b^A.WiH ИЗ IMS,
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ
ТОПОЛОГИЯ

А. Хатчер
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ
Перевод с английского В. В. Прасолова
Под редакцией Т. Е. Панова
Москва
Издательство МЦНМО
2011

УДК 512.515.14
ББК 22.152
Х25
Хатчер А.
Х25 Алгебраическая топология / Пер. с англ. В. В. Прасолова
под ред. Т. Е. Панова. — М.: МЦНМО, 2011. — 688 с: ил.
ISBN 978-5-94057-748-5
Книга представляет собой введение в алгебраическую топологию (до
спектральных последовательностей), включающее в себя как
гомотопическую топологию, так и теорию гомологии и когомологий (в том числе
двойственность Пуанкаре). Ориентированное на геометрические
аспекты предмета изложение является тем не менее строгим и подробным.
В книге имеется большое количество примеров и упражнений; в
дополнениях, занимающих почти половину книги, затрагиваются различные
более продвинутые сюжеты (когомологий с локальными коэффициентами,
теорема Брауна о представимости, когомологические операции, спектры
и пр.).
Для студентов Старших курсов, аспирантов и научных работников.
ББК 22.152
Algebraic Topology
ALLEN HATCHER
(Cambridge
UN1VIMITY ГАЕМ
Translation from the English language edition:
Algebraic topology by Allen Hatcher.
Cambridge University Press, 2002.
Аллен Хатчер
Алгебраическая топология
Подписано к печати 07.02.2011 г. Формат 70 х 100/16. Печать офсетная.
Объем 43 печ. л. Тираж 1000 экз. Заказ № 3655
Издательство Московского центра непрерывного математического образования.
119002, Москва, Бол. Власьевский пер., 11. Тел.: (499) 241-74-83.
Отпечатано с готовых диапозитивов в ГУЛ «Типография „Наука"».
199034, Санкт-Петербург, В. О., 9 линия, 12.
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга»
Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (499) 241-72-85. E-mail: biblio«mccme .ru
ISBN 0-521-79160-Х
ISBN 978-5-94057-748-5
© Cambridge University Press, 2002.
© МЦНМО, 2011.

Оглавление
Предисловие 6
Глава О
Основные геометрические понятия 9
Гомотопии и гомотопический тип 9
Клеточные комплексы 13
Операции над пространствами 17
Два признака гомотопической эквивалентности 21
Свойство продолжения гомотопии 25
Глава 1
фундаментальная группа и накрытия 34
§ 1.1. Основные конструкции 38
Пути и гомотопии 39
Фундаментальная группа окружности 43
Индуцированные гомоморфизмы 50
§ 1.2. Теорема ван Кампена 57
Свободные произведения групп 58
Теорема ван Кампена 61
Приложения к клеточным комплексам 70
§1.3. Накрытия 77
Определения и примеры 77
Свойства поднятия 82
Классификация накрытий 85
Преобразования накрытий и действия групп 95
Дополнение ПО
§ 1.А. Графы и свободные группы НО
§1.В. Пространства K(G, 1) и графы групп 115
Глава 2
Гомологии 128
§ 2.1. Симплициальные и сингулярные гомологии . 133
А-комплексы 134
Симплициальные гомологии 137
Сингулярные гомологии 141
Гомотопическая инвариантность 145
Точные последовательности и вырезание 148
Эквивалентность симплициальных и сингулярных гомологии 167
§ 2.2. Вычисления и приложения 174
Степень 174
Клеточные гомологии 178
Последовательности Майера—Вьеториса 193
Гомологии с коэффициентами 197
§ 2.3. Формальная точка зрения 206

Оглавление
Аксиомы гомологии 207
Категории и функторы ...... 209
Дополнение 214
§ 2.А. Гомологии и фундаментальная группа 214
§ 2.В. Классические приложения 217
§ 2.С. Симплициальная аппроксимация 227
Глава 3
Когомологий 238
§р.1. Группы когомологий 244
Теорема об универсальных коэффициентах 244
Когомологий пространств 253
§ 3.2. Умножение в когомологиях 264
Кольцо когомологий 271
Формула Кюннета 278
Пространства с полиномиальными когомологиями 285
8*3.3. Двойственность Пуанкаре 294
Ориентация и гомологии 297
Теорема двойственности 305
Связь с ^-произведением 317
Другие виды двойственности 322
Дополнение 332
§ З.А. Универсальные коэффициенты для гомологии 332
§ З.В. Общая формула Кюннета 340
§ З.С. Я-пространства и алгебры Хопфа 358
§3.D. Когомологий SO(n) 372
§З.Е. Гомоморфизмы Бокштейна 385
§3.F. Пределы и Ext 394
§ 3.G. Трансфер 407
§ З.Н. Локальные коэффициенты 415
Глава 4
Теория гомотопий 428
§4.1. Гомотопические группы 430
Определения и основные конструкции 431
Теорема Уайтхеда 439
Клеточная аппроксимация 441
CW-аппроксимация 445
$ty.2t Элементарные методы вычислений 456
Вырезание для гомотопических групп 456
Теорема Гуревича 464
Локально тривиальные расслоения 474
Стабильные гомотопические группы 486
§ 4.3. Связь с когомологиями 497
Гомотопическое построение когомологий 498
Расслоения в смысле Гуревича 512
Башни Постникова 518
Теория препятствий 525

Дополнение 533
§4.А. Отмеченные точки и гомотопии 533
§ 4.В. Инвариант Хопфа 540
§4.С. Минимальные клеточные структуры 542
§4.D. Когомологии локально тривиальных расслоений 546
§4.Е. Теорема Брауна о представимости 567
§4.F. Спектры и теории гомологии 573
§4.G. Конструкции склейки 577
§4.Н. Двойственность Экмана—Хилтона 583
§4.1. Стабильные расщепления пространств 591
§ 4. J. Пространство петель для надстройки 595
§4.К. Теорема Дольда—Тома 601
§4.L. Квадраты и степени Стинрода 616
Приложение 658
Топология клеточных комплексов 658
Произведения CW-комплексов 664
Евклидовы окрестностные ретракты 666
Пространства, доминируемые CW-комплексами 669
Литература 676
Предметный указатель 682

Предисловие
Эта книга написана как доступное введение в алгебраическую
топологию с достаточно широким охватом этого предмета. Наш поход вполне
классический по духу и полностью остаётся в рамках чистой
алгебраической топологии. В некотором смысле, такая книга могла бы быть написана
30 или 40 лет назад, поскольку практически весь материал в ней по
крайней мере такой давности. Однако прошедшие годы помогли прояснить,
какие именно результаты и какая техника наиболее важны. Например,
CW-комплексы выдержали проверку временем как наиболее
естественный класс пространств для нужд алгебраической топологии, поэтому им
здесь уделяется гораздо больше внимания, чем в книгах прежнего
поколения. Это внимание показывает также направленность книги скорее на
геометрическую, чем на алгебраическую сторону предмета. Геометрия
алгебраической топологии столь красива, что было бы жаль пренебречь ей
и пропустить все те интуитивные представления, которые она предлагает.
На элементарном уровне алгебраическая топология естественно
разделяется на два широких русла — гомотопии и гомологии. В нашей
книге материал разделён на четыре главы, приблизительно по возрастанию
сложности, причём гомотопии распределены по главам 1 и 4, а
гомологии и их зеркальная версия, когомологии, — по главам 2 и 3. Однако эти
четыре главы не обязательно читать подряд. Можно начать с гомологии
и даже продолжить когомологиями, прежде чем обратиться к гомотопиям.
И наоборот, можно отложить гомологии и когомологии вплоть до
последних частей главы 4, причём если такую стратегию довести до её
естественного предела, то гомологии и когомологии можно ввести просто как
разделы теории гомотопии. Такой подход, хотя он и привлекателен с чисто
логической точки зрения, предъявляет больше требований к читателю,
а поскольку доступность является одним из главных приоритетов этой
книги, гомотопическая интерпретация гомологии и когомологии описана
уже после того, как эти теории были разработаны независимо от теории
гомотопии.
Перед этими четырьмя основными главами идёт предварительная
глава 0, в которой вводятся основные геометрические понятия и
конструкции, играющие главную роль как в гомотопических, так и в
гомологических сторонах предмета. Её можно либо прочитать до остальных глав,
либо пропустить и возвращаться к ней за справками по поводу именно
тех тем, в которых возникает потребность в последующих главах.
Каждая из четырёх основных глав завершается набором
дополнительных тем, которые читатель может выбирать по своему усмотрению,
независимо от основного ядра этой книги, содержащегося в предшествующих

Предисловие
7
частях глав. Многие из этих дополнительных тем в действительности
весьма важны в общей структуре алгебраической топологии, хотя они могут
и не втиснуться в сжатые по времени рамки вводного курса. В целом эти
дополнительные темы составляют почти половину книги, и они включены
сюда как для того, чтобы сделать книгу более исчерпывающей, так и для
того, чтобы предоставить читателю, который найдёт время в них
углубиться, более содержательные образцы истинного богатства и красоты
этого предмета.
Не включена в эту книгу важная, но несколько более изощрённая
тема — спектральные последовательности. Было очень соблазнительно
включить сюда что-нибудь об этом изумительном инструменте, но
спектральные последовательности —это столь обширная тема, что
представляется более предпочтительным начать ими заниматься в новом томе.
Он условно назван «Спектральные последовательности в алгебраической
топологии» (Spectral Sequences in Algebraic Topology) и в дальнейшем мы
ссылаемся на него как на [SSAT]. Готовится также третья книга, о
векторных расслоениях, характеристических классах и JC-теории, которая
будет в основном независима от [SSAT] и от большей части этой книги.
На неё мы ссылаемся как на [VBKT], а её предварительное название —
«Векторные расслоения и К-теория» (Vector Bundles and К-Theory).
Что касается предварительных сведений, в этой книге
предполагается, что читатель знаком с содержанием стандартных университетских
курсов по алгебре и теоретико-множественной топологии. В частности,
читатель должен иметь представление о факторпространствах, которые
весьма важны для алгебраической топологии. Это понятие хорошо
изложено1 в учебниках [7] и [39], указанных в списке литературы.
В книгах такого рода, как эта, целью которых является изложение
классического материала с весьма классической точки зрения, не место
для необузданных увлечений новшествами. Тем не менее, здесь есть
одна новая особенность изложения, которая заслуживает упоминания, хотя
в книге в целом она играет сравнительно небольшую роль. Это
—небольшое расширение классического понятия симплициального комплекса,
которое появляется в этой книге под названием Д-комплекс. Идея состоит
в том, чтобы отождествлять различные грани симплекса, так что
только внутренности симплексов вложены, и симплексы больше не
определяются единственным образом своими вершинами. (С технической
точки зрения упорядочение вершин каждого симплекса тоже является
частью структуры Д-комплекса.) Например, если взять стандартную
картинку тора как квадрата с отождествлёнными противоположными
сторонами и разделить его диагональю на два треугольника, то в результате
1 См. также О. Я. Виро, О. А. Иванов, Н. Ю. Нецветаев, В. М. Харламов «Элементарная
топология» (М.: МЦНМО, 2010).— Прим. ред.

8
Предисловие
мы получим структуру Д-комплекса на торе, имеющую 2 треугольника,
3 ребра и 1 вершину. В противоположность этому, известно, что структура
симплициального комплекса на торе должна иметь по крайней мере 14
треугольников, 21 ребро и 7 вершин. Поэтому Д-комплексы
существенно повышают эффективность, что очень приятно с педагогической точки
зрения, поскольку это сокращает скучные вычисления в примерах.
Более основательная причина для рассмотрения Д-комплексов заключается
в том, что они представляются более естественными объектами с точки
зрения алгебраической топологии. Они являются естественной областью
определения для симплициальных гомологии, и многие стандартные
конструкции дают скорее Д-комплексы, нежели симплициальные
комплексы; например, сингулярный комплекс пространства или
классифицирующее пространство дискретной группы или категории. Несмотря на эту
естественность, Д-комплексы явно появлялись в литературе лишь изредка
и для них нет ещё стандартного названия.
Эта книга останется доступной в электронном виде и после того, как
будет издана традиционным образом. Адрес в Интернет такой: http://
www.math.cornell.edu/~hatcher Здесь также можно найти те части двух
других книг из этой серии, которые уже готовы. Хотя эта книга и
прошла через бесчисленные проверки, включая исправление многих мелких
ошибок, как типографских, так и математических, обнаруженных
внимательными читателями предыдущих версий, некоторые ошибки неизбежно
останутся, поэтому страница в Интернет будет содержать список опечаток
в изданной версии. Имея электронную версию, можно не только
исправить опечатки, но и сделать более существенные исправления и
дополнения. Просьба к читателям присылать замечания и предложения, а также
исправления по адресу электронной почты, указанному на моей странице
в Интернет.

Глава О
Основные геометрические понятия
Цель этой короткой вводной главы — ввести некоторые наиболее
общие геометрические понятия и конструкции в алгебраической топологии.
Изложение до некоторой степени неформальное, без теорем и
доказательств вплоть до нескольких последних страниц, и его следует читать
в таком же неформальном стиле, пропуская отдельные куски то здесь, то
там. На самом деле всю эту главу можно сейчас пропустить и обращаться
к ней позже по поводу основных определений.
Чтобы не злоупотреблять словом «непрерывный», мы принимаем
соглашение, что отображения между пространствами всегда
предполагаются непрерывными, если не оговорено противное.
Гомотопии и гомотопический тип
Одна из основных идей алгебраической топологии состоит в том,
чтобы рассматривать два пространства как эквивалентные, если они имеют
«одинаковую форму» в некотором смысле, более широком, чем
гомеоморфизм. Привести пример из обыденной жизни: буквы латинского алфавита
можно написать либо как объединения конечного числа прямолинейных
и криволинейных отрезков, либо в утолщённом виде как компактные
подмножества плоскости, ограниченные замкнутыми несамопересекающи-
мися кривыми. В каждом случае тонкая буква является подпространством
толстой буквы, и мы можем непрерывно сжать толстую букву в тонкую.
Хороший способ сделать это — представить толстую букву (назовём её X)
в виде объединения отрезков, соединяющих внешнюю границу буквы X
с единственной точкой внутренней тонкой буквы X, как показано на
рисунке. Затем мы можем сжать X на X, сдвигая каждую точку пространства
X — X до X вдоль отрезка, который её содержит. Точки, которые уже лежат
в X, не двигаются.

10 Глава 0. Основные геометрические понятия
Мы можем считать, что этот процесс продолжается во временном
интервале 0 ^ t ^ 1, и тогда он определяет семейство отображений ft: X —> X,
зависящих от параметра t е/ = [0,1], где ft(x) — это точка, в которую
данная точка х £ X передвигается за время t. Конечно, мы бы хотели, чтобы
точка ft(x) непрерывно зависела как от t, так и от х, и это будет
достигнуто, если мы будем двигать каждую точку xgX-X вдоль соответствующего
отрезка с постоянной скоростью так, чтобы она попала в свой образ в X
в момент t = 1, а все точки х е X будут неподвижны, как уже упоминалось.
Примеры такого рода приводят к следующему общему определению.
Деформационная ретракция пространства X на подпространство Л — это
семейство отображений /t: X —> X, t е /, для которого /0 = 1
(тождественное отображение), /i(X) = А и ft\A = 1 для всех t. Семейство /t должно
быть непрерывно в том смысле, что отображение Хх/^Х, заданное
формулой (х, 0 —►/гОО, непрерывно.
Легко предъявить много других примеров, подобных примеру с
буквами, в которых деформационная ретракция получается при движении
точек вдоль отрезков. Рисунок вверху показывает деформационную
ретракцию листа Мёбиуса на его центральную окружность. Три рисунка
справа показывают деформационные ретракции диска, из которого
вырезаны два меньших открытых диска, на в три разных подпространства.
Во всех этих примерах структуру, которая приводит к
деформационной ретракции, можно описать с помощью следующего определения.
Пусть /: X —► Y — некоторое отображение. Цилиндр отображения,
обозначаемый My, — это факторпространство, полученное из несвязного
объединения (X х /) u Y отождествлением каждой точки (х, 1) е X х / с /(*) е Y.
В примере с буквами X — это внешняя граница толстой буквы, Y —тонкая
буква, а /: X —> Y отображает внешний конец каждого отрезка в его
внутренний конец. Подобное описание применимо и к остальным
рассмотренным примерам. И это общий факт, что цилиндр отображения Mf деформа-

Глава 0. Основные геометрические понятия
11
ционно ретрагируется на подпространство У при движении каждой точки
(х, 0 вдоль отрезка {х} xI<zMf в его конец f(x)eY.
Однако не все деформационные ретракции возникают таким
способом из цилиндров отображений. Например, толстая буква X
деформационно ретрагируется в тонкую букву X, которая, в свою очередь,
деформационно ретрагируется в точку пересечения её перекладин. В результате
мы получаем деформационную ретракцию X в точку, в процессе которой
определённые пары точек движутся по путям, сливающимся до того, как
они достигают пункта назначения. Позже в этой главе мы опишем
существенно более сложный пример, так называемый «дом с двумя
комнатами», где деформационную ретракцию можно построить абстрактно, но
увидеть её невооружённым глазом поистине нелегко.
Деформационная ретракция /г: X —> X — это частный случай более
общего понятия гомотопии, являющейся просто семейством отображений
ft: X —> У, t е J, для которого отображение F: X х I —> У, заданное
формулой F(x, t) = ft О), непрерывно. Говорят, что два отображения /0, /i: X —> У
гомотопны, если существует связывающая их гомотопия /t; в таком
случае мы пишем fo—fi-
В таких терминах деформационная ретракция пространства X на
подпространство Л —это гомотопия тождественного отображения
пространства X в ретракцию X на А, т.е. в отображение г: X —>Ху для которого
г(Х) = Л и г|Л = 11. Можно также рассматривать ретракцию как
отображение X —> Л, ограничение которого на подпространство АсХ
тождественно. С более формальной точки зрения ретракция — это отображение
г: X —> X, для которого г2 = г, поскольку это соотношение в точности
означает, что г тождественно на своём образе. Ретракции — это
топологические аналоги проекторов, встречающихся в других областях математики.
Не все ретракции происходят из деформационных ретракций.
Например, любое пространство X всегда ретрагируется на произвольную
точку х0 е X посредством постоянного отображения, при котором всё
пространство X отображается в х0, но пространство, которое деформационно
ретрагируется на точку, должно быть линейно связным, поскольку
деформационная ретракция пространства X в точку х0 даёт путь, соединяющий
произвольную точку х £ X с х0. Не так тривиально показать, что
существуют линейно связные пространства, которые не ретрагируются
деформационно на точку. Можно ожидать, что такими будут «буквы с дырками»:
А, В, D, О, Р, Q, R. В главе 1 мы разовьём технику для доказательства этого
факта.
Гомотопия /г: X —> X, которая даёт деформационную ретракцию
пространства X на подпространство А, обладает тем свойством, что /Г|А = 1
для всех t. Вообще, гомотопию /г: X —> У, ограничение которой на
подпространство АсХ не зависит от t, называют гомотопией
относительно А или, короче, гомотопией относительно А. Таким образом, деформа-

12
Глава 0. Основные геометрические понятия
ционная ретракция пространства X на А — это гомотопия относительно А
тождественного отображения пространства X в ретракцию X на А.
Если пространство X деформационно ретрагируется на
подпространство А посредством отображения ft: X —> X, причём г: X —> А
обозначает результирующую ретракцию, a i: А —> X — включение, то мы имеем
ri = l и ir^l; последняя гомотопия задаётся посредством /г. Обобщая
эту ситуацию, отображение /: X—>Y называют гомотопической
эквивалентностью, если существует отображение g:Y —> X, для которого fg^t
и gf ^ 1. Пространства X и У называют тогда гомотопически
эквивалентными или имеющими один и тот же гомотопический тип. Обозначение:
X ^ У. Простое упражнение: показать, что это отношение
эквивалентности, в отличие от несимметричного понятия деформационной
ретракции. Например, три графа о—о, оо, аз гомотопически эквивалентны,
поскольку они являются деформационными ретрактами одного и того же
пространства, как мы видели раньше; но ни один из них не является
деформационным ретрактом никакого другого.
Верен общий факт, что два пространства X и У гомотопически
эквивалентны тогда и только тогда, когда существует третье пространство Z,
содержащее как X, так и У в качестве деформационных ретрактов. Менее
тривиален тот факт, что в качестве Z можно в действительности взять
цилиндр отображения Mf для произвольной гомотопической
эквивалентности /: X —> У. Мы уже отмечали, что Mf деформационно ретрагируется
на У, поэтому нужно только доказать, что Mf деформационно
ретрагируется также и на другое своё основание X, если / — гомотопическая
эквивалентность. Это показано в следствии 0.21.
Пространство, имеющее гомотопический тип точки, называют
стягиваемым. Это равносильно тому, что тождественное отображение
пространства должно быть гомотопно нулю, т.е. гомотопно постоянному
отображению. Вообще говоря, это несколько более слабое требование,
чем сказать, что пространство деформационно ретрагируется в точку;
см. упражнения в конце главы, в которых приводится пример, когда эти
понятия различны.
^
И
7\
т
^Ш1
\ WAX ъхШШьх^З
Опишем теперь пример двумерной поверхности в М3, известной под
названием дом с двумя комнатами, которая стягиваема, но не очевидным
образом. Чтобы построить это пространство, начнём с коробки,
разделённой на две комнаты горизонтальным прямоугольником, где под «пря-

Глава 0. Основные геометрические понятия
13
моугольником» мы понимаем не только четыре стороны
прямоугольника, но и его внутренность. Попасть в эти две комнаты снаружи можно
по двум вертикальным тоннелям. Верхний тоннель получен посредством
вырезания квадрата из верхней крышки коробки и ещё одного квадрата,
расположенного прямо под ним на среднем горизонтальном
прямоугольнике, а затем вставления четырёх вертикальных прямоугольников — стен
тоннеля. Этот тоннель позволяет попасть снаружи в нижнюю комнату.
Нижний тоннель устроен аналогичным образом; он позволяет попасть
в верхнюю комнату. Наконец, вставлены ещё два вертикальных
прямоугольника, образующих «опорные стены» двух тоннелей. Таким образом,
полученное в итоге пространство X состоит из трёх горизонтальных
частей, гомеоморфных кольцам, и всех вертикальных прямоугольников,
образующих стены двух комнат.
Чтобы убедиться, что X стягиваемо, рассмотрим замкнутую е-окрест-
ность N(X) множества X. Она, очевидно, деформационно ретрагируется
на X, если е достаточно мало. Действительно, N(X) представляет собой
цилиндр отображения для отображения граничной поверхности N(X) в X.
Менее очевиден тот факт, что пространство N(X) гомеоморфно D3,
единичному шару в R3. Чтобы убедиться в этом, представим, что мы
изготавливаем N(X) из глиняного шара, надавив на него пальцем, чтобы
получить верхний тоннель, а затем постепенно выдавив нижнюю
комнату, и аналогично, надавив пальцем, чтобы получить нижний тоннель,
и выдавив верхнюю комнату. Математически этот процесс даёт семейство
вложений ht: D3 —► R3, начинающееся с обычного вложения D3 <—> R3 и
заканчивающееся гомеоморфизмом на N(X).
Таким образом, X ~ N(X) = D3 ~ точка, поэтому X стягиваемо,
поскольку гомотопическая эквивалентность — отношение эквивалентности.
В действительности X деформационно ретрагируется в точку, поскольку
если /, —деформационная ретракция шара N(X) в точку х0 е X и если
г: N(X) —► X — ретракция (например, конечный результат
деформационной ретракции пространства N(X) на X), то ограничение композиции r/t
на X является деформационной ретракцией пространства X в х0. Однако
совсем непросто увидеть явно, как выглядит эта деформационная
ретракция.
Клеточные комплексы
Обычный способ изготовления тора Sl *Sl —отождествление
противоположных сторон квадрата. Вообще, ориентируемую поверхность Mg
рода g можно получить из 4£-угольника, отождествляя пары его сторон,
как показано на рисунке для первых трёх случаев g= 1, 2, 3. При этом 4g
сторон многоугольника превращаются в 2g окружностей на полученной
поверхности, которые пересекаются ровно в одной точке. Внутренность
многоугольника можно представлять как открытый диск, или двумерную

wiaoa \j. основные геометрические понятия
клетку, приклеенную к объединению 2g окружностей. Можно также
рассматривать это объединение окружностей как полученное из их общей
точки посредством приклеивания 2g открытых дуг, или одномерных
клеток. Таким образом, эту поверхность можно построить поэтапно:
начинаем с точки, приклеиваем к этой точке одномерные клетки, а затем
приклеиваем двумерную клетку.
Естественное обобщение этой процедуры состоит в том, чтобы
построить пространство посредством следующей процедуры.
1. Начинаем с дискретного множества Х°, точки которого считаем
нульмерными клетками.
2. По индукции образуем n-мерный остов Хп из X""1, приклеив п-мер-
ные клетки епа посредством отображений ipa: Sn~l —> Хп~Л. Это
означает, что Хп — факторпространство несвязного объединения X"-1 Ц &а>
а
состоящего из Хп~1 и набора n-мерных шаров Dna, при
отождествлении х^уа О) для х € dDna. Поэтому как множество Хп =Xn~l \J ena, где
а
каждое множество епа —открытый n-мерный шар.
3. Можно либо закончить индуктивный процесс на конечном этапе,
положив Х = Хп для некоторого п < оо, либо продолжать его бесконечно»
положив X = (jxn. В последнем случае X снабжается слабой тополо-
п
гией: множество АсХ открыто (или замкнуто) тогда и только тогда,
когда АС\Хп открыто (или замкнуто) в Хп для всех п.

Глава 0. Основные геометрические понятия
15
Пространство X, построенное таким способом, называют клеточным
комплексом или CW-комплексом. Объяснение сокращения CW приведено
в приложении, где также доказаны многие основные свойства клеточных
комплексов. Читатель, которого интересуют различные
теоретико-множественные вопросы, скрытые за следующим далее обсуждением, должен
обратиться за подробностями к приложению.
Если X = Хп для некоторого п, то говорят, что комплекс X
конечномерен, а наименьшее такое п (наибольшую размерность клеток X) называют
размерностью комплекса X.
Пример 0.1. Одномерный клеточный комплекс Х = Х1—это то, что
в алгебраической топологии называют графом. Он состоит из вершин
(нульмерных клеток), к которым приклеены рёбра (одномерные клетки).
Оба конца ребра могут быть приклеены к одной и той же вершине.
Пример 0.2. Дом с двумя комнатами, нарисованный выше, имеет
наглядно очевидную структуру двумерного клеточного комплекса.
Нульмерные клетки — это вершины, в которых сходятся по крайней мере три из
нарисованных рёбер, а одномерные клетки —это внутренности рёбер,
соединяющих эти вершины. Это даёт одномерный остов X1, а двумерные
клетки —это компоненты связности оставшегося пространства Х-Х1.
Если сосчитать, то можно получить, что здесь 29 нульмерных клеток, 51
одномерная клетка и 23 двумерных клетки, причём альтернированная
сумма 29 — 51 + 23 равна 1. Это эйлерова характеристика, которая для
комплекса с конечным числом клеток определяется как число чётномер-
ных клеток минус число нечётномерных клеток. Как мы покажем в
теореме 2.44, эйлерова характеристика клеточного комплекса зависит только
от его гомотопического типа, поэтому тот факт, что дом с двумя
комнатами имеет гомотопический тип точки, влечёт то, что его эйлерова
характеристика должна быть равна 1, независимо от того, как именно он
представлен в виде клеточного комплекса.
Пример 0.3. Сфера Sn имеет структуру клеточного комплекса ровно
с двумя клетками, е° и е", причём n-мерная клетка приклеивается по
постоянному отображению S""1 -+е°. Это эквивалентно представлению
сферы Sn в виде факторпространства Dn/dDn.
Пример 0.4. Вещественное проективное пространство размерности п,
обозначаемое RPn, определяется как пространство всех прямых в Rn+1,
проходящих через начало координат. Каждая такая прямая задаётся
ненулевым вектором в Rn+1, который определён с точностью до умножения на
число, и топология на ЖРп задаётся как топология факторпространства
Rn+1 - {0} по отношению эквивалентности v ~ Av для всех чисел Я Ф 0.
Мы можем ограничиться векторами длины 1, поэтому RPn — это также
факторпространство Sn/(v ~ -v), т. е. сфера с отождествлёнными
диаметрально противоположными точками. Эквивалентно можно сказать, что
ЕРП —факторпространство полусферы Dn с отождествлёнными диамет-

16
Глава 0. Основные геометрические понятия
рально противоположными точками сферы 6D". Так как гШ" с
отождествлёнными диаметрально противоположными точками — это RP""1, мы
видим, что ЕР" получается из ЕР"-1 приклеиванием n-мерной клетки,
причём отображение приклеивания —это факторпроекция S""1 -*МР"~1.
Индукцией по п получаем, что MP" имеет структуру клеточного комплекса
е°Ue1 U... Uе" с одной клеткой е1 в каждой размерности £ ^ п.
Пример 0.5. Так как MP" получается из MP'1"1 приклеиванием п-мер-
ной клетки, бесконечное объединение RP°° = |J]RPn приобретает струк-
" " TV/T
туру клеточного комплекса с одной клеткой в каждой размерности. Мы
можем рассматривать RP00 как пространство всех прямых в M°° = lJlR",
проходящих через начало координат. п
Пример 0.6. Комплексное проективное пространство размерности п,
обозначаемое СРП, —это пространство всех комплексных прямых в С"+1,
проходящих через начало координат (т. е. одномерных подпространств в
С"4*1). Как и в случае ЕР", каждая прямая задаётся ненулевым вектором
в С"4"1, который определён однозначно с точностью до умножения на
число, и топология на СРП задаётся как топология факторпространства
С"+1 - {0} по отношению эквивалентности v ~ Av для Я Ф 0.
Эквивалентным образом, это факторпространство единичной сферы s2n+l с С"4*1 no
отношению эквивалентности v ~ Av при |А| = 1. Можно также получить
СР" как факторпространство шара D2" при отождествлении v ~ Av для
v е dD2n следующим образом. Векторы S2n+l с Сп+1, у которых
последняя координата вещественна и неотрицательна, — это в точности векторы
вида
(iv, y/l-\w\2) е С" х С, где М ^ 1.
Такие векторы образуют график отображения w —> у 1 — |iv|2. Это будет
диск D2", ограниченный сферой S2""1 с S2n+1, состоящей из векторов
(iv, 0) е С" х С, \w\ = 1. Каждый вектор из s2n+1 при отождествлении
v ~ Av эквивалентен вектору из D2", который единствен, если его
последняя координата ненулевая. Если же последняя координата нулевая, то мы
имеем как раз отождествление v ~ Av для v e S2" ~].
Из такого описания СРП как факторпространства D2" по
отождествлению v ~ Av для v GS2n_1 следует, что СР" получается из СР""1
приклеиванием клетки е2п посредством отображения факторизации S2""1 —*
-♦СР"-1. Поэтому индукцией по п мы получаем клеточную структуру
СР" = е° U е2 и ... и е2" с клетками только в чётных размерностях.
Аналогично СР00 имеет клеточную структуру с одной клеткой в каждой чётной
размерности.
После всех этих примеров вернёмся к общей теории. У каждой
клетки епа в клеточном комплексе X есть характеристическое отображение
*а '• £*а ~~* ^> которое продолжает отображение приклеивания ц>а и
является гомеоморфизмом внутренности D£ на е". А именно, в качестве Фа

Глава 0. Основные геометрические понятия
17
можно взять композицию D£ <-► Хп 2 [JD£ —> Хп <-► X, где среднее отоб-
а
ражение —это отображение факторизации, задающей Хп. Например, для
канонической клеточной структуры на Sn, описанной в примере 0.3,
характеристическое отображение для n-мерной клетки —это отображение
факторизации Dn —>Sn, стягивающее dDn в точку. Для ЕР"
характеристическое отображение для клетки е1 — это отображение факторизации
D1 —> ЕР' с ЕРП, отождествляющее диаметрально противоположные точки
3D1, и аналогично для СР".
Подкомплекс клеточного комплекса X — это замкнутое
подпространство Л с X, которое является объединением клеток из X. Поскольку А
замкнуто, образ характеристического отображения каждой клетки из А
содержится в Л; в частности, образ отображения приклеивания для
каждой клетки из А содержится в Л, а потому само А является клеточным
комплексом. Пару (Х,А), состоящую из клеточного комплекса X и его
подкомплекса А, будем называть CW-парой.
Например, каждый остов Xм клеточного комплекса X является
подкомплексом. Частные случаи этого — подкомплексы RPfc с ЕР" и СРк с СРП
при к ^ п. Они в действительности являются единственными
подкомплексами в RP" ивСРп.
Имеют место естественные включения S0 с S1 с ... с S", но эти под-
сферы не являются подкомплексами сферы Sn с её обычной клеточной
структурой ровно с двумя клетками. Однако мы можем снабдить Sn другой
клеточной структурой, относительно которой каждая подсфера Sk
является подкомплексом, считая, что каждая сфера Sk получена из её экватора
S^"1 приклеиванием двух /с-мерных клеток — компонент Sk — Sk~~l.
Бесконечномерная сфера S°° = IJ S" тогда тоже становится клеточным комплек-
/2
сом. Заметим, что отображение факторизации S°° —►ЕР00,
отождествляющее диаметрально противоположные точки в S00, переводит две п-мерные
клетки из S°° в одну n-мерную клетку из ЕР°°.
Во всех приведённых выше примерах клеточных комплексов
замыкание каждой клетки является подкомплексом и, более того, замыкание
любого набора клеток является подкомплексом. Большинство клеточных
структур, возникающих естественным образом, обладает этим свойством,
но в общем случае оно не обязано выполняться. Например, если мы
возьмём S1 с минимальной клеточной структурой и приклеим двумерную
клетку по отображению S1 —>S\ образ которого —нетривиальная дуга
окружности S1, тогда замыкание двумерной клетки — не подкомплекс,
потому что он содержит только часть одномерной клетки.
Операции над пространствами
У клеточных комплексов удачно сочетаются жёсткость и гибкость:
у них достаточно жёсткости, чтобы позволить проводить многие рассуж-

18 Глава 0. Основные геометрические понятия
дения комбинаторно, клетка за клеткой, и достаточно гибкости, чтобы
позволить совершать над ними многие естественные операции. Здесь
приведены примеры некоторых таких операций.
Произведения. Если X и У — клеточные комплексы, то X х У имеет
структуру клеточного комплекса, клетки которого — произведения e^xel
где е™ пробегает все клетки из X, a ej пробегает все клетки из У.
Например, клеточная структура на торе S1 х S1, описанная в начале этой
главы, получена таким способом из стандартной клеточной структуры на S1.
В случае совсем произвольных комплексов X и У есть, однако, небольшое
затруднение. Топология X х У как клеточного комплекса иногда слегка
мельче, чем топология произведения; в ней больше открытых множеств,
чем в топологии произведения. Но эти две топологии совпадают, если
либо в одном из комплексов X и У конечное число клеток, либо у каждого
из них не более чем счётное множество клеток. Это объясняется в
приложении. На практике эта тонкость теоретико-множественной топологии
редко вызывает проблемы.
Факторпространства. Если (X, А) — CW-napa, состоящая из
клеточного комплекса X и его подкомплекса А, то факторпространство Х/А
наследует от X структуру клеточного комплекса. Клетки Х/А — это клетки
из X — А плюс ещё одна новая 0-клетка, образ подкомплекса А в Х/А, Для
клетки епа из X — А, приклеенной посредством отображения уа: S""1 —>
—> Хп~1, отображение приклеивания для соответствующей клетки в Х/А —
это композиция S""1 —X"-1—Х""1/^-1.
Например, если мы снабдим Sn_1 произвольной клеточной
структурой и построим Dn из Sn~\ приклеив п-мерную клетку, то
факторпространство Dn/Sn~1 —это Sn с обычной клеточной структурой. Другой
пример такой: в качестве X возьмём замкнутую ориентируемую поверхность
с клеточной структурой, описанной выше,— с одной двумерной клеткой,
и пусть А —дополнение к этой двумерной клетке, т. е. одномерный остов
комплекса X. Тогда Х/А имеет клеточную структуру, состоящую из
нульмерной клетки и приклеенной к ней двумерной клетки, а есть только один
способ приклеить клетку к нульмерной клетке — по постоянному
отображению, поэтому Х/А — это S2.
Надстройка. Для пространства X надстройка SX — это фактор
комплекса X х J, полученный стягиванием X х {0} в одну точку и X х {1}
в другую точку. Мотивирующий пример —это пространство X = Sn, для
которого SX = Sn+1 с двумя «точками надстройки» в северном и
южном полюсе сферы Sn+1 — точками (0,..., 0, ±1). Можно рассматривать
SX как двойной конус над Ху объединение двух экземпляров конуса
СХ = (X х I)/{X х {0}). Если X-CW-комплекс, то SX и СХ тоже
будут CW-комплексами, как факторпространства комплекса X х I с
клеточной структурой произведения, где отрезок J снабжён стандартной

Глава 0. Основные геометрические понятия
19
клеточной структурой: две нульмерные клетки соединены
одномерной клеткой.
Значение надстройки возрастает по мере углубления
в алгебраическую топологию, хотя сразу не видно, почему
так должно быть. Одно из наиболее полезных свойств
надстройки заключается в том, что надстраивать можно не
только пространства, но и отображения. А именно, отображение f;X—>Y
надстраивается до отображения Sf: SX —> SY — факторотображения для
/х1:Хх/->Ух/.
Джойн. Конус СХ —это объединение всех отрезков, соединяющих
точки из X с некоторой внешней вершиной, и аналогично надстройка
SX — это объединение всех отрезков, соединяющих точки из X с двумя
внешними вершинами. Более общим образом, если дано пространство X
и другое пространство У, то можно рассмотреть пространство всех
отрезков, соединяющих точки из X с точками из Y. Это будет джойн1 X * У,
факторпространство X xY х I при отождествлениях (х, уь 0) ~ (х, у2, 0)
и (*!, у, 1) ~ (х2, у,1). Таким образом, мы сжимаем подпространство
X х У х {0} в X, а X х У х {1} — в У. Например, если оба пространства
X и У — замкнутые отрезки, то мы сжимаем две противоположные грани
куба в отрезки так, что куб превращается в тетраэдр. В общем случае
X * У содержит экземпляры X и У на своих «концах», а любая другая
точка (х, у, 0 из X * У принадлежит ровно одному отрезку, соединяющему
точку х е X с X * У с точкой y^Y с X * У; этот отрезок получается, когда
мы фиксируем л: и у и меняем координату t в (х, у, t).
гг~к
xN—^
J
Удобный способ представления точек из X * У — формальные
линейные комбинации txx + t2y, где 0^tz-^ 1 и ^ +12 = 1, подчиняющиеся
правилам Ox -fly = у и lx + Оу = л\ которые в точности соответствуют
отождествлениям, определяющим X * У. Аналогично можно построить
итерированный джойн XY * ... *ХП как пространство формальных линейных
комбинаций taха +... + tnxn, где 0 ^ t,- ^ 1 и ^ +... +1„ = 1, с соглашением,
что член Ох, можно опустить. В алгебраической топологии центральную
роль играет очень частный случай, когда каждое пространство Х{ — это
просто точка. Например, джойн двух точек —это отрезок, джойн трёх
точек—треугольник, а джойн четырёх точек —тетраэдр. Джойн п точек —
это выпуклый многогранник размерности п - 1, называемый симплексом.
Иногда употребляется термин соединение. —Прим. перев.

20
Глава 0. Основные геометрические понятия
В конкретном случае, когда выбранные п точек — это п стандартных
базисных векторов в Еп, их джойн —это пространство
Д""1 = {(tb ..., tn) e R" | t! + ... + tn = 1 и t,Z 0}.
Другой интересный пример получается, когда каждое пространство
X,—это S0, т.е. пара точек. Если в качестве этих двух точек из X, мы
возьмём два единичных вектора, направленных по z-й оси координат в Rn,
то джойн Xj * ... * Хп — это объединение 2П копий1 замкнутого симплекса
Д""1, и центральная проекция из начала координат даёт гомеоморфизм
между Хг*...*Хп и S'1"1.
Если X и Y — CW-комплексы, то на X * У есть естественная структура
CW-комплекса, для которой X и У — подкомплексы, а остальными
клетками служат произведения клеток пространства X х У х (0,1). Как и обычно
для произведений, CW-топология на X * У может быть слабее, чем фактор
топологии произведения на X х У х /.
Букет. Это довольно простая, но тем не менее весьма полезная
операция. Если даны пространства X и У с выделенными точками х0€Х
и у0 е У, то букет X V У — это фактор несвязного объединения X Ц У,
полученный отождествлением х0 и у0 в одну точку. Например, пространство
SlVSl гомеоморфно фигуре «8»—две окружности касаются в точке.
Вообще можно образовать букет V Ха произвольного набора пространств Ха,
а
взяв несвязное объединение Ц Ха и отождествив точки ха Е Ха в одну точ-
а
ку. В случае, когда Ха — клеточные комплексы, а точки ха — нульмерные
клетки, пространство \/Ха является клеточным комплексом, поскольку
а т т
оно получено из клеточного комплекса J_JXa стягиванием некоторого
подкомплекса в точку. а
Для любого клеточного комплекса X фактор Хп/Хп~1 является
букетом n-мерных сфер VSa> по одной сфере для каждой n-мерной клетки X.
a
Приведённое произведение. Как и для надстройки, важность этой
конструкции станет понятной только позже. Внутри произведения X х У
есть экземпляры пространств X и У, а именно X х {у0} и {х0} х У для
точек х0 G X и у0 е У. Эти два экземпляра X и У пересекаются в X х У только
в точке (х0, у0), поэтому их объединение можно отождествить с букетом
X V У. Тогда приведённое произведение X Л У определяется как факторпро-
странство X х Y/XVY. Можно представлять себе приведённое
произведение X Л У как версию произведения X х У, полученную стягиванием
тех частей, которые не являются подлинным произведением, — отдельных
множителей X и У.
При л = 3 получаем границу правильного октаэдра. — Прим. ред.

Глава 0. Основные геометрические понятия
21
Приведённое произведение X Л У клеточных комплексов X и У с
нульмерными клетками х0 и у0 является клеточным комплексом, если мы
снабжаем X х У топологией клеточного комплекса, а не топологией
произведения (в тех случаях, когда эти две топологии разные). Например,
Sm Л S" имеет клеточную структуру ровно с двумя клетками —
размерности Оиш + п, поэтому Sm ASn = Sm+n. В частности, когда т — п = 1, мы
видим, что стягивание меридиана и параллели тора в точку даёт двумерную
сферу.
Два признака гомотопической эквивалентности
Ранее в этой главе нашим основным инструментом для построения
гомотопических эквивалентностей служил тот факт, что цилиндр
отображения деформационно ретрагируется на основание, соответствующее
образу отображения. Применяя этот факт несколько раз, зачастую можно
построить гомотопические эквивалентности между пространствами,
выглядящими весьма по-разному. Однако на практике этот процесс может
оказаться громоздким, поэтому полезно иметь в распоряжении и другую
технику. Мы опишем здесь два широко распространённых метода. Первый
включает стягивание в точку некоторых подпространств, а второй
включает изменение того, как стыкуются друг с другом части пространства.
Стягивание подпространств
Операция стягивания подпространства в точку обычно коренным
образом изменяет гомотопический тип, но можно надеяться, что если
подпространство, намеченное для стягивания, уже имеет гомотопический
тип точки, то стягивание его в точку не изменит гомотопический тип
всего пространства. Вот положительный результат в этом направлении.
I Утверждение. Если (X, A) — CW-napa, состоящая из С1/^-комплек-
са X и стягиваемого подкомплекса Л, то отображение факторизации
Х-+Х/А является гомотопической эквивалентностью.
Доказательство будет дано позже, в предложении 0.17, а сейчас
давайте посмотрим на некоторые примеры, показывающие, как можно
применять этот результат.
Пример 0.7 (графы). Три графа о—о, оо, схэ гомотопически
эквивалентны, поскольку каждый из них является деформационным ретрактом
диска с двумя дырками, но это можно вывести также из
сформулированного выше признака со стягиваемым подпространством, поскольку
стягивание среднего ребра в первом и в третьем графе даёт второй граф.
Вообще пусть X — произвольный граф с конечным числом вершин
и рёбер. Если два конца некоторого ребра в X различны, то мы можем
стянуть это ребро в точку, получив при этом гомотопически
эквивалентный граф, у которого число рёбер на 1 меньше. Такое упрощение можно
повторять до тех пор, пока все рёбра графа X не станут петлями, а тогда

22 Глава 0. Основные геометрические понятия
каждая компонента графа X является либо изолированной вершиной,
либо букетом окружностей.
Из этого возникает вопрос, могут ли два таких графа, имеющих
только одну вершину в каждой компоненте, быть гомотопически
эквивалентными, если они не являются в действительности просто изоморфными
графами. Упражнение 12 в конце главы сводит этот вопрос к случаю
связных графов. А тогда задача состоит в том, чтобы доказать, что букет \/ S1,
т
состоящий из т окружностей, не гомотопически эквивалентен \/ S1 при
п
тфп. Утверждения такого рода трудно доказывать непосредственно.
Желателен некий алгебраический объект, который сопоставляется
пространствам, зависит только от их гомотопического типа и принимает разные
значения для \JS^ и для \JS1 при тфп.Ъ действительности этим усло-
т - п
виям удовлетворяет эйлерова характеристика, потому что для \/ S1 она
т
равна 1 — т. Но теорема о том, что эйлерова характеристика
пространства зависит только от его гомотопического типа, весьма нетривиальна.
Другой алгебраический инвариант, который для графов работает столь же
хорошо и строгое обоснование которого требует существенно меньших
усилий, чем для эйлеровой характеристики, — это фундаментальная
группа пространства, тема главы 1.
Пример 0.8. Рассмотрим пространство X, полученное из S2
приклеиванием двух концов дуги А к двум разным точкам этой сферы, скажем,
к северному и южному полюсу. Пусть
В—дуга на сфере S2, соединяющая две
точки, к которым приклеена дуга А.
Тогда X можно снабдить структурой
CW-комплекса с концами дуг Л и В в
качестве нульмерных клеток,
внутренними частями дуг Л и В в качестве
одномерных клеток и оставшейся частью
сферы S2 в качестве двумерной клетки.
Так как Л и В стягиваемы,
пространства Х/А и Х/В гомотопически эквивалентны X. Пространство Х/А — это
факторпространство S2/S°, сфера с двумя отождествлёнными точками,
а Х/В —это Sl VS2. Следовательно, S2/S° и S1 V S2 гомотопически
эквивалентны, что на первый взгляд не очевидно.
Пример 0.9. Пусть X — объединение тора и п меридиональных
дисков. Чтобы задать CW-структуру на X, выберем на торе параллель,
пересекающую каждый меридиональный диск в одной точке. Тогда эти точки
пересечения—нульмерные клетки, оставшиеся части параллели и
граничных окружностей меридиональных дисков — одномерные клетки, а
оставшиеся области на торе и внутренности меридиональных дисков — двумер-

Глава 0. Основные геометрические понятия
23
ные клетки. Стягивание каждого меридионального диска даёт гомотопи-
чески эквивалентное пространство У, состоящее из п двумерных сфер,
каждая из которых касается двух соседних сфер, «ожерелье из п бусин».
Третье пространство Z на рисунке, нить из п бусин со струной,
соединяющей её концы, превращается в У при стягивании этой струны в точку, а
такое стягивание — гомотопическая эквивалентность. Наконец, стягивая
дуги в Z, образованные передними половинами экваторов этих п бусин, мы
получаем четвёртое пространство W, букет S1 и п двумерных сфер. (Здесь
можно увидеть, почему эту операцию называют «букет».)
Пример 0.10 (приведённая надстройка). Пусть X —-СИ^-комплекс, а
х0 G X — нульмерная клетка. Внутри надстройки SX есть отрезок {х0} х J,
и стягивание его в точку даёт пространство ЕХ, гомотопически
эквивалентное SXy называемое приведённой надстройкой пространства X.
Например, если в качестве X мы возьмём S1 VS1, а в качестве х0 — точку
пересечения этих двух окружностей, то обычная надстройка SX — это
объединение двух сфер, пересекающихся по дуге {х0} х I, поэтому
приведённая надстройка ЕХ —это S2V S2y несколько более простое пространство.
Вообще мы имеем Е(Х V У) = ЕХ V ЕУ для любых CW-комплексов Х и У.
CW-структура для приведённой надстройки ЕХ тоже несколько проще,
чем для SX. В SX есть две нульмерные клетки (точки надстройки) и по
одной (п + 1)-мерной клетке еп х (0,1) для каждой n-мерной клетки еп
из X, в то время как в ЕХ есть только одна нульмерная клетка и по одной
(п-Ы)-мерное клетке для каждой n-мерной клетки из X, отличной от х0.
Приведённая надстройка ЕХ —это в действительности то же самое,
что приведённое произведение X Л S1, так как оба пространства являются
фактором пространства X х J, в котором подпространство X х dl U {х0} х I
стянуто в точку.
Приклеивание подпространств
Другой распространённый способ изменить пространство, не меняя
его гомотопического типа, заключается в непрерывном изменении того,
как приклеены друг к другу его части. Общее определение «приклеивания
одного пространства к другому», которое включает в себя случай
приклеивания клеток, следующее. Мы начинаем с пространства Х0 и другого
пространства Хь которое мы хотим приклеить к Х0, отождествляя точки
подпространства А с XY с точками пространства Х0. Для этого требуется
задать отображение /: А —► Х0, ибо тогда мы можем образовать фактор

24
Глава 0. Основные геометрические понятия
пространства Х0иХъ отождествляя каждую точку а е А с её образом
/(а)еХ0. Обозначим это факторпространство через XqU^-X! и назовём
его пространством Х0 с приклеенным к нему вдоль подмножества А по
отображению / пространством Хг. Если (Хь Л) = (Dn, S'l_1), то мы имеем
случай приклеивания n-мерной клетки к Х0 по отображению /: Sn~l —> Х0.
Цилиндры отображений тоже являются примерами этой
конструкции, поскольку цилиндр отображения Mf для отображения /: X —> 7
является пространством, которое получается из 7 приклеиванием
пространства X х / вдоль X х {1} посредством /. Тесно связан с
цилиндром отображения Mf конус отображения Cf — YUf СХ, где СХ —конус
(X х I)/{X х {0}), и мы приклеиваем его к Y вдоль X х {1} посредством
отождествления (х, 1) ~/(х). Например, когда X
—сфера S"-1, конус отображения С^ — это пространство,
полученное из У приклеиванием n-мерной клетки
посредством отображения /: S'1"1 —> У. Конус отображения
Cf можно также рассматривать как фактор Mf/X
цилиндра отображения Mf, в котором подпространство
X = X х {0} стянуто в точку.
Если заменить отображение приклеивания / на гомотопию /t, то
получим семейство пространств, форма которых непрерывно изменяется,
и можно ожидать, что все эти пространства имеют один и тот же
гомотопический тип. Так действительно часто бывает.
Утверждение. Если (Xj, Л) — CW-napa, а отображения приклеивания
/, g: А —> Х0 гомотопны, то X \Jf X} ^ X0 U^ X}.
Мы снова пока отложим доказательство и рассмотрим некоторые
примеры.
Пример 0.11. Давайте выведем снова результат примера 0.8 о том, что
сфера с двумя отождествлёнными точками гомотопически эквивалентна
S1^ S2. Сферу с двумя отождествлёнными точками 2 ^^—
можно получить, приклеив S2 к S1 по отображе- /—--/..
нию, которое наматывает на S1 замкнутую дугу А Г^_ /А
в S2, как показано на рисунке. Так как дуга А стя- г—-~Л"
гиваема, это отображение приклеивания гомотоп- \11Ш\-
но постоянному отображению, а приклеивание S2 ^^\
к S1 Посредством постоянного отображения дуги
А даёт S1 VS2. Из этого следует требуемый результат, поскольку (S2,A)
является CW-парой: сфера S2 получена из А приклеиванием двумерной
клетки.
Пример 0.12. Аналогично можно увидеть, что ожерелье из
примера 0.9 гомотопически эквивалентно букету окружности и п двумерных
сфер. Ожерелье можно получить из окружности, приклеив п двумерных
сфер вдоль дуг, поэтому ожерелье гомотопически эквивалентно простран-
о-:

Глава 0. Основные геометрические понятия
25
ству, полученному приклеиванием п двумерных сфер к окружности в
разных точках. Затем мы можем сдвинуть эти точки приклеивания по
окружности до тех пор, пока они не совпадут, что даёт букет.
Пример 0.13. Здесь мы применим упомянутый выше факт, что
сжатие в точку стягиваемого подкомплекса является гомотопической
эквивалентностью. Если (X, А) — CW-napa, состоящая из клеточного
комплекса X и его подкомплекса А, то Х/А ^ X и СА —конус отображения для
включения А<-*Х. Действительно, мы имеем X/A = (XUCA)/CA^XUCA,
поскольку СА — стягиваемый подкомплекс в X и СА.
Пример 0.14. Если (X, А) — CW-napa и подкомплекс А стягиваем в X
(т.е. включение А<^Х гомотопно постоянному отображению), то Х/А~
~ X V SA. А именно, согласно предыдущему примеру Х/А ~ X U СА, а так
как подкомплекс А стягиваем в X, конус отображения X U С А для
включения А <-* X гомотопически эквивалентен конусу отображения для
постоянного отображения, которым является X V SA. Например, Sn/Sl ^ Sn V Sl+1
при i < п, поскольку сфера S1 стягиваема в Sn при i < п. В частности, это
даёт S2/S° ca S2 V S1, а это снова результат примера 0.8.
Свойство продолжения гомотопии
В этом небольшом пункте мы докажем некоторые утверждения. В
частности, мы докажем два признака гомотопической эквивалентности,
сформулированные выше, а также тот факт, что любые два гомотопически
эквивалентных пространства можно вложить в качестве деформационных
ретрактов в одно и то же пространство.
Эти доказательства используют некое техническое свойство, которое
встречается и во многих других ситуациях. Рассмотрим следующую
задачу. Пусть задано отображение /0: X —> У, а на подпространстве АсХ
задана ещё и гомотопия ft: A^Y отображения fQ\Ay которую нужно
продолжить до гомотопии /t: X —► У данного отображения /0. Если пара (X, А)
такова, что эта задача продолжения всегда может быть решена, то говорят,
что пара (X, А) обладает свойством продолжения гомотопии. Таким
образом, (X, А) обладает свойством продолжения гомотопии, если любое
отображение Xx{0}UAxJ->y можно продолжить до отображения X х I -> У.
Утверждение. Пара (X, А) обладает свойством продолжения
гомотопии тогда и только тогда, когда X х {0} U А х / — ретракт пространства
Хх/.
Свойство продолжения гомотопии для пары (X, А) влечёт, что
тождественное отображение Xx{0}UAxJ->Xx{0}UAxJ продолжается до
отображения X х J — X х {0} U A x J, а потому X х {0} и А х / является
ретрактом пространства Хх/.
Доказать обратное столь же просто, если замкнуто А в X. В этом
случае любые два отображения Хх{0}->У иАх/->У, согласующиеся

26
Глава 0. Основные геометрические понятия
на Л х {0}, склеиваются в отображение X х {0} и Л х / —► У, непрерывное
постольку, поскольку непрерывны его ограничения на замкнутые
подмножества X х {0} и А х I. Взяв композицию отображения X х {0} и Д х / —► У
с ретракцией X х / —> X х {0} и Д х /, получаем продолжение X х I —► Y, так
что пара (X, А) обладает свойством продолжения гомотопии. Без условная
замкнутости А это утверждение так же верно, но доказательство при этом
более сложно.
Если X х {0} U Ах I — ретракт пространства X х / и X хаусдорфово,
то из этого на самом деле вытекает, что А замкнуто в X. В самом деле,
если г: X х / —► X х / — ретракция на X х {0} и А х /, то образ
отражения г состоит из точек % еХ х /, для которых r(z) = z, и это подмножество
вХ х / замкнуто, если Ххаусдорфово; стало быть, X х {0} и Л х / замкнуто
в X х /, откуда А замкнуто в X.
Простой пример пары (Х,Д) с замкнутым Д, для которой не
выполняется свойство продолжения гомотопии, даёт пара (/,Д), где Д =
= (0,1,1/2,1/3,1/4,.,.). Несложно показать, что не существует
непрерывной ретракции
/х/ -+/х{0}иДх/.
Нарушение свойства продолжения гомотопии здесь связано с плохой
структурой пары (Х,Д) вблизи точки 0. Если локально пара устроена
лучше, то, как показывает следующий пример, свойство продолжения
гомотопии выполняется.
Пример 0.15. Пара (X, А) обладает свойством продолжения
гомотопии, если у А есть окрестность в X, являющаяся цилиндром отображения;
под этим мы подразумеваем замкнутую окрестность Л/, содержащую такое
подпространство В (которое мы представляем себе как границу АО, что
N — В —открытая окрестность множества Д,
причём существуют отображение /: В —> А и
гомеоморфизм h: Mf —* N, для которого h\AvB = 1. Такого рода
окрестности, являющиеся цилиндрами отображений,
встречаются довольно часто. Например, толстые
буквы, которые обсуждались в начале этой главы,
являются такими окрестностями для тонких букв,
рассматриваемых как множества на плоскости. Чтобы
проверить свойство продолжения гомотопии, прежде всего заметим, что
/ х / ретрагируется на / х {0} и dl x J, а значит, В xl xl ретрагируется на
В х I х {0} и В х dl х /, и эта ретракция индуцирует ретракцию My x / на
Mf х {0} U (Л и В) х /. Таким образом, пара Ш/, А и В) обладает свойством
продолжения гомотопии. Поэтому им обладает и гомеоморфная ей пара
(N, А и В). Теперь если заданы отображение X —> Y и гомотопия его
ограничения на Л, то мы можем взять постоянную гомотопию на Х- (N-B),
а затем продолжить её на N, применив свойство продолжения гомотопии
для пары (N, А и В) к данной гомотопии на Л и постоянной гомотопии на В.

Глава 0. Основные геометрические понятия
27
I Предложение 0.16. Если (X, А) — CW-napa, то X х {0} U А х
/—деформационный ретракт пространства X х J, а потому (X, А) обладает
свойством продолжения гомотопии.
Доказательство. Существует ретракция г: Dn xI-^Dn x {0} U dDn x J
например, центральная проекция из точки (0, 2) е Dn x R. Затем,
полагая rt = tr + (1 - t)l, получаем деформационную ретракцию Dn x J на
Dn х {0} U <3Dn х /. Эта деформационная ретракция даёт деформационную
ретракцию X" х I на Хп х {0} U (Х""1 U Ап) х /, так как
Хп х / получается из Хп х {0} U (Xn_1 U Ап) х /
приклеиванием экземпляров Dn х I вдоль Dn х {0} U 3Dn х I.
Теперь будем совершать деформационную ретракцию Хп х J
на Хп х {0} U (Хп-1 и Ап) х I за время t из интервала
[1/2п+1,1/2п]. Тогда, взяв бесконечную композицию по
всем п, получим деформационную ретракцию X х / на
Хп х {0} U Л х I. Проблем с непрерывностью этой
деформационной ретракции при t = 0 нет, поскольку она непрерывна на Хп х /,
будучи там постоянной в течение времени t из интервала [0,1/2п+1],
а CW-комплексы снабжены слабой топологией относительно их остовов,
поэтому отображение непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывно
его ограничение на все остовы. □
Докажем теперь сформулированное ранее утверждение, что
сжатие в точку стягиваемого подкомплекса — гомотопическая
эквивалентность.
I Предложение 0.17. Если пара (X, А) обладает свойством
продолжения гомотопии, причём А стягиваемо, то отображение факторизации
q: X—>Х/А является гомотопической эквивалентностью.
Доказательство. Пусть ft: X —> X — гомотопия, продолжающая
стягивание подпространства А, причём /0 = 1. Так как fc(A) с А для всех t,
композиция qfc: X —>Х/А переводит А в точку, а значит, представляется
в виде_композиции X —> Х/А —> Х/Л. Обозначив последнее отображение
через ft: Х/А —> Х/Л, мы имеем qfL = /tq в первой из двух диаграмм. Когда
* = 1, fi(A) есть точка —та самая точка, в которую стягивается А,
поэтому /l индуцирует отображение g: Х/А —> X, причём qg = /ь как во вто-
1>ой диаграмме. Следовательно, qg = fi, так как qgCx) = qgqO) = q/iU) =
^/iQOO = /i(x). Отображения g и q являются взаимно обратными
гомотопическими эквивалентностями, так как gq — /i ~ /0 = 1 посредством /t
и <Z£=Л ^ /о = 1 посредством /t.
X ^-^Х X ^—*Х
\я
Х/А —^ *М Х/А —5— Х/А
п

28
Глава 0. Основные геометрические понятия
Ещё одно приложение свойства продолжения гомотопии, дающее
несколько более тонкую версию одного из ранее сформулированных
признаков гомотопической эквивалентности, состоит в следующем.
(Предложение 0.18. Если (X!, А) — CW-napa, а отображения
приклеивания /, g: А —> Х0 гомотопны, то Х0 \jf Х} ~ Х0 Ug Хг относительно Х0.
Здесь определение гомотопической эквивалентности W ~ Z
относительно У для пар (W, У) и (Z, У) состоит в том, что существуют
отображения ip: W^>Zuip:Z^>W, ограничения которых на У тождественны,
и, кроме того, xpip c^t и ipxp c^t посредством гомотопии, ограничения
которых на Y тождественны в любой момент времени.
Доказательство. Если F: А х I —► Х0 — гомотопия отображения /
в отображение g, то рассмотрим пространство Х0 UF (X} х /). Оно
содержит оба пространства Х0 Uy X! и Х0 Ц X! в качестве подпространств.
Деформационная ретракция XY х I на X] х {0} иЛ х /, описанная в
предложении 0.16, индуцирует деформационную ретракцию Х0 UF (X} x /) на
Х0 Uf Хг. Аналогично Х0 UF (X! х /) деформационно ретрагируется на
Х0 \Jg X-i. Ограничения обеих деформационных ретракций на Х0
тождественны, поэтому вместе они дают гомотопическую эквивалентность
Х0 Lly XY с* Х0 L\g Xx относительно Х0. □
Мы завершим эту главу техническим результатом, доказательство
которого использует разные приложения свойства продолжения гомотопии.
Предложение 0.19. Предположим, что (X, А) и (У, Л)
удовлетворяют свойству продолжения гомотопии, а /: X —> Y — гомотопическая
эквивалентность, причём /|Л = 1. Тогда / — гомотопическая
эквивалентность относительно А.
I Следствие 0.20. Если (X, А) удовлетворяет свойству продолжения
гомотопии, а включение А <-* X является гомотопической
эквивалентностью, то Л —деформационный ретракт пространства X.
Доказательство. Достаточно применить предложение 0.19 к
включению А <-*Х. □
Следствие 0.21. Отображение /: X —> Y является гомотопической
эквивалентностью тогда и только тогда, когда X является
деформационным ретрактом цилиндра отображения My. Значит, два пространства
X и У гомотопически эквивалентны тогда и только тогда, когда
существует третье пространство, которое содержит как X, так и У в качестве
деформационных ретрактов.
Доказательство. На диаграмме отображения i и j —
включения, а г — каноническая ретракция, поэтому / — ri
и i^jf. Так как j и г — гомотопические эквивалентности,
получаем, что / является гомотопической
эквивалентностью тогда и только тогда, когда i — гомотопическая эк-

Глава 0. Основные геометрические понятия
29
вивалентность, поскольку композиция двух гомотопических эквивалент-
ностей — гомотопическая эквивалентность, а отображение, гомотопное
гомотопической эквивалентности, — гомотопическая эквивалентность.
Теперь применим предыдущее следствие к паре (М^,Х), которая
удовлетворяет свойству продолжения гомотопии согласно примеру 0.15 (нужно
воспользоваться окрестностью X х [0,1/2] подпространства X в Mf). □
Доказательство предложения 0.19. Пусть g: Y —> X — гомотопиче-
ски обратное отображение для /. Доказательство будет состоять из трёх
шагов:
1) построим гомотопию отображения g в отображение glt для которого
2) покажем, что gxf ~ 1 относительно А;
3) покажем, что /g: ~ 1 относительно А.
1. Пусть ht: X —* X — гомотопия, связывающая отображения gf = h0
и 1 = Ьг. Так как f\A = 1, мы можем рассматривать ht\A как гомотопию,
связывающую g\A и 1. Затем, так как по предположению (У, А) обладает
свойством продолжения гомотопии, мы можем продолжить эту
гомотопию до гомотопии g{: У —> X, связывающей отображение g = g0 с
отображением gl9 для которого giU = 1.
2. Гомотопия, связывающая отображения gxf и 1, задаётся формулами
1 \h2t,l9 1/2 ^ t ^ 1.
Заметим, что эти два определения согласованы для t = 1/2. Так как f\A = 1
и gt = ht на А, гомотопия /cJA начинается и заканчивается
тождественным отображением, а её вторая половина заключается просто в том, что
первая половина проходится в обратном направлении,
т.е. kt =fcw на А. Определим «гомотопию гомотопии»
ktu: А —> X с помощью рисунка, на котором изображена
область параметров / х / для пар (t, u) с горизонтальной
осью t и вертикальной осью и. На нижней стороне
квадрата мы полагаем kt0 = kt\A. Ниже «V» мы определяем ktu g^ gf t
так, что она не зависит от и, а выше «V» определяем ktu
так, что она не зависит от t. Эти условия не противоречат друг другу,
потому что kt = kx_t на А. Так как к0 = 1 на А, мы получаем кш = 1 для всех
(t, u), принадлежащих левой, правой и верхней сторонам квадрата. Затем
мы продолжаем ktu на всё X следующим образом. Так как (X, А)
обладает свойством продолжения гомотопии, (X х /, А х /) тоже обладает
свойством продолжения гомотопии согласно замечанию после определения
свойства продолжения гомотопии. Поэтому, рассматривая ktu как
гомотопию отображения kt\A, мы можем продолжить кш: А —* X до кш: X —> X, где
kt0 = kr Если мы ограничим это кш на левую, правую и верхнюю стороны

30
Глава 0. Основные геометрические понятия
квадрата в координатной плоскости (t, u), мы получим гомотопию glfc^t
относительно А.
3. Так как g1 s*g, мы имеем /gi —/g^l, а потому /gi^l и шаги1и2
можно повторить, заменив пару /, g на пару g:, /. В результате получим
отображение /г: X —> У, для которого /г|А = 1 и /1g1 ^ 1 относительно Л.
Следовательно, /г c*fl(glf) = (/1g1)/^/rel Л. Из этого мы заключаем, что
/gi-/igi^lrelA. п
Задачи
1. Постройте явно деформационную ретракцию тора с одной
выколотой точкой на граф, состоящий из двух окружностей, пересекающихся
в одной точке, а именно из параллели и меридиана тора.
2. Постройте явно деформационную ретракцию Rn - {0} на S""1.
3. а) Покажите, что композиция гомотопических эквивалентностей
X —► Y и Y —> Z является гомотопической эквивалентностью X —* Z.
Выведите из этого, что гомотопическая эквивалентность — отношение
эквивалентности.
б) Покажите, что отношение гомотопности между отображениями
X —► У — отношение эквивалентности.
в) Покажите, что отображение, гомотопное гомотопической
эквивалентности, является гомотопической эквивалентностью.
4. Деформационная ретракция в слабом смысле пространства X на
подпространство А — это гомотопия /£: X —> X, для которой /0 = 1, fx (X) =
= А и /Г(А) = А для всех t. Покажите, что если X деформационно ре-
трагируется на А в таком слабом смысле, то включение A<-* X является
гомотопической эквивалентностью.
5. Покажите, что если пространство X деформационно ретрагируется
в точку х € X, то для любой окрестности U точки х в X существует
окрестность V с U точки х, для которой включение У*-+и гомотопно нулю.
6. а) Пусть X — подпространство в R2, состоящее из
горизонтального отрезка [0,1] х {0} и вертикальных отрезков
{г} х [0,1 - г] для всех рациональных г из отрезка [0,1].
Покажите, что X деформационно ретрагируется в любую точку
отрезка [0,1] х {0}, но не ретрагируется деформационно ни
в какую другую точку. (Ср. с предыдущей задачей.)
б) Пусть Y — подпространство в R2, состоящее из бесконечного
числа экземпляров описанного выше пространства X, которые расположены
так, как показано на рисунке ниже. Покажите, что Y стягиваемо, но не
является деформационным ретрактом никакой точки.

Глава 0. Основные геометрические понятия
31
в) Пусть Z — идущее зигзагом подпространство в У, гомеоморфное Ж,
которое выделено на рисунке жирной линией. Покажите, что
существует деформационная ретракция в слабом смысле (см. задачу 4)
пространства У на Z, но не существует настоящей деформационной ретракции.
7. Восполните детали в следующей конструкции (из [99])
компактного подпространства Ус13 с теми же свойствами, что и у пространства
У из задачи 6, т. е. У стягиваемо, но не ретрагируется деформационно
ни в какую точку. Для начала рассмотрим пространство X — объединение
бесконечной последовательности конусов над канторовым множеством,
концы которых соединены так, как показано на рисунке. Затем
рассмотрим одноточечную компактификацию
пространства X х R. Она вкладывается в R3 как
замкнутый диск с искривлёнными «плавниками»,
приклеенными вдоль дуг окружностей, и с
одноточечной компактификацией пространства X в
качестве поперечного среза. Теперь требуемое
пространство У получается из этого
подпространства в R3 наматыванием ещё одного конуса над
канторовым множеством вдоль границы диска.
8. Для л > 2 постройте п-комнатный аналог дома с двумя комнатами.
9. Покажите, что ретракт стягиваемого пространства стягиваем.
10. Покажите, что пространство X стягиваемо тогда и только тогда,
когда любое отображение /: X —> У для произвольного пространства У
гомотопно постоянному. Аналогично покажите, что X стягиваемо тогда
и только тогда, когда любое отображение /: У —> X гомотопно
постоянному.
11. Покажите, что /: X —> У — гомотопическая эквивалентность, если
существуют отображения g, h: У —► X, для которых fg са 1и/|/^1. Вообще
покажите, что / — гомотопическая эквивалентность, если fguhf —
гомотопические эквивалентности.
12. Покажите, что гомотопическая эквивалентность /: X —> У
индуцирует взаимно однозначное соответствие между множеством компонент
линейной связности пространства X и множеством компонент линейной
связности пространства У и что ограничение / на компоненту линейной
связности пространства X — гомотопическая эквивалентность с
соответствующей компонентой линейной связности пространства У. Докажите
также соответствующее утверждение для компонент связности вместо
компонент линейной связности. Выведите, что если компоненты связности
пространства X совпадают с компонентами линейной связности, то это
верно и для любого пространства У, гомотопически эквивалентного X,
13. Покажите, что любые две деформационные ретракции г(° и г,1
пространства X на подпространство А можно соединить непрерывным
семейством деформационных ретракций rfs, 0 ^ 5 ^ 1, пространства X на А,

32
Глава 0. Основные геометрические понятия
где под непрерывностью подразумевается, что отображение X х / х / —> X,
переводящее 0,5, t) в г*(х), непрерывно.
14. Для заданных натуральных чисел v, e и /, удовлетворяющих
соотношению v — е + f = 2, постройте клеточную структуру на S2, имеющую v
нульмерных клеток, е одномерных и / двумерных.
15. Перечислите все подкомплексы в S00 для той клеточной структуры
на S°°, для которой S" является n-мерным остовом.
16. Покажите, что пространство S00 стягиваемо.
17. а) Покажите, что цилиндр отображения для любого отображения
/: S1 —► S1 является CW-комплексом.
б) Постройте двумерный CW-комплекс, который содержит как кольцо
S1 х /, так и лист Мёбиуса в качестве деформационных ретрактов.
18. Покажите, что Sl *SJ =S3 и вообще Sm *S" = Sm+n+1.
19. Покажите-, что пространство, полученное из S2 приклеиванием п
двумерных клеток вдоль любого набора из п окружностей на S2,
гомотопически эквивалентно букету п +1 двумерных сфер.
20. Покажите, что подпространство X с R3,
образованное бутылкой Клейна, пересекающей себя по
окружности, как показано на рисунке, гомотопически
эквивалентно S1 VS1 VS2.
21. Покажите, что если X — связное хаусдорфово пространство,
представляющее собой объединение конечного числа двумерных сфер, любые
две из которых имеют не более одной общей точки, то X гомотопически
эквивалентно букету нескольких S1 и нескольких S2.
22. Пусть X — конечный граф, лежащий в полуплоскости Р с R3 и
пересекающий край полуплоскости Р по некоторому подмножеству своих
вершин. Опишите гомотопический тип «поверхности вращения»,
полученной при вращении X вокруг прямой —края полуплоскости Р.
23. Покажите, что С1У-комплекс стягиваем, если он является
объединением двух стягиваемых подкомплексов, пересечение которых тоже
стягиваемо.
24. Пусть X и У — CW-комплексы с нульмерными клетками х0 и у0.
Покажите, что факторпространства
Х*У/(Х*{у0}и{х0}*У) и S{XAY)/S{{x0}A{y0})
гомеоморфны, и выведите из этого, что X*Yc*S{X Л У).
25. Покажите, что если X — CW-комплекс с компонентами Ха, то
надстройка SX гомотопически эквивалентна У \/ SXa для некоторого графа У.
а
В случае, когда X — конечный граф, покажите, что надстройка SX
гомотопически эквивалентна букету окружностей и двумерных сфер.
26. Примените следствие 0.20, чтобы показать, что если (X, Л)
обладает свойством продолжения гомотопии, то X х / деформационно ре-
трагируется на X х {0}U A x /. Выведите из этого, что предложение 0.18

Глава 0. Основные геометрические понятия
33
выполняется в более общей ситуации — когда (Х^ А) обладает свойством
продолжения гомотопии.
27. Даны пара (X, А) и гомотопическая эквивалентность /: А—>В.
Покажите, что естественное отображение X —> В Uf X является
гомотопической эквивалентностью, если пара (X, А) обладает свойством
продолжения гомотопии. [Указание. Рассмотрите X U Mf и примените предыдущую
задачу.] Интересный случай возникает, когда / — отображение
факторизации, а значит, отображение X —> В Uf X — отображение факторизации,
которое переводит каждое множество /_1(Ь) в точку. Когда В состоит из
одной точки, это даёт другое доказательство предложения 0.17.
28. Покажите, что если (Хь А) обладает свойством продолжения
гомотопии, то им обладает и любая пара (Х0 Uf Хъ Х0), полученная
приклеиванием Х2 к пространству Х0 посредством отображения /: А—>Х0.
29. В случае, когда CW-комплекс Х получен из подкомплекса А
приклеиванием единственной клетки еп, опишите, как в точности выглядит
продолжение гомотопии ft: А —* У на пространство X, указанное в
доказательстве предложения 0.16. То есть для точки л:Ее" опишите путь ft[x)
для продолженного отображения ft.
30. Дано отображение /: X—> У. Докажите, что отображение g: У—>Х,
для которого gf ~ 1, существует тогда и только тогда, когда X является
ретрактом пространства Mf.
31. а) Предположим, что CW-комплекс Х является объединением
конечного числа подкомплексов X,, а подкомплекс Л с X является
объединением подкомплексов Д с X,-. Покажите, что если каждый комплекс Х{
деформационно ретрагируется на Ah а пересечение любого набора
комплексов X, деформационно ретрагируется на пересечение
соответствующего набора комплексов Ah то X деформационно ретрагируется на А. [По
индукции задача сводится к случаю, когда есть только два пространства
Х[ и два пространства А{. В этом частном случае покажите, что включения
А*-+Аи (Х2 ПХ2) «-♦X являются гомотопическими эквивалентностями.]
б) Используя цилиндры отображений, выведите более общий
результат, что отображение CW-комплексов /: X —> У является гомотопической
эквивалентностью, если являются гомотопическими эквивалентностями
его ограничения
x^n...nx^-^п...п^
для некоторых представлений комплексов X и У в виде конечных
объединений подкомплексов X,- с X и YJ с У, для которых /(X,-) с У|-.
Предположим, что / — клеточное отображение, переводящее n-мерный остов
в n-мерный остов для всех п. Это гарантирует, что цилиндр отображения
Mf является CW-комплексом. [Техника, описанная в §4.1, позволяет
показать, что предположение о клеточности можно опустить.]
32. Покажите, что n-мерный остов симплекса Ак имеет
гомотопический тип букета С?+1 сфер размерности п.
2 Зак. 3655

Глава 1
Алгебраическую топологию можно в первом приближении
определить как исследование методов создания алгебраических образов
топологических пространств. Чаще всего эти алгебраические образы — группы,
но встречаются и более сложные структуры, типа колец, модулей и алгебр.
Механизмы, которые создают эти образы (можно было бы сказать —
«фонари» алгебраической топологии), известны под названием функторов',
они отличаются тем, что они создают образы не только пространств, но
и отображений. Таким образом, непрерывные отображения между
пространствами превращаются в гомоморфизмы между их алгебраическими
образами, поэтому топологически связанные пространства имеют
алгебраически связанные образы.
С удобно сконструированными фонарями можно надеяться создать
достаточно детальные образы, по которым точно восстанавливаются
формы всех пространств, или по крайней мере обширных и важных классов
пространств. В этом одна из главных целей алгебраической топологии,
и она до удивительной степени хорошо достигнута. Конечно, фонари,
необходимые для этого, — весьма сложные механизмы. Но эти механизмы
тоже имеют свойственную им красоту.
В этой главе вводится один из самых простых и самых важных
функторов алгебраической топологии — фундаментальная группа, которая
создаёт алгебраический образ пространства при помощи петель в этом
пространстве, т.е. путей в пространстве, которые начинаются и
заканчиваются в одной и той же точке.
Идея фундаментальной группы
Чтобы получить представление, что же такое фундаментальная
группа, рассмотрим несколько предварительных примеров, прежде чем давать
формальные определения.
Рассмотрим две сцепленные окружности А и В в Ж\ как показано на
рисунке. Наш опыт с реальными зацеплениями и цепями подсказывает,
что, поскольку эти две окружности зацеплены, невозможно отделить В от

Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
35
.00.
А никаким непрерывным движением В типа
проталкивания, вытягивания или поворачивания. Мы
могли бы даже считать, что окружность В сделана
из резиновой или растягивающейся струны, и
разрешить любые её непрерывные деформации,
всегда оставаясь в дополнении к Л, и тогда всё ещё
будет невозможно оттащить В прочь от А. По крайней мере, именно это
подсказывает интуиция, и фундаментальная группа даёт способ сделать
эти интуитивные идеи математически строгими.
Вместо того чтобы зацепить окружность В с А только один раз, мы
могли бы зацепить её с А два или более раз, как на рисунках справа.
Кроме того, задав ориентацию на В, мы можем говорить об окружности В,
зацепленной с А положительное или
отрицательное число раз; скажем, положительное, когда В
проходит вперёд сквозь А, и отрицательное для
противоположного направления. Таким образом,
для каждого целого числа п, отличного от пуля,
мы имеем ориентированную окружность В„,
охватывающую п раз окружность А, где иод
«окружностью» мы подразумеваем кривую, гомеоморф-
ную окружности. Для удобства будем считать, что
окружность В0 вообще не зацеплена с А.
Вспомним теперь, что целые числа не только измеряют величины, но
и образуют группу относительно сложения. Можно ли интерпретировать
эту групповую операцию геометрически — как своего рода операцию
сложения на ориентируемых окружностях В, зацепленных с А?
Ориентируемую окружность В можно представлять себе как траекторию движения
точки, начинающуюся и заканчивающуюся в одной и той же точке х0,
в качестве которой мы можем выбрать любую точку на окружности. Такой
путь, начинающийся и заканчивающийся в одной и той же точке,
называют петлёй. Две различные петли В и В', которые начинаются и
заканчиваются в одной и той же точке х0> можно «сложить» и образовать новую
петлю В 4- В, которая проходит сначала вдоль В, затем вдоль В'. Например,
Ш

36
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
если Bj и Bj —петли, каждая из которых зацеплена с А один раз в
положительном направлении, то их сумма В^+В'^ деформируется в петлю В2,
зацепленную с А дважды. Точно так же Вх +В_Х можно деформировать
в петлю В0, не зацепленную с Л. И вообще мы видим, что петлю Вт +ВП
можно деформировать в петлю Вт+п для любых целых чисел тип.
Заметьте, что при образовании сумм петель у нас возникают петли,
которые проходят через отмеченную точку не один раз. В этом одна из
причин, почему петли определены просто как непрерывные пути,
которые могут проходить через одну и ту же точку несколько раз. Поэтому
если представлять себе петлю как нечто изготовленное из растяжимой
струны, то эта струна должна обладать волшебным свойством проходить
через себя невредимой. Однако мы должны быть уверены, что наши петли
никогда не пересекают неподвижную окружность А, потому что иначе мы
всегда могли бы отцепить их от Л.
Рассмотрим теперь несколько более сложный вид зацепления,
включающий три окружности, которые образуют конфигурацию, известную
под названием кольца Борромео, изображённую на рисунке. Интересное
свойство этой конфигурации заключается в том, что если убрать любую
из этих трёх окружностей, то две оставшиеся будут не зацеплены.
Аналогично предыдущему будем рассматривать одну из окружностей,
скажем С, как петлю в дополнении к двум другим окружностям Л и В. Нас
интересует, можно ли непрерывно деформировать окружность С, чтобы
полностью отцепить её от Л и от В, всегда оставаясь в дополнении к Л и В
в процессе деформации. Мы можем сделать новый рисунок, потащив
отдельно Л и В в разные стороны; окружность С при этом тоже будет как-то
деформироваться. В результате С обмотается вперёд и назад между Л и В,
как показано на правом рисунке верху. При таком новом расположении,
если мы выходим из точки окружности С, выделенной на рисунке, и
совершаем обход в направлении, заданном стрелкой, то тогда мы проходим
последовательно: 1) вперёд сквозь А, 2) вперёд сквозь В, 3) назад сквозь А,
4) назад сквозь В. Если мы измеряем зацепленность С с Л и В парой целых
чисел, то «вперёд» и «назад» взаимно уничтожаются, поэтому оба целых
числа — нули. Это отражает тот факт, что С не зацеплено ни с Л, ни с В по
отдельности.

Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
37
Чтобы получить более точную меру того, как окружность С зацеплена
с Л и В в совокупности, мы рассмотрим четыре составные части 1)—4)
окружности С как упорядоченную последовательность. Учитывая
направления, в которых эти дуги кривой С проходят сквозь А и В, мы можем
деформировать С в сумму а + Ъ -а — Ъ четырёх петель, как показано на
рисунке. Мы записываем третью и четвёртую петли как первые две с
противоположным знаком, поскольку их можно продеформировать в две первые,
^о с противоположными ориентациями, а как мы видели в предыдущем
примере, сумма двух противоположно ориентированных петель
деформируется в тривиальную петлю, не зацепленную ни с чем. Мы хотели бы
рассмотреть выражение a+b—a — b как лежащее в неабелевой группе, чтобы
оно не получилось автоматически нулевым. Переходя к более привычным
^мультипликативным обозначениям для неабелевых групп, это выражение
можно записать как аЪа~1Ъ~1, т.е. как коммутатор петель а и Ь.
Чтобы лучше понять этот пример, изменим немного эту
конфигурацию, так чтобы окружности А и В были теперь зацеплены, как показано на
рисунке. Окружность С в таком случае можно продеформировать в
положение, изображённое справа, и тогда она снова представляет композицию
петель аЪсГ1Ъ~1у где а и Ъ — петли, охватывающие А и В. Но на левой
части рисунка показано, что в действительности С можно полностью
отцепить от А и В. Таким образом, в этом случае произведение аЬа~1Ь~х
должно быть тривиальным.
Фундаментальная группа пространства X будет определена так, что её
элементы — это петли в X, которые начинаются и заканчиваются в
фиксированной отмеченной точке х0 £ X, но две такие петли считаются
задающими один и тот же элемент фундаментальной группы, если одна
оетля может быть непрерывно продеформирована в другую в пределах
пространства X. (Все петли, которые встречаются в процессе деформации,

38
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
должны тоже начинаться и заканчиваться в х0.) В первом из описанных
выше примеров пространство X — это дополнение к окружности Л, а в
других двух примерах X — это дополнение к двум окружностям Л и В. Во
втором параграфе этой главы мы покажем следующее.
• Фундаментальная группа дополнения окружности А в первом
примере является бесконечной циклической с петлёй В в качестве
образующей. Это означает, что каждую петлю в дополнении А можно
продеформировать в одну из петель В,р причём Вп нельзя продефор-
мировать в Вт, если пфт.
• Фундаментальная группа дополнения двух незацепленных
окружностей Л и В во втором примере является неабелевой свободной
группой с двумя образующими, представленными петлями а и Ь,
охватывающими окружности Л и В. В частности, коммутатор aba~lb~l
является нетривиальным элементом этой группы.
• Фундаментальная группа дополнения двух зацепленных окружностей
Л и В в третьем примере является свободной абелевой группой с
двумя образующими, представленными петлями а и Ь, охватывающими
окружности Л и В.
Как результат этих вычислений, мы получаем два способа выяснить,
когда пара окружностей Л и В зацеплена. Прямой подход даёт первый
пример, где одна окружность рассматривается как элемент
фундаментальной группы дополнения другой окружности. Альтернативный и несколько
более тонкий метод дают второй и третий примеры, где пара зацепленных
окружностей отличается от пары незацепленных окружностей
фундаментальной группой их дополнения, которая является абелевой в одном
случае и неабелевой в другом. Этот метод является намного более общим:
часто можно убедиться, что два пространства не гомеоморфны, показав,
что их фундаментальные группы не изоморфны, так как из определения
фундаментальной группы легко следует, что фундаментальные группы го-
меоморфных пространств изоморфны.
§ 1.1. Основные конструкции
Этот параграф начинается с основных определений и конструкций,
и затем мы быстро переходим к важному вычислению фундаментальной
группы окружности, опираясь на понятия, которые более подробно
обсуждаются в §1.3. Более систематические методы вычислений
приведены в § 1.2. Их достаточно, например, чтобы показать, что каждая группа
может быть представлена как фундаментальная группа некоторого
пространства. Эта идея используется в дополнении в конце главы, в котором
приведены некоторые примеры того, как алгебраические факты о группах
можно получить топологически. Там, в частности, доказан тот факт, что
каждая подгруппа свободной группы является свободной.

§1.1. Основные конструкции
39
Пути и гомотопии
Фундаментальная группа определяется в терминах петель и
деформаций петель. Иногда бывает полезно рассмотреть более общие понятия
путей и их деформаций, поэтому мы начнём с них.
Путём в пространстве X называют непрерывное отображение /: / —>Х,
где / — единичный отрезок [0,1]. Идея непрерывной деформации пути,
оставляющей неподвижными его концы, становится точной благодаря
следующему определению. Гомотопия путей в X — это семейство
отображений ft: / —> X, 0 ^ t ^ 1, обладающих следующими свойствами:
1) концы ft (0) = xQ и /Д1) = х} не зависят от t;
2) отображение F: / х / -»Х, заданное формулой F(s,0 = /,(s),
непрерывно.
Если два пути /0 и / связаны такой гомотопией /г, то говорят, что они
являются гомотопными. Гомотопность путей обозначается так: /0^/i-
Пример 1.1 (линейные гомотопии). Любые два пути /0 и /х в Еп
с общими концами х0 и хг гомотопны посредством гомотопии ft(s) =
= (1 — 0/0(5) +1/](5). При этой гомотопии каждая точка /0(s) движется
к точке / (s) по прямой с постоянной скоростью. Дело в том, что прямая,
проходящая через точки /0(s) и f (s), линейно параметризуется так:
/0(*) + t[/i(s)-/(,(*)] = (1-0/о(5)+ ГЛ(5),
причём отрезок, заключённый между точками /0(s) /i(s), соответствует
значениям t в интервале от 0 до 1, Если / (s) оказывается равным /0(s), то
этот отрезок вырождается в точку и / (s) =/0(5) для всех t. Это происходит,
в частности, для 5 = 0 и 5 = 1, таким образом, / для всех t является путём от
х0 до хг. Непрерывность гомотопии / как отображения / х / —► R" следует
из непрерывности /0 и /ь так как алгебраические операции сложения
векторов и умножения на скаляр в формуле для / непрерывны.
Эта конструкция показывает также, что для выпуклого подмножества
X с К" все пути в X с данными концами х0 и х} гомотопны, так как если
Л и Л лежат в X, то гомотопия / тоже лежит в X.
Прежде чем двигаться дальше, мы должны проверить следующее
техническое свойство.
Предложение 1.2. Отношение гомотопности для путей с
неподвижными концами в любом топологическом пространстве является
отношением эквивалентности.
Класс путей, гомотопных пути /, мы будем обозначать [/] и называть
Юмотопическим классом пути /.

40
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
Доказательство. Рефлексивность очевидна, поскольку fc*f
посредством постоянной гомотопии /f =/. Симметричность тоже легко
доказывается, поскольку если /0 ^ /г посредством /t, то /i си /0 посредством
обратной гомотопии /i__t. Транзитивность доказывается следующим образом.
Если /о с* fi посредством ft и /г = g0, причём g0 ^ g! ^
посредством gt, то /о —gi посредством гомотопии /it,
которая равна f2t для 0 ^ t ^ ^ и #2t-i Д-71* 2 ^ r ^ 1#
1
Эти два определения согласованы при t = г, так как
по предположению /i = g0. Непрерывность
отображения Н(5, 0 = hf (5) следует из элементарного факта, который часто будет
использоваться без явного упоминания, а именно: функция, определённая
на объединении двух замкнутых множеств, непрерывна, если непрерывно
её ограничение на каждое из этих множеств. В рассматриваемом случае
Н(5, 0 =F(5, 20 приО^Г^! и
Я(5,0 = G(s,2t-l) при | ^ t ^ 1,
где F и G — отображения I x I -* X, относящиеся к гомотопиям ft и gf.
Так как отображение Я непрерывно на J х 0, « ина/х - 1 , оно
непрерывно на J x J. □
Если даны два пути /, g: I -* Ху для которых /(1) =g(0), то можно
определить композицию или произведение путей / • g как путь, который
проходит сначала вдоль /, а затем вдоль g, и задан формулой
7(25), 0^5^1/2;
g(2s-l), 1/2^5^1.
Таким образом, / и g проходятся с удвоенной скоростью, чтобы путь
/ • g оказался пройденным за единицу времени. Операция произведения
уважает гомотопические классы, поскольку если
/о — /i и £о — £1 посредством гомотопии /г и gf
и при этом /0(1) =go(0), чтобы путь /0 -g0 был
определён, то тогда путь ft • gt определён, и
семейство таких путей задаёт гомотопию /0 • g0 си
Ограничимся теперь путями /: J -»Х, у которых совпадают начало
и конец: /(0) =/(1) = х0еХ. Такие пути называют петлями, а их общее
начало и конец х0 называют отмеченной точкой. Множество всех
классов гомотопии [/] петель f: I -* X в отмеченной точке х0 обозначают
(Предложение 1.3. Множество пг(ХуХ0) является группой
относительно произведения [/] [g] = [/ • g].
Эту группу называют фундаментальной группой пространства X с
отмеченной точкой х0. Мы увидим в главе 4, что группа п1 (X, х0) является
/■g(5) =

§ 1.1. Основные конструкции
41
первой в последовательности групп тгп(Х, х0)у называемых
гомотопическими группами; они определяются совершенно аналогично, только
вместо отрезка / берётся п-мерный куб /п.
Доказательство. Ограничившись рассмотрением петель с
фиксированной отмеченной точкой х0 е X, мы получаем, что произведение / • g
любых двух таких петель определено. Мы уже отметили, что
гомотопический класс пути / • g зависит только от гомотопических классов путей /
и g; таким образом, произведение [/] [g] = [/ • g] корректно определено.
Остаётся проверить три аксиомы группы.
В качестве предварительного шага определим перепараметризацию
пути / как композицию ftp, где у: /—>/ —любое непрерывное
отображение, для которого (^(0) = 0 и ц>{\) = 1. Перепараметризация пути
сохраняет его гомотопический класс, так как fip^f посредством гомотопии /y?t,
где y?t(s) = (1 — Oy>(s) + te, так что щ — ¥> и ¥>i (5) =5- Заметим, что точка
(1 — t)ip(s) + ts расположена между (^(s) и s, а значит, принадлежит /;
поэтому композиция fy>t определена.
Если даны пути /, g, h, у которых /(1) = g(0) и g(l) = Л(0), то оба
произведения (/ • g) • h и / • (g • h) определены, причём / • (g • h), —
перепараметризация пути (f -g)-h кусочно линейной функцией
у>, график которой изображён на рисунке справа.
Следовательно, (/ • g) • h с* / ■ (g • h). Ограничивая рассмотрение
петлями в отмеченной точке х0у мы получаем, что произведение
в пг(Х, х0), ассоциативно.
Для данного пути /: / —> X пусть с —постоянный путь в точке /(1),
определённый так: c(s) = /(1) для всехsе/. Тогда f -с —
перепараметризация пути / посредством функции у>, график которой изображён на первом
рисунке справа; таким образом, f-ccaf. Аналогично с •/=*/, где теперь
с —постоянный путь в точке /(0) (теперь мы
применяем функцию перепараметризации на втором
рисунке). Если в качестве / взять петлю, то мы
получим, что класс гомотопии постоянного пути
в х0 — двусторонняя единица в т^ (X,х0).
Для пути /, идущего из х0 в хг, обратный путь /, идущий из хг назад
в х0, задан формулой /(s) = /(1 — s). Чтобы убедиться, что путь /•/
гомотопен постоянному пути, мы строим гомотопию hf — ft • gt, где /f — путь,
который равен / на отрезке [0,1 -1] и является постоянным
отображением в точку /(1 - О на отрезке [1 -1,1], a gt — обратный к /, путь. Можно
также описать ht с помощью соответствующего отображения Н: / х / —► X,
используя разбиение квадрата / х /, изображённое на рисунке.
На нижней стороне квадрата Я задаётся как / • /; ниже «V»
мы считаем H(s, О независимым от t, в то время как выше «V»
мы считаем H(s, t) независимым от s. Возвращаясь к первому
описанию гомотопии hf, мы видим, что, так как /0 = / и /т —

42
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
постоянный путь с в точке х0, ft, — гомотопия, связывающая / • / и с • с = с.
Заменяя / на /, получаем, что / • / с* с, где с — постоянный путь в точке ^.
Взяв в качестве / петлю в отмеченной точке х0, получаем, что [/]
—двусторонний обратный элемент для [/] в Я] (X, х0). □
Пример 1.4. Для выпуклого множества ХвМ"с отмеченной точкой
х0 е X группа п} (X, х0) = 0 тривиальна, так как любые две петли /0 и fl9
которые начинаются и заканчиваются в х0, гомотопны посредством
линейной гомотопии
/,(s) = (l-0/o(s) + t/iW,
как описано в примере 1.1.
Не столь легко показать, что пространство имеет нетривиальную
фундаментальную группу, так как для этого нужно каким-то образом
проверить, что не существует гомотопии между некоторыми петлями.
Вскоре мы займёмся самым простым примером, вычислив фундаментальную
группу окружности.
Естественно поинтересоваться зависимостью группы я^Х, х0) от
выбора отмеченной точки х0. Поскольку пг (X, х0) вовлекает только
компоненту линейной связности пространства X, содержащую точку х0, мы
можем надеяться найти связь между пх (X, х0) и пг (X, xY) для двух
отмеченных точек х0 и хь только если х0 и хх лежат в одной и той же компоненте
линейной связности пространства X. Поэтому пусть ft: / —► X — путь из х0
в хъ a ft(s) = ft(l — s) — обратный путь из хг назад в х0. Тогда мы можем
сопоставить каждой петле / в точке Xj петлю
ft • / • ft в точке х0. Строго говоря, мы должны
выбрать порядок построения произведения ft -/-ft, х^ х\ ^ У
т. е. взять либо путь (ft • /) • ft, либо нугь ft • (/ * ft),
но эти два пути гомотопны, а нас здесь интересуют только
гомотопические классы. По-другому, чтобы избежать двусмысленности, мы могли бы
вообще определить n-кратное произведение /i -...■/„, в котором путь f(
Г/-1 П
проходится за время из отрезка , - .
(Предложение 1.5. Отображение /3h: яг(Х, х}) —> п} (X, х0), заданное
формулой /3}1 [/] = [ft •/ • ft], является изоморфизмом.
Доказательство. Если ft — гомотопия петель с началом и концом
в точке хъ то ft -ft • ft— гомотопия петель с началом и концом в точке х0,
поэтому отображение /3h определено корректно. Далее, /3/, —
гомоморфизм, поскольку
PhU-g] = [h'f-g-h] = [h.f-h-h-g-h]=ph[f]ph[g].
Наконец, ph — изоморфизм, а ^ — обратное отображение, так как
РнРкШ = PhVi'f'h] = [h-h-f-h-h] = [/]
и аналогично pfph [/] = [/]. □

§ 1.1. Основные конструкции 43
Таким образом, если X линейно связно, то группа тг^Х, х0) с
точностью до изоморфизма не зависит от выбора отмеченной точки х0. В этом
случае обозначение пг(Хух0) часто сокращают до тгДХ), а можно даже
пойти дальше и написать просто п^Х.
Вообще пространство называют односвязным, если оно линейно
связно и имеет тривиальную фундаментальную группу. Следующий результат
объясняет такое название.
Предложение 1.6. Пространство X односвязно тогда и только, когда
есть ровно один гомотопический класс путей, соединяющих любые две
точки в X.
Доказательство. Линейная связность означает, что существует путь,
соединяющий любую данную пару точек. Таким образом, нас интересует
только единственность соединяющих путей. Предположим, что пг(Х) =0.
Если / и g — два пути из х0 в хг, то / а* / ■ g • g с* g, поскольку каждая из
петель g -g и / -g гомотопна постоянной петле; в последнем случае
используется предположение пх(Х, х0) = 0. Наоборот, если есть только один
гомотопический класс путей, соединяющих отмеченную точку х0 с самой
собой, то все петли в х0 гомотопны постоянной петле и пл {X, х0) = 0. □
Фундаментальная группа окружности
Нашей первой настоящей теоремой будет вычисление группы n^S1) ^
^ Z. Помимо его самостоятельного интереса у этого важного результата
есть несколько существенных непосредственных применений, и он будет
исходной точкой для многих других вычислений в следующем
параграфе. Поэтому не должно вызывать удивления, что для его доказательства
требуется некоторая работа. Чтобы максимизировать отдачу этой работы,
доказательство написано так, чтоб его главные шаги были применимы
в более общей ситуации накрывающих пространств, которые являются
главной темой в § 1.3.
I Теорема 1.7. Отображение Ф: Z —> я} (S1), переводящее целое число п
I в гомотопический класс петли
I con(s) = (cos2rcns, sin2nns)
I с началом и концом в точке (1, 0), является изоморфизмом.
Доказательство. Основная идея заключается в том,
чтобы сравнить пути в S1 с путями в US при помощи
отображения р: Е —> S1, заданного формулой p(s) = (cos2rcs, sin2ns).
Это отображение можно представить геометрически, вложив
RbR3 как спираль, параметризованную как
s —► (cos2rcs, sin2rcs,s),
и тогда р — ограничение на спираль проекции пространства
К3 на М2, заданной формулой (х, у, z) —► (х,у), как показа-

44
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
но на рисунке. Заметьте, что петля соп является композицией раЗ„, где
соп: 7 —> R — путь с5п (s) = ns, начинающийся в точке 0 и заканчивающийся
в точке п, который наматывается на спираль \п\ раз вверх, если п > О,
и вниз, если п < 0. Соотношение соп =ро>„ выражают словами, говоря, что
путь соп является поднятием пути соп.
Определение отображения Ф можно переформулировать, положив
Ф(п) равным гомотопическому классу петли р/, где / — любой путь в R
из точки 0 в точку п. Такой путь / гомотопен пути <5п_посредством
линейной гомотопии (1 — t)f + tconi следовательно, путь р/ гомотопен пути
рсоп = соп, и новое определение Ф(п) согласуется со старым.
Чтобы проверить, что Ф является гомоморфизмом, рассмотрим
перенос тш: R —> Е, заданный формулой т,п(х) = х + т. Тогда сот • (тта>п) —
путь в!из точки 0 в точку т + п, поэтому Ф(т + п) — гомотопический
класс петли в S1, который является образом этого пути при
отображении р. Этот образ равен просто сот • соп, следовательно, Ф(т + п) =
= Ф(т) -Ф(п).
При доказательстве того, что Ф является изоморфизмом, мы
применим два следующих факта.
а) Для каждого пути /: /—►S1 с началом в точке xQsSlji для каждой
точки х0ер~1(х0) существует единственное поднятие /: 7—>Е,
начинающееся в точке Зс0.
б) Для каждой гомотопии /t: 7 —> S1 путей, начинающихся в точке х0,
и для каждой точки 3?0 е р""1(х,0) существует единственное поднятие
гомотопии /t: / —> R путей, начинающихся в точке х0.
Прежде чем доказывать эти факты, покажем, как из них
выводится теорема. Чтобы проверить, что отображение Ф сюръективно, возьмём
петлю /: 7—>Sl в отмеченной точке (1,0), представляющую данный
элемент группы тг1(51). Согласно а) существует поднятие /, начинающееся
в точке 0. Этот путь / заканчивается в некотором целом числе п, так
как р/(1) = /(1) = (1, 0) и р-1 (1,0) = Z с R. По переформулированному
определению отображения Ф мы тогда получаем Ф(п) = [р/] = [/].
Следовательно, отображение Ф сюръективно.
Чтобы доказать, что отображение Ф инъективно, предположим, что
Ф(т) = Ф(п); это означает, что сот ^ соп. Пусть ft — гомотопия,
связывающая ojjvl= /0 и соп =/1в Согласно б) эта гомотопия поднимается до
гомотопии /t путей, начинающихся в точке 0. Единственность в утверждении
а) влечёт, что /0 = сот и fx — соп. Так как /t —гомотопия путей, конечная
точка /t(l) не зависит от t. При t = 0 эта конечная точка равна т, а для
t — 1 она равна п, таким образом, т = п.
Остаётся доказать факты а) и б). Оба эти утверждения могут быть
выведены из следующего более общего утверждения. _
в) Если даны отображение F: Y х 7 —> S1 и отображение F: У х {0} —> R,
которое является поднятием отображения F\Y x {0}, то существует

§ 1.1. Основные конструкции
45
единственное отображение F: У х / —► R, которое является поднятием
отображения F и имеет заданное ограничение F на У х {0}.
Утверждение а) — это частный случай, когда У является точкой, а
утверждение б) получается, если применить утверждение в) с У = /
следующим образом. Гомотопия ft в б) даёт отображение F: / х / —► S1, если
положить, как обычно, F(s, t) = /t(s). Единственное поднятие F: I х {0} —> R
получается с помощью утверждения а). Тогда утверждение в) даёт
единственное поднятие F: / х / —► R. Ограничения F|{0} x / и F|{1} x / — это
пути, которые являются поднятиями постоянных путей, следовательно,
они тоже должны быть постоянными путями согласно единственности
в утверждении а). Поэтому ft (s) = F(s, t) — гомотопия путей, и /t —
поднятие гомотопии /t, так как pF = F.
Мы докажем утверждение в), используя только одно специальное
свойство проекции р: R —* S1, а именно следующее.
(*) Существует такое открытое покрытие {Ua} окружности S1, что для
каждого а множество p~l (Ua) можно представить в виде объединения
непересекающихся открытых множеств, каждое из которых р
отображает гомеоморфно на Ua.
Например, можем взять покрытие {Ua}y состоящее из любых двух
открытых дуг в S1, объединение которых равно S1.
Чтобы доказать утверждение в), мы сначала построим поднятие
F: Nx —>1R, где N —некоторая окрестность в У данной точки y0€Y. Так
как отображение F непрерывно, для каждый точки (у0, t) € У х / можно
выбрать произведение окрестностей Nt x (a,, bt) так, что F(Nt x (at, bt)) cUa
для некоторого а. Ввиду компактности отрезка {у0} х / конечное число
таких произведений Nt x (at, bt) покрывает {у0} х /. Из этого следует, что
мы можем выбрать одну окрестность N точки у0 и выбрать разбиение
0 = t0 < tx < ... < tm = 1 отрезка / так, чтобы для каждого i множество
^(ЛГ х [th tl+1]) содержалось в некотором множестве Ua>^оторое мы
обозначаем [/,-. Предположим по индукции, что поднятие F уже построено
на N х [0, tj. По условию F(N x [th t,-+1]) с [/,, поэтому согласно
свойству (*) существует открытое множество U{ с R, которое проецируется
гомеоморфно на U{ отображением р и содержит точку F(y0, t(). Заменив
AT на меньшую^окрестность точки у0, мы можем считать, что F(N x {t{})
содержится в Uiy а именно, нужно заменить N х {t,} на его пересечение
с №\Nxitty)~l(Ui). Теперь мы можем определить F на N х [t,-,tl+1] как
композицию F с гомеоморфизмом р""1: [/, -> L/,. Повторив конечное число
раз шаг индукции, мы получим поднятие F: N х / —► R для некоторой
окрестности N точки у0.
Теперь мы докажем единственность в утверждении в) для
частного случая, когда У является точкой. В этом случае мы можем опустить
^ в наших обозначениях. Предположим, что F и F'— два поднятия пу-

46
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
ти F: /—>S\ для которых F(0) =F/(0). Как и раньше, выберем
разбиение 0 = t0 < tx < ... < tm = 1 отрезка / так, чтобы для каждого i
множество F([t,,t{+1]) содержалось в некотором множестве £/,. Предположим
по индукции, что F = F' на [0,t,]. Так как отрезок [t,, tf+1] связен,
множество F([tp t,-+1]) тоже связно, поэтому оно должно лежать в одном из
непересекающихся открытых множеств Uit проецирующихся гомеоморф-
но на U( согласно свойству (*). По той же причине F'([th ti+l]) лежит
в одном множестве Ur Это множество совпадает с тем, которое содержит
F([tj, £,-+1]), так как F\t{) = F(tf). Поскольку отображение р инъективно на
и( и pF^pF', получаем, что F = F' на [th t,-+1], и шаг индукции доказан.
Последний шаг в доказательстве утверждения в) состоит в том, чтобы
заметить, что, так как отображения F, построенные выше на множествах
вида N х /, являются единственными при ограничениях на каждый
отрезок {у} х /, они должны быть согласованными всегда, когда два таких
множества N х / перекрываются. Таким образом, мы получаем корректно
определённое поднятие F на всём множестве Ух/. Это отображение F
непрерывно, так как оно непрерывно на каждом множестве N х /, и оно
единственно, так как является единственным на каждом отрезке {у} х I, □
Теперь мы обратимся к некоторым применениям этой теоремы. Хотя
обычно алгебраическая топология — это «алгебра, обслуживающая
топологию», их роли полностью меняются в следующем доказательстве
основной теоремы алгебры.
Теорема 1.8. У каждого непостоянного многочлена с
коэффициентами в С есть корень в С.
Доказательство. Можно считать, что многочлен имеет вид p(z) =
= zn + a1z;?_1 + ... +an. Если p(z) не имеет корней в С, то для каждого
вещественного числа г ^ 0 формула
, Р(ге2™)/р(г)
1Л5) |р(ге2^)/р(г)|
задаёт петлю на единичной окружности S1 с С с началом и концом в
точке 1. При изменении г получаем семейство отображений /г —гомотопию
петель с началом и концом в точке 1. Петля /0 тривиальна, поэтому класс
[/r] е я1(51) нулевой для всех г. Теперь выберем достаточно большое
значение числа г, а именно, больше чем |aa| -h... -h |an| и больше чем 1. Тогда
при \z\ = r получаем
|««| = rn = r.rn-1>(|a1| + ... + K|)|zn"1|^|a1^-1 + ... + an|.
Из неравенства |z"|> \а^п~1 + ...+an| следует, что многочлен pt(z) = zn +
+ t(aiZn~l + ...+a„) не имеет корней на окружности |z| = r, если O^t^l.
Заменив р на pt в формуле для /г, указанной выше, и разрешив t
изменяться от 1 до 0, мы получим гомотопию петли /г в петлю соп (s) = e2mns.
Согласно теореме 1.7 петля а>п представляет n-ю степень образующей
бесконечной циклической группы я1(51). Так как мы показали, что [соп] = [fr] =0,

§ 1.1. Основные конструкции
47
мы получаем, что п = 0. Таким образом, единственные многочлены без
корней в С — это константы. □
Наше следующее приложение —теорема Брауэра о неподвижной
точке в размерности 2.
Теорема 1.9. Любое непрерывное отображение h: D2 —> D2 имеет
неподвижную точку, т. е. точку х, для которой h(x) =x.
Здесь мы используем стандартное обозначение Dn для замкнутого
единичного шара (диска) в Rn, состоящего из векторов х длины \х\ ^ 1.
Таким образом, граница шара Dn —единичная сфера Sn~\
Доказательство. Предположим, что Ъ.(х)фх для всех x^D2. Тогда
можно определить отображение г: D2^>Sly взяв в качестве г{х) точку
окружности S1, в которой луч в R2, идущий из точки
h(x) в точку х, выходит за пределы D2.
Непрерывность отображения г очевидна, так как небольшое
изменение точки х приводит к небольшому
изменению точки h(x), а значит, и к небольшому изменению
луча, проходящего через эти две точки. Решающее
свойство отображения г, помимо непрерывности,
заключается в том, что г(х) = х для xeS1. Таким образом, г —ретракция
диска D2 на S1. Покажем, что никакой такой ретракции не может быть.
Пусть /0 — произвольная петля в S1. В D2 есть гомотопия петли /0
в постоянную петлю, например линейная гомотопия
/t(s) = (l-r)/o(s) + tx0,
где х0 — начало и конец петли /0. Так как ретракция г тождественна на S1,
композиция rft является гомотопией в S1 петли rf0 = f0 в постоянную
петлю в точке х0. Но это противоречит тому, что группа n}(Sl) отлична от
нуля. □
Эта теорема была доказана Брауэром около 1910 г., что явилось одним
из первых триумфов алгебраической топологии. Брауэр фактически
доказал соответствующий результат для шара D", и мы получим это обобщение
в следствии 2.15, используя группы гомологии вместо группы пл. Можно
было бы также применить высшую гомотопическую группу пп. Исходное
доказательство Брауэра не использовало ни группы гомологии, ни
гомотопические группы, которые в то время ещё не были изобретены. Вместо
этого оно использовало понятие степени отображения Sn —> Sn, которое
мы определим в § 2.2 с помощью гомологии, а сам Брауэр определял
непосредственно в более геометрических терминах.
Все эти доказательства используют рассуждение от противного, а
потому они показывают только существование неподвижных точек, не давая
никакого способа найти их для заданного явно отображения. Наше
доказательство основной теоремы алгебры похоже на них в этом отношении.
Известны другие доказательства теоремы Брауэра о неподвижной точке,

48
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
которые несколько более конструктивны, например изящное и весьма
элементарное доказательство Шпернера (1928), которое очень хорошо
объяснено в [5].
Метод, использованный для вычисления группы n1{Sl)t можно
применить для доказательства теоремы Борсука—Улама в размерности 2.
I Теорема 1.10. Для любого непрерывного отображения /: S2 —>R2
существует пара диаметрально противоположных точек хи-х сферы S2,
для которых /(*) =/(-*).
Может оказаться, что есть только одна такая пара диаметрально
противоположных точек х и —х, например, если / — ортогональная проекция
стандартной сферы S2 CIR3 на плоскость.
Теорема Борсука—Улама выполняется также для отображений S" —> R",
как мы показываем в следствии 2.В.7. Доказательство для л = 1 получается
легко, так как разность /(*) - /(-*) изменяет знак, когда х проходит
половину пути вокруг окружности, а значит, эта разница должна быть
нулём для некоторого х. Для п ^ 2 теорема, конечно, уже менее очевидна.
Столь ли очевидно, например, что в любой момент времени должна
найтись пара диаметрально противоположных точек на поверхности земли,
в которых одинаковы температуры и одинаковы атмосферные давления?
Теорема говорит, в частности, что не существует взаимно
однозначного непрерывного отображения S2 в Ш2 и, таким образом, сфера S2 не
гомеоморфна подпространству в R2. Это интуитивно очевидный факт,
который нелегко доказать непосредственно.
Доказательство. Если утверждение теоремы ложно для отображения
/: S2 —> R2, то мы можем задать отображение g: S2^>Sl формулой
gW = (/W-/(-x))/|/U)-/(-x)|.
Определим петлю rj, обходящую вокруг экватора сферы S2 с Е3,
формулой г\(s) = (cos2tts, sin27rs, 0), и пусть h: I —> S1 —составная петля grj.
Так как g(-x) = -g(x), мы получаем соотношение h(s 4 1/2) = -h(s)
для всех s из отрезка [0,1/2]. Как мы показали при вычислении
группы KitS1), петлю h можно поднять и получить путь h: I —>R. Из
соотношения h(s 41/2) = -h(s) следует, что h(s 41/2) = h(s) 4 г Аля некоторого
нечётного целого числа q, которое могло бы зависеть от sG [0,1/2].
Но в действительности q не зависит от s, так как, решая уравнение
h(s 41/2) = h(s) +q/2 относительно qy мы видим, что q непрерывно
зависит от s € [0,1/2], а потому величина q должна быть постоянной, так как
значения этой величины ограничиваются целыми числами. В частности,
мы имеем
ft(l) = £(£)+§ = МО)+q.
Это означает, что петля h представляет q-ю степень образующей
группы ttjCS1). Так как число q нечётно, мы получаем, что петля h не го-

§ 1.1. Основные конструкции
49
мотопна нулю. Но ft-— это композиция gt)\ I —>S2 —>S\ причём петля rj,
очевидно, гомотопна нулю в S2, таким образом, петля gr] гомотопна нулю
в S1 (поскольку мы можем рассмотреть композицию стягивания петли г)
и отображения g). Получено противоречие. □
I Следствие 1.11. Если сфера S2 представлена как Объединение трёх
I замкнутых множеств Аъ А2 и А3, то по крайней мере одно из этих мно-
I жеств должно содержать пару диаметрально противоположных точек
Доказательство. Пусть dt: S2 —> Ж измеряет расстояние до А,-, т. е.
di(x) = infy6A.|x-y|.
Эта функция непрерывна, значит, мы можем применить теорему Борсу-
ка—Улама к отображению S2 —>R2, заданному формулой х—► (dj (х), d2M),
и получить пару диаметрально противоположных точек х и —х, для
которых dx(x) = dl(-x) и d2(x) = d2(-x). Если хотя бы одно из этих двух
расстояний равно нулю, то обе точки х и —х лежат в множестве Аг или
в множестве А2у так как эти множества замкнутые. С другой стороны, если
оба расстояния от х и —х до Ах и А2 строго положительны, то х и —х не
лежат ни в Аг, ни в А2, а потому они должны лежать в А3. П
Чтобы убедиться, что число «три» в этом результате нельзя увеличить,
рассмотрим сферу, вписанную в тетраэдр. Проецируя четыре грани
тетраэдра на сферу по радиусам, мы получаем покрытие сферы S2 четырьмя
замкнутыми множествами, ни одно из которых не содержит пару
диаметрально противоположных точек.
Если предполагать известной многомерную версию теоремы Борсу-
ка—Улама, то те же самые рассуждения показывают, что сферу Sn нельзя
покрыть п + 1 замкнутыми множествами без диаметрально
противоположных пар точек, хотя её можно покрыть гг + 2 такими множествами,
как это показывает многомерный аналог тетраэдра. Даже случай гг = 1
имеет некоторый интерес: если окружность покрыта двумя замкнутыми
множествами, то одно из них должно содержать пару диаметрально
противоположных точек. Это, конечно, неверно для незамкнутых множеств,
так как окружность можно представить в виде объединения двух
непересекающихся полуоткрытых полуокружностей.
Соотношение между фундаментальной группой произведения
пространств и фундаментальных групп множителей столь просто, сколь
можно было бы пожелать.
(Предложение 1.12. Фундаментальная группа nl(X x У) изоморфна
ях(Х) х Я!(У), если пространства X и У линейно связны.
Доказательство. Основное свойство топологии произведения
заключается в том, что отображение f:Z-+XxY непрерывно тогда и только
тогда, когда оба отображения g:Z—>X uh: Z—>У, определённые формулой

50
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
/(z) = (g(z), h(z)), непрерывны. Следовательно, петля / в X х У с началом
и концом в точке (х0, у0) эквивалентна паре петель ghX иквУ с началом
и концом в точках х0 и у0 соответственно. Точно так же гомотопия ft петли
в X х У эквивалентна паре гомотопии gt и hf соответствующих петель в X
и У. Таким образом, мы получаем взаимно однозначное соответствие
тг^Х х У, (х0,Уо)) * *i(X,*o) х я,(У,у0). [/] ^ (И. №])■
Очевидно, что это гомоморфизм групп, а значит, изоморфизм. □
Пример 1.13 (тор). Согласно предыдущему предложению мы имеем
изоморфизм nA(Sl х S1) &Z x Z. При этом изоморфизме пара (р, q) eZ x Z
соответствует петле, которая наматывается р раз вокруг одного
множителя S1 тора и-q раз вокруг другого множителя S1,
например петле copq(s) = (cop(s), coq(s)). Интересно, что эту
петлю можно завязать узлом, как показано на рисунке для
случая р = 3, q = 2. Узлы, которые получаются таким
способом, так называемые торические узлы, изучаются в
примере 1.24.
Вообще n-мерный тор, который является произведением п
окружностей, имеет фундаментальную группу, изоморфную произведению п
экземпляров группы Z. Это доказывается индукцией по п.
Индуцированные гомоморфизмы
Пусть у: X —> Y — отображение, переводящее отмеченную точку х0£Х
в отмеченную точку у0 е У. Для краткости в такой ситуации мы будем
писать у: (X, х0) —>(У, у0). Тогда if индуцирует гомоморфизм <^#: пг (X, х0)—>
—►тгДУ,у0), который определяется как композиция петли /: J—>Х с
началом и концом в точке х0 и отображения <^, т.е., (£*[/] = [<£/]. Это
индуцированное отображение ^+ определено корректно, так как гомотопия
ft петель с началом и концом в точке х0 приводит к составной гомотопии
y>ft петель с началом и концом в точке у0, поэтому <£„ [/0] = [^/0] = [^/i ] =
= ^*[/i]» Кроме того, отображение <^ — гомоморфизм, так как v?(/-g) =
= (¥>/) • (<££)*> здесь оба отображения принимают значение (/?/(2s) при
0^s^l/2 и значение y?g(2s- 1) при 1/2^5^1.
Два основных свойства индуцированных гомоморфизмов таковы:
• (¥>i/0* = ¥>*i/>* Для композиции (X, х0) —►(У, у0) —►(Z, z0);
• 1+ = 1, что является кратким выражением того, что
тождественное отображение 1: X —> X индуцирует тождественное отображение
1: п^Х,х0)->л1(Х,х0).
Первое из них следует из того факта, что композиция отображений
ассоциативна, поэтому (iprp)f = 4>frpf), а второе очевидно. Эти два
свойства индуцированных гомоморфизмов делают фундаментальную группу
функтором. Формальное определение функтора требует, однако, введения

§ 1.1. Основные конструкции
51
некоторых других предварительных понятий, поэтому мы откладываем
его, пока оно не понадобится в § 2.3.
Если (£ —гомеоморфизм с обратным отображением xj>, то </>*,—
изоморфизм с обратным отображением *ф+, так как ¥>*г/>* = (<^)* = 1* = 1
и аналогично i/^* = 1. Мы применим этот факт при вычислении
фундаментальных групп многомерных сфер.
| Предложение 1.14. Если п ^ 2, то n^S71) = 0.
Доказательство. Пусть / — петля в Sn с началом и концом в
отмеченной точке х0. Если образ отображения / не содержит некоторую другую
точку xgS", to отображение / гомотопно нулю, так как пространство
Sn — {х} гомеоморфно пространству Rn, которое является односвязным.
Поэтому достаточно прогомотопировать отображение / так, чтобы оно
стало не сюръективным. Чтобы сделать это, рассмотрим малый открытый
шар В в Sn с центром в произвольной точке х Ф х0 и
убедимся, что / входит в В, проходит через точку х и выходит
из В конечное число раз, причём каждую из этих частей,
петли / можно сдвинуть с х, не изменяя остальных частей /.
На первый взгляд это может показаться трудновыполнимой
задачей, так как части петли / в В могут быть устроены
геометрически весьма сложно, например, они могут быть кривыми,
заполняющими пространство. Но в действительности это оказывается довольно
лёгким делом.
Множество /-1(В) открыто в (0,1), а потому является объединением
(возможно, бесконечного) набора непересекающихся открытых
интервалов (а,-, Ь(). Компактное множество f~l(x) содержится в объединении этих
интервалов, таким образом, оно должно содержаться в их конечном
объединении. Рассмотрим один из интервалов {ahbi)y содержащих /~Ч*).
Путь fh полученный при ограничении / на замкнутый отрезок [a,, b,L
лежит в замыкании шара В, а его концы /(а,-) и /(Ь,) лежат на границе
шара В. Если п ^ 2, то мы можем выбрать путь g,- из /(а,) в /(£>,-), который
лежит в замыкании шара В, но не проходит через х. Например, можно
выбрать g,- так, чтобы он лежал границе шара В, которая является сферой
размерности п — 1, а значит, линейно связна при п ^ 2. Так как замыкание
шара В гомеоморфно выпуклому подмножеству в ЯГ и, следовательно,
односвязно, путь f гомотопен пути gt согласно предложению 1.6. Таким
образом, мы можем прогомотопировать /, деформируя f в g,. Повторив
эту конструкцию для каждого из интервалов (а,, Ь,-), которые пересекают
/"" 00, мы получаем петлю g, которая гомотопна исходной петле / и при
этом g(J) не проходит через точку х. П
Пример 1.15. Для точки х в Еп дополнение Шп - {х} гомеоморфно
S""1 х К, таким образом, согласно предложению 1.12 группа я^К" - {х})
изоморфна ttjCS"-1) х пх(Ю. Следовательно, группа я^Е" - {х}) равна Z
при п = 2и тривиальна при п > 2.

52
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
Вот приложение этого вычисления.
| Следствие 1.16. Пространство Ш2 не гомеоморфно R" при п Ф 2.
Доказательство. Предположим, что /: R2 —► R" — гомеоморфизм.
Случай п = 1 легко разбирается, так как пространство R2 — {0} линейно
связно, а гомеоморфное ему пространство R" — {/(0)} не линейно связно при
п = 1. Если п > 2, то мы не можем отличить R2 - {0} от R" - {/(0)} с
помощью числа компонент линейной связности, но предыдущее вычисление
группы Tii ДО" ~ {*}) позволяет различить их с помощью их
фундаментальных групп. □
Более общее утверждение о том, что пространство Rni не
гомеоморфно R" при тфп, можно доказать таким же способом, применяя высшие
гомотопические группы или группы гомологии. В действительности
непустые открытые множества в Rm и Rn могут быть гомеоморфными только
при т = п, как мы покажем в теореме 2.26 с помощью гомологии.
Индуцированные гомоморфизмы позволяют преобразовать
отношения между пространствами в отношения между их фундаментальными
группами. Вот иллюстрация этого принципа.
I Предложение 1.17. Если пространство X ретрагируется на подпро-
I странство А, то гомоморфизм
I t,: яг(Аух0) -► Я!(Х,х0),
К индуцированный включением t: ЛС-^Х, инъективен. Если А — дефор-
I мационный ретракт пространства X, то t* — изоморфизм.
Доказательство. Если г: X —► А — ретракция, то п = 1,
следовательно, r+t* = 1, а это влечёт, что гомоморфизм i* инъективен. Если rt: X —* X —
деформационная ретракция пространства X на Л, то r0 = I, rt\A = l и
гг (X) С А, поэтому для любой петли /: J —> X с началом и концом в точке
х0еА композиция rtf даёт гомотопию петли / в петлю в пространстве А,
таким образом, гомоморфизм t* является также и сюръективным. □
Это даёт другой способ убедиться, что окружность S1 не является
ретрактом диска D2 (этот факт мы проверили ранее при доказательстве
теоремы Брауэра о неподвижной точке). Действительно,
индуцированное включением отображение rc^S1)—►я^О2) является гомоморфизмом
Z —* 0, который не может быть инъективным.
Точный теоретико-групповой аналог ретракции — такой гомоморфизм
р группы G на подгруппу Н, что ограничение р на Н тождественно. В
приведённых выше обозначениях, если мы отождествим группу ях(Л) с её
образом при отображении £,, то получим, что г+ — именно такой
гомоморфизм группы ях(Х) на подгруппу пг(А). Существование гомоморфизма
ретракции р: G^>H является весьма сильным условием на Н. Если Н —
нормальная подгруппа, то из этого условия следует, что G — прямое
произведение группы И и ядра гомоморфизма р. Если подгруппа Н не нор-

§ 1.1. Основные конструкции
53
мальная, то группа G — это то, что в теории групп называют полупрямым
произведением группы Н и ядра гомоморфизма р.
Напомним, что в главе 0 было дано общее определение гомотопии
как семейства отображений ipt: X—>У, tel, для которого отображение
Ф: X х J —> У, заданное формулой Ф(х, t) = ipt(x), является непрерывным.
Если 4>t переводит подпространство Л с X в подпространство В с У для
всех t, то мы говорим о гомотопии отображений пар у>(: (X, А) —> (У, В).
В частности, гомотопна, сохраняющая отмеченную точку, </>t: (X, х0) —>
—> (У, у0), определяется условием ч>с(х0) = у0 Для всех г- Ещё °Дно важное
свойство индуцированных гомоморфизмов — их инвариантность
относительно таких гомотопии.
• Если ipt: (X, х0) —> (У, у0) — гомотопия, сохраняющая отмеченную
точку, то у?о* = 4>и-
Это выполняется, так как
¥>о*[/] = [^о/] = fVi/] = ¥>1*[Я;
здесь среднее равенство следует из гомотопии </>t/.
Для пространств с отмеченными точками имеется понятие
гомотопической эквивалентности. Говорят, что (Х,х0) ^ (У, у0), если существуют
отображения у>: (X, х0) —► (У, у0)и^: (У, у0) —> (X, х0) и существуют
гомотопии yip с*1 и трус*! в классе отображений, сохраняющих
отмеченные точки. В таком случае индуцированные отображения групп тсг
удовлетворяют условию ip*rp* — (уф)* = 1* = 1 и аналогично гр*ц>+= 1» таким
образом, у?+ и гр+ — взаимно обратные изоморфизмы 7ГХ (X, х0) ** 7Г2 (У, у0).
Это несколько формальное рассуждение даёт другое доказательство
того, что деформационная ретракция индуцирует изоморфизм
фундаментальных групп, так как если X деформационно ретрагируется на А, то
(X, х0) ~ (А, х0) для любой отмеченной точки х0 е Д.
Необходимость уделять так много внимания отмеченным точкам,
когда имеешь дело с фундаментальной группой, — нечто вроде досадной
помехи. Для гомотопических эквивалентностей не нужно быть столь же
осторожным, поскольку условия на отмеченные точки в действительности
можно убрать.
I Предложение 1.18. Если у>: X —> У — гомотопическая эквивалент-
I ность, то индуцированный гомоморфизм
I if,: пг{Х9х0) — Я1 (У,¥>(*(>))
I является изоморфизмом для всех х0 е X.
Доказательство использует простой факт о гомотопиях, которые не
сохраняют отмеченную точку.
I Лемма 1.19. Если tpt: X —> У — гомотопия, ah — путь крх О0), по
которому движется образ отмеченной точки х0 е X, то три отображения на

54
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
диаграмме
nx[Y, </?0Uo))
удовлетворяют соотношению 4>o* = fih4>\*-
Доказательство. Пусть /^ — ограничение отображения ft на отрезок
[О, t], которое перепараметризовано так, чтобы область определения ftf
снова была отрезком [0,1]. Например, можно
положить ft, (s) —h(ts). Тогда если / — петля в X
с началом и концом в отмеченной точке х0, то
произведение ftt • {yj) • ftt даёт гомотопию
петель с началом и концом в точке у?0(*о)- Ес~ . ^
ли мы возьмем в этой гомотопии отображения,
соответствующие t = О и t = 1, то увидим, что
Vo*([/]) = i8fc(Vi.([/])). °
Доказательство предложения 1.18. Пусть отображение i/>: Y —> X
гомотопически обратно отображению </?, т.е. у? я/; с^1 и г/д/? ~1.
Рассмотрим отображения
яДХ,^) -^ Я! (Г, </>(*о)) -^ я^о/^Оо)) ^ я^У^^^^о))-
Композиция первых двух отображений является изоморфизмом, так как
из условия ipy ~1, согласно лемме следует, что ip*^* = /3Л для
некоторого ft. В частности, так как я/> *</?*-— изоморфизм, гомоморфизм (/>+
инъективен. То же самое рассуждение для второго и третьего отображений
показывает, что гомоморфизм гр+ инъективен. Таким образом, первые
два из трёх отображений инъективные, а их композиция— изоморфизм,
поэтому первое отображение </?* должно быть как сюръективным, так
и инъективным. □
Задачи
1. Докажите, что композиция путей обладает следующим свойством
сокращения: если f0'go-f\'Si и g0-gu T0 /о-Л-
2. Докажите, что гомоморфизм замены отмеченной точки (3h зависит
только от гомотопического класса пути ft.
3. Докажите, что для линейно связного пространства X группа п1 {X)
абелева тогда и только тогда, все гомоморфизмы замены отмеченной
точки (3h зависят только от концов пути ft.
4. Подмножество X с R" называют звёздным, если существует такая
точка х0еХ, что для всех хеХ отрезок с концами х0 и х целиком лежит

§ 1.1. Основные конструкции
55
в X. Докажите, что если подмножество ХсЕ" локально звёздное в том
смысле, что у каждой точки множества X есть звёздная окрестность в X,
то любой путь в X гомотопен в X кусочно линейному пути, т. е. пути,
состоящему из конечного числа отрезков, движение по которым происходит
с постоянной скоростью. Докажите, что это, в частности, имеет место,
когда X открыто или когда X является объединением конечного числа
замкнутых выпуклых множеств.
5. Докажите, что для пространства X следующие три условия
эквивалентны:
а) любое отображение S1 —> X гомотопно постоянному отображению,
образом которого является точка;
б) любое отображение S1 —»X продолжается до отображения D2 —> Х\
в) ях(Х, х0) = 0 для любой точки х0еХ.
Выведите из этого, что пространство X односвязно тогда и только
тогда, когда все отображения S1 —>Х гомотопны. [В этой задаче
«гомотопность» означает «гомотопность без каких-либо ограничений на
отмеченные точки».]
6. Мы можем рассматривать n1(Xtx0) как множество
гомотопических классов отображений (Sl,s0) —> (X, х0), сохраняющих отмеченную
точку. Пусть [S1, X] —множество гомотопических классов отображений
S1 —> X без каких-либо условий на отмеченные точки. Тогда есть
естественное отображение Ф: яг (X, х0) —> [S1, X], полученное забыванием
отмеченной точки. Докажите, что Ф сюрьективно, если X линейно связно,
и что Ф([/]) = Ф([^]) тогда и только тогда, когда [/] и [g] сопряжены
в ях(Х, х0). Следовательно, Ф индуцирует взаимно однозначное
соответствие между [S1, X] и множеством классов сопряжённости в ях(Х), если
X линейно связно.
7. Зададим отображение /: S1 х / —► S1 х / формулой
/(e,s) = (0 + 27rs,s),
так что ограничения / на две граничные окружности произведения S1 х /
тождественны. Докажите, что / гомотопно тождественному отображению
посредством гомотопии ft, которая постоянна на одной из граничных
окружностей, но не существует такой гомотопии /г, которая была бы
постоянной на обеих граничных окружностях. [Рассмотрите, что / делает
с путём s —> (0О, s) для фиксированной точки в0 е S1.]
8. Верна ли теорема Борсука—Улама для тора? Другими словами, для
любого ли отображения /: S1 x S1 —> R2 найдётся точка (x,y)eS] x S1, для
которой /(*, у) = /С-х, -у)?
9. Пусть Аъ А2у А3 — компактные множества в R3. С помощью
теоремы Борсука—Улама покажите, что существует плоскость Р сЕ3, которая
одновременно делит каждое множество А, на две части одинаковой меры.

56
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
10. Из изоморфизма 7га (X х У, (х0, у0)) ** пг (X, х0) х кг (У, у0)
следует, что петли в X х {у0} и {х0} х У представляют коммутирующие
элементы группы кг (X х У, (х0, у0)). Постройте явно гомотопию,
показывающую это.
11. Докажите, что если Х0 — компонента линейной связности
пространства X, содержащая отмеченную точку х0, то включение Х0 <—* X
индуцирует изоморфизм п1 (Х0, х0) —> п} (X, х0).
12. Докажите, что любой гомоморфизм tt^S1) —* nl{Sl) можно
представить как индуцированный гомоморфизм у* для некоторого
отображения ч>\ Sl^>Sl.
13. Дано пространство X и линейно связное подпространство А,
содержащее отмеченную точку х0. Докажите, что отображение пг (А, х0) —>
—►тг1(Х,х0), индуцированное включением А <—* X, сюръективно тогда
и только тогда, когда каждый путь в X с концами в А гомотопен пути в А.
14. Докажите, что изоморфизм пх{Х хУ)% тг^Х) х тг^У) из
предложения L12 задаётся формулой [/] -> (pb([/]),p2*([/])), где рх и р2 —
проекции произведения X х У на оба множителя.
15. Даны отображение /: X —> У и путь /i: / —> X из х0 в хг. Покажите
что f+ph = pfhf* на диаграмме
ft,
пг (X, хг) >- тех (X, х0)
'4 , !'•
16. Докажите, что не существует ретракции г: X —> Л в следующих
случаях:
а) X = R3, а Л — любое подпространство, гомеоморфное S1;
б) X = Sl xD2, а Л —его граничный тор S1 xS1;
в) X = S1 х D2, а Л — окружность, изображённая на рисунке:
г) X = D2 V D2, а Л — его граница SlVSl;
д) X —диск с двумя отождествлёнными точками на его границе, а А —
его граница SlVSl;
е) X — лист Мёбиуса, а А — его граничная окружность.
17. Постройте бесконечно много негомотопных ретракций Sl V S1 —>
-s1.
18. Используя ту же технику, что и в доказательстве предложения 1.14,
покажите, что если пространство X получено из линейно связного
подпространства А приклеиванием клетки е", где п ^ 2, то включение А^Х

§ 1.2. Теорема ван Кампена
57
■индуцирует сюръекцию групп пг. Воспользуйтесь этим, чтобы показать
следующее:
а) букет S1 VS2 имеет фундаментальную группу Ъ\
б) для линейно связного CW-комплекса X отображение включения X1 *—>
<-+Х его одномерного остова индуцирует сюръекцию тг^Х1) —> ях(Х).
[По поводу случая, когда X имеет бесконечно много клеток, см.
предложение 1.А.1 в дополнении.]
19. Измените доказательство предложения 1.14 так, чтобы показать
что если X—линейно связный одномерный CW-комплекс с отмеченной
точкой х0, которая является нульмерной клеткой, то каждая петля в X
гомотопна петле, состоящей из конечной последовательности рёбер,
движение по которым монотонно. [Это даёт элементарное доказательство того,
что группа n^S1) является циклической группой, порождённой
стандартной петлёй, которая обходит один раз вокруг окружности. Поэтому более
трудная часть вычисления группы n^S1) заключается в доказательстве
того, что никакое кратное этой петли не гомотопно нулю.]
20. Пусть /f: X —* X — гомотопия, причём отображения /0 и /i
тождественные. С помощью леммы 1.19 покажите, что для любой точки х0 е X
петля /f(x0) представляет элемент центра группы nl(<Xix0). [По-другому
можно сказать, что петля представляет элемент центра группы тг^Х),
если она продолжается до петли в пространстве отображений X —> X.]
§ 1.2. Теорема ван Кампена
Теорема ван Кампена даёт метод вычисления фундаментальной
группы пространств, являющихся объединением более простых пространств,
фундаментальные группы которых уже известны. Систематически
применяя эту теорему, можно вычислить фундаментальные группы очень
многих пространств. Мы увидим, например, что для любой группы G
существует пространство Хс, фундаментальная группа которого изоморфна G.
Чтобы пояснить идею того, как можно было бы надеяться вычислить
фундаментальную группу, разбивая пространство на более простые части,
рассмотрим следующий пример. Пусть пространство X образовано двумя
окружностями Л и В, пересекающимися в единственной точке, которую
мы считаем отмеченной точкой х0. Согласно нашим
предыдущим вычислениям группа 7Га (А) бесконечная ^
Циклическая, порождённая петлёй а, которая обходит
один раз вокруг А. Аналогично группа п1(В) — ещё
одна группа Z, порождённая петлёй Ь, которая обходит один раз вокруг В.
Каждое произведение степеней элементов а и Ь даёт тогда элемент
группы ях(Х). Например, произведение a5b2a~3ba2 — это петля, которая
обходит пять раз вокруг А, затем два раза вокруг В, затем три раза вокруг А
в противоположном направлении, затем один раз вокруг В, затем два раза
ОО»

58
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
вокруг А. Множество всех таких слов, состоящих из степеней элемента а,
чередующихся со степенями элемента Ь, образует группу, которую обычно
обозначают Z*Z. Умножение в этой группе определено так, как и
следовало бы ожидать, например, (Ъ*аъЪ2а~2){а%~1аЪ2) = Ъ*аъЪ2аЪ~1аЪ2.
Единичный элемент —пустое слово, а обратные элементы устроены так, как
и должны, например, {аЬ2а~3Ь~л)~г =b4a3b~2a~l. Было бы очень приятно,
если бы такие слова в алфавите, состоящем из букв а и Ь, в точности
соответствовали элементам группы п1{Х) и группа пл (X) была бы изоморфна
группе Z * Z. Из теоремы ван Кампена следует, что это действительно так.
Аналогично если X — объединение трёх окружностей, имеющих
единственную общую точку, из теоремы ван Кампена следует, что группа
тс1(Х) — это группа Z*Z*Z, состоящая из слов, образованных степенями
трёх букв а>Ь,с. Обобщение для объединения любого числа окружностей,
имеющих одну общую точку, тоже следует из теоремы ван Кампена.
Группа Ъ * Ъ является примером общей конструкции, которую
называют свободным произведением групп. Теорема ван Кампена будет
сформулирована в терминах свободных произведений, поэтому, прежде чем
формулировать эту теорему, мы сделаем алгебраическое отступление и
подробно опишем построение свободных произведений.
Свободные произведения групп
Предположим, что дан набор групп Ga и требуется построить одну
группу, содержащую все эти группы в качестве подгрупп. Один способ
сделать это состоит в том, чтобы взять прямое произведение П^а> эле~
а
менты которого можно рассматривать как отображения a>-*gaeiGa.
Можно также ограничиться отображениями, которые принимают значения,
отличные от единичного, лишь конечное число раз; тогда мы получим
прямую сумму 0Ga. Обе эти конструкции дают группы, содержащие все
a
группы Ga в качестве подгрупп, но при этом выполняется следующее
свойство: элементы различных подгрупп Ga коммутируют друг с другом. Для
неабелевых групп эта коммутативность неестественна, поэтому хотелось
бы иметь «неабелеву» версию групп П Ga уши 0 Ga. Так как прямая сумма
a a
ф Ga меньше и в некоторых отношениях проще, чем прямое
Произведшее
ние П^а> следует ожидать, что легче строить неабелеву версию прямой
a
суммы 0 Gai и именно эту версию даёт свободное произведение *a Ga.
а
Приведём теперь точное определение. Как множество, свободное
произведение *rt Ga состоит из всех слов g\g2---gm любой конечной длины
m ^ 0, где каждая буква g{ принадлежит группе Ga. и не равна
единичному элементу группы Ga., причём соседние буквы g, и gl41 лежат в раз-

§ 1.2. Теорема ван Кампена
59
ных группах Ga, т.е. a^a,^. Слова, удовлетворяющие этим условиям,
называют приведёнными; дело в том, что неприведённое слово всегда
можно преобразовать в приведённое, записав соседние буквы, которые
лежат в одной и той же группе Ga., как одну букву (которая является
их произведением в группе Ga) и удалив тривиальные буквы. Слову
разрешается быть пустым; пустое слово будет единичным элементом
в *a Ga. Групповая операция в *a Ga — это запись одного слова за другим:
(gi-.-Sm)№i---frn) = Si—SmV"V Это произведение может, однако,
оказаться неприведённым. Если g,n и hY лежат в одной и той же группе Ga,
то их нужно объединить в одну букву (gnth}) согласно умножению в Ga,
а если эта новая буква gmhY окажется единичным элементом группы Ga,
то её нужно убрать из произведения. После этого, возможно, придётся
объединить gm_j и h2 и, может быть, снова убрать единичный элемент.
Повторяя такие операции, в конце концов получим приведённое слово.
Например, в произведении (gi...gm)(g,7,1.--g1"1) всё сокращается, и мы
получаем единичный элемент группы *a Ga, т. е. пустое слово.
Непосредственная проверка того, что это умножение ассоциативно,
была бы довольно утомительной, но есть косвенный подход, который
дозволяет избежать большой работы. Пусть W — множество
приведённых слов gi...gm, которое включает и пустое слово. Каждому элементу
£G Ga сопоставим отображение Lg: W —> W, которое задаётся умножением
слева: L^^.gJ = ggl...gm, где мы объединяем g с ga, если gl e Ga,
♦гобы получилось приведённое слово ggi...gm. Ключевое свойство
сопоставления g »-» Lg — это формула Lgg. = LgLg> для элементов g, g' G Ga, т. е.
ffO^Cgi-.-gm)) = (£g')(gi...gm)- Этот частный случай ассоциативности
легка следует из ассоциативности произведения в Ga. Из формулы Lgg>=LgLg>
ргедует, что отображение Lg обратимо, причём обратное отображение —
iro Lg-i. Поэтому сопоставление g—*^ определяет гомоморфизм группы
Ga в группу P(W) всех перестановок элементов множества W. Вообще мы
Можем задать отображение L: W->P(W) формулой L(gl...gm) = Lg]...Lg
Для каждого приведённого слова gi...gm. Отображение L инъективно, так
как перестановка L(g1...gm) отображает пустое слово в gi-..gm. Операция
Произведения в W при отображении L переходит в композицию в P(W),
поскольку имеет место соотношение L^* = LgLg>. Так как композиция
в Р{у/) ассоциативна, мы получаем, что произведение в W ассоциативно.
В частности, мы получаем свободное произведение Z * Z, которое
было описано выше. Это пример свободной группы, т. е. свободного
произведения любого числа экземпляров группы Z, конечного или бесконечного.
Элементы свободной группы единственным образом представляются как
Приведённые слова от степеней образующих разных экземпляров
группы Z, по одной образующей для каждого экземпляра Z, как и в случае
группы Z * Z. Эти образующие называют базисом свободной группы, а
число элементов базиса называют рангом свободной группы. Абелианизация

60
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
свободной группы — это свободная абелева группа, базисом которой
служит то же самое множество образующих, поэтому, так как ранг свободной
абелевой группы определён корректно и не зависит от выбора базиса, это
верно и для ранга свободной группы.
Интересным примером свободного произведения, которое не
является свободной группой, служит группа Z2*Z2. Она похожа на Z*Z, но
устроена более просто, поскольку а2 — е — Ъ2у а потому степени
элементов а и Ъ не нужны, и группа Z2 * Z2 состоит просто из слов с
чередующимися буквами а и b: a, b, аЪу Ъау аЪау ЬаЪу аЪаЪ, ЪаЪа, аЪаЪа, ... вместе
с пустым словом. Структуру группы Z2 *Z2 можно прояснить,
рассматривая гомоморфизм {р: Z2*Z2—>Z2, который сопоставляет каждому слову
его длину по модулю 2. Очевидно, что отображение (р сюръективно, а его
ядро состоит из слов чётной длины. Они образуют бесконечную
циклическую подгруппу, порождённую элементом аЬу так как Ъа = {ab)~] в группе
Z2*Z2. В действительности группа Z2*Z2 —это полупрямое
произведение подгрупп Z и Z2, порождённых элементами аЪ и а, с отношением
спряжения а(аЪ)а~1 = (ab)~}. Эту группу иногда называют бесконечной
диэдральной группой.
Для свободного произведения *aGa общего вида каждая группа Ga
естественно отождествляется с подгруппой группы *a Ga, которая состоит
из пустого слова и неединичных однобуквенных слов g e Ga. С такой
точки зрения пустое слово —общий единичный элемент всех подгрупп
Ga, которые во всём остальном не пересекаются. Из ассоциативности
следует, что любое произведение g}...gm элементов g, в группах Ga
имеет единственную приведённую форму —элемент группы *aGa, который
получается при выполнении умножений в любом порядке. Любую
последовательность операций приведения для неприведенного
произведения gi...gm (соединение соседних букв gf и gI+], которые лежат в одной
и той же группе Ga, или удаление элемента giy который является
единичным) можно рассматривать как способ расставить скобки в gi...gn,
и затем выполнить соответствующую последовательность умножений.
Таким образом, из ассоциативности следует, что любые две
последовательности операций приведения, применённые к одному и тому же
неприведенному слову, всегда приводят к одному и тому же приведённому
слову.
Основное свойство свободного произведения *a Ga заключается в том,
что любой набор гомоморфизмов (ра: Ga-+H единственным образом
продолжается до гомоморфизма у: *a Ga —> Н. А именно, значение
отображения (р на слове gi...gn, где gi^Ga.y должно быть равно 4>ai(gi)...4>an(gn)-
Эту формулу можно использовать для определения гомоморфизма </?; при
этом мы получаем корректно определённый гомоморфизм, так как
процесс сокращения неприведенного произведения в *a Ga, не изменяет его
образ при отображении у>. Например, для свободного произведения G*H

§ 1.2. Теорема ван Кампена
61
включения Gc-^GxHnH<-^GxH индуцируют сюръективный
гомоморфизм G*H—GxH.
Теорема ван Кампена
Предположим, что пространство X представлено в виде объединения
набора линейно связных открытых подмножеств Аа, каждое из которых
содержит отмеченную точку х0еХ. Согласно замечаниям в предыдущем
Параграфе гомоморфизмы ja: ni(Aa)—>я1(Х), индуцированные
включениями Аа t-> X, продолжаются до гомоморфизма Ф: *а тг^Ад) —> ях(Х).
Теорема ван Кампена покажет нам, что отображение Ф очень часто сюръ-
ективно, но у него может быть нетривиальное ядро, ибо если
lap' Пг(АаПАр) ->Я!(Аа)
— гомоморфизм, индуцированный включением Аа Г\Ар с—>Ла, то jaiap =
**jpipa и обе эти композиции индуцированы включением Аа ПАр С-^Х;
хаким образом, ядро гомоморфизма Ф содержит все элементы вида
ia/*(AOl0a(k>)~\ где со G пх(Аа П Ар). Теорема ван Кампена утверждает,
что при весьма общих предположениях это даёт полное описание
гомоморфизма Ф.
I Теорема 1.20. Если X — объединение линейно связных открытых мно-
I жеств Аа, каждое из которых содержит отмеченную точку х0 Е X, и
I если каждое пересечение Аа ПАр линейно связно, то гомоморфизм Ф:
I *a7u1(Aa) —* я^СХ) сюръективен. Кроме того, если каждое пересечение
I АаГ\АрГ\Ау линейно связно, то ядро гомоморфизма Ф — это нормаль-
I пая подгруппа N, порождённая всеми элементами вида iap(co)ipa{co)~l,
I а потому Ф индуцирует изоморфизм
Пример 1.21 (букет). В главе 0 мы определили букет \J Xa набора
a
Пространств Ха с отмеченными точками ха е Ха как факторпространство
Несвязного объединения [Ja Xa, в котором все отмеченные точки ха
отождествляются в одну точку. Если каждая точка ха— деформационный ре-
Тракт открытой окрестности Ua в Ха, то Ха—деформационный ретракт
своей открытой окрестности Аа =Ха \J Up. Пересечение двух или более
рфа
различных множеств Аа —это пространство \J Ua, которое деформацион-
a
■К> ретрагируется в точку. Из теоремы ван Кампена в таком случае следует,
***> *: *а пг (Ха) -> пх (V Ха) - изоморфизм.
а
Таким образом, для букета окружностей \JS\ группа ^\С\/Sla) сво-
,ж^Шая, а именно, является свободным произведением нескольких
экземпляров группы Z, по одному для каждой окружности S*. В частности,

62
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
nl(SlvS1) — свободная группа Ъ*Z, как указано в примере в начале этого
параграфа.
Как мы покажем в §1.А, справедливо и более общее утверждение,
что фундаментальная группа любого связного графа является свободной.
Сейчас мы приведём пример, иллюстрирующий этот общий метод.
Пример 1.22. Пусть X — граф из двенадцати рёбер куба,
изображённый на рисунке. Семь выделенных рёбер образуют максимальное дерево
Т С X — стягиваемый подграф, содержащий все вершины
графа X. Мы утверждаем, что Я](Х) —свободное
произведение пяти экземпляров группы Z, по одному для каждого
ребра, не лежащего в Т. Чтобы вывести это из теоремы ван
Кампена, выберем для каждого ребра еа графа X - Т
открытую окрестность Аа множества Т и еа в X, которая
деформационно ретрагируется на TUea. Пересечение двух или более множеств
Аа деформационно ретрагируется на Г, а потому стягиваемо. Множества
Аа образуют покрытие графа X, удовлетворяющее условию теоремы ван
Кампена, а так как пересечение любых двух из них односвязно, мы
получаем изоморфизм ях(Х) ъ *a яДЛд). Каждое множество Аа
деформационно ретрагируется на окружность, поэтому я^Х) — свободная группа
с пятью образующими, что и требовалось. В качестве явных образующих
мы можем выбрать для каждого ребра еа графа X — Т петлю /а, которая
начинается в отмеченной точке графа Г, проходит в Г до одного конца
ребра еа, затем идёт вдоль ребра еа, а потом возвращается назад в
отмеченную точку по некоторому пути в Т.
Теорема ван Кампена часто применяется, когда покрытие
пространства X состоит только их двух множеств Аа и Ар. Тогда условие на тройные
пересечения АаПАрП Ау становится излишним и мы получаем
изоморфизм яДХ)^ (я1(Ла)*я1(Л/3))/Д^ при условии, что пространство Аа П Ар
линейно связно. Однако доказательство в этом частном случае
фактически совпадает с доказательством в общем случае.
Можно убедиться, что пересечения Аа П Ар должны быть линейно
связными, рассмотрев представление окружности S1 в виде объединения
двух открытых дуг. В этом случае гомоморфизм Ф не сюръективен. Чтобы
построить пример, показывающий, что тройные пересечения Аа ПАрПАг
должны быть линейно связными, возьмём в качестве X надстройку над
тремя точками а, Ь, с, и пусть Аа, Ар и Ау будут дополнениями этих трёх
точек. Теорему можно применить к покрытию {Аа,Ар}
и получить изоморфизмы ях(Х) ъп}(Аа) *я,(Л^) ^Z*Z,
так как пространство Аа П Ар стягиваемо. Если же мы
попытаемся использовать покрытие {Ла, Ар, Ау}, для
которого линейно связно любое двукратное (но не тройное) пересечение, то
получим, что Я] (X) «а z * Ъ * Z, но эта группа не изоморфна Ъ * Z, так как
у них разные абелианизации.

§ 1.2. Теорема ван Кампена
63
Доказательство теоремы ван Кампена. Сначала обсудим сюръек-
хивность отображения Ф. Мы утверждаем, что если дана петля f:I—*X
.с началом и концом в отмеченной точке х0, то существует такое разбиение
0 = 50 < Sj < ... < sm = 1 отрезка /, что образ каждого отрезка [s,_i, sf] при
отображении / целиком лежит в одном из множеств Аа. А именно, так как
/ непрерывно, каждая точка s е / имеет открытую окрестность Vs в /, образ
которой при отображении / лежит в одном из множеств Аа. В
действительности в качестве Vs мы можем взять открытый интервал, замыкание
которого отображается в одно из множеств Аа.
Из компактности отрезка / следует, что
конечное число таких интервалов покрывает /.
Тогда концы этих интервалов задают требуемое
разбиение отрезка /.
Обозначим множество Аа, содержащее
/([5,-1,5-]), через А,-, и пусть /j—путь,
полученный при ограничении / на [s^^s,-]. Тогда
/ — композиция Л •...•/„!, причём путь fa целиком лежит в А,-. Так как
мы предполагаем, что пространство A{CiAi+l линейно связно, мы можем
выбрать путь g( в А,- П А1+1, идущий из точки х0 в точку /(s,0 e А{ П А1+1.
Рассмотрим петлю
Cfrfi) * (Si 'Л *fo)' (fo'/з в1з)' -" (ftii-i */m)>
гомотопную /. Эта петля представляет собой композицию петель, каждая
из которых расположена в одном множестве А,-; такие петли заключены
в круглые скобки. Следовательно, [/] лежит в образе отображения Ф, а
потому Ф сюръективно.
Более трудная часть доказательства состоит в том, чтобы показать,
что ядро гомоморфизма Ф совпадает с N. Чтобы разъяснить суть дела,
введём несколько терминов. Под факторизацией элемента [/] е п1 (X) мы
будем подразумевать формальное произведение [/J.-.t/fc], где:
• каждый множитель f{ — это петля в некотором множестве Аа с
началом и концом в отмеченной точке х0, а [/•] е яi(Aa), —
гомотопический класс петли /•;
• петля / гомотопна f}- ...-fk в X.
Таким образом, факторизация гомотопического класса [/] — это
слово в ^anl(Aa)i возможно, неприведённое, которое переходит в [/] при
отображении Ф. Доказательство сюръективности гомоморфизма Ф
показывает, что у каждого элемента [/] еп^Х) есть факторизация.
Теперь нас будет интересовать единственность факторизации. Назовём
Две факторизации класса [/] эквивалентными, если они связаны
последовательностью преобразований следующих двух видов или обратных к ним:
• соседние члены [/•] [/j+i] объединяются в один член [f{ • fi+l], если [/■]
и [/-+1] лежат в одной и той же группе tt^Aq);

64
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
• член [/j] e пг (Ла) рассматривается как лежащий в группе п^ 04^), а не
в группе яДЛа), если f{ — петля в АаГ\Ар.
Первое преобразование не изменяет элемент группы *а я^Ла),
определяемый факторизацией. Второе преобразование не изменяет образ
этого элемента в факторгруппе Q = *a n^A^/N согласно определению
группы N. Таким образом, эквивалентные факторизации дают один и тот же
элемент группы Q.
Если нам удастся показать, что любые две факторизации класса [/]
эквивалентны, то из этого будет следовать, что отображение Q —► яь (X),
индуцированное отображением Ф, инъективно, а потому ядро
гомоморфизма Ф совпадает с N, и доказательство будет завершено.
Пусть [/i]...[/J и [/^...[//l—две факторизации класса [/]. Тогда
составные пути Л *... • Л и /^ •... • /^ гомотопны, поэтому можно рассмотреть
гомотопию F: J x J —► X, связывающую /i •... • fk и f[ •... •//. Существуют
такие разбиения 0 = s0 <sx < ... <sm = 1 и 0 = t0 < tx < ... < tn = 1, что
образ каждого прямоугольника R{j = [5,_ь s{] x [t;_T, t;] при отображении F
лежит в одном множестве Aai которое мы обозначим A(j. Эти
разбиения можно получить, покрыв 1x1 конечным числом прямоугольников
[а,Ь] х [c,d], каждый из которых отображается в одно множество Ла,
используя рассуждения с компактностью, а затем разделив 1x1 всеми
горизонтальными и вертикальными прямыми, содержащими стороны этих
прямоугольников. Можно считать, что s-разбиение является
подразбиением тех разбиений, которые дают произведения /г •... • fk и // •... •//. Так
как F отображает окрестность прямоугольника R^
в А,-,, мы можем пошевелить вертикальные стороны
прямоугольников Rjj так, чтобы каждая точка
квадрата 1x1 принадлежала не более чем трём
прямоугольникам Rjj. Можно считать, что есть по крайней
мере три ряда прямоугольников, поэтому мы можем
сделать это шевеление только для прямоугольников
в промежуточных рядах, оставляя верхний и нижний ряд без изменений.
Занумеруем теперь новые прямоугольники Rb R2, ..., Rmn в таком
порядке, как показано на рисунке.
Если у —путь в J x J, идущий из точки левой стороны в точку
правой стороны, то ограничение F\y является петлёй с началом и концом
в отмеченной точке х0, так как F отображает левую и правую стороны
квадрата I x I в точку х0. Пусть уг —путь, отделяющий первые г
прямоугольников Rb ..., Rr от остальных прямоугольников. Тогда у0 —нижняя
сторона квадрата J x J, а утп — его верхняя сторона. Будем переходить от
пути уг к уг+1, протаскивая этот путь по прямоугольнику Rr+1.
Будем называть вершины прямоугольников Rr вершинами. Для
каждой вершины v, для которой F(v) ^х0, рассмотрим путь gv из х0 в F(v).
Мы можем выбрать путь gv так, чтобы он принадлежал пересечению двух
9
5
1
10 11 1
6
2
7
3
12
8
4

§ 1.2. Теорема ван Кампена
65
или трёх множеств A(j в соответствии с тем, сколько прямоугольников Rr
содержат вершину v, так как мы предполагаем, что пересечение любых
двух или трёх множеств A(j линейно связно. Если мы вставим в F\ yr
подходящие пути gvgv в последовательных вершинах, как при доказательстве
сюръективности отображения Ф, то мы получим факторизацию класса
[F\ yr], рассматривая петлю, соответствующую горизонтальному или
вертикальному отрезку между соседними вершинами, как лежащую в А-{] для
любого из прямоугольников Я5, содержащих этот отрезок. Если мы
выберем другой из этих прямоугольников Rs, то факторизация класса [F\ yr]
заменится на эквивалентную факторизацию. Более того, факторизации,
соответствующие последовательным путям уг и уг+1, эквивалентны, так
как протаскивание пути уг по прямоугольнику Яг+1, при котором
получается путь уг+1, заменяет F| yr Ha F\ yr+i посредством гомотопии в пределах
множества А,-,, соответствующего Яг+1, и мы можем выбрать такое
множество Ау для всех отрезков путей уг и уг+1, лежащих в Яг+1.
Мы можем добиться, чтобы факторизация, соответствующая у0, была
эквивалентна факторизации [/^...[Д], выбирая путь gv для каждой
вершины v вдоль нижней стороны квадрата / х / так, чтобы он принадлежал
не только двум множествам А,-,, соответствующим прямоугольнику Rsy
содержащему v, но также принадлежал и множеству Аа, соответствующему
пути f(, в области определения которого лежит точка v. В случае, когда v —
общий конец областей определения двух последовательных путей fh
выполняется равенство F(v) =x0, а тогда нет никакой надобности выбирать
путь gv. Аналогично мы можем считать, что факторизация,
соответствующая последнему пути утп, эквивалентна [f[]... [//]. Так как факторизации,
соответствующие всем путям уг, эквивалентны, мы получаем, что
факторизации [/х]...[/*] и [//]...[//] эквивалентны. □
Пример 1.23 (зацепленные окружности). Мы можем применить
теорему ван Кампена, чтобы вычислить фундаментальные группы трёх
пространств, которые обсуждались в вводной части этой главы, а именно
дополнений в Ш3 одной окружности, двух незацепленных окружностей
и двух зацепленных окружностей.
Дополнение Е3 — А одной окружности А деформационно ретрагиру-
ется на букет S1 V S2, вложенный в Е3 - А, как показано на первом из
двух рисунков ниже. Возможно, проще увидеть, что М3 - А
деформационно ретрагируется на объединение сферы S2 и её диаметра, как показано

DO
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
на втором рисунке, где точки снаружи S2 деформационно ретрагируются
на S2, а точки, которые лежат внутри сферы S2, но не на окружности А,
можно отодвинуть от А по направлению к S2 или к диаметру» Помня эту
деформационную ретракцию, можно понять, как нужно её изменить, если
два конца диаметра постепенно сближаются друг с другом по экватору,
пока они не совпадут, образуя при этом окружность S1 в букете SlV S2.
Другой способ увидеть деформационную ретракцию пространства Ш3 - А на
S1 V S2 состоит в том, чтобы заметить сначала, что открытая е-окрестность
букета Sl VS2, очевидно, деформационно ретрагируется на SlvS2, если е
достаточно мало. Затем заметим, что эта окрестность гомеоморфна R3 - А
посредством гомеоморфизма, который тождествен на S1 V S2.
Действительно, окрестность можно постепенно увеличивать посредством
гомеоморфизма, пока она не совпадёт с R3 - А.
В любом случае, как только мы
убедились, что R3 - А деформационно
ретрагируется на Sl V S2, мы сразу получаем
изоморфизмы nl (R3 - А) « пг (S1 V S2) ъ Z, так как
nl(S2)=0.
Аналогично дополнение Е3 - (А и В) двух незацепленных
окружностей АиВ деформационно ретрагируется на Sx\/SlV S2 V S2, как на
рисунке справа. Из этого мы получаем пг (К3 - (АиВ)) ^Z*Z.
С другой стороны, если АиВ зацеплены, то R3 - (А и В)
деформационно ретрагируется на букет сферы S2 и тора
S1 х S1, разделяющего Л и В, как показано на рисунке
слева, следовательно, тг^К3 - (АиВ)) ъ tt1(S1 х S1) *
^ZxZ.
Пример 1.24 (торические узлы). Для взаимно простых
положительных целых чисел тип торический узел К = Ктп С1R3 определяется как
образ вложения /: S1 —> S1 х S1 с IR3, заданного формулой /(z) = (z'n, zn);
здесь тор S1 х Sl вложен в Ш3 стандартным способом. В целом узел К
обматывается вокруг тора т раз в направлении параллели и п раз в
направлении меридиана, как показано на рисунке для
случаев (т, п) = (2, 3) и (3,4). Нужно
предполагать, что числа тип взаимно простые,
чтобы отображение / было инъективным.
Без этого предположения отображение /
переводило бы d точек в одну, где d —
наибольший общий делитель чисел т и п, а образ отображения / был бы тогда
узлом Km/dM/d. Можно было бы позволить числам тип принимать
отрицательные значения, но от этого узел К мог бы измениться только на свой
зеркальный образ.
Давайте вычислим я1(К3~К). Вычисления будут немного проще,
если заменить пространство К3 на его одноточечную компактификацию S3.

§ 1.2. Теорема ван Кампена
67
Хворема ван Кампена показывает, что щ при этом не изменяется. А
именно, представим S3 — К в виде объединения Е3-Ки открытого шара В,
образованного точкой компактификации вместе с дополнением большого
замкнутого шара в R3, содержащего К. Оба пространства В и В П (R3 - К)
сдносвязны (последнее пространство гомеоморфно S2 х R). Поэтому из
теоремы ван Кампена следует, что включение R3 - К «-* S3 - К индуцирует
изоморфизм групп тс1.
Мы вычислим n^S3 -К"), показав, что это пространство
деформационно ретрагируется на двумерный комплекс X = Хшп, гомеоморфный фак-
торпространству цилиндра Sl xl при отождествлениях (z, 0) ~ (е2ш/тг, 0)
и (z, 1) ~ (e27n/nz, 1). Если Хт и Х;1 — части комплекса X, полученные
факторизацией подпространств S1 х 0, х и S1 х - 1 , то Хт и Ха —
цилиндры отображений z —* zm и z —* zn. Пересечение Хт П Х„ является
окружностью ^Х х { о j ~тем основанием каждого цилиндра отображения,
которое соответствует области определения.
Чтобы получить вложение пространства X в S3 — К в качестве
деформационного ретракта, мы воспользуемся стандартным представлением
сферы S3 в виде объединения двух полноторий Sl x D2 и D2 x S1, которое
получается, если рассматривать S3 как
d£>4 = a(D2xD2) = aD2xD2UD2xdD2.
Геометрически первое полноторие Sl x D2 можно отождествить с ком-
йактным множеством в 1R3, ограниченным стандартным тором S1 x S1,
Содержащим К, а второе полноторие D2 x S1 тогда будет замыканием
Дополнения первого полнотория вместе с бесконечно удалённой точкой
Компактификации. Обратите внимание, что меридианы в S1 x S1
ограничивают диски в первом полноторий, а параллели ограничивают диски во
втором полноторий.
В первом полноторий узел К пересекает каждый меридиан {х} х 3D2
3 m точках на равных расстояниях, как показано на рисунке, где
изображён меридиональный диск {х} х D2. Эти т точек
можно отделить друг от друга объединением т радиусов.
Когда х изменяется, эти радиусы заметают ^„ —
цилиндр отображения в первом полноторий.
Аналогично во втором полноторий содержится другой цилиндр
отображения Хп. Дополнение узла К в первом
полноторий деформационно ретрагируется на Хт, смещаясь на
каждом меридиональном диске по траекториям потока, изображённого
на рисунке. Точно так же дополнение узла К во втором полноторий
деформационно ретрагируется на Хп. Эти две деформационные ретракции
Не согласованы на их общей области определения S1 x S] - Ку но это легко
Исправить, изменив потоки в двух полноториях так, чтобы в S1 x S1 - К

68
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
оба потока стали ортогональными к К, После этого изменения мы
получим корректно определённую деформационную ретракцию
пространства S3 — К на X. Описать эту ситуацию по-другому можно было бы,
сказав, что для открытой ^-окрестности N узла К, ограниченной тором Г,
дополнение S3 -N является цилиндром отображения Т—>Х.
Чтобы вычислить пА (X), мы применим теорему ван Кампена к
представлению пространства X в виде объединения множеств Хт и Хп, точнее
говоря, открытых окрестностей этих двух множеств, которые
деформационно ретрагируются на них. Пространства Хт и Хп являются
цилиндрами отображений, деформационно ретрагирующимися на окружности,
а Хт П Хп — окружность; таким образом, все три пространства имеют
фундаментальную группу Z. Петля в Хт ПХП, представляющая образующую
группы П\(Хт ПХП), гомотопна в Хт петле, представляющей гп-кратную
образующую, а в Хп — петле, представляющей п-кратную образующую.
Теорема ван Кампена говорит тогда, что п1 (X) — факторгруппа свободной
группы с образующими а и Ъ по нормальной подгруппе, порождённой
элементом атЬ~п.
Обозначим через Gmn группу я1(Хт>п), заданную двумя образующими
а и Ъ и одним соотношением ат = Ьп. Если т или п равно 1, то Gmn —
бесконечная циклическая группа, так как в этом случае соотношение просто
выражает одну образующую как степень другой. Чтобы описать строение
группы G,nn, когда т, п > 1, вычислим сначала центр группы Gmn, т.е.
подгруппу, состоящую из тех элементов, которые коммутируют со всеми
элементами группы Gmn. Элемент ат = ЬП коммутирует с а и Ь, поэтому
циклическая подгруппа С, порождённая этим элементом, лежит в центре.
В частности, подгруппа С нормальная, поэтому мы можем перейти к
факторгруппе Gmn/C, которая является свободным произведением Zni*Z„.
Согласно задаче 1 в конце этого параграфа свободное произведение
нетривиальных групп имеет тривиальный центр. Из этого следует, что С —это
в точности центр группы Gmjr Как мы увидим в примере 1.44, элементы
а и Ъ имеют бесконечный порядок в Gmn, поэтому группа С бесконечная
циклическая, но нам здесь этот факт не нужен.
Покажем теперь, что целые числа т и п (а значит, и группа Gmn)
однозначно определяются группой Ът * Zn. Абелианизация группы Ът * Ъп
есть группа Ът х Ъп\ она имеет порядок тп, поэтому произведение тп
однозначно определено группой Zm *Zn. Чтобы найти т и п по
отдельности, мы воспользуемся ещё одним утверждением из задачи 1 в конце
параграфа, а именно, что все элементы кручения в группе Ът * Zn
сопряжены элементам подгрупп Zm и Z„, а потому имеют порядок,
делящий т или п. Таким образом, максимальный порядок элементов кручения
в группе Zm *Zn равен наибольшему из чисел тип. Поэтому наибольшее
из этих двух чисел однозначно определяется группой Ът *Zn, а значит,
наименьшее тоже, так как их произведение определено однозначно.

§ 1.2. Теорема ван Кампена
69
Предыдущий анализ группы п1 (Хтп) не требовал предположения, что
числа тип взаимно простые; это условие нужно только для того,
чтобы соотнести Xmill с торическими узлами. Интересен тот факт, что Хтп
можно вложить в Е3 только в том случае, когда тип взаимно простые.
Это доказывается в замечаниях после следствия 3.45. Например, Хгг —
бутылка Клейна, так как это пространство представляет собой два
листа Мёбиуса Х2 с отождествлёнными граничными окружностями. Таким
образом, утверждение о невложимости обобщает тот факт, что бутылку
Клейна нельзя вложить в R3.
Алгоритм вычисления образующих и соотношений, задающих группу
ях(К3 — Ю для произвольного гладкого или кусочно линейного узла К,
описан в задаче 22 в конце этого параграфа, но вопрос о том, когда две из
этих фундаментальных групп изоморфны, в общем случае намного более
трудный, чем в частном случае торических узлов.
Пример 1.25 (букет стягивающихся окружностей). Рассмотрим
подпространство X с R2, которое является объединением окружностей Сп
радиуса - с центром (_,о) для п = 1,2,... На первый
взгляд X можно спутать с букетом бесконечного набора
окружностей, но мы сейчас покажем, что фундаментальная
группа у пространства X намного больше, чем у такого
букета. Рассмотрим ретракцию гп: X —► Сп, сжимающую все
окружности С,-, кроме С„, в одну точку — начало координат.
Каждая ретракция гп индуцирует сюръекцию р„: пг{X) —> пг{Сп) ъ%у где
в качестве отмеченной точки выбрано начало координат. Произведение
отображений рп — гомоморфизм
оо
в прямое произведение (не прямую сумму) бесконечного набора групп Z,
причём гомоморфизм р сюръективен, так как для каждой
последовательности целых чисел кп можно построить петлю /: J —> X, которая обходит
кп раз вокруг Сп за время из интервала [1 - 1/л, 1 - 1/л +1]. Эта
бесконечная композиция петель, очевидно, непрерывна в любой момент времени
меньше 1, и она непрерывна в момент 1, так как любая окрестность
отмеченной точки в X содержит все окружности Сп, кроме конечного числа.
Поскольку группа п1{Х) отображается на всю несчётную группу \\Ъ, она
оо
является несчётной. С другой стороны, фундаментальная группа букета
счётного набора окружностей счётно порождена, а значит, счётна.
Группа я1 (X) в действительности намного сложнее группы \\Ъ. На-
оо
пример, она неабелева, так как ретракция X —* Q и... и Сп, которая
стягивает все окружности внутри С„ в отмеченную точку, индуцирует сюръек-

70
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
цию группы Tij {X) на свободную группу с п образующими. Полное
описание группы пг(Х) можно найти в [90].
В [128] доказана теорема, что для линейно связного локально линейно
связного компактного метрического пространства X группа пг(Х) либо
конечно порождённая, либо несчётная.
Приложения к клеточным комплексам
До конца этого параграфа мы будем рассматривать двумерные
клеточные комплексы, выясняя, как изменяется фундаментальная группа при
приклеивании двумерной клетки. Согласно примеру в конце этого
параграфа приклеивание клеток более высокой размерности не изменяет пх,
поэтому нас интересует лишь то, как приклеены двумерные клетки.
Предположим,, что пространство У получается приклеиванием набора
двумерных клеток е2а к линейно связному пространству X посредством
отображений tpa: S1 —>Х. Если s0 — отмеченная точка окружности S1, то
4>а определяет петлю с началом и концом в точке уа (s0). Мы будем
обозначать эту петлю ч>а, хотя мы определяли петли как отображения / —> X, а не
S1 —>Х. Для разных индексов а отмеченные точки ^a(s0) этих петель у>а,
возможно, не все совпадают. Чтобы это исправить, выберем отмеченную
точку х0еХ и путь уа в X из точки х0 в точку <£a(s0) для каждого
индекса а. Тогда yay>afa — петля в точке х0. Эта петля может быть не
гомотопной нулю в Ху но она обязательно будет гомотопной нулю после
приклеивания клетки е2а. Таким образом, нормальная подгруппа N с п1{Хух0))
порождённая всеми петлями Тач>ауа для разных а, лежит в ядре
отображения пг(Х,х0) —>7il(Y)x0), индуцированного включением Х<—>Y.
I Предложение 1.26. Включение X <-> У индуцирует сюръекцию
п1(Хух0) —> 7ti(Y,x0), ядро которой равно N. Таким образом, ти^У) «
Из этого, в частности, следует, что подгруппа N не зависит от
выбора путей уау но это можно доказать и непосредственно. Если мы
заменим уа другим путём г)а с теми же концами, то уац>ауа заменится на
VaVaVa = ^аГ^Та^аТа^Га^^у ПОЭТОМу ГаЧ>а?а И VaVaVa ОПредеЛЯЮТ СО-
пряжённые элементы группы п1 (X, х0).
Доказательство. Расширим У до несколько большего пространства Z,
которое деформационно ретрагируется на У и более удобно для приме-

§ 1.2. Теорема ван Кампена
71
нения теоремы ван Кампена. Пространство Z получается из Y
приклеиванием прямоугольных полос Sa = / х /, у каждой из которых нижний
Край / х {0} приклеивается вдоль уа, правый край {1} х / приклеивается
ВО дуге в е2а, а все левые края {0} х / разных полос склеиваются вместе.
Верхние края полос ни к чему не приклеиваются, и это позволяет нам
деформационно ретрагировать Z на Y.
В каждой клетке е2а выберем точку уа, не лежащую на дуге, по которой
приклеена полоса Sa. Пусть A = Z - |J {уа} и В = Z - X. Тогда А деформа-
а
ционно ретрагируется на X, а В стягиваемо. Так как пг (В) = 0, теорема ван
Кампена, применённая к покрытию {А, В}, утверждает, что группа nl(Z)
изоморфна факторгруппе группы ях(Л) по нормальной подгруппе,
порождённой образом отображения п1(<АПВ) —> п^А). Таким образом, остаётся
холько проверить, что группа пг(АГ\В) порождена петлями YaVaYa илиу
скорее, петлями в А П В, гомотопными этим петлям. Это можно показать,
ддё раз применив теорему ван Кампена, на этот раз к покрытию
пространства А ПВ открытыми множествами Аа — А ПВ — [J el. Так как Аа
Деформационно ретрагируется на окружность ве^- {уа}У мы получаем,
что группа п1(Аа) ъЪ порождена петлёй, гомотопной ya</?afa, что и
требовалось. □
В качестве первого приложения вычислим фундаментальную группу
ориентируемой поверхности Mg рода g. Она имеет клеточную структуру
С одной нульмерной клеткой, 2g одномерными клетками и одной
двумерной клеткой, как мы видели в главе 0. Одномерный остов —это букет 2g
окружностей; его фундаментальная группа — свободная группа с 2g
образующими. Двумерная клетка приклеена по петле, заданной
произведением коммутаторов этих образующих, скажем, [ab b}] •... • [ag, bg]. Поэтому
ях(Мр * (alybly...,ag,bg \ [al9bl]-...-[ag9bg])9
гДе (sa I rp) обозначает группу с образующими ga и соотношениями г$,
Другими словами, свободную группу с образующими ga по модулю
нормальной подгруппы, порождённой словами /^ из этих образующих1.
(Следствие 1.27. Поверхность Mg не гомеоморфна и даже не гомото-
пически эквивалентна поверхности МЛ, если g^h.
Доказательство. Абелианизация группы пг (Mg) — это прямая сумма
2g экземпляров группы Z. Поэтому если Mg^Mhy то ях(М^) ъ nx{Mh),
а значит, абелианизации этих групп изоморфны, что влечёт равенство
S = ft. □
Подобное задание группы образующими и соотношениями далее в этой главе будет
называться представлением (англ. presentation) группы. Его не нужно путать с представлением
Фундаментальной группы в линейном пространстве (англ. representation).— Прим. ред.

72
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
Неориентируемые поверхности можно рассмотреть аналогично. Если
мы приклеиваем двумерную клетку к букету g окружностей по слову
a2v..a2 то получаем неориентируемую поверхность Ng. Например, N1 —
проективная плоскость RP2, которую можно представить как круг D2
с отождествлёнными диаметрально противоположными точками его
границы 3D2. Далее, N2 — бутылка Клейна, хотя более обычное её представ-
АГ, : ^^ N:
2-
ление — квадрат, у которого противоположные стороны отождествлены
посредством слова aba~lb. Если разрезать этот квадрат по диагонали,
а затем склеить два полученных треугольника, как показано на
рисунке, можно получить первое представление бутылки Клейна как
квадрата, стороны которого отождествлены посредством слова а2с2. Согласно
предложению n^Ng) ъ (аь ...,ag |а2...а2). Абелианизация этой группы
является прямой суммой группы Z2 и g — 1 экземпляров группы Z, так как
в этой абелианизации мы можем выбрать в качестве новых образующих
элементы аъ ..., ag_x и аг + ... + ag, для которых 2(ах + ... + ag) = 0.
Следовательно, поверхность Ng не гомотопически эквивалентна Nh, если
g^h, и не гомотопически эквивалентна никакой ориентируемой
поверхности М/,.
А вот ещё одно применение предыдущего предложения.
I Следствие 1.28. Для любой группы G существует двумерный
клеточный комплекс XG, для которого п^Х^ъС
Доказательство. Выберем представление G = (ga | Гд). Оно
существует, так как каждая группа является факторгруппой свободной группы,
поэтому в качестве ga можно взять образующие этой свободной группы, а в
качестве г^ —образующие ядра отображения этой свободной группы в G.
Теперь построим Хс из \/ Sla, приклеивая двумерные клетки el к петлям,
a
заданным словами г@. D
Пример 1.29. Если G — (а \ ап) = Zn, то Хс — это окружность S1 с
клеткой е2, приклеенной по отображению z*-*zn, если представлять себе S1
как единичную окружность в С. При п = 2 мы получаем Хс = З&Р2, но
при п > 2 пространство XG не является поверхностью, так как к каждой
точке окружности S1 с Хс приклеивается п «листов» клетки е2.
Например, при п = 3 можно построить окрестность N окружности S1 в Хс, взяв
произведение графа Y на отрезок /, а затем отождествив оба конца
этого произведения, повернув его на одну треть, как показано на рисунке.

§ 1.2. Теорема ван Кампена
73
Граница окрестности N состоит из одной
окружности, образованной тремя концами
каждого из поперечных сечений
множества N. Чтобы завершить построение
комплекса XG с помощью N, нужно приклеить
диск по граничной окружности
окрестности N. Этого нельзя сделать в R3, но можно сделать в Е4. Для п = 4 нужно
взять граф X вместо графа Y и поворот на одну четверть вместо поворота
на одну треть. Для большего п нужно взять n-конечную звезду и поворот
на 1/п.
Задачи
1. Докажите, что центр свободного произведения G*H
нетривиальных групп G и Н тривиален и что единственными элементами конечного
порядка в группе G*H являются элементы, сопряжённые элементам
конечного порядка в группах G и Н.
2. Пусть X с W" — объединение выпуклых открытых множеств Х]у...
...,ХП, причём Х{ DXjnXk^0 для всех *,;, к. Докажите, что
пространство X односвязно.
3. Докажите, что дополнение к конечному множеству точек в JR"
односвязно при ОЗ.
4. Пусть X с М? — объединение п прямых, проходящих через начало
координат. Вычислите л} (R3 - X).
5. Пусть X с R2 — связный граф, который является объединением
конечного числа отрезков. Докажите, что группа щ {X) свободная с
базисом, состоящим из петель, образованных границами ограниченных
областей дополнения к X, соединённых с отмеченной точкой путями в X.
[Предполагается известной теорема Жордана для полигональной
замкнутой несамопересекающейся кривой (такая кривая соответствует случаю,
когда граф X гомеоморфен S1).]
6. Предположим, что пространство Y получено из линейно связного
подпространства X приклеиванием n-мерных клеток, где п ^ 3
фиксировано. Докажите, что включение X <^-> Y индуцирует изоморфизм групп пх.
[См. доказательство предложения 1.26.] Выведите из этого, что
дополнение дискретного подпространства в Rn односвязно, если п ^ 3.
7. Пусть X — факторпространство сферы S2, полученное при
склеивании северного и южного полюсов в одну точку. Введите на X структуру
клеточного комплекса и примените её, чтобы вычислить группу пх{Х).
8. Вычислите фундаментальную группу пространства, полученного
из двух торов S1 х S1 отождествлением окружности S1 х {л:0} в одном торе
с соответствующей окружностью S1 х {л:0} в другом торе.
9. Пусть С — окружность на поверхности Mg рода g, разбивающая Mg
на две компактные подповерхности М\ и М£, которые получаются из за-

74
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
мкнутых поверхностей Mh и Мк при вырезании из каждой из них
открытого диска. Докажите, что M'h не ретрагируется на свою граничную
окружность С, а значит, Mg не ретрагируется на С. [Указание: абелианизируйте
группу к1.] Докажите, что Mg ретрагируется, однако, на неразделяющую
окружность С', изображённую на рисунке.
10. Рассмотрим две дуги а и /3, вложенные
в D2 х /, как показано на рисунке. Петля у,
очевидно, гомотопна нулю в D2 х /. Докажите, однако, что
она не гомотопна нулю в дополнении к a U /3.
11. Тор отображения 7} для отображения /: X —► X — это факторпро-
странство пространства Хх/, полученное при отождествлении каждой
точки (х, 0) с (/00,1). В случае, когда X = Sl V S1, а отображение /
сохраняет отмеченную точку, вычислите представление группы пх {Tj) в
терминах индуцированного отображения /+: п^Х) —> я^Х). Сделайте то же
самое для X = Sl xSl. [Один из способов сделать это состоит в том, чтобы
рассмотреть пространство Tj как полученное из X V S1 приклеиванием
клеток.]
12. Бутылку Клейна обычно рисуют как подпространство в М3,
например, как подпространство X с №3, изображённое на первом рисунке справа.
Если нужна модель, которая
действительно могла бы служить бутылкой, то
можно удалить открытый диск, ограниченный
окружностью самопересечения
поверхности X, и получить подпространство У с X.
Докажите, что тг1(Х) ъ Ъ * Ъ и что группа
^!(У) имеет представление (a, b, c\aba~lb~lcbec~l), где е = ±1.
(Изменение знака для г даёт изоморфную группу, как это иногда бывает.)
Покажите также, что группа nl{Y) изоморфна tt1(R3 — Z) для графа Z,
изображённого на рисунке. Группы я^Х) и я^У) не изоморфны, но доказать
это нелегко; см. обсуждение в примере 1.В.13.
13. Пространство У из предыдущей задачи можно получить из
диска с двумя дырками, отождествляя три его граничные окружности. Есть
только два существенно различных способа отождествить эти три
граничные окружности. Докажите, что другой способ приводит к пространству Z
с группой ^(Z), не изоморфной nl{Y). [Абелианизируйте
фундаментальные группы, чтобы показать, что они не изоморфны.]
Ы

§ 1.2. Теорема ван Кампена 75
14. Рассмотрим факторпространство куба /3, полученное при
отождествлении каждой квадратной грани с противоположной квадратной
гранью посредством правостороннего винтового движения —
композиции переноса на одну единицу в направлении, перпендикулярном грани,
й одной четверти полного поворота грани вокруг её центра. Покажите,
что это факторпространство X является клеточным комплексом с
двумя нульмерными клетками, четырьмя одномерными, тремя двумерными
й одной трёхмерной. Используя эту структуру, покажите, что п1(Х) —
кватернионная группа {±1, ±i, ±j, ±k} порядка восемь.
15. Если дано пространство X с отмеченной точкой х0еХ, то можно
построить CW-KOMruieKc L(X), имеющий единственную нульмерную
клетку, одномерную клетку е1 для каждой петли у в X с началом и концом
в точке х0 и двумерную клетку е2 для каждого отображения т
стандартного треугольника PQR в пространство X, переводящего вершины Р, Q
И К в точку х0. Двумерная клетка е2 приклеивается к трём одномерным
клеткам, которые являются петлями, полученными при ограничении т
на три ориентированных ребра PQy PR и QR. Докажите, что естественное
отображение L(X) —► X индуцирует изоморфизм пг (L(X)) ^ пг (X, х0).
16. Докажите, что фундаментальная группа поверхности
бесконечного рода, изображённой ниже, является свободной группой с бесконечным
числом образующих.
Я) ■••
17. Докажите, что группа n^R2 -Q2) несчётна.
18. В этой задаче мы используем понятия надстройки,
приведённой надстройки, конуса и конуса отображения, введённые в главе 0.
Пусть X — подпространство в R, состоящее из последовательности точек
1,1/2,1/3,1/4,... вместе с её предельной точкой 0.
а) Для надстройки SX покажите что тс }(SX) — свободная группа со
Счётным множеством образующих, и выведите из этого, что группа 7ii(SX)
СЧётна. В противоположность этому приведённая надстройка ЕХ,
полученная из SX стягиванием отрезка {0} х [ в точку, является букетом
стягивающихся окружностей из примера 1.25, фундаментальная группа
которого несчётна.
б) Пусть С — конус факторотображения SX—>ЕХ. Докажите, что группа
Щ(.С) несчётна, построив гомоморфизм из пг (С) на всю группу П Z/ ® Z.
оо оо
Заметим, что С — приведённая надстройка над конусом СХ. Таким
образом, приведённая надстройка над стягиваемым пространством может
быть нестягиваемой, в отличие от неприведённой надстройки.

76
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
19. Докажите, что подпространство в 1R3, представляющее собой
объединение сфер радиуса - с центром ( -, 0, 0) для п = 1, 2,..., односвязно.
20. Пусть X — подпространство в М2, которое является объединением
окружностей Сп радиуса п с центром (п, 0) для п = 1, 2,... Докажите, что
яi(X) — свободная группа *п тгДСД та же самая, что и у бесконечного
букета \J S1. Докажите, что пространства X и \/ S1 в действительности
00 00
гомотопически эквивалентны, но не гомеоморфны.
21. Докажите, что джойн X * Y двух непустых пространств X и Y од-
носвязен, если X линейно связно.
22. В этой задаче описывается алгоритм, позволяющий вычислить
представление фундаментальной группы дополнения гладкого или
кусочно линейного узла К в IR3, которое называется представлением Виртинге-
ра. Сначала положим узел К почти плоско на стол так, чтобы он состоял
из конечного числа непересекающихся дуг ait по которым узел пересекает
плоскость стола, и конечного числа дуг /3^, где он проходит сам над
собой. Конфигурация для такого прохождения узла над собой
(перекрёстка) изображена на первом рисунке. Построим двумерный комплекс X,
который является деформационным ретрактом пространства R3 — К,
сделав следующие три шага. Сначала возьмём прямоугольник Т — верхнюю
часть стола. Затем чуть выше каждой дуги а, поместим длинную тонкую
прямоугольную полосу Rh изогнутую так, что она идёт параллельно а,
вдоль всей дуги а,, и выгнутую так, что два длинных края полосы Я,
отождествляются с точками прямоугольника Г, как на втором рисунке. Каждую
дугу /3£, проходящую над а,, разместим на Я,. Наконец, над каждой дугой
/3£ расположим квадрат S^ все четыре стороны которого загнуты вниз,
так что эти стороны склеиваются с точками трёх полос Rh Rj и R^, как
показано на третьем рисунке; а именно, две противоположные стороны
квадрата S? отождествляются с короткими краями полос R; иКьа две
другие противоположные стороны квадрата S? отождествляются с двумя
дугами, пересекающими внутреннюю часть полосы R,. Узел К является
теперь подпространством в X, но после того, как мы слегка поднимем
узел К, чтобы он оказался в дополнении к X, станет ясно, что X является
деформационным ретрактом пространства Е3 — К.
а) Воспользовавшись этой геометрической информацей, покажите,
что группа 7г3 (R3 — К) имеет представление с одной образующей х, для

§ 1.3. Накрытия
77
каждой полосы R, и одним соотношением вида x(XjX~ =xk для каждого
квадрата Sh где индексы такие же, как на рисунках выше. [Чтобы
получить правильные знаки, следует использовать ориентацию узла К.]
б) Примените это представление, чтобы показать, что абелианизация
группы Я] (R3 - К) равна Z.
§1.3. Накрытия
Перейдём теперь ко второй основной теме этой главы, накрытиям,
фактически мы уже встретились с одним примером накрытия при
вычислении группы n{(Sl). Это было отображение Е—>S\ которое мы
представляли как проекцию спирали на окружность, причём спираль была
расположена выше окружности, «накрывая» её. Многое из того, что мы
доказали для этого накрытия, выполняется для всех накрытий, и поэтому
накрытия служат полезным общим методом вычисления фундаментальных
групп. Но связь между фундаментальной группой и накрытиями заходит
намного глубже этого, и во многом их можно рассматривать просто как
две точки зрения на одно и то же. Это означает, что алгебраические
свойства фундаментальной группы часто можно перевести на геометрический
язык накрытий. Это иллюстрируется одним из главных результатов этого
параграфа, дающим точное соответствие между различными связными
накрывающими пространствами данного пространства X и подгруппами
группы 7г1(Х). Это удивительно напоминает теорию Галуа, описывающую
соответствие между расширениями полей и подгруппами группы Галуа.
Определения и примеры
Начнём с определения. Накрывающее пространство данного
пространства X —-это пространство X и отображение р: X —>X, для которых
выполняется следующее условие: существует такое открытое покрытие
{Ua} пространства X, что для каждого а прообраз р~1(иа) является
объединением непересекающихся открытых множеств в X, каждое из
которых р гомеоморфно отображает на Ua. При этом допускается пустое
объединение, так что р не обязано быть сюръективным. Отображение р
Называют накрытием.
В примере со спиралью у нас есть отображение р: R —>Sl, заданное
формулой p(t) = (cos2nt, sin2rct), а требуемое покрытие {Ua} может
состоять из любых двух открытых дуг, объединение которых совпадает с S1.
Похожий пример — поверхность геликоида S СR3, состоящая из точек
вида (scos2nt,ssm2nt, t), где (s, t) e (0, оо) х R. Эта поверхность
проектируется на Ш2 - {0} посредством отображения (х, у, z) -* (х, у), и эта
проекция задаёт накрытие р: S -> IR2 - {0}, так как для каждого открытого
Диска U в R2 — {0} его прообраз p~l(U) состоит из счётного набора
непересекающихся открытых дисков в S, каждый из которых р отображает
Гомеоморфно на U. Ещё один пример — отображение р: S1 —*S\ заданное

78
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
формулой p(z) = zn, где мы рассматриваем z как
комплексное число, у которого |z| = 1, а п —любое натуральное число.
Лучше всего представлять это накрытие как линейную
проекцию в трёхмерном пространстве, аналогичную проекции
спирали, нарисовав окружность, обматывающуюся вокруг
цилиндра п раз и пересекающую себя в п — 1 точках, которые
нужно считать не настоящими точками пересечения. Чтобы
нарисовать эту картинку по-другому, теперь уже без этого
дефекта, вложите S1 в граничный тор полнотория S1 x D2 так, чтобы она
монотонно наматывалась п раз вокруг множителя S1 без
самопересечений, а затем ограничьте проекцию Sl х D2 —>S] x {0} на эту вложенную
окружность.
Как покажет нам общая теория, эти примеры для п ^ 1 вместе с
примером спирали исчерпывают все связные накрывающие пространства
окружности S1. Есть много других несвязных накрывающих пространств
окружности S\ например п непересекающихся окружностей, каждая из
которых отображается гомеоморфно на S1, но эти несвязные
накрывающие пространства — просто несвязные объединения связных
накрывающих пространств. Обычно мы будем рассматривать связные
накрывающие пространства, поскольку они отражают большинство интересных
свойств накрывающих пространств.
Для накрытия р: X—>Х мощность множества р-1 (х)— локально
постоянная функция на X, поэтому если X связно, то мощность множества
р_1(х) не зависит от точки х; её называют числом листов накрытия.
Таким образом, накрытие S1 —>Sl, z^>z, является п-листным, а накрытие
R-^Sl является бесконечнолистным. Такая терминология возникает,
если рассматривать непересекающиеся множества p~l(Ua)> гомеоморфно
отображающиеся на Ua, из определения накрытия как отдельные «листы»
накрывающего пространства. Если пространство X несвязно, то число
листов может быть разным для разных компонент пространства X, и даже
может быть нулём над некоторыми компонентами, так как не требуется,
чтобы множество p~l(Ua) было непустым.
Накрывающие пространства букета S1 VS1 образуют чрезвычайно
богатое семейство, которое очень конкретно иллюстрирует основную часть
общей теории, поэтому давайте рассмотрим несколько из этих
накрывающих пространств, чтобы получить представление о том, что
происходит. Чтобы упростить обозначения, положим X = Sl V S1. Мы
рассматриваем это пространство как граф с одной верши- *—^ ^—-^
ной и двумя рёбрами. Обозначим эти рёбра а и Ь Ъ ( */\. )а
и выберем на них ориентации. Теперь пусть X — л ю- —
бой другой граф, у которого в каждой вершине
сходятся четыре ребра, причём мы будем предполагать, что рёбра графа X
помечены буквами а и Ъ и на них заданы ориентации так, что локаль-

§1.3. Накрытия
79
ная структура в окрестности каждой вершины такая же, как в графе X,
а именно, есть ребро а, направленное в вершину, ребро а, направленное
из вершины, ребро Ь, направленное в вершину, и ребро Ь, направленное
из вершины. Чтобы дать какое-то название этой структуре, будем
говорить, что X является 2-ориентированным графом.
Таблица на с. 80 показывает только некоторые из бесконечного
множества всех возможных примеров.
Для данного 2-ориентированного графа X можно построить
отображение р: X —»X, отобразив все вершины графа X в вершину графа X,
а каждое ребро графа X — в ребро графа X с той же самой пометкой
посредством отображения, которое является гомеоморфизмом на
внутренней части ребра и сохраняет ориентацию. Ясно, что для р
выполняются свойства накрытия. Обратное утверждение тоже верно. Любое
накрывающее пространство графа X является графом, который снабжён
2-ориентацией, индуцированной с графа X.
Как читатель обнаружит экспериментально, каждый граф, у которого
любой вершине инцидентны четыре ребра, можно 2-ориентировать. Для
конечных графов это можно доказать следующим образом. Есть вполне
классический и легко доказываемый факт, что любой конечный связный
граф с чётным числом рёбер, инцидентных каждой вершине, имеет
эйлеров обход — петлю, которая проходит по каждому ребру ровно один раз.
Если каждой вершине инцидентны ровно четыре ребра, то, помечая рёбра
эйлерова обхода поочерёдно буквами а и Ь, получаем в каждой вершине
два ребра а и два ребра Ъ. Тогда объединение рёбер а представляет собой
набор непересекающихся окружностей, как и объединение рёбер Ъ.
Выбирая ориентации для всех этих окружностей, получаем 2-ориентацию.
В теории графов есть теорема, что бесконечные графы, у которых
каждой вершине инцидентны четыре ребра, тоже можно 2-ориентировать;
доказательство имеется в главе 13 книги [44]. Известно также обобщение
для n-ориентированных графов, которые являются накрывающими
пространствами букета п окружностей.
Односвязное накрывающее пространство 4-f-f
Для X можно построить следующим образом.
Начнём с открытых интервалов (-1,1) на ко- 4.
ординатных осях в R2. Затем для фиксиро- * '* *' "*~
ванного числа Я, где 0 < Я < 1/2, например *+£ 1 И*
^ = 1/3, добавим четыре открытых отрезка 4-j-f ] -*f
Длины 2Л, расположенных на расстоянии Я от
концов предыдущих отрезков
перпендикулярно к ним так, что новые более короткие
отрезки делятся пополам прежними. На третьем
Щаге добавим перпендикулярные открытые отрезки длины 2Я2, располо
Женных на расстоянии Я2 от концов всех предыдущих отрезков и делящие
4-
4
4
+
*

80
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
Накрывающие пространства S1 VS1
(1)
{a,b\bab~
(3)
а
Ъ ^а
(4)
а
Ъ ^а
1Гг <г
(а\Ь2уЬаЬ~])
{a,b\ba2b-\baba-]b-1)
(5) а
(6) а
(сЛЬ3,^-1,^)
(а3,Ь\аЬ,Ьа)
(а4,Ь4,аЬ,Ьа,а2Ь2)
(а2,Ь2,(аЬ)2, (Ъа)2,аЪ2а)
(а2,Ъ\аЬуЪа2Ь~\ЬаЪ-2)
(10) а а а
■ 0*0-0
а а а
(b2nab-2n-\b2n+xab-2"\neZ)
(П)
(b",ab-"|n€Z)
(12)
(а)
03)
<аЬ>
(И)
4
ьрьрь
(а.ЬаЬ"1)

§1.3. Накрытия
81
ся ими пополам. Затем этот процесс неограниченно повторяется, и на п-м
шаге добавляются открытые отрезки длины 2ЯП_1 на расстоянии А/1"1 от
всех концов полученных ранее отрезков. Объединение всех этих
открытых отрезков — граф, вершинами которого являются точки пересечения
горизонтальных и вертикальных отрезков, а рёбрами являются отрезки
между соседними вершинами. Мы помечаем все горизонтальные рёбра
буквой а и ориентируем направо, а все вертикальные рёбра помечаем
буквой Ъ и ориентируем вверх.
Это накрывающее пространство называют универсальный
накрытием пространства X, потому что, как покажет нам общая теория, оно
является накрывающим пространством любого другого связного
накрывающего пространства для X.
Все накрывающие пространства (1)—(14) в таблице неодносвязные.
Их фундаментальные группы свободные с базисами, представленными
петлями, которые задаются указанными словами из букв а и Ь; эти
петли начинаются и заканчиваются в отмеченной точке х0, выделенной на
рисунках. Это можно доказать в каждом случае, применяя теорему ван
Кампена. Можно также интерпретировать список слов как образующие
подгруппы рДят(Х, х0)) в группе 7гт(Х, х0) = (а, Ь). Общий факт, который
мы докажем о накрывающих пространствах, состоит в том, что
индуцированный гомоморфизм
р„: яДХДо) -* яДХ^о)
всегда инъективен. Таким образом, мы получаем парадоксальный, на
первый взгляд, факт, что свободная группа с двумя образующими содержит
в качестве подгруппы свободную группу с любым конечном числом
образующих и даже со счётным множеством образующих, как в примерах
(10) и (11). Другой общий факт, который мы тоже докажем, заключается
в том, что индекс подгруппы рЛп\ iX> *о)) в Я] (X, х0) равен числу листов
накрытия.
При замене отмеченной точки х0 на другую точку из р~1{х0)
подгруппа рДтг^Х, х0)) заменяется на сопряжённую подгруппу в п}(Х,х0).
При этом сопрягающий элемент группы тг^Х,.^) представляется любой
петлёй, которая является проекцией пути в X, соединяющего одну
отмеченную точку с другой. Например, накрывающие пространства (3) и (4)
различаются только выбором отмеченных точек, а соответствующие
подгруппы в 7гт(Х, х0) отличаются сопряжением посредством элемента Ь.
Основная классификационная теорема для накрывающих
пространств ^ггверждает, что если сопоставить накрытию р: X—>Х подгруппу
Р*Гтг1(Х, х0)), то мы получим взаимно однозначное соответствие
между всеми различными связными накрывающими пространствами для X
и классами сопряжённости подгрупп в п{(Х,х0). Если проследить за
отмеченной точкой х0еХ, то это будет взаимно однозначное соответствие

82
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
между накрывающими пространствами р: (X, Зс0) —» (X, х0) и настоящими
подгруппами в тг^Х,^), а не классами сопряжённости. Конечно, чтобы
придать смысл этим утверждениям, нужно иметь точное определение
того, когда два накрывающих пространства одинаковы или «изоморфны».
В данном случае изоморфизм между накрывающими пространствами
для X — это просто изоморфизм графов, сохраняющий пометки и
ориентации рёбер. Таким образом, накрывающие пространства (3) и (4)
изоморфны, но не посредством изоморфизма, сохраняющего отмеченные точки,
поэтому две подгруппы в тг^Х, х0), соответствующие этим накрывающим
пространствам, разные, но сопряжённые. С другой стороны,
накрывающие пространства (5) и (6) не изоморфны, хотя эти графы гомеоморфны,
таким образом, соответствующие подгруппы в тг1(Х,х0) изоморфны, но
не сопряжены.
Некоторые из накрывающих пространств (1)—(14) более
симметричны, чем другие. Под «симметрией» здесь мы подразумеваем автоморфизм
графа, сохраняющий пометки и ориентации рёбер. Самые
симметричные накрывающие пространства —те, для которых найдётся симметрия,
переводящая любую вершину в любую другую. Примеры (1), (2), (5)—
(8) и (11) обладают этим свойством. Мы увидим, что накрывающее
пространство для X имеет максимальную симметрию в точности тогда, когда
соответствующая подгруппа в тг1(Х, х0) нормальная, и в этом случае
симметрии образуют группу, изоморфную факторгруппе группы пх (X, х0) по
этой нормальной подгруппе. Так как любая группа, порождённая двумя
элементами, является факторгруппой группы Z*Z, из этого следует, что
любая группа с двумя образующими является группой симметрии
некоторого накрывающего пространства для X.
Свойства поднятия
Накрытия определены в весьма геометрических терминах, как
отображения р: X —> X, которые являются локальными гомеоморфизмами
в довольно сильном смысле. Но с точки зрения алгебраической топологии
основное свойство накрытий —это их поведение по отношению к
поднятию отображений. Напомним терминологию из доказательства
теоремы 1.7: поднятие отображения /: У —»Х — это отображение /: У —*Х,
для которого р/ = /. Мы опишем три свойства поднятия для накрытий
и приведём некоторые их применения.
Прежде всего мы имеем свойство поднятия гомотопии или теорему
0 накрывающей гомотопии, как её иногда называют.
1 Предложение 1.30._Если даны накрытие р: X—>Х, гомотопия /,: У —►
I -* X и отображение £0: У —> X, поднимающее /0, то существует един-
I ственная гомотопия ft: У —>Х отображения /0, которая поднимает ft.

§ 1.3. Накрытия
83
Доказательство. Для накрытия р: R—>S это свойство в) из
доказательства теоремы 1.7, а приведённое там доказательство можно
применить к любому накрытию. □
Если в качестве Y взять точку, то получим свойство поднятия пути
для накрытия р: X —> X, которое говорит, что для любого пути /: / —> X
и любого поднятия х0 исходной точки /(0) — х0 существует единственный
путь /: J —»Х, поднимающий /, который начинается в х0. В частности,
из единственности поднятия следует, что любое поднятие постоянного
пути постоянно, но это проще выводится из того факта, что р~1(х0) имеет
дискретную топологию по определению накрытия.
Если в качестве Y взять /, то мы увидим, что любая гомотопия /г пути
/0 в X поднимается до гомотопии ft любого поднятия /0 пути /0. Поднятая
гомотопия /г является гомотопией путей, сохраняющей концы, так как
при изменении t каждый конец пути ft заметает путь, поднимающий
постоянный путь, а потому он должен быть постоянным.
Вот простое приложение.
I Предложение 1.31. Отображение
I р*: п1(Хух0) — TTjCX,^),
I индуцированное накрытием р: (X, х0) —> (X, х0), инъективно. Подгруп-
I па р*(тг1(Х, х0)) в 7Г] (X, х0) состоит из гомотопических классов петель
I в X с началом и концом в точке х0, поднятия которых в X с началом в х0
I являются петлями.
Доказательство. Любой элемент ядра отображения рж
представляется петлёй /0: / —> X, для которой есть гомотопия /г: / —> X петли /0 = р/0
в тривиальную петлю /г. Согласно замечаниям перед этим предложением
существует поднятие гомотопии петель ft, которая начинается петлёй /0
и заканчивается постоянной петлёй. Следовательно, [/0] =0 в тгДХ,х0)у
и гомоморфизм р+ инъективен.
Докажем теперь второе утверждения предложения. Петли с началом
и концом в х0, поднимающиеся до петель с началом и концом в Зс0,
очевидно, представляют элементы образа отображения р+: я^Х, х0) —> яДХ, х0).
Наоборот, петля, представляющая элемент образа отображения р+,
гомотопна петле, у которой есть такое поднятие, поэтому согласно свойству
поднятия гомотопии и у неё самой должно быть такое поднятие. П
I Предложение 1.32. Число листов накрытия р: (X, х0) —> (Х,х0), где
I пространства X и X является линейно связными, равно индексу под-
I группы р+ (щ(Х,х0)) в щ(Х,х0).
Доказательство. Для петли g в X с началом и концом в точке х0 пусть
£—- её поднятие в X, начинающееся в точке Зс0. Произведение h • g, где
[h] SH = р+(тг1(Х, Зс0)) имеет поднятие h-g, заканчивающееся в той же
самой точке, что и g, так как h — петля. Поэтому мы можем определить

84
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
отображение Ф из смежных классов H[g] в р_1(*о)> переводящее H[g]
в g(l). Линейная связность пространства X влечёт, что Ф сюръективно,
так как точку х0 можно соединить с любой точкой в р-1 (х0) путём g,
проектирующимся в петлю g с началом и концом в х0. Чтобы убедиться, что
Ф инъективно, заметим, что из равенства ФСН^]) = Ф(И^2]) следует,
что g} • g2 поднимается до петли вХс началом и концом в Зс0, поэтому
[йП&Г1 еН, а значит, H[gl]=H[g2]. D
Важно также знать, как обстоит дело с существованием и
единственностью поднятий произвольных отображений, а не только гомотопий. Что
касается существования, ответ даёт следующий критерий поднятия.
I Предложение 1.33. Пусть дано накрывающее пространство р:
I (X, х0) —> (X, х0). и отображение /: (У, у0) —> (Х,л:0), причём нро-
I странство У линейно связно и локально линейно связно. Поднятие
I /: (У, у0) —> (X, х0) отображения / существует тогда и только тогда, ко-
I гдаД7г^У,у0))ср*(тсДХ,х0)).
Говоря, что какое-то пространство обладает определённым свойством
локально (например, является локально линейно связным), мы
подразумеваем, что любая его точка имеет сколь угодно малые открытые
окрестности, обладающие этим свойством. Таким образом, пространство У
локально линейно связно, если для любой точки у е У и любой окрестности
U точки у найдётся открытая окрестность V с U точки у, которая
является линейно связной. Некоторые авторы ослабляют требование
линейной связности V до условия, что любые две точки в V можно соединить
путём в U. Это более общее определение тоже годится для наших целей,
нужно лишь немного изменить доказательства, но для простоты мы будем
использовать более ограничительное определение.
Доказательство. Утверждение «только тогда» очевидно, так как /* —
= р*/*. Докажем обратное утверждение. Пусть у е У, и пусть у — путь в Y
из у0 в у. Путь fy в X, начинающийся в х0, имеет единственное поднятие
fy, начинающееся в Зс0. Положим /(у) = /у(1). Чтобы показать, что это
определение корректно, т. е^е зависит от выбора у, возьмём другой путь
/ из у0 в у. Тогда (/уО • (/у) —петля h0 с началом и концом в х0, для
которой [h0] е/+(я1(У, у0)) ср+(тг1(Х, Зс0)). Это означает, что существует

§1.3. Накрытия
85
гомотопия ht петли h0 в петлю hb которая поднимается до петли h^ в X
с началом и концом в х0. Применив свойство накрывающей гомотопии
к ht, получим поднятие hr Так как hT — петля с началом и концом в х0, h0 —
такая же петля. Согласно единственности поднятия пути первая половина
петли h0 —это путь fy'y а вторая половина — это путь /у, который
проходится в обратном направлении; точка /у(1) =/х/(1) У этих путей общая.
Это показывает, что отображение^/ определено корректно.
Докажем, что отображение / непрерывно. Пусть U с X — открытая
окрестность точки /(у), у которой есть такое поднятие (/сХ, содержащее
/(у)> что p. U -*U является гомеоморфизмом. Выберем линейно связную
открытую окрестность V точки у, для которой /(V) с U. В качестве путей
из Уо в разные точки у' е V можно взять фиксированный путь у из у0 в у,
который продолжается разными путями г\ в V из у в точки у'. Тогда пути
(/у)' С/1?) в X имеют поднятия (/у) • (/т)), где /т) = р"1/7/ и Р~!: ^ ~* ^ ~
отображение, обратное к р: U-+U. Таким образом, /(V) с U и/|V = p_1/,
поэтому отображение / непрерывно в точке у. □
Пример, показывающий необходимость предположения о локальной
линейной связности пространства Y, описан в задаче 7 в конце этого
параграфа.
Мы имеем также свойство единственности поднятия.
I Предложение 1.34. Пусть даны накрытие р: X —* X и отображение
I /: Y —> X вместе с двумя поднятиями fx, /2: Y —> X, которые согласованы
I в одной точке пространства Y. Тогда если Y связно, то эти два поднятия
| должны быть согласованы на всём пространстве Y.
Доказательство. Пусть точка у€У и U — такая открытая
окрестность точки /(у) в X, что р_1(^) является объединением
непересекающихся открытых множеств Ua, каждое из которых проекция р отображает
гомеоморфно на U. Пусть ил и L/2—те из множеств Ua, которые
содержат Д00 и /г(у) соответственно. В силу непрерывности отображений
Л i? /2 существует окрестность /V точки у, которую /j отображает в иг,
а /г отображает в U2z Если Л 00 ^ЛОО» то U\ Ф 02, а значит, ил и Ё2
Не Пересекаются, и /j ^ /2 во всей окрестности N. С другой стороны,
если /j(y) =/2(у)э то L?! = L?2, поэтому Л =Л на N, так как р/г = р/2
и отображение р^инъективно на Ul = L/2. Таким образом, множество
точек, в которых /i и /2 согласованы, является одновременно открытым
и замкнутым в 7. П
Классификация накрытий
Рассмотрим теперь задачу классификации всех различных
накрывающих пространств для фиксированного пространства X. Так как вся эта
глава —о путях, не стоит удивляться, что мы ограничимся рассмотрением

86
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
пространств X, которые являются по крайней мере локально линейно
связными. Тогда компоненты линейной связности пространства X
совпадают с компонентами связности, и при классификации накрытий
пространства X мы ничего не потеряем, предположив, что X связно или,
что эквивалентно, линейно связно. Локальная линейная связность
наследуется накрывающими пространствами, поэтому они тоже связны тогда
и только тогда, когда они линейно связны. Основой классификации
будет соответствие Галуа между связными накрывающими пространствами
для X и подгруппами в 7Г](Х). После описания этого подхода мы опишем
ещё и другой метод классификации, который включает также несвязные
накрывающие пространства.
Соответствие Галуа происходит из отображения, которое
сопоставляет каждому накрытию р: (Х,3с0) ~* (^> *о) подгруппу рДтг^Х, 3?0))
в тг^Х,^)- Сначала мы выясним, сюръективно ли это отображение,
т.е. нас интересует, любая ли подгруппа в тс^Х,^) реализуется как
р+(я] (X, х0)) для некоторого накрытия р: (X, х0) —> (X, х0). В частности,
можно спросить, реализуется ли тривиальная подгруппа. Так как
гомоморфизм р+ всегда инъективен, это сводится к вопросу о том, есть ли у X
односвязное накрывающее пространство. Ответ на этот вопрос потребует
некоторой работы.
Необходимое условие для того, чтобы у пространства X было
односвязное накрывающее пространство, заключается в следующем: у любой
точки х е X есть такая окрестность I/, что индуцированное включением
отображение пг(и, х) —► я^Х, х) тривиально. Если такое свойство
выполняется, то говорят, что X полулокально односвязно. Чтобы понять, зачем
нужно это условие, предположим, что р: X —> X — накрытие с односвяз-
ным пространством X. У любой точки х е X есть окрестность [У, у которой
есть поднятие [У с X, проектирующееся гомеоморфно на U
отображением р. Любая петля в U поднимается до петли в [У, а поднятая петля
стягиваема в X, так как я1 (X) =0. Поэтому, взяв композицию этого стягивания
и отображения р, получаем, что исходная петля в U стягиваема в X.
Локально односвязное пространство, конечно, является полулокально
односвязным. Например, CW-комплексы обладают намного более
сильным свойством: они локально стягиваемы, как мы покажем в
приложении. Примером пространства, которое не полулокально односвязно,
служит букет стягивающихся окружностей, т. е. подпространство X с К2,
состоящее из окружностей радиуса 1/п с центром в точке (1/п,0) для
п = 1, 2,..., описанное в примере 125. С другой стороны, конус СХ =
= (X х 1)/{X х {0}) полулокально односвязен, так как он является
стягиваемым, но это пространство нелокально односвязно.
Теперь мы покажем, как построить односвязное накрывающее
пространство для X, если X линейно связно, локально линейно связно и
полулокально односвязно. Чтобы мотивировать это построение, предположим,

§ 1.3. Накрытия
87
*rro p: (X, *о) —> (X, х0) — односвязное накрывающее пространство. Тогда
согласно предложению 1.6 любую точку х е X можно соединить с
точкой х0 единственным с точностью до гомотопии путём, поэтому можно
рассматривать точки пространства X как гомотопические классы путей,
выходящих из точки Зс0. Преимущество такой точки зрения состоит в том,
что согласно свойству поднятия гомотопии гомотопические классы путей
в X, выходящих из точки Зс0, — это то же самое, что и гомотопические
классы путей в X, выходящих из точки х0. А это даёт способ описать X
в терминах пространства X.
Таким образом, если дано линейно связное, локально линейно
связное и полулокально односвязное пространство X с отмеченной точкой
Х0€Х, то мы приходим к следующему определению:
X = {[у] I У — путь в X, выходящий из точки х0 },
где, как обычно, [у] обозначает гомотопический класс пути у
относительно гомотопии, которые оставляют концы у(0) и у(1) неподвижными.
Тогда отображение р : X —> X, переводящее [у] в у(1), определено корректно.
Так как пространство X линейно связно, конец у(1) может быть любой
точкой в X, поэтому отображение р сюръективно.
Прежде чем определить топологию на X, сделаем несколько
предварительных замечаний. Пусть 9/ — множество всех таких линейно связных
открытых множеств U СХ, что отображение ti^L/) —> п1(Х) тривиально.
Отметим, что если отображение n^{U)—> яДХ) тривиально для какого-
то выбора отмеченной точки в L/, то оно тривиально для любого выбора
отмеченной точки, так как U линейно связно. Линейно связное
открытое подмножество VC[/G^ тоже содержится в °11', так как композиция
nx(V) —> n1(U) —> 7ii(X) тоже будет тривиальной. Из этого следует, что
fy — базис топологии на X, если X локально линейно связно и
полулокально односвязно
Если даны множество U е У/ и путь у в X из точки х0 в некоторую
точку в U, то положим
и[у] = {[у -г]] | Tj — путь в L/, для которого rjCO) = у(1) }.
Как указывают обозначения, U^ зависит только от гомотопического
класса [у]. Заметим, что отображение р: U^ —► U сюръективно, так как U
линейно связно, и инъективно, так как все пути tj, соединяющие у{\)
с фиксированной точкой х eU, гомотопны в X, поскольку отображение
%([/) —► я^Х) тривиально. Имеется также следующее свойство:
(*) и[у] = и[у>]у если [/] е и[у]\ действительно, если у' — у • rj, то
элементы множества U{r>] имеют вид [у • г\ • /i] и потому лежат в L/lrJ, в то
время как элементы множества UlY] имеют вид [у ■ ц] = [у ■ г\ • г\ • д] =
= [у/ * ^7 * М-] и потому лежат в U[Y^.

0 Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
оо
Этим можно воспользоваться, чтобы показать, что множества Uly]
образуют базис топологии на X. Действительно, если даны два таких
множества U[r]i У[у1] и элемент [у"] е Цу] П V[r^, то U[r] = U[r"j и VIy/, = V[y»j
согласно свойству (*). Поэтому если множество We^ содержится в U П V
и содержит r"G), то W[n С [/[П п У[уП и [/1 е W{y»v
Взаимно однозначное отображение р: t/[rl -> t/ является
гомеоморфизмом, так как оно даёт взаимно однозначное соответствие между
подмножествами V[r>] С U[y] и множествами VeW, содержащимися в U.
А именно, в одну сторону мы имеем р(У[г>\) = V, а в другую сторону
мы имеем р~1(У) П t/[rJ = V[f] для любого [у'] е U{r] с концом в V, так
как V[r/j с С/1г'] = С/[Г] и Vfr/] отображается на всё множество V взаимно
однозначным отображением р.
Из предыдущего- абзаца следует, что отображение р: X —> X
непрерывно. Мы также получаем, что это отображение — накрытие, так как для
фиксированного \]^°U множества Цу] для разных [у] задают разбиение
p~l(U) на непересекающиеся множества, потому что если [у"] £ЦГ] П[7[У>|,
то C/frj = l/[r»] = Цг^ согласно свойству (*).
Остаётся только показать, что пространство X односвязно. Для
данной точки [у] еХ пусть yt — путь в X, который совпадает с у на [0, г]
и остаётся в одной и той же точке y(t) на [г, 1]. Тогда отображение
t *"* [yf] представляет собой путь в X, поднимающий у, который
начинается в [х0] — гомотопическом классе постоянного пути в точке х0 — и
заканчивается в [у]. Так как [у] —произвольная точка в X, это показывает, что
пространство X линейно связно. Чтобы проверить, что К\(ХУ [х0]) = 0,
достаточно показать, что образ этой группы при гомоморфизме р*
тривиален, так как р+ инъективен. Элементы в образе гомоморфизма р+
представлены нетлями у с началом и концом в х0, которые поднимаются
до петель в X с началом и концом в точке [лг0]. Мы уже отметили, что
путь t —> [yf] является поднятием пути у, начинающимся в точке [>0], и то,
что этот поднятый путь является петлёй, означает, что [у}] = [х0]. Так как
Yi = у, это показывает, что [у] = [х0], а потому петля у стягиваема и образ
гомоморфизма р+ тривиален.
Это завершает построение односвязного накрывающего пространства
X — X.
В конкретных случаях обычно строят одиосвязное накрывающее
пространство более прямыми методами. Например, предположим, что X —
объединение подпространств Л и В, для которых односвязные
накрывающие пространства Л-»АиВ->В уже известны. Тогда можно попытаться
построить односвязное накрывающее пространство X —> X из нескольких
экземпляров пространств А и В. Например, пусть X = Sl V S1, а в качестве
А и В мы берём эти две окружности; тогда каждое из пространств А и В
равно R, и мы можем построить односвязное накрывающее пространство
X, описанное ранее в этом параграфе, склеивая вместе бесконечно много

§1.3. Накрытия
89
экземпляров пространств Л и В, которые соответствуют горизонтальным
и вертикальным прямым в X. А вот ещё одна иллюстрация этого метода.
Пример 1.35. Для целых чисел т, п ^ 2 пусть Хшп — факторпростран-
ство цилиндра Slxl при отождествлениях (z, 0)~ (е27г,/шг, 0) и (z, 1) ~
~ (e27r,/nz, 1). Пусть А с X и В с X получаются при факторизации
подпространств S1 х [0, 1/2] и S1 х [1/2, 1]; таким образом, Л и В —цилиндры
отображения для отображений z —* zm и z -> zn, причём Л П В = S1. Самый
простой случай т = п = 2; тогда Л и В —листы Мёбиуса, а Х22 — бутылка
Клейна. Мы уже встречались с комплексами Хтп при анализе дополнений
торических узлов в примере 1.24.
Рисунок из примера 1.29 в конце предыдущего параграфа
показывает, как выглядит А в типичном случае т = 3. У нас
тг^А) «a Z, а универсальное накрытие А гомеоморфно
произведению Ст х R, где Ст — граф, который является конусом над т
точками, как показано на рисунке справа. Ситуация для В
похожа, и пространство В гомеоморфно Сп х К. Теперь попытаемся
построить универсальное накрытие Хт п из экземпляров
пространств А и В. Начнём с одного экземпляра пространства А.
Его граница, т. е. внешние края его плавников, состоит из т
экземпляров пространства -R. Вдоль каждой из этих т. граничных прямых
мы приклеиваем экземпляр пространства В. У каждого из этих
экземпляров пространства В одна из границ приклеена к исходному экземпляру
пространства А, а остальные п — 1 граничных прямых свободны, и мы
приклеиваем новый экземпляр пространства А к каждой из этих свободных
граничных прямых. Таким образом, теперь у нас получилось т{п — 1) -Ь 1
экземпляров пространства А. Каждый из вновь приклеенных экземпляров
пространства А имеет т - 1 свободных граничных прямых, и к каждой из
этих прямых мы приклеиваем новый экземпляр пространства В. Дальше
это процесс повторяется до бесконечности очевидным способом. Пусть
Хт>п —полученное в результате пространство.
Структуры произведения А = Ст х 1R и В =
== Сп х IR дают для Хш>п структуру
произведения Ттп х ~R, где Ттм — бесконечный граф,
построенный по индуктивной схеме, точно такой
Же, как схема построения пространства ХШ1„.
Таким образом, Ттп —объединение
последовательности конечных подграфов, каждый из которых
получен из предыдущего приклеиванием новых
экземпляров пространства Ст или Сп. Каждый из
э1"Их конечных подграфов деформационно ретрагируется на предыдущий.
Бесконечная цепь этих деформационных ретракций, где /с-й граф
деформационно ретрагируется на предыдущий в течение времени из интерва-
ла [1/2 ,1/2/с~1], даёт деформационную ретракцию пространства Ттп на

90
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
[гч
11
М-
Гп
1 '
к
к
к
1 \
к
\j
\Г
1
N
Й
г ]|
о
й
г 1
исходное пространство Сш. Так как Сш стягиваемо, это означает, что Ттп
стягиваемо, а значит, стягиваемо и пространство Хш>„, которое является
произведением Ттп х 3L В частности, пространство Хш„ односвязно.
Отображение, которое проектирует каждый
экземпляр пространства Л в Хтп на Л, а каждый
экземпляр пространства В на В, является накрытием.
Чтобы определить это отображение строго, выберем
точку х0 е S1; тогда образ отрезка {х0} х I в ХШ|П
пересекает Л по отрезку, прообраз которого в Л состоит из
бесконечного числа отрезков, встречавшихся на
предыдущем рисунке как горизонтальные отрезки,
расположенные по спирали вокруг центральной вертикальной
оси. Картина в В аналогична, и, когда мы склеиваем все экземпляры
пространства Л и В, чтобы построить Хт п, мы делаем это так, чтобы эти
горизонтальные отрезки всегда выстраивались точно в линию. Это даёт
разбиение пространства Хтп на бесконечно много прямоугольников, каждый
из которых получен из прямоугольника в Л и прямоугольника в В.
Накрывающая проекция Хшп -»Хш;1 — это отображение факторизации, которое
отождествляет все эти прямоугольники.
Вернёмся теперь к общей теории. Предположений, нужных для
построения односвязного накрывающего пространства для X, в
действительности достаточно для построения накрывающих пространств,
реализующих любую подгруппу в п1(Х).
Предложение 1.36. Предположим, что пространство X линейно
связно, локально линейно связно и полулокально односвязно. Тогда для
любой подгруппы НСпг (X, х0) существует такое накрытие р : Хн -»X, что
р+(я1(Хн, Зс0)) =Н при подходящем выборе отмеченной точки х0еХн.
Доказательство. Для точек [у] и [у'] в односвязном накрывающем
пространстве X, построенном выше, будем считать, что [у] ~ [у']
означает, что у(1) = у'(1) и [уу']еН. Легко видеть, что это отношение
эквивалентности, так как Я —подгруппа. Л именно, оно рефлексивно, так как Н
содержит единичный элемент; симметрично, так как Н замкнута
относительно обращения; транзитивно, так как Н замкнута относительно
умножения. Пусть Хи —факторпространство пространства X, полученное при
отождествлении [у] с [у'], если [у] ~ [у']. Заметим, что если у(1) = у'(1)у
то [у] ~ [у'] тогда и только тогда, когда [yrj] ~ [y'rj]. Это означает, что если
какие-нибудь две точки в базисных окрестностях U{y] и и^
отождествляются в Х/ь то тогда эти окрестности отождествляются целиком.
Следовательно, естественная проекция Хи —>Х, индуцированная отображением
[у] —> 7(1), является накрытием.
Если мы выберем в качестве отмеченной точки Зс0 е Хи класс
эквивалентности постоянного пути с в точке x0i то образ гомоморфизма

§ 1.3. Накрытия
91
рф: TtiCX//, xQ) —> пх(Х, Xq) в точности равен Н. Причина этого в том, что
для петли у в X с началом и концом в х0 её поднятие в точке X,
начинающееся в [с], заканчивается в [у], поэтому образ этого поднятого пути
в Хи будет петлёй тогда и только тогда, когда [у] ~ [с], а это эквивалентно
тому, что [у] е Я. П
Позаботившись о существовании накрытий пространства X,
соответствующих всем подгруппам в я^Х), обратимся теперь к вопросу
единственности. Точнее говоря, нас интересует единственность с
точностью до изоморфизма, где изоморфизм между накрытиями рх: X! —> X
ир2:Х2-> X —это такой гомеоморфизм /: Хх —> Х2, что р} = p2f. Это
условие означает, что / сохраняет структуру накрывающего
пространства, переводя pj"1 W в р^Ч*) для всеххеХ. Тогда обратное отображение
f"1 тоже изоморфизм, и композиция двух изоморфизмов — изоморфизм,
поэтому мы получаем отношение эквивалентности.
I Предложение 1.37. Если пространство X линейно связно и локаль-
I но линейно связно, то два линейно связных накрывающих простран-
I ства р}: Хх —> X и р2: Х2 —> X изоморфны посредством изоморфизма
I /: Хх —> Х2, переводящего отмеченную точку хг е р^"1 (jc0) в отмеченную
I точку х2 £ р"100), тогда и только тогда, когда
I Р\*(щ(ХиХг)) = р2*(я1(Х2,х2)).
Доказательство. Если существует изоморфизм
то из соотношений pj = р2/ и Рг — Pi/ 1 следует, что
Р^О^Х,,^)) = р2Лл1(Х2,Х2)).
Наоборот, предположим, что
рь(7Г1(Х1,Х1)) = Р2Дл1(Х2,Х2)).
В соответствии с критерием поднятия мы можем поднять рх до
отображения Pi • (Х\>х{)^+ (Х2, *г)> Для которого p2Pi = P\. Аналогично получаем
Р2: №2**2) —> (Хь ?!), где PiP2 = P2- Тогда согласно единственности
поднятия PiP2 = 1 и р2Р! = 1, так как эти композиции поднятий сохраняют
отмеченные точки. Таким образом, р, и р2 — обратные изоморфизмы. □
Мы доказали первую половину следующей теоремы классификации.
I Теорема 1.38. Пусть пространство X линейно связно, локально ли-
I нейно связно и полулокально односвязно. Тогда существует взаимно
I однозначное соответствие между множеством сохраняющих отмечен-
I ную точку классов изоморфных линейно связных накрывающих про-
I странств р: (X, х0) —> (Х,х0) и множеством подгрупп в тг^Х, Xq)*> это
I соответствие получается при сопоставлении подгруппы рДя^Х, х0))

92
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
I накрывающему пространству (X, 3?0). Если отмеченные точки не учи-
I тываются, то такое сопоставление даёт взаимно однозначное соответ-
I ствие между классами изоморфных линейно связных накрывающих
I пространств р:Х->Хи классами сопряжённости подгрупп в пг (X, х0).
Доказательство. Остаётся доказать только последнее утверждение.
Покажем, что для накрытия р: (X, х0) —> (X, х0) изменение отмеченной
точки х0 в пределах р-1Оо) соответствует в точности замене подгруппы
р„ [пл (X, х0)) на некоторую сопряжённую ей подгруппу в п1 (X, х0). Пусть
хх —другая отмеченная точка в р-1 (х0) и у — путь из точки х0 в точку х^.
Тогда у проектируется в петлю у в X, представляющую некоторый элемент
ge TCjCX, х0). Положим Н,- = р*(я1(Х, jf,-)) для i = 0,1. Имеет место
включение g~[HQg с Нл, так как если / — петля с началом и концом в точке х{)у
то у/у — петля с началом и концом в точке хг. Аналогично gH^g~l CH().
Сопрягая последнее соотношение посредством элемента g"1, получаем
Нл Cg~[H0g, а потому g~lH0g = H]. Таким образом, изменение
отмеченной точки х0 на 5?! приводит к замене подгруппы Н0 на сопряжённую ей
подгруппу Нл =g~lHQg.
Наоборот, чтобы заменить подгруппу Н0 на сопряжённую ей
подгруппу Нг =g~lH0g, выберем петлю у, представляющую элемент g, поднимем
её до пути у, начинающегося в х0, и положим хг = у(1). Предыдущие
рассуждения тогда показывают, что имеет место требуемое соотношение
H,=g-lHog. a
Из критерия поднятия следует, что односвязное накрывающее
пространство линейно связного, локально линейно связного пространства X
является накрывающим пространством любого другого линейно связного
накрывающего пространства для X. Поэтому односвязное накрывающее
пространство для X называют универсальным накрытием. Оно
единственно с точностью до изоморфизма.
Вообще, можно ввести частичный порядок на всех линейно связных
накрывающих пространствах для X, согласно тому, накрывает ли одно
из них другое. Он соответствует частичному порядку, заданному
включением соответствующих подгрупп в тгДХ) или же классов сопряжённости
подгрупп, если отмеченные точки не учитываются.
Представление накрытий перестановками
Теперь мы хотим описать другой способ классификации различных
накрывающих пространств связного, локально линейно связного и
полулокально односвязного пространства X, не ограничиваясь только
связными накрывающими пространствами. Чтобы представить его идею,
рассмотрим трилистные накрывающие пространства окружности S1. Таких
пространств три: Хь Х2 и Х3> причём индекс указывает число компонент.
Для каждого из этих накрытий р: X, —►S1 три различных поднятия петли

§ 1.3. Накрытия
93
в S1, порождающей группу nl{S\x0)) определяют
перестановку множества р~1(х0), переводящую начальную точку
поднятия в конечную точку поднятия. Для Хх это будет циклическая
перестановка, для Х2 — транспозиция двух точек, сохраняющая
третью точку, а для Х3—тождественная перестановка. Эти
перестановки, очевидно, определяют накрывающие пространства
единственным образом с точностью до изоморфизма. То же
самое верно для п-листных накрытий окружности S1 для
произвольного п, даже для бесконечного п.
Накрывающие пространства букета SlVSl можно
закодировать с помощью той же самой идеи. Обращаясь вновь к
большой таблице примеров в начале этого параграфа, в случае накрывающего
пространства (1) мы видим, что петля а поднимается до тождественной
перестановки двух вершин, а петля Ъ поднимается до перестановки,
которая переставляет эти две вершины. В случае (2) обе петли а и Ъ
поднимаются до транспозиций двух вершин. В случаях (3) и (4) петли а и Ъ
поднимаются до транспозиций различных пар из трёх вершин, в то время
как в (5) и (6) они поднимаются до циклических перестановок всех
вершин. В (11) вершины можно занумеровать целыми числами Z так, что а
поднимается до тождественной перестановки, а Ъ поднимается до сдвига
п»-*п-Ы. Действительно, из этих примеров видно, что накрывающее
пространство букета Sl VS1 —это не что иное, как эффективное графическое
представление пары перестановок данного множества.
Идею поднимать петли до перестановок можно обобщить на
произвольные накрывающие пространства. Для накрытия р : X —>Х путь у в X
имеет единственное поднятие у, начинающееся в данной точке
множества р_1(у(0)), поэтому мы получаем корректно определённое
отображение hy\ p-1(y(0)) —>р-1(у(1)), переводя начальную точку f(0) каждого
поднятия у в его конечную точку 7(1). Очевидно, что Ly является
взаимно однозначным соответствием, так как отображение Ly ему обратно.
Для композиции путей уг\ мы имеем Ly7} = Lr?Lr, а не LrL7?, так как
композиция путей записывается слева направо, в то время как композиция
отображений записывается справа налево. Чтобы исправить это, изменим
определение, заменив отображение Ly обратным к нему. Таким образом,
новое Ly — это взаимно однозначное отображение р_1(уО)) —>р~1(7(0)),
и теперь Lyl] = LrL7?. Так как Ly зависит только от гомотопического
класса петли у, это означает, что если мы ограничимся петлями с началом
и концом в отмеченной точке х0 G X, то сопоставление у —»Ly даёт
гомоморфизм из п^ХуХц) в группу перестановок множества р"1{х0). Его
называют действием группы тс1(Х, х0) на слое р~](х0).
Посмотрим теперь, как можно восстановить накрывающее
пространство р: X —> X по соответствующему ему действию группы 7г,(Х,л:0) на
слое F — р_1(л:0), предполагая, что пространство X линейно связно, ло-

94
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
кально линейно связно и полулокально односвязно, а потому у него есть
универсальное накрытие Х0 —>Х. В качестве точек пространства Х0
можно взять гомотопические классы путей в X, начинающихся в точке х0,
как в общей конструкции универсального накрытия. Рассмотрим
отображение h: Х0 х F—>Х, которое переводит пару ([у],х0) в f(l), где у —
поднятие пути у в X, начинающееся в точке xQ. Тогда h непрерывно, а в
действительности является локальным гомеоморфизмом, так как
окрестность точки ([у], Зс0) в Х0 х F состоит из пар ([yrj], 3t0), где rj —путь в
соответствующей окрестности точки у(1). Очевидно, что h сюръективно, так
как X линейно связно. Если бы отображение h было и инъективным, то
оно было гомеоморфизмом, что маловероятно, так как X, возможно, не
гомеоморфно Х0 х F. Несмотря на то что отображение h не инъективно,
оно будет индуцировать гомеоморфизм некоторого факторпространства
пространства Х0 х F на X. Чтобы понять, что это за
факторпространство, предположим, что h([y],x0) =
= h([y'],x'0). Тогда у и / — пути из точки х0 в одну
и ту же конечную точку, и из рисунка мы видим, что
JCQ = Lr/y(jf0). Если Я —петля у'у, то это означает, что
h([y]1x0) = h([Xy]iLx(x0)). Наоборот, для любой
петли Я мы получаем h([y]9x0) = /i([Ay], La(jc0)). Таким
образом, ft индуцирует корректно определённое
отображение в X из факторпространства пространства Х0 х F, полученного
при отождествлении ([у],х0) с ([Яу], LA(3c0)) для всех [Я] елДХ, х0).
Обозначим это факторпространство через Хр, где р—гомоморфизм группы
тг^Х, х0) в группу перестановок слоя F, заданный рассматриваемым
действием.
Заметим, что определение пространства Хр имеет смысл всегда, когда
задано действие р группы пх{Х,х0) на множестве F. Имеется
естественная проекция Хр —>Х, переводящая ([у], х0) в у(1), и она является
накрытием, так как если U С X — открытое множество, над которым
универсальное накрытие Х0 является произведением U х ttjCX, x0), to
отождествления, задающие Хр, просто сжимают U х пх (X, х0) х F в [/ х F.
Вернёмся к исходному накрытию X —>Х с соответствующим
действием р. Для него отображение Хр —>Х, индуцированное отображением ft,
взаимно однозначно, а поэтому является гомеоморфизмом, так как
отображение h было локальным гомеоморфизмом. Л так как этот
гомеоморфизм Хр —>Х переводит каждый слой накрытия Хр в соответствующий
слой накрытия X, он является изоморфизмом накрытий.
Если два накрытия р}: Хх —► X и р2: Х2 —> X изоморфны, можно
поинтересоваться, как связаны соответствующие действия группы п1 (X, х0)
на слоях Fj и F2 над точкой х0. Ограничение изоморфизма h: X] —> Х2
даёт взаимно однозначное отображение F} —> F2, причём очевидно, что
Lr(h(3c0)) = h(Lr(jf0)). Используя менее громоздкое обозначение ух0 для

§ 1.3. Накрытия
95
L (*о)> это соотношение можно более кратко записать как уН(х0) = Иух0).
Взаимно однозначное отображение FY —> F2 с таким свойством
естественно назвать изоморфизмом множеств с действием группы п] (X, х0). Таким
образом, изоморфные накрытия имеют изоморфные действия на слоях.
Обратное утверждение тоже верно и легко доказывается. Нужно только
заметить, что для изоморфных действий pY и р2 изоморфизм h: Fl^>F2
индуцирует отображение Xpi —>Хр2, a h~l индуцирует аналогичное
отображение в противоположном направлении, причём композиции этих двух
отображений в любом порядке —тождественные отображения.
Это показывает, что /7-листные накрытия пространства X
классифицируются классами эквивалентности гомоморфизмов 7r](X,x0) —> Е„,
где Еп — группа перестановок п символов, а отношение эквивалентности
отождествляет гомоморфизм р с каждым из сопряжённых с ним
гомоморфизмов h~lph для всех элементов hzY,n. Исследование гомоморфизмов
данной группы в группу Ип — классическая тема в теории групп, и мы
видим, что у этого алгебраического вопроса есть хорошая геометрическая
интерпретация.
Преобразования накрытий и действия групп
Для накрытия р: X —>Х изоморфизмы X—>Х называют
преобразованиями накрытия или преобразованиями скольжения. Они образуют
группу G(X) относительно композиций. Например, для накрытия р: 1R—> S\
проекции вертикальной спирали на окружность, преобразования
накрытия—это вертикальные переносы, отображающие спираль на себя; в этом
случае G(X) ъ%. Для п-листного накрытия S1 —>Sl, заданного
формулой z*-*zn, преобразования накрытия — вращения окружности S1 на углы,
кратные 2л:/п, поэтому G(X) — Ъп.
Согласно свойству единственности поднятия преобразование
накрытия полностью определяется тем, куда оно переводит одну точку, если
предположить, что пространство X линейно связно. В частности, только
тождественное преобразование накрытия может оставлять неподвижной
Хотя бы одну точку пространства X.
Накрытие р: X —> X называют нормальным., если для любой точки
х 6 X и любой пары поднятий х, х' точки х найдётся преобразование
Накрытия, переводящее х в х'. Например, накрытие $ —>Sl и п-листное
накрытие S1 —> S1 нормальны. Говоря неформально, нормальное
накрытие—это наиболее симметричное накрытие. Это можно усмотреть для
накрывающих пространств букета S1 V S\ изображённых в таблице в
начале этого параграфа, где нормальные накрывающие пространства —это
СП, (2), (5)—(8) и (11). Заметим, что в случае (7) группа преобразований
накрытия равна Z4, в то время как в случае (8) она равна Z2 х Ъг.
Часто нормальные накрытия называют регулярными накрытиями.
Термин «нормальное» мотивируется следующим результатом.

96
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
I Предложение 1.39. Пусть р: (X,Зс0) —► (X, х0) —линейно связное на-
I крывающее пространство линейно связного, локально линейно связно-
I го пространства Хи Н —подгруппа р+(7Г! (X, -5с0)) стт^Х, х0). Тогда:
I а) это накрытие нормально тогда и только тогда, когда Н — нормаль-
I ная подгруппа в п] (X, х0);
I б) группа G(X) изоморфна факторгруппе N (Н)/Н, где N(H) — порма-
I лизатор подгруппы Н в тгДХ, х0).
I В частности, группа G(X) изоморфна п^Х, х0)/Н, если X —нормаль-
I ное накрытие. Следовательно, для универсального накрытия X —> X мы
I имеем GtJOfc^CX).
Доказательство. Мы видели ранее в доказательстве теоремы
классификации, что замена отмеченной точки x0Gp"l(x0) на хх ^р~1(х0) в
точности соответствует сопряжению подгруппы Н элементом [у] е пх(Ху х0),
где у поднимается до пути у из Зс0 в xv. Поэтому элемент [у] принадлежит
нормализатору N(H) тогда и только тогда, когда
р^тггСХДо)) = р,(тг1(Х,х1)),
а в соответствии с критерием поднятия это эквивалентно существованию
преобразования накрытия, переводящего х0 в х}. Следовательно,
накрытие нормально тогда и только тогда, когда N(H) = тг^Х,х0)у т.е. тогда
и только тогда, когда Н —нормальная подгруппа в тт, (X, х0).
Рассмотрим отображение ц>: N(H) —> G(X), которое переводит \у]
в преобразование накрытия т, отображающее точку х0 в точку х^, в ука*
занных выше обозначениях. Тогда у — гомоморфизм, поскольку если у' —
другая петля, соответствующая преобразованию накрытия т',
переводящему Зс0 в x'v то у • у' поднимается до у - (T(f')) — пути из х0 в т(*р =
= тт'(х0)] таким образом, тт' — преобразование накрытия,
соответствующее [у] [у7]. Согласно предыдущему абзацу гомоморфизм у сюрьекти^еи.
Его ядро состоит из классов [у], поднимающихся до петель в X. Такие
классы как раз и есть элементы группы рДя, (X, Зс0)) =-Н. П
Группа преобразований накрытия —это частный случай общего
понятия «группы, действующей на пространстве». Если даны группа G и
пространство У, то действие группы G на пространстве У—это
гомоморфизм р группы G в группу Нотео(У) всех гомеоморфизмов пространства
У в себя. Таким образом, каждому элементу g 6 G соответствует
гомеоморфизм р (g) :Y^>Y, который для простоты обозначений мы записываем
просто как g: Y ^>Y. Требование, что р — гомоморфизм, приводит к
условию, 4TOg1(g2(y))^(g1g2)(y) для всех gbg2GG иуеУ. Если р инъекти-
вен, то он отождествляет G с подгруппой в Нотео(У), и на практике мы не
много потеряем, предположив, что р — включение G1 <—> Нотео(У), так как
подгруппа p{G) сНотео(У) содержит всю топологическую информацию
об этом действии группы.

§ 1.3. Накрытия
97
Нас будут интересовать действия, удовлетворяющие следующему
условию:
(*) у любой точки у G У есть такая окрестность U, что все образы g(U) для
разных g e G не пересекаются; другими словами, если g^ (£/)ng2(LO/0,
TOg!=g2-
Действие группы преобразований накрытия G(X) на X удовлетворяет
условию (*). Чтобы убедиться в этом, предположим, что U с X
проектируется гомеоморфно на U С X. Если gi(U) П g2W) Ф 0 для некоторых
gi> Si е G(X), то gi (Зст) = g2(x2) Для некоторых хъ х2 G [/. Так как точки 3?!
и х2 должны лежать в одном и том же множестве р~1 (х), которое
пересекает t/ только в одной точке, мы получаем х\ = 3?2. Тогда g1"1g2 оставляет
эту точку неподвижной, поэтому g^]g2 = l и g] = g2.
Отметим, что в условии (*) достаточно считать gj единичным
элементом группы, так как условие g} (Ю ng2(L0 Ф0 эквивалентно условию
t/ng^1g2(t/) 7^0- Таким образом, мы имеем эквивалентное условие, что
UngW) ф0 только в том случае, когда g -— единичный элемент группы.
Если дано действие группы G на пространстве У, то можно
образовать пространство У/G-—факторпространство пространства У, в
котором каждая точка у отождествлена со всеми её образами g(y), когда
g пробегает по G. Точки пространства Y/G, таким образом,— это
орбиты Gy = ig(y) | g e G } в У, a Y/G называют пространством орбит
действия. Например, для нормального накрытия X —>Х пространство орбит
X/G{X)-это просто*.
I Предложение 1.40. Если действие группы G на пространстве Y удо-
I влетворяет условию (*), то
I а) отображение факторизации р: Y—>Y/G, заданное формулой р(у) =
I =Gy, является нормальным накрытием;
I б) G будет группой преобразований накрытия Y —► Y/G, если про-
I странство Y линейно связно;
I в) группа G изоморфна tTj (Y/G)/p* (tTj (У)), если пространство У ли-
I нейно связно и локально линейно связно.
Доказательство. Если дано такое открытое множество U с У, как
в условии (*), то отображение факторизации р просто отождествляет все
непересекающиеся гомеоморфные множества ig(U) | g e G} в одно
открытое множество p{V) в Y/G. По определению фактортопологии на Y/G
При ограничении р на g(U) получается гомеоморфизм g(U) на p(U) для
всех geG, таким образом, мы получаем накрытие. Каждый элемент
группы G действует как преобразование накрытия, причём накрывающее
пространство нормальное, так как g2g}1 переводит g^W в g2(L0. Эта группа
преобразований накрытия содержит G в качестве подгруппы, причём она
равна этой подгруппе, если У линейно связно. Действительно, если / —
• 4 3;)к. м>55

98
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
некоторое преобразование накрытия, то для произвольной точки у е У
обе точки у и /(у) принадлежат одной орбите и существует элемент g e G,
для которого g(y)=/(y). Следовательно, / = g, так как преобразования
накрытия линейно связного накрывающего пространства единственным
образом задаются тем, куда они переводят одну точку. Последнее
утверждение предложения непосредственно следует из утверждения б)
предложения 1.39. П
Имея в виду предыдущее предложение, будем называть действие,
удовлетворяющее условию (*), действием накрытия. Это не стандартная
терминология, но общепринятого названия для действий, удовлетворяющих
условию (*), нет. Иногда их называют «вполне разрывными» действиями,
но часто этот довольно непривлекательный термин означает нечто более
слабое: у любой точки xgX есть такая окрестность L/, что множество
Ur\g(U) непусто лишь для конечного числа элементов geG. Многие
группы симметрии обладают таким свойством вполне разрывности, но при
этом не удовлетворяют условию (*), например группа симметрии
обычного замощения плоскости R2 правильными шестиугольниками. Причина,
по которой действие этой группы на R2 не может удовлетворять условию
(*), заключается в наличии неподвижных точек, т.е. точек у, для
которых есть такой нетривиальный элемент g ^G, что g{y) = у. Например,
вершины шестиугольников сохраняются при поворотах на 120° вокруг
них, а середины сторон сохраняются при поворотах на 180°. Действие
без неподвижных точек называют свободным действием. Таким образом,
для свободного действия группы G на У только единичный элемент
группы G оставляет неподвижной некоторую точку пространства У. Это
эквивалентно требованию, что все образы g(y) каждой точки у е У различны;
другими словами, gliy)—g2{y) только в том случае, когда g, =g2, так как
равенство gi(y)=g2(y) эквивалентно равенству g^g2(y) = У- Хотя
условие (*) влечёт свободность, обратное не всегда верно. Примером служит
действие группы Z на S1, при котором образующая группы Z действует
как поворот на угол а, являющийся иррациональным кратным числа 2тг.
В этом случае каждая орбита Ъу плотна в S1, поэтому условие (*) не может
выполняться, так как из него следует, что орбиты являются дискретными
подпространствами. Одна из задач в конце этого параграфа состоит в том,
чтобы показать, что для действий на хаусдорфовых пространствах из
свободное™ и вполне разрывности следует условие (*). Заметим, что вполне
разрывность автоматически выполняется для действия конечной группой.
Пример 1.41. Пусть У — замкнугая ориентируемая поверхность рода
11 (сфера с одиннадцатью ручками), изображённая на рисунке. Она
обладает пятикратной осевой симметреи, порождённой поворотом на угол
2я/5. Таким образом, мы имеем циклическую группу Z5, действующую
на Уу причём условие (*), очевидно, выполняется. Факторпространство
Y/Zs — это поверхность рода 3, которую можно получить из одной из пяти

§ 1.3. Накрытия
99
цодповерхностей в Y, отсекаемых окружностями
q ..., С5, склеив две граничные окружности С,
и С+1 так> чт°бы получилась окружность С, как
показано на рисунке. Таким образом, мы
имеем накрытие Мп-^> М3, где через Mg
обозначена замкнутая ориентируемая поверхность рода
g, В частности, мы видим, что яа(М3)
содержит «бблыиую» группу П}(Ми) в качестве
нормальной подгруппы индекса 5, причём
факторгруппа равна Ъъ. Этот пример допускает
очевидное обобщение: можно заменить два отверстия
в каждой «ручке» поверхности Мп на т
отверстий, а пятикратную симметрию на п-кратную
симметрию. Это даст накрытие М„ш+1 -*Мш+1.
В одной из задач в § 2.2 нужно показать с помощью эйлеровой
характеристики, что если существует накрытие Mg —* Mh, то g = ran +1 и h = т + 1
для некоторых тип.
Из последнего утверждения предыдущего предложения мы видим,
В частности, что для действия накрытия группы G на односвязном
локально линейно связном пространстве Y фундаментальная группа
пространства орбит Y/G изоморфна G. При этом изоморфизме элемент g^G
соответствует петле в Y/G, которая является проекцией пути в Y из выбранной
отмеченной точки у0 в g(y0). Любые два таких пути гомотопны, так как
Y односвязно, поэтому мы получаем корректно определённый элемент
Группы nl(Y/G)y соответствующий g.
Метод вычисления фундаментальной группы посредством действия
Группы на односвязном пространстве, по сути дела, такой же, каким мы
вычисляли группу TijCS1) в §1.1 посредством накрытия R—>Sl, которое
происходит из действия группы Ъ на R переносами. Это действительно
•есьма полезный общий метод вычисления фундаментальных групп.
Приведём некоторые примеры, иллюстрирующие эту идею.
Пример 1.42. Рассмотрим сетку в R2, образованную
горизонтальными и вертикальными прямыми, проходящими через точки из Z2. Украсим
эту решётку стрелками одним из двух способов, показанных на
рисунке; различие между этими двумя
случаями состоит в том, что во второмслучае
Горизонтальные стрелки на соседних
прямых противоположно направлены.
Группа G, состоящая из всех симметрии первой
Украшенной решётки, изоморфна группе
& * Z, так как она состоит из всех
переносов О, у) -» О + гп, у + п) для m, n e Z. Для второй решётки группа
симметрии G содержит подгруппу переносов вида О, у) —> О 4- т, у + 2п)
1 ► I ► I I ► I ► |
AAA AAA
I ► 1 ► I Ml*!
AAA AAA
1 ► I ► 1 1 ► 1 ► 1

100
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
для т,п€:Ъ, но помимо них есть скользящие симметрии, каждая из
которых является композицией вертикального переноса на нечётное
расстояние и симметрии относительно вертикальной прямой решётки или
вертикальной прямой, равноудалённой от двух соседних прямых
решётки. Для обеих украшенных сеток существуют элементы группы G,
переводящие любой квадрат в любой другой, но только единичный элемент
группы G переводит квадрат в себя. Минимальное расстояние, на которое
любая точка перемещается нетривиальным элементом группы G, равно 1,
и из этого легко следует условие накрытия (*). Пространство орбит iR2/G
является факторпространством квадрата решётки, у которого
противоположные стороны отождествлены согласно стрелкам. Таким образом, мы
видим, что фундаментальные группы тора и бутылки Клейна являются
группами симметрии G в этих двух случаях. Во втором случае подгруппа
в G, образованная переносами, имеет индекс два, причём пространство
орбит для этой подгруппы — тор, двулистно накрывающий бутылку Клейна.
Пример 1.43 (пространство RPn). Антиподальное отображение
сферы Sn, заданное формулой л*—> —х, порождает действие группы Z2 на S'1
с пространством орбит RP", определённым в примере 0.4, —
вещественным проективным n-пространством. Действие здесь является действием
накрытия, так как каждое открытое полушарие в Sn не пересекается с его
образом. Как мы видели в предложении 1.14, сфера S" односвязна при
п ^ 2, поэтому из накрытия Sn —»RP" мы получаем, что тиДМР") ^Z2 для
п ^ 2. Образующая группы пг (МРП) — любая петля, являющаяся проекцией
пути в Sn, соединяющего две диаметрально противоположные точки.
Можно увидеть явно, что такая петля у имеет порядок два в группе щ (RP'1) при
п^2. Действительно, композиция y*Y поднимается до петли в S",
которую можно прогомотопировать в тривиальную петлю, так как nl(Sn) = 0,
поэтому проекция этой гомотопии в RP" даёт стягивание петли у - у.
Можно задать вопрос, есть ли другие конечные группы, которые
свободно действуют на S", определяя тем самым накрытие Sn —> Sn/G. Мы
покажем в предложении 2.29, что Z2 — единственная возможная группа
для чётного п, но для нечётного п вопрос намного более сложен. Легко
построить свободное действие любой циклической группы Ът на S2k~] —
действие, порождаемое вращением v —> e27n/n,v единичной сферы S2k"1
в С^ = R2fc. Это действие свободное, так как из уравнения v = e27r,£/mv, где
0 < I < т, следует, что v = 0, но 0 не является точкой сферы S2*"1.
Пространство орбит S2k'l/Zm —одно из семейства пространств, называемых
линзовыми пространствами, которые определяются в примере 2.43.
Есть также нециклические конечные группы, свободно действующие
на Sn поворотами для нечётного п > 1. Эти действия явно
классифицированы в книге [74]. В простейшем случае п — 3 примеры можно
построить следующим образом. Рассмотрим R4 как алгебру кватернионов 1HL
Умножение кватернионов обладает тем свойством, что \ab\ = |а||Ь|, где

§ 1.3. Накрытия
101
\а\ обозначает обычную евклидову длину вектора а е К4. Таким образом,
если а и Ъ — единичные векторы, то аЪ тоже единичный вектор, поэтому
умножение кватернионов задаёт отображение S3 x S3 —> S3. В
действительности оно превращает S3 в группу, хотя сейчас нам нужна только
ассоциативность, так как она влечёт, что любая подгруппа G в S3 действует
на S3 левым умножением: g(x) =gx. Это действие свободное, так как из
уравнения х = gx в алгебре с делением И следует, что g = 1 или х = 0. В
качестве конкретного примера группы G можно взять хорошо известную
кватернионную группу Q8 — {±1, ±i, ±;, ±k} из теории групп. Вообще для
любого натурального числа т путь Q4m — подгруппа в S3, порождённая
двумя кватернионами а = е"'/'ш и Ь=;. Таким образом, а имеет порядок
2m, a b имеет порядок 4. Из легко проверяемых соотношений ат = Ъ2 = — 1
и ЬаЬ-1 =а-1 следует, что подгруппа Z2mt порождённая элементом а,
нормальна и имеет индекс 2 в Q4;n. Следовательно, Q4,M — группа порядка 4т,
называемая обобщённой кватернионной группой. Другое
распространённое название этой группы — бинарная диэдральная группа D*;n, так как её
фактор по подгруппе {±1} является обычной диэдральной группой D2ni
порядка 2т.
Помимо групп Q4n, = £>4ni есТЬ только ТРИ другие нециклические
конечные подгруппы в S3: бинарные тетраэдральные, октаэдральные
и икосаэдральные группы Т2*4, 0*8 и /*20, порядки которых обозначены
индексами. Они проектируются (два элемента переходят в один) на
группы поворотных симметрии правильного тетраэдра, октаэдра (или куба)
и икосаэдра (или додекаэдра). В действительности нетрудно убедиться,
что гомоморфизм S3 —> SO(3), отображающий и е S3 с 1И в изометрию
v-*u~lvu пространства М3, которое рассматривается как пространства
чисто мнимых кватернионов v = а\ 4- bj 4- с/с, сюръективен и имеет ядро
{±1}. При этом группы D*m, T2*4, 048, /*20 —прообразы в S3 групп
поворотных симметрии правильного многоугольника или многогранника в R3.
Есть два условия, которым должна удовлетворять конечная группа G,
Действующая свободно на S":
а) любая абелева подгруппа в G является циклической; это эквивалентно
тому, что G не содержит никакой подгруппы Zp x 7L где р — простое
число;
б) группа G содержит не более одного элемента порядка 2.
Доказательство утверждения а) намечено в одной из задач в §4.2.
По поводу доказательства утверждения б) рекомендуется прочитать
статью [113]. Группы, удовлетворяющие условию а), полностью
классифицированы; подробности см. в [14], раздел VI.9. Примером группы,
удовлетворяющей условию а), но не условию б), служит диэдральная группа D2m для
нечётного т> 1.
Известно также намного более трудное обратное утверждение:
конечная группа, удовлетворяющая условиям а) и б), действует свободно

102
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
на Sn для некоторого п. По поводу этого утверждения см. [108] и [92].
Известна также почти полная информация о том, какие числа гг возможны
для данной группы.
Пример 1.44. В примере 1.35 мы построили стягиваемый
двумерный комплекс Хтп = Ттп х К как универсальное накрытие конечного
двумерного комплекса Хтп> представляющего собой объединение двух
цилиндров отображений для отображений Sl —>S\ заданных формулами
z>-*zm и z>-*zn. Группа преобразований этого накрытия
—фундаментальная группа nl (Xnl п). По теореме ван Кампена, применённой к разбиению
пространства Xm n на два цилиндра отображения, получаем
представление (a,b|amb~n) для группы G^^tt^X,,^,,). Интересно внимательнее
посмотреть на действие группы Gm n на Хтп. Мы описали такое разбиение
пространства Хтп на прямоугольники, что Хтп — факторпространство
одного прямоугольника. Эти прямоугольники в действительности задают
клеточную структуру на Хт>п, поднимающую клеточную структуру на Хщп
с двумя вершинами, тремя рёбрами и одной двумерной клеткой. Группа
Gmn, таким образом, содержится в группе симметрии этой клеточной
структуры на Хт>п. Если мы ориентируем все три ребра комплекса Хт<п
и поднимем эти ориентации на рёбра комплекса ХпиП9 то Gtnn —группа
всех симметрии комплекса Хш/1, сохраняющих ориентации рёбер.
Например, элемент а действует как «винтовое движение» вдоль оси, которая
является вертикальной прямой {va} х М, где va —вершина комплекса 7'ш п,
а действие b аналогично для вершины vb.
Так как действие группы Gmn на Хтп сохраняет клеточную
структуру, оно также сохраняет структуру произведения Ттп х К. Это
означает, что существуют такие действия группы G,„ „ на Tmn и на Ж, что
действие на произведении Хтп = Тт>п х Ж является диагональным действием
g(*>.y) = (#(*)> g(y)) Для g^Gmn. Если мы изготовим прямоугольники
единичной высоты по координате Ж, то элемент ат = Ъп действует на R как
единичный перенос, в то время как а действует как перенос на 1/т, а Ь —
как перенос на 1/п. Действия элементов а и b на R переносами порождают
группу переносов прямой Ж, которая является бесконечной циклической,
порождаемый переносом на величину, обратную к наименьшему общему
кратному чисел тип.
Действие группы Gm>п на 7'шп имеет ядро, состоящее из степеней
элемента ат = ЬП. Эта бесконечная циклическая подгруппа в точности
совпадает с центром группы GHlf„, как мы видели в примере 1.24. Можно
рассмотреть индуцированное действие факторгруппы Ът *Z„ на 7'шл, но
это действие не свободное, так как элементы а и b и все элементы, с ними
сопряжённые, оставляют неподвижными вершины комплекса Ттп. С
другой стороны, если мы ограничим действие группы G„M, на 7ШП на ядро К
отображения Gm„ —>Z, заданного действием группы Gm<n на множителе :Я
в Хтп, то мы действительно получим свободное действие группы К на 7'„, ,г

§ 1.3. Накрытия
103
Так как это действие переводит вершины в вершины, а рёбра в рёбра, оно
будет действием накрытия. Таким образом, К — свободная группа, а
именно, фундаментальная группа графа Ттп/К. В одной из задач в конце этого
параграфа нужно определить Ттп/К явно и вычислить число образующих
группы К.
Комплексы Кэли
Накрытия можно использовать для изложения классического
метода геометрического описания групп при помощи графов. Напомним,
что в следствии 1.28 мы сопоставили каждому представлению группы
G= {ga I rj5) двумерный клеточный комплекс XG с яДХ^) % G, взяв букет
окружностей, по одной для каждой образующей ga, а затем приклеив
двумерную клетку для каждого соотношения fy. Мы можем построить
такой клеточный комплекс XG с действием накрытия группы G, что
XG/G = XG, следующим образом. Пусть вершинами комплекса XG будут
сами элементы группы G. Затем каждую вершину geG соединим ребром
с вершиной gga для всех выбранных образующих ga. Полученный при
этом граф называют графом Кэли группы G относительно образующих
ga. Этот граф связен, так как каждый элемент группы G является
произведением образующих ga, поэтому существует путь в графе,
соединяющий каждую вершину с вершиной, соответствующей единичному
элементу е. Каждое соотношение Гр задаёт петлю в графе, начинающуюся
в любой вершине g, и мы приклеиваем двумерную клетку по каждой
такой петле. Полученный в результате клеточный комплекс XG называют
комплексом Кэли группы G. Группа G действует на XG умножением
слева. Таким образом, элемент g е G переводит вершину g'eG в вершину
gg\ а ребро, соединяющее g; с g'ga, переводит в ребро, соединяющее
&g' c gg'ga- Действие продолжается на двумерные клетки очевидным
образом. Ясно, что это действие накрытия, а пространство орбит
—просто;^.
В действительности XG — универсальное накрытие пространства ХСп
так как оно односвязно. Это можно установить, рассматривая
гомоморфизм (/?: ят(Хс) —>G, определённый в доказательстве предложения 1.39.
Если еа — ребро в XG, соответствующее образующей ga группы G, то из
определения гомоморфизма у видно, что </>([ea]) =ga, таким образом (/? —
изоморфизм. В частности, ядро гомоморфизма </>, т.е. группа рДтгДХс)),
Нулевое; следовательно, группа пх (XG) тоже нулевая, так как гомоморфизм
Р* инъективен.
Давайте рассмотрим некоторые примеры комплексов Кэли.
Пример 1.45. В случае, когда G —свободная группа с двумя
образующими а и Ь, комплекс XG — это букет S1 V S\ а XG — граф Кэли груп-
Пы Z*Z, изображённый на рисунке. Действие элемента а на этом графе —
сДВиг вправо вдоль центральной горизонтальной оси, а элемент b действу-

104
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
ет как сдвиг вверх вдоль центральной вертикальной оси. Композиция ab
этих двух сдвигов переводит вершину е в вершину ab. Аналогично
действие любого элемента w e Z * Z переводит вершину е в вершину w.
Пример 1.46. Для группы G = Z x Z с представлением (х, у \ хух~1у~^)
комплекс XG — это тор S1 x S1, а комплекс XG — плоскость R2, причём
вершины—узлы целочисленной решётки Z2 CIR2, а рёбра — горизонтальные
и вертикальные отрезки между этими точками решётки. Группа G
действует переносами О, у) •-+ (х + гп,у + п).
Пример 1.47. Для группы G = Z2 = (х \ х2 ) комплекс XG — плоскость
RP2, a XG = S2. Вообще для группы Zn = (х | хп ) комплекс XG> — это
окружность S1, к которой приклеен диск по отображению z —> zn, a XG состоит
из п дисков Db ..., DM, у которых отождествлены граничные окружности.
Образующая группы Zn действует на это объединение дисков, переводя
диск Df- в Df41 посредством поворота на угол 2тг/п; нижний индекс i
берётся по модулю п. Общая граничная окружность этих дисков
поворачивается на угол 2тг/п.
Пример 1.48. Если G = Z2 * Z2 = (а, Ь | а2, Ь2 ), то граф Кэли —
объединение бесконечной последовательности окружностей, каждая из которых
касается двух соседних с ней окружностей.
Комплекс XG получается из этого графа, если каждую окружность мы
рассмотрим как экватор двумерной сферы, получив при этом
бесконечную последовательность касающихся сфер. Элементы нормальной
подгруппы Z с Z2 * Z2 индекса два, порождённой элементом ab, действуют
на XG как переносы на чётное число, а любой из остальных элементов
группы Z2 * Z2 действует как антиподальное отображение одной из сфер
и переворачивает цепь сфер как единое целое вокруг этой сферы.
Пространство орбит XG — это IRP2 VIRP2.

§ 1.3. Накрытия
105
Нетрудно построить обобщение этого примера для группы Zm * Zn
с представлением (а, Ъ \ ат, Ъп) так, чтобы комплекс XG состоял из
бесконечного объединения экземпляров комплексов Кэли для Zm и Zn,
построенных в примере 1.47, которые расположены по образцу дерева. Случай
группы Z2 * Z3 изображён ниже.
Задачи
1- Для накрытия р: X —> X и подпространства А с. X положим А =
а=р"1(А). Докажите, что ограничение р: А—>А является накрытием.
2. Докажите, что если р1: Х1 —> Хт и р2: Х2 —> Х2 — накрытия, то их
произведение рх х р2: Хт х Х2 —>Х} х Х2 тоже является накрытием.
3. Пусть р: X—>Х— такое накрытие, что множество р~1(х) конечно
и непусто для всех хеХ, Докажите, что X —компактное хаусдорфово
пространство тогда и только тогда, когда X —компактное хаусдорфово
Пространство.
4. Постройте односвязное накрывающее пространство пространства
^CR3, которое является объединением сферы и диаметра. Сделайте то
Же самое, когда X — объединение сферы и окружности, пересекающей её
* Двух точках.
5. Пусть X — подпространство в R2, состоящее из четырёх сторон
Квадрата [0,1] х [0,1] и отрезков вертикальных прямых х = 1/2, 1/3,1/4,
•••> лежащих внутри этого квадрата. Докажите, что для любого накры-
***я X —> X существует окрестность левого края пространства X, которая

106
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
поднимается гомеоморфно в X. Выведите из этого, что у X нет никакого
односвязного накрывающего пространства.
6. Пусть X — стягивающийся букет окружностей из примера 1.25,
и пусть X —его накрывающее пространство, изображённое на рисунке
внизу.
а^ь
Постройте такое двулистное накрывающее пространство У —>Х, что
композиция У —> X —> X этих двух накрытий не является накрытием. Заметьте,
однако, что композиция двух накрытий всегда обладает свойством
единственности поднятия пути.
7. Пусть У — квазиокружлостъ, изображённая на рисунке, т.е.
замкнутое подпространство в R2, состоящее из части графика функции
у = sin(l/x), отрезка [—1,1] на оси у и дуги,
соединяющей эти две части.
Стягивание в точку отрезка в Y на оси у, даёт фактор-
отображение /: У—►S1. Докажите, что / не поднимается
в накрытие К —> S1, несмотря на то что п}(У) — 0.
Таким образом, локальная линейная связность
пространства У — необходимое предположение в критерии поднятия.
8* Пусть X и У — односвязные накрывающие пространства линейно
связных, локально линейно связных пространств X и У. Докажите, что
если X ^ У, то X а У. [Здесь может оказаться полезной задача 11 из
главы 0.]
9. Докажите, что если линейно связное, локально линейно связное
пространство X имеет конечную фундаментальную группу пх{Х), то
любое отображение X —> S1 гомотопно нулю. [Воспользуйтесь накрытием
10. Найдите все связные двулистные и трёхлистные накрытия
букета S1 V S1 с точностью до изоморфизма накрытий без отмеченных точек.
11. Постройте конечные графы Хг иХ2, которые имеют общее ко-
нечное-листное накрывающее пространство Хг =Х2, но при этом не
существует пространства, которое накрывается каждым из пространств Хх
иХ2.
12. Пусть а и Ъ — образующие группы nl{Sl VS1), соответствующие
двум слагаемым S1. Нарисуйте накрывающее пространство букета S1 VS1,
соответствующее нормальной подгруппе, порождённой элементами а2, Ъ2
и {аЪ)л, и докажите, что это накрывающее пространство действительнс
то, которое нужно.
13. Найдите накрывающее пространство букета S1 V S\
соответствующее подгруппе в n^S1 VS1), порождённой кубами всех элементов. Этс
накрывающее пространство 27-листное, и его можно нарисовать на торе

§ 1.3. Накрытия
107
так, чтобы дополнительными областями были девять треугольников с
пометками ааа на сторонах, девять треугольников с пометками ЪЪЪ на
сторонах и девять шестиугольников с пометками аЪаЪаЪ на сторонах. [Для
аналогичной задачи с шестой степенью вместо кубов накрывающее
пространство имеет 228325 листов! А для fc-й степени, где к достаточно велико,
накрывающее пространство имеет бесконечно много листов. Лежащий
В основе этого вопрос из теории групп заключается в том, конечна ли
факторгруппа группы Z * Z по к-ы степеням всех элементов, и известен
под названием проблемы Бернсаида. Можно также задать такой вопрос
для свободной группы с п образующими.]
14. Найдите все связные накрывающие пространства для IRP2 V ЕР2.
15. Пусть р: X —> X — односвязное накрывающее пространство для X.
Пусть, далее, Л с X —линейно связное, локально линейно связное
подпространство, а А с X — компонента линейной связности пространства р~1 (А).
Докажите, что р: Л —> А — накрытие, соответствующее ядру отображения
*i(A)->*,(*).
16. Даны такие отображения X—>Y —>Z, что и отображение У—»Z,
И композиция X —> Z являются накрытиями. Докажите, что отображение
X-+Y является накрытием, если Z локально линейно связно. Докажите,
что это накрытие нормально, если X —» Z — нормальное накрытие.
17. Даны группа G и её нормальная подгруппа N. Докажите, что
существует нормальное накрывающее пространство X—>Х, для которого
ftjUO^G, 7ii(X)&N и группа G(X) преобразований накрытия изоморфна
G/N.
18. Пусть пространство X линейно связно, локально линейно связно
И полулокально односвязно. Тогда линейно связное накрывающее
пространство X —> X называется абелевым, если оно нормально и имеет абе-
леву группу преобразований накрытия. Докажите, что у X есть абелево
накрывающее пространство, которое является накрывающим
пространством любого другого абелева накрывающего пространства для X, причём
такое «универсальное» абелево накрывающее пространство единственно
С точностью до изоморфизма. Опишите это накрывающее пространство
явно для X = SlvSl и для X = SlvSlVSl.
19. С помощью предыдущей задачи докажите, что у замкнутой
ориентируемой поверхности М& рода g есть связное нормальное накрывающее
пространство с группой преобразований накрытия, изоморфной Ъп
(произведение п экземпляров группы Z), тогда и только тогда, когда п ^ 2g.
Для п = 3 и^З опишите такое накрывающее пространство явно как
Подпространство вЕ3с переносами в качестве преобразований
накрытия. Докажите, что такое накрывающее пространство в Ж3 существует
Тогда и только тогда, когда существует такое вложение поверхности Mg
в трёхмерный тор Т3 = S1 x S1 x S1, что индуцированное отображение
*i(Afg) —►7г1(7'3) сюръективно.

108
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
20. Постройте накрытия бутылки Клейна бутылкой Клейна и тором,
не являющиеся нормальными.
21. Пусть X — пространство, полученное из тора S1 x S1
приклеиванием листа Мёбиуса посредством гомеоморфизма граничной окружности
листа Мёбиуса на окружность S1 х {л:0} в торе. Вычислите тгДХ),
опишите универсальное накрытие для X и опишите действие группы тг^Х)
на универсальном накрытии. Сделайте то же самое для пространства У,
полученного приклеиванием листа Мёбиуса к !^Р2 посредством
гомеоморфизма его граничной окружности на окружность в RP2, образованную
одномерным остовом обычной CW-структуры на RP2.
22. Даны действия накрытий для группы Gl на Хт и группы G2 на
Х2. Докажите, что действие группы GT x G2 на Х^ х Х2, заданное
формулой (gi,g2)(*i,*2) — (gi(^i)Jg2(x2))> является действием накрытия и что
(Хл х X2)/{GX x G2) гомеоморфно Xx/Gl x X2/G2.
23. Докажите, что если группа G действует свободно и вполне
разрывно на хаусдорфовом пространстве X, то это действие —действие
накрытия. (Здесь «вполне разрывно» означает, что у любой точки х е X
есть такая окрестность U, что множество { g e G | L/ П g(U) Ф 0} конечно.)
В частности, свободное действие конечной группы на хаусдорфовом
пространстве—действие накрытия.
24. Если дано действие накрытия группы G на линейно связном,
локально линейно связном пространстве X, то каждая подгруппа И с G
определяет композицию накрытий X —> Х/И —> X/G. Докажите, что
а) любое линейно связное накрывающее пространство между X и X/G
изоморфно Х/Н для некоторой подгруппы Н с G;
б) два таких накрывающих пространства Х/Н1 и Х/Н2 для X/G
изоморфны тогда и только тогда, когда И1и Н2 — сопряжённые подгруппы в G;
в) накрывающее пространство Х/Н —> X/G нормально тогда и только
тогда, когда Н — нормальная подгруппа в G, и в таком случае группа
преобразований этого накрытия изоморфна G/H.
25. Пусть кр\ R2—>]R2— линейное преобразование у>О,у) = (2л:,у/2).
Оно порождает действие группы Z на X = IR2 — {0}. Докажите, что это
действие является действием накрытия, и вычислите тгг (X/Z). Докажите, что
пространство орбит X/Z нехаусдорфово, и опишите его как объединение
четырёх подпространств, гомеоморфных пространству S1 x R, которые
происходят из компонент дополнения к оси х и оси у.
26. Для накрытия р : X —> X, где X связно, локально линейно связно
и полулокально односвязно, докажите, что
а) компоненты связности пространства X находятся во взаимно
однозначном соответствии с орбитами действия группы я^Х, л:0) на слое
p-1u0);
б) при соответствии Галуа между связными накрытиями пространства X
и подгруппами в n^{Xyx0) подгруппа, соответствующая компонен-

§ 1.3. Накрытия
109
те связности пространства X, содержащей данное поднятие х0
точки х0, — это стабилизатор точки Зс0, т. е. подгруппа, состоящая из
элементов, действие которых на слое оставляет точку х0 неподвижной.
27. Для универсального накрытия р: X —> X можно рассмотреть два
действия группы п1{Ху х0) на слое р~1(х0), а именно действие, заданное
поднятием петли с началом и концом в х0, и действие, заданное
ограничением на слой преобразований накрытия. Совпадают ли эти два действия
в случае, когда X = S1 V S1 или X = S1 x S1? Будут ли согласованы эти
действия, если группа тг, (X, х0) абелева?
28. Обобщите доказательство теоремы 1.7 и покажите, что для
действия накрытия для группы G на односвязном пространстве У группа
Hi(Y/G) изоморфна G. [Если У локально линейно связно, то это частный
случай утверждения б) из предложения 1.40.]
29. Пусть пространство У линейно связно, локально линейно связно
и односвязно. Пусть, далее, Gl и G2 — подгруппы в Нотео(У),
определяющие действия накрытия на У. Докажите, что пространства орбит Y/G^
и Y/G2 гомеоморфны тогда и только тогда, когда G: и G2 — сопряжённые
подгруппы в Нотео(У).
30. Нарисуйте граф Кэли группы Z * Ъ2 = (а, Ъ \ Ъ2 ).
31. Докажите, что нормальные накрывающие пространства
букета S1 VS1 — это в точности графы, которые являются графами Кэли групп
с двумя образующими. Вообще нормальные накрывающие пространства
букета п окружностей — это графы Кэли групп с п образующими.
32. Рассмотрим накрытия р: X —>Х, где X и X — связные СИ^-комп-
лексы, причём клетки комплекса X проектируются гомеоморфно на
клетки комплекса X. Тогда ограничение накрытия р на одномерный остов даёт
накрытие X1 —>Х1 над одномерным остовом комплекса X. Докажите, что
а) два таких накрытия XY —> X и Х2 —* X изоморфны тогда и только тогда,
когда их ограничения X* —>Х1 и Х\ —>Х1 изоморфны;
б) накрытие X —> X нормальное тогда и только тогда, когда накрытие
X1—>Х1 нормальное;
в) группы преобразований накрытий X —>Х и X1 —>Х1 изоморфны,
причём изоморфизм индуцируется отображением ограничения.
33. В примере 1.44 пусть d — наибольший общий делитель чисел т
и п, и пусть т' = m/d и n' = n/d. Докажите, что граф Ттп/К состоит из т!
вершин с пометками а, п' вершин с пометками Ъ и d рёбер, соединяющих
каждую вершину а с каждой вершиной Ъ. Выведите из этого, что
подгруппа К" с Gmn свободная с dm'n' — m' — n' + l образующими.

loffiiieffii
§ LA. Графы и свободные группы
Так как любую группу можно представить как фундаментальную
группу некоторого пространства, это открывает путь для применения
топологии в изучении алгебраических свойств групп. Этот и следующий
параграфы дают некоторые иллюстрации этого принципа, при этом используя
в основном теорию накрытий.
Напомним, что дополнение, которое завершают эту главу, не следует
считать неотъемлемой частью основного ядра книги. Читатели, которые
хотят перейти к новым темам, могуг пропустить его и идти вперёд.
По определению граф — это одномерный CW-комплекс, другими
словами, пространство X, которое получается из дискретного множества Х°
приклеиванием набора еа одномерных клеток. Таким образом, X
получается из несвязного объединения Х° и замкнутых отрезков 1а при
отождествлении двух концов каждого отрезка /а с точками множества Х°.
Точки множества Х° —это вершины, а одномерные клетки —это рёбра
графа X. Заметим, что при таком определении ребро не включает свои
концы, а потому ребро — открытое подмножество в X. Два конца ребра могут
быть одной и той же вершиной, поэтому замыкание еа ребра еа гомео-
морфно либо отрезку /, либо окружности S].
Так как пространство X снабжено фактортоиологией из несвязного
объединения Х°Ца/а, подмножество в X открыто (или замкнуто) тогда
и только тогда, когда оно пересекает замыкание ёа каждого ребра еа по
открытому (или замкнутому) в ёа множеству. Говорят, что X снабжено
слабой топологией относительно подпространств ёа. В этой топологии
последовательность точек, лежащих внутри различных рёбер, образует
замкнутое подмножество, а потому никогда не сходится. Это верно, в
частности, если все рёбра, содержащие эту последовательность, имеют общую
вершину, а последовательные точки выбираются так, чтобы они
располагались всё ближе и ближе к вершине. Таким образом, если есть вершина,
которая является концом бесконечного набора рёбер, то слабая топология
не может быть метрической топологией. В одной из задач в конце этого
параграфа нужно доказать обратное утверждение, что слабая топология

§ 1.А. Графы и свободные группы
111
является метрической топологией, если каждая вершина является концом
лишь конечного числа рёбер.
База топологии пространства Х состоит из открытых интервалов на
рёбрах вместе с линейно связными окрестностями вершин. Окрестность
последнего вида для вершины v представляет собой объединение
связных открытых окрестностей Ua точки v вёа для всех ёа, содержащих v.
В частности, мы видим, что пространство X локально линейно связно.
Следовательно, граф связен тогда и только тогда, когда он линейно связен.
Если у графа X есть только конечное число вершин и рёбер, то
X компактен, будучи непрерывным образом компактного пространства
Х°1_1а/а. Обратное утверждение тоже верно, и вообще компактное
подмножество С графа X может пересекать только конечное число вершин
и рёбер X. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим подпространство D с С,
которое состоит из вершин в С, к которым добавлено по одной точке на
каждом ребре, пересекающем С. Тогда D — замкнутое подмножество X,
так как оно пересекает каждое множество ёа по замкнутому множеству.
По той же самой причине замкнуто любое подмножество множества D,
поэтому топология подпространства D дискретна. Но множество D
компактно, поскольку оно является замкнутым подмножеством
компактного пространства С, поэтому множество D должно быть конечным. По
определению множества D это означает, что С может пересекать только
конечное число вершин и рёбер.
Подграф графа X — это подпространство Y с X, которое является
объединением вершин и рёбер графа X, причём если е(1 с Y, то ёа с Y.
Последнее условие означает лишь то, что Y — замкнутое подпространство в X.
Дерево —это стягиваемый граф. Поддеревом в графе X мы подразумеваем
подграф, который является деревом. Дерево в X называют максимальным,
если оно содержит все вершины графа X. Как мы увидим ниже, это
эквивалентно более очевидному определению значению максимальности.
I Предложение 1.А.1. Любой связный граф содержит максимальное
дерево, и, более того, любое дерево в графе содержится в максимальном
дереве.
Доказательство. Пусть X — связный граф. Мы опишем конструкцию,
которая позволяет вложить произвольный подграф Х0 с X так, чтобы он
был деформационным ретрактом подграфа У с X, который содержит все
вершины графа X. Если выбирать в качестве Х0 произвольное поддерево
в X, например единственную вершину, то это докажет требуемое
утверждение.
В качестве предварительного шага мы построим последовательность
подграфов Х0 с Х1 с Х2 с ..., где Х,+1 получается из X, добавлением
замыканий ёп всех рёбер еа с X — X,, имеющих по крайней мере один
конец в Х(. Объединение (Jxr- открыто в X, так как окрестность точки в X,

112
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
содержится в Х,+1. Более того, множество (Jx,- замкнуто, так как оно
i
представляет собой объединение замкнутых рёбер, а X снабжено слабой
топологией. Поэтому X = [Jxh так как граф X связен.
i
Теперь, чтобы построить Y, мы для начала положим Y0 = X0. Тогда по
индукции, предполагая, что граф YJ с X, уже построен так, что он содержит
все вершины графа X,-, рассмотрим граф Yi+l, который получается из Yh
если для каждой вершины графа Х,-+1 — X,- добавить одно ребро,
соединяющее её с Yh и положим V = IJVJ. Очевидно, что YJ+1 деформационно ре-
трагируется на Yh и мы можем получить деформационную ретракцию
графа Y на Y0 = X0, деформационно ретрагируя Yj-+1 на Y{ в течение времени
из промежутка [l/2'+l, 1/2']. Таким образом, точка xsYi+l — YJ остаётся
неподвижной до этого промежутка, во время которого она перемещается
в YJ-, а после этого продолжает перемещаться, пока не достигнет Y0.
Полученная в результате гомотопия ht: Y —> Y непрерывна, так как она
непрерывна на замыкании каждого ребра, a Y имеет слабую топологию. П
Если даны максимальное дерево 'Г с X и отмеченная вершина х0 е Г,
то каждое ребро еа графа X - Т определяет петлю fa в X, которая идёт
сначала из х0 в один из концов ребра еа по пути в Т, затем вдоль еа, а потом
назад в х0 по пути в Т. Строго говоря, мы должны сначала ориентировать
ребро еа, чтобы задать направление, в котором нужно его пройти.
Заметим, что гомотопический класс петли fa не зависит от выбора путей в Т,
так как Т односвязно.
I Предложение LA.2. Для связного графа X с максимальным
деревом Т группа TijCX) свободная и имеет базис из классов [/а],
соответствующих рёбрам еа графа X - Т.
В частности, из этого следует, что максимальное дерево максимально
в том смысле, что оно не содержится ни в каком большем дереве, так как
добавление любого ребра к максимальному дереву даёт граф с
нетривиальной фундаментальной группой. Другое следствие состоит в том, что
граф является деревом тогда и только тогда, когда он односвязен.
Доказательство. Отображение факторизации X —>Х/Т является
гомотопической эквивалентностью согласно предложению 0.17. Факторпро-
странство Х/Т является графом с единственной вершиной, а потому оно
является букетом окружностей, фундаментальная группа которого, как
было показано в примере 1.21, свободная, причём её базисом служат
петли, заданные рёбрами графа Х/Т, которые являются образами петель /„
вХ. D
Вот очень полезный факт о графах.
I Лемма 1.А.З. Любое накрывающее пространство графа тоже
является графом, вершины и рёбра которого — поднятия вершин и рёбер
исходного графа.

§ 1.А. Графы и свободные группы
113
Доказательство, Пусть р: X —> X — накрытие. В качестве вершин
Графа X мы берём дискретное множество Х° = р~1(Х°). Представив X
как факторпространство объединения X°UctIa, как в определении графа,
и применив свойство поднятия пути к получающимся в результате
отображениям 1а —> X, мы получим единственное поднятие /а —> X, проходящее
через каждую точку в р-10) Для х Е еа. Эти поднятия рёбер задают
структуру графа на X. Получающаяся при этом топология на X — та же
самая, что и исходная топология, так как обе топологии имеют одни и
те же базисные открытые множества, поскольку накрывающая проекция
Х-~>Х является локальным гомеоморфизмом. П
Теперь мы можем применить то, что доказали о графах и их
фундаментальных группах, для доказательства важного факта из теории групп.
| Теорема 1.А.4. Любая подгруппа свободной группы свободна.
Доказательство. Пусть дана свободная группа F. Выберем граф X,
для которого Ui(X)?vF, например букет окружностей, соответствующих
базису группы F. Для каждой подгруппы G в F согласно предложению 1.36
существует накрытие р: X —> X, для которого р+(п1 (X)) = G;
следовательно, п1(Х)ъС так как рА инъективно согласно предложению 1.31. Так
как согласно предыдущей лемме Х — граф, группа G % тг^Х) свободная
согласно предложению 1.А.2. □
Строение деревьев можно лучше понять, внимательно посмотрев на
конструкцию в доказательстве предложения 1.А.1. Если X —дерево, a v0 —
любая его вершина, то построение максимального дерева У с X,
начинающееся с Уо = {v()}, приводит к возрастающей последовательности
поддеревьев Уп с X, объединение которых —всё дерево X, так как у дерева
есть только одно максимальное поддерево, а именно
оно само. Можно представлять себе вершины графа
Уп — Yn_i расположенными на «высоте» п, причём рёбра
графа Уп — Yn_} соединяют эти вершины с вершинами,
расположенными на высоте п — 1. Таким образом, мы
получаем «функцию высоты» h: X —> R, которая
сопоставляет каждой вершине её высоту и монотонна на
рёбрах.
Для каждой вершины v этого дерева X есть ровно одно ребро,
ведущее из v вниз, поэтому если пойти по этим ведущим вниз рёбрам, то мы
получим путь из v в отмеченную вершину v0. Это один из примеров
рёберного пути, являющегося композицией конечного числа путей, каждый
из которых состоит из одного ребра, движение по которому монотонно.
Для любого рёберного пути из v в v0, кроме идущего вниз рёберного
пути, функция высоты не монотонна и, следовательно, имеет локальные
максимумы, которые встречаются тогда, когда рёберный путь идёт
назад, вновь возвращаясь на некоторое ребро, по которому он только что
прошёл. Таким образом, в дереве есть единственный не возвращающийся

114
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
назад рёберный путь между любыми двумя точками. Все вершины и рёбра
вдоль этого рёберного пути различны.
Дерево не может содержать подграф, гомеоморфный окружности, так
как две вершины в таком подграфе можно было бы соединить более чем
одним невозвращающимся рёберным путём. Наоборот, если связный граф
X не содержит ни одного подграфа, гомеоморфного окружности, то он
должен быть деревом. Действительно, если Т — максимальное дерево в X,
которое не совпадает с X, то объединение некоторого ребра графа X -'/'
с невозвращающимся рёберным путём в Т, соединяющим концы этого
ребра, является подграфом в X, гомеоморфным окружности. Поэтому
если нет подграфов в X, гомеоморфных окружности, то мы получаем, что
Х = Г —дерево.
Для любого связного графа X и пары вершин v0 и Vj в нём существует
единственный невозвращающийся рёберный путь в каждом
гомотопическом классе путей из v0bv]. Это можно проверить, поднявшись в
универсальное накрытие X, которое является деревом, так как оно односвязио.
Если выбрать поднятие v0 вершины v0, то гомотопический класс путей из
v0 в V! поднимается до гомотопического класса путей, начинающихся в v0
и заканчивающихся в одном и том же поднятии v} вершины v^ Тогда
единственный невозвращающийся рёберный путь в X из v0 в V] проектируется
в требуемый невозвращающийся рёберный путь в X.
Задачи
1. Пусть X — граф, у которого каждая вершина является концом лишь
конечного числа рёбер. Докажите, что слабая топология на X является
метрической топологией.
2. Докажите, что связный граф ретрагируется на любой свой связный
подграф.
3. Для конечного графа X определим эйлерову характеристику #(Х)
как число вершин минус число рёбер. Докажите, что # (X) = 1, если X —
дерево, и что ранг (число элементов базиса) группы пг (X) равен 1 — % (X),
если граф X связен.
4. Докажите, что если X —конечный граф, а У — его подграф,
гомеоморфный S1 и содержащий отмеченную точку х0, то у группы 7Г](Х,л:0)
есть базис, в котором один из элементов представлен петлёй У.
5. Постройте связный граф X и отображения /, g: X —> X так, что
/g = l, но / и g не индуцируют автоморфизмы группы Я]. [Обратите
внимание, что из равенства /*g* = 1 следует, что гомоморфизм /+ сюръ-
ективен, a g+ инъективен.]
6. Пусть F — свободная группа с двумя образующими, a F' — её
коммутант. Найдите множество свободных образующих для F', рассматривая
накрывающее пространство графа S] VS1, соответствующее подгруппе F'.

§1.В. Пространства K(G, 1) и графы групп
115
7. Пусть F — конечно порождённая свободная группа, а N — её
нетривиальная нормальная подгруппа бесконечного индекса. Докажите,
используя накрытия, что группа N не является конечно порождённой.
8. Докажите, что конечно порождённая группа имеет лишь конечное
число подгрупп данного конечного индекса. [Сначала рассмотрите случай
свободных групп, используя накрывающие пространства графов. Общий
случай тогда следует из того, что любая группа — факторгруппа свободной
группы.]
9. Используя накрытия, докажите, что подгруппа И индекса п в
группе G имеет не более п сопряжённых подгрупп gHg~l в G. Воспользуйтесь
этим, чтобы показать, что существует такая нормальная подгруппа К С G
конечного индекса, что КсН. [Чтобы доказать последнее утверждение,
рассмотрите пересечение всех сопряжённых подгрупп gHg "1. Это
максимальная нормальная подгруппа в G, содержащаяся в Я.]
10. Пусть X— букет п окружностей с естественной структурой
графа. Пусть, далее, X —► X — накрывающее пространство с заданным
конечным связным подграфом У С X. Докажите, что существует конечный граф
Z Э У, который имеет те же самые вершины, что и У, и при этом проекцию
Y—>Х можно продолжить до накрытия Z-+X.
11. Примените две предыдущие задачи, чтобы показать, что если F —
конечно порождённая свободная группа и хе F — элемент, отличный от
единичного, то существует нормальная подгруппа Н с F конечного
индекса, для которой хфН. Следовательно, х имеет нетривиальный образ
в некоторой конечной факторгруппе группы F. В таком случае говорят,
что группа F остаточно конечная1,
12. Пусть F — конечно порождённая свободная группа, Н с F —
конечно порождённая подгруппа и xeF -Н. Докажите, что существует такая
подгруппа К конечного индекса в F, что КэН их£К. [Примените задачу
ю.]
13. Пусть х —нетривиальный элемент конечно порождённой
свободной группы F. Докажите, что существует подгруппа конечного индекса
Н с F, в которой х является одним из элементов базиса. [Здесь могут
оказаться полезными задачи 4 и 10.]
14. Докажите, что существование максимального дерева
эквивалентно аксиоме выбора.
§1.В. Пространства K(G, 1) и графы групп
В этом параграфе мы вводим класс пространств, гомотопический тип
Которых зависит только от фундаментальной группы. Эти пространства
часто возникают в топологии, особенно в её взаимодействии с теорией
групп.
По-англ. residually finite. — Прим. ред.

116
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
Линейно связное пространство, фундаментальная группа которого
изоморфна данной группе G и которое имеет стягиваемое универсальное
накрывающее пространство, называют пространством типа K(G, 1) или
просто пространством K(Gy 1). Число 1 здесь относится к пх.
Пространства более общего вида K(G,ri) изучены в §4.2. Все такие пространства
называют пространствами Эйленберга—Маклейна, хотя в случае п = 1 их
изучал Гуревич, до того как Эйленберг и Маклейн рассмотрели общий
случай. Вот некоторые примеры.
Пример 1.В.1. Окружность S1 является пространством K"(Z, 1).
Вообще связный граф — пространство K(G, 1), где G —свободная группа, так
как согласно результатам § 1.А его универсальное накрытие — дерево, а
потому оно стягиваемо.
Пример 1.В.2. Замкнутые поверхности с бесконечной группой тгь
другими словами, все замкнутые поверхности, кроме S2 и КР2, являются
пространствами K(G, 1). Это будет доказано в примере 1.В.14 ниже. Это
следует также из теоремы в теории поверхностей, утверждающей, что
единственные односвязные поверхности без края —это S2 и 1R2, а потому
универсальное накрытие замкнутой поверхности с бесконечной
фундаментальной группой должно совпадать с R2, так как оно некомпактно.
Незамкнутые поверхности деформационно ретрагируются на графы,
поэтому такие поверхности — пространства K(G, 1) со свободной группой G.
Пример 1.В.З. Бесконечномерное проективное пространство RP00 —
пространство K(Z2,1), так как его универсальное накрытие —
бесконечномерная сфера S00, которая стягиваема. Чтобы доказать последний факт,
построим гомотопию тождественного отображения сферы S°° в
постоянное отображение в два шага следующим образом. Сначала рассмотрим
отображение ft: Ж°° —>R°°, заданное формулой
ft(x1,x29...) = 0—t)(xl,x2y...) + t(0,xl,x2,...).
Оно переводит ненулевые векторы в ненулевые для всех t е [0, 1], поэтому
ft/\ft\ даёт гомотопию тождественного отображения сферы S°° в
отображение Ох, х2, ...)—► (О, *!, х2у ...). Далее, гомотопия этого отображения
в постоянное отображение задаётся семейством отображений1 gt/\gt\t где
gt(xl,x2,...) = (l-t)(0,xl,x2y...) + t(l,090,...).
Пример 1.В.4. Обобщая предыдущий пример, можно построить
К(Ът, 1) как бесконечномерное линзовое пространство S°°/Zm, где группа
Ът действует на сфере S00, которую мы рассматриваем как единичную
сферу в С°°, умножением координат на корни т-й степени из единицы;
образующая этого действия —отображение (г^, z2,...) —► e2rr'/n,(z1, z2, ..•)•
Легко проверить, что это действие накрытия.
1 Для того чтобы значение gt{x]yx2,...) принадлежало единичной сфере S°°, лучше
определить gt(x]t х2у ...) = V 1 -г2(0, *!, х2, ...) + гП,0, 0, ...).— Прим. ред.

§1.В. Пространства K(G, 1) и графы групп
117
Пример 1.В.5. Произведение K(G, 1) х К{НУ 1) является
пространством K(G х Н, 1), так как его универсальное накрытие —произведение
универсальных накрытий пространств K(G, 1) и К(Н, 1). Поэтому, взяв
произведения окружностей и бесконечномерных линзовых пространств,
мы получим пространство K{G, 1) для любой конечно порождённой абе-
левой группы G. Например, n-мерный тор Г", т. е. произведение п
окружностей, является пространством K{Zn, 1).
Пример 1.В.6. Для замкнутого непустого связного подпространства
К в S3, его дополнение 53 — К является пространством K{G, 1). Это
теорема из теории трёхмерных многообразий, но в частном случае, когда К —
торический узел, этот результат следует из нашего исследования
дополнений торических узлов в примерах 1.24 и 1.35. А именно, мы показали, что
если К — торический узел /СШ|П, то существует деформационная
ретракция пространства S3 - К на некий двумерный комплекс Хти,
универсальное накрытие которого стягиваемо. Тогда свойство поднятия гомотопии
влечёт, что универсальное накрытие пространства S3 — К гомотопически
эквивалентно универсальному накрытию комплекса Х„, п, а потому тоже
стягиваемо.
Пример 1.В.7. Несложно построить пространство K{G, 1) для
произвольной группы G, используя понятие А-комплекса, введённое в §2.1.
Пусть EG — Д-комплекс, n-мерные симплексы которого — упорядоченные
наборы [g0, ..., gn] из п + 1 элементов группы G. Такой n-мерный симплекс
прилегает к (п — 1)-мерным симплексам [g0, ...,g,-, ...,gn] очевидным
образом, точно так же, как стандартный симплекс прилегает к своим
граням. (Обозначение g, означает, что соответствующая вершина удалена.)
Комплекс EG можно стянуть посредством гомотопии hr, которая сдвигает
каждую точку х 6 [g0, ...,gn] по отрезку в симплексе [е, g0, ...,£„],
соединяющему точку х и вершину [е], где е —единичный элемент группы G. Эта
гомотопия является корректно определённой в EG, так как если мы
рассмотрим её ограничение на грань [g0, ..., gh ..., gM], то получим линейную
Деформацию к точке [е] в грани [е,g0, ...,g,-, ...,g„]. Заметим, что h(
переносит [е] вдоль петли [е, е], поэтому hr в действительности не является
деформационной ретракцией пространства EG на [е].
Группа G действует на EG левым умножением, при этом элементg^G
линейно отображает симплекс [g0, ..., gn] на симплекс [gg0, ..., gg„].
Только тождественный элемент е переводит любой симплекс в себя, поэтому
согласно одной из задач в конце этого параграфа действие группы G на
EG— действие накрытия. Следовательно, факторотображение EG^EG/G
является универсальным накрытием пространства орбит BG = EG/G, а
потому BG — пространство K{G, 1).
Так как G действует на EG, свободно переставляя симплексы,
пространство BG наследует из EG структуру Д-комплекса. Действие группы G
на EG отождествляет все вершины комплекса EG, поэтому у BG есть толь-

118
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
ко одна вершина. Чтобы явно описать структуру Л-комплекса на BG,
заметим сначала, что каждый п-мерный симплекс в EG можно единственным
образом записать в виде
Образ этого симплекса в BG можно однозначно обозначить символом
[gilg2l---lgj- В эт°й системе обозначений с «перегородками» элементы g,-
и их упорядоченные произведения можно использовать для того, чтобы
помечать рёбра, рассматривая пометку ребра как отношение двух
пометок вершин — концов ребра, как показано на рисунке. При такой системе
обозначений граница симплекса [gi|...|gn] комплекса BG состоит из
симплексов [g2|...|gn], [gi|...|gn-i] И [gI|...|gl-g|-+1|...|g,J ДЛЯ1 = 1,...,П-1.
go£i£2
g0g\g2g3
g2 g\g2g3
gogi
goglg-2
I gl
go g, gogi
Эта конструкция K(G, 1) даёт довольно большое пространство, так
как BG всегда бесконечномерно, а если группа G бесконечна, то BG
имеет бесконечное число клеток в каждой положительной
размерности. Например, ВЪ намного больше окружности S1, самого удобного
пространства K(Z,1). С другой стороны, комплекс BG обладает тем
достоинством, что он функториален: гомоморфизм /: G -* И индуцирует
отображение Bf: BG-+BH, переводящее симплекс [gi|...|gj в симплекс
[/(gi)!---l/(gn)]- ДРУгая конструкция пространства K(G, 1) приведена в
§4.2. Она начинается с произвольного двумерного комплекса с
фундаментальной группой G, например комплекса XGi соответствующего
представлению группы G. Затем приклеивают клетки размерности 3 и выше так,
чтобы универсальное накрытие стало стягиваемым, но при этом группа
пг не изменилась. В общем случае трудно как-нибудь проконтролировать
число многомерных клеток, необходимых для этой конструкции, поэтому
она тоже может быть весьма неэффективной. В действительности найти
удобное пространство K(G, 1) для данной группы G часто бывает трудной
задачей.
Интересен и почти парадоксален тот факт, что если группа G
содержит хотя бы один элемент конечного порядка, то любой CW-комплекс
типа K(G, 1) должен быть бесконечномерным. Это доказано в
предложении 2.45. В частности, бесконечномерное линзовое пространство из

§1.В. Пространства K(G, 1) и графы групп
119
примера 1.В.4, которое является пространством K(Zm, 1), нельзя заменить
никаким конечномерным комплексом.
Несмотря на большой произвол в построении пространств К (G, 1), они
обладают очень важным свойством единственности с точностью до гомото-
пии, которое во многом обусловливает интерес к пространствам K(G, 1).
I Теорема 1.В.8. Гомотопический тип О/У-комплекса типа K(G, 1)
однозначно определяется группой G.
Единственность гомотопического типа пространства X(G, 1),
соответствующего данной группе G, означает, что алгебраические инварианты
пространств, которые зависят только от гомотопического типа, например
группы гомологии и когомологий, превращаются в инварианты групп.
Это оказалось весьма плодотворной идеей и было подробно изучено как
с алгебраической, так и с топологической точки зрения. В обсуждении
после предложения 2.45 приведено несколько соответствующих ссылок.
Предыдущая теорема легко выводится из следующего предложения.
I Предложение 1.В.9. Пусть X — связный CW-комплекс, и пусть У —
I пространство X(G, 1). Тогда любой гомоморфизм п} (X, х0) —> п} (У, у0)
I индуцирован отображением (Х,х0) —> (У,у0), которое единственно с
| точностью до гомотопии, сохраняющей точку х0.
Чтобы вывести теорему из этого предложения, возьмём в качестве X
и Y CW-комплексы K(G, 1) с изоморфными фундаментальными группами.
Предложение даёт отображения /: (X, х0) ->(У, у0) и g: (У, у0) ->(X, х0)9
индуцирующие взаимно обратные изоморфизмы ят(Х, х0) ъ ттДУ, у0).
Тогда отображения / g и gf индуцируют тождественные отображения групп
пъ а потому гомотопны тождественным отображениям.
Доказательство предложения 1.В.9. Рассмотрим сначала случай,
Когда у X есть только одна нульмерная клетка, а именно отмеченная
точка х0. Если дан гомоморфизм (/?: nl(Xix0) —> я^У,^), то мы начнём
построение отображения /: (X, х0) —> (У, у0), для которого /* = </>, положив
/О^сО — Уо- Замыканием любой клетки е\ комплекса X является
окружность, задающая элемент [е^] е тгДХ, х0), и мы определяем / на
замыкании клетки е1а как отображение, представляющее элемент ^([е^]). Если
i- X1 с-*Х обозначает включение, то i/>i* = /*, так как группа я^Х1,^)
Порождается элементами [е^].
тгДХ1,^) МУ.Уо)
7Ti(X,x0)
Чтобы продолжить / на клетку ei с отображением приклеивания
*Фр\ S1 —>Х], нам нужно лишь, чтобы композиция /г/'/з была гомотопна
Нулю. Если выбрать отмеченную точку 50 е S1 и путь в X1 из я/'/з(5о)
в х0, то \j)p определяет элемент [1/J/3] е я^Х1, х()), и гомотопность нулю

120
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
отображения fipp эквивалентна тому, что /ДЬ/^]) равно нулю в п1 (У, у0).
Мы имеем кИ'Фр]) = 0, так как клетка el обеспечивает гомотопию в нуль
отображения^ в X. Следовательно,/+([,0/?]) = ^i+(['0^]) = O, а потому/
можно продолжить на el.
Продолжение / индуктивно на клетки е" где п > 2, возможно, так
как для отображений приклеивания ipy: Sn~l —>Xn_1 композиции f\pY:
Sn~l —> У гомотопны нулю. Дело в том, что fipy поднимается в
универсальное накрытие комплекса У при п > 2, а это накрытие стягиваемо но
предположению, поэтому поднятие отображения fxpy гомотопно нулю,
а значит, и само отображение f\py тоже.
Обратимся теперь к утверждению о единственности. Если два
отображения /0, /j: (X, х0) —> (У, у0) индуцируют один и тот же гомоморфизм
групп яь то мы сразу видим, что их ограничения на X1 гомотопны,
причём гомотопия сохраняет х0. Чтобы продолжить полученное
отображение X1 х / и X х д1 —> У на остальные клетки еп х (0,1) комплекса X х /,
мы можем поступить точно так же, как в предыдущем абзаце, поскольку
эти клетки имеют размерность п -Ь 1 > 2. Так мы получаем гомотопию
ft: (Х,х0) —> (У,у0)> что и завершает доказательство в случае, когда у X
есть только одна нульмерная клетка.
Случай, когда у X больше одной нульмерной клетки, можно
разобрать, слегка уточнив предыдущие рассуждения. Выберем максимальное
дерево ТсХ. Чтобы построить отображение /, реализующее данный
гомоморфизм if у сначала положим /(Т) = у0. Тогда каждое ребро е1а в X - Т
задаёт элемент [е^] е 7rI(X,x0), и мы определим / на замыкании
клетки е^ как отображение, представляющее элемент </>(|V]). Продолжение
отображения / на многомерные клетки тогда происходит так же, как
и раньше. В построении гомотопии fti соединяющей два данных
отображения /0 и /,, для которых /о, = fi*, тоже есть дополнительный шаг.
Пусть ht: X1 —>X1 —гомотопия, которая начинается с й0 = 1, причём её
ограничение является деформационной ретракцией дерева Т на х0.
(Легко продолжить такую деформационную ретракцию до гомотопии,
определённой на всём пространстве X1.) Мы можем построить гомотопию
отображения f0\X] в /jlX1, сначала продеформировав f0\Xl и fx\Xl так,
чтобы дерево Т отображалось в у0, взяв для этого композицию с htt а затем
применив предыдущие рассуждения, чтобы получить гомотопию между
модифицированными отображениями f0\Xl и fx\Xl. Построив гомотопию
/0|Х! ^fi\Xl, мы продолжаем её на весь комплекс X таким же способом,
как и раньше. О
Первая часть предыдущего доказательства проходит также для
двумерных комплексов XG, соответствующих представлениям групп. Таким
образом, любой гомоморфизм G —> Н реализуется как индуцированный
гомоморфизм для некоторого отображения Хс —> Хн. Однако для таких

§1.В. Пространства K(G, 1) и графы групп
121
отображений нет никакого утверждения единственности, и легко может
случиться, что разные представления группы G дают гомотопически не
эквивалентные комплексы XG.
Графы групп
В качестве иллюстрации того, как пространства K(G, 1) могут
оказаться полезными в теории групп, мы опишем процедуру соединения
вместе набора пространств K(G, 1) в пространство AT(G, 1) для большей
группы G. С точки зрения теории групп это даёт способ собрать меньшие
группы вместе и образовать из них большую группу, который обобщает
понятие свободных произведений.
Пусть Г —граф, который связен и ориентирован, т.е. его рёбра
рассматриваются как стрелки: у каждого ребра есть направление.
Предположим, что в каждой вершине v графа Г мы помещаем группу Gv,
а на каждом ребре е графа Г мы помещаем гомоморфизм ус из группы
3 начале ребра в группу в конце ребра. Назовём эти данные графом
групп. Теперь построим пространство ВГ, поместив пространство BGV
из примера 1.В.7 в каждой вершине v графа Г, а затем приставим
цилиндр отображения Ву>е к каждому ребру е графа Г, отождествив два
конца цилиндра отображения с двумя пространствами BGV на концах
ребра е. Полученное пространство ВГ тогда будет CW-комнлексом, так
как отображения Вуе переводят все п-мерные клетки гомеоморфно на
л-мерные клетки. В действительности клеточную структуру на ВГ можно
канонически подразделить так, что получится структура Д-комплекса;
для этого нужно применить призменную конструкцию из доказательства
теоремы 2.10, но нам сейчас это не нужно.
Вообще вместо BGV можно взять любой CW-комплекс /C(GV, 1) в
вершине v, а затем к рёбрам приставить цилиндры отображений,
реализующих гомоморфизмы [ре. Мы оставляем читателю проверку того, что
-Полученное в результате пространство КГ гомотопически эквивалентно
Пространству ВГУ построенному выше.
Пример 1.В.10. Предположим, что граф Г состоит из одной централь-
Ной вершины и нескольких рёбер, выходящих из неё, а группа Gv в этой
•Центральной вершине тривиальна, а потому и все рёберные
гомоморфизмы тоже. Тогда теорема ван Кампена показывает, что nl (КТ) — свободное
произведение групп, стоящих во всех внешних вершинах.
Имея в виду этот пример, назовём группу пх{КТ) для общего графа
^упп Г граф-произведением групп Gv, стоящих в вершинах,
относительно рёберных гомоморфизмов ipe. В литературе для я^КТ) обычно
используется довольно неуклюжее название «фундаментальная группа
графа групп».
Основной результат, который мы докажем о графах групп, состоит
в бедующем.

122
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
I Теорема 1.В.11. Если все рёберные гомоморфизмы кре инъективны,
то КГ — пространство K{G, 1) и включения K(GVi 1) <->КГ индуцируют
инъективные отображения групп тг^
Прежде чем приступить к доказательству, давайте рассмотрим
некоторые интересные частные случаи.
Пример 1.В.12 (свободные произведения с амальгамацией).
Предположим, что граф групп имеет вид Л <— С-+Ву причём оба отображения —
мономорфизмы. Можно рассматривать эти данные как указание
вложений группы С в группы Л и В в качестве подгруппы. Применяя теорему
вен Кампена к представлению пространства КГ в виде объединения двух
цилиндров отображений, мы видим, что п1(КГ) — факторгруппа
группы Л* В, полученная при отождествлении подгруппы С с Л с подгруппой
С с В. Обычно эту группу обозначают Л *с В и называют свободным
произведением групп Л и В, амальгамированных но подгруппе С. По
теореме 1.В.11 группа А*СВ содержит обе группы Л и В в качестве подгрупп.
Например, свободное произведение с амальгамацией Z *z Z можно
реализовать цилиндрами отображений Sl <— S1 —♦S1, которые являются
m-листным и n-листным накрытиями соответственно. Мы изучили этот
случай в примерах 1.24 и 1.35, где было показано, что комплекс /СГ —
деформационный ретракт дополнения торического узла в S3, если тип
взаимно просты. Один из основных результатов в теории трёхмерных
многообразий заключается в том, что дополнение каждого гладкого узла в S3
можно построить, если повторить конструкцию графа групп с инъектив-
ными рёберными гомоморфизмами, начиная её со свободных групп.
Поэтому из теоремы 1.В.11 следует, что дополнение любого узла
—пространство K(G, 1). В действительности их универсальные накрытия всегда R3.
Пример 1.В.13 (HNN-расширения). Рассмотрим граф групп С =^ Л ,
где оба отображения ц> и я/) — мономорфизмы. Это похоже на
предыдущий случай А<г- с -^>В, но теперь две группы Л и В соединились в одну
группу. Группа п1(КГ)1 которая в предыдущем случае обозначалась А*СВ,
теперь обозначается Л*с. Чтобы понять, как выглядит эта группа,
давайте рассмотрим пространство КГ как полученное из К(Л, 1)
приклеиванием цилиндра К (С, 1) х / вдоль обоих концов К (С, 1) х а/ посредством
отображений, реализующих мономорфизмы у и гр. Используя комплекс
К (С, 1) с единственной нульмерной клеткой, мы видим, что КГ можно
получить из К (Л, 1) VS1, приклеивая клетки размерности два и выше,
поэтому пг(КГ) — факторгруппы группы Л*^, причём нетрудно понять,
что соотношения, задающие эту факторгруппу, имеют вид r^(c)r_1 =\j)(c),
где г —образующая множителя Z, ас пробегает всю группу С или набор
образующих группы С. Проверке этого посвящена одна из задач в конце
параграфа.

§1.В. Пространства K(G, 1) и графы групп
123
Весьма специальный случай, когда ц> = гр = 1, даёт Л*д = Л х Z, так
как в этом случае мы можем взять КГ = К(А, 1) х S1. Вообще, если </? = И,
а ^ — произвольный автоморфизм группы Л, то мы реализуем любое
полупрямое произведение групп А и Z как А*Л. Например, бутылка Клейна
получается таким способом, если у? реализовано тождественным
отображением окружности S1, a i/j реализовано симметрией. В тех случаях,
когда (/? = 1, мы можем реализовать ту же самую группу ttj (/СГ), используя
немного более простой граф групп с одной вершиной, помеченной А,
и одним ребром, помеченным ip.
А вот ещё один частный случай. Возьмём тор, вырежем малый
открытый диск, а затем отождествим полученную при этом граничную
окружность с параллелью тора. Это даёт пространство X, которое оказывается
гомеоморфным подпространству в стандартной картинке бутылки
Клейна в R3; см. задачу 12 в §1.2. Фундаментальная группа Я](Х) имеет вид
(Z*Z) *z Z с определяющим соотношением tb±lt~l —aba~xb~l, где а —
меридиональная петля, а Ъ — продольная петля (параллель) на торе. Знак
показателя степени в члене b±l несуществен, так как оба способа
приклеивания граничной окружности к параллели дают гомеоморфные
пространства. При абелианизации из группы п1 (X) = (a, b, 11 tbt"laba~lb~l)
получается группа Z x Z, но доказательство того, что группа п] (X) не
изоморфна Z*Z, требует некоторой работы. Есть сюръекция nl(X) —>Z*Z,
которая получается, если положить Ь = 1. Она имеет нетривиальное ядро,
так как элемент b нетривиален в ят(Х) согласно предыдущей теореме.
Если бы группа 7ГТ(Х) была изоморфна Z*Z, то мы получили бы сюръек-
тивный гомоморфизм Z * Z —> Z * Z, который не является изоморфизмом.
Однако в теории групп есть теорема, что свободная группа F является
хопфовой — любой сюръективный гомоморфизм F —>F должен быть инъ-
ективным. Следовательно, группа пл(Х) не свободна
Пример 1.В.14 (замкнутые поверхности). Замкнутую ориентируемую
поверхность М рода два или больше можно разрезать по окружности па
две компактные поверхности М2 и М2 так, что замкнутые поверхности,
полученные из М2 и М2, заклеиванием их граничной окружности диском,
имеют род меньше, чем М. Каждая из поверхностей М} и М2 — цилиндр
отображения из S1 в конечный граф. А именно, рассмотрим
поверхность М, как полученную из замкнутой поверхности вырезанием
открытого диска из внутренности двумерной клетки в стандартной CW-структуре,
описанной в главе 0, так, что М, становится цилиндром отображения
приклеивания двумерной клетки. Это отображение приклеивания не
гомотопно нулю, поэтому оно индуцирует инъективное отображение групп
Я], поскольку свободные группы не имеют кручения. Так мы реализовали
исходную поверхность М как пространство КГ, где Г —граф групп вида
Р\ <—Z—>F2 со свободными группами F} и F2 и двумя инъективными
отображениями. Теорема LB.11 тогда говорит, что М — пространство K(Gy 1).

124
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
Такие же рассуждения годятся для замкнутых неориентируемых
поверхностей, кроме RP2. Например, бутылка Клейна получается из двух
листов Мёбиуса отождествлением их граничных окружностей, а лист
Мёбиуса — цилиндр отображения для двулистного накрытия S1 —> S1.
Доказательство теоремы 1.В.11. Мы будем строить накрывающее
пространство К-+КГ, склеивая экземпляры универсальных
накрывающих пространств для различных цилиндров отображений, из которых
состоит КТ, таким способом, что К окажется стягиваемым. Тогда К будет
универсальным накрытием над AT, которое поэтому должно быть
пространством К (G, 1).
Сначала сделаем предварительное наблюдение. Если дано
универсальное накрывающее пространство р: X —>Х и такое связное, локально
линейно связное подпространство Л С X, что включение А <—* X
индуцирует инъективное отображение групп тс], то каждая компонента Л
пространства р-1 (Л) —универсальное накрытие над Л. Чтобы убедиться в этом,
заметим, что р: Л —► Л — накрытие, а потому композиция инъективных
отображений пл (А) —► п^А) —► л} (X) пропускается через пх (X) — 0,
следовательно тгДАЭ^О. Например, если X — тор S1 x S1, а А —окружность
S1 х {х0}, то р~1(А) состоит из бесконечного набора параллельных
прямых в М2, каждая из которых —универсальное накрытие над А.
Для отображения /: А—►£ между связными CW-комплексами пусть
р: Mf —>М^ — универсальное накрытие цилиндра отображения Mf. Тогда
пространство Mf само является цилиндром отображения
f'.p-'W^p-'W,
так как отрезки в структуре цилиндра отображения на Mf поднимаются до
отрезков в My, определяющих структуру цилиндра отображения. Так как
Mj — цилиндр отображения, он деформационно ретрагируется на р 1(В),
поэтому пространство р~\В) тоже односвязно, а значит, являются
универсальным накрытием над В. Если / индуцирует инъективное
отображение групп 7ГЬ то можно применить рассуждение из предыдущего
абзаца, поэтому компоненты пространства р~] (А) —универсальные накрытия
над А. Если мы дополнительно предположим, что А и В — пространства
K(Gy 1), то Mf и компоненты пространства р~л(А) стягиваемы, и мы
можем утверждать, что Mf деформационно ретрагируется на каждую
компоненту А пространства р~1(А). Действительно, включение A^-+Mf
является гомотопической эквивалентностью, так как оба пространства
стягиваемы. Тогда следствие 0.20 влечёт, что Mf деформационно ретрагируется
на А, так как пара (М^, А) обладает свойством продолжении гомотопии,
как показано в примере 0.15.
Теперь мы можем описать построение накрывающего пространства
К для КГ. Оно представляет собой объединение возрастающей последо-

§ 1.В. Пространства K(G, 1) и графы групп
125
вательности пространств Кх сК2 с ... На первом шаге пусть
^—универсальное накрытие одного из цилиндров отображения My, из которых
состоит КГ. Согласно предыдущим замечаниям оно содержит
различные непересекающиеся экземпляры универсальных накрытий двух^про-
странств K(GV, 1) на основаниях цилиндра Mf. Затем мы строим К2 из
Кг приклеивая к каждому из этих универсальных накрытий
пространства K(GVi 1) экземпляр универсального накрытия каждого из
цилиндров отображения Mg, из которых состоит КТ, пересекающего My в его
основании. Теперь повторим процесс, чтобы построить К3, приклеивая
универсальные накрытия цилиндров отображения во всех универсальных
накрытиях пространств K(GV, 1), построенных на предыдущем шаге.
Точно так же мы строим Кп+1 по Кп для всех п, а затем полагаем K = {jKu.
п
Заметим, что пространство Кп+1 деформационно ретрагируется на Кп,
так как оно получается приклеиванием к Кп кусков, деформационно ре-
трагирующихся на подпространства, вдоль которых они приклеены,
согласно предыдущим замечаниям. Из этого следует, что пространство К
стягиваемо, так как мы можем деформационно ретрагировать /Сп+1 на Кп
в течение времени из интервала [1/2пИ, 1/2"], а затем стянуть
пространство К1 в точку в течение времени из интервала [1/2,1].
Естественная проекция К—*КГ, очевидно, является накрытием, что
и завершает доказательство того, что КГ является пространством K{G, 1).
Оставшееся утверждение, что каждое включение K(GV, 1) с-> КГ
индуцирует инъективное отображение групп пъ легко выводится из
предыдущих построений. Действительно, предположим, что петля у: S] —> K(GVi l)
гомотопна нулю в КГ. Согласно критерию поднятия для накрывающих
пространств существует поднятие у: S1 —> К. Его образ содержится в одном
ТО экземпляров универсального накрытия над K(GV, 1), поэтому петля у
гомотопна нулю в этом универсальном накрытии, а значит, петля у
гомотопна нулю в K(GV, 1). □
Разные цилиндры отображений, которые составляют универсальное
накрытие над КТ, упорядочены по образцу дерева. Это дерево (назовём
его ТГ) имеет по одной вершине для каждого экземпляра
универсального накрытия пространства K{GVi 1) в К, причём две вершины соединены
Ребром, если два универсальных накрытия над K(GV, 1), соответствующие
этим вершинам, соединены отрезком, поднимающим отрезок в структуре
Цилиндра отображения для одного из цилиндров отображения, из которых
состоит КГ. Индуктивное построение пространства К отражено в
индуктивном построении пространства ТГ как объединения возрастающей
последовательности поддеревьев Тт с Т2 с ... Пространству Кх соответствует
Поддерево Тх сТГ, состоящее из центральной вершины с набором рёбер,
^Ходящих из неё — «звёздочка», у которой может быть бесконечно много
Ребер. Когда мы увеличиваем Кх до К2, 7\ соответственно увеличивается

126
Глава 1. Фундаментальная группа и накрытия
до дерева Т2 посредством приклеивания такого вида звёздочек в каждой
внешней вершине графа Ть и каждое последующее увеличение устроено
таким же образом. Действие группы тг1(К'Г) на К преобразованиями
накрытия индуцирует действие на дереве ТГ, при котором переставляются
его вершины и рёбра, причём пространство орбит дерева ТГ при этом
действии —это просто исходный граф Г. Действие на ТГ, вообще говоря,
не будет свободным действием, так как элементы подгруппы Gv с пх(КГ)
оставляют неподвижной вершину графа 7Т, соответствующую одному из
универсальных накрытий над K(GV, 1).
В действительности есть точное соответствие между графами групп
и группами, действующими на деревья. Эта довольно красивая теория
описана в [124]. С точки зрения групп, действующих на деревьях, обычно
используется более ограничительное определение графа групп, чем то,
которое использовали мы. А именно, рассматриваются только
ориентируемые графы, которые получаются из неориентируемого графа
подразделением каждого ребра посредством добавления вершины в середине
ребра, а затем два полученных при этом ребра ориентируются наружу,
в направлении от новой вершины.
Задачи
1. Предположим, что группа G действует симплициально на Д-ком-
плексе X, где «симплициально» означает, что каждый элемент группы G
отображает каждый симплекс комплекса X на другой симплекс линейным
гомеоморфизмом. Докажите, что если это действие свободно, то оно
является действием накрытия.
2. Пусть X — связный CW-комплекс, а группа G такова, что любой
гомоморфизм nl(X) -* G тривиален. Докажите, что любое отображение
X-*K(G, 1) гомотопно нулю.
3. Докажите, что любое граф-произведение тривиальных групп
свободно.
4. Применяя теорему ваи Кампена, вычислите Л*с как факторгруппу
группы А*Z, как предлагается в тексте.
5. Рассмотрим граф групп Г с одной вершиной, помеченной Z, и
одним ребром, помеченным отображением Z -* Z, которое является
умножением на 2, реализованным двулистным накрытием 51 -*Sl.
Докажите, что группа 7г1(КТ) имеет представление (a,b\bab~xa~2), и
опишите явно универсальное накрытие над КГ как произведение 7' х Ж, где
Т —дерево. [Группа тг^/СГ) является первой в семействе групп,
называемых группами Баумслага—-Солитера, которые имеют представления вида
(a,b\bamb~]a~n). Они являются HNN-расширениями группы Z*7.|
6. Докажите, что для графа групп, у которого все рёберные
гомоморфизмы — инъективные отображения Z-» Z, можно выбрать КГ так, чтобы

§1.В. Пространства K(G, 1) и графы групп
127
его универсальное накрытие было произведением Т х R, где Т — дерево.
Разберите подробно случай, когда граф групп — бесконечная
последовательность Z —>Ъ —>Z —>Z —>..., где отображение Z—»Z — умножение на п.
Докажите, что в этом случае группа л1(КГ) изоморфна Q. Как нужно
изменить этот пример, чтобы получить группу п^КГ), изоморфную
подгруппе в Q, состоящую из рациональных чисел со всевозможными
знаменателями вида 2к?
7. Докажите, что любое граф-произведение групп можно реализовать
графом, вершины которого разбиты на два подмножества так, что каждое
ориентированное ребро направлено из вершины в первом подмножестве
к вершине во втором подмножестве.
8. Докажите, что конечное граф-произведение конечно
порождённых групп конечно порождено, и аналогично для конечно представимых
групп.
9. Докажите, что конечное граф-произведение конечных групп (если
все рёберные гомоморфизмы инъективны) имеет свободную подгруппу
конечного индекса, построив конечнолистное накрытие пространства КГ
из универсальных накрытий цилиндров отображения, из которых
состоит КГ. [Обратное утверждение тоже верно для конечно порождённых
групп; см. [124].]

Глава 2
Гомологии
Фундаментальная группа яг(Х) наиболее полезна для изучения
пространств малой размерности, как можно ожидать из её определения,
которое использует только отображения пространств малой размерности в X
(а именно, петли / —> X и гомотопии петель, т. е. отображения / х / —> X).
Определение в терминах объектов, которые имеют размерность не
выше двух, проявляется, например, в том, что если X — CW-комплекс, то
группа пх{Х) зависит только от двумерного остова комплекса X.
Ввиду маломерной природы фундаментальной группы не следует ожидать,
что она будет очень точным инструментом для работы с многомерными
пространствами. В частности, она не может различить сферы Sn, n ^ 2.
Это ограничение малыми размерностями можно устранить,
рассматривая естественные многомерные аналоги группы я ,(Х) —гомотопические
группы 7г„ (X), которые определяются в терминах отображений п-мерного
куба /" в X и гомотопии Г х / —> X таких отображений. Неудивительно,
что если X — CW-комплекс, то яп(Х) зависит только от (п + 1)-мерного
остова комплекса X. И, как следовало ожидать, гомотопические группы
действительно различают сферы всех размерностей, так как группа tt,-(S")
равна 0 для i < п и Z для f = п.
Однако многомерные гомотопические группы имеют серьёзный
недостаток: их чрезвычайно трудно вычислять в общем случае. Даже для
такого простого пространства, как сферы, вычисление групп п((БП) для i>n
оказывается очень тяжёлой задачей. К счастью, есть более вычислимая
альтернатива гомотопическим группам: группы гомологии НП(Х). Как
и группа яп(Х), группа гомологии ЯП(Х) для CW-комплекса Х зависит
только от его (п + 1)-мерного остова. Для сфер группы гомологии //,-(5")
изоморфны гомотопическим группам rc,(Sn) при 1 ^i^n, но группы
гомологии имеют то преимущество, что H,-(S/l) = 0 при i > п.
К сожалению, вычислимость групп гомологии не достаётся бесплатно.
Определение групп гомологии гораздо менее прозрачно, чем определение
гомотопических групп, и, как только нужно выйти за пределы
определения, сразу требуется большое количество технических средств, с
которыми нужно освоиться перед любыми реальными вычислениями и приложе-

Глава 2. Гомологии
129
ниями. В нашем изложении мы подходим к определению группы Нп(Х)
в два предварительных этапа: сначала нестрого приводится несколько
мотивирующих примеров, а затем строится ограниченная модель теории
гомологии, называемая симплициальными гомологиями. И лишь после
этого мы погружаемся в общую теорию, известную под названием
сингулярных гомологии. После того как определение сингулярных гомологии
будет усвоено, начинается настоящая работа по выяснению их основных
свойств. Это занимает около 20 страниц, и в это время ещё не будет
понятно, почему эта тема заслуживает таких усилий. В этом заключается
основная часть первого параграфа главы, в котором помимо этого есть
только небольшие отступления, связанные с приложениями к двум
классическим теоремам Брауэра: теореме о неподвижной точке и теореме об
«инвариантности размерности».
Во втором параграфе главы будет уже больше приложений, в том
числе гомологическое определение эйлеровой характеристики и понятие
степени для отображений Sn —>S", введённое Брауэром. Однако в основном
этот параграф направлен на разработку методов эффективного
вычисления групп гомологии. Наиболее эффективный метод известен под
названием клеточных гомологии. Сила его, вероятно, в том, что он является
«гомологией, возведённой в квадрат» — гомологии определяются в
терминах гомологии. Другой весьма полезный инструмент
—последовательности Майера—Вьеториса, аналог для гомологии теоремы ван Кампена для
фундаментальной группы.
Интересная особенность гомологии, которая начинает выявляться
после того, как с ними поработаешь некоторое время, состоит в том, что
чаще всего используются именно основные свойства гомологии, а не само
их определение. Это позволяет предположить, что к гомологиям возможен
аксиоматический подход. Это действительно так, и в третьем параграфе
этой главы мы перечисляем аксиомы, которые полностью характеризуют
группы гомологии для CW-комплексов. Можно принять такую точку
зрения, что эти весьма алгебраические аксиомы представляют собой всё то,
что действительно важно знать о группах гомологии, а геометрия,
участвующая в определении гомологии, вторична — она нужна только для того,
чтобы показать, что аксиоматическая теория не пустая. В какой степени
каждый принимает эту точку зрения — вопрос вкуса, и наше изложение,
при котором аксиомы откладываются до тех пор, пока теория не будет
хорошо усвоена, — это лишь один из нескольких возможных подходов.
Глава завершается тремя необязательными параграфами дополнения.
Первый из них, довольно короткий, устанавливает связь между Н^Х)
и я1№, а в двух других содержатся избранные классические приложения
гомологии. Они включают п-мерную версию теоремы Жордана о кривой
и теорему об «инвариантности области» (обе они доказаны Брауэром),
а также теорему Лефшеца о неподвижной точке.
Зак 3655

130
Глава 2. Гомологии
Идея гомологии
Трудность с высшими гомотопическими группами пп заключается
в том, что их нельзя непосредственно вычислять по клеточной структуре
как группу п1. Например, у двумерной сферы нет никаких клеток в
размерностях выше 2, но её n-мерная гомотопическая группа nn(S2) отлична
от нуля для бесконечно многих значений п. Группы гомологии, в отличие
от этого, весьма непосредственно связаны с клеточной структурой, и в
действительности их можно рассматривать просто как алгебраизацию
геометрии первого уровня в клеточной структуре: как клетки
размерности п приклеиваются к клеткам размерности п — 1.
Давайте посмотрим на некоторые примеры, чтобы понять, в чём здесь
идея. Рассмотрим граф Хъ изображённый на рисунке, состоящий из двух
вершин, соединённых четырьмя рёбрами. При изу- у
чении фундаментальной группы графа Х} мы
рассматриваем петли, образованные
последовательностями рёбер, которые начинаются и
заканчиваются в фиксированной отмеченной точке. Например,
если отмечена точка х, петля ab~l проходит
вперёд по ребру а, а затем назад по Ь, что обозначено
показателем степени — 1. Примером более сложной
петли служит ac~lbd~lca~l. Характерной особенностью фундаментальной
группы является то, что она, вообще говоря, неабелева, что и обогащает,
и усложняет теорию. Предположим, что мы упрощаем ситуацию, переходя
к абелианизации. Тогда, например, две петли аЪ~] и b~la нужно считать
равными, если мы заставляем а коммутировать с Ь"1. Эти две петли ab~]
и b~la в действительности являются одной и той же окружностью, но на
ней по-разному выбрана точка, в которой начинается и заканчивается
петля: х для ab~l и у для Ь-1 а. То же самое происходит для всех петель.
Выбор другой отмеченной точки для петли просто переставляет её буквы
циклически, поэтому побочным продуктом абелианизации является то,
что мы больше не должны прикреплять все петли к фиксированной
отмеченной точке. Так петли становятся циклами, на которых отмеченная
точка не выбирается.
Произведя абелианизацию, давайте перейдём к аддитивной системе
обозначений, так чтобы циклы стали линейными комбинациями рёбер
с целочисленными коэффициентами, например, а — Ъ + c — d. Будем
называть эти линейные комбинации цеттми рёбер. Некоторые цепи
можно разложить в циклы несколькими различными способами, например
(а - с) + (Ь - d) = (а - d) -f (b — с), и если мы принимаем алгебраическую
точку зрения, то мы не хотим различать эти разные разложения.
Поэтому мы расширим значение термина «цикл», чтобы он просто означал
любую линейную комбинацию рёбер, для которой существует по край-

Глава 2. Гомологии
131
ggH мере одно разложение в циклы в предыдущем более геометрическом
сцысле.
Каково условие на цепь, чтобы она была циклом в этом более
алгебраическом смысле? Геометрический цикл, который мы представляем себе
vjtK траекторию движения, характеризуется тем свойством, что он входит
В каждую вершину столько же раз, сколько выходит из этой вершины. Для
произвольной цепи ка + 1Ъ + тс + nd полное число раз, когда эта цепь
входит в у, равно к +1 + т + п, так как каждое из рёбер а, Ь, с и d входит
ъу один раз. Аналогично каждое из этих четырёх рёбер выходит из х один
ваз, поэтому полное число раз, когда цепь ка + 1Ъ + тс + nd входит в х,
равно -k — i-m — n. Поэтому условие, что цепь ка Л-lb Л-тс Л- nd является
циклом, состоит просто в том, что /с + £ + т + п = 0.
Опишем этот результат так, чтобы его можно было обобщить на все
графы. Для этого рассмотрим свободную абелеву группу Сь базисом ко-
здрой служат рёбра а, Ь, с, d, и свободную абелеву группу С0, базисом ко-
фрой служат вершины х, у. Элементы группы Cj —это цепи из рёбер, т. е.
Одномерные цени, а элементы группы С0-—линейные комбинации вер-
щдан, т.е. нульмерные цепи. Определим гомоморфизм д: CY —>С0, отобра-
ЯИВ каждый элемент базиса а, Ь, с, d в у - х, вершина в конце ребра минус
Вершина в начале. Таким образом, мы имеем
d{ka + tb + mc + nd) = (/с +1 + т + п)у- (Лс + £ + т + п)дг,
В циклы — это в точности ядро гомоморфизма д. Простые вычисления
показывают, что a -b, b - с и с- d образуют базис этого ядра. Поэтому
Наждый цикл в графе Хх единственным образом представляется в виде ли-
Щейной комбинации этих трёх наиболее очевидных циклов. Посредством
язгих трёх основных циклов мы выражаем геометрическую информацию,
Шо у графа Хг есть три видимых «дырки» — пустых пространства между
|етырьмя рёбрами.
Давайте теперь увеличим предыдущий граф Xlt
Приклеив двумерную клетку Л по циклу а - Ъ и
получив при этом двумерный клеточный комплекс Х2.
Если мы считаем, что двумерная клетка Л
ориентирована по часовой стрелке, то мы можем
рассматривать её границу как цикл а — Ъ. Этот цикл теперь
Яомотопически тривиален, так как мы можем стя-
Иутъ его в точку, скользя по Л. Другими словами, он больше не охватывает
ЯЫрку в х2. Это наводит на мысль профакторизовать группу циклов из
предыдущего примера по подгруппе, порождённой циклом а - Ъ. В этой
факторгруппе циклы а — с\\Ъ — с, например, эквивалентны, что согласу-
**Ся с тем фактом, что они гомотопны в Х2.
С алгебраической точки зрения мы можем теперь определить два
"Моморфизма С2 -*Ci^* C0, где С2 — бесконечная циклическая группа,

132
Глава 2. Гомологии
порождённая клеткой А, а д2(А) = а — Ъ. Отображение дх —граничный
гомоморфизм в предыдущем примере. Факторгруппа, которая нас
интересует, — это Кег д1/ Im д2, т. е. одномерные циклы по модулю тех, которые
являются границами, т. е. по модулю кратных элемента а — Ъ. Эта
факторгруппа—группа гомологии Н1(Х2). Предыдущий пример тоже
вписывается в эту схему, если взять группу С2 нулевой, так как в Х7 нет никаких
двумерных клеток; поэтому в этом случае Н}(Х}) = Kerdj/Im*^ = Kerdb
что, как мы видели, является свободной абелевой группой с тремя
образующими. В новом примере группа Н^Х-^ свободная абелева с двумя
образующими Ь — сис — d; это выражает геометрический факт, что, заклеив
одну «дырку» двумерной клеткой А, мы уменьшили число дырок в нашем
пространстве с трёх до двух.
Предположим, что мы увеличиваем Х2 до пространства Х3,
приклеивая вторую двумерную клетку В по тому же самому циклу а — Ъ.
Это даёт двумерную группу цепей С2, состоящую из линейных
комбинаций клеток Л и В, а граничный гомоморфизм д2: С2—>СХ отображает
как А, так и В в а - Ъ. Группа гомологии Н1(Х3) =
= КегЭ1/1гп(92 та же самая, что и у Х2, но теперь д2
имеет нетривиальное ядро — бесконечную
циклическую группу, порождённую элементом А — В. Мы
рассматриваем А — В как двумерный цикл,
порождающий группу гомологии Н2(Х3) =Kerd2 ^ Z.
Топологически цикл А — В является сферой,
образованной клетками Л и В вместе с их общей граничной
окружностью. Этот сферический цикл обнаруживает присутствие «дырки»
в Х3 — недостающей внутренней части сферы. Однако, так как эта дырка
охватывается сферой, а не окружностью, она другого рода, нежели дырки,
обнаруживаемые группой Н{(Х3) *vZ x Z, т.е. обнаруживаемые циклами
Ъ-с и c — d.
Сделаем ещё один шаг и построим по Х3 комплекс Х4, приклеив
трёхмерную клетку С по двумерной сфере, образованной клетками Л и В. Это
даёт группу цепей С3, порождённую этой трёхмерной клеткой С, и мы
определим граничный гомоморфизм д3: С3 —► С2, отобразив С в А — В,
так как цикл А — В следует рассматривать как границу клетки С
аналогично тому, что одномерный цикл а - Ь —это граница клетки А.
Теперь у нас есть последовательность из трёх граничных гомоморфизмов
'^3 ^2 f^J
С3 —* С2 —* С?! —* С0, и факторгруппа Я2(Х4) = Kerd2/Imd3 становится
тривиальной. Кроме того, Н3(Х4) = Кегд3 = 0. Группа Н} (Х4) та же самая, что
и Н1(Х3)У а именно Z x Z, таким образом, это единственная
нетривиальная группа гомологии комплекса Х4.
Ясна общая схема этих примеров. Для клеточного комплекса X для
каждого п рассматривается группа цепей СП(Х) — свободная абелева
группа, базисом которой служат n-мерные клетки комплекса Х\ имеются так-

§ 2.1. Симплициальные и сингулярные гомологии
133
же граничные гомоморфизмы дп: С„(Х) —> С^.ДХ), с помощью которых
определяются группы гомологии Hn(X) = Kerd„/Imd,I+1. Основная
трудность состоит в том, как определить дп в общем случае. Для п — 1 это
легко: граница ориентируемого ребра —это вершина в его конце минус
вершина в его начале. Следующий случай п = 2 тоже несложен, по
крайней мере для клеток, приклеенных по циклам, которые являются просто
петлями из рёбер, ибо тогда граница клетки — как раз этот цикл из рёбер
с соответствующими знаками, учитывающими ориентацию. Но для п > 2
ситуация становится более сложной. Даже если ограничиться
клеточными комплексами, образованными полиэдральными клетками с хорошими
отображениями приклеивания, нужно ещё разобраться с ориентацией.
Наилучшее решение этой задачи даёт, видимо, применение
косвенного подхода. Произвольные многогранники всегда можно подразделить
на специальные многогранники, называемые симплексами (треугольник
и тетраэдр — двумерный и трёхмерный симплексы). Поэтому,
ограничиваясь симплексами, мы не потеряем в общности, хотя поначалу будет
некоторая потеря в эффективности. Для симплексов не возникает трудности
при определении граничных отображений или при работе с ориентацией.
Таким образом, мы получаем теорию гомологии, называемую симпли-
циальными гомологиями, для клеточных комплексов, состоящих из
симплексов. Однако это весьма ограниченный класс пространств, да и сама
теория обладает определённой жёсткостью, которая делает её неудобной
для работы.
Способ обойти эти препятствия состоит в том, чтобы оставить в
стороне геометрию пространств, разбитых на симплексы, и рассмотреть
вместо этого нечто на первый взгляд представляющееся гораздо более
сложным, а именно набор всех непрерывных отображений симплексов в
данное пространство X. Эти отображения порождают чрезвычайно большие
группы цепей СП(Х), но факторгруппы НП(Х) = Кегд„/1тдп.и,
называемые сингулярными группами гомологии, как оказывается, намного
меньше, по крайней мере для достаточно хороших пространств X. В частности,
для пространств такого рода, как в четырёх рассмотренных выше
примерах, сингулярные группы гомологии совпадают с группами гомологии,
которые мы вычисляли по клеточным цепям. И как мы позже увидим в этой
главе, сингулярные гомологии позволяют определить эти замечательные
группы клеточных гомологии для всех клеточных комплексов и, в
частности, решить задачу определения граничного отображения для клеточных
Цепей.
§ 2.1. Симплициальные и сингулярные гомологии
Самую важную теорию гомологии в алгебраической топологии
называют сингулярными гомологиями; мы будем заниматься почти только
ими. Так как технический аппарат сингулярных гомологии довольно ело-

134
Глава 2. Гомологии
жен, мы сначала представим более примитивную их версию, называемую
симплициальными гомологиями, чтобы показать, как часть технического
аппарата работает в этой более простой ситуации, прежде чем приступить
к общей теории.
Естественная область определения для симплициальных гомологии —
класс пространств, которые мы называем Д-комплексами; они являются
небольшим обобщением более классического понятия симплициального
комплекса. Современное определение сингулярных гомологии было
впервые дано Эйленбергом [98], а Д-комплексы были введены вскоре после
этого в [22], где их называли полусимплициальными комплексами. В
течение нескольких лет так называли то, что сами Эйленберг и Зильбер
называли полными полусимплициальными комплексами, и потом было ещё
одно изменение в терминологии, так как последние объекты стали
называть симплициальными множествами. Теоретически это позволяет
использовать термин «полусимплициальный комплекс» в его
первоначальном значении, но во избежание возможной путаницы лучше ввести новое
название, а название «Д-комплекс» имеет, по крайней мере, достоинство
краткости.
Д-комплексы
Тор, проективную плоскость и бутылку Клейна можно получить из
квадрата, отождествляя противоположные стороны способом,
показанным стрелками на следующих рисунках:
Г:
V
а <
Ь
и /
Ус
/ L
w
а'
Ь
U /
Ус
/ L
К:
Разрезание квадрата по диагонали даёт два треугольника, поэтому
каждую из этих поверхностей можно также построить из двух
треугольников, отождествляя пары их рёбер.
Таким же способом многоугольник с любым числом сторон можно
разрезать по диагоналям на треугольники, поэтому в действительности
все замкнутые поверхности можно построить из
треугольников, отождествляя их стороны. Поэтому у нас
есть единый стандартный блок —треугольник, из
которого можно построить все поверхности.
Используя только треугольники, мы можем также построить
большой класс двумерных пространств, которые не
являются поверхностями в строгом смысле, позволив
отождествлять одновременно более двух сторон.

§ 2.1. Симплициальные и сингулярные гомологии 135
v0 v0 vT v3
Идея Д-комплекса состоит в том, чтобы обобщить такие
конструкции для любых размерностей. Для треугольника п-мерный аналог —это
n-мерный симплекс. Он представляет собой наименьшее выпуклое
множество в евклидовом пространстве Жт, содержащее п + 1 точек v0,..., vn,
которые не лежат в гиперплоскости размерности меньше п, где под
гиперплоскостью мы подразумеваем множество решений системы линейных
уравнений. Эквивалентное условие состоит в том, что векторы разностей
Vi — v0, ..., vn - v0 линейно независимы. Точки v, —это вершины симплекса,
а сам симплекс обозначают [v0,..., vn]. Например, есть
стандартный n-мерный симплекс
Дп = { (t0, ..., tj G RM+1 \Yti = 1 и t,Z 0 для всех i},
i
вершины которого — единичные векторы, направленные
по координатным осям.
Для целей гомологии будет важно следить за порядком вершин
симплекса, поэтому «n-мерный симплекс» будет в действительности означать
«n-мерный симплекс с указанным порядком его вершин». Побочным
продуктом указания порядка вершин симплекса [v0, ...,vn] является то, что
оно определяет ориентации рёбер [v,, v;] согласно возрастанию индексов,
как показано на двух предыдущих рисунках. Задание порядка вершин
также определяет канонический линейный гомеоморфизм стандартного
n-мерного симплекса Дп на любой другой n-мерный симплекс [v0,..., vn],
сохраняющий порядок вершин, а именно
(t0,...,tj^^tfvr,
i
Коэффициенты t,- — барицентрические координаты точки J] t,-v, в
симплексе [v0, ...,vn].
Если мы удалим одну из п -I-1 вершин n-мерного симплекса [v0, ..., v„],
то оставшиеся п вершин порождают (п - 1)-мерный симплекс,
называемый гранью симплекса [v0,..., vn]. Мы принимаем следующее соглашение.
Вершины грани или любого подсимплекса, порождённого некоторым
подмножеством вершин, всегда будут упорядочиваться согласно их
порядку в большем симплексе.
§>■■

136
Глава 2. Гомологии
Объединение всех граней симплекса Дп — это граница симплекса Дп,
обозначаемая дДп. Открытый симплексАп —это Ап — дДп, т.е.
внутренность симплекса Д" \
Структура А-комплекса на пространстве X — это такой набор
отображений аа: Дл —> X, где л зависит от индекса а, что выполняются
следующие условия.
1. Ограничение аа |Д" инъективно, причём каждая точка
пространства X содержится в образе ровно одного такого ограничения аа \Ап.
2. Каждое ограничение отображения аа на грань симплекса Дп—это
одно из отображений а^: Д""1 -*Х. Здесь мы отождествляем грань
симплекса Дп с Д""1 посредством канонического линейного
гомеоморфизма между ними, который сохраняет порядок вершин.
3. Множество Аа X открыто тогда и только тогда, когда множество
сг"1 (Л) открыто в Дп для всех аа.
Помимо прочего последнее условие исключает тривиальную
возможность считать все точки пространства X отдельными вершинами.
Рассмотренные ранее разбиения тора, проективной плоскости и бутылки
Клейна на два треугольника, три ребра и одну или две вершины задают
структуры Д-комплекса в общей сложности с шестью отображениями
аа для тора и для бутылки Клейна и семью для проективной плоскости.
Ориентации рёбер на рисунках совместимы с единственным порядком
вершин каждого симплекса, и эти порядки определяют отображения аа.
Из условия 3 следует, что X можно построить как факторпростран-
ство набора непересекающихся симплексов Д£, по одному для каждого
отображения аа: Дп —► X. Это факторпространство получается при
отождествлении каждой грани симплекса Апа с симплексом ДГ1,
соответствующим ограничению ар отображения аа на рассматриваемую грань, как
в условии 2. Можно представлять себе построение факторпространства по
индукции, начиная с дискретного множества вершин, к которым потом
приклеиваются рёбра, чтобы получился граф, затем к графу
приклеиваются двумерные грани и т.д. С этой точки зрения мы видим, что данные,
определяющие Д-комплекс, можно описать чисто комбинаторно как
наборы п-мерных симплексов Д£ для каждого п вместе с отображениями,
сопоставляющими каждой грани каждого п-мерного симплекса Апа
некоторый (п - 1)-мерный симплекс До"*1.
Вообще Д-комплекс можно построить по набору непересекающихся
симплексов, отождествляя различные подсимплексы, порождённые
подмножествами вершин, причём отождествления осуществляются с
помощью канонических линейных гомеоморфизмов, которые сохраняют
порядок вершин. Рассмотренные ранее структуры Д-комплексов на торе,
1 При этом для п = 0 принимается соглашение, что внутренность О-симнлекса (точки)
совпадает с ним самим. —Прим. ред.

§ 2.1. Симплициальные и сингулярные гомологии
137
проективной плоскости и бутылке Клейна можно получить таким
способом, отождествляя пары рёбер двух двумерных симплексов. Если
начать с одного двумерного симплекса и отождествить все три ребра в
одно ребро, сохраняя ориентации, заданные порядком вершин, то это даст
Д-комплекс, известный под названием «шутовской колпак». В отличие от
этого, если три грани двумерного
симплекса отождествлены с сохранением
циклической ориентации этих трёх рёбер,
как на первом рисунке, то не даст
структуры Д-комплекса, хотя если этот
двумерный симплекс разбит на три меньших двумерных симплекса вокруг
центральной вершины, то тогда действительно получается структура
Д-комплекса на факторпространстве.
Представляя себе Д-комплекс X как факторнространство набора
непересекающихся симплексов, нетрудно увидеть, что пространство X
должно быть хаусдорфовым. Из условия 3 тогда следует, что каждое
ограничение сга|Д" является гомеоморфизмом на свой образ, который является
поэтому открытым симплексом в X. Предложение П.2 из приложения влечёт,
что эти открытые симплексы сга(дп) — клетки епа структуры CW-комплекса
на X с характеристическими отображениями аа. Нам этот факт сейчас,
однако, не нужен.
Симплициальные гомологии
Теперь наша цель состоит в том, чтобы определить группы симпли-
циальных гомологии Д-комплекса X. Пусть ДП(Х) —свободная абелева
группа, базисом которой служат открытые п-мерные симплексы епа
комплекса X. Элементы группы ДЛ(Х), называемые n-мерными цепями, могут
быть записаны в виде конечных формальных сумм 2паеа с коэффици-
а
ентами па eZ. Эквивалентным образом мы могли написать ^пааа, где
а
сга: д" —*Х — характеристическое отображение клетки е£, образ
которого—замыкание клетки е£, как описано выше. Такую сумму ^пааа можно
а
представлять себе как конечный набор, или «цепь», п-мерных симплексов
в X с целочисленными коэффициентами па.
Как можно увидеть на следующем рисунке, граница п-мерного
симплекса [v0,..., vn] состоит из различных (п — 1)-мерных симплексов [v0, ...
-..,v-,..., vn], где символ ~ над v,- указывает, что эта вершина удалена из
последовательности v0,..., v„. В терминах цепей тогда возникает желание
сказать, что граница симплекса [v0,..., v,J — это (п - 1)-мерная цепь,
образованная суммой граней [v0,..., vj,..., v„]. Оказывается, однако, что лучше
вставить определённые знаки и вместо этого считать границей симплекса
Kb ••., vn] цепь J](—l)'[v0,..., v-, ..., vn]. Подходя к этому эвристически, мы
АА

138 Глава 2. Гомологии
расставляем знаки с учётом ориентации, чтобы все грани симплекса были
ориентированы согласованно, как показано на следующем рисунке.
V(J Z » tVl 3[v0jv1] = [v1]-[v0]i
d[v0, vlf v2] = [vj, v2] - [v0, v2] + [v0, v, ],
v2 d[v0, v,, v2, v3] = [vj, v2, v3] - [v0, v2, v3] +
+ [v()3v1)v3]-[v0,v1)v2].
В последнем случае две грани на заднем плане тоже ориентированы
против часовой стрелки, если смотреть на них снаружи трёхмерного
симплекса.
Используя эти геометрические соображения, определим для
произвольного Л-комплекса X граничный гомоморфизм дп: Ап{Х) —> Ап_1(Х))
задав его значения на элементах базиса:
d„(ae) = 2(-l)l'aa|[v0,...,^...,vn].
Заметим, что правая часть этого равенства действительно лежит в A„_2 (X),
так как каждое ограничение аа\ [v0,..., vh ..., vn] является
характеристическим отображением (п — 1)-мерного симплекса комплекса X.
Лемма 2.1. Композиция ДП(Х) —* ДП-1(Х) —» ДЛ_2(Х) — нулевое
отображение.
Доказательство. Имеет место равенство
drt(^) = 2(-l)l"a|[v0>...,^...>vn]>
i
а потому
d„-A(a) = 2(-1)Ч-1Уа| [v0>.... v,.,...,% ..., vj +
+ S(-1),(-1)J"lal [v0' — ^ — 9i> •- v»]'
Последние две суммы взаимно сокращаются, так как после
перестановки i и j во второй сумме она становится первой суммой со знаком
минус. С

§ 2.1. Симплициальные и сингулярные гомологии
139
Теперь мы находимся в следующей алгебраической ситуации: имеется
последовательность гомоморфизмов абелевых групп
... —> Сл+1 > Сп —> Сп_! —> ... —> Cj —> С0 —> О,
причём дпдл+1 = 0 для всех п. Такую последовательность называют цепным
комплексом. Обратите внимание, что мы дополнили последовательность
нулём справа и отображением д0 = 0. Из равенства дпдп+г =0 следует, что
Imdn+1 с Кег д„, где Im и Кег обозначают образ и ядро. Поэтому мы можем
определить n-ю группу гомологии цепного комплекса как факторгруппу
Hn = Kerdn/Imdn4.1. Элементы ядра Кетдп называют циклами, а элементы
образа Imdn+1 —границами. Элементы группы Нп —смежные классы
группы Imdn+1, называемые классами гомологии. Два цикла, представляющие
один и тот же класс гомологии, называют гомологичными. Это означает,
что их разница является границей.
Возвращаясь к случаю Сп = ДП(Х), группу гомологии Kerdn/Imd,I+1
мы будем обозначать H,f (X) и называть n-й группой симплициалъных
гомологии комплекса X.
Пример 2.2. Пусть X = S1 с одной вершиной v и одним ребром е. Тогда
обе группы AqCS1) и AjCS1) равны Z, а граничное отображение д{ нулевое,
так как де = v — v. Группы An(Sl) равны 0 при п ^ 2, так как е
никаких симплексов в этих размерностях нет. Следовательно,
л . [Ъ при п = 0,1;
{ 0 при п Z 2. v
Это иллюстрирует тот общий факт, что если все граничные отображения
В цепном комплексе нулевые, то группы гомологии комплекса изоморфны
самим группам цепей.
Пример 2.3. Пусть Х = Т — тор с изображённой ранее структурой
Д-комплекса с одной вершиной, тремя рёбрами а, Ъ и с и двумя
двумерными симплексами U и L. Как и в предыдущем примере, д{ = 0, поэтому
Н£(Т) ^ Z. Так как d2U = а + Ъ — с = d2L, а {а, Ь, а + Ъ - с} — базис для
Ai(T), получаем, что HjA(T)^Z$Z с базисными классами гомологии
[а] и [Ь]. Так как никаких трёхмерных симплексов нет, группа Н£(Т)
равна группе Кегд2, которая является бесконечной циклической группой,
порождённой цепью U - L, так как d{pU + qL) = (р -f q){a + b — с) = 0
только при p = -q. Таким образом,
(Z0Z прип = 1;
Z при п = 0, 2;
0 при п ^ 3.
Пример 2.4. Пусть X = IRP2 — проективная плоскость, как она
изображалась ранее, с двумя вершинами v и w, тремя рёбрами а, Ъ и с и двумя

хлава z. гомологии
двумерными симплексами U и L. Тогда Imd] порождается цепью w — v,
поэтому Н^(Х) «*Z, причём в качестве образующей можно взять любую
вершину. Так как д21/ = -а + b -f с и d2L = а — b -f с, мы видим, что
гомоморфизм д2 инъективен, поэтому Я^(Х) = 0. Далее, Kerd^ %Z®Zc базисом
а - Ъ и с, a Imd2 является подгруппой индекса два в группе Кегдь так как
мы можем выбрать сиа-Ь+св качестве базиса для Кегд1} а а-Ъ + с
и 2с = (а - Ъ + с) + (-а + b + с) в качестве базиса для Im d2. Таким образом,
Пример 2.5. Мы можем получить структуру Д-комплекса на Sn, взяв
два экземпляра симплекса Л'1 и отождествив их границы посредством
тождественного отображения. Если пометить эти два п-мерных
симплекса буквами U и L, то очевидно, что группа Кегд„ является бесконечной
циклической, порождаемой цепью U — L. Поэтому tf,f (Sn) ^Z для такой
структуры Л-комплекса на S". Вычисление других групп гомологии будет
более трудным. .
Без больших затруднений можно разобрать много аналогичных
примеров; в частности, можно рассмотреть другие замкнутые ориентируемые
и неориентируемые поверхности. Однако вычисления имеют тенденцию
быстро усложняться, особенно для многомерных комплексов.
Напрашиваются некоторые очевидные общие вопросы. Зависят ли
группы tfff (X) от выбора структуры Л-комплекса на X? Другими словами,
если два Л-комплекса гомеоморфны, то будут ли их группы гомологии
изоморфны? Более общий вопрос: будут ли изоморфны группы
гомологии, если пространства лишь гомотопически эквивалентны? Чтобы
ответить на эти вопросы и разработать общую теорию, лучше выйти за рамки
довольно жёстких симплициальыых конструкций и ввести сингулярные
группы гомологии. У них есть дополнительное преимущество в том, что
они определены для всех пространств, а не только для Д-комплексов.
В конце этого параграфа, после того как будет разработана некоторая
теория, мы покажем, что для Д-комплексов симплициальные и сингулярные
группы гомологии совпадают.
Традиционно симплициальные гомологии определяют для симпли-
циалъиых комплексов, являющихся Д-комплексами, симплексы которых
единственным образом задаются их вершинами. По-другому можно
сказать, что любой п-мерный симплекс имеет п +1 разных вершин и нет
другого n-мерного симплекса с тем же самым множеством вершин. Таким
образом, симплициальный комплекс можно описать комбинаторно как
множество Х0 вершин вместе с множествами Х„ — и-мерными симплексами,
которые являются (п +1)-элементными подмножествами в Х0.
Единственное требование состоит в том, что каждое (/с + 1)-элементное
подмножество вершин п-мерного симплекса в Хп является к -мерным симплексом
в Хк. По этим комбинаторным данным можно построить Д-комплекс X,
как только мы выберем частичный порядок вершин Х0, ограничение ко-

§ 2.1. Симплициальные и сингулярные гомологии
141
торого на вершины любого симплекса в Хп является линейным порядком.
Например, мы могли бы выбрать просто линейный порядок на всех
вершинах. Для больших множеств вершин это могло бы потребовать
привлечения аксиомы выбора.
Одна из задач в конце этого параграфа состоит в том, чтобы
показать, что каждый Д-комплекс можно подразделить так, что он станет сим-
плициальным комплексом. В частности, любой Д-комплекс гомеоморфен
симплициальному комплексу.
По сравнению с симплициальными комплексами Д-комплексы имеют
то преимущество, что вычисления с ними проще, поскольку требуется
меньше симплексов. Например, чтобы ввести структуру симплициального
комплекса на торе, нужно по крайней мере 14 треугольников, 21 ребро
и 7 вершин, а для IRP2 нужно по крайней мере 10 треугольников, 15 рёбер
И 6 вершин. Это существенно замедлило бы вычисления!
Сингулярные гомологии
Сингулярный n-мерный симплекс в пространстве X — это по
определению, просто отображение а: Дп —>Х. Слово «сингулярный»
используется здесь, чтобы показать, что отображение а не должно быть
вложением, но может иметь «особенности», где его образ вовсе не похож на
симплекс. Единственное, что требуется от а, —это непрерывность. Пусть
Сп(Х) — свободная абелева группа, базисом которой служит множество
сингулярных гг-мерных симплексов в X. Элементы группы СП(Х),
называемые n-мерными цепями (точнее, сингулярными п-мерными цепями),
являются конечными формальными суммами £] п(аь где n, e Z и сг{: Д" —> X.
i
Граничное отображение дп: СЛ(Х) —>СЛ_1(Х) задаётся той же самой
формулой, что и раньше:
I
В этой формуле неявно используется каноническое отождествление [v0,...
...,^-,..., vn] с Д""1, сохраняющее порядок вершин, так что а\ [v0,..., vj,...
.,., vn] рассматривается как отображение Дп-1 —>ХУ т.е. как сингулярный
(и — 1)-мерный симплекс.
Обычно мы записываем граничное отображение дп из СЛ(Х) в С,,.^)
просто как д, когда это не приводит к недоразумениям. Доказательство
леммы 2.1 применимо и к сингулярным симплексам; оно показывает, что
dndn+1 = 0, или, короче, д2 = 0. Поэтому мы можем определить группу
сингулярных гомологии Нп (X) = Кег дп/ Im д„+1.
Из определения очевидно, что гомеоморфные пространства имеют
Изоморфные группы сингулярных гомологии Нп, в отличие от ситуации
Для Н*. С другой стороны, так как группы СЛ(Х) столь велики, что
число сингулярных гг-мерных симплексов в X обычно несчётно, непонятно,

142
Глава 2. Гомологии
почему для А-комплекса X с конечным числом симплексов группа Нп (X)
должна быть конечно порождённой для всех п и должна быть нулевой,
если п больше размерности комплекса X; эти два свойства тривиальны
дляЯ*(Х).
Хотя сингулярные гомологии выглядят намного более общими, чем
симплициальные гомологии, в действительности их можно
рассматривать как частный случай симплициальных гомологии посредством
следующей конструкции. Для произвольного пространства X определим
сингулярный комплекс S(X) как А-комплекс, имеющий по одному п-мерному
симплексу А" для каждого сингулярного п-мерного симплекса а: А" —> X,
причём Д£ приклеивается очевидным способом к (п — 1)-мерным
симплексам комплекса S(X), которые являются ограничениями
отображения а на разные (п — 1)-мерные симплексы в <ЗА". Из определений ясно,
что группа Н* (S(X)) совпадает с Нп (X) для всех п, и в этом смысле группа
сингулярных гомологии Нп (X) является частным случаем группы
симплициальных гомологии. Можно рассматривать S(X) как модель
А-комплекса для X, хотя это, как правило, чрезвычайно большой объект по
сравнению с X.
Циклы в сингулярных гомологиях определяются алгебраически, но
им можно дать несколько более геометрическую интерпретацию в
терминах отображений из конечных А-комплексов. Чтобы увидеть это, прежде
всего заметим, что сингулярную п-мерную цепь Е, всегда можно записать
в виде Yi ei(Jb гДе £i =±1, если допустить повторение сингулярных п-мер-
ных симплексов а(. Если дана такая п-мерная цепь С = 5]^'(71» то> К0ГДа
мы вычисляем <3£ как сумму сингулярных (п — 1)-мерных симплексов со
знаками ±1, может произойти сокращение пары, состоящей из двух
одинаковых сингулярных (п — 1)-мерных симплексов с противоположными
знаками. Выбирая максимальный набор таких сокращающихся пар,
построим п-мерный А-комплекс К% из несвязного объединения п-мерных
симплексов А", по одному для каждого <тг, отождествляя пары (п — 1)-мерных
граней, соответствующие выбранным сокращающимся парам. Тогда
отображения а, индуцируют отображение К^ —>Х. Если £ — цикл, то любой
(п - 1)-мерный симплекс комплекса К^ происходит из сокращающейся
пары, а потому является гранью ровно двух п-мерных симплексов комплекса
К^. Таким образом, К^ — пространство, локально гомеоморфное R" всюду,
за исключением подкомплекса размерности не больше п - 2. Все п-мер-
ные симплексы комплекса К^ можно согласовано ориентировать,
учитывая знаки перед ah поэтому К^ в действительности является
ориентируемым многообразием вне его особых точек. Более внимательное изучение
показывает, что К^ является многообразием и около внутренних точек
(п — 2)-мерных симплексов, и, таким образом, особые точки комплекса К?
в действительности имеют размерность не больше п — 3. Однако вполне

§ 2.1. Симплициальные и сингулярные гомологии
143
может случиться, что около внутренних точек (п — 3)-мерных симплексов
Кг уже не будет многообразием.
В частности, элементы группы НХ(Х) представляются наборами
ориентированных нетель в X, а элементы группы Н2(Х) представляются
отображениями замкнутых ориентированных поверхностей в X.
Потрудившись ещё немного, можно показать, что ориентированный одномерный
цикл Ц ^а ""* * является нулём в Нх (X) тогда и только тогда, когда он
а
продолжается до отображения ориентированной поверхности в X;
аналогичное утверждение есть и для двумерных циклов. В начале развития
теории гомологии верили, по крайней мере надеялись, что эта тесная
связь с многообразиями продолжается на все высшие размерности, но
оказалось, что это не так. Есть своего рода теория гомологии, построенная
из многообразий, которую называют бордизмами, но она гораздо более
сложная, чем теория гомологии, которую мы изучаем здесь.
После этих предварительных замечаний давайте посмотрим, что
можно доказать о сингулярных гомологиях.
I Предложение 2.6. Разбиению пространства X на компоненты ли-
I нейной связности Ха соответствует изоморфизм группы НП(Х) на пря-
I мую сумму фН„(Ха).
I а
Доказательство. Так как образ сингулярного симплекса всегда
линейно связен, группа СП(Х) расщепляется как прямая сумма своих
подгрупп Сп(Ха). Граничные отображения дп сохраняют это разложение
в прямую сумму, переводя Сп(Ха) в Cn_j(Xa), поэтому Кегд,, и Imdn+1
аналогично расщепляются как прямые суммы. Следовательно, группы
гомологии также расщепляются: Нп(X) ъ 0Нп(Ха). □
а
I Предложение 2.7. Если пространство X непусто и линейно связ-
I но, то Я0(Х) ^ Z. Следовательно, для любого пространства X группа
I Н0(Х) —прямая сумма групп Z, по одной для каждой компоненты ли-
I нейной связности пространства X.
Доказательство. По определениюH0(X)=C0(X)/Imдг, так как д0=0.
Определим гомоморфизм е: С0(Х) —> Z, положив e(2nf<7i) =Snr Он>
очевидно, сюръективен, если пространство X непусто. Утверждение
состоит в том, что Kere = ImdIf если пространство X линейно связно, а
значит, е индуцирует изоморфизм H0(X)&Z.
Чтобы доказать это утверждение, заметим сначала, что Imdj cKere,
так как для сингулярного одномерного симплекса о\ Д1 —► X мы
имеем ед^а) = е(сг| [vj - a\ [v0]) = 1-1 = 0. Для доказательства обратного
включения Kerf clmdj предположим, что е(£]п,-сг,-) = 0> т-е. £]пг- = 0.
Отображения а, — сингулярные нульмерные симплексы, которые
являются просто точками в X. Выберем путь т,-: I —>Х из отмеченной точки х0

144
Глава 2. Гомологии
в сг,-О0), и пусть а0 — сингулярный нульмерный симплекс с образом х0.
Мы можем рассматривать т, как сингулярный одномерный симплекс, т. е.
отображение т,-: [v0, vj —>Х, а тогда мы имеем дт,- = а,- — а0.
Следовательно,
i i i i
так как ^п, =0. Таким образом, ^п^сг, —граница, а это показывает, что
Кег е с Im д х. D
| Предложение 2.8. Если X — точка, то Нп (X)=0 при п > 0 и Я() (X) «* Z.
Доказательство. В этом случае есть единственный сингулярный
n-мерный симплекс ап для каждого п, а Э(сгп) = 5](-1),ап_1 — сумма п-hi
членов, которая равна 0 для нечётного п и а,,.! для чётного п, п ^ 0. Таким
образом, мы получаем цепной комплекс
в котором граничные отображения поочерёдно являются изоморфизмами и
тривиальными отображениями, за исключением последней группы Z.
Группы гомологии этого комплекса тривиальны за исключением Н0ъг£. □
Часто гораздо более удобной оказывается слегка изменённая версия
гомологии, для которой точка имеет тривиальные группы гомологии во
всех размерностях, включая нуль. Для этого определяются приведённые
группы гомологии Н„(Х) как группы гомологии увеличенного цепного
комплекса или цепного комплекса с аугментацией
... -> С2(Х) % С, (X) ^ С0(Х) Д Z - 0,
где e(Yjniai) =2П1> как в доказательстве предложения 2.7; это отобра-
жение называют аугментацией1. Здесь мы должны потребовать, чтобы
пространство X было непустым, чтобы избежать появления
нетривиальной группы гомологии в размерности —1. Так как edi = 0, отображение
е обращается в нуль на Im^! и, следовательно, индуцирует отображение
Н0(Х) —> Z с ядром Н0(Х)} поэтому Я0(Х) ъ Н0(Х) Ф Ъ. Очевидно, что
Нп(Х)ъНп(Х) прип>0.
Формально можно думать о дополнительной группе Z в
увеличенном цепном комплексе как порождённой единственным отображением
[0] —> X, где [0] — пустой симплекс, без вершин. Тогда отображение
аугментации е— это обычное граничное отображение, так как d[v0] =
= [vo] = [0].
Читатели, которые знают о фундаментальной группе тгДХ), могут,
опережая события, заглянуть в § 2.А, где показано, что группа //] (X) явля-
1 От английского augmentation. — Прим. перев.

§ 2.1. Симплициальные и сингулярные гомологии
145
ется абелианизацией группы Я] (X), если пространство X линейно связно.
Этот результат, однако, не понадобится в других местах этой главы.
Гомотопическая инвариантность
Первый существенный результат, который мы докажем о сингулярных
гомологиях, состоит в том, что гомотопически эквивалентные
пространства имеют изоморфные группы гомологии. Мы сделаем это, показав, что
отображение /: X —> Y индуцирует гомоморфизм /*: НЛ(Х) —* НП(У) для
всех п и что /+ является изоморфизмом, если / — гомотопическая
эквивалентность.
Для отображения /: X —* Y индуцированный гомоморфизм /fi: Сп (X) —*
—>Cn(Y) определяется как композиция каждого сингулярного п-мерного
симплекса а: Ап —* X с отображением /, которая даёт сингулярный п-мер-
ный симплекс /д(сг) = fa: Дп —* Y, с последующим продолжением по
линейности посредством формулы
i i i
Отображения /3: Cn (X) —> Cn(Y) удовлетворяют соотношению f:d = d/ц, так
как
/sa(a) = /.(S(-iya|tv0>.
= £(-1)'/ct|[v0,
Таким образом, мы имеем диаграмму
vi.-.vn]) =
.,v[-, ...,vn] = d/j,(a).
Jn+1
W-
■c„(X)—^c^w
-c„+100
-c„-i(n
в которой в каждом квадрате композиция f^d равна композиции д/д.
Диаграмму отображений, которая обладает тем свойством, что любые две
композиции отображений, исходящие из одной и той же точки диаграммы
и заканчивающиеся в некоторой другой точке, равны, называют
коммутативной диаграммой. В данном случае коммутативность диаграммы
эквивалентна соотношению коммутативности f$d — df:i но коммутативные
диаграммы могут содержать коммутативные треугольники,
пятиугольники и т.д., а не только коммутативные квадраты.
Тот факт, что отображения ff СП(Х) —>СП(У) удовлетворяют
соотношению f:d = d/-, выражают также, говоря, что отображения /й определяют
цепное отображение сингулярного цепного комплекса X в сингулярный
цепной комплекс Y. Соотношение /ид = д/ц влечёт, что /: переводит циклы

146
Глава 2. Гомологии
в циклы, так как из равенства да = О следует, что д(/-а) =/,(да) = 0. Кроме
того, /й переводит границы в границы, так как f^(dl3) = d(<f:l3).
Следовательно, /: индуцирует гомоморфизм /+: Нп(Х) —>Hn(Y). Алгебраическое
утверждение, которое мы только что доказали, состоит в следующем.
(Предложение 2.9. Цепное отображение цепных комплексов
индуцирует гомоморфизмы групп гомологии этих двух комплексов.
Вот два основных свойства индуцированных гомоморфизмов,
которые важны, несмотря на их тривиальность:
S I
1) (/&)* = /*g* Для композиции отображений X —* У —> Z (это следует из
a g f
ассоциативности композиций Лп —> X —> У —»Z);
2) 1* = 1, где 1 обозначает тождественное отображение пространства
или группы.
Менее тривиально следующее утверждение.
I Теорема 2.10. Если два отображения /, g: X —> У гомотопны, то они
индуцируют один и тот же гомоморфизм /* = g*: Ни (X) —> Яп(У).
Если учесть формальные свойства (/g)+ = /*g* и!, = 1, то немедленно
получаем следующей результат.
I Следствие 2.11. Отображения /*: Нп(Х) —> Ни(У), индуцированные
гомотопической эквивалентностью /: X—* У, являются
изоморфизмами для всех п.
Например, если пространство X стягиваемо, то Нп{Х) =0 для всех п.
Доказательство теоремы 2.10. Существенной составляющей
доказательства является построение разбиения цилиндра А" х J на (п 4-
^-мерные симплексы. На рисунке изображены случаи п = 1, 2. В Д" х J пусть
Дп х {0} = [v0, ...,vn] и Д" х {1} = [w0,..., wM], где v,- и w( имеют один
и тот же образ при проекции Д" х / —► Дп.
Симплекс [v0,..., Vj, wl4!,..., wn] размерности n — это
график линейной функции у?,: Дп —> J,
заданной в барицентрических координатах формулой
4>i(t0, ..., tn) =tI+i 4-... 4-tn, так как вершины
симплекса [v0,..., Vj, w/+1,..., w„] лежат на графике
функции </>, и этот симплекс проектируется гомео-
морфно на Дп при проекции Дп х / —► Д". График
функции </>,- расположен ниже графика функции
</>,■-!, так как </?,- ^ </>,•_ i, и область между этими
двумя графиками —симплекс [v0,..., v,-,w,-,..., wn].
Это действительно (п 4-1)-мерный симплекс, так
как w, не лежит на графике функции у?,- и,
следовательно, не принадлежит n-мерному
симплексу [v0,..., v(, wi+1,..., wn]. Из последовательности
неравенств 0 = ipn ^ у> j ^ ... ^ у?0 ^ ^-1 = 1 мы

§ 2.1. Симплициальные и сингулярные гомологии
147
получаем, что Дп х / — объединение (п + 1)-мерных симплексов [v0, ...
..., vf, wh ..., wn], каждый из которых пересекает следующий за ним по
грани— n-мерному симплексу.
Если дана гомотопия F: X х / —> У отображения / в отображение g, то
можно определить призменные операторы Р: СП(Х) —> Сп+1(У), положив
Р(<7) = J](-DrFo (а х 1)| [v0, ..., v;, wh ..., wn]
i
для а: Д" —►X, где F о (а х 1) — композиция Дпх/—>Х xl —► У. Мы
покажем, что призменные операторы удовлетворяют соотношению
ap = gE-/s-Pd.
С точки зрения геометрии левая часть этого уравнения представляет
границу призмы, а три члена в правой части представляют верхнее
основание Д" х {!}, нижнее основание Дп х {0} и боковую поверхность с)Дп х /
призмы. Чтобы доказать это соотношение, приведём вычисление:
дР(а) = ]Г(-Щ-1);> о (а х 1)| [v0,..., vj9..., v,-, iv,-,..., wn] +
+ ]Г(-1)Ч-1У+1Ро (а x 1}l [v°' — v" w<' •'" ™i> -' w"]-
Члены с i = j в этих двух суммах взаимно сокращаются, за исключением
члена
Fo(axl)|[v0,w0, ...,wn],
который равен goor = g:(or), и члена — Fо (а х 1)| [v0, ..., v„, fi>„], который
равен —/оа = —/с(а). Члены с i ^J —-это в точности -Рд(сг), так как
Рд(а) = ^(-1)Ч-1);>о (а х 1)| [v0,..., v,-, iv,-,..., wj9 .... wn] +
«<i
+ X|(-l)r'"1(-lVFo (a x 1)| Lv0, ..., vj9..., vf, wi9..., wn].
«>;
Теперь мы можем завершить доказательство теоремы. Если а е Сп (X) —
цикл, то мы получаем g-(a) -/,(a) =dP(a)+Pd(a) =ЭР(а),так как да = 0.
Таким образом, g- (a) - /:(a) — граница, а потому gc (a) и /, (а) определяют
один и тот же класс гомологии, а это означает, что g* совпадает с /+ на
классе гомологии цикла а. □
Соотношения дР + Pd = gj, - /, выражают, говоря, что Р — цепная
гомотопия между цепными отображениями /с и gn. Мы только что доказали
следующее утверждение.

148
Глава 2. Гомологии
I Предложение 2.12. Цепно гомотопные цепные отображения
индуцируют один и тот же гомоморфизм гомологии.
Есть также индуцированные гомоморфизмы /+: Нп {X) —► Нп (Y) для
приведённых групп гомологии, так как /;;£ = £/:. Свойства
индуцированных гомоморфизмов, доказанные выше, выполняются и для приведённых
гомологии; доказываются они точно так же.
Точные последовательности и вырезание
Было бы хорошо, если бы всегда имелись простые соотношения между
группами гомологии пространства X, подпространства А и факторпро-
странства Х/А. Действительно, тогда можно было бы надеяться найти
группы гомологии пространств типа CW-комплексов, индуктивно
получаемых из подпространств, сложность которых последовательно
возрастает. По-видимому, наиболее простые соотношения получились бы, если
бы группа НЛ(Х) содержала Нп(А) в качестве подгруппы, а факторгруппа
Нп(Х)/Нп{А) была бы изоморфна Нп(Х/А). Хотя это действительно так
в некоторых случаях, но если бы это выполнялось всегда, то теория
гомологии полностью выродилась бы, поскольку любое пространство X
можно вложить в качестве подпространства в пространство с тривиальными
группами гомологии, а именно в конус СХ = {X х I)/(X х {0}), который
является стягиваемым.
Оказывается, эту чересчур простую модель не нужно менять слишком
сильно, чтобы получить соотношение, которое справедливо в весьма
общей ситуации. Новое свойство реального соотношения состоит в том, что
оно вовлекает группы НП(Х), Нп(А) и Нп{Х/А) для всех значений п
одновременно. На практике это не столь плохо, как могло бы показаться;
кроме того, это имеет приятный побочный эффект, иногда позволяя
вычислять группы гомологии высокой размерности в терминах групп меньшей
размерности, которые могут быть уже известны, например, по индукции.
Чтобы сформулировать искомое соотношение, нам понадобится
алгебраическое определение, которое играет ключевую роль в
алгебраической топологии. Последовательность гомоморфизмов
a/!+l aH
_» А > А —U А —>
называют точной, если Кегал =1тал+1 для всех п. Включения 1та„+1 с
с Кегап эквивалентны тому, что апап+1 = 0, поэтому такая
последовательность—цепной комплекс, а противоположные включения Keran clman+1
выражают тот факт, что группы гомологии этого цепного комплекса
тривиальны.
Многие основные алгебраические понятия можно выразить в
терминах точных последовательностей, например:

§ 2.1. Симплициальные и сингулярные гомологии
149
1) последовательность 0 —> А —► В точна тогда и только тогда, когда
Кега = 0, т.е. гомоморфизм а инъективен;
2) последовательность Л —► В —> О точна тогда и только тогда, когда
Ima = B, т.е. гомоморфизм а сюръективен;
3) согласно п. 1 и 2 последовательность 0 —> А —> В —> О точна тогда и
только тогда, когда а — изоморфизм;
a P
4) последовательность О—► А —► В —> С —► О точна тогда и только тогда,
когда гомоморфизм а инъективен, гомоморфизм /3 сюръективен
и Ker/3 = Ima, поэтому /3 индуцирует изоморфизм C^B/Ima; это
можно записать как СъВ/А, если мы представляем себе а как
включение группы Л в группу В в качестве подгруппы.
Точную последовательность0—► А —>В —>С —► О, рассмотренную в
примере 4, называют короткой точной последовательностью.
Точные последовательности дают правильный инструмент, чтобы
связать группы гомологии пространства, подпространства и
соответствующего факторп