение a~6modG рефлексивно,
симметрично и транзитивно.
Таким образом, если считать, что два элемента а и b при-
принадлежат одному и тому же множеству тогда и только тогда,
когда a~6modG, то группа 3? разобьется на попарно не пере-
пересекающиеся подмножества. Семейство этих множеств назы-
называется факторгруппой %\G; композиция элементов фактор-
факторгруппы определяется следующим образом: С есть сумма
26*

388 Глава 8. Гриппы &х', &х и W. (,Т)
множеств А и В, С = А 4- В, если с~а + b mod О для любых
а 6 Л, I? ? В, с ? С. Легко видеть, что при этом .#70 —коммутатив-
—коммутативная группа, a G — ее нейтральный элемент; мы будем обозна-
обозначать его также символом О. Ясно, что
A)
B)
Теорема 1. Отображение Р: .Ж" —>• ."Г/О (называемое проек-
проекцией), сопоставляющее каждому элементу х из № элемент Р (х)
из &/G, такой, что х?Р(х), является гомоморфизмом И'
на XIG.
Кроме того,
C) [*-*'mod GM
D)
E) [x~
Теорема 2. Если А —такая группа, что GczAc%', то
A = P-1{AIG), откуда P(A)°»A/G.
Следующая теорема является обратной к теореме 1.
Теорема 3. Если h: .Т -> h C*) — гомоморфизм, то группы
h(.1') и 3'/h~*{0) изоморфны:
F) А(.2Г)=ЗД-»@),
а факторгруппа 3'/h~l @) совпадает с семейством прообразов
точек при отображении h (т. е. с семейством множеств h~l (у),
где у пробегает группу 1гC')).
Доказательство. Отображение /Г1: /г{3')—>.1ч//1~1@)
есть именно тот изоморфизм, который выражается соотноше-
соотношением F). Действительно, оно взаимно однозначно и является
гомоморфизмом, так как из соотношений х\ 6 h~[(yl) и х2 6 h~' (//2)
вытекает, что {Х[ + x^^h*1 (yx + у2).
Теорема 4. Если h: 3" —>hC") — гомоморфизм и Л —
такая группа, что 1г~] @) с: А а 3', то Л = h~[h(A).
Доказательство. Пусть F{x) = h~'h(x) и О = /г~'@).
Согласно теореме 2, /7(Л)==Л/С, следовательно, F{a)czA при
а 6 Л. и потому
/Г'/г(Л)= U /Г'/г(д)= U

§ 55. Группы &х и »0 IT) 389
Теорема 5. Пусть SV и У— две группы, Aa.uV a
подгруппы. Пусть Л: X'->2/ — такое отображение, что
(i) из дс^ОтосМ вытекает /г(х)~0 mod В (т. e. h(A)czB);
(ii) h (х{ + x2) ~ (h (x{) + h (x2)) mod В;
(Hi) для каждого у?У существует элемент х^Ж, такой,
что y~h(x)mod В.
Каждому XdW/A поставим в соответствие элемент е(Х)?Х,
а также элемент Н(X) факторгруппы &/В, содержащий h[e(X)].
Отображение Я: C /А)-+(У/В) (индуцированное отображе-
отображением К) не зависит от определения операции е: (Ж/А)->%' и
является гомоморфизмом на.
Отображение И — изоморфизм, если, кроме того,
(iv) из h(x)~0mod В вытекает x~0mod А (т. e. h~x (В)сА).
Доказательство. В соответствии с теоремой 1 пусть
y?F(y)e%IB и [у ~ уЧ *э [F (у) ~F {,/)]*).
Отсюда следует, что Н (X) = /' {п [е (X)]}.
Для того чтобы показать, что Я не зависит от е, пред-
предположим, что с' (X) ? X. Мы должны показать, что
= F{h\e'(X)]}.
Но так как е(Х)~е'(Х), то е(Х) — е'(Х)~0, откуда
h[e(X) - е'(Х)]~0, согласно (i). Так как h [е(X)-ef (X)]~
~h[e(X)] — h[e'{X)\, согласно (ii), то
-А
Отображение Я — гомоморфизм, ибо
следовательно,
поэтому
F {h [e (Xt + X2)}} = F{h[e (X,)] + А [е (Х2))} =
Кроме того, каждому У^2//Д соответствует Х^.Т/А, такое,
что Y — H(X). Действительно, пусть у ? Y, тогда Y = F(y). Пусть
(ср. (Hi)) y~h(x), где х?Х. Тогда х~е(Х), откуДа (ср. (i) и
(ii)) h(x)~he{X), следовательно, y~he(X) и
') Для краткости мы опускаем здесь символы mod А а той В.

390 Глава 8. Группы &х, <?х и Ж (_<Г)
Наконец, из условия (iv) вытекает, что Я — взаимно одно-
однозначное отображение. Действительно, пусть F {п [е (Х{)]} =
= F{h[e(X2)]}. Тогда
h[e{Xx)\~h{e{X2)], откуда h [e(Xt)] -h[e(X2)]~0,
следовательно,
и, согласно (iv),
е(Х1)~е(Х2)^0, т. e. e(Xi)^e(X2),
и потому Х[ =• Х2-
Из теорем 4 и 5 (при y = h{!%) и В = h(А)) вытекает сле-
следующая
Теорема 6. При предположениях теоремы 4 имеет место
изоморфизм
Теорема 7. Если A, G и ?С — группы, такие, что
G <= Л с?', то
G) ^М = [^/О]/[Л/О].
Действительно, если F — гомоморфизм, определенный в тео-
теореме 1, то по теореме 2 отсюда следует, что
F (%) = %№ и F{A)-A/G,
откуда в силу теоремы 6 получаем G).
IV. Операция А. Если А — подмножество группы SC, то
обозначим через А наименьшую подгруппу SC', содержащую А.
Группа А всегда существует, так как пересечение произволь-
произвольного семейства групп (в данном случае семейства всех групп, со-
содержащих А) есть группа. Легко установить следующие теоремы:
Теоремы 1-3. А с= А; Ж = #'; А = А.
Теорема 4. Из A cz В вытекает А с: В, так что A \J В с
c/ujfi и Af\bc=A(]B.
Теорема 5. (Л = Л)= (А — группа).
Теорема 6. [(*)*«=(*)] ^ [х = 0].
Теорема 7, Группа А есть множество всех элементов вида
гп\ • а{+ .,, +пг„ - ап,
где ац ,,,, ап?А и Ш\ та —целые числа,

$ 55. Группы &х и SoW 391
Доказательство. Действительно, с одной стороны, эти
элементы образуют группу, а с другой стороны, группа, со-
содержащая А, содержит также все эти элементы.
Отсюда вытекает следующая
Теорема 8. Если А и В —две подгруппы 3", то А\]В —
множество всех элементов х вида
A) х = а + Ь, где а?А и Ь?В.
Более того, если А (] В — @), т. е. если группы А и В имеют
общим только нейтральный элемент, то каждый элемент
х?А\}В имеет одно и только одно представление в виде A).
В последнем случае А[] В называется прямой суммой А я В;
в этом случае соответствие, которое каждому х ? А {] В сопо-
сопоставляет элемент а (соответственно Ь), такой, что имеет
место A), является гомоморфизмом группы А(]В на А (соот-
(соответственно на В).
Теорема 9. Если h: 3" —>-Л(^*) — гомоморфизм, то
h{A) = h{A) для любого Acz%.
Это следует непосредственно из теоремы 7, ибо
h (m, • а{ + ... + mn • ап) = h {m{ • aj + ... + h {tnn • an) =
= /n, -h{a{)+ ... +mn-h(an).
Теорема 10. Если А и В — две группы, то
Доказательство. В соответствии с теоремой 1 п. III
пусть F:. A U В -> A U В/А (] В — естественный гомоморфизм. Тогда
(ср. с теоремой 1 п. III и с теоремой 9)
пЪ П В = F(A[jb) ЩИТ
= F (A)(J F(B) = (A/A() В)[}(В/АП В).
Теорема 11. Если A [j В —прямая сумма групп А и В, то
B) АЛГВ/А = В.
Доказательство. Существуют (ср. с теоремой 8) функ-
функции g и h, такие, что
g: А\Ув->А, h: A\JB-+B

392 Глава 8. Группы &*, &х и Ш {
х = g(x) + h(x) для всех х?Л[]В.
Так как h — гомоморфизм и так как Л~'@) = Л, то, согласно
теореме 3 п. III, получаем соотношение B) (если X заменить
на /ГЦВ).
V. Линейная независимость, ранг, базис. Подмножество А
группы il' называется линейно независимым, если для любой
конечной системы аи ..., ап элементов из А равенство
ml-al + ... +тп - ал = 0
с целыми коэффициентами ти ..., тп имеет место тогда и
только тогда, когда
Элементы линейно независимого подмножества также на-
называют линейно независимыми. Максимальное число линейно
независимых элементов в 3\ если оно существует, называется
рангом SC; если такого числа не существует, то говорят, что
X ~~ группа бесконечного ранга.
Так, например, группа <?? целых чисел имеет ранг 1,
группа <??2 комплексных целых чисел имеет ранг 2, группа <??и
бесконечных последовательностей целых чисел, каждая из
которых содержит только конечное число членов, отличных
от 0, имеет бесконечный ранг. Бесконечный ранг имеет также
группа О?** всех бесконечных последовательностей целых чисел.
Если множество А линейно независимо и если А = .Т, то А
называется базисом (в теоретико-групповом смысле) группы X.
Тогда каждый элемент х^_Х допускает одно и только одно
представление в виде
х = тх-ах+ ... + тя- ап, где аи...,ап?А.
Теорема 1. Если Ж имеет базис, состоящий из п эле-
элементов, то X ~ &п. Если X имеет счетный базис, то
Доказательство. Пусть А = {аи а2, ...} — (конечный или
бесконечный) базис группы .Ж*. Определим функцию /: JT-*(??'t
(или <??м) следующим образом:
[mu m2, ...] для x = mx • ах + ш2- а2+ ... .
Тогда / — искомый изоморфизм.

§ 55. Грцппы »х и <&0 (."Л 393
Теорема 2. Если h: X->/г(.'?*) — гомоморфизм, то
ранг 3" = рапг /Г1 @) +ранг h{XI).
Доказательство. Пусть а,, ..., ак — линейно независи-
независимая система элементов в /Г'@), a h(ak + l), ..., Л(а„) —линейно
независимая система элементов в /г(if). Покажем, что эле-
элементы аь ..., ак, ак+и ..., а„ линейно независимы. Пред-
Предположим, что
A) nit ¦ «1 + • • ¦ + шк ¦ ак + ... + шп • ап = 0.
Так как (пг{ • а, + ... + тк • ак) ? /г @), то
/г (иг, • а, + .., + тк • ак) == 0;
следовательно (ср. A)),
тк+1 ¦ h (ak+i) + ... + tnn • h (an) = 0,
откуда вытекает, что m/,+i — ... =/nrt = 0. Таким образом
(ср. A)),
nil • ах + ... + тк • ак = 0, так что тх ~ ... = тк = 0.
Итак, линейная независимость системы (а,, ..., ап) уста-
установлена. Отсюда следует, что
ранг .%' > ранг h~l @) + ранг /;(/?").
Для доказательства обратного неравенства можно предположить,
что ранги групп Л" @) и h(.T) конечны. Пусть
B) ранг /Г'@) = /г,
C) ранг h{.T) = n-k.
Мы должны показать, что ранг .1'^.п. Это означает, что
если ph ..., pn+i — некоторая система элементов .Т, то суще-
существует такая система целых чисел г1( ..., гп+и не все из ко-
которых равны нулю, что
D)
Пр
гду
E) ш • х — mi • Я[ + ... + т„ • а,„ где
Прежде всего покажем, что каждый элемент лс^.^" имеет
следующий вид:
Ср. Александров и Хопф [1, стр. 573] ы Александров A, стр. 634].

394 Глава в. Группы »х, <?* и Ш (_<
Так как элементы h(ak+l), ..., h(an) линейно незаписимы,
то из условия C) вытекает существование такой системы целых
чисел s, Sk+u sk+2 sn, что
s-h{x)~sk+i -h(ak + i)- .. . -sn-h(an) = 0 и s?=0.
Отсюда следует, что sx — sA + 1aA + 1 — . .. — snan принад-
принадлежит Л~'@); поэтому, согласно B), существует такая система
целых чисел то, ть ..., пгп, что
mo(sx-sk+lak+l- ... -snan) = mlal+ ... + mkak.
Более того, тоФО, так как элементы аь ..., ак линейно не-
независимы. Положим
Тогда условие E) удовлетворяется.
Отсюда следует, что каждому Pj (где /=1, .... п+\) соот-
соответствует система целых чисел т/, т^, ..., т1п, такая, что
F) m,p, = miax + ...+m!tan
и
G) т,Ф0.
Пусть С[, ..., сп+1 — система целых решений (не все из ко-
которых равны нулю) п однородных уравнений
тихх + ... + mn+Uixn+i = 0, i=\, .... п,
т. е.
(8) Цш/,С/ = 0, где /=1, ..., п.
Пусть rj — CjiUj, /=1, .... п + 1. Тогда (ср. F) и (8))
п+1 п+1 п+1 п п п+1
2 Г/Р/ = 2 CjtnjPj =2 2 clmliai = 2 at 2 mnCj = 0.
Более того, согласно G), хотя бы одно из чисел
Теорема 3. Если G — подгруппа группы Ж, то
ранг 3' = ранг G + ранг (Jfc'/G).
Это следует из теоремы 2 в сочетании с формулой D) п. III.
Теорема 4. Если Л[} В — прямая сумма групп Л и В, то
ранг A L) В = ранг А + ранг S.
Это вытекает из теоремы 3 и теоремы 11 п. IV.

§ 55. Группы »х и Ъа {&) 395
VI. Линейная независимость по mod G. Пусть G — под-
подгруппа it'. Подмножество А множества it' называется линейно
независимым по modG, если для любой конечной системы
аи ..., ап элементов Л из соотношения
... + тпап ~0 mod G
вытекает, что ml = ... = tnn = 0. Если
x~mia1+ ... +тпап, где а,,..., ап?А,
для каждого элемента х из %, то А называется множеством
образующих группы it' по mod G.
Если это множество А, кроме того, линейно независимо
по modG, то оно называется базисом группы JT по modG.
Пусть Р — функция, рассмотренная в теореме 1 п. III.
Согласно формуле E) п. III, множество А линейно независимо
тогда и только тогда, когда семейство Р(А) (т. е. семейство
элементов Р(а) факторгруппы H?/G, где а ?Л) линейно не-
независимо. Таким образом, имеют место следующие соотноше-
соотношения эквивалентности:
{Л-базис if по mod G} ^ {Р(Л)-базис .T/G},
{Л — множество образующих группы X по mod G} =
= {Р(А) — множество образующих SP/G}.
Ранг группы 3C\G равен максимальному числу элементов
группы 3', линейно независимых по mod G.
VII. Декартовы произведения. Пусть X и У — две группы;
их декартово произведение 2=^X2/ становится группой,
если композиция определяется следующим образом:
A) (х, у) + (х',у') = (х + х', у + у').
Следовательно, @, 0)—нейтральный элемент группы % и
B) -(*, г/) = (- х, - у), ш-(х, у)*=(тх, ту).
Проекция h: %-+%", определяемая условием h(x,y) = x,
является гомоморфизмом на.
Очевидно, что
C) .ГХ(О)=.Г, @)х# = #,
D) JX2/ = ЯГ X @) U @) X У.
Группа & X У является прямой суммой групп SC X @) и
@) X У, и по теореме 4 п. V имеем
E) ранг {3' X 20 = ранг Ж + ранг У.

396 Глава 8. Гриппы 3>х, <УХ и
Если f: &-*-f(&~) и g: У ->g {У) — гомоморфизмы, то функ-
функция h: X X У-+\{%) X gC0, определяемая условием 1г(х, у) =
— [/(*)> ё(у)]> есть гомоморфизм на.
Если Л и В — подгруппы #' и У соответственно, то
F) (Л* X УI(А ХВ) = {Я 7/1) X {УIB).
Действительно, если F — гомоморфизм, который каждому х? 3"
ставит в соответствие элемент F(х) из .°1'/А, такой, что x^F(x),
и если G — определенный аналогично гомоморфизм, такой, что
У 6 G (у) 6 У IB, то положим Н(х, y) — [F(x), G (у)]. Отображение
Н: &Х'У-+(.!'1'1А)х(У1В) является гомоморфизмом на, а АхВ —
его ядро. Отсюда на основании теоремы 3 п. III получаем
соотношение F).
В частности (ср. C) и 111A) и B)),
G) (JF
(мы отождествляем группу SV X @) с Ж).
Приведенные выше утверждения, касающиеся произведения
двух групп .%' X "У, можно легко распространить на обобщен-
обобщенные произведения 3= П •#•"<» где $Ct — (абелева) группа, а Г —
произвольное множество. Именно, положим для каждой пары
I = [Ъ1\ иЬ {1)') элементов В
i + S-fo' + S'), где t?T.
Тогда 3 становится (абелевой) группой. Более того, если
каждая группа 3't — топологическая группа, то 3 — тоже топо-
топологическая группа.
Теперь предположим, что Г— направленное множество,
\%t, f<rfj —обратный спектр, i^ — группа (для каждого t? T)
и fti)t: &,'и->tVu — гомоморфизм (для /0</j). Положим
Теорема 1. ^*м — подгруппа группы П 3?t.
Более того, если каждое &t —топологическая группа, то
м — тоже топологическая группа.
Доказательство. Пусть № = j + p, где ц, Рб^оо- Пусть
^ti. Покажем, что ftei (№'») = й)'°. Действительно,
Вторая часть утверждения теоремы является очевидным след-
следствием того, что П^'( — топологическая группа.
t

§ 55. Г/н/ппы &х и Ъо {X) 397
Добавим еще утверждение (которое легко доказать), ана-
аналогичное следствию 4а § 16, VI:
Теорема 2. Пусть, как выше, [Уt, ftt\ и \У t, gtA —
обратных спектра групп; предположим, что h ставит в соответ-
соответствие као/сдому t?T отображение ht: 3\~+У{ так, что при этом
коммутативна диаграмма (для t0 ^ /[)
or { tdi су
l k,
4-
Пусть h^: X',„-> У'm — такое отображение, что Л'(,0 = ЛЛ^)-
Вели ht — изоморфизм {для каждого t?T), то h^ —также изо-
изоморфизм.
VIII. Группа Ух. Пусть Ж и У — два метрических прост-
пространства (или, более общо, два ^"-пространства). Предположим,
что "У — топологическая абелева группа. Семейство Ух непре-
непрерывных функций f: .Т-+У наделяется групповой структурой,
если композицию элементов /ь /2 из Ух определить следующим
образом:
A) {/3-f. + /2}^{/3W-flW + /2W ДЛЯ ЛЮбоГО ДС6.Г}.
Так как группа У коммутативна, то группа У* тоже ком-
коммутативна. Нейтральным элементом группы Ух является по-
постоянная функция со значением 0.
Постоянные функции образуют подгруппу группы Уг, изо-
изоморфную У. Часто эту подгруппу полезно обозначать тем лее
символом У.
Группа &v, рассматриваемая как «^'-пространство (ср. § 20,
VI), является топологической группой.
Для того чтобы доказать это утверждение, положим
Ih^fn + Sn, lim /„ = /, \im ga**g и h=>f + g.
Пусть !im xn = x. Тогда
следовательно, lim //„ = //.

398 Глава 8. Группы &х', Vх и 481
Пусть А — фиксированное подмножество -Ж"; положим
B) Ш = /М.
Таким образом, операция ? каждому элементу f ?УХ ставит
в соответствие элемент группы УА, а именно сужение /1 А.
Следовательно, если Ф — подмножество Ух, то (ср. § 53, I)
C) ?(Ф) = Ф|Л.
Теорема 1. Операция ? — гомоморфизм:
D) ?(/1 + Ь)-?(Л) + 5(Ь).
Поэтому справедлива следующая
Теорема 2. Если Ф — подгруппа У*, то Ф | А — подгруппа УА.
В частности, непрерывные функции g: A -> У, имеющие (не-
(непрерывные) продолжения на Ж, образуют подгруппу группы УА
(а именно подгруппу УХ\А).
Положим
E) Л(Л) = Г1@), т.е. 0)
Из C) и теоремы 3 п. III вытекает следующая
Теорема 3. Если Ф — подгруппа Ух, то
Теорема 4. Если Ф, и Ф2 — две подгруппы У®, такие, что
А(Л)с:Ф1с=ф2, то
Это следует из теоремы 3 в сочетании с теоремой 7 п. III
(где А заменено на (
Теорема 5. Пусть f: SV —>Z — непрерывное отображение
SV на Z. Если Ф — подгруппа У10, состоящая из сложных функ-
функций gf, где g: Z-> У — непрерывные функции, то
F) 2^ф'
G) Уг/У = Ф/У.
Доказательство. Положим hg(x) = gf(x), где
и л:?1; тогда h — изоморфизм У2 на Ф, так как
К+вЛх) = gif(x) + g2f{x) - hg, (x) + hgt{x)
и
из hg = 0 вытекает g = 0

§ 55. Группы »х и So (.Г) 399
(так как если hg = 0, то gf(x) = O для любого х и, следова-
следовательно, g(z) — 0 для любого z?Z).
Формула G) следует из формулы F) и из соотношения экви-
эквивалентности (hg — const) == (g = const) (ср. III, 5).
IX. Группа ??x. Пусть «?, как обычно, обозначает группу,
целых чисел. Положим
»0 (#") = #*/# и й„ (•?¦) = ранг
Следовательно, элементы факторгруппы получаются в резуль-
результате «отождествления» тех элементов группы $х, которые отли-
отличаются па постоянную.
Условимся считать, что Ь0(&) = 0, если SC пусто.
Теорема 1. Если X связно, то <??* = <?? и, следовательно
Действительно, всякая непрерывная функция d: №->c9 по-
постоянна.
Приведенная ниже теорема 3 является обобщением тео-
теоремы 1.
Теорема 2. Пусть Fo, ..., Fn —такая система замкнутых
непересекающихся непустых множеств, что & = Fo{] ... \JFn.
Система характеристических функций du ..., dn множеств
Flt ..., Fn линейно независима по mod<??.
Доказательство. Пусть (aki) = dk(Fi). Тогда аи=\ и
ак1 = 0 для Иф1. Так как определитель системы п + 1 одно-
однородных уравнений
(i) mo + aumi+ ... +antmn-0 A = 0, ...,п)
равен 1, то из этого следует, что mo = mi= ... =т„ = 0.
Теорема 3. Если (непустое) пространство X имеет конечное
число, скажем п + l, компонент Fo, ..., Fn, то
^" и
Доказательство. Характеристические функции du ..., dn
множеств Fu . . . , Fn являются образующими группы ^* по
mod &. В самом деле, пусть d — произвольный элемент группы 09х
и (mi) = d(Fi). Тогда
d = m0 + (ni\ — m0) e?i + ... + (т„ — m0) dn.
Теорема 4. Пусть du ..., dn — система элементов группы 09х.
Если
^=^.и... u/v
« с?й \Ft — постоянная для всякой пары k, l, то функции d\, ..., dn
линейно зависимы по d?

400 Глава 8 Группы &%', <УК и Ш (.Г)
Доказательство. Пусть (aki) = dk(Ft). Искомые целые
числа iiiq, ..., тп, последние п из которых не все равны пулю,
определяются системой п уравнений (i) для 1—1 п.
Теорема 5. Если функции du ..., dtt???x линейно неза-
независимы по mode?, то tV = Fo[) ... [}Fn, ?де Fn, .... Fn — or-
крыто-замкнутые непустые множества, такие, что для каждой
пары различных индексов I, r существует такой индекс к, что
dk(F,).dk(Fr) = 0.
Доказательство. Докажем сначала следующую (тсорс-
тико-мпожествеппую) лемму.
Пусть Ао, • •.. $,„--система m + 1 различных точек декартова
произведения У1 = Л(|) X ... X А{1>). Тогда А = В0[} ... [} В„„ где
(i) h?Bi Для г' = 0 т>
(ii) для каждой пары различных индексов /, г существует
число к, такое, что В\к) (] Bf] = 0, где Х(к) обозначает проекцию X
на ось Л{11).
Применим индукцию. При т = 0 положим Вп= Л. При п— 1
и от >0 положим Bt =,v, если Km, и В,п— А — (Z?0U ... U Bm-i).
Предположим, что лемма имеет место для индексов j<m
(и для каждого п). Пусть п>1. Так как точки \{), ..., \,п раз-
различны, можно предпололсить, что существует такой индекс
}<ш, что ^I) = S,(,t) при /</ и \(Р ф 4" ПРИ '>/•
Так как j<m, то по предположению существует разбиение
$'х лB)х ... хл(л> = вои ... и В/,
и условия (i) и (ii) (где от заменено на /) выполняются. Из тех
же предположений следует, что Л = Су+! U • ¦ • U С„„ где $, ? С(
для i > /, и условие (ii) выполняется (если В заменено на С).
Пусть B, = C,-S((l"x/lX,..X/l( для i>j. Множества
Bi — искомые. Действительно, если /, rz^.j или если /, г > /,
то уелоние (ii) удовлетворяется в силу определения множеств
В{ (г</) н С, (i > /). Если / < / < г, то В</> = ^> и /З^^С»1 --;'".
Лемма доказана; пусть 6 (х) — такая точка группы о9", что
6(/г)(х) = ^(х), к—\, ..., /г (т. е. точка пространства ef" с коор-
координатами A\(х), ..., dn(x)). Рассмотрим разбиение ¦*'= U ° ' @
на открыто-замкнутые множества, где $ пробегает ^". Так как
каждая из суженных функций dk\6~ (\) постоянна (= \(к)), то
по теореме 4 в о?" существуют п + 1 различных алементон
So, •• -, S,t, таких, что

§ 55. Грцппы &х и 5В„ (.-Г) 401
Положим в лемме ЛA) = ... ="А{п)~??, т — и и рассмотрим
множества F{ = б (В{), i = 0, ..., «. Так как а?" => Во U ... I) й„,
то •?" = Fo U ... U Fn. Так как fo ? В,, то б (;,•) с б (В;), откуда
Ft=?0. Наконец, в силу равенства dk{F,)=* dk \b~l{Bi)\ = Bf
нз условия В(/е) П S*/;) = 0 вытекает, что dk(Ft) • dk{Fr) = 0.
Следующая теорема позволяет свести изучение группы $*
для компактных прострапств Я? к случаю, когда :V нульмерно.
Теорема 6. Если .%' — компактное пространство и D — про-
пространство разбиения Я" на компоненты, то c9x=^D.
Доказательство. Пусть /: .%-' -> D — непрерывное отобра-
отображение, прообразы точек которого — компоненты пространства X
(ср. § 47, VI, теорема 1). Принимая во внимание VIII, 5 F),
покажем, что каждому d?$v соответствует функция ?б<^'\
такая, что d(x)=>gf(x).
Пусть пи ..., nk — значения функции d. Положим Ft = d~ (nt),
где i= 1, ..., /г. Тогда множества Fi не пересекаются, открыто-
замкнуты и .%' = F, U ... U /V
Таким образом, каждая компонента С пространства .^' со-
содержится только в одном множестве Ft. Положим ^(С) = «,-.
Тогда gf (х) — d(x) для х(~С, а так как f(Fi) замкнуто, то из
тождества #-' («,) = /(^) вытекает, что функция # непрерывна.
X. Теоремы аддитивности. Пусть 3' ~ Ло\] Alt и пусть Ло
и Л] —два замкнутых или два открытых множества. Положим
ео(л0, лн^
это означает (ср. IV, теорема 8), что fl?6®o(^o. ^li). если суще-
существуют две функции dj?$Ai, где / = 0, 1, такие, что d{x)~
— da(x) — dl(x) для каждого х? Л0П Л, ').
Следовательно, во(Ло, Л)) —подгруппа группы а?/1°ЛЛ|, и
<^с:6о(Ло, Л,). Положим
©о(Ло, и,нео(ло, л,)/^
и
^(Ло, Л,) = ранг Do(A), Л[).
Теорема 1. Если Л() связно, то во(Л0, Л\) = е9А> |(Л0 П Л,).
Действительно, так как Ло связно, то
Следствие 2. ^сли Ло « Л, связны, го ^о(Ло,
потом;/ Х>о(Лп, Л)) сводится к нейтральном!/ элементу.
') Ср. Кур'Тгопский и Эйлспбцрг [1].
26 Зпк. 190

402 Глава 8. Группы 3>х, &х и Ш (.Г)
Теорема 3. Пусть Р/?А)ПЛ> го"е / = 0. 1- Если множе-
множества Ло и А\ связны между точками рп и ph тогда как Aof) Лх —
не связно между ними, то
Доказательство. По предположению существует от-
открыто-замкнутое в Л0П^1 множество F, такое, что
A) po?f и р.елпл-^
Пусть d?$A°nA> определяется следующими условиями:
B) d{F) = 0 и d{A0{]Al-F)=l.
Если d?®0(A0, A[), то
d = dolMon4i)-rfil(A>n4,) и dt?&Ai.
Поэтому, в частности,
d(po) = do{po)-dl{pa) и d(pi) = do{p{) - dx (pi),
и, следовательно (согласно A) и B)),
do{pa)~di{po) = O и do(p,)-d,(/71)=l.
Таким образом,
либо do(Po) Ф do{pi), либо di(po) Ф d{ (/?,),
и поэтому либо Ло, либо Л) не связно между р0 и /?).
Определение 1. Пусть П0(Аъ /li) — подгруппа группы
а^Л|'ил'> состоящая из функций, постоянных на Ао и на Л). Положим
о. Л,) = ранг ^о(^о, Л,).
Легко доказать следующие утверждения:
Теорема 4. Если либо А0[)А\фО, либо Л0 = 0, либо
Ах = 0, то
П0(Л0, Л,) = ^, и поэтому рЛЛй, Л,) = 0.
Теорема 5. Ясли Л0П Л,=0« А0ф0фАи гоП0(Л0, Л,)=«^2,
откуда (ср. VII G))
^о(Аъ ^i) = <^. и потому ро{Ло, А{)=\.
Определение 2. Пусть Ло(Ло, Л,) —подгруппа декартова
произведения <^л° X <^л', состоящая из таких пар d0, du что
d0 \{А0 П Л,) - d, |(Л0П Л,) = const,

S 55. Группы Я* и So {%) 403
Положим
80(Л, Л) = Л0(Л0> Ах)№\
'о(Л0, Л,)«ранг %{Ай, Л,).
Теорема 6.
Теорема 7.
»oMo)XSBoM,)/8o(>lo, Л,).
Доказательство. Для того чтобы установить первые
изоморфизмы теорем б и 7, положим соответственно
hat.d,t-'(do\{AonAi))-{di\(AouAl)), где dt 6 ^Л',
/zd = (rf |Л0, d\ Л,), где d 6 <^л°ил'.
В первом случае первый изоморфизм теоремы б получается
в силу теоремы 5 п. III (если заменить группу X на а?А" X <??Л|,
группу У на во(Ло> Л,), Л на Л0(Л0, Л,) и В на <??). Во втором
случае X заменяется на а?л°ил', У —на Л0(Л0, Л^, Л —на
Г10(Л0, Л)) и В — на а^2 и принимается во внимание тот факт,
что если (d0. d,) ? Л0(Л0, Л^, то при do(x) — dx{x) = c для
*?Л0ПЛ1 функция d, определяемая условиями d(x) = do{x) на
Ло и d(x) = di(x) + с на Л^ удовлетворяет соотношению
[hd — (flf0, ^i)] 6 <^2 (откуда следует условие (iii) теоремы 5 п. III).
Остальные утверждения теорем 6 и 7 вытекают из тео-
теоремы 7 п. III и из формулы F) п. VII.
Теорема 8.
Действительно, из теорем б и 7, согласно теореме 3 п. V и
формуле E) п. VII, вытекает, что
/0(Л0, Л,),
о, Л,);
наше утверждение получается, если сложить эти равенства
(для /0(Л0, Л,Х<х>).
Из теоремы 8 в сочетании с теоремами 4 и 5 вытекают
следующие утверждения:
Теорема 9. Если либо ЛоПЛ^О, либо Л0=>0, либо
А\ = 0, то
Теорема 10. Если Л0ПЛ| = 0 и Лот^О^Л,, го
26*

404 Глава 8. Группы &х, &х и Ш (.Т)
Действительно, в последнем случае
do{Ao, А{)=>0 и ро{Ао, Л,) = 1.
Эти формулы позволяют вычислить число компонент объеди-
объединения двух замкнутых или двух открытых множеств.
XI. Связность между множествами '). Положим
S(z, &) = r\&Z[}F\z,
где F пробегает семейство всех множеств F==F ф X'.
Другими словами, функция / ? S9Z принадлежит множеству
2(Z, 9C\ если она имеет продолжение fF^^zv>F для каждого
Теорема 1. Если X неприводимо связно между открыто-
замкнутыми непересекающимися множествами Л и В и если
функция /: А\} В-*¦ $ принимает значение 0 на А и I на В,
то feZ(A[JB, .Г).
Действительно, если F замкнуто и отлично от SC', то мно-
множество F U Л U В не связно между А я В. Тогда по теореме 5
§ 46, IV существует продолжение />?<??Рилив.
Теорема 2. Если 3' связно между А*=А и В = В и если
f?E(A\JB, .Т) и f(A)f)f(B) = O, то пространство X неприво-
неприводимо связно между А и В.
Доказательство. Предположим, что F = F ф SC и
fcf* ? #FU/1Ufl. Так как f (A){)f(B)~f (Л)П f (B)-0, то мно-
множество F U Л U В не связно между А и В, согласно теореме 5
§ 46, IV.
Теорема 3. Пусть 3? = Ао[) Ait и пусть Ло и А{ — два
замкнутых связных множества. Положим
A) 2/~2(Л0ПА, As).
Для того чтобы существовала система множеств Fo, ..., Fn
{п ^ 1), такая, что
A) ЛоПЛ.^ои-.-иЛг, Fk = Fk, F,()Fr = Q для 1Фг;
(и) A](j = O, 1) неприводимо связно между Fku Ни — Л0П Л, — Fu
для k — О, ..., п,
необходимо и достаточно, чтобы
B) ранг [(Son3,)/^]>rt.
Доказательство. Пусть сначала Fo,..., Fn — система
множеств, удовлетворяющая условиям (i) и (ii). Согласно тео-
') Ср. Куратовский [38].

§ 56. Гриппы &х и сЯг 405
реме 1а § 46, IV, Ркф0. Пусть dft —функция, принадлежащая
<^ЛоПЛ', такая, что dk{Fk)=\ и <4(Я/,,) = 0. Согласно теореме 1,
йй?Е0Г|3|, а по теореме 2 п. IX функции dh ..., d,, линейно
независимы по mod <??. Отсюда следует неравенство B).
Обратно, предположим, что имеет место неравенство B);
пусть du ..., dn — система элементов из 20f|3,, линейно неза-
независимая по mod $.
По теореме 5 п. IX существует система Fo, ..., Fn непустых
множеств, удовлетворяющая условию (i) и такая, что для
каждой пары индексов 1фг существует индекс k, такой, что
dk{F,)[)dh{F,)~0. Так как dk?Z, и F, U FrcA0(] Л„ то
{dk\Fi\JFr)eZ{Fl[JFn A,).
По теореме 2 (связное) множество А/ неприводимо связно
между Fi и Fг для любых г Ф I (нужно только заменить SC
па А/, А на Ft и В на FT). Следовательно, согласно теореме 4
из § 48, VIII, множество Aj неприводимо связно между мно-
множествами Ft и
/=",U ... U/ViU^+.U ... \}Fn = Ht.
§ 561). Группы ?РХ и &х
I. Общие свойства. Пусть ^" — группа действительных чисел
со сложением в качестве групповой операции. Пусть ?Р — окруж-
окружность |2|=1 на комплексной плоскости, рассматриваемая как
группа комплексных чисел с умножением в качестве групповой
операции («группа вращений»). Положим
A) • e(t) = eMt для t 6 ?\
Функция е: г<?->о7 представляет собой непрерывный гомомор-
гомоморфизм па, а группа $ целых чисел является его ядром:
Если .^ — произвольное пространство и <р ? &х (ср. § 55, VIII),
то пусть <?ф — элемент группы S^v, определяемый соотношением
Операция е является гомоморфизмом Ух на подгруппу (обозна-
(обозначим ее Ч/(^Г)) группы а?х. Таким образом, группа ^(S1) состоит
из тех элементов f ^ Sp:c, которые имеют вид / = <?,., где cp?cf'ri
т. е.
(А\ f(r\ /э2я(ф (х) п па г ? ''К
\Ч) I \Х) — ь Д-"Н X KZ-ж •
Ядром этого гомоморфизма является группа ^г.
') Основные теоремы § 50 содержатся и диссертации Эйлепберга [7].

406 Глава 8. Группы »х, <УХ и Ш {%)
Легко установить следующие утверждения:
Теорема 1. Если f{x) = e(f(x) = e,i,{x) и \(р{х) — ^(х)\<1,
то ф(а) = 1|)(х).
Теорема 2. Если Ж связно, ф, ар ? с?х и е^ — е^, то
функция ф — г|) — постоянная.
Это можно выразить в более общем виде следующим обра-
образом:
Теорема 3. Если X связно между а и Ь и еф == еф, где
Ф, ^?'<?х, то ф(а)-г|5(а) = ФF)-г|)F).
Действительно, положим d = q> — г|з; тогда й — непрерывная
функция, d: №-*¦??, и множество таких х, что d(x) = d(a),
открыто-замкнуто, содержит а и, следовательно, содержит Ь.
Теорема 4. Пусть f ? Чг(^') и Хо^Ж. Тогда функцию ф
из формулы D) можно выбрать так, чтобы она удовлетворяла
(«начальному») условию ф(хо) = со, где 2л1с0 — любое значение
/U)
/U)
Следовательно (ср. с теоремой 2), если SV связно, то ука-
указанное условие однозначно определяет функцию ф.
Доказательство. По предположению /(д;) = е2я''|) (х), где
¦ф^с^. Пусть k = г|) (хо) — с0', тогда k — целое число. Достаточно
положить ф (я) = г|) (х) — k.
Замечание. Пусть ??" обозначает плоскость с?2 без 0.
Операция е: 'if2-*¦??', определяемая условием A) для t^cf2,
является непрерывным гомоморфизмом (аддитивной) группы с?2
на (мультипликативную) группу S?. Аналогично, операция еф,
определяемая формулой C), является гомоморфизмом группы
(е?2)^ на подгруппу группы &х, состоящую из элементов
группы S^x вида D). Следовательно, эта подгруппа состоит из
тех функций, логарифм которых имеет единственную непре-
непрерывную ветвь. Функция 2л/ф(х) и есть эта ветвь логарифма.
Теоремы § 56 и 57 сформулированы для групп ?и^, однако
легко видеть, что их можно применить и к группам ^и^1').
II. Группа Т(А). Пусть Лс^, В соответствии с обозначе-
обозначениями § 55, III под «f ~ I mod ЧГ(Л)» мы будем понимать, что
f?xV(A). Более кратко символ /~12), где f€.&'A, будет озна-
') По поводу обобщений на топологические группы см. Куратопский [38].
2) В п. IX будет показано, что отношение / ~ 1 эквивалентно отношению
1

§ 56. Группы <УХ и <?х 407
чать, что } имеет вид
A) /-в,, где
Положим
B) (
Легко установить следующие утверждения (ср. § 55, VIII,
теорема 2):
Теорема 1. Г(Л) = Г' [Ч'(Л)].
Теорема 2. Г(#) = Ч'(.Т).
Теорема 3. Г (Л) — подгруппа группы ?РХ.
Теорема 4. Из А с: В вытекает Г(В)сГ(Д).
Теорема 5. Если Л = (р), то Г
Теорема 6. Пусть R—луч с началом в 0. Если f ?(cf2 —R)v,
rof~l.
Ясно, что log z можно определить таким образом, чтобы он
был непрерывным на множестве <^2 — R.
Теорема 7. Для всякой непрерывной функции f: X -> ?Р
(/: .CV-+?P) существуют два открытых множества Аа и Аи
таких, что f\Aj~\ для / = 0, 1 и SP *= Ао\] Ау.
Доказательство. Пусть Ro и /?, — полуокружности соот-
соответственно с положительными и отрицательными абсциссами;
тогда достаточно положить As = f~[ (af~Rj) (или As — f~l {S^
Теорема 8. Если F = F, mo { {)
Другими словами, если \?l&f и /~1, то существует функ-
функция F, такая, что /сг/'^с5рг и f ~1.
Доказательство. По предположению (ср. A))
C) / = еф и фб^, следовательно, ф с: ф ^г<эХ
по теореме Титце (§ 14, IV). Остается только положить f* = e4*.
Теорема 9. Г(Л)=» \JT{G), где G пробегает семейство
открытых множеств, содержащих А.
Другими словами, для каждого /? Г (Л) существует откры-
открытое множество G, такое, что
D) ЛсО м

408 Глава 8. Группы &*, <УХ и Ш
Сначала рассмотрим случай, когда Л состоит из одной
точки а, а именно установим следующее утверждение:
Теорема 10. Пусть f: %-><? — непрерывная функция.
Для каждой точки а?.?" существует открытое множество Ga,
такое, что a?Ga и /|С„~1.
Доказательство. Пусть // — плоскость (f2 с выброшен-
выброшенным лучом, начинающимся в 0 и не проходящим через а.
Достаточно (ср. с теоремой 6) положить G =f~[ (H).
Доказательство теоремы 9. Пусть
E) Ис?\ f?S?x, f\A~e4 и q>€«f*.
В силу теоремы 10 для каждой точки а ? А существуют откры-
открытое множество Ga и непрерывная функция ifa: Gu-+<f, такие,
что
F) a?Ga, /U) = elf {x) для x?Ga
'а
и (ср. с E) и с теоремой 4 п. I)
G) г|)а(а) = Ф(а).
Уменьшая, если необходимо, множество Ga, можно считать,
что
(8) 1Ч>в(*)-Ч>Л(аI<1/3, если x?Ga,
(9) | ф(лт) — ф(а) |< 1/3, если х6 А и | х- a \<2b{Ga).
Покажем, что
A0) из x^GuflGo, а?Л и b 6 А вытекает
Согласно G) и (8), имеем
A1) l4>nU)-q>(«)|<l/3 и |^(х)
считая (по симметрии), что 6(Gft)^6(Ga), мы (с помощью (9))
получаем, что | ф(/;) —ф(я) |< 1/3. Из этого неравенства в со-
сочетании с неравенствами A1) вытекает, что | \\>а(х) — я|эй(jc) |< 1,
следовательно, ^>a{x) = ^ih(x) в силу F) и теоремы 1 и. I.
Пусть G — объединение всех множеств Ga для а^Л. В соот-
соответствии с A0) пусть if —функция, тождественно равная ij>rt(je)
для x?Ga; тогда ф: G -*¦<? — непрерывная функция и, со-
согласно F), f = еф. Следовательно, f\G~l.

§ 56. Гриппы &х и <?х 409
III. Группа »,(¦*")¦
Определение. Пусть 23] (S") обозначает факторгруппу
?fxlxY(X), а Ь{{%~) — ее ранг1). Условимся считать, что &,@) = 0.
Теорема 1. Группа 23i(^) не содержит элементов конеч-
конечного порядка (не имеет «кручения»).
Другими словами, если fn~ I и пфО, то /~1.
Доказательство. Пусть
fn (x) = <?2я"р <*>, фй(х)-^[ф (*) + *], где 0</г<я-1,
X
Покажем, что SC *= F0\J ... U^rt-i-
Пусть k^^V. Нам нужно определить такое число /г, что
x?Fk, Пусть
/6 с? выбрано так, что f(x) = e2nit,
выбрано так, что — q <— [nt — <${х)] < — ^ + 1.
Поскольку е2я"Р^ = /'г(д;) = е2л''г') то [nt - у (х)] ? &. Поэтому
целое число k = [nt — q>(x) + qn] удовлетворяет условиям
0<ife<n-l и фй(х) = / + д, следовательно, f(x) = е2л''ф*<х), от-
откуда Jf6^ft-
Так как множества Fo Fra_i замкнуты и не пересекаются»
то функция i|>, определяемая условиями \\>(х) = ук(х) для x?Fk,
непрерывна и / = е^.
Теорема 2. Условия
эквивалентны {для %'ФО).
Это прямое следствие § 55, III A).
Теорема 3. 23i(<9') = 0) следовательно, \()
Другими словами, если }: 3-> of — непрерывная функция, то
f~l.
Доказательство. Следуя теореме 10 п. II, каждой
точке а из Я поставим в соответствие открытое множество Ga,
такое, что a?Ga и /|Ga~l. Очевидно, семейство {Ga} можно
') Если SC — полиэдр, то группа Ъ\ (J2?) изоморфна первой приведен-
приведенной группе Бетти полиэдра SC. См. Брушлииский [1], где рассматривается
более общий случай компактного f%. В § GO, III (теорема 5) будет пока-
показано, что если $С — компактное подмножество плоскости, то bt (,°l') -t- 1 —
число компонент его дополнения.

410 Глава 8. Группы &х, <УХ и
заменить конечным семейством. Иными словами, существует
конечная система ао<а1<а2< . .. <ап, где ао = О иа„=1, та-
такая, что для k—l,...,n мы имеем /| aft_iafe ¦— 1, следова-
следовательно, /(х) = е2л1а/к{х) при ак_х^.х^ак (где фА непрерывна).
Кроме того, по теореме 4 п. I можно считать, что
фй+1 (<зЛ) = фА («д.) для /е= 1, 2, ..., п — 1.
Таким образом, функции фь ..., ф„ определяют непрерыв-
непрерывную функцию ф: 3-*¦'?, такую, что ср| afc_ifl* = <Pfc. Следова-
Следовательно,
для X?gy откуда f~l.
Теорема 4. й,^)^^, следовательно,
Более точно, тождественное отображение образует базис по
mod Ч'(,?»).
Другими словами,
@ дст^ 1 на g^,
(ii) для всякой непрерывной функции ]:&'-+&' существуют
целое число п (именно, приращение ее логарифма) и непре-
непрерывная функция ф: & —>(?, такие, что
A) f{x) = xne2!tlv<*\
Доказательство. Докажем (i); пусть А — окружность &
с выброшенной точкой A, 0), и пусть 0<а(х)<2л— аргумент х.
Следовательно, а: А -><? — непрерывная функция и x = e'aW
для х(~А; более того, функцию а нельзя продолжить в точку
A, 0) непрерывным образом.
Предположим, что (i) неверно, т. е. что х~1 на <г?. Тогда
х=.еШ(х)> где р: g^-*^ —непрерывная функция. Но тогда по
теореме 2 п. I отсюда следовало бы (так как А связно), что
для х 6 А,
и функция р(х) +2/гл была бы непрерывным продолжением а{х)
на всю окружность ?Р.
Теперь рассмотрим утверждение (ii). Так как f(e2nlt) опре-
определена для каждого t^ff, то по теореме 3
B) Де2л") = е2я'ф(<), где ф: &-+'<? непрерывно.
Следовательно, разность ip A) — г|з @) — целое число; пусть
C) я-фA)-ф@).
Поставим в соответствие каждой Точке х 6^ точку
D) y

§ 56. Группы <УХ и <?х 411
при условии, что 2nt — аргумент точки х. Хотя точке A, 0)
соответствуют два значения t, а именно 0 и 1, значение у
с помощью C) и D) определяется однозначно. Полагая у = ср{х),
легко вывести, что ф: <?"—>-ef — непрерывная функция; пред-
предположим, что х = е2кн; тогда из условия B) вытекает, что
следовательно,
)-nt)
IV. Теоремы сложения1). Пусть Ло и Л, — два замкнутых
или два открытых множества, таких, что & = Ао{) А{. По-
Положим
(о) е,(л0, л,) =
Теорема 1. Каждой непрерывной функции ф: Л0П А\->^"
соответствуют две непрерывные функции ф/-. Л/->^, где j = 0, 1,
гакме, что Ф1 (л;) —фО(х) = ф(л;) для лг^ЛоПЛ,.
Это означает, что
Доказательство. Пусть (см. § 14, III) Ао и А\ — два
замкнутых_множества, таких, что ^*» Ао U А\ и Л/сгЛ/ (и А) = Л/,
если Ао = Ао и Л] — Л,), пусть ф* — продолжение ф | (Ло П А]) на SC
(ср. с теоремой Титце, § 14, IV)> и, наконец, пусть
f 0, если х ? Ло,
{ ф* (х) - ф (л;), если х*
f ф*(л;), если х ? Л*,
ф|(*)а1 . . , . п .*
{ ф(лг), если х?А\{] Ао.
Заметим, что фо = О и Ф1 = Ф*|Л1 для замкнутых Л/#
Теорема 2. Для каждой функции f ? Г (Ло П Л[) существуют
две функции fl^.T(Al), где / = 0, 1, ra/сме, <<ro f\:fo = f.
Это означает, что
Г(ЛоПЛ1)=-Т(Ло)иГ(Л1).
') По поводу п. IV и V см. Куратовский и Эйленберг [1],

412 Глапа 8. Группы &*, <УТ и Ш (JT)
^Доказательство. Пусть f I (Ло (~| Лj) = <?((» где qp: Ло П А{ ->
—>ef — непрерывная функция. Используя обозначения теоремы 1,
положим
( 1, если х?А*о,
[
fo(x) \
[ ег (х); f(x), если
{(х), если x?Al,
еФ« (х), если я с Ль
Тогда fу (х) = ev (х) для л:^Л/, откуда следует требуемое за-
заключение.
Теорема 3. Для всякой пары непрерывных функций
fji Aj—>SP, где / = 0, 1, связанных соотношением fol(A)l"Mi)~
~filMorMi). существует непрерывная функция f: AqU A{~>S^,
такая, что f\Aj~fj для / = 0, 1.
Доказательство. По предположению (для хбЛоП-^i)
h(x):fi(x) = e(f{x), где Ф: (Ло Л Л,)->сГ,
а по теореме 1
• ср(*) = Ф1(л;)-фо(*), где ф7: А]->&.
Принимая во внимание тождество
[/о(л:) • еф„(л:)] : [f,(л;) • <?Ф, (л;)] = еф(*) • еЧо(х): е1р, (х) = 1,
выполняющееся в Л0Л^4|. определим функцию /, полагая
f\Aj = fr еф/ для / = 0, 1.
Теорема 4. 1?{А0 Л Л,) сгв^Ло, Л)). Это означает, что каж-
каждая непрерывная функция /: (Ло Л Л^-»- Eе, такая, что f~l,
имеет вид f(x) = fi(x):fo{x), где f/. А\—> &, } = 0, 1, — непре-
непрерывные функции.
Доказательство. По предположению и по теореме 1
имеем / = еф, функция ср: (Ло Л А{) ->'<? непрерывна, ф(х) = Ф1 (лг) —
— фо(х) и ф;-: Лу-*^ непрерывны. Достаточно положить f} = ev
Теорема 5. Пусть ф^: А}—><f, / = 0, 1, — непрерывные
функции, такие, что (ф, — фП): (Ло Л Л,)-><??. Тогда существует
непрерывная функция f :(A0\J A^-xSP, такая, что f\Aj-—e(fj.
Более того, если ф^. A}--><f непрерывны, ф{ — фц = ф1 — ф0,
/': Лоил,->^ « /'1^ = ^,, го /'-/.

56. Грцппы &х и <?x 413
Доказательство. Из условия (<р, — ф0): Л0ЛЛ|->а?
вытекает, что еф|_фо«=1, поэтому /: (Ло U А\)-> &, где f(x) =
_ e2nt(tj(X) для х?д^ и / = о, 1,—непрерывная функция.
Для того чтобы установать отношение /'~/, положим
¦ф; = Фу —Фг Так как (^i~^>o)\{Ao(] А\) — 0, то существует не-
непрерывная функция -ф: &-+У, такая, что а|)/ = ф|Лу. Отсюда
V:e>p в<?ф'-Ф ^'V слеАовательно, }''! = е^ так что l'~f.
Теорема 6. В соответствии с теоремой 1 каждой непре-
непрерывной функции d: (Ло Л Ai)—>$ сопоставим две непрерывные
функции q>d,j:j = O, 1, такие, что
A) Ф<*,/ Лу-»^ и фй, Лх)~Ч>а,о(х) = Л{х) для х^А0[\А{.
Пусть hd — непрерывная функция, такая, что (ср. с теоремой 5)
B) hd: MolM,)-»^ и hd\Aj~e<rdJ, /^0, 1.
Тогда
(О во(ЛО( i4,)-A-'[4f(HoU^)]
(г. е. hd~\ тогда и только тогда, когда
C) dx = di(x) — do(x) для х^А0С\А{
и df. Aj->?? непрерывны),
(ii) hd+d>~hd- hd',
(iii) для каждой / 6 Г(Л0) П f (Л5) существует такая d, что
f~hd.
Доказательство. Пусть /г</~1. Тогда hd = e^ и отобра-
отображение я|>: Ао[) A\->"g непрерывно. Функции ^у = Ф^, у — "М', / = 0, 1,
удовлетворяют условию C), так как
Обратно, предположим, что условия C) удовлетворяются и что
(в соответствии с теоремой 5) отображение
h'd'- (ЛоU /li) —>г5" непрерывно и h'd\Aj = ed.
Так как ed = 1 и hd~hd (по теореме 5), то hd~\. Следо-
Следовательно, соотношение (i) установлено.
Пусть фу+d'). / ¦=" <Prf, / +4V,/' Согласно A),
о = d + ^ •= _9W+a I ~ ^W+A. О

414 Глава 8. Группы &х, Vх и 4SR (.<Г)
Таким образом, согласно теореме 5, существует непрерыв-
непрерывная функция h'a+d''. Ao\J Ai-t-af, такая, что
E)
Так как
то из формулы D) вытекает, что h'a+d' = hd • hd>, и, таким образом,
согласно E), получаем (ii).
Пусть f?T (Aj). Предположим, что f {Aj^-e^^ Иру. Aj-^У не-
непрерывны и d = \|)j — гро- Отсюда следует, что d: (Ао П A) -> o9 — не-
непрерывная функция. Следовательно, из условий A) и B) по
теореме 5 вытекает, что f~hd.
V. Соотношения между факторгруппами. Пусть Ло и Л5 —
два замкнутых или два открытых множества, таких, что X =
= Ао[] Аг (как в п. IV). Рассмотрим следующие группы (соот-
(соответствующие группам, изученным в § 55, X):
AI1,040, Л,) = Е(/6^<и^)(П^-1,/ = 0, 1) = Г(А0)(]Г(Л,У,
B) Л,(Ао, At)-E(lj?<?\ / = 0, l)(fo\Ao(]Ai'-'fl\Ao(]Ai)i
C) D, (Ло°' Л,) = в, (Ао, АтЛо Л Л,);
D) ^,(Л0, Л,)=-П,(Л0,
E) 8,(Л0, Л,)-Л,(Л0,
Имеют место следующие три теоремы об изоморфизмах 1):
Теорема 1.
0)Х»1(Л,)/8,(Л), Л,).
^ (
gr gr
Теорема 2.
^„ид./п^Ло, Л,)-8, (Л, Л,)-93,D,U АШA), ^i)-
gr gr
Теорема 3.
^л„п^/во(Ло, A)-?i(A. А)-93о(ЛоПА)/2>о(А, Л,).
gr gr
') По поводу теорем 1 и 2 см. Куратовский и Эйленберг [1, стр. 197];
по поводу теоремы 3 - Куратовский [38, стр. 239]. Эти три теоремы соот-
соответствуют формулам Вьеторнса [5, стр. 102]. Ср, Александров и Хопф
[1, гл. VII, § 2]; приведенные группы N^ (Ао- А{) и S^(/40 +Л,) («Nahtzyklen»
и «Summenzyklen») изоморфны соответственно группам $; (^о П А^/Ъ/ (Ао, А{)
И Sr (AoiJA^j (Ло, Л,). Ср. также Чех [4],

$ 56. Группы &* и &х 415
Доказательство. Доказательства теорем 1 и 2 совер-
совершенно аналогичны доказательствам теорем 6 и 7 из § 55, X.
Положим соответственно
Л/.Л.Н/оМоПАМЫА.ЛЛ,), где f,6^',
/zf = (/M0, f\A{), где fg^.w,,
и сошлемся па теоремы 5 и 7 из § 55, III и формулу F)
§ 55, VII.
Теорема 3 следует непосредственно из теоремы 6 п. IV и
теоремы 5§ 55, III, где %' заменяется на <??л°пл>, У — на IIj(^40, Л,),
Л-на е,(Л0, Л,) и Я-на ^(AilU,).
Пусть (/[(Ло, Л,) и Pi(/l0, Л,) — соответственно ранги групп
©I (Л(), Л|) и ^i (Ло, Л,). Они связаны между собой следующим
образом:
Теорема 4.
Pi (Ло,
Теорема 5.
Теорема 6.
р,(Л0, /4i) + d0(^o, Л,)
Доказательство. Теорема 4 вытекает из включения
?Pi (Ло, Л|)с: !О,(Лои ^i); теорема 5 следует из теорем 1 и 2 (ср.
с импликацией 6, 7 =ф 8 из § 55, X); теорема 6 представляет
собой следствие теоремы 3 из § 55, V.
Теорема 7. Если ЛоП^^О, го
G.1)
G.2)
« МЛ U Л,) + м А>) +
Доказательство. Соотношение G.1) вытекает из тео-
теоремы 6 и теоремы 9 § 55, X; соотношение G.2) получается
в результате применения теоремы 5 к соотношению G.1).
В случае, когда рассматриваемые ранги конечны, положим
(*) md(A)='bo(A)-bi(AJ).
') Ср. с аналогичной формулой Манера [1, стр. 40], касающейся чисел
Бетти.
2) Для полиэдра этот индекс совпадает с характеристикой Эйлера — Пу
анкаре при условии, что все числа Бетти, начиная со второго, — нули.

416 Глава 8. Группы »х', &х и Ш (X)
Тогда из G.2) следует, что
G.3) если ЛоПЛ,=И=0, то ind(i4olM,)+ind(Hon/1,)=i
= ind (Ло) + ind (Л,) - 6, (Ло П Л,) + d, (Ло, Л,).
Теорема 8. Если И0ПЛ = 0, то аЗ,(Л011 Л,)= «, (Ло) X
КГ
Х^1(Л|), следовательно, /;,(Лои Л,) =/;, (Ло) +/;,(Л,).
Доказательство. Если каждой функции /? ат^ил, мы
поставим в соответствие пару (f\ Ло, /|Л,), то получим изомор-
изоморфизм между f^oiM. и ?РА«х 3°Л[. Этот изоморфизм отобра-
отображает х1'(ЛоиЛ,) на ЧГ(ЛО)Х г1г(Л1). Следовательно (ср. § 55,
III, теорема 5, и VII F)),
^ X Ч;(Л,)] =
VI. Связность. В соответствии с прежними обозначениями,
пусть Ло и Л, —два замкнутых или два открытых множества,
таких, что
.«¦ = Ло и л,.
Теорема 1. Если Ло связно, то
A) ^,(Л0, Л.Н^^Я.КЛоПЛ,)).
КГ
Теорема 2. ?слн множества Ло м Л) связны, то
B) $|(Л0) Л1) = ^о(ЛоЛ Л,), следовательно,
Теорема 3. ?слм Ло Л Л) связно, то Г(Л0)П Г(Л!) = Г(Лои Л]),
г. е. из соотношений /|Л/<~1, / = 0, 1, вытекает, что /~1.
Теорема 4. ?слн множества Ло « Л, связны, тогда как
ЛоЛЛ, не связно, то Г(Л0)П Г(Л^^ГСЛоU Л^.
Более общо, если мноо/сество Ло П Л, не связно между точ-
точками ро и р\, тогда как Ло и Л) связны между этими точками,
то Г(Ло)ЛГ(Л1)=^Г(ЛоиЛ1).
Доказательство. Теорема 1 вытекает из теоремы 1
§ 55, X и теоремы 3 п. V. Теорема 2 вытекает из теорем 2
§ 55, X и 3, 4 п. V. Для того чтобы доказать теорему 3, за-
заметим, что ^л»пл'= ^ = во(Ло, ЛО. если ЛоЛЛ) связно; поэтому,
согласно первому изоморфизму теоремы 3 п. V, ^(Ло, А1) = @),
откуда вытекает, что Г(Л0) Л Г (Л0 = Г(Л01! Л,). Из того же
изоморфизма в силу теоремы 3 § 55, X следует теорема 4.

§ 56. Гриппы &х и &х 417
Замечания. 1. Изоморфизмы A) и B) определяются пре-
преобразованием h, рассмотренным в теореме 6 п. IV.
2. Первую часть теоремы 3 можно доказать более прямым
способом.
Пусть f\Aj — eif, где ф/: Л,-->-еГ непрерывны. Па множестве
ЛоГМ) имеет место тождество e(ro = eiPl. Следовательно, по тео-
теореме 2 п. I существует число k ? 09, такое, что (ф() — ф|) |(Л0 Л А{) =
= k. Так как функции ф0 и <$\ + k совпадают на ЛоПА, то
существует непрерывная функция i|x .i'—>cf, такая, что 1|э|Ло =
= Фо и г|з|Л1 = ф| + /г. Так как k^tf, то
<?,p,+fc = <?,Р, ¦ ек — e,fi, следовательно, / = <?,|„ откуда f~l.
3. В случае когда Л/ = Л/, теорему 4 можно доказать более
прямо, полагая
р (х, Ро) / 1- если х ^ Ло,
ф^)в р(*. П) + Р(^, Z3!) и ?W = UM"tw, если х 6 Л,.
Отсюда следует, что /^ 1.
Теорема 5. ?сли Со, С, и С2 — три связных множества,
таких, что Со Л С, Л С2ф0 и .Г = С„ U С, U С2, то
г. е. из соотношения f\ Cu U Cft + !~ 1, где /е = 0, 1, 2 {индексы
приведены по mod3), вытекает, что f~l.
Доказательство. Пусть хо^.Са Л С, П С2. Положим
f\(Ck[)Ck+i) = e%_i, где ф^_,: Ck U Cft + i ->^f- непрерывные
функции. Можно считать, что Фо(*о) = 9i(^o) = Фг(-^о)' Отсюда
в силу теоремы 2 п. I (если заменить .Т на Ск) вытекает, что
Фа- iW ~ 4>/г + \(х) = 0 для лг^С/;. Следовательно, функции ф0, ф)
и ф2 согласованы и потому определяют непрерывную функцию
ф: $'-><?, такую, что ф \Ск U Сц + i = Ф*-1- Из этого следует, что
f = <?(p, откуда /—1.
Теорема 6. Если Со, Ct и С2 — три связных множества,
таких, что .9" =* Со U С, U С?, то
ранг [riCoUCOnrfC.UC^nl^C.UCoVriCnUC.UC^Kl.
Другими словами, если /, ^: :1'—>&' — две непрерывные
функции, такие, что
f|C;iUCft+1~l u tf|CAUCfttl~l (Л-0, 1, 2),
го существуют два целых числа m и п, не обращающихся
в нуль одновременно и таких, что f'n'g"~L
27 Зак 1У0

418 Глава в. Группы &г, Vх и ВД(.Г)
Доказательство. По предположению
C) !\Ск\]Ск+х=еч_г и jqrl C%UCftl-i = e4ijfc_t.
Так как множе'ство Ск связно, существуют два целых числа ак
и Ьк, таких, что
D) ipft + iU)-<Pft-i(*) = «* и iPk + i(x)-ipk^](x) = bk дли x?Ck.
Пусть
а = ао + а, + а2 и 6 = ft0 + &i +/v>
определим целые числа т и / так, чтобы
E) та + /6 = 0 и ] т | + | /1 =#= 0.
Пусть
% (*) = тфо (х) + j% (х), х 6 С, U С„
F) 5(i (х) = т [ф, (х) + а2] + / [i|3i (х) + Ь2], х ? С2 U С„,
Ь(л;) = m [ф2 (х) + а2 + а0] + j [-ф2 (х) + 1>.,+ Ьи], х ? Со U С,.
С помощью D) и E) легко показать, что
Ъ-\(х)-Хь + \(х) = 0 для х?Ск.
Следовательно, существует непрерывная функция %: Я'-><f,
такая, что
G) xlC*UCft+1 = x-{-i-
Поэтому !т-ц}~\\ на самом деле
Действительно, пусть х ^ Ck U Cll+i. На основании F) и G) имеем
Г (х) • fi'(x) = elni I"'*-! w+Wk-iM] = ешЧ-{ 'А) = е-'"'х w^
Замечание. Теоремы 5 и 6 допускают следующее обоб-
обобщение ').
Пусть Я' = /1OU • ¦ ¦ U Л„_1. Положим С*. = Лй и U . • ¦ U Лй+„_2
(индексы приведены по mod n).
Если множества Со, ..., С„_) связны, то имеют место
следующие утверждения:
Теорема 5'. Пусть /: ./' --> ^ — непрерывная функция. Если
Со П ... ЛС„_,=^0" и рсуш /~1 в Л* + 1и ... U Л*, „_, (Элл
? = 0, 1, ..., п- 1, то /~1 о .tf".
') Доказательстпо см. Куратовский [42].

$ 56. Группы &* и &* 419
Теорема 6'. Пусть f, g: JP-+?? —непрерывные функции-
Если /~1 и g~l в Akn\J ... LMfc+n-i. то существуют два
целых числа m и /, не обращающихся одновременно в нуль и
таких, что fn-g'~\ в .1.
Теорем а 7. Если С связно, то
т. е. (полагая С — :i') если /: Л' —> <У — непрерывная функция,
/ | С ~ 1 и / Ф 1, то существует такая тонка р, что (/ | С О р) Ф 1;
более точно, если /|С = е((„ го колебание функции ф не обра-
обращается в нуль в точке р ').
Доказательство. Во-первых, существует точка /?,
в которой колебание функции ф не обращается в нуль. В самом
деле, и противном случае существовало бы (непрерывное) про-
продолжение \\у. .i.'—>'<f функции ф (ср. § 35, I, теорема 1); но тогда
/ = <?,!,, так как из соотношений liin хп = х и хп?С вытекает,
что lim q>(.vn) = \\i(x), так что
П -> оо
f(x)= lim /(а;„)= lim е(((хп) — е^(х), следовательно, /~1.
а ~> оо « -> tx)
С другой стороны, предположим, что (f\C\Jp)~\, так что
f \C\j р = ех, где х: С ij p --*'<? — непрерывная функция. Из этого
соотношения в сочетании с соотношением f\C — eif вытекает
в силу связности С, что х\С = ф + k, где &???. Следовательно,
функция % — k представляет собой непрерывное продолжение ф
на Clip, а поэтому колебание функции ф обращается в нуль
в точке р, что противоречит предположению.
Теорема 8. Пусть Со, С{, ...—последовательность связ-
связных множеств, такая, что
•¦*' = Со U С, U ... и С„с:1пЦС„ + ,).
Если f: :t'—>а? — непрерывная функция и f\Cn~\ для каж-
каждого а, то f ~ 1.
Доказательство. Можно считать, что Со =И= 0. Пусть
яо?Со. Пусть f\C„ — <',, . функции ф;1: Cn—><f непрерывны и
<р„(а) = ф()(й). Так как Сп связно, то из соотношения cpn + l(a) — qn(a)
вытекает, что ф„ = Фп+iI С^. Поэтому функции ф„ согласованы
') См. Эйленберг [4, стр. 171].
27*

420 Глава 8. Группы &ж, ^х и 9Л ( Т)
и определяют непрерывную функцию qp: ."l'->'<f, такую, что
ф!С« = Фп- Отсюда следует, что / = ('(|„ так что /~1.
VII. Отношение / Ф 1. Говорят, что непрерывная функция
попр.
f: Ж—> ?Р неприводамо Ф 1 (f Ф Г), если \Ф 1, тогда как f | F~ 1
V "I'П|>. .'
для каждого собственного замкнутого подмножества F про-
пространства Л'.
Положим
A) ЙКНПП^), где F = F*?.V\
F
таким образом, соотношения f Ф 1 и / ^ п(,') — Г(.'?;1) эквива-
IICIlp,
лентны.
Теорема 1. ?слн f Ф 1, го 3'— связное дискогерентное
непр.
пространство.
Доказательство. Если /Г не дискогерептно, то суще-
существует замкнутое связное множество С (которое может быть
и пустым), разделяющее Я' (ср. § 46, X, теорема 1):
B) .Г = ЛоиЛ„ Л0ПЛ, = С, А1 = А1ФЗ\ где / = 0,1.
Но тогда /|Л/~1, откуда по теореме 3 п. VI имеем /~1.
Теорема 2. ?слм f Ф I и Ж локально связно, то
пепр.
SC — простая замкнутая кривая.
Это следует из теоремы 1 в сочетании с теоремой 6 § 49, IV.
Из теоремы 1, согласно теоремам 2 § 46, X и 2 § 48, V,
вытекает следующее утверждение:
Теорема 3. Если f Ф 1 и ¦%' разложимо, то существуют
пепр.
два связных множества Ло и Л], таких, что &'= Ло\) Лх и
C) Л„ = .*" -АХФ % и Л, = :Г - Ло ф %.
В частности (ср. § 48, VII, теорема 7), если SV неприводимо
между двумя точками, то множества Ло и А\ неразложимы.
Теорема 4. Если Ло и Л^—два замкнутых связных мно-
множества, таких, что ."?' = Л011 Л,, то (ср. § 55, XI A))
D) (Зо Л 3,)/G = Г П ГМои/
dQ(X)/T(X),

§ 56. Группы <УХ и <?х 421
где К.1 пробегает семейство собственных замкнутых подмно-
подмножеств множества Л/.
Более того, если условия C) удовлетворяются, то включение
можно заменить равенством.
Доказательство. Пусть f( = К с: Лх. Используя обозна-
обозначения теоремы 6 п. VI, положим
E) kd = (hd | Л„ U К).
Так как
то из теоремы 6 (i) п. IV (если заменить 3' на Ло U К) следует,
что
F) во(Л(„ ИпПИ.иЮ^^'И'МоиЮ]-
Но так как Л„ связно, то из теоремы 1 § 55, X вытекает, что
G) й0(Л,, Л0ПЛ1иД') = ^л»пл'икИ0П/11.
С другой стороны, согласно E),
(kd ~ 1) = {hd | Л„ U /С ~ 1). откуда следует,
что [kd 6 Нг (Ло U К)] = [А,/ 6 Г (Ло U /()],
и поэтому
(8) ^'[ЧЧЛи/ОНА'ЧгМоиЮ].
Таким образом, в силу соотношений F) —(8) имеем
^•пл'и'С|ИоПИ| = А-1[Г(Л,и/()]-
Беря пересечение всех этих групп по всем К, Ф А{, получаем
п^о
к
следовательно,
ЗоПЗ^А П ГМои/СО
К., Ki
где Kj^Aj ф К/.
Изоморфизм D) вытекает из теоремы 5 § 55, III и из
равенств (ср. IV, 6 (i) и § 55, X, теорема 2)

422 Глава Я. Группы &х', &х и Ш (Я7)
Доказательство включения D) сводится к доказательству
включения
(9) П Г(А)и/С1)ПГ(Л,и^о)с:ПГ(П где F = F=?3\
Мо из неравенства F ф Я' вытекает, что либо F (] Ло ф Ло, либо
F П Л| ф Л(. Положим К\ = F П Л, Ф Л,. Так как F cz A0\JKl, то
(ср. II, теорема 4)Г(Л01) Ki)cz \\F), откуда следует включение (9).
Наконец, предположим, что имеют место соотношения C)
и что Л,', ф Л|. Отсюда следует, что Ло Ц К\ Ф Я', ибо в про-
тинном случае ./' — Ло cz /<ь так что Л, = :'Ь' — Аа cz /(, и /(, = Л,.
Пусть /612 (-Я- Положим /=" = Ло U/Ci- Тогда f?V{Ao\}Ki).
Отсюда следует, что
Q (.?¦)<= П ГИои/С1)ПГ(И,и/Со),
к», к,
откуда, согласно (9), вытекает требуемое равенство.
Т е о р е м п 5. Пусть Я' — разложимое пространство. Непре-
Непрерывная функция \: .°i-'—>Sp, такая, что f Ф I, существует
испр.
тогда и только тогда, когда существуют разбиение простран-
пространства Я" на два замкнутых связных множества Ао и А\ и раз-
разбиение Л(, (]Л| на два замкнутых множества Fo и Fu между
которыми Aj (/ = 0, 1) неприводнм.0 связны.
Более точно, для п^\ соотношение
A0) ранг [Q (.Г)/Г (#•)]> я
эквивалентно существованию разбиения .Т = At)\j Аи где Ао и
/1, — замкнутые связные множества (которые можно выбрать
тик, чтобы они удовлетворяли соотношению C)), и разбиения
Л(> П Л, на п + I непересекающихся замкнутых множеств
/•"о, ..., /¦'„, таких, что Aj неприводимо связны меокду Fk и
//,, = Л„П Л,-/•",, г^я / = 0, 1 н /г = 0, 1 п.
Доказательство. Если / Ф 1, то по теореме 3 суще-
!!С|ф.
стнуют дна связных множества Ло и Л,, удовлетворяющих
условию C), а согласно теореме 4,
A!) о(.Г)/Г(.^) = B0ПН()/^.
Из соотношений A0), A1) и условия B) § 55, XI вытекает, что
существует система множеств Fa, ¦¦-, Fn, удовлетворяющая
требуемым условиям.
Обратно, если существует система множеств Fo, ..., /¦'„,
удовлетворяющая указанным выше условиям, то из соотноше-

,<У 56. Группы <УХ и &х -123
пия B) § 55, XI в сочетании с формулами D) вытекает соотно-
соотношение (Ю).
Теорема 6. Если Я' разложимо и ранг группы {Ц.Г)/Г (.-//)
больше или равен 2, то .7' является объединением двух замк-
замкнутых неразложимых множеств.
Более того, если "V компактно, то .7-' — континуум, неприво-
неприводимый между двумя точками ').
Доказательство. Положим я =2 в теореме1 5 и выберем
точку рк из Fk {k = 0, 1, 2). Тогда /1/ пепрпзодпмо межг[у /)„
и ph между р{ и р., и между />„ и /;2. Следовательно, Л,-
неразложимо.
Вторая часть теоремы 6 вытекает непосредственно из тео-
теоремы 4 § 48, IX.
Замечание. Теория неприводимых пространств естествен-
естественным образом приводит к линейному расслоению (не «моно-
слоимых») неприводимых между двумя точками пространств
на замкнутые «слои» (§ 48, IV). Из этого линейного расслоения
в свою очередь по теореме 5 получается циклическое расслоение
всякого (не «мопослопного») пространства, допускающего пре-
преобразование/ Ф 1-). В случае когда пространство — континуум,
лепр
его слои континуумы (ср. § 48, IV, теорема 2); в частном слу-
случае, когда пространство является простои замкнутом кривой,
слон сводятся к отдельным точкам.
VIII. Компактные множества. Пусть .7' — компактное прост-
пространство.
Теорема I. Пусть /: Я.—> of — непрерывная функция.
Семейство замкнутых множеств ]¦', таких, что ) \ /•' ~ 1, открыто
{в пространстве I1').
Доказательство. По теореме 0 п. И
где G — открытое множество, такое, что /|G~1.
Так как семейство Е(/?с^ G) открыто (по теоргме 1 § 17, II),
1--
1-ГО открыто и его объединение.
Следующая теорема вытекает непосредственно из теоремы !.
') Ср. с лналопписш теоремой Александром;! [Л, стр. .1;Я].
2) См. Куратовекип [М].

424 Глава 8. Группы &х, <УХ и ВД (.%')
Теорема 2. Если множества F[ ю F.2 и> . .. замкнуты, то
г. <?. если (f \Рп)Ф I (Зля п = I, 2 го G1 П Рп
Теорема 3. Если f Ф \, то 3' содержит континуум С,
такой, что f\C Ф 1.
NIMip.
Доказательство. Из теоремы 1 и теоремы 2 § 42, IV
следует существование замкнутого множества С, такого, что
/|С Ф 1. Согласно теореме 1 п. VII, множество С — континуум.
пепр.
Следующее утверждение является прямым следствием пре-
предыдущего.
Теорема 4. Если f\Q~l для каждой компоненты Q про-
пространства 3', то f ~ I.
Замечание. Из теоремы 3 следует, что если Я' — дуга,
то /~1 для каждой непрерывной функции /: SC—¦> 3? (ср. III,
теорема 3). Действительно, иначе Я' содержало бы дискогерент-
ный континуум (согласно теореме 3 и теореме I п. VII).
IX. Декартовы произведения. Связь с гомотопией.
Лемма I. Пусть 3' — связное пространство, У — произволь-
произвольное пространство, \: :V X У —>& — непрерывная функция, /~1
и, наконец, ¦§'¦ З'ХУ —><f. Если г[з непрерывна по х при каждом у
и непрерывна по у в некоторой точке а?3' и если e^ = f, то \\>
непрерывна (в 3' X У).
Доказательство. Пусть / = еф, где ср: 3' X У —>S0 —
непрерывная функция. Так как разность г|) (х, у) — ср (х, у)
постоянна при фиксированном у (по теореме 2 п. I), положим
¦ф(*. У)~Ч>(х, y) = k(y)- В частности,
¦»!'(«. //) —ф(«, y)=*k(y), следовательно,
¦ф(х, г/) = ф(л:, г/) + г|)(а, у)-у(а, у),
откуда вытекает требуемое заключение.
Лемма 2. Пусть 3' — континуум, У — произвольное про-
пространство, а?.3~ и /: 3' X У-> ?Р — непрерывная функция. Если
(f\a X 30~l " (f\W X 2^)~1 для каждого у?У, то /~1.

§ 56. Группы <УХ и c?>r 425
Доказательство. По предположению существуют непре-
непрерывная функция %: 2/->ef и для каждого у непрерывная функ-
функция г|зу: $'-><?, такие, что
f{a, y) = ex(y) и f(x, y) = e^ {х) для любых хну.
Положим
Отсюда следует, что
Р { Y lj\ = Р ( y\ ' Р (п\ • Р Aj\ = ? f У //^
ф V ' iff \|).< \ / ' \р..\ t \\U / / \Л» У/'
Покажем, что функция г|) непрерывна. Для этого достаточно
доказать, что если у\, у2, ... —последовательность, сходящаяся
к у0, и если У = (//о, г/i, //2, ¦¦•), то сужение г|з|^*Х2^* не-
непрерывно.
Но так как множество Л' X "У* компактно, а множества
-"^' X уп —его компоненты, то по теореме 4 п. VIII мы имеем
(/ \Л' X 2/*)~ 1. Поскольку / = (?^, то по теореме 1 функция
¦Ф 1-^-" X ''У* непрерывна.
Из лемм 1 и 2 вытекает следующее важное утверждение:
Теорема 3 (Эйленбсрга ')). Пусть У — произвольное про-
пространство и g: "У —> & — непрерывное отображение. Для того
чтобы ц~ 1, необходимо и достаточно, чтобы g ~ I, г. е. чтобы g
было гомотопно I.
Следовательно, соотношения S^v = ЛУ(У), Ь\((У) — 0 экви-
эквивалентны стягиваемости & относительно ??.
Доказательство. Пусть g~l; тогда g — c<(, где
ф: & —>(? — непрерывная функция. Положим
f{x, y) = e2nlx(fW для х€?? и
Тогда
B) f:f/X9-*SP, f@, //)=1 и /(I, ?/) =
Следовательно, g гомотопно 1.
Обратно, предположим, что #— 1; тогда условия B) удо-
удовлетворяются. Полагая в лемме 2 № = 8 и считая а точкой О,
мы заключаем (на основании теоремы 3, п. III), что f~U
откуда следует, что g~\.
Теорему 3 можно обобщить следующим образом:
Теорема 4. Условия /~g и f о*, g эквивалентны.
') См. Элле пберг [7, егр. 68].

r.uuia H. Грцппы 'r'/T,
Док.1:ипчм|.стпо. Отношение f~g эквивалентно отно-
отношению / : /г — I п, следовательно, отношению (f : g) ~ I (со-
(согласно теореме 3); это означает, что оно эквивалентно суще-
существованию непрерывной функции h: Я'ХУ—xzf, такой, что
h(x, 0) = f (х) : ц (х) и h{x, 1)= 1.
Положим и{х, t) = g(x) • h(x, t)\ тогда
н(х, 0) = /(х) и и(х, \) = в(х).
Теорема 5. Если Я' компактно, то группа 33, (Я') совпа-
совпадает с семейством компонент пространства SPx.Ee нейтральный
элемент совпадает с компонентой, содержащей постоянные
функции.
Доказательство. Так как ?Р — абсолютный окрестпо-
стпьп'е рстракт, то отношение f^tf (а следовательно, /~#,
где \, ц: -I' >c9' — непрерывные функции) выполняется тогда
и только тогда, когда / и # принадлежат одной и топ же ком-
компоненте пространства iff* (ср. § 54, II, теорема 10).
Теорема 6. Пусть .Т — континуум, У — связное простран-
пространство, х{)?.1', tfa^'i'J и J: :(' X "У-><?f — непрерывная функция.
Если f |л-„ X У~ I и (\.Г X //„~ 1, то /~ I.
/I, о к а з а т с л ь с т в о. Пусть gu (x) = /(х, у). Согласно тео-
теореме 3 § 44, IV, функция Я. ставящая в соответствие каждому
элементу // элемент «,/6 г)^г. непрерывна. Поэтому Ф = ц{'У) —
связное подмножество р5^с.
По предположению # ~ 1, следовательно, й, ~1. Значит,
Ч> — подмножество тон компоненты пространства &"?, которая
содержит постоянные функции. По теореме 5 h~\ для каждого
//? Ф. Поэтому цу~\, откуда вытекает, что /|J?'X;/~l для
каждого //. Следовательно, [~ I по лемме 2.
Теорема 7. Если Я' — континуум, а У — связное простран-
пространство, то
C) 1\(Я-ХУ)=1\(Я:)Х1\{'У), следовательно,
ft,(.Г Х30= ft,(.r) + /;,(?y).
Доказательство. Этот изоморфизм определяется путем
сопоставления каждой паре непрерывных функций /: 3'—>в?,
ц: У -> -/ (функции /7 = f ¦ ц вида
/;U, ;/) = fU)
Для доказательства положим
f'(x. u) = f{x), g"(x, у) = а(

$ 56. Грцппы &* и <?* 427
Из условий /~1 и g~l вытекает, что /*~1 н g'~i, сле-
следовательно, h~ 1.
Обратно, если Л~1, то (/* • g') |(SI' X у о)~ 1, а так как
#* |(J2' X ;/о)~ 1, то из этого следует, что /" \{Я' X уо)~ 1, так
что f~l. Аналогично #~1.
Наконец, каждой непрерывной функции /: .'/' X & -> &* соот-
соответствует такая пара непрерывных функции /: Я'—> ?f n
g: У'-> &', что l~f'g, а именно
/(*) = ;(*, //о) и ^(/y) = ;Uo, /у).
Действительно,
таким образом, в силу теоремы 6 ?./#~1.
Наконец, условие C) следует из теоремы 5 § 55, III и фор-
формулы D) п. VII.
X. Локально связные множества.
Теорема 1. Если /1Q ~ 1 для каждой компоненты Q
локально связного пространства Ж, то f~l.
Это утверждение является следствием теоремы 5 § 54, I,
так как Q — открыто-замкнутое множество (ср. § 49, II, теорема 4).
Теорема 2. Пусть И' — связное и локально связное простран-
пространство, У — произвольное пространство, а ?.'-?" и )': ,1'ХУ —> п/ —
непрерывная функция. Если (/ \а X 2/)~ I и (/ |.it* X у)~ I для
каждого у, то / ~ 1.
Доказательство. Пусть 1|) и У определены так же,
как в доказательстве теоремы 2 п. IX. Покажем, ч го сужение
¦фо = if' I % X У непрерывно. Пусть С —множество таких х, что
функция \\)о непрерывна в точке (х, у0). Так как .V ср,нзно,
то достаточно показать, что С замкнуто, открыто и непусто.
Пусть Х\?3'. По теореме 10 п. II существуют два открытых
множества G в № и И в У, таких, что х] ? G, //об// "
f|GX//-~l (в теореме 10 п. II нужно заменить точку а
точкой (хь у0)). Более того, так как ,// локально связно,
то можно считать, что G связно.
Необходимо рассмотреть два случая. Если существует точка
€> такая, что при х = Ха функция ^ непрерывна по пере-
переменной у, то она непрерывна в G X Н, согласно теореме I
п. IX (нужно заменить там ft' на G, У па // и а на ,vu), а ил
этого следует, что GcC. В частности, а?С, так как при х = а
функция ф0 непрерывна по у (согласно равенству -ф(а, у) = х{у),
ср. IX A)).

428 Глава 8. Группы S-x, <УХ и Ш (.Т)
В случае когда С? не содержит точек .v() указанного вида,
функция гро, рассматриваемая как функция переменного //, раз-
разрывна при каждом х ? G; следовательно, она разрывна в точке (/о
(так как уо — единственная точка накопления пространства &*),
и поэтому х(?С, откуда xt ? G cz Л' — С.
Следовательно, множество С открыто, непусто и замкнуто.
Теорема 3. Пусть A cz В cz A [j L (А) и g: В -><? - непре-
непрерывная функция. Если g|/l~l, то g~\.
Доказательство. Пусть g\A = еч„ где ф: A-><f — непре-
непрерывная функция. Пусть р^В — А. Покажем, что колебание со,,,(р)
обращается в нуль.
Пусть (ср. § 49, II) р 6 G, где G — множество, открытое и В,
такое, что G (] А связно и g{G) Ф <У. Следовательно, #|G~l
(см. теорему 6 п. II). Пусть g I G = <?l(,, Где ty: G-> У—непре-
У—непрерывная функция. Так как множество G О А связно, то из равен-
равенства elf(x) = e^(x) при л: 6 G П А вытекает, что разность ф(л:) — i>(x)
постоянна в G [\ А (см. теорему 2 п. I). Так как функция \\>
непрерывна в точке р, то <о^(/)) = О, откуда w(p(yo) = 0 (ибо G —
окрестность точки р в В).
Следовательно, существует (согласно теореме I § 35, I)
непрерывное продолжение ср* : й —>'<f отображения <р. Так как
В cz А и g\A = е,г, то g = <?(р*.
Теорема 4. Пусть .%' — дугообразно связное пространство
и /: 3'-> ?Р — непрерывная функция. Если /|С~1 для каждой
простой замкнутой кривой С, то /<~1.
Доказательство. Согласно теореме 1, можно считать,
что X связно. Можно также предположить, что существует
точка а, в которой f(a)—l.
Поставим в соответствие каждой точке х дугу Ах — ах и
непрерывную функцию \\>х, такие, что
(I) ^: Ах->%, Л Л, =¦<?¦, и г|,,(а) = 0,
в соответствии с теоремой 3 п. III и теоремой 4 п. I. Положим
<P(*) = iM*)- Тогда ev = f.
Покажем, что функция ср непрерывна. Пусть p^.f и е>0.
По теореме 10 п. II имеем p^G, где G — такое открытое мно-
множество, что / | G = <?х, и A: G->сГ —непрерывная функция. Более
того, можно предположить (уменьшая, если необходимо, мно-
множество G), что b[\(G)]<e.
Так как пространство локально связно, то существует
число т]>0, такое, что каждой точке ц, для которой \ц — р\<ц,

$ 56. Группы S>v и <?х 429
соответствует дуга Q = pq cz О. Из этого следует, что
B) /IQ = eji и 1М«)-МРI<8.
Покажем, что | ф(</) —ф(/)) |<е.
Континуум /С = Лр О -\ U Q наследственно локально связен,
так как он состоит из трех дуг (ср. § 51, IV, теоремы 2 и 8).
Таким образом,
C) f\K~\,
ибо в противном случае К содержало бы (согласно теореме 3
п. VIII) подконтинуум и, следовательно, локально связный под-
подконтинуум С, такой, что f \С Ф I. По теореме 2 п. VII мно-
IU'1I|).
жество С было бы простой замкнутой кривой, вопреки пред-
предположению.
Принимая во внимание C), положим
D) f\K = ev %: K->'(f и Х(а) = 0,
где % — некоторая непрерывная функция.
Из соотношений A) и D) вытекает, что typ(a) — ip,(a) = %(a),
так что по теореме 2 п. I
( K(x) + k для
1 %(х) для
Отсюда следует, что
и потому, согласно B),
Теорема 5. Пусть tl' — локально связный континуум и
/: .%'—> uf — непрерывная функция. Если f\E~\ для каждого
циклического элемента Е из .Т, то /~1.
Доказательство. Если /тМ, то .#* содержит простую
замкнутую кривую С, такую, что f\C Ф I. Следовательно, если
Е ~ циклический элемент пространства .1', содержащий С
(ср. § 52, II, теорема 10), то /|ЕоМ.
Теорема 6. Пусть Л — локально связный континуум,
F = Fcz.t', fk'. SC -> nf — непрерывная функция и fk | F ~ I для
&=*1, ..., ft. Тогда существует такой локально связный кон-
континуум С, что F czC и fk | С ~ 1 для к = 1, ...,«').
См. Эйлепберг 110, стр. 172].

i'W Глава 8. Группы &*, &* и Ш (.<П
Доказательство. Так как F есть пересечение последо-
последовательности множеств, каждое из которых состоит из конеч-
конечного числа локально связных континуумов (§ 50, III, тео-
теорема 1 (i), и § 49, II, теорема 7), то доказательство можно
снести к случаю (согласно теореме 9 п. III), когда F = С, (J ••• U С„„
где множества Ch ..., Ст — непересекающиеся локально связ-
связные континуумы.
Применим индукцию. Очевидно, что теорема справедлива
при т = 1. Предположим, что она справедлива для числа т— I.
Пусть L — дуга ab, такая, что L{] F состоит только из двух
точек а и Ь, которые содержатся в различных множествах С„,
скажем в С,„_| и С,„.
Из соотношений (ср. с теоремой 3 п. III)
мс,и ... ucm_,~i. ы/-~1 и (с,и ... ucm_,)fu = a
вытекает, согласно теореме 3 п. VI, что
/ft|C|U ... UCm_iU/-~U следовательно,
/*ic,u ... ис,„_,и/.исга~1,
так как
(С, U ... \}Cm^\]L){\Cm = b и /|С,„~1.
Поскольку множество Cm_iU L U С,„ — локально связный кон-
континуум, доказательство сводится к случаю т— I.
Теорема 7. Пусть iV — локально связный континуум и
f: 3'-* & — непрерывная функция. Существуют два локально
связных континуума Со и Сь таких, что /i" = Col)C| « /iC/~l
(Эля / = 0, I.
Доказательство. Пусть Ао и Л, —половинки окруж-
окружности ?Р с ординатами соответственно ^0 и ^0. Пусть
/г/ = р'(Л/). Тогда по теореме 6 п. II ^ = FU\]FX и /1/7/~1,
а отсюда, согласно теореме 6 (в случае когда п=\), вытекает
требуемое заключение.
Теорема 8. Пусть № -~ локально дугообразно связное про-
пространство, f: %' —*¦ ?Р — непрерывная функция и G\, G2, ... —
последовательность открытых множеств, такая, что
^ = G,UG2U ... и Gn<=Gn+l.
Если /|Gn~l для каждого числа п, то /~1.
Это следует из теоремы 4.
XI. Отображения.
Теорема 1. Если А — ретракт SV', то 33) (Л) — гомоморфный
образ (-iii(^') и, следовательно, Ь^А)-^ bi{il').

§ 56. Группы &х и Sx 431
Теорема 2. Если .V допускает деформацию на А, то
и, следовательно, Ь\ (."?-*) sjC 6, (А).
Теорема 3. Если А — деформационный ретракт Я'', то
i.\(A) = ±\(.rf) «. следовательно, />,(Л) = ft,(.T).
Доказательство. Операция ретракции ?:
т. е. ?(/") = /| Л, есть гомоморфизм (ср. § 55, VIII, теорема 1)
пространства <$"•? на &>*\А, а из условия /~1 вытекает, чго
\\А~\. Отсюда следует теорема 1, так как Л —ретракт Я' и,
следовательно, ??¦* \ А = ё?А.
С другой стороны, если X допускает деформацию на Л,
то ич условия f | Л ~ 1 вытекает f ~ 1(согласно теореме 1 § 54, IV);
таким образом, теорема 2 доказана.
Теорема 3 вытекает из теоремы 2 в силу равенства
Теорема 4'). Пусть Я' — компактное пространство,
g: Я'-> ц{Я') и /: g(Я')—> &1 — два непрерывных отображения.
В следуюи^их двух случаях из условия /g~l вытекает /~1:
(i) g монотонно;
(ii) g открыто.
Следовательно, в обоих случаях группа й, [ц (."I')] изоморфна
подгруппе группы \(Я') и ft, [ft (.^')К 1>\{№)-
Доказательство. Пусть fg(x) = е^(х), где г[): Я' -+(f —
непрерывная функция.
Случай (i). Пусть г/об?(•?-") и ^обя (//о)-
Для всех A" G I? '(//о) имеем
^ (-«) = fg (х) = / О/о) = /ff (*о) = еф (л;0).
Следовательно, функция г|?(лг) —¦ ip(,Vo) принимает целочисленные
значения (на я (//о)), поэтому она постоянна, так как g~1{y)
связно; отсюда следует, что
-ф (х) - if (х0) = ij> (jf0) - if (л-о) = 0.
Таким образом, условие ф(//) = ^(л:) для x(zg~](y) однозначно
определяет функцию ср: g(.bl')—>'S. Эта функция непрерывна,
так как (ср. § 20, V, теорема 8)
[/ = Ф Ml = V [// = ?(*)] [/ = *(*)].
Более того, еф(/у) = <?ф(лг) = fg(x) = f(y), следовательно, f~l.
') Ср. Эйленберг [4, стр. 165 и 174].

432 Глава 8. Гриппы &v, Vх и 9Л (.Т)
Случай (П). Если g открыто, то g~u. g(A-')->2v— непре-
непрерывная функция (ср. § 43, V, теорема 1). Следовательно,
функция \\ig~1 также непрерывна, а потому непрерывна и
функция ф: g{:l')~->'<D, определяемая условием
(ср. § 42, II, замечание 2); если х — точка из g~l{y), такая,
что q>(y) = ty(x), то, как и выше, еф = /.
Замечание. Часть (п) теоремы 4 остается верной, если
& заменить на <.?=> = Й*2 - @).
Так как fg(x) = | fg(x)\ е^(х), где функция ty: .1'->'<? непре-
непрерывна, то f (у) — I}(у)| е^(у); чтобы доказать это, достаточно
каждому у поставить в соответствие точку х ? g~1{y), в ко-
которой ^[?~'(?/)] принимает свою нижнюю грань.
§ 57. Пространства, стягиваемые относительно &'.
Уникогерентные пространства
I. Стягиваемость относительно &'. По определению (§ 54, V)
пространство ."/-'стягиваемо относительно аУ, если всякая непре-
непрерывная функция f: Ж—> <?f гомотопна постоянной.
Следующее утверждение вытекает из теоремы 2 § 54, V,
теоремы 3 § 56, IX и теоремы 1 § 50, II,
Теорема 1. Следующие условия эквивалентны:
(i) А' стягиваемо относительно ёР;
(п) пространств) <УХ дугообразно связно;
(iii) f~\ для всякой непрерывной функции f: SC—><?f\
(iv) bx ¦(.?/) = 0.
Более того, если пространство Л компактно, то дугообраз-
дугообразную связность можно заменить связностью (в (п)).
Из теоремы 3 § 54, V и теоремы 4 § 56, XI вытекает сле-
следующая
Теорема 2. Если 9С стягиваемо относительно &', то каж-
каждое множество, которое можно получить из .%'
(i) ретракцией,
(п) непрерывным монотонным преобразованием (если X
компактно),
(iii) открытым отображением [если 3' компактно),
тоже стягиваемо относительно аУ.
Из теорем 4 и 5 § 54, V вытекает следующая
Теорема 3. Свойство нестягиваемости компактного про-
пространства Л' относительно &1 является инвариантом деформа-
деформаций tV и преобразований с малыми прообразами точек.

<У 57. Простпаистпа, стягиваемые относительно <? 433
Из теоремы 2 § 56, IX и теоремы 2 § 56, X вытекает сле-
следующая
Теорема 4. Если Я' и У стягиваемы относительно if и
если, кроме того, Я'— континуум или связное и локально
связное пространство, то пространство Я' X 'У стягиваемо отно-
относительно if.
Следующие две теоремы сложения вытекают из теорем 3
и 8 § 56, VI.
Теорема 5. Пусть Д, и А{ — два замкнутых {или откры-
открытых) множества, пересечение которых Д,Г)Л| связно. Если Ап
и Л\ стягиваемы относительно if, то и их объединение /1OLM|
стягиваемо относительно if.
Теорема 6. Пусть Со, С,, ...—последовательность связ-
связных множеств, такая, что
.1' = C0[iCl[i... и Cnc=Int(Cn+1).
Если каждое множество Сп стягиваемо относительно if % то и
множество Я' стягиваемо относительно if.
Теорема 7. Если каждое из компактных множеств
Д, Г) Л| =з . . . стягиваемо относительно if', то и их пересечение
До П Л[ П • • • обладает этим свойством.
Доказательство. Это утверждение является следст-
следствием теоремы 9 § 54, V.
Теорема 8. Если .0V компактно или локально связно и
если каждая компонента пространства ."V стягиваема относи-
относительно if, то и само пространство Я' обладает этим свойством.
Доказательство. Это прямое следствие теорем 4 п.
VIII и 1 п. X § 56.
Теорема 9. Следующие¦ пространства стягиваемы относи-
относительно if:
(i) всякое пространство, стягиваемое в себе и, следова-
следовательно, всякий абсолютный ретракт; в частности, {/" и cfn для
любого я< Ио\
(И) сфера ifn при пф\;
(Hi) проективное пространство размерности ф=\;
(iv) любое подмножество А пространства в.
Доказательство. В случае (i) утверждение следует из
теоремы 3 и теоремы 2 C) § 54, VI (ср. также § 56, III, тео-
теорема 3).
28 Зак. 190

43 J Глава 8. Группы &х, &х и Ш (.Г)
(ii) вытекает из теоремы 5 (а также из теоремы 2 (ii)).
(iii) следует из теоремы 2 (Hi), так как проектнгшое про-
пространство является образом сферы при открытом отображе-
отображении (см. § 43, VI, теорема 2).
(iv) Пусть /: Л -> if — непрерывная функция. Так как каж-
каждая компонента С множества Л стягиваема относительно if
(ср. @), то /|С~1. Поэтому С содержится (ср. § 56, II, тео-
теорема 9) в открытом интервале PcQc таком, что f\Fc~\ для
Fc = Л П РсЧс- Очевидно, можно считать, что точки рс и qc не
принадлежат А. Таким образом, множество Fc открыто-замк-
открыто-замкнуто в Л, и из соотношении
A = \JFC и f\Fc~\
с
В1>1текает, что /~1 (по теореме 5 § 54, I).
3 а меч а и и е. Использование того, что if * стягиваемо отно-
относительно if (теорема 9 (ii)), позволяет получить очень простое
доказательство теоремы об антиподах (см. § 41, VII) для п — 21).
Доказательство. Мы должны показать, что для лю-
любой непрерывной функции g: if2 ->'^'1 существует точка х0 6 if-i,
в которой g(x{))--=g(- х0).
Допустим, что это нс так. Другими словами, предположим,
что
A) Цх) = 8(х)-в(-х)Ф0
при каждом х ? ё?г. Это означает, что / — непрерывная функ-
функция /: ?f .,->$*. Так как сфера ^ стягиваема относительно if',
то f ~ 1, и поэтому существует непрерывная функция и: <^2—>cf2,
такая, что
B) /(дг) = е"<*> для любого х 6 i?z-
Заменим х на — х; тогда из B) вытекает, что
/(-*) = е«<-*>,
и, согласно A),
/(- *) = ?(- x)-g(x)= - f(x)= - «?«<*) = ?«(*) \-,ut
откуда следует, что cui~x) = e"<x) + It(. Так как сфера if2 связна,
мы приходим к заключению (ср. с теоремой 2 § 56, I), что
C) и (— х) — и (х) + т + 2/гш,
где к — целое число, не зависящее от х. Заменим х на — х
в C); тогда и(х) = и(— x) + Bk+ l)ni, откуда в сочетании с C)
следует, что 4k + 2 == 0, и мы получаем противоречие.
') Аналогичное доказательство дал Г. 11 тейнгаув.

tf 57. Пространства, стягиваемые относительно & 435
II. Свойства пространств, стягиваемых относительно^).
Пусть Я' — стягиваемое относительно & (с. о. <?Р) пространство.
Пусть Аа и Л) —два замкнутых или два открытых множества,
таких, что SI" — Ло (J Av
Теорема 1. efx*= Г(Д,) = Г(Д) = Г (.Ж*), следовательно,
) °) (Л А
$,D, ^i) () Pi (Л. А) 0.
Это прямое следствие теоремы 1 (iii) п. I (см. также A) и
D) из § 56, V).
Теорема 2. Если множества Аа и А\ связны, то связно
и их пересечение Ло П ^41¦
Другими словами (положим В] = № — А/), если Вп и В^ — два
открытых или два замкнутых непересекающихся множества,
ни одно из которых не разделяет (связное) пространство 3',
то их объединение B()(Jfii также не разделяет X.
Следовательно, всякое связное с. о. ef пространство уни-
когерентно.
Это следует из неравенства 60(Л0П ^i)^ MA)U Л) (СР-
§ 56, VI, теорема 2) и теоремы 1 (iv) п. I.
Теорема 2 допускает два обобщения.
Теорема 3. Теорема 2 остается справедливой, если связ-
связность множеств Аа, Л] и A0(]Ai заменить их связностью
между двумя точками р0 и р{ (а также свойство разделять
пространство — свойством разделять его между точками д,
и р,).
В противном случае (по теореме 4 из § 56, VI) мы имели
бы Г(А0)(]У(А[)?=Т(&), а это противоречит теореме 1.
Теорема 4. Если AqOA^O, to bo{Ao) + bo(Ai) =
-M4>U4,) + 60(A>rMi).
Это следствие теоремы 1 и теоремы G.1) § 56, V.
Теорема 5. Всякое замкнутое множество F, неприводимо
разделяющее Ж между двумя точками ра и рь связно.
Доказательство. Допустим, что это не так и что
F = B0[)Bl, fionfii = O и В,-В,ФР.
Тогда по предположению Bj не разделяет пространство между
д(, и pi (при /«О, 1); следовательно, fioljfii также не разде-
разделяет пространство между этими точками (по теореме 3).
Теорема 6. Если А и X связны и С — компонента мно-
множества 3'— А, то граница Fr(C) связна.
') Ср. Эйленберг [7, I, § 3]. Ср. также (для локально связных конти-
континуумов) Куратовский [17, § 1J, [8, § 3J.

436 Глава 8, Группы &х, <УХ и «№ (.?/)
Доказательство. Множество .%' — С связно по теореме
5 из § 46, III. Положим Ао = С и А\ = А'— С; по теореме 2
множество Fr(C) = С (]•*' — С связно.
Теорема 7. Если R — область в пространстве Я', то ни-
никакая квазикомпонента множества 3' — R не содержит двух
различных квазикомпонент границы Fr(R).
Если %' — континуум, то
A) MF
Доказательство. Пусть р0 и р, —две точки множества
Fv(R), принадлежащие некоторой квазикомпоненте множества
SC — R. Пусть Ло=>3' — R и Ai = R. Из теоремы 3 вытекает, что
множество Fr(R) связно между р0 и р{\ следовательно, эти
две точки принадлежат одной и той же квазикомпоненте мно-
множества Fr(^).
Если .Т — континуум, то С (]Fr(R) Ф 0 для каждой компо-
компоненты С множества HV — R (по теореме 1 из § 47, III). Следо-
Следовательно, С содержит одну и, как только что было показано,
только одну компоненту множества Fr(R) (ибо квазикомпоненты
компактного множества совпадают с его компонентами;
ср. § 47, II, теорема 2). Отсюда вытекает равенство A).
III. Локальная связность и уникогерентность.
Теорема 1. Пусть .%' — связное, локально связное с. о. if
пространство. Всякий разделитель Е между точками а и b
содержит замкнутое связное множество, которое разделяет
эти точки.
Доказательство. Множество Е содержит замкнутое
множество F, которое разделяет а и Ь (ср. § 14, V, теорема 1);
в свою очередь F содержит замкнутое множество С, которое
иеприводимо разделяет SV между точками а и 6 (§ 49, V, тео-
теорема 3). По теореме 5 п. II множество С связно.
Теорема 2. Пусть Si' удовлетворяет тем оке предположе-
предположениям, что и в теореме 1. Пусть
= F/ и FoftF^O.
Существует разделитель С между точками р0 и pit замкнутый,
связный и не пересекающийся с F0\jFi.
Более того, если .%' компактно, то можно считать разде-
разделитель С локально связным континуумом.
Доказательство. Это прямое следствие теоремы 4 § 49, V
в сочетании с теоремой 5 п. II и теоремой 1 § 50, III.

$ 57. Пространства, стягиваемые относительно
437
Теорема 3. Для того чтобы локально связный континуум
был с. о. &', необходимо и достаточно, чтобы он был унико-
герентен.
Доказательство. Условие необходимо в силу тео-
теоремы 2 п. II.
С другой стороны, предположим, что локально связный кон-
континуум ."Г уппкогерентсп и что /: 3' —> ?Р — непрерывная функция.
Согласно теореме 7 из § 56, X, существуют два континуума
1 при / = 0, 1. По пред-
Си и Ci, таких, что Я' — С,, U С, и /|С/
положению С0ПС| связно. По
теореме 3 из § 56, VI / ~ 1.
3 а м е ч а и н е. Теорему 3 мож-
можно обобщить, заменяя термин кон-
континуум термином связное про-
пространство ').
Теорема 4. Всякий локаль-
локально связный континуум Я', не
являющийся уникогсрснтным, со-
содержит простую замкнутую кри-
кривую, являющуюся ретраитом .Г 2).
Доказательство. По пред-
предположению существуют непре-
непрерывная функция \:3'->uf (ср.
§ 56, X, теорема 7) и два локально связных континуума Со,
С[, такие, что
/<тМ, Ж = С«U С, и f\Ct~l для / = 0,1.
Согласно теореме 3 из § 56, VI, множество С0ПС| несвязно.
Таким образом (рис. 14),
Рис. 14
A)
для / =
Пусть Лп — дуга, содержащаяся в Со и пепрнводимо связная
между ^о и F|. Положим Ло(] Fj — pj. Пусть Л\ — дуга
содержащаяся в С{. Тогда
Л, П Л, с= Д, р С„ П С, = (Ио П Fo) U (Л П Fd = (Po, Рд-
Поэтому множество /1,,U Л{ — простая замкнутая кривая.
') Дока.чательс-тко см. Эмчсибсрг |7, стр. 70]. Частичное обобщение см.
Ворсук [2, стр. 190|. Относительно жпнвплептиостм между уникогерепт-
iiocTiiio и обращенном и пуль первого числа Бетти см. Борсук [8, стр. 2031
и Чех [П, стр. 23.Ч|.
2) Борсук [2, стр. 184].

438 Глава 8. Группы &*, <?* и Ш (.Г)
Пусть /0 — ретракция множества FolMoU^i на Ао, такая,
что
B) h(F0) = p0 и
В соответствии с теоремой Титце (§ 14, IV) пусть
C) /оСЯобЛо0.
Пусть q0 и <7i — две различные точки, принадлежащие множестпу
А> —(Ро. Р\)< и Wi и q\qo~ Две поддуги дуги /10 U Л,, где
Ло. Пусть
E) ^-
Тогда
F)
G) ^п
(8) Яо
так как (ср. A) —C)) из соотношения
вытекает, что
?о~' (%?i) П С, с So [?о?, П (РО, Pt)\ == 0.
С другой стороны,
(9) <7.?оЛ So fa/)™?/'
так как go~ ретракция, и, следовательно (см. A) и B)), из
условий
«Wod^.uc.u/Wo и с, п ггг1 (^,) - с, n c0 n gr^ (</y) - о
вытекает, что
Мо) Л ^о"' Ю = S0[DiPi U Wo) Л g^ (</,)]«=
U Ро^р) Л ^о"' (?у) = (</iPi U Pcflo) П 9/ - 9/.
Из соотношений (8) и (9) непосредственно следует, что суще-
существует ретракция /, множества gol(qo)\J ^t)U g^ (?,) "а
такая, что
Пусть
(И)

§ 57. Пространства, стягиваемые относительно <5° 439
Тогда
Sn(x)^Sl(x) для x?g
так как из условия дгб^о (?/) вытекает, с одной стороны, что
ffoM = <7/> а с другой стороны, что f\(x) = qt (согласно A0));
следовательно, gi(x) — qi (ср. A1)).
Из условий F), G) и A2) следует, что функция go\Do + gi
есть ретракция множества Я' па Ло1М|.
Следствие 5. Если Я? — локально связный континуум.,
не являющийся уникогерентным, то существует непрерывное
отображение {: Я'->Я', не имеющее неподвижной точки1).
Замечание. Теоремы 4 и 5 можно обобщить, заменяя
термин локально связный континуум термином локально и
глобально дугообразно связное пространство (Борсук [2, стр.
184 и 188]).'
Теорема 6. Пусть Я" — локально связный уникогерентный
континуум, который не разделяется никакой точкой. Если R—
область и diin? = 0, то множество R — E связно2).
Доказательство. Предположим, что R — E не связно
между точками р и q. Тогда существует (по теореме 1) кон-
континуум С с Е [] C'— R), разделяющий пространство между р
и (/. Так как clim? = 0, то С cz Я'— R (напомним, что по пред-
предположению С не сводится к одной точке). Но это невозможно,
так как множество Я' — R не разделяет точки р и q.
Следствие 7. При тех же предположениях dim X ^ 2
(при условиии, что Я' содержит более одной точки).
Более точно, dci^>2(cp. § 46, XI).
Следствие 8. Всякий локально связный уникогерентный
одномерный континуум представляет собой дендрит3).
В противном случае этот континуум содержал бы цикли-
циклический элемент С (состоящий более чем из одной точки), н
так как при этом С был бы уникогерентен (по теореме 5 §52, III),
то из этого следовало бы, что dim С ^2.
IV. Замечания о продолжении гомеоморфизмов в с. о. if
континуумах. Сформулируем без доказательства следующую
теорему.
') См. Куратовсюш [20, стр. 307].
2) Ср. Уплдер [5, стр. 3491. Случай когда Я'^'&'г, ср. Фрагмен [1] и
[2]
) р
Врауэр [2].
3) Ср. Вьеторис [3].

410 Глава 8. Гриппы &х, Vх и ЧУ1
Теорема 1. Пусть 2/„ и il', —двгл с. о. if метрических кон-
континуума, и пусть d'oc:lJu и :-t\cz Ух-~два связных множества,
дополнения которых &{) — Я'й и Ух — &\ наследственно разрывны
(т. е. не содержат континуумов, за исключением отдельных
точек).
Тогда, если Л'о и 3\ гомеоморфны, то гомеоморфны и
% и 2/,.
Более того, всякий гомеоморфизм h пространства .6fn на ,фх
можно продолжить до гомеоморфизма h пространства Уо на У ').
Отождествляя х с h(x), можно предыдущее утверждение
сформулировать в следующей эквивалентной форме:
Теорема 2. Пусть Уо и Ну —две компактификации связ-
связного пространства ."/'", и пусть Уй — :1' и :!/{ —./-' втлне несвязны.
Если 2/0 и "У\ — с. о. if континуумы, то они гомеоморфны.
Более того, существует гомеоморфизм пространства 'Уо на "У\,
который тождествен на 3'2).
Из теоремы 1 легко вывести следующую теорему об инва-
инвариантности.
Теорема 3. Пусть R — связное, открытое множество,
R cz if п. Тогда мощность множества компонент дополнения
ifn — R инвариантна при гомеомореных отображениях R.
Действительно, существует непрерывное отображение h про-
пространства ifn на с. о. if континуум У, такое, что h \R — гомео-
гомеоморфизм и прообразы точек /г~'(//) являются либо отдельными
точками R, либо компонентами множества ifп — R (ср. I, тео-
теорема 2 (п), и § 46, V, теорема 4J).
Добавим, что в теореме 3 условие связности опустить
нельзя (ср. § 62, X).
§ 58. Группа ЯИ(Я-)
0 (Введение). Семейство (О, 1)Г. Этим символом мы обоз-
обозначим семейство всех открыто-замкнутых подмножеств про-
пространства ."}¦'. Это обозначение мотивировано тем, что открыто-
замкнутые подмножества iV можно отождествить с их харак-
характеристическими функциями (определенными на Л).
') Доказательств см. Скляренко [2] и- Куратовским и Энгелькиш' [2].
Теорема I является обобщением более ранних результатов Фреидеп-
таля [5|, [6]; де Сроотп |1| и Дуды [I] и [2].
2) По поводу случая связного открытого .'?' см. Куратонский и Эйлеп-
берг [2].
J) Прямое доказательство см. Форт 13]. Значительно раньше случай
п •= 2 рассматривал Брауэр; ср. § 61, V.

§ 58. Группа Ш (,^Л 441
Определения. Пусть С обозначает произвольное покры-
покрытие пространства ."V открытыми непустыми непересекающимися
множествами. Таким образом,
К) [(Z,,, Z,
O) обозначает совокупность таких покрытий.
Говорят, что семейство А(С) всех объединений элементов
покрытия С порождается покрытием С и С является его базой.
Очевидно, эти объединения открыто-замкнуты.
Теорема 1. Семейство R(°l) направлено по отношению
измельчения: С, еегь измельчение Со (обозначается СО^.СЬ
или, эквивалентно, A(Cf)) cr Л(С,)).
Именно, если Са, Cl^_R(.l') и если С2 обозначает покрытие,
состоящее из (непустых) пересечений ZOil[\Z\,s, где C0 = {Z0,i}
и С, = {Z|, J, то Cns^C2 и С, < С2.
Теорема 2. Семейство R (.?Г) имеет последний элемент
(т. с. существует самое мелкое покрытие пространства 3') тогда
и только тогда, когда компоненты пространства ."V открыты.
Таким элементом является семейство К (..?-') всех компонент
пространства Я'.
Доказательство. 1. Предположим, что С —последний
элемент в R(.^-'). Достаточно показать, что каждое множество
Z?C связно. Но если Z не связно, то Z = Р U Q, где Р и Q —
открытые непустые и непересекающиеся множества; следова-
следовательно, С^ С* ? R (."/-'), где С* получается из С заменой Z на
пару Р, Q.
2. Если компоненты пространства .^' открыты, то К (.'/-") —
последний элемент в R (.'/'), так как любое открыто-замкнутое
множество Z является объединением некоторых компонент про-
пространства Я'.
Лемма. Пцсгь Faff — бесконечное нигде не плотное замк-
замкнутое множество. Тогда существует система замкнутых мно~
жесте Fnt ...an, определенных для систем а, ... а„ (может быт>»
не для всех) чисел 0 и 1, такая, что
и (лри условии, что Fai...an содержит более одной точки)
a, ... а„0 П ^а, ... а„1 =» О,

412 Глава 8. Группы
Множества Fa> ...^ определяются без всяких затруднении.
Назовем мнооюествами порядка п множества Fa ...an, а также
одноэлементные множества Fa ...a при m<n. Легко видеть,
что всякое открыто-замкнутое множество в F является объе-
объединением некоторых множеств порядка п для достаточно боль-
большого п.
Теорема 3. Если X — компактное метрическое простран-
пространство, то R{X) счетно, а каждое C^R(.t') конечно.
Более того, R{X) конфинально с бесконечной последова-
последовательностью С\<,С2<* ... {при условии, что X имеет бесконеч-
бесконечное множество компонент).
Доказательство. Первая часть теоремы очевидна. Дока-
Доказательство второй части можно свести к частному случаю,
когда X с: & и dim.^' = 0, так как существует непрерывное
отображение пространства X в канторов дисконтинуум, при
котором прообразы точек суть компоненты пространства ./'
(см. теорему 3 из § 46, V).
Далее, в этом частном случае обозначим через Сп семейство
множеств порядка п, рассмотрениях в лемме.
Теорема 4. Пусто У — метрическое пространство и Xcz:!/.
Обозначим через X о D для D?R(#) семейство всех {непустых)
множеств XQV, где V?D. Тогда {.Г о D)?R{ Г).
Более того, для каждого C^R(.T) существуют открытое
в У множество G и D?R{G), такие, что C = .l'°D.
Доказательство. Первая часть теоремы очевидна. Для
доказательства второй части положим C = {Zt}. Так как мно-
множества Zt не пересекаются и открыты в .?-', то существуют
множества {Vt}, непересекающиеся и открытые в У, такие, что
.T[\Vt = Zt (по теореме 2 из § 21, XI). Положим G = \JVt п
D = {Vt).
Определение. Пусть X аУ\ предположим, что компо-
компоненты Rt пространства У открыты. Тогда Qv обозначает семей-
семейство всех (непустых) множеств 3'f\ Rt. Другими словами,
Qv = X о 6 {У).
Теорема 5. Пусть .'Г с2/ и У — локально связное метри-
метрическое пространство. Тогда R("А') конфиналино с множеством
покрытий Qa, где G пробегает семейство открытых подмно-
подмножеств пространства У, таких, что X с: G.

§ 58. Группа Ш (.<2Г) 443
Доказательство. Пусть C?R(.T). По теореме 4
С = .Т ° D и D?R(G) для некоторого G, открытого в У. Так
как G локально связно, то, согласно теореме 2,
D<g(G), откуда &°D*^X °G(G), т. е. C<Q0.
Теорема 6. Пусть У и %—два локально связных про-
пространства, содержащих %. Тогда
B) C/cZ
Доказательство. Если 2/с: %, то каждая компонента R
пространства '& содержится в некоторой компоненте Л' про-
пространства %, поэтому .%' П R cJ П 5. Следовательно, Qz^Qv-
Теорема 7. Пусть У — компактное локально связное ме-
метрическое пространство, ЖаУ и 2/ — 3' локально компактно;
тогда
C) 2/-.<Г = /71и/72и ..., где F, компактный Ficzlntv_;c(Ft + {)
(Int?/_r обозначает внутренность относительно У — !1').
Положим Сц — У — I'i- Тогда R($") конфинально с последо-
последовательностью
D) Qg,<QGj<....
Доказательство. Пусть J с G с 2/, где G открыто
(в У). Тогда
y-G<=.y-V~\J \ntv-x
Так как У — G компактно, то существует индекс /, такой, что
У — G с: Ft, т. е. G(c:G. Таким образом, .^'czG^czG (так как
Ftc:<i/ — ."I'), а потому Qa^:QGi (согласно B)). Следовательно,
но теореме 5, R(^') коифинально с {Qg,}- Соотношение D)
справедливо, так как включения FtczFl + l и G(+ic:G( экви-
эквивалентны.
I. Ш (.2Г) как топологическое пространство.
Определения. Пусть ^' — метрическое пространство1);
Ш (:Т) обозначает семейство вполне аддитивных функций \х (на-
(называемых мерами), ставящих в соответствие каждому Z?@, 1)*
целое число (-i(Z); это означает, что, каковы бы ни были непе-
непересекающиеся множества Zt?(Q, \)г, такие, что (\JZt)^@, IO'-
При более общих предположениях см. Куратовский и Энгелькнпг [1].

444 Глава 8. Гриппы ^х, <УХ и 9Л (Я1
имеет место равенство
@) V(\JZt)=2lVi(Zl).
Очевидно, что в этом случае только конечное число сла-
слагаемых Zt имеют ненулевую меру.
Пусть C?RG') обозначает (как в п. 0) произвольное по-
покрытие пространства .%' непустыми непересекающимися откры-
открытыми множествами; пусть ^ (С) —множество вполне аддитивных
функций, определенных на элементах множества А (С) и при-
принимающих целочисленные значения.
Для Со^С, (это означает, как в и. 0, что С, — измельче-
измельчение Со, или, эквивалентно, что A(Cu)cz A(C{)) обозначим
через асс операцию сужения
определяемую условием
Легко видеть, что (?s(C), <JCiiCi), где C^R(^') и СA<Ср — об-
обратный спектр.
Обозначим, наконец, через ос операцию сужения
вс: Ш(.Г)-*МС), где
и положим ст^^ст^,]. Тогда
в: аК(.ЯГ)->ГШС), где
Теорема 1. сг представляет собой взаимно однозначное
отображение Ш(Я') и й= Lim (?i(C), arr).
Следовательно, Ш(.'Ъ') станет топологическим пространством,
(вполне регулярным нульмерным пространством), если мы опре-
определим замыкание •?> для $'с:Ш(Я') с помощью отношения экви-
эквивалентности
A) (ц ? §) = [(ц | с ? (.g> | С) для каждого С 6 R (V)];
это означает, что для каждого С существует v ? •&, такое, что
() C
() |()
Кроме того, отображение а: Ш($')—>¦ У. есть гомеоморфизм на.
Доказательство. Во-первых, сг является отображе-
отображением в. Это означает, что стсс (ц|Л(С,)) = ц|>4(С0), или, иначе, что
но это немедленно следует из транзитивности операции сужения.

,<t 58. Группа Ш (JT) 445
Далее, сг — взаимно однозначное отображение. Действительно,
предположим, что (iu(Z) = ^1(Z) для данного Z?@, \)x, и обо-
обозначим через С двуэлсментнос покрытие Z* = (Z, & — Z). Тогда
{)Vx\) т. е. ffc(
следовательно, ст(цо)т^(т((х,).
Покажем, что сг есть отображение на. Другими словами,
предположим, что каждому C?RC') соответствует vc^^(C),
такое, что
B) vCi = vC| | Д(Со) при условии C0^.Ci,
и определим ц? ТО (.'?") так, чтобы
C) ц\А(С)~ vc для каждсго C?R(#").
Покажем, что этим же свойством обладает мера ц, опре-
определенная соотношением ')
D) |i(Z) = vz.(Z), где ГН^.Г-Z).
Во-первых, необходимо показать, что Ц*?^С^'). т. е. n(Z) =
= 2ц(^<). ПРИ условии, что Z = U Z, и множества Z^ не пере-
t t
секаются.
Пусть С —покрытие пространства 3', состоящее из всех
множеств Zt и множества Ж —Z (которое опускается, если
Z = 2L').
Очевидно, что C?R(.f), Z*<C и Z^C. Согласно B),
E) v = v
откуда
F) vz,(Z
Так как vc??){C), то из D) и F) вытекает, что
vz* (Z) = vc (Z) = 2] vc S
Остается доказать (З). Пусть Z^A(C). Покажем, что \i{Z) =
= vc(Z). Но так как Z*^.C, то это равенство следует непо-
непосредственно из D) и F).
Этим завершается доказательство первой части теоремы.
') Мы обозначаем обычно через Z, С и ц переменные, пробегающие
соответственно @, l)r, R (#") и 9

Глава 8. Группы &х, У* и Ш (.
Вторая часть вытекает из теоремы 3 § 16, VI, если пред-
предположить, что ?}(С) имеет дискретную топологию (откуда сле-
следует, что П^(С) и У —вполне регулярные пространства).
Теорема 2. Если компоненты пространства Я' открыты
(в частности, если Я' локально связно), то пространство Ш(Я')
дискретно.
Доказательство. Пусть С — семейство компонент про-
пространства .7". Семейство (О, 1)Г порождается семейством С,
следовательно, функция \i однозначно определяется своими зна-
значениями па элементах Z из С. Таким образом, из условия
(ц|С)?($>| С) вытекает, что \х ? •?>, откуда, согласно A), •& = ¦?>.
Теорема 3. Отображение ос: Ш(Я")->~*>{С) непрерывно;
отображение (pz: Ш(Я')-+?? для каждого Z, где cpz ((i) = \x (Z),
также непрерывно.
Первая часть теоремы 3 следует из теоремы 1; для того
чтобы вывести вторую часть, положим C — {Z, Я' — Z).
Теорема 4. Если пространство Я- компактно, то Ш(Я")
гомсоморфно полному сепарабельному нульмерному про-
пространству.
Действительно, и этом случае RC') счетно (ср. § 54, IX, 6а).
Замечание. Если предположить, что пространство Я'
компактно, то полную аддитивность функций \1^Ш(Я'), оче-
очевидно, можно заменить конечной аддитивностью (ибо каждое
покрытие С пространства ."Г конечно).
При тех же предположениях легко показать, что
G) (\i= lim цдЛ^з |(ц|С)= lim (nk С) для каждого С н=
ss ]x(Z)— lim \ik(Z) для каждого Z .
It ->oo
Теоремы 5 и 6 являются прямыми следствиями теорем 5
и 7 § 1, VII.
Теорема 5. Пусть Я-<^УУ где У — метрическое локально
связное пространство. Тогда для каждого ц?2)?(."Г) и каждого
ЬсШ(Л') мы имеем
(8) (ц G $) = [(м-! Qo) 6 (^ I Qo) д-"я каждого открытого G,
такого, что .i' cz G cz &];
(9) ((j.o =-= [x^s^e[(^г01QG) = ((Xj |Qo) для каждого открытого О,
такого, что Я' с: G с: У\.

§ 58. Грцппа Ш (Я') 447
Теорема 6. При предположениях теоремы 7 п. О имеем
(Ю) (ц€-&)=|(и1<?0,)€(-&1<?0,) для г:=1, 2, ...].
Более того, ЭД (."/") метризусмо, и
(П) (Ho = Hi)=[(HolQo,)*=(HilQ«,) &»' /=1, 2
II. Ш(.'1') как топологическая группа. Положим для ци, щ
п ц2 из Щ/Г)
A) (^0 = 14 +[*¦>) =
= [[io(Z) = |Xj (Z) + n2(Z) для каждого Z ? @, 1)г|-
Тогда 9Л(//-') становится ибелевой группой.
Более общо, Л (С) станет абелевой группой, если считать,
что ц,„ Hi и (i2 принадлежат 3(С), и заменить @, 1)г в (I) па А (С).
Очевидно, что
(ц0 = [х, + ц2)^[(цо! ^ (С)) = (ц, | /4 (С)) + (ц2| 4 (С)) для каждого С];
легко показать, что имеет место следующее утверждение (ср.
также п. I).
Теорема 1. Следующие отображения представляют собой
гомоморфизмы:
ъ: Ж (.</-¦) -> &, ас: Ж (^) -> Л (С), aCoCi: Ъ (С,) -> л (Со).
Из последнего утверждения вытекает (см. § 55, VII и тео-
теорему 1 п. I, согласно которой отображение ст взаимно одно-
однозначно) следующая
Теорема 1'.
Ш(.'П = гитс (л(С), ffCiCJ.
Именно, отображение (Т=(стг), где a(.{n) = \i\A(C), пред-
представляет собой искомый изоморфизм.
Имеет место также следующая
Теорема 2. Ш (Л') — топологическая группа.
Другими словами, сложение, определяемое но формуле A),
и вычитание непрерывны (относительно топологии, определяе-
определяемой в соответствии с 1A)).
Определение. Пусть Q — квазикомпонента простран-
пространства Л' и
| 1, если QczZ,
<2> a*(Z4o, если QnZ = 0.
Тогда aQ называется характеристической мерой Q.

448 Глава 8. Группы &х, <УХ и 5Ш (."Г)
Лемма. aQ ? 5Ш (/Г)-
Доказательство. Всякое открыто-замкнутое подмноже-
подмножество Z пространства Я', такое, что Q f] Z=^0, удовлетворяет
условию QczZ; поэтому формула B) определяет функцию aQ
для каждого Z. Более того, функция aQ вполне аддитивна, ибо
если Q с: Z = \J Zt, где множества Zt не пересекаются, то суще-
t
ствует единственное Ztn, содержащее Q, а все остальные Zt не
пересекаются с Q; следовательно, равенство I @) выполняется.
Теорема 3. .Если квазикомпоненты Qh ..., Qm попарно
различны, то их характеристические меры линейно независимы,
т. с.
C) (?,aQl + ... + kmaQm = 0) =Ф (ft, = 0 kn = 0).
Доказательство. По предположению существуют такие
непересекающиеся открыто-замкнутые множества Zu ..., Zm,
что QiczZl для /=1, .... /п. Предположим, что правая часть
импликации C) не имеет места, например пусть к\фО. Так как
aQ[{Zx)=\ и ao.(Z,) = 0 для i>\, то
Следовательно, левая часть импликации C) также не имеет
места.
Теорема 4. Если компоненты пространства ?V открыты
(в частности, если Л' локально связно), то их характеристи-
характеристические меры являются образующими группы Ш (.?,").
Более общо, если С = {ZJ ? R (.'?'), г^е -V ~ произвольное про-
пространство, и если QtczZt, где Qt —квазикомпонента .°1\ то
функции yQt ~(aqt | A(C)J являются образующими группы $(С).
Доказательство. Пусть (i?^(C). Положим kt — \x(Zt)-
Мы должны показать, что
D) \i= ^ ktyQt, т. е. что |li(Z()= S^.saQi(Z() для всех t
(сумма конечна, так как существует только конечное число
ненулевых kt).
Согласно B), aQt(Zt)= 1 и aQi(Z() = 0 для s=?t, следовательно,
2 k,aQi (Zt) = ktaQt {Zt) = kt = \i {Zt).

S 58. Гриппа Ш (Я') <Ш
Отсюда следует первая часть теоремы 4 для С ~ :Ь\ ибо
А(С)~@, 1)* и Ъ(С)~Ж(:Г).
Из теорем 3 и 4 немедленно вытекает следующая
Теорема 5. Если пространство ?V имеет конечное число,
скажем in, компонент, то группа Ш(Я') изоморфна грцппе <??'",
т. е.
E) эя (.<?/) = #"'.
Если компоненты пространства .1" открыты и семейство компо-
компонент счетно, то
E') аи (-2*)=&"
(с^01 —группа бесконечных последовательностей целых чисел,
каждая из которых состоит только из конечного числа нену-
ненулевых членов).
Из теоремы 4 выведем следующее важное утверждение:
Теорема 6. Пусть {Qs} — такое семейство квазикомпонент
(произвольного) пространства .61\ что
F) QflUQ^O
для всех квазикомпонент Q пространства .Т.
Пусть 91 — подгруппа группы Ш(.1'), порожденная мерами а„
(т. е. 51 — множество их линейных комбинаций); тогда
G) 9? = ЯЙ(ЛГ).
Доказательство. Пусть C = {Zt}^ R(.T). Пусть Qt — квази-
квазикомпонента .1' и QtczZt. Согласно F), 2( ["] U Q.s?= 0. Поэтому
.V
существует (так как множество Zt открыто) число s(t), такое,
что Zt П Qs(t) Ф 0. и, следовательно, такое, что Q.,(« с: Zt. Отсюда
па основании теоремы 4 следует, что функции aQ А (С)
являются образующими группы Ъ{С), и, следовательно, ^(С)с:
ЛС)
(|())
Поэтому (ц,| С)^E11С) для всех ц?ШC) и, согласно I A),
Следствие 7. Если пространство X сепарабельно, то и
пространство Ш(Х) сепарабельно.
Действительно, при атом предположении индекс s о теореме б
можно считать целым положительным числом; поэтому множе-
множество W счетно.
29 Зпк. 190

450 Глава 8. Группы &х, ^х и Ш (.Г)
Теорема 8. Если 3 — компактное пространство, имеющее
бесконечное мнооюество компонент, то
т. е. существует изоморфизм к группы Ш(.Т) на {аддитивную)
группу о!?*\ являющийся в то же время гомеоморфизмом.
Доказательство. При доказательстве того, что Ш{??)
изоморфна <??*>, мы воспользуемся леммой п. 0'). Без ограниче-
ограничения общности мы можем считать, что ."?*(— Ъ) с: Я бесконечно,
нигде не плотно и замкнуто (ср. п. 0). Вновь рассмотрим мно-
множества Fax...an из леммы и расположим все множества Fu{...ano
(где /г^О) в бесконечную последовательность Ль Л2, ... .
Положим Ао^З',
Для ц.?2Я (.<?¦) положим
(9) х(ц) —{|х(И0), ц(И,), ...}, следовательно, к:
Покажем, что х —искомый изоморфизм.
Во первых, х — гомоморфизм, ибо
Ясно, что из условия х(ц) = {0, 0, ...} вытекает ц(Лт) = О для
т = 1, 2 Отсюда следует, что \х (Z) = 0 для любого открыто-
замкнутого подмножества Z пространства iV.
Очевидно, достаточно показать, что ц(^а, ...ап) = 0. Применим
индукцию. Так как У = Ао, то ц,(.Т) = 0, а так как () 0
то м.(/7,) = 0. Далее, предположим, что n(Far..aJ = 0 и
содержит более одной точки; тогда
а так как Fa,...ono принадлежит последовательности {Ат}, то
"|х(^1...«„0)-О-ц(/'„1...а/|1).
Остается показать, что для каждой последовательности
целых чисел k0, ku ... существует \i?Wl($'), такая, что
(9') \i(Am)=*km для т = 0, 1,
Так как функция ц. определена для Z = Ат (согласно (9')), то
Ц (Fa, ...су) можно определить по индукции (относительно п)
следующим образом:
|л(Л)
и
(9") |l(/?a1...a4l)-|i
') Это доказательство принадлежит Л. Мостопскому,

,<t .W. Группа W(.V) 451
Наконец, если Z —объединение некоторых множеств порядка п
(« — наименьшее возможное), Z = P\\] ... [}РГ, то мы полагаем
цB) = (х (/',)+... +|х(Рг), причем ,1@)=-ц(Л0).
Из (9") следует, что если Р, = Fa, ...arao U fa, ...ctni, то
Следовательно, если Z представлено в виде объединения
множеств порядка п+\ (пли, более общо, порядка р~>п)
Z = Я, U ... \jRs, то
Отсюда следует, что функция \х аддитивна, т. е. ji ? 9W (.?').
Таким образом, доказано, что к — (алгебраический) изомор-
изоморфизм ВД(.Г) па #"".
Теперь покажем, что х — гомеоморфизм, т. е. что
/ц = lim (iH = [и (ц) = lim х (ц1
или (ср. (9))
A0) (\i= lim (Л,Л = \ц(А„,)= lim цй(ЛЯ1) для
Импликация слева направо является следствием непрерыв-
непрерывности ц>/_ (где q>z(\i)~\i(Z)) при фиксированном Z (ср. с теоре-
теоремой 3 п. I).
С другой стороны, предположим, что справедлива правая
часть соотношения A0). Тогда все сводится к тому, чтобы
показать (ср. I G)), что для каждого Z?@, l)v
(И)
Более того, так как ц аддитивна, можно считать, что мно-
множества 7, имеют вид Z — Fa ...а1П-
Так как равенство A1) выполняется при /и = 0, т. е. при
Z = Я' = /10, то можно применить индукцию и предположить,
что оно выполняется для некоторого т^О. Тогда Fa, ...arai =
= Fa, ...аш — Fa, ... а,„о, и, следовательно,
В пределе мы получим равенство A1) для Z = Fa, ...ami, так как
Fa ...а о~член последовательности Ло> Л. • • • (", следовательно,
но предположению удовлетворяет равенству A1)).
29*

452 Гмиш «. Гриппы
III. Нормированные меры.
Определенно. Мора ц^-'Л'(.Г) называется нормирован-
нормированной, если ц,(."/'')= 1; ^(-'0 обозначает множество нормирован-
нормированных мер.
Очевидно, У1 (."/-*) можно отождествить с факторгруппой
ЭД (.7')/<?? (где '// обозначает группу постоянных мерI).
Легко видеть, что SJ(( /') — подгруппа группы Ш(Г) и замк-
замкнутое подмножество пространства Ш (.Г) (так как отображение
Ф : W(.i') >п9 непрерывно; ср. с теоремой 3 п. I).
Теорема 1. Пусть со — фиксированная точка простран-
пространства .i'2). Положим для \1^Ш(."Г)
Ui(Z)-(i(.n если ooez.
Тогда ц*: W (."/')-> 9( (•"/*) — гомоморфизм и непрерывная рет-
ретракция.
Доказательство. Очевидно, ц.*(.*?') = 0. Далее, предпо-
предположим, что Z = \jZh где множества Z, не пересекаются.
Покажем, что (x'(Z) = ^ |i*(Z,). Это очевидно, если °o?d' — Z.
i
Поэтому предположим, что oo^Z/,,.. Тогда
/ у= а.
= 21 (x(Z,)= 2 i
откуда следует требуемое равенство.
Таким образом, установлено, что ц* ? 9{(.6Г). Очевидная
импликация
fn,(Z) 4- (x,(Z) =
показывает, что (д.* — гомоморфизм.
Наконец, покажем, что (х* непрерывно. Пусть ц ^ ,Т. где
3 с: -W (.'?/); покажем, что ц*бЗ", т. е. что ц.*|С?3*| С. По пред-
предположению (i]C?,}]C, т. е. существует ЦС6Л, такое, что
цс\С — ц\ С, откуда \х*с| С == ц,*| С, следовательно, (д.*| С ?3* | С
(ибо (Гсел>
') Как показал Николаишвили [1], группа У! (,°Г) иломорфна группе гомо-
гомологии Алексппдрона — Меча "¦.>(."/')¦
") 9то обозначение мотпнпруегся приложениями, рассматриваемыми
в § 60.

§ 58. rpi/jwn Ш (if) 453
Запишем кратко
B)
Легко
C)
а если
D)
видеть, что
оо ?.?<"— Q,
• (
1
1
если оо
то
1, если
0, если
или
Рч =
6Q
Q
Q
Q
- а
,
сг
п
*
ТО Рд
Z
Z
z = o
, = (
If
II
и
оо
оо
оо
е
€
е
.«г -
z
.т- —
Z,
Z,
( -1, если Q П Z = 0 и oo?Z.
Из теорем 3 — 8 п. II вытекают следующие утверждения:
Теорема 2. Если квазикомпоненты Q,,, ..., Q,,, простран-
пространства А' различны и оо ? Q(|, 7'о меры f}f. , ..., fL линейно неза-
независимы.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству
теоремы 3 п. II.
Теорема 3. Пусть \Qt\ — семейство компонент пространства
А' и. оо ? Q(). Если эти компоненты открыты, то меры 8,, при 1ф0
1
являются образующими группы У1 {А').
Доказательство. Так как операция \С — гомоморфизм
Ш{А') на 11 (А*), то теорема 3 следует из теоремы 4 п. II.
Теорема 4. Если пространство А' имеет m + 1 компо-
компонент, то
E) *W = #".
Если А' компактно и имеет бесконечное множество компо-
компонент, то Щ&) =*&*>.
Теорема 5. При предположениях теоремы 6 п. II под-
подгруппа У* группы ?{(.?"), порождаемая мерами р„ , всюду плотна
в У1(Я').
Действительно, операция ц* непрерывна.
Теорема 6. Если пространство А? сепарабельно, то 9i(.T)
также сепарабельно.
Теорема 7. Теорема 8 п. II остается верной, если Ш(.Т)
заменить на Ш(А').

454 Г.tarn 8. Гриппы &х, <УХ а Ш (.<?,")
Док а з а те л ьств о. Достаточно вычеркнуть член ц(Ло)
п формуле (9) п. II.
Теорема 8. Если 3' — компактное пространство, имеющее
бесконечную последовательность компонент Q(), Qi, . . ., которые
все, за исключением Qo, открыты, то любую меру \i?9l(W)
можно разложить в бесконечный ряд
F) ^=2^А- где kl=\i(Ql) и fc = PQ..
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ц ? 5К {.Т) и ц; = kfi] + ... + kfij.
Покажем, что \i = lim \it и, следовательно, что (ср. I G)) если
Z — данное открыто-замкнутое множество, то
IX)
G) (xZ = lim ц/ (Z) = ? kftt(Z).
Легко видеть, что либо Z имеет вид
Z = Qti+ ... + Qix (где 0 < I, < ... < /,),
либо этот вид имеет Я' — Z (в зависимости от того, какое из
соотношений: Qo П Z = 0 или Qoc:Z имеет место). В первом
случае
откуда получается G), так как для индекса I', отличного от
индексов /р ..., /s, мы имеем р;,(Z) = 0; но втором случае
следовательно,
так как р,(.*" - Z) + р, (Z) == р; (.Г) = 0.
IV. Продолжение мер. В этом пункте мы предполагаем, что
У — метрическое локально связное пространство, содержащее .Т.
Определение. Пусть ц?/ обозначает продолжение меры
ц?!№(-Т), определенное следующим образом:
A) |1'1/(//) = !х(:ГП//) для любого Н 6@, 1)у.
Теорема 1. |л?/6Щ20-

§ 58. Группа Ш (.11 455
Доказательство. Пусть H=>\JIlt, где IIt не пересе-
каются. Тогда
v-* (U Hi) - и (^ П у /-Л) - и (U<#' П я,)) =
Напомним, что Q?/ по определению (см. § 1, VII) обозначает
семейство множеств 3' f) Q, где Q — компонента ЙЛ Так как
каждое множество Я 6@. ')у порождается компонентами #,
то, согласно A),
Л Ы2) = MZ)]^ Л [М#"П/-/)=чМ.г п//)]==
поэтому
B) f(Ho|«*)-(
Теорема 2. //рм гел: же предположениях
C) (ци = ц,) = [(ц„! = (if) (Зля каждого открытого G,
такого, что :V cGc У\,
Доказательство. Соотношение C) следует непосред-
непосредственно из B) и I F), а D) получается, если применить B) и I E):
o
a ix,
^ лу (и, е ?j)(np=mg) = л (^G e 9)°).
Теорема 3. Продолжение ц^ является непрерывным гомо-
гомоморфизмом Ш(%") в ЯК B0.
Доказательство. Непрерывность ^ следует непосред-
непосредственно из D); \iy — гомоморфизм, так как
(Но+ И»)* (#)-0*о +Hi) (S* П//)-
- no(.-sr n н) + ц, (.-г п /¦/) = ^ (//) + tf CD-
Теорема 4. Предыдущее отображение предсгавлна собой
непрерывный гомоморфизм У1{-Т) вШ(У).
Действительно, |л'у {$) =• \х(.'f П ^)вЦ(-'О-

450 Глава 8. Гриппы &%', &х и ?Л C
Теорема 5. Если G — открытое множество в У, такое,
что 3'cGczy, то для каждого ц€-Щ-'О
E) (цо)У = цу.
Доказательство. Пусть // ? @, 1)' . Тогда, согласно
у
теореме I, ^°6^(G), а в силу A)
(ц°)У (//) = ц° (G П Я) = ц(^ ПОП //) = \i{V П
Теорема 6. ?сл« каждому множеству G, открытому в У
и содержащему Я', поставлена в соответствие мера va ? Ш (G)
таким образом, что
F) v<a\~va nPu условии GgCrG,,
то существует мера ii?3RC'), такая, что
G) H° = v0 <9угя каждого G.
Доказательство. Пусть Z— фиксированное множество,
открыто-замкнутое в Я'. Пусть И и //' — два непересекающихся
открытых в 2/ множества, таких, что 1 — Я'{\Н и .'?' —Z =
= .ГП#*. Положим G = H\}H\ Тогда //6@, 1)°. Положим
по определению
(8) |i(Z)-vo(//).
Прежде всего покажем, что это определение корректно
(т. е. не зависит от выбора Н и //* при фиксированном Z),
а затем— что мера \х, определенная таким образом, является
искомой, т. е. ц?ЗЙ(.*?') и выполняется условие G).
С этой целью предположим, что G{ и Ог —два множества,
содержащих X и таких, что
(9) /Л 6@, 1)°', Я26@, 1)°' и JT Г] Я, = ^ П//2.
Покажем, что
(Ю)
Пусть Go —объединение компонент множества О|П^2. пере-
пересекающихся с il'. Согласно F),
откуда (согласно A), если заменить там ц на vo, и У па
и G2 соответственно)

S 58. Грцппа П {.%) 457
Следовательно, равенство A0) вытекает из равенства ОоП#1 =
= Gu[\H2- Теперь предположим, что Go П /Л ~ Я2?=0; тогда это
множество содержит (по крайней мере) одну компоненту мно-
множества Go (как открыто-замкнутое подмножество Go); поскольку
эта компонента пересекается с &', то Л' П Go П /Л — Н.^фЪ, что
противоречит (9).
Теперь покажем, чтоц вполне аддитивна. Положим ZU = X— Z
и Z = U Zh где Zt не пересекаются и открыты в ,'^)
t
Таким образом, существует (ср. с теоремой 2 из § 21, XI) се-
семейство {//,} (где / может принимать значение 0) нсиересс
кающихся множеств, открытых в & н таких, что ,f f| Я* = Zt.
Пусть G = UHf Тогда Яав и /-/<6@, 1)°. Согласно (8),
Наконец, справедливо равенство G), т. е.
у.°{П) = \а(Н) для каждого //6@, 1)".
Действительно, пусть Z — ."?' П //; согласно A) и (8),
(х (,Г П Я) = ti (Z) = v0 (Я).
Следствие 7. ?су?н vG6 9((G);i выполнены условия пре-
дыдущей георемы, то функция ц, определенная условием (8),
принадлежит 91 (¦"?•").
Доказательство. Согласно (8), ц(.?') = vo(G) = 0.
Теорема 8. Пуст/? exto^, — операция продолжения, опре-
определенная для каждой пары G^idGi следующим образом:
(И) extGoo,(v) = vG» для каждого v?iW(Gi).
Га/с как семейство множеств G, открытых в У и таких, что
G гэ/Г, направлено по отношению Go ^> Gi, го множество M(G)
и отношения extooGl образуют обратный спектр.
Заметим, что
extGoG, [cxtOlO, (v)] = extO(«, (vG0 = (vG')ffo = vG« = ext0o0, (v),
согласно теореме 5 и (П).
Поэтому из теоремы 6 вытекает следующая
Теорема 9. Ш{&) == Lim {3«(G), exto,Ol), где G or-

458 Глава в. Гриппы &г, &г и <Ш (.Г)
Искомый изоморфизм, являющийся в то же время гомео-
гомеоморфизмом, получится, если каждой ц?Ш(№) поставить в со-
соответствие элемент
Теорема 10. Теорема 9 остается справедливой, если 1Я
заменить на ЭД.
Это утверждение вытекает из следствия 7.

ГЛАВА 9
НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ
О НЕСВЯЗНОСТИ СФЕРЫ Sfu
§ 59. Качественные проблемы
I. Ломаные в tf". Всякая дуга, состоящая из конечного
числа прямолинейных сегментов, называется ломаной.
Теорема 1. Любую пару точек области Rcz'cf" можно
соединить в R ломаной.
Доказательство. Пусть р — фиксированная точка об-
области R. Мы должны показать, что множество Р точек, кото-
которые можно соединить с точкой р ломаной, содержащейся в R,
открыто-замкнуто в R (и, следовательно, совпадает с R). Но
это очевидное следствие того факта, что если точки х и у при-
принадлежат (n-мерному) шару, содержащемуся в R, и если одна
из них принадлежит Р, то и другая точка тоже принадлежит Р.
Лемма 2. Пусть с — фиксированное число, такое, что
О < с < 1. Пусть /?, — прямоугольник с — 1 <; х ^ 1, | //1 ^ 1 — с,
Rc — прямоугольник с (с — 1) %^ х. s?C с, \ у [ ^С с A — с), /, — сегмент
О =^ к ^ с оси X, и пусть М и N — сегменты, соединяющие точку
(О, 0) соответственно с границей Fr области Rc и границей F{
области R) и составляющие с осью X данный угол 0 или 6 +я,
где 0<0<п. Тогда существует гомеоморфизм h, такой, что
h{Ri) = Ri, h{L) = M и h(x,y)^(x,y) для {х, /д^/7, U N.
Доказательство. Пусть <р — возрастающая непрерывная
функция, такая, что
A) (р(О) = 0, ф(9 + я) = 0 + я, <рBя) = 0 + 2л.
Рассмотрим функцию ц, определенную следующим образом:
Ф (а) для 0 ^ и
B) ?(а, к)= _• [а(„_6.) + ())(а)A _„)] для с^„
1 — С V

460
Глета 9. Некоторые теоремы о негн.чзнпсти сферы <Уц
Легко показать, что
(i) ^гBя, u)-g{0, к) = 2я;
(ii) g (а, и) — возрастающая функция от а при фиксирован-
фиксированном «;
(iii) И (a, 0) = q.(a), ?'(«, П = «;
(iv) «'(О + я, «)-=*' +я-
Пуст1> вообще #„ обозначает прямоугольник
а (с - 1X л- < и, !/|<нA- г),
и пусть /-'„-его граница (рис. 15). Тогда
C) Rt = U /;«. ''Д^ /;« П /•'».- = 0 для и ф а'.
ОС н '' I
Функция /г определяется следующим образом. Пусть (х, ;/)-
точка области R\, отличная от начала, а—ее аргумент =arcig
Р и с. 15
и (х, //)?/'"„. Пусть h(x, у) — точка множества /•'„ с аргументом
g(a, и). Кроме того, будем считать, что //@, 0) = @, 0).
Из (ii) и (i) следует, что h — гомеоморфизм /;„ па Fa и, сле-
следовательно (на основании C)), R\ на R\.
Далее, h(L) = M, так как а = 0 и и^с для {х, y)?L. По-
Поэтому, согласно B), g@, н) = <р@) = <) в силу A).
Наконец, если (х, y)?Fb то н= 1, следовательно, tf(a, l) = a
на основании (iii), откуда вытекает, что li(x, //) = (-v, у).
Это же равенство выполняется, если (х, у) 6 Л/, "бо в этом
случае а = 0 + я, откуда ^(а, и) = а на основании (iv).
Обобщенная лемма 3. Пусть Р есть п-мерный прямо-
прямоугольник в '6"'\
с-1

§ 59. Качественные прпГкн'МЫ 461
llt/cn, /., М и N имеют тот же смысл, чго и в лемме 2
{если заменить гам х на Х\, а [/ на х>). Тогда сцщссгвцст гомео-
гомеоморфизм /, такой, что
ЦР)=--Р, /(/.)---М и f(x)--=x для х?Гг (P)\j N
(х означает точку (xt, ..., х,,)).
Д о к а .ч а т е л ь ст в о. Пусть vv — наибольшее ич п— 1 чисел
«. 1*,|:A-с) |.г„|:A-г),
где и определяется условием (х{, x^)?Fu.
Точка (//,, ..., //„) = /(.V,, ..., ,\-„) определяется следующим
образом: (/л, //о) — точка /•'„, аргумент которой ранен #(<х, их),
где а—аргумент {хи х-г); кроме того, (/., --= х~, ..., цп = х„; на-
наконец, /@) = 0.
Пусть .чадлна система из я —2 чисел jr9,, ..., xj';; черс-v
Р о II обозначим ссчеинс Р, состоящее из точек Х\, ..., хп,
х{\ ¦¦• ха
таких, что хл = x'J, . . ., ха = х{\
Множество точек Р и п, таких, что (xi, x.,)^Fa (где ». за-
x;i ¦ ¦ ¦ *п
дано заранее), будем обозначать через Ра п ¦
Легко видеть, что vx постоянно, когда х пробегает множе-
множество Р о о . Следовательно (ср. (t) и (и)), / есть гомеомор-
X.j ..• Xnll
физм этого множества па себя. С другой стороны,
где объединение берется по всем таким системам хл . .. xnii,
что
U;,K1-C, .... |X,J<1-C, ()<»<1.
Так как члены этого объединения ие пересекаются, то
/ — гомеоморфизм, такой, что /(/)) = Р.
На плоскости Х{Х2 выполняется равенство vx = и, так что
функция / совпадает с h. Поэтому f (L) = М и f (х) = х для х ^ N.
Наконец, пусть x?Fr(P). Покажем, что f(x) = x. Граница Р
состоит из таких точек х, что (х{, x->)?Fu а также из точек х,
для которых либо | Xj | = 1 — с, ..., либо \ хп\— \ — с Если
(.vb х2)?Ри то м=1, откуда vx—\ и, следовательно, f (ж) = х,
согласно (iii). К такому же заключению ми приходим, если
| Xj | = 1 — с для индекса j ^ 3.
Теорема 4'). В cf" все ломаные топологически эквива-
эквивалентны; это означает, что для любой пары ломаных существует
') Обобщение этом теоремы на произвольные дуги (для п--2) см. и §60
V, теорема 2.

462 Глава 9. Некоторые теоремы о несвязности сферы <?п
гомеоморфизм cf" на cf", отображающий одну из этих ломаных
на другую.
Доказательство. Применим индукцию по числу m сто-
сторон рассматриваемой ломаной. Так как теорема очевидна при
т—\ (прямолинейный сегмент), то предположим, что она спра-
справедлива для т — 1 (in ^ 2). Пусть А = яо"| • • • utn-iam ~~ ломаная.
Очевидно, можно считать, что точка аш_, совпадает с началом
координат, что сторона ат_{ат лежит па осп Х{, ат_^гат_х —
в плоскости Х{Х2\\ что 0 = /.ат_мт_\ат <я. Пусть с = \ ат — а,п__[ |.
Пусть е> 0 —такое число, что (n-мерный) прямоугольник Р,
определяемый условиями
- е < хх < с + е, | х2 К е, . .., | хп К е,
не пересекается с дугой а{)а{ . .. яш_2-
Предположим, что с + е=1; тогда в лемме 3 можно поло-
положить L = am_iam и jV = Р П «,,,_2ara-i. ;1 через М обозначим
прямолинейное продолжение сегмента ат-2ат-\ от точки am__,
до Fc.
Пусть / — гомеоморфизм, рассмотренный в лемме 3; обозна-
обозначим через h отображение if" па cf", определяемое следующим
образом:
h(x) = f(x) для х еР, h{x) = x для
Так как f(x) — x на границе Р, то h непрерывно, а так как
f(P) — P, то h — гомеоморфизм <f" на cf". Более того, h ото-
отображает дугу А на ломаную В=аоа1 ... ат_^[]М с т — 1 сто-
сторонами, так как из условия f(x) = x для A'?iV вытекает, что
h(x) = x при х?а0 ... «,„_[, а поскольку / (я,„_ [«„,) = М, то из
этого следует, что Л(Л) = Д.
Так как теорема по предположению имеет место для В, то
она верна также и для Л.
Теорема 5. Если Л — ломаная, то
оо
Л=П|/-Ь где Fk+lczlnt(Fk) и Fk =? (х\ +...+<< 1).
Доказательство. В силу теоремы 4 доказательство
сводится к случаю, когда Л — прямолинейный сегмент. Но
в этом случае утверждение очевидно; действительно, всякий
сегмент представляет собой пересечение бесконечной убывающей
последовательности эллипсоидов.
Теорема 6. Если А — ломаная, то cfn — Aj=cf" — @). Более
того, можно считать, что рассматриваемый гомеоморфизм есть

«J 59. Качественные проблемы 463
тождественное отображение вне некоторой окрестности лома-
ломаной А.
Доказательство. Предположим, что А ~ прямолинейный
сегмент и что множества Fk из теоремы 5 — эллипсоиды. Пусть
Кт — шар х~ + ... +л-2<1/ш. Легко определить отображение
%"'— F\ на k"'~Ki и вообще Fm — Fm+l на Km — Km+i и гомео-
гомеоморфизм У"-А на ?"'-@).
Теорема 7 (линейная достижимость). Пусть А — ломаная,
R — область в cf", p?AczRuq(zR — А. Существует ломаная В,
такая, что р, q^B с R и А[]В — (р).
Доказательство. Заключим точку р в достаточно малый
шар; легко видеть, что в этом шаре существует прямолиней-
прямолинейный сегмент pq' с R, имеющий с А только одну общую точку р.
По теореме 6 множество <f" — А является областью, поэтому
областью будет и множество R — Л (так как R — А*= R(] (<fn — A)
и R U (еГл - А) == У"\ ср. § 57, II, теорема 2). Следовательно
(по теореме 1), существует ломаная q'q с R — А. Обозначим
через В дугу pq, содержащуюся в pq'\]q'q.
Теоремы 5—7, примененные к пространству &'„, приводят
к следующему утверждению:
Теорема 8. Пусть а0, ..., а,п — система точек области
R с &'„; тогда существуют дуга А и область R*, такие, что
(!) а0, .... am?AczR\ R* с R;
(И) &п-Лщ<Г;
№Rj=Etf+...+x^l), Г сГ и Fr(/?) = ^rt_,.
Доказательство. Пусть а0, ..., а,п — система точек
в области Rcztf"; принимая во внимание теоремы 1 и 7, легко
доказать (по индукции), что в R существует ломаная, содержа-
содержащая эти точки. Рассматривая &'„ как пространство cf", попол-
пополненное бесконечно удаленной точкой, мы приходим к заключе-
заключению, что существуют дуга А, такая, что а0, ..., «т?Лс:/?,
и гомеоморфизм h множества if" — А на ef" —@), оставляющий
инвариантной бесконечно удаленную точку (согласно теореме 6);
следовательно, h определяет гомеоморфизм if„ — А на ^„ — @);
так как последнее множество гомеоморфно <fn, то условие (И)
доказано.
Оставшаяся часть теоремы 8 вытекает из теоремы 5.

444 Глава 9. Некоторые теоремы о несвязности сферы <fn
П. Разрезы сферы S^n '). Согласно теореме 2' из § 54, III,
размерность связности &\ и с?" равна п. Другими словами,
никакое замкнутое подмножество размерности ь^га —2 не раз-
разделяет эти пространства. Покажем, что никакое множество
размерности $С« —2 (замкнутое или нет) не разрезает их.
Более точно, справедлива следующая
Теорема 1 (Мазуркевича 2)). Пусть R —область о Й*"
{или в рУ„).
Пели il'uu Л^.п — 2, то R — Л —полуконтинуум.
Лемма 2. Пусть S = р0 • • • Рп есть п-мерный симплекс.
Если Е a S — р{ ... р„ — Ро и dim E s^n — 2, то существует под-
подконтинуум множества S — Е, соединяющий р0 6' р, ... р„.
Доказательство. Положим
Qi = Ро • • • Pi-iPi + i ¦¦¦ Рп и d = 5 - Q, - Qo-
Так как GiU ••• U Gn — 5 — р0— Qo=> f, то из неравенства
dim/; <;« — 2 в силу теоремы 4 § 27, III следует существова-
существование системы открытых множеств //( Нп, такой, что
Е cz Н{ U ... U //„, Hi П • ¦ • П Нп = 0- ^ с G,,
следовательно,
Ht П Q, = 0.
На основании теоремы 8 § 28, II отсюда следует, что мно-
множество //[U ... \}Пп не разделяет S между р0 и Q{]. Поэтому
существует континуум, соединяющий р() с Qo в 5 — (Я, U •• .
. .. [)Hn)c=S-[:.
Таким образом, лемма доказана. Пусть Гз'„ —шар Е[1 *1^ I]
X
в <f", a pN и р.? — его полюсы. Покажем, что никакое под-
подмножество А множества г*а~~Рх~Р$ размерности ^п —2
не разрезает Cin между pv и ps. Пусть /: 5 -> 6П — непрерывное
отображение, такое, что
Cin, f(pQ)=pn, /-'(p,)-Qo,
') Теоремы 3—11 ср. Ьорсук [4]. Ср. также Борсук [3] н Александров
[8, стр. 218].
г) См. Мазуркевпч [15, стр.211].

# Г)9. Качественные проблемы 465
и /| 5' — р{) — Qq — гомеоморфизм; тогда множество Е = f~] (А)
удовлетворяет условиям леммы 2. Пусть С — континуум, та-
такой, что
po?CczS-E и CflQo^O.
Тогда /(С) — континуум, соединяющий точку pN с точкой ps
в «„-Л.
Отсюда следует, что никакое множество размерности ^.п — 2
не разрезает г/1" между двумя точками а и Л, так как оно
не разрезает шар с центром — (а + Ь) диаметра | а — Ь | между а и 6.
Наконец, пусть R — область в If"; a, b ? R и dim Л ^.п — 2.
По теореме 8 п. I существует область R' cz R, гомеоморф-
пая <f" н содержащая а и Ь. Как только что было доказано,
существует континуум, соединяющий а с /; и R* — Л и, сле-
следовательно, is R — А.
Замечание. К. Ситников показал (для п = 3), что суще-
существует множество А размерности а — 1, такое, что R — А —
полцконтинуцм, какова бы ни была облает/, R ').
Это множество тина Gb. Ни одно /-"„-множество не обладает
этим свойством. Подобного примера на плоскости не существует.
Теорема 3. Пусть F = F cz <ffn ф F и f: F -> if n_x - непре-
непрерывное отображение. Следующие условия эквивалентны:
(i) / ~ 1 (г. е. гомотопно единице);
(п) / допускает продолжение на if п;
(iii) / допускает продолжение на &'„ с выброшенной одной
точкой.
Доказательство. Импликация (i)==>(ii) непосредственно
следует из теоремы 7 § 54, II, а импликация (ii)==>(iii) оче-
очевидна. Остается показать, что (iii)==>(i). Пусть р 6 <^\~ F
и g: if п — р—> рУ,г_ 1 — непрерывное продолжение /. Так как
множество if „ — р стягиваемо в себе (будучи гомеоморфным cf"),
то д-~ 1 (ср. § 54, VI, 2C)), откуда f ~ 1.
Теорема 4. Пусть р ф q, F = F cz if п — р — q и f: if п — р —
— q-*ifn-.\ непрерывно. Если F не есть разрез между р и q,
то /' \F ~ 1.
Доказательство. Пусть /„ — ломаная, такая, что
р, q?Lczifn — /•'. Так как if,г — L гомеоморфио У (ср. I, 8 (ii)),
то оно стягиваемо в себе. Следовательно, (/I if п - L) ~ 1, откуда
f\Fl
') См. Ситников [3) и [4].
30 Зак. !'«

466 Глава 9. Некоторые теоремы о несвязности сферы 3?„
Теорема 5. Пусть p?=q, f: &'„ — р — q—*- &"' п-\ — непре-
непрерывно и f ф 1. Если X разделяет р и q, то /[ X ф 1.
Доказательство. Так как X разделяет р и q, то оно
содержит замкнутое множество F, разделяющее эти точки
(§ 14, V, теорема 1). Поэтому
<?*„ = Л U В, р?А = А, q?B = B и Af\B=*F.
Без ограничения общности можно считать, что р — северный
полюс аУп, q — южный полюс и А содержится в замкнутом
северном полушарии.
Предположим, что f\Xcal, откуда f|F~l, и, следова-
следовательно, (/ \F) cz g? SP^i, согласно теореме 3. Положим
| g{x) для л: 6 А
'U)~l/(jc) для x^B-q.
Тогда /*: &'„ — q —*¦ "9'п_{ — непрерывная функция и (f | <^°n_i) cz f\
так как ^„_[C:B. В силу теоремы 3 имеем /|(^n_i ~ 1. Так
как множество &'„ — р — q деформируемо на &'„_, в себе ('ср.
§ 54, IV, пример 2), то (согласно теореме 1 из § 54, IV) f о*1.
Следствие 6. Пусть pN и ps — северный и южный полюсы
?Рп и г: ??п — pN — qs-*¦ Sfn_x — проекция на экватор <^„_1 вдоль
меридианов.
Замкнутоех)подмножество F множества &1 п — pN — ps является
разрезом между полюсами тогда и только тогда, когда г \ F ф 1.
Доказательство. Так как г(х) = х для х ? &1 п_и то
(ср. § 54, I, теорема 9) г \е?п-\ ф 1 и, следовательно, г ф. 1.
Лемма 7. Всякая непрерывная функция f: ?>?'„_,-> 2/ до-
допускает (непрерывное) продолжение f: б„ — @) —> У.
Доказательство. Достаточно положить Г(*) = /(-рт)
для 0 Ф х g 6„.
Лемма 8. Пусть R — область в в?'„, р, q?R и f: R — р-+У
непрерывно. Тогда существует непрерывная функция g: R — q—>2/,
такая, что f\?r(R)czg.
Доказательство. Согласно теореме 8 п. I, существует
область R', такая, что
p,qeR\ R*czR, R' = & и
') Предположение, что F замкнуто, для п=ш2 можно опустить; см. § 60,
II, теорема 1.

59. Качественные проблемы 4G7
Пусть, в соответствии с теоремой 7, /г: R* — q -у & — непре-
непрерывное продолжение /|Fr(/?*). Достаточно положить
\f(x) для x?R-R*.
Теорема 9. Пусть F = F cz 3?п и /: F -> ?f п- \ — непрерыв-
непрерывное отображение. Существуют конечное множество Л с if n — F
и (непрерывное) продолжение f: if n — A->af n_K отображения / ').
Более точно, существует конечная система (которая может
быть и пустой) различных компонент Ro, ..., Rk множества
if n — F, такая, что
(i) f\Fr(R,)cf* 1 для /<?;
(ii) k?-0;
(iii) если Е обозначает систему точек р0, ..., pk, где Pj?Rj,
то существует непрерывное продолжение /*: 3"п — Е —>• if n^ \
отображения f.
Доказательство. Так как ifп-\ — абсолютный окрест-
постный ретракт, то / допускает продолжение на окрестность F
и, следовательно, на полиэдр, содержащий F. Таким образом,
существует (замкнутый несингулярный) комплекс Т\, ..., Тп
такой, что ifn = Tx\] ... U Tm U ... [)Т, и dim Т/ = п, а также
непрерывное продолжение ft: Р—> if n^\ отображения f, где
P = 7T,U ... l)fm. Пусть Q = FrGm+1)U... l)FrTr. Тогда dimQ<
^.п—l. Так как сфера ifп-\ связна и локально связна
в размерностях < п — 1 (ср. § 53, V, теорема 2), то /[ допу-
допускает непрерывное продолжение /2: P\]Q.-> if п-\ (по теореме 1'
§ 53, IV).
Пусть п/ — центр Т/. Положим Л = (ат+и ..., аг). По тео-
теореме 8 функция /2|FrG'y) допускает (для каждого />ш) про-
продолжение f2. j'. Tj — uj—*¦ if n-\. Функция /з, совпадающая с /
на PUQ и с /2,/ на fj — Uj, где / = /и+1, ..., г, является
непрерывным продолжением / и /3: ^п ~~ Л-> if п-\.
Итак, первая часть теоремы 9 доказана.
Пусть В = (Ь0, ..., bk) — подмножество S"n — F, такое, что
функция / имеет непрерывное продолжение g: if n — B—> if п_л
и В неприводимо относительно этого свойства; это означает,
что f не допускает продолжения на if п — В[) Ь/ ни для ка-
какого j^k.
') См., например, Эйлепберг [9]. Ср. с теоремой 7 § 53, VI.
30*

468 Глава 9. Некоторые георемы о несвязности сферы <&",,
Пуеть /^/ — компонента множества 3'п — 1:, содержащая /¦>/.
Покажем, что Rt^ R-, при 1ф).
Допустим, что это не так и что 1>п, bi^Rtl- Разность
Ro —(!)¦>, ..., bk) представляет собой область (ср. с. теоремой I);
пусть (в соответствии с теоремой 8) R" — такая область, что
Ьо, 6,6 R\ R' <= R» - (!>¦, ¦.., bk), R =; Ua и Fr (Л? ),-¦ &n ,.
По теореме 7
Но тогда функция g", совпадающая с g па р9"п - R!- В и с д-,
на R" — b\, является продолжением /' па г>5"„ -(/;,, ..., Л,.), что
противоречит определению В.
Если предположить, вопреки (i), что /11'r (Rj) су- 1, то по
теореме 3 существует продолжение h: <?"„-• > g^,, _i отображении
f\Fr(Rj). По тогда функция #*, совпадающая с ^ па "9'n-Rj-B
и с /г на Л!у, была бы продолжением / на с5рп — B\J bh что
невозможно.
Если предположить, что к — 0, то тогда В — /;(| и, следова-
следовательно, g: of tl— b()—> &n-\ — непрерывное отображение; поэтому f
допускало бы продолжение па все пространство <Уп (но тео-
теореме 3).
Для того чтобы доказать (iii), предположим в соответствии
с теоремой 8, что ц \ Fv (Rj) имеет продолжение /,: Rj — /), -> ?Рп.л.
Обозначим через /* функцию, совпадающую с g на а?,,—
-(ЛоU •¦¦ URk) " с // иа Rj-pj для / = 0, ..., к.
Теорема 10 (Борсука ')). Пусть /¦" = F cz Se,l ф F. Сле-
Следующие условия эквивалентны:
(i) of n — F связно;
00 e^n-i связно;
(iii) F стягиваемо относительно <?Рп ,;
Доказательство, (ii) ^^ (iii) следует из теоремы 2 § 54, V;
(iii)===(iv) вытекает из теоремы 3. Импликация (iii)=#(i) сле-
следует из теоремы 6. Остается показать, что (i)=>(iv). Предпо-
Предположим, что F не есть разрез и что f: F —> ?f п-\ — непрерывная
функция. Так как множество рУ„— /•' —область, то /допускает
продолжение /'*: &>п->&'п-\ (согласно теореме 9 (ii)).
') См. примочашю 1 на стр. ¦КМ,

# 5'). A'o'/i'i текшее проблемы 409
Теорема 11. /Гслн н/( о<)но из замкнутых множеств 1\)
и 1-\ не разрезает ?f п между точками р и q и если dim (F,, П F{) <!
^ п — 3, го ».v объединение F{)\jF\ также не разрезает ?Рп
между ,)гнмк точками ').
Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим /; — р v и q = ps; по теореме 6
имеем г | /•',, ~ I и /-|/"| ~ I, а, согласно теореме 9 из § 54, II,
r \F{) U F\ ~ !. Отсюда в силу теоремы 6 следует требуемое
заключение.
III. Неприводимые разрезы.
Теорема 1. Пусть /; ¦=/•'о5",г — р — q, [: J7 п — р — q ~>&>n^x —
непрерывная функция и [ qfe 1. Множество F есть неприводимый
разрез &'„ между р и q тогда и только тогда, когда f\F qfe 1.
Hl'lip.
/Другими словами, условие: F представляет собой разрез
междч р и q, тогда как никакое подмножество Л = Лс;/г=^=Л
не является разрезом, эквивалентно условию: f\Fcfzl, тогда
как / | Л ~ 1 для каждого Л = Л cr F ф А.
Это прямое следствие теорем 4 и 5 п. II.
3 а м е ч а н и е. Если /; = pN и q — ps, то функцию / можно
заменить функцией г из следствия 6 п. II.
Т е о р е м а 22). Пусть F' — F'ф of п. Следующие условия экви-
эквивалентны:
(i) F — неприводимый разрез между двумя точками;
(ii) /¦'— общая граница двух компонент множества afn — F;
(iii) существует непрерывная функция f: F-> <з?п_ъ такая,
что I' cfc. I.
iionp.
Доказательство, (i) = (ii) следует из теоремы 1 § 49, V,
а импликация (i)=>(iii) получается из теоремы I. Остается
показать, что (ш)=Ф(П). Пусть /': /;->- ?f п-\ — непрерывная функ-
функция, такая, что / qfe 1. Так как / qfe 1, то существуют две ком-
пр.
попепты 1{<)ФЯ[ множества ?Pn — F, такие, что /|F/
для / = 0, 1 (ср. II, 9 (ii), и II, 3 (ii)). Тогда F = Fr(/?,), ибо
в противном случае /|Fr(/?,-) ~ 1, согласно условию / qfc 1.
') Для п = '2 нродположошю о том, что множество F0(]l'i пусто, можно
заменить условием его спя.чиостп. (^м. § 50, [, теорема (i. Для и. — 3 тео-
теорема 11 вытекает из уникогерентности <^-у, см. § 57, И, теорема 3.
а) Эмленберг [7, стр. 1011.

470 Глана 9. Искит/шс теоремы о шч'иязнппи сферм <&п
Теорема 3. Если F — замкнутый разрез, неприводимый
между р и с/, то никакое замкнутое подмножество размерности
^ п — 3 не разделяет F ').
Это прямое следствие теоремы II п. II.
Теорем а 4. Пусть С — континуум в S"n, R — компонента
множества ?Рп—С а /•'= Г с: !•>(/?). Если dim /; <п — 3 н С—У7
связно, то связно и множество Fг (/?) — F.
Доказательство. Предположим, что множество Fr (/?) — F
ие связно, так что
Пусть К, = (^°п — /?. Тогда
¦ /C = Fr(/?)U(^n-/e) и <?"„-?= Д, U Я2 U ...
есть (бесконечный, конечный или пустой) ряд компонент мно-
множества ifn — R, Согласно теореме 2 § 49, V, множество Fr (В,)
представляет собой неприводимый разрез &'„. Из соотношения
Fr (В,) с: Fr (R) (= Fr (R) = М U F U Л/
вытекает, что либо А4 f] Fr (Вг) = 0, либо Л/П Fr (В,) = 0, так как
множество /; не разделяет Fr(B^) (по теореме 3), ибо dim F^n — 3.
Обозначим через М* объединение множества М (J F и всех
множеств В(-, таких, что Л^ П Fr (Вг) = 0, а через N* — объедине-
объединение множества N \j F и всех остальных множеств В;. Тогда
(ср. § 49, III, теорема 3)
K = M'[jN', M' = M\ N' = N" и M'(]N*~F.
Так как
М U ^ cz Fr (R) с С с <?"„ - # = /(,
то
С = (СПМ*)и(СПЛ'*),
/? = (СПМ')П(СПЮ и СПМ'^С^СПЛ/*;
следовательно, C — F не связно.
IV. Инварианты. Понятие замкнутого разреза множества <?"„,
а также понятие неприводимого замкнутого разреза являются
топологическими инвариантами, так как они характеризуются
внутренними свойствами (теорема 10 п. II и теорема 2 (ш)
п. III). В частности, отсюда следует, что подмножество сферы &'„,
гомеоморфное &'„_j, является неприводимым разрезом &'„.
') Ср. Александрии [8, стр. 227| н Куратовскнп [33]. Теорема 3 при-
принадлежит Урысому [4| и [5, стр. 3I'J|.

§ 59. Качественные проблемы 471
Более точно, имеет место сл<?яующая
Теорема 1. Понятие замкнутого разреза инвариантно от-
относительно преобразований с малыми прообразами точек.
Это следует из теоремы 5 § 54, V и теоремы 10 (Hi) п. II.
Теорема 2. Пусть F = F с: 3"п — р — ц. Если F — разрез
между р и q, то каждое множество, получающееся из F с по-
помощью деформации в <ff п — р — q, является разрезом между р и а.
Это следует из теоремы 1 § 54, IV и теоремы 6 п. II.
Так как понятие замкнутого неприводимого разреза есть
внутренний инвариант, то из теоремы 2 вытекает
Теорема 3. Никакой замкнутый неприводимый разрез не
допускает деформации на собственное подмножество.
Из теоремы 2 вытекает также
Теорема 4. Если замкнутый разрез между р и q можно
деформировать в одну точку, то в процессе этой деформации
обязательно придется пройти либо через точку р, либо через
точку q.
А вот другая форма теоремы 41):
Теорема 4а. Если F — замкнутое подмножество простран-
пространства cf", то каждая ограниченная компонента множества cf" — F
заметается в процессе всякой деформации F в одну точку.
Доказательство. В теореме 4 можно считать, что
р — произвольная точка некоторой ограниченной компоненты,
а # —бесконечно удаленная точка.
Теорема 5. Всякое множество F = F с <?5°„ — р — q, не
являющееся резрезом между р и q, можно преобразовать в точку
при помощи деформации, выполненной в ?fn — p — q.
Доказательство. Пусть Л — ломаная pq cz &'„ — F; тогда
множество &'„ — А стягиваемо а себе, так как оно является
гомеоморфиым образом ef" (ср. с теоремой 8 п. I).
Теорема 6. Понятие разделителя есть внутренний инва-
инвариант, другими словами, если А и В —два гомеоморфных под-
подмножества сферы оУп и &'„ — А связно, то связно и множе-
множество <^„ - В.
Доказательство. Если ъ?п~В не связно, то по тео-
теореме 7 § 49, IV существует замкнутое множество F а В, такое,
Борсук [3, стр. 383]. См. также Голомб [1] и Лсиа

472 Глава 9. Некоторые теоремы о несвязности сферы &°п
что из условий F cz // = /7 с: В вытекает, что // — разрез &'„.
Так как понятие замкнутого разреза — внутренний инвариант,
то на основании той же теоремы А — разделитель <?"„.
Замечание. Понятие (незамкнутого) разреза сферы ьЛ
не является внутренним инвариантом.
Это подтверждается следующим примером:
(O, 1)U(O, -1),
х, у
U (О, 1)U(O, -1).
Лемма 7. Если G — ограниченное открытое подмножество
пространства if", то не существует ретракции G на Fr(GI).
Доказательство. Можно считать, что Ссйл и что
точка 0 принадлежит G. Пусть г: G -> Fr(G) — ретракция. По-
Полагая
i ^ :1г(л:I для ^^G-
х\\ х\ для *?(?„- С,
мы определим ретракцию dn па ^„_|, что противоречит тео-
теореме 2 § 28, III.
Теорема 8. Если А — ретракт компактного подмножества F
пространства If'1, то число компонент множества К — Л не
превосходит числа компонент множества '<?"' — F.
Если А —деформационный ретракт F, то эти числа равны.
Доказательство. Пусть г: F —> А — ретракция и R — ком-
компонента if" — А. Тогда Fr{R) а А. Отсюда следует, что R — F=/=0,
так как иначе r\ R было бы ретракцией R па А П R = Fr (R),
что противоречит теореме 7.
Таким образом, некоторая точка pR?R — F может быть по-
поставлена в соответствие множеству R. Пусть QR — компонента
сГл — F, содержащая pR. Так как '<?" — F с rf" — Л, то Qw cz R;
таким образом, первая часть теоремы 8 доказана.
Вторая часть следует из первой па основании теоремы 2.
Теорема 9. Если А — компактный абсолютный окрест-
ностный ретракт, лежащий в <?", то число областей в if" — A
конечно.
') Борсук [1, стр. 101).

59. Качественные проблемы 473
Если А —абсолютный ретракт, то это число равно 1, г. е. Л
не разрезает пространство.
Доказательство. Так как А представляет собой ретракт
ограниченного открытого подмножества cf", то А — ретракт не-
некоторого полиэдра, а следовательно, компактного множества,
разрезающего пространство на конечное число областей.
Нсли А — абсолютным ретракт, то можно считать, что этот
полиэдр есть «-мерный куб.
Теорема 10. /{ля подмножеств сферы аУп понятие вну-
внутренней точки, а следовательно, понятие открытого множества
и граничного множества являются внутренними инвариантами ').
Доказательство. Пусть A cz a5"u, G—открытое множе-
множество, р ? G cz А и h — гомеоморфизм, определенный на А. По-
Покажем, что h (р) — внутренняя точка множества h (Л).
Пусть F — замкнутое множество, а Р и R — две (непустые)
области, такие, что
A) FczG-p, ?fn~F=*P{)R, p?PcG и Р f] R - 0
(например, F можно определить как пересечение еУп с доста-
достаточно малой сферой с центром в точке р).
Так как F — разрез &'„ (между Р и R), то h {F) — тоже раз-
разрез (ср. с теоремой 6); следовательно, существуют два откры-
открытых множества М и /V, таких, что
Так как множество h(P) связно, то либо h(P)czM, либо
h{P)czN. Предположим, что
B) h{P)czM, откуда N{]h(P)=>0.
Тогда
?fn-h(F[)P)~<yn-[li(F)[)h(P)}=--[M-h(P)}{J[N-h(P)} =
~{M-h{P)]\JM.
Множество F\}P не является разрезом (ибо область /? — его
дополнение); li{F\jP) также не является разрезом. Другими
словами, множество [М ~ h{P)]\] N связно. Так как множества
M — h{P) и N отделимы (ибо таковыми являются Л'1 и /V), то
одно из них пусто. Поскольку N ф 0, то М— /?(Р) = 0, откуда
следует, что Mah(P), и потому М^1г(Р) (согласно B)). Таким
образом, множество h{P) открыто.
') Для /г = 2 теорема устаноплена Шбифлисом [2], Ofmuti'i случаи ср
Лебег [2, стр. 270) и [3|, Штернер [1] и Эпленберт [7, стр. 94).

474 Глава 9. Некоторые теоремы о несвязности сферы <?"„
Так как h{p)?h(P)cz h(G)cz h{A), то /г (р) — внутренняя
точка множества Л(Л).
Замечание. Для локально связного континуума ZY из
инвариантности понятия замкнутого разреза вытекает инва-
инвариантность понятия внутренней точки.
Доказательство. Так как Л' содержит точку, которая
его не разрезает (ср. § 47, IV, теорема 5), то из инвариант-
инвариантности разреза следует, что никакая точка ."Г не является раз-
разрезом. Поэтому существует (ср. § 50, III, теорема 1) замкнутое
множество Я, такое, что р ? Int(#)cr G и множество R = 3' — Н —
область. Пусть Р обозначает компоненту точки р в lnt(H) и
F = Н — Р; тогда условии A) удовлетворяются и предыдущее
доказательство остается справедливым (если ??'„ заменить на X).
Добавим без доказательства следующее утверждение ').
Теорема 11. Всякое счетное множество, всюду плотное
в с?п, топологически эквивалентно множеству рациональных
точек У".
Отсюда вытекает следующая
Теорема 12. В '?п всякое граничное множество А
имеет размерность <п.
Доказательство. Доказательство сводится к случаю,
когда А состоит из точек, каждая из которых имеет по крайней
мере одну иррациональную координату. Обозначим через Ак
множество точек У, имеющих k рациональных и n — k ирра-
иррациональных координат; тогда
А = А0[) ... U At-ii следовательно, dim A; = О2),
поэтому dim/KItt — 1 по теореме 3 из § 27, I.
V. Замечания по поводу теоремы Борсука — Улама. Со-
Согласно этой теореме (приведенной в § 41, VIII), известной как
теорема об антиподах, для каждой непрерывной функции
/: <?"„->?"' существует точка р?<гУп, такая, что f(p)=sf{~ pK).
Сформулируем (бгз доказательства) несколько теорем, ка-
касающихся аналогичных проблем.
1) См., например, Менгер [1, стр. 263] или Гуревич и Уолмен [1].
г) Менгер [1, стр. 147], Гуревич и Уолмен [1].
8) Простое доказательство этой теоремы в случае п»>2 см. п § 57, I.
В этом случае теорему об антиподах можно интерпретировать следующим
образом: в каждый момент па земной поверхности существуют дне диаме-
диаметрально противоположные точки, в которых одииакоиая температура и оди-
одинаковой давление.

§ 60. Количественные нроплсмы 47.4
1. Для каждой непрерывной функции /: <??п •>¦'<? существует
система и ортогональных точек ри ..., /;„, такая, что f(p\) —
4 ) fA
4iP\) f{Pn) f(pn))
В случае п = 2 эта теорема была ранее доказана Дапсоном2).
2. Для каждой непрерывной функции f: 33 п - >'с? существует
система и + 1 ортогональных точек р(), ..., рп, такая, что
/Ы= ...=/(Рп)=').
3. Если сфера if „ покрыта (п + 1) замкнутыми множествами,
то по крайней мере одно из таких множеств содержит пару
диаметрально противоположных точек ').
Цель других обобщений упомянутых ныше теорем состоит
в следующем:
(i) заменить сферу г>Уп более общим пространством (пони-
(понимая под антиподальным преобразованием непрерывную инво-
инволюциюI5);
(И) заменить (однозначное) преобразование / многозначным 6);
(iii) применить эти теоремы (например, теорему об антипо-
антиподах) к линейным топологическим пространствам (бесконечной
размерностиO);
(iv) распространить теоремы о пространстве (сГ")гГ« на про-
пространства (^к)^п при k^n (проблема Кнастера)8).
§ 60. Количественные проблемы. Когомотопное умножение.
Теоремы двойственности
I. Введение. Положим <#*„ = ef" - @), Xatf" и tt>2. Кого-
Когомотопное умножение, введенное 13орсуком (для компактного X),—
это операция, определенная на элементах множества &{чТа)
') См. Япг [I]. Используя гомологические методы, Яиг обобщил спою
теорему и теорему об антиподах. Ср. Линсей fl], Ьургнн ['I, стр. .438].
2) Дайсоп [I]. Простое докаалтельспю теоремы Длйеопа было дано За-
ранкевнчем [3|.
;|) Юдзобо и Ямабе [I]. В случае п — 2 эта теорема была доказана Ка-
кутапп [1]. Теорема Какутапн служит отправным пунктом многих исследо-
исследований (см. ранее цитируемые статьи). Цель обобщения теоремы Кякутаии
состоит в распространении ее па произвольные треугольники (без предполо-
предположения ортогональности вершин; ср. с проблемой Штейпгауза [I, стр. 30]).
См. Флонд fl]. Ср. также Фернандес [1] и liypmii [2].
4) Борсук [7].
Б) Что касается обобщения теоремы об антиподах, см. (в дополнение
к цитируемой статье Янга) Яворовский [1], Красносельский [2]. Случай, когда
<Уп заменяется «-мерным замкнутым многообразием, см. Хоиф [3]. Ср. также
Бургиц [1], Бэкон [ 1 ].
°) Ср. Яворопскии [2], Грапас [3], Гранас и Яворовский [1].
7) Ср. Красносельский [1|, Лльтмли |1], Г]>апас [3] и [4].
8) Кнастер [9, стр. 30, проблема 4]. Частичное решение см. Ливсей [2]
и Бургын [3].

476 Глина 9. Некоторые георемм о несвязности сферы
(множества компонент пространств;! ?Уп), превращающая E.(cv^«)
п топологическую группу.
В частном случае п. —2 умножение элементов (S (с9°;У) инду-
индуцируется умножением функции /,, /.,6^2 (ср. § 62, I), которое
в свою очередь индуцируется умножением комплексных чисел:
A) (/W,-f2) = [M*) = M*W2M для любого Х?Х],
B) (Г0 = Г, . Г2)^?\существуют А 6 Г,, А> € Г.„ такие, что
(Л ¦ /2) 6 Го1;
аналогично деление индуцируется делением ненулевых комп-
комплексных чисел.
Если м>2, эта процедура не применима, так как не суще-
существует умножения точек в if". Однако соотношение A) можно
использовать в частном случае, когдя для каждого х?Х либо
/,(х)= 1, либо f2(x)—\ (в этом случае функции /| п /2 будем
называть «мультипликативными»); при этом мы считаем, что
1 =A, 0, 0, ..., 0) и />• 1 =/>= 1 ./> для
деление 1 : Да-) определяется с помощью следующего правила:
если р = (*ь хь ..., х„), то 1 :/> = (*,, х2, ..., дг„_,, - хп): | р f.
(Очевидно, это деление зависит от п.)
В дальнейшем мы покажем, как умножение элементов
К (е^я) можно получить из умножения мультипликативных
функций ').
Замечание. Если X компактно, то компоненты простран-
пространства с5^я дугообразно связны (теорема 3 § 53, III); другими
словами, они совпадают е гомотопическими классами. В этом
случае группа &(??„) называется п-н группой когомотопии мно-
множества X (обозначается л"(Х)J).
Далее, если X компактно, то ^(?Т->) совпадает с фактор-
факторгруппой^ по группе функций, гомотопных единице (ср. § 02, I).
См. также замечание 2 п. VII.
II. Формулировка проблемы. Пусть О — множество произ-
произвольных элементов и f • ц (или, короче, /й) — операция, опре-
определенная па некоторых нарах /, g элементов П. Во всех
') В чгом шло/конин мы следуем общем идее К. Борсукя и распространяем
ее иа множестпа X а '<>", по обя.чателмю компактные. См. Гюрсук [15] и [23].
Идеи 15орсука были разииты Спапьером [I], Морита [2|, Грапасом [2). Не-
Некоторые обобщения ем. Гепба |1] и Япороискип [3|, [4). Из исторических
соображений упомянем работу Фрейдситаля [1].
2) По поводу связей группы лп (X) с м-н группой когомологнй см.
Спаш.ер [1J и Пстсрсон [IJ, [2J.

GO. Количественные проблемы 477
случаях, когда можно производить эту операцию (т. е. когда
рассматриваемые элементы «мультипликативны»), должны
выполняться следующие обычные условия1):
(Р) {ц = ц{,
(y) {№)=¦(!к) I',
(fi) существует элемент 1, такой, что /• 1=/'.
Далее, предположим, что / ^ ?>—отношение эквивалентности,
определенное для каждой пары элементов из И, что 1 ^ — ото-
отображение 12 па LI ц что при этом выполняются следующие
условия:
(i) каусдоп паре /', ц соответствует мультипликативная пара
f, ft', такая, что f ~ f и ц' » ft; более общо, каждой тройке
I, ц, h соогветегауег тропка /', #', ///, для которой существуют
все произведения, фигурирующие в условии (\), и при этом
Г « (. в' - ДГ. Л' «Л;''
(и) <т.?н /,,~Яп » [\~Кь то fi, •/i ~ ?о • tfi »/'» условии,
что эти произведения существуют;
(iii) ci^j/. каждого f существует пара у, /?, такая, что
(iv) н.ч /' « й" следует, что A : /') ~ A : #).
11pи этих условиях умножение fft индуцирует умножение
классов эквивалентности, так что множество этих классов,
которое мы обозначим (? (И), образует абелеву группу.
Нолее точно, умножение классов эквивалентности опреде-
определяется следующим образом:
A) (Г„ = Г, • Г1;) = [существуют /, g Г., f, ? V2,
такие, что (/,'• /2N1'о].
Едпинцеп этой группы является класс, содержащий единицу мно-
множества П. Элемент I : Г — это класс, содержащий элемент 1 '.f,
где f?Y-
Мы опускаем простое доказательство этой теоремы.
Обозначения. Для f ?il обозначим через f класс экви-
эквивалентности, содержащий /, т. е.
Введем следующие обозначения:
B) io^fl-f-l, ССЛИ /() = /] -?2.
C) /',•/•.-/':»•/.„ если h-k-h-fb
') Ср. с понятием «группоида»; Нр.чндт [1). Ср. также с понятием муль-
тнплпкатшяю!! системы; (/п-шрод и ;-)пленберг-[1|.

478 Глава 9. Некоторые теоремы о несвязности сферы <&"п
и аналогично для произвольного числа сомножителей, а также
в случае, когда произведения для пар (/ь /2), (f3. ft) и т. д.
не определены.
Легко показать, что
1) каждой паре f, gfzil соответствует элемент h ? Q, такой,
что h s« f • g;
2) соотношения ((J) и (у) имеют место для всех элементов й,
если знак = заменить знаком ~;
3) утверждение (ii) имеет место независимо от существо-
существования входящих в пего произведений; другими словами, соот-
соотношения эквивалентности можно умножать (а также делить);
4) /-A :/)~1.
Положив И — ьРц, легко показать, что условия (а) — F) удо-
удовлетворяются, если под умножением функций / и g понимать
умножение мультипликативных функций (определенных в п. I).
С другой стороны, будем считать, что /*» g означает, что функ-
функции fag принадлежат одной и той жр компоненте простран-
пространства с5°^(т. е. одному и тому же элементу множества E (<^**)).
Покажем, что если умножение / • g и отношение f ~ g пони-
понимаются указанным образом, то условия (i) — (iv) выполняются
для каждого X cz (fa (n > 2).
В частности, условии (i) и (и) можно сформулировать сле-
следующим образом (если вместо пространства &п рассматривать
пространство &^ с Xcz<fn+\ что не приводит к существенным
различиям; ср. V, теорема 6). Условимся считать, что
D) ^nV<^n = [^nX(l)]^
E) &>п\] &>п\] &>п =
F) '^-[^x(i)
Тогда существование произведения f • g, где f, g^^n, озна-
означает, что «составное» отображение ф = (/, g) является элементом
множества {?Рп V ?fn)x- Аналогично, предположение, что функ-
функции f, g и h мультипликативны, эквивалентно включению
(/, Я, h)?Wxn.
Таким образом, условия (i) и (ii) эквивалентны (в рассма-
рассматриваемом случае) следующим условиям:
(\') каждому Фб(^цХ ^ X ^/ соответствует ф'б^п'
такое, что ф' я» ф;
(ii') если Ф' = (Г, ff')€(^V^Jx, Ф" = (Г,
и Ф' « ф", то f'g' « \"g".

# 60. Количественные проблемы 479
III. Дополнительные гомотопические свойства.
Теорема 1. Пусть 3" а У — метрические сепарабельные
пространства, и пусть У локально евклидово в некоторой точке;
другими словами, У содержит открытое множество G, такое,
что G гомеоморфно 3'. Пусти dim/2's^r — 1 и [: Я' -> У — не-
непрерывная функция. Тогда существует непрерывная функция
Г: &->{У-О), такая, что
f*(x) = f{x), если !{х)?У — G; следовательно, f' — f-
Доказательство1)- Пусть .Г* = /~'(О) и F = Я" - /""' (G).
Так как dim(^" — F)^r — 1, то существует (ср. § 28, IX, тео-
теорема 1) непрерывное продолжение g: 3'*-*¦ G отображения f\F,
такое, что dim gC" — F)^.r — I. Таким образом, существует
точка p6G-g(jr*-F).
Пусть г (у) обозначает проекцию точки у ? G в G — G из
точки р (G отождествляется с Зг). Положим f'(x) — rg(x) для
Теорема 2. При тех же предположениях относительно Я",
У и f пусть Р=*(р\, ..., Рт)~конечное множество точек, в ко-
которых пространство *У локально евклидово (размерности г).
Тогда существует непрерывное отображение /*: Я"->(У — Р),
такое, что f c^ f.
Доказательство. Это утверждение при т = \ следует
непосредственно из теоремы 1. Предположим, что оно имеет
место для т— 1; тогда его можно вывести из теоремы 1, если
2/ заменить на У — (ри ..., pm_r).
IV. Дополнительные свойства сферы. Используя обозначения
D) —F) п. II, можно получить следующие теоремы2):
Теорема 1. Множество ?Рп V ??п есть деформацион-
деформационный ретракт множества ?Рп X &\ — (р) для каждой точки
Теорема 2. Множество &'„ V еУп V ^п eCTh деформацион-
деформационный ретракт множества &'„ X &п X &'„ — (р) для каждой точки
Теорема З3). Если Fu F.2, F^ — три члена правой части
формулы E) п. II, то множество <&п есть деформационный
ретракт множества &п V &п V <?п - (ри ръ Рз). где Pi 6 I'i - ?/«•
1) Ср. Гуревич и Уолмон fl, гл. VI, § I].
Ч Доказательстпа теорем I и 2 см Спапьер [1, стр. 209]. С|). Ьорсук [20].
Ср, Борсук 126].

480 Глава 9. Некоторые теоремы о несвязности сферы <?fu
Доказательство. Принимая по внимание георему 1,
легко показать, что /•', П (/''/ U Fk) ~ Деформационный ретракт
множества Fl~pi (где [ф]фкФ1). Так как /-', - pt - абсо-
абсолютный окресткостньш ретракт, пусть (ср. с теоремой 6 § 54, IV)
[>{¦¦ (Pt-Pi) X ,</~>{Ft-pt)
— непрерывная функция, такая, что
1г{(х, 0)~х, ht(x, \)(zI:iC\{FiU Рц) для каждого.t,'
ht(x, t) = x для x?Ft[\{F,\)Fk) и (?</.
Положим h(x, t) = hi(x, t) для x?F, — p{; отсюда следует
требуемое заключение, так как
Fk), где [ф\фкф1.
V. Группа (?(<?";!) при dim X < 2/г — 2. В теореме 1 (а также
в теоремах 3 и 4) можно заменить это неравенство менее
ограничительным условием
A) dimX<2n-l.
Будем пользоваться обозначениями п. IV. Принимая во шш-
мание теорему п. II, достаточно показать, что условия (i')> (if).
(Hi) и (iv) п. II удовлетворяются, если под соотношением f ~#
понимать, что f и g принадлежат одному и тому же элементу
группы 6 (<?"?).
Теорема 1. Пусть ф = (Д ц, h) 6 (<?"„ X &\ X ^,f- Тогда
существует функция q/ ^ ^;У, такая, что ср' ^ ср.
Доказательство. Пусть
р е i&n х &а х «*"„) - (<^„ v srn v ^„).
По теореме 1 п. III (где г = Зя) существует непрерывная функ-
функция -ф: X -> [<^„ X ufn X р5°„ ~ (/?)], такая, что г|1 ~ ср. Так как
&\ V f^n V &'п есть деформационный ретракт множества
е^п X е5"„ X ??п. — (?) (согласно теореме 2 п. IV), то по тео-
теореме 5 § 54, IV существует непрерывная функция гр": Х-><?^п\/
V &'п V ^п, такая, что г|)* ^ гр; следовательно, гр* ~ ср.
Пусть pt(z Fi — VS,,, i—\, 2, 3. По теореме 2 и. III (где
г = 2п) существует непрерывная функция i|/: X —> [Sf п V а?п V
V &'п~{Рь Р2. Рз)], такая, что i|/~ ф\ Наконец, по теореме 3
п. IV из теоремы 5 § 54, IV следует, что существует непре-
непрерывная функция ф': Х->°1/п, такая, что ф'~ г|з'.

§ 60. Количественные проблемы 481
Теорема 2. Пусть <р = (/,„ /,) ? (<?"„ V <^„)х, i|> = (ffo, Я,) 6
6 (<^*п V а5"ге)х » ф « г|з {относительно <?Рп X <?*„). Гогда /0/, ~ gog{
(относительно аУп).
Доказательство. Сначала предположим, что ф ~ i|), и
покажем, что fof\ — 8og\-
По предположению существует непрерывная функция h: X X
X в -> <г5"„ X <?"„, такая, что /i(.v, 0) = ф(х) и /г(лт, l) = i|)(jt).
nycTbp6(^nXd5"re)-(d5",, V<^,,). Так как dim(XX ^)<2«- 1,
то по теореме 1 п. III существует непрерывное отображение
li: XXff->[c^nX^n- (p)], где /i* (x, t) = A (jc, 0. если /г (*, /) 6
ren)
Отсюда следует, что h*(x, 0) — h(x, 0) и /i*(x, \) — h{x, 1).
Таким образом, функции ф и ¦ф гомотопны относительно мно-
множества &'„ X <^п — (р), а потому (ср. § 54, I, теорема 4а) отно-
относительно множества ?Рп V ^п> являющегося его ретрактом
(согласно теореме 1 п. IV).
Следовательно, существует непрерывная функция а: X X
X 3 ->^п V <?"„, такая, что
Пусть а0 и а1 — координаты а, т. е.
а (я, *)=Ф°(*. 0, a'U, 0].
Так как функции а0 и а1 мультипликативны, можно положить
Так как умножение точек р • q есть непрерывная функция на
&\ V ^ш то функция $: X X 3 —> &п непрерывна. Более того,
а это означает, что fo' fi — Яо' Si-
Рассмотрим общий случай, когда ф«« i|). Если Z7 —произ-
—произвольное компактное подмножество X, то ф | F « i|51 Z7, так что
ф|Р~г|)|Р, и поэтому (/о- ft) | Fca(g0- g{)\ F, как уже было
доказано. На основании следствия 2а § 54, VIII отсюда выте-
вытекает, что fo-fi^ g0- g{.
Теорема 3. Каждой функции [^.^„ соответствует пара
функций (g, h) ? (?fn V ^п)х> такая, что
g ~ f, Л ~ 1 : / и g ¦ li~ I.
31 Зак. 100

482 Глава 9. Некоторые тсорем/ii о несчетности сферы гУ',,
Доказательство. Пусть if ^ и о/Т, обозначают, как
обычно, две (замкнутые) полусферы if'„; положим
/(.Г), ССЛН Нх)€еУ!,
к\х) =
l:/(.v), если \{x)^ifn.
Тогда к: Х-> if n — непрерывная функции, гак как /) — 1 : /) для
Более точно, к: X->ifn — непрерывная функция, так как
из p^ifTi следует, что A : рN <^/<- А поско.чьку множество
if а — абсолютный ретракт, то к са \.
Пусть <р: SPп —> if n — такое отображение, что ф(<^'/7)=1 и
~ //. Полагая
Я = Ф(/) и Л = ф(! :/),
получаем
#~ [ и // ~ 1 : /.
Далее, отображение (^, Л): X->&'n\J ffn непрерывно. Дей-
Действительно,
Остается показать, что ^/г ~ 1 н, следовательно, что gh ~ /г.
Напомним, что ф(;/)~//; пусть a: ^°)t х с/ -> <^°„ — непрерыв-
непрерывная функция, такая, что
а(//, 1) = //,
и пусть
{ а[Д*), /], если Нх)€<?Г+,
\ а [A :/(*)), /], если /(х)е^,:.
Очевидно, что «: X У, <CJ ¦-> if n непрерывно. Более того,
A)ссли /(je)e^,t, то н(.г, 0) = а[/(х), 0] = ц,[(А-) = ,ц(х) =
= #(*) • //(л:), так как /i(x)=l; кроме того, н(л-, 1) = а[/(л'), 1] =
= /(*) = ?(*);
(И) если ДдсN«^«, то «(.г, 0) = и[A :/(*)), 0] = Ф[1 :/(х)] =
= 1г(х) = ц(х) • h(x), так как ^(.(с)=1; более того, и(х, 1) =
= «[A :/W). И=1 :/(дс) = Л(дс).
Таким образом, в обоих случаях и{х, 0) — g(x) • h(x) и
и (х, l)==^(.v), откуда следует, что д//~/г.
Теорема 4. И a {( ~ g) вытекает, чти A :/)~A : g).

§ 60, Количественные проблемы 483
Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда
/ ~ g. Тогда существует непрерывная функция //: X X </ -> if п,
такая, что h(x, 0) = f{х) и h{x, \) = g(x). Положим 1г(х, /) =
= 1 ://.(л", /); тогда к — непрерывная функция, к: X X в -> if п,
к(х, 0)-= 1 : f(x) и к(х, l)= \ : g(x). Следовательно, A:/)~
В общем случае, когда / ~ g, пусть F — компактное подмно-
подмножество X. Тогда (/|/;) ~ (#|/;), откуда следует, как мы только
что доказали, что A : /)| /-'~A : g)\ F. Так как F — произвольное
компактное подмножество X, то отсюда в силу следствия 2а
§ 54, VIII вытекает, что A :/)«*A : g).
Теорема 5. Если dim Х^ 2д — 2, то К(<^,|) — абелева
гриппа относительно когомотопного умножения ее элементов,
определенного условием II A).
Теорема 6. В предыдущей теореме пространство <zfn
можно заменить пространством &п + \.
Д о к а з а т с л ь с т в о. Мы должны показать, что в теоре-
теоремах 1—4 можно сделать эту замену.
1. Прежде всего заметим, что для каждой непрерывной
функции /: X->&'n.v\ (ср. § 54, IV, примеры) мы имеем
B) fc*J, где 1(x) = f(x):\f(x)\.
Далее, предположим, что cp^G^/Ui)*; тогда ф ~ <р ^ (^"J1
и ф ~ ср t %¦ п ¦
2. Сначала заметим, что если Fez X, а /ц и /i мультипли-
мультипликативны, то
C) (/,, = /о •/,)=>(/.! /'') = (/« |/-> (А \П-
Пусть ф = (/о, fi) 6 ffl*n-\ i V с9°„.( i)A', ip = (#o. ?i) 6 (^°n-
ii q) ~ \|i; тогда ф си \\\ Следовательно, по теореме 2
(х)| |/, (*) | - | g0 (х) | | «L (JC) | •
так что /n-/i^tfo-?j-
Теперь рассмотрим общий случай, когда ф «< i|). Так как для
любого компактного подмножества F пространства X мы имеем
ф| /•' ~ Яр [ /\ ТО
(Ш-Х/.^-Ы^НЫ/-)
п, согласно C), (/(| • /|)| /¦' ~ (д-0 • д'|) \F. Поэтому в сп/iy след-
следствии 2а § 54, VIII /о • /, ~ g{> • gf.
31*

484 Глава 9. Некоторые теоремы о несвязности сферы <Уп
3 и 4. Соответствующие доказательства легко получаются
из B).
VI. Группа К{&*) для Xczg и я>2. В этом пункте мы '
докажем, что К^д) — топологическая группа, если умножение
се элементов (называемое когомотопным умножением) опреде-
определено формулой A) п. II.
Прежде всего докажем следующее утверждение:
Теорема 1. К(<§°*) — абелева группа.
Доказательство. Для я^4 и произвольного подмно-
подмножества X пространства У, а также для /г = 3 и dimi'^2
теорема 1 вытекает из теоремы 6 п. V (где требуется, чтобы
dim Х< 2я-4).
Остается доказать теорему 2 п. V для п — 2, если X — трех-
трехмерное подмножество в cf3.
Сначала рассмотрим случай, когда X — элементарный кон-
континуум, т. е. X имеет следующий вид:
@) X = S^3-(R0[i ... URm), Rt0Ri = 0 для 1Ф\,
где RQ, .... Rm — (трехмерные) открытые щары.
Пусть С — объединение поверхностей Fr(/?,), ..., Fr(Rm)
и попарно не пересекающихся дуг, соединяющих каждую из
этих поверхностей со следующей. Пусть
A) ф = (к /,) 6 (^2 V <У2)Х, Ф = {go, Si) € (^2 V &>г)х
И ф СИ. ф.
Покажем, что
B) /о • /, ~ Яо' «Ti-
Так как dim С = 2, то B) имеет место на С, согласно тео-
теореме 5 п. V. Поэтому B) имеет место также на всем кон-
континууме X, ибо (см. теорему 1 § 54, IV) С — его деформацион-
деформационный ретрг.кт1).
Тепер.ь рассмотрим случай, когда X — произвольное ком-
компактное подмножество cf3. Предположим, что выполняются
соотношения A). Для того чтобы доказать B), достаточно (как
мы только что показали) убедиться в существовании элемен-
элементарного континуума X* zd X и функций ф* и г|)*, таких, что
C) Фс:cp'
и ф* ~ ф* (относительно 3?2 X
') Простое доказательство этого утверждения см. Борсук [23, стр. 229].

§ 60. Кп.шчестпснныг проблемы 485
Согласно теореме 9 § 59, II, каждая из функций /() и /,
имеет непрерывное продолжение на сферу <^;), из которой вы-
выброшено конечное число точек.
Поэтому существует элементарный континуум Х'^Х, та-
такой, что
D) фСф'еО^Х^/*.
То же самое имеет место для г|\ Более того, так как 1|э~ф
(согласно A)), то функцию i]i можно продолжить, не нарушая
этой гомотопии (см. теорему 3 § 54, II), т. е. следующим об-
образом:
E) ф с: ф'? («^ X <?%)** н ip'^q/.
Пусть р ?(<?", X <^2) - D?* V <?",). Так как dim X' = 3,
climax <?) = 4 и ф(X)с= <^2 V S^l то по теореме 1 п. III
(если 2/ заменить на <? X р5°2, .'^ — на X*, / — па q/ и положить
л = 4) существует непрерывная функция ф*: X->[(^2 X аЛ, — (/?)].
такая, что фсгф*~ф'. Более того, так как S?2 V p^2 — дефор-
деформационный ретракт множества <^2 X g^2~ (p) (согласно тео-
теореме 1 п. IV), то можно считать (ср. § 54, IV, теорема 5), что
Ф* (X*) cz S^2 V S?2- Следовательно,
F) Фс:х"
и аналогично
G) г|) с: г
Из соотношений E) —G) вытекает C).
Таким образом, наша теорема доказана для компактных
множеств X.
Наконец, предположим, что X — произвольное подмноже-
подмножество cf3, что выполняются первые два соотношения A) и что
Ф *к я|). Тогда ф |/•" ~ ty [ F для каждого компактного подмноже-
подмножества F множества X. Как мы только что показали, при этом
(fo\F)-(fl\F)cz(go\F)-(gl\F),
следовательно,
согласно формуле C) п. V. Л отсюда на основании следст-
следствия 2а § 54, VIII получаем, что f0 • /, « g0 . gf.
Теорема 2. Пусть F — компактное подмножество X. По-
Положим RP(V) = T\ F. Тогда отображение RF: E{&*п)~>E\&Гп)
представляет собой гомоморфизм.
Другими словами,
(8) (Г, - Г2)| F =(Г,| F) ¦ (Г2| F) и (Г, : Г2)| F =(Г,| F): (Г2| F),

48f) Г.ulna 9. Пектарыс теоремы <> несвязности сферы <-Уп
т. е. (ср. с обозначениями II, B) п C))
(9) (/, • /,)| F « (/, I F) ¦ (/2| /•) и (/, : Д,)| /• - (/, I /•): (/,| /•).
Доказательство. 11усть ц ? 0^ • ^а) I F. Тогда существует
/?0V'\>)> такое, что f* = !\F. Следовательно, / ~ /0 = /, • /2,
где /iG'i " /г 6'^- Отсюда следует, что (ср. V C))
/[/'« /„ [ F = (/, I F) ¦ (f.2 [ F), поэтому f\F? (\\ [ F) • (Г21 /-•).
Таким обра.юм, включение левой части (8) в правую дока-
доказано.
Обратно, пусть #6ОМ /') • C^l F). Пусть /| и f2 — две муль-
мультипликативные функции, принадлежащие соответственно 1""t и Г2.
Тогда
S - (/. I П ¦ </-¦ I 'О = (/. • /¦--) I /•', откуда я 6 О V 1'21 /О-
Это завершает доказательство теоремы 2.
Напомним обозначение S/y-,, использованное в § 54, IX (для
компактных Яо и /7|):
5№(A) = MF0 для /-осз/м и Л €(<(>'«')¦
Согласно теореме 2, отображение Si.-ar,: <Нр9°п') --> (^.(p^i") —
гомоморфизм. Более того, по теореме 1 § 57, IX это отобра-
отображение непрерывно.
Отсюда в силу теоремы 5 § 57, IX вытекает следующая
Теорема 3. «(<^) с Lim {(^ (o5^0, 5ад), л*е Л' /фо-
р;г. top. /-, /¦•„'-: /•',
бегает все компактные подмножества X и где с: обозначает
КГ. top.
изоморфное и гомеоморфное вложение.
Именно, отображение R = {Rr} представляет собой искомый
изо-гомеоморфизм; оно ставит в соответствие каждому Г ? ft (е5^„)
элемент {Г|F} рассматриваемого предела обратного спектра.
Теорема \. &(//';)) — топологическая группа.
Это следует из теоремы 1 § 55, VII (ибо указанный выше
предел обратного спектра является подгруппой произведения
\~\&{$°'п) топологических (дискретных) групп).
Теорема 5. Пусть X локально компактно и, следова-
следовательно,
X = F,U F2{J ..., где 1\ компактно и Ftczlntx(Fi+i).
Тогда
() (^) V*}
«г. top. i, i*^k
А именно, R есть отображение на. Это следует из тео-
теоремы 6 § 54, IX.

§ (id. K".ii/4i'<'rn<4iHMi' проблемы 487
VII. Группа (i(c:/'l), где Х — компактное подмножество rfn.
Отношение -~ будет иметь тот же смысл, что и в и. II.
Теорема 1. Каждой непрерывной функции /: Spn-i->Spn
соответствует целое число к, такое, что f(x) -« х'.
Кроме того, ест х'" ~ 1, го m =()').
Отсюда немедленно вытекает
Теорема 2. Пели X — поверхность п-мерного шара с цент-
центром р, то I (х) =» (х — рУ Ол.ч каждой непрерывной функции
f: X->c7>n.
Более того, (х — р)'" ~ 1 только тогда, когда ш=0.
Теорема 3. Пусть X — произвольное компактное подмно-
подмножество if'1, и пусть /?0, Rlt ... —последовательность (конечная
или бесконечная) компонент множества о?п — X. Пусть pt ? Rt
для /=1, 2 и пусто оо ? Л?о.
Каждой функции f^effi соответствует конечная система
целых чисел ku .. ., km, такая, что (/ обозначает компоненту S^'l,
содержащую /)
A) bu-V1- ... -(f-pj'".
Иными словами2),
B) f(x)~(x-Pl)k>- ... -(x-pj.
Более того, если <if п — X = /?0, то f ~ I (и группа К(о5*°^)
сводится к нейтральному элементу).
Доказательство. Так как функцию f можно продол-
продолжить на р5°„ е конечным числом выброшенных точек pt (тео-
(теорема 9 § 59, II) и, следовательно, на элементарный континуум,
то доказательство сводится (в силу VI (9)) к случаю, когда
X — элементарный континуум, т. е. когда X имеет вид VI @)
(если там 3 заменить на п).
Положим X = С,„ (пг^О) и применим индукцию по пг.
1) Если т — 0, то <?fn-~X — RQ и, следовательно, дополне-
дополнение X связно. Тогда fcxl, согласно теореме 10 § 59, II.
') Доказатсльстно нерпой части см. Ворсук [23, стр. 2311. Докязателр>-
ство второй части, которая существенно опирается на теорему Ьраучри
(о степени отображения), см., например Спшрод и Эплепберг [1] или Хплтоп
[I, стр. 29, теоремы 2 (>]. Все известные доказательства этой части теоремы
Брауара используют алгебраическую топологию.
2) Ср. Куратоискпн |48|, Граиас [I, cip. 4(iJ.

488 Глава 9. Некоторые теоремы о несп.чяностч сферы <Уп
2) Пусть т>0; предположим, что теорема справедлива для
/и — 1. Пусть
Am=Rm-Rm И Ст„\ = & п - (/?„ U ¦•• U#m-l).
По теореме 2 существует целое число /г,„, такое, что
C) fW«(JC-pm)*'" на Л„.
Положим Г = / . (х — р,„) '". Пусть g^T. Другими словами,
D) ffW */(*)• (л:-риГ*'в на См.
Согласно C), g ~ 1 на Ди, поэтому ц ~ 1 на Лт. Следова-
Следовательно, по теореме 9 § 59, II существует непрерывная функ-
функция g': Cm U /?,„-><^„, такая, что g- cz g*. Так как С,„ U Rm = С,„_|,
то g": Cm_[->oPn. Поскольку наша теорема справедлива для
пг—\ (по предположепию), то
E) ?'(*)*(*-?.)*'• ... •{x-Pm-lfm-1 на С,и_,.
Так как g*(^) = g(A-) для х?Ст, то из E) и VI (9) следует, что
F) ?(*)«(*-/>,)*'•... .(jc-^.,)*'"-1 на Ся,.
Таким образом, соотношение B) получается в результате деле-
деления D) на F).
Теорема 4. Пусть F — замкнутое подмножество X, раз-
разделяющее каждую пару точек множества &'„ — X, которая
разделяется множеством X. Пусть f: X ->&''„ — непрерывная
функция. Если /~ 1 на F, то f ~ 1 на X.
В частности, если / ~ 1 на Fr (X), то f ~ 1 на X.
Доказательство. Пусть /? —произвольная компонента
множества <Уп —X. Так как ^-Ic^-F, то существует
компонента Г множества <^n — F, такая, что R а Т. Отсюда
G) R = T-X.
Действительно, если р?Т — X — R и q ? R, то точки р и </ раз-
разделяются множеством X и не разделяются множеством F,
а это противоречит нашему предположению.
Так как f\Fcal но условию, то существует (согласно тео-
теореме 7 § 54, II) функция g, такая, что
(8) (/l^c

§ 60. Количественные проблемы 489
Положим
UW Для х?&п-Т,
для Х?Х(\Т.
Эти условия совместны, ибо
(<?"„ - Г) П (X П Т) с: f - Г = Fr (Г) с: /•.
Так как, с другой стороны (ср. G)),
(<?"„ - Г) U (X П Г) = (<?"„ - Г) U X = (^„ - /?,
то отображение h: & п — R^>ff n непрерывно, а так как допол-
дополнение множества &\ — R связно (оно совпадает с R), то h c^ 1
по теореме 10 § 59, II. Отсюда следует, что
A0) f~l на Fr(tf),
поскольку из включений ?r(R)czX и Fr(R) с: R czf вытекает
(согласно (9)), что f(x) — h(x) для x^Fr(R).
Так как A0) имеет место для каждой компоненты R мно-
множества &fn — X, то по теореме 9 § 59, II / ~ 1 на X.
Теорема 5. При предположениях теоремы 3 (где &\ — X?=Ro)
элементы х— рь х — р2, ... группы К(е5*°^) линейно независимы.
Другими словами, имеет место следующая импликация:
A1) !(*-/>,)*'• ... • Ос-/?,/'" ~ 1 на
Доказательство. Сначала рассмотрим случаи, когда
X — элементарный континуум (ср. VI @)). Так как Am = Rm —
— RmczX, то по предположению
A2) (х-Pl)kl. ... -(x-pmfm~\ на Л,„.
С другой стороны, так как точки ph p2, ..., />,„_, принад-
принадлежат (связному) множеству <5^n~Rm, то (ср. с теоремой 10
§ 59, II)
A3) х —р,~1, ..., х-/?,„_, ~1 на Rm и потому на А1П.
k
На основании A2) и A3) (х — рт) '" ~ 1 на Ат. Следовательно,
согласно теореме 2, /гт = 0 (так как Лт — поверхность шара /?,„).
Таким образом, ^/ = 0 для i=l, ..., /п.
Итак, для случая, когда X — элементарный континуум, тео-
теорема доказана.
В общем случае заключим каждую точку /),-, где i=l,
2, ,.., т (для данного т), в шар Qt cz Rt и рассмотрим

490 Глава 9. Некоторые теоремы <> несвязности сферы <-5",,
элементарный континуум X" = ?Рп — (Q, U • • • U Q,,,)- Тогда X с: X"
и X разделяет каждую пару точек множества jf я—Х\ KOTopi.ic
разделяются множеством X'. I-3с.iи ленан часть импликации A1)
имеет место иа X, то она имеет место и па X" (по теореме 4,
где нужно X подставить вместо F и X" — вместо X). Отсюда
вытекает, как мы только что показали, что правая часть импли-
импликации A1) также имеем1 место.
Из теорем 3 и 5 вытекает следующая
Теорема 6. Группа ^i?/3},) порождается конечной или
бесконечной последовательностью х — pit х — р.,, . . . (если только
она на сводится к нейтральном!/ элемент!/; это происходит
в случае &\ — X = /?()).
Другими словами, в формуле B) показатели степени. kt^0
определяются однозначно. Колес того, они не зависят от выбора
точек pi в /?,-.
Доказательство. Последняя часть теоремы вытекает
из того, что х — Pi ~ х — (/,• па X, если р{ и c/t принадлежат Rt
(и, следовательно, некоторой дуге в /<",).
Из теоремы 6 немедленно следует, что
A4) Vi{<cK)~tf"\ соответственно G(<^) =?7#@,
в зависимости от того, конечно число компонент (скажем,
m + 1) или бесконечно.
Отсюда можно получить следующую теорему инвариантности
(при и = 2 ср. с теоремой 4 § G2, IV):
Теорема 7. Число (непустых) отделимых частей, на кото-
которые &\ разбивается произвольным, множеством А с: 'rf", есть
внутренний инвариант ').
Теорема 8. Если X — произвольное подмножество (ком-
(компактное или нет) пространства о'п, то группа К (ёУ^) содержит
счетное (или конечное) множество (W, такое, что группа W, по-
порождаемая Crt, всюду плотна в (S (<&**). Поэтому пространство
^(е^п) сепарабельно.
Более точно, пусть Qo, Qu ...—последовательность (конеч-
(конечная или бесконечная) различных квазикомпонент множества
') Дока.чателг.стпо эт<)й теоремм (:i случае когда Л компактно), не исполь-
использующее пп упомянутую теорему Ьрауара, ни теорию гомологии, ем. Гюр-
сук |23]; случаи прсягиюльноп) мпожестпл Л (который ныподнтси отсюда)
см. Куратовскш"[ [43]. См. также »ii/ieiiOepr 113]. Теорема 7 (для компакт-
компактного А) нредстанляет собой частный случай теоремы двойственности Ллек-
еапдера.

§ fid. Количественные проблемы 491
Y = рУn — X, удовлетворяющая условию F) § 58, И {где Я'
нужно заменить на оУп — X), и пусть pt ? Qt при i > О и оо ? Qo.
Тогда
err/) искомое множество.
До к а з а те л ь с т в о. Согласно теореме 3 § 5-1, IX, достаточно
показать, что (S4 /г = ^- (*/"},) дли любого компактного подмно-
подмножества !• множества X. Мо это прямое следствие теоремы 6,
так как компоненты (х — /'<¦) I/'\ ' = 1, 2, ..., пространства cv^'j
образуют множество ОЛ |/-\
Замечания. 1. Следующее утверждение (которое обоб-
обобщает теорему Борсука (§ 59, II, 10) па некомпактные множе-
множества) является частным случаем теоремы 6:
Множество <ifп — X связно тогда и только тогда, когда
связно пространство cc/Jn l).
2. Как мы уже видели (теорема 3 § 53, III), если .Т компактно
и У — абсолютный окрестпостпын ретракт, то компоненты про-
пространства Ух дугообразно связны. Следует заметить, что пред-
предположение компактности нельзя опустить даже в случае, когда
У = ^,.
Более того, если X — подмножество плоскости, такое, что
множество <ffп — X связно, но не является полуконтинуумом,
то пространство S^2 связно, но не является дугообразно связ-
связным..
Это утверждение следует непосредственно из теоремы, сфор-
сформулированной в предыдущем замечании, п из теоремы Эилеп-
берга (теоремы 1 § 62, II).
3. По теореме 4 § 56, X (в сочетании с теоремой 3 п. IX
и теоремой 6 § 54, I) если X — открытое подмножество 'б, то
компоненты //"[! дугообразно спялим. Однако для cf:i это не так.
Другими словами, су/цествуег открытое подмножество X про-
пространства сГЛ, такое, что ffli содержит два функции, которые
не гомотопны, хотя они гомотопны на любом компактном под-
подмножестве X2).
Отсюда следует, что отношение гомотопна не замкнуто.
4. Назовем компоненту рациональной, если она имеет вид
Г*>. ... -Г*;», где 1>(*^)|Х.
Г;
') Более прямое докп (птельство см. Куратонскип И9].
2) См, Стшфод [2].

492 Глава 9. Некоторые теоремы о несвязности сферы <$*п
По теореме 8 семейство рациональных компонент всюду
плотно в пространстве К(с5°„).
В частном случае, когда X —открытое подмножество '6'п
(или, более общо, локально компактное подмножество), про-
пространство а{^п) метризуемо (следствие 6а § 54, IX) и, следо-
следовательно, каждая компонента пространства $Рхп есть предел
рациональных компонент.
Это утверждение является замечательным обобщением тео-
теоремы Рупге па пространство с?'1 (в случае я = 2 см. более
точное утверждение в § 62, VII, теорема 2).
5. Теорему инвариантности (теорему 7) в случае, когда А
компактно, можно распространить па отображения, более общие,
чем гомеоморфизмы ').
А именно, пусть А и В — компактные подмножества <fn, и
пусть h: А—у В — непрерывное отображение на, такое, что2)
(i) /i[Fr(H)] = Fr(fi),
(ii) h [Ini (А)] = Ш {В),
(Mi) сужение /z|Fr(/l) взаимно однозначно.
Более того, предположим, что множество 31 п — Fr(Л) имеет
конечное число компонент.
Тогда множества &\ — В и &\ — А имеют одно и то же
число компонент'6).
6. К тому же кругу идеи относится следующая теорема4):
Пусть А и В —два компактных подмножества У, ^ — замк-
замкнутое подмножество А и /г: А -> В — непрерывное отображе-
отображение па, при котором F отображается на Fr(/?) взаимно одно-
однозначно.
При этих условиях число компонент множества <ifn — В
меньше или равно числу компонент множества а?п — А5).
7. Добавим, что условия (i) — (iii) эквивалентны условию (iii)
в сочетании со следующим условием:
(iv) /г[Р( 6
') См. Куратовскип [47].
2) Ср. эти ус.пония с теми условиями, которые определяют «исчезающие»
отображения (открытых множеств) в смысле Ситниковл |1].
:|) Если Л и И -- топологические полиэдры, то это свойство инвариантно-
инвариантности распространяется па все числа Бетти размерности < п — I (с рацио-
рациональными коэффициентами).
По поводу перенесения соответствующих теорем в алгебраическую то-
топологию см. Борсук и К.ОСИИСКПП [1] и Косннский [1].
4) См. Куратонскпи [47, стр. 196].
5) См. примечание 2.
") Доказательство см. Майкл Дж. [1].
Дополнительные уелоиия, при которых ил (i) — (iii) следует, что h — го-
мсоморфи.чч, см Уапбсрн [2, стр. 98], Мак-Оли [1], Мейстерс и Олсх ||].
Случай высших размерностей см. Крошш и Мак-Оли [1].

S 60. Количественные проблемы 493
VIII. Теоремы двойственности для компактного Xczcf"
{п ^2). Пусть Y = о?п~ X. Поставим в соответствие каждой
компоненте Г пространства S?* меру \1^Ш(У), которую мы на-
назовем кратностью Г (см. § 58, III).
Пусть [: Х-+?Рп~ непрерывная функция. Принимая во вни-
внимание теорему 3 п. VII и представляя / в форме VII B), по-
положим по определению
A) |iR/»fe, Для i>0, liRJ=-~{kl+k2+ ...)
и назовем \iR f кратностью Ri относительно f.
Так как, очевидно, умножение инвариантно относительно
отношения fo~fv то можно писать y,R Г = kf (у ^ 0), если f?J\
Так как открыто-замкнутое подмножество Н множества Y
можно (единственным образом) представить в виде Н =
= R, U R, U •••. где j^O, то понятие кратности можно рас-
распространить на все #?@, 1)к, полагая
B) цяГ = %Г + ц,.Г+ ....
Под кратностью Г, обозначаемой цГ, лы будем понимать
функцию, которая каждому Н 6@. 1)к сопоставляет целое
число Ц//Г, определяемое условием B).
Легко доказывается следующая
Теорема 1. цяГ еС77> алгебраическое число нулей и по-
полюсов правой части формулы B) «. VII, принадлежащих Я,
где f — произвольный элемент Г.
Теорема 2. ?сли X — компактное подмножество В, то
C)
Более точно, изоморфизм группы §>(&'*) на 31 (Y) опреде-
определяется сопоставлением каждой компоненте Г множества ?Р\
ее кратности цТ.
Доказательство. Легко показать, что
0)ОГ)бЯ(О
(ii) ц — гомоморфизм, т. е.
ц(Г0.Г1) =
(iii) отобраокение ц взаимно однозначно, т. е.
(Г0 = Г,) = (цГ0-цГ1),
другими словами, каждое Г определяется своей кратновтью.

494 Глпча 9. Некоторые теоремы с nent>t:tiu>cTii сферы ^п
Остается показать, что для данной меры v?9t(K) суще-
существует V ?(&(SPfy, такое, что цГ = v. По для этого достаточно
ПОЛОЖИТЬ
где /e( = v(/?,-) и х — pi обозначает компоненту пространства &*,
содержащую функцию x—pL.
Теорема 3. Если F — замкнутое подмножество компакт-
компактного множества Xczcf", то для каждого Гб^(^и) имеем
D) (цГ)о = ц(Г|Л, где G == &п - F.
Доказательство. Для //6@, IH (ср. § 58, IV A))
имеем
E) (цТТ (Я) = (иП(// П Y) = ц,/пуГ - (I,, (V\F),
так как (ср. с теоремой 1) алгебраическое число нулей и по-
полюсов каждой функции /б^», принадлежащих // и Hf\Y,
одно и то же (ибо ни один из них не принадлежит X).
Отсюда непосредственно вытекает
Теорема 4. При тех оке предположениях коммутативна
следующая диаграмма:
|дл|
IX. Теоремы двойственности для произвольного Xcz'<fn.
Пусть Y=?fn-X.
Теорема 1. Если X cz ef"\ то
A) Lim {E(^), S№)Br=, Lim {H(G), cxia.nl
где, как обычно, F — компактное подмножество X, G = <>5^n~F,
а операции Sfof, и extorO, определяются, как в п. VI и § 58,
IV A1).
А именно, искомый изоморфизм мы определим, положив
B) v0 = W\P
для каждого семейства {А/.-}, принадлежащего лепоп части A),
т. с. такого, что
C) Арб^С^») и Ал|/71) = Лл, если focF,.

# 00. Количественные п/кюлсмы 405
Доказательство. Достаточно применить теоремы 4
и. VIII и 2 § 55, VII, принимая но внимание следующие утверж-
утверждения:
(i) S/v, — ГОМОМОРФАМ ГРУППЫ ft (e?0,'!') li Группу ft(e^',")
(теорема 2 п. VI);
(ii) extcv;, — гомоморфизм группы 9((G[) в группу 3f(Gu)
(§ 58, IV, теорема 4);
(iii) для каждого F операция \i является изоморфизмом
группы ft-G^fi) на группу 9((G) (теорема 2 п. VIII);
(iv) пространства 9i(e5^) и 9t(G) дискретны.
Т с о р е м а 2. Если X а <Гп, то
D) ,Ыт {D^0, S№}K=p9J(K).
Более точно, если {Лу.-} принадлежит левой части (А), то ис-
искомый изоморфизм ц мы определим, положив для каждого
2 6@,1)*-
E)
F) z - // n y, не (о, 1 г и а = ^„ - f.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Изоморфизм между правыми частями
соотношении A) и D) (ср. § 55, VIII, теорема I, и § 58, IV,
теорема 6 (8)) определяется формулой
G)
Из условии G) и B) непосредственно следует E).
Следующее определение даст возможность распространить
понятие кратности, определенное в п. VIII для компактных
множеств X, на произвольные подмножества X пространства #"'.
Определение. Пусть Г ? (I C"%). Под кратностью Г мы
будем понимать функцию цГ, определяемую условием
(8) И*Г = ЫГт где Z6@, I)K,
а II и F удовлетворяют условиям F).
Число \i/Y называется кратностью Z относительно Г.
Как уже было доказано (ср. § 58, IV (8)), \х7У не зависит
от выбора Н » /;, если они удовлетворяют условиям F).
'Г е о р е м а 3. Если X с: rf\ то
(9) «.(е^У) с
4 ' Rr tu

498 Глава 9. Некоторые теоремы о несвязности сферы <Уп
Более точно, топологический изоморфизм группы ^(S^n)
на подгруппу группы 9! (К) определяется сопоставлением каж-
каждой компоненте Г пространства S°n ее кратности цГ.
Доказательство. Согласно теореме 3 п. VI, в резуль-
результате сопоставления компоненте Г элемента {Г | F} ? П G (#"«)
(где AF = T\F) определяется изоморфизм левой части (9) в ле-
левую часть D). Далее, применим теорему 2 и условия E) и (8).
Тогда ц — искомый изоморфизм.
Теорема 4. Пусть p?Y, p — квазикомпонента У, содер-
содержащая р, а х —р — квазикомпонента е7*п, содержащая функ-
функцию х — р. Тогда
(Ю) ц(х^) = р„
(по поводу обозначений см. § 58, III B); если р = оо, усло-
условимся считать, что х — р ^s 1).
Доказательство. Пусть Z?@, 1)K и выполняются усло-
условия F); тогда, согласно (8),
A1) \iz (Г-^р) = ц„ [(^p7l>].
Пусть р 6 Z (и поэтому р cz Z) и оо?К— Z; тогда р?Н и
оо (jt H. Следовательно, алгебраическое число нулей и полюсов
функции х — р, принадлежащих Н, равно 1, т. е. [1н[(х~р) \F]= \,
значит, Hz(x — р)— I.
Это число равно 0, если р, oo?Z.
Требуемое заключение получается отсюда на основании
§ 58, III D).
Теорема 4 дает возможность пополнить теорему 3 следую-
следующим образом:
A2)
Доказательство. Пусть © — семейство всех компонент,
имеющих вид х — р, где р ? Y, а ^ — множество мер Pq, где
Q пробегает все квазикомпоненты Y. По теореме 4 ц(М) = 5_).
Пусть (§ и *)) —группы, порождаемые соответственно (f> и ;J);
тогда ц(©) = \') (так как ц — гомоморфизм). По теореме 5§ 58, III
?) = 5К(К), откуда следует равенство A2).

§ 60. Количественные проблемы 497
Теорема 5. Если точка р0=оо, ри ..,, рт принадлежат
различным квазикомпонентам пространства Y, то элементы
х — ри ..., х — рт группы К(е5°^) линейно независимы.
Действительно, меры В. , .. ., (Зй линейно независимы (по тео-
р 1 ' т
реме 2 § 58, III; ср. с теоремами 5 и 6 п. VII).
Теорема 6. Если Y состоит из пг + 1 компонент, то
Если Qo, .... Qm — эти компоненты и если pt ? Qt, где
р0 = оо, то х — р\, ..., х — рт — образующие группы (?(^и).
Это следует из теоремы 4 § 58, III.
X. Теоремы двойственности для локально компактного
Хс:<?п. Как обычно, представим X в виде
где Fl — компактные подмножества, F, a Intx(Fj+1), a Intx обо-
обозначает внутренность относительно X.
Тогда формулу A) п. IX и теорему 9 § 58, IV можно за-
заменить следующими:
A) Lim|g(^A s I = Lim шоЛ ext ];
v l,i<k[ \ n ' FlFk\ gr. top. it i>k { \ W OfikV
B) Limfc{SW(Gi), ехЦо,},г%|,ЗД,
где Gt-SPn-F,.
Из этих формул в сочетании с теоремой 5 п. VI и теоре-
теоремой 3 п. II вытекает следующая
Теорема 1. Если X — локально компактное подмноже-
подмножеC) ГС(^«)йгтТор
Кратность (i, сегб искомый изоморфизм.
Теорема 2. Если X открыто, a Y имеет бесконечное мно-
множество компонент, то
D) ?(^71,,^.
Доказательство. Это прямое следствие теоремы 1 и
теоремы 7 из § 58, III.
') Доказательств», оснопшшос на теореме двойственности Александера
и теореме классификации Хопфа, см. Николаищвнлм [1].
32 Зак. НЮ

di)H Глава 9. Некого/)/*? теоремы о несвязности сферы <Уа
Следующая теорема соответствует теореме Вейерштрасса
о разложении функции на простые множители (ср. также
§ 62, VIII (iii) для п = 2).
Теорема 3. Если X открыто и Y имеет бесконечную по-
последовательность компонент Qo, Qi, •.., каждая из которых,
за исключением Qo (содержащей точку оо), открыта в Y, то каж-
каждая Г6^(<^°п) представляет собой бесконечное произведение
(Г)) Г = Д (.V -7>,)\ где k^^V и /7, 6 Q,-
Л о к а з л тс л ь с т в о. Так как (цГ)^ sJi(K), то, согласно тео-
теореме 8 § 58, III,
F) AГ = ^ kfit, где kt = (iQ Г и р, = PQ;,
другими слонами,
G) цГ= lim в., где aj = kfiQ + ... +kfiQ .
По теореме 4 п. IX \\Q =ц(л; — р^, а так как ц — гомомор-
фи.чм, то
(8) а, = и [(д^,)*1 • • • • • (^"Р;)*7].
Так как отображение [t, кроме того, гомеоморфизм (по тео-
теореме 1), то из G) и (8) следует, что
Г = Lim (х- Pi) ' • ... -{х- р,) ',
откуда следует равенство E).

ГЛАВА 10
ТОПОЛОГИЯ
ПЛОСКОСТИ
§ 61. Качественные проблемы
I. Пространства Янишевского. Я' называется пространством
Янишевского, если .'/' — локально связный континуум, обладаю-
обладающий следующим свойством:
(/) пусть Со и Су —два континуума, пересечение Сп[\С[
которых несвязно; тогда объединение С01)С| представляет
собой разрез пространства.
Теорема 1. Для локально связного континуума Я' свой-
свойство (/) эквивалентно следующему свойству:
G0) если R — область, то .°V — R стягиваемо относительно <У.
Доказательство. (/)=>(Jo)- Пусть R — область. Согласно
теореме 8 § 57, I, достаточно показать, что всякая компонента С
множества Я" — R стягиваема относительно &'.
По теореме 5 § 46, III множество ."Г —С — область. В соот-
соответствии с теоремой 1 § 50, III пусть
оо
С = (] (& - Rn), RiCzR,cz ...,
п-А
где Rn — область и 3" — Rlt — локально связный континуум.
Согласно (/), континуум .Т — Rn упнкогерептен, а потому
стягиваем относительно & (но теореме 3 § 57, III).
Отсюда на основании теоремы 7 § 57, I следует, что С
стягиваемо относительно аУ.
(/о)=т>(-О- Если Со и С, — два континуума, таких, что
tV — (СоU С{) — область, то множество С0[}С\ стягиваемо отно-
относительно 3?, согласно (/0), а потому уникогерентно (на осно-
основании теоремы 2 § 57, II). Но тогда СоПС, связно.
Полагая R — 0 в G0), получим следующее утверждение:
Теорема 1'. Всякое пространство Янишевского стягиваемо
относительно iff и, следовательно, уникогерентно (ср. § 57, II,
теорема 2).
Согласно теореме 10 ((i) и (iii)) из § 59, II, имеет место
следующая

500 Глава 10. Топология плоскости
Теорема 2. Сфера ёРч есть пространство Янишевского ').
Предположим теперь, что ./' — пространство Янишевского.
Тогда имеют место следующие теоремы C — 9):
Теорема 3. Если С — континуум, то Я' — С стягиваемо
относительно &'.
Доказательство. Пусть /?,, R2, ... — последовательность
компонент множества it-'— С и /: Я' — С —> if — непрерывная
функция. По теореме 5 § 46, III множество Я' — Rm связно.
Поэтому, согласно теореме 2 § 50, III,
Rm — Cm> i U Cm, 2 U ••• и С,„, „ с: Int (С,„, „+|),
где С„,,п — континуум, а .1' — С,„,„ — область. Так как С,„,„
стягиваемо относительно <$" в силу G0), то по теореме 6 § 57, I
этим свойством обладает множество Rm, а следовательно,
по теореме 8 § 57, I и множество Я' —С.
Из условия G0) и теоремы 3 в сочетании с теоремой 2
§ 57, 11 вытекают следующие утверждения:
Теорема 4. Если А —континуум, а Я? — А —область, то А
и SC — А уникогерентны.
Теорема 5. Пусть Ао и Л, — два замкнутых или два откры-
открытых множества. Если эти множества связны, а их пересечение
Л0ГМ1 несвязно, то их объединение /101М, есть разрез про-
пространства Я?.
Из тех же утверждении и теоремы 3 § 57, II вытекает
следующая
Теорема 6. Пусть Ао и А} — два замкнутых или два
открытых множества. Если Ао[} А{ не есть разрез и если мно-
множества Ао и Л] связны между р0 и ри то этим свойством обла-
обладает и множество Л0ГМ:.
Следствие 6'. Пусть Ао и А^ — два замкнутых или два
открытых множества. Пусть Со и С\ — компоненты соответ-
соответственно Ао и А{. Если пересечение СЙГ)С[ не связно, то объеди-
объединение ЛоиЛ, есть разрез.
Доказательство. Пусть рп, р, — пара точек множества
Со П C"i. Тогда множества Ао и Л, связны между этими точками.
Если Ло1)Л] не является разрезом, то Л0ПЛ1 связно между
Ро и рй это означает (ср. § 47, II, теорема 3, и § 49, II, тео-
теорема 17), что существует компонента Q множества Л0ПЛ|,
') Свойство (/) сферы <У2 было установлено Яиишевским [3]. Это
ран теорема Янишевского. Ср. Брауэр [4].
ото-

61. Качественные проблемы 501
содержащая точки />0 и р{. Отсюда вытекает, что Q cz Ah сле-
следовательно, Q a Cj, поэтому QcCofl C\. Таким образом, любую
пару точек множества Сй[\С\ можно соединить в Сй{]Су связ-
связным множеством, следовательно, Со Л С, связно.
Следствие 6". Если G открыто, С — компонента мно-
множества .V — G и К — континуум, такой, что /( f| С не свято,
то множество G — К также не связно.
Доказательство. В следствии 6' положим Л0 = Я'~ G,
А] = К = Сг и Си —С. Так как множество С0ПС|~ Kf\C не
связно, то множество tV — (/1OU Л) = G — К также не евл.чно.
Полагая Bj = № — Aj в теореме 6, получаем следующее
утверждение:
Теорема 7. Пусть Во и Вг-~два замкнутых или два
открытых множества. Если ни одно из этих множеств не
является разрезом между точками рй и щ и если В0Г\Вг связно,
то множество B0L)Bi также не является разрезом между точ-
точками р0 и р\ ').
Из теоремы 7 вытекает следующая
Теорема 8. Всякое замкнутое множество F, неприводимо
разделяющее пространство 3" между двумя точками р0 и ръ
дискогерентно.
Если, кроме того, множество F локально связно (и не сво-
сводится к точке), то F — простая замкнутая кривая (ср. 49, IV,
теорема 6).
Заменяя в доказательстве теоремы 4 § 59, III теорему 3
§ 59, III теоремой 8, получим следующее утверждение:
Теорема 8'. Пусть С — континуум, R —компонента мно-
множества X — С и F — F aFr(R). Если множества F и C — F
связны, то связно и множество Fr (R) — F.
Теорема 9. Понятие пространства Янишевского инва-
инвариантно относительно монотонных непрерывных отображений.
Другими словами, пространство каждого полунепрерывного
разбиения ЭС на континуумы является пространством Яни-
Янишевского.
Доказательство. Пусть /: ЗС —*¦ У — монотонное непре-
непрерывное отображение Л' на У. Пусть R — область в простран-
пространстве У. По теореме 4 из § 47, VI /~' (R) — область в it'.
') В случае когда В„ и В, замкнуты, а ,2Г = <5°, это утверждение есть
первая теорема Янишевского [3].
Дне теоремы Янишепского эквивалентны (если ,%' — локально связный
континуум). Ср. Куратоиский [17, стр. 311].

502 I ALUitl lit. 1 t'lUKjl*,'// 4 ll.lllChOrI'll
Поэтому множество /Г — /'\R)-.= j" l (У— R) стигннаемо относи-
относительно <?P (и fii.-iy свойства (/,,)), но тогда но теореме 2 (ii)
§ 57, I и множество /'/ ' (У — R) = У — R обладает этим
СВОЙСТВОМ.
Теорема 10. Понятие пространства Яншиевского приво-
приводимо и продолжило ').
До к а за те льет во. Сначала предположим, что //' — простран-
пространство Яншиевского. Пусть С — циклический элемент, R — область
относительно С, Д н А —два континуума, таких, что С — R =
= Д' U L- Покажем, что I\[\L связно.
Обозначим через R{ и К\ объединение всех таких компо-
компонент S множества .7' —С, что соответственно Fr(S')c:AJ или
Fr{S) с К- Пусть /^—объединение компонент S, которые не
содержатся ни в Rh ни в Д',; в этом случае Fr(S)c: /_ (согласно
теореме 4 § 52, I). Таким образом,
A? U /^, = ¦¦*" — (/С U /Ci U /- U ^i).
По определению множества К\ и теореме 1 § 49, III Гг(Д|)с: Д'.
С.чедоиател1>но, множество К, U К\ замкнуто, а потому замкнуто
п множество L\] L\. Таким образом, множество R\j R\ открыто.
Так как R\] Rt, I\[) Д,, L[) Lt связны (ср. § 4C, II, теорема 2),
то из условия (/) вытекает, что связно пересечение
Теперь предположим, что .7' — .локально связный континуум,
не удовлетворяющий условию (/). Определим циклический
элемент С, также не удовлетворяющий этому условию.
Пусть R — область, Д и L — два континуума, М и /V —два
замкнутых множества, таких, что
A) .f-R=*K[)L,
B) Д П L = М U Л^,
C) М П Л^ = 0,
D) М ф 0 ф N.
Так как С — циклический элемент, то из теоремы 5' § 52, I сле-
следует, что С f\R — область относительно С, а С (] К, и C(]L — кон-
континуумы. Более того, согласно A) — C),
с-(сп/?) = (сп/с)и(сп/-),
(с п д) п (с гн) = (с п м) и (с n n
') Ср. Курп loiirKMii 111), сгр. 130|.

01. Качественные проблемы 50'Л
Поэтому для того, чтобы доказать продолжимость свойства Япн-
шепского, достаточно установить существование циклического
элемента С, такого, что
E) С П М Ф О ф С П N.
Обозначим через Л и В объединение всех циклических элемен-
элементов С, таких, что С С] МфО или С [} N ф 0 соответственно.
Если С, и С2 — два различных циклических элемента, таких,
что С| П Со Ф 0, то пересечение С\ [\Сг состоит из одной точки /;,
которая разрезает :V между Сх — С2 и С-> — С\ (ср. § 52, II, тео-
теорема 4). Следовательно, если мы предположим, что
то из B) получим, что С| П Д' Ф 0 ф С, О К, откуда р ? /\ и ана-
логпчно p?L. Таким образом, к силу B) либо р?М, либо
р 6 W; следовательно,
либо С, f\M фО, либо С, П W =#= 0.
Итак, один из циклических элементом С\ и С\ удоплстио-
ряег условию E).
Остается показать, что
F) Л П И Ф 0.
Обозначим через V и И/ объединение всех циклических эле-
элементов С, таких, что С П К Ф 0 или соответственно С П /- Ф 0.
По теореме 9 из § 52, II множества V и И/ — континуумы,
поэтому они вполне дугообразно связны (согласно теореме 11
§ 52, II); следовательно, V П W — континуум (ср. § 52, I, тео-
теорема 1).
Повторяя предыдущее рассуждение, можно установить, что
V ПМ состоит из всех циклических элементов С, таких, что
G) С П К ф 0 ф С П L.
Далее, так как К, U L — континуум (согласно B) и D)), то и
множество С f\ {К, U L) — тоже континуум (согласно теореме 5'
§ 52, I). Тогда из G) и B) следует, что С(](М[}Ы)фО. Дру-
Другими словами, V f\W = Л[) В. Так как множества Л и В не
пусты (согласно D)) и замкнуты (согласно теореме 9 § 52, II)
и так как V П W — континуум, то соотношение F) выполняется.
Следствие П. Всякий (Уендрит пргдетав.чяат совой пра-
cr ранет во Яшиневского.
Это вытекает из теоремы 1 § 51, VI.

504 Глава 10. Топологии плоскости
II. Локально связные подконтинуумы сферы ёР2- Простран-
Пространство .$', рассматриваемое в этом пункте, есть пространство
Янишевского, не содержащее разделяющих точек (и не сводя-
сводящееся к одной точке). В силу теоремы 2 п. I все теоремы
этого пункта применимы к ёРг ').
Определение. Всякая область, граница которой пред-
представляет собой простую замкнутую кривую, называется диском.
Тео ре м а 1 (Жордана 2)). Всякая простая замкнутая кривая
разрезает пространство Ж на две области и является их общей
границей.
Другими словами, дополнение всякой простой замкнутой
кривой состоит из двух непересекающихся дисков.
Вначале докажем следующее утверждение:
Теорема Г. Никакая дуга не разрезает пространство ff.
Доказательство. Предположим противное, что неко-
некоторая дуга L разрезает пространство ЗС между точками р0 и р\.
По теореме 1' п. I и теореме 5 § 57,
II дуга L содержит континуум, а по-
потому дугу /,*, которая неприиодимо
разделяет пространство между точка-
точками ро и р{. Но это несовместимо
с теоремой 8 п. I.
Таким образом, теорема V дока-
доказана. Теперь предположим, что С —
простая замкнутая кривая.
Согласно условию (/), кривая С
есть разрез пространства. Кроме того,
С является общей границей компо-
компонент множества .V — С, так как в силу
теоремы 1' (ср. § 49, V, теорема 1) С — неприводимый разрез
пространства iV.
Остается показать, что SV — C содержит не более двух
компонент 3).
Предположим, что имеются три компоненты Ro, R\ и R2.
Пусть L — дуга, соединяющая две точки а и b кривой С и
достижимая из R2 (ср. § 50, III, теорема 7), L cz R.,[) a[) b
(рис. 16). Пусть aqjb (/ = 0, 1) —две дуги, определяемые в С
точками а и Ь:
= C и aqob П адф = (а, Ь).
') В п. III мы увидим, что j?" == <?°2.
2) Жордан [1, стр. 92]. См. Брауэр [2].
3) Действительно, это прямое следствие теоремы 6 § 60, III для SC'"=

§ 61. Качественные проблемы 505
Пусть Pi^Rj. Положим Aj = aq;b[j L. Тогда
A) ИоПЛ, = /,.
Так как C = ?v(Rs), то множество /?oU<7/Ufli связно; поэтому
множество Л[_/ (не пересекающееся с ним) не разрезает про-
пространство между р0 и р\. Согласно теореме 7 п. I и соотно-
соотношению A), объединение /loU^i обладает тем же свойством.
Но это приводит к противоречию, так как С cz Ло[) At н С раз-
разрезает пространство между р0 и р1 по определению этих точек.
Теорема 2 (о Q-кривой). Если С есть Q-кривая, состоящая
из трех дуг Lo, Lu L2, каждая пара которых имеет общими
только концевые точки, то
B) Я"-С = Doll 0i U А»,
C) F
где диски Do, Dx и D2 —компоненты мно-
множества Я' — С (индексы приведены по mod 3).
Доказательство (рис. 17). Согласно
теореме Жордана, простая замкнутая кри-
кривая Lj\j L/+i разрезает пространство А-
на два диска, один из которых, скажем Qf,
содержит дугу Ll+2 (без концевых точек),
а другой, скажем D/, не пересекается с L/42- Более того,
Диск Dj есть компонента множества Я" — С, так как, с одной
стороны, Dj cr Я' — С, а с другой —из включения Fr(D/)c:C
вытекает, что D/ — С = Dj — С, а потому Dj — открыто-замкнутое
множество в .41' — С.
Остается показать, что Ж — (С U Do U ?>,) = D2. Но из равенств
A,nb", = (/'oU?i)n(/-ilH2) = A и 3--D, = Q,
следует в силу теоремы 7 п. I, что множество
А" - (Do U D,) =».«'-(С U Do U 0i)
связно. Это множество совпадает с ?>2 как связное подмноже-
подмножество Л' — С, содержащее компоненту D2 множества X — С.
Следствие 3. Пусть Lt), L\, ... —бесконечная сходящаяся
последовательность дуг, имеющих общими только концевые

Г)О(') Г.ниш ID. Типология плоскости
точки а и !>', том)а имеется самое большее два члена Ln,
таких, что
D) Ln()UmLm^(a, ft).
Д о к а л я тс л ье т в о. Предположим, что это ire так и что
имеются три индекс:! п, скажем 0, 1 и 2, удовлетворяющих
условию D). Рассмотрим кривую 0 = /_0|J 1Л [) /,2. Для каждого
«>2 множество Ln — a — b, согласно теореме 2, содержится
в одной нз трех областей A)ft, Dx или D2. Поэтому можно счи-
считать, что существует бесконечное множество индексов к, таких,
что Lk — а -Лс Av Следовательно,
Lim /..,„ с: 5п = Do U Lq U Lh и поэтому (L2 — а — Ь) П Lim L,n = 0,
что противоречит предположению.
Теорема А. Пели С — локально евпжый континуум, то
всякая компонента R множества Л' — С обладает следующими
свойствами:
(i) ]*'г(/^) представляет собой регулярный континуум, не со-
содержащий [)-кривых ');
(ii) если С не содержит разрезающих точек, то R — диск, и
потому Vv(R)~ простая замкнутая кривая;
(iii) R — локально связный континуум.
Доказательство. Так как ."// стягиваемо относи-
относительно & (ср. I, теорема Г), то множество Д' = Fr(/?) — конти-
континуум (§ 57, II, теорема 6). Нсли бы /( не был локально связ-
связным, то в С существовали бы кривая 0 = 1^[) I<iU Ц » тр»
континуума Qo, Q] и Q2, такие, что
(Г)) Q/rU/?=O=?fcQ,n/(,
F) Qif)(LniUL}+2) = 0,
где индексы приведены по mod 3 (ср. § 52, IV, теорема 4).
К такому же выводу мм придем, если предположим, что К
содержит кривую 0; тогда в качестве Q; можно взять точку
нз L,-(Li+l\jLj+i).
Пусть Ли, /Ji и Dj —диски, являющиеся компонентами мно-
множества .'/' — () (ср. с теоремой 2). Так как /?Пв = О, то R со-
содержится I! одном из этих дисков, скажем R cz /)и. Поэтому
К сг Дь откуда Q., П /H Ф 0
') См. Торхорсг [I]. Ср. также K.opeici.npio 11, стр. 167] и У;и"|бори
17, стр. 2071.

f) 61. Кичсстнеичые /цюб.н'.чы 507
и я основании E). С другой стороны,
Q:V\(L2 — Ln— L^ Ф0, и, следовательно, Q> — Dn ф 0.
Таким образом, Q, ПРг(/Л,)^О, так что (ср. C)) Q, П (/-о U 1л) =?¦-(),
что противоречит F).
Итак, но теореме 3 § 52, IV множество Д'— регулярный
континуум, так как оно является локально свя.чным контину-
континуумом, не содержащим 0-крииых.
Если С не содержит ни одном разрезающем точки, то таких
точек ие содержит п V\'(R) (ср. Г, теорема 8'). Следовательно,
Fr(/?) — простая замкнутая кривая (согласно теореме 1 из
§ 52, IV), так как она представляет собой локально связный
континуум, не содержании! мм разрезающих точек, пи 0-крнвых.
Наконец, так как \:v(R) локально связна, то но теореме 4
из § 49, III локально связно п R.
Замечание. Граница локально связного континуума мо-
может и не быть локально связным континуумом (Розенталь [ 1]).
Теорема 5. Всякий локально связный континуум С, раз-
разделяющий ."/¦' между двумя континуумами А и В, содержит
простую замкнутую кривую, разделяющую 3' между этими
континуумами ').
Д о к а з а тс л ь с т в о. Пусть Q — компонента множества
Я'~С, содержащая /1, и /^ — компонента множества •"/' —Q,
содержащая В; тогда Fr(A?) — неприводимый разделитель между
Л н В (ср. § 49, V, теорема 2). Так как (но теореме 4 (iii))
Q локально связно, то локально связно множество Fr(/^) (но
теореме 4 (i)). Следовательно, Fr(/?)-—простая замкнутая кри-
кривая, так как это локально связный неприводимый разделитель
(ср. с теоремой 8 п. I).
Из теоремы 5 и теоремы 2 § 57, П1 вытекает следующая
Теорема 5'. Всякую чару непересекающихся континуумов
можно разделить простой замкнутой кривой.
Теорема 6. Всякий континуум С, не являющийся раз-
разрезом пространства .'//, представляет собой пересечение после-
последовательности дисков
G) C = W,n/)..n..., еде D>DH.
') Ср. Vii.'ivp [I, стр. 35-1J.

508 Глава К). Топология плоскости
Доказательство. Покажем, что если G— открытое мно-
множество, такое, что CcrG, то существует диск D, удовлетво-
удовлетворяющий условию
(8) CcrDczDcrG.
По теореме 2 § 50, III (где G заменено на Э? — С) суще-
существует такой континуум //, что
(9) &-G<=Hcz.V-C.
Согласно теореме 5', можно найти такой диск D, что
A0) CcDcOc.f-Я.
Из A0) и (9) вытекает формула (8).
Следствие 7. Пространство X имеет базу, состоящую
из дисков.
Доказательство. По теореме 6 каждой точке р и каж-
каждому числу е>0 соответствует диск D, такой, что р?О и
6(D)<e. Утверждение следствия вытекает из компактности
пространства it'.
Следствие 8. Если R — область, не разрезающая про-
пространство, то существует последовательность дисков [D*n],
такая, что
A1) R = D\\JDl\J..., где D^c^.
Следовательно, если F = F с: R, то существует диск D,
такой, что
A2) FczD<=Dc:R.
Доказательство. Достаточно в теореме 6 положить
R = .V-C и D"n = il'-Dn.
Теорема 9. Всякую пару замкнутых непересекающихся
множеств Л и В, не разрезающих пространство, mow но раз-
разделить простой замкнутой кривой.
Доказательство. По теореме 1 из § 50, III существует
конечная система непересекающихся континуумов Ch ..., Сп,
такая, что Л с: С, (J . . . U Cn cr .°V — В и множество С, (J . . . (J Сп
не является разрезом пространства. По теореме 5 § 46, III ни
один из континуумов С[, ..., Сп не является разрезом.
Следовательно, теорема сводится к случаю, когда А —
объединение конечной системы континуумов А = С][] .. . \JCn>
ни один из которых не является разрезом.

§ С>1. Качественные проблемы 509
Применим индукцию. Так как для п=\ теорема верна
(по теореме 6), предположим, что она верна для п— 1.
Так как множество Сп (J В не является разрезом (ср. § 57, II,
теорема 2), то но предположению существует простая замкну-
замкнутая кривая /С, разделяющая пространство между множествами
Cj U • ¦ ¦ UCra--i и Сп[)В. Пусть D —такой диск, что
C,U...UCn_,c:D и Fr(D) = K.
Пусть L — дуга, не пересекающаяся с В и неприводимая между
D и С„. Из теоремы Яиишевского (I, 7) легко вывести, что
континуум E = D[)L\JCn пе разрезает пространство (ср. тео-
теоремы 1 и 1')- Следовательно, по теореме 6 существует простая
замкнутая кривая, разделяющая пространство между Е и В и
потому между А и В.
Теорема 9 допускает следующее обобщение.
Теорема 9'. Пусть Fo, .. ., Fn —система непересекающихся
замкнутых множеств, ни одно из которых не разрезает прост-
пространство. Тогда существует система дисков Do, ..., Dn, такая, что
F/CrD/ и Di[\Dj = 0 для 1ф\.
Доказательство. Так как объединение конечной си-
системы непересекающихся замкнутых множеств, ни одно из
которых не разрезает пространство, не является разрезом
(ср. § 58, II, теорема 2), то диски Do, ..., Dn последовательно
можно определить таким образом, чтобы они удовлетворяли
следующим условиям:
FnczDn и Dnn(A>U...UA,-i) = 0.
Теорема 10 (Шёнфлиса')). Если множество С замкнуто
и локально связно и если последовательность Ru R2, ... ком-
компонент множества Ж — С бесконечна, то
A3) Mm 6(Яв) = 0.
п->оо
Доказательство. Допустим, что это не так и что
е > 0, it < i2 < ... и 6G?,J > е для п = 1, 2, ... . Можно считать
(ср. § 29, VIII), что последовательность [Rln} сходится. Пусть
') Шёнфлис [I, стр. 199].

510
Г.шва Ш. Tonojo.'iist п.госкости
r?L'nv\Rl . Тогда г?С. В соответствии с теоремой 7 пусть U
и V — два диска, таких, что
r?V, VczU и 6(U)<b.
Пусть Д' == Fr (f/) и L = ?r{V). Тогда для достаточно больших
значении п имеем
У{]Н,аФ0, откуда KuR!,t?=O?=Lf)Riit,
так как Rt — UфО.
Следовательно, существует дуга Л,- с /?,- , неприводимая
между /( и /,. Это означает, что только коицепые точки Л,- ,
скажем /<?, , /^^ принадлежат соответственно К и i-
Можно предположить, что последовательность {Л, 1 схо-
сходящаяся,
следовательно, Z с С и Z П
П/-
Так как / — континуум, то существует точка p?Z — (/\U /.).
Покг/кем, что множество С не является локально связным
в точке р.
Достаточно показать, что любая об-
область G, такая, что
A4) pea » G(](Kl)L) = 0,
содержит точку множества С, которую
чель.чя соединить с р подконтинуумом
a C-{K\]L).
Гак как G — окрестность точки р, то
множество G имеет общие точки с бес-
бесконечным множеством членов последо-
последовательности {Л,я}. Ради простоты можно
считать, что
A5) С-ПЛ/ФО для / = 0, 1, 2.
Рассмотрим кривую 0, состоящую из дуг Ло, Ль Л2 и дуг
Wv'o и Ы\к> содержащихся соответственно в /( и t (рис. 18).
Пусть Do, Dx и D2 — диски, являющиеся компонентами мно-
множества З' — О; тогда (ср. с теоремой 2)
Fr (Dj) = Л/ U Лу+1 U k,k,+i U /y/y+i- ¦
Одни из этих дисков, скажем Dit содержит точку р (ибо
р?С — К — L). Па основании A5) отсюда следует, что область О'
содержит дугу М, неприводимую между множествами Л] и

§ 61. Ktiuei'TUi'iniiiii' проблемы
Д,иЛ2, так что миожестпо М Г) (Ло U А\ U А->) состоит n.i конце-
ных точек дуги М, одна из которых есть М Л Аи а другая —
М П (Л U Л2). Поскольку множество N = М — (Ло U А{ [} А.,) связно
и не пересекается с K\JL (согласно A4)), оно содержится
и одном из дисков Do, D| или DL.; так как М(]А^Ф0, то либо
N cz 1){), либо yVc:/),. Предположим, что
A6) IVcM,.
Тогда УИ cr Do. Так как
О^ЛЩЛ.сМП/?! и Q?=M[](AoUA2)c:M[](Ro[}R2),
то МПС=^0. Пусть <7 GM П С. Тогда q G G П N и, согласно A6),
A7) ^/бСПОо-
Остается показать, что всякий континуум //, такой, что
р, q^Hcr.C, пересекает множество /С U /-- Из A7) следует, что
Рг (Do) =
откуда мы приходим к требуемому заключению, ибо
иЛ) 0
Теорема 11. Если С — замкнутое локально связное мно-
множество и R — компонента множества ."?' — С, то каждая точка
р ? Fr (/?) достижима из R.
Более точно, Rl) P локально связно^).
Доказательство. Для того чтобы доказать вторую
часть теоремы 11, достаточно показать, что если D —диск,
содержащий точку р (ср. с теоремой 7), то существует связное
множество Т, открытое в R [) р и такое, что р ? Г с= D. Но
так как множества .%'— D и 3'— R замкнуты и локально
связны (§ 49, II, теорема 1), то и их объединение .°l' — (D[}R)
замкнуто и локально связно. Поэтому, согласно теореме 10,
последовательность Rt, /?2, . .. компонент множества D Л R удо-
удовлетворяет условию A3) (если только она не является конечной).
Можно считать, что последовательность {/?„} не сводится
к одному члену (ибо в этом случае достаточно было бы по-
положить T = Df\R[}p)- Поскольку R связно и Rn открыто в R,
то граница множества Rn относительно R (обозначим ее через
') Эта теорема принадлежит Шёпфлису. Ср. Уамбсрп |8], [I, гл. VI,

512 Глава 10. Типология плоскости
(Rn)) непуста, так что RClRn — Rr^®- По теореме 3
§ 49, III
следовательно, Rn — пфО.
из § 49, III
Fr*(/?B)
Отсюда вытекает, что 6(/?„)^ р(р, Я' — D), если p?Rn. По-
Поэтому число областей #„, таких, что р ? Rn, конечно (вслед-
(вследствие равенства A3)). Пусть Ru ..., Rk — эти области. Тогда
множество Т = R{ [} . . . [} Rk \j p связно.
Остается показать, что Т открыто в R\jp, т. е. что
p$LsRn. Но если бы р= lim ph где Pi?Rni, то для доста-
i -> оо '
точно больших значений / было бы
6 (/?„,) > р (р„ .Г - D) > | р (р, Я' - D),
вопреки равенству A3).
Итак, локальная связность множества R (J р установлена,
и р можно соединить с каждой точкой из R с помощью дуги
в R\j р. Действительно, R\j p связно, локально связно и
топологически полно (ср. § 50, II теорема 1).
Теорема 12 (обратная к теореме Жордана1)). Пусть
С — континуум, Ro и Rl — dee компоненты множества Я' — С,
такие, что каждая точка С достижима из Ro и из R{. Тогда
С — простая замкнутая кривая.
Доказательство. Согласно теореме 2 § 47, V, достаточно
показать, что каждая пара точек а, Ь?С разделяет С. Но так
как а и Ъ достижимы из R/ (/ = 0, 1), то существует дуга {ab)jt
такая, что, полагая Aj = (ab)j — а — Ъ, мы имеем
A8) Л, с/?,.
Пусть Do и D\ — диски, на которые простая замкнутая кривая
•^oU^U^U^i разрезает пространство. Покажем, что Dof\C ?=
ФОфй^С.
Так как множество S/ = D/U A)lMi связно, то из неравенств
Sj П Ro?=Q?=Sj П #i (которые получаются из A8)) следует, что
Slf\Fv{R0)?=0, так что S,f)C?=0, поэтому D, {]С фО,
поскольку (A0\j Аг)[\С = 0, согласно A8).
') Ср. Шопфлис [1, стр. 180]. См. также Рисе [3].

$ 61. Качественные проблемы 513
Теорема 13 (Гсмана1)). Пели С — наследственно локально
связный подконтинуум Я' и если Д'„, f(lt ... — бесконечная по-
последовательность попарно не пересекающихся подконтинуумов
континуума С, то
lim
Доказательство. Предположим, что в С существует
бесконечная последовательность {Кп} подконтинуумов, такая, что
A9) б(/С„)>ть где т)>0,
B0) Кп(\Кт = 0 Для пфт.
Пусть в соответствии с A9) рп, qn(zKn и 1рп~"^п1^Л- Так
как Кп локально связно, пусть Л„ — дуга pnqnc:{(n. Можно
предположить, что последовательности {рп} и {qn} сходятся;
lim рп — Р и lim <7„ = q.
П->оо
Так как точки р и q различны, пусть Р и Q — два непересекаю-
непересекающихся континуума, не разрезающих X и таких, что pDnt(P)
и q?]nt(Q) (ср. с теоремой 7).
Тогда для достаточно больших значений п мы имеем
Р П An=?0=?Q П Ап. Можно считать, что это соотношение имеет
место для каждого значения п. Выберем в Ап дугу Вп, у кото-
которой только концевые точки принадлежат соответственно Р и Q.
Можно считать, что последовательность {Вп} сходится.
Разбиение пространства Л' на отдельные точки множества
Я'— Р — Q и на множества Р и Q полунепрерывно сверху. По
теореме 9 п. 1 существует непрерывное отображение f простран-
пространства Я' такое, что
(О /(.#*)~ пространство Янишевского, не имеющее разрезаю-
разрезающих точек;
(И) f{P) и f(Q) сводятся к двум различным точкам а и Ь\
(ш) / представляет собой гомеоморфизм Я' — Р — Q на
f(&')-a-b.
Положим Ln = f(Bn). Тогда Lo, L\, ...—сходящаяся после-
последовательность дуг, каждая пара которых имеет общими только
концевые точки (а и /;) (ср. B0)). Согласно теореме 3,
Ln П LimL,,, = (a, b) для всех п, за исключением двух индексов
т->оо
(скажем, 0 и 1). Другими словами,
Lm — a — b) = Q для
') См. Геман [1, сгр. 39].
33 зак. IUU1

514 Глава 10. Топология плоскости
Обозначим дугу Вп без концевых точек через Вп; тогда
B,i = /"' (Ln — a — Ъ), поэтому /J^ f] Lim B*m = 0 для
Но тогда Lim Bm — континуум сходимости, содержащий более
т-»оо
одной точки, следовательно, С не является наследственно
локально связным (ср. § 50, IV, теорема 2).
Замечания. Теорема неверна в (f3. См. § 50, IV, 3, за-
замечание.
Из теоремы 13 непосредственно вытекает следующая
Теорема 13'. Если наследственно локально связный под-
подконтинуум пространства .'V разбит на непересекающиеся кон-
континуумы, то это разбиение полунепрерывно.
Теорема 14'). Если Л и В — два отделимых множества,
то существует открытое множество G, такое, что
B1) Лег С,
B2) СЛй = 0,
B3) Fr(G)-(^nB)c[Fr(G)]|(>)|,
т. е. множество Fr(G) регулярно в каждой точке множества
Доказательство. Положим
Тогда
B4) A В =• А IIА II
Так как множества Ап компактны, то существует конечная
система дисков D", ..., D"n, такая, что
B5)
B6)
B7)
и
B8) AnCDfi) ... U О".
1) См Куратовский [15, стр. 217].

<J> 61. качественные проблемы 515
Положим
B9) G = U \JDl
Так как множества А и В отделимы, то Л с: Л — В, откуда
следует включение B1) в силу соотношений B4), B8) и B9).
Прежде чем перейти к B2), заметим, что каждая точка р
из G — Л принадлежит некоторому D";1 и что в этой окрест-
окрестности точки р содержится только конечное число дисков ?)".
Предположим, что
p=}tz,Pm' гле p'"€Di и л«<л«+1-
Следовательно, в силу B5), B7) и B4)
р€Л,иЛ2и ...с/1,
что противоречит предположению.
Отсюда вытекает существование пары индексов (п0, /о), такой,
что /) ? D";'.
Далее, с одной стороны, на основании B6)
C0) G(]B-A = 0,
откуда следует равенство B2), ибо 5ПЛ = 0.
С другой стороны, так как каждая точка р множества
Fr (G) — (Л^П В) = Fr(G)— Л содержится в окрестности относи-
относительно Fr((/), состоящей из конечного числа простых замкну-
замкнутых кривых, отсюда вытекает включение B3) (поскольку всякое
конечное объединение дуг является регулярным множеством
но теореме 8 § 51, IV).
Следствие 15. Если Л и В —два отделимых множества,
то для каждой пары точек а? А, Ь?В существует замкнутое
множество С, такое, что С f]{A\j /3) = 0, неприводимо разделяю-
разделяющее Я' между а и b и локально являющееся ду.?ой в каждой
точке множества С — А(]13. _
Более того, если dim А(]В = 0, то С — простая замкнутая
кривая ').
Доказательство. Так как Fr(G) есть разрез между а
и /;, он содержит неприводимый разрез С между этими точками
(ср. § 49, V, теорема 3). По теореме 8 п. I множество С диско-
') Ср. Мур [8] и Любеп [1].
33*

516 Глааа 10. Топология плоскости
герентно и поэтому, согласно теореме 5 из § 49, VI, локально
является дугой в каждой точке множества С — (А(]В).
Наконец, так k:ik множество точек, в которых С не является
локально связным, либо пусто, либо положительной размер-
размерности (ср. § 49, VI, теорема 1), то вторая часть следствия вы-
вытекает из дне когерентности множества С в силу теоремы 8 и. I.
Теорема 16. Если А и В — два континуума, таких, что
(i) А — В связно;
(и) сПтЛПй = 0;
(iii) Л не является разрезом между любой парой точек мно-
множества В — Л,
то существует простая замкнутая кривая, являющаяся разре-
разрезом между Л —В и В — Л1).
Теорема 17. Если R — область и Л —дуга pq, такая, что
A — R~{p, q), то множество R — A связно тогда и только тогда,
когда концевые точки дуги А принадлежат различным ком-
компонентам мноокества .%' — R {а следова-
следовательно, мнолсества Ft (R)J).
Доказательство. Если точки р и q
принадлежат одной и той же компоненте С
множества .°l' — R, то множество R — А не
связно (по теореме 6" п. I).
Далее, предположим, что точки р и q
принадлежат различным компонентам мно-
множества Л' — R. Тогда множество X — R не
связно между этими точками, следова-
следовательно, существуют два замкнутых мно-
Рис. 19 жества Р и Q, таких, что
C1) .¦*'-/? = ри Q, p(\Q = o>p?p, q€Q-
Пусть и и v — две произвольные точки множества R — A
(рис. 19). Покажем, что множество .Т — R\j А не разделяет их.
Согласно C1),
C2) .V - R\) А = (Р[) A)\)(Q [) А) и (Р U А) П (Q U Л)= Л.
Применяя теорему 1', мы выводим из теоремы 7 п. I, что
ни множество Р [) А, пи множество Q (J Л не разделяют точки и
и v. Отсюда, согласно C2) и теореме 7 п. I, следует, что мно-
множество .1' — R U Л также их не разделяет.
') Доказательство см. Куратопскнн [15, стр. 232]. Ср. также Мур
|8, стр. 470].
2) Ср. Хаусдорф [2, стр. 350].

.ф 61. Качественные проблемы 517
III. Элементарные множества. Как и выше, пусть .^'—про-
.^'—пространство Янишевского, не содержащее разрезающих точек.
Пусть Do, .... Dn~- система дисков, такая, что
A) Д-ЛЬ"/ = 0 для i^j.
Множества
#-(A)U ... \JDn) и .^-(DoU ..- UDn)
называются соответственно элементарным континуумом и эле-
элементарной областью. Пространство .1' и пустое множество счи-
считаются одновременно элементарными континуумами и элемен-
элементарными областями.
Установим ряд свойств элементарных множеств, которые
нам понадобятся в дальнейшем (п. V и § 60, XII).
Конечное объединение непересекающихся элементарных кон-
континуумов называется элементарным замкнутым множеством.
Конечное объединение элементарных областей, замыкания ко-
которых не пересекаются, называется элементарным открытым
множеством.
Легко установить следующие пять утверждений:
Теорема 1. Внутренность элементарного континуума есть
элементарная область. Внутренность элементарного замкнутого
множества есть элементарное открытое множество.
Теорема 2. Замыкание элементарной области есть эле-
элементарный континуум. Замыкание элементарного открытого
множества есть элементарное замкнутое множество.
Теорема 3. Всякое элементарное замкнутое (открытое)
множество есть замкнутая (открытая) область.
Теорема 4. Если А\, ..., Лт — компоненты элементарного
множества Л, то
FrM,)U ... \]Рт(Лт) и
IntM)=Int(/1I)U ••• UlntMJ.
Теорема 5. Если R — элементарная область и О — диск,
такой, что Fr (D) с: R, то множество Rf\D есть элементарная
область.
Аналогично, если С — элементарный континуум и D — диск,
такой, что Fr (D) a Int (С), то множество С (] D — элементарный
континуум.
Теорема 6. Если R — элементарная область и С — эле-
элементарный континуум, такой, что С <^ R, то R — С — элементар-
элементарное множество.

518 Г мша 10. Топология плоскости
Диалогично, если С — элементарный континуум a R — эле-
элементарная область, такая, что Ra\nt(C), то С —R —элемен-
—элементарное множество.
Доказательство. Положим Х' = .С1' — Х, и пусть
С-(Do U ... UDnY и Kj
Тогда R - С --= (R Л А.>) U • ¦ • U (R П А>). Поэтому из включе-
включении Кj <¦-R по теореме 5 следует, что множество R ("I ?>/ — эле-
элемента р на и область.
Так как, согласно A), /77U>,- Л /? П Я; = 0, то /? - С - элемен-
элементарное множество.
Вторая часть теоремы доказывается аналогично.
Теорема 7. Пополнение элементарного замкнутого (от-
(открытого) множества есть элементарное открытое (замкнутое)
множество.
Д о к а з а те л ь с т в о. Пусть F = Ca[) ... U Сп и С{ Л С/ = О,
где множества Со, ..., Сп — элементарные континуумы. При-
Применим индукцию. Для п = 0 утверждение очевидно; предпо-
предположим, что оно имеет место для п — 1. Тогда
Открытое множество G элементарное (по предположению), по-
поэтому G =¦= Я,, U ... U R,,, и /?г Л /?/ = 0, где множества /?0, .. ., /?,„ —
элементарные об.частн.
Так кик С„Л(С(,и ... UCrt^i) = 0, то С„с(]. Поэтому кон-
континуум С„ содержится в одной из компонент множества G,
скажем в С„ с: /^0. (Следовательно,
B) /г' = (/?о-С„)и/?,и ... и/?,«-
Так как (по теореме 6) множество Ro — С„ — элементарная об-
область, то /;/ — элементарное откр!лтое множество.
В случае открытого множества доказательство аналогично.
Теорема 8. Если О{), ..., Gn — элементарные открытые
множества, такие, что (j(\J G/ = Л' для г'ф], то пересечение
G{] f] ... Л (I,, — элементарное множество.
Не.и/ /;„, . . ., /•',( — элементарные замкнутые множества, такие,
что lilt (/•',) U Int (/;/) == .7.' (Л/я i?=j, то пересечение Fo f| . • . П F'„ —
элементарное множество.
lio.'iee того,
ЛЛСП ¦•• Па„)=МОо)+ ••• +/'o(Gn),
( ' bo (/'о Л ••• Л /'¦„) = &о (/'о) + •. • + 6о (/="„).

§ 61. Качественные проблемы 519
Доказательство. Действительно, из условия (i'i f\G'i -~-0
вытекает, что G'[} ... I) Gn — элементарное множество, так как
оно является объединением непересекающихся замкнутых эле-
элементарных множеств (ср. с теоремой 7).
Аналогично из условия F\ ("| F't = 0 следует, что открытое
множество Го U ... (J F'n элементарное.
Соотношения C) следуют непосредственно п.ч теоремы 4
§ 57, II (обобщенной па случаи п членов).
Теорема 9. Если Е — элементарное множество и К —ком-
—компонента множества Я' — Е, то множество Е (J К элементарное.
Доказательство. Пусть Ко, •¦•> Кп — компоненты мно-
множества Е'\
Е'=-Ко[) ... UKn, Kt(]K'i = 0.
Тогда (Е U KoY = К\ U ••• U Кп-
Так как компоненты элементарного множества сами
являются элементарными множествами, то из теоремы 7
вытекает, что множество Е[)К0 элементарное.
Теорема 10. Если F — замкнутое подмножество открытого
множества G, то существует элементарное замкнутое множе-
множество А, такое, что
D) Fez \n\(A)<=. A czG,
E) /) (А) < /; (Г)
F) bo{A')^.bo(Gr).
Доказательство. Пусть Ro, .... Rk — компоненты мно-
множества G, содержащие точки множества Г. Положим Г/ = Г П Ri-
Тогда
G) Г = Го U ... U Fk n 0 Ф Ft = Fh
так как T[VR, - (Г П Rt) <= Г Л Ri ~ R, cz F - G ¦¦¦¦¦¦ 0.
Более того,
(8) k^bo(F).
Пусть R,], ..., Rtm. (где 0<л^/г) — ком попе иты множества Г'.,
содержащие точки Ri. Положим Иц = Rtj — Rt. Тогда, как
п раньше,
(9) /?i = //юU ¦•• ЦНш, и Я,/= //,/¦
Так как Иц открыто-замкнуто в R'., то око представляет
собой обьедннеппе семейства компонент множества 1{'г Так

520 Глава 10. Топология плоскости
как #( —область, то Нц не является разрезом, ибо в противном
случае существовала бы компонента множества Нц (и, сле-
следовательно, компонента множества R'^j, являющаяся разрезом
(согласно теореме 1 § 57, III), что противоречит теореме 5
из § 46, III.
Таким образом, по теореме 9 п. II существует диск Dtj,
такой, что
A0) Я(/с: D,, с: D,, с: Я„.
Из соотношений (9) и A0) вытекает, что
A0') /tfcD/oU ... \JDimic=:Dto[i ... U Dlmi c: Ft
Более того,
A1) т,<
Согласно A0'), элементарный континуум Ct- = (DwU •¦• U
удовлетворяет условию
A2) Ft с: Int (С,) <= Ct a Rh где « = 0, .... Л,
а поэтому,(ср. G)) элементарное замкнутое множество
A3) л = сои ... и с*
удовлетворяет условиям D).
Формула E) получается из (8) и A3). Наконец,
Ь0(Л')~Ь0(С'0)+ ... +йо(су = шо+ ... +mfc<
согласно A3), A1), C) и теореме 4 из § 57, II (ср. также
§ 49, II, теорема 4).
Из теоремы 10 вытекает (ср. § 50, III, теорема 2) следующая
Теорема II. Для каокдого замкнутого множества F суще-
существует последовательность элементарных замкнутых множеств
Fu F2, ..., удовлетворяющих следующим условиям:
A4) F = F,nf2n ...,
A5) /?„ с Int (/?„_,),
A6) bo(Fn)^bo(F),.
A7) bQ(<r-Fn)^b0(.V-F).
В частности, если F — континуум, то Fn — Tovce континуум;
если F не разделяет пространство, то Fп также его не разделяет.

§ 61. Качественные проблемы 521
IV. Топологическая характеристика сферы & ')• Следствия.
Пусть Я' — пространство Янишевского, не имеющее разрезающих
точек. Покажем, что имеет место гомеоморфизм2)
A) ^Т^2-
С этой целью введем вспомогательное понятие и установим
ряд его свойств.
Определение. Объединение п + 1 дуг Lo U • • • U Ln (п ^ 1)
называется сетью, если
(i) Lo U L\ — простая замкнутая кривая,
(ii) Lkf}(LQ\J ••• U^ft-i) состоит из концевых точек Lk.
Сеть LoU ••• U Ln называется продолжением сети L0U ¦•• U Lm,
если tn<n.
С помощью конечной индукции легко доказывается сле-
следующая
Теорема 1. Множество Я' — (Lo U • • ¦ U LJ состоит из п + 1
непересекающихся дисков (являющихся его компонентами).
Теорема 2. Пусть D — диск, Л и В — два подконтинуума
замыкания D и L — такая дуга, что множество L (] D разде-
разделяет D между Л и В. Тогда существует компонента М мно-
множества D П L, разделяющая D между Л(] D и В ("I D.
Доказательство. Можно считать, что Л П ОфОфВ П D.
Пусть а? Af\ D и b С В П D. Тогда множество Lf\D разделяет D
между а и Ь. Так как Я' — D — континуум (по теореме Ж.ор-
дана), то D стягинаемо относительно ?? (согласно теореме 3
п. I); следовательно, L ("I D содержит (ср. § 58, III, теорема 1)
компоненту М, разделяющую D между точками а и Ь. Оче-
Очевидно, Yr(D)\}M есть 0-кривая. Пусть U и (/—компоненты
множества Я' — 0, содержащие соответственно точки а и /г, тогда
Лей и BciV, следовательно, ACiDciU и B[)DczV.
Теорема 3. Пусть Rq — сеть, а А и В — два непересекаю-
непересекающихся континуума, не разделяющих пространство. Тогда суще-
существует сеть Rh являющаяся продолжением сети Rq и разде-
разделяющая пространство Я' между множествами Л — /?, и В — Ri
(так что не существует компоненты множества Я'— Ru содер-
содержащей точки и множества А, и множества В).
') По этому вопросу см. Мур [1], Гявеи |1|. См. также Уитпи [2] и
Кампеи [1], где имеется много литературных ссылок.
2) См. Куратовскш! [17]. Ср. также Куратовскый [16].

522 Г'липа 10. Топология плоскости
До к а з а те л ь ст в о. Пусть D — компонента множества
Л' — Rth такая, что D П ЛфО=^=0 Л Л. Предположим сначала, что
B) Л
Пусть С — простая замкнутая кривая, отделяющая Л от В (ср.
с теоремой 5' п. II). Тогда множество С П D разделяет D между
D Л Л и D[\B и С — ПфО, согласно B). Следовательно, суще-
существует поддуга L дуги С, содержащая Cf\D, концевые точки
которой принадлежат Fr(D). Пусть (ср. § 50, III, теорема 1)
/li, ..., Л,„ н /?ь ..., /3,г — две системы континуумов, такие, что
ЙПЛс/'сД, D[\BczHc:D, Ff}H = 0, Ff\L = 0 = Hf\L,
где /' = /l,U ... U Д„ " // = SiU ••• UBu.
По теореме 2 для каждой нары /, / (где i^m н j^n) суще-
существует компонента Мц множества D[\L, разделяющая D между
/) Л Л- п I) П/i/. Положим
fi(D) = Fr(/))U UMtl\
и
тогда никакая компонента мпожестиа D — R(D) tie содержит
одновременно точек множеств /1 и В.
Нслн соогпошеипе B) не выполняется, например когда
/1 Л l:r (D) ~ 0, то Л cz D н существует (ср. с теоремой 6 п. II)
простая замкнутая крпная С, разделяющая Л и Я и содер-
содержащаяся в I). В этом случае /?(?>) определяется как сеть,
получающаяся в результате соединения кривых Fr(D) и С
двумя дугами, неприводимыми между этими кривыми.
Наконец, положим Ri = \J R{D), где суммирование идет
но всем компонентам D множества ,'Ь'— Ru.
Теорема 4. /(ля каждого е>0 существует сеть R, такая,
что компоненты множества Я' — R имеют диаметры ^е.
Более того, сеть R можно выбрать так, чтобы она была
продолжением некоторой заданной сети Ro.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (в соответствии со следствием 7
п. И) Д',, ..., /(„ — континуумы, не разрезающие пространство
п такие, что
(«) /*" = /(, U ... UKn и 6 (/(,)< 1/2.
Пусть
И) (/!. '"i). (/a. m2) (/м шг)
— система всех пар индексов, таких, что /(/, Л/(т, = 0-

til. Качественные проблемы
Пусть /?0 —сеть (например, простая замкнутая кривая).
Применяя последовательно теорему 3 к парам
(Л'/,, Km), .-., (K!r, Kmr),
найдем такую сеть R, что никакая компонента /) множества
.°Г — R ни при каком г <> ие удовлетворяет услонию
E) О[\КиФ О Ф D П /С»,,.
Мы утверждаем, что 6(D)=^e. Предположим противное,
т. е. что а, /; ? D и \а — 1>\>е, Пусть а?Ка и l>?KiV Тогда,
согласно C), Л'аП/(ц = 0, и потому пара а, р принадлежит
системе D), скажем a = jt и |3=ш,. Таким образом, соотноше-
соотношение E) выполняется. Но это невозможно, как только что было
доказано.
Для краткости гомеоморфизм /г: R—>R* сети R на сеть У?"
будем называть регулярным, если компоненты множества .'/' — R
и множества 3'— R* можно расположить в виде двух систем
D,, .... Du и D], ..., О;
таким образом, чтобы
F) A[Fr(/>,)] = Fr(/);) для / = 1,2, ..., и.
Теорема 5. Пусть RQ и Rt—der сети, вторая ti:i которых
есто продолжение первой. Всякий регулярный гомеоморфизм h
сети /?о можно продолжить до регулярного гомеоморфизма hx
сети R{.
До к а з ательство. Очевидно, достаточно доказать теорему
для случая, когда R\ = R§\] L, где L — дуга ah, такая, что
/,ПЯо = (я, Ь).
Для простоты обозначении предположим, что L a l)n[)(a, b).
В соответствии с F) h(a), h(b)? Fr(D*). Пусть (ср. с теоре-
теоремой И п. II) Г-дуга 1г(аIг(Ь), такая, что Г с= D'n {) h(a)\J h (b).
Гомеоморфизм h можно продолжить на Rn[j L так, чтобы L
отображалась па L". Пусть h] обозначает гомеоморфизм, про-
продолженный таким образом.
Положим E. = D. и Е* = D* для К п. Обозначим через Еп
и ?/[+| (или через Е*а и Е*п+[ соответственно) две компоненты
множества /)„ — L (соответственно множества D'n — А"), заннде-
ксованные таким образом, что выполняется соотношение (ср. II,
теорема 2)
hl\Fr(Ef)\ = l7r(E'l) для i=4i и / = /м-1.
Этим доказательство завершается.

524 Глава 10. Топология плоскости
Замечание. В рассматриваемом случае, когда Rt~ R0{J L,
очевидно, что
G) А, (/?, П Dt) <= Щ для /= 1, .... п.
Отсюда по индукции получаем, что то же самое включение
имеет место в общем случае, когда R{ = Rt) (j L2 (J /„., [} ... \J Lm,
где дуги L2, ..., Lm удовлетворяют условию (ii) (если La\J L}
заменить па Ro).
Основная теорема 6. Если 3~ и 3"* — два пространства
Янишевского, не содержащие разделяющих точек и содержа-
содержащие более чем по одной точке, то 3' = ."I".
В частности (ср. с теоремой 2 п. I), 3' гомеоморфно сфере ut-
Доказательство. Предположим, что 6(/?')< 1 и 6(.'?")< 1.
Пусть Ro и /?* — две простые замкнутые кривые, лежащие соот-
соответственно в 3' и 3"* (ср. с теоремой 7 п. II). Пусть
Л(): R0-*R*0 — гомеоморфизм /?0 па /?*. Обозначим через Л* гомео-
гомеоморфизм, обратный к Ло.
В соответствии с теоремой 4 пусть R\ — такое продолжение
сети R*o, что компоненты множества 3" — R* имеют диа-
диаметры < 1/2. В соответствии с теоремой 5 пусть /г* — регуляр-
регулярный гомеоморфизм, такой, что Л* с: h\. Положим R{ — h\{R\)
и обозначим через Л, гомеоморфизм, обратный к п\.
Аналогично пусть R2 — продолжение сети Rb такое, что
компоненты множества 3' — R2 имеют диаметры < 1/3, и пусть
h2 — регулярный гомеоморфизм, такой, что h[<^h2. Положим
/?*== Л2(/?2) и обозначим через /г* гомеоморфизм, обратный к Л2.
Продолжая таким образом шаг за шагом, определим
(i) две последовательности сетей
RQczRlcz...cz 3\ R; cz R\ a ... cz SC\
такие, что компоненты множеств •#* — /?„ и 3" — R*n имеют
диаметры < 1//г;
(ii) две последовательности регулярных гомеоморфизмов
Ао с: Л, с: ..., AJ cz h\ cz ...,
такие, что А* — гомеоморфизм, обратный к Ап> и Лп (/?п) = /?*.
Положим
и„, ?и;, 2„,
«=0 п-0 н-0
Тогда
А (Л) = R', h" (/?*) - /?

§ 61. Качественные проблемы 525
и отображения h п h\ обратные друг к другу, взаимно одно-
однозначны. Покажем, что они непрерывны.
Пусть xo?R, е>0 и /г>1/е. Тогда 6(Z)*)<e для каждой
компоненты D* множества Я'* — R*n.
Пусть D\, ..., Dft — система всех компонент Z); множества
3'— Rn, таких, что xo?D;. Тогда множество B = D{[} ... U D^,
есть окрестность точки хи. Согласно G),
h(R[]Di)czDti,
поэтому п(хо)аЦ[) ... {] Щ и h(R П ?) с: DJ U .. . U 1Ук, так
что 6[h(R[) Е)]<2е. Следовательно, функция h непрерывна
в точке Хо-
Аналогично, функция 1г* непрерывна па R\
Теперь покажем, что колебание функции h обращается
в нуль в точках множества Я' -— R (и что колебание функции h*
обращается в нуль в точках множества /?"* — /?*).
Пусть Xq?№ — R. Пусть индекс п выбран, как выше, и пусть
D — компонента множества Я' — Rn, содержащая точку лг0. Тогда
h(Rf]D)cz'D\ откуда 6 [h (R П D)] с: е,
следовательно, колебание функции h обращается в нуль
в точке х0 (ср. § 21, III).
Таким образом, существует непрерывное продолжение g
отображения h на все пространство Я" (ср. § 35, I, теорема 1).
Аналогично h'czg*, где g': Я"* -* Я' — непрерывная функция.
Остается показать, что #*— функция, обратная к g, т. е. что
ё*ё(х) = х. Пусть х = \\тхп, где х„ 6 R- Тогда
откуда
g'g{x) = lim g'h (xn) = lim h"h{xn) => lim xn = x.
rt->oc П->°° tl~->oo
Замечания, (i) Если Ro — произвольная сеть и R» — ho(Ro),
где h0 — регулярный гомеоморфизм, то можно, как и раньше,
показать, что гомеоморфизм g: !'V -> Я'*, отображающий Я' на Я",
является продолжением гомеоморфизма h0.
(ii) Сферу of2 можно охарактеризовать следующим образом:
.'Г — локально связный континуум, содержащий по крайней
мере одну простую замкнутую кривую, и каждая простая замк-
замкнутая кривая является неприводимым разделителем Я" (см.
Циппин [2]).

526 Глава HI. Топология плоскости
Следствие 71). Локально связный континуум является
пространством Яншиевского тогда и только тогда, когда
каждый из его циклических элементов, не сводящийся к точке,
гомеоморфен <?Р2.
Доказательство. Если SV — пространство Я нищенского,
то пространством Янишевского является н каждый из его ци-
циклических элементов В (по теореме 10 п. I). Так как В не имеет
разделяющих точек, то по теореме б Е = ?Р2 (ПРИ условии,
что В не сводится к одной точке). Следовательно, рассматри-
рассматриваемое условие необходимо. Оно также и достаточно, поскольку
свойство Янишевского продолжимо (ср. с теоремой 10 п. I),
а &>2 обладает этим свойством (ср. с теоремой 2 п. I).
Теорема 82). Если f — непрерывное отображение сферы ?Р2,
такое, что для каждого у множество f~ (у) — континуум, не
разрезающий пространство, то ) {^2)-^ <if2.
Другими словами, пространство полунепрерывного разбие-
разбиения &2 на континуумы, не разрезающие S^2, гомеоморфно о/2.
Доказательство. Согласно теореме 9 п. I, f(<&>2) является
пространством Янишевского и не содержит разрезающих точек
(по предположению). Следовательно, это пространство гомео-
гомеоморфно йт 110 теореме 6.
Следствие 9. Всякая область R<zz$>2 гомеоморфна
сфере <if2, из которой выброшено замкнутое множество размер-
размерности 0, а именно множество, гомеоморфное пространству раз-
разбиения &>2 — R на компоненты (ср. § 47, VI, теорема 1).
В частности, если область Я{ф&>2) не разрезает ?РЬ то
Доказательство. С одной стороны, разбиение <ъР2 11а
компоненты множества <?f2 — R и отдельные точки /<? полуне-
полунепрерывно; с другой стороны, компоненты множества o9*2~R
не разрезают &2 (по теореме 5 из § 46, III).
Теорема 10. Если D — диск, то Dj^tf2.
Доказательство. Это прямое следствие замечания (i).
Теорема 11. Вели С ф <?Р2 ~ локально связный континуум,
не разрезающий ^2> то С — абсолютный ретракт. Вели, более
') Ср. Циппин [1].
2) Теорема Мура [9]. См. также Мур [11], где рассматривается более
Общий вопрос (не предполагается, что /~' (у) не разрезаем пространство).

в!. Качественные проблемы 527
того, С не содержит ни одной разрезающей точки, то С ^ Я2
{при условии, что С содержит более одной точки).
Доказательство. Если С не содержит ни одной разре-
разрезающей точки, то, согласно II, 4 (ii), R = ?Р2 — С — диск и
D = & — R — тоже диск. Следовательно, С — <? — R = D = в'1.
Чтобы доказать первую часть теоремы, достаточно (согласно
теореме 16 § 53, III) показать, что каждый циклический эле-
элемент Е континуума С есть абсолютный ретракт. Но это (как
уже было показано) следует из того, что Е не разрезает а^2
(по теореме 15 § 53, III и теореме 8 § 59, IV).
Замечания. Пусть [/ — универсальный континуум Сер-
пинского (см. § 51, I, пример 5). Пусть Do, D,, ...—последо-
...—последовательность компонент множества &>2~^-
Разбиение о5^2 на континуумы Do, D\, ... и отдельные
точки можества V = U — (DoU ?*i U •••) является полунепрерыв-
полунепрерывным. Пространство этого разбиения гомеоморфно if2 п° тео-
теореме 8. Поэтому множество V гомеоморфно плоскости, из ко-
Topoii удалено счетное нсюду плотное множество. Таким обра-
образом (ср. § 59, IV, теорема 11), имеет место следующая
Теорема 12. Всякое граничное подмножество плоскости
топологически содержится в континууме U.
Теорема 13')- Если С — одномерный континуум, то непре-
непрерывные функции f: C~><f'2, такие, что /(С)=^[/, образуют оста-
остаточное множество в пространстве (<f2)c.
V. Продолжение гомеоморфизмов. Топологическая эквива-
эквивалентность.
Теорема 1. Если Л (с: ut) — дуга, или простая замкнутая
кривая, или Q-кривая, то всякий гомеоморфизм h: Л -> а?2
можно продолжить на все пространство ut.
Другими словами, существует гомеоморфизм h*, такой, что
h cz h" и li (a5) = ?Г2.
Доказательство. Если Л —простая замкнутая кривая
или 0-крнвая, то теорема вытекает из замечания (i) к теореме 6
п. IV, так как в этом случае каждый гомеоморфизм множе-
множества Л регулярен.
Пусть Л—дуга ab и h(A) = аф\. Так как точки а и b до-
достижимы из аА — Л (ср. с теоремой 11 п. II), то дугу Л можно
') Доказательство см. Мазурксвич [29]. Ср. также Мазуркевпч 126] и
Ярник [1].

528 Глааа 10, Топология плоскости
дополнить до простой замкнутой кривой С. Аналогично, аф{
содержится и простой замкнутой кривой С\. Очевидно, суще-
существует гомеоморфизм /г,, такой, что
/г с: Л, и /г,(С) = С,,
и, как мы только что установили, существует гомеоморфизм п",
такой, что
h* {о9\2) = f? и hxcz li, откуда h a h*.
Следствие 2. Все дуги, лежащие в g9, топологически
эквивалентны. Топологически эквивалентны также все простые
замкнутые кривые и все В-кривые, содержащиеся в ?Р.2.
Замечания, (i) В 3*3 утверждение следствия не имеет
места. Действительно, существует дуга, топологически не экви-
эквивалентная с/ ').
(п) Пусть Ф — пространство всех гомеоморфизмов /: о?х-*?Рг.
Тогда множество всех /, таких, что f(S^\) топологически экви-
эквивалентно а^ь есть множество первой категории в Ф2).
(Hi) В <?";, существует поверхность, которая гомеоморфна,
но топологически не эквивалентна сфере а^3).
Теорема 3. Пусть Do, .. ., Dn и D*Q, .. ., D\ — две системы
дисков, таких, что
Di(]T)j = 0~W:(}D~'j для 1Ф\.
Пусть Ci = Fr(Di) и C"* = Fr(D*). Тогда всякий гомеоморфизм
п: Са-*С*0 допускает гомеоморфное продолокение h", такое, что
A) А'(^2) = <^2,
B) /z*(D.)=D; для i = 0, ..., п.
Доказательство. Применим индукцию. Пусть п=\.
Пусть Л~а(уа1 и В = ft()&[ — две непересекающиеся дуги, непри-
неприводимые между Dq и D,, и аналогично пусть А* — а"{)а* и
В' = Л*6| —две непересекающиеся дуги, неприводимые между D^
и D*. где а^ = /г(а0) и b*Q = h(bQ) (ср. с теоремой 11 п. II).
') Лнтуа» II], [2). Ср. Лртип и Фокс [1], Блаикиншип [1], Вонг [1] и
Кли [ 1 ].
2) Мм.чпор [I].
8) Ср. Алексапдср [2] -14].

61. Качественные проблемы
529
Множество Sp2~(C0[jCi[j A[j В) состоит из четырех дисков
Do, D|, D2 и D,,. Чтобы показать это, достаточю применить
теорему Жордана к пространству, которое получится из ut>
если Do и Ъ{ рассматривать как отдельные точки.
А
В
Р и с. 20
Пусть Mj и Nj — две дуги ujbj множества С/ (рис. 20), за-
индексированные таким образом, что
C) Fr (D2) = Л!о U Л 1Ш, U В и, следовательно,
Аналогично, пусть
&2 -(с;и с; и л* и в*) = dou d: и я:и.
D)
где множества Л^* (и AQ и Z),^ (и /)*) заиндексированы так, что
выполняются условия
E) Fr (D$ = Ml U Л* U Af J U S*. Fr (D;) = ЛГ0 U Л' U Л^ U В*.
Очевидно, гомеоморфизм h допускает продолжение до гомео-
гомеоморфизма между множествами Со U С, U A U В и CJ U С* U A" U S'
и, следовательно, до гомеоморфизма h', такого, что /z*(D,) = D*
для / = 0, 1, 2, 3 (в силу условий C) —E)).
Таким образом, при п=\ теорема доказана. Теперь пред-
предположим, что она верна для га—1. Покажем, что она имеет
место для п.
Пусть а и b — две точки множества Со, L\ и L2 — две под-
дуги Со с концевыми точками а и Ь. Как легко видеть, суще-
существует дуга ab, такая, что Do П «& "=¦ («, Ь). Обозначим через Rt
34 Зак. 190

530 Глава 10. Топология плоскости
компоненту множества ^2 — C2 — ab с границей Liijab (где
/= 1, 2); тогда
DnczR{ и D.U ... иб„_,с/?2.
(Чтобы доказать это, достаточно применить теорему 8 п. IV,
считая D\, ..., Dn отдельными точками.)
Аналогично, пусть h(a)h(b) такая дуга, что
D*.nh(a)h{b)~[h(a), h(b)]
и что, если обозначить через /?J компоненту множества
Sp2-C')-h{a)h{b) с границей h{LL)\]h{a)h(b\ то
wnczR] и Ци ... и д";_, <=/?;.
Пусть/?0 —продолжение гомеоморфизма h на множество Du\]ab,
такое, что
ho(Do) = D'o и
Применяя теорему 3 к случаю двух дисков o/'2 — R » &п и
к случаю « дисков S^^ — Ri, Du D2, ..., О„_ь можно, во-пер-
во-первых, продолжить гомеоморфизм ho\ L[\]ab на Ru а затем гомео-
гомеоморфизм ho\L2{Jab на /?2 таким образом, чтобы при этом удо-
удовлетворялись соотношения B), сначала для i = n, а затем для
<-1, 2 п-1.
Теорема 4. Всякий гомеоморфизм между двумя замкну-
замкнутыми нульмерными множествами можно продолжить до гомео-
гомеоморфизма на всем пространстве еУ2.
В частности, на сфере ?Р2 всякое совершенное нульмерное
множество топологически эквивалентно канторову дисконти-
дисконтинууму <ё.
Доказательство. Пусть
F = F, dim У7 = 0 и F' = h{F),
где h — гомеоморфизм.
Определим две последовательности замкнутых множеств {/•"„}
и {/•"*,} и последовательность гомеоморфизмов hn\ 3p,—>?'!>2, удо-
удовлетворяющие следующим условиям: .
(i) Fcfnc
(ii) Fn = Dnl U ... U Dnkn, Dnl П Dnl = 0, F П Dn; Ф 0;

§ 61. Качественные проблемы 531
(vi) Art_,|^2-/•„_, с:/?u;
(vii) &(Dnl) <. I/га для четных значений я;
(viii) 6(D*()<l/ra для нечетных значений /г,
где ?>„, и 0*,-диски.
Воспользуемся индукцией. Пусть Dn и D* —два диска,
таких, что FczD0 и F*czD*0. Положим FQ = Do и /•"„ = D*. Пусть
/г0: SP,2—>SP.2~ гомеоморфизм, такой, что Л0(/H) = О„.
Пусть /г > 0 четное. Предположим, что условия (i) — (vii)
удовлетворяются для /г—1. Так как /•' не является разрезом
(согласно теореме 6 § 57, III), то пусть Fn — множество, удо-
удовлетворяющее условиям (i), (ii) и (vii) в соответствии с тео-
теоремой 11 п. III.
Определим последовательно диски D'nl, ..., D'nk следующим
образом. На основании (i) — (Hi) можно предположить, что
Dnl U • • • U ?>„,„ <= ?>„_,, 1 и Dnm <? Dn_i,, для sn < in < kn.
Следовательно, F (] Dn_i:l = F (] Dlt]\j ... \j F f\ Dns и, согласно
(v) (для га— 1),
Отсюда по теореме 9' п. II вытекает существование системы
дисков D*,, ..., D*ns , такой, что
л (F n о„«) с d;(, d;,. с d;.,, , и o;(n Wnl = о для / ф /.
Определим аналогичным образом диски D*nm для tn>sn n
множества F*n с помощью первого равенства (in). Тогда будут
выполняться условия (i), (iii) и (v).
Наконец, в соответствии с теоремой 3 определим гомеомор-
гомеоморфизм Л„ так, чтобы удовлетворялись условия (iv) и (vi).
Итак, соотношения (i) — (vii) выполняются.
Для нечетных значений га поступим аналогичным образом,
заменив F и Fп па F' и F'n, a D'nl и /^_, на Dnl и Fn_r Полу-
Получится гомеоморфизм Л, обратный к Л„. Положим
A'U)= I'm /?„(*)•
34*

532 Глава 10. Топология плоскости
Так как сходимость равномерная, то функция /г* непрерывна
и К (?f 2) =* &12. При этом /г с/г*, ибо в силу (iv), (v) и (viii) мы
имеем
|Л(*) — Л„(*)Кй(?>;f)< 1У(я - 1) для x?F[\Dnt.
Так как (/г* | ?Р2"~ F)- <&>2 ~ F ~* ^i ~~ F* ~~ гомеоморфизм на (со-
(согласно (vi)), то h* — гомеоморфизм всего пространства о5.
Замечание. В У3 эта теорема неверна1).
Теорема 5 (Данжуа — Рисса). Всякое замкнутое нульмер-
нульмерное множество F содержится в некоторой дуге 2).
Доказательство. Пусть А — подмножество интервала 3
и h: A -> F — гомеоморфизм на (ср. § 26, IV, теорема 2); чтобы
получить дугу, содержащую F, достаточно продолжить этот
гомеоморфизм на 3.
Замечание. Эта теорема остается справедливой, если 3?2
заменить локально связным континуумом, не содержащим ло-
локально разделяющих точек (т. е. никакая его точка не разде-
разделяет никакой области3)).
Теорему 5 можно усилить следующим образом.
Теорема 6. Если А и В—два компактных нульмерных
подмножества пространства У2, то существует дуга L, такая,
что
F) L П В cz A a L.
Более того, если а0 и а\ — две любые заданные точки Л,
то можно считать, что они суть концевые точки дуги L.
Доказательство. Так как A \J В а& и так как &" одно-
1o|i
родно, то по теореме 4 существует гомеоморфизм h: tf2—>'<?2,
такой, что
аГ2, /г(ао)
Положим
Е{[ h(A)}} где
х, у
') См. Антуан [1], [2]. См. также Бинг [11], Киркор [1] и Мак-Мил-
лан [1].
2) См. Рисе [1] и Данжуа [1]. По поводу обобщений см. Клайн и
Мур [1].
8) Теорема Уайберна [17J.

<j> 61. Качественные проблемы 533
Так как /С —дуга (ср. § 21, IV, E) и §15, V, теорема 1) с кон-
концевыми точками 0 и 1, то L — дуга айа{. Более того,
К(\3 -А (Л), так что L П Л {0) = Л,
откуда следует соотношение F), ибо В с h~x {0).
Теорема 7. Если Ro и Rt — dee гомеоморфные области,
такие, что dim(<?°2—/?0) = 0 = dim(<5°2 —/?i), то всякий гомео-
гомеоморфизм h области Ro на Rt можно продолжить до гомеомор-
гомеоморфизма рУ2 на <?°2 ').
Доказательство. Пусть Р^^2~ Ro- Покажем, что
колебание соЛ (р) равно пулю.
Предположим, что со/((р)>0. Тогда существует последова-
последовательность точек an?R0, такая, что
G) lim an = p,
П->°о
(8) \h{an)-h{aa+i)\>r\, где г]>0.
Пусть Л — множество, состоящее из точки р и точек ап,
где п = 1, 2, .... Так как А = Л и dim/1 = 0, то по теореме 6
(где й = (^2~^о) существует дуга L — a^p, такая, что А с L и
L — Ro= p. Положим
(9) Сп = А(я„а„+|), где artan+,c:L.
Пусть {C/tn} — сходящаяся подпоследовательность последо-
последовательности {Сп}; пусть
С = Lim Сй .
Согласно (8), б(С)^т|. Поэтому континуум С содержит
более одной точки. Следоиательно, Cfl^i^O, так как
dim (^2 —/?,)== 0. Но это невозможно, так как, согласно (9),
р = Lim (апап+1), поэтому Ro f| Lim (a.k a.k +i) == 0 и, следовательно,
fe =0.
Таким образом, установлено, что сол(/?) = 0 для каждой
точки р^З^ъ — Ro; аналогично можно доказать, что a>iri(q)=>Q
для каждой точки q ^ ^ ~ ^1- Следовательно,
ftcf, где /: а/-> о5 непрерывно и / (/?0) = &ь
h~l cz g, где g: <&>2^>'&'ъ непрерывно и ?
') Теорема 7 является частным случаем теоремы 1 § 57, IV (которая
была приведена без доказательства).

534 Глава 10. Топология плоскости
Отсюда легко получаем, что # = /"' (ср. с последней частью
доказательства теоремы 6 п. IV).
Теорему 9 п. IV можно более точно сформулировать сле-
следующим образом:
Теорема 81). Пусть R,t — область и II j — пространство
разбиения множества S^2~Ri на компоненты (/ = 0, 1). Тогда
имеет место следующее соотношение эквивалентности:
(Ю) (/?0 = #,)^(Я0=Я1).
lop top
Доказательство. Будем рассматривать Я/ как под-
подмножество 3?2> тогда по теореме 9 п. IV
(И) R,=-<S^2-H,.
top
Так как dim//y = 0, то по теореме 7
()
lop top
а па основании теоремы 4
(Но = Я,) =Ф (<^2 - Но = <^2 - Я,).
top top
Из этих импликаций в сочетании с A1) получаются соот-
соотношения A0).
Теорема 9 (об инвариантности). Если R — область про-
пространства 3?2> то мощность семейства компонент множества
аУ2 —R есть внутренний инвариант R.
Доказательство. Это прямое следствие теоремы 8 2).
Аналогичный вопрос, касающийся открытых подмножеств
пространства S^2, мы рассмотрим в § 62, X (замечание 1).
§ 62. Количественные проблемы.
Группа еТА
I. Общие свойства и обозначения 3). В соответствии с по-
последним замечанием § 56, I все теоремы § 56 и 57 остаются
') См. Керекьярто [2, стр. 123].
2) Ср. с примечанием по поводу теоремы 7.
3) Ряд теорем § G2 можно вывести из соответствующих теорем § GO
(подстаилня я = 2). Однако автору казалось желательным дать здесь пря-
прямые и более элементарные доказательства рассматриваемых теорем, не
используя когомотопное умножение (без которого в случае п — 2 можно
обойтись, так как с^2 — абелеиа группа и, следовательно, всякая пара функ-
функций со значениями в с5°2 мультипликативна).

fi 62. Количественные проблемы. Группа <? 535
справедливыми, если окружность ?Р заменить множеством ?Р
(т. е. плоскостью Й°2 с выброшенной точкой 0), а множество
<f — множеством '<о~. Всюду в дальнейшем мы будем считать,
что соотношение /~1, где /: 3'->S^ — непрерывная функция,
означает существование непрерывной функции и: X->'?',
такой, что
f (*) = «.«<*) для х?%;
XV C') будет обозначать множество функций /6^г. таких,
что /~1; -М-*') будет обозначать факторгруппу <&>X/XV(X),
a bi('t') — oe ранг.
Приведем несколько легко доказываемых утверждений, кото-
которыми мы часто будем пользоваться.
Теорема 1. Пусть f: X —> ff* — непрерывная функция. Опре-
->
делим } следующим условием:
f(jc)-T7wT
Для того чтобы f(x) = e"i-x\ где и: X ->cf2 — непрерывная
функция, необходимо и достаточно, чтобы f (х) = e"f{х), где
ср: X -><? — непрерывная функция.
Следовательно, условия /~1, / гомотопна 1 относительно
-> >
&1 и /~1, / гомотопна I относительно & эквивалентны.
Теорема 2. хФ 1 wa ^°.
Ср. § 56, III, 4 (i). Более общо, верна следующая
Теорема 3. х — р Ф \ на с?2 ~ р и х _р- ф I на S^2~ P~<h
ненр. х Ч
Доказательство. Томографическая функция f(x)~ x~p
отображает Sr2 — p — q на <5°. Если /(л:) ==<?"'х) для лг6<^°2~"
— p — q, то y = e"f <"> для у?<&*, что противоречит теореме 2.
Замечание. Условимся писать a; —fl^sl если а = оо.
Теорема 4. Если С— окружность \ х — р\ = г, где р,
то для каждой непрерывной функции f: C-*ef существует
одно и только одно число п, такое, что f(x)~(x~p)".
Другими словами, функция х — р есть базис группы &*с по
mod4'(C).
Доказательство. Это простое следствие теоремы 4 из
§ 56, III.
Теорема 5. Из \q — p\~>r вытекает^ что (х — <7)~1 wa С.

536 Гмша 10. Топология плоскости
Доказательство. Действительно, луч R,, выходящий
из точки 0 и параллельный вектору q — р, не содержит зна-
значений функции х — q для х?С.
Теорема 6. Если Q—замкнутый диск \ х — р \^г, то всякая
непрерывная функция f : Q ->af гомотопна единице, т. е. /~1.
Это прямое следствие теоремы 9 (i) из § 58, I.
Замечание. С помощью теорем 4 и 6 можно дать очень
простое доказательство основной теоремы алгебры ').
А именно предположим, что полином
не обращается в пуль ни при каком х. Пусть g(x) = an_lxn~l + ...
,. . + по. Пусть /- — действительное число, такое, что
A) \xn\>\g(x)\ для \х\>г.
Пусть Q—замкнутый ¦ диск |л:|^/' и С—его граница. По
теореме 6 /~1 на Q и, следовательно, на С.
Покажем, что f(x)~x" на С, что приведет к противоречию,
так как по теореме 4 х" Ф 1 на С. Положим
h(x, t)=*xn + t-g(x), где 0<<<1;
тогда / гомотопно х" на С. Действительно,
h(х, ОН Л h(x, l) = f(x) и h(x, 0^=0 для \х\ = г,
ибо если h(x, t) — 0, то
хп~ - t. g(x)t откуда | x"\ = t • g{x), следовательно,! *"I<| g(x)\,
что противоречит A).
П. Разрезы сферы аУ,2-
Теорема 1 (Эйленберга 2}). Множество Л cz t?9>2 — Р — q не
разрезает аУ2 между точками р и q тогда и только тогда,
когда
A) T^f~l на А-
Доказательство. Положим
B) К'ИтЗг-
') Ср. Александрой и Хопф [1, стр. 469].
2) Эйленберг [7, стр. 75].

§ 62. Количественные проблемы. Группа <&А 537
Сначала пусть С —такой континуум, что р, ^Сс^2-Л.
Согласно теореме 3 из § 61, I, /| &2 — С ~ 1, откуда следует
соотношение A), так как Лег е72~~ С.
Обратно, предположим, что соотношение A) имеет место.
По теореме 9 из § 56, II существует открытое множество G,
такое, что
C) AczGd^2-p-q и /|G~1.
Предположим, что А — разрез между точками р и д; тогда
С — тоже разрез между этими точками. Поэтому G содержит
замкнутый разделитель F между р и ц. Но тогда \\F Ф \
(согласно теореме 3 п. I и теореме 5 § 59, II), что противо-
противоречит C).
Теорема 2. Никакое множество, стягиваемое относи-
относительно &', не является разрезом аУ2-
В частности, никакое множество, гомеоморфное подмноже-
подмножеству интервала, не является разрезом ?f2 (СР- § 58, I, 9 (iv)).
Теорема 3. Если С — связное множество и D — разрез
между точками р и ц, такой, что CczDaC—p — q, то суще-
существует точка а ? D, такая, что С U а — разрез между рис/.
Доказательство. Если / определяется формулой B), то
из условий 1\ОФ\ и /|С~1 вытекает, согласно теореме 7
§ 56, VI (если положить 3' = D), существование такой точки а,
что (/|С U а)* 1.
Теоремы 4 и 5. Если в утверждениях теорем 2 и 5 из
§ 59, IV заменить &'„ на ?Piy то предположение о том, что
F замкнуто, можно опустить.
Доказательство. Для того чтобы доказать теорему 4,
достаточно в доказательстве теоремы 2 § 59, IV заменить
следствие 6 § 59, II теоремой 1.
Для доказательства теоремы 5, чтобы упростить обозна-
обозначения, положим р — 0 и q = oo. Тогда по теореме 1 x\F~\.
А это означает, что множество /; можно деформировать в точку
в & (ср. § 54, IV).
Теорема 6 (обобщенная теорема Эйлепберга). Пусть р0,..., рп
суть п+ 1 различных точек, и пусть Лс$'2~(/;,, рп). ]{ля
того чтобы Л было разрезом между каждой парой точек ph
Pl (где 1Ф\), необходимо и достаточно, чтобы сомографические
функции

538 Глава 10. Топология плоскости
были линейно независимыми на А по moc\xV(A), т. е. чтобы
из условий
E) (х - ро)*° ¦ ...• (л- - р„)*« ~ 1 на А
и
F) ko+ ... +/г„ = 0
вытекало, что /?о = 0, .... /г„ = 0.
Доказательство. Условие необходимо. Для доказа-
доказательства применим индукцию. Утверждение верно для «=1,
так как /i ^ 1 по теореме 1. Предположим, что оно спра-
справедливо для в-1 и каждого Л.
Пусть /?0) ..., /г„ — система целых чисел, удовлетворяющая
условиям E) и F).
В соответствии с теоремой 9 § 56, II пусть G — открытое
множество, такое, что
G) /1сСс^-(р„, ..., Ра)
и (дс-ло)*°- ... - Cjc — />„)*" — 1 на О.
Обозначим через С/ компоненту множества аУ2 — С, содер-
содержащую точку fij. Пусть L —дуга, неприводимая между Со и
С i U ••• U Сп, т. е. такая дуга, что одна из ее концевых точек,
скажем а, принадлежит Со, а другая, скажем Ь, — одному из
множеств С\, ..., С„, например Сп, и при этом Л|С/ = 0 для
. Легко видеть, что множества CnU^UCn, Сь С2, ...
С„_, являются компонентами множества г>5 —Я, где
Я = G — /.. Поэтому Я представляет собой разрез между каждой
парой точек ph p!t где i<j<n, однако не является разрезом
между точками /;0 и рп. По теореме 1 /„-~1 на //, поэтому
/*"~1; отсюда в силу G)
(х - рор+"п • (х - р,)*' -....(*- р„_,)*-' - 1 на Я,
и, следовательно, по предположению k0 + kn = 0, &! = (), ...,
/e,,_i == 0. Эти равенства вместе с E) дают соотношение f*"~l
па Л, и значит, kn = 0, ибо Л есть разрез между точками р0
и р„.
Условие достаточно. Предположим, что Л не является раз-
разрезом между точками р„ и р,. По теореме 1 /i~l па Л. Поло-
Положим /г,, = — 1, /?i = I, fe2 = 0, • • -, Л„ = 0. Тогда выполняются усло-
условия E) и F).
Теорема 7. ?слм Л = <ff2 — (д„ ..., р„), гг)<? р{фр\ при
1Ф\, го гомогр и/шческие функции D) образуют базис группы
&А по шос1Чг(Л).

§ 62. Количественные проблемы. Грцппа & 539
Другими словами (с учетом теоремы 6), всякая непрерывная
функция f: Л->сТ имеет следующий вид:
(8) f(x) = e^{x-po)k».....(x-pn)\
где и: А —>cf2 — непрерывная функция и ko+ ... +kn = 0.
Доказательство. Применим индукцию.
(i) Пусть /i = 0. Так как ??¦> — po = (f2, то /~1 (ср. § 57,
I, 9 (О). Следовательно, /?0 = 0.
(ii) Пусть п>0 и теорема имеет место для п — 1. Можно
также предположить, что рпфоо. Пусть Л'с^—(р(), . . ., /?„_,) —
замкнутый диск с центром рп. Пусть C = Fr(A"). По теоремам
4 и 5 п. I на С
f(x)~(x-pnf* и дс-/>0~1.
Положим
(9) h{x) = f(x)(x-po)k«(x-pn)-*";
тогда h | С ~ 1.
Пусть в соответствии с теоремой 8 § 56, II
A0) h\Cczf\ где Г: К—>^ непрерывна и /*~1.
Положим
Г Г (л:), если х?К,
A1) g(x)~\h(x), если х?А~Ш(К).
Согласно A0) и (II), g: А {] рп->§Р — непрерывная функция.
Таким образом, из предположений следует, что
A2) g(*)~(* -роI°- ... •(*-/;„_,)'«-' на Л U /)„
и /0+ ... +/„_|-0.
С другой стороны,
A3) ft~h на Л-Ы(К) и на К - рп,
так как я=^ "<i А — Int(/С), согласно A1); следовательно, а = /г
на С, откуда вытекает, что #~'г па К — рп, так как К ~ Рп
деформируемо на С (ср. 54, IV, теорема 1).
Поскольку множества Л —Int (Л") и К — рп замкнуты в их
объединении Л, а их пересечение С связно, то, согласно A3),
?~/г па Л (ср. § 56, VI, теорема 3).
Согласно (9) и A2), отсюда следует, что
}(х)~(х - /;„)'»"*» (л- - />,)'¦ • ...• (х - р„...,)'»-' ¦ {х- рп)'"" на Л.
Полагая /^ = /„ — /?„, ki — lu •••. Л„_, = /„_i, получаем фор-
формулу (8).

540 Глава 10. Топология плоскости
Теорема 8. Пусть g: .%' -> ?f2 — непрерывная функция.
Если множество g(-%) не разрезает ?f2 между точками р и q, то
A4) ^
R(x)-q
Доказательство. По теореме 1
и-Р = ev (у)
и - ч
где v: gi^')-^^2 непрерывна. Следовательно,
к \х\ ~ р = е°
-q
для х 6
Теорема 9. ?cy/u g: .Т -* ЗР^ — гомеоморфизм, удовлетво-
удовлетворяющий условию A4), то множество g(S) не разрезает ?f2
между точками р и ц.
Доказательство. Пусть А: %(№)—>3? — функция, обрат-
обратная к g. По условию A4) имеем
1Р =еи{х), откуда получаем J^- = e"h^ для y?g{.V).
Согласно теореме 1, g(&) не является разрезом между
точками р и ц.
III. Группы.^ и »,(/=¦) для F = F<=<5f2.
Теорема 1. Всякая непрерывная функция f: F—>&* гомо-
гомотопна рациональной функции, нули и полюсы которой принад-
принадлежат ?f2 — F.
Доказательство. По теореме 9 § 59, II существуют
конечное множество точек р0, ..., рп, принадлежащих <if2 — F,
и непрерывная функция Г, такие, что
fcf: Л-*&, где Л = ??2-(рп, ..., /)„).
По теореме 7 п. II f* (х) ~ (х — pof0 • ... • (х — рп)''п,. так что
A) f(x)~(x-po)k°- ... •(«-/?„)*" на F и *0+...+fen = 0.
Замечание. Пусть /?,,, Rlt ...—(конечная или бесконеч-
бесконечная) последовательность компонент множества ?P2 — F. В соот-
соответствии с теоремой 9 из § 58, II можно считать, что
B) Pi ?Rh где / = 0, 1
C) k,~0, если f|Fr(/?,)~l.
Принимая во внимание B), теорему 1 можно пополнить
следующим образом:

<S 62. Количественные проблемы. Группа <?А 541
Теорема 2. Если г — произвольная рациональная функция,
гомотопная f на F, то показатель степени kj представляет
собой алгебраическое число нулей и полюсов функции г, при-
принадлежащих R;, т. е. число нулей и полюсов, каждый из кото-
которых считается с учетом его кратности {кратность полюса
отрицательна по определению).
Следовательно, показатели степени /г0, ku ... определяются
однозначно (т. е. не зависят от выбора точек р\ ? R/).
Доказательство. Пусть г (х) = с (х — q0) ° • ... • (х — qm)lm'
где t/o^00. если F ограничено. Тогда
C0 f(;t)~(*-</0)'a.-... •(x-qj'» и t0 + . . . + lm = 0.
Положим Q/ = /?/Л(<7о. •••• Qm)- Для фиксированного / пусть
Q/ = O,- •••. Qtv).
По теореме 1 п. II на F
х-pi x-pj
Следовательно,
D) (х - qti)lh -...-(х- qtj'v • (* - p,rk'l ~ 1,
где k) = /^ + ... + U и k'i = 0, если Q/ = 0.
Таким образом, k/ — алгебраическое число нулей и полюсов
функции г, принадлежащих /?/.
Из C') и D) следует, что
E) /М~(*-Р</° •(*-/>.)*' ...и
Положим kj = 0 для />«, тогда из соотношений (I) и E) выте-
вытекает, что
1 ~ (х - /7o)fe°"fr° • (х - pi)kl~ki • ... на F и
(k'0-k0) + (k'l-kl)+ ... =0,
следовательно, ^/ = й/ для /=0, 1, ... в силу B) и теоремы 6
п. II.
Следствие 2'. Для того чтобы &/ = 0, необходимо
и достаточно, чтобы функция f допускала непрерывное про-
продолжение /*: F\)R,->&.

542 Глава 10. Топология плоскости
Доказательство. Согласно A), для x?F имеем
F) / (X) = С>" W • (X - Ро)"° • • ¦ • • (X - />„)*»,
где и: u72—>(f2 — непрерывная функция.
Допустим, что й = 0, и положим
G) f W = e« <*>(*- Рор ..... (*_ Р/_,)*Ы • (х ~ Pl + l)klu .
•...•(*-/;„)*«
для xfE^U-ft/; тогда существует непрерывная функция /*,
такая, что
(8) fez Г: F[)Ri^o9>.
С другой стороны, если выполняются условия (8), то равен-
равенство G) имеет место в F\JRj. Таким образом, в равенстве G)
можно опустить звездочку, и, следовательно, ks — 0.
Теорема 3. Если B) выполняется, то гомографические
функции
(9) ^^, ^=^-, ..., где x?F,
образуют базис группы оР' по mod ;Ir(F).
Доказательство. В силу теоремы 1 достаточно пока-
показать, что функции (9) линейно независимы на F по modMr(F),
другими словами, что из соотношений
(х - роГ' • (х - Pi)"" • • ¦ ¦ ~ 1 на F и 1щ + /п, + ... =0
вытекает, что Шо = О, т, = 0
Но это прямое следствие теоремы 6 п. II.
Из доказанного вытекает следующая теорема о хирактери-
зации группы 33, (F):
Теорема 4.
где /г = ш, если число bn(?P2 — F) компонент множества S"., — !7
бесконечно, и п = bo(S^2~ F), если это число конечно.
Более точно, искомый изоморфизм будет определен, если
f(zc<^F поставит/, в соответствие точку (/г,, k2, ...)?$", опре-
определяемую условиями (I) и B).
Из теоремы 4 непосредственно вытекает следующая
Теорема 5 (двойственности ')). ft, (F) = Ьп{п7>2 — F).
') Ср. с теоремой дпойстнешюстн Ллскс.шдера [1| и алгсиранчсскоЛ
топологии. Ср. также Брушлинскпй [1] и Фрсйдситаль [I].

62. Количественные проблемы. Группа ^А 543
Теорема 6 (инвариантности). Число (непустых) отделимых
частей, на которые множество А с: <?Р2 разбивает <^2, является
внутренним инвариантом.
Доказательство. При Л= А эта теорема вытекает из
предыдущей. Общий случай следует из этого частного случая
и теоремы 7 § 49, IV (ср. с доказательством теоремы 6 из
§ 59, IV).
IV. Теоремы сложения.
Теорема 1. Если ни одно из множеств Ло и Л,, которые
оба замкнуты (или оба открыты) в Ао[) At, не разрезает ?Р2
ни между какой парой точек р0, ..., рп (п > 0), тогда как
ЛоиЛ, разрезает <зУ2 между любой парой этих точек, то мно-
множество Л0ПЛ| содержит по крайней мере п + l компонент ').
Доказательство. Согласно теореме 1 п. II,
-—^-~1 на Ло и на А, для /г=1, 2, ..., п,
X— ро
а по теореме 6 п. II функции
х-ро ' '''' х-ро
линейно независимы на ЛоиЛ, по mod хУ(Лп[) Л,).
Поэтому ранг р, (Ло, Л,) группы ^(Ло, Л,) (см. § 56, V D),
где нужно положить %' — Xq\J А{) не меньше п. Так как, с дру-
другой стороны, рх (Ло, Л,) < йо(Ло П Л,) (согласно теореме 6 § 56, V),
то ^о(ЛоГ1^1)>«-
Лемма 2. Если Ло и А\~два множества, таких, что
@) ЛоиЛ.^^2 и ЛоПЛ1 = ЛоП^ь
го для всякой непрерывной функции f: Л0П Л,—>с9°'существуют
две непрерывные функции f0: A0->o9' и f,: A\-*¦<&*, такие, что
A) f{x) = fo(x)-h{x) для хбЛоПЛ,.
Это означает, что (ср. § 56, IV @))
B)О,(Л0, Л,) = ^ЛоПЛ1, следовательно, й,(Л0, Ai) = bl (Л„ П Л,),
если выполняется @).
Доказательство. Пусть р0, ри ...— последователь-
последовательность, содсржагцая точно по одной точке из каждой компоненты
') Теорема Страшевнча [2] (для замкнутых Ло и Л,).

544 Глава 10. Топология плоскости
множества ?Р2 —(Ло П Л |); более того, предположим, что ри ? &\ —
— {А0[)А\). Положим F = A0{]Ai в теореме 1 п. III; тогда
где и: u72-+<f2 непрерывно.
Так как ?Р2 ~ (Ло П А) = (Sf2 — ЛШ (^2 - ЛО, то можно счи-
считать, что
(Pi РшЭ^^г-А) и (рт+ , pn)<=z?P2-А{.
Положим
Тогда условие A) выполняется.
Теорема 3. Если Ао и Ах — два замкнутых {или два от-
открытых) множества в AQ[} Аи таких, что
го, полагая ind(/l) = Ь0{Л) — Ь{{А), имеем
C) ind (ЛоU Л,) + ind (Ло П Л,) = ind (Ло) + ind (Л,).
Доказательство. Соотношение C) вытекает из B) и
из G.3) § 56, V.
Теорема 4 (Страшевича 1)). Пусть Aj — Aj, В^ёР^ — А/
(/ = 0, 1) и
D) ЛоПЛ,^=О^=ВоПВ,.
Тогда
мл>и л.) + мл0 п л,) - мл>) - мл,) =
- bo (Во U Я.) + &о (Во П Я,) - bo (Во) - bo (В,).
Доказательство. Это следствие теоремы 3 и теоремы 5
п. III.
Замечание. Если одно из неравенств D) не выполняется,
то в силу теоремы 4 § 57, II и теоремы 10 § 55, X имеют место
следующие импликации:
(i) если ЛоПЛ,==О, то bo(Bof] В,) = Ь0(В0) + 60(Д,) 2);
') См. Страшепич [2, стр. 184].
2) В этом папранлешш см. также Стоум Л. [1]; другие теоремы сло-
сложения см. Бинг [1], [2J.

62. Количественные проблемы. Группа <^А 545
(ii) если A0\J Ах — а72 и В/фО, то
bo(Bo[i Bi)= Ьо(Во) + bo(Bi)+ I.
Теорема 5. Если Ло и Ах — континуумы, то
E) ЬоМоПА)<Ьо[^2-(ЛоиЛ)].
Если, более того, Ло и Ах не разрезают <if2, то
F)
Доказательство. Неравенство E) легко получается из
теоремы 4 (вследствие уникогерентности ёР2 и теоремы 9 § 55, X).
Вторую часть теоремы можно выве.сти из E) на основании тео-
теоремы 1 (из которой вытекает противоположное неравенство).
Теорема 6. Если пересечение Ай{\ А\ двух континуумов
Ао и Л1 не связно, то существует пара точек (р, q)c?f2 — (Ло О Л,),
такая, что Ай[} Ах разрезает ?Р2 между ними, а Ао не разре-
разрезает ').
Доказательство. По теореме 4§ 56, VI существует
непрерывная функция f: A0[j Ax ~*?P, такая, что
G) ftl,
(8) f\Ao~l.
В соответствии с теоремой 1 п. III пусть
(9) f (х) ~ (х - рор ..... (х - рпр на Л о U Ль
(Ю) ko+ ... +kn~0,
A1) |.*ol+ ... +\
где точки ро, ..., рп принадлежат различным компонентам
множества е?2 — (^oU Ax).
Из соотношений (8) и (9) вытекает, что
(х-po)k"- ... •(*-р„)*»~1 на Ло.
Следовательно, согласно A0) и A1), функции
х-р\ х~Рп
X — Ро X— Ро
не являются линейно независимыми по mod^V(Ао). Таким об-
образом, по теореме 6 п. II существует пара точек pt, ph где
^^«, между которыми Ло не разрезает ^2.
Замечание. Как показывает пример двух окружностей,
имеющих две общие точки, в теореме 6 нельзя утверждать,
') Теорема Куратовского и Страшевича [1, стр, 154].
35 Зам. 190

546 Глава 10. Топология плоскости
что существует пара точек, между которыми множество AilMi
является разрезом, тогда как ни множество Ло, ни множество Л[
не является разрезом.
Следующие две теоремы обобщают теорему о трех конти-
континуумах '):
Теорема 7. Пусть Со, С\ и С2 — три связных множества
11 Ро. Р\ — две точки множества аУ2 — (С01)С{[]С2).
Если ни одно из множеств Ck\JCk+l не разрезает <У2 между
точками р0 и р, и если Со П Ci Л С2ф0, то множество Со U Ci U С.,
также не разрезает ?f2 между этими точками (здесь k = О, 1, 2
и индексы приведены по mod 3).
Доказательство. По предположению (ср. с теоре-
теоремой 1 п. II)
х~Р\
1 на Ck[)Ck+i для /г = 0, 1, 2.
Поэтому по теореме 5 § 56, VI
¦j=A—1 на CoUC,UC2)
откуда следует требуемое заключение (согласно теореме 1 п. II).
Теорема 8. Пусть Со, С{ и С2 — три связных множества
и Ро. Pi> Рч~три точки множества ^'2 — {Co{}Ci\JC2). Если ни
одно из множеств Ck\jCk+l не разрезает S?2 ни между какой
парой точек (р0, р{), (ри р2), (р2, ра), то множество Са\} С Х\]С2
не разрезает ??2 по крайней мере между одной из этих пар
(к — такое же, как в теореме 7).
Доказательство. Пусть 37=* С<>\}С\ (J С2- Если точки
Ро. Pi и Рч принадлежат трем различным компонентам множе-
множества &>i-~37% то функции
/.О
и f(x)
х-р0 1гк ' х-р0
линейно независимы на 37 по тосРР (.#'), согласно тео-
теореме 6 п. II.
Отсюда на основании теоремы 6 § 56, VI вытекает, что
одна из шести функций \l\Ck\]Ck^x, где /=1, 2, k = 0, 1, 2,
не гомотопна 1. Пусть, например,
Y~^^ на Со U С,.
[) Ср. Куратовский 121], Чех [2] и Эйленберг [7, стр. 78].

,ф 62. Количественные проблемы. Группа <?А 547
Тогда по теореме 1 п. II Со U С| разрезает ??2 между точками
Ро и />,.
Замечание. Из теорем 5' и 6' § 56, VI вытекает следую-
следующее обобщение теорем 7 и 81) (индексы должны быть приведены
по mod я).
Теорема Т. Пусть Аа, ..., /1„_[ суть п(п^З) произ-
произвольных множеств и ро. Pi ~ две точки множества e$^2~(A>U • • •
... U /!„_[). Если ни одно из множеств Ak+1 [}¦¦¦[) Ль+п-1 не
разрезает zf2 между точками р0 и pit все множества Ck =
= Ak + i U • • • U At+n-2 связны и Со Л • • ¦ П С„_,=5^0, то множество
Д) U ... U /!„_! не разрезает <?Рг между р0 и р,.
Теорема 8'. Я//сгь (р0, Рь Рг^^ —(Л11 ¦ • • U Л„_[).
«н ойно из множеств Ak+i U • • • U Ak+n_y не разрезает ?Р2 ни
между какой парой точек (ро> Pi). (Pi. P2) и (р?. Ро) » бС(? мно-
множества С/1 = Л/,.м U • • • U ^fe+n-2 связны, то множество Ао{] .. .
... U Л„_1 не разрезает ?Рг между хотя бы одной из этих трех
пар.
Теорема 9. Пусть С — локально связный континуум и F—
замкнутое множество, не пересекающееся с С. Тогда сущест-
существуют два локально связных континуума Со и С\, таких, что
С = Со U С\ и ни один из них не является разрезом &Рг ни между
какой парой точек F.
Доказательство. Так как F компактно, то существует
конечная система Ro, ..., Rn компонент множества &'2~С,
такая, что FczR0\j . .. \j Rn. Если п = 0, то можно положить
С0 = С = С,. Поэтому будем считать, что п^12). Пусть pt ? R/
для / = 0, . .., п.
Пусть L —дуга, соединяющая точки р0, ..., р„. По тео-
теореме 9 (iv) § 58, I множество L П С стягиваемо относительно &'.
Следовательно,
~ 1 на L Л С для / = 1, ..., п.
X — ро
Согласно теореме 9 § 55, II, в С существует замкнутая
окрестность Fa множества Lf\C, такая, что
A2) -—— ~1 на Fo для /= 1, ..., п.
х — ро
Положим F^C — Fo. Тогда /71П^ = 0 и, следовательно, F,
не является разрезом между точками р0 и р/. Отсюда получаем
') Докалательстпо см. Куратопский [42].
2) Частный случай, когда /?.=»!, см. в статье Куратовского [8].
35*

54S Глава 10. Топология плоскости
(согласно теореме 1 п. II), что
A3) 1Г=Т~1 на F' Для /=1> •••• "•
Из соотношений A2) и A3) в силу теоремы 6 § 56, X (если по-
положить 3' = С) следует существование двух локально связных
континуумов Со и С|, таких, что при пг — 0, 1
J^f^1 Ha Спг При /=1, .... П.
Таким образом, Ст не является разрезом ни между какой па-
парой (ро, Pj)\ поэтому существует компонента Qm множества
<?2-Ст, такая, что {ра Pn^Qmy следовательно, #0U ...
... U RnczQm и, значит, FcQn.
Кроме того, так как C = F0[JF\, то C = Col)C|.
Следствие 10:). Всякий локально связный континуум С,
разрезающий e?Q на конечное число областей, является объе-
объединением двух локально связных континуумов, не разрезаю-
разрезающих ёР%.
Доказательство. Пусть Е — конечное множество, содер-
содержащее по одной точке из каждой компоненты множества d5^2 — С.
По теореме 9 существуют два локально связных контину-
континуума Со и С, и две компоненты Ro множества S^2~C0 и Ri
множества &2 — С\, такие, что
(И) С = Co(JCb
A5) EczRm, следовательно, &>2 — C(=.Rm для m = 0, 1.
Поэтому множество C*m = S^2 — Rm есть локально связный конти-
континуум, не разрезающий ?Р2 (ср. § 49, II, теорема 1). Далее,
согласно A5),
S?2~CczRmczpy2-Cm, так что Cmcd5- #m = C*mczC,
и потому С = Со U С* на основании A4).
V. Неприводимые разрезы. Из теоремы 1 п. II вытекает
следующая
Теорема 1. Множество Аа<?Р2— р — q неприводимо раз-
разрезает &2 между точками р и q тогда и только тогда, когда
^- Ф 1 на А,
Q иепр,
') Теорема Борсука [1?],

$ 62. Количественные проблемы. Группа <Р 519
Это утверждение можно обобщить следующим образом1):
Теорема 2. Пусть /I<=d5^2 — (р0, ..., рп). Множество А
неприводимо разрезает ?f2 между каждой парой ph pt {где
1ф]) тогда и только тогда, когда гомографические функции
х-р\ х~рп
х — ро'"'' х- р0
линейно независимы на А по mod Х?(А) и
*^В±- Ф 1 на А дляк = \, ..., п,
х Ро Tie пр.
Доказательство. Это прямое следствие теорем 1
и 6 п. И.
Теорема 3. Пусть F = FczS^2. Пусть Ro, ..., Rm (m ко-
конечно или бесконечно) — компоненты множества ?P2 — F, такие,
что Fr(#y) = /\ Тогда (ср. § 56, VIII A))
A) ранг [Q{F)p?{F)] = m.
Другими словами, множество F является общей границей
п + 1 областей {п^ 1) тогда и только тогда, когда существуют п
функций /,, ..., /„, линейно независимых на F no modxlr(f)
и таких, что /(~1 на каждом собственном замкнутом подмно-
подмножестве из F (для /= 1, ..., п).
Доказательство. По теореме 1 из § 49, V множество F
неприводимо разрезает ?Р2 между точками р и q, если оно
является общей границей компонент множества ^2 —F, содер-
содержащих соответственно р и q. Следовательно, по теореме 2
ранг [Q(F)/xV(F)]>m.
С другой стороны, пусть fu ..., /„ — система, удовлетворяю-
удовлетворяющая второй части теоремы 3. Пусть pi?Rh где / = 0, ..., пг.
По теореме 1 п. III
так как (ср. III C)), если # —компонента множества ?P2—F,
такая, что ?v{R)^F, то по предположению ft |Fr(/?)~l при
i = 1 п.
Из системы B), содержащей п гомотопии, непосредственно
вытекает, что n^tn, откуда следует равенство A).
') Ср. Эйленберг [7, стр. 103].

5.10 Глава 10. Топология плоскости
Теорема 4 (инвариантности1)). Свойство быть общей гра-
границей п областей представляет собой внутренний инвариант.
Доказательство. Это прямое следствие теоремы 3.
Теорема 5 (разложения). Пусть А с аУ2 ~ (ро< •••• рп)-
Если А неприводимо разрезает <ifi между всякой парой ри pt
(i ф j) и если А разложимо, то А представляет собой объеди-
объединение двух связных множеств Ло и Аь таких, что
Л, = ЛПЛ-Л0, Л0=ЛПЛ-Л,
и Л0Г)Л] есть объединение п + l непустых множеств Fo, ..., Fn,
замкнутых в ЛоПЛ, и таких, что каждое из множеств Ао и Л,
неприводимо связно между Fk и Ло (] Л, — Fk для k = 0, 1, ..., п.
Доказательство. Это следует из теоремы 5 § 56, VII
и теоремы 2, из которой вытекает, что ранг [ЩЛ)/ЧГ(Л)]
Теорема 6 (объединения). Пусть Л = ЛоиЛь где Ло и
А{ — два континуума, таких, что Л0П А\ = Fo[] ... [} Fn, где
Fo, .. ., Fn суть п + 1 (^ 2) непустых непересекающихся замк-
замкнутых множеств. Если каждое из множеств Ло и Ах неприво-
неприводимо связно между Fk и ЛоПЛ| — Fk при к —0, 1, ..., п, то
в ?Р2 ~ А существует система точек ро, ..., рп, такая, что мно-
множество А неприводимо разрззает S?2 между каждой парой
точек р(, р/, где i Ф /.
Другими словами, А— общая граница п+\ областей.
Доказательство. Это следствие теоремы 3 и теоремы 5
§ 56, VII, из которой вытекает, что ранг [?l(xV{)]
Теорема 7. Всякое множество А, неприводимо разрезаю-
разрезающее р5°2 между точками р и q, связно и дискогерентно.
Более того, если множество А локально связно, то оно
является простой замкнутой кривой.
Доказательство. Это следствие теоремы 1 и теорем 1
и 2 § 56, VII.
Теорема 8. Всякое множество, неприводимо разрезаю-
разрезающее оУ2 между точками р и q, либо неразложимо, либо
является объединением двух множеств, неприводимых между
той же парой точек 2).
Доказательство. Это прямое следствие теоремы 5.
') Ср. Александров и Хопф [1. стр. 392] и Эйленберг [7, стр. 104].
2) Ср. Куратовский [6, стр. 137], [14, стр. 21].

§ 62. Количественные проблемы. Гриппа & 551
Теорема 9. Если множество А, неприводимое между точ-
точками а и Ъ, неприводимо разрезает &'2 между точками р и q,
то А либо неразложимо, либо является объединением двух
неразложимых множеств, замкнутых в А ').
Доказательство. Это следствие теоремы 3 § 56, VII
(ср. также § 48, VII, теорема 7).
Теорема 10. Если А неприводимо разрезает ?Р2 между
точками р0 и рь межд-у р, и р2 и между р: и р0, то А либо
неразложимо, либо является объединением двух неразложимых
множеств, замкнутых в А 2).
Более того, если А компактно, то А — континуум, не при-
приводимый между двумя точками.
Доказательство. Это следствие теоремы 2 и теоремы 6
§ 56, VII.
Следующее утверждение вытекает из теоремы 10 и теоремы 1
§ 49, V.
Теорема 11. Общая граница трех областей представляет
собой либо неразложимый континуум, либо объединение двух
неразложимых континуумов3).
На рис. 21 и 22 представлены общие границы трех обла-
областей; одна из них неразложима, а другая является объединением
двух неразложимых континуумов 4).
Добавим, что, слегка видоизменив конструкцию рассмотрен-
рассмотренных выше континуумов, можно заменить три на п или далее
на оо 5).
Замечание 1. Теорема 11 в <?Р3 неверна. Действительно,
в о?3 существуют абсолютные окрестностные ретракты, являю-
являющиеся общими границами трех областей (см. Любанский [1]).
Замечание 2. Сформулируем без доказательства 6) сле-
следующую теорему:
Пусть А —локально связное подмножество сферы Sf2 и
Ро. • • •> Рп~ система точек в S^2 — А, такая, что А разрезает ?Р2
между всякой парой pt, pt, i =^ j. Если рациональная функция
/¦B) = B-р0)*». ... .(z-pn)\
') См. Куратовский [12, стр. 404]. Ср. Александров [3, стр. 537].
*) Эйленберг [7, стр. 82].
8) См. Куратовский 16, стр. 138] и [14, стр. 36].
*) По поводу точных определений см. Кнастер [Б, стр. 277 и 280]
ъ) Куратовский [7, стр. 28].
•) Доказательство см. Куратовский [44]. По поводу обратно.! георемы
см, Куратовский [44, стр. 108] и Плись [1],

Р и с. 21
Рис. 22

§ 62. Количественные проблемы. Группа
где ко+ ... + kn •= 0 и kt Ф О (Зля 0</<гс, гомотопна на А
гомеоморфизму f: A—xtf*, то
\ko\+ ... +|*
VI. Группы SpA и 8, (Л) для локально связного Л '). Многие
свойства плоских локально связных континуумов, установлен-
установленные в § 61, II, будут теперь обобщены на локально связные
множества (замкнутые или не замкнутые).
Из теорем 1 п. II и 4 § 56, X непосредственно нытекает
следующая теорема, являющаяся обобщением теоремы 5 § 61, II.
Теорема 1. Всякое локально дугообразно связное множе-
множество А с &1 — р — q, разрезающее ^2 между точками р и q,
содержит простую замкнутую кривую, обладающую тем оке
свойством.
Теорема 2. Если А— локально дугообразно связное мно-
множество, то всякая компонента множества аУ2 — Л является
полуконтинуумом (и, следовательно, конституантой множества
Доказательство. Если р и q — две точки множества
а/'ч — Л, которые нельзя соединить в ёРч —А континуумом,
то по теореме 1 они разделяются замкнутым подмножеством
множества Л (и даже простой замкнутой кривой). Но тогда они
не принадлежат одной и той же компоненте множества g72 — A.
Теорема 3. Если множество А не разрезает S'.^ то ни-
никакое множество В, такое, что
AczBczA[)L(A),
также не разрезает аУ2-
Более точно, если А не разрезает S'^ между р и q, то мно-
множество [A{]L(A)] — p — q также не разрезает ?Р., между р и с/.
Доказательство. По теореме 1 п. II *_р ~ 1 на А,
следовательно, на [Л U L (Л)] — р — q, согласно теореме 3 § 56, X.
Теорема 4. Для того чтобы локально связное множество Л
не разрезало ^°2, необходимо и достаточно, чтобы оно было
стягиваемое относительно ?f (и, следовательно, относительно сУ).
Доказательство. 1. Пусть Л —локально связное мно-
множество, не разрезающее аУ2- Пусть f: A -*¦<?? — непрерывная
') См. Эйленберг [7, стр. 83 и 105].

554 Глааа 10. Топология плоскости
функция. Покажем, что /~1. Пусть в соответствии с теоре-
теоремой 23 из § 49, II В — локально связное О6-множество, такое,
что Л с В с= L(A), и g: В -><?? —(непрерывное) продолжение f.
Предположим, что f^l и потому goM.
Так как В — дугообразно связно (согласно теореме 1 § 50, II),
то по теореме 4 § 56, X существует простая замкнутая кривая С,
такая, что
A) CczB,
B) п\СФ\.
Пусть Do и D,— компоненты множества ёР2 — С. Так как В не
разрезает ?Р2 (по теореме 3), то одна из этих компонент, скажем
диск /H, удовлетворяет включению
C) D0<^.B, следовательно, D0<^.B
в силу условия A).
Так как множество ?Р2 — А)= Dt связно, то на основании
теоремы 10 § 59, II
D) ?|Ь~о~1, откуда #|С~1,
что противоречит B).
2. Обратно, если Л разрезает &>2 между р и q, то
на Л,
х-ц
согласно теореме 1 п. II. Следовательно, Л не стягиваемо
относительно ff, а значит, и относительно &'.
Теорема 5. Всякое связное и локально связное множе-
множество Л, не разрезающее о?2, является полу континуумом ').
Доказательство. Пусть р, q?A. Покажем, что мно-
множество В — ёР2 — А не является разрезом между точками р и q.
Ради простоты будем считать, что р = 0, q = со и 1 ? В. Положим
г/ , XI/— Ч _„ __
(*' У = х п ' гДе Х^А и .УбВ-
х — у
Легко видеть, что
E) f: АХВ—>?? непрерывно,
E') /@, у)~1,
E") /(оо, у) = у.
') Тсоромя Эпленберга [11, стр. 159]. Напомним, ito в а/ существуют
сия:шыс, локилыю свя.чпые п нполне несовершенные множества (которые,
однако, разрезают с^2); ср. § 49, I, пример (viii).

§ 62. Количественные проблемы. Группа
Так как А стягиваемо относительно <?Р (по теореме 4),
то из E) и E') в силу теоремы 2 § 56, X (если положить tl' = А,
У = В и а = 0) следует, что
/~1 на АХ В, откуда у~\ на В,
согласно соотношению E").
Тогда по теореме 1 п. II В не разрезает ъ?2 между точ-
точками 0 и оо.
Ср. следующую теорему с теоремой 11 из § 59, II.
Теорема 6. Если А — локально связное множество и
С — конституанта множества ?Р2— А, то любая точка р мно-
множества А(]С достижима из С.
Доказательство. Пусть с?С. Покажем, что существует
континуум К, такой, что
F) с, РеКаС[]р.
Пусть F — замкнутое множество, такое, что
G) с, ~^
(например, можно предположить, что F состоит из с, р и после-
последовательности элементов С, сходящейся к р). Согласно G),
всякую точку х множества F — р можно соединить с точкой с
континуумом, не пересекающимся с Л, следовательно (ср. с тео-
теоремой 3), континуумом, не пересекающимся с L(A) — х — с и
потому с L(A) — F. Другими словами, существует конституанта D
множества <э?г — [L {А) — F], такая, что F — р с D. Согласно G),
p?D, и потому множество D\J(p) связно.
Так как L {А) — локально связное О6-множество (согласно
теоремам 20 и 22 § 49, II), то этим свойством обладает и
L{A) — F. Поэтому это множество локально дугообразно связно
(ср. § 50, II, теорема 1), и по теореме 2 множество D является
компонентой множества ??2 — [L(A) — F]. Множество D U (р)
является его связным подмножеством (так как p?F), и по-
потому p?D. Так как D — полуконтинуум, он содержит кон-
континуум К, неприводимый между сир. По теореме 3 § 48,
II множество К~р связно. Пусть Н — компонента множества
аУ2 — [L (А) — F U р], содержащая К~Р и, следовательно, со-
содержащая с. Включения (ср. G))
G') А с L (А) - F U р с L (Л)
показывают, что L{A)~F\]p есть локально связное ^-мно-
^-множество (ср. § 49, II, теоремы 20 — 22) и, следовательно, оно
локально дугообразно связно. Поэтому (см. теорему 2) множе-
множество Я — полуконтинуум и Н Са?2 — А, согласно G').

556 Глава 10. Топология плоскости
Так как С — конституанта точки с в Sf2 — А, то Н cz С и,
следовательно, К, — р с: С, откуда вытекает соотношение F).
Теорема 7. Пусть А — локально связное множество, допол-
дополнение которого ?Р.2 — А состоит из конечного числа конституант:
Пусто pi^Bj для j = 0, ..., п. Тогда всякая непрерывная функ-
функция f: А—УеР гомотопна некоторой рациональной функции:
(8) f(x)~(x-Po)ko. ... .(х~рп)\ где ko+ ... +kn = 0.
Следовательно (ср. с теоремой 6 п. 1Г), функции
х-р\ х-рп
х — ро''"' х- ро
образуют базис группы ?РА по тоёг1г(Л).
Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда А
дугообразно связно. Пусть в соответствии с теоремой 1 Сц — про-
простая замкнутая кривая, содержащаяся в Л и разрезающая ^2
между точками pt и ру. Пусть С — объединение кривых Сц
(где i ф j), a Rj — компонента множества <>У2 — С, такая, что
PidRj. Так как С с А, то BtczRt. Положим
(9) F = ^2 - (/?о U ... URnY,
тогда
A0) Fez А.
Можно предположить (согласно теореме 1 п. III), что усло-
условия (8) удовлетворяются на F, ибо в противном случае мы
положили бы
A1) g(x)~f(x)-(x-p0) *»- ... -(x~pn) \
откуда следовало бы, что g Ф 1 на Л.
Пусть в соответствии с теоремой 4 § 56,X К,— простая
замкнутая кривая, такая, что
A2) К <=: А,
A3) gФ\ на К.
Пусть Qj — компонента множества &~{Р U /С), такая, что ру ? Q/.
Так как F U К с Л (согласно A0) и A2)), то B/^Qj. Положим
A4) # = <^2-(QoU ... UQJ;
тогда
A5) Л]/(с//сЛ.

§ 62. Количественные проблемы. Группа <Р 557
Согласно A4) и теореме 1 п. III, на //
A6) g(Jt)~U-/>o)m°- ¦•• Лх~Рп)'\
A7) шо+ ... + ш„ = 0.
Поэтому, согласно A1) и A5), на F
(x-po)k°+m°. ... .(x-p>+m«~/(x),
откуда
A8) (jc - роГ° • ... •(*-pn)m»~l на F,
ибо гомотопия (8) имеет место на F.
Так как множество F разрезает ^"s между каждой парой
точек pit pi (i Ф j), то из A7), A8) и теоремы 6 п. II следует,
что то= ... —тп = 0. Но тогда g~l на Я (согласно A6)),
а потому и на /С (ср. A5)), что противоречит A3).
Итак, в случае когда А есть О6-множество, теорема дока-
доказана. Общий случай можно свести к этому частному случаю.
Пусть f: А ->?Р — непрерывная функция. Существует непре-
непрерывное продолжение /| функции / на некоторое О6-множество, ска-
скажем Аи содержащее множество А; таким образом, /cz/,: Л,-*а?0.
Положим
(Ро Рп) и r = fi\A\
По теореме 3 А' есть локально связное О6-множество, раз-
разрезающее а^з на п + 1 конституант, содержащих соответственно
точки р0, ..., р„. Как только что было показано, соотноше-
соотношения (8) выполняются на А* (если f заменить на f). Отсюда
следует требуемое заключение, ибо А а А* и 1(х) — Г(х)
для л:^ А.
Пусть с(&) + 1 —число конституант множества 3' (при усло-
условии, что это число конечно). Как и в случае замкнутых мно-
множеств, из теоремы 7 вытекает следующая
Теорема 8 (инвариантности и двойственности). Если
А — локально связное множество, такое, что c{tff>2~ А) — п < оо, то
Заметим, что многие теоремы п. IV можно применять к ло-
локально связным множествам, если заменить b{(A) на c(S?2 — A).
VII. Группы S°a и 23i(G) для открытых G.
Теорема 1. Пусть G—открытое множество, дополнение
которого Sf^ — G состоит из конечного числа компонент Со, ¦¦¦, Сп.
Тогда всякая непрерывная функция /: G-*^ гомотопна не-
некоторой рациональной функции.

558 Глава 10. Топология плоскости
Более точно, если pi ? С/, то на G
A) f{x)~{x-po)k°' ... Лх-ра)\ где ko-h ... + kn = 0.
Доказательство. Это прямое следствие теоремы 7 п. VI.
Замечания, (i) Теорему 1 можно вывести из теоремы 1
п. III следующим образом. Пусть Л/ —замкнутый разделитель
между С] и ?f>2 — G — Сjt и пусть в соответствии с теоремой 2
из § 50, III Fu F2, ... —последовательность замкнутых мно-
множеств, такая, что
Лои ... UAnc:Fu
и при этом
B) G = F]\JF2\J ...,
C) Fmc:lnt(Fm+l),
D) ?r2-Fm**Ra,0l} ... U Я™, „и C,aRmil для / = 0, .... п,
где /?,„, о. •••> Rm,n~ компоненты множества <?P2 — Fm.
Согласно D) и III A) и B), на Fm
(Ц\ f ( y\ />»s ( V ¦ М I "I» 0 • . | t* __ #-i | Ш> Л. [Л А | I /j Л
\'-'/ / V1™/ V •¦* i/QI • » • у Л- т-" ft/ ^ТП 0 ^" • • • ~1 iVm и ^= v/«
Так как Fx cz /?m, то гомотопия E) имеет место на Z7,. Поэтому,
согласно теореме 2 п. Ill, km, у = /г,, / для у = 0, ..., /г. Пусть
klti — kj. Тогда гомотопия A) имеет место на Fm и, следова-
следовательно, на G в силу B), C) и теоремы 8 из § 56, X (если
положить J = G и Gm= Int(Fm)).
(ii) Показатели степени kg, ..., /г„ определяются однозначно.
Это простое следствие теоремы 2 п. III.
Следующая теорема аналогична теореме Рунге о предста-
представлении голоморфных функций в виде пределов рациональных
функций.
Теорема 2. Если G — открытое подмножество сферы of2,
то всякая непрерывная функция f: G—*-S° имеет вид
F) f(x)»Y\mrm{x)eu^\
где um: Sf>2—*-^2 —непрерывная функция, а гт — рациональная
функция, причем сходимость равномерна на всяком замкнутом
подмножестве F множества G.
Более того, для каждого F существует число mti, такое, что
при пг~^то и x?F
Cj\ f ( Y\ r ( r\ pum '*'
v / / \Л/ ' m \Л/ с •

# 62. Количественные проблемы. Группа &' 559
Наконец, если {С t}— последовательность компонент мно-
множества 3^2— G, такая, что С (]C0[j C]\j ... ФО для каждой
компоненты С множества <ff>2~G, и если Pj?Cj, то нули
и полюсы функций rb г2, ... принадлежат последователь-
последовательности {}
Доказательство. Предположим, что условия B) и C)
выполнены. Пусть Rm,0, Rm,\, ...—последовательность компо-
компонент множества ?P2 — Fm; можно считать, что /?,„,/ содержит
некоторую компоненту множества &'2 — G (ср. § 50, III (iv)).
Так как множество Rm<l открыто, то существует индекс t = t(m, /),
такой, что
Ct П Rm, I =? 0> следовательно, CtcRml, и поэтому pt€Rm,i-
Согласно теореме 1 п. III, равенство G) имеет место
па F,,, для
k k
Гт W = (x~ Pt (m, m) ' ' • • • * (X~ Pt (m. nm)) ' ""'¦
Пусть F = F. Согласно B) и C), F cr vFm, для достаточно боль-
больших значений т0, а потому равенство G) имеет место для
каждого x?F.
Теорема 3. Если G — открытое множество, такое, что
множество о/2 — G состоит из бесконечной последовательности
компонент, которые все, за исключением одной, скажем Со,
открыты в ?P2—G, то всякая непрерывная функция /: G~*$'
имеет вид
rV.
п-\
где /?о?Со, рп?.<?Р2— G и ип: &'2—*cf2 — непрерывная функция,
причем сходимость равномерна на любом замкнутом подмно-
подмножестве F множества G.
Более того, для каждого F существует число п0, такое, что
при п>щ и x?F
-po
(9') vn(x) = Ul(x)+ ... +ип(х).
Пели оо ^ Go, то член х — р0 в равенствах (8) и (9) можно
опустить (положив р0=оо).
Доказательство. По теореме 4 из § 50, III компоненты
множества SP2~G можно занумеровать в бесконечную после-

5G0 Глава 10. Топология плоскости
довательность Со, Сь С2, ... таким образом, что
A0) «^а-/="„-/?„. о U ... U/?„.„.
(И) C,cz/?n>/ для !</<«.
A2) соисга+1ис„+2и ...с/г„,0)
где замкнутые множества Fn удовлетворяют условиям B) и C),
а /?„, о, •••, /?«,« —компоненты множества ?P2 — Fn-
Пусть р„ 6 Сп. Тогда, согласноA1)иA2), po?Rn.o />л €#„,„.
В силу A0) и условий A) и B) п. III на Fn
где у„: u7p2->><^s--HenPePbIBHa55! функция. Следовательно,
'
<">
так как Fn a Fn+l.
Согласно A2), множество Fn не разрезает ?Р2 между точками
Ро и рп+\. Поэтому (согласно теореме 1 п. II)
A5) ~|Г1Г±1~1 на Fn'
и в силу A4)
Из соотношений A3) и A6) по теореме 2 п. III следует, что
kn, I = ^rt + I, 1» • • • • kn.n^ &л + 1, n-
Пусть kntn = kn для n=l, 2, .... Тогда из условия A3) выте-
вытекает, что (9) выполняется на Fп.
Пусть F = F cz G. Согласно B) и C), существует число п0,
такое, что FczFn при п^п0. Следовательно, равенство (9)
выполняется на F.
Наконец, положим
u\{x) = v{{x) и un{x) = vn{x)-vn.i{x);
тогда выполняется равенство (9').
Замечания, (i) Бесконечное произведение (8) сходится
абсолютно. Следовательно, оно не зависит от порядка сомно-
сомножителей.
Таким образом, можно считать, что р0, ри ... —заданная
последовательность точек, выбранных по одной из всех компо-
компонент множества 3?7 — G (причем р0 ? Со).

§ 62, Количественные проблемы. Грцппа & !>(И
Действительно, для каждого х существует только конечное
число сомножителей, отличных от единицы.
(iiI) Если LimCn=oo, то всякая непрерывная функция
/: G-ь-ъР гомотопна функции, мероморфной на (f2.
(iii) Теорема 3 выявляет замечательную аналогию с теоре-
теоремой Вейерштрасса о разложении целой функции на простые
множители.
Если g — целая функция, a G— плоскость (f2, из которой
удалены ^ нули функции g, то, очевидно, предположения тео-
теоремы 3 выполняются.
(iv) Пусть G — открытое множество в 'сэ2. Для каждой не-
непрерывной функции f: G-*-?P существует голоморфная функция
h: G-*3", такая, что h~f2).
Другими словами,
A) f(x) = /*M-e«<*\
где и: G —><f2 — выбранная должным образом непрерывная
функция.
Доказательство. Пусть
B) G = F,UF2U .... где FncInt(Fn+1),
причем Fn — компактное множество (полигональная область),
такое, что
C) ни одна компонента множества ^2~^п не содержится n G¦
По теореме 1 п. III для каждого п существуют рациональ-
рациональная функция гп, нули и полюсы которой принадлежат мно-
множеству S^2~G, и непрерывная функция ип: <±7>2~*'3> такие, что
D) f(x)~rn(x).e"n<x) для x?Fn.
Отсюда следует, что
E) rn + t(x):rn<x)~e"»M-u»+*ix) для x?Fnt
а потому разность ип(х) — un+~f(x) голоморфна в Int(Fn).
Определим по индукции последовательность рациональных
функции ,9|, s2, ..., полюсы которых принадлежат множеству
<&>2—G, такую, что голоморфная (в Int(Fn)) функция
F) vn (х) = srt+, (х) - sn (х) + ип (х) - ип+1 (х)
') Доказательство см. Куратовский [40, стр. 340].
г) См. Хсйльбронн [1]. Аналогичная теорема об отображении аналити-
аналитических пространств п группы Ли имеется у Грауэртп [1]. Там можно плйти
также ссылки на работы А. Картана, Бенке и др., касающиеся этих попросов.
35 Зяк. 100

IjG2 Глава 10. Топология плоскости
удовлетворяет условию
G) \vn(x)\<\/2n для x?Fn_x.
Положим s,(x) = 0 для всех х. Допустим, что sn —рацио-
—рациональная функция, полюсы которой принадлежат множеству
с5^2 — G; тогда функция un+i(x) — ип(х) +sn{x) голоморфна
в Int(Fn). По теореме Рунге ') (и согласно C)) эту функцию
можно равномерно аппроксимировать на Fn_, рациональными
функциями с полюсами, лежащими в <5?2~G- Следовательно,
среди них существует функция, скажем sn+u удовлетворяющая
условию G).
Итак, бесконечная последовательность S\, ,s2, . .. определена.
Далее, положим
(8) ff,U) = r,U) и gn+l{x)=r+{X)'e\
(Согласно D) и F),
(9) ?„+.(*) = ев»(х) Для x?Fai
следовательно,
(Ю) \frn+l{x)-l\<ll2n-1 для x^Fn-i
в силу G) и очевидного неравенства
|<?г-1|<2|г| для |г|<1.
Из A0) следует, что бесконечное произведение
A1) h(x)=r\gn(x)
равномерно сходится на каждом множестве Fn, а поэтому
(согласно B)) па каждом компактном подмножестве мно-
множества G. Так как, более того, функции gn голоморфны па G
(и не обращаются в 0), то этим свойством обладает и /г; итак,
голоморфная функция h отображает G в ?Р. Остается доказать,
что Л удовлетворяет условию A). Положим
A2) и(х)= lim [un{x) — sn{x)] для x?G.
Этот предел существует и непрерывен, так как, согласно F)
и G), последовательность ип(х) — sn{x) равномерно сходится
на каждом компактном подмножестве F множества G.
Положим hn (x) = g\ (x) • ... • gn (x); тогда в силу (8) и D)
n<x>-unw для x?Fn.
') См., например, Зигмунд н Сакс [1, стр. 176].

§ 62. Количественные проблемы. Группа &
Наконец, в пределе получится равенство A)(на основании A1)
" A2))-
VIII. Кратность множества относительно непрерывной функ-
функции /: F-*¦&", где F замкнуто. Пусть
A) F=Fc^2 и &>2-F = R0\]Ry\] ...,
где Ro, R\, ... —компоненты множества d5 — F. Положим
B) G = /?/,U/?/,U ... •
Под кратностью множества G относительно непрерывной функции
f: F—*aP (обозначается \iQf) мы будем понимать алгебраическое
число нулей и полюсов, принадлежащих множеству G, произ-
произвольной рациональной функции, гомотопной f (ср. § 60, VIII).
Другими словами, положим в соответствии с теоремой 1 и. III
... =0,
тогда
C)
Согласно теореме 2 п. III, число \iaf не зависит от выбора
рациональной функции. В частности,
D) »RJ = kn.
Легко установить следующие шесть свойств \iaf:
Теорема 1. (Норма) \ij = 0 = V-#>t_Ff¦
Теорема 2. (Аддитивность) Vq^qJ = №af+ 11UJ> если
G 0
Теорема 3. (Гомоморфизм) ца(Д • /2) = V^afi +1
Теорема 4. (Инвариантность) если fx ~ /2, го \iafi = naf2;
в частности,
из f ~ 1 вытекает, что цо/ = 0 для любого G.
Теорема 5. (Характеристика гомотопии) если \^Rfx —
= [i /2 ^угя / = 0, 1 го fi — f2.
Следовательно (ср. с теоремой 4),
(fI ~ /2) = (M-ofi — Ц0/2 <5^я любого G).
В частности,
(/~ 1) —(^о/ —0 <^-'гя любого G).
36*

564 Глава 10. Топология плоскости
Теорема 6. (Непрерывность) если Y\mfn = f (причем схо~
димость равномерна), то \iQfn = \iQf для достаточно больших п.
Доказательство. Это следствие теоремы 4 и § 54, II A).
Теорема 7. Непрерывная функция f: F-><^ допускает
(непрерывное) продолжение f: F U R/—*-^" тогда и только тогда,
когда \iR f = 0.
Доказательство. Это следует из D) и теоремы 2' п. III.
Теорема 8. Если f} = f | Fr (Rj), то \iRjfl = nRjf.
Действительно, R/ есть компонента множества
IX. Кратность относительно непрерывной функции f: G-+SP,
где G открыто. Пусть F — открыто-замкнутое множество
в &1—G. Тогда
По теореме 2 п. VII существует последовательность ра-
рациональных функций гь г2, ..., нули и полюсы которых при-
принадлежат множеству <?Р2~С, и при этом
A) }(x)
п->оа
где «„—непрерывная функция, а сходимость равномерна на
любом множестве F**=F*czG. Положим
B)
где цР{гп | G)— алгебраическое число нулей и полюсов функ-
функции гп, принадлежащих F.
Покажем, что этот предел существует и не зависит от вы-
выбора функций гп.
Пусть F* — замкнутое множество, разделяющее F и <5^2-~
— G — F. Пусть G* открыто-замкнуто в ^2 — Р< содержит F и
не пересекается с множеством &2 — G — F; следовательно,
F cz G" cz G L) F, и поэтому F = G*-G. Пусть f' = f\F'. Со-
Согласно соотношениям A) и § 54, II A), f'~rn\F" при п~^п0.
Следовательно, согласно теореме 4 п. VIII, p.o»f* = р-о* (г„ | /*"*).
Но Цй*(г„| F*) = nF(rn\ G), ибо F = G" — G и при этом ни нули,
пи полюсы функции гп не принадлежат G. Таким образом,
при п~^п0 кратность \ip(rn\G) имеет постоянное значение,
равное [ia-f, a потому не зависящее от выбора функций г„.

# 62. Количественные проблемы. Группа <Р 565
Замечания, (i) Одновременно было доказано, что если
F* — замкнутое подмножество из G и G* — открыто-замкнутое
множество в ёР^ — Г", такое, что F = G* — G, то
C) »Pf = \iaf> где Г-ПГ.
Это утверждение позволяет свести определение кратности от-
относительно функции, заданной на открытом множестве, к
определению кратности относительно функции, заданной на
замкнутом множестве.
(ii) Допустим, что в формуле A)
D) гп{х) = ся{х-рп,о?п.о. ... • (х - рп, ,„)*«¦ Ч
где рп.о^00' если оо ? ST2-G, и &„,„ + ... +/гп,,„ = 0.
Тогда, согласно B),
E) \iPf = \im(kn, /, + /<•„,/,+ ...).
где pnj,, рп<1„ ... принадлежат F.
(Hi) В частном случае, когда <гУ2— G == C0U ... U С,„ (ко-
(конечное число компонент), согласно теореме 1 п. VII, имеем
f (х) - {х ~ po)k° • ... -{х- pm)k>ne« w,
/го+ ...+km — 0, «: G->^2 непрерывно, /;/ ^ С;.
Предположим, что в (I) г„(х) = (х — р0)''» • ... • (х — р,„)"">;
тогда, согласно E),
F) \iFf-*,, + ...+ k,s, где ph, ..., pis 6 F,
и, в частности, \ictf = ks.
Заменим G на F и F на G в теоремах 1 — 4 п. VIII. Тогда
получим следующее утверждение:
Теоремы 1—4. Если f: G ->& — непрерывная функция
и G открыто, то кратность обладает свойствами нормы, адди-
аддитивности, гомоморфизма и инвариантности.
Теорема о характеристике гомотопии также имеет место.
Теорема 5. Если Ц/^^ц^/г для каждого F, то f\~h.
Следовательно (в силу теоремы 4), эти два условия эквива-
эквивалентны.
В частности, условие \~\ эквивалентно условию ц^ = 0
для любого F.
Доказательство. Пусть f = fi:f2. Предположим, что
foM. По теореме 4 § 56, X существует замкнутое множество
F'czG, такое, что если }' — f\F\ то f ф 1. Поэтому, согласно

566 Глава 10. Топология плоскости
теореме 5 п. VIII, существует открыто-замкнутое в <^>2~^*
множество G*, такое, что \1а>рфО. Положим F = G*-G. Это
множество, очевидно, открыто в d5 — G и одновременно
замкнуто там, так как
G' = G'-F', следовательно, F = G * - G* - F = G* - G.
Согласно C), \iFf^0, откуда \iFf{ФnFf2.
Связь с некоторыми теоремами об аналитических функ-
функциях 1).
Теорема 6. Кратность является локальным понятием,
т. е. значение \iFf не изменится, если область определения f
сузить до любого открытого множества, объединение которого
с F представляет собой окрестность множества F.
Вообще, пусть G и Go — два открытых множества, таких,
что G() с(?с g5°2, и пусть F и Fo — два множества, открыто-
замкнутых соответственно в <sf2 — G и ?Рг — Go и таких, что
F = Fo— G. Пусть /: G-ЯР непрерывно. Тогда
iWo = V-pf, где fQ = f\ Go.
Теорема 7. Если g — функция, голоморфная на откры-
открытом множестве, и если р — нуль порядка It этой функции, то
где g* — сужение g на множество тех значений х, для кото-
которых ё(х)фО.
Аналогичная теорема имеет место для мероморфных функ-
функций.
Замечание. Итак, при предположениях теоремы 7 мы
имеем npg' > 0. Однако для произвольных непрерывных функ-
функций (изолированный) нуль может иметь кратность, равную 0,
или даже отрицательную кратность. Это видно из следующих
примеров:
(i) е(х) = е-ч\х\г g@) = 0. Тогда ц„#* = 0.для р = 0;
(и) g{x) = x-ne-xl\x\ g@) = 0. Тогда \apg* = - п для р = 0.
Теорема 8. (Обобщенная теорема Руше.) Пусть М —
замкнутое подмножество сферы <г?ъ и пусть g, g{: M->^2 —
две непрерывные функции, такие, что \ g\{x)\ <\ g{x)\ для
х ? Fr (M). Если F и F* — множества нулей функций g и соот-
соответственно g* = g + g\, ТО
') Доказательство см. Куратовский [40, п. XII и XX].

§ 62. Количественные проблемы. Группа <Р 5(>7
где
f = g\G, f = g'|G*, G = lnt{M)-F и G* = Int(M)-r.
Замечание. Легко показать, принимая во внимание тео-
теорему 7, что если функции g и #, голоморфны на lnt(M), то
кратности \iFf и hf»/* суть алгебраические числа нулей функ-
функций g и g" соответственно.
Теорема 9. Пусть М = М cz if2 и ga: M ->• с?2(п — 1,
2, .. .) — последовательность непрерывных функций, равномерно
сходящаяся к функции g, которая не обращается в нуль ни
в какой точке множества Fr (M). Пусть Fn и F — множества
нулей функций gn и g соответственно. Тогда для достаточно
больших п
VFf = VFnfn, где / = ?|[Int(M)-F] и fa - gn\ [Tut (M) - Fn].
Теорема 10. Если Л —элементарный континуум ила об-
область, то всякий гомеоморфизм f: A—>§^ гомотопен некото-
некоторой гомографической функции.
Более общо, имеет место
Теорема 11. Пусть G— открытое множество и f: G >
-у&1 — непрерывная функция. Если кратность \iFf принимает
только три значения k, 0 и — k (при переменном F), то
X. Характеристика группы 23i(G). Напомним (см. § 58, III),
что для заданного (компактного) пространства № символ У1{&)
обозначает совокупность нормированных (конечно аддитивных)
мер, определенных на семействе всех открыто-замкнутых
подмножеств X.
Теорема 1. Пусть множество G с?Р2 открыто и f
Положим Vf{F) — nF(f) для каждого открыто-замкнутого мно-
множества F<=.&>2~G. Тогда vf ? 9fl(<^2-G).
Более того, (/| ~/2)=(vf, = v^,). Таким образом, v сопостав-
сопоставляет каждому элементу группы 23, (G) элемент множества
9t(d^2-G).
Более того, v — гомоморфизм.
Эта теорема вытекает непосредственно из теорем 1 — 5 и. IX.
Покажем, что v — изоморфизм.
Теорема 2 (двойственности). 23,(G) = Ш(аУ2 — G).
gr

508 Глава 10. Топилогия плоскости
Доказательство. Достаточно показать, что для каж-
каждого р?11{<!У>2~ G) существует f?SP°, такое, что vj(F) = p(F),
т. е.
A) iiFf = p(F) для каждого открыто-замкнутого
в d5 — G множества F.
В соответствии с теоремой 2 § 50, III пусть
B) g « f\ и fi и.... />»¦=?,(= int (/=-;+,),
где ^2 — Fn имеет только конечное число компонент и R — ОфО
для каждой компоненты R множества S^2 — F*n.
Так как компоненты множества о^г ~ F*n содержатся в ком-
компонентах множества &г~ Fn-\, то их можно заиндексировать
с помощью конечного числа систем i\...in, состоящих из п
неотрицательных целых чисел, таким образом, что
C) <^2-К- U *!,...*„,
D) Rtl...in+tczR{l...ta,
где суммирование распространяется на псе системы /] ... in
(п фиксировано), для которых Ri ..,;„ определено. Положим
E) Л,...,„-/?,'...,„"-О.
Д тя каждого п (ср. C) —E))
F) F,l...ilt-yFil...ilJt
G) Fii...ln0F,l...ln**0, если (/,... /n)^(i, ... la),
(8) ^2-« = и^,.../Г1,
так как из B) и C) следует, что
рУ2 - G = ?Р* - F\ - G = (J Rt,... ?rt ~ G.
По определению множества /^ имеем Rt ...in~ G#0. Пусть
(ср. E))
(9) ^....^e^.-v
Так как множество Fil...ia открыто-замкнуто в ^°2— G, со-
согласно E), G) и (8), то пусть
A0) V-'^PCV-O-
В силу теоремы 2 п. IX, F) и G), получаем
A1) fti,.../n = S^r..y,

§ 62. Количественные проблемы. Группа & 569
а согласно (i) и (8), для каждого п
A2) S^,...in-0.
Рассмотрим рациональную функцию
A3) гя(х)-Щх- Ptl...О*'1 -'»•
Покажем, что
A4) rn(x)~rn+l(x) на ГЛ.
Согласно (9), F) и E), р*,...^/€/?*, .../п. Но так как Rix...in —
компонента множества d^^ — F^, содержащая точки pt , и
Pi,... у, то на /="„ (ср. II, теорема 1)
и, согласно A1),
(х~ Pi,... /п)
откуда вытекает условие A4). В соответствии с этим условием
пусть
A5) гп(х)-гп+1(х)еи^м для x?Fn>
где
«n+1: S^^-*^2 непрерывно и «i(a;) = 0.
Положим
A6) Ш~гп{х)е»^-+»^\
Согласно A5) и A6),
A7) f»W-fn+,(jc)- ... для х?/С
Положим
A8) /W = f«W \
Следовательно, функция / однозначно определена иа G.
Согласно B), f?S>"a.
Далее покажем, что
A9) •V-'/'-V-V

570 Глава 10. Топология плоскости
Согласно E), IX C) и A8),
так как на F*n (ср. A6)) /=»^~г„. Наконец, nRi ; гге|/\* =
= ki{...in, согласно A3), (9) и E).
Таким образом, ц^/ = р(/г) (ср. A0)), если F имеет вид
Если F — произвольное множество, открыто-замкнутое
в of ч — G, то существует замкнутое множество F', разделяющее
(непересекающиеся и замкнутые) множества F и &г — G — F.
Согласно B), существует такое п, что F* с: F*n. Следовательно,
можно считать, что F.^Fn.
Так как множество Rir..tn связно и не пересекается с F*n, то
из F{]Ri ...i фО вытекает (<?% - G - F) (] R{ ..., =0,
поэтому (ср. E)) из соотношения F(] Fil... 1пФ® вытекает вклю-
включение Fi ... tn с: F.
В силу A3) F является объединением множеств F^...^, та-
таких, что F [\ Fit... ;„#0. Отсюда в силу теорем 2 п. IX и
соотношений G) и A9) вытекает равенство A), что завершает
доказательство.
Из теоремы 2 и теоремы 4 § 58, III получаем следующую
характеристику группы S[(G):
Теорема 3. Если G— открытое подмножество d5, то
либо 23, (G) = #", либо 23,(G) = ^Ro
Кг gr
б зависимости от того, имеет ли множество d5— G конечное
число, скажем га+1, или бесконечное множество компонент.
Замечание 1. Из теоремы 3 следует, что если открытое
множество G разделяет с$ на п континуумов (п конечно), то
п — внутренний инвариант G. Это неверно, если G разделяет &2
на бесконечное множество континуумов; в следующем при-
примере ') в с? заданы два открытых гомеоморфных множества G
и Н, таких, что % — G имеет счетное множество компонент,
тогда как семейство компонент множества & — Н несчетно.
Именно, У — G •=»а? и У — Н *=%,
См. Эйленберг ЦЗ, стр. 75].

§ 62. Количественные проблемы. Группа сЯ 571
Умножая эти множества на с? (или на cfn~'), получаем
простые примеры множеств в <?2 (или в <f") с той же самой
особенностью.
Напомним, что эта особенность может встречаться только
в том случае, когда G не связно (ср. § 57, IV, теорема 3).
Замечание 2. В формуле F) можно потребовать, чтобы
функция / была голоморфной (см. VII, замечание (iv)).
XI. Приращение логарифма. Индекс. Пусть ?: ff-*'^2 — не-
непрерывная функция, такая, что ?@) = ?A). Положим С —?,(&).
Пусть f: С-+а7* — непрерывная функция. Тогда ft,: &->&J,
откуда ft,~\ (ср. § 56, III, теорема 3); следовательно,
@) /?(/) = е«С> для 0</<1 и u
Так как g@) ==g(I), то нA)-м@) = 2пя/.
Целое число
Atf [«O)«(O)]
называется логарифмическим приращением функции f отно-
относительно ?.
Легко видеть, что число Aj/ не зависит от выбора функ-
функции и, удовлетворяющей соотношению @).
Напомним, что по теореме 4 из § 56, III если /: SP ¦->$" —
непрерывная функция, то f(x)~xn, где и = Л^/ и t,(t) = ёш1.
Заметим, что при некоторых предположениях регулярности
для f я С
L Г(х)
Г
J f (х)
с
ах-
Пусть р^&ч — С Положим по определению
A) mdzp = Az(x-p).
Другими словами, положим ?(/) — р = е"'", где
тогда
B) indtp = -^j[«(l)-«(O)].
В частности (ср. I, замечание),
B') indj оо = 0.
Обратно, приращение можно определить с помощью индекса,
а именно
C) Atf = A,t*

572 Глава 10. Топология плоскости
Более общо, если g: С-> ef2 — непрерывная функция и
p^Sp2 — g(C), то положим f (х) = g (х) — р; тогда
D) Aj;f
Отображение ? интервала 3 определяет отображение
окружности &'.
Именно, если 2nt — аргумент х (где 0<!/<!1), то пусть
S°W =¦?(/).
Легко видеть, что функция ?° непрерывна,
E) ?°: ?>>-+?2, 'С(<?*) = С и ^(е2™) = ?(*).
Обратно, если g: <^°->§°2 —непрерывная функция, то
F) t,°(x) = g(x), если положить
Легко установить следующие теоремы 1 и 2 (что касается
теоремы 1, ср. § 56, III, 4 (И) и I, 4).
Теорема 1. [indt/? = п] = [?°(л:)-р~х"(на <?")].
Теорема 2. Функция 'С,0 является гомеоморфизмом тогда и
только тогда, когда Z,{t)=t=Z,(t') для каждой пары 1Ф1'', за
исключением случая \t — tf\=l.
Теорема 3. Если точки р и q принадлежат одной и той
же компоненте множества if^ — C, где С — ? {&) cz ef2, то
id hd
Если р принадлежит неограниченной компоненте, то ind^ p = 0
(ср. B')).
Ее til ?° — гомеоморфизм и р принадлежит ограниченной
компоненте множества <^°2 —С, то i
Доказательство. В теоремах 8 и 9 п. II положим
# = ;'," и ,CV = &>. Тогда ?°(л:) — р~?°(л:) — <7 на SP, откуда в силу
теоремы 1 вытекает, что ind^p = ind^.
Если ^" — гомеоморфизм, то ?,°(х) — р Ф ?,°(х) — оо ~ 1, со-
согласно теореме 9 п. II. Следовательно, по теореме 1 ind^p^O.
Последнюю часть теоремы 3 можно усилить с помощью
теорем, приводимых ниже.
Теорема 41). Пусть ?°— гомеоморфизм, f: С -> #" — непре-
непрерывная функция и p?s?2~C- Если ind^p=l и Arf — n, tq
f()()"
') Это обобщение теоремы 4 п. I.

Количественные проблемы. Группа <РЛ 573
Доказательство. Пусть
<?»(«, оA)-о@)«=2/ш.
Определим функцию ш: С—><^2, полагая
ш (д:) = w (/) - «и (/), где л: = ? (О-
Хотя значению х = ?@) = ?A) соответствуют два значения t,
функция w определена однозначно, так как
v A) - пи A) = (v @) + 2nm) - {2nni + пи @)) = v @) - пи @).
Следовательно, до —непрерывная функция и wt,(t) = v(t) — nu(t).
Тогда
(g (/) _ pf в< w e e»«W . е» («-»«(« в в» (*> = /? (/)>
откуда следует, что (х — pfew(x) = f(x), если положить x = Z,{t).
Теорема 5. Пусть А — окружность \ х — р\ = г и g: A-+(f2 —
гомеоморфизм А на простую замкнутую кривую С. Если
q — точка ограниченной компоненты D множества <^°2 — ^> то
g(x)-q~(x-p)±l-
Доказательство. Прежде всего рассмотрим случай,
когда С — окружность с центром q радиусом s. Положим ?(<) =
= р + ге2л", где 0</<1, так что Л = ?(^). Тогда
g?(O-<7 = !g?(O-<7le№"p(i) = se2*'(P<«, где ф6^-
Предположим, что | <рA) —<р@)|> 1. Тогда существует
число t0, Для которого | <р(/0) — ф@) |= 1, так что
t следовательно, g'C,{to) = g$(O), и потому ?(/0) =
Отсюда по определению ? следует, что е2я""= 1; но это не-
невозможно, так как 0</0<1-
Таким образом, | фA) — ф@) [^ 1 и | ind^j^ |^ 1.
С другой стороны, indgiq^O. Это вытекает из последней
части теоремы 3, так как g?,(t)?zg'C,{t') при t?=tf и \t — t'\<l
(ср. также с теоремой 2).
Следовательно, ind^^=±l. Полагая в теореме 4 С = А и
f(x) = g{x) — q и принимая во внимание D), получаем, что
g(x)-q~(x-p)±1.
В общем случае пусть Ао — окружность \х — р\ = г12,
а Со — окружность, содержащаяся в D, с центром q. По тео-
теореме 3 из § 61, V гомеоморфизм g: A-+C можно продолжить
до гомеоморфизма g* двух круговых колец, заключенных
между Л и А и между Со и С, так что g*(/lo) = C0.

574 Глава 10. Топология плоскости
Пусть при 0</<1 и х 6 А
h(x, /) = йф + (*-л)A-}*)]-<7 и go(x) =
Тогда h — непрерывная функция, такая, что
h: ЛУ.З-+&, h(x,0) = g(x)-q и h{x, l) = go(x)-q.
Следовательно, g(х) — q ~ g0(х) — q, а поскольку g0: Л~*С0
гомеоморфизм, то, как только что было доказано,
gn(x) - q ~ (х - p)±l, откуда g(x)-q~(x-p)±l.
Определение. Если ?° — гомеоморфизм и если ind<;/>=l
для каждой точки р, принадлежащей ограниченной компоненте D
множества З^^ — С, то ? называется положительным путем кри-
кривой С.
Если indj/J= — 1 для каждого р, то путь называется отри-
отрицательным.
Теорема 6. Если ?° — гомеоморфизм, то 1, — либо поло-
жительныи, либо отрицательный путь кривой С = 1,(8).
Доказательство. Заменим в теореме 5 А на ff w g
на ?°. Тогда
? (л:) — р~х*~ , откуда indj/?=±l
на основании теоремы 1. Более того, согласно теореме 3, indj/?
имеет постоянное значение (для p?D).
3 а м е ч а и и е. Если у = Z, (t) описывает положительный
путь, то y = 'Q(l — t) описывает отрицательный путь. Следова-
Следовательно, всякая простая замкнутая кривая допускает дна пути,
положительный и отрицательный.
Из теоремы 4 вытекает следующая
Теорема 7. Пусть ?, —положительный путь кривой С,
/: С —х^0 — непрерывная функция и p^D. Если ktf = n, то
f(x)~(x-p)n.
Если ц: С —><f2 — непрерывная функция и g ^Sp2~ g(C), то
XII. Связь с кратностью. Характеристика Кронекера. Из
теоремы 1 п. XI непосредственно вытекает следующая
Теорема 1. indjp ¦= ц^ [?° (л:) - р], где Q — диск |х|<1.

§ fi2. Количественные проблемы. Группа <Р Г>7Г»
Теорема 2. Пусть ? — положительный путь простой замк-
замкнутой кривой Ccz'd, D — ограниченная компонента множества
&2~^ и I'- С->&* —непрерывная функция. Тогда
Следовательно, если g: C->(f2 — q непрерывно и f (х) =
f
Доказательство. Пусть p?D. В соответствии с тео-
теоремой 1 п. III пусть f(x)~{x — p)a. Тогда, согласно VIII D),
\iDf=*n. С другой стороны, Aj/ = п в силу теоремы 7 п. XI.
Теорема 2'. Если D\ — неограниченная компонента мно-
множества а72~С и 'Ql ~ отрицательный путь кривой С, то
Доказательство. Пусть ?,{t) = g, (I — /). Так как ? по-
положительный путь, то справедлива формула A). Поскольку
\xJ + \i.DJ = 0 (ср. VIII, теоремы 1 и 2) и Л^=-Ас,/, отсюда
следует искомое соотношение.
Пусть G cz ^°2 — открытое множество. Предположим, что
р — изолированная точка множества S^2-~G. Тогда существует
диск D с центром в точке р, такой, что D ~ pczG. Пусть
С — граница D; можно считать, что °° ?^°2— С. Докажем сле-
следующее утверждение:
Теорема 3. Если f: G-+& —непрерывная функция, то
V-itf — Agf* = indfjO, где f* = f\C и ? — положительный или отри-
отрицательный путь С в зависимости от того, какое из соотноше-
соотношений р^-оо или р = оо имеет место1).
Доказательство. Согласно IX C), ц.р/= цд/*, а в силу
теорем 2 и 2' ц0Г = Aff\
Далее пусть R ~ область, дополнение которой состоит из
конечного числа компонент: &2 — R = C0\J ... \]Сп. Каждое
множество С/ является континуумом, не разрезающим <^°2
(ср. § 46, III, теорема 5), поэтому его можно отделить от всех
') Таким образом, если g(;(g2) и Р~ изолированный нуль функции ц
и если / — сужение g иа множество тех х, в которых tf(x)?=Q, то кратность
Hpf совпадает с «индексом» точки р в смысле Александрова — Хонфа
[1, стр. 470] («Index» или «Vielfachheit einer O-Stelle»).
Следовательно, если множество F нулей функции g конечно, то крат-
кратность Hpf совпадает с алгебраическим числом нулей ?.

576 Глава 10. Топология плоскости
остальных С/ простой замкнутой кривой (ср. § 61, II, тео-
теорема 6). Повторяя приведенное выше рассуждение, получаем
следующую теорему:
Теорема 4. Пусть f: R->S^ — непрерывная функция. Если
простая замкнутая кривая /(с:^2 отделяет континуум С/ от
всех С/, где 1ф], и если D — компонента множества ^2~К,
содержащая С,, то \хс / = Д./* = ind» 0, где f* = f\r(, при усло-
условии, что ?, — положительный или отрицательный путь кривой К
в соответствии с тем, является ли компонента D ограниченной
или неограниченной.
Теорема 3 позволяет вычислить \xRf также в случае, когда f
определена на замкнутом множестве.
Теорема 5. Пусть F = F с а?2, R ~ компонента множества
е?2 — Р, P^lR и !'¦ F'-*&' — непрерывная функция. Пусть f\ —не-
—непрерывное продолжение f на S^2 — Z, где Z конечно и Z П R = (p)
(/[ можно, например, отождествить с правой частью соотноше-
соотношения III F)). Тогда [iRf = [i,,fi.
Доказательство. Это прямое следствие формулы C)
п. IX, если в ней G* заменить на R, F* — на F, F — на р,
f — на f\ и G — на <?/>2~Z-
Определение. Пусть А — элементарный континуум с:cf2.
Пусть
B) ^2-Л = ?0и ••• UDrt,
где D; — компонента множества <^°2~ Л (/==0, .... п).
Пусть путь ?у кривой Fr(D]) отрицателен или положителен
в соответствии с тем, является ли компонента Dj ограничен-
ограниченной или неограниченной. Тогда число
C) car^/-«indfE 0+ ... +indfE 0
называется характеристикой Кронекера непрерывной функции
f: Ft(A)-+&.
Более общо, если А — элементарное замкнутое множество
D) А -Л, U ... U Ам,
где Ак — компонента А, то
E) carj = car,lif1+ ... +car^fm,'где fk - / | Fr (Ak).
Теорема 6. Пусть А —элементарное замкнутое множество
и }: Fr (А) ->&* — непрерывная функция. Положим / = Int (Л);
тогда
F) И//

§ 62. Количественные проблемы. Группа <РА 577
Доказательство. Сначала пусть Л —элементарный кон-
континуум. Согласно B),
следовательно (ср. VIII, теоремы 1 и 2),
G) lxIf + lxuJ+...+lxDJ = O.
Пусть //¦=/|Fr(D/). Тогда (см. теорему 8 п. VIII)
(8) Ид/ = И»// и !*«// '"d/t,0
в силу теорем 2 и 2'.
Из раненств G), (8) и C) вытекает равенство F).
Далее пусть Л —элементарное замкнутое множество, удовлет-
удовлетворяющее условию D). Пусть Ik = \nt(Ak). По теореме 4 § 61,
III множество 1к является компонентой множества ??% — Fr(A,t),
а также множества uf2~Yx{A),
Пусть fk = f \Fr(Ак); тогда (см. теорему 8 п.VIII) ц; f — ц, fk.
k k
Так как (ср. § 61, II, теорема 4) / = /,U ••• 1)Л«. то (ср. VIII,
теорема 2)
Теорема 7. Пусть G — открытое множество, f: G-><!? —не-
—непрерывная функция, F — множество, открыто-замкнутое ea7>2~G,
и А — элементарное замкнутое множество, такое, что
(9) Feint (Л) и AcGljF.
Тогда
A0) ^f = carA[/|Fr(H)].
Доказательство. Согласно (9),
F(\Fr{A) = 0 и Fr{A)<=G[)F, поэтому Рг(Л)с:О.
Таким образом, функция f определена па Рг(Л). Так как мно-
множество /=Ьй(Л) открыто-замкнуто в ef2 — Vx{A), то, согласно
IX C) (если заменить F' на Fr (Л) и G* па /),
откуда на основании равенства F) следует формула A0).
Из теоремы 6 и теоремы 7 п. VIII (если подставить Рг(Л)
вместо F и / вместо Rs) вытекают две следующие теоремы:
37 Зак. 190

578 Глава 10. Топология плоскости
Теорема 8. Если f: A -*¦ S^ — непрерывная функция, то
сагл[/|Рг(Л)] = 0.
Теорема 9. Если f: Fr (Л) —>е7* — непрерывная функция и
саГу1/ = 0, то /сгГб^л.
Замечания. (<i) При некоторых предположениях регуляр-
регулярности относительно f и Л теорема 8 вытекает из классической
теоремы Коши теории аналитических функций.
(ii) Теорема 7 позволяет определить кратность с помощью
характеристики (и, следовательно, с помощью индекса), так
как существование элементарного замкнутого множества,
удовлетворяющего условиям (9), вытекает из теоремы 10, § 61, III
(ибо множество &'2~G~P замкнуто, а G [} F — открытая окре-
окрестность множества F).
Теорема 10. Пусть Л—элементарное множество и
g: А—>ef2 — непрерывная функция. Предположим, что g(x)=?0
для x?Fr(A), и положим f = g\Fr(A). Если сагл/^=0, то
существует точка х0, такая, что g(xo) = O1).
Доказательство. Это прямое следствие теоремы 8.
Более точно, если множество нулей функции g конечно, то
их алгебраическое число совпадает с сагл/ и, следовательно,
с ц,р).
Последнее утверждение представляет собой частный случай
следующей теоремы:!).
Пусть М.=М<=.&>2 и h: М -*3Р2 ~ непрерывная функция.
Пусть F — множество тех х, для которых h(x) = 0 или оо.
Предположим, что FflFr(M) = 0. Тогда полагая / = h |Fr (M),
/=Int(M) и G = I — F, мы имеем n,f = iiF(h\G).
Приложения к вычислению алгебраического числа непод-
неподвижных точек4).
Пусть Е — компактное подмножество <э и g: E-+E~ не-
непрерывная функция. Предположим, что
8(х)Фх для x?Fr(E),
и положим
f{x) = g(x)-x и f' = f\[Fr(E)).
Таким образом, /*: Fr(?)-><^ — непрерывная функция.
') Ср. с теоремой существования Кронекера (случай п = 2), Александров
и Хопф [1, стр. 4(>7 и 470].
2) Ср. Алексапдрон и Хопф [I, стр. 472, теорема II].
3) Ср. Куратовский [40, стр. 358].
*) Ср. Куратоиский [41].

§ 62. Количественные проблемы. Группа # 579
Другими словами, если Z обозначает множество неподвиж-
неподвижных точек функции g, то Zal, где / = Int (/:").
Если р — изолированная точка множества Z, то порядком
неподвижной точки р мы будем называть ind^O, где ? —поло-
—положительный путь границы С диска D, такого, что
p?D, Dalnt(E) и (p) = D[]Z.
Можно доказать следующие утверждения ').
Если Z конечно, то алгебраическое число неподвижных то-
точек (сумма порядков неподвижных точек) равно ЦуГ-
Если Е — континуум и абсолютный окрестностный ретракт,
то след автоморфизма группы 1\ (Е), индуцированного функ-
функцией g, равен l—ix,f".
Другими словами, пусть ри ..., рп — система точек, принад-
принадлежащих {различным) ограниченным компонентам множества
<f2 — Е, и пусть
g{x)-p,~{x-Pi)kn- ... -(x-pj'in на Е;
тогда
ъГ=\-(ки+ ... +*„„).
XIII. Положительные и отрицательные гомеоморфизмы.
Ориентированная топология.
Теорема 1. Пусть С с: с?2 — простая замкнутая кривая,
D — компонента множества <^°2 — С и f: С —>о? — гомеоморфизм.
Если точка 0 принадлежит неограниченной компоненте множе-
множества g5°2-/(C), to n.of = 0.
Если она принадлежит ограниченной компоненте, то Hof= ±1
в зависимости от того, положителен или отрицателен путь f?
кривой f (С) (? обозначает положительный или отрицательный
путь С в соответствии с тем, ограничена или неограничена
компонента D).
Следовательно, если D ограничена, то f{x) ~ {x — p)±l для
D
Доказательство. Так как цд^г_д/= —p-of, то достаточно
рассмотреть случай, когда D ограничена.
Положим r\(t) — ft,{t). Тогда отображение т)°, определенное
на о? (ср. XI E)), — гомеоморфизм. Действительно, если 2п/ —
аргумент z, то T]n(z) = v){t) = f'C, (t) по определению t|°; поэтому
из предположения rio(z) = rf(z') вытекает, что
(ОС(П,
и, следовательно, /==>/' либо \ t — f \= I.
') Куратовский [41, стр. 2C4 и 267]. Ср. также Лофшец [3].
37*

580 Глава 10. Топология плоскости
Таким образом, т|0 —гомеоморфизм, согласно теореме 2 п. XI.
Если точка 0 принадлежит неограниченной компоненте мно-
множества ?P.2 — f(C), то \iDl = тсЦО=»0, по теоремам 2 и 3 п. XII
и XI соответственно. Если же она принадлежит ограниченной
компоненте, то (если заменить ? па ft, и р на 0) пг1^0 = ± 1
в зависимости от того, положителен или отрицателен путь /?
кривой /(С); следовательно, по теореме 2 п. XII либо nDf — 1,
либо соответственно \xDf = — 1.
Теорема 2. Пусть G с: ?Р2 — открытое множество и g:
G -> с<э2 — гомеоморфизм; тогда если положить h (х) = g (х) —
— g(p)> где x?G — р, то
A) \Lpli = ± 1 для каждого p?G.
Более того, если G — область, то \iph имеет постоянное
значение').
Доказательство. Пусть р — заданная точка множества
G. Так как h(x)=*g(x) — g(p), то функция h принимает зна-
значение 0 только в точке- р. Поэтому, полагая Н = G — р и
h* — h\H, мы заключаем, что функция h*: H->$r' непрерывна
и р — изолированная точка множества ^ —Я. Пусть D — диск,
такой, что p?D и DaC. Пусть C = Fr(D). Так как h — го-
гомеоморфизм, то множество h{D) ограничено, h(С) — простая
замкнутая кривая и диск h(D) (в силу инвариантности поня-
понятия внутренней точки; ср. § 59, IV @)) —ограниченная компо-
компонента множества Sp2~h{C). Так как 0 = h(p) ?h(D), то
\iD(h\C)—±l по теореме 1, откуда вытекает равенство A)
(ср. IX C)).
Теперь предположим, что G — область. Пусть po?G, Pi 6 G
и D —такой диск, что р0, P\?D, D a G и C = Fr(D). Поло-
Положим ht{x) = g(x)~g(pj) для / = 0, 1. Как и ранее, црЛ/="
•= \i.D(hl\C). Так как g(pu) и g(p\) принадлежат множеству
g{D), которое является компонентой множества ?f% — g{C), то
по теореме 8 п. II
g(x)-g(Po)-8(x)-g{pl) на С, т. е. (Ао| С)~(Л,| С);
поэтому (ср. VIII, 4)
С) и, следовательно, UpA^Hp^i-
Определение. Пусть R cz?P2 — область и g: R->a72 — го-
гомеоморфизм; g называется положительным гомеоморфизмом,
') См. Александров и Хопф [1, стр. 475].

,ф 62. Количественные проблемы. Группа <Р 581
если (и-^/г == 1 (где h(x) — g(x) — g(p)) для каждой точки р, та-
такой, что g(p)^oo.
Если \Xph~ — 1, то гомеоморфизм g называется отрица-
отрицательным.
Так как ни одна точка не разделяет R, то всякий го-
меоморфизм g: R->S^2 B силу теоремы 2 лмбо положителен,
либо отрицателен.
Для того чтобы узнать, положителен или отрицателей го-
гомеоморфизм g, достаточно найти значение \xpf в одной точке
р (такой, что g{p)?= °°).
Из теоремы 3 п. XII и формулы D) и. XI вытекает сле-
следующая
Теорема 3. Если D — ограниченный диск с центром р,
Del? и \n(\Ri,g(p)— 1 {где ? — положительный путь границы
D), то гомеоморфизм g положителен.
Следовательно, положительные гомеоморфизмы — это имен-
именно те отображения, которые не меняют ориентации рассматри-
рассматриваемой области.
Теперь рассмотрим некоторые частные случаи.
Теорема 4. Если R с: cf2 — такая область, что множество
(f2—R связно, и если g: R ~> с?2 — гомеоморфизм, то g пред-
представляет собой положительный гомеоморфизм тогда и только
тогда, когда для каждого р? R
B) g{x)~g{p)~x-p на R-p.
Доказательство. Положим h(x) — g(x) — g(p). Согласно
теореме 1 п. VII (если положить р() = оо), h(x)~{x— p)k, а так
как |хрЛ = /г, то k—±\ в соответствии с тем, положителен
или отрицателен рассматриваемый гомеоморфизм.
Аналогичные рассуждения показывают, что имеет место
следующая
Теорема 5. Гомеоморфизм g: S?2 -> <^°2 положителен тогда
и только тогда, когда
g(x)~g(p)~j~ на S^2-p-p0, где g(po)=*°°.
В частности, если р„ = оо, то выполняется соотношение B).
Отсюда вытекает, что всякое гомографическое отображе-
отображение есть положительный гомеоморфизм.
Действительно,
ах — Ь ар — Ь , х — р d
и где Я, — постоянная (предполагается, что ad — ЬсфО).

582 Глава 10. Топология плоскости
Замечание. В качестве примера отрицательного гомео-
гомеоморфизма сферы &\ рассмотрим функцию #(а + г|3) = а — ф,
т. е. ?(х)Н х |2: х. Легко показать, что ind^0= — 1 для ?@ =
= е2яи, откуда вытекает требуемое заключение в силу тео-
теоремы 3.
Из теоремы 3 непосредственно вытекает следующая
Теорема 6. Пусть заданы две области RxczR и гомео-
гомеоморфизм g: R >а?2- Если g\R\ — положительный гомеоморфизм,
то g —положительный гомеоморфизм.
Теорема 7. Отображение, обратное к положительному
гомеоморфизму, есть положительный гомеоморфизм.
Другими словами, пусть R —область и g: R > Q — положи-
положительный гомеоморфизм на Q; тогда обратное отображение
h = g~x представляет собой положительный гомеоморфизм.
Доказательство. Пусть D — ограниченный диск с
центром р?*0, D cz R и оо ? ?Р2 — g(D). Пусть q =¦ g(p), H =•
= g(D), f (x) = g(x)~ g(p). По предположению |ip/=l. To же
равенство имеет место, если область изменения х ограничить
множеством D (ср. с теоремой 6). Тогда по теореме 4
g(x)-g(p)~x-p
на D — р; это означает, что g(x)~ g{p) = {x~ р) ¦ eut~x).
Подставим h(y) вместо х; тогда y — q~h(y)—h{q) на
H — q, поэтому в силу теоремы 4 для п* (у) = h (у) — h (q) мы
имеем \iqh" = 1.
Теорема 8. Пусть G с <?P^ ~ открытое или замкнутое мно-
множество, F — множество, открыто-замкнутое в аУ2 — О, и f:
G ->?Р — непрерывная функция. Кратность [iFf инвариантна
относительно положительных гомеоморфизмов g множества <^°а.
Другими словами,
(8) I
В частности, кратность является инвариантом относительно
томографических отображений.
Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда
f-~ рациональная функция:
D)
(б) *! + ...+ К - о.
Пусть

H 62. Количественные проблемы. Группа сУ 583
По теореме 5 (так как g — положительный гомеоморфизм)
имеем
F) fg(x)-k[g(x)- g(P])]b . ... .[g{x)- g(pa)]ka~
~(jc- />,)*¦ • ... • (х- рл)*« • (x- РоГ('"+-+*«) =
= (x-Pi)k>- ...-(х-рп)\
согласно E).
Пусть q!n ..., Ц\т — система точек qjt принадлежащих F.
По определению кратности
G)
Далее, так как условия qi?F и Р/ ^g~l (F) эквивалентны, то
для г (*) - (л: - р^ ¦ ... -(х- рп)"п
(8) ^_1(Пг = /г/1 + ... +k,n.
С другой стороны, в силу F) по теореме 4 п. VIII и теореме
4 п. IX имеем
и равенство C) следует из G) и (8).
Итак, случай, когда f~ рациональная функция, рассмотрен.
Рассмотрим теперь общий случай. Если множество G замкну-
замкнуто, то по теореме 1 п. III существует рациональная функция
г, такая, что /~г, откуда fg~rg.
Следовательно (ср. с теоремой 4 п. VIII),
М-IV и ng_,(P)fe = H,g_)(F)r,g,
и потому этот случай сводится к предыдущему.
Наконец, если G открыто, то существует замкнутое мно-
множество /•", разделяющее множества F и Sp2~ G ~ F• Поэтому
его дополнение состоит из двух непересекающихся открытых
множеств, одно иа которых, скажем G*, содержит F, а другое
содержит e5°j — Q — F. Следовательно, множество g'1 (G*) со-
содержит множество g~*(F) и является открыто-замкнутым в
<^2-g~l{F'). Согласно IX C),
IV" = Но»(/1П и \i«-imfg = Ив-!@., US IJ? (ПЪ
Как мы только что показали, правые части этих равенств сов-
совпадают; отсюда вытекает формула C).
Теорема 9. Индекс является инвариантом положитель-
положительных гомеоморфизмов g: if2 -><f2, т. е. ind^g(р) = indjp ').
') См. Александров и Хопф [1, стр. 476].

584 Глава 10. Топология плоскости
Доказательство. Положим f(x) — t,°(x)— р и h (x) =
"= Sl°(x) — g(p). По теореме 1 п. XII
(9) \mkp = iiQf и indrfg(p) = uQ/i.
По предположению (ср. с теоремой 4) g(y) — g(p)~y — p на
cf2 — р. Следовательно, gt,°(x) — #(р).~?°(-к) ~ P Iia <^° (так как
кривая ?п(&^) лежит в Й —р). Из этой гомотопии по теореме
4 п. VIII следует, что правые части равенств (9) совпадают;
это завершает доказательство.
Инварианты положительных гомеоморфизмов (пространств
<^°2 или ?f2) можно назвать инвариантами ориентированной то-
топологии. Как мы уже видели, в число этих инвариантов вхо-
входят кратность множества и индекс точки.
Таким образом, абсолютные величины этих инвариантов
являются инвариантами произвольных гомеоморфизмов; следо-
следовательно, они являются топологическими поиятиими (хотя при
их определении используются нстопологические понятии).
Логарифмическое приращение тоже является таким инва-
инвариантом. В самом деле, из условия XI C) следует, что

БИБЛИОГРАФИЯ
А й р е с (А у г с s W. L.)
1. Concerning the arc-curves and basic sets of a continuous curve, Trans.
Amer. Math. Soc, 30, № 3 A928), 567—578.
2. Continuous curves homcomorphic with the boundary of a plane domain,
Fund. Math., 14 A929), 92- 95.
3. Concerning continuous curves in metric spaces, Amer. 1. Math., 51,
№ 4 A929), 577-597.
4. Some generalizations of the Seherrer fixed-point theorem, Fund. Math.,
16 A930), 332—336.
5. On the regular points of continuum, Trans. Amer. Math. Soc, 33, № 1
A931), 252—262.
6. A new proof of the cyclic connectivity theorem, Bull. Amer. Math. Soc.,
48, № 8 A942), 627—630.
Л к а с а к и (A k a s a k i T.)
1. The Eilcnberg-Borsuk duality theorem for metric spaces, Duke Math. /.,
32 A965), 653—659.
Алекс а и дер (Alexander J. W.)
1. A proof and extension of the Jordan-Brouwer separation theorem, Trans.
Amer. Math. Soc, 23 A922), 343.
2. On (he subdivision of 3-space by a polyhedron, Proc. Nat. Acad. Sci.
USA, 10, № 1 A924), 6—8.
3. An example of a simply connecter! surface bounding region which is
not simply connected, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 10, № 1 A924), 8—10.
4. Remarks on a point set constructed by Antoine, Proc. Nat. Acad. Sci.
USA, 10, № 1 A924), 10—11.
5. New topological invariants expressible as tensors, Proc. Nat. Acad. Sci.
USA, 10 A924), 99—101.
6. On certain topological invariants of a manifold, Proc. Nat. Acad. Sci.
USA, 10, № 3 A924), 101 — 103.
7. Topological invariants of manifolds, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 10 № 12
A924), 493 --494.
8. Ordered sets, complexes, and the problem of compactification, Proc. Nat.
Acad. Sci. USA, 25 A939), 296—298.
Александров П. С.
1. Комбинаторная топология, М., 1947.
2. Stir la dimension des ensembles fermes, С R. Paris, 183 A926), 640—643.
3. Uber kombinatorische Eigenschaften allgemeiner Kurven, Math. Ann.,
96 A927), 512-554.
4. Uber stetige Abbildungen kompakler Raume Math. Ann., 9fi A927),
555-571.
5. Untersuchungen uber (lestiilt und Lage abgeschlossener Mengen belle-
biger Dimension, Ann. Math., ser. 2, 30, № 1 A92B), 101 — 187.
6. Uber endlich-hoch zusammenhangende stetige Kurven, Fund. Math., 13
A929), 34-41.
7. Analyse geomctrlque de la dimension des ensembles fermes, C. R. Pa~ ¦.
ris, 190 A930), 475.
8. Dimensionstheorie, Math. Ann., 106, 2—3 A932), 161—238.

586 Библиография
9. К теории топологических пространств, ДАН СССР, 2, № 2 A936)\
51-54.
10. О счетно-кратных открытых отображениях, ДАН СССР, 4, № 7
A936), 283—287.
Александров П. С. и Пономарев В. И.
1. О диадичееких бикомпактах, Fund. Math., 50, Л1> 4 A962), 419—429.
Александров П. С. и У р ы с о н П. С.
1. Memoirc sur les espnecs topologiques compacts, Verh. K. Akad, Amster-
Amsterdam, 14 A929), 1—96.
Алекса rr дров иХопф (Alexandroff P.,Hopf H.)
1. Topologie, 1, Berlin, 1935.
Альберт иЮпгс (Albert G. E., Y о u n g s J. W. T.)
1. The structure of locally connected topological spaces, Trans. Amer. Math
Soc, 51, № 3 A942), 637—654.
Альтман (Altman M.)
1. An extension to locally convex spaces of Borsuk's theorem on anti-
antipodes, Bull. Acad. Pol. Set., 6 A958), 271—275.
Андерсон (Anderson R. D.)
1. Open mappings of compact continua, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 42, № 6
A956), 347—349.
2. Тезисы кратких сообщении Международного конгресса математиков в
Москве, 1960, секция 8.
Антоновский М. Я.
1. К аксиоматике топологических полуполей, ДАН УзССР, № 10 A9G1).
2. Система обобщенных метрик на произвольном множестпе УМН 1
A968).
3. Структуры, связанные с обобщенными метриками, Труды топологиче-
топологического симпозиума в Херцег-Нони A9E8).
Антоновский М, Я-, Болтянский В. Г., Са рым саков Г. А.
1. Топологические алгебры Буля, Ташкент, 19G3.
2. Очерк теории топологических полуполей, УМН, 4 A906).
Антоновский М. Я- и Миронов А. В.
1. К теории топологических /-групп, ДЛИ УзССР, № 6 A9Г>7), 6—8.
Антоновский М. Я. к К о ж е я н и к о в а И. Г.
1. Обобщенные нормированные пространства, Изв. АН УзССР, №6 A969).
А н ту a rr (A n t о i ne L.)
1. Sur l'homeomorphie de figures et de leurs voisimiges, /. de Math.
A921), 221.
2. Sur les voisinages de deux figures homeomorphes, Fund. Math., 5
A924), 265-287.
Арене (Ar e ns R.)
1. A topology for spaces of transformations, Ann. Math., ser. 2, 47, Nb 3
A946), 480—495.
Арене иДугундьи (Arens R., Dugundli J.)
1. Topologies for function spaces, Pacific J. Math., 1, № 1 A951), 5—32.
A p о н ш а й и (А г о n s z a j n N.)
1. Ober die Bogenverknupfung In topologlschen Ra'umen, Fund Math., 15
A930), 228—241.
2. Sur les invariantes des transformations continues d'ensembles, Fund.
Math., 19 A932), 92—142.
A p о и ш а и и и Б о р с у к (А г о n s z a j n N., В о r s u k К.)
1. Sur la somme et le produit combinatoire des retractes absolus, Fund.
Math., 18 A932), 193—197.
Артин и Фокс (Artin E., Fox R. H.)
1. Some wild cells and spheres in three-dlmeneionai space, Ann, Math.,
ser. 2, 49, Mi 4 A948), 979-690.

Библиография 587
Архангельский А. В.
1. Условие сохранения метризуемости при факторных отображениях
ДАН СССР, 164, № 1 A965), 9—12.
2. Поведение метризуемости при факторных отображениях, ДАН СССР
164, № 2 A965), 247—250.
3. Бикомпактные множества и топология пространств, Труды Моек
матем. об-ва, 13 A965), 3—55.
Б а л а и ч а и л р а и (Balanchandran V. К.)
1. A mapping theorem for metric spaces, Duke Math. J., 22, № 3 A955)
461—404.
Б аррст (Barrett L. K.)
1. The structure of decomposable snake-like continua, Duke Math. /., 28,
№ 4 A961), 515—522.
Б егль (Beg le E. G.)
1. Intersections of contractible polyhedra, Bull. Atner. Math. Soc, 49, № 6
A943), 386—387.
2. Regular convergence, Duke Math. J., 11, № 3 A944), 441—450.
Beep (Beer G.)
1. Monatsh. Math.-Phys., 38.
Бен нет (Bennetli R.)
1. Embedding products of chalnable continua, Proc. Nat. Acad. Sc, 16,
№ 5 A965), 1026—1027.
Берджесс (Burgess С. Е.)
1. Some theorems on и-homogeneous continua, Proc. Atner. Math. Soc, 5,
№ 1 A954), 136—143.
2. Homogeneous continue, Summer Institute on Set Theoretic Topology,
Madison, 1955, pp. 73—76.
3. Certain types of homogeneous continua, Proc. Amer. Math. Soc, 6, № 3
A955), 348—350.
4. Chainable continua and indecomposability, Pacific J. Math., 9 A959),
653—660.
5. Some condition udder which a homogeneous continuum is я simple
closed curve, Proc. Amer. Math. Soc, 10, № 4 A959), 613—615.
Б е р ж (В e r g с C.)
1. Теория графов и ее приложения, М., 1962.
2. Espaccs topologiques, Paris, 1959, 1966.
Бе тел (Bethel E. L.)
1. A note on a reducible continuum, Proc. Amer. Math. Soc., 16 A965),
1331—1333.
В н н г (В t n g R. H.)
1. Generalizations of two theorem* of Janlszewskl, Bull. Amer. Math. Soa.,
61, JA 12 A945), 954—060.
2. Bull. Amer. Math. Soc, 82 A946), 478—480.
3. Skew sets, Amer. J. Math., 69, № 3 A947), 493—496.
4. A homogeneous Indecomposable plane continuum, Duke Math. J., 15,
№ 3 A948), 729—742.
6. Solution of a problem of R. L. Wilder, Amer. ]. Math., 70, № 1 A948),
95—98.
6. Somu characterizations of arcs and simple closed curves, Amer. J.
Math., 70, № 3 A948) 497—506.
7. Snake-like continua, Duke Math. J., 18, № 3 A951), 653—663.
8. Higher-dimensional hereditarily indecomposable continua, Trans. Amer.
Math. Soc, 71, № 2 A961), 267—273.
0. Concerning hereditarily Indecomposable continue. Pacific J, Math., 1,
Mi 1 A951J, 43-52,

688 Библиография
10. Eacli homogeneous nondegenerate chainable continuum is a pseudo-arc,
Proc. Amer. Math. Soc, 10, № 3 A959), 345—346.
11. Tame Cantor Sets in 23, Pacific J. Math., 11, № 2 A961), 435—446.
Бинг и И о ii e с (В i n g R. H., Jones F. В.)
1. Another homogeneous plane continuum, Trans. Amer. Math. Soc, 90,
№ 1 A959), 171 — 192.
Б иркгоф Г. (В irkhof f G.)
1. Теория структур, М., 1952.
Б и р к г о ф Дж. (В i г kh о f f G. D.)
1. Proof of a recurrence theorem for strongly transitive systems, Proc. Nat.
A cad. Sci. USA, 17, № 12 A931), G50— 655.
2. Proof of the ergodic theorem, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 17, N<> 12
A931), 650-600.
Б и р к г о ф и К с л л о г (В i r k h о f f G. D., К е 1 1 о g Q. D.)
I. Invariant point in function space, Trans. Amer. Math. Soc, 23, № 1
A922), 96—115.
Б л а и к и и ш и п (Blankinship W. A.)
1. Generalization of a construction of Antoine, Ann. Math., 53 A951),
276—297.
Б о л т я и с к и ii В. Г. и С о л т n it P П.
1. Обобщение теоремы Гуревича о размерности прообразов, Матсм. сб.,
69, 2 A966). 257—285.
Б о р е л I. (В о г е 1 Е.)
I. Ann. F.cole Norm. Sup. C), 12 A895) (These).
Б о р с у к (В о rs и к К.)
1. Snr les retraces, Fund. Math., 17 A931), 152—170.
2. Quelques theoremes sur les ensembles unicoherents, Fund. Math. 17
A931), 171—209.
S. Mnnatsh. Math. Phys., 38 A931), 381.
4. Ober Schnitte der n-diinensionnlen Euklidischen Raumc, Math, Ann.,
106 A932), 239.
5. Eiuige Sfitze liber sictiRc Strcckenbildcr, Fund. Math., 18 A932), 198—213.
6. Ober cine Klasse von lokal zusammenha'ngenden Raumen, Fund. Math.,
19 A932), 220-242.
7. Drei Satze fiber die n-dimcnsionale euklidische Spluire, Fund. Math.,
20 A933), 177-190.
8. Ober die Abbildungcn der metrischen kompakten Ra'ume atif die Kreis-
linie, Fund. Math., 20 A933), 224—231.
9. Ober eine Bedingung die dem lokalcn Zusammcnhange Equivalent ist,
Matlwmatica, 7 A933), 144.
10. Zur kombmatorischen Elgenschaften der Retrakte, Fund. Math., 21
A933), 91—98.
II. Sur la decomposition des courbes regulleres en dendrltes, Fund. Math.,
22 A934), 287—291.
12. Fund. Math., 24 A935), 135.
13. Quelques rfctrnctes slnRuliers, Fund. Math., 24 A935), 249—258.
14. Sur le plongcmeut des espaccs dans les retractes absolus, Fund. Math.,
27 A936), 239—243.
15. Sur les groupes des classes des transformations continues, С R. Pa-
Paris, 202 A936), 1400.
16. Sur les transformations continues n'augernentant pas la dimension,
Fund. Math., 28 A937), 90—98.
17. Sur les prolongements des transformations continues, Fund. Math., 28
A937), 99-110.
18. Un theordme sur les prolongements des transformations, Fund. Math.,
29 A937), 161—166.

Библиография 589
19. Ann. Soc. Pot. Math., 16 A937), 218.
20. Sur l'addition homologique des typos de transformations continues en
surfaces spheriques, Ann. Math., 38 A937), 733.
21. Snr un «space compact localcrnent contractile qui n'esl pas hit retraetc
absolu de voisinage, Fund. Math., 35 A948), 175-180.
22. On an irreducible 2-dimcnsional absolute retract, Fund. Math, 37
A950), 137—100.
23. Set-theoretical approach to the disconnection theory of the Euclidean
spaces, Fund. Math., 37 A950), 217—241.
24. On Hie imbedding of и-dimensional sets in B — n)-dimensional abso-
absolute retracts, Ada Scicnt. Math. Szeged, 12 A950), 112—110.
25. On some metrization of the hyperspace of compact sets, Fund. Math.,
41 A955), 108-202.
26. On the concept of dependence for continuous mappings, Fund. Math.
43 A956), 95.
27. Concerning the classification of topological spaces from the standpoint
of the theory of retracts, Fund. Math., 46 A959), 321—330.
28. An AR-set with an infinite number of R-neiglibours, Butt. Acad. Pol.
Sci., ser. math. 9, № 5 A961), 345-349.
29. On a family of л-dimensional AR-sets, Fund. Math., 51 A962), 283—
297.
30. Theory of retracts, Warszawa, 1966.
Б о р с у к и К о с и и с к и н (В о г s u k K-, К о s i n s k i A.)
1. On connections between the liomology properties of a set and of its
frontier, Bull. Acad. Polon. Sci., 4 A956), 331—333.
Б о р с у к и М а я у р к с с и ч (В о г s и к К., М а ъ и г к i e w i с г S.)
1. Snr l'hypcrespace d'un continu, С. R. Soc. Sc. Varsiwie, 24 A031), 149.
2. Snr Ics retractes absolns indecomposables, С R. Paris, 199 A93-1), 110.
Б орс у к и Улам (Borsnk К., U 1 a m S.)
1. Ober gewisse lnvarianten der e-Abbildungen, Math. Ann., 108 A933),
311-318.
Боте (Bot he II. G.)
1. Fine Einbettung /n-dimensionaler Mengen in einen (m+ l)-dimensiona-
len absoluten Retrakt, Fund. Math., 52, № 2 A963), 209—224.
Б р.а и л т (Brandt H.)
1. Ober cine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes, Math. Ann., 96
A927), 300-366.
Браун (Brown R.)
1. Ten topologies for XxY, Quart. J. Math., ser. 2, 14, № 56 A963), 303—
319.
2. Function spaces and product topologies, Quart. ]. Math., Ser. 2, 15, №59
A964), 238—250.
Б р а у э р (В г о и w e r L. E. J.)
1. Math. Ann., 68 A910), 426.
2. Beweis des Jordanschen Kurvensatzes, Math. Ann., 69 A910), 1C9.
3. Proc. Akad. Wet. Amsterdam, 12 A910), 785.
4. Proc. Akad. Wet. Amsterdam, 14 A911), 138.
Б р у ш л и и с к и ft H. К.
I. Stetige Abbildungen und Bettische Gruppen der Diniensionszahlen 1
und 3, Math. Ann., 109 A934), 525—537.
Б у р б а к и (В о и r b а к i N.)
1. Общая топология, основные структуры, М., 1958.
Бур г ни (В о и гц in D. G.)
1. On some separation and mapping theorems, Comment. Mat. Helvet., 29,
№ 3 A955), 199- 214.
2. Somo mappings theorems, Rendic. di Matem^ 15 A956), 177-189.

690 Библиография
3. Deformation and mapping theorems, Fund. Math., 46, № 3 A959), 259—
303.
4. Modern algebraic topology, New York — London, 1963.
Бусэкср и Саати (Bus acker R. G., Saaty T. L.)
1. Finite graphs and networks, New York, 1965.
Бэкон (Bacon Ph.)
1. Canad. J. M., 18 A966), 492.
Вагнер (Wagner K.)
1. Obcr eine Erweiterung eines Satzes von Kuratowski, Deutsche Math., 2
A937), 280—285.
В а ж е в с к и й (W a z e w s k i T.)
1. Sur les courbures de Jordan ne renfermant auciine courbe simple fer-
mec de Jordan, Ann. Soc. Polon. Math., 2 A924), 49—170.
В а й н ш т eft и И. Л.
1. О замкнутых отображениях метрических пространств, ДАН СССР, 57,
№ 4 A947), 319—321.
2. Об одной теореме П. С. Александрова, ДАН СССР, 57, № 5 A947),
431—435.
3. О повышающих размерность отображениях, ДАН СССР, 67, № 1
A949), 9—12.
В а п и ш т е й и И. и К я ж д а и И.
1. Копе'шократные непрерывные отображения, повышающие размерность,
Изо. АН СССР, сер. матем., 8, № 3 A944), 129—138.
В а т с о и (Watson P. D.)
1. On the limits of sequences of sets, Quart. /., 4 A953), 1—3.
Веде ii и con H. Б.
1. G6n6ralisation de quelques theoremes stir la dimension, Compos. Math.,
7, N» 2 A939), 194—200.
В о и д ы с л а ц с к и й (W ojdystawski M.)
1. Retractes absolus et hyperespaces des confirms, Fund. Math., 32 A939),
184—192.
2. Некоторые приложения одного критерия для того, чтобы континуум
был плоским. Матем. сб., 18, № 1 A946), 29—40.
В on r (Wong R. Y. Т.)
1. A wild Cantor set in the Hilbcrt cube, Pacific J. Math., 24 A968), 189.
Вьеторис (V i e t о г i s L.)
1. Stetige Mengen, Munat. Math. Phys., 31 A921), 49—62.
2. Monat. Math. Ph.us., 31 A921), 173-204.
3. Proc. Akad. Amsterdam A926), 446.
4. Ober den hoheren Zusammenhang kompakter Raume und eine Klasse
von zusamincnhangslreuen Abbildungen, Math. Ann., 97 A927), 454—472.
5. Ober die Homologiegruppen der Vereinigung zweier Komplexe, Mon.
Math. Plu/s., 37 A930), 159—162.
Гааль (Gaal S. A.)
1. Point set topology, Academic Press, 1964.
Г a u e ii (G a w e h n J.)
1. Math. Ann., 98 A927).
Гамильтон (Hamilton О. Н.)
1. A fixed point theorem for pseudo-arcs and certain other metric continue,
Proc. Amcr. Math. Soc, 2 A951), 173—174.
Г а п я (G a n с а Т.)
1. On F,-tnaps onto manifolds, Fund. Math., 47, № I A959), 35—44.
Г е й не (II e i n e)
1. Llemente der Funktionenlehre, /. Math., 74 A872), 172.
Г е м а и (G e h rn a n II. M.)
1. Ann. Math., 27 A926).

Библиография 591
2. Concerning irreducible continua, Proc. Nat. Ac. Sc, 14, № 5 A92?),
431-435.
Ген ба (Ge.ba K.)
1. Sur les gronpcs de cohomotopie dans les espaces de Banacli, C. R. Pa-
Paris, 254 A962), 3293.
Гильдс бра идт (Н i 1 d e b r a n d t Т. Н.)
1. TIip Borel theorem and Its applications, Bull. Amer. Math. Soc, 32
A926), 423—474.
Голомб (О о I n b S.)
1. Un theoreme de balayage, Fund. Math., 12 A928), 4.
Г р а н а с (G r a n a s A.)
1. On local disconnection of Euclidean spaces, Fund. Math., 41 A954) 42—
48.
2. К теории когомотопиче-скнх групп Борсука, Fund. Math. 44, №2 A957),
159—164.
3. Theorem on antipodes and theorem on fixed points for a certain class
of multi-valued mappings in Bfinacli spaces, Bull. Acad. Pol. Sci., 7,
№ 5 A959), 271-275.
4. Extension homolopy theorem in Bnnach spaces and some of its applica-
applications to tile theory of nonlinear equations, Bull. Acad. Pol. Sci., 7 A950),
387—304.
Г р а и а с и Я в о р о п с к и ii (G r a n a s A., J a w о г о w s k i .1. W.)
1. Some theorems on multi-valued mappings of subsets of the Euclidean
space, Bull. Acad. Pol. Sci., 7, № 5 A959), 277—283.
Г р а у э p т (П г а и е г t II.)
I. Generalisation d'un theoreme de Runge el applications a la theorie des
espaces fibres analytiques, С R. Paris, 242 A056), 003—605.
де Гроот (de Groot J.)
1. Satze iiber lopologische Erweiterung von Abbildungen, Indag. Math., 3
(I944), 419.
2. A note on 0-dimensional spaces, fngatl. Math., 9 A947).
3. Subcompaclness and the Baire category theorem, Ingad Math., 25
A903), 751—767.
Гурепич (Ilurewicz W.)
1. Ober Stetige Bilder von Punklrnengen (Zweite Mittelung), Proc. Akad.
Amsterdam. Ser. A, 30, № 1 A927). 159-165.
2. Ubcr das Verhaltniss sepambler Ranme zu komnaktcn Raumen, Proc.
Akad. Amsterdam, Ser. A. 30, № 3 A927), 425—430.
3. Normalbereiche und Dimensionsfhoorie, Math. Ann., 96 A927) 736—
764.
4. Zlir Theorie der anaiytischen Mengen, Fund. Math., 15 A930), 4—17.
5. Ober Abbildungen von ondiichdimcnsionalen Ra'unien anf Teilmcngen
Carlesisrher Ra'ume, Sf<b. Prcuss. Akad., 34 A033). 754—765.
6. Beitrage zur Topologie dor Deformationen (I. Mfiherdimensionale Ho-
motopiegruppen), Proc. Akad. Amsterdam, Ser. A, 38, № 1 A935),
112-110.
7. Ober Abbildungen topologischer Ra'ume anf die я-dimensionalc Sphare,
Fund. Math., 24 A035), 144—150.
8. Beitr/ige zur Topologie der Deformationen (II. Homotopie- und Homo-
logiegruppen) Proc. Akad. Amsterdam Ser A 38, № 5 A035), 521 —
528.
9. Beitrngc 7.ur Topologie der Doformationen A11. Klassen und Homolo
gietypen von Abbidungen), Proc. Akad. Amsterdam, Ser. A, 39, № I
A930), 117-126.
10. Beitrage zur Topolnine der Deformationen (IV. Asphiirische R;iumc).
Proc. Akad. Amsterdam, Ser. A, 39, № 2 A936), 215—224.

592 Библиография
Г у р е п и ч к У о л м е и (Hurewicz W., Wall m ;i n H.)
1. Dimension Theory, Princeton University Press. 1911. [Неренод: Г у р e-
b H ч В., В о л м э и Г., Теория размерности, М., I948.]
Д а й е р (D у о г Е.)
1. Irreducibility of the sum of the elements of a continuous collection of
continue, Duke Math. J., 20, № 4 A953), 589—592.
Д а й с о it (Dyson F. J.)
I. Continuous functions defined on spheres, Ann. Math., ser 2 54, № 3
A951), 534-536.
Д а и ж у a (D en j о у А.)
1, С. R. Paris, 151 A910), 138.
Дани и r (von D a n t z i g D.)
1. Ober topologisch homogene Kontinua, Fund. Math., 15 A930), 104—125.
Даукер (Dowker С. Н.)
1. Mapping theorems for поп-compact spaces, Amer. 1. Math., 69, № 2
A947), 200-242.
2. On a theorem of Ilanner, Arkiv Math., 2, № 4 A952), 307—317.
Дектярев И. М.
1. Теорема о замкнутом графике для ультраполных пространств ДАН
СССР, 157, № 4 A964), 771-773.
2. Обобщенная теорема Борсука — Ямабе, ДЛИ УзССР, К» 6 A964),
18—20.
Джексон (Jackson J. R.)
1. Comparison of topologies on function spaces, Proc. Amer. Math Soc.
3, № 1 A952), 156—158.
2. Spaces of mappings on topological products with applications to ho-
motopy theory, Proc, Amer. Math. Soc, 3, № 2 A952), 327—333.
Дирак ti Ш у с т с p (D i г а с G. A., S с h u s t e r S.)
1. A theorem of Knratowski, Indag. Math., 16 A954), 343—346.
2. Corrigendum, Indag. Math., 23 A961), 360.
Д у г у и д ь и (Dugundji J.)
1. Absolute neighborhood retracts and local connectedness in arbitrary met-
metric spaces, Compos. Math., 13, № 3 A958), 229—246.
2. Topology, Allyn and Bacon, 1966.
Дуда (Dud a R.)
1. Sur Ic prolongement des homeomorphies, Fund. Math., 46, № 2 A959),
175—186.
2. Sur les prolongements poncliformes des homcoinorpliies, lndu[>. Math.,
22 A960), 132—136.
3. On biconnected -sets with dispersion points, Rozpr. Matem, 37, Warsza-
wa, 1964.
Дэй иКуратовскнй (Day J. M., Kuratowski K.)
1. On the non-existence of a continuous selector for arcs lying in the
plane, Indag. Math., 28 A966), 131 — 132.
Ефимов Б.
1. О песоном строении диаднчееких бикомпактен, Вестник МГУ, матема-
математика, механика, 1, № 2 A964), 3—11.
2. Дпадическпе бикомпакты. Труды Моск. матем. о-иа. 14 A965), 211—247.
3. .О диадических бикомпактах. ДАН СССР, 149, № 5 A9A3). 1011 — 101-1.
4. О диадическнх пространствах, ДЛИ СССР, 151, № 5 A963), 1021 —
1024.
Б Метризуемость и 2-пронзведепис бикомпактов, ДЛИ СССР, 152, № ¦!
A9G3), 794—797.
Е ф и м о и и Эигелькипг (Л с f i m о v В., Г и g e I k i n g R.)
1. Remarks on dyadic spaces, II, Colloq. Math., 13 A965), 181-197.

Библиография 593
Е се и м ц -15 о л ь п и н Л. С.
1. О зависимости между локальным и интегральным весом в днадическнх
бикомпактах, ДАН СССР, 68, № 3 A949), 441—444.
Ж о р д а и (Jo r d a n С.)
1. Coiirs d'aiialyse, I, Paris, 1893.
3 а и а д о и с к и и и С л о в и к о в с к и и (Zawadowski W., S 1 о w i-
k о w s k i W.)
I. A generalization of maximal ideal method of Stone and Gelfand, Fund.
Math,, 42 A955), 215-231.
3 a p а и к е в и ч (Z a r a n k i с w i с z C.)
1. Stir les points de division dans les espaces connexes, Fund. Math., 9
A927), 124—171.
2. Trans. Amcr. Math. Soc, 33, 447.
3. Un tlieorrme sur l'liniforinisation des fonclions continues et son appli-
application a la demonstration dn tlicoreme de F. J. Dyson sur les transfor-
transformations de la surface spherique, Bull. Acad. Pol. ScL, 2 A954), 117—
120.
Зарапкевич и Куратовский (Zarankiewiu С, Kuratow-
ski К.)
1. Bull. Amcr. Math. Soc, 33 A927), 571.
Зигмунд и Сакс (Z у g m u n d A., S a k s S.)
1. Analytic functions, Warszawa, 1965.
Зоретти (Zoretti L.)
1. Sur les fonclions analytiques uniformes qui posseden! un ensemble par-
fait discontinu dc points singuliers, J. Math. Pures Appl., Scr. 6, 1
A905), 1—51.
2. La notion de Iignc, Ann. Ёс. Norm. Sup., 26 A909).
3 ы к о is A. A.
1. Теория графов, Труды симпозиума но теории графов в Смолешще,
1963, стр. 171—234.
Ивановский Л.
1. Об одной гипотезе П. С. Александрова, ДЛИ СССР; 123, № 5 A958),
785—786.
И о и е я м a (Y о п е у a in a K-)
1. Tolioku Math. J., 12, № I A917), 43—158.
Исбелл (Isbcll I. R.)'
1. Embedding of inverse limits, Ann. Math., ser. 2, 70, № I A959), 73—84.
2. Uniform spaces, Previdence, 1964.
Й о и е с (Jones F. B.)
1. Connected and disconnected plane sets and the functional equation
!(x)+f(y)=f(x + y), Bull. Amcr. Math. Soc, 48, № 2 A942), 115—120.
2. A note on homogeneous plane continua, Bull. Amcr. Math. Soc, 55, № 2
A949), 113—114.
3. On a certain type of homogeneous plane continuum, I'roc. Amer. Math.
Soc, 6, № 5 A955), 735—740.
Йонес и Томас (J о и e s F. В., T h о ш a s E. S., Jr..)
1. Connected Gft graphs, Duke Math. J., 33 A966), 341—345.
К а к у т а н и (К a k н t a n i S.)
1. A proof that there exists a circumscribing cube around any bounded
closed convex set in R3, Ann. Math., ser. 2, 43, № 4 A942), 739—741.
К а м ne ii (v. К a m p e n E. R.)
1. On some characterizations of 2-manifolds, Duke Math. J., 1, № 1 A935),
74—93.
Кантор (Cantor G.)
1. Math. Ann., 17 A880).
2. Math. Ann., 21 A883), 576.
38 Зак, 190

!>94 Библиография
Карт pa ill, Норм аи и Харари (Cartw right D., Norman R.,
H a r а г у F.)
1. Structural models, J. Wiley, 1965.
Катетов (Katctov M.)
I. О размерности несспарабельных пространств, Czechoslovak Math. J.,
6, № 4 A956), 485—516.
Ke л ды ш Л. В.
1. Неирерышюе отображение сегмента па «-мерный куб, Мате.ч. сб., 28,
вып. 2 A951), 407—430.
2. Нульмерные отображения, повышающие размерность, Матем. сб., 28
A951), 537—566.
3. Пример одномерного континуума, нульмерно н открыто отображающе-
отображающегося на квадрат, ДАН СССР, н. с., 97, № 2 A954), 201—204.
4. Нульмерные открытые отображения, Изв. АН СССР, сер. матем., 23,
№ 2 A959), 165—184.
Келл и (К е 11 e у J. L.)
1. General Topology, 1955. [Перевод: Общая топология, М., 1968.]
2. The hyperspaces of a continuum, Trans. Amer. Math. Soc, 52, № I A942),
22-36.
Кепке (Кор eke)
1. Math. Ann., 29.
2. Math. Ann., 34.
3. Math. Ann., 35.
Керекьярто (К e r 6 k j a r t б В. v.)
1. Ober stetige Kurven, Abh. Math. Seminar Univ. Hamburg, 4 A925),
164-171.
2. Topologie 1.
Керти с (Curtis M. L.)
1. Deformation-free continua, Ann. Math., ser. 2, 57, № 2 A953), 231—247.
К и и к e ii д (К i n с a i (I W. M.)
1. On non-cut sets of locally connected continua, Bull. Amer. Math. Soc,
49, № 6 A943), 399—406.
Киркор (Kirkor A.)
I. Wild 0-dimcnsional sets and the fundamental group, Fund. Math., 45,
№ 3 A958), 228—236.
Клайп (К I i ne J. R.)
1. Concerning the complement of a countable infinity of point sets at a
certain type, Bull. Amer. Math. Soc, 23 A917), 290—292.
2. Closed connected sets which remain connected upon the removal of cer-
certain connected subsets, Fund. Math., 5 A924), 3—10.
3. Concerning the sum of two continua each irreducible between the same
pair of points, Fund. Math., 7 A925), 314—322.
Клайп иМур (Kline J. R., Moore R. L.)
1. Ann. Math., 20 A918), 218.
К л e ii т о p (C I а у t о г S.)
1. Topological immersion of Pcanian continua in a spherical surface, Ann.
Math., ser. 2, 35, № 4 A934), 809-835.
Кли (К I ее V.)
1. Proc. Amer. Math. Soc, 7 A956), 673.
Кли и Руднп (К I e с V. L., R u d i n M. E.)
1. A note on certain function spaces, Arch. Math., 7, № 6 A951), 469—470.
Кнастер (К n a s t e r D.)
1. Fund. Math., 3 A922), 209.
2. Uii continu dont tout sous-coiilinu est indecomposable, Fund. Math., 3
A922), 247—286.
3. Fund. Math., 7 A925).

Б и б л и о г р а ф и я 595
4. Sur ии problc-mc do M. R. Wilder, Fund. Math., 7 A925). 101—107.
5. Quelques coupiircs singulieres iln plan, Fund. Math., 7 (I!I25), 264-289.
6. Sur les ensembles conncxes irreduclibles entre rieu.x points, fund. Math.,
10 A927), 276-297.
7. Un conlinu irrcductible a decomposition continue en tranches Fund
Math., 25 A935), 568-577.
8. Sur les coupures biconncxes des ospacos euclidifciis do dimension n>\
arbitrage, Матем. сб. 10 A946), 9—18.
9. Colloq. Math., 1 A917), 30.
Кнастер и К, у p ;i т о п с к и ii (К n a s t е г В., К u r a t о w s k i К)
1. Fund. Math., 1 A920).
2. Sur los i-nsemblo.s cnnne.xes, Fund. Math., 2 A921), 200—255.
3. Sur les continus nou-borncs, Fund. Math., 5 A924), 23—58.
4. Sur quelques proprietors topologiques des fond ions derivees, Rend. Pa-
Palermo, 49 A925), 382—386.
5. Remark on a theorem of R. Moore, Proc. Nat. Acctd. Sci. USA, 13, № 9
A927), G47-649.
6. Л connected and connected in kleinon point set which contains no per-
perfect subset, Bull. Amcr. Math. Soc, 3,4, ,Nb 1 A927), 106-110.
Кнастер и У р б а и и к (К n a s I с r B,, U r b a n i k K-)
1. Sur les ospaces complets separables de dimension 0, Fund. Math., 40
A953), 194-202.
К о д a ii p а (К о A n i r a K.)
1. Die Kur.ilowskisclio Abbildimg imcl der Ilopfsdtc Erweiterungssatz,
Compos. Math., 7 A940), 177—184.
Ко л а м а (Ко d a m a Y.)
1. Note on an absolute neighborhood extensor for metric spaces, J. Math.
Soc. Japan, 8, ,№> 3 A050), 206—215.
2. On l.C" metric spaces, Proc. Japan Akad., 33 A957), 79-83.
К о р с о u и Майкл (С о г s о п II. II., Michael Г'..)
1. Metrizabilily of countable unions, Illinois J. Math., 8, № 2 A9fi4),
351—360.
К о с м и с к и ii (К о s i ii s k i Л.)
1. On mappings which satisfy certain conditions on the boundary, Bull.
Acad. I'olon. Sci., 4 A956), 335—340.
Kox (Koch R. J.)
I. Arcs in partially ordered spaces, Pacific J. Math., 9, № 3 A959),
723—728.
Коэн (Cohen H. J.)
I. Some results concerning homogeneous plane continua, Duke Math. J.,
18, № 2 A951), 467—474.
Красносельский М. Л.
1. Об одном принципе неподгшжноп точки для иполне непрерывных опе-
операторов п функциональных простраистпах, ДАН СССР, н.с, 73, № 1
A950), 13—15.
2. О гшчислешш пращення векторного поля па tt-iuepitoft сфере, ДАН
СССР, 101, № 3 A955), 401—404.
К р <1 и п и и М а к - О л н (Cronin J., Me Ли ley L. F.)
1. Proc. Nat. Acad. Sci., 56 A906), 405.
К у :* i> м п п о i) В.
1. О гипотезе П. С. Александром в теории топологических групп, ДЛИ
СССР, 125, № 4 A959), 727—729.
Кук (Cook П.)
1. On subsets of indecomposable continua, Colloq. Math., 13, № 1 A961),
37-43.
38*

596 Библиография
К у р а то в с к и ii (Kuratowski К.)
1. Topologies И, Warszawa, 1961.
2. Solution d'un probleme conccrnant les images continues d'cnscmbles
dc points, Fund. Math., 2 A921), 158—160.
3. Quclques proprietes topologiqucs dc la demi-droite, Fund. Math., 3
A922), 59-64.
4. Theorie des conlinns irreductiblcs entre deux points. Fund. Math., 3
A922), 200—231.
5. Contribution a I'c'tudc de conlinns de Jordan Fund. Math., 5 A924),
112—122.
6. Sur les ooiirpures irreductible du plan, Fund. Math., 6 A924), 130—145.
7. Fund. Math., 7 A925), 28.
8. Sur Ics conlinns do Jordan ct lc thcoreme du M. Brouwer Fund.
Math., 8 A926), 137-150.
9. Sur la puissance dc l'ensemble des «nombres rie dimension» au sens
de M. Frechet, Fund. Math., 8 A926), 201 — 208.
10. Theorie des conlinus irreductibles entre deux points, II, Fund. Math.
10 A927), 225—275.
11. Ann. Snc. Pol. Math., 5 A927), 109.
12. Ober gesehlosscne Kurven und unzerlegbare Kontinua, Math. Ann., 98
A927), 399—405.
13. Sur les decompositions semi-continues d'espacos metriqnes compacts,
Fund. Math., 11 A928), 169 -185.
14. Sur la structure des frontieres communes a deux regions, Fund. Math.,
12 A928), 20-42.
15. Sur la separation d'ensembles sitnos sur le plan, Fund. Math , 12
A928), 214—239.
16. Un svstonic d'axiomes pour la Topologio de la surface de la sphere, At-
ti del Congr. Int. dei Matemat. Bologna, 1928, VI, n. 239.
17. Une caracterisation topologique de la surface de la sphere, Fund.
Math., 13 A929), 307-318.
18. Snr une condition (|ui caracterise les continus indecomposables, Fund.
Math., 14 A929), 116—117.
19. Quelques applications d'elcmcnts cycliqucs dc M. Whyburn, Fund.
Math., 14 A929), 138-144.
20. Sur quelques llicorenics fondamentaux de ГЛпаlysis situs, Fund. Math.,
14 A929), 304—310.
21. Theoreme sur trois continus, Monatsh. Math. Phys., 36 A929). 77—Й0.
22. Sur une propriete des continus Peannicns plans, Fund. Math., 15
A930), 180—184.
23. Sur le probleme des courbes gaudies en Topologie, Fund. Math., 15
A930), 271-283.
24. Sur les espaces complete, Fund Math., 15 A930), 300—309.
25. Evaluation de la classu borelienne ou projective d'un ensemble de
points a l'aide des symbolcs logiques, Fund. Math. 17 A931), 249—
272.
26. Les fonctions semi-continues dans l'espacc des ensembles fcrmes, Fund.
Math., 18 A931), 148-159.
27. Sur ('application des espaces fourtionnels a la Theorie de la dimen-
dimension, Fund. Math., 18 A931), 285—292.
28. Sur un probleme topologique conceruant les systemes «strictcment
transitifs», Fund. Math., 19 A932), 252—256.
29. Une application des images de fonctions a la construction de certains
ensembles singuliers, Mathemalica, 6 A932), 123.
30. Sur les transformations des spheres en des surfaces spheriques, Fund.
Math., 20 A933), 206—213.

Библиография Г>97
31. Sitr les espaces localement conncxes ct peaniens en dimension n Fund.
Math., 24 A9:15), 260-287.
32. Sur les Iheoremes <In «plongemonb d;ins In theorie de l;i dimension,
Fund. Math., 28 A937), .436—.142.
33. Ann. Soc. Potnn. Math.. 16 A937), 220.
34. Quelques theore-mes sur le plongement lopologique des espaces, Fund.
Math., 30 A938), 8—13.
35. Sur les families monotones d'cnsembles ferities et leurs applications a
la theorie des espaces conncxes, Fund. Math., 30 A938), 17—33.
36. Remarqnes stir les transformations continues des espaces inetriques.
Fund. Math., 30 A938), 48—49.
37. Sur la compactification des espaces a connexite /i-dimcnsionnelle, Fund.
Math., 30 A938), 242—240.
38. Sur les espaces des transformations continues en certains fjrotipes abe-
lieus. Fund. Math., 31 A938), 231—246.
39. Ann. Soc. Palnn. Math., 17 A938), 118.
40. Theoremes sur I'liomotopie des functions continues de variable complex?
et leurs rapports a la theorie des fonctious analytiques, Fund. Math ,
33 A945), 316—367.
41. Fund. Math., 34 A947), 261—271.
42. Quelques generalisations des ihcorOmcs sur las cotipures dii plan, Fund.
Math., 36 A949), 277—282.
43. Remarque, Fund. Math., 37 A950), 251—252.
44. Foncfions ralionnelles qui sont homotopes a des fouctions bhmivo(|ues
sur certains sous-ensembles dn plan, Fund. Math., 41 A954), 107 121.
45. Sur une methode de motrisalion complete de certains espaces d'eusein-
hies compacts, Fund. Math., 43 A95G), 114 — 138.
4G. Quelques proprietes de l'espacc des ensemles LC", Bull. Anid. Polon.
Sci., 5, № 10 A957), 967—974.
47. Sur quelques invariants lopologiques dans l'espacc eudidieii, J. Math.
Purcs Appi, Ser. 9, 36 A957), 191—200.
48. Sur l'extension dc la notion dc fonction rationnelle a I'espare cucli-
dien «-dimeusionnel, Butt. Acad. Pot. Sci., Scr. Math., (i, № 5 A958),
281—287.
49. Un critere de coiipure de I'espace euclidien par uii sousensemhle arbi-
trnire. Math. Z., 72, № 1 A959), 88—94.
50. Introduction и la tlteorie des ensembles et a la topologir, Geneve, 1900.
К у p а т о n с к u i"i и Мазурксвич (К u r a t о w s k i K-. M a z u r k i e-
w i с z S.)
1. Sur les points d'ordrccdans les contimis, Fund. Math., 11 A928), 29--
34.
К у p а г о н с к и ft и ЛА a p ч с и с к и fi (К и г а I о w s k i К., M а г с г е w-
s k i • S г. р i I r a j n E.)
1. Sur les cribles fermes et leurs applications, Fund. Math., 18 A931),
100—170.
К у р а т о в с к ii Л и Отто (К u г a t о w s к i K-, Otto ?..)
1. Sur les espaces a connexite n-dimensioiincllc, Fund. Math., 32 A939),
259—264.
Курптопский tt P u л ь - II a p л з с к с к и й (Knratowski К., R у 11-
Nardzewski С.)
1. A general theorem on selectors, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Malli., 13,
N» 0 A965), 397—4Q2.
Кур а то в с к и ii и С е р п и trc к и ii (Kurntowski К., Sier pin-
ski W.)
1. Lc theoreme de Borel-Lcbesgue dans la theorie des ensembles abstrails,
Fund. Math., 2 A921), 172-178.

598 Библиографии
2. Les fonctions de classe I et les ensembles cnnnc.xes ponctiformes, Fund
Math., 3 A922), 303—313.
Куратовский и С т р а ш с в ii ч (К и г a t о w s k i К , S t г a s z e-
wicz S.)
1. Generalisation d'un theoreme de Janiszcwskl, Fund. Math., 12 A928),
152—157.
Куратовскнй ii У a ii б с p ii (Knratowski K-, Why burn G. T.)
1. Fund. Math., 15 A930), 322—320.
2. Sur lcs elements eyeliques el lours applications, Fund. Math., 16
A930), 305—331.
К у р а т о в с к и й и У л а м (К u r a t о w s k i К., U 1 n m S.)
1. Sur un coefficient Me aux transformations continues d'ensembles, Fund.
Math., 20 A933), 244—253.
Куратовский и Э й л е и б с р г (Kuratowski К., Ii i I e n b e r g S.)
1. Tlieoromos d'addition eoneernant le group des transformations en cir-
conference, Fund. Math., 32 A939), 193—200.
2. A remark on duality, Fund. Math., 50, № 5 A962), 515—517.
Куратовский и Э ii г е л ь к и и г (Kuratowski К., Г. n g e I k i n g R.)
1. Quelques theoremes de I'Algebre de Boole et leurs applications topolo-
giques, Fund. Math., 50, № 5 A962), 519—535.
2. On extending homeonwrphisnis in continua eontractible relative to the
circle, Rendic. di Mai., 21, № 3—4 A962), 305-311.
Куратовский и Я и и ш е в с к и ii (Kuratowski К., Л а п i s г е w-
ski S.)
1. Sur les continue indecomposablcs, Fund. Math., 1 A920), (nouvel edi-
edition 1937), 210-222.
Лебег (Lebesgue II.)
1. Lecons sur I'integration, Paris, 1905.
2. Sur les correspoudaiices cntre les points dc deux espaces, Fund. Math.,
2 A921), 256—285.
3. Sur le theoreme de Schonflies, Fund. Math., 6 A924), 96—99.
Л ей a (Lej a F.)
1. Fund. Math., 10 A927), 421.
Лелек (L e 1 e k A.)
1. Remarks on Brouwer reduction theorem, Praci> Mat., 7 A962), 107—
108.
2. On weakly chainable continua, Fund. Math., 51, ,№ 3 A902), 271-283.
3. Cn the Knaster totally disconnected sels, Bull. Polish Acad. ScL, Ser.
Math., 15, № 2 A967), 81-83.
Л e ii и с с (L e n n e s N. J.)
1. Amer. J. Math., 33 A911), 303.
Лефшец (Lefschetz S.)
1. On locally connected and related sets, Ann. Math., Ser. 2, 3, 35, № 1
A934), 118—129.
2. Topics in Topology, Princeton, 1942.
3. Algebraic topology, Amer. Math. Soc. Coll. Publ., 1942. [Перевод: Алгеб-
Алгебраическая топология, М., 1947.]
4. Introduction to Topology, Princeton, 1949.
5. Planar graphs and related topics, Pmc. Nat. .Acad. ScL, 54, № 6.A965),
1763—1765.
Лехиер (Lehner G. R.)
1. Extending horncomorphisms on the pseudo-arc Trans. Amer. Math. Soc.,
98, № 3 A961), 369—394.
Л и в с с м (L i v e s а у G. R.)
1. On a theorem oi F, J, Dyson, Ann. Math., Ser. 2, 59, N2 2 A954),
227-229.

Библиография 599
2. On maps of the three-sphere into the plane, Michigan Math. ]., 4, № 2
A957), 157—159.
Ли идеи Штраус (Lindenstrauss J.)
1. Л selection theorem, Israel I. Math., Sec. F, 2, № 3 A964), 201—204.
Л о к у ц и е и с к и ii О. В.
1. К топологии континуумов, ДЛИ СССР, 164, № 6 A965), 1235—1238.
Л ю б a it с к it й (L u b а п s k i M.)
I. An example of an absolute neighbourhood retract, which is the common
boundary of three regions in the 3-dimensional Euclidean space, Fund.
Math., 40 A953), 29-38.
Любе» (L и b be n R. G.)
I. Trans. Amer. Math. Soc, 30 A928), 668.
Л ю с т e p и и к Л и Ш и ii p e л ь м а и Л.
1. Топологические методы в вариационных задачах и их приложение к
дифференциальной геометрии поверхности, Успехи мат ем наук, н. с,
2, вып. 1 A947), 166—217.
М а з у р (Mazur S.)
I. On continuous images of cartesian products, Fund. Math., 39 A952),
229—238.
M а з у р к е в и ч (M a z u r k i e w i с z S.)
1. С R. Paris, 151 A910), 296.
2. Bull. Acad. Poton., A912), 44.
3. С R. Soc. Set. Varsovie, 6 A913).
4. С R. Soc. Sci. Varsovie, 9 A916).
5. Un theoreme sur les conlinus indecomposables, Fund. Math., 1 A920),
35—39.
6. Sur un ensemble Ge ponctiforme qui n'est homeomorphe a aucun en-
ensemble lineaire, Fund. Math., I A920), 61-81.
7. Sur les lignes dc Jordan, Fund. Math., 1 A920), 166—209 (nouvel ed.,
1937, p. 201).
8. Un theoreme sur les lignes de Jordan, Fund. Math., 2 A921), 119—
130.
9. Fund. Math., 2 A921), 286.
10. Sur les conlinus homogenes, Fund. Math., 5 A924), 137—146.
II. Sur les continus plans поп bornes, Fund. Math., 5 A924) 188—205.
12. Fund. Math., 8 A926), 324.
13. Sur les contiuus indecomposables, Fund. Math., 10 A927), 305—310.
14. Sur les problemes x et X de Urysohn, Fund. Math., 10 A927), 311 —
319.
15. Sur les ensembles de dimension faible, Fund. Math., 13 A929), 210—
217.
16. Sur les points accessibles des continus indecomposables, Fund. Math.,
14 A929), 107-115.
17. I In theoreme sur I'accessibilile des continus indecomposables, Fund.
Math., 14 A929), 271—276.
18. Sur k's points d'ordie с dans les continus Fund. Math., 15 A930),
222—227.
19. Sur les continus absolument indecomposables, Fund, Math., 16 A930),
151—159.
20. С R. du 1 Congress des math, des Pays Slaves, Warsaw, 1930, p. 66.
21. Sur le type de dimension de I'hyprespace d'un continu, С R. Soc. Sci.
Varsovie, 24 A931), 191.
22. Sur line classe de dendrites, Fund. Math., 18 A932), 88—98.
23. Sur 1'hyperespace d'un continu, Fund. Math., 18 A932), 171 — 177.
24. Ober nichtplattbare Kurvcn, Fund. Math., 20 A933), 281—284.
25. Sur l'espace des continus peaniens, Fund. Math., 24 A935), 118—134.

600 Библиография
20. Olxr die stetigen Abbildungen dcr Strcckc, Fund. Math. 25 A935),
253—200.
27. Stir l'exibteuce des conlinus indecomposables, Fund. Math., 25 A935),
327 -328.
28. Fund. Malh., 26 A936), 150—155.
2!). Sur Ics transformations continues des courbes, Fund. Math., 31 A938)
247—258.
M a ;) у р к с is и ч и С e p ii ii и с к и ft (Mazurkiewicz S., S i с r p 1 ii-
skiW.)
1. Contribution a la lopologie des ensembles denonibrables, Fund. Math.,
1 A020), 17—27.
M а з у p к о « и ч и Я и и ш е в с к и ft (Mazurkiewicz S., J a n i s z e w-
s k i S.)
1. С R. Paris, 151 A910).
M a fi e [> (M а у с г W.)
1. 01кг abstrakte Topologie, Mon Math. Phys., 36 A929), 1—42.
Ma iiKJi Дж. (Michael J. H.)
1. Contiiuious mappings of subsets of the Euclidean я-sphere, Bull. Acad.
Poton. Sci., 5 A957), 133—137.
Ma ii kji :->. (M ich a e 1 E.)
1. Topologies on spaces of subsets Trans. Amer. Math. Soc, 71, № 1
A951), 152-182.
2. Some extension theorems for continuous functions, Pacific J. Math., 3,
№ 4 A953), 789—806.
3. On a theorem of Kuratowski, Bull. Amer. Math. Soc, 61 A955), 444.
4. Continuous selections I, Ann. Math., Ser. 2, 63, № 2 A956), 361—
382.
5. Continuous selections II, Ann. Math., Ser. 2, 64, № 3 A956), 562—
580.
. 6. Continuous selections III, Ann. Math., Ser. 2, 65, № 2 A957), 375—
390.
7. On a theorem of Rudin and Klce, Proc. Amer. Math. Soc, 12, № 6
A961), 921.
8. Continuous selections in Banach space, Studia Math., Ser. Specjahia,
№ 1 A963), 75—76.
9. Л note on closed maps ami compact sets, Israel J. Math., Sec. F, 2,
№ 3 A964), 173—176.
10. Cuts, Ada Malhematica, 111, № 1 A964), 1—36.
M а к ¦ Л л листер (Me Л 1 1 i s t e r B. L.)
I. Cyclic elements in topology, History, American Monthly, 73 A966),
337-350.
M а к - JI с й и (Mac Lane S.)
1. Л combinatorial condition for planar graphs, Fund. Math., 28 A937),
22-32.
2. Л structural characterization of planar combinatorial graphs, Duke
Malh. J., 3, № 3 A937), 460—472.
M а к - M n л л а и (McMillan D. R.)
1. Taming Cantor sets in '<$", Bull. Amer. Math. Soc, 70, № 5 A964),
706-708.
Мак- О л ii (Me Ли ley L. F.)
1. Conditions under which light open mappings are homeomorphisms,
Duke Math. J., 33, № 3 A966), 445—452.
M a p д с in n ч и П а п и ч (ЛА a r d e s i с S., P a p i с Р.)
I. Continuous images of ordered compacta, the Suslin property and dya-
dyadic compada, Glasnik, Ser. 2, 17, № 1-2 A962), 3—25.

Библиография 601
Мартин (Martin J.)
1. Л countable Hausdorff space with a dispersion point, Duke, AU1II1. J.
33, № I A966), 165—167.
M a p ч е и с к и ft (Marczewski-(SzpIlrajn) E.)
1. Заметка о декартовых произведениях топологических пространен),
ДАН СССР, п. с., 31, № G A941), 525—527.
2. Separability et multiplication cartrsienne dos cspaces topolugiqiies,
Fund. Math., 34 A947), 127—143.
Me д у ш е не к ii ii (Mioduszewski J.)
1. A functional conception of snake-like continue, Fund. Math., 51, M> '?.
A962), 178—189.
Me ft с тер с иОлсх (М е i s t e r s G. П., О lech С.)
1. Duke Math. /., 30 A963), 63—80.
Me и rep (Monger K)
1. Diinensionstlieorie, Leipzig-Berlin, 1928.
2. Kurventheorie, Teubner, Berlin-Leipzig, 1932.
3. Grundziige eiiK-r Tlieorie dor Kurven, Math. Ann., 95 A920).
4. Ober unfasscudste n-dimensionale Mengen, Proc. Akud. Amsterdam, 29
A926), 1125.
5. Das Ilauptproblem uber die dimensionelle Struklur tier Ruume, Proc.
Akad. Amsterdam, Sen A, 30 A927), № 1, 138-144.
6. Zur allgemcinen Kurventheorie, Fund. Math., 10 A927), 9G—115.
7. Ober regulare Baumkurven, Moth. Ann., 96 A927), 57Г>-!j82.
8. Ober die Dimension von Punktmengen III, Zur Begniiiduiig reirie ,'ixlo-
matischen Theorie der Dimension, Monatsh. Math. I'lu/s., 36, № 2 A929),
193—218.
9. Zur Dimensions- und Kurventheorie, Monatsh. Math. Phi/s., 36 A929),
411—432.
Миллер (Miller E. W.)
1. Concerning biconnccted sets, Fund. Math., 29 A927), 123—133
Милнор (M i 1 n о r J.)
1. Most knots are wild, Fund. Math., 54, № 3 A964), 335—338.
Мищенко А.
l. О пространствах с точечно-счетной базой, ДАН СССР, 144, № 5 A962),
985—988.
Моиз (Moise E. Е.)
1. An indecomposable plane continuum which is hoineoriiorphic to each of
its nondegenerate subcontinua, Trans. Amer. Math. Soc, 6.4, № 3
A948), 581—594.
2. A theorem on monotone interior transformations, Ball. Amer. Math.
Soc, 55, № 8 A949), 810—811.
3. A note on the pseudo-arc, Trans. Amer. Math. Soc, 64, № 1 A949),
57—58.
4. Remarks on the Claytor imbedding theorem, Duke Math. /., 10, № I
A952), 199—202.
Мольскнй (Molski R.)
1. On an irreducible absolute retract, Fund. Math., 57, № 2 A905), 121 — 133,
2. On a family of AR-sets, Fund. Math., 57, № 2 A965), 1.35 — 145.
M о р и т а (М о г i t a K-)
1. A generalization of a theorem of Kuratowski concerning functional
spaces, Science Reports, Tokyo, 4 A949), 151.
2. Cohomotopy groups for fully normal spaces, 6'rf. Reports Tokyo Bun-
rika Daigaku S. A., 4 A953), 251—261.
M p у в к а (М г 6 w k a S.)
1. On function spaces, Fund. Math., 45, № 3 A958), 273—282.

602 Библиография
М у р (Moore R. L.1
1. On the foundations of plane analysis situs, Trans. Amer. Math. Soc,
17, №2 A916), 131—164.
2. Proc. Nat. Acad. Set., 4 A918).
3. Concerning simple continuous curves, Trans. Amer. Math Soc, 21, № 3
A920), 333—347.
4. Concerning the cut-points of continuous curves arid of other closed
and connected point-sets, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 9, № 4 A923)
101—106.
5. An extension of the theorem that no countable point set is perfect,
Proc. Nat. Acad. Sci., 10, № 5 A924), 168—170.
6 Concerning the sum of a countable number of mutually exclusive con-
tinua in the plane, Fund. Math., 6 A924), 189—202.
7. Concerning (he prime parts of a continuum, Math. Z., 22 A925), 307—
315.
8. Concerning the separation of point sets by curves Proc. Nat. Acad.
Sri, 11 A925), 469—470.
9. Concerning upper semi-continuous collections of continua Trans. Amer.
Math. Soc, 27 A925), 416.
10. A connected and regular point set which contains no arc, Bull. Amer.
Math. Soc, 32, № 4 A926), 331—332.
11. Concerning upper semi-continuous collections, Monatsh. Math. Phys.,
36 A929), 81—88.
H а г а м и (N a g a m i K.)
1. Finite-to-one closed mappings and dimension, Proc, Japan Acad, 34
A958), 503-506; 35 A958), 437—439.
2. Finite-to-one closed mappings and dimension TV, Proc Japan Acad., 37,
№ 4 A961), 193—195.
II а г а т a (N a g a t a ,1.)
1. Modern dimension theory, North-Holland, 1965.
H а л л и (Р i a N a 11 i)
1. Rend, di Palermo, 32 A911), 392.
H свел и ti г (N о b e 1 i n g G.I
1. tlber eine и-dimensionale Universalmcnge im /?2u м, Math. Ann, 104
A930), 71—80.
2. Ober regular-eindimensionale Rnume, Math. Ann., 104, № 1 A931) 81—
91.
II e м ы ц к и й В. В. и Тихонов А. И.
1. Beweis des Satzes, dass ein motrischer Raum dann und nlir dann kom-
pakt ist wenn er in jedor Metrik vollstaudig ist. Fund. Math., 12 A928),
118—120.
Никол им (N i k о d у m O.)
I. C. R. Soc. Sci. ill- Varsovie. 19 A026), 285.
Никола и шпили В.
1. О теореме двойственности Куратопского, Изв. АН Груз. ССР, 35, № 3
A964), 513—518.
Н о п а к (Novak J.)
1. On the cartesian product of two compact spaces, Fund. Math. 40
A953), 106—112.
Ньюмап (Newman M. H. A.)
1. Plane Topology.
Ope (Ore O.)
1. Theory of graphs, Coll. Publ., 1902.
Otto (Otto F.)
1. Ober Punkte der Ordnung c, Monatsh. Math. Plu/s., 40, N° 1 A933),
68-92, ' ' "

Библиография 603
Пархоменко Л С.
1. Об уплотнениях в компактные пространства, Изв. АН СССР, сер. мат.,
5, № 3 (I94I), 225-2.B.
Пасынков В. Л.
1. О полиэдральных спектрах и размерности бикомпактов, в частности
бикомпактных групп, ДЛИ СССР, 121, X» I A958), 45—48.
2. Нульмерные открытые отображения, повышающие размерность, Успе-
Успехи маем, наук, 18, вып. 5 A963), 183-190.
3. О змеевидных бикомпактах, Czechoslovak Math. !., 13, № 3 A963),
473-470.
Псано (Р е а п о О.)
1. Math. Лип., 36 A800), 157.
П е л ч и и с к и Й (Р е t с z у п s k i Л.)
1. Л remark on spaces 2х for /ero-dimensional X, Bull. Acad. Polon. Sci.,
Ser. Math., 13, № 2 A065), 85- HO.
П e л ч и ii с к и ft и Э и re л. ь к и и i (Р с 1 с г у Л s к i Л., Еп gel king R.)
1. Remarks on dyadic spaces. Culluq. Math., 11, K« 1 A963), 55—63.
П e p d и и (Р с г v i n W.)
1. Foundations of general topology, Academic Press, 1064.
П е т е р с о П (Peterson l\ P.)
1. Some results on cohomotopy groups, Aincr. J. Math., 78 № 2 A956),
243—258.
2. Generalized cohomotopy groups, Amer. J. Math., 78, № 2 A956), 259—
281.
Плись (Р 1 i s A.)
1. Rational functions univalenl on sets separating the plane Bull. Acad.
Pol. Sci., 2 A954), 255.
П о м п e ii io (Pompeju D.)
1. Math. Ann., 63 A907), 326.
Пономарев В.
1. Новое пространство замкнутых, множеств н многозначные непрерыв-
непрерывные отображения бикомпактов Матсм. сб., 48, № 2 A959), 191 —
212.
П о н т р я г и и Л. С.
1. Классификация непрерывных отображений комплекса на сферу I, ДАН
СССР. п. с, 19, № 3 A938), 147—149.
2. Классификация непрерывных отображений комплекса иа сферу И,
ДАН СССР, н. с, 19, К» 5 A!Ш), 361—363.
3. A classification of mappings of the three-dimensional complex into the
two-dimensional sphere, Мпгсм. сб., 9 A941), 331—364.
4. Непрерывные группы, М.. 1954.
П р о и з в о л о в В.
1. О конечнократпых открытых отображениях, ДАН СССР, 166, № 1
A966), 39—40.
Радо и Ренхсльдерфер (R a d б Т., Reichelderfer P.)
1. Cyclic transitivity, Duke Math. J., 6, № 2 A940), 474—485.
2. On cyclic transitivity, Fund. Math., 34 A047), 14—29.
P а у x в а р г е р И. Д.
1. Ученые мински МГУ, 4 A945).
P e ш о в с к и ii (К' е s с h о v s k у II.)
1. Ober rationale Kurven, Fund. Math., 15 A930), 18—37
Рисе (Riesz I-'.)
1. C.R. Paris, 141 A906), 050.
2. Atti del IV. Congress Int. ЛЫс-mat. Roma, 1908, vol. 2, p. 21,
3. Math. Ann., 59 A914), 409.

604 Библиография
Роберте (Roberts J. II.)
1. On a problem of Monger concerning regular curves Fund. Math., 14
A929), .427- 333.
2. A theorem on dimension, Duke Math. J., 8, № 3 A941), 565—574.
3. Л problem in dimension theory, Amur. Math. /., -70, № I A948), 126—128.
4. The rational points in Ililbert space, Duke Math. J., 23, № 3 A956),
489—491.
P о л e n i <i л i. (R о г е и thai Л.)
I. Uber Pe;mofl;idiert mid ihren Rand, Math. Z, 10 A921), 102—104.
P о ii (Roy P.)
1. Л countable connected Urysolin space with a dispersion point, Duke
Math. ./.. 33 A906), 331—333.
I> у д и ii (R u d i n M.)
1. Proceed. Madison Seminar, 1955, p. 84.
С а м о л ь с о ii (S л /п с 1 s о n H,)
1, Remark on a paper by R. II. Fox, Ann. Math., Ser. 2, 45, № 3 A944),
448-449.
С с м а д e n ii (S e m ;'i d с и i Z.)
1. Sur les ensembles clairsemfcs, Rozprawy Matem., 39 A959).
С e p п и п с к и ii (S i e r p i n s k i W.)
1. С It Paris. 160 A915), 302.
2. Le continu lineaire comrne un ensemble abstrait, Prace Mat. Fiz., 27
A915), 203.
3. C. II Puris, 162 A916), 629.
4. I.'arc simple cortime nn ensemble de points dans l'espace a m dimen-
dimensions, Ann. Mat. Рига Appl., Ser. 3, 26 A916), 131 — 150.
5. Vn theoreme sur les continue, Tohoku Math. J., 13, № 3 A918), 300—
303.
6. Wind. Mat., 23 A919).
7. Sur line condition pour qu'un continu soil une courbe jordanienne, Fund.
Math., 1 A020) (new edition 1937), 44—60.
8. Sur les ensembles connexes et non connexes, Fund. Math., 2 A921),
81—95.
9. Sur quelqucs proprietes topologiques du plan, Fund. Math., 4 A923),
1—6.
С и к о р с к u ii (S i k о г s k i R )
1. On the representation of Boolean algebras as fields of sets, Fund.
Math., 35 A948), 247—258.
2. Boolean algebras, 2nd ed. Springer, 1964. [Перевод: Булевы алгебры,
М„ 1969.1
С и т и и к о и К- А.
1. О непрерывных отображениях открытых множестн епклидова про-
пространства, Маи'м. сб., п. с, 31, вып. 2 A952), 439—458.
2. Пример двумерного множества п трехмерном евклидовом простран-
пространстве, допускающего сколь угодно малые деформации в одномерный
иолп-нр, и некоторая новая характеристика размерности множеств в
евклидовых пространствах, ДАН СССР, 88, № 1 A953), 21—24.
3. Пример двумерного множества в трехмерном евклидовом простран-
пространстве, но разрешающего никакой области атого пространства, ДАН
СССР, 94, № б A954), 1007—1010.
4. Комбинаторная топология незамкнутых множеств II, Матем. сб., и. с,
37, nun. 3 A955), 385—434.
С к л я р е п к о Е.
1. О вложении нормальных пространств в бикомпакты того же веса и
-1 on же pajMepnoein, ДЛИ СССР, 123, № 1 A958), 36—39.

Библиография 605
2. О продолжении гомеоморфп.шои, Л/1// СССР, 141, .№ 5 A961), 1045 —
1047.
Скляре и к о и Э и г о л ы< и и г E> к I у а г е м к о P.., К п gc I к i и g R.)
1. On coinpaetificatious allowing extensions of mappings, l-'iinil. Malh. 53,
№ 1 A903), 65—79.
Скор и (Sell ori R. M.)
!. Л universal snake-like continuum, Proc. Atner. Math. Snc, 16, N<> 6
A965), 1313-1316.
Спапьер (Spanier I7..)
1. Borsuk's coliomotopy groups, Ann. Malh., Ser. 2, 50, № 1 A949), 203—
245.
С т ii и р о д (S I c e ii г о d N. F..)
1. Characterization of certain finite curve-sums, Amer. J. Malh., 56, № 4
A934), 558—568.
2. Regular cycles of compact metric spaces, Ann. Math., Ser. 2, 41, № 4
A940), 833—851.
С т и ii p о д и Э ii л e и б e p г (Stcrnrod N., E i 1 e n b e г g S.)
1. Foundations of algebrac topology, Princeton, 1952. [Перпюд: Оснона-
иня алгебраической топологии, М., 1958.]
Стоун Л. (S to ne Л. 11.)
1. Incidence relations in unicoherent spaces, Trans. Amer. Math., Snc, 65,
№ 3 A949), 427-447.
2. Metrizability of decomposition spaces, Proc. Amer. Math. Sac. 7, № 4
A956), «<H—700.
3. A note on paraeompnetness and normality of mappings spaces, Proc.
Amer. Math. Snc, 14, № 1 A963), 81-83.
Стоун M. (Stone M. H.)
1. The theory of representations for Boolean algebras, Trans. Amer. Math.
Snc, 40, № 1 A936), 37—111.
2. Applications of the theory of Boolean rings to general topology Trans.
Amer. Math. Sot., 41, № ;S A937), 375-481.
3. Algebraic characterization of special Boolean rings, Fund. Math. 29
A937), 223-303.
С т р а ш e ii и ч (Slr.iszewi с z S.)
1. Ober den Begriff des einfachen Kurvenbogens, Math. Ann., 78, 3—4
A918), 369—377.
2. liber die Zerschneidung der Ebenc durch abgeschlossene Mengen, Fund.
Math., 7 A925), 168 ¦ 184.
С у д з у к и (Suzuki J.)
1. Note on a theorem for dimension, Proc. Japan Acad., 35 A958), 201.
Суинг л (Swingle P. M.)
1. Generalization of bicounected sets, Amer. J. Math., 53, № 2 A93!), 385—
400.
Тихонов Л. Н.
1. Ober einen Fiinktionenraum, Math. Ann.. Ill, 5 A935)
2. Ein Fixpuktsatz, Math. Ann., Ill A935), 767—776.
Томас (Thomas E. S., Jr.)
1. Monotone decompositions of irreducible continua, Rozpr. Matem., 50,
Warszawa, 19E6.
Торхорст (Torhorst M.)
1. Ober den Rand dor einfach zusanimenliaiigeiitleri ebenen Gebiete, Malh.
Z., 9 A921), 44—65.
Так и (T uke у J. W.)
1. Convergence and Uniformity in Topology, Princeton, 1940.
Трон (Tli ron W. J.)
1. Topological structures, Holt. Rinehart and Winston, 1966.

606 В и б л но г р а ф и я
Т у м ,1 р к и м ,П. А.
!. С. R. Paris, 186 A928), 420.
Т у т т и и X а р а р и (Tulle W. Т., 11 a r a r у F.)
I. Л dual form of Kuralowski's theorem, Bull. Amer. Math. Soc. 71, № 1
A965), IG8.
У a ii б e p n (W h у b ii r n G. T.)
1. Analytic Topology, Coll. Puhl., 1942.
2. Tnpologicnl analysis, Princeton, 1958.
3. Concerning the disconnection of continua by the omission of pairs of
their points, Fund. Math., 10 A927), 180—185.
4. Concerning connected and regular point sets, Bull. Amor. Math. Soc, 33,
№ 6 A927), (>85—(i89.
5. Cyclicly connected continuous curves, Proc. Nat. Acad, Sci. USA 13,
№ 2 A927), 30—38.
G. Concerning the cut points of continua, Trans. Лтсг. Math. Soc. 30, № 3
A928), 597-009.
7. Concerning Meuger regular curves, Fund. Math., 12 A928) 204-294.
8. Bull. Лтсг. Л1«//!. Soc. 34 A928), 504.
9. Local separating points of continua, Monatsh. Math. Phijs. 36, JY<> 2
A929), 305—314.
10. Concerning points of continuous curves defined by certain ini kleinen
properties, Moth. Ann., 102, № 2 A9129), 313 33(>.
II. A general notion of accessibility, Fund. Math., 14 A929), 311— 32(i.
12. Cut points of connected sets and of continua, Trans. Amer. Math. Snc.,32,
№ 1 A930). 147—154.
13. On the structure of connected and connected im kleinen point sets, Trans.
Amor. Math. Soc, 32, № 4 A930), 926-943.
14. Concerning hereditarily locally connected continua, Amer. J. Math., 53,
№ 2 A931), 374—384.
15. Non-separated cuttings of connected point sets Trans. Amor. Math. Soc,
33, № 2 A931), 444—454.
16. On the cyclic connectivity theorem, Bull. Amer. Math Soc 37, ,№ 6
A931), 429—433.
17. Fund. Math., 18 A932), 57.
18. Characterizations of certain curves by continuous functions defined upon
them, Amer. J. Math,, 55 A933), 131—134.
19. Cyclic elements of higher orders, Amur. J. Math., 50, ,№ 1 A934), 133—
146.
20. Non-alternating transformations, Amer. J. Math., 56, № 2 A934), 294—
302.
21. A decomposition theorem for closed sets, Bull. Math. Soc, 41, № 2
A935), 95—90.
22. On sequences and limiting sets. Fund. Math., 25 A935), 408—426.
23. On /i-arc connectedness, Trans. Amur. Math. Soc, 03, № 3 A948),
452—456.
Уайт (White P. A.)
1. Regular convergence, Bull. Amer. Math. Soc, 60, № 5 A954), 431—443.
У a ft т x e д Г. (W hitch e a d (i. W.)
1. Iloinotopy Theory, Cambridge, Mass., 19G6.
Уайтхед Дж. (Whitehea d J. II. C.)
1. Note on a theorem due to Borsuk Bull. Amer. Math. Soc 54 K" 12
A948), 1125—1132.
У it л дер (Wilder R. I..)
1. Concerning continuous curves, Fund. Math., 7 A925), ,440—377.
2. A point set which has no true <iiiasicompoiients and which becomes con-

Библиография 607
nectcd upon the addition of a single point, Bull. Amer. Math. Soc 33
№ 4 A927), 423-427.
3. On connected iiiitl regular point sets, Bull. Amer. Math. Soc. 34 № 5
A928), 04! >—655.
4. Characterizations of continuous curves that зге perfectly continuous Proc
Nat. Acad. Sci. USA, 15, № 7 A929), 614—621.
5. Concerning zero-dimensional sets in Euclidean space Trans. Amer Math
Soc, 31, №. 2 A929), 345—359.
6. Concerning simple closed curves and related point sots, Amer. J, Math,
53, № I A931), 39—55.
Уилсои (Wilson W. Л)
1. On the structure of a continuum, limited and irreducible between two
points, Amer. J. Math., 48, № 3 A926), 147—168.
У и т и и (W h i t n e у П.)
1. Planar graphs. Fund. Math., 21 A933), 73—84.
2. A characterization of the closed 2-cell, Trans. Amer. Math. Soc. 35, № 1
A933), 261—273.
У л а м (U la m S.)
1. Scottish Book.
Уоллес (Wallace Л. D.)
1. Quasi-monotone transformations, Duke Math. J., 7 A940), 136 — 145.
2. The acyclic elements of a Peano space. Bull. Amer. Math. Soc. 47, ,№ 10
A941), 778—780.
3. Dimensional types, Bull. Amer. Math. Soc, 51, № 10 A945), 679—681.
4. Extension sets, Trans, Amer. Math. Soc, 59, № I A946), 1—13.
У о л м с ii (W а 11 m a n H.)
1. Lattices and topologicnl spaces, Ann. Math., 42 A941), 687—697.
У р ы с о и П. С
1. Sur la ramification des lignes cantorienncs, С R. Paris, 175 A922),
483.
2. Ober die Maehtigkeit dcr zusammenhangenden Mcngen Math. Ann., 94
A925), 262-295.
3. Sur les points accessiblcs des ensembles formes, Prnc. Akad. Amsterdam,
28 A925), 984.
4. Fund. Math., 7 A925), 96.
5. Memoire sur les miittiplieitc.s Cantorienns, Fund. Math., 8 A926), 225—
351.
6. Memoire sur les mulliplicilos Cantoriennes II, Verh. Akad. Amsterdam, 13
A928), 1 — 172.
Ф е й д е л л (F a d e 1 1 E.)
1. В pnrncompact docs not imply В paracompact, Proc. Amer. Math. Soc,
9, № 6 A959), 839—840.
Фернандес (Л. do Mira.Fernandes)
1 Funzioni continue sopra una superficie sfcrica, Portug. Math., 5 A946),
132—134.
Ф и р и л и (F с а г п I с у L.)
1. None Erweiterungs- und nberfi'ihrnngsatze, Proc. Akad. Wat. Amsterdam,
Ser. Л, 42, ,№ 2 A939), 139—140.
2. Neuaufbati cler Endentlicorie, Ann. Math., Sor. 2, 43, № 2 A942), 261—
279.
3. fiber die Enden diskreter Raume und Gruppcn, Comment. Math. Helvet.,
17, № 1 A944), 1—38.
4. Characterizations of the continuous images of the pseudo-arc, Trans.
Amer. Math. Soc, 111, №• 3 A964), 380—382.
5. Topological operations on the class of continuous images of all snnke-
|jke continua, Proc. London M,ath. Soc, Scr. 3, 1Г>, № 2 A965), 289-300,

608 Библиография
6. Characterization of the continuous, images of all pseudo-circles, Pacific J.
Math., 23, № 3 A967), 491—51.3.
Флой д (Floy d E. 12.)
1. Real valued mappings of spheres, Proc. Amor. Math. Soc, 6, № 6 A955),
957—959.
Ф л op e с (F 1 о re s Л.)
1. Obcr м-diniensionale Kotnplexe, die im /?2n+i absolut selbstverschiungeri
sind, Ergebn. math. /Co//., 6 A933), 4.
Фокс (Fox \{. II.)
1. On topologies for function spaces Bull. Amer. Math. Soc, 51, № 6 A945),
429—432.
Форт (Fort M. K.., Jr.)
1. Points of continuity of semi-continuous [unctions, Public. Mathetn., Deb-
Debrecen, 2 A951), 100—102.
2. 8-niappings of a disc onto a torus, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Math., 7,
№ 2 A959), 51-54.
3. The complements of bounded, open, connected subsets of eudidean
space, Bull. Acad. Polon. Sci. Math., 9, № 6 A961), 457—460.
Ф р а г м е и (P li r a jj in ё u E.)
1. Obcr die Begrenzungen von Kontinua, Ada Math., 7 A885), 43—48.
Ф р а и к л ь (I7 г a n k 1 Г.)
1. Ober die zusammenhiingenden Mengcn von hochstens zweiter Ordnung,
Fund. Math., II A928), 96-104.
Ф р о ii деталь (F г с u d e n t h я 1 11.)
1. Die Hopfsche Gruppe, Сотр. Math., 2, № 1 A935), 134—162.
2. Ober die Entwicklung von Raiimen und Onippen, Сотр. Math., 4,
№ 2 A937), 145—234.
3. Ober die KJasseii <ltir Spharenabbildungen I, Grosse Dimensionen, Сотр.
Math., 5, № 2 A937), 299—314.
4. Proc. Akad. Amsterdam, 42 A939), 139.
5. Ann. Math., 43 A942). 261—279.
6. Ober die Ende.n diskreter Riiume und Grtippcn, Comment. Math, llelvet.,
17 A944/45), 1—38.
Ф р и и к (F r i n k O.)
I. Topology in lattices, Trans. Amer. Math. Soc, 51, № 3 A942), 569—582.
Ф р и ir к к Ш e n а л л e (F r i n k О., С h e v a 1 1 e у С.)
1. Bicompnc.tness of cartesian products. Bull. Amer. Math. Soc, 47, № 8
A941), 612—614.
де Ф p u с (de V г i es II.)
1. Compact spaces and compactifications; an algebraic approach, Thesis,
Amsterdam, 1962.
Ф у r e ft t (F u g a t e J. B.)
1. Decomposable chainable conlinun, Trans. Amer. Math. Soc, 123, № 3
A966), 460—468.
2. Topological seminar, Wisconsin, 1965.
Хал и и (На 1 i n R.)
1. Bemerkungcn fiber ebone Graphen, Math. Ann., 153, № 1 A964), 38—46,
X а л м о ш (H a 1 m о s P. R.)
1. Measure Theory, New York, 1950. [Перевод: Теория меры, М., 1953.]
Хамстрои (Н a in s t г о m М. Е.)
1. Concerning continuous collections of curves, Proc. Amer. Math. Soc, 4,
№ 2 A953), 240—243.
Xan (Hahn II.)
1. Jahresb. DeuUch. Math. Ver., 23 A914), 318.
2. Sgh. Akad. Wiss. Wien, 123 A914), 2433.
3. Ober die Komponenten offencr Mcngen, Fund. Math., 2 A921), 189—192,

Библиография 609
X a ii и е р (Н а и п с г О.)
1. Some theorems on absolute neighborhood retracts, Arkiv. Mat., 1, № 5
A951), 389-408.
2. Retraction and extension of mappings of metric and non-metric spaces,
Arkiv. Mat., 2, № 4 A952), 315—3G0.
Харари (Н а г а г у F.)
1. Graph Ilieory and theoretical physics, Akad. Press, 1967.
Харольд (llarrold O. 0., Jr).
1. Conlinua of finite sections, Duke Math. L, 8, № 4 A941), 682—688.
Хаусдорф (Hausdorff F.)
1. Теория множеств, М. — Л., 1934.
2. Grund/.flge <Ier Mengenlehre, Leipzig (Vien), 1914.
Хеемсрт (van lleemcrt)
1. Topologischc Grwppen tmd unzerlcgbare Kontinua, Сотр. Math., 5, № 2
A937), 319—326.
X с ii л ь б р о п A1 с i 1 b г о n n II.)
1. On the representation of homotopic classes by regular functions, Bull.
Acad. Pol ScL, ser. math., 6, .№ 3 A958), 181 — 184.
Хепдерсоп (Henderson G. W.)
1. The pseudo-arc as an inverse limit with one binding map, Duke Math.
L, 31, № 3 A964), 421 — 425.
2. Proof that every compact decomposable continuum which is topologi-
cally equivalent to each of its nondegpiierate snbcontinua is an arc, Ann.
Math., ser. 2, 12, № 3 A900), 421—428.
Хил л (Hill L. S.)
1. Properties of certain aggregate functions, Amur. J. Math., 49, № 3
A927), 419—432.
Хилтон (Hilton P. J.)
1. An introduction to homotopy theory, Cambridge Tracts, 43, 1953.
X i! л ъ г с р с (HilgersA,}
1. Bemcrkting zur Dimcnsinnstheoric, Fund. Math., 28 A937); 303—304.
X о к и и г и Юнг (Hocking Л., Y о и n g G. S.)
1. Атег. 1. Math., 56 A934), 137.
Холл (Hall D. W.)
1. Оп a decomposition of true cyclic elements, Trans. Amer. Math. Soc,
47, № 2 A940), 305—321.
2. A note on primitive skew-curves, Bull. Amer. Math. Soc, 49 A943), 935.
Холлст (H a 1 lc tt)
1. Concerning the definition of a simple continuous arc, Bull. Amer. Math,
Soc, 25, № 7 A919), 325—326.
Хопф (Hopf 11.)
1 Ober die Abbildungen der dreidimensionalen Spha're auf die Kuge1f!a%
die. Math. Ann., 104, № 5 A931), 637—655.
2. Ober die Abbildiingen von Spharcn auf Spharen niedriger Dimension,
Fund. Math., 25 A935), 427—440.
3. Eine Verallgcmeinerung bekannter Abbildungs- Dnd Oberdeckungssatze,
Portug. Math., 4 A943—1945), 129-139.
Xy С и - ц з я и (Ни Sze-Tsen)
1. Ilomotopy Theory, Academic Press, 1959. [Перевод: Теория гомотопий,
М., 1964.]
2. Elements of general topology, Moldcn-Day, 1964.
3. Theory of retracts, Detroit, 1965.
Ц и л п и п (Z i p p i n L)
1. Trans. Amer. Math. Soc, 31 A929), 744.
2. On continuous curves and the Jordan curve theorem, Amer. J. Math.. 53
A930), 331.
39 зак. ii)Q

610 Библиография
Чех (Ccch Е.)
1. Topological spaces, Czechoslovak Acad. Sci., 1966.
2. Public. Univ. Masartjk, 19 A931), 20.
3. Une nouvelle classe de continus, Fund. Math., 18 A932), 85—87.
4. Throne generate de I'hotnologie dans un espace quelque Fund. Math.,
19 A932), 149—183.
5. Sur les continus Pcaniens unicohcrcnts, Fund. Math., 20 A933), 232—
243.
6. On bicompact spaces, Ann. Math., ser. 2, 38, № 4 A937), 823—844.
HI а и и и Н.
1. О произведении топологических пространств, Труды матем. ин-та им.
Стеклена, 24 A918).
Шаудср (Sena u der J.)
1. Der Eixpunktsatz in Funktionalraumen, Studia Math, 2 A930) 171—
180.
Ш ё ii ф л и с (Sch б п f 1 ies Л.)
1. Bericht fiber die Eiitwickclung der Mengenlehre II, Leipzig, 1908.
2. Jahresber. D. Math. Ver. A908).
LUepcp (Sell error W.)
1. Ober uiiRosclilosscne stetige Knrven, Math. Z., 24 A925), 125—130.
Ш и м a ii с к и ft (S z у m a n s k i P.)
1. Sur les constituents d'ensemblcs situes sur des continus arbitrages,
Fund. Math., 10 A927), 363—374.
Ш n cp и с p (S po r n e r E.)
1. Nener Beweis fur die Invarianz der Dimensionszalil und Qebietes, Abh.
Math. Sem. Univ. Hamburg, 6, № 3/4 A928), 265—272.
Штанько М.
1. Пространство относительных рлестояпнп, Успехи матем. наук 18, вып.
5 A9G3), 213—218.
Ш т е й и г а у з (Steinliaus II.)
I. Colloq. Math., 1 A947), 30.
Шуберт (Schubert II.)
1. Topologie, Tcuhner, 1964.
HI у p a - В у р а М. P.
I. К теории бикомпактных проетрапстп, Матем сб., н. с, 9, № 2 A941),
385—388.
Э н л е п 6 с р г (Е i 1 с n b с г к S.)
1. Sur les transformations continues d'espaccs melriques compacts, Fund.
Math., 22 A934), 292-206.
2. Sur les decompositions des continus en ensembles connexes, Fund.
Math., 22 A934), 297—302.
3. Remarque sur un theorcme de M. Hurewicz, Fund. Math., 24. A935),
156—159.
4. Sur les transformations d'espaecs mctriques en circonference, Fund.
Math., 24 A935), 160—176.
5. Sur l'invariance par rapport aux petites transformation, C. R. Paris,
200 A935), 1003.
6. С R. Paris, 200 A935), 1005.
7. Transformations continues en circonference et la topologie du plan,
Fund. Math., 26 A936), 61-112.
8. Sur le theoreme de decomposition de la theorie de la dimension, Fund.
Math., 26 A930), 146—149.
9. Un theoreme do dndite, Fund Math., 26 A936), 280—281.
10. Sur les espaccs multicoherents I, Fund. Math., 27 A936), 153-190.
JJ. Sur les espaces multicoherents Ц, Fund. Math., 29 A937), 10],

Библиография 611
12. On continuous mappings of manifolds into spheres, Ann. Ma'Ji. Ser.
2, 41, № 3 A940), 0f>2—673.
13. An inv.iriance theorem for subsets of S", Hull. Amer. Math. Soc 47,
№ 2 A941), 73—75.
14. Lectures in Topology, ed. by Wilder and Ayres, Ann. Arbor, 1941.
Э ft 'i и с о it (A i t с li i s о п 15.)
1. C. R. Soc. Sci. Varsovin, 27 A934), 3.
Э и г е л ь к и ii г (Е n g e 1 k i n g R.)
1. Sur la coinpaetification des espaces metriqties. Fund. Math., 48, N» 3
A960), 321—324.
2. On the space of measurable sets of real numbers, Bull. Acad. Polon.
Sci., Ser. Math., 9, № 2 A961), 75—7E.
3. On the Freudenthal cornpactificaUon, Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Math
9, № 5 A961), 379-383.
4. Quelqucs remarques concernant les operations stir Irs fonctions sc-mi-con-
tinues dans les espaces topologiqucs. Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. math
11, № 2 A963), 719—726.
5. Cartesian products and dyadic spaces fund. Mulli. 57, Л'> 3 A965),
287—304.
6. On functions defined on Cartesian products, Fund. Malh., 59, K'« 2
A966), 221-231.
7. General topology, North-Holland, 1967.
Э р д ё hi (E r d о s P.)
1. Some remarks on connected sets, Bull. Amer. Malh. Soc, 50, N» 6
A944), 442—446.
Ю л а ё б о и Я м а б е (Y u j о b о Z., Y a m a b e II.)
1. On the continuous functions defined on a sphere Osaka Math. J., 2,
№ 1 A950), 19—22.
10 и r (You n g W. II.)
1. Proc. London Math. Soc, A), 35 A902/03), 384.
2. Rend, di Palermo, 24 A907).
10 u г с (Youngs J. W. T.)
1. /(-cyclic elements, Amer. J. Math., 62, № 2 A940), 449-456.
Я n о р о ii с к н ii (J a w о г о w s k i J. W.)
1. On antipodal sets on the sphere and on continuous involution, Fund.
Malh., 43 A956), 241—254.
2. Theorem on antipodes for multi-valued mappings and a fixed point theo-
theorem, Bull. Acad. Polon. Sci., 4 A956), 187- 192.
3. Some remarks on Borsuk generalized eohoniotopy groups, Fund. Math.,
50, № 3 A962), 257-264.
4. Generalized eohoniotopy groups as limit groups, Fund. Math., 50, № 4
A962), 393—402.
Я д з и м a (Y a j i m a T.)
1. On a local property of absolute neighborhood retracts, Osaka Math. J., 2
A950), 59—62.
Я и r (Y a n g С. Т.)
1. On theorems of Borsuk — Ulain, Kakutani—Yamade — Yujobo and Dy-
Dyson, I, Ann. Math. Ser. 2, 00, .№ 2 A954), 262—282.
Я П и ш е в с к и й (J a n i s г е w s k i S.)
1. Thesis, J. Ec. Polyt., 2s., 16 A911).
2. Demonstration d'une propriete des continue irreduetibles entre deux
points, Bull. Acad. Sci. Cracovie A912), 906.
3. Sur les coupurcs tin plan, Prace Mat.-Fiz., 26 A013), 55.
4. Ocuvres ehoisies, Ihstyt. Matem. PAN, Warszawa, 1962.
Я р и и к (J a r n i k V.)
1. Monaisli. Math.-Phys., 41 A934), 408.
за*

ИМЕННОЙ УКЛЗЛТПЛЬ
Айрес (Ayres W. L.) 300, 307, 311,
323, 331, 585
Акасаки (Akasaki Т.) 359, 585
Александор (Alexander J. W.) 10, 24,
52, 347, 490, 497, 528, 542, 585
Александров II. С. 7, 9, 37, 43, 49, 73,
76, 120, 124, 125, 132, 174, 213,
225, 310, 349, 355, 358, 372, 374.
393, 414, 423, 452, 464, 470, 53G,
550, 551, 575, 578, 580, 583, 585,
586
Альберт (Albert G. Е.) 311, 586
Альтман (Altman M.) 475, 580
Андерсон (Anderson R. D.) 121, 125,
210, 231, 586
Антоновский М. Я. 586
Антуан (Antoine L.) 528, 532, 586
Арене (Arens R.) 84, 88, 105, 580
Ароншайн (Aronszajn N.) 255, 259,
341,580
Артии (Artin E.) 528, 586
Архангельский А. В. 73, 92, 98, 587
Балапчандрап (Balancliamlran V. К.)
29, 587
Банах (Banach St.) 57
Баррет (Barret L. К.) 230, 587
Бегль (Beglc E. G.) 342, 300, 587
Бсер (Beer G.) 295, 587
Бендиксон (Bendixon) 58
Бенке (Belinke И.) 501
Беннет (Bennelli R.) 231, 587
Берджесс (Burgess С. Г..) 230,231,587
Берж (Berge- С.) 64, 309, 587
Бетсл (Bethel E. L.) 213, 587
Бипг (Bing R. II.) 186, 188, 230, 231,
245, 309, 532. 544, 587, 588
Биркгоф Г. (Birkhoff G.) 39, 588
Биркгоф Дж. (Birkhoff G. D.) 216,
345, 588
Бл.шкипшнп (Blankinship W. А.) 528,
588
Болтянский В. Г. 134, 586, 588
Болтано (Bolzano) 9
Борсль (Borel I-.) 7, 588
Борсук (Borsuk К.) 39, 121, 195, 240,
310, 341, 343—347, 353, 354 359,
300, 366, 371, 372, 374, 376, 378, 379.
437, 404, 471, 472, 474—470, 479,
484, 487, 490, 492, 548, 580, 588, 589
Боте (Bothe H. G.) 346, 589
Брапдт (Brandt H.) 477, 589
Браун (Brown R.) 95, 98, 589
Брауэр (Brower L. E. J.) 01, 121, 190,
212, 215, 439, 440, 487, 490, 500,
504, 589
Брушлипекий II. К. 409, 512, 589
Бурбакн (Bourbaki N.) 24, 138, 589
Бурши (Bourgin D. G.) 475, 589
Бусэкер (Busaeker R. G.) 309
Бэкон (Bacon Ph.) 475, 590
Бар (Baire) 15, 79, 82, 109, 117, 118,
120, 210, 219
Вагнер (Wagner К.) 309, 590
Вала (W.'itla) 212
Важевскпй (Wazewski Т.) Ш, 590
Вапиштейн И. Л. 51, 107, 590
Ватсоп (Watson P. D.) 54, 590
Ведепнсов 11. Б. 190, 590
Вейерштрасс (Weierstrass К. F.) 9,
30, 498
Войдыславскпй (Wojdyslawski M.)
342, 5!H
Вонг (Wong R. J. T.) 528, 590
Вьеторпс (Vietoris L) 7, 52, 140, 181,
209, 212,414,439
Гааль (Gaal S. А.) 590
Гавеп (Gawehn .).) 521, 590
Гамильтон (Hamilton О. Н.) 231, 590
Ганя (Ganea Т.) 39, 590
Гейне (Heine E.) 7, 31, 590
Гельфапд И. М. 39
Гемап (Gehman II. М.) 180, 191, 288,
513, 590
Генба (Geba К.) 470, 591
Гильдебрандт (Hildebrandt T, Н.) 7,
591

Именной указатель
613
Глпсон (Gleason Л. М.) 45
Голомб (Golab S.) 471, 491
Гранас (Granas A.) 475, 470, 487,591
Грауэрт (Graticrt H.) 561, 591
до Гроот (dc Groot J.) 19, 159, 440,
591
Гуревич (Hurewicz W.) 58, 80, 107,
124—120, 128, 129. 132—134, 28В,
353, 355, 359, 3G2, 375, 474, 479,
591,592
Дайер (Dyer E.) 213, 592
Дайсон (Dyson F. J.) 475, 592
Данжуа (Donjoy Л.) 212, 532, 592
Данциг (van Danlzig D.) 212, 592
Дарбу (Dnrboux) 137. 138, 139
Даукер (Dowker С. Н.) 344, 354, 592
Дектирев И. М. 592
Джексон (Jackson J. R.) 96, 99, 592
Дирак (Dirae G. A.) 309, 592
Дугупдьи (Dugundji J.) 105, 354, 58(i,
592
Дуда (Duda R.) 144, 440, 592
Дэй (Day J. M.) 83, 592
Ефимов Б. 43, 46—48, 592
Есенин-Волыпш Л. С. 46, 593
Жордан (Jordan С.) 136, 504, 512,
593
Завадовский (Zawadowski W.) 39,
593
Зарапкешгч (Zarankiewicz С.) 169,
250, 251, 274, 308, 475, 593
Зигмунд (Zygniund A.) 562, 593
Эоретти (Zorctti L) 179, 199, 593
Зыков А. А. 309, 593
Ивановский Л. 44, 593
Ионеяма (Yoncyama К.) 205, 212,593
Исбелл (Isbell I. R.) 45, 231, 593
йонес (Jones F. В.) 139, 140, 231, 588,
593
Каждая И. 107, 590, 593
Какутапи (Kakutani S.) 475, 593
Кампсп (van Kampen E. R.) 521, 593
Кантор (Cantor G.) 8, 16, 28, 58, 176,
593
Картам (Cartan H.) 561, 593
Карлович (Karlowicz M.) 36
Картрайт (Cartwright D.) 594
Катетон (KatiMov M.) 23, 354, 594
Келдыш Л. В. 125, 594
Колли (Kelley J.) 10, 21 84, 85 231,
261, 594
Келлог (KcllOR О. D.) 345, 588 594
Кепке (Корске) 162, 594
Керскьярто (von Kerekjarto В.) 506
534, 594
Кертис (Curtis M. L.) 360, 594
Киггкеид (Kincaid W. М.) 257, 594
Киркор (Kirkor A.) 532, 594
Клайм (Kline J. R.) 189, 228, 249,
532, 594
Клсйтор (Claytor S.) 310, 311, 594
Кли (Klee V.) 85, 528, 594
Кмастер (Knasler В.) 32, 139, 141,
143, 144, 158, 162, 170, 183, 200,
210, 212—214, 217, 230, 231, 235,
281, 288, 475, 551
Кодаира (Kodaira К.) 358, 595
Кодама (Kodama Y.) 354, 595
Колмогоров А. П. 125
Корсом (Corson H. Н.) 29, 595
Косинскнй (Kosiiiski A.) 492, 589, 595
Кох (Koch R. J.) 196. 595
Коэи (Cohen H. J.) 231, 595
Красносельский М. А. 475, 595
Кронни (Cronin J.) 492
Ку.чьмипов В. 44, 595
Кук (Cook H.) 215, 595
Куратопский (Kuratowski К.) 9, 19,
34, 37, 38, 61, 64, 80—83, 101, 109,
114, 120, 126, 12!), 131, 141—144,
157, 158, 162, 163, 165, 169, 170,
173, 176, 178, 179, 183, 184, 186,
198 199 201, 209, 2.12, 213, 216,
217, 224, 225, 231, 235, 242, 259,
2G3 281, 287, 295, 309, 311, 326,
330, 332, 347, 360, 361, 373, 379,
401, 404, 406, 411, 414, 418, 423,
435, 439 440, 443, 470, 487, 490—
492, 501, 502, 514, 516, 521, 545—
547, 550, 561, 566. 578, 579, 592,
593, 595, 596, 597, 598
Лаврентьев М. А. 295
Лебег (Lebesgue H.) 7, 82, 83, 473,
598
Лейа (Lejii F.) 471, 598
Лелек (Lelek A.) G1, 159, 192, 231,
598
Лепиес (Lennes N. J.) 136, 170, 187,
598
Лефшец (Lefschetz S.) 309, 341, 347,
364, 378, 579, 598
Лехнер (Lelmer G. R.) 231, 598
Ливсей (Livesay G. R.) 475, 598

614
/•/ мен но й у к а я а т с л ь
Липдслёф (Lindelof) 85, 27E, 283,
599
Линденштраус (l.inderisfraiiss J.) 83,
509
Локуцневскпй О. В, 255, 599
Любанскнм (Lubaaski M.) 551, 599
Любеп (Lnbbcn R. A.) 515, 599
Люстерник Л. 371, 599
Мадур (Mazur S.) 45, 599
Мнзуркснич (Mazurkiewicz S.) 01,
'113, 151, IG2, 177, 184, 186, 195,
196, 198, 200, 213, 214, 219, 220,
231, 232, 250, 255, 259, 2A1, 2A3,
287, 293, 310, 341, 360, 464, 527,
589, 597, 599, 600
Майер (Mayer W.) 415, 000
Майкл Дж. (Michael ,). П.) 492, 600
Майкл Э. (Micliael П.) 29, 51, 53, 54,
83, 85, 147, 148, 159, 354, 595, 600
Мак-Лллистср (Me Allister В. L.) 311,
000
Мак-Лейн (Mac Lane S.) 309, 600
Мак-Мнллаи (Me Millan D. R.) 532,
(Ю0
Мак-Оли (Me Anlcy L. F.) 492, 595,
600
Мардешпч (Mardesic S.) 43, 600
Мартин (Martin .1.) 144, 601
Марчеискпи (Marezewski (Szpil-
rajn) П.) 44. 80, 597, (Ю1
Мёдушевскпп (Miodnszewski J.) 231,
601
Мейстерс (Mcistrrs (i. II.) 492, П01
Мемггр (Monger K.) 114, 122, 126,
128, 161, 180, 259, 279, 282, :>«';
288, 294, 304, 306, 474, GO I
Миллер (Miller li. W.) 144. 601
Ммлнор (Milnor J.) 528, (Ю1
Мшцепко Л. 29. 601
Mom (Moisc H L!.) 210, 214, 230, 231,
310, 601
Мольский (Molski R.) 341, 601
Морита (Morila K.) 131, 47E, (iOI
Мостонскин (Mostowski A.) 450, E01
Мрупка (Mrowka S.) 105, 601
Myp (Moore R. L.) 169, 184, 186—188,
191, 235, 251, 253, 259, 2A2, 315,
515, 516, 521, 526, 594, r,(J
Нагами (Nagami K.) 107, 602
IГагата (Nngnta J.) 106, 602
Палли (Nalli Pin) 232. 602
Нёбелинг (NobuliiiK G.) 126, 295, 602
Пемыцкни В. В. 28, 602
Пиколим (Nikodym О.) 184, 602
1 liiKo.iaiiniHiun 15. 452, 497
Попак (Novak .1.) 23, 602
Норман (Norman R.) 594
Ныомаи (Newman M. A.) 257, 602
O.'ic.x (Oleeh C.) 492, 601
Ope (Ore ().) 309, 602
Otto (Olio I;.) 173, 287, 597, 002
Папич (Papie P.) 43, 600
Пархоменко А. С. 50, 603
Пасынков П. Л. 25, 125, 231, 603
Пеано (Реапо (i.) 257, 261, 603
lle,'i4iniCK!iii (Pekv.ynski A.) 46 47,
53, 603
Пертш (Pervin W.) (ЮЗ
Петерсчт (Peterson I". P.) 476, 603
Плпеь (PliA A.) 551, 603
IloMiieiiio (Poiiipojti I).) 162, 198, 603
Пономарев В. 13, 53, ПОЗ
Понтрипш Л. С 9, 375, 603
Проп.(волов В. 29, 603
Радо (Rado Т.) 311, 603
Payxnapi-op И. Д. 138, 603
Репхельдерфер (Reichelderfer P.)
311,603
Решовскп (Rescliovsky H.) 294 603
Рисе (Riesz F,) 8, 61. 512, 532, 603
Роберте (Roberts .1. П.) 101, 112 125,
144, 293, 601
Ро:нчпал1> (Rozcnthal A.) 507, 604
1'oii (Roy P.) 1M, 604
Руднн (Rndin M.) 85, 144, 594, 604
Рыль-1 [ард;зенек1п'| (Ryll-Nardzew-
ski С.) 82, 597
Саатн (Saaty T. L.) 309, 590
Саке (Saks S.) 562, 593
Самсльсоп (Samelson H.) 371, 604
Са|I.1ыеаков Г. А. Г>8(>
С.емаденн (Scuiaderii Z.) 32, 604
Соршшскни (Sierpinski W.) 9, 113,
139, 161, 162, 182, 183, 188, 198,
261, 265, 274, 280, 281, 597, 600,
604
CiiKopcKiiii (Sikorski R.) 15, 39, 604
Ситником К. А. 116, 465, 492, 604
Скляренко Р.. 26, 440, 604
Скорм (Sehori R. M.) 230, 605
OioiiiiKOHCKini (Slowikowski W.) 39,
593
Солтан Р. II. 134, 588
Ciiaiiuep (Spanicr E.) 476, 479, G05

Именной указатель
615
Стинрод (Stccurod N. F.) 25, 310.
477, 487, 491, A05
Стоун A. (Stone Л. П.) 20, 85, 143,
544, 005
Стоун М. (Stone M. Н.) 26, 39, 40,
163, 605
Страшевич (Slraszewicz S.) 188, 513,
544, 545, 598, 605
Сулзуки (Suzuki J.) 107, 605
Суипгл (Swinge P. M.) 141, G05
Таки (Tukey .1. W.) 24, 605
Титце (Tietze H.) 341
Тихонов А. П. 2-1, 28, 52, 602, 605
Том ж- (Thomas F. S., jr.) 139, 593.
C05
Торхорст (Torhorst M.) 506, 605
Троп (Thron W. J.) 605
Тумаркнн Л. A. 171, боб
Тутти (Tulle W. Т.) 309, 606
Уайберп (Whyburn G. Т.) 140, ИЗ,
165, 185, 192, 244, 253 261, 272,
273, 275, 282, 288, 203, 302, 311,
315, 320, 322, 326, 330, 360, 492,
506, 511, 532, 598, (iOG
Уайт (White P. A.) 300, 606
Уайтхед Г. (Whilehead G. W.) 462.606
Уайтхсл Дж. (Whitehend J. IF. C.)
347, 606
Уилдер (Wilder R. L.) 144, 239, 240,
278, 439, 507, 606
Уилсон (Wilson W. A.) 69, 200, 209,
607
Уитнн (Whitney II.) 309, 521, 607
Улам (UUnn S.) 37, 39, 120, 372, 589,
597, 607
Уоллес (Wallace A. D.) 21, 140, 311,
326, 334, 607
Уолмеи (Wnllm.in II.) 26, 125, 474,
479, 592, 607
Урбаинк (Urbanik K.) 32, 595
Урнсоп П. С 7, 9, 14, 29, 115, 138,
162, 184. 221, 250, 251, 255, 274,
275, 279, 286, 470, 607
Фейделл (Fadell E.) 607
Фернандес (A. de Mira Fernandes)
475, 607
Фирплн (Fcanley L.) 231. 607
Флойд (Floyd P.. E.) 475, 608
Флорес (Flores A.) 126 608
Фокс (Fox R. II.) 84, 95, 528, 586,
Форт (F-'ort M. K., jr.) 38, 39, 79, 440,
608
Фрагмеп (РЬгакшбп F.) 439, 608
Фрапкль (Frankl F.) 297, 608
Френдспталь (Freudonthal H.) 25
375, 440, 476, 542, 608
Фрннк (Frink O.) 24, 52, 608
де Фрис (de Vries II.) 20, 159
Фугент (luxate J. B.) 230, 608
Халнн (llalin R.) 309, 608
Халмош (llalmos P. R.) 44, 608
Хамстром (Hamstrom M. H.) 210,608
X.iii (Halm H.) 209, 232, 235, 261, 608
Хшшер (Ilamicr O.) 347, 354, 609
Харари (Ilarary F.) 309, 594, 606, 609
Харольд (Ilarrold O. (j., jr.) 293, 609
Хаусдорф (H.-msdorff F.) 28, 56, 139
148, 157, 170, 230. 516, 609
Хееыерт (van Hccmcil) 212, 609
ХеГш.бропн (Heilbronn H.) 561, 609
Хендерсон (Henderson G. W.) 231,
609
Хнлл (Hill L. S.) 81, 609
Хилтон (Hilton P. .1.) 362, 487, 609
Хпльгерс (Hirers A.) 161, 609
Хокинг (Hocking J.) 192, 609
Холл (Hall 1). W.) 309, 311, 609
Холлет (Halldt) 225, 609
Хопф (Hopf H.) 7, 49, 349, 375, 393,
414, 475, 497, 536, 550, 575, 578
580, 583
Xy Сы-цзяи (llu Sze-Tsen) 340, 341,
354, 362, (Ю9
Цшшнп (Zippin L.) 525, 526, 609
Чассар (Csaszar A.) 87
Чех (Cech E.) 15, 24, 26, 293, 414,
437, 452, 546. 610
Шанин Н. 44, 46, 610
Шаудср (Sehamler J.) 345, 610
Шевалле (Chevalley C.) 24, 608
Шс.нфлис (Schonflies A.) 212, 473,
500, 511, 512, 610
Illepep (Sdierrer W.) 307, 610
Шимлискнн (Szymariski P.) 181, 610
Шпирельман Л. 371, 590
llhippnep (Sperner F.) 473, 610
Штинько М. 255, 610
Штейпгауз (Steinhaiis H.) 434, 175,

016
Именной у к а зат е ль
Шуберт (Schubert H.) 610
Шура-Бура М. Р. 178, 181,610
Шустер (Schuster S.) 309, 592
Эйленберг (Eilenberg S.) 25, 38, 121,
133, 192, 241, 330, 359, 372, 375,
401, 405, 414, 419, 425, 429, 431,
435, 437, 440, 443, 467, 469, 473,
477, 487, 490, 536, 537, 546, 549—
551, 553, 554, 570, 598, 605, 610
Эйчисон (Ailchison В.) 293, 611
Энгелькипг (Engelking R.) 26, 43—48,
66, 85, 87, 592, 598, 603, 605, 611
Эрдёш (Erdos P.) 143, 144, 611
Юдзёбо (Yujobo 1.) 475, 611
Юнг (Young W. Н.) 7, 139, 192, 609,
611
Юпгс (Youngs J. W. Т.) 311, 586, 611
Яворовский (Jaworowski J. W.) 475,
476, 591, 611
Ядзима (Yajima Т.) 347, 611
¦Ямабе (Yamabe H.) 475, 611
Япг (Yang С. Т.) 475, 611
Япишевский (Janiszewski S.) 61, 142,
181, 189, 199, 200, 207, 212, 214,
225, 499—501, 509, 598, 611
Ярник (Jarnik V.) 527, 611

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелева группа 386
Абсолютный окрестностный ретракт
(ANR) 335,341
— в точке 347
— ретракт (AR) 334, 341
Алексапдера лемма 10
Александрова теорема об одноточеч-
одноточечной компактифнкации 49
Ациклический элемент 326
Базис группы 392, 395
Бикомпактпость 7
Бисвязное пространство 144
Больцано — Вейерштрасса условие 9
Борелл — Лебега условие 7
— условие 7
Борсука — Улима теорема 39
Булево кольцо 39
Бэра теорема 79
обобщенная 15
Вполне дугообразно связное множе-
множество 311
— несвязное (нигде не связное) про-
пространство 101
Гейне — Бореля условие 7
Гомоморфизм 387
Гомотопные отображения 361
Группа 38G
Гуревича теорема 58, 133, 134
Дарбу свойства 137
Дендрит 303
— локальный 307
Деформационный ретракт 370
Деформация 3G9
Диадическое пространство 43
Диск 504
Дискогерентиос пространство 171
Дисперсное пространство 161
Длина множества 43
Достижимая точка 184
Дуга 187
Дугообразно связное (д. с.) про-
пространство 257
Естественная топология 84
Жордапа теорема 504
Змеевидный континуум 230
Идеал кольца 39
Изоморфизм 387
Индекс 571
Кантора — Бендиксопа теорема 58
— условие 8
Капторово многообразие 173
Квазигомеоморфные метрические
пространства 37
Квазикомпонента 157
Когомотоппое умножение 476, 484
Колебание функции 257
Кольцо 39
Коммутативная группа 386
Компожестпо отображения 37
Компактное пространство 7
Компактно-открытая топология 84
Композаита 215
Композиция (групполая операция)
386
Компонента пространства 148
— рациональная 491
Конституанта 196
Континуум 176
— змеевидный 230
— конденсации 252
— наследственно локально связный
273
— Пеано 257
— сходимости 250
— элементарный 484, 517
Концевые точки 280
Концы дуги 187
Кратность компоненты 493
— множества относительно непре-
непрерывной функции 563, 504
Кривая 280
0-кривая 331
Кронекера характеристика 576
Лемма Алексапдера 10
Линделефа пространство 85
Линейно независимые элементы 392,
395
Логарифмическое приращение 571
Локально дугообразно связное
(л. д. с.) пространство 257
— компактное пространство 48
— связное пространство 235
— — — в точке 232
Локальный дендрит 307
— разделитель 163
Ломаная 459

G18
Предметный указатель
Мазуркевпча — Мура — Мснгсра
теорема 259
— Сершшского теорема 113
Менгера и Пёбелинга теорема вло-
вложения 120
Мера Хаара 44
н-мерная степень пространства 115
Множество насыщенно!.! 01
— неприводимое (il
— порядка а 442
— L(A) 241
Монотонное отображение 140
Мультипликативные функции 476
Наследственно локально связный кон-
континуум 273
— несвязное пространство 101
— разрывное пространство 198
Насыщенное множество (Я
Нейтральный элемент группы 38A
Неподвижной точки свойство 345
Р1епрерывпое разбиение 7G
Неприводимое между двумя точками
пространство 199
— множество (И
Неприводимо связное между множе-
множествами проарапство 225
Неприводимый разделитель 163
— разрез 197
Неразложимое пространство 212
Нормированная мера 452
Обобщенная теорема Бэра 15
Руше 56'0
Обратный спектр 93
Операция сужения 91
— А 390
Относительное расстояние 255
Относительный диаметр множества
257
Отношение f Ф 1 420
— « 155, 477
Отношения Т и т„ 334
Отображение /--измеримое 83
— класса а, а", а_ 83
— монотонное 140
— полунепрерывное 64
Отрицательный гомеоморфизм 581
Пеано континуум 257
Подгруппа 386
Покрытие существенно бесконечное
10
Положительный гомеоморфизм 580
Полуконтинуум 190
Полунепрерывное отображение 04
Полунепрерывное ра.чбпепие 72
11орядковое ядро 280
Порядок отображения 106
— пространства 279
Поточечной сходимости топология 106
Приводимое свойство 320
1 1родолжепие сети 521
Прочолжимое свойство 326
Простая замкнутая кривая 187
Пространство биевяаное 144
— днаднчеекое 43
— днекогерепгпос 171
— дугообразно ешгшое. 257
— квазикомпонент 159
¦— компактное 7
— компонент 381
— Лпндедсфа 85
— локально компактное 48
— наследственно разрывное 198
— неприводимое между точками 199
— пепрпводпмо связное между мно-
множества мп 225
— рациональное в смысле теории по-
порядка 280
— регулярное в смысле теории по-
порядка 280
— связное 136
в размерности п 347
— — — — — локально 347
— — локально 235
— — — в точке 232
— — между множествами 151
— — «-мерно 173
— между множествами 175
— стягиваемое 371
— — в себе 375
— и точке 37()
— счетпо-компактцоо 7
— уникогеренгное 171
— Яппшевского 499
— LC" {У) 360
(л. с. «)-пространство 317
(с. «)-пространство 317
/„С "-пространство 347
1 [севдодуга 230
Равномерной сходимости гопоюгия
98
Разбиение пространства 72
— — непрерывное 70
— — полунепрерывное 72
Разделитель пространства 163
Размерностная компонента 174
Ра.шерпостпое ядро [22
Размерность связности 173

П р с <~) и (! т и ы it у к a :i а т с .i t.
619
Разрез пространства 197
Ранг группы 392
Рациональная компонента 19!
Рациональное и смысле гсорпп по-
порядка npoerpanei по 280
Рациональные точки 280
Регулярное и смысле теории порячка
пространство 280
Регулярные точки 280
Регулярный гомеоморфизм 52'1
Ретракт 3-10
— абсолютный 334, 311
— — окрестное niuii 335, 341
в точке 317
— деформационный 370
— окрестпостпып 310
Рефракционная деформация 37'1
Ретракция 340
Рнсса условие 8
Свойство Дарбу 137
— (М) 177
— неподвижной точки 345
/г-свойстпо 92
Связное между множествами про-
пространство 151
— пространство 136
Секвенциальная компактность 9
Селектор Н'2
Семейство мер 443
Серпипского универсальная кривая
280, 281
Сеть 521
Система отмеченных индексов 43
Слои неприводимого пространства 208
Слон кохезпн 209
— непрерывности 209
Стоуна М. теорема 40
Строго монотонное семенстпо мно-
множеств 165
Стягиваемое пространство 371
в себе 375
,— — — — В точке 376
Стягиваемость относительной 432
Существенно бесконечное покрытие
10
Счетно-компактное пространство 7
Теорема Ллексаптрона об одноточеч-
одноточечной компактпфнкшшп -19
— Борсука — Улама 3!)
— Бэра 79
•— — обобщенная 15
— вложения Мепгера п Нсбелннгл
126
Теорема Гуренича 58, 133, 134
-- /Кордапа 504
~- Кантора — Бендпксона 58
— Кагетона 23
— - Мазуркевпча — Мура — Менгсра
259
— -- Серпппского 113
•— о компактпфпкацнп 128, 295
— — трех континуумах 546
— Стоуна М. 40
— Хана — Мгюурксвича — Серпин-
екого 2GI
Топологическая группа 387
Топология поточечной сходимости
100
— равномерной сходимости 98
Точка неприводимости пространства
199
Триод 304
Универсальная кривая Ссрпииского
280. 281
Уппкогерептпос пространство 171
Условие Больцапо — Вейерштрасса 9
Бореля 7
Лебега 7
¦— ГеГше — Бореля 7
— Кантора 8
— Рпсса 8
Факторгруппа 3W7
Хаара мера 44
Хапа — Малуркевича — Ссрпинского
теорема 261
Характеристика Кронекера 576
Цепь 230
Циклический элемент пространства
316
Экспоненциальная топология 52
Экстремально несшппое простран-
пространство 103
Элементарные множества 517
Элементарный континуум -181, 517
Элемент конечного порядка 386
Янпшевского пространство 499

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму тому
ГЛАВА 4. КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 41. Компактность 7
I. Определения. Условия Бореля, Лебега, Рисса, Кантора и
Больцано — Вейсрштрасса. Лемма Алексапдера. П. Нормаль-
Нормальность и другие снойства компактных прострапст». III. Не-
Непрерывные отображения. IV. Прямые произведения. V. Ком-
пактификация вполне регулярных ^-пространств. VI. Связь
с метрическими пространствами. VII. Инварианты отобра-
отображении с малыми прообразами точек. Квазигомеоморфязм.
VIII. Связь с булевыми кольцами. IX. Диадическне про-
пространства. X. Локально компактные пространства
§ 42. Пространство 2Г 52
I. Компактность пространства 2х. II. Случай компактного
метрического пространства &. III. Семейства подмножеств
пространства ??¦ Операции над множествами. IV. Непри-
Неприводимые множества. Насыщенные множества. V. Операции
d(F) и p(F,, F2)
§ 43. Полупепрерывность 64
1. Полупепрерывность » предположение компактности про-
пространства .ЙГ. П. Случай компактного метрического простран-
пространства ,2Г. Ш. Разбиения компактных пространств. IV. Разбие-
Разбиения компактных метрических пространств. V. Непрерывные
разбиения компактных пространств. VI. Примеры. Отождест-
Отождествление точек. VII. Связь полунепрерывных отображений с
отображениями класса 1. VIII. Примеры отображений класса
2, не являющихся отображениями класса 1. IX. Замечания
о селекторах
§ 44. Пространство °УК 84
I. Компактно-открытая топология пространства Ух. II. Сов-
Совместная непрерывность и связанные с пей проблемы. III.
Операция сужения. Обратные спектры. IV. Связь между

Оглпвлгние
пространствами Уххт и (СУХ)'Т¦ V. Топология равномерной
сходимости пространства У""-. VI. Гомеоморфизмы. VII.
Случай локально компактного пространства ,°1'. VIII. Топо-
Топология поточечном сходимости пространства Ух
§ 45. Вопроси теории размерности (продолжение) [gg
I. Отображения порядка к. II. Параметрическое представле-
представление /1-мерпых совершенных компактных прострапстн на
капторовом множестве t?. 111. Теоремы о разбиении. IV.
«.-мерная степень. V. Ра (мерпоетное ядро компактного про-
пространства. VI. Отображения с /г-мернымн прообразами то-
точек. VII. Пространство {vr)x при г > 2 dim ,%' + 1. VIII.
Пространство (ffr)v при r> dim.°O. IX. Пространство {&г)х
при л ^ dim .<?*.
ГЛАВА 5. СВЯЗНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 136
§ 40. Связность 136
I. Определение. Общие спойстпа. Монотонные отображе-
отображения. П. Операция над связными множествами. III. Компо-
Компоненты. IV. Связность между множествами. V. Квазикомпо-
Квазикомпоненты. Va. Пространство квазикомпонент. VI. Наследстнеп-
по несвязные пространства. Вполне несвязные пространства.
VII. Разделители. VIII. Разделение связных пространств.
IX. Разделяющие точки. X. Уникогерентность. Дискогерепт-
ность. *Х1. я-мерпая связность. *ХП. я-мерпая связность
между двумя множествами
§ 47. Континуумы 176
I. Определение. Непосредственные следствия. II. Связные
подмножества компактных пространств. III. Замкнутые
подмножества континуума. IV. Разделение компактных мет-
метрических пространств. V. Дуги. Простые замкнутые кри-
кривые. VI. Разбиение компактных пространств на конти-
континуумы. VII. Пространство Iх. VIII. Полуконтипуумьг.
Разрезы пространства. IX. Наследственно разрывные про-
пространства
§ 48. Пепрпподнмые и неразложимые пространства 199
I. Определение. Примеры. Общие свойства. П. Связные
подмножества неприводимых пространств. III. Замкнутые
связные подобласти. IV. Слон неприводимого пространства.
V. Неразложимые пространства. VI. Композапты. VII. Не-
Неразложимые подмножества неприводимых пространств. VIII.
Пространства, пеприводнмо спязные между множествами А
и В. IX. Непршюди.мо связные компактные пространства.
X. Дополнительные замечания

622 О г л а в л с н и с
ГЛЛВЛ G. .ЛОКАЛЬНО СВЯЗНЫ!' Ш'ОС! РАНСТИЛ 232
§ 40. Локальная связность 232
I. Точки локальной связности. II. Локально связные прост-
пространства. III. Свойства границы. IV. Разделение локально
снялпых пространств. V. Неприводимые разделители. VI.
Множестно точек, и которых континуум не является ло-
локально сня.чпым. Континуумы сходимости. VII. Относитель-
Относительное расстояние. Колебание
§ 50. Локально связные метрические континуумы 257
I. Дугообразная связность. II. Харяктеризацпя локально
спязпых континуумов. III. Области и подконтинуумы ло-
локально связного континуума.^". IV. Наследственно локально
связные (п. л. с.) континуумы
§ 51. Теория кривых. Порядок пространства п точке 279
I. Определения и примеры. II. Общие свойства. III. Поря-
Порядок Ко н (• IV. Регулярные пространства, рациональные про-
пространства. V. Точки конечного порядка. Характсрилацнн дуг
и простых замкнутых кривых. VI. Дсндриты. VII. Локаль-
Локальные депдриты
§ 52. Циклические элементы локллыю связного метрического
континуума 311
I. Вполне дугообразно спизные множества. II. Циклические
элементы. III. Продолжимые свойства. IV. 0-крпвые
ГЛАВА 7. АБСОЛЮТНЫЙ Р1ГГРАКТЫ. ПРОСТРАНСТВА,
СВЯЗНЫЕ В РАЗМЕРНОСТИ п. СТЯГИВАЕМЫЕ
ПРОСТРАНСТВА 334
§ 53. Продолжение непрерывных функций. Ретракция 334
I. Отношения т и rv. П. Операции. III. Абсолютные ре-
тракты. IV. Связность в размерности п. Случай, когда
Уп%сУ. V. Операции. VI. Характеризацня размерности. VII.
Пространство LCn{y).
§ 54. Гомотопня. Стягиваемость 361
I. Гомотопные отображения. II. Гомотопня относительно
(л. с. «)-прострапсто. III. Отношение /о Cf* /,. IV. Деформа-
II14I]).
цпя. V.'Стягиваемость. VI. Пространства, стягиваемые в се-
себе. VII. Локальная стягиваемость. VIII. Компоненты про-
пространства Ух, где ^ — абсолютный окрес.тпостпып ретракт.
'X. Пространства (i {Ч}®) компонент пространства ух

Оглавление Q23
Глава 8. ГРУППЫ »х, Vх II Ш W) 386
§ бб. Группы »х и SB» (.<Г) 386
I. Общие свойства ком\1\татшших групп. П. Гомоморфизм.
Изоморфизм. III. Факторгруппы. IV. Операция Л. V. Линей-
Линейная независимость, ранг, 0 а и к-.. VI. Линейная независимость
по mod G. VII. Декартовы проп шедення. VIII. Группа У*.
IX. Группа &х. X. Теоремы аддитивности. XI. Связность
между множествами
§ 50. Группы <?х и &г 405
1. Общие свойства. II. Группа Г (Л). 111. Группа ®, (,"?*).
IV. Теоремы сложения. V. Соотношения между факторгруп-
факторгруппами. VI. Связность, VII. Отношение /' <>¦ I. VIII. Компакт-
пепр.
ные множества. IX. Декартовы произведения. Связь с гомо-
топией. X. Локально связные множества. XI. Отображения
§ 57. Пространства, стягиваемые относительно &. Уникогерептные
пространства 432
I. Стягиваемость относительно 3". II. Свойства пространств,
стягиваемых относительно У. III. Локальная связность и
уникогерентность. IV. Замечания о продолжении гомеомор-
гомеоморфизмов в с. о. 3" континуумах
§ 58. Группа Ш (&) 440
0. (Введение). Семейство @, \)х. I. ЗД (,<?') как тополо-
топологическое пространство. П. Ш {.<%?) как топологическая группа.
III. Нормированные меры. IV. Продолжение мер
Глава 9. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О НЕСВЯЗНОСТИ СФЕРЫ &п 459
§ 59. Качественные проблемы 459
I. Ломаные в й". II. Разрезы сферы Уп. III. Неприводимые
разрезы. IV. Инварианты. V. Замечания но поводу теоремы
Борсука — Улама
§60. Количественные проблемы. Когомотопиое умножение. Теоремы
двойственности , 475
I. Введение. II. Формулировка проблемы. III. Дополнительные
гомотопические свойства. IV. Дополнительные свойства сферы.
V. Группа (S (f^) при dim X < Чп - 2. VI. Группа С (>?) для
Хс'1п и я>2. VII. Группа E(ff^),где X- компактное под-
подмножество Ъп. VIII. Теоремы двойственности для компакт-
компактного X cz ч" (п^2). IX. Теоремы двойственности для про-
произвольного /Very". X. Теоремы двойственности для ло-
локально компактного X с чп

624 О г я а в л с н и о
Глава 10. ТОПОЛОГИЯ ПЛОСКОСТИ 409
§ 61. Качественные проблемы 499
I. Пространства Япшпенского. П. Локально свя.шые подкон-
подконтинуумы сферы с5^2- III. Элементарные множества. IV. Топо-
Топологическая характеристика сферы о/. V. Продолжение го-
меоморфпзмон. Топологическая эк пи валентность
§ 62. Количественные проблемы. Группа <У 534
I. Общие свойства и обозначения. II. Разрезы сферы &"%.
III. Группы <^р и SBi (F) для /¦'=/¦' с <Уг. IV. Теоремы сло-
сложения. V. Неприводимые разрезы. VI. Группы <У*А и 33j (Л)
для локально связного Л. VII. Группы <У° и ЗД| (G) для от-
открытых С. VIII. Кратность множества относительно непре-
непрерывной функции /: F -> сЯ, где /¦' замкнуто. IX. Кратность
относительно непрерывной функции /: 0~><У, где G от-
открыто. X. Характеристика группы 23i (G). XI. Приращение
логарифма. Индекс. ХП. Сппдь с кратностью. Характери-
Характеристика Кропекера. XIII. Положительные и отрицательные
гомеоморфизмы. Ориентированная топология
Библиография 585
Именной указатель 612
Предметный указатель 617
К. К у р а т о в с к и й
топология
том 2
Редактор Н. И. Плужникова
Художник И. Д. Кричевскип
Художественны!! редактор В, И. Шаповалов
Технический редактор Е. С. Потапснкова
Корректор И. Максимова
Сдано в производство 22/V 1У69 г. Подписано к печати 3/Х I960 г. Вумага кшгж.-журп.
60X907,8-19,5 бум. л. 39 нем. л. Уч.-изд. л. ЗЗ.ДО. Изд. № 1/1761. Цена 2 p. S7 к.
Зак, 190
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москоа. 1-й Рижский пер., 2
Ленинградская типография № 2 имени Епгепнп Соколовой Глашюлш рафпрома
Комитета по печати при Соиете Министров СССР. ИзмаПливскш'1 проспект, 29.