Обложка
Титульный лист оригинального издания
Титульный лист
Аннотация и выходные данные
Предисловие переводчика
ЧАСТЬ I. Стабильные гомотопии классифицирующих пространств и кобордизмы
§ 1. Вычисления с трансфером
§ 3. Стабильные разложения пространств $BU$, $BSp$, $BO$ и $BSO$
§ 7. Стабильные разложения пространств $BGL \mathbb{F}_q$ и $BO \mathbb{F}_s$
ЧАСТЬ II. Новая конструкция комплексных и симплектических кобордизмов
§ 3. Спектры $AU$ и $ASp$
§ 4. Операции Адамса в $MU$- и $AU$-теориях
§ 5. Проекторы в $MU$-и $AU$-теориях. Формула Хансена
§ 6. Гомоморфизм комплексификации в $AU$- и $ASp$-теориях
§ 7. Операции Ландвебера - Новикова и изоморфизм Тома
§ 0. Введение
ЧАСТЬ IV. Алгебраические кобордизмы и геометрия
§ 4. Обратимые элементы, $p$-адические кобордизмы $\bar{\mathbb{F}}_q$-алгебр и их квилленовская $K$-теория
§ 5. Двенадцать нерешённых проблем, связанных о тематикой частей I-IV
ПРИЛОЖЕНИЯ. В.М. Бухштабер
Приложение 2. Трансфер Беккера-Готтлиба
Приложение 3. Стабильные расщепления классифицирующих пространств классических групп Ли
Приложение 4. Когомологические операции и формальная группа в кобордизмах
3. Необходимые факты из теории формальных групп Ли
4. Формальные группы, ассоциированные с теориями когомологий
5. Проекторы Квиллена и Адамса
6. Характер Чженя - Дольда и гомоморфизм Гуревича в комплексных кобордизмах
7. Операторы Адамса в $K$-теории и операторы Адамса-Новикова в $MU$-теории
Примечания автора
Примечания переводчика
Литература
Литература, добавленная при переводе
Именной указатель
Предметный указатель
СОДЕРЖАНИЕ
Выходные данные
Text
                    В.Снэйт
Алгебраический
кобордизм
и
K-теория


Memoirs of the American Mathematical Society Number 221 Algebraic Cobordism and K-Theory Victor Percy Snaith Department of Mathematics The University of Western Ontario London, Ontario, Canada Published by the American Mathematical Society Providence, Rhode Island, USA September 1979 • Volume 21 • Number 221
В. Снэйт Алгебраический кобордизм и K-теория Перевод с английского В.М. Бухштабера Москва МИР 1983
ЕБК 22.152 С 53 УДК 513.836 Снэйт В. Алгебраический кобордизм и K-теория: Пер. с англ. - М.: Мир, 1983. - 280 с. Книга канадского математика, содержащая результаты, открывающие новые связи алгебраической топологии с алгебраической геометрией, алгеброй и теорией чисел. В ней с единых позиций представлены современные достижения алгебраической топологии. Для математиков разных специальностей. Редакция литературы по математическим наукам ® 1979 American Mathematical Society С 1702040000 - 268 8 - 83 ч 1 v£/ Перевод на русский язык. 041(01) - 83 ' "Мир", 1983
ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА Предлагаемая читателю книга целиком посвящена одной топологической конструкции, принадлежащей автору. Эта конструкция сопоставляет каждому гомотопически ассоциативному и гомотопиче- ски коммутативному Н-пространству X и любому элементу 6еЯ^(Х) из его гомотопической группы периодическую мультипликативную теорию когомологий Х(Ь)**( ) с коммутативным умножением. Важность этой конструкции и направление ее приложений полностью характеризуют следующие два замечательных результата: 1°. Если Х~ВБ* - классифицирующее пространство группы 3 L^ (С"** f где (С* - мультипликативная группа поля комплексных чисел, а 6 - образующий элемент группы XZ(BS1)^ Z , то теория Х(6) ( ) совпадает с 2-периодической комплексной К-теорией К*"( ). 2.° Если X =*BU - классифицирующее пространство группы U * farft U(n) , где U(n) — группа унитарных преобразований комплексного п-мерного пространства, l)(n) = GLn((C),a6- образующий элемент группы xz(E>U)= X , то теория Х(&)*( ) совпадает с 2-периодической теорией когомологий MU*C ) [LLZ',lLz 1 » где MU*( ) - теория комплексных кобордизмов, a uz - оператор сдвига размерности (оператор периодичности). Из этих результатов следует, что К-теория и кобордизмы отличаются в некотором смысле лишь тем, что в основе их лежат разные классифицирующие пространства. Далее, построение спектра Х(6) , представляющего теорию когомологий Х(6) ( ), является геометрической реализацией процедуры локализации по элементу 6 теории когомологий, сопоставляющей пространству Y кольцо стабильных гомотопических классов отображений Y—>-X . В частности, в случае когда Х=В17, a DG5n^(BU) , получается, что К-теория сопоставляет пространству у , согласно классической конструкции, группу гомотопических классов отображений Y—>BU, а теория комплексных кобор-
6 Предисловие переводчика дизмов сопоставляет ему, согласно результату 2°, некоторую подгруппу группы стабильных гомотопических классов этих отображений. Заменяя в своих построениях кольцо комплексных чисел на произвольное кольцо А и опираясь на известное построение алгебраической К-теории кольца А в терминах классифицирующего пространства BGLA , автор вводит алгебраические кобордизмы. Таким образом, если в основе алгебраической К-теории лежит идея "стабилизации" [Ба] • то в основе теории алгебраических ко- бордизмов, предложенной автором, лежит идея стабилизации самой алгебраической К-теории. Интерпретация этой стабилизации в терминах объектов, непосредственно связанных с кольцом А, пока неизвестна. Мотивировкой для введения и изучения алгебраических кобор- дизмов служит, естественно, опыт топологии. В связи с этим напомним, что одним из наиболее известных результатов алгебраической топологии 60-х годов является теорема Коннера и Флойда [C-F], утверадающая, что К*(Х) - U^X)®^^, гдеДи- кольцо кобордизмов квазикомплексных многообразий, а структура Л u - - модуля в кольце целых чисел % задается гомоморфизмом, сопоставляющим многообразию его род Тодда. Оказалось, что изоморфизм Коннера - Флойда позволяет восстановить все соотношения целочисленности меаду характеристическими числами квази- комллексных многообразий [Wot] . Это дает основание считать, что изучение соотношений мезду алгебраической К-теорией и алгебраическими кобордизмами колец приведет к новым существенным результатам. Разработка приложений^основной конструкции потребовала привлечения сведений из самых различных разделов алгебраической топологии и алгебраической геометрии. Перечислим названия лишь некоторых из этих разделов: бесконечнократные пространства петель, трансфер Беккера - Готтлиба, характеристические классы и когомологические операции в К-теории и кобордизмах, формальная группа в кобордизмах, ситусы, схемы, эталышй гомотопический тип, локализация и пополнение гомотопического типа. Ясно, что сколько-нибудь детальное изложение соответствующего материала потребовало бы увеличить объем книги во много раз. Поэтому автор избрал стиль, обычно принятый на научных семинарах, когда формулируются результат и идея доказательства и иногда дается краткий набросок доказательства. Часто даже в определениях автор
Предисловие переводчика 7 фиксирует только основные момейты. Таким образом, от читатели, желающего овладеть материалом книги в полном объеме, потребуются терпение и весьма высокий уровень подготовки. С другой стороны, сама конструкция (стр. ^25 - !2б) очень наглядная, и для понимания ее достаточно самых начальных сведений из гомотопической топологии. Изложения приложений достаточно независимы друг от друга, и поэтому, например, специалист по алгебраической геометрии сможет ознакомиться с алгебраическими приложениями, не вдаваясь в детали топологических результатов. Уже после того, как рукопись была готова, автор обнаружил ряд неточностей в тексте. Не желая, по-видимому, задерживать издание книги, он ограничился тем, что написал примечания к соответствующим местам, поместив их в конце книги. В добавление к авторским примечаниям я написал ряд примечаний аналогичного рода (тоже помещенных в конце книги, после авторских; указанием на примечания автора служит знак + ,в указанием на мои примечания - знак V"). Помимо того, мною написан ряд приложений, призванных облегчить читателю -чтение книги. Так, я дал сводку основных фактов о стабильной категории Адамса, а также изложение конструкции трансфера Беккера - Готт- либа и ее основных свойств. Доказательство теоремы о стабильном расщеплении классифицирующих пространств (теоремы 3.2 части I), приведенное в книге, опирается на общие результаты о соответствующем расщеплении пространств QX * Я^И^Х и содержит ряд неясных мест. Ввиду того что эти результаты используются на протяжении всей книги, я дал новое, более геометрическое доказательство этого факта, ^использующее специфические свойства классифицирующих пространств классических групп. В заключение отметим, что в 1982 г. появилась новая работа В.Снэйта "Алгебраическая К-теория и локализованная стабильная гомотопическая теория" ([Сн 2] в списке литературы, добавленной при переводе). В предисловии к ней говорится, что автор рассматривает ее как части Y-YIII данной книги. Новая работа адресована в основном специалистам по алгебраической К-теории. Из нее видно, что в последнее время усилия автора были направлены на разработку аппарата для вычисления алгебраической К-теории общих колец. А именно, опираясь на сформулированный выше результат 1°, дающий интерпретацию топологической К-теории в
8 Предисловие переводчика терминах стабильных гомотопических классов отображений в классифицирующее пространство ВС*, Снэйт строит и исследует гомоморфизм 7А(Л): 5ГЛ" ((ВА*)+)—^КЛ#(А), где А* - группа обратимых элементов кольца А, Показано, что в раде случаев гомоморфизм }>А (А) дает ценную, а иногда даже полную информацию о группах КЛ^(А). Сведения о результатах работы [& 2] , имеющих непосредственное отношение к материалу данной книги, по возможности включены в мои примечания. Список литературы, добавленной при переводе, содержит работы, которые либо могут служить заменой труднодоступных работ из авторского списка, либо более полно излагают необходимый материал. Кроме того, включен ряд работ, вышедших уже после опубликования книги В. Снэйта. В. Бухштабер
ПРОЛОГ (ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ И ИДЕЙ) У каадой из четырех частей этой книги есть свое собственное введение ♦ В данном прологе я хочу обрисовать идейно-математическую направленность книги в целом. Наша цель - удовлетворить следующим трем пожеланиям: (О Найти инварианты, пригодные для применения в алгебраической геометрии, которые во всяком случае были бы не менее действенны, чем К-теория Квиллена (и близко связаны с ней). (U) Добиться этого, оставаясь в рамках стабильной гомотопической теории. (Ui) Добиться этого при помощи методов, в которых узнавались бы - в обобщенном виде - классические теории коборцизмов. Сделаем несколько замечаний относительно задач (L)-(Ui). Напомним преаде всего, что кольцо Чжоу А*(Х)гладкого многообразия X может быть получено при помощи алгебраической К-теории как пучковые когомологии ©^^(XjK^) [Q4J. Это показывает, что на К-теорию и ее более сильных сородичей можно рассчитывать как на источник для получения подходящих инвариантов. Далее, вычислительные возможности, обеспечиваемые стабильной гомотопической теорией, выше,чем соответствующие возможности в обычной гомотопической теории; это объясняет постановку задачи (Ц). Наконец, в естественной для топологов области геометрии - в теории многообразий - весьма важные инварианты были найдены с помощью теории кобордизмов; это мотивирует постановку задачи (ill). Отвлечемся на минуту от общей ситуации и рассмотрим случай коммутативного кольца А • Один из способов решить задачи (I) и (и) в этом случае - использовать кольцо ^(BCrLA )(=kJBGLA))} содержащее К-теорию ffi KtA кольца А в качестве прямого слагаемого. Однако, вообще говоря, кольцо яг£ (BGLA) очень трудно вычислить. Поэтому на практике мы намереваемся локализовать его, пытаясь тем самым решить и задачу (Ui).
10 Пролог Вот наш основной результат в этом направлении (см. части II и Ш). Мы сформулируем его в терминах локализации. Напомним, что если Y - гомотопически коммутативное и ассоциативное Н-пространство, то множество стабильных гомотопических классов имеет структуру градуированного коммутативного кольца, которое является 7С^(У) -модулем. Пусть Б , В'и Y\ - образующие групп ^rs((CP(oo))ci^:|(BU), *r|(BSp)H я* (ВО) соответственно. Теорема. Если dimX<eo , то имеют место кольцевые изоморфизмы (а) {Z*X,BSp}[l/B']*MSp#(X)[u4fuJ], (б) {Z*X,BU}[l/B]sMU*(X)[u2,<], (c) {ГХ,<ПР-}[1/В]згКи*(Х), (d) {ГХ,ВО}[1/П]^М0*(Х)[и1,и-11], где wL - оператор сдвига размерности t. Эта теорема демонстрирует наш подход к решению задачи (Lu). А именно, в частях Ш и IV мы определяем р -адические алгебраические кобордизмы при помощи локализации колец 7tf((BGLA+)£), где ( )р обозначает взятие р-адического пополнения. Эти определения имеют смысл и для схем над Spec F<^ , а приведенная теорема позволяет проводить некоторые вычисления. Фактически наши результаты позволяют сказать кое-что новое и о классических теориях кобордизмов. Например, для комплексных коборцизмов мы получаем новые конструкции операций Адамса и проекторов Адамса в MU-теории, а также новое доказательство теоремы Коннера - Флойда (см. часть II). Введенная в § 1 части Ш спектральная последовательность,будучи применена к последовательности расслоений бесконечнократных пространств петель JSp-^BSp-iii^BSp—*BJSp , дает новую спектральную последовательность гомологического типа для Z*(Z/А)-градуированных алгебр (обратите внимание: £игра-
Пролог Я£ дуированных!) Аналогичная спектральная последовательность имеет место и для js/tU -теории, В книге эти спектральные последовательности не используются, ибо для МУ-или MS у -теории их вычислительные возможности, насколько я могу судить, ограниченны• Вот я и обрисовал вкратце идеи и понятия, лежащие в основе книги. Советую читателю пролистать введения к частям I - IY и оглавление, с тем чтобы сразу составить представление об общей картине. В течение трех лет, пока писалась и переписывалась эта книга, я пользовался устными и письменными консультациями многих коллег. Особенно хочется мне поблагодарить Фрэнка Адамса, Дэвида'Кокса, Эрика Фридлэвдера, йэна Хэмблтона, Герхарда Хардера, Стэнли Кох- мана, Иба Мадсена, Питера Мэя и Йёргена Торнехаве. Я признателен также рецензентам за полезные советы и Университету Западного Онтарио за финансовую поддержку. Наконец, приношу искреннюю благодарность Чарин Хэйст и Двенит Уильяме, напечатавшим множество вариантов текста.
Часть I Стабильные гомотопии классифицирующих пространств и кобордизмы § 0. ВВЕДЕВЙЕ Гомологически пространство BU выгладит так, как будто каждое пространство ЫДгОявляется его прямым слагаемым. Аналогично ведет себя и BSp , и то же самое можно сказать относительно пространств ВО и BSO t если их соответствующим способом локализовать. В § 3 будет показано, что все указанные расщепления классифицирующих пространств реализуются геометрически в стабильной категории. Используя эти расщепления,можно вложить, например, 7r^(MU) в я*^(Ви) . При помощи получаемых таким образом "экзотических" элементов в стабильных гомотопиях BU мы вычислим в § 5 группы 3Tj (BU(n)) по модулю нечетного кручения для всех i * 10- Опишем теперь результаты данной части более подробно. Ниже теоремы приводятся с теми номерами, под которыми они появляются в тексте. Пусть Gn - одна из групп U(n), Sp(n), 0(2п) или S0(2n+I). Тогда классифицирующее пространство ВG^ имеет фильтрацию {ВСп;п>1}. Если подгруппа Hn<=GnecTb группа 2пг U(l), 2Пг Sp(1), Т>пг 0(2) или NTn соответственно, то трансфер Бек- кера - Богаиба [В - G l] представляет собой отображение V BGft— QBHn. В § I доказывается следующий результат: Теорема I.I. Трансфер Беккера - 1Ьпяиба задает фильтрованное отображение т: BG^—- QBH^, Дело сводится к тому, чтобы показать, что трансферы гл для разных п согласованы. Этот факт устанавливается на основе некоторых общих конструкций с гладкими расслоениями (предложения I.2-I.4). Эти конструкции применены к ряду ситуаций в примерах I.5-I.8 и I.I0-I.I5, при помощи которых в § 2 проведены гомоло-
§ 0. Введение 13 щческие вычисления, позволившие получить следующий результат, ддя Gn*U(n),Sp(n) или 0(2п) существует расслоение бесконечно- крат:;ых пространств петель Теорема 2.2. (I) Имеет место эквивалентность Н-пространств QBU(l) - BUxFu, QBSp(l)s BSp*Fgp. (ii) Имеет место гомотопическая эквивалентность QB0(2) = B0*FQ . £ качестве следствия мы получаем, что отображение Беккера - Езттаиба, задающее решение комплексной гипотезы Адамса, является Н-отображением (следствие 2.6.1). Для случая вещественной гипотезы Адамса это не так. Фактически в § 6 мы вычисляем отклонение от аддитивности трансфера r:B0-*QB0(2) и тем самым отклонение от аддитивности отображения Беккера - 1Ъпяиба, задающего решение вещественной гипотезы Адамса. И? работы [Snl] мы знаем, что пространство QE>Gt расщепляется в букет в стабильной категории. Это расщепление ивдуцирует расщепление пространств BU , Б2р и ВО. Опираясь на гомологические вычисления § 2, мы показываем в § 3, что BGr^ расщепляется в букет пространств BGn / BGn_j Теорема Зт2. В стабильной категории имеют место эквивалентности ви= V ми(Ь), BSp- VfcMSp(fc), Ь0= \/кЪ0(2k)/B0(2k-2), Ь0£ VtBS0(21c+l)/BSO(2t-i; (после (2)-локализавдш).
14 Часть I. Стабильные гомотопии и кобордизмы Из теоремы 3.2 вытекает, что группа стабильных гомотопических классов {X,BU} для конечномерных X содержит в качестве прямого слагаемого группу комплексных кобордизмов пространства X . В § 4 ми уточним вложение этого слагаемого при помощи следующего результата: Теорема 4.1. Если ctimX^4n , то имеет место изоморфизм 4»u(n):{X3U/BU(n-l)} -*пП MU2k(X), задаваемый формулой 4>u(n)(f )=П**(С1<) • ®°m dimX = 4n+l , то Фи(п) - эпиморфизм. Классы с£ определены в том же § 4. Аналогичный результат для MSp*(X) дает теорема 4.2; соответствующий результат для М0*(Х) получен в § 3 части Ш. В дополнение к структуре ж„(3 ) -модуля в группе Kn(bU) можно ввести операции взятия "тензорного произведения" и "суммы Уитни". Это богатство структур позволяет легко образовывать ноше элементы группы к*(BU) . В качестве иллюстрации таких возможностей в § 5 вычислены группы я^(ЪИ) по модулю нечетного кручения в размерностях 3 10. В § 7 получены стабильные разложения пространств BGLIF^ и £0F3 (после соответствующей локализации), аналогичные разложениям из теоремы 3.2. Особенно интересен S-тип пространстваBOF^, так как он совпадает с S-типом пространства im J - слагаемого пространства SG. Пространство SG является компонентой единицы Н-пространства QS. Отсюда следует, что группа *c*(B0F3) мономорфно отображается в группу :7cf(SG) , а поэтому в группу irc*(SG)= к% * Это объясняется в части Ш, где построено бесконечное семейство гомотопических элементов из группы ^(Ъ0¥3)(2у В заключение я хочу выразить благодарность алгебраическим топологам из Университета г.Пердыо (Канада) и Научно-исследовательского центра при Национальном политехническом институте (Испания) за гостеприимство, оказанное мне во время работы над данной частью книги. Эта работа не сдвинулась бы с места без крайне важных технических результатов §§ 1.2-1.3, связывающих трансфер с векторными полями. В таком виде этот метод впервые использовали Брамфил и
§ 1. Вычисления с трансфером 15 Мадсен [В - м]. В некоторых частных случаях этот метод применял Беккер [Be]. Изложение метода в § I является моей разработкой наброска, данного Ибом Мадсеном в его Чикагских лекциях в августе 1975 г. Материал части I датируется концом 1975 г, Я глубоко признателен Питеру Мэю и Ибу Мадсену за советы и критические замечания относительно неясных мест в первоначальных вариантах части I. § I. ВЫЧИСЛЕНИЯ С ТРАНСФЕРОМ Пусть Fh Y - некоторые Gr-пространства, причем действие группы G на Y свободное. Положим E = YX^F и X-Y/Сги обозначим через %:Е-*-Хотображение, индуцированное проекцией пространства Y*F на левый сомножитель. Далее мы будем рассматривать случай, когда F—Е—-X есть гладкое расслоение, Y является пределом компактных G-пространств, a F эквивариантно гомотопно компактному (Зчиногооб- разию. При этих предположениях, согласно работам [В - Q-I; В - Q-2; С - Q-], существует некое S-отображение т(я:)«Х-^ЕГ , называемое трансфером. Оно эквивалентно (после перехода к сопряженным пространствам) отображению г (я): X—^Q(E), где Q(E)- аое£ооЕ ш ^д^п^ ^пример, д^ F~U(n)/Z гU(l)расслоение "*" Г—В Хп г 17(1) -**_BU(n) дает отображение т (хл): ЬЩп)—Q (BZft г Щ)). Здесь XnzU(l) обозначает каноническое сплетение групп Zn и U(l), которое как подгруппа в U(n) совпадает с нормализатором максимального тора, образованного диагональными матрицами. Основной результат этого параграфа касается когерентности последовательности отображений {т(ял); п£ 1} для описанных выше расслоений, а также для некоторых аналогичных расслоений, соответствующих другим классическим группам Ли. Результаты работы [В - G 2] гарантируют, что и в случае, когда F - произвольное (не обязательно компактное) гладкое много-
16 Часть I. Стабильные гомотопии и кобордизмы образие, допускающее G-вложение в конечномерный G-модуль, мы можем использовать конструкцию из [В - Q I] и получить однозначно определенный трансфер. 1.1. Теорема. Пусть Gn - одна из групп Ли U(n), Spfn) , 0(2n) или S0(2n+i) и Нп- ее подгруппа ХлгЩ1) , XnlSp(l),71^0(2) или NTn соответственно. Тогда следующая диаграмма гомотопиче- ски коммутативна: t(jtn) BGn *- QBHn i i Здесь вертикальные отображения индуцированы вложениями подгрупп, v {хп)~трансфер, ассоциированный с расслоением 6n/Hn—BHn -BGn, и NT11 - нормализатор стандартного максимального тора группы S0(2n+1). Из этого результата вытекает существование фильтрованного 3-отображения Щ^ -Щ*> • В связи с этим отметим, что описание фильтрованного S-типа пространства ВН^ дано в теореме разложения из [Sn I ] . Здесь я использую такие термины, как S-отображение, S-тип и т.д., в смысле стабильной гомотопической категории .Адамса [AdI, ч. Ш]; Это означает, что данное пространство (например, QBH^ ) рассматривается как объект категории Адамса, задаваемый своим надстроечным спектром. Такая терминология согласуется с принятой в [Sn l]. В § 3 мы используем эти результаты для получения разложения S -типа пространства BG^. Изложим теперь план доказательства теоремы I.I. Предложением 1.2 дается результат, позволяющий описывать трансфер при помощи эквивариантных векторных полей на слое расслоения. Предложение 1.4 содержит общую конструкцию эквивариантных векторных полей на однородных пространствах, принадлежащую Самелсону и указанную мне Ибом Мадсеном. Затем эти два предложения применяются к ряду примеров расслоений, включая и те, которые встречаются в теореме I.I. 1.2. Предложение. Пусть F—*Y*-F^E-^YAHX- гладкое расслоение, такое, как описано выше, причем F - замкнутое многообразие, т.е.
§ i. Вычисления с трансфером 17 д$~ф * Пусть,далее, Ft - некоторое 0-подмногообразие в F с эквивариантной трубчатой окрестностью N. Предположим, что на Г существует эквивариантное векторное поле р , такое 4To|j)(x)|=l для x^NA9W,a ограничение р на 9N гомотопно полю внешних нормалей в классе векторных полей на 9W , нигде не обращающихся в нуль. Тогда гомотопически коммутативна диаграмма где т(я:') - трансфер для расслоения Fj—-•-Y*(,F-^*-X и Q(0 - отображение, индуцированное вложением I: Ft с Г. Доказательство, Как показано в [в - 5 2, § 5.3] , гомотопический класс трансфера инвариантен относительно послойной гомотопической эквивалентности. Рассмотрим расслоение N—-YxJ^-^X. Оно послой- но гомотопически эквивалентно расслоению довательно, композиция -Y* F-^ 9 1 ■X. Сле- Q(YxGN) ~Q(E) гомотопна композиции Q(L) ° z(x') . Покажем, что отображение х(я) также гомотопно этой композиции. Трансфер определяется следующим образом. Возьмем эквивариантное вложение Г с V в конечномерный G-модуль и обозначим через Njl его нормальное расслоение. Тогда определено отображение Понтрягина - Тома y:Th(V)—-ТКЦ), где Th(§) - пространство Тома векторного расслоения § . Рассмотрим композицию Th(V)-*—ThiNJ-1— ТЬ^ФТГ), . гдеТГ - касательное расслоение и отображение L индуцировано вложением N^W^TF — F*Y. Трансфер получится теперь, если взять произведение этого G -отображения Th(V>—ThlMjSTF) = F+ATh(V) 0 т°адественным отображением пространства Y на себя, профактори- зовать получившееся отображение по действию группы G и перейти
18 Часть I, Стабильные гомотопии и кобордизмы в стабильную категорию. Подробности конструкции трансфера можно найти в [В - СИ, § 3]t Зададим теперь гомотопию Ig.-ThOty ThO^eTF), 0*s *lf формулой Lgi^x)ij(Y,^(rJKeo"'s^i<i> W- oo в противном случае, где вектор y принадлежит слою над точкой х расслоения Nt. Получаем, что отображение 10оу = 1<> у гомотопно отображению 1хоу. Но если ограничение поля р на 3N совпадает с полем внешних нормалей, то itoy совпадает с отображением, использованным в [В - G I, § 2.8] для построения трансфера т(х"). Следовательно, с точностью до гомотопии, наше отображение совпадает с т(зс"). 1.2Л. Замечание. Опишем одну довольно общую ситуацию, когда выполняются предположения предложения 1.2. Рассмотрим расслоение F-^YxqFaE—*Y/(r*X. Напомним читателю, что F - гладкое многообразие, имеющее гомотопический тип компактного многообразия. Кроме того, F можно (f-эквивариантно вложить в конечномерный CJ-мсь дуль. Пусть, далее, р - такое G-эквивариантное векторное поле на F, которое невыроаденно на своём множестве особенностей F^ Предположим дополнительно, что множество F1 связно и что группа Of действует на Ft транзитивно. Конечно, мы предполагаем также, что Q действует изометрично относительно фиксированной, римано- вой метрики на F. Выберем теперь малое е>0 и рассмотрим множество N={feF| |p(f )ke} . Так как поле р невыроаденно в каждой точке "f0€^i • то за счет вы(^0Ра достаточно малого £ мы можем обеспечить, чтобы ограничение р на 9N вблизи fQ имело ненулевую компоненту в направлении, нормальном к 3N . Транзитивность действия группы G на Fi позволяет по описанию поля р вблизи точки f0 получить описание поля вблизи всего Т{ . Таким образом, мы видим, что для достаточно малых е>0 множество Л/ представляет собой эквивариантную трубчатую окрестность множества F1 в F и ограничение поля р на 3N в каждой точке имеет ненулевую нормальную компоненту. Связность множества ¥t гарантирует, что если ограничение р на dhS имеет ненулевую внешнюю нормальную компоненту вблизи fQ , то оно имеет ненулевую внешнюю нормаль-
§ i. Вычисления с трансфером 19 ную компоненту и в каадой точке из 9N . Более того, в случае когда это так, ограничение поля р на 3N гомотопно полю внешних нормалей в классе векторных полей на 3N , не обращающихся в нуль ни в одной точке, где гомотопия задается стягиванием к нулю касательной компоненты. Рассмотрим теперь компактную группу Ли Q с алгеброй Ли ^. для всякого вектора V е $ зададим векторное поле уу на G следующим образом. Пусть z е G . Обозначим через г2 и tz правый и левый сдвиги на элемент z соответственно. Тогда ifv(z) = (Drz)e(v)eTzG, где Drz - дифференциал сдвига rz . Следующий результат устанавливается непосредственной проверкой, которую мы предоставляем читателю. Достаточно рассмотреть случай G=rGLn((D) , для чего требуются лишь самые начальные сведения, которые можно найти, например, в [Ad 2, гл. 4; Ml I, § l]. 1.3. Лемма. (О Если weG лежит в централизаторе элемента expve G , то DfCw)(yv(z))=yv(w2)sTW2G. Ш) Для любого элемента w группы G справедлива формула D(rw)(yv(z))= yv(zw)STzwG. 1.4. Предложение. Пусть G - компактная группа Ли , Н - некоторая ее замкнутая подгруппа и 0=А \ге5 • Тогда существует векторное поле ру на однородном пространстве G/H , обладающее следующими свойствами: (i) pv( gH) = 0 тогда и только тогда, когда g'^eocpvjge Н; Ui) если ve C(eocpv), где C(eocpv) - централизатор элемента еосру, то для всех классов смежности оН Доказательство. Согласно лемме 1.3, поле ру индуцируется полем !/v при помощи перехода к классам смежности относительно правого Н-действия. Несложные вычисления показывают, что уу(у)еТН <=$> g'1(eocpv)geH,
20 Часть I. Стабильные гомотошш и кобордизмы Информацию, необходимую для проведения этих Вычислений, читатель может найти в работах [Ad 2, гл. 4; Ml I, § l]. Следовательно, pv (gH)=*0 тогда и только тогда, когда q~l(&xpv )ge Н . Дальнейшая часть этого параграфа посвящена приложениям предложений 1.2 и 1.4; полученные при этом результаты понадобятся нам позднее. 1.5. Пример. Пусть G*l/(n), Н = гпг(ЯЯи ve^n) -такой вектор, что w = exp v = х х 4J Тп, где x.fy. Тогда C(v) = U(n-l)xU(l). Кроме того, если <jlwq в 21пг U(l)? то существует элемент <^£Zn , такой что *~i(<fiwq)deTTi. Следовательно, группа qdTn6~i<fi является максимальным тором, содержащим элемент w . Из работы [Ad 2, с. 74] -мы знаем, что компонента единицы группы C(w) представляет собой объединение всех максимальных торов, содержащих элементw. Поэтому существует элемент Ье и(п-1)*и(1),такой что gdTn6\1- ЬТпЬ'1 . Таким образом, ое {U(n-i)x U(l))Znz U(l). С другой стороны, если ge(U(n-l)x u(l))ZaeU(l), то J^wg е ZntU(l) . Следовательно, поле j)y является (лево-) U(n-l)x 1/(1) -эквивариантным векторным полем на U(n)/ZnzU(l) множество особенностей которого эквивариантно гомеоморфно пространству U (п -1) / ЕЛ-1 г U(1). 1.6. Пример. Случаю из примера 1.5 аналогичен случай, когда G«Sp(n) , a H = ZniSp(l). Здесь мы получаем Sp(h-l)xSpfl) ~ эквивариантное векторное поле на Sp(ri)/Hnz Sp(l) , множество особенностей которого эквивариантно гомеоморфно пространству Spfn-D/Z^iSpfl). 1.7. Пример. Возьмем 0 = 0(211), Н=2ГпгО(2)и выберем такой вектор ve в(2п), что w « exp v 2гг-2 cos О -51.П 9 sin0 cos 9 ,9 +пп
§ 1. Вычисления с трансфером 21 Тогда C(w)=0(2n-2)*S0(2). Если g^wg е Znz 0(2),то существует элемент аеГЛс2пгО(2), такой что * V w<3x е 0(2)п Г) S0(2n). Выберем элемент \j е 0(2), для которого yVg'Vgxy Ол. ОС Я где *Ч = I sria0t cos: 9L J или 1 0 I 0 -1 J Следовательно, существует элемент 6 eZ2ri, такой что 6"i\j'ix"iW(jx^6 е S0(2)n. Рассуждая, как и в примере 1.5, получаем, что дхуб S0(2)^rV'х'У1^ zSO^/V1 для некоторого z€0(2n-2)xS0(2), Нормализатор группы S0(2)n в 0(2п) представляет собой группу Zn г 0(2) . Следовательно, z~*gxy s.ZntO(2) и ge(0(2n-2)xSO(2))(rnzO(2)JZ2n(2:nzO(2)) = U. С другой стороны, если элемент g принадлежит группе U, то его можно представить в виде д*а6с, где ае0(2п-2)х0(2), 6€Z2n и С€^пг^С2), откуда вытекает, что ь\Ье Znz 0(2) или Ь\'ЬаХпгО(2), где w *>! ая-а cos 9 sind -sinO cos 0 Легко видеть, что полученное условие на элемент 6 может выполняться, только если be.Z2n_2*IL2 . Следовательно, ge(0(2n-2)
22 Часть I. Стабильные гомотошш и кобордизмы х S0(2)) Zn г 0(2) . Таким образом, поле ру является 0(2n-2)*S0(2) -эквивариантным полем на O(2n)/Znz0(2)9 множество особенностей которого эквивариантно гомеоморфно пространству 0(2n-2)/Zn.1 г0(2). 1.8, Пример. Случаю из примера 1.7 аналогичен случай, когда G =S0(2n+l), a H = NTn-нормализатор группы S0(2) в G. Здесь мы получаем 30(2п-1)*30(2)-эквивариантное векторное по ле на S0(2n + l)/NTn, множество особенностей которого эквивариантно гомеоморфно пространству S0(2n-1 )/NTn~ . 1.9. Доказательство теоремы I.I. В примерах 1.5-1.8 построены Gn_j -эквивариантные векторные поля на GR/Hn, множества особенностей которых совпадают с Gn-1/Hn,|. Рассмотрим диаграмму, связанную с переходом к индуцированному расслоению: Gn/Hn I I BGn_, ^BGn Трансфер коммутирует с операцией перехода к индуцированному расслоению [в - Q I, § 3.2], поэтому отображение t(xn)°j гомотоп но композиции Q(J')°T(^n) • Векторные поля из примеров 1.5-1.8 имеют связные множества особенностей, на которых группа Gn_i действует транзитивно. Как хорошо известно, эти поля невырожден- ны в смысле, указанном в пункте 1.2.1. Следовательно, мы будем находиться в условиях предложения 1.2, если возьмем в качестве N окрестность подмногообразия 0а^ I Hn_j , образованную точками х , для которых |pv(x)|« & , где е >0 достаточно мало. Так как 9N является поверхностью уровня для функции | pv(x) I, то для xedW вектор pv(x) является нормалью к ней, и притом внешней нормалью для точек, близких к классу смежности единицы. Таким образом, согласно предложению 1.2 и замечанию 1.2.1, отображение т(зс^) гомотопно отображению <2(1)ог(ял_4 t где I: ВН^- EGnX_t Oft.t / Н^—ЕС^_ Gn/Hn - отображение, индуцированное вложением множества особенностей рассматриваемого векторного поля.
§ I. Вычисления с трансфером 23 Примеры эквивариантных векторных полей, приводимые в оставшейся части параграфа, будут использованы в части II и в §§ 2, 3, где мы опишем фильтрованный S -тип пространств BU , BSp , ВО и £50 , а также получим разложение пространств QBU(l), QBSp(l) и QB0(2). 1ЛО. Пример. Возьмем G = S0(2n+l),H=}]Tniii выберем вектор уе вО(2п + 1), такой что w = exp v = <&. % об П е Тп, где I2^<&t<= S0(2)n o^ol; при if j. . Тогда C(w)=Tn. Рассуждая, как и в примере 1.7, мы получаем, что д"ЧгдеМТп тогда и только тогда, когда osNTn. Следовательно, ру является TR - эквивариантным векторным полем на G/H , множество особенностей которого сводится к одной точке. Поучительным является следующий пример, показывающий, что не каадое поле ру , полученное при помощи конструкции из предложения 1.4, удовлетворяет условиям предложения 1.2. В случае когда множество особенностей несвязно, на границе его трубчатой окрестности поле о может не совпадать с полем внешних нормалей. I.H. Пример. Возьмем Cf = GL2n(R^0(2n)n H=ZnzGL20R)£Znt 0(2). вберем вектор v е § £2n(t0, для которого матрица v = eocp v является диагональной с различными элементами на диагонали. Тогда G(w) = GL1CR)2rl. Если ^w^sZ^OL^K), то существует матрица хеГЛс2^гСгЦ(К), такая что x-y'vgxeGLaflR)11. Так как все собственные числа этой матрицы различны и вещественны, то она приводится к диагональному виду, и поэтому существует матрица у с GL2(R)n , такая что y'Vy'wgxy = w в CtLx(K)2n. Полученная таким образом диагональная матрица обязана быть перестановкой матрицы w , т.е. существует перестановка ze.Z2fl, для которой gxyzeG(w) . Следовательно, 9«(2^гбЦЛ))ГпгОЦ(К).
24 Часть I. Стабильные гомотопии и кобордизмы С другой стороны, все такие £ определяют особые точки поля ру. Итак, существует 0(1)2т^-эквивариантное векторное поле р^ на GLZnCK)/7LnZ GL2(R), множество особенностей которого эквива- риантно гомеоморфно множеству 7L2nl %пг %-&• в случае п Ф 1 нужно быть бдительным в отношении применения предложения 1.2, так как в этом случае поле ру не будет полем внешних нормалей в точках границы трубчатой окрестности множества Z^/Z^z ^z • Действительно, поскольку эйлерова характеристика многообразия GL2n(K)/ZLnz GrL2(R) равна единице, то согласно теореме Пуанкаре - Хопфа [ML I, с.223]сумма индексов поля pv в точках множества особенностей ZI2n/2IrtaZ!2 также равна единице. 1.11.1. Замечание. В последующем мы будем применять пример 1.11 в сочетании с предложением 1.2 и замечанием 1.2.1, и в связи с этим уместно пояснить, какие технические трудности здесь возникают и как их преодолеть. Пример 1.11 будет использован в пунктах 2.7-2.8 для вычисления гомологии, аналогичного вычислениям из работы [В - М]. Б этой работе такие вычисления проводятся с привлечением алгебраических подгрупп общей линейной группы, что позволяет ограничиться рассмотрением расслоений, слоями которых служат компактные многообразия. Как было объяснено в замечании 1.2 Л, такое ограничение не является необходимым по следующим причинам. В [в - Q 2] даны две эквивалентные конструкции трансфера для гладких расслоений рассматриваемого нами типа. Определение при помощи S-двойственности, очевидно, требует задания расоОюения лишь с точностью до послойной гомотопической эквивалентности. В то же время для доказательства эквивалентности этих двух определений в гладком случае [В - Q 2] нужно только, чтобы слой расслоения можно было G-эквивариантно вложить в эвклидово пространство. Когда G - конечная группа, этим требованиям можно удовлетворить и в случае некомпактных гладких многообразий, таких как те, которые встретились нам в примере I.II. Предыдущее обсуждение показывает, что мы можем применять методы, аналогичные методам из пунктов 1.2 и 1.9, используя векторное поле ру , ограничение которого на границу трубчатой окрестности множества своих особенностей гомотопно полю внешних нормалей. Однако есть один случай, когда можно отказаться и от последнего условия. А именно, это случай, когда множество особен' ностей является конечным множеством с тривиальным действием груя' пы G на нем. В таком случае можно получить формулу для ограни-
§ 2. Разложения пространств QBU(I), Qb0(2) nQBSp(I) 25 яений трансферов, но они будут выражаться уже не только через другие трансферы. В эту формулу войдут теперь значения индексов поля Ру в точках множества особенностей (см. пункт 2.7). у тр.. Пример. Возьмем G =U(2n), Н = 2пг Ц"(])и выберем вектор У^^Сп), такой что хЛ О 1 п 0 Vn x,f х2 w = eocpv = Тогда C(w) = U(n)xU(n).Рассуждая, как в примере 1.5, мы получаем, что 9-Чг<з*Гпги(1) ^=£> ge(l/(n)xU(n)Z2rieU(l), Таким образом, pv является U(n)* U(n)-эквивариантным векторным полем на U(2n)/H2nz -17(1.) , множество особенностей которого эк- вивариантно гомеоморфно многообразию (U(n)/2ГЛ г U( 1))2. Следующий пример аналогичен примеру 1.12. 1.13. Пример. Возьмем G = Sp(2n) и H=Z2rl2Sp(l). Тогда существует Sp(n)x Зр(п)-эквивариантное векторное поле на Sp(2n)/Z2n2 £!р(1),множество особенностей которого эквивариантно гомеоморфно многообразию (Sp(n)/Hni Sp(1))2. 1.14. Пример, Возьмем Q =17(п)и H=21nzU(l). Выберем вектор ve^JLin) так, чтобы матрица w*eocpv была диагональной с различными диагональными элементами. Рассуздая,. как в примере 1.5, получаем, что pv является Т%квивардантным векторным полем на U(n)/Zn2,U(l), множество особенностей которого состоит из одной точки. Приводимый ниже пример аналогичен примеру 1ЛЗ. 1.15. Пример, Воаьмам G = Sp(n) и Н = ZnZ Sp (1). Тогда существует Тп-эквивариантное векторное поле ру на Sp(n)/ZnzSp(l\ множество особенностей которого состоит из одной точки. Здесь Тп - канонический максимальный тор группы Sp(n). § 2. РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ QBU(l) , QBO(2) и QBSp(l) Всякое отображение Х-~*-У в бесконечнократное пространство петель Y продолжается до бесконечнократно-петлевого отображения QX«ft~Z~X—-Y.
26 Часть I. Стабильные гомотопны и кобордизмы г„: ъ0 Ч :BU :В0 :BSp Это продолжение единственно с точностью до гомотопна. Подробности мы опишем в пункте 2.4. Следовательно, существуют бесконечнократ- но-петлевые расслоения Гу *v » QBU(l) -±я-~ъи, (2.1) F0 ^° . QB0(2) х° .ВО, \ -***— QBSp( 1) -^Р~ Б Sp, где jty ,лои Ag - продолжения соответствующих канонических отображений. Например, Xv продолжает отображение, которое классифицирует приведенное расслоение Хопфа как элемент группы ки(ви(П). Согласно теореме I.I, трансфер задает отображения _QBU(1) , — QB0(2>, — QBSp(l) описанным в пункту 2.4 способом. Основной результат этого параграфа - следующая теорема: 2.2. Теорема, (i) Zv и TSp являются Н-отображениями. (It) Композиции Я^оr^, A0<>z0 и Лв о rSp являются гомотопическими эквивалентностями. (Ui) Отображение ^0+r0;F0xB0-^BO(2)является гомотопической эквивалентностью. (tv) Отображения}v+zv:Vv*bV—rQBV(l)M }$p+z$p : 7 xfiSp—*- QBSp(l)являются эквивалентностями Н-пространств. Замечание. Эквивалентность из (Ui) не есть эквивалентность Н -пространств. Однако т0 отличается от Н-отображения весьма деликатным образом. Этот вопрос разбирается в работе [Sn2]n в § 6. Некоторые утверадения теоремы 2.2 были доказаны другими способами Беккером [Бе] и Сигалом [Se l]. 2.3. План доказательства. В обозначениях теоремы I.I доказательство утверждения (i) сводится к вычислению композиции BGn*BGn ~BG2r^QBH2r,
§ 2. Разложения пространств QBU(I), QBQ(2) и QBSp(l) 27 Эта задача будет решена в предложении 2.6 с помощью предложения 1.2 и примеров I.I2 и 1ДЗ. Утверждения (tit) и (tv) непосредственно вытекают из (U). Для доказательства утверждения (И) нужно рассмотреть несколько случаев. Пространства QBU(l), QB0(2) и QBSpO") гомологически похожи на пространства БН^ для Н^, подобраннях надлежащим образом в соответствии с теоремой 1.1. Если в гомологиях имеет место равенство (А^^ят^, то, как легко показать, композиция А^ °xG является гомологическим изоморфизмом. В предложении 2.9 это равенство будет установлено для большинства случаев* Останется только рассмотреть случай пространства ВО mod 2 . В предложении 2.7 и следствии 2.8 мы проанализируем в mod2-гомологиях ограничение отображения Я0о Т0 на В0(1)2п . Наконец, доказательство теоремы 2.2 будет дано в пункте 2.10. 2.4. Пространство QX . Напомним некоторые факты о пространстве QX. Подробности можно найти в [Ma l]. Если X - хорошее пространство (например, компактно-порожденное клеточное разбиение), то QX-&°°£~X можно рассматривать как фильтрованное пространство. Более точно, существуют фильтрованные пространства [Ва; Ма I], гомотопически эквивалентные пространству QX. Я буду использовать фильтрованное пространство С^Х , введенное в [Ма I, § б]. Фильтрованное пространство обладает отображением которое для связных X является гомотопической эквивалентностью [Ма I, п. б.з]. Существуют отображения L-EI*- Хп -FC X П П 2-п П. оо [Ма 1, пп. 2.4, 4.8], такие что композиции и^* ьп совпадают с ограничениями структурного отображения d- QQX—-QX свободного Функтора § . Подробности читатель может найти в [Ма 1, § 5J или [Ма 2, гл. И, § I]. Заметим, что отображение L:X—~Ff„X. является гомеоморфиз-
28 Часть I. Стабильные гомотолии и кобордизмы мом и композиция соответствует "надстройке"Z :Х—*-QX. Кроме того, a-i Если Y - бесконечнократное пространство петель и f :Х—^Y- некоторое отображение, то существует бесконечнократно-петлевое отображение f:QX—*Y, такое что f |Х =£ . Отображение f единственно с точностью до гомотопии и представляет собой композицию cUQ(f ) , где d:QY—»-Y- структурное отображение бесконечно- кратного пространства петель Y [Ма I; Ма 2, там же]. По определению ограничение отображения f на EZ^j: Х*1 совпадает с образом композиции X рг°^ X f »Y при трансфере Кана - Придали [к - Р], ассоциированном с накрытием Хп—*-^п*х X" Согласно теореме I.I, трансферы п x[xn):BGn ~Q(BHJ согласованы друг с другом и дают отображение В случае когда Gr^U , 0 или Sp , мы можем образовать композиции (2.5) VfJ.BtiJ&^QQ^ где 1^ = Urn in . 2.6. Предложение. Если G^-U или Sp , то т^ является Н-отображением. Доказательство. Пусть mrfQBGJ -QBGj- отображение, задающее сложение в Н-пространстве QBG^. Для доказательства предложения достаточно показать, что диаграмма BGn xBGp —BG2n (4J£I |t6«, QBG1 xQBG1JIL^QBG1 гомотошгчески коммутативна. Это требует привлечения результатов о функторе tun1 . Согласно части (и) теоремы 2.2 (которая дока-
§ 2. Разложения пространств QBtJ(l), QB0(2) и QBSp(I) 29 зывается независимо от части (О), имеет место разложение QBGf f xBG^ » гДе ^^ - пространство, все гомотопические группы которого конечны. Следовательно, в точной последовательности Милнора [ Mi 2] отрезок с lim -членами имеет вид йЛкЧ^ОЦ QBGt] а fgL1 [Z(BG* ),BCJ = 0. Таким образом, [BG^BG^QBG,] = Щп [BG/BG^BGf,]. Рассмотрим теперь отображение (х (ж2п) \Ъ Qа ) . Из предложения 1.2 и примеров 1.12 и 1.13 вытекает, что это отображение разлагается в композицию BGn2—^— QCbH*)-1—QBU^^QBO. Соответствующее рассуждение основано на "трюке с векторными полями", использованном в пункте 1.9 и разработанном в пунктах 1.2 и 1.2.1. Здесь т:'- трансфер, ассоциированный с расслоением (ВНа)2—-(BGn), a j- отображение, индуцированное вложением (Нп)2 в Н2П . Из результатов работы [В - G 2, §5.6] следует, что отображение j °vf разлагается в композицию Доказываемый результат следует теперь из коммутативности диаграммы BG2n-^^(QBHn)2-AQBH2n I f (QQBG^2 —- QQBG1 I* Id (QBG,) 2 -jIL^ QBG1 2.6.1- Слиугетаи». Отображение BU-—G/U, задающее решение Беккера - Гогаиба комплексной гипотезы Адамса; является Н-ото- бражением. (Сравните этот результат с утверадением леммы 6.2.)
30 Часть I. Стабильные гомотошш и кобордазмы Доказательство, Отображение, задающее решение Беккера - Готтлиба гипотезы Адамса, в том ввде, как оно описано в [Be], разлагается в композицию Здесь c^:BU(l)—*-Gr/t/- отображение, задающее решение Адамса гипотезы Адамса для и(1)-расслоений [Ad 5]. Так как Q(u) и d суть Н-отображения, то наш результат вытекает из предложения 2.6. Рассмотрим теперь канонические отображения h:BO(l)2-!L_B0(2a) , fc:B0(l)2^—BZniO(2). Для ge2I2rl обозначим через lb композицию где ^f9) ~ отображение, индуцированное сопряжением с элементом (j. 2.7. Предложение. Композиция B0(i)2n-A_B0(2ri) ^±LQbZnzO(2) совпадает с отображением ZqI(<})\t~. Здесь сумма, вычисляемая в группе [BO(l)2n,QbZnlO(2)] ={E>0(l)2n,bZnzO(2)}, берется по множеству представителей классов смежности £2г/^ч2^> а Ifg) - это индекс в точке o('ZrieZ2) векторного поля ру из примера I.II. Доказательство. В примере I.II группа 0(1) п действует тривиально на множестве особенностей Z2n/Zn2 Z2 векторного поля ру . Я цредлагаю действовать так, будто мы применяем к этому полю утвервдение 1.2 в ситуации, описанной в пункте 1.2Л. Поле р невыроаденно на своем множестве особенностей ( Ft в обозначениях пунктов 1.2, 1.2Л). Правда, Tt несвязно и действие группы 0(1 )2п на нем нетранзитивно. Тем не менее, используя рассуждения из доказательства предложения 1.2, мы получаем, что
§ 2. Разложения пространств QBU(I), QB0(2) и QBSp(i) 31 следующая диаграмма гомотопически коммутативна: В0(1)2п "И \2п -»-В0(2п) t(ltn) Q(BO(1)2nx(z2n/i:n2Z2)) »*(4(ВГпгО(2)) Однако, как отмечалось в примере 1.И и пункте I.I1.I, отображение г' не является трансфером в смысле работы [В - Q I]. Если бы х1 было трансфером, то оно должно было бы быть суммой нескольких экземпляров отображения, сопряженного с тождественным отображением. Все же, и не будучи трансфером, хг разлагается в сумму нескольких отображений, по одному для каадой точки множества особенностей. Согласно определению индекса поля pY в точке о (Z^z Z2) [Mi I, с.221 ], отображение, соответствующее этой точке, представляет собой взятое с коэффициентом 1(о) отображение, сопряженное с тоздественным. Отображение q(bO(l)2n*(Z2n/Xnz Z2))—~Q(BZnzO(2)) индуцировано вложением множества особенностей в 0(2n)/ZnzO(2). Поэтому ясно, что bO(l)2n^(j(ZnzZ2) отображается посредством сопряжения канонического отображения 2> Ь с элементом q . 2.8. Следствие. Отображения \°\* Н и h:Ъ0(1)2^-ВО индуцируют одинаковые гомоморфизмы в гомологиях. Доказательство. Рассмотрим следующую коммутативную диаграмму: В0(1)2п—^В0(2п) Фп) То -QB0(2) во ^BZn * 0(2) -q^-QQB0(2) ^g^QBO Для вычисления гомоморфизма в гомологиях, индуцированного отображением яо<> т0 о h , применим к этой диаграмме предложение 2«7. Но сначала введем некоторые обозначения. Положим m = |Z2n; 2пг2121,и пусть 9i>,,#> 9т. " представители классов смежности, фигурирующие в формулировке предложе- Шая 2.7. Обозначим через К€:В0(1)2^—*-В0(2п)отображение, полуденное из h сопряжением с а{ . Тем же символом h^ будем обо-
32 Часть I. Стабильные гомотопии и кобордизмы значать также композицию hL с каноническим вложением в ВО. Тогда (/г1)#=Ь#:Н#(60(1)2п]-^Н(ВО)для 1$ I $т , так как внутренний автоморфизм группы 0 индуцирует тождественное отображение гомологии классифицирующего пространства ВО. Цусть,далее, если 1(0^=1 , то %±-Ъ0—*-В0 - тоддест- венное отображение, а если I(g/) = -i , то ^;ВО—*~В0~ отображение, задающее обратный элемент в Н-пространстве ВО. Отображениям, Q(ln) и QC^0) являются Н-отображениями. Следовательно, согласно предложению 2.7, отображение do Q(X0) о Q(iJ о V(xn)0h гомотопно композиции В0(1)2^А_(В0(1)2п)^ -ВО^-^ВО , диагонального отображения Л с отображением х jft <? h. , а затем с отображением, задающим итерированную сумму в Н -пространстве ВО. Допустим, что для элемента х€ И^(Ъ0(1)2п) имеет место равенство А^х)-]?^® ... ®ас. Тогда из нашей диаграммы следует, что = (П^)*^(^(х)). Для завершения доказательства остается заметить, что 1*1 ' ибо это отображение есть взятая в группе [ВО, ВО] сумма t экземпляров отображения 1-0 и $ экземпляров отображения (-1В0)? где s+t=%I(q)=l, как было отмечено в примере 1Л1. 2.9. Предложение. В обозначениях теоремы 1.1, пусть Ga = U(n)9 Spfn) или 0(2п) . Возьмем произвольное коммутативное кольцо R без кручения. Если H^fBG^jR) не имеет кручения, то отображение BH^-^QBG.-^Bqfoo
§ 2. Разложения пространств QBLKD, QBCX2) и QBSp(I) 33 и отображение х^ индуцируют одинаковые гомоморфизмы групп И ( ;R) , где i-oo - отображение, введенное в пункте 2.4. д^раяятедьство. По определению, отображение Л^ о{,а .'BZ^Gj-^BC?^ представляет собой трансфер Кана - Придди tr(&*xt )[к - Р] отображения BG*BH t^BG,-^— BG относительно накрытия В Qj х Шав1— ВНП . Здесь 9 - каноническое отображение, рассматриваемое как представитель класса в приведенной К-теории. Следовательно, 9 = E-dimE , где Е - либо расслоение Хопфа над BITП) или BSp(l), либо каноническое двумерное расслоение над ВО (2), a dimE - тривиальное расслоение, размерность которого(соответственно комплексная, кватернионная или вещественная) равна размерности расслоения Е. Трансфер Кана - Првдди аддитивен [к -Р, п. 1.8)] . Следовательно, в гомологиях гомоморфизм (Х^ о 1п) является факторго-. моморфизмом относительно умножения Понтрягина гомоморфизма tr(Z\ по гомоморфизму tr(dimE)^ . В явном ввде это означает следующее. Пусть Х:^^оо—*"b^L"" отображение, задающее обратный элементов Н-пространстве BG^. Допустим, что диагональ элемента хвН^(ВНп)имеет взад Тогда Таким образом, для установления нужного нам результата достаточно доказать, что гомоморфизм tr(dimE)# тривиален на группе H^CBX^bff/BHj. Рассматривая dimK как тривиальное расслоение над B(Jj и используя функториальность трансфера Кана - Придди [к - р], получаем, что отображение tr(dimR):BZniGi—bG00. Разлагается в композицию с отображением ВХ^г Gfj—*~В2^, индуцированным гомоморфизмом Gt -—*-{ 1}. Фактически отображение ^(сшпЕ; представляет собой композицию отображения BZ^aG^ ~~*~ п° каноническим отображением B2Ln—"^BG^—^-BG^ .
34 Часть I. Стабильные гомотопии и кобордизмы Так как группа Za конечна, то группа Н^(В21п;К)состоит из элементов конечного порядка. Следовательно, композиция \r(dimZ\:HjBZnzGi;K) ~HfiZn;R)-+KfiGj£) является нулевым гомоморфизмом. Наконец, как показано в работе [Ма 2, гл. ТШ, предл. i.l] (см. также [к - Р]), отображение tr(E) разлагается в композицию ВН^ Хп* BQn —BQ . Следовательно, отображения Л^ и и хп индуцируют одинаковые гомоморфизмы в гомологиях, и для завершения доказательства остается только перейти к пределу при а , стремящемся к бесконечности. 2.10. Доказательство теоремы 2.2. Утверждение (I) установлено в предложении 2.6. Допустим, что утверздение (U) тоже доказано. Тогда из гомотопической точности последовательностей (2.1) непосредственно следует, что сумма отображений^ и^^будет гомотопической эквивалентностью. Более того, Ь есть бесконечнократ- но-петлевое отображение, поэтому ^q^}^ будет Н-отображе- нием, если таковым/шляется отображение т* . Таким образом, утвервдения (ill ) и (iv) теоремы 2.2 представляют собой следствия из (I) и (U). Поскольку пространство ВО^гомотопически просто, то для доказательства утвервдения (а) достаточно, согласно теореме об универсальных коэффициентах [Sp , с.283 J и одной теореме Дж.Г.К.Уайтхеда [Sp , с. 514 ], показать следующее: a) отображения Xv ° хц и Лд °t:s индуцируют изоморфизмы в целочисленных гомологиях; b) отображение <А,0© VQ индуцирует изоморфизм в гомологиях с коэффициентами в Ж [т] и 2/2 . Но гомоморфизм (^n)+e^(^n)^ в гомологиях с любыми коэффициентами представляет собой умножение на эйлерову характеристику X(Gfl/Hn)= i , И ПОЭТОМУ (^п.)*.оГ(;Га)*:= * • ИСПОЛЬЗУЯ результат следствия 2.9, получаем, что (А^оГ^)^- 1 на группах H,(BU;Z), Н,(ВSp;Z) и H,(B0;Z[i]). В оставшемся случае можно воспользоваться следствием 2.8, так как (к) :Н (30(1)°°', Х/2ЩЪ0;2/2) - эпиморфизм. * # '
§ 3. Стабильные разложения пространств BU, BSp и др. 35 5 3, СТАБИЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ BU, BSp, ВО и BS0 рассмотрим пространства F^C^X , описанные в пункте 2.4. В работе [SnI] построены стабильные эквивалентности *b:FkCJC -VFC X/F ОХ , fc * °° t«k t op t-1 •• 7 rte \zk too t-1 •• * •• Эти последовательности когерентны. (Более подробно мы рассмотрим их в пункте 3.5.) Далее, пространство F^^X/F^C^X го- меоморфно некоторому эквивариантному полусмэш-произведению (см. [Ma l] , предл. 2.6, (It)). Достаточно сказать, что это пространство является факторпространством пространства Ех^ Хл, где £ - некоторое стягиваемое пространство со свободным действием группы Zft. Тбгда BE г U(l) «Es BU(l)n, BZ ,2U(l)=Ex ви(1)п-Ч Вложение первых a-I множителей BlT(I)a"'—^BU(l) индуцирует отображение BZft.1&u(i) —Bz^eud), которое гомотопно каноническому отображению. Факторотображение переводит подпространство BZ^fc U(l) в точку. Это отображение и его кватернионные р вещественные аналоги индуцируют следующие гомеоморфизмы + • FnG~BU(l) /F^CJBUd) = ВХпги(1)/В1а_;ги(1), (з-1) F^BSpCD/F^C^BSpCl) =B2fl2Sp(l)/BZft.12Sp(l), FnCeoB0(2)/Fa.1CeeB0(2) = вгпгО(2)/ВХа.1гО(2). Как и в теореме I.I, пусть Gn = U(n), Sp(n) или 0(2п). Определим стабильные отображения О- :BGn V BG+/BG+ . Чп л t*n t t-i
36 Часть I, Стабильные гомотопии и кобордизмы при помощи композиции tin * t-i I где у * V эс. . Сформулируем первый результат этого параграфе, доказательство которого будет дано в пункте 3.6. 3.2. Теорема. (О Если (Jn« U(n) или $р(п) , то отображения VQ :BGn -V BGt/BGt-i являются стабильными зквивалентностями для I ^ п. ^ <*>. (it) Отображения ^2п> • Б0С2П) V ЪОШУB0(2t-2) являются стабильными зквивалентностями для Ип 4оо , (Ш) Для Gn*U(n)f Sp(a) или 0(2л) В других результатах этого параграфа устанавливаются стабильные эквивалентности в противоположных направлениях и охватывается случай пространства ВО, локализованного в нечётных простых числах (SBS0). Согласно теореме 1.1, трансфер индуцирует стабильные отображения где Gn и На такие же, как в теореме 1.1. Следовательно, если Gn*U(n), Sp (а) или 0(2п), то мы имеем стабильные отображения задаваемые композицией V BG./BG. ,-^— V В2ГгО/В2+ . г G,
§ 3. Стабильные разложения пространств Ви,В5ри др. 37 Здесь *siVmr^t^ # •z^aлee, нормализатор NTncS0(2n+i) лежит в подгруппе 2пг 0(2)лО(1)сО(2а*0,Таким образом, имеем отображение BNTVBNT*-1 ^BZnzO[2)/bZnmizO(2). Определим стабильное отображение Haotte*!): $tt0(2n+l)/BS0(2n-i) -ВО при помощи композиции V BSOfafD/BSOfut-i)-5— у bntVbnt1'1 —- tV^B2ta(2)/BZt^0(2)-^ Здесь опять 8 = V t:(i7tt). 3.3. Теорема, (t) Если Ga=U(n)или Sp(n) , то отображение >4.:&BVB<k —B(J~ является стабильцой эквивалентностью, (it) Отображение yQ: V B0(2t)/B0(2t-2) — ВО есть стабильная эквивалентность. (Ш ) Отображение jjlso: V BS0(2t + l)/BS0(2t-l)—ВО после (2)-локализации становится стабильной эквивалентностью. 3*4. Теоремы 3.2 и 3.3 будут доказываться согласно следующей программе. Мы покажем, что рад отображений'индуцирует изоморфизмы в гомологиях. Эти отображения представляют собой композиции. Часть из отображений, участвующих в композициях, составляют стабильные отображения ои^ и р± . В пункте 3.5 мы напомним наиболее важные Фак*ы об <*,)<> и $>ъ , а именно как они согласованы с фильтрацией. Эти факты вместе с накопленной в § 2 информацией о гомологических гомоморфизмах, индуцированных другими отображениями, участвующими в композициях, используются в пунктах 3.6 и 3.7 для доказательст- ** Указанных теорем. В § 7 будут доказаны теоремы разложения для пространств BGLFcj и B0F3 .
38 Часть I. Стабильные гомотопен и кобордизмы 3.5, Свойства отображений оь± и pt, Напомним (см. [Ma I, § 6])t что существуют фильтрованные пространства СПХ вместе с отображениями спх —- &nsnx f для которых равенство С^Х» Шд.СаХ согласовано с фильтрациями. В работе [Sn I, теор. II] в явном виде построены стабильные эквивалентности *k(n):FkCnX -tYkWFt-icnX. Эти стаоильные эквивалентности обладают следующими свойствами: (а) oik(n) **ы(п)|ЦСлХ [Snl, п. 3.23; (б) композиция отображения оЬ^(п) с каноническим отображением на факторпространство Г^С^Х/Г^^С^Х гомотопна каноническому отображению FfeCaX—ГкСпХ/ГыСпХ [Sal, п. 3.2]; (с) предел otte» Сицо^п) существует и является стабильной эквивалентностью l^n I* п» 3.6]. Пусть £fc - стабильные эквивалентности, гомотопически обратные к об*. .Их можно выбрать так, чтобы В дальнейшем предполагается, что так и сделано. 3.6. Доказательство теоремы 4.2. (ill) Когерентность последовательности отображения \^п следует из когерентности последовательности оьь(п) (см. цункт 3.5, (а)) и последовательности трансферов Ъ(Кп) (см. теорему I.I). Для доказательства детальных утверадений теоремы достаточно, согласно теореме Дк.Г.К.Уайтхеда [Sp, с. 614 ], показать, что отображения \)q индуцируют изоморфизмы в гомологиях. (i) Предположим, что ^G^.t - стабильная эквивалентность, я проведем шаг индукции. Рассмотрим композицию воп ^bg/bg^—bg^bg^. В силу 3.5, (6). это отображение стабильно гомотопно композиций BG—BGn/BGn-^- ВХпг G/BZ^z G^BG/BC^,
§ 4. Первые связи группы яг^(МЗ) с кобордизмами 39 где г' и !7tf - отображения, индуцированные х(Хп) и осп соответственно. Однако, согласно [B-Q I, теор. 2.4] (см. пункт 2.10), отображение %пох(хп) индуцирует товдественный гомоморфизм в гомологиях. Кроме того, проекция BG^—^BGri/BGrl„1 индуцирует эпиморфизм в гомологиях, ядро которого совпадает с образом группы # (ВСтп-i). Следовательно, по индукции, отображение $gn индуцирует изоморфизм в гомологиях для всех п . (ii) Это утверадение доказывается аналогично утверждению (I). .я.7. Доказательство теоремы 3.3. Доказательство этой теоремы очень похоже на доказательство теоремы 3.2. Оно опирается на предложение 2.9 и теорему 2.2 (It) для случая пространства ВО при р = 2. Подробности предоставляем читателю. § 4. ПЕРВЫЕ СВЯЗИ ГРУППЫ rcfCBG) С КОБОРДИЗМАМИ В теоремах 3.2 и 3.3 показано, что классифивдрующие пространства BU и BSp стабильно эквивалентны букетам пространства Тома. Стабильные отображения пространства X в пространство ToMaMUfn) или MSp(n) связаны с кобордизмами пространства X соответственно (комплексными или симплектическими). Необходимые для чтения этого параграфа сведения о кобордизмах можно найти, например, в [Ad I; St l]. Мы будем работать в категории Адамса CW- спектров [ Adi, с. 146]f Обозначим через c'kzMVZn(bU/W(n-l)) , Pfc€MSp^(BSp/BSp(n-f классы кобордизмов, ограничения которых дают соответственно классы Коннера — Флойда cfc* MU2k(BU) , рке MSp^(BSp). Далее, обозначим через {X,Yj множество стабильных отображений из X в Y степени 0. Сформулируем основные результаты этого параграфа. 4Д^Тео£еш. Гомоморфизм 4^ (п): {X,BU/BU(n-l)]^n MU2k(x\ задаваемый формулой *** является изоморфизмом, если dimX$4n , и эпиморфизмом, если duux,4n+i.
40 Часть I. Стабильные гомотопии и кобордизмы '■ " """■""■ J ■ —^Ш—ШЧ I ■■III. .. I .„, 4.2. Теорема. Гомоморфизм <3|p(n):{X,BSp/BSp(n4)}-nMSp4k(X), задаваемый формулой является изоморфизмом, если сИтХ^8п+2, и эпиморфизмом, если dimX=*8n + 3. 4.3. План доказательства. Теоремы 4.1 и 4.2 мы докажем при помощи теорем 3.2 и 3.3. Из представления пространства Тома в ввде BU(n)/BU(n-l)*MU(n), BSp(n)/BSp(n-l)*MSp(n) ясно, что, используя эти теоремы, можно получить подходящие изоморфизмы. В пункте 4.7 мы проверим при помощи фактов, собранных в пункте 3.5, что эти изоморфизмы по модулю фильтрации остовами совпадают с гомоморфизмами Фи(п) и ^Spfn) . Эта проверка проводится очень просто. 4.4. Замечание. Теоремы 4Д и 4.2 можно, конечно, доказать и прямым вычислением гомоморфизмов (cfc)# : H/BU) — H,(MU), (pfc)# : H#(BjSp) —-H.CMSp) (k. > i). Здесь BU и BSp рассматриваются как надстроечные спектры пространств BU и BSp соответственно, а гомологические группы рассматриваются как группы гомологии спектров (см. [AdI, с. 196 ] )? Это вычисление не представляет большого труда, и провести его предоставляется заинтересованному читателю в качестве упражнения. Фактически гомоморфизм (С^)^ будет вычислен в пункте 5.14; это потребуется нам, чтобы установить связь между гомоморфизмами Бордмана - Гуревича Х»(Ш)—-H#(BU) и 7r#(MU)— н#(ми). Для полноты приведем два наблюдения, которые будут полезны при доказательстве теорем 4.1 и 4.2. 4.5. Лемма. Пусть бл : Z2MU(n) — MU(n+l), §n : Z^MSp(n)— MSp(n + i)
§ 4. Первые связи группы яг^СВД) с кобордизмами 41 _ структурные отображениями- и iASp - спектров соответственно. Тогда &п является эквивалентностью (4п+3)-мерных остовов, а §а ^ эквивалентностью (8 л. + 7)-мерных остовов. 4 fi. Следствие, (i) Канонический гомоморфизм б :{X,MU(n)}—-MU*n(X) является изоморфизмом, если dimX«4n , и эпиморфизмом, если dimX=-4n + l. (ll) Канонический гомоморфизм & : {X.MSpfn)}— MSp^n(X) является изоморфизмом, если dimX^ бп+2 , и эпиморфизмом, если cLimX= 8а+ 3 . Доказательство, (i) Из леммы 4.5 и результатов, представленных в [ Sp,c. 507-515], следует, что гомоморфизм (ea)#:[ZmX,2mMU(n)]—[2ImX,Xm-2MU(n+l)] есть изоморфизм, если dimX 4 4п, и эпиморфизм, если dimx=4n+l. Ваяв предел по т9 получим, что е : (X,MU(n)} — От [S2mX,MU(n+m)}=MU2n(X) - изоморфизм, если dimX^4n , и эпиморфизм, если dimX-4n^l. Утверждение (ii) доказывается аналогично. 4,7. Доказательство теорем 4.1 и 4.2. Рассутаения в обоих случаях одинаковые, поэтому я рассмотрю лишь случай комплексных кобор- дизмов. Из теоремы 3.2 и следствия 4.6 мы знаем, что гомоморфизм Кб) {x,BU/BU(n-l)}ar{X, П MU(fe)} -&- П MU2lc(X) является изоморфизмом, если dimX^ 4n , и эпиморфизмом, если ?!^=:^Г1+^# ^У01* -М^ис - представлявдее пространство функтора MU ( ) # Тогда изоморфизм (4.8) индуцирует стабильную (4п + 1)- эквивалентность у : BU/BU(n-l) —-ПМи21с. п. $ к
42 Часть I. Стабильные гомотолии и кобордазмы Гомоморфизм (4,8) сопоставляет стабильному отображению f класс кобордизмов f*(y). Каадое отображение, которое в гомологиях индуцирует гомоморфизм у* , должно быть (4п + 1)-эквивалентностью. Я покажу, что это имеет место для отображения Пск' . Так как каноническое факторотображение SU-^BU/bV(nA^ является стабильно расщепляющимся, достаточно показать* что естественное преобразование (4.9) {х,ви} ={х, укми(к)} -^Дми^х) соответствует классу у'е П^/IU (BU), который в гомологиях совпадает с классом FT с. . Для этого в свою очередь достаточно по- 1 * к. к казать, что У' = Д^ (modMU*(BU).I)f где I* (хе MU"* (точка); cLeg х < 0). Покажем индукцией по п , что этот факт верен для ограничений класса у7 на ЪЩп). Требуемый результат, получится тогда переходом к пределу при а—+-о©. В силу 3,5, (6), для п?1 стабильная эквивалентность из теоремы 3,3 совпадает с тождественным отображением BU(i)--*-MU(l)^BU(l). В общем случае из 3.5, (6), следует, что стабильная эквивалентность BU(n)^^MU(fc)H0 составляющей букета MU(n) задается классом сп . В то же время для к < п ker(MU2fc(BU(n)) — MU2fc(Bt7(n-i))) совпадает с MU*(BU(n))-I . Шаг индукции завершен. § 5. ПРИЛОЖЕНИЕ К 7с£ (BU(n)) В этом параграфе представлено вычисление группы % :(BU(n)) по модулю нечетного кручения для j -^ 10. Мы приводим только ключевые моменты вычисления (пункты 5.14-5.16). Сам метод, который весьма прост, описан в пункте 5.8. Помимо результатов, которые будут получены в данном параграфе, в число подготовительных компонентов, нужных для проведения этого вычисления, входят еще результаты работ [Мо, § 6; Т, с. 189-190], а также довольно обширного списка других работ.
§ 5. Приложение к *:*(BU(n)) 43 На самом деде можно провести эти вычисления, и не опираясь на результаты из [Мо] (но зато цривлекая еще более обширный список других работ!). Это можно сделать благодаря связи с группами 9t*(MU(n)), которая позволяет использовать спектральную последовательность (5.9) при X=MU(n) для всех п (в случае [Мо] п= *) в размерностях ^ 19. ^ подробностями такого рода вычислений отсылаем читателя к работе [К -Sn] , где вычислены группы %l(USp(n)) и я:**(BSp(n)) в размерностях 4 26. Сформулируем основной результат этого параграфа. я.тт Теорема. Для любого n^I каноническое отображениеЪЩп)-*ЕО индуцирует вложение группы jcf (BU(n)) в качестве прямого слагаемого в группу тс^ (BU"). Положим nf(bU(n))/(odd torsion) & xf(bV(n-l))/(odd torsion) Ф Aft). Тогда группы Aj(n) для i 4 10 описываются следующими таблицами 5.2-5.6: 5.2. Таблица для Af.fl). 2 4 5 б 7 а 9 10 Aim Z % 2/2 Z Z/2 Z©'Z/2 Z/6 Z образующее X *** М X*3 V x*V2°x б" eX х*5. 5,3. Таблпща для Ai (2). -i 4*^- 4 z б Z 9 Z/2 10 2©Z®Z/2 образующие x2 х.(х*а)-аи vr
44 Часть I. Стабильные гомотошш и кобордизмы 5,4. Таблица для А: (3). j Aj (3) образукдае 6 2 хэ & Ъ (х*2)х2 10 Z&Z х(х*2)г,ха 12 5,5. Таблица для А: С4). j_ A j (4) образующие в X х4 10 Ъ (х*2)хг 5.6. Таблица для Aj (5). i Afl5} образующе 10 X xs 5.7. Пояснения к таблицам 5.2-5.6. При п> 6 мы имеем А^(п)=гО для j * 10. Далее, в таблицах приведены лишь ненулевые группы Aj(n). Образующие описываются следующим образом. Все группы рассматриваются как прямые слагаемые в J7t|(BU). Используется тот факт, что группа Jt^(BU) является модулем над кольцом стабильных гомотопий сферы; эта структура модуля задается при помощи композиции, и для ае !7cf CS°) , 6e*f (BU) элемент а°6 представляет собой композиционное произведение. Кроме того, пространство BU обладает двумя структурными отображениями BU*BU—«-BU, соответствующими взятию суммы и тензорного произведения в К-теории. Для элементов ai9a2exf (BU) через ах*а2 обозначается "тензорное произведение" и через dia1 - "сумма Уитни". Обозначение элементов кольца я* (3°) заимствовано из книги [ Т, с. 189-190]. Представителем элемента хс я:£(СР(оо)) является вложение S2» CPfDcIPM. Согласно теореме 4.1, группа х+(Ы)(п)) содержит элементы кольца Ш*(точка), из которых в наших таблицах присутствуют ait, аа и а22 . Здесь cty.«^(w-iK*^ (в обозначениях из книги [Ad I, с.40])-коэффициенты закона умножения формальной группы комплексных кобордизмов.
§ 5. Приложение к ?t*(BU(fi)) 45 Ограничение вычислений значением ^ = 10 не является принципиальным. Как будет показано ниже, входная информация для вычислений - знание групп я£(СР(оо)) и K*(S°) . Если эти группы известны до некоторой размерности, то относительно просто вычислить группы я£(Ви(п))до примерно той же размерности. Мои вычисления стимулировались первоначально гипотезой, что группа я*(BU) порождается группами 7tl(S°) и я:;!(СР(о©)) при помощи операций композиционного умножения, взятия суммы Уитни и тензорного произведения. Однако это не так уже в размерностях j £ 10. Используя методы данного параграфа и вычисления, проведенные в [Ad, ч. II, § 12], читатель сможет быстро убедиться, что элемент a12€^(BU(n))при п> 3 нельзя породить таким способом. 5Т8. Метод вычисления. Для заданного пространства X рассмотрим спектральную последовательность я:* (S°) -модулей (5.9) E^=Hp(X;^CS°))=»^^(X) (cL:E£ft—^ЕГ г. лолп)« Ассоциированная фильтрация имеет вид Для Х = СР(ро)эта спектральная последовательность изучалась в [Но]. (Обратим внимание, что наша группа Е£р^ соответствует группе Ер,р.к|, в обозначениях из [Мо].) В случае когда X=BU, справедливы следующие утвервдения: (I) Умножения at*Q2H a1a2 (см. пункт 5.7) действуют в указанной спектральной последовательности, и притом таким образом, что относительно них дифференциалы являются дифференцированиями. (и.) В силу теоремы 3.2, наша спектральная последовательность аддитивно изоморфна прямой сумме спектральных последовательностей для MU(n),n*l . Следовательно, дифференциалы согласованы с таким расщеплением спектральной последовательности. (ttt) Кольцо %Щ(Ш) »Ш*(точка) известно (см., например, [Adi, ч. II]) .^Согласно теореме 4.1, имеют место изоморфизмы {S^-a£,BU/BUfn-D}-^- ^ Маточка) (£= 0 или I), Стабильный гомотопический класс из группы слева соответствует в спектральной последовательности (5.9) своему об- Р^У при гомоморфизме Гуревича Н. Гомоморфизм Бордмана — Гуре-
46 Часть I. Стабильные гомотопии и кобордизмы вича Б:эс#(ми) — H#(Mt7) является мономорфизмом. Поэтому мы можем находить циклы всех дифференциалов, представляющие элементы из x^(MU) , при помощи следующей коммутативной диаграммы: {S4n_26,BU} -**» П MJ2J (точка) (5.10) L J=<"n |в Используя (L) - (ill) и результаты о спектральной последовательности для Х»<СРГ~) [Мо, § 6], легко можно для X=BU вычислить все оставшиеся дифференциалы dr , г< 8, в полной размерности ^ И, а отсюда уже непосредственно получается теорема 5.1. Оставшаяся часть этого параграфа посвящена вычислению гомоморфизма (Фу)* из диаграммы (5.10) (см. пункты 5.14 и 5.15) и нахоздению циклов, представляющих классы кобордизмов (см. предложение 5.16). В пункте 5.17 приводятся некоторые иллюстративные примеры. 5.II. Обозначения. Напомним, что H#CBU)-Z[^f^,...] (&9Д-2Я [Ad I, с. 49, лемма 4.3] и H*(MU)*Z[6t, 62,...] (cleg 6,«2j) [Ad I, ч. II, § 6]. Пусть atj€ *2(i*j-i)(MU) -коэффициенты закона умножения формальной группы [Ad I, с. 40]. В [Ad I, ч. II. § 6] вычислены элементы B(at4)€H#(MU). А именно, справедлива рекуррентная формула^ (5.12) B(oy)-(t;i)6l4H-ISB(art)«6it. Здесь суммирование производится по всем s и t , таким что1^$^1'
§ 5. Приложение к я £ (BU(n)) 47 l$t*J и S+t^t+j Далее, 6 = 1 и (первая сумма берется по всем разбиениям (fc^ fc2,... ), удовлетворяющим указанному условию). Приведем несколько первых примеров: Ъ(аи) - 26,, В(а1г) - 362-26j, (5.13) B(qw) - 46,-86,6^46?, Б(а22) = 663-66Д+2б[, Б(а23) - 1064- 36* -46t+«ef 6^-166/,. 5.14. Лемма. Для cfce MU2k(BU) элемент равен 6. ... £>. , если k=t, и нулю в противном случае. Доказательство. В терминах \-умножения [AdI, с. 229] имеет место формула (cfc}#(a)«cfc\a • По определению, 6i=c1\6i+1 (см. [Ad I, с. 51, лемма 4.5]). Элемент Jbl + f.Jbi+1 принадлежит образу группы Н* (№(«>)*) • Образ элемента с* ь ЬА\]2\СР(<^)1) равен нулю, если lot . Если же fc^t , то этот образ равен сумме сдвигов элемента -cfkQ 1**"* относительно действия группы перестановок 2t . Далее, (cr^iet-k)\pvl...p4+r(^plln)---fi^vi). согласно [AdI, с. 229, предл. 9Д], и 1\^*0 . Следовательно, ^осматриваемый элемент равен нулю, если t^k , а при t=k, Учитывая, что сА\ Jb,+1^ 6;, получаем утвервдаемое равенство. *У&_Следетвие. Гомоморфизм (**)»: Н„(Ви) — Н#(МЩ 1
48 Часть I. Стабильные гомотопии и кобордазмы задается формулой 5.16. Предложение. Цусть 2e>HMU^(T04Ka)^{^n,BU/BUfri-i)} и H(z) = y6H4nfBU/BUM)).Toi» если Zie(S<n+2, BU/BU(n)} = П MU2* (точка), z e{S4n+4,BU/BU(n)}^ П Ми%очка) - элементы соответствующие элементу 2 , то (Здесь H*(BU/BU(n)) рассматривается как подгруппа в H^(BU) , по- роаденная мономами веса, большего чем п .) Доказательство, Имеем («^^(Hz^Bz, где H(zp€H4ri4.2(BtJ/BU(n)). С другой стороны, (ФуЭЛ^Вг для ^ s H^n(BU/BU(n-i)) . Применяя следствие 5.15, получаем, что fty « Н(гр. Аналогично устанавливается, ЧТО fi\\j ** Н(2а). 5.17. Иллюстративные примета. Элемент хеяг|(ви(1)) цредставлен в спектральной последовательности элементом j^eE^ • Согласно [Мо, § 3], элемент х** представлен элементом 2р2 '. Таким образом, элемент изъявляется представителем элемента(xf)x€x%(bU(2)). Но 9rs(BU/BU(l))s* Ми"2(точка) * Ми°(точка)-2е2 . о Первое слагаемое % имеет образующей элемент ац , и ВаА1 = 26i (см.(5ЛЗ)). Следовательно,H(a11)=2j5aJ^E^o и аа=(х*2)х . Теперь рассмотрим элемент a12e MU4(T04Ka)c{S6,BU/BU(l)}. Так талЪъ^ЪЪъЩ (см. (5.13)), то H(oiZ)=3p,jbr2ti*K6(BV/JiV(l)), т.е. элемент q42 представлен элементом 3p3Pf2P2* с ДРУ1*0* ст0-"
§ 6. Неаддитивность трансфера 49 роны, а 12 лежит также в груше я:|(Ви(2)) . Значит, в силу предложения 5.16, элемент ха12£5г^(Ви(3))представлен элементом § 6. НЕАДДИТИВНОСТЬ ТРАНСФЕРА (отклонение вещественного трансфера от аддитивности и решение Беккера - Готтлиба вещественной гипотезы Адамса) Отображение, задающее решение Беккера - Готтлиба вещественной гипотезы Адамса, как оно описано в [Be] , разлагается в композицию вида (6.D ВО-^- QB0(2)-^tQ (G/ О )-^G/0. Здесь Т0 - трансфер из теоремы 2.2, об: B0(2)-^G/0 - отображение, задающее решение Адамса гипотезы Адамса для 0(2)-расслоений [Adб] и d - структурное отображение бесконечнократного пространства петель G/0 . Хотя Q(pO и d являются Н-отображениями, композиция (6 Л) таковой не является. Это легко усмотреть при помощи следующих рассуждений, принадлежащих Мадсену. 6.2. Лемма. Композиция (6.1) после (2)-локализации не является Н-отображением. Доказательство. Отображение, задающее решение гипотезы Адамса, индуцирует указанным в [M-S-T; 5п2]способом диаграмму (2)-ло- кальных пространств и их отображений SO ► SG (6.3) \ / (JO)0 Дающую разложение Т-гомоморфизма J:50——SG . Здесь (СГО)0 - компонента отмеченной точки слоя Л) расслоения ( у3-1):В0—-ЪО. Еели бы композиция (6.1) была Н-отображением, то диаграмма (6.3) была бы диаграммой Н-отображений. В обозначениях работ [Mad. I; Med 2] рассмотрим спектральные последовательности Бокштейна, в которых члены с Е2 имеют вид E2(S0)sA(ulUi,uau4,...)t E2(J0)=E2(S0)®P(^,642,...).
50 Часть I. Стабильные гомотопии и кобордазш Здесь Н^((70)0;2/2)^А(и1,и2,..ОФР(6г^-). Кроме того, <А2(6|) = их ^2 • Если в качестве SQ- взять компоненту единицы Н-пространства G , то E2(SG)=A(u1u2)®P(QzQ2[l>[-3])9..., где dz(Q2Q2[l]*['51)^uiuz. Здесь Q1 - это 1-я операция Дайера - Лашефа. Следовательно, отображение ^ индуцирует в mod 2-гомологиях гомоморфизм, при котором разложимый элемент &| переходит в неразложимый элемент /^(b*) = Q2Q2[i]*[-3]. В этом параграфе будет описано отклонение трансфера f0 от аддитивности. Это даст описание отклонения от аддитивности композиции (6.1). Зададим отклонение от аддитивности трансфера Г0 в виде отображения у : ВОхБО—*-QB0№ в следующей гомотопиче- ски коммутативной диаграмме: ВО х ВО "* ВО х ВО х ВО х ВО Тх X х у 1 ВО QB0(2) xQB0(2) xQB0(2) \ QB0(2) Здесь m1 и m2определены умножением в Н-пространствах и А(х,у) = (x,u,x,u). Отображение у можно описать явно в терминах ортогональных групп. Результат получается такой. Пусть Xn=0(4n)/H(2n), где Н(т) = 2тг 0(2)с0(2т). Обозначим через Р(2п) группу 0(n)* 0(a) . Если Е - свободное стягиваемое 0(4п)-пространство, то положим Yn = ExP(4n)Xn- 6.5. Теорема. Пусть у: BD*B0--QB0(2)- отклонение от аддитивно-* сти трансфера г0:Б0—-QB0(2) . Тогда существует описанное в (6.4)
§ 6. Неаддитивность трансфера 51 п пункте 6.9 ассоциированное с каноническим расслоением X у ^БР(4п)итрансфероподобноеп отображение уа : BPf4n)-^QYn, такое что у , ограниченное на ВРС4п)=В0(2п>В0(2п),гомотопно композиции BP(4n)-^-QYn-^— QB0(2). Здесь P(4n),Xn и Yn - введенные выше пространства, а к - отображение, описанное в пункте 6ДО. В этой теореме было бы предпочтительнее дать описание отображения у в терминах настоящего трансфера. Как следует из конструкции отображения у , данной в пункте 6.9, это в принципе возможно, если использовать технику, развитую в § 1. Однако для этого пришлось бы заниматься утомительным анализом пространств двойных смежных классов симметрической группы (ср. с пунктом 6.12), которого нам удается избежать. Все же для случая п=1 мы дадим такое описание. 6.6. Теорема. Пусть у такое же, как в теореме 6.5. Тогда в обозначениях, вводимых ниже в пункте 7.12, ограничение j> на БР(-4) = 30(2)* В0(2) задается следующей композицией B0(2)2^^(QB2I2e2:2)2-^QB0C2). Здесь ЛггИг - подгруппа в 0(2) и Г - трансфер, ассоциированный с расслоением Б512г2^В0(2). Теоремы 6.5 и 6.6 будут доказаны в пунктах 6.10 и 6.12. Предварительно установим следующий результат. sliZ» Предложение. Существует невырожденное л%во-Р(4п) -инвариантное векторное поле р на Хл , множеством особенностей которого является в точности многообразие P(4n)I^nH(2n)/H(2rO, обозначаемое далее через Ап . Здесь 2^пс ^(4п) -группа перестано- Б°к стандартного базиса пространства R4n. Й2£§зательство. Выберем элемент v<=&(4n) алгебры Ли группы 0(4п\ такой что expv=W, где W = Man ° О jxl zn
52 Часть I. Стабильные гомотопии и кобордазмы а X и и - положительные числа, причем Хфр. . Применяя к V конструкцию, описанную в пункте 1.4, получаем требуемое поле р . Детали построения этого поля в точности такие же, как в примере 1.7. Нам понадобится также следующее наблюдение. 6.8. Лемма. Пусть Ап таково же, как в предложении 6.7. Подмножество P(4n)H(2n)/H(2n) многообразия Ап гомеоморфно многообразию (0(2п)/Н(п))2. Используя этот гомеоморфизм, можно представить многообразие Ап в виде несвязного объединения An = CnU(0(2n)/H(n))2. 6.9. Определение отображения ifn. Пусть р - векторное псьле из предложения 6.7, нормированное на всякий случай таким образом, что |р(ос)|<1 для всех хаХп . Выберем конечномерный 0(4п) -модуль V вместе с эквивариантным вложением многообразия Хд в V и обозначим через V эквивариантное нормальное расслоение этого вложения. Выберем Р(4гО -инвариантную окрестность N -подмногообразия Апв Хп так, чтобы N было несвязным объединением экви- вариантных трубчатых окрестностей компонент подмногообразия Ап в Хп. Предположим, что для поля р и окрестности N выполняется условие |р(х)| = 1 , если oc^N (для этого достаточно еще раз нормировать поле р ). Рассмотрим отображение Понтрягина - Тома p:Th(V)— Th(\>), гдеТК()- пространство Тома. Обозначим через rri касательное расслоение многообразия Хп и определим отображение <j, : Th (V)—Th(tf Ф^) = Th (X*V) формулой Гоо , если и 4- ^ 1 <}(u) = S<~, если uga)x,x£N2, Здесь NsNjtl.NgH N1 - трубчатая окрестность подмногообразия (0(2n)/H(n^a в Хп . Обозначим через Et пространство, полученное соединением t
§ 6. Неаддитивность трансфера 53 9Кземпляров группы 0(An) , и положим Bt»Et/P(4n). Пусть Е= tim Et^. Тогда, как известно,Вр(4п) - uqi Bt . Применяя конструкцию Беккера - Готтлиба обратного отображения [B-Q I ] к отображению I * p^n)(q ° р ) , получаем стабильное отображение пространства Bt в Et * Pf4n) Xn . Положим YnU) = Et*p(4n)Xn и Yn=ExP/4n)Xn . Построенное отображение эквивалентно отображению Bt ^QYn(t), которое с точностью до гомотопии определено однозначно. Устремляя t к бесконечности, получаем элемент группы tim [В^ 9 QYn ] . Возьмем в качестве уп:ВР(4п)—*~QYn любое отображение, ограничением которого является этот элемент. Фактически в наших условиях выбор отображения цп однозначен. Действительно, из точности последовательности Милнора^следует, что если существует несколько возможностей для выбора отображения уп , то кавдые два таких отображения отличаются на некоторый элемент группы ^£!l1[2IBP(^n),QYn]. С другой стороны, мы можем рассматривать отображение уп как часть композиции ВР(4п)—*-фВ0(2). Используя теперь результаты пункта 2.2 и рассувдения из доказательства предложения 2.6, получаем, что отображение BP(^n)—»-:QBD(2) определяется своими ограничениями на конечные комплексы Bt. 6.10. Доказательство теоремы 6.5. Дадим лишь набросок доказательства. Детали его очень похожи на соответствующие детали из пункта 1.2. В силу естественности трансфера имеет место гомотопически коммутативная диаграмма трансферов [B-Q I; B-Q 2] BP(4n) т(7° * Q\ (6.11) k Q(j) B0(4n)T(^rQBH(2n) Здесь k - каноническое отображение, a \ - отображение, индуцированное переходом от орбит группы Р(4п) к орбитам группы 0(4п). Ограничение'трансфера т0: BO^QB0(2) наВ?(4п) разлагается в композицию вида где х(х2п)ок то же, что и в (6.11). Подробности, в частности определение Отображения 1Л:БНП—-№0(2),см. в пункте 2.4. Использование векторного поля, описанного в предложении 6.7, и методов
54 Часть I. Стабильные гомотопии и кобордизмы пункта 1.9 позволяет представить трансфер т(л') из (6.II) в виде композиции BP(4n) ^XQ(Exp(4n)N)—~QYn , в которой т*(яг") - трансфер, ассоциированный с расслоением N -Е *Pr4n)N -ВРИп), а второе отображение индуцировано вложением окрестности N (определенной в пункте 6.9) в Хп . С другой стороны, согласно [B-Q 2], трансфер т (тс") представляет собой сумму (относительно структуры Н-пространства на QYn ) трансферов, ассоциированных с компонентами N . А именно, для каждой Р(4п)-инвариантной компоненты определены расслоение над ВР(4п) и, следовательно, соответствующий трансфер. В пункте 6.9 показано, что N^Nj UN2, где Nt - трубчатая окрестность подмногообразия (0(2n)/H(n))2,a N2- окрестность подмногообразия Сп . Композиция трансфера BP(4n)^Q(£x .,#) ассоциированного с Nj , и отображенияQ(^?(4n)^i)-^QYf^QBK(2n) гомотопна (ср. с пунктом 2.6) композиции отображений B?(4n) = 30(2n)2-^^(QbH(n))2 -QBHfrn). Используя диаграммный поиск точно так же, как в пункте 2.6, легко показать, что связанный с Я* вклад в ограничение т|ВР(4п) гомотопен сумме (относительно Н-структуры на QB0(2) ) ft|BP(4n))oK'i + (r|BPf4n))o7r2, где xL:BP(4n) =BOf2n)^B0(2n)- проекция на 1-й сомножитель. Следовательно, с Nt связана "аддитивная" часть отображения т;|ВР(4п), а с N2 - отклонение от аддитивности. Но композиция трансфера, ассоциированного с расслоением и отображения ?(E*P(4ri)N2)—*~QYn представляет собой в точности отображение уЛ , а отображение h:QYft—QB 0(2) по определению есть композиция QY^—-QBH(2n)-^^ QQB0(2) QB0(2). Этим доказательство завершено.
§ 6. Неаддитивность трансфера 55 £^2. Доказательство теоремы 6.6. В обозначениях теоремы 6.5 мы должны вычислить композицию h о \ft . Возьмем в качестве Z г Zz подгруппу в 0(2), порожденную элементами у = 0 1 ] 1 0 е S0C2) и § = ГО 1] U 0} 0(2). Положим G = leer fdet: (£2 г £г)-^2}где oLet обозначает детерт- нантный_гомрмор$изм - гомоморфизм, сопоставляющий матрице ее определитель. Непосредственной проверкой можно показать, что многообразие Ct гомеоморфно как Р(4)-пространство однородному пространству V(4)/G . Этот гомеоморфизм можно выбрать таким, чтобы он переводил вложение GicXi в отображение Л. :?(4)/Ст—*- 0(4)/Н(2) , задаваемое формулой l(a,b)G = abdU(2), где &= Далее, используя рассуадения из пункта 1.9, получаем, что композиция BP(4)-JU-QY1 »-QBH(l)-a^QQB0(2)-^-QB0(2) гомотопна композиции BP(4)r^QBa_^^Qj3H(i)-^^QQB0(2)^^QB0C2), где т(яг) - трансфер, ассоциированный с каноническим расслоением Го 1 о о] 0 0 10 I 0 0 о1 цооог Сг -^Ю)сгъа те -ВРИ), а ul - следующее отображение: -±^— Ex0(4)0f4)/H(l) = ВН(1). BG«E*PM)PW с Другой стороны, трансфер транзитивен на композиции расслоений. Например, рассматриваемое расслоение % является композицией расслоений BG-^-CBZ^ 2J2-^B0(2)2 = BPW), ^ каадое отображение индуцировано вложением групп, и поэтому
56 Часть I. Стабильные гомотопии и кобордизмы трансфер т(х) есть "композиция" трансферов т(<7с*) и ъ(хх). Кро~ ме того, трансфер %(эс%) есть "произведениеп г (xz)z , и, таким образом, трансфер х(ис) представляет собой следующую композицию: ч2 В0(2) Т(7Г2) QQBG (QBI28l2)2-^Q(B(I22l2)2) Здесь m - сумма относительно структуры Н-пространства двух канонических отображений QBH2e И2~*~Q(b(2Z2zZl2T), ad- структурное отображение бесконечнократного пространства петель QBG (ср. с пунктом 2.4)- Полагая г = т(ж2) и q^d.oQ(il)^(X,)odoQ(x(xi))on4 завершаем доказательство. § 7. СТАБИЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ BQ1X и B0F, 7Д. Всюду в этом параграфе F^ обозначает поле из <j элементов, а GLJFq - линейную группу обратимых п*п -матриц с элементами из поля К % ~х? Далее, 0т обозначает ортогональную группу квадратичной формы V х? над F3 . Сначала мы займемся разложением S-типа пространства (B0F3 )Г2> . При этом мы будем предполагать, что все рассматриваемые пространства (2)-локальны, а группы кого- мологий и гомологии берутся с коэффициентами B.Z/2. Пусть2Гпг02 - группа, полученная сплетением группы перестановок Ипс группой 02. Ясно, что группу £ni 0% можно каноническим способом отождествить с подгруппой в 02п, получаемой при помощи "разрушения" матриц, состоящих из диагональных 2х2-блоков. Заметим, что группа 02 = И2г31 порождается образующими у о -1 1 о и f 1 О О -1 связанными соотношениями р2 = 1 = у* , р уj3 =• у3. Обозначим через Н^. группу сингулярных mod2-гомологии. Цель этого параграфа - получить следующий технический результат, который понадобится нам в дальнейшем при доказательстве теоремы 7.2.1.
§ 7. Стабильные разложения пространств LQLFa и EOF 57 7-j.i. Теорема. Рассмотрим канонические вложения Пусть г:B02n *-ВИпгОг~ стабильное отображение, являющееся трансфером, ассоциированным с B.5t[B~Q I; К-Р]. Тогда коммутативна следующая диаграмма: Н*(В02п) — Н*Ш02п) Теорема 7.I.I будет доказана при помощи следующей хорошо известной формулы двойных смежных классов. 7.1.2, Предложение (формула двойных смежных классов [E-G; Ре]. Пусть j;H->-G и k:K-^G- вложения конечных групп. Рассмотрим гомологический трансфер т+: H^(BG)—Н#(ВН). Тогда (7.1.3) г+оЪ(к\ = £бЧ> где 6q - композиция трансфера VH#(BK) —-Н#(В(КЛ^"')) с отображением, индуцированным вложением Сумма берется по представителям множества двойных смежных классов K\G/H. Теорема 7.1.1 утверждает, что справедлива формула (7.1.3) с правой частью, замененной на 6L . В приводимой ниже серии лемм будет показано, что в условиях теоремы 7.1.1 все остальные члены суммы Х^п обращаются в нуль. 7.1.4. Лемма. Пусть Н - некоторая собственная подгруппа в 0£ индекса, большего двух. Тогда существует подгруппа Н , такая что Н с Н 'с 0? . 7е f- %
58 Часть I. Стабильные гомотопии и кобордизмы Доказательство. Рассмотрим проекции Индукцией поп можно показать, что каждый из гомоморфизмов у и у» является эпиморфизмом для любого разложения О? = 0П~** 0 . Следовательно, | leer у | = I или 2. Случай (а): ( leer у | = I. В этом случае гомоморфизм ^«у* индуцирует хорошо известный гомоморфизм X : 0£"- к 02, отозде- ствляющий Н с подгруппой((x,£(x))|xe0£~f) . Взяв какой-нибудь элемент z^i из центра Z(0&) группы 02, получаем требуемую подгруппу, полагая H'=<H,(l,z)>. Случай (6): | fcery|= 2. В этом случае гомоморфизм ^«у-* индуцирует гомоморфизм X : 0%"1 >~Ог/кегц . Здесь кету = Нп((1)*02) рассматривается как подгруппа в 02. Так как у - эпиморфизм, то leery -d 0г и, значит, leery-(yz)^ Z(0Z) - центр группы 02. Таким образом, областью значений гомоморфизма X является группа 0z/Z(O2)£Z/2*Z/2 . Следовательно,H^ftx^O*""1 хОг|Х(х)=яг(у")) , где 57г - каноническая проекция. Пусть de£ обозначает детерминантный гомоморфизм, а также индуцированный им гомоморфизм 0Z/Z(0^).—*-Z/2. Положим Н'' = Ьг((а,Ь) —ddX(a)detb)c: О^х 02. Группа Н является подгруппой в Нг, так как для каждого элемента ( х, ц ) с Н det X(x)detor(y) = (det X(x.))z=t. 7.1.5. Лемма, Пусть Q - некоторая подгруппа индекса 2 в 0^. Тогда ассоциированный с вложением ОаО^ трансфер является нулевым гомоморфизмом. Доказательство. Напомним, что Н* обозначает группу 2/2-гомоло- гий. Заметим превде всего, что множество всех гомоморфизмов из 02 bZ/2 состоит из тривиального ташзрфизма, детерминантного гомоморфизма, ядром которого служит подгруппа (у} =2У4, и гомоморфизма с ядром (а , py2) = Z/Z xZ/2. Обозначим эти гомомор-
§ 7. Стабильные разложения пространств bGLF* и Б0Г3 59 физмы через ht , hz и h3 соответственно. Тогда группа 0 является ядром следующей композиции гомоморфизмов: °ах02- -Г" —^ ^(Z/Z)n -Z/2, в которой последний гомоморфизм задается умножением в группе Z/2. Согласно формуле произведения для трансферов [B-Q 2], без ограничения общности можно считать, что а= 0. Из работы [Г-Р] известно, что базис группы Н^ (В0£ ) состоит из классов, принадлежащих образу гомоморфизма, ассоциированного с вложением (Z/2)?i q£ . Применение формулы двойных смежных классов (предложение 7Л.2) к данной ситуации показывает, что достаточно установить тривиальность трансфера (7.1.6) VHjB(Z/2)2n)—-H^B((Z/2)2nn9G^)). Если 6 Ф 0, то (Х/2)2пПойо1 является собственной подгруппой в (Z/2)zn, так как группа Z/2*2/2<Огне лежит в ядре детерми- нантного гомоморфизма. Следовательно, гомоморфизм-(7.1.6) нулевой, ибо его композиция с мономорфизмом совпадает с гомоморфизмом умножения на четное число. Таким образом, остается рассмотреть лишь случай, когда 6=0 и (2/2)2п = (fcer h3 )п. В этом случае гомоморфизм (7.1.6) совпадает с тождественным отображением. Но в формулу двойных смежных классов для вычисления гомоморфизма (7.1.7) H,(B0cerh3)n)— П^Щ)-^- H,(BG-) гомоморфизм (7.1.6) входит с кратностью, равной числу смежных классов из (fcerh3")n\0"/G , представленных такими элементами у , для которых (fcerh3)nc gGg"1 • Группа же Q является нормальным делителем в 0£ , поэтому таких элементов q либо совсем не существует, либо существует в точности два, и в обоих случаях вклад рассматриваемого гомоморфизма в формулу двойных смежных классов равен нулю. 7.1.8. Доказательство теоремы 7.1.1. Применим для вычисления гомоморфизма г °Ъ(зс° L)+ формулу двойных смежных классов (7.1.3).
60 Часть I. Стабильные гомотошш и кобор^язмы Каждое слагаемое 6{ 9 для которого °гП^п^°29-^ 02п, дает нулевой вклад. Это следует из лемм 7.1.4, 7.1.5 и свойства транзитивности трансфера [B-Q 2]. Остается лишь показать, что существует единственный двойной смежный класс, для которого 0*c:<jZn2 02<j4 . Докажем это индукцией по п . Предположим, что п г> ,- £ £ 02, и положим 9 -io2*9. w = I где ^ - введенная в начале этого параграфа 2х2-матрица, а I - единичная 2х2-матрица. Собственные значения матрицы у , лежащие в IF3 (алгебраическом замыкании поля F3 ), равны ±fT. Единственным другим элементом в группе 0£ с такими же собственными значениями является элемент у3 = J2»^J3 . Следовательно, существует элемент tfe Шпг 02, такой что tf^g-'wgd «w . Непосредственное вычисление показывает, что 9^€'^гп-2*-9г • Следовательно, в качестве о можно взять элемент из ®2п-2*(^}* Дальше продолжаем, заменяя матрицу w" на матрицу 7.2.1, Теорема. Для каждого l^n^oo существует (2)-локальная S -эквивалентность if : ВО F — V ВО F /ВО Г . Доказательство. Сначала предположим, что п - конечное число. Рассмотрим S-отображение х:ЪОгп¥3 *-БГг02Г3, задающее трансфер из теоремы 7.I.I. Как было показано в пункте 2.4 и § 3, сущест-
§ 7. Стабильные разложения пространств BGLFg, и B0F3 61 вуют отображения dn:B2V02F3—QB02F3 (QW= tun ^rnZrnVyr)> для которых имеют место гомеоморфизмы " ^РпУьЧ*^) =BHnz02F3/Di:ft.l202F3. Кроме того, согласно работе [Snl], существуют согласованные S-эквивалентности такие что составляющая отображения /лп с областью значений im(dn)/im(dn_i) совпадает с канонической проекцией. Возьмем в качестве у композицию (7.2.2) Б02пГ3^—BZnz02F3b^ V БГгОД/ВГ ,гОЕ V В0,Д/ВС> F, в которой последнее отображение индуцировано каноническим вложением группы ZfczQjF3 в 02teF3 . Нам надо показать, что эта композиция является (2)-локальной S-эквивалентностью. Для этого, согласно теореме Дж.Г.К.Уайтхеда [Sp , с. 514 ] и теореме об универсальных коэффициентах [Sp, с 283 ], достаточно показать, что уп индуцирует изоморфизм сингулярных mod 2-гомологии. Из работы [Г-Р] известно, что каноническое отображение (B02Fs)n—~- B02nF3 индуцирует эпиморфизм в mod 2-гомологиях. Образ описанного выше S -отображения ВХ.гОГ -ВИ г, О Т -У ВО FVBCL Г лежит в J^fB02JF3/B02k_2F3 для всех Un (см. [Snl] или § 3). Составляющая этого отображения с областью значений В 0£Д3/ В02^2 Гз совпадает с каноническим отображением. Следовательно, используя теорему 7.1.1, можно индукцией по L показать, что Чп индуцирует изоморфизм в mod 2-гомологиях. Теперь рассмотрим случай п = <*> . Если бы было известно, что трансферы г согласуются между собой при изменении п , то можно было бы подтупить так же, как в § 3. Однако такой факт мне неизвестен. Поэтому поступим следующим образом. Рассмотрим какое-ни-
62 Часть I. Стабильные гомотоши и кобордизмы будь конфинальное семейство {X у} конечных подкомплексов пространства Ъ02п¥ъ и обозначим через Р^ подмножество множества всех S-отображений f:Xy ^-ВИ^гОД, состоящее из таких отображений, которые индуцируют в mod 2-гомологиях гомоморфизм Н#(Х,)—- ЬМВ21пг°гГ3) -HjB02nFj), совпадающий с гомоморфизмом, индуцированным вложением Х^В02nF3« Из теоремы 7.I.I следует, что множество Р^,п непусто. Заметим также, что множество Р^п конечно, так как все гомотопические группы пространства BS г О F3 конечны. Пусть, далее, Q^n - образ множества Ру?п в {Ху,В2оог02Гг}(где[ , } обозначает множество S-гомотопических классов). Обратный предел последовательности компактных множеств непуст, поэтому, выбрав какой-нибудь элемент из множества Ipn Qv,n , мы получим элемент ^* Определим отображение ^при помощи композиции (7.2.2) (п-^), заменив в ней трансфер на построенный только что элемент г . Используя теперь те же гомологические рассуждения, что и для ул5 можно показать, что у^ является (2)-локальной S-эквивалентностью. Завершим этот параграф теоремой о стабильном разложении пространства BCrLF^ . Пусть q - степень некоторого простого числа и L- простое число, не делящее cj, . Обозначим через г порядок числа q в группе единиц (Z/L)*. 7,2.3. Теорема. Пусть L ,(( иг такие, как указано выше. Тогда, после локализации в I , ийеет место стабильная эквивалентность BGLF^^BGL^/BGL^^F; здесь М определяется следующей формулой: [ г , если 1+ 2 или £-2 и q, * 1 mod 4 , i 2 в остальных случаях. М = Доказательство. Мы лишь наметим доказательство, так как оно аналогично доказательству теоремы 7.2Д. В работе [ф1, с. 5 74]
§ 7. Стабильные разложения пространств BGLFn и Ь0¥3 63 можно найти следующие факты о силовских (-подгруппах группы CJL F • Если £^2 или £=2 и cjslmocl4,то сплетение 5Г гGLrГ содержит некоторую силовскую £-подгруппу группы GL^F. . Если £=2 и q,s3mocW, то Ц tOL Т содержит силовскую 2-под- груплу группы GL2mF^ . Рассмотрим канонические отображения BGL F -BGLF+, где BGLF* - пространство, описанное b[H-S; Q]. Эти отображения продолжаются до бесконечнократно-петлевых отображений X (F); QBGL F -BGLF/ (ср. с § 2). Используя факты о силовских подгруппах и рассуждения из [H-S, теор. 3.1], можно показать, что, после локализации в простом числе £ , существуют отображения t(F), расщепляющие X(F ) , т.е. Так как каноническое отображение BGLF—-^-ВСЬР^индуцирует изоморфизм групп гомологии, то пространства BGLFJ' и BGL1F? стабильно эквивалентны. Следовательно, определены S-отображения Baj^era^—^BV ai^F/Bz^.,. glmf Здесь второе отображение совпадает со стабильной эквивалентностью из [Sni], если отоадествить FfcC!^BGLMF/Fk_tC^BGLMF с BSfetGLMF' /BTl^iGL^ , как это сделано в пункте ЗЛ. Третье отображение ицдуцировано вложением подгрупп. Доказательство завершается теперь при помощи рассувдений, аналогичных использованным в пунктах 3.6 и 7.2.1.
Часть II Новая конструкция комплексньк и симплектических кобордизмов § 0. ВВЕДЕНИЕ В части I было показано (теоремы 4.1 и 4.2), что значительные "пласты" групп MU2*(X) и MSp4*(X) могут быть полностью описаны в терминах одних только классифицирующих пространств Ы) и BSp. Такое частичное описание было до сих пор достаточно для наших целей.Б настоящей части будет дано развитие этой связи мезду К-теорией (задаваемой спектром BU или BSp) и теорией кобордизмов. Мы покажем, как из KU- (соотв. KSp- ) теории построить спектр AU (соотв. ASp ), такой что ассоциированная с ним теория когомологий совпадает, с (полной) теорией комплексных (соотв. симплектических) кобордизмов. Опишем теперь более подробно результаты данной части. Ниже теоремы приводятся с теми номерами, под которыми они появляются далее в тексте. Сумма Уитни класса Ботта с тождественным отображением пространства bU определяет отображение Z^BU—*-512В1Г\с помощью которого можно ввести кольцо (см. § 2) AU°(X)~£i£{2I2A/X,BU}. Гомоморфизм Фи , введенный в теореме 1.5.1 , индуцирует функто- риальное мультипликативное преобразование Фи: AU°(X) — MU2*(X). Теорема 2.1. Если dimX<^o , то Фи : AU°(X) = > MU2*(X). Аналогичный результат имеет место и для MSp^*(X) (см. теорему 2.2, набросок доказательства которой дан в пункте 2.3)'
§ 0. Введение g5 Фактически из теоремы 1.4.1 следует, что Фи - эпиморфизм. Ддш доказательства того, что ^ является мономорфизмом, потребуется подробный анализ S-отображения Z^BU—К£2ВЦна каждой стабильной составляющей MU(fc) пространства BU (см. теорему 1.3.2). Этот анализ будет проведен в § 1. При помощи отображения ь: Z4BU-^Z2BU и его симплектиче- ского аналога можно построить спектры AU и ASp (например, положив AU2teeS2BU и взяв е в качестве структурного отображения). Теорема 3.1. AU и ASp являются мультипликативными спектрами. Эти результаты можно обобщить, заменив BV на BUA - представляющее пространство функтора KU°( ; А ) # Таким образом получается спектр AUA. Некоторые KUA -операции очевидным обрезом индуцируют AUA -операции. Теовема 4.2. Если определено отображение £ук:В1/Л -BUA, где yk - операция Адамса, то оно индуцирует кольцевой гомоморфизм цЬ: АиЛ*( ) -AUA*( ), переходящий при изоморфизме Ф1] в операцию Адамса yfc fe теории кобордизмов MUA*( ). Кроме того, кольцевые гомоморфизмы индуцируются проекторами Адамса E^BURCdHSORfd) [Ad 3; с. 89] * Теорема 5.1. Каздый проектор Адамса E^BUR^-HSU^d) индуцирует функториальный мультипликативный проектор 6(d): AUR(d)*( ) -ACJR(d)*( ). При изоморфизме Фу проектор efd) переходит в проектор Адамса в теории MUR(cl)*( ). Далее, если простое число р удовлетворяет сравнению F>s imodd,TO проектор e(d) индуцирует проектор e(d):AUZp*( ) -AUZ*( ), (>(d)(f)]d= JlfV). такой что
66 Часть II. Новая конструкция кобордизмов Здесь произведение берется по всем корням степени d из I в кольце целых р-адических чисел 2?. Отображение c:BSp—*-BU, задающее операцию комплексифика- ции в К-теории, индуцирует гомоморфизм комплексификации довольно неожиданного вида. Теорема 6.1. Отображение комплексификации с:BSp-*-BUиндуцирует функториальный кольцевой гомоморфизм с : ASp°(X) —-AU°(X)[ 1 -<*„] "J. Здесь осп&А\]°(5°) - элемент, удовлетворяющий соотношению В MU-теории определены операции Ландвебера - Новикова $^. Естественно ожидать, что в AU-теории определена операция, соответствующая полной операции Ландвебера - Новикова 21 S^. ос Теорема 7.1. "Сверхполный" класс Коннера - Флойда с- I^'-KUW — MU2*P0 sAU°(X) об индуцирует функториальный кольцевой гомоморфизм S: AU*(X) — AU*(X), который при изоморфизме Фу переходит в полную операцию Ландве- бера - Новикова Х^*" ос» Вввду описанных выше связей между KU- и AU-теориями, последующие результаты уже не будут большой неожиданностью для читателя. В § 8 в терминах AU-теории описывается классическая конструкция Псщрягина - Тома для стабильных квазикомплексных многообразий. Фактически в § 8 даны два эквивалентных описания, они будут использованы в части 1У при обобщении этой конструкции на случай гладких алгебраических вложений. В § 9 в качестве приложений AU-теории мы докажем две теоремы о стабильных гомотопиях пространства СР(«о) . Первая из них (теорема 9.1.1) показывает, как получить группу KU°(X)b виде следующего предела стабильных гомотопических групп: KU0(X)«um{Z2NX,(CP(->)}. Вторая (теорема 9.1.2) утверждает, что если элемент уея-^(СР(Н/
§ 1.'Гомологии и стабильное разложение Дгл*ли(1) 67 имеет конечный порядок, то он аннулируется умножением на некоторую степень образующего элемента х с кг(<РР (°~)). Здесь имеется в виду умножение, задаваемое при помощи умножения в Н-простран- отве<СР(—). Этим завершается перечисление основных результатов данной части. Чтобы не перегружать её, я отложил до части Ш изложение основной конструкции, обобщающей конструкцию спектров AU и ASp* Кроме того, там будет дана новая конструкция теории кобордизмов МО*. Более подробно об этом говорится во введении к части Ш. § I. ГОМОЛОГИИ И СТАБИЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА ft^BUfl) В работе [Snl] построено стабильное разложение пространства Slt2ZtX для всех связных пространств X и t^l . Соответствующие технияеские подробности будут приводиться по мере надобности (см. пункт 1.3). Это разложение можно описать следующим образом. Пространство StfZ^X гомотопически эквивалентно пространству CtX [Mt l] .которое обладает фильтрацией {FnCtX; п*2 1} . Теорема разложения из указанной работы утверждает, что в стабильной категории [Adl] имеет место эквивалентность (1.1) FftCtX -*- g F^X/F^X. Здесь под стабильной эквивалентностью пространств понимается эквивалентность в стабильной категории Адамса соответствующих надстроечных спектров. В данном параграфе мы получим следующий результат. 1.2. Теорема. Пусть а.е H^(BU(1);Z), i^Un . Тогда для всех t>l и l^m<n стабильное отображение BU(l)n~ FfiBUd) V FC BU(i)/F С' BU(i) индуцирует в гомологиях гомоморфизм, переводящий в нуль все элементы ввда аг 9 • • • в ап . Здесь первое отображение в композиции индуцировано п -кратной суммой (относительно структуры Н-пространства) надстроечного отображения BU(1)—-ZtC2tBU(l). Второе отображение совпадает с
68 Часть II. Новая конструкция кобордизмов (1Л), а третье представляет собой проекцкю на m-ю составляющую букета/ Эта теорема будет доказана в пункте 1.4. Сначала же мы напомним необходимые факты о разложении (i.i). 1.3. Стабильное разложение. Технические подробности работы [Sftl] довольно устрашающие, поэтому я хочу предоставить читателю возможность выбора. Нам потребуется следующий Основной Факт об S-отображении из [Sni, § 3.1]: Основной Факт. Пусть i^m<n и Y - подпространство в X , не содержащее отмеченной точки *сХ , Тогда композиция вложения YncXn с указанным выше S -отображением равна сумме (в группе стабильных гомотопических классов отображений) конечного числа отображений, каждое из которых разлагается в композицию с проекцией вида Yn *-Ym. В пункте 1,4 мы докажем теорему 1.2, применив Основной Факт для случая, когда Х = СР(~) , a Y - копия пространства (СР^ ; 3-отображение, о котором вдет речь в Основном Факте, будет предъявлено в виде композиции (1.4 Д). Читатель может теперь сразу перейти к пункту 1.4, где дано доказательство теоремы 1.2. С другой стороны, для тех, кто заинтересован в более близком знакомстве с S -разложением из работы [Sal], ниже излагаются подробности, необходимые для перехода от результатов этой работы к доказательству Основного Факта. Пусть 1п - единичный п -мерный куб и Jn- его внутренность. Будем называть (открытым) малым_п-мернш_кубом_ всякое линейное вложение f: J n—-Jn, сохраняющее направления осей. Другими словами, f*ft*... fn , raeft:J—-J - линейная функция ft(t) = (jjt-x )t+xif 0$xt<yt« 1 . Обозначим через Слф множество, точками которого являются всевозможные наборы из j малых п-мерных кубов с попарно непересекающимися образами, а через 3)п(}) - ана" логичное множество, только без условия непересечения образов. Очеввдно, что £nQ)c2)n(j) (j>0) и множество 0П(О)~Сп(0)состоит из одной-единственной точки. Рассмотрим пространство Y вместе с его замкнутым подпространством А , содержащим отмеченную точку * . Введем следующим об~
§ i. Гомологии и стабильное разложение Л*2*Ы7(1) 69 разом пространства CnY и 2) (Y,A) • Образуем несвязное объединение и определим отношение эквивалентности » на Zn при помощи условий (i) (<clf... ,cm) у р ...,уы , *, yulr..., ym ) (l4(<cl>...,cm>y1,..MVm)*(<^rl)1-..,cd(^ для всех перестановок <3*21т. Положим CnY4[<c1,...,CM>y1,...,ym>Zn/^|<ci,...,cm>een(m)}, ^(Y,A)-{I(Cj,...lcJj1,...^m]«Zft/*|<cli,...fctfc>eCnft), если и. ,..., и. - все координаты, не лежащие вА). В пространствах CnY и 2)Л(У,А) соответствующим образом вводится топология [Sal]. Из работы [Ма l] известно, что для "хороших" Y имеет место гомотопическая эквивалентность СУ&£11Х1У. Фильтрация, о которой идет речь в теореме 1.2, вводится следующим образом. В качестве F^ Y берется подпространство, состоящее из всех точек [(^,...,0^)^,...,^], где т*п. Опишем теперь составляющие элементы конструкции эквивалентности (!•!)• Для начала предположим, что задана непрерывная функция и: такая что а~ (0) = * . Следующий результат является частным случаем общего результата, полученного в [Snl]. 1.3.1. Предложение [Sni, теор. 3.i]. Пусть отображение f : FmCftBU(l)-—Y та&<ж9чго{(Т^ш1апЪи(1))**ж Щ9^.9сгп)х19...?хп)€^ если и только если rrdn u(a^) *^ . Тогда существует семейство стабильных отображений Ofc: rfcCn5U(l)—-Y/A,fc*n, таких что Gfc|Fjc_1CriBU(l)sfi и Qm представляет собой композицию отображения f с каноническим факторотображением Y — Y/A .
70 Часть II. Новая конструкция кобордазмов Далее пространство FmC BU(1) будем обозначать просто через Применим предложение 1.3.1 к отображению Fm ■"*J*/'^-issY, где и и А выбраны таким образом, что Y/A» Y . В результате получим семейство стабильных отображений. Отображение (1.1) мы зададим как их сумму. В связи с этим наметим, как доказывается предложение 1.3.1. Пространство ГЛ строится по 1^, следующим образом. Сначала вводят отображения ¥R:<V«>—*УР). ^:et(n)xBUfl)n—<Ddn(p), где p=n!/m!(n-m}!, и Затем используя существование стабильного отображения называемого шчисдеетем, полагают F^ev^ • Единственное, что надо знать об отображениях у и ipn , это что ^((с^.^с^,...,^) не зависит от x^.mjX^ если u(xL)-i для i^ i ^n . Существует формула, выражающая Уп через У i , у и уп . Используя эту формулу [5nI, с. 582j , можно показать, что если u.(xt)«i для ui<n , и (1.3.2) ynC<^,.-.fcfl>xp...fxft)-(c,ffz1)f...,ff2F)), где р=п\/т\(п-т)1 и с - некоторый фиксированный элемент из Ct(p) . Элементы zLe 6ь(т)хйи(1УУ* имеют вид [(d^.^d^) ур..., ут] , где dt - соответствующим образом подобранные элементы из набора {с1,-..,сЛ| , а ^ - соответствующие элементы из набора { oct,..., хп }. 1.4. Доказательство теоремы 1.2. Для некоторого большого числа N можно найти копию стандартного подмногообразияJCP*, лежащую в (EP^BUfi) , такую что ^(ЕР" и в гомологиях Й^СФР"; Z ) существуют классы об{ , которые при гомоморфизме, индуцированном вложением, переходят в фиксированные элементы a^HJbVMlZ). Так как * £ <ПР\ можно считать (видоизменив в случае необходимости функцию u:BU(l)—- [О, I] ), что (CPwc:u-£0)- Отображение ((CPW)'1—BUCD^-FnCtBU(i) переводит точку ( х1?..., хп ) в точку[<с1,...,сп)хп...,хп]ддя некоторой фикси-
§ 2. AU°(X), ASp°(X) и их связь с кобордазмами 71 рованной точки (c1,...,cn>€Ct('n) . Попытаемся вычислить гомоморфизм в гомологиях, индуцированный следующим стабильным отображением: (I.4.I) (<CP")n— F—— CtCr^.A) J£U.(F /F ,)/As F/F .. Из формулы (1.3.2)-и относящихся к ней рассуздений пункта 1.3 следует, что точка(xt,...,х ^((ПР^переходит в точку [c^z,),...,fCzp)] е 2)t(£/^_( ,А). Композиция с отображением ev переводит отображение, сопоставляющее точке(Хр...,хл)точку [c^ffzj),..•,f^^B сумму (в смысле сложения в группе стабильных гомотопических классов) стабильных отображений о. :(<CPN)n -(Г/F JM«Fm/F , , задаваемых формулами ^Г*,,--'*^)^^), где i^ t 4 р . Напомним, что где{у15...7ут|- некоторое подмножество набораfo»—»**}, а точка ^dp...,dm) фиксирована. Следовательно, отображение о. разлагается в композицию с проекцией ((ЕР^-ЦСр^ которая из набора {xp...,xn } выделяет подмножество {ур — *ут} . Таким образом, (<31)*Ц®,вв®сОаг^ Значит, стабильное отображение из теоремы 1.2 переводит элемент ^$,..#0^ в ^(g^fy®"-®0^) = 0. Теорема доказана. 1~* § 2. AU°(X), ASp°(X) И ИХ СВЯЗЬ С К0Б0РДЙЗМАМИ Пусть B:S2~*-BUh B'^—^BSp- представители образующих групп % (BU)=Z и 9r4(BSp)«Z соответственно. Сумма Уитни отображения В с тоадественчым отображением пространства BU индуцирует отображение 6 : Аналогично сумма отображения В' с тоздественным отображением пространства В5р ивдуцирует отображение e':Z6BSp--«-Z*BSp. Подробности построения этих отображений даны ниже в пункте 2.3. Используя 6 и е' , можно опре-
72 Часть II. Новая конструкция кобордизмов делить группы (фактически кольца, см. § 3) AU°fX)-0m{Z2NX,BU}, ASp°(X)~ Urn [ХАЯХ,Ъ$р\. Здесь {Y,Zj обозначает группу морфизмов нулевой степени из Y в Z как объектов стабильной категории Адамса [Ad I, ч. III]. Пределы берутся по последовательностям гомоморфизмов {K2NX,BU}={£2N+2X,Z2BU}^^{r2N+2X,BU}, Рассмотрим классы Коннера - Флойда [Ad I, с. 9J cfc€ MU2k(BU) , pfce MSp^fBSp) и определим гомоморфизмы Уи:{г2"х,ви}—- П MU2fe(z:2Nx) « riMU2fe-2Nrx), <f$F:{Z*"x,B$p} -ДМбр^г^Х) « JlMSp^X) формулами Основные результаты этого параграфа содержатся в следущих теоремах: 2.1. Теорема. Гомоморфизм (jv ивдуцирует корректно определенное функториальное преобразование <рп : AU°(X)-^fimfT MU2'(X) = MU2*(X), которое является изоморфизмом в случае, когда X - конечномерное клеточное разбиение. 2.2. Теорема. Гомоморфизм ц$р индуцирует корректно определенное функториальное преобразование . ASpo(x)^Umf\ MSp4C0C)- MSp^X), которое является изоморфизмом в случае, когда X - конечномерное клеточное разбиение.
§ 2. AU°(X), ASp°(X) и их связь с кобордазмами 73 2Т3. Пояснения и план доказательства, Преаде всего нужно построить отображения £ и d . Заметим, что достаточно привести конструкцию для & , так как для s' она совершенно аналогична. Сумма Уитни отображений В и 1ви дает отображение БФ1ви : S2xBU -BU. Как хорошо известно, я(32*ви) = zs2vsbuvz:3bu (см,, например,[Sn.3] ). Применив еще раз надстройку, можно описать вложение Z^BU « £S2a£BU в 212 (S 2 * BU) при помощи конструкции Хопфа^Ссм. [Ни] ): Поэтому ПОЛОЖИМ 8 = И2(ВФ1ви)о21Н. Существует несколько способов вложить JI^BU в E2(S2xBU). Мы использовали конструкцию Хопфа, так как она ассоциативна, а это свойство понадобится нам в § 3, где группа AU°(X) будет описана в терминах мультипликативного спектра AU. Объясним теперь, почему преобразование ^ корректно определено. Для этого докажем сначала коммутативность следующей диаграмма: {z2nx,bu} -^пми21*"2^ I 1<к (2.4) )*# {l2n + 2x?Bu}_Jf^nMJ2^2N-2(x) 1^к Здесь t -каноническое вложение. Пусть fe{Z2WX,BU}. Тогда стабильное отображение &#(f) задается композицией S2A(22NX)-^^S2x2I2NX^t-BU. Следовательно, V*)*(efc) - (*Ю*(Ь*П*(ск)= (21НГ^В*(се)в£Х.г)) - B#(cl)0f*(ct_1)eMU2fcfS2AZ2*'x).
74 Часть II. Новая конструкция кобордизмов Заметим , что (ХНУ(Ъ*(Со)&£*(с£)*0. С другой стороны, В^с^ представляет собой в точности класс надстройки, поэтому класс переходит при изоморфизме надстройки в класс£*(^ы)€Ми2к"2(г212А,ЗС) . Коммутативность диаграммы 2.4 доказана. Как было показано в теореме 1.4.2, существует стабильная эквивалентность О :BU(n)— V MU(k), такая что tfjBU(n-f)£ \)ft-l. (Ниже в пункте 2.7 мы рассмотрим эту эквивалентность более подробно.) Поэтому (2.5) {Y,BU}~ ^{Y.MUOO}, и, как было показано в теореме 1.4.1, если dimY^4n , то у изоморфно переводит П, {Y,MU(k)J в слагаемое П MU2fc(Y) группы MU2*(Y) . Положив Y=Z2WA в (2.5) и взяв предел по N" , можно непосредственно показать, что Фу - эпиморфизм. Ограничение стабильного отображения £:Z2BU—BUна слагаемое HzMU(n) пространства £2 BU 9 представленного в виде букета > переводит это слагаемое в букет ^«^MUft). и композиция этого ограничения с проекцией на MUfn+i) по существу совпадает с каноническим отображением IL2MU(n)—*hAU(r* 1) комплексного спектра Тома [Ad I, с. 135]. Другими словами, с точностью до автоморфизма в S -категории получаемое отображение 2a.MU(iO-*-MU(n+i) является каноническим отображением. Этот факт является следствием свойства 1.4.5(b) стабильного разложения, построенного в § 1.4, Следовательно, если бы стабильное отображение г:X2BU(rO--*~BU(ri+i)было просто суммой таких отображений псевдоспектров Тома V E2MU(I0—-V MU(k+i)0 то доказательство было бы завершено. Именно благодаря процедуре предельного перехода, при помощи которого определяется группа kU°(X) , каздый элемент группы {Z2VX,MU(k)} в конце концов отображается в слагаемое ввда{£2МХ,ви/Ви(И)} с 4U2M+dimX, на котором, согласно теореме 1.5 Д, гомоморфизм cfv является мономорфизмом. Поэтому для завершения доказательства теоремы 2.1 рассмотрим разность бп между стабильным отображением &;ir2BU-—BU и указанным выше отображением букетной суммы псевдоспектров Тома.
§ 2. AU°(X)f ASp°(X) и их связь о кобордизмами 75 В предложении 2.9 ниже будет показано, что Sn:2T2BU(h)—— BU(n+l) можно выбрать в виде отображения, переводящего двукратную надстройку над 2t-MepHHM остовом в (2t-2)-Mepradt остов. Отсюда вытекает, что в процессе предельно перехода, при помощи которого определяется группа AU°(X) у каздый элемент группы [22MX,MUf!c)} в конце концов отображается в такое слагаемое группы {S^^XjBCJ}, на котором yv является мономорфизмом. Значит, (jv должно быть мономорфизмом. Доказательство теоремы 2.1 будет реализовано в виде ряда результатов согласно следующей программе. Б лемме 2.7 будет вычислен гомоморфизм в гомологиях, индуцированный стабильной эквивалентностью 9П . Этот результат будет использован в следствии 2.8 для доказательства того, что отображение $ индуцирует нулевой гомоморфизм в гомологиях. А это в свою очередь позволит показать, что 5П можно продеформировать в отображение, описанное в предложении 2.9. Наконец, в пункте 2.И доказательство теоремы 2.1 будет завершено. В пункте 2.12 дан набросок доказательства теоремы 2.2, которое в общем совершенно аналогично доказательству теоремы 2.1. 2.6. Итак, сначала нам надо вычислить гомоморфизм в гомологиях, индуцированный стабильной эквивалентностью \)п из пункта 2.3. Напомним, что H*(BU;z) является кольцом многочленов 2[р19рг,;..], где jit - образующая группы H2t(BU(l);2) (см. [AdI, с. 47] ). В качестве базиса группы целочисленных гомологии пространства BUfn) можно взять мономы jb.®...®£t , где Un . Привлекая каноническую проекцию BU(n)-**fo(n), можно считать, что базис целочисленных гомологии пространства MU(n) образуют мономы вида *ч«--- ®J4n 2.7. Лемма. В терминах описанных в предыдущем пункте базисов групп гомологии, стабильное отображение из пункта 2.3 о : BUfn) -V MU(fc) индуцирует гомоморфизм, задаваемый формулой Доказательство. Так как ^jBU^n-l)*^ , доказательство можно провести индукцией по t . Итак, предположим, что лемма верна для!»п . Стабильное отображение 9П разлагается в композицию
76 Часть II. Новая конструкция кобордизмив вида У FtQBUfl)/rt.eBU(i)« V BZ.zU(l)/bZ. гЩ1) - V BU(fe)/BO(fc-i). Ufcin Здесь QpUCD-^TlI^BUfOjT^) - трансфер, ассоциированный с каноническим расслоением тп: ЪИпг\](1)-+ЪЩп)9ъ ~ - стабильная эквивалентность, построенная в [SnI, теор. 3.2]. (Отображение ^ уже рассматривалось подробно в § 1.4.) Класс гомологии РхР*»ЯР1л принадлежит образу гомоморфизма H4(£Tn;Z)-^H/BU(n);Z)? индуцированного вложением максимального TopeTncU(n). Как было показано в пункте 1.4.6,компонента класса ($п) (pi®--®jbi ) в Hj(MU(n);Z) совпадает с классом jij®...® ja. . Следовательно, остается лишь показать, что класс (VU (ft® •••*£• ) имеет нулевые компоненты в H#(MU(fc);Z) Для i*k<n . Л Воспользуемся тем, что имеет место коммутативная диаграмма стабильных отображений ВТП—Ш(п) т BZn2U(l) в которой отображение BTn-*B2^fcU(l)индуцировано каноническим вложением тора Тп в сплетение 2n^U(l). Комь^утативность этой диаграммы устанавливается при помощи методов, описанных в § I.I (см. [В-М] ). А именно, в примере I.I.24 было построено Тп-экви- вариантное векторное поле />v на U(n) / Лп г U(l) , множество особенностей которого состоит из одной-единственной точки. Используя это поле, предложение I.I.2 и результаты пункта I.I.2.I, а также рассуждения из пункта I.I.9, убеждаемся в коммутативности диаграммы. Доказываемый результат следует теперь из теоремы 1.2 при t = «л . 2,8. Следствие. Ввиду существования стабильной эквивалентности -^-Вииз пункта 2.3 ивдуцирует стабильное отображение $п из леммы 2.7 можно считать, что стабильное отображениеerZBU V £2MU0O—^ V MU(fc), UrU<
§ 2. AU°QOt ASp°(X) и их связь с кобордазмами 77 Обозначим через у, композицию (Это отображение уже обсуждалось выше в пункте 2.3, и оно с точностью до 9 -автоморфизма совпадает с каноническим отображением комплексного спектра Тома.) Тогда стабильное отображение 5п * е - jl л>, индуцирует нулевой гомоморфизм приведенных групп гомологии Н^ и комплексных бордизмов MU*. (Первое и последнее отображения в композиции, задающей у., представляют собой канонические вложение и проекцию соответственно.) Доказательство. Рассмотрим лишь случай групп гомологии, так как случай групп бордизмов MU* совершенно аналогичен. В терминах базиса групп гомологии, описанного в пункте 2.6, гомоморфизм (Ве1ви),: H+(S2xBU)— RjbU) переводит класс гомологии d&Pi ® •-•$£{,,в ^•^•..ЛД . Здесь ё - образующая группы HZ(S*) \ Следовательно, Гомоморфизм е* действует так же. Поэтому, согласно лемме 2.7, отображениями у; исчерпываются все компоненты отображения £ , индуцирукщие ненулевые гомоморфизмы в гомология!, откуда и следует наше утверждение . 2.9. Предложение. Пусть BU(п)тобозначает m -мерный остов пространства BU(n) . Тогда для любых n , m^l существует стабильное отображение 5'п : Л2Ъи(п)—-^BUCa+1), такое что (t)on* 5п , где 5П - стабильное отображение из леммы 2.8; (U) $'п отображает XzbU(n)2m в BUfn>i)2Trw2 . Доказательство. Хотя отображение ь из следствия 2.8 отображает пространство X2bU(n) (рассматриваемое как букет двукратных надстроек над пространствами Тома) в BU(rn-l) , тем не менее S^e-^^.отображает H2bU(n) в стабильное слагаемое BU(n) пространства BU(n+l) . Клеточное разбиение пространства BU(n) состоит из одних четномерных клеток. Согласно теореме о клетот-
78 Часть II. Новая конструкция кобордазмов ной аппроксимации [Sp], можно считать, что §п переводит 3Z2W(ti)Zm в BU(n+l)2m^2 • Р&ссмотрим изоморфизм Гуревича [Sp] Используя функториальность гомоморфизма Гуревича и тот факт, что отображение 5п индуцирует нулевой гомоморфизм (£д}#в гомологи- ях, получаем, что это отображение $я на каждой клетке старшей размерности остова X2Bt/(n.)2m может быть прогомотопировано (относительно границы клетки) до отображения в BU(ii*l)2m . Следовательно, ограничение ?п на остов HzBU(n)Zm может быть прогомотопировано (относительно 2I*EUfa\m-2 ) до отображения в остов BC7(n+l)2m . Это дает на 2T2BU(h)2m отображение &£, гомотопное отображению 8п , и, согласно теореме о продолжении гомо- топии, 8£ может быть продолжено до клеточного отображения о^7 заданного на всем 212bU(n) и по-прежнему гомотопного отображению 5п . Рассмотрим отображение 8^:X2BU(n)lm-+-BU(n+i*)2m. Оно индуцирует нулевой гомоморфизм в гомологиях, и, используя те же рассувдения, что и выше, мы найдем отображение 8%: ZzbU(n)2m —4BU(n-i)2m-, такое что К'~§п и К отображает 22BU(h*l)2m.2 в Ви(п+4)2т-г • Снова по теореме о продолжении гомотопии отображение £*' может быть продолжено до клеточного стабильного отображения, заданного на всем 2T2BU(n) и гомотопного отображению 8п. Рассмотрим следующую гомотопически коммутативную диаграмму 3 -отображений, в которой строки описывают корасслоения: ^BU(n)2m.2-I2BU(n)2m^VS^ (2.9.1) *п % 2т+2 BU(n + 1)2rn_2-BU(n+l)2m-VS( 2т Если показать, что отображение Л(п,т) из этой диаграммы стабильно тривиально, то доказательство будет завершено. Таким образом, если бы мы локализовали в нечетных простых числах нашу S-категорию, то сразу же и получили бы доказательство, так как все стабильные отображения ввда V &%** — VS«,m имеют порядок 2 (см. [т] ). 2,10, Итак, остается лишь рассмотреть (2)-локальную ситуацию. Мы сделаем это за несколько шагов.
§ 2. AU°(X), ASp°(X) и их связь с кобордизмами 79 2.10.1, Начнем с обозначений пространств, которые будут участвовать в доказательстве. Представим пространство БТП = ('BS1)n в стабильной категории в виде букета Здесь W; - букет всех смэш-произведений BS^.^aBS1 (j раз), фигурирующих в разложении произведения (33i )п в букет смэш- произведений его сомножителей. Рассмотрим канонические 5-отображения ои(},п):Щ — Ьи(п), представляющие собой композиции вложений V^^BTn с отображением ВТП—*-BU(a), индуцированным вложением максимального тора Тп в U(n). 2.10.2, Лемма, Если HJ ^п , то S -отображение гомотопно отображению в точку. Доказательство .Используя пример 1.1.14 и методы § 1.1, можно показать, что трансфер t^jBU —*-QBU(i), ограниченный на ВТП при помощи отображения BTA-^BU(n)-*~BU , гомотопен каноническому отображению ВТП —^В2пг U(i)-~QBU(l). Поэтому из рассмотрения S-отображения ^^ » расщепляющего пространство BU(n) (см. § 1.3), вытекает, что $ -отображение £*W; Я*В1Г(п) -BU(n+l) о (здесь & то же, что и в пункте 2.8) гомотопно композиции 2*Wj = S*a W^BS^W^W^! «Ц+'^+Ч Bt7(n+0. Но в обозначениях пункта 2.8 эта композиция совпадает с ограничением на 2I2Wj, отображения ^ , и 2^Я£~21*1Й.» поэтому ограничение £п на 2I2W^ гомотопно отображению в точку. Используя теперь рассуадение теории препятствий из пункта 2,9, убеадаемся, что деформация 8£° об(^ ,п) отображения 8n°oL(j,n) в пределах требуемого остова может быть доведена до отображения в точку. 2.10.3, Лемма. Пусть rj - образующая группы %\($°)-Х/2ъ РА: X2BU(n)2m—*-S|m* - отображение, индуцированное правым ото-
80 Часть II. Новая конструкция кобордазмов бражением из верхней строки диаграммы (2.9.1), Тогда существует такое j. , что квадрат Стинрода Scj2 детектирует композицию Доказательство. Операция Scf действует нетривиально в когомологиях конуса отображения /] (см. [Т] ). Поэтому, ввиду того что р^ индуцирует мономорфизм в Z/2-когомологиях, $(\г нетривиально действует и в когомологиях конуса отображения y] ° pfi. С другой стороны, известно, что сумма (в группе стабильных гош- томических классов отображений) И2(<^(} ,п.))детектируется в mod 2-когомологиях пространства HzBU(n)2Tn ; поэтому по крайней мере одна из композиций Ц° fy* %2(o(,(j , n))} 14 j 4 n , должна детектироваться операцией S^2 . 2Л0.4. Завершение доказательства предложения 2,9. Предположим, что для некоторых о^ и ft0 существует нетривиальная композиция *K>JV'4 е js* ¥3«< — Ч * Такая композиция должна задавать стабильный гомотопический класс ^2€jjr|(S°) . Покажем, что отображение '5(o&0,j&0) не может быть нетривиальным, применив хорошо известное рассуждение, принадлежащее Адему [Т, с. 84, пример 3], при помощи которого доказывается, что rjz^0 . Выберем j , как в лемме 2.10.3, для j5 =jb0 и рассмотрим композицию ЧЦ) Ып "jb0 rt 2т+2 q^ q2m+i q q2m где А=/)^ «£*(<£(^п)). Эта композиция гомотопна отображению 8£о %гос(},п) , которое, согласно лемме 2.10.2, гомотопически тривиально. Следовательно, можно построить пространство Так как операция S<^2 действует нетривиально в когомологиях пространства S£mUe2m*£ и, кроме того, детектирует 5-отображение из леммы 2.10.3, то мы получаем, что операция Scf Scj2 нетривиальна на целочисленном классе, порождающем группу H2?n(b;Z/2).Ho это невозможно, ибо имеет место соотношение Адема
§ 2. AU°(X), ASp°(X) и их связь с кобордизмами 81 3q2Scj2 = S^S^1 , а операция 3<)* действует нетривиально на целочисленных классах. Доказательство завершено. 2Tii. Доказательство теоремы 2.1. В пункте 2,3.1 уже было доказано, что преобразование Фу корректно определено. Далее, мы знаем, что каждый класс из MU2*(X) содержится в группе ТТ ми2е(х) = П ми2,с(£2Мх) для некоторых Т и М , удовлетворяющих нераве 'ву Л Ti> 2М+dimX. Согласно теореме 1.4Л, ограничение гомоморфизма <$>v на слагаемое {Г2МХ,Ш/£иСМ)}группы {Z2mX,W} является изоморфизмом на группу П <MVZk(Z2MX), если 4T*2m + dimX. Следовательно, Ф0 - эпиформизм. Пусть теперь f в {X, Выявляется представите тем элемента FeAU°(X) , такого что $> (Т)=0 . Существуют та jje п и t, что стабильное отображение £ можно считать "пришедшим1* из группы {х,ви(п^}*$£{х,миоой}. Положим f =21^ f где f ^е. £Х ,MU(k) [. Вычисления, проведенные при доказательстве следствия 2.8, показывают, что каждое $к (стабильное отображение из этого следствия) индуцирует ну^вой гомоморфизм в MU*-теории. Отсюда легко вытекает, ччюФ^-Е^-О для всех к , ибо $u(ffe)eMU2 (X). Поскольку Фи задается применением гомоморфизма £* (=5=2I, Vf согласно следствию 2.8) к каноническому классу из группьг ^MU2k(MU(2fc)), a vjf может действовать нетривиально только на f * , без ограничения общности можно считать, что £ =* fа . Далее, по индукции, мы можем предположить, что для всех Y и £e{Y,MU(m)25} справедлива импликация 4)u(f) = 0 =^ F*0, если выполнено одно из условий (I) S< t , (it) dimY-4rn< dimX~4n. Рассмотрим теперь путь, который проходит элемент fepC7MU(h) } в процессе предельного перехода, определяющего группу AU°(X). Образ е^ (£)<={£ ^X^BU} элемента f равен
82 Часть II. Новая конструкция кобордазмов Наличие такого разложения для элемента &#(f) вытекает из того отмеченного ранее факта, что оп отображает пространство Z2BU(n) на самом деле в BU(n) , а не BBU(n+i) . Согласно предложению 2.9, элемент (Ьп)# (i) является образом элемента из группы {Z2X,BU(ri)2i_2} , который переходит в пределе в нулевой элемент, ибо выполнено (i ). Далее, ()>п)#(£) тоже Дает в пределе нулевой элемент, ибо dim.E2X-4ri-4< dimX-4n , т.е. выполнено (и). Это позволяет провести шаг индукции. Начальное предположение индукции выполняется, так как группа {Y,BU(m)0} , очевидно, тривиальна, а согласно теореме I.4.I гомоморфизм Фу на группе [Y,MU()rO} является мономорфизмом, если diraY^4m . 2Л2. Набросок доказательства теоремы 2.2. Симплектический случай полностью аналогичен комплексному, поэтому подробности мы предоставляем читателю. Теория препятствий, аналогичная рассмотренной в предложении 2.9, в этом случае проще, и проведенные рассуждения позволяют построить деформацию отображения $п : S^BSpfn^^BSpft+O^^ Д° отображения в Ъ$р(п+1)<т-+9 поскольку препятствие к такой деформации лежит в группе it^S0), равной нулю, в отличие от группы ж£(30) , в которой лежат препятствия в комплексном случае. § 3. СПЕКТРЫ 4U и ASp В этом параграфе строятся два мультипликативных спектра AV и ASp (см. пункт 3.2) и доказывается следующий результат. ЗЛ. Теорема. Существуют мультипликативные спектры AU и ASp (явное описание которых дано в пункте 3.2), обладающие такими свойствами.т Пусть AU*(Xl и ASp*(X) - кольца обобщенных ко- гомологий, соответствующие этим спектрам. Тогда (а) если dtmX<oo , то AU°(X) и ASp°(X) функториально изоморфны группам, описанным в теоремах 2.1 и 2.2 соответственно; (б) функториальные преобразования Ф^: AU°(X)^MQ2*(X) и jg :ASp°(X)-+~M.Sp4*(X) из теорем 2.1 и 2.2 определяют кольцевые гомоморфизмы, которые являются изоморфизмами в случае, когда dim X < «5. Необходимые сведения о спектрах читатель может найти в работе [AdI, с. 131 и далее]и, конечно же, в классической работе
§ 3. Спектры AU и ASp 83 [W]. Отметим, что £ пункте 3.6 будут вычислены алгебры гомологии спектров AU и ASp . 3.2. Определение, Пусть AU2fc-22BlJ , Ь1 , и b:X2ATJzk^AU2^2 - отображение из пункта 2.3. Пусть, далее, /j:S^-*-£2BlbAU4 - отображение, задаваемое элементом /i=Z2B , где B€5r2(BU) то же, что и в § 2. Ука*. чнный набор данных определяет спектр AU с единицей л . Аналогично пусть ASp^I^BSp , fc^l, и s'rZfASp^-^ASp^^ - отображение из пункта 2.3.. Пусть, далее, jj^S^B'.'S* -*\ASp? , гдеВ'еЯ^ГВЗр) то же, что и в § 2. Указанный набор данных определяет спектр ASp с единицей qf. Определим теперь спаривания AUaAU-^AU и ASp a ASp -*• ASp. Для этого достаточно (см. [AdI, с. 158; WJ)задать отображения т :AU2p лАЦ^ ~ЩР+^ о mVASp^AASp^ -ASp<p+4(f, удовлетворяющие некоторым свойствам, которые мы будем формулировать по мере надобности. Отображение m определяется следующим образом. Пространство ALL a AUL представляет собой произведение S2aBUaS2a BU , которое гомеоморфно произведению BUaZ2(SzaBU) f получаемому из него перестановкой первых двух сомножителей. Пусть ZH - отображение Хопфа из пункта 2.3. Имеет место вложение 1л ZH : BUaS2(52aBU} —BUaZ2(S2xBU). Используя опять перестановку сомножителей, получаем, что пространство ВиА22(З^Ви)гомеоморфно пространствзЛ22(ВиА(£2хВи)), которое при помощи отображения Хопфа вкладывается в пространство Z2(BU*S2xBU). Отображение m задается в виде композиции описанных отображений и двукратной надстройки над отображением lbu©B®lBlj:BU*S2xBU— BU. Отображение т! строится совершенно аналогично. 3.3. Замечание, Может показаться, что при определении отображения m первый экземпляр S2 в произведении S2xBU*S2*BU находится в более привилегированном положении по сравнению со вторым. Однако это не так - с точностью до гомотопии мы могли бы с тем же
84 Часть II. Новая конструкция кобордазмов успехом использовать и второй экземпляр З2, ибо отображение, переставляющее сомножители в 32а S2 , гомотопно тождественному. 3.4. Доказательство теоремы ЗЛ. Мы дадим доказательство лишь для комплексного случая, предоставив рассмотрение аналогичного симплектического случая читателю. Заметим прежде всего, Что AU , очевидно, является спектром и потому определяет группы когомологий [AdI, с. 196] AU'(X) « fim[Safc^X,AU2Jc]= От [Z21c^X,22BU] Для j. = 0 и dlmX<o© этот предел с равным успехом можно брать по последовательности групп стабильных гомотопических классов, поэтому из факта стабилизации этой последовательности вытекает функториальный изоморфизм группа, стоящая справа, есть AU°(X) (см. § 2). Для доказательства того, что AU является мультипликативным спектром с единицей, нужно проверить гомотопическую коммутативность следующих диаграмм: ( i ) (спаривание) £AU2p AAU2q" ел 1 ~AU2p + 2 AAUzq IZ(AU2p A AU2q) "lJn-I2AU2p+2q 2p+2q+2 здесь X - канонический гомеоморфизм; (it) (ассоциативность) AU2p a AU2q a AU2r ГЛА1 AU2p4-2q AAU2r ~AU2p AAU2q+2r m T -* AQ2p+2q+2r
§ 3. Спектр! AU и ASp 85 (Lit) (коммутативность) AU2p л AU2q AU2q AAU2p AU2P+2q здесь T - отображение перестановки сомножителей; (Iv) (единица) Sf л S2 л Щ? =* S* a AU2p ПЛ1* AU4 л AU2p 1A£J Jm S2 AAU2p+2 ' ^AU2p+4 Гомотопическая коммутативность всех этих диаграмм проверяется без труда. Нужно просто использовать ассоциативность и коммутативность суммы УитниВи*ви—-BU, ассоциативность конструкции Хопфа и замечание "3.3. Подробности мы опустим. Вввду функториальных свойств умножения, для завершения доказательства достаточно теперь показать, что Фи(Г)® Фа(а) = ^(FaG^MU^XaY), где F<=AU°(X),qfeAU°(Y). Пусть <5eMU2(;32) - класс надстройки, так что изоморфизм надстройки задается умножением на 6 . Обозначим через Ф/ )«. компоненту преобразования Фтт со значениями в 2t( ). Пусть F и 0 представлены отображениями fe[S2fcX,H2BU] g[2*cY,Z2BU]соответственно. Тогда элемент ^(F^eMU^fX) соответствует классу f*(^®ct+w)6MU2t+21c(l!2kX) , a %(G)2$ ~ классу ^(rffcCg^). Аналогично элемент ^(FaG)^ соответствует образу элемента <*всу+к^в группе MU^^^^fZ^^^npn гомоморфизме, индуцированном отображением H2fcXASzeY *А?> Z2BU*2aBU S2(BU х S2x BU) ***»•»•'во> z2BJ (Здесь неименованное отображение представляет собой композицию отображений Хопфа, описанную в пункте 2.2.) Легко вычислить, что
86 Часть II. Новая конструкция коборжзмов этот образ равен Устремляя теперь I и к к бесконечности, получаем формулу 3.5. H^AD;2)HHttfASp:Z) . Пусть Н* обозначает группу сингулярных целочисленных гомологии. Тогда, согласно определению, группы гомологии спектров AU и ASp равны соответственно H^(AU) = UniH>+2fc(AUafc), H^ASp)» umHj^tfASp^). Пусть х«Яа(<ПР*7и x'eH^fflP"")- образующие групп когомологий. Определим классы гомологии foe JL.fCP*0) та. p'^HAW) формулой •4fcW*, .^4 = J1' если i = fc' (j^(*')>f>rx> = О в противном случае. При посредстве канонического отображения (ЕР^ВиМ-^ви класс fij определяет }шьсс fr&K (3V)zHZj+z(AV}, который в свою очередь определяет класс fc^JWAU). Аналогично класс- д- определяет класс а-е H4-(ASp). 3,6. Предложение. Имеют место кольцевые изоморфизмы HJAU) * 2[^,^,рг>^...], Доказательство. Достаточно провести доказательство для комплексного случая, так как для симшгектического случая оно совершенно аналогично. Имеются два умножения, одно в H#(BU) , а другое в HJAU). Как уже отмечалось в пункте 2.6, HJBU)^^,^,...]; произведение элементов а и 6 в этом кольце будем обозначать через оЬ . Произведение элементов a ,6eH*(AU) будем обозначать через а* 6. При помощи изоморфизма надстройки отоздествим H^(AU2fc)cH; 2^- Рассмотрим отображение m : ACJZfcAAU2—AU2fc + 2,
§ 4. Операции Адамса в Ш- и AU-теориях 87 введенное в пункте 3.2. Пусть a^6eHs^(AU2fc)®Hti.2(AU2)^H/BU)®Ht(BU). Тогда т^(а ® Ь) соответствует элементу AQ6£H^t.2^)^Hs+t+4(AU2k+2t) (поскольку класс надстройки при отображении В: S2—*~BU переходит в д) . Из диаграммы (tv) пункта 3.4 видно, что гомоморфизм &#: НЛ%2А'игк)'-*~ЩА1)2^2) соответствует умножению на рх в H^M(BU) йТН^(Е2А%). Следовательно, предел группHj(AU) берется по последовательности мономорфизмов, а потому он равен объединению образов групп Я}+2к (AU2fc) * Hi+2k-2(BU). В этом пределе группа Н^.(АЬг)образует подкольцо, изоморфное кольцу Z[j317jb2,..,]=H^(BUi Действительно, произведение элементов aeH^2(AU2) и 6«Ht+2(Alpравно а*6»да6еН5+м(Аи4), т.е. принадлежит образу элемента ab е Hg+t^ САф е Hg+t (BU). Для завершения доказательства теперь достаточно показать, что при всяком к>{ элемент * =&& - Л*«н,он» * Hs+2(AU2k)cHs+2."2feaU) лежит в кольце2[^1?р^1,р;г7Д7-|].Здесь возможны три случая. Случай (а): £± = £. В этом случае z равен образу при гомоморфизме &* элемента p£zz... ffi е Hs (AU2fc.z) ~ Hg_2 (BU), Случай (6): £ £ 2. В этом случае z-ft4*z', где z'-ft?*~2e?*... Случай (с): &t = 0. В этом случае элемент fii*^i* ...*р *z (t-i сомножителей ft. ) равен z"=rft^.,.ftffteH/AUJn поэтому 2 s(fit J * 2 • § 4. ОПЕРАЦИИ АДАМСА В МО- К AU-ТЕОРЙЯХ В этом и последующих трех параграфах мы опишем ряд хорошо известных явлений теории кобордизмов в терминах AU- и ASp-теорий. В настоящем параграфе будет показано, как операции Адамса в К-тео- рии пороадают функториальные эндоморфизмы градуированного кольца AU*( ). При изоморфизме ^ из § 2 такие когомологические AU-операции переходят по существу в операции Адамса в теории кобордизмов [No ]. Эта взаимосвязь когомологических операций более точно будет описана при доказательстве следствия 4.3.
88 Часть II. Новая конструкция кобордизмов Пусть KU°( ;Л) обозначает К-теорию с коэффициентами в кольце с единицей А . Представляющим пространством этого функтора является Н-пространство BUA. По традиции пространствоBUZ мы будем обозначать просто через BU. Операции Адамса ^fc:KU°( ;Л) -KU°( ;Л), ЫЛ, представляют собой хорошо известные функториальные мультиплика- тивные преобразования [Ad4; At2J , индуцируемые Н-ютображения- миуь:ВиА-Ч5иА. Значения 1с, для которых определены цк, зависят от кольца Л. Например, если^сЛ, то операции ^определены для всех1ее2; еслиА=2/р, то ^fc определены для к , удовлетворяющих условию (1с,р)= 1 [Май]; если A=Zp(кольцо целых р-ади- ческих чисел), то ф*определены для всех ke£p [At - Т]. Результаты § 3 переносятся на случай коэффициентов из А . А именно, положим AUA>(X) = ^{Z2N~>X;BUA} "ЧГ J по аналогии -с определением АШ(Х). Существуют функториальные кольцевые гомоморфизмы (приА = 2р или Ac Q ) (4.1) % : AUA°(X)-—-MUA2*(X), являющиеся изоморфизмами, если dLLmX<<*\ 'Это вытекает непосредственно из теоремы ЗД в случае, когда X=SM, так как AUA°(SM) = AU°(SM)®A, MUAZ*(SM) = MU**(SM)eA. В общем случае читатель может провести доказательство сам, воспользовавшись индукцией по размерности клеточного разбиения X. Сформулируем основной результат этого параграфа. 4.2. Теорема. Предположим, что операция Адамса ij/fc:BUA>BUAonpe- делена и1/<с^А . Тогда цк индуцирует описанным в пункте 4.4 способом функториальный градуированный кольцевой гомоморфизм Vfc : AUA*( ) -AUA*( )у такой что , (а) У*У£ =yfcC; (б) эндоморфизм группы MUA2*(S2^ заданный формулой ф^оУ^вф"1 f совпадает на группе MUA2t(S*N)teiZ с эндоморфизмом
§ 4. Операций Адамса в Ш- и AU-теориях 89 умножения на kN г (здесь Ф^ - гомоморфизм из теоремы ЗЛ, рассматриваемый с коэффициентами в Л , как в (4.1)); (с) если weAUA°(CPVтакой элемент, чтоФ^Ьс^еМШ2^, где и - расслоение Хопфа, а с (и) есть з -й класс Коннера - Флойда расслоения ц , то ф (yk(W)) = Пс,(ик/к)6МиЛ2*((ПРт). В § 5 будет дана общая конструкция функториальных мультипликативных преобразований функтора AU ( ), из которой, в частности, можно получить и конструкцию операций 4f^ . Тем не менее в этом параграфе мы дадим независимую конструкцию операций У с несколько иной точки зрения, позволяющей с большими удобствами провести необходимые вычисления. Операции У^ будут построены в пункте 4.4, а доказательство теоремы 4.2 будет дано в пункте 4.10. Прежде чем приступить к реализации этого плана, воспроизведем построение операций Адамса в теории кобордизмов.^ 4.3. Следствие. В условиях теоремы 4.2 существуют функториальные градуированные кольцевые гомоморфизмы Чк: MUA*( ) -MUA*( ), такие что , (а) ¥кеЧ/£ = Ук ; (б) эндоморфизм У совпадает с эндоморфизмом умножения на 1с ^"* ; (с) еслис1(у)еМ11Л2((СРво) - первый класс Коннера - Флойда расслоения и , то Доказательство. Вввду естественного изоморфизма AUA ( )=AUA ( ) мы можем отождествить соответствующие функторы и рассматривать функторAUA°( )®AUA1( ) как Z/2 -градуированную мультипликативную теорию когомологий. Тогда Фу индуцирует функториальное мультипликативное преобразование <PV : AUA°(' )sAUAir ) -MUA*( ), которое является изоморфизмом для всех конечномерных пространств.
90 Часть II. Новая конструкция кобордизмов Пусть dlmX<oo и x€MUAn(X). Определим ¥к(х)бМи^Х)как образ х при следувдей композиции гомоморфизмов: милп(х)с мил*ро %оЦГ °^ mua*(x)-^mua"(x) ( 9ГЛ - проекция на п-мерную составляющую). Суть дела здесь в том, что Фтто Vfeo*"1(x)e Ф MUAS(X), так как функториальный кольцевой гомоморфизм, удовлетворяющий условиям (а)-(с) теоремы 4.2, не может понижать размерность, но могут существовать ненулевые компоненты размерности э>п, и, для того чтобы ввести градуированный гомоморфизм, нужно "пренебречь" этими компонентами. Поскольку Ф e¥fe« Ф~* является функториаль- ным кольцевым гомоморфизмом, таковым же будет и построенный гомоморфизм У . Операцию Ук можно продолжить на комплексы произвольной размерности, воспользовавшись стандартным рассуждением с предельным переходом (пример такого рассуждения предоставлен, скажем, в книге [AdI, с. 10]). Свойства (а) и (6) операций Vfc непосредственно вытекают из утвервдений (а) и (&) теоремы 4.2. Свойство <с) следует из соответствующего, утверждения теоремы 4.2 и формулы 4,4. Построение операции УЬ. Так как1/кеА , то существует H-OTo6paHeHHe|fc*iVfc:BUA—^ВИА. На группе %z(bUA)sA гомоморфизм Ч/** совпадает с гомоморфизмом умножения на к , поэтому i, - тождественное отображение. Следовательно, имеет место го- мотопически коммутативная диаграмма ВФ1вил (4.5) U х вал S2 х вил ■ ве1й -вил к т -вил. Гомотопически коммутативна также и диаграмма (4.6) х4ъил 1% IH. -1г($г* BUA) 1%г*1ь) tW-^Z^BUA)
§ 4, Операции Адамса в Ш- и AU-теориях 91 Z4BL Х2ШЛ2М -^АиЛгк1+2 = ,4S - 9 ' 6 * Z2AUA2K| -^»AUA2M+ г Z2BU где ZH - отображение, описанное в пункте 2.3. Комбинируя диаграмму, полученную из (4.5) при помощи двукратной надстройки, с диаграммой (4.6), получаем гомотопически коммутативную диаграмму (4.7) Из диаграммы (4.7) видно, что композиция сХ2^ индуцирует функториальный градуированный аддитивный эндоморфизм функтора AUA*( ), который мы далее будем обозначать через Ч!к. 4.8. Представляющий спектр для функтора MUA2*( ). Обсудим теперь функтор MUA2*( ) и преобразованиеФУ:АШ?( b^MUA2^ )в терминах некоторого спектра EUA, такого что EUA°( )=MU2*( ). Мы зададим этот спектр в виде букета надстроек над спектром Тома MUA. Целью обсуждения будет получение информации, необходимой для описания в AUA -теории канонических классов из MUA-теории и гомоморфизма Фу в гомологиях. Положим 2Jc iin 2n -> ' где MUA2ri есть 2n-e пространство спектра MUA. Определим структурное отображение ^:S2EUA2fc-^-EUA2fc+2как букетную сумму структурных отображенийZ2MUA2-—»~МЦА2а+2спектра Тома. Тогда EUA°(X) ~ Om[XMX,ZUA2J м s Ьт 9 [Z2MX,MUA,J - Qm& MUAzk(X) = HVA2*(X). Пространство M-UA^ является слагаемым пространства EUA2fc, и поэтому спектр MUA можно каноническим способом представить в виде подспектра спектра ЕШ. Функториальное преобразование Фи:АиЛ°( )— MUA2*( ) индуцировано отображением спектров AUA—^EUA.
92 Часть II. Новая конструкция кобордазмов Опишем теперь канонический элемент WcAUAfCTP*0), ограничение которого на (СРТ охарактеризовано в теореме 4.2, (с). Существует каноническое отображение CP^*BU(i)^JBU-+BUA, двукратная надстройка которого у'е[2яСР~,АШ^дает класс we Аил°(СР°°). Далее, композиция [ Z% <ПР~ AUAZ ] —AUA^CCP00) -i^EUA^P00) переводит W; в ТД^')#(с^),где c'keMU + (AUA2)- образ fc-го класса Коннера - Флойда с^ при изоморфизме надстройки. Ео (w') (c't)s0 для 1с> 1 . Следовательно, класс Ф (w) представляется композицией отображений S2(nP°°-^MU(2)-^.MUA4c: EUA4 , где MU(2) = MUZ, & - структурное отображение спектра Тома и р - отображение, индуцированное коэффициентным гомоморфизмом Z-**A . Эта композиция представляет тот же класс, что и композиция (ЕР°°~ Ми(П-Д—MUAacJLUAa. Следовательно, класс Фи(\^) равен каноническому элементу c^yJeMUA^P00). Займемся теперь изучением индуцированного гомоморфизма (*„)#: H.(AUA) -H#(EUA). Пусть j^eH^fCP0*)-элемент, введенный в пункте 3.5. Из работы [AdI, с. 51, лемма 4.5] известно, что если ТО H#(MUA)aA[61,6„...] (6,-1). Следовательно, H#(EUA)s Afu.u-Sb,,^,...], где ueH (EUA)- класс, представителем которого является ieH0(MUA2)cH0(EUA2). 4.9, Лемма, В обозначениях пунктов 3.5 и 4.8 гомоморфизм (*„),: H#(AUA)—HJEUA)
§ 4. Операции Адамса в Ш- и AU-теориях 93 задается формулами Доказательство. При доказательстве предложения 3.6 было установлено (см. случай (с)), что представителем класса jb\*eH.2(AUA) является i<iH0(DU)^H2(AUA4). Так как этот класс соответствует отображению £2(TP^Z2BUA=AUA,,to из описания класса v , данного в пункте 4.8, следует, что (%)Jf^) представляется классом ^(l)€HaCMUA4)cHafEUA4), где е*: Н0 (MUA2) —*- HJMUA4) - гомоморфизм, индуцированный структурным отображением спектра Тома. Следовательно, представителем класса (%)Jff ) является leH^MUA^H^EUA^), и поэтому Далее,]Ь;еН2:(виЛ)*Н^+2МиА4)служит представителем произведения £>, + р'*v Вычисления, аналогичные уже проведенным для класса (ФыК1) » показывают, что представителем класса ($v)+(Aj ff) является класс (ci^))J^)eH2j(:MUA,)cH2.(EUA2). Следовательно, ( %\(-fii ft1) - Ь^{. 4Л0. Доказательство теоремы 4.2. Сначала докажем мультиплика- тивность преобразования Vk. Ввиду его функториальности достаточно установить, что если feAUA°(X)H geAUA°(Y) , то Yfc(f<))«* 4rfc(f)W1cf(3)eAUA0fXAY). Напомним (см. пункт 3.2), что структурное отображение т: АиАл ЛАЦА„ —*-АиАл „разлагается в композицию вида S^aBUAaS^aBUA — Z*(bUA*S**WA) **CW»b*W>, z2£l/< Так как^гВиА—-BUAявляется Н-отображением и индуцирует тождественный гомоморфизм на 9r2(BUA) , то (4.н) |fc-fibffAeB©W)e(W®B©iTOl).(Sfcxiga«gt). Комбинируя двукратную надстройку над этой эквивалентностью с го-
94 Часть II. Новая конструкции кобордизмов мотопически коммутативной диаграммой S2a вил a s2 л BUA—^12(ВЯЛ х S2 х вил) (4.12) 1$гл £кл ^2Л £к *2(£к* Vх w s2 а вил а $2Л вил-^12(вил х s2 * вол.) получаем эквивалентность из которой уже непосредственно вытекает мультипликативность преобразования Ц[к. Утвервдение (а) очевидно, поскольку точно такое тождество имеет место для операций Адамса в К~теории. На группе гомологии Н^(БЦЛ) гомоморфизм У^ действует как умножение на к1 , а гомоморфизм (§^.)* - как умножение на fc^"*. Следовательно, на группе H#(AUA) справедлива формула (У*%,(Д) «к^д. Используя теперь результат леммы 4.9, получаем (v^-<u*> f»i U если если х = U С другой стороны, из [Mi 3J мы знаем, что группа MU*(,S2 ) не имеет кручения. Поэтому гомоморфизм Бордмана - Гуревича h :EU°(SZI*) •^-H^(EU) является мономорфизмом. Пусть элемент x.^M.U2t(SZN)cE\J%S2H) представлен элементом группы [32^+2м,Ми(МЧ)]с[32Л'+:2мД^м]для некоторого М. Тогда элемент K(x)eH2W(EU) представлен элементом группы H2ffi.2MfMUCM^t)). Этот элемент должен иметь вид рц^, где р - многочлен степени2N-2t от \->&г7 -. • . Следовательно, Этим доказано утверждение (6) для случая A-Z. В общем случае надо воспользоваться еще тем, что произвольное преобразование ¥* строится из преобразований Wfc, отвечающих целым fc, и что группа MUA2t(S2>f) состоит из целочисленных классов. Осталось доказать утверждение (с). Из построения канонического элемента weAUA^CP00) (см. пункт 4.8) и определения преобразования Фу непосредственно следует, что *fT(ffcfw))- П (2^ о>/')*(сМеМиЛ^ЧХ2СР^),
§ 5, Проекторы в MU-и AU-теориях. Формула Хансена где с£еМиЛж*2$йви)и Vтакие же, как в пункте 4.8. С другой стороны, класс (S^^W^^^eMUA^^CS^P^cooTBeTCTByeT при гомоморфизме надстройки классу cfc(yVfe)^(!lfVy)/b)tct)€MUA2^P/TeopeMa доказана. § 5. ПРОЕКТОРЫ в MU- и AU-ТЕОРИЯХ. ФОШУЛА ХАНСЕНА В этом параграфе изучаются проекторы в AU-теории, а тем самым и в MU-теории. В предложении 5.3 описана общая конструкция, сопоставляющая каадому экспоненциальному функториальному преобразованию из К-теории в некоторую другую теорию h* функто- риальное мультипликативное преобразование AU-теории в теорию Я*. При помощи этой конструкции могут быть получены преобразования ^v из § 2 и YfcH3 § 4 (см. пример 5.4.3). Эта конструкция дает также проектор &(d):AUA*( )-*AUA*( )и эндоморфизм c^d):All/it )-+AU/?( ) для соответствующих колец (теорема 5.1 и предложение 5.5). Проектор e,(d) индуцирует в MU-теории проектор Адамса [Ad3, с. 107] , a q(d) индуцирует проектор Квиллена [Ml, с. 105]." Некоторые функториальные эндоморфизмы AU-теории, например операции Ш из § 4, можно построить, оставаясь целиком в рамках К-теории. Но есть эндоморфизмы, которые нельзя построить таким образом. Примером служит эндоморфизм Квиллена <^(d). Мне кажется важным подчеркивать, что можно получать в кобордизмах при помощи А17-теории без предварительного знания кольца jJr^(MU) или использования спектральной последовательности Адамса, ибо это указывает на возможность" аналогичных приложений ASp-теории. Например, операции Адамса в К0*~теории (равно как и в KSp*" -теории) дают операции Щ в ASp-теории. В случае проекторов ситуация следующая. Конструкция Адамса проекторов &(d) использует теорему Стон- га - Хаттори [Ad-L ; На; St2], которая в свою очередь была доказана с привлечением структуры кольца у? (M.U) или спектральной последовательности Адамса. Конструкция этого проектора, получаемая при помощи AU-теории , не говоря уже о том, что она устанавливает прямую связь c(d) с операциями Ч? , требует лишь знания проектора Адамса Et из К-теории. Конструкция проектора Et требует в свою очередь лишь некоторых несложных результатов теории чисел и К-теории [Ad3, с. 84-89] - и изобретательности! Формула, свя-
96 Часть II. Новая конструкция кобордизмов зывающая проектор &(d) с операциями Адамса, впервые была получена Идаром Хансеном. Сформулируем основной результат этого параграфа* 5.1. Теорема. Пусть сЫ - целое число. Обозначим через R(d) кольцо дробей а/6 , где 6 не делится на. простые числа р, такие чторг! (modd). Тогда проектор Адамса Е1 : BUR(d) -BUR(d) [Ad3, с. 89] индуцирует функториальный мультипликативный проектор V V* e(d): AUR(df( )— AUR(d)*( ), - обладающий следующими свойствами: (I) если р - простое число, такое чтор=1 (modi), то &(d) индуцирует преобразование 6(d) : AUZ*( ) -AUZp*( ), удовлетворяющее условию [e(d)(f)]d = П ^(f)eAU%°(X) (£zAUZ°(X)). (it) если ctim.X<ae , то композиция е: tAUR(df(X) —-MUR(d)*(X)^^4lUR(df(X)—MUK(df(X) совпадает с проектором Адамса [Ad3, с. 107]; кроме того, в случае р-адических коэффициентов, таких как в (1), е, удовлетворяет условию , e(f)d=n^(f) (feMUZp2n(X)). jsi Г Здесь об.,...5о^е Zp - набор различных корней d-й степени из единицы и У*?-операции Адамса из § 4. Доказательство. Я буду предполагать, что читатель знаком с конструкцией проектора E^BURCd^BUR^d) (см. [ Ad3, с. 84-89] jt Существование преобразования £(d) будет доказано в примере 5.4.3, (6). Этот результат можно получить также, используя метод построения преобразования у* , описанный в § 4. Этот второй подход, кроме того, позволяет сразу показать, что преобразование e(d) является проектором, ибо оно задается при помощи
§ 5. Проекторы в MU- и AU-теориях» Форл^ула Хансена 97 композиции с отображением r2Et : I2BUR(ct) - AUR(d)2N—AUR(d)^, a E1°E1^E1 . Непосредственно из определения проектора Е следует, что для гомоморфизма (Е,)#: RjbUK(d); Q)—HjBUR(d);Q) справедлива формула * R [0 в противном случае, где xn€H2n(£UR(d);Q)~ примитивный класс гомологии. Используя рас- суздения из пункта 4.10, получаем, что гомоморфизм £(d)# : Hfr(EUR(d);Q) —-HjEUR(d);(Q) задается формулой . / * I u*U„ о если а - Ы ? fc> О, М^/Ди Jn/ ~~ | 0 в противном случае, где yn€H£ri(EUR(d);(8)- примитивный класс гомологии, являющийся многочленом от Ь^ t L* 1 . Тем самым доказана первая часть утверждения (И), так как проектор Адамса полностью определяется своим действием на кольце Н^ (№R (d); (1})с Н# (EUK(d); ф ) Л Установим теперь связь проектора z,(d) с операциями Адамса. Ясно, что условие, фигурирующее в (tt), вытекает из условия, фигурирующего в (I), и следствия 4.3. Формула Адамса для Ej имеет вид [Ad 3, с. 89] Пусть представителем элемента f является стабильное отображение fc{Z^X,(AUZp)' }. Тогда представителем элемента (e,(d)({))* будет следующая композиция: 2гмаХ ^9 > Z2MXa...лZmX fA'"Af> 22BUZpA...aS2BUZp -^^ze(Buipo2x,>>xg^j3aip) #съ****-*Ц z2(buzp*...) ^z^dV(au2p)^.
98 Часть II. Новая конструкции кобордазмов Здесь отображение cliag, индуцировано диагональным отображением, <jt представляет собой композицию отображений Хопфа, как в пункте 2.3, а отображение <j2 индуцировано итерированной суммой Уит~ ни; наконец, в каждом из рассмотренных произведений пространств участвует по d экземпляров X или BUZ^,. Согласно формуле (5.2), отображение Z2(E1xls2x...) в этой композиции можно заменить на £2(§^*i$* *•..*£*)• Полученная новая композиция будет представлять элемент Ijfy** (f) • Это завершает доказательство. 5.3. Предложение. Пусть ol:KUA( )^к( )- некоторое функтори- альное преобразование со значениями в мультипликативной теории когомологий А*, удовлетворяющее следующим условиям: (О для любых f ? ^"бКиЛв(Х) oL(£+l)=4(£H(<}Uh*(X); (U) для класса ^ютта Вс.КUA°(S2) проекция элемента ы,(Ь) на приведенную группу h*(S2)равна dek2(Sz) , где d - образ единичного элемента группы К°(5°)при изоморфизме надстройки. Тогда об индуцирует функториальное мультипликативное преобразование об: AUA°( )-*h*( ). Если элемент F£AUA°(X) представлен стабильным отображением fe|Z2^X,AUA2V} , то где об рассматривается как элемент кольца /i^BUA). Доказательство. Прежде всего надо проверить, что приведенная формула корректно определяет преобразование об . Итак, элементу 7 , представленному стабильным отображением fejE^X^Z^BUA } , сопоставляется элемент fV®^)^*^^)^*"2^)^ другой стороны, можно считать, что F представлен также отображением s,(f)€{£^Xz*BUAJ> где z:ZZavAw-~AUAzh+z ~ отображение, описанное в пункте 2.3. При этом втором представлении элементу F сопоставляется элемент <3®f*(B*(*)®<*)=d®£*(d®*)*h*+2(Z2"+zX). Замечая, что после приведения к группе К (X) оба элемента, сопоставляемые 7 , равны меаду собой, заключаем, что преобразование об определено корректно. Покажем теперь, что преобразование об мультипликативно. Допустим, что стабильные отображения fe{Zz^X,XzBUA] и ^{Z^y^Blfj
§ 5, Проекторы в MU-иАЦ-теориях. Формула Хансена 99 представляют элементы TeAVA°(X) HfeAUA°(Y) соответственно. Тогда элемент ГС? по определению представляется следующей композицией : -Za(bwM *$Z*ZVA) ^W^W. z*BV. Следовательно, A(TQ)*(f*(}Y(<*&ot,®Z*(«)9oL)~£*(d®<*)e<}*(d®oO)=&(F)2,((f), 5.4.1. Пример. Определим гомоморфизм T : KUA°(X) —АС7Л°(Х) - tun {ZMX,AUAM}, N сопоставляя отображению f:X-**BUA отображение£^:2^-*ХгвиЛхАЦ\2. Ясно, что класс?(B)eAUA°(3a)sMUA2*(S2)coBiiajiaeT с классом двукратной надстройки изМиЛг(52}. Положим tf(f)-l*5f£). Мы утверждаем, что Р - экспоненциальное преобразование. Действительно, пусть элемент oeKUAa(Y) представлен отображением j:Y-*BUA. Тогда "элемент v(f+cj) представляется композицией вида Z4X>Y)^^£2(BUA*BUA)^^ (1) С другой стороны, элемент 9(f)"?(о)представлен композицией вида 2*Xa22Y Z*BUAaZ2BUA—^ Z*(BUA х З'х BUA)ZZ(W^&giBt;^ S*BUA-AUA4.(2) Здесь о' - отображение Хопфа, описанное в пункте 2.3. Легко видеть, что если ягх и я^ - проекции X*-X*Y-*Y, то композиция (I) представляет элемент Следовательно, Применяя предложение 5.3, получаем, что 1) индуцирует товдествен- ное преобразование функтора AUA ( У.
100 Часть II. Новая конструкция кобордизмов 5.4.2. Примет),Применяя предложение 5.3 к полному классу Коннера - Флойда _ 0и ч получаем преобразование^ из теоремы 3.1. Фактически можно аналогично построить преобразование AUA°( ) —*-h*( )ддя любой теории когомологий h*, в которой определен "полный класс Чженя" для комплексных расслоений с коэффициентами в Л (см. [Ail, с. 55] ). В случае h*=KU*это дает преобразование Коннера - Флойда [С - F]. Важным свойством преобразования Коннера - Флойда является то, что оно индуцирует изоморфизм MU*( )<vxuz -KU*( ) Ж/2 -градуированных кольцевых функторов [С - F], из которого, между прочим, в качестве следствия (довольно трудного) вытекает, как показал Вольфф|Уо£], теорема Стонга - Хаттори. Методы AU -теории позволяют получить новое доказательство комплексной теоремы Коннера - Флойда. Далее, теорема Коннера - Флойда в сочетании с результатами AU -теории приводит к весьма удивительному описанию пространства BU . Это приложение дано, в § 9. См. также замечание 9.2.9, (6) о доказательстве теоремы Конне^ - Флойда. Кстати, при помощи тех же методов, используя ASp-теорию, можно получить вещественно-симплектическое преобразование Коннера - Флойда MSP4#( )—-коТ )• Восстановление деталей этого приложения мы предоставляем читателю. 5.4.3. Пример. Пусть $: KUA ( )—KUAf ) - функториальное аддитивное преобразование, которое на группе KUAP(S2) действует тоадественным образом. Тогда предложение 5.3 можно применить к преобразованию об = \)о5 , где ^ - преобразование из примера 5.4.1. (а) Пусть £= £<//*== §fe . Тогда & = 4f . (б) Пусть S =* Ех - проектор Адамса [Ad 3, с. 89 ] для функтора KUR(d)°( ) . Тогда ои = &(d) - проектор из теоремы 5.1.
§ 5. Проекторы в MU- и АО-теориях. Формула Хансена 101 5.4.4, Пример. Заметим, что согласно принципу расщепления каждое функториальное экспоненциальное преобразование &: КUA°( )-*MUA*( ) определяет и определяется элементом Qtfy-DGMUA^IP^TOe у - расслоение Хопфа над <СР°° (см. [Adl, с. 52, лемма 4.б] ). Пусть хвМи2(<ПР°*) - канонический класс. Тогда МиЛ^ФР**) ^(MUA^Lx]] . Следуя [Adl, с. 108] , положим 1 moo х = Coax - j 2 £°9 ^i * ) > ct > 1 , где о^1?..., об^ - различные комплексные корнет d-й степени из единицы и Ясно, что mog х= х+(высшие члены), и поэтому элементB*(moj х) равен классу двукратной надстройки в HUQZ(32)* На самом деле, как показано в [Adl, с. 108-109] ^ v отодх е MUZ[l/d ^((TP^AUZfl/djfyp00). Таким образом, в силу предложения 5.3, элемент mogx определяет функториальное мультипликативное преобразование tfd): AUZ[l/d]*( )—~AUZ[l/d]*( ). 5.5. Предложение. Пусть o(d) - эндоморфизм теории AUZ[l/clJ( ), построенный в примере 5.4.4. Предположим, что dimX<<*<>. Тогда композиция гомоморфизмов MU2[l/d]n(X)cMUZ[i/dftX)*^ также обозначаемая через ty(d) , совпадает с проектором Квил- лена [Adl, с. 105, теор. 15.1] . Доказательство. Проектор Квиллена полностью определяется тем, что он мультипликативен и переводит канонический класс X€MUZ[l/d] (IP00) в mOQxt" Следовательно, он задается композицией МШф/df (Х)с MUZ[l/d]*fflte&t*£ MUZ[l/d]?X).
102 Чаоть II. Новая конструкция кобордазмов § 6. ГОМОМОРФИЗМ КОМПЖССИФИКАВДИ В AU- И ASp-ТЕОРИЯХ Хорошо известен гомоморфизм комплексификации MSp*( )-*-MU*( ). По аналогии естественно предъявить запрос на функториальный кольцевой гомоморфизм из ASp° (X) в AU°(X) и ожидать при этом, что он должен быть индуцирован каноническим Н-отображением c:BSp-*BU. Как ни жаль, но очевидный гомоморфизм{Z4nXJ5Sp}->{Z4rlX;BU}, индуцированный отображением с , не согласован с предельными переходами, при помощи которых определяются кольца ASp°(X) и AU°(X) . Тем не менее существует гомоморфизм, являющийся в некотором смысле приближением к тому, который мы хотели иметь. К сожалению, Н-отображение h:BU—-BSp , задаваемое операцией симплектификации комплексного расслоения, не индуцирует гомоморфизм AU*( )—*-ASp*( ). Это происходит по следующей причине. Спектр AU строится с использованием образующей группы 5T2(BU) , а в построении спектра ASp участвует образующая группы 9Tj(B3p) • которую нельзя описать в терминах образа группы 9CZ(BU) , так как 9t;(BSp)=0 . Поэтому отображение h индуцирует лишь тривиальное отображение спектра AU в спектр ASp . Приведенное рассуждение станет более понятным после того, как читатель увидит ниже, каковы те условия согласованности, которым удовлетворяет отображение c:BSp—^BU и которые обеспечивает существование интересного гомоморфизма из ASp* ( ) в AU*( ). 6.1. Теорема, Н-отображение комплексификации csBSp —►BU индуцирует функториадьный кольцевой гомоморфизм с: ASp°(X) -*AU°(X) [(I -оип)"*.] . Здесь элемент c6lteAU°(S0) определяется соотношением %(%)лСип » где aueMU2(S°) - коэффициент при х±® хг ряда, задающего закон умножения формальной группы в MU-теории, в обозначениях из [Adl, с, 40]. 6.2. Замечание. Доказательство теоремы 6.1 проводится прямым вычислением и будет дано в пункте 6.5. Сейчас мы займемся анализом того, почему отображения, ивдуцированные отображением c:BSp--«~BU, оказываются несогласованными. Этот анализ позволит установить, ч» в диграмм. (Л BSpl _£_ tt..^iBSp> j* I"
§ 6. Гомоморфизм комшгексификации bAU-и ASp-теориях £03 гомоморфизм, полученный прохождением диаграммы по одному пути, отличается на множитель i-oon от гомоморфизма, полученного .прохождением по другому пути. Следовательно, гомоморфизмы(i-^)vc# для соответствующим образом подобранных ^ уже согласованны. Локализация, о которой вдет речь в формулировке теоремы, не вносит существенных ограничений, ибо если мы будем отображать не bAU°(X)=MV2*(X) , а в fiMU2fc(X) , то элемент l-o6u станет уже единицей. 3~°° 6.3. Некоторые элементы группы тс* (BU) . Будем использовать обозначения из § 1.5. Отображение Ботта Befl^(BU) при помощи гомоморфизмов надстройки дает элемент хея-jf (BU).^Обозначим через хгех*(Ы)) квадрат элемента х относительно умножения в х* (Ъи)9 индуцированного Н-структурой на ВС/ , ассоциированной с суммой Уитни расслоений. Далее, через х*хеяг^(В[/) обозначим квадрат элемента х относительно умножения, индуцированного Н-структурой на BU , ассоциированной с тензорным умножением расслоений. В § 1.5 было показано, что 9r*(BU)/(odcl torsion) = Z®Z, но фактически тот же метод позволяет доказать, что группал^(Б0) = 2Ф2& порождается элементами хг и х * х . Для гомоморфизма Гу- ревича k:sr4s(BU)—H^(BU) справедливы формулы h(x2)=p*, к(х*х)=2^2 (см. § 1.5). Представителем элемента а^еяг^ЛШ) является S-отображение au:S^UU(l). Ввиду S-эквивалентности пространств BU и УМи(Ь)фм. часть I) можно считать, что элемент аи принадлежит группе х*(£0) . Отметим, что там он совпадает с х*х . _6.4. Демма. Для соответствующим образом выбранной образующей B'c^CBSp) с#(В') = хг-х*х<£ *rJ(BU). Доказательство. Согласно описанию группы х?(BU) , данному в пункте 6.3, гомоморфизм Гуревича является на ней мономорфизмом. Поэтому для доказательства леммы достаточно установить, что при 1'олюморфизме Гуревича элемент сф(В') переходит в элементр\-2$>г QH4(BU) .Это следует из вычислений, проведенных в [AdI,
104 Часть II. Новая конструкция кобордаэмов с. 93-98] , так как при гомоморфизме Гуревича х,2 переходит в р\ , а эс*х в 2pz . 6,5, Доказательство теоремы 6.1. Положим 4^ ЯАЦ^ и 5=г°е:2:\. """*"^4ам • Полученного таким образом спектра достаточно, чтобы определить AU-теорию (ср. с § 3). Сопоставлением каждому стабильному отображению ^{Z^X^Sp^}композиции (24c)*j€{Z*fcX,Av,} задается аддитивный гомоморфизм r.{Z<%ASp4k) -* fcrn^XAfJ «AI7D(X). Указанное выше отображение а представляет в группе ASp°(X) тот же элемент, что и композиция (6.6) 9':Z4k+4X-^~2I4(S4ABSp) s^H^xBSp) Вычислим теперь элемент %+i(<}) • Используя лемму 6,4и тот факт, что с является Н-отображением, получаем, что следующая диаграмма* S -отображений: (6.7) I«(S4 х Б5р) 1 (В/ф%р) ^ 24BSp z^(is^c) ! Z4(S4 х BU) - 24Ш 14((Х2-Х*Х)Ф%) коммутативна. Заметим, что в этой диаграмме х2 представляет собой композицию $-отображений $2л s2 —-s*х s* -^м-ви, в которой первое отображение является отображением Хопфа (ср. с пунктом 2.3). Сопоставляя (6.6) и (6.7), заключаем, что представителем элемента (j^(о') служит композиция вида 14((1г-Х#1)в1ви)
§ 6. Гомоморфизм комплексификации bAU-и ASp-теориях 105 С другой стороны, ясно, что эта композиция задает произведение элемента ft-Cg) б элементом из AU°( S°) , отвечающим стабильному отображению х2-х*х e{Sl>AU^ J . Отображение х2 является представителем элемента le-AU^S"). Класс отображения х*х порожден S-отображением х * х е 3c|(BU(l))с{3 ,At^} . Следовательноf (fv(x # x) - c^x* x)e MUZ(S4) = X2(MU). Так как образ класса х * х при гомоморфизме Гуревича равен 26t £Й (MU) , то, используя замечание из пункта 6.3 о группе 9t^(MU) , получаем, что 9\ZX*X)*V Таким образом,у*.^(£')ш н_сб )сл,(а) » и поэтому гомоморфизмы (к2О) образуют согласованную последовательность. Эта последовательность задает аддитивный гомоморфизм с : А$р°(Х) kU°(X)[(l -*н)~* ] . Покажем, что с - мультипликативный гомоморфизм. Лусть f е {r^X^BSp} и ^{Z^Y^BSp}. Тогда представителем элемента c(£q) будет взятая с множителем(i-o^)"*"*1" следующая композиция отображений: Z4M^X^S4N+4Y -i^fc- S4BSpA£«BSp ~^s4(bspxs4x BSP) ^40B/e4lz*BSP z% Z4 В U ~ A 4И+4М+8 Используя диаграмму (6.7), легко получить, что эта композиция гомотопна взятому с множителем i"obH произведению отображений И 2<M~*Y g4c'g - S*BU -А4МЧ . Следовательно, ?M+1(£)?Ar+1^')=(l-*tI^M^2(f9) и c(f$)-
106 Часть II. Новая конструкции кобордазмов § 7. ОПЕРАЦИИ ЛАНДВЕБЕРА - НОВИКОВА И ИЗОМОРФИЗМ ТОМА В этом параграфе будут описаны в терминах AU -теории операции Ландвебера - Новикова [Ad I, с. 12; La]. Все результаты здесь имеют симплектические аналоги. Формулировки и доказательства результатов для симплектического случая мы предоставляем читателю. В AU-теории наиболее естественно построить полную операцию Ландвебера - Новикова S . Этой операции посвящена теорема 7.1. Изоморфизм Тома в AU-теории, фигурирующий в формулировке теоремы 7.1, дается предложением 7.2. В замечании 7.4 дано краткое описание способа разложения операции S в сумму классических операций Ландвебера - Новикова. Всвду в этом параграфе, если явно не оговорено противное , рассматриваемые пространства предполагаются конечномерными. 7.1. Теорема. Пусть c^MU^BU) обозначает <*-й класс Коннера - Флойда [AdI, с. 9]; здесь о*, - произвольная конечная последовательность <& = (обх,<42,...) положительных чисел и \оо\~%ы,. . Тогда сверхполный _класс Крннера__-_Флойда 1 C-Zc^: KU°(X)—~-MU2*(X)sAU°00- шщуцирует функториальный стабильный кольцевой гомоморфизм S: AU*(X)—AU*(X), обладающий следующими свойствами: (I) для канонического элемента W€-AH°(CPH) , описанного в пункте 4.8, S(w)-X w^AU'CCP"), N>0; (it) если для комплексного векторного расслоения Е размерности п над X рассмотреть диаграмму AJJ°(Th(E))-^AU°(Th(E)) AU°(X) AU°(X) тодГ(5(А(1))) = С(Е); здесь Th(E) - пространство Тома расслоения Е , а X - изоморфизм Тома (см. предложение 7.2).
§ 7. Операции Лавдвеоера - Новикова и изоморфизм Тома 107 7Т2. Предложение (см. также § 8). Пустьяг;Е-»-Х - комплексное векторное расслоение размерности п над компактным пространством X . Тогда существует класс ТомаД^еАи0СТК(Е)), такой ЧТ0^ЕвЕ/в JL JL ,, и гомоморфизм X ; AU°0O— AU°(Th(E)), задаваемый формулой Jl(x)*x*&c)«ix , является изоморфизмом. Далее, если nil и р :Th(E)-*BU есть К-класс Тома расслоения Е , то представителем элемента Xz будет класс Z pz в [2ZTK(E),AUJ. Доказательство. Хорошо известно, что в MU-теории каждое комплексное расслоение имеет класс Тома. Этот класс (с точностью до умножения на обратимый элемент) может служить и классом Тома в AU-теории. Представителем универсального класса Тома дляМи(п) является стабильное вложение 'Z*MU(a)cZ*BU-AUz, даваемое теоремой 1.3.2. В случае п = I метод вычисления ограничений трансфера, изложенный в § I.I, позволяет установить, что вложение пространства BU(1)=MU(1) совпадает с каноническим отображением. На самом деле можно следующим образом непосредственно показать, что класс jbE задает класс Тома для линейных расслоений. Из рассуждений, используемых при доказательстве теоремы Майера - Вьеториса, вытекает, что достаточно рассмотреть тривиальное расслоение Е = Х*(С . В этом случае классу представляет собой класс Ботта Б , а точнее класс композиции ви- Да ТК(Х*(П) = Х+д S*—S2-£*-BU. Следовательно, если стабильное отображение fe[Z X,BUj представляет элемент FeAU°(X) , то представителем элемента %*(f)Х% служит стабильное отображение E#(f)e{22k^X5BU}={2:2fc(ThfXx(n)),BU}, гдеег^АЦ^Аи^^ - структурное отображение AV-спектра. Это очевидным образом задает изоморфизм соответствующих группА\}( ). 7.3. Доказательство теоремы 7Д. Сверхполный класс Коннера - Флойда С является экспоненциальным и удовлетворяет соотноше-
108 Часть II. Новая конструкция кобордазмов HmoC(W)=]T wc . Следовательно, согласно предложению 5.3, су- ществует преобразование с , и мы положим S-С . Докажем утвервдение ({.). Напомним, что представителем элемента w служит отображение \i'*Zu(\j-i):Z2<CPN—*Z2B\J = Аиг. Следовательно, класс (fv(5(w)) соответствует классу(vi')*(dQC)e. MU2*(Z2CPV) , где rf€MU*(S2) - класс надстройки. Ссылаясь теперь на [ AdI, с. 9], заключаем, что <fv(S(w))= Z Ф (w)1. .. Таким образом, S(w)=X wl. l?* Утвервдение (it) получается из утверждения (i), если воспользоваться принципом расщепления, согласно которому достаточно рассмотреть лишь хопфовское линейное расслоение и над (Гр00. ро в таком случае наш класс Тома равен weAU°(MW)). Здесь, как обычно, отождествляются пространства (ГР°° и MU(1). Поэтому изоморфизм Тома совпадает с гомоморфизмом умножения на w . Следовательно , Ш ito 7 7.4. Замечание. Операцию S можно разложить в сумму аддитивных операций. Заметим, что для каждой последовательности^^,^,...) можно определить гомоморфизм V- {Z*kX,BU} -MUa*(X), ПОЛОЖИВ tJf)-f*(c6)€MU2,e6,(S2fcX)*MU2,oC,"2fc(X). При этом будет коммутативна следующая диаграмма: {l2kX,W} -i^{22k+2X>Bu} (7.5) t^y /tp MU2|a,"2k(X) где p =<t+ (I, 0, 0, 0,...). Используя диаграмму, аналогичную диаграмме (7.5), и теорему 7.1, нетрудно построить операции (S^) из [ Adl, с. 12]. Мы предоставляем щюделать это читателю.
§ 8. Стабильные квазикомплексные многообразия 109 § 8. СТАБИЛЬНЫЕ КМЗИКОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ (два описания MU-бордизмов в терминах AU-теории) В этом параграфе в терминах AU-теории будет описано классическое соответствие классы бордизмов стабильных 1 ^ _ J гомотопии 1 квазикомплексных многообразий] \ спектрами J ' Необходимые сведения о комплексных бордизмах и кобордизмах читатель может найти в [St I, с.4? ]. Рассматриваемое соответствие может быть установлено двумя способами. Первый из них дает классическая геометрическая конструкция Понтрягина - Тома, во втором способе используются операции когомологического умножения и существование класса Тома в AU-теории. Оба этихспособа будут описаны ниже, и будет доказана их эквивалентность. Второй способ приводит к некоему общему когомологическому гомоморфизму, который, возможно, окажется полезен для алгебраической геометрии при изучении вложений, имеющих нормальное расслоение, но нереализуемых в виде алгебраического вложения в эв- клвдово пространство. Напомним (см. [St I, гл. Il]), что если М**- замкнутое стабильное квазикомплексное многообразие, то для соответствующего вложения t:M2ncR2ri+2k существует ассоциированное отображение Понтрягина - Тома (8.1) Pft):S2n+21c -Th(i>), где 9 - нормальное расслоение вложения L , a Th(\))- его пространство Тома. Заметим, между прочим, что,согласно теореме двойственности Атьи (см. [St I, с.41 J ), отображение ?(i) S -двойственно отображению MU U точка « М* ^S° = {±l}, которое переводит М в -I , а отдельно лежащую точку в +1. 8.2. Определение. Определим i^cAU^MUfn)) лак элемент, представителем которого является S-отображение MU(n)c^BU, задаваемое стабильным расщеплением пространства SO , описанным в теореме 1.3.2.
НО Часть II. Новая конструкция кобордазмов Упомянутое выше нормальное расслоение 9 классифицируется отображением M2n——2>U(k), индуцирующим отображение соответствующих пространств Тома <*(*) : ГЬ(г>) — MU(k). Используя введенные обозначения, сформулируем первый результат этого параграфа. 8,3. Теорема. Пусть M2n- замкнутое стабильное квазикомплексное многообразие. Тогда соответствие | }. M*W{M*4 » P(i)*rf(*)#Atс AU°(S2ft+2fe)« AU°f S°) задает биекцию {классы комплексных бордизмов } •* ^ х (AU). Доказательство, Достаточно проверить, что если, пользуясь теоремой 2.1, отождествить AU°(S°) с ®^S(MU), то наше соответствие { }перейдет в соответствие, даваемое теоремой Понтрягина - Тома для комплексных бордизмов [StI, гл. II ]. Изоморфизм Ф0: AU°(S°)- Oiji {S^BUJ -5U-MU2*(S°) К задается сопоставлением S -отображению f:S —-*-BU образа f*(7 cfc) полного класса Коннера - Флойда 2L с£ при индуцированном гомоморфизме f * групп комплексных кооордизмов. Следовательно, нам надо показать, что для S -отображения An: MU(n)c^BU элемент Л* (Z-C^e МО \Щ$ равен каноническому классу Тома, который лежит в грушеMJ^fMU(п)) . Чтобы сделать это, достаточно вычислить гомоморфизм А* или, эквивалентно, гомоморфизм (ЛЛ: MU2jMum))— ии^(ви). Но MD2^(BU) является кольцом многочленов над Я^(Ми) (подробности см. в [Ad*, ч. ц]). Поэтому все вычисления полностью аналогичны соответствующим, вычислениям в целочисленных гомологиях (ср. с § 2). В частности, имеется каноническое (алгебраическое) отовдествление кольца MU^(MU(n))c9r2#(MU) -подмодулем кольца MU^(BU) . Из вычислений для MU# -гомологии, проведенных в пункте 2.8, следует, что гомоморфизм (Ап)* совпадает с гомомор-
§ 8. Стабильные квазшсомшгексные многообразия III физмом, задающим это каноническое алгебраическое отовдеетвление. Но, как хорошо известно (и как следует непосредственно из определения, см. [ AdI, ч. III]), гомоморфизм, двойственный рассматриваемому каноническому отождествлению, переводит класс 2 с^ в требуемый класс Тома, лежащий в группе MU2ri(MCJ(n)). 8.4. Замечание. В части III будет введена АО-теория. Она относится к теории кобордизмов М0*( ), как AU-теория относится kMU ( ). При помощи способа, аналогичного применённому в предыдущем пункте, легко описать классы неориентированных бордизмов многообразий в терминах АО-теории. Это описание опирается на теорему Понт- рягина - Тома для М0*( ) (см. [ТК]) и результаты §§ 2 и 3 части III. Подробности предоставляем заинтересованному читателю. 8.5. Гомоморфизм JLf . ассоциированный с вложением f:X——Y . Приводимую ниже конструкцию можно применить к любой теории гомологии, в которой имеет место изоморфизм Тома для комплексных векторных расслоений. Пусть £:Х —**У - гладкое вложение стабильных квазикомплексных многообразий, имеющее стабильное комплексное нормальное расслоение \>(f), и tx иту - соответствующие касательные расслоения. Имеет место точная последовательность векторных расслоений над X Далее, определен класс Тома A(0(f))cAUa(Thf^(f))), получаемый как образ класса Ak<sAU°(MU(fc)) при гомоморфизме, индуцированном отображением пространств Тома Th(V(£)) —— MUffe), ассоциированном с классифицирующим отображением расслоения tf(f). Можно образовать гомоморфизм (8.5.1) [AO(f))\ ]:AU0(Th(v>(f)))— AU„(X), называемый гомоморфизмом Тома в AU-гомологиях. Здесь AUQ - нульмерная группа гомологии, ассоциированная со спектром AU. Введем отображение Д :Th(\>(f)) — Th(^f))AX, положив Д(©©)=*(отмеченная точка) иА(е)=елхдпя точек е, принад-
ДЗ Часть II. Новая конструкция кобордазмов лежащих слою расслоения 0(£) над точкой хеХ . Тогда [A(i>(£))\a]-A(*C£))\A#(a)eAU0(X), где( \ )-умножение, описанное в[Ас11, ч. III]. 8.5.2. Лемма. Гомоморфизм Тома (8.5.1) является изоморфизмом. Доказательство. Хорошо известно, что в случае MUL-теории и классического класса Тома гомоморфизм, аналогичный гомоморфизму (8.5.1), является изоморфизмом. Отсюда сразу следует наше утверждение, ибо, согласно теореме 8.3, после отождествления AV0( ) с М1^( ) класс Тома А($(£)) (с точностью до умножения на обратимый элемент кольца <к (MCJ)) совпадает с классическим классом Тома. ^ 8.5.3, Определение. Имеется гомоморфизм кронекерова произведения AU(Th(tf(£)))—9T/AU), который сопоставляет элементу х элемент <A(tf(f ))?х)=ЛМ£))\Х€Г#и) (см. [Ad 1, ч. III]). Взяв композицию этого гомоморфизма с гомоморфизмом, обратным к гомоморфизму (8.5.1), получаем гомоморфизм (8.5.4) Л£:А\)С(Х) —^X0(A\J). 8.6. Связь между гомоморфизмом Х± и конструкцией Понтрягина - Тома, В обозначениях пункта 8.5, возьмем У = (СЛ* . Тогда получим точную последовательность расслоений Для каждого из расслоений этой последовательности определены класс Тома в AU-теории и соответствующий изоморфизм Тома. Они связаны следующей коммутативной диаграммой: АП0(ТИ(<гх) л Th(V(f)))s AUo(Th(X* Cn+k)) (Л(ГХ)\ )| |б A>a^(f))) [A^1))\]^ifoffl в которой в обозначает изоморфизм надстройки. Существует фун-
§ 9, Новое тождество для BU в терминах СР°° цз даментальный класс [X]^AU0(X) , такой что (8.6.1) Л(ГХ)\^[Х] - P(£)g AU0(ThfV(f))), где Р(£) - образ гомотопического класса отображения Понтряги- на - Тома., ассоциированного с вложением f (см. (8.1)) при гомоморфизме Гуревича. Это следует из описания S -двойственности, данного в [Adl, с. 246 и далее], и теоремы двойственности Атьи?сопоставляя которые, мы получаем, что отображение S-двойственности /JL. S2n+2fc—^ТН(*С£))аХ можно задать формулой jz(Y)-P(f)(v)A?c(v) , гдея::^:)—«^ОС - проекция нормального расслоения. Из (8.вЛ) вытекает следующая формула для класса {X j(b обозначениях теоремы 8.3): (X2*WP(f)*<*(<>(0)* Ak (по определению) »<A(«(f)),Prf)>-<AWf)),[A(W)\] [Х]>. 8.6.2. Следствие. В обозначениях пунктов 8.3 - 8.6 справедлива формула (X*n} = XflXb<r0(AU). § 9. НОВОЕ ТОЖДЕСТВО ДЛЯ BU В ТЕРМИНАХ СР~ (результат о нильпотентности для кольца х^ (СР°°) и описание отображения Коннера - Флойда при помощи детерминантного гомоморфизма) 9.1. В этом параграфе будет описана новая конструкция пространства BU*. Она получается в качестве приложения предыдущих результатов части II. Кроме того, будет дано приложение к задаче о стабильных гомотопиях пространства СР°° (теорема 9.1.2). Далее мы используем терминологию категории пространств (бес- конечнократных пространств петель), а не категории спектров, с тем чтобы подчеркнуть, что речь вдет о привычном, хорошо знакомом пространстве BU, а не о каком-то "метафизическом" спектре Ш. Пространство Z*BU является классифицирующим для комплексной К-теории. Оно представляет собой бесконечнократное простран-
Hi Часть II ♦ Новая конструкций кобордазмов ство петель (далее для краткости мы будем вместо "бесконечно- кратное пространство петель", "бесконечнократно-петлевое отображение" писать,,ОТ -пространство", п SI°°-отображение" и т.д.), так как в силу периодичности Ботта имеет место гомотопическая эквивалентность ZxBUs? &2(2xBU) , где £Ь Y - двукратное пространство петель пространства Y . Гомотопическая эквивалентность типа периодичности Ботта - довольно примитивный способ описания А^-структуры, но как раз по этой причине такое описание и наиболее доступно для рассмотрения. Каждому Л°°-пространству можно сопоставить спектр, и обратно. Спектр Ботта, представляющий комплексную К-теорию, образован пространствами ву21с = ZхBU, к*0 , вместе со структурными отображениями &zk : ^Ш^Г^Щь-я* каж~ дое из которых индуцировано отображением Szx(Z*B\])-*% , классифицирующим тензорное произведение приведенного холфова расслоения над З2 с универсальным расслоением виртуальной размерности нуль над % XBU .• Необходимые сведения об ^^-пространствах и спектрах читатель может найти соответственно в работах [Ма I, Ма*2] и [Ml]. В частности, в [Ма 2, гл. У1И, § 2] и [Ad I, с. 134]эти темы обсуждаются применительно к К-теории. Введем теперь другой спектр с очевидной периодичностью Ботта. Он строится аналогично тому, как был построен спектр AM в § 3. Пусть X - некоторое Н-пространство и хея:г(Х). Рассмотрим отображение x + ix: S*xx—*-Х --сумму" элемента х с тождественным отображением пространства X . Применяя к этому отображению сначала конструкцию Хопфа, а затем однократную надстройку, получаем отображение & : 2^Х— Z*X . Существует ассоциированный спектр Х(х)9 образованный пространствами
§ 9. Новое тоадеогао для BU в терминах СР°* us вместе со структурными отображениями б : 22X(x)2k-^X(x)2fc т Обозначим через р(Х) соответствующее Л09-пространство, которое по определению имеет вид Р(Х) ~Umlim Sl2n+2kzzkx, XI 1с. где предел берется по композициям с & . Очевидно, имеет место эквивалентность Д2Р0О - Р(Х), задающая &~-структуру на Р(Х). Сформулируем теперь основной результат этого параграфа, доказательство которого будет дано в пункте 9.2. 9.1.1, Теорема. Имеет место эквивалентность &°°-пространств Р((ЕР~) g >Z*BU, Здесь СР - K(Z,2) и х - образующая группы xz ((Рр00) . Обозначим черезх* ;а^((СР^^^2^ЮМ0М0РФизм стабильных гомотопических групп, индуцированный "сложением" с элементом хеЯ^ОСР00) , определяемым при помощи структуры Н-пространства в СР^. Так как ^P(0^)-UJTi«J42fc((CO^ где предел берется по композициям с х* , то справедлив также следующий результат, который будет доказан в том же пункте 9.2. 9.1.2. Теорема. Если и€9г^(<СР°*) - элемент конечного порддка, то для некоторого fe . Заметим, что теорема 9.1.I связана с поднятием Брауэра (см. [О, 2; То]). Она выражает классифицирующее щюстранство ВСгЫС («5U ) в виде функтора от классифицирующего пространства В<С* {~СР°°)9 где Л* обозначает группу обратимых элементов кольца А* . Пусть р и q, - различные простые числа и ( )£ обозначает р-пополнение (см. [В- к]). Тогда согласно работе [ф2] имеет место эквивалентность (9.1.3) Ви?л 3 (BGLf^+)p , где Гл - алгебраическое замыкание поля Еи( )+ обозначает квилленовскую (+)-конструкцию ("квилленизацию")(см. [Wa]). Кроме
116 Часть II. Новая конструкция кобордазмов того, «п; <»?;г, Сопоставляя эти факты с вариантом теоремы 9.1.2 для р-лолных пространств, получаем ЛГ'-эквивалентность следующего вида (9.1.4) P0UBf*)J)«(BGLF*)J, где Р(Х) обозначает компоненту отмеченной точки пространства Р(Х). Пространство в левой части (9.1.4) получается при помощи описанной выше конструкции с использованием элемента группы ^((BF<j*L) = Z« , представляющего собой образ элемента хбЯ^Ер"* ) . В силу (9.1.4), ffi°° - эквивалентность (9.1.3) можно считать индуцированной некоторым вложением F/c(D* Таким образом, теорема 9.1 Л дает чрезвычайно простое объяснение природы поднимающего отображения Брауэра (см. (9.1.3)) и его &°°-свойств, которые впервые были исследованы в работе [ То], где показано, что поднятие Брауэра является &2г°°-отобра- жением. Мой* метод, как он приведен здесь, не дает независимого доказательства результатов из [То]. Однако это можно было бы сделать, привлекая побольше Л°°-техники. Более важным, на наш взгляд, является то, что эквивалентность (9.1.4) наводит на мысль, что можно попытаться изучать алгебраическую К-теорию коммутативного кольца Л при помощи отображений BGLA+ -Р(ВА*; у), гдеР(ВА* ; v ) - пространство, определяемое тем же способом, что и Р(Х), но с заменой X на ЗА* и хе5Г2(Х)на уеЯ^ЬЛ*) . Однако, как показывает следующий пример, особенно большие надежды на успех возлагать не следует! 9.1.5. Предложение. Пусть и - образующая группы Я.(Ъ2/2). Тогда пространство P(BZ/2; /j ) стягиваемо. Доказательство. Положим P=P(BZ/2;;j). Ясно, чтоР=£2Р; поэтому достаточно показать, чтотг1(р) - 0. Но группа яг.(Р) является прямым пределом последовательности а этот предел равен нулю, так как 0 = /]3е ЯГ^ШР00) [LL].
§ 9. Новое товдество для SU в терминах (ЕР^ 117 В заключение пункта 9.1 я хотел бы выразить благодарность Дэну Кану, который привлек мое внимание к вопросу о том, что представляет собой пространство Р(СР*°). Теорема 9.1 Л дает решение его проблемы, представленной в списке проблем Летнего института Американского математического общества (Станфорд, 1976). 9.2. Теоремы 9.I.I и 9.1.2 будут доказаны при помощи комплексных кобордизмов M.U *(см. [AdI, ч. II]). Следующее описание функтора MU является перефразировкой теоремы 2Л. 9.2Л. Предложение. При помощи конструкции из пункта 9Л построим пространство P(BU ) для образующего элемента xe?r2(BU ), где BU обозначает пространство BU с Н-структурой, индуцированной операцией взятия суммы Уитни векторных расслоений. Тогда для любого конечномерного клеточного разбиения Y существует функто- риальный изоморфизм (фактически кольцевой) ;-: [Y,P(BU*)] ■ » MU2*(Y). 9.2.2. Доказательство теоремы 9.1.2. Пусть уеЛ": (<РР°°)- элемент конечного порядка. Рассмотрим структурное отображение e.':Z BU -#■ 212BUe спектра, ассоциированного с «^-пространством Р(ВгОф) ^ (ср. с пунктом 9Л), и соответствующее отображение £,:Z4(CP°VZ1CP для спектре, ассоциированного с Т((СР°°). ПустьdettBU —*-СР обозначает Н-отображение классифицирующих пространств, индуцированное гомоморфизмом U—^U(i), сопоставляющим унитарной матрице ее определитель. Тогда &oZ4(det)*Zz(<iet)oe'. Эта эквивалентность имеет место ввиду того, что диаграмма , ф Хф1ви® от1ф s2 х ви ^-виг udet Uet Т го Л (ррсо да00 гомотопически коммутативна. С другой стороны, существует каноническое отображение trffP^BU*, такое 4Toi«dfit°t . Так как группа MU2*(S^)свободна от кручения [AdI, ч. II], то, согласно предложению 9.2Л, для некоторого целого числа 1с элемент
118 Часть II. Новая конструкция кобордазмов (6#)IC(i*ty)K*f+2fc(BU%'raeH *&ш>. Следовательно, 0-(Ц,(с;)Ч#^) - (b*)fc(det#L#(V)) «(&#)fc(</) =х^в5Г?+21е((ПРвв). Теорема доказана. Построим теперь А -отображение Р(№-) — Z*BU. Для этого достаточно задать стабильное функториальное преобразование (9.2.3) Г: Urn |>2rl( \№~} -KU°( )f п где предел берется по композициям стабильных отображений в СР*** со структурным отображением erS^dP^-^S^CP**0из пункта 9.1. "Стабильность" преобразования F означает, что оно коммутирует с изоморфизмами периодичности, индуцированными эквивалентностя- 1шааР(0^агРС1СЕПиЛ^яВи)ФВ11.Далвв,{ , } обозначает группу стабильных гомотопических классов отображений [Ad I, ч. III] и функторы из (9.2.3) рассматриваются на категории пунктированных клеточных разбиений. Пу*Фъ:хеК"т,0'СР~)£2[М]- класс приведенного холфова расслоения ,i^eC^{£^X,(CE^-элемент, представителем которого служит отображение r.Z*n*2feX -2Г2к<ПР~, hj*cKU°(S2)- класс Ботта. Тогда^хеКи^Л^ФР00))^ мы можем положить Щ) - f( pfc*)G KU(Z2ri"2fcX) = KU°(X), где последний изоморфизм (периодичность Ботта) является обратным к изоморфизму умножения на jbn*k . Предположим, что выбран другой представитель элемента и в виде следующей композиции: „Zn.+Zk+2ly S2*?» уЛк+2С дроо fc™ -,2fc + 2C-2m ^р— Тогда элемент Ffy) будет задаваться формулой
§ 9. Новое тавдество дая BU в терминах СР' 119 С другой стороны, отображениемx^ltfp^:З^^Р^СР^индуцируется гомоморфизм iCU0(<EP~) —- K0°(S2*CP~), при котором х переходит в jb®l+iex+js®x, поэтому е*(х) «,рх. Следовательно, второе выражение для F(w) можно преобразовать так: Значит, элемент F^y) корректно определен. Аналогично доказывается коммутативность диаграммы (9.2.4) итЛЕ2пХ,(ИП ^*КБ°(Х) (f ) I в которой левый изоморфизм очевиден (тавтологичен). Рассмотрим теперь, как и в пункте 9,2.1, пространство Р(В17Ф). Легко можно определить &~-отображениеР(Виф)^.2>Ви. Пусть ^1вКи°(Виф)обозначает i-ю ^-операцию [Ad 5]. Положим «W«g^fi.KU°(BUe) « z[[/, ?*,...] ] и определим преобразование (9.2.5) G:tim{Z:2ri( ),BU*}— KU°( ), сопоставляющее классу, представленному отображением y.Z X -^2I2fcBUe, элемент fi^'^lffdifyeKjfQfy, Заметим, что представителем элемента det6KU(BlT )является композиция где xeKUfdP*)-классифицирующее отображение приведенного хопфова расслоения, a Bdet - отображение, индуцированное гомоморфизмом det:U(n)-+tT(l)eS , сопоставляющим унитарной матрице ее опре-
120 Часть II. Новая конструкция кобордиамов делитель. Таким образом, мы прямым вычислением показали, что справедлив следующий результат. 9.2.6. Лемма. Диаграмма -lis {Л,вифь п (В det) Um {Л.срТ KU°(X) коммутативна. 9.2.7. Предложение. Для всякого конечномерного клеточного разбиения X имеет место коммутативная диаграмма Um{I2nXBUe}= [XJ?(B0*))-f~MJz*(X) KU°(X) в которой Н* - гомоморфизм Коннера - Флойда [C-F], а <* - изоморфизм из предложения 9.2.1. Доказательство. Напомним (см. [Ad I, ч. I]), чтоКио(ви)»2^рвау] иК0°^Ш)=2[[^^...]],где образующие fl можно характеризовать следующим образом: м> = I, если z=if, 09 если z - моном иного вида. Используя тот факт, что MU2nfX)-{S2iX,MU(n-ft)}, ecmdimX<4n+2t, цолучаем, что изоморфизм &~* индуцирован $ -отображениями Кл : MU(ri) ^^BU(rO —^-BU из § 2. Образующие {&я] обладают следующими свойствами. Пусть Х^. BU(n>*U(n)/BU(a-iy=MU(n) -каноническое отображение. Тогда где KU0(BU(n)) рассматривается как подгруппа bKU0(BU) , порожденная мономами веса, т превышающего п . Рассмотрим теперь универсальное п -мерное расслоение Е,,-** BUfn) й его класс Тома Лае
§ Э. Новое тождество для JBU в терминах <ПР°° J21 Ки°(Ми(п) ) . Ограничение класса Лп на Ы7(п) имеет вид <(An)«Z(-l^l(ER)=^Eft-ii)€KU0(BUrn)), где Хь обозначает С но внеинюю степень расслоения En , а п - тривиальное п-мерное расслоение. Отметим, что гомоморфизм %* :KU°(MU(hy*KU°(bU(ft)) является мономорфизмом. На основании предыдущего обсуждения имеем (Ь Ь 7 41) ~ \п* еоли 6ii"6t.--m6in-<f ^ V *л' #о • ' ~~ I остальных случаях С другой стороны, отображение Коннера - Флойда определяется при помощи ограничения на X класса XA{e$KU°(MU(i)), поэтому композиция Н о (f представляет собой гомоморфизм, получаемый при помощи ограничения на X класса Х^вК17°(ви®),. Но, согласно [Ad 5], класс X $1 равен классу date KU°(BUe) из пункта 9.2.5, при помощи которого и был определен гомоморфизм Q. 9.2.8. Доказательство теоремы 9.1.1. Нам надо показать, что гомоморфизм F:^(P(CP°-))» krriiS^Cp0*} -KU°(S>) является изоморфизмом. Тогда, в силу известной теоремы Дд.Г.К. Уайтхеда, компоненты отмеченных точек пространств Р((СР~) и Z *BU будут гомотопически эквивалентны. Так как гомоморфизм F индуцирован £Г%этображениемР(Й^)^2*Юи так как для обоих этих пространств имеет место периодичность Ботта, отсюда будет следовать, что Г - гомотопическая эквивалентность. Из теоремы Коннера - Флойда [С-Г] и результатов пунктов 9.2.6 и 9.2.7 вытекает, что Г - сюръективен, ибо таковым является гомоморфизм Н из предложения 9.2.7. Согласно теореме 9.1.2, группы^(PfCP00)) свободны от кручения. Таким образом, для завершения доказательства достаточно установить, что гапк(х, (Р (<ГР~ ) ) ) = \ *• если ir чёт!0' J 10, если i нечетно
122 Часть II. Новая конструкция кобордизмов (поскольку 7Г^(!ви)=Z или 0). Но откуда легко следует, что 2ССР~)® 9Щ. — <к { 3 0, Hi*2n если если (<гр~; Q), i 1 четно , нечётно (так каке+: Н.(22№~; Q)^H.+zf<CP~;ty)- изоморфизм). 9.2.9. Замечания, (а) Укажем еще один метод вычисления групп ^A?((Cf°))9Q из пункта 9.2.8. Пространство Р(СР"") можно представить в виде &>£fl,2nQ<rp°° , где(}Х- Ijm&Z^X . Теорема Баррэт- та - Придди - Квиллена [Ва; Б-Е; Ma if дает модель пространства QZ . Согласно этой модели, пространство Q£P°*рационально эквивалентно пространству SP*0(СР°° - бесконечной симметрической степени пространства (ЕР°°. Далее, из работы[])-Т] вытекает, что Зр^Ср*** рационально эквивалентно пространству 1Г.Кб2»2т ^Сопоставляя эти результаты, нетрудно усмотреть, что рациональный тип пространства .РрОГр^тот же самый, что и у пространства BU , а именно Ц£ K(<Q,2m). (8) из рассмотрения коммутативной диаграммы оо ?N оо KU°(X) >{Х,СР } >Уш Ч£ -XtCP. ) N II И [X,BU] —■* [X,Q(CP°°] т—» KU°(X) в которой! о%y~i , согласно пункту 1.3.2, ясно, что Г, Q и отображение Коннера - Флойда Н (см. пункт 9.2.7) являются все расщепляющимися эпиморфизмами. Отсюда легко вывести теорему Коннера - Флойда, как уже отмечалось в пункте 5.4.2.
Часть III Неориентированные кобордизмы, алгебраические кобордизмы и X (Ъ)-спектры § Св ВВЕДЕНИЕ Данная часть посвящена различным обобщениям и уточнениям результатов первых двух частей. В части II я построил спектры AU и ASp, исходя соответственно из Н-пространств BU и BSp, взятых вместе с некоторыми их гомотопическими группами. Эту конструкцию легко обобщить и получить следующий результат (ниже теоремы приводятся под теми номерами, под которыми они появляются далее в тексте). Теорема 1.1. Пусть X - гомотопически коммутативное и гомотопиче- ски ассоциативное Н-пространство, и пусть &ея:ДХ)-некоторый элемент стабильной гомотопической группы. Тогда существует (периодический) мультипликативный спектр Х(б)с коммутативным умножением, описанный ниже в пункте 1.2. Спектры AU и ASp имеют вид £U(B) и BSp(B') соответственно (см. пример I.4.I). + В случае когда X - квилленовское пространство BGfLR , ассоциированное с некоторым кольцом R. , мы получаем в качестве следствия теоремы 1.1 представляющий спектр для алгебраических ко- бордизмов кольца R , отвечающих элементу b^^rj(BGLK) . в даль- нейшей части § I приводится ряд элементарных замечаний и вычислений. Наибольший интерес здесь, по-видимому, представляют пункты 1.9, 1.10 и 1.13. В первом из них показано, что многие спектры алгебраических кобордизмов, ассоциированных с конечными полями, тривиальны. В двух других получены результаты, которые будут использованы в части 1У для вычисления р-адических кобордизмов проективных схем. В частях I и II изучались кольцо я** (Ш) и MU-теория. В этой части мы получим аналогичные результаты для МО-теории. Из вычислений, проведенных в [Th] , вытекает, что справедлива
124 Часть III. Алгебраические кобордизмы и Х(6)-спектры Теорема 2.1. (4)с - 2)-мерный остов пространства B0(2k)/B0(2fc - 2) эквивалентен соответствующему остову некоторого произведения пространств К№/2,п). В качестве следствия теоремы 2.1 и теоремы 4.2 части 1шпо- лучим следующий результат. Теорема 2.2. Для всех j. и Jc имеют место разложения яг?(£0(2Ю)^ хНъО(2к-2))ФЪ:(к). 6 О * Если t<4fc-2 , то группа Bjf Jc) содержит в качестве прямого слагаемого £. (1с) экземпляров группы Z/2 (число 6. (к) будет определено в пункте 2.2). Положив в теореме I.I X = ВО и взяв в качестве Ь образующую группы ЯГ^ВО), мы получим теорию когомологий А0*( ), которая является периодической с периодом 1. В следствии 1.6 устанавливается, что функтор А0*( ) принимает значения в категории Я/2-*ю- дулей. Следующий результат показывает, что эту модульную структуру вряд ли молоко считать неожиданной. Теорема 3.1. Существует функториальный кольцевой гомоморфизм Ф0: A0°(W) -M0*(W); который является изоморфизмом, если dim W< ©о . В § 4 будут получены результаты для пространства B0F* (теоремы 4.1 и 4.2), аналогичные теоремам 2Л и 2.2. Значение этих результатов состоит в том, что пространство В01£ (2)-локально эквивалентно пространству im Т - "образу" классического J-гомоморфизма (см. в конце части IY проблемы, касающиеся стабильных гомотопических групп Я:* (S°) ). В § 5 будет рассмотрена теория алгебраических кобордизмов AZ кольца целых чисел Z и доказана следующая теорема. Теорема 5.1.1. Существует гомоморфизм T:AZ°(X) - М0*(Х), который в случае dirnX<<x> является эпиморфизмом, но, вообще говоря, не мономорфизмом.
§ I. Спектр Х(б) 125 § 1. СПЕКТР Х(6) (примеры, охватывающие кобордизмы, К-теорию и алгебраические кобордизмы) Теперь пора дать общую конструкцию, которая, собственно, и послужила мотивировкой для написания всей работы. Эта конструкция обобщает конструкцию из § 3 части II. Она описана в пунктах I.I - 1.3. Дав определение спектра Х(&) , мы разбираем затем рад примеров в пункте 1.4. Остальная часть параграфа посвящена некоторым результатам, связанным с этими примерами. Например, в пункте 1.9 показано, что многие теории алгебраических кобордиз- мов, ассоциированные с конечными полями, тривиальны. В пунктах 1.10 - 1.12 выводятся три основных вычислительных результата, которые потребуются нам в части IY. 1.1. Теорема. Пусть X - гомотопически ассоциативное и гомотопи- чески коммутативное Н-пространство, и пусть &€jt^(X). Тогда существует (периодический) мультипликативный спектр Х(6)с коммутативным умножением. Этот спектр описан ниже в пункте 1.2. 1.2. Конструкция спектра Х(Ь). Пусть 6€3tjJ(X) - данный элемент стабильной гомотопической группы. Найдем наименьшее t>0 , для которого в качестве представителя элемента 6 можно взять отображение fe:S(t + i)w *.S«x. Тогда отображение Zub будет задавать единицу спектра Х(6). Пусть M=(I+t)№. Приступим теперь непосредственно к построению спектра. Положим Х(6)^ = 2МХ для всех к> I и определим структурное отображение isz'xf»)^ — т^у, при помощи следующей композиции: н' IN(SM"N х х"х/) -2» ^(S^ х X) -а* Л
126 Часть III. Алгебраические кобордизмы и Х(£)-спектры Здесь Н - конструкция Хопфа, н'- композиция отображения Z (Z X kX^S^Z^XaX) с конструкцией Хопфа, m - отображение, индуцированное умножением в Н-пространстве Хин - каноническое факторотображение. Совокупность пространств X(6)kN и их отображений £ : SMX(6)fcff-*-X(6)ft,lw,fe?l , определяет спектр в смысле работы [AdI, ч. III]. Умножение в этом спектре индуцируется спариванием X(6)t„*X(6)w— Х(Ь)(М)Н' которое задается композицией следующего вида: rM-N/vN/Yy <j^ LM-N(zN(x><rxX)) 1МЛУЬ^) _ ^tftf***)) 2\z\...V*№)) Здесь первое отображение - это конструкция Хопфа, второе - "произведение " отображения 6:SM-*-ZM"vX с двумя экземплярами тождественного отображения 1х , а третье представляет собой t-кратную итерацию структурного отображения €, , причем на каадом шаге итерации используется оператор надстройки Sw . Все отождествления типаЗа+&АЗс=ЗаА5^+сошраются лишь на ассоциативность смэш-произведения и не нуждаются в перестановке сомножителей. 1.3. Доказательство теоремы 1Л. В доказательстве теоремы 3.1 части II заменим S2BU и В на 2МХ и 6 соответственно. После этого доказательство в супщости остается тем же самым. 1.4. Примеры. 1.4.1. Мы уже встречались в §§ 2 и 3 части II с такими примерами: (а) X - BU , 6=В; U) X-BSp, 6 «В'. £.4.2. В § 3 будет получено истинное представление для спектра Ш) из следующего примера: X = ВО, 6 =*} , где ц - образующая группы я^СВО). Спектр Х(6) из этого примера мы будем обозначать через АО.
§ I. Спектр X(6) 127 $.4.3. Пусть R- некоторое кольцо с единицей. Положим X = BGLR+. Подробности построения пространства BQLR+ читатель может найти b[H-S; Wa]. Теорию когомологий, ассоциированную со спектром BGLR+(6), будем называть алгаб^аотескиьга кобрЕР^^в^-Кольщ R,, отвечшощрш злеме_нту_ £. В общем случае эти группы алгебраических кобордизмов вычислить трудно. Специального обсуждения заслуживают приводимые ниже примеры, в которых можно сказать кое-что о возникающих теориях алгебраических кобордизмов (см. пункт 1.9 и § 5). (ajR^Ffl (поле из cj элементов),^^(BCfLF.j^KfF^CneKTpp получающийся в этом примере, будем обозначать через АГд(б)- (6)R=Z (кольцо целых чисел), 6=^ ~ образующая группы 7ri(BGLZ+)eK1ZsZ/2 .Получающийся спектр будем обозначать через-AZ. 1.4.4. (а) В предыдущем пункте можно заменить пространство BQLR* на пространство Каруби BOeR+, е * ± 1 (см. [ К ]). Получающаяся теория когомологий будет, по-видимому, весьма тонким инвариантом кольца R. (6) Можно также заменить пространство B(JLR+на одну из его локализаций в смысле [Вой , В-К или SuJ. Например*, р-конечное пополнение пространства X (обозначаемое черезХр и называемое Н*( ;Z/p)-локализацией в работе [ Вой] упредоставляет в наше распоряжение различные элементы гомотопических групп. Пространство BGtLFq* , где Fn - алгебраическое замыкание поля F^ , имеет нетривиальные гомотопические группы только в нечетных размерностях. Фактически вычисления, проведенные в [Q] , дают следующий ответ: *.(ваьГ)=кдЛ °'если1 ™« ^ч v М F* если i нечетно; здесь и ниже R* обозначает группу обратимых элементов кольца R % Далее, пусть р-простое число, не являющееся делителем числа ц . Из [Воц] или [В-К] мы знаем, что р-конечное пополнение пространства BCJLE имеет такие гомотопические группы: /логттг \л\ ~ f 07 если L нечё'тк X^mLV?)={irecm i четно А -1? О, если L нечётно, Яр,если i четно - кольцо целых р-адических чисел). Кроме того, поднимающее
128 Часть III. Алгебраические кобордизмы и Х(б)-спектры отображение Брауэра из [Q] задает эквивалентность Н-пространств (BGLi;+)p«BC7p. Пусть 66jJU2((BGI-Fn )J-элемент, отвечающий_элементу ieZp . Мы можем образовать спектр Х(6), где X=(BGLF<j+)p. Такой спектр является представляющим для 2-перио£ической теории когомологий, которая совпадает с функтором Ш]Щ*ъ каадой чётной размерности и с функтором WUZp * в каадой нечетной. (Для того чтобы убедиться в справедливости этого результата, достаточно отождествить спектр Х(6) с BUp (f>) 9 в затем восцроизвести доказательство теоремы 2.1 части II, используя вместо клеток пространства BU р-едические клетки пространства BU£ .) Здесь MOZjJ обозначает MU-теорию с Zp-коэффициентами [Adi, ч. III]. 1.4.5. (а)Х*(ГР^(*К(г,2)},в€^((ГР7-образующий элемент. Согласно теореме 9.I.I части II, спектр СР°"(6) , получающийся в этом случае, будет представляющим для 2-периодической комплексной К-тео- рии. _ _ (6) Пусть X=*BF/ - классифицирующее пространство для F* . Если р - простое число, не являющееся делителем числа cj, , то хр«(СР**)£ . Следовательно, если 6еяг2(х£)*2р - элемент, отвечающий teZp , тоАХ£(6) будет периодическим спектром, представляющим теорию KUZp - К-теорию с р-адическими коэффициентами. Действительно, в этом случае спектр_Х£(&) соответствует бесконечно- кратному пространству петельР((ВГЛр)=Р(((ГРов)р) . Так же как и в § 9 части II, мы можем построить отображение а:р((<ип;) —- ви; ( = BUip). Согласно результатам указанного параграфа, это отображение ивду- цирует изоморфизм колец Н*( ;2/р)-когомологий, ибо H*(P((CPto););Z/p) s H*(P(CP~);Z/p), H*(BUj;Z/p) a H*(BU;Z/p). Таким образом, отображение G является гомотопической эквивалентностью, поскольку оно связывает р-конечно-полные (т.е. Н*( ;Z/p) -локальные) пространства. (с) Если X а ВА* для некоторой F^-^алгебры А, то в качестве Ь можно взять образ элемента бея^ГВР^риэ пункта 1.4.5, (6), при каноническом гомоморфизме xz((3F$)*)-+-xz(X*). Получа-
5 1. Спектр Х(6) £29 ющийся спектр Хр (&) будет представляющим для теории^ аналогичной топологической К-теории (или, точнее, теории KUZL ), и функториально зависит от А в том смысле, что каадый гомоморфизм f -алгебр А, -+~А2 индуцирует мультипликативное отображение спектров (ВА})£ (6) (BA*)Jffc). 1.4.6, Самый важный пример,■* (а) Этот пример является обобщением примера (6) из пункта 1.4.4. Пусть fc - категория с точными последовательностями [(j)3, 4]. Тогда можно образовать категорию Квиллена QC и рассмотреть Н-пространствоЙ0В?С- компоненту отмеченной точки пространства петель классифицирующего пространства этой категории. ПоложимuDBQgX6 . Например, если V - некоторая схема, то в качестве t можно взять категорию £(Y) векторных расслоений над Y (равно как и категорию локально-свободных пучков Qv -модулей конечного ранга), с обычным понятием (для ситуса Зарисского"^) точной последовательности. Если V= Spec А , то X, = BQLA+(cm. [Q3, 4] ); в этом смысле рассматриваемый пример является обобщением примера 1.4.4, (в). Заметим, чтоК0У*Х£(у)=ДВ(?Р00для любой схемы V . Можн<Г, конечно, заменить точность в ситусе Зарисского на точность в этальном ситусе^ Конструкция Q-категории работает одинаково хорошо для любого ситуса на V , но далее мы предпочтем придерживаться категории X©(V) , введенной выше, так как для нее мы можем провести некоторые вычисления, которые потребуются нам в части IT. __ (6) Рассмотрим некоторую К-схему V-*-SpecF<> . Пусть р - простое число, не являющееся делителем числа <^, и( )р,как в пункте 1.4.4, (6), обозначает р^конечное пополнение. Мы имеем отображение гомотопически коммутативных и гомотопически ассоциативных Н-пространств и, следовательно, элемент fee^ffBGLI^p)из пункта 1.4.4, определяет при помощи индуцированного гомоморфизма гомотопических групп элемент &уея:2((Хр(у))р • Более того, так определенный элемент 6у функториален относительно морфизмов схемы над Spec F^. Таким обрезом, конструкция спектра(Х£(у))р(бу) задает контравари- антный функтор на категории $р*с ]£ -схем, значениями которого являются теории когомологий.'Это есть обобщенная пучковая теория когшологи* в смысле работы [Вг - Q]. Спектр(Х£(у))р (6v)будем обо-
130 Часть III. Алгебраические кобордизмы и Х(6)-спектры значать через AFq у (заметим, что он зависит от выбора элемента Ь и числа р). Для всякого пространства W будем обозначать че- рез(АЕ V)*(V) и (AlRv)^(W) группы ассоциированных с этим спектром когомологий и гомологии пространства W. Спектр AF* у называется s-адическим спектром алгебраических iw6pBpH3M0BjcxeMH_ V . В части 1У мы вычислим гомотопии этого спектра для схем проективных расслоений и_схем Севери - Брауэра и покажем, как можно вычислять группы 9^(AF«^,v) , используя разложение Майера - Вьеториса схемы V в сочетании с методами редукции отвинчиванием и локализации из алгебраической К-теории.^ (с) Конструкцию из примера 1.4.6, Ш, можно с тем же успехом применять и к схемам над полем комплексных чисел (С. Бели мы рассмотрим схемуV-^-Spec С , то, как и в пункте 1.4.6, (6), получим отображение (всоп;—-(Wp- Даже если пространство GL(C наделяется дискретной топологией (и поэтому пространство(В(?ЬС+)р намного больше пространства (BU)p ), всё равно вложение Z/p~cS*c^Lx(n индуцирует отображение (BZ/p*9 )£ -*-()BGLC+jCh эквивалентность(ВЖ/рв*)р*((ГРво)2 . Следовательно, мы можем получить функториальный элемент^Х^Х^^)^ и построить спектр А (Су тем же способом, что ив пункте 1.4.6, (в). Приведем теперь несколько элементарных результатов, относящихся к предыдущим примерам. 1.5. Лемма. Если умножение на целое число ve Z аннулирует элемент 6guc* (X) , то умножение на это число v аннулирует группу когомологий X(6)*(W) для всех пространств W и всех целых чисел ir • Доказательство. Будем использовать обозначения пункта 1.2. Пусть 0:SW—*~Х - тривиальное 5-отображение. Тогда композиция S-отображений z»(z*x)-&~s^s-xx)1^0.*1*) s"x тривиальна. Предположим, что представителем элемента QeX(6V(W)« Um{SfcW^W,X} служит S-отображение q:H «W-*-X. Тогда представителем эле-
§ I. Спектр Х(б) мента VQ будет отображение. * s^(v6eix)oHoZ^ « Л^ОФ 1х)о Н«2^ £0. 1.6. Следствие, В обозначениях пунктов 1,4.2 и 1,4.3 каждая из групп (a) A0^(W) и (6) AZi(W) аннулируется умножением на 2 для всех j и W. (В § 3 мы уввдим, что утверждение для случая (а) нам фактически уже было известно!) 1.7. Нч№;Ж}.кН+(АРЛ/2) . Образующая группы H,(3K.P"°;Z/2) определяет элемент группы Н^АО^г/Я) и, следовательно, элемент Uj*-Hj(A0-,Z/2 ). Так как 0(1) =QL1Z , то имеет место коммутативная диаграмма канонических отображений BGL1Z=1RP00 = BO(1) I . I BGLZ+—L-^B0 = BGLlR Следовательно, образующая группы H.-(RP°°;Z/2) определяет элемент V^eH^AZ ; Z/2), такой ЧТО Ь# ( V: ) * U j - Вычисления, аналогичные проведенным в щгнкте 3.6 части II, дают следующий результат. 1.8. Предложение. В обозначениях пункта 1.7, (а) R+(A0;Z/2) s г/2[и19иГ1щи 9...9ип,...]; (б) H*(AZ;Z/2)s H*(BGLZ;z/2) [vf*]; (с) каноническое отображение i:BQLZ-—^-В0 индуцирует отображение спектров L:AZ—*- АО, такое что гомоморфизм I, : H#(AZ;Z/2)—- H,(A0;Z/2) является эпиморфизмом; фактически i+(v> ) - и; .
132 Часть III. Алгебраические кобордазш и Х(6)-спэктры 1.9, Предложение. В обозначениях пункта 1.4.3, (а), Xt^(S)'(W)«0 для всех пространств W и целых чисел j . Доказательство. Из [Q] мы знаем, что квадрат каждого элемента б^К^СК) равен нулю. Операция возведения в квадрат индуцирована умножением в Н-пространстве BCJLFV*" ("суммой Уитни"). Следовательно, в кольце x*(ZGLF<y) все итерированные произведения элемента 6 должны равняться нулю. Применяя теперь метод доказательства леммы 1.5, получаем, что двукратная итерация структурного отображения ь дает стабильно тривиальное отображение. Следовательно, спектр AFJ&) тривиален. 1.10. Теорема. В обозначениях пункта 1.2 предположим, что X = х I * х2 есть произведение Н-пространств и элемент Ь^х^(Х) лежит в слагаемом яг^СХ,*) . Тогда (а) спектр Xt(6) является прямым слагаемым спектра Х(6); (б) фактически спектр Х(£>) эквивалентен спектруХ^)л(Х^)^ где X* - объединение спектра Хг с лежащей вне него отмеченной точкой * ; (с) в силу (6) можно отоздествить группу х (Х(^)) с группой X^b^CXj не приведенных Х"^ 6)-гомологии спектра Хг* Тогда умножение в х*{Х(6)), индуцированное мультипликативной структурой спектра Х("5) , совпадает с умножением, индуцированным Н-структу- рой пространства Х2. Доказательство, (а) Это утверждение очевидно, так как конструкция спектра Х(&) задает функтор на категории Н-пространств и их отображений, сохраняющих элемент 6 , а отображения Х±с*~Х<*Хг-+Х, по условию являются морфизмами этой категории. (6) В 3-категории имеет место эквивалентность поэтому группу стабильных гомотопических классов! ;Х *Х ]можно представить в виде (i.io.i) { jX^Xj^C )фА2( )фА3( ), где AL( )-{ ,Xt}, 1-1,2; А3( )-{ ЛлХЛ-
§ 1. Спектр X(6) 133 Структурное отображение спектра (Х*Ха)(6) задается при помощи умножения на элемент Ь : Ъ~(6. ):{ ,Xt*\}—{Z*( ),Х1"Ха}. Следовательно, нам надо описать гомоморфизм (6 • ) в терминах разложения (I.I0.I). Из утверждения (а), очевидно, следует, что если x^AJ )-А1, то 6(эс1,О,0)=(6х1,0)0) . С другой стороны, из свойств конструкции Хопфа Н следует, что S-отображение х1лх2-^-х1хх2-^-х1дх2, гдеас(уруг)=у л у2, является тождественным, а композиция отображения Н с каздой из проекцийХ^Х-^Х^ дает тривиальное отображение. Согласно определению структурного отображения е , данному в пункте 1.2, справедлива формула где б л 1Х — смэш-цроизведение тоздественного отображения 1Х со структурным отображением s спектра Xt(6). Аналогичные рассуждения показывают, что &ф(0,х27о)*(0,0,0). Следовательно,-взяв предел по итерациям композиций с &# ,мы получим "изоморфизм ^(А^ ))ФАг(2ы( ))®A3teU( ))) = йгпА1(ЕЫ( ))9Ьт\(^)), где первый предел берется по композициям с & — структурным отображениям спектра Х^б), а во второй - по композициям с В терминах спектров это означает, что спектр^хХа)(6)эквивалентен сумме спектров Xt(6) и Хх(6)аХ2 , чем утверждение (6) и доказано. (с) Нам нужно проверить это утверждение для всевозможных произведений элементов, представленных в разложении (1.10.1) элементами а1,агеА1 и cl3,q^A3. В силу (а), произведение ata{ соответствует произведению в кольце л*<(Х1('6)) . Допустим, что представителем элемента at служит отображение at : 5kH+i — Л, - ZVH(X^\), а представителем элемента а3 - отображение а3 : Sw+l—*- ХМ(Х^Х2) -Ц- Ztlf(X^X2).
Часть III. Алгебраические кобордазмы и Д6)-спектры Тогда представителем произведения ajQ3 , по определению, будет S-отображение вида }а1ЛаЗ ХШХл ЪШ(ХхлХ2) где H7- конструкция Хопфа, а тх :Х1хХ1-~^-Х1- умножение в Н-про- странстве. Взяв композицию с проекцией на Xt, мы получаем, что А4( ) -компонента элемента atas в разложении (I.I0.I) равна нулю, а его А3( ) -компонента представляет собой в точности произведение элементов а3 и ах относительно структуры nc^fX^6))-модуля в Х^&У^СХ^. Аналогично проверяется, что элемент (хъа'г равен произведению в Xt(6)j. ( XJ элементов q3 и a'3, индуцированному Н-умножением mx :^X^X. Здесь используется тот факт, что умножение в спектре2 (Х1^Х2)(6), задаваемое конструкцией пункта 1.2, определяется при помощи Н-умножения т *т . Подробности предоставляем чи- тателю. * I.II. Следствие, Пусть X - некоторое гомотопически коммутативное и гомотопически ассоциативное Н-пространствсбвяг^ (X) и д:Х-*-Хп - диагональное отображение. Тогда кольцо 9Г*(Хп(Л#(6)))изоморфно яг#(Х(6)) -алгебре ХСб^Х"*"1). (Обращаем внимание, что в этом примере Ь принадлежит обычной, а не стабильной гомотопической группе.) Доказательство. Рассмотрим отображение X:XR—>-Х , задаваемое формулой X(x19...,xri)»(x1,mx(x2,/(a1)), ...,mx{xn,y.(xj) ) > где тх - умножение в Н-пространстве X и^;Х-^Х отображение перехода к обратному элементу в смысле тх-умножения. Отобра-
§ I. Спектр X(6) 135 женив X является эквивалентностью Н-пространств и переводит элемент Д*(6) в образ элемента 6 при гомоморфизме, индуцированном вложением первого сомножителя. Следовательно, спектрXn(AjS)) эквивалентен спектру(X^Xjtt), где ХХ=Х и Хг=Хп-1, и поэтому требуемый результат непосредственно вытекает из утверждения (с) теоремы 1.10. 1.12. Рассмотрим теперь расслоение F-^- Е-^-В , образованное Н- пространствами и Н-отображениями. Пусть бея-^CF) . Построим спектры F(6) и E(l^(6)). Отображение I индуцирует мультипликативное отображение спектров (1Д2.1) I : ¥(Ь)—- Е(Ч#(6)). Заметим, что в пункте 1.10 мы изучили описанную только что ситуацию для случая тривиального расслоения Е = F * В . Так как наши спектры построены с использованием стабильных гомотопий, которые не сохраняют структуру расслоения, то самое лучшее, на что мы можем надеяться,-это что для изучения отображения (1.12.1) удастся применить спектральную последовательность. 1.13. Теорема. Пусть расслоение Г-^Е-^В и элемент- Ье.хн(7) такие, как в пункте 1.12. Тогда существует (сильно сходящаяся) спектральная последовательность со следующими свойствами: где гомологии берутся с простой системой коэффициентов (dr:E (и) ассоциированная фильтрация кольца ^(Е(С^(6))) имеет вид где И Доказательство. Пусть ВЛ обозначает п-мерный остов пространства В. Зададим фильтрацию JEn,n^0} в Е, полагая Еп= *Г1(Зп). Применив к этой фильтрации функтор стабильных гомотопий, получим, согласно [Sw , гл. 15], сильно сходящуюся спектральную по-
Часть III, Алгебраические кобордизмы и Х(б)-спектры следователыюсть (1.I3.I) р^« Hp(B,*»(F)) -* *Г%(Е).* Без ограничения общности можно считать, что умножение т:В*В-*В является клеточным отображением. Поэтому умножение в £ индуцирует последовательность отображения|т:Еп^Ет-^Еа>т}. Таким образом, учитывая, 4ToFcE0 , мы получаем семейство согласованных отображений mo(Lxi): FxE^ -— En. Следовательно, умножение на элемент 1^(6) в кольце 9Г#(Е') индуцирует гомоморфизм спектральной последовательности (1.13.1), который переводит вД в !>*,<>+к при помощи умножения группы коэффициентов я?(F) на 6 . Перейдем к пределу спектральной последовательности (1.13.1) относительно последовательных итераций рассмотренного выше гомоморфизма. Так как функтор йтп точен, то в результате мы получим спектральную последовательность, которая, очевидно, удовлетворяет условию (О. Далее, так как фильтрация, ассоциированная с (1.13.1), тривиальна в отрицательных размерностях, то получающаяся фильтрация BX#(E(t#(6)J) также будет тривиальна в отрицательных размерностях. Кроме того, поскольку операции взятия прямого предела и объединения групп коммутируют, то UFp,.-»rf(E(l#(6))). Аналогично из соотношения Гр,,/^,, = V-p* Щц1£,_р вытекает соответствующий результат для групп E~s_p . Тем самым установлено свойство ( U ), а из него, в частности, вытекает ([С-Е, гл. 15; Sw, гл. 15], что рассматриваемая спектральная последовательность сильно сходится. § 2. СТАБИЛЬНЫЕ Г0М0Т0ПИИ ПРОСТРАНСТВА ВО (некоторые новые элементы в я* (ВО)) В центре внимания этого параграфа - доказательство следующего результата. 2.1. Теорема. Для соответствующих целых чисел i(t)имеет место
§ 2. Стабильные гомотопии цространства ВО 137 (41с - 2)-эквивалентность между пространствами B0(2fc)/B0(2fc-2) и ZnK(Z/2,2k-l+h)d(h)xnK(Z/2,2k+L)d(C). h*0 1*0 Числа cL(L) будут определены в пункте 2.6, а К(Я/2,п)- это обычные пространства Эйленберга - Маклейна. Доказательство теоремы 2.1 по существу было получено Р. Томом [Th , § 6 ] . Тем не менее для полноты я приведу его здесь, разбив на рад шагов (пункты 2.4 - 2.9). В качестве следствия теорем 1.4.2, (ц), и 2.1 мы получим (в пункте 2.10) следующий результате 2.2. Теорема. Для всех к и j, имеют место разложения стабильных гомотопических групп х](Ъ0(2Ъ))= я?(В0(2к-2))еЪ}(к). Если у<Лк-2 , то группа B;(fc)содержит в качестве прямых слагаемых Д}СЬ) экземпляров группы Ж/2 , где числа fy(b) задаются fi(fc) * О, если j < 2k-l , i, если j ±2к-1 , [ dL0-2fc+l)+dCi-2fc), если 2fc* jMfc-3 . Далее, образующие указанных групп Z/2 являются носителями когомологических классов Xw и \> • определенных в пункте 2.6. (Здесь d(n) - те же целые числа, что и в геореме 2.1.) Замечание. Конечно, можно порождать дальнейшие элементы группы я* (ВО), исходя из "основных" элементов, описанных в сформулированной теореме, используя умножение в яг* (ВО), индуцированное операцией тензорного умножения вещественных расслоений (ср. с § 6 части I). Однако я не буду входить здесь в обсуждение подробностей такого вычисления. До конца этого параграфа Н* будет обозначать сингулярные когомологии с коэффициентами в Z/2. Прежде всего нам надо ввести необходимые обозначения. 2.3. Классы ШтиФеля - Уитни и упорядочение. Имеет место изоморфизм H*(B0(l)sZ/2[t], где deyt = 1. Следовательно, Н*(Ъ0(1)2к) * Z/2[ti9...,t2k], где degts = f и t< принадлежит когомологиям s-ro сомножителе.
Часть III, Алгебраические кооордизмы и Х(6)-спектры Пусть h : B0(I)2fc—^ B0(2fc) - каноническое отображение. Тогда к* - мономорфизм. Если Wy.e Hv(B0(2fc)) есть v-й класс Штифеля ~ Уитни, то элемент h*(wv) равен v-й элементарной сиглметрической функции от tt,..,, t2fe. Таким образом, кольцо "R*(B0(Zk))^Z/2^ai9.^^wmBo отождествить при помощи К* с кольцом симметрических многочленов. Кольцо Н* (B0(2fc)/B0(2fc. - 2) ) можно отоадествить с идеалом (w2bl, w21c > в H*(B0(2fc) ), а этот идеал, согласно сказанному выше, можно рассматривать как идеал симметрических многочленов от t1?.~, t2fc . Далее мы будем делать все такие отозде- ствления, не оговаривая это специально. Пусть t- = t&1... t*£ -моном. Обозначим через (2.3Д) or6(t§)e(2/2)[t1,...,t2k] сумму всех различных сдвигов монома t£ под действием симметрической группы Z2t . Ясно, что or£>(t&) можно рассматривать как элемент кольпа Н* (B0(2fc)). Для ч>1г>в..^ in>o , ^;2>->,и>о будем писать * (2.3.2) Wt W. . .. w. > w, Wi . ,.w{ тогда и только тогда, когда при некотором $ *0 Так определенное упорядочение называется мономиалышм упорядочением. Выражение вида (2.3.3) W1( ... w,, + (младшие мономы) будет обозначать многочлен от wp.-,w21c , в котором моном wu ••• wug строго старше в смысле мономиального упорядочения любого из мономов, стоящих в скобках. 2.4. Лемма. При соглашениях пункта 2.3 в кольце H*(B0(2k)/B0(2k-2)) справедливы формулы S()U (%) = Чц • • • WU W2fc+ (MJK,E™e МОНОМЫ) W2fc 7 SoU(w0<.i)=wlf ... W„ w„. ,+(младшие мономы)wAj (no модулю идеала (w2fc>).
§ 2. Стабильные гомотопии пространства ВО 139 Здесь U-fuj,...,^)- допустимая последовательность целых чисел (см. [Е -S]), такая что 2X*2fc-l , .и U - соответствующая итерация операций Стинрода. Доказательство. Согласно формуле ?у [М -St ; Th, с. 310], так что начальные условия для индукции по г выполнены. Рассмотрим сперва Sfyu(w2fc). Используя предположение индукции и формулу Картана, получаем ^U (w2fc) = 21 w zfc wa %Ul VU("W/ (младшие мономы)). Слагаемые с a = ut , очевидно, имеют желаемый вид, так как Scj,0 - тоадественная операция. Далее, если j< uz , то, согласно формуле By, выражение для Scfwj содержит классы w$ только для (><2j <Zu2\ Поскольку U -допустимая последовательность, to2u.z4u1, и поэтому» разлагая выражение w9, wa So r (w ' . .. wIf + (младшие мономы)), где 0 ^ а < ut , при помощи формулы Картана, мы заключаем, что это выражение не содержит членов, включающих класс W: для i>u>L. Следовательно, это выражение имеет вид Wfc(младшие мономы), и тем самым шаг индукции завершён- Аналогичные рассувдения позволяют доказать и вторую формулу, так как вдеал ( w2fc) инвариантен относительно действия алгебры Стинрода. 2.5. Следствие. В группе H'(B0(2k)/B0(2k - 2)) с js-ffc-2 множество элементов S^uw2fc-1 и Scjuw2fc , где О пробегает множество всех допустимых последовательностей, линейно-независимо. Доказательство. Допустим, что ZАи 5^ии/21кг +2^v &j ^..fO.Рассмотрим старший моном в выражении Z/*v^Vw2*>i • Приводя выписанное выше линейное соотношение по модулю идеала ( w21c) и используя предложение 2.4, получаем, что старший моном может появиться лишь от одного слагаемого, коэффициент /*у при котором должен, следовательно, равняться нулю. Применяя индукцию по моно- миальному упорядочению, заключаем, что все коэффициенты ру ну-
140 Часть III. Алгебраические кобордизмы и Х(6)-едектры левые. Аналогичное рассуждение по индукции показывает, что и все коэффициенты Х^ также равняются нулю. 2.6. Диадизм.^ Здесь мы напомним введение Р. Томом понятия диа- дической переменной, недиадического разбиения и диадического упорадочения мономов. Преаде всего, число d(h) , о котором шла речь выше, есть число недащщч^ких__разбиеш1Й числа к. Это означает, что d(h) равно числу неупорядоченных наборов положительных целых чисел (an...,as ), таких что Z Q-t =* Я , причем ни одно из а^ не равно числу вида 2™ - I. Пусть теперь tp...? t 2fc - переменные, введенные в пункте 2.3. Переменная tn называется дщщ^ск^й^переменнрй многочлена p(t1?»-.? tzfc) , если в каждый его моном она входит либо с показателем 0, либо с показателем, равным степени числа 2. Отметим, что если tn - диадическая переменная в многочлене p(tt,...,t2fc), то она будет диадической и в многочлене S(jr(p(t ,...,tzk)) для любых г . Теперь, наконец, дадим определение щадатеского_.упо»Еясйрч^ния мономов от переменных tl?...,t21c . Пусть £*» t*1.,. t^. Определим у^начение и у -значение монома tb формулами u (t~)= (число недиадических переменных в мономе tе ), v(t6)» (полная степень недиадических переменных в мономе te ). Условимся, что x=t£>t =t| тогда и только тогда, когда либои(х) > ц(у) , либо ц(х)=а(у) и v(x) < v(y). Для каждого числа h42fc-l введем многочлены где ы~(ар...,ар)пробегает все недиадические разбиения числа h . Для U21c введем такие многочлены где о>*(6г...,6д) пробегает все недиадические разбиения числа t. Напомним, что операция ог6( ) была определена в (2.3.1). Ясно, что XheH21s-U,lCB0(2fc)/B0(2fc-2)) , Y^n2**\b0(2k)/B0(2k-2)).
§ 2. Стабильные гомотопии пространства ВО 141 В заключение этого пункта рассмотрим следующие множества элементов кольца H*(B0(2fc)/B0(2k - 2)): (2.6.D x^,s^x^-£,...,s^xi ...,s,V.if л\ Л, (2.6.2) ^fS^£,...,S^,...,S^va YZfc В (2.6.1) m- любое положительное целое число, не превосходящее 21с - I f UK пробегает множество допустимых последовательностей степени тп-Н, а ык пробегает множество недиадических разбиений числа К . Аналогично в (2.6.2) п - любое положительное целое число, не превосходящее 2 k, VL пробегает множество допустимых последовательностей степени n-t , a ut пробегает множество недиадических разбиений числа I . 2.7. Лемма. Пусть Scj Х^ и Scj,lY0 , где со»^,...,^- элементы из множеств (2.6.1) и (2.6.2) соответственно. Тогда в диадичес- ком упорядочении ^ +1 * +f т (L) многочлен огб^1 ...t/ Scj (tM...t2fc))содержит.макси- малыше мономы многочлена So1 Y^ ; (it) ^шoгoчлeнor6(t^+^.Л^wS^I(tp+1...tzЫ))coдepжит макси- малыше мономы многочлена Sc^1 х£ , которые не принадлежат идеалу <w2k>. Доказательство. Начнем с утверждения (и. Как уже отмечалось в пункте 2.6, если ta - диадическая переменная многочлена р , то она является диадической и для многочлена Sql(p)m Это вытекает из формулы Из этого наблюдения легко следует, что многочлен Sc^ft^-t^) является вполне диадическим, и поэтому если х - некоторый моном многочлена SalY^ , то и(х)$г. Существуют только два способа достичь равенства и(х) = г . Ясно, что каздый моном в многочлене orb(t^*+ ,..t^r4" S(f(t ^Л^шз (i) имеет ц-значе- ние, равное г. Далее, все мономы этого многочлена имеют v—значение, равное г+£ . Другой способ получить мономы с а (ос) «г дает выделение в разложении многочлена So1 Y ^ мономов вида
142 Часть III. Алгебраические кобордазмы и Х(6)-спектры где 2 л; > 0 и выражение в первых квадратных скобках содержит недиа4&2гаеский моном. Однако v -значение таких мономов равно id в \ з Тем самым утвервдение (I) доказано. Доказательство утвервдения (И) аналогично, надо только все равенства рассматривать по модулю идеала (w2fc). 2.8. Предложение. Для каздого J^4fe-2 элементы степени j из множеств (2.6.1) и (2.6.2) образуют линейно-независимое подмножество в группе H<>(B0(2fc)/B0(2Jc - 2)). Доказательство. Используя лемму 2.7, покажем сначала, что элементы из множества (2.6.2) линейно-независимы, а затем покажем, что элементы из (2.6.1) линейно-независимы по модулю идеала^2к). Так как все элементы из множества (2.6.2) принадлежат этому идеалу, то тем самым наше утверадение будет доказано. Итак, предположим, что выполняется соотношение 0-Z c^Y'. Соотношение линейной зависимости А = В не может выполняться, если мономы максимального диадического порядка в А строго диадически старше, чем все мономы в В. Следовательно, такое соотношение возможно лишь меаду многочленами Scj,1 Y , у которых максимальные мономы имеют одинаковые и— значения и v-значения, т.е., согласно доказательству леммы 2.7, значения a*r и v=r+t . С другой стороны, при фиксированном I максимальные мономы в ScjrY для различных и; все различные. Следовательно, единственно возможным соотношением является соотношение вида для фиксированных и> и L . Но у многочлена в правой части этого равенства диадически максимальные мономы,в силу леммы 2.7, образуют многочлен огЬ■(*) . где = (tr<^OZcxsc^tr+r..t2j.
9 z. итабилыше гомотопии пространства ВО 143 Однако если or6(z)«0, то 2 = 0 , а так как^1* ...trr+ )f09 то мы пришли к противоречию с линейной независимостью элементов множества {S^(w21c_r„t)} , которая была установлена в лемме 2.4. Следовательно, с^~ 0 для всех X. Повторяя проведенное рассуждение по модулю идеала <^ w2fc ) и используя утвервдение (it) леммы 2.7, получим доказательство линейной независимости элементов Sq,1 Х^ по модулю идеала { w^^). 2.9. Доказательство теоремы 2.1. Произведение классов когомоло- гий х£и Y£ задает отображение пространства B0(2fc)/B0(2k-2) в произведение пространств Эйленберга - Маклейна, о котором идет речь в формулировке теоремы 2.1. Согласно работе [Ser] , в размерностях, меньших чем 41с - 2, базис групп Z/2-когомологий этого произведения составляют образы фундаментальных классов при действии допустимых операций Scj,1. Следовательно, для доказательства (2)-локальной (41с - 2)-эквивалентности рассматриваемых пространств достаточно проверить, что элементы множеств (2.6.1) и (2.6.2) образуют базис группы Н*(В0(2Ь)/В0(21с - 2)) в размерностях, не превышающих 41с- 2. Обозначим через c(t) число диади- ческих разбиений числа t . Так как операция Стинрода За1 мультипликативно неразложима тогда и только тогда, когда i~2™ для некоторого m (см. [ Е -S , с. 10 ]), то c(t) равно числу допустимых операций Sa1 степени t . Следовательно, элементы из множеств (2.6.1) и (2.6.2) образуют базис Z/2-векторного подпространства группы н1""210"1 (B0(2k)/B0(21c - 2) ), которое имеет размерности %d(h)c(t-W)+£d(l)c(t-l-l)(ecm t£2k-{ } , Первая сумма в этом выражении равна числу разбиений числа t , так как кавдое разбиение однозначно разлагается на диадическую и недиадическую части* Вторая сумма равна числу разбиений числа t-i.. Поэтому ясно, что размерность указанного подпространства совпадает с dimEt4'2k'"i (B0(21c)/S0(2tc - 2) ), После локализации в других простых числах оба рассматриваемых пространства становятся тривиальными в этих размерностях, так что построенное отображение является (Ак - 2)- эквивалентнос тью. 2.10, Доказательство теоремы 2.2. Искомое разложение группы stj (В0(21с) ) получается из теоремы 4.2, (И), части I. Фундаментальные классы произведения пространств Эйленберга - Маклейна из теоремы 2.1 задают прямое слагаемое в К:(В0(2к)/В0(2к - 2) ), являющееся Z/2-векторным подпространством. Поскольку полученные таким образом элементы гомотопических групп детектируются класса-
144 Часть Hi. Алгебраические кобордазмы и Х(б)-спектры ми когомологий, то их образ в %,(B0(2k)/B0(2fe- 2) ) нетривиален. Из рассуждений, которые будут проведены ниже в § 3 и которые аналогичны соответствующим рассуждениям из пункта 2.7 части II, следует, что S -отображение ВО - 1VjcB0(2fc)/BO(2fe-2) переводит каждый класс гпос!2-гомологий в "себя". Здесь мы рассматриваем классы гомологии из H^(B0(2k)/B0(2fc- 2) ) как элементы группы Н^(ВО) аналогично тому, как это делалось с классами кого- мологий в пункте 2.3. Следовательно, фундаментальные классы являются носителями классов когомологий Y,% и Х* , в соответ- ствии с выбором (4k- 2)-эквивалентности, данным в пункте 2.9. § "3. НЕОРИЕЖИРОВАННЫЕ КОБОРДИЗМЫ (в терминах Х(6)-спектра) В этом параграфе я хочу описать АО-теорию примерно тем же способом, которым я описал AI7- и ASp-теории в §§ I и 2 части II. Если {Х^} - элементы из (2.6.1), то Uk-TTXJ; можно рассматривать как элемент группы кобордизмов МО2*^1 (B0(2k)/B0(2fc- 2)). Здесь классы Х£ пробегают всё множество (2.6.1). Поэтому, согласно теореме 3.2 части I, этот класс кобордизмов можно "поднять" до класса Ц.е МО (ВО). Существует еще один очевидный способ "поднятия", основанный на том, что теория кобордизмов М0*( ) представляет собой в точности сумму экземпляров теорий Н*( ; Z/2), и именно этот второй способ был использован, по существу, для когомологических отождествлений в пункте 2.3. После того как в пункте 3.4 будет вычислен гомоморфизм (^0(Zn) )* » мы увидим, что эти два способа "поднятия" совпадают. Аналогично если{У^} - элементы из (2.6.2), то элемент Vfc« П Y^ определяет класс VfceM02fc(B0) (см. пункт 3.10). Основным результатом этого параграфа является следующая теорема. 3.1. Теорема. Пусть FsA0°(W)- элемент, представленный отображением £e[S**V,2B0]. Тогда (а) элемент f *( И ц+vj* Пмо^Л^мо^ЧЛ) определяет некоторый элемент
§ 3. Неориентированные кобордазмы 145 (6) преобразование Фл : A0°(W) — M0*(W)- Urn П MOfe(W) является кольцевым гомоморфизмом; (с) Ф0 есть изоморфизм, когда dim W"<©o . Эта теорема будет доказана в пункте 3.9. План доказательства аналогичен тому плану, который был набросан для комплексного случая в пункте 2.3 части II. Я советую читателю еще раз вернуться к тому наброску, прежде чем погружаться в приводимые ниже технические подробности. Кратко говоря, мы хотим взять структурное отображение спектра АО-теории и проанализировать его двукратную итерацию Х2(22В0) —*- ИгВ0 в терминах расщепления из теоремы 3.2 части I. Мы покажем, что в терминах этого расщепления рассматриваемое отображение представляет собой сумму отображений плюс некое отображение, которое уменьшает фильтрацию в ВО, задаваемую остовами. Таким образом мы стабильно расщепим итерацию структурного отображения в сумму двух частей, а затем применим теорию препятствий для стягивания по остовам нежелательной части. Сначала нам нужно проанализировать гомоморфизм в гомологи- ях, индуцированный расщеплением из теоремы 1.3.2. Следующий результат является вещественным аналогом результата из § I части II. 3.2. Предложение. Рассмотрим композицию S-отображений £>0(1)2п-^—В£кгО(2) -F^BO^ -^_ VaFtG_B0(2)/(Fi.f^B0(2))-^FsC^B0(2)/(Fs.1CooB0fZj). (Здесь использованы обозначения из предложения 1.2.7 и § 1.3.) Если $ <п, то эта композиция разлагается в группе стабильных гомотопических классов в сумму отображений 0±>"чЯи > каждое из которых пропускается через каноническую проекцию пространства В0(1)2п на соответствующий экземпляр пространства В0(1)23
146 Часть III. Алгеораические кобордизмы и Х(6)-спектра Доказательство. Заменим в доказательстве теоремы II. 1.2, данном в пункте II.1.4, BU(I) на В0(2). Тогда рассувдения, проведенные там, покажут, что отображение В0(2)п — ЪИпгО(2) —- Г,СовВ0(2)/(Го^СооБ0(2)) разлагается в сумму отображений, каадое из которых пропускается через проекцию В0(2)п—*-B0(2)s . Искомый результат получается теперь взятием ограничения на B0(I)2rl при помощи канонического отображения. 3.3. Кольпо Н*(В0: Z/2). Обозначим через u,<sH (ВО; Z/2) образы образующих групп Н^ (В0(1); 2/2), j * 1 . Тогда H^(B0;Z/2) = Z/2[u1,a2>...} (ср. с пунктом 1.8). Группу H*(B0(2fc); Ж/2) можно отоадествить с Ж/2-подпространством в Н*(ВО; Z/2), натянутым на мономы веса <2к . Ъ свою очередь, в этом подпространстве группу Н^(В0(2к)/ В0(21с- 2); Z/2) можно отождествить с подпространством, натянутым на мономы веса <Tfc-I или 2fc. При этих соглашениях имеет место следующий результат. 3.4. Предложение. Пусть О : В0(2п)— V B0(t)/B0f2t-2) - стабильная эквивалентность из теоремы 3.2 части I. В обозначениях предыдущего пункта справедлива формула ( $п,« J (и. ® ... ® и, )~ц, ®..,<g> ц. v 0(2n.)'*v it *>pl tt tp для всех i <* p < n. Доказательство. Так как ^сгп)|В0(2п-2)^9о(2а-г), то достаточно рассмотреть случай, когда р«2п-1или %п. Стабильное отображение $Qf2ri) разлагается в композицию вида B0(2rt)^4B2:TliO(2)-^FaCeeBO(2) ^> V \СЪШ/\_СЪ0(2) - V В2гО(2)/(В£ г0(2))-^ V B0(2t)/B0(2t-2) (в обозначениях § 4 части I).
§ 3. Неориентированные кобордазмы 147 Имеем ui9...»ui-hJxiQ...9Xi )у где0^еН$(В0(1);2Д)и h - каноническое отображение (ср. с 1$редложением 2.7 части I). Часть композиции v>o№n) , отображающаяК^гОДОв ЪЕпгО(2)/(Ь71п^гО(2))9 совпадает, в силу свойства (6) из пункта 1.3.5, с каноническим факторотображением. Согласно предложению 2.7 части I, Т(*л)оЬ-Х1(?)к? 1 где1(д)«±1 и fcn - отображение, полученное из 1с при помощи перестановки сомножителей пространства В0(1)2п, индуцированной сопряжением с элементом а • Следовательно, часть отображения ^oan)°h> принимающая значение в В0(2п)/В0(2п-2), совпадает cXl(g)hg, где h : B0(I)2n-*-B0(2n) - каноническое отображение и liJ отображение, полученное при помощи сопряжения с ^ из композиции ЬО(1)2п-±+-В0(2п) —^В0(2а)/В0(2я-2), в которой второе отображение является каноническим факторотображением. ВЯ/2-гомологиях гомоморфизмы (ILq)^ и h# совпадают. Кроме того, ZKg)-!. Следовательно, из доказательства предложения 1.2.7 вытекает, что Тем самым рассмотрение части отображения, принимающей значение в В0(2а)/В0(2я - 2), закончено. С другой стороны, согласно предложению 3.2, отображения в слагаемые B0(2fc)/B0(2Jc~ 2),k<n , индуцированные композицией \>or2rL) ° h » представляют собой суммы отображений, каждое из которых пропускается через соответствующие проекции. Гомоморфизмы в гомологиях, индуцированные этими проекциями B0(I)2n—^■B0(I)2fc, к<п, аннулируют элементы х^ ®... ®ос£ , когда р = 2п- 1 или 2п. Следовательно, элемент(^o^fh)^ (х- ф?..®:^) имеет единственную нетривиальную компоненту, равную КДх; ®...Ь%;). Это завершает доказательство. * Ч гР 7 3.5. Следствие. Пусть & : £ ВО—^-ХВО - структурное отображение АО-спектра (см. пример 1.4.2). Опираясь на стабильное разложение из теоремы 3.2 части I, рассмотрим S-отображение (%е)о& как индуцирующее отображения е • V Tl*(EO(2tybO(2t-2))—~- V B0(2t)/B0(2t-2).
148 Часть III. Алгебраические кобордизмы и Х(6)-спектры Для i^n обозначим через X; следующую композицию: S*(B0(2j)/B0C2j-2))—— V Z*(B0(2t)/B0(2t-2)) (2!£)og > V BO(2t)/B0(2t-2) — B0(2i+2)/B0(2i), 14t4nH n и положим fiR = en—Z ^j. • Тогда отображение /цп индуцирует нулевой гомоморфизм в приведенных гомологиях с рациональными или Z/a -коэффициентами для всех простых чисел с^ . Доказательство. Для коэффициентов в поле Х/2 наш результат немедленно вытекает (ср. со следствием 2.8 части II) из предложения 3.4 и того факта, что 1 З'*1 Ч У [0, 1 если pf j . Для коэффициентов в поле Z/fy , где а - нечетное простое число, или для рациональных коэффициентов результат следует из вычислений, которые по существу те же самые, что и в комплексном случае (см. следствие II.2.8). 3.6. Некоторое обозначения и замечания, касающиеся доказательства предложения 3.8. Теперь мы собираемся приступить к доказательству предложения 3.8 - вещественного аналога предложения 2.9 части II. Будет удобно ввести специальное обозначение для той части отображения, которую мы хотим деформировать. Заметим сначала, что у-п принимает значения в пространстве V B0(2t)/B0(2t - 2), так как часть отображения £R, принимающая значения в В0(2п+ 2)/В0(2п), совпадает с Jlr. Обозначим через /ta(J,£) : 2^(B0(2p/B0(2j-2))—B0f2C)/B0(2C-2) слагаемое отображения /*п с указанными областями определения и значений. Отображение jin(j9l) может быть нетривиальным, только когда Uj^n . Действительно, ограничение у.п на пространство .VgHx(B0(2t)/B0(2t-2) )f которое стабильно эквивалентно пространству S2B0(2s), совпадает с отображением у3, а ^отображает 2*B0(2s) в B0(2s). Положим G; = B0(2j )/В0(2/ - 2). С точностью до стабильной эквивалентности мы можем представить пространство В0(1) в ввде
§ 3, Неориентированные кобордазмы 149 букета Л^ Y, , где Xi - пространство, получаемое следующим образом. Стабильное пространство В0(1)2п расщепляется в букет а- кратных смэш-произведений экземпляров пространства В0(1) (1^ cj, < 2п ). В качестве Yj берется объединение всех таких а -кратных смэш-произведений для ^=2^ или 21 - 1. 3.7, Предложение, В обозначениях предыдущего пункта, для t&iSri композиция S -отображений Z2Yj ^ Zz(Z0(lfn) _*. £*B0(2n) —S2^ ^^ G£ тривиальна. (Здесь все непоименованные отображения являются каноническими.) доказательство. Рассмотрим следующую коммутативную диаграмму, состоящую из S -отображений, введенных в § 3 части I и в предыдущем пункте: S2Y с Е2ВО(1)2п — £2БО(2п) = V GL—Gj J ■ t=l £n-^n РпЦА Ч+i п+1 Xvi сЩбО(1)2П^—BO(2n^2)= kV GK Fe 0^0(2)/ ^iCooB0(2)- Гц * Gi В этой диаграмме T обозначает S -отображение из предложения 3#2 (с заменой я на л+1). Следовательно, Т является суммой S- отображений at, где каждое jt пропускается через проекцию вида х : BOd)2,71"'^—^-BO(I)2^ . Требуемый результат вытекает теперь из того факуа, что композиция #°^+1 (где ij + i - фигурирующее в диаграмме вложение пространства Yj + f) представляет собой тривиальное отображение. 3.8. Предложение. Обозначим m-мерный остов пространства 0; = B0(2j)/B0(2j - 2) через ((}:)m . Для всех n,m>i существует S -отображение
150 Часть III. Алгебраические кобордазмы и Х(6)-спектры со следующими свойствами: (I) у-'п(} ,£) гомотопно S -отображению /*>л(} ,Q из пункта 3.6; (a)Ai(/>^ отображает 22(fy)m в (Gc)m^ . Доказательство. Доказательство следует образцу, данному в пункте 2.9 части II, только теперь нам потребуется более тонкое рассуждение теории препятствий. Заметим преаде всего, что все возможные ненулевые препятствия являются 2-примарными. Это вытекает из того, что в качестве отображений /*-Л(/>С) взяты прямые слагаемые Iотносительно стабильного расщепления пространства В0(2Ь) S-отображения Ц2(Б0(2п))-*-В0(2п + 2), полученного конструкцией Хопфа из отображения a 2/j = Оеяг^ВОШ) (ср. с пунктом 1.5). Следовательно, используя предложение 3.5 для случая Z/2-гомологий и применяя рассуждения из пункта 2.9 части II, мы получим отображение /*" , гомотопное отображению /in(j ,С) и такое, что его ограничение на m -мерный остов пространства G; приводит к следующей коммутативной диаграмме: s2(%)m^*s«(eJ)in-y^ (3.8.1) Г р.- (GE)m—(Gt)m+1-ys: m+1 •а Отметим, что в этой диаграмме строки задают канонические корасслоения. Нам надо показать, что /i'" - гомотопически тривиальное отображение. Рассуждая от противного, допустим, что jx,(( гомотопически нетривиально. Тогда оно детектируется операцией Scj,2 в группе H*(C(/t'"); 2/2), где С(-£) - конус отображения f . Здесь термин "детектируется" означает, что операция Задействует нетривиально на группе Н™"* (С(У'); Я/2).^Рассмотрим теперь S-отображение Y^ ~--Gi > введенное в пункте 3.6. Оно индуцирует отображение
§ 3. Неориентированные кобордизмы 151 Так как гомоморфизм Н*(С(/с!"); 2/2)-*-H*(C(j); %/2) является мономорфизмом, то операция S^2 должна детектировать отображение а , если она детектирует отображение /с'". С другой стороны, согласно утверждению 3.7, отображение /сЛ(j ,С) гомотопически тривиально на Z*Yj » если £$ j ^п » и очевидно, что его гомотопия с отображением в точку задает гомотопию отображения <j с отображением в точку. Полученное противоречие доказывает, что отображение juli!I гомотопически тривиально. Как и в пункте 2.9 части II, мы можем провести предыдущее рассувдение и для последующих остовов, стабилизировать полученное отображение и получить в результате S-отображение /i^/tft(j/)t ограничение которого на m-мерный остов пространства Q- приводит к следующей коммутативной диаграмме: 13.8.2) ^iv). yhr, ^CV) (брти — (Gt)m-VS,m Как и выше, строки этой диаграммы задают канонические корасслоения. Нам нужно показать, что отображение />с(у)из диаграммы (3.8.2) гомотопически тривиально. Мы сделаем это при помощи хоро- шо известного рассуждения, принадлежащего Адему [Т, с. 84, пример 3] и используемого для доказательства, что элементif^-K^iS0), где •) - образующая группы x^(S°), нетривиален. Рассмотрим композицию j Из рассуждений, при помощи которых выше была установлена гомотопическая тривиальность S -отображения о , вытекает, что и S- отображение ^ гомотопически тривиально. Предположим, что для некоторых индексов jb и <jjQ стабильное отображение (Y). <*лг+2 „m нетривиально. Тогда оно задает элемент rf , где 0 f q&x^(S°). Таким образом, мы получаем композицию (3.8.3) z2cvm-~ s^2-—sm+1-^s;o,
152 Часть III. Алгебраические кобордазмы и Х(8)-спектры которая гомотопически тривиальна. С другой стороны, отображение /) нетривиально и детектируется операцией Scf в своем конусе С(*\). Также и композиция Za(YJ„f-^S^+-^Sm* нетривиальна, ибо в ее конусе операция Sy1 действует нетривиально на целочисленном классе когомологий, носителем которого является сфера S1^4" . Так как композиция (3.8.3) тривиальна, то мы можем приклеить к конусуС^) отображения г\ конус над £(£z(Y^)m ) . Получим пространство Ь = (570ие"+2)ис(И(£2(урт)), где C(S(S2Y;)m)- конус над £((212Yt )m). Поскольку операция Scj2, детектирует отображение q и композицию первых двух отображений из (3.8.3). мы видим, что если ueHm(L;Z/2)- целочисленный класс, носителем которого служит сфера 5 IT , то О f S<^Sc^ueHmM(L;Z/2). Однако S^u^O, так как операция Зс^1 цредставляет собой оператор Бокштейна и потому аннулирует целочисленные классы. Следовательно, из соотношения Адет ScfScf^ScfSq1 (см. [в -S , с. 2 J ) вытекает, что 0 = Sa2 Sa2 . Полученное противоречие показывает, что ju/v«0. Следовательно, отображение fi^ можно прогомотопи- ровать до отображения, переводящего Z2(G;)m в (Сг^)т_А . Используя индукцию по остовам, можно расцространить соответствующую гомото- пию на всё пространство 212(Gf) и тем самым получить требуемое отображение j^n(l, I) . 3.9. Доказательство теоремы 3.1. Если dimW<«> , то имеет место изоморфизм A0°(W)-Um[ZwW,ZB0]af umjE'W.BO]. IT" "V~ L Далее, если dimW<4n-2, то ассоциированный с классом кобордизмов ГТ (Ц+Ю гомоморфизм 1с >П t, л :{W,B0/B0f2n-Z)}—^ П M(T(W), является изоморфизмом. Это утвервдение доказывается точно так же, как теорема 4.1 части I, с использованием теоремы 2.1 и описания МО-теории [Т] в терминах теории 2/2-когомологий (см. приводимое ниже замечание 3.10, в котором дан набросок принадлежащего Тому описания МО-теории). Следовательно, в силу соображений из доказа-
§ 3. Неориентированные кобордазмы 153 телъства теоремы 2.1 части II, гомоморфизм Ф0 является расщепляющим эпиморфизмом. Класс кобордизмов ГКЦ+VL) задает корректно определенное эк- споненциальное преобразование К0°( )-*-М0*( ). Поэтому, используя те же рассуждения, что и в комплексном случае (см. пункты 2.3 и 5.3 части II), мы заключаем, что преобразование Ф0 мультипликативно. Остается лишь показать, что, в случае когда dimW< ©о , Фр является мономорфизмом. Доказательство этого факта полностью аналогично соответствующему доказательству из пункта 2.И части II, надо только вместо предложения П.2.9 использовать предложение 3.8. Подробности предоставляем читателю. 3.10. Замечание. Пусть Н*( ) обозначает теорию Z/2-когомоло- гий. Если MD(t) - пространство Тома универсального вещественного t-мерного расслоения, то М0(2к - I) = В0(21с- 1)/В0(2к - 2) и мы имеем каноническое отображение M0(2fc - I)-^B0(2fc)/B0(2k-2). При помощи индуцированного гомоморфизма классы Х^е H*(B0(2fc ) / В0(21с - 2))из (2.6Л) задают классы X*eH*(M0(2fc- I)). Таким образом, мы получаем отображение <: IlxJ: M0(2fc-i)—- ПК(2/2,2к-1 +h)d(h\ где индексы h и со пробегают то же множество, что и в (2.6.1), и d(h) - то же самое число, что и в пункте 2.6. Это отображение является (4к- 2)-эквивалентностью. Аналогично существуют каноническое факторотображение В0(21с)/В0(2к - 2)-»-М0(21с) и однозначно определенные классы Y^eH (М0(21с) ), которые при индуцированном гомоморфизме переходят в классы Y^ из (2.6.2). При помощи этих классов задается 4 к-эквивалентность V': П Y*:M0(2k) \\Yl(2/2,2k+t)d(0. Так как M0*(W) = Е1гп[^Лг?М0(п)1 то отображения U^ и V^ (которые согласованы с рассматриваемым здесь предельным переходом) позволяют отоадествить группу M0*(w) с произведением групп Z/2-когомологий пространства W , в случае когда dimW<°°.
154 Часть III. Алгебраические кобордазмы и Х(6)-спектры § 4.06S-THDE ПРОСТРАНСТВА vm J (новые элементы в x^(im.J)) Этот параграф посвящен изучению S-типа "образа" J-гомомор- физма. Все рассматриваемые простоанства предполагаются ^-локализованными, а группы гомологии и когомологий берутся с коэффициентами в Z/2. Для наших целей "образом" J-гомоморфизма достаточно считать пространство Д)(2) из работы [F-P]. Это пространство определяется при помощи расслоения бесконечнократных пространств петель J0(2)— BO-^-BSO, где f3 - операция Адамса. В [F-P] показано, что имеет место эквивалентность Ъ0Т*£* J0(2). Здесь ( )+ обозначает (+)-кон- струкцию Квиллена [¥а], а 0П1^- конечная ортогональная группа, введенная в § 7 части I. Таким образом, пространства J0(2) и BQP3 имеют один и тот же ( (2)-локалышй) S-тип. В § 1.7 описано стабильное расщепление пространства B0F3 в букет пространств вида В021еР5/(В0л_2Г3). Опираясь на эти составляющие букета, мы построим элементы стабильной гомотопической группы x^(J0(2)). Так как существует канонический гомоморфизм группы x%(J0(2*))b стабильную гомотопическую группу сферы х% (S0), то эти элементы могут оказаться полезными (см. список проблем в конце части IY), Полученное таким образом семейство элементов в %£(S?) почти наверняка содержит очень важное новое семейство Маховальда [Mail]. 4.1. Теорема. Существует (2)-локальная (4п - 3)-эквивалентность между пространством B02ri(F3)/(B02a.^(F3)) и произведением пространств Эйленберга - Маклейна П K(2/2(2nt!-e+sr^-6,S); произведение берется по е= 0 или 1,о^0 и l-6+s42n-3. Здесь <L(L) равняется числу разбиений (av<xz, •.. ) числа I (Z^c3^ Ь таких что 0<al^2m-i, а e(t?s) равняется числу разбиений (Ц .. .,Ц) числа s (£ fct = $ ), таких что ki>0 и Ьиф fev при a^v . Для удобства положим e(t,s)=0n d(£)=0 , если соответственно t<0 или t< 0 , а d(0) =е(0,0) = I. Непосредственным следствием этой теоремы и результатов § 7 части I является следующий результат.
§ 4. Об S-типа цространства imJ 155 4Т2. Теорема. Существует разложение стабильных гомотопических ( (2)-локализованных)групп вила для всех j ип, Если j < 4п - 2, то группа Cj (п) содержит в качестве прямого слагаемого сумму tfj(n) экземпляров группы Z/2, где число j)j (п) задается формулой Г О, если j <2n-i, I Z d(t)e(2n-q-s,s), если 2n-f*j<Hn-3. Ыа> Здесьj*2n*C-e+s. Числа e, C, q,s и функции d( ), e( , ) такие же, как в теореме ЗЛ. Каздое слагаемое 2/2 детектируется, его можно отличить от других слагаемых по его образу при гомоморфизме Гуревича способом, описанным в пункте 4Л4. 4.3. Образующие группы KLCBQFO. Напомним некоторые сведения о Я/2-гомологиях пространств B02rlF3. В работе [Г^Р] описаны 1/2- гомологии пространстваВОГ3• Точнее, в этой работе рассматривается бесконечнократное пространство петель, обозначаемое Г0В0Г3, которое является нулевой компонентой пространства петель SIВ ( U ВО ¥,). Имеется гомотопически коммутативная диаграмма .. + B0nF3 *~ В0п+1 Гз "~ • - • (4.4) (*[-*]) ^Т*[-п-1]) ГоВОРз в которой ( [-п]) обозначает отображение, переводящее пространство В0п1з в п-ю компоненту при помощи канонического отображения [Г-Р] , а затем сдвигающее образ в нулевую компоненту. При помощи диаграммы (4.4) задается отображение (4.5) B0F3 = (лт B0nF3 - Г0В0Г3 , индуцирующее изоморфизм соответствующих групп гомологии. Используя это отображение, можно описать образ группы Н^(В02Г1 ]Р3) (с коэффициентами в2/2) в Н#(В0Ж3). Пусть Та и Tg - экземпляры
156 Часть III. Алгебраические кобордизмы и Х(6)-спектры группы 2/2 х2/2, заданные следующим образом: *,-<?' -О °0' «•-(1o-«)>-w*w Пусть Of x^H^RP^H^BZ/^).Обозначим через vt , еН{ • (В02¥3). V^eH^BO^Ij) образы элементов xL® х^еН1+: (Та) и x^H^BO^) соответственно. Далее, обозначим через >^еН^(В0Ж3) и ^е Н|(В0]?з) образы элементов v^ 0 и v^ соответственно. Положим Fn« im(HjB02nF3)— Н,(В0Г3)). Тогда, согласно [Р-Р, теор. 3.1 и предл. 3.11 ],справедлив следующий результат. 4.6. Предложение. Группа Fn порождается мономами вида Здесь произведение берется в кольце Понтрягина гомологии Н-про< странства Г0В013. 4.7. Предложение. Мономы из утвервдения 4.6, для которых 1^ jx< jz<...< i^ о^азуют базис группы Fn. Доказательство. Рассмотрим гомоморфизм^ ' H,(B0Ir3)--»"-H*(B0¥3)t индуцированный отображением перехода к обратному элементу в Н- пространстве Г0ВОЖ3. Тогда если то, согласно теореме 3.2 из [Р-Р]» имеет место изоморфизм алгебр H,(B0F3)«P(^,^,...)(8)E(u1,ua9...). Далее »/(wJ=Wa+p(w19...?w Здля некоторого многочлена р. Следовательно fWf=yf+c}(W1,...,wl4,yi,...^irl) для некоторого многочлена cj, и поэтому указанные в формулировке предложения мономы порождают всю группу Га. С другой стороны, поскольку (4.8) Ui-w^^+rfWp.^w^,^,...^^^,
§ 4. Об S-типе пространства imJ 157 нетрудно уоедиться в линейной независимости этих мономов при помощи индукции по числу и степени элементов ц. , входящих в мономы. 4.9. Следствие. Группа Н^(ВОга W3/{BQZri_z IF3)) изоморфна 2/2- векторному пространству с базисом, состоящим из мономов Ц: ... Ц: W: W: - . . W;, , dLl ?CS }i }z it7 таких что s+t= 2а - I или 2а и l£ j,L<j><...<и. Отождествляя эту группу с указанным подпространством в H*(B0F3), получаем, что действие на ней двойственной алгебры Стинрода полностью определяется формулами Аналогично диагональный гомоморфизм в гомологиях этой группы полностью определяется формулами Доказательство. Согласно пункту 7. 2.1 части I, пространство BO^F-jABO^aFj) является прямым слагаемым в 5-типе пространства В0Г31 и вложение его индуцирует в гомологиях гомоморфизм, переводящий моном в "себя". 4.10. Кольцо H*(Ba>nf*/(B03ft-iff*) ) как А-модуль. Пусть А обрзна- чает, как обычно, mod 2-алгебру Стинрода. Мы хотим описать указанный в заголовке пункта А-модуль и сделаем это, исходя из сравнения его с известными А-модулями H*(S0) и Н*(В0). Существует [Т-Р] расслоение SO *-B0(Fj*—-ВО, такое что Н^(ВО) = Р( Цх , Цг ,...) и Нй( S 0) = Е( ulf uz,...), где и;, отображаются в ui( а ^ - в ^ , Обозначим через s^eH1 (В0Ж3) образ 1-го класса Штифеля - Уитни. Ясно, что класс гомологии $i полностью определяется следующими условиями (ср. с [AdI, с. 49] ): для всех других мономов х от переменных у.,..., w«-. . Имеет мес-
158 Часть III. Алгебраические кобордизмы и Х(6)-спектры то формула Зу [M-St , с. 82 ] (4.И) S^Sm)=SfcSm + (k;m)s^lSm.1^..4fcr)Sm.fc' Обозначим через S^(n) подпространство в Н/ВО^/ВО^.^) с базисом, состоящим из мономов %x*^i^itt^h<h< "' ; k + t= 2п или *п - I). Тогда H^CBQg/BO^jr: |SfcCn} , и действие двойственных операций Стинрода согласовано с этим разложением. Фактически пространство S^in) с действием на нем операций ($<^J* изоморфно Z/2-пространству H,(M0(fc))®W(k), raeW(fc)cH*(SO)- векторное пространство, натянутое на мономы веса 2а -к и 2п - к. - I от переменных ulf ua, ... .Для того чтобы описать структуру А-модуля на ^ Sfc(n)* , нам надо дуализовать цриведенные выше факты о гомологиях. Однако здесь возникает затруднение, связанное с тем, что образующие {*ч} примитивны, а образующие (w^j-нет, хотя образующие {yt} имеют ту же диагональ, что и {ytl • Соотношение между образующими uif wt и yt задается формулой (4.8). Тем не менее структура А-модуля Н*(В013) совпадает "по модулю фильтрации" со структурой А-модуля H*(B0)®H*( SO). Уточним это утверждение. Обозначим через х еЗк(п)*элемент, двойственный моному х относительно описанного выше мономиального^зиса. Сопоставление элементу V*7-""^Jt элемента Yvujt задает аддитивное вложение кольца $St(n)* в Н*(В0)®Н*( SO). Заметим, что Обозначим через Scf (yt ... V£ ) элемент, который при этом вложении переходит в элемент S^(iyii...u^)«H#(B0)eH*(SO). Тем самым мы вводим операцию 5cf , являющуюся "подделкой" под истинную операцию S^fc. Ясно, что Sqfc»Scjfc на элементах вида уГТ^Г и "w7 . Кроме того, несложное вычисление показывает, что (4.12) f*£^%- Г^-Ъь + ЪЧ^' где I«(t,,...) и ke(fciJ...k<l),(i<t. При помощи индукции по t
§ 4. Об S-тше пространства ImJ 159 с использованием равенства (4.12) и соотношений получаем следящий результат. 4.13. Лемма, В предвдущих обозначениях разность принадлежит подпространству, натянутому на элементы вида Ль ...w^ с <^<t. 1 * 4.14. Доказательство теоремы 4.1. Пусть z±9 z2,... - набор переменных и z1-моном от Z19.«.,z^ . Как и выше, "обозначим через orfcfz1) симметрический многочлен, равный сумме сдвигов монома z1 при действии симметрической группы 21 ^ . Пусть p(slf..., Sj,) - многочлен от классов когомологий s-^f^BOl^) из пункта 4.10. Мы будем писать ?(sr ...) « orbfz3), если левая и правая части становятся равными после подстановки sl«^(z1,z2,...) (где о'^ - это 1-я элементарная симметрическая функция). Приняв это соглашение, рассмотрим следующие элементы из H*(B02nF3/(B02fi_23F3): (4.15) arb(zp+iz2*+i...2p*zr+i...zо)® V77^ ii . . . Wj где<^<2п , ( Qt ,...,ar ) - разбиение числа h^^a^c} > Для которого ни одно из а^ не равно числу вида 2m-I, t=*2n — cj или Мы утверждаем, что в размерностях, не превышающих 4п - 3, элементы S<jr(x) , где I пробегает всё множество допустимых последовательностей, а х -множество элементов вида (4.15), образуют базис группы H^BO^U^/CBO^^ F3) ). Метод доказательства такого рода результатов принадлежит по существу Р.Тому; мы уже применяли его один юаз в § 2.
160 Часть III. Алгебраические кооордизмы и Х(6)-спектры Заметим прежде всего, что достаточно установить линейную независимость элементов S^x(x) . Действительно, в силу результатов пункта 4ДО существует аддитивный изоморфизм Sfc(n)*£ H*(M0(k))eW(fc)cH*(M0(fc))eH*(S0), и метод счета из пункта 2.9 показывает, что число Ildim S^(n)* в точности равно числу элементов Sc^l( х) . Итак, пусть а « or6(z*x*4...Zo), 6 = (wj . ..w, ) и х=а<&6. Тогда (4.16) &^(х) ~ S<^"(a)e6 + Е SqJ(a)*S<jJ(6). С другой стороны, согласно формуле (4.И), элемент Scj (а) по модулю идеала, порожденного классами когомологий s^+± ,s^,... , задается той же формулой, что и элемент Sc^I(a) в H*(M0fy))t если мы в выражении для а заменим s^ на t-й класс Штифеля - Уитни. Кроме jcoro, согласно лемме 4.13, элемент Sc^J(6) сравним с элементом Scj,J(6) по модулю подпространства, натянутого на классы Wfc ... Wfc с v < t . Определим фильтрацию на группе ©Sk(n)* ^рассматривая её как подгруппу в H*(B0)#tftS0) относительно вложения, описанного в пункте 4.10, и задавая в кольце Н*(В0) фильтрацию идеалами <st, si+1 ,...), а в H*(S0) используя фильтрацию из леммы 4.13, двойственную фильтрации по весам мономов. При такой фильтрации действие операций Стинрода на элементы a®6eH*(MO(fc))®W(fc)=Sfc(n)*coBiWiaeT по модулю элементов младшей фильтрации с их действием на них как на элементы А-модуля H*(M0(k))® H*(S0). Относительно структуры последнего А-модуля элементы S^x(x) , как известно, линейно-независимы в размерностях 4 4п - 3, что легко устанавливается методом из § 2. 4.17. Замечание. Для того чтобы проиллюстрировать, как работает теорема 4.2 в малых размерностях, мы приводим ниже таблицу нескольких первых элементов гомотопических групп, существование которых утверждается в теореме. Все эти элементы принадлежат группам flr?(B0F8)(a) . Пояснения к таблице: элемент стабильной гомотопической группы xf (£>0F3)(Z) описывается параметрами j5£,£,s,(}, и п из теоремы 4.2 и элементом из группы когомологий H^(B0F3,Z/2)^ принимающим ненулевое значение на образе гомоморфизма Гуревича этого элемента; обозначения когомологических элементов те же, что и в пункте 4.14.
§ 5. Алгебраические кобордизмы кольца целых чисел 161 Таблица нескольких первых элементов групп *ЛЬ0Г3)(2) 1 1 1 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 Параметры 1 б ~"о 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 элеменшоб 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 2 2 0 0 0 1 3 2 4 3 1 2 3 2 3 2 1 2 5 4 п "1 1 I 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 детектирующие классы Ц orbCz^ orbtz^^) orb(z1z2) ® ^ orb(z1z2z3z4) orb(z1z2z3) ® fy orb (z1) ® w^w2 orb(z1z2) ® w2 orbCz^Zj) ® w2 orbU^) ® wjw2 orb(z?z2z3) orb(z^z2) ® fy orbcz^ ® wjw3 orbcz^yewj orb(z1z2z3z4z5) orb(z1z2z3z4) о ^ § 5. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КОБОРДИЗМЫ КОЛЬЦА ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ Z И ИХ ЭПИМОРФИЗМ НА Я:#(М0) Основная задача этого параграфа - получить следущий результат. 5.1. Теорема. Пусть X - некоторое клеточное разбиение. Рассмотрим кольцо его полных неориентированных кобордизмов МО*(Х) = От П MOt(X). ~ТГ -«к Существует функториальный гомоморфизм T:AZ°(X) -М0*(Х), с такими свойствами:
162 Часть in. Алгебраические кобордазмы и Х(6)-спектры (а) Т - эпиморфизм, если c£unX<oo • (б) Т не является мономорфизмом, в случае когда X представляет собой п-мерную сферу, где п - любое целое неотрицательное число. Здесь AZ ( ) обозначает теорию алгебраических кобордиз- мов кольца целых чисел 2 , определенную в пункте 1.4.3, (Ь). План доказательства. Гомоморфизм Т определяется при помощи рода в МО-кобордизмах пространства BQLZ*, индуцированного родом Тома в М0-кобордизмах пространства ВО посредством канонического отображения BQLZ —>-В0. Все пространства, составляющие AZ- спектр, равны 22BQLZ"f"- двукратной надстройке над пространством BQLZ*". Следовательно, для того чтобы установить эпиморф- ность гомоморфизма Т, нам нужно построить S-отображение из ВО в BQLZ*". Мы сделаем это, построив S-отображения из B0F3 bBGLZ"1" и воспользовавшись затем результатом § 7 части I о разложении (2)-локального S-типа пространства B0F3 . Для доказательства того, что Т в общем случае не является изоморфизмом, мы портроим экспоненциальный гомоморфизм * : [X,bQL2+]-+-A2°(X) и покажем, что для Х=3 существует элемент ie%JbQ$JlL )ЗД/4в, такой что 0 ф \^3( t)e кар Т. Параграф организован следующим образом. В пункте 5.2 мы напоминаем основные понятия AZ -теории # определяем Гомоморфизм Т, о котором идет речь в теореме 5.1. Кроме того, в этом пункте приведены необходимые сведения, касающиеся АО-теории - вещественного аналога АЖ-теории. В пункте 5.3 устанавливаются некоторые факты о гомологиях AZ- и АО-спектров, которые понадобятся нам далее. В пункте 5.4 построено преобразование Я из алгебраической К-теории кольца Z в алгебраические кобордиз- мы этого кольца. Мы показываем, что гомоморфизм \> нетривиален на группах К-Ь(Ж) для 1 = 1, 2 и 3. В пункте 5.5 приводится конструкция, позволяющая получить многие элементы кольца АЖ°00 в случае, когда clim.X<©o . Наконец, теорема 5.1 доказывается в пункте 5.5.9. Всюду в этом параграфе Н* и Н* обозначают соответственно сингулярные гомологии и когомологии с коэффициентами в Z/2.
§ 5. Алгебраические кобордиамы кольца целых чисел 163 ^2Т AZ-теория и род Тома. 5Г2.1. Рассмотрим общую линейную группу GLnA с коэффициентами в кольце А и положим QLA= U Ql*nA . Вложение Z<=R индуцирует отображение классифицирующих пространств BGLZ->BQLR = ВО , где 0~tLmOn ( 0П - ортогональная группа п-мерного эвклидова пространства). Это отображение разлагается в композицию BQLZ -A-BQLZ+ -А- ВО . Здесь j. - каноническое отображение квиллен- изации (см. [H-S;Wa])TMH предполагаем известным, что г является отображением Н-пространств. Пусть X-BGLZ+ или ВО, и пусть 0=* q е ^(Х)^ Ж/2. Тогда Н - сумма отображения q с тождественным отображением 1Х~ определяет отображение q + l^: S^X-^X. Надстройка над конструкцией Хопфа, примененная к ц -»-1х , дает отображение е: ХЪХ—*- 22Х . Аналогично надстройка над конструкцией Хопфа, примененная к ^ + ix+;j+ix:SixX*S1*X--X, дает отображениеm:Z^XaS^H2^. В пункте 1.4.3 был определен спектр А2 с составляющими пространствами A2k- Z*BGLZ*, fc>2, и структурным отображением е: SAZ^-^-AZ^^. Отображение m:AZfc aAZ^ —*-AZfc,позволяет задать в AZ структуру мультипликативного спектра с коммутативным ассоциативным умножением и единицей u=Z2q:S3—*-Z2BQLZ+*AZ. В пункте 1.4.2 был определен спектр АО, который можно получить, заменяя в предыдущей конструкции пространство BQLZ* на пространство ВО. Введенное выше отображение г индуцирует отображение мультипликативных спектров r:AZ-*-A0. Род Тома представляет собой (см. пункт 3.9) элемент Ue ГТ M0fc(B0), такой что h*(U)«U<S>U , где h : ВО х ВО--»-ВО - отображение, задающее умножение в Н-пространстве ВО, ассоциированное с суммой Уитни вещественных векторных расслоений. Как*было показано в пункте 3.10, пространство Тома МО (fc) оказывается 2к-эквива- лентным некоторому произведению пространств Эйленберга - Маклей- на K(Z/2 ,m) . Поэтому теория кобордизмов МО представляет собой произведение соответствующих надстроек над теорией гомологии Н*. Следовательно, как уже объяснялось в § 3, канонический класс в МО (М0(1с) ) может быть "поднят" до класса в M0fc(B0). Это можно
164 Часть III. Алгебраические кобордизмы и Х(в)-слектры сделать так, чтобы при этом получить полный род U. Далее, если O^qsX^BO), to/)*(U)=1 + <* , где 6eU0i(Si) -класс надстройки. Определим теперь гомоморфизм Т, фигурирующий в теореме I.I. Пусть элемент хе AZ°(X) - Ьщ [ Z"X , S2BGLZ+] представлен отображением f:ZnX—^Z2QLZ+. Положим Т(х) = Sn(f *(tf2®r*U))€M0*(X), где5п:М0**п(2:пХНМ0*(Х)- изоморфизм надстройки, 6zeM0z(S2) - класс надстройки, U - род Тома и г*, £*- гомоморфизмы, индуцированные отображениями r,f . Так определенный элемент Т(х) не зависит от выбора представителя f элемента х (ср. с пунктом 3.4 части II). 5.2.2. Замечание. Можно определить кольцевой гомоморфизм Т':А0°(Х) —-М0*(Х), заменяя в предыдущей конструкции r*U на U . Фактически в пунк те 3.1 было показано, что Т' является изоморфизмом, когда dimX < оо . Очевидно, для каждого X имеет место коммутативная диаграмма AZ°(X) —L^ А0°(Х) (5.2.3) *Ч /^ М0*(Х) 5.3. К*(АЖ) и U*(bGLZ+). 5.3Д. Используя совпадение группы 0Ц2 с первой ортогональной группой 0г , мы получаем гомотопически коммутативную диаграмму канонических отображений BGL1Z=1RPCO=B01 К г » BGLZ ——~- ВО Пусть U: - образующий элемент группы H^RP00) . Образ этого элемента в Н;(В0) обозначим снова через U; , а образ его в Hj(BGLZ+) i через v^ . В этих обозначениях г*(\ъ)вии Пусть ь - слой отображения г • введенного в пункте 5.2.1.
§ 5. Алгебраические кобордизмы кольца целых чисел 165 ftт3.2. Предложение. Имеют место кольцевые изоморфизмы (О Н*(В0) = (Ж/2)[и19и2,...]9 at) н^гао) ^ н^воци;1], (Ui) H*(BQLZ+) г H#(F)eH#(B0), (iv) H,(AZ) »H#(BGLZ + )[V1"1]. Доказательство. Изоморфизм (L) хорошо известен. Изоморфизмы (U) и (tv) доказаны в пункте 1.8. Что касается изоморфизма (Ш), то мы установим его, доказав двойственное утверждение, а именно показав, что спектральная последовательность Серра Е^= Hp(B0)eH*(F) t=^> U?^(EQL2+) тривиальна. Заметим презде всего, что эта спектральная последовательность является спектральной последовательностью алгебр Хопфа. Так как г* - эпиморфизм, то краевой гомоморфизм г* является мономорфизмом. Предположим, что дифференциал ds: £** —*-E£+s,(*~s"^нулевой при s<t и при s=t , р+<^п ...Тогда для ос€Е**,Г1~р образ дифференциала d^Cx) должен быть примитивным элементом алгебры Хопфа е£'* . Но в этом случае dt(x)*a®l, где a - примитивный элемент алгебры Хопфа Н*(В0). Последнее равенство означает, чтог*(а) = 0 . Следовательно, а = 0 9 т.е. dt(x)-0 • Шаг индукции завершен, и тем самым получено доказательство тривиальности указанной выше спектральной последовательности/^" 5.3.3. Следствие. Hz(bQLZ+) з H3(F) ©Н3(В0), Доказательство. Из работ [L-Sz: Mi 4] мы знаем, что xfii) в0 для I = 0, 1 и 2, а X3(F)^Z/484 Применяя предложение 5.2.2, Uu), и используя теорему Гуревича и теорему об универсальных коэффициентах, получаем требуемый результат. 5.4. Гомоморфизм $:K;(Z) *-AZ°(Sl). 5±4Д. Для xe[X,BGL2+] будем считать по определению, что 22xe[z2X,A£2] является представителем элемента i)(x}-l€AZ0(X), Поскольку умножение в спектре А2 индуцируется умножением в Н- пространстве BQL2+ , отсюда следует, что i)(x+y)« ti(x)i)(ij) . В частности, если X=Sl , то, согласно построению алгебраической K-TeopHH,Kt(2)=[Sl,BQLZ+] , и мы, таким образом, получа-
166 Чаоть III, Алгебраические кобордизмы и Х(6)-спектры ем экспоненциальный гомоморфизм (5.4.2) *:К{(Я) *-AZ°(Sl). 5.4.3. Предложение. Гомоморфизм (5.4.2; нетривиален на группах К^(2)-2/2для i= 1 и 2. Для 1=3- группа Кг(Я) порождается элементом и порядка 48 (см. [L-Sz] ), таким что Оф ^(y)e kerT и 29(у) =0. Здесь Т - гомоморфизм из теоремы 5.I.I. Доказательство. Из работы [Mi 4, гл. 10] известно, что если ij - образующая группы K^Z), то /j2- образующая группы KZ(Z). При гомоморфизме Гуревича элементы ц е jrt(B0) и п2е я2(В0) переходят в ненулевые элементы группы Н#(В0). Следовательно, в силу предложения 5.3.2, ({.) и (U), композиция гомоморфизмов ненулевая при t = 1 и 2. Здесь г - гомоморфизм из пункта 5.2.1 и Н - гомоморфизм Гуревича. Так как %г (ВО) = 0, то образующий элемент у группы К (Ж) задается отображением S3—*-BGL!Z+, которое пропускается через слой Р расслоения г . Далее, пространство Г двусвязно, поэтому элемент ц детектируется в группе 2/48 « H3(F) , а следовательно, в силу следствия 5.3.3, и в группе K3(EQLZ+) . Используя предложение 5.3.2, (Ш) и (iv), получаем теперь, что элемент $(ц) детектируется своим образом при гомоморфизме Гуревича в группе H3(AZ). Следовательно, 20(ц) = 0. С другой стороны, T\)(y)-T'(r(i>(y))), согласно диаграмме (5.2.3), а гомоморфизм г<>\) пропускается через гомоморфизм г# : К.(Z) —+-Х.(ВО). Значит, Т\) (у) «0 , ибо яг3(В0)*0. 5.5. Некотоше элементы группы А2°ГХ). 5.5.1. Рассмотрим в группе QLnF3 , где F3 - поле из трех элементов, подгруппу 0nF3 (I ^п<«*> ), состоящую из преобразований, сохраняющих форму Ju *? . Пусть Za2 02F3 - сплетение симметрической группы 2П и"группы 0ZF3 . Тогда ИпгОгТ3 как подгруппа матричной группы 02riF3 пороадается "диагональными" 2х2-блочными матрицами и матрицами, осуществляющими всевозможные перестановки таких блоков. Аналогично группу ИпьОг
§ 5. Алгебраические кобордизмы кольца целых чисел 167 можно описать как подгруппу вещественной ортогональной группы 0гп . Ортогональные группы 0^F3=£yji02|iF3 и Q^UgtO,^ будем далее обозначать просто через 0Е3 и 0 соответственно. яг5.2. Предложение. После (2)-локализации существует S-отображение ^tbOF^BiZ^tO^), такое что для канонического отображения §n:B02F3n->B0F3 гомоморфизм в гомологиях(^о^) # совпадает с гомоморфизмом, индуцированным каноническим вложением OJF^cI^zQ^. Доказательство представляет собой развитие соответствующей части доказательства теоремы 1.7.2.1. Пусть 5?Г1*В02п1^-^В^1лг02!^)«-стабильное отображение, задаваемое трансфером, ассоциированным с каноническим отображением 1а: В& z0oFj-*B(X F, . Согласно теореме 1.7.1 Л, гомоморфизм ((род') > где оп - отображение, индуцированное вложением(02Г3) с0 Г ? совпадает с каноническим гомоморфизмом в гомо- логиях Н^. Выберем теперь какое-нибудь конфинальное семейство^ {Х^(п)} , состоящее из конечных подкомплексов пространства B02nIF3 , и пусть Ра>(п)с{Х^п))В(Хпг02Г3)}. - подмножество таких S-отображений f , для которых композиция индуцирует в гомологиях Н^тот же гомоморфизм, что и отображение £д ; здесь - отображение, индуцированное каноническим вложением групп. Пусть Q^(n) - образ множества Pofn) B[XJn)9b(T^zOzF3)]» Множество Qу(п) конечно и непусто, так как обратный предел компактных непустых множеств непуст. Таким образом, мы можем выбрать элемент ?efcm{X (п),В(Хоог02Г3)] = {В0Г3,Б(2:оог02Гз)}. 5*5.3, Из работы [Г-Р, § з] известно, что отображение В02пЕГ3 -*-В0ИГ3 индуцирует вложение группы H*(B02a]73) в качестве прямого слагаемого в группу Н^(В0Г3). Аналогичный результат имеет место для пространств В02л и ВО. Следовательно, можно отождест-
168 Часть ш# Алгебраические кобордазмы и Х(6)-спектры вить группы HJf(BC^iri/(BOanraPs) ) и Н#(ВОЛ/В0^) (п> 1) с соответствующими подгруппами в H*(B0F3) и Н*(В0) соответственно. Это позволяет придать смысл, например, высказыванию, что отображение ВО-*- V BOz1c /ЪОг1^^г индуцирует гомоморфизм, переводящий класс гомологии в "себя". В силу результатов §§ 3 и 7 части Т справедливо следующее предложение. 5.5.4. Предложение, (I) Существует (2)-локальная S-эквивалент- ность (II) Существует S-эквивалентность х:ь0~~&Bv*w iiit) Индуцированные этими эквивалентностями гомоморфизмы в гомологиях %и Я^ переводят каздый элемент в себя в смысле пункта 5.5.3. 5.5.5. Группа 02Г3 порождается матрицами О I \ и / I О -10/ \0 -I Следовательно, имеют место вложения 02¥3cQL22cQL2R , индуцирующие коммутативную диаграмму B02F3—BGLjf (5.5.6) \ /г ВО Пусть, как и выше, QX=Суп ЙПХ1ПХ - свободное бесконечнократное пространство петель, порозденное пространством X. Пространства BQLZ+ и ВО являются бесконечнократными пространствами петель [Ма 2; Wa ] . Поэтому диаграмма (5.5.6) индуцирует следующую коммутативную диаграмму бесконечнократно-петлевых отображений: QB02F3 -^QBGL2Z—QB02 (5.5.7) х\ у у BGLZ+-^B0
§ 5. Алгебраические кооордизмы кольца целых чисел 169 Существуют согласованные по n(n?i) структурные отображения такие что t1 и j,t представляют собой канонические надстроечные отображения. Более подробно об этих отображениях было сказано в пункте 2.5 части I. 5.5.8. Предложение. Композиция рассмотренных выше отображений и S-отображений B0fn—^B02nF3-^— B(2^i02F8) ^^BGLZ+-^-E0 индуцирует в гомологиях канонический гомоморфизм. Здесь I - отображение, индуцированное вложением диагональных матриц в группу матриц 0гп№ъ. Доказательство. Положим Wfc=2fcz 02F3 . По определению композиция гол3«1п является трансфером Кана - Придай trfroi^*^) [К-Р]ото- бтэажения относительно накрытия BN1«BMft.1-^B(Zti^)(cp, с пунктом 2.9 части I). Здесь pcL - проекция на первый сомножитель, а к и г - отображения из диаграммы (5.5.6). Далее, отображение rofc представляет элемент (E-(dirriE)) группы [B02F3» ВО] = K0(B02F3), где Е - ограничение на ВО^ универсального вещественного двумерного расслоения и (dimE) - тривиальное двумерное расслоение над B0Z]F3. Трансфер Кана - Придай аддитивен [ К-Р , § 1.8]. Поэтому гомоморфизм (гоА3 о in)# является фактором относительно умножения Понтрягина гомоморфизма (trE)* по гомоморфизму tr (dim Е) * . Следовательно, в силу функториальности трансфера [К-Р], отображение tr(£) пропускается через отображениеВСЕ^гО^-^В!^ , индуцированное гомоморфизмом 02IF3-*-{l} . Таким образом, отображение В04п—»-В(2пг 0г¥3), взятое в композиции с отображением tr(dimE) , дает тривиальное отображение. С другой стороны, если хеН^ДВО*"-), то, согласно предложению 5.5.2, элемент (у°£^(х) равен образу элемента х при гомоморфизме, индуцированном каноническим отображением, о котором шла речь выше. Сле-
170 Чаоть III» Алгебраические кобордиамы и Х(6)-опектры дователъно, (roX^Cfotl^ tr(E)^L: HjBOf1)—-Н#СВО). Наконец, следуя работе [Ма, гл. УН1, п. 1Д], можно показать, что трансфер tr(E) задается при помощи канонического отображения в(2пго2г3)—во2п—во, индуцированного вложениями Zn г 0г¥3 с И^г 0% с 02п/ 5.5.9. Доказательство теоремы 5.1. Пусть X - некоторое конечномерное клеточное разбиение. Тогда группа кобордизмов М0*(Х) (см. § 3) пороадается элементами описываемого ниже вида. Пространство B02k/B021c_2, как отмечалось выше, (41с- 3)-эквивалентно некоторому произведению пространств Эйленберга - Маклейна. Следовательно, если NT+dimX<4fc~3 , то мы легко можем построить гомотопические классы отображений frZ^X—^BQ^/BO^^. Композиция f с отображением ДГ*, обратным к $ -эквивалентности X из предложения 5.5.4,* (U), дает стабильное отображение х'€{£*Х5В0} и, следовательно, элемент х'€А0°(Х). Группа кобордизмов М0*(Х) порождается элементами Т'(х) , где элементы х строятся указанным выше способом,, а Т; - гомоморфизм из диаграммы (5.2.3), С другой стороны, пространство B021c3^/(B02fc.2]F3), как было показано в § 4, (4)с - 3)-эквивалентно произведению пространств Эйленберга - Маклейна, содержащему в качестве сомножителя (41с~3)- мерный остов пространства BQ^/B02fc_2. Следовательно, можно отождествить группу Hj(B021c /ВО-гд..^) с соответствующим прямым слагаемым группы Hj/BO^I^ABO^^I^) ) для j <4Jc - 3. Считая это сделанным, выберем отображение g;2^X-*-B02fcr3 /(B02k_2F3), которое индуцирует "тот же" гомоморфизм в гомологиях, что и f . Далее, возьмем композицию j с отображением Хъ<> 1^° <j ° у"1, где */Г* - отображение, обратное к S-эквивалентности i|/ из предложения 5.5.4, (L), а прочие отображения те же, что и в предложении 5.5.8. В результате получим элемент \jgAZ°(X), представленный стабильным отображением 4/€{ZTNX,BGLZ+}.Из предложений 5.5.4,(iit), 5.5.ъ и способа построения элемента у следует, что стабильное отображение ^(^{Е^ВО} индуцирует в гомологиях тот же гомоморфизм, что и отображение х . Следовательно,T^-Tfrfy)>-
§ 5. Алгебраические кобордазмы кольца целых чиоел 171 Т'х , поскольку каждый класс из М0*(Х) полностью детектируется при помощи гомологии. Для доказательства того, что гомоморфизм Т не является взаимно-однозначным при X =Sn, достаточно, ввиду периодичности теории алгебраических кобордизмов А2*( ), рассмотреть лишь случай X =S3 . В этом случае элемент \)(у) , построенный в предложении 5.4.3, дает пример ненулевого элемента из ЬегТ . Доказательство теоремы завершено.
Часть IV Алгебраические кобордизмы и геометрия § 0. эпилог (формулировки результатов и пропаганда подхода, основанного на использовании кобордизмов) Заключительная часть книги посвящена задаче вычисления групп р-едических алгебраических кобордизмов ^(<^Е v) $ введенных в пункте 1.4.6 части III для схем над Spec, г' В § 3 вычисляются алгебраические кобордизмы проективных расслоений и схем Севери - Брауэра, а также алгебраические кобордизмы Spec A[t,t-1 ] для регулярных К-алгебр А. Приведем формулировки нескольких типичных результатов. Следствие 3.3. Пусть А - коммутативная II-алгебра. Тогда Следствие 3.4. (л F ^ — \ ®ч если '1 нечётно» Ч^Л > ~ I Ш J(BU:)r; 2р) , если I четно. Следствие 3.10. Y v% Кроме того, построена (в пункте 3.12) спектральная последовательность, позволяющая изучать алгебраические кобордизмы в ситуации Майера - Въеториса для регулярных схем. Далее, у алгебраических кобордизмов спектре Spec А имеется аналог в топологической К-теории, и существует эпиморфизм (см. пункт 3.15) из кобордизмов в "К-теорию", соответствующий
§ 0. Эпилог 173 гомоморфизму Коннера - Флойда [ С-Г J. Этот эпиморфизм применяется в пункте 3.16 для детектирования элементов группы алгебраических кобордизмов спектра Spec K[t7t~1] = AK\(0). Все эти и некоторые другие результаты, вместе с обсуждением вычислительных методов, таких как редукция отвинчиванием и редукция по резольвенте (см. пункт 3.17), излагаются в § 3. Они дают основание рассматривать р-едические алгебраические кобор- дизмы как "обобщенную теорию предпучковых когомологий" в смысле [Br- Q], которая, к сожалению, не является псевдовялой (см. пункт ЗДЗ) как алгебраическая К -теория, но тем не менее, по- видимому, доставляет интересные инварианты для геометрии. В §§ I и 2 содержится материал, призванный убедить читателя в полезности применения в алгебраической геометрии обобщений инвариантов со значениями в кобордизмах. В § 1 мы исследуем одну проблему, касающуюся алгебраических векторных расслоений над числовыми полями, используя комплексную К-теорию (хотя с равным успехом могли бы воспользоваться и теорией кобордизмов) для этального ситуса. Это сделано с целью подчеркнуть пригодность обобщенных теорий когомологий (в частности, К-теории и кобордизмов) , примененных к этальному гомотопическому типу, для изучения геометрических задач. Читатель может спросить: почему нам не хватает классических обобщенных когомологий, примененных к этальному гомотопическому типу, для получения геометрических инвариантов? В § 2 я пытаюсь объяснить это, рассматривая обобщение конструкции Понтрягина - Тога, которое получается в случае этального ситуса, и показывая на двух примерах, какими беспомощными могут оказаться инварианты, даваемые классической теорией, Насколько убедительно материал §§ 1 и 2 доказывает верность моей точки зрения, судить читателю. Как бы там ни было, более подробное обсуадение вопроса читатель найдет во введениях к этим параграфам. В § 4 описываются гомоморфизмы, которые связывают р-адиче- ские алгебраические кобордизмы данной ¥л -алгебры,топологическую К-теорию классифицирующих пространств подгрупп группы обратимых элементов этой Fq -алгебры и К-теорию Квиллена. Эти гомоморфизмы вычислены для ряда примеров, и для этих примеров рассмотрен вопрос о восстановлении квилленовской К-теории по другим теориям.
174 Часть IY. Алгебраические кобордизмы и геометрия В § 5 приведен список нерешенных проблем, относящийся ко всем четырем частям книги. § 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ НАД ЧИСЛОВЫМИ ПОЛЯМИ (замечания к проблеме Атьи) В этом параграфе мы применим комплексные кобордизмы эталь- ного ситуса для рассмотрения одного вопроса, поставленного Ать- ёй в [А-М]. Это рассмотрение, по-видимому, будет очевидным для геометров. Тем не менее мы его приводим, ибо оно занимает немного места и служит веским дополнительны»! подтверждением той идеи, что обобщенные когомологии, в частности К-теорию (или, с тем же успехом, теорию кобордизмов, см. замечание 1.8, (и1)),можно с пользой применять для изучения этального ситуса многообразий. В следующем параграфе на примере К-теории и теории кобордизмов я покажу, взяв в качестве теста конструкцию Понтрягина - Тома, ограниченные возможности применения некоторых классических теорий кобордизмов к ситусам. Потенциально более полезными в этом случае являются теории р-едических кобордизмов, которые будут обсуждены в § 3. Приступим теперь к делу. В [А-М, с. 2] Атья поставил следующий воцрос. Пусть L/tC - расширение поля алгебраических чисел К, где К.- некоторое (фиксированное) подполе поля комплексных чисел (В, и пусть У - многообразие (т.е. неприводимая отделимая схема конечного типа), определенное над полем К. Рассмотрим алгебраическое векторное расслоение Е надУС&Ь . Вложение c:L-*-~£ поля L/K индуцирует комплексное векторное расслоение Ес над топологическим пространством \Л=(У®(П)КЛ , представляющим собой комплексное многообразие с классической топологией. Заметим, что Укл имеет гомотопический тип конечного клеточного разбиения. Пусть К(Х) обозначает комплексный К-функтор пространства X. Как известно, группа К(Х) изоморфна группе гомотопических классов [х д *ви ] . 1.1. Проблема. Как [Ес]бК(У1;л>) - класс комплексного расслоения Ес - зависит от вложения с : L~>(C ? 1.2. Пусть dimE^n . Поставленная проблема эквивалентна проб- ЛВ1№ изучения зависимости от вложения с класса [Ес]-леК(УКЛ) из приведенной К-группы многообразия V0 .
§ I. Алгебраические векторные расслоения 175 Положим u(E,cj = [Ec]-neK(^(n). Основная задача этого параграфа - изучить следующий родственный вопрос: т_-3. Проблема. Пусть 1*1 ^п . Как классы }>е(у(Е,0)еК(Укд) зависят от вложения с:L-^E ? Здесь ^ - это 1-я ^-операция [At 2]. 1,4. Геометрическое сравнение расслоений Ес* и ЕСд . Пусть с1,сг; L —**$> - вложения, ограничения которых на К совпадают между собой. Далее, пусть об€.<ЗаС((П/К) - автоморфизм Галуа поля комплексных чисел (С , такой что оь*^- с2 . Образуем проективное расслоение PCE)«Prq}(SE)->X и обозначим через Н каноническое линейное расслоение Хопфа над Р(Е) (см. [At 2] ). Предположим, что Н®С.С - очень обильное линейное расслоение. Тогда существует (см. [Наг, § 7Д, с. 150]) ассоциированный о Н морфизм fCi:T(liuCl)-*¥]! для некоторого целого N , такой что отображение ffCV«*V (р;)кл=№"сср' является классифицирующим для топологического линейного расслоения (HCi) „ *-P(ECi), 'кл 'кл Имеет место следующая котлмутативная диаграмма морфизмов, индуцированных автоморфизмом об : (1.5) Предположим, что многообразие V$(C нормальное. Тогда каждое многообразие из (1.5) нормальное. Но если X - нормальное комплексное многообразие, то его конечное пополнение Хкл является (с точностью ло гомотопии) функтором этального ситуса
Часть IY. Алгебраические кобордизмы и геометрия многообразия X • Это утвервдение представляет собой данную Суд- диваном интерпретацию теоремы сравнения Артина - Гротендика [Su, особенно с. 42]. Обозначим через BU конечное пополнение классифицирующего пространства BU и введем Z -К-функтор пространства W, положив K(W;2)*=[W,BU ]. Тогда имеет место канонический изоморфизм К (X *л; 2) = К (Х^; Z) 7 и проведенное выше обсуждение позволяет после применения функтора К( \%) получить из диагранмы (1.5) следующую коммутативную диагращу: K(P(E\A;Z) *(fCi)**A K(CP;Z) (1.6) SL*1 К(Ш(Е^) ;Z) (fC*C «,.nN. K№>N;Z) K((Y®(D)KA;Z) I Kavfc^i) Для i - I, 2 кольцо KCPCK^Zjel^KOPff^^Z) по определению операций уг изоморфно кольцу К(Укл;2)[у/(|о(-1)У(У(Е,с1))СГ), где n=dimE и }>r(y(E,ct)) обозначает также ^образ элемента j>r(u(E,cc)) пщ каноническом гомоморфизме^:К( )-*-К.( ;%)• 1.7. Теорема. В обозначениях пунктов 1.3, 1.4 (t) гомоморфизм ^Kf^KKCV^Z) является мономорфиз- (it) если асеК^р") - класс приведенного расслоения Хопфа и*4(х))= £ 6S Xs , 6ge 2 , то в кольце K^f)-^;^©** элемент S -|П-Г
§ 1. Алгебраические векторные расслоения 177 делится на элемент £oH)Y(y(^))tr- Доказательство, Утверадение (t) верно даже тогда, когда в его формулировке вмесх; Укл стоит произвольное конечное клеточное разбиение. Оно легко выводится при помощи рационализации (пополнения) расслоенного квадрата пространства BU (см. [Su] ). ^Утверадение (О гарантирует нам, что любое равенство в кольце К(^л) полностью наследуется из кольца К (VKn ; Z). Утверадение (tt ) вытекает теперь из рассмотрения диаграммы (1.6). 1.8. Замечания. I. Из теоремы 1.7 следует, что для получения от- вета^на вопросы 1Д и 1.3 нам надо описать гомоморфизм <£*<= АиЦКСУ^; Ж)) . Сделать это трудно, так как преобразование <£ не индуцировано каким-либо непрерывным отображением. Тем не менее гомоморфизм об* функториален относительно морфизмов нормальных Кчмногообразий, хотя эта функториальность и отличается от функториадьности привычного вида, которая подразумевает коммутируемость с обсуадёемыми выше операциями в К-теории (см. [At 2] ). 2. Одно явление, имеющее отношение к проблеме £.1, было обнаружено в работе [ Ser2]. Пусть р - простое число и YgP^ - множество решений уравнения 2 х? ~ °- Тогда Y является Z/p - пространством относительно циклической перестановки координат. Для произвольного многообразия £ мы можем образовать расслоение Ер—^Y2x Е?—^- Y/(Z/P)*X. Выбрав соответствующее р и взяв в качестве Е соответствующую эллиптическую кривую Серра [Sep 2], зададим два вложения dx,&z- К-^-£ числового поля К так, чтобы фундаментальные группы пространств ((Yx2/ ЕР)®^(П )с , 1 = 1,2, были не изоморфны. Таким образом, при Y=X можно ожидать патологического поведения в смысле проблемы 1.1. Конечно, фундаментальные группы в примерах Серра бесконечны, так как их проконечные пополнения изоморфны. С другой стороны, в работе [A&J построены примеры гомотопически неэквивалентных сопряженных многообразий, которые имеют конечные (и, следовательно, одинаковые) фундаментальные группы.
178 Часть ГУ. Алгебраические кобордизмы и геометрия 3. Точно так же, как и в теореме 1.7, можно свести пробле- мы 1Л и 1.3 к проблеме описания гомоморфизмов ol :MXJ (Укл±%) ->Миг*(\^;7). Действительно, класс ^(Е,с) может быть получен кя* образ первого класса Коннера - Флойда c1(E,c)eMU2(^J расслоения £с при гомоморфизме Коннера - Флойда [C-3F], а ^(Е^с) определяется согласно диаграмме (1.5) при помощи изоморфизма UU*(P(Ec)KJ=MU*(VKJl)[t]/(|o(-l)rcr(E,c)tn-r),- где t - класс кобордизмов из MU2(P(ECl)) , представителем которого является отображение ( f ®' (П ) к . 4. Если пучок Н®с (Г—>~F(ECi) обильный, то существует мор- физм fCl;P(ECl)-H-P^ , классифицирующий пучок (НФС^для некоторого п^1 . Используя соответствующие диаграммы, аналогичные диаграммам (1.5) и (1.6), можно и в этом случае при помощи методов пунктов I.3-I.7 описать связь между элементами ^({/(Е,^)), С = 1,2. Подробности предоставляем заинтересованному читателю. § 2. АНАЛОГ КОНСТРУКЦИИ ПОНТРЯГИНА - ТОМА И ЭТАЛЬНЫЙ СИТУС (с примерами) 2.1. В пунктах 8.5 и 8.6 части II было дано чисто (ко-)гомоло- гическое описание гомоморфизма Х£ , ассоциированного с вложением £:X~*-Y . В случае Y* (Си , как было показано, гомоморфизм сЦ содержит всю информацию, задаваемую конструкцией Понт- рягина - Тома в комплексных кобордизмах. При построении гомоморфизма Х^ используются лишь MU -когомологические свойства комплексных векторных расслоений (в частности,существование изоморфизма Тош). Сингулярные когомологии этального гомотопического типа алгебраических векторных расслоений (и их "сферических расслоений1') часто похожи по свойствам на сингулярные когомологии комплексных векторных расслоений (см. [С ; С I; Гг 4 ]). Как мы увидим ниже, это позволяет дать обладающее разумной общностью определение аналогичного гомоморфизма JLf , ассоциированного с гладким алгебраическим вложением f:X-*~Y . При построении такого гомоморфизма Xt используются MU-теория этального гомотопического типа многообразия X, нормальное векторное расслоение вложения f и его "нормальное сферическое расслоение". Ниже на
§ 2. Аналог конструкции Понтрягина - Тома 179 раде примеров будет показано, что этот инвариант вложения f имеет один недостаток. А именно, его свойства настолько аналогичны соответствующим свойствам конструкции Понтрягина - Тома для топологической геометрии, что он нечувствителен к явлениям геометрии, лежащим в сфере существенно алгебраических интересов. Предадущее обсуждение и соображения, приведенные в § 1, позволяют, по моему мнению, сделать вывод, что искать конструкции инвариантов типа алгебраических кобордизмов для алгебраической геометрии следует какими-то иными способами, а не просто применяя обобщенные теории когомологий к этальному гомотопическому типу. В § 3 представлен рад вычислений с помощью р-адических алгебраических кобордизмов, введенных в пункте -1.4.6 части III, которые мы и предлагаем в качестве одного из кандидатов в новые методы. 2.2. Этадьный гомотопический тип? Пусть X - некоторое многообразие над алгебраически замкнутым полем К. Таким образом, X является топологическим пространством с пучком локальных колец Ох, который задает на X структуру приведенной отделимой схемы конечного типа над К (см. [ EQA I, с. 215; Бог , с. 26 ; Sh , с.348). Геометрической .точкой, схемы Y над полем F . называется всякий морфизм i-g.-y—*- Y , где ue Y . Другими словами, геометрическая точка задается парой (и, ^) , где f, ■■ %-~г* - некоторый F -кольцевой гомоморфизм из локального кольца в ♦ точке и в Fs - отделимое замыкание поля F . Пусть тц - ядро канонического продолжения гомоморфизма уу <е : F <8L © F . Тогда локальное кольцо геометрической точки представляет собой локализованное кольцо (Fs®F &Jw _ , которое мы будем обозначать через • (£Ь . Пусть, далее, (б обозначает (тд )-адическое пополнение кольца Оц . * Предположим теперь, что W - некоторое гладкое многообразие (см. [Вор, с. 65 - 72; Sh , с. 133 - 139] ). Морфизм f :Y -^W называется этальным, если гомоморфизм f *. ft — д-
180 Часть IY. Алгебраические кобордизмы и геометрия является изоморфизмом для всех геометрических точек (ч>Уц ) схемы Y (см. [SGA 4, т. 270, сообщ. 8, с. 343; Н-Е, с. 84J). Рассмотрим опять многообразие X, которое всюду в дальнейшем будем считать гладким. Категория пунктированных( втальных) накрытий Cov (X) многообразия X описывается следующим образом. Объектами этой категории служат семейства эталышх морфизмов индексированных геометрическими точками (х, у^ ). Следовательно, совокупность {5сх (Ux)j представляет собой покрытие многообразия X открытыми множествами в топологии Зарисского. Морфизмы меаду двумя такими объектами (семействами) определяются очевидным образом как совокупности морфизмов над X, сохраняющие геометрические точки. Образуем чеховский нерв покрытия % . Он представляет собой симплициальное множество, которое мы будем обозначать через С^(Х) (см. [ А-М, с. 96; H-R, с. 86] ). Пусть яг0( ) - функтор перехода к связной компоненте [ А-М, с. III - 116 ] . Положим . *u(X)-*0(VX>>. Можно ввести понятие покрытия 71 , измельчающего другое покрытие U. . Таким образом, можно получить обратную систему симпли- циальных множеств \**и (X) \ , индексированную объектами категории Cov (X). Она является хорошей категорией для обратных пределов (т.е. псевдофильтраций [А-М, с. 148] ). Этальный гомотр- Ш^еский ^га^шюгообразия X, обозначаемый через • Х^ , представляет собой обратную систему пространств где | | обозначает геометрическую реализацию симплициального множества. Такие симплициальные системы называются пропростран- стващ. Пропространство Х^ определено с точностью до прогомо- топии. Следуя [В-К] или [Вой] , можно образовать р-конечное пополнение (т.е. Н*( ; Z/p)-локализацию пропространства Xet) и получить тем самым р-пополненный этальный гомотопический тип Х^ , который представляет собой пропространство р-полных пространств.
§ 2. Аналог конструкции Понтрягана - Тома 181 2.3. Аналог гомоморфизма Xf для гладких алгебраических вложений. Пусть f :Х-—Y - гладкое вложение К-многообразий, где К - алгебраически замкнутое поле с charK=<j, . Возьмем какое-нибудь простое число р, отличное от ^ , и обозначим через h*( ) теорию комплексных тгюс{ р-кобордизмов MU*( ; Z/p). Соответствующую теорию гомологии обозначим через h^( ). Рассмотрим точную последовательность нормального расслоения [Sk, с. 365] О —Гх ^f*r^ ^i>(f)_0 , которая определяет нормальное расслоение i)(f)—*-Х вложения f. Для проотображения (Ш)\х)^—*- х£ можно задать относительные когомологические группы K#(xi,(^)\X)i) и H*(X;,(4(f)\X£;Z/P), определив их как обратный предел относительных групп когомоло- гий отображений индуцированных морфизмами пунктированных этальных накрытий. Для краткости будем далее эти группы обозначать через h*(\)(f )et ) и H*(A>(f )et) . Если размерность расслоения \>(f) равна п , то существует изоморфизм Тома Н*СХ^;2/р)згН*+2л(г>С*£) (см. [с], [с 2] или [Гг 4] ). Этот изоморфизм задается умножением на класс Тома из группы H2n(i)(f )^ ). Предположим теперь, что существует класс Тома Л(\>(£))е h (^(Ogt ) » задающий изоморфизм Тома (2.3.1) [A(0(f)). ]:h*(X^)-^*^(f£). Такой класс заведомо существует, например, когда у группыЯ*(Х^) ненулевыми являются лишь четномерные составляющие. Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрим спектральную последователь-
182 Часть IY. Алгебраические кобордизмы и геометрия ность Атьи - Хирцебруха для конуса указанного выше отображения p(U,4S) . Взяв прямой предел таких спектральных последовательностей, получим (ср. с пунктом I.I3 части III) спектральную последовательность Так как К1(точка) = 0 для чётных t , то у этой спектральной последовательности ненулевыми будут только составляющие чётной полной размерности, и поэтому она тривиальна. Таким образом, существует класс A(0(f ))eh2n(i)(f )^ ) , который переходит в класс Тома из группы H2n(0ff )^ ) при гомоморфизме ориентации Ji*—*-Н* Поэтому умножение на класс Л(п)(£)) индуцирует изоморфизм спектральных последовательностей {Е*'чХ)-*• E*+2n,t(\)(£))}и тем самым изоморфизм (2.3.1). Полученный результат применим ко всем примерам, которые будут рассмотрены ниже. Положим n^(i)(f )et) = tim h# (кослой отображения р(иоЪ)). Тогда операции \ -умножения и кронекерова умножения индуцируют гомоморфизмы следующего вида (ср. с пунктом 8.5 части II): (2.4) \<Л№)>> ^ К-т Сточка) ^ Если в этой диаграмме гомоморфизм [Л(\)(£))\ ] является изоморфизмом, то можно определить гомоморфизм JLf точно так же, как в топологическом случае (см. пункт 8.6 части II). Этальные гомологии, как правило, не определены. Это связано с тем, что функтор km не является точным, и поэтому данное выше наивное определение групп h^ (Х^ ) не приводит к теории гомологии и дает группы, которые в общем случае не поддаются вычислению. По тем же причинам из изоморфизма Тома для групп ко-
§ 2. Аналог конструкции Понтрягина - Тома 183 гомологии ^(Х^) в общем случае не вытекает соответствующий изоморфизм для групп гомологии /i*(X^) в (2.4). Тем не менее в случаях, которые мы будем рассматривать, гомоморфизм Xf определен. Мне говорили, что в теории гомологии Стинрода, ассоциированной с теорией когомологий h* , будто бы автоматически имеет место гомологический изоморфизм (двойственный изоморфизму Тома в теории h*), который можно использовать в диаграмме (2.4), с тем чтобы определить гомоморфизм, аналогичный гомоморфизму Х± . Однако, поскольку я стараюсь подчеркнуть как раз недостатки гомоморфизма Л± , я не буду здесь заниматься его общей теорией. 2.5. Два примета гомоморфизма Л,^ . (а) Пусть frFjf—*~РК3 - каноническое отображение. Это отображение на самом деле определено над кольцом целых чисел, где оно имеет ввд Р^ —*~Е| . Следовательно, можно сравнить поведение К*- и h* -гомоморфизмов в (2.4) с их поведением для случая р-конечных пополнений отображения f':P^-^P^ над полем характеристики нуль. Мы проведем это сравнение, используя метод работ [й- 2] и [Fr 5] (где этот метод применяется для полусимплициальных комплексов; см. также [Тг I, 3, 4]). А именно, можно указать изоморфизм, переводящий гомоморфизм Л.£ в гомоморфизм X±f: h^(fP^)^ )—>-h^(точка), если какой-ниоудь один из этих гомоморфизмов определен. Однако многообразия Р^ и 0(£') гладкие (и, значит, нормальные), так что про- пространство (P^)^t состоит из пространств \ки(Р$)\л , имеющих конечные гомотопические группы [Su , с. 42 ] . Следовательно, обратная система h^d^^F^)]*) удовлетворяет условию Миттаг- Леффлера^ (ср. с [At l] ). Поэтому можно взять обратный предел гомологических спектральных последовательностей Атьи - Хир- цебруха для |^U(P^ )\Л в теории гомологии h^(MUZ/p)^ и получить спектральную последовательность Но группа h^(точка) представляет собой конечную сумму экземпляров группы 2/р, так что 2/р-векторное пространство Eg^ двойственно 2/р-векторному пространству Е^'^Р/) , фигурирующему в члене Е* когомологической спектральной последовательности, введенной в пункте 2.3. Следовательно, в члене Е^,* ненулевыми будут лишь составляющие четной полной размерности, и поэтому построенная гомологическая спектральная последовательность
184 Часть 17. Алгебраические кобордазмы и геометрия тоже тривиальна. Из того что член Е2, изоморфен Н^(СРг ; ^(точка)), вытекает, что группа h*((p£ )^ ) изоморфна группе Ml)* ((СР2; 2/р ), которая является свободным *#(АШ;г/р)-модулем с образующими 1=д, д, р2 , где deqд = Zi . Пусть ЛеШ2(<ГР2; Z/p) - первый класс Коннера - Флойда хопфова расслоения. Тогда образующие jb^ полностью определяются условиями <•*>.*> I, если j = fc , О в остальных случаях. Аналогично мы можем доказать изоморфизм ^(^(f')^ ) ™ MU*(i)(f');Хф)и заключить, что гомоморфизм «А.£' определен и совпадает с аналогичным гомоморфизмом, определенным в топологической ситуации в пункте 8.6 части II. Заметим, что в топологической ситуации гомоморфизм [Л(Off'))\ ] двойствен ^-когомологическому изоморфизму Тома. Так как пространство Тома топологического нормального расслоения вложения £f совпадает с Р3 , то простые вычисления показывают, чтоЯ^(МЦ;Z/f>)-модульный гомоморфизм X£f : MU,((CP*; Z/p) — ^(MU;Z/p) задается формулой 1 / I 0 в остальных случаях. (6) Пусть f.-^xj^-^- вложение, задаваемое формулой Как и в случае (а), здесь все вычисления можно провести для вложения над полем характеристики нуль. В результате получим, что группа Ь^((^х]^)^.) изоморфна группе МЦДСР1)2; Z/p), которая является свободным Ж^Ш)Z/p)-модулем с образующими I, о1# а2, а3, где deg q^ deg аг= 2 и deg а5 = 4. Кроме того, можно проверить, что •*£(at)-0, •*■£ (1) -1. 2.6. Замечание. В обоих случаях (а) и (6) вложение f реализует алгебраически существенный дивизор [Наг] , но гомоморфизм Х±
§ 3. Некоторые вычисления р-адических кобордизмов 185 не отличает эти вложения f от вложений с тривиальным нормальным расслоением - потому что эти вложения (над полем (С ) в топологическом смысле довольно неинтересны. Вложения, которые лучше всего различимы с помощью гомоморфизма Л| , — это» топологически, вложения в эвклидово пространство, но такие вложения не могут быть реализованы алгебраически. § 3. НЕКОТОРЫЕ ВЫЧИСЛИЛИ рЧДИЧЕСКЙХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КОБОРДИЗМОВ (схем над Spec Гл )+ Напомним (см. пункт 1.4.6, (8), части III), 4T0<9/IVV — спектр р-адических алгебраических кобордизмов, ассоциированный с F<j, -схемой Y, - задает функтор из категории схем над Spec £ в категорию спектров. Здесьр-фиксированное простое число, отличное ют cj, , и **(AT^V) является Zp-модулем, потому что спектр eE^v строится из р-полного пространства (Хрдо)^ . Используя результаты Квиллена [Q 3; <£ 4; Q-Q] о тождествах, которым удовлетворяют пространства X £(у) для некоторых схем V , мы проведем ряд вычислений колец яг (дЖо у) • Ниже все схемы и морфизмы рассматриваются над Spec F^. 3.1. Проективные расслоения. Пусть РЕ - Proj.(SE) - проективное расслоение, ассоциированное с алгебраическим векторным расслоением Е-*-V , и i:PE-^Y - его проекция. В [Q 4] показано, что имеет место эквивалентностьBQ£(PE)*nBQE('V) , причем f индуцирует вложение первого сомножителя и i»=dimE . Перестановка первого сомножителя на место t-ro соответствует действию операции О (-L) еК 0 (РЕ) [Q 4, §§ 4, 8] на алгебраической К-груп- пе пространства ЕЕ. Следовательно, пространстваXf(p£) и \ЪСр(у) эквивалентны как Н-пространства. Аналогично эквивалентны и их р-пополнения. Из теоремы 1.10 части III вытекает следующий результат. 3.2. Теорема о проективном расслоении. В обозначениях пункта 3.1 имеет место изоморфизм колец
186 Часть IY. .Алгебраические кобррдизмы и геометрия где справа стоит кольцо неприведенных гомологии, ассоциированных со спектром с^Кл у 3.3. Следствие, Пусть А - коммутативная Е -алгебра. Тогда 3f4. Следствие. - ^ Г 0, если l нечётно, ^VfJ °{ми£р2,(ВиЛр)г) , если счётно. Доказательство. Положим А = F« в следствии 3.3 и вспомним, что в этом случае, согласно пункту 1.4 части III, имеет место эквивалентность (BQLF+)J =BUp . Из пункта 1.4.4 части III следует, что спектр «я]Гп. эквивалентен спектру теории когомологийМи2р . Поэтому наше утвервдение вытекает из известных результатов работы [Ad I, ч. II] , которые показывают фактически, что, когда i четно, I-мерная гомотопическая группа представляет собой очень большое полиномиальное кольцо. 3.5. Предложение. Пусть А - произвольная, не обязательно коммутативная ¥„ -алгебра. Тогда имеет место изоморфизм колец *t(*E^Pii ) S M^,SPecA)№A + )pA ). Доказательство. В работе [Q 4, § 8.3J показано, что существуют два канонических отображения li^fi^A4-*- IF^1 , "сумма" которых индуцирует эквивалентность Н-пространств (3.5.1) (№LA+)A?f -2— (Х£(Гд'))р . При этой эквивалентности класс бе7tzl(bQLF^)р ) переходит в класс (6,6) из второй гомотопической группы пространства, стоящего в левой части (3.5Л) (ср. с пунктом 1.4.6, (6) части III). Требуемый результат непосредственно вытекает теперь из следствия 1.-И части III. 3.6. Схемы Севери - Брауэра, Морфизм f:V—— S схем над Spec Г^ называется схемой.Се_верза_-_Брауэра относительной размерности г, если схема V локально-изоморфна в этальной топологии схемы S проективному пространству Р^""1 над S. Согласно [Q 4, § 8.4 J, существует векторное расслоение J —*-Y ранга г , ограничение
§ 3. Некоторые вычисления р-^адических кобордизмов 187 которого на каздый геометрический слой из V есть 0(-1) . Пусть А - пучок (некоммутативных) 0$-«лгебр ввда A-f^(Endv(j;r, где „op" обозначает переход к кольцу с противоположной структурой. Положим Ап равным п-кратному тензорному произведению Авп над S. Тогда Ап является алгеброй Адзумая ранга г2л. В [Q 4, § 8.4] показано, что, когда схема S квазшсомпактна, имеет место эквивалентность Н-пространств (3.6.1) П ((BGLAn)+ )р-^ fXg(Y) )р . 3.7. Теорема о схемах Севеш - Брауэра. В обозначениях пункта 3.6, если S - квазикомпактная схема, то имеет место изоморфизм колец >с. f^T ) - С ^tSpecS )# ( g (BGLAj )р ). Доказательство. Рассмотрим отображение j,:(BQLF^ )©—^^xgrv) V* описанное в пункте 1.4.6,(6). Сопоставляя это отображение с эквивалентностью (3.6.1), заключаем, что оно является каноническим на множителе, соответствующем п= 0, т.выявляется отображением, индуцированным при помощи гомоморфизма К-*- S = А0 . С учетом эквивалентности (3.6.1) отображение j можно представить в виде (}o4v'"'}r-i )• Рассмотрим автоморфизм к Н-простран- ства, стоящего в левой части (3.6.1), который получается, если из тоадественного отображения "вычесть" отображение, переводящее точку (х0, ♦.. ? хп„{ ) в точку (xo0ii(xi)P . ••*ir_1(*r_!)) о где Lg - отображение, индуцированное отображением S ——А^ • Композиция 1с о j. гомотопна каноническому отображению в_ первый сомножитель (j0,*,*9...j* ). Следовательно, спектр <d£<j,,v эквивалентен спектру, удовлетворяющему условиям теоремы 1.10 части III. Применяя эту теорему, получаем требуемый результат. 3.8. Пример. Пусть V - полная неособая кривая рода нуль над К = Н° ( V ; 0у ), не имеющая рациональных точек. Тогда (cm.[Q 4, § 8.4 ] ) V является схемой Севери - Брауэра над К относительной размерности I, и J -*• V есть единственное неразложимое векторное расслоение ранга 2 и степени -2. В этом примере, согласно
188 Часть IY. Алгебраические кобордизмы и геометрия теореме 3.7, имеет место изоморфизм (3.8.1) *#(Л>,У ) * (^)Specf^((BGLA + )p ). Получим теперь один результат для локализации. 3.9. Теорема. Пусть А - регулярная Т -алгебра. Тогда имеют место (t) кольцевой изоморфизм индуцЕрованный вложением А —*- А [ t ] ; (it) изоморфизм ххМТп^сА) -модулей где БОЕ( ) - классифицирующее пространство, введенное в пункте 1.4.6 части III. Доказательство. Утверждение (i) следует из эквивалентностиBQLA £ TSQLA[t]+ (основная теорема для регулярных колец), установленной в [Q 4, § 6]. Далее, согласно [Q 4, § 6 J имеет место гомотопическая эквивалентность пространств (BGUtU"1]);; = (BQLA+)p х (BQPfSpecA));, которая не является эквивалентностью Н-пространств. Поэтому метод доказательства теоремы 1.10 части III дает в этом случае лишь изоморфизм 5n^(t5flpQ 5р^)-модулей. 3.10. Следствие. где SV - "бесконечномерная" специальная унитарная группа. Доказательство. Поскольку (BQfLFo+)^BUp, имеет место эквивалентность ^BQECSpecfL)^ »BUp . Кроме того, пространство BQPfSpecFo,) связно, поэтому, взяв Jклaccифициpylяциe пространства обоих н-пространств i£0BQP(SpecFJp и BU£ , мы получим универсальные накрытия (см., например, [Mai]). Другими словами, универсальным накрытием над BQg(SpecFo)p является В&BQP (SpecF^«BBDp>SU* . TaKKaK^(BQPfSpec¥rp)»(K0F);^^, то теперь ясно, что имеет место эквивалентность ВQP (SpekR )*»
§ 3. Некоторые вычисления р-адических кобордизмов 189 (S1)^ xSUp = Up • Требуемый результат следует из установленных эквивалентностей и результатов пункта 1.4.4,(6), части III. З.И. Замечания. 1. Группа MU^+i(U£,Zp) из следствия 3.10 аддитивно изоморфна L-мерной части в Z/2-градуировке кольца *^(MU;4Zp)®g Efv^v,,...), где E(Yt ,Y3,.-)- внешняя алгебра от нечётномерных образующих. Это легко доказывается при помощи спектральной последовательности (ср. с [AdI, ч. II]). Напомним, что все спектры, о которых идет речь в следствии 3.10, имеют периодические гомотопические группы, и потому результат зависит только от вычета I по модулю 2, 2. Локализация в общем случае. Пусть R - некоторая К -алгебра и ScR - мультипликативное множество элементов центра, не являющихся делителями нуля. Тогда, согласно [Q 5, с. 233] , имеет место расслоение (З.ИЛ) К0КХ(Х£(5рж1О)-^К0К3х(Х£(3ресК5))-^(Б(гН), где Н - категория конечно-пороаденных R-модулей М проективной размерности ^ 1, таких что Ms= 0. Однако расслоение (З.ИД) не обязано быть расслоением Н-пространств, и поэтому мы не можем (как в теореме I.I3 части III) построить спектральную последовательность для вычисления группы ^(sW SpecK ) по группе H*(fBQH); ; x^siF SpecK)). bF s Тем не менее, если расслоение (ЗД1.1) расщепляется, можно получить результат, аналогичный следствию 3.10. 3.12. Теорема Майера - Вьеториса. Пусть V= Ut и Uz , где U^ - множества, открытые в топологии Зарисского. Предположим, что V - регулярная схема (см. [Q 4, п. 7.1] ). Предположим, далее, что гомоморфизм К рУ-^-К^Ф К 0U£ является мономорфизмом. Тогда существует сильно сходящаяся спектральная последовательность (Заметим, что член Е* ^ симметрично зависит от \Jt и U2.) Доказательство. В [Br-Q-, § 3] показано, что алгебраическая К~ теория является почти вялой. Это означает, что последователь-
190 Часть IY. Алгебраические кобордазмы и геометрия ность отображений KoV^s(v)_ftKou.xxi(Ut)__K0(uInc;2)xx№Ua) есть расслоение. Так как гомоморфизм KqV-^K^gK U2 представляет собой мономорфизм, то свойство последовательности быть расслоением сохраняется при переходе к компонентам отмеченных точек, а также при пополнении. Следовательно, последовательность отображений (X£(v)V~"~ ^EftyV х(Х£(и*Л ^XE(utnua)V тоже является расслоением. Тем самым мы получаем спектральную последовательность из теоремы I.I3 части III. С другой стороны, рассуждения, использованные при доказательстве теоремы 3.7, показывают, что "диагональное* отображение (EQLf^)!-^- ГиХр/у.,)* сопряжено относительно эквивалентности Н-пространств Отображению в первый (или во второй) сомножитель. Следовательно, начальный член спектральной последовательности может быть вычислен при помощи теоремы 1.10 части III. 3.12.1. Замечание. Результат работы [Br-Q, § 3] , на который мы ссылались выше, не требует регулярности схемы Y , но он утвер- вдает только, что К-теория является почти вялой. Нам же нужен был такой результат для К-групп Квиллена, поскольку в [Q 4, п. 7.3] существование расслоения Майера - Вьеториса доказано лишь для пространств, соответствующих К'-группам. Однако в предположении, что схема V регулярна, группы К и К' совпадают [ Q 4, § 7], и это позволило нам получить доказательство теоремы 3.12. 3.13. р-адические алгебраические кобордизмы не являются почти вялыми. В работе [Br-Qj введено понятие почти-вялости для обобщенных квазипучковых когомологий типа {^Е, v>* V-^SpecFo }. Пусть V * их u U2 - объединение двух открытых в топологии Зарис- ского множеств. Тогда если бы выполнялось условие почти-вялости, то должна была бы иметь место точная гомотопическая последовательность следующего вида:
§ 3. Некоторые вычисления р-^адических кобордизмов 191 Однако если положить V=P^ и О^Ц^Ар , то из точности предыдущей последовательности вытекала бы,^в силу результатов пунктов 3,4, 3.9 и ЗЛО, точность последовательности вида Все группы из этой последовательности являются свободными 7c2#(MUZp) -модулями, поэтому применение к ней функтора (( )® Z )дало бы точную последовательность *2*(MUZp) Р что невозможно, так как Z.-ранг группы Н «(и*) равен счетной бесконечности. 3.14. Обратимые элементы, аналог р-адической топологической К- теории и гомоморфизм Коянера - Флойда. Рассмотрим некоторую кбм- мутативную Fa -алгебру А и обозначим через А* группу ее обратимых элементов. Имеет jwecTo вложение F*-*~A* , которым индуцируется отображение(ВГ^*)р•— (ВА*)£ ..Как и в пункте 1.4.5,(5), части III, используем это отображение для построения спектра (ВА*)р (С) , где б - образ элемента Se<Jt2((BlF*)p . Детерминант- ный гомоморфизм индуцирует Н-отображение (сохраняющее элемент Det:(XE(SpecA));^(BGU+);-^fBA^p, которое расщепляется как отображение пространств. Следовательно, в гомотопиях и стабильных гомотопиях отображение Det индуцирует эпиморфизм. Так как то мы получаем следующий результат (ввиду сказанного в пунктах 1.4.5,(а), (6), части III и 9.1.I части II, этот результат представляет собой обобщение теоремы Коннера - Флойда [С-Г] ): 3.15. Обобщенная теорема Коннера - Флойда. Отображение Det из
192 Часть IY. Алгебраические кобордизмы и геометрия пункта 3.14 индуцирует кольцевой эпиморфизм %l^)SpetA) —Х^(ВА*)рЛ(6)). ЗЛ6. Одно приложение обобщенной теоремы Коннера - Флойда» Пусть К - некоторая Ж -алгебра без делителей нуля. Тогда для всех 1^0 существует эпиморфизм группы ^/AII SpecK[t д-i]) на группу Z?. Доказательство. Обозначим через L поле частных кольца К. Так MKL[tft-4*={xtm|aeL>.Z}. то KtVt"1]* flr К** Z , и поэтому имеет место эквивалентность Далее, группа К* ретрагируется на группу JT. , ибо если L - отделимое замыкание поля L, то группа L* содержит F« в качестве прямого слагаемого. Следовательно, (BK*)p£(BF<p£xY для некоторого Y. Используя те же рассуадения, что и при доказательстве теорем 3.9,(it), и 1.10 части III, получаем, что имеет место изоморфизм *#((Bf *)р(в}«х#(ки2р) -модулей xJ(BK[t,t;4*)p(6))= KUJYxCS1^;^). Напомним, что отождествление спектра (ВГ*)£ (6) со спектром KUZp -теории описано в пункте 1.4.5,(с),части III. Значит, согласно теореме 3.15, гомоморфизм M:^JAf^,specK[t,t^]) -Kt\(Yx(S*)J ;Zp) является эпиморфизмом, и требуемый результат следует из того, что у последней (неприведенной) KU2p -группы существует эпиморфизм на группу Zp для всех t >/ 0. 3.17. Замечание. Из предыдущих примеров должно стать ясно, как,, используя материал пунктов 1.4, 1.10, 1Л1 части III, получать из вычислительных результатов К-теории результаты о р-адических алгебраических кобордизмах. Следовательно, методы редукции отвинчиванием [Q 4, § 5] и редукции по резольвентё*могут найти применение при вычислении р-адических алгебраических кобордиз- мов. Однако такие приложения чересчур специфичны и не будут здесь рассмотрены. В дальнейших публикациях я предполагаю рас-
§ 4. Квилдвновская К-теория ПГ«-алгебр 193 смотреть несколько примеров "превращения" явлений алгебраической геометрии в чисто алгебраические явления при помощи MFQ - теории. ' § 4. ОБРАТИМЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ,р~АДИЧЕСКИЕ КОБОРДИЗМЫ ^-АЛГЕБР И ИХ КВШЕНОВСКАЯ К-ТЕОРИЯ Всюду в этом параграфе А обозначает коммутативную Г«-алгебру, ар- простое число, отличное от характеристики поля Т„, Далее, Х£ , как и в § 3, будет обозначать р-пополнение пространства X. Пусть Р(А) - категория конечно-порозденных проективных А-мо- дулей (т.е. Р(А) = £(SpecA) , где Р (Spec А) -категория, введенная в пункте 1.4 части III). Тогда (см. [Q-Q] ) &BQP(A)^K0A*BQLA+. Я хочу теперь установить связь мезду р-адическими алгебраическими кобордизмами x^(Tq SpecA ) , рассмотренными в § 3, и группами KiA=5ci+1(BQP{A)) = ^t(BGLA+), f>0. Презде всего, имеет место короткая точная последовательность из работы [А-М, с. 183] (4.1) 0-^Ext(Z/p~ KtA) — xL((BGLA+)* ) -— Нот(Z/pTK^K второй член которой можно отоадествить с р-адическим пополнением группы К{А. Поэтому давайте сосредоточим на некоторое время всё внимание на группе xJ(bQLA^)^ ) . Фактически она представляет собой градуированное кольцо со сложением, индуцированным операцией взятия прямой суммы матриц, и с умножением, индуцированным тензорным умножением матриц [Sn7, с. 71]. Если 6€5c2((B0LFg+)£) - элемент, описанный в пункте 1.4.4 части III, то5Г^((В(}ЬГ^Ур)*2Ж так как имеет место эквивалентность(В0ЬЕ+)р=Вир(=В172р). таким образом, где прямой предел берется по итерациям операции умножения на 6. Будем через 6e?r2((B(jLA+)p ) обозначать также и образ элемента б . Можно надеяться восстановить информацию о группах К:А при по-
194 Часть IY. Алгебраические кобордизмы и геометрия мощи точной последовательности (4.1) и изоморфизма Далее мы будем рассматривать это локализованное кольцо как Z/2-градуированное кольцо и обозначать его через Ж^А. Таким образом, по определению, дляъ= 0 или I где предел берется по итерациям операции умножения на о. 4.2. Теорема. Положим GA*A*/ff^*f где ( )* обозначает переход к группе обратимых элементов. (а) Существует эпиморфизм Z/2-градуированных колец V M^,Sp„A) - ки£р,((в«А);). (б) Существует гомоморфизм Z/2-градуированных колец Оба этихгомоморфизма Яд и j> функториальны относительно гомоморфизмов К-алгебр. Доказательство.т* (а) Детерминантный гомоморфизм индуцирует (расщепляющееся эпиморфное) отображение Н-простра«ств (bqla+);—(ва*;;. Это отображение сохраняет элемент вея^ из пункта 1.4.4 части III и, следовательно, индуцирует кольцевой гомоморфизм Будучи прямым пределом эпиморфизмов, гомоморфизм Лд также является эпиморфизмом. С другой стороны, A*-F^x(3A , так как можно отобразить А в алгебраически замкнутое поле £ конечной характеристики таким образом, чтобы поле F« сА отобразилось туда мо- номорфно. Тогда группа 1с*" будет произведением делимых групп конечного порадка, группы Г^ и делимых групп, свободных от
§ 4. Квилленовская К-теория Г«-алгебр 195 кручения, так что, проектируя на FJ* , мы получим расщепление группы А*. Следовательно, (BA#);«(fip^)j/(BQA);*(i;^x(BaA)p. Сопоставление результатов примера III. 1.4.5,(6), и теоремы III.1.10 показывает, что предельную группу, в которой принимает значение гомоморфизм ХГА , можно отождествить с группой KUZp#((BQA)p), чем построение требуемого гомоморфизма ЛА и завершено. (6) Так как пространство (B<jLA*)p является бесконечнократ- ным пространством петель [Ма 2] , то группу [ ,(В(т1*Л+)р ] (и ее локализацию, полученную обращением элемента 6 ) можно рассматривать как нульмерную группу когомологического функтора. С другой стороны, еслит:(ВА*)£*(ВД*)р^(ВА*)р- отображение, задающее умножение в Н-пространстве, и хе[(ВА*)* (BQLA*)p ]- канонический класс, то т*(х)= х® 1 + 1® х + х® х. Далее, отображение, реализующее класс х , переводит элемент 6ехг((ВА*)р )в точности в элемент &€.х2((Ъ01*А+)р ). Следовательно, рассматривая композиции отображений с х , мы получим гомоморфизм х«Л ,(ВА*£] — © [Sn( ),(Ь01А+)Ж'] = :к*( ). Используя экспоненциальное^ гомоморфизма jc#, мы можем применить к нему вариант предложения 5.3 части II, в котором группа KUA( ) заменена на[ ,(ВА*)р], и получить в результате гомоморфизм £:Um{Z2n( ),(BA*)p}-^h*( ). u Применяя этот гомоморфизм в случае сферы и отоадествляя (как и в (а)) группы получаем искомый гомоморфизм )>А.
196 Часть 1У. Алгебраические кобордизш и геометрия 4,3. Примета, 4.3Л. Пусть А = Та [t] . Тогда, согласно [9 4, теор. 8], ХА^Х(Г0) - 1^если 1чётнс\. ь ь у [ 0 , если t нечетно. Но А* = fl*, так что группа GA тривиальна и гомоморфизм )>А принимает вид ^(KUZp)^K,(yt])«K#(fy; то что это изоморфизм, следует из результатов пунктов 1.4.4, 1.4.5 части Ш. 4.3.2._Пусть А-Е. 141/ftn). Тогда имеет место изоморфизм Уь^А) =Э1с(Га ) . Однако группа Gf А в этом случае изоморфна адру гомоморфизма аугментации А*—*~-*а,*> которое является ^ -группой. Следовательно, (BGA)£ = * , и гомоморфизм $А является изоморфизмом, как и в предыдущем примере, потому что группы К^А и К^Тп отличаются друг от друга лишь элементами конечного <j -порядка. Подробности предоставляются заинтересованному читателю. В обоих примерах 4.3.1 и 4.3.2 гомоморфизм А. совпадает с классическим гомоморфизмом Коннера - Флойда 5r^(MUZp)^9C#(KUZp), как можно показать, используя р-адическую версию предложения 9.2.7 части II. 4.3.3. Пусть A=Fq [t,t"4] . В этом случае, согласно [Q 4, теор.8], К1а)«К1(Г^)ФК._{(Г^)агг^ , i>0, и поэтому $^(А)£2Гр Для каждого i . Образующий элемент группы TlJiA) при четном I является образом образующего элемента группы 3t(,(FV) при гомоморфизме, индуцированном вложением Т» в А . Как показал Лодэй ( Loday ), изоморфизм K2i(A) -^К21ч(#а) задается \j-умножением на элемент t€A* (см. [Q-Q, с. 237] ). Следовательно, образующий элемент группы 3tt(A) с нечётным I можно представить при помощи образующего элемента нечетномерной гомотопической группы пространства (BQLA4")^ . С другой стороны, А* = F<j* х Z , где группа целых чисел 2 рассматривается как порожденная элементом t. Значит,
197 и KCZjDp^S1)^ является классифицирующим пространством группы GA . Далее, расщепляющееся вложение (ЪА*)£ —»~(£(}LA+)p индуцирует изоморфизм фундаментальных групп, так что группа Ж±(А) порождается группой ^JfBG^p^ffS1)?) # то же самое можно сказать и о пороадении группы KUZp#(BGA)=KUZp#(fS1)jJ), поэтому, используя результат примера 4.3Л, мы заключаем, что гомоморфизм $А опять является изоморфизмом. В рассматриваемом случае, согласно теореме 3.9 и следствию 3.10, гомоморфизм j>A принимает вид композиции MUZp^Op — KUZpJUp —KUZpJfS1^), в которой первое отображение есть гомоморфизм Коннера - Флойда, а второе индуцировано детерминантным гомоморфизмом U —*- Si . 4.3.4. Пусть vc - конечная коммутативная группа порядка, взаимно простого с <j, . Тогда групповое кольцо К [х] группы х является произведением полей Галув. Действительно, мы можем представить группу х в виде цроизведения х^я^*-.-*^ циклических примарных групп и получить тем самым разложение группового кольца ГЛхТ^ГЛя^] 8Т. OcJeL ..., после чего остается только заметить, что кольцо E[t]/(tum-i) представляет собой произведение расширений Галун поля F« , когда ц- простое число, отличное от характеристики поля_ К . Следовательно,£М= flAi , где Ai - экземпляры поля JV •_ ^ Пусть теперь A = F<> [%1 . Тогда Xt(A)~ Ф 2р , если i четно% 0? если I нечётно. В этом случае группа (3А является произведением N-I экземпляров поля Fn и гомоморфизм $А принимает (вввду эквивалентности (BAf)p Щ<СР~)* ) следующий вид: Это эпиморфизм, потому что образующие группы Ж0(А)= $ Zp представляются образующими групп ^0ГА^) , порожденными элементами групп Я~г((ВА*)р) » ^((СР00)^). Но крдый из этих элементов цро- пускается через группу (KUZp)0 ( П (СР°*^ ).
198 Часть IV. Алгебраические кобордизмы и геометрия Из теоремы 1.10 части III и результатов § 3 легко следует теперь, что гомоморфизм ХА в этом примере имеет вид композиции Mazpj $ вирЛ) — kuzp,( Ц вир) —ки$р#($(сГ)р), в которой первое отображение является гомоморфизмом Коннера - Флойда, а второе индуцировано отображением BU—•-(ПР00 , отвечающим детерминантному гомоморфизму. 4.3.5. Один гипотетический пример. Пусть АшГо [*,у]/ff)» где f(x9^)=x3-x^^.a, По-моему, К-теория этого кольца неизвестна. Однако (при нечетном о ) она связана с К-теорией эллиптической кривой Е- {[x,y,z]€ Р| :zy2= x3-xz2}. Для кривой Е с выколотой точкой Z= (О, I, 0) на бесконечности существует точная последовательность (см. [Q 4, п. 7,3.2]) Кроме того,E\Z«SpecА , и поэтому K^(E\Z) = К^(А). Группы Кп(А) неизвестны, а что можно сказать о группах ^Уь^(А) ? Предыдущие примеры наводят на мысль, что гомоморфизм является изоморфизмом. Действительно, элементарно показывается, что 0 « $А , поэтому гомоморфизм })А имеет вид jfo.#9C#(KUZp) —*-£^А» и легко проверить, что он является мономорфизмом (рассмотрев отображение Wn[x,y]/(£) -*-F<, , переводящее ц и х в нуль). Таким образом, предыдущие примеры позволяют высказать гипотезу, что 2>д - изоморфизм/Теорема 4.5 и примеры 4.6.1 - 4.6.4 ниже позволяют, далее, высказать гипотезу, что гомоморфизм является изоморфизмом на конечной подгруппе порядка, взаимно простого с (J,.
§ 4. Квилленовская К-теория Ify-алгебр 199 Кроме того, предпринятые мною попытки вычислить К-теорию аффинной кубической кривой с точкой возврата ( A»Fq [x9u]/(a3-u2)) позволяют высказать гипотезу, что для такого кольца А группы К^А и К#Г„ изоморфны вне конечной подгруппы cj -примерного порядка и что гомоморфизм $А также является изоморфизмом. 4Т4. Операция Адамса и отображение Фробениуса. Предположим теперь, что А = В®г Wn , где В - коммутативная И-алгебра. Положим V=*(BA*)p ^ и W*(BGLA*)p . В этом пункте мы обсудим, каким образом отображение Фробениуса ду.А--»~А , определяемое формулой Цп(Ь®Л)=Ь®ЛУ, индуцирует некую операцию в теории ко- гомологий, нульмерная группа которой задается функтором Ьт [К2тЧ ))W] , а тем самым и некую операцию на группах аЭТ^А. Полученная операция будет нестабильной в том смысле, что она не коммутирует с очевидным изоморфизмом З^А = Sft^A • Поэтому в ходе дальнейшего изложения необходимо погнить, что для teZ группа ^ А определяется равенством ХА « Um [S*R+i,W]. п.* Гомоморфизм (fa индуцирует при помощи соответствия М'-^сГМ функториальное преобразование на категории конечно-порожденных проективных А-модулей. Это преобразование определяет Н-отображе- ние %:W-*-W . В случае когда А-К , известно [Q 2] ,что W=BUZpH ц совпадает с операцией Адамса у^ , а значит, ^о#(6)=^б€ЯггГ\^)Для любого кольца A«B®F F^ . Дёлее, если М есть А-модуль вида М'®^ F« для некоторого В-модуля М;, то 9><Г(М)=М . Таким образом, имеет место следующая коммутативная диаграмма канонических отображений (и соответственно диаграмма их пополнений): BGLB* BGLA* (4.4.1) il 1st 1 + Я* т B6LA l=^W—*—W Следовательно, индуцированный отображением x°t функториаль- ный гомоморфизм Д :[ ,BqLB*] — 0m[l2ri( ),W] Удовлетворяет соотношению (4-4'2> Ц°Рв=&-
Часть IY. Алгебраические кобордизмы и геометрия Имеет место коммутативная диаграмма [XJAG 5L—[X,w] [Z2X,W] < » [Z2X,W] в которой вертикальные отображения представляют собой гомоморфизмы, по которым берется прямой предел, т.е. гомоморфизмы* задаваемые при помощи умножения на элемент 6 . Из того факта, что операция % является кольцевым гомоморфизмом, вытекает, что _ i 6(»(зс))-АЦб)^(а)в1(6х). Здесь i;W-»W - отображение, гомотопически обратное к эквивалентности, задаваемой умножением на cj . Используя соотношение (4.4.2), получаем, что существует кольцевой гомоморфизм (4.4.4) %:Ъ*п[Ъ2л( ),W] — um [2*n(-),W], ' У n n определяемый последовательностью гомоморфизмов \-к у \ . Проверка этого утверждения аналогична соответствующей проверке, проведенной в пункте 6.5 части II. Рассмотрим теперь предельный функтор fun Jz R( )>V}, который, как и в теореме 4.2,(а), задает теориюпкогомологий, ассоциированную со спектром из пункта 1.4.5,(с), части III. Гомоморфизм Фробениуса на группе А* индуцирует отображение ^:V—V и следующую коммутативную диаграмму: А (4.4.5) Ц Jr2 / \ u\ » i Y h \ ),Y} Здесь умножение на £ задается относительно сложения в группе стабильных гомотопических классов, и диаграмма коммутативна по-
4. Квилленовская Кигеория F«-алгебр 201 тому, что гомоморфизм &# задается умножением на элемент 6 , а преобразование ^ мультипликативно. Таким образом, мы получаем кольцевой гомоморфизм •ч (4.4.6) * •• 0m{S2n( ),V}-^0m{S2n( ),Y}, У n n аналогичный гомоморфизму (4.4.4). Далее, для элемента ye{£2nX,V} и отображения x:V—*-W , описанного при доказательстве теоремы (4.2),(6), справедлива формула (4.4.7) .(^(v))4*)4^fy)(y*(x))6[ZtoX,W]. В случае а = 0 эта формула непосредственно вытекает из определения гомоморфизмов (fn и ц„ , а в случае n > i надо только заметить, что операции сложения в множестве [22nX.W] , определенные при помощи структуры ко-Н-пространства в 2 X (Z^X^S^XvE^nnn же при помощи структуры Н-пространства bV (W*W-*"W), совпадают между собой, поэтому и операции деления на q,n в обеих частях рассматриваемого равенства совпадают. Предельные группы Ьт{Х2п( ),V} и (лт [Z2n( )0W1 являются нульмерными группами теорий когомологийГ и операции <£^ и $*, применённые к тождественным отображениям V—»-V и W-*W соответственно, продолжаются до функториальных преобразований этих теорий. Следовательно, мы можем построить теории когомолбгий, играющие роль "слоев" полученных преобразований. Другими словами, существуют бесконечнократные пространства петель ГФ^ и ТФп вместе с точными гомотопическими последовательностями, связанные с гомоморфизмом j>A следующей коммутативной диаграммой: V1 S V* Здесь V. - гомоморфизм из теоремы 4.2, и диаграмма коммутативна ввиду формулы (4.4.7). Приступим теперь к подведению итогов предыдущего обсуждения.
202 Часть ГУ. Алгебраические кобордазда и геометрия 4,5. Теорема.Т (а) В обозначениях пунктов 4.4.1 - 4.4.7 имеет место следующая коммутативная диаграмма с точными строками, в которой верхний треугольник (с двумя штриховыми сторонами) коммутативен для m > 1: Km(B) ,' ч^ р f ^ . . ф.-1 Ya (KoZpJ^tt^p) (6) Если В - аугментированная Го-алгебра, то гомоморфизм fy:A*^A*«R*xGA индуцирует гомоморфизм £:GA--**GA. В этом случае операция & действует на группе (KUZp)m((BQAh) как композиция операции Адамса у* с гомоморфизмом (BffeJ* , где Бу<э : (В(тА)р—^-(В(?А)р - отображение, ассоциированное с гомоморфизмом у- . Доказательство. Утвервдение (а) уже было доказано в ходе предыдущего обсуадения. Например, коммутативность указанного треугольника следует из соотношения (4.4.2). Для доказательства утверждения (8) заметим преаде всего, что гомоморфизм £,: А*-**А* можно отоадествить с произведением гомоморфизма Фробениуса на группе F** и гомоморфизма £„ на группе QAa# Следовательно, согласно теореме 1Д0 части III, операция Фл разлагается в композицию гомоморфизма, индуцированного отображением Ъ% ; BQ —*-B(JA , с функториальным преобразованием группы • (kuzp)0( )* t^{z2n( )Jhf*)f}t индуцированным гомоморфизмом ft^R*-*"!^*» На группе (KLTZp)0(S2) — 2рЭТ0 преобразование действует как умножение на cj, , поскольку образующая группы 5c*((BF^* )£ ) является образом элемен-
§ 4. Квилленовская К-теория Ш^--алгвбр /О та 6. С другой стороны, образующая грунт (KUZp)0^мультипликативно порождает кольцо xJKUZp) , поэтому операции Фо и уЧ действуют на кольце ^(KUZ^) одинаково, а этого достаточно, чтобы сделать вывод о совпадении Ф* и уЪ как кольцевых функто- риальшсс преобразований. 4.6. Примет. 4.6.1. В работе [Q I] доказано, что при В = 1\ гомоморфизм^ является изоморфизмом на конечной р-подгруппе. Используя этот* результат, заключаем на основании пункта 1.4.5,(с) части III, что гомоморфизм у* является изоморфизмом. 4.6.2. Пусть B = F^[t] жш ¥^[t]/{tn) . Из результатов пунктов 4.3Л, 4.3.2 и 4.6.1 вытекает, что р^ - изоморфизм на конечной р-подгруппе. 4.6.3. Пусть B-Fq [Uf1]. Тогда GA-Z и гомоморфизм уг на группе QA тривиален. Применяя теорему 4.5,(6), и пример 4.3.3, получаем следующую диаграмму (б= 0 или I) с точной строкой: Kim-eUFqCM-1]) 4 Используя результаты работы [Q], нетрудно показать, что гомоморфизм jd' в этой диаграмме тоже является изоморфизмом на конечной р-подгруппе. 4.6.4. Пусть % - конечная коммутативная группа порядка, взаимно простого с <[ . Положим В^ГЛя]. Тогда В представляет собой произведение полей FqcI , и гомоморфизм jo£ опять будет изоморфизмом на конечной р-примарной подгруппе. Для доказательства этого достаточно рассмотреть случай В = ELj. , так как и группы К(, ( ) , и верхняя строка в диаграмме из утверждения (а) теоремы 4.5 аддитивны относительно произведения конечного числа колец. Далее, поскольку гомоморфизм j>A является в этом примере эпиморфизмом (согласно пункту 4.3.4), то мы можем вычислить действие операции ЗЦ , используя операцию $« , которая описывается в терминах операций Адамса. С другой стороны, существует кольце-
204 Часть IY. Алгебраические кобордизмы и геометрия вой изоморфизм где ^-я компонента элемента у. (а®6) име^т^вид оУ Ь (O^j^cU). Поэтому гомоморфизм Фробениуса на кольце © ¥<> принимает вид Следовательно, гомоморфизм Фп-1: fim or „ (W) — timr „ (W)-^1^ <^ -j^- 2n+2mv -£*- 2n+2mv 0 P задается формулой и, значит, представляет собой мономорфизм с коядром, изоморфным кольцу Zp/fam-i)Zp. Кроме того, в этом случае Ьгр ^%|Д|и х W)a0r и, опять используя результаты работы [q l]t мы получаем, что гомоморфизм р' является изоморфизмом на конечной р-примарной подгруппе. 4.7. Замечание, Полученные в предыдущих примерах результаты о гомоморфизмах из теорем 4.2 и 4.5 дают основание выдвинуть гипотезу о том, что для индуцированных 11-алгебр мы можем восстановить кручение квилленовских К-групп по р-адическим алгебраическим кобордизмам (см. § 5, проблемы И и 12). § 5. ДВЕНАДЦАТЬ НЕРШШНЫХ ПРОБЛЕМ, СВЯЗАННЫХ С ТЕМАТИКОЙ ЧАСТЕЙ I - IY Проблема I, В §§ 5, 6 части I, § 2 части III и в работе [K-Sn] построены некоторые элементы групп a£(BQ) для <3 «U, О и Sp . В К-теории существует ряд.спариваний, индуцированных умножением в К-теории, например ВО л 0 *- о, BSp^ О — Sp, ВО a Sp —— о, BSpA Sp —— о, зи а и *- и.
§ 5. Двенадцать нерешенных проблем 205 Выявить элементы в x*(0)9x*(Sp) ж x^(U) , которые получаются спариванием моих элементов с ранее известными. Скажем, вычислить спаривание элементов из группы x*PmmZ(0) 9 имеющих арф-инвариант I, с какими-нибудь из вновь построенных элементов группы Я:*(ВО). Проблема 2. В § 4 части III построены некоторые элементы порядка 2 группы ^^(B0F3)(2)sx^(J0(2))(aJ. С другой стороны, из решения гипотезы Дцамса [Q 2; Зц ] вытекает, что существует расщепляющееся (после (2)-локализации) вложение Л)(2)—^SCr. Так как SCJ(2) является бесконечнократным пространством петель, то его стабильные гомотопии эпиморфно отображаются на его гомото- пии при помощи отображения Дайера - Лашефа d:QSCr~^SQ (см. [Ma l]). Тем самым мы получаем (при j > I) гомоморфизм *J (B0F, )т—-** (SQ )(г^^ (SQ \zr-+z*l (S°). Вычислив образ в стабильных гомотопических группах сферы для некоторых из элементов, построенных в § 4 части III. Возможно, что гомоморфизм Гуревича *j(scW—"■ *ysG;Z/2) детектирует какие-либо из этих элементов. (Первоначально исследования, результаты которых представлены в § 4 главы III, были мотивированы надеждой, что элементы с арф-инвариантом I удастся получить указанным выше способом, и, насколько мне известно, надежда эта до сих пор существует.) К-теория Проблема 3. В § 9 части II построена следующая модель комплексной К-теории: KU(X)= Urn {Е2пХ,(СР°°1. Рассмотрим S-отображение 60: S^HP^ l^BOABSp -^-BSp ~HP°° ; здесь £e.x (ZO) - класс Ботта, о - каноническое вложение, ® - умножение в КО-теории и я: -факторотображение на прямое слагаемое
Часть IT» Алгебраические кобордизш и геометрия MSp(I) =НР°°, соответствующее стабильному разложению пространства ВЗр, построенному в части I. Взяв предел по последовательности композиций с отображением £0 , можно получить группу ftm {SSnX,HP°°}. Существует гомоморфизм этой группы в группу K0U0 (ср. с § 9 части II). Можно ли при помощи указанной группы получить описание группы К0(Х) в случае, когда dimX<oo? Спектр 1(6) Проблема 4. Х/2-гомологии пространства BOF/^ JO (2) внглвдят похоже на H#(S0)®H^(BO). Это позволяет выдвинуть гипотезу, что если мы заменим R на F3 в пунктах 1.4.2 и 3.1 части III, то получим вместо теории М0*( ) теорию когомологий М0*( a SO), ассоциированную со спектром B0F3f( *j). Доказать эту гипотезу,- используя спектральную последовательность из теоремы 1.13 части III, примененную к расслоению J0(2)-— ВО—-BS0. Можно ли будет использовать этот результат для решения проблемы 6 (ср. с § 5 части III)? Проблема 5. Пусть xejJt? (BQLA+) . Тогда можно определить отображение \):Ki(A)—^t(BQLA+fx)), полагая $(£)-L равным элементу, представителем которого является стабильный гомотопический класс отображения f.'S1—»-BQLA+ (ср. с пунктом 5.4.1 части III). Кроме Toro,V(£+g)« 0(£)i)(j) • В работе [Sn6] (или же [Sn7]) показано, что К5 Ж/4 ^ 2/6. Если в качестве х взять образующую группы KjZ/4 = TL/2 и положить BGLZ/^x) * A Z/4 , то будет ли гомоморфизм К32/4 —*-7t3(AZ/4) нетривиальным? Проблема 6. Сохраним обозначения проблемы 5. Так как 2х= 0, то группа йс-ь(АЖ/4) является 2/2-векторным пространством. В § 5 части III мы показали, что имеет место эпиморфизм xo(AZ)--IAO*(S0l Разлагается ли этот эпиморфизм в композицию с гомоморфизмом %0(АХ)--х0(А2/4) , индуцированным гомоморфизмом Z-*-Z/4 приведения по модулю 4? аические векторные расслоения над числовыми полями Проблема 7. В § * части IV мы видели, как проблема Атьи об алгебраических векторных расслоениях сводится к изучению действия элементов ос из группы Галуа (?а£ (С/К):
§ 5. Двенадцать нерешённых цроблем 207 обу есть функториальный кольцевой гомоморфизм, когда V пробегает категорию К-многообразий. Нельзя ж, используя эту функториальность, определить возможный ВИД ГОМОМОРФИЗМОВ 06у ? р-адические алгебраические кобордизмы Проблема 8, В обозначениях § 3 части 17 существует экспоненциальный гомоморфизм A):K.(V) —^(Af^v), функториальный на категории F <, -схем V. Он строится при помощи отображения Xp(v)-**(Xp,v))p аналогично тому, как строится гомоморфизм $ из проблемы 5 (см. также пункт 5.4.1 части III). Для t< 2 многие группы I^V хорошо известны, а для высших К- грутш рад результатов получен в работе [0 4]. Проанализировать гомоморфизм \> для некоторых из случаев, когда известны группы K^V). Проблема 9. В §§ 5 - 7 части II мы видели, как операции в комплексной К-теории индуцируют операции в кобордизмах. Группа К^А является Л -кольцом, и поэтому на ней действуют соответствующие операции. Если кольцо А является IV-алгеброй, то эти операции будут индуцировать операции на кольце я**(АК э$ресА ) • Что можно сказать о действии таких операций в ситуациях примеров из § 3 части IY? Проблема 10. В § 8 части II мы познакомились с одним методом описания (полностью в рамках теории гомотопий) конструкции Пон- трягина - Тома в А17-теории. Дать непосредственно геометрическую реализацию этой конструкции в терминах AU-теории. К-теория Квиллена Проблема II. Является ли описанный в теореме 4.5 части IY гомоморфизм ^:К.1(В)^х1(ГФ(}) изоморфизмом на-конечной р-примарной подгруппе? В частности, можно ли это утверждать для примера 4.3.5?
208 Часть ГГ. Алгебраические кобордизмы и геометрия Проблема 12. Является ли описанный в теореме 4.2 части ГУ гомоморфизм j>A: KUZpJ(BGA); ) — % *£+#«ВОА+)«) эпиморфизмом для какой-нибудь К -алгебры А? В частности, так ли это в тестовом случае - в примере 4.3.5 части 1У? В проблемах И и 12 следует, быть может, ограничиться рассмотрением регулярных колец А. Например, для А = ТЛх7ц]/(хъ-ц2) - координатного кольца аффинной кубической кривой с точкой возврата - мы имеем A*ss F« $ HoK0A*2®Fe^K0E. Заметим, однако, что этот пример не является убедительным, так как в нем К-группы отличаются только на конечные ^-примарные подгруппы. Фактически это - единственное отличие, которое я обнаружил в случае особой аффинной кривой над К , причем такое отличие исчезает после р-пополнения (}>ф({ ); см., скажем,пример 4.3.2 части 1У.
ПРИЛОЖЕНИЯ ВМ. Бухштабер ПРШЮПЯИЕ I. СТАБИЛЬНАЯ ГОМОТОПИЧЕСКАЯ КАТЕГОРИЯ АДАМСА Приведем, следуя [Ad l] , построение категории Адамса. Эта категория была введена Адамеом для того, чтобы перенести на спектры методы категории СW-комплексов (= клеточных разбиений, см. [По] ), включая такой фундаментальный метод, как индукция по клеткам. Далее, говоря о пространствах и их отображениях, мы всегда имеем в виду пространства с отмеченными точками и отображения и гомотопии, сохраняющие отмеченные точки. При этом предполагается, как обычно, что отмеченная точка CW-комплекса входит в нульмерный остов. Напомним сначала необходимые понятия и обозначения. Сшктром_ Е называется последовательность пространств Еа вместе со структурными отображениями бп : 2Еп-*Еп+1, или, что эквивалентно, е^: Еп-*-£2Еа+1 , где индекс п пробегает целые или неотрицательные целые числа. , Отображения еп и &п связаны формулой &n(e)(t)=en(tAe). Шея в ввду взаимно-однозначное соответствие [•ZX>Y}*-*[X,\QY], задаваемое указанной формулой, говорят, что отображения еп и сгп сопряжены. Здесь [ •, • J - множество гомотопических классов отображений. Обозначим через &>0Х компоненту отмеченной точки пространства £2Х , роль которой играет постоянное отображение окружности S1 в отмеченную точку пространства X . Спектр Е называется Л нзпектром (соответственно ^.гспектром), если структурное отображение ба:Еп -*- ЛЕл+1 (соответственно ^о Ел+( ) является слабой гомотопической эквивалентностью для каадого п . Каадому пространству X соответствует спектр Е его надг Q-TEfifiBt где ЕЛ = ХЛХ , п>0 , Ея = * , л<0 ,с очевидными отображениями е л . В случае когда X = S - нульмерная
210 Приложения. В.М. Бухштабер сфера, спектр надстроек имеет вид [Sn9 еп} и называется спек^ом_сфер S . Более общо, спектр Е называется надстроечг ным или S ^спектром, если отображения £n: £ЕП -*-Еп+1 являются слабыми гомотопическими эквивалентноотями для достаточно больших ti. Подспектр А спектра Е определяется естественным образом как последовательность пространств {Ап<^ EnJ, таких что структурные отображения £л: ХАп -*-Еп+1 переводят ЕАЛ в Ап+£. Перейдем теперь непосредственно к построению категории Адамса. Определение I. Спектр Е называется QMrSWxpvm- С объектом категории Адамса), если 1) каждое пространство Ел является CW-комплексом; 2) кавдое отображение eR задает изоморфизм комплекса ZE с подкомплексом в En+i . Здесь изоморфизмом CW-комплексов называется гомеоморфизм h , для которого h и К" являются клеточными отображениями. Клеточная структура в ХЕП канонически задается клеточными структурами в $l=(*Ul) и Еп. Подспектр. А _в CW-спектре Е определяется как и выше, но с дополнительным условием, что Ал является подкомплексом в К а для каадого п. . Пусть Е некоторый CW-спектр и Е - его подспектр. Говорят, что Е ^йшшIeн^IIЛo^нJ^щcда_БoEД»юнaLв Е , если для каадого п. и каадого конечного подкомплекса КсЕп существует m (зависящее от д и К ),такое что подкомплекс 2тКс ZmEa при отображении Zm~ en*Zm~" ©^...е^^перехо- дит в Е^+д . Таким образом, если Е'- конфинальный подспектр в Е , то каадая клетка в каждом Еп при композиции структурных отображений переходит в Е' . Для CW -спектров Адаме различает понятия функции, отображения и морфизма. Пусть Е1 = {Еп,е^ } и Е2 = [Е2, е2 J . фугаецией f .'Е1 —*-£2 степени г называется последовательность ff*: Еп -~, \*-Л ' Т8КаД Iго *W Sf " £«**# еп • или' экви- валентно, (г2л.г )'fn = ftf^Cejy. Пусть Е' и Е" - некоторые конфинальные подспектры спектра Е. Говорят, что функции f':E'-*~F и f":Eff-—T эквивалентны, если существует конфинальный подспектр Е"7с:Е , такой что f'lE"' = f ^ | Е///г. Непосредственная проверка показывает, что вве-
Приложение I 211 денное отношение эквивалентности разбивает множество функций из Е в Г на классы эквивалентности. Отображением из Е в Г называется класс эквивалентности функций из £ в Г , Все данные выше определения подобраны так, что конструкция композиции отображений Е1—»-Е2и Е2—^Е3 сводится к простому упражнению на свойства СW-спектров и их отображений. Для определения морфизмов в категории Адамса необходимо ввести понятие цилиндра спектра. Обозначим через I* объединение единичного интервала и отмеченной точки. дрлиндром Сц1[Е) спектра называется спектр {I аЕп,1а&л|. Очевидным образом определены функции t^i^E —Cyt(E), соответствующие нижнему и верхнему основаниям цилиндра. Каждое отображение f: Е-—Т естественно индуцирует отображение CyC(f): СуС(Е) —*- Qjt(T) , коммутирующее с iQ и i{. Говорят, что два отображения f , f :Е-^Г гомотошш, если существует отображение h: СуС(Е) ~^Г , такое что f0=h •£., Определение 2. Мо.рфизмом степени г объектов Е и Г категории Адамса называется гомотопический класс отображения f ;Е —+-Г степени г . Естественно модифицируя данные выше определения, можно ввести понятие морфизма пар f: (Е,А) —*- (Е,В). Множество морфизмов степени г из, Е в Г обозначается через [Е,Г]Г . Непосредственной проверкой доказывается, что если Е - спектр надстроек над конечным комплексом X , т.е. ЕП = ЕЛХ , то [Е,Г]Г = ftrn [Za*PX,Fn] . В частности, £S,F]r **гг(Г). Введем теперь понятие стабильной клетки CW-спектра. Пусть Са - множество клеток клеточного разбиения Ея, отличных от отмеченной точки. Тогда соответствие c^t-^ёдСЕс^) задает инъекцию Сл-^Сп+1 . Положим С = &J2 сл • Элементы множества С называются стабильными клетками. Таким образом, ста_бил^.- ная клетка с - это класс эквивалентности клеток, в который входит не более чем по одной клетке из каадого Ел . Если с06€ЕЛ входит в класс с , то число ( dJLtn с^ )-п , очевидно, не зави-
212 Приложения. В.М.Бухштабер сит от л, и его естественно считать размерностью стабильной клетки с. Спектр Е может иметь стабильные клетки сколь угодно большой отрицательной размерности, и это, казалось бы, не позволит проводить индукцию по размерности клеток* Однако метод индукции по клеткам для CW-спектров всё-таки применим благодаря следующим фактам: , 1. Вели подспектр Е в Е конфинален, то вложение ЕсЕ индуцирует взаимно-однозначное соответствие Сг—+С. 2. Если подспектр Е' в Е не конфинален, то существует подспектр Г в Е , такой что Е с Гс Е и F содержит в точности на одну стабильную клетку больше, чем Е\ Используя метод индукции по клеткам, Адаме показывает, что на CW-спектры легко распространяются классические результаты теории CW-комплексов, такие как теорема Дж.Г.К.Уайтхеда, теорема о точности последовательности Пуппе, теорема Брауна о представимости функторов. Например, в качестве следствия теоремы Дж.Г.К.Уайтхеда он получает, что каждый CW-спектр эквивалентен Si -спектру, а в качестве следствия теоремы Брауна - что каждый спектр слабо эквивалентен некоторому CW-спектру. ПРИЛОЖЕНИЕ 2* ТРАНСФЕР БЕККЕРА-ГОТТЛИБА Хорошо известно, что далеко не всякое расслоение )э:Е-*Х обладает сечением, т.е. таким вложением s:X'-**Е , что ps - тождественное отображение. Тем замечательнее тот факт, что для очень широкого класса расслоений существует S -отображение r(jo):X+-*- Е~*\ называемое трансфером или отображением переноса, обладающее рядом важных свойств сечения (см. [До 2]), где Y+- надстроечный спектр несвязного объединения пространства Y и отмеченной точки * . Идеи построения этого отображения в частных случаях можно найти в довольно ранних работах, посвященных накрытиям и расслоениям. Своим названием отображение тг(р) обязано тому, что в случае накрытия p:BH-^BQ со слоем G/H » где G - конечная группа, Н - подгруппа в Q и ВН, ВС? - классифицирующие пространства, оно индуцирует в гомологиях классифицирующих пространств (= гомологиях групп) гомоморфизм, совпадающий с известным трансфером (гомоморфизмом перенесения) (см. [С-Е с. 310], [Бр, с. 122]). Широкий интерес к трансферу возник лишь относительно недавно, после работ Беккера и Готтлиба [Be] , [В-Gl], где впервые
Приложение 2 было дано построение его для расслоений, слоем которых служит произвольное компактное гладкое многообразие, и найдены замечательные приложения отображения т(р) , называемого теперь для таких расслоений трансфером Беккера - Готтлиба. Самая общая из известных сейчас конструкций трансфера содержится в работе Дольда [До 2]. В настоящее время сложился целый раздел топологии, занимающийся приложениями отображения т(р) . О важности этого раздела говорит» например, тот факт, что Дж.Адаме рекомендует при изучении алгебраической топологии обязательно ознакомиться с трансфером (см. [Ад] ). Существует несколько вариантов конструкции трансфера Беккера - Готтлиба. Для того чтобы проиллюстрировать общую идею, приведем, следуя [Be], конструкцию для случая, когда р: К —^Х - гладкое расслоение. Затем мы приведем полную конструкцию из [В - QI], так как изложение ее, данное на стр. 17-18 настоящей книги, схематично и не содержит важного завершающего этапа. Далее речь будет вдти только о трансфере Беккера - Готтлиба, и для краткости мы будем называть его просто трансфером. Пусть р: Е-*Х - гладкое расслоение, у которого база X и слой F являются гладкими компактными замкнутыми многообразиями. Рассмотрим некоторое гладкое вложение t: Е-*-К* и соответствующее ему гладкое вложение рх t:E-*OCxRn. Обозначим через £j —*-Е нормальное расслоение вложения р * i и через ^£-^Е касательное расслоение вдоль слоев расслоения |Ь:£-^Х • Вложение pxi индуцирует тривиализацию Трансфер т(р) определяется как отображение надстроечных спектров X"1"—*-К\ ассоциированное с композицией где t - o^6ga»B^JIoOT2OTHHa_- JFoMa, являющееся гомеоморфизмом на пространстве нормального расслоения K,i и переводящее (X^E!t)\%i в отмеченную точку пространства Тома Tk(^i) , а с - каноническое вложение. Построим теперь трансфер для расслоения р: Е —*- X , где X - конечный клеточный комплекс, слой Г - гладкое замкнутое компактное многообразие, а структурной группой G является ком- 213
214 Приложения. В.М.Бухштабер пактная группа Ли гладких преобразований ьшогообразия F . Согласно теореме Мостова - Пале (см, [Бр ,с. 304] ) существуют ортогональное действие группы Q- на некотором эвклвдовом пространстве К.п и эквивариантное гладкое вложение I '-T~*»Ra. Обозначим через i)-**F эквивариантное нордальное расслоение для вложения t и через r-VF касательное расслоение, рассматриваемое как G -расслоение. Эквивариантное вложение i:F--*Rn индуцирует эквивариантную тривиализацию Ч: )) Фт—-FxK/1 . Таким образом, определена последовательность G -эквивариантных отображений Г; Sn-^Th(v)~^Th(v©c)^F+ASri. Заметим, что каадое из пространств в указанной последовательности имеет каноническую отмеченную точку, которая по построению является неподвижной. Пусть ^: Е —**Х - главное G -расслоение, такое что E = E*GF и X = £*G*-=E/G . Рассмотрим расслоения р^Е^Х и ()2:Е2-Х , где E1 = ExQSn и Zz=ZxQ(T^Sn). Отображение у : Зл—-Г+АЗлицдуцирует отображение расслоений уг:Е1-^Е2 над X . Отмеченным точкам в Sn и F+a Sn соответствуют сечения st:X —*^Ein s2:X-**E2 в расслоениях Е и Е2 , причем по построению у sx = s2 . Пусть § —**Х - векторное л.-мерное расслоение, ассоциированное с выбранным действием группы G на Rft . Так как dim X < ©о , то над X существует векторное расслоение с, —**Х с конечномерным слоем Кт , такое что (• ф ^ - тривиальное расслоение. Обозначим через % -*-Х расслоение со слоем Sm , полученное из £ послойной одноточечной компактификацией. В качестве отмеченной точки в Sm возьмем компактифицирующую точку. Тогда в расслоении ^ определено сечение s : X -*^ , сопоставляющее точке эс отмеченную точку •*• над ней. Отображение у ивдуцирует отображение расслоений f elrE^? —^Ez©£, где ф - символ расслоенного произведения (суммы Уитни) расслоений над общей базой. В расслоении Е1Ф<$к со слоем 3ЛлЗтиме-
Приложение 2 215 ется подрасслоение (§1=rE1®s)U (Sj®^4 ) со слоем SnvSrn , а в расслоении Е,©^ со слоем (Г*a Sa)xSm - подрасслоение со слоем (F+ASn)vSm , где букеты v берутся по каноническим отмеченным точкам. По построению отображение y@i индуцирует отображение пар расслоений и, следовательно, отображение факторкомплексов оь : Yt —*• Yz , где Y1-El®^/61 , Уа-2гФ^/6я . Заметив теперь, что расслоение Е, представляет собой послойную одноточечную компактифи- кацию расслоения £ , получаем, что комплекс Yx является пространством Тома Th(|$5) расслоения £ ф £ • Аналогично из того, что расслоение Ег является послойной одноточечной компактифика- цией расслоения |b*fc —>Е-*Х» получаем, что комплекс Y« является пространством Тома Th(jb* (£ © $ )) расслоения &*(£ Ф £ )-*>£ — X . Тривиализация (| Ф$ ) —X * К^ти соответствующая ей тривиализация Ь*(£Ф£) —^К3<К/г+'пиндуцируют гомеоморфизмы Y^X+^SA+5n и Y2-^-E+AS^m,и, следовательно, построенное отображение об задает отображение об : Л ^5 —*- £ а £ Трансфер тг (ь) определяется как отображение надстроечных спектров Х+—**£ , ассоциированное с 2Г . Построим теперь трансфер для расслоений, слой F которых является гладким компактным многообразием с границей 3F . Легко заметить, что в предыдущей конструкции трансфера замкнутость многообразия F использовалась только при построении £ -эквивари- антного отображения у; Sn—*-F+ASft. Такик образом, достаточно построить отображение у для Г с 3F Ф <р . Граница дF является G -эквивариантным многообразием, поэтому из теоремы Мостова - Пале вытекает, что существуют ортогональное действие группы Q на Ка и эквивариантное гладкое вложение пар I: (F,3F) с (JR." Дп"1), для которого оцределены нормальные расслоения V —»-F и Э\> —»~3F , где R^ = {fx1,...,xn), Xj > Oj , Кл""1 = {(0,ха,...,а^)}#Поэто1чг оцределено эквивариантное отображение Понтрдгина z. ТРМ». t.-s* — Th(o)/Th(3tf), являющееся гомеоморфизмом на пространстве л> \ Э v> и переводящее
216 Приложения. В.М.Бухштабер Ra \ (0 \ 3 0) в точку. Эквивариантное вложение с:FcR* индуцирует эквивариантную тривиализацию W: >> ®т »- FxRn, где т - касательное расслоение на Т\ЗГ и tr | ЭГ - сумма Уитни касательного расслоения к ЭГ и эквивариантного тривиального одномерного расслоения, соответствующего полю внешних нормалей. Поэтому определено эквивариантное отображение Таким образом, осталось построить эквивариантное отображение I: Th(v>)/Th(9tf)—^ТК(\)Фт)Ла границе 9F определено эквивариантное поле А: dV—*~v I ЭГ , сопоставляющее точке х единичный вектор внешней норнали. Стандартным методом поле А можно продолжить до эквивариантного поля А : Y —*~ V , такого что | д(х)|< 1 для всех xeF . Эквивариантное отображение 1: Tfe(D) —-Th(tf©r), l^oo , если |Д (х)1 = 1, разлагается в композицию отображений ТК(д>)—-Th(tf)/Th(W —H-Th(i)®r), второе из которых и является искомым отображением L . Итак, отображение у : Sn-»-F aSAпостроено для -дТфф. Применяя к у те же рассуждения, что и в случае замкнутого многообразия Г , получаем трансфер т (р) . Таким образом, для завершения построения трансфера Беккера - Готтлиба Ъ(р) осталось рассмотреть лишь случай расслоения р:Е —*~Х , база которого является локально-конечным клеточным комплексом. Обозначим через Хп n-мерный остов комплекса X и через рп'Ел —*~ Хп расслоение, индуцированное вложением Хпс X .По предположению, Хл является конечным клеточным комплексом для всех п^ 0 . Фильтрация Х0сХ1с...сХпс...сХ задает фильтрациюЕ0сЕ1с...сЕЛс..сЕ расслоений, так что расслоение р:К -—*-Х представляет собой прямой предел последовательности расслоений (Ед, рп ,Хл ).Из ана-
Приложение 2 217 лиза построения трансфера т(р) для расслоений с конечной базой X легко следует, что если расслоение р':Е —-X индуцировано расслоением р :Е—-Х при помощи непрерывного отображения i :Х -*~Х t то отображения надстроечных спектров г (р'):Х'*—-Е/ + и r(p):X*-*-Е* коммутируют с f • , т.е. f*T(p') -f(p)f . Следовательно, последовательность трансферов v(pn) -> п = 1, 2,„., согласована по п ив S-категории определено отображение являющееся самым общим трансфером Беккера - Готтлиба. Обратим внимание, что для бесконечномерных комплексов X трансфер Беккера - Готтлиба является морфизмом в категории Адам- са и, вообще говоря, не соответствует отображению X*л SH—*>Z+* Sm ни для какого конечного Н . Дадим теперь свбдку основных свойств трансфера Беккера - Готтлиба. Доказательство этих свойств можно найти в [Be] , [B-QI], [в-М], [До 2]. Теорема 1. Пусть р : Е —*~ X - расслоение со слоем F и структурной группой G , где X - локально-конечный клеточный комплекс, F - гладкое компактное многообразие и G - компактная группа Ли гладких преобразований многообразия Г . Тогда в S -категории существует трансфер тг(р), обладающий следующими свойствами: 1. Пусть (EL,pL,XL) , t= I, 2,- расслоения с общими слоем Г и группой G . Тогда если у : (Е^р^Х,)-—(E2,p2,X2)- отображение расслоений, то 2. Пусть р1'Е1 —"^j и Pz:^2 ~**^z ■" расслоения со слоями Ft 9 F2 и группами Qt , Ga соответственно. Тогда ^(^)AtrCPe)--r(p1*ftl):(X1xXefeX1+AXiJ---E*AiJ.(EixEi|)+. 3. Пусть расслоение р- Е-*-Х разлагается в композицию Е JV е1 -&*- х , где р1: Е — Е£. , р^: Et —*> X - расслоения со слоями 7t 9 7г и группами G1 э G2 соответственно. Тогда ff)b;-ir(p jrf^jrX*—Е*—*Et
218 Приложения. В.М.Бухштабер 4. Пусть &—*^Х - главное G-расслоение, Г - гладкое компактное G -многообразие, TLc Г - гладкое замкнутое G-- инвариантное подмногообразие, причем Tt Л д Г = <р . Обозначим через р: Е —**Х и pt: Е1 -*~Х расслоения со слоями Г и 7t, ассоциированные с расслоением & —*- X , через N - замкнутую G -инвариантную трубчатую окрестность вложения t'^cF и через j : Et —— EL - вложение, соответствующее вложению I . Тогда если на F существует эквивариантное векторное поле f , такое что | jo(x)|=i для xj£N\dN и ограничение ja на 9.W гомотопно в классе полей, нигде не обращающихся в нуль, полю внешних нормалей, то 5. Пусть Е = Г и Х=(точка). Тогда степень отображения Ь'Т(р): S^-^F^S0равна эйлеровой характеристике % слоя Г. Непосредственно из свойств I и 5 отображения v(p) вытекает Следствие 2 ( [В-й] ). Пусть h*(*) - некоторая мультипликативная теория когомологий. Тогда если % f 0 , то гомоморфизм р*®1: K*(X)®Z[X!:1]— fc*(E)®Z[^] является мономорфизмом на прямое слагаемое. В частности, если £ г = 1 , то гомоморфизм {>*: h*(X) -h*(E) является мономорфизмом на прямое слагаемое. При помощи следствия 2 в ряде случаев удается показать, что трансфер т( р): X +-*£ задает стабильное расщепление пространства расслоения Е . Именно поэтому в работах Беккера и Готтлиба по гипотезе Адамса и в данной книге такую большую роль играют расслоения со слоем F = G/N(T) , где G - компактная связная группа Ли, a N(T) - нормализатор максимального тора Г группы G . Напомним, что la/N.CT) = i. В следующей теореме дана сводка результатов, позволяющих в ряде важных случаев полностью вычислить гомоморфизм тг (р)*; h *(£*) -* К * (X +), индуцированный трансфером г (р) . Теорема 3 (см. [В-Ql] , [До 2]). При помощи гомоморфизма р*: h,*(X) —*• k*(E) зададим в кольце /г*(Е) структуру градуированного К *(Х) -модуля.
Приложение 2 219 1. Для любых X€/i*(X+} и ybh *(Е+) имеет место формула В частности, т (р )* (р *х) =х-тг(р)*(1} Элемент х (jb)*(i)£h°(X) называется индексом расслоения ]о:Е —^Х и обозначается символом 1(р). 2. Пусть k (X) -модуль к (Е) является свободным. Тогда гомоморфизм тг(р)* сопоставляет элементу и€h*(£) градуированный след к*(Х) -гомоморфизма В частности, 1(р)~(2к(~1) ба)#1/., где 6- - число о-мерных образующих ii*(X)-модуля it*(E) и i, - единица кольца Ь.0 (точка). Большой запас расслоений, для которых при помощи теоремы 3 можно в явном ввде описать гомоморфизм ъ(р)* , дают расслоения, слоем которых служат многообразия флагов, в .частности проективные пространства и многообразия Грассмана. В этом случае, как правило, кольца 1г*(Е) являются алгебраическими расширениями кольца к *6Х) и поэтому для вычисления гомоморфизма чг(р)* можно привлечь методы алгебраической теории чисел. Завершим это приложение небольшим, но важным примером. Рассмотрим расслоение р: £—*-Х со слоем <£РЛ , являющееся проективизацией комплексного ( n+D-мерного расслоения § —-X. Обозначим через с с Н2(Е) первый класс Чженя канонического комплексного линейного расслоения rj —--Е , где Н*( •) - обычные когомологии с целочисленными коэффициентами. (С равным успехом можно взять комплексные кобордизмы и комплексную К- теорию.) Тогда (см., например, [ St i] ) где c^f^), fe= I, 2,..., n+I - классы Чженя расслоения £ . Применяя теорему 3, получаем, что для полного описания гомоморфизма V(p)*: Н*(Е) — Н*(Х)
220 Приложения. В.М.Бухштабер достаточно вычислить следа гомоморфизмов, определяемых умножением на cfc,fc»0,..., л . Шеем t(p)*(l)=:l(p) = (n+i), -сГ^)*(с) = С1ф, т(р)*(сг) = с*($)-сг(у.06тя формула <t(p)*cfc = sfcf|), где s^ (§) - многочлен от классрв c^fc),... , cfe(£)» записываемый через образующие 5у в ввде Jit. . ПРИЛОЖЕНИЕ 3. СТАБИЛЬНЫЕ РАСЩЕПЛЕНИЯ Ю1АСОТФИЦИРШ1Щ ПРОСТРАНСТВ КЛАССИЧЕСКИХ ГРУПП ЛИ Доказательство теоремы 1.3.2 о стабильном расщеплении клас- сифицирухицих пространств содержит существенные пробелы (см. примечания автора к стр. 35 и 82). Ввиду того что эта теорема лежит в основе приложений конструкции Снэйта, которой, как уже подчеркивалось в моем предисловии, и посвящена эта книга, я счёл целесообразным написать настоящее приложение. Ниже будут получены теоремы о стабильном расщеплении, содержащие, в частности, результаты теоремы 1.3.2. Метод доказательства этих теорем был разработан мною ранее с другой целью (см. [Бу 3, с. 36-38]) в связи с задачей построения универсальных характеристических классов Понтрягина. Отметим, что этот метод опирается только на геометрические свойства трансфера Беккере - Готтлиба, описанные в предыдущем приложении. Пусть Ga - одна из классических групп Ли U(rO,Sp(n) или 0(п) и £а —-ВОл - универсальное п -мерное векторное расслоение (соответственно комплексное, кватернионное или вещественное). Обозначим через Pfi,fc : En,fc — bQn ассоциированное с расслоением £ расслоение, слоем которого служит многообразие Грассмана Ga ^ , и через отображение, классифицирующее каноническое к-мерное расслоение £ft fc —- Ел>^ . При помощи трансфера Беккере - Готтлиба получаем' S -отображение
Приложение 3 221 где 0^fc4/i и BG0= S . Заметим, что 5Гп п - тождественное отображение. Вложение ln: Gft_j-*- £гЛ индуцирует вложение ВеЛ:В(та-1*-^ЬйЛ , причем BGa/B(f^ = ГЛ(у- пространство Тома универсального расслоения §п . Наша ближайшая цель - выразить отображение <тса^ -Б£Л для 1с4а-{ через отображения ^*n-£,t -> где ^ а~* • -^ этого потребуется следующий результат: Лемма I ([Be ] ). Пусть Q - компактная группа Ли и £ —*» X главное Q -расслоение. Рассмотрим некоторое компактное гладкое Q х S -многообразие F с G -инвариантным подмногообразием Yt неподвижных точек действия окружности S1. Обозначим через f>: Е —*»Х и (ЬХ:Е£—^Х расслоения со слоями F и F4 соответственно, ассоциированные с & . Тогда трансфер t(p) разлагается в композицию ^ ; x+J£^ Е, _^ £, где t -. вложение, индуцированное вложением слоя 7 с F. Доказательство. Обозначим через М замкнутую Q * S1 -инвариантную трубчатую окрестность подмногообразия Ftc F . Так как действия групп S1 и Q на F коммутируют, то векторное поле р на F , определяемое действием окружности Si , является G - эквивариантным. Далее, |р£х)|^о для x€F\7i и ограничение /> на dtf представляет собой векторное поле в касательном расслоении к дМ , т.е. является гомотопным (в классе полей, нигде не обращающихся в нуль) полю внешних нормалей на дН . Таким образом, мы находимся в условиях п. 4 теоремы i приложения 2, и поэтому доказываемое утвервдение имеет место. Отметим, что п. 4 теоремы I приложения 2 совпадает с предложением 1.2 части I. При помощи конструкции трансфера ?г(р), изложенной в приложении 2, можно дать независимое доказательство леммы, если воспользоваться следующим замечанием. Рассмотрим G -эквивариантное вложение l '. (N,dN )с (fc*,Rft~). Обозначим через \)-*-М и дО-*Ш нормальные расслоения вложения l , а через ^—*-Ft нормальное расслоение вложения Ftctfc Ra. Тогда Th(\)1) = Tli(i»/Th(di>). * Теорема 2. Пусть <3Л - одна из групп U(n) или Sp(n). Т0ГДа ^ffcfBtft) ar *ft_ljfc v (Bifc)* <,_,, где l^fc^n-1.
222 Приложения. В.М.Духштабер Доказательство. Рассмотрим расслоение индуцированное вложением В£а: BG-^^BQ^ . Тогда, согласно свойству I трансфера, имеем Следовательно, Таким образом, необходимо изучить трансфер расслоения р^гЕ*^ —^BGr^ 9 слоем которого по построению является многообразие Грассмана Qn.,fc »а структурной группой Ga,£ . В обозначениях леммы 1 положим G=Q-a-£ ,7=&а?^ , и пусть S1 - максимальный тор группы Qt . Тогда вложение ^а^хОхс Qn задает каноническое действие группы Cf *S* на F . Покажем, что многообразие неподвижных точек Р1 действия S* на Г в нашем случае представляет собой несвязное объединение многообразий Грассмана G^^ U S^-i^-l • Пусть L обозначает поле комплексных чисел С или тело кватернионов Н . Реализуем многообразие Грассмана вгп£ как многообразие ik-мерных L-подпространств в if1 . Фиксируем в Vх действие группы б"а.£* S1 при помощи разложения Ьа*^"£Ф L1 . Тогда проекция является S -отображением. Так как лг - гомоморфизм L-линейных пространств, то ограничение ж на любое L-линейное пространство в Ln является либо нулевым гомоморфизмом, либо эпиморфизмом. Следовательно, G^,*. "-^иЭД! , где W HW = <р и Ясно, что W^G^cF,. Пусть теперь w - некоторое подпространство в L , инвариантное относительно выбранного действия группы S1 и Imx\w = L1 . Тогда в w существует вектор ( lt 9 Lz, •••, £Л ) с £Л#0, а также вектор ( ^ » ^* ••• , -£д ), так как -IsS1 . Следовательно, вектор (о, о,..., £а ) принадлежит w , и поэто-
Приложение 3 223 му fc -мерное подпространство wcLn полностью задается (t-D-мерным подпространством, лежащим в Ln"1 . Таким образом, wz л г, = Q^b-t • №**> ^Gn-ukUG^^ и вложение I: Fx с Г имеет ввд t U 6" , где t'lG^ fcc^n к - вложение, индуцированное вложением VLm'ic Ln'- {tit — * ?Л.£) >--*• (Cif-»Crt-{,0)5a i/': Grl.x»ic-ic^n,fc -вложение, индуцированное вложением La~ cL^^^.^t^J^f^,,..,^,! ) . Заметим, что t/(Ga.^fc)nt//(Gri^i>fcel) *0; поэтому пространство расслоения ptr Ej-^BG со слоем Р1 и структурной группой G-G^i представляет собой несвязное объединение Еы и Е , где р :£bl-^BG совпадает с расслоением Р^_{ ^ ' , а р :Е. -*-BG - с расслоением pa-i,fc-i • Применяя теперь лемму I, получаем, что трансфер bfp*^): BG+v~*~E*-l разлагается в композицию t\ri Tt,X Рассмотрим отображения Га = (B{J*VErt-£,*-£ ^En,fc- По построению rff n,fc- U-l.fc и ГГ*М - Ы,*-*ф£ ' Следовательно, отображение jinis y± является классифицирующим для расслоения |a_£ к и потому совпадает с fi^ ^ , а отображение jLa^ уг - классифицирующим для расслоения §n^fc-1$i и потому разлагается в композицию (Btfc)-*/*n_f fc.j . Положим м =/±Л fefBtJ^ij^y.Суммируя предыдущие результаты, получаем " Vi,tvfBlfc^a.i,W Теорема доказана. Рассмотрим каноническую проекцию «ft:BGw Th(^)
224 Приложения. В.М.Бухштабер и положим Пусть X1»Th(|l) и для n>i XR+i-XftvTh(|ll+i). Обозначим через 1Л+£ каноническое вложение XncXa+i и введем отображения Из теоремы 2 непосредственно получаем Следствие 3. Пусть 14п<©©и fe^n-i . Тогда Последовательности вложений B(rt^*-BG2<=-~."^^-UGn-i e-^BG^c:... и Х1^Хя<^..'<^Х^^^Хгс... позволяют ввести фильтрованные .пространства В£=втВйЛ. и Х = &тХл . Из следствия 3 вытекает Следствие 4. Последовательность отображений* д)Л :В(г* —-*~ХЛ задаёт отображение д)= Oeo:BG+-^Xf согласованное с заданными фильтрациями. Теперь, наконец, все готово для того, чтобы доказать теорему о стабильном расщеплении классифицирующих пространств ВО^ и BG в случае Gn=U(a) или Sp(n) . Теорема 5 (ср. с теоремами 1,3.2,(0 и 1.3.3,(0). Пусть Ga*Ufr.) иди $р(п) . Тогда S-отображение ^:BGa—fcYnTfc(|fc)S|^rB6fc/BGt.t) для всех а^оо является гомотопической эквивалентностью. Доказательство. Отображение Оп имеет ввд \>^v \)* , где ^sV о£,а V* - каноническая проекция BG^—*Тк($Л) , щ>и которой подпространство CB£a)(BG^.i ) переходит в точку. Поэтому, согласно следствию 3,
Приложение 3 225 Таким образом, отображение пар индуцирует гомеоморфизм B^/BG^ = ^r/^nrt = ^С^)- Замечая теперь, что отображение >)t: BGjL~-*X1 также является гомеоморфизмом, видим, что доказательство теоремы завершается очевидной индукцией по а при помощи 5-леммы в S-категории. Перейдем к изучению S-типа классифицирующих пространств £0(а) , п^оо , где B0foo) = B0 = timBO(n). Теорема 6. Пусть Gn~ 0(п) , где м>1 . Для л^З обозначим через jR вложение &л_гс Gn , согласованное с вложением эвклидовых пространств R^2cRrt:(C1,...^a_2)^f£i,...4.2,0,0). Тогда Доказательство. Вложение Gn_z * Gz< Gn задает действие группы G^xS1 на Gn>i, , где S1^ &0(2)*G2 -0(2) .Опишем множество неподвижных точек F, действия З1 на Q„ , , Проекция является S -отображением относительно рассматриваемого действия группы Ga-2X S1 на Кп и стандартного действия группы S* = S0(2) на К2 . Поэтому ограничение х на любое подпространство в Кп является либо нулевым гомоморфизмом, либо эпиморфизмом. Следовательно, если 1с-мерное подпространство w в Rn инвариантно относительно действия S1 , то w принадлежит Gn-2,fc Шб° &гг-2,1с~2 °РИ fc^2 И ^€^а-2,1 Щ>И 1с ^ i . Таким образом, *1~ GR_2 ^и&а_21с_2 , если fc>2, и F1 = Gri«2,l » если ^-2 . Применяя теперь метод доказательства теоремы 2, получаем требуемый результат. Рассмотрим каноническую проекцию ятя : BO(n)—>-B0(n)/BO(n-2)
226 Приложения. В.М.Бухштабер и положим °n =xkxn,k : bO(nf-~BO(k)/M(k-2) при 2 *г fc <• П И ^=^а,1 ; ВО(п)+-*-ВО(1). Пусть Х1 = Б0(1), Х2=В0(2) и для а>1 X2n+1= Xaft_tv B0(2n + i)/B0f2n-D, Хг(г+2= X2n v В0(2ги-2)/В0(2а). Обозначим через l „ каноническое вложение X с X „и введем ^ "■ п. n+Z отображения ^i%ljtl-' B0(2a + if—Х2л+1, a>0, ^"JL*** ^0(2ггГ_Х2п , a>l. Из теоремы "6 получаем Следствие 7. Пусть п^2и l^k^n-2 . Тогда Таким образом, последовательности отображений [ ^2n.+i : B0(2a+i) ~*~ X2n+ll и {^2n:B^^n^+~*"^2tt} SB^Bm отображения *осЦ{,--*0+ = %:Б0(2пИ)+-*- Ьдг Х^-Х^, Теорема 8. S -отображения *2n+i : B°(2fl+^) ~— B0fi)v^ B0f2fe4i)/B0(2fc-W, ^ ;B0(2n) —- V B0(2fc)/BO(2fc-2) для всех n^oo являются гомотопическими эквивалентностями.
Приложение 4 227 Доказательство теоремы 8 проводится точно так же, как доказательство теоремы 5. Отметим, что результат об S-отображении 02n+t является новым, и в основном тексте книги содержится только часть его, а именно: Следствие 9, S -отображение ^<гп + 1 [*/2] индуцирует Z[i/2]- стабильную эквивалентность ВО V BS0(2fc+i)/£S0(2fc-i). Итак, получено полное доказательство результатов автора о стабильном расщеплении классифицирующих пространств классических групп Ли (см. теоремы 1.3.2 и 1.3.3). ПРИЛОЖЕНИЕ 4. КОГОМОЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ И ФОРМАЛЬНАЯ ГРУППА В К0Б0РДИЗМАХ Настоящее приложение возникло в результате объединения в связный текст замечаний, касающихся приведенных в книге результатов о комплексных кобордизмах. Изложение построено так, чтобы дать на материале этих замечаний введение в один из современных методов топологии - метод формальных групп Ли (см. [No] , [Кв] , [Бу-М-Н] , [Бу 3]. I. Мультипликативные преобразования теории комплексных кобор- дшзмов Пусть !**(•)-" некоторая мультипликативная теория когомоло- гий. Обозначим через ^н=2^к К0ЛЬЦ° скаляров К*Чточка). Будем считать, что & к - кольцо с единицей 1^ £2Н . Определение 1. Теория К (•) называется С ^ориентируемой, если гомоморфизм е*": ?Г*(СР0*)-^^*^Заявляется эпиморфизмом; здесь е : S^cCP00- стандартное вложение. Всякий элемент a^fi*(CPee) , такой что e,*CL=sz*l (где S2- оператор двукратной надстройки), называется ориентацией теории h.*(*)). (Е -ориентируемая теория 1г*(«) с фиксированной ориентацией и^ называется С'-РРиент^??8™^*- Имеет место теорема Коннера - Флойда: Теорема 2 (см. [St i] ). Пусть (h*(-)*uk) - некоторая <С- ориентированная теория.
228 Приложения. В.М.Бухштабер 1. Существуют характеристические классы Чженя в теории к (.)9 т.е. каздому комплексному расслоению £ —-ОС можно сопоставить элементы с£(§)€ h2* (Х)?<р°» такие что: a)c*($)«i >cb(§)=0, если у > dim€ £ ; б) cMf*|)=f*cJ (|) , где f :Xj-^X - непрерывное отображение ; г) с^(^(1)) = и^ , где £ ({)—^<СР°° - универсальное расслоение. 2. Пусть §(л)—>-BU(n) - универсальное расслоение и t: П^Р°°-*»Ы7(п) - отображение, индуцированное вложением максимального тора fcU(ri) . Тогда а) К"(ПСРвв) = %[[и1,...,ип]] , где u^u^W); б) Я*(ви(п))=Лк[Ес4,...,са7] , где с$« cj(| (п)); в) отображение f индуцирует мономорфизм «*: h*(BU(n)) -^(П^).**^-^ «н). где 6<^ -элементарная симметрическая функция. 3. Пусть in:BU(n)—~UU(n) - вложение нулевого сечения ( tn гомотопно канонической проекции BU(n) -~МС7(п) = В1?(л)/Й/(Ы)). Тогда существует класс Тома uh(n)€ h2n(MU(n))9 такой что Основными примерами С -ориентированных теорий для нас являются: классические когомологии Я*(-;%), где ц - образующая группы H*(CP°°;Z)=Z; комплексная 2-периодическая К-теория К*ГО , где ц - класс расслоения § (1) - i ; комплексные кобордизмы MU*(*) , где и - класс кобордиз- мов, соответствующий каноническим вложениям ^^(ГР^сМиОгп+З); теория Снэйта AU*(-) , где ц - стабильный класс вложения Е^Ср-сЗ^Ви-АЦ,. Теорема 3. I. Для того чтобы существовало мультипликативное преобразование ji : MU (•)—*» fi*(*) , необходимо и достаточно, чтобы теория ti( •) была С -ориентируемой. 2. Теория MU*(0 является умверда^ьной С-ориентированной теорией в том смысле, что для любой С -ориентированной теории (Ji*(-)> и-д ) существует единственное мультипликативное
Приложение 4 229 преобразование цк : MU*(.) — h*(.),такое что ркч = ик , где u = и ми . 3. Для любой С -ориентированной теории (h*(*)9uk) множество всех мультипликативных преобразований MU*(*) —** к* (•) можно отождествить с множеством всех формальных родов у>(%К ^^LLu^l], таких что y(uk) = uk+(u£) . Доказательство, Пусть 6а: ZftMU(«)—— MU(a+i),а>0,- структурные отображения MU-спектра. Положим и(п) = иии(п). Для того чтобы задать преобразование a:UU*(<) —*-h*(0(когомологическую операцию из теории комплексных кобордизмов в теорию h*(-)) , необходимо и достаточно задать последовательность элементов {а и (п.)}, такую что e,*au(n + i) = Szau(n). При каноническом гомеоморфизме СР°°= WU(i) вложение 6 переходит в структурное отображение б0 ; Х2Ми(0)-^М1Д1),где MU(0) = (* U * ) . Заметим, что элемент u(0)uMV°(MV(0))=£lMV является единицей кольца &ми . Следовательно, если мультипликативное преобразование ft существует, то b*jLix(l) = szjiix(Oh sz - { и, таким образом, теория к*(.) является ориентируемой. Далее, выберем некоторую (С-ориентацию и^ и-отождествим, согласно теореме Коннера - Флойда, при помощи отображения iaf: ПСР00^MU(п) кольцо h*(UU(n)) с подкольцом в ^kL[ui»-"»ua]] » представляющим собой идеал кольца симметрических формальных рядов от u(,..., uft , порожденный мономом ut... ип . Ясно, что для задания мультипликативного преобразования ц необходимо и достаточно выбрать ряд у(и)ь £2h[[u]J , такой что у (и) = и+(чг), и положить по определению, что ft и(п) = *f(ux)... у(иа). Теорема доказана. Пусть у (и) = а+ (и*) . Обозначим через мультипликативное преобразование, соответствующее ряду у (и). Непосредственно из конструкции следует формула где s^ - операции Ландвебера - Новикова, соответствующие последовательностям ы. = (обх ,<^г,... ^ и у^ s у^ • <^ ... .
230 Приложения. В.М.Еухштабер 2. Мультипликативные пгюектош в теории UU*(-) Лемма 4. Мультипликативное преобразование ft: АШ*(.) —**MU*(-} является проектором (т.е.дм = и ) тогда и только тогда, ког- да аи ~u + Z(ftui+1, где ^еАш и fi^^O для всех i>i. i+i Доказательство. Пусть и и = м • Тогда Индукцией по i получаем, что jnf.^0. Обратное утвервдение очевидно. Большой запас проекторов в теории АШ (•) можно получить при помощи следующей конструкции Новикова [Wo ] . Пусть А - некоторое мультипликативное кольцо с единицей и MUA*(*) - теория комплексных кобордизмов с коэффициентами в Л , т.е. Определение 5. Пусть ye &Ma,rt>0 . Опер^ором^еления на ^ называется когомологическая операция Av:MUA*fO — M[M**2V), такая что 1° кч-и 2° А*а.Ь=А а-В+аАч6-уйча-А 6 для любых а,б€ MUA*U) * » V ? Из условий 1° и 2° следует, что если оператор А» существует, то элемент ц является мультипликативно неразложимым в кольце Д... . Напомним, что это условие эквивалентно условию snV ^° » где sa ~ операция Ландвебера - Новикова, соответствующая последовательности <*»{п ,,0,...) . Теорема 6. Пусть у€ £1 ки , п >0 , и s^y^-A^O. Положим Л =* Z [ Л"1 J . Тогда: 1. Множество всех операторов деления на у можно отождествить с множеством всех мультипликативных операций ц(у,,):МиЛ*0) ►MUA*(0, таких что <fy(u) =■ и + цил(Л~'и + (uz)). 2. Каадая мультипликативная операция /*(<fy) t гДе 4>у(и) *и. + ци.*(К1и+(\лг)) t является проектором и выделяет в теории М1Г *(•) теорию когомологий MU *(•} с кольцом скаляров 7
Приложение 4 231 Доказательство. I. Положим и = f-yA . Тогда ft idt) = й6-уДЛа6) = Следовательно» операция /£„ является мультипликативным проект- тором и потому полностью определяется рядом P^uU- fu(u)=u+(tLz). Далее, Дц€ MU^^CCP00), и поэтому Ли - ^ cf. t!H, где (L^&yh21 • Таким образом,^ a -u^t^uri(Zdiui). Из условия /*♦,#-О получаем, что ct^-A"1. * С другой стороны, если мультипликативная операция у. задается радом cfv(ujsa+2I»tuU1 • где ЧЧ"° « ь^я , <?п+1*Ч<*ы, 1*0,я d^A"1 , то согласно формуле (*) операция А^ , такая что Avu(n) =2(^)^f<f)(s^urn)), корректно определена и задает оператор деления на у . 2. Напомним, что набор элементов {а^ } , где а^с ЛМц , задает мультипликативный базис в Лми тогда и только тогда, когда s<ja^±m.(<j) , где если ^ = р^ для некоторого простого р , .<,.={ ^ m в остальных случаях. Пуоть /*-(%) - мультипликативная операция, такая что уу(и)**и + уиЛ(Л'хи+ fu2)) .Тогда /*(fy)t/ = 0 и *<>/*(<fy)a * s^a , если deg а ф -2п «Из сопоставления этих фактов непосредственно вытекает утверждение 2. Следствие 7. Для любого п. , такого что т(п) - i , существует мультипликативный проектор MU*(-)—MU*(0, выделяющий в MU* (•) теорию когомологий с кольцом скаляров ^[<ц] «где q, пробегает все целые числа, отличные от п .
232 Приложения. В.М.Бухштабер Метод формальных групп Ли заключается в переводе утвервдений с языка алгебраической топологии на язык теории формальных групп Ли и использовании затем аппарата этой теории для решения топологических задач. Мы дадим введение в этот метод на примере следующей известной задачи, решение которой существенно расширило рамки приложений теории комплексных кобордизмов. Пусть снова Л - некоторое коммутативное кольцо с единицей. Каждой мультипликативной операции jx: MUA*(-)—-MUA*0) соответствует кольцевой гомоморфизм }л*: £2Мщ ~*" ^мил » но обратное утверадение, как хорошо известно, неверно. Задача 8. Классифицировать все кольцевые гомоморфизмы &мид ^йш.д » индуцированные мультипликативными операциями и. мил » Детали приводимых ниже построений и доказательств можно найти в [Бу 3]. 3. Необходимые Факты из теории Формальных групп Ли 1. Коммутативной одномерной форюльной_группдй над £1 называется формальный ряд F(x,y)€. £2[[х,^]] , такой что F(oc,0) = x; F(F(x,y),z) = F(* 9Щ ,*));.. Пх,у) = Щ ,*). 2. Гомоморфизмом формальных групп Щ: TX—*~YZ над £1 называется ряд 4f(<x)e £2[[х]] , такой что ЩО) = 0 ; VCIi(x,v)) - F2( У&Шу)). Гомоморфизм ^•Р1-*иГг называется сидьшш изweopfei3MOM, если ЧГГх) = х + (х*). Сильный изоморфизм данной формальной группы F(x,y) с линейной группой F^x,^)^ xtt^, называется жргарймрм группы F и обозначается через <j F (х). 3. Пусть и : Л£-^Л2- кольцевой гомоморфизм. Для ряда <рГ*1#*2'*")в^У**" над ^i обозначим через/iLcpKx^x^-.) РОД £/*(<fJ** » где об =(06,,^,...) и х*=х*«х**... . Формальная группа ?0 (х,^ ) над кольцом Q0 называется 2Ш^рсальн^й^ш_зада1Шой совокупностиJ^oJ^юльнmJфJIЩ, если из того, что формальная группа F(x,y) над некоторым кольцом £> принадлежит этой совокупности, следует, что существует един-
Приложение 4 233 ственный кольцевой гомоморфизм и : &0~*-О, , такой что F(a9u) Формальная группа {?"(*, у) над кольцом Л называется pfflBepcajbHoft, если она универсальна для совокупности всех формальных групп. Напомним результаты Лазара о формальных группах. 4. Любая формальная группа F(x,y) над кольцом ift®flj сильно изоморфна линейной группе Тх(я9ц)= х + ц . Логарифм aF(x^ удовлетворяет уравнению 5. Рассмотрим градуированное кольцо Б -£ВЛ= ^«А »^p,,#j> deg 6Л = -2n. , n > 1» и ряд <j,(x) = st+£6n xft+1 . Положим где ^^gfoc)) =r x , и обозначим через Л подкольцо в Б , порожденное элементами а^; . Тогда а) формальная группа !Г(х,^) над Л является универсальной; б) Л = Z[at,az9... .] , deg ал=#-2л. 4, Формальные группы, ассоциированные с теориями когомологий Цусть (К*(*)»ия ) - некоторая (С-ориентированная теория когомологий, Рассмотрим тензорное произведение ^® £2—•-СР^хСР0" универсальных расслоений. Согласно теореме 2 первый класс Чженя ci^li® §*) можно представить в ввде ряда где x=cj(^) , v-c^hf. Теорема 9 (см. [No , прил. l] ). I. Ряд ¥к(х,у) является формальной группой над кольцом &ь . 2. Логарифм 9^х) формальной группы ?ми(х>4) теории комплексных кобордизмов имеет вид
234 Приложения. В.М.Еухштабер Утвервдение I устанавливается непосредственной проверкой аксиом формальной группы с использованием свойств тензорного произведения расслоений. Теорема 10. I. Формальная группа FMU (х,у) = к + ц+^а^х1^ над кольцом &му является универсальной для совокупности формальных групп ^Х*Ч) * ассоциированных с С-ориентированными теориями (Я*(»),и^). 2. Произвольная формальная группа 7(х,ц) над кольцом £1^ сильно изоморфна формальной группе fy Сос9у) тогда и только тогда, когда существует мультипликативное преобразование и: АШ*(*)-»^), такое что р*1Тни1(х,ц) =Г(х,^),где fi*: ДМ0-^Л^ - кольцевой гомоморфизм )i*: MU * (точка) —*- К* (точка). Доказательство. Теорема 9 является переводом на язык теории формальных групп утверадений 2 и 3 теоремы 3. Действительно, пусть ji^ - преобразование из утвервдения 2 теоремы 3. Тогда т.е. rkruIK,u£k)e^*[FM|;Jfu|fc,u2fc). Пусть <f(ot) =x+(ocz) - ряд, задающий сильный изоморфизм групп Тк(х<>ц) и F(x,y> . Рассмотрим существующее согласно утвервдению 3 теоремы 3 преобразование jx :MU*0)-*> к*0), такое что jiil = {^ (и^) .Имеем Следовательно, j6*[FKU](x0^) = F(x,у) , где х = ^(".{к), V = (f (^2f,). Обратное утвервдение также доказывается непосредственно. Теорема И (ом. [Бу l] ). Формальная группа ^ми(х,у) имеет вид W*'V>- ср(*;<сРСу)
Приложение 4 235 где ffPfx)= i+^fCP^Jx^H Иц - №o^o6pa3HeJtoiHopa, т.е. алгебраическое подмногообразие комплексной коразмерности 1 в <CPixСР^ t задаваемое уравнением JLz^ z^ = 0 , где O^fc^ min(i,}) и ( Z01,... , zti ), (z01,...X, /^ )- однородные, координаты в комплексных проективных пространствах <ГР( и (СР^ . Теорема 12 (теорема Квиллена [Кв] ). Пусть «Г(х,у) - универсальная формальная группа Лазара над кольцом Л = 2[а1?а2;...], cLeg аа*-&ьТогда гомоморфизм а : Л —*-Лми , классифицирующий формальную группу Тми(х,у) , является изоморфизмом. Согласно известным результатам Милнора [Mi з] и Новикова [Но ij кольцо &Ми мультипликативно порождено классами ко- бордизма многообразий Ну и не имеет элементов конечного порядка, поэтому теорема 12 является следствием теоремы И. Далее мы будем отоадествлять формальную группу THV(xty) над кольцом &ми с универсальной формальной группой Лазара $Г(х,ц) над кольцом Л. Таким образом, множество всех кольцевых гомоморфизмов Лми—*~«&к можно отождествить с множеством всех формальных групп над кольцом £1 ^ . Теперь всё готово для того, чтобы перевести задачу (8) и ее аналоги на язык теории формальных групп Ли. Теорема 13. I. Пусть (НА*(0,и) - классические когомологии Н*(-;Л) ий- первый класс Чженя схС|С1)). Тогда FHA(oc,u} = x-hjh множество всех мультипликативных преобразований /*:АШ*0)-**НЛ*(О можно отоадествить с множеством всех формальных групп над А , сильно изоморфных линейной группе х+^. 2. Пусть (КЛ*(0,и) - комплексная 2-периодическая К-теория с коэффициентами в Л и и - класс расслоения §(1)-1 . Тогда ^кл^х,У^==х+3/'|"хУ и м110*60^0 жех мультипликативных преобразований /*:MU*v)-*-KA*C*) можно отоадествить с множеством всех формальных групп над Л • сильно изоморфных мультипликативной группе х + у + х^ . 3. Множество всех мультипликативных преобразований fi: MU*6) —*• MUA#(0 можно отоадествить с множеством всех формальных групп над A[aita4,...]f сильно изоморфных универсальной формальной группе Лазара a+^ +2IQij xiy* • Следствие 14 (см. [Бу-Н] ). Пусть
236 Приложения, В.М.Бухштабер - логарифм формальной группы Tuv . Тогда: 1. Кольцевой гомоморфизм }л*: йми-*-Л продолжается до мультипликативного преобразования и. :Ми*(0-^НЛ*(-)тогда и только тогда, когда /л*[^](ос)^Л[[ос]], 2. Кольцевой гомоморфизм ft*: ЛМ1/-^Л продолжается до мультипликативного преобразования ^:MU*(-)-^KA*(0 тогда и только тогда, когда exjb (^*[^](х))€Л [[xj]. 3. Кольцевой гомоморфизм //*: йМ(/-^ймиЛ = 52ш®Л продолжается до мультипликативного преобразования ы:Ml/*(«) —+-MUA (•) тогда и только тогда, когда cfl(J^l^M)* *2шаССхП- Доказательство. Пусть (h*(0,u) - некоторая С -ориентированная теория, у которой кольцо скаляров Ль не имеет элементов конечного порядка. Тогда любая формальная группа F(x,y) над £2^ полностью задается своим логарифмом gF(sc) . Кольцевой гомо- морфизм у.*: QsM —•*■ £2^ задает над £2^ формальную группу F(x,y) с логарифмом ^F(^ */**[gK*) • Как следует^из предыдущего, а * продолжается до преобразования ti * МС/ С-) —► &*(•) тогда и только тогда, когда /tu-(f(uk)^h (£РИ=£2<Д^]]? где iff*)" ряд, определяемый соотношением ^г(у(х)-^(х). Для завершения доказательства теперь осталось заметить, что 5. Проектош Квиллена и Адамса Пусть A=Zp - кольцо дробей я/т , где т взаимно просто с простым числом jb . Используя классическую теорию препятствий, Браун и Петерсон в 1966 г. доказали, что спектр MUZp расщепляется в прямую сумму сдвигов некоторого спектра BPj> , получившего название спектра Брауна - Петерсона. Вскоре после этого С.П.Новиков получил результат Брауна - Петерсона при помощи введенных им операторов деления на скаляры. Но ни один из указанных методов расщепления спектра MUXp не давал способа получить каноническое (универсальное) расщепление. Такое расщепление впервые построил Квиллен методом формальных групп Ли. А именно, Квиллен применил чисто алгебраическую теорему Картье о том, что над кольцом Л ® Хр универсальная формальная группа (Г(ос,у) сильно изоморфна формальной группе £(>(*>¥? с логарифмом <$р(*>) = эс + Хв^^а^ (см. [Бу 3], [Кв] ). Здесь мы изложим этот результат Квиллена, следуя работе Адамса [Adl].
Приложение 4 237 Теорема 15, (Проекторы Адамса.) Пусть d>i - целое число и A-'ZW1]. Тогда: I. Существует единственный мультипликативный проектор e = ed: MUA*(.) —*-ШМ*И, такой что # е r^ppft-i JO, если a ~-i mod d, L J~\[«P\|, если n^-lmodd. 2. Любые операторы е& и е^ коммутируют • Доказательство, I. В силу следствия 14 достаточно доказать, что iis-imoaa {,*=! где ы1?..., об4 - набор различных корней степени d из I. Формальная группа FMy(x,y)~g~f(9W+g(y)) задает в кольце рядов ^Mutt*]] операцию сложения ф . Используя эту операцию, получаем , где у (и) = g_i (-g-Q (Ч^^* ^ак как Ф-суша d экземпляров рада Г (у) представляет собой ряд YjCU) » такой что 4®U{V~0, Т0 f^)€^MUA[tV^ * СлеДовательно> 2. Для любых d и с£' кольцевые гомоморфизмы е^ е£/ и есС' е^( ' очевидно, совпадают, и поэтому проекторы е^ ие^ коммутируют. Следствие 16. (Проекторы Квиллена.) Пусть р - простое число. Тогда существует единственный мультипликативный проектор е = ер: MUZ^—-MUZp, такой что ^ г ,п J [£РЛ]> если * *р*-1 Для некоторого f, IA*j- ^ q в остальных случаях.
238 Приложения. В.М.Бухштабер Доказательство. Из свойств проекторов е^ следует, что искомым проектором &р является композиция всех цроекторов е^,где d пробегает все простые числа, отличные от р . 6. Характер Чженя - Дольда и гомоморфизм Гуревича в комплексных кобордизмах Определение 17. Характером_3^ня ^ Дольда chv: MU*(0 — Н*(. ;&■«,•«) называется единственное мультипликативное преобразование, такое что сЛуб =б для любого 6 € £2ми . Лемма 18 (см. [Бу l] ). Преобразование chy задается рядом саии = у(цн),где f(9(x))=x. Доказательство. По условию chvq(oc) = chv[g](<f (uH)) = 9(cf(uH)). С другой стороны, из доказательства следствия 13 вытекает, что g(cf(oc)) = 9H(^) = 5c • Итак, <р(х; = ^Сх) и cfiy^(u)=uH. Положим chvu = uH +£(р."ц+£ и обозначим через Л (Z) под- кольцо Z[<ft ,<Р2>-"] в ^ми ® Ф • Лемма 19. I.- Гомрмор^зм Гуревича Б: ^MU = ^(MU)—H^(MU), сопоставляющий гомотопическому классу отображения f: S + л-*- MU(tf) , N —не» , образ фундаментального цикла f^.[S2>/+£nJ, индуцирует изоморфизм Б: Йи(Ж)-^Н^(Ми;. 2. Характер Чженя - Дольда разлагается в композицию MU*(.)-^H*(-fH#(Ml7))—н*(-;акив«). Доказательство. Согласно формуле (*) имеем Следовательно, для любого de ь*МХр где sH ^б - характеристическое число Чженя в когомологиях, соответствующее последовательности об = (о^1,о^,...) и Ч^Ч^ЧЦ^' •
Приложение 4 239 Взяв 6 - (fn , получаем s,,^^» 0, если ы.Ф(п,0,...),к sH?not„ = i, где sH a=sH)(n>0 ..) • Таким образом, элемент B<fa является мультипликативной образующей Sn в размерности -2п кольца H#(MU} = Z[6,A,...] • Отождествив кольцо Лазара Л с £2wt, , получаем, что гомоморфизм Гуревича совпадает с каноническим вложением Л-^В. пз^ствие 20. Пусть Tuv (х,у) = х+у^ij *У и 9^ « fc*'s x+2*i*i+1 • Тогда 7. Операторы Адамса в К-теории и операторы Адамса - Новикова в Ш -теории Пусть (ft*(-),Uk) , как и выше, - некоторая С -ориентированная теория. Согласно принципу расщепления любое (аддитивное) преобразование К-функтора а: К°(ХКГХ,ви]^к*(Х) полностью задается своим значением а§ на универсальном расслоении §—^СР°* . Преобразование а является мультипликативным тогда, когда для расслоения ^0 §г—►-(СР^хflp00. В частности, мультипликативное преобразование переводит одномерное тривиальное расслоение в единицу кольца скаляров £2 ^ . Лемма 21, Множество всех мультипликативных преобразований К°(0 h*(0 можно отоадествить с множеством всех гомоморфизмов 4f формальной группы Th(<x,y) в группу FK(x,y) = x^+ху. Доказательство. Пусть а : К°(-) — fi*(») - мультипликативное преобразование. Имеем а^«1^л(х) , где х = ик и ос(х.)и&к[[х]]9
240 Приложения. В.М.Бухштабер о£(0)~0. Следовательно,^^® £2)=l+*(F^(x,y)), И ПОЭТОМУ об(Гк(Х,у)) = ^(Х)+сб(у)+о£(Л)^(г^), т.е. ряд ы(х) задает гомоморфизм F^—»-FK .С другой стороны, если ряд ^(x)^^fl[[x]] ,ct(0) =0 , задает гомоморфизм Г^ —*~VK , то, положив а $ :=i+ot(x) , мы однозначно определим мультипликативное преобразование К°(-) —^"К*С*)« Лемма 21 сводит задачу классификации мультипликативных преобразований К°(» )-J-k*6) к задаче классификации гомоморфизмов 7^ —*~ Гк . для решения которой нам потребуются следующие факты теории формальных групп Ли (см. [Хо] ): Пусть Fj ц F2 - коммутативные формальные группы над Л. Обозначим через Hom^(Ft,Ip множество всех гомоморфизмов Ft в 7г над £. 1. Закон композиции (4rt©¥aK*)=FJ^*),^(*)), У.«Нотлед), 1-1,2, задает в Horri^t^I^) структуру коммутативной группы. 2. Группа Еаd^T = Hom^(F,F)является кольцом относительно сложения Ф и умножения © , задаваемого композицией гомоморфизмов, а группа Homft(FJL,i^) - левым Tbid^ Yx -модулем и правым En d д F^-модулем. 3. Тождественный гомоморфизм F-*F является единицей [l] кольца Enct^F , и определен кольцевой гомоморфизм [ И ]r:Z-EndftF:[n]*M]e[i]. 4. Пусть #*(x,i^) - универсальная группа над кольцом ЛсВ = Z[6lt6a,..-] и f1(x? = x+£6,lx'l+1. Тогда Так как 9'(х) € Л [[л.]] , то согласно формуле (*) ряд [п]т(х) для любого простого р можно представить в виде [р ]$■(*) =рхобх(х; + хЦ(х), (* *) гдео^(х) € Л[[х]]. Используя универсальность группы £0,у) над Л, получаем,
Приложение 4 241 что для любой формальной i-руппы Г(х,у) над Л формула (* *) имеет место над кольцом О, , а формула (*-) - над кольцом Q ®Q. 5. Пусть Жр - кольцо целых р-адических чисел. Положим £1ъ~ &®%ъ • И3 Формулы (**-) следует, что гомоморфизм [ ]:Z _-*~End F непрерывен в р-адической топологии кольца целых чисел je" и соответствующей топологии кольца формальных рядов над Л . Кольцо Zjb является пополнением кольца Z в р-адиче- ской топологии, и йоэтому, продолжая по непрерывности гомоморфизм L J , мы получаем гомоморфизм превращающий кольцо En^U F в Zj,-модуль. Теперь всё готово, чтобы перейти к топологическим приложениям. Далее мы будем рассматривать лишь кольца £1 без кручения и отождествлять их с их образом в Q ® Q . Лемма 22. Множество всех мультипликативных преобразований К°(-) —*- 1г*(«) можно отождествить с множеством всех формальных рядов вида еос}э(бдкСх);€ Ль[[х]], где d€*S2k. Доказательство. Пусть ^ : Fj -—^Е^-некоторый гомоморфизм, задаваемый рядом "ф (х). Дифференцируя по у соотношение if (FtCcc,y )) = Гг(у(х),^(у)) и полагая затем 4=0 /получаем где coi(x) = i-rl(x,^)| и 1/со£сх)*^гх). Следовательно, ^ * ^(^х))=,у(0)9г/х), ^x)=^f^?r/^)- Замечая теперь, что <jr (x)~fri/i+x) , получаем согласно лемме 21, что если а - некоторое мультипликативное преобразование, то a $ = ©х^<5(9^(х)) . Обратное утверждение очевидно. Следствие 23. I) Каждое мультипликативное преобразование а : К°(-) —*- Н* ( •; (Q ) задается рядом a $ = еяср <5х , где <5€ Q . При d = i преобразование а представляет собой классический харак- тер_Чженя ch: К°(0—^ H*(-;Q).
242 Приложения. В.М.Бухштабер 2) Каадое мультипликативное преобразование а:К°(')-**М17<5*(-) задается рядом ац=еаср6у(ь) , где б е йми(. и При 6 = 1 преобразование а представляет собой ха^етер_Чженя - Новикова [Мо] Пусть KZj^ (-) - комплексная 2-периодическая К-теория с коэффициентами в кольце целых р-адических чисел. Теорема 24. Каадое мультипликативное преобразование а:К0(О -^KZp(-) задается рядом о § = £+[б ]Fk(x)9 6*2*, т.е. представляет собой оператор Адамса У*(см. [Ad 4] , [At-T]). Доказательство. По лемме 22 где x=(^-i) . Следовательно, если 6^Z , то а$ = 4f £ согласно обычному определению операций Адамса в К-теории. С другой стороны, о. {: = i +g^ (Scjr (ос)) =!+{<$ ]г (х ) и поэтому, как следует из приведенных выше фактов теории формальных групп, ряд ctj: принадлежит кольцу 7L* [[x]J и задает оператор Адамса ^6 для любого р-адического <£ . Теорема 25. (Проекторы Адамса Et .) Пусть d>i - некоторое целое число. Обозначим, как и выше, через K(d) кольцо дробей а/6 , где 6 взаимно просто со всеми простыми числами р, такими что р == L(dL) . Тогда определен проектор индуцирующий на гомологиях классифицирующего пространства BUR(dJ гомоморфизм (Е^: H^(BUR(d);Q)— Н,(ВиШ);ф), такой что /р\ _ J хп , если n = kd +1 , t> 0, ^ i'*xn~ ] о в остальных случаях;
Приложение 4 243 здесь HJBUR(d);(QhQ[xl9xzy..] и x^HZrt(WR(d);Q ) -классы гомологии, однозначно определяемые из условия A^x^^x^l + iftx , где A:BU-*-BUxBU - диагональное отображение, Доказательство. Пусть <±:- еос)э -~ j , j = i,..., d . Положим где x = ^-i . Определено аддитивное преобразование E^KUQCO — KUQ(0, задаваемое рядом Et| = 4(2 j",4f ^) .С другой стороны, для каадого р , такого что ^р =^1(с1)7в кольце Жр определен полный набору,..., ud корней d-й степени из I. Следовательно, определено преобразование где yo6^=i4-[^](x)€KUZp((Cpeo) • Так как, согласно теореме 24, V^ib- охр a. £n(i + x) , то мы получаем, что E^€R(d)[[x]]. в Непосредственно из конструкции операторов У следует, что yr*t цг<*г = y-SiSa . Следовательно, и поэтому Е^ = Et , т.е. преобразование Zt является проектором. Для вычисления гомоморфизма ( Е ) воспользуемся свойствами характера Чженя сА . Имеем ch.£ = i +Z^Vn J , где х = сх(^) . Поэтому, по принципу расщепления, для любого расслоения ^ *~"*Х имеет место формула где ССГ1) - характеристический класс Чженя с^ , соответствующий разбиению и = (п,0, -.. ) . По следствию 23 мультипликативное преобразование скЧ/** задается рядом ch 4го6fc ^ = еяс]ооЛ ос . Следовательно,
244 Приложения. В.М.Бухштабер и поэтому Пусть теперь £ - универсальное расслоение над BU. По определению отображения Е1: BUR(ct) —*-BUR(d) имеем Е*$ sEj ? » Значит, .4. *•' "An (fcct+i)! ' л>1 "" fc>0 т.е. #<*><*>-{ сСа)(^),если п. = fcd +i , О в остальных случаях. Замечая, что мультипликативные образующие ха кольца K^(BU^Z) двойственны классам ссп) относительно аддитивного базиса с^ в H*(BU;Z) , получаем полное доказательство теоремы. Применим теперь аппарат теории формальных групп для изучения операторов Адамса - Новикова V . Далее символом [п] мы будем обозначать эндоморфизм [п.]_ универсальной формальной группы * ¥(х,ц) над кольцом &нил • Согласно Новикову [No] оператор Yfc: MUA*(*)-»-MtJA*(*) представляет собой мультипликативную операцию, значение которой на каноническом элементе х=иШЛ имеет вид ЧГ х=^[1с](х). Таким образом, для того чтобы оператор Щ существовал, необходимо и достаточно, чтобы *£-[1г](х)^ЛмиЛ[[ас]] . В частности, в силу сказанного выше, если А является Z^-модулем, то для всякого обратимого элемента кольца Z^ определен оператор Щ*. Теорема 26 С [No] ). I) Для любого б€ £2мад ¥°б = otn6 . 2) Для любых о^ и otz Доказательство. Рассмотрим отображение такое что f*x =Г(х,^). Имеем 4*Y(x,H) = f *Г"х = f *(^Н(х)) = М*а)
Приложение 4 245 так как [ct]€&idF . С другой стороны Полагая хх =з;[>](х) , Цг^У^(ц) > получаем Следовательно, т.е. ^*(ау) =<*1*}'1 a-i< • Но коэффициенты а-^е £>мид J порождают всё кольцо <&м(М » тем самым первое утверждение теоремы доказано. Далее, положим У 2х = эс +X(fixt+ • ТогДа так как [ "] :Z—^Endp - кольцевой гомоморфизм. Это завершает доказательство теоремы. Из формулы 4f х -^^Ы^Ы)) следует, что, устремляя ot-^OK нулю, мы получаем операцию так что Ч/"°х = 9(эс) • Лемма 27. I) У°1 = 1 и Ч°4 =-0 , если d&}d>0. 2) Для любой мультипликативной операции а; UV*0)-*»MU\e) Доказательство. Первое утверждение следует непосредственно из того, что а(х) - логарифм группы ¥(хуц) . Для доказательства второго достаточно заметить, что мультипликативные операции аУ0 и W°a действуют на кольце скаляров точно так же, как операция 4f0. Теорема 28 ([.Eyl] ). Пусть d>l - целое число и (>i9&Z9.-- канонические образующие кольца QV(Z) = H„(MU) . Тогда существует единственный мультипликативный проектор £=£^ :UVR(dT
246 Приложения. В.М.Езпсштабер (•) —*M.VR(i)*(.), такой что «4-J in , если п= Ы, О в остальных случаях. Доказательство.Положим ^* = ИХ*> г где осj ^&хр —- j. т и напомним, что £(^) = х+2^ах'14" ~9~ ^х)* Имеем С другой стороны, так как 6^ о(х) ~я(ъ) согласно лемме 27, то Следовательно, ^^{-^ и £^^=0 , если affect Теорема 29. Для всякого целого числа d>{ существует единственный мультипликативный проектор е = е^: HU*&(d) (•) -+№UR(d) (*)0 такой что s*[~(DPhl - J [^pfl]»если а ==• ^ > [0 в остальных слу случаях. Доказательство. Имеем Согласно следствию 13 достаточно доказать, что Q~l(el(}]M)€ й^ц^ [[*]] для всех простых р , таких что р =. 1(d). Имеем где \} = у~{(11 г-9^;^) = 01(х)Ф...Фб({(х) (ф7как и выше, обозначает операцию сложения в группе F(x,y) ) и 0;(х) = $ (j-.g^2-^
Приложение 4 247 }=*-> ••• ? <£ . Замечая теперь, что 9'dx)=xi?"i[*)=x +(хг/> получаем, что 8j(^)£ ^muz*, 11^1 • Это завершает доказательство. В заключение опишем действие на кольце iQ, ки мультипликативного проектора £,(<£): MC7£(dL)*(.)—*- MUR(cL)*(.), задаваемого формулой Хансена Стандартный замкнутый диск D в п -мерном комплексном пространстве (СЛ имеет каноническую структуру комплексного многообразия с оснащением на границе. Как показано в [.С-Г]| , CjD*4 =(^(1П" %(tf"),0\ ЗС^Несли fc > 4 , Поэтому, согласно известной теореме Коннера и Флойда (см, теорему 15.1 в [C-F] ), существует замкнутое U -многообразие N *, такое что [ W*a] =d(ti)[D*a] , где dfl)»2, d(2n+i) = l при п>0 и 1Ш(2п))Л *' если Zn^O(f)-i); Pv [ 1 + <у2л),если 2п нО (lb-i). Здесь л)*,(лг) - показатель при р в разложении числа m на простые множители. Теорема 30. Проектор e,(i): MUR(d)*(.)—^MURCijTf.), такой что (£Йх)=Д^х , однозначно определяется условием * * £ГсП*Ш2л1 =г1[Я2п],если м-fed, 4 у L J 0 в остальных случаях.
248 Приложения. В.М.Бухштабер Доказательство. В работе [By l] (см. также [Бу-Х] ) доказана формула Имеем: Следовательно, Таким образом, е^^[^]*Г^*"] и й«Г[№&]-0 при п. ^ fed .Так как класс кобордизмов [ HZrt] с точностью до разложимых элементов совпадает с d(n)a! Ьп , то значения операции c(d) на [ U2a] 9 .п>1 , полностью определяют гомоморфизм 6(с0* : iGMURfiL; -*■ &тШ) и тем самым операцию &(&) > Так как jb =1(2) для любого простого нечетного р, то R(2) -^ ["2"1 • Проектор £,(2) впервые был введен в [Бу 4] (см. также § 4 из [Бу-М-Н] ) и затем подробно рассмотрен в [Бу з] в связи с задачей исследования симплектическшс кобордизмов, ибо, как оказалось, теория U* (•) (по поводу обозначениях см.[Б 4]), выделяемая в MUZ[-|"]*C*) проектором £(Z)9 совпадает с теорией симплектическшс кобордизмов MSpZ[£]*(*). Теория Ux(«) играет существенную роль в приложениях метода двузначных формальных групп (см. [Бу 3] ). В работе [Бу-Х] показано, что аналогичную роль в приложениях метода d -значках формальных групп играют теории когомологий, выделяемые в MUR(d)*(>) проекторами £-(d)
ПРИМЕЧАНИЯ АВТОРА к стр. 35. Как указал мне Ф.Коэн, отображения не являются гомеоморфизмами. В действительности области значения этих отображений неодносвязны. Это означает, что,хотя отображения \)q корректно определены и дают стабильные эквивалентности, согласно доказательству теоремы 3,2 части I, тем не менее отображения /*<*Л не определены. Дело легко поправить. В работе [С-М-Т 2] построены стабильные расщепления классифицирующих пространств Порождаемые ими (стабильные) вложения пространствВИ^гС^/ВЕ^гСг вВХгпг(^х можно использовать вместо fin в приведенном после формулировки упомянутой теоремы определении отображения у.^ ; дальше доказательство продолжается почти точно так же, лишь с незначительными видоизменениями. Что касается стабильных расщеплений из [С-М-Т l] и их приложения к моим результатам, см. следующее примечание. К стр. 82 . В приводимом ниже доказательстве этой теоремы используются три группы результатов. Во-первых, некое специальное стабильное расщепление пространств BU(h) и BSp(n) , получаемое применением трансфера в том виде, как он описан в части I. Во- вторых, стабильное расщепление пространства QX , найденное в [Sal] . В-третьих, результаты теории препятствий из пунктов 2.9 и 2.10. Однако со времени моих первых доказательств (приблизительно 1975-1976 гг.) были развиты технически более совершенные подходы к трансферу [Те 19 2] и стабильным расщеплениям [Сг -М-Т; С-М-Т 1,2; К-За; Ma 3]. Например, со стабильными отображениями пространств петель, используемыми в [Snl], становится намного легче работать, если опираться на правильную модель пространств петель. Это реализовано в [Sn8].
250 Примечания автора Далее, если привлечь комбинаторную геометрию S-отображений из [С-М-Т 2] вместе с формулой двойных смежных классов из [Ге I, 2], то можно показать, без какого-либо использования теории препятствий, что имеют место эквивалентности мультипликативных спектров AU - ^Mttflc) > ASP t% MSp(k). Это, конечно, позволяет получить очень короткие доказательства теорем 2.1 и 3.1. Такие доказательства даны в [Sn8], где приведены также более простые доказательства теорем 9.1.I и 9.1.2. К стр. 129. 165 . Данное примечание относится ко всем примерам, в которых используется р-пополнение, а именно к примерам из пунктов 1.4.4 - 1.4.6. Вообще говоря, неверно, что операция р-пополнения коммутирует с оператором надстройки, так что для бе.хг(Х) спектр Хр(6) в общем случае не совпадает со спектром Х(6)с ^-коэффициентами. Хотя в простых примерах из пунктов 1.4.4 и 1.4.5 это никак не сказывается на конечном результате, тем не менее, для того чтобы.гарантировать, что р-адические теории алгебраических кобордизмов являются теориями когомологий, для которых ассоциированные бесконечнократные пространства петель р-полны (а это, уже было использовано, скажем, в наброске доказательства из пункта 1.4.5), следует еще раз применить операцию р-пополнения. То есть, построив пространство Р(Х£(6)) (в обозначениях пункта 9.1 части II), нужно его пополнить, с тем чтобы получить р-пол- ное бесконечнократное пространство петель Р(Х£(6))р . Таким образом, говоря о р-адических алгебраических кобордизмах, мы должны иметь в ввду теорию когомологий, ассоциированную с этим последним бесконечнократным пространством петель. Это соглашение надо иметь в виду, в частности, при проведении вычислений в § 3 части ГУ. К стр. 136. Для того чтобы можно было использовать неггоиведенные гомологии, спектральную последовательность [Dp ^ ] надо строить при помощи неприведенных стабильных гомотопий. Пусть F+ (соотв. Е+) - несвязное объединение пространства Р (соотв. Е) с некоторой отмеченной точкой с?о . Тогда эта спектральная последовательность должна иметь вид
Примечания автора 251 В теореме I.I3 положим x«i^(6)e^ (Е) . Мы можем превратить пространство Е+ в Н-пространство без единицы, введя умножение т+:Е+хЕ+—*-Е*, которое на ЕхЕ совпадает ст:Е*Е-*Е , а всё дополнение к ЕхЕ отображает отмеченную точку оо . Пусть, как и выше, I - вложение и S( ) - оператор неприведенной надстройки. Тогда имеет место гомотопически коммутативная диаграмма Е*Е (E+^-JBL^Stf* Е+) -^~S(E+) = SEVS1 где Hopf - конструкция Хопфа и ■* - оператор соединения (джойн£ Эта диаграмма позволяет доказать, что локализация кольца я£(£*) - 9С^(Е)вл^(5°) , полученная при помощи обращения элемента х (с использованием отображения т+ для введения умножения на х ), приводит к кольцу ис^(Е)[1/х]=7^(Е(Ьс)) (см. пункт 1.2). Приведенное рассуадение оправдывает отсутствие пространств Г* и Е** в спектральной последовательности из теоремы 1.13. К стр. 194. В проводимых ниже рассувдениях беспечно игнорируется факт, отмеченный в примечании к стр.129 , 185. Я приношу свои извинения и надеюсь, что это не приведет читателя в замешательство. Дело здесь обстоит следующим образом. Что касается утверждения (а), то конструкция, приведенная в доказательстве, дает отображение VP((X£(Sp.c/U>P — W«b где Р( ) - ассоциированное со спектром Йг°°-пространство из пункта 9.1 части II. Однако, как было указано в упомянутом примечании, р-адические алгебраические кобордизмн следует на самом деле задавать при помощи гомотопических групп р-пополнения области определения отображения ХА . Таким образом, нам надо р-пополнить отображение Хд . Приведенное в тексте доказательство утвервдения (а) показывает, что имеет место эквивалентность *^P((BA*)£))arKu2p((BGA)p).
252 Примечания автора Аналогичным образом следует дополнить и доказательство утверждения (6). А именно, ввиду того что пространство ?((ВА*)р) должно быть заменено на пространство Р((ВА*)р)£ , мы обязаны следующим образом видоизменить определение кольца Ж^А : образуем пространство ^ ^2n(BGLA*Vp~KA, где предел берется по итерациям операции умножения на Ьех„ • и полагаем ?£.А равным ^с((КА)р ) , а не яг^Кд). Фактически в примерах из пункта 4.3 это видоизменение не меняет кольца 3t^A* Между прочим, уже после написания этой книги я четко осознал (под существенным влиянием бесед с К. Суле), что подход к введенным нами спектрам алгебраических кобордизмов, связанный с рноюполнениями, приводит к многочисленным трудностям, так как процедуры р-пополнеция и перехода к стабильному гомотопическому типу не коммутируют. Эти трудности можно обойти, рассматривая спектры алгебраических кобордизмов с коэффициентами BZ/pTmM). При таком подходе результаты обсуждаемой теоремы принимают весьма приятный вид. Например, если р#2 и А = IL , где р - делитель числа cj,-i , то mod р-аналог гомоморфизма j)r является изоморфизмом. ' Доказательство этого и связанных с ним результатов я предполагаю дать в последующих публикациях. К стр. 202. В этот пункт необходимо внести изменения, аналогичные описанным в предыдущем примечании. Подробности предоставляются читателю. Отметим, что эти изменения не сказываются на результатах пунктов 4.6Д - 4.6.4.
ПРИМЕЧАНИЯ ПЕРЕВОДЧИКА К стр. 16 . Определение стабильной гомотопической категории Адам- са см. в приложении 1. К стр. 18 . В приведенной конструкции трансфера отсутствует завершающий этап. Подробное построение трансфера и сводка его основных свойств даны в приложении 2. К стр. 18 . Здесь автор, по-ввдимому, имеет в виду следующее определение (ср. с определением невыроаденного критического многообразия в гл. 6 книги [По] ): Пусть Г - гладкое многообразие и p:F-—TF - гладкое векторное поле, множество особенностей Tt которого является гладким подмногообразием в F . Поле f называется невырожден- ным на F, , если для любой точки £ ^ F1 ядро дифференциала Dp:TF—*~T(TF) совпадает с касательным пространством к F1 в точке £ , т.е. ( fcerDp)f = (ТТ^. К стр. 29 . См. также [Adl]. К стр. 29 . Гипо_теза_Адамса (см. [Ad 5] ) формулируется так: для любого натурального к и любого расслоения £ —»~Х над произвольным конечным клеточным разбиением X существует натуральное число J\T , такое что расслоения \cHV^\ и кн§ послойно гомотопически эквивалентны ( J-эквивалентны). Здесь yfc - оператор Адамса в К-теории. Гипотеза Адамса называется кшплекс- ной или Бедственной в зависимости от того, каким является расслоение £ - комплексным или вещественным. Отметим, что гипотезе Адамса посвящена гл. 5 книги [Ад]. К стр. 36 . В приложении 3 даны геометрические доказательства теорем 3.2 и 3.3 (см. предисловие переводчика). К стр. 37 . См. примечание к стр. 36 . К стр. 39 . См. приложение I.
254 Примечания переводчика К стр. 40 . См. цриложение I. К стр. 44 . Определение формальной группы комплексных кобордизмов дано в приложении 4. Там же приведена формула, выражающая коэффициенты а^ этой группы через классы кобордизмов известных многообразий Милнора Н;; • V К стр. 45 . См. приложение 4. К стр. 46 . См-, приложение 4, следствие 19. К стр. 47 . Определение и основные свойства Х^ушожения, которое называется также косш^огомрдюгичес!^ можно найти в гл. 7 книги [До 2]. К стр. 53 . Пространство Е = От Et является стягиваемым пространством со свободным действием группы О(4а) и, следовательно, группы F(4n) ~0(2n)*0(2ri). Докажем это, приведя явную индуктивную конструкцию фильтрации Е0 с ££с...с Efс... универсального пространства Е группы G , которая называется фильтрацией Милнора. (В общем случае, когда (г являемся Н-про- странством,-эта фильтрация построена в [До-Л]). Положим Е0 » Q и возьмем в качестве отмеченной точки пространства Е0 единицу е группы G . Пусть уже построено пространство Et с отмеченной точкой * вместе со свободным действием jit: Et *G —*~Et группы Q на Et . Определим Et+1 как факторпространство пространства троек (y>s>9^ гДе Vе ^t* s 6 [ОД ] , 9 € G ,по отношениям эквивалентности для всех ЧпЧ*'Ч*Е^?€С* и з^зДод] , гдеу9»Д(<де)- В качестве отмеченной точки в Е^4£ возьмем класс эквивалентности точки (*?0,е) . Действие /л*+£:^+1х&"*,Е,^ группы Q на Et+1 зададим формулой Ясно, что действие ut-n является свободным, вложение £t: Et ->-Et+£,и »-^(^,1,е ) - эквивариантным, а отображение y:Et* [ОД]-^-Е (у,б)»~> ( у,б,е ) задает стягивание подпространства 4^Et)c£t+i в отмеченную точку (*,0,е) . Шаг индукции завершен. Таким образом определяется G-эквивариантная
Примечания переводчика 255 фильтрация Е0сЕхс... пространства Е =■ turn Et . Так как для каадого t подпространство Et стягивается в точку по подпространству Ь^+i » то пространство Е является стягиваемым. Следствие, Пусть Grt - некоторая подгруппа в G . Положим B(Q1)t = Et/G1 • Тогда timZ(Gt)± =BG1 - классифицирующему пространству группы Q t . К стр. 53 . Точная последовательность Милнора [М* 2] (см. также [Ad I ] ) в данном случае имеет вид где ВР(4я) = &т£,. К стр. 62 . См. приложение I. К стр. 63 . Ряд инвариантов топологических пространств, определяемых с помощью данного пространства X, зависит лишь от гомологической структуры последрего, но построение и исследование этих инвариантов сопряжены с существенными трудностями, если фундаментальная группа я^Сх) не коммутативна. Цель L+lz. крнструкции Квиллена, или, как теперь говорят, квилленизации, заключается в максимальном упрощении фундаментальной группы xrt(X) при сохранении гомологической структуры пространства X . Приведем, следуя [Ад], основные факты о (+)-конструкции. Пусть х - нормальная подгруппа группы ж±(Х) , такая что [x?7t]:=:x . Тогда существуют пространство Х+ и отображение I :.Х —•ОС*, для которых 1) последовательность О -^я—^W-i^TcPO^O точна; 2) если группа kl(X*) действует на коммутативной группе А, то для локальной системы ^ над X* и индуцированной системы А* над X гомоморфизм i*: Н*(Х49с^)-^Н*(Х,«я/*) является изоморфизмом. Цель (+)-конструкции достигается в следующих важных примерах: X =321^ и яг - знакопеременная подгруппа бесконечной группы перестановок 2^ ;
256 Примечания переводчика R - некоторое кольцо, X =BQLR= bmBGLaR и х - подгруппа группы матриц GLR = 6/nGL^R , порожденная элементарными матрицами. Идея построения пространства X заключается в том, что сначала при помощи двумерных клеток "заклеиваются" элементы группы 9с t а затем при помощи трехмерных клеток уничтожается вклад в гомологии, даваемый новыми двумерными клетками. (Внимательный читатель, без сомнения, сможет из контекста понять, когда Х+ обозначает ^-конструкцию Квиллена, а когда несвязное объединение пространства X и отмеченной точки.) К стр. 64 . См. пункт 2.3. К стр. 65 . См. пункт 7 приложения 4. К стр. 66 . См. примечание к стр. 44. К стр. 73 . Дадим краткое описание конструшр!и_Хонфа (подробности см. в [Ро-Ф , с. 48 - 50] ). Пусть X и Y - топологические пространства с отмеченными точками * . йсойнрм. (соединением.) X *• Y называется факторпространство Рассмотрим вложение t:XvY-**X*Y , где Цос)=:(х^О^) и ъ(ц) = (* 71,ц) • Имеет место гомеоморфизм X^Y/XvY^XfXxYj^tO^^XxY/^x^)^^^^^^^^ и отдбратогае_Хопфа_ Н: X*Y—^-2(X*Y) представляет собой не что иное, как факторотображение X*Y -*-X*Y/XvY . Вложение i разлагается в композицию с вложением j:CX^CY-»-X*Y, где ]Сб,х)=(хэ5,*) и j($,y)=(*,s,y). Учитывая, что имеет место гомеоморфизм X*Y/CXvCY^I(X^Y)404]*X*Y/{^ и замечая, что пространство СХ vCY стягивается по себе в
Примечания переводчика 257 точку, получаем гомотопическую эквивалентность К стр. 89 . См. пункт 7 приложения 4. К стр. 96 . См. пункт 7 приложения 4. К стр. 97 . См. теорему 25 приложения 4. К стр. 97 . Проектор Адамса £ полностью определяется своим действием на кольце MUR(d)(точка). Это действие описано в теореме 30 приложения 4. К стр. 101 . Здесь автор неточно излагает результат Адамса. Кольцу MUZ [1/cL] ^((СР00) принадлежит значение на каноническом классе х проектора <^(сО , определяемого рядом moq х в смысле, указанном в пункте 5 приложения 4, сам же рад rncxj х , очевидно, этому кольцу не принадлежит. Детальное построение проекторов a(d) дано в упомянутом пункте приложения 4. К стр. 101 . На самом деле проектор. <}(d) переводит-канонический класс х в рад пгод"' (fo^xj (см. примечание к стр. 101 .). К стр. 107 . Указанное свойство класса Тома ЯЕ означает, что - отображение, соответствующее диагональному вложению А :Х^Х*Х . К стр. 113 . См. [St] . К стр. 115 . Определению и детальному изучению свойств р-пополне- ний посвящена гл. 3 книги [Су]. К стр. 115 . См. примечание к стр. 63 . К стр. 127 . См. примечание к стр. 115 . К стр. 129 . Дадим, следуя [Ми], сводку необходимых понятий теории ситусов. Пусть Б - класс морфизмов схем, удовлетворяющий следующим условиям: (^) все изоморфизмы лежат в Е;
258 Примечания переводчика (ez) композиция любых двух морфизмов из Е лежит в Е; (е3) каждая замена базы морфизма из Е лежит в Е. Дйя краткости морфизмы из Е называют Аморфизмами. Полная подкатегория категории Sch\x схем над X (Х-схем), структурные морфизмы которой являются Е-морфизмами, обозначается через Е|х* Особенно важными являются следующие примеры классов Е: (а) Е=( Zar ) . все открытые иммерсии; (б) Е=( et ) - все этальные морфизмы конечного типа; (с) E=(fC) - все плоские морфизмы локально-конечного типа. Фиксируем базисную схему X, класс Е и полную подкатегорию С | х категории Sch I х , замкнутую относительно расслоенных произведений и такую, что для каждого объекта Y -*-Х из С|х и каждого Е-морфизма V —*- Y композиция их принадлежит С I х. Под ^пощзытием объекта У ^ С | х понимается семейство ( U^ -^- Y )iz i таких Е-морфизмов, что Y= Uat ( Vi) . Класс всех таких покрытий всех таких объектов называется Егтопрлогией наС|х. Определение. Категория С | х вместе с Е-топологией называется Егси^усом над X и обозначается через (С|х )£ или, короче, ХЕ . Малш Е-ситусом на X называется (Е | х ) Е . В случае когда все Е-морфизмы - локально-конечного типа, большим Е-ситусом на X называется (LFT Л х ) е ♦ где ( LFT) | х - полная подкатегория категории Sch |х всех Х-схем, структурные морфизмы которых имеют локально-конечный тип. Определение. Ситу<^1^&Шсского XZar на X называется малый ( Zar )-ситус ( ( Zap) |х )Zar . Эт%яь}вм_сщуорж Х^ называется малый (est )-ситус (tet)L).L. Плоским ситусрм Xff называется большой ( it )-ситус Малый ситус можно рассматривать как аналог топологического пространства в обычном смысле, а большой ситус - как аналог категории всех топологических пространств и их непрерывных отображений над данным топологическим пространством. К стр. 130 . Указанные методы алгебраической К-теории изложены в книге [Ба].
Примечания переводчика 259 К стр. 140 . Диадизм - неологизм автора, служащий для обозначения совокупности введенных Томом средств описания действия операций Стинрода на когомологиях классифицирующих пространств классических групп Ли. К стр. 163 . См. примечание к стр. 63 . К стр. 165 . Из мультипликативности спектральной последовательности когомологий следует, что первый нетривиальный дифференциал ctt $ t £ 2, должен действовать, начиная с групп l£*arH*CF). Ввиду того что рассматриваемая спектральная последовательность является спектральной последовательностью алгебр Хопфа,слгс^Е ', т.е. первый нетривиальный дифференциал обязан быть трансгрессией. К стр. 167 . См. приложение I. К стр. 179 . Изложение эталь-гомотопической теории дано в гл. 5 книги [Су]. К стр. 183 . Пусть (}-{&*, и «1, 2,... 1Чпт:(гп*-(тт*п<т] - обратная система коммутативных групп Qn . Говорят, G- удовлетворяет увдоИР JtoTfiTrfeJjBPfi.» если для каждого м существует такое m , что lm упт = tm <fnp для всех р > т . Нетрудно показать, что если G удовлетворяет условию Миттаг-Лефлера, то (хт10 « 0 • Топологические приложения этого факта связаны с точной последовательностью Милнора, см. примечание к стр. 53 . К стр. 192 . См. примечание к стр. 130 . К стр. 198 . В работе [Сн 2] получен следующий результат о гомоморфизме уА : Пусть А - коммутативное кольцо, А* - группа его обратимых элементов и A = Z или Z/pa , где р - простое число и a > 2 t если р = 2 . Отображение Bt:B(Zoo2A*)—-BGLA, где I: Zoo2A -*-GLA - каноническое вложение групп, является Н-отображением относительно операций, индуцированных сложением и тензорным умножением матриц. Поэтому,согласно [Ар-Т] , гомоморфизм
260 Примечания переводчика является кольцевым. Далее по теореме Баррэта - Првдди - Квиллена [Н - S]стабильные Л -гомотопические группы (^Л)3^ВА*)+) можно отовдествить с Л -гомотопическими группами (*Л)#((В(1^ЯА*))+), где символ (X)f означает, что берется несвязное объединение пространства X и отмеченной точки *- , а символ (Х)+- что берется квилленизация пространства X. Следовательно, определен кольцевой гомоморфизм fA(A): (*л£ ((ВА*)+ ) —КЛ/А). Для х€(^гЛ)^((БА*)+) обозначим через rAM):(M)f (<ВА^)Ш~КЛ.(А) [-фа] локализацию гомоморфизма гд (Л). Теорема. Пусть А = Ft - конечное поле из t элементов, где t-L=tfln , н.о.д.(л, р) = 1. Тогда если ^^а и xefrZ/p*)* ((BFt )^)0 то гомоморфизм jy (Z/pa) является изоморфизмом. К стр. 249 . См. [Сн i]. К стр. 251 . См. примечание к стр. 73 .
ЛИТЕРАТУРА1' [Ab] Н. Abelson: Topologically distinct conjugate varieties with finite fundamental group; Topology 13 (1974) 161-176. [Ad 1] J. F. Adams: Stable homotopy and generalised homology; Chicago Lecture Notes in Mathematics (1974). [Ad 2]* J. F. Adams: Lectures on Lie Groups; Benjamin (1969). [Ad 3] J. F. Adams: Lectures on generalised cohomology; Lecture Notes in Mathematics 99, Springer-Verlag (1969) 1-138. [Ad 4]* J. F. Adams: Vector field on spheres; Annals of Maths. 75 (1962) 603-632. [Ad 5] J. F. Adams: On the groups J(X) I-IV, Topology 2 (1963), Topology 3 (1964) 137-171 and 193-222, Topology 5 (1966) 21-71. [Ad 6] J. F. Adams: Primitive elements in the K-theory of BUS; Quart. J. Math. Oxford 27(2) 106(1976) 253-262. [Ad-L] J. F. Adams and A. Liulevicius: The Hurewicz homomorphism for MU and BP; Chicago Univ. preprint. [A-M] M. Artin and B. Mazur: Etale homotopy, Lectute Notes in Mathematics 100; Springer-Verlag (1969). [At 1] M. F. Atiyah: Characters and cohomology of finite groups; Publ. Math. I.H.E.S. (Paris) 9 (1961) 23-64. [At 2]* M. F. Atiyah: K-theory; Benjamin (1968). [At-T] M. F. Atiyah and D. 0. Tall: Group representations, X-rings and the J-homomorphism; Topology 8 (1969) 253-297. [Ba] M. G. Barratt: A free group functor for stable homotopy; Proc. Symp. Pure Math. 22 A.M.S. (1971) 31. [Be] J. С Becker: Characteristic classes and K-theory; Lecture Notes in Mathematics 428, Springer-Verlag (1974) 132-143. [B-E] M. G. Barratt & P. J. Eccles: restructures I; Topology 13 (1) (1974) 25-46. [B-Gl] J. C. Becker and D. Ц. Gottlieb: The transfer map and fibre bundles; Topology 14 (1975) 1-12. [B-G2] J. С Becker and D. H. Gottlieb: Transfer maps for fibrations and duality; Compositio Math., to appear. ^Р&ботн, помеченные звёздочкой, имеются в переводе на русский или представляют собой перевод с русского. См. список, помещённый в конце авторского списка. - Пшм. ред.
262 Литература [В-К] А. К. Bousfield and D. M. Kan: Homotору limits, completions and localizations; Lecture Notes in Mathematics #304, Springer- Verlag. [B-M] G. Brumfiel and I. Madsen: Evaluation of the transfer and the universal surgery classes; Inventlones Math. 32 (1976) 133-169. [Bor]* A. Borel: Linear algebraic groups; Benjamin (1969). [Bou] A. K. Bousfield: The localisation of spaces with respect to homology; Topology 14 (1975) 133-150. [Br-G] K. S. Brown andS.M. Gersten: Algebraic K-theory as generalised sheaf cohomology, Lecture Notes in Math 341, 266-292, Springer-Verlag. 2 [C -M-T] J. Caruso, F. R. Cohen, J. P. May and L. R. Taylor: James maps, Segal maps and the Kahn-Priddy theorem, to appear. [С-М-ТД] F. R. Cohen, J. P. May and L. R. Taylor: Splitting of certain spaces CX; Math. Proc. Camb. Phil. Soc, 84(3) 465-496 (1978). [C-M-T,2] F. R. Cohen, J. P. May and L. R. Taylor: Splitting of more spaces; Math. Proc. Camb. Phil. Soc, to appear. [C] D. Cox: Spherical fibrations in algebraic geometry; Rutgers University preprint. [C 2] D. Cox: Algebraic tubular neighbourhoods I, II-preprint Rutgers -University (1978). [C-E]* H. Cartan and S. Eilenberg: Homological algebra; Princeton University Press (1956). [C-F]* P. E. Conner and E. E. Floyd: The relation of cobordism to K-theories; Lecture Notes in Mathematics 28, Springer-Verlag (1966). [C-G] A. Casson and D. H. Gottlieb: Fibrations with compact fibres; Amer. J. Math., to appear. [D] P. Dellgne: Cohomologie etale (SGA 4 1/2); Lecture Notes in Mathematics 569, Springer-Verlag. [D-T] A. Dold and R. Thorn: Quaeifaserungen und unendliche symmetriche produkte, Annals of Maths (2) 67 (1958) 239-281. [EGA 1] J. Dieudonne and A. Grothendieck: Elements de Geometrie algebrique I, Springer-Verlag Grundlehren der Math. Band 166 (1971). [E-S]* D. B. A. Epstein and N. E. Steenrod: Cohomology operations; Annals of Math. Study #50 (1962). [Fe] M. Feshbach: The transfer and compact Lie groups; Thesis Stanford (1976). [Fe 2] M. Feshbach; The transfer and compact Lie groups, Bull. A. M. Soc. 83(3) 372-374 (1977). [Fi] Z. Fiedorowicz: A note on the spectra of algebraic K-theory, University of Michigan preprint.
Литература 263 [F-P] Z. Fiedorowicz and S. B. Priddy: Homology of the classical groups over finite fields and their associated infinite loopspaces; Northwestern University preprint (1977). [Fr 1] E. M. Friedlander: Computations of K-theories of finite fields, Topology 15 (1976) 87-109. [Fr 2] E. M. Friedlander: Exceptional isogenies and the classifying spaces of simple Lie groups; Annals of Math. 101 (1975) 510-520. [Fr 3] E. M. Friedlander: The stable Adams conjecture; Northwestern University preprint. [Fr 4] E. M. Friedlander: Fibrations in etale homotopy theory; Pub. Math. I.H.E.S. (Paris) #42, 281-322. [Fr 5] E. M. Friedlander: Unstable K-theories of the algebraic closure of a finite field; Comm. Math. Helv. 50 (1975) 145-154. [G-Q] D. Grayson (after D. Quillen): Higher algebraic K-theory II; Lecture Notes in Mathematics #551, pp. 217-240, Springer-Verlag. [H] R. T. Hoobler: Etale homotopy theory of algebraic groups; J. Pure and Appl. Algebra 8 (1976) 119-128. [Ha] A. Hattori: Integral characteristic numbers for weakly almost complex manifolds; Topology 5 (1966) 259-280. [Har] R. Hartshorne: Algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 52, Springer-Verlag (1977). [Hu]* D. Husemoller: Fibre bundles; McGraw-Hill (1966). [H-R] R. T. Hoobler and D. Rector: Arithmetic K-theory; Lecture Notes in Mathematics 428, Springer-Verlag (1974) 78-95. [H-S] B. Harris and G. B. Segal: Kt groups of algebraic integers; Annals of Math. 101 (1975) 20-33. [К] M. Karoubi: Theorie de Quillen et homologie groupe orthogonal (Parti), Proc. A.M.S. Summer Inst, on algebraic and geometric topology (1976), to appear. [K-P] D. S. Kahn and S. B. Priddy: Applications of the transfer to stable homotopy theory, Bull. A. M. Soc. 741 (1972) 981-987. [K-Sn] S. 0. Kochman and V. P. Snaith: On the stable homotopy of symplectic classifying and Thorn spaces; U.W.O. preprint (1978). [K-Sa] U. Koschorke and B. Sanderson: Self-intersections and higher Hopf invariants Topology 17(3) 283-290 (1978). [La] P. S. Landweber: Cobordism operations and Hopf algebras; Trans. Amer. Matfc. Soc. 129 (1967) 94-110. [Li] A. Liulevicius: A theorem in homological algebra and stable homotopy of projective spaces; Proc. A. M. Soc. (1963) 540-552. [L-Sz] R. Lee and R. H. Szczarba: The group K3Z is cyclic of order forty- eight; Annals of Math. 104 (1976) 31-60.
264 Литература [Ma 1]* J. P. May: Geometry of iterated loopspaces; Lecture Notes in Mathematics 271, Springer-Verlag (1972). [Ma 2] J. P. May (with contributions by F. Quinn, N. Ray and J. Tornehave): Б ring spaces and E ring spectra; Lecture Notes in Math. #577, Springer-Verlag. [Ma 3] J. P. May: Applications and generalisations of the approximation theorem; conference proceedings Aarhus (1978). [Mad 1] I. Madsen: Higher torsion in SG and BSG; Math. Zeit. 143 (1975) 55-80. [Mad 2] I. Madsen: On the action of the Dyer-Lashof algebra on H^(G); Pacific J. Math. 60 (1975) 235-275. [Mah] M. Mahowald: A new infinite family in ir*; Topology 16(3) 1977, 249- 256. l [Май] С R. F. Maunder: Stable operations in mod p K-theory; Proc. Cambs. Phil. Soc. 63 (1967). [Mi 1]* J. W. Milnor: Topology from the differentiable viewpoint; University of Virginia, 1965. [Mi 2] J. W. Milnor: On axiomatic homology theory; Pacific J. Math. 12 (1962) 337-341. [Mi 3] J. W. Milnor: On the cobordism ring ft* and a complex analogue; Amer. J. Math. 82 (1960) 505-521. [Mi 4] J. W. Milnor: Introduction to algebraic K-theory; Annals of Math. Studies #72, Princeton (1971). [Mo] R. E. Mosher: Some stable homotopy of complex projective space; Topology 7 (1968) 179-193. [M-St]* J. W. Milnor and J. D. Stasheff: Characteristic classes; Annals of Math. Studies #76. [M-S-T] I. Madsen, V. P. Snaith and J. Tornehave: Homomprphisms of spectra and bundle theories; Aarhus preprint series 31 (1974/75), to appear Proc. Cambs. Phil. Soc. [No]* S. P. Novikov: The methods of algebraic topology from the viewpoint of cobordism theories: (Russian) Izvestija Akademii Nauk S.S.S.R. Serija Mat. 31 (1967) 855-951. [Q] D. G. Quillen: On the cohomology and K-theory of the general linear groups over a finite field; Annals of Maths. 96 (1972) 552-586. [Q 2] D. G. Quillen: The Adams conjecture, Topology 10 (1) (1971) 67-80. [Q 3] D. G. Quillen: Higher K-theory for categories with exact sequences; London Math. Soc. Lecture Notes #11 (1974) 95-104. [Q 4] D. G. Quillen: Higher algebraic K-theory I; Lecture Notes in Math. #341, 77-139, Springer-Verlag. [Se] G. B. Segal: The stable homotopy of complex projective space; Quart. J. Math. (Oxford) 24 (1973) 1-5.
Литература 265 [Se 2] G. В. Segal: Classifying spaces and spectral sequences; Publ Math. I.H.E.S. (Paris) 34 (1968) 105-112. [Ser] J.-P. Serre: Cohomologie modulo 2 des complexes d'Eilenberg-Maclane; Comm. Math. Helv. 27 (1953) 198-232. [Ser 2] J.-P. Serre: Exemples de varie'te* projectives conjuguees non homeo- morphes; С Rv Acad. Sci. Paris 258 (1964) 4194-4196. [SGA 4] M. Artin, A. Grothendieck and J.-L. Verdier: Seminaire de geometrie alge*brique du Bois Marie IV; Lecture Notes in Mathematics 269, 270 and 305, Springer-Verlag. [Sh]* I. R. Shafarevich: Basic algebraic geometry, Springer-Verlag Grundle- hren der Math. Band 213 (1974). [Sn 1] V. P. Snaith: Stable decomposition of tfV^X; J. London Math. Soc. 2 (7) (1974) 577-583. [Sn 2] V. P. Snaith: The 2-primary J-homomorphism, to appear Proc. Cambs. Phil. Soc. [Sn 3] V. P. Snaith: Some nilpotent H-spaces; Osaka J. Math. 13 (1976) (1) 145-156. [Sn 4] V, P. Snaith: Geometric dimension of complex vector bundles, Serie notas у simpsia del Мех. Mat. Soc. //1 (1975) 199-227. [Sn 5] V. P. Snaith: Towards algebraic cobordism; Bull. A, M.. Soc. 83 //3 (1977). [Sn 6] V. P. Snaith: A computation of K3Z/4; U.W.O. preprint 1978. [Sn 7] V. P. Snaith: Computations in algebraic K-theory; submitted to Springer-Verlag Lecture Notes Series. [Sn 8] V. P-. Snaith: Localised stable homotopy of some classifying spaces; U.W.O. preprint 1979. [Sp]* E. H. Spanier: Algebraic topology; McGraw-Hill 1966. [St 1]* R. E. Stong: Notes on cobordism theory; Princeton University, 1968. [St 2] R. S. Stong: Relations among characteristic numbers I; Topology 4 (1965) 267-281. [Su] D. Sullivan: Genetics of homotopy theory and the Adams conjecture; Annals of Math. 100 (1974) 1-80. [Sw]* R. M. Switzer: Algebraic topology - homotopy and homology; Grudlehren Math. //212, Springer-Verlag (1975). [T]* H. Toda: Composition methods in homotopy groups of spheres; Annals of Maths. Study 49 (1962). [Th]* R. Thorn: Quelques proprietes globalee Varietes differentiables, Comm. Math. Helv. 28 (1954) 17-86. [To] J. Tornehave: Delooping the Quillen map; Thesis M.I.T. (1971).
266 Литература [Wa] J. В. Wagoner: Delooping the classifying spaces in algebraic K~ theory, Topology 11 (1972) 349-370. [W] G. W. Whitehead: Generalised homology theories; Trans. Amer. Math. Soc. 102 (1962) 227-283. [Wi] C. Wilkerson: Self-maps of classifying spaces; Lecture Notes in Mathematics 428, Springer-Verlag (1974). [Wol] G. Wolff: Vom Conner-Floyd Theorem zum Hattori-Stong Theorem; Manu- scripta Math. 17 (1975) 327-332. Работы, помеченные звёздочкой [Ad, 2\ Адамс Дж. Лекции по группам Ли, - М.: Наука, 1979. [Ad 4] Адамс Дж. Векторные поля на сферах. - Математика, 1963, 7:6, с. 48 - 79. [At 2] Атья М., Лекции по К-теории. - М.: Мир, 1967. [Вог] Борель А. Линейные алгебраические группы. - М.: Мир, 1972. [C-EJ Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. - М.: ИЛ, i960. [C-FJ Коннер П., Флойд Э. 0 соотношении теории кобордизмов и К-теории. - Дополнение к кн.: Гладкие периодические отображения. - М.: Мир, 1969. [е-З] Стинрод Н., Эпстейн Д. Когомологические операции. - М.: Наука, 1983. [Ни] Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства. - М.: Мир, 1970. [Ma l] Мэй Дж. Геометрия итерированных пространств петель. - В кн.: Бордман Дж., Фогт Р. Гомотопические инвариантные алгебраические структуры на топологических пространствах. - М.: Мир, 1977. [Mil] Милнор Дж. Топология с дифференциальной точки зрения. - В кн.: Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология» Начальный курс. - М.: Мир, 1972. [M-St] Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы. - М.: Мир, 1979. [No] Новиков СП. Методы алгебраической топологии с точки теории кобордизмов. - Известия АН СССР, сер. мат., 1967» 31, & 4, с. 855-951. [Sh] Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. - М.: Наука, 1972. [Sp] Спеньер Э. Алгебраическая топология. - М.: Мир, 1971. [Stl] Стоит Р. Заметки по теории кобордизмов. - М.: Мир, 1973.
Литература 267 [Sw] Свитцер Р. Алгебраическая топология, Гомотопии и гомологии. - М.: Наука, 1983, Г Т ] Тода X. Композиционные метода в гомотопических группах сфер. - М.: Наука, 1982. [Тк] Том Р. Некоторые свойства ив целом" дифференцируемых многообразий. - В сб.: Расслоенные пространства и их приложения. - М.: ИЛ, 1958, с. 293-351. Литература, добавленная при переводе [Ад] Адамс ( J.P.Adams) Бесконечнократные пространства петель. - М.: Мир, 1982. [Ар-Т] Араки, Тода (S.Araki, H.Toda) Multiplicative structure in mod q cohomology theories I,II, Osaka J. Math., 1965, 2c, 71-115; 1966, 3, p. 81-120 [Ба] Басс (H.Bass) Алгебраическая К-теория. - M.: Мир, 1973. [Бр] Бредон ( G.E.Bredon) Введение в теорию компактных групп преобразований. - М.: Наука, 1980. [Бу l] Бухштабер В.М. Характер Чженя - Дольда в кобордизмах. - Мат. сб. 1970, 83 (125), с. 575-595. [Бу 2] Бухштабер В.М. Новые методы в теории кобордизмов. - В кн.: Стоит Р. Заметки по теории кобордизмов. - М.: Мир, 1973, с. 337-365. [Бу 3] Бухштабер В.М. Характеристические классы в кобордизмах и топологические приложения теорий однозначных и двузначных формальных групп. - В кн.: Современные проблемы математики, т. 10 (Итоги науки и техники). - М.: ВИНИТИ, 1978, с. 5-178. [Бу 4] Бухштабер В.М. Двузначные формальные группы. Некоторые дриложения к кобордизмам. - УМН, Я971,26, J62, с. 195 - 196. [Бу-М-Н] Бухштабер В.М., Мищенко А.С, Новиков СП. Формальные группы и их роль в аппарате алгебраической топологии. - УМН, 1971, 26, J* 2, с. 131 - 154. [Бу-Н] Бухштабер В.М., Новиков СП. Формальные группы, степенные системы и операторы Адамса. - Мат. сб., 1971, 84, Л 1, с. 81 - 118. [Бу-х] Бухштабер В.М., Холодов А.Н. Топологические конструкции, связанные с многозначными формальными группами. - ИАН СССР, сер. мат., 1982, 46, J* I, с. 3 - 27. [До i] ДОЛЬД (A.Dold) The fixed point transfer of fibre preserving maps. - Math. Z., 1976, 148, p. 215-244.
268 Литература [До 2] Дольд (A.Doid) Лекции по алгебраической топологии. - М.: Мир, 1976. [До-Л] ДОЛЬД, Лашоф (A.Doid, R.Lashof) Principal Quasifibrations and fibre homotopy equivalence of bundles.-Illinois J. Math., 1959, 3,p.285-305. [Kb] Квиллен (D.Quillen) On the formal group laws of unorient- ed and complex cobordism theory.- Bull Amer.Math.Soc., 1965, 75, No6, p.1293-1298. [Ко-М-Т]Коэн, Мэй, Тэйлор (P.R.Cohen, J.P.May, L.R.Taylor) Splitting of more spaces, Math.Proc, Cambridge Philos. Soc, 1979, 86, p. 227-236 [Mw] Милн ( J.S.Milne ) Этальные когомологии. - M.: Мир, 1983. [Но l] Новиков СП. Гомотопические свойства комплексов Тома. - Мат. сб., 1962, 57, Jfc 4, с. 406 - 442. [Но 2] Новиков СП. Операторы Адамса и неподвижные точки. - ИАН СССР, сер. мат., 1968, 32, 1245 - 1263. [По] Постников М.М. Введение в теорию Морса. - М.: Наука, 1971. [Ро-ф] Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. - М.: Наука, 1977. (рН l] СнэЙТ ( V.P.Snaith) Localized stable homotopy of some classifying spaces. - Math.Proc. Cambridge Phil.Soc, 1981, 89, p. 325-330. [Ьн 2] СнэЙТ (V.P.Snaith) Algebraic K-theory and localised stable homotopy theory. - The University of Western Ontario, London, Ontario, Canada, N6A5B7, Preprint, 1982. [Су] Сулливан (D.Sullivan) ) Геометрическая топология. - M.: Мир, 1975. [фу-М] Фултон, Мак-Фёрсон (W.Fulton, R.MacPherson) Категор- ный подход к изучению пространств с особенностями. - М.: Мир, 1983. [Хаз] Хазевинкель (M.Hazewinkel) Formal groups and applications. - Academic Press, 1978. [Хан] Хансен (J.Hansen) On Adams splitting of K-theory and complex cobordism. - Math. Proc. Cambridge. Phil.Soc. 1978, 83, p. 113-116. [Xo] Ховда (T.Honda) Формальные группы и дзета-функции. - Математика, 1969, 13, Л 6, с. 3 - 17.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ Адамс (J . F . Adams) 11 , 209 , 210 , 212 , 213 , 236 , 257 , 261 , 266 , 267 Адем (J . Adem) 80 , 151 Араки (S . Araki) 267 Атья (М . У . Atiyah) 109 , 174 , 261 , 266 Баррэтт (AUG . Barratt) 122 , 260 , 261 Басе (н . Base) 267 Беккер (j . c . Becker) 15 , 26 , 212 , 218 , 261 Бордман (J . M . Boardman) 210 , 266 Борель (A . Borel) 262 , 266 Брамфил (G . Brumfiel) 14 , 262 Браун (В . Brown) 212 , 236 Бредон (G . E . Bredon) 267 Бухштабер В . М . 267 Вольфф (G . Wolff) 100 , 266 Готтлиб (D . H . Gottlieb) 212 , 218 , 261 , 262 Дольд (A . Dold) 213 , 267 , 268 262 , Кан (D . S . Kahn) 117 , 263 Картан (Н . Cartan) 262 , 266 Квиллен (D . Quillen) 9 , 122 , 236 , 260 , 263 , 264 , 268 Кокс (D . Сох) 11 , 262 Коынер (р . в . Conner) 6 , 262 , 266 Кохман (S . O# Kochman) 11 , 263 Козы (P . R . Cohen) 249 , 262 , 268 Лазар (М . Lazard) 233 Лашоф (R . laahof) 268 Лодзи (J . -L . Loday) 196 Мадсен (I . Madeen) 11 , 15 , 49 , 262 , 264 Мак-Фёрсои (R . MacPhereon) 268 Маховальд (М . Mahowald) 154 , 264 Милы (J . S . Milne) 268 Милнор (J.W . Milnor) 235 , 264 , 266 Мищенко А . С . 267 Мэй (j . p . May) 11 , 15 , 60 , 262 , 264 , 266 , 268 *)< 'Фамилии , появляющиеся в тексте книги лишь в латинской транскрипции , приведены отдельным списком , без русских транскрипций . - Прим . ред .
270 Именной указатель Новиков СП . 230 , 235 , 236 , 244 , 264 , 266 - 268 Петерсон (P . P . Peteraon) 236 Постников М . М . 263 , 268 Придди (S . B* Priddy) 122 , 260 , 263 Пуппе (D . Puppe) 212 Рохлин В . А . 268 Самелсон (н . Samelson) 16 Свитцер (r . m . Switzer) 265 , 267 Серр (j#-p# Serre) 177 , 265 Сигал (g . B . Segal) 26 , 263 - 265 Снэйт (v . P . Snaith) 7 , 8 , 220 , 263 - 265 , 268 Спеньер (в ; н . Spanier) 265 , 266 Сташеф (j . d . Stasheff) 264 , 266 Стинрод (н . Е . Steenrod) 262 , 266 Стонг (е . б . Stong) 265 , 266 Суле (с . Soule) 252 Сулливан (d . Sullivan) 176 , 265 , 268 Тода (н . Toda) 265 , 267 Том (R . Thorn) 137 , 140 , 152 , 159 , 259 , 262 , 265 , 267 Торнехаве (J . Tornehave) 11 , 264 , 265 Тэйлор (L . R . Taylor) 262 , 268 Уайтхед (J . H . C . Whitehead) 34 , 38 , 61 , 121 , 212 Уильяме (Janet Williams) 11 Уоллес (А , Н . Wallace) 266 Флойд (В . В . Floyd) 6 , 247 , 262 Фогт (R . Vogt) 266 фридлэндер (В . Н . Priedlander) 11 , 263 Фукс Д . Б . 268 Фултон (w . Pulton) 268 Хазе винкель (М . Hazewinkel) 268 Хансен (J . Hansen) 96 , 268 Хардер (g . Harder) 11 Холодов А . Н . 267 Хонда (т . Honda) 268 Хьюзмоллер (D . Husemoller) 263 , 266 Хэйст (Charine Haist) 11 Хэмблтон (I , Hambleton) 11 Шафаревич И . Р . 265 , 266 Эйленберг (з . Bilenberg) 262 , 266 Эпстейн (d . b . a . Epstein) 262 , 266 Abelson Н . 261 Artin JK . 261 , 265 Bousfield А . К . 262 Brown K . S . 262 Caruso J . 262 Casson А . 262 Deligne P . 262 Dieudonne J . 262
Именной указатель 271 Eccles P . J . 261 Feshbach К . 262 Fiedorowicz Z . 262 , 263 Gerst en S . M . 262 Grayson D . 263 Grothendieck A . 262 , 265 Harris B . 263 Hartshorne R . 263 Hattorl A . 263 Hoobler R . T . 263 Kan DJ . 262 Karubi M . 263 Koschorke U . 263 Landweber P . S . 263 Lee R . 263 Liulevicius A . 261 , 263 Maunder C . R . F . 264 Mazur B . 261 Mosher R.E 264 Quinn F . 264 Ray N . 264 Rector D . 263 Sanderson B. 263 Szczarba R . H . 263 Tall D . O . 261 Verdier J . -l . 265 Wagoner J . B . 266 Whitehead G . W . 266 Wilkerson C . 266
предметный указатель Адамеа гипотеза 253 " " вещественная 253 n п комплексная 253 w категория 210 - 211 п - Новикова операция 244 " операция 88 » проектор 65 , 95 , 96 , 237 , 242 алгебраический кобордизм кольца R , отвечающий элементно 127 Беккера - Готтлиба трансфер 213 большой ситус 258 Брауна - Петерсона спектр 236 Брауэра поднятие 115 вычисление 70 геометрическая точка 179 гипотеза Адамеа 253 гомоморфизм Гуревича 238 п детерминантный 55 и Коннера - Флойда 120 м Тома в AU-гомологиях 111 " >j 112 гомотопные отображения в смысле Адамса 211 Гуревича гомоморфизм 238 " изоморфизм 78 двойных смежных классов форму- ла 57 детерминантный гомоморфизм 55 джойн 256 диадизм 259 диадическая переменная 140 диадическое упорядочение 140 Зарисского ситус 258 изоморфизм Гуревича 78 п Тома 107 индекс расслоения 219 Картье теорема 236 Каруби пространство 127 категория Адамса 210 - 211 Квиллена проектор 95 , 237 " теорема 235 " эндоморфизм 95 " («^-конструкция 115 , 255 квилленизация 115 , 255 класс Коннера - Флойда 72 « « " сверхполный 66 Коннера - Флойда гомоморфизм 120 и и класс 72 , 106 " и " сверхполный 66 , 106 я » теорема 227 " и и обобщённая 191
Предметный указатель 273 конфиналышй подспектр 210 косое когомологическое умножение 254 куб малый 68 Лазара кольцо Л 233 " универсальная формальная группа 232 , 233 Ландвебера - Новикова операция 66 , 106 ■ и * полная 106 логарифм формальной группы 232 Майера - Вьеториса теорема 189 малый куб 68 малый ситус 258 Милнора многообразие 235 " точная последовательность 255 м фильтрация 254 Миттаг-Лефлера условие 259 мономиальное упорядочение 138 морфизм категории Адамеа 211 Мостова - Пале теорема 214 мультипликативный проектор e(d) 247 надстроечный спектр 210 невырожденное поле 253 недиадическое разбиение 140 обобщённая пучковая теория гомологии 129 " теорема Коннера - Флойда 191 образ J-гомоморфизма 154 оператор деления на у 230 операция Адамса 88 " Адамса - Новикова 244 п Ландвебера - Новикова 66 я и п полная 66 ориентация теории 227 Основной Факт об S-отображе- нии 68 отображение в смысле Адамса 211 плоский ситус 258 поднятие Брауэра 115 подспектр 210 я CW-спектра 210 " конфинальный 210 11 плотный в смысле Бордмана 210 Понтрягина - Тома отображение для замкнутого многообразия 213 и и n ii многообразия с краем 215 проектор Адамса 65 , 95 , 96 , 237 , 242 - Квиллена 95 , 237 п мультипликативный 247 пропространство 180 пространство Каруби 127 размерность стабильной клетки 212 род Тома 163 Севери - Брауэра схема 186 сильный изоморфизм 232 ситус 258 н большой 258 11 Зарисского 258 п малый 258 " плоский 258 11 этальный 258 Снэйта теория 228 соединение 256
274 Предметный указатель сопряжённые отображения 209 спектр 209 п алгебраических кобордизмов схемы р-адический 130 п надстроек 209 w надстроечный 210 сфер 210 w Х(«) 125 стабильная клетка 211 схема Севери - Брауэра 186 теорема Картье 34 11 Квиллена 235 11 Коннера - Флойда 23 п " " обобщённая 194 и Майера - Вьеториса 189 " о проективном расслоении 185 Тома гомоморфизм в AU-гомоло- гиях 111 11 изоморфизм 107 п род 163 точная последовательность Мил- нора 255 трансфер 17 , 18 , 213 и Беккера - Готтлиба 213 универсальная формальная группа 232 , 233 " С-ориенгированная теория 228 фильтрация Милнора 254 формальная группа 232 формула двойных смежных классов 57 п Хансена 95 функция в смысле Адамса 210 Хансена формула 95 , 247 характер Чженя 241 и Чженя - Дольда 238 11 Чженя - Новикова 242 Хопфа конструкция 73 , 256 " отображение 73 , 256 цилиндр спектра 211 Чженя - Дольда характер 238 и - Новикова характер 242 п характер 241 этальный гомотопический тип 180 и морфизм 179 и ситус 258 (С -ориентированная теория 227 С -ориентируемая теория 227 CW-спектр 210 Е-морфизм 258 Е-покрытие 258 Е-ситус 258 и большой 258 п малый 258 Е-топология 258 J-гомоморфизм 49 , 154 inog 101 р-адический спектр алгебраических кобордизмов схемы 130 р-конечное пополнение 127 р-конечно-полное пространство 128 S-спектр 210 а-значение 140 v-значение 140 ^^-отображение 114 £"2 , -пространство 114 £2-спектр 209 £20-спектр 209 (+)-конструкция Квиллена 115 , 255 \-умножение 254
СОДЕРЖАНИЕ Предисловие переводчика . . 5 Пролог (обзор результатов и идей) 9 ЧАСТЬ I. Стабильные гомотопии классифицирующих пространств и кобордизмы § 0. Введение ....... 12 § 1. Вычисления с трансфером 15 § 2. Разложения пространств QBU(l), QB0(2) и QBSp(l) 25 § 3. Стабильные разложения пространств BU, BSpfB0 и BS0 35 § 4. Первые связи группы ^(£G) с кобордизмами. ... 39 § 5. Приложение к *r*(BU(n)) 42 § 6. Неаддитивность трансфера (отклонение вещественного трансфера от аддитивности и решение Беккера - Готтлиба вещественной гипотезы Адамса) ...... 49 § 7. Стабильные разложения пространств BGLF и B0F, . 56 ЧАСТЬ II. Новая конструкция комплексных и симплектических кобордизмов § 0. Введение 64 § 1. Гомологии и стабильное разложение пространства &Х*Ъ\](1) 67 § 2. AU (X) , ASp (X) и их связь с кобордизмами. . . 71 § 3. Спектры AU и ASp 82
276 Содержание § 4. Операции Адамса в MU- и AU-теориях 87 § 5. Проекторы в MU-и AU-теориях. Формула Хансена . 95 § 6. Гомоморфизм комплексификации в AU-и ASp-теориях 102 § 7. Операции Ландвебера - Новикова и изоморфизм Тома . 106 § 8. Стабильные квазикомплексные многообразия (два описания MU-бордизмов в терминах AV -теории) .... 109 § 9. Новое тождество для BU в терминах СР°° (результат о нильпотентности для кольца ^rs(CP°°) и описание отображения Коннера - Флойда при помощи детерминантного гомоморфизма) 113 ЧАСТЬ III. Неориентированные кобордизмы, алгебраические кобордизмы и X (Ъ) -спектры § 0. Введение 123 § 1. Спектр Х(Ь) (примеры, охватывающие кобордизмы, К-теорию и алгебраические кобордизмы). . 125 § 2. Стабильные гомотопии пространства ВО (некоторые новые элементы в -Я"*(£0)) 136 § 3. Неориентированные кобордизмы (в терминах Х(6)- спектра) 144 § 4. Об S-типе пространства on J (новые элементы в *rJ(tmJ)) 154 § 5. Алгебраические кобордизмы кольца целых чисел Z и их эпиморфизм на зг (МО) 161 ЧАСТЬ IV. Алгебраические кобордизмы и геометрия § 0. Эпилог (формулировки результатов и пропаганда подхода, основанного на использовании кобордизмов) 172 § 1. Алгебраические векторные расслоения над числовыми полями (замечания к проблеме Атьи) 174
Содержание 277 § 2. Аналог конструкции Понтрягина - Тома и этальный ситус (с примерами) 178 § 3. Некоторые вычисления р-адических алгебраических кобордизмов (схем над Spec F„ ) 185 § 4. Обратимые элементы, р-адические кобордизмы К -алгебр и их квилленовская К-теория 193 § 5. Двенадцать нерешённых проблем, связанных о тематикой частей I - IY 204 ПРИЛОЖЕНИЯ. В.М. Бухштабер Приложение 1. Стабильная гомотопическая категория Адамса . . . . . 209 Приложение 2. Трансфер Беккера - Готтлиба 212 Приложение 3. Стабильные расщепления классифицирующих пространств классических групп Ли 220 Приложение 4. Когомологические операции и формальная группа в кобордизмах 227 1. Мультипликативные преобразования теории комплексных кобордизмов 227 2, Мультипликативные проекторы в теории АШ*(*) . . 230 3. Необходимые факты из теории формальных групп Ли 232 4. Формальные группы, ассоциированные с теориями когомологий ..... 233 5. Проекторы Квиллена и Адамса 236 6. Характер Чженя - Дольда и гомоморфизм Гуревича в комплексных кобордизмах ... 238 7. Операторы Адамса в К-теории и операторы Адамса - Новикова в MU-теории 239
278 Содержание Примечания автора . 249 Примечания переводчика 253 Литература 261 Работы, помеченные звёздочкой 266 Литература, добавленная при переводе 267 Именной указатель 269 Предметный указатель 272
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ! Ваши замечания о содержании книги, её оформлении, качестве перевода и другие просим присылать по адресу: 129820, Москва, И-ИО, ГСП, 1-й Рижский пер., д. 2, издательство "Мир".
Виктор Перси Снэйт АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ КОБОРДИЗМ И K-ТЕОРИЯ Ст. научный редактор В.И.Авербух Мл. научный редактор Л.А.Макарова Художник А.В.Шжпов Художественннй редактор В.И.Шаповалов Технический редактор Г.Б.Алхшгаа Корректор Н.Н.Яковлева ИБ * 3003 Подписано к печати 25.03.83 Формат 60 х 90 1Д6 Бумага офсетная Л I. Печать офоетная Объем 8975 бум. л. Усл. печ. л. 17,5.Усл. кр.-отт. 17,76 Уч.-изд. л. 13,63. Изд. * 1Л8Х Тираж 4200 экз. 38&.ZS& Цена 1 р. 70 к. ИЗДАТЕЛЬСТВО НИР 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., 2 Тульская типография Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли, г. Тула, проспект Ленина, 109.